Finanzmathematik: Finanzmathematische Methoden der Investitionsrechnung [9., korr. Aufl.] 9783486715095, 9783486596632

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Finanzmathematik Finanzmathematische Methoden der Investitionsrechnung

Von

Dr. Otto Hass und

Prof. Dr. Norman Fickel

8., durchgesehene und etwas veränderte Auflage

R.Oldenbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2006 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Druckhaus „Thomas Müntzer" GmbH, Bad Langensalza ISBN 3-486-58007-8 ISBN 978-3-486-58007-5

VORWORT Die folgende Darstellung der Finanzmathematik betont besonders die Frage nach der Verzinsung, also die Auflösung der finanzmathematischen Formeln nach dem Zinsfuß. Dazu wird nur auf solche mathematischen Voraussetzungen zurückgegriffen, welche üblicherweise an allen wirtschaftswissenschaftlichen Fakultäten im Rahmen der Propädeutik bzw. der Assessmentphase unterrichtet werden. Darüber hinaus liegt es den Verfassern besonders daran aufzuzeigen, dass die finanzmathematischen Methoden - unter Umgehung der bekannten Schwierigkeiten - problemlos als Teilgebiet der allgemeinen Investitionsrechnung gesehen werden können. Die vorliegende 8. Auflage wurde gegenüber der 7. Auflage etwas verändert: Neu hinzugekommen sind eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln und Begriffe, zehn Übungsklausuren und ein Sachwortverzeichnis. Um den Seitenumfang nicht zu erhöhen, wurde an verschiedenen Stellen leicht gekürzt. Insbesondere enthält nun Kapitel III nur noch die beiden Beispiele zur Berechnung des effektiven Zinsfußes, welche uns fur ein Verständnis des gesamten Stoffs wesentlich erscheinen. Die 1. bis 7. Auflage dieses Buchs hat der erste Verfasser geschrieben und viele Jahre in der Lehre eingesetzt. Die Studierenden haben durch kritische Anmerkungen zur ständigen Verbesserung beigetragen. Auch über Ihren Kommentar würden wir uns freuen. Haben Sie vielleicht sogar einen Fehler entdeckt? Bitte schreiben Sie dann eine E-Mail an den zweiten Verfasser: Norman.Fickel@wiso. uni-erlangen.de Die Verfasser

INHALTSVERZEICHNIS

Seite I. Verzinsung von Einzelbeträgen 1. Grundlegende Voraussetzungen und Begriffe 2. Lineare Zinsen. Auf- und Abzinsen Aufgaben Lösungen 3. Zinseszinsen. Auf-und Abzinsen Aufgaben Lösungen 4. Äquivalente Beträge, äquivalente Zahlungsfolgen Aufgaben Lösungen II. Verzinsung von Renten 1. Begriffe und Voraussetzungen 2. Lineare Zinsen. Renten-Endwert und Renten-Barwert Aufgaben Lösungen 3. Zinseszinsen. Renten-Endwert und Renten-Barwert 3.1 Gleichbleibende Renten Aufgaben Lösungen 3.2 Arithmetische Renten Aufgaben Lösungen 3.3 Geometrische Renten Aufgaben Lösungen 4. Tilgung langfristiger Schulden Aufgaben Lösungen

1 4 6 8 10 17 21 26 28 31

35 36 40 43 47 47 70 78 87 112 114 117 129 131 133 142 144

III. Beispiele zur Berechnung des effektiven Zinsfußes 1. Zinsanleihe (gesamtfällige Schuld) bei gegebenem Kurs Aufgaben Lösungen 2. Stetige Verzinsung Aufgaben Lösungen

153 156 157 158 160 160

IV. Investitionsrechnung Aufgaben Lösungen

161 170 174

Anhang I. Streng monotone Funktionen II. Newtonsches Verfahren zur Nullstellenbestimmung III. Beweisverfahren der vollständigen Induktion IV. Binomiallehrsatz V. Zwei Abschätzungsverfahren VI. Eine Folgerung aus der Taylorschen Reihenentwicklung einer Funktion

