Grundkurs der Regelungstechnik: Einführung in die praktischen und theoretischen Methoden [Reprint 2017, 14., korr. Aufl.] 9783486593938

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Grundkurs der

Regelungstechnik

von

Prof. Dr.-Ing. Ludwig Merz, TU München t Prof. Dr.-Ing. Hilmar Jaschek, Universität des Saarlandes

14., korrigierte Auflage Mit 297 Abbildungen und 49 Tabellen

Oldenbourg Verlag München Wien

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Lektorat: Sabine Krüger Herstellung: Rainer Hartl

Umschlagkonzeption: Kraxenberger Kommunikationshaus, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH ISBN 978-3-486-25960-5 ISBN 3-486-25960-1

Inhaltsverzeichnis Zum Geleit

11

Vorwort

zur

achten

Vorwort

zur

zwölften

Vorwort

zur

vierzehnten

1

Auflage

13 15

Auflage

16

Auflage

Einführung in die Regelungstechnik 1.1 Aufgabe der Regelungstechnik. 1.2 Begriffe und Benennungen. 1.2.1 Steuerung. 1.2.2 Regelung. 1.2.3 Signalflußplan. 1.3 Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten. 1.3.1

Fühler. 1.3.1.1 1.3.1.2 1.3.1.3 1.3.1.4 1.3.1.5 1.3.1.6

Druck. Durchfluß. Füllstand.

Temperatur

.

Kraft. Drehzahl.

17 18

18 20 23 26 26 26 28 31 32 34

1.3.5

Summierglied, Vergleicher. Zeitglieder.

35 36 39 40 40

1.3.6

Regler.

43

1.3.7 Stellgerät. Steuer- und Regelaufgaben 1.4.1 Steuerung.

46 50

1.4.2

54

1.3.2 1.3.3 1.3.4

1.4

Fühler für Fühler für Fühler für Fühler für Fühler für Fühler für

17

Meßumformer. Sollwerteinsteller.

.

Festwertregelung.

50

6

Inhaltsverzeichnis

1.4.3

1.5

Folgeregelung. 1.4.3.1 Nachlaufregelung. 1.4.3.2 Verhältnisregelung. Steuer- und Regelschaltungen. 1.5.1 Festwertregelschaltungen 1.5.1.1 Einfachregelkreis. 1.5.1.2 Einfachregelkreis mit AufSchaltungen 1.5.1.3 Kaskadenregelkreis. 1.5.2 Folgeregelschaltungen. .

...

2

62 65

Beschreibung des Übertragungsverhaltens 2.1 Beschreibung mit Hilfe von Differentialgleichungen. 2.1.1 Arten von Differentialgleichungen zur Beschreibung von Regelkreisgliedern. 2.1.2 Eigenschaften linearer zeitinvarianter Übertragungsglieder 2.1.2.1 Homogenität. 2.1.2.2 Superposition.

69

Zeitinvarianz.

74 74

.

2.1.2.3

2.1.3

Linearisierung. 2.1.3.1 Statischer Zusammenhang gemäß einer stetigen Kennlinie. 2.1.3.2 Dynamischer Zusammenhang gemäß einer nichtlinearen

2.1.4

Differentialgleichung. gewöhnlichen linearen Differentialglei-

Lösung von chungen mit konstanten Koeffizienten. 2.1.4.1 Lösung mit Hilfe von Lösungsansätzen 2.1.4.2 Lösung mit Hilfe der Laplace-Transformati...

on.

2.2

2.3

3

56 56 57 58 58 58 60

Beschreibung mit Hilfe der Übertragungsfunktion. Beschreibung mit Hilfe von Antwortfunktionen. 2.3.1 Impulsfunktion, Impulsantwort. 2.3.2 Sprungfunktion, Sprungantwort. 2.3.3 Anstiegsfunktion, Anstiegsantwort. 2.3.4 Cosinusfunktion, Schwingungsantwort.

Lineare 3.1

Übertragungsglieder

Analogien.

69 69

73 73 73

75 76 77 77

82 88 89 90 91 92 93 95

95

Inhaltsverzeichnis

3.1.1

3.1.2

Verallgemeinerte Größen. Analoge Bauglieder. 3.1.2.1 Energiequellen. 3.1.2.2 Energieverbraucher. 3.1.2.3 Energiespeicher .

3.2

3.1.3 Entwurf eines mathematischen Modells Elementare Übertragungsglieder

.

.

3.2.1

Regelstrecken. 3.2.1.1 Regelstrecken mit proportionalem Verhal-

96 97 97 98 99 102

106 107

107 3.2.1.2 Regelstrecken mit integrierendem Verhalten 120 Regler. 120 3.2.2.1 Proportional wirkender Regler. 120 123 3.2.2.2 Integrierend wirkender Regler 3.2.2.3 Differenzierend wirkender Regler. 125 ten

3.2.2

7

.

.

3.2.2.4 3.2.2.5

3.2.2.6 4

Proportional und integrierend wirkender Regler. Proportional und differenzierend wirkender Regler. Proportional, integrierend und differenzierend wirkender Regler.

127 130 134

Simulation des Zeitverhaltens 140 4.1 Simulatoren. 140

Analogrechner Digitalrechner. Simulation am Analogrechner. 4.1.1 4.1.2

4.2

4.2.1

.

Rechenelemente. 4.2.1.1 4.2.1.2 4.2.1.3

Koeffizientenpotentiometer.

4.2.1.4

Integrierer. Multiplizierer.

4.2.1.5 4.2.1.6

Summierer. Offener Verstärker.

Funktionsgeber.

4.2.2 Rechenschaltungen. 4.2.3 Skalierung. 4.2.4 Simulationsablauf Simulation am Digitalrechner. .

4.3

140 141 143 143 143 145 146 147

147 148 148 152 153 154

8

Inhaltsverzeichnis

4.3.1 4.3.2

Integrationsverfahren. 155 Simulationssprachen. 157 4.3.2.1 Sprachelemente. 157 4.3.2.2 Anweisungen. 157 Funktionsblöcke.

4.3.2.3

4.3.3 4.3.4 5

Simulationsprogramm. Simulationsablauf

.

Graphische Darstellung der Übertragungsfunktion 5.1 Pol-Nullstellen-Verteilung. 5.2 Frequenzgang .

5.2.1

..

Ortskurve. 5.2.1.1 Ortskurven elementarer Übertragungsglieder 5.2.1.2 Ortskurven von Übertragungssystemen

.

.

5.2.2

.

Frequenzkennlinien. 5.2.2.1 Frequenzkennlinien elementarer Übertragungsglieder 5.2.2.2 Konstruktionshilfsmittel für Frequenzkenn.

linien

5.2.2.3

Frequenkennlinien

men

6

.

von

Übertragungssyste-

.

Entwurf von Regelkreisen 6.1 Stabilität, Regelgüte und 6.1.1

6.1.2 6.1.3

6.1.4

Empfindlichkeit. Übertragungsfunktionen des Regelkreises. Stabilität.

Regelgüte. 6.1.3.1 Regelgüte im Beharrungszustand. 6.1.3.2 Regelgüte während des Einschwingvorgan-

168 168

175 177 178 180 181 182 189 191 195

195 195 198 201 201

ges.

206

Stabilitätskriterien. 6.1.4.1 Hurwitz-Kriterium.

207 207 210 216

6.1.4.2

6.2

159 164 167

Nyquist-Kriterium.

6.1.5 Empfindlichkeit. Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich 6.2.1 Auswahl geeigneter Regler. 6.2.2 Vergleich der Wirkung verschiedener Regler. .

218 219 221

9

Inhaltsverzeichnis

Regelkreis mit P-T3-Regelstrecke 6.2.2.2 Regelkreis mit I-T2-Regelstrecke. Günstige Einstellung der Reglerkennwerte. 6.2.3.1 Einstelhegeln nach Ziegler und Nichols 6.2.3.2 Einstelhegeln nach Chien, Hrones und Res6.2.2.1

6.2.3

.

.

221 233 237 238

.

6.3

wick. 6.2.3.3 Einstellregeln nach Kessler. 6.2.3.4 Einstellregeln nach Naslin. Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Frequenzbereich 6.3.1 Wurzelortsverfahren. 6.3.1.1 Definition der Wurzelortskurve. 6.3.1.2 Phasenbeziehung und Betragsbeziehung 6.3.1.3 Konstruktionsregeln für Wurzelortskurven .

.

.

.

Reglerentwurf. Frequenzkennlinienverfahren. 6.3.2.1 Spezifikationen. 6.3.2.2 Reglerentwurf. Entwurf von Regelkreisen mit schaltenden Reglern im Zeit6.3.1.4

6.3.2

6.4

bereich 6.4.1 Zweipunktregler ohne

.

6.4.2

Hysterese einer P-Tx-Tf Regelstrecke. 6.4.1.1 Führungsverhalten. 6.4.1.2 Kenngrößen der Arbeitsbewegung. Zweipunktregler ohne Hysterese an einer I-Tt-Regel-

6.4.4 6.4.5

251 251 252 253 254 260 265 265 273 282

an

strecke.

Führungsverhalten. Kenngrößen der Arbeitsbewegung. Zweipunktregler mit Hysterese an einer P-Ti-Regel-

6.4.2.1 6.4.2.2 6.4.3

241 244 247

285 285 287

292 292 294

strecke. 6.4.3.1 Führungsverhalten. 6.4.3.2 Kenngrößen der Arbeitsbewegung. Zweipunktregler mit Hysterese an einer P-Tn-Regelstrecke. Zweipunktregler mit Hysterese und P-Ti-Rückfüh-

294 295 296

rung.

297

Übergangsverhalten des Reglers.

299

Regelkreis und Einstellung Reglerkennwerte.

300

6.4.5.1 6.4.5.2

Arbeitsweise im

der

297

Dreipunktregler mit P-Ti-Rückführung und I-Stellglied. 6.4.6.1 Übergangsverhalten des Reglers. 6.4.6.2 Arbeitsweise im Regelkreis. Auslegung von Regelschaltungen. 6.5.1 Einfachregelkreis mit Störgrößenaufschaltung 6.5.1.1 Aufschaltung auf den Reglerausgang 6.5.1.2 Aufschaltung auf den Reglereingang 6.5.2 Einfachregelkreis mit HilfsgrößenaufSchaltung 6.5.3 Kaskadenregelkreis. 6.4.6

6.5

....

....

....

....

7

302

303 306 308 308

309 310 311 312

316 Abtastsysteme 7.1 Beschreibung von Abtastvorgängen. 316 7.2 Einführung in die z-Transformation. 324

7.3

7.4

Definition.

7.2.1 7.2.2 7.2.3

Korrespondenzen. Rechenregeln.

7.2.4

z-Übertragungsfunktion.

Digitale Regelungen. 7.3.1 Aufbau des Regelkreises. 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5

Stabilität.

7.4.1 7.4.2 7.4.3

Leitebenen

Quasikontinuierlicher Abtastregier.

Kompensationsregler. Regler für endliche Einstellzeit. Prozeßleitsysteme. .

Funktionskomponenten Prozeßleitsystem Teleperm M. .

324 325 328 333 335 336 338 341 345 346 350 350 352 353

Literaturverzeichnis

358

Stichwortverzeichnis

361

Zum Geleit hörendes Vorurteü, die Regelungstechnik sei eine begrifflich besonders schwierige, vornehmlich mathematische Ingenieurwissenschaft, die nur von Spezialisten mit Erfolg ausgeübt werden könne. Gewiß, es gibt beispielsweise in der Kybernetik der Luft- und Raumfahrt Regelaufgaben, die nur mit einem großen Einsatz theoretischer und praktischer Mathematik von einem Team von Spezialisten gelöst worden sind. Es ist ein oft

zu

Für die vielen Ingenieure, die im Zeichen der Automation mit Aufgaben konfrontiert sind, Festwertregelungen in Industriebetrieben zu planen, zu entwerfen, zu betreiben und zu verbessern, ist es dagegen viel wichtiger, daß sie sich in der grundlegenden Methodik des Steuerns und Regeins wirklich auskennen. Dies bedeutet, daß sie verstehen müssen, die Fundamentalmethoden der Regelungstechnik differenziert einzusetzen, daß sie lernen, Regelsysteme aus Subsystemen aufzubauen sowie Regelungen und Steuerungen derart zu kombinieren, daß die Regelvorgänge optimal ablaufen. Um die Güte und Stabilität der Regelabläufe zu beurteüen, bedarf es indessen nur eines bescheidenen Aufwandes an Mathematik. Diese Erkenntnisse in anschaulicher Weise zu vermitteln, waren von jeher die Hauptanhegen dieses Buches, von dem in den letzten 22 Jahren nicht weniger als sieben Auflagen erschienen sind. Für die achte Auflage so schien es mir ist es an der Zeit, durch eine völlige Neufassung den sprachlichen und sachlichen Fortentwicklungen der Regelungstechnik in den letzten Jahren Rechnung -

zu

-

tragen.

Da ich selbst bereits im 81. Lebensjahr stehe, schien es mir auch ein Gebot der Stunde, das Überleben dieses erfolgreichen Buches dadurch zu sichern, daß ich dem Verlag vorschlug, die Bearbeitung der 8. Auflage einem ausgezeichneten, an Jahren jüngeren KoUegen zu übertragen. Ich hatte bereits in den Anfängen der 60er Jahre das Glück, in Herrn H. Jaschek einen Assistenten zu gewinnen, der in dankenswerter Weise bereits an der ersten Auflage dieses Buches mit mir zusammenarbeitete. Er ist es auch, der zusammen mit W. Engel zur Ergänzung meines Buches die "Übungsaufgaben

12

¿um Geleit

Grundkurs der Regelungstechnik" erfunden im R. Oldenbourg Verlag erschienen sind. zum

hat, die ebenfalls als Buch

Ich freue mich deshalb sehr darüber, daß mein alter Freund H. Jaschek, heute o. Professor der Universität des Saarlandes, es auf meinen Vorschlag hin übernommen hat, die Zukunft dieses Buches zu gestalten und zu sichern.

München, im

Mai 1985

Ludwig

Merz

Vorwort

zur

achten

Auflage

Dieses Buch, dessen erste Auflage vor mehr als zwanzig Jahren erschienen ist, wurde im Laufe der Zeit mehrmals überarbeitet und neu verfaßt. Um den heutigen Anforderungen in Ausbüdung und Praxis gerecht zu werden, wurde die vorhegende achte Auflage völlig neu gestaltet. Dabei wurde das Ziel des Buches beibehalten, die Grundlagen der Regelungstechnik exakt, praxisnah, anschaulich und verständlich darzusteUen. Das Buch soU wie bisher den Studierenden die Mitarbeit in den Vorlesungen erleichtern und den im Beruf stehenden Ingenieuren bei der Lösung praktischer Probleme behilflich sein. In Verbindung mit dem Buch "Übungsaufgaben zum Grundkurs der Regelungstechnik" eignet es sich auch zum Selbststudium. Das Buch behandelt

vorwiegend lineare zeitinvariante kontinuierliche Regelsysteme. Dabei wird bewußt eine ingenieurmäßige DarsteUung gewählt und weitgehend auf mathematische Ableitungen und Beweise verzichtet. Durch zahlreiche praktische Beispiele wird der dargebotene Stoff vertieft und damit das Einprägen wichtiger Verfahren und Erkenntnisse erleichtert. Das erste Kapitel führt in die Regelungstechnik ein. Es erklärt Grundbegriffe, beschreibt Baugheder in Regelkreisen und erläutert Steuer- und Regeleinrichtungen zur Lösung von Regelaufgaben. Im zweiten Kapitel wird gezeigt, wie das Verhalten technischer Systeme analytisch durch Differentialgleichungen und Übertragungsfunktionen sowie experimenteU durch Antwortfunktionen ermittelt werden kann. Das dritte Kapitel arbeitet zunächst die Analogien bei den physikalischen Größen und Baughedern von Systemen der verschiedenen technischen Gebiete heraus und beschreibt dann aUgemein das Verhalten von Regelstrecken und Reglern. Die graphische DarsteUung der Übertragungsfunktion als Pol-NuUsteUen-Verteüung und als Frequenzgang wird im vierten Kapitel erläutert. Damit sind alle Voraussetzungen gegeben, um im fünften Kapitel aufzuzeigen, wie Regelkreise entworfen werden können. Nach Darlegung von Stabilität, Regelgüte und Empfindlichkeit wird der Entwurf von stetigen Reglern im Zeitbereich an Hand von Einstellregeln sowie im Frequenzbereich an Hand des Wurzelorts- und des Frequenzkennlinienverfahrens behandelt. Es folgt der

14

Vorwort

zur

achten A uflage

Regelkreisen mit schaltenden Reglern und die Auslegung von Regelschaltungen ein- und mehrschleifiger Regelkreise. Den Abschluß des Buches büdet im sechsten Kapitel eine Einführung in die Prozeßlenkung mit Digitalrechnern. Mein herzlicher Dank gut vor aUem meinem Lehrer und Freund, Herrn em. o. Professor Dr.-Ing. L. Merz, für das Vertrauen, das mir durch die Übergabe seines so erfolgreichen Buches zuteü wird. Meinen Mitarbeitern, insbesondere meinem früheren Mitarbeiter, Herrn Dipl.-Ing. M. Seiermann, danke ich für anregende Diskussionen und zahlreiche Verbesserungsvorschlage. Nicht zuletzt gebührt dem Verlag R. Oldenbourg mein Dank für das gezeigte Interesse und die wohlwoUende Unterstützung bei der Neugestaltung des Buches. Ich hoffe, daß auch diese Auflage des Buches Interessierten den Zugang zur Regelungstechnik erleichtern und Studierenden wie Berufstätigen eine Entwurf

von

wertvoUe Hufe sein wird.

Saarbrücken, im

Mai 1985

H. Jaschek

Vorwort

zur

zwölften

Auflage

Es obhegt mir die traurige Pflicht, den Lesern dieses Buches den Tod meines verehrten Lehrers und Mitautors, Herrn em. o. Professor Dr.-Ing. L. Merz, bekanntzugeben. Herr Merz ist nach einem arbeitsreichen und erfüUten Leben im gesegneten Alter von 87 Jahren verstorben.

Die vorhegende zwölfte Auflage ist eine vollständig überarbeitete und mit einer Reihe von Erweiterungen versehene Neuauflage, wobei die bisherige Zielsetzung des Buches unverändert gebheben ist. Im neu eingefügten vierten Kapitel werden zur Ermittlung des Zeitverhaltens von Systemen die Verfahren der analogen und digitalen Simulation erläutert. Im neu gestalteten siebenten Kapitel werden nach einer Beschreibung von Abtastvorgängen die z-Transformation, digitale Regelungen und Prozeßleitsysteme behandelt. Um das Verständnis des Stoffes zu fördern, enthält auch diese Auflage zahlreiche Beispiele, die durch einen anderen Schrifttyp kennthch gemacht sind. Für die mir insbesondere aus dem Kreise meiner Hörer zugegangenen Hinweise und Verbesserungsvorschlage danke ich bestens. Ferner danke ich Frau R. Barbie und Herrn cand. ing. R. Wartenberg für die sorgfältige Reinschrift des druckfertigen Originals und den Herren W. Schröder und E. Leinweber für das bewährte Reinzeichnen der zahlreichen Abbildungen. Nicht zuletzt gut mein Dank Herrn M. John vom R. Oldenbourg Verlag für die stets freundliche und verständnisvoUe Zusammenarbeit.

Saarbrücken, im Oktober

1992

H. Jaschek

Vorwort

zur

vierzehnten

Auflage

Die vorliegende vierzehnte Auflage ist ein durchgesehener und korrigierter Nachdruck der dreizehnten Auflage. Allen, die zu den Korrekturen beigetragen haben, sei an dieser Stelle herzlich gedankt. H. Jaschek

Kapitel

1

Einführung 1.1

Aufgabe

in die der

Regelungstechnik

Regelungstechnik

Aufgabe der Regelungstechnik ist es, geeignete Methoden und Verfahren bereitzusteUen, mit deren Hufe das Verhalten technischer Systeme untersucht und beeinflußt werden kann. Ein Brotröster, ein Fernsehapparat, ein Flugzeug, ein Dampfkraftwerk sind Beispiele für technische Systeme. Unter einem System versteht man also ein geordnetes und gegliedertes Ganzes, ein Gefüge von Teüen, die zusammenwirken, um einen ganz bestimmten Zweck zu erfüUen. Das Verhalten eines Systems wird durch die physikalischen Gesetzmäßigkeiten zwischen den einzelnen Größen des Systems bestimmt. Diese Beziehungen, die sich gleichungsmäßig angeben lassen, steUen ein abstraktes mathematisches ModeU dar, welches das Verhalten des Systems beschreibt. Durch Lösen der Gleichungen für vorgegebene Anfangszustände und Eingangsgrößen kann das Systemverhalten ermittelt und analysiert werden. Entspricht das Systemverhalten nicht den gesteUten Anforderungen, so müssen geeignete Steuer- und Regeleinrichtungen für das System vorgesehen werden, um das gewünschte Verhalten zu erzwingen. Für das Funktionieren eines Systems kann es z. B. notwendig sein, daß trotz störender Einflüsse von innen und außen bestimmte Größen des Systems in Abhängigkeit zu anderen gebracht oder konstant gehalten werden, oder ihnen ein ganz bestimmtes Zeitverhalten aufgeprägt wird. Am Beispiel eines Dampfkraftwerkes soh dies verdeuthcht werden. Zweck eines Dampfkraftwerkes ist es, im Dampferzeuger die latente Energie des fossüen Brennstoffes als Wärmeenergie freizusetzen und sie auf das Arbeitsmittel Wasser zu übertragen, so daß der Turbine Energie in Form eines Dampfstromes, der unter hohem Druck und hoher Temperatur steht, zur Verfügung gesteht und in ihr in kinetische Energie umgewandelt wird. Im Generator, der mit der Turbine starr gekuppelt ist, wird schließlich die kinetische

18

1. Einfuhrung in die

Regelungstechnik

Energie in elektrische Energie bestimmer Qualität in bezug auf Spannung und Frequenz umgeformt und über das Hochspannungsnetz an die Verbraucher verteüt. Um im Feuerraum des Dampferzeugers eine günstige Verbrennung zu gewährleisten, müssen der Brennstoffstrom und der Luftstrom in ein bestimmtes Verhältnis zueinander gebracht werden. Damit Dampferzeuger und Turbine nicht überlastet werden, müssen u. a. Dampfdruck und Dampftemperatur auf vorgegebenen Werten konstant gehalten werden. Da elektrische Energie nicht in großem Umfang speicherbar ist, muß die augenblicklich erzeugte Leistung und damit auch der Dampfstrom laufend dem unterschiedlichen tageszeithchen Bedarf der Verbraucher angepaßt werden. Um diese geschüderten Aufgaben auch unter dem Einfluß von Störungen, wie z. B. veränderlichem Heizwert des Brennstoffes, lösen zu können, müssen geeignete Steuer- und Regeleinrichtungen zur Aufrechterhaltung des gewünschten Systemzustandes vorgesehen werden. Dabei ist es für das Funktionieren des Systems von ausschlaggebender Bedeutung, daß die von den Einrichtungen automatisch durchzuführenden Maßnahmen zum richtigen Zeitpunkt, an richtiger SteUe und in richtiger Dosierung eingeleitet

werden. Im folgenden werden zunächst die wichtigsten Begriffe und Benennungen der Regelungstechnik erläutert, die Baugheder in Regelkreisen dargesteUt und dann Steuer- und Regelschaltungen zur Lösung von Regelaufgaben be-

schrieben.

1.2

Begriffe

und

Benennungen

Die Bezeichnungen der Steuerungs- und Regelungstechnik sind in einer Norm [5] festgelegt. Die wichtigsten Begriffe werden im folgenden zusammengesteUt und erläutert.

1.2.1

Steuerung

Vorgang in einem System, bei dem eine oder mehrere Größen als Eingangsgrößen (Eingangssignale) andere Größen als Ausgangsgrößen (Ausgangssignale) auf Grund der dem System eigentümlichen Gesetzmäßigkeit beeinflussen. Die

Steuerung

ist der

1.2

19

Begriffe und Benennungen

Kennzeichen für das Steuern ist der offene Wirkungsablauf über das einzelne Übertragungsglied oder die Steuerkette (Büd 1.2.1).

Büd 1.2.1 Steuerkette

wirkungsmäßige Abhängigkeit eines Ausgangssignals von dem Eingangssignal desselben Übertragungsghedes wird sinnbüdhch vorzugsweise durch ein Rechteck, in diesem Zusammenhang Übertragungsblock genannt, dargesteUt. An dieses schließt für jedes Signal eine Wirkungshnie an, an der durch Pfeüspitzen in der Wirkungsrichtung angegeben wird, ob es sich um das Ausgangssignal oder das Eingangssignal handelt (Büd 1.2.2). Die

xe xa

F —

Eingangsgröße, Eingangssignal, Ursache Ausgangsgröße, Ausgangssignal, Wirkung Übertragungsfunktion, Abbüdungsfunktion der Eingangsgröße auf die Ausgangsgröße Wirkungsrichtung

Xa

Büd 1.2.2

=

F

x.

Übertragungsglied

In einem Drosselventü z. B. steuert die SteUung des Ventilkegels den Durchfluß. Die eingebaute Gesetzmäßigkeit zwischen VentüsteUung H und Durchfluß q ist durch die Form des Ventilkegels und der Sitzflächen gegeben (Büd 1.2.3). Bei einem Hebel bestimmt das Verhältnis der Hebelarme das Steuer-

gesetz

(Büd 1.2.4).

c)

a) H —

q

*i

Büd 1.2.3 Drosselventü a) Aufbau

b) Ventilkennlinien c) Übertragungsblock

H/Ho

20

/.

Einführung in die Regelungstechnik

a) Weg

h^ Weg xa

h-

xe

c)

b) Xa

"

.

Xe

—

V77Ï/. Büd 1.2.4 Hebel

a) Aufbau b) Gleichung c) Übertragungsblock 1.2.2

Regelung

Regelung

ist ein Vorgang, bei dem eine Größe, die zu regelnde Größe fortlaufend erfaßt, mit einer anderen Größe, der Führungs(Regelgröße) größe, verglichen und abhängig vom Ergebnis dieses Vergleiches im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflußt wird. Der sich dabei ergebende Wirkungsablauf findet in einem geschlossenen Kreis, dem RegelDie

kreis,

statt

(Büd 1.2.5).

Rückführung w

Führungsgröße, SoUwert

x

Regelgröße, Istwert Regeldifferenz: Xd w SteUgröße Laststörgröße Versorgungsstörgröße

Xd

y zx

zy

x

=

—

Büd 1.2.5

Regelkreis

Regelung hat die Aufgabe, trotz störender Einflüsse den Wert der Regelgröße an den durch die Führungsgröße vorgegebenen Wert anzugleichen,

Die

auch wenn dieser Angleich im Rahmen kommen geschieht.

21

Begriffe und Benennungen

1.2

gegebener Möglichkeiten nur unvoll-

Regeleinrichtung gehört mindestens eine Einrichtung zum Erfassen der Regelgröße x, zum Vergleichen mit der Führungsgröße w und zum Bilden der Stellgröße y. Innerhalb der Regeleinrichtung kann ein Übertragungsglied als Regler bezeichnet werden. Als Regelstrecke wird der Teil des Regelkreises bezeichnet, der zwischen dem Stellort und dem Meßort liegt. Regelgrößen können verschiedene physikalische Variable sein, wie z. B. Temperatur, Druck, Massenstrom, Füllstand, Drehzahl oder Leistung. In Bild 1.2.6 ist als Beispiel für eme Regelung die gerätetechnische Darstellung eines Regelkreises zur Regelung des Druckes in einem Behälter durch Drosselung des Abflusses dargestellt. Die vom Druckfühler erzeugte Kraft wird mit der Kraft einer vorgespannten Sollwertfeder verglichen. Über den Abstand zwischen Düse und Prallplatte ändert sich der Druck im Membranantrieb und beeinflußt über das Stellglied Drosselventil den Behälterdruck im Sinne einer Angleichung an den durch den Sollwert vorgegebenen Wert. Weg und Richtung der Wirkungen im Regelkreis müssen nicht mit Weg und Richtung zugehöriger Energie- und Massenströme übereinstimmen. Zur

SoUwerteinsteUer

Praüplatte p— Düse_

Druckluft)

^A|/"Stel antrieb SteUghed

^•-kÍn11 —ii-v

>-i

Durchfluß-

Druckbehälter Büd 1.2.6

x

Regelung des Druckes in

SteUort

einem Behälter

DarsteUungen von Regelkreisen wird im folgenden die stets mit negativem Vorzeichen auf den Vergleicher zurück-

Bei sinnbüdlichen

Regelgröße

richtung

22

1.

Einführung in die Regelungstechnik

geführt, um anzudeuten, daß bei einer Regelung immer eine Gegenkopplung vorhegt. Um richtigen Regelsinn zu gewährleisten, kann eine weitere Vorzeichenumkehr im Regelkreis notwendig sein. Sie wird am Eingang des SteUgerätes vorgenommen. Am Beispiel von Druckregelungen durch Drosselung des Zuflusses oder des Abflusses soU dies verdeuthcht werden. Druckregelungen durch Drosselung des Zuflusses werden sowohl bei strömenden Flüssigkeiten als auch bei Gasen und Dämpfen eingesetzt. Büd 1.2.7 zeigt sinnbüdhch einen solchen Regelkreis. Der Druck hinter dem Ventü soU geregelt werden. Ist der Istwert x des Druckes p gegenüber dem SoUwert w zu klein, so ist die Regeldifferenz Xd positiv und damit die SteUgröße y auch positiv. Das Ventü wird weiter geöffnet, der Stoffstrom steigt und damit steigt auch der Druck. Der Regelkreis erfüUt seine Aufgabe. Richtiger Regelsinn ist hier gewährleistet. m

=Q=b#

t

p

Anlage

X

¿L

r -il

Büd 1.2.7

Xa Xd

w

Druckregelung durch Drosselung des

Zuflusses

Druckbehälter

Anlage

Büd 1.2.8

Druckregelung

durch

Drosselung

des Abflusses

Druckregelungen durch Drosselung des Abflusses werden praktisch nur bei Gasen und Dämpfen eingesetzt. In Büd 1.2.8 ist eine solche Regelung sinnbüdhch dargesteUt. Der Druck vor dem Ventü soU geregelt werden. Ist der Istwert gegenüber dem SoUwert zu klein, so sind die Regeldifferenz und

23

Begriffe und Benennungen

1.2

Das Ventü muß aber schließen, damit weniger StoffDruckbehälter ausströmt und der Druck steigt. So muß strom aus dem eine Vorzeichenumkehr vor dem SteUgerät vorgesehen werden, um richtigen die

SteUgröße positiv.

Regelsinn 1.2.3

zu

gewährleisten.

Signalflußplan

Signalflußplan ist eine sinnbüdliche DarsteUung der wirkungsmäßigen Zusammenhänge zwischen den Signalen eines Systems oder einer Anzahl von aufeinander einwirkenden Teilsystemen in Form von Blöcken, die durch gerichtete Wirkungshnien verbunden werden. Die Blöcke stehen die gerichteten, rückwirkungsfreien Übertragungsglieder dar. Die Wirkung wird in der durch Pfeüe angegebenen Richtung übertragen. Eine interne Rückwirkung der Ausgangsgröße eines Blockes auf seine Eingangsgröße erfolgt nicht. Zur detaillierten Beschreibung der wirkungsmäßigen Abhängigkeit der Signale werden in jeden Block z. B. Gleichungen (Differentialgleichung, Büd 1.2.9; Übertragungsfunktion, Büd 1.2.10) oder zeichnerische Darstellungen (Übergangsfunktion, Büd 1.2.11; Kennlinie im Beharrungszustand, Büd 1.2.12) eingetragen. Ein

Xe

=

K(t)

Í/...A

Büd 1.2.9 Block mit

*.(P)

=

V(t)

v(t)

1 =

m

-

J

T-p

Büd 1.2.10 Block mit

Xa(p)

K l+

T-p

Xa(t)

Übergangsfunktion

Büd 1.2.12 Block mit Kennlinie im zustand

Xe{p)

Übertragungsfunktion xe(t)

Büd 1.2.11 Block mit

K(t)dt

Differentialgleichung

Xa(p)

K l+

Xa

_

Beharrungs-

^F

24

1.

