Finanzmathematik: Lehr- und Übungsbuch 9783486599725, 9783486240405

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(ft

Finanzmathematik Lehr- und Übungsbuch

Von

Prof. Dr. Hermann Locarek-Junge Lehrstuhl für Finanzwirtschaft Technische Universität Dresden

3., verbesserte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek CiP-Einheitsaufnahme -

Locarek-Junge, Hermann:

Finanzmathematik : Lehr- und Übungsbuch / von Hermann Locarek-Junge. 3., verb. Aufl. München ; Wien :

Oldenbourg,

1997 -

-

ISBN 3-486-24040-4

© 1997 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließüch aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Über-

setzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3-486-24040-4

Inhaltsverzeichnis XI

Vorwort

I 0

Lehrbuch

Mathematische Hilfsmittel 0.1 Propädeutik. 0.1.1 Zahlenbereiche . 0.1.2 Potenzen und Logarithmen. 0.1.3 Summen und Produkte. 0.1.4 Folgen und Reihen. 0.1.5 Reelle Funktionen. 0.1.6 Grenzwerte . 0.2

Nullstellenbestimmung. Analytische Lösung.

0.2.1 0.2.2 0.3 1

XIII

Iterative Verfahren.

Literaturhinweise.

Abschreibungen 1.1 Begriffe und Symbole. 1.2 Lineare Abschreibung. 1.3 Arithmetisch degressive bzw. digitale Abschreibung. 1.3.1 Arithmetisch degressive Abschreibung. 1.3.2 Digitale Abschreibung. 1.4 Geometrisch degressive Abschreibung. 1.4.1 Reine geometrisch degressive Abschreibung. 1.4.2 Exkurs: Abschwächung der Degression. 1.5

Rechtliche Vorschriften. 1.5.1 Höchstsatz der Abschreibung .

Abschreibung Wechsel der Abschreibungsart. 1.6 Weiterführende Hinweise und Literaturangaben. Zinsrechnung 2.1 Grundbegriffe und Symbole der Zinsrechnung 2.2 Einfache Verzinsung 2.2.1 Entwicklung der Zinsformel. 2.2.2 Exkurs: Berechnung von Zeitdifferenzen. 1.5.2 1.5.3

2

in Staffelsätzen.

.

.

1

1 1 2 5 6 11 11 15 16 17 22 23

23 24 27 27 29 30 30 33 34 34 35 36 39 40 40 41 41 43

VI

_Inhaltsverzeichnis 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3

Zinsformel der einfachen Verzinsung. Kaufmännische Zinsformel, Postenmethode und Zinsstaf-

45

felrechnung

47 51 53 55 55 58

.

Kaufmännische Diskontierung. Exkurs: Ratenkredite.

Zinseszinsrechnung. Herleitung der Zinseszinsformel. Auflösung der Zinseszinsformel Gemischte Zinsrechnung. 2.4.1 Auflösung der Formel nach n und p. Unterjährige und stetige Verzinsung. 2.5.1 Unterjährige Verzinsung. 2.5.2 Stetige Verzinsung. Weiterführende Hinweise und Literaturangaben. 2.3.1 2.3.2

2.4 2.5

2.6

.

Äquivalenzprinzip

3 Das der Finanzmathematik 3.1 Die Herleitung des Aquivalenzprinzips 3.2 Zahlungsströme. 3.3 Der mittlere Zinstermin eines Zahlungsstroms. 3.4 Beurteilung von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen 3.4.1 Grundsätzliche Überlegungen. 3.4.2 Kapitalwertmethode. 3.4.3 Methode des internen Zinssatzes. 3.5 Exkurs: Existenz und Eindeutigkeit des internen Zinssatzes 3.5.1 Bedingungen für die Existenz einer Nullstelle der Kapitalwertfunktion 3.5.2 Bedingungen für die Eindeutigkeit einer Nullstelle der .

.

.

.

Kapitalwertfunktion

3.6

Weiterführende Hinweise und 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4

4

.

Literaturangaben.

Dynamische Endwertverfahren. Duration. Zinsstrukturkurveneffekt. Literaturhinweise.

Rentenrechnung 4.1 Begriffe und Symbole der Rentenrechnung. 4.2

4.3 4.4

Jährliche konstante Raten bei fester Laufzeit. 4.2.1 Nachschüssige konstante Renten. 4.2.2 Vorschüssige konstante Renten. Unterjährige Raten und jährliche Verzinsung. Ewige Rente mit konstanten Raten.

63 65 67 67 70 72 74 74 75 77 78 78 81 83 87

88

89 90 91 92 94 94

95 95 96 96 103 108 112

Inhaltsverzeichnis 4.5 4.6 4.7

VII

Arithmetisch veränderliche Rente. Geometrisch veränderliche Rente Unterjährige Raten und unterjährige Verzinsung. 4.7.1 Renten- und Zinszeitraum stimmen überein.

