Differentialgeometrie: Band 3 Theorie der Flächenkrümmung [Reprint 2019 ed.] 9783111714004, 9783111320984

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S A M M L U N G GÖSCHEN BAND 1180/1180a

DIFFERENTIALGEOMETRIE von DR. PHIL. K A R L STRUBECKER o. Professor der Mathematik an der Technischen Hochschule Karlsruhe

in T H E O R I E DER FLÄC H E N K R Ü M M U N G

Mit 38 Figuren

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlags ha ndlung • J. Guitentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1959

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: Band

I : Kurventheoric der Ebene und des Raumes (Band 1113/1113 a) Band II: Theorie der Fliichenmetrik (Band 1179/1179 a) Band I I I : Theorie der Flächenkrümmung (Band 1180/1180 a)

© Copyright 1958 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 111180. Satz : Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. Druck : Paul Funk, Berlin W 35. Printed in Germany.

Inhalt Literaturverzeichnis Einleitung

5 6 IV. Theorie der Fläcbenkrfimmnng

A. Streifentheorie 1. Theorie der Streifen 2. Geodätische Streifen, Schmiegstreifen und Krümmungsstreifen

6 12

B. Elementare Theorie der Flächenkrümmnng 3. Die zweite Grundform der Flächentheorie. Satz von Mcusnier 18 4. Kormalkrümmung, Schmiegtangenten, Schmieglinien . . . . 25 5. Beispiele: Windschiefe Regelflächen, Drehflächen, Flächen z = z(x,y), Nabelpunkte 29 6. Formel von Euler 37 7. Indikatrix von Dupin 42 8. Konjugierte Flächentangenten 50 9. Schiebflächen 55 10. Krümmungslinien. Gaußsche Krümmung E und mittlere Krüm60 mung H einer Fläche 11. Beispiele: Drehflächen, Ebene, Kugel, Pseudosphäre, Kettenfläche 65 12. Geodätische Windung einer Flächenkurve, Sätze von F. Joachimsthal 68 13. Weiteres über Krümmungslinien. Normalcnflächen. Formel von Olinde Rodrigues 71 14. Krummlinige Koordinaten im Baum. Satz von Dupin über dreifache orthogonale Flächensysteme. Parallelflächen 76 15. Normalenkongruenz einer Fläche. Zentrafläche 85 16. Kanalflächen, Gesimsflächen, Dupinsclie Zykliden 89 17. Flächen von Monge und Serret mit einer einzigen Schar von Krümmungslinien 92 18. Konforme (winkeltrcue) Abbildungen des Raumes. Möbiussche Kugeltransformationen. Satz von Liouville 98 19. Die Formeln von Weingarten 104 C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung 20. Sphärisches Bild einer Fläche nach Gauß; Geometrische Deutung der Gaußschen Krümmung 21. Das Theorema egregium von Gauß 22. Geodätische Polarkoordinaten, Riemannsche Zentralkoordinaten. Biegungsinvariante Erklärung der Gaußschen Krümmung . . . 23. Satz von Gauß und Bonnet 24. Anwendungen der Gauß-Bonnetschen Integralformel 25. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung 26. Reelle Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung . . . . 27. Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung K = const mit (eigentlicher) isotroper Drehachse

107 113 119 124 3 31 137 141 148

4

Inhalt 28. 29. 30. 31.

Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Ebene Projektive Metrik. Projektives Modell der hyperbolischen Ebene Konformes Modell der hyperbolischen Ebene Entscheidung der Isometrie zweier Flächen (Problem von Minding)

D. Ableituogsgleichungen und Fundamentalsätze der Flächentheorie 32. Die Gaußschen Ableitungsformeln der Flächentheorie . . . . 33. Die Integrabilitätsbedingungen der Flächentheorie. Formeln von Codazzi und Mainardi 34. Der Fundamentalsatz der Flächentheorie von Ossian Bonnet 35. Geodätische Abbildung einer Fläche auf die euklidische Ebene 36. Der Identitätssatz f ü r Eiflächen. Unverbiegbarkeit und Starrheit der Eiflächen

152 156 166 175 183 187 182 197 202

E . Minimalflächen 37. Minimalflächen 38. Mmimalflächen als Schiebflächen isotroper Kurven. Formeln von Weierstraß 39. Assoziierte Minimalflächen 40. Adjungierte Minimalflächen mit kongruenten oder symmetrischen isotropen Schiebkurven. Minimalflächen von Lie und Geiser . . 41. Formeln von H. A. Schwarz. Problem von E. G. Björling . . 42. Beispiele Namen- und Sachverzeichnis

211 215 221 225 230 237 240

Literaturverzeichnis Neben der In Band I und Band I I dieser „ D i f f e r e n t i a l g e o m e t r i e " angeführten Literatur befassen sich mit dem Gegenstande des vorliegenden Bandes I I I die folgenden Schriften: 1. Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen I I I . Band. Geometrie, 3. Teil D. Differentialgeometrie, Leipzig 1902—1927. 2. H. E. T i m e r d i n g , Repertorium der höheren Mathematik, 2. Aufl., 2. B a n d : Geometrie, 2. Hälfte: Raumgeometrie, Leipzig und Berlin 1922. 3. A. D. A l e x a n d r o w , Die innere Geometrie der konvexen Flächen, Berlin 1955. 4. Richard B a l d u s , Nichteuklidische Geometrie (Hyperbolische Geometrie der Ebene), 3. Aufl., durchgesehen und herausgegeben von Frank L ö b e l l , Sammlung Göschen Band 970, Berlin 1953. 5. Eugenio B e l t r a m i , Opere matematiche, vol. 1, Milano 1902. 6. Roberto B o n o l a , Die nichteuklidische Geometrie, deutsch von Heinrich L i e b m a n n , 3. Aufl., Leipzig und Berlin 1921. 7. Richard C o u r a n t » Dirichlets principle, Conformai Mapping and Minimal surfaces, New York 1950. 8. N. W. E f i m o w , Fläch en verbiegung im Großen (mit einem Nachtrag von E. R e m b s und K. P. G r o t e m e y e r ) , Berlin 1957. 9. J . F a v a r d , Cours de géométrie différentielle locale, Paria 1957. 10. Felix K l e i n , Vorlesungen über höhere Geometrie, 3. Aufl., bearbeitet von Wilhelm B l a s c h k e , Berlin 1926. 11. Felix K l e i n , Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie, f ü r den Druck neu bearbeitet von W. R o s e m a n n , Berlin 1928. 12. Felix K l e i n , Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Teil I, bearbeitet von R. C o u r a n t und O. N e u g e b a u e r , Berlin 1926; Teil I I , bearbeitet von R. C o u r a n t und St. C o h n - V o s s e n , Berlin 1927. 13. Erwin K r u p p a , Analytische und konstruktive Differentialgeometrie, Wien 1957. 14. Max P i n l , 100 Jahre Differentialgeometrie, Mathematisch-Physikalische Semesterberichte, 5 (1956) S. 34—48. 15. A. W. P o g o r e l o w , Die eindeutige Bestimmung allgemeiner konvexer Flächen, Berlin 1956. 16. Tibor R a d ô , On the Problem of P l a t e a u , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Band, Berlin 1933. 17. Bernhard R i e m a n n , Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Göttinger Abhandlungen 13 (1868) S. 1—20, oder Ges. Werke 2. Aufl. S. 272—287, oder Physikalische Blätter 10 (1954) S. 296 bis 313 (mit Erläuterungen von Karl S t r u b e c k e r ) . 18. Hermann Amandus S c h w a r z , Gesammelte mathematische Abhandlungen, Band I, Berlin 1890. 19. Hermann W e y l , Mathematische Analyse des Raumproblems, Berlin 1922. 20. Hermann W e y l , Raüm, Zeit, Materie, Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie, 5. Aufl., Berlin 1923. F o r m e l v e r w e i s e : Es gelten sinngemäß die schon in Band I und Band I I erklärten und angewandten Verweise. Insbesondere bezeichnet (IV) den vorliegenden Abschnitt IV (Flächenkrümmung). — Weiter bedeutet (IV. 12Ï d a s Kapitel 12 von Abschnitt IV und (16. 3) die Formel 3 in Kapitel 16 des laufenden Abschnittes IV. Schließlich verweist (7. Bern. 1) auf Bemerkung 1 in Kapitel 7 des laufenden Abschnittes IV und ( I I I . 10. Satz 2) auf Satz 2 in Kapitel 10 von Abschnitt I I I .

Einleitung Während sich Band II dieser Einführung in die Differentialgeometrie mit den Elementen der i n n e r e n F l ä c h e n t h e o r i e befaßte, die allein von der e r s t e n G r u n d f o r m der Fläche beherrscht wird und außer der Flächenmetrik und der Vektoranalysis auf Flächen noch die Theorie der Abbildungen von Flächen und die Theorie der geodätischen Linien umfaßt, entwickelt der vorliegende Band III die Elemente der von der z w e i t e n G r u n d f o r m abhängigen ä u ß e r e n F l ä c h e n t h e o r i e , d. h. die K r ü m m u n g s t h e o r i e der F l ä c h e n , sowie jene h ö h e r e n Teile der i n n e r e n F l ä c h e n t h e o r i e , welche sich an den Begriff der G a u ß s c h e n K r ü m m u n g anschließen. Neben den klassischen Fragen der Differentialgeometrie im Kleinen werden dabei auch einige neuere Fragen der Differentialgeometrie im Großen erörtert. IY. Theorie der Flächenkrümmung A. Streifentheorie 1. Theorie der Streifen. Ordnet man den Punkten P einer (stetig gekrümmten und nicht isotropen) Kaumkurve g = j(s), die auf ihren Bogen s als Parameter bezogen ist, eine (nicht isotrope) Tangentenebene n zu, so erhält man einen zur Raumkurve j(s) gehörigen S t r e i f e n . Man nennt j(s) die L e i t k u r v e des Streifens oder die S t r e i f e n k u r v e . Dieser Streifen heißt s t e t i g g e k r ü m m t , wenn außer der Kurventangente t = j'(s) auch noch der (zu ihr orthogonale) N o r m a l e n v e k t o r n = n(s) der S t r e i f e n e b e n e n(s) stetig ableitbar ist. t(s) und n(s) sind Einheitsvektoren: 111 = | tt | = 1. Wegen der Orthogonalität von n ( s ) und t(s) ist rt£' = 0 . Beispiel 1: Flächenstreifen. Auf jeder stetig gekrümmten (d.h. zweimal stetig ableitbaren) Fläche J = £(u,v) bilden die Tangentenebenen n(s) längs einer beliebigen stetig gekrümmten

1. Theorie der Streifen

7

Flächenkurve j(s) = J(M(S), v(s)) einen stetig gekrümmten S t r e i f e n ( F l ä c h e n s t r e i f e n ) ; N o r m a l e n v e k t o r n(s) des Streifens an der Stelle s ist die F l ä c h e n n o r m a l e tl(s) = rt (M(S),

Mit dem durch die Vektoren (1.1)

£ = E(S) und n = n(s)

(|n(s)| = 1, n(s)j'(s) = 0)

(j(s) = Ortsvektor der Streifenkurve und tt(s) = Einheitsvektor der Streifennormalen) gekennzeichneten Streifen ist ein (rechtshändiges) begleitendes Dreibein verbunden, bestehend aus 1. dem T a n g e n t e n v e k t o r t = t(s) = j'(s) der Streifenkurve (|t(s)| == 1) und 2. ihrem S e i t e n v e k t o r (1.2)

3 = S(s) = [n(s),t(s)] >

|3(s)| = 1,

der in der Streifenebene n(s) zur Kurventangente t normal und ein Einheitsvektor ist, und 3. dem N o r m a l e n v e k t o r n = n(s) mit |rt(s)| s l . Mit der S t r e i f e n k u r v e j(s) ist überdies das aus (II. 4) bekannte, ebenfalls rechtshändige b e g l e i t e n d e D r e i b e i n (1.3)

t = t ( s ) , i ) = i | ( s ) , b = b(s)

der T a n g e n t e , H a u p t n o r m a l e n und B i n o r m a l e n verbunden, das aus dem begleitenden Dreibein (1.4)

t = t ( g ) , 3 = S ( s ) , n = n(«)

des Streifens entsteht, indem man es um die Kurventangente t um den Winkel

(5 2) (0-¿)

folglich

= ^ «9'ii»"] + «(fe'aa"] + [ * ' » " ] ) + «•ta'aa"]) (5.3)

= i ( 4 ( u ) + t;B(tt) + ««C(«)) > M = ±W

+ Vi', Í, i'l = i

N=

+

ft'ü']

= i

D(«) ^ 0 ,

o] = 0 .

Somit lautet die Differentialgleichung (4.3) der Schmieglinien der windschiefen Regelfläche (1) (5. 4) (A(u) + v • B(u) + v2 • C(u))du2 + 2D(u)dudv = 0. Eine erste Schar von Lösungen, aus du = 0 folgend, besteht aus den geradlinigen Erzeugenden (v-Linien u — const) der Regelfläche, die somit die eine Schar der Schmieglinien bilden. Daraus folgt z. B., daß auf einer regulären (algebraischen) F l ä c h e zweiter Ordnung die beiden geradlinigen E r z e u gendenscharen das Netz der Schmieglinien bilden. Ist die (windschiefe) R e g e l f l ä c h e n i c h t von zweiter Ordnung, so besteht die zweite Schar der Schmieglinien aus krummlinigen Raumkurven. Deren Differentialgleichung ergibt sich aus (4), indem man durch du 4= 0 kürzt und durch 2D(u) 4= 0 dividiert; setzt man dann noch —A/2D = a(u), — B/2D = ß(u), — CßD — y (u), so genügen diese krummen Schmieglinien der R i c c a t i s c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (5.5)

¡i=/X(u)

+ vß(u)

+

v'-y(u).

Wie schon in (II. 12. Bern. 2) erwähnt, ist diese Differentialgleichung i. a. n i c h t e l e m e n t a r lösbar.

5. Beispiele: Windschiefe Regelflächen, Drehflächen

31

Weil je vier Lösungen v1(u), v2(«), v3(u), v4(u) der Riccatischen Differentialgleichung konstantes (von u unabhängiges) Doppelverhältnis haben, folgt der Satz 1 : Irgend vier krumme Schmieglinien t^, v2, v3, vt schneiden alle geradlinigen Erzeugenden einer windschiefen Regelfläche in vier Punkten Plt P 2 , P 3 , P 4 festen Doppelverhältnisses: (5. 6) DV{P1 P 2 , P3P4) = DVfav2, v3vt) = const. Kennt man also drei dieser Schmieglinien, so kennt man nach (6) auch alle übrigen. Bemerkung 1 : Hat die Regelfläche z. B. zwei (alle Erzeugenden treffende) L e i t g e r a d e n l l t ¡2, so sind diese Geraden Schmieglinien; kennt man dann noch eine krumme Schmieglinie, so kennt man a l l e ; sie hängen nämlich durch die windschiefen Kollineationen mit ^ und i2 als Achsen untereinander zusammen. Bemerkung 2 : Ist in (1) jedoch [t»' g'j] = 0, so liegt nach (III. 20) für r|= o ein K e g e l oder eine T o r s e vor, bzw. für [ j ' j ] = o ein Z y l i n d e r , wenn [t/äty"] * 0 ist. In allen diesen Fällen ist nach (3) (5. 7)

L(u, v)

0, M(u, v) = 0, N(u, v) s 0.