177 177 179 180 181 182

Zusammenstellung wichtiger Formeln und Begriffe

183

Übungsklausuren

189

Literaturhinweise

200

Sachwortverzeichnis

201

I. VERZINSUNG VON EINZELBETRÄGEN

1. GRUNDLEGENDE VORAUSSETZUNGEN UND BEGRIFFE

Diese Zusammenstellung von Voraussetzungen und Begriffen dient dazu, die spätere Formulierung von Fragestellungen zu entlasten. Die Zeit wird in Intervalle gleicher Länge, in ZEITEINHEITEN (ZEen), eingeteilt. Häufig verwenden wir eine Nummerierung der ZEen: 1., 2., 3., ..., n-te ZE. Manchmal beginnt die Zählung auch mit der Zahl Null. Darüber hinaus kann jede ZE nochmals in m (natürliche Zahl) kleinerer Intervalle gleicher Länge, in UNTER-ZEITEINHEITEN (U-ZEen), zerlegt sein. Das wichtigste, aber keineswegs einzige Beispiel ist das in Monate bzw. Tage eingeteilte Jahr. Wenn von einem ZEITPUNKT gesprochen wird, ist stets der Anfang bzw. das Ende einer ZE (U-ZE) gemeint. Das Ende einer ZE (U-ZE) und der Anfang der darauf folgenden ZE (U-ZE) stellen denselben Zeitpunkt dar. Die grundlegenden finanzmathematischen Fragestellungen werden durch den folgenden Modell-Vorgang formuliert: Jemand (der Gläubiger) leiht einem anderen (dem Schuldner) zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Geldbetrag, einen EINZELBETRAG, und erhält diesen zu einem späteren Zeitpunkt zurück. Da Gläubiger und Schuldner auch juristische Personen sein können, ist mit diesem Modell-Vorgang insbesondere der Fall erfasst, dass eine Kunde bei einer Bank zu einem Zeitpunkt einen Geldbetrag auf sein Konto einzahlt und zu einem späteren Zeitpunkt wieder abhebt. Entsprechend der Festlegung des Begriffes ,Zeitpunkt' können Einzahlungen bei einer Bank nur am Ende bzw. am Anfang einer ZE (U-ZE) erfolgen. Einzahlungs- und Abhebungszeitpunkt bestimmen Anfang und Ende der Leihfrist, der LAUFZEIT. Die Redeweise ,Man zahlt einen Betrag am Anfang einer ZE (U-ZE) ein und hebt ihn am Ende derselben ZE (U-ZE) wieder ab' bedeutet, dass die Laufzeit eine volle ZE (U-ZE) beträgt.

2

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

Der Gläubiger hat Anspruch auf eine vom Schuldner zu entrichtende Leihgebühr, auf ZINSEN. Die Zinsen sind direkt proportional (a) zur Höhe des geliehenen Betrages, (b)zur Laufzeit, angegeben in ZEen (U-ZEen) und (c) zum ZINSFUß pro ZE (U-ZE), der angibt, wie hoch die Zinsen fur einen Betrag von 100 € mit einer Laufzeit von einer ZE (U-ZE) sind. Bezeichnet man den Zinsfuß pro ZE (U-ZE) mit ρ (pm), so kann von einer p(pm -) prozentigen VERZINSUNG pro ZE (U-ZE) gesprochen werden. Die Zinszahlungen erfolgen im Allgemeinen nicht einmalig am Ende der Laufzeit, sondern zu vereinbarten ZINSTERMINEN. Das Intervall zwischen zwei benachbarten Zinsterminen ist eine ZINSPERIODE. Wir betrachten meistens die Enden der ZEen, gelegentlich die Enden der U-ZEen als Zinstermine. An einem Zinstermin werden die Zinsen fur die davor liegende Zinsperiode fällig. Befindet sich ein Geldbetrag über Zinstermine hinweg auf dem Konto, werden die Zinsen zu den Zinsterminen von der Bank dem Konto gutgeschrieben, falls keine andere Vereinbarung vorliegt. Nach der ersten Zinsgutschrift stehen dem Kunden dann auch Zinsen fur Zinsen, ZINSESZINSEN, zu. Zu Zinseszinsen kommt es nicht, wenn die Laufzeit keinen Zinstermin enthält oder wenn der Kunde sich die Zinsen stets auszahlen lässt. Die Bank entrichtet dann lediglich EINFACHE (LINEARE) ZINSEN. Zum späteren Verweis legen wir zwei Zusammenstellungen von Voraussetzungen fest: VOR.1:

Es liegt eine Einteilung der Zeit in ZEen vor, die von einer ZE an nummeriert sind. Die Enden der ZEen sind die Zinstermine und ρ ist der Zinsfuß pro ZE.

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

3

V0R.2:

Zusätzlich zur Vor.l ist jede ZE in m (natürliche Zahl) U-ZEen zerlegt.

Zunächst ist die Verzinsung von Einzelbeträgen, die in unregelmäßigen Abständen bei einer Bank auf ein Konto eingezahlt werden, Gegenstand unserer Überlegungen. Wir trennen hiervon die Besprechung der Renten, welche aus mehreren, in gleich großen Abständen erfolgenden Einzahlungen bestehen.

4

/. Verzinsung von Einzelbeträgen

2. LINEARE ZINSEN. AUF- UND ABZINSEN

Fragestellung 1.2.1:

Vor.2 (Vgl. 1.1). Jemand zahlt innerhalb einer ZE, d.h. am Anfang einer UZE, einen Betrag r (r > 0) auf sein Konto bei einer Bank ein und hebt den gesamten Betrag nach Ablauf von t (natürliche Zahl) U-ZEen, d.h. am Ende einer späteren U-ZE, wieder ab. Die Laufzeit von L = t U-ZEen überschreitet den Zinstermin am Ende der ZE nicht. Wie hoch sind die Zinsen Z, welche die Bank dem Kunden am Ende der Laufzeit schuldet?

Nach 1.1 ist Ζ direkt proportional zu r, ρ und L, also Ζ = f · r · ρ · L mit einem Proportionalitätsfaktor f. Da ρ angibt, wie viele Zinsen fur r = 100 € und L = 1 ZE anfallen, gilt ρ = f · 100 • ρ oder f = somit Ζ =

