Die Rechenkunst [3. Aufl., Reprint 2022] 9783112635506

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D ie

Rechenkunst abgehandelt von

Franz Christian Lorenz Karsten Professor der Oekonvmie zu Rostock.

Aufs neue bearbeitet

von

seinem Sohne Jacob Christian Gustav Karsten Doctor der Philosophie.

Dritte Auflage.

Berlin, 1805.

Zn der Realschulbnchhandlnnr-

Vorrede zur ersten Auflage.

Anleitung zur Rechenkunst, welche ich hremit der Prüfung des geübten Kenners über­ gebe, ist dadurch veranlasset worden, daß die Grundverfassung des hiesiaen Herzoglichen Pä­ dagogiums es mir zur Psticki macht, in den mir anvertraueten arirhmetifchen UnterrichtsStunden, dahin vvrzügllch zu sehen, dass die Verstandeskräfte der Jugend durch die Uebun­ gen in der Rechenkunst geschärft und selbige frühe zum eigenen Nachdenken gewöhnt wer­ den. Sie (die Rechenkunst) ist die Aus­ übung der Vernunftlehre bey der Ju­ gend und gewöhnt ihre unstäre Phan­ tasie, sich aufmerksam und anhaltend bey einer Sache zu beschäftigen. Im bürgerlichen Leben ist sie überall brauchbar und nothwendig, und bey denen, die der Kaufmannschaft und dem Landleben gewidmet sind, eine Hauptwissenschaft. M. s. die ausführ­ liche Nachricht von der Einrichtung des'HerX-

Vorrede zur ersten Auflage

zoglichen Pädagogiums zuBühow, 1767. §. IZ. WaS hier von der Rechenkunst gerühmt wird, ist zugleich der Ruhm eines Kenners, eines meiner hiesigen verehrungswürdigen Lehrer, und ich bin dadurch vornehmlich aufgemuntert wor­ den, den Versuch zu machen, wie weit es mir glücken möchte, die Rechenkunst so zu bearbei­ ten, daß sie für die Jugend eine ausübende Vernunftlehre werden könnte. Es war eine Mittelstraße nöthig, zwischen der strengen wissenschaftlichen Art des Vortrags, welche ein Lehrer beobachten muß, wenn er die Rechenkunst als eine mathematische Wissen­ schaft abhandelt, und zwischen der den ge­ wöhnlichen so genannten Rechenbüchern gemä­ ßen Anleitung, wobey der Lernende nach ei­ ner Menge von Regeln zu rechnen gewöhnt wird, ohne die Gründe davon zu fassen. Um so wohl diese Mittelstraße möglichst zu halten, als auch bei) der ganzen Einrichtung eine gute Wahl der Gegenstände zu treffen, damit das Rechnen der Jugend angenehm werde, ha­ be ich mich oft bey meinem, auf hiesiger Uni­ versität lehrenden Bruder Raths erholet, und ich hoffe meines Zwecks nicht ganz verfehlt zu habenDie erste Abtheilung des Buchs ist für dir niedere, die zweyte für die höhere Rechenklasse auf dem hiesigen Pädagogium bestimmt; und weil in der niedern Klasse jüngere Scholaren unterrichtet werden, deren VerstandSkrafte noch nicht zu der Reife gediehen sind, wie bey an-

Vorrede zur ersten Auflage, dern, die bereits einige Jahre alter sind, so habe ich beym Vortrag der Rechnungöregeln mir ganzen Zahlen, die Gründe so kurz als möglich in den Vortrag eingcflochten, zumal, da mir die Bruchrechnung vorzüglich gute Ver­ anlassung gab, den Verstand der jungen Rech­ ner zu üben, und zu den mehr ins allgemeine gehenden Uebungen die für die höhere Rechen­ klasse bestimmt sind vorzubereiten. Man wird finden, daß ich bemühtgewesen bin in det zwey­ ten Abtheilung die Jugend außer den Rechnungs­ regeln auch mit Sachen bekannt zu machen, dw sie künftig brauchen können, sie mögen der­ einst Gelehrte werden, oder sich der Handlung und andern Beschäftigungen des bürgerlichen Le­ bens widmen. Worauf es bey Münz- und Wechselrechnungen eigentlich ankömmt, das wahre wesentliche Pari des Geldes verschiede­ ner Länder zu finden, dazu findet sich in kei­ nem mir bekannten Rechenbuch eine richtige Anleitung. Ich halte mich aber überzeugt, daß diese und andere Anweudungemder Rechenkunst auf allerley interessante Vorkommenheiten des gemeinen Lebens den Nutzen haben, daß die Uebungen im Rechnen von der Jugend mit mehrerm Vergnügen vorgenommen werden, als wenn das ganze Buch nichts als eine Menge wenig interessanter Exempel enthält, die man ohne sonderliche Wahl gehäuft hat. Jung: Leute werden dadurch aufgemuntert, daß sie hiernachst auch weitlauftige und verwickelte Rechnungen nicht scheuen. Eben dadurch bin

Vorrede zur ersten Auflage.

itb auch bewogen worden, bey Gelegenheit der zusammengefttzten Zins < und Rabatt - Rech­ nung die ersten Gründe der Annuitäten-Leib» renhen- und Törinnen - Rechnung vorzutragen, und die Jugend kann bey dieser Gelegenheit lernen, was man durch di« politische Re­ st) enkun st versteht. Der Lehrer kann sie mit den dahin gehörigen Schriftstellern bekannt wachen, und auf solche Art veranlassen, daß sie cs lerne, wie-man durch das eigene Lesen guter Bücher seine Kenntnisse selbst vermehren, und nicht alles allein von dem mündlichen Un­ terricht erwarten müsse. Die Handschrift zu diesem Buch war bey­ nahe fertig, als ich Hrn. Schmidts Rechen­ kunst (Hannover 1774.) kennen lernte: und die voriheilhaften Urtheile, welche ich davon in öffentlichen Blattern fand, hätten mich abhalten können, diese Arbeit ebenfalls dem Druck zu übergeben, wenn ich nicht nachher, aus Ver­ gleichung meiner Arbeit mit der Schmidtschen Rechenkunst, gefunden hatte, daß ich gleichwohl nach einem Plan gearbeitet habe, der von dem Plan des Hrn. Schmidt noch ziemlich verschie­ den ist. Einige Freunde welchen ich meine Arbeit mittheilte, und welchen ich die nöthige Einsicht zurraucn konnte, urtheilten auch, daß Hr. Schmidts Arbeit die meinige noch nicht übersiüßiz gemacht hatte. Em so sehr großer Ver­ ehrer Ser Kettenregel bin ich freylich nicht, daß ich alle nur mögliche Erempel, die sich nur im­ mer dazu bequemen wollen, in die Form der

Vorrede zur ersten Auflage.

Kettenregel bringen, am allerwenigsten aber die Regel Dem auch schon Kettenregel nennen möch­ te, die ihren alten Namen mit weit besserm Rechte behalt: Bey dem allen aber glaube ich doch eben so gute Rechner zu bilden. Auf die Form des Ansatzes kömmt im Grunde nichts an; er ist nur ein Hülfsmittel, den Rechner zu leiten, daß er in richtiger-Ordnung mit den gegebenen Zahlen so umgehe, wie es der Na­ tur der Frage gemäß ist, um das gesuchte Faeit richtig heraus zu bringen. Der Rechner mag sich also gewöhnen, jedes Exempel nach Arc der Kettenregel, oder auf andre Art in Ansatz zu bringen, das ist an sich gleichgültig. So viel aber habe ich gefunden, daß es rathsam sey, junge Leute eben nicht sogar ängstlich an eine gewisse Form des Ansatzes zu gewöhnen, weil viele ohne das geneigt sind, maschinenmäßig fort zu rechnen, ohne selbst dabey nachzudenken. Dies hat den Erfolg, daß sie nachher allemal Anstoß finden, wenn ihnen eine Frage vorgelegt wird, die sich nicht so gleich in die ihnen gelau» fige Form des Ansatzes bequemen will. Der angehende Rechner muß vornehmlich darin ge­ übt werden, daß er über die Natur der ihm vorgelegten Frage nachdenke, ob sie auch wirk­ lich zur Regel Detri, zur Kettenregel u. s. f. gehöre, oder nicht: er wird aber zu bequem ge­ wöhnt, wenn man ihn aufdie Vorstellung bringt, daß, wo nicht alle, doch die meisten Exempel in einerley Form des Ansatzes gebracht werden können. Ich bin übrigens die Arbeit des Hm.

Vorrede zur ersten Auflage. Schmidt vor dem Abdruck dieses Buchs in der Absicht durchgegangen, um dasjenige was mir nach meinem Plan brauchbar und nützlich scheir nen möchte, mir wirklich zu Nutze zu machen, wovon auch eine Probe im 130. §. und 172 §. vorkömmt, woselbst ich einige aus dem sechsten Abscdnitr der Schmidtschen Rechenkunst entlehn­ te Vortheile bey der Regel Detri und Ketten­

regel vortroge. Sonst sind mir auch einige Stel­ len vorgckommen, Vie einer Berichtigung bedür­ fen , wohin unter andern das Exempel vom Nil­ strom im ia6 § und bey Hrn. Schmidt S. »23 Num 110 gehört. Die Algebra gehörte Nicht in meinen Plan, indessen habe ich den an­ gehenden Rechner, der weiter zu gehen wünscht, auf allerley Art dazu vorbereitet, und durch ei­ nige in solcher Absicht mit Fleiß gewählte Exem­ pel die Begierde nach vollkommneren Kenntnis­ sen zu erregen gesucht. Man wird davon zuNr Beschluß eine Probe in den letzten §§. finden. Bützow, im Februar 1775.

Der Verfasser.

Vorrede zur zweiten Auflage.

r^/ie Einrichtung dieses zum Unterricht für An-

fanger bestimmten Hand - Buches der Rechen­ kunst ist von mehrer« Kennern, auch selbst von solchen Personen, welche sich deffelben als ei« «er nähern Anleitung bey einigen Uebungen in der Rechenkunst bedienet und mir ihren Beyfall bezeuget haben, zweckmäßig befunden worden? also war es nicht nöthig Aenderungen zu ma­ chen. Zusätze und Vermehrungen hätte ich leicht bcyfügen können, allein das Buch solltein kurzes Handbuch bleiben. Wenn indes­ sen die Regeln für Decimalbrüche wirklich fehl« ten, wie in einer sonst günstigen Rezension deS Buches bald nach seiner ersten Erscheinung an­ gemerkt ward, so würde ich nöthig gefunden haben, sie itzt bevzufügen. Diese Rege'n fehl­ ten aber auch in der ersten Ausgabe nicht. Zm zweyten Abschnitt der ersten Abtheilung sind sie zugleich mit den Regeln der gemeinen Bruch« rechnung vorgetragen; auch sind angehende Rech­ ner an mehreren Stellen, unter andern im 236. §. auf den vorthcilhaften Gebrauch der Drei-

Borrede zur zweiten Auflage.

malbrüche aufmerksam gemacht worden. Anhallende körperliche Schwache hat mich einige Zahre in dem Berufe meiner Beschäftigungen sehr aufgehalien, sonst würde ich doch im feier' ten Abschnitt der dritten Abtheilung die Anlei' tung zur Renten-Rechnung vollständiger bear­ beitet haben. Vielleicht hatte aber der Vortrag für ein kleines Handbuch zu weitlauftig ausfal­ len müssen, und ich konnte um so mehr beym Vorträge nach der ersten Ausgabe es bewenden lassen, weil mein Bruder in seiner Theovie Von Wittwenkaffen ohne Gebrauch al­ gebraischer Rechnungen, Halle 1784 von den Renten - Rechnungen allerley Art für solche Leser umständlich handelt, die nur in der gemeinen Zahlenrechenkunst geübt sind, und dem Vortrage anderer Schriftsteller, welche diese Lehren ganz allgemein mit Hülfe der algebrai­ schen Zeichensprache abgehandelt haben, einst würden folgen können. Bützow, im Marz 1786»

Der Verfasser.

Vorrede zur dritten Auflage. immer ist die Rechenkunst in den nie­ dern Schulen ein Handwerk. Freilich sind der Bücher zur Unterweisung für die Rechenmeister,

um die Jugend mit Verstand das Rechnen zu lehren, eine beträchtliche Menge.

Zum

Theil

sind sie aber zu theuer, zum Theil auch für die Fassungskraft thces Publikums zu unpassend abgefaßt.

Meines Varers Rechenbuch,

das ich

nun aufs neue herausgebe, verband von jeher mit dem Vorzüge der Wohlfeilheit das sehr schahbare Requisit eines deutltchen Vortrages *).

Mein Vater ging von dem

guten Grund-

sahe aus, den Anfänger nicht durch zu viele Regeln zu verwirren, selbst nicht von gewissen

Vorschriften ein zu großes Aufheben zu machen; z. B- bei Erklärung der Decimalbrüche §. 6i.f deren Verwandlung in gemerye Brüche §. 73.

recht gut auseinander geseht ist.

Dagegen war

das Pnmsip eben so richtig, nicht alles auf ei­

ne Weise zu behandeln, sondern den Leser auf verschiedene Methoden aufmerksam zu machen,

*) Man vermuthet natürlich, daß ich nach diesem Buch« rechnen gelernt habe und daher den Vortrag faßlicher finden muß, als den der in andern Büchern dieser Art herrscht. Mit Wahrheit muß ich indeß gestehen, daß ich schon ziemlich mit der Theorie der Rechenkunst be­ kannt war, ehe ich anfinq dies Buch zu studieren und erst jetzt bei der Bearbeitung der dritten Auflage habe ich es ganz durchgelesen; desto besser habe ich zuveklißig meines Vaters Methode mit ander« vergleiche» fwv tun.

Vorrede zur dritten Auflage. «ach welchen sich eine vorgelegte Frage beant­ worten laßt. Diese beiden Rücksichten hatte ich beständig bei meiner Arbeit vor Augen. So wie überhaupt ein systematischer Vor­ trag ohne Zweifel die beste Form ist, in wel­ cher eine Wissenschaft uns vorgestellt werden kann, so wünschte ich auch, so viel es bei ei­ nem Unterrichte in der praktischen Rechenkunst geschehen kann, darauf aufmerksam zu mache«, daß diese ganze Wissenschaft auf der Lehre von den Verhältnissen beruhe, woraus unmittelbar die Theorie der vier arithmetischen Operationen, die Entstehung der Brüche und Potenzen zu er­ klären ist. Daher habe ich im n § eine all­ gemeine Vorstellung der 4 Spezies gegeben und bei jeder Gelegenheit gesagt, daß der Theorie nach, kein Unterschied zwischen den Rechnun­ gen mit Brüchen und ganzen Zahlen sey, habe aus die Aehnlichkeit der gewöhnlichsten Rech­ nungsmethoden mit einander, aufmerksam ge­ macht. Eben daher konnte ich aber auch nicht umhin, die Gründe, worauf die Regel de tri, multipler, Kettenregel u. s. f beruhe», ausein« der zu sehen. Wenn ich also alles gern auf Ein Princip reduzire; so habe ich doch auch die Anwendung dieses Principes auf eine mehr, fache Art, nicht vergessen. *) •) Mich lehrte diese allgemein« Ansicht der Rechenkunst mein »ortrefiicher Lehrer derHr. Prof. Hecker in Ro­ stock , der auch seine Ideen hierüber in drei Program­ men: über den gewöhnlichen Vortrag der Lehre vb« den entgegengesetzte» Grössen. «00. und 1801, in der Kürte mitgetheilt hat.

Vorrede zur dritten Aussage. Hatte ich hiebei alles, nach Anleitung der zweiten Ausgabe, unverändert gelassen, so Wa­ re das Buch zu stark geworden Einige Ab­ kürzungen mußte ich mir daher wohl erlauben. Ausgelassen ist dabei indessen nichts; aber meh­ reres kürzer gesagt, z. 93. die sechszehn Para­ graphen die sich mit den Vorbereitungslehren beschäftigen, ließen sich füglich in io zusammen­ ziehen ; da überdieß jemand schwerlich die Grün­ de des Numerirens in einem praktischen Rechenbuche ausführlich entwickelt, vermuthen wird; die, wie bekannt, auf den Lehren von Progressionen beruhen, nachdem vorher etwas von J-.terpoliren oder von Combinationen vor­ gekommen seyn mag Der großen Reichhaltig­ keit des dritten, fünften und neunten Abschnitts der zweiten Abtheilung habe ich nichts entzogen, da alles sehr gut ausgearbeitet war; dennoch habe ich nichts neues hinzu setzen mögen, weil meiner Meinung nach solche Untersuchungen für ein bloßes ftlechenbuch wobl eigentlich nicht ge­ hören. Ueberdieß har man Berechnungen über das neufranzösische Maaß, Gewicht und Münz­ wesen in Ueberfluß; ich brauchte sie also nicht aufs neue wieder abzuschreiben, und wäre eS auch nur aus Testus Almanac national de France gewesen, der wahrscheinlich den deutschen Re­ chenmeistern minder bekannt ist, als Westphal. Die dritte Abtheilung habe ich deswegen wohl überlegt, hinzugeseHc, damit die Rechen­ meister doch in aller Kurze erfahren mögten, was es eigentlich mit der Extraction ra-

Vorrede zur dritten Auflage. bi cis quadrata und cubica für eine Bejvandniß habe. Freilich wäre diese Rücksicht eben so lächerlich als die gewöhnliche Anwen­ dung dieser Wundergelehrsamkeit auf Quadraturam circuli und dergleichen Dinge, die doch unmöglich meinem Rechenbucke vorgetragenwerr den können. Mehr als hieran wat mir daran gelegen, die Gründe der Zinsrechnung etwas wei­ ter ausführen zu können. Das Rechenbuch in seiner jetzigen Gestalt soll also überhaupt nur ein Rechenbuch, keine Anweisung zur Verferti­ gung kaufmännischer und cameralistischer Rech­ nungen seyn, deren man doch genug har. Ob die wenigen algebraischen Kenntnisse, die die am Ende des Buches mitgerbeilten Rechnun­ gen erfodern, nicht sehr gut aus den vorangeschickren Regeln die in dieseni Buche vorkommen, entwickelt werden können, wird ein Versuch am testen entscheiden. *)

Dr. I C G Karsten, Mitglied der pdyütalischen Gesellschaften zu Jena und Gotnugen und Cvrrespom deut der Meklenb. naturf. Gesellschaft. *) Ohne pädagogische Lehren nur von weitem berühren zu wollen, überzeuge ich mich doch durch die tägliche Erfahrung immer m'hr, daß ein nicht zu spezieller Vortrag der Rechenkunst das beste Mittel ist, die Urrheilskrast zu schürfen; so wie hingegen kein bessereGegenmittel gegen Entwickelung jede- vernünftigen Nachdenkens erfunden werden kann, als das mechani­ sche Rechnen. Ist es denn wirklich unmöglich, dem Knaben (auch selbst dem der keine gelehrte Bildung haben soll, wie die Leute oaS nennen) begreiflich zu machen, daß unter a eben so gut eine Menge von Ditt?^en gedacht werden könne, als unter 3 und daß a eben - gut zu b hinzugelegt ober davon genommen werden könne, als 3 zu < gelegt oder davon weggenommen wird. re. Schwerin im Dezember 1804.

Dorbereitungslehren. Erste Abtheilung. Die arithmetische» Operationen.

Erster Abschnitt. Don de« vier arithmetischen Operar tionen in ganze« Zahle«. S. 6 Erste« Kapitel. Do« der Addition ganzer Zahle«. S. r Zweites Kapitel. Von der Subtraktion ganzer Zah­ len. €>. 12 Drittes Kapitel. Don der Multiplikation mit gan­ ze« Zahle« und von den Resolutionen größerer Mün­ zen, Maße und Gewichte auf kleinere. S. 18 Viertes Kapitel. Don der Division mit ganzen Zah­ len und den Reduktionen der kleinern Münzen, Ma­ ße und Gewichte auf größere. @. 31 Fünftes Kapitel. Anwendung des bisherigen aufdte Rechnung in genannten Zahlen. S. 48

Zweiter Abschnitt.

Do« de» Brächen.

Erste- Kapitel Dvrbereitungslehren. S. $9 Zweites Kavitel. Don den arithmetischen Operatio­ nen mit Brüchen. S. 69 1. Addition und Subtraktion der Brüche. Multiplika­ tion und Division gebrochener Zahlen durch ganze. S- 70 ' 3. Multiplikation der Zahlen durch Brüche. S 96 3. Division der Zahlen durch Brüche. S. 104 Drittes Kapitel. Allgemeine Regel» der Reduction«rechnung genannter Zahlen, und Anwendung der bis­ her vorgetragenen Regeln. S. ne

Inhalt. Zweite Abtheilung.

Die Proportionen.

Erster Abschnitt. Allgemeine Begriffe von Verhältnise fett und Proportionen. Regel detri. S. 120 Zweiter Abschnitt. Anwendung der Regel detri auf Rechnung-fragen de« gemeinen Leben«. S. 127 Dritter Abschnitt. Anwendung der Regel detri zur Vergleichung der Maße und Gewichte. S. nr Vierter Abschnitt. Don der umgekehrten Regel detri. S. 170 . . Fünfter Abschntt. Anwendung der Regel detri auf Münzvergleichungörechnungen. S. 17$ Sechster Abschnitt. Von der Regel quinque und am der« Arten der zusammengesetzten Regel detri. S. 196 Siebenter Abschnitt. Von der umgekehrten Regel« quinque. S.. 20g Achter Abschnitt. Von der Kettenregel. S. 213 Neunter Abschnitt. Anwendung der Kettenregel auf die Dlünz- und Wechselrechnung. S. 226 Dritte Abtheilung.

Von den Potenzen und Logarithmen, nebst ihreu Anwendungen auf mehrere Rechnung«« fragen. Erster Abschnitt. Don den Potenzen und Logarithmen überhaupt. S $«$ Zweiter Abschnitt. Von der Rabatt- »der Interusu« rien-Rechnung. S. 283 Dritter Abschnitt. Von der Zeitrechnung bei ausste­ henden Kapitalien. S. 289 ., Vierter Abschnitt. Dom Jm« auf Jins und der zu­ sammengesetzte» Jnterusmien Rechnung. S. roo F ü n ft e r A b s ch n i t t. Von der Gesellschaft«- und Vermi­ schungs-Rechnung. S. 2 0 . Sechster Abschnitt. Bon der AlligationSrechnung nebst einer kurzen Erläuterung der Regel Eoeei. S.

Vorbereitungslehre r. Zwei Kegebene Zahlen in Hinsicht ihrer Größe mir einander vergleichen und dadurch eine neue Zahl finden, heißt rechnen.

§. 2. Der gemeine Begriff einer Zahl, als deS Inbegriffs einer Menge von Dingen, ist hier genügend. Geben wir bloß eine solche Men­ ge von Dingen an, so zählen wir sie zusam­ men. In sofern dadurch aber nur immer ein« Zahl bestimmt wird, und keine Vergleichung der­ selben mit andern statt findet, rechnen wie noch nichn Man steht also den Unterschied zwischen dem bloßen Zusammenzählen und Rechnen, leicht ein. Wenn man zu 2 fl. noch 2 fl. hinzu legt, daß es demnach vier werden, so ist eS schon wirkliche Rechnung wodurch man erfährt, daß 2 und 2 so viel als viere ist, aber zur Beant­ wortung der Frage: wie viele Gulden neoen einander liegen? gehört bloßes Zusammen­ zahlen.

2 §• 3-

Um von einer Menge von Dinge« ihre Anzahl angeben zu können, ist es durchaus nothwendig, baß sie unter einen Begrif zusammen genom­ men werden können. Ei« Pferd z. B. ein Ochse, ein 4 mahl genommen werden. Sonst nennt man auch noch den einen der Factoren, das Multiplikandum, den andern den Multi­ plikator; in dem gegebenen Beispiele ist 8 das Multiplikandum und 4 der Multiplikator. Daß es völlig einerlei sey welcher unter den gegebenen Factoren als Multiplikandum und welcher als Multiplikator angesehen werdewsoüe) davon über, zeugt man sich bald, obgleich der Beweis davon

r-

hier nicht geführt werden kann. Die neue Zahl die durch die Multiplikation gefunden wird, heißt das Produkt oder Factum. 25.