Einführung in die Regelungstechnik

Man bezeichnet einen Signalflußplan auch allgemein als Blockschaltbüd, wenn in die Einzelblöcke nur der Name der Baugheder eingetragen wird. In Büd 1.2.13 ist als Beispiel eine gerätetechnische Darstehung der Temperaturregelung eines Bügeleisens und das zugehörige Blockschaltbüd ange-

geben. Kontaktfeder

SoUwertschraub e

(verspannte Blattfeder)

Haltefeder

Wippe (isol.) Nocke

(isol.)

\!u^M(((mlnvax merta11streifen Ni Fe Bi JÇŒHSXSSHpSÏ 5 Netzspannung

Pfl

Sohle

-

Heizwicklung

a)

Wärmeaustausch mit

Netzspannung

Weg

Drehwinkel Sollwert schraube

Kontaktfeder mit

Wippe

Heiz-

spirale

Hysterese

b)

Tempe-

Wärme_stroni

Strom

Weg

Weg

Büd 1.2.13

Umgebung ratur

Sohle

Weg Nocke

Bimetallstreifen

Temperaturregelung eines Bügeleisens a) Gerätetechnische DarsteUung

b)

Blockschaltbüd

In Signalflußplänen und Blockschaltbildern treten zwei Arten von Signalmischstellen (SummationssteUe und VerzweigungssteUe) und drei Arten von Grundstrukturen (Kettenstruktur, ParaUelstruktur und Kreisstruktur) auf. Eine SummationssteUe, dargesteUt durch einen Kreis, versinnbüdlicht, daß das Ausgangssignal die algebraische Summe der Eingangssignale ist (Büd 1.2.14). Pluszeichen an den Eingangssignalen können entfaUen. Eine VerzweigungssteUe, dargesteUt durch einen Punkt, versinnbüdlicht, daß ein Si-

1.2

gnal

von

gleichbleibender

Größe in mehrere

25

Begriffe und Benennungen

Richtungen übertragen

wird

(Büd 1.2.15). O--— Xa

Xa

Xe2

Xei —

Xe2

Büd 1.2.14 SummationssteUe

Büd 1.2.15

VerzweigungssteUe

Bei einer Kettenstruktur sind Übertragungsblöcke hintereinander angeordnet. In Büd 1.2.16 sind die Schaltung und die resultierende Abbüdungsfunktion einer Kettenstruktur im Falle linearer Einzelfunktionen angegeben. Bei einer Parahelstruktur (Büd 1.2.17) sind parallel und bei Kreisstruktur einer (Büd 1.2.18) in einem geschlossenen Kreis angeordnet.

Übertragungsblöcke

Xal Xel

=

Xe2

-\

Fx

F2

Xa2 Xa2

=

Fx-F2- Xel

Büd 1.2.16 Kettenstruktur

Fx

Xal

Dt

Xa

Xa

=

(Fx ± F2)

•

Xe

Xa2

Büd 1.2.17 Parahelstruktur Xel

Xe

±

Fx

Xa

a:02

Büd 1.2.18 Kreisstruktur

1 =F

Fx F2

e

26

1.

1.3

Einführung in die Regelungstechnik

Bauglieder

in

Regelkreisen

und Steuer-

ketten Die Baugheder sind Gegenstände gerätetechnischer Betrachtungen. Sie steUen die geforderten Beziehungen und Abhängigkeiten zwischen den am Wirkungsweg auftretenden Größen her. Um ein einwandfreies Arbeiten zu gewährleisten, müssen die Baugheder rückwirkungsfrei sein. Aufgabe und Aufbau solcher Regelkreisglieder werden im folgenden erläutert.

1.3.1

Fühler

Ein Fühler erfaßt die zu messende Größe direkt und führt sie als geeignete physikalische Größe den anderen Geräten der Einrichtung zu [16]. 1.3.1.1

Fühler für Druck

Erfassung eines Druckes wird dieser meist mit Hufe einer druckbelasteten Fläche in eine dem Druck proportionale Kraft umgeformt. Diese wird dann über einen Weg- oder Kraftvergleich in eine dem Druck proportionale Größe umgeformt. Von den vielen Druckmeßverfahren haben sich in der Praxis durchgesetzt die Druckmessung mit Federdruckmesser und die mit Druckwaage. Zur

a)

Federdruckmesser

Es gibt drei Arten von Federdruckmessern, die Rohrfedermeßwerke, die Plattenfedermeßwerke und die Kapselfedermeßwerke.

Die Rohrfedermeßwerke sind eines der am meisten verwendeten Meßwerke, die sich zur Messung auch sehr hoher Drücke (bis zu 2500 bar) eignen. Büd 1.3.1 zeigt den Aufbau eines Rohrfedermeßwerkes. Unter der Einwirkung des Meßdruckes p ist das gebogene Rohr (Bourdon-Rohr) bestrebt, sich aufzubiegen, da die Außenbogenfläche größer als die Innenbogenfläche und daher die Außenkraft bei gleichem Druck größer als die Innenkraft ist. Über die Federkonstante der Anordnung eingespanntes gebogenes Rohr bewirkt die auftretende resultierende Kraft eine Auslenkung, die über einen Winkelabgriff gemessen werden kann. -

-

27

1.3 Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

Büd 1.3.1 Rohrfedermeßwerk

xe =p

Die Plattenfedermeßwerke eignen sich zur Messung niedriger bis mittlerer Drücke (bis zu 25 bar). Büd 1.3.2 zeigt schematisch ein Plattenfedermeßwerk. Unter dem Einfluß des zu messenden Druckes tritt in der Plattenfeder eine elastische Verformung auf, die eine Verschiebung der Plattenmitte hervorruft.

Büd 1.3.2 Plattenfedermeßwerk

xe

=

p

Die Kapselfedermeßwerke eignen sich zur Messung von geringen Differenzdrücken bis zu 0.4 bar. In Büd 1.3.3 ist ein Kapselfedermeßwerk dargesteht. Der zu messende Druck gelangt in den Hohlraum der Kapselfeder. Ihm entgegen wirkt der Druck, der im äußeren Gehäuse herrscht. Die auftretende Druckdifferenz verursacht eine axiale Verschiebung der Kapselfeder, die als Weg abgegriffen werden kann.

Büd 1.3.3

Kapselfedermeßwerk

xe=p

Die Federdruckmesser sind infolge von Reibung, Federhysterese und Federalterung nicht sehr genaue Druckmesser; sie sind aber robust und bequem in der Anwendung und geeignet zur Messung sehr kleiner bis sehr großer Drücke.

/. Einführung in die Regelungstechnik

28

b) Druckwaagen Zu diesen Druckmessern gehört die Ringwaage, deren Aufbau in Büd 1.3.4 schematisch dargestellt ist und die zur Messung kleiner Differenzdrücke von einigen mbar bis zu ein bar verwendet wird. Die Ringwaage besteht aus einem drehbar gelagerten ringförmigen Gefäß, das durch eine Trennwand und eine Sperrflüssigkeit (Wasser, Öl, Quecksüber) in zwei Meßräume aufgeteüt wird. Den beiden Räumen wird über flexible Zuleitungen der zu messende Differenzdruck zugeführt. SoU der Druck gegen die Atmosphäre gemessen werden, so bleibt eine Zuleitung offen. Wirkt nun der Differenzdruck auf die Trennwand, so dreht sich die Ringwaage so weit, bis das von einem Gewicht erzeugte Rückstellmoment wieder Gleichgewicht hersteht. Der Verdrehungswinkel a ist dann ein Maß für den Differenzdruck.

1.3.1.2

Fühler für Durchfluß

Zur Messung des Durchflusses eignen sich eine Reihe von physikalischen Effekten. Nach der Art des Meßeffektes unterscheidet man die WirkdruckDurchflußmesser und die Volumen-Durchflußmesser.

a)

Wirkdruck-Durchflußmesser

Das Wirkdruck-Meßverfahren beruht auf dem Kontinuitätsgesetz und der Energiegleichung. Nach dem Kontinuitätsgesetz ist der Massenstrom m einer Rohrleitung an allen SteUen gleich. Es fließen also in gleichen Zeiten gleiche Massen hindurch. Wird an einer Stehe der Querschnitt vermindert, so muß an dieser SteUe die Strömungsgeschwindigkeit ansteigen. Da nach der Energiegleichung von Bernoulli im stationären Zustand der Energieinhalt eines strömenden Stoffes, der sich aus Lage-, Druck- und Geschwin-

1.3

29

Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

digkeitsenergie zusammensetzt, konstant ist, wirkt sich eine Zunahme der Geschwindigkeit bei gleicher Höhenlage in einer Abnahme des statischen Druckes aus. Dieser DruckabfaU, der sogenannte Wirkdruck pw, ist also ein Maß für den Massenstrom

m.

Durchflußmessung wird also in die Rohrleitung ein genormter Wirkdruckgeber (Blende, Düse, Venturirohr) eingebaut (Büd 1.3.5) und der Wirkdruck pw Pi p2 gemessen. Der Massenstrom rh ergibt sich zu: Zur

=

—

(1.3.1)

\/pw

m

Der Faktor c berücksichtigt die Bauform des Durchflußmessers und die Dichte des Fluids. Bei der Messung von Gasmassenströmen gehen Temperatur und Druck in die Dichte des zu messenden Stoffes stark ein.

0 x.

=

b)

D

m

npHnr ca

=

~!F nr

PW

PW

Xa —

J x.

Büd 1.3.5

Wirkdruckgeber

a) Blende b) Düse c) Venturirohr

=

m

1 1+ -I Xa

=

PW

Als Wirkdruckmesser verwendet man bei kleinen Wirkdrücken Ringwaagen, bei mittleren Drücken Quecksüberschwimmermanometer und bei hohen Drücken Barton-MeßzeUen.

b)

Volumen-Durchflußmesser

Mit diesen flußmesser

denen der Ovalradzähler und der induktive Durchrechnen sind, wird der Volumenstrom erfaßt.

Fühlern, zu

zu

/. Einführung in die Regelungstechnik

30

Der Ovalradzähler (Büd 1.3.6) enthält in einer Meßkammer zwei miteinander kämmende Ovalzahnräder. In der gezeichneten SteUung wird von der Flüssigkeit auf das Rad 1 ein Drehmoment ausgeübt. Die Drehmomente auf das Rad 2 heben sich gegenseitig auf. Es resultiert also eine Bewegung der Ovalräder in Pfeilrichtung, wobei das zwischen dem oberen Rad 1 und der Meßkammerwand abgeschlossene sichelförmige Volumen weitertransportiert wird. Zur Messung des Durchflusses dient der lineare Zusammenhang zwischen dem Durchflußvolumen und der Drehzahl des Ovalrades, die z. B. mit Hufe eines Tachogenerators erfaßt wird.

xe

=

q

xa

=

n

Büd 1.3.6 Ovalradzähler

Dem induktiven Durchflußmesser (Büd 1.3.7) hegt das Generatorprinzip zugrunde. Schneidet ein in einem Magnetfeld bewegter elektrischer Leiter, hier der strömende Stoff, die magnetischen Feldlinien, dann wird in dem Leiter eine Spannung induziert, die proportional dem Durchfluß ist. U

Xa —

xe

=

q

Büd 1.3.7 Induktiver Durchflußmesser Von Vorteü ist, daß bei diesem Meßverfahren kein Druckverlust auftritt. Ferner ist die Messung unabhängig von Temperatur, Druck, Dichte und Viskosität. Um dieses Meßverfahren anwenden zu können, muß die Leitfähigkeit des Stoffes mindestens 1 /xS/cm betragen. Dieser Forderung genügen aUe technischen Flüssigkeiten mit Ausnahme der Kohlenwasserstoffe.

1.3

1.3.1.3

31

Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

Fühler für Füllstand

Fühler für den Füllstand lassen sich nach ihrer prinzipiellen Wirkungsweise einteilen in Fühler mit Schwimmerantrieb, Fühler mit Verdrängungskörper und Fühler nach dem Druckunterschiedsverfahren.

a)

Schwimmer

Steigen

und Fallen eines Flüssigkeitsspiegels wird mit Hilfe eines Schwimmers erfaßt und als Weg auf einen Geber übertragen (Bild 1.3.8). Das

xa

=

x

23IE2

^4> Büd 1.3.8 Schwimmer

xe

=

H

b) Verdrängungskörper Bei diesem Meßverfahren wird der Auftrieb eines in die Flüssigkeit eintauchenden Verdrängungskörpers (zylindrischer Hohlkörper) von gleichmäßigem Querschnitt als Meßeffekt verwendet (Büd 1.3.9). An einem Hebelarm eines Waagebalkens hängt der in die Flüssigkeit tauchende Hohlkörper. Am anderen Hebelarm gleicht eine Feder bei leerem Behälter das Gewicht des Körpers aus. Mit steigendem Flüssigkeitsstand nimmt die Auftriebskraft zu und entspannt die Feder, so daß der aus dem Kraftvergleich resultierende Weg ein Maß für den Stand ist.

Xa

X —

Büd 1.3.9

c)

Verdrängungskörper

Differenzdruckmesser

geschlossenen Behältern, in denen eine Flüssigkeit verdampft, wird die Standmessung auf eine Differenzdruckmessung zurückgeführt. Man bringt neben dem Behälter ein Bezugsgefäß (Kondensgefäß) an und mißt den Differenzdruck der beiden Flüssigkeitssäulen, indem man den Weg der Membran In

32

I.

Einführung in die Regelungstechnik

abgreift (Büd 1.3.10). Für eine sichere Messung muß Bezugsspiegel Hx geachtet werden. xe

=

=

Büd 1.3.10

1.3.1.4

auf einen konstanten

Ap 7

-

(Ht H2) -

Differenzdruckmessung

Fühler für Temperatur

Temperaturmeßfühlern unterscheidet man mechanische und elekBerührungsthermometer. a) Mechanische Berührungsthermometer Als Meßeffekt dient die Wärmeausdehnung von Metallen (Bimetallthermometer) oder Flüssigkeiten (Flüssigkeitsausdehnungsthermometer). Die Bimetallthermometer werden eingesetzt zur Temperaturmessung im Bereich von 30 bis 400 °C. Sie bestehen in der Regel aus zwei miteinander verwalzten MetaUen verschiedener Wärmeausdehnungskoeffizienten, die meist zu einer Spirale gewickelt sind (Büd 1.3.11). Mit steigender Temperatur krümmt sich das Bimetall nach der Seite hin, deren Ausdehnung geringer ist. Die Bewegung wird auf einen Abgriff übertragen. Bei den

trische

—

C*

=

a\£. =

0

Büd 1.3.11 Bimetallthermometer

33

1.3 Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

Flüssigkeitsausdehnungsthermometer werden eingesetzt in einem Temperaturbereich von 200 bis 750 °C. Der Meßeffekt beruht auf der Volumenausdehnung einer in einem abgeschlossenen Glasgefäß befindlichen Flüssigkeit bei steigender Temperatur, die sich in einem erhöhten Druck auswirkt. Über eine Feder (Membran) erfolgt eine Umsetzung in einen Weg (Büd 1.3.12). Die

-

Bild 1.3.12

b)

Flüssigkeitsausdehnungsthermometer

vjy

Berührungsthermometer Hierzu gehören die Widerstandsthermometer und die Thermoelemente. Die Widerstandsthermometer werden eingesetzt zur Messung von Temperaturen zwischen 200 und 850 °C. Als Meßeffekt dient der bei Metallen, wie Platin, Nickel oder Kupfer, mit steigender Temperatur zunehmende elektrische Widerstand (Büd 1.3.13). Wegen des größeren Meßeffektes werElektrische

—

den auch bestimmte Halbleiter, die sogenannten Heißleiter, verwendet, die jedoch einen negativen Temperaturkoeffizienten besitzen. Die sich ergebende Widerstandsänderung, die ein Maß für die Temperatur ist, wird z. B. mit Hilfe einer Brückenschaltung gemessen. Heißleiter

Kaltleiter

-Pt

Büd 1.3.13

Temperaturabhängigkeit

des

elektrischen Widerstandes verschiedener Werkstoffe

100

°c

Die Thermoelemente werden eingesetzt zur Messung von Temperaturen zwischen 200 und 1600 °C. Hierbei wird der thermoelektrische Effekt ausgenutzt, bei dem eine Thermospannung entsteht, wenn zwei Drähte aus verschiedenen Werkstoffen (z. B. Kupfer und Konstantan oder Nickelchrom —

34

/.

Einführung in die Regelungstechnik

und Nickel) miteinander verbunden und die VerbindungssteUen unterschiedlichen Temperaturen ausgesetzt werden. xa

=

«

~

{um tiv) -

I_l-o

I

'

L_J

L_J

$M

tiv

Büd 1.3.14 Thermoelement

Büd 1.3.14 zeigt den prinzipieUen Aufbau eines Thermoelementes. Man verbindet zwei Drähte an einem Ende und bringt diese VerbindungssteUe (MeßsteUe) auf die zu messende Temperatur du- An den anderen Drahtenden (VergleichssteUe), die sich auf der konstanten Temperatur ây befinden, kann dann eine Spannung abgegriffen werden, die direkt proportional der Temperaturdifferenz zwischen der Meß- und der VergleichssteUe ist. Liegen MeßsteUe und Anzeige weit voneinander entfernt, so wird eine Ausgleichsleitung benutzt, die nahezu dasselbe thermoelektrische Verhalten wie die Materialkombination des Thermopaares aufweist, aber wesenthch billiger ist. 1.3.1.5

Fühler für Kraft

Als Kraftmeßfühler werden

Federwaagen

und Kraftmeßdosen mit Deh-

nungsmeßstreifen eingesetzt. a) Federwaagen Büd 1.3.15 zeigt eine mechanische Federwaage, bei der als durch die Kraft erzeugte Längenänderung einer Feder dient. x.

=

K

x

Xa —

Büd 1.3.15

Federwaage

Meßeffekt die

1.3 Bauglieder in

b)

Kraftmeßdosen mit

35

Regelkreisen und Steuerketten

Dehnungsmeßstreifen

Mit Kraftmeßdosen lassen sich statische und dynamische Kraftmessungen auch unter rauhen Betriebsbedingungen praktisch weglos ausführen. Büd 1.3.16 zeigt den Aufbau einer Kraftmeßdose mit Dehnungsmeßstreifen. In einem Gehäuse befindet sich als Feder ein Hohlzyhnder, der über ein Druckstück belastet werden kann. Auf der Wand des Hohlzyhnders sind Dehnungsmeßstreifen, die aus einem auf einem dünnen Isoherträger aufgebrachten Konstantan-Widerstandsdraht bestehen, waagerecht und senkrecht kraftschlüssig aufgeklebt. Wird die Dose und damit der Zylinder belastet, so werden infolge der Längenänderung die Widerstände der waagerechten Streifen größer und die der senkrechten kleiner. Sind die Widerstände z. B. zu einer Wheatstone-Brücke zusammengeschaltet, so ist die Ausgangsspannung der Brücke direkt proportional der auf den Zylinder einwirkenden Kraft. Druckstück

I

Hohlzyhnder Dehnungs-

meßstreifen

^^szá^NíBüd 1.3.16 Kraftmeßdose mit

1.3.1.6

Gehä-e

Dehnungsmeßstreifen

Fühler für Drehzahl

Als Drehzahlmeßfühler kommen

zum

Einsatz

Fhehkraftpendel

und Tacho-

generatoren.

a) Fhehkraftpendel ein Fhehkraftpendel. Die durch die Drehung erzeugte Zentrifugalkraft lenkt die Schwunggewichte aus. Die Auslenkung ist proportional dem Quadrat der Drehgeschwindigkeit.

Büd 1.3.17

zeigt

36

1.

Einführung in die Regelungstechnik

Büd 1.3.17

Fhehkraftpendel

b) Tachogeneratoren Tachogeneratoren (Gleichspannungs-

und Wechselspannungsgeneratoren) arbeiten nach dem Generatorprinzip. Büd 1.3.18 zeigt einen Gleichspannungstachogenerator, der ähnlich wie ein Kleinmotor aufgebaut ist. Die erzeugte Spannung u hängt linear von der Drehzahl n der Ankerwehe ab. Die Polarität der Spannung zeigt die Drehrichtung an.

Büd 1.3.18

1.3.2

Gleichspannungstachogenerator

Meßumformer

Ein Meßumformer ist ein Gerät, welches eine Eingangsgröße gegebenenfalls unter Verwendung einer Hilfsenergie verstärkt und möghchst eindeutig in eine normierte Ausgangsgröße umformt. Die normierte Ausgangsgröße hegt, in gewissen Grenzen unabhängig von der Bürde, bei pneumatischen Meßumformern zwischen 0.2 und 1.0 bar eingeprägten Luftdruck und bei elektrischen Meßumformern zwischen 0 (oder 4) und 20 mA eingeprägten Strom. Diese Normierung ermöglicht die Verwendung einheitlicher Geräte nach dem Meßumformer, erleichtert die Reservehaltung und vereinfacht die -

-

Wartung. Bei gleichartiger Eingangsmer

auch Verstärker.

und

Ausgangsgröße nennt

man

den Meßumfor-

1.3 Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

37

Düse-PraUplatteXe

=

Abgriff

l

Tauchspule Gegenkopplungsbalg

Permanent-

magnet

NuUpunktfeder pneumatischer Verstärker Zuluft

Büd 1.3.19

[

pv

=

1.4 bar

Elektro-pneumatischer Meßumformer

Im folgenden soU der Aufbau eines handelsüblichen elektro-pneumatischen Meßumformers erläutert werden. Dieser Meßumformer setzt eine elektrische Eingangsgröße in eine verhältnisgleiche pneumatische Ausgangsgröße (Luftdruck zwischen 0.2 und 1.0 bar) um. In Büd 1.3.19 ist schematisch sein Aufbau dargesteUt. Der Meßumformer arbeitet nach dem Prinzip des Drehmomentenvergleiches. Der Eingangsstrom i erzeugt über das Tauchspulsystem (Tauchspule und Permanentmagnet) eine zu ihm proportionale Kraft. Durch diese wird ein Drehmoment erzeugt und mit dem vom Gegenkopplungsbalg erzeugten Drehmoment verglichen. Die aus dem Vergleich resultierende Änderung des Düse-PraUplatte-Abstandes ändert über einen pneumatischen Verstärker den Gegenkopplungsdruck und damit den Ausgangsdruck p0 derart, daß sich ein Gleichgewicht am Waagebalken einsteUt. Der Eingangsstrom wird also in einen proportionalen Ausgangsdruck umgeformt. Über die in Büd 1.3.19 eingezeichnete verstehbare Feder wird der

NuUpunkt festgelegt.

Büd 1.3.20

Düse-Prallplatte-Abgriff

38

1.

Einführung in die Regelungstechnik

Baughed des elektro-pneumatischen Meßumformers ist der Düse-PraUplatte-Abgriff (Büd 1.3.20). Der Abgriff besteht aus einer einsteUbaren Vordrossel, einer Düse und einer Prallplatte. Die Düse wird über die DrosEin

sel mit Druckluft von konstantem Druck pv versorgt. Wird der Abstand zwischen der Düse und der PraUplatte durch Bewegen des Hebels geändert, so ändert sich der Ausgangsdruck p„, weü die aus der Düse austretenden, verschieden großen Luftströme unterschiedliche DruckabfäUe an der Drossel und der Düse hervorrufen. Büd 1.3.21 zeigt den Zusammenhang zwischen dem Ausgangsdruck und dem Düse-PraUplatte-Abstand: p0 = f(x). Dieser kann für den Arbeitspunkt hnearisiert werden: Pa

Po

=

-

dpa dx

(x So)

(1.3.2)

-

M

Po

\Büd 1.3.21 Kennlinie des Düse-

PraUplatte-Abgriffes Baughed

des elektro-pneumatischen Meßumformers ist der pneumatische Verstärker. In Büd 1.3.22 ist ein pneumatischer Verstärker mit vernachlässigbar kleinem Eigenluftverbrauch dargesteUt. Steigt der Eingangsdruck, so bewegt sich als Folge der resultierenden Kraft der Zwischenboden nach unten. Dadurch wird der Verstärkerausgang über das Doppelkugelventü mit dem Drucknetz verbunden. Am Zwischenboden steUt sich ein Gleichgewicht ein, wenn das Verhältnis zwischen Ausgangsdruck und Eingangsdruck dem Verhältnis der wirksamen Flächen des Eingangsbalges und des Kompensationsbalges entspricht. In diesem Zustand schließt das Doppelkugelventü beide Ventüsitze. Wegen der größeren wirksamen Fläche des Eingangsbalges arbeitet das System als Druckverstärker mit Verstärkungsfaktoren bis etwa 20. Ein weiteres

39

1.3 Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

Eingangsbalg Zwischenboden

Doppelkugel-

ventü

Komp ensationsbalg

Büd 1.3.22 Pneumatischer Verstärker

1.3.3

Sollwerteinsteller

Der SoUwerteinsteUer ist ein Gerät, an dem die Führungsgröße eingesteht wird. Bei pneumatischen Regeleinrichtungen kann als SoUwerteinsteUer z. B. ein Reduzierventil, bei elektrischen z. B. ein Spannungsteüer ein-

gesetzt werden. Beim Reduzierventü (Büd 1.3.23) wird der Vordruck py gewöhnlich über eine feste und eine von Hand einsteUbare Drossel reduziert und so der Solldruck p„ eingesteht.

einsteUbare Drossel —-

Pa

feste Drossel Büd 1.3.23 Reduzierventü

% Büd 1.3.24 Beim

iy

Spannungsteüer

Spannungsteüer (Büd 1.3.24)

wird

an

|

y-a

einem Schiebewiderstand R

je

40

1.

nach

Einführung in die Regelungstechnik

Lage des Abgriffes die gewünschte Teüspannung

eingesteht:

(1.3.3)

d-7>1.3.4

ua

Summierglied, Vergleicher

Summierglied führt Additionen und Subtraktionen aus. Wird dabei der Vergleich der Regelgröße mit der Führungsgröße oder der sie abbüdenden Größe ausgeführt, so kann es Vergleicher genannt werden. In Büd 1.3.25 ist ein einfaches Gestänge als mechanischer Wegvergleicher Ein

skizziert.

( c

dt |

Xd

Büd 1.3.25 Mechanischer

Wegvergleicher

Büd 1.3.26 zeigt einen elektrischen Vergleicher mit Spannungsvergleich. Der der Regelgröße proportionale Gleichstrom ix ruft am Widerstand Rx die Spannung ux hervor. An dem von einer konstanten Quelle gespeisten Widerstand Ru, wird die Spannung uw eingesteht, die dem SoUwert proportional ist. Die Spannungsdifferenz u¿ = uw ux ist dann proportional der Regeldifferenz. Sie wird dem hochohmigen Eingang des Regelverstärkers —

zugeführt.

Büd 1.3.26 Elektrischer

1.3.5 Ein nen,

Spannungsvergleicher

Zeitglieder

Zeitghed führt Änderungen im Zeitablauf der Signale (DifferentiatioIntegrationen, Verzögerungen) aus. Zeitglieder sind meist in Reglern

/. 3

41

Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

eingebaut und bestimmen deren Verhalten. Im folgenden soUen als Zeitghepneumatisches und ein mechanisches Netzwerk betrachtet werden.

der ein

Pa

pe, pa

Drücke

rh

Massenstrom Widerstand

r

k

Speicherkapazität

Büd 1.3.27 Pneumatisches Netzwerk Das pneumatische Netzwerk (Büd 1.3.27) besteht aus einer hnearen Drossel mit dem Widerstand r und einem Speicher mit der Speicherkapazität k. Es gelten folgende Gleichungen für den Massenstrom rh: rh=

und den

-

r

•

(pe Pa) -

Speicherdruck pa:

Pa—

T

11*1 dt

Wird der Massenstrom rh Pa

eliminiert,

so

erhält

man

für den

Speicherdruck

folgende Differentialgleichung: k.r. —

Für eine

ergibt Pa

+Pa=Pe

sprungförmige Änderung des Eingangsdruckes pe um eine Einheit Ausgangsdruck als Lösung obiger Differentialgleichung zu: 1 oo vernachlässigbar klein gegenüber den Strömen ie und v Damit ergibt sich für das Spannungsverhältnis: =

Ua "

Ue

1

Zr ze 1 +

-

•

(1 + ZT/Zt)

Für große Werte der Verstärkung K erhält idealen RegelVerstärkers: Ua Ur_

Ze

man

die

Grundgleichung

des

(1.3.4)

45

1.3 Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

Das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung ist also allein Verhältnis der komplexen Widerstände in der Rückkopplung und im Eingang abhängig. Durch passende Wahl dieser Widerstände läßt sich dem Regelverstärker ein gewünschtes Zeitverhalten geben. Als Widerstände werden vorwiegend die passiven Bauelemente Ohmscher Widerstand und Kondensator eingesetzt. In Tabelle 1.3.1 ist für verschiedene Beschattungen des Verstärkers sein Zeitverhalten angegeben. vom

Tabelle 1.3.1

Beschattung und

Zeitverhalten elektronischer

Eingangswiderstand Ze Rückkopplungswid. ZT Rr

0-LZZI-o

Re

fir *-t

.fir

Rr

Regler

Zeitverhalten

proportional

(P)

integrierend

(I)

proportional integrierend

und

differenzierend o-C

Re

Ce

K2* fl—fc.

°-C

Rr

(PI)

(D)

differenzierend und

verzögernd (D-Tj) proportional und differenzierend

(PD)

In Bild 1.3.32 weist der Verstärker nur einen Eingang auf. Im allgemeinen besitzt er als Regler zwei Eingänge, einen Sollwert- und einen Istwerteingang, so daß er den Vergleicher mitenthält (Bild 1.3.33). Die oben angestellten Überlegungen gelten sinngemäß auch bei zwei Verstärkereingängen. Es kann auch der nicht invertierende Eingang des Verstärkers als zweiter Eingang verwendet werden. Ferner ist es möglich, den Istwert- und den Sollwertkanal unterschiedlich zu beschälten und unterschiedliche Zeitverhalten zu erzeugen. Der Ausgang des Reglers wird im allgemeinen dem Stellantrieb zugeführt.

1.

46

Einßhrung in die Regelungstechnik

zr Zw

Zx -ta t

*

Büd 1.3.33

1.3.7

vC>

Regelverstärker mit Vergleicher

Stellgerät

Das SteUgerät setzt sich zusammen aus SteUantrieb und SteUghed. Der SteUantrieb dient zur direkten Einwirkung auf die Strecke. Er versteUt das SteUghed, das in den Massenstrom oder Energiestrom der Strecke eingreift.

günstiges Regelkreisverhalten zu erzielen, muß das SteUgerät möghchst linear und verzögerungsarm arbeiten. Es ist auch zu berücksichtigen, daß durch technische Gegebenheiten der SteUbereich des SteUghedes Um ein

in seiner Größe

begrenzt ist.