.

4.7.2

114 116 118 119

Während eines Zinszeitraumes erfolgen mehrere Renten-

zahlungen

119 . Der Rentenzeitraum ist ein Vielfaches des Zinszeitraumes 119 Weiterführende Hinweise und Literaturangaben. 120

4.7.3 4.8 5

Tilgungsrechnung 5.1 Begriffe und Symbole der Tilgungsrechnung 5.2 Jährliche Ratentilgung. 5.3 Jährliche Annuitätentilgung. 5.3.1 Fall 1: Exakte Annuitätentilgung.

.

5.3.2

5.4

5.5

Fall 2: Prozentannuitäten

.

Unterjährige Annuitätentilgung. 5.4.1 Sofortige Tilgungsverrechnung. 5.4.2 Jährliche Tilgungsverrechnung. Sonderformen der Tilgungsrechnung. 5.5.1 Zinsverrechnungen 5.5.2 Tilgungsfreie Zeiten. 5.5.3 Kreditgebühren. 5.5.4 Zinsbindung und Disagio-Splitting. Berechnung des Effektivzinses nach der Preisangabenverordnung 5.6.1 Konsumentenkredite. .

5.6

Kredite und Darlehen. Weiterführende Hinweise und Literaturangaben 5.6.2

5.7

.

5.7.1 5.7.2 6

Bezug Rentenrechnung. Literaturhinweise. zur

Kursrechnung,

6.1 6.2

Renditen und

Näherungsverfahren

Begriffe und Symbole. Kursformeln bei ganzjähriger Laufzeit. 6.2.1 Näherungsverfahren bei jährlicher Zinszahlung. 6.2.2

Kursformeln bei ganzjähriger Laufzeit und

Couponterminen Näherungsverfahren

6.3

bei

121 123 125 126 128 131 133 135 141 141 142 143 145 146

146 150 152 152 153 154

154 156 158

unterjährigen

.

6.2.3

121

unterjährigen Couponterminen

Kursformeln bei nicht-ganzzahliger Laufzeit. 6.3.1 Stückzinsen. 6.3.2 Kursformel nach AIBD. 6.3.3 Kursformel nach SIA.

162 165 166 168 171 171

VIII

Inhaltsverzeichnis

Kursformel nach US-Treasury. Kursformel nach Moosmüller. Methode nach Braeß/Fangmayer Sonderausstattung und Konditionen bei der Emission Spezielle festverzinsliche Wertpapiere. 6.4.1 Anleihen mit "ewiger" Laufzeit.

6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7 6.4

6.5

.

.

6.4.2 Zero-Bonds. Die Besteuerung von Wertpapieren im Privatvermögen 6.5.1 Allgemeine Vorschriften 6.5.2 Die Besteuerung endfälliger Kuponanleihen. ....

.

6.6

6.5.3 Die Besteuerung von Diskontanleihen. Weiterführende Hinweise und Literaturangaben.

Lösungen

zu

den

Übungsaufgaben

172 173 173 174 177 177 178 179 179 181 183 185 187

Inhaltsverzeichnis_IX II 7

Übungsbuch

195

Aufgabensammlung zur Finanzmathematik 7.1 Abschreibungen. 7.2 Zinsrechnung

.

7.3 7.4 7.5 7.6 8

Das

Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik.

Rentenrechnung. Tilgungsrechnung. Kursrechnung, Effektivverzinsung.

198 198 199

200 202 207 211

Lösungen zur Aufgabensammlung 8.1 Abschreibungen. 8.2

8.3 8.4

8.5 8.6

214 214 216 Zinsrechnung Das der Finanzmathematik. 218 Rentenrechnung. 221 .

Äquivalenzprinzip

Tilgungsrechnung. Kursrechnung, EfFektivverzinsung.

228 235

9

Vier vollständige Klausuren 239 9.1 Klausur A. 239 9.2 Klausur B. 241 9.3 Klausur C. 243 9.4 Klausur D. 245

10

Lösungen zu den Klausuren 10.1 Lösungen zu Klausur A. 10.2 Lösungen zu Klausur B. 10.3 Lösungen zu Klausur C. 10.4 Lösungen zu Klausur D.

248 248 252 255 260

Literaturhinweise

265

Sachverzeichnis

271

XI

Vorwort

Vorwort

zur

dritten

Auflage

Im Einsatz des Buches an den Universitäten Augsburg, Essen und Dresden hat sich die Grundkonzeption bewährt und wurde deshalb nicht geändert. Für Hinweise auf einige kleinere Fehler danke ich Kollegen und Mitarbeitern, sowie Hörerinnen und Hörern meiner Vorlesungen. Von ihnen habe ich auch erhalten. Es ist jedoch auch weitere Lösungsvorschläge zu den nur der einer künftig möglichen Lösungswege abgedruckt. Andere zu finden, ist der Kreativität der Leser vorbehalten.

