Festigkeitslehre: Band 1 Elastizität, Plastizität und Festigkeit der Baustoffe und Bauteile 9783111709383, 9783111016276

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SAMMLUNG

GOSCHEN

BAND

1144

Festigkeitslehre ERSTER

BAND

Elastizität, Plastizität und Festigkeit der Baustoffe und Bauteile Von

Prof. Dr.-lug. Dr. rer. techn. e. h. Willy Gehler und

Dr.-Ing. liabil. Wolfgang Herberg Privatctozent an der Technischen Hochschule Karlsruhe

Mit 118 Bildern

D u r c h g e s e h e n e r

W a l t e r

und

de

e r w e i t e r t e r

G r u y t e r

N e u d r u c k

&

Co.

vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsb u c h h a n d l u n g • Georg Reimer • Karl J. T r ü b n e r • Veit & Comp.

Berlin 1952

A lie

R c c h t e , i n s b e s o n d e r e da« von der V e r l a f f s b a n d l u n g

Aichiv-Nr.

Cbersctzuagrecht, vorbchalten

111144

Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 3s Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Seite

I. E i n l e i t u n g und Grundbegriffe II. Zug und Druck

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1. Normalspannungen 2. Zugversuch und Spannungs-Dehnungs-Linie 3. Druckversuch 4.. Einflüsse auf die Zug- und Druckfestigkeit a) Einfluß des Kohlenstoffgehaltes b) Einfluß der Versuchsdauer 5. Das Hookesche Proportionalitätsgesetz 6. Das Potenzgesetz und die Elastizitätsmaße 7. Die Spannungs-Dehnungs-Linie für Baustahl im plastischen Bereich 8. Querdehnung und kubische Dehnang a) Querdehnung b) Die Querkontraktion beim Bruch c) Die kubische Dehnung 9. Die Kerbzähigkeit und die Stoßfestigkeit a) Kaltbiegeprobe und Kerbschlagversuch b) Das Bruchgefüge bei Stahl c) Die Versuche von W. Schwinning d) Die Kerbwirkung e) Die Trennfestigkeit f) Die Stoßfestigkeit 10. Die Wärmespannungen und das Schwinden und Kriechen von Beton A. Die Wärmespannungen B. Das Schwinden und Kriechen von Beton 11. Einfluß der Körpertemperaturen auf die Zugfestigkeit a) Bei Stahl b) Bei Beton 12. Zug und Druck in Stäben veränderlichen Querschnittes . . . . 13. Druckfestigkeit von Prismen 14. Druckfestigkeit bei Teilbelastung einer Fläche A. Ebene Flächen B. Gewölbte Flächen a) Kugel auf Kugel b) Kugel auf ebener Platte c) Walze auf Walze d) Walze auf ebener Platte 15. Dauerfestigkeit

17 19 25 25 25 27 27 28 31 34 .34 35 35 38 38 40 41 42 43 43 44 44 45 40 49 52 53 54 54 57 58 59 59 60 61

III. Schub 1. Begriff der Schubspannungen 2. Schubspannungen in Querschnitten 3. Schubspannungen am unendlich kleinen, rechtwinkligen parallel- 1 1 epiped 4. Zweiachsiger Spannungszustand 5. Schubspannung und Normalspännung 6. Der Verzerrungszustand und das Gleitungsmaß 73 7. Volumenelastizitätsmaß und hydrostatischer Druck "j> 8. Beziehungen zwischen E, O und Ev . . 7b 1*

4

Inhaltsverzeichnis

IV.

Biegung 1. Spannungen bei Biegung 2. Zusammenhang zwischen Biegemoment und Querkraft 3. Schubspannungen bei Biegung a) Größe der Schubkraft b) Verteilung der Schubspannunfien 4. Beton- und Eisenbetonbalken bei Biegung

V.

Seite 79 84 86 87 88 90

Verdrehung 1. Der volle Kreisquerschnitt 94 2. Anwendung 97 3. Hohle kreisförmige Wellen 97 4. Verdrehungsspannungen in nicht kreisförmigen Querschnitten . . 97 a) voller Ellipsenquerschnitt 97 b) Rechteckquerschnitt 98 5. Berechnungsergebnisse von C. Weber 98 6. Vergleich der Querschnitte 101 7. Die zylindrische Spiralfeder 101 8. Verdrehung von Beton- und Eiseubetonkörpern 104

VI. Z u s a m m e n g e s e t z t e F e s t i g k e i t e n 1. Grundlagen 105 a) Trägheits- und Zentrifugalmomente für Schwerachsen lind parallele Achsen 105 b) Trägheits* und Zentrifugalmomente für gedrehte Achsen . . . 105 c) Trägheitsellipse 107 d) Trägheitskreis nach Mohr 108 e) Hauptträgheitsachsen 108 f) Trägheitsfestpunkte 111 g) Widerstandsmomente. . 112 2. Biegung und Normalkraft 112 A. Die allgemeine Spannungsverteilung 112 a) Die drei Grundbeziehungen 112 b) Ermittlung der Nullinie und der Spannungsverteilung . . 112 c) Sonderfälle 116 d) Verbindung beider Sonderfälle 117 e) Allgemeiner analytischer Ausdruck für die Spannung . . . 1 1 8 B. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen 120 Der Spannungskreis nach Mohr in Beziehung zum Prisma und die gefährlichste Lage von Schrägschnitten a) Allgemeine Spannungsermittlung 120 b) Hauptspannungen 122 C. Der Spannungskreis nacli Mohr in Beziehung zur Elementarkugel 124

VII.

