Finanzmathematik [2., verbesserte Auflage. Reprint 2020] 9783112320624, 9783112309452

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Finanzmathematik

von

Prof. Dr. Marcel Nicolas Freie Universität Berlin

Zweite, verbesserte Auflage Mit 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispielen

Sammlung Göschen Band 1183 / 1183a

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1967 vormals G. J . Göschen'sehe Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

Für wertvolle Mitarbeit ist der Verfasser Herrn s t u d . rer. pol. Horst T h e i l e r f zu großem Dank verpflichtet

© Copyright 1967 by Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. - Alle Rechte, einschl. der Hechte der Herstellung von Fhotokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 75 20 67/7 - Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. - Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Seite Einleitung 1. Begriff und Gegenstand der Finanzmathematik 2. Die BestimmungsgrQnde der Zinshöhe

5 5 7

A. Das Rechnen mit einfachen Zinsen 1. Die Zinsformel 2. Laufzelt als Datumdifferenz gegeben 3. Die Umformungen der Zinsformel 4. End- und Barwert des Kapitals . 5. Das Diskontieren von Wechseln 6. Die Umformungen der Endwertformel 7. Der mittlere Zahlungstermin ; 8. Praktische Erleichterungen beim Rechnen mit einfachen Zinsen .

9 9 16 18 19 22 28 29 31

B. Die Zinseszinsrechnung 1. Die Zinseszinsformel 2. Die Hauptsätze der Zinseszinsrechnung 3. Unterjährige Zinszahlung 4. Konforme Zinssätze 5. Antizipative Zinsen 6. Gemischte Zinsen 7. Berechnung von Zinssatz und Laufzeit

33 33 40 45 48 52 53 57

C. Die Rentenrechnung 1. Der Rentenendwert 2. Der Rentenbarwert 3. Auf- und Abzinsen des Rentenwertes 4. Berechnung der Rentenrate 5. Unterjährige Zins- und Ratenzahlung 6. Berechnung des Zinssatzes 7. Berechnung der Laufzeit 8. Ungleiche Rentenraten 9. Zusammengesetzte Aufgaben aus der Zinseszins- und Rentenrechnung

60 60 65 70 72 73 79 80 83

D. Die Tilgungs- und Anleiherechnung 1. Berechnung von Annuität und Tilgungsquote 2. Aufstellung eines Tilgungsplanes 3. Errechnung der Tilgungsdauer bei vorgeschriebener Höhe der Annuität 4. Die Rückzahlung der Stücke mit Aufgeld 5. Der Barwert von Zinsen und Tilgungsquoten

94 95 98

89

104 107 110

4

Inhaltsverzeichnis

6. Unterjährige Zahlung der Zinsen oder der Tilgungsquoten 7. Vorschüssige Annuitäten 8. Abschreibungen E.

Seite . . . . I I I 114 117

Die Kurs- und Rentabilitätsrechnung

125

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

126 129 133 141 145 140 150 155

Der Begriff der Effektivverzinsung Die Effektivverzinsung bei gesamtfälligen Anleihen Die Effektivverzinsung bei Tilgungsanleihen Die Effektivverzinsung bei unterjähriger Zahlung der Anleihezinsen Die Effektivverzinsung bei aufgeschobener Tilgung Der Begriff der mittleren Laufzeit Die Effektiv Verzinsung während der Laufzeit einer Anleihe . . . Abweichende Anleihetypen Kursparitäten — Konversion — Landeszinsfuß — Berücksichtigung der Kapitaler trägst euer

158

Anhang D a s V e r f a h r e n der Interpolation

I6i

1. Das Verfahren der linearen Interpolation 2. Die Interpolation mit höheren Differenzen

163 165

Tabellen I — V I I I

m

Z u s a m m e n s t e l l u n g der wichtigsten S y m b o l e

178

Formelübersicht

i8o

Literaturverzeichnis

189

Sachregister

191

Einleitung 1. Begriff und Gegenstand der Finanzmathematik

Unter „Finanzmathematik" versteht man die Anwendung mathematischer Methoden auf die Probleme des Bank- und Kreditwesens, die einer rechnerischen Behandlung zugänglich sind. In allen diesen Problemen spielt die Erscheinung des Zinses unmittelbar oder mittelbar eine entscheidende Rolle. Seine Betrachtung bildet deshalb die Grundlage des finanzmathematischen Denkens. Die Finanzmathematik fragt — dem Charakter der Mathematik als Formalwissenschaft entsprechend — nicht nach Wesen und Ursache der von ihr erörterten Phänomene. Sie nimmt diese vielmehr in Definition und Abgrenzung so hin, wie sie ihr von den zuständigen Sachwissenschaften, der Wirtschafts- und Finanzwissenschaft, und von der Praxis des Bank- und Kreditwesens dargeboten werden. Die Sachwissenschaften haben insbesondere in den Zinstheorien — von denen es mehrere, auf verschiedenen Standpunkten beruhende gibt — den Versuch unternommen, den Zins, seine Zulässigkeit und Notwendigkeit, begrifflich zu klären, zu begründen und zu rechtfertigen. Für die Finanzmathematik ist der Zins dagegen einfach der für Leihgeld zu zahlende Nutzungspreis. Über sein Wesen und seine Bestimmungsgründe — wie überhaupt über die zu benutzenden Begriffe — wird deshalb im folgenden nur so viel zu sagen sein, als zum Verständnis unbedingt erforderlich ist. Viele der von der Finanzmathematik entwickelten Methoden können auch in anderen Bereichen der angewandten Mathematik formal Verwendung finden. Hierzu gehören u. a. die Bevölkerungsstatistik, die Versicherungsmathematik und

6

Einleitung

die allgemeine Wirtschaftsmathematik. Man ordnete die Finanzmathematik deshalb früher häufig dem erweiterten Begriff der „Politischen Arithmetik" unter, der die genannten Bereiche mitumfaßt. Der Ausdruck „Politische Arithmetik", der übersetzt „Staatliche Rechenlehre" bedeutet, stammt aus der Zeit, als die Wirtschaftswissenschaft ihrer damaligen hauptsächlichen Zweckbestimmung entsprechend als „StaatsWissenschaft" bezeichnet wurde. Inzwischen haben sich die verschiedenen Zweige der Statistik, die Wirtschafts- und die Versicherungsmathematik zu so umfangreichen, selbständigen Disziplinen entwickelt, daß eine Zusammenfassung unzweckmäßig erscheint. In vorliegendem Band wird deshalb nur die Finanzmathematik im engeren Sinne behandelt werden. Es ist ferner aus praktischen Gründen üblich geworden, die mit den elementarsten rechnerischen Hilfsmitteln lösbaren Aufgaben im Bereich des Bank- und Kreditwesens einem die Unter- oder Vorstufe der eigentlichen Finanzmathematik bildenden gesonderten „Bankrechnen" zuzuweisen. Zu diesem „Bankrechnen", einem Teilgebiet des umfassenderen „kaufmännischen Rechnens", gehört neben der Provisions-, Arbitrage-, Wertpapierrechnung usw. konsequenterweise auch das Rechnen mit sogenannten „einfachen" Zinsen. Da dieses Rechnen jedoch die Voraussetzung für die darauf aufbauenden Kapitel der eigentlichen Finanzmathematik ist, muß es — wenigstens in seinen Grundzügen — in einem Lehrbuch der Finanzmathematik mit besprochen werden. Die mehr technischen Teile der einfachen Zinsrechnung, wie z. B. die verschiedenen Arten der Kontokorrent- und Staffelrechnung, sind dagegen dem Bankrechnen vorbehalten. Mit dieser Einschränkung ergibt sich die Gliederung des zu behandelnden Stoffes in folgende Hauptabschnitte: A. Das Rechnen mit einfachen Zinsen. B. Die Zinseszins-

Die Bestimmungsgründe der Zinshöhe

7

rechnung. C. Die Rentenrechnung. D. Die Tilgungs- und Anleiherechnung. E. Die Kurs- und Rentabilitätsrechnung. 2. Die Bestimmungsgründe der Zinshöhe

Die Höhe des Zinses, als des für das Leihgeld zu zahlenden Nutzungspreises, kann im Einzelfall frei vereinbart sein. Der Zins kann aber auch für größere Bereiche institutionell einheitlich festgesetzt werden. Dies geschieht in neuerer Zeit in wachsendem Umfang, z. B. beim Diskontsatz der Notenbanken, der nicht nur als Grundlage zahlreicher finanzieller Transaktionen dient, sondern an dem sich auch viele andere wichtige Zinssätze ausrichten, bei den im sogenannten Habenzinsabkommen der deutschen Banken erfaßten Zinssätzen usw. Auch bilden die Börsen wichtige Ausgleichstellen für die Festlegung und Vereinheitlichung von Zinssätzen. Als wirtschaftliche Höchstgrenze des Zinses ergibt sich theoretisch der mit Hilfe des Leihgeldes voraussichtlich zu erzielende Ertrag. Diese Grenze wird jedoch in der Praxis nur in Notzeiten bei Vorliegen besonderer Umstände erreicht oder gar überschritten werden. Unterhalb der Höchstgrenze bestimmt sich der Zins wie jeder Preis nach Angebot und Nachfrage. Doch bildet die institutionelle Struktur der modernen Volkswirtschaften eine Bremse, die allzu heftigen, kurzfristigen Schwankungen entgegenwirkt. Bei niedrigen Zinssätzen können noch Geschäfte gewinnbringend sein, auf die sich bei hohen Zinssätzen niemand einlassen würde. Deshalb wirken niedrige Zinssätze belebend, hohe hemmend auf die Wirtschaftstätigkeit ein. Neben den allgemeinen Faktoren von Angebot und Nachfrage spielen im Einzelfall spezielle Momente eine wichtige Rolle für die Höhe des Zinses. Da ist einmal die Frage der Sicherheit des Darlehens, die sich im Ausmaß der neben der eigentlichen Leihgebühr im Zins mit zu bezahlenden Risikoprämie ausdrückt. Bei risikoreichen Geschäften ist

8

Einleitung

der Zins daher höher als bei den durch besondere gesetzliche Vorschriften geschützten Wechsel-oder Hypothekardarlehen. Von letzteren sind wiederum die bei eventueller Versteigerung des Grundstücks bevorzugt zu befriedigenden erststelligen Hypotheken zu günstigeren Bedingungen zu erhalten als die höherstelligen. Überhaupt sind durch Sachpfand sichergestellte Darlehen billiger als reine Personalkredite. Kreditinstitute müssen ihre Kosten und außerdem einen Gewinn in die von ihnen zu erhebenden Zinssätze einrechnen. Daher sind die Zinsen, die sie auf Einlagen vergüten (die sogenannten Habenzinsen), niedriger als die für die Ausleihung von Geld geforderten Sollzinsen. Der Unterschied zwischen den Soll- und den Habenzinsen, die sogenannte Zinsmarge, bildet einen wesentlichen Bestandteil des Erlöses der Kreditinstitute. Bestimmend für die Höhe des Zinses ist schließlich auch noch die Dauer der Entleihung. Im allgemeinen sind die Zinssätze für längerfristige Ausleihungen höher als für kürzerfristige, für Ausleihungen mit Kündigungsfrist höher als für jederzeit kündbare. Die Höhe der für Leihgeld im Durchschnitt geforderten und gezahlten Zinsen ist im Laufe der Geschichte starkem Wechsel unterworfen gewesen. Auch regional sind große Unterschiede festzustellen. Wirtschaftlich hochentwickelte Länder weisen im allgemeinen niedrigere Zinssätze auf als wirtschaftlich weniger entwickelte. Damit steht im Zusammenhang, daß in früheren Zeiten oft viel höhere Zinssätze verlangt wurden als in der Gegenwart. In der römischen Kaiserzeit z. B . betrug die gesetzlich zulässige Höchstgrenze des Zinssatzes 4 8 % jährlich, und noch im Mittelalter galt in Europa ein Zinssatz von 2 0 % und mehr als durchaus normal. Dagegen ist heute der Zinssatz für täglich fällige Bankeinlagen in vielen Ländern auf 1 % und weniger ge-

Die Zinsformel

9

sunken. Manchmal werden dafür sogar überhaupt keine Zinsen mehr vergütet, und der Anreiz für den Einleger, sein überschüssiges Geld zur Bank zu bringen, besteht — ähnlich wie beim deutschen Postscheckdienst — nur noch in den von den Kreditinstituten kostenlos gewährten Dienstleistungen im Zahlungsverkehr und in der größeren Sicherheit bei der Aufbewahrung. Doch kommen unter besonderen Verhältnissen auch heute gelegentlich sehr hohe Zinssätze vor. So waren zur Zeit der Koreakrise 1951 Zinssätze bis zu 50% im Jahr nichts Ungewöhnliches, da das Geld meist nur kurzfristig zur Einleitung eines Geschäfts gebraucht wurde und der erwartete Gewinn den hohen Preis rechtfertigte. Auch bei Ratenkäufen ergeben sich oft Zinssätze von 30 bis 40%, wenn man in finanzmathematisch korrekter Weise die Zinsen auf die jeweilige Restschuld bezieht. A. Das Rechnen mit einlachen Zinsen 1. Die Zinsformel

Man definiert als Zinsfuß p den vereinbarten Preis für einen auf die gewählte Zeiteinheit (die sogenannte Zinsperioik) auszuleihenden Geldbetrag von 100 Währungseinheiten. Dann ergibt sich als erste Aufgabe der Finanzmathematik die Frage nach der Höhe der Zinsen Zn, die für eine beliebige Geldsumme (das Kapital K) und für eine beliebige Zeit (die Laufzeit n) zu vergüten sind. Das Wort „Kapital" wird in der Finanzmathematik nicht in seinem volks- und betriebswirtschaftlichen Sinne gebraucht. Es bezeichnet vielmehr — der ursprünglichen Bedeutung des darin enthaltenen Wortes „Caput" entsprechend — den in der Rechnung auftretenden „Hauptbetrag", d. h. den der Verzinsung unterworfenen Betrag, ohne Rücksicht auf dessen eigentlichen wirtschaftlichen oder juristischen Begriffsinhalt. Es kann sich dabei um echtes Kapital im volks- oder betriebswirtschaftlichen Sinne handeln oder um einen Kredit, ein Darlehen, eine Schuld, eine

10

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

Verpflichtung, ein Guthaben, eine Bankeinlage, eine Forderung, eine Hypothek, eine Zahlung u. a. m. In den Beispielen dieses Buches werden die vorstehenden Begriffe wechselnd gebraucht werden, je nachdem wie es für das jeweils behandelte Problem am zweckmäßigsten erscheint. Man beachte dabei, daß man sich vom finanzmathematischen Standpunkt aus in jedem Falle für den einen Begriff auch alle anderen gesetzt denken kann.

Die Zinsen sind während der gesamten Laufzeit des Kredits jeweils am Ende — oder auch am Anfang — einer jeden Zinsperiode in gleichen Beträgen zu entrichten. Die Daten, an denen dies im Einzelfall zu geschehen hat, heißen Zinstermine. Ist Zahlung am Ende der Zinsperioden ausbedungen, so spricht man von dekursiver oder nachsehüssiger Verzinsung oder von Verzinsung im nachhinein. Diese Art der Zinszahlung ist in Deutschland und in den meisten anderen Ländern die Regel. Bei den folgenden Ausführungen soll sie deshalb stets vorausgesetzt werden, wenn nichts anderes vermerkt ist. Die nur ausnahmsweise vorkommende Zahlungsweise der Zinsen am Anfang jeder Zinsperiode, die antizipative oder vorschüssige Verzinsung oder die Verzinsung im vorhinein wird nur kurz am Rande behandelt werden. Man erhält nun die Lösung der eingangs formulierten Aufgabe durch folgende doppelte Schlußrechnung: 100 Währungseinheiten Kapital kosten für 1 Zinsperiode p Währungseinheiten an Zinsen 1 Währungseinheit Kapital kostet für 1 Zinsperiode V

Währungseinheiten an Zinsen

K Währungseinheiten Kapital kosten für 1 Zinsperiode v K •

Währungseinheiten an Zinsen

K Währungseinheiten Kapital kosten für n Zinsperioden K • -Tj- • n Währungseinheiten an Zinsen.

Die Zinsformel

11

Dieses Ergebnis läßt sich formelmäßig wie folgt schreiben: Zn = K-n.JL.

(1)

Formel (1) ist die für die Zinsrechnung fundamentale sogenannte Zinsformel. Der darin vorkommende Ausdruck ^ ,

also der hundertste Teil des Zinsfußes, wird Zinssatz

genannt 1 ). F ü h r t man für den Zinssatz die symbolische Bezeichnung i (von englisch „interest" = Zins) ein — es ist also i = J^Q oder = -p % oder = 0,01 p und umgekehrt p = 100 i —, so läßt sich die Zinsformel auch in der noch einfacheren Gestalt schreiben 2 ): Zn = K • i • n.

(1')

Ebenso wie der Zinsfuß p einerseits eine unbenannte Zahl, andererseits aber auch numerisch gleich dem Zinsbetrag ist, der in Einheiten der gleichen Währung wie das zugrunde liegende Kapital f ü r ein Kapital von 100 Währungseinheiten in der Zinsperiode zu zahlen ist, ist auch der Zinssatz i sowohl eine unbenannte Zahl als auch (wegen v i = ^ Q ) der für eine Währungseinheit Kapital in der Zinsperiode zu zahlende Zins. Zur rascheren Handhabung von Formel (1') ist es nützlich, sich die zu einem gegebenen Zinsfuß p gehörenden Werte des Zinssatzes i in den drei üblichen Formen (und umgekehrt) so einzuprägen, daß sie sofort aus dem Gedächt-

*) Die Ausdrücke „Zinsfuß" und „Zinssatz" werden in der Praxis — und zum Teil auch in der Literatur — häufig miteinander verwechselt oder unterschiedslos gebraucht. Aus sachlichen und aus pädagogischen Gründen empfiehlt sich jedoch die hier gebrachte scharfe Trennung, an die sich der Leser beizeiten gewöhnen möge. 2 ) Die Formeln (1) bzw. (1') gelten selbstverständlich für beliebige Währungseinheiten DM, $, sfr, £ usw. Der Einfachheit halber soll jedoch in der Folge, wenn nicht anders gesagt, unter „Währungseinheit" stets die DM verstanden werden.

Das Rechnen mit einlachen Zinsen

12

nis niedergeschrieben werden können. Nachstehende Tabelle zeigt die Werte von p und i für einige häufig vorkommende Fälle: V

l ~2

1

3

i (in %)

lo/ 2 /O

1%

3%

3"j" %

3

i (als gewöhnlicher Bruch)

1 200

l 100

3 100

13 400

10 300

i (als Dezimalbruch)

0,005

0,01

0,03

0,0325

0,0333

V

,'T

10

100

10%

100%

i (in %)

3 | %

3|-%

»T %

i (als gewöhnlicher Bruch)

7 2ÖÖ

15 400

31 805

i (als Dezimalbruch)

0,035

0,0375

0,03875

3"5" T% 1 30

10 _ 1 100 _ , 100 10 100 0,1

1,0

Hier sei ein Hinweis für das praktische Rechnen eingefügt, der nicht nur die in Frage stehende Aufgabe betrifft, sondern im gesamten Bereich der Finanzmathematik beherzigenswert ist: Es ist beim Rechnen üblich geworden, den Dezimalbrüchen stets den Vorzug vor den gewöhnlichen Brüchen zu geben. Hierzu trägt sicher bei, daß die für gewöhnliche Brüche geltenden Rechenregeln nach der Schulzeit in Vergessenheit zu geraten pflegen. Man scheue aber die kleine Mühe nicht, sie sich wieder ins Gedächtnis zurückzurufen, denn das Benutzen von gewöhnlichen Brüchen bietet zahlreiche rechentechnische Vorteile, insbesondere im Hinblick auf die Möglichkeit, komplizierte Brüche zu kürzen, was, wenn die Zahlen in Gestalt von Dezimalbrüchen auftreten, häufig übersehen wird. Außerdem ist die Genauigkeit eine größere, weil sich Brüche, deren Nenner nicht nur die Faktoren 2 und 5 enthalten, lediglich nähe-

Die Zinsformel

13

rungsweise in Dezimalform wiedergeben lassen. Werden allerdings Rechenmaschinen benutzt, so können nur Dezimalbrüche angewendet werden. Doch versuche man auch in diesem Fall, die Lösung der Aufgabe soweit wie möglich unter Einsatz von gewöhnlichen Brüchen vorzubereiten, ehe man sie in Dezimalbruchform in die Maschine einführt. (In der Praxis werden Zinsfuß bzw. Zinssatz fast immer in Gestalt gewöhnlicher Brüche gegeben.)

Bei Anwendung von Formel (1) bzw. (1') macht man — wie sich aus der Ableitung ergibt — die stillschweigende Voraussetzung, daß die Zinsen Zn sowohl dem Kapital K als auch der Laufzeit n direkt proportional sind, d. h. daß für das doppelte Kapital die doppelten Zinsen, für die halbe Laufzeit die Hälfte der Zinsen usw. bezahlt werden müssen. Diese Voraussetzung ist nicht selbstverständlich, wenn man an Mengen- oder Umsatzrabatte denkt, die im kaufmännischen Verkehr die Kontinuität der Proportionalität unterbrechen können. Auch im Kreditwesen kommt Ähnliches vor. Doch sind innerhalb gewisser Grenzen stets die Proportionalität und damit die Anwendbarkeit von Formel (1) bzw. (1') gewährleistet. Die Laufzeit n ist in die Zinsformel stets in Vielfachen einer Zinsperiode einzusetzen. Als Zinsperiode wird bei Kreditgeschäften meist das Jahr gewählt. Man spricht dann von einem Zinsfuß von p oder einem Zinssatz von i = p% „p. a." (gelesen „per a n n u m " oder „pro anno"). Es können jedoch auch kürzere Zinsperioden, etwa ein halbes Jahr, ein Vierteljahr oder ein Monat vereinbart sein (sogenannte „unterjährige" Verzinsung). Beträgt die Länge der vereinbarten Zinsperiode — Jahr, so ist dafür wegen der Proportionalität nur der m-te Teil an Zinsen zu zahlen, der für eine Zinsperiode von Jahreslänge gezahlt werden müßte. Es ist dann auch der sich auf die kürzere Zinsperiode beziehende Zinssatz n m

der rn-te Teil des auf das Jahr bezüglichen Zinssatzes i ( u = —

14

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

und entsprechend natürlich1) auch p^ = —), und es gilt die m m

Beziehung i = mii bzw. p = mpi. Man nennt in diesem m

m

Fall i den zu dem unterjährigen (halbjährlichen, vierteljährlichen, monatlichen usw.) Zinssatz ii gehörenden nomimlm

Im Jahreszinssatz2). So gehört beispielsweise zum vierteljährlichen Zinssatz 4 = 3% der nominelle Jahreszinssatz 1 i = 4 • 3% = 12%, zum monatlichen Zinsfuß p¿ = der 1

12

nominelle Jahreszinsfuß p = 12 • Jj— = 6. Es führt zu dem

gleichen Ergebnis, wenn man bei einer Laufzeit von n Jahren in Formel (1') mit dem unterjährigen Zinssatz und m • n j m Zinsperioden von je — Jahreslänge rechnet oder mit dem zugehörigen nominellen Jahreszinssatz i und n Zinsperioden von Jahreslänge (es ist nämlich Zmn = K-ix •m-n = K-i-n = Zn). Mit Hilfe der Formeln (1) bzw. (1') läßt sich jede Aufgabe lösen, bei der Kapital, Zinssatz und Laufzeit gegeben sind und nach den zu zahlenden Zinsen gefragt wird. Doch muß darauf geachtet werden, daß die Laufzeit n, wie schon erwähnt, in Vielfachen der zugrunde gelegten Zinsperiode ausgedrückt wird. Umfaßt die Laufzeit daher, wie häufig in der Praxis, Zeiteinheiten verschiedener Länge (Jahre, Monate und Tage), so sind diese zunächst einheitlich in ganze Zinsperiöden oder Bruchteile davon umzurechnen. Dabei ist es in Deutschland im Kreditwesen wie überhaupt im kauf') Die für den Zinssatz i abgeleiteten Beziehungen gelten (wegen p = 100 t) stets auch entsprechend für den Zinsfuß p. Es wird deshalb im folgenden meist nur die eine oder die andere Form gebracht werden. Aus demselben Grunde wird auch die Zinsformel je nach Zweckmäßigkeit nur in ihrer Gestalt (1) oder in ihrer Gestalt (1') angezogen werden. 8 ) „Nominell" heißt dieser Jahreszinssatz, weil er nur als Rechengröße auftritt. Wirklich vereinbart (und zahlbar) ist lediglich der unterjährige Zinssatz i i , der deshalb auch als ,»effektiver" Zinssatz bezeichnet wird.

wT

Die Zinsformel

15

männischen Verkehr zur Erleichterung der Rechnung üblich, den Monat stets mit 30 Tagen und dementsprechend das J a h r mit 360 Tagen anzusetzen. Ein Tag (auch im Februar oder März) ist also stets gleich

uü

(auch im Schaltjahr) gleich ^

Monat ( = 0,0333 Monat) bzw. J a h r ( = 0,00277 J a h r ) zu

setzen. Bei gerichtlichen Entscheidungen wird dagegen die tatsächliche Jahres- bzw. Monatslänge zugrunde gelegt, wie dies im Ausland oft auch im Kreditwesen der Fall ist 1 ). In der Praxis geht man am besten so vor, daß man die gegebene Laufzeit zunächst in der kleinsten vorkommenden Zeiteinheit ausdrückt und das Ergebnis in Zinsperioden umrechnet. So wird beispielsweise eine gegebene Laufzeit von 3 Jahren 4 Monaten und 11 Tagen zunächst in 3 • 360 + 4 - 3 0 + 11 = 1211 Tage umgewandelt. Dies entspricht bei jähr1211 licher Verzinsung einer Laufzeit w von Zinsperioden von oOU Jahreslänge, bei monatlicher Verzinsung einer solchen von -1211 » ¡ r - Zinsperioden von Monatslänge usw. In Dezimalform geoü schrieben lauten diese beiden Ergebnisse 3,364 Jahresperioden bzw. 40,367 Monatsperioden. Bei unterjähriger Verzinsung ist es jedoch in manchen Fällen bequemer, mit Zinsperioden von Jahreslänge und dem entsprechenden nominellen Jahreszinssatz zu rechnen (vgl. Beispiel 2). Beispiel 1: Was muß an Zinsen für den auf 3 Jahre auszuleihenden Betrag von 7500 DM aufgebracht werden, wenn ein Zinssatz von 3 % % p.a. vereinbart wurde? — Hier ist K = 7500 DM, i = i und n = 3. Diese Werte in Formel (1') eingesetzt, ergeben Zn = 7500 • • 3 = 750. Die insgesamt aufzubringenden Zinsen belaufen sich auf 750 DM. 1 ) I m angelsächsischen Bereich wird mit der tatsächlichen Monatslänge, jedoch mit einem J a h r von einheitlich 365 Tagen gerechnet.

16

Das Rechnen mit einfachen Zinsen Beispiel 2: Ein Kapital in Höhe von 5000 DM wird zu 2% halbjährlich auf 2 Jahre 7 Monate und 12 Tage ausgeliehen. Wie hoch sind die in Rechnung zu stellenden Zinsen ? — Die gegebene Laufzeit ist zunächst in Tage, als kleinste vorkommende Zeiteinheit umzuwandeln. Man erhält 2 • 3('0 + 7 - 3 0 + 12 = 942 Tage. Die vereinbarte Zinsperiode beträgt ein 940 halbes Jahr oder 180 Tage. 942 Tage entsprechen also —^ Zinsperioden. Formel (1) liefert die zu zahlenden Zinsen mit Z

* = 5000 = = 6 2 3 ' 3 3 DM" M a n hätte ebensogut mit dem entsprechenden nominellen Jahreszinssatz i = 4% und der Laufzeit n = Zinsperioden von Jahreslänge rechnen können. 2. Laufzeit als Datumdifferenz gegeben

In den von der Praxis gestellten Aufgaben wird die Laufzeit n meist wicht in Jahren, Monaten und Tagen gegeben, sondern es wird das Anfangs- und Enddatum der Laufzeit mitgeteilt. Zur Verwendung in Formel (1) muß in solchen Fällen die Laufzeit aus den Daten erst errechnet werden. Hierbei können entweder beide der genannten Daten — im Wertpapiergeschäft üblich — der Laufzeit zugerechnet werden, oder nur eines — wie z. B. im Wechselverkehr —, oder gar keines — wie häufig im sonstigen Bankverkehr. In den von den Kreditinstituten ausgestellten Quittungen wird durch die Angabe „Wert am soundsovielten" (die sogenannte „Wertstellung") auf das Datum des Verzinsungsbeginns ausdrücklich hingewiesen. Bei Spareinlagen erfolgt die Wertstellung und damit der Beginn des Zinsenlaufs üblicherweise erst 14 Tage nach der Einzahlung. Die Umrechnung selbst wird durch folgendes Verfahren erleichtert (es soll dabei vorausgesetzt werden, daß das eine der beiden Grenzdaten in der Laufzeit berücksichtigt wird; sollen beide Berücksichtigung finden, so ist das jeweilige Ergebnis um einen Tag zu vermehren, sollen beide außer Be-

Laufzeit als Datumdifferenz gegeben

17

tracht bleiben, um einen Tag zu vermindern). Es läßt sich am besten an Hand eines Beispiels erklären. Beispiel 3: Ein Kapital wird vom 17. August 1967 bis zum 31. Dezember 1967 ausgeliehen. — Um zunächst die Anzahl der vollen Monate zu erhalten, ziehe man vom Endmonat den Anfangsmonat ab. Ergebnis: 12 — 8 = 4. Für die restlichen Tage verfahre man ebenso mit den Tagesziffern, wobei man jedoch berücksichtigen muß, daß der Monat, wie S. 15 erwähnt, rechnerisch stets mit 30 Tagen anzusetzen ist, so daß statt des 31. Dezember der 30. Dezember in der Rechnung zu verwenden ist. Ergebnis: 30 — 17 = 13 Tage. Insgesamt ergeben sich 4 Monate und 13 Tage oder 4 • 30 + 13 = 133 Tage. Die in 133 Formel (1) einzusetzende Laufzeit ist also n = — - bei jährlicher Verzinsung, n = y^- bei halbjährlicher Verzinsung usw. Ist die Tagesziffer des Enddatums niedriger als diejenige des Anfangsdatums, so vergrößere man sie um 30 (gleich einem vollen Monat), vermindere dafür jedoch die Ziffer des Endmonats um 1. Beispiel 4: Leihdauer 22. Februar 1967 bis 9. Oktober 1967. — Man rechnet: Tage: 39 (statt 9) - 22 = 17; Monate: 9 (statt 10) - 2 = 7 . Ergebnis: 7 • 30 + 17 = 227 Tage oder n = Jahre. Ist die Monatsziffer des Enddatums niedriger als diejenige des Anfangsdatums (dies kann der Fall sein, wenn die Laufzeit über das Jahr hinausgeht), so lassen sich ähnliche Regeln aufstellen. Es ist dann jedoch besser, um sich das Merken all dieser Regeln zu ersparen, die Rechnung in zwei Teilen auszuführen : bis zum Ende des alten und vom Beginn des neuen Jahres. Ähnliches gilt, wenn die Leihdauer mehrere Jahre einschließt. Beispiel 5: a) Leihdauer 25. Juli 1967 bis 14. März 1968. — Bis zum Jahresende 1967 sind es 12 — 7 = 5 Monate und 30 - 25 = 5 Tage und ab Jahresanfang 1968: 3 - 1 = 2 Monate und 14 — 1 = 13 Tage; insgesamt demnach 7 • 30 + 18 = gog 228 Tage, n = . Hierbei ist jedoch zu beachten, daß durch die zweimalige Anwendung des Verfahrens zwei Grenztage der 2 Nicolas, Finanzmathematik

18

Das Rechnen mit einfachen Zinsen Laufzeit in Fortfall gekommen sind. Soll — wie in Beispiel 3 oder 4 — nur der eine unberücksichtigt bleiben, so ist ein Tag 229

zum Ergebnis hinzuzufügen, und man erhält n = . b) Leihdauer 11. April 1967 bis 5. Juni 1970. — Man spaltet zunächst die vollen Jahre ab: Es sind bis zum 10. April 1970 einschließlich 3 Jahre. Nun bleibt: 11. April 1970 bis 5. Juni 1970 gemäß Beispiel 4: 35 — 11 = 24 Tage und 5 — 4 = 1 Monat. Gesamtergebnis: 3 • 360 + 1 • 30 + 24 = 1134 Tage, n = Jahre. 3. Die Umformungen der Zinsformel

Die Zinsformel Zn = Kin enthält vier variable Größen: das Kapital K, den Zinssatz i, die Laufzeit n und die Zinsen Zn. Drei davon können beliebig gegeben sein, die vierte ist jedoch durch diese drei eindeutig bestimmt. Es ist in Abschnitt 1 vorausgesetzt worden, daß K, i und n die gegebenen, Zn die gesuchte Größe ist. Dies braucht jedoch nicht immer der Fall zu sein. In der Praxis ergeben sich ebenso häufig Aufgabenstellungen, bei denen die Verteilung der vier Größen auf gegebene und gesuchte eine andere ist. Zu ihrer Lösung genügt es, Formel (1') derart umzuformen, daß die jeweib gesuchte Größe allein auf die linke Seite der Gleichung kommt. Es ergeben sich folgende drei Möglichkeiten: a) Gegeben i, n und Zn, gesucht K. Man erhält K = i =.

in b) Gegeben K, n und Zn, gesucht i. Man erhält

v(2)

'

c) Gegeben K, i und Zn, gesucht n. Man erhält » ~ s r -

W

Wie man sieht, haben alle drei möglichen Umformungen von Formel (1) eine ähnliche Gestalt.

End- und Barwert des Kapitals

19

Die Anwendung von Formel (2) bis (4) kann am besten durch Beispiele erläutert werden: Beispiel 6: Jemand benötigt zur Abwicklung eines Geschäftes vom 10. März 1968 bis zum 26. November 1968 ein Darlehen. Wie groß kann dieses sein, wenn er in der Lage ist, an Zinsen 1200 DM aufzubringen und der Darlehnsgeber 6% p. a. verlangt? — Hier sind Zn = 1200, i = und n = gegeben, gesucht ist K. Es ist also Formel (2) anzuwenden. Man erhält •rr 1200 1200-36000 „ „ , „ , -p.,, K = T I E = i536— = 2 8 1 2 5 D M 100

360

Beispiel 7: 15000 DM sollen auf 1 y2 Jahre ausgeliehen werden. Welcher jährliche Zinssatz ist zu verlangen, damit an Zinsen 1687,50 DM anfallen? - Es sind K= 15000, n = und Zn = 1687,50 1687,50 gegeben; i„ „„, ist gesucht. Formel (3) ,liefert 1687,50 -p. ,, . , i = = - 2 „2 5 0' 0 = 0,075. Der gesuchte Zinssatz ist 15000-f also 7 y 2 % p. a. Beispiel 8: Jemand nimmt am 20. August 1967 ein Darlehen von 250000 DM auf. Wie lange kann er das Geld behalten, wenn er in der Lage ist, 20000 DM an Zinsen aufzubringen und mit einem Zinsfuß von 3 3 / 4 % p. a. gerechnet wird ? — Die gegebenen Größen sind K = 250000, i = 0,0375 und Zn = 20000. Man erhält die gesuchte Laufzeit n nach Formel (4) zu

n

= 0,0375°. 250 000 =

2 133

'

'''

Jahren

"

Die

J^esbruch-

teile werden, wie folgt, in Tage umgewandelt:

Jahr ist

gleich 36 Tagen, Jahr gleich 3,6 Tagen, ^ ^ Jahr gleich 0,36 Tagen usw. 0,133 Jahre sind also 133 • 0,36 = 48 Tage. Der Darlehnsnehmer kann das Geld 2 Jahre, 1 Monat und 18 Tage, also bis zum 8. Oktober 1969, behalten. 4. End- und Barwert des Kapitals Am Ende der Laufzeit — also nach n Zinsperioden — erhält der Darlehensgeber das ausgeliehene Kapital K zurück. Bis dahin sind ihm aber auch Zn Währungseinheiten an Zin2*

20

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

sen zugeflossen, so daß sich der anfangs von ihm eingesetzte Betrag auf insgesamt (K + Zn) Währungseinheiten vermehrt hat. Man nennt die Summe K + Zn den Endwert des Kapitals oder kurz das Endkapital nach n Zinsperioden und gibt ihm das Symbol Kn. Demgegenüber bezeichnet man, um den Unterschied deutlicher zu machen, nunmehr das ursprünglich vorhanden gewesene Kapital K als den Anfangswert oder Barwert des Kapitals K oder als das Anfangskapital und drückt dies durch das Symbol K0 aus. K0 ist der Wert des Kapitals zu Beginn des Zinsenlaufs (zum Zeitpunkt 0), dieser Wert wächst durch die Verzinsung nach n Zinsperioden auf den Wert Kn an. Auf Grund dieser Definition ist also Kn = K0 + Zn, oder, wenn man für Zn den Wert aus Formel (1') einsetzt, Kn = K0 + K0in. Hierin kann man K0 ausklammern und erhält für die Beziehung zwischen Kn und K0 die sogenannte Endwerlformel der einfachen Zinsrechnung Kn = K0( 1 + in).