Bey einigem Nachdenken wird man leicht fin» den, daß die Multiplikation wirklich nichts anders ist nls eine solche Addition, wobey alle Zahlen, die man einige mal summiren soll, gleich groß find. Z. B. um 8 mit 4 zu multipUciren, oder 8 viermal grösser zu machen, hätte man eigentlich nichts anders nöthig, als die Zahl 8 viermal niederzuschreiden, und nun die Summe dieser 4 Zah, len zu suchen: 8 8 8 _8_ Summe 32 Aber welche Weitläufigkeit und ermüdende Arbeit würde dieses -bey sehr großen Zahlen sevnl Z. B. Es sollte 68057» 9773 mal grösser gemacht werden; so müßte man nun 68957, 9773 mal unter einan­ der schreiben, und dann durch die Addition die Summe suchen. Man hat daher auch hier leich­ tere Wege erfunden, und bet angehende Rechner kann auf dem im folgenden beschriebenen Wege die Hülfs-Mittel dazu selbst aufsuchen. §. 26. Ohne Zweifel find das die leichtesten Falle bey der Multiplikation, wenn keiner von beyden Fak­ toren grösser als 9, mithin jeder nur durch eine einfache Ziffer ausgedrückt ist: es ist aber leicht, ein für allemal, die Produkte aller einfachen Ziffern ineinander zu finden. Man schreibe zu dem Eitde B a"

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all« einfache Ziffern von i biS 9 in einer Reihe hin. Hierauf addire man jede dieser Ziffern zu sich selbst, und setze die gefundene Summe darun­ ter. Zu dieser gefundenen Summe jeder Zahl ad­ dire man wiederum die Zahl selbst, und schreibe diese neuen Summen wieder unter die vorher ge­ fundenen, so wird die Summe einer jeden Zahl schon dreimal so groß seyn, als die Zahlen selbst; eben so fahre man fort, bis man die ysachen Pro­ dukte aller Zahlen von eins bis 9 gefunden hat. Folgendes Schema kann zum Beyspiel dienen: aus der ersten Addition entstehen die Zahlen: 2, 6, 8. 16, u. f. f. Addirt man nun zu jeder die­ ser Summen die Zahlen 1, 2, 3, 4, u. s. f. nach der Ordnung wieder zu, so giebt diese- Addition die Zahlen: 3, 6, 9, 12, u. s. f. Addirt man hier­ auf nochmals die Zahlen, i, 2, 3, 4, zu den letzt­ gefundenen Summen, so erhält man aus dieser dritten Addition die Zahlen, 4, 8, 12, 16, u. s. f., und man findet zuletzt, in der nachstehenden Tafel alle möglichen Produkte aller einfachen Zahlen. I 2 2 "4 J 6 ‘4 ’s 5 IO 6 12 7 £4 8 16 9I18

3 6 9 12 15

18 21 24 27

4 8 12 l6 20 24 28 32 36

_5 6 10 12 [5 [8 20 24 25 3® 30 36 35 12 40 48 45 ,54

1

9 l6 'S 24 27 32 36 40 45 48 3 56 63 56 64 72 63 72 81

14 21 28 35 £2

Man.wird hiebey leicht dke Bemerkung khachett, daß es gleich viel sey, welche Zahl von beiden Faktoren, als das Multiplikandum, oder als der Multiplikator angenommen wird: allemal kömmt

einerley Produkt heraus. Mau findet 7mal 8 « 56, und 8 mal 7 = 56 M. f. f. in allen andern Fällen. §. 27. Sind nun einfache Ziffern gegeben, die in ein­ ander multiplicirt werden sollen, so kann man sie allemal durch Hülfe der vorstehenden Tabelle ftn« den. Wenn z. B. die Zahlen 7 und 5 in einan­ der multiplicirt «erden sollen, so suche man in der obersten Stelle das Fach, worin die 7 sich be­ findet, alsdann suche man linker Hand von oben, herunter die Stelle der 5; darauf gehe man von der 7 gerade herunter bis auf die fünfte Reihe: da, wo diese beyden Reihen zusammen stoßen, fin­ det man die Zahl 35, und diese ist das gesuchte Produkt. Angehenden Rechnern ist nicht besser zu ra­ then, als daß sie sich selbst zum öftern eine solche Tabelle aufsttzen, so wird es endlich durch dielfälrige Uebung leicht seyn, alle diese Producte aus­ wendig zu behalten. Man nennt übrigens diese Tabelle das Ein mal Eins.

5* 28. Eine Zahl durch eüic einfache Ziffer zu multipliciern. Aufl. Man schreibe das Multiplikandum nie­ der, und unter dem Multiplikandum zur Rechten setze man den Multiplikator. Man ziehe darunter einen Strich, multiplieire nun jedes Glied des Multiplikandums, und zwar so, daß man von den Einern anfängt, als­ dann zu den Zehnern u. s f. wie bey der Addition fortgehet. Beym Riederschreiben eines jeden der gefundenen einzelnen Produkte beobachte man fol­ gende Regel: Die niedrigste Ziffer desselben setze

man allemal' in eben die'Stelle, worin'die multt» pikirre Ziffer steht, die andere-, welche beym Nieverschreiben unter der nachfolgenden Ziffer dcMultiplikandi kommen müßte, behalte man, wie bey der Addition in mente-; Z. B. 9637 5

Hier sollen erst die 7 Einer mit 5 multiplicirt wer­ den, dies Produkt giebt nach der Tabelle (deS 26 §.) 35 Einer, oder 5 Einer und 3 Zehner. Man schreibt also hier wiederum nur die 5 hin, und behält 3 im Sinn. Die folgenden Ziffern z im Multiplikandum mit 5 multiplicirt giebt 15, hiezu die vorhin im Sinn behaltene 3 add>rt, giebt 18. Es wird wieder die 8 Eingeschrieben, und i im Sinn behalten Ferner 5 mal 6 macht 30, die vorher übrig gebliebene t dazu addirt, giebt 31. die t wird niedergeschrieben, und 3 im Sinn be« halten: ' die letzte 9 mit 5 multiplicirt giebt 45. Hiezu die im Sin,n gebliebene 3 zugerechnet giebt 48, und so erhält man sede's verlangte Produkt. Kommen in einigen Steffen des Multiplikandums Nullen vor, so fommeif auch in eben diesen Stellen im P "odukt Nulle», es sey denn, -aß von der letzten Multiplikation etwas im Sinn geblie­ ben wäre, so wird diese Ziffer in die Stelle der Null gesetzt. 3080 ,3 9240 Hier ist in der Stelle der Einer zuerst nichts, also kömmt auch im -Produkt Null. Die folgende 8 mit 3 multiplicirt giebt 24, die 4 wird niederge, schrieben, und 2 im Sinn behalten In der Stelle der Hunderte ist wieder Null, also würde auch hier wieder im Produkt Null kommen, aber an deren Stelle wird die vorhin im Sinn gebliebene s gesetzt.

Exempel zur Uebunz. 1) 756 X 2 — 1512

2) 1234 X 3 = 3702 3) 9081726354 X .3 — 27245179062 4) 51308 X 4 — 205232 5) 5070106 X 4 = 20280424

6) 8978 X5 - 44890

7) 61713 X 5 == 308565

8) 530002 X 6 = 3180012 9) 81927 X 6 — 491562

)o) 90708 X 7 = 634956 11) 102309 X 8 — 818472

J2) 214305 X 9 = 1928745» §- 29.

Eine Zahl wird mir 10, 100, iooo, 10000# ioooco, 1000000, u. f. f. multtplicirt, wenn man eine, zwei, drei, vier, fünf, sechs Nullen u. f. f. dazu setzt. So ist

327 X 10 = 3270 418 X 100 — 41800 730 X IOOQ = 730900

5325 X IOOCO -- 53250000 918 X 100000 SS 91800000

27 X IOOOOOO SS 27000000

Mit 30 multipliciren ist so viel,-als erst mit 3 und dann mit 10 multipliciren, und eben so mir 300 multipliciren eben so viel, als erst mit 3 und dar­ auf mit 100 multipliciren u. s. f. Allemal also, wenn der Multiplikator eine einfache Ziffer mit ei-

24 ner Reihe daranhangender Nutten ist, so multipkrcirt man nur mit der Ziffer, und setzt alsdann eben so viele Nutten im Produkt hinzu, als nach der Ziffer des Multiplikators folgen. So ist z. B. 81927 X 60 sa 4915,620

61713 X TOGO = 431991000

§ 30. Zwei zusammengesetzte Zahlen in einan­ der zu mvltipkiciren.

Aufl. Man schreibe den Multiplikator unter Las Multiplikandum, so wie bey der Addition. AKdann multiplieire man zuerst mit der nie­ drigsten Ziffer des Multiplikators nach der irp§- 28. angezeigten Methode. Ferner schrekte man zur nächsthöher« Ziffer des Multiplikators, verfahre eben fs wie vorhin, und setze dies Produkt unter den vorher gefundenen. Rur muß man Hiebey beobachten, dgß man alle, mal bey der neuen Multiplikation um eine Klaffe weiter von der Rechten gegen die Linke rückt, so daß die erste Ziffer eines jeden Produkts gerade unter der Ziffer des Multiplikators ge­ setzt wird, womit, mau setzt multiplicier. Dies Verfahren wiederhole man so oft, big die Multiplikation mit allen im Multiplikator be­ findlichen Ziffern geschehen ist. Alsdann addire man alle diese Produkte zu­ sammen, so ist diese Summe das ganze gesuchte Produkt. Z. V. 47-8 356

28368 23640 14184 'Produkt 1683168

Anmerkung. Der Grund, daß bei jeder neuen Muktiplikation die Produkte #«i eine Klaffe eingerückt wer­ den, liegt dariiz: weil alle diese gefundenen Produkte nachhch in eine Summe gebracht wer, den, so müssen auch die Ziffern in gehöriger Ord­ nung unter einander geschrieben werden (§. 13.X Wenn man mit der zweiten Ziffer des Multipli* kators multiplicirt, so multiplicirt man schon mit einem Zehner, also muß auch die erste Ziffer die, ses Produkts in die Stelle der Zehner gesetzt wer, den, weil man eigentlich vermöge der Regel des 29. §. eine Null hinzusetzen müßte. Die dritte Zif­ fer des Multiplikators gilt schon Hunderte, also muß auch das hieraus entstehende Produkt in der Stelle der Hunderte stehen, u. s. f.

§. 3t. Bisweilen haben beide Faktoren am Ende Nul­ len, und dann kann man sich, die Rechnung in so weit verkürzen, daß man die Nullen. gar nicht in Betrachtung zieht, sondern die Zahlen erst nach den Regeln der vorigen §§. in einander mut* Hplicirt, und zum Produkt so viele Rallen fetzt, als beyde Faktoren zusammen haben. Z. D 37900000 28000

3032 758 1061200000000

Man kann eben so verfahren wenn auch nur der eine, oder der andere Faktor Nullen hat. Z. B35700000

21 357 714 749700000

»6 357 2100000 ’ 357 ~ ______ 714_______ 749700000

oder

§- 32. Qi kommen mich solche Fälle vor, wo der Multiplikator nicht nur am Ende, sondern auch an andern Stellen Nullen Hal: allsdann kann man edenfalls jede dieser Nullen übergehen, wenn man nur die Regel des 30. §. genau beobachtet, und yre erste Ziffer eines jeden Pro­ dukts gerade unter der Svelle des Multipliearors setzt, womit man jezt mul, tiplrctr-t. Z. B. 6893542973 50002007

48254800811 13787085946 34467714865 344690983990746811 Exempel zur Uebung.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

1234 X i2 — 14808 2345 X 23 - 53935 3276 X 68 — 222768 3456 X 34 = i17504 4667 X 47 — 219349 68079 X 75 = 5105925 486 X 235 = 114210 592 X 358 == 211936 1456 X 679 = 988624

10) 2768 X 705 = 1951440 11) 67054 X 8009 - 537035486 12) 3576 X 2148 — 7681248

13) 7502 X 1298 — 9737596 14) 6083 X 9800 — 59613400 15) 10208 X 7050 = 71966400 16) 509863 X 76000 — 38749588000

17) 908675 X '908006 = 825082352050

18) 4327098 X 997875 — 4317902916750 19) 9753124 X 86479 == 843440410396 20) 98576087 X 567819 — 55973375I44253-

§ 33-

Mit genannten Zahlen lernt man zwar aller­ erst vollständig umgehen, wenn man in allen Rech­ nungsarten mir ungenannten Zahlen grübt ist; indessen sonn die Uebung in der Multiplikation, so wett die bisherigen Regeln ihre Anwendung finden, zugleich mit einigen Vorbereitungsübungen zur Rechnung mit genannten Zahlen verbun­ den werden. Wenn eine genannte Zahl vorkömmt und man soll eine andere genannte Zahl suchen, die eben so viel werth jst, aber einen andern Namen hat, so drückt man das durch die Redensart aus:, yran soll die Zahl auf et, nen andern Namen> oder eine andre Benennung bringe n. Man hat K. D. eine Zahl von Thalern, und will wissen, wie viel Gro­ schen, oder Schillinge es sind; eine Zahl von Pfunden, und man will wissen, wie viel Unzen, Loth oder Quentchen es sind. In Beispielen die. ser Art hat die gegebene Zahl den grössten Na­ men, und man wird eine andre Zahl von eben dem Werth finden, die den kleinern Namen hat. Cm Thl. ist eine größere Münze als em Gro-

2,8

scheu, ein Pfund ist ein schwereres Gewicht r akS ein koth oder Quentchen. Weiß man-, wie viel Stücke der kleinern Art ein Stück der grösser« Art auSmachen; so muß man mit bet Zahl, welche dies anzeigt, diejenige multiple eiren, welche den grösser« Namen hat, um sie auf den kleinern Ramen zu drin­ gen: dies Verfahren heißt alsdann die Reduc« tion einer genannten Zahl auf eine klei­ nere Benennung. Weiß man z. B., daß ein Thaler 24 Groschen ausmacht, so kann man auch leicht finden, wie viel Groschen 126 Thaler auSmachen, wenn man nur 126 mit 24 multiplkitt, weil man für jeden Lhlr. 24 Gr. rechnen muß. Weiß man ferner, daß t6 Unzen auf ein Pfund gehen, so findet man durch die Multiplikation mit 16 wie viel Un­ zen in 536 Pfunden enthalten sind, u. s. f. denn 126. thlr. sind 126 mäht 24 gr., 5.3fr Pf« sind 536 mal 16 Unzen.

Die Exempel würden so stehen: 126 thl. wie viel gr. find es? 24 504252

Antw. 3024 gr.

53fr Pf. wie viel Unze» sind eS? ifr 3216 536

Antw. 8576»

Die genannte Fahl, welche man in eine, an­ dre verwandeln soll, kann aus Theilen beste» Yen, welche insgesammt verschiedene

Namen habe«, vnd es kann verlangt werden, daß man sie alle ans den klein­ sten, oder einen noch kleinern Namen bringen soll. Wollte man z. B. finden, wie viel 17 Ct. 83 Pst 19 Loth an Quentchen auSmachten: so könnte man hier erst dir Centnee durch di« Multiplikation mit 110 zu Pfunden ma­ chen, zu diesem Produer müßten die 83 Pf. adbitt werden, alle diese Pfunde machte man z« Lothen, und addirt hiezu noch die 10 Loth, dann könnte man dies« ganze Summ« der Lothe zu Quentchen machen. Z. B.

17 Et. 83 Pf. ryLt. wi< vi«lQ«.sind ks? TTO

1953 Pf» 32 3906 8859 62496 Loth 19 Loth 62515 Loth 4 Antw. 250060 Quentchen.

Man siehet wohl, daß es be- allen RechNungssragen dieser Art nothwendig sey, zu wis­ sen: wie viele Münzen, Maaße, Gewichte, der kleinern Art eine Münze, ein Maaß, ein Ge­ wicht der nächstarößern Art ausmachest. Wer nicht wüßte, daß 24 ggr. einen thlr. machen, der würde die thlr. nicht in ggr. verwandeln kön­ nen, Damit man also bet den folgenden in die-

3o sein Buche vorkommenden Exempeln dieser Art jedesmal wisse, wie viele Stäche der nachstkleinern Art Eins von der nächftgrißern Art ausma­ chen; so ist am Ende deß Dachs eine Tabelle beigefügt, welche die bekanntesten Einrheilungen der mancherley im gemeinen Leden üblichen Münzen, Maaße und Gewichte anzeigt. Nach Anleitung derselben wird man leicht folgende Aufgabe« auflösen. Exempel zur

Uebung.

1) 328 Louisd'or, wie viel sinds thlr.? Antw. 1640 thlr. 2) 137 Ducaten, wie viel finds thlr? Antw. 388 thlr. 4 ggr. 3) 527 thlr. wie viel sinds Mk.? Antw. iz8iÄ^k. 4) 128 Schiffspf. wle viel sinds Pf.? Antw. 35840 Pf. 5) 25 thlr. 8 ßl. wie viel sinds Pf.? Antw. 14496 pf. 6) 9 thlr. 13 ggr. i ßl. wie viel sinds pf.? Antw. 5508 pf. 7) irz Licßpf. i2llnzen, wie öielsindsQuentchea? Antw. 51296 Qu. 8) 137 Pf. 29 Loth wie viel sinds Qu. ? Antw. 17652 Qu. 9) 25 Ruthen 3 Ellen i Fuß 5 Zoll, wie viel sinds Linien? Antw. 58668 Linien. 1.0) 16 Last. 5 Drömt. wie viel sinds Schfl. ? Antw. 1596 Schfl. 11) 3 Last 7 Drömt. 8 Schfl wie viel sindMetzen? Antw. 4560 Metzen. 12) 5 Last i Faß 3 Oxthoft 5 Anker Wein, wie viel sinds Pott? Antw. 11480 Poit.

13) 29 Ballen 8 Rieß 5 Buch Papier, wie viel sinds Bogen? Antw. 143t60 Vogen. 14) 9 Jahr ? Monath 15 Tage, wie viel sinds Stunden? Antw. 83160 Stunden. 15) IQ Wochen 3 Tage 15 Stunden,, wie viel sinds Minuten? Antw. 19S740 Mnuten.

Viertes Kapitel. Bon der Division mit ganzen Zahlen und der Reductio» der kleinern Mün­ zen, Maaße, Gewichte auf grössere. 8* 34* Eine Zahl durch eine andere dividiern oder theilen heißt: untersuchen, wie oft eine der angegebenen Zahlen in der andern enthalte», sey. (§. 11. 2. -.) Die neue ge. fundene Zahl, die es angiebt, wie viel y,al die eine Zahl, die der Divsor heißt, in der andern,Idem Dividend0, enthalten ist, wird der Quozient genannt. Z. B. wenn 12 durch 4 divi­ dier werden soll so soll, untersucht werden, wie viel mal die 12 eingetheilt werden könne, damit jeder dieser Theile 4 werde; man findet, ir enthalte 3 solcher gleichen Theile. Multiplicirt man den Quozieiiten 3 mit dem Divisor 4, so fin­ det man wieder 12. Auf diese Art dient die Mul­ tiplikation der Division zur Probe.

§* 35* EineZahl besteht nur aus einer, oder Höchstens zwei Ziffern, man soll sie mit

33 einet andern dividiern, die nur aus einer Ziffer bestehl: auch soll die höch­ ste gisset'im Dividendum kleiner als der Divisor seyn. Stuft i) Man schreibe den Divisor unter das Dividendum, uyd ziehe seitwärts zur Rech­ ten einen Strich. Alsdann sehe man in der, im Zi §. gefundenen Tabelle oder dem sogenannten Einmaleins die erste Reihe linker Hand von oben herunter nach: in derselben wird gewiß der Divisor gefunden. Man sehe ferner die Reihe, von der einten gegen die Rechte nach, vor wel­ cher der Divisor steht, ob unter den Zahlen die» str Reihe eine vorkommt, die mit dem Dividendo einerley ist. Findet man in dieser Reihe das Dividendum, so ist die gerade über demselben in der obersten Reihe stehenden Zahl der Quotient, Z. D. 8j-4 Quotient. L

Findet man in dieser Reihe' das Dividendum nicht, so nehme man die nächst kleinere Zahl in Lieser Reihe für daS Dividendum an, und die grade über derselben in der obersten Reihe stehen­ de Zahl für den Quotienten. A. B. 9)4 Quot. 2 Darauf multiplicire man den Divisor mit dem Quotienten, schreibe dies Produkt unter dem Divisor, ziehe eS vom Dividendum ab, und schreibe den Rest darunter. Z. B. 9)4 Quot. 2 __

r Rest, 3l«

33 Im erftettt Fall, wenn das Produkt des Divi­ sors mit dem Quotienten so groß ist, als das Dividendum, wird nichks übrig bleiben, und als­ dann saqt man: der Divisor gehe im Dividendum auf. Bleibt aber ein Rest übrig, so hat man den Quotienten noch nicht ganz gefunden, der Divisor geht nun im Dividendo nicht auf, und wie man sich weiter verhalten müsse, wird unten gewiesen werden 2) Eben so verfahrt man, wenn das Divi« dendum aus zwei Ziffern bestehet, falls nur die höchste Ziffer des DwidendumS kleiner ist wie der Divisor. Z. B.

8t}9 9 8r o

63}7 8 56 7~

Hat man das Einmaleins schon im Gedächtniß behalten, weiches nicht fehlen wird, wenn man sich im Multiplitiren fleißig geübt hat; so kann man leicht in Gedanken finden, welche einfache Ziffer, in den Divisor muir plieirt. das Dwidenbum selbst oder das nächst kleinere Produkt hervvroringt. So weiß man, zmal 8 ist 40, bmal 8 ist 48, ?mal 8 »st 56, aber 8mal 8 schon 64, also muß im letzten Exempel 7 der Quotient seyn. Weit man nun eigentlich 63 nicht 50 durch z divtdiren sollte, so müßte nun auch noch der Rest 7 mit 8 dividirt werden, und davon wird das folgende Unterricht geben: hier merken wir nur folgende Regel: Wenn der Divisor in dem Dividendum nicht aufgeht, sondern ein Rest bleibt; sv mutz das Dividendum herauSkommen, wenn man den Quotienten mit dem D.visor multiplicier, und zum Produkt den Rest addirt»

36. SBenrt der Divisor irt bem Divibent dum aufgegangen ist, und man macht den Quotienten zum Divisor, so muß der Divisor zum Quotienten werden. 56)8 6 }/ 7 8 56 _56ti o o Denn, weit vermöge der ersten Division 7 mat 8 — 56 ist, so ist (laut dem 31. §.) auch 8 mal 7 =a 56. Oder weil 8 in 56, /mal enthalten ist, so ist'auch 7 in 56, 8mal enthalten. Folglich muß der Quotient allemal eins Zahl seyn, welche anzeigt, wie vielmal der Divisor in dem Dividendum enthal­ ten sey. Wenn also eine größere Zahl durch eine klei­ nere dividirt werden soll, so* kann man sich alle­ mal vorstellen, man sollte eine dritte Zahl finden, welche an zeigt, wie vielmal der Divisor in dem Dividendum ent­ halten sey. Deswegen drückt man sich beim Dividiren auch so aus: 9 in 45 hat man 5 mal; denn zmal 9 ist 45: 8 in 6z Hatman7mal, denn /mal 8 ist 56, und 7 bleibt übrig.

4- 37-

So wie nun die Multiplikation eine oft wie­ derholte Addition einer und eben derselben Zahl war, so kann man sich die Divifion, als eine oft wiederhohlte Subtraktion einer und eben der­ selben Zahl Vorsteven. Wenn z. B. 12 durch 3 dividirt, also gesucht werden soll, wie vielmal 3 in 12 enthalten ist, so muß sich das finden,

wen« man 3 von rs so vielmal abzieht, als es «ngeht, A. B. 12 3 i)

6 3 3 3.

3) 4)

o Hier hat man 4mal subtrahi'ren müssen, ehe alles aufgegangen ist; also zeigt tie Anzahl der Sud« traknonen an, daß 4 der gesuchte Quotient, oder 3 in 12 4mal enthalten sey, zugleich weiß man, daß 4 der dritte Theil von 12 sey, denn es ist auch umgekehrt 4 in f2 zmal enrha ten (§. 36.) Sv leicht, und natürlich aber dies Verfahren ist, so weitläufrig und beschwerlich würde cs doch seyn, wenn beide gegebene Zahlen sehr groß wa­ ren, und auch der Divisor sehr vielmal in dem Dividenbum enthalten wäre; deswegen yar 'man hier eben so, wie bey der Mulli;likati0n kürzere Wege suchen müssen.

38. Das Dividendum bestehet nur aus zwei Ziffern, und der Divisor »st eine einfache Ziffer, überdem ist die höchste Ziffer des Dividendums grösser, al­ ber Divisor: man soll den Quotienten finden. Aufl. Man schreibe wiederum den Divisor unter daS Dividenbum, doch so, daß er unter der höchsten Ziffer desselben zu stehen komme. E 2

Man dividire hierauf die höchste Ziffer des Die videndums allein, nach dem 40. §. Sllödann multiplicire man den Quotienten in den Divisor, setze das Produkt unter, ziehe eS von dem DividenduM ab, und schreibe den Rest unter dies Produkt.

Hierauf nehme man die zweite Ziffer des Di« videndums, setze sie zu dem Rest, und dividire nun beide Ziffern, wie im 40. §. Ist der Divisor im Dividendum nicht aufgegangen, so schreibe man wiederum den Rest un­ ter, wie im 40. §, A. B.

86)23

3

6

26 3 . 24 2 Rest.

