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German Pages [284] Year 1996
(ft
Finanzmathematik Lehr- und Übungsbuch
Von
Prof. Dr. Hermann Locarek-Junge Lehrstuhl für Finanzwirtschaft Technische Universität Dresden
3., verbesserte Auflage
R. Oldenbourg Verlag München Wien
Die Deutsche Bibliothek CiP-Einheitsaufnahme -
Locarek-Junge, Hermann:
Finanzmathematik : Lehr- und Übungsbuch / von Hermann Locarek-Junge. 3., verb. Aufl. München ; Wien :
Oldenbourg,
1997 -
-
ISBN 3-486-24040-4
© 1997 R. Oldenbourg Verlag Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0, Internet: http://www.oldenbourg.de Das Werk einschließüch aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Über-
setzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: R Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München ISBN 3-486-24040-4
Inhaltsverzeichnis XI
Vorwort
I 0
Lehrbuch
Mathematische Hilfsmittel 0.1 Propädeutik. 0.1.1 Zahlenbereiche . 0.1.2 Potenzen und Logarithmen. 0.1.3 Summen und Produkte. 0.1.4 Folgen und Reihen. 0.1.5 Reelle Funktionen. 0.1.6 Grenzwerte . 0.2
Nullstellenbestimmung. Analytische Lösung.
0.2.1 0.2.2 0.3 1
XIII
Iterative Verfahren.
Literaturhinweise.
Abschreibungen 1.1 Begriffe und Symbole. 1.2 Lineare Abschreibung. 1.3 Arithmetisch degressive bzw. digitale Abschreibung. 1.3.1 Arithmetisch degressive Abschreibung. 1.3.2 Digitale Abschreibung. 1.4 Geometrisch degressive Abschreibung. 1.4.1 Reine geometrisch degressive Abschreibung. 1.4.2 Exkurs: Abschwächung der Degression. 1.5
Rechtliche Vorschriften. 1.5.1 Höchstsatz der Abschreibung .
Abschreibung Wechsel der Abschreibungsart. 1.6 Weiterführende Hinweise und Literaturangaben. Zinsrechnung 2.1 Grundbegriffe und Symbole der Zinsrechnung 2.2 Einfache Verzinsung 2.2.1 Entwicklung der Zinsformel. 2.2.2 Exkurs: Berechnung von Zeitdifferenzen. 1.5.2 1.5.3
2
in Staffelsätzen.
.
.
1
1 1 2 5 6 11 11 15 16 17 22 23
23 24 27 27 29 30 30 33 34 34 35 36 39 40 40 41 41 43
VI
_Inhaltsverzeichnis 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3
Zinsformel der einfachen Verzinsung. Kaufmännische Zinsformel, Postenmethode und Zinsstaf-
45
felrechnung
47 51 53 55 55 58
.
Kaufmännische Diskontierung. Exkurs: Ratenkredite.
Zinseszinsrechnung. Herleitung der Zinseszinsformel. Auflösung der Zinseszinsformel Gemischte Zinsrechnung. 2.4.1 Auflösung der Formel nach n und p. Unterjährige und stetige Verzinsung. 2.5.1 Unterjährige Verzinsung. 2.5.2 Stetige Verzinsung. Weiterführende Hinweise und Literaturangaben. 2.3.1 2.3.2
2.4 2.5
2.6
.
Äquivalenzprinzip
3 Das der Finanzmathematik 3.1 Die Herleitung des Aquivalenzprinzips 3.2 Zahlungsströme. 3.3 Der mittlere Zinstermin eines Zahlungsstroms. 3.4 Beurteilung von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen 3.4.1 Grundsätzliche Überlegungen. 3.4.2 Kapitalwertmethode. 3.4.3 Methode des internen Zinssatzes. 3.5 Exkurs: Existenz und Eindeutigkeit des internen Zinssatzes 3.5.1 Bedingungen für die Existenz einer Nullstelle der Kapitalwertfunktion 3.5.2 Bedingungen für die Eindeutigkeit einer Nullstelle der .
.
.
.
Kapitalwertfunktion
3.6
Weiterführende Hinweise und 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4
4
.
Literaturangaben.
Dynamische Endwertverfahren. Duration. Zinsstrukturkurveneffekt. Literaturhinweise.
Rentenrechnung 4.1 Begriffe und Symbole der Rentenrechnung. 4.2
4.3 4.4
Jährliche konstante Raten bei fester Laufzeit. 4.2.1 Nachschüssige konstante Renten. 4.2.2 Vorschüssige konstante Renten. Unterjährige Raten und jährliche Verzinsung. Ewige Rente mit konstanten Raten.
63 65 67 67 70 72 74 74 75 77 78 78 81 83 87
88
89 90 91 92 94 94
95 95 96 96 103 108 112
Inhaltsverzeichnis 4.5 4.6 4.7
VII
Arithmetisch veränderliche Rente. Geometrisch veränderliche Rente Unterjährige Raten und unterjährige Verzinsung. 4.7.1 Renten- und Zinszeitraum stimmen überein.