(5)

Beispiel 9: Auf welchen Betrag wachsen 10000 DM in 3% Jahren an, wenn 1 y2% Zinsen im Vierteljahr vereinbart sind? — Es ist K0 = 10000, i = = ~ und n = 14 (3% Jahre umfassen 14 vierteljährliche Zinsperioden 1). In Formel (5) eingesetzt, ergibt dies: Kn = 10000 (1 + ^ • 14) = 10000 • 1,21 oder 12100 DM. Auf dasselbe Ergebnis wäre man gekommen, wenn man mit dem nominellen Jahreszinssatz i = 6% und 7 Y Zinsperioden von Jahreslänge gerechnet hätte.

Formel (5) kann nun auch dazu dienen, bei gegebenem Endkapital den Barwert des Kapitals, also seinen Wert vor n Zinsperioden, zu errechnen. Aufgaben dieser Art treten nicht nur auf, wenn der Betrag ermittelt werden soll, der heute angelegt werden müßte, um nach einer gewissen Zeit durch die Verzinsung einen angestrebten Wert zu erreichen, sondern

21

End- und Barwert des Kapitals

auch dann, wenn eine zu einem späteren Zeitpunkt fällige Forderung vorzeitig abgelöst oder veräußert werden soll. In diesem Fall wird der Schuldner bzw. der Käufer die Forderung um die zu erwartenden Zinsen kürzen, da diese ja nunmehr dem Gläubiger bzw. dem Verkäufer der Forderung zugute kommen. Durch Auflösen von Formel (5) nach K0 erhält man ihre zur Lösung solcher Aufgaben geeignete Gestalt, die Barwertformel: K0u =

1 + in

.

(6) v '

Beispiel 10: Eine in 8 Jahren fällige Forderung in Höhe von 25000 DM soll durch sofortige Zahlung abgelöst werden. Wie hoch ist diese zu bemessen, wenn 5% Zinsen p. a. gerechnet werden ? — Mit Hilfe von Formel (6) ergibt sich K0 =

25

A +

000

T5ö " 8

= 2 5 0 0 0 : 1 , 4 = 250000: 14 = 17857,14 DM. Man überzeugt sich leicht, daß der Gläubiger dadurch, daß er über sein Geld 8 Jahre früher verfügen kann, einen genau dem Unterschied zwischen 25000 DM und 17857,14 DM entsprechenden Zinsvorteil hat.

F a ß t man die rechten Seiten der Gleichungen (5) bzw. (6) als Funktionen der Laufzeit w auf, so sieht man, daß sie von ganz verschiedenem Typ sind. Der Endwert ist eine lineare Funktion von n (man nennt die den bisher entwickelten Formeln zugrunde liegende einfache Verzinsung deshalb auch lineare Verzinsung), während die Barwertfunktion als Bild eine gleichseitige Hyperbel ergibt. Fig. 1 bzw. Fig. 2 zeigt dies für i = 4% und K0 bzw. K„ = 1000 DM. Man nennt die Rechenoperation, die von K0 zu Kn, also vom Barwert zum Endwert des Kapitals führt, Aufzinsen, die umgekehrte von Kn zu K0, d. h, vom Endwert zum Barwert des Kapitals führende Rechenoperation Äbzinsen oder auch Diskontieren. Der zum Abzinsen verwandte Zinssatz heißt auch Diskontsatz.

22

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

Fig. 1

Fig. 2

5. Das Diskontieren von Wechseln Eine wichtige Anwendung finden die in Abschnitt 4 entwickelten Gedankengänge beim Wechseldiskontieren. E s ist hier nicht der Ort, auf die wirtschaftlichen und juristischen Grundlagen des „Wechsel" genannten Kreditinstruments in allen Einzelheiten einzugehen. Doch muß das zum Verständnis unbedingt Notwendige gesagt werden. Der Wechsel ist ein schriftliches Zahlungsversprechen, welches entweder den Aussteller selbst (sogenannter Sola-

Das Diskontieren von Wechseln

23

Wechsel) oder eine von ihm namentlich bezeichnete Person, den Bezogenen, (gezogener Wechsel oder Tratte) verpflichtet, zu einem bestimmten Zeitpunkt einen im Wechsel angegebenen Betrag (die Wechselsumme) an den Wechselgläubiger (den Begünstigten) zu zahlen. Der Wechsel untersteht einem eigenen im Wechselgesetz festgelegten Recht, das besonders strenge Sicherheitsbestimmungen enthält. Was ihn aber vor allem als Kreditgrundlage geeignet macht und Ursache seiner Wichtigkeit im kaufmännischen Verkehr ist, ist, daß er ein sogenanntes abstraktes Zahlungsversprechen darstellt, d. h. daß die durch ihn begründete Schuld unabhängig vom materiellen Schuldgrund besteht. Der Wechsel kann deshalb ähnlich einer Banknote von Hand zu Hand weitergegeben werden: E r wird am Fälligkeitstage an den bezahlt, der ihn präsentiert. Die Sicherheit wird noch dadurch erhöht, daß jeder, der den Wechsel im Besitz gehabt und sich durch Vollzug seiner Unterschrift auf dessen Rückseite durch das sogenannte „Indossament" verpflichtet hat, für die Wechselsumme haftet. Der Besitzer eines Wechsels hat ferner die Möglichkeit, ihn, ehe er fällig wird, von einer Bank diskontieren zu lassen, d. h. sich den Barwert der Wechselsumme sofort auszahlen zu lassen. Der Wechsel geht dabei in den Besitz der Bank über, die ihn am Fälligkeitstermin zum Einzug bringt, d. h. dem Bezogenen zur Einlösung vorlegt. Die Differenz zwischen Wechselsumme und ausgezahltem Barwert stellt den Ertrag der Bank dar. Das hierauf beruhende Wechselgeschäft ist eine der wichtigsten Sparten der Tätigkeit der Kreditbanken. Selbstverständlich wird eine Bank nur solche Wechsel diskontieren, die in der Person des Bezogenen bzw. der Indossanten die Gewähr für ordnungsgemäße Einlösung bei Fälligkeit bieten. Nach den Anforderungen, die in dieser Hinsicht an die Güte oder „Bonität" des Wechsels gestellt werden,

24

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

kann man verschiedene Bankkategorien unterscheiden, was auch in der Höhe des verlangten Diskontsatzes zum Ausdruck kommt. Die finanzmathematisch richtige Methode, den Barwert der Wechselsumme zu berechnen, also den Wechsel zu diskontieren, ist die in Abschnitt 4 geschilderte. D. h. es ist Formel (6) anzuwenden, wobei für Kn die Wechselsumme, für i der Diskontsatz und für n die Zeit vom Termin der Diskontierung bis zur Fälligkeit einzusetzen ist. Statt dessen bedienen sich die Kreditinstitute eines anderen Verfahrens: Sie ermitteln den auszuzahlenden (diskontierten) Betrag ®0, indem sie von der Wechselsumme Kn die auf die Wechselsumme bezogenen Zinsen Knin abziehen. Es ergibt sich = Kn — Knin oder — nach Ausklammern V O n Ä

"~

:

®0 = Z n ( l - i n ) .

(7)

Der nach dieser bankmäßigen Methode des Wechseldiskontierens ermittelte Wert ®0 ist kleiner als der mit Hilfe von Formel (6) errechnete Wert K0. Die Differenz K0 - ®o = 1, + in -Kn( 1 - in)> = Kn"[1 \ r h+ , Bi - - (1 Ts 1 — (1—in)(l + in) „ i2n2 . = ä, —— — = A , , , . stellt einen zusatzn 1+ m l + m liehen Gewinn der Kreditinstitute aus dem Wechselgeschäft dar. Der bankmäßig errechnete Wert ® 0 wächst zum Fälligkeitstermin nicht auf die Wechselsumme Kn an, sondern auf die Summe Kn( 1 — in) (1 + in) = Kn{ 1—i 2 n 2 ), die um den Betrag Kni2n2 hinter der Wechselsumme zurückbleibt. Die bankmäßige Methode liefert deshalb im finanzmathematischen Sinne nicht die Lösung der der Wechselrechnung gestellten Aufgabe. Beispiel 11: Ein Wechsel über 2 0 0 0 0 DM wird 6 Monate vor Fälligkeit bei einer Bank zur Diskontierung eingereicht. Welcher Betrag gelangt an den Einreicher zur Auszahlung, wenn ein Diskontsatz von 4 % p. a. zugrunde gelegt wird? — Der

Das Diskontieren von Wechseln

25

auszuzahlende Betrag bestimmt sich nach Formel (7) zu ffi0 = 20000 ( l - ^ ö • y ) = 20000 • 0 , 9 8 = 19600DM. Nach der finanzmathematisch richtigen Methode würde sich K 0 = — 2 0 4 0 0 0 t = 20000:1,02 = 19 607,84 DM ergeben. Die 1+ ioo ° T Differenz beider Beträge hätte sich auch unmittelbar aus = ° ' 0 0 0 ^ 0 0 0 0 = 7,84 DM ioo " a ergeben. Der von der Bank ausgezahlte Betrag wächst bis zum Fälligkeitstermin des Wechsels auf 19600 ( l + ^ • i ) = 19992 DM an, bleibt also um 8 DM hinter der Wechselsumme zurück. Soll die zum Wechseldiskontieren inverse Aufgabe gelöst werden, nämlich die Summe Kn zu bestimmen, auf die ein Wechsel ausgestellt werden muß, damit sein diskontierter Wert eine vorgegebene Höhe K0 hat, so ist bei finanzmathematisch richtigem Vorgehen natürlich die Endwertformel (5) Kn = K0(l + in) zu benutzen. Nach der bankmäßigen Methode ergibt sich durch Auflösen von Formel (7) nach Kn dagegen Kn

Ä

=

20000

v(8) = T1—in ^ • ' Das so gefundene ist gegenüber dem finanzmathematisch t2»2 richtigen Kn um den Betrag K0 zu groß.

Beispiel 12: Wie muß die Wechselsumme lauten, wenn ein Wechsel beim Diskontieren mit 6% p. a. 7 Monate vor Fälligkeit 12600 DM erbringen soll? — Nach Formel (8) ergibt sich bankmäßig = — 1 2 6 5 0 0 7- = 12500 : 0,965 = 12 953,37 DM. 1 — 100 '12 Finanzmathematisch hätte sich Kn —12500 ( l + j^j-'Yz) = 12500 • 1,035 = 12937,50 DM ergeben. Man kann nun versuchen, denjenigen Diskontsatz zu finden, der bei der finanzmathematisch richtigen Methode angewandt werden müßte, damit das Ergebnis des Diskontie-

26

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

rens dem bei der bankmäßigen Methode gleichkommt. Dieser Diskontsatz würde dem von den Banken im finanzmathematischen Sinne wirklich — effektiv — zur Anwendung gebrachten Diskontsatz entsprechen. Da der Barwert nach der bankmäßigen Methode kleiner ist, muß dieser Diskontsatz höher sein als der von den Banken angegebene, im finanzmathematischen Sinne nominelle Diskontsatz. Man erhält den effektiven Diskontsatz i', indem man das Ergebnis der mit i' angesetzten Formel (6) gleich dem Ergebnis der mit dem nominellen Diskontsatz i angesetzten Formel (7) setzt und die entstehende Gleichung nach i! aufInst Er ergibt sich ^

= Kn{ 1 — in) oder — da sich Kn

auf beiden Seiten kürzen läßt —

^.. = 1 — in oder 1 +1 n schließlich nach einigen Umformungen (der Leser führe diese durch!) ,• i' = — ^ . (9) x 1 — in

;

'

Umgekehrt stellt — man löse die Formel (9) nach i auf — » = TT-v(10) den bankmäßigen Diskontsatz i dar, der zum gleichen Ergebnis führt wie der finanzmathematische Diskontsatz i'; i ist natürlich kleiner als i'. Man sieht, daß die Höhe der Wechselsumme ohne Einfluß auf den Unterschied der beiden Diskontsätze i' und i ist. Dagegen spielt die Laufzeit n eine Rolle. Das Verhältnis zwischen i' und i nimmt bei gegebenem i je nach der Laufzeit des Wechsels verschiedene Werte an — es wird mit wachsendem n größer — und muß im Einzelfall errechnet werden. Beispiel 13: Eine Bank berechnet für das Diskontieren von Wechseln 6 % p. a. Welcher effektive Diskontsatz im finanzmathematischen Sinne kommt zur Anwendung, wenn Wechsel a) % Jahr, b) % Jahr, c) 1 J a h r vor Fälligkeit eingereicht

27

Das Diskontieren von Wechseln werden ? — Formel (9) liefert im Fall a)

i' — 1—^^—j- =

0,06: 0,985 = 0,060914 = 6,0914%, im Fall b) i' =

ioo ' T

1

—

3

-

ioö" T

= 0,06: 0,955 = 0,062827 = 6,2827% und im Fall c) i' = 1—

ioo

= 0,06: 0,94 = 0,06383 = 6,383%.

Beispiel 14: Welchen Diskontsatz muß eine Bank beim Wechseldiskontieren anwenden, wenn sie bei einer viermonatigen Laufzeit des Wechsels einen finanzmathematischen Diskontsatz von will? — Nach Formel (10) ergibt sich: 0,0769 = 0)075 =

1 +0,0769 • ^ Die bankmäßige Methode des Wechseldiskontierens läßt sich überhaupt nur bei den kurzen Laufzeiten anwenden, die im Wechselgeschäft in Frage kommen und die kaum jemals — in) 1 Jahr übersteigen. Wie sich aus Formel (7) &0 = ergibt, wird nämlich der Barwert ®0 gleich 0, wenn n = i ist, also z. B. wenn bei einem Diskontsatz von 4% die Laufzeit 25 Jahre beträgt. Ist n größer als —, so kommen sogar negative Barwerte ®0 heraus, der Einreicher müßte in diesem Fall also noch etwas zuzahlen. Es wäre wünschenswert, wenn die Kreditinstitute von der bankmäßigen Methode des Wechseldiskontierens abgingen, die ein störendes Element in den sonst so einheitlichen und in sich geschlossenen Aufbau der Finanzmathematik hineinträgt, weil dadurch die sich aus den Ableitungen zwingend ergebende Gleichheit von Zinssatz und Diskontsatz durchbrochen wird. Dies gibt zu zahlreichen Anomalien Veranlassung. So wird beispielsweise, wenn einem Kreditgeschäft der weithin als Richtsatz betrachtete Diskontsatz der Bundesbank zugrunde gelegt wird, dieser Diskontsatz als Zinssatz behandelt. Im Sinne des bankmäßigen Diskontierungsverfahrens wird das Kreditgeschäft dann aber gar nicht mit dem

28

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

Diskontsatz der Bundesbank, sondern mit einem darunter liegenden Diskontsatz abgewickelt! (Der Leser mache sich klar, daß hier der Fall des Beispiels 14 vorliegt.) Es besteht allerdings wenig Aussicht, daß eine so fest in der Praxis verwurzelte Gepflogenheit des internationalen Kreditwesens zugunsten finanzmathematischer Erwägungen aufgegeben wird. Man pflegt das Ergebnis des bankmäßigen Diskontierens auch als Diskont von 100, das des finanzmathematisch richtigen als Diskont auf 100 zu bezeichnen. Die Errechnung der Wechselsumme nach der bankmäßigen Methode gemäß Formel (8) heißt Diskont in 100. Es empfiehlt sich jedoch nicht, sich diese das Gedächtnis nur unnütz belastenden Ausdrücke einzuprägen, da der Tatbestand, so wie es hier geschehen ist, weit einfacher gekennzeichnet wird. (Über den Zusammenhang der bankmäßigen Methode des Wechseldiskontierens mit der antizipativen Verzinsung vgl. Abschnitt B. 5. S. 52f.) 6. Die Umformungen der Endwertformel

Sind der Endwert Kn und der Barwert K0 unter den bei einer Aufgabe gegebenen Größen, so lassen sich der Zinssatz i oder die Laufzeit n berechnen, indem man zunächst Kn in den Kapital- und den Zinsteil spaltet: Kn = K0 + Zn, also Zn = Kn — K0. Die Zinsen Zn bzw. die Laufzeit n werden dann weiter entsprechend den Formeln (3) bzw. (4) behandelt. Man kann i bzw. n aber auch unmittelbar durch entsprechende Umformung von Formel (5) erhalten. Es ergibt sich aus Kn = K0(l + in) zuerst 1 + in = K

0

oder schließlich

Ist nun n gegeben und i gesucht, so erhält man

^ii^-1)-' ist dagegen i gegeben und n gesucht,

29

Der mittlere Zahlungstermin

Beispiel 15: In welcher Zeit wächst ein mit i = 7% p. a. angelegtes Kapital von 10000DM auf 15000DM an? - Man erhält entweder aus Zn = 15000 - 10000 = 5000 mit Hilfe von

Formel

, n = — 5 0 0 0 , - = 5000 : 700 = Kl ioooo.^ 7,143 Jahre oder mit Hilfe von Formel (12) den gleichen Wert:

«= ^

100

S

(4) n =

-

= T

*

=

6 0 :

7

=

7

'

1 4 3

Y^fi Jahre sind gleich 0,36 • 143 = 51,48 Tage, gleich 1 Monat und 21 Tage. Der Anstieg des Kapitals von 10000 auf 15000 DM erfolgt also in 7 Jahren, 1 Monat und 21 Tagen. 7. Der mittlere Zahlungstermin Wenn eine Schuld K vereinbarungsgemäß in v Teilbeträgen n 2 , . . . , nv Zinsperioden zu be2K,... VK nach jeweils gleichen ist, so ist der Barwert aller Teilbeträge und somit der gegenwärtige Wert der Verpflichtung nach Formel (6) K0 = K K K 1- — . !-•••+ — • Wenn der Schuldner nun 1 +1«! 1 + m2 1 + mv . seine Verpflichtung dadurch erfüllen will, daß er die Summe K = tK + 2K + • • • + VK auf einmal bezahlt, so muß dies, damit dem Vertragspartner kein Nachteil daraus entsteht, zu einem Zeitpunkt n, dem sogenannten „mittleren" Zahlungstermin, geschehen, wo K0 auf K angewachsen ist. E s tK,

muß also ÜT0(1 + in) = K oder K0 = lich sein.

+ 1 + «!

+

1 + Mij

... +

1

^

_ ,Kn+2K 1 + mv

oder schließ+ r + 1 + in

v K

Aus letzterer Gleichung ergibt sich durch Umformung 1 + in =

+ 2 KA + ••• + VK _ , 2 I ... "K 1 -J- iwj 1 + in2 1 + in v

und

weiter

30

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

in -

1K

|

1 + inx 1K

in =

+ ,K+... 1 + in2

oder, da ,K -

'

in

1

iK + tn t

+ 1 -f- l«!.

_

1 + inv

vK

1 + »»„ vK

j, / ' \

= tK ( l 1 -

1•

1

1+

1 + tw2 1

+

'

2K

1 + 1W2+

1 +

'

\K

+ tK + -- + rK~ lK

+ vK | -•- i

\ vni j =

iKini 1 + twj

ist,

1 + inv

+

- - - +

"

K

.

Man erhält somit zur Bestimmung des mittleren Zahlungstermins n die Formel

_ 1 + wx ~~ 1vA 1 + iiij Beispiel 16: Eine

2g»2

n

I

1 + in2 v 2A 1 + in2

VÄW„

,

,

1 + inv K " vA 1 + inv

n„,

/

Schuld ist in 4 Teilbeträgen zu zahlen, von denen der erste im Betrage von 2000 DM nach 1 Jahr, der zweite im Betrage von 3000 DM nach 2 Jahren, der dritte im Betrage von 2500 DM nach 2y 2 Jahren und der vierte im Betrage von 4000 DM nach 3 Jahren fällig sind. Wann kann die Gesamtschuld von 11500 DM durch eine einmalige Zahlung abgetragen werden, wenn 5% Zinsen p. a. gerechnet werden? — Hier ist der mittlere Zahlungstermin n gemäß Formel (13) zu bestimmen. Es ergibt sich: 2000 • 1 , 3000 • 2 2500 -2,5 . 4000 • 3 ns . o2 r ' u1n + n ü0,05-2,5 . ! ! R ' 1 + 0,05-3 1 + 0,05- 1" 1 l1 +n0,05. 2000 3000 2500 4000 1 + 0,05- r ' 1 + 0,0"» • 2 1 + 0,05 - 2.5 ' 1 + 0,05-3 23 349,03 „ „_ T , = lösrä^r = 2'26 Jahre-

Praktische Erleichterungen beim Rechnen

31

Die Zahlung hat also, vom Tage der Vereinbarung an gerechnet, nach 2 Jahren, 3 Monaten und 4 Tagen zu erfolgen. 8. Praktische Erleichterungen beim Rechnen mit einfachen Zinsen

In der Praxis der Kreditinstitute kommt überaus häufig die Aufgabe vor, Zinsen von Kapitalien wechselnder Höhe mit Laufzeiten von weniger als einem Jahr zu berechnen. Zur rascheren Lösung dieser Aufgabe formt man die Zinsformel (1) zweckmäßigerweise etwas um: Man drückt die Laufzeit statt in Jahren in Tagen aus, setzt also, wenn T die T Anzahl der Tage bedeutet, n = -ggQ-- In der so entstehenden Formel Zn = KK an: Zn =

v 1UU V

•T •

T • -^r

obU

ordnet man die Faktoren anders 7)

und führt schließlich, statt mit

zu

multiplizieren, eine Division durch den reziproken Wert von V ~ r aus. Man erhält: obU

Z

- . _ _ K _ .»,.360 _

100

1

•

v

K Man nennt den Ausdruck

• T die Zinszahl, den Ausdruck

360 den Zinsdivisor. Wegen der vielen Teiler der Zahl 360 nimmt der Zinsdivisor für die gebräuchlichen Zinsfüße p meist einfache ganzzahlige Werte an, z. B. P

I 3

13% |33/4I 4 | 4 y 2 | 5 | 6 ]7i/ 2 | 8 ] 9 | 10

Zinsdivisor 1120 1108 | 96 | 90 | 80 | 72 | 60 | 48 | 45 | 40 j 36

Ihren größten Vorzug entfaltet die Zinsberechnung mit Hilfe von Zinszahl und Zinsdivisor, wenn, wie beispielsweise beim Kontokorrent- oder Sparverkehr, ein sich durch Einzahlungen bzw. Abhebungen ständig verändernder Betrag mit dem gleichen Zinssatz verzinst werden soll. Seien

Das Rechnen mit einfachen Zinsen

32

xK, 2K, aK,... ¡K die Werte, die das zu verzinsende Guthaben im Laufe des Jahres annimmt, T2, T3,... Tt die zugehörigen Laufzeiten in Tagen (es ist dann, wenn die Rechnung über ein volles Jahr erstreckt wird, T1 + T2 + Ta + • • • + Tt = 360), so ergeben sich am Jahresschluß nach Formel (la) insgesamt die Zinsen ^

J360

100 oderZ

= ( w ^

2

100

p

+ w

" p

+

•••

+

tK

. 360

100 T

p >

)

w

Man braucht also nur einmal, am Jahresende, die Summe der Zinszahlen zu bilden und durch den Zinsdivisor zu teilen. Es ist hier nicht der Ort, auf die verschiedenen in der Praxis gebräuchlichen Arten von Staffelrechnungen und Kontoabschlüssen einzugehen. Beides wird im kaufmännischen Rechnen und speziell im Bankrechnen behandelt. Auch die weiteren Möglichkeiten, das praktische Rechnen mit einfachen Zinsen zu erleichtern, müssen dort besprochen werden. Hier sei nur kurz erwähnt, daß zu diesen Möglichkeiten neben dem Einsatz von Rechenmaschinen und Spezial-Rechenschiebern die Verwendung von Zinstabellen und von sogenannten Nomogrammen gehört. Letztere sind graphische Darstellungen in der Art von Fig. 1 bzw. Fig. 2 (S. 22), die für gegebene Zinsfüße und Zinszahlen die Höhe der Zinsen abzulesen gestatten. Sie sind natürlich nicht so genau wie Zinstabellen, ermöglichen jedoch ein rascheres Arbeiten. Beispiel 17: Jemand zahlt auf ein mit 4% p. a. verzinsliches Sparkonto am 2. Januar 1000 DM, am 15. Juni 2000 DM und am 1. Oktober 500 DM ein. Welcher Zinsbetrag wird ihm am Ende des Jahres gutgeschrieben, wenn die Wertstellung und damit der Beginn des Zinslaufs der einzelnen Posten jeweils zwei Wochen nach der Einzahlung erfolgen ? — Die Zinszahlen sind hier nacheinander: • 163 = 1630, ~ . iQ6 = 3180

Die Zinseszinsformel

33

und • 76 = 2660, der Zinsdivisor 90. Nach Formel (14) ergibt sich: Z = (1630 + 3180 + 2660): 90 = 7470: 90 = 83,00 DM.

B . Die Zmseszinsrechnung Die im Kapitel A behandelte Rechnung mit einfachen Zinsen betrachtet die Zinsen als neben dem — unverändert gelassenen — Kapital herlaufend. Im Gegensatz hierzu unterstellt die Zinseszinsrechnung, daß nach jeder Zinsperiode die aufgelaufenen Zinsen zum Kapital zugeschlagen und in der folgenden Zinsperiode mitverzinst werden. Während die Rechnung mit einfachen Zinsen nur Zinsen auf Kapital gelten läßt, berücksichtigt die Zinseszinsrechnung auch Zinsen auf Zinsen, Zinsen auf Zinsen von Zinsen usw. Das Inrechnungstellen von Zinseszinsen ist nach § 248 Abs. 1 BGB im Schuldverhältnis zwischen Privaten unzulässig1), dagegen nach Abs. 2 Kreditinstituten usw. gestattet und in deren Praxis üblich. Darüber hinaus ist die Zinseszinsrechnung das optimale Verfahren für alle kredit- und finanztheoretischen Überlegungen (Bewertungen, Kalkulationen, Planungen usw.), weil sie gegenüber dem Rechnen mit einfachen Zinsen eine Reihe von Vorteilen aufweist, wie sich in den folgenden Ausführungen — insbesondere im 2. Abschnitt — zeigen wird. 1. Die Zinseszinsformel Bezeichnet man das zu Beginn des Zinslaufs vorhanden gewesene Kapital mit K0 und das am Ende der ersten Zinsperiode vorhandene, um die Zinsen Zx = K0i vermehrte Kapital mit Kt, so ist K1 nach Formel (5) gleich Z 0 ( l + i), da 1 ) BGB § 248/1: Eine im voraus getroffene Vereinbarung, daß fällige Zinsen wieder Zinsen tragen sollen, ist nichtig. BGB § 248/II/1: Sparkassen, Kreditinstitute und Inhaber von Bankgeschäften können im voraus vereinbaren, daß nicht erhobene Zinsen von Einlagen als neue verzinsliche Einlagen gelten sollen (s.a. H G B J 3 5 5 ) .

3 N i e o l a « , Finanzmathematik

34

Die Zinseszinsrechnung

n = 1 ist. Macht man nun die Voraussetzung, daß die Zinsen am Ende der Zinsperiode nicht abgehoben, sondern daß Zinsen und Kapital während der zweiten Zinsperiode gemeinsam weiter verzinst werden, so ist zur Bestimmung des Endkapitals K2 am Ende der zweiten Zinsperiode in Formel (5) an Stelle des Anfangskapitals K ü das um die Zinsen der ersten Zinsperiode vermehrte Kapital K x als Anfangskapital einzusetzen. Man erhält dann K2 — Kr(l + i), oder, da Kt = K0( 1 + i) ist, K2 = K0( 1 + i) (1 + i). Bezeichnet man nun noch zur Abkürzung den Ausdruck (1 + i) mit r, so ergibt sich für die zuletzt abgeleitete Beziehung, die es gestattet, K2 unmittelbar auf K0 zurückzuführen, die Form K2 = K0-r-r = K0-r\ Man nennt den Ausdruck r = 1 + i = 1 +

den Auf-

zinsungsfaktor. Wegen seiner Wichtigkeit für alle finanzmathematischen Berechnungen ist es unbedingt nötig, sieh die Werte von r, die häufig vorkommenden Zinsfüßen bzw. Zinssätzen entsprechen, soweit einzuprägen, daß man sie sofort niederschreiben kann. So gehört z. B. zum Zinsfuß p = 4 der Zinssatz i = 0,04 und der Aufzinsungsfaktor r = 1,04 usw. Will man umgekehrt das zu einem bestimmten r gehörige p finden, so ziehe man von r die Zahl 1 ab und multipliziere das Ergebnis — den Zinssatz i — mit 100: r

= 1 + i = 1 + -Jjj-, ( r — 1) • 100 = p. Z. B. r = 1,03875,

i = 0,03875, p = 3,875 = 3'/ 8 . Wiederholt man den Schritt, der oben von Kt zu K2 geführt hat, für die dritte Zinsperiode, so muß man in Formel (5) statt K0 nunmehr K2 einführen. Man erhält als Endwert des Kapitals nach 3 Zinsperioden K3 = K2(l + i) = K0 • r 2 ( l + i) = K0 • r2 • r = K0 • r 3 . In Fortsetzung dieses Verfahrens ergibt sich i£ 4 = K0 • r 4 , K& = K0- r 5 , schließlich für das Endkapital Kn nach n Zinsperioden

Die Zinseszinsformel

Kn = K0-r».

35 (15)

Formel (15) ist die sogenannte „Zinseszinsformel", von der ausgehend sich die gesamte Finanzmathematik ableiten läßt. Die Zinseszinsformel (15) hat dieselbe Bedeutung für die Zinseszinsrechnung wie die Formel (1), die Zinsformel, für das Rechnen mit einfachen Zinsen. Hierbei ist jedoch zu beachten, daß die Zinseszinsformel im Gegensatz zur Zinsformel eine Endwertformel ist, inhaltlich also nicht Formel (1), sondern Formel (5) entspricht. Der Endwert Kn, der sich aus Formel (15) ergibt, umfaßt das Anfangskapital K0 samt den Zinsen auf dieses Anfangskapital, den Zinsen auf die Zinsen, den Zinsen auf die Zinsen von den Zinsen usw. Es ist ein den Anfänger immer wieder verblüffendes Ergebnis, daß dieser so überaus kompliziert erscheinende Tatbestand eine so kurze und elegante mathematische Formulierung findet, wie sie Formel (15) darstellt, die in ihrer praktischen Handhabung, wie sich herausstellen wird, noch wesentlich einfacher ist als die entsprechende Formel der einfachen Zinsrechnung Kn = Z 0 ( l + in). Man kann die in (15) enthaltenen Zinsen in einen nur die einfachen Zinsen umfassenden Teil und in einen Teil zerspalten, der Zinseszinsen, Zinseszinseszinsen usw. zusammenfaßt, wenn man den Ausdruck rn = (1 + i)n in die binomische Reihe entwickelt. Man erhält Kn(l + i)n = K0 + K0in + K0 { Q »• + Q i* + • • • + ( M * j )

*»}. Das zweite

Glied auf der rechten Seite dieser Gleichung stellt die einfachen Zinsen, die Summe der folgenden Glieder die zusammengefaßten Zinseszinsen, Zinsen von Zinseszinsen usw. dar. Man sieht aus der Entwicklung, daß — was schon auf Grund der sachlichen Gegebenheiten selbstverständlich ist — die zinseszinsliche Berechnungsweise auf höhere Endwerte führt als die Rechnung mit einfachen Zinsen 1 ). Weil in der Zinses») Für n > 1 ist (1 + in) < (1 + i)n. Vgl. dagegen S. 55. 3*

36

Die Zinseszinsrechnung

zinsformel die Laufzeit n im Exponenten steht (die Zinseszinsfunktion ist eine Exponentialfunktion von n, während der Endwert beim Rechnen mit einfachen Zinsen eine lineare Funktion von n ist, vgl. Fig. 3 und Seite 22), nimmt der Unterschied zwischen den Ergebnissen beider Berechnungsweisen schnell zu, wenn n größer wird. Für sehr lange Laufzeiten können sich zinseszinslich ungeheure, praktisch nicht mehr zu realisierende Endwerte ergeben. Bekannt ist das Beispiel des Pfennigs, der, zu Beginn unserer Zeitrechnung zinseszinslich angelegt, im Jahre 1958 bei einem Zinssatz von 4% p.a. und bei jährlicher Verzinsung auf einen Betrag in DM angewachsen wäre, der einer Zahl mit 32 Stellen entspricht 1 ). Nachstehende Fig. 3 zeigt den Endwert des Kapitals 1000 DM beim Zinssatz i = 4% für einfache Verzinsung und für Zinseszinsen:

Fig. 3 l ) Der Zinssatz spielt hierbei, da i in Formel (15) nicht im Exponenten, sondern in der Basis steht, eine nur untergeordnete Rolle gegenüber der entscheidenden Laufzeit. Auch bei niedrigeren Zinssätzen ist das Ergebnis deshalb außerordentlich hoch, wenn die Laufzeit genügend lang ist.

Die Zinseszinsformel

37

Zum wirklichen Ausrechnen von Kn bedient man sich am besten des Rechenhilfsmittels der Logarithmen, da die Faktoren rn mit zunehmendem n sehr umständlich zu berechnen sind. (Beispielsweise ist für p = 5 r 2 = 1,05 • 1,05 = 1,1025, r3 = 1,05 • 1,05 • 1,05 = 1,157625, r4 = 1,05 • 1,05 • 1,05 • 1,05 = 1,21550625 usw.). Man findet in diesem Fall Kn — wegen log Kn = log K0 + n • log r — als Numerus zur Summe des Logarithmus von K0 und des n-fachen des Logarithmus von r. Wie das Beispiel erkennen läßt, wird die Stellenzahl von rn bei großem n sehr groß. Das Ergebnis der logarithmischen Rechnung kann deshalb nicht völlig genau sein. Es wird jedoch um so genauer, mit je höherstelligen Logarithmentafeln man arbeitet. Für die eigentlichen finanzmathematischen Aufgaben der Bewertung, Kalkulation und Planung ist, im Gegensatz etwa zur banktechnischen Aufgabe des Abschlusses eines Kontos, hundertprozentige Genauigkeit nicht erforderlich. Es genügen deshalb siebenstellige, in vielen Fällen auch schon fünfstellige Logarithmentafeln 1 ). Betrachtet man die Formel (15) Kn = K0- rn, so sieht man, daß sich der rechts stehende Ausdruck aus zwei Faktoren zusammensetzt: aus dem Anfangskapital K0 und aus dem nur vom Zinssatz i und von der Laufzeit n abhängigen Faktor r B . Dies legt den Gedanken nahe, die rn für eine Reihe von gebräuchlichen Zinssätzen und für eine Anzahl von Zinsperioden ein für allemal auszurechnen und in Tabellenform anzuordnen. Man braucht dann nur die betreffende Zahl rn in der Tabelle aufzuschlagen und mit dem gegebenen Anfangskapital zu multiplizieren, um das Endkapital Kn zu erhalten. Dies geht schneller, als die Ausrechnung des ganzen Ausdrucks mittels Logarithmen, zumal wenn eine Rechenmaschine zur Verfügung steht. Derartige „Zinseszinstabel*) Die meisten Logarithmentafeln gehen übrigens zur Erhöhung der Genauigkeit finanzmathematischer Rechnungen in dem zur Bestimmung der r" vorzugsweise in Betracht kommenden Zahlenbereich von etwa 1,0 bis 1,1 über ihre sonstige Stellenzahl hinaus.

38

Die Zinseszinsrechnung

len" gibt es eine ganze Reihe (vgl. Literaturverzeichnis), auch ist im Tabellenanhang auf S. 167 als Tabelle I eine Tabelle der Aufzinsungsfaktoren rn wiedergegeben, die infolge des knappen zur Verfügung stehenden Raumes jedoch nur wenige Zinsfüße und Laufzeiten umfaßt. Die Zinseszinstabellen müssen sich bei der oft sehr großen Stellenzahl der rn ähnlich den Logarithmentafeln mit einer bestimmten festen Stellenzahl begnügen, die bei der im Anhang abgedruckten Tabelle vier Dezimalstellen, bei großen Tabellenwerken acht oder zehn Stellen beträgt. Auch die Zinseszinstabellen gestatten deshalb keine völlige Genauigkeit des Ergebnisses. Man vernachlässige jedoch über der Benutzung finanzmathematischer Tabellen nicht das Üben der unmittelbaren Berechnung mittels Logarithmen. Die Tabellen können immer nur eine beschränkte Zahl von Zinsfüßen und Laufzeiten bringen, die für die finanzmathematische Praxis bei weitem nicht ausreichen. Beispiel 18: Jemand legt 50000 DM zu 4% p. a. bei einer Bank an. Über welches Guthaben verfügt er nach 10 Jahren, wenn die Bank, wie es üblich ist, die anfallenden Zinsen jeweils am Ende jedes Jahres mit dem bis dahin vorhandenen Kapital verrechnet? — Hier ist i = 0,04, r also = 1,04. Formel (15) ergibt, wenn r10 der Tabelle I (S. 167) entnommen wird: K 1 0 = 50000 • 1,4802 = 74010 DM. Bei logarithmischer Berechnung mit fünfstelligen Logarithmen hätte sich ebenfalls ergeben: log Kw = log 50000 + 10 • log 1,04 = 4,69897 + 0,01703 • 10 = 4,69897 + 0,17030 = 4,86927; K10 = num log K10 = 74010 DM. Bei Unterstellung einfacher Zinsen erhält man nach Formel (5) Z 1 0 = 50000 (1 + 10 • 0,04) = 50000 • 1,4 = 70000 DM. Das zinseszinsliche Endkapital Kl0 = 74010 DM setzt sich also aus dem Anfangskapital 50000 DM, den einfachen Zinsen 20000 DM und den Zinseszinsen 4010 DM zusammen.

