Differentialgeometrie: Band 3 Theorie der Flächenkrümmung [Reprint 2019 ed.] 9783110865851, 9783110062694

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Differentialgeometrie von

Dr. phil. Karl Strubecker O. Professor der Mathematik an der Universität Karlsruhe

in Theorie der Flächenkrümmung

Zweite, verbesserte Auflage Mit 38 Figuren

Sammlung Göschen Band 1180/1180a

Walter de Gruyter & Co • Berlin 1969 vormals G. J . GOschen'gche Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp»

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: Band

I.- Kurventheorie der Ebene und des Raumes (Band 1113/1113 a)

Band II: Theorie der Flächenmetrik (Band 1179/1179 a) Band III: Theorie der Flächenkrümmung (Band 1180/1180 a)

© Copyright 1969 by Walter de Gruyter & Co., Berlin 30, Genthiner Str. 13. Alle Hechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 7712699. Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. Printed in Germany.

Inhalt Literaturverzeichnis Einleitung

5 6 IV. Theorie der Fläckcnkrümniuiig

A. Streifentheorie 1. Theorie der Streifen 2. Geodätische Streifen, Schmiegstreifen u n d K r ü m m u n g s s t r e i f e n

6 12

B. Elementare Theorie der Flächenkrümmimg 3. Die zweite G r u n d f o r m der Flächentheorie. Satz von Meusnier 17 4. N o r m a l k r ü m m u n g , Schmiegtangenten, Schmieglinien . . . . 25 5. Beispiele: Windschiefe Regelfiächen, Drehflächen, F l ä c h e n z = z(x,y), N a b e l p u n k t e 29 6. F o r m e l von Euler 37 7. I n d i k a t r i x von Dupin 42 8. K o n j u g i e r t e F l ä c h e n t a n g e n t e n 50 9. Schiebflächen 55 10. Krümmungslinien. Gaußsche K r ü m m u n g E lind mittlere K r ü m m u n g S einer Fläche CO 11. Beispiele: Drehflächen, Ebene, Kugel, Pseudosphüre, K e t t e n fläche G5 12. Geodätische W i n d u n g einer F l ä c h e n k u r v e , Sätze von F . J o a chimsthal 63 13. Weiteres über K r ü m m u n g s l i n i e n . Normalenfläehen. Formel von Olinde Rodrigues 71 14. K r u m m l i n i g e K o o r d i n a t e n im R a u m . Satz von Dupin über dreifach orthogonale Flächensysteme. Parallelflächen 76 15. Normalenkongruenz einer Fläche. Zentrafläche 85 16. K a n a l f l ä c h e n , Gesimsflächen, Dupinsche Zykliden 89 17. F l ä c h e n von Monge u n d Serret mit einer einzigen Schar von Krümmungslinien 92 18. K o n f o r m e (winkeltreue) Abbildungen des R a u m e s . Möbiussche K u g e l t r a n s f o r m a t i o n e n . Satz von Liouville 98 19. Die F o r m e l n von W e i n g a r t e n 104 €. Gaußsche Theorie der Fläehenkrümmung 20. Sphärisches Bild einer Fläche nach G a u ß ; Geometrische D e u t u n g der Gaußschen K r ü m m u n g 21. Das Theorcma egregium von G a u ß 22. Geodätische P o l a r k o o r d i n a t e n , R i e m a n n s c h e N o r m a l k o o r d i n a t e n . Biegungsinvariante E r k l ä r u n g der Gaußschen K r ü m m u n g . . . 23. Satz von G a u ß u n d B o n n e t 24. A n w e n d u n g e n der G a u ß - B o n n e t s c h e n Integralformel 25. F l ä c h e n k o n s t a n t e r Gaußscher K r ü m m u n g 26. Reelle Drehflächen k o n s t a n t e r Gaußscher K r ü m m u n g . . . . 27. Drehflächen k o n s t a n t e r Gaußscher K r ü m m u n g K = const mit (eigentlicher) isotroper Drehachse

107 117 123 128 135 143 147 154

4

Inhalt 28. 29. 30. 31.

Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische E b e n e P r o j e k t i v e Metrik. P r o j e k t i v e s Modell der hyperbolischen E b e n e K o n f o r m e s Modell der hyperbolischen E b e n e E n t s c h e i d u n g der Isomctrie zweier Flächen (Problem von Minding)

D. Ableitnngsgleiehungen und Fundamentalsätze der Flaebentheorie 32. Die Gaußschen Ableitungsformeln der Flächentheorie . . . . 33. Die I n t e g r a b i l i t ä t s b e d i n g u n g e n der Flächentheorie. F o r m e l n von Codazzi u n d Mainardi 34. Der F u n d a m e n t a l s a t z der Flächentheorie von Ossian B o n n e t 35. Geodätische Abbildung einer Fläche auf die euklidische E b e n e 36. Der I d e n t i t ä t s s a t z f ü r Eifliichen. Un verbieg barkeit u n d S t a r r heit der Eiflächen

158 162 172 181

189 193 198 205 210

E. Minimalflächen 37. Minimalflächen 38. Minimalflächen als Schiebflächen isotroper K u r v r n . F o r m e l n von Weierstraß 39. Assoziierte Minimalflächen 40. A d j u n g i e r t e Minimalflächen mit kongruenten oder s y m m e t r i s c h e n isotropen Schiebkurven. Minimalflächen von Lie u n d Geiser . . 41. F o r m e l n von H . A. Schwarz. Problem von E . G. Björling . . 42. Beispiele Namen- u n d Sachverzeichnis

221 225 231 235 240 247 250

F o r m e l v e r w e i s e : Es gelten sinngemäß die schon in B a n d l und Band I I erklärten u n d a n g e w a n d t e n Verweise. Insbesondere bezeichnet (IV) den vorliegenden Abschnitt IV ( F l ä c h e n k r ü m m u n g ) . — Weiter b e d e u t e t (IV. 12) das Kapitel 12 von Abschnitt IV und (16. 3) die Formel 3 in K a p i t e l 16 des l a u f e n d e n A b s c h n i t t e s IV. Schließlich verweist (7. Bern. 1) a u l B e m e r k u n g 1 in Kapitel 7 des laufenden Abschnittes IV und ( I I I . 10. Satz 2) auf Satz 2 in Kapitel 10 von Abschnitt I I I .