Die Differentialgleichung (4) der Schmieglinien lautet dann (5. 8)

(-4(m) + vB(u) + v*C(u)) • du2 = 0.

Alle g e r a d l i n i g e n E r z e u g e n d e n («-Linien du = 0) dieser Flächen sind Schmieglinien. Dazu tritt noch als s i n g u l ä r e S c h m i e g l i n i e das durch die in v quadratische Gleichung («)

A(u) + v • B(u) + v2 • C(u) = 0

dargestellte Gebilde. Für Z y l i n d e r ist dabei nach (III. 20.11) stets A(u) = [t)'%t)"] 0, aber (wegen [ä'ä] = o, also auch [ j " j ] = o) immer B(u) = C(u) = 0. Daher stellt (a) nur für K e g e l und T o r s e n ein eigentliches Gebilde dar, nämlich beim Kegel die S p i t z e und bei der Torse die G r a t l i n i e . Um das einzusehen, b e w e i s e n wir zuerst, daß die in v quadratische Gleichung («) eine D o p p e l w u r z e l v0 hat. Multipliziert man nämlich die für Kegel und Torsen bestehende Identität (III. 20. 31) innerlich mit [gj"], so folgt

32

IV. B. Elementare Theorie der Fläehenkrümmung

Nun ergibt sich weiter aus [ty'ä'ä] = 0 durch Ableiten nach w die Identität 00

+

ftVä]

- 0 oder [ ä t)"ä'] ^

fe'jj"].

Damit folgt aus (ß) (6) [ t / ä ä ' T - [ W ] [a'aa"] und die quadratische Gleichung (a) lautet (e)

[l)'it)"] + 2«-

+

- o

[ g ' i i " ] = 0.

Wegen (6) h a t sie tatsächlich die Doppelwurzel tn ^

r

- - J L - - H - W V ' i ] 2C B LäVYJ '

welche, in (5.1) eingetragen, nach (III. 20. 24) und (III. 20. 26) wirklich die G r a t l i n i e d e r T o r s e bzw. die S p i t z e d e s K e g e l s liefert. Somit folgt insgesamt der Satz 2: Kegel, Zylinder und Torsen besitzen nur parabolische Punkte. Die Schar ihrer geradlinigen Erzeugenden bildet das einzige System von Schmicglinien dieser parabolischen Flächen. Bei den Torsen tritt zu den Erzeugenden (als regulären Schmieglinien) noch die Grallinie (als singulare Schmieglinie) hinzu. Beispiel 2 : Bei der Drehfläche (5. 9)

j = j ( r , 0 gehört. Da 1/R1 und 1/R2 nicht gleichzeitig verschwinden sollen, können Mir folglich 1/R1 > 0 wählen. Da die Fläche (6.10) nach (6.15) im Nullpunkt P die Gaußsche K r ü m m u n g K = 1/R1R2 hat, gilt 1) für einen elliptischen Flächenpunkt P überdies noch 1/R2 > 0 und 1/R > 0, 2) für einen hyperbolischen Flächenpunkt 1/Ä2 < 0 und 1/R | 0, schließlich 3) für einen parabolischen Flächenpunkt 1/R2 = 0 und 1/R Ss 0. Im Falle 1) eines elliptischen Flächenpunktes P kann man daher die Eulersche G l e i c h u n g (6.13) stets in der Form schreiben: ^

1,

/

R cos 2 0 und der E i n h e i t s lineare Dimensionen sich wie |/e und s t r e c k e e = 1. |/e' verhalten, die also zueinander z e n t r i s c h ä h n l i c h (homothetisch) sind. Nach (Bern. 4) gehören zu solchen homothetischen Indikatrizen zur Tangentenebene n parallele Schichtenschnitte des oskulierenden Scheitclparaboloids ( 6 . 1 1 ) , in den Höhen e/2 und e'/2. B e m e r k u n g 6 : Die T a n g e n t e n e b e n e n{s = 0) schneidet die Fläche (6. 10) in einer e b e n e n K u r v e mit der Gleichung (7. 9)

x^

y^

Ri

P 0) bzw. h y p e r b o l i s c h (1 ¡Rj^R^ < 0 ) , so ist er folglich f ü r d e n T a n g e n t i a l s c h n i t t (9) ein i s o l i e r t er D o p p e l p u n k t bzw. ein g e w ö h n l i c h e r D o p p e l p u n k t , und die beiden konjugiert-komplexen bzw. reell-verschiedenen Schmiegtangenten a 2 sind seine D o p p e l p u n k t s t a n g e n t e n . I m elliptischen Falle liegt die Fläche (ebenso wie ihr oskulierendes elliptisches Scheitelparaboloid) in der nächsten Umgebung des Punktes P ganz auf der einen Seite der Tangentenebene 7t, die außer dem Berührpunkt P keinen weiteren Nachbarpunkt von P enthält. I m hyperbolischen Falle d u r c h s e t z t d i e

48

IV. B . Elementare Theorie der Flächenkrümmung

F l ä c h e (ebenso wie ihr oskulierendes Scheitelparaboloid) die T a n g e n t e n e b e n e n in einem T a n g e n t i a l s c h n i t t , der in P die beiden reellen Schmiegtangenten %, a 2 als Doppelpunktstangenten besitzt (bzw. mit ihnen zusammenfällt); die Fläche liegt in der nächsten Umgebung von P auf beiden Seiten der Tangentenebene n. Bemerkung 7 : In einem parabolischen Punkte P (1/Ä 1 Ä 2 = 0 ) , der k e i n F l a c h p u n k t ist, wird die Fläche durch ihren o s k u l i e r e n d e n p a r a b o l i s c h e n Z y l i n d e r zwar hinsichtlich ihrer K r ü m m u n g s V e r h ä l t n i s s e vollkommen, hinsichtlich ihrer L a g e n v e r h ä l t n i s s e zur T a n g e n t e n e b e n e 7i(z = 0) und hinsichtlich ihres T a n g e n t i a l s c h n i t t e s aber nur unvollkommen ersetzt. Die genauere, erstmals von Paul S t ä c k e l (1916) durchgeführte Analyse der (bis zu den Gliedern dritter Ordnung getriebenen) Potenzreihenentwicklung ( 6 . 1 0 ) der Flächengleichung lehrt nämlich (unter Heranziehung des W e i e r s t r a ß s c h e n V o r b e r e i t u n g s s a t z e s ) , daß dann vier Grundfälle möglich sind: 1. Die Fläche liegt (in der nächsten Umgebung des parabolischen Punktes P ( 0 , 0, 0)) ganz auf der einen Seite der Tangentenebene n und hat mit ihr nur den P u n k t P gemeinsam. (Beispiel: die Fläche z = i f + x 4 .) 2. Die Fläche liegt ganz auf der einen Seite der Tangentenebene n von P und hat mit ihr eine (durch P laufende) K u r v e gemeinsam. (Beispiel: z = (y — x2)2.) 3. Die Fläche d u r c h s e t z t die Tangentenebene n von P in einer K u r v e , die aus zwei s i c h in P b e r ü h r e n d e n Z w e i g e n besteht; P ist dann S e l b s t b e r ü h r u n g s p u n k t des Tangentialschnittes. (Beispiel: z = y2 — x 4 .) 4. Die Fläche d u r c h s e t z t die Tangentenebene n von P in einer K u r v e , die in P eine S p i t z e hat (Beispiel: z = y2 — x 3 ). N u r in den d r e i l e t z t e n F ä l l e n i s t die ( e i n z i g e ) S c h m i e g t a n g e n t e des p a r a b o l i s c h e n P u n k t e s P z u g l e i c h T a n g e n t e des T a n g e n t i a l s c h n i t t e s . Beispiel 1 : Die zur Bildebene normale Ebene v schneidet den K r e i s z y l i n d e r f (Radius R j ) in Bild 9 in einer E l l i p s e mit den Halbachsen a = EJcos

0, Ä2 = — m < 0, und die E u l e r s c h e G l e i c h u n g (6.13) lautet (7.13)

cos2

\ = »I — g — + 2 3

v

3

3

+

3aß

2

o r 02

«2 + ß* .

deren Paramaterlinien ( S o h i e b k u r v e n u — const und v = const) ebenfalls i s o t r o p e K u b i k e n sind, welche d i e i s o t r o p e B a h n k u b i k (6) e i n h ü l l e n . Durch Elimination der Parameter (U, v) findet man aus (7) die cartesische Gleichung dieser a l g e b r a i s c h e n Wendelf l ä c h e 3. O r d n u n g (9. 8) (x + iyf — 6 ( 3 + iy)z — 6 ( x — iy) = 0 . Die p a r a l l e l e n i s o t r o p e n E b e n e n x iy — const schneiden diese C a y l e y s c h e R e g e l f l ä c h e d r i t t e r Ordnung in ihren g e r a d l i n i g e n E r z e u g e n d e n ; insbesondere enthält die Ebene x + iy — 0 die z-Achse als einzige reelle Erzeugende. Die gemeinsame F e r n g e r a d e dieser isotropen Ebenen ist die L e i t g e r a d e der Cayleyschen Fläche (8) und zugleich die A c h s e d e r k u b i s c h e n S c h r a u b u n g ; sie b e r ü h r t d e n a b s o l u t e n K e g e l s c h n i t t im Fernpunkte des Vektors mit der isotropen Richtung

(x:

y:z)=(l:i:0).

Man findet für die Fläche (7) die Fundamentalgrößen

E = 0, J = (9.9)

0 = 0 , EG - F> =

L = —l,

M = 0,

und die Fundamentalformen

(9.10)

-

2

4

N=+1,

ds2 = / = - (w — vfdudv,

LN-M

2

II = — (du2 -

= dv2).

-1

Außer den Parameterlinien (Schiebkurven) « = const, v = const ist folglich auch die Bahnschraublinie u — v (wegen W — 0 zugleich Hüllkurve der Schiebkurven) isotrop; denn auch für sie ist ds2 = 0 . Die S c h m i e g l i n i e n w + v = 2a = const und u — v = 2ß = = const bestehen aus den E r z e u g e n d e n (a = const) der Regelfläche (von denen keine isotrop ist) und aus den k u b i s c h e n B a h n s c h r a u b l i n i e n (ß = const), wie man aus der in den Parametern (a, ß) in (7) angeschriebenen Darstellung der Fläche erkennt. Nur die K u b i k ß = 0 , d. h. u — v ist dabei isotrop.

60

i v . B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung

Auch diese k u b i s c h e W e n d e l f l ä c h e ist S e h n e n m i t t e n f l ä c h e jeder ihrer k u b i s c h e n B a h n s c h r a u b l i n i e n , d . h . auf oo1 A r t e n als S c h i e b f l ä c h e m i t k u b i s c h e n Schiebk u r v e n e r z e u g b a r . Nur eine dieser Erzeugungsweisen hat isotrope Schiebkurven, denn nur eine der kubischen Schmieglinien ist isotrop. Weil nach (II. 21. Beispiel 3) alle isotropen Kubiken zueinander kongruent sind, sind auch alle diese kubischen Wendelflächen untereinander kongruent. Daher kann jede kubische Wendelfläche in einem geeigneten Koordinatensystem durch die Formeln (7) oder durch die Gleichung (8) dargestellt werden.

10. Krümmungslinien. Gaußsche Krümmung K, mittlere Krümmung H einer Fläche. Nach (IV. 8) gibt es in jedem regulären Flächenpunkte P(u,v) einer reellen, stetig gekrümmten Fläche £ = J(M, V), der kein Flachpunkt oder Nabelpunkt ist, genau zwei zueinander rechtwinkelige k o n j u g i e r t e F l ä c h e n t a n g e n t e n t l5 1 2 , nämlich die beiden Hauptachsen der Dupinschen Indikatrix. Für diese beiden H a u p t k r ü m m u n g s r i c h t u n g e n tx und t2 des Punktes P nimmt die Normalkrümmung l/R der Fläche die extremen Werte ( H a u p t n o r m a l k r ü m m u n gen) 1/Äj und 1/Ä2 an. Durch Integration der Hauptkrümmungsrichtungen tj, t3 entsteht somit auf jeder reellen, stetig gekrümmten Fläche ein reelles Netz von gleichzeitig orthogonalen und konjugierten Flächenkurven, das man als das Netz der Krümmungslinien der Fläche bezeichnet. Da die Hauptkrümmungsrichtungen (du: dv) und (du': dv') auf der Fläche 1. orthogonal und 2. konjugiert sind, gelten für sie nach (III. 6.15) und (8. 3) die Gleichungen (10.1)

Edudu' + F(dudv' + du'dv) + Gdvdv' = 0,

(10. 2)

Ldudu' + M(dudv' + du'dv) + Ndvdv' = 0 .

Bemerkung 1 : Diese beiden bilinearen Beziehungen sind dann und nur dann einander äquivalent, wenn

(10.3)

V:F:G =

L:M:i{

10. Krümmungslinien. Gaußsche Krümmung K

61

gilt und nach (5. Bern. 6) der Punkt P(u,v) ein N a b e l p u n k t (insbesondere F l a c h p u n k t ) der Fläche ist, insbesondere also für alle Punkte einer Kugel und einer Ebene. Wir wollen N a b e l p u n k t e , weil sie s i n g u l a r e P u n k t e d e s N e t z e s d e r K r ü m m u n g s l i n i e n sind, jetzt a u s s c h l i e ß e n , ebenso F l a c h p u n k t e , f ü r welche L = M = N = 0 ist, und nehmen also an, daß die Matrix !

flO 41 ^ ' '

E(u,v), F(u, v), G(u,v) j L(u, v), M(u, v), N(u, v)

in allen P u n k t e n P(u, v) des betrachteten Flächenstückes den R a n g r = 2 habe. D a n n liefern die Gleichungen (1) und (2), die man auch in der Gestalt (Edu+ ^

Fdv)du'

+ (F du + Gdv)dv'

=0

' ' (Ldu + Mdv)du'

+ (Mdu + Ndv)dv'

= 0

schreiben kann, zu jeder der beiden ihnen genügenden Hauptkrümmungsrichtungen (du: dv) 4= (0 : 0) die andere (du': dv') =|= (0 : 0). Das lineare homogene Gleichungssystem (5) besitzt die nichttriviale Lösung (du': dv')=f= (0 : 0); folglich genügt jede H a u p t k r ü m m u n g s r i c h t u n g der Gleichung ,1ft

1

•

Edu + Fdv Ldu + Mdv

Fdu + Gdv Mdu +Ndv

~

oder, damit gleichbedeutend, der Gleichung (10.7)

dv2 — dudv du2 E(u,v) F(u,v) G(u,v) ; L(u, v) M(u, v) N(u, v)

=0.