Der SteUantrieb setzt das meist leistungsschwache Ausgangssignal des Reglers um in ein leistungsstarkes Signal zum Betätigen des SteUghedes. Drei Arten von Stehantrieben werden unterschieden: elektrische, pneumatische und hydraulische SteUantriebe.

a)

Elektrischer Stehantrieb

Bei einem elektrischen SteUantrieb wird das SteUghed

von

einem Elektromo-

(Gleichstrommotor, Zweiphaseninduktionsmotor, Drehstrommotor mit Kurzschlußläufer) über ein Schnecken- oder Stirnradgetriebe gesteht (Büd 1.3.34). Die Getriebeuntersetzung vermindert die hohe Motordrehzahl und verstärkt das Drehmoment entsprechend. Das SteUghed wird betätigt, solange der Motor eingeschaltet ist. Befindet sich das SteUghed in einer Endlage (zu oder offen), so muß der Motor abgeschaltet werden. tor

xe

=

u

xa

=

a

Büd 1.3.34 Elektrischer SteUantrieb

1.3 Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

b)

47

Pneumatischer Stellantrieb

zeigt einen pneumatischen Stellantrieb (Membranantrieb). Der Reglerausgangsdruck wird über einen Kraftvergleich in einen Weg (Ventilhub) umgesetzt. Unsicherheiten in der Einstellung des Stellgliedes, verursacht z. B. durch Reibung in der Stopfbuchse des Ventils, können durch Einsatz eines Stellungsreglers beseitigt werden. Der Stellungsregler (Bild 1.3.36) erfaßt den Hub des Stellgliedes als Regelgröße und steuert den Druck im Membrangehäuse als Stellgröße. Führungsgröße ist der vom Regler kommende Luftdruck. Diese Anordnung wird als Folgeregelung bezeichnet. Bild 1.3.35

\ Xe=P

Bild 1.3.35 Pneumatischer Stellantrieb

Bild 1.3.36 Pneumatischer Stellantrieb mit

Stellungsregler

c) Hydraulischer Stellantrieb hydraulischen Stellantrieb

verstellt der Regler den Stellkolben eines Stellzylinders. Dadurch strömt das über eine Pumpe geförderte Drucköl (15 bis 50 bar) in den Arbeitszylinder und bewegt den Arbeitskolben und damit das Stellglied (Bild 1.3.37). Die Stellgeschwindigkeit des Antriebes wird im wesentlichen von der Förderleistung der Pumpe bestimmt. Bei einem hydraulischen Antrieb ist immer ein Stellungsregler eingebaut. Bei einem

48

1.

Einführung in die Regelungstechnik

Arbeitszylinder

Büd 1.3.37

Stellzylinder

Hydraulischer SteUantrieb

Pneumatische SteUantriebe sind schneller und preiswerter als elektromotorische. Außerdem sind sie explosionsgeschützt. Sie sind aber nicht für große Stellkräfte geeignet. Hydraulische SteUantriebe arbeiten schnell und sind für große Stellkräfte einsetzbar. Sie sind jedoch teurer als elektrische oder pneumatische Antriebe und erfordern viel Wartung. Als Stellglieder werden meistens Ventüe eingesetzt. Büd 1.3.38 zeigt schematisch ein Einsitzdurchgangsventü. Durch die Form des Ventilkegels und der Sitzflächen wird der Zusammenhang zwischen dem Durchfluß und dem Stellhub, die Ventilkennlinie, bestimmt. Von den behebig vielen möghchen Kennhnienformen sind von besonderer Bedeutung die lineare Kennlinie und die gleichprozentige Kennlinie. Die lineare Kennlinie (Büd 1.3.39) ist dadurch gekennzeichnet, daß zu gleichen Änderungen des Stellhubes H gleiche Änderungen des kv-Wertes gehören:

Akv

~

AH

Unter dem fc„-Wert versteht man denjenigen Durchfluß q in m3/h von Wasser bei einer Dichte von p 1000 kg/m3 und einer kinematischen Viskosität 10-6 m2/s, der bei einem Druckverlust von 1 bar durch das Stehvon v ventü bei dem jeweiligen Hub hindurchgeht. =

=

xe

=

H

xa

=

q

Büd 1.3.38

Einsitzdurchgangsventü

49

1.3 Bauglieder in Regelkreisen und Steuerketten

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

H H 100 H

Jíioo 9

Çioo

Apo Apioo kvn

kv)

Hub des Ventils Hub bei völlig offenem Ventil Durchfluß durch das Ventil Durchfluß bei Nennhub

(Nennhub)

Druckabfall am geschlossenen Ventil Druckabfall bei Nennhub fc„-Wert des geschlossenen Ventils fc„-Wert bei Nennhub

Bild 1.3.39 Stellventil mit linearer Grundkennlinie

(kv0/kv,

4 —

%)

gleichprozentige Kennlinie (Bild 1.3.40) ist dadurch gekennzeichnet, daß gleichen Änderungen des Stellhubes H gleichprozentige Änderungen des kv-Wertes gehören:

Die zu

^~AJf Entsprechend

den am Ventil herrschenden Druckverhältnissen Apioo/Apo stellen sich unterschiedliche Betriebskennlinien sowohl bei linearer Grundkennlinie als auch bei gleichprozentiger Grundkennlinie ein. Für ein einwandfreies Arbeiten des Regelkreises ist nun das Ventil auszuwählen, das bei den gegebenen Druckverhältnissen über den gesamten Stellbereich einen möglichst linearen Kennlinienverlauf und damit einen konstanten Übertragungsbeiwert aufweist.

50

1.

Einführung in die Regelungstechnik

=

0.1 0.2 0.4 0.6 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

H 100

Büd 1.3.40 Steüventü mit

1.4

gleichprozentiger Grundkennhnie (kvo/kv,

Steuer- und

=

4

%)

Regelaufgaben

In diesem Abschnitt soUen Steuer- und Regelaufgaben an einfachen Beispielen qualitativ erläutert werden. Es können folgende Aufgaben auftreten:

Beeinflussen einer Größe nach einer bestimmten

Gesetzmäßigkeit (Steue-

rung), Konstanthalten einer Größe auf einem fest

vorgegebenen Wert (Festwert-

regelung), Nachführen einer Größe in der Zeit (Folgeregelung).

1.4.1

Abhängigkeit

einer anderen

Prozeßgröße oder

Steuerung

Beispiel, die Raumtemperatursteuerung eines Hauses in Abhängigkeit von der Außentemperatur. Büd 1.4.1 zeigt die gerätetechnische Darstellung dieses Beispieles. Die in der DarsteUung verwendeten Sinnbüder sind in TabeUe 1.4.1 erläutert.

Für eine

Steuerung gibt

es

ein einfaches

1.4 Steuer-und Regelaufgaben

Tabelle 1.4.1 Bildzeichen

Sinnbild

[4]

Erläuterung Signalleitung

$

Dampf

Wärmeaustauscher

Einspritzkühler

Wasser, Kondensat, Speise-, Kühlwasser

2

Kondensator

Brennbares Gas

©

Stromerzeuger

Luft

Motor

Kohle

O

Flüssigkeit spump e

01

0>

Verdichter

Zuteiler

Schlacke, Asche

0-

Erläuterung

Sinnbild

Rauchgas, Abgas

H7

Mühle

Überdruckbehälter

=£>

Brenner

Turbine

XJ

Ventil

allgemein

51

52

I.

Einführung in die Regelungstechnik

TabeUe 1.4.1 Büdzeichen Sinnbüd

(Fortsetzung)

Erläuterung

Sinnbüd

Erläuterung

Ä Ä

SteUventü mit Stehantrieb

Stehventü mit Membranantrieb

0

Signalumformer

W

Dreiwegeventil

Ú

Einsteher

HSh

Absperrklappe

Regler

l

Fühler

Üb ert r agungsblo ck

l

Fühler für Druck

ia

Block, gekennzeichnet

^

Fühler für

K 1 + Tp

Block, gekennzeichnet

allgemein

Temperatur

Fühler für Durchfluß

JL \7~

3-

Verstärker

PID

durch

durch

aUgemein

Übergangsfunktion Übertragungsfkt.

Block, gekennzeichnet durch Kurzsymbole

Fühler für Drehzahl

Nichthnearer Block

Fühler für Füllstand

SummationssteUe

Fühler für

Strahlung

Verzweigungsstelle

1.4 Steuer- und Regelaufgaben

Bild 1.4.1 Gerätetechnische

Darstellung

der

53

Raumtemperatursteuerung

Es besteht die Aufgabe, die Raumtemperatur t?¿ auf einem vorgegebenen Wert zu halten. Als Stellgröße für die Beeinflussung der Raumtemperatur bietet sich die Brennstoffzufuhr zum Heizkessel an. Als Störgrößen treten auf: Schwankungen der Außentemperatur da (zi), Öffnen von Fenstern und Türen (z2), Heizwertschwankungen des Brennstoffes (z3), Schwankungen der Pumpendrehzahl (z4), Verschmutzung von Kessel und Rohrleitungen (25). Als Steuergröße wird die einflußreichste Störgröße, die sogenannte Hauptstörgröße, hier die Außentemperatur &„, herangezogen. Eine Berücksichtigung aller anderen Störgrößen ist bei einer Steuerung nicht möglich.

Raumtemperatur i?j wird also, wie das Blockschaltbild (Bild 1.4.2) zeigt, über eine Reihe von Übertragungsgliedern gesteuert. Es hegt eine offene Wirkungskette vor. Es findet keine Rückmeldung des Ergebnisses der Steuerung und damit keine Überwachung der zu steuernden Größe, der Raumtemperatur i?¿, statt. Damit die Raumtemperatur trotz variabler Außentemperatur aufgabengemäß konstant bleibt, muß das Steuergerät so ausgelegt sein, daß bestimmte Gesetzmäßigkeiten (Steuergesetz) eingehalten werden. In Bild 1.4.3 sind entsprechende Steuergesetze dargestellt, die Die

1.

54

Einführung in die Regelungstechnik

Abhängigkeit der Vorlauftemperatur d¡l von der Außentemperatur i?0 angeben. Andere Störgrößen als die Hauptstörgröße Außentemperatur, wie z. B. Schwankungen des Heizwertes oder der Pumpendrehzahl oder das Öffnen von Fenstern und Türen wirken sich ungehindert auf die Raumtemperatur aus und werden nicht kompensiert. die

Fühler

J1J1 J

Steuer-

Meßumformer

Ventil

gerät

Büd 1.4.2 Blockschaltbüd der

20

10

0

1.4.2

rung

Kessel

HtXitunsU körper |-»H Raum

Raumtemperatursteuerung

30 °C

20

10 -

Feue-

-

-

Büd 1.4.3

Steuergesetze

Festwertregelung Steuerung wird

Außentemperatur, einer meßbaren Auswirkung, kompensiert. AUe anderen Störgrößen Störung bleiben unberücksichtigt. Durch eine Regelung der Raumtemperatur kann eine wesenthche Verbesserung erzielt werden. Der Istwert der Raumtemperatur wird hierbei laufend an einen fest vorgegebenen SoUwert angeghchen. Dadurch werden aUe Störgrößen, die eine Abweichung der RaumtempeBei der

mit bekannter

der Einfluß der

1.4 Steuer-und Regelaufgaben

55

Solltemperatur verursachen, kompensiert. Bild 1.4.4 zeigt die gerätetechnische Darstellung der Raumtemperaturfestwertregelung. Die Raumtemperatur t?¿ wird dem gewünschten vorgegebenen Sollwert w angeglichen. Das Blockschaltbild dieser Festwertregelung ist in Bild 1.4.5 dargestellt. Die Auswirkungen aller die Temperatur beeinflussenden Störgrößen Zi werden durch die Temperaturmessung und den Vergleich mit dem Sollwert erfaßt. Entsprechend diesem Sollwert-Istwert-Vergleich verstellt der Regler die Brennstoffzufuhr solange, bis die gewünschte Temperatur ratur

von

der

erreicht ist.

Bild 1.4.4 Gerätetechnische

W

XJ

Regler

Darstellung der Raumtemperaturregelung

ilhHJ1J

Ventil

Feuerang

Bild 1.4.5 Blockschaltbild der

Kessel

H körper h

Raumtemperaturregelung

It

56

1.

Einführung in die Regelungstechnik

Man wird also eine Regelung einer Steuerung immer dann vorziehen, wenn unvorhergesehene oder nicht unmittelbar meßbare oder mehrere wesentliche Störgrößen kompensiert werden soUen. Sind solche Störgrößen nicht vorhanden, so wird an Stehe einer Regelung vorteilhafter eine Steuerung eingesetzt, da

bei einer Steuerung die Störgröße unmittelbar und nicht erst auf Grund ihrer Auswirkung auf die Regelstrecke erfaßt und kompensiert werden

kann, eine Steuerung wegen des offenen kann und eine Steuerung mit kann.

weniger

Wirkungsablaufes nicht instabü werden

Aufwand als eine

Regelung gebaut

werden

In der Praxis werden Regelungen und Steuerungen häufig miteinander kombiniert und damit die Vorteüe beider Verfahren genutzt.

1.4.3

Folgeregelung

Folgeregelung besteht die Regelaufgabe darin, eine Größe, die Regelgröße, möghchst genau dem zeitlichen Verlauf einer anderen Größe, der Führungsgröße, nachzuführen. An Beispielen soUen zwei Arten von Folgeregelungen, die Nachlaufregelung und die Verhältnisregelung, betrachtet Bei einer

werden. 1.4.3.1

Nachlaufregelung

Nachlaufregelungen treten häufig in der Antriebstechnik auf. In Büd 1.4.6 Beispiel für eine Nachlaufregelung die Servolenkung dargesteUt. Die Führungsgröße für die Winkelstellung des Rades wird über die Lenkradstellung w vorgegeben und im Steüzyhnder mit der Regelgröße RadsteUung x verghchen. Bei einer Regeldifferenz strömt von der Pumpe gefördertes Öl durch die vom Stellkolben freigegebene, beweghche Druckleitung in den Arbeitszyhnder. Dadurch versteht der Arbeitskolben die RadsteUung. Gleichzeitig wird durch die starre Verbindung (Rückführung) die relative Lage von SteUzylinder zu Stellkolben verändert. Wenn die RadsteUung der LenkradsteUung entspricht, die Regeldifferenz also verschwunden ist, dann ist die ist als

57

1.4 Steuer-und Regelaufgaben

relative Lage von Stellkolben und Stellzylinder so, daß die beiden Druckölleitungen wieder verschlossen sind.

Öffnungen

der

Nachlaufregelung stellt sich also die Aufgabe, den Verlauf der Regelgröße (hier Radstellung) dem vorgegebenen zeitlichen Verlauf der Führungsgröße (hier Lenkradstellung) nachfolgen zu lassen. Bei einer

Stellzylinder Arbeitszylinder

Bild 1.4,6

1.4.3.2

-*+•-

Servolenkung

Verhältnisregelung

Eine andere Art der Folgeregelung ist die Verhältnis- oder Mischungsregelung, die bei vielen Anlagen der Verfahrenstechnik eine große Rolle spielt. Bei einer Verhältnisregelung stellt sich die Regelaufgabe, eine Prozeßgröße in einem bestimmten Verhältnis zu einer anderen Größe zu regeln. Bild 1.4.7 zeigt eine Mischungsregelung eines Säure-Lauge-Stromes, wobei die

Bild 1.4.7

Mischungsregelung

58

/.

Einfuhrung in die Regelungstechnik

Säure in einem bestimmten Verhältnis zur Lauge dosiert wird. Die Führungsgröße w2 für die Säure wird über einen Verhältniseinsteller Sy aus dem Durchfluß der Lauge gebildet: w2 = K- xx. Der Faktor K kann von Hand oder abhängig von einer dritten Größe eingestellt werden (Bild 1.4.8). o-l

7-

I\

w2

•

X]

w2

•M

=

K 2/3 xi •

m

—

Sy

Sv

fI 2/3

Bild 1.4.8 Verhältniseinsteller

1.5 Zur

Steuer- und

Regelschaltungen

Lösung der obigen Regelaufgaben sind eine

gelschaltungen 1.5.1

entwickelt worden

Reihe

von

Steuer- und Re-

[22].

Festwertregelschaltungen

Lautet die

Regelaufgabe, eine Größe auf einem fest vorgegebenen Sollwert (w ist konstant) zu halten, so wird zu ihrer Lösung eine Festwertregelschaltung eingesetzt. 1.5.1.1

Einfachregelkreis

Die einfachste

Festwertregelung erfolgt

in einem

einschleifigen Regelkreis Regelergebnis Führungsgröße w verglichen. Weist die Regelgröße gegenüber der Führungsgröße eine z. B. durch Störgrößen z¿ verursachte Abweichung auf, so wird entsprechend dieser Abweichung, der Regeldifferenz x¿, vom Regler eine Stellgröße y derart erzeugt, daß die Regelgröße der Führungsgröße möglichst genau angeglichen wird. Die Übertragungsfunktion Fr des Reglers ist so auszulegen, daß der Regelkreis ein gutes Störverhalten (kleine Regeldifferenzen, kurze Ausregelzeiten) aufweist. Beispiel für eine einfache Festwertregelung ist die Drehzahlregelung einer Dampfturbine (Bild 1.5.2). Entsprechend der Drehzahlabweichung wird der Dampfstrom zur Turbine eingestellt.

(Bild 1.5.1), mit dem in vielen Fällen ein ausreichend gutes erzielt wird. Die Regelgröße x wird gemessen und mit der

59

1.5 Steuer- und Regelschaltungen

Z\

7*—[ Büd 1.5.1

W

XdK

Z2

Z3

u

Einfachregelkreis

io-m3~ 0 Büd 1.5.2

Drehzahlregelung einer Dampfturbine

S

1-4

Der einfache Regelkreis bringt ein gutes Regelergebnis, solange die Übertragungsfunktion F$ der Regelstrecke nicht zu große Verzögerungen aufweist und eine auftretende Regeldifferenz durch eine korrigierende SteUgrößenversteUung schneh beseitigt wird. Bei trägen Regelstrecken jedoch werden im

einschleifigen Regelkreis große Regeldifferenzen und lange Regelzeiten auftreten. Wählt man zur Regelung einer trägen Regelstrecke einen Regler mit großer Signalverstärkung, so reagiert er bereits beim Auftreten kleiner Regeldifferenzen kräftig dagegen. Da seine Wirkung aber wegen der Trägheit der Strecke zu spät kommt und wegen der großen Verstärkung u. U. zu stark dosiert ist, wird die Regelgröße nicht in einem gewünschten engen Toleranzbereich um die Führungsgröße gehalten, sondern führt selbsterregte Schwingungen aus, die auch aufklingen können. In einem solchen Fall ist der Regelkreis instabü. Bei

trägen Regelstrecken kann durch eine Aufschaltung im Sinne einer

Steuerung das Störverhalten eines Einfachregelkreises meist wesentlich verbessert werden. Die Steuerung leistet dabei die Hauptarbeit, während die

Regelung nur korrigierend eingreift.

60

1.

Einführung in die Regelungstechnik

Einfachregelkreis

1.5.1.2

mit

Aufschaltungen

Aufschaltgrößen eignen sich die wesentliche Störgröße oder eine entsprechende Hilfsgröße der Regelstrecke. a) Störgrößenaufschaltung Wenn es sich bei der auf die Regelstrecke einwirkenden Störgröße um eine wesentliche und meßbare Störgröße mit bekanntem Angriffspunkt handelt, so kann ein von dieser Störgröße abgeleiteter unmittelbarer Korrektureingriff im Sinne einer Steuerung schneller zur Ausregelung der Störung führen, da nicht erst eine Abweichung der Regelgröße am Ausgang der Strecke abgewartet werden muß. Die Aufschaltung der Störgröße über ein Kompensationsglied mit der Übertragungsfunktion Fr kann auf den Reglereingang oder Reglerausgang erfolgen (Bild 1.5.3). Die Aufschaltung kann dauernd einwirken (Fr hat proportionales Verhalten) oder nur vorübergehend (Fr hat differenzierendes Verhalten). Auf die richtige Dimensionierung des Kompensationsgliedes wird in Abschnitt 6.5.1 eingegangen. Diese Regelschaltungen eignen sich sehr zur Verbesserung des Störverhaltens des Regelkreises. Sie versagen aber, wenn die Störgröße meßtechnisch nicht erfaßbar ist oder wenn mehrere einflußreiche Störgrößen vorhanden sind. Als

b)

a)

FH 1—4 rH—' J_ f

'"

1

Fzs

zB W

'

lXd

Bild 1.5.3

FR

y '51

S2

Störgrößenaufschaltung a) auf den Reglereingang b) auf den Reglerausgang

Beispiel für eine Festwertregelung mit Störgrößenaufschaltung diene die Temperaturregelung einer Speiseeismasse (Bild 1.5.4). Bei der SpeiseeisherAls

1.5 Steuer-und Regelschaltungen

61

einem Vorratsbehälter in den Freezer gepumpt. Hier wird sie durch den in einer Kühlschlange strömenden Ammoniak abgekühlt. Durch die gewählte Regelschaltung (Festwertregelung mit Störgrößenaufschaltung) wird die Temperatur i? der Eiskrem auch bei Schwankungen der Temperatur $m der Speiseeismasse aufgabengemäß konstant gehalten.

steüung

wird

zähflüssige Speiseeismasse

aus

K>^=rW^ $m

Eiskrem

Vorratsbehälter

Ammoniak Büd 1.5.4

Temperaturregelung

einer

t

Speiseeismasse

b) Hilfsgrößenaufschaltung Ist die Störgröße z selbst nicht meßbar, aber dafür eine aus der Regelstrecke stammende Hilfsgröße xi, die sich ebenfalls unter dem Einfluß der Störgröße z und der SteUgröße y ändert, aber ein schneUeres Zeitverhalten als die eigentliche Regelgröße x aufweist, so kann eine Aufschaltung der Hilfsgröße auf den Reglereingang eine zeithch frühere Verstehung des Stehghedes im korrigierenden Sinne hervorrufen und dadurch die Regelgüte verbessern. Büd 1.5.5 zeigt den Signalflußplan einer Festwertregelung mit

Hilfsgrößenaufschaltung. Als die

Festwertregelung mit Hilfsgrößenaufschaltung diene Temperaturregelung eines Dampfüberhitzers (Büd 1.5.6). Die Dampf-

Beispiel

für eine

Überhitzer wird durch Verstehen des Einspritzwasserstromes tue geregelt. Treten kesselsei tige Störungen z auf, so ändert sich die Temperatur t)r hinter dem Einspritzkühler wesentlich früher temperatur i?d

am

Austritt des

62

1.

Einführung in die Regelungstechnik

regelnde Dampftemperatur i?o nach dem Überhitzer. Durch Aufschaltung dieser Temperatur Or als Hilfsgröße kann bei einer kesselseitigen Störung der Einspritzwasserstrom sofort entsprechend geändert werden, so daß sich die Störung wesenthch schwächer auf die Regelgröße Dampftemperatur t?u auswirkt als ohne Hüfsgrößenaufschaltung.

als die

zu

Büd 1.5.5

Festwertregelung mit Hüfsgrößenaufschaltung

Büd 1.5.6

Dampftemperaturregelung

1.5.1.3

Kaskadenregelkreis

Versagen die einfachen Regelschaltungen, so kann mit einer Kaskadenregelung, einem zweischleifigen Regelkonzept, eine Verbesserung der Regelgüte erzielt werden. Bei einer Kaskadenregelung sind zwei Regelkreise so mit-

1.3 Steuer-und Regelschaltungen

63

einander vermascht, daß einer dem anderen überlagert ist. Bild 1.5.7 zeigt den Signalflußplan einer Kaskadenregelung. Der innere Regelkreis (Kreis 2, Hilfsregelkreis) stellt einen Teil des äußeren Regelkreises (Kreis 1) dar. Das Zusammenwirken der beiden Regelkreise funktioniert nur dann, wenn der untergeordnete Regelkreis ein schnelleres Zeitverhalten als der übergeordnete Kreis aufweist, wenn also die wesentlichen Verzögerungen in der Teilstrecke des äußeren Kreises enthalten sind. Vom Standpunkt des übergeordneten Kreises ist der untergeordnete Kreis mit seinem Führungsverhalten nur ein schnelles Stellglied des übergeordneten Kreises. Vom Standpunkt des untergeordneten schnellen Kreises ist der übergeordnete langsame Kreis nur als Sollwerteinsteller zu betrachten, der so langsam ist, daß der Sollwert als nahezu konstant gelten kann. Störungen z2 auf die innere Teilstrecke werden vom schnellen inneren Regelkreis ausgeregelt, so daß die Regelgröße xi des äußeren Regelkreises durch diese Störungen nur unwesentlich beeinflußt wird. Störungen Zi auf die äußere Teilstrecke beeinflussen die Regelgröße Xi und werden vom äußeren Regelkreis ausgeregelt.

Führungsregler

Bild 1.5.7

Folgeregler

z2

Strecke

zj

Kaskadenregelung

Mit Hilfe einer ben lösen. Die

Kaskadenregelung lassen sich auch komplizierte RegelaufgaKaskadenregelung bietet folgende Vorteile:

Sie ermöglicht, die Regelstrecke zu unterteilen und die Regelaufgabe in mehreren Schritten mit einfachen Regelkreisen zu lösen. Die Regeleinrichtung einer Kaskadenregelung läßt sich beim ersten Anfahren der Anlage in einzelnen Abschnitten in Betrieb nehmen, was von großem praktischen Nutzen ist.

64

/.

Einführung in die Regelungstechnik

auf den inneren Kreis werden schneUer ausgeregelt, da sie vom Folgeregler erfaßt und kompensiert werden und nicht erst die gesamte Regelstrecke durchlaufen müssen.

Störungen

z2

bereits

Wenn einer inneren Prozeßgröße ein eigener Regelkreis zugeordnet wird, so läßt sich diese Größe auf einfache Weise durch den Stehhub des Füh-

rungsreglers begrenzen. Auswirkungen eines nichtlinearen Stehghedes tergeordneten Regelkreis begrenzt. Die

Diesen Vorteüen stehen

werden durch den

un-

folgende Nachteüe gegenüber:

Regelkreis benötigt einen eigenen Fühler, Meßumformer und Regler, so daß diese Regelschaltung aufwendiger und teurer ist. Es ist aber zu bemerken, daß der äußere Regler auf einem niedrigen Leistungsniveau arbeitet und nur der innere Kreis das LeistungssteUghed enthält, das in den Energie- oder Massenstrom der Strecke eingreift. Jeder

Kaskadenregelung ist bei Änderungen der übergeordneten Führungsgröße u. U. langsamer als ein Einfachregelkreis, sofern dieser verEine

wirklicht werden kann. An zwei typischen Beispielen wird die Kaskadenregelschaltung erläutert. In Büd 1.5.8 ist eine Temperatur-Durchfluß-Kaskadenregelung dargesteht. Die Temperatur der Flüssigkeit in einem heißdampfbeheizten Behälter soU Xd\ Wx X\

è 3/2

1

-H

r

mo

Büd 1.5.8

Temperatur-Durchfluß-Kaskadenregelung

1.5 Steuer-und Regelschaltungen

65

gehalten werden. Damit sich Schwankungen im Dampfstrom, verursacht durch variablen Vordruck, nicht auf die Temperatur auswirken, wird dem langsamen Temperaturregelkreis ein schneller Durchflußregelkreis konstant

untergeordnet. eine Kaskadenregelschaltung zur Regelung der Papierbahnin einer Papiermaschine. Die Aufgabe der Antriebe der Walzen spannung besteht darin, die Papierbahn kontinuierlich durch die Maschine zu transportieren. Da beim Durchlauf der Papierbahn Dehnungen und Schrumpfungen auftreten, muß die Umfangsgeschwindigkeit der Walzen so angepaßt werden, daß die Papierbahn weder gestaucht wird noch reißt. Daher ist jeder Antrieb drehzahlgeregelt, wobei der Drehzahlsollwert durch die Papierbahnspannung geregelt eingestellt wird.

Bild 1.5.9

zeigt

Bild 1.5.9

1.5.2

Bahnspannung-Drehzahl-Kaskadenregelung

Folgeregelschaltungen

Gemäß der Regelaufgabe, den Wert der Regelgröße laufend den veränderten Werten der Führungsgröße (w nicht konstant), wie z. B. einer Prozeßgröße

Zeit, nachzuführen, muß die Regeleinrichtung einer Folgeregelschaltung so ausgelegt werden, daß sich ein gutes Führungsverhalten mit kurzer Regelzeit und gut gedämpftem Einschwingen ergibt. oder der

66

Einführung in die Regelungstechnik

/.

Signalflußplan einer Folgeregelung dargesteUt. Die Größe ii, die selbst ungeregelt oder geregelt sein kann (Folgeregelung mit ungeregelter oder geregelter Führungsgröße), versteht über einen SoUwertverhältniseinsteUer die Führungsgröße w2 des Regelkreises der abhängigen Regelgröße x2. In Büd 1.5.10 ist der

"SI

II

a) W2

W2

=

Ky

X

W2

=

Ky

Ii

Xd2

Fs2

m

X2 "R2

-»1-»-

b)

Büd 1.5.10

Folgeregelung a) mit ungeregelter Führungsgröße b) mit geregelter Führungsgröße

Beispiel für eine Verhältnisregelung, dem SonderfaU einer Folgeregelung, ist die Feuerungsregelung eines Industrieofens (Büd 1.5.11). Der Luftstrom rhi wird dem Gasstrom the nachgeführt, um eine optimale Verbrennung zu gewährleisten und die Ofentemperatur â aufgabengemäß zu steuern. Die Führungsgröße Gasstrom wird entsprechend dem SoUwert wi selbst geregelt. Störungen in der Gasversorgung werden vom Gasstromregelkreis ausgeregelt und beeinflussen daher den Luftstromregelkreis nur mehr unwesentheh, so daß sich ein ruhiger Ofenbetrieb ergibt.

Ein

67

1.3 Steuer-und Regelschaltungen

Xdl

Wi

E

\\\ *> \\\\ "ii ^"mia^^i

T

mG

mL

¿_

0

k 2/2

x2

w2

Bild 1.5.11

Feuerungsregelung eines

Industrieofens

0 h£

imumnAfcniu..*».

X

#

H

0 m.G

tmmmwmmma

m£

0 Bild 1.5.12

Temperaturregelung eines Industrieofens

68

1.

Einführung in die Regelungstechnik

Die behandelten grundlegenden Regelschaltungen lassen sich soweit es sinnvoU ist auch kombinieren. Eine solche Regelschaltung ist z. B. die Kaskaden-Verhältnisregelung, wie sie zur Regelung der Temperatur eines Industrieofens eingesetzt wird (Büd 1.5.12). -

-

Kapitel

2

Beschreibung des Ubertragungsverhaltens Um eine Regelstrecke mit einer entsprechenden Regeleinrichtung zufriedensteUend regeln zu können, muß das dynamische Verhalten der Strecke wie das des Regelkreises bekannt sein. Das dynamische Verhalten eines Regelkreisghedes oder eines gesamten Regelkreises läßt sich rechnerisch oder

experimentell ermitteln.

2.1

2.1.1

Beschreibung mit gleichungen Arten

bung

von

von

Hilfe

von

Differential-

Differentialgleichungen zur BeschreiRegelkreisgliedern

Die einzelnen Übertragungsglieder eines Regelkreises sind gerichtete Glieder (Büd 2.1.1). Ihr Verhalten, also die wirkungsmäßige Abhängigkeit der Ausgangsgröße xa(t) von der Eingangsgröße ie(r), wird im aUgemeinen durch eine Differentialgleichung beschrieben. Die Differentialgleichung für ein Übertragungsglied oder -system ergibt sich, wie die folgenden Beispiele zeigen, aus den physikalischen Gesetzmäßigkeiten, denen es unterhegt (z. B. Ohmsches Gesetz, Newtonsches Gesetz).

xe(t) Büd 2.1.1

Übertragungsglied

,-,

i0(r)

70

a)

2.

Beschreibung des Übertragungsverhaltens

Elektrisches Netzwerk

ein elektrisches Netzwerk, bestehend aus der ReihenschalWiderstandes und eines Kondensators, mit der Spannung ue(t) tung eines

Bild 2.1.2 als

zeigt

Eingangsgröße und der Spannung ua(t)

als

Ausgangsgröße.

R

ue(t)\

*W

C¿ [«.(*)

Nach dem Kirchhoffschen Gesetz R-i + ua

=

ergibt

=

gilt

die

Maschengleichung:

ue

Da für den Strom i i

Bild 2.1.2 Elektrisches Netzwerk

gilt:

C^ dt

sich

folgende Differentialgleichung

für die

Ausgangsspannung u„:

du*

(2.1.1)

R-C-~ + ua^ue Dies ist eine

gewöhnliche

lineare

Differentialgleichung

mit konstanten Ko-

effizienten.

b)

Behälter mit Leck

V/////A

Bild 2.1.3 Behälter mit Leck Für einen an einer Feder hängenden Wasserbehälter mit Leck gilt nach dem Impulssatz die Bewegungsgleichung:

(Bild 2.1.3)

2.1 Beschreibung mit Hilfe

_d_ [m(t) x] + dt •

c

m(t)

x —

von

71

Differentialgleichungen

g

m(t)-x + rh(t)-x + c-x-m(t)-g Hier handelt

es

sich

um

(2.1.2)

gewöhnliche

eine

zeitabhängigen Koeffizienten, c) Mechanisches System

da

m

hneare

Differentialgleichung

mit

m(t).

