Festigkeitslehre: Band 2 Elastizität, Plastizität und Stabilität der Flächentragwerke 9783111680323, 9783111294124

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Festigkeitslehre ii Elastizität, Plastizität u n d Stabilität der F l ä c h e n t r a g w e r k e von Dr.-Ing. N i k o l a D i m i t r o v Ordinarius für Tragkonstruktionen und konstruktives Entwerfen an der Universität (TH) Stuttgart, Fachbereich Baukonstruktion und Dr.-Ing.habil. Wolfgang Herberg api. Professor an der Universität (TH) Karlsruhe Mit 129 BUdern Zweite, vollständig neu bearbeitete Auflage

w DE

Sammlung Göschen Band 6145 Walter de G r u y t e r Berlin • N e w York • 1 9 7 2

Erste Auflage: F o r m ä n d e r u n g e n , Platten, Stabilität und B r u c h h y p o t h e s e n , 1955, von Privatdozent Dr.-Ing.habil. Wolfgang Herberg und Dr.-Ing. Nikola Dimitrov. Band I: Elastizität, Plastizität u n d Stabilität der Stabwerke.

©

Copyright 1972 by Walter de G r u y t e r & Co., vormals G. J. G ö s c h e n ' s c h e Verlagshandlung - J. G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer Karl J. Triibner - Veit & C o m p . , Berlin 30 - Alle Rechte, einschl. der R e c h t e der Herstellung v o n P h o t o k o p i e n und Mikrofilmen, vorbehalten. Satz: IBM-Composer, F o t o s a t z Prill, Berlin - D r u c k : Mercedes-Druck, Berlin Printed in G e r m a n y .

ISBN 3 11 003831 5

Inhaltsverzeichnis V Neuere Berechnungsmethoden § 14 Operatorenrechnung 14.1 Einführung 14.2 Differential-und Differenzenoperator 14.2.1 Differentialoperator s 14.2.2 Differenzenoperator (1—h) 14.3 Integrations- und Summierungsoperator 14.3.1 Integrationsoperator 1/s 14.3.2 Summierungsoperator 1/(1—h) 14.4 Ebene und räumliche Probleme 14.4.1 Differential-und Differenzenoperator 14.4.2 Integrations- und Summierungsoperator 14.5. Anwendungen 14.5.1 Operatorformen verschiedener Funktionen 14.5.2 Durchlaufträger 14.5.3 Stockwerkrahmen 14.5.4 Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen . . 14.6 Literatur

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra 15.1 Matrizenrechnung 15.1.1 Grundbegriffe 15.1.2 Zustandsvektor und Übertragungsmatrizen 15.1.3 Steifigkeits-und Nachgiebigkeitsmatrizen 15.2 Tensorrechnung 15.2.1 Koordinatensysteme und Vektoren 15.2.2 Tensoren 15.2.3 Differentiation und Torsionstensor 15.2.4 Maßtensor 15.2.5 Krümmungstensor 15.3. Literatur

8 8 11 11 13 19 19 19 19 20 23 25 25 29 34 37 43

44 44 44 49 56 58 59 61 62 63 67 68

4 §16

Inhaltsverzeichnis Elementenmethode

70

16.1 Endliche Elemente 16.1.1 Rechteckelement der Scheibe 16.1.2 Dreieckelement der Scheibe 16.1.3 Steifigkeitsmatrizen für die Plattenbiegung 16.1.4 Elemente des Raumkörpers 16.2. Gitterrostmodelle 16.2.1 Rechteckelement der Scheibe 16.2.2 Rechteckelement der Platte 16.3. Literatur

70 73 78 82 91 97 100 102 104

VI Torsion

§17

§18

Elastische Torsion

107

17.1 St. Venant'sehe Torsion 17.2 Wölbkrafttorsion 17.3 Literatur

108 116 120

Plastische Torsion

121

18.1 Idealpiatisches Material 18.2 Verfestigendes Material 18.3 Literatur

121 127 127

VII Membranen, Platten, Scheiben

§19

Membranen

128

19.1 Analytische Lösungen der Membrangleichung 19.2 Numerische Lösungen der Membrangleichung 19.2.1 Gewöhnliche rechteckige Differenzen 19.2.2 Gewöhnliche Dreiecksdifferenzen 19.2.3 Methode der Seilpolygongleichungen 19.2.4 Mehrstellenverfahren 19.2.5 Computer-Methoden 19.3. Literatur

128 133 134 136 138 140 142 143

Inhaltsverzeichnis §20 Platten

5 145

20.1. Allgemeine Übersicht 20.2. Elastische Platten 20.2.1 Isotrope Platten 20.2.2 Orthotrope Platten 20.2.3 Analytische und numerische Lösungen 20.3. Plastische Platten 20.3.1 Isotrope Platten 20.3.2 Orthotrope Platten 20.4. Literatur §21 Scheiben

145 146 146 158 161 162 162 169 171 173

21.1 Elastische Scheiben 21.1.1 Ebener Spannungszustand 21.1.2 Ebener Formänderungszustand 21. r.3 Polarkoordinaten 21.1.4 Massenkräfte 21.1.4 Anwendungen 21.2 Plastische Scheiben 21.2.1 Theorie der Gleitlinien 21.2.2 Anwendungen 21.3 Analytische und numerische Lösungen 21.4. Literatur

173 173 174 175 175 175 179 179 183 186 188

VIII Schalen

§22

Dranslations-und Rotationsschalen

189

22.1 Grundgleichungen der Schalenstatik 22.1.1 Gleichgewichtsbedingungen 22.1.2 Dehnungsbeziehungen 22.1.3 Differentialgleichungen 22.1.4 Membrantheorie 22.2 Translationsschalen 22.2.1 Geometrie der Paraboloide 22.2.2 Gleichgewicht beim Membranzustand

189 189 190 190 193 194 194 197

Inhaltsverzeichnis

6

22.2.3 Anwendungen für EP-Schalen 22.2.4 Anwendungen für HP-Schalen 22.3. Roatationsschalen 22.3.1 Kugelschale 22.3.2 Kegelschale 22.3.3 Rotationsparaboloid 22.3.4 Rotationsellipsoid 22.4 Literatur §23

201 204 209 211 211 211 211 213

Einfach gekrümmte Schalen und Faltwerke

213

23.1 23.2 23.3 23.4 23.5.

215 217 218 222 222

Theorie der Kreiszylinderschalen Behälter und Bogenstaumauer Faltwerke Aussteifungen von Hochhäusern Literatur IX Stabilitätsprobleme

§24

Plattenbeulung 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5

224

Beulen im elastischen Bereich 224 Beulen mit Querlasten, Vorkrümmung und mit Störungen . . 226 Beulen im überkritischen Bereich 226 Beulen im plastischen Bereich 227 Literatur 227

§ 25 Schalenbeulung 25.1 Kreiszylinderschale 25.2 Kugelschale 25.3 Literatur Sachverzeichnis Namenverzeichnis

228 229 232 233 236 238

Inhaltsverzeichnis

7

Inhalt des ersten Bandes Elastizität, Plastizität und Stabilität der Stabwerke Grundlagen der Festigkeitslehre §

1 Einleitung

§ 2

12

Schnittkräfte und Deformationen

22

§ 3

Spannung und Verzerrung

63

§ 4

Elastizitätsgesetze und Fließbedingungen

76

§ 5

Energie- und Extremalprinzipien

99

II Zug und Druck § 6

Seile, Ringe und Behälter

107

§ 7

Verbindungen und Fachwerke

121

III Balkenbiegung § 8

Querschnittsfestigkeit

133

§ 9

Balken, Durchlaufträger, Rahmen

168

§10

Hänge-und Bogenbrücken

193

§ 11

Elastische Bettung

206 IV Knickfestigkeit

§ 12

Knickung

217

§ 13

Knickbiegung

233

V NEUERE BERECHNUNGSMETHODEN § 14 Operatorenrechnung 14.1 Einführung Ein Kalkül ist durch Anfangswerte und Regeln gegeben, nach denen man weitere Werte und Aussagen ableiten kann. Was früher Abbildung und Transformation bedeutete, heißt heute in der Mengenlehre Operator und Funktional Operator kann auch ein Symbol für eine Operation oder Verknüpfung sein. Die dazugehörige Algebra ist eine symbolische, die auch ganz abstrakt sein kann. Sie ist eine Theorie der algebraischen Strukturen geworden. In diesem Abschnitt führen wir das Operatorenkalkül im Sinne von Mikusifiski [1] vor, das insbesondere für die Baustatik und Festigkeitslehre in [2 bis 6] erweitert wurde. Im Vergleich mit der Distributionentheorie von Schwartz [22] braucht diese Operatorenrechnung nicht den großen topologischen und funktionalanalytischen Aufwand. Faßt man die Funktionen als eine unendliche Menge auf, dann kann man sie je nach ihrer Mächtigkeit und Dichte in zwei Arten unterteilen: a) Abzählbare Mengen oder diskrete Funktionen im numerischen Bereich 0^n

=

f

f i

= fi + f2h + f3h2 + . . . = n | o f n + 1 h n

- j o2 - f l h = f Vi

f h + f h

2+

=

£ f n=0

(16a) hn

(17a)

14

V Neuere Berechnungsmethoden

und man hat sofort für die erste Differenz (l-h)f=

{Af} h + f0

(18)

| A 2 f | h 2 + A f 0 h + (1 - h) f 0

(19)

und für die zweite entsprechend (l-h)2f=

Man erhält somit ganz analoge Beziehungen zu (8) und (9), wobei f Q den Anfangswert und A f 0 = f j - f 0 die erste Anfangsdifferenz bedeuten. Die allgemeine Formel lautet (1 - h ) n f = { A"f} h n + A n - 1 f 0 h n - 1 + ( l - h ) A n - 2 f 0 h n - 2 + . . . + ( l - h ) n - 1 f 0

(20) te

n

ten

Der Vergleich mit (10) ergibt, daß die n Differenz A mit dem n Differentialoperator s n ersetzt werden kann, wenn natürlich der Rasterabstand Ax der Gitterpunkte bzw. der diskreten Stellen gegen Null strebt, d.h. a

Ax

l i m [ ( 1 - h . )1 " ] = s" 0 h""

Den Beweis hat man in den Bildern 3 und 4 für die erste bzw. zweite Differenz gebracht. Dabei stellt sich heraus, daß statisch der erste DifferentialAx (1-h)

i

2 M=1

Ax

Jx—0 n—x „ Ax

O

0

s e { m 0 = I} —

x

Abb. 3. Die erste Differenz bedeutet ein Kiäftepaar. Beim Grenzübergang hat man den Differentialoperator s, der das Biegemoment Mq = 1 ausdrückt.

operator s das Einheitselement für das Biegemoment und daß der zweite Differentialoperator s 2 das Einheitselement für das Doppelmoment bedeuten.

§ 14 O p e r a t o r e n r e c h n u n g Tafel 2: Nr.

g(S)_ A, ^ B, HS) S - a S-ß

x

Partialbrüche

Aa + A._, (S - a)* (S-a)'" 1

t

1

1 = 1 rl . 1 i S (S + a) a l S S + a J

2

1 I r l r , (S + a) (S + ff) a - 0 L S + a S + 0J

3

(S + a) (S + ß) a - 0 l S + a S + ß1

4 S

_

1

1

r O

ß

B„ (S-0) b

"

(S

Bb-,

,

, 1 = ',[a 1 + 1 ]

S (S + a) o 2 'S 2 1

,= a',['• 2 's

S (S + a)

S + a1

s

1

"

,a-0+ S

1 S (S + a) (S + ß)

7

1 = ,[ ° " ß (S + a) (S + ß) (a - ff)2 (S + a)

1 (S + a) 2 (S + ß)

' 1 aß(a-ß)'

_

1

S + a (S + a)2

6

8

(

i

f

(a-ff)2

ß S+a

a , S + /31

1 + 1 1 S + a S + ß'

a(a-®+ (S + a) 2

ß

ß

S+a

S + 0J

S2 _ 1 , a 2 ( a - f f l + a ( a - 2 f f l + ß2 (S + a)2 S+a S + 0J (S + a)2 (S + ff) (a - ß)2 1 . 1 , 0 - 7 o - T o-fl. (S + a) (S + ß) (S + y) (a - 0) (a - 7) (ß-y) S + a S + ß S + 7J 11

1 -1 ,aß-y ä " - y (S + a)(S + ß)(S + 7) ( a - f f l ( a - 7 ) ( / 3 - 7 ) 1 S + a "s + ß

12

S2 _ 1 [ ^ " - T A 2 a - 7 + v+2 Ta - 0 (S + a) (S + 0) (S + 7) (a - 0) (a - 7) (0 - 7) ^ S + a S+0 S+7

13

1 _ 1 (a2 S (S + a) a 3 S

14

1 ,=•",[«, S2 (S + a) a 3 ' S 2

15

1

_

7

a + 1 1 , S2 S S + a J a 2t + 2 1 S (s + a)2 S + a'

1

S2 (S + a) (S + ff) a 2 0 2 (a -

i a ä

ff)

"-ß

S2

Weitere F o r m e l n s. [20, S. 7 4 1 / 7 5 1 ]

S

ß2

i

a2 ,

a-ß

S + 7J

S + a S + 0J

+

16

V Neuere Berechnungsmethoden

1

,2 !HL£=h-i_z.h n

-1

- 2

A b b . 4. Die zweite D i f f e r e n z (1 - h ) 2 geht in den zweiten D i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s 2 über als D o p p e l m o m e n t Mo = ± 1

