Atomphysik: Band 3 Theorie des Atombaus, Teil 1 [3., umgerab. Aufl., Reprint 2020] 9783112315668, 9783112304471

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S A M M L U N G GÖSCHEN BAND

1125

Atomphysik Von

Dr. K a r l B e c h e r t ord. Professor an der Universität Mainz und

Dr. C h r i s t i a n G e r t h s e n ord. Professor an der Techn. Hochschule Karlsruhe

Band III

Theorie des Atombaus, 1. Teil Von D r . K . B e c h e r t Dritte, umgearbeitete Auflage M i t 16 A b b i l d u n g e n

W a l t e r de G r u y t e r & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp. BERLIN

1954

Alle Rechte, einschl. der R e c h t e der H e r s t e l l u n g von Photokopien u n d M i k r o f i l m e n , von der V e r l n g s h o n d l u n p vorbehalten

Archiv-Nr. 11 11 25 D r u c k von H a r r y Bartels, B e r l i n - C h a r l o t t e n b u r g P r i n t e d in G e r m a n y

Inhalt des dritten Bandes Seite

§ 1. Die Unschärferelationen

•

4

Anhang zu § 1

29

§..2. Bohrsche Theorie

34

§ 3.

Korrespondenzprinzip

57

§ 4.

Quantenmechanik

74

§ 5. Die Analogie Optik-Mechanik

87

§ 6. Einfache Beispiele ziir Wellenmechanik

97

§ 7. Zusammenhang zwischen Operatorenrechnung, Quantenmechanik und Wellenmechanik § 8.

H-Atom.

Register

116 129

'

145

§ 1. Die Unschärferelationen In Band III und IV handelt es sich darum, die vielfältigen Erfahrungstatsachen der Atomphysik als aus einfachen Annahmen ableitbar verstehen zu lernen. Daß man mit den Begriffen der klassischen Physik (einschließlich Relativitätstheorie) nicht auskommt, ist klar; denn die klassische Physik kennt keine Gebilde, die sich sowohl als Wellen wie als Teilchen betragen können, und gibt kein Hilfsmittel zu ausreichender Beschreibung derselben. Aber gerade diese Dualität ist offenbar die wichtigste Eigenschaft von Licht und Materie. Um die Grenzen der klassischen Physik kennenzulernen, wird man zweckmäßig von der Dualität ausgehen. ^ Nach der empirisch bestätigten de Broglieschen Beziehung gehört zu einem Impuls p eine Teilchenwellenlänge X = h/p. Für makroskopische Impulse (p = 1 g cm/sec) ist X « 1 0 ~ 2 ' cm, also unmeßbar klein. Bei solchen Teilchen ist keine merkliche Beugung und daher keine Äußerung der Dualität zu erwarten. Nun wird zwar X unendlich groß, wenn p = 0 wird; der Übergang von ungeheuer kleinem X zu ungeheuer großem geschieht aber bei makroskopischen Teilchen im Gebiet von Impulswerten, die hoffnungslos klein sind ( p < 10 - 1 9 g cm/sec etwa); solche Impulse kann man bei makroskopischen Teilchen nicht kontrollierbar herstellen, kann keine Versuche mit ihnen machen. Die Dualität kann also nur bei atomaren Teilchen eine Rolle spielen. Die Betrachtungen dieses Paragraphen haben den Zweck, Korpuskel- und Wellenbild genauer gegeneinander abzugrenzen; sie zeigen, daß im Atominnern die klassische Physik und insbesondere die klassische Mechanik nicht streng gilt. Immerhin gibt sie noch größenordnungsmäßig richtige Aussagen, die um so zuverlässiger werden, je höher angeregt das atomare System ist.

Die Unschärferelationen

5

Wir beschäftigen uns im folgenden mit den Möglichkeiten der Messung physikalischer Größen. Daß hier ein wichtiges Problem vorliegt, zeigt eine einfache Überlegung. Es sei z. B. der Ort eines Teilchens zu einer bestimmten Zeit mit möglichster Genauigkeit zu messen; dazu werden wir zweckmäßig möglichst kurzwelliges Licht nehmen, denn je kürzer die Wellenlänge, desto größer ist das Auflösungsvermögen einer optischen Apparatur. Licht überträgt aber immer Impuls (mindestens den Impuls h v / c eines einzigen Lichtquants), auf den beobachteten Körper, und der wird um so größer, je kleiner die verwendete Wellenlänge ist. D . h . : Die Genauigkeit der Ortsbestimmung hängt mit der im gleichen Augenblick erzeugten Änderung des Impulses eng zusammen. Wir stellen eine allgemeine Betrachtung voran über die Darstellung einer beliebigen Funktion — die wir dann einem physikalischen Vorgang zuordnen werden — durch geeignete Wellen. Diese Betrachtung ist rein mathematisch, enthält also keine physikalischen Hypothesen. Wir beginnen mit der rein harmonischen ebenen Welle: (1) o cos ((fr) — ( o t ) + 6 sin ((fr) — cot), r = { x , y , z}, tie sich bequemer in der Form (2) 2lei((lt)- «0, (9t ein konstanter [komplexer] Vektor) sei reiben läßt. Realteil oder auch Imaginärteil von (2) gibt wieder die Form (1). Die Welle (2) [oder (1)] hat definierte Wellenlänge A und Frequenz »>; es ist v = ( o j2 je; (3) denn an festem Ort (r) hat die Welle nach der Zeit r = 2 tt/co wieder die gleiche Gestalt, r ist also die zeitliche Periode und 1/t = v die Zahl der Schwingungen pro sec, d. h. die Frequenz, (fr) = const ist bei festem t die Gleichung der Flächen konstanter Phase (offenbar Ebenen). Daher ist f ein Vektor senkrecht zu diesen Phasenebenen; bei einer Verschiebung [ festgelegt und nach (15) auch die Form der Welle. Uber den O r t dieses Teilchens zu e i n e r b e s t i m m t e n Zeit kann man aber aus (15) offenbar nichts erfahren, denn die Welle (18) ist raumzeitlich unbegrenzt. Es ist also aus der de Broglieschen Zuordnung einer Welle zum Teilchen zu schließen, d a ß bei s c h a r f d e f i n i e r t e m p, E ü b e r d e n r a u m z e i t l i c h e n A b l a u f d e r

Die Unschärferelationen

9

T e i l c h e n b e w e g u n g n i c h t s a u s g e s a g t werden k a n n ; es ist eben Apx = hA kx-^Ö und dafür A x 1/A kx~*oo. Einem räumlich begrenzten Vorgang entspricht dann eine Fouriersche Überlagerung von Wellen. Diese Fourierwellen, die sich mathematisch einfach addieren, also ungestört überlagern, deuten wir physikalisch ebenso wie die einzelne de Broglie-Welle (15), als Aussage über Impuls und Energie. Haben wir aus Beobachtungen eine gewisse Kenntnis f(xyzt) vom Ort des Teilchens, so daß also f nur in einem gewissen Bereich A x von Null verschieden ist, so gilt Akx 2i IIA x; die Teilwellen, durch die wir unsere Kenntnis f vom Teilchenort darstellen, haben einen Wellenzahlbereich Akx. Das bedeutet wegen (13), daß i n f o l g e der O r t s k e n n t n i s Ax dem Teilchen Wellen mit einem Impulsbereich A px h/A x (zum gleichen Zeitpunkt wie ¿1x1) zugeordnet sind. Es gilt: (16) ApxAx~^h. Mit anderen Worten: Die Tatsache, daß wir uns die Kenntnis Ax verschafft haben, also x mit der Genauigkeit A x „gemessen" haben, hat zur Folge, daß im gleichen Augenblick ein A px vorhanden ist. Da wir experimentell einen beliebigen Zustand vor der Messung A x hergestellt haben können, also auch A px vorher Null gewesen sein kann, so folgt, daß die A x nach (16) zugeordnete Impulsunschärfe Apx d u r c h die Messung Ax e r z e u g t worden ist. Daß diese Folgerungen aus der konsequenten Durchführung der de Broglieschen Zuordnung mit der Erfahrung übereinstimmen, zeigen wir an einem Beispiel. Wir stellen zunächst die U n s c h ä r f e r e l a t i o n e n (Heisenberg) zusammen): (17)

ApxAx

^ h; ApyAy

^

Ä; A%Az

^

h\AEAt

^

h.

Wir denken uns einen Teilchenstrahl durch Blenden begrenzt. Offenbar ist dies ein einfacher Fall der Ortsmessung eines Teilchens. Die Breite der Blende in der «-Richtung sei Ax, der Strahl sei vor dem Durchgang durch die Blende ein Parallelstrahl gewesen. Wegen der Welleneigenschaften des Strahles treten als F o l g e des Ausblendens Beugungser1 ) Bei den Anwendungen ist zu beachten, daß das Zeichen voraussetzt, daß die Schwankungsgrößen so definiert werden, wie wir es im Anhang tun. Definiert man sie mehr anschaulich gefühlsmäßig nach dem ungefähren Bereich, in dem die Funktionen merkiich von Null verschieden sind, so ist s t a t t ^ besser „größer oder der Größenordnung nach gleich": ^ zu setzen.

10

Die Unschärferelationon

scheinungen auf, der Strahl wird in der ^-Richtung breiter. Die Beugung bedeutet, daß ein Teil der Strahlteilchen anders läuft als sie ohne die Blenden gelaufen wären, der Impuls dieser Teilchen wird also durch die Beugung geändert, und zwar erzeugt das Ausblenden im g l e i c h e n A u g e n b l i c k eine Impulsänderung an diesen Teilchen. Unsere Neugier in bezug auf den Teilchenort ist also damit bezahlt worden, daß ein Teil der Strahlteilchen seinen I m p u l s geändert hat. In welcher Weise, erfahren wir erst dadurch, daß wir die Teilchen auffangen, wobei sich eine Beugungsfigur ergibt, wie die Erfahrung zeigt. Durch die Ortsmessung erfahren wir also nicht, in welcher Richtung ein b e s t i m m t e s T e i l c h e n abgebeugt werden wird; ja diese Unbestimmtheit wächst, je genauer wir den Ort feststellen wollen! Denn mit kleiner werdender Öffnung wird die Beugungserscheinung immer breiter. Die Genauigkeit der Ortsmessung beeinflußt also die Genauigkeit der Impulskenntnis im umgekehrten Verhältnis. Eine g l e i c h z e i t i g e beliebig genaue Orts- und Impulsin essung ist offenbar nicht möglich; die duale Natur (Beugung) verhindert das. Daß man n a c h t r ä g l i c h durch Messung feststellen kann, in welcher Richtung das Teilchen wirklich gelaufen ist, widerspricht natürlich in keiner Weise unserer Behauptung. Auch kann man aus dieser Beobachtung nichts anderes gewinnen als eben die in der vorigen Überlegung bereits benutzte Erkenntnis, daß für den Impuls eine Wahrscheinlichkeitsverteilung besteht; denn bei oftmaliger Wiederholung des Versuchs (etwa mit geringer Teilchendichte) erfährt man nur, daß die Teilchen nicht immer nach derselben Stelle des Schirmes laufen, sondern eine Richtungsstreuung im Sinn der Beugungsfigur haben. Der Impuls hat also durch die Ortsmessung Ax eine p r i n z i p i e l l e Unscharfe Apx bekommen, die von der dualen Natur der Teilchen herrührt. Wir können nur angeben, welche Richtung (bei einem Teilehenstrahl) die meisten Teilchen einschlagen werden, in welchem Prozentsatz sie sich auf die

Die Unschärferelationcn

11

llichtungen verteilen werden, und bei einem einzelnen Teilchen: wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, daß das Teilchen eine gegebene Richtung einsehlägt. Wir bekommen W a h r s c h e i n l i c h k e i t s a u s s a g e n , wie ja die Unschärferelationen allgemein nur Wahrscheinlichkeitsaussagen sind. Apx, die mittlere Impulsschwankung in der x-Richtung ist offenbar größenordnungsmäßig durch den Impulsunterschied gegeben zwischen dem Impuls p'x der Teilchen, die nach dem ersten Minimum des Beugungsbildes laufen würden, X

Schirm S

Abb. 2a. Beugung am Spalt

und dem Impuls p x der unabgelenkt durchlaufenden Teilchen, vgl. Abb. 2 a. Wenn die Strahlrichtung ursprünglich senkrecht zur z-Richtung stand, ist 7px = 0 und p'x — p sin a ; p = Impuls der Teilchen im Strahl. Die Richtung nach dem ersten Minimum ist durch die Bedingung gegeben, daß die von A, B ausgehenden Wellen einen Gangunterschied von etwa einer Wellenlänge haben müssen; d . h .

nach (11). Andrerseits nach der vorigen Überlegung: (18) daher • (19)

Apx « p sin «; AxApxtvh

,

12

Die Unschärferelationen

womit die Unschärferelation für den betrachteten Versuch als erfahrungsgemäß richtig erwiesen ist. Charakteristisch für jede Anwendung der Unschärferelationen ist die gleichzeitige Verwendung von Teilchenund Welleneigenschaften; in der Tat geben sie die Grenze an, bis zu der vom Ort gesprochen werden kann, wenn dio Wellenlänge (mit einer gewissen Genauigkeit) bekannt ist.

Die Größe h kommt allein durch die de Brogliesche Zuordnung herein. Man könnte von ihr ganz absehen und nur von Ort und Wellenlänge, Zeit und Frequenz reden1). Die Unschärferelationen bedeuten eine Einschränkung für die gleichzeitige Meßbarkeit physikalischer Größen. Da das Unschärfeprodukt endlich ist, kann die Atomphysik nicht im mathematischen Sinn stetig in die klassische übergehen, nach der das Produkt t h e o r e t i s c h beliebig klein sein könnte. Es ist vielmehr so: Im Gebiet klassisch-mechanischer Messungen, also der makroskopischen mechanischen VorOdfer auch nur von kl Ort und Impuls, A/Zeit und Energie.

Die Unschärferelationen

13

gäuge, sind die g e m e s s e n e n Größen x, px usw. mit solchen Fehlergrenzen Ax, Apx behaftet, daß das Unschärfeprodukt weit größer ist als h und die grundsätzliche Beschränkung des Produkts auf den Mindestwert h nicht zum Vorschein kommt. An Abb. 2 a sieht man, daß die Ortsmessung notwendig ein Auseinanderlaufen der Ortsbestimmtheit für spätere Zeiten zur Folge hat; der Strahl verbreitert sich ja wegen der Beugung. Je größer Apx, also je kleiner Ax, desto schneller läuft er auseinander. Messen wir die „Strahlbreite" nach dem Durchgang durch die Blende wieder durch den Teilstrahl, der nach dem ersten Minimum geht, so ist die Breite des Strahls nach der Zeit t: Ax + 2vi sina = Ax +

— m

nach (18). Sie ist gleich 2Ax geworden, wenn M ü ^ ist, also nach der Zeit (vgl. (19)):

=

p• /\x

(20) Für m = 1 g, Ax = 1 cm würde man t ä ; 1026 sec = 3 • 1018 Jahre erhalten; für m = 9 • 10 - 2 8 g (Elektron) und Ax = l mm ist t « 7 • 10 - 4 sec, aber auch hier ist diese Beugungswirkung noch nicht deutlich, denn selbst ein langsames Elektron (v = c/100) durchläuft eine 1 m lange Röhre in nur 3 • 10 - 7 sec.. Ist dagegen ¿dz«* 10~ 8 cm (Atomdimensionen), so wird für ein Elektron t ^ 10~17 sec, das ist von der Größenordnung der Umlaufszeit des Elektrons im Atom, s. S. 21. Allgemein stellen wir fest: Aus den Unschärferelationen (oder auch aus den de Broglieschen Beziehungen) folgt, daß eine der dualen Natur Rechnung tragende Atomtheorie mit Wahrscheinlichkeiten arbeiten muß und daher im allgemeinen n u r W a h r s c h e i n l i c h k e i t s a u s s a g e n machen kann. Wir nehmen jetzt einen Fall vor, wo wir aus Experimentellem nur mittelbar eine Bestätigung der Unschärferelationen gewinnen können. Betrachten wir eine Wilsonaufnahme! In den Energieimpulssatz haben wir die Energie

14

Die Unschärferelationen

und den Inipuls des stoßenden Teilchens (etwa eines «-Teilchens) vor dem Stoß einzusetzen. Sind uns diese Größen mit beliebiger Genauigkeit bekannt ? Offenbar nicht, ja sie können beim vorliegenden Versuch prinzipiell nicht beliebig genau bestimmt werden. Denn jeder weiße Lichtpunkt auf der a-Teilchenbahn bedeutet mindestens e i n durch das a-Teilchen ionisiertes Atom oder Molekül, das als Kondensationskern für den Wasserdampf gedient hat. Wieviel Impuls das a-Teilchen beim ionisierenden Stoß verloren hat, hängt davon ab, welchen Impuls das gestoßene Elektron vor dem Stoß im gebundenen Zustand hatte, und auch vom Impulsbetrag, der auf das übrige Atom übertragen worden ist. Selbst wenn der zweite Betrag nicht beachtet wird, bleibt der erste, über den hier p r i n z i p i e l l nichts genaueres zu erfahren ist, als daß eben das Elektron irgend einen der Impulswerte hatte, die dem gebundenen Zustand entsprechen. Die Impulsungenauigkeit Apx ist also mindestens gleich der Impulsschwankung des Elektrons im gebundenen Zustand, d. h. gleich der Differenz der Extremwerte von px für das gebundene Elektron. Auch über den Ort des «-Teilchens im Moment des Stoßes können wir hier keine genauere Aussage bekommen, als daß es sich irgendwo im Atom befindet; also ist A x von der Größenordnung des Atomdurchmessers. Die Unschärferelationen geben ApxAx~2i h. D a s i s t also ein H i n w e i s auf d i e M e c h a n i k des A t o m i n n e r n ; sie muß so beschaffen sein, daß die vorige Beziehung erfüllt ist — vorausgesetzt, daß die Unschärferelationen auch im Atominnern gelten. Daß letzteres allgemein zutrifft, läßt ein einfaches Beispiel vermuten. Das H-Atom besteht aus einem Kern und einem Elektron. Die Experimente über den Durchgang von «-Teilchen durch Materie zeigen, daß auch in atomaren Dimensionen noch das Coulombsche Gesetz gilt. Dann ist es leicht, die Energie der Bindung des Elektrons an den Kern nach der klassischen Physik abzuschätzen. Aus dem Schwerpunktssatz (1 = Kern, 2 = Elektron; die Koordinaten r, bezogen auf ruhenden Schwerpunkt) % t j + m 2 r 2 = 0 folgt, daß die kinetische Energie der Kernbewegung im Atominnern gegen-

Die Unschärferelationen

15

über der kinetischen Energie des Elektrons in guter Näherung vernachlässigt, werden kann: TOI m2 m2 _ mz 2 Xl m1 2 1 2 1835 ' 2 1 2 ' Wir können unsere Betrachtung also aufs Elektron beschränken. Sei r sein Lagenvektor, p sein Impuls mti. Es ist identisch (21)

- | ( r p ) = mb2 + (tp);

integriert über eine Zeit T: T

T

(r, mb)or = fmt>2 dt +f (rp) dl. o o Das erste Integral rechts nimmt mit beliebig wachsendem T ständig zu, weil der Integrand nur positive Beiträge gibt; das zweite Integral wird dabei immer stärker negativ, weil (tp) fast stets < 0 sein muß. Das folgt aus der Tatsache der Bindung: p ist auf das Anziehungszentrum zu gerichtet. Der Ausdruck links aber bleibt auch bei beliebig wachsendem T beschränkt, wieder wegen der Bindung: t> kann nicht beliebig zunehmen und r auch nicht. Dividieren wir (22) durch T, so gilt also im Zeitmittel über viele „Umläufe" (Überstreichen bedeutet zeitlichen Mittelwert): (22)

T

(23)

- I j mti*dt = 2Win = - ( t p ) ; u aus der Bewegungsgleichung p = Kraft ff und dem Coulombschen Gesetz ffi = — e 2 r/r 3 folgt weiter: (24)

2£ k r„ = + e2 (r,

=

£p 0 t ;

denn die potentielle Energie der Coulombschen Anziehung ist — e2/r. Daher die Gesamtenergie des Elektrons im gebundenen Zustand: (25)

i'kin + -Epot = ^ = -

1 = f Ei>ot= - ^ .

Die Energie ] W | ist aufzuwenden, um das Elektron aus dem gebundenen Zustand herauszulösen; denn dann gilt r-> oo, also •Epot-»- 0 (keine Bindung!) und = 0. Um die Energie | W\ liegt der gebundene Zustand energetisch tiefer als 1FX ; also ist | TF[ die „Bindungsenergie".