. Die gesuchte Gleichung lautet

r Ρ t , da L = — ZE. Setzt man q = 1 + d.h. = q - 1 , folgt 100-m m 100 100

Z = - ( q - 1). Der Term (q - 1) wird als ZINSSATZ pro ZE bezeichnet. m

Wir gehen jetzt noch auf den wichtigen Sonderfall ein, dass eine ZE einem Jahr und eine U-ZE einem Tag entspricht. Legt man zudem Einzahlungs- und Abhebungszeitpunkte durch Kalenderdaten fest, so muss zur Bestimmung der Laufzeit zunächst die Anzahl t der Tage zwischen den Kalenderdaten berechnet werden. Wir übernehmen zu diesem Zweck die in Deutschland unter Kaufleuten übliche Vereinbarung, ein Jahr mit 360 Tagen bzw. mit 12 Monaten zu je 30 Tagen zu identifizieren. Dies bedeutet, dass auch der Februar mit 30 Tagen angesetzt, andererseits der 31. Tag eines Kalendermonats wie der 30. Tag behandelt wird. Die gesuchte Zahl t lässt sich nach dieser Vereinbarung leicht berechnen: Man multipliziere die Differenz der Monatsangaben mit 30 und addiere dazu die Differenz der Tagesangaben. Für diesen Sonderfall gilt m = 360. Beispiel: Gesucht ist die Anzahl t der Tage zwischen dem 17.3. und dem 8.7. desselben Jahres. Also t = (7 - 3)·30 + (8 - 17) = 111

1. Verzinsung von Einzelbeträgen

5

Bei dieser Berechnung wird der letzte Tag voll mitgezählt, der erste dagegen nicht. Wir befinden uns somit auch in Übereinstimmung mit der Festlegung des Begriffes .Zeitpunkt', wonach Einzahlungen und Abhebungen nur am Anfang bzw. am Ende eines Tages möglich sind (vgl. 1.1). Zahlt jemand am 17.3. eines Jahres r € auf ein Konto ein und hebt diesen Betrag am 8.7. desselben Jahres wieder ab, so deuten wir entsprechend der Berechnung von t : Der Betrag r wurde am Anfang des 18.3. eingezahlt und am Ende des 8.7. wieder abgehoben. Ergebnis 1.2.2: Einfache Zinsformel

In der Praxis schreibt man die Zinsformel fur m = 360 auch in der Form Ζ=

100

:^ ^ ρ

und bezeichnet den ersten Bruch als ZINSZAHL, und den zwei-

Zinszähl ten als ZINSDIVISOR. In kaufmännischer Sprache also Ζ = — . Zinsdivisor Fragestellung 1.2.3:

Erweiterung der Fragestellung 1.2.1: Welchen Betrag Ε erhält der Kunde, wenn das Ende der Laufzeit mit dem Zinstermin am Ende der ZE zusammenfällt und er die dem Konto gutgeschriebenen Zinsen ebenfalls abhebt?

Zu den nach 1.2.2 feststellbaren Zinsen ist lediglich der eingezahlte Betrag r zu addieren. Ergebnis 1.2.4:

6

/. Verzinsung von Einzelbeträgen

Berechnet man nach 1.2.4 Ε aus r, so hat man dem Betrag r die Zinsen hinzugefugt. Man sagt, dass r zum Ende der Laufzeit AUFGEZINST worden ist. Nimmt man dagegen Ε als gegeben und berechnet r nach der Formel 1.2.4, so hat man aus Ε den Zinsanteil herausgerechnet. Man sagt, man habe Ε zum Beginn der Laufzeit ABGEZINST. Betrachtet man die Gleichung 1.2.4 als Funktionsgleichung, indem man alternativ r, t und q als unabhängige Variablen nimmt, so entstehen drei lineare Funktionen: E{r}\ E{t}·, E{q}. Die in Klammern stehende Variable bezeichnet die jeweilige unabhängige Variable. Nach geringfügigen Umformungen ergibt sich: Ergebnis 1.2.5:

£{r}=r.[l \

+

!.(9_l)]; m

J

£{t} = —'{q— l)-t + r ; E{q) = —-q + r • 1 - m

m

\

m

Für q > 1 sind alle drei Funktionen streng monoton steigend.

1.2 AUFGABEN

Hintergrund aller Aufgaben sind die Fragestellungen 1.2.1 und 1.2.3. Wir unterstellen die Jahreseinteilung der Zeit und innerhalb dieser die Tageseinteilung (m = 360). 1. r = 4120 €, ρ = 7,5. r steht t = 83 Tage innerhalb eines Jahres auf einem Konto. Wie viele Zinsen Ζ hat die Bank zu zahlen? 2. r = 7113 €; ρ = 8. Einzahlungsdatum ist der 4.2. (3.5.; 15.1; 29.3.), Abhebungsdatum ist der 19.7. (12.12.; 13.10.; 9.5.) desselben Jahres. Wie viele Zinsen hat die Bank zu zahlen?