Jetzt kann man ohne weiteres rationelle Operatorausdrücke in s gemäß Tafel 1 und insbesondere Tafel 2 auch für Zählerfunktionen g(s) höherer Potenz in s als in der Nennerfunktion f (s) lösen. Diese Fälle werden in der LaplaceTYansformation gar nicht diskutiert. Durch einfache algebraische Operation hat man beispielsweise für { M0 = 1 j

-a2

{cosax}

Dabei bedeutet s auf der rechten Seite das Einheitselement des Biegemomentes an der Stelle x = 0 und der zweite Ausdruck gem. Nr. 10, Tafel 1 die angegebene cos-Funktion, s. Bild 5. Daß der Ausdruck (1 - h ) eine Differenz symbolisiert, kann man auch mit Hilfe des Verschiebungssatzes (Bild 1) nachweisen: (1 - h ) f = f„ + f j h + f 2 h 2 + . . . - f 0 h - f[h 2 - f 2 h 3 - . . . = fo + ( f 1 - f o ) h + ( f 2 - f 1 ) h 2 + ( f 3 - f 2 ) h 3 + . . . •1

§ 14 Operatorenrechnung

17

Wie man leicht nachkontrollieren kann, ist diese Gleichung mit Gl. (18) identisch. An jeder Stelle ist die erste Differenz angegeben. So ist es möglich, für eine. Reihe von diskreten Funktionen durch die Anwendung der Gl. (18, 19 u. 20) die entsprechenden Operatorformen abzuleiten, s. Tafel3. Beispiele: a) f (n) = 1 im ganzen Bereich für n = 0, 1, 2, . . . Aus (18) folgt unmittelbar (1-h)

{l}

=0+1

Hierin bedeutet die 1 auf der rechten Seite den Operator h°. Oder il} =-ri-r=l+h +h2+h3 + ... = Shn t I 1 -h o s. a. Tafel 3, Nr. 1. Die Lösung im stetigen Bereich heißt b) f (n) = e a n . Sofort hat man die Potenzenreihe gem. Gl. (3a) je 0 " 1 1 = 1 + e a h + e 2 a h 2 + . . . . Ihre Summenformel erhält man aus Gl. (18): (l-h){

ean} = jeaean-e0"1 j

h+1

= — L - = l t e a h + e w h J + ... 1- eh s. a. Nr. 2 der Tafel 3 mit der dazugehörigen Formel im stetigen Bereich. c) f (n) = sin a n Aus (19) erhält man (1-h)

{ s i n a n j = | sin a (n + 2) - 2sin a (n + 1)+ sin a n } h 2 + h s i n a + 0

Nach einigen Umformungen | sin an } [ 1 - 2h + h 2 - 2h (cos a - 1)] = h sin a oder (sin a n 1 = 1

'

hsrna 1 - 2hcos a + h 2

In den Anwendungen kommen Ausdrücke h 1 - 2hz + h 2 vor. Je nachdem ob z ^ 1, hat man es mit den Funktionen s * ? a n , n, oder > sin a mit a = Are«" zu tun. Vgl. auch Tafel 3, Nr. 3, 9 und 5. bin ck 2 Dimitrov-Herberg. Festigkeitslehre II

18

V Neuere Berechnungsmethoden Tafel 3: Operatorfunktionen

im diskreten und stetigen Bereich

diskreter Bereich Nr.

{f„} 1

1

stetiger Bereich

= 1 f„h n = F(h) n=0

'

if(x)}

0

M -A W "sh

2 3

{sin a n ) -

4

{cosan}

-

hsina

(sin ax} = — - — * ' S + a2

1 - 2h cos a + h2 1 - h cos a 1 - 2h cos a + h2

COS 0 Ä

5

{ Sin an }

6

{Cosan} 1 - h Cosa ' ' 1 - 2h Cos a + h2

7

hSina {(-1)"" 1 Sin an} , 1 ' 1 + 2h Cos a + h2

hSina

=

c

S2 + a 2

{Sin a x }

1 - 2h Cos a + h2

^

{Cosax}

-

(n + l)(n + 2 ) . . . ( n + k)

8

m

9

M

10

U \

11

= / e " s x f ( x ) d x = F(S)

> '

1

=

'

( n 3l 1

1

h 2 (1-h)2

'

U

1.2... k

k

*

S2

- bXL±h) (l-h)3

x2

=4 S3

_ h ( l + 4h + h 2 ) (l-h)4

x3

=4 S3

_ h (1 + 11h + 11h2 + h 3 ) (l-h)5

„4

_ 24 "S5

12

|n4l * '

13

(l-h)"=

14

1 v f"+"-1ihr.mit(-"+"-i1 ) h (l-h)"~nV 'mit( '

S ( - 1)" (n) h"; mit n=0

- "

- 0 • • • ( " ~n + 0 l.Z . . . n (n + 1) (n + 2 ) . . . (n + v - 1) 1.2 . . . (f - 1)

§ 14 Operatorenrechnung

19

14.3 Integrations- und Summierungsoperator 14.3.1 Integrationsoperator

-j-

Die Integration wird durch den Operator i definiert:

rs

M

=

{¡*

(21)

Diese Gleichung ist ein Sonderfall der Faltung (5b). 14.3.2 Summierungsoperator

--L 1- n

Jede Gitterfunktion f (n) mit — m u l t i p l i z i e r t , bedeutet eine Summierung: y-L J

o

f n h n = f 0 + (f 0 + f j ) h + ( f 0 + fi + f 2 ) h 2 + . . . = | c n h n

(22)

Diese Beziehung ist ein Sonderfall der Faltung (5a), d.h. 2 h" 2 f n h n = 2 g„h n 2 f n h n = 2 c n h n o Mit

c 0 = g 0 f 0 , da go = 1 ist c 0 = f 0 ; c c i ==

8o f i + g i f o ; m i t gl = 1 ist q = f + fi 2 go f 2 + g i f i + g2 fo; mit g 2 = 1 ist0 c 2 = f 0 + fi + f 2 usw.

14.4 Ebene und räumliche Probleme Der stetige und diskrete Bereich wird durch die Einführung der Koordinaten Xj, x 2 , X3 bzw. ni, n 2 , n3 definiert. Die diskrete Funktion f (n I ; n 2 , n 3 ) lautet in Operatorform f=

{f(n„n2,n3)}

=

2 f ( n „ n 2 , n 3 ) h ? 1 h ? 2 hlj 3 n 1 ,n 2 ,n 3 =0

und bedeutet eine dreifache Summe in ni, n 2 und n 3 von 0 bis stetige Funktion f ( x t , x 2 , x 3 ) hat man entsprechend f = j f ( X 1 ,X 2 ,X 3 )} = 7 7 ; 1 000

(23)

Für die

d?1d?2di3

(24)

Im folgenden wird für die Ebene (x l t x 2 ) bzw. für die ebenen Gitter (n t , n 2 ) das neue Kalkül abgeleitet, wenn die Einheitselemente h j = e S l und h 2 = e SJ bedeuten.

20

V Neuere Berechnungsmethoden

14.4.1 Differential- und Differenzenoperator Die Gültigkeitsbereiche sind 0 < Xj < •*> und 0 < x 2 < °o bzw. n j = 0, 1 , 2 , . . . und n 2 = 0 , 1, 2 , . . . . Die Differentialoperatoren s x und s 2 werden durch die Verknüpfungen gegeben: {f(x!,x2)}

Sl

=

+ {f(0,x2)}2

(25)

Der erste Operator auf der rechten Seite ist eine Funktion von S! und s 2 und der zweite nur eine Funktion von s 2 ;

s2 •?

{f(x1;x2)}

{f(x1(x2)}

=

W * ^ ) }

=

=

+ {f(x„0)} {f(0,x2)}

+ S

> (f(xi.°)}

+s

{ ^ r

if(0.x2)}

2

(26)

{ ^ } ( 2 7 )

+

+

sis2f= {9X(*9X22)}

,

1

} ( M )

"f(0.0)

Ganz allgemein >f 1

X

=

(9H(x1x2)|

1

l

f 3'f(0,x2) i=0

)

I dxf(xux2)) / f

2

1 2

äx

1 i

9x?9x>

^ }

^

9 x j 9X2

x-k-1

(30)

>i

l

/3kf(x1,0)

t 1

9x1 •i 9ai+kff (0, 0)

1

3x

1

„=o

2

,[ 2

\

i

9x'2

M

1

;i

2

(32)

§ 14 Operatorenrechming

21

Für die bekannten Differenzen A j f (n,, n 2 ) = f (n, + 1, n 2 ) - f (n 1 ( n 2 ) A 2 f (n 1 ; n 2 ) = f (ni, n 2 + 1) - f (nj, n 2 ) A, i 2 f (n 1 ; n 2 ) = f Oh + 1, n 2 + 1) - f Oh + 1, n 2 ) - f (n 1 ; n 2 + 1) -f(n,,n2)

mit

A°f ( n „ n 2 ) = f (m • n 2 ) = A?f = A°f = A»;» f führen wir die Operatoren (1 - h[) und (1 - h 2 ) ein: (l-h1)f=

{A1f(n1, n j }

h, +

jf(0,na)}2

(l-h2)f=

{A2f(n„n2)}

h2+

jfin^O)^

(l-h,)2f=

j A j f Oh, n 2 )J

hJ+O-hO

h, (l-h2) f= 2

(26a)

{f(0,n2)}2

j A j f (0, n ) |

+ (27a)

2

| A^f (nj, n 2 ) } h2

(25a)

h»+(l-h2)

| A^f Oh, 0 ) }

(l-h,)(l-h2)f=

,+

,

(28a)

{A}jf(n„n2)} (1-h,)

{fni>0)}

h,h 2 + ( l - h 2 )

{f(n„0)}i

{f(0,n2)}2 +

- f (0,0)

(29a)

Ganz allgemein hat man: (l-h,)Af=

| A^f (nj, n 2 ) |

S (l-h^-'-'JiJ

{A|f(0,n2)}2

{A^OILO)^

( l - h 2 ) x f = { A ^ f Oh, n 2 ) } (1-h,)" ( l - h ^ f ^ h »

(30a)

{A^f(ni,na]J+(l-h2y

(31a)

s ' h j (1-h,)"-1-'

{ Ajf(O s n 2 ) | 1 1 h

+ ( l - h , y "s h ^ ( l - h 2 r ' - k k=o

{A*fOh,0)} 1 2 >i

- 2 1 S1 i=o k=0

(l-h,r1"i(l-h2r1-

h j h 2 A j ^ f (0,0) Als Beispiele wählen wir die lie Funktionen: l1;; cex. x ! x 2 ; a x j + ßx 2 und Im stetigen Bereich hat man für die Konstante

k

(32a) eax

i+|3x2

22

V Neuere Berechnungsmethoden

1. f ( x , , x 2 ) = l W

(33)

= 4

Den Nachweis liefert sofort Gl. (25) Sl

{l}

= 0 + 1S2*

Für den diskreten Bereich kann man in Anlehnung an dem eindimensionalen Raum schreiben: M < >

=

= m ( l -r hxi 7) (rl - hi 2n)

2

1 2 n2f=0 hr»h?2

n i =o

(33a)

Die Gl. (25a) bringt den Beweis:

2. f (xj, x 2 ) = c X]X2 bzw. f (n x , n 2 ) = c n ^ Gemäß Gl. (25) erhält man Sj | CXjX2 |

=c

|x2|

+0

2 S1

oder

S 1 2 Für die Gitterpunktfunktion hat man aus (25a)

c

1 M

'

=

n( 1 - th jt r n ( l - hh 2 ) 2

f n n1=0 r f

1

£

(34a)

n 2 =0

3. f ( x 1 , x 2 ) = a x 1 + 0 x 2 Wieder aus Gl. (25) s, { a x 1 + ( 3 x 2 }

= { ^

nj,n2 = 0

nl

(41)

n2

Aus Gl. (40) können, beispielsweise, die Gitterpunktfunktionen


§ 14 Operatorenrechnung

43

14.6 Literatur [1]

Mikusifiski, J.: Operatorenrechnung. Berlin 1957, Warschau 1953; Operational Calculus. London 1960

[2]

Dimitrov, N.: Operatorenrechnung und ihre Anwendung auf die Baustatik. Abh. der IVBH: Zürich, 24 (1964) S. 31/60

[3]

Dimitrov, N.: Operatorenstatik. Fortschritt-Bericht der VDI-Z. Reihe 4, Nr. 4. Düsseldorf 1968

[4]

Dimitrov, N.: Die baustatische Methode in Operatorenform. Inst, für Stahl- und Leichtmetallbau. Karlsruhe 1969 (Festschrift: Otto Steinhardt - 60 Jahre alt!)

