Festigkeitslehre: Band 2 Formänderung, Platten, Stabilität und Bruchhypothesen 9783111675503, 9783111290546

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S A M M L U N G G Ö S C H E N B A N D 1145/1145a

FESTIGKEITSLEHRE ii

FORMÄNDERUNG, PLATTEN, STABILITÄT U N D BRUCHHYPOTHESEN von Dr.-Ing. habil.

WOLFGANG

HERBERG

Privat-Dozent an de Technischen Hochschule Karlsruhe und Dr. Ing.

NIKOLA

DIMITROV

Lehrbeauftragter an der Techn. Hochschule Karlsruhe Mit 94 Bildern

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

BERLIN

1955

Alle Rechte, einschl. der Eechte der Herstellung von Photokopien u n d Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Archiv-Nr. 1 1 1 1 45 Druck: Sala-Druck, Berlin N 65 P r i n t e d in Germany

Inhaltsverzeichnis Einleitung

C I. Formänderung

A) Formänderungsarbeit 1. Bei Druck und Zug 2. Bei Schub 3. Die allgemeine Gleichung der bezogenen Formänderungsarbeit . . 4. Die Gestaltsänderungsarbeit 5. Die Forinänderungsarbeit durch Biegemomente 6. Das Prinzip der virtuellen Verschiebung 7. Die Gegenseitigkeit der Formänderungen 8. Die Sätze von Castigli&no 9. Die Größt- und Kleinstwerte der Formänderungsarbeit B) Biegelinie 1. Die Gleichung der elastischen Linie 2. Die analytische Ermittlung der Durchbiegung 3. Die zeichnerische Ermittlung der Biegelinie 4. Die Bemessung der Träger mit Rücksicht auf die Durchbiegung . . 5. Die Schubverteilungszahl x und der Einfluß der Querkraft auf die Durchbiegung 6. Die Biegelinie im plastischen Bereich II. Plattentheorie A) Die Grundlagen der Elastizitätslehre 1. Über die geschichtliche Entwicklung der Plattentheorie 2. Beschreibung elastischer Verschiebungen 3. Allgemeine Elastizitätsgesetze . 4. Die Grundgleichungen der Elastizitätsthecrie B) Grundlagen der biegesteifen dünnen H a t t e . 1. Schnittkräfte 2. Die Beziehungen zwischen Schnittkräften, Verschiebungen und äußerer Belastung 3. Einfache Anwendung der Plattengleichung

7 10 11 12 14 15 17 21 22 23 24 28 32 34 38

39 41 44 48 49 52 54

C) Die Kreisplatte 1. Die Grund gl eich u ngen der biegefesten dünnen Platte mit Polarkoordinaten 59 2. Kreisplatte unter drehsymmetrischer Belastung 60 3. Lösungen von drehsymmetrischen Belastungsfällen 61 D) Die rechteckige Platte 1. Membran und Platte 69 2. Einfache Ermittlung von Biegemomenten 71 3. Versuche mit kreuzweis bewehrten Betonplatten und die Bruchlinientheorie. Vergleich mit den Ergebnissen der Plattentheorie . . 73 4. Formeln für die Schnittkräfte der freiaufliegenden Rechteckplatte 77 unter gleichmäßiger Belastung p 5. Auswertung und Beispiele 79 1*

4

Inhaltsverzeichnis III. Die Stabilität A) Knicken 1. Ableitung der Knicklast nach Euler 2. Ableitung der Knicklast nach Timoschenko 3. Die 4 Euler-Fälle der Knickung 4. Die Gültigkeit der Euler-Formel und die Euler-Hyperbel 5. Die allgemeine Knickformel im unelastischen Bereich und der Knickmodul T 6. Knickversuche und frühere Knickformeln 7. Die technische Berechnung der Knickung und das a)-Verfahren .. . 8. Die Knicksicherheit und die ojg— ¿-Linie 9. Das Traglastverfahren 10. Der Einfluß der Querkräfte beim Knickvorgang 13. Biegedrillknickung 12. Die Knickfestigkeit von mehrteiligen Stäben 13. Der außermittig gedrückte Stab 14. Die plastische Knickung 15. Die Bemessung von stählernen Druckstäben 16. Die Bemessung; von hölzernen Druckstäben 17.' Das Knicken von Stahlbeton-Säulen 18. Weitere Knickprobleme

88 90 93 93 96 99 102 106 111 115 115 118 128 134 134 143 152 161

B) Kippen 1. Allgemeines 2. Kritische Kipplasten für einige Belastungsfälle 3. Nachweis der Kippsicherheit

165 167 168

C) Beulen

170

IV. BruehHypothesen Die Normalspannungshypothese Die Hauptdehriungshypothese Die Hauptschubspannungshypothese Hypothese der Grenzkurven der Spannungen Hypothesen der größten F o r m - u n d Gestaltsänderungsarbeit . . . Die EMPA-Anstrengungstheorie der Konstanz der resultierenden Schubspannung 7. Hypothese der Kaum- und Gitterspannungen 8. Die Bruchlinientheorie der Stahlbeton-Platten 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Sachverzeichnis

174 174 175 175 177 181 183 185 186

Schrifttum 1. Beyer, K., Die Statik im Eisenbetonbau, 3. Auflage (Neudruck) J. Springer, Berlin 1948. 2. Brandenberger, H., Neue Theorie der Elastizität und Festigkeit, Schweizer Druck- u. Verlagshaus, Zürich 1948. 3. Chwalla, E., Erläuterungen zur Begründung des Normblattentwurfes Din E 4114 (Abschn. IAa und A II), 1939. 4. F o e r s t e r , M., Taschenbuch iür Bauingenieure, 5. Aufl., J. Springer, Berlin 1928. 5. Gehler, W., Erläuterungen zur Begründung des Normblattentwurfes Din E 4114 (1. und 2. Teil) 1939 und 1940. 6. Hencky, H., Neuere Verfahren in der Festigkeitslehre, Verlag R. Oldenbourg, München 1951. 7. Habel, A., Die Tragfähigkeit der mittig belasteten Stahlbetonsäulen, B. u. St. 48 (1953) H. 7, S. 153. 8. Habel, A., Die Traglastprobleme des Stahlbetonbaues, B. u. St. 46 (1951), H. 1, S. 6. 9. Lewe, Pilzdecken und andere trägerlose Eisenbetonplatten, Verlag von W. Emst u. Sohn, Berlin 1926. 10. Marguerre, K., Neuere Festigkeitsprobleme des Ingenieurs, J. Springer, Berlin 1950. 11. Mehrtens, G., Statik und Festigkeitslehre, Verlag von W. Engelmann, Leipzig 1909. 12. Mohr, 0., Abhandlungen aus dem Gebiete der Technischen Mechanik, 3. Auflage, W. Ernst u. Sohn, Berlin 1928. 13. Nadai, A., Die Elastische Platte, J. Springer, Berlin 1925. 14. Tölke, F., Praktische Funktionslehre, 1. Band, 2. Auflage, Verlag J. Springer, Berlin 1950.

Einleitung Der im Jahre 1942 erschienene 1. Band der Festigkeitslehre (erweiterter Neudruck 1952) umfaßte von den Festigkeitsaufgaben nur jene, die mit Spannungen und Verschiebungen zusammenhängen, also nur Spannungsprobleme (auch Festigkeitsprobleme genannt). Der nun vorliegende 2. Band enthält neben weiteren Festigkeitsproblemen auch die Stabilitätsfälle Knicken, Kippen, Beulen. Die Stabilitätsbetrachtung eines Belastungsfalles gibt die Laststufe an, unter der eine Änderung des Gleichgewichtes stattfindet, die von der Festigkeit unabhängig ist. Spielt die Werkstoffestigkeit eine Rolle, wie z. B. bei „Traglasten" beim Knicken, so liegt streng genommen kein Stabilitätsproblem mehr vor. Durch Einführung derartiger Traglasten und Tragspannungen werden viele Fragen der Stabilität vom Standpunkt des Spannungsproblemes behandelt. Neben Formänderung und Biegelinie gehört auch die Plattentheorie unter die Festigkeitsprobleme. Die geschichtliche Entwicklung des Plattenproblems ist in einer zusammenfassenden Beschreibung gegeben mit Hinweisen auf das reiche Schrifttum und auf die letzte Forschung dieses wohl am meisten behandelten Gebietes der Elastizitätslehre. Auf eine ausführliche Ableitung und eine vollständigere Lösung einiger Belastungsfälle wurde besonderer Wert gelegt. Das letzte Kapitel des vorliegenden Bandes führt in die Bruchprobleme der Werkstoffe ein, die die Bruchursachen zu erklären, suchen. Die Beurteilung der Bruchgefahr ist bei neueren Bauweisen (Verbundbauweise, Spannbeton) mehr in den Vordergrund gerückt als bisher, da für diese Konstruktionen sogenannte „Bruchnachweise" geführt werden müssen. Die Bruchhypothesen selbst liefern theoretische Unterlagen, welche die Ergebnisse von Versuchen deuten und verall-