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

7

3. ρ = 4. Jemand zahlt innerhalb eines Jahres die folgenden Beträge auf ein Konto ein: am 9.1. r, = 2400 €; am 14.3 r2 = 813 €; am 19.5. r3 = 568 €; am 27.9. r 4 = 1118 € und am 23.11. r5 = 3715 €. Mit welcher Zinsgutschrift kann der Kontoinhaber am Jahresende rechnen? Man verwende zur Lösung Zinszahlen und Zinsdivisor. 4. ρ = 5. Welcher Betrag r wurde am 25.4. eines Jahres auf ein Konto eingezahlt, wenn bei der Abhebung am 10.10. desselben Jahres Ζ = 25,30 € an Zinsen zu zahlen waren? 5. Der Betrag von r = 3000 € wurde auf ein Konto eingezahlt und nach t = 72 Tagen innerhalb desselben Jahres wieder abgehoben. Mit welchem Jahreszinsfuß ρ hat die Bank gerechnet, wenn sie dem Kontoinhaber Ζ = 36 € an Zinsen ausbezahlte? 6. ρ = 7,5. Jemand zahlt r = 5000 € auf ein Konto ein und hebt den gesamten Betrag innerhalb desselben Jahres wieder ab. Wie viele Tage t stand r auf dem Konto, wenn die Bank Ζ = 150 € an Zinsen zahlte? 7. Es ist jeweils ein Betrag r samt seines Einzahlungsdatums sowie der Jahreszinsfuß gegeben. Man zinse r zum Zinstermin am Jahresende auf: (a) r = 2500 €; 7.8.; ρ = 7,3 (b) r = 12300 €; 14.2.; ρ = 8,2 (c) r = 7910 €; 27.5.; ρ = 4,4 8. ρ ist der Jahreszinsfuß und Ε der Kontostand am Ende eines Jahres. Man Zinse Ε zum gegebenen Datum dieses Jahres ab: (a) ρ = 7; Ε = 8300 €; 9.5. (b) ρ = 7,2; Ε = 5100 €; 10.7. (c) ρ = 9,5; Ε = 8900 €; 19.10. 9. Jemand legt Anfang Juni eines Jahres r = 25000 € bei einer Bank mit einer Laufzeit von 4 Monaten an. Der Jahreszinsfuß beträgt ρ = 7,5. Am Ende dieser Laufzeit zahlt die Bank r zusammen mit den falligen Zinsen aus. Der Kunde legt den Gesamtbetrag Anfang Oktober bis zum Jahresende erneut an. Welchen Betrag Ε erhält der Kunde dann samt Zinsen von der Bank zurück? 10. Zu 1.2.5: Man stelle zu den folgenden Zahlenwerten die Geradengleichungen auf und bestimme jeweils die Steigung und den Abschnitt auf der Ordinatenachse.

8

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

(a) E{r}; t = 105; ρ = 5,5 (b) E{t}; r = 1000 €; ρ = 5,5 (c) E{q}; t = 105; r = 1000 €. Man überzeuge sich, dass die Geraden streng monoton steigend verlaufen!

1.2 LÖSUNGEN

LI. 1.2.2:

Ζ = 71,24 € (a) (b) (c) (d)

tl = 12 = t3 = t4 =

165 219 268 40

z, = z2 = Z3 = z4 =

260,81 € 346,17 6 423,62 € 63,23 €

L3. Zk = (——-tk ): — - für k = 1, 2, 3, 4, 5; q = 1,04; tk ist jeweils die Anzahl der UOO ) ρ Tage vom Einzahlungsdatum bis zum Jahresende. Gesucht ist Ζ = Z, + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = f - 5 - · f,1 + · 2u + · 3t, +l·- •4 U + — 5 • U1 :•— UOO 100 100 100 100 J ρ Man hat also lediglich die Zinszahlen zu addieren und diese Summe durch den Zinsdivisor zu teilen. t\ = 351; t2 = 286; f 3 = 221; i4 = 93; t5 = 37. Die Summe der Zinszahlen beträgt 14418,75; der Zinsdivisor ist 90 und somit Ζ = 160,21 €. L4. Auflösung von 1.2.2 nach r.

t = 165

L5. Auflösung von 1.2.2 nach q.

ρ=6

L6. Auflösung von 1.2.2 nach t.

r = 1104 €

t = 144

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

L7.1.2.4:

(a) t = 143; Ε = 2572,49 € (c) t = 213; Ε = 8115,92 €

L8. Auflösung von 1.2.4. nach r: ( b ) t = 170; r = 4932,30 €

L9. E\=r

-\l+i.(9-l)

9

(b) t = 316; Ε = 13185,33 €

(a) t = 231; r = 7943,22 € (c) t = 71; r = 8736,32 €

; £ = £, -ii + I . ( g _ i ) | =26105,47 €

L10. (a) E{r} = 1,016 • r ; Steigung 1,016; Abschnitt 0 ( b ) £ { f } = 0,153 · t + 1000; Steigung 0,153; Abschnitt 1000 (c) E{q} = 291,667 • q + 708,833; Steigung 291,667; Abschnitt 708,333 Alle Geraden steigen streng monoton, da ihre Steigungen positiv sind.

10

I. Verzinsung von Einzelbetrügen

3. ZINSESZINSEN. AUF- UND ABZINSEN

Fragestellung 1.3.1:

Vor.l (Vgl. 1.1). Jemand zahlt am Anfang der ersten ZE einen Betrag r (r > 0) auf ein Konto bei einer Bank ein. Welcher Kontostand Ε ergibt sich am Ende der n-ten ZE, wenn die Bank alle Zinsen und Zinseszinsen diesem Konto gutschreibt?

Behauptung: Ε = r • q". Wir betrachten Ε als Funktion von η und schreiben daher E{n). Den Beweis der Behauptung fuhren wir durch vollständige Induktion über η (Vgl. Anhang III). Induktionsanfang: Der Kontostand am Ende der ersten ZE ergibt sich, wenn man in 1.2.4 den Parameter t gleich m setzt, also E{\) = r • q. Dieselbe Argumentation liefert E{n} = E{n - 1} · q. Gilt daher E{n - 1} = r • qn~\ so auch E{n) = r • q". Obwohl die vollständige Induktion erst mit η = 1 beginnt, lässt sich nachträglich feststellen, dass die Behauptung auch noch für η = 0 richtig ist, da das Ende der 0-ten und der Anfang der 1. ZE denselben Zeitpunkt bezeichnen.