[5]

Dimitrov, N.: The Application of the Operational Calculus to Frames. Int. Symp. Univ. Newcastle upon Tyne 1966, Sess. 3, Paper Nr. 11

[6]

Eisenbiegler, G.: Operatorenkalkiil zur Berechnung von Stab- und Flächentragwerken. Diss. Universität (TH) Karlsruhe 1969 Butzer, P.L.: Die Anwendung des Operatorenkalküls von Jan Mikusinski auf lineare Integralgleichungen vom Faltungstypus. Arch. f. Rat. Mech. and Anal. 2 (1958) Nr. 2, S. 116/128 Butzer, P.L.: Singular Integral Equations of Volterra Type and the Finite Part of Divergent Integrals. Arch. f. Rat. Mech. and Analysis 3 (1959) Nr. 3, S. 194/205 Butzer, P.L., u. H. Schulte: Ein Operatorenkalkül zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differenzengleichungssysteme von Funktionen diskreter Veränderlicher und seine Anwendungen. Forsch. Ber. d. Landes N. W. Nr. 1557, Köln und Opladen 1965

[7]

[8]

[9]

[10] Schulte, H.: Ein diskreter zweidimensionaler Operatorenkalkül zur Lösung partieller Differenzengleichungen und seine Anwendung bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen. Diss. Aachen 1966 [11]

Wloka, J.: Über die Anwendung der Operatorenrechnung auf lineare Differential-Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten. Diss. Heidelberg 1958 [12] Erdtlyi, A. : Lectures on Mikusinski's Theory of Operational Calculus and generalized Functions. Pasadena. Inst, of Techn. 1959, N.Y. 1962 [13] Berg, L.: Einführung in die Operatorenrechnung. Berlin 1962 [14] Elias, I.: Über eine Operatorenmethode zur Lösung von Differenzengleichungen. Mat. Fys. Casopis. Bratislava 1958, S. 203/226 [15] Fenyö, J.: Eine neue Methode zur Lösung von Differenzengleichungen nebst Anwendungen. Periodica Politechnica, Budapest 3 (1959)S. 135/151 [16] Doetsch, G.: Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. Basel 1959

44

V Neuere Berechnungsmethoden

[17] Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation. Basel, Bd. 1 (1950); Bd. 2 (1955); Bd. 3 (1956) [18] Voelker, D., u. G. Doetsch: Die zweidimensionale Laplace-Transformation. Basel 1950 [19] Doetsch, G.: Tabellen zur Laplace-Transformation. Berlin 1947 [20] Fodor, G.: Laplace-Transforms in Engineering. Budapest 1965 [21] Erdélyi, A., W. Magnus, F. Oberhettinger u. F. Tricomi: Tables of integral Transform. Mc. Graw-Hill Book Co. New York 1954, Bd. 1 u. 2 [22] Schwartz, L.: Théorie des Distributions. Tome 1, 2. Paris 1957

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra 15.1 Matrizenrechnung 15.1.1 Grundbegriffe Wenn zu jedem geordneten Paar von positiven ganzen Zahlen j, k 1 = j = m,

l^k^n

eine Anordnung a jk von Koeffizienten entspricht, die eine diskrete Funktion zweier Veränderlichen darstellt, dann nennt man dieses rechteckige Schema eine Matrix aus m Zeilen und n Spalten: an a21

a i2 • • am

a

a

ml

a 22 • • a2n

= t a jk]

(98)

m2 • • amn

Das Wort Matrix im Sinne von Anordnung wurde zuerst 1850 von Sylvester [23] benutzt. Den Begriff Matrizenkalkül führte aber Cayley [24] ein. Die Matrizen werden wir mit Blockbuchstaben A, B , . . . M , . . . bezeichnet. Der Matrizenkalkül ist vom Standpunkt der reinen Mathematik überflüssig, aber wegen seiner Kurzform und Übersichtlichkeit ist er gegenwärtig in den Anwendungen sehr beliebt geworden. Die Multiplikation mit einem Skalar Xwird elementweise definiert: A = [Xajk], Die Addition wird für Matrizen gleichen Typs ebenfalls elementweise definiert: [a jk ] + [b jk ] = A + B = [ajk + b jk ].

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra

45

Von besonderem Interesse ist aber die Multiplikation zweier Matrizen, die nur möglich ist, wenn die Spaltenzahl i der ersten Matrize gleich der Zeilenzahl i der zweiten Matrize ist: [ a j i ] [bfc] = AB = [ S

ajibik]

(99)

= C = [c j k ]

Man erhält das Element in der j-ten Zeile und k-ten Spalte der Produktmatrix C = AB durch Bildung des inneren Produktes der j-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B: bik t>2k a

3

Z.B. A =

AB =

N l 2 ajibj ji°ik | i=l ._ J

ji a j2 • • • ajN

(99a)

nk

1 2 -1 3

-2 0 -4 1 3 -6

1 • (-2) + 2 - 1

l 1-0 + 2- 3 | 1 - 4 + 2 (-6) ' -t--! (-0-4 + 3-HO

Die Multiplikation ist im allgemeinen nicht

0

6

5 9

-8' -22

kommutativ

AB =f= BA.

(100)

Hingegen werden das assoziative und das distributive, sowie das kommutative Gesetz der Addition A +B=B+A (100a) bestätigt. Sind beide Matrizen quadratisch, m = n, so gilt für ihre Determinanten det [AB] = det A • det B

(101)

Die Vertauschung von Zeilen und Spalten ändert den Wert einer Determinante nicht, bei Matrizen jedoch ist dies eine wichtige Operation: das Transponieren. Jeder Matrix A = [aj k ] kann eine neue, die transponierte Matrix A T = B = [bjj] mit by = aji, zugeordnet werden. Ist x eine Spalte, so ist x T eine Zeile. Multipliziert mit einer Spalte y, die ebenso viele Glieder hat, erhält man

V Neuere Berechnungsmethoden

46

Xl x T y = [x, x 2 . . . x N ]

-..T v x = [yiY2 ••

:2

yn]

x

m=

XN

XiYI :

[xiyi x 2 y 2 . . . x N y N ] =

x2y2

x

(102)

nYN

eine Matrix mit einem Element, d.h. mit einer Zeile oder einer Spalte. Diese Matrix gibt das innere Produkt der Spalten x , y wieder. Davon zu unterscheiden ist die quadratische Matrix *r xy T =_

x2| [yi yi • • • y n ! =

XiYi x,y 2

• xi yN

x 2 yi x 2 y 2

•x2yN

(103)

XNYI xNY2 • • • XNYN

XN

die oft als das dyadische Produkt von x und y bezeichnet wird. Für das Transponieren von Produkten hat man [AB] T = B T A t .

(104)

Eine Matrix, deren alle Elemente gleich 0 sind, heißt Nullmatrix 0. Für sie gelten alle Eigenschaften der Zahl 0. Die Analogie zur Zahl 1 heißt Einheitsmatrix E: 1 0 . . 0 E = [Sy] =

0

1 . . 0

(105)

0 0 . . 1 deren Hauptdiagonalelemente 1 sind. Es gilt immer für Matrizen des gleichen Typs EA = AE = A. Matrizen mit det A = 0 heißen Singular. Mit der Bedingung det A

o

(106)

47

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra

kann man die sogenannte inverse Matrix A"1 ermitteln. Die Cramer sehe Regel ergibt (107) [A 1 ]" 1 = [A- 1 ] 1 und wegen (101) det A det A"1 = 1. (108) Eine nichtsinguläre Matrix A heißt orthogonal, wenn (109) oder A T A = A A t = E.

(109a)

Für die Berechnung der Inversen gibt es viele praktische Verfahren, s. [25 bis 30]. Im folgenden werden die Inversen für die Matrizen zweiter und dritter Ordnung angegeben: a

a

ll

12

; A"1 :

ä 21 a 2 2 a

an A=

i2

a

a

; det A = (a„a 1 2 - a 1 2 a 2 1 ).

All A 2 1 A 3 ,

i3

a2] a22 a23 a

a 22 ~a12 det A - a j a 22 2

; A"1

1 det A

a12 a 2 2 a 3 2 Ai 3 A 2 3 A 3 3

a

31 32 33

Mit den Unterdeterminanten: =

An =

=

-

-

Beispiel:

a

22

a

a32

a

a2,

a

a

23

33

23

A22 =

31 a33

a21

a

a

a

22

A23 = -

31 32 1 4 3

1

a

a

a

32

a

a

ll

12

A21=-

13 33

a

ll

a

31

a

32

3

1 1

-2

0

2

1 0 1

-1

4

-11

Als Kontrolle muß AA"1 = E sein.

A32 = -

33

12

12

a

.

A33 =

1 8 1 4 1 8

a

13

22

a

ll

a

a

13

a

3l

1-4

A31 =

a

a

a

a

.

a

23 13

a

2 1 23 a

a

ll

a

21 a 2 2

1 3 2 " 8 1 0 4 1 11 8 2

12

48

V Neuere Berechnungsmethoden

Eine der wichtigsten technischen Anwendungen ist die Lösung von linearen algebraischen Gleichungen a n X , + a , 2 X 2 + . . . + a l n X n = yt a

2 i X i + a 2 2 X 2 + . . . + a 2 n X n = y2

(110) a

niXi + a n 2 X 2 + . . . + an

:

yn

Aus der übersichtlicheren Schreibweise AX = y

(110a)

X = A"'y.

(111)

folgt die Lösung

Bei den linearen Gleichungen ( 1 1 0 ) kann auch die rechte Seite yj unbenannt sein oder gesucht werden. Dabei braucht die A-Matrix nicht quadratisch zu sein. Ein Beispiel dafür ist der Spannungszustand eines Tragsystems, s. Bild 17. Die Stabkräfte Sj mit 1 ^ j iS m errechnet man beim Gebrauchszustand aus linearen Beziehungen der K n o t e n k r ä f t e P^ (1 ^ k = n), d.h.

2

r

k-1

1

n-1

A b b . 17. F a c h w e r k t r ä g e r mit m S t a b e l e m e n t e n S j und n K n o t e n l a s t e n P^

S,

= 3 , ^ !

S2

= a 2 1 P[ + a 2 2 P 2 + . . . + a 2 n P n

+a12P2 + ... + alnPn

(112)

oder Pi S = AP = [ a j k ]

P2

(112a)

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra Die Koeffizienten a j k der Verknüpfungsmatrix 3jk

_ S^ " Sk

49

A sind die Einflußzahlen

für Pj = 0, wenn i k, für Pk = 1, wenn i = k.

Für m = 7; n = 3 und gleiche Stablängen erhält man die Koeffizienten leicht aus einem Cremona Plan oder einem Ritterschen Schnitt: -3 -2 3 2

j

-1 1 2

-1 -1

1 2 -2 -1

1

2 -1

1 2

1

3 2

-1

-2

-3

wobei die Zugstäbe positiv und die Druckstäbe negativ sind. Für den Obergurt S 4 erhält man beispielsweise in gewöhnlicher Schreibweise S 4 = - ^ ( P , + 2P2 + P 3 ). Die Lösung (112a) ist natürlich allgemein, denn für jede Kombination der Lasten P ( , P 2 und P 3 ist der jeweilige Spannungszustand (Stabkräfte) nach einer Matrizenmultiplikation sofort bekannt. Da die Matrizenformulierung auch eine sehr überlichtliche lineare Optimierung (wenn P ^ P2 und P 3 gewisse Nebenbedingungen erfüllen sollen) bietet und eine ideale Schreibweise für den Digitalrechner erlaubt, ist man versucht, auch kompliziertere Tragsysteme in eine Anzahl von Elementen, wie hier in Stabelemente, zu zerlegen, s. § 16.

15.1.2 Zustandsvektor

und

Übertragungsmatrizen

Nicht nur die Stabkräfte allein, sondern der ganze Zustand: Biegelinie, Drehwinkel, Biegemoment und Querkraft ist mit Hilfe der Matrizenrechnung leicht zu berechnen. Der sogenannte Zustandsvektor in einem Punkt i eines Biegebalkens ist charakterisiert durch die vier Komponenten: Durchbiegung Wj, den Drehwinkel i//j = w[ und die dazugehörigen inneren Kräfte Vj und Mj, d.h. 4 D i m i t r o v - H e r b e r g . F e s t i g k e i t s l e h r e II

V Neuere Berechnungsmethoden

50

w

_VJ i w und \l/ sind Deformationsgrößen; V und M — Kraftgrößen. Sie können für das Element 'i+l

= x

i+l - x i

gemäß Bild 18 durch die Anfangswerte w®, M^ und V ^ am rechten Schnittufer des Punktes (i) berechnet werden. Die Biegeordinate w j ^ erhält man aus

Abb. 18. Balkenelement (i) - (i + 1) unter Kraft- und Deformationsgrößen V, M, tp und w

D

x

'+l

"i+1

M^

V R (t

(EI)

(BIT

Beide Integrale ergeben nach der Auswertung 2(EI)j+1

(

^;i"Xi)3vf 6(EI)i+1 '

bzw.

'

Für den Drehwinkel hat man entsprechend =

f

xj+i j t S Xj

xj+j J (x, Xj

Aus beiden Gleichgewichtsbeziehungen folgen:

Kt-K-K1»^0' V^-Vf

=0.

+ 1

yR -0^di.

§15 Matrizen-und Tensoralgebra

51

Zusammenfassend kann man schreiben: /2 li3+ 1 L R -w =-w + / ii/R ++ t ü Mm r ++ VR w w i+i i '1*1*1 2 ( E I ) . + 1 i 6 ( E I ) j + 1 V i i//f = "Vi

0

ii/ R +

+

/2

/i + 1

(EI) j + 1

i+1 Mr + VR ¡ 2 (EI) j + J '

(114) M

hi =

0

L V i+i =

+

0

+

Mf

/. + 1

+

1(

Vf

+

oder in Matrizenform 1

/

/2 2EI

0

1

l EI

iL

M

0

0

1

/

V

0

0

0

1

-w

L

*

=

i+1

-w

*

2EI

(114a)

M i+1

V

bzw. F.i + l z1R • r

(114b)

Wir haben hier eine Rekursionsformel. Der Zustandsvektor z i + 1 an der Stelle (i+1) kann aus dem Zustandsvektor an der Stelle (i) durch die bekannte Feldmatrix F i + i, die man auch Feld-Übertragungsmatrix oder Leitmatrix nennt, ermittelt werden.