Übungsaufgaben

Hermann

Vorwort

zur

ersten

Locarek-Junge

Auflage

Das vorliegende Lehr- und Übungsbuch behandelt im ersten Teil die klassischen Gebiete der Finanzmathematik: Abschreibungen, Zinsrechnung, Rentenund Tilgungsrechnung sowie Kursrechnung mit ihren wichtigsten Zusammenhängen und Formeln. Die Inhalte werden jeweils sofort an Beispielen anschaulich gemacht und können mit in den Text eingestreuten Aufgaben eingeübt werden. Dem theoretischen Teil ist ein Kapitel 0 vorangestellt, das die erforderlichen mathematischen Grundlagen bereitstellt. Auf diese Weise kann das Buch sowohl zur selbständigen Erarbeitung der Finanzmathematik als auch als Grundlage einer Lehrveranstaltung verwendet werden, ohne daß auf andere Texte zurückgegriffen werden muß. Leser mit den erforderlichen Kenntnissen können Kapitel 0 überspringen. Dem Buch liegen die Inhalte der Vorlesung Finanzmathematik an der Universität Augsburg zugrunde. Der zweite Teil enthält Aufgaben, die in Art und Umfang durchschnittlichen Klausuraufgaben entsprechen. Sie sind teilweise entsprechend den Kapiteln des Lehrbuches angeordnet und teilweise zu (vier) Klausuren zusammengefaßt. Auf diese Weise kann ein Teil der Aufgaben begleitend zu einer Lehrveranstaltung gelöst werden, während die Aufgaben der Klausuren A,B,C und D zur Selbstkontrolle und Vorbereitung auf eine Abschlußklausur vorgesehen sind. Die Lösungen aller Aufgaben sind so ausführlich, daß sie zusammen mit dem Lehrbuchteil problemlos nachvollzogen werden können. Zur Lösung der Aufgaben ist vielfach ein guter nicht unbedingt programmierbarer Taschenrechner erforderlich. Meist können die zur Lösung benötigten Tabellenwerte auch im Lehrbuchteil nachgeschlagen werden. —

—

Vorwort

XII

Die Vorlesung Finanzmathematik an der Wirtschafts- und Sozialwissenschaftlichen Fakultät der Universität Augsburg ist fast so alt wie die Fakultät selbst. So konnte für den Aufgabenteil auf einen großen Fundus zurückgegriffen werden. Ich bin allen zu Dank verpflichtet, die auf diese Weise für das Buch Aufgaben beigetragen haben, besonders Herrn PD Dr. Franz Baur für die zur Verfügung gestellten Vorlesungsmanuskripte. Ihm und meiner Kollegin Dipl.-Math.oec. Magdalena Missler-Behr, den Kollegen Dipl.-Math.oec. Rainer Lasch, Dipl.-oec. Manfred Schwaiger und Dr. Ralf Trost sowie Stud.Math.oec. Martin Locarek danke ich für die kritische Durchsicht des Manuskripts und der Aufgaben. Außerdem danke ich Frau Birgit Emmrich, die mit großer Sorgfalt einen Teil der Formeln geschrieben hat und nicht zuletzt Herrn Martin Weigert vom Oldenbourg-Verlag für die problemlose Zusammenarbeit.

Augsburg,

im

September

1990

Hermann Locarek

Teil I Lehrbuch

Mathematische Hilfsmittel

0

Die Finanzmathematik setzt in ihren Teilgebieten nur einen geringen Teil der mathematischen Hilfsmittel ein, die normalerweise in Veranstaltungen eines Grundstudiums der Wirtschaftswissenschaften wie "Mathematische Propädeutik" und "Mathematik für Ökonomen" sowie entsprechenden Lehrbüchern behandelt werden. Allerdings muß bei der Behandlung der Finanzmathematik davon ausgegangen werden, daß dieser Ausschnitt des Methodenspektrums dem Leser auch wirklich bekannt und seine Symbolik vertraut ist. Deshalb werden nachfolgend die wichtigsten mathematischen Hilfsmittel zusammengestellt, die zur Lösung finanzmathematischer Fragestellungen eingesetzt werden. Am Ende des Kapitels werden wie in allen weiteren Kapiteln Literaturhinweise gegeben, die zur Vertiefung der besprochenen Themen genutzt werden können.