=

In Büd 2.1.4 ist ein mechanisches System dargesteht. Nach dem Newtonschen Gesetz gut folgende Bewegungsgleichung, wenn die Reibungskraft R berücksichtigt wird und die Federkonstante c abhängig von der Auslenkung x ist: di + dt2

-rrr

c(x)

•

x

+

di

(sgn—) dt

•

p,

•

m

•

g

=

(2.1.3)

K

x(t) '//

c(x)

m

^HWWH

Büd 2.1.4 Mechanisches

-K(t)

y////2>//%?///. R

System

0 und c konstant hegt eine gewöhnliche hneare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vor. Für p ^ 0 und c konstant ist die Differentialgleichung stückweise (je Geschwindigkeitsrichtung) linear. Für c c(i) ist die Differentialgleichung nichtlinear. Für p

=

=

d) Fhehkraftpendel Büd 2.1.5 zeigt ein Fhehkraftpendel, dessen Drehachse angetrieben wird. Die Massen m des Pendels (Länge l) bewegen sich auf einer Raumbahn, die mit Hufe der Winkel a und (p sowie der Winkelgeschwindigkeiten à und (jj beschrieben werden kann. Im Falle einer gleichförmigen Bewegung ist diese Bahn eine Kreisbahn (Radius r). Betrachtet man im folgenden nur die Hubbewegung einer Masse, so gut für die Momentenbüanz um den Drehpunkt O:

Kj l + KG

Kz h

r

=

0

-

m-l2-ä + m-g-r

m-r-w2-/i —

=

0

72

2. Beschreibung des

l-

Mit h

cos a

und

Übertragungsverhaltens

r

=

l sin a

folgt:

—

9

1

ä + y sin a

sin 2a

•

Dies ist eine

—

•

co

2

(2.1.4)

=0

-

gewöhnliche,

aber in

a

nichtlineare

Differentialgleichung.

K~z

t ™

cp,cp

Bild 2.1.5

e)

=

Kj =m-l-ä

KG

=

=

m

m

r

w2

g

U)

Fliehkraftpendel

Förderband

(Bild 2.1.6) transportiert

mit einer konstanten Geschwindigkeit vn feinkörniges Material. Ändert sich die Schieberstellung xe(t), so entsteht auf dem Band ein Materialprofil z(x,t), das sich gleichförmig bewegt. Dieses Profil läßt sich als Funktion der Zeit t und des Ortes x durch die partielle Differentialgleichung beschreiben: Ein Förderband

dz(x,t)

=

dt

Vq

dz(x,t)

(2.1.5)

dx

ssj.t *.(') i

z(x,t)

xa(t) (öEö%i fcÄ' /

Bild 2.1.6 Förderband

folgenden werden bis auf wenige Ausnahmen nur solche Übertragungsglieder und Systeme von Übertragungsgliedern behandelt, deren Verhalten Im

2.1 Beschreibung mit Hilfe

von

Differentialgleichungen

73

sich durch eine gewöhnliche lineare (oder linearisierbare) Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschreiben läßt. Eine solche Differentialgleichung hat allgemein folgendes Aussehen:

iP^Xa

dnxa

dm~1Xe +6m_1.__

dXe

6o.Xe + 6l._+ ,

=

dxa ,

...

+

d^Xe 6m.__ ,

(2.X.6)

wobei die a< und 6j Konstante sind.

2.1.2

linearer zeitinvarianter

Eigenschaften gungsglieder

Übertra-

Ein Übertragungsglied oder Übertragungssystem, dessen Verhalten durch eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung beschrieben wird, gehorcht dem Gesetz der Homogenität und der Superposition. Sind die Koeffizienten a¿ und bi konstant und zeitunabhängig, so weist das System zusätzlich die Eigenschaft der Zeitinvarianz auf. 2.1.2.1

Homogenität

Unter Homogenität versteht man folgendes: Wenn bei einem Übertragungsglied eine Eingangsgröße xe(t) eine Ausgangsgröße xa(t) hervorruft, dann erzeugt eine Eingangsgröße c xe(t) die Ausgangsgröße c xa(t), wenn c eine behebige reelle, von Null verschiedene Konstante ist: •

xt(t) = xa(t) C Xe(t) =¡r c xa(t)

•

(2.1.7)

Verdoppelung der Eingangsgröße hat also bei einem linearen Übertragungsglied auch eine Verdoppelung der Ausgangsgröße zur Folge. Eine

2.1.2.2

Superposition

Unter Superposition oder Überlagerung versteht man folgendes: Wenn bei einem Übertragungsglied eine Eingangsgröße xei(i) eine Ausgangsgröße xai(t) und eine Eingangsgröße xc2(t) eine Ausgangsgröße xa2(t) hervorruft,

74

2.

Beschreibung des Übertragungsverhaltens

dann erzeugt die Summe der Eingangsgrößen iei(i) + xe2(t) die Summe der Ausgangsgrößen xa\(t) + xa2(t) für aUe iei(t) und xt2(t):

Xel(t) =!> Xai(t) xc2(t) = io2(r) Xel(t) + Xe2(t) = Xal(t) + Xa2(t) 2.1.2.3

Zeitinvarianz

folgendes: Wenn eine Eingangsgröße xe(t) eine Ausgangsgröße xa(t) hervorruft, dann erzeugt eine um die Zeit r verschobene Eingangsgröße xe(t t) eine Ausgangsgröße xa(t t) für aUe behebigen xe(t) und r: Unter Zeitinvarianz versteht

man

—

—

xt{t) => xa(t) xe(t t) =» i0(t r)

(2.1.9)

-

-

In diesem Fall ist ein Differenzieren oder

Integrieren einer ganzen Gleichung

zulässig. Lineare Rechenoperationen sind also die Summation, die Multiplikation mit einer Konstante, die Differentiation, die Integration und Kombinationen dieser Operationen.

2.1.3

Linearisierung

In Wirklichkeit kann ein reales physikalisches System selten exakt durch eine gewöhnliche hneare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden. Viele Systeme lassen sich jedoch näherungsweise oder in einem begrenzten Bereich um den Arbeitspunkt durch eine hneare Differentialgleichung beschreiben.

Das Verfahren der sogenannten gezeigt werden.

Linearisierung

soll

an

einfachen

Beispielen

2.1 Beschreibung mit Hilfe

Statischer nie

2.1.3.1

von

75

Differentialgleichungen

Zusammenhang gemäß einer stetigen Kennli-

zeigt eine typische Ventilkennhnie mit der Gleichung q f(H). Der Arbeitspunkt A ist durch die Größen if0 und ?o gegeben. In der Umgebung dieses Punktes kann nun die Ventügleichung in eine Taylorreihe

Büd 2.1.7

—

entwickelt werden: q-qo

=

dq dH

A-i*-*HÎ-ê

(H-Ho)2+

...

-

-

AH

H

Stetige Ventükennhnie

Büd 2.1.7

Unter der Voraussetzung, daß die zweite Ableitung, die ein Maß für die Kurvenkrümmung ist, die höheren Ableitungen sowie die Auslenkung H Ho nicht zu groß sind, kann die Kennlinie in der Umgebung des Arbeitspunktes durch den ersten Term der Taylorreihe, d. h. durch die Tangente, angenähert werden: —

dq

q -9o« dH

Führt

man

Aq

=

AH

die

so

Aq

ein:

q-q0

=

H-H0

Ableitung mit

dem

Übertragungsbeiwert:

dq_

=

dH

erhält

-

Abweichungen

und bezeichnet die K

(H Ho)

man

=

a

folgende hnearisierte Gleichung:

K AH

(2.1.10)

2. Beschreibung des

76

Übertragungsverhaltens

Für das Übertragungsglied Ventil läßt sich dann ein Bild 2.1.8 angeben.

Signalflußplan

nach

linearisierte Gleichung für kleine Auslenkungen I um den Arbeitspunkt

AJT

K

Aq

H

Aq + qo

AH + Ho

9o

Hn

Gleichung für den Arbeitspunkt Bild 2.1.8

Signalflußplan

des Ventils

nachfolgenden wird nur der Signalzusammenhang bei kleinen Auslenkungen um den Arbeitspunkt betrachtet, wobei die Delta-Schreibweise der Gleichungen wieder fallengelassen wird. Kennhnienfelder können in analoger Weise oder durch Bilden des vollständigen Differentials linearisiert werden. Eine Linearisierung ist fehl am Platz, wenn eine ausgeprägte Nichtlinearität, etwa eine unstetige Kennlinie mit Zweipunktverhalten, vorhegt. Im

Dynamischer Zusammenhang gemäß Differentialgleichung

2.1.3.2

Nach

einer nichtlinearen

Gleichung (2.1.4) lautet die Differentialgleichung Fliehkraftpendels:

für die Hubbewe-

gung des

ä + y sin •

Für den

Werden kleine =

a

•

—

-

w2

=

0

(2.1.4)

•

-

=

ao

CO

COn —

sin 2ao co0 •

=

0

Auslenkungen um den Arbeitspunkt

—

Aco

~

—

Arbeitspunkt (a0, co0) gilt im stationären Zustand die Gleichung:

y sin ao

Aa

sin 2a

a

betrachtet:

2.1 Beschreibung mit Hilfe von

so

lautet die

77

Differentialgleichungen

Differentialgleichung:

^*

a'

y sin (ao + Aa) Arbeitspunktgleichung +

•

-

•

sin

-

2(a0+Aa) (u0+Aw)2 •

=

0

eliminiert und werden kleine GröWird daraus die ßen zweiter und höherer Ordnung vernachlässigt und wird für sin Aa « Aa und für cos Aa « 1 gesetzt, so gut die hnearisierte Differentialgleichung für kleine Auslenkungen um den Arbeitspunkt: Aä +

(-

•

cos

u;2

ao

•

cos

—

2ao)

•

Aa

=

wo sin

2ao Au •

(2.1.11)

Behandlung von Regelproblemen mit hnearisierten Differentialgleichungen geht bereits auf MaxweU (1831 1879) zurück.

Die

-

Lösung von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

2.1.4

dynamische Verhalten linearer Übertragungsglieder wird durch eine gewöhnliche hneare Differentialgleichung beschrieben. Diese Differentialgleichung läßt sich aus dem physikalisch-technischen Aufbau des Systems

Das

herleiten. Für eine behebige Eingangsgröße ie(r) und für gegebene Anfangsbedingungen wird der Verlauf der Ausgangsgröße xa(t) bestimmt durch Lösung der Differentialgleichung nach bekannten Rechenverfahren

mit Hufe

von

mit Hufe der 2.1.4.1

Lösungsansätzen oder Laplace-Transformation.

Lösung mit Hilfe

von

Lösungsansätzen

Die aUgemeine gewöhnliche hneare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten hat folgendes Aussehen:

d"_1i0

d"i0 ,

=

mit

6o.x. + 61.

a¿,6¡t konstant;

dxe +

d™xt dm'1xe -n^.-_-+*„._ ,

—

an

ditt

...

/ 0;

ao

=

,

1.

(2.1.6)

78

2. Beschreibung des

Übertragungs verhaltens

Systeme gilt

Reale Systeme sind höchstens sprungfähig (m n), sie können aber nicht differenzieren. Die Einwirkt nicht unmittelbar auf die Ausgangsgröße x0 ein, meist gangsgröße xe

Für reale technische

m


3 sind die Wurzeln nicht immer einfach bestimmbar. Sind alle Wurzeln reeU und voneinander verschieden, so lautet die Lösung:

Xah(t)

=

£Ci-exil

(2.1.17)

»=i

Befinden sich unter den

n

Wurzeln fc

gleiche mit dem Wert Ai, so lautet die

Lösung:

Xah{t)

=

{Cio + Cn-t+

...

¿Q +Cx,k-i-tk-1)-exrt+ i=k+\

eV

(2.1.18) Befindet sich unter den n Wurzeln ein komplexes Wurzelpaar (komplexe Wurzeln treten immer konjugiert komplex auf) mit dem Wert:

so

Ai

=

0\ + j wi

A2

=

AJ

•

lautet die

=

©i

—

j

•

Lösung der homogenen Differentialgleichung:

Xofc(i) e"1' (Ci =

b)

wi

Partikuläre

•

•

cos

wxt + C2 sin uit) +

¿Cr e**1

(2.1.19)

Lösung Die partikuläre Lösung xap(t), ein Partikulärintegral der voUständigen Differentialgleichung, gibt das Verhalten des Systems im Beharrungszustand an, wenn der homogene Anteü, der das dynamische Übergangsverhalten darsteUt, abgeklungen ist. Die partikuläre Lösung erhält man, wenn man in die voUständige Differentialgleichung einen Lösungsansatz vom Typ der Eingangsfunktion einsetzt (TabeUe 2.1.1). Setzt sich die Eingangsfunktion aus mehreren Teilfunktionen zusammen, so ist gemäß dem Superpositionsprinzip als Lösungsansatz die Summe der entsprechenden Lösungsansätze zu wählen. Die Ansatzparameter Ai und J3¿ werden durch Einsetzen des Ansatzes in die voUständige Differentialgleichung berechnet.

80

2.

Beschreibung des Übertragungsverhaltens

TTW" 3 e

3

•to

S

+

Oí

+

~»Wh

TTW! bo

d

OS

OS

»w?

:0

h-1

«wl

«wl

O

o u

«W" bo

g

h}

b

O

tri

ri

us

d os

bc

d

3

+

+

b

b

II

1k

3 C

d

»«*

_o

+

I Cß

os

«w?

:0

>-3

3

6f -wl

'B SI

3

b

05

bo

d

W

Kl

«wl os

«W*"

o

Q

2.1 Beschreibung mit Hilfe

von

81

Differentialgleichungen

c) Vollständige Lösung vollständige Lösung setzt sich aus der homogenen und der partikulären Lösung zusammen: Die

xa(t) xah(t) + xap(t)

(2.1.14)

=

Die Ansatzkonstanten

C¿ der homogenen Lösung werden

nun

durch die

gegebenen Anfangsbedingungen festgelegt. i

x.

=

K.

771

1 Xa Bild 2.1.9

=

V

Masse-Dämpfer-System

Beispiel: An einem Masse-Dämpfer-System nach Bild 2.1.9 wird das Aufstellen und Lösen einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten erläutert. Zuerst wird die Differentialgleichung für die Ausgangsgröße Geschwindigkeit v bei gegebener Eingangsgröße Kraft Ke aus dem Kräftegleichgewicht an der Masse aufgestellt: m

dv •

dt

+d

•

Ke

v

—

Normiert m

d und

—

gilt: dv dt

1

d

verallgemeinert mit x0

=

v, xe

=

Ke, T

=

m/d

und K

=

1/d:

Dies ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung, die das Verhalten eines P-TjGliedes beschreibt. Sie soll nun für die sprungförmige Eingangsgröße xe(r) l(r) und die Anfangsbedingung xo(0) 0 gelöst werden. Die vollständige Lösung der Differentialgleichung lautet: —

=

xa(t) xah(t) + xap(t) =

Zuerst wird die homogene algleichung lautet:

Lösung xah(t)

ermittelt. Die

homogene

Differenti-

82

2. Beschreibung des

Übertragungsverhaltens

Lösungsansatz für die homogene Lösung ist: C ext Xah

und der

=

Dieser wird in die homogene Differentialgleichung die folgende charakteristische Gleichung:

eingesetzt und

es

ergibt sich

TA+1=0 Daraus

folgt

Xah(t)

=

gesucht.

=

Partikulärintegral

Nun wird ein

T-d^

—1/T die homogene Lösung: C-e^T

mit A

+ xa

Der

=

K-xt

=

der

vollständigen Differentialgleichung:

K-l(t)

Lösungsansatz für die partikuläre Lösung vom Typ der Eingangs-

funktion:

xap(t) Ao =

wird in die vollständige Differentialgleichung Ao K die partikuläre Lösung:

eingesetzt und

man

erhält mit

=

*«„(*)

=

K

vollständige Lösung: C-e-t'T + K

Damit lautet die

xa(t)

=

Die noch unbekannte Konstante C wird aus der vollständigen Lösung mit Hilfe -K. Damit lautet die der Anfangsbedingung z„(0) = 0 ermittelt zu C =

endgültige Lösung:

i0(t) .K-.(l-e- Ü c;

%

n

OT

,_„ ,_,,

ce ^3

Kapitel

3

Lineare

Übertragungsglieder

Um das dynamische Verhalten eines Übertragungsgliedes oder -systems analytisch ermitteln zu können, wird ein mathematisches Modell auf Grund der herrschenden Gesetzmäßigkeiten erstellt. Lineare Systeme mit räumlich konzentrierten Parametern sind einfach zu modellieren, wenn das Prinzip der Kausalität, eine Ursache ruft eine Wirkung hervor, zugrunde gelegt wird.

3.1

Analogien

Jedes technische System ist aus Baugliedern (Elementen) aufgebaut, die zusammenwirken und einen bestimmten Zweck erfüllen. Die wirkungsmäßigen Zusammenhänge der Elemente bestimmen das Verhalten des Systems. Will man das Verhalten analytisch beschreiben, so stellt man die an den einzelnen Baugliedern auf Grund der physikalischen Gesetze herrschenden Beziehungen auf, wie z. B. Ohmsches Gesetz für einen elektrischen Widerstand oder Massenerhaltungssatz für einen Stoffbehälter, und stellt die

geltenden Bilanzgleichungen auf, wie z. B. die Kirchhoffschen Knotenpunkts- und Maschengleichungen für elektrische Systeme. das mathematische Modell des SySystemen Widerstände, KonBauglieder mechanischen densatoren und Spulen auf, in Systemen Massen, Federn und Dämpfer, in hydraulischen Systemen Rohrleitungen und Behälter. Zur Beschreibung der Beziehungen an den Baugliedern verwendet man

Diese

analytischen Beziehungen bilden

stems. Als

treten in elektrischen

96

3. Lineare

Übertragungsglieder

physikalische Größen, wie z. B. Spannung und Stromstärke in elektrischen Systemen, Kraft und Geschwindigkeit in mechanischen Systemen und Druck und Volumenstrom in hydraulischen Systemen, und Kenngrößen

der Bauglieder, wie z. B. die Induktivität einer Masse eines Bauteiles und den Widerstand einer Rohrleitung.

Spule,

die

allgemeine Betrachtungen wäre es vorteilhaft, könnte man das Verhalten von Systemen und ihren Elementen ohne Rücksicht auf die Art und das Medium des Systems verallgemeinert beschreiben. Es läßt sich zeigen, daß dies möglich ist. Für lineare Systeme mit räumlich konzentrierten Baugliedern werden nur zwei zeitabhängige physikalische Größen, von denen die eine die Ursache und die andere die Wirkung darstellt, benötigt, um die Beziehungen an den Elementen anzugeben. Diese Größen sind das verallgemeinerte Potential p(t) und der verallgemeinerte Strom q(t). Der an den Baugliedern vorkommende Kausalzusammenhang läßt sich darstellen als proportionale Abhängigkeit q(t) p(t), integrierend wirkende Abhängigkeit q(t) dt und als differenzierend wirkende Abhängigkeit q(t) dp(t)/dt. Ip(t) Das Produkt der verallgemeinerten Größen Potential und Strom ist gleich der Momentanleistung P(t) p(t) q(t). Die Bauglieder eines Systems können daher als Energieumsetzer betrachtet werden, wobei zwischen Energiequellen (Quellelementen), Energieverbrauchern (Widerstandselementen) und Energiespeichern (Speicherelementen) unterschieden wird. Für

~

~

~

=

3.1.1

Verallgemeinerte

•

Größen

Die beiden Größen Potential und Strom bilden die Grundlage für die Verallgemeinerung. Die Zuordnung der physikalischen Größen von Systemen der verschiedenen technischen Gebiete zu den verallgemeinerten Größen Potential und Strom ist im Grundsatz willkürlich. Eine Zuordnung kann z. B. an Hand der Meßverfahren erfolgen, mit denen Potential und Strom bestimmt werden. Die Größe Potential wird von einem Punkt des Systems relativ zu einem Bezugspunkt gemessen. Potentialdifferenzen werden allgemein auch als Quervariable bezeichnet. Quervariable sind z. B. elektrische Spannung, Geschwindigkeit und Druck. Die Größe Strom, allgemein als Längsvariable bezeichnet, wird direkt im Zweig eines Systems gemessen. Längsvariable sind also Stromstärke, Kraft, Volumenstrom und Massenstrom.

97

3.1 Analogien

In Tabelle 3.1.1 sind die analogen physikalischen Größen von Systemen verschiedener technischer Gebiete zusammengestellt und den verallgemeinerten Größen Potential und Strom zugeordnet. In mechanischen Systemen ist gemäß der Zuordnung nach dem Meßverfahren die Geschwindigkeit eine Quervariable und die Kraft eine Längsvariable. In Tabelle 3.1.1 wird jedoch der klassischen Analogie der Vorzug gegeben, bei der die Kraft dem Potential und die Geschwindigkeit dem Strom zugeordnet sind gemäß der Betrachtung von Ursache und Wirkung. Bei thermischen Systemen werden als verallgemeinerte Größen Temperatur und Wärmestrom herangezogen. Die Wahl dieser Größen führt zu analogen Baugliedern, wie Wärmewiderstand und Wärmekapazität. Das Produkt aus Temperatur und Wärmestrom stellt entgegen dem Produkt der verallgemeinerten Größen in anderen Systemen keine Leistung dar.

Analoge Bauglieder

3.1.2

Baugliedern linearer Systeme unterscheidet Energiequellen, Energieverbraucher und Energiespeicher.

Bei den räumlich konzentrierten man

3.1.2.1

Energiequellen

Energiequellen: Spannungsquellen und Stromquellen (Bild 3.1.1). Eine ideale Spannungsquelle liefert eine eingeprägte Potentialdifferenz unabhängig vom Strom. Eine ideale Stromquelle liefert hingegen einen eingeprägten Strom unabhängig vom anliegenden Potential. Die Leistung, die die Quelle liefert, ist gleich dem Produkt aus PotentialEs existieren zwei Arten

von

differenz und Strom.

P(t) Bild 3.1.1

Energiequellen a) Spannungsquelle b) Stromquelle

a)

b)

98

3. Lineare

Tabelle 3.1.1

Übertragungsglieder

Analoge Größen elektrisch

Größe

mech.-rot.

mech.-transl.

Auslenkung

Weg

Ladung Quantität

m

Drehmoment

Kraft

Spannung

a

Potential V K

Strom

Winkelgeschwind.

Stromstärke

Geschwindigkeit

e

'S

-3 ö o

v

=

k-K

U)

=

d-R-

M

-M

M

O

o. o

Übertragungsfunktion

1

a

Kondensator C Feder

Baugked

du C- ~dl

ÜbertragungsF(p)

Tors.feder

•-!•«

_L L CR

w

.._

-

J_ dM cÄ ~dT

P

Cp

funktion

3*

-ATA-

Hl-

Phys. Gesetz

i

1

R

F(p)

c

CR

cu

Spule

cu

-g s

O.

Trägheit

Masse

Bauglied

CO

Phys. Gesetz

Übertragungsfunktion

F(p)

i

=

-i- /udt 1

Tp

v

=

±JKdt 1 mp

u>

=

ljSMdt 1

7p

3.1

Tabelle 3.1.2

Übertragungsfunktionen analoger Bauglieder (Fortsetzung)

System

hydraulisch Pd

block

9

pneumatisch 9

Pd

Pd

m

F(P)

Übertragungs-

thermisch

m

F(P)

F(P)

d

HP)

F(P)

Leitung

TL

t

Pd

F(P) ö

101

Analogien

Drossel

Ebene Wand Rw

Bauglied

V

E0)

"35

-3 tí

o

Phys. Gesetz

1=FE'Pd

Übertragungsfunktion F(p)

1

m _

Pd

Speicher

AdPd

.-u k-

ÜbertragungsF(p)

dt

™

=

kp

Trägheit

0)

k-iJË kp

Trägheit

Bauglied Phys. Gesetz

ÜbertragungsF(p)

funktion

Speicher W/, w

funktion

t3

d

1

Bauglied Gesetz

Rw

Rw

TL

Speicher

Phys.

4>

9=

j^JPddt 1

LlP

m

=

\¡Pddt 1

TTp

*-*•« kp

102

3. Lineare

q{i)

=

Übertragungsglieder

\¡p{t)dt

(3.1.3)

Speicher für kinetische Energie ist in seiner Wirkung ein integrierendes Übertragungsglied. Die Ausgangsgröße Strom ist proportional dem Zeitintegral der Eingangsgröße Potentialdifferenz. Eine Masse im mechanischen System ist z. B. ein Speicherelement für kinetische Energie. Für einen Speicher für potentielle Energie gilt die Beziehung:

Ein

m-c&

(3.1.4,

Ein Speicher für potentielle Energie ist in seiner Wirkung also ein differenzierendes Übertragungsglied. Die Ausgangsgröße Strom ist proportional dem Differentialquotienten der Eingangsgröße Potentialdifferenz. Eine Feder in einem mechanischen System ist z. B. ein Speicherelement für potentielle Energie. Betrachtet man bei einem Speicherelement für kinetische Energie entgegen der Kausalität den Strom als Eingangsgröße und die Potentialdifferenz als Ausgangsgröße, so weist dieser Speicher eine differenzierende Wirkung auf. Ein Speicherelement für potentielle Energie besitzt dann analog eine integrierende Wirkung. In Tabelle 3.1.2 sind die analogen Bauglieder von Systemen verschiedener technischer Gebiete zusammengestellt und ihre Übertra-

gungsfunktionen angegeben. Entwurf eines mathematischen Modells

3.1.3

Es wird nun erläutert, wie für einen elektrischen Reihenschwingkreis nach Bild 3.1.2 ein Signalflußplan entworfen, die Übertragungsfunktion berechnet, die Differentialgleichung aufgestellt und ein analoges mechanisches System ermittelt werden können. R

c

uR

uc

o

xe(t)

=

u(t)

Bild 3.1.2

uL

Reihenschwingkreis

Xa(t)

=

i(t)

103

3.1 Analogien

Der Reihenschwingkreis besteht aus drei Baugliedern: einer Spule, einem Widerstand und einem Kondensator. Im Signalflußplan wird jedes Glied durch einen Übertragungsblock mit entsprechender Übertragungsfunktion gemäß den physikalischen Gesetzmäßigkeiten dargestellt. Als Eingangsund Ausgangsgrößen wirken die Spannung und der Strom des jeweiligen Übertragungsgliedes. Durch Anlegen der äußeren Spannung u(t) (Ursache) fließt im Netzwerk der Strom i(t) (Wirkung) und ruft an den Baugliedem die Spannungsabfälle u¿(r), ur(í) und uc(t) hervor, deren Summe gleich der angelegten Spannung ist:

u(t) uL(t) + uR(t) + uc(t) Um den ersten Übertragungsblock für die Spule zeichnen zu können, muß der Spannungsabfall u¿( cL.,m+cR.m+i(t)=c dt2 dt

dt

106

3. Lineare

Übertragungsglieder

Nun soll noch ein dem elektrischen System analoges mechanisch-translatorisches System bestimmt werden. Für die Größen und die Bauglieder gelten die Analogien der Tabelle 3.1.1 und der Tabelle 3.1.2. Im elektrischen System setzt sich die Gesamtspannung aus den Spannungsabfällen an Spule, Widerstand und Kondensator zusammen: u

=

u

=

uL + ur

uc

1 di L— + Ri+-,

Analog

+

t

„

dt

C

'

idt .

,

muß also für das mechanische

K

=

Km + Kd + Kc

K

=

m-

av dv + d-v + dt

—

System gelten:

t

c

f vdt

J

Im elektrischen System fließt der Strom i durch alle Bauglieder. Im mechanischen System müssen also analog alle Bauglieder mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt werden. Damit ergibt sich der Aufbau für das dem elektrischen System analoge mechanische System nach Bild 3.1.9.

Bild 3.1.9

3.2

Elementare

Analoges mechanisches System

Übertragungsglieder

In Tabelle 3.2.1 sind typische elementare Übertragungsglieder mit ihrem Verhalten zusammengestellt. Die Tabelle enthält sowohl Übertragungsglieder, die als Regelstrecke auftreten, als auch Glieder, die als Regler eingesetzt werden. Die Glieder 1 bis 7 sind typische Regelstrecken-Übertragungsglieder, unterteilt in solche

3.2 Elementare

107

Übertragungsglieder

mit proportionalem Verhalten (1 bis 5), das sind Strecken mit Ausgleich, bei denen eine sprungförmige Stellgrößenänderung Ay eine Änderung der Regelgröße Ax hervorruft, die einem neuen Beharrungswert zustrebt, und solche mit integrierendem Verhalten (6 und 7), das sind Strecken ohne Ausgleich, bei denen eine sprungförmige Stellgrößenänderung Ay dazu führt, daß die Regelgröße unaufhörlich ansteigt, bis sie auf Grund sekundärer Effekte (z. B. Anschlag) begrenzt wird.

Reine P- und I-Glieder werden auch als Regler eingesetzt. Die Glieder 8 und 9, das D- und das D-Ti-Glied, werden im wesentlichen in Regeleinrichtungen und Rückführungen eingesetzt. Die Glieder 10 bis 15 sind typische Regler-Übertragungsglieder mit proportional, integrierend und differenzierend wirkendem Verhalten. Tabelle 3.2.2 zeigt, wie diese elementaren Übertragungsglieder, abstrahiert von der Gerätetechnik, durch ihre Übergangsfunktion oder ihre Übertragungsfunktion in Signalflußplänen dargestellt werden.

3.2.1

Regelstrecken

3.2.1.1

Regelstrecken

Die

mit

proportionalem

allgemeine Übertragungsfunktion F$(p)

für

Verhalten

Regelstrecken

mit propor-

tionalem Verhalten lautet:

Fs(p) v/v

=

--^+an-p" a2-p2+ l + ai-p +

(3.2.1); v

...

wobei alle a¿ > 0. In Tabelle 3.2.3 sind solche

Regelstrecken

und ihre

Eigenschaften zusammengestellt.

a) Unverzögertes Proportionalglied Beim

der

unverzögerten P-Glied folgt die Ausgangsgröße direkt proportional

Eingangsgröße.

Fs(p)

=

Kps

Die

Übertragungsfunktion des P-Gliedes lautet:

(3.2.2)

108

3. Lineare

Übertragungsglieder

S oq

a

Tri

II

®

-O

5

*&

0.

ft

a

a,

,

+

a.

ft

+ cu cu

bo ce bO

d

i

e 3 id

E-i

ft

-O

_ft

^ft

^ft h.

^ft

ft

s;

ft

h,

CU

O

¡1.

H

-a

CU

a cu

acu

H

a.

eu

I

I*!

(S

a.

+ o

H

a cu

(H

s

•H

¡3 cu

cu

•H

o

•H

H CL,

H PL,

ft

ti

3.2 Elementare

109

Übertragungsglieder

°

CQ

•Í

HHo4

m

T

N

rd/

Tu a;

°i|

t)

:0

G a

Ht

b

"n

S,

'

-IEs

^lEs II

Ies-He?

'lEs-

í 1, so hegt ein nicht schwingendes P-T2-Glied vor, dessen Wurzeln reell sind (siehe Tabelle

3.2.3).