M-r-M

M- V-

M^ v!"

V" kiW,

Abb. 19. Randkräfte bei elastischer Stützung

V Neuere Berechnungsmethoden

52

Nehmen wir an, daß an der Stelle (i) eine elastische Stützung, s. Bild 19, vorhanden ist. Der Ubergang vom rechten Schnitt z ? zum linken Schnitt zj* ist gegeben durch

(115) MiR = M Li V ? = k.w. + V L oder -w

R

1

-w

0 0 Ö"

0

1 0 0

4>

M

0

0

1 0

M

V

i

-k 0 0

1

(115a)

V

i

bzw.

(115b)

Man nennt P; eine Punkt- oder Stützmatrize. von Übergangsmatrizen.

Einige Autoren, s. [32] sprechen

Statt einer Feder kann im Bild 19 eine Einzelmasse mj vorhanden sein, dann lautet die Punktmatrize

Pi =

1

0

0

1 0 0

0

0

0

mar

0 0

(115c)

1 0 1

da die Gleichung der lotrechten Schnittlast L V i* = V - i m.o;i 2 w. i lautet. Hierin bedeutet m; die Einzelmasse, oj die Eigenfrequenz. Pestel und Lecki [31] haben eine Fülle von Aufgaben aus dem Gebiete der Mechanik mit Hilfe solcher Übertragungsmatrizen gelöst. So kann man bei,L

0 z„ EI

, R

1 . 1 11 m i —I—• I i

[ Abb. 20. Eingespannter Balken mit einer Einzelmasse m

53

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra spielsweise für den massenlosen Balken gem. Bild 20 mit einer Endmasse m die Eigenfrequenz eo mit Hilfe der Matrizenrechnung bestimmen. Aus den Beziehungen:

ZR =

1

0 0

0

1 0 0

1 l / 2 /2EI l3l6EI

0

0

0

1 0

meo2

0 0 1

erhält man die Relation zwischen 2 -w

R

1

0

und

1

R

l

und z 1

0 0 0~

R

2

1 II EI l /2EI 0

0 0

1

l

0 0

0

1

aus einer Produktmatrize:

I l2l2EI

/ 3 /6EI

-w

1

UEI

/ 2 /2EI

4>

*

0

1 0

M

0

0 1 0

0 0

1

l

M

meo2

0 0

0 0

0

1

V

1

/

V

1

0

0

1 /2 2EI

l3 6EI 2

1

/ EI

l 2EI

*

0

0

1

/

M

2 2 2 3 meo2/ meo / , . meo / 2EI 6EI

0

-w

0

meo2

R

V

Beachtet man, daß gem. Bild 20 M R = V R = w fl = \p0 = 0 ist, dann folgen aus der Matrizengleichung die Beziehungen _ w K = J— M r + -i— V K 1 2EI o 6EI o vJ/

R

i

= L M r + i i VR EI o 2EI o

0

=MR+/V0R

0

= W ^ X + ( l

+ mp0 = 0; und den Beziehungen 0 = u33M0 + u34V0 0 = u43M0 + u44V0

hat man eine Bestimmungsgleichung für w wie beim Beispiel nach Bild 20. Die Frequenzdeterminante lautet nun "33

"34

"43

"44

=

Zahlenbeispiele hierüber, s. [31]. Wenn das Balkenelement, Bild 18, noch eine Normalkraft H aufweist, dann hat man je nachdem ob H eine Zug- oder Druckkraft ist, die Übertragungsmatrize, s.a. [33 bis 35], für die

56

V Neuere Berechnungsmethoden

Zugbiegung

0 HZ

Sin ip

l3 Sin

P

l2 Cos tp-l EI

Cos ) überall eindeutig nach ihren Argumenten x (l> differenzierbar, dann hat ihr Gradient die Komponenten w,= f E = 3,F dx

(122/11)

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra

61

und gemäß der Kettenregel 1

^ m— _ j= 9x~ 9x

A

Ti W mm-

Größen, die sich so wie die Gradientenkomponenten einer skalaren Funktion transformieren »a?1. w Wi = A ni , (122/12) _ , iw w m m i nennt man kovariante Vektoren, wie z.B. die Kräfte und die Impulse der Analytischen Mechanik. i ® Die Elemente A m und Aj sind richtig indiziert. Z. B. transformiert sich Ai„ bezüglich des oberen Index A i _ dx' A m - d, xmwie das Koordinatendifferential dx1, also wie ein kontravarianter Vektor; bezüglich des unteren Index wie der Gradient von der skalaren Funktion x ( i ) ( x ( a ! ) ) = konstant gegenüber der neuen Korrdinaten

also kovariant.

Das Produkt eines kovarianten Vektors w; mit dem kontravarianten Vektor v1 nennt man das innere Produkt und die Produktensumme a = WjV® = { w , v ' + w 2 v 2 + . . . + w n v n }

(122/13)

ist eine reelle Zahl. Dieses Produkt ist gegenüber der Koordinatentransformation (122/2) invariant.

15.2.2 Tensoren Eine Größe, die n p + q Werte annehmen kann, heißt ein Tensor (p + q) ,er Stufe, wenn gilt k< k r | ...r mi T. . K l— K q_-r - 1 - 'n. A r 1 !l...ip Vi—¡Dp

m t, A r pn. A 1

^o A q • • •'Uq (122/14)

oder sich in allen Indizes richtig transformiert, d.h. p t e r Stufe kovariant, q t e r Stufe kontravariant. Bei solchen gemischtvarianten Tensoren ist zu achten, daß i. a. ko- und kontravariante Indizes nicht übereinander stehen dürfen. Vektoren sind Tensoren 1. Stufe.

62

V Neuere Berechnungsmethoden

Tensoren im engeren Sinne sind Abbildungen, bei denen kovariante Vektoren in kontravariante Vektoren übergehen, Q:

Uj=>Vi

(122/15)

bzw. kontravariante Vektoren in kontravariante Vektoren transformiert werden H:

s'^t'

(122/16)

G und H sind gemischtvariante Tensoren 2. Stufe: Vj = Gi k u k ;

t^Hks"

(122/17)

In diesen Fällen ist eine eindeutige Matrizendarstellung der Abbildung möglich, wenn wir nur vereinbaren, daß ein kovarianter Index einem Spaltenindex, ein kontravarianter Index einem Zeilenindex entspricht.

15.2.3 Differentiation

und Torsionstensor

v sei ein kontravariantes Vektorfeld 1

v' = v' (P);

P e Bn

(122/18)

das mindestens einmal stetig differenzierbar sei. dv1 ist dann sicher kein kontravariantes Vektorfeld, denn das letzte Glied dv' = d (aJJ, v m ) = a|JJ dv^ + dAjn v"8

(122/19)

zerstört das richtige Transformationsverhalten. Nur dann, wenn A'm Konstante sind, d.h. die Transformation (122/2) wäre linear, verhält sich dv" wie ein kontravarianter Vektor. Das Differenzieren eines Tensorfeldes führt nicht i.a. zu einem Tensorfeld. Führt man für das Differenzieren das Zeichen D, ähnlich der Operatorrechnung im § 14 das Symbol s, dann sehen die üblichen Regeln wie folgt aus: D (f + g) = Df + Dg

oder

D (0f)

= (3Df

D (fg)

= fDg + gDf

(ß ist eine Konstante)

D ( u i v ') = D ( u m v ! D ) Dv' = dv' + F'jk dxVk Dw,* = dw,* - T m/, dx wp p

m

(122/20)

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra

63

T sind n 3 Größen, die i.a. keinen Tensor 3. Stufe bilden. Nur bei linearen Transformationen verhalten sich die T wie Tensoren. In (122/20) sind dv' = ^ dJ x j ; 3x

dw ; = ^ - md x 3x

m

(122/21)

und die Differentialsymbole lauten jetzt Dv' =

3xJ

+ Tl. v k ) dx j JK (122/22)

Die Klammerausdrücke sind Tensoren 2. Stufe und heißen kovariante Ableitungen von v1 bzw. w/. In der Literatur sind dafür auch die Bezeichnungen bekannt: VjV1,

v'.j,

bzw.

v'lj;

'

(122/23) mW/, w;;m. w m l,. Durch die Differentiation eines Tensorfeldes erhält man ein neues Tensorfeld, das eine um 1 erhöhte Stufe aufweist. v

Die Größen r . ^ heißen Übertragungskoeffizienten (Christoffelsches Symbol zweiter Art) oder auch Zusammenhangskoeffizienten. Ihr schiefsymmetrischer Anteil s

jL=r[jkri(rjk-rw>

(122'24>

ist ein Tensor und heißt Torsionstensor. Hier hat man die Analogie zum Differentialoperator s (§ 14), der als Momentoperator gedeutet wurde. Durch den Torsionstensor ist eine schiefsymmetrische Übertragung definiert. Eine symmetrische Übertragung ist mit r1

' =i (r' + r (jk) 2 i k kr

garantiert.

15.2.4 Maßtensor Um das Messen von Längen und Winkeln zu ermöglichen, wird für das innere Produkt zweier kontravarianten Vektoren ein reeller kovarianter Maßtensor g i k eingeführt. Die Determinante seiner Matrix g = [gik]

hat den Rang n, d j i . sie ist von Null verschieden.

64

V Neuere Berechnungsmethoden

Als inneres Produkt u - v der kontravarianten Vektoren u1 und v1 definiert man die reelle Zahl (122/25) 1

Die Länge des kontravarianten Vektors v ist die positive reelle Zahl lvWgikVivk

(122/26)

und der Winkel zwischen den Vektoren ü und V ist die reelle Zahl cos

=

(122/27) IUI Iv I

Die Parallelprojektionen des Vektors v auf die durch den Angriffspunkt von v laufenden Tangenten an Koordinatenlinien sind die Größen v < i > = Vg^vi

(122/28)

(hier darf nicht über i summiert werden). Für den Winkel a < i , k > zwischen zwei solchen Tangenten gilt: cos a < i , k > = -^==== Vgiigkk

(122/29)

(nicht summieren!). In dem Ausdruck (122/25) ist w k = gik u' ein kovarianter Vektor. Nach der Definition für die Faltung (122/13) ist dann w • v = wkvk das innere Produkt des kovarianten Vektors w mit dem kontravarianten Vektor "v. Nach der neuen Definition (122/25) ist es aber auch das innere Produkt der kontravarianten Vektoren ü und v. Wenn also die Metrik als Maßtensor gegeben ist, kann man w mit ü ersetzen in dem Sinne, daß mit "k = gik"' der Maßtensor den kontravarianten Vektor u1 in den kovarianten Vektor u k überführt. Man sagt auch: u1 ist die kontravariante, u k die kovariante Darstellung von ü . Die Größen u = J =

(122/31)

(nicht summieren!) sind die Orthogonalprojektionen des Vektors ü auf die durch seinen Angriffspunkt laufenden Koordinatenrichtungen. Im Falle n = 2 hat man gemäß Bild 22, beispielsweise

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra

U=

Vgli

=

Vgll

65

( g n u ' + g 1 2 u 2 ) = u < l > + cos a < 1 , 2 > u < 2 > .

Da g = det g 0 ist, existiert ein reziproker Maßtensor g l k , dessen Elemente durch die Beziehung g ik g/k = 5', gegeben sind. Es ist offensichtlich [g i k ]=g" 1 Jetzt lassen sich auch inneres Produkt, Längen und Winkel für kovariante Vektoren definieren: ü-v=gikUiVk

(122/32)

IvUVg'Vk

(122/33)

cos(ü,V) = - ^ lulIvl

(122/34)

Durch (122/32) wird die Übertragung eines kovarianten Vektors v k in den kontravarianten Vektor v1 nach v' = g i k v k

(122/35)

definiert. Die Operationen (122/30) und (122/35) nennt man Herunterziehen oder Senken bzw. Heraufziehen oder Heben eines Index. Es gilt die Identität "k = gik"' = gikg 1 '"/ = 5 kU;= u k 5 D i m i t r o v - H e r b e r g . F e s t i g k e i t s l e h r e II

66

V Neuere Berechnungsmethoden

Auch Matrizendarstellungen sind jetzt möglich. Es sei ü" ein kovarianter Vektor (mit Zeilenmatrix) ü = [u, . . . u n ] = [ü] T

(122/36)

und v ein kontravarianter Vektor mit Spaltenmatrix vr "v

(122/37)

Dann ist das innere Produkt u • v die Spur oder die "trace" der Produktmatrix . ü - v =tr { [ü]T[v]} (122/38) bzw. Ü ° V = UjV 1

s.a. Gl. (103) und (121a). Die Übertragung des Maßtensor ergibt die Relation: v ¡gk/ = 9igk/ - r i k gj/ - r,{ gkjIst der Maßtensor kovariant konstant, d.h. v

igk/ = 0. • dann definiert die Übertragung r einen metrischen Raum. Wenn die Übertragung T symmetrisch ist, d.h. Su/j^O heißt der Raum symmetrisch. Für einen metrisch-symmetrischen Raum (Riemannschen Raum) gilt daher Tii = r ( i i ) = i gJ'' Oigk, + 3 k gi, - 9/gik)

(122/39)

In diesem Falle schreibt man ri=

{ijk}

(122/40)

die sogenannten Dreiindizessymbole. Man kann leicht nachweisen, daß auch g l k kovariant konstant ist. Wenn der Raum metrisch ist, sind kovariante Differentiationen und Ziehen eines Index vertauschbare Operationen. Interessante Anwendungen hierüber gibt Günther in der Theorie der Fehlstellen und der Versetzungen, s. [49].