Hier ist 3 in 8, 2mal enthalten. Das Produkt dieses Quotienten 2 mit dem Divisor 3 giebt 6; dies von 8 abgezogen, bleiben 2 zum Rest; setzt man hiezu die zweite Ziffer 6 des Dividendums, so hat man 26. Run weiter 3 in 26 kann man haben 8mal, zmal 8 ist 24; dies Produkt von 26 abgezogen, läßt 2 zum Rest, und 2» ist der Quotient. Wer beim Rechnen sich auch zum Nachdenken gewöhnt, wird leicht einsehen, daß hier eigent« «ich die beiden Theile des Quotienten so gesucht werden: Cs ist

2Ö 3 24 2

Man dividirt also erst 8o, oder 8 Zehner durch z, und das giebt 2 Zehner oder 20. Weil nun 3 mal 20 erst 60 macht, so ist der Rest 20, der auch noch durch 3 dividirt werden muß. Hiezu nimmt man die übrigen 6, so har man 26, die noch durch 3 dividirt werden müssen, da dann 8 Einer gefunden werden, die zu den vorigen r Zehnern hinzukommen.

§. 39Man sieht nun leicht, daß auf eine ähnliche Art verfahren werden müsse, wenn das Drvidendum auch aus dreien, und mehrern Ziffern be­ steht. Man multiplicirt nach jeder Division den Divisor mit der Zahl des Quotienten, welche man zulezt gefunden hat, schreibt die niedrigste Ziffer dieses Produkts allemal unter der Zahl des Dividcndums, die zuletzt zum Rest ist'zugesetzt tvorden, zieht es gehörig ab, bemerkt darunter den Rest, und setzt alsdann die nächstfolgende Ziffer des Dividcndums wieder zum Rest. Eben so fährt man so lange fort, bis nichts mehr übrig ist, oder ein Rest bleibt, der kleiner wie der Di­ visor ist. 3. B.

Z8

SMHySM 6 5£__ 36

? 30 3t

36__ 6 6

0 §. 40.

ES können hier Falle verkommen, welcke ei, nige Erläuterung fordern, wie sich die bisher vorgetragcnen Regeln darauf anwenden lassen. Es sey z. B. die Zahl 639 gegeben, die durch 6 dividirt werden soll, 630)105

30

Hier ist schon der Divisor in der ersten Ziffer des Dividendums ganz enthalten, also bekömmt man im Quotienten 1; das Produkt dieses Quotien­ ten in den Divisor, ist so groß als der Divisor selbst, also hat man nicht nöthig, dies nochmals niederzuschreiben. Die erste Ziffer des Diyiden« dumS ist auch 6, also bleibt hier kein Rest. Setzt

39

man die folgende herunter, so kann man z nicht durch 6 dividiren, also kömmt jn dieser Stelle des Quotienten o, und damit man es nicht ver­ gesse, die Null im Quotienten^hinzuschreiben, sage man: 6 in 3 hat man o mal, da dann 6mal o wieder o wäre, und o von z abgezogen wieder 3 hleihru würde. §- 4i-

DaS Zeichen der Division sind zwei über ein­ ander stehende Punkte, wenn man nämlich schreibt 8:4, so Heist das 8 dlvidirt durch 4, und es Ist 8:4 = 2.

Exempel

zur

Uebllng.

1) 4826 : 2 --- 2413. 2) 3) 4) 5)

13578 : 3 21496 : 4 493827156 617283945

=• 4526. c=s 5374: 4 — 123456789: 5 = 123456789-

6) 51705 .* 5 ?= 103417) 8002372002 : 6 = 1333728667. 8) 2030405060708080 : 7 — 290057865815440. 9) 310248 : 8 = 3878t. 10) 1230849 : 9 =: 136761.

§« 42-

Der Dlvisor und das Dividendum bestehen aus zusammengesetzten Zif­ fern, man soll den Quotienten finden. Aufl. Man schreibe den Divisor unter das Dividendum w'.e im 39ehe man aber den Divisor unterschreibt, beobachte man folgendes:

40

Man nehme in Gedanken so viel der höchsten Zif­ fern des Dividendums ab, als der Divisor allein enthalt; machen seine'Ziffern zusammen eine Zahl aus, die kleiner als der Divisor ist, so rücke man den Divisor um eine Stelle weiter gegen die Rechte. Run untersuche man, wie oft die höchste Zif­ fer des Divisors entweder in der höchsten Ziffer, oder in den beiden höchsten Ziffern des Dividcntums enthalten sey, falls man um eine Klaffe gegen die Rechte mit dem Divisor gerückt ist: Die Zahl, welche man so findet, nehme man bis auf 'weitere Prüfung für den Quotienten an. Man multiplicire darauf, wie im 39. §. den Di­ visor mit diesem Quotienten, schreibe das Pro­ dukt auf die oben gezeigte Art nieder und ziehe es ab Hiebey n-iri) es sich zeigen, ob der ange­ nommene Quotient der richtige sey. Kommt das Produkt so groß heraus, daß man es von den grade darüber stehendcn Zahler» deS Dividendums nicht subtrahiren kann; so muß man den Quo­ tienten so lange um «Zins kleiner machen, bis sich daS- Produkt ae ziehen läßt. Der Rest, welcher Lbr-g bleibt, wird, falls man cs recht gemacht hat, kleiner als der Divisor sevm Run setze man die folgende Ziffer deS Divi­ dendums zum Rest, schreibe wieder de»i Divisor darunter, und verfahre, wie vorhin. Ist die Zahl, welche herauskommt, nachdem diefolgende Ziffer des Dibidendumß scho»» zum Rest ist herun­ ter gesetzt worden, kleiner als der Divisor; so kömmt in die Stelle des Quotienten eine o, und nid 11 setz» zugleich die weiter folgende Ziffer des Dwideudumo zum Rest, wie bc» der Division mit einer einfachen Ziffer im 40. §' Man wiederhole dirs Verfahren so oft bis alle Ziffern des Dividendums herunter gesetzt sind. Bleibt ein Rest, so schreibt man denselben darunter, und bemerke nut dies noch, daß der­ selbe kleiner seyn muß, als der Divisor, wofern man anders recht gerechnet hat. Z. B.

153521404 38 152 152 38 T53 o

Da hier 15 kleiner ist als 38, so rückt man den Divisor um eine Stelle weiter, daß d>e 3 nicht unter der i, sondern unter der 5 kömmt. Nun könnte man sonst 3 in 15, 5mal nehmen, allein weil hier die ganze Zahl 38 noch mit 4 multiplicier, und dies Produkt vom Divrdendum abgezogen werden soll, so kann nur 4 zum Quo* tienten genommen werden. Das Prod. 38 JX 4 giebt lZ2, und dies von 153 abgezogen läßt nur i zum Rest. Setzt man die folgende 5 dazu, so kann man wieder 15 durch 38 nicht dioidiren. Man sagt 38 in 15 hat man 0 mal , also kömmt im Quotienten ©/man setzt ferner die letzte Ziffer Les Dividendums herunter, und dividirt nun 15.2 mit 38, welches hier den Quotienten,4 giebt. Hat man stch mit allen diesen Regeln wohl bekannt gemacht, so wird cs nun auch weiter keine Schwierigkeit setzen, jede gegebene Zahl zu dioidiren, wenn auch der Divisor aus 3, 4, und mehrer« Ziffern besteht; die Art zu rechnen bleibt allemal mit der vorigen einerlei. Z. B. 11366784)3456 3;S9 .981'7 14997 3289 13156

134*8

3239 *6445 *9734 3289 19734 0

§- 43. i) Wann beide, der Divisor und das Divi« -endum am Ende Nullen Haven, so ist es nicht nöthig alle diese Nullen in Betrachtung zu ziehen. Man kann aus beiden Zahlen so viele Nullen wegftreichen, als in derjenigen befindlich sind, welche die wenigsten hat, und der Quotient muß doch recht heraus kommen. Die Ursache ist diese: 4 Zehner sind in 24 Zehnern so vielmal enthalten als 4 Einer in 24 Einern: allo ist 240 : 40 — 24 ; 4. 6 Hunderte sind in 54 Hunderten so vielmal enthalten, als 6 Einer in 54 Einern, also 5400 : 600 — 54 : 6. 92 Tausende sind in 2700 Tausen­ den so vielmal enthalten, als 92 Einer in 2700 Einern, also 2700000 : 92000 — 2700 : 92. 50 Tausende sind in 236 Zehntqusenden so vielmal enthalten, als 50 Einer in 236 Einern, also 2360000 : 500000 c= 236 : 50.

Mais rechnet also leicht das folgende Exempel. 387 7ccfy3pp0 350 Rest Z7 2) Wofexn der Divisor also die Zahl r ist, mit einer Reihe dargnhangender Nullen, so wird der Quotient ohne alle Rechnung gefunden, wenn man nur vom Dividendum rechter Hand, etwa

durch einen Strich, so viele Ziffern abfchneidet, als im Divisor Nullen sind. Was linker Hand des Strichs, bleibt, ist der Quotient, was rechter Hand steht, ist der Rest. .371824! iooo) | 37

Rest 824 Denn es ist 37824 --- 37000 + 824, und 37000 durch 1000 dividirt giebt 37, und 824 ist schon kleiner als iooo, mithin ist 824 der Rest. Eben f» 55189573' cr00000) [ 3d Rest 89573

IOoooo»?68|°W5>7^

Rest 039425 §- 44Die hier gezeigte Art zu dividiren ist leich« ter, und deutlicher, als die gewöhnliche, wo man die Produkte nicht niederschreibt, sondern in Ge­ danken behält, den Rest über die dividirten Zah­ len hinsenr, alsdann aber zum Unterschied die Zah« len,' roel' c schpn dividirt worden sind, durch­ streicht. Z, B,

z

, iö — w = M 8) 37« — v® ~r?a« 9) 135t — 131 - 13X41 10) 2544 — 15H = 9fo 11) 1364 — 27H — i°9t4 12) 725,4 — I644 d= 7°8ifl 13) n84f — ii5it te 244s 14) 27; — i6§ = n,r 15) 139 — 757 = 138421 16) 18 — 54 — 12;

§. 88.

Eine gemischte Zahl mit einer ganzen Zahl zu multipliciern.

Aufl. i) Man rnultiplicire zuerst den Bruch für sich allein mit der ganzen Zahl; falls ein un­ eigentlicher Bruch kommt, so suche man die darin enthaltene ganze Zahl, setze den eigentlichen Bruch der übrig ist, unter der Bruch. Kolumne, und be­ halte die ganze Zahl in mente. Ferner rnultiplicire man auch die ganze Zahl mit dem gegebenen Multiplikator, und addire da­ zu, was in mente geblieben war, so hat man da­ ganze Produkt gefunden. 244 X3

X6

2; 72

5; 18 _ 23t 231 XI2

62 46 23 282?

741

58i* X37

119 5r *55 >2651 406 174 2172,5

2) Man bringe die gemischte Zahl nach dem 66 §. auf einen uneigentlichen Bruch, und diesen rnultiplicire man, wie im 69 §. ist gezeigt worden.

T>23$

V M9

Exempel zur Uebung. 1) 2) 3) 4) 5)

24'. X 4 = 99 94 X 4 - 38! 84 X 5 - 44 13? X 9 = 1S4 8l§ X 6 = 491

6) i7tJ X 8 = !38t1 7) 74 X 72 = 549 8) T94i X Too = 19475 9) 4*7? X 1000 = 487250 10) 2Zfz X 7 = 163:4

§. 89. Eine gemischte Zahl mit einer ganzen Zahl zu dividiren.

Aufl. 1) Man dividire zuerst die ganze Zahl, und darauf auch den an der gemischten Zahl hän­ genden Bruch mit dem gegebenen Divisor. Beide Quotienten addire man zusammen, so hat mau den ganzen Quotienten. (48 154^3? 94>r 4,24124 5) 6) ,4> lI 7 i#l 7)

I3i

654 > 94 I 8 | 16 ?! I i I 3 9K |

I 19

(216 379* > 15 I 9 I I7I 24) 3TBI T I__ 5__ 15 4411 1.176 2) Man bringe die gemischte Zahl, nach dem 66. §. auf einen uneigentlichen Bruch, und diesen dividire man nach den Regeln des 70 §.

6)

3f = a4 Hl 6)

i54 5)

= S°I>3tI

Exempel zur Uebung.

1) 71:9 = % 2) 137:5 = 3ä

5) i9f:8 = 2t£ 6) I5l:3 - 5 i-r

3) 9J: 6 = iH 4) 54 r 2 --- 2z

7) 9i-: 12 =

8) 28t: 4 = 7t$

II. Multiplikation der Zahlen durch Brüche. §. 90.

Bisher «ar nur die Frage nach dem Verfah­ ren das bei der Multiplikation und Division zu beobachten ist, wenn das Multiplikandum oder das Divldendum ein Bruch geworoen ist; Multipli­ kator und Divisor blieben noch ganze Zahlen. Hiebe« war es natürlich, daß das Multiplikandum vergrößert und das Dwidendum verkleinert wer­ den mußte, grade auf die Arr, wie es bei ganzen Zahlen zu geschehen pflegt, wie aus §. 69 u. 70 erhellet. Ganz anders wird es aber, wenn bei ganzen Zahlen im Multiplikando und Dividendo, die Zahlen des Multiplikators und Divisors Brü­ che werden; denn nun heißt z. B. mit 4 eine Zahl multipliziren, so viel, als sie haibiren oder durch L dividiren, also 4 f — 2. Erinnern wir uns an den Begriff der Multiplikation (ri§. 2.l>.); so heißt der gegebene Ausdruck mchrs anders, als 4 ein halbmahl grösser machen, das he-ßl drch so viel als die Hälfte davon nehmen. Sell dagegen 4 durch 4 divrdirt werden, d. 1. soll man «incersuchen, wie viel mahl 4 grösser ist als -; so kann man keine andere.Zahl finden als 8. Dreß nur vorläufig, um Anfängern das gewöhnlich abwei, chend scheinende Resultat einer selchen Rechnung bei den folgenden Aufgaben zu erklären.

K» 91-

§. yt. Aus dem vorigen §. folgt titth sehr seicht die Siegel der Multiplikation einer Zahl mit einem Bruche: man multiplizier den Theil VerZLHl, den des Bruches Nenner anze«gt. Mit dem Zähler. Soll also 9 mit f multiplizirt werden-, so nehme Man den dritten Theil von 9 und multiplizire ihn Mit 2; also 9 X i s i §- 92.

Eine ganze Fahl mit einem Bruch zu m u l t i p l»c i r e n. r R e g e l. Man dividire die ganze Zahl Mit des Bruchs Nenner/ und multiplizire, was hetauSkömmtmit des Bruchs Zahlet. Z. B. 9) 27} 3 8) 56} 7 8) 97}12} XfXi XjXj XjX? 6 35 84} 9) 113} »4 12) 144} ta XSX8 XtIXt. ioof 84 ... 2 Siegelt Wenn die Division Nicht aufgeht, so ist es am Vesten, wenn man die Ordnung um kehrt. Man multiplicier nun zuerst mit deS Bruchs Zäh­ ler, und dividire alsdann, was herauskömmt durch des Bruchs Nenner. Eigentlich i|t 27 X = m >i su Aber auch X j ** 2(§. 69.) G3 Regel.

= 6, wie vorhin nach der erstes &

»I

8 64

28i6}2i6A

39 8 32

13 26 21 U

7

86 i3

78 8 Exempel zur Uebung.

i) 8 Xi= 6 s) 3 Xf = af 3) a Xi = 7

4) 24 X f = 15 5) 5 X f = 4 $) 40 X | c 32

7) 15 X f = I2< 8) 96 X -- Z» §) 8 X ff = 5f 10) 25 X f = 8f 138 X f sä 115 12) 231 xf = 165.

§. 93Einen Bruch mit einem Bruche zu mul, tipltziren. Wenn auch beide Factoren Brüche sind, so wer­ den die bisher vorgetragenrn Regeln über die Multiplikation der Brüche und ganzen Zahlen gar nicht geändert. Man stelle sich nur den gebro­ chenen Multiplikator als eine ganze Zahl vor n»d verfahre »ach §. 69. n. 1. Sollte man z. B. mit j multipliziern; so stelle man sich unter | hieraus nach, $. 93. n. t. -L oder 2 £ | : 2 woraus nach §. 70. n. t. 4 gefunden wird, daher die Regel: 3) man diuidire kreuzweise, den Zähe ler des Multi pli kandums mit dem Nenner des Multiplikators, so hat man den Zähler; und den Nenner des Multiplikgndums mit dem Zäh­ ler des Multiplikators/, so hat man den Nenner des neuen Bruches.. .Diese beiden lezten Regeln dienen bloß zur Verkürzung der Rechnung, ihre Herleitung aus der ersten ist leicht einzusehen, n. 2. ist sehr be­ quem, wenn die Zahlen beider Bräche nicht sehr groß find, noch leichter wird die Rechnung nach n. 3, wenn die Zahlen kreuzweise in einander «ufgehrn. Nur nach diese,- Methode findet maN

100 -en Bruch sogleich durch seine kleinsten Zahlen auSgedrückt, j. B.

8_ 9

4

3613

8 _ 3 3S .— — X -2. 3 -L 3 9 4 Indeß muß es, nach dem in der ersten Regel beobachteten Verfahren noch eine wirklich neue Regel geben, denn wenn man in dem dort ge­ wählten Beispiele A für | schreibt und also 2

I1.

so folgt aus §. 69. 0.2. z X

2

w 4 A = — s= -i- sx

4

daher die Regel: 4) man behalte den Zähler des Multiplikandums ungeändert bei und dividire den Nenner mit dem Multi­ plikator. Aus Gründen die man bald im Folgenden «inschen wird, kann man sich auch überzeugen, daß diese Regel auch so auszudrnchen sey: man behalte den Zähler des Multis plikandums u »'geändert bei und muk« tiplizire den Nenner mit dem umge­ kehrten Multiplikator. Die letzte Regel ist für jetzt noch brauchbarer, da die Regeln der Division mit einem Bruche Noch nicht Vorgetragen sind. Uebngens sind die erste und vierte Regel wirklich besondere Metho­ den, die übrigen find nur Rcchnungsverkürzun« gen. Man versuche daher zuerst immer n. Z r in­ deß merke man: wenn dre erste Regel einen gebro­ chenen Bruch giebt, muß ihn auch die dritte ge, den, die vierte könnte dann vielleicht noch be.

qnem seyn, folgt auch hier ein gebrochener Bruch, so rechne man nach n. 2. Z, B. ,

24|rf

n. 2)

R F

n. 3) ?R

X X

,-24 ’ 63 3 —

1 —

V- 4) S

$ — 7O |

14 U

nach n. i) | X ^6jlT '

¥SX

i

180

1

,_rZ

II J

3

L4 M 5 = 14 x? n Ti —-

J

Exempel zur Uebung.

I) U x -) if x

3 — 4

T T

12) iZ) li)

5_ T 9 ~~ r

I4A y x X 7 :— 2-m-

17

4) X i llff 5) fif X if = ir 6) ;z? x tI = 3*L3 ir 7) II x|- 3 L 8) tH X § = rH 9) uxt?-§z 10) «XtI =xl| II) sH X fff = Or

15)

16) 17) 18) 19) so)

4

X f = X3 X f = I3 2, r 3 X i = 4? 7 z X 'S7 _ -> 9 11 XH = I H X D-H if X ff = fff fy X ff =f HiX| = HH
f 0 — 6— iZl thlr. 28 ßl. 8 PfDa die ganze Methode im Grunde nur den Mechanischen Rechnern zum Besten ersonnen ist (ti2. $.); so ist es freilich wohl nothwendig, daß auch Beauemlichkeiten, wie die eben genannten $ ihrem Wesen gehören; indeß wird ein fertiger

Rechner, dem besonder- dielBruchrechnungsregeln geläufig si^id, aller solcher Behelfe nicht bedürfen, sondern lieber grade zu nach §. 112 verfahren, z, B. beim vorstehenden Exempel: 5 thlr. Z. r loo thlr. St.= 1895 ,, A i 20 288 ** f‘

1895 Z.7902 > izl thlr. LZ ßl. 8 pf» 288 > 9.1.0 864 4.6.0 288 284ßl. 4ßl.--2X4-Spf» §. 128. So überflüssig freilich die ganze sogenannte Zerr streuunasmerhode für die wirkliche Rechenkunst ist, so darf doch eine genauere Nachricht hier nicht fehlen; ich will daher die Regeln der Zerstreuung, wie man sie bei praktischen Schriftstellern findet, nach ihren Gründen auseinander setzen. Diese drücken sich so aus: Man solle jede kleinere Sorte gegen die nächstgrössere zerstreuen, Nämlich ßl. oder gl. gegen thlr., pf. gegen ßl. »der gl., Pf. gegen Ct., Loth gegen Pf. u. s. f. Im vorigen Exempel werden die 27 ßl. gegen thlr. so zerstreut: t) Man zertheilt die Zahl 27 in kleinere Zah­ len, deren Summe 27 ausmacht. 2) Diese Zahlen müssen so beschaffen seyn, daß die größte in 48 aufgeht, weil 48 ßl. 1 thlr. ma­ chen, von den übrigen muß jede folgende in die

vorigen aufgehen, dahkn.denu auch der Fall ge. hört, .wenn die folgende Zahl der vorigen gleich ist. Allemal muß die größte der zerstreuten Iah­ ten in diejenige Zahl au fachen, welche anzeigt, wie viel Stücke der kleinern Art ein Stück der grösr fein Art aUsmachen, und diese Zahl kann hier die Grundz-ahl der Zerstreuung heißen. Diesemnach wird die Zahl 27 hier in die Zahlen 16, 8, 2, 1, zerstreuet, und eren so die Zahl 10 pf. in die Zahlen 4, 4. 2, da denn 4 in 12 aufgehen tpuß, weil i2 pf. einen ßl. machen. Hätte'man die Zahlen 6. 4, genommen, so ginge zwar 6 in 12, aber nicht 4 in 6 auf. Die Zahlen 6, 3, x, liehen sich brauchen, weil 3 in 6 und 1 'm 3 aufqeht. Um nun hievon bei der Regel Detri Gebrauch zu machen, beobachtet man noch folgendes: 3) Man setzt die zerstreuten Zahlen unter ein. ander, darauf divibirr man die größte dieser zer­ streuten Zahlen in die Grundzahl der Zerstreuung; man divldirt weiter jede folgende Zahl wieder in di« nächst vorhergehende, und setzt die Quotienten zur Seite. Diese Quotienten sind alsdann die Zahlen, womit man nach der Ordnung dividiren muß, um das Produkt der beiden mittlern Glie­ der im Ansatz zu finden. Es würde also das Exempel des vorigen §. so stehen: i thlr. Zinse — 20 thlr.Kqp. ^-6 thlr. 27 ßl. io pf. 6 —— 4 3 1L0 thlr. 4 i 6 — 32 ßl. 3) 2 2" i6 — 3 2) i 40 4) 20 — 2) s 6 - 8 pf» 3) .e 6 - 8 ♦ 1) r 2) 3-4 §äcitHthlr 28 ßl. 8 M"

Wettn

Wenn man dies Schema Mit demjenigen dergleicht, nach welchem dasselbe Exempel »n vorigen §. berechnet ist, so wird sich zwischen beiden so­ gleich die Uebereinstimmung ergeben. Die zer, streuten Zahlen sind eigentlich die Zähler zu den Brüchen, die insgesammt die Grundzahl der Zer, streuung zum gemeinen Nenner haben, die Quo, tienten zeigen an, wie bielmal jeder folgende Bruch kleiner, als der vorhergehende ist Folgt noch eine kleinere Sorte, so beobachtet man die Maxime, daß die letzte vott den zerstreuten Zahlen — i Werde, so wie hier bei den ßl geschehen ist A,sdann ist das Produkt aller zur Seite stehens den Quotienten die Grundzahl der Zert streuung, Wovon Mau den Grund leicht em# fieht, weil die letzte i der Zähler eines Bruchs >st> der die Grundzahl der Zerstreuung zum Nenner hat. Beobachtet man diese Maxime, so kann matt die folgende nachsrkleinere Sorte immer eben so Wieder gegen die nachstgrössere zerstreuen, und die Quotienten, als die fernern Divisoren brauchen. Indessen wird solches eben nicht nothwendig er, fordert, und ein geübter Rechner Wird sich hiebei vald auf diese, bald auf andere Art Bortheile machen können. Mit demselben vbrhin gebrauch, ten Exempel könnte man auch so umgehen: t thlr.Zinse — 20 thlx. Kap. — 6 thlr 2' ßl. ro pf. 5 ö 2X3 24 >2 318 iso thlr, 2 r 2 t io — 2) I — 12 ßl. 8) • — IO — 6) - - 3 — 4 Pf. 3) i) . .. * — 3 — 4 Facit izt thlr. 28 ßl. 8 pf. In der Kolumne der zerstreuten Schillinge hak matt nur die a Quotienten a, 8, Und üach sc*

K

14$ fchehener Division der 20 thlr. mit dsn beiden Quotienten, har man erst «td der 20 thlr. näm­ lich i thlr. i2 ßl. Man soll aber nun weiter mit der Hälfte von multipliciren: deswegen müßte man jenes noch erstlich mit 3 dividiren, um ul zu erhalten, und daS würde 20 ßl. geben, wo­ von die Hälfte 16 ßl. wäre, statt dessen aber, daß «ran erstlich mit 3, und was herauSkommt, wie­ der mit 2 dividirt, kann man gleich mit 2 X Z oder 6 dividiren. Das giebt nun diese besondere Regel: Kenn man mit der Zerstreuung einer gewissen Sorte fertig -ist, und das Produkt der erhalte­ nen Quotienten, ist noch nicht der Grundzahl der Zerstreuung gleich, so muß man diese Grund­ zahl mit jenem Produkt aller Quotienten divioiren, und was nun zum Quotienten heraus­ kommt, in den ersten Quotienten multipliciren, welcher bei Zerstreuung der folgenden kleinern Sorte herauskömmt. Das Produkt wird als­ dann der folgende Divisor. Man wird Nunmehro leicht auch folgende Exem­ pel nachrechnen:

i Last — 128 Mk. i2 ßl. -7- 13 Last 5 Drbt. 6Schfi. 1673 Mk. 12 ßl. 64 — 6 — 2) 16 — i — 6 pf. 4) 2) 8 — '— 9 — Facit 1762 Mk. 4ßl. 3 pf. i Last — 130 Mk 8ßl. — 17Last6Drbt^4Schff. — --------- x"^— 4>2 "4I3X2 2|2 2218 Mk. 8 ßl. 2) 65 — 4 ~~ 32 — 10 — 2) 6) 5—7 — Facit 2321 Mk. 13 ßl.