Propädeutik

0.1

Zahlenbereiche

0.1.1 Die

Grundlage der Zahlenbereiche N=

bilden die natürlichen Zahlen N:

{1,2,3,4,5,. ..,n-l,n,n + l,...}

Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger. Die Zahl 1 ist nicht Nachfolger einer anderen natürlichen Zahl. Sie bildet damit den Anfang der Folge der natürlichen Zahlen. Erweitert man die natürlichen Zahlen um die Zahl 0, deren Nachfolger 1 ist, so schreibt man

N0

=

{0,1,2,3,4,5,..., n 1, n, n + 1,...} -

Jede durch Addition oder Multiplikation aus zwei beliebigen natürlichen Zahlen a und b errechenbare Zahl, also a+b oder a-b ist wieder eine natürliche Zahl. Erweitert man den Bereich um die möglichen Ergebnisse aus der Subtraktion a-b zweier natürlicher Zahlen, so erhält man die ganzen Zahlen

Z

=

{...,-n,-n+ 1.....-2,-1,0,1,2,...,n,n + l,...}

Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel

2

und mit der Division a/b oder | die rationalen Zahlen Q. Wenn a durch b teilbar ist, so können rationale Zahlen auch durch ganze Zahlen dargestellt werden. In allen anderen Fällen lassen sich die rationalen Zahlen auch als endlicher (z.B. 0,375 und 1,4) oder unendlicher periodischer Dezimalbruch und 0,444444 0,571428) darstellen. Nimmt man die irratio(z.B. j nalen Zahlen, alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbrüche (z.B. die Kreiszahl ir 3,1415... oder die Euler'sche Zahl e = 2,718281..., sowie etwa \/2, v/3), hinzu, so erhält man die reellen Zahlen R.

|

|

|

=

—

=

=

=

Bemerkung: Wenn man die Zwischenergebnisse mathematischer Berechnungen als Dezimalbrüche mit einer endlichen Stellenzahl darstellt oder zur Berechnung gewöhnliche Taschenrechner verwendet, so ergeben sich dadurch möglicherweise Rundungsfehler. Falls die Berechnungen jedoch vollständig (mit allen Zwischenergebnissen) im Speicher von Rechnern gehalten werden, so sind diese Fehler in der Regel gering, da die Rechner meist mit einer hohen Stellenzahl arbeiten.

Potenzen und

0.1.2

Logarithmen

Die Potenzen sind definiert als das n-fache Produkt einer reellen Zahl

an

=

a

a

a

•

a

...

•

a

•

a

n

a :

G N

n-mal

Man bezeichnet a als Basis und n als Exponent. Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechenregeln: a

•

a

=

(a

a

...

•

-mal "

a

a"

a" bn

=

(am)n

=

•

a) (a

a

...

•

a)

n-mal

(für a ^ 0)

(0.1)

(für

(0.2)

(a b)n •

Außerdem gilt speziell

a°

=

1

und

a~n

=

an

—

a

/ 0)

Propädeutik

0.1.

Wenn

man

z

=

3

die Potenz

a

in einer Gleichung mit dem unbekannten Wert x schreibt, so muß keine ganze Zahl x existieren, mit der die Gleichung erfüllt ist. Es sind verschiedene Ansätze möglich, dieses Problem zu beheben. Die verschiedenen Ansätze sind im wesentlichen die Unterscheidungskriterien für verschiedene Methoden der Finanzmathematik. Man unterscheidet folgende Fälle •

Rechnung mit einem ganzzahligen Exponenten und einem verbleibenden "Rest".

•

Rechnung

mit einem rationalen

•

Rechnung

mit einem reellen

Exponenten

und

ggf.

einem Rest.

Exponenten.

Der zweite Fall läßt sich darstellen mit der Definition

(0.3) und damit weiteren

a"/m Damit hat

=

Rechenregeln:

(anfm

man

den

=

(o1/m)"

=

Vo7

(0.4)

Exponenten auf rationale Zahlen erweitert.

Für alle Werte a, z > 0 hat die Gleichung eine reelle Lösung, den Logarithmus Basis a. Man schreibt: x ist genau dann Logarithmus von z zur Basis a, wenn x die Gleichung z ax erfüllt:

von 2 zur

=

2

Der

=

a

Logarithmus

potenzieren muß,

x

---

loga 2

einer Zahl z ist also der Wert, mit dem die Zahl z zu erhalten.

um

(0.5) man

die Basis

a

Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel

4

Es

gelten folgende Rechenregeln: log a'+ log b log a log b n log a log ^/ä= Moga

log(a b) •

o log

(0.6)

-

a"

loga1/"

Wird als Basis die Zahl 10 verwendet, so heißt log102 = Logarithmus von z. Eine besondere Bedeutung hat der Basis die Euler'sche Zahl e hat. Er ist durch x

=

loge 2

=

lg 2 der dekadische Logarithmus, der als

(0.7)

In z

festgelegt und heißt natürlicher Logarithmus. Die meisten Taschenrechner besitzen eine Taste, mit der dieser natürliche Logarithmus berechnet werden kann. Die Programmierprache BASIC stellt diesen natürlichen Logarithmus mit der BASIC-Funktion LOG(x) zur Verfügung. Es genügt, Logarithmen zu einer Basis zu kennen, denn es gilt:

(0.8) 0.1.1 Den Logarithmus einer Zahl dem natürlichen Logarithmus errechnen.

Beispiel

\gx

log 10 Der

loga x loga10

In x In 10

Basis 10 kann

zur

man

deshalb mit

\nx

2,302585

'

Zusammenhang gilt für eine beliebige Basis a > 0.