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra 15.2.5

67

Krümmungstensor

Für einen Riemannschen Raum berechnet man in einem beliebigen Vektorfeld vm die Differenz (ViVk-VkVj)vm = R i k l n V R

m

m

m

ik/ = 3,r kl - 9 k r n + r ^ r j - r k ? r , f

(122/41)

(122/42)

nennt man den Riemannschen Krümmungstensor zur Metrik g i k . Ein Riemannscher Raum heißt euklidisch, wenn ein Koordinatensystem in ihm so gefunden wird, daß überall gilt gll = $22 = • • • = gnn = 1 gl2 =gl3 = • • • =g23 = • • • = 0 oder [g] = [E]

(122/43)

Das Verschwinden des Krümmungstensors

Rik,m = o

ist mit der Aussage

Rn =

En

erreicht. Dies ist eine notwendige und hinreichende Bedingung, daß ein Riemannscher Raum R n euklidisch E n ist. Andernfalls heißt R n nichteuklidisch. Aus den Symmetrieeigenschaften des Krümmungstensors folgt die Symmetrie des Ricci-Tensors Rk; = Rik/ = R(k/)

(122/44)

Ak; = Rk/-^Rgk/

(122/45)

und für den Einsteintensor

mit erfolgt seine Divergenzfreiheit

R = g' i R ij VkAk'= 0

(122/46)

Eine weitere Folge der Symmetrien ist die Abminderung der Zahl der unabhängigen Komponenten z^"' des Krümmungstensors von n 4 auf (122/47) Mit Hilfe des Tensoroperators ist es heute möglich, viele Probleme der Festigkeitslehre zu lösen. Das allgemeine Hookesche Gesetz als Stoffgleichung ist 5:

68

V Neuere Berechnungsmethoden

eine Tensorgleichung zwischen statischen Spannungstensoren T1J und kinematischen Verformungsgeschwindigkeitstensoren T i j = C iik 'v k/ Für einen anisotropen elastischen Stoff ist Cijk/ ein Tensor vierter Stufe und bedeutet eine Funktion des Ortes, die die elastischen Eigenschaften definiert. Im allgemeinen sind 21 unbekannte Komponenten c ljk 'vorhanden, wenn man die Symmetrie von a1' und e k ; (s. Band 1) ausnützt. Sind die Werte C'' k l konstant, dann hat man den homogenen Fall. Ist der Stoff isotrop, dann reduzieren sich die elastischen Unbekannten auf zwei. In diesem Falle kann das Hookesche Gesetz geschrieben werden Oy = XGjji? + 2 /iejj Hierbei bedeuten: d = G1' ejj = ej die kubische Dilatation; X und ß sind die Konstanten von Lamé. Abschließend sei erwähnt, daß dem allgemeinen Cosserat-Kontinuum und - der Versetzungstheorie ein Symposium der IUTAM (Int. Union of Theoretical and Applied Mechanics) 1967 gewidmet wurde. Die Vorträge sind in [50] angegeben.

15.3 Literatur 15.3.1 Matrizenrechnung [23] Sylvester, J.J.: Philos. Mag. Bd. 37 (1850), S. 363 [24] Cayley, A.: Trans. London philos. Soc. Bd. 148 (1858), S. 17/37 [25] Frazer, R.A.; W.J. Duncan u. A.R. Collar: Elementary Matrices and Some Applications to Dynamics and Differential Equations. New York 1938 [26] Lanczos, C.: Applied Analysis. London 1957 [27] Bodewig, E.: Matrix Calculus. 2. Aufl. New York 1959 [28] Zurmühl, R.: Matrizen. 4. Aufl. Berlin 1964 [29] Gröbner, W.: Matrizenrechnung. München 1956 [30] Denis-Papin, M., u. A. Kaufmann: Cours de calcul matriciel applique. Paris 1951 [31] Pestel, E.C., u. F.A. Leckie: Matrix Methods in Elastomechanics. New York 1963

§ 15 Matrizen- und Tensoralgebra

69

[32] Falk, S.: Die Berechnung des beliebig gestützten Durchlaufträgers nach dem Reduktionsverfahren. Ing. Arch. 24 (1956), S. 216/232 [33] Woernle, H.-Th.: Eine Matrizenmethode für mehrfeldrige Balken (Knicken und Schwingen). Der Stahlbau 25 (1956 Nr. 6, S. 140/45) [34] Schnell, IV.; Berechnung der Stabilität mehrfeldriger Stäbe mit Hilfe von Matrizen. ZAMM 35 (1955) Nr. 6/7, S. 269/84 [35] Fuhrke, H.: Bestimmung von Balkenschwingungen mit Hilfe des Matrizenkalküls. Diss. TH.Darmstadt. Ing. Arch. 23 (1955) Nr. 5, S. 329 bis 48. Bestimmung von Rahmenschwindungen mit Hilfe des Matrizenkalküls. Ing. Arch. 24 (1956) Nr. 1, S. 27/42 [36] Möller, K.-H.; H. Morchen u. G. Völkel: Zur Berechnung ebener und räumlicher Stabwerke mit dem Kraft- und Formänderungsgrößenverfahren nach einer allgemeinen Theorie kleiner Verformungen in Matrizenschreibweise. Inst, für Statik und Stahlbau, Heft Nr. 9, TH Darmstadt 1970 [37] Argyris, J.H.: Die Matrizentheorie der Statik. Ing. Arch. 25 (1957), S. 174/192 [38] Marguerre, K.: „Föppl-Analysis" und Übertragungsmatrizen. Ing. Arch. 35 (1966), S. 39/42 [39] Livesley, R.K.: Matrix Methods in Structural Analysis. 1964 [40] Turner, M.J., R.W. Clough, H.C. Martin u. L.J. Topp: Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures. I. Aero. Sei. 23 (1956) S. 805/23.

15.3.2

Tensorrechnung

[41] Ricci, G. u. T. Levi-Civita: Méthodes du calcul différentiel absolu et leurs applications. Math. Ann. 54 (1901) S. 125/201 [42] Duschek, A. u. A. Hochrainer: Tensorrechnung in analytischer Darstellung. Wien 1960 [43] Gudehus, Gerd: Elastoplastische Stoffgleichungen für trockenen Sand. Habil. Schrift Univ. (TH) Karlsruhe 1970 [44] Prager, W.: Einfuhrung in die Kontinuumsmechanik. Basel 1961 [45] Bieberbach, L.: Differentialgeometrie. Leipzig 1932 [46] Sokolnikoff, I.S.: Tensor Analysis. Theory and Applications. New York 1958 [47] Green, A.E. u. W. Zema: Theoretical Elasticity. Oxford 1968 [48] Green, A.E. u. R.S. Rivlin: The Mechanics of Non-Linear Materials with Memory. Part I Arch. Rat. Mech. Anal. Vol. 1 (1957/58) S. 1/21 und S. 470 (Correction).

70

V Neuere Berechnungsmethoden

[49] Günther, W.: Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuum. Abh. Braunschw. Wiss. Ges. 10 (1958), S. 195. [50] Proceedings of the IUTAM-Symposium on the generalized Cosserat Continuum and the continuum theory of dislocations with applications. Freudenstadt und Stuttgart 1967. Herausgeber: E. Körner, BerlinHeidelberg—New York 1968

§ 16 Elementenmethode Die Lösung statischer und dynamischer Scheiben-, Platten- und Schalenprobleme führt auf partielle Differentialgleichungen, für die nur in wenigen einfachen Sonderfällen geschlossene Lösungen bekannt sind. Im allgemeinen ist man auf Näherungslösungen angewiesen. Zu den zahlreichen Verfahren für solche Näherungen zählt auch die Elementenmethode. Zu ihrer Anwendung bedarf es eines Digitalrechners und der schon erwähnten Matrizenalgebra, s.a. [31, 37, 39 u. 40],

16.1 Endliche Elemente Als Vorbild dienen die Elemente der Stabwerke und der Biegeträger. Für die Flächentragwerke hat man einfach berandete Elemente, wie Dreiecke, Rechtecke oder Tetraeder. Aus den Lösungen für die einzelnen Elemente wird die Gesamtlösung konstruiert, s. [51 bis 55]. Dabei werden gewisse Unstetigkeiten an den Elementgrenzen in Kauf genommen. Hier werden die Methoden der Variationsrechnung angewandt. Reine Verschiebungssätze erfüllen die Verträglichkeitsbedingungen überall, die Gleichgewichtsbedingungen jedoch nur an der diskreten Struktur. Hierbei fallen die Verschiebungen unter den Lasten zu klein aus [56 und 57], Werden umgekehrt die Gleichgewichtsbedingungen überall erfüllt, die Verträglichkeitsbedingungen dagegen nur an der diskreten Berandung der Elemente, so werden die Verschiebungen unter den Lasten zu groß errechnet. Man hat auch hier, wie so oft, eine obere und eine untere Schranke. Beweissätze für die Konvergenz sind in [58 und 59] angegeben. Von den heute bekannten reinen Verschiebungssätzen für allgemeine Plattenmomente [60, 61, 62, 63] genügt keiner dem Kriterium vonMelosh [59]. Zudem weisen alle mehr oder weniger starke Unstetigkeiten der Plattenmomente in den Elementenecken auf. Im Bild 23a ist für einen ebenen Spannungsbereich die Einteilung in endliche Dreieckelemente gegeben. Die Lösung setzt sich aus denen der Einzelelemente (e) zusammen. Ein reiner Gleichgewichtsansatz für dreieckige Elemente wurde von Morley [64] gezeigt, und ein neuer vollverträglicher Verschiebungssatz für ein allgemeines dreieckiges

§ 16 Elementenmethode

72

V Neuere Berechnungsmethoden

Plattenelement von Bosshard in [65] angegeben, der dem Kriterium von Melosh genügt und die Plattenmomente in den Elementecken stetig überträgt, s. Bild 23b. Tafel4 zeigt die Anwendung der beiden wichtigsten Elemente Dreieck und Rechteck für Scheiben-, Platten- und Schalenkonstruktionen. Die angegebenen Zahlen 2, 3 und 5 beziehen sich auf die Freiheitsgrade am Elementknoten.

I

„ X

ger Belastung

73

§ 16 Elementenmethode 16.1.1 Rechteckelement

der Scheibe

Das einfachste Element ist das Rechteck. Bild 24a zeigt, neben den Ordinaten x und y, die dimensionslosen Ordinaten £ = — und TI = T- sowie die Verschiea b bungen u x und u y . Man kann beweisen, daß die Verschiebungsfunktion u(x,y), die Dehnungsfunktion e (x, y ) sowie die Spannungs- und Kräftefunktion o (x, y) und S (x, y) in Abhängigkeit der vier Knotenpunkte 1 , 2 , 3 , 4 und deren Zustandsvektoren "x2

Uy2

Ux3

Uy3

Ux4

Uy4

Sxl

Syl

Sx2

sy2

SX3

Sy3

Sx4

Sy4

(123)

(124)

stehen, s. Bild 24b. Es ist ein Verdienst von Argyris [51], dies zuerst erkannt zu haben. Im Bild 24c ist der Einheitszustand u x l = 1 dargestellt. Die daraus resultierenden Verschiebungen für alle Elementenpunkte lauten Ux =

0 + t + 1 + £T?) (125)

W.u.

Uy,, Sy,

y.n.uy J

*1' Xl

w TT-

u M

Abb. 24. Rechteckelement der Scheibe

V Neuere Berechnungsmethoden

74

Der allgemeine Verschiebungszustand kann jetzt geschrieben werden zu "x = (Au) T v x

(126)

UY = ( A U ) T Vy

Hierin bedeutet (Au) die Interpolationsfunktion als Produkt der Matrizen

1 2

1

1

1

1 -1 -1

1

1 -1

1 (127)

1 -1

1 -1 -1

1

(128) Zienkiewicz [53] nennt diese Interpolation (Au) die Gestaltfunktion

7

K89 K 9 9

'9_ ' (159)

gegeben werden, wobei Rj und rj Spannungs- und Dehnungsresultanten des Knotenpunktes j bedeuten. Die Beziehung zwischen Rj und r k verschwindet, da die Knoten j und k nicht zum selben Element gehören. Die Matrix K setzt sich zusammen aus den Steifigkeiten der 8 Dreieckelemente, d.h. K

=

2

(160)

K ;

So ist beispielsweise für i = 5, im Bild 26 sind die dazugehörigen Knoten mit T, 1 und J angegeben, die maßgebende Steifigkeitsmatrix unter Beachtung der Submatrizen gemäß Gl. (156): —

—

Ri

0

0

0

r

l

R2

0

0

0

r

2

r

0

0

0

>•3

k33

kji

k

32

U

kia

kn

ki2

'S

0

0

0

k21

k22

0

0

rg

0

0

'9

3

R4 r r

5

=

6

Rs

0

R9

0

r-

K

k

5

6 D i m i t r o v - H e r b e r g . F e s t i g k e i t s l e h r e II

23

82

V Neuere Berechnungsmethoden

Den Gesamtvektor R erhält man über die Summe (160) der einzelnen Steifigkeitsmatrizen, s. Holand [52].