Literaturverzeichnis Neben der in Band I und Band I I dieser „ D i f f e r e n t i a l g e o m e t r i e " angeführten Literatur befassen sich mit dem Gegenstande des vorliegenden Bandes I I I die folgenden Werke und Schriften: 1. Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen I I I . Band. Geometrie, 3. Teil D. Differentialgeometrie, Leipzig 1902—1927. 2. H. E. T i m e r d i n g , Repertorium der höheren Mathematik, 2. Aufl., 2. Bond: Geometrie, 2. Hälfte: Raumgeometrie, Leipzig und Berlin 1922. 3. Josef N a a s — Hermann Ludwig S c h m i d , Mathematisches Wörterbuch, 2 Bde., 3. Aufl. Berlin—Stuttgart 1968. 4. Alexander Danilovitsch A l e x a n d r o w , Die innere Geometrie der konvexen Flächen, Berlin 1955. 5. Richard B a l d u s , Nichteuklidische Geometrie (Hyperbolische Geometrie der Ebene), 4. Aufl., durchgesehen und herausgegeben von Frank L ö b e l l , Sammlung Göschen Band 970, Berlin 1964. 6. Eugenio B e l t r a m i , Opere matematiche, vol. 1, Milano 1902. 7. Roberto B o n o l a , Die nichteuklidische Geometrie, deutsch von Heinrich L i e b m a n n , 3. Aufl., Leipzig und Berlin 1921. 8. Richard C o u r a n t , Dirichlets principle, Conformai Mapping and Minimal surfaces. New York 1950. 9. Nikolaj Vladimirovitsch E f i m o w , Flächenverbiegung im Großen (mit einem Nachtrag von E. R e m b s und IC. P. G r o t e m e y e r ) , Berlin 1957. 10. J. F a v a r d , Cours de géométrie différentielle locale, Paris 1957. 11. Felix K l e i n , Yorlesungen über höhere Geometrie, 3. Aufl., bearbeitet von Wilhelm B l a s c h k c , Berlin 1926. 12. Felix K l e i n , Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie, f ü r den Druck neu bearbeitet von W. R o s e m a n n , Berlin 1928. 13. Felix K l e i n , Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, TeilI, bearbeitet von R. C o u r a n t und O. N e u g e b a u e r , Berlin 1926; Teil I I , bearbeitet von R. C o u r a n t und St. C o h n - V o s s e n , Berlin 1927. 14. Erwin K r u p p a , Analytische und konstruktive Differentialgeometrie, Wien 1057. 15. Hanfried L e n z , Nichteuklidische Geometrie, B.I.—Hochschultaschenbücher Nr. 123/123a, Mannheim 1967. 16. Max P i n l , 100 Jahre Differentialgeometrie, Mathematisch-Physikalische Semesterberichte, 5 (1956) S. 34—48. 17. A . W . P o g o r e l o w , Die eindeutige Bestimmung allgemeiner konvexer Flächen, Berlin 1956. 18. Tibor R a d 6 , On the Problem of P l a t e a u , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Band, Berlin 1933. 19. Bernhard R i e m a n n , "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Göttinger Abhandlungen 13 (1868) S. 1—20, oder Ges. Werke 2. Aufl. S. 272—2S7, oder Physikalische Blätter 10 (1954) S. 296 bis 313 (mit Erläuterungen von Karl S t r u b e c k e r ) . 20. Hermann Amandus S c h w a r z , Gesammelte mathematische Abhandlungen, Band I , Berlin 1890. 21. Hermann W e y l , Mathematische Analyse des Raumproblems, Berlin 1922. 22. H e r m a n n W e y l , Raum, Zeit, Materie, Vorlesungen über Allgemeine Relativitätstheorie, 5. Aufl., Berlin 1923.

Einleitung Während sich Band II dieser Einführung in die Differentialgeometrie mit den Elementen der i n n e r e n F l ä c h e n t h e o r i e befaßte, die allein von der e r s t e n G r u n d f o r m der Fläche beherrscht wird und außer der Flächenmetrik und der Vektoranalysis auf Flächen noch die Theorie der Abbildungen von Flächen und die Theorie der geodätischen Linien umfaßt, entwickelt der vorliegende Band I I I die Elemente der von der z w e i t e n G r u n d f o r m abhängigen ä u ß e r e n F l ä c h e n t h e o r i e , d.h. die K r ü m m u n g s t h e o r i e der F l ä c h e n , sowie jene h ö h e r e n Teile der i n n e r e n F l ä c h e n t h e o r i e , welche sich an den Begriff der G a u ß s c h e n K r ü m m u n g anschließen. Neben den klassischen Fragen der Differentialgeometrie im Kleinen werden dabei auch einige neuere Fragen der Differentialgeometrie im Großen erörtert. IY. Theorie der Flächenkrümmung A. Streifentheorie 1. Theorie der Streifen. Ordnet man den Punkten P einer (stetig gekrümmten und nicht isotropen) Raumkurve j = £(s), die auf ihren B o g e n s als Parameter bezogen ist, eine (nicht isotrope) Tangentenebene n zu, so erhält man einen zur Raumkurve j(s) gehörigen S t r e i f e n . Man nennt j(s) die L e i t k u r v e des Streifens oder die S t r e i f e n k u r v e . Dieser Streifen heißt s t e t i g g e k r ü m m t , wenn außer der Kurventangente t = j'(s) auch noch der (zu ihr orthogonale) N o r m a l e n v e k t o r n = n(s) der S t r e i f e n e b e n e JZ(S) stetig ableitbar ist. t(s) und n(s) sind Einheitsvektoren: 111 = | n | = 1. Wegen der Orthogonalität von n(s) und t(s) ist n j ' = 0. Beispiel 1: Flächenstreifen. Auf jeder stetig gekrümmten (d.h. zweimal stetig ableitbaren) Fläche $ = J(M, V) bilden die Tangentenebenen n{s) längs einer beliebigen stetig gekrümmten