Formänderung

7

gemeinern. Doch liegen in Verbindung mit dem Bruch von Werkstoffen immer noch, zum Teil sehr alte, Versuchsergebnisse vor, die bisher nicht befriedigend erklärt werden konnten. Schon vom einfachen Bruchversuch sagte E. Heyn 1918: „Was uns vor allem fehlt, ist die richtige Deutung des Zerreißversuches. E r spricht zum großen Teil eine geheime Sprache, die wir mangels des geeigneten Schlüssels nicht verstehen". Und noch im Jahre 1940 sagte Prof. M. ten Bosch: „Zusammenfassend ist festzustellen, daß z. Z. leider noch keine allgemein gültige Erklärung der Bruchgefahr bekannt ist und in absehbarer Zeit auch nicht zu erwarten ist." Auch darüber sind seit jener Zeit neue Theorien aufgestellt worden. Ob sie nun die letzten Lösungen bringen, wird die Zukunft erweisen.

I. Formänderung A. Die F o r m ä n d e r u n g s a r b e i t 1. Bei Zug und Druck Alle folgenden Betrachtungen setzen voraus: gleichförmigen Werkstoff mit gleichem Elastizitätsmaß in allen Richtungen, stetiges Anwachsen der äußeren Kräfte von Null bis zum Erreichen des elastischen Gleichgewichtes zwischen ihnen und den inneren Kräften. Dann erzeugen die inneren Kräfte in Verbindung mit den Verschiebungen einen Arbeitsvorrat, der innerhalb der Elastizitätsgrenze wiedergewonnen werden kann. a ) E i n a c h s i g e r S p a n n u n g s z u s t a n d . Die in der X-Achse eines Würfels wirkende Kraft P möge von Null bis auf den Wert P an w ach sen, die zugehörigen Längenänderungen von Null bis auf den Wert AI = b x , - b V ^ - ' - f - f wennb) s. Schrifttum (12).

Biegelinie

29

M die wahren Größen entnehmen zu können. Wählt man -=- als u Belastung und E als Polabstand, so würde man die Durchbiegung y aus dem Seileck unter Berücksichtigung des Längenmaßstabes der Zeichnung sofort erhalten, wenn im Krafteck der Maßstab von Kraft und Polweite der gleiche ist. Da dies aber wegen der wahren Größe von E in den meisten Fällen nicht möglich ist, muß noch ein Verzerrungsfaktor eingeführt werden. Da dieser je nach der Art der Verzerrung im Zähler oder im Nenner stehen kann, so ist es einfacher auch in diesem Falle für H eine beliebige Strecke zu wählen und den Maßstab nach Gl. (40) automatisch zu berechnen. H a t man ein gewöhnliches Seileck mit wahren Kräften im Maßstab mP mit der gewählten Polweite Hx in cm gezeichnet, uitd ist der Längenmaßstab der Zeichnung m L , so erhält man die Ordinaten des Seileckes im Maßstab (39) ms = H1- n%i • mP, d. h, man multipliziert die in cm abgemessenen Ordinaten mit m s und erhält ihre wahren Größen. Wendet man diese Regel M auf das Seileck der elastischen Linie an, so erhält man mit -=*/

als Kräfte und E als Polweite den Maßstab der Durchbiegung zu (40)

m y = -jjr • ff2 • m L • m F .

Darin bedeuten: H 2 = eine in cm gewählte Polweite, m,L = der Längenmaßstab der Zeichnung, z. B. —=—Crn , m M m F = Maßstab der „ K r ä f t e " - y , welche reduzierte Monenke tenflächen sind, z. B. in . cm2 Das Elastizitätsmaß E erscheint im Nenner von der linken Seite der Gl. (38) her, da für die Polweite eine beliebige Zahl in cm gewählt wurde.

30

Formänderung

7. Beispiel. Für den in Bild 10 dargestellten Stahlträger ist die Biegelinie zeichnerisch nach Mohr zu ermitteln. Aus den Belastungen (a) ergibt sich mit dem Krafteck (d) die Momentenfläche mit dem Seileck (e). Der Längenmaßstab der Zeichnung ist 1:100, d. h. m L =

. Die Polweite H

B i l d 10. Zeichnerische E r m i t t l u n g der Biegelinie n a c h Mohr

31

Biegelinie

wurde gewählt zu ff, = 2,5 cm, der Kräftemaßstab zu 1 cm = 101, d. h. m P = . Dann ist nach Gl. v(39) der Maßstab ' 1 cm für die Momente m s = % = ZZ, • mL • mp = 2,5 • 100 • 10 cm cm t _ 2500 * c m _ D a s größte Biegemoment bei B D 1 cm • cm 1 cm ° ist damit MB = 2 cm • 2500 tcm/cm = 5000 tcm = 50 tm. Diese Momentenfläche wird in 12 Teile zerlegt und für jeden M Teil wird der Belastungswert - j in nachstehender Tafel berechnet. Aus den Werten der reduzierten Momentenfläche (/) ergibt sich mit dem Krafteck (g) die Biegelinie als Seilkurve (h). Die Schlußlinie Ah—Bh ergibt sich aus der Bedingung, daß an den Stützen A und B die Durchbiegung Null ist. M/J Teil J in cm 4 in kg/cm 2 (M) in m 2 t 1

2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1/2 • 11,4 1,0 1/2 (11,4 + 17,1) 0,5 1/2 (17,1 + 18,5) 1,0 1/2 (18,5 + 14,2)0,5 1/2 • 14,2•1,65 -1/2 • 3,0 0,35 • -1/2(3,0- b 14,5) 0,5 -1/2(14,5 + 26,4) 0,5 -1/2 (26,4 + 50,0) 1,0 -1/2(50,0 + 30,0) 1,0 • 1/2 (30,0+ 15,0) 0,75 -1/2 • 15,0 0,75

5,7 7.1 17,8

8.2

11,7 - 0,5 - 4,3 -10,2

-38,2 -40,0 -16,9 - 5,6

36990 60630 60630 60630 36990 36990 36990 60630 86510 86510 60630 36990

1540 1170 2930 1350 3160 — 135

— 1160 — 1680

— — — —

4410 4610 2790 1510

In dieser Biegelinie (h) werden die Ordinaten in cm abgegriffen und die wahren Größen der Durchbiegungen ergeben sich mit dem Multiplikator my, der aus Gl. (40) berechnet 100 cm 2000 kg/cm8 wird. Mit ff2 = 4 cm, m L = und mF = 1 cm 1 cm erhält man 4-100 - 2000 m, mL-mF — 0,38 cm/1 cm. 2100000

32

Formänderung

Damit ist z. B. die größte Durchbiegung bei C yc = 2,7 cm • 0,38 cm/1 cm = 1,03 cm . In gleicher Weise kann die Einflußlinie der vertikalen Verschiebung (5cm des Punktes G ermittelt werden. Sie wird nach Maxwell (s. Kap. I, A, 7) als Biegelinie ö mc für die in G wirkende Last P = 1 gezeichnet. Die Momentenfläche, welche die Belastung ergibt, ist ein Dreieck mit der Ordinate 1 • 2,5 in B. Aus ihren reduzierten Teilflächen M/J wird mit einem entsprechenden Krafteck die Einflußlinie der Durchbiegung als Seillinie gefunden. Die Schlußlinie derselben ergibt sich ebenfalls mit den Randbedingungen ÖA = 0 und d B = 0 . 4. Die Bemessung der Träger mit Rücksicht auf die Durchbiegung Bei Bemessung von Trägern mit Biegebeanspruchung ist, besonders im Stahl- und Holzbau, neben der Einhaltung der zulässigen Spannung auch auf die zulässige größte Durchbiegung zu achten. Diese sind bei: Holz im Hochbau: für Vollwandträger 1 (DIN1052) i. a iöö d e r S t ü t z w e i t e für Balken in Wohnraumdecken . . . . ^

der Stützweite

Pfetten und Sparren ^

der Stützweite

200

Holz im Brückenbau: für Balken i. a.. . der 400 (DIN 1074) Stahl im Hochbau: für Vollwandträger (DIN 1050) mit l > 5 m • • • göö der 1 in besonderen Fällen — der 500 Stahl im Straßenbrückenbau: Voll1 1 (DIN 1073) wandtr. . ^ der 500