16

Die Unscliärferelationen

Der Satz W = — £ktn = J£pot gilt übrigens auch für beliebig viel Teilchen, die mit Coulombschen Kräften aufeinander wirken und auf endlichen Raum beschränkt bleiben (Bindung!), solange die Geschwindigkeiten klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind (nicht zu hohe Kernladung und nicht zu kernnahe Bahnen, Gl. (21), S. 40). Das läßt sich genau so beweisen, wie für das hier behandelte Ein-Teilchen-Problem. Aus (26) ist zu schließen: 1) Weil 1/r größenordnungsmäßig gleich 108 c m - 1 ist (Atomdimensionen!), folgt: | W | 1 0 - u e r g « 7e-Volt. Das ist jedenfalls die richtige Größenordnung der Bindungsenergie von Wasserstoff (experimentell 13,6e-Volt, s. S. 24). Obwohl eine klassischmechanische Rechnung wie diese hier nicht streng richtig sein kann (S. 21), gibt sie doch die richtige Größenordnung. Es muß also eine nahe Beziehung zwischen klassischer und Atommechanik bestehen. 2) Für iikin = p i j 2 m wird man sicher g r ö ß e n o r d n u n g s m ä ß i g 3 p | / 2 m schreiben können. Andrerseits ist nach der Definition [(9) im Anhang zu diesem §] von Apxr)\ —— — 2 _2 (26) i(Apxf = {px-Vx? = Vx- ^PxPx + Px = Px ~ Px< das zweite Glied ist in unserem Fall Null, weil p i = 0; denn die Bewegung ist (wegen der Bindung) hin- und hergehend. Also

(27)

Ap^m-f^^-T

s s 1 0 - 1 ' g cm/sec; m i t A x t v 10~8 cm erhält man wirklich (28) ApxAx^Vd~a^fi. Für die höher angeregten Zustände ist A xA px größer. Beweis: Es ist A i t » 2R, wenn wir mit R einen Mittelwert von r bezeichnen; 2 1 und Apx « i \j YJi n a c h ( 2 7 )' ( 25 )- 1 ^ 1 nimmt ab mit wachsender Anregung, nach (25) nimmt daher R zu. Also nimmt: (28a)

AxApx»2-^l^-e-]/mR

mit wachsender Anregung zu, das Unschärfeprodukt ist daher ') Die Beziehung (2 = hi

(1

- lüßn)

27

= hi

(1

-

RUIRD)

Bei H« sind das 1,8 Ä, s. Tab. 1, S. 22. Durch geeignete physikalische Prozesse suchte man in Wasser eine Anreicherung des vermuteten schweren Isotops vom Atomgewicht 2 herbeizuführen. Dann müßten im Spektrum der angereicherten Proben neben den H-Linien im Abstand (57) neue Linien auftreten. Daß dies wirklich der Fall war, bedeutete die Entdeckung des Isotops (Urey) und zugleich eine neue Bestätigung der Formel (55). Heute stellt man schweren Wasserstoff im großen her durch Elektrolysieren von Wasser. Er spielt als Indikator bei der Untersuchung chemischer und biologischer Prozesse eine Rolle. Die zwei H-Isotopen haben nämlich wegen ihrer großen Massenverschiedenheit recht verschiedene physikalische und chemische Eigenschaften, so daß schwerer Wasserstoff auf seinen Wanderungen bei chemischen Umsetzungen und bei Lebensvorgängen verhältnismäßig leicht von gewöhnlichem Wasserstoff zu unterscheiden ist. Tab. 1 gibt ein schönes Beispiel zum Kombinationsprinzip. Man kann z. B. aus v21 und v31 (die ersten 2 Linien in der 1. Spalte) durch Differenzbildung die Linie v32 (H„) berechnen; denn v31 — v21 = (W3 — W1 — (W2 — = rS2. Offenbar kann man mit der Kenntnis der Linien der 1. Spalte alle übrigen Frequenzen ausrechnen. So sind die Linien der 3. und 4. Spalte auch wirklich entdeckt worden. Man faßt die Emissionslinien mit gleichem tieferliegenden Zustand (also Endzustand) n zu einer Linien-„Serie" zusammen; bei der Absorption ist dann der Anfangs zustand allen Linien einer Serie gemeinsam. In Tab. 1 bilden die Linien jeder Spalte eine Serie; die Serien sind nach Forschern benannt. Mit wachsendem n' („Laufzahl" der Serie) werden die Linien immer

28

Die Unschärferelationen

kurzwelliger und nähern sich einander immer mehr. Die „Seriengrenze" wird für n' = co erreicht; sie liegt bei R I WI 1/A = ^ = , ist also durch den Energiewert d e r Energiestufe gegeben, die allen Linien der Serie gemeinsam ist; vgl. auch Abb. 4b, S. 23. In Abb. 5 stellen wir die Balmer-

miiifl Ha

: Hß

' » I I Hy ~ Hg H e

Abb. 5a. Die Balmerscrie des Wasserstoffs.

Abb. 5 b. Das Ende der Balmerserie (Abb. 5 a, b nach G. Herzberg, Ann. d. Phys. Folge 4, Bd. 84, S. 696, 1927.)

Serie (Abb. 5 a) und in größerer Auflösung ihr Ende dar (Abb. 5b); die Grenze liegt im Violetten bei 1/A = .ß/4; Ayac = 3647,05 Ä. Man bemerke, daß die Linien am Serienende immer schwächer werden.

Die Unschärferelationen

29

Allgemein ist bei beliebigen Atomen aus der Messung der Seriengrenze die den Serienlinien gemeinsame Energiestufe beW

stimmbar, wegen v =

—

n

W

'

W

—

wenn

>

die Energie Wn-

für n' -* o o als Nullniveau der Energiezählung gewählt wird. Noch eine Bemerkung zu den Unschärferelationen: Das Beispiel von S. 17/18 zeigt, daß eine Welle, die sich für beliebige Zeiten auf beschränktem Baum unverändert erhalten soll, diskrete Frequenz hat. Allgemein sind diskrete Energiestufen nur durch Wellen darstellbar, die sich beliebig lange Zeit erhalten. Das folgt aus der Unschärferelation A E A t ¡g 7t; A E kann nur dann Null sein, wenn AI beliebig groß ist. Daraus folgt auch, daß zeitlich abklingende Vorgänge, bei denen also die „Lebensdauer" At endlich ist, unscharfe Energiewerte haben, und daß diese Unschärfe wächst mit der „Übergangswahrscheinliclikeit" des Systems aus dem betrachteten Zustand in einen andern. In diese Kategorie gehören alle Arten von Übergängen zwischen diskreten Energiestufen, auch der radioaktive Zerfall, denn Teilchen-Emission bedeutet auch Übergang zwischen diskreten Energien; wie der a-Zerfall zeigt. Anhang zu § 1 Beweis der Unschärferelationen, Gl. (17), S.9. Zuerst stellen wir die Formeln des Fourierschen Lehrsatzes zusammen: Jede1) periodische Funktion f(t) mit der Periode r läßt sich in der Form darstellen (Fouriersche Reihe): + 00

(1) /(/) = £ n =

a n e-tnintiz^

— oo

n

durchläuft alle ganzen Zahlen.

Wir bilden (in eine ganze Zahl): + oo

T/2 (2)

/

f(t)e'l"imtlT

dt

=

2!

T/2 Cln

n = — oo

-T/2 + =

eni(m

J

&>Hm-n)tlTdl

—T/2

— n)

_

2ni(m

e-ni(m—n)

-

n)

T

=

'

T

•

denn die anderen Glieder an haben den Faktor Null. Einsetzen in (1) gibt die Identität: J

) Mit geringen Einschränkungen, s. S. C.

30

Die Unschärferelationeii + t/2

¿ f — / f(t')e~ 21tin( t~ t'\ lr dt'. Ii = — oo T J - Tß Machen wir in (3) formal 1 ) den Grenzübergang r - > oo, so erhalten wir die Darstellung einer unperiodischen, also beliebigen Funktion f(t). Wir setzen 1/r = A v und bekommen zunächst (3)

(4)

/(/) =

+» rl-Z j(t) = lim j ; Av f ¿Jr-^-0 « = —oo —t/2

Es ist aber gemäß dem (5)

.

Integralbegriff: -j OD -¡-CD 2; AvF{nAv) = f F{v)dv;

lim

Av—>-0 n — —co

-— co

also gilt die Identität (Fouriersches Doppelintegral): -j- CO -f" 00 (6) ¡(1) = / dv / i{i')e-ZxMt-t)dt' -CO — 00 4 CO = ¿

/ /

me^'dt'e-i ) vorkommt. Da es sich um die Darstellung einer Funktion 1 ) f(t) durch Schwingungen e ~ i a l handeln soll, so ist wie in (8) zu setzen:

+®

(11) also ist — ^ w (co) die Gewichtsfunktion für ) als Mittelwert: + » f F(a>)\)\* (12)

da> •

f\(a>)| ist die Amplitude der Schwingung ( p ( w ) e " i m t , also ist | qo (co) | 2 ein einfaches Maß der Stärke, mit der die Schwingung vorkommt. An dem Beispiel S. 7 sieht man, daß es ja nur darauf ankommt, das „Gewicht" so zu definieren, daß es dort groß ist, wo die Amplituden der Schwingungen 0;

+ 00

= J

JJ (o>2 -

=

— co

/*(0 e~iatf{t') fjpiat'

rf

+ -2/* (t) e~iat • f(t \

Die Unschärferelationcn

33

jetzt kann man partiell nach t und t' integrieren und erhält, wenn / an den Grenzen verschwindet, was bei unseren Anwendungen immer zutrifft (aus physikalischen Gründen): „.,

^

-

'

-

wo/*(0 y P

Ü

S

S

M

+

+ ¿ 2 / * ( < ) / ( o } eW-t)

^

m

.

dl'dt dco

— 00

wegen (6). Es folgt weiter: (i9)

o ? ü 3 dt dt

dt + 00

d(f(t)eY

= j

03

C ! dF'2 IT x

J - OO

dr;

1

AW

= j

r

T«

| F\*dT.

An (22) sieht man, daß Aa>, At ganz bestimmte Werte haben, die man ausrechnen kann, wenn /() g e g e b e n sind. Die folgende Betrachtung soll zeigen, daß für j e d e s f oder

0. Nach (25), S. 15 folgt weiter: T

2 / ükin dt. = 2rBkin = - 2TW; oder

0

Bohrsche Theorie

38 (8)

2t

Andererseits ist (bei Z-facher Kernladung): Zf.2

W = Ekia - —

(9)

.

Es gilt wie im astronomischen Fall der Flächensatz (2. Keplersches Gesetz): Die in der Zeiteinheit überstrichene Fläche dF/dt ist konstant. Sie läßt sich vektoriell schreiben, s. Abb. 6a.

Abb. 6 b

Abb. 6 a

hängt also mit dem Drehimpuls [£p] eng zusammen. Da dF/dt konstant ist, ist es auch gleich der Ellipsenfläche, geteilt durch die Umlaufszeit (s. Abb. 6 b ) : dF abn _ g (11) dt r I m Aphel A und im Perihel B steht die Bahngeschwindigkeit 0 X r; dort ist nach (10), (11): dF/dt = J rv = C. Die kinetische Energie m 2mC! ist daher in diesen Punkten: — v 2 — — 5 — . Folgt aus (9): 2 r' (12)

W = 2 i » C ' / r ! -ZeVr;

die beiden Wurzeln dieser Gleichung müssen Aphelabstand AK = a + / und Perihelabstand BK = a — f sein. Es ist nach (12)

Ze 2 r

=~2W

±

y

-2 m . C2 /Ze2)2 + ~W {2Wj

d. h. wegen f = ^a 2 - b 2 und (11):

=U

± f ,

Bohrsche Theorie Ze2

„ (13)

a

= - _ ;

* 6

1/ 2m

,,

=

39 1 / 2m

ahn

C=

F.olgt: (14)

ajr = l/?r

und( 1mit Hilfe von (8) und (13) 5t W = —

m

Z

2

f

A

•

das sind genau die empirisch richtigen Energiestufen (46), S. 23, denn n ist ganzzahlig > 0 . Aus (13) ergibt sich: .. h2 n2 n2 mit der Abkürzung A2 (17) aH = ^ =

5,29171-10-9cm«l/2Ä.

a n entspricht der Ausdehnung des H-Atoms (Z = 1) im Grundzustand (n = 1); es ergibt sich, wie zu verlangen, atomare Größenordnung. Aus (8): (18)

T

=

;

f ü r den Grundzustand von H bekommt m a n : r = 1,52 • 1 0 ~ l s sec. Die kleine Halbachse 6 finden wir aus dem Flächensatz; wir b e n u t z e n 1 ) den Wert (3) und bekommen aus (10), (11): (19)

i =

a

B

-±-)/T(rFi) =

a -

V l

Ö p .

J e kleiner l (bei festem w), desto länger gestreckt wird die B a h n ; sie f ü h r t daher in größere Kernnähe als die Bahnen mit größerem l; l = 0 würde sogar 6 = 0 geben, d. h. Zusammenstoß mit dem Kern. Auch in der neuen Theorie ergibt sich f ü r l = 0 die größte Aufenthaltswahrscheinlichkeit f ü r *) Die konsequente Durchführung der Bohrschen Theorie würde [rp] ! = ZSÄS geben; f ü r die größenordnungsmäßige Richtigkeit unserer späteren Abschätzungen ist es besser, den richtigen Wert (3) zu benutzen-

40

Bohrsche Theorie

das Elektron in der Nähe des Kerns, s. Abb. 15, S. 138. F ü r l = n — 1 (größter Wert von l) wird (20)

6/ffi = | / 1 — 1/w ;

das gibt für n > 1 kreisähnliche Ellipsen, denn schon für n = 2 ist bja — 0,71 und das steigt mit wachsendem n gegen Eins an. Die mittlere Bahngeschwindigkeit kann aus W = - E ^

n

= - f v *

entnommen werden: (21) v « vT 2 = •—• v ' h n Die vorigen Formeln für W, a, v lassen sich in einer übersichtlicheren Form schreiben, wenn man die Größen einführt: 1) Die reine Zahl 1 a = f = 7,29726 • 10~ 3 = hc ^ 137,0377 (Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante),

(22)

2) die Ruhenergie des Elektrons (23)

m 0 c l = 8,192 • 10" 7 erg = 5,10984 • 105 e-Volt «

J Million e-Volt. (NB. Mit dem m in unseren Formeln ist m0 gemeint, denn wir haben nicht-relativitisch gerechnet), 3) die Länge (24)

r

0

= —

^

2 81784

'

' 10- 1 3 cm klassischer „Elektronenradius".

Dann gilt: x(25)

v = ccc • — ; W =- — t < x 2 • wu0 c 2 • ^ 2 ; n 2 n r0

r0

w2

Die Bahngeschwindigkeit des Elektrons in der „Grundbahn" von H (n. = 1, Z = 1) ist demnach c/137, vgl. S. 17.

Bohrsche Theorie

41

Daß die Energieformel (15) mit der Erfahrung übereinstimmt, erscheint heute als Zufall; die Bohrsehe Theorie gibt bei fast allen anderen Anwendungen nur qualitativ richtige Formeln. In der heutigen Auffassung bezeichnet a den Bereich, in dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons groß ist, v die ungefähre mittlere Geschwindigkeit des Elektrons. Zu r gibt es keinen Analogon von der Art einer Umlaufszeit; bei wirklich scharfen Energiestufen, wie sie die Bohrsche Theorie liefert, ist keine Aussage über den zeitlichen Verlauf möglich, s. S. 35. 1/r = v entspricht vielmehr im Sinn des Korrespondenzprinzips einer Ausstrahlungsfrequenz des Atoms, s. § 3 . Die Ausstrahlung wird nach Bohr — genau wie in der heutigen Theorie — mit Hilfe der empirisch gesicherten Frequenzbedingung aus den diskreten Energiewerten Wn berechnet: (26)

Wn.-Wn

= hvH>H.

Daß man so das richtige Linienspektrum für H, He+ usw. bekommt, haben wir schon S. 22 u. f. gesehen. Der Schalenbau der Atome. Durch eine einfache Überlegung können wir aus dem Bau des H-Atoms qualitativ auf den Bau komplizierterer Atome schließen. Ein Atom der Kernladung Ze sei durch Ionisation aller Elektronen beraubt, dann wird der Kern unter normalen Bedingungen wieder Z Elektronen einfangen. Wird zunächst eines eingefangen, so entsteht ein H-ähnliches System, dessen Eigenschaften wir schon kennen. Der Grundzustand ist n = 1, das Elektron wird in dieser Bahn gebunden werden. Durch das Einfangen eines zweiten Elektrons entsteht ein heliumähnliches Atom. Ist die Kernladung Ze hoch, so können wir von der gegenseitigen Abstoßung (potentielle Energie e 2 /r 12 ) der zwei Elektronen absehen, weil Ze2/r im Mittel e2/r12 überwiegen wird. Dann läuft jedes Elektron so um, als ob das andere nicht da wäre; wir

Bohrsche Theorie

42

haben für jedes das H-Problem vor uns. Also wird man jedem Elektron Quantenzahlen n, l, mi wie beim Wasserstoff zuordnen können. Das zweite Elektron wird auch in n = 1 gebunden werden. Diese Vermutung kann durch eine Abschätzung gestützt werden. Nach (25), S. 15, ist allgemein bei Coulombschen Kräften: W = Epot/2. Die Energie des He-Atoms ist dann (Z = 2): (27)

- W = i

+

-

rlt r 2 sind die Entfernungen der Elektronen 1, 2 vom Kern. Betrachten wir die Abweichung vom H-ähnlichen Problem, die .„Störung" e2/r12, als klein gegenüber den andern Gliedern, so werden wir für die beiden Elektronen ungestörten Umlauf wie im Feld eines zweifach geladenen Kerns annehmen und r12 als gegenseitigen Abstand der Elektronen auf diesen ungestörten Bahnen ansehen; mit anderen Worten: Wir berechnen den Mittelwert von e2jr12 über die ungestörten Bahnen, ein Verfahren, das uns in der Wellenmechanik wieder begegnen wird, § 2 IV. Bei der Rechnung ist zu beachten, daß r v r 2 Abstände im Kernfeld 2e sind (vgl. (16), S.39): (28)

l f n - — = — ; (jlh • ns/Z. an das ist gleich l/r 2 , wenn beide Elektronen in n = 1 laufen. Für l/r 12 wird man größenordnungsmäßig 1/^ setzen können; das gibt: v

(29)

\ m

+

aH

aa }

= 6•

= 6 • 13,6 e-Volt. 2 au Die Ionisationsspannung Jhc von He ist aber nicht gleich dieser Energie, sondern gleich dem Energieunterschied zwischen der Energie WHe des neutralen He und der Energie Wn e + des einmal ionisierten, (He+); es gilt: 1 9 p2 1 9i>2 • 9 = | * L . = 1 • 2 e - 2 = 4• 13,6 e-Volt. (30) Also JHe ~ 2 • 13,6 = 27,2 eVolt; das ist die richtige Größenordnung, denn es ist experimentell Jiie = 24,58 e-Volt. Mit n1 = 1, 1 e2 W2o = 2 hätte man nur etwa — • - — = 6,8 e-Volt bekommen. 2 2 an

43

IJohrsche Theorie

Die Anordnung von zwei Elektronen im Zustand n = 1 ist chemisch nicht angreifbar, He ist ein Edelgas. Das d r i t t e Elektron wird aber n i c h t in w = l eingebaut; denn Li ist einwertig, das „Valenzelektron" kann sehr viel leichter abgetrennt werden als die beiden anderen. Im Sinn des Modells wasserstoffähnlicher Bahnen bedeutet das größeres n, also n = 2. Auch hier kann man durch eine Abschätzung den stützen. Die Ionisierungsspannung von Li ist:

Schluß

das ist nämlich der Betrag an potentieller Energie (bis auf den Faktor 1/2), der verlorengeht, wenn das 3. Elektron aus dem Atom entfernt wird. Wäre das 3. Elektron auch in n = 1, so erhielte man auf ähnliche Weise wie oben: 3 J i a « | 2 ( \ —aH

" —an)

1-

3 • 2 *an -

40,8 e-Volt;

experimentell ist Ji,\ = 5,4 e-Volt. Setzt man aber n = 2 in (31) ein, so wird der Ausdruck 4 mal kleiner und man erhält 10,2 e-Volt. Die Abschätzung ließe sich noch verbessern.

Bei n = 1 hatten wir nur die Möglichkeit l = ö für die azimutale Quantenzahl; bei n = 2 gibt es die Bahntypen l = 0 und 1 = 1. Es ist leicht einzusehen, daß die beiden Typen hier verschiedene Bindungsenergie liefern. I = 0 führt nämlich in nächste Kernnähe; der kleinste Kernabstand (a—f) ist Null, wenn man (19), S. 39, wörtlich anwendet; bei i = 1 ist er l,2a /; /Z. Ferner laufen die in n = 1 gebundenen Elektronen 8 mal schneller um als die in n = 2 ((18), S. 39); die Schale n = 1 mit dem Kern in ihr würde auf g a n z a u ß e r h a l b laufende Elektronen grob gesprochen wie ein (ausgedehnter) Kern der Ladung Z—2 wirken. Die Bahnen n = 2 stehen also im Mittel unter dem Einfluß einer verringerten („effektiven") Kernladung (Z e{t ), und zwar hat l = 1 kleineres Z e f f als l -— 0, weil l = 0 dem Kern so sehr viel näherkommt.