Ebe« dies Exempel kann 'man auch fi> rech, nen: r Last — 130 Mk. 8 ßl. — 17 Last 6Drbt. 4Schfl. X s7 4;2 4,3

2) 8

4 — 5 — 5 — 3> 7 — Facit 2321 Mk. 13 ßl.

i|i

§. 129. In den beiden letzten Exempeln hat nicht al­ lein das dritte, sondern auch das zweite Glied im Ansatz, mehr als einen Namen, deswegen multivlicirt man das ganze mittelste Glied zuerst mit derjenigen Zahl des dritten Gliedes, die den größ­ ten Namen hat, wie im letzten Exempel mit 17, und dividirt hiernächst eben das ganze mittelste Glied mit denjenigen Divisoren nach und nach, welche die Zerstreuung an die Hand giebt. In Fallen dieser Art kann man beide so wohl dazweyte als auch das dritte Glied zerstreuen, und nach folgendem Schema rechnen: i Last — 130 Mk. 8 ßl. — !7kast 6Drbt. 4 Schfl. X i7 H 4|2 413 910 2 2 1'4 1I1 130 i 2 Mk.*1 21

4) 4 — 4 ßl. 2) 2— 22) I— I1) I - I2) 6Z — 4 4) 16 - 5 1) 16 — 5 3) 5 — 7Facit 2321 Mk.iZßl.

«4$ Ms« soll nämlich 130 Mk. 8 ßl. erstlich mit 17 multipliciren: anstatt nun wie im vorigen §. nach der Regel des yr §. zu verfahren, multiplicirt man nur die 130 Mk. mit 17, und fnU nun noch 8 ßl. oder Mk. mit 17 multipliciren. Das ist eben so viel als wenn man 17 mit $| 4- T? + ober mit 5+ i + (^-+ multi8» 2 8« 2 pliciren soll. Diese Multiplikation geschieht nun, wenn man nach Anweisung der Quotienten unter den zerstreuten 8 ßl. die Zahl 17, erst durch 4, dies 4 durch 2, daS so gefundene > wieder durch 2 dividirt, und das letzte $£ nochmals hinschreibl. Noch soll man 130 Mk. 8 ßl. Mit 6 Drbt.4Schfl. multipliciren, und das geschieht eben so, wie eS im vorigen §. gemacht ist Das folgende Exempel ist eben so gerechnet: iZiM.—32 Mk. 13 ßl. 4Pf — 86 Z. 3 Dech 5

70278

398.2.5 35139 46868 46852 1699 Man sieht, die Rechnung ist keinesweges leicht, wenn man nicht folgende Regel anwendet, um den Rest der Nach den vorigen Regeln herauskommc, sehr klein zu finden, NLMlich: man multiplizire die erst« Zahl vor der Rech­ nung mit einer so großen Zahl, daß ein Pro­ dukt herauskommt, das von der 2ten oder 3ten Zahl wenig unterschieden ist; das Facit muß am Ende der Rechnung mit derselben Zahl multiplizirt . werden, womit die erste Zahl multiplizirt ward. Hiernach wäre die vorige Proportion: 11713 X 3 : 42464 — 24149 : x 35139 • 42464 =5 24149 : x

““ ((^4-)+1^)xa

151 Da aus dem vorigen Abschnitte bekannt ist, daß man die Giiedex eines gnd desselben Be.hä'tniffss umkehren könne; so folgt hieraus, daß auch wohl der Kall eintreten kann, da das erste Glied grösser als das zweite oder hritte ist; dann heißen die Regeln: 1) man subtrahire die zweite Zahl von der ersten, 2) mÄltiplizire mit dem Rest die dritte, 3) dividire das was heraus kommt durch die erste, 4) subtrahire den Quotienten von der dritten Zahl; so hat man das Facit gefunden. Um auch hier eine hinlänglich große Zahl ab» ziehen zu sönnen, rpixd das zweite Glied mit ei­ ner gehörigen Zahl mvltiplizirt und das Facit am Ende durch dieselbe Zahl dividirt; z. B. n. k.§. 129. für 26040 pf. erhält mag 96 Schfl., wie vief für 596748 Pf.? 26.0 40—96 — 596748 ? 4960 230 22080>

4960'

2880 192 22080

3580488 5370732 2386092 2604

j

iJH

2604 ’ 9-547

7812

I7-3Z.O 15624 I7.263 t 5 624

; 596748 113666**1 ■ 4830o 1 esx

16.368 15624

744* k 483081*7? r 230 = 2200, oder 22 Last 7 Drbt. 4Schfl. (wie §. 129.)

Dritter Abschnitt,

Anwendung der Regel 3*)errt zur Ver? gleichung der Maaße und Gewichte, 8, iZr, Die oben in der ersten Abtheilung schon ab? gehandelten -Rechnungsfragen, wie man ein? genannse Zahl q'uf einen andern Na» men bringt, können insgesammt nach der Re? gel Detn im Ansatz gebracht werden, obgleich di? daselbst vorgekommenen Fälle als die leichteste^ und bekanntesten Reduktions $ Rechnungsfragen^, auch ohne ihren Zusammenhang mit der Regel Detri zu zeigen, ihre Auflösung finden konnten Die Frage 327 gk. wie viel finds thlr. ? giebt folgenden Ansatz: . 24 gl- — i thlr.327 gl-? und die Frage 4 thlr., wie viel sind es gl.? folgenden Ansatz: i thlr, — 24 gl. — 4 thlr,?

Die Vergleichung mit dem fünften und sechsten Abschnitt der ersten Abtheilung wird ergeben, daß die Regel Detri auf eben die Auflösung führt, welche daselbst von Rechnungsfragen dieser' Art ist gegeben worden. Soll man eine genannte Zahl auf einen andern Namen bringen, so muß man wissen: wie viel Stücke der kleinern Art, ein Stück der gröffern Art ausmachen? Man muß wissen, daß 24 Groschen einen Thaler machen, wenn man Thaler in Groschen, oder um­ gekehrt, Groschen in Thaler verwandeln will. Man muß wissen, daß if fi, einen thlr. machen, wenn man Gulden auf Thaler, oder umgekehrt.

154

Thaler auf Gulden bringen will. Das letzte Exem­ pel zeigt, daß die Zahl, welche ausdrückt, wie viel mal ein Stück der kleinern Art in einem Stück der grösser» Art enthalten ist, nicht allemal eine ganze Zahl sei, weil das Kleinere im Grbßern nicht allemal genau etlichemal enthalten ist. Man könnte diese Zahl füglich die Reduktionszahl nennen, rS mag übrigens eine ganze oder gebro­ chene Zahl seyn: so bald diese Reduktionszahl be, sannt ist, läßt sich jede genannte Zahl auf einen andern Namen bringen, ohne eben den Ansatz nach der Regel Detri zu machen» Ware die Fra­ ge diese: 15 Brab. Men, wie viel finds Hamb. Ellen? so könnte niemand die Antwort finden, der nicht wüßte, wie viel Hamb. Ellen eine Brab. Elle, oder umgekehrt, wie viel Drab. Ellen eine Hamb. Elle ausmachen. Weiß man aber, s Hamb. Ellen machen eine Brab. Elle, so weiß Man, daß § die Reduktions. zahl sei, daß 1 Vrab. Elle grösser als eine Hamb. Elle sei, und daß man, um Brab. Ellen auf Hamb Ellen zu bringen, mit ? multipliciren muß, weil eine Zahl, die den größer» Namen hat, auf einen kleinern Namen gebracht werden soll. Nach der Regel Detri könnte man ansetzen:

i Drab. Elle — | Hamb. Ell. — 13 Br. Ellen? X_5_ Xj_ _L_ 5

78

6

Ellen.

s-133. Wenn die Reduktionszahl ein Bruch ist, so zeigt derselbe zugleich an, wie viel Stücke man von jeder Art nehmen muß, um an Werth gleich viel zu haben.

i Brab. Elle ist gleich f Hamb. Ellen, so weiß man auch 5 Brab. Ellen sind gleich 6 Hamb. Ellen. Es muß nämlich auf beiden Seiten mit dem Nen­ ner der Reduktionszahl mulriplizirt werden, so hat man den Reduktionssatz. Hiedurch soll also allemal derjenige Ausdrück verstanden wer­ den, wilcher anzeigr, daß so und so viel Stücke der einen Art eben so viel werth sind, als so und so riel Stücke der andern Art. Die-r Reduktionssatz dient alle Rechnungs­ fragen dieser Art in einen bequemen Ansatz nach der Regel Detri zu bringen, so, daß in den beiden ersten Gliedern des Ansatzes kein Bruch vorkömmt. Man kann nun alle Reduktivnsfragen eben so ansehen, als diejenigen, die zur Kaufund Waarenrechnung gehören. Man will z. B. den Werth von iz Brab. Ellen ist Hamb El­ len wissen, und weiß, daß 5 Brad. Ellen 6 Hamb. Ellen werth sind. Also setzt man an: zBrab. Ellen—6Hamb. Ellen — izBrah. Tll^n? Tue mittelste Zahl ist der Werth der ersten, und die gesuchte vierte Zahl der Werth der drit­ ten, oder der Fragzahl: Es muß aber die erste Zahl in der dritten so vielmal enthalten seyn, als der Werth der ersten Zahl int Werth der dritten Zahl,- also ist dies ein Ansatz, der zur Regel Detri gehört Das Facit ist wie im vorigen j. 15I Hamb. Ellen.

§» 133Die Reduktionszahl, oder der Reduktionssatz für eine Rechnungsfrage dieser Art, wird hiebey immer als bekannt angenommen. Deswegen hat man Vergleichungstafeln der mancherley Maaße, und Gewichte nöthig, die in verschiedenen Län­ dern und verschiedenen Handelsplätzen üblich sind, weil bei der Handlung die Menge der Waaren

nach ihrer verschiedenen Beschaffenheit entweder durch Maaß oder durch Gewicht bestimmt wird. Ich setze hier zuerst eine Tafel aus deS Hrn. ». Elausberg Dem. Rechenkunst her, (S. IF47, nach der Ausgabe v. I. 1773.) von deren Einrichtung inan folgendes wissen muß Ein Pf. Kramgewicht hat 32 Loth; 1 Loth 4 Quent.; 1 H.uenr 4 pf.,; also hat 1 Pf. 512 pf Gew cht. Ein pf. Gewicht hat Hr. v. C, noch in 15 Gran eingetheiit, also 1 Quent in 60 Gran, und i Loth in 240 Gran. Man rechnet auf eine Unze 480 Gr. und eben so wird die Apotheker Unze einge, theilt. Vermöge dieser Eintheilung wiegt also r Pf "MoGran. Die Tabelle selbst zeigt an, wie viel 4 Pf in jedem dabei angezeigten Ort »ach Leip­ ziger Pfunden,. Lothen, Quentchen, Pfennigen und Granen wiegt. Ich habe noch eine Kolumne beiaenigt, worin jede dieser aus Theilen von ver­ schiedener Benennung bestehenden Zahlen auf Gra­ ne zebracht ist, so, daß diese Kolumne zeigt, wie viel ein Pf. an jedem dabei angezrigten Ort in Leipz. Granen wiegt. (f. die Tabelle Sign. 0) §- 134* Will man nun ein paar Gewichte, z. B. Pariser und Lofldner vergleichen, so zeigt die Tabelle: i Paris. Pf. wiegt 8065 Leipz. Gran. i Londn. Pf. — 7434 Leipz. Gränz Demnach ist 1 Londner Pf. im Pariser Pf. so vier­ mal enthalten, als 7434 Gr. in 8065 Gr.; oder so vielmal, als die Zahl 7434 in 8065 enthalten ist: Das heißt, die Tabelle giebt folgende Pro­ portion an: i Lond. Pf. : i Paris. Pf. = 7434 : 8065. pnd daraus fließt nach dem 120. §. 7434 Paris. Pf. sind so viel als 8065 Londn. Pf.

Nach dem Leipziger Gewicht, Ein Pfund in Lucca wiegt oPf, 22Loth zQu. — Lion o 2 2Z Lübek £ i I r O — Lüneburg i 1 I ' Lm^au B r o 1 3* — Muaaa o 2 5 31 — Marseille o I 28 — München O I 6 1 Memmingen * O 1 3 ” Magdevurg O Q I —’ Neapel o o 5 VS — Nürnberg X 2 3 — Paris s I 2 1 — Petersburg o o 28 — Prag o 1 5 3 —> Rom / 0 1 23 —' Riga s o 2 5 28 — Regensburg z I 6 i — St. Gallen, gr Gew« 1 8 - o —* ebend. klein Gew. o 3 31 Strasburg I 1 o —Schafhausen 2 o s 31 — Salzburg 6 - 1 I — Ulm I o ♦ o — Venedig, gr. Gew. o 2 I — ebenv. kl. Gew. o 2 2Q Verona, gr. G w. 1 o s 2 I — ebend- kl. Gew. o 22 2 *— Wien 4 6 I 5 2 5 —* Warschau, kl. Gew« o $ 25 3 — Zürch s I o f 4 ~ Zittau $ Q Q S

t.

Ul. ipf. 13 Gr. oder 5488 Gran. z- o -- s 6885 2 r o < r 7950 I 5 - 5 8qoo r 3 5 IO X 7555 r o o s - 756p i 8 * s 6803 > r r 9225 r 0 3 ' e 1 84»» 7 1 o e -- 7695 s $ X 8 r s 6983 *, e o 8385 0 3 > £ - IO s 8065 ♦ s * O6723 r 3 r 3 ‘ 845P 5 s oi S 5581 A s 28 S - 6878 S 9225 r0 s 3s I 9615 < o 2 o 7650 s s * X ' o 7755 s 5 0' o s s 756s L * 2 o X 9»iP 0 2 o 7710 r 0 3 * 7845 0 r 2 9 4959 s S I 818P F 5 3 ' 3 * K 5448 o5 o e * 9140 r 2 5 s s 6ai$ 0 8 s s 8693 e 3 X 0 r 5 7695 s

Sign. 0 Ein Leipziger Pfund wiegt wiegt xPf« Ein Pfund in Amsterdam i * — Antwerpen o — Archangel — Archen i i — Augsburg groß Gew. s X f— ebend.,klein Gew. s o •— Bologna * I 4 — Botzen I — Brüssel — Breßlau o ♦ 2 — Braunschweig I * I — Berlin I — Bremen o ~ Bauzen I —Bourdeaux o — Danzig o Florenz I Frankfurt am Mayn s 0 Genua s I Genf * I Hamburg s r Konstantinopel Krakau Q O r Kadiz Kölln am Rhein I j Kopenhagen I Königsberg, altGem o ebend. neu Gewicht c I ♦ o London s o Lissabon o Llvorns

Zu p»g- 156

Pf-

s s ♦

s r 5 s 5 s s $ s j 5 r f * * ' s

— 4 Loth zQu. 0 r 0 r 27 3 r 0 s 0 2 I O i 24 s 3 2 5 i 0 0 1 27 r 3 * 0 s 0 t 0 0 5 i 3 2 f 29 2 r i 29 5 3 i r 23 0 0 21 2 > * 5 3 / i i r 22 3 27 3 2 5 3t > 0 0 r 0 0 26 s 0 0 s 0 5 30 3 i 3i r I 23

7 I - 7697 2 O 0 r 2 8100 - 7*30 3 5 4 - 8085 0 4 3 ' - 7163 i 8 s 0 4 i - 5581 s 0 768 z s 3 5108 3 30 * r 9075 s I 5 / 798o s 0 $ O5 0 20865 52 3 0 0 6660 0 0 - 7560 s - 7680 r 0 r 0 2 6 - 7716 s 6255 4 i 0 ? 5 769Z S 0 r i - 7434 $ 9 > 35 5 755» 4 3 7 4- 5605 I IO

157 Eden dieser Ausdruck ist der Reduktionsfatz für Pa­ riser und Loudner Gewicht. Ware also Vie Fraget 128 Paris. Pf., wie viel finds kond. Pst? so. setzt man an: 7434 P- Pf. *- 8.065 L. Pf. — 12R P. Pf.? ^3717 7 434 2) "631 64 252? 3786

4.03841 3 717 J

10”-” T28

3214 8-138^7* 3717

Exempel zue Uebung. 1) 539 Pariser Pf., wie viel sinds kond.? Antw. 584HH Land. Pf. 2) 8532 Danziger Pf., wie viel sinds Leipziger Pf.? Antw- 7948'j5j4 Pf« 3) 830 Konstantinop. Pf,, wie viel finds Lübecker? Antw. 3162(1 Lüb. Pf. 4) 10236 Römische Pf., wie viel sinds Petersburger? Antw. 8497-4,5 Pf. .............................. , 5) 98550 Lübecker Pf., wie viel sinds Rigäsche Pf.? Antw. 1139091m Rig« Pf.

§. 135. Eine andre Anwendung dieser Verglekchungs-! täfel läßt sich bei solchen Rechnungsfragen ma­ chen, die zur Kauf- und Waaren-Rechnung ge­ hören, wenn man weiß, wie viel 1 Pf. einer gewissen Waare an einem Ort in Einkauf kostet, und man will wissen, wie viel von eben der Waa­ re nach eben dem Einkauf ein am andern Ott übliches Pf. kostet. Z. B-

IJ8

Ein Kaufmann in Lübeck erhalt aus Konstan­ tinopel eine Menge einer gewissen Waare, und bezahlt daselbst das Pf., mit 80 Mk., wie hoch wird ihm nun jedes Pf. nach dem Lübeckschen Ge­ wicht zu stehen kommen? Der Ansatz ist: i Konst. Pf. — 80 Mk. — i Lübecksches Pf.? 20865 7950 *5) 1391 530

Also ist die Antwort

JlNoch

Mk. = 30 Mkl 1391

einige

Exempel zur

Uebung.

1) Es verschreibt sich jemand in Hamburg, auS Riga 30 Pf. Kaviar, das Pf. Rigaisch zu 3ß Mk., wie hoch kömmt dasHamh-Pf.? Antw. 4H& Mk. 2) Ein Kaufmann in Lübeck erhält aus Kopenha­ gen eine Quantität Thee, das Kopenh. Pf. zu 5 Mk., wie hoch kommt 1 Lüb. Pf. Antw. 4 Mk. i3M 61. 3) Ein Hamburger 'Kaufmann erhalt aus Bourdeaux eine Quantität Kaffe, bezahlt daselbst das Pf. mit 8 6L wie hoch kömmt 1 Hamb. Pf.? Antw. 8x1 61. §. 136.

Von der vorhergehenden Tabelle ist noch zu merken, daß die in derselben befindliche Verglei­ chung der Gewichte nuf vom Kramergewicht zu verstehen sey. Dabei ist auch die Eintheilung des Pfundes in 32 Loth, und deS Loths in 4 Quentchen oder 6 pf. vornehmlich nur gewöhn­ lich. Es unterscheidet sich aber das Krämerge­ wicht vom Gold, Silber- und ApothekerGewicht.

Fast in ganz Deutschland bedient man sich beim Golde und Silber, des Köllnischen Markgewichts. Eine Mark hält | Pf. Köllnisch, Silber» und Goldwicht. Die Mark wird beim Silber in 16 Loth, oder 8 Unzen getheilt. Ein Loth hat 4 Quentchen, r Qu. 4 Pfennig. Demnach ist ein Pfennig Mark. Diesen Pfennig theilt man beim Wardiren der Münzen wieder in 256 Theile, die man Richtpfennigtheile nennt, wovon also 65536 eine Mark, 8192 eine Unze, 4096 ein Loth, 1024 ein Quentchen, ausmachen. Man. theilt auch wohl den Pfennig in 2 Heller, so daß j Heller 128 Theile des Richtpfennigs hält. Beim Golde wird die Mark in 24 Karat, und ein Karat in 12 Gran getheilt, so daß 1 Loth i| Karat oder 18 Gran, und die Unze Z Karat oder 36 Gran, mithin die ganze Mark 288 Gran hält. Weil nun die Mark auch 65536 Richtpfennigtheile schwer ist, so wiegt ein Karat A1|2 — 27304 Richtpfennigcheile. Bei den goldnen Münzen sind auch die sogenannten Dukaten» Aeßchen gewöhnlich, und 1 pf. wiegt 17 Aeß« chen, also i Quentchen 68 Aeßchen; 1 Loth 272 Aeßchen, 1 Unze 544 Aeßchen, 1 Mark 4352 Aeßchen. In England, Frankreich, Holland, Braband und mehrern andern Orten, ist beim Golde, Silber und Edelsteinen das sogenannte Troyge« wlcht üblich, und mit demselben hat es folgende Bewandniß: Ein Pfund Holländisch Troygewicht hat eigent­ lich 12 Unzeen, ob man gleich in Holland wohl 16 Unzen rechnet. Hievon gehen 8 Unzen auf r Mk. Troy, so daß 1 Pf. Troy if Mk. Tr. Ge­ wicht hält. Die Unze wird beim Gold und Sil­ ber eingeitheilt in 20 Engels, und ein Engel in 32 Aß, oder auch wohl in 24 Grän, ^0 daß 3 Grän so viel als 4 Aß sind. Also hält i Mk. Tr. 5120 Aß ober 3840 Grän. In Holland wiegen aber 4864 Troysche Aß 1 Mark Köllnisch, so daß

die Mark Köllnisch um 256 Trpyscke Aß oder 8 Engel leichter ist, als die Mk. Tr. Gewicht. Also ist i Mk. Kölln, : i Mk. Holl. - Tr. = 4864.: 5120. == 19 : 2o, und es find 9 Mk. Holl. Troy so viel als 20 Mk. Kölnisch. Bei Edelsteinen ist ein eigenes sogenanntes Karat-Gewicht üblich, und nach demselben hat ein Karat 4 Gran. Diele Karate Und Grane aber sind von densen gen ver chieden, die Man beim Golde braucht- und fie sollen unten genauer beschrieben werden. Nach Graumanns Briefen vvm Gel« de, Wechsel, und dessen Kours, (Ber­ lin 1762.) 2ten Theils 11. Cap. 7. §. 203. 204 ®, sind ioo Mk, Londn. Tr. — 1017$ Mk. Hoüänd. Tr. Ebendas. S. 236 heißt es: das Engl. Troy sey i7| pc. schwerer, als daS Franz. Troy' Gewicht. Diesemnach waren auch ioo Mk Engl. =. ioiT| Mk. Franz., oder das Holland, Tk. Ge­ wicht wate mit t>cm Französischen einerley, und das scheint auch Hr. GraumanN anzunehmen, wenn et S. 236 sagt: 20 Wlf. Kölln, sind gleich 19 Mk. Tr., im Franz. uNd Holland. Gewicht, Aber eben daselbst S. 205 versichert Herr Gtaumann, er habe dutch Erfahrungen und öftere eigene Untersuchung gefunden, daß 100 Mk. Französisch wögen io4j Mk. Kölln. Und 100 Mk Londner . — io6Tg Mk Kölln, Wenn Nun 19 Mk. Hsll. Tr. == 20 Mk. Kölln, sind(Ebendas. S. 14t. 2ii. 212.) und mqn setzt an: 19Mk. Holl. — 20 Mk. Kölln. — 100 Mk. Holl ? so ist das Facit == 105,1 Mk. Kölln, für 100 Mk. Holl. Tr ; mithin käme das Holl Tri Ge­ wicht nicht völlig mit dem Ftanz. Troy überein: es wäre nämlich i Mk. Kölln. = Mk Holl., and weil 104$ Mk. Kölln. --- 100 Mk. Franz, be­ funden sind, so wären 419 Mk. Köllnisch -- 400 Mk. Franz, oder i Mk Köllnisch — Mk. Franz. Mithin »I Mk. Holländ. — *t‘g Mk. Franz, »der 409 X 19 Mk. Holl. == 400 X 20 Mk. Fr. d. i.