Kern 1. Begriffserklärung 2. Ermittlung des Kernes verschiedener Flächen a) Rechteck b) Kreis c) Gleichschenkliges Dreieck d) Beliebiger Umriß für Hauptachsen e) Hauptachsen und Kern beim Winkeleisen 3. Kern und Spannungsverteilung beim Rechteck a) Ermittlung der Randspannungen b) Kernpunktsmomente

128 130 130 131 131 132 132 136 135 13Ö

Inhaltsverzeichnis

5

Seite 4. Die reziproken Beziehungen zwischen Nullinie und Kraftangriffspunkt 139 a) Die Gleichung der Nullinie 139 b) Nullinie und Trägheitsellipse 140 c) Ermittlung der Spannungsverteilung mittels Zentralellipse . . 141 d) Kraftangriffspunkte paralleler Nullinien 142 e) Kraftangriffspunkte für Drehung der Nullinie um einen Pol. 143 f) Kern» Zentralellipse und Spannungsverteilung beim Rechteckquerschnitt 145 5. Die Lage der Nullinie bei fehlender oder versagender Zugzone . . 147 a) Allgemein 147 b) Rechteckquerpchnitt 148 6. Zeichnerisches Verfahren nach ü . Mohr zur Bestimmung der Nulllinie bei fehlender Zugzone 149 7. Zeichnerisches Verfahren nach Spangenberg 151 Sachregister 159

Schrifttum 1. G e h l e r , W., Anwendung des hochwertigen Baustahles im Eisenbetonbau. Vorbericht IIc des Internationalen Brückenkongresses, Berlin 1936. Ernst u. Sohn. 2. G e h l e r , W., Hypothesen und Grundlagen für das Schwinden und Kriechen von Beton. „Bautechnik" 1938, H. 30. 3. Memmler,Materialprüfungswesen, Sammlung GöschenNr.311 bis 313. 4. H o y e r , E., Der Stahlsaitenbeton. Otto Eisner Verlagsgesellschaft, Berlin-Wien-Leipzig 1939. 5. G e h l e r , W., Sicherheitsgrad und Beanspruchung. Bericht über die Internationale Tagung für Brückenbau in Wien. 1929, J . Springer. 6. G e h l e r , W., Festigkeit, Elastizität und Schwinden von Beton und Eisenbeton. Bericht des Internationalen Materialprüfurigs-Kongresses in Zürich 1932. 7. S c h w i n n i n g , W., u. M a t t h a e s , K., Die Bedeutung der Kerbschlagprobe. Deutscher Verband für die Materialprüfung der Technik, Heft 78. 8. D i s c h i n g e r , F., Untersuchungen über die Knicksicherheit, die elastische Verformung und das Kriechen des Betons bei Bogenbrücken. „Der Bauingenieur" 1937. 9. W e d l e r , K r i s t e n , H e r r m a n n , Brandversuche mit belastesten Eisenbetonbauteilen und Steineisendecken. Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 89. 10. G e h l e r , W., Würfelfestigkeit und Säulenfestigkeit. „Der Bauingenieur" 1928. 11. T i m o s h e n k o - L e s s e l l s , Festigkeitslehre. J. Springer, Berlin 1928. 12. W e b e r , C., Die Lehre von der Verdrehungsfestigkeit. Forschungsheft Nr. 249 des V . D . I., 1921. 13. M e h r t e n s , Statik und Festigkeitslehre. Verlag von Wilhelm Engelmann, Leipzig 1909. 14. Mohr, 0., Abhandlungen aus dem Gebiete der Technischen Mechanik. 3. Auflage. W. Ernst u. Sohn, Berlin 1928. 15. S p a n g e n b e r g , H., Graphische Ermittlung der Normalspannungen in geraden Stäben nach einem einheitlichen Verfahren für homogene Querschnitte, für Querschnitte ohne Zugfestigkeit und für Eisenbetonquerschnitte. „Der Bauingenieur" 1925, H. 10.

I. Grundbegriffe der Festigkeitslehre A. Die Festigkeitslehre behandelt die E l a s t i z i t ä t , P l a s t i z i t ä t und die F e s t i g k e i t der B a u s t o f f e , d e r B a u t e i l e u n d i h r e r V e r b i n d u n g s m i t t e l auf Grund elastostatischer Berechnungen u n d versuchsmäßiger Erkenntnisse. Die E l a s t o s t a t i k geht von einfachen, klassischen Hypothesen der Elastizitätslehre aus, die als erste Annäherung in der Regel praktisch hinreichend zutreffen, und wendet sodann die bekannten Mittel der Statik der bestimmten und unbestimmten Grundformen an. Solche grundlegende Hypothesen sind z. B. die Annahme der gleichmäßigen Spannungsverteilung beim mittig gezogenen oder gedrückten Stab und das Elastizitätsgesetz von Hooke (1665), sowie das Ebenbleiben der Querschnitte im gebogenen Balken nach Bernoulli und Navier (1826). D i e B a u s t o f f e i g e n s c h a f t e n werden durch die K e n n z i f f e r n berücksichtigt, die hauptsächlich infolge der Forschungstätigkeit des deutschen Versuchswesens (seit Bauschinger und Bach 1880) in ihrer Mannigfaltigkeit erkannt und bestimmt worden sind. Diese Baustoff-Kennziffern sind aber nur selten praktisch unwandelbare Festwerte (wiez.B. diebeiden einzigen ___, Grundgrößen der Elasti- A ^ zitätfür Baustahl, nämlich das Elastizitätsmaß E und Bild l . Streuungen von Versuchswerten, die Querdehnungszahl m). Wären sie nur von einer Veränderlichen abhängig, so daß jedem Wert x ein bestimmter Wert y zugeordnet wäre, so bestünde ein eindeutiger f u n k t i o n e l l e r Z u s a m m e n h a n g y = f(x), der nach Bild 1 durch eine einzige Linie ABC dargestellt würde. Aber selbst bei dem vollkommensten von Menschenhand erzeugten Baustoff, dem Baustahl, nehmen wir