Wir haben damit die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d e s N e t z e s d e r K r ü m m u n g s l i n i e n gewonnen. Diese Gleichung versagt nur f ü r Nabelpunkte (3) und Flachpunkte, die jedoch ausgeschlossen waren. In einem Nabelpunkt oder Flachpunkt ist jede Flächenrichtung Hauptkrümmungsrichtung.

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung

62

Bemerkung 2: Bezieht man die Fläche auf ihre K r ü m m u n g s l i n i e n als P a r a m e t e r l i n i e n , so gilt, weil diese ein zugleich orthogonales und konjugiertes Parameternetz bilden, für alle (w, v) nach (III. 5. 12) und (8. 4) (10. 8)

F(u, v) = 0 und M(u, v) = 0.

Umgekehrt gilt (8) nur für K r ü m m u n g s p a r a m e t e r ; wegen F s 0 sind die Parameterlinien nämlich orthogonal, wegen ¿Ii E= 0 auch konjugiert, also Krümmungslinien. Die Normalkrümmung 1/R der Fläche in der beliebigen Flächenrichtung t(du:dv) lautet nach ( 4 . 1 ) in diesen K r ü m mungsparametern HO 91 1_ = L d * + N M y ' B Edu2 + Gdv2 " Die beiden für (du: dv) = ( 1 : 0 ) bzw. (du: dv) = ( 0 : 1 ) entstehenden H a u p t n o r m a l k r ü m m u n g e n 1 ¡Rx und l/ß 2 sind dann

(10-10)

w r i ' i r l -

Ist

0) mit dem kreisförmigen Meridian (11. 3) 2 = f(r) = ^r2 hat wegen f'(r) = - r/\/a? f"(r) = - a2//(a2 - r2)3, 2 1 + f' (r) = a 2 /(a 2 - r2) nach (2) die f e s t e m i t t l e r e K r ü m m u n g H = —1/a und die f e s t e ( p o s i t i v e ) G a u ß s c h e K r ü m m u n g K = 1/a2 > 0. Da nach (IV. 5) alle Punkte der Kugel Nabelpunkte sind, folgt, daß alle L i n i e n auf der Kugel K r ü m m u n g s l i n i e n sind. 5

S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie III

66

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung

Gaußsche Krümmung K = — 1/a 2

Beispiel 4 : Die P s e u d o s p h ä r e (Bild 16) entsteht durch Drehung der aus (I. 16. 15) bekannten T r a k t r i x (Zuglinie einer geraden Leitlinie mit der festen Tangentenstrecke a) um ihre Basis («-Achse). Ihre Gleichung ist daher (11. 4)

a = f(r) =•• a Sir £of y

-

]/'a? -

r2.

Wegen f(r)= -

]/a2 - r 2 /r, j"(r) = a 2 /r 2 (/ä 2

1 + /' 2 (r) = a 2 /r 2

folgt dann aus (2) der Satz 1 : Die durch Drehung der Traktrix (mit der festen Tangentenstrecke a) um ihre Basis (Asymptote) entstehende Pseudosphäre (4) hat die konstante negative Gaußsche Krümmung 2 K = - 1/a < 0.

11. Beispiele: Drehflächen, Ebene, Kugel, Pseudosphäre

67

Sie ist, wie sich zeigen wird, die einfachste Drehfläche fester negativer Gaußscher Krümmung und damit (wie schon ihr Name Pseudosphäre sagt) ein interessantes Gegenstück zur Kugel (Sphäre) vom Radius a. Man nennt daher auch die Länge a in (4) den Pseudoradius der Pseudosphäre. Beispiel 5 : Die Frage nach den r e e l l e n , n i c h t e b e n e n Drehflächen verschwindender mittlerer Krümmung H(r, q>) = 0 f ü h r t wegen f'(r) ^ 0 nach (2) auf die Differentialgleichung + _ H 0 _ _ 0 oder ± _ d f = 0. r + 1 + f ( r ) - U °der r +/'(1 + P) Aus ihr folgt nach Teilbruchzerlegung und Integration mit konstantem a > 0

(11. 5)

m n (11.6)

r2

1 +

-

df , H d .l, h v. / = ^ =

a

^ = _

2

,

und daraus schließlich mit konstantem z0 f 2 2 (11.7) B = f(T): •• a • 2Ir©oj — -f z0 oder r = aSof — 5

.

Also gilt (Bild 17) der von Ossian B o n n e t (1860) gefundene

Bild 17. Die Kettenfläche (Katenoid), entstanden durch Drehung einer Kettenlinie um ihre Basis (z-Acbse), ist die einzige reell e Minimaldrehfläche. 5«

Satz 2: Die einzigen reellen, nichtebenen Drehflächen verschwindender mittlerer Krümmung H= 0 entstehen durch Drehung einer Kettenlinie (7) um ihre Basisgerade (z-Achse). Man bezeichnet diese Minimalflächen daher als Kettenflächen oder als Katenoide (von catena = Kette). Tatsächlich ist umgekehrt, wenn man die Vorzeichen der Strecken beriinlrcifliHu-t- in "RilH 17 ruLKMUiii^i, in ßiiu j., nach (I. 11. ld) bei der

68

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung

K e t t e n l i n i e der Krümmungsradius ß 2 = PM2

= - P M , = -

Bj also 2 / / = 1/Ä X + l / ß 2 = 0.

Wir wollen noch die A s y m p t o t e n l i n i e n der K e t t e n f l ä c h e (7) berechnen, deren Grundrisse nach (5.16) und (6) die Polargleichung

oder (11.9)

a

a

1

r = aSof (

0. Umgekehrt gibt es unter den Parallelflächen j = j ton einer (nicht kugeligen) Fläche j der festen positiven Oaußschen Krümmung K > 0 (sphärische Flächen) für w\ = + 1 ¡^Kbzw. = — 1 /|/ä zwei ausgezeichnete Flächen und j2 der festen mittleren Krümmung H1 = — fK/2 bzw. H2 = + j/ür/2. Bemerkung 4 : Man kann daher nach B o n n e t aus den (von Kugeln verschiedenen) D r e h f l ä c h e n der f e s t e n G a u ß s c h e n K r ü m m u n g K = 1/a? > 0 als Parallelflächen im Abstand

76

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung

a die D r e h f l ä c h e n d e r f e s t e n m i t t l e r e n K r ü m m u n g H 1 = — 2/2a bzw. H 2 = + 1/2o gewinnen. Deren M e r i d i a n e erhält man nach Charles D e l a u n a y (1841) als Bahnen eines Brennpunktes einer H y p e r b e l bzw. einer E l l i p s e der Achsenlänge 2a, die auf einer Geraden g (der Drehachse) ohne Gleiten abrollt. Man bezeichnet diese D e l a u n a y s c h e n K u r v e n nach Lorentz Leonhard L i n d e l ö f (1863) auch als h y p e r b o l i s c h e bzw. e l l i p t i s c h e K e t t e n l i n i e n . Rollt schließlich (im G r e n z f a l l ) eine P a r a b e l auf einer Geraden g ohne Gleiten ab, so beschreibt ihr Brennpunkt eine gewöhnliche (oder parabolische) K e t t e n l i n i e , d. h. den Meridian einer Drehiläche der festen mittleren Krümmung / / = 0, einer M i n i m a l f l ä c h e , nämlich der aus (11. Beisp. 5) bekannten Kettenfläche. Bemerkung 5 : Aus (15) folgt (13.16)

K

=

K

Für die P a r a l l e l f l ä c h e n j = j + ton e i n e r M i n i m a l f l ä c h e H = 0 ist daher (13.17)

i = -i- (Ry +Ri) K *

= -w

= const.

Hat u m g e k e h r t für eine Fläche j der Ausdruck (]7) einen festen Wert, so auch für alle ihre Parallelflächen J, unter denen dann stets auch eine Minimalfläche (H = 0) vorhanden ist. Man bezeichnet allgemein Flächen, zwischen Hauptkrümmungsradien u n d R2 eine Beziehung (13.18)

f{Rv

R2) = 0 oder Ä 2 =

deren

F(R{)

besteht, als W e i n g a r t e n s c h e F l ä c h e n (W-Flächen), weil Josef W e i n g a r t e n (1862) sich zuerst ausführlich m i t ihnen b e f a ß t h a t . Auch die Minimalflächen ( H = 0 oder R1 + R2 = 0) u n d die F l ä c h e n m i t k o n s t a n t e r Gaußscher K r ü m m u n g (K = const oder R X R 2 — const) sind W-Flächen. 14. K r u m m l i n i g e Koordinaten i m R a u m . D e r Satz von Dupin über dreifach orthogonale F l ä c h e n s y s t e m e . Die

14. Krummlinige Koordinaten im Raum

77

cartesischen Koordinaten (z, y, z) eines Raumpunktes P mit dem Ortsvektor 5 seien in einem Raumstück eindeutige analytische Funktionen (14.1)

x — x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)

der d r e i V a r i a b l e n u, v, w. Ist dabei in 3t die Funktionaldeterminante

so kann man nach dem Fundamentalsatz über implizite Funktionen die Gleichungen (1) in Di eindeutig und analytisch nach u, v, w auflösen: (14. 3)

u

=

u ( x , y ,

z ) ,

v

=

v ( x , y ,

z ) ,

w

=

w ( x , y ,

z ) ,

wobei wegen (2) auch die Funktionaldeterminante (14.4)

=

ist. Man kann dann im Raumstück 91 die Größen ( u , v, vi) als a l l g e m e i n e G a u ß s c h e K o o r d i n a t e n des R a u m p u n k t e s P deuten, dessen Ortsvektor (1) wir dann kurz in der Form (14. 5)

1 = i { u , v, w)

schreiben. Hält man (Bild 18) eine dieser drei Koordinaten fest, indem man u = u0 oder v = v0 oder w = w0 setzt, so erhältman d r e i P a r a m e t e r f l ä c h e n mit den Ortsvektoren (14. 6)

1

=

i ( u

0

,

v ,

w ) ,

£

=

VQ,

w ) ,

E

=

i ( u ,

v ,

w

0

) ,

die sich in dem Punkte P 0 vom Ortsvektor j 0 = j (m0, V0, W0) schneiden. Wenn u0 , v0 , w0 variieren, beschreiben die Gleichungen (6) d r e i S c h a r e n v o n (i. a. k r u m m e n ) P a r a -

78

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung

m e t e r f l ä c h e n , deren jede das Raumstück schlicht überdeckt. Je zwei verschiedenartige Parameterflächen (6) schneiden sich in einer P a r a m e t e r l i n i e , auf der dann nur noch e i n P a r a m e t e r (w oder v oder w) v a r i i e r t und die daher als M - L i n i e n , «¿-Linien u n d w - L i n i e n des krummlinigen Gaußschen Koordinatensystems (u, v, w) bezeichnet werden.

Bild IS. Krummliniges Koordinatensystem («, v, w) im Kaum mit Koordinatenflächen und Koordinatenlinien.

Aus jeder Parameterfläche (6) schneiden die Flächen der beiden anderen Scharen ein reguläres zweiparametriges Gaußsches Parameternetz aus; z. B. bilden auf jeder Fläche w = const die w-Linien und ^-Linien ein (reguläres) Parameternetz. Die T a n g e n t e n v e k t o r e n d i e s e r P a r a m e t e r l i n i e n des Gaußschen krummlinigen Koordinatensystems (u, v, w) ergeben sich dabei wieder durch Ableiten des Ortsvektors j(m, v, w) nach u, bzw. v, bzw. w (bei festem (v, w), bzw. festem (w, u), bzw. festem (u, v)). Ausführlich lauten diese Tangentenvektoren jM, ¡cB, j „, der Parameterlinien

14. Krummlinige Koordinaten im Raum (14.7)

79

j! 5« ! mE«( u,V,W)\] ' iv 'j = ||£ B (ii, v, w) | =

=

| xu (u, v, w) yu (u, v, w) zu (u, v, w) j xv (u, V, w) yv (w, V, w) zv (u, V, w) li . j xw{u, v, w) yw(u, v, w) zw(u, r. w)

Nach (2) sind diese Vektoren in jedem Punkte P(u, v, w) des Raumstückes Si linear unabhängig. Wenn man die krummlinigen Koordinaten (u, v, w) in (5) als stetig ableitbare Funktionen eines Parameters t annimmt, also (14. 8) u = u(t), v = v(t), w = w(t) setzt, so beschreibt, wenn (ü(t), v{t), iv(t)) 4= (0,0,0) ist, der Punkt P(u, v, w) in eine g l a t t e R a u m k u r v e mit dem Ortsvektor (14.9)

=

E

S(«(t),

v( ïoïœii = 0> ïwïu» = 0 .

Wegen (13) und (15) ist z. B. der im Punkte P (U, V, W) zur Fläche w = const normale Vektor normal zu £„, £ u s ; für diese drei komplanaren Vektoren ist also = 0 , d . h . nach (3. 16): auf den Flächen w = const ist M = 0 . Wegen (£„£„) s 0 ist aber auf diesen Flächen 10 = const auch f s O . Also sind nach (10. Bern. 2) auf den Flächen w = const (und ähnlich auf den Flächen u = const und v = const) die Parameterlinien K r ü m m u n g s l i n i e n , w. z. b. w. Bemerkung 1 : Aus dem vorstehenden Beweis ergibt sich unmittelbar die folgende, von Gaston D a r b o u x (1842—1917) stammende U m k e h r u n g des D u p i n s c h e n S a t z e s :

14. Krummlinige Koordinaten im Raum

81

Satz von Darboux (1886): Zu zwei orthogonalen Flächenscharen gibt es dann und nur dann eine dritte, zu beiden orthogonale Schar, wenn sich die Flächen der beiden ersten Scharen gegenseitig in Krümmungslinien schneiden. Beispiel 1 : K o n f o k a l e M i t t e l p u n k t s f l ä c h e n z w e i t e r O r d n u n g haben nach den Lehren der analytischen Geometrie cartesische Gleichungen der Form (14.16)

—

+

1 = 0.

Wenn a > b > c > 0 ist, erhalten wir (I) (II) (III) (IV)

für für fiir für

+ oo> — c2 > — b2 > — a2 >

Q > Q > q> Q >

— c2 d r e i a c h s i g e E l l i p s o i d e , — b2 e i n s c h a l i g e H y p e r b o l o i d e , — a2 z w e i s c h a l i g e H y p e r b o l o i d e , — oo i m a g i n ä r e E l l i p s o i d e .

Scheiden wir die imaginären Ellipsoide (TV) aus, so geht durch jeden reellen Punkt P(x,y,z) des Raumes mit i p + O genau ein Ellipsoid (g = u), ein einschaliges Hyperboloid (g = v) und ein zweischaliges Hyperboloid (Q = w), deren Parameter (u,v,w) man als die e l l i p t i s c h e n K o o r d i n a t e n des Punktes P(x, y, z) bezeichnet. Die Koordinatenflächen u = const, v = const, w = const dieses räumlichen elliptischen Koordinatensystems stimmen mit den drei Flächenscharen (I), (II), (III) überein; deren Gleichungen lauten in der Bezeichnung (16) (14.17)

/(«) = 0, /(») = 0, /(») = 0.