1. Theorie der Streifen

7

Flächenkurve j ( s ) = j(m(S), V(S)) einen stetig gekrümmten S t r e i f e n ( F l ä c h e n s t r e i f e n ) ; N o r m a l e n v e k t o r jt(s) des Streifens an der Stelle s ist die im Punkte s v o n j (s) errichtete F l ä c h e n n o r m a l e tt(s) = rt(tt(s), i>(s)).

Mit dem durch die Vektoren (1.1)

£ = £(s) und n = n(s)

(|n(s)| = 1, n(s)i'(«) ^ °)

(j(s) = Ortsvektor der Streifenkurve und n(s) = Einheitsvektor der Streifennormalen) gekennzeichneten Streifen ist ein (rechtshändiges) begleitendes Dreibein verbunden, bestehend aus 1. dem T a n g e n t e n v e k t o r t = t(s) = £'(s) der Streifenkurve (|t(s)| = 1) und 2. ihrem S e i t e n v e k t o r (1.2)

§ = §(s) = [n(s), t(s)], |8(8)| = 1,

der in der Streifenebene n(s) zur Kurventangente t normal und ein Einheitsvektor ist, und 3. dem N o r m a l e n v e k t o r n = n(s) mit |n(s)| = 1. Mit der S t r e i f e n k u r v e £(s) ist überdies das aus (II. 6) bekannte, ebenfalls rechtshändige b e g l e i t e n d e D r e i b e i n (1.3)

t = t(s), $ = $ ( « ) . & = &(*)

der T a n g e n t e , H a u p t n o r m a l e n und B i n o r m a l e n verbunden, das aus dem begleitenden Dreibein (1.4)

t = t(s), § = §(s), n = n(s)

des Streifens entsteht, indem man es um die Kurventangente t um den Winkel

0, 2) K = 0, 3) K < 0 ist das oskulierende Scheitelparaboloid 1) ein e l l i p t i s c h e s P a r a b o l o i d , 2) ein p a r a b o l i s c h e r Z y l i n d e r , 3) ein h y p e r b o l i sches P a r a b o l o i d , und der Flächenpunkt ist demgemäß 1) e l l i p t i s c h , 2) p a r a b o l i s c h , 3) h y p e r b o l i s c h . Zusammenfassend folgt der Satz 1: Kennt man die beiden (zueinander orthogonalen) Hauptkrümmungsrichtungen tx und t2 eines regulären Flächenpunktes P und die Werte ihrer Hauptkrümmungen 1/R± und 1/R 2, so kennt man durch die Eulersche Formel (13) die Krümmungen 1/R = l/rv aller Normalschnitte v der Fläche in P. Der Satz von Meusnier liefert sodann die Krümmungen 1 jra aller Schiefschnitte a und damit überhaupt die Krümmung l/r= l/ra aller den Punkt P passierenden stetig gekrümmten Flächenkurven mit der Schmiegebene er.