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Grundbegriffe der Festigkeitslehre

S t r e u u n g e n , also Abweichungen vom Mittelwert bis etwa ± 7% infolge kleiner Unterschiede in der chemischen Zusammensetzung und beim Herstellungsverfahren in Kauf. Daher schreiben wir mit Rücksicht auf die Sicherheit M i n d e s t w e r t e der K e n n z i f f e r n vor. Falls diese Kennziffern von mehreren Veränderlichen abhängen, sind diese Streuungen noch viel größer (wie z. B. bei der Würfel-Druckfestigkeit y von Beton, die von etwa 4 verschiedenen Größen xx bis xi stark beeinflußt wird, siehe unter II, 13). Es handelt sich dann um einen nur k o r r e l a t i v e n Z u s a m m e n h a n g zwischen y und x. Bei genügender Zahl von Versuchen kann nach Gauß (1809) oder Galton (1888) dem Begründer der Korrelationslehre, der Grad der korrelativen Verwandtschaft statistisch genau berechnet und eine Unterteilung in primäre Einflüsse (z, B. x1 und x2) und sekundäre (z. B. x3 und x4) vorgenommen werden. Eine rechnerische Vorausbestimmung von y, bei der sämtliche Einflüsse xx bis xA genau bekannt sein müßten, scheidet dann praktisch aus, so daß nur die versuchsmäßige Feststellung (z. B. durch die bekannte Druckwürfel-Prüfung) übrig bleibt. Die praktischen Aufgaben des Bauwesens erfordern somit eine enge Verbindung von Festigkeitsberechnungen, grundlegenden Versuchen und Kontrollprüfungen. Während die sogenannte mathematische Elastizitätslehre nur die rein elastischen Eigenschaften erfaßt, treten in Wirklichkeit zu den elastischen oder federnden Dehnungen e noch die bleibenden oder plastischen Dehnungen rj hinzu, so daß die gesamten Dehnungen (1)

d =

e +

n

sind. Bei einem rein elastischen Vorgang kann in „umkehrbarer" Weise beim Entlasten die in Formänderungsarbeit umgesetzte Energie vollkommen wieder gewonnen werden. Treten dagegen plastische Verformungen auf, so geht der zugehörige Energieanteil verloren, genau so wie die in der Regel nicht gemessenen Energieanteile, die in Magnetismus, Elektrizität oder Wärme verwandelt werden und im Weltall verflüchtigen.

G r u n d b e g r i f f e der Festigkeitslehre

9

t

3

2

Bild 2. Gleichgewichtslagen eines Kristallites.

tIT2 Bild 3. Kräfte Im Schnitt eines gezogenen Stabes.

Durch ein Modell nach Bild 2 kann man veranschaulichen, wie ein Kristallit eines Stahlstabes aus der Gleichgewichtslage 1 durch eine äußere Kraft in die Gleichgewichtslage 2 gebracht und an seinem Fußpunkt eine i n n e r e R e i b u n g erzeugt wird. Infolge dieses Energieverlustes geht er dann beim Entlasten nur bis zur Lage 3 zurück, so daß bleibende Verformungen entstehen. B. Die drei Forderungen der Festigkeitslehre sind: die Körper dürfen unter der Nutzlast nicht brechen, sie dürfen ihre Form nur in zulässigen Grenzen ändern und sie sollen möglichst wirtschaftlich gestaltet sein. Meßbar an einem belasteten Körper sind nur die Verschiebungen oder Verdrehungen, welche die Formänderungen beschreiben. Diese rufen in festen Körpern zwangsläufig innere Spannungen hervor. Zu jedem Spannungszustand gehört somit ein bestimmter Verformungszustand und umgekehrt. Zur Bestimmung der inneren Kräfte oder Spannungen wird entweder die Kraftwirkung in dem Querschnitt eines Stabes oder die Gesamtheit der Kräfte betrachtet, die auf einen unendlichen kleinen Elementarkörper (sei es Würfel oder Kugel) wirken ( S c h n i t t - V e r f a h r e n , E l e m e n t a r körp er-Verfahren). a) S c h n i t t - V e r f a h r e n . Auf einen Stab der Länge l (Bild 3), der zunächst in Ruhe sei (Gleichgewichtszustand 1), mögen in der Zerreißmaschine zwei äußere Kräfte P ausgeübt werden, die sich gegenseitig aufheben, also gleichgroß und entgegengesetzt gerichtet sind und in einer Geraden liegen. Diese Kräfte mögen von Null bis zu einem End-

