Atomphysik: Band 4 Theorie des Atombaus, Teil 2 [3., umgearb. Aufl. Reprint 2020] 9783112321775, 9783112310595

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SAMMLUNG

GÖSCHEN B A N D 1 1 6 5 / 1 1 6 5 a

Atomphysik Von

Dr. K a r l

Bechert

ord. Professor an der Universität Mainz und

Dr. C h r i s t i a n G e r t h s e n ord. Professor an der Techn. Hochschule Karlsruhe

Band IY

Theorie des Atombaus, 2. Teil Von Dr. K. B e c h e r t Dritte, umgearbeitete

Auflage

Mit 14 Abbildungen

W a l t e r d e G r u y t e r & Co. vormals G. J. Göschensche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp. BERLIN

1954

Alle Rechte, einschl. der RcchLe der Herstellung von Photokopicii und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

Archiv-Nr. 1 1 1 1 65 Druck von Harry Bartels, Berlin-Charlottenburg Printed in Germany

Inhalt des vierten Bandes Seite

§ 1. Atome mit 2 Elektronen

4

§ 2. Störungstheorie zeitunabhängiger Systeme. Stoßvorgänge 19 § 3. Der Eigendrehimpuls der atomaren Teilchen

46

§ 4. Der Elektronenspin in der Wellenmechanik

72

§ 5. Moleküle

96

§ 6. Zeitabhängige Störung, Lichtstreuung, Photoeffekt . . . . 127 § 7. Diracs Theorie des Elektrons

137

Register zu Band IV

164

§ 1. Atome mit zwei Elektronen Die Operatordarstellung px -> ^ ~ lehrt,wie die W e l l e n gleichung

für mehrere

Teilchen

lauten muß. Wir

werden px durch 5 ^ im klassischen Ausdruck für

zu

ersetzen haben und bekommen:

(1)

¿7.^« + ^Pot

Zn) + 2!

max c 2}u

+ ~ i dt' « ~ öxi + Sz\ ' Die Kontinuitätsgleichung (10), S. 100 I I I und die Betrachtungen über Operatoren von § 7, I I I können unmittelbar auf diesen Fall verallgemeinert werden. Es gilt:

(2) (3)

2

U = ^

div a j« + | = 0 ;

(u* grad a u — gr^d„ u* • u)\ q = u*u.

Dabei ist grad a der Vektor mit den kartesischen Komponenten—, -—, cz — und div a j„ bedeutet: cxa oy a a m

div i = ^

4 J j s a f 4 . 8 J » - A . \- d - ( U * - -

Multipliziert man (2) mit dem Volumelement äx des 3 Ndimensionalen Raumes (Konfigurationsraum Ä 3 i r ) aller N Teilchen und integriert, so kommt, wenn das Raumstück festgehalten wird: (5)

2lfun do=—

j J gär ;

Atome mit 2 Elektronen

5

da st das Oberflächenelement des Raumstücks im i?3N und n die äußere Normale auf dem Raumstück. Natürlich kann man auch über ein weniger hochdimensionales dz integrieren, etwa über eines, das dem Raum der Koordinaten aller Teilchen mit Ausnahme eines einzigen entspricht; die so aus (2) an Stelle von (5) gewonnenen Aussagen können bei Näherungsrechnungen nützlich sein. (2) gilt auch noch, wenn u* nicht gerade die zum bet r a c h t e t e n u komplex konjugierte Lösung der Wellengleichung (1) ist, sondern komplex konjugiert ist zu i r g e n d e i n e r der möglichen Lösungen u von (1). Man kann so an Stelle von j a , q in (2) auch einsetzen: (6) i«,« =

K grad« uk - grad« u, • uk); olk = u* uk .

Für ein abgeschlossenes System mit diskreten Eigenwerten folgt wie S. 101 I I I der Satz: (7)

jy>i*y>k

dr = 0, wenn Et 4= Ek\

dabei ist u=

ip e

» - -jrEt

Wenn Et = Ek, aber ipL nicht proportional zu y>k ist, so kann man die Eigenfunktionen y immer noch so wählen, daß alle zueinander orthogonal sind, s. S. 122 III. Für diese y gilt dann: (8)

J fi* y>k dz = 0 , wenn y)t=$= y>k.