l6i d. i. 7961 Mk. Holl. = 8000 Mk. Franz. Setzt man nun an: 7961 Mk. Höll. — 8000 Mk. Fr. 100 Mk. Holl. ? so giebt bas Facit — 100,1g Mk. Franz. Troy für Too Mk. Holl. Troy. Demnach wäre das Holl. Troy beinahe 5. pC. schwerer, als daFran,. Troy. Die Vergleichung des Hou. Tr. Gewichtmit dem Köllnischen, vermöge welcher man 19 Mk. Holl. Tr =± 20 Mk. Könllisch annimmt, findet sich bei allen Schriftstellern, die davon Nachricht geben, und vermöge dieser Ver­ gleichung ist ein pf. Köllnisch Gewicht von 17 Du­ ralen »Äeßchen so schwer, als 19 Troysche Aß. Denn dieKöllnische Mk. wiegt 25b Kölln, pf., und eben diese Mk. wiegt 4864 Troysche Aß. Wenn man also ansetzt: 256 pf.Kölln, wiegen 4864 Tr. Aß—r pf. Kölln.? so ist das Facit 19 Tr. M, für 1 pf, oder 17 Aeßchen Kövn'sch Ducaten-Gewicht. In England har daS Tr. Pf. 12 Unzen, 1 Unze 20 Pennvs, 1 Penny 24 Grane, also ein Mk. von 8 Unze" 3840 Gr, und i Unze 480 Gr. In Frankreich hat 1 Mk. Tr. 8 Unz n; t Unze 8 Gros ober Drachmes; (rlso die Mk. 64 Drachme» oder Gros;) i Gros 3 Deniers od r Scrupules; (also I Unze 24 Deniers. r Mk. 192 De­ niers ;) I Denier 24 Grains, (also I Ulljk 576 Grains, I Mk. 4608 Grams ) Gin Pfund Apotheker' Gewicht hält 12 Un­ zen, die Unze 8 Drachma, eine Drachma 3 Skrupel, i Skrupel 20 Gran, also die Unze 24 Skrupel oder 480 Gran. Die Unze Apothekergewicht, so wie sie alle deut­ sche Apotheken gewöhnlich aus Nürnberg erhal­ ten , wiegt 562 Pariser Grains, utid diese Nürn­ berger Apolhekerunze ist fast gerade so schwer, als die Venezianische Unze, vermuthlich daher, weil man vormalt fast alle ausländische Waaren und besondert auch alle ArzMeiüber Venedig in

»Lr Dedtstblgnh erhielt. Es ist aber diese Apothekerunze nicht so schwer, als eine Unze in Nürnb. Silberge­ wicht. Denn nach Eisten schm ldt in der Disqpisit. je ponderibus et mensuris veterum (Arg. 1737. &) Cap. I. 111 Pariser Grams wiegt die Apotyekerunze — 562 die Nürnberg. Unze Siib. Gew. 599$ die Augsburger Unze — 554$ die Köünische Unze — 550$ wobei zu, merken ist, daß die Pariser Unze — 576 Grains , wiegt. Also, ist i Ap. Unze Kölln. Unze --- 562 : 550Z SS 2248 : 2207, stpd LSgKKölln. Unzen --- 2201 Ap. Unze«, oder i Kölln. Unze -- && Ap. Unzen. Die Unze Ap. Gewicht wiegt 480 Gran, also ist LKölln. Unze --- ;Z;Z X 480 — 4695T Ap. Gran, oder fast 470 Gran Ap. Gewicht, und 1 Loch Kölln wiegt 235 Gran Ap. Gewicht. Weil nun eüte Unze Apothekergewicht 480 Gran wiegt, so ist i Kölln. Unze : 1 Ap Unze — 470 : 480 — 47:48, und 47 Ap. Unzen sind gleich 48Kölln. Unzen. Eisenschmidt versichert, er habe auf ein­ gezogene Erkundigung erfahren, daß das Pariser Apothekergewicht mit dem Pariser Silbergewicht einerley sey, nur daß beim medicinischen Gebrauch di« Unze in 480 Gran getheilt werde. Bei ihm finden sich ausser den schon erwahten Gewichtsver­ gleichungen , die er aus angestellten Proben selbst gefunden hat, folgende: Die UnzeEngl. Troy-Gewicht wiegt 585f1 i Unze Engl. Avoir du pois — 534 I i Unze Hoss. Troy — 579; , Ii Unze Spanisch Silb. Gew. — 54oZii pariser Grams. ' — 562t 562t f Grains. r Unze in' Venedig, i Unze in JSenua — 494 i Unze fo Neapel — 503 , i UW in FlMkHMd Pisa: — 537 J

Da nun t Unze Parisee Mk Gewicht z^Grains. wiegt, so ist auch nach Eisen schm idt das Host. Troy-Gewicht schwerer, wie das Pariser. EL ist nämlich I.) i Unze Holl. Tr.; i Unze Fr. Tr.= 579':576. — 2896 : 2880. — i8l: »8o. Mitdin 180 Unzen Holl. = i8i Unzen Fr. Der Ansatz i80 Unzen Holl.— tZi U. Franz. — U.Holl.?

2-V

-

905 giebt das Faeit ^ioc>^ ti.gr. p. i6o UnzenHoll. Also wäre der Unterschied noch etwas griffe., als * pG. wie voryni Nach Gtauinanns Versuch gefunden ward. U. Weiter nach Eisenschmidi 1 Unje Eng!» Tr.: 1 Unze Holl. Tr. = 5Q'f : 5"of

— 20480:20 :72 = 1280:1:267.. Also 1267 Engt. Unzen e 1280: Holl. U. Der Ansatz 1267 Engi. U. — r28ü Holl U. — r 00 Kn gl. U ? giebt das Fgtlt Holl Unzen fur iod Engl. Unze» Und dieser Unterschied Ist nicht so. groß, älS Nach Grauinann- der pC. Diff. angiebt.

jtt ) Ferner nach Eisen sch m idr. i Unze Engt. Tr.: 1 Unze Kölln. --- 585! ; 550$ 7

’

4

= 163.84 : 1 ^407 Also 15407 Engl. Unzen = 16384 Kölln. U. Dsv Ansatz 15407 Engl. Unze» — 16384 Költn. UnzeN — iod ENßl UnzeN? . giebt das Facit io6$U Kölln. Unzen. 8 2>

164 wenig mehr, als 106? Kölln. Unzen für roo Engl. Unzen, und dies weicht von der Gr au man, Nischen Bestimmung zu io6t£ yc. abermals etwas ab.

IV. ) Noch nach Eisenschmidt. 1 Unze Fr. Tr.: i Unze Kölln. ---- 576 : 5505 = 2304 : 2201 also 2201 Fr. Unzen = 2304 Kölln. Unzen. Der Ansatz 220T Fr. U. — 2304 Kölln. U — 100 Fr. Unzen? giebt das Facit 104,15 Unzen Kölln. : für 100 Unzen Franz, wiederum nicht völlig so viel, als nach Grau­ mann, der 104I yc. angiebn V. ).Endlich nach Eisenschmidt i Unze Engl. Tr.: 1 Unze Fr. Tr. - 585? : 576 — 4096 :4032 = 64 : 63 mithift 63 Engl. Unzen — 64 Fr. Unzen. Der Ansatz 63 Enal. Unzen 64Par. Unzen — ioo Engl Unzen? giebt das Facit ioiZ; Paris. Unzen, beinahe ioi£ Pariser Unzen für 100 Engl. Unzen. Die Bergleichungen nach Eisen schmidt sind für zuverlässiger, «l» die Graumannifchen zu halten, weil Grau mann auf kleine Differenzen nicht gesehen zu haben scheint: Eisen)chmidt hat bas Pariser, Augsburger, Nürnberger und Kdllnische nach Probe Gewichten selbst aufs ge­ naueste verglichen. Die übrigen Vergleichungen f),it er auS Edustdi Bernhardi Schrift de ponde» ribuset menfuris genommen, nach dessen Anzeige Und nxich Gra vii Beobachtung wiegt die Unze Pariser Tr. Gewicht 472) Grän, in Engl. Lc. Gewicht, wowon die Un0 viel, als 133s thlr. N. {. Mithin betragt die Differenz des Werths zwischen 100 thlr. all Äl. G. und 400 thlr. N. T so viel als zz; thlr. N. f, und iS viel pC. ist das alte R. G. besser als 3t. ES ist aber auch

4 thlr. alt R. G. -- i thlr.

St. |

also 75 thlr. alt R. G. = 100 thlr. N. ;. Demnach kann man auch sagen 100 thlr, alt R T. und

und ioo thlr. N. | differiern um 25 thlr. R. G. es sind auch wirklich 25 thl. R. G. — ZZ§thlr. N-§.

§. 144* DerUeberschuß, welchen man über 100 thlr. in der schlechten Münze zahlen muß, wenn man 100 thlr. der bessern zahlen sollte, heißt Lag 10, Agio, Aufgeld. Der Abzug aber, weichen man von ioo thlr. des bessern Geldes macht, wenn man 100 thlr. in dem schlechter» zu zahlen hat, heißt Diskonto, auch Rabatt. Es ist also der Sache nach einerley, ob man sagt: alt R- G. und N. ; differiren um 33? pc. Agio, oder ob man sich so ausdrückt: alt R. G. und N. f differiren um 25 pC. Diskonto. Die Meinung ist, 100 thlr. alt R. G. und 100 thlr. N ’ dif­ feriren um so viel Silber, als der Werth von zz; thlr. N. | oder von 25 thlr. alt R. G. be­ tragt. Es ist aber am gewöhnlichsten, daß man diese Differenz in der schlechtern Münzsorte aus. drückt, da sie denn Agio heißt, in wiefern sie die in der schlechtern Münze zuzahlende Sum­ me vermehrt; Diskonto, in wiefern sie die in der bessern Münze _ju zahlende Summe vermindert. Wenn man also sagt, eine Münz­ sorte drfferire von der andern um so und so viel pC., so werden diese Procente allemal in der schlechtern Münze verstanden. Hieße es: jemand hat 1000 thlr. N. f in alt R. G. mit 33; pC. Rabatt bezahlt, so will das nicht sagen, er har statt jeder 100 thlr. N § in a. R. G. 66f thlr. bezahlt, sondern so viel: er hat von jeden 100 thlr. R. G. so viel abgezogen, als der Werth von 331 thlr. N. f betragt. So wie nun diese Differenz, wenn sie in al­ tem R. G. gegeben wäre, von ico thlr. alt R. G. abgezogen, den Werth von 100 thlr N. 1 gäbe; so muß sie nun, da sie in N f aus­ gedrückt ist, zu 100 thlr. N. ? addirt den Werth von 100 thlr. alt R. G. geben, und es M

«78 ist Hiebey gleichglültig, ob diese Differenz Agio oder Diskonto heißt. Allemal sind ioo thlr. in der schlechter,, Münze um das Agio oder Diskont» vermehrt, so viel als ioü thlr. in der bessern Münze; und in diesem Sinne sagt man, der Rabatt, oder das Diskonto müsse auf ico, nicht in ioo, gerechnet werden. Würde dagegen, wel­ ches jedoch nicht so gewöhnlich ist, der Rabatt in der bessern Münze gegeben, so verstünde es sich, daß er von ioo thlr. der bessern Münze abgezo« gen, in ioo, oder von ioo, gerechnet werden müßte, um ioo thlr. der schlechtern Münze zu haben. Hieraus ergiebt sich Nun, daß eine Rech­ nungsfrage dieser Art: Jemand soll 1000 thlr. N. f in a. R. G. mit , 331 pö. Rabatt bezahlen, wie viel zahlt er also in a. R. G. ? so in Ansatz gebracht werde: Man setzt

—100 thl. a. R. G. — looo thl. K. | X_3) 3000 F. 75° thlr. a. R, G. Wollte man wissen, wie viel man für 100 thlr. R. 4 in R. G. mit 335 pL. Rabatt bezahlt, so würde man ansetzen:

133t thlr. 9?. XZ

t — 100 thl. a.R.G. —100 thl. N. z?

x 3

Z00 145Die mancherley Arten der goldnen Münzen lassen sich auf eben die Art, wie die silbernen nach ihrem innern Werth unter einander verglei­ chen, wobei in Deutschland ebenfalls das im

-79 jg6 §. sch«! umständlich beschriebene Köllnische Markgewicht üblich ist. Die in Deutschland am meisten gebräuchlichen Goldmünzen sind Dukaten/ zu 21 thlr. und Pi« stolen zu 5 thlr. gerechnet. Um nun sowohl Goldals Lilbermünzen nach ihrem innern Werth aufs genaueste zu vergleichen, muß man folgendes wissen: Es ist nicht gewöhnlich die Münzen aus ganz feinem Golde, oder Silber ohne allen fremden Zusatz vyn schlechtem'Metall, zu prägen: Das Gold hat allemal etwas Zusatz von Kupfer, auch wohl von Silber, das Silber hat gewöhnlich Zu» satz von Kupfer, oder noch schlechtem Metall. Die Grade der Feinheit des Goldes werden dadurch angezeigt, daß man angiebt, wie viel Karat und und Grän in einer Mark stecken, den Zusatz ab­ gerechnet: Beim Silber wird angegeben, wie viel Loth und Grän, (18 Gran auf ein Loth gc. rechnet) in der Mark stecken, den Zusatz abge­ rechnet. Beim Golde, wie viel Karat in der Mark enthalten sind, den Zusatz ebenfalls nicht mitgrrechnel. Hieraus wird verständlich, was es heiße: Die Mark Silber roh halte so und so viel Loth fein; oder: die Mk. Gold roh halte so und so viel Karat fein. Beim Französischen Münzwesen wird auch wohl die ganze rohe Masse des Silbers in 12 gleiche Theile eingetheilt ange­ nommen, die alsdann Deniers heißen, und man zeigt an, wie viel solche Deniers fein die Masse halte. Diese« Grad der Femheit nennt man bei Münzen ihr Korn, und in diesem Verstände müssen alte SpecieS-Thaler, und nach dem Leip­ ziger Fuß ausgeprägte N. ? Stücke im Korn 14 Loth 4 Grän fein halten. Ausser diesem Grade der Feinheit muß jede Münze ihr bestimmtes Ge­ wicht haben, und das nennt man den Schrot der Münze. So müssen 8 Specie» Thaler, oder 16 N. f Stück eine Mark Köllmsch roh, oder 1 Mk. im Schrot wiegen. Eine vollwichtige Münze M 2

Igo also, die ihren richtigen Grad der Feinheit hat, ist im S ch r o t und Korn richtig.

§. 146. Wenn es bekannt ist, wie viel eine Münz, forte im Schrot und Korn halte,'so findet man durch die, Regel Detri leicht, wie hoch die Mk. fein darin ausgemünzt sey, nur muß man auch ihren Namen und ihre Eintheilung wissen. Wie hoch dre Mk. fein in N. 4 Stücken oder ft. nach dem Leipziger Fuß ausgemünzt sey, findet man durch-den Ansatz igtz Loth fein — j6 fl. — 16 Loth! l6)T 2)-g x 9 72 4) F. 18. fl. oder i2 thlr. Ein reichsgefetzmaßiger Dukaten wiegt 65 Aeßchen, oder 978H Richtpfennigstheile, 67 Stück wägen eine Mark roh, halten fein 23 Ka­ rat 8 Gran. Setzt man nun an: 23; Karat fein Gold — 67 Stück. Duk.—24 Kar.? 3 201 24 804 402

48.24^67^4 Stück Duk. 7i 426 H4 71 497

so ergiebt das Facit, daß t Mark fein Gold in 67s? Stück Dukaten a 2« thlr., oder zu 186 rhlr. 40 ßl. 6f| pf. auSgemünjt sey. Ein Höüändischer Dukaten ist eben so schwer, und 67 Stück wiegen auch eine Mark, halten aber nur 23 Karat 6 Gran fein: also ist die Mark sein darin ausgemünzt zu 188 4hlr. 8 ßl. 24 pf. Alte Preuß. Friedr.d’or, Hannöv. Georgd’or, Braunschw. Carld’or wiegen das Stück 124 || Aeßchen, oder 1872s! RichtpfeaniaStheile, 35 Stück wiegen 1 Mk. roh, halten fein 21 Karat 9 Grän. Setzt man also an:

21Z Kar. — 35 Stück — 24 Kar. ? 87 140 I4°„ 96 24

3-36o}38ff Stück. 87 261 7-5-0 87 696 54

so zeigt das Faeit, daß i Mk. fein Gold zu 381$ Stück Pistolen ä 5 thlr., oder zu 193 thlr. 4 ßl. uff Pf. ausgemünzt sey. FranzösiAe Louisd’or ftn6 eben so schwer, 35 Stück wiegen eine Mark roh, halten fein 21 Ka­ rat 8 Gran, also ist die Mark darin ausge» Geld wiegen das Stück 873tt Richtpsennigstheile, oder 58 Aeßchen ohngesahr, 74Ü Stück wägen i Mark, Hallen fein 2i Karat 2 Grän. Also giebt der Ansatz:

i8r 27K Aara4 — 74l* Stück -r 24 Karat? 6 Xö5)_ 127 144” 370 65 444 635 __ 54 762. 4864 8255 X 144 700416 div. : 8255)

§ac. 84t3s't daß die Mk. fein beinahe zu-84? Stück a 2 thlr., oder zu 169S thlr, ausgemünzt sey.

§- 147Zur Uebung int Rechnen kann hier angenom­ men werden, die Mark Gold sey-in Holländi­ schen Dukaren ausgemünzt zu 188 thlr., in Preu­ ßischen, Hannöverischen und Braunschweigischen Pistolen aber zu 193 thlr.; so hat man den Re­ duktionssatz zwischen Dukaten und Pistolen,

188 thlr. in Duk. =s 193 thlr. in Pistolen. Und wenn man ansetzt: 188 ihlt. Duk.—ryZ thlr. Pist—100 thlr. Duk.? X 100

I9.3oo}io2KJ|H pC. 188 500 188 376

so zeigt das Facit, daß die Dukaten zu sehr nahe um 2ß pC. besser sind als die zu 5 thlr. Will man also wissen, wie viel man katen, für 100 thlr. in Pistolen, zahlt, man an:

2; thlr. Pistolen

in Du­ so setzt

1021 rhlr. Pist. -- 100 thlr. Duk. — 100 thlr. Pifi.? 300 X3 ------------ 4) 530000} Fac. 97$Shl thr. 308 308 2772

2280 308 2156 I24, §. 148.

Bei Vergleichung der Gold- und Silbermün­ zen unter einander muß man noch wissen, wie vielmal die Mark Gold am Werth höher geschätzt wird, als die Mark Silber. Weil dieser Werth des Goldes gegen Silber nicht allgemein überein­ stimmend festgesetzt ist so soll hier nur zur Er­ läuterung der Rechnungsmethode vorausgesetzt werden: Eine Mark Gold sey izmal mehr werth als eine Mark Silber. Dies ist dem Dänischen Münz­ fuß gemäß, denn ein Dänischer Kurant-Dukaten wird mit 2 th!r. Dänisch Sitbergrld gleich ge­ schätzt, also 85 Dänische Dukaten mit 170 thlr. Silbergeld. Aber 117 thlr. Dänisch Silbergeld halten r Mk. Silber, also halten 15 x U? thlr. oder 170 thlr. Silbergeld 15 Mk. Silber, und 85 Dänische Dukaten halten 1 Mk. Gold, folg­ lich wird i Mk. Gold mit 15 Mk. Silber gleich geschätzt.

184 §. 149«

Diese Vergleichung des Goldes und Silbers vorausgesetzt, ist Mk. Gold — 170 thlr. Meklenb. oder Dä­ nisch Cour, aber auch 1 Mk. Gold --- 188 thlr. in Dukaten. 170 thlr Meklb. Cour. — 188 thlr. in Dukaten, und wenn man ansetzt:

170 thlr. M.Cour.—188 thlr.Duk. — io0 thlr.M. C.? ro I88Q>noi? pC. 17'. "

18 17 io so zeigt das Facit, daß daS Meklb. Cour. iof, pC. oder ziemlich nahe 10} pC. besser sey, als Du­ katen ä 2j thlr. Will man nun wissen, wie viel i Dukaten in Meklb. Cour, werth ist, so setzt man an: iio| thlr. Duk. —

885

5)177

5) "20

thlr. M. K. — 2; thlr. Duk.? 22

22 4.4.o^Fac. 2 thlr. 23s ßl. 177 354 86 . 48 ”688

344' 4-1,28

i85 4-1-23 i77 354 588 177 53i 57~

Die Dukaten sind 24 pC. besser, al- Pistolen zu 5 thlr. Wird also angesetzt: 100 thlr, Duk- — 7024 thlr. P. — iiof thlr.D.? 3 300 W 8) 2400 4) 600 5) 120

308

885

4)"tF

5>i77_

59 693 385 4543)113^

^59

54 40 _ "143 40 120 ~3

so findet man daß no4 thlr. Dukaten, oder 100 thlr. Meklb. Cour, so viel als 11344 thlr. Pistolen werth, mithin das Meklb. Cour, um 1344 pC. besser sey, als Pistolen zu 5 thlr.. » Will man ferner wissen, wie viel 1 Pistole in Meklb. Kur, werth ist, so setzt man

irZ?vthlr. Pist. X 40

4533

iso thle. M- C. — 5 thlr.P.? 40 4000 5_______ 2.0000 l-Fac. 4 thlr. 19s Hl. 4533 18132 1868 48 14944 7472 896^4 4533 44’3’3’4 4533 40797 3537

§. i5o. Die bisher gelehrte Vergleichung der man­ cherlei Münzsorten unter einander ändert sich zwar an ßch nur, wenn sich der Münzfuß ändert, ober auch der Werth des Goldes gegen Silber: weil aber in der großen Handlung das Geld selbst eine Art Waare geworden ist, und bald die eine, bald die andere Geldsorte mehr gesucht wird, so ändert sich daher ebenfalls der Werth verschiedener Münz­ sorten gegen einander, und dies ist es, was de« sogenannten Cours ausmacht, davon sich nichts gewisses festsetzen läßt. Folgende Nachricht von den ausländischen Münzen und ihrer Verglei­ chung mit Mekl. Geld wird zur Uebung im Rech­ nen genügen können.