Löst man die Gleichungen (17) nach (x, y, e) auf, so erhält man die Formeln (aM-jiHo^f v)(a?+ «0 2 X " (a?-b2)(a2-c2) ' (14.18)

2

y

(b2 + M) (b2 + V)

(b2+W)

(i 2 - c2) (b2 - a2) 2 _ (c + u) (c2 + v) (c2 + tr.) (c2 - a2) (c2 - b2)

Aus den Gleichungen (17) folgt dann noch bei festem (x, y, z), wenn man z. B. die Differenz /(«) — f(v) bildet und sie durch v — u-1=0 dividiert, ( u iTi; 6

x2 -i'' 2 l -"2 = n (a2 + u) (a2 + v) ^ (b2 + u) (b2 + t>) ^ (c2 + u) (c2 + v)

S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie I I I

82

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung

und zwei ähnliche Gleichungen für (v, w) und (w,u). Dies sind die Gleichungen der drei q u a d r a t i s c h e n K e g e l , welche die S c h n i t t k u r v e n v i e r t e r O r d n u n g der Quadrikenpaare f(u) = 0 und f(v) = 0 usw. aus dem Nullpunkte 0 (0, 0, 0) des cartesischen Koordinatensystems projizieren. Wir zeigen nun, daß die d r e i k o n f o k a l e n F l ä c h e n (17) ein O r t h o g o n a l s y s t e m b i l d e n , indem wir beweisen, daß ihre F l ä c h e n n o r m a l e n grad/(w), grad/(u), gradf(w) im Punkte P(x,y,z) p a a r w e i s e o r t h o g o n a l sind. Tatsächlich ist z. B. nach (16) 1_ 2 2

das Innenprodukt dieser Vektoren verschwindet wegen (19), ebenso das der beiden übrigen Gradientenpaare. Nach dem Satz von Dupin schneiden sich also die konfokalen Ellipsoide (I), einschaligen Hyperboloide (II) und zweischaligen Hyperboloide (III) gegenseitig in ihren Krümmungslinien. Abgesehen von den in den Symmetrieebenen x=Q, y=0, z— 0 liegenden Kegelschnitten sind diese Krümmungslinien daher algebraische Raumkurven vierter Ordnung. Bemerkung 2: Neben den regulären Ellipsoiden und Hyperboloiden enthält die Konfokalschar (16) noch s i n g u l a r e G r e n z f l ä c h e n , nämlich (abgesehen von dem Ponceletschen absoluten Kegelschnitt) noch eine imaginäre und zwei reelle Fokalkurven. Als Grenzfall der E l l i p s o i d e mit den Halbachsen (14.20)

A = |/ä2Te~,

B = ytf+'e,

c =

+

e

mit Q > — ca gibt es nämlich für Q = — c2 noch die (doppcltüberdeckte) Innenfläche der F o k a l e l l i p s e mit den Halbachsen (14.21)

A1 = ]/as2 _

C2t Bi

=

¡/fiz _

C2

jn

der

Ebene

g = o.

Als Grenzfälle der e i n s c h a l i g e n H y p e r b o l o i d e mit den Halbachsen (20) mit — c2 > Q > —B2 findet man für Q — — c2 die (doppeltüberdeckte) Außenfläche der Fokalellipse (21) in der Ebene z = 0 und für Q = — b2 die (doppeltüberdeckte) Außenfläche der F o k a l h y p e r b e l mit den Halbachsen

14. Krummlinige Koordinaten im Raum (14.22)

Ä2 = |/a 2 - b2, C2 = ]/c2 - l2 = i

83

/P^c2

in der Ebene y = 0. Schließlich findet man noch als Grenzfall der zweischaligen H y p e r b o l o i d e mit den Halbachsen (20) mit — i 2 > Q > — a? für Q = —¥• die (doppeltüberdeckte) Innenfläche der Fokalhyperbel (22) in der Ebene y = 0 und für d = — a2 die (doppeltüberdeckte) Ebene x = 0 der i m a g i n ä r e n F o k a l e l l i p s e mit den Halbachsen (14.23) B3 = y'b2 • ur = i }/a? - b2, C3 = ) f c ^ ä2 = i |/o 2 - c2. Diese drei Fokalkurven enthalten die Nabelpunkte der konfokalen Quadriken (16). Z. B. liegen auf den d r e i a c h s i g e n Ell i p s o i d e n (I) je vier reelle N a b e l p u n k t e , die aus ihnen von der Fokalhyperbel (22) ausgeschnitten werden. Bemerkung 3: Das B o g e n e l e m e n t q u a d r a t des Raumes in den e l l i p t i s c h e n K o o r d i n a t e n (u,v,w) erhält, wenn man die Abkürzung h(u) = 4 ( a 2 + u) (b2 + u) (c2 + u)

(14. 24)

verwendet, nach (12) die o r t h o g o n a l e F o r m (14.25) ds* =

( U

-

du•

+ (" ~

w

) -

w

> dv2 +

h(w) Ist das auf K r ü m m u n g s p a r a m e t e r bezogene stetig gekrümmte Flächenstück £ = j(m, ?>) metrisch regulär (W2 = EG — F* 4= 0)> s o sind s e i n e Flächennormalen it = n ( u , v ) nicht isotrop. Trägt man dann auf ihnen von den Flächenpunkten P(u,v) aus die f e s t e n (hinreichend kleinen) L ä n g e n w auf, so erhält man die Flächen (14. 26)

j =

v, w) =

V)

+ w • n ( u , v),

welche die Schar der Parallelflächen der (für w = 0 in der Schar enthaltenen) Fläche j(m, V) bilden. Die T a n g e n t e n e b e n e n n und jt in entsprechenden Punkten P(u,v) und P(u, v) der Flächen j und j sind nämlich p a r a l l e l , und ihre N o r m a l e n rt(w, v) und n(u,v) sind daher i d e n t i s c h . 6«

84

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung Beweis: Nach der Formel (13. 6) von R o d r i g u e s ist nämlich

(14.27)

n

jtj

/ig

also nach (26) iu = E« + wnu = (l — Y ) i« (14.28)

Daraus folgt (14. 29)

| .. , tv = E» +

=

I,

u>\ - ß-J Et»

U» = " • [ j u y = (1 -

+ £«.•»)[£.£,],

d . h . das Parallelsein der Tangentenebenen ñ(u,v) und JI(U,V) und (bei geeigneter Wahl der Vorzeichen von W und W) die Identität der Normalen rt(w, v) und n(u,v). Voraussetzung ist dabei, daß überall auf der Fläche der in (29) vorkommende Faktor (14. 30) ( 1 - 2 H w + Kw3) = (1 - «c/Äi) (1 - u>/¿2¡¡) 4= 0 ist, d. h. daß w =(= iij und w =t= R2 ist, was für genügend kleine | w |, nämlich für (14.31)

| «0 | < Min (| Äj |, | ñ 2 I)

stets der Fall ist. Aus (14. 32)

= 0, (j„n) = 0, (j„n) = 0 folgt weiter (j„E,) = 0, (¿.j,,) = 0, (¿.I*) = 0 .

D.h. die d r e i in der Darstellung (26) enthaltenen F l ä c h e n s c h a r e n u = const (Normalentorsen der Krümmungslinien u = const), v — const (Normalentorsen der Krümmungslinien v = const) und w = const (Parallelflächen der Fläche j(w, «)) bilden ein d r e i f a c h e s O r t h o g o n a l s y s t e m . Somit gilt Satz 1 : Jede stetig gekrümmte Fläche j (u, v), auj der es zwei orthogonale Scharen von Krümmungslinien gibt, kann in ein dreifach orthogonales Flächensystem eingebettet werden.

15. Normalenkongruenz einer Fläche. Zentrafläche

85

15. Normalenkongruenz einer Fläche. Zentrafläche. Das S y s t e m d e r in den Punkten P(u,v) einer metrisch regulären ( W 2 = EG — F2 4= 0) analytischen Fläche (15.1)

I = j(M, V)

errichteten F l ä c h e n n o r m a l e n n = n(w, v) wird als die Normalenkongruenz der Fläche (oder als ihr N o r m a l e n s y s t e m ) bezeichnet. Wir wollen im folgenden 1) die Trivialfälle der E b e n e n und K u g e l n a u s s c h l i e ß e n und 2) a n n e h m e n , daß die Fläche (1) zwei v e r s c h i e d e n e (orthogonale) S y s t e m e v o n K r ü m m u n g s l i n i e n besitzt. Dadurch werden auch die, erst in (IV. 17) behandelten (stets komplexen) M o n g e s c h e n F l ä c h e n a u s g e s c h l o s s e n , die nur ein einziges System von (isotropen, geradlinigen) Krümmungslinien tragen. Unter diesen Annahmen gliedert sich die Normalenkongruenz der Fläche (1) durch die Flächennormalen längs der Krümmungslinien in zwei S c h a r e n v o n a b w i c k e l b a r e n R e g e l f l ä c h e n (Torscn). Die G r a t l i n i e n dieser beiden Torsenscharen, die man als die B r e n n l i n i e n der Normalenkongruenz bezeichnet, bilden die b e i d e n M ä n t e l Xx(u, v) und 3i 2 {u,v) der Brennfläche der Normalenkongruenz (Bild 19). Man bezeichnet diese Brennfläche der Normalenkongruenz auch als die Evolutenfläche oder Zentrafläche der Fläche J(M, V), weil sie der O r t d e r Krümmungsmittelpunkte (15. 2) Xj = i(u, v) + R^iu, v), S 2 = + R2n{u,v) der H a u p t n o r m a l s c h n i t t e vlt v2 der Fläche £(w, v) ist. Um zu b e w e i s e n , daß die Flächen Xt(u, v) bzw. X2(u, v) in (2) die Gratlinien der Normalentorsen der ersten bzw. zweiten Schar der K r ü m m u n g s l i n i e n j x bzw. j 2 der Fläche (1) tragen, bemerken wir, daß wegen der Formeln von R o d r i g u e s dj¡ + Ridn { = o ist (i = 1,2), und daß somit die den beiden Hauptkrümmungsrichtungen von (1) auf den Flächen (2) zugeordneten Richtungen

86 (15. 3)

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung ) = 0

ist. Nach den Formeln (3) von W e i n g a r t e n ist somit

106 (19. 7)

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung v.u = 0, tt„ = o, d. h. n = const.

Aus n d j = 0 folgt dann durch Integration n j = const. Die (nicht isotropen) Ebenen sind also die einzigen (metrisch reqidären) Flächen, deren sämtliche (glatte) Linien Schmieglinien (i:ni deren Punkte sämüvh Flachpunkte) sind. Anwendung1 2 : Mit Hilfe der Weingartenschen Formeln lassen sich auch alle jene (metrisch regulären und stetig gekrümmten) F l ä c h e n bestimmen, deren s ä m t l i c h e P u n k t e p a r a b o l i s c h sind, d. h. deren G a u ß s c h e K r ü m m u n g K ü b e r a l l N u l l ist. Für diese Flächen ist nach (IV. 4) und (10. 18) (19.8) LN — M2 = 0; sie besitzen daher, wenn wir die (nicht isotropen) Ebenen ausschließen, für welche L = M = N = 0 ist, n u r e i n e e i n z i g e S c h a r v o n S c h m i e g l i n i e n , die wir als «-Linien (dv — 0) wählen. Dann ist L(u, v) = 0 und wegen (8) auch M(u, v) = 0. Aus den Formeln (3) von W e i n g a r t e n folgt dann (19. 9)

n u = o, d. h. n = n(u).

Die F l ä c h e h a t also l ä n g s i h r e r S c h m i e g l i n i e n (v = c o n s t ) f e s t e F l ä c h e n n o r m a l e n , also auch f e s t e T a n g e n t e n e b e n e n . Weil nämlich stets tij M s 0 und wegen (9) überdies n u j = 0 ist, gilt hier (tij) M = ltj« + n»i s 0 oder (19.10)

n(v)-£ = p(v);

die Fläche hat somit längs ihrer Schmieglinien v = const die festen Tangentenebenen (10) und ist daher die E i n h ü l l e n d e e i n e r E b e n e n s c h a r , d . h . eine (metrisch reguläre) T o r s e (einschließlich Kegel und Z y l i n d e r ) . Es folgt Satz 1 : Abgesehen von den (nicht isotropen) Ebenen sind die stetig gekrümmten nicht isotropen Torsen (einschließlich der Zylinder und nicht isotropen Kegel) die einzigen metrisch regulären Flächen mit lauter parabolischen Punkten und mit einer einzigen (geradlinigen) Schar von Schmieglinien. In ( I I I . 17), ( I I I . 18) und ( I I I . 19) wurde bewiesen, daß diese Flächen sämtlich auf die (nicht isotrope) E b e n e a b w i c k e l b a r sind.

C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung 20. Sphärisches Bild einer Fläche nach Gauß. Geometrische Deutung der Gaußschen Krümmung. In (1.10) haben wir eine einfache geometrische Deutung der Krümmung x einer ebenen Kurve £ = E0>) im P u n k t e s mittels des N o r m a l e n b i l d e s d e r K u r v e kennengelernt. G a u ß (1826) übertrug den Gedanken des Normalenbildes auf

F l ä c h e n £ = J(M, V) und gewann so die G a u ß s c h e K r ü m m u n g K = 1/JBxJ22 als einfaches M a ß d e r F l ä c h e n k r ü m m u n g im P u n k t e P(u,v). Wir beziehen (Bild 21) die F l ä c h e £(u,v) auf K r ü m m u n g s p a r a m e t e r (F = M = 0) und setzen sie als stetig gek r ü m m t und m e t r i s c h r e g u l ä r (W2 = EG -F2 = EO=SFO) voraus. Die in den Nullpunkt M = (0, 0, 0) verschobenen Flächennormalen (20.1)

n =

[

^ I = n(u,!7)

(n* = 1)

der P u n k t e P der Fläche j(w, V) sind dann n i c h t i s o t r o p

108

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

und weisen von M nach den Punkten P* der E i n h e i t s k u g e l x2 + y2 + z2 = 1. Wir nennen den Punkt P* mit dem Ortsvektor £* = n(u,v) den s p h ä r i s c h e n B i l d p u n k t des Flächenpunktes P. Durch diese G a u ß s c h e s p h ä r i s c h e A b b i l d u n g werden die Fläche TC(U,V) und die Kugel n(w, v) durch p a r a l l e l e N o r m a l e n n = n* = j*, also auch durch p a r a l l e l e T a n g e n t e n e b e n e n r [| r * aufeinander bezogen. Bemerkung 1 : Das s p h ä r i s c h e Bild eines F l ä c h e n stückes j(it, v) ist i. a. ein F l ä c h e n s t ü c k n(w, v) der Einheitskugel. Ist dagegen die Fläche %{w,v) eine (metrisch reguläre) Torse (Kegel, Zylinder), so haben alle Punkte P einer Erzeugenden dieselbe Tangentenebene r, also auch denselben sphärischen Bildpunkt n, der insgesamt nur eine K u r v e beschreibt. Eine (metrisch reguläre) Ebene hat nur einen einzigen sphärischen B i l d p u n k t n. Es sei nun 0 der F l ä c h e n i n h a l t eines beliebigen, den Punkt P umschließenden F l ä c h e n s t ü c k e s der Fläche %(u,v), das e i n f a c h z u s a m m e n h ä n g e n d , also o r i e n t i e r b a r sein soll (d.h. die Normale n(u,v) soll, wenn P auf j(w, v) einen beliebigen geschlossenen Weg umläuft, wieder in die Ausgangsrichtung zurückkehren). 0 * sei der F l ä c h e n i n h a l t des s p h ä r i s c h e n B i l d e s von 0 . Wir fragen mit 0* G a u ß nach dem Grenzwert lim - g - , der entsteht, wenn sich das Flächenstück 0 auf den P u n k t P zusammenzieht. Wegen [E«E»n] = [Sulcv]n = Wn-n = Wn2 = W und [n u n c n] = Tf* ist zunächst, wenn die Integrale über den gemeinsamen Parameterbereich 33 (w, v) von 0* und 0 erstreckt werden, (20 2) lim— = h i / J T - ^ J Ä ! ! ! ! ^ . v ' 0 f/Wdudv dO W (w, v) [jM n] Da für unsere Krümmungsparameter (w, v) nach den Formeln von R o d r i g u e s (19.4)

20. Sphärisches Bild einer Fläche nach Gauß (20.3)

n„ = - - ^ j U )

109

=

gilt, ergibt sich als Grenzwert (2) schließlich

d. h. die Gaußsche Krümmung K der Fläche j(w, v) im Flächenpunkte P(u, v). Bemerkung 2 : Je nachdem die Flächenstücke 0 und 0* durch die sphärische Abbildung gleich- oder gegensinnig aufeinander bezogen sind, ist die Gaußsche Krümmung K > 0 oder < 0. Ist K = 0, so ist O* = 0, d.h. nach (20. Bern. 1): das sphärische Bild O* eines Flächenstückes O v e r s c h w i n d e n d e r G a u ß s c h e r K r ü m m u n g K = 0 ist bloß ein K u r v e n s t ü c k (Fall der Torsen, Kegel, Zylinder) oder nur ein P u n k t (Fall der Ebene).