Die Betrachtungen von S. 101 I I I über die Randbedingungen, die aus (5) folgen, gelten auch für Systeme mit mehr als einem Teilchen. Gl. (1) wenden wir auf dasHe-Atom(oderLi + ,Be + + . . .)an. Der Kern werde als oo schwer betrachtet; die Schwingung«

6

Atome mit 2 Elektronen - I s t

sei „monochromatisch" : u = e " gleichung (¡u = Elektronenmasse): ,m

{

h2 , .

.

. ,

Ze2

ip. Folgt als WellenZe2

, e2 1

w

Wäre e2/r12 vernachlässigbar, so hätten wir zwei Elektronen, die sich gegenseitig nicht stören, also „Wasserstoffähnlich" umlaufen. Wirklich kann man dann (9) aufteilen in: h2

(10)

r

%2

Ze2)

— — } y«i(l) = Wnl xpnl (1), 2e2 1

wenn man in (9) setzt: (11) y, ^ ^ = rpnl (1) y,n (2); W =W0 = Wn +

Wn2.

Das entspricht dem physikalischen Sachverhalt: Die Gesamtenergie W ist in diesem Fall die Summe aus den Energien der beiden Elektronen; wir nennen sie die Energie „nullter Näherung" W0. Vernachlässigt man e2/r12 in (9) nicht, so wird die Energie W von W0 verschieden sein, die Wechselwirkung der Elektronen verändert natürlich die Gesamtenergie des Atoms. Durch Multiplikation irgend einer Eigenfunktion f n i (1) des 1. Elektrons mit einer beliebigen anderen Funktion ipn2 (2) des 2. Elektrons bekommt man offenbar alle denkbaren linear unabhängigen Eigenfunktionen nullter Näherung. Wnl, Wn2 sind Energien von H-Elektronen im Kernfeld Ze; wir nehmen sie zunächst als verschieden an. Dann ist z. B. ein Elektron in der Bahn n = 1, das andre in n = 2 usw. Zu W0 — Wnl + Wn2 gibt es aber außer yioa noch die davon verschiedene Eigenfunktion (12) foß = y»i( 2 ) • v m W ; sie geht aus f o a durch „Vertauschen" der 2 Elektronen hervor („Austauschentartung"). Die allgemeine zu TF0 gehörige Eigenfunktion ist dann («, ß willkürliche Konstanten):

7

Atomo mit 2 Elektronen oi

y>o= V'o«

(13)

+

ßvoß'

die beiden Zustände „1. Elektron in nv 2. in n 2 " und „1. Elektron in n 2 , 2. in n " überlagern sich, sind k o h ä r e n t . ip0 genügt der Gleichung /^s *

dt 2

bei beliebigem x, ß. Also gilt (16) insbesondere für tp0 = ip^ und tp = ip ß, so daß in (16) zwei Gleichungen zu erfüllen sind. Wir lösen sie angenähert vom ungestörten Zustand (e2/r12-¡- 0) aus und setzen daher an: 0

(17)

0

V

= y>0+y>1

+ ...;W=W0

+

W1+...,

wo f 0 die Linearkombination (13) bedeutet, denn wir wissen ja noch nicht, an welchen der nach (13) möglichen Zustände ip0 sich die Funktion 1p gemäß (17) stetig anschließt, wenn wir e2/rJ2 „einschalten", d. h. mit wachsender Genauigkeit berücksichtigen. D i e s e n s p e z i e l l e n Z u s t a n d y>0 s u c h t sich die „ S t ö r u n g " e2jrm s e l b s t a u s ; er ist nämlich durch

8

Atome mit 2 Elektronen

(16) bestimmt. Wir betrachten ja e 2 /r 12 als „klein von erster Ordnung" und bekommen daher durch Einsetzen von (17) in (16) die Gleichung (18)