Stützweite

Stützweite Stützweite Stützweite

Biegelinie

33

Für Träger unter Eisenbahnlasten sind die zul. Durchbiegungen noch kleiner. Diese Begrenzungen wurden getroffen im Hinblick auf die Formechtheit der Bauwerke und für die dynamischen Wirkungen der Lasten. Sie sind bei Schal- und Lehrgerüsten für die formgerechte Herstellung der Stahlbetonbauten von besonderer Wichtigkeit. Stahlbetonbalken selbst haben i. a. sehr kleine Durchbiegungen und die Vorschriften enthalten keine Zahlen für deren Begrenzung. Neuerdings verdienen jedoch die z. T. sehr schlanken Fertigteile au.g Stahlbeton und Spannbeton auch in dieser Hinsicht Beachtung. 8. Beispiel. Ein Stahlträger NP 24 in einem Lehrgerüst soll bei l = 6,00 m mit der Biegespannung a = 1400 kg/cm 2 ausgenutzt werden. Ist dies im Hinblick auf die Durchbiegung zulässig ? Mit W = 354 cm3 ist das Biegemoment M = 1400 • 354 = 495000 kg • cm. Die zul. Durchbiegung ist — • 600 = 2 cm. Nach Beispiel 4 und Tafel 2 ist für den Balken auf 5 v • l1 2 Stützen mit gleichförmig verteilter Last / = gg^ • . ,, p-l2 . , , 40 M • l2 , M M-y Mit Ai.nax - g - wird / = ~E—j und mit a = ^ = - J — u.t

_ M.h ~~ 2-J

, 5 a-l2 t = ÜEh

U

,

a

~

24-E-h-t 5772 •

Damit wird die im Hinblick auf die Durchbiegung ausnutzbare 24 - 2100000 - 24 - 2 . , c = k Spannung a = 5 . 360 000 g / c m < 1400 . Daher müßte für die vorgelegte Belastung (die den NP 24 voll ausnutzen sollte) 8•M 8 - 495000 = V=-1T "3600ÖÖ- =

„ , , . . J_. S / c m = i ' 1 V™

11 k

infolge Begrenzung der Durchbiegung das nächst höhere 3

H e r b e r g u. D i m i t r o v , Festigkeitslehre I I

Formänderung

34

Profil, NP 26, gewählt werden. Seine Durchbiegung ist 5 p • ll 5 • 11 • 6004 = 1,54 c m < 2 cm . f 3f?«4 8 4 E - JT? .384-2100000-5740 5. Die SchubTerteilungszahl x und der Einfluß der Querkraft auf die Größe der Durchbiegung a) B e g r i f f der S c h u b v e r t e i l u n g s z a h l . Nach Gl. (55, Bd. I) verteilt sich die Schubspannung r nicht gleichmäßig über die Höhe des Querschnittes, sondern z. B. beim Rechteckquerschnitt in Parabelform, so daß bei ihm die Schub-

1—dx—A Bild I I a — d Spannungsverteilung und Winkelverschiebung durch Schub bei Biegung

Spannungen r1 und r 2 am oberen und unteren Rande Null 3 O sind und in der Mitte r m a x = y ( t ' 1 . 5 9 , Bd. I)- Betrachtet man in Bild 11 zwei Nachbarquerschnitte t und V, so muß in waagerechten Schnitten nach Gl. (35, Bd. I) y = Bild 11c und d

duo r2

... mit i-v gilt

du _ ddut ~dx J^r.7i =Yl =

'

Dagegen muß in der Nullinie sein ymax

max —

~ IT

max

~G~ >

^ 0

'

sein. T Nach

1 _ rv ~G _

=

'

Biegelinie

35

so daß man dut = du2 = 0 und dumax > 0 erhält. Dieses Ergebnis steht jedoch in Widerspruch mit der geometrischen Folgerung des Bildes 11 d, wonach, falls die Querschnitte t und t' bei der Biegung eben bleiben sollen, dux = du2 = ¿w m a x = dum sein müßten. Nimmt man nun zur Vereinfachung der Rechnung einen solchen Durchschnittswert der lotrechten Verschiebung dum an, also auch einen durchschnittlichen Gleitungswinkel ym = duuldx = rm\G, so ergibt sich für rm = QIF (41)

dum = ym-dx

= ^-dx

= ^

• dx .

Dagegen ist der Unterschied dumax zweier aufeinanderfolgender Punkte A und B der Nullinie in den Schnitten t und V (42)

¿Kmax = * • dum = x •

• dx ,

wobei dum&x > dum ist, also x eine gewisse Zahl > 1 bedeutet. Sie heißt die Schubverteilungszahl: /*o\

^max _

A ?

und ist definiert als das Verhältnis der in derNullinie zu messenden lotrechten Verschiebung dum!tx zur durchschnittlichen Verschiebung dum. b) D i e E r m i t t l u n g d e r S c h u b v e r t e i l u n g s z a h l erfolgt mit Hilfe der Formänderungsarbeit Gl. (10) für das Balkenelement von der Länge dx, die bei der Summierung konstant bleibt. Es wird (44)

dA=^frHydz =

^ j r ^ d F ,

wobei das Integral über den ganzen Querschnitt des Bildes I I a zu erstrecken ist. Setzt man diese Formänderungsarbeit der inneren Kräfte gleich der Arbeit der äußeren Kräfte, also hier jener der Querkraft Q, so erhält man nach G. (2) 3'

Formänderung

36 (45)

- Q - d u

Daraus folgt mit Gl. (44) für '~vM* E

J

47

Die Grundlagen der Elastizitätslehre

Die Gleichungen (62) heißen wegen des ähnlichen Aufbaues wie die Gleichungen (60): „Das erweiterte Hookesche Gesetz der Krümmungen". Es ist an den Voraussetzungen und Vereinfachungen der elementaren Balkentheorie gebunden. Man kann nun schreiben: /RO^

02w

_

Mx-vMy

fflw

_

My

vMx

c) D a s H o o k e s c h e G e s e t z f ü r die G l e i t u n g e n Bei einem quadratischen Element werden unter der Wirkung von iNormalspannungen in einem um 45° gedrehten Rhombus reine Schubspannungen erzeugt. Dieser Schubspannungszustand ruft nur Winkeländerungen hervor. Man kann daraus leicht ableiten:

* = Diese Beziehung, die dem Gesetz der Dehnung ähnelt, heißt das Hookesche Gesetz der Gleitungen. Setzt man für

wobei G den Gleitmodul bedeutet, so lauten die Zusammenhänge : (66 a) rxy = ryx = Gyxy , (66 b) Ty2 = r z y = G y y l , (66 c) xzx = rxz = Gyzx . Der Baustoff leistet gegen jede Art von Verschiebungen in jeder Richtung einen gleichartigen Widerstand, der nur mit den Baustoffkonstanten E und v verknüpft ist. Demnach ist der Gleitmodul G eine Definitionsgröße.

Plattentheorie

48

4. Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie Die Ursache für die Verformung eines elastischen Schnittelementes sind die Kräfte ( X , Y,Z) bzw. deren abgeleiteten Größen a x , a y , a z ; r x y , r y z , x Z I . Die Wirkung dieser Verfomiung äußert sich in Verschiebungen (u, v, w), bzw. Verzerrungen sx, £y, Sa; yxy, yyz, yzx. Das bindende Glied zwischen Ursache und Wirkung ist das Hookesche Gesetz. In der Ebene haben wir es mit 8 Unbekannten zu tun: 3 Spannungen ax,

r,ay\

ex,y,ey;

3 Verzerrungen 2 Verschiebungen

u, v.

Als Bestimmungsgleichungen stehen zur Verfügung: 3 Verzerrungs-Verschiebungsgleichungen (56 a, 56 b), (57 a); 3 Spannungs-Verzerrungsgleichungen (60a, 60b), (66a) und 2 Gleichgewichtsbedingungen (ein Naturgesetz):

tftTnTfTTTTnTnTnTTTnmY^ •Isa

Mit dem Ansatz (88)

x

.

y

w — c sin n — sin n -f- . a o

bekommt man nach Gleichung (81) Po o4

(88 a) nlEJ

1 +

Diese Konstante c bedeutet den größten Biegungspfeil in der Feldmitte der Platte. Sowohl die Biegefläche als auch die Balkenmamente Mx und My stellen affine Flächen der Belastung dar. Bild20

M (88 b)

x

a 11 Vo®2 + " 1o? • x . v = — 2— r-r sin n — sin n n L o2r « o 1 + 2 J

„ Po®2 My = - i j -

V -\

Z>2 . x . y r - sin 71 — sin n - f .