Durch die Gaußsche sphärische Abbildung der Fläche X= V) auf die Punkte j* = rt(w, v) der Einheitskugel x wird jede F l ä c h e n k u r v e {u = u(t), v = v(i)} auf eine sphärische Kurve (20.5) n = n(M(i),v(0) abgebildet, deren B o g e n e l e m e n t q u a d r a t ds*2 als die dritte Grundform III der Flächentheorie bezeichnet wird. Man schreibt (20. 6) wobei

III = ds*2 = dn2 = (nudu + njvf = = edu2 + 2fdudv + gdv2,

{

e = e(u, v) = ttÜ, / = /(M, v) = (nMn„), g = g{u,v) =n l

bedeutet. Bemerkung 8 : Auch die d r i t t e G r u n d f o r m III — ds*2 ist (wie I und II) gegenüber r e g u l ä r e n P a r a m e t e r t r a n s f o r m a t i o n e n (3.22) u n d B e w e g u n g e n des Raumes i n v a r i a n t . Zufolge der Parameterinvarianz des ersten Differentials (dn = dn) ist nämlich

110

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

III = dR2 = dn2 = III.

(20. 8)

Die Bewegungsinvarianz der dritten Grundform III folgt wieder aus jener des Innenproduktes zweier Vektoren. Die dritten Fundamentalgrößen e, f, g selbst gehorchen bei zulässigen Parameteränderungen (3. 22) wieder genau denselben Transformationsformeln (III. 8. 8) wie die ersten Fundamentalgrößen E, V, 0. F ü r K r ü m m u n g s p a r a m e t e r ist wegen F = M = 0 und nach den Formeln von W e i n g a r t e n oder R o d r i g u e s (19. 4)

,

. L = E/Rlt

v

>

e =

nJ

M = 0,

= E/Rl

N = G/R2; g = n i = G/R\.

/ = (n M n.) = 0 ,

Somit gilt f ü r Krümmungsparameter

/ = Edu2

[ (20.10)

I I

j I

[111

=T =

1

r\

+ Gdv2,

d u 2 +

dui +

i

2

d v 2

Q n\

2

'

dlß

'

2

folglich, wenn man daraus Edu u n d Gdv (durch Determinantenbildung) eliminiert und durch (1 /R2 — 1/Rj) 0 dividiert, 1 1 1 !

II 1 /R1 1/R2 III 1 ¡R\ 1 \R\

=0

oder (20.1]) Weil gig von gilt die sondern

KI -2 II 11+ III = 0. die Grundformen 1,11, III sowie K und H u n a b h ä n der Wahl der Parameter (parameterinvariant) sind, Identität (11) nicht bloß f ü r K r ü m m u n g s p a r a m e t e r , f ü r j e d e s System regulärer Flächenparameter (u, v).

Bemerkung 4: Für M i n i m a l f l ä c h e n (H = 0) folgt aus (11) (20. 12) 111= - KI oder ds*2 = - K(u, v)ds2.

20. Sphärisches Bild einer Fläche n a c h Gauß

111

Den isotropen Linien ( I = 0) einer nicht ebenen ( K ^ 0) Minimalfläche entsprechen daher in der sphärischen Abbildung die isot r o p e n Linien I I I = 0 der Kugel, d . h . n a c h ( I I I . 10) ihre isot r o p e n Erzeugenden. Die Bogenelemente ds2 der Minimalfläche u n d ds*2 ihres sphärischen Bildes sind n a c h (12) örtlich p r o p o r t i o n a l . Also gilt n a c h ( I I I . 27. 7) Satz 1 : Durch die sphärische Abbildung wird jede nicht ebene Minimalfläche konform auf die Einheitskugel abgebildet. B e m e r k u n g 5 : F ü r die S c h m i e g l i n i e n einer Fläche %{u,v) ist / 7 = 0 ; also gilt f ü r sie (wenn sie n i c h t i s o t r o p sind, / 0) n a c h (11) rfs*2

(20.13)

III

=

/

=

_

K { V

-

V)

-

Nach (4. Bern. 5) sind die Schmiegebenen einer k r u m m e n S c h m i e g l i n i e zugleich Tangentenebenen der Fläche; ihre Binormalen b sind also die Flächennormalen tt. N a c h F r e n e t i s t d a h e r (20. 14) ds*2 = tfn2 = di2 = (B'Xg (s)ds = 2n 18

R

Mit K(u,v) und xg(s) sind auch die Integrale in (1) Biegungsinvarianten. Man bezeichnet das Flächenintegral der Gaußschen Krümmung (23. 2)

f f KdO = II K(u, SB

v)Wdudv

SB

als die Gesamtkrümmung integra) des Flächenstückes Bevor wir die Formel beiden darin auftretenden geometrische Deutung.

(totale Krümmung, curvatura 33. (1) beweisen, geben wir den Integralen noch eine einfache

Bildet man die Fläche j(m, V) sphärisch, d. h. durch parallele Normalen n (u, v) auf die Einheitskugel a mit dem Ortsvektor n = n(u, v) ab, und bezeichnet wie in (III. 6. 22) (23. 3)

dO* = | [ n u n j | dudv =

W*dudv

das sphärische Bild des Flächenelementes dO = Wdudv, so gilt nach (20. 2) für K die Darstellung K = dO*/dO. Daher bedeutet das Flächenintegral der Gaußschen Krümmung (23. 4)

II K(u, v)dO = II dO* = 0* SB(u, v)

S8»(u, v)

den Flächeninhalt des sphärischen Bildes 33* (m, V) des Flächenstückes 33 (u, v). Das Vorzeichen von 0* richtet sich also nach dem Vorzeichen von K.

126

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

Nach (III. 39. 5) gilt für die g e o d ä t i s c h e K r ü m m u n g x g einer Flächenkurve r(s) die Formel (23. 5)

Kg =

oder

Acp =

xgds,

in der d

dcp =A

§ (s) dt (s). R

R

Wir ziehen noch das s p h ä r i s c h e Bild j* = n(u,v) der Fläche j = J(M, V) heran, das auf der Einheitskugel | j* | = | n | = 1 liegt. Die Vektoren t(s) und g(s), im Punkte J*(s) = n(s) des sphärischen Bildes R* der Randkurve R befestigt, bilden dann

23. Satz von Gauß und Bonnet

127

zwei zueinander n o r m a l e T a n g e n t e n der Bildkugel | n | = 1. Das rechte Integral (8) ist damit ebenfalls auf die Einheitskugel | n | = 1 des sphärischen Bildes bezogen; man kann daher in ihm die R a n d k u r v e R durch ihr s p h ä r i s c h e s B i l d R* ersetzen. Um das Integral (8) leicht berechnen zu können, wollen wir uns in Anlehnung an einen Gedanken von Gerrit B o l (1948) die orthogonalen Kugeltangenten t(s) und g(s) jeweils in der Tangentenebene n(s) der Kugel (d. h. um die Achse n(.Z*dt* = §Zdt +

§da(s)

oder nach (8) schließlich wegen (14) und (10) (23. 15)

§xJs)ds R

= § Sdt = $ g* Z*dt* — R R* R* R*

2nn.

Um auch noch das längs des Randes R* des sphärischen Bildes SS* erstreckte Integral $ %*di* möglichst einfach zu berechnen, stellen wir die B i l d k u g e l |n[ = l in s p h ä r i s c h e n P o l a r k o o r d i n a t e n (Zentrum = Nordpol N, A = geographische Länge, # = Poldistanz) dar:

128

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

(23.16)

j * = rt = sin & cos Aex + sin & sin Ae2 + cos # e 3 .

Ist dann ( ) , A(s)) ein Punkt £* von R*, so wählen wir den D r e h u n g s w i n k e l a(s) so, daß der V e k t o r t*(s) d e n j e w e i l i gen (im Sinne wachsender $ orientierten) M e r i d i a n k r e i s und der V e k t o r 3* den (im Sinne wachsender A orientierten) B r e i tenkreis der Kugel berührt. Dann wird t* = j ^ > §* = Jjf/sin & und [ t * 3 * n ] = + 1; ausführlich ist m

17i

=

oos

# l s ) c o s ^ ( s ) e i + cos # ( s ) sin A(s)e 2 — s i n # ( s ) e 3 ,

3* (s) = — sin A(s) e 1 + cos A(s) e 2 . Daraus folgt (23.18)

cf> § * d t * = $ cos &(s)dX(s). R*

R*

Der I n h a l t 0 * des Flächenstückes 23* (sphärisches Bild von 93), das von der Randkurve R* auf der Bildkugel a begrenzt wird, kann nun durch das Linienintegral (23.19)

0* =

$(l-cos#) 0

und

j, xgds R

=

j>d 2n\ R

also ist / = 1. Damit ist die Integralformel (1) von Gauß und B o n n e t bewiesen. Eine V e r a l l g e m e i n e r u n g der Formel (1) von G a u ß und B o n n e t für einen einfach zusammenhängenden Bereich 95 entsteht, wenn die R a n d k u r v e R von 93 aus n s t e t i g g e k r ü m m t e n B ö g e n R( besteht (i = 1, 2 , . . . , n), die in n E c k e n A( unter den A u ß e n w i n k e l n &i mit ( — 7 r < « j < + tt) zusammenstoßen (Bild 23). Gehören die E c k e n A( auf R zu den Bogenlängen s{ und sind auf der Kugel a (s,- — 0) und oc (Sj + 0) die (modulo 2n bestimmten) Drehungswinkel der ankommenden und abgehenden Tangenten t(s,- — 0) und t(s,- + 0) von R in der Ecke Ait sind ferner cXi = a. (s^ — 0) — a (s,- + 0) die Außenwinkel von R an den Ecken Ai} d. h. die Drehungswinkel von t(s f — 0) nach t (s^ + 0), dann hat das in (10) und (15) auftretende, längs R erstreckte Linienintegral §da wegen Xgds + 2 33

R

n

«< = 2(m -

n)n

=

2/ji,

¿«1

wobei die ganze Zahl / = 1 sein muß, wie man erkennt, wenn man z. B . durch stetige Deformation von 23 die Ecken At von R glättet (a(—>- 0), wodurch (21') auf der rechten Seite ohne Änderung in (1) übergehen muß.

Der Satz von Gauß-Bonnct (1) erhält daher für einen einfach zusammenhängenden Bereich 33, dessen Randkurve R aus_w stetig gekrümmten Bögen R, besteht, die in n Ecken At ¡unter den Außenwinkeln oc¡(—n < < n) aneinanderstoßen, die a l l g e m e i n e G e s t a l t

24. Anwendungen der Gauß-Bonnetschen Integralformel

131

(23. 23) 24. Anwendungen der Gauß-Bonnetschen Integralformel. Die Formeln (23.1) bzw. (23. 23) zählen wegen ihrer vielseitigen Anwendungen zu den wichtigsten der Flächentheorie, wie die folgenden Bemerkungen und Beispiele belegen werden. Beispiel 1: I s t die s t e t i g g e k r ü m m t e F l ä c h e S5 geschlossen u n d vom t o p o l o g i s c h e n Z u s a m m e n h a n g der K u g e l , so zerfällt sie durch die beliebige einfach geschlossene (stetig gekrümmte) Linie R in zwei Teilflächen 5ÖX und Ü82, deren Ränder Rr und R2 die beiden Ufer von R sind und entgegengesetzten Umlaufsinn haben. Nach (23.1) ist dann (24.1) f f KdO+ !8i

j>Xgäs =2TZ,

B,

f f KdO+

SB,

§xgds

= 2TC.

Addiert man, so heben sich die Linienintegrale (wegen der verschiedenen Umlaufsinne der Ränder R1 und R2) weg, und man erhält für die G e s a m t k r ü m m u n g der ges c h l o s s e n e n F l ä c h e S3 den Wert (24.2)

ffKdO

= 4jt.

33

Daraus folgt sofort, daß es keine stetig gekrümmte geschlossene Fläche vom topologischen Zusammenhang der Kugel gibt, die nirgends positiv gekrümmt (K yi = 7i — otyi ihre Innenwinkel, und bezeichnet Ry den Rand von fy, so gilt nach (23. 23) f f KdO + j>Hgds + JJ(n~ vyi) = 2n fy Ry i Durch Addition dieser f Gleichungen folgt 11 KdO +2k-n

— e-2n =

(y = 1, 2, . . ., /).

f-2n,

weil 1) wegen der gegensinnigen Durchlaufung der Kanten sich die Linienintegrale in der Summe paarweise herausheben, 2) in £ insgesamt ebensoviel Summanden n auftreten wie Polygonwinkel, also 2k, und 3) die Polygoninnenwinkel in jeder der e Ecken die Summe 2tz besitzen, ihre Gesamtsumme also e • 2n ist. Somit folgt die Formel

24. Anwendungen der Gauß-Bonnetschen Integralformel (24.11)

135

LSSKd0=e~k+u

Die linke Seite ist hierin v o n d e r P o l y g o n z e r l e g u n g d e r F l ä c h e 33 u n a b h ä n g i g , folglich auch die rechte Seite. Hat die g e s c h l o s s e n e F l ä c h e 33 den topologischen Z u s a m m e n h a n g d e r K u g e l , so hat die linke Seite von (11) nach (2) den Wert 2 und es folgt (24. 12)

e - k + f = 2.