Die umgekehrte Aufgabe, nämlich das Anfangskapital K0 zu finden, das, zinseszinslich angelegt, nach n Zinsperioden auf das gegebene Endkapital Kn anwächst, wird durch ent-

Die Zinseszinsformel

39

sprechende Umformung von Formel (15) gelöst. Nach (15) ist K„ = K0- rn, also =

(16)

Nach den Regeln des Rechnens mit Potenzen kann man für — = Kn • ^ auch X n ^ j " schreiben. Da die Operation der Bestimmung des Barwerts aus dem Endwert „Abzinsen" genannt wird (vgl. S. 22), bezeichnet man den Faktor j , also den reziproken Wert des Aufzinsungsfaktors r, häufig auch als Äbzinsungsfaktor und gibt ihm als besonderes Symbol den Buchstaben v. Mit Hilfe dieser abgekürzten Schreibweise läßt sich Formel (16) in folgender Gestalt darstellen: K0 = Kn-vn. Um das Gedächtnis des Lesers nicht zu überlasten, soll von dieser Schreibweise der Formel (16) und überhaupt vom Symbol v nur gelegentlich neben der Schreibweise — Gebrauch gemacht werden. Zur praktischen Auswertung von Formel (16) können wieder Logarithmen herangezogen werden. Es ist log K0 = hgKn — n • log r. Man findet also K0 als Numerus der Differenz des Logarithmus von Kn und des n-fachen des Logarithmus von r. Außerdem setzt sich die rechte Seite von (16) wie bei der Endwertformel (15) aus zwei Faktoren zusammen, von denen der zweite, der Ausdruck ^ ¿ j

= vn nur vom Zinsfuß p

und von der Laufzeit n abhängt, also ähnlich wie die Potenzen des Aufzinsungsfaktors r tabellarisch dargestellt werden kann. Die Zinseszinstabellen enthalten deshalb stets auch eine besondere Tabelle der Abzinsungsfaktoren vn, die die Berechnung des zinseszinslichen Barwerts wesentlich erleichtert, da sie die sonst nötige Division (Endwert durch Aufzinsungsfaktor geteilt) durch die einfachere Multiplikation (Endwert mal Äbzinsungsfaktor genommen) zu ersetzen ge-

40

Die Zinseszinsrechnung

stattet. Der Tabellenanhang bringt als Tabelle I I auf S. 168 eine kurzgefaßte Übersicht von Abzinsungsfaktoren. Die Werte der Tabelle II gehen aus den Werten der Tabelle I hervor, indem man die Zahl 1 durch letztere teilt und umgekehrt (symbolisch geschrieben: II = j bzw. I = Der Endwert eines Kapitals ist bei zinseszinslicher Berechnung größer als beim Inrechnungstellen einfacher Zinsen. Deshalb führen Zinseszinsen zu niedrigeren Barwerten als einfache Zinsen. Beispiel 19: Ein in 20 Jahren fälliges Kapital von 50000 DM hat heute bei Berechnung mit 4y 2 % Zinseszinsen den Wert Ka nach Formel (16): a)

= ^

=

20732DM oder

K0 = Iin • v" = 50000 • 0,41464 = 20732 DM. b) Bei logarithmischer Berechnung ergäbe sich log K0 = log Kn u log r = 4,69897 - 20 • 0,019116 = 4,31665; K 0 = 20732 DM. c) Wären an Stelle der Zinseszinsen nur einfache Zinsen vereinbart worden, so wäre der Wert K 0 nach Formel (6) K0 = „ K n

1 + in

= 50000 :1,9 = 26316 DM. Der Unterschied

gegenüber der zinseszinslichen Berechnung beträgt 5584 DM. 2. Die Hauptsätze der Zinseszinsrechnung

Nach den Regeln des Rechnens mit Potenzen gilt, wenn n = nx -f n2 + n3 + • • • + nv, rn = rni + n*+n>+--- + nv = rn' . r n 2 . r n a . . . . r n v _ j j a n sieht hieraus, daß man das Aufzinsen (und wegen v = — auch das Abzinsen) durch Zerlegung des Aufzinsungs- bzw. Abzinsungsfaktors in beliebig viele Stufen zerlegen kann; das Ergebnis bleibt stets das gleiche. Auf diese Weise lassen sich auch die End- und Barwerte für längere, in den Zinseszinstabellen nicht mehr enthaltene Lauf-

Die Hauptsätze der Zinseszinsrechnung

41

zeiten durch Zusammensetzung gewinnen. So kann man, um den Endwert nach zwanzig Jahren zu erhalten, ein Kapital zunächst um zehn und dann nochmals um zehn Jahre aufzinsen usw. In der Potenzrechnung definiert man ferner Potenzen mit negativen Exponenten durch die Festsetzung r~" =

(In

Worten: eine Potenz mit negativem Exponenten ist gleich dem reziproken Wert derselben Potenz mit positivem Exponenten.) Unter Benutzung dieser Definition kann man die Barwertformel

(16) K0 = Kn--~

auch

folgendermaßen

n

schreiben: K0 = Kn- r~ und erkennt, daß die Endwertformel (15) und die Barwertformel (16) bis auf die Vertauschung von Kn und K0 und bis auf das Vorzeichen von n übereinstimmen; sie sind nur verschiedene Fassungen ein und derselben Zinseszinsformel. Auf- und Abzinsen geschieht bei der Zinseszinsrechnung durch die gleiche Rechenoperation, nur die Richtung ist verschieden: Beim Aufzinsen, also bei der Berechnung des Kapitalwerts zu einem späteren Zeitpunkt als dem gegebenen, ist n positiv zu nehmen, beim Abzinsen, also bei der Berechnung des Kapitalwerts zu einem früheren als dem gegebenen Zeitpunkt, ist n negativ zu nehmen. In Verbindung mit der schon erwähnten Möglichkeit des Zerlegens des Auf- und Abzinsens in Stufen ergibt sich als wesentlicher Vorteil der Zinseszinsrechnung, den beispielsweise das Rechnen mit einfachen Zinsen nicht hat: Von welchem Wert des Kapitals man auch ausgeht, ob vom Anfangsoder vom Endkapital, und in wieviel Schritten, vor- oder rückwärts, uhd in welcher Reihenfolge man die Rechnung ausführt, man erhält für den gleichen Zeitpunkt stets den gleichen Wert. Beispiel 20: Bei 5%iger Verzinsung wachsen 10000 DM in 6 Jahren auf 10000 • 1,05 5 = 10000 • 1,2763 = 12763 DM an.

42

Die Zinseszinsrechnung Auf denselben Wert kommt man, wenn man zunächst um 3 Jahre auf 10000 • 1,05 3 = 10 000 • 1,1576 = 11576 DM und dann um weitere 2 Jahre auf 11576-1,05 2 = 11576 • 1,1025 = 12763 DM aufzinst, oder zunächst um 3 Jahre auf 10000 • — = 10 000 • 0,8638 = 8638 DM abzinst und anschließend um 8 Jahre auf 8638 • 1,05» = 8638 • 1,4775 = 12763 DM aufzinst. Wenn mit einfachenZinsen gerechnet wird, würden sich nach Formel (5) bzw. (6) dagegen drei verschiedene Beträge ergeben, nämlich 10 000 • (1 + 0,25) = 12 500DM, 10000 (1 + 0,15) ( 1 + 0 , 1 0 ) = 12650 DM und 10000-

1,4 = 12173 DM.

Auf Grund des geschilderten Tatbestandes lassen sich nun folgende für die Zinseszinsrechnung und damit für die gesamte Finanzmathematik grundlegende Sätze aussprechen: Die gegebene Höhe eines Geldbetrages heiße sein Nominalbetrag oder Nennwert, der auf einen bestimmten Termin bezogene Wert dagegen sein Zeitwert. Der Zeitwert ist nur am Tage der Anlage (bzw. Zahlung bzw. Fälligkeit) des Geldbetrages gleich dem Nominalbetrag. Vor bzw. nach diesem Tage hat der Geldbetrag durch die Verzinsung einen anderen, vom Nominalbetrag abweichenden Zeitwert, und zwar ist der Zeitwert nach dem Anlagetermin höher als der Nominalbetrag und wird nach der Endwertformel (15) bestimmt, vor dem Anlagetermin ist er niedriger und wird nach Formel (16) bestimmt. Man kann sich diese Gedankengänge durch ein der Physik entlehntes Bild noch deutlicher machen 1 ): Man denke sich ein „Verzinsungsfeld" gegeben (d. h. ein Gebiet, in dem „Verzinsung herrscht"). Die Richtung dieses Verzinsungsfeldes wird durch die Zeitgerade bestimmt, die zeitlich nach beiden Seiten ins Unendliche sich erstreckend gedacht wird. Dann gilt: Jeder Geldbetrag nimmt, wenn er in das Verzinsungsfeld eingebracht und damit finanzmathematischer Behandlung Es ist dem Leser dringend anzuraten sich mit dieser Darstellungsweise vertraut zu machen, da sie alles Folgende sehr erleichtert.

Die H a u p t s ä t z e der Zinseszinsrechnung

43

unterworfen wird, Zeitwerte an. Der Zeitwert ist nur im Zeitpunkt der Einbringung in das Verzinsungsfeld, der dem Zeitpunkt der Anlage (Zahlung, Fälligkeit usw.) entspricht, gleich seinem Nominalbetrag. Der Zeitpunkt des Einbringens in das Verzinsungsfeld ist der Nullpunkt der Zeitgeraden. Jede Verschiebung in Richtung eines anderen Zeitpunktes im Verzinsungsfeld verändert den Zeitwert. Die verschiedenen Zeitwerte können mit Hilfe der Zinseszinsformel errechnet werden und hängen nur von der Höhe des im Verzinsungsfeld angenommenen Zinsfußes und von ihrem zeitlichen Abstand vom Einbringungstermin (dem Nullpunkt der Zeitgeraden) ab 1 ). Dagegen ist ein Zeitwert unabhängig davon, auf welchem Wege oder Umwege und nach wieviel Schritten man zu ihm gelangt. Um zu verschiedenen Zeitpunkten angelegte (gezahlte, fällige) Geldbeträge wertmäßig miteinander vergleichen zu können, muß man sie zunächst durch entsprechendes Aufbzw. Abzinsen auf ein und denselben Zeitpunkt beziehen. Dieser Vergleichszeitpunkt kann an und für sich beliebig gewählt werden, da bei gleichem Zinsfuß das Verhältnis der Zeitwerte in jedem beliebigen Zeitpunkt das gleiche ist. Stimmen auf den gleichen Zeitpunkt bezogene Zeitwerte von zu unterschiedlichen Terminen fälligen Geldbeträgen übercin, so sind die Geldbeträge gleichwertig (äquivalent), auch wenn ihre Nominalbeträge differieren. Der letztgenannte Satz heißt „Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik". (Er schließt, wovon sich der Leser überzeugen möge, die vorher genannten Sätze ein.) Nachstehende Zeichnung (Fig. 4) soll das soeben Ausgeführte illustrieren. Auf Grund des Äquivalenzprinzips muß beispielsweise ein Anfang 1971 fälliger Betrag, um mit einem Betrag verglichen 1 ) Wegen des Einflusses der Zahlungsweise der Zinsen ist dieser Abstand in Zinsperioden zu messen (vgl. auch Abschnitt 3, S. 45fT.).

Die Zinseszinsrechnung

44

werden zu können, der bereits Anfang 1968 fällig ist, um 3 Jahre abgezinst werden. Unterstellt man, daß beide Beträge gleich sind (nämlich gleich K), so ist also der Zeitwert gegebener Betrag

-Zeitgerade

/Inlagetermin

Zeitgerade-

Fig. 4

des später fälligen zum Fälligkeitstermin des früher fälligen gleich K - r~3 = K--^.

Man kann dieses Ergebnis verallge-

meinern zu dem Satz: Ein Kapitalist um so weniger wert, je später es zahlbar ist, und um so mehr wert, je früher es zahlbar ist. Beispiel 21: Es seien zu vergleichen die Forderung A = 6000 DM, fällig am 1.1.1960 und die Forderung B = 10000 DM, fällig am 1.1.1970. Der Zinssatz sei 5%. Am 1.1.1960 hat A den Wert 6000 DM, B den Wert 10000 • ( j ^ ) " = 6139,13 DM. B ist also 1,023 mal soviel wert wie A. — Dieses Wertverhältnis der beiden Forderungen bleibt zu jedem Termin das gleiche. Z.B.ist am 1.1.1957 A = 6000 • ( y ^ ) 3 = 5183,03DM, B = 10000 • ( y l - ) " = 5303,21 DM, A: B also gleich 1:1,023. Am 1.1.1980 ist A = 6000 • 1,0520 = 15919,79 DM, B = 10000 • 1,0510 = 16288,95 DM, A : B = 1:1,023 usw.

45

Unterjährige Zinszahlung 3. Unterjährige Zinszahlung

In den Beispielen 18 bis 21 ist angenommen worden, daß die Länge der Zinsperiode ein Jahr beträgt. Selbstverständlich bleiben die Ausführungen aber auch gültig, wenn Zinsperioden von anderer Länge vereinbart sind. In der Praxis kommen nur Zinsperioden vor, die gleich einem Jahr oder kürzer als ein Jahr sind. Die Länge der Zinsperioden ist für die Zinseszinsrechnung im Gegensatz zur Kechnung mit einfachen Zinsen von großer "Wichtigkeit, da sie die Zeitabschnitte festlegt, nach denen jeweils eine Verrechnung der Zinsen mit dem Kapital und anschließende Mitverzinsung stattfindet. Wenn z. B. halbjährliche Zinszahlung vereinbart ist, so werden die Zinsen schon nach einem halben Jahr zum Kapital zugeschlagen und während des zweiten halben Jahres mitverzinst. Es ist klar, daß der Endwert in diesem Fall größer ist, als wenn die Verrechnung nur am Ende jedes Jahres erfolgte. Unterjährige Zinszahlung führt also bei sonst gleichen Bedingungen zu höheren Kapitalwerten (und umgekehrt natürlich zu niedrigeren Barwerten) als jährliche Zinszahlung. Und zwar ist — bis zu einer gewissen Grenze (vgl. weiter unten) — der Endwert um so höher und der Barwert um so niedriger, je kürzer die zugrunde liegenden Zinsperioden sind. Werden beispielsweise Zinsperioden von der Länge eines m-ten Teiles eines Jahres vereinbart, so liegen innerhalb eines Zeitraums von n Jahren m • n Zinsperioden. Ist i der nominelle Jahreszinssatz, so ist der auf die Zinsperiode bezogene effektive Zinssatz (vgl. S. 48ff.) gleich-^-. Nach Formel (15) ist dann der Endwert des Kapitals K0 nach n Jahren oder mn Zinsperioden

( + -sr) ,'

1

\

mn

>

(1?)

Die Zinseszinsrechnung

46

nach Formel (16) der Barwert des Kapitals Kmn vor n Jahren oder mn Zinsperioden *o = T - ^ T T W -

Der Ausdruck

(18)

+ -^-j in Formel (17) bzw. (18) entspricht

dem Aufzinsungsfaktor r = (1 + i) bei unterjähriger Verzinsung. E r wird deshalb in der Folge auch mit be~m zeichnet werden, wobei der Index •— darauf hinweisen soll, m daß er mit dem m-ten Teil des Jahreszinssatzes zu bilden ist. Verkleinert man die Zinsperioden, so wird m in Formel (17) größer und damit auch, wie bereits erwähnt, Kmn. Doch kann dabei einen festen Wert nicht überschreiten, der bei sogenannter Augenllicksverzinsung oder kontinuierlicher Verzinsung erreicht wird. Die Augenblicksverzinsung setzt unendlich kleine — in der Praxis sehr kleine — Zinsperioden voraus. Läßt man nämlich in Formel (17) m sehr groß werden (es genügt dabei der Einfachheit halber n = 1 zu setzen, also den Endwert nach einem Jahr zu betrachten), so wird — sehr klein, und man erhält aus Formel v(17) durch Grenzm ' i \ m .... —

( ... . _

H

m

'

1

= K0 • e \ worin

e die Wachstumskonstante ist, die allgemein als Basis des sogenannten „natürlichen" Logarithmensystems bekannt ist; also eine feste, wenn auch irrationale und deshalb stets nur näherungsweise anzugebende Zahl. (Auf 7 Stellen genau ist e = 2,7182818). Bei Augenblicksverzinsung ergibt sich also Km = K0- ei oder als Endwert nach n Jahren: Kn = K o - e i n

(19)

47

Unterjährige Zinszahlung

In der Praxis wird der Grenzwert, der durch weitere Verkürzung der Zinsperioden nicht überschritten werden kann, im allgemeinen nicht erst bei Augenblicksverzinsung im wörtlichen Sinne, sondern schon bei Zinsperioden von zwar kurzer, einen Augenblick jedoch erheblich übersteigender Länge erreicht. Für mathematisch genügend vorgebildete Leser sei nachstehend die Ableitung von Formel (19) in extenso gebracht: Es ist, wenn man in die binomische Reihe entwickelt,

hir^+m+im'+m'+^ -14-14-

~

+

h( h

- ~

4-

< L 4 -

^ 1-2-h" ^ 1-2- 3 -hs b? - h h3 - Sh? + 2h 2lh2 + 3! h3

+

Läßt man hierin oo gehen, so werden alle Brüche, in deren Nenner eine Potenz von h steht, zu 0. Man erhält al-lim

(l +

= 1 + ^

+ i

+ i

+ * **• Ke

rechts stehende Reihe ist konvergent zum Werte e, d. h. es ist lim ( 1 + T - ) = e. Man betrachtet nun den Ausa->» \ hl \ ffl ¿ 1 1-1 und setzt darin — = t - , also m = ih: mj

m

h '

dann geht m mit h zusammen gegen oo, und es ist

D'f

lim (1 + -¡r) | = e* w. z. b. w. Beispiel 22: Auf welchen Betrag wichsen 100000 DM zum Zinssatz 12% p.a. in 10 Jahren an, wenn die Verzinsung a) jährlich, b) halbjährlich, c) vierteljährlich, d) monatlich, e) täglich und f) kontinuierlich erfolgt? — Lösung zu a):

Die Zinseszinsrechnung

48

K 1 0 = K 0 (1 + i ) w = 100000 • 1,12 10 = 100000 • 3,105848 = 310584,80 DM. Lösung zu b): Kw = K0 ( l + j f = 1000001,06 20 = 100000 - 3,207135 = 320713,50 DM. Lösung zu c): K i 0 = K 0 ( l + j ) 4 ° = 100000 • 1,03 40 = 100000 • 3,262038 = 326203,80 DM. Lösung zu d): Z 1 2 0 = K 0 ( l +

=

100000-1,Ol 120 = 100 000 • 3,300411 = 330041,10 DM. Lösung zu e): X 3 6 0 0 = K0 ( l + • ¿ ) 3 6 ° ° = 100000 • 1,0003338°° = 1 0 0 0 0 0 - 3 , 3 1 9 0 4 = 331904 DM. Lösung zu f): Formel (19) gibt logarithmiert log Kn = log K0 + in • log e. Den log e findet man in allen Logarithmentafeln. Er ist auf sieben Stellen gleich 0,4342945. Man erhält log K n = 5,0000000 + ~ • 10 • 0,4342945 = 5,521 1534; Kn = num log Kn = 332012 DM. Die Unterschiede der Endwerte bei jährlicher, halbjährlicher, vierteljährlicher, täglicher und kontinuierlicher Verzinsung betragen nacheinander 10128,70 DM, 5490,30 DM, 3837,30 DM, 1862,90 DM und 108 DM. Tägliche Verzinsung nähert sich also schon sehr stark dem Grenzfall der Augenblicksverzinsung. 4. Konforme Zinssätze Unterjährige Zinszahlung führt, wie in Abschnitt 3 festgestellt, zu höheren Kapitalendwerten und zu niedrigeren Kapitalbarwerten als jährliche Zinszahlung. Dies zeigt, daß in Wirklichkeit bei unterj ähriger Zinszahlung per annum mehr Zinsen aufgebracht werden müssen als der betreffende Jahreszinsfuß angibt. So wächst z. B. ein Kapital von 100 DM zu 6 % p. a. bei halbjährlicher Verrechnung in einem Jahr auf 106,09 DM an. Auf letzteren Wert wäre man auch gekommen, wenn man 100 DM mit dem jährlich zahlbaren Zinssatz 6,09 aufgezinst hätte. Man nennt i' — 6 , 0 9 % den „wirklichen" oder effektiven Jahreszinssatz, der dem „nominellen", halbjährlich zahlbaren Jahreszinssatz 6 % p. a. konform ist, d. h. dieselbe Wirkung hervorbringt 1 ). *) „Nominell" heißt der Zinssatz i, weil er nur „dem Namen n a c h " in der Rechnung erscheint, „effektiv", d. h. wirklich in der Rechnung verwendet wird

i

entweder der Zinssatz — oder der konforme Jahreszinssatz i' m

Konforme Zinssätze

49

Um den zu einem beliebigen nominellen, unterj ährig zahlbaren Jahreszinssatz i konformen effektiven Jahreszinssatz i' zu erhalten, kann man folgendermaßen vorgehen: Der jährlich zahlbar gedachte Zinssatz i' soll bei sonst gleichen Bedingungen auf den gleichen Kapitalendwert führen wie der gegebene

jährlich zahlbare Zinssatz i. Man braucht des-

halb den mit dem Zinssatz i' nach Formel (15) errechneten Kapitalendwert Kn nur gleich dem mit dem Zinssatz ~ nach Formel (17) errechneten Kapitalend wert Kmn zu setzen und die entstandene Gleichung nach i' aufzulösen. Dies gibt / \n / i \mn isT0(l + i' I = -KQ(1 + —J > oder, wenn man auf beiden Seiten durch K0 dividiert und die n-te Wurzel zieht: % \ in 1 + — I oder schließlich

(

(2o) M ^ i r - 1 Der effektive Jahreszinssatz ist also stets höher als der ihm konforme nominelle Jahreszinssatz, und zwar ist die Differenz um so größer, in je kleineren Abständen der nominelle Zinssatz gezahlt wird. Die vorstehend immer auf jährliche und unterjährige Zinszahlung abgestellten Ausführungen gelten analog selbstverständlich auch, wenn statt des Jahres eine Zinsperiode anderer Länge angenommen wird und diese Zinsperiode mit kürzeren Zinsperioden verglichen werden soll. So errechnet sich beispielsweise der zum halbjährlichen, vierteljährlich zahlbaren Zinssatz 3% konforme effektive Halbjahreszinssatz

V nach Formel (20) mit ¿' = (l + -Jg- • y ) * — 1 = 1,0152 — 1 = 0,030225 = 3,0225%. Aus der Herleitung der Formel (20) folgt, daß man den End- oder Barwert eines Kapitals sowohl mit dem unter4 N i c o l a s , Finanzmathematik

50

Die Zinseszinsrechnung

jährigen Zinssatz ~ als auch mit dem konformen Jahreszinssatz i' berechnen kann. Gewöhnlich ist aber der meist unrunden konformen Zinssätze wegen die Berechnung mit bequemer. Die große Bedeutung der konformen Zinssätze für die Finanzmathematik liegt auf einem anderen Gebiet: Kreditgeschäfte, deren Zinszahlungsbedingungen unterschiedlich sind, können erst dann miteinander verglichen und damit bewertet werden, wenn die Bedingungen durch Umrechnung auf Zinsperioden gleicher Länge vergleichbar gemacht worden sind. Als Vergleichsperiode ist an und für sich jede beliebige Zinsperiode geeignet. Doch empfiehlt sich aus praktischen Gründen das Jahr. Beispiel 23: a) Auf welchen Betrag wachsen 20000 DM zu 6% p.a., halbjährlich zahlbar, in 5 Jahren an? Welchen Wert hatte diese Summe vor 5 Jahren ? — Hier kann man entweder direkt nach Formel (17) bzw. (18) oder durch Umrechnen des gegebenen nominellen in den konformen effektiven Jahreszinssatz i' = ( l + ~ - ) 2 - 1 = 0,0609 = 6,09% und Einsetzen in Formel (15) bzw. (16) verfahren. Ergebnis für a) K2-S = 20000 ( l + -M?.) 2 ' 5 = 26878DM oder 20000-1.0609 5 = 26878 DM, für b)

=

^ ^ T o ^ . - r = 14882 DM oder

= W = 1 4 8 8 2 DM" Gelegentlich ist auch die zur vorstehenden inverse Aufgabe zu lösen: Es ist der in m gleichen unterjährigen Abständen zahlbare nominelle Jahreszinssatz i zu finden, der dem gegebenen effektiven Jahreszinssatz i' entspricht. Man i \ ( 1 + —)

m

m

1 + — = ]/l + m

'

.

m

-- = l / l + m

i = m m

V

— i' + 1,

— 1 oder x

+ i' — 1).

(21)

Konforme Zinssätze

51

Beispiel 24: Dem effektiven Jahreszinssatz i' = 1 0 % entspricht der vierteljährlich zahlbare nominelle Jahreszinssatz i =

+ 0,10 -

l ) = 4 (1,024114 — 1) = 0,096456 =

9,6456%. (Beim logarithmischen Rechnen hat man zunächst 4 den log ]/l + 0,10 = % log 1,10 = y 4 • 0,0413927 = 0,0103482 zu bilden und dann den Numerus dieses Logarithmus zu bestimmen.) F ü r Augenblicksverzinsung gehen Formeln (20) bzw. (21) in (20*) i' =e'

— l bzw. (21*) i = ^ V ^

^

über-

Formel

(20*) dient der Errechnung des konformen effektiven Jahreszinssatzes i', wenn i der nominelle Jahreszinssatz bei kontinuierlicher Zinsverrechnung ist, Formel (21*) der Errechnung des kontinuierlich zahlbaren nominellen Jahreszinssatzes i, wenn der jährlich zahlbare Zinssatz i' gegeben ist. Man nennt den nominellen kontinuierlich zahlbaren Jahreszinssatz i, der dem effektiven jährlichen Zinssatz i' konform ist, auch die Zinsintensität. Der effektive Zinssatz i' gibt a) effektive Jahreszinssätze i' in % Zahlungsweise der Zinsen halbjährlich . vierteljährlich . monatlich . . kontinuierlich

. . . .

m . . . .

2 4 12 OO

N jminelle r Jahre izinssati i 3%

3 y2%

4%

W2%

5%

3,0225 3,0339 3,0416 3,0455

3,5306 3,5462 3,5567 3,5620

4,0400 4,0604 4,0742 4,0811

4,5506 4,5765 4,5940 4,6028

5,0625 5,0945 5,1162 5,1271

b) nominelle Jahreszinssätze i in % Zahlungsweise der Zinsen halbjährlich . vierteljährlich. monatlich . . kontinuierlich 4*

. . . .

m . . . .

2 4 12 OO

Ef 'ektiver Jahres; unssatz 3%

3y2%

2,9778 2,9668 2,9595 2,9559

3,4699 3,4550 3,4451 3,4401

%'

4%

4 X /2%

5%

3,9608 3,9414 3,9285 3,9221

4,4505 4,4260 4,4098 4,4017

4,9390 4,9089 4,8889 4,8790

52

Die Zinseszinsrechnung

im Falle kontinuierlicher Verzinsung die größte Wirkung an, die sich aus dem gegebenen Zinssatz i durch Verkleinerung der Zinsperioden herausholen läßt. Auf Seite 51 sind eine Reihe nomineller und effektiver Zinssätze einander gegenübergestellt. 5. Antizipative Zinsen

Mit Hilfe konformer Zinssätze läßt sich die S. 10 erwähnte antizipative Zahlungsweise der Zinsen auf die in diesem Band sonst stets — mit Ausnahme von Abschnitt D. 7. (S. 114ff.) — vorausgesetzte heute fast allein übliche dekursive Zinszahlung zurückführen. Bei antizipativer Verzinsung erfolgt die Zinszahlung am Anfang statt am Ende der Zinsperiode. Um den antizipativen Zinssatz i mit dem dekursiven Zinssatz i vergleichen zu können, muß man letzteren deshalb um eine Zinsperiode abzinsen. Man erhält mit Hilfe der Barwertformel • i / 99 x i - yqpf W oder nach i aufgelöst

i =

.

(23)

Die Formel (23) gestattet, jede Aufgabe der Zinseszinsrechnung, bei der antizipative Zinszahlung unterstellt wird, durch das für dekursive Zinszahlung entwickelte Verfahren zu lösen, indem der gegebene antizipative Zinssatz i durch den konformen dekursiven Zinssatz i ersetzt wird. Führt man beispielsweise in die Endwertformel Kn = K 0 (1 + i)n der Zinseszinsrechnung gemäß Formel (23) den dem gegebenen antizipativen Zinssatz i konformen dekursiven Zinssatz i =

' . ein, so erhält man Kn = KJl

+

(23 a) (23 b)

53

Gemischte Zinsen

Mit Hilfe der Formeln (23 a) bzw. (23 b) kann man den zinseszinslichen End- bzw. Barwert unmittelbar aus dem gegebenen antizipativen Zinssatz i errechnen, ohne erst den konformen deduktiven Zinssatz i bestimmen zu müssen. Für n = 1 ergibt sich aus (23 b) Ii0 = Kj. (1 — i) = Kx — /ijt, d. h. bei antizipativer Verzinsung erhält man den Zeitwert eines Kapitals zum Jahresbeginn, indem man vom Zeitwert zum Jahresende die auf den Jahresendwert bezogenen antizipativen Zinsen abzieht. Wendet man diese Überlegung auf Laufzeiten von weniger als einem Jahr an, so folgt daraus die S. 24ff. geschilderte bankmäßige Methode des Wechseldiskontierens, die wie daselbst erwähnt, dadurch aus dem Rahmen der Finanzmathematik fällt, daß sie für längere — allerdings in der Praxis des Wechseldiskontierens nicht vorkommende — Laufzeiten nicht anwendbar ist, und daß dabei das Verhältnis zwischen i und i nicht nur von diesen Größen selbst, sondern auch noch von der Laufzeit abhängt. Beispiel 25: Auf welchen Betrag wächst eine Forderung über 10000 DM in 12 Jahren an, wenn bei vorschüssiger Zinszahlung ein Zinssatz von 5% p. a. vereinbart wird ? — Hier ist der antizipative Zinssatz i = 5% gegeben. Um Formel (15) benutzen zu können, muß man zunächst i mit Hilfe von Formel (23) in den konformen dekursiven Zinssatz i =

= 5,263%

1

verwandeln. Ergebnis: 10000- 1,05263 12 = 18506^18 DM oder man rechnet nach Formel (23 a) unmittelbar

10000 (1-0,05^

10000

1QKnclQTlM 1 8 5 0 6 4 8 DM

"

6. Gemischte Zinsen

Die Zinseszinsformeln (15) bzw. (16) gelten ihrer Herleitung nach nur für Laufzeiten, die aus einer ganzen Zahl von Zinsperioden bestehen. Denn da die Zinsen erst am Ende jeder Zinsperiode zum Kapital zugeschlagen und anschließend mitverzinst werden, können innerhalb einer

54

Die Zinseszinsrechnung

Zinsperiode keine Zinseszinsen entstehen. Soll der Endwert eines Kapitals zu einem Zeitpunkt bestimmt werden, der innerhalb einer Zinsperiode liegt, so ist deshalb die Zinseszinsrechnung am Ende der letzten ganzen Zinsperiode abzubrechen. In dem Ergebnis sind sodann die dem gegebenen Bruchteil der nächsten Zinsperiode entsprechenden einfachen Zinsen hinzuzufügen. Man nennt dieses Verfahren das Rechnen mit gemischten Zinsen. Es sei nun eine Laufzeit n gegeben, die aus einer gemischten Zahl, d. h. aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht. Die größte in n enthaltene ganze Zahl werde mit N bezeichnet, der nach Ausführung der Substraktion (n — N) übrigbleibende Rest mit t1). Dann ist der Endwert des Kapitals K0 nach N Zinsperioden gemäß Formel (15) KN = K0 • rN. Zu diesem Wert sind die einfachen Zinsen von i f y f ü r die restliche Laufzeit ¿gleich K$it = K0 • rN • i • t hinzuzufügen. Man erhält als gesuchten Endwert KN: Kn = K0rN + K0rNit oder Kn = K0rN (1 + it). (24) Zur Ermittlung des Barwertes bricht man die zinseszinsliche Rechnung zu Beginn der ersten ganzen Zinsperiode ab. Man erhält durch Umformung von Formel (24) _ Kn _ Kn vN v - rN(l + ü) ~ 1 + i f Durch die Einführung einfacher Zinsen geht man bei der Rechnung mit gemischten Zinsen des Vorteils verlustig, der einer der Hauptvorzüge der Zinseszinsrechnung ist (vgl. S. 40): Ii [an kann die Laufzeit nicht mehr in beliebige Teile zerlegen und Auf- und Abzinsen wahlweise vornehmen. Dies bedeutet, daß man, wenn die Laufzeit innerhalb einer Zins1 ) t ist stets in Bruchteilen der der Rechnung zugrunde liegenden Zinsperiode auszudrücken. Sind z. B. die Zinsperioden Jahre und als Bruchteil sind

T Tage gegeben, so ist t =

T

860

M

zu setzen, f ü r M Monate entspricht t = -zz— Sind

die Zinsperioden Halbjahre, so gilt t =

T 180

=

M 6

12

usw. (Vgl. auch Kapitel A).

Gemischte Zinsen

55

periode beginnt und auch innerhalb einer anderen Zinsperiode endet, vom Anfang der Laufzeit bis zum Anfang der ersten vollständigen Zinsperiode mit einfachen Zinsen, dann für die in der Laufzeit enthaltenen ganzen Zinsperioden zinseszinslich und vom Ende der letzten vollständigen Zinsperiode bis zum Ende der Laufzeit wieder mit einfachen Zinsen rechnen muß. E s ist also Formel (24) auf — da es auf die Reihenfolge der Faktoren im Produkt nicht ankommt — Kn = K0rN (1 + i i j (1 + iQ, Formel (25) d i e K ° = rN(l + ü-)(l WOTin + ü2) ZU erWeitern' Zeit bis zum Beginn der ersten vollen Zinsperiode, t2 die Zeit nach Ende der letzten vollen Zinsperiode bedeutet, beides in Bruchteilen einer Zinsperiode ausgedrückt. Beispiel 26: Ein Kapital von K0 = 15000 DM wird am 18. Juli 1967 bei einem Kreditinstitut angelegt, das 4 % p. a. vergütet. Auf welchen Betrag ist das Kapital am 20. April 1974 angewachsen, wenn die Zinsverrechnung jeweils am Jahresende er-

ailf

folgt ? — Hier besteht die Laufzeit n aus = —^ Jahren bis zum Jahresende 1967, aus N = 6 Jahren von 1968 bis 1973 einschließlich und aus t2 = Jahren vom Jahresanfang 1974 bis zum 20. April 1974. Man erhält *„ = 15000-i,0*(i

+

1

i

r

i £ ) ( i

+

1

i

r

i £ ) .

= 15000 • r 6 • 1,018 • 1,0122 = 19557,10 DM. Die Rechnung mit gemischten Zinsen ist, wie man sieht, sehr umständlich. Um die Rechnung zu vereinfachen, wendet man deshalb auch bei Laufzeiten, die aus einer ganzen Anzahl von Zinsperioden und Bruchteilen einer solchen bestehen, häufig die Zinseszinsformeln formal auf die ganze Laufzeit an, obgleich man Zinseszinsen innerhalb einer Zinsperiode keinen wirtschaftlichen Sinn beilegen kann. Man läßt in diesem Falle also auch gebrochene Zahlen als Exponenten zu. Außer der einfacheren Berechnungsweise ergibt sich dabei die Übertragung der Vorteile der Zinses-

56

Die Zinseszinsrechnung

Zinsrechnung auch auf Bruchteile einer Zinsperiode. Das Ergebnis ist zwar mit einem Fehler behaftet: Der Endwert ist zu klein1), der Barwert zu groß, doch ist der Fehler meist so geringfügig, daß die Methode überall dort angewendet werden kann, wo nicht an die Genauigkeit Anforderungen gestellt werden, die bis zur letzten Stelle gehen, d. h. vor allem bei den Aufgaben der eigentlichen Finanzmathematik im Gegensatz zu den banktechnischen der Ermittlung von Kontoständen. Beim Benutzen von Zinseszinstabellen beachte man, daß lineare Interpolation 2 ) zwischen Aufzinsungsfaktoren, die aufeinanderfolgenden Laufzeiten entsprechen, zu gemischter Verzinsung führt, weil einfache Zinsen sich linear mit der Laufzeit verändern. Beispiel 27: Welcher Betrag muß am 14. Mai 1967 zu 5% p. a. halbjährlich zahlbar angelegt werden, damit am 9. Oktober 1971 über ein Guthaben in Höhe von 20000 DM verfügt werden kann ? — Als Zinsperioden sind hier Halbjahre zu nehmen. Soll durchweg mit Zinseszinsen gerechnet werden, so ist die gesamte Laufzeit n = 4 Jahre 145 Tage = setzen. Es ergibt sich K0 = 20000

^ ^

Halbjahre zu = 16091,60 DM.