Dieses Glied läßt sich dann durch eine Kettenstruktur zweier P-Ti-

Glieder ersetzen.

d) P-T^Tt-Glied als Ersatzrechenmodell für ein Verzögerungsglied n-ter Ordnung Ein der mathematischen

Behandlung zugänglicheres Ersatzmodell zur näherungsweisen Beschreibung des Eingangs-Ausgangs Verhaltens einer proportionalen Regelstrecke mit Verzögerungen n-ter Ordnung (n groß) läßt sich aus dem Verlauf der Übergangsfunktion mit Hilfe der Wendetangentenmethode herleiten. Dabei geht man folgendermaßen vor: Man ändert die Eingangsgröße der Regelstrecke, also die Stellgröße, sprungförmig um einen bestimmten Betrag Ay, z. B. durch plötzliches Öffnen oder Schließen des Stellventils, und nimmt den Verlauf der Ausgangsgröße der Regelstrecke, also die Regelgröße, als Sprungantwort auf. Bezieht man die Sprungantwort auf die Sprunghöhe der Eingangsgröße, so ergibt sich die Übergangsfunktion h(t) der Regelstrecke (Bild 3.2.6). Diese Übergangsfunktion wird nach Anlegen der Wendetangente durch eine Ersatzübergangsfunktion mit Totzeit und Verzögerung 1. Ordnung (P-Ti-Tt-Verhalten) angenähert. Die

Übertragungsfunktion des Ersatzmodells lautet dann: K

*->-ït£:

,-TuP

(3.2.9)

116

3. Lineare

Übertragungsglieder

Aus Bild 3.2.6 lassen sich die Kenngrößen Kp$, Tu und Tg der Ersatzübergangsfunktion ermitteln. Der Proportionalbeiwert Kps der Regelstrecke läßt sich aus dem neuen Beharrungswert der Übergangsfunktion bestimmen zu:

Axl

Kps

=

(3.2.10)

.

Ay

Er ist eine statische Kenngröße. Dynamische zeit Tu und die Ausgleichszeit Tg.

Kenngrößen sind die Verzugs-

y

Ay

t

Wendetangente

Übergangsfunktion Ersatzüb ergangsfunktion

Bild 3.2.6

Üb ergangsfunktion einer P-T„-Regelstrecke und Ersatzübergangsfunktion

Legt man im Punkt der größten Steigung der Übergangsfunktion die Wendetangente an, so schneidet diese auf der Zeitachse die Verzugszeit Tu ab. Die Verzugszeit TM ist also jene Zeit, die vergeht, bis eine Änderung der Stellgröße am Eingang der Regelstrecke eine von Null verschiedene Ersatzübergangsfunktion verursacht. Die Ausgleichszeit Tg ist die durch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der Abszisse und der Abszissenparallelen durch den neuen Beharrungswert der Übergangsfunktion bestimmte Zeit. Die Ausgleichszeit ist ein Maß für die Geschwindigkeit, mit der der Ausgleich erfolgt. An Hand der Größen Verzugszeit Tu und Ausgleichszeit Tg einer Regelstrecke läßt sich ihre Regelbarkeit beurteilen. Die Regelbarkeit wird umso schwieriger,

3.2 Elementare

Übertragungsglieder

117

je größer Tu ist, weil während dieser Zeit die Strecke voll dem Einfluß einer Störgröße ausgeliefert ist, ohne daß die Regelgröße sich merklich ändert und der Regler korrigierend eingreifen kann, und je kleiner Tg ist, weil dann der Regler nach Ablauf der Verzugszeit der plötzlichen Änderung der Regelgröße überrascht wird und und richtig dosiert der Störung entgegenwirken soll.

nun

von

schnell

bezug auf die Regelbarkeit

kommt es nicht nur auf die absoluten Werte von Tu und Tg an, sondern auch auf das Verhältnis Tu/Tg. Gute Regelbarkeit wenn vor, liegt Tu klein und gleichzeitig Tg groß ist, schlechte Regelbaxkeit, wenn Tu groß und gleichzeitig Tg klein ist. In Tabelle 3.2.4 sind für Tu/Tg aus zur Beurteilung der Regelbarkeit und des der Praxis Erfahrungswerte für ein ausreichend gutes Regelergebnis notwendigen Regelaufwandes zuIn

sammengestellt

.

Tabelle 3.2.4

Erfahrungswerte

Tu/Tg

Regelbarkeit

0.8

regelbar

kaum

regelbar

regelbar

zur

Beurteilung

der

Regelbarkeit

Regelaufwand gering

mittel

groß sehr

groß

besondere Maßnahmen und Regelschaltungen erforderlich

An Stelle der Ausgleichszeit kann zur Kennzeichnung des dynamischen Verhaltens auch der Anlaufwert herangezogen werden. Der Anlaufwert A einer Regelstrecke ist der Kehrwert der größten Änderungsgeschwindigkeit der Übergangsfunktion der Regelstrecke bei einer sprungförmigen Verstellung der Stellgröße um den vollen Stellbereich Y^: A

1 =

(dh/dt)^

'

1^

Yh

(3.2.11)

118

3. Lineare

Übertragungsglieder

Der Stellbereich Yfc ist der Bereich, innerhalb dessen die bar ist. Aus Bild 3.2.6 folgt:

(dh/dt)^ Somit

=

Stellgröße einstell-

Kps/T,

ergibt sich für den Anlaufwert einer Regelstrecke mit Ausgleich auch:

A=-^— lips •

(3.2.12)

n

In Tabelle 3.2.5 sind für verschiedene Regelstrecken charakteristische Daten für die dynamischen Kenngrößen Tu, Tg und A zusammengestellt. Tabelle 3.2.5

Dynamische Kenngrößen von Regelstrecken (nach [18])

Regelstrecke Temperatur kl. el. Laborofen gr. el. Laborofen Destillationskolonne

Raumheizung Ammoniak-Absorber

Dampferzeuger Überhitzer Autoklav Hochdruckautoklav Durchfluß Wasserstand

Dampfkessel

Verzugszeit T„ Ausgleichszeit Tg Anlaufwert 0.5. 1 1 1

.

.

.

1 10 50 30 10

1 min 3 min 7 min 5 min 9 min 70 s 150 s 40 s 15 min 0

.

.

...

...

...

...

5 10 5

...

...

...

10

...

s/K

1

15 min 20 min 10 min 60 min

3 s/K 3 s/K 60 s/K

s/K

6 1 100 10 200

...

5 min 200 s 20 min 250 min

0.5

...

...

...

A

s/K

Ö 1

0

...

20

s/cm

Druck

Dampfkessel Drehzahl kl. el. Antriebe gr. el. Antriebe

Dampfturbine Spannung kl. Generator gr. Generator

1

...

8 min

0 0 0

0.2 ...10 s 40 s 5

0 0

1 ...5s 10 s 5

...

20

...

s/1000 min-1

3.2 Elementare

Ö

Oi

bo

tí tí

•H I Ä

in

0)

a

m ^

•!~í ¡H

.*

»

i)

'S 'a

s

T3

ja ft)

in

3 S?

¡S

fe

bO

m

§£

tí tí

3,S i .y

gc

o

IIS

en

Oh CO »1

H>J

•-H

ft)

tí

-tí O

H-*

W

o)

-

««

tí «3

I

'S

¡5

¡5

6ft) -a tí

^

D

"o

cu

tí

bo D

tí ft) tí «tí

en

ti

:0 (JO

ft)

*

tí ft)

bO

¿a D

tí

tí

n ft)

CD

O

U

bO

oi

9

«

ö

tí tí 4

Cr2

0*

ua

Regelverstärker als PID-Tj-Regler

Bild 3.2.31

PID-Regler lassen sich durch entsprechend beschaltete Regelverstärker sowie durch geeignete Strukturen realisieren. Aus den Erkenntnissen, die für den PI- und den PD-Regler gewonnen wurden, läßt sich die Beschattung eines Regelverstärkers zum PID-Regler ableiten (Bild 3.2.31). Die Übertragungsfunktion dieses RegelVerstärkers berechnet sich zu: 1+

Fr(p) mit den

=

ttttt

UM

= -

KpR

1

T^

1 + T-p

Kenngrößen: Rrl Cri + Rr2 Crl + Rr2 Cr2 + Rp Cr2 Re CT\ RrX Crl + Rr2 CTX + Rr2 Cr2 + Rp Cr2 '

'

„

=

'

'

_

Tn

+ Tv-p

-

'

'

•

3.2 Elementare

(Rrl Rr2 + Rp Rrl + Rp Rr2) Crl CT2 m

T _

T

137

Übertragungsglieder

=

'

•

'

Rrl Crl + Rr2 Crl + Rt2 Cr2 + Rp Cr2 Ro Cr2 •

•

•

-

•

PID-Regler, bestehend aus einer Regler, zeigt Bild 3.2.32. Diese Struktur Einen

F*(p)

=

¥Ê Xe{P) ^=

P

+

Parallelstruktur von I- und PDhat die Übertragungsfunktion:

KpR.(l+Tv.p)

=

+ KpR.(l + -?Tnp Tv.p)

Ki

t Bild 3.2.32 Parallelstruktur als

K PR

PID-Regler

PID-Regler als Kettenstruktur eines PI- und eines PD-Reglers dargestellt. Die Übertragungsfunktion dieser Struktur lautet:

In Bild 3.2.33 ist ein

Fr(p)

=

(3.2.29)

+ t;.p) kpr-(i + —-).(i Tn P

K'pr Bild 3.2.33 Kettenstruktur als

J^HÍ=H

Übertragungsfunktion eines PID-Reglers in

Dies ist die

PD-Regler). FR{p)

PID-Regler

=

Sie läßt sich umformen

/ß^.(l+T:-p).(l Tn'P

T*

Produktform

(PI-

zu:

+ T;.p)

KlPR

i + (t; + t;)-p + t;t;-p t;p Durch Koeffizientenvergleich mit der bisher bekannten PID-Reglers:

Fr(P) folgt:

=

Summenform des

+ ^+Tv-p) J^(l TnP' +Tn-p TnTv-p2)

KPr-(1 + TnP

=

138

Übertragungsglieder

3. Lineare

Kpr

KPR (1 + -£) J

=

n

Tn Tv Diese

=

t: + t: rp*

=

(3.2.30)

rp*

T* + T*

Umformung gehngt

Pi,2

1

1 =

nur,

-

2-T, N

2TV

wenn

1-

die Nullstellen der Summenform:

4-T,

(3.2.31)

Tv ist. Die in der Praxis eingesetzten Regler weisen meist reelle Nullstellen auf. Da für reelle Nullstellen beide Gleichungen ineinander überführt werden können, werden sie gleichwertig nebeneinander benutzt, wobei die Kennzeichnung durch * wieder fallengelassen wird. reell

sind, also T„

> 4

•

Kv

a)

E &HJ^H Kp

Tx

Kv^oo

b)

H^ Kp Tx

Kj) T2 Kv-rOO

rl O^ Kd T2

Bild 3.2.34 Kreisstrukturen als

PID-Regler

PID-Regler kann auch durch eine Kreisstruktur mit hoher Vorwärtsverstärkung sowie nachgebender und verzögernder Rückführung realisiert werden. Bild 3.2.34 zeigt zwei mögliche Schaltungen. Die Schaltung a) weist einen Verstärker mit einer Rückführung auf, die aus einer Reihenschaltung eines D-Ti- und eines P-Ti-Gliedes besteht. Bei der Schaltung b) wird das PI- wie das PD-Glied durch eine Kreisstruktur mit je einem Verstärker im Ein

3.2 Elementare

Übertragungsglieder

Vorwärtspfad und einer entsprechenden Rückführung erzeugt. gungsfunktionen beider Schaltungen ergeben sich zu: F (ns Fr{P>

XÁP) _

-

=

Übertra-

1

! M ~

XM FÄp)

Die

139

_ -

Kp

KD-p

l + Tx-p l + T2-p

+ Tv.p) KpR-(l + -±-)-(l Tn-P

Reglerkenngrößen

P-Beiwert KRR T2/(Kp Kq), Nachstellzeit und Vorhaltzeit Bei diesen Tn T2 Tv TxSchaltungen werden also die Reglerkennwerte in der Rückführung eingestellt. Durch diese Art der Verwirklichung eines PID-Reglers können nur reelle Pole in FT(p) auftreten. mit den

—

=

—

Kapitel

4

Simulation des Zeitverhaltens Um die Eigenschaften eines Systems zu ermitteln, kann man das Zeitverhalten des Systems als Reaktion auf charakteristische Testfunktionen untersuchen. Wird das System durch eine einfache Differentialgleichung beschrieben und ist die gewählte Testfunktion von einfacher Natur, so läßt sich das Zeitverhalten des Systems analytisch durch Lösen der Differentialgleichung berechnen. Soll das Verhalten für verschiedene Eingangsgrößen sowie für verschiedene Werte der Systemparameter untersucht werden, so kann die analytische Lösung sehr zeitaufwendig werden. Es empfiehlt sich dann, das Verhalten auf Rechenanlagen zu simulieren.

4.1

Simulatoren

Durchführung von Simulationen werden sowohl Analogrechner als auch Digitalrechner eingesetzt. Zur

4.1.1

Analogrechner

Spezialrechner für Simulationszwecke. Er ist aus einzelnen Rechenelementen aufgebaut, die verschiedene Rechenoperationen ausführen und untereinander zu einer Rechenschaltung verbunden werden Der

Analogrechner ist

ein

können. Ein mathematisches Modell eines Systems läßt sich auf Grund von Analogiebetrachtungen durch eine Rechenschaltung nachbilden, wobei die physikalischen Größen des Systems zeitveränderlichen elektrischen Span-

Analogrechner entsprechen. Der Analogrechner arbeitet kontinuierlich. Er löst alle Modelldifferentialgleichungen gleichzeitig. Er ist einfach handhabbar und interaktiv bedien-

nungen

am

4.1 Simulatoren

141

bar. Er kann unter Einbeziehung des Menschen und realer Systemkomponenten Simulationen in Echtzeit durchführen. Auf einem angeschlossenen graphikfähigen Ausgabegerät kann das simuHerte Zeitverhalten einfach dargesteUt werden. Die Genauigkeit der Simulationsergebnisse ist nicht groß, aber meist ausreichend, da die Systemdaten häufig nicht genau bekannt sind. NachteiHg bei einer Simulation am Analogrechner ist die zeitraubende, mühsame und fehleranfälHge SkaUerung der physikaHschen Problemvariablen, da die analoge Maschinenvariable nur einen begrenzten Spannungsbereich (± 10 V, ± 100 V) aufweist. Ferner sind die Anschaffungskosten eines Analogrechners groß, da die Rechenelemente Präzisionselemente sind, die nur in begrenzten Stückzahlen für einen begrenzten Markt hergesteUt werden.

4.1.2

Digitalrechner

Digitalrechner ist ein Universalrechner zum Einsatz in der Datenverarbeitung. Er ist aus Funktionseinheiten und integrierten Schaltungen aufgebaut. Seine Arbeitsweise ist diskret. Er führt arithmetische Operationen nacheinander mit hoher Geschwindigkeit aus und kann logische Entscheidungen treffen. Seine Speicherkapazität ist durch Einsatz externer Speicher nahezu unbegrenzt. Differentialgleichungssysteme lassen sich am Digitalrechner aber nur mit Hilfe von Integrationsalgorithmen lösen. Die Genauigkeit der Lösung hängt von dem gewählten Integrationsverfahren und von der Integrationsschrittweite ab. Durch Verkleinerung der Schrittweite kann auf Kosten einer längeren Rechenzeit die Genauigkeit der Lösung erhöht werden. Bei sehr kleinen Schrittweiten aber nimmt die Genauigkeit wegen des steigenden Rundungsfehlers wieder ab. Zum Einsatz eines Digitalrechners für Simulationszwecke sind sogenannte Simulationssprachen entwickelt worden. Mit deren Hufe können Simulationen auch am Digitalrechner einfach durchgeführt werden, wobei man sich voU auf die Simulationsstudien konzentrieren kann, ohne sein Hauptaugenmerk auf die Handhabung und Programmierung des Digitalrechners legen zu müssen. Bei Einsatz von interaktiven Simulationssprachen und graphikfähigen Ausgabegeräten läßt sich eine fast gleich gute Mensch-Maschine-Beziehung hersteUen wie beim Analogrechner. Von Nachteil bei einer Simulation am Digitalrechner ist, daß Echtzeituntersuchungen nur eingeschränkt durchführbar sind und genereU reale analoge Systemkomponenten in eine Simulation nicht miteinbezogen

Der

werden können.

142

4. Simulation des Zeilverhaltens

In Tabelle 4.1.1 werden die wesentlichen Eigenschaften von Analogrechner und Digitalrechner beim Einsatz als Simulatoren einander gegenübergestellt.

Tabelle 4.1.1

Vergleich der Eigenschaften von Analogrechner und Digitalrechner

Kriterium

Analogrechner

Digitalrechner

Arbeitsweise

kontinuierlich

diskret

Problemlösung

mit Hufe

analoger Modellgesetze

mit Hilfe numerischer Verfahren

Lösungsablauf

parallel

seriell

Grundrechenarten, logische Entscheidungen, Vektoroperationen

Standardoperationen Integrationen, Additionen

Sonderfunktionen

Multiplikationen, Integrationsalgorithmen, EntscheidunSimulationssprachen logische gen durch zusätzhche durch zusätzhche

Kapazität

Hardware

Software

begrenzt durch Anzahl

nahezu

der Rechenelemente

externe

rechnerabhängig, im allgemeinen klein

Rechengeschwindig- groß keit

Rechenzeit

vom

Problemumfang

unabhängig Genauigkeit

unbegrenzt durch Speicher

begrenzt (3 bis

Stellen)

4

Problemumfang steigend

mit

statisch: sehr groß bis 20 Stellen),

(10

dynamisch: begrenzt Einsatzbereich

Lösung von algebraischen Differentialgleichungen Gleichungen

Lösung

von

4.2 Simulation

Simulation

4.2

am

am

Analogrechner

143

Analogrechner

folgenden werden die Rechenelemente und Rechenschaltungen, die SkaHerung der Variablen sowie der Ablauf einer Simulation am Analogrechner Im

behandelt.

4.2.1

Rechenelemente

Analogrechner ist aus verschiedenen Rechenelementen aufgebaut, die jeweils ganz bestimmte Rechenoperationen ausführen können. In TabeUe 4.2.1 sind die wichtigsten Rechenelemente des Analogrechners zusammengestellt. Je nach der zu lösenden Aufgabe werden die einzelnen Rechenelemente über Steckkabel zu einer Rechenschaltung miteinander verbunden. Je umfangreicher das Problem ist, desto mehr Rechenelemente werden benötigt. Die Größe des Analogrechners steht also in enger Beziehung zum Umfang des zu lösenden Problems. Bei der Lösung arbeiten alle verbundenen Rechenelemente gleichzeitig. Ein

Koeffizientenpotentiometer

4.2.1.1

Ein Koeffizientenpotentiometer dient als Rechenelement zur MultipHkation mit einem konstanten Faktor a, wobei 0 < a < 1 ist. Es besteht aus einem Widerstand, der als Spannungsteiler geschaltet ist (Bild 4.2.1). Da die Spannungen sich wie die Widerstände verhalten, gilt für die Ausgangsspannung u0o des unbelasteten Potentiometers: ua0

aR =

-ut

=

a-ue

—

Bild 4.2.1

(4.2.1)

Koeifizientenpotentiometer

der Potentiometerskala eingestellte Koeffizient a entspricht also dem Spannungsverhältnis uo0/ue. Das Koeffizientenpotentiometer Hegt aber stets in Reihe mit einem weiteren Rechenelement, so daß es durch den Der

an

144

4. Simulation des Zeitverhaltens

Tabelle 4.2.1

Analoge Rechenelemente

Rechenelement

Sinnbild

Gleichung

a

Potentiometer

x,o-

Unbeschalteter Verstärker

x.o-

Umkehrer

x-o-

O

-ox„ xa

=

X.

-ox„

K

-o

x0 xa

x. —

Summierer

a

-

ZelO xe2o ox„ Xa

¿j

Ci Xe i '

—

xtno

Integrierer

xa

= -

xe2o

E Ci (/ t=l

ox.

xeno

Multiphzierer Funktions-

generator

a^eioxe2o-

x,o-

> /(*.>

-O X„

Xa

=

Xel

Xe2

/(*«)

Xe i dt +

xa0)

4.2 Simulation

am

Analogrechner

145

dieses Elementes belastet wird. Bei der EinsteUung eines Koeffizienten muß also stets die Belastung berücksichtigt werden.

Eingangswiderstand

Koeffizientenpotentiometer sind im augemeinen Mehrgangwendelwiderstände, wobei eine Wendel meist zehn Umdrehungen aufweist. Somit besitzt das Potentiometer ein hohes Auflösungsvermögen und eine hohe EinsteUgenauigkeit. Die Größe seines Widerstandes Hegt bei 10 bis 30 kíí. Summierer

4.2.1.2

Ein Summierer besteht aus einem spezieUen mit einer Verstärkung von etwa 108 und besonders breitem Frequenzbereich ausgestatteten Gleichspannungsverstärker, der in der Rückführung mit einem Ohmschen Widerstand und im Eingang mit einem Netzwerk aus Ohmschen Widerständen beschaltet ist (Bild 4.2.2). Für den Knotenpunkt S der Ströme gilt:

ig

=

il+i2+

+

-

(4.2.2)

in + ir Rr

Ri

*1

R2

i2

o——rzzF ¿n Rn

U] u2

ug\

^

u

K

Bild 4.2.2 Summierer Der Strom ig ist der Eingangsstrom des hochohmigen Gleichspannungsverstärkers. Die Eingangsimpedanz des Verstärkers Hegt bei 1010 Í2, während der Rückführwiderstand R, bei 106 U Hegt. Damit ist der Strom ig vernachlässigbar klein: ig « 0. Somit folgt:

~Ug

U\

U2~Ug

Ri Für die ua

R2

.

+

Rn

+

=

Rr

0

(4.2.3)

Spannungsverstärkung gilt: K

= -

ua

mit K

=

108

(4.2.4)

4. Simulation des Zeitverhaltens

146

Damit die Ausgangsspannung ua des Summierers im Arbeitsbereich des Rechners von ± 10 V oder ± 100 V hegt, darf die Spannung ug nicht größer als 10-7 oder 10~6 V sein. Damit ist sie gegenüber den Spannungen w¿ und ua vernachlässigbar klein: ug « 0. Somit hegt der Knotenpunkt S virtuell auf dem Bezugspotential. Damit gilt für die Ausgangsspannung:

Rr

Rr

llx

ÍÍ2

ua=-—ux-—u2

Führt

man

..-^•«„

(4.2.5)

für das Verhältnis der Widerstände die

Bewertungsfaktoren c
H i—**-*

tu

U

Bild 4.2.3 Offener Verstärker

Wird diese Nullbedingung nur geringfügig verletzt, so übersteuert der Verstärker. Der offene Verstärker stellt zwar kein selbständiges Rechenelement dar, wird aber zur Realisierung impliziter Rechenoperationen benötigt.

147

4.2 Simulation am Analogrechner

Integrierer

4.2.1.4

Integrierer besteht aus einem Gleichspannungsverstärker, der in der Rückführung mit einem Kondensator und im Eingang mit einem Netzwerk aus Ohmschen Widerständen beschaltet ist (Bild 4.2.4). Auch hier Hegt der Knotenpunkt S virtueU auf dem Bezugspotential und der Eingangsstrom des Verstärkers ist vernachlässigbar klein. Somit gilt: Ein

«1 R\

2í?_ R2

,

+£+a-S-

,

Ausgangsspannung

Für die

ua

folgt

(4.2.8)

mit den

Bewertungsfaktoren

a

=

l/(RiCr): ua

= -

/(£ Ci

J

1=1

•

(4.2.9)

Ui) dt + lia(0)

Über den Kondensator der Rückführung kann die Integrationsgeschwindigkeit

eingestellt

werden.

Büd 4.2.4

Integrierer

Multiplizierer

4.2.1.5

Zur Nachbildung einer MultipHkation werden am Analogrechner im aUgemeinen ParabelmultipHzierer eingesetzt. Ein ParabelmultipHzierer arbeitet

nach

folgender Gleichung: ui u2

ua

= -

-

[(ui + u2)2

-

(u!

-

u2)2]

(4.2.10)

MultipHkation wird also auf eine Quadratbildung zurückgeführt. Zur Quadratbildung der Summe und der Differenz der Eingangsspannungen

Die

148

4. Simulation des Zeitverhaltens

werden

spezielle Diodenschaltungen

mit

quadratischer

Kennlinie

herange-

zogen. Für Divisionen gibt es kein ux/u2 kann aber implizit: ux

u2 ua

=

eigenes Rechenelement.

Eine Division ua —

(4.2.11)

0

-

mit Hufe eines offenen Verstärkers, der über einen Multiphzierer rückgekoppelt ist (Bild 4.2.5), nachgebildet werden. Damit der offene Verstärker nicht übersteuert, darf der Divisor u2 weder das Vorzeichen ändern noch betragsmäßig kleiner als der Dividend ux sein.

R Ux

o_

1-O -Ua

+ -o

Bild 4.2.5 4.2.1.6

u2

Divisionsschaltung Funktionsgeber

Nachbildung einer Funktion ua f{ue) dienen Funktionsgeber, die aus speziellen Diodenschaltungen aufgebaut sind und die Funktion durch einen Polygonzug annähern. Weitere Nichtlinearitäten, wie z. B. Sättigung, Tote Zone oder Hysterese, lassen sich durch geeignete Schaltungen unter Verwendung von Dioden Zur

=

nachbilden. Die Genauigkeit der nichtlinearen Rechenelemente ist im allgemeinen eine Größenordnung schlechter als die der linearen Rechenelemente.

4.2.2

um

Rechenschaltungen

Zur Simulation des Zeitverhaltens eines Systems kann nun mit obigen Rechenelementen eine geeignete Rechenschaltung aufgebaut werden. Wie eine Rechenschaltung entwickelt wird, soll an dem Beispiel eines mechanischen

4.2 Simulation am Analogrechner

149

Schwingers nach Bild 4.2.6 aufgezeigt werden. Das Kräftegleichgewicht der Masse wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: Km + Kd + Kc m-x

IsoHert

man

=

die höchste v K-•

=

K

c-x

d

1

..

x

+ d-x +

=

m

—

an

.

K

Ableitung,

so

erhält

man:

c

x--x

m

m

Bild 4.2.6 Mechanischer a) Aufbau

Schwinger

b) Signalflußplan die der höchsten Ableitung entspricht, zur Verfügung steht, so kann man die niedrigeren Ableitungen durch sukzessive Integration erhalten (Bild 4.2.7). Um die noch fehlende höchste Ableitung zu erzeugen, müssen zu der mit einem Faktor bewerteten Eingangsgröße Kraft die mit Faktoren bewerteten niedrigeren Ableitungen vorzeichenrichtig addiert werden. SoUen Lage und Geschwindigkeit ganz bestimmte Anfangswerte x0 und x0 aufweisen, so können sie an den entsprechenden Integrierern eingestellt werden. Damit ist die Rechenschaltung zur Nachbildung des mechanischen Schwingers ermittelt (Bild 4.2.8). Wäre man an SteUe der Differentialgleichung vom Signalflußplan ausgegangen, so hätte man dieselbe Rechenschaltung erhalten. Nimmt

man nun

an, daß die

Größe,

x —o

Büd 4.2.7 Sukzessive

Integration

1 50

4. Simulation des Zeitverhaltens

Bild 4.2.8

Rechenschaltung

Mit Hufe dieser Rechenschaltung kann nun am Analogrechner der Schwinger auf sein Verhalten hin untersucht werden für

Eingangsgröße Kraft K, verschiedene Systemparameter Masse m, Dämpferkonstante d und Feder-

verschiedene Verläufe der konstante

c

und

verschiedene Anfangswerte der

Lage xo und der Geschwindigkeit

x.

mehreren Teilsystemen oder mehreren elementaren Übertragungsgliedern, so ist es zweckmäßig, für jedes Teilsystem oder Übertragungsglied eine eigene Rechenschaltung aufzustellen und diese Rechenschaltungen dann entsprechend der Systemstruktur zur Gesamtrechenschaltung zusammenzusetzen. In Tabelle 4.2.2 sind Rechenschaltungen für elementare lineare Übertragungsglieder zusammengestellt. Diese Schaltungen lassen sich sehr einfach aus der das Übertragungsglied beschreibenden Übertragungsfunktion oder Differentialgleichung herleiten, wie am Beispiel eines PD-Ti-Gliedes gezeigt wird.

Besteht ein

System

aus

Beispiel: Die Differentialgleichung eines

PD-T ¡-Gliedes lautet:

Da diese Gleichung die Ableitung der Eingangsgröße aufweist, sie, löst sie nach der Ausgangsgröße xa auf und erhält: =

Kp Tv

-^r--** rp

Mit Hilfe dieser

+

Kp

r

1

/

] lr-J*

Tx 7-.--r-^, —

"

Tx Bild 5.1.1

P-TrGhed

a) Pol-Nullstellen-Verteilung b) Einheitssprungantwort sind in Bild 5.1.1 die Pol-Nullstellen-Verteilung und das zugehörige Zeitverhalten dargestellt. Das P-Tj-Ghed besitzt also einen reellen Pol bei pi ox = 1/Ti und keine Nullstelle. Der Verlauf der Sprungantwort ist nach =

—

Gleichung (3.2.5):

xa(t)

=

K

•

(1 e-1^) -

(3.2.5)

durch die Kenngrößen Proportionalbeiwert K und Zeitkonstante Tx bestimmt. Für eine Zeitkonstante T2 < Tx sind in Bild 5.1.2 die Pol-

a)

«i

®

~T2 Bild 5.1.2 P-TrGhed

a) Pol-Nullstellen-Verteilung b) Einheitssprungantwort

172

5.

Graphische Darstellung der Übertragungsfunktion

NuUsteUen-VerteUung und die Einheitssprungantwort dargesteUt. Die Sprungantwort erreicht also umso schneUer ihren neuen Beharrungszustand, je kleiner der Wert der Zeitkonstante ist, je weiter also der Pol der Übertragungsfunktion auf der negativen reeUen Achse nach Hnks rückt. Liegt der Pol auf der positiven reeUen Achse, so klingt der Übergangsvorgang exponentieU

auf,

was

ein instabUes Verhalten charakterisiert.

Ein schwingendes VerzögerungsgHed 2. tion:

Ordnung mit der Übertragungsfunk-

K

F(p)

=

(3.2.6)

ï + 2ÇT-p + T2-p2

besitzt zwei

konjugiert komplexe Pole,

die

symmetrisch zur

reeUen Achse

Hegen: Pi,2

=

C... ± 3 yß-Ö

-

rp

jwi

a)

®

=

ffi ±

jcoi

b)

x\

\ \

0"!

2t COi

BUd 5.1.3

Schwingendes P-T2-GHed a) Pol-NuUsteUen-VerteUung b) Einheitssprungantwort

BUd 5.1.3

zeigt

deren

VerteUung

und den Verlauf der

Einheitssprungant-

e-f'

/v/W*

y/ï^fi*,]

wort:

xa(t) mit der

=

K

reziproken

p\rr^í

'

sin(—?-*+ arctan—?—)]

Zeitkonstante der HüUkurve:

(3-2.7)

173

5.1 Pol-Nullstellen- Verteilung

F{p)

=

\ox\/\Jo\ + u{

Übertragungsfunktion:

mit der

Kp-1-±^P T-p y

l+

besitzt einen Pol bei px 1/T und eine Nullstelle bei pzi 1/T„. Pol und Nullstelle beeinflussen sich in ihrer Wirkung auf das Zeitverhalten des Gliedes. Für pi < pzi < 0 überwiegt der Einfluß der Nullstelle (Vorhalt), wie Bild 5.1.4 zeigt. Für px = pzi kompensieren sich Pol und Nullstelle (Bild 5.1.5). Für pzi < pi < 0 überwiegt der Einfluß des Pols (Verzögerung), wie Bild 5.1.6 zeigt. Für pi < 0 und pzi > 0 sind in Bild 5.1.7 die Pol-Nullstellen-Verteilung und die Einheitssprungantwort, die zuerst gegen=

-

—

—

sinnig verläuft, dargestellt. 3U\

a)

®

-~-

1^

T

b) Kp

a

T

Bild 5.1.4 PD-Ti-Ghed mit px < pzi < 0

a) Pol-Nullstellen-Verteilung b) Einheitssprungantwort

-

t

174

5.

Graphische Darstellung der Übertragungsfunktion

.

®

-ol

b)

a)

Kp-®- 1 T T.