Das Torsionsmoment lautet: n (88c)

U

Mx,

y

=

a , (l — ") - r Pn« 0 X 1. — COS TT a— COS 71 6 ' 1 + -;

In der Feldmitte ist:

(88 d)

A^Omax =

p0a2

1 4- v —2 ^ 6 1 +

i2

Die Kreisplatte

(88 d)

^ymax —

p0a'

v +

59 a'

¥

d y l +V)

C. D i e Kreisplatte 1. Die Grundgleichungen der biegefesten, dünnen Platte in Polarkoordinaten x = r • cos (p, y = r • sin ) W e i t e r e L ö s u n g e n s. B e t o n k a l e n d e r 1952, Teil 2. S. 267 u n d S c h r i f t t u m ( 1 ) S.049.

Plattentheorie eschlossene P l a t t e mit eingespanntem Rand bei gleichmäßiger Belastung p

T-i §

w •• Mr =

pa4 64 EJ

pa*

16

1 -

(t)

63

Die Kreisplatte

\* Faktor I

4s Sh QV f 3°° ïi,

t «fc£ ^ i i i Ca § «o § § j j o § Ci »í CS ca O CS o Sò cs CS ö CS cS cS Ol § iÌS s s S oo so § !•»«S Ca Ca C CS C5 cS cS CS

&

$

1 I 11

4. Formeln für die Schnittkräfte der 3 freianfliegen den Rechteckplatte unter gleichmäßiger Belastung p Mit Berücksichtigung der Gleichung (122) und (125a) erhält man 1 ): pa4 [ 1 X (130) w(x,y) = 4-* 2 ( 1l — 1 aj~ l ajj EJ (24 a l

£

2

-1,3,5. ') Vgl. dazu Schrifttum Nr. 14.

ii

•Cn(y)[l + r»(y)]},

78

Plattentheorie

(131)

" • - ^ ' { t - ^ - T ) _4 TT1 «

Cn(y)[l

2

= 1 , 3 , 5 ...

+

(l-v)Tn(y)]},

(132) X

sin n7i — 71

n = l,3,r».

cos nn —

(133)

Mxy = Pa?{

2

a

n = l , 3, 5 . . .

Gi(y)

Y +

Ti(y)

und nach Gl. (84a), (84b) bzw. (122): (134)

Qx=ixM

~

£

« = 1,3,

=

Va

x _ . i /V cosfwt— ©oiMTr— -fa a \ b ©of mtt/2 bja

(134a)

« - 1 , 3,5...

sin nn — ©in njr — (-f a a \ o „ . b Cof»TT

mit g ^ K - f — 4 (135)

©of w -5- — 2 o

i2

Die rechteckige Platte

(135a)

Cl(y) =

(135b)

=

79

©in n n - i ^ - — ~ - { - y (Eof » T -

fKT-Tj^^KT-T)' (135c)

=

Für n = 1 erhält man brauchbare Werte. In Tafel 10 sind die maximalen Größen für die Durchbiegung, Biegemoment und Torsionsmoment in Prozentsätzen des Balkens auf zwei Stützen angegeben, und zwar: (136)

w max = ot ^ (x =

(136a)

max Mx

(136b)

m a x M y (x =-|-,

(136c)

max Mxy(x

•~

(1 — r 2 ) ,

, y =

= ßx

.

y =-|-j

= 0, i/ = 0) = y ^

,

(Siehe Tafel 10, S. 80). 5. Auswertung und Beispiele a) D i e g l e i c h m ä ß i g b e l a s t e t e , f r e i a u f l i e g e n d e , q u a dratische Platte (137 a)

w(x,y)= -0,688 -0,147 i>-Q3 -0,766 -0,161 -0,65t -am Vb •0,500 -0.761 -0,169 V'0,3 -0,835 -0.187

0.250 0 0 0 -0,010 -0,012 -0,013 0,011 0,013 0,014

Faktor 0.375 0500 0 0 0 0 0 0 0,024 0,041 0,028 0,0116. 0,031 0.052 0,102 0,145 pa 0,119 0,169 12 0,133 0,189

0,013 0,015 0,017 0,0156

0,158 0,184 0,205 0.179 0,208 0.233

0,018 0,020

0,223 0,260 0,290 0,251 0,293 0,326

c) D i e gleichmäßig belastete, freiaufliegende R e c h t e c k p l a t t e m i t e i n e m S e i t e n v e r h ä l t n i s b/a = 1,5 w(x,y)

= oc(x,y)

(137 g)

Mx

^ ß

(137 h)

My

= ß » { x , y ) ^ ,

b

(137 i)

Mxy

= y ( x , y ) ^ .

1

x

¿ ^ ( l

( x , y )

p

—

v2),

(137f)

~ ,

Tafel 16. A2, so wird bei der Ausbiegung des Stabes (4a) weniger Energie verbraucht (2. Zustand), als zur Erhaltung der geraden Stabform aufgewendet werden müßte (1. Zustand). Beim Ubergang zur virtuellen benachbarten Form, also von der geraden Stabform (1. Zustand) zur ausgebogenen (2. Zustand) nimmt, somit die Energie ab (Bild 47). Demnach hat die gerade Form den Wert Amax und ist labil.

Knicken

93

2. Fall: Ist Ai < Ä2l so nimmt umgekehrt beim Übergang von der geraden in die gebogene Form (A2) der Wert A zu. Die gerade Form entspricht dann dem Minimum, somit herrscht stabiles Gleichgewicht. 3. Fall: Erreicht die Last S gerade einen solchen Wert, daß A1 = A2 wird, so befindet sich der Stab an der Schwelle des labilen Gleichgewichtes. Daraus erhält man mit Gl. (144) u. (145) ___L

=

._Jf

und S = Sk =

also die gleiche Knicklast wie Euler1). 3. Die 4 Euler-Fälle der Knickung Bisher wurde nur der Grundfall 2 des oben und unten gelenkig gelagerten Stabes, mit frei in der Achse geführten Stabenden, betrachtet. Dieser Fall ist der gewöhnliche Knickfall mit der „freien Knicklänge" gleich der Stablänge s und ist als Fall 2 der 4 Euler-Fälle bekannt. Nach Bild 49 erhält man im ersten Fall des unten eingespannten und oben frei beweglichen Stabes s =

oder l = 2 • s, so daß die Knicklast

nur i der des Normalfalles beträgt. Fall 3 zeigt den unten eingespannten und oben frei in der Achse geführten (gelenkig gelagerten) Stab. Für ihn ist die freie Knicklänge l = A-•, y2 womit die doppelte Knicklast des Normalfalles erreicht wird. Schließlich zeigt Fall 4 den oben und unten eingespannten Stab, für den l = wird und die Knicklast die 4-fache des Normalfalles erreicht. Die Aufstellung der sogen. 4 EulerFälle in dieser Form erfolgte von Lagrange. 4. Die Gültigkeit der Euler-Formel und die Euler-Hyperbel Die Knickformel von Euler kann nur soweit Gültigkeit haben wie ihre Ausgangsgleichung (35), d . h . innerhalb des *) Hierzu s. auch: M. J . Gercke: Die Verallgemeinerung der Eulerscheo Knickiormel. Der Bauingenieur 27 (1952), H. 12, S. 433.

Die Stabilität

94 Ein Stabende eingespannt das andere frei beweglich.

Ein Stabende eingespannt, das das andere frei in der Achse geführt

Srundfbll : Freie, in der Achse geführte Stabenden

Eingespannte in der Achse ge führte Stabenden.