44

Bohrsche Theorie

D.h. die B a h n 1 = 0 ist f e s t e r g e b u n d e n als 1 = 1. Dieser Schluß läßt sich verallgemeinern: Erstens gilt er offenbar für jedes n, und zweitens gilt er für alle l in der Weise, daß bei f e s t e m n die Bahn l fester gebunden ist als Z + 1, weil die Bahnen immer kreisähnlicher werden und damit vom Kern und den inneren Schalen immer weiter entfernt verlaufen. Das dritte Elektron wird daher in n = 2,1 = 0 untergebracht. Die zunächst folgenden Elektronen kommen alle in n = 2, die Ionisationsspannung steigt im wesentlichen gleichmäßig an, und eine Abschätzung nach der Art der vorigen zeigt, daß das auch zu erwarten ist. Mit Neon (Ne, Z = 10) ist wieder ein chemisch inaktives Element (Edelgas) erreicht; es sind 8 Elektronen in n = 2, die offenbar wie die Zweierschale des He eine besonders abgeschlossene Anordnung bilden. Das nächste (11.) Elektron ist chemisch leicht abtrennbar, wird also in n = 3, 1 = 0 umlaufen. Z = 11 ist nämlich ein Alkali, Natrium (Na), chemisch dem Li ähnlich; sein äußeres Elektron muß ähnlich eingebaut sein wie das des Li. Wir führen die Bezeichnungen ein: Die Schale n = 1 heißt .K-Schale, sie kann 2 = 2 • l 2 Elektronen aufnehmen; n = 2 ist die ¿-Schale, n = 3 die M-Schale, n = 4 iV-Schale usw. Die Zustände 1 = 0 heißen s-Zustände, 1=1: p-Zustände, l = 2; d-, l = 3: /-, l = 4: ¡/-Zustände usw. Statt ein p-Elektron in der M-Schale (n = 3) sagt man kürzer: ein3p-Elektron, setzt also die Hauptquantenzahl vor das Symbol p. Von Na an wird in der i-/-Schale eingebaut bis zum Edelgas Argon (A,Z = 18), mit dem wieder eine Anordnung von 8 äußeren Elektronen erreicht ist. Dem folgenden Alkali Kalium (K) werden wir die4s-Bahn für sein äußerstes Elektron zuschreiben müssen. Die Reihenfolge: Edelgas-Alkali kehrt im periodischen System immer wieder. Das nächste Alkali Rubidium (Rb, Z = 37) hat sein Valenzelektron in 5 s, Cäsium

Bohrschc Theorie

45

(Cs,Z = 55) in 6 s und Francium (Fr, Z = 87) in 7 s. Führen wir einem Alkali Energie zu, so wird sein äußeres Elektron in höhere Energiestufen gehoben und diese müssen für alle Alkalien ähnlich liegen, denn wir haben jedesmal ein Elektron außerhalb einer abgeschlossenen Schale. Die Ausstrahlung (und auch die Absorption) ist aber nur durch die Lage der Energiestufen bedingt und muß d a h e r auch bei allen A l k a l i e n ä h n l i c h sein. Das ist auch wirklich der Fall. Wir werden das Spektrum noch näher betrachten. Zunächst: Der vorige Schluß ist noch viel allgemeiner richtig. Es m u ß ja i m m e r , wenn die ä u ß e r e E l e k t r o n e n a n o r d n u n g die gleiche i s t , das o p t i s c h e S p e k t r u m in allen w e s e n t l i c h e n Zügen ü b e r e i n s t i m m e n , weil die Elektronenanordnung die Lage und Art der Energiestufen bestimmt. Q u a n t i t a t i v e Übereinstimmung ist nicht zu erwarten, weil die inneren Schalen und die effektive Kernladung bei verschiedenen Atomen verschieden sind. Dieser Regel müssen alle Elektronenanordnungen genügen; sie gilt daher nicht nur für neutrale Atome, sondern auch für beliebig hoch ionisierte. Den einfachsten Fall haben wir in der Reihe H, He+, Li++, . . . kennengelernt; es müssen aber auch He, Li+, Be++, . . . unter sich ähnliche Spektren haben, ebenso Li, Be+, B++ . . . usw. Und auch die im periodischen System untereinanderstehenden Elemente, wie Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra, soweit sie wirklich gleiche äußere Elektronenanordnung haben. Diese allein ist entscheidend. Der ähnliche Verlauf der Kurven der Ionisationsspannung für neutrale Atome und Ionen hängt mit unserer Regel zusammen. Das Spektrum der Alkalien. Wir betrachten jetzt das Spektrum eines Alkaliatoms näher; es ist besonders einfach, weil es sich nur um ein Außenelektron handelt. Bei gewöhnlicher Anregung, wie im Geißlerrohr oder im Bogen, steht nämlich nicht genug Energie zur Verfügung, um auch die unter dem

Bohrsche Theorie

46

„Leuchtelektron" liegende Edelgasschale anzubrechen und deren Elektronen durch Anheben auf höhere Stufen zur Emission zu veranlassen. Als A b s o r p t i o n s s p e k t r u m bekommt man eine Serie von Linien, die sich gegen eine Seriellgrenze zu häufen, ähnlich wie in der Abb. 5, S. 28. Die Linienfrequenzen d i e s e r Serie sind demnach durch die Differenzen angeregter Zustände gegen den Grundzustand (3s bei Na z. B.) gegeben. Aus dem E m i s s i o n s s p e k t r u m erhält man dann durch Anwendung des Kombinationsprinzips schließlich das Schema der Energiestufen des Alkaliatoms. Wir zeigten in Bd. I (Dualität des Lichtes) dasjenige des Na; zu den Energiestufen sind die Bahnbezeichnungen des Leuchtelektrons zugeschrieben. Man sieht, daß bei festem n die Bindungsenergie mit zunehmendem l schwächer wird. Außerdem ist zu bemerken: In der M-Schale (n = 3) gibt es l = 0, 1, 2, also s-, p-, dBahnen; die /-Bahn (l = 3) kommt zum erstenmal in der iV-Schale (n = 4) vor. Es treten nicht alle Linien auf, die man nach dem Kombinationsprinzip berechnen kann, sondern n u r d i e j e n i g e n , bei denen der l-Wert des Elektrons sich um ± 1 ändert; es gilt die „Auswahlregel" (32)

Al = ± 1;

für n gibt es keine solche Auswahlregel (vgl. § 3). Es sind also a l l e Kombinationen zwischen 3 p, 4 p, 5 p,... und 3 s, 4 s... möglich und alle zwischen n'd und n"p, zwischen n'f und n"d\ aber es fehlen z.B. die Linien n'd^-n"s (AI = 2!). Die Regel (32) gilt für alle „Einelektronenspektren"; für Wasserstoff ist sie wirkungslos, weil dort alle Niveaus mit verschiedenem l und gleichem n zusammenfallen, die Energie hängt ja nur von n ab. Daher treten bei H alle Linien auf, die man nach dem Kombinationsprinzip erwartet (vgl. dazu aber auch § 7 IV). Aus dem Schema der Abb. des Na-Spektrums ist es leicht, die Linienserien abzulesen. So bilden z.B. die Linien 3s (n' — 3, 4, 5 . . . „Laufzahl") eine Serie, die sog. „Hauptserie". Die erste und zugleich stärkste Linie dieser Serie:

Bohrsche Theorie

47

3 p - » 3 s ist die gelbe D-Linie des Na; sie kommt auch in Absorption zuerst (sobald eben die Anregungsenergie gleich dem Energieunterschied 3 p — 3 s geworden ist), und heißt, wie jede bei geringster Anregung erscheinende Absorptionslinie, die „Resonanzlinie" des Atoms. Die Seriengrenze der Hauptserie liegt bei einer Frequenz, deren hv gleich der Ionisierungsarbeit ei ist. Die Linien n's-*3p bilden ebenfalls eine Serie (n' = 4, 5 , . . . ) , die „II. Nebenserie". Auch die Serien n ' p ^ i s (n' = 4 , 5 , . . . ) und ähnliche sind beobachtet. Wir leiten die Serienformel ab. Die Bindungsenergie B = — W des „Leuchtelektrons" der Alkalien läßt sich schreiben wegen (23), S. 15, und p = — grad^pot: (33)

B = - Eun - E^t = - y (t, grad Epo t) -

E^t.

Auf das Elektron wirkt außer der Kernanziehung die Abstoßung der übrigen Elektronen, die eine Edelgasschale bilden; das Potential dieser Abstoßung wird kugelsymmetrisch sein, also nur von r abhängen. Also ist: Ze 2 Von f(r) kann gesagt werden, daß es einen Anteil der Form — enthält, mit s < Z, weil durch die „Elektronenwolke" der Edelgasschale ein Teil der Kernladung abgeschirmt wird. Außerdem wird die in / steckende Wechselwirkung davon abhängen, welche Bahnform (n, l) das Leuchtelektron hat, und natürlich auch von der Kernladung Z. Das gibt:

(Z - s) 2 e 2

n Vl+d

für hinreichend kleines ö wird daraus: (36)

n A «-£(5

(n, l , Z ) .

Bohrsche Theorie

48

Mit wachsendem n muß A rasch kleiner, für w->- oo Null werden, weil die Bahnen mit wachsendem n immer wasserstoffähnlicher werden. A muß auch mit wachsendem l kleiner werden, weil die Bahnen kreisähnlicher werden, weiter entfernt vom Atomrumpf verlaufen, der dann mehr wie ein ausgedehnter //-Kern der Ladung (Z-s)e wirkt. Auch s hängt von l, Z ab, schwächer von n. Die „Termformel" (35) für die Bindungsenergien der Energieniveaus ist ganz ähnlich gebaut wie die Balmer-Formel (44), S. 22, mit dem Unterschied, daß Z durch Z — s und n durch neff ersetzt ist. Aus der Differenz zweier Termwerte (35) zu gleichem Z gewinnt man mit der Bohrschen Frequenzbedingung Äashv der zugehörigen Emissionsoder Absorptionslinie (Ja — Ionisierungsspannung von H in e-Volt): (37)

= \

"elf

/

Die Linie ist aber nur dann wirklich im Spektrum vorhanden, wenn der ¡-Wert V von B' sich vom i-Wert l" von B" um ± 1 unterscheidet, s. (32), S. 22. Eine Serienformel wird aus (37), wenn man den ersten Term in der Klammer festhält, und im zweiten l" festhält, aber den w-Wert n" beliebige ganzzahlige Werte ^ n' annehmen läßt; s" kann in der Regel als von n" unabhängig angesehen werden, mindestens für größere n". Eine der Aufgaben der theoretischen Spektroskopie ist, die Frequenzen der Serienlinien durch eine Formel (37) darzustellen, wobei A"-+Q gehen muß für (Z — s')2 größeres«". Man sieht, daß die Seriengrenze durch B' = Ju -—n — bestimmt ist. %tf Aus den Serienformeln können die Energieniveaus und auch I spektroskopisch, also sehr genau bestimmt Werden, genauer als mit der Methode des Elektronenstoßes. Charakteristische Röntgenspektren. Ein Atom hoher Kernladung hat nach unseren Überlegungen eine Keihe innerer voll ausgefüllter Schalen und am Atomrand eine (manchmal mehrere, s. § 3 IV) im allgemeinen nicht voll besetzte Schale. Führt man dem Atom, etwa durch Elektronenstoß, einen Energiebetrag zu, der wesentlich über der Ionisierungsspannung liegt, so wird das Atom ein oder mehrere Elektronen

Bohrsche Theorie

49

aus seiner äußersten Schale verlieren. Die Energie m u ß aber nicht in dieser Form umgesetzt werden, es kann z. B. auch geschehen, daß der gesamte Energiebetrag zum Losreißen eines Elektrons der inneren Schalen verbraucht wird. Die Energie muß dabei mindestens so hoch sein, daß das Elektron in einen freien Platz einer äußeren Schale gehoben wird, denn innen ist ja alles besetzt. Zum Anheben eines .K-Elektrons aus einem Wolfram-Atom (W, Z — 74) bis an den „Atomrand" ist ungefähr die Energie nötig: E „ • hc • 742 = 13,6 • 7 4 W o l t = 7,4 • 104 e-Yolt. Denn im Atominnern überwiegt die Kernladung alle anderen Einflüsse, so daß wir wasserstoffähnliches Verhalten erwarten dürfen; vgl. S. 41. Ein Anheben bis auf den ersten freien Platz in einer äußeren Schale würde hier praktisch dieselbe Energie erfordern, denn die Bindungsenergie äußerer Elektronen ist höchstens von der Größenordnung von 20 e-Volt. Der so freigewordene Platz im Atominnern wird natürlich nicht frei bleiben; irgend eines der Atomelektronen wird einspringen. Rückt eines aus der L-Schale nach, so wird dabei der Energieunterschied zwischen K- und L-Schale frei und kann in Form von (offenbar sehr kurzwelliger) Strahlung ausgesandt werden. Ihre Frequenz wird näherungsweise gegeben sein durch: (38)

=

=

Für W gibt das X = 2,22 • 10~9 cm, also R ö n t g e n s t r a h l u n g (experimentell ist XKx = 2,09 • 10 - 9 cm). Rückt eines der MElektronen nach, so lautet der Klammerfaktor in (38): Vi2 — 1 / 3 2 , die Linie ist also kurzwelliger. So geht das weiter; man bekommt eine Serie, die der Lymanserie des Wasserstoffs entspricht, die aber wegen des Z2 bei sehr viel kürzeren Wellenlängen liegt. Allgemein heißt die Linie, die dem Sprung L--K entspricht: KOL, M >K gibt Kß, N- >K: Ky usw. Die ganze Serie, die K als „Endniveau" hat, heißt A'-Serie, die Grenze, gegen die sie konvergiert, „/¿-Grenze". 4

B e c h e r t u. G e r t h s e n , Atomphysik I I I

50

Bohrsche Theorie

"Wird ein Elektron aus der L-Schale herausgerissen, so kann ein zweites aus M oder N,.. .nachspringen, und es entsteht die „L-Serie", die der Balmerserie entspricht. M-+L gibt La, N-+L: Lß usw. Die Linien der L-Serie sind langwelliger als die entsprechenden der Z-Serie. Charakteristisch für das Entstehen der Röntgenserie ist das vorangehende Losreißen eines Elektrons aus einer inneren Schale (Kossei). Die Linien der .K-Serie können also erst dann emittiert werden, wenn die Anregungsenergie praktisch bis zur Z-Grenze gesteigert worden ist, im Gegensatz zur Anregung optischer Serien, wo die Linien schon dann kommen, wenn die Anregungsenergie zum Anheben des Elektrons in das Ausgangsniveau der Emissionslinie ausreicht. Was für die .K-Serie gilt, gilt entsprechend auch für L-, M-,... Serie. Die hier beschriebene Art Röntgenstrahlung ist von der Bremsstrahlung ganz verschieden. Die Bremsstrahlung wird von den Kathodenstrahlen beim Abbremsen ihrer Geschwindigkeit ausgesandt, sie hat ein kontinuierliches Spektrum und hängt wesentlich nur von den Eigenschaften der erzeugenden Kathodenstrahlen ab. Die eben beschriebene Strahlung aber hängt vom emittierenden Atom ab, heißt deshalb c h a r a k t e r i s t i s c h e R ö n t g e n s t r a h l u n g (auch Eigenstrahlung) und hat ein L i n i e n s p e k t r u m . Wegen des Z 2 in (38) nimmt die Frequenz der Eigenstrahlung mit zunehmender Kernladung (also auch mit zunehmendem Atomgewicht) rasch zu. S c h w e r e E l e m e n t e g e b e n h ä r t e r e R ö n t g e n s t r a h l u n g als l e i c h t e . Trägt man j/v/eBco einer bestimmten Röntgenlinie in Abhängigkeit von Z auf, so muß sich nach (38) eine Gerade ergeben (Moseley). Das ist sehr genau erfüllt, s. Abb. 7. Man hat damit eine von chemischen Verfahren unabhängige, sehr sichere Methode, die Richtigkeit der Zuordnung der Ordnungszahlen Z zu den Elementen zu prüfen; auch kann damit die Zahl der noch unentdeckt'en Elemente im Gebiet der seltenen Erden ein-

51

B o h r s c h e Theorie

deutig festgelegt werden, wo die chemische Methode (wegen der großen chemischen Ähnlichkeit der seltenen Erden) versagt. Und schließlich kann man aus der Figur die Frequenz

80

s

75 70

/a

65 60 55 50 45 40 35 30 f

25 20 15 10

/

5 0. 10 15 20 25 30 35 Ne P Ca Mn Zn Br Abb. 7.

4 0 45 5 0 5 5 6 0 65 70 75 SO Zr Rh Sn Cs Nd 76 Yb Re Hg

Moseley-Diagramm (1er iC-Serie zwischen Z Kc«' w|rd in § 3 IV erklärt

11 und Z = 78.

der Röntgenlinien noch nicht entdeckter Elemente sehr genau voraussagen. Die Röntgenfrequenz ist das sicherste Mittel zur Identifizierung eines neuen Elements; erscheinen beim Anreichern die Röntgenlinien an der richtigen Stelle und mit steigender Intensität, so kann man sicher sein, das gesuchte 4*

52

Bohrsche Theorie

Element gefunden zu haben. (Angewandt bei der Entdeckung von Rhenium (Re) (Noddack und Tacke).) Daß dieAbb.7 (und allgemein die Röntgenspektren) nichts von Periodizität zeigt, liegt daran, daß die energetischen Verhältnisse für die Elektronen im Atominnern allein durch den nahen und hochgeladenen Kern bestimmt werden; die Struktur der äußeren Schalen ist hier unwesentich. Eigenschaften der äußeren Schalen, wie optisches Spektrum, chemisches Verhalten zeigen deutliche Periodizität, was nach unseren Überlegungen eine Folge des Schalenbaus der Atome ist. Auger-Effekt. Es kommt aber auch vor, daß nach der Austreibung des primären Z-Elektrons ein zweites (z.-B. aus L) nachrückt und die freiwerdende Energie L—K nicht in Form von Strahlung weggeht, sondern auf ein anderes, lockerer gebundenes Elektron übertragen wird, bei dem die Energie L—K zur Austreibung aus dem Atom ausreicht ( A u g e r - E f f e k t ) . Man beobachtet dann 2 Elektronen, die vom gleichen Atom ausgehen. Stammt das erste aus der Z-Schale, so gilt für seine Ekin : auffallende Energie -Grenze —-^kni- Springt ein zweites aus L nach, so steht die Energie Rm • Z2 • 3 / 4 zum Absprengen eines anderen Elektrons zur Verfügung, das demnach aus der L-Schale (Ionisierungsarbeit Z 2 • 1 / 4 , wobei noch zu beachten ist, daß die eigentlich wirksame Kernladung Z cff ( < Z) einzusetzen ist) öder aus der M-, N-,.. .-Schale stammen kann. Wo es her ist, kann man wie beim ersten Elektron an seiner Energie beurteilen; beim beschriebenen Vorgang beträgt sie /i(j\K —2j'otW)

=

.

Das Induktionsgesetz sagt: Die zeitliche Abnahme des Induktionsflusses: — — f$n Wegen:

(r

\

(.—ö ) • / ( r ) x r ' E p i s t d a n n gleich — s t e c k t s c h o n in (14)— (10).

r r

da senkrecht durch die von der r

• rj(r)

d» + aL>t+ = Äseia+t-\-

In

(®*+ Bs

iy*)

e-i

>-«>L)t

e-'™-'.

der Schwingung x, y kommen also die Frequenzen co^undco- = O)S— OJLvor. Den ersten Summanden in (35) A,eia+' nennen wir xx + iyv den zweiten x2 + iy2 — Bse~ic'-t: Der erste gibt eine linkszirkulare Schwingung in der x, «/-Ebene. Denn es ist

W

5*

+

= W , - F

68

Korrespondenzprinzip =

\ A ,

| e « ( 0, wegen co s ^>(o L ). Ebenso findet man, daß Bse~'0)-t einerechtszirkulare Schwingung (x2, y2) gibt. Die s-Bewegung ist eine lineare Schwingung und enthält wegen (16) die Frequenz ft)8+ 0 • co L . Den quantentheoretischen Frequenzen (vgl. (32)): vn+dn,n (0) + Amt • a>Ll2n korrespondieren die klassischen (s. (35)): An - v wißn (1,0, —1); es ist also nach dem Korrespondenzprinzip zu vermuten, daß Amt = ± 1,0, und zwar gehört nach der klassischen Analogie: Ami = + 1 zur linkszirkularen Schwingung aus x, y, (37)

- Ami = — 1 zur rechtszirkularen Schwingung aus x, y, Amt = 0 zur linearen Schwingung z.

Beobachtet man senkrecht zum Feld, etwa in der a-Richtung, so steht wegen der Transversalität der Wellen der elektrische Vektor (£' und der magnetische Vektor ip' der Lichtwelle senkrecht zu x, vgl. auch (2b)! Ferner ist = ,p2/Äc2; 2 2 2 & = — j y t f c ; e,; = - Jp„/Äc ; = - pzlRc . Daher gibt die x-Schwingung (xx + x2) gar keinen Beitrag zur beobachteten Intensität; die Beiträge der (/-Schwingung (yl + y2) und der 2-Schwingung sieht man. Die Schwingungsrichtung des elektrischen Vektors wollen wir die P o l a r i s a t i o n s r i c h t u n g des Lichtes nennen (senkrecht dazu steht die Polarisationsebene, sie enthält den magnetischen Vektor ig' der Lichtwelle und die Strahlrichtung 3?). Es liefert also die y-Schwingung Licht, dessen elektrischer Vektor |[ y schwingt—also J_zu ig—, 'das ist linear polarisiertes Licht mit der Schwingungsrichtung _L die Ausstrahlungsfrequenz ist v n + j K i „ (0) ± m L ß n . Die

Korrespondenzprinzip

69

z-Schwingung gibt linear polarisiertes Licht mit der Schwingungsrichtung 11 § und der Frequenz v n + j n t n (0). Dabei haben wir die klassischen Aussagen über Polarisation übernommen, wie es das Korrespondenzprinzip nahelegt. Das Bild des eben beschriebenen t r a n s v e r s a l e n Z e e m a n e f f e k t s geben wir in Abb. 1 0 a ; die _L § schwingenden Linien heißen „cr-Komponenten", die j | ig ,,71-Komponente". In der Abb. ist angedeutet, daß7r stärker (doppelt so stark) ist als eine dercr-Komponenten. Auf die korrespondenzmäßige Bevl°> gründung dafür gehen wir nicht ein. Beobachtet man in der Feldrichtung — man durchbohrt dazu die Polschuhe des Magneten —, so sieht man die 2-Schwingung nicht, die x, ^-Schwingungen voll. I m '1 longitudinalen Zeemaneffekt (Abb. 10b) fehlt also die Linie r(0). Schaut man entgegen den Kraft- Abb.10. Normaler Zeemaneffekt a) transversal, cu^ linien (Richtung Südpol ->• Nordpol b) longitudinal; vt = —— 2 71 am Magneten), so ist die kurzwelligere Linie i>(0) + ^ links-zirkularpolarisiert, die andere ,(0) —

(OL

LI 7t

rechts-zirkular.

Wäre die Elektronenladung positiv, so würde sich das Vorzeichen von co L umkehren; die kurzwellige Komponente wäre bei derselben Beobachtung wie vorher rechtszirkular. So konnte das Vorzeichen der schwingenden Ladung bestimmt werden (Zeeman, Lorentz). E s ergab sich negativ. Der hier beschriebene einfache Typ des Zeemaneffektes (normaler Zeemaneffekt) kommt nur bei wenigen Spektrallinien vor. Meist ist das Aufspaltungsbild viel entwickelter; s. § 3 IV.