/ y>J,,ea/r12y0nl (2) ^ n 2 ( l ) ) aus. f a n t i wechselt das Vorzeichen, wenn man die Elektronen miteinander vertauscht (antisymmetrische Eigenfunktion); sie ist Null, wenn % = w2 ; f s y ändert das Vorzeichen nicht. i + V>2. • • •) = 0; also bis zur 2. Näherung in Hx einschließlich: (.ff, + H1 - (W0 + W, + W2)) y,BS9 + (H0 + H,- (W„ + Wx)) Vl + (Ho-Wo)y>2 = 0. Nach Voraussetzung ist: (24a) (H0 - Wa)Wüsy = 0 ; da wir Hlt Wlt y>1 als von erster Ordnung betrachten, folgt weiter bis zur 1. Ordnung einschließlich: (24b) (H1 - WJ Wuy + (H0 i f f , ) y i = 0 ; und für die 2. Näherung: (24c) - W2y^ + (E1 - WJy* + (H0 - W„) y>2 = 0 ; das läßt sich formal beliebig fortsetzen. H0, H1 sind symmetrisch in den Teilchen, W0, Wlt W2 sind Konstanten. Wir vertauschen in (24b) die Teilchennummern, multiplizieren diese Gleichung mit einer beliebigen Konstanten c und addieren sie zu (24b). So entsteht: (25) {S1 - WJ (1 + e) Wasy + (H0 - W„) ( V l (l,2) + cVl(2,l)) = 0. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist die Summe aus einem partikulären Integral von (25) und dem allgemeinen der homogenen Gleichung: (ü0 — Wa) u = 0. Man kann also schreiben: (26) v>i(l,2) + c V l (2,l) = {l + c)-Sy + AVt>sy + Bw2, und auf alle folgenden Näherungen. — Wären wir von der antisymmetrischen Lösung ausgegangen, so käme an Stelle von Sy in (26) eine antisymmetrische Funktion, und ^(1,2) würde antisymmetrisch in den Teilchen; ebenso alle folgenden Näherungen.

Diese Ergebnisse einschließlich (22), (23) sind übrigens von der speziellen Form e 2 /r 12 ganz unabhängig. Sie gelten für beliebige Störung Hu die symmetrisch in den Elektronen ist. In (19) ist dann natürlich H 1 an Stelle von e 2 /r 12 zu setzen. Ja sie gelten allgemein für ein System mit 2 gleichen Teilchen. Denn da die Elektronen 1, 2 (allgemeiner: gleiche Teilchen) prinzipiell nicht voneinander unterschieden werden können, so ist H1 n o t w e n d i g symmetrisch in den Elektronen 1, 2. J e d e p h y s i k a l i s c h d e n k b a r e S t ö r u n g gibt also die genannte Einteilung der Eigenfunktionen in symmetrische und antisymmetrische. Im Grundzustand gibt es keine Austauschentartung; dort ist yj0 = y>l (1) (2) • const = xpQCt = ip0ß\ er gehört zum symmetrischen System der Eigenfunktionen. Nach (18) ist hier aber W1=J\y>0\2-^-dr1dz2

= e

und daher die Energie in erster Näherung: (27)

W = 2P70 + e = - 2 Z 2 - / H + e .

Die Einteilung in die 2 Symmetrieklassen gibt es auch in der klassischen Mechanik bei der Bewegung zweier gleicher Teilchen; Beispiel: 2 gekoppelte lineare Oszillatoren. Die Normalschwingungen sind xx + x2 und xv — x2, also symmetrisch und antisymmetrisch. Sie entsprechen den Eigenfunktionen, weil jede zu einer einzigen Frequenz (wellenmechanisch: Energie) gehört. Wellenmechanisch hat das System zweier gleicher Teilchen die weitere Eigenschaft: Es gibt keine physikalische Einwirkung (mit. einer gleich zu erwäh-