Weiter

folgt: 2

=

a

x

=

In 2 Ina

(0.9)

Beziehung kann z auch, statt über Potenzierung zur Basis a, durch Potenzierung mit der Euler'schen Zahl als Basis errechnet werden: Mit dieser

2

=

a

Dxlna

(0.10)

0.1.

Propädeutik Summen und Produkte

0.1.3 Die n

5

dient der verkürzten k + 1 Summanden ak,ak+i,... ,a„:

Summendarstellung

Darstellung einer

Addition mit

—

üi

=

ak + ak+1 +

...

+ an

,

i=k

wobei die Oj

Bedingung 0 Regeln:

beliebige reelle Zahlen sind und für die ganzen Zahlen i, k, n die < k < i < n gilt. Für das Rechnen mit Summen gelten folgende

+ XUbi

(n

k+ -

1)

•

(0.11)

c

c ist eine beliebige Konstante. Eine entsprechende verkürzte Schreibweise existiert auch für Produkte. Man schreibt (mit obigen Bezeichnungen):

Yl üi

=

ak

ak+i

...

an

i=k

Für die

Bezeichnungen gelten die chenregeln für Produkte sind

bei Summen

gemachten Aussagen. Die Re-

c(n-*+l).nn=fca.

niu c-o,

(n?=fca.)-(iT?=*M

(0.12)

C(n-A+1)

rnuc

Es sind hier sicherlich nicht alle Rechenregeln erwähnt, die für Summen und Produkte gelten, doch weitere können, z.B. mit den Regeln für Potenzen und Logarithmen, hergeleitet werden. Es gilt beispielsweise:

log(n«i) =L0ogai) \i=/t

/

i=k

(0.13)

Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel

6

Bemerkung: 1. Es sei jedoch ausdrücklich

jedem Versuch gewarnt, Summen und Produkte

vor

der Form

£ (a,

•

f[ K

und

6.)

nach diesen

+

bi)

i=k

i=k

Regeln vereinfachen zu wollen.

2. Man bezeichnet

ö

1 =

(ai

+ 02 +

+

...

1

on)

=

—

-

"

V* aj

(0.14)

i=i

als arithmetischen Mittelwert der Summanden und

\/al

Ogeom

•

02

• .

.

.

als

0.1.4

geometrischen

Folgen

"

a„

-

(0.15)

—

Mittelwert der Faktoren.

und Reihen

Für viele finanzmathematische besonderer Bedeutung:

Fragestellungen

Beispiel

sind

Folgen und

Reihen

von

0.1.2 Ein Unternehmen erstellt ein Fabrikgebäude für 5 Mio DM. Das Gebäude ist in einem Zeitraum von n 50 Jahren mit gleichen Jahresbeträgen auf den Wert 0 abzuschreiben. Der Abschreibungsbetrag beträgt also DM 100.000 pro Jahr. Damit ist der Buchwert des Gebäudes nach einem Jahr DM 4.900.000, nach zwei Jahren DM 4.800.000 etc. Die Buchwerte des Gebäudes bilden eine Folge von Zahlen, deren Abstand d —100.000 konstant ist: =

—

49

Ki (in Mio DM)

4,9 4,8 4,7

0,1

50

0.1.

Propädeutik

7 in der Finanzmathematik orider Praxis mit Dezimalkomma und durch

Bemerkung: Wegen der manchmal großen Beträge entieren wir uns an der Schreibweise Punkt getrennte Tausenderstellen.

aus

0.1.3 Ein Sparer legt DM 100 zu einem festen Jahreszins von 6% für den Zeitraum vom 5 Jahren an. Die Zinsgutschrift (Addition der Zinsen zum Kontostand) erfolgt jeweils am Ende des Jahres. Sowohl die Zinsen Zi für Jahr i = 1,..., 5 als auch die Kontostände Ki am Ende dieser Jahre bilden eine Zahlenfolge, die nach einer Regel berechnet werden kann:

Beispiel

1

Zx Ki

6,6,36 6,74 7,14 7,57 106,- 112,36 119,10 126,24 133,81

Ermittlung der Kontostände wurde jeweils der Zins für jedes Pfennige abgerundet und dann auf den Kontostand des Vorjahres aufgeschlagen. Deshalb ergibt sich am Ende der Laufzeit ein kleiner Unterschied

Bemerkung:

Bei der

Jahr auf ganze zum

mathematisch exakt errechneten Kontostand

K5

=

100 1,06 •

•

1,06 1,06 1,06 1,06 •

•

•

5 =

100

•

Yl 1,06

=

100

1,065

=

133,82256

i=l

Zahlenfolgen haben die Eigenschaft, daß man bei Kenntnis ihres Bildungsgesetzes aus der Stellung i eines Elementes der Zahlenfolge den Wert Diese

des Elementes berechnen kann:

Sei I {0,1,2,..., n} C N0 die Menge der Indizes der Elemente der Zahlenfolge. Unter einer Folge im R versteht man

(a 0, und haben damit die Indexmenge Ik {k,k + 1,... n}. Man erhält dann Folgenglieder ak,ak+i, ,an und speziell für k 1 die häufig in der Finanzmathematik verwendete endliche Folge =

,

=

mit

n

a) Eine

Gliedern 01,02,... ,o„.