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Grundbegriffe der Festigkeitslehre

wert wachsen. Dann erleidet der Stab eine Verlängerung AI und kommt wiederum zur Ruhe (Gleichgewichtszustand 2). Denkt man sich den Stab durch einen beliebigen Schnitt getrennt,so müßten dann im Schnitt i n n e r e K r ä f t e P ( wirken, die das Gleichgewicht für Stabteil I wieder herstellen, so daß allgemein die g e o m e t r i s c h e S u m m e der ä u ß e r e n K r ä f t e (P„) gleich der der i n n e r e n K r ä f t e (P^) sein muß. (Geometrisch summiert heißt: nach dem Parallelogramm der Kräfte zusammengesetzt; im Gegensatz zu algebraisch summiert.) Mit diesem gedanklichen Hilfsmittel führt man unser Problem auf eine einfache Aufgabe zurück und umgeht die Erörterung der bisher noch wenig erforschten Molekularkräfte, deren Vorhandensein aus einer Reihe von Beispielen hervorgeht (z. B. Spannungen beim Abkühlen gewalzter Träger oder geschweißter Stahlbauteile, sowie die Schwindspannungen im Beton). Man erfaßt dabei durch die Messung der Formänderung aber nur die V e r ä n d e r u n g e n zwischen den Gleichgewichtszuständen 1 und 2, ohne den Zustand 1 überhaupt zu kennen. Da diese Molekularkräfte von elementarer Gewalt sein können, sollen sie durch die Zusammensetzung des Baustoffes, durch das Erzeugungsverfahren und die Formgebung grundsätzlicli möglichst klein gehalten werden. Die schräge innere Kraft dR, die auf ein Flächenteilchen dF des Schnittes in Bild 3 wirkt, kann nach den 3 Koordinatenachsen x, y, z in drei Seitenkräfte zerlegt werden und zwar in die Normalkraft dS und die beiden Schubkräfte dT1 und dT2. Teilt man diese Kräfte durch dF, so erhält man die sogenannten S p a n n u n g e n (in kg/cm 2 ), also rechtwinklig zu dF die N o r m a l s p a n n u n g e n (Zug positiv oder Druck negativ) a =

und die Schubspannungen, die die rechnedF rischen Grundgrößen der Festigkeitslehre bilden dT, , dT. Tl = dF U ~ llF b) E l e m e n t a r w ü r f e l - V e r f a h r e n . Bei einem unendlich kleinen Würfel der Seitenlänge dx mit dem Schwerpunkt m stellen die sämtlichen an seiner Oberfläche wirkenden

Grundbegriffe der Festigkeitslehre

11

6 • 3 = 18 Spannungen a und r den Sp annungszus tan d des materiellen Punktes m dar (Bild 4). Zunächst sind parallel zu den Koordinatenachsen die Normalspannungen a x , a y , a z vorhanden und heben sich jeweils in den einander gegenüberliegenden Flächen auf. Sodann gehören zu jedem a zwei . Schubspannungen (r, und t 2 ), die z hier durch einen Doppelzeiger be- B i U 4 Z 2 3 e " i m zeichnet werden. Bei x xz z. B. gibt der erste Zeiger x an, zu welcher Normalspannung (hier ax) x gehört und der zweite Zeiger z zu welcher Koordinatenachse r parallel läuft. Aus diesen Betrachtungen am Elementarwürfel oder -quader werden später die allgemeinen Beziehungen zwischen Spannungen und Formänderungen abgeleitet, die zur Berechnung der Spannungen bei den verschiedenen Fällen der Festigkeit verwendet werden. C. Die F e s t i g k e i t eines B a u k ö r p e r s ist diejenige Spannungsgrenze, bei der seine Zerstörung beginnt. Sie hängt von der Körperform (Stab, Platte oder Block), vom B a u stoff (z. B. Baustahl, Beton, Holz oder Mauerwerk) und von der Anordnung der äußeren Kräfte ab, die durch folgende vier einfache F e s t i g k e i t s f ä l l e gekennzeichnet werden. Zwischen zwei Nachbarquerschnitten, die eine Scheibe von der unendlich kleinen Dicke dx begrenzen, beobachte man einen Würfel von der unendlich kleinen Kantenlänge dx, dy, dz (Bild 5), im besonderen die gegenseitige Bewegung der in die Nachbarquerschnitte fallenden Würfelflächen. Denkt man sich die in der YZ-Ebene liegende linke Seitenfläche I des Würfels festgehalten, so können die vier einfachen Festigkeitsfälle durch folgende Bewegungen der rechten Seitenfläche I I veranschaulicht werden (Bild 5a bis d). a) N o r m a l f e s t i g k e i t . Hierzu gehören die Zug- und die D r u c k f e s t i g k e i t , bei denen nur Normalspannungen a vorkommen. Sie entstehen, wenn sich die äußeren Kräfte zu einer

12

Grundbegriffe der Festigkeitslehre y

c.

7

d:

Bild 5a bis d. Die 4 einfachen Festigkeitsfälle.