i37

Meklenburg Schwerin hält Buch in thlr., ßl. und pf., t thlr. zu 48 ßl., i 61. zu 12 pf. gerechnet. Ein Sechsling ist 6 pf., i Witten oder Dreiling 3 pf. Es wird auch wohl in thlr. gl. und pf. Buch gehalten, da dann 1 thlr. 24 gl. und i gl. 12 pf. halt, mithin i fil. 6 pf., r Sechsling 3 pf., und r Witten pf. .macht. Diese pf. heißen schwere und jene leichte pf., da dann i schwerer pf. 2 leichte pf. auvmacht. In Hamburg und Lübeck

wird nach zweierlei Geld gerechnet, nämlich nach Courant und Banco-Geld. Letzteres ist keine wirk­ liche Münze mehr, und der Hamburger Banco Fuß ist sehr veränderlich, wovon unten im IX. Ab­ schnitt mehr Nachricht gegeben wird. Das Cou­ rant-Geld. ist dem Werth nach, Kit Mekl. Courant einerlei. Man hält daselbst Buch in Mk., ßl, pf.; i Mk. ist 16 ßl. Lübsch, i ßl. ist 12 pf. Lübsch, i thlr. hält 3 Mk. Lübsch. Bey Wechseln nach den Niederlanden bedient man sich auch wohl des sogenannten Wechteltha, lers von 2 Mk. oder 32 s;l. Lübsch. Das Verhält­ niß zwischen Gold und Silber sollte eigentlich 14; : r seyn, und der dänische Courant-Dukaten t thlr. 444 ßl. gelten, es hat aber in Hamburg das Gold gegen Silber keinen festgesetzren Preis. Wegen des Mekj. Hamb. undLüb. Cour, ist noch zu erinnern, daß der Münzfuß von nj thlr. p. Mk. nur vom groben Courant bis auf die gl. Stücke zu verstehe!! sey. Die Schillinge, Sechslinge und Dreilinge heißen Scheidemünze, U".d-stnd, wie überall gewöhnlich ist, etwas schlechter ausgemünzt, nämlich die Schillinge zu 12 thlr. die Sechslinge zu 12 j thlr., die Dreilinge zu 13 thlr. p. Mk. Ainsterdam und ganz Holland

hält,gewöhnlich Buch in ff., Stüber und pf. Holl, i si- hält 20 Stüver, i Stüver i6pf. Holl., r Du-

i$8 fdten gilt 5 fl, 4 Stöver, r Reichsthaler 50 Stüvcr oder 2^ fl-, r Holl. Krone 2 fl. Noch hält ein Stüver 8 Duit, 1 Dutt 3 Pf. holl. Das Bancogeld wir- 5 pc. besser gehalten, als Cour. Geld. Das Banco-Geld besteht hauptsächlich in Dukatons zu Z fi. oder 60 Stöver Banco, undAlbertSihalern zu 48 Stöver. Nach dem alten Münz­ gesetz sollen die Dukatons nf Deniers oder izLvth fein hatten, und bei der Belehnung in Banco müs, sen 200 Stück 26 Mk. 3 Unzen 15 Engel Troy wiegen. Bei einer im Jahre 1737 zu Regensburg angestellten Probe hat man die alten Duratons 14 Loth 17 Grän fein, und 75 Stück eine Köllnische Mki schwer befunden. Die "neuen seit 1726 ge­ schlagenen Dukatons sollen nur 14 Li. n Gran fein halten. Alte Älbertstholer sollen, nach dem Münz­ gesetz, 10 Den. 10 Grän sein halten, und bei der Belehnung in Banco müssen 2OO Stück 22 Mk. 6jUnz. Troy wiegen. Man hat sie zu Regensburg 13 Loth 15 Gr. fein befunden, und 8ß Stück eine Köllnische Mk. schwer. Die neuen seit 1726 geschlagenen halten nicht über 13 Loth 13 Gran fein. In Brüssel, Antwerpen und andern Städten derOesterreichischen Niederlande wird nachPf., Schil­ lingen und Grölen oder pf. flämisch Buch gehalten, i Pf. vls. halt 20 ßl. vls., i ßl. vls. 20 Grot oder pf. vls., i Pf. vls. giebt 6 fl. Holl-, 1 ßl. vls. 6 Stüver, i Grot 8 pf. Holl. Londoit und ganz England

halt Buch in Pf., ßl. und pf. Sterling; r Pf. Ster­ ling hält 20 ßl. Sterl., 1 ßl. Stert. 12 pf. Steel., i pf. 4 Farthing. Roch halt 1 Krone 5 ßl. Ster­ ling, i Guinee (eine Goldmünze) 21 ßl. Sterl., I Grot 4 pf. Steel. Vormals war r Pf. Sterling ein wirkliches Pf. Silber von 12 Unzen Tr. Gew. das man in 20 Schillinge theilte. Jetzt aber wird, nach dem Ge-

setz, ein Pf. Silber Tr. Tew. von raUnzey, welches IM Unzen fein hält, und Standartfilber heißt, zu 3 Pf. 2 Kl. Steel, ausgemünzt. Das Standart­ gold halt 22. Karat fein, auf 24 Karat roh; und aus 12 Unzen Standartgvld oder 11 Unzen fein Gold werden 44I Guineen geprägt. Lion und ganz Frankreich

halt Buch und Rechnung in Livres, Sous Und De­ niers Tournois; I Livre zu 20 Sous, I Sou zu 12 Deniers Tournois gerechnet; I Ecu halt Z Livres oder 60 Sous Tournois. Bormals war ein Livre ebenfalls ein wirkt», chrs Pf. Silber in Fr. Tr. Mwicht zu 12 Unzen. Rach dem Münzedikt vom Januar 1762 sol­ len 8-4 Stück der doppelten Ecus eine Mk. Troy wiegen, und sollen 11 Deniers fein halten; ihr Werth aber »ft 6 Livres. Von den neuen Schild Louisd’or zu 24 Livres sollen 30 Stück i rohe Mk. Tr. wiegen, und 22 Karat fein halten. In Italien

rechnet man nach Scudi, Saldi unb Denari; i Scu­ do halt 20 Soldi, i Soldo aber 20 Denari. Auch hat I Scudo To GiuHi oder Paoli, und I Giulio oder Paolo macht 2 Soldi. 38 Scudi, mehr oder we­ niger, schätzt man gleich 100 fl. Holl. Beo. 1 Spa­ nische Pistole gilt 32I Giutii, mehr oder weniger. Benedig

halt Rechnung theils in Ducati di Banco, theils in Ducati correnti, theils auch in Lire, 1 Lira halt 20 Soldi, I Soldo 12 pf., I Ducato hält 6f Lire oder 124 Soldi. 100 Duc. di B°. find 120 Duc. corr. dies Corr Geld hat gegen gemein Corrent (Piccoli) wiederum 21 pC m. 0. w. Agio, welcher Sopra-agio heißt. Der Gold, und Silberpreis ist in Venedig sehr veränderlich. Man schätzt i Du-

19® cat di Beo. gleich 86 pf. vls. Holl. Beo. m. 0. W. oder 84 pf. vls. Hamb. Beo. m. 0. w. Spanien

halt Rechnung in Reales und Maravedis, den Reale zu 34 Maravedis gerechnet, I Peso de -Ocho hak 8 Reales, oder 272 Maravedis. Die Goldmünzen sind halbe, ganze, doppelte und vierfache Pistolen, unb die Silbermünze besteht in Stücken von Ach­ ten, welche'Piaster, Pesos, Mcxikanen und Pila. ren heißen. Unter den Benennungen von Reales und Maravedis wird entweder Silbergeld (Moneda de Plata) oder Kupfergeld (Moneda devellon) ver­ standen. Jenes wird 881I pC. besser, als dieses, geschätzt. Ein gemünzter Real de Plata gilt 17 Quartos, und i Peso in wirklicher Münze ic{ ge­ münzte Reales de plata, Rach den Münzgesetzen müssen 1000 Pesos 117? Mk. wiegen, und fein 14 Loth 8 bis 9 Gra» ne, oder 214 Karat, halten. Ferner sollen 34 Spa­ nische Pistolen i Mr. wiegen, und 21" Karat fein halten, 117; Mk. in Spanien wiegen 870 Unzen Engl. Troy, und 34$ Spanische Mk. sind beinahe 34 M§. Kölln. Portugal hält Rechnung in Reis und Millereis, zuweilen in Cruzados, die im Wechsel 400 Rels, sonst aber 480 Reis gelten. Man hat silberne und goldene Cruzaden, auch in Golde zehnfache, von 4B00 Reis, die Moedas de Ouro, insgemein Moidvrs, auch Lisboninen, heißen. Die Keine der Lisboninen ist 22 Ka­ rat, und 623 Stück wiegen 27 Mk. Engl. Troy. Das Stück der silbernen Cruzados novos ist schwer befunden 3054 Aß Holl. Troy, und ihre Feine ist lOx Depiers auf 12 Deniers roh. Man schätzt 58 Mk. Portugiesisch gleich 57 Mk. Köllnisch. Dännemark hält Rechnung in thlrn., Mk. und ßl., ithlr.hat 6 Mk., oder 96 ßl., eineMk. hat r6ßl., i Dani.

sche Krone hat 2 Mk., 1 doppelte Krone 4 Mk. Dä­ nisch. irMk. Dänisch sind T Mk. Lübsch oder Mekl. 2 ßl. Dänisch sind t ßl. Mekl. oder Lübsch. In Krone» wird die Mk. fein zu 10,5 thlr. ausgemünzt. Schweden

halt Rechnung in thlr. und Oer, theil- in Silber, theils in Kupfer-Münze, ithlr. hält 4 Mk., rMk. 8 Oer. 1 thlr. Silbermünze gilt 3 thlr. Kupfer, münze, r Mk. Silberm. gilt 3 Mk. Kupferm. 1 Oec Silberm. gilt 3 Oer Kupfermünze. Vormals rechnete man nach Mk. und pf., wo­ von 192 eine Mk. ausmachten, und die Mk. Silbermünze war einer wirklichen Mk, Silber gleich. Man hat Specieskhaler zu 12 Mk., Karoline zu 2 Mk. Silberm., doppelte zu 4 Mk., und halbe Karolinen zu 1 Mk. .Silberm. i Mk. Schwedisch Silbergewicht wiegt 4384 Aasen Holl. Troy Gewicht, also sind 152 Mk Schwe­ disch Silbergewicht so viel, als 137 Mk. Köllnisch. Die Speciesthaler halten 14 Lt. 1 Gr. fein, und 7i Stück wiegen eine Mk. Doppelte Karolinen halten rr Lt. 2 Gr. fein, und 205 Stück wiegen i Mk. Die Schwedischen Dukaten halten 23 Karat 5 Grän fein, und 6o§ Stück wägen 1 Mk. Zn Kupfer hat man Stücke von 12, 9. 6, 45, 3, 25, thlr. Kupferm., und die Stücke zu 6 thlr. Kupferm. oder 2 thlr. Silberm. werden insbesondre Platen genannt. Eine Plate wog vormals irZ Mk. und ihr Werth war dem Werth des Kupfers gleich. Jetzt aber wiegt eine Plate von 12 thlr. nur 8? Mk., und 90 Stück wiegen 1 Stockholmi« sches Schpf., i Mk. Silberm. ist 4 61. Hamb. Cour. Das übrige Gewicht in Schweden ist eingetheilt in 1) Victualiengewicht, wovon 1 Pf. — 8848 Aß Holl. Troy Gewicht. 2) Bergwerksgewicht, i Pf. = 7821s? Aß Tr. 3) Landstädlegewicht, 1 Pf. — 745oß Aß Tr.

192 4) Stapel # Städte oder Ausschiffungsgewicht, i Pf. = 7078s Aß Tr. 20 Pf. machen iLpf., und 20 Lpf. machen 1 Schpf. Ein Schpf. Stapelstädter Gew. wiegt 280Z Pf. in Hamburg: ist also dem Hamb. Schpf^ fast gleich. Rußland hält Rechnung in Rubeln, Grieven und Kopiken, i Rubel hält io Grieven, 1 Grieve 10 Kopiken. Sin Rußischer Dukaten gilt 2 Rubel zo Kop., ein Andreas-Dukat aber 2 Rubel. Im Jahre 1745 hatte Rußland folgenden Münzfuß. Ein Pfund (von 96 Solotnik) Duka­ tengold, hielt 93 Solotnik fein Gold, und 3 So­ lotnik Kupfer, und daraus wurden it8 Stück ge­ münzt. In i Pf. Gold zu Andreasdukaten waren 75 Solotnik fein Gold, und 21 Solotnik Kupfer, daraus wurden roo Stück geprägt. Das Pf. Silber zu ganzen, halben und Vier­ tel-Rubeln hielt 77 Solotnik fein Silber und 19 Solotnik Kupfer^ daraus münzte man 15 Rubel 84 Kopiken. Ein Pf. Silber zu Grieven 72 Solotnik fein Silber und 24 Solotnik Kupfer, daraus wur­ den auch 15 Rubel 84 Kop. geschlagen. Aus i Pud Kupfer von 40 Pf. werden itzt für 8 Rubel kupferne 5 und 1 Kopikenstücke ge­ schlagen, und i Pud von 40 Rußischen Pfunden wiegt 34I Pf. Kölln. Sonst war im Jähr 1745 das Verhältniß des Goldes zum Silber, wie 13^ zu 1. und des Sil­ bers zum Kupfer, wie 91 : 1.

§» iZr. Bei den int deutschen Reich kursixettden Mün­ zen herrscht eine so große Verschiedenheit des Münz­ fußes, daß es hier viel zu weitläuftig fallen würde, von allen eine genaue Nachricht zu geben. Das Folgende wird indessen in so ferne genügen, in wiefern der

I9Z der angehende Rechner daher allerlei Exempel zur Uebung in dieser Art Reduktionsrechnungen neh­ men kann. Seit dem Jahr 1500 nach Chr. Geb ist der Name Thaler, und dieEincheiivng desselben kn Grä­ schen und pf. oder auch ßl. und pf. allererst einge­ führt. Sonst ist auch im deutschen Reich die Rech­ nung in fl. Kreuzer und pf. gewöhnlich, den fL zu 60 Zer., t Xr zu 4 pf°, da dann rf fl. i Thaler, welches r Reichs- oder Speeiesthalep ist, wachen. In Leipzig, ganz Sachsen und Bran­ denburg wird Buch gehalten in thlr., gl. und pf., denrhlr. zu 24 gl., den gl. zu 12 pf. gerechnet.

In Braunschweig und Lüneburg wird Buch gehalten in thlr. Mariengk. und pf. Ein thlr. hält 36 Mgr., und 1 Mgr. hält 8 pf, i guter Groschen ist i; Mgr. In dortigem Caffengelbe wird die Pistole zu 4; thlr., der Duk. zu 2; thlr. gerechnet.

Bremen hält Buch in thlr. Groten und pf., 1 thlr. hält 7» Grot, i Grot 4 pf.

Frankfurt am Mayn . halt Rechnung in Thlrn., Xrn. und pf. r thlr. hätt yo Xr., i Xr. 4 pf. Auch hält ein thlr i| fl., 1 fl. 00 Xr. oder 15 Batzen, ein Batzen gXr. oder 2 Albus i Albus 2 Xr, i Kopfstück 20 Le. i Kaisergr. 3 Xr. Zn Wien, Augspurg, Nürnberg, ganz Oesterreich, Bayern, Franken und Schwaben rechnet man in fl., Lrn. und pf., r fl. hat 6o Xr., i Xr. 4 pf., i thlr. 90 Xr., 1 fl. hält auch 15 Batzen, i Batzen 4 Xr., e Kaisergr. z Lr.

194

In Danzig, S6nig66etg und Preußen rechnet Man in fl, gl. und pf., welche Polnisch Geld genannt werden, i fl. halt 30 gl., 1 gl. 18 pf. «Sonst ist auch 1 thlr. so viel als 3 fl. oder 90 gl. i gl. 3 81./ i ßl. bps., i Timpf ist 18gl., i Sech, ser 6 gl., i Dutchen 3 gl. In Polen selbst hat man im Jahre 1765 zwar einen neuen Münzfuß angenommen, vermöge des­ sen die Mk. Köllmsch fein Silber zu 80 fl. Polnisch gemünzt wird: in Polnischpreußen aber hat manden alten Polnischen Münzfuß behalten, nach wel­ chen 4 fl. Polnisch ungefähr 1 thlr. Hamb. B°. werth find. §. i$2. Die erheblichsten Veränderungen des deutsche« Münzfußes seit 1669 find folgende gewesen: Im Jahre 1669 ward auf dem Münzproba» rwnsiaqezu Regensburg verglichen, es sollte die ferne Mk. Gold zu 204 fl. ausgemünzt wer­ den, und zwar sollten 65 Stück Dukaten zu 3 fl. eine Köllnische Mk. wägen und 23 Karat 8 Grän fein halten. Ferner sollten 8 Stück Species - Thaler zu il fl oder 90 $c. auf die rauhe Mk., und 9 Stück auf die feine Mk. ausgemünzt, mithin die feine Mk. Silber zn 13 st. 30 $c. vermünzt werden. Diesen Münzfuß nennt man noch den alten Reichs fuß, zu 9 thlr. die Mk. fein. Zwei Jahr vorher, im Jahre 1667, war in Zinna, einer Stadt in Sachsen, zwischen Kursach« srn und Kurbrandendurg verglichen, die Mk. fein Silber zu iof thlr. oder 15 fl. 45 $c. auszumünzen, daher dies der alte Zinnaische Fuß heißt. Im Jahre 1690 wurde zu Leipzig zwischen Kursachsen, Kurbrandendurg und Braunschweig rezeßirt, die feine Mk. Silber zu 12 thlr. an | und -J Etück auszumünz^n. Dieser Münzfuß heißt nun drr Leipziger Fuß, oder der 18 fl. Fuß. Der Reichs # Speciestyaler ward dadurch zu

-95 i2o Xr. Leipziger FußeS gesetzt, so daß er nun z« 2^fl. ausgegeben wurde. Nach dem am io Sept. 1738 erstatteten und vom Kaiser den 18. Sept, desselben Jahres appro, bieten Reichsgutachten, ward der Leipziger 18 fl. Fuß fürs Künftige zum Reichsfuß angenommen und festgesetzet In Golde Dukaten, 67 St. von 23 Karat 8^ Gr. fein Gold und 4 Gr. Silber auf die Mk. roh, das Stück zu 4 fl G 0 l d g ü l d e n, 18 Karat id Gran sein, Gold, 3 Karat 8 Gr. Silber. i Karat 6 Gr. Kupfer. 24 Karat. * 72 Stück auf die Mk roh, zu 3 fl. In Silber. Speciesthaler, 2 fl. werth, 14Loth4GrÜn fein, 8 Stück auf die rohe, 9 Stück auf die feine Köllnische Mk. Gulden, t6 Stück auf die rohe, iS auf die feine Mk., halbe Gulden, 32Stück auf die rohe Mark, alle 14 Loth 4 Gr. fein. Im Jahre 1750 ward in den königl. Preußi­ schen Ländern der von dem Königl Finanzrath Graumann empfohlne Münzfuß angenommen, vermöge dessen die Mk. fein Silber zu 14 thlr in ganzen, halben und viertel thlrn. ausgemünzt, und daS Verhältniß zwischen Gold und Silber wie I3r: i festgesetzt ward. Im Jahr 1753 aber hat das Erzhaus Oester­ reich mit dem Kurhause Bayern eine Convention dahin errichtet, daß die Proportion zwischen Gold und Silber wie Tifr : i festgesetzt, die Köllnische Mk. fein aber zu 20 fl. ausgemünzt werden sollte: als In Gold

die feine Köllnische Mk. zu 283 fl- 5 Xr. 3 pf. 91 2

Der Dukaten 4U -23 Karat 8 ®t. kein, 67 Stück auf die rauhe Mk., im Werth 4 fl. 10 Xe. Karoli n e r, 24Stück auf die rohe Mk. 18 Kar rat 6 Gr. fein, für 9 ft 12 Xr. Goldgülden für 3 ,fl. 4 $c. In Silber Speciesthaler, 2 ft. werth iz LothH Gr. fein, 10 Stück eine feine, 8i eine rauhe Mk. Gulden, 20 eine feine Mk., 13 Loth 6 Gr. fein. Halbe ft. 40 eine feineMk., iz Lt.6Gr. fein, St. zu 2 pf Dieser Fuß heißt der Konventlons- oder 20 fl. Fuß. Im Jahre 1766 aber hat Kurbayern den 24 ft. Fuß angenommen, vermöge dessen die Mk. fein Silber zu 24 fl. ausgemünzt wird, und" der Duk. 5 fl gilt. Kurhannover ist bisher bei dem Leipziger Fuß geblieben, Sachsen- und Braunschweig-Wolfen­ büttel sind dem Konventionsfuß beigetreten, der Schwäbische Kreis aber, und die meisten Stände des Fränkischen Kreises, haben den 24 fl. Fuß an­ genommen.

S e ch st e r Abschnitt.

Von der Regel Qutnque und andern Arten der zusammengesetzten Regel Deiri. §. i53.

Nach den Gründen der Regel Detri werden 2 Grössen unmittelbar durch Mander gemessen, wie aus §. 121 erhellet, Man könnte -per, an, statt geradezu zu sagen 1 thlr. --- z fl., dasselbe auf einem. Umwege schalten, wetzn matz f L * 1 j und sagt dann, die Verhältniß dcS ThalerS^uM Gulden fei aus zwr'.cn Verhältnissen zusammengesetzt. §. 154Wenn i Mk. ■= 16 61., i thlr. — 48 61. u. 2 Mk. x= i ff. betragen; so Hal man diese Proportionen: i thlr. : l Mk. — 48 : 16 u. i Mk. : i fl. — i -$ 2

also: i thlr.: i

fl. —

Multiplizirt man die beiden Verhältnisse die unter einander stehen, so folgt: i thlr. : i ff. = 48 : 32. Man sieht also die Richtigkeit dec Regel, die stonst noch bewiesen werden muß, an diesem Bei­ spiele ein: daß das Verhältniß, das aus zwei andern zu­ sammen gesetzt ist, einerlei sein müsse, mit dem Verhältnisse der Produkte der gleichnahmizen Glieder bieser Theile.

§- 155Diese zusammengesetzten Verhältnisse kommen ssun bei ber Änwendurlg der Regel Detri auf

*98 Rechnung-fragen des gemeinen Sebens nicht selten vor; z. B ioo thlr. geben in i Jahr 6 thlr. Zinsen, wie viel 51 thlr. in 7 Monathen? Will man ganz nach den Regeln des vor. §. verfahren, so folgt: 6thlr Z.: j thlr.Z. —12:7 Zthlr.Z.: xthlr.Z.—100:51 thlr.Kapital, also 6thlr.Z.: x thlr. Z.—1200 thlr. A.: 351 thlr.K. und daraus 1200 x = 2142 oder x = thlr. Die erste Proportion übersieht man leicht, denn wenn .auf 12 Monathe für 100 thlr. Kapital 6 thlr. Zinsen bezahlt werden, so beträgt dieß für jeden Monaththlr., also für 7 Mon. ; thlr.; weiß man daß für 100 thlr. K auf 7 Monate ; thlr. Z. bezahlt sind; so kann man ja weiter fragen, wie viel in eben der Zeit für 51 thlr. bezahlt werden müsse? und man sicht hieraus daß die vorgelegte Frage wirklich 2 Proportionen nö­ thig, mache. Rach der gemeinen Regel werden die sogenannten Ansätze auf diese Art geordnet: 100 thlr. 51 thlr. K? 12 Mon — 6 Hlr.Z. 7 Mon.? wobei also eigentlich ein Glied ausgelassen ist, und wodurch nun 5 Zahlen als bekannt vorge­ stellt werden, zu denen man die sechste finden soll. Aus dieser Ursache mied die Auflösung solcher Auf­ gaben, die die doppelt zusammengesetzten Verhältniffe nöthig machen, von den Praktikern die Re­ gel Qu» nque genannt. Man ficht indeß, daß ihre Gründe mit denen der Regel Detri völlig ei­ nerlei sind, wenn man sich die Sache so vorftellt, wie in den vorigen §§. bemerkt worden ist. In­ deß ist die praktische Regel eine sehr vorrrefliche Verkürzung bei der wirklichen Rechnung.

§. 156. Die Rechnung selbst wird nun nach dem letz­ ten Ansätze nicht anders geführt, als es bei der

199

Proportion im vor. §. gezeigt worden ist; indeß geben die Schriftsteller noch einige Regeln an, um beit Ansatz zu macken: i) man setze alle Fragzahlen am Ende unter# einander; 3) das was mit der gesuchten von einerlei Art ist, in die Mitte; Z) alle übrige Zahlen, deren eben so viel als Fragzahlen, und die auch mit ihnen von ei. nerlei Art sein müssen, setze man vorne unter einander hin; 4) alsdann untersuche man, ob sich keine von den Zahlen, die vorne und hinten, oder vorne und in der Mitte stehen, aufheben lassen. Diese hebe man auf und schreibe die neuen gefundenen Zahlen zur Seite hin. 5) Nun multiplijire man alle Fragzahlen, im. gleichen alle Zahlen in der ersten Stelle in einander, so erhält man 3 Zahlen, womit man nach der gcivöhnlichen Regel Detri rechnet, Heißt also die Aufgabe: wenn ico thlr. St. in i Jahre 6 thlr. Zinsen geben, was 650 thlr. in 8 Jahren? so ist der Ansatz: 100 , 650? i —b— z? und die Rechnung 2 — 6 — 104? ober 1 — 6 — 52 — 312. WaS kosten 2000 Soldaten 1 Jahr hindurch zu unterhalten, wenn jeder monathlich 6z thlr be­ kommt? I Sold. 2QOO Sold.? I 3. i Mon. — thlr — 12 Mon>? | 15 H

35 6000

600Q

150000 thlr. Exempel zur Uebung. z) Wenn die Last Rocken 96 thlr. gilt, verkau­ fen die Becker, nach Stadtordnung, ein Brod

200

von 21 Pf. für 3 gl.; wie viel kostet ein Brod von 4 Pf, wenn die Last 165 thlr. kostet? Antw. 71 gl. 2) i2 Ct- Waaren 40 Meilen zu fahren, kosten ico thlr. Fracht; was 20 Ct. auf 56 Meilen? Antw. 233I thlr. 3) i Schpf. auf io Meilen zu fahren gilt 2 Mk. 4ßl.; was, nach demselben Bedung, looSchpf. auf i2 Meilen? Antw. 270 Mk. 4) 25 Schpf. auf 24Meilen, 1'35 Mk.; was, für 70 Schpf. auf 8 Meilen? Antw. 126 Mk. 5) 3 Arbeitsleure verdienen in einer Woche 13 Mk. 8 ßl.; was 20 in io Wochen? Antw. 90,0 Mk. 6) Bon iio Personen giebt jeder olle Wochen i ßl- Wie groß ist die Summe des ganzen Beitrags aufs Jahr? Antw. 390 Mk. 7) Jeder Einwohner im Dorfe bezahlt monath­ lich i; thlr. Kontribution. Wie viel beträgt die jährliche Kontribution von 50 Dörfern, das Dorf zu 24 Einwohnern gerechnet? Ant­ wort 21600 thlr. 8) Ein Hausvater verzehrt in 16 Wochen mit 20 Personen 1400 Mk.; wie viel im Jahr mit 24 Personen? Anrw 5460 Mk. 9) Wenn ein Jude wöchentlich für 1 thlr. 1 ßl. Wucher nimmt, wie viel wird ec jährlich auf 100 thlr verdienen? Antw. 8* thlr. 12 ßl. jo) Ein Regiment Soldaten kostet monatlich 13000 thlr. zu unterhalten; was eine ganze Armee von 80 Regimentern, das Regiment zu loco Mann, im Jahr? Antw. 12480000 11) Es will jemand ein Landgut kaufen für 4309 thlr. Er hat aber nur 3475 thlr. Diese leihet er auf 4 Iahe zu 6 pC, auf Zinsen aus. Be­ kömmt er in dieser Zeit so viel Zinsen, daß er völlig bezahlen kann? Antw. Ja, denn 3475 thlr. tragen in den 4 Jahren 834 thlr. Diese zum Kapital gerechnet, geben 4309 thlr.

aoi 12) iso Mann brauchen 200 Last Rocken auf 6 Monat: wie viel bedürfen 12cm Mann auf 1 Monat? Antw. 2800 Last. 13) Bei einem Gebäude haben 10 Zimnierleute 8 Wochen 4 Tage, (die Woche zu ö Tagen ge­ rechnet) gearbeitet, und jebe Person hat täglich i2 ßl. bekommen. Wie viel betragt das Zimmerlohn zusammen? Antw. 390 Mk. 14) 1 Schps. auf 1 Meilen zh fahren kostet 4 thlr ; wie viel dann 21 Schpf. auf 30 Mei­ len ? Antw. 45 thlr. 15) Wenn von 15 thlr. jährlich 21 gr. 7 pf. Zin­ sen bisher bezahlt sind, nun aber das Ka­ pital noch um 5 thlr. vermehrt wird, n>i$ viel Zinsen fallen von dem neuen Kapital in 24 Jahren? 28 thlr. 9s gr.