-—

1

BUd 5.1.5

er

PD-Ti-GHed mit px

=

pZJ

a) Pol-NuUsteUen-VerteUung b) Einheitssprungantwort jwf

a)

®

Xai

- -

(T

1_ i_

t7

T

BUd 5.1.6

PD-Tj-GHed mit pZi

< pi < 0

a) Pol-NuUsteUen-VerteUung b) Einheitssprungantwort jwi

a)

1_

T

BUd 5.1.7

1_

-ifp-^

PD-Ti-GUed mit pi < 0 und pZi a) Pol-NuUsteUen-VerteUung b) Einheitssprungantwort

> 0

175

5.2 Frequenzgang

Frequenzgang

5.2

Die Übertragungsfunktion F(p) eines Übertragungssystems läßt sich durch Laplace-Transformation der Funktionalbeziehung zwischen der Eingangsgröße und der Ausgangsgröße des Systems ermitteln:

F(p) Die

=

Xa(p) Xe(p)

Übertragungsfunktion

komplexe

F(p)

Größe =

ordnet der

komplexen Größe

p

F(p) Re{F(p)} + j Im{F(p)}

a

+

ju

die

zu:

(5.2.1)

Sie bildet also die gesamte p-Ebene in die F(p)-Ebene ab. Ein Spezialfall ist die Abbildung der imaginären Achse der p-Ebene in die F(p)-Ebene, wobei man sich gewöhnlich auf positive Werte w > 0 beschränkt. Bild 5.2.1 zeigt die Abbildung der positiven imaginären Achse der p-Ebene in die F(p)-Ebene mit Hilfe einer bestimmten Übertragungsfunktion als Abbildungsfunktion. Die sich ergebende Funktion F(ju>) wird Frequenzgang

genannt:

F(ju)

=

Xa(ju) Xe(jv) ju

(5.2.2)

ÎO>3

®

j-lm{F(jco)}

W2 ujx

wo

Bild 5.2.1

Abbildung der positiven imaginären der p-Ebene in die F(p)-Ebene

Re{F(ju;)}

Achse

Frequenzgang F(ju) eines Systems gibt das Verhältnis der Ausgangsschwingung zur sinusförmigen Eingangsschwingung im eingeschwungenen Zustand für alle Kreisfrequenzen w an. Wie die Übergangsfunktion das Verhalten eines Systems oder Übertragungsghedes im Zeitbereich bei sprungDer

176

Graphische Darstellung der Übertragungsfunktion

5.

förmiger Testfunktion charakterisiert, so kennzeichnet es der Frequenzgang im Frequenzbereich bei einer harmonischen Schwingung als Eingangstestfunktion (siehe Abschnitt 2.3.4). Wie aus BUd 5.2.1 ersichtUch, ist der Frequenzgang F(jco) im aUgemeinen FaU eine komplexe Größe, die sich entweder durch Real- und

Imaginärteil:

(5.2.3)

F(jco) Re{F(jco)} + j Im{F(jco)} =

oder durch

F(jco) wobei

Betrag und =

\F(jco) |

é "riFfr»

(5.2.4)

Betrag und arg{F(jco)} Frequenzganges gut dann:

|F(jw)|

Betrag des

•

Phase darsteUen läßt:

\F(jco)\

den

=

die Phase bezeichnet. Für den

jRe2{F(jco)} + Im2{F(jco)}

(5.2.5)

und für die Phase:

tp(co) So lautet

=

mit

B. für ein

z.

Ftjw) U '

arg{F(jco)}

=

ardan

^[^j

P-Ti-GHed der Frequenzgang:

K

K

=

1+jcoT dem Betrag:

(5-2.6)

=

.

s/l+C02T2

¿arctan(-u,T)

und der Phase:

0) dar. Ihrer konformen AbbUdung in der .F(ju;)-Ebene, also dem Frequenzgang, kommt in bezug auf StabUitätsbetrachtungen eine besondere RoUe zu (siehe Abschnitt 6.1.2). b) Der Frequenzgang ist eine Funktion einer reeUen Größe, der Kreisfre-

5.2

quenz

Er ist daher

u.

graphisch

Frequenzgang

177

leicht darstellbar als Ortskurve oder als

Frequenzkennhnien. c) Der Frequenzgang ist für stabile Systeme, deren Pole hnks der imaginären Achse hegen, im Prinzip einfach meßbar. Man beaufschlagt dazu das Übertragungsglied oder -system mit einer harmonischen Schwingung der Amphtude \Xei\ und der Frequenz Wi. Dann wartet man ab, bis die Ausgangsgröße Xa den neuen Beharrungszustand erreicht, bis sich also auch für Xa eine reine Schwingung eingesteht hat, und mißt dann deren Amphtude \Xai\ und deren Phasenverschiebung ¡pi gegenüber der Eingangsschwingung (Bild 5.2.2). Damit kennt man für die jeweilige Frequenz w¿ den Betrag |F(jw¿)| |Xa¿/Xe¿| und das Argument (p(uji) des Frequenzganges. Führt man diese Messung nacheinander für verschiedene Frequenzen durch, so ist der Frequenzgang numerisch bekannt. Durch diese Messung des Fre=

quenzganges läßt sich das

stimmen, deren werden kann.

Übertragungsverhalten auch solcher Glieder be-

Funktionalbeziehung

\Xei\

nicht oder

cos

Wit

*T—\

nur

F(P)

sehr schwer ermittelt

|-Xai|

•

|—*

COS

(ijJit + (pi)

Zweikanalschreiber Bild 5.2.2 Aufnahme des In der Regelungstechnik sind zwei und zwar

Frequenzganges

Darstellungen des Frequenzganges übhch

(Nyquist-Diagramm) und die Darstellung als Frequenzkennhnien (Bode-Diagramm). die

Darstellung

5.2.1

als Ortskurve

Ortskurve

Trägt man den Frequenzgang F(ju) eines Systems nach Betrag und Phase, also als Zeiger, in die komplexe F(jw)-Zahlenebene für alle positiven Werte von w ein und verbindet die Zeigerspitzen, so erhält man die Ortskurve des Systems. Die Ortskurve ist also der geometrische Ort, den die Zeigerspitzen von F(ju) für 0 < u < oo durchlaufen. Bild 5.2.3 zeigt die

178

Graphische Darstellung der Übertragungsfunktion

5.

Ortskurve eines P-Tî-GUedes. Die

Frequenzwerte, die den entsprechenden Ortskurvenpunkten zugeordnet sind, werden an der Ortskurve markiert.

j-hn{F(jco)}

co

=

10

w

=

2

BUd 5.2.3 Ortskurve eines P-T3-GHedes 5.2.1.1

Ortskurven elementarer

Übertragungsglieder

In TabeUe 5.2.1 sind die Ortskurven für elementare ÜbertragungsgHeder zusammengesteUt. Der Proportionalbeiwert Kp ist auf den Wert 1 normiert. Ein Kp t¿ 1 bedeutet eine Änderung des Achsenmaßstabes, aber keine Änderung des prinzipieUen Verlaufes der Ortskurve. Es soU

die Ortskurve eines P-Ti-GHedes quenzgang des P-Ti-GUedes lautet: nun

hergeleitet werden. Der

Fre-

* T+l^T =

Führt

man

die

Eckfrequenz coe

1/T ein, so erhält man: —

F(jco)

K =

w

i + i.

CO.

Für diskrete Werte der Frequenz co werden nun RealteU und ImaginärteU des Frequenzganges berechnet (TabeUe 5.2.2) und die Ortskurve gezeichnet

(BUd 5.2.4).

5.2

TabeUe 5.2.1 Ortskurven und

FrequenzkennHnien

179

Frequenzgang

elementarer

ÜbertragungsgHeder GHed

Frequenzgang

F(jco)

Ortskurve

¿Im{F}A =

1

FrequenzkennHnien Phase AmpUtude

^(F) flogj logw

Re{F}

logw

¡uz

D

P-Tj

FU»)=J%

^' ï+îî

P-T2

F{ju)

Tt

Pf»

K7

l^S i."?»

i+zCiát-í*) =

e"***

£7 .

&~ tV

D-Tj

PI we

PD

F(»

=

PI-PD

í,(j«)

=

l+j&

(i+¿)(i+j%:

i-L

2EÍ 2

**?

1TÍ i+ co.i

i

i

Wei We2

2 0

3t

ça

180

5.

Graphische Darstellung der Übertragungsfunktion

Tabelle 5.2.2 Ortskurve eines P-TrGliedes

w/we

0.5

1.0

2.0

3.0

Re

{F(»}/K

0.8

0.5

0.2

0.1

Im

{F(»}/K

-0.4

-0.5

-0.4

-0.3

j-Im{F(»}. _Re{F(»}

Bild 5.2.4 Ortskurve eines P-Tj-Ghedes 5.2.1.2

Ortskurven

von

Übertragungssystemen

Nachdem die Ortskurven elementarer Übertragungsglieder bekannt sind, können die Ortskurven von Übertragungssystemen bestimmt werden. Man geht dabei so vor, daß man zuerst den Gesamtfrequenzgang des Systems ermittelt und ihn dann in ein Produkt von Einzelfrequenzgängen von höchstens zweiter Ordnung zerlegt, was einer Reihenschaltung von elementaren

Übertragungsgliedern entspricht: F(jw) Es

=

TJ Fi(jv)

t=i

=

Fi(jw) F2(ju>)

•...•

Fn(jv)

(5.2.7)

gilt:

F(ju,)

=

=

=

\F(ju,)\-e*M |FB(»| e*-M \Fx(jw)\ e^") |F2(»| e**M |Ftt(»| e*iM+w+ " + ^w» |F,i»| \F2(ju>)\ •

•

.....

•

.....

•

Man erhält also die Ortskurve eines Übertragungssystems dadurch, daß man zuerst die Ortskurven der Einzelglieder der Reihenschaltung zeichnet

5.2

Frequenzgang

181

und dann für diskrete Frequenzen punktweise die resultierende Ortskurve konstruiert, wobei für jede Frequenz der Betrag des Zeigers der resultierenden Ortskurve gleich dem Produkt der Beträge der EinzelgHeder und die Phase gleich der Summe der Phasen der EinzelgHeder sind. BUd 5.2.5 zeigt die Konstruktion eines Punktes der Ortskurve für eine diskrete Frequenz bei zwei EinzelgHedern. Die Konstruktion der gesamten Ortskurve wird, insbesondere bei mehreren EinzelgHedern, sehr mühsam.

9. +

j-Im{F(jco)}i

jXJ Re{F(jco)}

\F(jcOi)\

BUd 5.2.5 Konstruktion der Ortskurve eines

=

\Fi(jcOi)\-\F2(jcOi)\

Übertragungssystems

DarsteUung des Frequenzganges als Ortskurve hat den Vorteü, daß Betrag und Phase des Frequenzganges anschauHche Größen sind. NachteiHg ist hingegen die meist kompUzierte Berechnung der Ortskurve und die Tatsache, daß die Ortskurve in nicht übersichtHcher Weise von den Parametern des Frequenzganges abhängt. Die

5.2.2 Der

Frequenzkennlinien

Betrag |.F(.7ü;)|

ip(co) arg{F(jco)} —

des Frequenzganges F(jco) und der Phasenwinkel wird in Abhängigkeit von der Frequenz in zwei getrenn-

182

Graphische Darstellung der Übertragungsfunktion

5.

Diagrammen als Amplitudenkennlinie und als Phasenkennlinie im BodeDiagramm dargestellt. Im Amplitudengang wird als Abszisse die Kreisfrequenz w und als Ordinate der Betrag |F(jw)| jeweils im logarithmischen Maßstab aufgetragen. Im Phasengang wird über der Kreisfrequenz w im logarithmischen Maßstab die Phase

die =

a

Eckfrequenz we

=

K¡ ein,

so

folgt:

4r

3

—

Der

Betrag des Frequenzganges des I-Gliedes ist

|F(»|

=

dann:

-J

und die Phase: ,

cp(w)' *K .

=

arctan

Im{F(ju)} Re{F(jw)} ^

, „,.

.,

=

,

arctan V(—

,

co);

„„0

90

= —

In Tabelle 5.2.3 sind für diskrete Werte der Frequenz w Betrag und Phase des Frequenzganges eines I-Gliedes angegeben. In Bild 5.2.6 sind die Frequenzkennlinien des I-Gliedes darstellt. Für die Amplitudenkennlinie ergibt sich eine Gerade durch den Punkt (w/we 1; |F| = 1) mit der Steigung 1 und für die Phasenkennlinie eine Parallele zur Abszisse durch 90 °. =

—

—

5.2

Frequenzgang eines I-GHedes

TabeUe 5.2.3

Cj/C0e

0.1

\F(jco)\

10

ip(co)

0.2

-90

0.4

0.7

2.5

1.43

-90

BUd 5.2.6

90

1.0

-90

FrequenzkennHnien

90

Frequenzgang eines P-Ti-GHedes lautet:

F(ju>) KJ ' Der

K

K =-—

1+jcoT

1+3-co.

Betrag des Frequenzganges ist dann:

\F(jco)\

K =

FW

2.0

4.0

7.0

10

0.5

0.25

0.14

0.1

-90

-90

-90

-90

eines I-GHedes

b) P-T^GHed Der

183

Frequenzgang

184

5.

Graphische Darstellung der Übertragungsfunktion

und die Phase:

cp(co)

=

ardan

(— co/coe)

In TabeUe 5.2.4 ist die WertetabeUe für den Frequenzgang eines P-TiGHedes angegeben. BUd 5.2.7 zeigt die FrequenzkennHnien des P-TiGHedes. Die FrequenzkennHnien eines P-Ti-GHedes haben bezügHch der Eckfrequenz coe und des Proportionalbeiwertes K immer dasselbe Aussehen.

TabeUe 5.2.4

\co/coe \F(j")\/K

\e2 Wei

mit: w,'.i*

=

w.

•

1

(C ± vV-l)

5.2 Frequenzgang

Die FrequenzkennHnien erhält man dann durch der FrequenzkennHnien der zwei P-Tj-GHeder.

189

graphische Superposition

die Kurven für die AmpHtudenkennHnie des P-T2-GHedes an der Geraden \F(jco)\/K 1 und die Kurven für die PhasenkennHnie an der Geraden , die Üb erschwing weite xm, den Dämpfungsgrad £ oder die Regelfläche I. Bei den meisten Regelungen wird eine kleine Ausregelzeit bei gut gedämpftem Regelvorgang gefordert. Bei Regelungen von Werkzeugmaschinen ist z. B. durch Wahl und EinsteUung des Reglers darauf zu achten, daß die Überschwingweite xm = 0 ist. Bei schwingfähigen Regelvorgängen in der Mechanik werden als Gütekriterien oft die betragslineare

Regelfläche IblIbl oder die

Iq

=

J \xd\ dt

->

Min

quadratische Regelfläche Iq herangezogen:

=

J x\dt

—»

Min

Damit nun ein Regelvorgang rasch und gut gedämpft abläuft, werden die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Regelkreises durch geeignete Wahl des Reglertyps und günstige EinsteUung seiner Kennwerte so vorgegeben, daß sie in der p-Ebene außerhalb des in BUd 6.1.7 schraffierten Bereiches zu hegen kommen. Als Richtwerte gelten:

M > ;;

7d>45

Bereich der Wurzeln, die zu schneUem und gut gedämpftem Einschwingverhalten führen P2

x

Pi x

=

BUd 6.1.7

Lage der Wurzeln des Regelkreises

für

sin

jd

günstiges Einschwingverhalten

6.1 Stabilität,

207

Regelgüte und Empfindlichkeit

Damit der Einschwingvorgang genügend schnell verläuft, wird der Regelkreis so entworfen, daß keine Wurzel der charakteristischen Gleichung rechts der Parallelen zur imaginären Achse im Abstand |crrfj hegt. Alle Teilbewegungen klingen dann schneller als die Exponentialbewegung e"*1 ab (Bild 6.1.8). Je weiter entfernt von der imaginären Achse die Wurzeln gelegt werden, desto größer ist der Regelaufwand. Damit der Einschwingvorgang genügend gut gedämpft verläuft, wird der Regelkreis so entworfen, daß keine Wurzel in den Winkelbereich 7¿ hereinfällt. Der Dämpfungsgrad ist dann größer als Q = sin jd .

Xhk 0"! < 0 mit i 0,1,2, ..., n und aUe Hurwitz-Determinanten Hk > 0 mit k 1,2, ..., n sind, also die (n,n)-Determinante Hn und die n 1 Hauptabschnittsdeterminanten, die von der hnken oberen Ecke ausgehend gebüdet werden können. —

=

—

gegeben, wenn bei

Für einfache FäUe ist also Stabilität n

=

1:

a0 >

0;

a.\ > 0

n

=

2:

a0 >

0;

aj >

0;

a2 > 0

n

=

3:

a0 >

0; 0;

ai >

0; 0;

a2 >

n

=

4:

a0 >

aj > 2

ala2Û3 —

Û1Û4

a2 > 2

0; 0;

0; > 0;

o3 > a3

a0a3 > 0

aia2 —

a4 >

0;

r»

Û0a3 > 0 —

An Hand der folgenden charakteristischen Gleichungen soll mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums die Stabilität der Regelkreise ermittelt werden.

Beispiele:

a) Gegeben ¡st die charakteristische Gleichung eines Regelkreises:

p3 + 6p2 + 5

0

=

Die Koeffizienten lauten: a3

1;

=

a2

=

6;

0;

a\

ao

=

5

—

Da

ai

=

0

¡st, ergibt die Stabilitätsprüfung nach Hurwitz, daß der Regelkreis

instabil ist.

b)

Ein

Regelkreis

habe die charakteristische

P3+P2+P + 1

=

Gleichung:

0

Die Koeffizienten lauten: a3

=

1;

o2

=

1;

ai

=

1;

1

ao —

Die Koeffizienten sind zwar alle positiv, aber die Hurwitzdeterminante H2 0, so daß der Regelkreis instabil ist. Die Wurzeln der charakteao03 aia2 ristischen Gleichung liegen nämlich bei pi = 1 und p2,3 ± j. =

=

—

=

—

6.1 Stabilität,

Regelgüte und Empfindlichkeit

209

Mit Hufe des Hurwitz-Kriteriums lassen sich auch Syntheseprobleme lösen. Für den Regelkreis nach Bild 6.1.9 sollen nun Einstellwerte für die Reglerkenngrößen P-Beiwert Kpr und Vorhaltzeit Tv > 0 ermittelt werden, die zu einem stabilen Regelverhalten führen. Die charakteristische Gleichung des Regelkreises lautet: 1 + FR

•

Fs

=

0

KpR-(1+TV p) _Q p (1 p) p2 + (- 1 0.5 Kpr -Tv)-p+(-0.5 KpR) 1 |

0.5

-

•

=

0

-

Die Koeffizienten sind also: a2

=

1;

ai

1

= —

0.5 —

•

Krr -Tv;

ao

0.5 Kpr

=

•

—

Regler FR(p) Xd

Fs(p)

Strecke

KPR-{l + Tv-p)

0.5

y

p

•

(1 p) -

Bild 6.1.9 Nach Hurwitz ist bei größer Null sind, also: ai

1

= -

0.5 -

0.5

a0 -

•

n

=

2 Stabilität

KpR Tv

KpR

-

> 0

Regelkreis

> 0

gegeben,

wenn

=>

Kpr

Kpr

< 0

alle Koeffizienten

-

Hurwitz-Bedingungen für absolute Stabilität lassen sich nun in dem sogenannten Kennwerte-Diagramm (Bild 6.1.10) darstellen. Aus diesem Diagramm können die Einstellungen der Reglerkennwerte Krr und Tv ermittelt werden, die zu einem stabilen Verhalten des Regelkreises führen. Es ergibt sich ein ganzer Wertebereich, der Parameterstudien zur Ermittlung eines günstigen Einschwingverhaltens erlaubt. Im Kennwerte-Diagramm werden instabile Bereiche zur Kennzeichnung schraffiert. Diese

210

6.

Entwurf von Regelkreisen

KpRÍ

BUd 6.1.10 6.1.4.2

Kennwerte-Diagramm

Nyquist-Kriterium

Das Nyquist-Kriterium ist ein geometrisches Stabilitätskriterium, das die charakteristische Gleichung (6.1.6) des geschlossenen Regelkreises graphisch mittels veraUgemeinerter Ortskurven löst. Die Bedeutung dieses Kriteriums hegt im folgenden begründet: aus dem bekannten Verhalten des der Übertragungsfunktion Fo(p) auf das unbekannte Stabilitätsverhalten des geschlossenen Regelkreises zu schließen.

Das

Nyquist-Kriterium ermöglicht aufgeschnittenen Regelkreises mit

es,

Es eignet sich als einziges für die kreisen mit Totzeiten.

Stabüitätsuntersuchungen

von

Regel-

Frequenzkennlinien-DarsteUung leicht den Einfluß von Parameteränderungen oder den Einfluß von zusätzhchen in Reihe geschalteten Übertragungsgliedern auf die StabUität zu beurteUen. Es gestattet, in der

a) VeraUgemeinerte Ortskurven Im Abschnitt 5.2.1 wird die Ortskurve der Übertragungsfunktion F(p) für (7 = 0 ermittelt. Werden nun veraUgemeinerte Ortskurven von F(p) für a + jw mit a £ 0 berechnet und in der Zahlenebene dargesteUt, so p zeigt sich folgendes: Verfolgt man die Ortskurve für a = 0 in Richtung steigender Werte von w, so hegt die Ortskurve für a < 0 (Regelvorgang =

211

6.1 Stabilität, Regelgüte und Empfindlichkeit

mit abklingendem Einschwingverhalten) hnks von der Ortskurve für a = 0, und die Ortskurve für a > 0 (Regelvorgang mit aufklingendem Verhalten) rechts von der Ortskurve für a 0 (Bild 6.1.11). Die Ortskurven für a ^ 0 werden auch begleitende Ortskurven genannt. —

j-Im{F} Re{F} u

Bild 6.1.11

steigend

Verallgemeinerte Ortskurven

b) Graphische Lösung der charakteristischen Gleichung Um die Stabilität eines Regelkreises stische Gleichung des Regelkreises:

zu

ermitteln,

wird

nun

die charakteri-

1+F0(p)=0

(6.1.6)

verallgemeinerten Ortskurven gelöst. Man sucht dazu aus den die Ortskurve Fo(jw) begleitenden Ortskurven Fo(a + ju) diejenige Ortsa + ju heraus, die durch den Punkt kurve mit dem Wert p (—1;0 j) 1 erfüllt geht, für die also die charakteristische Gleichung Fq(ct + jw) ist. Nach Nyquist ist der geschlossene Regelkreis dann und nur dann stabil, wenn durch den kritischen Punkt Pkrit(—1; 0 j) der F-Ebene eine begleitende Ortskurve verläuft, für die a < 0 ist (Bild 6.1.12). mit Hilfe der

=

•

=

—

•

Bild 6.1.12 Ortskurve eines stabilen

Regelkreises

\.

^,"u steigend

212

6.

Entwurf von Regelkreisen

geschlossenen Regelkreis treten selbsterregte Schwingungen mit konAmplitude und der Frequenz WkTn auf, wenn die Ortskurve F0(jw) des aufgeschnittenen Regelkreises durch den kritischen Punkt Pkrit(—l;0-j) geht (BUd 6.1.13). Dann ist F0(jwkrü) -1. Dies deutet darauf hin, daß ein Polpaar der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises auf der imaginären Achse der p-Ebene hegt. Der Regelkreis befindet sich an Im

stanter

=

der

Stabüitätsgrenze.

iJ-ImiF}

-Re{F} w

BUd 6.1.13 Ortskurve eines Regelkreises an der Stabüitätsgrenze

steigend

Verläuft die Ortskurve F0(jw) des aufgeschnittenen Regelkreises so, daß der kritische Punkt (—1;0 j) rechts der Ortskurve hegt (BUd 6.1.14), dann verläuft eine begleitende Ortskurve mit a > 0 durch den Punkt (—1;0 j). Im geschlossenen Regelkreis treten dann selbsterregte aufklingende Schwingungen auf. Der Regelkreis ist instabU. •

ij-1m{F} Re{F}

w

steigend

BUd 6.1.14 Ortskurve eines instabüen

Regelkreises

c) Linke-Hand-Regel obigen Betrachtungen ergibt sich unmittelbar die sogenannte Linke-Hand-Regel als SonderfaU des voUständigen Nyquist-Kriteriums [10]: Der geschlossene Regelkreis ist stabü, wenn die Ortskurve Fo(jw) des aufgeschnittenen Regelkreises beim Durchlaufen steigender Frequenzen in der Aus den

213

6.1 Stabilität, Regelgüte und Empfindlichkeit

des kritischen Punktes Pkrit(—1; 0 j) diesen Punkt zur Linken hat (Bild 6.1.15). Für Stabilitätsbetrachtungen genügt also meist die graphische Darstellung der Ortskurve Fo(ju) des aufgeschnittenen Regelkreises. Die rechte Seite der Ortskurve, in Richtung steigender Frequenzen betrachtet, wird gewöhnlich schraffiert. Liegt der kritische Punkt (—1; 0 j) außerhalb des schraffierten Bereiches, so ist der geschlossene Regelkreis stabil, hegt er innerhalb, so ist der Regelkreis instabil.

Umgebung

•

•

j-Im{F}

kJ-lm{F} -

Re{F}

-

Re{F}

-Fo(j'w) Bild 6.1.15 Ortskurve a) eines stabilen Regelkreises b) eines instabilen Regelkreises Aus der relativen Lage der Ortskurve Fq(ju>) des aufgeschnittenen Regelkreises zum kritischen Punkt Pkrit(~l;0 -j) läßt sich nicht nur die absolute Stabilität des Regelkreises (Ja-Nein-Entscheidung) sondern auch die relative Stabilität (Regelgüte) ermitteln.

d) Verstärkungsrand und Phasenrand Der Abstand der Ortskurve des aufgeschnittenen Regelkreises zum kritischen Punkt Pknt ist ein Maß für die Regelgüte, die durch die Größen Verstärkungsrand und Phasenrand beschrieben wird. Bild 6.1.16 zeigt die Ortskurve Fo(jw) eines aufgeschnittenen Regelkreises. Als Verstärkungsrand VroB

bC

Oh

v

i)

O)

tí

Q

tí

I

bo

d

s

si

bO

bO

3

tí SI

:3

6.2 Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich

Projektierung

221

Regelanlagen wird der strukturelle Aufbau des Reglers und damit des Regelkreises immer so gewählt, daß bei geeigneter Einstellung der Reglerkennwerte Stabilität des Kreises erzielt werden kann. In Tabelle 6.2.3 wird für wichtige Regelstrecken der geeignete Reglertyp angegeben, der zu einem strukturstabilen Regelkreis mit günstigem FührungsBei der

von

und Störverhalten führt.

Vergleich

6.2.2

der

Wirkung

verschiedener

Regler

In diesem Abschnitt wird das Führungsverhalten und Störverhalten von Regelkreisen mit proportionaler und integrierender Regelstrecke bei Einsatz verschiedenartiger Regler mit verschiedenen Einstellungen der Reglerkennwerte untersucht.

Regelkreis

6.2.2.1

mit

P-T3-Regelst recke

Für den in Bild 6.2.2 dargestellten mit der Übertragungsfunktion: p ( \_K\'s(P) -

Regelkreis

mit einer

P-T3-Regelstrecke

K2- K3_

(i+r, .p). (i+T, -p). (i + r, -p)

wird das Führungsverhalten und Störverhalten ermittelt, um einen guten Einblick in das Wesen der Regelung zu erhalten. Die nachfolgenden Untersuchungen beruhen auf einer Simulation. Die Zeitkonstanten der Regelstrecke sind: Ti 2 s, T2 1 s und T3 0.25 s. Der resultierende P-Beiwert der Strecke wird dem Beiwert des Reglers zugeschlagen und K3 > K2 > Ki 1 gewählt. =

=

=

-

Xd

-»

Fr(p) Regler

Bild 6.2.2

uL

K3 l +

T3-p

£

K2 T2-p

l+

S

Regelstrecke

Regelkreis mit P-T3-Regelstrecke

K} Ti-p

1+

222

6. Entwurf von Regelkreisen

a) Führungsverhalten In Bild 6.2.3 ist das

Führungsverhalten bei Regelung mit einem unverzögerP-Regler: FR(p) KpR mit KpR als Parameter dargestellt. Ohne Regler (KpR 0) reagiert die P-T3-Strecke nicht auf die sprungförmige Änderung der Führungsgröße. Bei Einsatz eines unendlich guten Reglers würde die Regelgröße x unmittelbar der geänderten Führungsgröße w folgen, so daß die Führungsübertragungsfunktion Fw(p) 1 wäre. Alle erzielbaren Regelverläufe liegen nun dazwischen. Die bleibenden Abweichungen der Regelgröße von der Führungsgröße werden umso kleiner, je größer der P-Beiwert KpR gemacht wird. Gleichzeitig werden aber die Regelverläufe immer unruhiger, die Überschwingweiten größer und die Dämpfungen kleiner, bis schließhch bei einem KPR KpR krit die Stabilitätsgrenze erreicht wird. Bei Kpr > KpRkrit klingen die Schwingungen der Regelgröße auf. Ein Wurzelpaar der charakteristischen Gleichung liegt dann in der rechten Halbebene ten

=

=

=

=

der

p-Ebene.

KpR

>

KpRkrü

mit unendlich

gutem Regler

KpR < KpRkrü KpR -C KpRkrii ohne

-L.Z_

Regler 15

t

20

-0.5

BUd 6.2.3

Führungsverhalten eines Regelkreises mit P-T3-Regelstrecke und P-Regler

s

6.2

Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern

im Zeitbereich

223

Damit der Regelverlauf schnell und gut gedämpft ist, muß Kpr genügend klein gegenüber KpRkrit gewählt werden. Dadurch muß man aber eine bleibende Abweichung der Regelgröße in Kauf nehmen. Diese bleibende Abweichung kann durch einen Regler mit I-Anteil beseitigt werden (siehe Abschnitt 6.1.3.1). Bild 6.2.4 zeigt den Vergleich im Führungsverhalten bei Einsatz eines P- und eines PI-Reglers an der P-T3-Strecke, gleicher Abstand von der Stabilitätsgrenze (tprand & 45 °) vorausgesetzt.

Bild 6.2.4

Führungsverhalten eines Regelkreises mit P-T3-Regelstrecke und P- und PI-Regler

Der zeitliche Verlauf der Regelgröße x nach einer sprungförmigen Änderung der Führungsgröße, also das Führungsverhalten, ist bei Einsatz verschiedener stetiger Regler, wie P-, I-, PI-, PD- und PID-Regler in Bild 6.2.5 dargestellt. Für alle Regelverläufe wird gleicher Abstand von der Stabilitätsgrenze (frand « 45 °) vorausgesetzt. Der Vergleich der Verläufe ermöglicht einen guten Einblick in die Wirkung einzelner Regler. P- und PD-Regler regeln schnell an, führen die Regelgröße aber nicht auf den Sollwert heran. Regler mit I-Anteil regeln Abweichungen vom Sollwert aus. Der Einsatz eines reinen I-Reglers führt aber zu einer großen Überschwingweite und einer langen Regelzeit. Die verbesserte Regelung bei Einsatz eines PD- oder PID-Reglers erfordert wegen des D-Anteiles u. U. einen erhöhten Hub der Stellgröße. Bei ausgeführten Regelanlagen stößt dann die Stellgröße an Begrenzungen (z. B. Ventilanschlag), so daß der Einschwingvorgang möglicherweise von dem in Bild 6.2.5 gezeigten Verlauf abweicht.