Resultierenden zusammenfassen lassen, die durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche führt und mit der Stabachse zusammenfällt. Die ursprüngliche Kantenlänge dx wird um A dx verlängert, wobei sich die Fläche I I parallel zur X-Achse verschiebt (Bild 5a). Dann entstehen p o s i t i v e N o r m a l s p a n n u n g e n o d e r Z u g s p a n n u n g e n a (umgekehrt bei Verkürzung um A dx n e g a t i v e N o r m a l s p a n n u n g e n o d e r D r u c k s p a n n u n g e n er). Das Verhältnis A dx:dx = 6 heißt Längsdehnung, die bei Zug positiv, bei Druck negativ ist. b) S c h u b f e s t i g k e i t . Bei ihr kommen nur Schubspannungen r vor. Sie entsteht, wenn die äußere Kraft in der Querschnittsfläche liegt. Die Fläche I I verschiebt sich gegen Fläche I ohne den Abstand dx zu verändern, wobei die quadratische Ansichtsfläche in einen Rhombus übergeht, sich

Grundbegriffe der Festigkeitslehre

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also der rechte Winkel um den Betrag y, die sog. „Gleitung" ändert. Die entstehenden S c h u b s p a n n u n g e n x liegen in den entsprechenden Würfelflächen (Bild 5 b). c) B i e g e f e s t i g k e i t . Dreht man die Fläche II um eine Achse a—a, die in der Querschnittsfläche I liegt, so wird im oberen Teil des Würfels der Abstand dx beider Flächen verkürzt und im unteren Teil vergrößert. Dann entstehen Bieges p a n n u n g e n , ' die schräg zur Querschnittsebene gerichtet sind und in Normalspannungen a und Schubspannungen r zerlegt werden können. d) V e r d r e h u n g s s p a n n u n g e n . Wird Fläche II um eine Achse X! in der X-Richtung gedreht, ohne daß sich ihr Abstand dx von I ändert, so entstehen im Querschnitt Schubspannungen T, die man V e r d r e h u n g s s p a n n u n g e n nennt; e) K n i c k f e s t i g k e i t . Sie ist wie das Kippen und Beulen ein Stabilitätsproblem. Deshalb sollte man in diesen Fällen streng genommen nur von S i c h e r h e i t gegen Knicken, Kippen und Beulen sprechen, nicht aber wie es üblich ist z. B. auch von Knickfestigkeit oder Knickspannungen, die hier keine physikalische, sondern nur rechnerische Bedeutung haben (s. Band II). Tritt einer dieser Festigkeitsfälle mit einem anderen oder mehreren zusammen auf, so spricht man von z u s a m m e n g e s e t z t e r F e s t i g k e i t . Der wichtigste dieser Fälle ist die Vereinigung von Normalfestigkeit und Biegefestigkeit. Nach dem Erfahrungsgesetz und der gegenseitigen Unabhängigkeit verschiedener Kraftwirkungen darf man einen zusammengesetzten Belastungsfall irt einfache Fälle zerlegen und die für jeden von diesen berechneten gleichartigen Spannungen eines Punktes addieren ( S u p e r p o s i t i o n s p r i n z i p ) . Dies gilt aber nur im sog. elastischen Bereich, wenn also rj = 0 ist (s. Gl. 1). Ein Bauteil kann aber außer nach diesen vier Festigkeitsarten auch dadurch zerstört werden, daß seine S t a b i l i t ä t versagt und z,war im einfachsten Falle durch Umkippen (z. B. durch Winddruck), oder durch K n i c k e n eines gedrückten Einzelstabes (wie bei vielen Unfällen im Stahlbau), oder durch Beulen einer stark beanspruchten Blechwand (wie bei hohen,

14

Grundbegriffe der Festigkeitslehre

nicht ausreichend versteiften Blechträgern), oder endlich durch A u s k i p p e n dünner, auf Biegung beasnpruchter Träger (wie bei dem Modell einer eingespannten, auf die hohe Kante gebogenen Reißschiene). D. Die D a r s t e l l u n g s w e i s e von VersuchSergebnissen. Die drei Grundgrößen der Mechanik: Weg, Kraft und Zeit werden zweckmäßig in drei Koordinatenrichtungen aufgetragen und zwar als bezogene Größen, also waagerecht x als D e h n u n g Al:l = ö (in H. T.), lotrecht y als S p a n n u n g a= P:F (in kg/cm2) und waagerecht z als absolutes Zeitm a ß Z (in sec), oder auch gemessen durch die Anzahl n von gleichartigen Schwingungen. Würde man beim Zugversuch die Kraft-Verlängerungslinie (in absoluten Maßen, also die Kraft P in kg und den Weg AI in cm) nach Bild 6a auftragen, so erkennt man, daß ein Flächenteilchen dF = y • dx die Dimension Kraft • Weg = A r b e i t hat und somit eine Energiegröße angibt. Bei der gebräuchlichen Darstellung der bezogenen Werte a = P:F und ö =Al:l der S p a n n u n g s - D e h n u n g s - L i n i e (Bild 6 b) ist dF = y • dx ebenfalls eine Arbeits- oder Energiegröße, weil a in kg/cm2 und b in H. T. gemessen wird, also dF =a • dö — kg/cm2 • — = die „ L a d u n g eines cm3 cm . cm3 mit p o t e n t i e l l e r E n e r g i e " darstellt. Durch f o l g e n d e b e s o n d e r e | D a r s t e l l u n g s v e r f a h r e n lassen sich oft die verwickelten Zusammenhänge aus den beobachteten Versuchsergebnissen leichter erkennen.

Grundbegriffe der Festigkeitslehre

Bild 7a'und b. Verwandlung einer Hyperbel in eine Gerade durch Auftragen der reziproken Werte von x.