.
4.7.2
114 116 118 119
Während eines Zinszeitraumes erfolgen mehrere Renten-
zahlungen
119 . Der Rentenzeitraum ist ein Vielfaches des Zinszeitraumes 119 Weiterführende Hinweise und Literaturangaben. 120
4.7.3 4.8 5
Tilgungsrechnung 5.1 Begriffe und Symbole der Tilgungsrechnung 5.2 Jährliche Ratentilgung. 5.3 Jährliche Annuitätentilgung. 5.3.1 Fall 1: Exakte Annuitätentilgung.
.
5.3.2
5.4
5.5
Fall 2: Prozentannuitäten
.
Unterjährige Annuitätentilgung. 5.4.1 Sofortige Tilgungsverrechnung. 5.4.2 Jährliche Tilgungsverrechnung. Sonderformen der Tilgungsrechnung. 5.5.1 Zinsverrechnungen 5.5.2 Tilgungsfreie Zeiten. 5.5.3 Kreditgebühren. 5.5.4 Zinsbindung und Disagio-Splitting. Berechnung des Effektivzinses nach der Preisangabenverordnung 5.6.1 Konsumentenkredite. .
5.6
Kredite und Darlehen. Weiterführende Hinweise und Literaturangaben 5.6.2
5.7
.
5.7.1 5.7.2 6
Bezug Rentenrechnung. Literaturhinweise. zur
Kursrechnung,
6.1 6.2
Renditen und
Näherungsverfahren
Begriffe und Symbole. Kursformeln bei ganzjähriger Laufzeit. 6.2.1 Näherungsverfahren bei jährlicher Zinszahlung. 6.2.2
Kursformeln bei ganzjähriger Laufzeit und
Couponterminen Näherungsverfahren
6.3
bei
121 123 125 126 128 131 133 135 141 141 142 143 145 146
146 150 152 152 153 154
154 156 158
unterjährigen
.
6.2.3
121
unterjährigen Couponterminen
Kursformeln bei nicht-ganzzahliger Laufzeit. 6.3.1 Stückzinsen. 6.3.2 Kursformel nach AIBD. 6.3.3 Kursformel nach SIA.
162 165 166 168 171 171
VIII
Inhaltsverzeichnis
Kursformel nach US-Treasury. Kursformel nach Moosmüller. Methode nach Braeß/Fangmayer Sonderausstattung und Konditionen bei der Emission Spezielle festverzinsliche Wertpapiere. 6.4.1 Anleihen mit "ewiger" Laufzeit.
6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7 6.4
6.5
.
.
6.4.2 Zero-Bonds. Die Besteuerung von Wertpapieren im Privatvermögen 6.5.1 Allgemeine Vorschriften 6.5.2 Die Besteuerung endfälliger Kuponanleihen. ....
.
6.6
6.5.3 Die Besteuerung von Diskontanleihen. Weiterführende Hinweise und Literaturangaben.
Lösungen
zu
den
Übungsaufgaben
172 173 173 174 177 177 178 179 179 181 183 185 187
Inhaltsverzeichnis_IX II 7
Übungsbuch
195
Aufgabensammlung zur Finanzmathematik 7.1 Abschreibungen. 7.2 Zinsrechnung
.
7.3 7.4 7.5 7.6 8
Das
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik.
Rentenrechnung. Tilgungsrechnung. Kursrechnung, Effektivverzinsung.
198 198 199
200 202 207 211
Lösungen zur Aufgabensammlung 8.1 Abschreibungen. 8.2
8.3 8.4
8.5 8.6
214 214 216 Zinsrechnung Das der Finanzmathematik. 218 Rentenrechnung. 221 .
Äquivalenzprinzip
Tilgungsrechnung. Kursrechnung, EfFektivverzinsung.
228 235
9
Vier vollständige Klausuren 239 9.1 Klausur A. 239 9.2 Klausur B. 241 9.3 Klausur C. 243 9.4 Klausur D. 245
10
Lösungen zu den Klausuren 10.1 Lösungen zu Klausur A. 10.2 Lösungen zu Klausur B. 10.3 Lösungen zu Klausur C. 10.4 Lösungen zu Klausur D.
248 248 252 255 260
Literaturhinweise
265
Sachverzeichnis
271
XI
Vorwort
Vorwort
zur
dritten
Auflage
Im Einsatz des Buches an den Universitäten Augsburg, Essen und Dresden hat sich die Grundkonzeption bewährt und wurde deshalb nicht geändert. Für Hinweise auf einige kleinere Fehler danke ich Kollegen und Mitarbeitern, sowie Hörerinnen und Hörern meiner Vorlesungen. Von ihnen habe ich auch erhalten. Es ist jedoch auch weitere Lösungsvorschläge zu den nur der einer künftig möglichen Lösungswege abgedruckt. Andere zu finden, ist der Kreativität der Leser vorbehalten.