42

IV. B. Elementare Theorie der Flächenkrümmung

7. Indikatrix von Dupin. Wir geben nun eine einfache geometrische D e u t u n g der E u l e r s c h e n Formel. Der Flächenpunkt P soll dabei nach wie vor kein F l a c h p u n k t sein, d. h. der Fall 1/R 1 = 1/Ä2 = 0 soll ausgeschlossen werden. Nach (4. Bern. 1) kann man durch geeignete Orientierung der Flächennormalen n erreichen, daß zu einer beliebig gewählten Tangente (die keine Schmiegrichtung ist: 1/R 4= 0) positive Normalkrümmung 1/R > 0 gehört. Da 1/Äj und 1/Ä2 nicht gleichzeitig verschwinden sollen, können wir folglich 1/R1 > 0 wählen. Da die Fläche (6.10) nach (6.15) im Nullpunkt P die Gaußsche K r ü m m u n g K = 1/R1R% hat, gilt 1) für einen elliptischen Flächenpunkt P überdies noch l / f i 2 > 0 und 1/R > 0, 2) für einen hyperbolischen Flächenpunkt 1/R2 < 0 und 1/R | 0, schließlich 3) für einen parabolischen Flächenpunkt 1/R2 = 0 und 1/R ^ 0. Im Falle 1) eines elliptischen Flächenpunktes P kann man daher die E u l e r sehe Gleichung (6.13) stets in der Form schreiben: R cos 2 i?2 ist, der (durch die «-Achse ge/ % legte) erste Hauptnormalschnitt v1 den V p 1( größten Krüm1 •x l 1 m u n g s r a d i u s Äj (die kleinste Krümmung V 1 /Äj) und der (durch die «/-Achse laufende) \ zweite HauptnormalBild 5. Dupinsche Indikatrix eines schnitt v2 den k l e i n elliptischen Flächenpunktes P. sten Krümmungsr a d i u s R2 (die größte Krümmung 1/Ä 2 ) besitzt. Bemerkung 1 : Die Dupinsche Indikatrix eines N a b e l p u n k t e s (ljR1 = 1/Ä 2 = 1/B > 0) ist ein K r e i s I 2 + rf = R mit dem Radius a = f R . Deshalb werden Nabelpunkte bisweilen auch als K r e i s p u n k t e der Fläche bezeichnet.

Im Falle 2) eines hyperbolischen Flächenpunktes P (1/Äi > 0, 1/R 2 < 0, 1/R | 0) setzen wir allgemein (7. 4)

| = j/| R\ cos 0), in dem anderen Winkelraum nach unten ( 1 / Ä < 0 ) , wobei die jeweils stärkste Krümmung für die beiden, in die Hyperbelachsen fallenden, Hauptkrümmungsrichtungen t x und t 2 auftritt. Bemerkung 2 : Man erkennt aus der Indikatrix (Bild 6), daß die beiden (zueinander normalen) Hauptkrümmungsrichtungen

7. Indikatrix von Dupin

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t t , t2 den Winkel der beiden Asymptotenrichtungen (Schmiegrichtungen) o 1 , o2 halbieren, d. h. daß die beiden Schmicgtangenten bezüglich der beiden Ilauptkrümmungsrichtungen symmetrisch liegen. B e m e r k u n g : Die beiden S c h m i e g r i c h t u n g e n a t , a 2 sind dann und nur dann r e c h t w i n k e l i g , wenn + Ä2 = 0 oder (7. 7) ist, d. h. dann und nur dann, wenn die mittlere Krümmung H der Fläche im Punkte P verschwindet. Die D u p i n s c h e I n d i k a t r i x y a, = a besteht dann aus einem konjugierten Paar g l e i c h s e i t i g e r H y p e r beln. Ji Flächen mit H = 0 heißen Miniv f > y malflächen. Eine (krumme) Fläche p ist also dann und nur dann eine X Minimalfläche, wenn ihre S c h m i e g l i n i e n (Asymptotenlinien) ein Ort h o g o n a l s y s t e m bilden. Tz< z

%

I m Falle 3) eines parabolischen Flächenpunktes P (1/Ä, >

0,

1 R»

=

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1 R

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