3

Bild 49. Die 4 Euler-Fiille der Knickung

Hookeschen Elastizitätsgesetzes, also unterhalb der Proportionalitätsgrenze P mit o > . In der betrachteten Knickformel kommen keine Spannungen vor. Will man diese darstellen, so teilt man beide Seiten durch F und erhält die Knickspannung Ok. nach Gl. (141) (146)

a

*t

=

S T

• B-

n2 k

=

J F

n * - E

Z2

l*

wenn man nach Gl. (98, Bd. I) JjF

=

i2

X*

und die Schlankheit

X = - i setzt. Somit ergibt sich eine Beziehung zwischen der Knickspannung cr^ und der Schlankheit 2

mit E = 2100000 kg/cm lautet

die f ü r Baustahl

Knicken

95

AKI • X = T I - E = 2073 • 10 kg/cm = const 2

2

4

2

oder (147) Trägt man a k . = P/cJF

als Ordinaten und X = l/i als

Abszissen auf, so erhält man die Euler-Hyperbel (Bild 50). 21(00 \

Euter-

Hyperbel

unelastischer elastischer Bereich Bild 50. Euler-Hyperbel und elastischer und unelastischer Bereich des Knickens

Ihr Geltungsbereich endet an der Spannung der Proportionalitätsgrenze Gp = 0,8 Os • Damit ergibt sich für Baustahl St. 37 mit Op = 0,8 • 2400 = 1920 kg/cm2 die Grenze der Schlankheit aus Gl. (147) zu (148) Man unterscheidet damit bezüglich der Schlankheit der Druckstäbe zwischen einem elastischen Bereich mit 2 > 103,9, in welchem die Euler-Gleichung Gültigkeit hat und einem unelastischen Bereich mit X < 103,9, in welchem die EulerGleichung nicht gilt. Man nennt diese 2 Bereiche auch den Bereich schlanker Stäbe {). = 250 bis 103,9) und den Bereich gedrungener Stäbe {). < 103,9).

Die Stabilität

96

5. Die allgemeine Knickformel im unelastischen Bereich und der Knickmodul T Mit dem Überschreiten der Proportionalitätsgrenze tritt für St. 37 bei X = 103,9 die Euler-Hyperbel aus dem elastischen Bereiche heraus (Bild 50). Damit gilt die Gleichung der Knicklast (141) nicht mehr. Es kann jedoch für den unelastischen Bereich eine sehr ähnliche Gleichung aufgestellt werden. Diese Theorie wurde von Engesser 1 ) gegeben und von Kärmän 2 ) ergänzt. Im elastischen Bereich gilt mit Gl. (5, Bd. I) E = — = t a n « = const. e

Im unelastischen Bereich gehört zu jedem Spannungswert a ein bestimmter Wert Ea für das Elastizitätsmaß. In diesem Bereich gilt für eine Faser im Abstand y (149)

i. = E

DX"

p , y

= _

EA-JÄ

+ E-JC

'

An die Stelle von E • J in der Ausgangsgleichung tritt hier der Ausdruck (154)

T-J

=

E

A

- J

A

+ E - J

C

,

der in der Form (155)

7' =

E

*-JA+E-Jc

als der sogenannte K n i c k m o d u l bezeichnet wird. Darin deuten (s. Bild 52) EA = Elastizitätsmaß zu einer bestimmten Spannung unelastischen Bereich gehörend (als Tangente aus Spannungs-Dehnungs-Linie ent nehm bar), JA = Trägheitsmoment der Fläche unter der Nullinie zogen auf die untere Randfaser. 7 H e r b e r g u. D i m i t r o v , Festigkeitslehre I I

beim der be-

98

Die Stabilität

Je

= Trägheitsmoment der Fläche über der Nullinie bezogen auf die Nullinie. = Trägheitsmoment des Gesamtquerschnittes bezogen auf die Nullinie.

J

Statt des Knickmoduls nach Gl. (155) kann man auch den sogenannten Knickbeiwert k verwenden in der Form (156)

E

h,

1

-I 1

I -4-L — b —

E

Die allgemeine Knickformel im unelastischen Bereich lautet dann (157)

Sk

auch als eine unbeabsichtigte Außermittigkeit deuten. Neuerdings wurden die Traglastbetrachtungen auch auf Stahlbeton-Säulen angewendet (vgl. A b schnitt 16 d). 10. Der Einfluß der Querkräfte beim Knickvorgang Ähnlich wie bei der Biegung ist der Einfluß der Querkräfte beim einteiligen Knickstab gering. Für den Eulerfall 2 (Bild 49) berechnet sich unter Berücksichtigung der durch die Querkräfte verursachten Schubspannungen und Formänderungen die Knicklast zu1) St

S =

(183)

1 +

Darin ist Sk = - — ^

x-7t i-E-J' P-G-F

^ die Knicklast bei Vernachlässigung der

Schubspannungen. Setzt man n2 = 10 und G = 0,4 E , so ergibt sich (184)

8t 2b-

S = +

x-J' P-F

Der Einfluß der Querkraft auf die Größe der Knicklast ist danach kleiner als 1% und wird in der Regel vernachlässigt. Bei mehrteiligen Knickstäben beanspruchen die Querkräfte die Verbindungsglieder der Stäbe. Aus ihnen werden Größe, Abstand und Anschlüsse der Bindebleche oder Vergitterungen berechnet (s. Abschn. 12). 11. Biegedrillknickung D i e Biegedrillknickung ist die allgemeinste Form der Knickung gerader, planmäßig mittig gedrückter Stäbe von gleichbleibendem Querschnitt. Sie wird von Bedeutung bei ' ) s. S c h r i f t t u m (11). S. 333. 8*

116

Die Stabilität

allen dünnen, offenen, unsymmetrischen und einfachsymmetrischen Querschnitten. Bei einfachsymmetrischen Querschnitten (Bild 43), für die Schubmittelpunkt und Schwerpunkt nicht zusammenfallen, ist Biegeknickung und Biegedrillknickung, nicht aber Drillknickung möglich. Die Knicksicherheit dieser Stäbe darf ebenfalls nach dem («-Verfahren nachgewiesen werden, wenn für X der ideelle Schlankheitsgrad

b B i l d 6 ] . Querschnitte für Biegedrillknickune

eingeführt wird.

F ü r einfachsymmetrische Querschnitte

mit der «/-Achse als Symmetrieachse ist nach D I N 4114, Bl. 2 (1.85)

A,. = t ly

y

2•

c2

1+

1 j i • c 2 [ i p + 0,093 (ß2/ßg V

1) j/lf ]|

(«• + & ) '

i

Darin bedeuten: ip

= yix + iy — der auf den Schwerpunkt bezogene polare Trägheitsradius in cm,

VM = die auf den Schwerpunkt Schubmittelpunktes in cm,

bezogene

Ordinate

des

Knicken

117

i-M = ¡/«| + y\t = der auf den Schubmittelpunkt bezogene polare Trägheitsradius in cm,

t

\ß • »)»/

(ß0 • s0f

CM3,039

TF

• »)» JG

=

DRE}]_

DER

radius des Querschnittes in cm, J ß = der Drillwiderstand des Querschnittes in cm 4 , CM = der auf den Schubmittelpunkt bezogene Wölbwiderstand in cm 6 , s = die Netzlänge des Stabes in cm, s 0 = der f ü r die Verdrehung maßgebende Abstand der Stabanschlüsse (Nietgruppen oder Schweißstellen) an den beiden Stabenden in cm, ß = der Einspannungswert f ü r die Biegung, ß0 = der Kennwert f ü r die Verwölbung. E s bedeuten/? = ßn — 1 die sogenannte „Gabellagerung", d. h. die E n d stirnflächen können sich in ihrer Ebene nicht verschieben, dagegen wohl in der x- und «/-Stabachse. Volle Einspannung der Stabenden bedeutet ß — ß0 = 0,5. Die Werte elastischer Einspannung liegen also zwischen 0,5 und 1. E s wird meist angenommen: ß zwischen 0,5 und 1 und ß0 = 0,5. F ü r die Querschnitte nach Bild 6 1 a und b gelten f ü r Cjf und J ß folgende Formeln: y M = J - [ e - J

1

— ( h — e ) J

2

] ,

CM

=

J

\'

Jy

, +

JD

F ü r die Querschnitte nach Bild 61c gelten: Jy

JD

'

=4-(

3 2

"Vi?+V

50.

Für alle drei genannten Stabgruppen gelten für den Spannungsnachweis grundsätzlich die Gleichungen (168) und (187). Für Gruppe I I ist nur der Nachweis für die Knickung um die

Knicken

121

Stoffachse zu bringen. Für Gruppe I I I müssen für beide Achsen die ideellen Schlankheitsgrade eingesetzt werden: (190)

=

,

^

=

.

Soll bei einem zweiteiligen Druckstab die Knicksicherheit in beiden Achsen gleich sein, so gilt

= 1nf+Jt =

^

h.

Für die Bemessung ist die Stoffachse maßgebend, wenn ]/$ + ii

oder X ^

^ t

x

- t

y

ist.