16.1.3 Steifigkeitsmatrizen für die Plattenbiegung Näheres über die Plattentheorie werden wir in § 20 bringen, jedoch zum Verständnis der Elementenmethode müßten wir jetzt einige Grundlagen vorwegnehmen. Krümmungsvektor c und Momentenvektor m werden in Spaltenmatrizen ausgedrückt: w,xx c=

" M

n"=

,yy > 2w,xy w

X

-

M y M

X

(161), (162)

y

Abb. 27. Momente und Querkräfte des Rechteckelements der Platte

Bild 27 zeigt die positive Richtung der Momente und Querkräfte an. Im Falle eines elastisch isotropen Materials lautet der Zusammenhang zwischen Moment und Krümmung unter Benützung der Tensorschreibweise: M x = - D (w, x x + n w

yy)

My = - D (w,yy + jU W jjjj)

(163)

MXy = - D ( l - / U ) W ) X y

mit 3

D = - Ed 2 12 (1 - ß ) '

(164)

Die Beziehung zwischen den drei Gleichungen (161,162 und 163) wird durch die einfache Matrizengleichung hergestellt: m=- Dc

(165)

! 16 Elementenmethode

83

Hierbei bedeutet

D=D

1

M

0

M

1

0

0

0 Lm 7

(166)

die Steifigkeitsmatrix der isotropen Biegeplatte. Die Aufstellung einer Steifigkeitsmatrix für ein endliches Element unterliegt derselben Überlegung wie bei der Scheibe: a) Man vereinigt alle Verschiebungsparameter der Knoten in einem Vektor v oder q. Die Durchbiegung w wird durch viele Biegefunktionen w zusammengesetzt und auf die Knotenverschiebungen q bezogen w = wT q

(167)

oder durch die Interpolationsformel w = (BW) t v

(168)

v = GT q

(169)

B = G"1.

(170)

dargestellt. Hierin sind

b) Die Krümmung c kann durch Differenzieren aus (167) ermittelt werden c

=Pqq

(171)

oder c =Pv

(172)

mit w ,xx (173) 2w, oder = Pq B T .

(174)

c) Den Momentenvektor m bekommt man aus (165) durch Verwendung von Gl. (171) nn = - D Pq q

(175)

m = -DPv.

(176)

oder nach Gl. (172)

6'

84

V Neuere Berechnungsmethoden

d) Die Spannungsresultanten Q oder S werden mit Hilfe der Arbeitsgleichung berechnet vTS = qTQ = - / c T m d F .

(177)

e) Die Steifigkeitsmatrize erhält man, wenn Gl. (171) oder (172) in die Gl. (175) oder (176) eingesetzt wird Q=kqq

(178)

S =kv

(179)

kq = / P q D P q d F

(180)

oder mit F

k = / P T D P dF

(181)

F

Benützt man Gl. (174), dann ist k = B kq B t

(182)

f) Man bekommt die Steifigkeit k des ganzen Systems über Summierung der einzelnen Steifigkeiten kj.

16.1.3.1 Rechteckelement Bild 28 zeigt es mit den Längen 2a und 2b. Auch hier sind neben x, y auch die dimensionslosen Koordinaten rj wie bei der Scheibe gekennzeichnet.

y.-n

2b

H

2a

^

Abb. 28. Rechteckelement der Plattenbiegung

85

§ 16 Elementenmethode Die Knotenparameter werden durch den Vektor

(183)

mit den Submatrizen w,

W,xl

w2 w3

W,x3

w4

W,x4

w

,yl

w

,y2

w

,y3

w

,y4 (183a,b,c)

angeben. Die Nummern geben die Knoten des Einzelelementes an. Der Einheitsverschiebungszustand lautet

2 ?(3-|2) r?(3-r?2)

(4-?2-r)2)

(V

aHS2-!) a ( f - 1) W =

4

a*»J ( f - 1) «J(?2 - 0 bi?(r/2-l)

(v2 - 1) 2

b (r, - 1) b|(f?2-l)

(184)

86

V Neuere Berechnungsmethoden

Die Interpolationsmatrix (Bw) kann man aus Gl. (127) für 1 1 1 1 A= 1

1 1-1

1-1-1 1-1

1 -1 -1

1

A 0

0

und B = 0 A

O

(185), (186)

O O A

ohne weiteres ausrechnen. Die Matrix P T erhält man durch Differentiation von (173) und (174)

0

0

0 0 4 - 3 g2 - 3 r?

-3

ab 0

I a

0

T

P = AB

3 £2-l

3*? a

1 a

0 0

3 5 b

itn

3 172 - 1

0 0

2

—

87

§ 16 Elementenmethode Im Falle eines isotropen elastischen Materials lautet die Steifigkeitsmatrix kn k„=D

0

0

0

0

3 ^ 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

•3-^0 a

0

0

0

0

0

0

-3-^

0

0

0

k4jl0 0

0

0

0

0

M,4

0

0 k4>7

3 13 b

-3^ 0 a

0 0

0

0

0

0

0

0

p

0

0

0

0

n

0

k77

0

0

n

0

0

0

0

0

0

0

0

k 10 40 0

0

k

8,8

symmetrisch

f

0 •42,12

(188) mit 5a 3 b 3 k4

7

(5a + 5b + 14a b - 4pia b )

= - - 4 - (5b 2 + 2a 2 + 3pa 2 ) 5a b

k4,io = "

5ab

(5a 2 + 2b 2 + 3pb 2 )

(188a)

88

V Neuere Berechnungsmethoden - J - (5b 2 + 2a 2 - 2/na2) Sab ^8,8

-L(2a2+b2-2Ma2) 3ab

MO,10

- J - (5a 2 + 2b 2 - 2/ib 2 ) 5ab

(188a)

- J - (2b2 + a2 - 2ßb2)

M2.12 -

3ab

Die Steifigkeitsmatrix für das rechteckige Element der Platte wurde zuerst von Adini und Clough [67] gegeben. 16.1.3.2 Dreieckelement Ein beliebtes Element für die Berechnung der Plattenbiegung ist das Dreieckelement in Flächenkoordinaten f ii -=F " '

""F"'

i 3 _

(189)

F

Hierin bedeutet F die Fläche des Dreiecks und F 1 . F 2 . F 3 — Teilflächen bis zum Schwerpunkt P s , s. Bild 29. Aus Gl. (189) folgt unmittelbar fl+?2+?3 = l

(190)

Ohne besonderen Beweis ist beispielsweise

t

-Zl

(191)

hi

s. Büd 29.

X Abb. 29. Dreieckelement der Plattenbiegung

89

§ 16 Elementenmethode Die neuen Knotenkoordinaten lauten: Knoten 1: f , = 1;

f2 = ?3=0

Knoten 2 : f 2 = l ;

fi = f3 = 0

Knoten 3 : J 3 = 1; ? i = f 2 = 0 Die Dreieckseiten sind gekennzeichnet durch: Seite 1: f i = 0 Seite 2 : f 2 = 0 Seite 3 : f 3 = 0 Die Koordinaten des Schwerpunktes P s sind: f i = ?2 = f 3 = ^ Die Transformationsgleichungen zwischen karthesischen und Flächenkoordinaten lauten: X y 1

X =

1

x

2

x

3

fi

yi y2 y 3 1 1 1

h

fi bzw.

fj 5-3

f3

_ 1 2F

( y j - y 3 ) ( " 3 - " 2 ) (X2y3-x 3 y 2 ) (y3-yi) (xi-x3) (x3yi-"iy3)

(192)

(yi-y2) (X2-X3) (*iy2->'2yi)

Weiter hat man (xi - x 3 ) (yi - y 3 ) _3_

(X2-X3)

9?2

(Y2-Y3)

9

3

9x

3x

= J

9 3y

(193)

3 3y

mit der inversen Transformation J_ 2F

(Y2 - Y s ) (y3 ~ Y1) ( x 3 - X 2 ) (X! - X 3 )

3~ 3?i 3

3 =

d?2

J1

3f 1

(194)

3 3?2

Für die zweiten Differentialquotienten hat man entsprechend _3i 3x

dxdy

= J-

3fi

9fi3f2 32

dxdy

3y2

3ti3f2

3?2

(J"')T

(195)

90

V Neuere Berechnungsmethoden

Der Kriimmungsvektor c gem. Gl. (161) lautet nun £w 3x* ä!w2 9y 2 3'w 3x3y

äiw2 äf, d'w ("3"*!)1 (X1-X3)1 2(X,-X3)(Xj-X2) äfi2 3'w 2(xj-xI)(yI-yj) 2 (x, - x3)(y3-y,) 2 [(x, -x3)(y2 -y3) + (x3 -x,)(y3 -y,)l sr.st, (y: - yj)!

(ys-y.)1

2(y1-y1)(y,-y3)

oder Dabei ist und

c

= T cm

C

= P

N

N Q

(196a) (197)

T PN =

w

T

,f2r 2

(198)

T

Die 3 x 3 Freiheitsgrade werden durch 9 Parameter als Knotenvektoren v in Form von drei Subvektoren dargestellt (199) mit (199a) _ >yj i Im Bild 29 ist für i = 3 der Subvektor v 3 eingetragen. Der Durchbiegungsvektor w lautete nun in Flächenkoordinaten: 1 fi ?2

?1?2 titi

SsSi

f2?3 ~ f3?2 f3?l "?1?3

(200)

(196)

§ 16 Elementenmethode

91

Aus der Gl. (198) folgt jetzt: 0

0

0 |0

0 - 2 ' -2f 2

0

0

0 ! 0 -2

0

0

0 | 1 -1 - l ' - 2 f f , - f 2 )

Ol 2 f ,

2f2

-6(?i-f3)

6(f2-f3)

-2?,

(201)

2(2f2-r3)-2(2f,-f3)

Die drei Submatrizen werden wie folgt bezeichnet Pn = [0,

(202)

Nq ' P N l ]

Die Steifigkeitsmatrize lautet nun: 0 F PN0 H PN0

PN0H/PnldF

;PNidFHPN0

(203)

/P^HPmdF

F

F

Hierbei ist (204) und T erhält man aus (196 bzw. 196a). D entspricht Gl. (166). Das erste Integral lautet nach der Auswertung 1 / P n i dF = 2 ^ J

F

0

0 -1

(205)

1 -1

Näheres hierüber s. [51 bis 55]. Tafel 4 gibt eine kleine Übersicht über die Verwendung der Rechteck- und Dreieckelemente für Scheiben, Platten- und Schalensysteme. Die Zahlen 2, 3 und 5 bedeuten Freiheitsgrade am jeweiligen Elementknoten. 16.1.4 Elemente des

Raumkörpers

Die theoretischen Grundlagen hierüber findet man in [40, 51, 59, 68], Wilson [69] wählt für axialsymmetrische Drehkörper, Bild 30, ein Ringelement mit dreieckförmigem Querschnitt. Die Knotenparameter sind beide Verschiebungskomponenten u r und u z . Das Element selbst besitzt 2 - 3 = 6 Freiheitsgrade. In Polarkoordinaten hat man u T = [l

r z]

(206)

bzw. Ur

(207)

92

V Neuere Berechnungsmethoden

Der Dehnungsvektor e und der Spannungsvektor a lauten: er

"r.r

0

1 0

0

0

0

r

I r

z^ 0 1 r

0

0

z,z

0

0

0

0

0

1

0

0

1 0

u

Trz

"r,z + Uz.r

q = P„q

(208)

1 0

a = Ee mit 1 B(l-M) (1 +M) C1 - 2ju)

A

A

0

A

1 A

0

A

A

1

0

0

0

0

B

(209)

Abb. 30. Axialsymmetrisches Element Hierin bedeuten: A =Jil-ß

und

B -

2(1-¡i)'

Die allgemeine Steifigkeitsmatrix erhält man aus kq = / P q E P q d V , v wobei das Integral entlang des ganzen Ringes geführt werden m u ß .

(210a, b )

93

§ 16 Elementenmethode

Das sogenannte Tetraederelement T 12 (Argyris nennt es TET 4 in [55]) wurde zuerst von Gallegher, Padlog und Bijlaard in [70] behandelt. Dieses Element hat 12 Freiheitsgrade (s.a. Tafel 5) und nach Bild 31a lautet sein Verschiebungsvektor U

Ux uy

U

T

0

q

(211)

T

U

0

0

41

0

0

0

=

UZ

mit

T

(212)

x y z].

Der Dehnungsvektor T

"x,x e

y

0

T

y,y

0

"z,z

0

0

u,z

T

T U,x

0

u

e2

0

U,X

7xy

ux,y

Txz

«x,z + U Z X

7yz

uy,z

u

+ Uy,x

+UZ

u

,y T

u,z

0

y

0

,y

T

0

u

T ",z

u

q = PQq

(213)

T ,x

T

.y

mit r

~oioo 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0

(214)

Der Spannungsvektor ist natürlich nach der Elastizitätstheorie gegeben durch die Hookesche Form o = Ee Hierin ist

E (1 - ß) ( 1 + K ) 0 -2ß)

1 A A 0 0 0

A A 0 0 0 1 A 0 0 0 A 1 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 B

(215)

V Neuere Berechnungsmethoden

94

Kxi.y,.Zi>

4ix4.y4.zJ

Abb. 31. Tetraederelemente mit A u n d B nach Gl. (210a, b). Die allgemeine Steifigkeitsmatrix ist gegeben m i t

EV(I-M) K

I-(1+M)(1-2M)

0 0 0 B

0 0 0 0 0 A 0 B 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 A

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 B 0

0 0 0 0

0 0 A 0

0 0 B 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 B 0 0 0 1 0 0 0 B

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 B

0 0 A 0

0 0 0 0 0 0 0 B

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 B 0 0

0 0 B 0

0 0

0 0 0 0 0 A 0 0

0 0 0 A

0 0 B 0

0 0 0 0 0 B 0 0

(216)

0 1

A u n d B wieder gem. Gl. (210a, b). Das Volumen V ist definiert d u r c h (217)

V = i det A, 6 wobei A die K o o r d i n a t e n m a t r i x der K n o t e n b e d e u t e t . 1 X,

1

1

1

X2 X3

X4

(218)

y i y2 y3 y4 Z

1

z

2

z

3

z

4

Die Elementsteifigkeit k lautet jetzt k = B kq B t

(219)

95

§ 16 Elementenmethode Tafel 5 Figur

Element

[Lit.]