W e g e n d e r I n v a r i a n z v o n e,k,f bei s t e t i g e n D e f o r m a t i o n e n der das P o l y g o n n e t z t r a g e n d e n F l ä c h e © gilt die EulerschePolyederformel (12) f ü r b e l i e b i g e p o l y g o n a l e Zerlegungen („Triangulierungen") jeder geschlossenen F l ä c h e 58 v o m t o p o l o g i s c h e n T y p u s d e r K u g e l . Leonhard E u l e r (1752) bewies den Satz (12) für k o n v e x e P o l y e d e r mit e Ecken, k Kanten und f Seitenflächen. Nach dem Zeugnis von G . W . L e i b n i z (1646—1716) kannte ihn für diesen Fall schon René D e s c a r t e s (1620); man hat sogar Grund zu der Annahme, daß er schon A r c h i m e d e s bekannt war. Bemerkung 3 : Liegt die Polygoneinteilung auf einer geschlossenen orientierbaren Fläche 33 vom G e s c h l e c h t e p ( d . h . auf dem topologischen Bilde einer Kugel mit p Henkeln), so ergibt sich aus (3) und (11) statt (12) die Formel (24.13)

e - k + / = 2(1 -

p).

Man nennt die v o n d e r W a h l d e r P o l y g o n e i n t e i l u n g v o n SS u n a b h ä n g i g e Z a h l (24. 14)

x = e

~ k + f

die Eulersche Charakteristik der Fläche S3. Bemerkung 4 : Man kann mit Hilfe der Formel von G a u ß B o n n e t sehr leicht den folgenden Satz beweisen: Satz 2 : Auf einem regulären, einfach zusammenhängenden Flächenstück 83 mit negativer Oaußscher Krümmung K< 0 können sich zwei verschiedene geodätische Linien nur in einem Punkte schneiden. Indirekter Beweis: Wären nämlich zwei Schnittpunkte 0 und A der beiden Geodätischen /¿x und It2 vorhanden (Bild 24) und dort co < n und a < n die Außenwinkel, also n — co > 0,

136

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

n — a > 0 die Innenwinkel des von ihnen umschlossenen Flächenstücks 33, so wäre, weil auf und R2 stets xg—0 ist, nach (23.23) (24.15) JfKdO

+ ) > 0 ein W i d e r s p r u c h , w. z. b. w. Der Beweis bleibt schlüssig, wenn a = 0 und 0 ) und die P s e u d o s p h ä r e (K = — 1/ii 2 < 0 ) beweisen das Vorhandensein von F l ä c h e n k o n s t a n t e r G a u ß s c h e r K r ü m m u n g K. Um Einsicht in die metrischen Eigenschaften einer allgemeinen Fläche mit K = const zu erhalten, wählen wir auf ihr nach Bild 22 einen beliebigen regulären Punkt 0 als Zentrum w = 0 eines Systems g e o d ä t i s c h e r P o l a r k o o r d i n a t e n (u,v) und eine beliebige Richtung in 0 als Nullrichtung des Polarwinkels v. Das B o g e n e l e m e n t q u a d r a t der Fläche hat dann nach (22.1) die Gestalt (25.1)

ds2 = du2 + G(u, v)dv2,

wobei für 0(u, v) die Beziehungen (22. 2) gelten, die besagen, daß für u = 0 (im Nullpunkt 0) (25.2)

y 0 ( 0 , v ) = 0,

r)

l

ist. Ferner gilt wegen E = 1, F = 0 für die G a u ß s c h e K r ü m m u n g K = const der Fläche in einem beliebigen Punkte P(u, v) nach (21.10)

138

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung 1

(«.»:)

3

I'(; (u, v) Diese (gewöhnliche) Differentialgleichung j/(?(w, v) hat

für konstantes

K

2. Ordnung für

die folgenden

allge-

m e i n e n L ö s u n g e n ( A , B nur von v abhängig): oc) K — 0

j/G(u, v) = Au +

ß) K = +

1/Ä >

y)K

1/R2 < 0

=

-

0

2

]/G{u~v)

B,

= A sin u/R +

v) =A° - i < 0

Ii2

u2dv2,

ds2 = du2 +

R2 sin2 ~ dv2, ti

ds2 = du2 + R2 ©in 2

K

(fo2.

Daraus folgt Satz 1 kleine)

(von Minding, 1 8 3 9 ) :

FlächenstücTce 0

Krümmung

und 0

Irgend

derselben

zwei

beliebigen

Punktes

es sogar eine stetige bildungen und 0

Gaußschen

K = eonst können stets längentreu

abgebildet werden. Man kann dabei einem festen des festen Punktes 0 von 0 0 von 0 Gruppe

der beiden

fester Gaußscher

(genügend

festen

aufeinander Linienelement

ein beliebiges Linienelement entsprechen

lassen.

Daher

von o o 3 isometrischen

(genügend Krümmung

kleinen)

Flächenstücke

aufeinander.

des gibt Ab0

25. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung

139

Wie E. E. L e v i (1907) gezeigt hat, können diese oo 3 Isometrien (im Falle K > 0 allenfalls nach Zwischenschalten einer Spiegelung von 0 an einer Ebene) sogar durch stetige Verbiegungen von 0 auf 0 hergestellt werden. Bemerkung 1 : Haben die beiden Flächen® und « ^ k o n s t a n t e Gaußsche Krümmung, so ist (nach Satz 1) für ihre Isometrie die Gleichheit der Gaußschen Krümmungen K = K nicht bloß notwendig, sondern auch h i n r e i c h e n d .

Läßt man 0 und 0 zusammenfallen, so folgt Satz 2: Jede Fläche 0 konstanter Gaußscher Krümmung K — const kann auf oo 3 Arten gleichsinnig längentreu auf sich seilst abgebildet werden. Nimmt man noch die isometrischen Spiegelungen hinzu, bei denen u festbleibt, v aber durch — v ersetzt wird, so erhält man noch oo 3 ungleichsinnig längentreue Selbstabbildungen von 0. Ordnet man einem festen (regulären) Linienelement von 0 ein beliebiges anderes zu, so ist dadurch eine gleich- und eine gegensinnig längentreue Selbstabbildung von 0 eindeutig festgelegt. Im gleichsinnigen Falle ist es stets möglich, diese isometrischen Abbildungen durch eine stetige Biegung, d. h. durch eine stetige ,,Drehung" und „Verschiebung" des (genügend kleinen) Flächenstückes 0 in sich zu verwirklichen. Die Formel ( 4 . « ) hat die Gestalt des Bogenelementes einer E b e n e in Polarkoordinaten (r = u, q> = v) und (4. ß) die Gestalt des Bogenelementes einer Kugel vom R a d i u s B in sphärischen Polarkoordinaten (§ = u = Poldistanz,

0 auf die K u g e l vom Radius R = 1/J/K > 0 abgebildet werden. Damit ist nochmals bestätigt, daß alle (zweimal stetig ableitbaren) Flächen mit K = 0 auf die euklidische Ebene abwickelbar sind. Man nennt die F l ä c h e n d e r f e s t e n K r ü m m u n g Z = 1 / Ä 2 > 0 , welche (im Kleinen) auf die K u g e l vom Radius R stetig abwickelbar sind, sphärische Flächen. Entsprechend heißen Flächen der festen Krümmung K = — 1/R2 < 0 pseudosphärische Flächen, weil die einfachste reelle Drehfläche, auf die sie (im Kleinen) stetig abwickelbar sind, die uns aus (11. Beisp. 4) bekannte P s e u d o s p h ä r e ist, die durch Drehung einer T r a k t r i x der festen Tangentenlänge R ( = Pseudoradius) um ihre Basis (Asymptote) entsteht. Bemerkung 2: Wie zuerst David H i l b e r t (1900) bewiesen hat, ist jede geschlossene singularitätenfreic sphärische Fläche (der positiv-konstanten Gaußschen Krümmung K = 1/R2 > 0) eine Kugel (vom Radius R > 0). Es ist daher, wie schon J. L. Lagrange (1812) vermutet hatte, aber erst Heinrich Liebmann (1900) nachwies, unmöglich, eine Kugel als ganzes stetig so zu verbiegen, daß keine Singularitäten auftreten. Bemerkung 3: Wie Hilberts Schüler Georg L ü t k e m e y e r (1902) und Erik Holmgren (1902) bewiesen, ist jedes Stück einer singularitätenfreien sphärischen Fläche (fester Gaußscher Krümmung K = K 0 > 0) von selbst analytisch. Dagegen gibt es nach L ü t k e m e y e r nichtanalytische pseudosphärische Flächenstücke (konstanter negativer Gaußscher

26. Reelle Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung 141 KrümmungK = Ka 0 und l Konstanten. Durch geeignete Wahl des Nullpunktes der Bogenzählung u kann man ! = 0 erreichen. Die Meridiankurve (2) jeder reellen, stetig gekrümmten sphärischen Drehfläche der Gaußschen Krümmung K = + 1 kann daher wegen (8) durch u

(26.11)

r = k cos it, z = / |/1 — k 2 sin2it du. o

beschrieben werden. Aus (4) folgt dazu sin

0 ist. Durch geeignete Wahl des Nullpunktes der Bogenzählung kann man sogar im Falle ß) A = — B 4= 0 und im Falle y) A = B 4= 0 erreichen. Wir schreiben dann mit k > 0: 10

S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie I I I

146

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

3. ß) A = k/2, B = — k/2 (Kegeltyp). (Bild 29) lautet nach (16) und (8)

Die Meridiankurve

W

(26.19)

r = fe ©in m, 0 = / j / l - " P ® ö | 2 l i dw, o

wobei aus Realitätsgründen 0 < fc < 1 und 1 ^ ©of u ^ l / k , SirSof 1/k und 0 g r ^ ]/l - Ä;2 sein muß.

Bild 28. P s e u d o s p h ä r e als einfachste Drehfläche der konstanten negativen Gaußschen Krümmung K = — 1. (Vgl. Bild 16.)

Bild 29. K e g e l t y p der Drehflächen konstanter negativer Gaußscher Krümmung K = — 1.

Um das e l l i p t i s c h e I n t e g r a l in (19) durch Legren dresche N o r m a l i n t e g r a l e darzustellen, führen wir statt u durch (26. 20)

©in u =

- v — cos w IC

die n eue Ver änderliche w ein. Setzt man dann noch x — ]/l — fc2, so entsteht aus (19) als neue M e r i d i a n d a r s t e l l u n g (26.21)

r = xcosw,

z — h — E(x, w) — F(x, w)

26. Reelle Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung mit h = F(x,nl2)

147

Zu w = 0 gehört der maximale

— E(x,7ij2).

Parallelkreisradius rmax = x = j/1 — k2. Dieser K e g e l t y p der reellen, sphärischen Drehflächen (Bild 29) periodisch wiederholten konischen kehrkreisen (w = 0) vom Radius konischen Knotenpunkten (w = ± den halben Öffnungswinkel co der 3 . y ) A = k/2, B = k/2 ( K e h l t y p ) . Die M e r i d i a n k u r v e (Bild 30) lautet nach (16) und (8) (26.22) r = fc(£ o\u, u z=J [ ' l -• k- S i n 2 v du, o wobei aus Realitätsgründen | ©in u I ^ 1/k und k ^ r ^ | / l + f c 2 ist. Um auch diesen Meridian durch L e g e n d r e sche Normalintegrale darzustellen, führen wir statt u durch (26. 23) k ©in u = cos w dieneue Veränderliche w ein und erhalten, wenn wir noch x =

l / ( / l + k2 < 1

setzen, aus (22) die Formeln (26.24)

Bild 30. Kehltyp der Drehflächen konstanter negativer Gaußscher Krümmung K = —1.

r = -i-1/1" - " x 2 sin 2 w,

mit h = -i- [F(x,

n/2) -

stetig gekrümmten, pseudobesteht aus unendlich vielen Flächenteilen, die auf Rückrmax = H aufruhen und in jt/2) zusammenhängen. Für Knoten gilt sincu = + k.

E(x,

s — h = j - [ E ( x , w ) - F ( x , w)] n/2)].

Dieser K e h l t y p der reellen, stetig gekrümmten, pseudosphärischen Drehflächen besteht aus unendlich vielen periodisch wiederholten gekehlten Ringen der Höhe 2h, deren Kehlkreise (Radius k = ] / l — x2/x) jeweils in der Mitte zwischen zwei Rück10*

148

IV/C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

kehrkreisen (Radius j/l + k2 = 1/x) liegen und von ihnen den Abstand h besitzen. Bemerkung 2 : Wie man sieht, sind alle reellen, stetig gekrümmten Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung außer der Kugel und der Ebene mit S i n g u l a r i t ä t e n (singulären Punkten oder Linien) behaftet. Insbesondere gibt es überhaupt keine im Endlichen unberandete, singularitätenfreie, reelle Drehfläche konstanter negativer Krümmung. Dies steht in Einklang mit den in (25. Bern. 3) angeführten allgemeinen Sätzen von David H i l b e r t über Flächen fester Gaußscher Krümmung 0. 27. Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung K = const mit (eigentlicher) isotroper Drehachse. Neben den Drehungen des euklidischen Raumes um (eigentliche) reelle oder komplexe nichtisotrope Achsen gibt es noch die schon in (II. 9. Bern. 2) erwähnten Drehungen des R a u m e s um (stets komplexe) isotrope e i g e n t l i c h e Achsen. Wählt man als D r e h a c h s e die isotrope Gerade (27.1)

X + iY = 0,

Z=0,

so lautet die Darstellung der zugehörigen eingliedrigen (komplexen) stetigen Drehungsgruppe (27.2)

X = ( 1 + 2P)x + 2iPy + 2 Uz, Y = + 2ii2x + (1 - 2t2)y - 2tz, Z= — 2itx +2 ty + z.

Der (komplexe) Parameter t kennzeichnet das Maß der Drehung um die isotrope Achse (1); er verhält sich bei der Zusammensetzung zweier Drehungen (2) additiv. Die Raumpunkte P(x,y,z) beschreiben bei (2), wenn sie in der (einzigen) isotropen Ebene X + i Y = 0 durch die isotrope Drehachse (1) liegen (x + iy = 0), als Bahnen p a r a l l e l e i s o t r o p e Geraden, sonst p a r a b o l i s c h e K r e i s e , die in den zueinander parallelen isotropen Ebenen X iY = x + iy 4=0 liegen und uns aus (II. 6. Beisp. 1) bekannt sind. Alle diese parabolischen Bahnkreise sind untereinander kongruent. Wählt man in der (reellen) Ebene Z = 0 ( H a u p t m e r i d i a n ebene der Drehung (2)) eine beliebige analytische, auf ihren Bogen s bezogene Kurve (27. 3)

x = x(s), y = y(s), z = 0 mit x' 2 (s) + y"(s) ^ 1,

so entsteht durch deren Drehung um die isotrope Achse (1) eine

27. Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung

149

komplexe analytische D r e h f l ä c h e mit dem H a u p t m e r i d i a n (3), deren Ortsvektor X (s, t) nach (2) durch die Formeln (X = (l + 2P)x(s) + 2it2y(s), (27. 4) 36 = £(f, s) J. Y = + 2 i f x ( s ) + (1 - 2 t2)y(s), \Z = — 2itx(s) +2 ty(s) dargestellt wird, die man noch so zusammenfassen kann: X + iY = x + iy, X - i Y = ( x - i y ) + 4t2(x + iZ = 2t(x + iy).