Übungsaufgaben
Hermann
Vorwort
zur
ersten
Locarek-Junge
Auflage
Das vorliegende Lehr- und Übungsbuch behandelt im ersten Teil die klassischen Gebiete der Finanzmathematik: Abschreibungen, Zinsrechnung, Rentenund Tilgungsrechnung sowie Kursrechnung mit ihren wichtigsten Zusammenhängen und Formeln. Die Inhalte werden jeweils sofort an Beispielen anschaulich gemacht und können mit in den Text eingestreuten Aufgaben eingeübt werden. Dem theoretischen Teil ist ein Kapitel 0 vorangestellt, das die erforderlichen mathematischen Grundlagen bereitstellt. Auf diese Weise kann das Buch sowohl zur selbständigen Erarbeitung der Finanzmathematik als auch als Grundlage einer Lehrveranstaltung verwendet werden, ohne daß auf andere Texte zurückgegriffen werden muß. Leser mit den erforderlichen Kenntnissen können Kapitel 0 überspringen. Dem Buch liegen die Inhalte der Vorlesung Finanzmathematik an der Universität Augsburg zugrunde. Der zweite Teil enthält Aufgaben, die in Art und Umfang durchschnittlichen Klausuraufgaben entsprechen. Sie sind teilweise entsprechend den Kapiteln des Lehrbuches angeordnet und teilweise zu (vier) Klausuren zusammengefaßt. Auf diese Weise kann ein Teil der Aufgaben begleitend zu einer Lehrveranstaltung gelöst werden, während die Aufgaben der Klausuren A,B,C und D zur Selbstkontrolle und Vorbereitung auf eine Abschlußklausur vorgesehen sind. Die Lösungen aller Aufgaben sind so ausführlich, daß sie zusammen mit dem Lehrbuchteil problemlos nachvollzogen werden können. Zur Lösung der Aufgaben ist vielfach ein guter nicht unbedingt programmierbarer Taschenrechner erforderlich. Meist können die zur Lösung benötigten Tabellenwerte auch im Lehrbuchteil nachgeschlagen werden. —
—
Vorwort
XII
Die Vorlesung Finanzmathematik an der Wirtschafts- und Sozialwissenschaftlichen Fakultät der Universität Augsburg ist fast so alt wie die Fakultät selbst. So konnte für den Aufgabenteil auf einen großen Fundus zurückgegriffen werden. Ich bin allen zu Dank verpflichtet, die auf diese Weise für das Buch Aufgaben beigetragen haben, besonders Herrn PD Dr. Franz Baur für die zur Verfügung gestellten Vorlesungsmanuskripte. Ihm und meiner Kollegin Dipl.-Math.oec. Magdalena Missler-Behr, den Kollegen Dipl.-Math.oec. Rainer Lasch, Dipl.-oec. Manfred Schwaiger und Dr. Ralf Trost sowie Stud.Math.oec. Martin Locarek danke ich für die kritische Durchsicht des Manuskripts und der Aufgaben. Außerdem danke ich Frau Birgit Emmrich, die mit großer Sorgfalt einen Teil der Formeln geschrieben hat und nicht zuletzt Herrn Martin Weigert vom Oldenbourg-Verlag für die problemlose Zusammenarbeit.
Augsburg,
im
September
1990
Hermann Locarek
Teil I Lehrbuch
Mathematische Hilfsmittel
0
Die Finanzmathematik setzt in ihren Teilgebieten nur einen geringen Teil der mathematischen Hilfsmittel ein, die normalerweise in Veranstaltungen eines Grundstudiums der Wirtschaftswissenschaften wie "Mathematische Propädeutik" und "Mathematik für Ökonomen" sowie entsprechenden Lehrbüchern behandelt werden. Allerdings muß bei der Behandlung der Finanzmathematik davon ausgegangen werden, daß dieser Ausschnitt des Methodenspektrums dem Leser auch wirklich bekannt und seine Symbolik vertraut ist. Deshalb werden nachfolgend die wichtigsten mathematischen Hilfsmittel zusammengestellt, die zur Lösung finanzmathematischer Fragestellungen eingesetzt werden. Am Ende des Kapitels werden wie in allen weiteren Kapiteln Literaturhinweise gegeben, die zur Vertiefung der besprochenen Themen genutzt werden können.