15

Bild 8a und b. Entwicklung des Leistungs-Diagrammes aus der Spannunge-Dehnungs-Linie.

a) A u f t r a g e n der r e z i p r o k e n Werte. Ergibt sich aus den Versucliswerten ¿die bekannte gleichseitige Hyperbel x • y~= K (Bild 7 a), so erhält man durch Auftragen des

1 * x

K. x F gehende Gerade. (Beispiel: x = f.i = " = sog. BcwehrimgsFb

Wertes £ = - mit der Gleichung y — — = K • f eine durch 0

Verhältnis von Eisenbetonbalkcn und y = aeR = Eisenspannung beim Auftreten der ersten Risse im Beton) 1 ). Trägt man in Bild 8 an Stelle der Zeit Z in sec die Werte

f = ~ = k • v und als Ordinaten im Seitenriß jeweils den

£i

Flächeninhalt A des Flächenstückes (z. B. J . n ) zwischen der Spannungs-Dehnungs-Linie und der ¿-Achse auf, so stellt das Rechteck L = Au • \ die Leistung dar. Dabei ist £ = \ — k • v, Z / wenn v die Geschwindigkeit und k einen Festwert bedeuten. b) A u f t r a g e n der l o g a r i t h m i s c h e n Werte. Durch den Rechenschieber ist allgemein bekannt, daß man durch Auftragen der Logarithmen anstatt der Zahlenwerte die Intervalle z. B. zwischen 1 und 2 künstlich stark dehnt, dagegen die zwischen großen Zahlen, z. B. 9 und 10, stark verkürzt. Hierdurch ergibt sich ein willkommenes Mittel, große Zahlenwerte sehr zusammenzudrängen und insbesondere „die Zeit zu raffen". Beispiel: Wird die Würfelfestigkeit W j einer bestimmten Betonsorte nach 7, 28, 45 . . . 365 Tagen festgestellt und ') ». W. Gehler, Schrifttum Nr.(l), S. 265.

Grundbegriffe der Festigkeitslehre

16

aufgetragen, so erhält man die Tf ¿-Zeit-Linie des Bildes 9 a. Trägt man dagegen £ = log Z auf, so ergibt sich eine Parabel,' deren Scheitel E im Endlog 2 x=Z(Tage) wert liegt, die also zu Bild 9 a und b. Verwandlung der Würfel„konvergierend festigkeit-Zeit-Linie in eine Parabel durch diesem Auftragen der logarithmischen Werte der Zeit. abklingt" 2 ). (In anderen Fällen wächst die Parabel ins Unendliche, wie z. B. bei der Verstimmung stark gespannter Klaviersaiten.) Anstatt nur eine Achse logarithmisch zu verzerren, kann man auch nach beiden Achsen die logarithmischen Werte auftragen, zweckmäßig unter Verwendung von logarithmischem Papier (wie z. B. zur Ermittlung des Elastizitätsmaßes beim Potenzgesetz, s. Gl. 12, oder wie bei der Auswertung von Dauerfestigkeits-Versuchen nach der sog. Wöhler-Linie). c) Die sogen. N e n n e r - T r a n s f o r m a t i o n . Findet man öeim Auftragen der Versuchswerte z. B. eine Hyperbel dritten 4 = A als0 eine dop Grades von der Form y = Y+ßx+Ctf a>' " pelt gekrümmte Linie mit einem Wendepunkt W (Bild 10 a), so kann man hieraus eine einfache Parabel (Bild 10 b) mit dem Scheitel in D erhalten, wenn man als Ordinaten co = — und als Abszissen wiederum x aufträgt, weil dann

Bild 10a und b. Verwandlung einer Hyperbel in eine Parabel durch Nennertranaformation. 2

) s. W. Gehler, Schrifttum Nr. 2, S. 393, Abb. 13.

y

Normalspannungen

17 2

co = l + B-x + C-x

eine Parabel darstellt. Anwendung bei der sogen. Knickspannungs-Linie (der ovA-Linie) nach den neuen Knickvorsehriften Din 4114 3 ). Lautet im besonderen Falle diese Pa-

A A Ii = — a> C • x2 x2

rabel a> = C • x2, so ist y = - — - -

(wie z. B. bei

der bekannten Euler-Hyperbel y • x2 = K der Knickspannungslinie). Würde dagegen co = B • x sein, also

= 4: = _4_ = K ^ a> B • x x' so würde sich wiederum Bild 7 a und 7 b ergeben (mit a> an Stelle von y und x an Stelle von Die reziproke Auftragung (s. unter a) ist somit ein Sonderfall dieser Nenner-Transformation. Da die versuchsmäßig festzustellenden Gesetzmäßigkeiten um so leichter praktisch nutzbar gemacht werden können, je einfacher diese mathematischen Beziehungen sind, gilt es zunächst die primär bedeutsamen Veränderlichen zu erkennen (gegebenenfalls auf Grund der Großzahlforschung mit Hilfe der Korrelations-Theorie, s. unter I, A) und sodann unter Benutzung einer der hier erörterten Darstellungsweisen die Gleichungen möglichst zu vereinfachen.

II. Zug und Druck 1. Normalspannungen Wirdein genau prismatischer Stab aus homogenem Baustoff durch eine in Richtung der Verbindungslinie der Schwerpunkte seiner Querschnittsflächen F wirkende Kraft beansprucht, so sind in einem beliebigen Querschnitt a—a die Spannungen gleichmäßig verteilt anzunehmen und haben die Größe

p

(2)

a

=

') DIN E 4114 Knick- und Beulvorschriften für Baustahl. S. a. „Erläuterungen" dazu von Prof. Dr. Chwalla und Prof. Dr. Gehler (s. Stahlbau 1940). G e h l e r , Festigkeitslehre I.