Arithmetische Folgen und Reihen

Zahlenfolge,

jeweils gleich ist,

(etfc+i ak)

bei der die Differenz zweier also (für k > 0) =

-

(ak+2 ak+i)

=

...

=

0,2 + d

d

ausgedrückt ergibt sich für die Glieder

==

«3 +

a,i + 2 d a.2 + 2 d •

-

Q-4

=

-

d\ + d

—

a3

(a„ a„_!)

=

-

heißt arithmetische Folge. Anders der arithmetischen Folge 0,2

aufeinanderfolgender Glieder

d

=

0,1+3-d

•

-

und somit für das i-te Glied der arithmetischen a,i-i + d

üi

=

=

...

a\ +

(i 1)

•

d

=

Folge

üq + i d

(0.16)

—

--

Beispiel

0.1.4 Die Folge der Restwerte in Beispiel 0.1.2 bildet eine arithmetische die Abschreibungsbeträge konstant (d K2 K\ = —100.000) sind. Der Restwert nach einem Jahr war K\ 4.900.000 [DM]. Die Folgenglieder sind also 30 Jahren erhalten wir monoton fallend. Als Restwert nach i

Folge, da

=

—

=

=

Ki

=

Ki

+

(i-l)-d

=

4.900.000

29 100.000

=

2.000.000

-

und damit einen Restwert

von

2 Mio DM nach 30 Jahren.

Als arithmetische Reihe (s„) bezeichnet man die Summe der Folgenglieder der arithmetischen Folge. Man interessiert sich besonders für die Summe der ersten n Folgenglieder, die n-te Partialsumme der arithmetischen Folge: n—1

n

sn

=

cii + a2 +

...

+ an

=

52 i=l

=

|.[2.a1

+

(n-l)-d]

+

(»

!) d] •

-

=

^2 [a-i + i d] i=0

0.1.

Sn

b)

9

Propädeutik =

^

(0.17)

+

'

Geometrische

Folgen

und Reihen

Geometrische Folgen und geometrische Reihen sind noch vor arithmetischen Folgen und Reihen Grundlage fast sämtlicher Berechnungen auf dem Gebiet der Finanzmathematik. Einen Fall von geometrischen Folgen haben wir in

Beispiel 0.1.3 kennengelernt. Eine Zahlenfolge, bei der der Quotient zweier beliebiger benachbarter Glieder konstant ist, heißt geometrische Folge, also: W

und

y

=

f(x)

sowie

x —

f~l(y)

In der Finanzmathematik werden praktisch nur reelle Funktionen benötigt, weshalb sich die kurze Darstellung auf diesen Spezialfall der Funktionen beschränken kann. Beispielsweise kann man Potenzen und Logarithmen als reelle Funktionen betrachten. Außerdem ist z.B. eine geometrische Reihe als eine Funktion von q darstellbar: n

y

=

9(q)

=

ßi

•

£

Man betrachtet den

t

x\n

=ex

obigen Ausdruck als Funktion von x und nennt ihn Exponentialfunktion. Auch diese Funktion ist auf praktisch jedem Taschenrechner zu finden. In Programmiersprachen wie BASIC heißt diese Funktion EXP(x). Sie ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus In x, da nach den Rechenregeln für den Logarithmus In ex

x —

gilt.

In e

=

x

Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel

14

2. Als Grenzwert einer l

lim e n—>oo

3. Sei h„ eine

Folge mit den Gliedern eI+« erhält ex

n —

lim

i

e«

=

n—too

(0.26)

ex

Nullfolge, d.h. lim^oo hn

iim

man

=

0, dann ergibt sich

(g+y-g*

(0.27)

Beziehung gilt unter der Bedingung q > 0 auch für nicht ganzzahlige Exponenten k. Diese Bedingung ist für ökonomisch sinnvolle Anwendungen, bei denen g z.B. ein Abschreibungsfaktor (siehe Beispiel 0.1.2) oder ein Aufzinsungsfaktor (im Beispiel 0.1.3) ist, meist erfüllt. Bei der Beziehung handelt es sich um eine spezielle Form des Differentialquotienten, also der ersten Ableitung von qk nach q. Auf einem Bereich D, auf dem der Differentialquotient für alle q G D existiert, heißt g(q) differenzierbar. Bei Funktionen / Die dritte

mit nur einer Veränderlichen x schreibt und für die erste Ableitung f'(x).

man

auch kurz für die Funktion

f(x)

man die obigen Aussagen über Rechenregeln mit Logarithmen und Grenzwerten, sowie'die letzten drei Grenzbetrachtungen richtig anwendet, so kann man praktisch alle in der Finanzmathematik interessanten Fragestellungen mit ihnen lösen. Es ergeben sich nämlich folgende Spezialfälle:

Wenn

f(x)

=

f(x) /'(*)

2.

f'(x)=c-g'(x)

c-g(x) =

=

gi{x) + g2(x) + g[{x)+g>2{x) +

...