1,025

(Bei Berechnung mit Hilfe von Logarithmen hat man, um log / 1685 >. \1,025 180 ) zu erhalten, log 1,025 mit 1585 zu multiplizieren und anschließend durch 180 zu teilen.) Die Verwendung von gemischten Zinsen würde zu K

o=

7

25

+

2 0

° °° ;

Ts—55-r = 16087,44 DM TS)

führen. (Als Laufzeit tx ist die Zeit bis zum Beginn des ersten vollen Halbjahrs, d. h. bis zum 1. Juli 1967, als Laufzeit t2 die Zeit vom 1. Juli 1971 an zu nehmen.) Die einheitlich zinseszinsliche Berechnung ergibt also einen Barwert, der um 4,16 DM zu groß ist. ') Denn für n < 1 ist (1 J- in) > (1 + i)n. Vgl. S. 35. •) Zu den Interpolationsverfahren vgl. Anhang S. 161ff.

Berechnung von Zinssatz und Laufzeit

57

7. Berechnung von Zinssatz und Laufzeit

Die Aufgabe, den Zinssatz zu berechnen, zu dem ein Kapital K0 angelegt werden muß, damit es nach n Zinsperioden einschließlich Zinsen und Zinseszinsen auf den Betrag K„ anwächst, ist durch entsprechende Umformung ^ von Formel (15) zu lösen. Aus Kn = K0 • rn folgt rn = und schließlich

ß-o

n

Der Zinssatz i wird dann in üblicher Weise durch die Beziehung i — r — 1 gefunden. Bei unterjähriger Zinszahlung ist darauf zu achten, daß, wenn n die Anzahl der unterjährigen Zinsperioden bedeutet, der errechnete Zinssatz i ebenfalls den unterjährigen Zinssatz darstellt. Werden Logarithmen zum Ausrechnen des Zinssatzes benutzt, so ergibt sich dieser aus der logarithmierten Form 1 /K \ von Formel (26), die log r = — log

oder auch log r

= -i- (log Kn —log K0) lautet. Je nachdem, ob der Quotient -jß- eine leicht zu bildende Zahl ist oder nicht, ist die eine oder die andere Form empfehlenswerter. Werden dagegen Zinseszinstabellen herangezogen, so bilde man zunächst den Quotienten = rn und suche r" bei der gegebenen Terminzahl. Findet rn sich dort genau, so ist der betreffende Zinssatz der gesuchte. Andernfalls muß zwischen den nächstliegenden Werten interpoliert werden (vgl. Anhang). Beispiel 28: Zu welchem Jahreszinssatz muß ein Kapital angelegt werden, damit es sich in 10 Jahren verdoppelt ? — Es K 2K soll also Kn = 2K0 sein oder ^ = = 2. Formel (26) lieKo •n-o

58

Die Zinseszinsrechnung

10

fert r = = 1,07177, also i = rd. 7,18%. = -JQ log 2 zu setzen.)

(Es ist log r

Ist eine Laufzeit n gegeben, die außer einer Anzahl ganzer Zinsperioden N noch einen Bruchteil t einer solchen umfaßt, so führt die Anwendung von Formel (26), n = N + t gesetzt, wegen der Vernachlässigung der gemischten Verzinsung zu kleinen Abweichungen vom richtigen Ergebnis. Wird sehr große Genauigkeit verlangt, läßt sich das Resultat verbessern, indem man zwischen den Endwerten interpoliert, die sich ergeben, wenn in die genaue Endwertformel (24) einerseits der gefundene und andrerseits ein etwas höherer (oder niedrigerer) Zinssatz eingesetzt wird. Beispiel 29: Zu welchem jährlich zahlbaren Zinssatz muß ein Kapital von 25000 DM angelegt werden, damit es in 5 Jahren, 7 Monaten und 10 Tagen auf 30000 DM anwächst? — Die gegebene Laufzeit entspricht 2020 Tagen 2 2

oder

° „° = 360

18

Jahren.

Nach

Formel

(26) ist

v

'

also

101

r=

18 ¿D

uuu

. Mit Hilfe siebenstelliger Logarithmen findet man

logr = log 1,2 = 0,014 1149, r = 1,0330, i = 3,30%. Mit dem gefundenen Zinssatz angesetzt, ergibt die Endwertformel (24) bei gemischter Verzinsung einen Endwert Kn = 25000 • 1,0335 ( l + 0,033 • = 25000 • 1,0335 • 1,02017 = 29999,50 DM, der sich vom gegebenen Endwert 30000 DM so wenig unterscheidet, daß sich eine Verbesserung des gefundenen Zinssatzes i = 3,30% erübrigt.

Soll die Länge der Zeit welcher das Kapital K0 mit einem gegebenen Zinssatz i so ist Formel (15) nach n

bestimmt werden, innerhalb Zinsen und Zinseszinsen bei auf den Wert Kn anwächst, aufzulösen. Man erhält aus

Kn = K0- rn zunächst r" = ~

a

und weiter durch beider0

seitiges Logarithmieren n • log r = log

, was schließlich zu

59

Berechnung von Zinssatz und Laufzeit l0S

(-K„/ log r

,

n = —=-——

oder

log K

- log K0 -—log r

n = — — 2n

(27)

K

'

führt. Es ist darauf zu achten, daß bei der Anwendung von Formel (27) die Logarithmen wirklich das Ergebnis der Rechnung liefern und nicht etwa nur als Rechenhilfsmittel dienen. Soll die Rechnung durch die Benutzung von Logarithmen vereinfacht werden, so sind deshalb Logarithmen von den Logarithmen zu verwenden. Erhält man n nicht als ganze Zahl, so ist das Ergebnis wegen der durchweg zinseszinslichen Berechnungsweise mit einem kleinen Fehler behaftet. Wird sehr große Genauigkeit verlangt, so ist analog dem Verfahren bei der Ermittlung des Zinssatzes zunächst mit der größten in dem gefundenen n enthaltenen ganzen Zahl N der Endwert Kn = K 0 • rN zu bilden. Den genauen in n enthaltenen Periodenbruchteil t erhält man dann nach den Regeln des Rechnens mit einfachen Zinsen durch

Hij-1)-

t =

«s] =

• Man kann deshalb jede

Aufgabe der Rentenrechnung mit irgendeiner der vier Rentenformeln lösen. Man muß nur durch entsprechendes Aufoder Abzinsen dafür sorgen, daß der Bezugstermin richtiggestellt wird. Am besten werden vorstehende Ausführungen durch Beispiele verständlich gemacht. Beispiel 33: a) Beginnend am 1. Januar 1968 werden jährlich 10000 DM, letztmalig am 1. Januar 1977, zu 5% angelegt. Über welches Guthaben verfügt der Anleger am 1. Januar 1979 ? — Die Zahl der Rentenraten beträgt 10; es ist also in jedem Fall in der Rentenformel mit der Terminzahl 10 zu rechnen. Geht man als Rechnungsgrundlage vom Endwert der vorschüssigen Rente aus, so ist der Bezugstermin der Rente der 1. Januar 1978 (ein Jahr nach der letzten Ratenzahlung), der Rentenendwert ist also noch um ein Jahr aufzuzinsen. Benutzt man den Endwert der nachschüssigen

Die Rentenrechnung

72

Rente, so ist der Bezugstermin der 1. Januar 1977 (der Zeitpunkt der letzten Zahlung), und es muß um zwei Jahre aufgezinst werden. Vom Barwert der vorschüssigen Rente ausgehend (Bezugstermin 1. Januar 1968) müßte eine Aufzinsung um 11 Jahre, vom Barwert der nachschüssigen Rente ausgehend (Bezugstermin 1. Januar 1967) eine solche um 12 Jahre erfolgen. Man wird in der Praxis natürlich das Verfahren mit dem geringsten Rechenaufwand wählen, und das ist hier bei Verwendung von Tabellen der Endwert der vorschüssigen, bei logarithmischer Berechnung der Endwert der nachschüssigen Rente. (Der Leser überzeuge sich davon durch Aufstellen der Formeln und eventuelles Kürzen in den Formeln.) b) Die gleiche Rente soll durch eine einmalige Zahlung am 1. Januar 1974 abgelöst werden. — Geht man vom Barwert der nachschüssigen Rente aus, muß eine Aufzinsung um 7 Jahre erfolgen. Der Ablösungsbetrag ist also gleich R • aio; • r 7 anzusetzen. Etwas anderes ist es, wenn durch die einmalige Zahlung nicht die Verpflichtung zur Zahlung der gesamten Rente, sondern nur die Verpflichtung zur Zahlung der bis einschließlich 1. Januar 1974 fällig werdenden Raten abgegolten werden soll. Dann ist in der Rentenformel n = 7 an Stelle von n = 10 einzusetzen, und es ergibt sich R • 6T| als Ablösungsbetrag. 4. Berechnung der Bentenrate Die Rentenrate R läßt sich bei gegebenem Kentenendbzw. -barwert sehr leicht bestimmen. Die entsprechende Umformung der Rentenformeln ergibt als Betrag der Rentenrate R je nach der Aufgabenstellung: Ä =

•SS]

Sre]

=

OS|

oder R = ^ . an]

(45)

Falls keine Zinseszinstabellen zur Verfügung stehen, sind die Nenner dieser Ausdrücke aus den gegebenen r und n gemäß den Formeln (35), (36), (40) bzw. (41) zu errechnen. Ist der gegebene Rentenwert nicht der End- bzw. Barwert, so ist es am praktischsten, ihn zunächst durch entsprechendes Auf- bzw. Abzinsen auf einen der Werte S^, S^, A ^ bzw. A Ä | zu bringen.

Unterjährige Zins- und Ratenzahlung

73

Beispiel 34: Jemand will durch am Anfang der Jahre 1968 bis 3974 erfolgende gleichhohe Einzahlungen auf ein Bankkonto am 1. Januar 1979 über ein Guthaben von 50000 DM verfügen können. Wie hoch ist jede Einzahlung zu bemessen, wenn die Bank 4% Zinsen p.a. vergütet ? — Das angestrebte Guthaben ist zunächst auf den Bezugstermin eines Rentenwertes abzuzinsen. Wählt man den vorschüssigen Rentenendwert als Berechnungsgrundlage, so ist der Bezugstermin der 1. Januar 1975, d.h. es ist um 4 Jahre abzuzinsen. Das Ergebnis: = 50000 • 0,854804 = 42740,20 DM stellt den Endwert der siebenmal zahlbaren Rente S 71 = R • s 71 dar. Man erhält 42740,20 42740,20 als Betrag der jährlichen Einzahlung R = —— = 21^2 = 5203,22 DM.

5. Unterjährige Zins- und Ratenzahlung Vorstehend ist stets vorausgesetzt worden, daß die Termine der Ratenzahlungen mit den Zinsterminen zusammenfallen. Dies braucht nun in der Praxis durchaus nicht immer zuzutreffen. Vielmehr wird häufig unterjährige Zinszahlung bei jährlicher Ratenzahlung oder umgekehrt einmal jährliche Zinszahlung bei u n t e r j ähriger Ratenzahlung vereinbart 1 ). In solchen Fällen müssen die Ratenzahlungen auf die Zinstermine bezogen werden, damit die üblichen Rentenformeln angewendet werden können. Das Verfahren entspricht in seinen Grundzügen dem Vorgehen bei der Errechnung des konformen Zinssatzes: E s wird eine konforme Rentenrate R' bestimmt, deren Fälligkeitstermine mit den Zinsterminen übereinstimmen. Diese konforme Rentenrate kann dann in bekannter Weise in die Rentenformeln eingesetzt werden, wobei jedoch besonderes Augenmerk auf die jeweilige Zahlungsweise — vorschüssig oder nachschüssig — gelegt werden muß. Der Einfachheit halber sind in diesem Abschnitt als Perioden stets Jahre bzw. 1 ¡m Jahre angenommen. Die Ausführungen gelten aber in gleicher Weise, wenn statt Jahr überall eine Zins- bzw. Ratenzahlungsperiode von anderer Länge angesetzt wird.

74

Die Rentenrechnung

Wenn z. B. die Rentenraten jährlich, die Zinsen aber in Abständen von — Jahr zahlbar sind, ist die vereinbarte iährm ' liehe Rentenrate R in die konforme, in Abständen von — Jahr m zahlbare Rentenrate R' zu verwandeln. Um zu erreichen, daß End- bzw, Barwert der mit der Rate R' gebildeten Rente sich auf denselben Termin beziehen wie die gegebene Rente mit der Rate R, so daß kein zusätzliches Auf- bzw. Abzinsen zu erfolgen braucht, geht man dabei folgendermaßen vor, wie man sich am besten an Hand der entsprechenden Zeitgeraden klar machen kann: Ist die gegebene Rente vorschüssig, so bestimmt man R' als Rate einer nachschüssigen Rente derart, daß der Barwert der m-mal innerhalb eines Jahres erfolgenden Ratenzahlungen R' gleich R ist (Fig. 7). R'o

_JÜL

R' R1 R' R' R'

R"

2m 2m 2m 2m 2m

m

2.

Fig. 7

Ist dagegen die gegebene Rente nachschüssig, so ist R' als Rate einer ebenfalls nachschüssigen m-mal innerhalb eines Jahres zahlbaren Rente zu errechnen, deren Endwert mit der gegebenen Rentenrate R übereinstimmt (Fig. 8). R' R' R' R' R'

R'

2m 2m 2m 2m

2m

m Fig. 8

R 's ml

Unterjährige Zins- und Ratenzahlung

75

Man erhält darauf die Lösung der gestellten Aufgabe, indem man — stets mit Hilfe der nachschüssigen Rentenformeln — End- bzw. Barwert einer Rente mit der konformen Rentenrate R', der Terminzahl m • n und mit dem m-ten Teil des nominellen Jahreszinsfußes berechnet. (Der Leser überzeuge sich, daß bei diesem Vorgehen in der Tat die Beziehungstermine der gegebenen und der errechneten Rente übereinstimmen.) Die vorstehenden Ergebnisse seien nochmals formelmäßig präzisiert: Um R' zu berechnen, hat man, falls die gegebene Rente vorschüssig ist, zu bilden: R' • am = R oder 7? i . rm R' = — = R • , Um! V —1

(46)

v

'

falls die gegebene Rente aber nachschüssig ist: K • sm -.= R oder rm — 1

«m|

K

'

Selbstverständlich ist in Formel (46) bzw. (47) und auch in der anschließenden Berechnung der gesuchten Rente aus R' durchweg der — m jährliche Zinssatz i i_ zu verwenden.

m Beispiel 35: Eine Rente ist vorschüssig in zehn gleichen jährlichen Raten von je 10000 DM zahlbar, während die Zinsen in Höhe von 8% p. a. vierteljährlich gezahlt werden. Wie groß ist der Wert der Rente ein Jahr nach der letzten Ratenzahlung? — Der vorschüssigen jährlich zahlbaren Rentenrate R = 10000 DM entspricht nach Formel (46) die nachschüssige, vierteljährlich zahlbare Rentenrate R' = 10 000

= ^ ^ = 2626,24 DM. Als Endwert der gesuchten 6 aT[ 3,80773 Rente ergibt sich S 4 . io = R' • sjoi = 2626,24 • 60,40198 = 158630 DM. (In der ganzen Rechnung ist stets der Zinssatz

i

Ä^l +

oder in umgekehrter

Reihenfolge: R,R(l + ¿ t ) , fi(l . . . , r( 1Yft + 1^ \ t ) . / 2 +1 U 2 ) , 1Ihre Summe ist = mR + Ri\\m • • • -I tri m / oder = mR + R— (1 + 2 + • • • + m — 1). Die arithmetische TO ' (fyi l^W Reihe in Klammern hat zur Summe den Ausdruck —. v

Eingesetzt ergibt dies: R' = ä | t o + — — — -

^

m

1 oder

78

Die Rentenrechnung R' = R\m

+

m

~

1

(49)

Bei Bestimmung eines Barwertes mit Hilfe vorstehender Formeln hat man jedoch zu beachten, daß die Verzinsung stets als mit Zahlung der letzten Rentenrate abgeschlossen betrachtet wird. Man darf daher — wenn vorschüssige Ratenzahlung vereinbart ist — die unterjährigen Raten im letzten Jahr nur bis zu dem — Jahr vor Jahresende liegenden Endtermin der Ratenzahlungen aufzinsen und erhält als Lösung der gestellten Aufgabe eine Rente, die aus einer normalen Rente mit der Rentenrate R' und der Terminzahl (n — 1) und f

aus einer unregelmäßigen Schlußrate R" = R\m ,

besteht, die nach

TO

-\

m—1 1

—i\

—1

(n — 1) +

Jahren fällig ist und m deren Barwert B wie folgt gefunden werden kann: B=

V

J i

"

m

_

1

r»- 1 1 + — —

\

TO

. •

(48a)

t)

/

(Der Leser mache sich an Hand der Zeitgeraden klar, daß es sich bei R" um eine nachschüssige nach Formel (49) zu berechnende Rente handelt.) Beispiel 36: Wie hoch ist der Barwert einer 24mal vierteljährlich zahlbaren vorschüssigen Rente von R = 3000 DM,wenn 6% Zinsen p. a., jährlich zahlbar, vereinbart wurden? — Hier ist n = 6, m = 4, i = 0,06. Nach Formel (48) in Verbindung mit Formel (48 a) ergibt sich: R' = 3000 = 12450 B=

DM,

+

• 0,06

R" = 3000 ^4 + — - - • 0,06^ = 12270 DM

19 970

= 8773,97 DM. Als Barwert der (n - 1 ) l,06 5 ' l + 4 - 0,06) \ 4 / mal zahlbaren normalen Rente mit der Rate R' erhält man

Berechnung des Zinssatzes

79

(R' ist im Gegensatz zu R eine nachschüssige Rentenrate!): B'on=i-|= R' • 4,21236 = 52443,88 DM. Gesamtergebnis: Jw=ri + B = 52443,88 + 8773,97 = 61217,85 DM 6. Berechnung des Zinssatzes

Die Berechnung des Zinssatzes i aus den übrigen gegebenen Daten ist auf direktem Wege bei einer Rente meist nicht möglich, da die erforderliche Umformung der Eentenformeln auf im allgemeinen nicht auflösbare Gleichungen höheren Grades führt. Man hat Näherungsformeln entwickelt, die jedoch recht umständlich zu handhaben sind und deshalb hier nicht weiter erörtert werden sollen. Empfehlenswerter ist ein Verfahren, das auch bei vielen anderen finanzmathematischen Aufgabenstellungen mit Vorteil angewandt wird und das die Lösung auf indirektem Wege vermittelt. Dieses Verfahren setzt sich aus folgenden Schritten zusammen: Man sucht i durch Schätzung angenähert zu bestimmen. Dies geschätzte i werde i* genannt. Nun wird die Probe auf die Güte der Schätzung gemacht, indem der auf den gegebenen Termin bezogene Wert der Rente beim geschätzten Zinssatz i* errechnet wird. Stimmt dieser Rentenwert mit dem gegebenen überein, so stellt der geschätzte Zinssatz die Lösung der Aufgabe dar. Weicht der errechnete Rentenwert dagegen vom gegebenen Rentenwert ab, so versuche man durch Wiederholung der Rechnung mit einem höheren oder niedrigeren i** den gegebenen Rentenwert in zwei errechnete einzuschließen, von denen also der eine höher und der andere niedriger ist als der gegebene. Der gesuchte Zinssatz i muß dann zwischen i* und i** liegen. Man findet seinen genauen Wert durch Interpolation (vgl. Anhang). Es empfiehlt sich, die Rechnung nicht mit den Rentenwerten 4-) kann man den Kurs nach der Formel

152

Die Kurs- und Rentabilitätsrechnung C, = C0 + ( C

0

f -

P

) t -

P

- ^ - ( t - ± )

(107)

mit großer Genauigkeit errechnen. In den meisten praktisch vorkommenden Fällen wird es jedoch genügen, in den Kursformeln (88) bis (103) auch gebrochene Terminzahlen zuzulassen, da die Abweichungen im allgemeinen sehr gering sind. Bei Tilgungsanleihen sind die Kurse für Zwischentermine ebenfalls nach den Formeln (106) bzw. (107) zu bestimmen, wenn große Genauigkeit verlangt wird. Doch erfolgt hier während der Tilgungszeit der Übergang von einem Jahr zum nächsten nicht stetig. Berechnet man nämlich auf Grund einer der Formeln (91) bis (94) bzw. (97) oder (98) den Kurs C0 zu Beginn eines Jahres und daraus mit Hilfe von Formel (106) den Kurs C1 am Ende des Jahres, so stimmt dieser Kurs nicht mit dem direkt errechneten Kurs Cx überein. Vielmehr ist er, wenn p' größer als p ist, höher, wenn p' kleiner als p ist, niedriger als der letztgenannte Kurs. Dies erklärt sich daraus, daß der mit Hilfe von Formel (106) errechnete Kurs Cx den Kurs unmittelbar vor der Auslosung der zu tilgenden Stücke, der aus den Kursformeln direkt errechnete Kurs C1 aber den Kurs unmittelbar nach der Auslosung darstellt. Bei der Auslosung springt der Wert der ausgelosten Stücke plötzlich auf den Rückzahlungsbetrag. Da sich der Kurswert der ganzen Anleihe jedoch nicht geändert hat, muß der Kurs der nicht ausgelosten Stücke entsprechend sinken oder steigen, und zwar genau im Ausmaß der erwähnten Differenz, wenn man diese mit der Anzahl der noch aufrechten Stücke multipliziert. Nun stimmt bei Tilgungsanleihen oft der Termin der Auslosung nicht genau mit dem Termin der Rückzahlung der ausgelosten Stücke überein, sondern liegt einige Zeit früher. Die Kursformeln beziehen sich stets auf die Rückzahlungstermine. Damit jedoch der Kurssprung richtig auf den Aus-

Die Effektivverzinsüng während der Laufzeit

153

losungstermin verlegt wird, ist es zur Erzielung großer Genauigkeit nötig, die Formeln (106) bzw. (107) in der angegebenen Gestalt jeweils nur für die Zeit von einem Rückzahlungstermin bis zum nächsten Auslosungstermin zu verwenden, für die Zeit vom Auslosungstermin bis zum zugehörigen Rückzahlungstermin dagegen von Cx ausgehend rückwärts zu rechnen (vgl. Beispiel 66b). Beispiel 66: a) Jemand kauft ein Stück einer 5% igen, halbjährlich verzinslichen Anleihe zu 95% und verkauft es nach 3 Jahren zu 98%. Wie hoch ist die von ihm erzielte Effektivverzinsung ? — Die S. 132 mitgeteilte Faustregel ergibt als ersten Schätzwert der Effektivverzinsung p' = 100 • +

qs — Qf)

= 5,26 + 1,00 = 6,26. Setzt man in Formel (96)

i' = 6i/ 4 %

ein, so erhält man CL = 5

+ -^-j—

98 + -pj- = 95,21. Bei i' = 6 y 2 % ergibt sich auf die gleiche Weise CJI = 94,58. Lineare Interpolation zwischen Cj und C l r liefert schließlich für den gesuchten Effektivzinsfuß p' = 6V3. b) Eine Annuitätenanleihe ist mit 5% p. a., halbjährlich zahlbar, verzinslich. Die Auslosungen finden jeweils am 1. Oktober statt, die Rückzahlungen zum Nennwert am darauffolgenden 1. Januar, letztmalig am 1. Januar 1974. — Bei einer mittleren Effektivverzinsung von 6% ergibt sich bei dieser Anleihe am 1. Januar 1968 nach Formel (98) ein Kurs von CA^ = 97,11 (n = 6). Am 1. Oktober 1967 (nach der Auslosung) ist der Kurs gemäß Formel (106) — durch Rückwärtsrechnen zu bestimmen -

C_ v > = 97,11 - (97,11 • 0,06 - 5) • -i- = 96,90.

Den Kurs am 1. Oktober 1967 vor der Auslosung erhält man dagegen durch Vorwärtsrechnen aus dem Kurs am 1. Januar 1967: C^ ( 1 / i ) = 96,71 (für n = 7) nach Formel (107) zu

C„u = 96,71 +

(96,71 • 0,06 — 5) -

5 •

• -i-

= 97,27. Durch die Auslosung vermindert sich also der Kurs um 0,37.

154

Die Kurs- und Rentabilitätsrechnung

Läuft eine Anleihe überhaupt nur (oder nur noch) über einen Jahresbruchteil t — ersteres ist hauptsächlich bei den sogenannten kurzfristigen Schatzanweisungen der Fall — so sind die Zinsanleiheformeln (89) bzw. (96) durch folgende Kursformeln zu ersetzen, deren Ableitung sich der Leser überlegen möge: a) bei jährlicher Zinszahlung

= TTW-0--t')P->

c

(108)

b) bei halbjährlicher Zinszahlung f ü r ^ i - : C =

V + T T

2

- J

-

- ( ! - < )

r

P. für < > | :

P

,

(109

)

V + —

C =

_

Beispiel 67: Welcher Kurs entspricht bei einer noch 9 Monate laufenden Anleihe einer Effektivverzinsung von 6%, wenn die Rückzahlung zu 102% erfolgt und die nominellen Zinsen in Höhe von 5 % p. a. a) jährlich, b) halbjährlich zahlbar sind ? — Im Falle a) ist Formel (108) zu verwenden. Man erhält: C =

102 +

( i _ A ) ö = 102,40 - 1,25 = 101,15.

6

l+i_.0,06

V

4 /

Im Falle b) ergibt Formel (110) 1 + -j- • 0,06

+

1 0 2

1 +

+

' - ( l V » ) . 15 • 0,06

2 5

-

2,46

+ 100 — 1,25 = 101,21. Die Erhöhung des Kurses durch die halbjährliche Zahlungsweise der Zinsen beträgt also 0,06.

Abweichende Anleihetypen

155

8. Abweichende Anleihetypen Im Ausland, insbesondere in Großbritannien, ist bei Staatsanleihen ein Anleihetyp üblich, bei dem überhaupt keine Rückzahlung vorgesehen ist, sondern auf unbestimmte Zeit lediglich Zinsen gezahlt werden. Diese finanzmathematisch als „ewige Rente" bezeichnete Anleiheform ist gleichwohl sehr begehrt, weil dafür in der Regel ein bedeutender Markt besteht, so daß es dem Erwerber jederzeit möglich ist, seine Stücke ohne Verlust wieder zu veräußern. Der deutsche Kapitalmarkt kennt ewige Renten im eigentlichen Sinne nicht. Bei allen deutschen Wertpapieren ist eine Rückzahlung vorgesehen, doch gibt es zahlreiche Emissionen, bei denen der Zeitpunkt der Rückzahlung nicht feststeht. Dies ist vor allem bei Pfandbriefen der Fall, bei denen die Bedingungen meist nur eine Rückzahlung nach Maßgabe der zurückfließenden, als Deckung dienenden Hypothekardarlehen in Aussicht stellen. Da alle Kursformeln eine feststehende Laufzeit n voraussetzen, kann man derartige Anleihen nur so behandeln, als ob die Rückzahlung nach „unendlich" langer Zeit erfolgen würde, d. h. man muß sie mathematisch den ewigen Renten gleichstellen. Läßt man die Laufzeit n unbegrenzt wachsen, so geht nach Abschnitt C 2 (S. 69) der Ausdruck a ' ^ in den Zins1 V anleiheformeln in über und aus wird 0. Man erhält also bei jährlicher Zinszahlung aus Formel (89) c = 4i'- =

i o owV4

bei halbjährlicher Zinszahlung aus Formel (96)

C =

(111)

156

Die Kurs- und Rentabilitätsrechnung

Formeln (111) und (112) lassen sich bequem nach dem Effektivzinsfuß p' auflösen. Es ergibt sich Yf

für jährliche Zinszahlung:

p' = 100

,

für halbjährliche Zinszahlung: p' = 100

-

(113) .

(114)

Die Effektivverzinsung wird bei ewigen Renten also einfach dadurch gewonnen, daß der Anleihezinsfuß zum Kurs C v

(bzw. zu dem um -j- verminderten Kurs) in Beziehung gesetzt wird. Man nennt diese Art der Effektivverzinsung auch „laufende Rendite". Die laufende Rendite ist bei wirklichen ewigen Renten ein genaues Maß für die Rentabilität des in der Anleihe investierten Kapitals. Bei den deutschen Pfandbriefen usw., wo sie nur in Unkenntnis des Rückzahlungstermins benutzt werden muß, steht dagegen fest, daß sie die wirkliche Rentabilität nicht genau widerspiegelt, man weiß nur nicht im voraus, wie groß die Abweichung im Einzelfall sein wird. Die laufende Rendite findet in der Gestalt von Formel (113) auch als Maß der Rentabilität von Aktien Verwendung, wobei an Stelle des Anleihezinsfußes p die Dividende eingesetzt wird. Beispiel 68: a) Jemand hat einen 6y 2 %igen, halbjährlich verzinslichen Pfandbrief zu 9 7 % erworben. Wie hoch ist die Effektivverzinsung, wenn der RückZahlungstermin nicht feststeht ? — Hier kann als Ersatz der Effektivverzinsung nur die laufende Rendite berechnet werden. Nach Formel (114) ergibt 6,5 sich p' = 100 — = 6,806. Sollte eine Rückzahlung zu 1 0 0 % nach 10 Jahren erfolgen, so würde sich die Effektivverzinsung gemäß Beispiel 60 b auf 7,04% stellen, b) Der Kurs einer Aktie beträgt 180%, die Dividende 1 5 % . Nach Formel (113) ergibt sich eine Rendite von 8 y 3 % des angelegten Betrages.

Abweichende Anleihetypen

157

Als letzter zu erwähnender Anleihetyp seien die unverzinslichen Anleihen genannt, bei denen durch eine größere Differenz zwischen Rückzahlungsbetrag und Emissionskurs, also durch einen größeren Kursgewinn, bei der Rückzahlung ein Ersatz für die fehlende Verzinsung geboten wird. Bei derartigen Anleihen ist zur Berechnung einer Effektivverzinsung der Kursgewinn unter Berücksichtigung des Zeitwertes von Rückzahlungsbetrag und Kaufkurs in eine laufende Verzinsung umzuwandeln, d. h. es ist, wenn die Rückzahlung im Betrage V nach n Jahren erfolgt, C =

(H5)

zu setzen. Auch hier kann man bequem nach dem Effektivzinssatz auflösen und erhält n

f

- J - l .

(H6)

Die mittlere Effektivverzinsung unverzinslicher Ratenanleihen erhält man, indem man in Formel (91) p = 0 setzt, aus =

(117)

Unverzinsliche Annuitätenanleihen kann es selbstverständlich nicht geben. Für unverzinsliche Anleihen mit Laufzeiten unter einem Jahr erhält man unter Berücksichtigung einfacher Effektivzinsen nach Formel (6) S. 21 C

= T T n

(118)

oder nach i' aufgelöst x f i -

1

) -

( 119 >

158

Die Kurs- und Rentabilitätsrechnung

Bei kurzfristigen unverzinslichen Anleihen, zu denen insbesondere die sogenannten Schatzwechsel oder unverzinslichen Schatzanweisungen gehören, wird oft der Emissionskurs nicht angegeben, sondern er ist erst aus dem mitgeteilten Diskontsatz zu erschließen. Man erhält in diesem Fall gemäß Abschnitt A5 (S. 24) C = 7 ( 1 — it) und i' =

, worin i

den Diskontsatz bedeutet. Beispiel 69: a) Eine in 10 Jahren durch gleiche Raten zu tilgende unverzinsliche Anleihe wird zu einem Kurs von 80% ausgegeben und zu 105% zurückgezahlt. Wie hoch ist die Effektivverzinsung ? — Durch Auflösen von Formel (117) nach

CR

80

a'n| erhält man o's] = n - y = 10 -jgg- =- 7,61905. Hieraus ergibt sich der gesuchte Effektivzinssatz nach dem in Beispiel 37, S. 80, geschilderten Verfahren als Zwischenwert zwischen 7,6288 (5%%) und 7,5830 (5 3 / 8 %) zu i' = 5,276%. b) Ein Schatzwechsel wird bei einer Laufzeit von 9 Monaten zu einem Diskontsatz von 4% p. a. angeboten (Rückzahlung zu 100%). Es ergibt sich ein Emissionskurs von C = 100 — 0,04 • - j j = 97%

und

= 4,124%.

ein

Effektivzinssatz von i' =

—— 1-0,04-4 4

9. Kursparitäten — Konversion — Landeszinsfuß — Berücksichtigung der Kapitalertragsteuer

Der Kurs G, der sich rechnerisch ergibt, wenn man in einer der Kursformeln den Effektivzinsfuß bzw. den Effektivzinssatz gleich dem Anleihezinsfuß bzw. dem Anleihezinssatz (also p' = p bzw. i' = i) setzt, nennt man den mathematischen Parikurs. Der mathematische Parikurs ist nach vorstehendem nur dann gleich 100, wenn a) die Rückzahlung des betreffenden Anleihestückes zum Nennwert erfolgt und b) die Anleihezinsen in denselben Abständen wie die gedachten

Kursparitäten — Konversion — Landeszinsfuß

159

Effektivzinsen, also nach den in Deutschland üblichen Verfahren einmal jährlich, nach der amerikanischen Methode halbjährlich gezahlt werden. Umgekehrt stimmt die Effektivverzinsung beim Emissions- oder Kaufkurs 100 nur dann mit der Anleiheverzinsung überein, wenn die Bedingungen a) und b) erfüllt sind. Werden mehrere, zu verschiedenen Bedingungen ausgegebene Anleihen miteinander verglichen, so heißen die Kurse, die sich bei gleichen Effektivzinsfüßen ergeben, paritätische Kurse. Wird der Zinsfuß einer Anleihe während der Laufzeit geändert (sog. Anleihekonversion, vgl. S. 108 f.), während die übrigen Bedingungen unverändert bleiben, so kann man den Kurs C2 nach der Konversion, der sich an Stelle des mit dem ursprünglichen Zinsfuß beim gleichen Effektivzinsfuß errechneten Kurs C1 ergibt, aus der Proportion (100 — C 2 ): (100 — Cy = (p' — Pi): {p' — p2) bestimmen, wobei p1 den Anleihezinsfuß vor der Konversion, p2 den Anleihezinsfuß nach der Konversion bedeutet. Eine gut funktionierende Börse und einen aufnahmefähigen Kapitalmarkt vorausgesetzt, werden sich die Kurse der gleichzeitig am Markt befindlichen Anleihen im allgemeinen so einspielen, daß ihre Effektivverzinsung nahe bei einem für alle Anleihen gleichen Zinsfuß, dem sogenannten Landeszinsfuß, liegt, auch wenn die Anleihebedingungen sehr unterschiedlich sind, d. h. die Börsenkurse werden nicht allzuweit von den paritätischen Kursen entfernt sein. Man kann den Landeszinsfuß berechnen, indem man aus den Effektivzinsfüßen einer größeren Anzahl von Anleihen den Durchschnitt bildet, wobei man die Feststellung macht, daß sich je nach dem Grade der Sicherheit der betreffenden Anleihen im allgemeinen mehrere deutlich unterschiedene Werte des Landeszinsfußes ergeben. Am kleinsten ist er bei den mit der größten Sicherheit ausgestatteten Anleihen, z. B. den hypothekarisch gesicherten Pfandbriefen und Industrieobligatio-

160

Die Kurs- und Rentabilitätsrechnung

nen, dann folgen für gewöhnlich Staatsanleihen, Kommunalanleihen und zuletzt nicht dinglich gesicherte Industrieobligationen, deren Effektivverzinsung am höchsten zu sein pflegt, da ihre Sicherheit vom Geschäftsgang des betreffenden Unternehmens abhängt, so daß sie in dieser Hinsicht den Aktien ähneln. Der Landeszinsfuß ist nicht nur eine volkswirtschaftlich wichtige Größe, stellt er doch den Zinsfuß für langfristiges Geld, den sogenannten Kapitalmarktzinsfuß, dar, sondern seine Kenntnis ist auch für denjenigen dringend notwendig, der eine Anleihe emittieren will. Die Kunst der Anleiheausgabe besteht darin, durch passende Wahl der Anleihebedingungen einerseits einen Anreiz zur Zeichnung zu bieten, andererseits die Effektivverzinsung in der Nähe des für die betreffende Anleihegruppe im Augenblick geltenden Landeszinsfußes zu halten. Wird die Effektivverzinsung zu niedrig angesetzt, ist die Anleihe nicht oder nur schwer unterzubringen, wird sie zu hoch gewählt, entsteht für den Anleiheschuldner eine unnötig große Belastung. Für den nominellen Anleihezinsfuß wird stets ein in der Nähe des angestrebten Effektivzinsfußes liegender, möglichst runder Zinsfuß festgesetzt, weil die Anleihebedienung sonst zu kompliziert würde. Die „Feineinstellung" auf den Effektivzinsfuß erfolgt durch entsprechende Wahl des Emissionskurses und gegebenenfalls eines Aufgeldes bei der Rückzahlung. Im Beispiel 60c ist gezeigt worden, wie Spesen, die durch die Emission entstehen, bei der Errechnung der effektiven Belastung des Anleiheschuldners berücksichtigt werden können, indem man sie vom Emissionskurs abzieht. Ähnlich lassen sich die dem Stückbesitzer bei steuerpflichtigen Anleihen erwachsenden Steuerlasten — die Kapitalertragsteuer oder die Einkommensteuer, durch die er nicht in den vollen Genuß der Zinserträge kommt — dadurch in Rechnung stellen, daß man sie von den Anleihezinsen absetzt und den so