70

Korrespondenzprinzip

S t a r k e f f e k t . Auch elektrische Felder bewirken eine Aufspaltung der Spektrallinien in mehrere „Komponenten" (Stark). Wir besprechen nur den Starkeffekt wasserstoffähnlicher Atome. Die Bilder in der Längs- und Querbeobachtung unterscheiden sich auch hier in charakteristischer Weise.' Das Kernfeld hat die Form: @(K) = f(r)r. Das äußere elektrische Feld ®(F) soll die 3-Richtung haben: (/( Volt/cm und h /J Z — 1 ist das An • n • 2,6 • 1011 sec - 1 ; in Wellenlängen ungefähr An • n • 2 Ä, wenn ?. — 5000 Ä. Die Abstände nehmen in einer Linienserie (n fest,An veränderlich) zu mit wachsender Laufzahl (n + An). Am Starkeffekt kann man das Vorhandensein elektrischer Felder erkennen, z. B. von Raumladungen in Entladungsröhren. Resonanzfluoreszenz. Sei § ein so schwaches Magnetfeld, daß die von ihm erzeugte Aufspaltung der Energieniveaus A W (die auch bei anomalem Zeemaneffekt stets von der Größenordnung ho>£ ist, vgl. § 3 IV kleiner ist, als die natürliche Breite 8W dieser Niveaus. Letztere ist nach S. 29 verursacht durch die Übergangswahrscheinlichkeit nach andern Zuständen, gemäß der Unschärferelation dWdtz^h; dt ist die Lebensdauer des Niveaus. Ist speziell — wie im folgenden Beispiel — nur der Übergang zum Grundzustand des Ato.ms möglich, so ist 6W/h zugleich die Breite der ausgestrahlten Spektrallinie (im Frequenzmaß). Denn der Grundzustand hat keine Energiebreite dW, weil seine Lebensdauer im ungestörten Zustand beliebig groß ist. Wenn nun hoj L l ist, weil alle diese Zustände in das Unscharfegebiet 6W der Atomenergie hineinfallen. Aus At xzhjAW l/oj£ > h " l n) < =

Was entspricht, %.s e~i3,itk?

(l\x\n).

Aus x, = x* „ § 3, (8), schließt

Quantenmechanik

75

man zunächst auf xdll = An Stelle des Quantensprunges An, etwa von n + An-^n, haben wir einen Sprung —An in x* zu setzen, der um An nach „oben" (größeres n) führt. Das Analogon zu x/ln ist (n-j-An | x\ n); rein formales Ersetzen von An durch—An würde auf: (n + An | x | n) = (n—An | x | n)* führen. Das kann aber nicht richtig sein, weil die Größen links und rechts sich auf die gleichen Zustände n + An und n beziehen müssen, wenn sie konjugiert komplex sein sollen. Sonst würde man eine Beziehung zwischen mindestens 3 Zuständen bekommen, die anzunehmen keinerlei physikalischer Grund vorliegt. Also bleibt nur (3) (n + An | x | n) = (n | x \ n + An)*; die Bedingung, daß der Sprung rechts um An nach „oben" führt, ist damit auch erfüllt. Wegen (1), (2) gilt auch (4)

(n + An \ x \ n) = (n | * | n - f An)*;

allgemein: (l | x |ri)= (n j * | l)*, weil An auch < 0 sein kann. Wir können alle im Atom möglichen Übergangsgrößen (l | x | n) oder auch (l \ x | n) in ein zweidimensionales Schema („Matrix") schreiben: (5)

f ( l | * | l ) ( 1 | « | 2 ) (11 * | 3) ( 2 | x | l ) (2 [ * | 2) (2 j x | 3)

...Ux.

In die Diagonale haben wir die formal neben den (l | x | n) zu erwartenden (n j x j n) geschrieben. Sie beziehen sich nicht auf Übergänge l-^-n, sondern sind einem festen n, also einem bestimmten Atomzustand zugeordnet. Die (n | x | n) sind also die quantentheoretischen Elektronenkoordinaten, wenn sich das Atom im Zustand n mit der Energie Wn befindet. Sie sind wegen (1), (2) zeitunabhängig. Die Größe x ist die formale Zusammenfassung aller Elemente der Matrix (5); jede

Quantenmechanik

7 6

Gleichung für * im folgenden ist so gemeint, daß sie für alle Elemente von x gelten soll. Die klassische Fourierreihe +

x=

2j

8 = —

xseinisvt

co

ist das Analogon zu x.

Klassisch beschreibt man den mechanischen Zustand des Elektrons durch Geschwindigkeit (oder Impuls) und Koordinate; die zeitliche Aufeinanderfolge der Bewegungszustände wird durch die Bewegungsgleichung gegeben. Ein Analogon zur Geschwindigkeit können wir leicht bilden; dem klassischen (xa e2"*5"')' = 2nisv • x3e2nisvt entspricht (6) (Z | * | n)' = 2 ni{l \ v \ n) • {l\x\ri)

= {l\i

\ n);

denn wir wollten die dem Übergang l-+n entsprechende quantentheoretische Geschwindigkeitsgröße finden. Auch für * und damit auch für px = mx (m = Masse) gilt (4), wie man leicht mit Hilfe von (1) findet. Aus (6) bekommt man z. B. für den linearen Oszillator bereits eine Reihe wichtiger Aussagen. Die klassische Bewegungsgleichung mx = — fx

(7)

übernehmen wir für die quantentheoretischen Größen * als gültig. Mit den Abkürzungen (8) )///»» =a> 0 (klassische Kreisfrequenz des Oszillators, s. S. 61) und (9) (Z | co | n) = 2n (l \ v \ n) folgt (10)

x = — o)lx

oder (l\x\n)

= — co§(Z | * | n).

Das gibt wegen (6) (11)

(Z | co | n) 2 (Z | * [ n) = Wj (Z | * | n);

also (12)

e n t w e d e r (Z | * | ri) 4= 0> Q \ u> \ n) — ± o d e r (l | * | n) = 0.

Quantenmechanik

77

Es gibt also „erlaubte" Übergänge: (Z | * | n) 4=0— das Matrixelement von * ist nach S. 60 ein Maß für die ausgestrahlte Intensität! — dabei wird r 0 = co0/2jr ausgestrahlt, und „verbotene" Übergänge: (l | * | n) = 0. Der quantentheoretische Oszillator strahlt demnach auch nur eine Frequenz, und zwar dieselbe wie der klassische. Die Energiestufen liegen nach (12), (1) in den Abständen hv0 = hw0 voneinander. Aus physikalischen Gründen gibt es einen Zustand kleinster Energie, den Grundzustand; seine uns noch unbekannte Energie W0 heiße A • hojQ. Der nächsthöhere Zustand Wr muß dann bei (A + 1) hwo liegen, wegen (12). Allgemein (13) Wn = (A + n)hoj0, wenn wir die W mit steigenden Nummern n bezeichnen. Mit dieser Numerierung können wir (12) genauer fassen: (14)

(n + 11 w | w) = + co0; (n — 11 m \ n) = — "

s= — co a =— co

=

(ab)ae0-*in» ,

a -- — co

wenn wir s' — a — s setzen und die Abkürzung (ab)a = +

=

CO

2

a s b „ - s benützen. Es gilt:

$ = — oo

(18)

(ab)a • e-niavt =

+ 00

ase2"isvt •

ba.selni{-a-s'>'t;

S — — CD

(äb)a e-niavt ist offenbar das Analogon zum gesuchten (l | ab \ ri). In der Summe rechts steht im Exponenten die Summe zweier Frequenzen: sv und (a—s)v, die zusammengesetzt die linksstehende Frequenz av geben. Bei der quantentheoretischen Umschreibung wird daraus die Summe zweier Quantenfrequenzen, die zusammengesetzt die av entsprechende Quantenfrequenz geben müssen, av können wir die Quantenfrequenz (n+ (w-f- 2 ff] ff*-2 + ff2pV-2 ~ q x P * = 2 ffT[/»8 ff]«*"*"1 \ T= 0

andrerseits ist: (52)

\ p * q ] = p [ p q ] + [pq]p =

2 - i p = 2 l m q ;

also: (53) Da E V o t ( q ) mit q

[/»'«*]-2-i-»! l

vertauschbar ist, folgt aus (49), (53):

(54) Was für q x gilt, gilt offenbar für jede Funktion /(ff), die sich in Form einer Reihe mit ganzen positiven Potenzen von q darstellen läßt: (55)

JLA.f{q)

=

[ W J { g )

].

Weiter ist wegen (46): (56) [ p * - q n ] = i J=E 0/ » * - * - 1 [ p q n ] p Aus (37), (38), (49) folgt so: (57)

+

(ff)

k

= » i* kA J=?0p * - " ' 1 ff""1 p

k

.

h '-1 x l l 2lc nqn'1pk 1^ 2 ! p ~ ~ k= 0 n n

1 M li=0 Eine entsprechende Gleichung läßt sich für eine beliebige Funktion f ( p , ff) beweisen, die als Reihe nach p und q mit ganzen posi-

Quantenmechanik

85

tiven Potenzen dargestellt werden kann. Mithilfe der Vertauschungsrelationen kann f(p, q) dann immer in die Form gebracht werden: f(P,q) = j;hkPlqh\

(58)

die Ixk sind c-Zahlen. Es ist nach (49), (38): = 0,

(59) und: (60)

¿ I t W . t n - ¿ P H M

-TPii«i'

=

wegen (53). Weiter: (61)

|>»«*,Bpot(«)] = [p\Em

(q)\q* =

wegen (57). Das gibt aus (60), (61), (49), (41): (62)

-YTt{pXq,c) = [pXqk'w]Die linke Seite von (49) heißt H a mi 11 o n f u n k t i o n J/(/>, 9); H ist allgemein die Energie, dargestellt als Funktion der Koordinaten und Impulse. (49) schreiben wir also: (63) H(p,g) = W, und (59), (62): (64)

[H{p,q),p^q"]

=

=

[w,jfiq>}.

Nach (58) gilt dies auch f ü r f ( p , q ) , so daß wir das allgemeine Ergebnis haben: (65)

[H{p,q)J{p,q)]^l^ti(piq)-\

In Matrixelementen geschrieben gibt dies: (66)

Hl\co\j)(l\f\j)

= 2

{l\W\o)(o\f\j)

— (l\f\o)(o\W\jj} = {W, — Wj)(l\f\ weil W Diagonalmatrix ist und also gilt: [ (67) (l\W\a) = (l\W\.})-dia - Wi • öxa;

j),

86

Quantenmechanik

Wi bedeutet (/1 W|/), und ist der Wert („Eigenwert") der Energie im Zustand l. (66) gilt nach unserer Ableitung für beliebiges / und beliebige Matrixelemente l-*j. Weil es für jeden in der Natur vorkommenden Übergang eine physikalische Größe/ geben muß, deren Übergangs-Matrixelement l - ^ j von Null verschieden ist, so können wir schließen1), daß (68)

Wt-W^h

(l\io\j)

=

Ml\v\j);

das ist die Bohrsche Frequenzbedingung. Wir haben den Beweis für ein System mit nur einer Koordinate q geführt; er läßt sich auch für beliebig endlich viele Koordinaten führen. Aus Bewegungsgleichung, Definition von Impuls und Zeitdifferentiation, Kombinationsprinzip und Vertauschungsrelation kann man die Matrixelemente von p, q, W und allen Funktionen der Form (58) berechnen, womit das Problem gelöst ist; man kennt die Energiestufen, die Strahlungsfrequenzen, ihre Intensität und Polarisation. Letztere folgt genau so wie mit dem Korrespondenzprinzip, wie ja die Quantenmechanik nichts andres ist als eine Verschärfung des Korrespondenzprinzips zu einer exakten Theorie. Doch ist zu beachten, daß hier die quantenmechanische Form der Bewegungsgleichung als gegeben vorausgesetzt wird. Zu ihrer Aufstellung hat man nur die Anweisung, daß sie mit der klassischen übereinstimmen müßte, wenn p, q als vertauschbar angesehen werden könnten. Wegen der Nichtvertauschbarkeit von p, q ist also von vornherein nicht sicher, welche der hiernach möglichen Formen die quantenmechanische Bewegungsgleichung haben muß. Hier kann vorerst nur die Erfahrung entscheiden; es hat sich gezeigt, daß man bei Verwendung kartesischer Impulse in der kinetischen Energie (für ein Teilchen mit 3 Freiheitsgraden JBkin = mß-iPl + Pl + p f ) ) und in dem Fall, daß Elmt nur von den q abhängt, die ^ Der Schluß setzt allerdings voraus, daß alle physikalischen Größen / sich in der Form (58) schreiben lassen. F ü r andre Fälle wird m a n (68) verallgamtinernd postulieren, oder ein breiteres theoretisches Schema aufstellen.

Analogie 'Optik-Mechanik

87

klassische Gleichung einfach übernehmen kann. Schwierigere Aufgaben, wo Umrechnung auf nicht-kartesische Impulse die Lösung erleichtern würde, behandelt man besser mit der völlig gleichwertigen, aber leichter zu handhabenden Form der Atommechanik, der Wellenmechanik, die S c h r ö d i n g e r unabhängig von H e i s e n b e r g entwickelt hat.

§ 5. Die Analogie Optik-Mechanik Wir betrachten ein Elektron im Atom; es hat, eben wegen der Bindung ans Atom, eine Schwankung Ax in seiner Ortskoordinate, die mit der Wellenzahlschwankung Akx = Apx/h zusammenhängt gemäß A k x A x » l (für den Grundzustand). Dafür kann man schreiben, wegen k = 2jij"/. = lj%:A —Axtv 1 k oder Wenn also Ax von der Größenordnung der (mittleren) Wellenlänge X des Elektrons ist — das trifft für Atome zu, s. S. 21, dann ist AX» X. D. h. die Wellengruppe („Wellenpaket"), die wir zur Darstellung des Elektrons brauchen, hat eine beträchtliche Ausdehnung im Wellenlängenbereich. Man wird daher deutliche Interferenzeffekte erwarten; mit andern Worten: Die Atommechanik muß eine Art Optik der Materiewellen („Wellenmechanik") sein. Die k l a s s i s c h e Mechanik läßt sich aber vollständig in die geometrische Optik umschreiben. Nämlich: Im Fermatschen Prinzip kann man die ganze geometrische Optik1) zusammenfassen, es lautet: „Für den Lichtstrahl ist das Integral ft (2) 8opt = J nds (,Lichtweg' oder Eikonal, /', n — Brechungsindex) ' ) Die g e o m e t r i s c h e O p t i k u m f a ß t geradlinige A u s b r e i t u n g , B r e c h u n g , Reflexion, d . h . alle E r s c h e i n u n g e n , die a u c h o h n e die Vorstellung i n t e r f e r i e r e n d e r Wellen rein k o r p u s k u l a r ( N e w t o n ) besehrieben werden k ö n n e n .

88

Analogìe Optik-Mechanik

zwischen 2 Punkten P x , P 2 ein Extremum" (im allgemeinen möglichst klein). Fjir den wirklichen Lichtweg ist also (3)

Ô8 0pt = 0 .

Bei festgehaltenem P1 ist das längs des wirklichen Lichtstrahls erstreckte Integral S eine Funktion von P 2 ; die Flächen S = const sind die Flächen, zu deren Punkten der wirkliche Lichtweg von P1 aus gleich groß ist. Wir können mit dieser Bedeutung von S schreiben (4)

S0it(P2)

=

Jnds.

Sei P 3 ein beliebig benachbarter Punkt zu P 2 auf dem Lichtstrahl P 1 P 2 , dann ist P,

(5)

S op t (P 3 ) — Sopt(P2)

--= dS0Vt = fnds = nds P,

der Lichtweg von P 2 nach P 3 . Auf der Fläche /S^pt = Sopt(P2) liège P'2 beliebig benachbart zu P 2 ; die Gerade P 2 P 3 ist im allgemeinen kein Lichtstrahl. Nach dem Fermatschen Prinzip

p,

P3

p;

p3

Pi

P;

ist j nds + f nds = J nds -f / nds bis auf kleine Größen

?!

P2

2. Ordnung. Die ersten Integrale links und rechts sind nach Voraussetzung gleich; das zweite Integral rechts schreiben wir n'ds', wobei n' = n + dn, weil P 2 beliebig benachbart zu P 2 sein sollte. Folgt (vgl. (5)): nds = (n + dn)ds', d. h. ds = ds' bis auf Größen kleinerer Ordnung. P 2 P 3 ist also das Lot auf die Fläche S0pt = const durch P 2 , der Lichtstrahl hat die Richtung des Gradienten von S. Nach (5) gilt daher: (6)

= n = grad» Sopl = | grad »?opt | •

Führt man einen Vektor tt in Richtung des Lichtstrahls ein vom Betrag n, so ist

Analogie Optik-Mechanik (7)

89

grad $ o p t = n; 2

(grad (Sopt) - ( g ) + ( g ) + ( f ) = « 2 (Eikonalgleichung). Das Prinzip (3) setzt Konstanthalten der Frequenz voraus; es sollen in:

«(i) s $-i = W-Epot

.

Diese Gleichung mittein wir über viele A, was wir wieder durch Überstreichen andeuten, tg

gt

ist schnell veränderlich,

seine Faktoren nach unseren Annahmen sehr viel langsamer veränderlich; grad S ändert sich ja erst merklich über viele A, ebenso ^ ^ a

und AS. Deshalb ist auch: ^

und

n

weiter

n

') Im Sinn der Wellenmechanik wäre es konsequenter, a e " anzusetzen, mit reellem S. Aus didaktischen Gründen haben wir den Ansatz (41) gewählt. Das Endergebnis ist beide Male dasselbe: die Hamilton-Jacobische Gleichung der klassischen Mechanik.

Einfache Beispiele zur Wellenmeehanik

97

,2^ -

»

« 0 (jjjiJ ~ 0

m

.

. grad a wird sich erst über viele X um Beträge

der Ordnung aj k ändern (diese Voraussetzung ist im allgemeinen nur an der Strahlgrenze, der „Schattengrenze", nicht erfüllt); — & « > & ) • Wegen (grad S)2 = (grad S)2 sind also die ersten 3 Glieder in (43) neben dem vierten vernachlässigbar; es bleibt die klassische Gl. (10): (giSd S) 2 = 2 m ( W - EPox).

§ 6. Einfache Beispiele zur Wellenmechanik Kräftefreies Teilchen im unbegrenzten Raum, Bewegung nur in x-Richtung. Aus (34), S. 94, wird1) h2 8*u . „

h 8u

was im Fall genau bekannter Energie wegen (35), S. 94, natürlich auf die de Brogliewelle (2)

u =

aen

als Lösung führt. Die Funktion (2) ist aber nicht die einzig mögliche Lösung von (1); sie entspricht vielmehr der Bedingung, daß für x — —oo eine unbegrenzte ebene Welle in der + z-RichE

E

Vx »

h

Px

tung einläuft; die Phasengeschwindigkeit V = hv = — - j - = — ist positiv. Sind andere „Randbedingungen" gestellt, so be*) Ob man hier Jipot = 0 oder const setzt, ist gleichgültig. Die physikalischen Ergebnisse sind davon unabhängig, wie aus den Entwicklungen dieses Paragraphen folgt, s. auch § 6, IV. 7 B e c h e r t u.-Gerthnen, Atomphysik III

98

Einfache Beispiele zur Wellenmechanik

kommt man andere Lösungen. Welche Aussagen gibt die Lösung (2) über das freie Teilchen?" Die Antwort kennen wir aus § 1. Setzen wir nämlich u = f(t) und fassen u als Aussage über den zeitlichen Verlauf der Bewegung auf, so ist |/(i)| 2 nach S. 31 die Gewichtsfunktion für t. Es ist aber \u\2 = |rt|2 von t unabhängig; alle ¿-Werte haben das gleiche Gewicht. Das bedeutet At->oo und daher Aro^O; wirklich kommt in u auch nur eine Frequenz co = Ejh vor. Entsprechendes wie für E, t gilt für Impuls und Ort. Denn wir können auch u = g (x) setzen und | g (a;)|2 als Gewichtsfunktion für x ansehen: Alle x-Werte sind gleichwahrscheinlich; Ax-^oo, Akx-+ 0. Es kommt ja auch nur ein Impulswert px in (2) vor. Aus (2) kann man also über den raumzeitlichen Ablauf der Bewegung nichts erfahren, weil p, E völlig genau festgelegt sind. Wir werden daher das |w|2 von (2) als Maß der Wahrscheinlichkeit auffassen können dafür, das Teilchen, dessen Impuls px genau bekannt ist, an der Stelle x zur Zeit t anzutreffen; sie ist überall gleich. Durch Addition von Lösungen u (px) -- a(px) • e h . Die Randbedingung ist wieder: yj, stetig bei x = 0,«. Wegen der Kontinuitätsgleichung ist dann bei unserem zeitunabhängigen g — | u j2 die Bedingung (20) von selbst erfüllt. Die Stetigkeitsforderung für y> gibt 2 Bedingungen (je eine bei x = 0 und ä) und die für dxp/dx noch 2: flj + bi = ai + bi; «2e»M + S2e~iM = n , Ä « ; = K(ai ~ k2(a2 — b2); fc2(a2e»*i« — 62e"»M) = fc^e»*!«; zusammen 4 Bedingungen für die 5 Konstanten alt bv a2, b2, a3\ ax bleibt daher unbestimmt, wie es sein muß. Mit den Abkürzungen (reine Zahlen!): ,„„. (22)

1 [2m~A. | / / _ „ =

folgt für beliebiges TF

A)

a

W ,_=

t = i

Einfache Beispiele zur W e l l e n m e c h a n i k

(23) ( '

n _ ii +4 . ~ \

107

©i^jil-zl) 4f (1 — f)

a ) ' W < o l : Für II' ---. 0 ist I) --- 0, für I I ' « .1 natürlich auch D«0,80; für W = 2,8 e -Volt (d. s. 80% von A) ist D immer noch gleich 0,74. So nah unterhalb der Schwellenhöhe gebundene Elektronen gehen also mit großer Wahrscheinlichkeit durch; sie wechseln von ihrem Platz zum nächsten Atom usw. Wir wollen die Lebensdauer des gebundenen Zustandes abschätzen. Macht das Teilchen, solange es auf seinem ursprünglichen Platz ist, v Schwingungen in der sec — es stößt also r-mal auf die trennende Wand —, so gehen NDv Teilchen pro sec durch die Schwelle, wenn vorher N im gebundenen Zustand waren. Also (24)

dN = - NDv di\ N = N{0) •

.

Die Lebensdauer des gebundenen Zustandes ist daher: At = r = 1/Dv und die Unschärfe der Energie im gebundenen Zustand der Quantenzahl n: AE ~ nhvl). Für nhv können wir größenordnungsmäßig die Ionisierungsarbeit I aus dem Zustand W einsetzen 1 ); I bedeutet bei uns offenbar A - W = A (1 - £ ) . Es folgt: (25)

AE ~ 1 - D\ x ~

nhlDJ.