(27.5) Aus (5) folgt noch

iy),

X2 + Y2 + Z2 ~ x2(s) + y2(s)

(27. 6) sowie (27.7)

2it(X

+ iY) + Z = 0.

Die Linien t = const (s-Linien) der Drehfläche (4) liegen somit in Ebenen durch die Drehachse (1) und sind die (untereinander kongruenten) M e r i d i a n e der Drehfläche; für ¿ = 0 ergibt sich der H a u p t m e r i d i a n (3). Die Linien s = const (Minien) sind die (untereinander ebenfalls kongruenten) P a r a l l e l k r e i s e der Drehfläche (parabolische Kreise). Aus (4) findet man als Fundamentalgrößen der Drehfläche die Werte E = X2 = x'2 + y'2 = 1, G = Xf = -±(x + iy)2, (27.8) F=2t2t=0, W2 = EG-F2= - i{x+iy)2 ^ 0-, L = x'y" — x"y', M = 0, N = ii(x + iy) (x' + iy'). Wegen F = 0 sind P a r a l l e l k r e i s e u n d M e r i d i a n e wieder orthogonal, wegen M = 0 auch konjugiert, also K r ü m m u n g s l i n i e n der Drehfläche. Die Punkte des ausgezeichneten Meridians x + iy = 0 sind wegen W2 = 0 metrisch singulär und sollen weiterhin ausgeschlossen werden. Aus (8) folgt als Wert der G a u ß s c h e n K r ü m m u n g der Drehfläche (4) (27. 9)

K =

EG — F1

= - i

und als ihre (doppelte) m i t t l e r e (27.10) 2H = v '

E N

-

2 / M + EG — F2

GL

x + iy Krümmung i = (K x ' f - x " ya ' ) - i / . * ' x + iy

150

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

Da x'y" — x" y' = x = 1¡B^ die Normalkrümmung des Meridians ist, bedeutet — i

X

= 1jR2 die Normalkrümmung des x ly Parallelkreises der Drehfläche (4). Man kann die Formeln (9) und (10) noch vereinfachen. Aus (3), d. h. aus x12 + y'2 = 1, folgt neben x' + iy' ^f 0 noch (27.11) x'x" + y'y" = 0 und x' - iy' = x, -

somit (27.12) 5 i

X

/J =

- iy') (*" + iy") = i{x'y" - «"»')•

Daher ist nach (9) und (10) schließlich " • iy" , 2H = — » t X' + ® + »2/ \ + iy x + iy , Um die komplexen analytischen D r e h f l ä c h e n der f e s t e n (reellen oder k o m p l e x e n ) G a u ß s e h e n Kr ü m m u n g Z = c o n s t m i t i s o t r o p e r D r e h a c h s e (1) zu bestimmen, muß man nach (3) und (13) das Differentialsystem

(27.13) K=-

X

(27.14) x'2 + y'2 = 1 , (z" + iy") + K(x + iy) = 0 lösen. Wir unterscheiden die beiden F ä l l e 1)K = Ound 2 )Ä#= 0. 1. Im Falle K = 0 folgt aus (14) und (11) für die M e r i d i a n k u r v e der Drehfläche x' + iy' = a, x' — iy' = 1/a mit konstantem komplexen a =1=0 und daraus (27.15)

x

iy — as,

§

x — iy = — .

Integrationskonstanten können in (15) unterdrückt werden, weil erstens der Anfangspunkt der Bogenzählung willkürlich wählbar ist und zweitens Schiebungen des Meridians in Richtung der Drehachse (1) freistehen. Die g e r a d l i n i g e M e r i d i a n k u r v e (15) erzeugt bei Drehung um die isotrope Achse (1) nach (5) einen Drehkegel, mit der Darstellung X + iY = as, X — iY = s/a + 4Pas, iZ = 2tas, und der Gleichung (27.16) a 2 (X 2 + Y2 + Z2) = (X + i Y f ,

27. Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung

151

w e l c h e r den i s o t r o p e n K e g e l X 2 + Y + Z = 0 des N u l l p u n k t e s 0 l ä n g s der i s o t r o p e n D r e h a c h s e (1) h y p e r o s kuliert. 2

2

2. I m Falle K = p + iq 4= 0 folgt aus (14) für (x + iy) eine der beiden folgenden t y p i s c h e n L ö s u n g e n «) A e * ^ ' oder

ß) A sin J / I i s . Dabei ist A -¡= 0 eine (komplexe) Konstante. I m Fall 2. et) ist (27.17) und nach (11)

x + iy = A e i ^ . ,

x —iy

=

also (27.18)

,

¡M

1

s

1

, - .--. = , e s + ^ i A 1/K

-t

\/KS

,

. ^ . f r

iA

j/X

Die Drehfläche der festen (komplexen) Gaußschen Krümmung K =)= 0 mit isotroper Drehachse (1) besitzt also im Falle a) in der Ebene z = 0 den K r e i s x 2 + y 2 = 1/K als Hauptmeridian; sie selbst ist nach (6) die komplexe Kugel vom (komplexen) Radius 1 / ] / ä 4= 0 mit der Gleichung (27. 19) X 2 + Y2 + Z 2 = 1 / K . Für reelle positive Werte K = 1/R 2 > 0 erhält man reelle Kugeln vom Radius R. Die Kugel (19) besitzt folglich auch jeden ihrer isotropen Durchmesser als Drehachse. I m Fall 2. ß) ist (27.20) und nach (11) , also

x + i y = Asin f K s 1 x' + iy'

1 A ] / K cos

\/Ks'

Die D r e h f l ä c h e der f e s t e n ( k o m p l e x e n ) G a u ß s c h e n K r ü m m u n g K 4= 0 m i t i s o t r o p e r D r e h a c h s e (1) b e s i t z t also im F a l l e ß) in der E b e n e 3 = 0 die ( k o m p l e x e ) t r a n s zendente Linie

152

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

(27.22)

x + iy=

als H a u p t m e r i d i a n ; und (20) (27.23)

A%$[AK(x-iy)] ihre Gleichung lautet nach (5), (6)

X 2 + Y 2 + Z2 =

Z

Aa

• SirKg X

+

/

A.

Y

.

Damit sind auch alle analytischen Drehflächen fester Gaußscher Krümmung K mit isotroper Drehachse bekannt.

28. Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Ebene. 0

sei ein auf g e o d ä t i s c h e

TL P/_ jr

Pi

pß\p' nmz

n

Polarkoordinaten

(u, v)

Bild 31. Projektives Modell der hyperbolischen Ebene. Schauplatz der hyperbolischen Geometrie ist das Innere des absoluten Kreises k. Der Kreis k selbst ist der Ort der Fernpunkte der hyperbolischen Ebene.

mit dem Zentrum Z(u = 0) bezogenes reguläres Stück einer reellen p s e u d o s p h ä r i s c h e n F l ä c h e der festen Gaußschen Krümmung K = — 1, und nach (25. 4 y) (28.1)

ds2 = du2 + ©in 2udv2

sein Bogenelementquadrat. Wir wollen die Fläche 0 die Formeln (28. 2)

£ = %qu cos v, fj =%qu

durch

sin v

u m k e h r b a r e i n d e u t i g a u f d i e (£, ?/)-Ebene n abbild e n . Dem Zentrum Z(u -— 0) auf entspricht dann (Bild 31)

28. Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Ebene

153

der Nullpunkt 0(0, 0) der Ebene n und dem Punkt (u, v) der Fläche 0 jener Punkt r/) der Ebene n, dessen Polarkoordinaten (r, 0,

wobei die R a n d p u n k t e (r = 1) von k für die hyperbolische Metrik (4) der Ebene F e r n p u n k t e darstellen. Man bezeichnet diese Kreislinie h (28.7)

r — 1 oder 1 — | 2 — y2 = 0,

d. h. den Inbegriff der Fernpunkte der hyperbolischen

28. Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Ebene

155

Metrik (4) als den absoluten Kreis k der hyperbolischen Ebene n (Bild 31). Bemerkung 1 : Wie wir aus (IV. 25) wissen und auch direkt aus (1) entnommen werden kann, gestattet die innere Geometrie und Metrik der pseudosphärischen Flächen &(u, v) die Drehungen («' = u, v' = v + const) um den Pol Z(u = 0) des geodätischen Polarkoordinatensystems (u, v). Dementsprechend ist, wie auch direkt aus (4) und der Drehsymmetrie des absoluten Kreises (7) folgt, die h y p e r b o l i s c h e E b e n e 7t(ß, /]) mit ihrer Geometrie und Metrik u n e m p f i n d l i c h g e g e n ü b e r D r e h u n g e n u m d e n N u l l p u n k t 0 ( r = 0 ) . Diese Drehungen sind nichteuklidische Bewegungen, welche den Nullpunkt 0 festlassen.

Wir wollen diese nichteuklidische Geometrie der Ebene 71 genauer studieren, um ihre g r u n d s ä t z l i c h e n U n t e r s c h i e d e gegenüber der e u k l i d i s c h e n G e o m e t r i e der Ebene kennenzulernen, und bestimmen zuerst die Gestalt ihrer g e o d ä t i s c h e n L i n i e n , d. h. die Bildkurven der geodätischen Linien der pseudosphärischen Fläche 0. Wir beweisen: Satz 1: Die Geodätischen der nichteuklidischen Metrik (4) der hyperbolischen Ebenen sind gerade Linien, die im Inneren des absoluten Kreises verlaufen. Zum B e w e i s e ist es zweckmäßig, (28. 8)

u = — , also ©itt u = —- 2^ w

;

, ©cf u =

]/mj — 1

—

\/w* - 1

zu setzen. Das Bogenelement (1) der pseudosphärischen Fläche Ound dem hyperbolischen Abstand {OP} = s besteht dann die einfache Beziehung (29.5)

! = £ g s.

Wegen des projektiven Charakters der Formel (2) wird die durch (28. 4) oder (2) beschriebene Metrik der hyperbolischen Ebene 71 als eine projektive Metrik bezeichnet. Nach der Doppelverhältnisformel (2) ist der hyperbolische Abstand s zweier Punkte P1, P 2 unempfindlich gegenüber allen jenen projektiven Transformationen der Ebene 71, welche den absoluten Kreis h in sich überführen, d . h . i n v a r i a n t gegenüber allen a u t o m o r p h e n K o l l i n e a t i o n e n des a b s o l u t e n K r e i s e s (28.7). Die projektiven Automorphien des absoluten K r e i s e s k führen eine F i g u r f der Ebene n in lauter im Sinne der hyperbolischen Geometrie k o n g r u e n t e F i g u r e n f' über und sind daher kongruente Transformationen der h y p e r b o l i s c h e n E b e n e 71. U m g e k e h r t bildet jede kongruente Transformation

von 71 das I n n e r e von

h punkt- und geradentreu auf sich selbst ab und vertauscht die Punkte von k (Fernpunkte) untereinander; sie ist daher eine projektive Automorphie

des absoluten Kreises k

der hyperbolischen Ebene 71. Je nachdem dabei der Umlaufsinn der Figuren (also auch der des absoluten Kreises k)

29. Projektive Metrik

159

bewahrt oder geändert wird, spricht man von Bewegungen bzw. Umlegungen der hyperbolischen Ebene7t. Die h y p e r bolischen Bewegungen der Ebene n bilden dabei für sich eine s t e t i g e dreigliedrige Gruppe, welcher durch die Abbildung (28. 2) die dreigliedrige s t e t i g e Gruppe der automorphen Biegungen (längentreuen Selbstabbildungen) der pseudosphärischen F l ä c h e 0 entspricht. Natürlich ist mit der Streckenmetrik auch die Winkelmetrik der hyperbolischen Ebenem p r o j e k t i v . Wegen der projektiven Gleichwertigkeit aller Punkte der hyperbolischen Ebene genügt es, die zu (2) analoge Winkelformel für zwei Richtungen pv p2 zu finden, die vom Nullpunkt 0 ( 0 , 0 ) ausstrahlen. Wegen (28. 3) ist dieser Winkel cp = wobei die Vorzählen aik durch vier homogene P a r a m e t e r (a 0 : a t : 0) entspricht. Die Randpunkte auf k fallen mit ihren Bildpunkten auf k* zusammen. Nun folgt aus (1) und (6) (30.10) Ht +ViV

= - CdC und 1 + C = r + i + y * •

Daraus ergibt sich für das e u k l i d i s c h e B o g e n e l e m e n t q u a d r a t ds*2 = dx2 + dy2 der E b e n e n*(x,y) die Beziehung ds*2 = dx2 + dy2 = (dx + idy) (ix — idy) (30.11) _dP + dr? + dP_ da2 2 (1 il (1 :• Qf oder 4 ds*2 (30.12)

da2 = (1 + Q2ds*2 =

•

Nach (3), (1) und (6) ist weiter (30.13) da2 = ( W 2 - v2)ds2 = C2ds2 =

^ ~ J j V ,

und daraus folgt schließlich durch Vergleich mit (12) r 3 0 l141 (DU. y

2

Hdx2

ds -- ^ _ ^+ _ as

d f )

y2)2

-

(1

Us

2

_ ^* _

•

Die Bogenelemente ds der hyperbolischen Ebene rf) und ds* der euklidischen Ebene n*(x,y) sind also ebenfalls zueinander p r o p o r t i o n a l mit dem nur ortsabhängigen Verzerrungsmodul (30.15)

A* = 2/(1 — x2 — y2).

Als stereographische Übertragung von Satz 1 folgt daraus der Satz 2: Die durch Zusammensetzung der Normalprojektion der hyperbolischen Ebene TI auf die Halbkugel x und der stereographischen Projektion der Halbkugel x auf die konforme

170

IV. C. Gaußsche Theorie der Flächenkrümmung

Ebene (Äquatorebene) n* entstehende Darbouxsche Abbildung (8) liefert ein (winkeltreues) konformes ebenes Modell der hyperbolischen nichteuklidischen Geometrie von n. Jeder durch die projektive Formel (29. 6) gemessene Winkel y> der hyperbolischen Ebene JC ist maßgleich zu seinem (euklidisch gemessenen) Darbouxschen Bildwinkel 0)

(30.18)

Sind dann zx und z2 zwei v e r s c h i e d e n e P u n k t e im Inneren des absoluten Kreises 7c* (Bild 38), so bestimmen sie eindeutig einen geodätischen Verbindungskreis (auf dessen Außenbogen die invcrsen Punkte 1/zj und 1 [z2 von z1 und 22 bezüglich k* liegen) und einen h y p e r bolischen A b s t a n d s 12 . B i l d 38. Geodätische Linie durch die P u n k t e Zj und z 2 im konformen Model] der hyperbolischen E b e n e mit dem Grundkrcis k * .