§- 157So wie im 153 §. ein aus zweien Verhält­ nissen zusammengesetzes Verhältniß betrachten wur­ de, so können auch Verhältnisse aus dreien andern zusammgcnsetzk, vorgestellt werden z. B. 1 thlr. : i fl. --- 48 : 32 i st. : t Mk. ss 32 : 16 i Mk. : r gr. -s» 8 : 1 und man erhält Nach denselben Gründen wie 8-153.: J48 : 32] i thlr. : i gr. = i 32/: 16 l 18: ij

Man hatt,e nämlich auf die Frage, wie viel Groschen ein Thaler enthalte, auch sehr weit­ schweifig antworten .können: ein Thaler sey so groß als 1-; fi. und 1 fl. doppelt so groß als 1 Mk und ein Mk» halte 8 gr fo würde das Re­ sultat auf keine andere Welse haben Jefunden wer­ den können als durch die eben he-eichnrten Pro­ portionen.

ror Multiplizirt man nemlich alle unter einander stehenden Glieder der drei Verhältnisse, so folgt;

i thlr. : i gr. = 12288 : 512 — 24 : r oder i thlr. --- 24 gr.

S.

158.

Auch diese dreifach zusammengesetzten Ver­ hältnisse finden oft ihre Anwendung ; z. B. 20 Arbeiter sind 15 Wochen, täglich 6 Stun­ den zu arbeiten, um 1000 fl. bedungen wor­ den, wie viel kosten 36 Arbeiter auf 4 Wo­ chen, täglich 8 Stunden? Diese Frage läßt sich in drei besondere auflösen; denn man sagt : 1) 20 Arbeiter erhalten 1000 fl., also müssen 36 Arbeiter 1800 fl. haben 2) für 15 Wochen Arbeit werden 1800 fl. be­ zahlt, also für 4 Wochen,^ 266s fl. 3) für 6 Stunden tägliche Arbeit sind 266? fl. bezahlt worden, wie viel muß also eine acht­ stündige Tagesarbeit rosten? Rach dem vorig. §. drückt man dies nun so aus: 1000 fl : 1800 fl. — 20 A. : 36 A. 1800 fl. : 266J fl. -- 15 W. : 4 W. 266J fl. : x fl. — 6 St : 8 St.

s 20 3 [36] also 1000 : x = 1 15 >• : i 4 l l 6J l 8J «der 1000: x=20 X15 X 6: 36 X 4 X 8=45« 28800 also x — 640 fl. §- 159» Die Rechenmeister empfehlen folgenden Ansatz: 20 Ard. 36 Ard ? .15 Woch.^ — 1000 fl. — 4 Woch. ? 6 Stund. 8 St. ?

wobei also r Glieder ausgelassen sind und nur 7 gegebene Zahlen übrig bleiben, zu denen die achte Zahl gefunden werden soll. Daher heißt diese Auflösung bei ihnen Regel Septem, die sich übrigens in nichts von der Regel Quinque unterscheidet, als baß das erste und dritte Glied 2iZahlen mehr hat; sonst wird auch völlig nach der Anleitung des 156. §. gerechnet. §. 160. Es sey nun zur Uebung folgende Rechnungs­ frage vorgelegt: Kajus leihet Titius 5680 fl zu 5 pC. Zinsen. Nach 8 Monat zahlet Titius auf dieses Kapital 1420 st., nimmt aber von jenem nach Berflutz von 10 Monat (d. i nach 18 Monat vom Anfang) «dermal 2520 fl., und bezvhlt endlich nach 7 Mo­ nat, (d.i. 25 Monat vom Anfang) die ganze Schuld. Die Frage ist: wie viel hievon die sämmtliche Zinse sey? Da daS Kapital von 5680 fl. 8 Monat steht, ehe Titius etwas bezahlt, so suche man zuerst die 8 monatliche Zinse von 5680 fl. fl__ fff 5^80 fl. I« 3|.^ Mon. 5 '* g Mon. j 3) ”568 ~ Antw 189? fl. Nach 8 Monat bezahlt Titius auf Abschlag 142a fl., also bleibt er KajuS noch 4250 st. schuldig, ohne die i89i fl. Zinse. Aber diese 4260 41. stehen wieder 10 Monat ehe Titius etwas bezahlt, man suche also die lomonatliche Zinse von 4260. 21100 fl_ rfl__ **00 fl' I71 I xx Mon. 10 Mon. I

L) 355_ Antw. 1771 fl.

Nun leihet Titius noch 2520 fl., folglich ist er Sta|u5 mit den vorigen 4260 fl. wieder 6780 fl. ohne die beiden Zinsen-Posten schuldig. Nach 7 Monat bezahlt TitjuS alles, also muß man wieder die /monatliche Zinse von 6780 fl. suchen, und alleZinsenposten zusammen addiren, so erhalt man Las gesuchte gacit: st' 2 w st' ii3 7 M. 2 xx St.t«—

4

4) ?9_L_ Facit 197; fl. man die drei gefundenen Posten in Nun bringt I eine Summe, nämlich t89‘ fl.

1775 * 1973 Summe 5641s fl. Man hatte diese Rechnung auch so führen kön­ nen : Wenn man das erste Kapital von 5680 fl. in die, beiden Kapitale 4260 und 1420 fl. theilet, so fiehk-man leicht, daß die 4260 fl. vom Anfang bis zu Ende, nämlich völlige 25 Monat ^.'stan­ den. Düs Kapital von 1420 fl. aber hat nur die ersten 8, und das Kapital von 2520. fl. nur die letzten 7 Monat gestanden. Man kann also die Zinsen jedes dieser Kapitale so berechnen:

j

ste M. — r —

st- hx 7 M. 1 21

147 ^ S-37i st.

Summe 564^ fi. ivie vorhin. Eine ähnliche Aufgabe ist folgende, welche Hr. v. Clausberg S. 748 seiner dem. Re­ chenkunst anführt: Ein Kaufmann in Hannover hat einem Fuhr­ mann 24 Ct. Waaren nach Nürnberg, welches (ohngefahr) 60 Meilen von Hannover entlegen ist, zu fahren anvertraut, und grebt ihm für jede 4 Cl. 8» thlr. Als dteser iz Meilen gefah­ ren, muß er, bösen Wetters und Weges halber, 4 Ct davon abladen, fährt mit dem übrigen 8 Meilen weiter, lädt da 5 neue Ct. auf, und fahrt so fort bis Nürnberg. Wie "viel hat der Fuhrmann insgesammt an Fuhrlohn verdient? Man kann d»e Auflösung durch einen drei­ maligen Ansatz der Regel Qumque so finden:

2v6 Man nehme 4 Ct. von 24 Ct., bleiben also 20 6t., darauf setze man an:

3) 8 51 thlr.

Man nehme weiter 15 und 8/ sind zusammen 23, von 60 Meilen, bleiben 37 Meilen, und addire 5 6t. zu 20 Ct., sind 25 Ct., hieruächst setze man:

1295 185 3145

^Fac.z^thle.

Die erlangten Posten addirt/ -eben: 5i»i thlr.

Es hat aber eigentlich dieser Fuhrmann 20 6t. auf 60 Meilen, 4 Ct. auf rz, und 5 Ct. auf 37 Meilen gefahren, und um diese 3 Frach­ ten zu berechnen, kann man die ganze Aufgabe in folgende drei Fragen zergliedern: 1) auf 60 Meilen werden für 4 Ct. bezahlt 8t thlr., wie viel für 20 Ct.? dabei fällt die Ungleichheit der Mei­ len hinweg. 2) Für 4 Ct. auf Meilen werden bezahlt 8- thlr., wie viel auf 15 Meilen? dabei fällt die Ungleichheit der Fracht weg. Also lassen sich diese zwei Fragen durch die einfache Regel Detri aufiösen, und man hat die Regel Quin, gue nur bei der folgenden Frage auzubrin-

gen. 3) Für 4 Ct. auf 6ö Meilen werden 'be­ zahlt 8t thlr.; wie viel für 5 Cr. auf 37 Meilen? Die ganze Rechnung wird so geführt; 1)

-)

4 Ct. — 8; thlr. — 20 Ct.? 4)T *5_ 4)— Facit 42L. thlr.

60 Meilen — 8t thlr. — 15 Meilen? 15)— _4)__ I5)— Faeir 2; thlr. 4 Ct e Ct. I 12 ^0 Meil. —8t thlr.—Mejl.s X 4 48 X 2* “0

17 .

119 _5£_ 629

96) Fac. Mthl. Diese gefundenen Posten addirt, geben wie vorhin 5r?z thlr. §. i6r.

Wik sind nicht grade auf die hier genannten Angaben der Theile einer zusammengesetzten Ver­ hältniß beschränkt, sondern wir können uns die Zusammensetzungen noch weit mannigfaltiger den­ ken. Ueberhaupt gehören alle diese Fälle zu der so genannten Regel Detri oder Regel multiplex, wovon im achten Abschnitte mehr vor­ kommen wird.

5(98

Siebenter A - schni t t. Von der umzekehrten Regel Qulaque.

§. 162. Es ist schon bemerkt worden, daß alle Rech­ nungen nach der zusammengesetzten Regel Detri nichts weiter als bloße praktische Berkürzungen der ausführlichere» Rechnungen nach der einfa­ chen Regel Detri sind. Go wie nun nach dec Natur der jedesmaligen Aufgabe zuweilen eine Umkehrung der beiden ersten Zahlen nöthig wird, oder so wie zuweilen die umgekehrte Regel Detri angewandt werden^ muß, ^0 kann es sich auch wohl bei solchen Fragen treffen, die mehrere Ansätze erfordern (oder die »ach.der Regel multiplex zu beantworten sind) daß der eine derselben nach der umgekehrten Regel Detri zu ordnen ist, während man bei dem andern sehr gut die ge, «ähnliche Regel statt finden laßt. Solche Aufga­ ben werden nach der umgekehrten zusam­ mengesetzten Re g.e l, Detri aufgeküst, und erfordern also, wie man sieht, keine neue Regel.

§. 163. Es sey zuerst folgendes Exempel gegeben: Ein Fuhrmann bekömmt für 26 Et. auf 30 Mei­ len zu fahren 75 thlr., wie weit muß er also 16 Et. für 20 thlr. fahren ’ Man setze, ehe man der Sache gewohnt ist, die Fragzahten ijj der dritten Stelle unter einan­ der, und alles übrige, wie im 156. §. 26 Ck.

an,;,

l6 Ck.

für 75 thlr. ~~ 3° Merk. für 20 thlr. ? Wenn die 16 St. auch mit 75 thlr. bezahlt werden sollten, so würde es heißen, je weniger Fracht, desto weiter muß sie für einerley Geld gefah-

2YA

gefahren werden: also müssen die 16 Ct in die erste Stelle kommen. Waren eS aber 26 Ct , die mit 20 thlr. be­ zahlt werden sollten: so würde rS bei einerley Kracht heißen: je weniger Geld, desto weniger Meilen wird die Fracht dafür gefahren: also bleibt die zweite Frggzahl stehen, und der An­ satz ist: 6fe — 30 Meil. - ** Ct. |i3. thlr. 15)— Lsi) th!r. | # Fac. 13 Meilen. In einer Stadt hat man Proviant aus 5 Monat für 3450 Soldaten, wenn jeder täglich 20 Unten bekömmt. Die Besatzung wird aber auf 4000 Mann vermehrt, und diese sollen 6 Manat mit dem Proviant auskommen, wie viel wird nun jeder tägtrch erhalten? Man setze zuerst 34Zo Sold. 4000 z Ochsen? r. — 7 Schw. L Schw- — zt Kqlek. 4 Kalek. — 5 Ganse jj Gänse — io Hühner ^Hühner—Tauben t Ochse

3-

5«

Antw. 7 X3X5 Xio X 5—5250 Tauben.

Man wird nun auch leicht folgende Aufgabe in Ansatz bringen: Wenn 5 Brab. Ellen gleich sind 6 Danz. Ellen, 6 Danziger Ellen kosten 8 fl- Poln. und i fl. gilt 30 gl. Poln., 282s gl. Poln geben 6 fl Holl. F>°., und 100 fl. Holl. Bo, geben 105 fl. Cour., wie viel fl. Cour, kommen nun für 15 Br. Esten i Wie viel fl. Cour. — rzBrgb. Esten iZ.

^Br. Ell. - $ Danz. Ell. - D. CU. — «!fl. P. 4. i fl. poln. — ifi fl P. Z. 12. rrz-E- ZSZfS1$. — - fl ßo. 11. 5- -F0 80- i0p fl. ß°. — 108 fl. Cour.

565

907I . Fae. *>;|fl.=i67|| fl., die gesuchte Zahl.

si7 §. i68.

Man kann jedes Exempel, daS zur einfachen Regel Detri gehört, eben so ansetzen, wie tttäit bei der Kettenregel verfährt, g. B. i Pf. — 13 thlr. — 7 Loth? 32 -rZ 91 32)----------F. thlx. Der Ansatz nach der Kettenregel würde so stehen: | jßie viel thlr. — 7 Loth? 32 Loth, jwenn i Pf. —13 thlr. 8- 2?z thlr. Man mußte hier daS 1 Pf. auf Loth bringen, UM in der ersten Stelle eine Zahl von einerlei Be­ nennung mit der Fragzahl zu bekommen, und der Ansatz hatte auch so stehen können:Wie viel thlr. — 7 Loth? wenn 32 Loth — i Pf. und i Pf. — iZ thlr. 9' _ _ ^F.2?Ulr.

Wollte man daS Facit in fl. haben, so stünde der Ansatz so; Wie viel thlr — 7 Loth? wenn Z2^Lvlh — i Pf. 1 Pf. — 13 thlr. 2 thlr. — 3 st-

273 ——— 8- 4® i st-

Auch lassen sich Exempel, die zur Regel Quin, tue oder Septem gehören nach Art der Kettenre;

LI8

get an setzen; z. B. Um to keute 5 Jahr mit Brod yt versorgen braucht man 14 Himten: wie viel Himten hat man nöthig, um 13 Bediente Z Jahr fU versorgen?

Wie viel Himten für —

1

Jah'x?

f

5—***i”*‘*n «i

Fac. 91 Himr. Rechnungsvortheile hat man bey dieser Art des Ansatzes nickt mehrere, als' wenn man dem Ansatz die Form giebt, welche oben tm Vi. Abschnitt ge­ braucht ist: nur alsdann hat diese Art des Ansa­ tzes einige Bequemlichkeit, wenn das Facit unter einem solchen Namen verlangt wird, der von dem Namen der mittlern Zahl, die damit von einerley Art seyn muß, verschieden ist: Z. B. Ein Soldat empfängt täg'ich i Mgl. 6pf. Kaffengeld, wie viel thlr in Louisd'or zu 5 thlr. kostet ein Regiment von 800 Mann jährlich zu unterhalten? Der Ansatz ist: Wie viel thlr. Gold — (m i j 5 4- wenNj„;AA^^Mgl.K. 36j Tage. 7

und A- Mgl. K. — i thlr. Kas. 4; thlr. K. — thlr. Gold. - 5319375. dlV. 2l) Facit 15208' thlr. G. Unter eben den Umständen setzt man Exem­ pel, die zur Regel Detri gehören, Vortheilhaft nach Art der Kettenregel an, besonders, wenn auch die Fragzahl mit derjenigen nicht einerley Namen hat, welche in die erste Stelle gehört. Z.B. Z-r-^. 7 *4 Ll 1

Wie viel Mgl. in Kaffengelde kostet eine Bouteille Wein, wenn ein Oxthoft 4Z thlk Gold kostet? •Wie — viel ---------Mgl. - iBouteille? — i Anker. 10« «0 40 *8c>ut. K Anker — i Oxthoft. *—4$ ch-r. Gold. 9 ' Oxthokt —Kassg. #4.7 F chlr Gokd — ^F Mg i _ _ _ _ _ &. Z i thlv. §ae. 6r| Mgl, §. 169.

Wenn die Rechnungsfrage zur umgekehrte« Regel Detri gehört, und man will den Ansatz nach Art der Kettenregel machen, so muß die Fragzahl nicht rechter Hand in die Multiplika­ tionskolumne, sondern linker Hand, in die Dwü sionskolumne gesetzt werden. DaS Exempel des 140 würde alsdann so stehen: I In wie Vie« Monat viel Zinsen^ ^khkr.! «I tragen 4000 thlr. 'in izMon. | 2)Fac.6tMon. " Eben so auch das zweyte daselbst gegebene Exempel I? Ellen Länge _enn 2 Ellen Breitel | zu i Eil. Breite wcnn zu 6 Ellen Länge | Fac. 12 Ellen Länge. Man weiß, daß die Rechnungsfrage zur um­ gekehrten Regel Detri gehört, wenn die ge­ suchte Zahl desto größer seyn muß, je kleiner die Fraqzahl ist, und umgekehrt, die gesuchte Zahl desto kleiner seyn muß, je größer die Fragzahl ist. Findet man nach angestellter Prüfung, daß dies zutrifft, und man will den Ansatz nach Art der Kettenregel machen, so beobachte man fol­ gende Maximen:

»so i) Man schreibe den Namen der gesuchten Zahl mit dem Fragzeichen voran zuerst nieder,' und die damit verbundene Fragzahl darunter. 2 > Gegenüber fanqk man die Mu tiplikationS« kolumne wiederum mit derjenigen Zahl an, die mit der Fragzahl einerley Namen Hal, und setze diejenige darunter, welche nut der gesuchten Zahl einerley Namen hat 3 Uebrigens wird das Produkt der Kolumne rechter Hand, mit dem Produkt der Kolumne Im­ ker Hand dividirt. §•

170.

Will man sich -an diese Form des Ansatzes nach Art der Kettenregel gewöhnen, so wird mack auch leicht solche RechnungSfraqen, die zur um­ gekehrte,) Regel Quinque oder überhaupt zur umgekehrt zusammengesetzten Regel Deiri gehören, in diese Form des Ansatzes brin­ gen. Das erste Exempel aus dem 163 §. würde so stehen:

i. XS; ,|

für

x wenn r6Ct. thlr. Fuhrt. — j$0 M gefahren werden

13 F.»

Fac. izMeil. Man hat zwey mit der gesuchten Zahl verbunde­ ne Fragzahlen: wie viel Meilen fährt man ffir ^chlr. Fracht.

Aber eine dieser Fragzahlen, nämlich die Fracht von lb Ct. hat die Eigenschaft, daß wenn die andre, nämlich daS Fuhriohn einerley bliebe, die gesuchte Meilenzahl kleiner seyn würde, wenn die Fracht größer seyn sollte. Deswegen wird diese Frazzahl Nach der ersten Regel des 169 § gleich unter dem Namen der gesuchten Zahl linker Hand gefetzt. Die zweite Fragzahl nemlich das Fuhriohn

LLl

von 20 thlr. kömmt in die ColumIe rechter Hand weil für mehr Fuhrlohn einerley Fracht auch mehr Meilen weit gefahren würde. In die Kolumne linker Hand muh nun nach der Kettenregel (166 §. n. 2.) die Zahl gesetzt werden, welche mit der rechter Hand gesetzten Fragzahl einerley Namen hat, nämlich 75 rhlr. Fuhrlohn, ihr gegen über rechter Hand aber, nach der zweyten Regel des 169 §. diejenige, wel­ che mit der, linker Hand gesetzten Fxagzahl einer­ ley Namen hat, und darunter diejenige, welche mit der gesuchten einerley Namen hat. DaS zweyte Exempel des 163 §. würde so stehen: Mit? Unz täg!. Prov. roenn M15 verzehren Fac. izjillnj. Je mehr Leute von einerley Vorrath an Pro­ viant gleich viel Monate leben sollen, desto roeni« ger müssen sie täglich verzehren; uno je längere Zeit einerley Anzahl Leute damit auskommen sol­ len, desto weniger muß ihnen ebenfalls täglich gereicht werden. Man setzt also, nachdem der Name der ge­ suchten Zahl, mit dem Fragzeichen voran, nieder­ geschrieben ist, nach der ersten Regel des 166 beyde Fragzaylen darunter. Gegenüber rechter Han- fängt man die Multiplikationskolumne nach der zweyten Regel des 166 §. mit den beyden Zahlen an, die mit dem Fragzeichen einerley Namen haben, und setzt diejenige, welche mit der gesuchten Zahl einerley Namen hat, darunter. 17t«

Das Exempel aus dem 163. $., welches zur umgekehrten Regel Septem gehört, ordnet man nach diesen Grundsätzen leicht eben so.

L

? Wochen fürKM-Lohn? müssen $$ Arb.?X a> beiten, Tages8 St.?> L^Arb.? X wenn für^Ps Woch. zu arbeiten bedungen Facit 4 Lösch.

Man hat drey Fragzahlen, 3 andre, die da­ mit von einerley Art sind, und eine, die mit der gesuchcen Zahl von einerley Act ist. Je mehr Arbeiter d>.s Tages gleich viele Stunden für gleich viel Sohn arbeiten sollen, desto wenige­ re Wochen wird die Arbeit für dieselbe Summe Geldes währen können. Je mehr Stunden einer­ ley Anzahl von Leuten dee Tae.es arbeiten soll, desto mehr Tagelohn wird jeder verlangen, also wird man mit einerley Summe Geldes wiederum desto wenigere Wochen ausreichen. Demnach ge, hören die beyden letzten Fragzahlen 36 Arbeiter? Zages 8 Stunden? in die Divisionskolumnc, und nachdem der Name der gesuchten Zahl mit dem Fragzeichen voran niedergeschrieden ist, setzt man beyde erwähnte Fragzahlen nach der ersten Regel des 173 §. darunter: Je mehr Geld man aber bey, gleicher Zahl von Arbeitern und gleicher Stunden Zahl deTages zu arbeiten, zur Arbeit bestimmen will, de­ sto mehr Wochen kann mit der Arbeit fortgefah­ ren werden: demnach kömmt die dritte Fkagzahl für 640 ff. Lohn? nach der ersten Regel des 166 §• gegenüber", oben in die Multiplikationskolumne. Weiter wird nach der zweyten Regel des 166 § die Zahl, welche mit dieser dritten Zahl einerley Namen hat, wieder in die Divisionsko,

lumne gesetzt, und nach der rten Regel des 169 §. setzt man gegenüber die beyden Zahlen, wei­ cht mit den beyden Fragzahlen in der linken Ko­ lumne einerley Namen haben, unter diesen aber diejenige, welche mit der gesuchten Zahl von ei­ nerley Benennung ist.