1/T = A ist ersichtlich die „Zerfallskonstante" des gebundenen Zustandes. — j>~ ] ) F ü r C o u l o m b s c h e s F e l d ist n a c h (25), S. 15: / Ä i —2— m; v p a u ß e r d e m v = —- = - — , w e n n d der D u r c h m e s s e r des „ L o c h s " ist, in dem 2tl 2md [ sich das Teilchen b e f i n d e t . — — j>rf Ap nk.

108

Einfache Beispiele zur Wellenmeohaiük

Wir haben damit auch den Schlüssel zum Verständnis des a-Zerfalls. Der Kern (Ladung Ze) werde als Potentialfeld schematisiert, das auf das a-Teilchen wirkt: Im Innern konstantes Anziehungspotential, das am Rand r 0 des Kerns rasch auf den Wert (Z — 2) • 2e/r0 ansteigt und dann nach größeren Abständen hin gemäß dem Coulombschen Potential abfällt, s. Abb. 13. a-Teilchen von UI haben eine Energie von 4 , 0 5 • 10 6 e-Volt. Sie verlassen demnach den Kern bei r = 6,5 • 1 0 - 1 2 cm, wenn wir für den i//-Kern r 0 = 1,2 • 10~ 12 cm setzen. Energie in 106e-Volt 30 25 20k 15

RaG'.a

•10

.5

w

S

6

4

2

2

+

6

t r

5

10

in 10~13em

Abb. 13. Zum a-Zerfall des Urans

Weil die Energie U I x so tief unter dem Kamm des Potentialbergs liegt, ist die Lebensdauer des UI-Kerns so groß; die Durchgangswahrscheinlichkeit durch die Schwelle ist gering. Das Teilchen hat aber im gebundenen Zustand für seine Bewegung beliebig lange Zeit zur Verfügung, so wird es trotz der geringen Durchgangswahrscheinlichkeit durch die ziemlich breite Schwelle doch einmal durchkommen. Man sieht auch, daß der gebundene Zustand des Z7/-a-Teilchens bei positiven Energien liegt. «-Teilchen des RaC' von 7,7 -10 8 e -Volt Energie zeigen bei Streuung an U keine Abweichung vom Rutherfordschen Streugesetz. Würde nun die Energie des RaC' a-Teilchens genau der Energie eines gebundenen Zustands im UI-Kern entsprechen, so würde die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Teilchen im Innern des UI-Kerns sehr groß sein und das Teilchen

Einfache Beispiele zur Wellenmechanik

109

daher eingefangen werden (Resonanzeinfangung). In Wirklichkeit entspricht die ÄaC'a-Energie aber keinem solchen Eigenwert, daher wird die Welle des ÄaC'-Teilchens den ziemlich breiten Berg nicht durchschreiten können; die Stoßdauer ist viel zu kurz, um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Innern merklich anwachsen zu lassen. Daher werden die RaC' a-Teilchen reflektiert. Gamow konnte mit diesem Modell die Geiger-Nuttallsche Regel ableiten. Wenn W = A, ist nach (23) D = jl +

< 1.

b) W > A. Dann wird aus (23) wegen £ > 1: (26)

D =

4 | (I - 1)

Auch hier ist immer D 1; für W > A geht D-+1. Klassisch kann das Teilchen das Gebiet II durchschreiten, mit verringerter Geschwindigkeit. Wellenmechanisch ergibt sich, daß die Schwelle völlig durchlässig wird, wenn ein ganzes Vielfaches der halben Wellenlänge 'wie sie in H gilt, gerade gleich der Schwellenbreite ist: (27)

=

Dann gilt nämlich: aj/|~—3 = | ß j f w ' - A )

= M =

=

und D — 1. Wenn die ankommende Ekin also um größer ist als die Schwellenhöhe A, so geht das Teilchen mit Sicherheit durch die Schwelle, es ist R = 0. In allen andern Fällen ist R > 0, D < 1; es besteht eine Wahrscheinlichkeit R dafür, daß das Teilchen reflektiert wird. Gl.(23) gilt aber auch noch, wenn A 0: Das Teilchen läuft über ein Potentialloch weg. Auch dann ergibt sioh D 0 (Potentialschwelle), 14b für A < 0 (Potentialloch); jedesmal ist W Sg 0. Die gestrichelte Kurve entspricht |a| = a j / -

=

4> di e ausgezogene \ an dieser Stelle ist bestimmbar aus der Gleichung (31)

^ - « f V

also

wie man durch Einsetzen bestätigt. Zulässig ist aber nur y)aze~t'12 ( £ - > - ± 0 0 ) ; denn ] %p | 2 m u ß endlich sein. Man wird also zur Lösung von (30) ansetzen: (32)

y, =-e-ri*-v(S)-,

m i t g - 2 f - + v(w-l) CO

wegen (30). Der Ansatz v

= 0,

etil;1 führt auf die Beziehung:

1=0

') Sie e n t s p r e c h e n abgeschlossenem S v s t e m ; keine .äußere S t ö r u n g , d a h e r

A K-+ 0.

112

Einlache Beispiele zur Wellenmechanik (33)

J

, [ J ( I - l ) f ' - i - 2 i £ ' + (w-l)f'] = 0 ;

a

¿=o oder anders geschrieben ( b e a c h t e , daß im ersten A u s d r u c k in der K l a m m e r in (33) die Glieder m i t

1 = 0 und 1 = 1 weg-

fallen!): (34)

Jf'[aI+,(i + 2)(l+l) + «,(»-1-2J)] = 0 . 1=0 D a die Reihe (34) in einem ganzen Bereich von Werten Null sein soll, muß der Faktor jeder Potenz Null sein: (35) '

a

M

=

a,; I 2g 0, ganz.

Zwei auf einander folgende Glieder der Reihe v verhalten sich also wie: a (

)

»*i

" ^

, + t

_ "

(21 + 1

2

o + m + i )

+ r

( i

+

""21"

4 ) ( i + i )

2 ' für l

1 wird daraus ^ | 2 . Dies ist aber das Verhältnis zweier auf

einander folgender, hinreichend hoher Glieder der Reihe für e f ! . Beweis: (37)

ei 2

Verhältnis zweier auf einander folgender Glieder: £2 doch endlich bleiben soll für | - > ± oo! Der Schluß wird nur dann unmöglich, wenn die Reihe v keine unendliche Reihe ist, sondern abbricht. Sie bricht nur dann ab, wenn alle auf ein bestimmtes l = n folgenden Glieder der Reihe verschwinden. Wegen (35) verlangt das a n + 2 = 0, also: (39)

w = 2n + l ; n ganz, ^

0,

was eine B e d i n g u n g für, die E n e r g i e W b e d e u t e t ; die e i n z i g möglichen Energieworte

H' = W n sind d e m n a c h :

Einfache Beispiele zur Wellenmeehanik (40)

= hwo (n +

Wn

113

; n ganz, ; > 0;

dies sind genau dieselben, die auch die

Quantenmechanik

liefert; vgl. § 4, I I I , Gl. (26), (30). Die zu W„ gehörige Wellenfunktion ist: n

(41)

= er-i'/, • V n = ff-f/, J ! a t ? ;

Wn

1=0

für die a gilt (35), (39): 2 ( 1 - n )

(42)

(; + 2) (i + r y

a

''

Je nachdem, ob n gerade ist oder ungerade, sind die vn Polynome mit nur geraden oder nur ungeraden Potenzen von f . Die Quantenzahl w ist der Grad des Polynoms und daher zugleich die Zahl der N u l l s t e l l e n ( „ K n o t e n " ) v o n ip. Bis auf einen vorerst willkürlichen Faktor Cn (a„ oder al wird durch (42) nicht festgelegt!) stimmen die vn mit den Hermiteschen P o l y n o m e n Hn(f) überein1). Es ist: (43)

v

n

=

C

n

H

n

(i);

ffB(f)

V n

=

( - ) » * • iL.

(«-«');

=

e - P U - C

n

n

H

® .

+ CO Cn wird durch die Normierung bestimmt: / | y>n |2 dx = 1, vgl. (19). 03

Man findet durch schrittweise partielle Integration, wegen (41), (43), (29):

y'^m-^-I^'11^

(44)

00

+ 00 =

( - ) " / £

-j- 00 m

( « i s

=

( - ) -

/

m

^

ä i

+ 00

f»

' ) Beweis z. B. in A. Sommerfeld, Atombau uml Siwktrallinien, ü. A u f l . IM. I I , S. 32; auch leicht direkt zu bestätigen. 8

]i e d i e r t u, G o r t h s e n , Atomphysik I I I

114

Einfache Beispiele zur Wellenmechanik

dnH H n ist ein Polynom vom Grad n; also ist - ^ f gleich n! mal dem Faktor, den k n in H n hat. Dieser ist nach (43) 2«. Folgt: -f CO 4 Jn = n! 2» fe-CdS J CO und damit:

= «! 2»

; | Cn | =

\

-yJ^ , h, vn\ 2»

4

n zurückführen läßt. | i / „ ist ein Polynom vom Grad n + 1, folglich darstellbar durch:

Einfache Beispiele zur Wellenmechanik

(48)

|ff„ =

»+i

=

H-5

«+1 2 : Ca Ha

v=0

.

o=0

Das gibt (beachte l> n und die Orthogonalität der y>, (14), S. 101!): Ji(n

=

=

C f C

+ 00 f e-t2 —00

n

n+1 0=0

l/mtug n " y 1 l » \ =0

CaHodl;

=

\ V

- 1 /wcup K Ä

;m

n

p c n

n

1, +1 £ ga=

C»+I Cn + i '

f

+»

ip*yiadx

'

Durch Vergleich des Faktors von | n + 1 in £ff„ — er ist 2" — und in cn+1Hn+l — dieser ist c n + 1 • 2 n + 1 —, findet man: cn+1 = 1 / 2 . Folgt: v

1 /mco0 (M + 1) c

Es sind also nur von Null verschieden:

c - ' i - i . ) - ^ " - ' - ' - " Das sind genau die Ergebnisse der Quantenmechanik, vgl. (1), (2), S. 74, (27), (30), S. 80/81. Sie bedeuten zugleich die Auswahlregel An = ±1, S. 77. Auch die Aussagen über die Intensität der Ausstrahlung sind dieselben, weil die Wellenmechanik die auf dem Korrespondenzprinzip gründenden Aussagen der Quantenmechanik über Intensität und Polarisation der Strahlung einfach übernimmt;. Die Frequenz wird aus der Bohrschen Frequenzbedingung berechnet. Der Oszillator strahlt nur die e i n e Frequenz a>0, wegen W n = hw0 (l — n ) , s. (40), und A n = ± 1 .

8

116

Operatoren, Quanten- und Wellenmcclianik

§ 7. Zusammenhang zwischen Operatorenrechnung, Quantenmechanik und Wellenmechanik Wir führen für cartesische Koordinaten qt die „Operatoren" Pi, Qi ein durch: (1)

und definieren:

fi 3 "T dqtUn'dTt' Pi ist der zu qx (im Sinn von Anm. 1, S. 66) „kanonisch konjugierte" Impuls. Das Integral über den ganzen Spielraum aller qt. Die Funktionen im allgemeinen von allen qi ab; von der Zeit sollen der Form abhängen:

/

U

gehörige (2) geht u hängen sie nur in

i (3) un = fn (q) e " , und der Wellengleichung (38), S. 95, genügen1). Die u sind also Wellenfunktionen zu f e s t e r E n e r g i e E. Die Definition (2) stimmt damit überein, daß wir schon S. 95 Ii B px durch — ersetzen gelernt haben. Wir definieren weiter: % vX (4) (w | qt \ W) = / utqiun4xt. Wir werden beweisen, daß die Größen (2), (4) alle Eigenschaften der quantenmechanischen Größen haben, die wir in § 4, III ebenso genannt haben, und daß jeder quantenmechanischen Beziehung eine wellenmechanische entspricht. Dazu bilden wir die allgemeine Größe:

(5) (n | f(p, q) | n') s/w* f(P, Q)un-drq; f(p> q) hängt im allgemeinen von allen pt, qt ab, soll aber nicht explizit von t abhängen. Der Operator f(P, Q) wird aus l ) Verallgemeinerung der Betrachtungen dle«ei § auf Mehrtellchenprobleme Ist ohne weiteres möglich, vgl. § 1, IV.

Operatoren, Quanten-und Wellenmechanik

117

f ( p , q) einfach so gebildet, daß ohne Änderung der Faktorenreihenfolge jedes p i durch das gemäß (1) entsprechende P i ersetzt wird; f(P, Q) wirkt auf das hinter ihm stehende u. Es ist:

= -J- (En - En-) J u*Jun,drt

=2ni(n\v\

n')(n \ f\ n%

was mit (6), S. 76, übereinstimmt. Außerdem gilt: (7)

(n\qt\

n')* = f unq, m* drq = («'

\qt\n).

Zum Beweis der (7) entsprechenden Gleichung für die Funktion / brauchen wir die Voraussetzung, daß das System aufs Endliche beschränkt ist, womit wir meinen, daß alle Oberflächenintegrale, die bei partiellen Integrationen im folgenden entstehen, Null sind deshalb, weil die u hinreichend stark am Rand verschwinden. Dann ist: (8)

( « | p , | «0 = ±

ärt - ^

f

Ü

u,ärq

= (*»' I Pi I «)* • Die wellenmechanischen Operatoren /(P, Q) sind immer Summen von Produkten der Form: (9)

F(P, Q) = gi(Q) P*. 9i(Q)Pf:

... gf(Q) P*i,

mit positiv-ganzen Exponenten k( und reellen g( (Q). Es gilt: OLO)

( n l F l n O ^ W ^ ^ i ) ^ ) ^ . . .

' (if^ H =

9 i9)

,jh\k'

dk>

,Jh\ki

(

-

f l

s"'

I

( ^ K ) "L

118

Operatoren, Quanten- und Wellenmechanik Jc2 = (-)e«+'* / m

„((LM)* -(ML)*) = jw„ (L* M* — M* L*)

Udz9 Udr9.

Daraus folgt: (47) LM — ML = 0 ; denn wenn dies nicht richtig wäre, würde das Integral nicht Null sein können für b e l i e b i g e Funktionen U. Die O p e r a t o r e n L, M sind v e r t a u s c h b a r , wenn die Messungen von L und M sich nicht stören. Es gilt auch die Umkehrung: Wenn L,M vertauschbar sind, so kann man die Messung so einrichten, daß die Kenntnis der einen Größe durch die Messung der andern nicht gestört wird. Mathematisch: Man kann es so einrichten, daß vflA = öAA, wird, oder }')

= 0 ;

K l )

• ö' +

K

I

+

i ) ] .

Für hinreichend großes j wird das Verhältnis zweier aufeinander folgender Glieder in der Reihe: n

Eine Reihe j =o

L

1-1

mi\

konvergiert für C-s-a, wenn für

C;+1 c

"

j

1 — j - , (5 > 1; wenn < 5 ^ 1 , divergiert sie. Also divergiert die

H-Atom

133

Reihe (20) für /¡-* - 2, e— - 1, weü 1 - | mt | g 1. Mit (20) kann man nachrechnen, daß sich ö für rt ->- — 2 verhalt wie die Reihe für (jj + 2)" 1 m i w e n n mt #= 0, und wie die Reihe für log (/) + 2), wenn mj = 0; vgl. die ähnliche Betrachtung S. 112. Mit andern 00

Worten: die Reihe

l ^ r f , die für e - > l nur aus der einen Parti7=0 kularlösung $&(/)) (vgl. (13)) besteht, ist bei e = — 1 eine Linearkombination aus den zwei dort geltenden Partikularlösungen + 2) und B' log (1 - £2) % ( l + 2) + (1 - £ 2 ) - 1 mi• i|J2(/) + 2), was nach allgemeinen Sätzen der Theorie der Differentialgleichungen zu erwarten war. Wenn also 6 eine unendliche Reihe ist, bekommt man bei — 2 ein solches Verhalten von G, daß (14) nicht erfüllt werden kann. 0 muß deshalb abbrechen, ein Polynom ( v o m Grada) sein; das verlangt nach (19): (21)

A = l { l + 1); i = ff + | mj | ^ |ra,[; ct ^ 0, ganz.

Aus der Bedingung (S. 101), daß v*u überall eindeutig ist, kann man jetzt schließen, daß m l g a n z z a h l i g sein muß. Dazu betrachte man die Transformation: (&; 0), s. unten: V* f a . T v' . , dW. J W,l, mj IV, l, mj

H-Atom

138

zu definieren. F ü r den Grundzustand wird nach (37 c): r = 3 a H / 2 Z = 3a/2 , Bezeichnung wie S. 39. Die entsprechenden „Pendelbahnen" der Bohrschen Theorie reichen von 0 bis 2a. "

S>jr/au)

I 2 3 4*5

TO->

/ u

"

Abb. 15. Die radialen Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms

F ü r l = 0 wird] nach (22) auch mi = 0 und daher fnim t nach (38), (27), (10) von &,

hängt dann nur von r ab; f ü r s - Z u s t ä n d e s i n d y> u n d |yi]2 k u g e l s y m m e t r i s c h , also auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons. Das gilt daher insbesondere für den Grundzustand von H, denn zu n = 1 gibt es n u r l = 0, mi — 0. Abb. 16 zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit \y>\2 des Elektrons für alle Zustände n = 1, n = 2, n = 3. Die z-Richtung ( § = 0) steht in der Abb. vertikal; jedes Atom

140

H-Atom

h a t seine eigene beliebig im R a u m stehende ¡z-Richtung, sie ist bei unserem Problem eben physikalisch nicht festgelegt, wird es erst, wenn auf das Atom eine äußere Einwirkung stattfindet. Ein äußeres Magnetfeld z. B. würde eine solche Auszeichnung einer Richtung geben, aber auch die Einwirkung von Nachbaratomen im Molekül, im Kristall. Der Zustand m t = 1 z. B. ist dann einer, bei dem die Drehimpulskomponente in dieser Richtung (wir nannten sie S. 127 P9) den Wert 1-ft hat. Sind die Atome im Molekül oder Kristall so angeordnet, daß ihre Gebiete merklicher Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeit sich überdecken, so können die Elektronen auf einer solchen „Valenzbrücke" von einem Atom zum nächsten wechseln (Austausch, homöopoare Bindung). Dies ist die wellenmechanische Deutung der Valenzstriche der organischen Chemie, s. § 5, IV. I m ungestörten Zustand sind die Energiewerte des I i Atoms e n t a r t e t . Zu jedem l gibt es (21 -j- 1) Werte wtj (von — I bis + l), und zu jedem n gibt es die l-Werte von 0 bis n—1; das sind zu festem W„ wie in der Bohrschen Theorie (vgl. (5), S. 36) w2 Zustände, die aber hier durch Wellenfunktionen dargestellt werden. W e n n w < 0 , haben wir f ü r die Nähe von q = 0 wieder ein Verhalten von R wie g'. zu verlangen. Das Verhalten f ü r g > l wird aber jetzt wegen (29) gegeben durch (42)

„±iVwQ Q

Die Endlichkeitsbedingungen f ü r if sind dann f ü r g > l von selbst erfüllt; weitere Bedingungen haben wir nicht, die Reihe in R, die m a n ähnlich wie in (33) ansetzen kann, braucht nicht abzubrechen, wir bekommen daher keine Bedingungen f ü r w. F ü r alle w > 0 gibt es zulässige Lösungen (Eigenfunktionen), die Eigenwerte W bilden einen kontinuierlichen Bereich von W = Ö an. Das Elektron ist dann nicht ans Atom

H-Atom

141

gebunden, die Wahrscheinlichkeit, das Elektron beliebig weit vom Atom anzutreffen, ist endlich. W > 0 sind die Zustände, die den Hyperbelbahmem der Bolirschen Theorie entsprechen. Die Wellenmechanik ermöglicht, die Übergangswahrscheinlichkeit von gebundenen Zuständen in Zustände des „kontinuierlichen Energiespektrums" W > 0 zu berechnen, was der theoretischen Behandlung der Ionisation, des Photoeffekts usw. zugrundeliegt (vgl. § 6, IV). Für die Berechnung von Intensität und Polarisation im kontinuierlichen Röntgenspektrum (Bremsspektrum,) braucht man Amplituden (n|x|n') der Übergangswahrscheinlichkeit zwischen den Zuständen des kontinuierlichen Energiespektrums. Denn bei der Bremsung in der Antikathode laufen die Elektronen im Sinn der Bohrschen Theorie auf Hyperbelbahnen an den Kernen vorbei und verlieren Energie, gehen also von Zuständen höherer Energie des Kontinuums zu niedrigeren über. Für solche Rechnungen ist es meist bequemer, statt einer Reihendarstellung nach Art von (33) eine I n t e g r a l d a r s t e l l u n g der Wellenfunktion zu benützen. Man verwendet die Gleichung (36a) für w formal weiter; da jetzt w 0 ist, wird n rein imaginär: (43)

Vw =

^ .

Die Winkelabhängigkeit von y> bleibt dieselbe wie im diskreten Spektrum und ist-durch n"' 1 ' &mi gegeben. Auch (37 a) kann hier übernommen werden (mit jetzt imaginärem n) bis auf den Umstand, daß der (n + Differentialquotient komplex geschrieben werden muß. Nach einem Satz der Funktionentheorie ist für eine beliebige Funktion f(a): m (44)

d l

m _ W : 1 ) f f , m te2 ni (z- a)^

doi -

1i

ganz > U0

~

'

wenn der Integrationsweg auf der Riemannschen Fläche des Integranden geschlossen ist; r ist die Gammafunktion1). Die rechte Seite kann man aber für beliebiges nichtganzes, auch komplexes j *) S. z. B. N i e l s e n , Handbuch derGammafunktion, Teubner,^ Leipzig.

H-Atom

142

bilden, und als D e f i n i t i o n des j- t e n Differentialquotienten nichtganzer Ordnung benützen. Wir führen die Abkürzung ein: (45)

o =

>

und schreiben — zunächst formal, solange nicht bewiesen ist, daß wir so wirklich eine Lösung der Differentialgleichung (34) haben:

(46)

=

_

{

d

a

2l+l

y

v

d y

^yU+l+1

Wg

,

c o n g t

—

M M .