...

+ +

(0.28)

gn{x) g'n{x)

(0.29)

und Reihen gilt also, daß ihre erste Ableitung sich Ableitungen der Folgen- und Reihenglieder zusammensetzt.

Speziell für Folgen aus

den

/(*)

=

*x

f'(x)

=

ax Ina

(0.30)

15

Nullstellenbestimmung

0.2.

Änderung

im Zinssatz das Oft steht man vor der Frage, wie eine kleine kann Diese Veränderunfür einer beeinßußt. Geldanlage Endvermögen Frage das im 0.1.3 würde sich Wie beantworten. die Beispiel Endvermögen Ableitung gen erhöht wird? auf der Zinssatz 7% wenn 6% statt ändern,

Beispiel 0.1.6

Lösung: Das Endvermögen wurde mit q

g(q) Die

=

100 q q q q q•

Ableitung dieser Funktion

g'(q)

=

100 5 •

•

g4

=

500

=

1,06 errechnet als

=

100

q5 ergibt sich

nach q •

nach den

Rechenregeln als:

g4

Änderung von q um 0,01 (von 6% auf 7%, d.h. von q\ ergibt Änderung von Bei einer

1,06 auf qi

=

sich also eine

0,01

•

g'(l,06) 0,01 =

•

500

•

1,064

=

5

•

1,262477

=

6,312385

=

1,07)

,

also etwa DM 6,31. Wenn man in die Formel g(q) direkt q 1,07 eingesetzt hätte, so hätte man ein Endvermögen von DM 140,26 errechnet, also DM 6,44 mehr als ursprünglich. Der Unterschied ergibt sich dadurch, daß die Ableitung durch eine Grenzbetrachtung errechnet wurde. Der Unterschied zwischen 1,06 und 1,07 ist bereits so groß, daß ein merklicher Unterschied im Endvermögen entsteht. =

0.2

Nullstellenbestimmung

In der Finanzmathematik sind Funktionen der Form n

g(x)

a0 + ax

•

x

+ a2

•

x2 +

...

+ an xn

=

—

•

xl

,

i=0

die als ganzrationale Funktionen oder Polynome bezeichnet werden, häufig in der Gestalt zu lösen, daß diejenigen Werte x zu bestimmen sind, für die

g(x.)=0 gilt,

d.h. die Nullstellen x, des

Polynoms sind

zu

ermitteln.

Die obere Summationsgrenze n bezeichnet man auch als Grad des Polynoms. Nur für Polynome von höchstens Grad 2 ist eine analytische Lösung ohne weiteres möglich. In anderen Fällen kann die Lösung meist nur näherungsweise bestimmt werden.

Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel

16

Analytische Lösung

0.2.1

Das einfachste

ax

+b

=

Polynom 0

ist die lineare Funktion

mit der

Lösung

b

x -

für

a

—

ü^O.

0.2.1 Ein zu Beginn des Jahres mit jährlichem Zinssatz von x% angelegtes Kapital von DM 100 ist am Ende des Jahres auf DM 106 angewachsen. Wie hoch ist der Zinssatz?

Beispiel Lösung:

100 + 100

•

tJö

100 +

Der Zinssatz

106

=

x

=

106

x

=

6

beträgt

also 6%.

Das Polynom zweiten Grades liefert eine quadratische Funktion, für die in vielen Fällen eine Nullstelle als reelle Lösung existiert:

ax2 + bx + c Diese wird

Xi/2

=

0

gelöst durch -b ±

Vb2

Aac -

-

2a

Im Bereich der reellen Zahlen hat diese

keine Lösung eine Lösung zwei Lösungen

für b2 < \ac für b2 Aac für ö2 > Aac =

Gleichung

0.2.

NuHstellenbestimmung

17

Beispiel 0.2.2

Am 1.1.1990 und am 1.1.1991 wurden je DM 100 auf einem Sparkonto angelegt. Der jährliche Zinssatz betrug im ersten Jahr x% und im zweiten Jahr {x + 2)%. Am Ende des Jahres 1991 waren DM 219,35 auf dem Konto. Wie hoch

war

der Zinssatz im ersten und zweiten Jahr?