224

6. Entwurf von Regelkreisen

Büd 6.2.5

b)

Führungsverhalten eines Regelkreises mit P-T3-Regelstrecke und verschiedenen Reglern

Störverhalten

In Büd 6.2.6 ist für eine sprungförmige Störung z\ das Störverhalten bei Regelung mit einem P-Regler: FR(j>) = KpR mit KRR als Parameter dargesteUt. Ohne Regler (KRR = 0) wirkt sich die Störung z\ entsprechend dem P-Ti-Verhalten (Ki = 1, Ti = 2 s) der letzten Teilstrecke voU auf die Regelgröße aus. Bei unendlich gutem Regler dagegen würde keine Abweichung vom SoUzustand auftreten. Beim Einsatz eines unverzögerten P-Reglers schmiegt sich der Verlauf der Regelgröße x im ersten Augenbhck an den Verlauf ohne Regler an. Während dieser Zeit hat der Regler praktisch keine Wirkung. Für große Zeiten treten bleibende Abweichungen der Regelgröße auf, die jedoch kleiner sind als bei Betrieb ohne Regler. Die bleibenden Abweichungen werden mit steigendem KpR kleiner. Der Regelvorgang jedoch ist unruhiger und schlechter gedämpft, bis schließlich bei KpR KpRkrü die Stabüitätsgrenze erreicht wird. Die bleibenden Abweichungen der Regelgröße können auch hier mit einem PI-Regler beseitigt =

6.2

225

Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich

werden. Bild 6.2.7 zeigt den nes P- und eines PI-Reglers, (fremd 45 °) vorausgesetzt.

Vergleich im Störverhalten bei Einsatz eigleicher Abstand von der Stabilitätsgrenze

~

: ohne

Regler

KpR

KpRkrit

mit unendlich

gutem Regler -0.5

0

10

15

t

20

s

Bild 6.2.6 Störverhalten eines Regelkreises mit P-T3-Regelstrecke und P-Regler

20

s

Bild 6.2.7 Störverhalten eines Regelkreises mit P-T3-Regelstrecke und P- und PI-Regler

Eigenbewegungen des Regelkreises sind unabhängig von Art und Angriffspunkt einer Störung. Die Bilder 6.2.8 bis 6.2.10 zeigen die Wirkung der Störgrößen z\, z2 und z3 auf die Regelgröße x bei einer P-Regelung. Die

Die

6. Entwurf von Regelkreisen

226

ohne

mit

Regler

P-Regler t

0

5

10

Büd 6.2.8 Störverhalten nach

15

sprungförmiger Störung Z\ ohne

0

5

0

5

Regler

15

10

BUd 6.2.9 Störverhalten nach

20

s

20

s

sprungförmiger Störung z2

10

BUd 6.2.10 Störverhalten nach

15

20

s

sprungförmiger Störung z3

6.2

Entwurf von Rege/kreisen mit stetigen Reglern

im Zeitbereich

227

Regelgröße x verläuft anfänglich entlang der Kurve ohne Regelung entsprechend den wirksamen Verzögerungen der Regelstrecke. Sie löst sich dann von dieser Kurve und kommt im Beharrungszustand mit einer bleibenden Abweichung zur Ruhe. Im folgenden ist sowohl das Führungsverhalten als auch das Störverhalten (bei Auftreten der Störgröße z{) des Regelkreises mit der P-T3-Regelstrecke und verschiedenen Reglern und variierten Einstellungen der Reglerkennwerte dargestellt. Bild 6.2.11 zeigt das Führungs- und Störverhalten des Regelkreises bei Einsatz eines P-Reglers mit Fr(j») Kpr in Abhängigkeit von der Kreisverstärkung Vó Kpr K\ K2 K3 des Regelkreises, was verschiedenen Abständen von der Stabilitätsgrenze entspricht. Aus den Sprungantworten der Regelgröße erkennt man: =

=

•

Abweichungen der Regelgröße Störverhalten, die umso größer werden, je

bleibende

•

beim Führungs- wie beim kleiner die Kreisverstärkung

ist,

Dämpfung des Einschwingvorganges, wobei eine größere Schwingungsneigung bei größeren Kreisverstärkungen auftritt, eine relativ gute kurze

Anregelzeiten und Ausregelzeiten.

zeigt das Führungs- und Störverhalten bei Einsatz eines IReglers: Fr(p) üfj^/p in Abhängigkeit vom Beiwert K Kir-K\-K2-K3. Aus den Sprungantworten erkennt man: Bild 6.2.12

=

—

Abweichungen der Regelgröße, größere Schwingungsneigung bei größeren Beiwerten, große An- und Ausregelzeiten, große Überschwingweiten. keine bleibenden

und Störverhalten bei Einsatz eines PIReglers: Fr(j>) Krr [1 + l/(Tn p)] in Abhängigkeit vom Beiwert K Kpr -K\-K2- K3/Tn, wobei Tn T\ gewählt wird (Polkompensation). Aus den Sprungantworten erkennt man: Bild 6.2.13

zeigt

das

=

Führungs-

=

-

=

Abweichungen der Regelgröße, größere Schwingungsneigung bei größeren Beiwerten, kürzere An- und Ausregelzeiten als bei Einsatz eines I-Reglers. keine bleibenden

228

6.

Entwurf von Regelkreisen

20

-¿_

BUd 6.2.11

Regelkreis mit P-Regler a) Führungsverhalten

b)

Störverhalten

s

6.2

Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich

229

20

s

uL

/£ V

X

0.5

\

\

\

\

\ -V

\ t

10

BUd 6.2.12

Regelkreis mit I-Regler a) Führungsverhalten

b)

Störverhalten

15

20

s

230

6. Entwurf von Regelkreisen

K —K —K —

=

=

=

1.50 s-1 0.87 s-1 0.48 s"1 20

z.

0.5

z\

~T\

o

BUd 6.2.13

Regelkreis mit PI-Regler a) Führungsverhalten

b)

Störverhalten

231

6.2 Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich

a)

w

jL

-Vo

12.3 -Vo= 8.1 -V0= 5.5

0

10

xk

b)

15

=

20

s

20

s

jL

^5 5

0

BUd 6.2.14

10

RegeUcreis mit PD-TrRegler a) Führungsverhalten

b)

Störverhalten

15

232

6. Entwurf von Regelkreisen

a)

w

jL.

0.5

-K K K

10

=

—

=

—

=

4.86 s-1 2.92 s-1 1.68 s"1

_U< 15 20

s

b) u/

0.5

10

0

Bild 6.2.15

Regelkreis mit PI-PD-TrRegler a) Führungsverhalten

b)

Störverhalten

15

20

s

233

6.2 Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich

Ein PI-Regler verbindet das gute dynamische Verhalten eines P-Reglers mit der besseren statischen Wirkung eines I-Reglers. Daher ist der PIRegler der am meisten verwendete Reglertyp und ist zur Regelung fast aüer Regelstrecken gut geeignet.

Führungs-

und Störverhalten bei Einsatz eines PDTi-Reglers: FR(p) KPR (1 + Tv -p)/(l + T p) in Abhängigkeit von der Kreisverstärkung V0 = KPR Kx K2 K3, mit T = 0.1 Tv wobei Tv T2 gewählt wird (Polkompensation). Aus den Sprungantworten erkennt man: Büd 6.2.14

zeigt

das =

=

•

Abweichungen der Regelgröße beim Führungs- und beim Störverhalten, die umso größer werden, je kleiner die Kreisverstärkung Vö ist, bleibende

eine relativ gute Dämpfung, jedoch ßeren Kreisverstärkungen, sehr kurze An- und

größere Schwingungsneigung bei grö-

Ausregelzeiten.

zeigt das Führungs- und Störverhalten bei Einsatz eines PI-PDT.-Reglers mit FR{p) KPR [1 + 1/(T. p)] (1 + T, j»)/(l + T p) in Abhängigkeit vom Beiwert K KPR Kx K2 K3/Tn, mit T 0.1 Tv, wobei Tn T\ und Tv T2 gewählt werden. Aus den Sprungantworten BUd 6.2.15

=

•

=

=

erkennt

•

•

•

=

•

=

man:

keine bleibenden

Abweichungen der Regelgröße,

größere Schwingungsneigung bei größeren Beiwerten K, sehr kurze An- und eine sehr hohe

Ausregelzeiten,

Regelgüte (bei

nicht immer leichter

EinsteUung

der

Reg-

lerkennwerte). 6.2.2.2

Regelkreis

mit

I-T2-Regelstrecke

Für den in BUd 6.2.16 dargesteUten mit der Übertragungsfunktion: i \ pS{P)

Regelkreis mit

einer

I-T2-Regelstrecke

_Ki -Ki- K2_

j»-(l + Ti-j>)-(l + T2.p)

wird das Führungs- und Störverhalten bei Regelung mit einem P- und PIRegler untersucht. Es hegen folgende Streckenkennwerte vor: T\ = 1 s, T2 = 0.25 s, Ki = 0.5 s-1 und Kx = K2 = 1.

234

6.

Xd\

W

Entwurf von Regelkreisen

FR(p)

Bild 6.2.16

K2

l+T2-p

kj SjnnJji p

Ki

1 + Tj-p

Regelkreis mit I-T2-Regelstrecke

a) Führungsverhalten Bild 6.2.17 zeigt den Vergleich im Führungsverhalten des Regelkreises bei Einsatz eines P- und eines PI-Reglers an der I-T2-Regelstrecke, gleicher Abstand von der Stabilitätsgrenze vorausgesetzt () Kpr

0.5

PI

Fr(j,) Kpr. oo) benutzt werden. Zum anderen können diese Regeln auch für Regelstrecken ohne Ausgleich (I-Tn-Regelstrecken) angewendet werden, wenn an Stelle der Ausgleichszeit Tg mit dem Anlaufwert A nach Gleichung (3.2.12) gerechnet wird: A

=

Kps Yu In den Einstellregeln der Tabelle 6.2.6 ist also den reziproken Anstieg dt/dh zu ersetzen. •

der

Quotient Tg/Kps

durch

241

6.2 Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich

TabeUe 6.2.6

EinsteUung der Reglerkennwerte an Hand des Übergangsverhaltens der Regelstrecke Regler EinsteUung der Kennwerte

Übertragungsfunktion

Typ

FR(p)

=

KPR

FR(p) KPR.(l + ---) Tn-P

PID

FR(p)

0.9-^-JTu Kps

=

6.2.3.2

Tn

3.3

Tu

1

T

KPR (1 +-+Tv-p) 1.2 ^ 2-T„ Tu Kps Tn-P

Einstellregeln

Tv

Tu Kps

PI

=

KpR

nach

Chien,

0.5 Tu •

Hrones und Reswick

Zur Regelung von P-Ti-Tt-Regelstrecken werden von Chien, Hrones und Reswick [3] neue auf Simulationsuntersuchungen beruhende, gegenüber Ziegler und Nichols verbesserte EinsteUregeln angegeben. Als Kriterium für die günstige EinsteUung der Reglerkennwerte wird hier sowohl beim

Führungsverhalten des Regelkreises als auch beim Störverhalten ein aperiodischer Regelvorgang mit kürzester Ausregelzeit (£ « 0.8) und ein periodischer Regelvorgang mit 20 % igem Überschwingen (C « 0.45) zugrunde gelegt. Die EinsteUwerte für P-, PI- und PID-Regler in Abhängigkeit von den Streckenkennwerten P-Beiwert KpS, Verzugszeit T„ und Ausgleichszeit Tg sind in TabeUe 6.2.7 zusammengesteUt, wobei V0 KPR Kps die Kreisverstärkung ist. Die EinsteUwerte gelten für den Bereich 1 < Tg/Tu < 10. Aus den EinsteUregeln nach Chien, Hrones und Reswick läßt sich folgendes =

ersehen:

Reglerkennwerte sind, je nachdem ob eine Führungsgrößenänderung Störgrößenänderung ausgeregelt werden soU, außer beim Pverschieden einzustehen. Für günstiges Führungsverhalten ist Regler ein kleinerer P-Beiwert KpR des Reglers einzusteUen als für günstiges Störverhalten, da eine Änderung der Führungsgröße unmittelbar auf den Reglereingang wirkt. Die

oder eine

-

-

größer das Verhältnis Tg/Tu der Streckenkennwerte ist, also je kleiner T« gegenüber Tg ist, je leichter regelbar also die Strecke ist, desto größere

Je

242

6. Entwurf von

Regelkreisen

bO

§hO

bO

ö tí ö fe :0 +•

S

S

CN

o

CN

o

» (-,

tU

bC

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cu

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M

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6Í

CN

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Oh

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E-H3

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I

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M

M eu

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bO

bO

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W

bo cu

tí tí bO tí

tí cu

.O

cu

I

i í

eu

:=l

+

_o '-M

bO

o,

+

+

ft.

0,

ft,

Í Q I—t tí

6.2 Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich

243

Werte für den P-Beiwert Kpr des Reglers sind zulässig. Ein großes Krr bedeutet ein starkes Eingreifen des Reglers und beim P-Regler eine kleine bleibende Regeldifferenz. Für günstiges Führungs verhalt en ist die Nachstellzeit T„ abhängig von der Ausgleichszeit Tg einzustehen, für günstiges Störverhalten abhängig von der Verzugszeit Tu. Eine Kompensation der wesentlichen Zeitkonstante der Regelstrecke durch die Nachstellzeit ist also nur bei der Optimierung des Führungsverhaltens zweckmäßig.

Auch diese

PD-Regler

Einstellregeln von Chien, Hrones und Reswick lassen sich auf und auf I-T„-Regelstrecken anwenden.

Zusammenfassend läßt sich zu den Einstellregeln für Regler in verfahrenstechnischen Regelkreisen folgendes feststehen: Die Einsteuregeln sind einfach anwendbar und führen rasch zu einem guten Regelergebnis. Sie werden daher in der Praxis häufig benützt. Die optimale Einstellung von Reglerkennwerten gibt es nicht, denn der optimale Verlauf einer Regelgröße ist prozeß- und aufgabenabhängig. So werden z. B. bei Antriebsregelungen kurze Regelzeiten, bei Durchflußregelungen und Kursregelungen kleine Regelflächen und bei Temperaturregelungen in chemischen Reaktionsprozessen kleine Überschwingweiten angestrebt. Je besser der Regler an die Regelstrecke angepaßt ist, desto empfindlicher ist er im allgemeinen gegenüber Schwankungen der Streckenparameter. Die nach den Einstellregeln ermittelten Einstellungen sind Anhaltswerte für die Reglerkenngrößen im jeweiligen Arbeitspunkt der Regelung. Im Rahmen einer Simulation des dynamischen Verhaltens des Regelkreises oder im Rahmen der Anfahrversuche der ausgeführten Regelanlage wird es meist nötig sein, eine Feineinstellung vorzunehmen. Bei Folgeregelungen ist zu prüfen, ob die ermittelten Einstellungen auch in Teillastbereichen eine befriedigende Regelgüte hefern. Ist dies nicht der Fall, so ist vorzugsweise der P-Beiwert des Reglers lastabhängig automatisch zu verstellen (adaptive Einstellung) oder ein mittlerer P-Beiwert für den gesamten Lastbereich einzustellen (suboptimale Einstellung). In einigen Fällen wird selbst bei günstigster Einstellung der Reglerkennwerte die erzielte Regelgüte noch nicht ausreichend sein. Man verläßt dann den einfachen Regelkreis und geht über zum Einsatz von komplizierteren Regelschaltungen, wie z. B. den Festwertregelungen mit Störgrößenaufschaltung oder den Kaskadenregelungen (siehe Abschnitt

6.5).

244

6.

6.2.3.3

Einstellregeln

Entwurf von Regelkreisen

nach Kessler

Das von Kessler angegebene Optimierungsverfahren, das Symmetrische Optimum [15], hefert globale EinsteUregeln vor aUem für Regler in antriebstechnischen Regelkreisen. Sie führen zu einem guten Störverhalten, aber zu einem leicht zum Schwingen neigenden Führungsverhalten mit verhältnismäßig großer Üb erschwingweite. Die in der Antriebstechnik vorkommenden Regelstrecken sind gegenüber den verfahrenstechnischen Regelstrecken in ihrem Zeitverhalten um Größenordnungen schneUer. Sie haben entweder proportionales oder integrierendes Verhalten mit Verzögerungen höherer Ordnung, wobei eine oder zwei relativ große Zeitkonstanten in der Größenordnung von einigen 100 Millisekunden und mehrere relativ kleine Zeitkonstanten in der Größenordnung von einigen 10 Mühsekunden vorhanden sind. Die Übertragungsfunktion für eine proportionale Regelstrecke lautet dann:

Fs(p)

=

und für eine

Kps

(l + T1-p)-(l + T2-p)-\l(l + tu-p) integrierende Regelstrecke: Kis

Fs(p) p-(i + T2-P)-n(i + tu-p) =

wobei Ti und T2 die großen Zeitkonstanten, tu die kleinen Zeitkonstanten sind. Näherungsweise kann die Kettenschaltung der Vielzahl kleiner PTi-Glieder durch ein P-Ti-Glied mit der Summenzeitkonstante T„ = Y,tum m ersetzt werden: 111 1+t,-p l + t2-p l + r3-p

1

1+

ÏV-p

die Strecke I-Verhalten oder mindestens eine aufweist.

wenn

große

Zeitkonstante T\

Je nach Struktur der Regelstrecke wüd zur Regelung ein PI- oder ein PI-PDRegler eingesetzt, dessen Kennwerte entsprechend den Regeln nach TabeUe 6.2.8 zur Erzielung eines günstigen Störverhaltens einzusteUen sind. Das Führungsverhalten eines nach dem Symmetrischen Optimum ausgelegten Regelkreises zeigt nach sprungförmigen Änderungen der Führungsgröße für die Regelgröße heftiges Schwingen mit bis zu 40 % igem Überschwingen.

6.2

245

Entwurf von Regelkreisen mit stetigen Reglern im Zeitbereich

eu

Ití

eu

*

.

tî

n

cu

TJ

hb

EÍ

Tí«

^r1

bO

tí

tí

sa eu

hb

m

títo

títo

ft,

hbto

ft,

CN

CM

CM

ft,

EÍ tí

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15

Ö

«a

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DQ

bO

H

eu

tí

bO

'S g

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tí'H-l (y

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H

tí +

A

w*

tí

.2

A •M

tí eu «3 ^ bp

ö

+3

bO

bO

t.eu

JS tu

tí

w2

=

20

•

w2

-

Imaginärteil: Daraus

jw (20 •

-

folgt:

Wkrit

=

V2Ö

=

4.47

s"1;

Kkrit

=

240

s"1

Mit diesen Angaben läßt sich die Wurzelortskurve skizzieren (Bild 6.3.3). Aus dem Verlauf der Wurzelortskurve läßt sich ein qualitativer Überblick über das Zeitverhalten des Regelkreises geben. Mit einem Beiwert 0 < K < Kap hat der Kreis drei reelle Pole und damit aperiodisches Einschwingverhalten. Der Pol p3 wandert mit steigendem K nach links. Sein Einfluß auf das Einschwingverhalten wird immer geringer und kann gegenüber dem Einfluß der Pole p\ und p2 vernachlässigt werden. Im Verzweigungspunkt pv auf der reellen Achse geht ein reeller Doppelpol in ein konjugiert komplexes Polpaar über, welches für Beiwerte Kap < K < Kkrit das periodische Einschwingverhalten des Regelkreises bestimmt (dominantes Polpaar). Beim Beiwert K = Kkrit schneidet die Wurzelortskurve die imaginäre Achse. Der Regelkreis wird instabil.

® riti Ukrit

atAo

I

P3 «

X

-10-8 -6

/-Kapf y2

PAZ&

P2\JPVP1

4\-2

BUd 6.3.3 Wurzelortskurve

260

6.

6.3.1.4

Reglerentwurf

Zeichnet

Entwurf von Regelkreisen

die Wurzelortskurve eines Regelkreises, so erhält man einen Überbhck über sein Zeitverhalten. Der Regelkreis ist stabil, wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises, also alle Pole der Übertragungsfunktion, in der linken Halbebene der p-Ebene liegen. Der Einschwingvorgang verläuft aperiodisch, wenn nur reelle Pole vorhanden sind. Der Pol oder das Polpaar, das in der linken Halbebene dem Ursprung am nächsten liegt, bestimmt praktisch das Einschwingverhalten und ist für die Regelgüte verantwortlich (siehe Abschnitt 6.1.3.2). man

Regelkreis ein gewünschtes stationäres und dynamisches Verhalaufweist, muß durch Einsatz eines geeigneten Reglertyps und Einstellung seiner Kennwerte, also durch Einfügen zusätzlicher Pole und Nullstellen, die Wurzelortskurve entsprechend modifiziert werden. Ist der Regelkreis stabil, aber die bleibende Regeldifferenz xd ,t als Maß für die Regelgüte im Beharrungszustand zu groß, so muß der Beiwert am Ort der dominanten Wurzel vergrößert werden. Ist der Regelkreis stabil, aber das dynamische Verhalten in bezug auf die Dämpfung und Ausregelzeit unbefriedigend, so muß das dominante Polpaar an den gewünschten Ort in der p-Ebene verschoben werden. Ist der Regelkreis instabil, so muß die Wurzelortskurve so verändert werden, daß für einen bestimmten Wertebereich des Beiwertes alle Aste der Wurzelortskurve in der linken Halbebene der p-Ebene verlaufen. Da es kein systematisches Verfahren zur Beeinflussung von Wurzelortskurven gibt, müssen Struktur und Daten des Reglers so lange variiert werden, bis dann die zweckmäßigerweise mit Hilfe eines Digitalrechners ermittelte Damit der ten

Wurzelortskurve den erwünschten Verlauf aufweist. Die Modifizierung der Wurzelortskurve läuft im wesentlichen darauf hinaus, die am weitesten rechts gelegenen Streckenpole durch Reglernullstellen in ihrer Wirkung auf den Regelverlauf zu beeinflussen oder aufzuheben. Liegt z. B. die Wurzelortskurve eines Regelkreises mit einer I-T2-Regelstrecke (pi = 0 s_1, p2 = -2 s-1, p3 = -10s_1) und mit einem P-Regler nach Bild 6.3.3 vor, so kann diese bei Einsatz eines idealen PD-Reglers mit einer Nullstelle pz entsprechend modifiziert werden. Legt man die Nullstelle pz links von den drei Polen, so hat die Wurzelortskurve mit dem Beiwert K = KpR-Kis als Parameter das Aussehen nach Bild 6.3.4. Der Regelkreis ist für alle Beiwerte stabil, weist aber wegen der dominanten Pole nahe der imaginären Achse ein träges und bei mittleren und großen Beiwerten

6.3 Entwurf von

Regelkreisen mit stetigen Reglern im Frequenzbereich

261

sehr schlecht gedämpftes Einschwingverhalten auf. Die gewählte Lage der NuUsteUe ist wegen ihres geringen Einflusses auf das Einschwingverhalten nicht vorteilhaft. Legt man die NuUsteUe pz zwischen die Pole px und p2, so ergibt sich die in BUd 6.3.5 skizzierte Wurzelortskurve. Der Regelkreis ist für aUe Beiwerte stabü, sein Einschwingverhalten wegen des dominanten reeUen Pols aperiodisch und träge. Legt man die NuUsteUe pz zwischen die Pole p2 und p3, so ergeben sich entsprechend der relativen Lage die in BUd 6.3.6 dargesteUten Wurzelortskurven. Man erkennt, daß Äste der Wurzelortskurve von einer NuUsteUe angezogen und von einem Pol abgestoßen werden. Der Regelkreis ist auch hier für jeden Beiwert stabü. Im FaU a) hegt für mittlere und große Beiwerte ein dominantes, konjugiert komplexes Polpaar des geschlossenen Regelkreises vor, so daß ein schwingender Regelverlauf zu erwarten ist. Rückt die NuUsteUe pz wie im FaU c) sehr nahe an den Pol p2 heran, ändert sich die Gestalt der Wurzelortskurve. Der geschlossene Kreis weist dann für mittlere Beiwerte nur reeUe Pole und ein schneUes aperiodisches Einschwingverhalten auf. Beim Übergang vom FaU a) zum FaU c) tritt als Grenzkurve FaU b) auf.

BUd 6.3.4 Wurzelortskurve bei drei reeUen Polen und einer NuUsteUe: pz = 12 s_1 < p3 -

262

6. Entwurf von Regelkreisen

jw

+ 84-6 4-

+2 Paz\

pî h

P2PZ Pi

*-*-o»* -+0 2 -2

-12-10 -8

-»-

a

4—

+-6 -8-

BUd 6.3.5 Wurzelortskurve bei drei reeUen Polen und einer NuUsteUe: p2 < pz = 1 s_1 < p\ —

-12-10 -8

BUd 6.3.6 Wurzelortskurven bei drei reeUen Polen und einer NuUsteUe:

a) P3

< Pz

6.0 s_1 < p2

= -

6.3

Entwurf von Regelkreisen

mit

263

stetigen Reglern im Frequenzbereich

8—

-6 --42 PZ

-X-

I

-

Pz V2

Paz I

-12-10-8 -6

-H*

h-4

Pi o

:

+-2

+-6

c) Bild 6.3.6

Liegt

-8-

(Forts.) b) Pz < Pz c) P3 < Pz

-2.286 s"1 3

Pu

¿^

I-1

1-1

tí" o M

tí

I.2

^

bo

"7,

bo ö

—

« tí tí bO Z3 $ 4)

£

M

Sí

-

ö

2 ^3

"Ssa 5 n Z

PO

»S

r-l

tí

tí

I-1

-1

tí

v

-1 V

tí

to

bO

cotí

S

»S J3 S

tOtí

J2 ö

bo2

4)

2

tí

u

a;

S

SÄ I-1

.ö >

u *s

qä

tí3

-w^h CO CO »

-¡3 ^= CO

tí

*

Sí

T^¿tí 6Cu

o 3

I-1

tí

=tí

tí

o

í>

tí

2

bO

Ö

o -3

"

E¡

^ u

1 ^r-1 *—i—' Ia "

-

I_,

S

_

d

il W

^ tE + tA tE + tA

SteUgröße

yjif

(6.4.30); v

Gleichung für die SteUgröße eines stetigen PI-Reglers bei sprungförmiger Regeldifferenz lautet: Die

y

=

KpR-Xd +

^-xd-t J-n

(6.4.31)

Koeffizientenvergleich ergeben sich die 'Kenngrößen' des Dreipunktreglers. Sein P-Beiwert ist dann: Durch

306

6. Entwurf von Regelkreisen

KpR^l.lll^.m.Kl.{t^--l) tE 2 tE + tA Xd

(6.4.32)

Er ist direkt proportional dem Integrierbeiwert des Stellmotors und über die Schaltzeiten eine nichtlineare Funktion der Regeldifferenz. Er ist keine eigentliche Reglerkenngröße mehr, da er von der Regeldifferenz abhängt. Die Nachstellzeit ergibt sich zu:

Tn

=

tÄ-(^-\)

(6.4.33)

Sie ist ebenfalls abhängig von der Regeldifferenz, da die Schaltzeiten von der Regeldifferenz abhängen. Ferner ist sie direkt proportional zur Ausschaltzeit und damit zur Abklingzeitkonstante und ist durch sie einstellbar. Der P-Beiwert Krr und die Nachstellzeit T„ eines Dreipunktreglers sind also bei festen Daten der Rückführung (Kr, Ton, Tat) und des Stellgliedes (Ki) Funktionen der Regeldifferenz. Diese nichtlineare Abhängigkeit ist aus Bild 6.4.24 ersichtlich. 6.4.6.2

Arbeitsweise im

Regelkreis

Da die 'Kenngrößen' des Dreipunktreglers Funktionen der Regeldifferenz sind, läßt sich das Verhalten eines Regelkreises mit Dreipunktregler weder einfach berechnen noch zeichnen. Es soll daher nur qualitativ beschrieben werden. Tritt im Regelkreis plötzlich eine große Regeldifferenz auf, so wirkt ihr der Regler mit einem großen P-Beiwert und einer kleinen Nachstellzeit schnell und nahezu ungedämpft entgegen. Nimmt im Laufe des Regelvorganges die Regeldifferenz wieder ab, so erfolgt nun wegen des kleineren P-Beiwertes und der größeren Nachstellzeit eine langsame und stark gedämpfte Ausregelung der Störung. Mit kleiner werdender Regeldifferenz wird nämlich die Dauer der Ausschaltzeit immer größer und die Dauer der Einschaltzeit immer kürzer, bis die Regeldifferenz innerhalb des Unempfindlichkeitsbereiches des Reglers zu hegen kommt. Dann noch auftretende kleine Störungen gleicht der Regler durch gelegentüche kurze Stellimpulse aus. Der Regler besitzt also progressives Verhalten und paßt sich selbsttätig den Verhältnissen im Regelkreis an.

Bestimmend für die Regelgüte ist die kürzest möghche Einschaltzeit und der kleinste ausführbare Stellschritt. Die Dauer der Einschaltzeit ist nach unten dadurch begrenzt, daß der Schalter noch sicher schalten und der Motor noch sicher anlaufen muß. Der kleinste SteUschritt sollte die Regelgröße um we-

6.4

Bild 6.4.24

Entwurf von Regelkreisen mit schaltenden Reglern

im Zeitbereich

307

'Kenngrößen' des Dreipunktreglers in Abhängigkeit von der Regeldifferenz

niger verändern, als es dem doppelten Ansprechwert des Reglers entspricht, da der Regelkreis sonst schwingt. Durch Verkleinern der Stellgeschwindigkeit kann meist ein Schwingen auf Kosten einer größeren Ausregelzeit vermieden werden.

308

6.

Entwurf von Regelkreisen

Dreipunktregler werden vorteilhaft zur Regelung langsamer Regelstrecken mit großen Zeitkonstanten, wie z. B. Temperaturregelstrecken, eingesetzt und gewährleisten eine hohe Regelgüte sowohl während des Einschwingvorganges als auch im Beharrungszustand. Bei Einsatz an schnellen Regelstrecken mit kleinen Zeitkonstanten, wie z. B. an Drehzahlregelstrecken, müssen entweder Arbeitsbewegungen im Beharrungszustand oder verhältnismäßig lange Ausregelzeiten in Kauf genommen werden.

Auslegung

6.5

von

Regelschaltungen

Lösung von Regelaufgaben eine Reihe von Regelschaltungen dargestellt. Im folgenden werden Hinweise zu deren Auslegung angegeben. Im Abschnitt 1.5 sind

6.5.1

zur

Einfachregelkreis

mit

Störgrößenaufschaltung

Verbesserung des Störverhaltens eines Einfachregelkreises werden Regelungen mit Störgrößenaufschaltungen verwendet. Liegt eine wesentliche und meßbare Störgröße mit bekanntem Angriffspunkt vor, so kann diese Störgröße über ein Kompensationsglied mit der Übertragungsfunktion Fr auf den Reglerausgang oder Reglereingang aufgeschaltet werden (Bild 6.5.1). Durch eine Störgrößenaufschaltung wird weder die Stabilität des Regelkreises, die durch die charakteristische Gleichung: Zur

1+

Fr Fsl Fsi -

=

gekennzeichnet ist, noch übertragungsfunktion:

0 das

Führungsverhalten,

das durch die

Führungs-

Fr-Fsi-Fs2 (r,\=XW= l-rFR-Fsl-Fs2

F™

W(p)

Das Störverhalten des Regelkreises kann aber wesentlich verbessert werden, wenn die Übertragungsfunktion Fr des Kompensationsgliedes so entworfen wird, daß die Störübertragungsfunktion gegen Null geht. Für die beiden Arten der Aufschaltungen wird nun der Entwurf des Kompensationsgliedes angegeben.

gegeben ist, beeinflußt.

6.5

Aufschaltung

6.5.1.1

auf den

309

Auslegung von Regelschaltungen

Reglerausgang

a)

ist der Signalflußplan für die Festwertregelung mit Störgrößenaufschaltung auf den Reglerausgang dargesteUt. Im IdealfaU soU die

In BUd 6.5.1

Störübertragungsfunktion Fz(p): ( ^x(p) FzW

=

Z(p)

FS2-(FZs-Fb-Fs1) l+

FR-Fsi-FS2

gegen NuU

gehen, da dann kerne Beeinflussung der Regelgröße x durch die Störgröße z erfolgt. Die Störübertragungsfunktion geht gegen NuU für: Fzs Daraus

FH

Fb Fsi •

—

=

0

ergibt sich als Auslegungsvorschrift =

für das

Kompensationsghed:

(6.5.1)

Fzs/Fsi

a) Fzs /-

V

ZH W

y

Xd

í

X

S2

*S1

z

I

b)

Fzs

ZH

V

W

* Xd 'si

BUd 6.5.1

Störgrößenaufschaltung a) auf den Reglerausgang b) auf den Reglereingang

S2

310

6.