Atome mit 2 Elektronen

1Ï

nenden Einschränkung), die imstande wäre, einen Übergang des Systems von einem Zustand der einen Symmetrieklasse in einen der anderen Symmetrieklasse zu erzwingen. (Dabei sehen wir ausdrücklich von Einwirkungen ab, die durch stoßende Teilchen der g l e i c h e n A r t [bei He also Elektronen] erzeugt werden, u n d wir vernachlässigen die sogen. „Spinwirkungen", s. § 4; sie sind bei leichten Atomen klein.) Eine beliebige physikalische Einwirkung muß nämlich immer symmetrisch in den Teilchen sein; ihre Wirkung kann dargestellt werden durch Matrixelemente von symmetrischen Funktionen: (28)

(n\%\n')=fyj'n^dr1dr2,

wo rechts der % entsprechende Operator einzusetzen ist, s. § 7, III, Gl. (9). Ist nun xpn symmetrisch, antisymmetrisch, so würde bei Änderung der Numerierung 1, 2-* 2 , 1 das Integral (28) sein Vorzeichen ändern, während doch eine solche Bezeichnungsänderung für ein bestimmtes Integral, mit in den Teilchen symmetrischen Grenzen, nichts ausmachen darf. Also ist es Null, d. h. es gibt keine physikalischen Größen, die Übergängen n ^ - n zugeordnete Matrixelemente haben. Ist das Atom einmal im symmetrischen System, so kann es nicht wieder herauskommen. Das HeSpektruin zeigt tatsächlich eine solche Einteilung in 2 Systeme von Energiestufen 1 ), die optisch nicht miteinander kombinieren, zwischen denen auch durch Stoßanregung — außer durch Elektronen — kein Übergang erzwungen werden kann: Ortho-He und Par-He. Zum letzteren System gehört der Grundzustand, es ist also das s y m m e t r i s c h e S y s t e m . Elektronenstoß macht eine Ausnahme, weil dann zwischen den 2 He-Elektronen und dem stoßenden Elektron Austauschentartung besteht. Sobald dies stoßende Elektron in ') Vgl. den Göschenband Spektroskopie.

12

Atome mit 2 Elektronen

Wechselwirkung tritt mit den beiden andern, kann man experimentell nicht mehr unterscheiden, ob das am Ende wegfliegende Teilchen das stoßende war. Die Eigenfunktionen des Gesamtsystems entsprechen dann der Symmetrie des 3-Elektronenproblems. Es gibt dann mehr Symmetrieklassen, s. auch § 4, die Überlegung zu (28) wird ungültig; der Grund ist letzten Endes wieder die Kohärenz von Zuständen gleicher Gesamtenergie, die sich durch Vertauschung der gleichen Teilchen voneinander unterscheiden. Zur genauen Berechnung von E n e r g i e w e r t e n ist unser Näherungsverfahren nicht geeignet. Dazu können Variationsverfahren dienen. Wir beweisen: Für abgeschlossene Systeme mit N Teilchen ist die Aufgabe, die Eigenwerte W der Wellengleichung (29)

=

=

W

N

1 ¿ - ¿ , + Spot,

zu bestimmen, gleichwertig mit der Aufgabe, das Integral (30) L = J j y

~

(grad, v*, grad„ v) + Epot

v*v

zu einem Extremum zu machen durch geeignete Wahl von v*, v, unter der Nebenbedingung:

(31)

fv*vdrg

= l.

Es sind v*, v unabhängig voneinander zu variieren; an den Grenzen soll dv*, dv Null sein. Das Integral dti geht über den ganzen Koordinatenraum der N Teilchen. Mit der Beschränkung auf abgeschlossene Systeme meinen wir, daß v*, v am Rand so stark Null werden sollen, daß Oberflächenintegrale, die durch partielle Integration entstehen, weggelassen werden können.

Atome mit 2 Elektronen

13

Durch Variation von (30) entsteht: (32)

2 ! i - ((grad, öv*, grad„ t>) + (grad, v * , grad + E v o t (öv*-

v + v * • &)} d r g

+ ^pot«) + *> ( - 1 2 f =J*| der Energie. Andrerseits wird aus (30), wenn man ähnlich wie in (32) partiell integriert: (33)

L = f v * H v d r

g

- ,

wird hier für v die Lösung f des Extremalproblems eingesetzt, so gilt: (34) L = j y * W f d x t = W . Bei der Anwendung dieser Ergebnisse macht man, ausgehend von physikalischen Überlegungen, einen Näherungssatz für v , der wählbare Parameter

= y>0+y>1+y>a+...