H 24

[72]

24

H 60

[73]

60

H 96

[72]

96 D

[74]

96

HEXE 64

[75]

192

[55]

12

[55]

30

[72]

TET2(

[71]

TEA

[71]

12

12

96

48

60

12 3

60

96

V Neuere Berechnungsmethoden

mit

B=

A

0

0

0

A

0

0

0

A

(220)

Für das Element H 24, s. Tafel 5, lautet der Deformationsvektor

u T = [ 1 x y z xy xz yz

(221)

xyz]

Für T 30 oder TET 10 nach Argyris [55] entsprechend

u T = [ 1 x y z x 2 xy xz y 2 yz z 2 ]

(222)

und für H 60

u T = [ 1 x y z x 2 xy xz y 2 yz z 2 x 2 y x 2 z x y 2 xyz xz 2 y 2 z yz2 x2yz

(223)

xy2zxyz2]

Für T 48, s. Bild 31b, lautet der u-Vektor in Volumenkoordinaten " T = [f 1, fa. f 3 , U

f i f a . f i f s , SiU

f a f s . f a f 4 . SsU

(f?fa - fifa).

(f??3 - f i f s ) . ( f i?4 " f i d ) . ( f a f j " f a i a ) . ß-2f 4 - f a f 5 ) , (224)

(fa^-fad)]

Der Unterschied zwischen T 12 und T 48 besteht darin, daß bei den Knoten von T 12 nur die Durchbiegung kontinuierlich verläuft, bei T 48 dagegen auch die Drehwinkel wie bei einem Durchlaufträger. Die Volumenkoordinaten lauten in Anlehnung an die Flächenkoordinaten fi -

ti -

12- t 3 = n

(225)

und f 4 = -

Die Teilvolumen erhält man aus den Teiltraedem bis zum Schwerpunkt P s , s. Bild 31b. Auch hier ist (225a)

?i + f 2 + f 3 + f4 = 1 Die Transformationsgleichung für die erste Ableitung lautet 3 9 9x a?! (xi-x ) (yi-y ) (zi-z ) 4

4

(x2-x4)

(y2 - y 4 )

(z2-z4)

9 9y

(X3-X4)

(y3-y4)

(Z3-Z4)

9 9z

9 3?a 9 _9f3_

J heißt die Jacobische Matrix.

9 9x

4

=J

9 3y 9 9z

(225b)

§ 16 Elementenmethode

97

Zur Ermittlung der Steifigkeitsmatrix [71 u. 72] ist die Formel über das Volumen V des Tetraeders wichtig:

In Tafel 5 ist eine Auswahl von Elementen für den Raumkörper gegeben. Die dazugehörige Literatur und die Anzahl der Freiheitsgrade am Knoten f und am Element m geben einen Hinweis über die Berechnung und die zweckmäßige Auswahl des Computers. Praktische Aufgaben kommen leicht auf mehrere Tausend Unbekannte. So ist die sogenannte Computerzeit nicht uninteressant. Bei einer UNIVAC 1107 beispielsweise ist die Maschinenzeit für die Ermittlung einer Elementsteifigkeitsmatrize für T H T H

12 24 48 96

0,6 5,1 34 103

sec sec sec sec

In der Grund- und Bodenmechanik sowie im Talsperrenbau ist die Elementenmethode des Raumkörpers von großem Nutzen geworden, s. [74] sowie [76], Schon seit einiger Zeit wird sie auch im Schiffbau praktiziert [52].

16.2 Gitterrostmodelle Sie bilden eine Variante der Methode der endlichen Elemente und sind aus einfachen ingenieurmäßigen Überlegungen entstanden. Aus den Steifigkeitsmatrizen der Gitterrostelemente, s. Bild 32, wird ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung eines Flächentragwerks aufgestellt. Gegenüber dem

Abb. 32. Gitterrostelemente a) Rechteck; b) Dreieck; c) Trapez; d) Parallelogramm Verfahren der endlichen Elemente kann man hier die Anzahl der Freiheitsgrade beschränken und durch geeignete Iterations- und Relaxationsverfahren die gewünschte Genauigkeit erzielen. Eine große Hilfe ist dabei die Eigenschaft der Übertragungsmatrix, womit Rekursionsrechnungen möglich sind. Ganz früher schon hat man hochgradig statisch unbestimmte Fachwerke durch ein einfaches Kontinuumsgebilde mit Hilfe der Airysehen Spannungs7 D i m i t r o v - H e r b e r g , F e s t i g k e i t s l e h r e [I

98

V Neuere Berechnungsmethoden

funktion leicht gelöst. Den Nachweis über den Grenzübergang zwischen der elastisch isotropen Platte und Scheibe und dem elastisch isotropen, gelenkigen und engmaschigen Dreieckfachwerk hat bereits 1906 Wieghart in [77] erbracht.Marcus [78] hat später mit Hilfe der endlichen Differenzen den umgekehrten Weg beschritten und die Platte durch Trägerroste ersetzt. Riede [79] hat 1927 einen prismatischen Körper durch quadratische Elemente als Gittermodell angenähert, s. Bild 32a. In den letzten Jahren hat wohl Hrennikoff u. 81] als erster den Matrizenkalkül dafür benützt. Sein quadratisches Modell, Bild 33, weist Formeln für die Trägheitsmomente der Ersatzstäbe auf. Mit I, = ad 3 /16 und I 2 = ad 3 /16 \ / 2 bei p = 1/3 kann eine gleich große Platte

von der Dicke d berechnet werden. Bild 34 zeigt dasselbe für Rechteckelemente. Diese Formeln hat zuerst Hrennikoff abgeleitet. Schwierige Fälle werden mit Hilfe der Übertragungsmatrix, s. Lecki [82] gelöst. Für die Flächentragwerke werden verschiedene Elemente, s. Bild 32, und deren Steifigkeitsmatrizen aufgestellt [83]. Mit einigen Vergleichsrechnungen und Fehlerermittlungen beschäftigen sich Dirr und Waller in [84]. In jüngster Zeit hat Hrennikoff die Verfahren der endlichen Elemente und der Gitterroste präzisiert und angeglichen. Auch bei den Gitterrostmodellen gilt die Kurzschrift des Matrizenkalküls P=Kv

(226)

Es bedeuten: P den Lastvektor; K die Steifigkeitsmatrize und v den Verschiebungsvektor.

§ 16 Elementenmethode

99

3

2

Abb. 34. Rechteckelement; d = Plattendicke; I, = — — ad 3 ; I-, = 3 k ~ 1 i 2 2 3/2 32 32k (1 + k 2 ) 3 ' 2 3 = 64k Bild 35 zeigt in etwa an, wie die Verwindung einer Originalplatte durch Biegung der Diagonalstäbe und Schub der Gurtstäbe im Modell ersetzt wird. Bild 36 stellt ein Scharniergelenk dar. Es ist eine gedachte Konstruktion des Modells, womit die Gelenkwirkung im Knoten und die Biegung in den Stäben ermöglicht wird. Schließlich soll das Bild 37 beurkunden, daß ein Original leicht in ein Modell von Gitter- bzw. Trägerrosten verwandelt werden kann.

Abb. 35. Verwindung w X y 7'

100

V Neuere Berechnungsmethoden

Abb. 36. Scharniergelenk

Abb. 37. Biegeplatte mit Aussparungen a) original; b) Gittercostmödell

16.2.1 Rechteckelement

der Scheibe

Das Modell, Bild 38, ist bereits in [80 u. 81] angegeben worden. Es besteht aus vier Gurtstäben und zwei Diagonalstäben. Äußere Kräfte sollen nur an den vier Gelenkknoten A, B, C und D angreifen, so daß alle Stäbe nur Normalkräfte übertragen. Die Diagonalstäbe sind am Kreuzungspunkt nicht verbun-

Abb. 38. Rechteckelement für die Scheibe

§ 16 Elementenmethode

101

den. Man rechnet längs der Kanten der Originalscheibe mit konstantem Verlauf der Spannungen und konzentriert sie in statisch äquivalenten Kräften im Modell: -N

X A

=

NXB = ~

=y

NXB = -NXC

(crx - k r )

(A X

+ kr)

(227)

NYA = -NYD = Y ( K A Y - R )

N

= - N

Y B

Y C

= F (kay + r)

Die Gleichgewichtsbeziehungen mit den Stabkräften und die Erfüllung der speziellen Verzerrungszustände a) reine Dehnung in x-Richtung (e x

0, e y = yxy = 0)

b) reine Dehnung in y-Richtung ( e y # 0, e x = yxy = 0) c) reine Schubverzerrung

(e x = e y = 0, yxy + 0)

ergeben Bestimmungsgleichungen für die Größe der Stabquerschnitte. Dabei muß die Querkontraktion genau 1/3 sein. Wird der ebene Verformungszustand zugrunde gelegt, dann muß ß = 1/4 sein. Die Stabquerschnitte lauten mit k = tan ip: Gurtquerschnitte

F A B = FCD =

Diagonalstabquerschnitte F A D = F B C = Ständergurtquerschnitte

(3 - t a n 2 ^ ) ad ^ — — 16 sin ¡p cos ip

F A C = F B D = T? (3tan 16

(228)

—) ad tan ^p

Für das Quadrat ip = 4 5 ° hat man dann FAB

=

FCD

=

FAC

=

F B D = "I

A

D

(229) FAD = FBC = § V 2 a d Bei Hrennikoff [80, 81] sind die Werte der Gurtstäbe doppelt so groß, da sie als Feldgrößen zweimal auftreten, s.a. [83], Für die Verknüpfung der Eckkräfte P mit den Knotenverschiebungen v läßt sich Gl. (226) schreiben P = Ksv

102

V Neuere Berechnungsmethoden

oder

N*A

NYA

N„B

NYB

NXC

NyC NXD

N

Y D

3 -1 tan if>

A

0

0

0

'-tan f

1

-1 0 B ] 1 0 0 tan L -L 0 A -tan *p -1 0 0 i1 3 0 tan uj 1 -1 j i B 0 0 ! i 3 tan

+ —¿—. tan ip

16.2.2 Rechteckelement

der Platte

Eine ähnliche Gleichung wie (230) gilt auch für die Berechnung von Plattenproblemen, wenn die Matrix K s durch die Matrix K p ersetzt wird. Die Äquivalenz zwischen Modell und Original, Bild 39, fuhrt zum äquatorialen Trägheitsmoment If der Modellstäbe

=

(232)

Hierin werden für Fj die Werte nach Gl. (228) bzw. (229) eingesetzt. Für die Ermittlung der Steifigkeitsmatrize K p s. [ 3 1 , 5 1 und 83]. Der Vektor der Knotenkräfte P und der der Knotenverschiebungen v lauten:

§ 16 Elementenmethode

103

Abb. 39. Rechteckelement für die Platte XA

WA

My A

w'a

Qa

WA

>B_

Vj

P_C_

vc

MXD

WD

MyD

W;D

Qd

WD

M

P =

(233) (234)

Für den Gitterrost gemäß Bild 4 0 ist die Rechenvorschrift die einfache Gleichgewichts- und Kontinuitätsbedingung an den gemeinsamen Knoten aufzustellen. Es lauten diese Bedingungen beispielsweise für den Knoten 5: p v

s = PDI + Pen s

= v

DI

= v

CII

+

(235)

Pßffl + PAIV

=

«Bin

=

V

AV

I

yi

A \

A \

in

yi

A \ i v

y

zy x j i

(236)

AIV

4 ii

yi / i

zy

©Abb. 40. Gitterrost aus vier Elementen

104

V Neuere Berechnungsmethoden

Die linke Seite der Gl. (235) bedeutet eine äußere Last, die im Knoten 5 angreifen muß. Auf der rechten Seite stehen die inneren Kräfte des Knotens. Fügt man noch die Randbedingungen hinzu, dann erhält man ein vollständiges lineares Gleichungssystem für alle Knotenverschiebungen, s.a. [84],