^ (

1 ±

o r : ^ e - y

r — d y yn+l+1

Als Integrationsweg wählen wir einen geschlossenen Weg um die singulären Punkte y — 0 und y — — a; man kann sich überlegen, daß der Weg dann auf der Riemannschen Fläche des Integranden geschlossen ist. Durch Einsetzen in (34) bestätigt man, daß (46) wirklich Lösung von (34) ist, nämlich der Gleichung genügt:

Unsere nichtnormierte radiale Wellenfunktion des kontinuierlichen Spektrums wird: a (48)

R

n

,

t

(

e

) = o ' - e ~ ^

- 1 1 ( 0 ) .

Durch Diskussion des komplexen Integrals in (46) zeigt man 1 ), daß es für großes r eine s t e h e n d e Kugelwelle (zusammen mit ~ T

m

dem Zeitfaktor e ' darstellt, die durch eine einfache Verzerrung des Integrationsweges (also ohne Änderung des Integralwertes) in eine einlaufende und eine auslaufende Kugelwelle zerlegt werden kann. Die letztere spielt bei der theoretischen Beschreibung von Elektronenemission, wie beim Photoeffekt, eine Rolle, vgl. § 2 u. 6, IV. Bemerkungen zum D r e h i m p u l s : Der Drehimpuls um eine feste Achse (z) hat die besondere Eigenschaft, mit dem *) Vgl. A. S o m m e r f e l d , Atombau und Spcktrallinien, 5. Aufl., Bd. II, S. 115, Vieweg 1Ö39. Dort auch die Berechnung der Noimierung von i(e)> Seite 123.

143

H-Atom

Energieoperator H(P, Q) eines freien atomaren Systems vertauschbar zu sein. Beweis f ü r das H-Atom: H(P,Q) ist nach (4) (den Index rel lassen wir weg): (49)

H(P,Q)

=

- ^ A + E

p o t

.

% 3 Man sieht aus (7) unmittelbar, daß f ü r Pg, = -j- — gilt (50)

PvHu

=

HPyii,

mit beliebigem u, das man in (50) offenbar gar nicht hinschreiben brauchte. Wenn speziell Hu = Wu, also u eine Eigenfunktion von H ist, so kann wegen der Yertauschbarkeit von H, Pv erreicht werden, daß die g l e i c h e F u n k t i o n u auch die Eigenwertgleichung f ü r Pq, erfüllt; allgemeines dazu S. 125. Die Eigenfunktionen von P,t kennen wir, es sind die Funktionen (51)

eimif •

f{r,d),

denn die „ K o n s t a n t e " in (62), S. 127, ist nur in bezug auf 90 konstant; u muß ja, da es Lösung von Hu = Wu ist, noch von r, # abhängen. Man hat so zweierlei erfahren: 1) die Abhängigkeit der Wellenfunktion u von 93, vgl. (38), (10); 2) in dem Zustand, der durch die gemeinsame Lösung u der Eigenwertgleichüngen von H und Pg, beschrieben wird, hat der Drehimpuls um z den scharfen Wert wjj 7», die Energie den scharfen Wert Wn. Das entspricht unseren allgemeinen Ergebnissen S. 125: wir haben die zwei vertauschbaren Größen durch dieselbe Funktion u „diagonal" gemacht; die beiden können gleichzeitig genau bekannt sein. Es ist eine Messung von P v möglich, ohne daß die Kenntnis der Energie dadurch gestört wird, z. B. durch denVersuch von Stern und Gerlach, Bd. IV. I n ähnlicher Weise wie f ü r [r|)] z kann man die Eigenwertgleichung f ü r [rp] 2 aufstellen. E s ist f ü r ein System mit einem Elektron:

144

H-Atom

•(•¿-m-GJW wie man durch Umrechnen auf Kugelkoordinaten findet, vgl. (7). Die Eigenwertgleichung ist daher: L(ß, —•

— • —>

Quantenzahl l anschaulich gedeutet. [ÄP] 2 ist mit [-RP] ; vertauschbar, weil L es mit

g

8 — •

haben hier also 3 miteinander vertauschbare Größen: [RP] Z , —• 2 [ÄP] , H; man kann sie alle 3 durch dieselbe Funktion u diagonal machen. Aus der Vertauschbarkeit erfahren wir so über (51) hinaus, daß die Eigenfunktionen von H die Gestalt haben: (54)

u = eimif

• ITfi

(cos •&)

-g(r).

Damit erkennen wir die physikalische Bedeutung des Ansatzes (8): ip n i mi ist eine Eigenfunktion von H, bei der der Drehimpuls um z und das Gesamtdrehimpulsquadrat feste genau bekannte Werte haben.

Register ff-Zerfall, des Urans 108 abgeschlossene Schalen 44 abgeschlossene Systeme 99,100,102, 117 Absorption von Strahlung 23, klassisch 58, quantentheoretisch 58, von Röntgenstrahlen 55 Absorptionskoeffizient für Röntgenstrahlung 56 Absorptionskante 56 adiabatisches Einschalten eines Magnetfeldes 64 adiabatische Invarianz des DrehImpulses 64, 66, der Quantenzahlen 66 adjungierter Operator 118 Alkalien, Elektronenanordnung 44, Spektrum 45, Absorptionsspektrum, Emissionsspektrum 46 Amplituden, klassisch 59,60, quantentheoretisch 59, 60 Aphelabstand Elektron-Kern bei H 38 Atomradius von H 17 Atomare Einheiten 130 Aufenthaltswahrscheinlichkeit 100, 103, 128, 140, im H-Atom 137, 138, 139 Augereffekt 52, Ausbeuteverhältnis zur Eigenstrahlung 54 Austausch 140 Auswahlregel, für l 46, 61, für m; 68, keine für n 46, beim linearen harmonischen Oszillator 61, 77, 113, bei H 61 azimutale Quantenzahl 36, 133, Auswahlregel 46, 61 ^-Spektrum, diskretes 54 Balmerformel 22 Salmerserie 22, 28 Beugung von Teilchenstrahlen an der Blende 9, 10 Bewegungsfrequenz und Ausstrahlungsfrequenz 19, 120 Bindung des Elektrons im H-Atom 14, in anderen Atomen 44 Bindungsenergie 15, von Ii 16, 17, des Leuchtelektrons von Alkalien 47 Bohrsche Frequenzbedingung, in der Quantenmechanik 84, 86, in der Wellenmechanik 115, 120

Bohrsche Theorie 34, für H 36 Brackettserie 22 Brechungsindex für Materiewellen 93 Bremsstrahlung 50, 141 c-Zahlen 82 charakteristische Röntgenspektren48, Nachweis neuer Elemente 51 Coulombfeld, Zusammenhang zwischen und JSp 0 j, 15 ö

ln

80

D-Linie von Na 47 d-Zustände 44, 139 de Brogliesche Beziehung 90, 92 de Broglie-Welle 8, 9, 94, 97 Deuterium 26, Spektrum 27 Diagonalelement einer Matrix 75,122, 123 Diagonalmachen 121, 126, 143 Diagonalmatrix 80, 121 Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 99 Differentialquotient, nicht-ganzer 141 Dipolmoment eines Atoms 57 diskrete Energiestufen, beim Kastenmodell 18, 104, bei Kernen 55 diskretes 0-Spektrum 54 Drehimpulsquantelung 36, 66, 127, 142, 144 Drehimpulse, Eigenfunktionen 128, 143, 144, Vertauschbarkeit mit H bei freien atomaren Systemen 144 Durchlässigkeit einer Potentialschwelle 106, 107, 109, 110 ebene Welle, rein harmonische 5, 91, 97 Edelgasschale 44, 47 effektive Kernladung 43 Eigenfunktion 101, linear abhängige —en 104, linear unabhängige—en 122, Entwicklung nach —en 118, —en der Energie 116, 120, normierte —en 122, — des Drehimpulses 128 Eigenstrahlung 50 Eigenwert 86, reelle —e 122 Eigenwert, entarteter 122 Eigenwertgleichung 103, 121, 126 Eigenzustand 36 Eikonal 87, Eikonalgleichung 89

B e c h e r t u. G e r t h s e n ; Atomphysik III

146

Register

E i n e l e k t r o n e n s p e k t r e n 46 E i n f a n g u n g v o n T e i l c h e n 108 E l e k t r o m a g n e t i s c h e K u g e l w e l l e n 57 E l e k t r o n , B e u g u n g a n d e r B l e n d e 9, 10, R u h e n e r g i e 40, R a d i u s 40, — i m K r i s t a l l g i t t e r 107, B i n d u n g s energie i m H - A t o m 16, 17, Ges c h w i n d i g k e i t im H - G r u n d z u s t a n d 17, 40, U m l a u f s z e i t i m H - A t o m 21, 39 Elektronenanordnung und Spektrum 45 E l e k t r o n e n k o o r d i n a t e n , k l a s s i s c h 74, q u a n t e n t h e o r e t i s c h 74 E l e k t r o n e n l i n s e n 93 E l e k t r o n e n o p t i k 92 E l e k t r o n e n w o l k e 47 E m i s s i o n v o n S t r a h l u n g 23, k l a s s i s c h 58, q u a n t e n t h e o r e t i s c h 58 E n e r g i e g l e i c h u n g f ü r e i n f r e i e s Teilc h e n , n i c h t r e l a t i v i s t i s c h 94 E n e r g i e s a t z , q u a n t e n m e c h a n i s c h 84 Energiestufen, diskrete, beim K a s t e n m o d e l l 18, 104, bei K e r n e n 55 e n t a r t e t e r E i g e n w e r t 122, 140 E n t a r t u n g 122, bei H 140 Entwicklung nach Eigenfunktionen 118, U m k e h r u n g e i n e r — 123 E n t w i c k l u n g s k o e f f i z i e n t e n 118, 137 E r w a r t u n g s w e r t 123 I - Z u s t ä n u e 44 f e i n s t r u k t u r k o n s t a n t e 40 F e r m a t s c h e s Prinzip 87 F l ä c h e n s a t z 38 F o i i r i e r r e i h e 29, 76, F o u r i e r i n t e g r a l 6, 30, 9 8 F o u r i e r s c h e r I n t e g r a l s a t z 6, 30 f r e i e s T e i l c h e n 98, W e l l e n g l e i c h u n g 94 F r e q u e n z , e i n e r e b e n e n W e l l e 5, k l a s s i s c h e r A u s s t r a h l u n g 57, K r e i s f r e q u e n z 91 F r e q u e n z b e d i n g u n g , b e i ff 23, 41, i n d e r Q u a n t e n m e c h a n i k 84, 86, in d e r W e l l e n m e c h a n i k 115, 120 y-Strahlung von Kernen, Zusammenh a n g m i t d e m d i s k r e t e n /3-Spekt r u m 56 j j - Z u s t ä n d e 44 Galileitransformation 91 G a m m a f u n k t i o n 141 G a u ß s c h e F e h l e r k u r v e 34 G a u ß s c h e r S a t z 100 G e i g e r - N u t t a l l s c h e R e g e l 109 Geschwindigkeit, quantentheoretisch 76

G e w i c h t eines 98, 99

Funktionswertes

31,

G r u n d z u s t a n d , v o n H 24 h 8 K - A t o m , s. W a s s e r s t o f f a t o m Häufigkeitsverteilung von Meßwerten 121 H a m i l t o n f u n k t i o n 85 H a m i l t o n - J a c o b i s c h e G l e i c h u n g 89 harmonischer linearer Oszillator, q u a n t e n m e c h a n i s c h 76, wellenm e c h a n i s c h 111 H a u p t q u a n t e n z a h l 36, 135, k e i n e A u s w a h l r e g e l 46 H a u p t s e r i e 46 H e , I o n i s a t i o n s s p a n n u n g 42, E d e l g a s -

Charakter 43

H e r m i t e s c h e P o l y n o m e 113 h o m ö o p o l a r e B i n d u n g 140 H y p e r b e l b a h n e n 141 I m p u l s , q u a n t e n t h e o r e t i s c h 80, D e f i n i t i o n 82, k a n o n i s c h e r 66, 116, — k e n n t n i s 99 I m p u l s - E n e r g i e - V i e r e r v e k t o r 92 I n d u k t i o n s g e s e t z v o n F a r a d a y 64 Intensität der Ausstrahlung, klassisch 60, q u a n t e n t h e o r e t i s c h 60, 86, 115 I n v a r i a n z , " a d i a b a t i s c h e 64, 66, r e l a tivistische — des A b s t a n d s q u a d r a t e s 91, d e r W e l l e n g l e i c h u n g d e r Elektrodynamik 91, d e r Phase einer ebenen Welle 91 I o n i s a t i o n 141 I o n i s a t i o n s s p a n n u n g v o n H 24, v o n c+ 25, 26, L i + + 25, 26, H e 42, L i 4 3 , q u a l i t a t i v e r V e r l a u f 44 H - G r e n z e 49 56, K - S c h a l e 44 E- Serie 49 kanonisch konjugierte Größenll6,127 k a n o n i s c h e r I m p u l s 66, 116 K a s t e n m o d e l l 17, 102 K e n n t n i s eines M e ß w e r t e s 124, 125 K e r n l a d u n g , e f f e k t i v e 43 kinetische Energie der Kernbewegung i m A t o m 14, 25 kinetische Energie u n d potentielle, im C o u l o m b f e l d 15 klassische Mechanik, Ungültigkeit im A t o m 20, 21, 34 K n o t e n der Wellenfunktion 113 K o h ä r e n z v o n A t o m z u s t ä n d e n 74 K o m b i n a t i o n s p r i n z i p , bei t 27, b e i K e r n e n 55, in d e r Q u a n t e n m e c h a n i k 82, i n d e r W e l l e n m e c h a n i k 120

Register

147

K o m m u t a t o r 84 N- Grenze 56 komplementäre Messungen 124, 127 N- Schale 44 kontinuierliches Röntgenspektrum 50, I I . Nebenserie 47 141 normierte Eigenfunktionen 122 Kontinuitätsgleichung der Aufent- Normierungsbedingung 103, 113 haltswarscheinlichkeit 100, 106 Koordinate, quantentheoretisch 74 Operatoren 116, adjungierte 118, verKorrespondenz 20, 21, 24, 25, von tauschbare 125, 127 Frequenzen 59, von Amplituden 59 Operatorenrechnung, Zusammenhang Korrespondenzprinzip 41, 57, und mit Quantenmechanik und WellenQuantenmechanik 86, und Wellenmechanik 116 mechanik 115 Operatorgleichung 119 Kreisfrequenz einer ebenen Welle Optik, Analogie zur Mechanik 87, 91 geometrische 87 Kugelflächenfunktionen 133 Orthogonalität der Eigenfunktionen Kugelwelle, elektromagnetisch 57, 102, 122 der Teilchenströmung 142, stehende Ortsmessung, Ortskenntnis 5, 9, 10, 142, einlaufende, auslaufende 142 13, 21, 99, 104 Oszillator, linearer harmonischer, quantenmechanisch 76, wellenmeL-Grenze 56 chanisch 111, Auswahlregel 6 1 , 7 7 , L- Schale 44 115 L- Sqrie 50 Laguerresche Polynome 136 jr-Komponenten 69 Larmorfrequenz 62 p-Zustände 44, 139 Larmorpräzession 63 Paschenserie 22 Laufzahl einer "Serie 27, 46 Lebensdauer, von Energiezuständen Pendelbahnen 138 29,107,108, des Grundzustandes 71 Perihelabstand Elektron-Kern bei H 38 Phasenebene 19, 35, — bei ebenen Leuchtelektron 46 Wellen 5 linear abhängige Eigenfunktionen 104, Phasenbahn 19, 35 — unabhängige — 122 Phasengeschwindigkeit 97 linearpolarisiertes Licht 68 Phasenintegral 37 linkszirkulare Schwingung 67 Phasenkonstante, willkürliche, in der Lorentztransformation 90 Wellenmechanik und QuantenLymanserie 22 mechanik 104, 114 Phasenmittel 104 Phasenpunkt 19 M-Grenze 56 Photoeffekt 141, 142 M- Schale 44 i Polarisation, beim Zeemaneffekt 68, Magnetfeld, Elektronenbalin im — 61, 69, quantentheoretisch 86, 115 Drehimpulssatz f ü r Bewegung im | j Poteritialloch 107, 109, 110 — 63 magnetische Quantenzahl 36, 66, 133, ! Potentialschwelle, Durchgang durch j die—105, Durchlässigkeit 106,107, Auswahlregel 68 makroskopische Physik 96, — Diffe- J Reflexionsvermögen 106 Prinzip, von F e r m a t 87, von Mauperrentiale 96 tuis 8 9 , — d e r kleinsten Wirkung 89 Matrix 75, Multiplikation 79, vertauschbare Matrizen 79, — element 75, 118 ' q-Zahlen 82 Matrizenprodukt 79 t Quantenmechanik 74, und KorreMechanik, Analogie zur Optik 87 spondenzprinzip 80, ZusammenMeßbarkeit, gleichzeitige 127,128,143 hang mit Operatorenrechpung u n d Messung physikalischer Größen 5,9,12 Wellenmechanik 116 Meßwert einer Größe 121,123,124,126 Quantenzahl, Hauptquantenzahl 36, Mittelwert einer Funktion 32, — von azimutale Quantenzahl 36, maj gnetische 3ü, 06, beim linearen Meßwerten 123 I harmonischen Oszillator 113 Moseleysches Gesetz 50 10'

148

Register

Q u a n t e n z a h l e n bei A t o m e n 42 Q u a n t e n z u s t a n d 20 R 2 2, 26, J i K ( , r l l 26, R ^ 26 r a d i o a k t i v e r Zerfall 29 B a n d b e d i n g u n g e n der Wellenmechanik 101, 106 raumzeitlicher Ablauf von Teilchenbewegungen 8, 35, 41 rechtszirkulare Schwingung 68 Reflexionsvermögen einer Potentialschwelle 106 R e s o n a n z e i n f a n g u n g 108 Resonanzfluoreszenz 71, a n Hg 72 Resonanzlinie 47 resultierende Masse 26 R ö n t g e n d u r c h l e u c h t u n g , medizinische 56 R ö n t g e n s p e k t r u m , charakteristisches 48, kontinuierliches, Bremsstrahlung 50, 141 R ö n t g e n s t r a h l e n , Absorption 55 Ruhenergie, des E l e k t r o n s 40 R y d b e r g z a h l 22, 25, 26 « - K o m p o n e n t e n 69 «-Zustände 44, 138 Schalenbau der A t o m e 41 Schattengrenze 97 S c h w a n k u n g s q u a d r a t 16, 31 schwerer Wasserstoff 26 Schwerpunktssatz, f ü r s H - A t o m 14, 26 s e l b s t a d j u n g i e r t e O p e r a t o r e n 122 Serien, im H - S p e k t r u m 22, 27, Laufzahl 27, Seriengrenze 28, 29, 48, H a u p t s e r i e 46, I I . Xebenserie 47, in R ö n t g e n s p e k t r e n 49, 50, Serienformel 47, 48 S p e k t r u m v o n H 22, D 26, H e + 25, 26, L i + + 25, 26, B e + + + 25, 26, B + + + + 26 Sommerfeldsche F e i n s t r u k t u r k o n s t a n t e 40 S t a r k e f f e k t 70, D r e h i m p u l s s a t z beim - 70 Strahlgrenze 97 S t r a h l u n g schwingender L a d u n g e n 57 Strom der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 99, 106 Teilchenstrom 100, 106 T e r m f o r m e l 48 Übergang aus der A t o m p h y s i k in die klassische 12, 95 Übergangswahrscheinlichkeit 29, 141 U n s c h a r f e 6, 31, 127, der Energie 107 U n s c h ä r f e p r o d u k t 7, 16, 18, 19, 35

"ünschärferelationen 4, 6, 9, 12, 13, 14, 29, 34, 35, 87, 98,127, 128, u n d adiabatische I n v a r i a n z 66, u n d Resonanzfluoreszenz 71 Valenzbrücke 140 Valenzelektron 43 Valenzstrich 140 v e r b o t e n e Ü b e r g ä n g e 77 v e r t a u s c h b a r e Matrizen 79, nicht vert a u s c h b a r e 82 v e r t a u s c h b a r e Operatoren 125, 127 Vertauschungsrelation 81 Vierervektor 90, — der Wellenzahl 91, — des I m p u l s e s 92 vollständiges F u n k t i o n e n s y s t e m 123, 137 Wahrscheinlichkeitsaussagen 10, 11, 13, 14, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 123, 124, 128 Wahrscheinlichkeitscharakter quantentheoretischer Aussagen 10, 11, 13, 34 W a s s e r s t o f f a t o m , Bindungsenergie 16, 17, A t o m r a d i u s 17, 39, TJmlaufszeit des Elektrons 21, S p e k t r u m 22, Serien 22, 27, G r u n d z u s t a n d 24, 138, Ionisierungsspannung 24, schwerer Wasserstoff 2£, Bohrsche Theorie f ü r H 36, Energieformel 39,136, Bahnellipsen 39, 57, wellenmechanisch 129, E i g e n f u n k t i o n e n 137, 141, 142, 143, 144, E n t a r t u n g 140, kontinuierliches Energiespekt r u m 140 Welle, ebene rein harmonische 5, 8, 91, 97 Wellengleichung, der E l e k t r o d y n a m i k 91, 95, der A t o m p h y s i k 93, f ü r ein freies Teilchen 94, f ü r ein Teilchen im K r a f t f e l d 95 Wellenlänge, einer ebenen Welle 5 Wellenmechanik 87, 97, u n d Korrespondenzprinzip 115, Z u s a m m e n hang mit Quantenmechanik und O p e r a t o r e n r e c h n u n g 116 W e l l e n p a k e t 8, 21, 87 Wellenzahl, einer ebenen Welle 5 Wellenzahlvektor 5, 91 W i l s o n a u f n a h m e n , D e u t u n g 13 Z e e m a n e f f e k t , normaler 61, 69, t r a n s versaler 69, Iongitudinaler 69, Drehi m p u l s s a t z beim — 63 Zerfall, r a d i o a k t i v e r 29 Zerfallskonstante gebundener Zus t ä n d e 107

s

GESAMTVERZEICHNIS

A M M L U N GÖSCHEN

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SAMMLUNG G Ö S C H E N UNSER HEUTIGES WISSEN IN KURZEN, KLAREN,

ALLGEMEINVERSTÄNDLICHEN

EINZELDARSTELLUNGEN Zweck und Ziel der ,, Sammlung Göschen" ist, in Einzeldarstellungen eine klare, leichtverständliche und übersichtliche Einführung in sämtliche Gebiete der Wissenschaft und Technik zu geben; in engem Rahmen, auf streng wissenschaftlicher Grundlage und unter Berücksichtigung des neueren Standes der Forschung bearbeitet, soll jedes Bändchen zuverlässige Belehrung bieten. Jedes einzelne Gebiet ist in sich geschlossen dargestellt, aber dennoch stehen alle Bändchen in innerem Zusammenhange miteinander, so daß das Ganze, wenn es vollendet vorliegt, eine einheitliche systematische Darstellung unseres gesamten Wissens bilden dürfte.