Ergebnis 1.3.2

Zinseszinsformel:

Aufzinsung

E = r · q"

Wir betrachten die eben hergeleitete Gleichung wiederum als Funktionsgleichung, indem wir alternativ r, η und q als unabhängige Variable ansehen: E{r}; E{n}; E{q}. E{r) ist eine Gerade, E{n} eine Exponentialfunktion, deren unabhängige Variable nur ganzzahlige Werte annehmen darf, und E{q} ein einfaches Polynom n-ten Grades. Diese Funktionen sind für r > 0, η > 1 und q > 1 streng monoton steigend und damit umkehrbar. Die Einschränkung q > 1 ist meistens

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

11

gerechtfertigt, da q = 1, also ρ = 0, kein sonderlich interessantes finanzmathematisches Problem darstellt. Aus q > 1 folgt in allen Fällen Ε > r. D i e Umkehrungen sind leicht zu finden und werden ohne nähere Begründung angegeben: Ergebnis 1.3.3:

Abzinsung

r=

Ε

—

q"

Ergebnis 1.3.4:

η

l n ( £ ) - ln(r) = — — — ln(?)

. „ mit Ε

> r

Ergebnis 1.3.5:

9 = J— V r

mit ρ = (q - 1 ) 1 0 0 ; E>

r

Fragestellung 1.3.6:

Vor.2 (Vgl. 1.1): Jemand zahlt innerhalb der 1. Z E einen Betrag r (r > 0) auf ein Konto bei einer B a n k ein und hebt den Betrag r samt aller gutgeschriebenen Zinsen und Zinseszinsen am Ende der ( n + l ) - t e n Z E wieder ab (n > 1). Welchen Betrag Ε händigt die Bank dem Kunden aus?

Ist t die Anzahl der U - Z E e n in der ersten Z E , die noch zur Laufzeit gehören, so ergibt sich

L = — + η m

(ZEen). Nach 1.2.4 ist der Kontostand am Ende der

12

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

1. ZE

t r · lH—(q m

Λ

. Dieser Betrag steht die nächsten η ZEen auf dem

-1) /

Konto; die Zinsen und Zinseszinsen werden diesem Konto gutgeschrieben. Aus 1.3.2 ergibt sich somit Ergebnis 1.3.7:

E = r-

+ —( 0 ; q > 1; η > l ; 0 < t < m . Geht man von einem L] zu einem größeren L 2 über, so bedeutet dies eine Erhöhung von t oder von η oder eine Erhöhung beider Größen. Es vergrößert sich in 1.3.7 der erste oder der zweite Faktor bzw. beide zugleich. D.h. E{L2} > Ε {Li}. E{L} ist streng monoton steigend und daher umkehrbar. Seien f{x} = qx und g{x} = 1 + x • (q - 1) mit 0 < x < 1. Es gilt/{0} = g{0} = 1 und/{1} = g{ 1} = q. Die Exponentialfunktion f{x\ ist für χ > 0 streng monoton steigend und g{x) stellt eine steigende Gerade dar, welche die Exponentialfunktion in (0 | 1) und (1 | q) schneidet. Es folgt: f{x} < g{x} für 0 < χ < 1. Da nach Voraussetzung über t und m χ = — gesetzt werden darf, folgt m I

qm < 1 + —-( 1 streng monoton steigend, da beide Koeffizienten des Polynoms positiv sind. Die Funktion ist somit umkehrbar. Mit anderen Worten: Bei vorgegebenem E{q}

= Ε hat die Gleichung

(*)

r • — • qn+x m

+ r · ——m

• q" = Ε

genau eine

Lösung. (a) Für η = 1 ist (*) eine quadratische Gleichung, die nach der bekannten Formel aufgelöst werden kann. (b) Die Lösung kann aber für η > 2 im Allgemeinen nicht mehr durch eine Formel berechnet werden, sondern nur noch mit Hilfe eines NäherungsVerfahrens. Wir wählen hier das Newton'sehe Verfahren (Vgl. Anhang II), obwohl wir auch andere Möglichkeiten - beispielsweise die Regula falsi - hätten in Erwägung ziehen können. Die Formulierung des Newton'sehen Verfahrens in Anhang II setzt die Vorgabe einer streng monotonen und strikt konvexen Funktion voraus, deren Nullstelle zu berechnen ist - zudem die Vorgabe eines Startwertes: (c) Die Lösung der Gleichung (*) ist gleichbedeutend mit der Lösung der Gleichung

r • — · qn+x

+ r • ——-

m

· q" - Ε =

0 und diese wiederum ist gleichbedeu-

m

tend mit der Berechnung der Nullstelle der Funktion F{q)

1

t q = r - —

n +1

m

+r·

m—t

• q η - Ec

m

Diese Funktion ist streng monoton steigend, da die erste Ableitung „ , , = r — t • (n F{q\

+1)

q„ + r

( m - t )— - n

m

, • q „_> unter den gegebenen Vorausset-

m

zungen stets positiv ist. Für η > 2 ist aber auch die zweite Ableitung r { q )

=

r

.'·(" + !)·"• m

+

,

{ m - t ) . n . { n - 1 ) , ^ m

^

g e g e b e n e

Funktion somit strikt konvex. (d) Einen Startwert für das Newton'sehe Verfahren erhalten wir ebenfalls aus der Gleichung (*) unter Einsatz des Abschätzungsverfahrens (Teil Α von Anhang V).