Propädeutik
0.1
Zahlenbereiche
0.1.1 Die
Grundlage der Zahlenbereiche N=
bilden die natürlichen Zahlen N:
{1,2,3,4,5,. ..,n-l,n,n + l,...}
Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger. Die Zahl 1 ist nicht Nachfolger einer anderen natürlichen Zahl. Sie bildet damit den Anfang der Folge der natürlichen Zahlen. Erweitert man die natürlichen Zahlen um die Zahl 0, deren Nachfolger 1 ist, so schreibt man
N0
=
{0,1,2,3,4,5,..., n 1, n, n + 1,...} -
Jede durch Addition oder Multiplikation aus zwei beliebigen natürlichen Zahlen a und b errechenbare Zahl, also a+b oder a-b ist wieder eine natürliche Zahl. Erweitert man den Bereich um die möglichen Ergebnisse aus der Subtraktion a-b zweier natürlicher Zahlen, so erhält man die ganzen Zahlen
Z
=
{...,-n,-n+ 1.....-2,-1,0,1,2,...,n,n + l,...}
Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel
2
und mit der Division a/b oder | die rationalen Zahlen Q. Wenn a durch b teilbar ist, so können rationale Zahlen auch durch ganze Zahlen dargestellt werden. In allen anderen Fällen lassen sich die rationalen Zahlen auch als endlicher (z.B. 0,375 und 1,4) oder unendlicher periodischer Dezimalbruch und 0,444444 0,571428) darstellen. Nimmt man die irratio(z.B. j nalen Zahlen, alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbrüche (z.B. die Kreiszahl ir 3,1415... oder die Euler'sche Zahl e = 2,718281..., sowie etwa \/2, v/3), hinzu, so erhält man die reellen Zahlen R.
|
|
|
=
—
=
=
=
Bemerkung: Wenn man die Zwischenergebnisse mathematischer Berechnungen als Dezimalbrüche mit einer endlichen Stellenzahl darstellt oder zur Berechnung gewöhnliche Taschenrechner verwendet, so ergeben sich dadurch möglicherweise Rundungsfehler. Falls die Berechnungen jedoch vollständig (mit allen Zwischenergebnissen) im Speicher von Rechnern gehalten werden, so sind diese Fehler in der Regel gering, da die Rechner meist mit einer hohen Stellenzahl arbeiten.
Potenzen und
0.1.2
Logarithmen
Die Potenzen sind definiert als das n-fache Produkt einer reellen Zahl
an
=
a
a
a
•
a
...
•
a
•
a
n
a :
G N
n-mal
Man bezeichnet a als Basis und n als Exponent. Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechenregeln: a
•
a
=
(a
a
...
•
-mal "
a
a"
a" bn
=
(am)n
=
•
a) (a
a
...
•
a)
n-mal
(für a ^ 0)
(0.1)
(für
(0.2)
(a b)n •
Außerdem gilt speziell
a°
=
1
und
a~n
=
an
—
a
/ 0)
Propädeutik
0.1.
Wenn
man
z
=
3
die Potenz
a
in einer Gleichung mit dem unbekannten Wert x schreibt, so muß keine ganze Zahl x existieren, mit der die Gleichung erfüllt ist. Es sind verschiedene Ansätze möglich, dieses Problem zu beheben. Die verschiedenen Ansätze sind im wesentlichen die Unterscheidungskriterien für verschiedene Methoden der Finanzmathematik. Man unterscheidet folgende Fälle •
Rechnung mit einem ganzzahligen Exponenten und einem verbleibenden "Rest".
•
Rechnung
mit einem rationalen
•
Rechnung
mit einem reellen
Exponenten
und
ggf.
einem Rest.
Exponenten.
Der zweite Fall läßt sich darstellen mit der Definition
(0.3) und damit weiteren
a"/m Damit hat
=
Rechenregeln:
(anfm
man
den
=
(o1/m)"
=
Vo7
(0.4)
Exponenten auf rationale Zahlen erweitert.
Für alle Werte a, z > 0 hat die Gleichung eine reelle Lösung, den Logarithmus Basis a. Man schreibt: x ist genau dann Logarithmus von z zur Basis a, wenn x die Gleichung z ax erfüllt:
von 2 zur
=
2
Der
=
a
Logarithmus
potenzieren muß,
x
---
loga 2
einer Zahl z ist also der Wert, mit dem die Zahl z zu erhalten.
um
(0.5) man
die Basis
a
Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel
4
Es
gelten folgende Rechenregeln: log a'+ log b log a log b n log a log ^/ä= Moga
log(a b) •
o log
(0.6)
-
a"
loga1/"
Wird als Basis die Zahl 10 verwendet, so heißt log102 = Logarithmus von z. Eine besondere Bedeutung hat der Basis die Euler'sche Zahl e hat. Er ist durch x
=
loge 2
=
lg 2 der dekadische Logarithmus, der als
(0.7)
In z
festgelegt und heißt natürlicher Logarithmus. Die meisten Taschenrechner besitzen eine Taste, mit der dieser natürliche Logarithmus berechnet werden kann. Die Programmierprache BASIC stellt diesen natürlichen Logarithmus mit der BASIC-Funktion LOG(x) zur Verfügung. Es genügt, Logarithmen zu einer Basis zu kennen, denn es gilt:
(0.8) 0.1.1 Den Logarithmus einer Zahl dem natürlichen Logarithmus errechnen.