Kursparitäten — Konversion — Landeszinsfuß

161

verminderten Anleihezinsfuß in den Kursformeln verwendet. Man erhält auf diese Weise eine Nettoeffektivverzinsung unter Berücksichtigung der direkten Steuern. Beispiel 70: a) Den mathematischen Parikurs einer 5% igen, halbjährlich verzinslichen Anleihe, die in 12 gleichen jährlichen Raten zu 105% rückzahlbar ist, erhält man, indem man in Formel (97) p = p' = 5 einsetzt, zu C = 104,02. b) Der Kurs einer 6% igen Anleihe betrage zu einem bestimmten Termin bei einer Effektivverzinsung von 6 x / 2 % Cx = 98,05. Wie ist der Kurs der Anleihe zum gleichen Termin bei der gleichen Effektivverzinsung, wenn die Anleiheverzinsung auf 5% herabgesetzt wird, im übrigen jedoch die Anleihebedingungen erhalten bleiben? — Der gesuchte Kurs C2 ergibt sich aus der Proportion (100 - 98,05): (100 - Cs) = (6,5 - 6): (6,5 - 5) zu C2 = 94,15. c) Wenn bei einer 8% igen Anleihe die Kapitalertragsteuer von 30% bei der Berechnung der Effektivverzinsung berücksichtigt werden soll, ist die Anleihe rechnerisch 30 • 8 \ 8 . . I = 5,6% ige Anleihe zu behandeln.

i

Anhang Das Verfahren der Interpolation Interpolieren heißt zwischen zwei Werten einer fortlaufenden Reihe von Zahlen in bestimmter gesetzmäßiger Weise Zwischenwerte einschalten. Die Lösung vieler Aufgaben der Finanzmathematik wird durch Interpolation erleichtert, manche Aufgaben werden dadurch überhaupt erst lösbar, worauf stets an der betreffenden Stelle der vorstehenden Ausführungen hingewiesen worden ist. Im folgenden sollen die gebräuchlichsten Arten der Interpolation, nämlich einerseits die sogenannte lineare Interpolation, andererseits die Interpolation mit höheren Differenzen systematisch behandelt werden. Von den beiden genannten Interpolationsverfahren ist die lineare Interpolation das 11 N i c o l a s , Finanzmathematik

162

Das Verfahren der Interpolation

wesentlich einfachere. Es ist auch im allgemeinen für die Lösung finanzmathematischer Aufgaben ausreichend, wenn nicht sehr große Genauigkeit verlangt wird. Im übrigen kann durch Wiederholen der Rechnung mit kleineren Intervallen auch bei der linearen Interpolation die Genauigkeit beliebig gesteigert werden (vgl. Beispiel 71 b), was häufig immer noch bequemer ist, als das zweite Verfahren, die Interpolation mit höheren Differenzen, anzuwenden. Bei den vorkommenden Aufgaben handelt es sich meist um zwei Reihen von Zahlenwerten. Von der einen Reihe, der der gegebene Wert angehört, sind außer diesem mindestens zwei benachbarte Werte, von denen der eine kleiner, der andere größer sein muß als der gegebene Wert, entweder bekannt oder können aus anderen gegebenen Zahlen errechnet werden. Diese Reihe werde Ursprungsreihe genannt. Von der anderen Reihe, der Bezugsreihe, die aus Werten besteht, die denen der Ursprungsreihe durch irgendeine mathematische Beziehung zugeordnet sind (d. h. sie sind eine Funktion der Werte der Ursprungsreihe), sind dagegen nur die den Nachbarwerten entsprechenden Werte bekannt, während der dem gegebenen Wert der Ursprungsreihe entsprechende Wert der Bezugsreihe unbekannt ist. Die Aufgabe der Interpolation ist es dann, diesen Wert rechnerisch zu bestimmen, wenn die Funktion, die die Bezugsreihe mit der Ursprungsreihe verbindet, mathematisch nicht oder nur sehr schwer lösbar ist. Als Beispiel seien folgende zwei Fälle erwähnt: a) die Ursprungsreihe bestehe aus den Endwerten der vorschüssigen Rente 1 bei einer festen Terminzahl, aber verschiedenen Zinsfüßen, die Bezugsreihe aus den zugehörigen Zinsfüßen, b) die Ursprungsreihe bestehe aus den Kursen einer bestimmten Anleihe, die verschiedenen Effektivzinsfüßen entsprechen, die Bezugsreihe aus den Effektivzinsfüßen. In beiden Fällen ist die Funktion, die die Werte beider Reihen mit-

Das Verfahren der linearen Interpolation

163

einander verbindet, wie in den Abschnitten C und E gezeigt, von Seiten der Zinsfüße aus nicht lösbar. 1. Das Verfahren der linearen Interpolation Bei der linearen Interpolation wird die gestellte Aufgabe in der Weise gelöst, daß die Bezugsreihe in dem gleichen Verhältnis aufgeteilt wird, in welchem die Ursprungsreihe aufgeteilt ist 1 ). Um zum Ansatz einer Formel zu k o m m e n : Die dem gegebenen Wert der Ursprungsreihe benachbarten Werte seien A und B, die entsprechenden Werte der Bezugsreihe a und b. Der gegebene Wert der Ursprungsreihe heiße 0 , der diesem Wert entsprechende, noch unbekannte Wert der Bezugsreihe x. D a n n m u ß x so bestimmt werden, daß sich die Differenz d1 = x — a (die „Eigendifferenz" der Bezugsreihe) zur Differenz d2 = b — a (der „Gesamtdifferenz" der Bezugsreihe) verhält wie die Differenz D^=G — A (die „Eigendifferenz" der Ursprungsreihe) zur Differenz Z>2 = B — A (der „Gesamtdifferenz" der Ursprungsreihe). Formelmäßig läßt sich diese Bedingung schreiben: d^: dz = D1: fl2, woraus durch Auflösung nach d1 folgt: d^ = d2 •

Die gesuchte Großes; 2

der Bezugsreihe i = d i ( i 1 oder

erhält

x

man = a±d

dann

2

^~

aus

der

Beziehung (120)

bei der das + - oder das — Z e i c h e n gilt, je nachdem, ob die Werte der Bezugsreihe in der Richtung von a nach b wachsen oder abnehmen. Diese etwas komplizierten Ausführungen werden durch eine bildliche Darstellung bedeutend leichter verständlich: 1 ) Dies ist genau das gleiche Verfahren, das bei einer Logarithmentafel zur Bildung von Zwischenwerten benutzt wird.

11*

164

Das Verfahren der Interpolation Gesamtdifferenz D,2 Eigendifferenz D1

Ursprungsreihe Bezugsreihe

..

A

G

B

a

x

b

Eigendifferenz Gesamtdifferenz d.'2 Es gibt auch einfachere Fälle, bei denen es sich nur um eine einzige Reihe handelt, und wo das Verhältnis gegeben ist, nach dem die Differenz zwischen zwei Werten dieser Reihe aufzuteilen ist. Im allgemeinen, oben besprochenen, Fall ist dies Verhältnis dagegen erst aus den Werten der zweiten Reihe zu erschließen. Von nachstehenden Beispielen behandelt das erste den einfacheren Fall, die beiden anderen den allgemeinen Fall. Beispiel 71: a) In Tabelle I (S. 167) findet man für den Zinssatz 5% die Werte r 6 = 1,3401 und r 7 = 1,4071. Wie groß ist der Wert des Aufzinsungsfaktors, der bei gemischter Verzinsung für den Zeitraum n = 6 Jahre und 107 Tage in Anwendung gebracht werden muß? — Zur Lösung dieser Aufgabe ist die Differenz zwischen r 7 und r 6 , die einem Zeitraum 107 von 1 Jahr = 360 Tagen entspricht, so aufzuteilen, daß - ^ r oou der Differenz dem Werte r 6 zugeschlagen werden. Man erhält 107 (1.4071 für den gesuchten Aufzinsungsfaktor: 1,3401 + ggjj - 1,3401) = 1,3600. b) In Beispiel 37, S. 80, wird nach dem Zinsfuß gefragt, bei dem ein durch vorschüssige jährliche Einzahlungen von je 10000 DM angesammeltes Guthaben nach 10 Jahren den Betrag 135000 DM erreicht, d. h. es ist sis| =

1 5 0 0 1^ 0 0°0

= 13,5. Tabelle III, S. 169, läßt erkennen, daß

dieser Wert zwischen sro| = 13,2068 bei 5% und sio| = 13,9716 bei 6% liegt. Es ist also dz = & — b = l\D1 = 13,5-13,2068 = 0,2932 und D2 = 13,9716-13,2068 = 0,7648. Formel (120)

165

Die Interpolation mit höheren Differenzen

0 2932 liefert dann den gesuchten Zinsfuß als p = 5 + 1 • r.'naTö 0,7o4ö = 5,383. Im kleineren Intervall sioj = 13,4920 bei 5 , 3 8 % und 13,5073 bei 5 , 4 0 % ergibt die lineare Interpolation p = 5,38 + 0,02 • = 5,3905. (In Formel (120) ist das PlusZeichen zu setzen, weil die p mit wachsenden sioj zunehmen.) c) In Beispiel 61, S. 139, wird als Kurs einer Annuitätenanleihe bei einer mittleren Effektivverzinsung von 7 % CA = 93,78, bei einer mittleren Effektivverzinsung von 6 3 / 4 % CA = 95,28 ermittelt. Die mittlere Eifektivverzinsung beim Kurse CA = 9 5 % ergibt sich demnach nach Formel (120) — 6S ist di — 7 - 63/4 = 1/4; D1 = 95,00 - 93,78 = 1,22 und Z>2 = 95,28 - 93,78 1 19? = 1,50 - zu p' = 7,00 • = 7,00 - 0,203 = 6,797. (In Formel (120) ist das Minus-Zeichen zu setzen, weil die p' mit wachsenden CA abnehmen.) 2. Die Interpolation mit höheren Differenzen Die lineare Interpolation liefert nur dann genaue W e r t e , wenn die durch die beiden Reihen dargestellten Funktionen lineare Funktionen sind. E s ist aber im vorigen Abschnitt gezeigt worden, wie die Genauigkeit dieses Verfahrens auch bei nichtlinearen Funktionen durch Verkleinerung der Interpolationsintervalle gesteigert werden kann. E i n anderer W e g ist die Benutzung von Differenzen höheren Grades, die mit Hilfe der sogenannten Newtonschen Interpolationsformel, wie folgt, vor sich gehen k a n n : Die W e r t e der Ursprungsreihe seien mit A0, Ax, A2, Aa,. . die entsprechenden W e r t e der Bezugsreihe mit a0, av a2, aa,... bezeichnet. E s soll der (unbekannte) W e r t x bestimmt werden, der einem Zwischenwert A der Ursprungsreihe entspricht. Dann ergibt sich x = a0 +
0

- / _ «2

USW.

—

USW.

///

usw.

ist.

Je mehr Glieder man in der Entwicklung von x (Formel 121) hinzunimmt, u m so größer wird die Genauigkeit, u m so umständlicher aber auch das Verfahren. I m allgemeinen braucht man nur bis zum Glied a 2 " (quadratische Interpolation) zu gehen, da die weiteren Glieder a3"', a 4 " " usw. nur noch unwesentliche Korrekturen ergeben. Man wird n a t ü r lich die Werte, die man von der Ursprungsreihe heranzieht, zweckmäßigerweise so auswählen, daß der W e r t A ungefähr in ihrer Mitte liegt. Beispiel 72: Um die in Beispiel 71 b behandelte Aufgabe, bei der A = 13,5 ist, mit Hilfe quadratischer Interpolation zu lösen, kann man nach Tabelle III, S. 169, a 0 = 4%, A0 = 12,4864, = 5%, At = 13,2068 und o 2 = 6%, A2 = 13,9716 wählen. Man erhält 13,2068 -

12,4864

13,9716 -

12,4864

1,3466 - 1,3881 13,9716 - 13,2068

0,0415 0,7648

-

0,05426

und den gesuchten Zinsfuß zu p = 4 + 1,3881 (13,5 - 12,4864) - 0,05426 (13,5 - 12,4864) (13,5 - 13,2068) = 4 + 1,4070 - 0,0161 = 5,3909.

Tabellen I - V I I I Tabelle I:

167

Aufzinsungsfaktoren: r " = (1 + i)n =

(l +

)™

/

2%

3%

4%

4y2%

5%

6%

1 2 3 4 5

1,02 1,0404 1,0612 1,0824 1,1041

1,03 1,0609 1,0927 1,1255 1,1593

1,04 1,0816 1,1249 1,1699 1,2167

1,045 1,0920 1,1412 1,1925 1,2462

1,05 1,1025 1,1576 1,2155 1,2763

1,06 1,1236 1,1910 1,2625 1,3382

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

1,1262 1,1487 1,1717 1,1951 1,2190

1,1941 1,2299 1,2668 1,3048 1,3439

1,2653 1,3159 1,3686 1,4233 1,4802

1,3023 1,3609 1,4221 1,4861 1,5530

1,3401 1,4071 1,4775 1,5513 1,6289

1,4185 1,5036 1,5938 1,6895 1,7908

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

1,2434 1,2682 1,2936 1,3195 1,3459

1,3842 1,4258 1,4685 1,5126 1,5580

1,5395 1,6010 1,6651 1,7317 1,8009

1,6229 1,6959 1,7722 1,8519 1,9353

1,7103 1,7959 1,8856 1,9799 2,0789

1,8983 2,0122 2,1329 2,2609 2,3966

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

1,3728 1,4002 1,4282 1,4568 1,4859

1,6047 1,6528 1,7024 1,7535 1,8061

1,8730 1,9479 2,0258 2,1068 2,1911

2,0224 2,1134 2,2085 2,3079 2,4117

2,1829 2,2920 2,4066 2,5270 2,6533

2,5404 2,6928 2,8543 3,0256 3,2071

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

1,5157 1,5460 1,5769 1,6084 1,6406

1,8603 1,9161 1,9736 2,0328 2,0938

2,2788 2,3699 2,4647 2,5633 2,6658

2,5202 2,6337 2,7522 2,8760 3,0054

2,7860 2,9253 3,0715 3,2251 3,3864

3,3996 3,6035 3,8197 4,0489 4,2919

21 22 23 24 25

X

2%

3%

4%

41/2%

5%

6%

n\

/n

X

168

Tabellen I - V I I I Tabelle II: Abzinsungsfaktoren: vn =

n\

2%

3%

4%

4%%

5%

6%

1 2 3 4 5

0,9804 9612 9423 9238 9057

0,9709 9426 9151 8885 8626

0,9615 9246 8890 8548 8219

0,9569 9157 8763 8386 8025

0,9524 9070 8638 8227 7835

0,9434 8900 8396 7921 7473

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

8880 8706 8535 8368 8203

8375 8131 7894 7664 7441

7903 7599 7307 7026 6756

7679 7348 7032 6729 6439

7462 7107 6768 6446 6139

7050 6651 6274 5919 5584

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

8043 7885 7730 7579 7430

7224 7014 6810 6611 6419

6496 6246 6006 5775 5553

6162 5897 5643 5400 5167

5847 5568 5303 5051 4810

5268 4970 4688 4423 4173

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

0,7284 7142 7002 6864 6730

0,6232 6050 5874 5703 5537

0,5339 5134 4936 4746 4564

0,4945 4732 4528 4333 4146

0,4581 4363 4155 3957 3769

0,3936 3714 3503 3305 3118

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

6598 6468 6342 6217 6095

5375 5219 5067 4919 4776

4388 4220 4057 3901 3751

3968 3797 3634 3477 3327

3589 3418 3256 3101 2953

2942 2775 2618 2470 2330

21 22 23 24 25

n/ /i

2%

3%

4%

5%

6%

X

y

4y 2 %

X

Tabellen I - V I I I

169

Tabelle III:

Vorschüssige Rentenend werte: rn — 1 s«i = r = r + r2 + . .. + rn :

(SSI = s r - r ! + 1) \i

n\

i 2 3 4 5

2%

3%

4%

4y 2 %

5%

6%

1,02 2,0604 3,1216 4,2040 5,3081

1,03 2,0909 3,1836 4,3091 5,4684

1,04 2,1216 3,2465 4,4163 5,6330

1,045 2,1370 3,2782 4,4707 5,7169

1,05 2,1525 3,3101 4,5256 5,8019

1,06 2,1836 3,3746 4,6371 5,9753

y i 2 3 4 5

6 6,4343 6,6625 6,8983 7,0192 7,1420 7,3938 6 7 7,5830 7,8923 8,2142 8,3800 8,5491 8,8975 7 8 8,7546 9,1591 9,5828 9,8021 10,0266 10,4913 8 9 9,9497 10,4639 11,0061 11,2882 11,5779 12,1808 9 10 11,1687 11,8078 12,4864 12,8412 13,2068 13,9716 10 11 12 13 14 15

12,4121 13,6803 14,9739 16,2934 17,6393

13,1920 14,6178 16,0863 17,5989 19,1569

14,0258 15,6268 17,2919 19,0236 20,8245

14,4640 16,1599 17,9321 19,7841 21,7193

14,9171 16,7130 18,5986 20,5786 22,6575

15,8699 17,8821 20,0151 22,2760 24,6725

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

19,0121 20,4123 21,8406 23,2974 24,7833

20,7616 22,4144 24,1169 25,8704 27,6765

22,6975 24,6454 26,6712 28,7781 30,9692

23,7417 25,8551 28,0636 30,3714 32,7831

24,8404 27,1324 29,5390 32,0660 34,7193

27,2129 29,9057 32,7600 35,7856 38,9927

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26,2990 27,8450 29,4219 31,0303 32,6709

29,5368 31,4529 33,4265 35,4593 37,5530

33,2480 35,6179 38,0826 40,6459 43,3117

35,3034 37,9370 40,6892 43,5652 46,5706

37,5052 40,4305 43,5020 46,7271 50,1135

42,3923 45,9958 49,8156 53,8645 58,1564

21 22 23 24 25

3%

4%

4 Wo

5%

6%

X

%

2%

170

Tabellen I - V I I I Talelle IV: Nachschüssige Rentenbarwerte : _ r" - 1 _ 1 , 1 , , 1 a"l — —— + + • • • + 75T (»SI = °»=T| + 1)

X n\

2%

3%

4%

4y2%

5%

6%

y

1 2 3 4 5

0,9804 1,9416 2,8839 3,8077 4,7135

0,9709 1,9135 2,8286 3,7171 4,5797

0,9615 1,8861 2,7751 3,6299 4,4518

0,9569 1,8727 2,7490 3,5875 4,3900

0,9524 1,8594 2,7232 3,5460 4,3295

0,9434 1,8334 2,6730 3,4651 4,2124

i 2 3 4 5

6 7 8 9 10

5,6014 6,4720 7,3255 8,1622 8,9826

5,4172 6,2303 7,0197 7,7861 8,5302

5,2421 6,0021 6,7327 7,4353 8,1109

5,1579 5,8927 6,5959 7,2688 7,9127

5,0757 5,7864 6,4632 7,1078 7,7217

4,9173 5,5824 6,2098 6,8017 7,3601

6 7 8 9 10

11 9,7868 12 10,5753 13 11,3484 14 12,1062 15 12,8493

9,2526 9,9540 10,6350 11,2961 11,9379

8,7605 9,3851 9,9856 10,5631 11,1184

8,5289 9,1186 9,6829 10,2228 10,7395

8,3064 8,8633 9,3936 9,8986 10,3797

7,8869 8,3838 8,8527 9,2950 9,7122

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

13,5777 14,2919 14,9920 15,6785 16,3514

12,5611 13,1661 13,7535 14,3238 14,8775

11,6523 12,1657 12,6593 13,1339 13,5903

11,2340 11,7072 12,1600 12,5933 13,0079

10,8378 11,2741 11,6896 12,0853 12,4622

10,1059 10,4773 10,8276 11,1581 11,4699

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

17,0112 17,6580 18,2922 18,9139 19,5235

15,4150 15,9369 16,4436 16,9355 17,4131

14,0292 14,4511 14,8568 15,2470 15,6221

13,4047 13,7844 14,1478 14,4955 14,8282

12,8212 13,1630 13,4886 13,7986 14,0939

11,7641 12,0416 12,3034 12,5504 12,7834

21 22 23 24 25

2%

3%

4%

4y2%

5%

6%

X

X

Tabellen I - V I I I

171

Tabelle V: Annuitätenfaktoren: —Η = Jm añi

\

Oñ1

Vi n\

2%

3%

4%

4y 2 %

5%

6%

i 2 3 4 5

1,02 0,5160 0,3468 2626 2122

1,03 0,5226 0,3535 2690 2184

1,04 0,5302 0,3603 2755 2246

1,045 0,5340 0,3638 2787 2278

1,05 0,5378 0,3672 2820 2310

1,06 0,5454 0,3741 2886 2374

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

1785 1545 1365 1225 1113

1846 1605 1425 1284 1172

1908 1666 1485 1345 1233

1939 1697 1516 1376 1264

1970 1728 1547 1407 1295

2034 1791 1610 1470 1359

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

1022 0946 0881' 0826 0778

1081 1005 0940 0885 0838

1141 1066 1001 0947 0899

1172 1097 1033 0978 0931

1204 1128 1065 1010 0963

1268 1193 1130 1076 1030

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

0737 0700 0667 0638 0612

0796 0760 0727 0698 0672

0858 0822 0790 0761 0736

0890 0854 0822 0794 0769

0923 0887 0855 0827 0802

0990 0954 0924 0896 0872

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

0588 0566 0547 0529 0512

0649 0627 0608 0590 0574

0713 0692 0673 0656 0640

0746 0725 0707 0690 0674

0780 0760 0741 0725 0710

0850 0830 0813 0797 0782

21 22 23 24 25

%

2%

3%

4%

6%

6%

X

4y 2 %

i / «

/

Tabellen I - V I I I

172

Tabelle VI: Laufzeit der Annuitätenanleihe: ,l o g*-+j ^Ì n

=

—

=

—

log *

[i = Anleihezinssatz,

j = Tilgungssatz]

\ i i\

3%

4%

5%

0,00025 0,0005 0,00075

162,249 139,075 125,637

129,564 112,045 101,865

108,701 94,597 86,388

100,827 87,963 80,479

94,132 82,311 75,424

0,001 0,002 0,0025 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009

116,177 93,801 86,777 65,834 60,620 56,332 52,716 49,611

94,688 77,630 72,241 56,022 51,935 48,557 45,688 43,210

80,592 66,782 62,406 49,150 45,784 42,983 40,608 38,545

75,187 62,574 58,569 46,418 43,321 40,745 38,551 36,645

70,557 58,935 55,247 44,020 41,156 38,770 36,733 34,958

0,01 0,0125 0,015 0,0175 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05

46,901 41,405 37,169 33,784 30,999 26,677 23,453 20,943 18,933 17,285 15,902

41,036 36,595 33,130 30,335 28,011 24,367 21,608 19,437 17,677 16,219 14,987

36,729 32,987 30,055 27,673 25,682 22,523 20,105 18,190 16,627 15,320 14,211

34,961 31,504 28,776 26,554 24,693 21,730 19,458 17,646 16,159 14,916 13,861

33,402 30,172 27,628 25,545 23,796 21,002 18,858 17,140 15,731 14,548 13,539

6%

Tabellen I — V i l i

173

Tabelle VII: Kurs der Annuitätenanleihe:

Nominalzinssatz i = 3%

Nominalzinssatz i = 4%

\ i' n\

3%

4%

5%

6%

3%

4%

5%

6%

1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 40 50

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

99,04 98,57 98,11 97,65 97,21 95,08 93,13 91,35 89,71 88,22 86,86 85,63 83,49

98,10 97,17 96,28 95,40 94,54 90,52 86,95 83,77 80,94 78,43 76,20 74,23 70,95

97,17 95,82 94,50 93,22 91,98 86,28 81,36 77,10 73,41 70,23 67,47 65,09 61,26

100,97 101,45 101,93 102,40 102,87 105,17 107,37 109,47 111,46. 113,35 115,12 116,78 119,77

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

99,05 98,59 98,13 97,69 97,25 95,20 93,36 91,70 90,22 88,90 87,73 86,69 84,98

98,11 97,21 96,32 95,46 94,62 90,74 87,35 84,40 81,83 79,60 77,68 76,02 73,37

Nominalzinssatz i = 5%

Nominalzinssatz i = 6%

n \

3%

4%

6%

7%

4%

5%

7%

8%

1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 40 50

101,94 102,91 103,87 104,83 105,78 110,47 115,01 119,38 123,55 127,50 131,23 134,71 140,94

100,96 101,44 101,90 102,37 102,83 105,04 107,12 109,05 110,84 112,49 113,99 115,35 117,67

99,06 98,60 98,16 97,72 97,30 95,32 93,57 92,04 90,70 89,54 88,54 87,69 86,34

98,13 97,24 96,37 95,52 94,70 90,96 87,75 85,01 82,69 80,72 79,07 77,69 75,60

101,92 102,87 103,82 104,76 105,68 110,20 114,48 118,49 122,21 125,62 128,74 131,55 136,29

100,95 101,42 101,88 102,33 102,78 104,91 106,87 108,65 110,25 111,68 112,94 114,04 115,82

99,07 98,62 98,18 97,75 97,34 95,43 93,78 92,36 91,16 90,15 89,31 88,60 87,56

98,15 97,27 96,41 95,59 94,79 91,17 88,13 85,60 83,51 81,79 80,39 79,25 77,61

Tabellen I — V i l i

174

Tabelle Villa:

Mittlere Laufzeit a der Ratenanleihe Gesamtlaufzeit in Jahren

1,0 1,0

1,0 1,0 1,0 1,0

1,0

1,0 1,0

Effektivverzinsung

2

3 14

5

10

1,5 1,5 1,5 1.5 1.6 1,5 1,5 1.5 1.6

2,0 2.5

3,0 3,0 3,0 3,0 2,9 2,9 2,9 2,9 2,9

5,4 5,4 5,3 5,3 5,3 5,2 5,2 5,1 5,1

2,0

2,0 2,0 2,0 2,0 2,0

2,0 2,0

2.6 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,4 2,4

15

Gesamtlaufzeit in Jahren

i'

25

30

35

40

45

50

2% 3% 4% 6% 6% 7% 8% 9% 10%

12,5 12,2 12,0 11,8 11,5 11,3 11,1 10,8 10,6

14,8 14,4 14,0 13,7 13,4 13,0 12,7 12,4 12,1

17,0 16,5 16,0 15,6 15,1 14,7 14,3 13,9 13,5

19,2 18,6 17,9 17,3 16,8 16,2 15,7 15,2 14,8

21,4 20,5 19,8 19,0 18,3 17,7 17,0 16,5 15,9

23,5 22,5 21,5 20,7 19,8 19,0 18,3 17,6 17,0

175

Tabellen I — V i l i

Tabelle Villi:

Mittlere Laufzeit A der Annuitätenanleihe Nominalzinssatz i = 4%

Gesamtlaufzeit n

3%

Effektivverzinsung 4% 5% 6%

7%

8%

1 2 3 4 5

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

6 7 8 9 10

3,6 4,1 4,6 5,2 5,7

3,6 4,1 4,6 5,1 5,7

3,5 4,1 4,6 5,1 5,6

3,5 4,0 4,6 5,1 5,6

3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

11 12 13 14 15

6,3 6,8 7,3 7,9 8,5

6,2 6,7 7,3 7,8 8,4

6,2 6,7 7,2 7,7 8,3

6,1 6,6 7,1 7,7 8,2

6,1 6,6 7,1 7,6 8,1

6,0 6,5 7,0 7,5 8,0

20 25 30 35 40 45 50

11,3 14,3 17,3 20,5 23,7 27,0 30,4

11,2 14,0 17,0 20,0 23,1 26,2 29,5

11,0 13,8 16,6 19,5 22,4 25,4 28,5

10,8 13,5 16,2 19,0 21,8 24,7 27,5

10,7 13,3 15,9 18,5 21,2 23,9 26,6

10,5 13,0 15,5 18,1 20,6 23,1 25,7

176

Tabellen I — V i l i

Talelle Villi

(Fortsetzung)

Nominalzinssatz i = 5% Gesamtlaufzeit n

3%

Effektivverzinsung i' 4% 5% 6% 7%

8%

1 2 3 4 5

1,0 1,5 2,0 2,5 3,1

1,0 1,5 2,0 2,5 3,1

1,0 1,5 2,0 2,5 3,1

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

6 7 8 9 10

3,6 4,1 4,7 5,2 5,8

3,6 4,1 4,7 5,2 5,7

3,6 4,1 4,6 5,2 5,7

3,6 4,1 4,6 5,1 5,7

3,5 4,1 4,6 5,1 5,6

3,5 4,0 4,6 5,1 5,6

11 12 13 14 15

6,3 6,9 7,5 8,1 8,6

6,3 6,8 7,4 8,0 8,5

6,2 6,8 7,3 7,9 8,5

6,2 6,7 7,3 7,8 8,4

6,2 6,7 7,2 7,7 8,3

6,1 6,6 7,1 7,7 8,2

20 25 30 35 40 45 50

11,6 14,7 18,0 21,4 24,9 28,5 32,2

11,5 14,5 17,7 20,9 24,3 27,7 31,3

11,3 14,3 17,3 20,4 23,7 27,0 30,3

11,2 14,0 16,9 20,0 23,0 26,2 29,4

11,0 13,8 16,6 19,5 22,4 25,4 28,5

10,8 13,5 16,3 19,0 21,8 24,6 27,5

177

Tabellen I — V i l i

Tabelle Villi

(Fortsetzung)

Nominalzinssatz i =

Effektivverzinsung i'

Gesamtlaufzeit

n

12

6%

3%

4%

KO/ /O

°

6%

7%

8%

1 2 3 4 5

1,0 1,5 2,0 2,6 3,1

1,0 1,5 2,0 2,6 3,1

1,0 1,5 2,0 2,5 3,1

1,0 1,5 2,0 2,5 3,1

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

6 7 8 9 10

3,6 4,2 4,7 5,3 5,9

3,6 4,2 4,7 5,3 5,8

3,6 4,1 4,7 5,2 5,8

3,6 4,1 4,6 5,2 5,7

3,6 4,1 4,6 5,2 5,7

3,6 4,1 4,6 5,1 5,7

11 12 13 14 15

6,4 7,0 7,6 8,2 8,8

6,4 7,0 7,5 8,1 8,7

6,3 6,9 7,5 8,0 8,6

6,3 6,8 7,4 8,0 8,5

6,2 6,8 7,3 7,9 8,4

6,2 6,7 7,3 7,8 8,4

20 25 30 35 40 45 50

11,9 15,2 18,7 22,2 25,9 29,8 33,8

11,8 15,0 18,3 21,8 25,4 29,1 33,0

11,6 14,7 18,0 21,3 24,8 28,4 32,1

11,5 14,5 17,6 20,9 24,2 27,6 31,2

11,3 14,3 17,3 20,4 23,6 26,9 30,3

11,2 14,0 16,9 19,9 23,0 26,1 29,3

N i c o l a s , Finanzmathematik

Zusammenstellung der wichtigsten Symbole (alphabetisch)

a

— Aufgeld in Prozent =

X — a = a = An\ ~ ani = AÄI = anl — A — Bh — C = d — E = h = i j K K0 Kn m N n p

mittlere Laufzeit der Annuitätenanleihe mittlere Laufzeit der Ratenanleihe Aufgeld in Währungseinheiten nachschüssiger Rentenbarwert nachschüssiger Rentenbarwertfaktor vorschüssiger Rentenbarwert vorschüssiger Rentenbarwertfaktor Annuität Buchwert Zeichnungskurs Steigerungsbetrag Nettoertrag Anzahl der Tilgungen (Abschreibungen) — Zinssatz = V

= = Tilgungssatz -•- Kapital — Anfangskapital • --- Endkapital = Anzahl der Unterteilungen einer Zinsperiode - Anzahl der ganzzahligen Zinsperioden in der Laufzeit n (n = N+t) = Laufzeit (Anzahl der Zinsperioden); Anzahl der Ratenzahlungen = Zinsfuß

Zusammenstellung der wichtigsten Symbole p' Q Qh Ii r

= = = — = =

effektiver Anleihezinsfuß Abschreibungsquote Tilgungsquote Rentenrate Aufzinsungsfaktor = 1 + i nachschüssiger Rentenendwert

ss] SM] s«| Th V

= = = = =

nachschüssiger Rentenendwertfaktor vorschüssiger Rentenendwert vorschüssiger Rentenendwertfaktor Tilgungssumme Rückzahlungskurs

v

=

Abzinsungsfaktor y q j J = —••

Vh W Wr Wg Zn

= = = = —

Tilgungsrest Anschaffungswert Restwert Ertragswert Zinsbetrag

179

Formelübersicht ZINSRECHNUNG (Kapitel A) Zinsformel

Formel-

Nr. Seite

=

(1)

oder

Zn = K • v • n

oder

Zn =

V

wobei i = ^ ^

11

(1')

• T : — wobei T = Anzahl P der Tage (la)

1UU

11 31

Umformungen * = §

=i w

n

^

E n d w e r t f o r m e l Kn = X 0 (1 + in)

(5)

18

20

Umformungen

^ - H i H Barwertformel

(11)

-

" - T f f - -

K0 = ,

1

)

(i2)

28/29

(6)

21

(7)

24

.

(8)

25

wobei

(9)

26

1 +

in

Diskontformeln Barwert

S 0 = Kn

Endwert

SL =

= T=^T J _

v 1

1 + i'n

^

( 1 — in) K

1 — in

t = nomineller Diskontsatz i' = effektiver Diskontsatz

MQ\ •

gß

Formelübersicht

181

M i t t l e r e r Zahlungstermin b W

Formei-

=

1 +

1 -+- liij

•

1

-

1 + ¿«2

+

'''

j

W

" .

1 + in, "

Nr.

Seite

(13)

30

(15)

35

(16)

39

-

ZINSESZINSRECHNUNG (Kapitel B) Zinseszinsformel Endwert

Kn = K0- rn

Barwert

K0 = ^ - = Kn-v

wobei r = (1 + i) n

Umformungen der Endwertformel

"—

r=

| ( 2 6 ) ,

n=

Mf) log

r

(27)

56/58

bei unterjähriger Zinszahlung \ mn

1 Barwerf

(

Z0 =

(")

45

(18)

46

\ mn

K m n

1 + - ) bei Augeriblicksverzinsung Endwert Iin = K0 • e1'" Konforme Zinssätze wobei / ^ . \ i£' == ( l + — ] — 1 i = nomineller unterjährig m V ' zahlbarer Zinssatz ( " { / T + 7 ~ - i W ' = effektiver jährlich VC / zahlbarer Zinssatz

(19)

46

(20)

49

l)

51

(2

182

Formelübersicht

Formel-

wobei i = dekursiver (nachschüssiger) Zinssatz i = antizipativer (vorschüssiger) Zinssatz

t = —-—r 1+ 1 i ^_ 1 —i

Nr- Seite (22) 62

/gg-j ^

52

(24)

54

(25)

64

(29)

59

G e m i s c h t e Zinsen Endwert

Kn = K0 r* (1 + it) K K r,N K

° = w ^ f i t r i U

n

wobel

=

N

+

t

RENTENRECHNUNG (Kapitel C) Allgemeine E n d w e r t f o r m e l E = iKr", + 2Krnt + ... + vKrn* Allgemeine B a r w e r t f o r m e l 59 Rentenformeln nachschüssiger oder

vorschüssiger oder

Bentenendwert S s , = R (1 + r + r 2 + . . . + r n _ 1 ) i n ] = R • ss] rn -| rn 1 Snl1 = r = ^ r —1 1

(31)

60

(35)

64

(32)

61

(36) v

64

(51) '

81

K

Rentenendwert Ssi = R (r + r 2 + r 3 + . . . + rn) Sn) = R s«] rn _ 1 rre — 1 ssi = rt- = r r — 1 1

Umformungen

log r

(50), '

v

» =

V log r

L

K

Formelübersicht nachschüssiger

Renleribarwert

F°™elSeite

+ oder

183

+

(37)

65

(40)

68

An\ = Ran\

vorschüssiger

Rentenbarwert 65

oder Asi = ßasi (41)

68

81

Umformungen

_

log

-

log,

"=

log(

Beziehungen zwischen den Formeln der vor- und nachschüssigen Renten sn\ = —L bzw.