Schreibt man dies in der Form « A - l / i so folgt mit y" =

F

•

s >'

jFs

2

v

A

i lV

2

ky

' K

7 =1

• X2

s

kx

und

=

I

i l X

4 ~

Ä2 x

A

und

\*kx>

Daraus kann der größte Abstand der Bindebleche ermittelt werden, wenn Jx, Jv, Jl gegeben sind und wenn Xx > Xy ist: (192)

^

=

Sind die Knicklängen sk , sk , % und die Trägheitsmomente Jx und Jx bekannt, dann ergibt sich das erforderliche Trägheitsmome heitsmoment Jy des Gesamtstabes um die stoffreie Achse y

—

V

zu

Die Stabilität

122 (193)

Jy^l-^

s

kx> Ii — Ai

•h

Der Mittelabstand der beiden Profileisen ey gemessen von den Schwerachsen y (bzw. 1 — 1) der Einzelstäbe errechnet sich damit aus €v

(194)

Jy

— 2 j/—

2 ' Jl F

Darin ist Jy das Trägheitsmoment des Gesamtquerschnittes um die stoffreie Achse nach Gl. (193), F die Fläche des Gesamtquerschnittes ohne Nietlochabzug und Ji das kleinste Trägheitsmoment des Einzelstabes (JVl). b) D e r Q u e r v e r b a n d . Der Art der Verbände nach unterscheidet man Gitterstäbe und Rahmenstäbe (Bild 65). Die Wahl hängt von derEntfernunge der Einzelstäbe voneinander ab. Bei kleinen Abständen nimmt man Bindebleche nach Bild 65 b, bei großen Abständen diagonale Gitterstäbe, meist unter 45° geneigt. Der mehrteilige Stab wird von Querkräften in d.em Augenblick beansprucht, wenn Verbiegungen auftreten. Ihnen haben die Querverbände einen ausreichenden elastischen Widerstand entgegenzusetzen, damit sie nicht vor dem Bruch der Längsstäbe zerstört werden. Nach Prandtl 1 ) und TimoBild 65 Gitter-und Rahmenstab

>) Z. V. D. I . 1907, S. 1867

Knicken

123

1

schenko ) erhält in diesem Fall die Gl. (184) die Form

worin Sk wieder die Eulersche Knieklast bedeutet und Sd = 4 • E-Fd • sin 2 « c o s « bedeuten. FD ist der durch Nietlöcher geschwächte Querschnitt einer Gitterstrebe und x der Winkel zwischen Gurt und Wandstrebe (Bild 65 a). Die für die Berechnung von Gitterstäben einzusetzende Querkraft ist nach Vianello 2 ) bei 4-facher Sicherheit für den Knoten eines Gitterstabes in der Entfernung z vom Ende (196)

Q< =

f

( t t

Sk

Engesser setzte für die Querkraft am Fußende eines mehrteiligen Knickstabes unter Annahme einer Cosinuslinie als Knicklinie (197)

Q=

S s^ - y , k

worin die Ausbiegung angenähert aus y =

e

^——-

berechnet wurde. Darin bedeuten i ^ d e n Querschnitt eines Teilgurtstabes und Kd die Druckfestigkeit des Baustoffes. Bis zur Herausgabe der DIN 4114 rechnete man meist nach dem Verfahren von Krohn 3 ) und setzte für die Querkraft Q = F

rd. Vir • Oder man benutzte die Angaben der BE. (1936), welche Q in % von F—• soze t z t e in Abhängigkeit von der Schlankheit, was bei St. 37 im ungünstigsten Fall Q = — ergab 4 ). Den Verlauf von Q zeigt Bild 66. ') Zeitschr. für Mathem. u. Physik 1910, 58. Band, Heft 4. ') Der Eisenbau, 1905, S. 81 und 434. s. Schrifttum (4) II. Bd., S. 211. ) E. Chwalla, Vorschlag u. Erläuterungen zur Neufassung des Abschn. A Ic des Din E 4114 (1940) S. 16. 3 ) 4

124

Die Stabilität

Nach DIN 4114, Bl. 1 (1952) 8. 31 müssen heute die Querverbindungen sowie ihre Anschlüsse im Brücken- und Kranbau berechnet werden für eine Querkraft (198)

Qi=:

F • o-jui 80

die als ideelle Stabquerkraft bezeichnet wird. Für den StahlHochbau gilt (199)

22 cm führt man deu Anschluß mit Bild 68. Zweiteiliger Rahmenstab 3 Niete aus. Für das Stegblech wird b/d = 220/10 mm und für den Nietdurchmesser 23 mm gewählt. Damit wird das "Widerstandsmoment eines Bindebleches unter Abzug der Nietlöcher J*

=

1,0 • 22,03 1,0 • 2,33 + 2 • 1,0 • 2,3 • 7,02 = - 3 12 12

= 888 — 228

660 cm 4 , W b =

60 cm3

n • 2 32 Der Nietquerschnitt ist FN = — ^ = 4,15 cm2, die Nietlochleibungsfläche ist FL = 2,3 • 1,0 = 2,3 cm 2 . Das größte Biegemoment der Bindebleche ist nach Gl. (202) T-e 6,67-36 M = 120 tcm,

Die Stabilität

128

also für ein Bindeblech M t = 1/2 • 120 = 60,0 tcm. Damit wird die Biegebeanspruchung a =

= H = 1,00 t/cm2 < 1,4 t/cm2.

Auf 1 Anschlußniet außen wirken die Kräfte aus Schubkraft: aus Moment:

T

Tx NM

= -p = o 1

nw

o

= 1,111 ,

= — = t t = 4,301. CIN 14

Damit wird die resultierende Kraft auf 1 Außenniet = j/l,ll» + 4,30» = 4,44 t . 4 44 Dann ist die Scherspannung r = = 1,07 t/cm2 < crzul und Amax = yT%+~W£

die LochleibungsspannungaL =

4 44 ^ = 1,93 t/cm2 < 2,8 t/cm2.

13. Der außermittig gedrückte Stab a) E i n t e i l i g e Knickstäbe. Wurde bisher der mittig gedrückte Stab auch als mit unvermeidlichen Fehlerhebeln behaftet gedacht, so hat der planmäßig außermittig gedrückte Stab einen „planmäßigen Hebel", der zu gleichzeitiger Beanspruchung auf Biegung und Druck führt. Dieselbe Beanspruchungsart entsteht, wenn ein planmäßig mittig gedrückter Stab durch ein von der Druckkraft unabhängiges Moment belastet wird. Man unterscheidet dabei, für die Lage des Kraftangriffspunktes A auf einer Hauptachse, 3 Fälle der Stabquerschnitte uud Kraftangriffspunkte (Bild 69) :1) Biegezugund Biegedruckrand sind vom Schwerpunkt gleich weit entfernt (symmetrische Querschnitte), 2) Der Biegezugrand ist näher am Schwerpunkt als der Biegedruckrand, 3) Der Biegezugrand ist weiter entfernt vom Schwerpunkt als der Biegedruckrand.

Knicken

129

Der Spannungsnaclrweis wird für Fall 1) und 2) erbracht durch (205)

(Oy +

0,9^C7Z111,

und für den Fall 3) durch den Doppelnachweis

(206)

S , „n M ^ W j + 0 , 9 ™ S orzul " .mF

^La^iz^'J-

m

< 100 entstehen leicht zu kleine, d. h. nicht „auf der sicheren Seite" liegenden Werte. Wohl ist nun die Wissenschaft in der Lage, genaue Formeln aufzustellen und die Vornormen zu DIN 4114 und ihre Erläuterungen 1 ) enthalten sehr viele wertvolle Studien und Hinweise. Es heißt dort an einer Stelle: „Oft bleiben die Ergebnisse tiefgründiger Studien aber deshalb auf einen kleinen Kreis von Wissenschaftlern beschränkt, weil es nicht gelingt, sie einfach und anschaulich darzustellen" (Gehler), und an anderer Stelle: „Überblicken wir alle diese Formeln, so können wir folgendes feststellen: Sind die Formeln einfach gebaut und leicht zu handhaben, dann läßt ihre Annäherung an die strengen Lösungsergebnisse viel zu wünschen übrig, ist jedoch die Annäherung eine gute, dann ist der Aufbau der Formel verhältnismäßig verwickelt und die Handhabung schwerfällig" (Chwalla). So entschloß man sich für den außermittigen Kraftangriff die einfache Näherungslösung (208) beizubehalten, die schon Ellerbeck 1932 vorgeschlagen hatte und in welcher neuerdings lediglich der Wert £ von 1 auf 0,9 verändert wurde. Man hat also dabei aus den oben erwähnten Gründen auf die Nutzbarmachung neuerer Forschungsergebnisse verzichtet. Stellt man die Forderung, daß die linke Seite der Gl. (208) nicht nur für den Grenzfall des mittig beanspruchten Knickstabes, also für M = 0, in a> • S/F übergeht, sondern auch für den anderen Grenzfall des reinen Biegestabes, also für S = 0, in M/W, so müßte ein Korrekturglied, das zur Verbesserung der Näherungsformel hinzugefügt werden sollte, die Form haben | = — • ^ • fix), wenn