Beispiel
\gx
log 10 Der
loga x loga10
In x In 10
Basis 10 kann
zur
man
deshalb mit
\nx
2,302585
'
Zusammenhang gilt für eine beliebige Basis a > 0.
Weiter
folgt: 2
=
a
x
=
In 2 Ina
(0.9)
Beziehung kann z auch, statt über Potenzierung zur Basis a, durch Potenzierung mit der Euler'schen Zahl als Basis errechnet werden: Mit dieser
2
=
a
Dxlna
(0.10)
0.1.
Propädeutik Summen und Produkte
0.1.3 Die n
5
dient der verkürzten k + 1 Summanden ak,ak+i,... ,a„:
Summendarstellung
Darstellung einer
Addition mit
—
üi
=
ak + ak+1 +
...
+ an
,
i=k
wobei die Oj
Bedingung 0 Regeln:
beliebige reelle Zahlen sind und für die ganzen Zahlen i, k, n die < k < i < n gilt. Für das Rechnen mit Summen gelten folgende
+ XUbi
(n
k+ -
1)
•
(0.11)
c
c ist eine beliebige Konstante. Eine entsprechende verkürzte Schreibweise existiert auch für Produkte. Man schreibt (mit obigen Bezeichnungen):
Yl üi
=
ak
ak+i
...
an
i=k
Für die
Bezeichnungen gelten die chenregeln für Produkte sind
bei Summen
gemachten Aussagen. Die Re-
c(n-*+l).nn=fca.
niu c-o,
(n?=fca.)-(iT?=*M
(0.12)
C(n-A+1)
rnuc
Es sind hier sicherlich nicht alle Rechenregeln erwähnt, die für Summen und Produkte gelten, doch weitere können, z.B. mit den Regeln für Potenzen und Logarithmen, hergeleitet werden. Es gilt beispielsweise:
log(n«i) =L0ogai) \i=/t
/
i=k
(0.13)
Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel
6
Bemerkung: 1. Es sei jedoch ausdrücklich
jedem Versuch gewarnt, Summen und Produkte
vor
der Form
£ (a,
•
f[ K
und
6.)
nach diesen
+
bi)
i=k
i=k
Regeln vereinfachen zu wollen.
2. Man bezeichnet
ö
1 =
(ai
+ 02 +
+
...
1
on)
=
—
-
"
V* aj
(0.14)
i=i
als arithmetischen Mittelwert der Summanden und
\/al
Ogeom
•
02
• .
.
.
als
0.1.4
geometrischen
Folgen
"
a„
-
(0.15)
—
Mittelwert der Faktoren.
und Reihen
Für viele finanzmathematische besonderer Bedeutung:
Fragestellungen
Beispiel
sind
Folgen und
Reihen
von
0.1.2 Ein Unternehmen erstellt ein Fabrikgebäude für 5 Mio DM. Das Gebäude ist in einem Zeitraum von n 50 Jahren mit gleichen Jahresbeträgen auf den Wert 0 abzuschreiben. Der Abschreibungsbetrag beträgt also DM 100.000 pro Jahr. Damit ist der Buchwert des Gebäudes nach einem Jahr DM 4.900.000, nach zwei Jahren DM 4.800.000 etc. Die Buchwerte des Gebäudes bilden eine Folge von Zahlen, deren Abstand d —100.000 konstant ist: =
—
49
Ki (in Mio DM)
4,9 4,8 4,7
0,1
50
0.1.
Propädeutik
7 in der Finanzmathematik orider Praxis mit Dezimalkomma und durch
Bemerkung: Wegen der manchmal großen Beträge entieren wir uns an der Schreibweise Punkt getrennte Tausenderstellen.
aus
0.1.3 Ein Sparer legt DM 100 zu einem festen Jahreszins von 6% für den Zeitraum vom 5 Jahren an. Die Zinsgutschrift (Addition der Zinsen zum Kontostand) erfolgt jeweils am Ende des Jahres. Sowohl die Zinsen Zi für Jahr i = 1,..., 5 als auch die Kontostände Ki am Ende dieser Jahre bilden eine Zahlenfolge, die nach einer Regel berechnet werden kann:
Beispiel
1
Zx Ki
6,6,36 6,74 7,14 7,57 106,- 112,36 119,10 126,24 133,81
Ermittlung der Kontostände wurde jeweils der Zins für jedes Pfennige abgerundet und dann auf den Kontostand des Vorjahres aufgeschlagen. Deshalb ergibt sich am Ende der Laufzeit ein kleiner Unterschied
Bemerkung:
Bei der
Jahr auf ganze zum
mathematisch exakt errechneten Kontostand
K5
=
100 1,06 •
•
1,06 1,06 1,06 1,06 •
•
•
5 =
100
•
Yl 1,06
=
100
1,065
=
133,82256
i=l
Zahlenfolgen haben die Eigenschaft, daß man bei Kenntnis ihres Bildungsgesetzes aus der Stellung i eines Elementes der Zahlenfolge den Wert Diese
des Elementes berechnen kann:
Sei I {0,1,2,..., n} C N0 die Menge der Indizes der Elemente der Zahlenfolge. Unter einer Folge im R versteht man
(a 0, und haben damit die Indexmenge Ik {k,k + 1,... n}. Man erhält dann Folgenglieder ak,ak+i, ,an und speziell für k 1 die häufig in der Finanzmathematik verwendete endliche Folge =
,
=
mit
n
a) Eine
Gliedern 01,02,... ,o„.