Sn| =

•r

sn\ = s^zj + 1 osi =

(34)

bzw.

a«| = aw, • r

an] = are+1 — 1 bzw. an| = a , + 1 Barwertformel nachschüssig

(33)

62 63

(42)

68

(39)

67

der ewigen Rente (n ->• oo) (43)

69

(44)

69

Konforme nachschüssige Rentenrate R' lei unterjähriger Zinszahlung und jährlich zahlbarer Rentenrate R R i R nachschüssig R' = -I==R— — (47)

75

vorschüssig

A— — R-Xf = ß •-r-

184

Formelübersicht R vorschüssig

i . rm = B— — am-\ rm — 1

R'=

*

FormelNr. Seite

(46) '

75

(48)

77

y

Konforme nachschüssige Rentenrate R' bei jährlicher Zinszahlung und unterjährig zahlbarer Rentenrate R R nachschüssig

R' = R

+ ~~2~~~

R vorschüssig

R' = B j m +

m

1

ij

Arithmetisch veränderliche Renten nachschüssiger Endwert bzw. (DS)ni = JBSSI ± 4 - (SH| - »)

(IS)*i

%

vorschüssiger

bzw. (DA)m =Ran|

vorschüssiger

(58)

85

(59)

87

— (60)

87

(61)

88

Renten

Endwert (FS)«! = R Endwert (FS)s] =

qn —

rn

— — •r i

vorschüssiger

85

—

(f)" nachschüssiger

85

Barwert

Geometrisch veränderliche

vorschüssiger

(56)

(57)

± 4 - («n| -

(/A)«| bzw. (DA)si = Ba«| ± - j

nachschüssiger

85

Endwert

( I S)»| bzw. (CS )»| = Bs »| ± 4 - (s »i - »• r) i nachschüssiger Barwert (IA)F

(55)

Barwert

(VA)n\=

R^—^

- 1

Barwert (FA)«i = (VA)JQ • r

für r > q wird (VA)~{

= B

Formelübersicht

185

TILGUNGS- UND ANLEIHERECHNUNG (Kapitel D) FormelNr. Seite

=K - L an1 A — Xi Qi =

(65)

96

(66)

96

(70)

98

(67)

97

T i l g u n g s s u m m e Th =

(68)

97

Schuldrest

(69)

97

Annuität

A

Tilgungsquote oder

Ql

=

K.J1

Qh = fei*-

Tilgungsdauer = log Ä - log(A - Ki) o d e r n = log A- l o g f t log r log r A i i *+ i Qi j j wobei n = "lögT" ° d e r W = iögr 1 = Tilgungssatz ( 6 4 )

1C4

104

Barwert der Tilgungsquolen B^

= nQ1 -i-

(71)

110

Barwert der Zinsen

B^

= K — nQ1 ~

(72)

111

Zuzählungsprovision

G

— nQ^-^j (73)

111

(74)

118

(75)

118

Konstante Abschreibungen W — WR Abschreibungsquote Q = — Buchwert

Bh=W

W — Wj> - h — n

; ' m = n W - H W für W R = 0 n —h

W

- W

R )

-

m

^

118

(77)

118

186

Formelübersicht

Abschreibungsquote unter Berücksichtigung ihres Zeitwertes w _ w„ Q= —

Sn]

—

rormei-

"

Nr'

Seite

(78)

119

(79)

119

(80)

120

Degressive Abschreibungen

1-

Buchwert

Bh=w[

Restwert

WR = Bn = W ( l -

j"

n

= 1—

Abschreibungsprozentsatz

Tf^ ^ 0

120

Progressive Abschreibungen

Buchwert

Bh = W -hQl-

.M^zJÜ

Ms^reibungs-

SÎZrS-

d (82)

121

^

*

m

^

121

(85)

123

(86)

124

(87)

124

A b s c h r e i b u n g e n u n t e r B e r ü c k s i c h t i g u n g des E r t r a g e s der A n l a g e

Ertragswert

W0 = Eau] + WR ~

Abschreibungsquote Qh = Buchwert

r„

_ ^ + 1 (E — WRÏ)

Bh = Wa — Q1s-jr,

KURS- UND RENTABILITÄTSRECHNUNG (Kapitel E) Gesamtfällige Anleihen

C = pa'n1 + C = p • a'S] +

ohne Aufgeld V

mit Aufgeld

(88) (89)

130 131

Formelübersicht

187

Ratenanleihe

^'seite

1 CR = — P n

T'— +

Va"1

mit Aufgeld.

(91)

137

(92)

138

(94)

139

Annuitätenanleihe C4 = 1 0 0 ^

ohne

CÄ=V^-ß~

mit Aufgeld

a ^

Aufgeld

U n g l e i c h e R ü c k z a h l u n g s b e t r ä g e Bv B2, _ C

B1C1 + B2C2 + ...

"

B

1 +

B

2

+

. . B

n

BnCn

+ . . . + Bn

(95)

140

Bei h a l b j ä h r l i c h e r Zahlung der A n l e i h e z i n s e n Gesamtfällige c

Anleihe

( l ) =

p

[

+

1 +

(96)

142

(97)

142

(98)

143

(102)

145

(103)

146

Ratenanleihe

Annuitätenanleihe

V-»•)«!. Bei a u f g e s c h o b e n e r Tilgung und jährlicher mC

= pa'-]

und halbjährlicher

Zinszahlung +

A . Zinszahlung

»cÜ) = P( i + x l ^

+ Ä

188

Formelübersicht

Ewige Kenten ( n - » o o ) ' jährliche Zinszahlung 6

FormeiNr. Seite

v

C=

= 100 ^r V

halbjährliche C=

(III)

157

V

Zinszahlung (

p

v

1 +

., t

t )

p „ ' = 100 -4- + 4p 4

Unverzinsliche Anleihen

(112) 157 '

v

V

Gesamtfällige Anleihe

C =

(115) 159

Ratenanleihe

Cjl — ~ Va'n\

(117) 159

Mittlere Laufzeit Ratenanleihe

er =

1 0

'"S"'* log r

1

Annuitätenanleihe logq»l + l o g l t / - t | - l o g | t > » - i / " | log r'

(104) 148

148

Faustformel zur Schätzung von p'

INTERPOLATION lineare

(120) 163

x = a±d2-^2

r»i(höheren Differenzen x = a0 + a\ {A - A0) + aj (4 - ¿0) (4 - AJ + a3"'(A-A0)(A-A1)(A-A2)+...

Literaturverzeichnis (In den angeführten Werken sind zum Teil weitere Literaturhinweise zu finden) Bader, H. und S. Fröhlich: Einführung in die Finanzmathematik. Berlin 1959. Coleman, J . B., and W. 0 . Rogers: Mathematics for finance and accounting. New York 1949. Herold, K . : Finanzmathematik. Berlin 1924. Hummel, P. M. and Ch. L. Seebeck: Mathematics of Finance. New York 1948. Isaac, A.: Praktische Anwendungen der Finanzmathematik. Essen 1954. — : Einführung in die Wirtschaftsmathematik. Essen 1956. Konradt, W. und W. Haas: Finanz- und Wirtschaftsmathematik. Darmstadt 1954. Kosiol, E . : Finanzmathematik. 10. Aufl. Wiesbaden 1966. Ladegast, K . : Finanzmathematik. Berlin 1929. Moore, J . : Handbook of Financial Mathematics. New York 1929. Northcott, J . A.: Mathematics of Finance. New York 1953. Rohmann, F . : Praktikum der Finanzmathematik. Hamburg 1957. Timpe, A.: Einführung in die Finanz- und Wirtschaftsmathematik. Wiesbaden 1953. Vogler, E . : Grundlagen der Errechnung der Effektivverzinsung festverzinslicher Anleihen und Schulden. Berlin 1935. Wolf, A.: Einführung in die politische Arithmetik. Wien 1957. TabellenwerTce Bosnjak, K . : Aufzinsung, Amortisation, Rentabilität der Kapitalanlagen und Anleihen. Leipzig 1932. Foerster, E . : Simon Spitzers Tabellen für die Zinseszinsen- und Rentenrechnung. 11. Aufl. Wien. Huss, E . und K . G. Hagström: Bond Values Tables. Stockholm 1929. Mair, W . : Tabellen der dekursiven und antizipativen Zinseszinsrechnung (12 stellig, elektronisch errechnet). Wien 1958.

190

Literaturverzeichnis

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Sachregister Abschreibungen 117ff. Effektivverzinsung —, degressive 119 f. von gesamtfälligen —, konstante 117f. Anleihen 129fF. —, progressive 120 ff. — von Tilgungsanleihen Abzinsen 21, 39, 40f., 133ff. — MindeBt- 133f. 43 f., 54 Abzinsungsfaktor 39 f. —, mittlere 135 f. Agio 108 ff. —, amerikanische Berechnungsmethode Anfangskapital 20f., 33ff. 143f. Anfangswert, Kapital20 f. Endkapital 19f., 33ff. Endwert-Kapital 19f., 45 Anleihe lOOff., 157f. Anleihekonversion 107, — -Rente 60 ff. 159 — -formel 20, 28f., 35, 40 f. Anleiherechnung 94ff. Annuität 94ff., 104f. —, vorschüssige 114ff. Interpolation 161 ff. Annuitätsschuld 95 — lineare 163 ff. Aufgeld 107 ff., 131 Aufzinsen 21, 40f., 43 f., — mit höheren Differenzen 165 ff. 54 Aufzinsungsfaktor 34, 39 f. Kapital 9, 33 — Barwert 20f., 38f., 45 Augenblicksverzinsung 46ff., 51 — Endwert 19f., 35, 45 Kapital ertragssteuer 160 f. Barwert — Kapital 20f., — -rente 90 38, 45 Kurs, mathematischer — Rente 68 f. 130 — Tilgungsquoten 110 — Emissions125 — Wechsel 23 ff. — Verkaufs- 150 — Zinsen HOf. — -parität 158 f. — Formel 21, 40f. bond yield tables 143f. — -rechnung 125ff. — -wert 125, 130ff. Diskont 22 f. — auf Hundert 28 — in Hundert 28 — von Hundert 28 Diskontsatz 7, 22ff. Diskontieren 22 ff.

Nennwert 42f., 107f., 125 Nominalbetrag 42f., 107f., 125 pari 125 Pfandbrief 155 Ratenschuld 95

— -Zahlung 60 f.

— —, unterjährige 73 f. Rendite, laufende 156 Rentabilität 128, 156 f. Rentabilitätsrechnung 125 ff., 130 Rente 60 f. —, ewige 69f.,87f.,155f. —, intermittierende 88f. —, nachschiisslge 60f., 65 f. —, unterbrochene 88 f. —, vorschüssige 61 f., 65f. —, Verkaufspreis 69 f. —, Zeitwert 70 Rentenbarwert 65 ff. —, Abzinsung 70ff. —, Aufzinsung 70 ff. Rentenendwert 60 ff. —, Abzinsung 70 ff. —, Aufzinsung 70 ff. Rentenrate 60f., 72f. —, arithmetisch veränderliche 83 ff. —, geometrisch veränderliche 86 f. —, konforme 73 ff. —, ungleiche 83 ff. Rentenrechnung 60 ff.

Landeszinsfuß 159 f. Laufzeit 9f., 13, 16ff., 39, 40f., 53 ff., 61 f., Schatzanweisungen 154, 80 ff. 158 — als ExponentialSchatzwechsel 158 funktion 35 Serientilgung 103 —, mittlere 146 ff. Schlußrate 78, 82 Effektivzinssatz 48 ff. Schuld, gesamtfällige 94 Effektivverzinsung von Anleihen 126ff., Mindesteffektivverzin— Annuitäten- 95 141ff„ 150 ff. sung 133f. — Raten- 95

192

Sachregister

Zahlungstermin, mitt- Zinseszins, unterjähriger lerer 29 f. 45ff., l l l f f . Zeichnungskurs 125 — -formel 33 f., 41 Zeitwert-Kapital 42 ff. Zinsformel 9 ff. — -fuß (s. a. Zinssatz) Tilgung, aufgeschobene — -Rente 70 f. Zins 5 9, 39 145 f. -anleiheformel 129 f. -Intensität 51 — — TUgungsdauer 104 ff. Zinsen 5 — -marge 8 — -plan »8 ff. —, antizipative 10, 52 f. — -periode 9, 73 — -quote 94, 95 f. —, dekursive 10f., 52 — -satz 11, 79f. — —, unterjährige —, einfache 10, 76 ff. — —, effektiver 14, lllff. —, gemischte 53 ff. 48 ff., 126 ff. — -rechnung 94 ff. —, lineare 21, 35 f. — —, konformer 48 ff. — -satz 104 —, nachschüssige 10f.,52 — —, nomineller 14, — -schuld 94 —, unterjährige 13, 73 ff. 48 ff. —, vorschüssige 10, 52f. — -schuld 94 Verzinsung (s. unter Zinsdivisor 31 f. — -termin 10 Zinsen u. Zinzeszins) Zinseszins 33ff. — —, abweichender —, antizipativer 52 f. 73 ff. Wachstumskonstante 46 —, kontinuierlicher 46ff., — -zahl 31 f. 51 Zuzählungsprovision 110 Wechseldiskontieren 22ff. Schuld, Tilgungs- 94 f. Schuldtilgung 94 ff. Stückzinsen 151

SAMMLUNG

GÖSCHEN

GESAMTVERZEICHNIS

Jeder Band D M 3,60 • Doppelband D M 5,80 Dreifachband D M 7,80

Herbst 1966

WALTER

DE

GRUYTER

& C O • B E R L I N 30

Inhaltsübersicht Biologie Botanik Chemie Deutsche Sprache u. Literatur Elektrotechnik Englisch Erd- u. Länderkunde . . . . Geologie Germanisch Geschichte Griechisch Hoch- u. Tiefbau Indogermanisch Kartographie Kristallographie Kunst Land-u. Forstwirtschaft . . Lateinisch Maschinenbau Mathematik Mineralogie

16 17 15 7 20 8 10 18 8 5 9 23 8 10 18 5 18 9 20 12 18

Musik Orientalistik Pädagogik Philosophie Physik Psychologie Publizistik Religion Romanisch Slavische Sprachen Soziologie Statistik Technik Technologie Volkswirtschaft Vermessungswesen Wasserbau Zoologie

5 9 3 3 14 3 10 4 8 . . . . 9 3 10 20 . 16 10 22 23 17

Autorenregister Bandnummernfolge

. . . .

31 24

Geisteswissenschaften Philosophie Einführung In die Philosophie v o n H. Leisegang f. 6. Auflage. 146 Seiten. 1966.(281) Hauptprobleme der Philosophie v o n G. Simmel f . 8., unveränderte A u f l a g e . 177 Seiten. 1964. (500) Geschichte der Philosophie I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 1. T e i l . V o n Thaies bis Leukippos. 3., erweiterte A u f l a g e . E t w a 135 Seiten. 1966. ( 8 5 7 ) I I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e v o n W.Capelle. 2. T e i l . V o n der Sophistik bis zum T o d e Piatons. 3., stark erweiterte A u f lage. E t w a 144 Seiten. 1966. In V o r b e r e i t u n g (858) I I I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W.Capelle. 3. Teil. V o m T o d e Piatons bis zur A l t e n Stoa. 2., stark erweiterte A u f l a g e . 132 Seiten. 1954. (859) I V : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e v o n W. Capelle. 4. T e i l . V o n der A l t e n Stoa bis zum Eklektizismus im 1. Jh. v . Chr. 2., stark erweiterte A u f l a g e . 132 Seiten. 1954. (863) V : D i e P h i l o s o p h i e d e s M i t t e l a l t e r s v o n J. Koch. I n V o r bereitung. (826) V I : V o n d e r R e n a i s s a n c e b i s K a n t v o n K. Schilling. 234 Seiten. 1954. (394/394 a ) V I I : I m m a n u e l K a n t von G. Lehmann. I n Vorbereitung. (536) V I I I : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s v o n Q.Lehmann. 1. T e i l . 151 Seiten. 1953. ( 5 7 1 ) I X : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s v o n G.Lehmann. 2. Teil. 168 Seiten. 1953. (709) X : D i e P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s 1. T e i l v o n G. Lehmann. 128 Seiten. 1957. (845) X I : D i e P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l des 20. J a h r h u n d e r t s 2. T e i l von G. Lehmann. 114 Seiten. 1960. (850) Die geistige Situation der Zelt (1931) von K. Jaspers. 6. A b d r u c k der im Sommer 1932 bearbeiteten 5. A u f l a g e . 211 Seiten. 1965. (1000) Erkenntnistheorie v o n G. Kropp. 1. T e i l : A l l g e m e i n e G r u n d l e g u n g . 143 Seiten. 1950. (807) Formale Logik von P . Lorenzen. 3., durchgesehene und erweiterte A u f lage. 184 Seiten. 1966. (1176/1176a) Philosophisches Wörterbuch v o n M. Apel f . 5., v ö l l i g neu bearbeitete A u f l a g e von P . Ludz. 315 Seiten. 1958. (1031/1031 a ) Philosophische Anthropologie. Menschliche Selbstdeutung in Geschichte und G e g e n w a r t v o n M. Landmann. 2., durchgesehene A u f l a g e . 223 Seiten. 1964. (156/156 a )

Pädagogik, Psychologie, Soziologie Geschichte der Pädagogik von Herrn. Weimer 17. Auflage von Heinz Weimer. 184 Seiten. 1967. (145/145a) Therapeutische Psychologie. Ihr W e g durch die Psychoanalyse von IV. M. Kranefeldt. M i t einer Einführung von C. G. Jung. 3. A u f lage. 152 Seiten. 1956. (1034)

3

GEISTESWISSENSCHAFTEN Allgemeine Psychologie von Th. Erismann f . 4 Bände. I : G r u n d p r o b l e m e . 3. Auflage. 146 Seiten. 1965. (831) I I : G r u n d a r t e n des p s y c h i s c h e n G e s c h e h e n s . 2., neubearbeitete Auflage. 248 Seiten. 1959. (832/832a) I I I : E x p e r i m e n t e l l e P s y c h o l o g i e und i h r e G r u n d l a g e n . 1. Teil. 2., neubearbeitete Auflage. 112 Seiten, 7 Abbildungen. 1962.(833) I V : E x p e r i m e n t e l l e P s y c h o l o g i e und i h r e G r u n d l a g e n . 2. Teil. 2., neubearbeitete Auflage. 199 Seiten, 20 Abbildungen. 1962. (834/834a) Soziologie. Geschichte und Hauptprobleme von L. von Wiese. 7. Auflage. 176 Seiten. 1964. (101) Ideengeschichte der sozialen Bewegung des 19. und 20. Jh. von W. Hofmann. 243 Seiten. 1962. (1205/1205a) Sozialpsychologie von P. R. Hofstätter. 2. Auflage. 191 Seiten, 18 Abbildungen. 1964. (104/104a) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moede f . 190 Seiten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851 a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 3. Auflage. 142 Seiten. 3 Figuren. 1965. (103) Wirtschaftssoziologie von F. Fürstenberg. 122 Seiten. 1961. (1193) Einführung in die Sozialethik von H.-D. Wendland. 144 S. 1963. (1203)

Religion Jesus von M. Dibelius f . 4. Auflage, mit einem Nachtrag von W. G. Kümmel. 140 Seiten. 1966. (1130) Paulus von M. Dibelius f . Nach dem Tode des Verfassers herausgegeben und zu Ende geführt von W. G. Kümmel. 3., durchgesehene Auflage. 156 Seiten. 1964. (1160) Luther von F. Lau. 2., verbesserte Auflage. 153 Seiten. 1966 (1187) Melanchthon von R. Stupperich. 139 Seiten. 1960. (1190) Zwlngll von F. Schmidt-Clausing. 119 Seiten. 1965. (1219) Sören Kierkegaard. Leben u. Werk von H. Ger des. 134Seiten. 1966.(1221) Einführung in die Konfessionskunde der orthodoxen Kirchen von K.Onasch. 291 Seiten. 1962. (1197/1197a) Geschichte des christlichen Gottesdienstes von W.Nagel. 215 Seiten. 1962. (1202/1202 a) Geschichte Israels. Von den Anfängen bis zur Zerstörung des Tempels (70 n.Chr.) von E.L. Ehrlich. 2.Aufl. 1966.1 nVorbereitung. (231 /231 a) Römische Religionsgeschichte von F. Altheim. 2 Bände. 2., umgearbeitete Auflage. I: G r u n d l a g e n und G r u n d b e g r i f f e . 116 Seiten. 1956. (1035) I I : D e r g e s c h i c h t l i c h e A b l a u f . 164 Seiten. 1956. (1052) Die Religion des Buddhismus von D. Schlingloff. 2 Bände. I : D e r H e i l s w e g d e s M ö n c h s t u m s . 122 Seiten, 11 Abbildungen, I Karte. 1962. (174) I I : D e r H e i l s w e g f ü r d i e W e l t . 129 Seiten, 9 Abbildungen, 1 Karte. 1963. (770) 4

GEISTESWISSENSCHAFTEN

Musik Musikästhetik von H. J. Moser. 180 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1953. (344) Systematische Modulation von R. Hernried. 2. Auflage. 136 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950. (1094) Der polyphone Satz von E. Pepping. 2 Bände. I: D e r c a n t u s - f i r m u s - S a t z . 2. Autlage. 233 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950. (1148) II: Ü b u n g e n i m d o p p e l t e n K o n t r a p u n k t u n d i m K a n o n . 137 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1957. (1164/1164a) Allgemeine Musiklehre von H. J. Moser. 2., durchgesehene Auflage. 155 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1955. (220/220a) Harmonielehre von H. J. Moser. 2 Bände. I : 109 Seiten. Mit 120 Notenbeispielen. 1954. (809) I I : In Vorbereitung. (810) Die Musik des 19. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 180 Seiten. 1953. (170) Die Musik des 20. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 312 Seiten. 1961. (171/171a) Technik der deutschen Gesangskunst von H. J. Moser. 3., durchgesehene und verbesserte Auflage. 144 Seiten, 5 Figuren sowie Tabellen und Notenbeispiele. 1954. (576/576a) Die Kunst des Dirigierens von Ii. W. von Waltershausen f . 2., vermehrte Auflage. 138 Seiten. Mit 19 Notenbeispielen. 1954. (1147) Die Technik des Klavierspiels aus dem Geiste des musikalischen K u n s t werkes von K. Schubert t. 3. Auflage. 110 Seiten. Mit Notenbeispielen. 1954. (1045)

Kunst Stilkunde von H. Weigert. 2 Bände. 3., durchgesehene und ergänzte Auflage. I : V o r z e i t , A n t i k e , M i t t e l a l t e r . 136 Seiten, 94 Abbildungen. 1958. (80) II: S p ä t m i t t e l a l t e r u n d N e u z e i t . 150 Seiten, 88 Abbildungen. 1958. (781) Archäologie von A. Rumpf. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g , h i s t o r i s c h e r Ü b e r b l i c k . 143 Seiten, 6 Abbildungen, 12 Tafeln. 1953. (538) II: D i e A r c h ä o l o g e n s p r a c h e . Die a n t i k e n Reproduktionen. 136 Seiten. 7 Abbildungen, 12 Tafeln. 1956. (539) III: In Vorbereitung. (540)

Geschichte Einführung in die Geschichtswissenschaft von P. Kirn. 4., durchgesehene Auflage. 127 Seiten. 1963. (270) Einführung in die Zeitgeschichte von B. Scheurig. 101 Seiten. 1962. (1204) 5

GEISTESWISSENSCHAFTEN Zeitrechnung der römischen Kaiserzeit, des Mittelalters und der Neuzelt f ü r die J a h r e 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmann f . 3. Auflage, durchgesehen von K.Aland. 130 Seiten. 1956. (1085) Kultur der Urzeit von F. Behn. 3 Bände. 4. Auflage der K u l t u r der Urzeit Bd. 1—3 von M. Hoernes. I : D i e v o r m e t a l l i s c h e n K u l t u r e n . (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige K u l t u r e n in anderen Erdteilen.) 172 Seiten, 48 Abbildungen. 1950. (564) I I : D i e ä l t e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Der Beginn der Metallbenutzung, K u p f e r - und Bronzezeit in Europa, im Orient und in Amerika.) 160 Seiten, 67 Abbildungen. 1950. (565) I I I : D i e j ü n g e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Das Eisen als K u l t u r metall, H a l l s t a t t - L a t e n e - K u l t u r in Europa. Das erste Auft r e t e n des Eisens in den anderen Weltteilen.) 149 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (566) Vorgeschichte Europas von F. Behn. Völlig neue Bearbeitung der 7. Auflage der „Urgeschichte der Menschheit" von M. Hoernes. 125 Seiten, 47 Abbildungen. 1949. (42) Der Eintritt der Germanen in die Geschichte von J. Hatler f . 3. Auflage, durchgesehen von H. Dannenbauer. 120 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1957. (1117) Von den Karolingern zu den Staufern. Die altdeutsche Kaiserzeit (900—1250) von J. Hatler f . 4., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 142 Seiten, 4 K a r t e n . 1958. (1065) Von den Staufern zu den Habsburgern. Auflösung des Reichs und E m p o r k o m m e n der Landesstaaten (1250 —1519) von J. Hatler f . 2., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 118 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1960. (1077) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreformation und des dreißigjährigen Krieges von F. Härtung. 2., d u r c h gesehene Auflage. 128 Seiten. 1963. (1105) Deutsche Geschichte von 1648—1740. Politischer und geistiger Wiedera u f b a u von W. Treue. 120 Seiten. 1956. (35) Deutsche Geschichte von 1713—1806. Von der S c h a f f u n g des europäischen Gleichgewichts bii zu Napoleons H e r r s c h a f t von W. Treue. 168 Seiten. 1957. (39) Deutsche Geschichte von 1806—1890. Vom E n d e des alten bis zur Höhe des neuen Reiches von W. Treue. 128 Seiten. 1961. (893) Deutsche Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart von W. Treue. In Vorbereitung. (894) Quellenkunde der Deutschen Geschichte im Mittelalter (bis zur Mitte des 15. J a h r h u n d e r t s ) von K . Jacob f . 3 Bände. I: E i n l e i t u n g . A l l g e m e i n e r Teil. D i e Z e i t d e r K a r o l i n g e r . 6. Auflage, b e a r b e i t e t von H. Hohenleutner. 127 Seiten. 1959. (279) I I : D i e K a i s e r z e i t (911-1250). 5. Auflage, n e u b e a r b e i t e t von H. Hohenleutner. 141 Sehen. 1961. (280) I I I : D a s S p ä t m i t t e l a l t e r (vom Interregnum bis 1500). Herausgegeben von F. Weden. 152 Seiten. 1952. (284) 6

GEISTESWISSENSCHAFTEN Geschichte Englands von H. Preller. 2 Bände. I : bis 1815. 4., s t a r k umgearbeitete Auflage. E t w a 135 Seiten, 7 S t a m m t a f e l n , 2 K a r t e n . 1966. Im Druck. (375) I I : V o n 1815 b i s 1910. 2., völlig umgearbeitete Auflag^. 118 Seiten, 1 S t a m m t a f e l , 7 K a r t e n . 1954. (1088) . Römische Geschichte von F. Altheim. 4 Bände. 2., verbesserte Auflage. I : B i s z u r S c h l a c h t b e i P y d n a (168 v. Chr.). 124 Seiten. 1956. (19) I I : B i s z u r S c h l a c h t b e i A c t i u m (31 v. Chr.). 129 Seiten, 1956. (677) I I I : B i s z u r S c h l a c h t a n d e r M i l v i s c h e n B r ü c k e (312 n. Chr.). 148 Seiten. 1958. (679) IV: B i s z u r S c h l a c h t a m Y a r m u k (636 n. Chr.). In Vorbereitung. (684) Geschichte der Vereinigten Staaten von Amerika von O. Graf zu StolbergWernigerode. 192 Seiten, 10 K a r t e n . 1956. (1051/1051a)

Deutsche Sprache und Literatur Geschichte der Deutschen Sprache von H. Sperber. 5., neubearbeitete Auflage von P . von Polenz. 136 Seiten. 1966. (915) Deutsches Rechtschreibungswörterbuch von M. Gottschald f . 2., verbesserte Auflage. 269 Seiten. 1953. (200/200a) Deutsche Wortkunde. Kulturgeschichte des deutschen Wortschatzes von A. Schirmer. 5. Auflage von W. Mitzka. 125 Seiten. 1965. (929) Deutsche Sprachlehre von W. Hofstaetter. 10. Auflage. Völlige U m a r b e i t u n g der 8. Auflage. 150 Seiten. 1960. (20) Stimmkunde f ü r Beruf, K u n s t und Heilzwecke von H. Biehle. 111 Seit e n . 1955. (60) Redetechnik. E i n f ü h r u n g in die Rhetorik von H. Biehle. 2., erweiterte Auflage. 151 Seiten. 1961. (61) Grundlagen der Sprecherziehung von J. Jesch 1966. In Vorbereitung (1122/1122a) Deutsches Dichten und Denken von der germanischen bis zur staufischen Zelt von H. Naumann t. (Deutsche Literaturgeschichte vom 5.—13. J a h r h u n d e r t . ) 3., verbesserte Auflage. 1966. (1121) Deutsches Dichten und Denken vom Mittelalter zur Neuzelt von G. Müller (1270 bis 1700). 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. In Vorbereitung. (1086) Deutsches Dichten und Denken von der Aufklärung bis zum Realismus (Deutsche Literaturgeschichte von 1700—1890) von K. Vietor f . 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1958. (1096) Deutsche Heldensage von H. Schneider. 2. Auflage, bearbeitet von R. Wisniewski. 148 Seiten. 1964. (32) Der Nibelunge Not U Auswahl. Mit kurzem W ö r t e r b u c h herausgegeben von K . Langosch. 11., durchgesehene Auflage. 166 Seiten. 1966. (1) Kudrun und Dietrich-Epen in Auswahl mit Wörterbuch von O. L. Jiriczek. 6. Auflage, bearbeitet von R. Wisniewski. 173 Seiten. 1957. (10) Wolfram von Eschenbach. Parzifal. Eine Auswahl mit A n m e r k u n g e n und W ö r t e r b u c h von H. Jantzen. 3. Auflage, bearbeitet von H. Kolb. 128 Seiten. 1966. (921) 7

GEISTESWISSENSCHAFTEN Hartmann von Aue. Der arme Heinrich nebst einer Auswahl aus der „ K l a g e " dem „ G r e g o r i u s " und den Liedern ( m i t einem W ö r t e r verzeichnis) herausgegeben v o n F.Maurer. 96 Selten. 1958. ( 1 8 ) Gottfried von Straßburg. Tristan und Isolde in Auswahl herausgegeben v o n F. Maurer. 2. A u f l a g e . 142 Seiten. 1965. (22) Die deutschen Personennamen v o n M. Gottschald f . 2., verbesserte A u f l a g e . 151 Seiten. 1955. (422) Althochdeutsches Elementarbuch. G r a m m a t i k und T e x t e von H. Naumann f und W. Betz. 4., verbesserte und v e r m e h r t e A u f l a g e . 183 Seiten. 1966. (1111/11 I I a ) Mittelhochdeutsche Grammatik v o n H. de Boor und R. Wisniewski. 4., verbesserte und ergänzte A u f l a g e . 150 Seiten. 1965. (1108)

Indogermanisch, Germanisch Indogermanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 5. A u f l a g e . 110 Seiten. 1966. ( 5 9 ) I I : F o r m e n l e h r e . 4 . , neubearbeitete A u f l a g e . 100Seiten. 1963. (64) Sanskrit-Grammatik m i t sprachvergleichenden Erläuterungen v o n M. Mayrhofer. 2., v ö l l i g neu bearbeitete A u f l a g e . 110 Seiten. 1965. (1158/1158a) Aitlrische Grammatik v o n J. Pokorny. 2. A u f l a g e . In V o r b e r e i t u n g . (896 Gotisches Eiementarbuch. G r a m m a t i k . T e x t e m i t Übersetzung und Erläuterungen v o n H. Hempel. 4., neubearbeitete A u f l a g e . 169 Seiten. 1966. (79/79a) Altnordisches Elementarbuch. Einführung, G r a m m a t i k , T e x t e ( z u m T e i l mit Ü b e r s e t z u n g ) und W ö r t e r b u c h von F. Ranke. 3., v ö l l i g umgearb. A u f l a g e vo nD. Hofmann. E t w a 180 Seiten. 1967. I m Druck. (1115/1115a) Germanische Sprachwissenschaft v o n H. Krähe. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 6. A u f l a g e . 147 Seiten. 1966. (238) I I : F o r m e n l e h r e . 5., verbesserte A u f l a g e . 149 Seiten. 1965. (780) I I I : W o r t b i l d u n g s l e h r e v o n W. Meid. E t w a 240 Seiten. 1966. (1218/1218a/1218b)

Englisch, Romanisch Altenglisches Elementarbuch. Einführung, G r a m m a t i k , T e x t e mit Übersetzung und W ö r t e r b u c h v o n M. Lehnert. 6., verbesserte A u f l a g e . 178 Seiten. 1965. (1125) Mittelenglisches Elementarbuch v o n H. Weinstock. 1967. In V o r b e reitung (1226/1226 a ) Historische neuenglische Laut- und Formenlehre von E. Ekwall. 4., verbesserte A u f l a g e . 150 Seiten. 1965. (735) Englische Phonetik v o n H. Mutschmann f . 2. A u f l a g e , bearbeitet von G. Scherer. 127 Seiten. 1963. (601) Englische Literaturgeschichte v o n F. Schubel. 4 Bände. I : D i e a l t - u n d m i t t e l e n g l i s c h e P e r i o d e . l 6 3 S e i t e n . l 9 5 4 . ( l 114) I I : V o n d e r R e n a i s s a n c e b i s z u r A u f k l ä r u n g . 160 Seiten. 1956. (1116) I I I : R o m a n t i k u n d V i k t o r i a n i s m u s . 160 Seiten. 1960. (1124)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Beowulf von M. Lehnert. Eine Auswahl mit Einführung, teilweiser Übersetzung, Anmerkungen und etymologischem Wörterbuch. 4., verbesserte Auflage. 135 Seiten. 1966. (1135) Shakespeare von P. Meißner f . 2. Auflage, neubearbeitet von M. Lehnert. 136 Seiten. 1954. (1142) Romanische Sprachwissenschaft von H. Lausberg. 4 Bände. I : E i n l e i t u n g u n d V o k a l i s m u s . 2., durchgesehene Auflage. 211 Seiten. 1963. ( 1 2 8 / 1 2 8 a ) I I : K o n s o n a n t i s m u s . 2. Auflage. 1966. I m Druck. (250) I I I : F o r m e n l e h r e . 1. Teil. 99 Seiten. 1962. (1199) I I I : F o r m e n l e h r e . 2. Teil. S. 9 9 — 2 6 0 . 1962. ( 1 2 0 0 / 1 2 0 0 a ) I V : W o r t l e h r e . In Vorbereitung. (1208)

Griechisch, Lateinisch Griechische Sprachwissenschaft von W. Brandenstein. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g . L a u t s y s t e m , E t y m o l o g i e . 160 Seiten. 1954. (117) I I : W o r t b i l d u n g u n d F o r m e n l e h r e . 192 Seiten. 1959. (118/ 118a) I I I : S y n t a x I . E i n l e i t u n g . Die Flexibilien. 145 Seiten. 1966. (924/ 924a) Geschichte der griechischen Sprache. 2 Bände I : B i s z u m A u s g a n g d e r k l a s s i s c h e n Z e i t von O. Hoffmann t- 3. Auflage, bearbeitet von A. Debrunner f . 156 Seiten. 1953.(111) II: Grundfragen und G r u n d z ü g e des nachklassischen G r i e c h i s c h von A. Debrunner f . 144 Seiten. 1954. (114) Geschichte der griechischen Literatur von W. Nestle. 2 Bände. 3. Auflage, bearbeitet von W. Liebich. I : 144 Seiten. 1961. (70) I I : 149 Seiten. 1963. (557) Grammatik der neugriechischen Volkssprache von J. Kalitsunakis. 3., wesentlich erweiterte und verbesserte Auflage. 196 Seiten. 1963. (756/756a) Neugriechisch-deutsches Gesprächsbuch von J. Kalitsunakis. 2. Auflage, bearbeitet von A. Steinmetz. 99 Seiten. 1960. (587) Geschichte der lateinischen Sprache von F. Stolz und . Debrunner f. 4., stark umgearbeitete Auflage von W. P. Schmid. 145 Seiten. 1966. ( 4 9 2 / 4 9 2 a) Geschichte der römischen Literatur von L. Bieler. 2., verbesserte Auflage. 2 B ä n d e . I : D i e L i t e r a t u r d e r R e p u b l i k . 160 Seiten. 1965. (52) I I : D i e L i t e r a t u r d e r K a i s e r z e i t . 133 Seiten. 1965. (866)

Orientalistik, Slavistik Die Keilschrift von B. Meissner. 3. Auflage, neubearbeitet von K . Oberhuber. E t w a 150 Seiten. 1966. (708/708a./708b) Die Hieroglyphen von A. Erman. 3. Auflage, neu bearbeitet von O. Krückmann. 1966. In Vorbereitung. ( 6 0 8 . 6 0 8 a / 6 0 8 b )