TP • Bild 11. Prismatischer Zugstab.

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Zug und Druck

Sie heißen Normalspannungen. Da in der Festigkeitslehre die Einheit der Kraft 1 kg und die Einheit der Fläche 1 cm2 ist, werden die Spannungen in kg/cm2 ausgedrückt. Die gleichmäßige Verteilung der Spannungen über einen Querschnitt ist eine Annahme, ¡die nie vollkommen zutrifft. Man kommt ihr am nächsten, wenn man erreicht, daß alle zur Stabachse parallelen Fasern gleiche Längenänderungen erleiden, d. h. daß alle StabquerBild 12. schnitte auch nach der Verformung eben Spannungen im schrägschnitt und rechtwinklig zur Stabachse bleiben. Nicht eines Zugstabes, genau prismatische (oder auch gekerbte zylindrische) Stäbe können nie solche-gleichmäßig verteilte Spannungen aufweisen, weil ihre Längsfasern von ungleicher Länge sind und demgemäß ungleiche Längenänderungen erleiden. Führt man durch den homogenen prismatischen Stab einen ebenen Schrägschnitt c—d im Winkel« gegen die Stabachse F (Bild 12), so hat seine Fläche die Größe F, = -— und die cos« Spannungen in der Stabachsenrichtung betragen p

p

(3)

a^ = =- = a • cosa.

Werden diese Spannungen in zwei rechtwinklige Komponenten der Richtung N und T zerlegt, so ergeben sich die Normalspannungen a N und die Tangentialspannungen a T des Querschnittes zu CTA-= CT • cos2« , (4 a) . ff-sin 2« (4b) a T =CT• cos« • sin« = — — — . Li,

Eine gleiche Längenänderung der Stabfasern geht auch dann verloren, wenn die Querdehnungen (s. Abschn. II, 8) an irgendeiner Stelle eine merkliche Größe erreichen. Zum Verhalten eines Stabes unter D r u c k k r ä f t e n ist noch zu erwähnen, daß seine Schlankheit, d. i. das Verhältnis

Zugversuch und Spannungs-Dehnungs-Linie

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des Stablänge l zur kleinsten Dicke d, von Bedeutung ist. Übersteigt die Schlankheit l:d einen gewissen Wert, so wird der Stab unter der Drucklast nicht axial zusammengedrückt, sondern knickt aus. Das Knicken entsteht durch die plötzliche Veränderung des Gleichgewichtszustandes der Moleküle unter der Druckkraft und ist ein Stabilitätsproblem. 2. Zugversuch und Spannungs-Dehnungs-Linie

Der übliche Zugversuch wird bei Flußstahl mit einem Normalrundstab von 20 mm Durchmesser und 20 cm Meßlänge durchgeführt. Die Stäbe werden in der Regel abgedreht, so daß an den Enden Verdickungen stehen bleiben können, die zur Einspannung dienen. Das im Eisenbetonbau verwendete Moniereisen wird jedoch mit Walzhaut (also nicht abgedreht) geprüft, wobei Beißkeile die Einspannung herstellen. Wird ein solcher Stahlstab in die Zerreißmaschine einge-, spannt und stufenweise belastet, so kann bei jeder L a s t s t u f e P die S t a b v e r l ä n g e r u n g AI gemessen werden. Bis zur Proportionalitätsgrenzeffp =

r

die praktisch genau

genug mit der E l a s t i z i t ä t s g r e n z e zusammenfällt,gehen bei Entlastung die Längenänderungen wieder auf Null zurück, d. h. es treten noch keine bleibenden Dehnungen t] ein, sondern nur rein elastische Dehnungen e (s. Gl. 1). Die gesamten Dehnungen d = e sind dann den Spannungen noch proportional. Zeigen die Messungen, daß dieses Proportionalitätsgesetz e:cr=const. nicht mehr zutrifft, so ist die Proportionalitätsgrenze o P (kurz P-Grenze genannt) überschritten. Bei weiterer Belastung nehmen die Dehnungen stark zu, so daß man sie schon mit bloßem Auge wahrnehmen kann. Dann ist die F l i e ß g r e n z e a F (oder die Streckgrenze a s ) erreicht. Auf dem Stab zeigen sich dann häufig feine Linien, sog. Fließfiguren, die mit der Stabachse einen Winkel von 45° bilden und sich gegenseitig unter 90° kreuzen. Mit Fortsetzung des Zugversuches kann die Last noch beträchtlich gesteigert werden, weil im Stabe eine innere Verfestigung eintritt. Die Dehnungen wachsen stark an und 2*

Zug und P r a c k

20 (keicm>)

,0Ü _

5

JO

15

20

25

30

l.rniW

Bild 13. Spaimungs-Dehnungs-Linie für Baustahl St. 37 und für hochwertigen Baustahl S t . 52.