Naturwissenschaften und Technik Mathematik Geschichte der Mathematik. Von J . E. H o f m a n n . I : Von den Anfängen bis zum Auftreten von F e r m a t und Descartes. 199 Selten. 1953 Mathematische Formelsammlung. Von F. Ringleb. Vollständig umgearbeitete Neuausgabe des Werkes von O. Th. Bürklen. 5., verbesserte Auflage. Mit 57 Figuren. 274 Selten. 1949 Fünfstellige Logarithmen. Mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahlwerten. Von A. Adler. 2. Auflage. Neudruck. Mit 1 Tafel. 127 Seiten. 1949 Elementare und klassische Algebra. Vom modernen S t a n d u n k t . Von W . Krull. 2., erweiterte Auflage.

F

: 136 Seiten. 1952 Höhere Algebra. Von H. Hasse. 3., verbesserte Auflage. I : Lineare Gleichungen. 152 Seiten. 1951 I I : Gleichungen höheren Grades. Mit 5 Figuren. 158 Seiten. 1951 Aufgabensammlung zur höheren Algebra. Von H . Hasse und W . Klobe. 2., verbesserte u n d vermehrte Auflage. 181 Seiten. 1952 Oruppentheorle. Von L. Baumgartner. 2. Auflage. Mit 6 Figuren. 115 Seiten. 1949 Elemente der Funktionentheorie. Von K. K n o p p . 3. Auflage. Mit 23 Figuren. 144 Selten. 1949 Funktionentheorie. Von K. Knopp. 7. Auflage. I : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. Mit 8 Figuren. 139 Seiten. 1949 . . . I I : Anwendungen und W e t t e r f ü h r u n g der allgemeinen Theorie. Mit 7 Figuren. 130 Seiten. 1949 Aufgabensammlung zur Funktionentheorie. Von K. K n o p p . 4. Auflage. 1: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. 135 Seiten. 1949 I I : Aufgaben zur höheren Funktionentheorie. 151 Seiten. 1949 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von G. Hoheisel. 4., neubearbeitete Auflage. 129 Seiten. 1951 . . . . Partielle Differentialgleichungen. Von O. Hoheisel. 3., neubearbeitete Auflage. 1953 In Vorbereitung . . . Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. 2., umgearbeitete Auflage. 124 Selten. 1952 Differentialrechnung. Von A. W l t t l n g f . 3., neubearbeitete Auflage. Durchgesehener Neudruck. Mit 95 Figuren und 200 Beispielen. 201 Seiten. 1949 Repctltorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung. Von A. W l t t i n g f . 2., neubearbeitete Auflage. Durchgesehener Neudruck. 145 Seiten. 1949. .

Bd.

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Bd.

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Bd. 423 Bd.

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Integralrechnung. Von A. Witting f . 2., verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. Mit 62 Figuren u n d 190 Beispielen. 176 Selten. 1949 Bd. 88 Repetitorlum und Aufgabensammlung zur Integralrechnung. Von A. W i t t i n g f . 2., neubearbeitete Auflage. Durchgesehener Neudruck. Mit 32 Figuren u n d 309 Beispielen. 121 Seiten. 1949 Bd. i47 Einführung In die konforme Abbildung. Von L. Bieberbach. 4. Auflage. Mit 42 Zeichnungen. 147 Seiten 1949 Bd. 768 Darstellende Geometrie. Von R. H a u ß n e r . I : Elemente; ebenflächige Gebilde. 6., unveränderte Auflage. Mit 110 Figuren im Text. 207 Seiten. 1947 Bd. 142 I I : Perspektive ebener Gebilde, Kegelschnitte. 5., unveränderte Auflage. Mit 88 Figuren im Text. 168 Seiten. 1947 Bd. 143 Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur analytischen Geometrie der Ebene mit den vollständigen Lösungen. Von R. Haußner. Neudruck. Mit 22 Figuren im Text. 139 Seiten. 1949 Bd. 256 Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene. Von R. Baldus. 3., verbesserte Auflage, durchgesehen von F. Löbell. 1953. In V o r b e r e i t u n g . . . . Bd. 970 Vermessungskunde. Von P. Werkmeister. I : Stückmessung und Nivellieren. 9. Auflage. Mit 145 Figuren. 165 Seiten. 1 9 4 9 . . . Bd. 468 I I : Messung von Horizontalwinkeln. Festlegung von P u n k t e n im Koordinatensystem. Absteckungen, 7. Auflage. Mit 93 Figuren. 151 Seiten. 1949 Bd. 469 I I I : Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Topographie. 6. Auflage. Mit 64 Figuren. 147 Seiten. 1949 Bd. 862 Vektoranalysls. Von S. Valentiner. 7., wesentlich verä n d e r t e Auflage. Mit 19 Figuren. 138 Seiten. 1950 Bd. 354 Versicherungsmathematik. Von F. Böhm. 2., verbesserte Auflage. I : Elemente der Versicherungsrechnung. Neudruck. 1953. In Vorbereitung Bd. 180 I I : Lebensversicherungsmathematik, Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 205 Seit e n . 1953 Bd. 917/917a

Physik / Chemie / Allgemeine, anorganische, organische und experimentelle Chemie / Elektrochemie / Technologie Physikalische Formelsammlung. Von G. und K. Mahler. 8., verbesserte Auflage. Mit 69 Figuren. 153 Seiten. 1950 Physikalische Aufgabensammlung. Von G. und K. Mahler. Mit den Ergebnissen. 7., verbesserte Auflage. 127 Seiten. 1952 Differentialgleichungen der Physik. Von E. Sauter. 2. Auflage. Mit 16 Figuren. 148 Seiten. 1950 Geschichte der Chemie in kurzgefaßter Darstellung. Von G. Lockemann. I : Vom Altertum bis zur Entdeckung des Sauerstoffs. Mit 8 Bildnissen. 142 Seiten. 1950

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Allgemeine und physikalische Chemie. Von W . Schulze. IJ: 3., durchgesehene Auflage. Mit 36 Figuren. 160 Sei- ' ten. 1949 Bd. 698 Physikalisch-Chemische Rechenaufgaben. Von E. Asmus.' 2. Auflage. 96 Seiten. 1949 Bd. 445 Anorganische Chemie. Von W . Klemm. 7. Auflage. Mit 18 Abbildungen. 184 Selten. 1952 Bd. 37 Maßanalyse. Theorie und Praxis der klassischen und der elektrochemischen Titrierverfahren. Von G. Jander und K . F. Jahr. 6. Auflage. I : 140 Seiten. Mit 18 Figuren. 1952 Bd. 221 I I : 139 Seiten. Mit 24 Figuren. 1952 Bd. 1002 Thermochemie. Von W . A . Roth. 2., verbesserte Auflage. Mit 16 Figuren. 109 Seiten. 1952 Bd. 1057 StAchlometrlsche Aufgabensammlung. Von W . Bahrdt und R . Scheer. Mit den Ergebnissen. 5., verbesserte Auflage. 120 Seiten. 1952 Bd. 452 Analytische Chemie. Von J. Hoppe. 5., verbesserte Auflage. I : Reaktionen. 135 Seiten. 1950 Bd. 247 I I : Gang der qualitativen Analyse. 166 Seiten. 1950 Bd. 248 Elektrochemie und Ihre physikalisch-chemischen Grundlagen. Von A . Daßler. I : Mit 21 Abbildungen. 149 Seiten. 1950 Bd. 252 I I : Mit 17 Abbildungen. 178 Seiten. 1950 Bd. 253 Warenkunde. Von K . Hassak t und E. Beutel f . 7. Auflage. Neubearbeitet von A . Kutzelnigg. I : Anorganische Waren sowie Kohle und Erdöl. Mit 19 Figuren. 116 Seiten. 1947 Bd. 222 I I : Organische Waren. Mit 32 Figuren. 143 Seiten. 1949 Bd. 223 Die Fette und Ole. Von K- Braun. 5., vollständig neubearbeitete und verbesserte Auflage. Von Th. Klug. 145 Selten. 1950 Bd. 335 Die Seitenfabrikation. Von K . Braun. Vollständig neubearbeitet von Th. Klug. 3., neubearbeitete und verbesserte Auflage. Mit 18 Abbildungen. 116 Seiten. 1953 Bd. 336 Atomphysik. I I I . Von Bechert-Gehrtsen. 1953. In Vorbereitung Bd. 1123

Naturwissenschaften / Biologie / Botanik / Zoologie Land- und Forstwirtschaft Hormone. Von G. Koller. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Mit 60 Abbildungen und 19 Tabellen. 187 Selten. 1949 Geschlecht und Geschlechtsbestimmung Im Tier- und Pflanzenreich. Von M. Hartmann. 2., verbesserte Auflage. Mit 61 Abbildungen und 7 Tabellen. 116 Selten. 1951 Fortpflanzung im Tler- und Pflanzenreich. Von J. Hämmerling. 2., ergänzte Auflage. Mit 101 Abbildungen. 135 Selten. 1951 OrundrlB der allgemeinen Mikrobiologie. Von W . Schwartz. I : Mit 17 Abbildungen. 104 Selten. 1949 I I : Mit 12 Abbildungen. 93 Selten. 1949. . . • : . . Symbiose der Tiere mit pflanzlichen Mikroorganismen. Von P. Buchner. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 121 Abbildungen. 130 Selten. 1949

Bd. 1141

Bd. 1127 Bd. 1138 Bd. 1155 Bd. 1157 Bd. 1128 5

Entwicklungsgeschichte * * * PflanrenrelcHe». V o n H . Heil. 2. A u f l a g e . M i t 94 Abbildungen und 1 Tabelle. 138 Seiten. 1950 Morphologie der Pflanzen. V o n L . Ceitler. 3. A u f l a g e . 1953. I n Vorbereitung PHanzenzOchtung. V o n H . Kuckuck. 3., v ö l l i g umgearbeitete A u f l a g e . I : Grundzüge der Pflanzenzüchtung. M i t 22 A b b i l dungen. 132 Seiten. 1952

Bd. 1137 Bd.

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Bd. 1134

Die Laubhfilzer. K u r z g e f a ß t e Beschreibung der in M i t t e l europa gedeihenden Laubbäume und Sträucher. V o n F. W . Neger und E. Münch. 3., durchgesehene A u f l a g e . Herausgegeben von B. Huber. M i t 63 Figuren und 7 Tabellen. 143 Seiten. 1950 Die Nadelhölzer ( K o n i f e r e n und übrigen Gymnospermen). Von F. W . Neger und E. Münch. 4. Auflage, durchgesehen und ergänzt v o n B. Huber. M i t 75 Figuren, 4 Tabellen und 3 K a r t e n . 140 Seiten. 1952 . . . . Das Tierreich IV/3: Insekten. V o n H . v o n Lengerken. M i t 58 Abbildungen. 128 Seiten. 1953 Entwicklungsphysiologie der Tiere. V o n F. Seidel. I : Ei und Furchung. M i t 29 A b b i l d u n g e n . 126 Selten. 1953 I I : Körpergrundgestalt und Organbildung. M i t 42 A b bildungen. 159 Seiten. 1953 Vergleichende Physiologie der Tiere. V o n K . Herter. 3. A u f lage der „ T i e r p h y s i o l o g i e " . I : S t o f f - und Energiewechsel. M i t 64 A b b i l d u n g e n . 155 Seiten. 1950 I I : Bewegung und Reizerscheinungen. M i t 110 A b b i l dungen. 148 Seiten. 1950 Landwirtschaftliche Tierzucht. Die Züchtung und H a l t u n g der landwirtschaftlichen Nutztiere. V o n H . V o g e l . M i t 11 Abbildungen. 139 Seiten. 1952 Kulturtectinlsche Bodenverbesserungen. V o n O. Fauser. 4., neubearbeitete A u f l a g e . I : Allgemeines, Entwässerung. M i t 47 A b b i l d u n g e n . 122 Seiten. 1947 I I : Bewässerung, Ödlandkultur, U m l e g u n g . M i t 67 A b bildungen. 150 Seiten. 1948

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Agiikulturchemle. V o n K . Scharrer. I : Pflanzenernährung. 143 Seiten.

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Bd. 1162 Bd. 1163

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Geologie / Mineralogie / Kristallographie Kristallographie. V o n W . Bruhns und P . R a m d o h r . 4. A u f lage. 1953. I n Vorbereitung Einführung In die Kristalloptlk. V o n E. Buchwald. 4., verbesserte A u f l a g e . M i t 121 Figuren. 138 Selten. 1952 LStrohrproblerkunde. Mineraldiagnose m i t L ö t r o h r und Tüpfelreaktion. V o n M . Henglein. 3., verbesserte A u f lage. M i t 11 Figuren. 91 Seiten. 1949 Mineral- und Erzlagerstättenkunde. 1953. In Vorbereitung 6

V o n H . Huttenlocher. Bd. 1014/1015/10l5a

Ingenieurwissenschaften Allgemeines / Maschinenbau / Hoch- und Tiefbau Elektrotechnik / Wasserbau Technische Tabellen und Formeln. Von W . Müller. 4., verbesserte u n d erweiterte Autlage. Von E . Schulze. Mit 105 Figuren. 152 Selten. 1951 Dynamik. Von W . Müller. 2., verbesserte Auflage. I : D y n a m i k des Einzelkörpers. Mit 48 Figuren. 128 Selt e n . 1952 I I : Systeme von starren Körpern. Mit 41 Figuren. 102 Seiten. 1952 Technische Thermodynamik. Von W . Nusselt. I : Grundlagen. 3., verbesserte Auflage. Mit 71 Abbildungen. 144 Seiten. 1950 I I : Theorie der W ä r m e k r a f t m a s c h i n e n . Neudruck. Mit 87 Abbildungen und 32 Zahlentafeln. 144 Seiten. 1951 Festigkeitslehre. Von W . Gehler u n d W . Herberg. I : Elastizität, Plastizität u n d Festigkeit der Baustoffe u n d Bauteile. Durchgesehener und erweiterter Neudruck. Mit 118 Bildern. 159 Seiten. 1952 Technische Schwingungslehre. Von L. Zipperer. I : Allgemeine Schwingungs-Gleichungen, einfache Schwinger. 2., neubearbeitete Auflage. Mit 101 Abbildungen. 120 Seiten. 1953 Metallkunde. Einführendes über A u f b a u , Eigenschaften und Untersuchung von Metallen und Legierungen sowie über Grundlagen des Schmelzens, des Gießens, des Verformens, der Wärmebehandlung, der Oberflächenbehandlung, der Verbinde- und Trennarbeiten. Von H. Borchers. 2. Auflage. I : A u f b a u der Metalle und Legierungen. Mit 2 Tabellen u n d 90 Abbildungen. 110 Seiten. 1950 I I : Eigenschaften. Grundzüge der Form- und Zustandsgebung. Mit 8 Tabellen und 100 Abbildungen. 154 Seit e n . 1952 Oetrlebelehre. Von P. Grodzinski. 2., neubearbeitete Auflage. I : Geometrische Grundlagen. Mit 142 Figuren. 159 Selten. 1953 Die Maschinenelemente. Von E. A. vom Ende. 2., verbesserte Auflage. Mit 173 Figuren u n d 12 Tafeln. 159 Seiten. 1950 Das Maschinenzeichnen mit E i n f ü h r u n g in das Konstruieren. Von W. T o c h t e r m a n n . 4. Auflage. I : Das Maschinenzeichnen. Mit 77 Tafeln. 156 Seiten. 1950 I I : Ausgeführte Konstruktionsbeispiele. Mit 58 Tafeln. 130 Seiten. 1950 Die Dampfkessel und Feuerungen einschl. Hilfseinrichtungen in Theorie, Konstruktion und Berechnung. Von W . Marcard t . 2. Auflage, neubearbeitet von K. Beck. I : Die theoretischen Grundlagen. W ä r m e , Verbrennung, W ä r m e ü b e r t r a g u n g . Mit 42 Abbildungen und 16 Tabellen. 150 Seiten. 1951 I I : Dampfkessel. Mit 53 Abbildungen. 147 Seiten. 1952 GleBereltechnlk. Von H. J u n g b l u t h . I : Eisengießerei. Mit 44 Abbildungen. 126 Seiten. 1951

Bd.

579

Bd.

902

Bd.

903

Bd. 1084 Bd. 1151

Bd. 1144

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953

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433

Bd. 1061 Bd.

3

Bd. 589 Bd.

590

Bd. Bd.

9 521

Bd. 1159 7

Autogene« Schweiften und .Schneiden. Von H. Nies?. 5. Auflage. Von A . Küchler. 1953. In Vorbereitung . Die wichtigsten Baustoffe des Hoch- und Tiefbaus. Von O. Graf. 4., verbesserte A u f l a g e . M i t 63 Abbildungen. 131 Seiten. 1953 Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung des Betons. V o n A . Kleinlogel. 2., neubearbeitete und erweiterte A u f l a g e . M i t 35 Abbildungen. 126 Seiten. 1951 . . Grundlagen des Stahlbetonbaues. V o n A . Tröche. 2., neubearbeitete und erweiterte A u f l a g e . M i t 75 Abbildungen, 17 Bemessungstafeln und 20 Rechenbeispielen. 208 Seiten. 1953 Fenster, Türen, Tore aus Holz und Eisen. Eine Anleitung zu ihrer guten Gestaltung, wirtschaftlichen Bemessung und handwerksgerechten Konstruktion. V o n W . W i c k o p . 3., überarbeitete und ergänzte A u f l a g e . M i t 96 A b b i l dungen. 154 Seiten. 1949 Heizung und Lüftung. V o n J. und W . K ö r t i n g . 8. neubearbeitete A u f l a g e . I : Das Wesen und die Berechnung der Heizungs- und Lüftungsanlagen. M i t 29 Abbildungen und 18 Zahlentafeln. 140 Seiten. 1951 I I : Die Ausführung der Heizungs- und Lüftungsanlagen. 1953. I n Vorbereitung Die Glelchstrommaschlne. V o n K . Humburg. Durchgesehener Neudruck. I : M i t 59 A b b i l d u n g e n . 102 Seiten. 1949 I I : M i t . 3 8 Abbildungen. 98 Seiten. 1949 Die synchrone Maschine. V o n K . H u m b u r g . Neudruck. M i t 78 Bildern. 109 Seiten. 1951 Transformatoren. V o n \V. Schäfer. 2. A u f l a g e . M i t 74 A b bildungen. 128 Seiten. 1949 Die komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen. V o n H . K . Melnke. M i t 114 Abbildungen. 160 Seiten. 1949 . Theoretische Grundlagen zur Berechnung der Schaltgeräte. V o n F . Kesselring. 3. Auflage. M i t 92 Abbildungen. 144 Seiten. 1950 Elektromotorische Antriebe (Grundlagen für die Berechnung) V o n A . Schwaiger. 3., neubearbeitete Auflage. M i t 34 Abbildungen. 96 Seiten. 1952 Überspannungen und Überspannungsschutz. V o n G. Frühauf. Durchgesehener Neudruck. M i t 98 Abbildungen. 122 Seiten. 1950 Talsperren. V o n F. T ö l k e . M i t 70 Abbildungen. 122 Seiten. 1953 Verkehrswasserbau. V o n H. Dehnert. I : Entwurfsgrundlagen, Flußregelungen. M i t 52 T e x t abbildungen. 103 Selten. 1950 I I : FluBkanalisierungen und Schiffahrtskunde. Mit 60 T e x t a b b i l d u n g e n . 94 Seiten. 1950 I I I : Schleusen und Hebewerke. M i t 70 T e x t a b b i l dungen. 98 Seiten. 1950 W e h r - und Stauanlagen. Von H . Dehnert. abbildungen. 134 Seiten. 1952

8

Bd.

499

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984

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978

B d . 1078

Bd. 1092

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342

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257 881

Bd. 1146 Bd.

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Bd. 1156

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711

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827

Bd. 1132 Bd. 1044

Bd.

585

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597

Bd. 1152

M i t 90 T e x t Bd.