Lösung:

(1+i5ö) 100] (1 w) (200 x) (l ^) (200 x) (x 102)

100

+

+

+

-

219'35

+

=

219,35

+

+

x2 + 302x

1.535

=

21.935

=

0

-

Xl'2

-302 ±

y/3022 + 4 1.535 2

_ ~

-302 ± _ ~

y/97.344 2

_ ~~

-302 ± 312 2

Man ermittelt also x\ 5 und x2 —307. Nur die erste der beiden Lösungen ist ein sinnvoller Zinssatz. Die Verzinsung betrug also 5% im ersten und (5 + 2)% 7% im zweiten Jahr. =

=

=

0.2.2

Iterative Verfahren

Für die anderen in der Finanzmathematik verwendeten Funktionen, etwa Polynome höheren Grades n > 2, ist eine analytische Lösung für die Nullstelle meist nicht zu ermitteln. Dies gilt auch z.B. für gebrochen rationale Funktionen, deren Exponenten nicht-ganzzahlig sind. Es muß deshalb auf numerische Lösungsverfahren zurückgegriffen werden, um eine Lösung für x wenigstens näherungsweise zu ermitteln. Diese Verfahren gehen folgendermaßen vor:

Aus einem oder mehreren Werten x0,Xi,..., xit deren Funktionswert keine Nullstelle der Funktion sein muß (wenn sie dabei wäre, hätte man sie gefunden und müßte das Verfahren nicht mehr fortsetzen), wird in jeder Iteration i ein weiterer Wert xi+x errechnet, der näher an der Nullstelle liegen soll als die Startwerte. In der

Regel handelt es sich bei den Funktionen der Finanzmathematik um gutmütige Funktionen, bei denen sogar oft nachgewiesen werden kann, daß sie eine eindeutige Nullstelle besitzen (siehe Kapitel 3). Meistens sind diese Funktionen im relevanten Bereich differenzierbar. Wir werden das Beispiel 0.2.2 auch für die iterativen Verfahren verwenden, da wir die exakte Lösung nun

kennen.

Kapitel 0:

18

Mathematische Hilfsmittel

a) Regula Falsi Die Grundlage für das Verfahren nach der der Intervallschachtelung.

Falsi bildet das

Prinzip

0.2.3 In unserem Beispiel 0.2.2 liegt der Zinssatz sicher über 3% und weil der erreichte Kapitalbetrag über

Beispiel unter 8%, K'

Regula

(103 + 100) 1,05

=

•

=

213,15

und unter

K"

liegt.

=

(108 + 100) 1,10 •

=

228,80

Verwendung der Gleichung

Bei

100 I 1 +

9(x)

•

(1 w)-219-35

100 -=-) lÖOj + x

+

g(3) und g(8) unterschiedliche Vorzeichen für g(x) liefern. Man erhält g(3) = —6,20 und g(8) = 9,45 und versucht nun, die Nullstelle der Funktion schrittweise weiter einzugrenzen. Ein Verfahren wäre, einfach die Mitte zwischen den beiden Zinssätzen 3% und 8% zu wählen, und damit den Wert 5,5% als nächsten zu probieren. Dieses naheliegende Verfahren der Intervallhalbierung ist aber denkbar langsam, d.h. man benötigt viele Schritte, um nahe an die Nullstelle der Funktion zu kommen. müssen deshalb

Beim Verfahren nach der Regula-Falsi errechnet man durch lineare Interpolation aus beiden Startwerten xo 3 und Xj 8 einen besseren Näherungswert x2. Man nutzt dabei das Wissen über die beiden Funktionswerte (z.B. o(3) und g(8)) zur Errechnung des Wertes x2: =

x2

Beispiel x2

=

Xi

x0

g(xx) -p(xo) 9(x\)

X\

(0.31)

-

0.2.3

[Fortsetzung]

In

8-3

=

=

9,45 + 6,20 9,45

=

unserem

4,98

Beispiel ergibt sich

im ersten Schritt

0.2.

19

Nullstellenbestimmung

4,98 erhält man g(4,98) = -0,062. Nun ist klar, daß die gesuchte Nullstelle zwischen den beiden Werten x2 und x\ liegen muß. Fürx2

=

Man führt das Verfahren fort, indem man den nun überflüssigen Wert x0 oder durch den errechneten "besseren" Wert x2 ersetzt. Ergibt sich zwischendurch (im Schritt i) g{xi+i) > 0, so wird stattdessen Xi-\ durch xi+l ersetzt. Dies wiederholt man so lange, bis der Funktionswert g{xi+i) nahe genug am Wert 0 liegt, also

x\

\g{xi+i)\




also

folgendes Vorgehen:

festgelegt.

0 wird

Eine maximale Anzahl imax von Iterationen wird Der Iterationszähler i wird auf 1 gesetzt.

festgelegt.

Zwei Startwerte x0 und xx mit

g{x0) -gfa)




0 wird

Eine maximale Anzahl imax von Iterationen wird Der Iterationszähler i wird auf 0 gesetzt.

Ein Startwert x0 nahe genug

2. Man ermittelt den Funktionswert •

Wenn der Funktionswert die