bei Punkt I I I (Bild 13) wird die B r u c h f e s t i g k e i t Ob erreicht. Dabei zerreißt der Stab nicht im Augenblick der Höchstbelastung, sondern erst später, nachdem er sich noch weiter stark gedehnt und an einer Stelle stark eingeschnürt hat, wobei die Spannung infolge der Zerrüttung des Baustoffes bis zum Punkt IV beträchtlich absinkt. Nach dem Zerreißen wird die größte Dehnung als B r u c h d e h n u n g dg gemessen4). Trägt man die Lasten (in kg) und die gefundenen Verlängerungen AI in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf (Bild 6a), so erhält man die L a s t - V e r l ä n g e r u n g s L i n i e . Zweckmäßig werden jedoch die Spannungen a = P:F (in kg/cm 2 ) und die Verhältnisse der Verlängerungen zur Stablänge, die sog. D e h n u n g e n E = Al:l, berechnet und diese Werte als Spannungs-Dehnungs-Linie aufgetragen (Bild 13). Dabei werden die Spannungen a = P :F auf den ursprünglichen Stabquerschnitt F bezogen (s. Linienzug I—IV). Würde man sie dagegen auf den durch die Querdehnung sich verkleinernden Stabquerschnitt F' beziehen, so würde man im Zerrüttungsbereich das ansteigende Linienstück I I I — I V ' erhalten. ') s. Memmler. Schrifttum Nr. 3.

Zugversuch und Spannungs-Delinungs-Linjo

21

Zahlenmäßig ergeben sich für den Zugversuch mit Flußstahl Normalgüte (St. 37): 1. Bruchfestigkeit: a B = 3700 4- 4300 kg/cm2, (die Bezeichnung der Stahlsorte stammt von der Mindestbruchfestigkeit. St. 37 hat o B m i n = 37 kg/mm2 = 3700 kg/ cm 2 ), 2. Bruchdehnung: = - 2 0 bis 30 H. T., 3. Streck- oder Fließgrenze: = 0,8 • a s rd. 2000 kg/cm2. Im Proportionalitätsbereich der Spannungs-Dehnungs-Linie ist die Neigung der Tangente an diese Linie konstant und ergibt das E l a s t i z i t ä t s m a ß E in diesem Bereich: (5)

E=°

e

= tantx 1 = const. = 2100000 kg/cm2.

Außerhalb der P-Grenze ist tan« für jeden Wert von a verschieden und damit auch diese Kennziffer Ea = tan«. Das konstante Elastizitätsmaß E ist eine Kennziffer für die elastische Dehnung oder die Zusammendrückbarkeit der verschiedenen Baustoffe, also ein Maß für die Elastizität und hat dieselbe Dimension wie die Spannungen (weil E = er: e und e eine unbenannte Zahl ist). Sie bildet den ersten B a u s t o f f f e s t w e r t und wird für die verschiedenen Baustahlsorten auf Grund von Versuchen konstant angenommen zu 2100000 kg/ cm 2 (obwohl sie etwa zwischen 2160000 und etwa 2050000 kg/ cm 2 schwanken kann). Taf. 1 zeigt die im allgemeinen angenommenen Spannungswerte ffs und Oß, die Bruchdehnungen und eine Güteziffer aB • für die Stahlsorten St. 37 und St. 52. Tafel 1. Baustahl

a

kg/cm a

Ji

> °B

kg/cm 3

i.M. kg/cm'

*B

in H . T . i-M.

"zul kg/cm !

Güteziffer a

B

Ö

B

kg/cm 2

St.

37

2400

3700-4300

4000

20—30

26

1400

1040

St.

52

3600

5200-0000

5600

20—28

24

2100

1350

22

Zug und Druck

Die in Tai. 1 ebenfalls angeführten zulässigen B e a n s p r u c h u n g e n ffzul sind die für den Konstrukteur maßgebenden Spannungen und betragen im Stahlhochbau nach DIN 1050 (Juli 1937) für den sog. Belastungsfall 1 (Hauptkräfte, nämlich ständige Last und Verkehrslast | einschl. Schnee) (für St. 37) hervor ? Die größte Spannung aus Eigengewicht tritt im Punkt A auf mit

J

4h

F - h - y

G

"T

F

F

:

m • t

= 3,00 • 7,85

• 23,55 t/m 2 . Mit der Bruchspannung a B = 3700 kg/cm 2 = 3,7 t/cm 2 = 3,7 • 104 t/m 2 für St. 37 wird die Länge \ beim Bruch infolge Eigengewicht ermittelt aus G _ F - h 1 - y F F

3,7 • 10* 4710 m, 7785" = 7 und ist also vom Querschnitt unabhängig. Für die Dehnung gilt: K-

Ah=

und daraus ist

„•h=

P

•h

E •F

Spannungs-Dehnungs-Linie für Baustahl i m plastsichen Bereich 3 1 n • 5,00 2 0,15 • 2100000 •' Ah-E-F P = h H00 P = 20600 kg = 20, 61. 7. Die Spannungs-Dehnungs-Linie für Baustahl im plastischen Bereich Sehr genaue Dresdner Versuche 8 ) gelegentlich der Ausbildung der hochwertigen Stähle ergaben auch den Verlauf der Spannungs-Dehnungs-Linie im plastischen Bereich PBQ (Bild 20), die an Druckkörpern festgestellt wurde und daher auch als eine Grundlage für die Knickspannungs-Linie dienen kann. Das angewendete Verfahren ist zugleich ein Beispiel für eine zeichnerische Integration. Während im elastischen'BereichOP 2IOO0O0 kgjcmdie Neigung der Hookeschen Geraden t a n « , = E = 2100000 kg/cm 2 20. Die Spannungs-Dehden unwandelbaren Festwert, bildet, Bild nungs-Linie im plastischen ändert sich im plastischen Bereich Bereich. PQ die Neigung der Tangente, z. B . t a n « 5 = Eo5, dauernd mit wachsender Spannung A (z. B . bis