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

t „ m - t „ r — - q n + r· -q" 1), m (> 1), t (0 < t < m), Ε (> r) F{q) =/·· — ·

+ r · ——- · q -E

m

Gesucht: q

streng monoton steigend für q > 1

m

Μ Vr Schließlich: Newton'sches Näherungsverfahren (Anhang II)

F { q } = r · t

^

V

· q" + r ·

m

^

^

•

^

Startwert:

q,

=

m

Beispiel: r = 1000 €; η = 6; m = 360; t = 193; Ε = 1716,15 €: qi = 1,094189; nach zwei Iterationen ergibt sich die Lösung q = 1,086. Fragestellung 1.3.11:

Vor.2 (vgl. 1.1). Jemand zahlt innerhalb der 1. ZE einen Betrag r auf ein Konto ein. Alle Zinsen und Zinseszinsen werden dem Konto gutgeschriet

s

m

m

ben. Die Laufzeit beträgt L = — + η + — , d.h. zur Laufzeit gehören t UZEen der 1. ZE, dann η volle ZEen und schließlich noch s U-ZEen der (n+2)-ten ZE. Wie hoch ist der Kontostand am Ende der Laufzeit?

1.3.7 gibt den Kontostand am Ende der (n+l)-ten ZE an. Dies ist aber auch gleichzeitig der Kontostand am Ende von L, da der nächste Zinstermin erst am Ende der (n+2)-ten ZE liegt. Bemerkung: Fragt ein Kunde - wie in 1.3.11 - nicht nur nach dem Kontostand, sondern beantragt beispielsweise die Kontoauflösung, so wird die Bank sicherlich auch die ihm noch für die letzten s U-ZEen zustehenden, aber noch nicht gutgeschriebenen Zinsen gleich mit auszahlen. Welchen Betrag E* kann er dann erwarten?

16

I. Verzinsung von Einzelbeträgen /

t

Nach 1.3.7: E = r • 1 + — (q-l)

|V;

nach 1.2.4: Ε* = Ε • 1 + - · ( ^ - 1 )

m

m

Beispiel zu 1.3.11 und zur anschließenden Bemerkung: Wir unterstellen die Jahres- und Tageseinteilung der Zeit. Ein Kunde zahlt am 4.7. des 1. Jahres r = 5500 € auf ein Konto ein. Der Jahreszinsfuß beträgt ρ = 4,5. (a) Wie hoch ist der Kontostand am 12.10. des 6. Jahres? (b) Welchen Betrag E* erhält der Kunde, wenn die Bank ihm am 12.10. des 6. Jahres die noch nicht gutgeschriebenen Zinsen mit auszahlt? Lösung: t =176; η = 4; s =282. (a) Ε = 6703,15 € (b) Ε* = 6939,43 € Fragestellung 1.3.12:

Ergänzung zur Vor.2 (vgl. 1.1): Die Enden der U-ZEen sind die Zinstermine. Man spricht von ,unter-zeiteinheitlicher Verzinsung'. Wären die Enden der ZEen Zinstermine, würde die einfache Zinseszinsformel (1.3.2) die Kontostände jeweils zu den Enden der ZEen angeben. Mit welchem Zinsfuß pm pro U-ZE muss man rechnen, damit die durch unterzeiteinheitliche Verzinsung festgelegten Kontostände jeweils am Ende der ZEen denen durch 1.3.2 berechneten gleichen?

Da η ZEen (n-m) U-ZEen entsprechen und pm der Zinsfuß pro U-ZE ist, gilt nach der Formel 1.3.2

r • (qm)nm

= r • q"

qm=4q

mit

mit

1+

qm -

Die Auflösung nach

qm ergibt: Ergebnis 1.3.13:

pm = (ü(q

-

1)100

Die Auflösung nach qm ist von r und η unabhängig. Man bezeichnet pm als den zu ρ KONFORMEN ZINSFUß.

Beispiel: Sei m = 3; ρ = 6,5. Also pm = 2,12

/. Verzinsung von Einzelbeträgen

17

1.3 AUFGABEN

Die Aufgaben 1 bis 11 beziehen sich auf Fragestellung 1.3.1. 1. Gegeben: r = 3500 €; ρ = 7; η = 7. Gesucht sind die Kontostände am Ende einer jeden ZE, die zur Laufzeit gehört. 2. Gegeben: E; n; q. (a) Ε = 4375 6 (b) Ε = 15000 6 (c) Ε = 3563 6 (d) Ε = 18750 6 (e) Ε = 6733 6 (f) Ε = 12350 6

Gesucht: r η=9 n = 10 η=3 η=9 η=7 n = 10

Ρ = 6,5 Ρ = 7,5 Ρ = 4,5 Ρ=7 Ρ = 6,7 Ρ=8

3. Gegeben: r; η; E. (a) r = 3517 6 (b) r = 15000 6 (c) r = 1790 6 (d) r = 4440 6 (e) r = 3980 6 (f) r = 580 6

Gesucht: ρ η=4 η=8 η=3 η=9 η = 10 η=4

Ε Ε Ε Ε Ε Ε

= 4350 6 = 20000 6 = 18136 = 7500 6 = 8350 6 = 850 6

4. Gegeben: p; r; E. Gesucht: η p=5 r = 1850 € (a) Ρ = 8,5 r = 5515 € (b) Ρ = 2,5 r = 3000 € (c) ρ = 7,2 r = 3700 € (d) Ρ = 5,5 r = 1000 € (e) r = 7390 € (f) ρ = 8,5

Ε Ε Ε Ε Ε Ε

= = = = = =

3322,33 6 18749,58 6 8055,19 6 7949,58 6 1619,09 6 11112,02 6

5. Zu welchem Zinsfuß ρ pro ZE muss r am Anfang einer ZE angelegt werden, damit der Kontostand nach η = 12 Jahren Ε = 3 · r beträgt? 6. Das Intervall von η ZEen ist in k (natürliche Zahl) Teile zerlegt: η = ηι + n2 + ... + n k . nj (j = 1, 2, ..., k) gibt an, wie viele ZEen das j-te Teilintervall enthält. Im j-ten Teilintervall ist pj der Zinsfuß pro ZE. Am Anfang der 1. ZE wird der Betrag r auf ein Konto eingezahlt, Zinsen und Zinseszinsen werden dem Konto gutgeschrieben. Wie hoch ist der Kontostand Ε am Ende der n-ten ZE ?