b

W

f(x) eine gewisse Funktion der Stabschlankheit X = l/i bedeutet. Diese Forderung des stetigen Überganges in den beiden Grenzfällen ist durch ein einfaches Korrekturglied allerdings nicht zu erfüllen. W. Gehler schlug für das Korrekturglied den von der Schlankheit A abhängigen Ausdruck die Verwendung des allgemeinen a • co-Verfahrens, des Additions') Schrifttum (3) und (5). 2 ) W. Gehler: Vorschlag und Kritik einer Bemessungsformel bei außermittig beanspruchten Knickstäben. P e r Stahlbau 1940, H. 12/13, S. 57.

Knicken

133

gesetzes der Druckstäbe u n d der „Grundlösung" von K. Jager 1 ) gewann. Allerdings müssen dabei 2 Querschnittsarten unterschieden werden: a) Regelquerschnitte mit Schwerpunktsabständen vom Rande gleich oder größer als die halbe Profilhöhe und b) Ausnahmequerschnitte mit e < hl2. Das genannte Korrekturglied könnte dann nur f ü r die erste Querschnittsgruppe gelten. Die damit nach Gl. (208) errechneten Werte haben nur etwa die halbe Abweichung von der exakten Lösung, wie nach der Gl. (205) berechneten. Dazu ist noch zu sagen, daß die verschiedentlich stark abweichende Lage der Fließgrenze 2 ) wohl bei der Auswertung von Versuchsergebnissen berücksichtigt werden kann, nicht aber bei der Bemessung von Bauteilen. Daher muß der Sicherheitsgrad immer reichlich gewählt werden. Daher sagte schon Hartmann 3 ): „Es h a t offenbar keinen Zweck, die Genauigkeit der Rechnung auf die Spitze zu treiben u n d hier genauere Verfahren als die „Grundlösung" anzuwenden". Dazu kommt noch, daß das wirkliche Verhalten des Baustoffes offenbar von dem angenommenen idealplastischen Verhalten abweicht u n d bei I-Trägern auch das Ebenbleiben der Querschnitte (Navier) in Frage gestellt ist 4 ). In diesem Zusammenhang sei auch auf die Schubverteilungszahl x (s. Kap. I, B, 5) hingewiesen, die als Kennziffer der Querschnittsform auch als Maßstab f ü r das Nicht-Ebenbleiben der Querschnitte angesehen werden kann. Während sie beim Rechteckquerschnitt 1,2 beträgt, steigt sie bei I-Trägern bis auf 2,4. Es zeigt sich auch eine starke Abhängigkeit des Fließbeginns von der verschiedenen Breite einzelner Profilteile (z. B. des Flansches u n d des Steges beim I-Träger), was auch die neuzeitliche werkstoff-mechanische Behandlung der Festigkeitsprobleme 5 ) veranschaulicht, die besonders f ü r die räumlichen Spannungszustände der Maschinenteile von grundlegender Bedeutung ist. Man erkennt also, daß das Problem der einfachen rechnerischen Behandlung schwer zugänglich ist, weil im Fall der Außermittigkeit K. Jäger (Jezek): Die Festigkeit von Druckstäben, Verlag J. Springer, Wien 1037, S. 93, 148, 193, 202. 2 ) Allein aus einer Charge kann bei St. 37 die Fließgrenze um 10% schwanken. Fällt die Fließgrenze z. B. um 8%, so steigt die Durchbiegung um 12%. S. auch: Gründing, Der Stahlbau 1936, S. 17. 3 ) F. Hartniann: Knickung, Kippung, Beulung, Leipzig und Wien 1937. 4 ) Die genauen Züricher Versuche von Stüssi und Kollbrunner (Beitrag zum Traglastverfahren, Bautechnik 1935, S. 264) haben ergeben: „Bei I-Trägern darf nicht von dem Spannungs-Dehnungsdiagramm für reinen Zug und Druck auf die Formänderung bei Biegung geschlossen werden (Abweichung 18%), da die Querschnit.e im plastischen Bereich nicht eben bleiben". 5 ) W. Kuntze, Der Stahlbau 1933, S. 49 und 1935, S. 9. W. Kuntze, Fließbedingung bei ungleicher Spannungsverteilung. Der Bauingenieur 26 (1951), H. 12, S. 357. (Bei ungleicher Spannungsverteilung liegt die Fließgrenze schon unter kleinerer Spinn"n 1,0. ''min

Damit kann die günstigste Anordnung der Trägheitsmomente leicht überblickt werden (Tafel 25). Der W e r t « ist die „Eulerzahl" für konstantes Trägheitsmoment. Ist die Druckkraft auf die Stablänge veränderlich, so darf unter gewissen Bedingungen mit dem gleichen Kechnungs-

142

Die Stabilität

Tafel 25. Die Knicklasten der 4 Euler-Fälle bei stetig veränderlichen Trägheitsmomenten Fall 1)

®®

P k ist

1*,1 %

ß,9 %

w %

Großer als bei 3 • const.

Fall 2) P„ ist

13,6 %

6rößer als bei

j l ^ n = 2,0

Fall 3) ^ P k ist

m

n,7% |

B n ^ s

Fall t )

n - 6,0

-2,5"/.

•Ii ¡2

P k isi - W.97.

U = const.

kleiner als bei

3 const.

-, , . - 7 n^2,5 SEE^ n-2.5

- 15,M V.

- «,2 % Kleiner als bei 3 const.

gang aber veränderten Knicklängen sk gerechnet werden (DIN 4114, Bl. 2, Ri 7. 7). 13. Beispiel. F ü r den im 10. Beispiel gezeigten Druckstab aus B P 30, belastet mit 105 t bei 8,00 m Knicklänge, ist das erforderliche J zu bestimmen. Der kleinste Trägheitsradius ist iy = 7,65 und damit die größte Schlankheit l y =

= 104,5. E s . gilt also die Be-

messungsformel im elastischen Bereich Gl. (209). Damit wird Jerf = 1.21 • & • l 2 = 1,21 • 105 • 64 = 8130 c m 4 . Dem entspricht als nächstes Profil B P 30 mit Jy = 9007 cm 4 . Man erkennt, daß die kleine Ungenauigkeit der Gl. (209) f ü r den Bereich zwischen X = 103,9 und 120, in welchem v* i etwas größer ist als 2,5, keine Rolle spielt, da infolge der festliegenden Profilwerte der Stab der errechneten Zahl nie genau angepaßt werden kann. F ü r B P 28 gilt z. B. Jv = 7324 cm 4 . 14. Beispiel. F ü r die im 11. Beispiel gezeigte Stütze f ü r S = 1 2 2 1 aus 2 U 30 bei sk = 7,00 m ist die erforderliche Fläche zu berechnen.

Knicken

143

Die Schlankheiten sind Xx = 60 und ?.y. = 61, also gilt der unelastische Bereich. Nach Gl. (210) ist Feti = — + 0,46 Z • Z2 = ^ + 0,46 • CTzul 1,0 • 7,02 = 110 cm 2 . Der Querschnittswert Z ist aus Tafel 23 entnommen. Die beiden U 30 haben F = 118 cm 2 , das nächst niedrigere Profil U 28 hat nur 107 cm 2 . 15. Beispiel. Zum 13. Beispiel ist das Verfahren der Stabkennzahl anzuwenden. Für die Stabkennzahl ergibt sich mit Z = 3,1 f z - ' l " ^ = l /3,l-640000-1400 = 1 6 2 S v 105000 und dafür aus Tafel 24 co = 2,12. Aus Gl. (214) wird •C =

Feii = 2,12 Y | = 159 c m 2 . Das verwendete Profil hat F = 154 cm 2 und der Spannungsnachweis im 10. Beispiel zeigt, daß diese Fläche ausreicht. 16. Beispiel. Zum 14. Beispiel ist das Verfahren der Stabkennzahl anzuwenden. „ . , .. I /1,0 • 490000 • 1400= Es wird f = 1/ 22Ö0ÖÖ

un

,n

, ™ . , „.