Arithmetische Folgen und Reihen
Zahlenfolge,
jeweils gleich ist,
(etfc+i ak)
bei der die Differenz zweier also (für k > 0) =
-
(ak+2 ak+i)
=
...
=
0,2 + d
d
ausgedrückt ergibt sich für die Glieder
==
«3 +
a,i + 2 d a.2 + 2 d •
-
Q-4
=
-
d\ + d
—
a3
(a„ a„_!)
=
-
heißt arithmetische Folge. Anders der arithmetischen Folge 0,2
aufeinanderfolgender Glieder
d
=
0,1+3-d
•
-
und somit für das i-te Glied der arithmetischen a,i-i + d
üi
=
=
...
a\ +
(i 1)
•
d
=
Folge
üq + i d
(0.16)
—
--
Beispiel
0.1.4 Die Folge der Restwerte in Beispiel 0.1.2 bildet eine arithmetische die Abschreibungsbeträge konstant (d K2 K\ = —100.000) sind. Der Restwert nach einem Jahr war K\ 4.900.000 [DM]. Die Folgenglieder sind also 30 Jahren erhalten wir monoton fallend. Als Restwert nach i
Folge, da
=
—
=
=
Ki
=
Ki
+
(i-l)-d
=
4.900.000
29 100.000
=
2.000.000
-
und damit einen Restwert
von
2 Mio DM nach 30 Jahren.
Als arithmetische Reihe (s„) bezeichnet man die Summe der Folgenglieder der arithmetischen Folge. Man interessiert sich besonders für die Summe der ersten n Folgenglieder, die n-te Partialsumme der arithmetischen Folge: n—1
n
sn
=
cii + a2 +
...
+ an
=
52 i=l
=
|.[2.a1
+
(n-l)-d]
+
(»
!) d] •
-
=
^2 [a-i + i d] i=0
0.1.
Sn
b)
9
Propädeutik =
^
(0.17)
+
'
Geometrische
Folgen
und Reihen
Geometrische Folgen und geometrische Reihen sind noch vor arithmetischen Folgen und Reihen Grundlage fast sämtlicher Berechnungen auf dem Gebiet der Finanzmathematik. Einen Fall von geometrischen Folgen haben wir in
Beispiel 0.1.3 kennengelernt. Eine Zahlenfolge, bei der der Quotient zweier beliebiger benachbarter Glieder konstant ist, heißt geometrische Folge, also: W
und
y
=
f(x)
sowie
x —
f~l(y)
In der Finanzmathematik werden praktisch nur reelle Funktionen benötigt, weshalb sich die kurze Darstellung auf diesen Spezialfall der Funktionen beschränken kann. Beispielsweise kann man Potenzen und Logarithmen als reelle Funktionen betrachten. Außerdem ist z.B. eine geometrische Reihe als eine Funktion von q darstellbar: n
y
=
9(q)
=
ßi
•
£
Man betrachtet den
t
x\n
=ex
obigen Ausdruck als Funktion von x und nennt ihn Exponentialfunktion. Auch diese Funktion ist auf praktisch jedem Taschenrechner zu finden. In Programmiersprachen wie BASIC heißt diese Funktion EXP(x). Sie ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus In x, da nach den Rechenregeln für den Logarithmus In ex
x —
gilt.
In e
=
x
Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel
14
2. Als Grenzwert einer l
lim e n—>oo
3. Sei h„ eine
Folge mit den Gliedern eI+« erhält ex
n —
lim
i
e«
=
n—too
(0.26)
ex
Nullfolge, d.h. lim^oo hn
iim
man
=
0, dann ergibt sich
(g+y-g*
(0.27)
Beziehung gilt unter der Bedingung q > 0 auch für nicht ganzzahlige Exponenten k. Diese Bedingung ist für ökonomisch sinnvolle Anwendungen, bei denen g z.B. ein Abschreibungsfaktor (siehe Beispiel 0.1.2) oder ein Aufzinsungsfaktor (im Beispiel 0.1.3) ist, meist erfüllt. Bei der Beziehung handelt es sich um eine spezielle Form des Differentialquotienten, also der ersten Ableitung von qk nach q. Auf einem Bereich D, auf dem der Differentialquotient für alle q G D existiert, heißt g(q) differenzierbar. Bei Funktionen / Die dritte
mit nur einer Veränderlichen x schreibt und für die erste Ableitung f'(x).
man
auch kurz für die Funktion
f(x)
man die obigen Aussagen über Rechenregeln mit Logarithmen und Grenzwerten, sowie'die letzten drei Grenzbetrachtungen richtig anwendet, so kann man praktisch alle in der Finanzmathematik interessanten Fragestellungen mit ihnen lösen. Es ergeben sich nämlich folgende Spezialfälle:
Wenn
f(x)
=
f(x) /'(*)
2.
f'(x)=c-g'(x)
c-g(x) =
=
gi{x) + g2(x) + g[{x)+g>2{x) +
...