18

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

7. Man unterstelle der 6. Aufgabe die folgenden Zahlenwerte: r = 5000 €; ni = 2; n2 = n3 = 3; also η = 8; pi = 7; p2 = 6,5; p 3 = 7,5. Man gebe in Form einer Tabelle die Kontostände am Ende einer jeden ZE innerhalb der Laufzeit an. 8. Man führe die Auflösung von 1.3.4 ausfuhrlich durch. 9. Man löse 1.3.2 mit Hilfe des Logarithmus' nach q auf. Vgl. auch 1.3.5. 10. Für die einfache Zinseszinsformel Ε = q7 (r = 1 €; η = 7) sind 6 Funktionswerte zu berechnen. Man überzeuge sich, dass eine streng monoton steigende Funktion vorliegt. 11. Jemand zahlt am Anfang des 1. Jahres r € auf ein Konto ein. Es gelten die folgenden Zinsfuße: Im ersten Jahr pi = 4,25; im zweiten Jahr p 2 = 4,5; im dritten Jahr p3 = 5,5; im vierten Jahr p4 = 7 und im fünften Jahr p5 = 8,25. Welchem gleich bleibenden Jahreszinsfuß ρ entspricht diese Verzinsung? Die Aufgaben 12 bis 21 beziehen sich auf die Fragestellung 1.3.6. Wir setzen zusätzlich die Jahres- und Tageseinteilung der Zeit voraus, d.h. m = 360. 12. Wie hoch ist der Kontostand Ε am Ende des (n+l)-ten Jahres? p=8 t = 231 η=7 r = 1000 € (a) Ρ = 5,5 t = 288 η=7 (b) r = 1927 € r = 7553 6 Ρ = 3,5 t = 300 η=5 (c) p=9 t = 111 η=7 (d) r = 2000 € ρ = 8,5 t = 34 η=6 r = 1590 € (e) Ρ = 4,4 t = 144 η=5 r = 12335 € (f) 13. Welcher Betrag r wurde innerhalb des 1. Jahres eingezahlt? t = 130 η=6 Ε = 18000 6 ρ = 6,5 (a) Ρ = 4,5 t = 251 η=6 (b) Ε = 2500 6 η=6 ρ = 5,5 t = 133 Ε = 50000 6 (c) ρ = 7,7 t = 244 η=8 Ε = 3500 6 (d) η=4 ρ=9 t = 112 Ε = 4800 6 (e) η=6 ρ=8 t = 200 Ε = 14500 6 (f)

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

19

14. Welcher Betrag r müsste am 13.8.2006 auf ein Konto eingezahlt werden, damit der Kontoinhaber Ende 2011 über den Betrag Ε = 10000 € verfügen kann? ρ = 6. 15. Am Ende welchen Jahres ist der Kontostand Ε ? (a) r = 4500 € p=7 t = 310 E = 8197,90€ (b) r = 8317 € p = 4,5 t = 151 E = 14370,87 6 16. Gesucht sind η und t: (a) r = 17500 6 Ρ = 5,5 (b) r = 8500 6 Ρ= 9 (c) r = 12000 6 Ρ = 7,5 (d) r = 9875 6 Ρ = 4,5 (e) r = 5720 6 Ρ = 3,5 (f) r = 19750 6 Ρ=9

Ε Ε Ε Ε Ε Ε

= 20000 6 = 14000 6 = 15500 6 = 12500 6 = 7500 6 = 26000 6

17. Gegeben: r (dahinter in Klammern das Einzahlungsdatum innerhalb des ersten Jahres), η, Ε Gesucht: ρ r 2500 6(18.10.) η =4 Ε = 3388,75 6 (a) r η = Ε = 6797,54 6 3750 6(14.5.) 7 (b) r = 12450 6(19.3.) η 3 Ε = 14000 6 (c) II = r = 8400 6(2.7.) Ε = 9500 6 5 (d) r 15000 6(4.12.) η = 6 Ε = 18400 6 (e) r = 7370 6(5.6.) η 3 Ε = 10000 6 (f) 18. Jemand zahlt den Betrag r = 5000 € am Anfang des 1. Jahres auf ein Konto ein. Welcher Betrag Ε befindet sich am Ende des 8. Jahres auf dem Konto, wenn der Jahreszinsfuß zunächst pi = 6; ab 19.9. des 4. Jahres p2 = 6,5 (bis zum 19.9. einschließlich gilt noch pi) und ab 3.4. des 7. Jahres p3 = 7,5 beträgt? 19. Jemand zahlt am 3.2. des 1. Jahres η = 2500 €; am 7.10. des 1. Jahres r2 = 1913 €; am 8.5. des 2. Jahres r3 = 750 €; am 3.1. und am 7.8. des 3. Jahres je r4 = 3515 € ein. Der Jahreszinsfuß beträgt ρ = 6,5. Man gebe in Form einer Tabelle die Kontostände Ende April, Ende August und Ende Dezember eines jeden der drei Jahre an.