.

Für die nullte, erste und zweite Näherung gelten die Gin. (24a—c) § 1, wenn wir dort den Index „sy" an y>0 weglassen. a) I s t d e r A u s g a n g s z u s t a n d W0 = Wok n i c h t e n t a r t e t , so gibt es nur ein Zugehöriges y 0 = ip0k- Wir entwickeln y>x, da es dieselben Randbedingungen erfüllen muß wie die Eigenfunktionen des ungestörten Systems, nach den ipon, die wir als orthogonal und normiert annehmen können: = 2

(5)

n

«»^o«;

entsprechendes gilt für H 1 ip^: (6) H1 lf0k = 21 bnk Won; l>nk=/Von*

#1 fok dtg=

(w| ffi |

!

n

die bnk sind also grundsätzlich gibt so: (7)

J 5 { ( » \H1\h)~Wi

ökn

bekannt. Gl. (24 b), § 1 +

an{Wan

-

Wok)}y,on

Multiplikation mit y>0* und Integration über dr q gibt: (8)

(j | ffx | k) -

W.ök,

+ a, (Woj -

Wok)

= 0.

= 0;

Störangstheorie zeitunabhängiger Systeme, Stoßvorgänge

21

j = k liefert die Energiestörung erster Ordnung: (9)

W1 = (k | H1 \ k) = f

Wok*

H1

rpükdx,

als den „wellenmechanischen Mittelwert" der Störungsfunktion Ev j + k gibt die und nach (5) auch ipy: (10) a n =

r'an

_ V

yynk

; fr = — 2

n

'(nlÄjfe)' . w v T , " Von; a * = 0 . ''on~

'vok

Das Glied n = k ist in der Summe wegzulassen, das soll Strich an £ andeuten; nach (8) bleibt nämlich ak unbestimmt, dererseits kommt y>ok bereits in der nullten Näherung vor, so daß es in y i nicht brauchen. Die Normierung von y> ist damit auch währleistet bis zur ersten Ordnung einschließlich:

(11) /1 y>\2äti=j\

der anwir ge-

V o t l 2 ^ ! + / ( V o i * V i + Vi*Vo*)on; H1 n

= H12'

a,- yoj j

=2Jaj2]bniy>on-, ' n

j

so wird: (13)

Hi-Wtdtn + n

[

Ü ' a t l ^ - W ^ j

+

iWm

— Wok)

en J- y>on =

0.

Folgt wie in (8): (14)

-Wadtn'+Il'afbn>i-W1an> i

+

(W„>-Wot)en'=0.

n = k gibt wieder die Eigenwertstörung: (15)

W2 =

j

ajhk,

= n

''OB ~~ v'0k

,

denn E1 wird als meßbare Größe durch einen selbstadjungierten Operator dargestellt, so daß (k \ H1 \ n) = (n | H11 k)*, vgl. I I I S. 117/18, Gl. (10).

22

Störungstheorie zeitunabhängiger Systeme, Stoßvorgänge

Merkliche Beiträge zu tp1 und W2 kommen also erstens von den Energieniveaus, die nahe am Ausgangsniveau W 0 j liegen, und zweitens von denjenigen, wo Hy merkliche Werte hat an den Stellen, an denen sowohl y)on als auch merkliche Amplituden haben. b) Ist der Ausgangszustand Wok e n t a r t e t , so gibt es s linear unabhängige Eigenfunktionen ipülcx, die wir als orthogonal und normiert annehmen können1). Durch eine orthogonale Transformation im s-dimensionalen Raum, mit den Koeffizienten Aß„ kann man s neue linear unabhängige orthogonale und normierte Funktionen y>okß einführen: s (16)

yo k ß = 2 Apxfoi*;

es ist nämlich: (17)

f Votß' Wmär9 = 2 A*ßV Aßa • f J «•„iß.