Um die h y p e r b o l i s c h e E n t f e r n u n g s 1 2 der b e i den P u n k t e und z2 zu berechnen, denken wir uns zuerst jene (eindeutig bestimmte) h y p e r b o l i s c h e B e w e g u n g (18) ausgeübt, welche 1) den Punkt z = zx in den Nullpunkt z' = 0 und 2) den Punkt z = z2 in einen bestimmten Punkt der positiven reellen Achse z' = r — reell > 0 überführt. Diese Bewegung hat nach (18) die Form iq>

(30.19)

e

wobei wegen 2) (30. 20)

r = e>

sein soll. Daraus folgt

z, z,

V -

1'

| = reell > 0

30. Konformes Modell der hyperbolischen Ebene (30.21)

r =

' V ' V

173

=

Und

Der geodätische Kreisbogen (e l t 2 2 ) hat dann dieselbe hyperbolische Länge s 1 2 wie die gerade Strecke (0, r) auf der a-Achse (y = 0, dy = 0), also nach (14) und (21) die Länge T (30.22)

Sl2

=

j. 2 _ & x 2 = 2 SStSg r = 2 SIrSg j J

f

| .

o" Daraus folgt S a t z 4 : Für Inneren

des

die hyperbolische

Einheitskreises

der konformen

Ebene

n*

Entfernung k*

liegenden)

gilt die Formel

(30.23)

s 1 2 der beiden Punkte (22)

z1 und

{im 22

oder

J- |

Beispiel 1 : U m f a n g l e i n e s K r e i s e s h v o m h y p e r b o l i s c h e n R a d i u s Q. Bringt man durch eine hyperbolische Bewegung den Mittelpunkt M des Kreises h in den Mittelpunkt O des absoluten Kreises k*, so entsteht aus h nach (22) ein zu k* konzentrischer Kreis h0 mit dem hyperbolischen Radius (30. 24)

Q = 2 3lr£g r, wobei r = E g (o/2)

den euklidischen Radius von h 0 bedeutet. Dabei soll g > 0, also auch r > 0 sein. In den (geodätischen) Polarkoordinaten (g, EG — F2> 0 vorausgesetzt.)

0, G> 0 und

Beweis: Um Raum zu sparen, wollen wir F(u,v) s 0 und M(u, v) = 0 annehmen; auf der gesuchten Fläche j(w, v) werden u und v dann K r ü m m u n g s p a r a m e t e r sein. Die von den vier übrigen Funktionen E(u,v), G(u,v) und L(u, v), N(u, v) mit W2 = EO 4= 0 nach Voraussetzung erfüllten Gleichungen von G a u ß (Theorema egregium) (33. 7) und Cod a z z i - M a i n a r d i (33. 8) verkürzen sich dann auf die drei Gleichungen

(34. 2)

Nd\/E G "~dv"

L d i 9 E du

34. Der Fundamentalsatz der Flächentheorie

193

Wir denken uns nun mit jedem Punkte P(w, v) der F l ä c h e l(u,v) deren E x i s t e n z u n d E i n d e u t i g k e i t wir b e w e i s e n wollen, ein o r t h o g o n a l - n o r m i e r t e s b e g l e i t e n d e s D r e i b e i n von Vektoren (34. 3)

u =

lv ]fG

b= ^ ,

jr&

n=[ub] =

[Em ED]

^

W

verbunden; u und b sind die Einheitsvektoren der beiden Hauptkrümmungsrichtungen und n ist der Einheitsvektor der Flächennormalen. Die A b l e i t u n g s g l e i c h u n g e n von G a u ß (32.1) und W e i n g a r t e n (19. 3) lauten dann, auf die Vektoren (u, b, tt) dieses normierten begleitenden Dreibeins (3) umgeschrieben, wegen (3) und

Zuu = (]/Eu)u, jM„= (YEu)v = (]/Öü)u = im,

iv (1/Oü) v

folgendermaßen:

1 d]/E ]/G dv

uw =

— -i-— b -

,

(34. 4) „

w

31iE

1

| 0 ¿v

= - -

L YE

u„ =

b» — —

N

u,

1

]/E

+

1

3|/G

aj/G

; du ]/0

Die Vektoren (u, b, n) des begleitenden Dreibeins (3) ergeben sich dann durch Integration des Differentialsystems du =

uudu + uvdv,

db = bMdw +

bVdv, dn = nUdu + n^v,

das nach (4) ausführlich folgendermaßen lautet:

, L \ , , 1 31/G , —- n du+ ——"5u— 2 zerlegt werden. Wendet man dann auf jeden dieser Teile die Formel (10) an, so heben sich in der S u m m e (wegen ihres verschiedenen Umlaufsinns) die Linienintegrale weg, und es bleibt schließlich die I n t e gralformel

[f3(nz)d0=

(36.11)

- 2 ff

0

*

HdÖ.

Als S o n d e r f a l l steckt darin, wenn die Eifläche 0

den A b s t a n d p des N u l l p u n k t e s U von der (orientierten) T a n g e n t e n e b e n e r des Flächenpunktes j(m, V) d a r ; man n e n n t p = p(u,v) nach H . M i n k o w s k i die Stützfunktion d e r E i f l ä c h e 0 im Punkte (u, v) bezüglich des Nullpunktes U. Die Minkowskische Formel (12) lautet dann (36.18)

/ / K{u, v) • p(u, v)dO = / / H(u,

0

0

v)dO.

Weil nach (20. 4) noch K- dO = dO* das Flächenelement des s p h ä r i s c h e n B i l d e s von 0 auf der Einheitskugel 0 sind dann die ziveiten Grundformen (4) von 0 und 0 positiv definit, also £ > 0, tf > 0, I i = £ H - 1 1 T 2 > 0; & > 0, ZT > 0, K = £ H — ITT2 > 0. Die aus (5) und (6) folgende Identität (36. 21)

£ 2 (3 2 - 4X 2 ) = £ 2 [(£Zt - 2 m m + ZT £)2 (36.23)

- 4 ( £ r t - m 2 ) ( i x i - in 2 )] = = [ £ ( £ « - £ZT) - 2m(£itT - £m)] 2 + + 4(£zt - m 2 ) (£irt - m £j 2 ^ o

208

IV. D. Ableitungsgleichungen und Fundamentalsätze

bestätigt zunächst die Ungleichung 32 -

(36. 24)

4X2 ^ 0 .

Wir bemerken weiter, daß mit 1 ¡ R = J l / I > 0 wegen 1 = 1 auch (36.25)

L + ± R R

=

I

L + H I

1/R = / / / / > 0

>

und

0

ist. Nach (4) bedeutet dies wegen W = W, daß auch die quadratische Form (36. 26)

(£ + f ) du2 + 2(ItT + 5 t ) dudv + (Zt + Zt) dv2

p o s i t i v d e f i n i t ist. Wegen (5) und (6) ist daher (36. 27)

(£ + £) (Zt + Zt) - (2Tt + 5T)2 = 3 + 2 I i > 0.

Da aber nach (24) (36. 28)

3 2 - 4 Ä 2 = ( 3 + 2K) ( 3 - 2 K ) ^ 0

gilt, folgt aus (27) und (28) (36.29)

3 - 2 X ^ 0 .

Damit ist zunächst die Behauptung (21) bewiesen. Aus (29) folgt noch wegen I{ > 0 die Ungleichung (36.30)

3 ^ 2K > 0.

Das G l e i c h h e i t s z e i c h e n gilt in (21) und (29) nur, wenn (36. 31)

( £ _ £) (Zt - Zt) - (St - JTt)2 = 0

ist. Mit zulässiger Vertauschung der Flächen und i> kann man dann setzen (36 32)

£

=

0 und p = - (nf) > 0,

also auch p -f p > 0. Die Integralformel (20) kann dann nur bestehen, wenn der nie positive Determinantenfaktor (21) verschwindet. Dann gelten aber nach Satz 3 die Formeln (22). 7jwei (dreimal stetig differenzierbare) isometrische Eiflächen 0 und 0, auf denen entsprechende Punkte zu gleichen Parametern gehören, haben somit notwendig dieselben sechs Fundamentalgrößen E, F, G und ItT, ZI (oder L, M, N); sie sind daher nach dem Bonn et sehen Fundamentalsalz der Flächentheorie zueinander kongruent, d.h. 0 geht aus 0 entweder durch eine Bewegung oder durch eine Umlegung hervor. D a m i t ist der I d e n t i t ä t s s a t z f ü r E i f l ä c h e n bewiesen. Dieser Satz verbürgt die Unverbiegbarkcit der Eiflächen. Aus ihm folgt nämlich der im analytischen Falle schon von Heinrich L i e b m a n n (1874—1939) stammende Satz von Liebmann ( 1 9 0 0 ) : Es ist nicht möglich, eine dreimal stetig differenzierbare Eifläche anders als durch starre Bewegung stetig so umzuformen, daß dabei alle ihre inneren Maßverhältnisse ungeändert bleiben. Bemerkung 3: Dagegen ist eine Eifläche, in die ein beliebig kleines Loch geschnitten ist, stets stetig (in endlicher Weise) verbiegbar. Dies hatte schon H. Lieb m a n n (1920) vermutet; einen strengen Beweis dafür hat vor kurzem für hinreichend reguläre Eiflächen und Randkurven Günter H e l l w i g (1955) angegeben. A. W. P o g o r e l o w (1951) hat sogar genauer bewiesen, daß man zwei beliebige, zueinander i s o m e t r i s c h e , dreimal stetig ableit14

S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie I I I

210

IV. D. Ableitungsgleichungen und Fundamentalsätze

bare, g e l o c h t e E i f l ä c h e n (K — K > 0) stets durch e n d l i c h e s t e t i g e B i e g u n g e n ineinander überführen kann, wenn ihre glatten Randkurven überall positive oder überall negative (gleiche) geodätische Krümmungen (n g = Hg) besitzen. Bemerkung 4 : Die sogenannte i n f i n i t e s i m a l e V e r b i e g b a r k e i t einer Eifläche mit beliebig kleinem Loch haben schon früher Stefan C o h n - V o s s e n (1927) und Wilhelm Süß (1927) bewiesen. Unter i n f i n i t e s i m a l e n Y e r b i e g u n g e n versteht man dabei solche infinitesimalen Umformungen einer Fläche, bei denen die Längen aller Flächenkurven bis auf Größen zweiter und höherer Ordnung ungeändert bleiben. Wie H. L i e b m a n n (1900) und besonders einfach W. B l a s c h k e (1912 und 1921) bewiesen haben, sind E i f l ä c h e n auch i n f i n i t e s i m a l u n v e r b i e g b a r . Jede infinitesimale Verbiegung einer Eifläche erweist sich nämlich notwendig als eine bloße infinitesimale Bewegung. Diese Eigenschaft der i n f i n i t e s i m a l e n Unv e r b i e g b a r k e i t der Eiflächen, die man kurz als ihre Starrheit bezeichnet, ist übrigens k e i n e unmittelbare F o l g e i h r e r oben bewiesenen ( e n d l i c h e n ) U n v e r b i e g b a r k e i t . Umgekehrt ist jedoch jede im Infinitesimalen unverbiegbare (d. h. jede starre) Fläche auch im Endlichen unverbiegbar. Eine starre Fläche ist also stets unverbiegbar, eine unverbiegbare Fläche muß aber nicht starr sein. (Der einfachste Beleg dafür ist eine ebene Kreisscheibe, deren Randkreis festgehalten wird; diese Scheibe gestattet zwar infinitesimale Biegungen, aber keine endlichen Biegungen). Dagegen gilt der S a t z , daß jede endlich verbiegbare Fläche stets auch infinitesimal verbiegbar (d. h. unstarr) ist. Bemerkung 5: Der oben bewiesene Identitätssatz gilt in der angegebenen Form wirklich nur für E i f l ä c h e n . Es gibt nämlich nach Eduard R e m b s (1952) Paare analytischer, geschlossener, überall regulärer und flachpunktfreier Flächen , vom topologischen Typus der Kugel, die zueinander isometrisch aber weder kongruent noch symmetrisch sind. Bemerkung 6: Wie Aurel W i n t n e r (1952) bewiesen hat, gilt der Identitätssatz von H e r g l o t z auch noch für isometrische Eiflächen, welche bloß z w e i m a l stetig differenzierbar (stetig gekrümmt) sind. Ist eine der beiden isometrischen Eiflächen analytisch, so auch die andere.

E. Minimalflächen 37. Minimalflächen. Schon Joseph Louis L a g r a n g e (1760) hat das später nach dem (blinden) belgischen Physiker Joseph P l a t e a u (1866) benannte P r o b l e m gestellt, durch eine glatte, geschlossene und doppelpunktfreie reelle R a u m k u r v e R jene reelle, stetig gekrümmte, einfach zusammenhängende F l ä c h e (37.1)

j = i(u, v) = x(u, t;)ex + y(u, v)?2 + z(u, v)e3

zu legen, welche die k l e i n s t e O b e r f l ä c h e (37. 2)

0 = / / Wdudv = f f d O = Minimum SB (u,v) 58(w, v) besitzt. 93 (w, v) bedeutet dabei den Parameterbereich des von R berandeten einfach zusammenhängenden Flächenstückes (1). Dieses Plateausche Problem haben (sogar in wesentlich weiterem Umfang) gleichzeitig Jesse D o u g l a s (1932) und Tibor R a d ö (1932) mit Mitteln der Potentialtheorie bzw. der Theorie der konformen Abbildungen gelöst. Wir wollen die Existenz einer Lösung des Platcauschcn Problems für die glatte geschlossene Raumkurve R unterstellen und mit L a g r a n g e (1760) und M e u s n i e r (1776) beweisen, daß die L ö s u n g s f l ä c h e n n o t w e n d i g in allen ihren Punkten v e r s c h w i n d e n d e m i t t l e r e K r ü m m u n g

(w)+ i(v) isometrische

Minimalfläche E* =

i*(»)

ist notwendig zu ihr assoziiert. Dabei bedeutet v = ü und g (v) = ~Cj(u) sowie j* (v) = Qv(w). In der Isometrie entsprechende Punkte P und P* der beiden

223

39. Assoziierte Minimalflächen Minimalflächen gehören paaren u und v = ü.

ferner zu gleichen

Parameter-

Beweis: Weil nach (38. Bern. 4) jede der Minimalflächen j und j* zu ihrem sphärischen Bilde n bzw. n* konform ist, sind die s p h ä r i s c h e n B i l d e r n u n d n* i s o m e t r i s c h e r M i n i m a l f l ä c h e n z u e i n a n d e r k o n f o r m . Wegen der Biegungsinvarianz der Gaußschen Krümmung (K = K*) sind infolge (20. 4) die sphärischen Bilder überdies f l ä c h e n t r e u , also k o n g r u e n t , und können daher durch eine Bewegung oder Umlegung der Minimalflächen j oder j* zur Deckung gebracht werden. Die isotropen Flächenrichtungen dt) und d j von J sind dann zu den isotropen Richtungen