...
+ +
(0.28)
gn{x) g'n{x)
(0.29)
und Reihen gilt also, daß ihre erste Ableitung sich Ableitungen der Folgen- und Reihenglieder zusammensetzt.
Speziell für Folgen aus
den
/(*)
=
*x
f'(x)
=
ax Ina
(0.30)
15
Nullstellenbestimmung
0.2.
Änderung
im Zinssatz das Oft steht man vor der Frage, wie eine kleine kann Diese Veränderunfür einer beeinßußt. Geldanlage Endvermögen Frage das im 0.1.3 würde sich Wie beantworten. die Beispiel Endvermögen Ableitung gen erhöht wird? auf der Zinssatz 7% wenn 6% statt ändern,
Beispiel 0.1.6
Lösung: Das Endvermögen wurde mit q
g(q) Die
=
100 q q q q q•
Ableitung dieser Funktion
g'(q)
=
100 5 •
•
g4
=
500
=
1,06 errechnet als
=
100
q5 ergibt sich
nach q •
nach den
Rechenregeln als:
g4
Änderung von q um 0,01 (von 6% auf 7%, d.h. von q\ ergibt Änderung von Bei einer
1,06 auf qi
=
sich also eine
0,01
•
g'(l,06) 0,01 =
•
500
•
1,064
=
5
•
1,262477
=
6,312385
=
1,07)
,
also etwa DM 6,31. Wenn man in die Formel g(q) direkt q 1,07 eingesetzt hätte, so hätte man ein Endvermögen von DM 140,26 errechnet, also DM 6,44 mehr als ursprünglich. Der Unterschied ergibt sich dadurch, daß die Ableitung durch eine Grenzbetrachtung errechnet wurde. Der Unterschied zwischen 1,06 und 1,07 ist bereits so groß, daß ein merklicher Unterschied im Endvermögen entsteht. =
0.2
Nullstellenbestimmung
In der Finanzmathematik sind Funktionen der Form n
g(x)
a0 + ax
•
x
+ a2
•
x2 +
...
+ an xn
=
—
•
xl
,
i=0
die als ganzrationale Funktionen oder Polynome bezeichnet werden, häufig in der Gestalt zu lösen, daß diejenigen Werte x zu bestimmen sind, für die
g(x.)=0 gilt,
d.h. die Nullstellen x, des
Polynoms sind
zu
ermitteln.
Die obere Summationsgrenze n bezeichnet man auch als Grad des Polynoms. Nur für Polynome von höchstens Grad 2 ist eine analytische Lösung ohne weiteres möglich. In anderen Fällen kann die Lösung meist nur näherungsweise bestimmt werden.
Kapitel 0: Mathematische Hilfsmittel
16
Analytische Lösung
0.2.1
Das einfachste
ax
+b
=
Polynom 0
ist die lineare Funktion
mit der
Lösung
b
x -
für
a
—
ü^O.
0.2.1 Ein zu Beginn des Jahres mit jährlichem Zinssatz von x% angelegtes Kapital von DM 100 ist am Ende des Jahres auf DM 106 angewachsen. Wie hoch ist der Zinssatz?
Beispiel Lösung:
100 + 100
•
tJö
100 +
Der Zinssatz
106
=
x
=
106
x
=
6
beträgt
also 6%.
Das Polynom zweiten Grades liefert eine quadratische Funktion, für die in vielen Fällen eine Nullstelle als reelle Lösung existiert:
ax2 + bx + c Diese wird
Xi/2
=
0
gelöst durch -b ±
Vb2
Aac -
-
2a
Im Bereich der reellen Zahlen hat diese
keine Lösung eine Lösung zwei Lösungen
für b2 < \ac für b2 Aac für ö2 > Aac =
Gleichung
0.2.
NuHstellenbestimmung
17
Beispiel 0.2.2
Am 1.1.1990 und am 1.1.1991 wurden je DM 100 auf einem Sparkonto angelegt. Der jährliche Zinssatz betrug im ersten Jahr x% und im zweiten Jahr {x + 2)%. Am Ende des Jahres 1991 waren DM 219,35 auf dem Konto. Wie hoch
war
der Zinssatz im ersten und zweiten Jahr?