24

Störungstheorie zeitunabhängiger Systeme, Stoßvorgänge

An jedes

schließt als nächste Näherung eine Funktion

ip-yß an. F ü r n' 4= k folgt aus (22): s

j;

(25)

an-„-

I |

=

w " , _ w , "OK "ok

!

¿ A ^ i n ' a ' l H ^ k a ) =

Wlß

2

n'

w

21 a'

"on

i_w

" VW®'

''Ok

•

Als Anwendung berechnen wir für Parhelium den Energieunterschied zwischen dem Zustand, der durch die Quantenzahlen « j = 1, ¡! = 0; n 2 = 2, ¡2 = 1 gekennzeichnet ist (ls 2p 1 P-Zustand, s. §3), und dem Zustand mit den Quantenzahlen«! = 1, = 0; « 2 = 2, i2 = 0 (ls 2s 'iS-Zustand). Als nullte Näherung verwenden wir Wasserstoffeigenfunktionen; Störungsfunktion ist die Wechsele2

Wirkung E1 = — der beiden Elektronen. Es ist: r

(26)

a

= -

Z»JB

+

= -

-§

ZVfl

.

Wir bezeichnen die Wellenfunktionen mit Zahlen, u m eine bequeme Schreibweise für die Matrixelemente der Störungsfunktion zu haben: (27a)

y,10B (1) V l I 1 (2) = 1;

V l 0 0 (2) V m

(1) = 1 ;

entsprechend für: (27b)

v»ioo (1) Vfc» (2) = 2; Vioo(l) V100 (2) = 4.

Vl „„

(1) Vm, - 1 (2) - 3;

Der Zustand (26) ist entartet; vom symmetrischen System gehören die 4 normierten Eigenfunktionen nullter Näherung zu ihm: (28)

y,0W = ~

(1 + 1);

WoW

= _ L (2 + 2);

Störungstheorie zeitunabhängiger Systeme, Stoßvorgänge

25

Für die Berechnung der Matrixelemente von H 1 eignen sich die Koordinaten rv r 2 , Q ' als Wellenfunktion benützen, die zur dreifachen Wurzel gehört. Die Funktionen (28) sind orthogonal und normiert. Wären wir vom antisymmetrischen Zustand mit den gleichen Quantenzahlen ausgegangen, so hätte WOK denselben Wert; die Eigenfunktionen nullter Näherung wären:

.

(37)

^'> =

^ ( l - i ) ;

y

W

=

^ ( 2 - - 2 ) ;

und die Eigenwertstörungen erster Ordnung: (38 a) W(P = (11) - (11) = ZJB • OQFIO ¿ g = 0,452 • ZJH, dreifache Wurzel ( L S 2 P 3 P ) , (für He: W = - 4,096 JH, beobachtet - 4,266 JE), ( 3 8 b ) W < i r > = (44) -

(44) = Z J

H

974. - ~ = 0,376-ZJB,

einfache Wurzel, (1 s 2 s3»S'), (für He: W = - 4,248 JH; beobachtet - 4 , 3 5 0 JH)\ Energiedifferenz: W*1'1 - F ( , i n = 0,076 - Z . I H ; für He sind das 2.23 eV. beobachtet: 1,14 eV.

28

Störungstheorie zeitunabhängiger Syteme, Stoßvorgänge

Die Paraterme liegen energetisch höher als die Orthoterme, vgl. (35), (38a) oder (36), (38b); und es liegt der Term L = 1 (P-Term) höher als der Term L = 0 (S-Term), vgl. (35), (36) oder (38a), (38b).