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Hebräische Grammatik v o n R. Meyer. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g , S c h r i f t - u n d L a u t l e h r e . 3., neubearbeitete A u f lage. 120 Seiten. 1966. (763/763 a/763b) I I : F o r m e n l e h r e u n d F l e x i o n s t a b e l l e n . 3. A u f l a g e . In V o r bereitung. (764/764 a/764b) I I I : S a t z l e h r e . In Vorbereitung (765/765a/765b) Hebräische G r a m m a t i k Hebräisches Textbuch zu G. Beer-R. Meyer, v o n R. Meyer. 170 Seiten. 1960. (769/769a) Slavische Sprachwissenschaft v o n H. Bräuer. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g , L a u t l e h r e . 221 Seiten. 1961. (1191/1191 a ) Vergleichende Geschichte der slavlschen Literaturen v o n D. Tschiiewskij. 2 Bände. 1966. In V o r b e r e i t u n g . I : E i n f ü h r u n g . A n f ä n g e des slavischen S c h r i f t t u m s bis z u m Klassizismus. (1222/1222a) I I : R o m a n t i k b i s z u r M o d e r n e . (1223/1223a) Russische Grammatik v o n E. Berneker f . 6., verbesserte A u f l a g e v o n M. Vasmerf. 155 Seiten. 1961. (66) Polnische Grammatik von N. Damerau. E t w a 140 Seiten. 1967. (942/ 942a)

Erd- und Länderkunde, Kartographie Afrika von F. Jaeger. Ein geographischer Uberblick. 2 Bände. 3. A u f l a g e . I : D e r L e b e n s r a u m . 179 Seiten, 18 A b b i l d u n g e n . In Vorbereitung. (910) I I : M e n s c h u n d K u l t u r . 155 Seiten, 6 A b b i l d u n g e n . In V o r bereitung. (911) Australien und Ozeanien v o n H. J. Krug. 176 Seiten, 46 Skizzen. 1953. (319) Kartographie v o n V. Heissler. 2. A u f l a g e . 213 Seiten, 125 A b b . , 8 A n lagen. 1966. (30/30 a )

Volkswirtschaft, Statistik, Publizistik

Allgemeine Betriebswirtschaftslehre von K.Mellerowicz. 4 Bände. 11. und 12., durchgesehene A u f l a g e . I : 224 Seiten. 1964. (1008/1008a) I I : 188 Seiten. 1966. (1153/1153a) I I I : 260 Seiten. 1963. (1154/1154a) I V : 209 Seiten. 1963. (1186/1186a) Allgemeine Volkswirtschaftslehre v o n A. Paulsen. 4 Bände. I:

G r u n d l e g u n g , W i r t s c h a f t s k r e i s l a u f . 7. A u f l a g e . 159 Seiten, 11 Abbildungen. 1966. (1169) I I : H a u s h a l t e , U n t e r n e h m u n g e n , M a r k t f o r m e n . 7. A u f l a g e . 172 Seiten, 31 A b b i l d u n g e n . 1966. (1170) I I I : P r o d u k t i o n s f a k t o r e n . 5. A u f l a g e . 198 Seiten, 24 A b b i l d u n gen. 1966. (1171) I V : G e s a m t b e s c h ä f t i g u n g , K o n j u n k t u r e n , W a c h s t u m . 4., neubearbeitete und ergänzte A u f l a g e . 188 Seiten. 1966.(1172) Übungsaufgaben mit Lösungen zur A l l g e m e i n e n Volkswirtschaftslehre I/II von A. Paulsen von W. Wedig. E t w a 160 Seiten. 1966. (1227/ 1227 a )

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Geschichte der Volkswirtschaftslehre von S. Wendt. 182 S. 1961. (1194) Allgemeine Volkswirtschaftspolitik von H. Ohm. 2 Bände. I : S y s t e m a t i s c h - T h e o r e t i s c h e G r u n d l e g u n g . 2., verbesserte und ergänzte Auflage. 137 Seiten, 6 Abbildungen. 1965. (1195) II: D e r v o l k s w i r t s c h a f t l i c h e G e s a m t o r g a n i s m u s a l s O b j e k t d e r W i r t s c h a f t s p o l i t i k . In Vorbereitung. (1196) Finanzwissenschaft von H. Kolms. 4 Bände. I : G r u n d l e g u n g , Ö f f e n t l i c h e A u s g a b e n . 3., verbesserte Auflage. 165 Seiten. 1966. (148) II: E r w e r b s e i n k ü n f t e , G e b ü h r e n u n d B e i t r ä g e , A l l g e m e i n e S t e u e r l e h r e . 3., verbesserte Auflage. 154 Seiten. 1966. (391) III: B e s o n d e r e S t e u e r l e h r e . 2., verbesserte und ergänzte Auflage. 178 Seiten. 1966. (776/776a) IV: Ö f f e n t l i c h e r K r e d i t , ö f f e n t l i c h e r H a u s h a l t . F i n a n z a u s g l e i c h . 191 Seiten. 1964. (782/782a) Finanzmathematik von M.Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Programmierung von Datenverarbeitungsanlagen von H. J. Schneider, D. Jurksch. E t w a 128 Seiten, 8 Tabellen, 11 Abbildungen. 1967. (1225/1225 a) Lineare Programmierung von H. Langen. E t w a 200 Seiten. (1206/1206a) Buchhaltung und Bilanz von E. Kosiol. 170 Seiten. 1964. (1213/1213a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 3. Auflage. 142 Seiten, 3 Figuren. 1965. (103) Wirtschaftssoziologie von F. Fürstenberg. 122 Seiten. 1961. (1193) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moedet. 190 Seiten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851a) Einführung in die Arbeitswissenschaft von H. H. Hilf. 169 Seiten, 57 Abbildungen. 1964. (1212/1212a) Allgemeine Methodenlehre der Statistik von J. Pfanzagl. 2 Bände. I: E l e m e n t a r e M e t h o d e n u n t e r b e s o n d e r e r B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r A n w e n d u n g e n in d e n W i r t s c h a f t s - u n d S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n . 3., neubearbeitete Auflage.266Seiten, 50 Abbildungen. 1966. (746/746a) II: H ö h e r e M e t h o d e n u n t e r b e s o n d e r e r B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r A n w e n d u n g e n in N a t u r w i s s e n s c h a f t e n , M e d i z i n u n d T e c h n i k . 2., verbesserte Auflage. 315 Seiten, 41 Abbildungen. 1966. (747/747 a) Zeltungslehre von E. Dovifat. 2 Bände. 5., neubearbeitete Auflage. I: T h e o r e t i s c h e u n d r e c h t l i c h e G r u n d l a g e n — N a c h r i c h t u n d M e i n u n g — S p r a c h e u n d F o r m . 149 Seiten. 1966. Im Druck. (1039) II: R e d a k t i o n — Die S p a r t e n : V e r l a g und Vertrieb, W i r t s c h a f t und Technik — Sicherung der öffentlichen A u f g a b e . 168 Seiten. 1966. Im Druck. (1040)

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Naturwissenschaften Mathematik Geschichte der Mathematik von J. E. Hofmann. 4 Bände. I: V o n den A n f ä n g e n bis zum A u f t r e t e n v o n Fermat u n d D e s c a r t e s . 2., verbesserte und v e r m e h r t e A u f l a g e . 251 Seiten. 1963. (226/226a) II: V o n F e r m a t und D e s c a r t e s bis zur E r f i n d u n g des Calculus und bis z u m A u s b a u der neuen M e t h o d e n . 109 Seiten. 1957. (875) III: V o n den A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n um den C a l c u l u s b i s z u r f r a n z ö s i s c h e n R e v o l u t i o n . 107 Seiten. 1957. (882) I V : G e s c h i c h t e d e r M a t h e m a t i k d e r n e u e s t e n Z e i t von N. Stuloff. In Vorbereitung. (883) Mathematische Formelsammlung v o n F.O. Ringleb. 8., verbesserte A u f lage. E t w a 320 Seiten, 40 Figuren. 1967. (51/51 a ) Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt v o n H. Schubert und R. Haussner. 3., neubearbeitete A u f l a g e v o n J. Erlebach. 158 Seiten. 1960. ( 8 1 ) Fünfstellige Logarithmen mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig v o r k o m m e n d e n Zahlenwerten v o n A. Adler. 4. A u f l a g e , überarbeitet von J. Erlebach. 127 Seiten, 1 T a f e l . 1962. (423) Arithmetik v o n P. B. Fischer f . 3. A u f l a g e v o n H. Rohrbach. 152 Seiten, 19 A b b i l d u n g e n . 1958. ( 4 7 ) Höhere Algebra von H. Hasse. 2 Bände. 5., neubearbeitete A u f l a g e . I : L i n e a r e G l e i c h u n g e n . 150 Seiten. 1963. ( 9 3 1 ) I I : G l e i c h u n g e n h ö h e r e n G r a d e s . 158 Seiten, 5 Figuren. 1966. (932) Aufgabensammlung zur höheren Algebra v o n H. Hasse und W. Klobe. 3., verbesserte A u f l a g e . 183 Seiten. 1961. (1082) Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt v o n W. Krull. 2 Bände. I : 3., erweiterte Auflage. 148 Seiten. 1963. (930) I I : 132 Seiten. 1959. (933) Lineare Programmierung von H. Langen. E t w a 200 Seiten. (1206/1206a) Algebraische Kurven und Flächen v o n W. ßurau. 2 Bände. I : A l g e b r a i s c h e K u r v e n d e r E b e n e . 153 Seiten, 28 A b b i l dungen. 1962. (435) I I : A l g e b r a i s c h e F l ä c h e n 3 . G r a d e s und R a u m k u r v e n 3. und 4. Grades. 162 Seiten, 17 A b b i l d u n g e n . 1962. (436/436a) Einführung In die Zahlentheorie von A.Scholz f . Ü b e r a r b e i t e t und herausgegeben v o n B. Schoeneberg. 4. A u f l a g e . 128 Seiten. 1966. (1131) Formale Logik von P. Lorenzen. 3., durchgesehene und e r w e i t e r t e A u f lage. 184 Seiten. 1966. (1176/1176a)

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NATURWISSENSCHAFTEN Topologle von W. Franz. 2 Bände. I : A l l g e m e i n e T o p o l o g i e . 2., verbesserte Auflage. 144 Seiten, 9 Figuren. 1965. (1181) II: A l g e b r a i s c h e T o p o l o g i e . 153 Seiten. 1965. (1182/1 lS2a) Elemente der Funktionentheorie von K. Knopp f . 7. Auflage. 144 Seiten, 23 Figuren. 1966. (1109) Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. 11. Auflage. I: G r u n d l a g e n d e r a l l g e m e i n e n T h e o r i e d e r a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n . 144 Seiten, 8 Figuren. 1965. (668) II: A n w e n d u n g e n u n d W e i t e r f ü h r u n g d e r a l l g e m e i n e n T h e o r i e . 130 Seiten, 7 Figuren. 1965. (703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. I : A u f g a b e n z u r e l e m e n t a r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 7. A u f lage. 135 Seiten. 1965. (877) II: A u f g a b e n z u r h ö h e r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 6. Auflage. 151 Seiten. 1964. (878) Differential- und Integralrechnung von M. Barner. ( F r ü h e r Witting). 4 Bände. I : G r e n z w e r t b e g r i f f , D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g . 2., durchgesehene Auflage. 176 Seiten, 39 Figuren. 1963. (86) Gewöhnliche Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 7., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 142 Seiten. 1965. (920/920 a) Partielle Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 4., durchgesehene Auflage. 128 Seiten. 1960. (1003) Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 4., neubearbeitete Auflage. 153 Seiten. 1964. (1059/1059a) Integralgleichungen von G. Hoheisel. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 112 Seiten. 1963.(1099) Mengenlehre von E. Kamke. 5. Auflage. 194 Seiten, 6 Figuren. 1965. (999/999 a) Gruppentheorie von L. Baumgartner. 4., erweiterte Auflage. 190 Seiten, 3 Tafeln. 1964. (837/837 a) Ebene und sphärische Trigonometrie von G. Hessenbergt. 5. Auflage, durchgesehen von H. Kneser. 172 Seiten, 60 Figuren. 1957. (99) Darstellende Geometrie von W. Haack. 3 Bände. I: Die w i c h t i g s t e n D a r s t e l l u n g s m e t h o d e n . G r u n d - u n d A u f r i ß e b e n f l ä c h i g e r K ö r p e r . 5. Auflage. 113 Seiten, 120 Abbildungen. 1965. (142) II: K ö r p e r m i t k r u m m e n B e g r e n z u n g s f l ä c h e n . K o t i e r t e P r o j e k t i o n e n . 4., durchgesehene Auflage. 129 Seiten, 86 Abbildungen. 1965. (143) III: A x o n o m e t r i e und P e r s p e k t i v e . 3. Auflage. 129 Seiten, 100 Abbildungen. 1965. (144) Analytische Geometrie von K. P. Grotemeyer. 3., neubearbeitete Auflage. 218 Seiten, 73 Abbildungen. 1964. (65/65a) Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene von R. Baldust. 4. Auflage, bearbeitet und ergänzt von F. Löbell. 158 Seiten, 75 Figuren. 1964. (970/970a) 13

NATURWISSENSCHAFTEN Differentialgeometrie von K. Strubecker. 3 Bände. I : K u r v e n t h e o r i e d e r E b e n e u n d d e s R a u m e s . 2., erweiterte Auflage. 253 Seiten, 45 Figuren. 1964. (1113/1113a) I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n m e t r i k . 195 Seiten, 14 Figuren. 1958. (1179/1179a) I I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n k r ü m m u n g . 254 Seiten, 38 Figuren. 1959. (1180/1180a) Variationsrechnung von L. Koschmieder. 2 Bände. 2., n e u b e a r b e i t e t e Auflage. I: D a s f r e i e u n d g e b u n d e n e E x t r e m e i n f a c h e r G r u n d i n t e g r a l e . 128 Seiten, 23 Figuren. 1.962. (1074) II: A n w e n d u n g k l a s s i s c h e r V e r f a h r e n a u f allgemeine F r a g e n des E x t r e m s . — Neuere u n m i t t e l b a r e Verf a h r e n . In Vorbereitung. (1075) Einführung In die konforme Abbildung von L. Bieberbach. 6. Auflage. E t w a 180 Seiten, 42 Figuren. 1966. In Vorbereitung. (768/768a) Vektoren und Matrizen von S. Valentiner. 4. Auflage. (11., erweiterte Auflage der „Vektoranalysis"). Mit A n h a n g : Aufgaben zur Vektorrechnung von H. König. 206 Seiten, 35 Figuren. 1967. (354/354a) Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie von H. Bauer. 2 Bände. I : 154 Seiten. 1964. (1216/1216a) I I : In Vorbereitung. (1217) Versicherungsmathematik von F. Böhm. 2 Bände. I : E l e m e n t e d e r V e r s i c h e r u n g s r e c h n u n g . 3., v e r m e h r t e und verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 151 Seiten. 1953. (180) II: L e b e n s V e r s i c h e r u n g s m a t h e m a t i k . E i n f ü h r u n g in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 2., verbesserte und v e r m e h r t e Auflage. 205 Seiten. 1953. (917/917 a) Finanzmathematik von M.Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Kinematik von H. R. Müller. 171 Seiten, 75 Figuren. 1963. (584/584 a )

Physik Einführung In die theoretische Physik von W. Döring. 5 Bände. I: M e c h a n i k . 3., verbesserte Aufl. 125 Seiten, 23 Abb. 1965.(76) II: D a s e l e k t r o m a g n e t i s c h e F e l d . 2., verbesserte Auflage. 132 Seiten, 15 Abbildungen. 1962. (77) III: O p t i k . 2., verbesserte Auflage. 117 Seiten, 32 Abbildungen. 1963. (78) IV: T h e r m o d y n a m i k . 2., verbesserte Auflage. 107 Seiten, 9 Abbildungen. 1964. (374) V: S t a t i s t i s c h e M e c h a n i k . 2., umgearbeitete Auflage. 117 Seiten, 10 Abbildungen. 1966. (1017) Mechanik deformierbarer Körper von M. Päsler. 199 Seiten, 48 Abbildungen. 1960. (1189/1189a)

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NATURWISSENSCHAFTEN Atomphysik von K. Bechert, Ch. Gerthsent und A. Flammersfeld. 7 Bände. 4., durchgesehene Auflage. I: A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n . 1. Teil von A. Flammersfeld. 124 Seiten, 35 Abbildungen. 1959. (1009) II: Allgemeine G r u n d l a g e n . 2. Teil von A.Flammersfeld. 112 Seiten, 47 Abbildungen. 1963. (1033) I I I : T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 1. Teil von K. Bechert. 148 Seiten, 16 Abbildungen. 1963. ( 1 1 2 3 / 1 1 2 3 a ) I V : T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 2. Teil von K. Bechert. 170 Seiten, 14 Abbildungen. 1963. ( 1 1 6 5 / 1 1 6 5 a ) Differentialgleichungen der Physik von F. Sauter. 4., durchgesehene und ergänzte Auflage. 147 Seiten, 16 Figuren. 1966. (1070) Physikalische Formelsammlung von G. Mahler. f . Fortgeführt von K. Mahler. Neubearbeitet von H.Graewe. 11. Auflage. 167 Seiten, 69 Figuren. 1963. (136) Physikalische Aufgabensammlung mit Ergebnissen von G. Mahler f . Fortgeführt von K. Mahler. Neubearbeitet von H. Graewe. 12. Auflage. 141 Seiten. 1964. (243)

Chemie Geschichte der Chemie in kurzgefaßter Darstellung von G. Lockemann. 2 Bände. 2. Auflage. I: V o m A l t e r t u m bis zur E n t d e c k u n g des S a u e r s t o f f s . 142 Seiten, < Bildnisse. In Vorbereitung. (264) II: Von der E n t d e c k u n g des S a u e r s t o f f s bis zur Gegenw a r t . 151 Seiten, 16 Bildnisse. In Vorbereitung ( 2 6 5 / 2 6 5 a ) Anorganische Chemie von W. Klemm. 13. Auflage. 255 Seiten, 3 4 Abbildungen. 1964. (37/37 a) Organische Chemie von W.Schlenk jun. 10., erweiterte Auflage. 273 Seiten, 16 Abbildungen. 1965. ( 3 8 / 3 8 a ) Physikalische Methoden In der Organischen Chemie von G. Kresze. 2 Bände. I : 119 Seiten, 65 Abbildungen. 1962. (44) . I I : 164 Seiten. 1962. ( 4 5 / 4 5 a ) Allgemeine und physikalische Chemie von W. Schulze. 2 Bände. I : 6., verbesserte Auflage. 139 Seiten, 10 Figuren. 1964. (71) I I : 6., verbesserte Auflage. 178 Seiten, 37 Figuren. 1966. ( 6 9 8 / 6 9 8 a ) Molekülbau. Theoretische Grundlagen und Methoden der S t r u k t u r ermittlung von W.Schulze. 123 Seiten, 43 Figuren. 1958. (786) Einfache Versuche zur allgemeinen und physikalischen Chemie von E. Dehn. 371 Versuche mit 4 0 Abbildungen. 272 Seiten. 1962. ( 1 2 0 1 / 1 2 0 1 a) Physikalisch-chemische Rechenaufgaben von E. Asmus. 3., verbesserte Auflage. 96 leiten. 1958. (445) Maßanalyse. Theorie und Praxis der klassischen und der elektrochemischen Titrierverfahren von G. Jander und K. F. Jahr. 11., durchgesehene Auflage, mitbearbeitet von H. KnoII. 359 Seiten, 56 Figuren. 1966. (221/221 a)

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NATURWISSENSCHAFTEN Qualitative Analyse von H. Hofmann u. G. Jander. 2., durchgesehene und verbesserte Auflage. 308 Seiten, 5 Abbildungen. 1963. (247/247 a) Stöchlometrlsche Aufgabensammlung von W. Bahrdtt und R. Scheer. Mit den Ergebnissen. 8., durchgesehene Auflage. 119 Seiten. 1964. (452) Elektrochemie von K. Vetter. 2 Bände. I: In Vorbereitung. (252) I I : In Vorbereitung. (253) Geochemie von K. H. Wedepohl. 220 Seiten, 26 Abbildungen, 37 Tabellen. 1966. (1224/1224 a/1224 b) Kristallchemie von J. Zemann. 144 Seiten, 90 Abbildungen. 1966. (1220/1220 a) .

lechnologie

Die Chemie der Kunststoffe von K. Hamann, unter Mitarbeit von W. Funke und H. D. Hermann. 2. Aufl. 143 Seiten. 1966. In Vorbereitung. (1173/1173a) Warenkunde von K. Hassak und E. Beutelt. 2 Bände. I : A n o r g a n i s c h e W a r e n s o w i e K o h l e und E r d ö l . S.Auflage. Neubearbeitet von A. Kutzelnigg. 119 Seiten, 18 Figuren. 1958. (222) II: O r g a n i s c h e W a r e n . 8. Auflage. Vollständig neu bearbeitet von A. Kutzelnigg. 157 Seiten, 32 Figuren. 1959. (223) Die Fette und öle von Th. Klug. 6., verbesserte Auflage. 143 Seiten. 1961. (335) Die Seifenfabrikation von K. Braun f . 3., neubearbeitete und verbesserte Auflage von Th. Klug. 116 Seiten, 18 Abbildungen. 1953. (336) Thermische Verfahrenstechnik von H. Bock. 3 Bände. I : E i g e n s c h a f t e n und V e r h a l t e n der r e a l e n S t o f f e . 184 Seiten, 28 Abbildungen. 1963. (1209/1209a) II: F u n k t i o n und B e r e c h n u n g d e r e l e m e n t a r e n G e r ä t e . 195 Seiten, 54 Abbildungen. 1964. (1210/1210a) I I I : F l i e ß b i l d e r , i h r e F u n k t i o n und ihr Z u s a m m e n b a u aus G e r ä t e n . 224 Seiten, 67 Abbildungen. 1965. (1211/1211 a) Textilindustrie von A. Blümcke. I : S p i n n e r e i und Z w i r n e r e i . 111 Seiten, 43 Abbildungen. 1954. (184)

Biologie

Einführung in die allgemeine Biologie und ihre philosophischen Grundund Grenzfragen von M. Hartmann. 2., unveränderte Auflage. 132 Seiten, 2 Abbildungen. 1965. (96) Hormone von G. Koller. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 187 Seiten, 60 Abbildungen, 19 Tabellen. 1949. (1141) Fortpflanzung Im Tier- und Pflanzenreich von J. Hämmerling. 2., ergänzte Auflage. 135 Seiten, 101 Abbildungen. 1951. (1138) Geschlecht und Geschlechtsbestimmung im Tier- und Pflanzenreich von M. Hartmann. 2., verbesserte Auflage. 116 Seiten, 61 Abbildungen, 7 Tabellen. 1951. (1127) 16

NATURWISSENSCHAFTEN Symbiose der Tiere mit pflanzlichen Mikroorganismen von P. Buchner. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 130 Seiten, 121 Abbildungen. 1949. ( 1 1 2 8 ) Grundriß der allgemeinen Mikrobiologie von W . u. A. Schwartz. 2 B ä n d e . 2., verbesserte und ergänzte Auflage. I : 147 Seiten, 25 Abbildungen. 1960. (1155) I I : 142 Seiten, 29 Abbildungen. 1 9 6 1 . ( 1 1 5 7 )

Botanik Entwicklungsgeschichte des Pflanzenreiches von H. Heil. 2. Auflage. 138 Seiten, 94 Abbildungen, 1 Tabelle. 1950. (1137) Morphologie der Pflanzen von L. Geitler. 3., umgearbeitete Auflage. 126 Seiten, 114 Abbildungen. 1953. (141) Pflanzengeographie von L. Dielst. 5., völlig neu bearbeitete Auflage von F. Mattick. 195 Seiten, 2 K a r t e n . 1958. ( 3 8 9 / 3 8 9 a ) Die Laubhölzer. Kurzgefaßte Beschreibung der in Mitteleuropa gedeihenden L a u b b ä u m e und S t r ä u c h e r von F. W. Neger f und E. Münch t. 3., durchgesehene Auflage, herausgegeben von B. Huber. 143 Seiten, 63 Figuren, 7 Tabellen. 1950. (718) Die Nadelhölzer (Koniferen) und übrigen Gymnospermen von F. W. Neger t und E. Münch t. 4. Auflage, durchgesehen und erpänzt von B. Huber. 140 Seiten, 75 Figuren^ 4 Tabellen, 3 K a r t e n . 1952. (355) Pflanzenzüchtung von H. Kuckuck. 2 Bände. I : G r u n d z ü g e d e r P f l a n z e n z ü c h t u n g . 3., völlig umgearbeitete und erweiterte Auflage. 132 Seiten, 22 Abbildungen. 1952. (1134) I I : S p e z i e l l e g a r t e n b a u l i c h e P f l a n z e n z ü c h t u n g (Züchtung von Gemüse, Obst und Blumen). 178 Seiten, 27 Abbildungen. 1957. ( 1 1 7 8 / 1 1 7 8 a )

Zoologie Entwicklungsphysiologie der Tiere von F. Seidel. 2 Bände. I : E i u n d F u r c h u n g . 2. Auflage. E t w a 160 Seiten, 61 Abbildungen. 1966 ( 1 1 6 2 ) I I : K ö r p e r g r u n d g e s t a l t u n d O r g a n b i l d u n g . 2. Auflage. In Vorbereitung ( 1 1 6 3 ) Vergleichende Physiologie der Tiere von K. Herler. 2 Bände. 4. Auflage der „ T i e r p h y s i o l o g i e " . I : S t o f f - u n d E n e r g i e w e c h s e l . Neu bearbeitet von K. Urich. 158 Seiten, 61 Abbildungen. 1966. ( 9 7 2 / 9 7 2 a ) I I : B e w e g u n g u n d R e i z e r s c h e i n u n g e n . Neu bearbeitet von G. Birukow. In Vorbereitung. (973) Das Tierreich I : E i n z e l l e r , P r o t o z o e n von E. Reichenow. 115 Seiten. 59 Abbildungen. 1956. (444) I I : S c h w ä m m e u n d H o h l t i e r e von H. J. Hannemann. 95 Seit e n , 80 Abbildungen. 1956. (442)

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NATURWISSENSCHAFTEN III: IV, IV, IV, V: VI: VII, VII, VII, VII, VII, VII,

W ü r m e r . P l a t t - , Hohl-, Schnurwürmer, K a m p t o z o e n , R i n g e l würmer, Protracheaten, Bärtierchen, Zungenwürmer von S. Jaeckel. 114 Seiten, 36 A b b i l d u n g e n . 1955. (439) 1: K r e b s e v o n H. E. Gruner und K. Deckert. 114 Seiten, 43 A b bildungen. 1956. (443) 2 : S p i n n e n t i e r e ( T r i l o b i t o m o r p h e n , Fühlerlose) u n d T a u sendfüßler von A. Kaestner. 96 Seiten, 55 A b b i l d u n g e n . 1955. (1161) 3 : I n s e k t e n v o n H. von Lengerken. 2.,neubearbeitete A u f l a g e . 140 Seiten, 59 A b b i l d u n g e n . 1966. (594) W e i c h t i e r e . Urmollusken, Schnecken, Muscheln und K o p f füßer v o n S. Jaeckel. 92 Seiten. 34 Figuren. 1954. (440) S t a c h e i h ä u t e r . T e n t a k u l a t e n , Binnenatmer und P f e i l w ü r m e r von S. Jaeckel. 100 Seiten, 46 A b b i l d u n g e n . 1955. (441) 1: M a n t e l t i e r e , Schädellose, R u n d m ä u l e r v o n H. Fechter. In V o r b e r e i t u n g . (448) 2 : F i s c h e von D. Lüdemann. 130 Seiten, 65 A b b i l d u n g e n . 1955.(356) 3 : L u r c h e (Chordatiere) v o n K. Herter. 143 Seiten, 129 A b b i l dungen. 1955.(847) 4 : K r i e c h t i e r e (Chordatiere) von K . Herter.200Seiten, 142 A b bildungen. 1960. (447/447 a ) 5 : V ö g e l (Chordatiere) von H.-A. Freye. 156 Seiten, 69 Figuren. 1960.(869) 6 : S ä u g e t i e r e (Chordatiere) von 77z. Haltenorth. In Vorbereitung. (282)

Land- und Forstwirtschaft Landwirtschaftliche Tierzucht. Die Züchtung und Haltung der landwirtschaftlichen N u t z t i e r e v o n H. Vogel. 139 Seiten, 11 A b b i l d u n gen. 1952. (228) Kulturtechnische Bodenverbesserungen v o n 0. Fauser. 2 Bände. 5., verbesserte und v e r m e h r t e A u f l a g e . I : A l l g e m e i n e s , E n t w ä s s e r u n g . 127 Seiten, 49 A b b i l d u n g e n . 1959. (691) I I : B e w ä s s e r u n g , Ö d l a n d k u l t u r , F l u r b e r e i n i g u n g . 159 Seiten, 71 A b b i l d u n g e n . 1961. (692) Agrlkulturchemle v o n K. Scharrer. 2 Bände. I : P f l a n z e n e r n ä h r u n g . 143 Seiten. 1953. (329) I I : F u t t e r m i t t e l k u n d e . 192 Seiten. 1956. (330/330a)

Geologie, Mineralogie, Kristallographie Geologie v o n F. Lotze. 3., verbesserte A u f l a g e . 179 Seiten, 80 A b b i l dungen. 1965. (13/13a) Mineral- und Erzlagerstättenkunde v o n H. Huttenlocher t. 2 Bände. 2., neubearbeitete A u f l a g e von P. Ramdohr. I : 137 Seiten, 40 Abbildungen, 2 Tabellen. 1965. (1014/1014a) I I : 135 Seiten, 41 A b b i l d u n g e n . 1965. (1015/1015a)

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NATURWISSENSCHAFTEN Allgemeine Mineralogie. I i . , erweiterte Auflage der >,Minera,ogie" von R. Brauns t, neubearbeitet von K. F. Chudoba. 152 Seiten, 143 Textfiguren, 1 Tafel, 3 Tabellen. 1963. (29/29a) Spezielle Mineralogie. 11., erweiterte Auflage der „Mineralogie" von R. Brauns t, bearbeitet von K. F. Chudoba. 193 Seiten, 127 Textfiguren, 6 Tabellen. 1964. (31/31 a) Petrographie (Gesteinskunde) von W. Bruhns t. Neubearbeitet von P. Ramdohr. 6., erweiterte Auflage. 141 Seiten, 21 Figuren. 1966. (173) Geochemie von K . H. Wedepohl. 220 Seiten, 26 Abbildungen, 37 Tabellen. 1966. (1224/1224 a/1224 b) Kristallchemie von J. Zemann. 144 Seiten, 90 Abbildungen. 1966. (1220/1220a) Kristallographie von W. Bruhns f . 6. Auflage, neubearbeitet von P. Ramdohr. 115 Seiten, 164 Abbildungen. 1965. (210) E i n f ü h r u n g In die Kristalloptik von E. Buchwald. 5., verbesserte Auflage. 128 Seiten, 117 Figuren. 1963. (619/619a) Lötrohrprobierkunde. Mineraldiagnose mit Lötrohr und Tüpfelreaktion von M. Henglein. 4., durchgesehene und erweiterte Auflage. 108 Seiten, 12 Figuren. 1962. (483)

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Technik Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik von M. Pirani. 3., erweiterte Auflage bearbeitet von J. Fischer unter Benutzung der von 1. Runge besorgten 2. Auflage. 216 Seiten, 104 Abbildungen. 1957. ( 7 2 8 / 7 2 8 a) ' Technische Tabellen und Formeln von W. Müller. 5., verbesserte und erweiterte Auflage von E.Schulze. 165 Seiten, 114 Abbildungen, 93 Tafeln. 1962. (579) Einführung in die Arbeitswissenschaft von H. H. Hilf. 164 Seiten, 57 Abbildungen. 1964. ( 1 2 1 2 / 1 2 1 2 a ) Grundlagen der Straßenverkehrstechnik. Theorie der Leistungsfähigkeit von E. Engel. 101 Seiten, 55 Abbildungen. 1962. (1198)

Elektrotechnik Grundlagen der allgemeinen Elektrotechnik von O. Mohr. 3. Auflage. 260 Seiten, 136 Bilder, 14 Tafeln. 1965. ( 1 9 6 / 1 9 6 a ) Die Gleichstrommaschine von K. Humburg. 2 Bände. 2., durchgesehene Auflage. I : 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1956. ( 2 5 7 ) I I : 101 Seiten, 38 Abbildungen. 1956. ( 8 8 1 ) Die Synchronmaschine von W. Putz. 92 Seiten, 64 Bilder. 1962. ( 1 1 4 6 ) Induktionsmaschinen von F. Unger. 2., erweiterte Auflage. 142 Seiten, 4 9 Abbildungen. 1954. (1140) Die komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen von H. H. Meinke. 3., neubearb. Aufl. 185 S., 126 Abb. 1965. ( 1 1 5 6 / 1 1 5 6 a ) Theoretische Grundlagen zur Berechnung der Schaltgeräte von F. Kesselring. 4. Auflage. In Vorbereitung. ( 7 1 1 / 7 1 1 a ) Einführung in die Technik selbsttätiger Regelungen von W. zur Megede. 3., durchgesehene Aufl. 180 S., 86 Abb. 1966. In V o r b . ( 7 1 4 / 7 1 4 a ) Elektromotorische Antriebe von W. Meyer. In Vorbereitung. ( 8 2 7 / 8 2 7 a ) Überspannungen und Überspannungsschutz von G. Frühauf. Durchgesehener Neudruck. 122 Seiten, 98 Abbildungen. 1950. ( 1 1 3 2 ) Elektrische Höchstspannungs-Schaltanlagen. Für Freiluft und Innenanordnung von O. Meiners und K.-H. Wiesenewsky. 138 Seiten, 53 Abbildungen. 1964. ( 7 9 6 / 7 9 6 a ) Transformatoren von W. Schäfer. 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. 130 Seiten, 73 Abbildungen. 1962. ( 9 5 2 )

Maschinenbau Thermische Verfahrenstechnik von H. Bock. 3 Bände. I : E i g e n s c h a f t e n u n d V e r h a l t e n d e r r e a l e n S t o f f e . 184 Seiten, 28 Abbildungen. 1963. ( I 2 0 9 / 1 2 0 9 a ) II: F u n k t i o n und B e r e c h n u n g der e l e m e n t a r e n G e r ä t e . 195 Seiten, 54 Abbildungen. 1964. ( 1 2 1 0 / 1 2 1 0 a ) III: F l i e ß b i l d e r , ihre F u n k t i o n und ihr Z u s a m m e n b a u aus G e r ä t e n . 224 Seiten, 67 Abbildungen. 1965. (1211/121 l a ) Technische Thermodynamik von U. Grigull. 171 Seiten, 74 Abbildungen. 1966. ( 1 0 8 4 / 1 0 8 4 a )

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TECHNIK Metallkunde von H. Borchers. 3 Bände. I : A u f b a u d e r M e t a l l e u n d L e g i e r u n g e n . 6. Auflage. 120 Seiten, 90 Abbildungen, 2 Tabellen. 1964. (432) II: E i g e n s c h a f t e n , G r u n d z ü g e der F o r m - und Z u s t a n d s g e b u n g . 5., ergänzte und durchgesehene A u f l a g e . 182 Seiten, 107 Abbildungen, 10 Tabellen. 1963. (433/433a) III: Die metallkundlichen Untersuchungsmethoden von E. Hanke. In Vorbereitung (434) Die Werkstoffe des Maschinenbaues von A. Thum t und C. M. v. Meysenbug. 2 Bände. I : E i n f ü h r u n g in d i e W e r k s t o f f p r ü f u n g . 2., neubearbeitete A u f l a g e . 100 Seiten, 7 T a b e l l e n , 56 Abbildungen. 1956. (47G) I I : D i e K o n s t r u k t i o n s w e r k s t o f f e . 132 Seiten, 40 Abbildungen. 1959. (936) Dynamik v o n W. Müller. 2 Bände. 2., verbesserte Auflage. I : D y n a m i k d e s E i n z e l k ö r p e r s . 128 Seiten, 48 Figuren. 1952. (902) I I : S y s t e m e v o n s t a r r e n K ö r p e r n . 102 Seiten, 41 Figuren. 1952. ( 9 0 3 ) Technische Schwingungslehre v o n L. Zipperer. 2 Bände. 2., neubearbeitete A u f l a g e . I: A l l g e m e i n e Schwingungsgleichungen, einfache S c h w i n g e r . 120 Seiten, 101 A b b i l d u n g e n . 1953. (953) I I : T o r s i o n s s c h w i n g u n g e n in M a s c h i n e n a n l a g e n . 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1955. (961/961 a ) Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung v o n K . P. Matthes. 2 Bände. I : 100 Seiten, 27 A b b i l d u n g e n , 11 Zahlentafeln, 1 T a f e l a n h a n g . 1954. (561) II: F e r t i g u n g s t e c h n i s c h e Grundlagen der neuzeitlichen M e t a l l b e a r b e i t u n g . 101 Seiten, 30 Abbildungen, 5 T a f e l n . 1955. (562) Das Maschinenzeichnen mit Einführung in das Konstruieren v o n W . Tochtermann. 2 Bände. 4. A u f l a g e . I : D a s M a s c h i n e n z e i c h n e n . 156 Seiten, 75 T a f e l n . 1950. (589) I I : A u s g e f ü h r t e K o n s t r u k t i o n s b e i s p i e l e . 130 Seiten, 08 T a feln. 1950. (590) Die Maschinenelemente von E. A. vom Ende f . 4., überarbeitete A u f • age. 184 Seiten, 179 Figuren, 11 T a f e l n . 1963. (3/3a) Die Maschinen der Elsenhüttenwerke von L. Enget. 156 Seiten, 95 A b bildungen. 1957. (583/583 a ) Walzwerke von H. Sedlaczek t unter Mitarbeit von F. Fischer und M. Buch. 232 Seiten, 157 A b b i l d u n g e n . 1958. (580/580a) Getriebelehre v o n P. Grodzinski f . 2 Bände. 3., neubearbeitete A u f l a g e von G. Lechner. I : G e o m e t r i s c h e G r u n d l a g e n . 164 S., 131 Fig. 1960. (1061) I I : A n g e w a n d t e G e t r i e b e l e h r e . In Vorbereitung. (1062) Kinematik von H. R. Müller. 171 Seiten, 75 Figuren. 1963. (584/584a) Gießereitechnik von H. Jungbluth. 2 Bände. I : E i s e n g i e ß e r e i . 126 Seiten, 44 A b b i l d u n g e n . 1951.(1159)