Lösung:
(1+i5ö) 100] (1 w) (200 x) (l ^) (200 x) (x 102)
100
+
+
+
-
219'35
+
=
219,35
+
+
x2 + 302x
1.535
=
21.935
=
0
-
Xl'2
-302 ±
y/3022 + 4 1.535 2
_ ~
-302 ± _ ~
y/97.344 2
_ ~~
-302 ± 312 2
Man ermittelt also x\ 5 und x2 —307. Nur die erste der beiden Lösungen ist ein sinnvoller Zinssatz. Die Verzinsung betrug also 5% im ersten und (5 + 2)% 7% im zweiten Jahr. =
=
=
0.2.2
Iterative Verfahren
Für die anderen in der Finanzmathematik verwendeten Funktionen, etwa Polynome höheren Grades n > 2, ist eine analytische Lösung für die Nullstelle meist nicht zu ermitteln. Dies gilt auch z.B. für gebrochen rationale Funktionen, deren Exponenten nicht-ganzzahlig sind. Es muß deshalb auf numerische Lösungsverfahren zurückgegriffen werden, um eine Lösung für x wenigstens näherungsweise zu ermitteln. Diese Verfahren gehen folgendermaßen vor:
Aus einem oder mehreren Werten x0,Xi,..., xit deren Funktionswert keine Nullstelle der Funktion sein muß (wenn sie dabei wäre, hätte man sie gefunden und müßte das Verfahren nicht mehr fortsetzen), wird in jeder Iteration i ein weiterer Wert xi+x errechnet, der näher an der Nullstelle liegen soll als die Startwerte. In der
Regel handelt es sich bei den Funktionen der Finanzmathematik um gutmütige Funktionen, bei denen sogar oft nachgewiesen werden kann, daß sie eine eindeutige Nullstelle besitzen (siehe Kapitel 3). Meistens sind diese Funktionen im relevanten Bereich differenzierbar. Wir werden das Beispiel 0.2.2 auch für die iterativen Verfahren verwenden, da wir die exakte Lösung nun
kennen.
Kapitel 0:
18
Mathematische Hilfsmittel
a) Regula Falsi Die Grundlage für das Verfahren nach der der Intervallschachtelung.
Falsi bildet das
Prinzip
0.2.3 In unserem Beispiel 0.2.2 liegt der Zinssatz sicher über 3% und weil der erreichte Kapitalbetrag über
Beispiel unter 8%, K'
Regula
(103 + 100) 1,05
=
•
=
213,15
und unter
K"
liegt.
=
(108 + 100) 1,10 •
=
228,80
Verwendung der Gleichung
Bei
100 I 1 +
9(x)
•
(1 w)-219-35
100 -=-) lÖOj + x
+
g(3) und g(8) unterschiedliche Vorzeichen für g(x) liefern. Man erhält g(3) = —6,20 und g(8) = 9,45 und versucht nun, die Nullstelle der Funktion schrittweise weiter einzugrenzen. Ein Verfahren wäre, einfach die Mitte zwischen den beiden Zinssätzen 3% und 8% zu wählen, und damit den Wert 5,5% als nächsten zu probieren. Dieses naheliegende Verfahren der Intervallhalbierung ist aber denkbar langsam, d.h. man benötigt viele Schritte, um nahe an die Nullstelle der Funktion zu kommen. müssen deshalb
Beim Verfahren nach der Regula-Falsi errechnet man durch lineare Interpolation aus beiden Startwerten xo 3 und Xj 8 einen besseren Näherungswert x2. Man nutzt dabei das Wissen über die beiden Funktionswerte (z.B. o(3) und g(8)) zur Errechnung des Wertes x2: =
x2
Beispiel x2
=
Xi
x0
g(xx) -p(xo) 9(x\)
X\
(0.31)
-
0.2.3
[Fortsetzung]
In
8-3
=
=
9,45 + 6,20 9,45
=
unserem
4,98
Beispiel ergibt sich
im ersten Schritt
0.2.
19
Nullstellenbestimmung
4,98 erhält man g(4,98) = -0,062. Nun ist klar, daß die gesuchte Nullstelle zwischen den beiden Werten x2 und x\ liegen muß. Fürx2
=
Man führt das Verfahren fort, indem man den nun überflüssigen Wert x0 oder durch den errechneten "besseren" Wert x2 ersetzt. Ergibt sich zwischendurch (im Schritt i) g{xi+i) > 0, so wird stattdessen Xi-\ durch xi+l ersetzt. Dies wiederholt man so lange, bis der Funktionswert g{xi+i) nahe genug am Wert 0 liegt, also
x\
\g{xi+i)\
also
folgendes Vorgehen:
festgelegt.
0 wird
Eine maximale Anzahl imax von Iterationen wird Der Iterationszähler i wird auf 1 gesetzt.
festgelegt.
Zwei Startwerte x0 und xx mit
g{x0) -gfa)
0 wird
Eine maximale Anzahl imax von Iterationen wird Der Iterationszähler i wird auf 0 gesetzt.
Ein Startwert x0 nahe genug
2. Man ermittelt den Funktionswert •
Wenn der Funktionswert die