Rutherfordsche Streuung. Als Vorbereitung zur Theorie der Stoßvorgänge behandeln wir den Stoß eines Teilchens mu Zxe gegen eine andres m2, Z 2 e; die Z{ können positiv oder negativ sein. Die Teilchen sollen n i c h t g l e i c h sein. Zwischen ihnen soll C o u l o m b s c h e W e c h s e l w i r k u n g bestehen. Der S t o ß soll e l a s t i s c h sein, also keine Anregung dabei geschehen. Wie beim H-Problem kann man die Schwerpunktsbewegung abtrennen; sie entspricht einer de Broglie-Welle von gegebenem Impuls und gegebener Energie W s . Wir brauchen nur die Relativbewegung betrachten, für deren Energie W!ei wir W schreiben; sie bleibt beim Stoß ebenfalls erhalten. Die Wellengleichung der Relativbewegung ist in den relativen Koordinaten (39a) istj-tj, wenn wir die resultierende Masse (39b) v ' einführen: (40)

m •

"h>'h m1 + m2

+ ~ Z r ~ - » 0 v = 0;

die Zeitabhängigkeit ist bereits abgespalten: 2

-i

+ 2 moic2. i=l Für die Rechnung sind dimensionslose Größen bequem: (41)

u = y)-eT

l

\ E = W +WS

w /¿ox ' * h* r = ~ - ; w = -=- ; aa = —\ v(42) ' an JH me2 So wird:

(43)

( - A ' +

97 Z

7

~ p - w )

w

= 0.

e* Ja = „— • 2 ÜH

T

Störungstheorie zeitunabhängiger Systeme, Stoßvorgänge

29

Dem Stoßproblem sind Parabelkoordinaten angemessen: (44a)

x = j•(£—

fj); y = j / ^

COS99;

z = | / ¡ ; r j sin 0 sind für q> = 0 Parabeln, die nach der positiven ¡¿'-Richtung offen sind, eine davon ist in Abb. 2 gezeichnet. Sie stehen senkrecht auf den Parabeln f = const > 0, die nach links offen sind. Der Koordinatenursprung ist gemeinsamer Brennpunkt aller Parabeln; (f ist der Drehwinkel um die x'-Achse; f , /) sind dimensionslos.

Die ankommende Energie der Relativbewegung ist: (45)

W = f

=

w

=

=

fc 2

''

wenn wir setzen: (46) k' = kaB; k ist die Wellenzahl der ankommenden de Broglie-Welle der Relativbewegung. In Parabelkoordinaten wird:

30

Störungstheorie zeitunabhängiger Systeme, Stoßvorgänge mn\

I

4

(

' st) dtp2

8

t

8

i

f + r)

8

8

I

\

r

Die ankommende Welle soll in der positiven »'-Richtung wandern; dann besteht Symmetrie um die «'-Achse, so daß die Wellenfunktionen nicht von

• 2m "• T(-a) 2 ^Be-^'+^'-y ö-r(id) hier ist die Eigenschaft benützt:

t • r(r) — r(r + 1),

(67)

die leicht aus (65) bewiesen werden kann. An (48), (52), (64) sieht man, daß V,s zur auslaufenden Kugelwelle gehört, also der S t r e u w e l l e n a n t e i l von V ist; Vp ist der Anteil, der zur ebenen Welle gehört. B kann als reell und positiv angenommen werden; es bestimmt sich aus dem ankommenden Teilchenstrom Jp pro cm2 und sec (im Schwerpunktsystem). E s ist:

(68)

%pv = eik'x'+ik'i • Vp ,

(derselbe Zusammenhang besteht zwischen

J = (A jm

(69) p

Damit wird: (70a)

Vp =

^j\

^

r

und F Ä ) , und: / 3foi\2

,rel

Jp e~ik'" + mel'" • r\(iö)\ md) '

;

*) S. M a g n u s - O b e r h e t t i n g e r , Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathemat. Physik, Springer, Berlin.

Stönmgstheorie zeitunabhängiger Systeme, Stoßvorgänge

35

ö

(70 b)

der S t r e u s t r o m Js in den Raumwinkel dQ» (Rutherfordformel):) (71)

Js = (A j m L \ l

|

_ J/|e| > i

W U W sin2 y I

^

hinein ist

| va |« • rHQ»

V-iQ,.

Die Beziehungen gelten im Ruhsystem

Ufr'

2nBe

/ g -iilgi'(r'-®')

(y- s (l,2) +

y>s(2,l))

2

e-i