Entwurf von Regelkreisen

Hat z. B. die erste Teilstrecke P-Ti-Verhalten: FSi = KPS/{1 + Ts p) und ebenso der Einfluß der Störung: Fzs 1/(1 + Tz p), so ist das Kompensationsghed als PD-Tj-Ghed auszulegen: •

=

1 1 + Tsp Fgs Fsi Kps 1 + Tz p Um das Kompensationsghed technisch realisieren zu können, ist es notwendig, daß die Übertragungsfunktion Fzs mindestens von gleicher Ordnung in p ist wie Fsi. Da die Übertragungsfunktion des Reglers nicht in die Auslegung des Kompensationsghedes eingeht, kann der Regler nach geeigneten Kriterien ausgewählt und eingesteUt werden. So kann z. B. ein PI-Regler eingesetzt und für gutes Führungsverhalten nach den Vorschriften von Chien, Hrones und Reswick eingesteUt werden. p

_

•

6.5.1.2

Aufschaltung

Büd 6.5.1

b) zeigt den Regelkreis mit Störgrößenaufschaltung auf den Reg-

lereingang. p

t

\

Die

auf den

Störübertragungsfunktion lautet:

Fs2 (Fzs Fg Fr- Fsi) 1 + Fr Fsi Fs2 •

=

•

-

•

•

Sie

Reglereingang

geht gegen NuU für: Fs FR Fsi

Fzs

•

•

—

0

—

Daraus

folgt

als

Auslegungsvorschrift für das Kompensationsghed:

Reglerübertragungsfunktion geht hier in die Auslegung des Kompensationsghedes ein. Hat z. B. die erste Teilstrecke P-Verhalten: Fsi Kps, ist Fzs 1 und wird ein PI-Regler: Fr KpR [1 + l/(Tn p)] eingesetzt, so ist das Kompensationsghed als D-Ti-Ghed auszulegen: Die

=

=

PTT Jf

Es

Fzs Fr Fsi

1 *

-

Tnp

Kpr Kps 1 + T„

-

—

p

-

also hier eine sogenannte vorübergehende Störgrößenaufschaltung Für eine technische Realisierung des Kompensationsghedes muß auch

hegt

vor.

^

=

•

6.5

Auslegung von Regelschaltungen

311

hier die Übertragungsfunktion Fzs mindestens von gleicher Ordnung wie Fsi sein. Wählt man bei der Störgrößenaufschaltung auf den Reglereingang als Kompensationsglied ein PD-Ti-Glied, so wird selbst bei Einsatz eines PI-Reglers die Störgröße nicht vollständig ausgeregelt. Die beiden Arten der Aufschaltung wirken im Sinne einer Steuerung. Daher ist darauf zu achten, daß die Aufschaltung gemäß den Auslegungsvorschriften richtig dimensioniert wird und ihr Zeitverhalten keine integrierende Wirkung aufweist. Da die Ausgangsgröße einer Steuerung nicht rückgemeldet wird, könnte bei einem I-Verhalten der Steuereingriff willkürliche Werte annehmen.

6.5.2

Einfachregelkreis

mit

Hilfsgrößenaufschaltung

Ist eine

Störgröße zy selbst nicht meßbar, aber dafür eine aus der Regelstrecke stammende Hilfsgröße x\, so kann eine Aufschaltung von x\ über ein Kompensationsglied mit der Übertragungsfunktion Fh auf den Reglereingang (Bild 6.5.2) eine Verbesserung des dynamischen Verhaltens des Regelkreises bringen, wenn die erste Teilstrecke Fsi verzögerungsarm ist und die zweite Teilstrecke die wesentlichen Verzögerungen enthält. Durch diese Hilfsgrößenaufschaltung wird sowohl die Stabilität des Regelkreises, die durch die charakteristische Gleichung: 1 + FR

•

Fsi (Fs2 + FH) •

=

0

gegeben ist, das Führungsverhalten: Fr Fsi Fs2 •

Fw(p)

=

1+

Fr- Fs\

•

•

(Fs2 + Fr)

und das Störverhalten:

Fz(v) ZKP>

=_Fzi-Fsi-Fs21+ + Fr-Fs1-(FS2 Fr)

eines guten Störverhaltens muß auch hier die Störübertragungsfunktion ein Minimum anstreben. Dies ist der Fall, wenn die Parallelstruktur von Fs2 und Fr reines P-Verhalten aufweist.

beeinflußt. Zur

Erzielung

Hat z. B. die erste Teilstrecke P-Verhalten: Fsi K\ und die zweite Teilstrecke P-Ti-Verhalten: Fs2 K2/(l+T2-p), so ist als Kompensationsglied ein D-Tj-Glied mit: =

=

312

6.

FE

=

Entwurf von Regelkreisen

K2-T2-p l + T2-p

wählen. Die Wahl der

Reglerstruktur und die EinsteUung der Reglerkennwerte ist nicht mehr unabhängig von der Auslegung des Kompensationsghedes und muß so getroffen werden, daß der Regelkreis stabü ist und die geforderte Regelgüte aufweist. zu

zs W

Xd

Xl S\

S2

\Zff

Büd 6.5.2

6.5.3

Festwertregelung mit Hüfsgrößenaufschaltung

Kaskadenregelkreis

Versagen die einfachen Regelschaltungen, so kann mit einer Kaskadenregelung, einem zweischleifigen Regelkonzept (Büd 6.5.3), eine Verbesserung der Regelgüte erzielt werden. Das Zusammenwirken zwischen dem unterlagerten inneren und dem überlagerten äußeren Regelkreis funktioniert nur dann, wenn der innere Kreis ein schneUeres Zeitverhalten als der äußere aufweist. Beim Entwurf einer Kaskadenregelung geht man also so vor, daß man zunächst den Folgeregler des unterlagerten Regelkreises so auslegt, daß

dieser Kreis ein schneUes Zeit verhalten aufweist. Dieser Kreis wükt dann wie ein verzögerungsarmes proportionales Übertragungsglied des äußeren Kreises. Nun wird nach den bekannten Entwurfsverfahren, z. B. dem Wurzelortsverfahren oder dem Frequenzkennlinienverfahren, der Führungsregler ausgelegt, wobei im wesenthchen das dynamische Verhalten der äußeren Teüstrecke mit der

Übertragungsfunktion Fsi

zu

berücksichtigen ist.

6.5

Besitzt die innere Teilstrecke

Fsi

=

313

Kaskadenregelung

Bild 6.5.3

a)

Auslegung von Regelschaltungen

P-Tj-Verhalten:

KpS2 l+

TS2-p

und ist:

Fr so

=

Kr

genügt der Einsatz eines P-Reglers für den Folgeregler:

Fr2

=

KpR2

den inneren Kreis behebig schnell des inneren Kreises ergibt sich zu:

um

F2(p)

=

X2(p) W2(p)

zu

machen. Das

Führungsverhalten

K2

l+T2-p

mit:

KPR2 KPS2 KpR2 Kps2 Kr TS2 T2 1 + Kpr2 Kps2 Kr Damit die Ausregelzeit Taus « 4 T2 klein wird, muß der P-Beiwert KPR2 groß gewählt werden. Damit folgt für den P-Beiwert K2 « 1/Kr. Ein K2

=

+

•

=

•

eventueller Verlust an Verstärkung kann durch Einbau eines Stellverstärkers oder durch entsprechende Einstellung der Verstärkung des Führungsreglers ausgeghchen werden. Als Führungsregler wird zweckmäßigerweise ein PIRegler oder auch ein PID-Ti-Regler gewählt. Geeignete Reglerkennwerte können dann mit Hilfe des Wurzelortsverfahrens oder des Frequenzkennlinienverfahrens gefunden werden.

314

6.

Entwurf von Regelkreisen

b) Besitzt die innere Teilstrecke P-T2-Verhalten: Fs2

=

KpS2

(1

+ Ts21-P)-(1 +

Ts22-P)

und ist:

Fr

=

Kr

empfiehlt

Folgeregler ein PD-Ti-Regler: l+ Fr2 KpR2 l Tv-p + Tp Die Führungsübertragungsfunktion des inneren Kreises ergibt sich dann zu: Fr2 'Fs2 X^ F (v) so

sich als

=

'

und die

'

=

_

W2(p)

l + Fm-Fsi- Fr

Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen inneren Kreises zu:

Fo2(p) Fr2 Fs2 Fr =

-

KpR2 KpS2 Kr (1 + Tv p) + (1 Ts21 p) (1 + Ts22 p) (1 + T p) •

=

•

-

•

8-

•

•

•

•

©

+6 +2 IS21

— -

10-8

-6

4

-2

0

+ -2 -4-

+ -6 -8Bild 6.5.4 Wurzelortskurve des inneren Einsatz eines PD-Tj-Reglers

Regelkreises bei

-

6.5

315

Auslegung von Regelschaltungen

Aus dem Verlauf der Wurzelortskurve (Büd 6.5.4) des inneren Regelkreises läßt sich bei Vorgabe einer geeigneten ReglernuUsteUe pz = \/Tv eine des des P-Beiwertes finden. Bei kleinen Pgünstige EinsteUung Reglers Beiwerten wird der innere Regelkreis mäßig schnell und aperiodisch gedämpft, bei mittleren P-Beiwerten schneU und gut gedämpft einschwingen. —

Wird für den

Fr2

=

Folgeregler ein PI-Regler eingesetzt:

KPR2 (1 + —-) TnP

werden zwar Störungen im inneren Kreis ausgeregelt, das Einschwingverhalten wüd aber bei gleicher Dämpfung träger als bei Einsatz eines PDTi-Reglers, wie man aus dem Verlauf der Wurzelortskurve nach Büd 6.5.5 sieht. Als Führungsregler werden auch hier zweckmäßigerweise ein PI- oder ein PID-Tj-Regler gewählt und die Reglerkennwerte im wesenthchen unter Berücksichtigung der Übertragungsfunktion Fsi der Teilstrecke des äußeren Kreises eingesteUt. so

J.-8BUd 6.5.5 Wurzelortskurve des inneren Einsatz eines PI-Reglers

Regelkreises bei

Kapitel

7

Abtastsysteme Aufbauend auf dem Wissen über kontinuierliche Systeme werden im folgenden wegen des verstärkten Einsatzes von Digitalrechnern bei der Automatisierung technischer Systeme die z-Transformation, die digitalen Regelungen und die Prozeßleitsysteme erläutert. Einführend werden Abtast Vorgänge in technischen Systemen beschrieben.

7.1

Beschreibung

von

Abtast Vorgängen

Ein Abtast Vorgang ist dadurch gekennzeichnet, daß von einem zeitkontinuierhch ablaufenden Prozeß Informationen nur zu diskreten Zeiten zur Verfügung stehen. Abtastvorgänge treten in verschiedenen technischen Sy-

Grund der verwendeten Meßverfahren auf. In chemischen Prowerden z. B. Gaschromatographen eingesetzt, um Gasproben auf

stemen auf zessen

ihre Zusammensetzung hin zu analysieren. Zur Durchführung der Analyse wird eine gewisse Zeit benötigt, so daß ein Meßwert erst vorhegt, wenn die Analyse abgeschlossen ist. Zur Beobachtung des Luftraumes über einem Flughafen wird ein Rundsuchradar eingesetzt. Der Radarstrahl läuft mit einer festen Frequenz um. Trifft er ein Objekt, so wird dieses als leuchtender Punkt auf einem Sichtgerät wiedergegeben. Erst nach einer weiteren Umdrehung wird die Lage des Objektes von neuem festgestellt. Die Lage ist daher nur zu den diskreten Zeitpunkten bekannt, zu denen das Objekt vom Radarstrahl getroffen wird.

Abtastvorgänge treten aber auch auf Grund der Art der Meßwertveraxbeitung bei Einsatz eines Digitalrechners als Regler auf. Um eine physikalische Meßgröße dem Rechner zuführen zu können, müssen die Meßwerte erfaßt und digitalisiert werden. Dazu ist es erforderlich, aus dem kontinuierlichen Verlauf der Meßgröße in bestimmten Zeitabständen Meßwerte

317

7.1 Beschreibung von Abtastvorgängen

zu entnehmen, abzutasten und über einen Analog-Digital-Umsetzer in eine für den Rechner geeignete digital codierte Form zu bringen. In den meisten FäUen sind die Zeitabstände äquidistant, die Abtastzeit TA also konstant, so daß man von der Meßgröße x(t) eine Folge von Meßwerten in den erhält. Diese Wertefolge Zeitpunkten t 0, TA, 2TA, ..., k-TA, = = x0 x(0), x, x(TA), x2 x(2 TA), ..., xk x(k TA), wird mit (xk) bezeichnet: =

...

=

(xk)

=

(x0,

Xi, x2,

...,

=

•

xk,

...

(7.1.1)

)

Um die einzelnen Meßwerte weiter verarbeiten zu können, werden sie ab dem Meßzeitpunkt noch eine gewisse Zeitspanne, im aUgemeinen über die ganze Abtastzeit TA, gespeichert. Jede Abtastung ist also mit einer Speicherung der abgetasteten Werte verbunden. Aus einer kontinuierHchen Zeitfunktion x(t) wird über eine Wertefolge (xk) eine Treppenfunktion x(t) erzeugt (Büd 7.1.1). Die Abtastung der Meßgröße muß mit so hoher Frequenz erfolgen, daß die Folge der Abtastwerte den kontinuierHchen Zeitverlauf der

Meßgröße mögHchst getreu wiedergibt.

x(i) Büd 7.1.1

Taster

DarsteUung des Abtast-

(**) und

Speicher

x(t)

Speichervorganges

digitalen Regelung wird im aUgemeinen ein Digitalrechmehrerer Regelgrößen eingesetzt (Bild 7.1.2). Die einzelRegelung nen Regelgrößen der Mehrgrößenregelstrecke, wie z. B. Druck, Durchfluß, Füllstand, Temperatur, Spannung, werden erfaßt und durch Meßumformer in einheitliche elektrische Signale umgeformt und als Regelgrößen x,-(t) weiterverarbeitet. Der programmgesteuerte Sammler fragt die einzelnen Regelgrößen nacheinander im Zyklus ihrer Abtastzeit TA% ab. Die abgetasteten Bei einer direkten

ner zur

318

7.

Abtastsysteme

S3

a

I 3 bO cu

cu

es

O H bo i-i

-tí cu M

cu

tí bO

tí tí

^^

cu

bO cu

tí

13

7.1

Beschreibung von Abtastvorgängen

319

Werte werden über einen Analog-Digital-Umsetzer (ADU) dem Digitalrechner als Xi(k TAi) in einer geeigneten digitalen Form zugeführt. Nach Vergleich mit den gespeichert vorliegenden oder ebenfalls abgetasteten Werten der Führungsgrößen w¡(k TAÎ) wird mit Hilfe einer Rechenvorschrift, Regelalgorithmus genannt, die Folge der Stellgrößen y,(fc TAi) berechnet. Diese werden über einen Verteiler dem jeweiligen Speicher und DigitalAnalog-Umsetzer (DAU) zugewiesen, der eine Treppenfunktion y¿(t) an das •

zugehörige Stellgerät weitergibt. Die Analog-Digital-Umsetzung, die Berechnung der Stellgrößen und ihre Digital-Analog-Umsetzung sind Vorgänge, die im Digitalrechner und den Peripheriegeräten nur serieU ablaufen und Zeit benötigen. Dieser Zeitbedarf bestimmt die minimale Abtastzeit TAmin. Die Abtastzeit zur Erfassung der einzelnen Regelgrößen wird je nach der dominanten Zeitkonstante der Teüregelstrecke gewählt zu: TAi < 0.1-Ts¿. Bei ausgesprochen schnellen Regelstrecken, wie bei Drehzahlregelstrecken, sind Abtastzeiten von ca. 10 ms erforderlich, während für langsame Temperaturregelstrecken Abtastzeiten von 10 bis 20 s ausreichen (Tabelle 7.1.1). TabeUe 7.1.1 Richtwerte für Abtastzeiten

Regelstrecke

Abtastzeit

Drehzahl

0.01s

Durchfluß

1

Druck

s

5s

Füllstand

5

Temperatur

10

...

...

10 20

s s

Durchführung einer Regelung mit Digitalrechner ist also eine direkte eingangs- und ausgangsseitige Kopplung des Rechners mit der Regelstrecke erforderHch. Digitalrechner, die eine solche direkte Kopplung im Echtzeitbetrieb ermögUchen, nennt man auch Prozeßrechner. Im folgenden soUen die Vorgänge in einem einzelnen Regelkreis (Büd 7.1.3) Zur

näher untersucht werden. Dabei wird vorausgesetzt, daß durch die eingesetzten Analog-Digital-Umsetzer und Digital-Analog-Umsetzer die AmpHtudenquantisierung von Meßgröße und SteUgröße so feinstufig erfolgt, daß die Auswirkung der Umsetzer vernachlässigt werden kann. In Büd 7.1.3 ist

T. A btastsysterne

320

M

Digitalrechner

M

Speicher

M

Taster

!7(0|

Stell-

Meßumformer

Regel-

strecke

gerät

i

(0

Einzelregelkreis mit Digitalrechner

Bild 7.1.3

zwischen Taster und Speicher der Digitalrechner mit seinem Regelalgorithmus wirksam, der aus der Folge von Regelgrößen (ik) nach Vergleich mit der

Folge von Führungsgrößen (wk) die Folge von Stellgrößen (¡/t) erzeugt. Für die mathematische Beschreibung des Regelkreises ist es aber zweckmäßiger, die Reihenfolge von Digitalrechner und Speicher zu vertauschen, so daß Taster und Speicher aufeinander folgen [6]. In Bild 7.1.4 ist dieser äquivalente

Regelkreis dargestellt. Der Digitalrechner ermittelt hier mit demselben Regelalgorithmus aus der der Folge (xK) entsprechenden Treppenfunktion x(t) dieselbe Stellfunktion y(t). Die Kombination von Taster und Speicher hat die Aufgabe, aus einer kontinuierlichen Zeitfunktion i(r) zu den Abtastzeit-

-,(t)

Digital- m rechner

x(t)

Speicher

Bild 7.1.4

0

TA

(**)

Steh-

gerät

Regel-

strecke

Meßumformer

Taster

Äquivalenter Einzelregelkreis mit Digitalrechner

2-TA 3TA \-TA

Bild 7.1.5 Abtast- und

Speichervorgang

x(t)

7.1 Beschreibung von Abtastvorgängen

punkten

í

Abtastzeit

x(t)

k TA die Werte

=

zu

=

x(k TA)

speichern (Bild 7.1.5).

x(k TA)

Es

für k-TA

zu

321

erfassen und für die Dauer der

gilt:

< t
'-1--e-WTA>>.1-] k=0

l-e-TA"

x(p)

=

x(p)

=

P

oo

Zxk-e-kTA> 4=0

xB(p) xA(p) -

(7.1.5) (7.1.6)

Die Bildfunktion ist also als Produkt zweier Faktoren darstellbar, die als Teiloperationen für das Abtasten und das Halten interpretiert werden können. Diese beiden Teiloperationen sind aber nicht identisch mit den

322

7.

Abtastsysteme

Operationen Tasten und Speichern im Zeitbereich entsprechend der technischen ReaHsierung des Regelkreises. Die BUdfunktion des einen Faktors aus Gleichung (7.1.6):

xa(p)

=

E Xk

•

e

kTA'p

(7.1.7)

k=0

charakterisiert das Abtasten. Durch inverse Laplace-Transformation erhält man als zugehörige Zeitfunktion folgende Impulsfolgefunktion:

xA(t)

=

f:xk-6(t-k-TA)=f: x(k

4=0

k=0

TA) ¿(r

Z6(t-k-TA)

—

t

»-

t

2-TA 3-TA A-TA BUd 7.1.7

DarsteUung der Impulsfolgefunktion a) Folge von ¿-Impulsen

b) Zeitfunktion c) Impulsfolgefunktion

fc

•

-

•

TA)

(7.1.8)

7.1 Beschreibung

von

323

Abtastvorgängen

Jeder Summand dieser Funktion bezeichnet einen ¿-Impuls zum Zeitpunkt fc TA, der mit dem Abtastwert x(fc TA) der Zeitfunktion x(i) gewichtet ist (BUd 7.1.7). Da durch die Wirkung der ¿-Funktion die Funktion x(r) zu allen Zeitpunkten außer in den Abtastzeitpunkten unterdrückt wird, gut ferner: •

•

xA(t)

=

E *(* TA) 6(t

k=0

k -

x(t)-Y,Ht-k-TA) k=0

TA)

(7.1.9)

Beim Übergang von der kontinuierHchen Zeitfunktion x(t) zur Impulsfolgefunktion xA(t) werden bei dieser Beschreibung nicht nur die Funktionswerte x(fc TA) aus x(t) entnommen, sondern auch jeder Wert mit 6(t fc TA) multipHziert. Die Impulsfolgefunktion xA(t) tritt jedoch an keiner SteUe im Abtastsystem auf, da ¿-Impulse nur eine mathematische Idealisierung sind. Büd 7.1.8 zeigt das Blockschaltbüd für dieses ÜbertragungsgHed ¿-Abtaster. •

—

xA(t)

!{t)

=

x(t)-Y,¿(t-k-TA)

Büd 7.1.8 ¿-Abtaster

Die BUdfunktion des anderen Faktors

xB(p)

e'TA"

1 =

Gleichung (7.1.6):

-TAp

-

P

aus

P

P

charakterisiert das Halten. Durch Rücktransformation erhält

man

folgende

Impuls antwort :

xB(t) l(t) l(t TA) =

-

-

Aus jedem ¿-Impuls der AmpHtude x(k-TA), der als Eingang wirkt, wird am Ausgang ein Impuls der AmpHtude x(k-TA) und der Länge TA. Daher nennt man dieses ÜbertragungsgHed HaltegHed. Das HaltegUed wandelt also die eingangsseitige gewichtete Impulsfolgefunktion in die Treppenfunktion x(t). Büd 7.1.9 zeigt den Signalflußplan von ¿-Abtaster und HaltegHed.

E(0

xA(t)

BUd 7.1.9 ¿-Abtaster und

,-Tap

HaltegHed

:(t)

324

7.

Abtastsysteme

Zusammenfassend wird noch einmal darauf hingewiesen, daß die Wirkung der beiden Übertragungsglieder Taster und Speicher zusammengenommen die gleiche ist wie die von ¿-Abtaster und Halteglied. Bei der Behandvon Abtastsystemen mit ¿-Abtaster und Halteglied lassen sich aber vorteilhaft die bekannten Methoden der Laplace-Transformation von Zeitfunktionen anwenden.

lung

Einführung

7.2

in die

z-

Transformâtion

Beschreibung und zum Entwurf von Abtastsystemen steht die zTransformation, ein Spezialfall der Laplace-Transformation angewandt auf Impulsfolgen, zur Verfügung. Zur

Definition

7.2.1

Bei der Beschreibung des Abtastvorganges ergibt sich chen Zeitfunktion f(t) eine Wertefolge (/t) oder eine

aus

Impulsfolgefunktion

fA(t)=tfk-6(t-k-TA)

(7.2.1)

k=0

Die

Laplace-Transformierte

dieser

der kontinuierli-

Impulsfolgefunktion ist:

FA{p)=£fk-e-kT*>

(7.2.2)

i=0

Geht man von der komplexen Variablen p über mit:

=

cj+jlj zur komplexen Variablen

z

z

so

=

wird

eTA" aus

Fz(z)

=

der

=

e°TA ¿"ta

(7.2.3)

.

komplexen Funktion FA(p)

[FA(p)]U.p_z £fk-z-k =

Ie

—z

t=o

die

=

komplexe Funktion Fz(z):

Z{fA(t)}

(7.2.4)

7.2

Einführung in die z-Transformation

325

Diese Funktion Fz(z) ist eine Potenzreihe in z mit negativen Exponenten. Sie wird z-Transformierte der Impulsfolgefunktion /¿(t) genannt. Der Index z bedeutet hier nicht eine partieUe Differentiation, sondern dient dazu, die Funktion Fz von der Funktion F bei der Laplace-Transformation deutHch zu unterscheiden. Man kann aber auch direkt von der Wertefolge (fk) zur z-Transformierten gelangen, indem man die Werte fk der Wertefolge als Koeffizienten einer Potenzreihe in z mit negativen Exponenten auffaßt:

Fz(z)

=

Z{(fk)}

=

E /* *"* •

k=0

(7-2.5)

Fz(z) auch als z-Transformierte der Wertefolge (fk) betrachWertefolge (fk) oder die Impulsfolgefunktion /¿(t) aus der Abtastung einer kontinuierHchen Zeitfunktion f(t), so kann man auch die komplexe Funktion Fz(z) als z-Transformierte der Zeitfunktion bezeichnen: Man kann also

ten. Stammt die

Fz(z)

=

Z{f(t)}

Im folgenden werden bei Wertefolgen keine Irrtümer zu befürchten sind.

7.2.2

(7.2.6) (fk) die Klammern weggelassen, wenn

Korrespondenzen

Die z-Transformation Hefert also zu einer gegebenen Impulsfolgefunktion oder Wertefolge die zugehörige z-Transformierte. Bei der Berechnung der z-Transformierten ist es im konkreten FaU meist einfacher, von der Wertefolge auszugehen. In TabeUe 7.2.1 sind die wichtigsten z-Transformierten den zugehörigen Zeitfunktionen, Wertefolgen und Laplace-Transformierten gegenüber gesteUt. Dabei gut stets:

f(t) =0

für t < 0

fk

für fc < 0

=

0

326

7. Abtastsysteme

TabeUe 7.2.1

Korrespondenzen der z-Transformation

/(*)

F(P) 1

(/*)

F,(z)

1(0

P

2-1

Tx

fcT,

(z iy -

2!

(fcîi)2

-

eakTA

„at

p

(z l)3

a

-

at

cos

2

p +ar

(p-bY + .

_2 a

b —

2

(p-b)2

+ a„2 ,

p-(Ina)/TA e-mTAP

cos

z2 -2z- cos aTA + 1 z2 -2z- cos aTA + 1

ebt

ebkTA sin akTA

cos

at

allTA

ebTA -sinaTA

z2-2z-ebTA-cosaTA + e2bTA

-

für fc für fc

=

m

^m

.

z2 -2z- ebTA

a

-

aTA aTA + e2bTA

cos

—

z

1 0

eJ>%a

z

—

6(t mTA)

aTA

—

ebkTA sin akTA

•

cos

z

akTA

ebt sin at -

2

sinaTA

sin akTA

sin at

p

aT»\2 (z eaTA) -

7 „2 ~¿ +a p

,

TA-e*TA

kTA eaklA

t-ea

(p-ay

2

eaTA

z

—

cos

7.2

Einführung in die z-Transformation

327

Zur Erläuterung der Korrespondenztabehe soll für Wertefolgen, die aus einfachen Zeitfunktionen hervorgehen, die z-Transformierte hergeleitet werden.

a) Sprungfunktion Sprungfunktion f(t)

Für die

=

l(r) lautet die zugehörige Wertefolge:

(/») (1, 1, 1,...) =

Somit

folgt

für die z-Transformierte:

=£fk- z~k

F,(z)

*=o

=

£ z~k

=

1+

z-1 + z-2 +

.

.

.

4=0

erhält man eine geometrische Reihe mit dem Quotienten q = z~l. Diese Reihe konvergiert für |g| < 1, also |z_1| < 1 und besitzt die Als

Ergebnis

Summe: ,-,

/

1

x

z

b) Exponentialfunktion Nun soll für die Exponentialfunktion f(t) mittelt werden. Die Wertefolge lautet hier:

eat die z-Transformierte

er-

—

(/*) {****) =

Für die z-Transformierte erhält

man:

Fm(z)= 4=0 EA-: -i =

f:eakTA.z-k=f:(eaTA.z-1)k k=0

k=0

wieder eine geometrische Reihe vor, jetzt mit dem Quotienten q eaTA z_1. Sie konvergiert für \eaTA z_1| < 1 und hat die Summe: Es

hegt

•

•

Fz(z)

=

=

*Ta ealA

z -

Der Sonderfall der enthalten.

Sprungfunktion ist in der Exponentialfunktion mit a

=

0

328

7.

Abtastsysteme

c) Anstiegsfunktion Schließlich soll noch die z-Transformierte der bestimmt werden. Die

(7t)

=

Wertefolge

Anstiegsfunktion f(t)

lautet:

t —

(0, TA, 2Ta, 3Ta, ...)

Für die z-Transformierte erhält

Fz(z)= =

=

man:

th-z~k

k=0

Taz'1 + 2TAz~2 + 3TAz~3 + Taz-1 (1 + 2z"1 + 3z~2 + ...)

...

Der Klammerausdruck ist keine geometrische Reihe, aber das Quadrat der bei der Sprungfunktion aufgetretenen Reihe, wie man durch ghedweises Ausmultiplizieren leicht erkennen kann. Somit folgt:

7.2.3

Rechenregeln

Zum Rechnen mit der z-Transformation sind in Tabehe 7.2.2 Rechenregeln zusammengestellt, die angeben, wie sich Operationen, die auf Impulsfolgefunktionen oder Wertefolgen angewendet werden, auf die zugehörigen z-Transformierten auswirken. Die Regeln entsprechen im wesentlichen den Regeln der Laplace-Transformation. Der Endwertsatz gilt nur dann, wenn hm /i endlich ist. Das Symbol z — 1 deutet an, daß bei diesem

Grenzübergang z aus dem Außenbereich des Einheitskreises gegen den

Punkt 1 der z-Ebene strebt. Zur Erläuterung sollen einige Rechenregeln wird auf [6] [7] [11] verwiesen.

hergeleitet werden.

Im

übrigen

a) Rechtsverschiebung Verschiebt

man

nach

-Ta, der Wertefolge: um n

(/*)

=

die Zeitfunktion f(t) um ein Vielfaches der Abtastzeit, also rechts, bildet also die Funktion f(t n Ta), so wird aus

(/o, /i, Ä,

•

—

....

/». •••)

329

7.2 Einführung in die z-Transformation

TabeUe 7.2.2

Rechenregeln für die z-Transformation Operation mit Wertefolgen

Satz

Linearität

ci

•

flk + c2 fnk

Operation mit z-Transformierten

Ci-Fiz(z) + c2-F„x(z) E f-m [Fz(z) + m=l

Rechtsverschiebung fk-n

Z-»

Linksverschiebung

Tk+n

E fm-z-m] zn-[Fz(z)- J7l=0

Rückwärtsdifferenz

fk

Vorwärtsdifferenz

Summation

•

n-1

-

fk+l E

m=0

fk-i

-

fk

z-1

Fz(z) f-i -

(z-l)-Fz(z)-fo-z

irï-Fz(z)

fr,

Dämpfung

fk-e^A

Fz(ze-aTA)

Differentiation der BUdfunktion

kTA fk

-TAz--Fz(z)

Faltung Anfangswert Endwert

Ë flm fllk•

m=0

Um

/o Um

k—>oo

Fiz(z)-Fnz(z)

fk

Fz(z)

HmKz-^.F.iz)]

z*

330

7. Abtastsysteme

Wertefolge:

die

(fk-n)

=

(/-», fl-n, /2-in

•

•

5

Zu)

•

•

•)

Dabei ist:

f_n

f(-n-TA)

=

fi_n

f(-(n-l)-TA)

=

Für die Herleitung ist ferner angenommen, daß z-transformierte verschobene Zeitfunktion gut:

Z{f(t-n-TA)}

f(t) j£ 0 für t < 0.

Für die

£f(k-TA-n-TA)-z-k

=

k=0

E/((fc-n)-^)-z-*

=

t=o

Setzt

man

k

n

=

—

i, spaltet die Summe auf und führt

m

=

—i

ein, folgt:

Z{/(i-n-T/4)}= E /(í-Tí4)-z-(I + ") ¿=—1

100

-1

E/(¿-^)-z-'+ i=-n E /(t-T^-z-4 J i=0

=

*--ÍF,(z)+£/(-m-ri|)-zml L

Entsprechend gilt

für die

J

m=l

Wertefolge:

Z{(fk.n)} Z-n-[Fz(z)+ m=l tf-ru-Zm] =

Falla

/(í)

=

0 für í

Z{(fk-n)} Die

Regel

=