965

Geisteswissenschaften Philosophie

/

Psychologie

Elnfflhrung in die Philosophie. Von H. Leisegang. 145 Seiten. 1951 Bd. 281 Hauptprobleme der Philosophie. Von G. Simmel. 7 . , unveränderte Autlage. 177 Seiten. 1950 Bd. 500 Erkenntnistheorie. Von G. Kropp. Ii: Allgemeine Grundlegung. 143 Seiten. 1950 . . . . Bd. 807 Geschichte der Philosophie. I. Die griechische Philosophie. 1. Teil: Von Thaies bis Leukippos. Von W. Capelle. 2., erweiterte Auflage. 135 Seiten. 1953 Bd. 857 Geschichte der Philosophie. II. Die griechische Philosophie. 2. Teil: Von der Sophistik bis zum Tode Piatons. Von W. Capelle. 2., stark erweiterte Auflage. 144 Seiten. 1953 Bd. 858 Geschichte der Philosophie. VIII. Die Philosophie des 19. Jahrhunderts I. Von G. Lehmann. 151 Seiten. 1953. Bd. 571 Geschichte der Philosophie. IX. Die Philosophie des 19. Jahrhunderts II. Von G. Lehmann. 168 Seiten. 1953 Bd. 709 Die geistige Situation der Zelt (1931). Von K . J a s p e r s . 3., unveränderter Abdruck der im Sommer 1932 bearbeiteten 5. Auflage. 211 Seiten. 1953 Bd. 1000 Philosophisches Wörterbuch. Von M. Apel. 4., unveränderte Auflage. 260 Selten. 1953 Bd. 1031 Therapeutische Psychologie. Freud-Adler-Jung. Von W. M. Kranefeidt. Mit einer Einführung von C. G. Jung. 2. Auflage. 152 Seiten. 1950 Bd. 1034 Religionswissenschaften Jesus. Von M. Dibelius f . 2. Auflage. Unveränderter Neudruck. 137 Seiten. 1949 Paulus. Von M. Dibelius f . Nach dem Tode des Verfassers herausgegeben und zu Ende geführt von W. G. Kümmel. 155 Seiten. 1951 Musik

/

Bd. 1130 Bd. 1160

Kunst

Musikästhetik. Von H. J . Moser. 180 Seiten. 1953. . . Systematische Modulation. Von R. Hernried. 2. Auflage. 136 Seiten. 1950 Der polyphone Satz. I : Der cantus-firmus-Satz. Von E. Pepping. 2. Auflage. 223 Selten. 1950 Die Musik des 19. Jahrhunderts. Von W. Oehlmann. 1953. In Vorbereitung Stilkunde. Von H. Weigert. 2. Auflage. I: Vorzeit, Antike, Mittelalter. 1953. In Vorbeitung I I : Spätmittelalter und Neuzeit. 1953. In Vorbeitung Die Kunst des Dlrlglerens. Von H. W . Sartorius von Waltershausen. 2. Auflage. 1953. In Vorbereitung . .

Bd. 344 Bd. 1094 Bd. 1148 Bd.

170

Bd. 80 Bd. 781 Bd. 1147 9

Geschichte Allgemeines / Vor- und Frühgeschichte / Altertum Mittelalter und Neuzeit / Kulturgeschichte Einführung In die Geschichtswissenschaft. Von P . K i r n . 2. A u f l a g e . 121 S e l t e n . 1952 Bd. 270 Kultur der Urzeit. V o n F . B e h n . 4. A u f l a g e d e r „ K u l t u r d e r U r z e i t " B a n d I — I I I . V o n M. H o e r n e s . I : Die v o r m e t a l l i s c h e n Kulturen. (Die Steinzeiten E u r o p a s . G l e i c h a r t i g e K u l t u r e n in a n d e r e n E r d t e i l e n ) M i t 4 8 A b b i l d u n g e n . 172 S e i t e n . 1950 Bd. 564 I I : Die älteren Metallkulturen. (Der Beginn der Metallb e n u t z u n g . K u p f e r - u n d B r o n z e z e i t in E u r o p a , im O r i e n t u n d in A m e r i k a ) Mit 67 A b b i l d u n g e n . 160 S e i t e n . 1950 Bd. 565 I I I : Die j ü n g e r e n M e t a l l k u l t u r e n . ( D a s Eisen als K u l t u r m e t a l l . H a l l s t a t t - L a t £ n e - K u l t u r in E u r o p a . D a s e r s t e A u f t r e t e n des E i s e n s in d e n a n d e r e n E r d t e i l e n . ) M i t Bd. 566 6 0 A b b i l d u n g e n . 149 S e i t e n . 1950 . Vorgeschichte Europas. Von F . B e h n . Völlig n e u e B e a r b e i t u n g d e r 7. A u f l a g e d e r „ U r g e s c h i c h t e d e r M e n s c h h e i t " v o n M. H o e r n e s . M i t 47 A b b i l d u n g e n . 125 S e i t e n . 1949 Bd. 42 Archäologie. V o n A. R u m p f . I : Einleitung, historischer Oberblick. Mit 6 Abbildungen im T e x t u n d 12 T a f e l n . 143 S e i t e n . 1953 Bd. 538 Zeitrechnung der römischen Kaiserzelt, des Mittelalters und der Neuzeit. F ü r d i e J a h r e 1 b i s 2 0 0 0 n. Chr. V o n H . L i e t z m a n n . 2. A u f l a g e . V o n A. H o f m e i s t e r . 1953. In Vorbereitung B d . 1085 Quellenkunde der deutschen Geschichte im Mittelalter ( b i s z u r M i t t e des 15. J a h r h u n d e r t s ) . V o n K . J a c o b . 1: E i n l e i t u n g , a l l g e m e i n e r Teil. D i e Z e i t d e r K a r o l i n g e r . 5. A u f l a g e . 118 S e i t e n . 1949 B d . 279 I I : D i e K a i s e r z e i t (911 - 1250) 4 . A u f l a g e . 127 S e i t e n . 1949 Bd. 280 I I I : D a s S p ä t m i t t e l a l t e r ( v o m I n t e r r e g n u m bis 1500). Unter Verwertung der Hinterlassenschaft herausgegeben v o n F . W e d e n . 152 S e i t e n . 1952 B d . 284 Von den Karolingern zu den Staufern. Die a l t d e u t s c h e K a i s e r z e i t ( 9 0 0 - 1 2 5 0 ) . Von J . H a l l e r . 3. A u f l a g e . M i t 4 K a r t e n . 141 S e i t e n . 1944 . . B d . 1065 D e u t s c h e Geschichte Im Zeitalter der Reformation, d e r G e g e n r e f o r m a t i o n u n d des 3 0 j ä h r i g e n Krieges. Von F . H ä r t u n g . 129 S e i t e n . 1951 B d . 1105 Geschichte Englands. Von H . P r e l l e r . I : bis 1815. 3., s t a r k u m g e a r b e i t e t e A u f l a g e . 135 S e i t e n . M i t 7 S t a m m t a f e l n u n d 2 K a r t e n im T e x t . 1952 . . Bd. 375

Sprach-

und Indogermanisch

Literaturwissenschaften /

Germanisch

Gotisches Elementarbuch. G r a m m a t i k , T e x t e m i t Ü b e r s e t z u n g u n d E r l ä u t e r u n g e n . M i t einer E i n l e i t u n g v o n H . H e m p e l . 2., u m g e a r b e i t e t e A u f l a g e . 165 S e i t e n . 1953 Indogermanische Sprachwissenschaft. Von H . Krähe. 2. A u f l a g e . 134 S e i t e n . 1948 10

Bd.

79

Bd.

59

OtnMntoche Spr*chwU*enKluft. Von H. Krähe. 2. Auflage. I: Einleitung und Lautlehre. 127 Selten. 1948 II: Formenlehre. 140 Seiten. 1948 Althochdeutsches Elementarbuch. Von Naumann-Beetz. 1953. In Vorbereitung Altnordisches Elementarbuch. Schrifttum, Sprache, Texte mit Übersetzung und Wörterbuch. Von F. Ranke. 2.. durchgesehene Auflage. 146 Seiten. 1949 . . . .

Deutsche

Sprache

und

Bd. 238 Bd. 780 Bd. 1111 Bd. 1115

Literatur

Deutsches Rechtschreibungswarterbuch. Von M. Gottschald. Etwa 17 Bogen. 1953. In Vorbeitung . . Bd. 200/200a Deutsche Wortkunde. Eine kulturgeschichtliche Betrachtung des deutschen Wortschatzes. Von A. Schirmer. 3., durchgesehene Auflage. 109 Seiten. 1949 . . . . Bd. 929 Deutsches Dichten und Denken von der germanischen bis zur staufischen Zelt {Deutsche Literaturgeschichte vom 5. bis 13. Jahrhundert). Von H. Naumann. 2., verbesserte Auflage. 166 Seiten. 1952 Bd. 1121 Deutsches Dichten und Denken vom Mittelalter zur Neuzelt. (1270 bis 1700). Von G. Müller. 2., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1949 Bd. 1086 Deutsches Dichten und Denken von der Aufklärung bis zum Realismus (Deutsche Literaturgeschichte von 1700 bis 1890). Von K. Vletor. 2., durchgesehene Auflage. 156 Seiten. 1949 Bd. 1096 Deutsche Sprachlehre. Von W. Hofstaetter. 9., neubearbeitete Auflage von G. Spree. 144 Seiten. 1953 . . . Bd. 20 Sprechen und Sprachpflege. (Die Kunst des Sprechens.) Von H. Feist. 2., verbesserte Auflage. Mit 25 Abbildungen. 99 Seiten. 1952 Bd. 1122 Der Nlbelunge NAt in Auswahl mit kurzem Wörterbuch herausgegeben von K- Langosch. 9., umgearbeitete Auflage. 164 Seiten. 1953 Bd. 1

Englische

Sprache

/ Romanische

Sprache

und

Altenglisches Elementarbuch. Einführung, Grammatik, Texte mit Übersetzung und Wörterbuch. Von M. Lehnert. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 176 Selten. 1950 Beowulf. Eine Auswahl mit Einführung, teilweiser Übersetzung, Anmerkungen und etymologischem Wörterbuch. Von M. Lehnert. 2., verbesserte Auflage. 135 Selten. 1949 Englische Literaturgeschichte. Von F. Schübe!. I: Die alt- und mittelenglische Periode. 1953. In Vorbereitung Italienische Literaturgeschichte. Von K. Voßler. Unveränderter Nachdruck der 1927 erschienenen 4., durchgesehenen und verbesserten Auflage. 148 Selten. 1948

Literatur

Bd. 1125 Bd. 1135 Bd. 1114 Bd. 125 11

Griechisch /

Lateinisch

Griechische Sprachwissenschaft. Von W. Brandenstein. 1953. In Vorbereitung Geschichte der griechischen Sprache. Von O. H o f f m a n n . 3., umgearbeitete Auflage von A. Debrunner. I : bis zum Ausgang der klassischen Zeit. 1953. In Vorbereitung Geschichte der griechischen Literatur. Von W. Nestle. 2., verbesserte Auflage. I : Von den Anfängen bis auf Alexander d. Gr. 148 Seit e n . 1950 II : Von Alexander d. Gr. bis zum Ausgang der Antike. 128 Seiten. 1945 Geschichte der lateinischen Sprache. Von F. Stolz. 3., stark umgearbeitete Auflage von A. Debrunner. 136 Seiten. 1953

Orientalia

/

Bd.

117

Bd.

111

Bd.

70

Bd.

557

Bd. 492

Russisch

Sanskrit-Grammatik. Von M. Mayrhofer. 89 Seiten. 1953 Bd. 1158 Hebräische Grammatik. Von G. Beer. 2., völlig neubearbeitete Auflage von R. Meyer. I : Schrift-, Laut- u n d Formenlehre I. 157 Seiten. 1952 Bd. 763/763a I I : Schrift-, L a u t - u n d Formenlehre II. 1953. In Vorbereitung Bd. 764/764a Russische Grammatik. Von E. Berneker. 6., unveränderte Auflage von M. Vasmer. 155 Seiten. 1947 Bd. 66

Erd- und

Länderkunde

Afrika. Von F. Jaeger. 2. Auflage. I : Physische E r d k u n d e . 1953. In Vorbereitung. . . I I : Geographie des Menschen u n d seiner Kultur. 1953. In Vorbeitung Australien und Ozeanien. Von H.- J . Krug. Mit 46 Skizzen. 176 Selten. 1953 Kartenkunde. Von M. Eckert-Greifendorff. Durchgesehen von W . Kleffner. 3. Auflage. Mit 63 Abbildungen. 149 Seiten. 1950

Wirtschaftswissenschaften

/

910

Bd. 911 Bd.

319

Bd.

30

Gesellschaftskunde

Allgemeine Betriebswirtschaftslehre. Von K . Mellerowicz. 7., veränderte Auflage. I : 142 Seiten. 1952 II: 112 Selten. 1952 I I I : 143 Selten. 1952 Soziologie. Geschichte u n d Hauptprobleme. Von L. von Wiese. 4. Auflage. 151 Selten. 1950

12

Bd.

Bd. 1008 Bd. 1153 Bd. 1154 Bd.

101

Sammlung Göschen /

Bandnummernfolge

1 Langosch, Der Nibelunge Nôt 3 vom E n d e , Die Maschinenelemente 9 Marcard-Beck, Die Dampfkessel I 2 0 Hofstaetter, Deutsche Sprachlehre 3 0 Kleffner, Kartenkunde 37 K l e m m , Anorganische Chemie 4 2 Behn, Vorgeschichte Europas 51 Bürklen-Rlngleb, Mathematische Formelsammlung 5 9 K r ä h e , Indogermanische Sprachwissenschaft 6 6 Berneker-Vasmer, Russische G r a m m a t i k 7 0 Nestle, Griechische Literaturgeschichte I 79 Hempel, Gotisches Elementarbuch 8 0 Weigert, Stilkunde I 87 W l t t i n g , Differentialrechnung 88 Integralrechnung 101 von Wiese, Soziologie I I I Hoffmann-Debrunner, Gesch. d. griech. Sprache I 117 Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft 125 Vossler, Italienische Literaturgeschichte 136 Mahler, Physikalische Formelsammlung 141 Oeitler, Morphologie der Pflanzen 142 Haussner, Darstellende Geometrie I 143 Haussner, Darstellende Geometrie II 146 Witting, Repetitorium und Aufgabensammlung zur Diff.-Rechn. 147 Wltting, Repetitorium und Aufgabensammlung z. Integralrechn. 170 Oehlmann, Musik des 19. J a h r h u n d e r t s 180 B ö h m , Versicherungsmathematik I 200/200a Oottschald, Deutsches Rechtschrelbu.'.gs-Wörterbuch 2 1 0 Bruhns-Ramdohr, Kristallographie 221 J a n d e r - J a h r , Maßanalyse I 2 2 2 Hassak-Beutel, Warenkunde I 2 2 3 Hassak-Beutel, Warenkunde I I 2 2 6 Hofmann, Geschichte der Mathematik I 2 2 8 Vogel, Landwirtschaftliche Tierzucht 2 3 8 Krähe, Oermanische Sprachwissenschaft I 243 Mahler, Physikalische Aufgabensammlung 247 Hoppe, Analytische Chemie I 248 Hoppe, Analytische Chemie I I 252 Dassler, Elektrochemie I 253 Dassler, Elektrochemie I I 2 5 6 Haussner, Aufgabensammlung zur analyt. Geometrie der E b e n e 257 Humburg, Die Gleichstrommaschine I 2 6 4 Lockemann, Geschichte der Chemie I 13

270 Kirn, Einführung In die Geschichtswissenschaft 279 Jacob, Quellenkunde der deutschen Geschichte I 280 Jacob, Quellenkunde der deutschen Geschichte II 281 Leisegang, Einführung in die Philosophie 284 Jacob-Weden, Quellenkunde der deutschen Geschichte III 319 Krug, Australien und Ozeanien 329 Scharrer, Agrikulturchemie I 335 Braun-Klug, Die Fette und Ole 336 Braun-Klug, Seifenfabrikation 342 Körting, Heizung und Lüftung I 343 Körting, Heizung und Lüftung II 344 Moser, Musikaesthetlk 354 Valentiner, Vektoranalysis 355 Neger-Münch, Die Nadelhölzer 375 Preller, Geschichte Englands 423 Adler, Fünfstellige Logarithmen 432 Borchers, Metallkunde I 433 Borchers, Metallkunde II 445 Asmus, Physikalisch-chemische Rechenaufgaben 452 Bahrdt-Scheer, Stöchlometrlsche Aufgabensammlung 468 Werkmeister, Vermessungskunde I 469 Werkmeister, Vermessungskunde II 483 Henglein, Lötrohrprobierkunde 492 Stolz-Debrunner, Geschichte der lateinischen Sprache 499 Niese, Autogenes SchweiSen 500 Simmel, Hauptprobleme der Philosophie 521 Marcard-Beck, Dampfkessel und Feuerungen II 538 Rumpf, Archäologie I 557 Nestle, Griechische Literaturgeschichte II 564 Behn, Kultur der Urzeit I 565 Behn, Kultur der Urzeit II 566 Behn, Kultur der Urzeit III 571 Lehmann, Philosophie des 19. Jahrhunderts I 579 Müller, Technische Tabellen 585 Dehnert, Verkehrswasserbau I 589 Tochtermann, Das Maschinenzeichnen I 590 Tochtermann, Das Maschinenzeichnen II 594 Lengerken, Tierreich IV/3: Insekten 597 Dehnert, Verkehrswasserbau II 619 Buchwald, Kristalloptik 668 Knopp, Funktionentheorie I 691 Fauser, Kulturtechnische Bodenverbesserungen I 692 Fauser, Kulturtechnische Bodenverbesserungen II 698 Schulze, Allgemeine und physikalische Chemie II 703 Knopp, Funktlonentheorle II 709 Lehmann, Philosophie des 19. Jahrhunderts II 711 Kesselring, Elektrische Schaltgerate I 718 Neger-Münch, Die Laubhölzer 763/63a Beer-Meyer, Hebräische Grammatik I 764/64a Beer-Meyer, Hebräische Grammatik II 768 Bieberbach, Einführung in die konforme Abbildung 780 Krähe, Germanische Sprachwissenschaft II 781 Weigert, Stilkunde II 807 Kropp, Erkenntnistheorie I 827 Schwaiger, Elektromotorische Antriebe 837 Baumgartner, Gruppentheorie 857 Capelle, Griechische Philosophie I 858 Capelle, Griechische Philosophie II 862 Werkmeister, Vermessungskunde III 14

877 Knopp, Aufgabensammlung zur Funktionentheorie I 878 Knopp, Aufgabensammlung zur Funktionentheorie 11 881 Humburg, Die Oleichstrommaschine II 902 Müller, D y n a m i k I 903 Müller, Dynamik II 910 Jaeger, Afrika I 911 Jaeger, Afrika II 9 I 7 / I 7 a Böhm, Versicherungsmathematik II 920 Hohelsel, Gewöhnliche Differentialgleichungen 929 Schirmer, Deutsche Wortkunde 930 Krull, Elementare und klassische Algebra I 931 Hasse, Höhere Algebra I 932 Hasse, Höhere Algebra II 952 Schäfer, Transformatoren 953 Zipperer, Technische Schwingungslehre 965 Dehnert, Wehr- und Stauanlagen 970 Baldus, Nichteuklidische Geometrie 972 Herter, Tierphysiologie I 973 Herter, Tierphysiologie II 978 Kleinlogel, Baustoffverarbeitung und Baustellenprüf. des Betons 984 Graf, Die wichtigsten Baustoffe des Hoch- und Tiefbaues 1000 Jaspers, Geistige Situation der Zeit 1002 J a n d e r - J a h r , Maßanalyse II 1003 Hohelsel, Partielle Differentialgleichungen 1008 Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I 1014 Huttenlocher, Mineral- und Erzlagerstättenkunde I 1015/15a Huttenlocher, Mineral- und Erzlagerstättenkunde II/III 1031 Apel, Philosophisches Wörterbuch 1034 Kranefeldt, Therapeutische Physiologie 1044 Tölke, Talsperren 1057 Roth, Thermochemie 1059 Hoheisel, Aufgabensamml. zu den gew. u. partiellen Diff.-Gleich, 1061 Grodzinski, Getriebelehre I 1065 Haller, Von den Karolingern zu den Staufern 1070 Sauter, Differentialgleichungen der Physik 1078 Troche, Stahlbetonbau 1082 Hasse, Aufgabensammlung zur Höheren Algebra 1084 Nusselt, Technische Thermodynamik I 1085 Lletzmann, Zeltrechnung 1086 Müller, Deutsches Dichten u. Denken vom Mittelalter zur Neuzeit 1092 Wlckop, Fenster, Türen, Tore 1094 Hernried, Systematische Modulation 1096 Viêtor, Deutsches Dichten und Denken v. d. Aufkl. b. z. Realism. 1105 H ä r t u n g , Deutsche Geschichte der Neuzeit I 1109 Knopp, Elemente der Funktionentheorie U l i Naumann-Beetz, Althochdeutsches Elementarbuch 1114 Schubel, Englische Literaturgeschichte I 1115 Ranke, Altnordisches Elementarbuch 1116 Meissner, Englische Literaturgeschichte II 1121 N a u m a n n , Deutsches Dichten und Denken I 1122 Feist, Sprechen und Sprachpflege 1123 Bechert-Gehrtsen, Atomphysik III 1124 Meissner, Englische Literaturgeschichte III 1125 Lehnert, Altenglisches Elementarbuch 1127 H a r t m a n n , Geschlecht und Geschlechtsbestimmung Im Tierund Pflanzenreich 1128 Buchner, Symbiose der Tiere mit pflanzlichen Mikroorganismen 1130 Dibelius, Jesus 1132 Frühauf, Überspannungen und Überspannungsschutz 15

1134 1135 1136 1137 1138 1141 1144 1146 1147 1148 1151 1152 1153 1154 1155 1156 1157 1158 1159 1160 1162 1163

Kuckuck, Pflanzenzüchtung Lehnert, Beowulf Meissner, Englische Literaturgeschichte IV. Heil, Entwicklungsgeschichte des Tier- u n d Pflanzenreichs Hämmerling, F o r t p f l a n z u n g im Tier- und Pflanzenreich Koller, Hormone Gehler, Festigkeitslehre I H u m b u r g , Die synchrone Maschine Sartorius von Waltershausen, K u n s t des Dirigierens Pepplng, Der polyphone Satz I Nusselt, Technische T h e r m o d y n a m i k II Dehnert, Verkehrswasserbau III Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre II Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I I I Schwartz, Mikrobiologie I Meinke, Komplexe Berechn. der Wechselstromschaltungen Schwartz, Mikrobiologie II Mayrhofer, S a n s k r i t - G r a m m a t i k J u n g b l u t h , Gießereitechnik I Dibelius-Kümmel, Paulus, Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere II

Auf Wunsch versenden vir kostenlos unsere Auswahlverzeichnisse: Allgemeine Geisteswissenscharten. 32 Seiten. S t a n d J u n i 1953 Mathematik. 17 Seiten. S t a n d A u g u s t 1953 Medizin. 24 Selten. S t a n d Mal 1953 Naturwissenschaften. 32 Seiten. S t a n d Mai 1953 Rechtswissenschaften. 40 Selten. S t a n d Mal 1953 Sprach- und Literaturwissenschaften / Geschichte. 32 Seiten. S t a n d J u n i 1953 Technik. 32 Selten. S t a n d J u n i 1953 Theologie. 33 Selten. S t a n d A u g u s t 1953

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