16.3 Literatur [51] Argyris, J.H., u. B.Sc. Kelsey: Energy Theorems and Structural Analysis. Butterworths 1960 (zuerst in Aircraft Engineering 1953, 1954). [52] Holand, J., u. K. Bell: Finite Element Methods in Stress Analysis. Trondheim- Norway 1969 [53] Zienkiewicz, O.C.: The Finite Element Method in Structural andContinuum Mechanics. London 1967 [54] Zienkiewicz, O.C., u. G.S. Holister: The Finite Element Method in Structural Mechanics. London 1965 [55] Argyris, J.H.: Continua and Discontinua. Proc. Conf. Matrix Methods in Structural Mech. Ohio 1965 [56] Veubeke, B.F. de: Displacement and equilibrium in the finite element method; Kap. 9 in 53 [57] Prager, W., u.J.L. Synge: Approximations in Elasticity based on the concept of funktion space. Quart. Appl. Math. 5 (1947) S. 241/69 [58] Synge, J.L.: The Hypercircle in Mathematical Physics. Chap. 3, 1957 [59] Melosh, R.J.: Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method. AIAA- Journal. Vol. 1 (1963) Nr. 7 [60] Clough, R.W.; and J.L. Tocher: Finite element stiffness matrices for analysis of plate bending. Proc. Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech. Wright-Patterson Air Force Base, 1966

[61] Bazeley, C.P.; Y.K. Cheung, B.M. Irons and O.C. Zienkiewicz: Triangular elements in plate bending- conforming and non-conforming solutions. Proceedings Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech. WrightPatterson Air Force Base, 1966 [62] Veubeke, B.F. de: A conforming finite element for plate bending. Int. J. Solids Structures 4 (1968) S. 95/108 [63] Deak, A.L., and T.H.H. Pian: Application of the Smooth-Surface Interpolation to the finite Element Analysis. AIAA-Journal (1967) Nr. 1 [64] Morley, L.S.D.: A Triangular Equilibrium Element with Linearly, Varying Bending Moments for Plate Bending Problems. Journal of the Royal Aeronautical Society. Okt. 1967 [65] Bosshard, W.: Neues, vollverträgliches endliches Element für Plattenbiegung. Abh. IVBH2S (1968) Nr. I, S. 27/40

§ 16 Elementenmethode

105

[66] Ergatoudis, J.G.: Quadrilateral Elements in Plane Analysis and Introduction to Solid Analysis. M. Sc. (Diss.) University of Wales, Swansea 1966 [67] Adini, A., and R. Clough: Analysis of Plate Bending by the finite Element Method. Rep. Nat. Sei. Foundation Grant, G. 7337, 1960 [68] Oliveira, E.R.A.: Mathematical Foundations of the Finite Element Method. Lisboa 1967 [69] Wilson, E.L.: Finite Element Analysis of Two-Dimensional Structures. Structural Engineering Laboratory Report Nr. 6 3 - 2 , Univ. of California, Berkeley 1963 [70] Gallagher, R.H.,J. Padlog and P.P. Bijlaard: Stress Analysis of Heated Complex Shapes. J. Aerospace Science (1962), S. 700 [71 ] Argyris, J.H., J. Fried and D. W. Scharpf: The TET 20 and the TEA 8 Elements for the Matrix Displacement Method. The Aeronautical Society (1968), S. 618 [72] Field, S.: The Finite Element Method in Three Dimensional Theory of Elasticity. Division of structural Mechanics. Techn. Univ. of Norway 1968 [73] Argyris, J.H.: Three-Dimensional Anisotropic and Inhomogeneos Elastic Media Matrix Analysis for Small and Large Displacements. Ing. Arch. 34 (1965) S. 33/55 [74] Ergatoudis, J., B.M. Irons and O.C. Zienkiewicz: Three-Dimensional Analysis of Arch Dams and Their Foundations. Symp. on Arch Dams at the Inst, of Civ. Engineers, 1968, sowie (Argyris, J.H., and S.C. Redshaw: - " - ) [75] Argyris, J.H.: The LUMINA Element for the Matrix Displacement Method. The Arron. J. of the Royal Aeronaut. Society (1968) S. 514 [76] Malina, H.: Ein Beitrag zur rechnerischen Behandlung der Spannungsumlagerungen in Feld und Boden. Diss. Karlsruhe 1969 [77] Wieghardt, K.: Über einen Grenzübergang der Elastizitätslehre und seine Anwendung auf die Statik hochgradig statisch unbestimmter Fachwerke. Z. Math, und Physik 85 (1906) S. 139/176 [78] Marcus, H.: Die Theorie elastischer Gewebe und ihre Anwendung auf die Berechnung biegsamer Platten. Berlin 1924 [79] Riedel, W.: Beiträge zur Lösung des ebenen Problems eines elastischen Körpers mittels der Airyschen Spannungsfunktion. .ZAMM 7 (1927), S. 169/188; Berichtigung C. Weber: ZAMM 8 (1928), S. 159/60 [80] Hrennikoff, A.: Plane Stress and Bending of Plates by Method of Articulated Framework. Diss, at the MIT: 1940 [81 ] Hrennikoff, A.: Solution of Problems of Elasticity by the Framework Method. J. of Applied Mech. 8 (1941) A169/175

106

V Neuere Berechnungsmethoden

[82] Leckie, F.A.: The Application of Transfer Matrices to Plate Vibrations. Ing. Arch. 32 (1963), S. 100/111 [83] Spierig, S.: Beitrag zur Lösung von Scheiben-, Platten- und Schalenproblemen mit Hilfe von Giterrostmodellen. Abh. der Braunschweigischen Wiss. Ges. XV (1963), S. 133/65 [84] Dirr, B., u. H. Waller: Über die statische Berechnung von Scheiben und Platten nach dem Gitterrostverfahren. Fortschritt Berichte d. VDIZ. Reihe 4, Nr. 7: 1968 [85] Hrennikoff, A.: Precision of Finite Element Method in Plane Stress IVBH 29-11 (1969) S. 125/137

VI TORSION § 17 Elastische Torsion Torsion oder Drillung heißt Verwindung eines Querschnittes auf dem laufenden Meter Stabachse infolge eines äußeren Torsionsmomentes M t . Die Theorie der elastischen Torsion benützt dabei drei verschiedene Hypothesen: 1. Die Bernoulli-Hypothese halten.

des Ebenbleibens der Querschnitte wird beibe-

Diese sehr einfache Theorie gilt nur für kreis- und kreisringförmige Querschnitte. Die Drillung D ist gemäß Definition (237) und ist aus dem Torsionsmoment M t , dem Gleitmodul G und aus dem polaren Trägheitsmoment I p zu berechnen. Für den Kreisquerschnitt hat man I p = / r 2 dF = ¡i0

2tj / r 3 dr = tt Ç , «0

^

(238)

wenn r = a der Radius des Kreisquerschnittes ist. Der Schubwinkel y resultiert aus der Drillung D und ist dem Radius r proportional

7 = Dr

(239)

Aus dem Hookeschen Gesetz folgt dann (240) bzw. T

2M,

•

(240a)

108

VI Torsion

2. Bei einem beliebigen Querschnitt wird die Verwölbung des Querschnittes nicht vernachlässigt, sondern als unbehindert und frei angenommen. Dies bedeutet Unabhängigkeit von der Stabachse x und man spricht von der

Saint Venantschen Torsion [86]. 3. Wird die Verwölbung behindert, dann erhält man die Wölbkrafttorsion. Hierbei entstehen neben den Schub- auch Normalspannungen. Hinweise über die geschichtliche Entwicklung der Torsion sind in [87] zu finden.

17.1 Saint Venantsche Torsion Die Verwölbung des Querschnittes ist mit einer Verschiebung u (y, z) des Profils in Richtung der Stabachse x verbunden u(y,z) = D¥;(y,z) mit

(241)

M D

=dt

I; ist nicht identisch mit dem polaren Trägheitsmoment I p , sondern es hängt besonders vom Querschnitt ab und wird als Flächenträgheitsmoment bezeichnet. V (y, z) ist die Wölbfunktion. Sie gehorcht der homogenen Differentialgleichung [87 bis 91]: a 2 * +. a52

z) = - y1

y „ h .z 1 sin nn f Cos n7r - ( r - - ) b b n 2 r (1 - r ) + ^ V3 2 _3 O b TT 1,3,5 y ^ n Cos - rnrh

Gemäß (246) erhält m a n

r

x y

=-2GDf = -

, GDb

£

Si

"

^

'

l

jr b

2

n Cos

M

1

(259)

112

VI Torsion

0

b

y

Abb. 44. Rechteckquerschnitt unter Torsion

b Txzxz=

2GDP=8GD dy

y;

4

TT 2

h ,z

n Cos ~

1,3,5

L

^

(260) Bei h > b ist r m a x in den Punkten (0,

W-gGDb

und (b,

. , ' M 1.3.5 n ' r 8 Cos

)

h

2

(261)

b

Für n = 1 (der Fehler ist rd. 4%) ist ^"max = 8GDb ( i

Î-—¡-)

(262)

2 b Das Torsionsflächenmoment ist nach (251) I t = - 4 J 7 < i > d y dz Für n = 1 hat man

F

W l - I ^ T a n f ^ h

(263)

Setzt man als Bezugsgrößen I t _ und r m a x « die Werte für das sehr schmale Rechteck, Bild 45, zugrunde Ik3 3

(264)

§17 Elastische Torsion

113

dann lautet It = »7i ^

=

(265)

bzw. hat man für die maximale Schubspannung r

0

Mtb r 1

m u = ° T "

]

l« 8

Mtb

=TÜ J - V2 -5

TT COS ~ ^

Wmax-

(2bb)

2 b

m

" T m m

"i

8

"~

, M, ht? ^CosîJ

Die Koeffizienten rjj und t?2 sind in der Tafel 6 angegeben, c) Schmaler Rechteckquerschnitt,

Bild 45,

eine Konstante rd, s. Bild 46. Ein Flächenelement d (ds) liefert zum Drehmoment den Betrag dMt = T hd (ds) und das ganze Moment ist aus einem geschlossenen Integral zu errechnen

Abb. 46. Dünnwandiger Hohlquerschnitt unter Torsion

Mt = rd § hds = rd 2F R F r bedeutet die Fläche, die gemäß Bild 46 von der strichpunktierten Mittellinie umschlossen wird. Damit ist die Schubspannung M, 2F R d

(272)

Diese Gleichung drückt die sogenannte Bredsche Formel [92] aus. Die Torsionssteifigkeit GI t wird aus der Formänderungsarbeit ermittelt. lMtD=II*r2d(ds) Wird hier Gl. (272) eingesetzt und (242) berücksichtigt, dann hat man MtD-&-MT d GI < 4GFr Der Vergleich mit (242) ergibt GI t = G

4Fd

. (273) 4 as d Ist die Wandstärke auf dem ganzen Umfang konstant und die Länge des Umfanges # ds = U, so ist y

GI t = G ^ -

(274)

116

VI Torsion

-p-^4

ZiJ y ' 2 1

~r

— \ T2 1

h

*

Iiis

b

»

Abb. 47. Torsion beim Brückenquerschnitt

Zahlenbeispiel, Bild 47. M, = Pa; Tld,=T2da = r3d3 = J g j oder

Pa . r l = 2bhd! '

r2 =

Pa 2bhd,

Pa t3 =2bhd,

17.2 Wölbkrafttorsion Hier wird die Verwölbung des Querschnittes behindert oder an manchen Stellen gänzlich unterbunden. Dann treten neben den Schub- auch Normalspannungen auf. Insbesondere bei dünnwandigen Querschnitten [93 bis 100] wie I oder [ Profile erzeugt ein äußeres Torsionsmoment M t zwei innere Anteile Mt = M s t v + Q h = M s t v + M B ,

(275)

M s t v bedeutet die reine Saint Venantsche Torsion ohne Wölbkraftbehinderung M Bt = M b f j bedeutet das Biegemoment der Flansche infolge Wölbkraftbehinderung. Im Bild 48 denkt man sich den Querschnitt in der Mitte aufgeschnitten. Infolge der Querkraft Q Q=^

(276)

und des Biegemomentes Qh = M Bt = M B F i

(277)

erfahren beide Hälften eine seitliche Verschiebung ± v (x), für welche die Differentialgleichung gilt EI, (278) •-v = - M B F /

§ 17 Elastische Torsion

117

oder (278a)

| E I Z V'" = - Q (X) mit I2 = 2 I

F /

=2^=±b

3

h,

(279)

wobei der Steg vernachlässigt wird.

(x) lautet:

bzw.

v(x) = | d ( x )

(280)

dv(x)_hdd_h 12 dx - 2T U W dx

(281)

Setzt man (281) in (278) ein E I oder

z

| f = -MBFi

ET h d Î D 2 4 dx 2

q

U

(282) (282a)

Für die Drillung ist nach (242) D= D ( x ) Ä

(283)

Hier wird I t gemäß (264) ermittelt Gl, = j G (2hjb + b j h )

(284)

118

VI Torsion

Die Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion läßt sich schreiben, s. Gl. (275, 282a, 283), M t = M s t v + Qh = G I t D (x) - ^

EI,

^

^

(285)

Mit der Abkürzung \2

4GI, h2EL

(286)

hat man die F o r m D" ( x ) - X 2 D ( x ) = - A _ M t

(287)

Ist ein System allein Saint Venantscher Torsion ausgesetzt, dann gilt die Gleichung (288) und den Torsionswinkel ä (x) erhält m a n aus der Integralgleichung d«

(289)

Im Bild 4 9 ist ein eingespannter prismatischer Stab der äußeren Torsionsbelastung Mt = P t an der Stelle £ ausgesetzt. Die Momentenverteilung ergibt sich aus den Randwerten Mf = P t ( l

-f);

(290)

Abb. 49. Torsionsmoment Mt und Stabdrehwinkel ä beim fest eingespannten Stab ohne Wölbbehinderung unter äußerem Einzelmoment P(.

119

§ 17 Elastische Torsion Den Torsionswinkel

erhält man durch die Integration (289) x