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TECHNIK Die Dampfkessel einschließlich Feuerungen und Hilfseinrichtungen. Physikalische und chemische Grundlagen, Berechnung und Konstruktion, Vorschriften und Beispiele von W. Marcard. 3., neubearbeitete Auflage von G. Beyer. 2 Bände. I : P h y s i k a l i s c h e und c h e m i s c h e G r u n d l a g e n , W ä r m e l e h r e , W ä r m e ü b e r t r a g u n g , V e r b r e n n u n g . 133 Seiten, 35 Bilder, 26 Tabellen. 1964. (9/9a) II: B e r e c h n u n g und Konstruktion. Dampfkessel, H i l f s e i n r i c h t u n g e n . F e u e r u n g e n , B e r e c h n u n g . 108 Seiten, 45 Bilder. 1966. (521/521a) Die Dampfturbinen. Ihre Wirkungsweise, Berechnung und Konstruktion von C. Zietemann. 3 Bände. I : T h e o r i e d e r D a m p f t u r b i n e n . 4. Auflage. 139 Seiten, 48 Abbildungen. 1966. In Vorbereitung. (274) I I : D i e B e r e c h n u n g d e r D a m p f t u r b i n e n und d i e K o n s t r u k t i o n d e r E i n z e l t e i l e . 4., verbesserte Auflage. 132 Seiten, 111 Abbildungen. 1966. In Vorbereitung. (715) I I I : Die R e g e l u n g d e r D a m p f t u r b i n e n , die Bauarten, Turbinen für Sonderzweck/-, K o n d e n s a t i o n s a n l a g e n . 3., verbesserte Auflage. 126 Seiten, 90 Abbildungen. 1956. (716) Verbrennungsmotoren von W. Endres. 3 Bände. I: Ü b e r b l i c k . M o t o r - B r e n n s t o f f e . V e r b r e n n u n g im M o t o r a l l g e m e i n , i m O t t o - u n d D i e s e l - M o t o r . 153 Seiten, 57 Abbildungen. 1958. (1076/1076a) II: Gaswechselvorgang. Aufladen. Leistung, mittl. Druck, R e i b u n g . W i r k u n g s g r a d e und Kraftstoffverbrauch. 152 Seiten, 62 Abbildungen. 1966. (1184/1184a) I I I : D i e E i n z e l t e i l e d e s V e r b r e n n u n g s m o t o r s . In Vorbereitung. (1185/1185a) Autogenes SchwelOen und Schneiden von H. Niese. 5. Auflage, neubearbeitet von A. Küchler. 136 Seiten, 71 Figuren. 1953. (499) Die elektrischen Schweißverfahren von H. Niese. 2. Auflage, neubearbeitet von H.Dienst. 136 Seiten, 58 Abbildungen. 1955. (1020) Die Hebezeuge. Entwurf von Winden und Kranen von G. Tafel. 2., verbesserte Auflage. 176 Seiten, 230 Figuren. 1954. (414/414a)

Vermessungswesen Vermessungskunde von W. Großmann. 3 Bände. I : S t ü c k v e r m e s s u n g u n d N i v e l l i e r e n . 12., verbesserte Auflage. 156 Seiten, 122 Figuren. 1965. (468) I I : H o r i z o n t a l a u f n a h m e n u n d e b e n e R e c h n u n g e n . 9., verbesserte Auflage. 136 Seiten, 101 Figuren. 1963. (469) III: T r i g o n o m e t r i s c h e und b a r o m e t r i s c h e H ö h e n m e s s u n g . T a c h y m e t r i e u n d A b s t e c k u n g e n . 8., verbesserte Auflage. 140 Seiten, 102 Figuren. 1965. (862) Kartographie von V. Heissler. 2. Auflage. 213 Seiten, 125 Abb., 8 Anlagen. 1966. (30/3Öa) Photogrammetrie von G. Lehmann. 2., neubearbeitete Auflage. 205 Seiten, 136 Abbildungen. 1966. (1188/1188a) 22

TECHNIK

Wasserbau Wasserkraftanlagen von A. Ludin unter Mitarbeit von W. Borkenstein. 2 Bände. I : P l a n u n g , G r u n d l a g e n u n d G r u n d z ü g e . 124 Seiten, 60 Abbildungen. 1 9 5 5 . ( 6 6 5 ) II: A n o r d n u n g und A u s b i l d u n g der Hauptbauwerke. 184 Seiten, 91 Abbildungen. 1958. (666/666 a) Verkehrswasserbau von H. Dehnert. 3 Bände. I : E n t w u r f s g r u n d l a g e n , F l u ß r e g e l u n g e n . 103 Seiten,53 Abb i l d u n g e n . 1950. (585) I I : F l u ß k a n a l i s i e r u n g u n d S c h i f f a h r t s k a n ä l e . 94 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (597) I I I : S c h l e u s e n u n d H e b e w e r k e . 98 Seiten, 70 Abbildungen. 1950. (1152) Wehr- und Stauanlagen von H. Dehnert. 134 Seiten, 90 Abbildungen. 1952. (965) Talsperren von F. Tölke. 122 Seiten, 70 Abbildungen. 1953. (1044)

Hoch- und Tiefbau Die wichtigsten Baustoffe des Hoch- und Tiefbaus von O. Graf f . 4., verbesserte Auflage. 131 Seiten, 63 Abbildungen. 1953. (984) Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung des Betons von A. Kleintogel. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 126 Seiten, 35 Abbildungen. 1951. (978) Festigkeitslehre. 2 Bände. I: E l a s t i z i t ä t , P l a s t i z i t ä t und F e s t i g k e i t der B a u s t o f f e u n d B a u t e i l e von W.Gehlert und W. Herberg. Durchgesehener und erweiterter Neudruck. 159 Seiten, 118 Abbildungen. 1952. (1144) II: F o r m ä n d e r u n g , P l a t t e n , S t a b i l i t ä t und B r u c h h y p o t h e s e n von W. Herberg und N. Dimitrov. 187 Seiten, 94 Abbildungen. 1955. (1145/1145a) Grundlagen des Stahlbetonbaues von A. Troche. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 208 Seiten, 75 Abbildungen, 17 Bemessungstafeln, 20 Rechenbeispiele. 1953. (1078) Statik der Baukonstruktionen von A. Teichmann. 3 Bände. I: G r u n d l a g e n . 101 Seiten, 51 Abbildungen, 8 Formeltafeln. 1956. (119) II: S t a t i s c h b e s t i m m t e S t a b w e r k e . 107 Seiten, 52 Abbildungen, 7 Tafeln. 1957. (120) I I I : S t a t i s c h u n b e s t i m m t e S y s t e m e . 112 Seiten, 34 Abbildungen, 7 Formeltafeln. 1958. (122) Fenster, Türen, Tore aus Holz und Metall. Eine Anleitung zu ihrer guten Gestaltung, wirtschaftlichen Bemessung und handwerksgerechten Konstruktion von W. Wickop f . 5. Auflage geplant. (1092)

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TECHNIK Heizung und Lüftung von W. Körting. 2 Bände. 9., neubearbeitete Auflage. I: D a s W e s e n u n d die B e r e c h n u n g d e r H e i z u n g s - u n d L ü f t u n g s a n l a g e n . 171 Seiten, 29 Abbildungen, 36 Zahlentafeln. 1962. (342/342 a) II: Die A u s f ü h r u n g der H e i z u n g s - u n d L ü f t u n g s a n l a g e n . 1966. In Vorbereitung. (343) Industrielle K r a f t - und W ä r m e w i r t s c h a f t von F. A. F. Schmidt und A. Beckers. 167 Seiten, 73 Abbildungen. 1957. (318/318a)

Sammlung Göschen/Bandnummerafolge I Langosch, Der Nibelunge Not 3/3a v. Ende, Maschinenelemente 9/9 a Marcard-Beyer, D a m p f kessel I 10 Jiriczek-Wisniewski, K u d r u n und Dietrich-Epen 13/13a Lotze, Geologie 18 Maurer, H a r t m a n n von Aue, Der a r m e Heinrich 19 Altheim, Römische Geschichte I 20 Hofstaetter,. Dt. Sprachlehre 22 Maurer, Gottfried von Strassburg 29/29 a Brauns-Chudoba, Allgemeine Mineralogie 30/30a Heissler, Kartographie 31/31 a Brauns-Chudoba, Spezielle Mineralogie 32 Schneider-Wisniewski, Deutsche Heldensage 35 Treue, Dt. Geschichte von 1648—1740 37/37 a Klemm, Anorganische Chemie 38/38 a Schlenk, Organische Chemie 39 Treue, Dt. Geschichte von 1713—1806 42 Behn-Hoernes, Vorgeschichte Europas 44 Kresze, Physikalische Methoden in der Organischen Chemie I 24

45/45 a Kresze, Physikalische Met h o d e n in der Organischen Chemie II 47 Fischer-Rohrbach, Arithmetik 51/51 a Ringleb, Mathem. Formelsammlung 52 Bieler, Rom. Literaturgesch. I 59 Krähe, Indog. Sprachwiss. I 60 Biehle, S t i m m k u n d e 61 Biehle, Redetechnik 64 Krähe, Indog. Sprachwiss. II 65/65a Grotemeyer, Analyt. Geometrie 66 Berneker-Vasmer, Russische Grammatik 70 Nestle-Liebich, Gesch. d. griechischen Literatur I 71 Schulze, Allgemeine und physikalische Chemie I 76 Döring, Einf. i. d. t h . P h y sik I 77 Döring, Einf. i. d. t h . Physik II 78 Döring, Einf. i. d. th. P h y sik III 79/79a Hempel, Got. E l e m e n t a r buch 80 Weigert, Stilkunde I 81 S c h u b e r t - H a u s s n e r - E r l e b a c h Vierstell. Logarithmentafeln 86 Barner, Differential- u. Integralrechnung I 96 H a r t m a n n , Einf. in die allgem. Biologie

99 Hessenberg-Kneser, Ebene und sphär. Trigonometrie 101 v. Wiese, Soziologie 103 Dahrendorf, Industrie- und Betriebssoziologie 104/104a H o f s t ä t t e r , Sozialpsychologie 111 Hoffmann-Debrunner, Gesch. der griechischen Sprache I 114 Debrunner, Gesch. der griechischen Sprache II 117 Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft I 118/118a Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft 11 119 T e i c h m a n n , S t a t i k der B a u konstruktionen I 120 T e i c h m a n n , S t a t i k der B a u konstruktionen II 122 T e i c h m a n n , S t a t i k der B a u Ronstruktionen I I I 128/128 a Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I 136 Mahler-Graewe, Physikal. Formelsammlung 141 Geitler, Morphologie der Pflanzen 142 H a a c k , Darst. Geometrie I 143 H a a c k , Darst. Geometrie II 144 H a a c k , Darst. Geometrie 111 145/ 145a W e i m e r , Gesch. der Pädagogik 148 Kolms, Finanzwissenschaft I 156/156a L a n d m a n n , Philosophische Anthropologie 170 Oehlmann, Musik des 19. J h s . 171/171 a Oehlmann, Musik des 20. J h s . 173 B r u h n s - R a m d o h r , Pétrographie 174 Schlingloff, Religion des Buddhismus I 180 B ö h m , Versicherungsmathematik I 184 B l ü m c k e , Textilindustrie I 196/196a Mohr, Grundlagen der allgem. Elektrotechnik 2 0 0 / 2 0 0 a Gottschald, Dt. R e c h t schreibungswörterbuch 210 B r u h n s - R a m d o h r , Kristallographie 2 2 0 / 2 2 0 a Moser, Allg. Musiklehre

221/221 a J a n d e r - J a h r - K n o l l , Maßanalyse 222 Hassak-Beutel-Kutzelnigg, Warenkunde I 2 2 3 Hassak-Beutel-Kutzelnigg, W a r e n k u n d e II 2 2 6 / 2 2 6 a Hofmann, Gesch. der Mathematik I 228 Vogel, Landw. Tierzucht 231/231 a Ehrlich, Gesch. Israels 238 Krähe, Germ. Sprachwiss. I 243 Mahler-Graewe, Physikal. Aufgabensammlung 247/247 a H o f m a n n - J a n d e r , Qualitative Analyse 250 Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft II 252 Vetter, Elektrochemie I 253 Vetter, Elektrochemie II 257 Humburg, Gleichstrommaschine I 264 L o c k e m a n n , Gesch. der Chemie I 2 6 5 / 2 6 5 a Lockemann, Geschichte der Chemie II 270 Kirn, Einführung in die Geschichtswissenschaft 274 Zietemann, Dampfturbinen I 279 J a c o b - H o h e n l e u t n e r , Quellenkunde der deutschen Geschichte / 280 Jacob-Hohenleutner, Quellenkunde der deutschen Geschichte II 281 Leisegang, Einführung in die Philosophie 282 Haltenorth, Säugetiere 284 J a c o b - W e d e n , Quellenkunde der deutschen Geschichte 111 318/318a Schmidt-Beckers, Industrielle K r a f t - u. W ä r m e wirtschaft 319 Krug, Australien und Ozeanien 329 Scharrer, Agrikulturchemie I 3 3 0 / 3 3 0 a Scharrer, Agrikulturchemie I I 335 Klug, F e t t e und ö l e 336 B r a u n - K l u g , Seifenfabrikation 3 4 2 / 3 4 2 a Körting, Heizung und Lüftung I

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343 Körting, Heizung und Lüftung II 3 4 4 Moser, Musikästhetik 3 5 4 / 3 5 4 a Valentiner-König, V e k toren und Matrizen 355 Neger-Münch-Huber, Nadelhölzer 3 5 6 Lüdemann, Fische 3 7 4 Döring,Einf. i.d.th. P h y s i k I V 375 Preller, Geschichte Englandsl 3 8 9 / 3 8 9 a Diels-Mattick, Pflanzengeographie 391 Kolms, F i n a n z w i s s e n s c h a f t l l 3 9 4 / 3 9 4 a Schilling, Von der R e naissance bis K a n t 4 1 4 / 4 1 4 a Tafel, Hebezeuge 422 Gottschald, D t . Personennamen 423 Adler-Erlebach, Fünfstellige Logarithmen 432 Borchers, Metallkunde I 4 3 3 / 4 3 3 a Borchers,Metallkundel I 4 3 4 Borchers-Hanke, Metallkunde I I I 435 Burau, Algebr. K u r v e n u. Flächen I 4 3 6 / 4 3 6 a Burau, Algebr. K u r v e n und Flächen I I 439 J a e c k e l , W ü r m e r 4 4 0 J a e c k e l , Weichtiere 441 J a e c k e l , Stachelhäuter 442 Hannemann, S c h w ä m m e und Hohltiere 443 Gruner-Deckert, K r e b s e 4 4 4 Reichenow, Einzeller 445 Asmus, Physikal.-chem. R e chenaufgaben 447/447 a Herter, Kriechtiere 448 F e c h t e r , Manteltiere 452 B a h r d t - S c h e e r , Stöchiometrische Aufgabensammlung 468 Großmann, Vermessungskunde I 469 Großmann, Vermessungskunde II 4 7 6 Thum-Meysenbug, Die W e r k stoffe des Maschinenbaues I 483 Henglein, Lötrohrprobierkunde 492/492aStolz-Debrunner-Schmid Geschichte der lateinischen Sprache

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499 Niese-Küchler, Autogenes Schweißen 5 0 0 Simmel, Hauptprobleme der Philosophie 5 2 1 / 5 2 1 a M a r c a r d - B e y e r , Dampfkessel II 536 Lehmann, K a n t 5 3 8 R u m p f , Archäologie I 5 3 9 R u m p f , Archäologie I I 5 4 0 R u m p f , Archäologie I I I 557 Nestle-Liebich, Gesch. der griech. Literatur I I 561 Matthes, Werkzeugmaschinen I 562 Matthes, Werkzeugmaschinen I I 5 6 4 Behn-Hoernes, K u l t u r der Urzeit I 565 Behn-Hoernes, K u l t u r der Urzeit II 566 Behn-Hoernes, K u l t u r der Urzeit I I I 571 L e h m a n n , Philosophie des 19. J a h r h u n d e r t s I 5 7 6 / 5 7 6 a Moser, Gesangskunst 5 7 9 Müller-Schulze, T e c h n . T a bellen 5 8 0 / 5 8 0 a Sedlaczek-FischerB u c h , Walzwerke 5 8 3 / 5 8 3 a Engel, Maschinen der Eisenhüttenwerke 5 8 4 / 5 8 4 a Müller, K i n e m a t i k 585 Dehnert, Verkehrswasserbau I 587 Kalitsunakis-Steinmetz.Neugriech.-dt. Gesprächsbuch 5 8 9 T o c h t e r m a n n , Maschinenzeichnen I 5 9 0 T o c h t e r m a n n , Maschinenzeichnen II 594 v. Lengerken, Insekten 597 Dehnert, Verkehrswasserbau II 601 Mutschmann-Scherer, Engl. Phonetik 608/608a/608b Erman-Krückmann, Hieroglyphen 6 1 9 / 6 1 9 a Buchwald, Kristalloptik 665 Ludin-Borkenstein, Wasserkraftanlagen I 6 6 6 / 6 6 6 a Ludin-Borkenstein, Wasserkraftanlagen II

668 677 679 684 691

Knopp, Funktionentheorie I Altheim, Rom. Geschichte II Altheim, Rom. Geschichte III Altheim, Rom. Geschichte IV Fauser, K u l t u r t e c h n . Bodenverbesserungen I 692 Fauser, K u l t u r t e c h n . Bodenverbesserungen II 698/698a Schulze, Allgemeine u. physikalische Chemie II 703 K n o p p , Funktionentheorie II 708/708 a/708b Meissner-Oberhuber, Keilschrift 709 L e h m a n n , Philosophie des 19. J a h r h u n d e r t s II 711/711a Kesselring, Berechnung der Schaltgeräte 714/714a zur Megede, Technik selbsttätiger Regelungen 715 Zietemann, D a m p f t u r b i n e n l I 716 Zietemann, D a m p f t u r b i n e n III 718 Neger-Münch-Huber, Laubhölzer 728/728 a Pirani-Fischer-Runge, Graph. Darstellung in Wissenschaft u. Technik 735 Ekwall, Historische neuengl. L a u t - und Formenlehre 746/746 a Pfanzagl, Allg. Methodenlehre der S t a t i s t i k I 747/747 a Pfanzagl, Allg. Methodenlehre der Statistik II 756/756 a Kalitsunakis, G r a m m . d. Neugriech. Volksspr. 763/763a/763b Meyer, Hebräische Grammatik I 764/764a/764b Meyer, Hebräische G r a m m a t i k II 765/765 a/765b Meyer, Hebräische G r a m m a t i k III 768/768a Bieberbach, E i n f ü h r u n g in die k o n f o r m e Abbildung 769/769 a Beer-Meyer, Hebräisches T e x t b u c h 770 Schlingloff, Religion des B u d d h i s m u s II 776/a Kolms, Finanzwissensch.il! 780 Krähe, Germ. Sprachwiss. II 781 Weigert, Stilkunde II 782/782a Kolms, Finanzwissenschaft IV

786 Schulze, Molekülbau 796/796 a Meiners-Wiesenewsky, Elektr. HöchstspannungsSchaltanlagen 807 Kropp, Erkenntnistheorie 809 Moser, Harmonielehre I 810 Moser, Harmonielehre II 826 Koch, Philosophie d. Mittelalters 827/827 a Meyer, Elektromotorische Antriebe 831 Erismann, Allg. Psychologie I 832/832a E r i s m a n n , Allg. Psychologie II 833 E r i s m a n n , Allg. Psychologie I I I 834/834 a Erismann, Allg. Psychologie IV 837/837 a Baumgartner, G r u p p e n theorie 845 L e h m a n n , Philosophie im ersten Drittel des 20. J h s . I 847 Herter, Lurche 850 L e h m a n n , Philosophie i m ersten Drittel des 20. J h s . 11 851/851 a Moede, Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens 857 Capelle, Griech. Philosophie I 858 Capelle, Griech. Philos. II 859 Capelle, Griech. Philos. I I I 862 G r o ß m a n n , Vermessungsk u n d e III 863 Capelle, Griech. Philos. IV 866 Bieler, Rom. Literaturgeschichte II 869 Freye, Vögel 875 H o f m a n n , Geschichte der M a t h e m a t i k 11 877 K n o p p , A u f g a b e n s a m m l u n g zur Funktionentheorie I 878 K n o p p , A u f g a b e n s a m m l u n g zur Funktionentheorie II 881 H u m b u r g , Gleichstrommaschine II 882 H o f m a n n , Geschichte der M a t h e m a t i k III 883 Stuloff, Mathematik der neuesten Zeit 893 Treue, Dt. Geschichte von 1806—1890 27

894 Treue, Dt. Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart Pokorny, Altirische G r a m m . Müller, D y n a m i k I Müller, D y n a m i k II Jaeger, Afrika I Jaeger, Afrika II Sperber-v. Polenz, Gesch. der Deutschen Sprache 917/917 a Böhm, Versicherungsm a t h e m a t i k II 920/920 a Hoheisel, Gewöhnliche Differentialgleichungen 921 J a n t z e n - K o l b , W . v. Eschenbach. Parzival 924/924a Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft 111 929 Schirmer-Mitzka, D t . W o r t kunde 930 Krull, E l e m e n t a r e und klassische Algebra I 931 Hasse, Höhere Algebra I 932 Hasse, Höhere A l g e b r a l l 933 Krull, E l e m e n t a r e und klassische Algebra II 936 T h u m - M e y s e n b u g , W e r k s t o f f e d.Maschinenbaues II 942/942 a D a m e r a u , Polnische Grammatik 952 Schäfer, T r a n s f o r m a t o r e n 953 Zipperer, Techn. Schwingungslehre I 961/961 a Zipperer, Techn. Schwingungslehre 11 965 D e h n e r t , W e h r - u n d S t a u anlagen 970/970a Baldus-Löbell, Nichteuklidische Geometrie 972/972 a Herter-Urich, Vergleichende PhysiologiederTiere I 973 Herter-Birukow, Vergleic h e n d e Physiologie der Tiere II 978 Kleinlogel, B a u s t o f f v e r a r b e i t u n g u n d Baustelienp r ü f u n g d. Betons 984 Graf, Baustoffe des Hochu n d Tiefbaues 999/999 a K a m k e , Mengenlehre 1000 J a s p e r s , Geistige Situat. der Zeit 896 902 903 910 911 915

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1003 Hoheisel. Partielle Differentialgleichung 1008/1008a Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre I 1009 B e c h e r t - G e r t h s e n - F l a m mersfeld, A t o m p h y s i k I 1014/1014a H u t t e n l o c h e r - R a m dohr, Mineral- und Erzlagerstättenkunde I 1015/1015a H ü t t enlocher-Ramdohr, Mineral- u. Erzlagers t ä t t e n k u n d e II 1017 Döring, Einf. I. d. th. Physik V 1020 Niese-Dienst, Elektrische Schweiß v e r f a h r e n 1031/1031 a Apel-Ludz, Philosophisches W ö r t e r b u c h 1033 B e c h e r t - G e r t h s e n - F l a m mersfeld, A t o m p h y s i k II 1034 K r a n e f e l d t - J u n g T h e r a peutische Psychologie 1035 Altheim, R o m . Religionsgeschichte I 1039 D o v i f a t , Zeitungslehre I 1040 Dovifat, Zeitungslehre II 1044 Tölke, Talsperren 1045 S c h u b e r t . Technik des Klavierspiels 1051 /1051 a Stolberg-Wernigerode, Gesch. d. Vereinigten Staaten 1052 Altheim, R o m . Religionsgeschichte II 1059/1059a Hoheisel, Aufgabenslg. z. d. gew u. p a r t . Differentialgleichungen 1061 Grodzinski-Lechner, Getriebelehre I 1062 Grodzinski-Lechner, Getriebelehre II 1065 H a l l e r - D a n n e n b a u e r , Von d. Karolingern zu den Staufern 1070 S a u t e r . Differentialgleic h u n g e n der Physik 1074 Koschmieder, Variationsrechnung I 1075 Koschmieder, Variationsr e c h n u n g II 1076/1076a Endres, Verbrennungsmotoren I

1077 Haller-Dannenbauer, Von den Staufern zu den Habsburgern 1078 Troche, Stahlbetonbau 1082 Hasse-Klobe, Aufgabens a m m l u n g zur höheren Algebra 1084/1084a Grigull, T e c h n . T h e r modynamik 1085 Lietzmann-Aland, Zeitrechnung 1086 Müller, Dt. Dichten und Denken 1088 Preller, Gesch. Englands II 1092 Wickop, Fenster, Türen, Tore 1094 Hernried, System, Modulation 1096 Vietor, Dt. Dichten und Denken 1099 Hoheisel, Integralgleichungen 1105 H ä r t u n g , Dt. Geschichte im Zeitalter der Reformation 1108 de Boor-Wisniewski, Mittelhochdeutsche G r a m m a t i k 1109 K n o p p , Elemente der F u n k tionentheorie 1111/1111 a N a u m a n n - B e t z , Althochdt. Elementarbuch 1113/1113a Strubecker, Differentialgeometrie I 1114 Schubel, Engl. Literaturgeschichte I II 15/1115a R a n k e - H o f m a n n , Altnord. Elementarbuch 1116 Schubel, Engl. Literaturgeschichte II 1117 H a l l e r - D a n n e n b a u e r , Eint r i t t der Germanen in die Geschichte 1121 N a u m a n n , Dt. Dichten u. Denken 1122/1122a Jesch, Sprecherziehung 1123/1123a Bechert-GerthsenFlammersfeld, Atomphysik III 1124 Schubel, Engl. Literaturgeschichte III 1125 Lehnert, Altengl. Elementarbuch

1127 H a r t m a n n , Geschlecht u. Geschlechtsbestimmung im Tier- und Pflanzenreich 1128 Buchner, Symbiose d. Tiere 1130 Dibelius-Kümmel, Jesus 1131 Scholz-Schoeneberg, Einf ü h r u n g in die Zahlentheorie 1132 F r ü h a u f , Überspannungen 1134 K u c k u c k , Pflanzenzüchtung I 1135 Lehnert, Beowulf 1137 Heil, Entwicklungsgesch. d. Pflanzenreiches 1138 Hämmerling, Fortpflanzung im Tier- und Pflanzenreich 1140 Unger, Induktionsmaschine 1141 Koller, Hormone 1142 Meissner-Lehnert, Shakespeare 1144 Gehler-Herberg, Festigkeitslehre I 1145/1145a Herberg-Dimitrov, Festigkeitslehre II 1146 P u t z , Synchronmaschine 1147 v. Waltershausen, K u n s t d. Dirigierens 1148 Pepping, Der polyphone Satz I 1152 D e h n e r t , Verkehrswasserbau I I I 1153/1153a Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre 11 1154/1154a Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre 111 1155 Schwartz, Mikrobiologie I 1156/1156a Meinke, Komplexe Berechnungen v. Wechselstromschaltungen 1157 Schwartz, Mikrobiologie 11 1158/1158 a Mayrhofer, SanskritGrammatik 1159 Jungbluth,Gießereitechniki 1160 Dibelius-Kümmel, Paulus 1161 Kaestner, Spinnentiere 1162 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I 1163 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere 11 1164/1164a Pepping, Der polyphone Satz II 29

1165/1165 a Bechert-GerthsenFlammersfeld, A t o m p h y sik IV 1169 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I 1170 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre II 1171 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre III 1172 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre IV 1173/1173a H a m a n n - F u n k e - H e r m a n n , Chemie der K u n s t stoffe 1176/1176a Lorenzen, Form. Logik 1178/1178a K u c k u c k , Pflanzenz ü c h t u n g II 1179/1179a Strubecker, Differentialgeometrie II 1180/1180a Strubecker, Differentialgeometrie I I I 1181 Franz, Topologie I 1182/1182a Franz, Topologie II 1183/1183a Nicolas, Finanzmathematik 1184/1184a Endres, Verbrennungsmotoren II 1185/1185a Endres, Verbrenn u n g s m o t o r e n III 1186/1186 a Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre IV 1187 Lau, L u t h e r 1188/1188 a L e h m a n n , P h o t o grammetrie 1189/1189a Päsler, Mechanik 1190 Stupperich, Melanchthon 1191/1191 a Bräuer, Slav. Sprachwissenschaft I 1193 F ü r s t e n b e r g , W i r t s c h a f t s soziologie 1194 W e n d t , Gesch. d. Volkswirtschaftslehre 1195 Ohm Allgem. Volkswirtschaftspolitik I 1196 Ohm, Allgem. Volkswirtschaftspolitik II 1197/1197a Onasch. Einf. in die Konfessionskunde der ort h o d o x e n Kirchen 1198 Engel, Straßenverkehrstechnik 30

1199 Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I I I , 1. Teil 1200/1200a Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I I I , 2. Teil 1201/1201 a Dehn, Versuche zur allgem. u. phys. Chemie 1202/1202 a Nagel, Gesch. des Christi. Gottesdienstes 1203 W e n d l a n d , Sozialethik 1204 Scheurig, Zeitgeschichte 1205/1205a H o f m a n n , Ideengeschichte d. soz. Bewegung 1206/1206 a Langen, Lineare Programmierung 1208 Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft IV 1209/1209a Bock, T h e r m . Verfahrenstechnik I 1210/1210a Bock. T h e r m . Verf a h r e n s t e c h n i k II 1211/121 l a Bock, T h e r m . Verfahrenstechnik III 1212/1212a Hilf, Arbeitswissenschdft 1213/1213a Kosiol, B u c h h a l t u n g u n d Bilanz I216/1216a Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie I 1217 Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie 11 1218/1218a/1218b Meid, Germ. Sprachwiss. III 1219 Schmidt-Clausing, Zwingli 1220/1220a Z e m a n n , Kristallchemie 1221 Gerdes, Kierkegaard 1222/1222a T s c h i i e w s k i j , Slav. Literaturen I 1223/1223a Tschiiewskij, Slav. L i t e r a t u r e n II 1224/1224 a/1224 b Wedepohl, Geochemie 1225/1225a Schneider-Jurksch, Datenverarbeitungsanlagen 1226/1226a Weinstock, Mittelenglisches E l e m e n t a r b u c h 1227/1227 a Wedig, Ü b u n g s a u f gaben zur Allgem. Volkswirtschaftslehre I / I I

Autorenregister Adler 12 Aland 6 Altheim 4, 7 Apel 3 Asmus 15 Bahrdt 16 Baldus 13 Barner 13 Bauer 14 Baumgartner 13 Bechert 15 Beckers 24 Beer 10 Behn 6 Berneker 10 Betz 8 Beutel 16 Beyer 22 Bieberbach 14 Biehle 7 Bieler 9 Birukow 17 Blümcke 16 Bock 16, 20 Böhm 14 de Boor 8 Borchers 21 Borkenstein 23 Bräuer 10 Brandenstein 9 Braun 16 Brauns 19 Bruhns 19 Buch 21 Buchner 17 Buchwald 19 Burau 12 Capelle 3 Chudoba 19 Dahrendorf 4, 11 Damerau 10 Dannenbauer 6 Debrunner 9 Deckert 18 Dehn 15 Dehnert 23 Dibelius 4

Diels 17 Dienst 22 Dimitrov 23 Döring 14 Dovifat 11 Ehrlich 4 Ekwall 8 Ende, vom 21 Endres 22 Engel, E. 20 Engel, L. 21 Erismann 4 Erlebach 12 Erman 9 Fauser18 Fechter 18 Fischer, F. 21 Fischer, J . 20 Fischer, P. B. 12 Flammersfeld 15 Franz 13 Freye 18 Frühauf 20 Fürstenberg 4, 11 Funke 16 Gehler 23 Oeitler 17 Gerdes 4 Gerthsen 15 Gottschald 7, 8 Graewe 15 Graf 23 Grigull 20 Grodzinski 21 Großmann 22 Grotemeyer 13 Gruner 18 Haack 13 Hämmerling 16 Haller 6 Haltenorth 18 Hamann 16 Hanke 21 Hannemann 17 H a r tm a n n 16 Härtung 6 H a s s a k 16 Hasse 12 Haussner 12 Heil 17

Heissler 10, 22 Hempel 8 Henglein 19 Herberg 23 Hermann 16 Hernried 5 Herter 17, 18 Hessenberg 13 Hilf 11, 20 Hoernes 6 Hoffmann, O. 9 Hofmann, D. 8 Hofmann, H. 16 Hofmann, J . E. Hofmann, W. 4 Hofstätter 4 Hofstaetter 7 Hoheisel 13 Hohenleutner 6 Huber 17 Humburg 20 Huttenlocher 18 Jacob 6 Jaeckel 18 J a e g e r 10 J a h r 15 J a n d e r 15, 16 Jantzen 7 Jaspers 3 Jesch 7 Jiriczek 7 Jung 3 Jungbluth 21 J u r k s c h 11 Kaestner 18 Kalitsunakis 9 K a m k e 13 Kesselring 20 Kirn 5 Kleinlogel 23 Klemm 15 Klobe 12 Klug 16 Kneser 13 Knoll 15 Knopp 13 Koch 3 König 14 Körting 24 Kolb 7 Koller 16

Köllns 11 Koschmieder 14 Kosiol 11 Krähe 8 Kranefeldt 3 Kresze 15 Kropp 3 Krückmann 9 Krug 10 Krull 12 Kuckuck 17 Küchler 22 Kümmel 4 Kutzelnigg 16 Landmann 3 Langen 12 Langosch 7 Lau 4 Lausberg 9 Lechner 21 Lehmann, G. 3 Lehmann, G. 22 Lehnert 8, 9 Leisegang 3 Lengerken, von 18 Liebich 9 Lietzmann 6 Lockemann 15 Löbell 13 Lorenzen 3, 12 Lotze 18 Ludin 23 Ludz 3 Lüdemann 18 Mahler 15 Marcard 22 Matth es 21 Mattick 17 Maurer 8 Mayrhofer 8 Megede. zur 20 Meid 8 Meiners 20 Meinke 20 Meissner, B. 9 Meißner, P. 9 Mellerowicz 10 Meyer, R. 10 Meyer, W. Meysenbug, v. 21 Mitzka 7 32

Moede 4,11 Mohr 20 Moser 5 Müller. O. 7 Müller, H. R. 14, 21 Müller, W. 20, 21 Münch 17 Mutschmann 8 Nagel 4 Naumann 7, 8 Neger 17 Nestle 9 Nicolas 11, 14 Niese 22 Oberhuber 9 Oehlmann 5 Ohm 11 Onasch 4 Päsler 14 Paulsen 10 Pepping 5 Pfanzagl11 Pirani 20 Pokorny 8 Polenz, von 7 Preller 7 Putz 20 Ramdohr 18, 19 Ranke 8 Reichenow 17 Ringleb 12 Rohrbach 12 Rumpf 5 Runge 20 Sauter 15 Schäfer 20 Scharrer 18 Scheer 16 Scherer 8 Scheurig 5 Schilling 3 Schirmer 7 Schlenk 15 Schlingloff 4 Schmid 9 Schmidt 24 Schmidt-Clausing 4 Schneider, H. 7 Schneider, H. J . 11 Schoeneberg 12

Scholz 12 Schubel 8 Schubert, H. 12 Schubert, K. 5 Schulze, E. 20 Schulze, W. 15 Schwartz.W.u.A. 17 Sedlaczek21 Seidel 17 Simmel 3 Sperber 7 Steinmetz 9 Stolberg-Wernigerode, zu 7 Stolz 9 Strubecker 14 Stuloff 12 Stupperich 4 Tafel 22 Teichmann 23 Thum 21 Tochtermann 21 Tölke 23 Treue 6 Troche 23 Tschiiewskij 10 ünger 20 ürich 17 Valentiner 14 Vasmer 10 Vetter 16 Vietor 7 Vogel 18 Waltershausen, v. 5 Weden 6 Wedepohl 16, 19 Wedig 10 Weigert 5 Weimer 3 Weinstock 8 Wendland 4 Wen dt 11 Wickop 23 Wiese, von 4 Wiesenewsky 20 Wisniewski 7, 8 Witting 13 Zemann 16, 19 Zietemann 22 Zipperer 21

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150. VIII. 66