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I. Verzinsung von Einzelbeträgen

20. Die Einzahlungsdaten stehen in Klammern: (a) r = 3700 € (7.1. des 2. Jahres); q = 1,06. r ist zum Ende des 8. Jahres aufzuzinsen. (b) r = 12500 € (3.9. des 1. Jahres); q = 1,042. r ist zum Ende des 5. Jahres aufzuzinsen. 21. (a) Ε = 18000 € ist der Kontostand am Ende des 7. Jahres, ρ = 6,5. Dieser Betrag ist zum 20.8. des 1. Jahres abzuzinsen. (b) Ε = 10000 € ist der Kontostand am Ende des 7. Jahres, ρ = 6. Dieser Betrag ist zum 13.8. des 2. Jahres abzuzinsen. Die Aufgaben 22 bis 24 setzen die Fragestellung 1.3.11 voraus. Wir unterstellen die Jahres- und Tageseinteilung der Zeit, also m = 360. 22. Gegeben: r mit Einzahlungsdatum; ρ und ein späteres Datum. Gesucht: (i) Kontostand Ε zum zweiten gegebenen Datum und (ii) Betrag E*, der dem Kontoinhaber zum späteren Datum ausgehändigt würde, falls dieser sein gesamtes Guthaben abheben wollte und die Bank bereit wäre, die noch nicht gutgeschriebenen Zinsen sofort mit auszuzahlen. r = 3000 € ( 1 2 . 5 . des 1. Jahres) 13.12. des 6. Jahres (a) P = 5,5 r = 4210 €(24.3. des 1. Jahres) 6,7 18.9. des 7. Jahres (b) P= r = 23410 € (22.2. des 1. Jahres) 12.10. des 8. Jahres (c) P = 3,5 20.12. des 4. Jahres (d) r = 4566 € ( 1 . 3 . des 1. Jahres) P = 7,5 r = 9350 € ( 2 3 . 1 . des 1. Jahres) 19.3. des 9. Jahres (e) P=8 r = 6400 € ( 5 . 7 . des 1. Jahres) 6.11. des 6. Jahres (f) P = 4,4 23. Gegeben: r mit Einzahlungsdatum und E*, Guthaben zu einem weiteren, späteren Datum einschließlich der zu diesem Zeitpunkt noch nicht gutgeschriebenen Zinsen. Gesucht: p. Man gebe analog zur Herleitung von 1.3.10 eine Funktion F{q}, deren erste Ableitung und einen Startwert an, um das Newton'sche Näherungsverfahren zur Berechnung von q (p) anwenden zu können. (Siehe Teil Α von Anhang V !) 24. Man berechne ρ nach dem Verfahren, das als Lösung von Aufgabe 23 gefunden worden ist, für die folgenden Zahlenbeispiele: (J. = Jahr) (a) r = 7300 € (7.3. des 1. J.) E* = 9900 € (18.9. des 6. J.) (b) r = 2300 € (3.4. des 1. J.) E* = 4350 € (7.2. des 9. J.) (c) r = 12000 € (8.12. des 1. J.) E* = 16550 € (4.7. des 7. J.) (d)r = 5900 €(23.10. des 1. J.) E* = 9500 € (9.6. des 6. J.)

I. Verzinsung von Einzelbeträgen

21

Die Aufgaben 25 und 26 nehmen die Fragestellung 1.3.12 auf. 25. Man berechne pm bei gegebenem m = 2; 3; 4; 6; 12 und (a)p = 9

(b) ρ = 4,5

(c) ρ = 7,6

26. In der Mitte der ersten ZE wird der Betrag r = 1000 € auf ein Konto eingezahlt. q = 1,08 . Man berechne den Kontostand Ε am Ende der 4. ZE bei (a) m = 1 (b) m = 2 ( c ) m = 3 ( d ) m = 4 (e) m = 6 ( f ) m = 1 2 Weshalb ergeben (b), (d), (e) und (f) denselben Wert Ε ?

1.3 LÖSUNGEN

LI. 1.3.2: Ε wird als Funktion von η aufgefasst. E{ 1} = 3745 E{2} =4007,15 E{3}= 4287,65 E{5}= 4908,93 E{6} = 5252,56 E{7}= 5620,24 L2. 1.3.3: In€: (a) r = 2482,17 (d) r = 10198,75

E{4} = 4587,79

(b) r = 7277,91 (e) r = 4276,20

(c) r = 3122,25 (f) r = 5720,44

(c) ρ = 0,43

(d) ρ = 6

(e) Ρ = 7,7

(b) p = 3,66 (f) ρ =10,03

L4. 1.3.4: (a) η = 1 2 (e) η = 9

(b) η = 15 (f) η = 5

( c ) n = 40

(d) η = 11

L3. 1.3.5: (a) ρ = 5,46

L5. 1.3.2 mit η = 12 und Ε = 3r

qn = 3 -> q = 1,0959

ρ = 9,59

L6. Sei q, =1 + - ^ - fur i = 1, 2, ..., k . 1.3.2 wird k-mal hintereinander ange100 wendet: Ende der -ten ZE : E{ ηλ} = r · q"1

22

/. Verzinsung von Einzelbeträgen

Ende der («j + « 2 )-ten ZE: Ε { + « 2 }

=

r
l£*

r-?"