199 co = 1,35. Nach Gl. (214) ist F e r f = 1,35 ~ = 118 cm 2 , was den beiden U 30 entspricht. 16. Die Bemessung von hölzernen Druckstäben Einen breiten Raum im Bauwesen nehmen die Holzsäulen, insbesonders im Gerüstbau, ein. Im Normalfall der oben und unten durch Verbände in beiden Richtungen gehaltenen Säule wird die Systemlinie als Knicklänge eingesetzt (Eulerfall 2). Für andere Fälle der Lagerung sind die Bild 49 entsprechenden Knicklängen einzusetzen.

Die Stabilität

144

Tafel 26. Zulässige Tragkraft von Säulen aus Breitflanschträgern (ae = 1400 kg/cm2) Profilwerte

Knicklini

h (an) F(cm') LJ ,m>

k.OO 5,00

6,00 7,00

20

82,7 S,06

76

62

ka

22

91.1 5,59

69

75

62

2k

111 6,11

115 36

26

121 6,61

129

m

}e

in

8,00

m

9.00 10,00 11,00 12,00

36

27

22

17

15

12

U8

37

29

2k

19

11

6k

70

53

k2

3k

28

2k

98

85

68

5k

U

36

30

93

75

61

50

kZ

12k 109 92

28

m

m

160

m

30

m

7,65

175

160 m

7k

62

52

32

171

7,60

195

176 156 137 120 102 81

67

57

3k

m

7,55

190 179 159 139 121 101 82

68

57

36

192 7,51 216

196 173 153 132 110 90

7k

62

36

m

7.k6

125 106

219

196 175 153

132 110 90

7k

62

236

21k 189 166 1k3 120 98

80

68

kO

209 7*9

k5

232 7,38 262 23k 208

50

255

160 157

7.20 265 255 226 196 169

129 105 86

72

113 93

77

M

55 263 7.17 292 261 226 196 172 1kO 113 93 60 269 7,07 316 265 250 215

18b

219 166

lk9

77

120 99

83

lk-6 120 99

83

65

297 6,97 327 269

70

32k 6,00 35k

313 273 23k

200

157

126 105 66

SO

3k2 6,70 366

32k 260 239 200

158

128 105 86

90

361 6,53 k07 356 306 260

100 kOO

6,37 0-21 366

25k

31k

265

912

166 135 111

212

167

93

135 111 94 *>

ISO

a) E i n t e i l i g e S t ä b e m i t m i t t i g e m K r a f t a n g r i f f . Der Nachweis der Standsicherheit wird auch für Holzsäulen nach der Gl. (168) des co-Verfahrens erbracht, wofür die «-"Werte

145

Knicken

aus Tafel 29 und die zulässigen Spannungen für Holz bei Druck in Faserrichtung aus DIN 1052 entnommen werden. Für das normalerweise verwendete Holz der Güteklasse I I beträgt a d z n l z. B. 85/cm 2 bei Nadelholz. Die Schlankheit 1 von Holzsäulen muß kleiner oder gleich 150 sein, die höheren Werte bis 250 gelten nur für „fliegende Bauten" riachDIN 4112. Zur Bemessung von einteiligen Holzsäulen benutzt man am einfachsten Tafeln, in welchen zu verschiedenen Durchmessern und Knicklängen die Traglast angegeben ist (s. z. B . Tafel 31 und 32). Zweckmäßig ist auch das Bemessungsverfahren nach Löser 1 ): Man errechnet aus den gegebenen Werten sk, ohne Rücksicht auf die Richtung der Ausbiegung der größte Wert einzusetzen. M und Wn sind Biegemoment und Widerstandsmoment des unverschwächten Querschnittes bezogen auf die Querschnittsachse. 17. Das Knicken von Stahlbeton-Säulen a) G r u n d l a g e n . Die grundlegenden theoretischen Arbeiten aus neuerer Zeit über das Knicken von mittig und außermittig belasteten Stahlbetonsäulen wurden von Baumann (Schweiz) 1 ) ausgeführt, indem er das Verfahren von RosBrunner auf Stahlbeton anwendete. Darauf baute Habel 2 ) auf, so daß heute fast alle Einzelprobleme ihre exakte Lösung gefunden haben. Einer gewissen Klärung bedarf noch der Einfluß des Kriechens auf die Knicklast außermittig gedrückter Stahlbetonsäulen, da in diesem Falle mit einem Ebenbleiben der Querschnitte nicht mehr zu rechnen ist. Die Rechnung nach Stadium I mit geradliniger Spannungsverteilung könnte nur kleine Außermittigkeiten der Last erfassen und ist kein Stabilitätsproblem mehr, sondern ein nach der Theorie II. Ordnung zu lösendes Spannungsproblem 3 ). Eine weitere grundlegende Zusammenfassung der Zusammenhänge zwischen Druck-, Biege- und Knickfestigkeit von Beton und Stahlbeton wurde von Voellmy (Schweiz)4) veröffentlicht. Die bisherigen Versuche mit Stahlbetonsäulen wurden in Abschn. 6 erwähnt. Unter ihnen kommen den im Materialprüfungsamt Dresden von W. Gehler ausgeführten Versuchen die größte Bedeutung zu. b) D i e D r e s d n e r V e r s u c h e u n d die w - Z a h l e n f ü r S t a h l b e t o n . Der große Wert der Dresdner Knickversuche mit Stahl') ») 3 ) ')

Die Knickung der Stahlbetonsäulen, EMPA-Bericht >"r. 89, Zürich 1934 s. Schrifttum (7) und (8). s. Fußn. 2. Schweizer Bauzeitung 19i!>, Jg. «7, S. 530.

Knicken betonsäulen in den Jahren 1940 und 1942 liegt darin, daß sie erstmalig für den Baustoff Stahlbeton im elastischen Bereich die vom Stahlbau her bekannte a k — A-Linie bestätigten. Für die Schlankheit wird im Stahlbetonbau allgemein das Verhältnis x = J gesetzt, worin h s die Stablänge ist (gilt ako in dieser Form nur für den Eulerfall 2 mit sk = hs) und d die kleinste Säulendicke. Geprüft wurden Säulen des Querschnittes 14 x 16 cm mit Bewehrungen von 0,9% und 2,8% bei den Schlankheiten 10,15, 20, 25, 30 und 40. Die Ergebnisse der Säulen mit 0,9% zeigen Tafel 33 und Bild 76 und 77. Beim Stahlbeton tritt an Stelle der Fließgrenze a F die Würfelfestigkeit W D i e cu-Zahl nimmt damit folgende Bedeutung an 1-9911

., _

W>>

_ A

_

A

IZM\

K

*D

Damit kommt man zum sogenannten Additionsgesetz für Druckstäbe: (222)

FER[

=

F

B

+ A F

K

,

welches lautet: Der erforderliche Stabquerschnitt setzt sich zusammen aus dem reinen Druckquerschnitt FD (der sich bei verschiedenen Baustoffen nur durch die verschiedene zulässige Beanspruchung unterscheidet) und dem zusätzlichen Knickquerschnitt, der bei gleichen Schlankheiten den gleichen Wert hat. Damit kann Gl. (221) geschrieben werden (223)

(O

=

FD+AFK

A

= 1 + —

FK

= 1 + AM .

Die Versuche haben ergeben, daß für Stahlbetonsäulen zwischen dem unelastischen und dem elastischen Bereich noch ein Übergangsbereich liegt, in welchem die Bruchformen weniger ausgeprägt sind. Im elastischen Bereich trat der Bruch der Säulen tatsächlich durch langsames oder plötzliches Ausknicken ein. Man hatte bei diesen Versuchen auf die höchste Genauigkeit der Schneidenlagerung bewußt verzichtet, da man nicht ideelle Werte a k i , sondern praktische Traglastspannungen zu erhalten wünschte. Die Anwendungen dieser Spannungen trj sind im Stahlbetonbau wegen der unvermeidlichen Fehler bei der Herstellung auf der Baustelle von noch größerer Bedeutung als im Stahlbau. Bis zum Schlankheitswert x = 18 trat Zerstörung nur durch Gleitflächenbildung und

154

Die Stabilität

- 8mrm0

-2.oo

2,1S

2.28 ZBT\

—

3,oo 3,58 3,98

too

CO

V1

Bild 7C. Die oj.K — A-Linie, o* , — A-Linie der Dresdner Versuche und die r zul