$. 17a* Wer viel nach der Kettenregel rechnen muß, dem wird damit gedient seyn, auch hier Vortheile zu kennen, um die zuweilen etwas langweiligen Multiplikationen und Divisionen abzukürzen, wel­ che die Hauprregel erfordert. In sehr vielen Fal­ len leistet die Verkleinerung der Zahlen in beyden Kolumnen gegen einander schon sehe gute Dien, ste; eS kommen aber doch Falle vor, bey, denen entweder gar keine, oder doch zu weuig Zahlen gegen einander verkleinert werden können, als daß die Rechnung dadurch erheblich abgekürzt würde. In Fällen dieser Art leisten die Regeln des 129 oft gute Dienste, wenn man sich nur erinnert, daß jedes Exempel, das nach der Ket­ tenregel angesetzt ist, auchangcsehn werden könne, als wenn es zur einfachen Regel Detri gehöre. Das Facit ist allemal die vierte Proportionalzah^ zum Produkt der Divisionskolumne, dem Produkt eines oder mehrerer Faktoren der Divisionskolumne in einander, und dem Produkt der nbri, gen, zu dieser letzten Kolumne gehörigen Zahle»,

Es sey folgendes Exempel gegeben-

thsr. - 1)7 MSP Gew. rr^Mk.Sp.Mk. Engl. 100 ult Engi. 10 *^-Mk.Troy 19Mk.Tr. - r0Mk Kölln. $i0.i£00) rMk. Kölln.-*4fl. I 3 ft ** 2 thlk.

469 4*040)

M-87 1619 7

L28 X4&9 106932 Setzt man nun nach der einfachen Regel De« tri an-106932 - 7 X t6'9 x 87 — 177 oder 106932 — 7 x 87 x 177 — 1619? oder 106932 — 7 x 1(19 x 177 — 87? oder 106932 — 7 x 1619 — — 87 x 177? u. s. w. so giebt jeder Ansatz einerley Facit. Wählt man den zweyten Ansatz, so hat man 106932 — 107793 — 1619? und man kann nach den Regeln des »29 §. so rechnen: 106932 — 107-7.93 — 1619? 106 932 86 t 861

1619 9714 12952I393959 ’> 13*55»»« 106932

§dtit 163255^1 thlr»

324*639 106932 320796

3843 Die hier zu erhaltenden Vortheile beruhen also auf folgenden Regeln:

1) Zuförderst suche man das Produkt aller Zahlen in der Divisionskolumne. 2) Von den Zahlen in der Multsplikationsko, kumne multiplicire man nach der Ordnung nur so viele in einander, bis ein Produkt gefunden wird, das dem Produkt in der Divifton-kolumne mög*, lichst nahe kömmt; dies Produkt betrachte man als die zweyte Zahl des Ansatzes.

3) Das Produkt der übrigen Zahlen der Mus. tiplikationskolumne nehme man für die Fragzahl im Ansatz an, und verfahre üvrigenS nach den Kegeln des 117 §. Es ist für sich klar, daß dergleichen Rech, nungsvortheile auch bey solchen Exempeln ange­ wandt werden können, die eigentlich zur.Regel Quinque, Regel Septem, u. f. f. gehören, man mag sie nach Art der Kettenregel odch nach gemeiner Art in Ansatz bringen. Weil man auf mehr als eine Art das Facit sinden kann, nachdem eine hieher gehörige Rech­ nungsfrage regelmäßig in Ansatz gebracht ist, so kann man auch auf mehr als eine Art die Probe machen, ob das Facit richtig gefunden sey? wenn man nemlich auf zweyen verschiednen Wegen daS Faeit sucht, und beydemal einerley gefunden wird. Hat man sich im vorigen Exempel davon versi. chert, daß nicht allein der Ansatz an sich richtig sey, und die Zahlen in beyden Kolumnen gehörig gegen einander aufgehoben worden: so sehe man auch nochmal nach, ob man in oec Theilungsko­ lumne das richtige Produkt habe. Hat es mit diesem allen seine Richtigkeit, so wähle man den Ansatz t

P

»r6 T06932 — 7 X 1619 X 87 — »77* oder 106934 9 962388

X 324639 + 4 gx 106932 777

3246Z9", , I^I9x106932 X 9

98597-1 962388

—

»77?

23583 »77 165081 16508t 23583 4'17'4'1'9'1 . , 962588)4^^ 384955 2

32 4 6 39

F. 1632^5’5 thlr.

Neuntem

Abschnitt.

Anwendung der Kettenregel äuf die Münz- nnv Wechselrechnung. §. »73-, Von der Kettenregel kann man in allen solchen Fällen vorrheilhafte Anwendung machen, wo es darauf ankömmt, die Vergleichung zwischen ein paar Münzsorten, Maaße, Gewichte zu fin­ den, wenn ihr Werth gegen einander nicht un­ mittelbar bekannt ist, die Vergleichung aber, »ermittelst einer dritten, oder mehrerer anderer Münzen, Maaße oder Gewichte sich bewerkftelli. Zen läßt. Ihre Anwendung auf du Münzvergleichung macht di« so genannte Münz und Wech­ selrechnung aus, wovon man vorläufig folgen­ des wissen muß:

sr? Außer tent baären Gelde in Gold *. und Sil« bermünjen hat man auch bei der großen Hand? lung, welche mit fremden Völkern geführt wird, die sogenannten Wechsel oder Wechselbriefe eingeführt, wodurch die Kaufmannschaft, ohne Einsendung des haaren Geldes, ihre auswärti­ gen Schulden bezahlet, ober auch einziehek Der Wechsel und die Wechsel-Hand­ lung sind zweierley; die eine Art hat bloß mit Umfegen und Verwechseln der Münzsortea gegen andre zu thun, und !dte sich damit beschäftigen, heißen Geldwechsler., Die an­ dere Art beschäftigt sich bloß mit Wechselbrieien, vermittelst derer sie lolche Gelder, bie an aus­ wärtige Oerter hatten abgesandt werden, müssen, durch Briefe an den bestimmten Ort, sowohl em, ziehen, als auszahlen läßt, und die dies Geschäft treiben, heißen Wechselnegotianten, Ban­ quiers, oder Kambisten» Ein solcher Wech­ selbrief (ital. Csmdio) ist "daher nichts anders, als eine schriftliche Anweisung, an einem entfern­ ten Orte von einem gewissen Manne eine bestimm­ te Summe Geldes zu empfangen, wofür der Werth an den Aussteller des Wechselbriefes, mit baarem Gelde oder andern Aequ «valenten bezahlt werden muß. Wie nun das Geld zweier Natio­ nen an sich keinen andern Werth haben kann, als den der innere Gehalt desselben an Gold oder Silber mit sich bringt, so kömmt es bet einem solchen Wechselbriefe darauf an, ob ich auch an dem auswärtigen Ort eben so viel Gold oder Silber wieder bekomme, als ich weggegeben habe? und in diesem Fast sann man eigentlich sagen, djaß der Wechsel» pari sey. Aber dieses wesentliche Pari wird selten beim Wechsel - Handel genau beobachtet, der Preis der Wechselbriefe, oder vseimehr die sogenannte Valute desselben, steigt we­ gen mancherley Ursachen oft über das natürli­ che Pari, zuweilen fallt er unter dasselbe; im Pa

218 ersten Fall empfängt man mehr/ im letzten weni­ ger, als die Valure eigentlich beträgt, und dies ist eS, was die Kaufleute best Wechselkurs nennen.

§. 174. DaS wesentliche oder wahre Pari der Mürzen verschiedener Länder läßt sich durch Rechnung finden. so bald man außer ihrem Namen und Eintheiiungon auch ihr Schrot und Korn kennt, und das müssen die Münzgesetze eines jeden Lands be­ stimmen» Eigentlich läßt sich nur zwischen den Goldmünzen, so wie zwischen den Silbermünzen zweier Länder ein wahres Pari finden; zwischen Goldmünzen mit Silbermünzen verglichen, giebt es um deswillen kein wahres Pari, weil der Werth des Goldes gegen Silber nicht allge­ mein übereinstimmend festgesetzt ist. Dies Der. hgltniß zwischen Gold und Silber müssen die Münzgesetze ebenfalls bestimmen. Rach dem Fran­ zösischen Münzgesetz von 1726 sollen 30 Stück Louisd’or zu 24 Livres eine Mk. Troy wiegen, und 2i Karat 8 Grän fein halten. Das feine von 24 Karat soll gelten 74° Livres 9 Sous I pf. die Mk. Troy. Neue Französische doppelte Ecus, das Stück 6 Livres, sollen Stück eine Mark Troy wiegen, und fein seyn 14 Loth 8 Gr. oder iof Deniers. Die Mk. Troy fein Silber zu 16 Loth wird in den königlichen Münzen angenom­ men ZU ZI Livres 3 Sous 3 pf. Der gesetzmäßige Werth des Goldes von 177699 pf. mit dem gesetzmäßigen Werth des Sil­ bers 12279 Pf- dividier, giebt 14^3 für den Werth des Goldes gegen Silber, so wie er in Frakreich seit 1726 gesetzmäßig war. Aach dem Münz - Edikt vom Januar 1762 sollen sowohl die Louisd’or, als auch die doppel­ ten Ecus fein seyn, und die geprögte Mark GM 720 Livres, die geprägte Mark Silber 49 Livte# 16 Sous gelten, daraus ergiebt sich die Proportion des Silbers gegen Gold ---1 : 14^.

S2Das Englische Münzgesetz besrimckt folgendes. Es sollen 44^ Stück Guineen (Engl. Suineas) roh i2 Unzen wiegen, oder Mk. Troy und 22 Ka­ rat fein p. Mk. halten, das Stück zu 21 ßl. Sterl. Die Unze Standartgold, von eben dem Korn gilt in London seit 1746 3 Pf. 18 ßl. Sterl. Die englische Silbermünze halt fein 14 Loth i2 Gran reichlich, oder it Unzen fein auf 12 Unzen roh, fast Unzen fein auf 12 Unzen roh, und die Unze dleseS Gehalts wird ausgemünjt zu 62 pf. Sterl., oder 5 ßl. 2 pf. Sterl., also 12 Unzen, oder 1 Pf. Troy zu 62 ßl. Sterl. Das Standartsilber von eben dem Korn hat kei­ nen gewissen Preis, im Jahre 1746 ist der Preis einer Unze nicht höher, als 62 pf. Stel. gewe­ sen. Nimt man das Standartensilber zu tf fein an, so giebt der Preis des Standartenäoldes von 78 ßl. Sterl. , durch, den Preis dks Stan, dartfitbers von 5s oder ’l dividirt, die Zahl 15, r für den Werth des Goldes gegen Silber. Wird II Ä aber das Standartsilber zu -^-fein angenommen,

so ist der Ansatz: ?UnzeSilb.fein— 1 Unze Gold f. ii Unzen fein — Unzen roh i Unze roh — 6t. 39 21 5« ßl. — i U Silb. rotz 6 5.T0.2Z0 iy Unzen roh — yyjö sc>n TIE 55 31 55 j65_

1705

'666 2-5974)15,234 Facit

J7Q5

_39

89.2.4

5994 1998

1705

25974

8525

»3® 1705 34lo

58-oo I7Q5 SUS 685° 1705 682o

30 Mithin in England der Preis des Geldes gegen Silber i5tts* Der Franzose würde also nicht wohl thu», wenn er in England nach gesetzmäßiger Proper« tion Gold kaufen, und beinahe lZZ Unzen Silber für eine Unze Gold weggeben wollte, falls sie in Frankreich gesetzmäßig ihm noch nicht völlig um igZ Unzen Silber feil wäre. Uebrigens muß men bei Münzvergkeichungen dieser Art das Verhältniß der Gewichte genau kennen, worin verschiedene Handlungsplätze den Schrot der Münze bestimme», und zu dieser Kenntniß hat der ez6. §. Anleitung gegeben. Die folgenden Beispiele sind grbßtentheils aus den daselk^t schon angeführten Graumannischen Brie« fen genommen, und deswegen sind auch die von Graumann angenommenen Bergleichungstabesien für die Gewichte deibehalten, um mir ihm auf einerley Resultate zu kommen, ob gleich die Eifenschmldtschen Vergleichungen zuverlässiger sind. Angehende Rechner können zur Uebung'eben die Exempel auch nach den Cisenschmidtschen Zahlen rechnen. Wenn man mit Graumann annimmt, daß loo Pf. Engl. ioi,4 Pf. Französisch, oder 1600 Pf. Engl. so viel als 1619 Pf. Franz, aus­ machen, so ergiebt sich

-Zr DaS natürliche Pari zwischen England und Frankreich, nach dem Münzgesetz von 1720.

J) in Golde. wenn yian frügt: wie viel Guineen so viel als ein LouiscTor werth seyn? durch folgenden Ansatz '1

9> 33; 397

? Guinea für I Louisd’or ^0 Louisd’or — L^Kar* 8^- ?t niyKar Fr Tr. —Engl.Tr. Engi. Tk. — Guineas.

65 80 -89

1619 297

7120 65

ii333 14571’ ,3238-^

42720 462800

356oo

480843 also i Loutsd or s Guineas* oder 4808x^5 .Louisd’or1"— 4628 Guineas. Der Wechsel zwischen Frankreich und England wird so geschlossen, daß allemal 1 Ecu von 3 Li­ vres zum Grunde gelegt, und dafür eine bestimmte Anzahl von pf. Sterl bedungen wird. Man kann daher fragen: welches der wesentliche Pari sei in Gelde zwischen Ecus, den Louisd’or zu 8 Ecus oder 4 doppelten Ecus gerechnet, und Englischem Gelde, die Guinea zu 2i ßl. Sterl. gerechnet. Die Ant? wort giebt das vorige Facit 480843 Louisdo’r j= 462800 Guineas, also 480843 X 8 Ecu ss 462800 X 21 ßl. Sterl* X 21 4628 9256___

3846744Eeu— 97.188.00 ßl. Sterl. div- 3846744 7693488

SO253I2

also i Ecu SS =

fit. Stert. X i2 ps- Stert. (9

oder I Ecu ss pf. Stert, nicht völlig 30s pf. Sterl. Eben das würde auch folgender Ansatz nach der Kettenregel geben: ? pf. Sterl. — I Ecu in L’dor. i Ecu in L’dor — Z Liv. in Golde — I Louisd’or. xz LH Livres 3-to $0 Löuisd’pr—zx\ Kar.Fr.Tr. 65 16r9Kak.Fr.Tr.—LF00K E. Tr. ^40 x 1 LL.L- HHK.Eng.T.— 44j Guineas. 89 I Guinea — z-r ßl. Sterl. 7 i ßl. Sterl. — xz pf. Sterl. 280 X 33 89 ^§57 2520 224

53427 16z9-8’00>304^; --53427 1 Pf. St. 24920. 160281 wie vorhin. 65 16990 124600 14952 1619800

Der Wechselkurs ist gemeiniglich 31 bis 32 pf. Sterl» p. i Ecu, also England zum Nachtheil. Eben so findet Ulan das gesetzmäßige Pari.

II. in Silber. ? pf. St. in S. — I Leu in S. X0; Stück Leu — LjA^G.T.E. 1300 löiyGr. Tr.Fr.—rFAlG.T.F. 200 33 LF^Gr.T.Engl.—ZUnz.SM 2_ip 1 UnzeSilb.M.— 62 pf. Sterl. 260000 496 249 260000 x 2739 X t6i9 2976 992 4434441 128960000 1289'6'0000 >294'?ls?Pf- Sterl. 4434441 8868882 beinahe 29^ pf. SterK 4027'1180 4434441 39909969 361211 Das wahre gesetzmäßige Pari zwischen den Fran­ zösischen und Englischen Sibermünzen ist also 29rrr pf. Sterl. p. i Ecu, und wiederum dem Wech­ selkurs von 31 bis 32 pf. Sterl. England zum Nachtheil. §♦ 175* Wahres Pari zwischen London und List sabon.

1) i n

Golde.

Die neuen Portugiesischen Krusaden zu 480 ReeS und Lisbomnen oder Moidors zu 4800 ReeS haben mit dem Englischen Etandartgolde einerlei Feine a 22 Karat, und 623 ASboniyen müssen 27 Mk. Cngl. Tr. wagen.

w ? pf. Sterl. — Rees — Frß Asbonn. —

p. i Millrree.

11-5 i n Silber. Die Portugiesischen Silbermünzen hat man stit 1748 ohngefahr fein befunden ioj Deniers, auf 12 Deniers roh, und in Hamburg ist das Stück der Crufados novos zu 480 Rees, schwerer befun­ den 305^5 Troische Aasen in Holl Gewicht. Das Englische Silbergeld halt n Unzen fein reichlich, auf i2 Unzen roh. ? pf. Sterl. — 1000 Rees izf.25 — 1 Crufad. i 480 Rees I Crufad — AMAßH.Lr. ifz8.191 8 %iz0 AßH T. — i Mk. H.Tr. 4 804 8 iz^Rt. roh. — 10s Mk. fein 81,^9

1619 M. H. Lr. - r-^Mk.E.T. i Mk.EvLl.TS Unz. Engl. ii Unzen fein —12 Unzen roh i Unze roh —Lr pf. Sterl.

31»

29 279

62

899 lyr 899*' 8c9i 899

i7‘7°9 25 850543 3434'8 42S2725 Weil die englischen Münzen im Korn fchr gut sind, und tJ reichlich fein halten, so «erden wphl ii$5 Theile fein auf 12 Theile roh gerechnet, oder in Theile fein auf 120 Theile roh. Bey dieser Boraussttzung hatte man in der linken Kolumne statt der Zahl 11, die Zahl in gehabt, in der rech­ ten Kolumne aber i2o, statt 12. Man kann Vie Rechnung leicht so andern, wie es dieser Voraus­ setzung gemäß ist, wenn may das Produkt rechter Hand mit io multiplicirt, das linker Hand aber mit in multiplicirt, und dagegen mit n wieder dividirt. Statt dessen kann man es mit Hi oder lOjj multipliciren auf diese Art: Das zehnfache Produkt rechter Hand

71236 * IQf?

712360 6476 718836

ist 42927250 >59* d»v. mit 718836 pf. Sterl, 3594180 6985450 718836 6469524 515926

Wie viel silberne Krusaden eine leichte Troysche Mk. wiegen, findet man svr

»z6

305? Tr. Aß — i Krusad — 5r2o Tr. Aß?

^1528

25600 _ 3200 I9I) F. 16;;;, bei­ nahe ifyl Stuf. Man schätzt 15I Krusaden eine Portugiesische Mark schwer, also ist 153 : 6£ = r Portug Mk. : Mk. Troy, und es sind r6£ Portug. Mk. — 154 Mk. Troy, oder Portug. Mk. = *’ Mk. Troy, oder 201 Portug. Mk. — 188 Mk- Troy. Es sind aber 19 Mk. Holl. $t. = 20 Mk. Kölln, also 188 Mk.Lr. --ft X i88--Y7§!Mk. Kölln, oder 201 Mk. Portug. ---19775 Mk. Kölln. 19 19 1809 17 201 1773 38-9 Mk. Port. J2L_ = 3760 Mk. Kölln. Man schätzt 58 Mk. Portugiesisch gleich 57 Mk. Kölln., welches mit voriger^ Vergleichung üdereinkömmt, denn der Ansatz

3819 Mk. Port. — 3760 Mk. Kölln. — 58 Mk. P. 58 ;3OÖ8 1880 giebt das Facit. 2.l8.080Kölln. Mk. 3819 19095 2 7.1.3.0 “ 3819 26733

397 London kauft hausigSpanische Stücken von

2Z7

Achten, diL mit den Krusaden einerlei Gehalt I0; Den. fein auf 12 Deniers haben, und bezahlt sie zuweilen höher, 'als Standarlsüber von it bis n?§ Den auf 12 Deniers fein. Daß England dabei Schaden habe, ift sogleich einleuchtend, und dieveranlaßt die Rechnungsfrage: Wenn der SilberpreiS einer Unze in Stucke« von Achten bekannt ist, wie hoch kömmt i Mille Rees zu sichen? Dieser Silberpreis findet sich in den Loudner Kurszetteln durch die Anzahl pf. Sterl bestimmt', welche man für r Unze in Stücken von Achten bezahlt. Der Preis ist gewöhniglich zwischen 62 bis 64 pf. Steel., auch wohl noch et­ was höher. Ts sei dieser Preis m pf. Sterl., für den Buchstaben m setzt man al>denn aus jedem Kurszettel die darin angegebne Zahl, so kann man setzen:

1

? pf.Sterl.— 1000 Rees — 1 Crusad a. & 4go ReeS X5& Crusad — i Mk. Port. 47 MMk.Port. — 57 Mk. Kölln. 29

Mk.Engl.

I7°3

i WM4°

i Mk. Engl.—8 Unz. Engl. i Unze Engl.-mpf. Sterl.

40000 57_______ 2280000. ra.

15327 3406 " 49387

"345709 197548 2321189

2280000,0 >0,982. m. pf. Sterl. 2321189 2089070t oder iott m. pf, Sterl. 1909299 232118 1856944 ~ '52355

*38

Wenn der Preis der Unze 64 ps Sterl. ist, so giebt die Rechnung 982 .. 64 3928 5892 , Facit 62,848. p. I Mille Rees» Lkd Nüch dew Pari sollte er höchstens 60 ps. seyn. Der Werth des Goldes gegen Silber ist nicht zu Lissabon so, wie in England, wenn der Werth von i Lisdonine x. 4800 Rees, oder 10 silberne Ätusadrn zum Grunde gelegt wird. Man setzt an: ? Mk. Gilb. s.—i Mk. Gold, sein ii Mk. Gold, f.— L^Mk.rohEnglTr. - 62zkisbonn. 9 x Lisbonn. — Rees Ag0 Rees — ißc ) '216 Hol. $v. 5W t*250^6Hol.Tr. — i Mk Hoi Tr. l6iyMk.Hol.Tr.—^^zrlMk.E.Tr. Mk- sein. 8 x$ Mk. roh —

"14571 14571__ ♦60281 „___ 8_

1282248

Faeit r7253985)l3»456 1282248

443i5o5 1282248 3846744-,

58476i,o 1282248 5128992 7186180 1282248 6411240 7749400 1282248

iS

i5i

x00-*$-5‘ $7 »9

623 . 191 623 5607 623 i18993 ....... 145 594965 475972 118993 17253985 "

«ZS §. 176. Die Shanischen Goldmünzen sind halbe, gatts ze, doppelte und vierfache Pistolen; und die Spanische Silbermünze bestehet in Stücken von Achten, welche man Piaster, Pesos, Mexikanen und Pilaren nennt. Eine Spanische Pistole wird berechnet zu 5 Pesos de Plata ober Piaster, 1 Peso zu 8 Reales de Plata angenommen, also die Pistole zu 40 Reales de Plata: eine Reale de Plata wird ferner zu 16 Quartos angenommen, mithin die Pistole 640 Quartos. Die wirklich gemünztetr Pesos und Quartos aber werden anders gerechnet, es gelten zwar 640 Quartos eine Pistole, aber ein gemünzter Real de Plata gilt 17 Quartos, mit­ hin gilt die Pistole Reales de Plata, oder 37^ Reales de Plata, Ferner gilt 1 Peso in wirklicher Münze los gemünzte Reales de Plata, mithin

kömmt die Pistole : x| --* 7 1 85x 17 i8x il = 60 3äs? Pesos oder Piaster zu stehen. . Rach der Regensburger Probe von 1737 den izten November ist gefunden worden, daß, 344 Spanische Pistolen eine Köllnifche Mark roh wie» gen, und 2i Karat 8 Gran fein halten. Nach der Amsterdammer Banko-Belehnung müssen iooo Spanische Pistolen wiegen 27 Mk. 4% Unze Troy, die feine 21’ Karat. Ferner, iooo Stück von Achten oder Pesos wiegen in Holland 109s Mk. Troy, 19 Mk. Troy gleich 20 Mk. Kölln, gerech­ net. In Spanten wiegen iooo Pesos gemeinig­ lich 1175 Mark, und in London schätzt man iooo Pesos 870 Unzen schwer, sie wiegen aber gewöhn­ lich nicht über 868 Unzen, und halten fein 10Z Deniers, oder 14 Loth 9 Grän; nach Hambur­ ger und Berliner Proben nur 14 Loth 8 Gräm

»40 Das wahre Pari zwischen England und Spanien. I.) in Golde. ? pf. Steel. — r Wechsel Piast. in Golde Wechs. Piaster — i Pist. in Münze Pistolen — 2 Mk. Kölln, roh 23 1703 Mk. Kölln. — 1600, Mk. Lond. Mk. fein i3 3 7-L Mk. roh — i Mk. Lond. — 4:4 Karat fein li fiß Kar. fein — 89 Guineas, i GuinSe — zz fei- Sterl. 7 2 i ßl. Sterl. — iz pf- Sterl. 33 23

759 * 1703 1292577

, Facit 51833690 >40,109 p. 1292577 i Peso 5170308 ' 1305200 1202577 126230a 129257 1163313

11)

182 89 1638 1456

16198 3200 ~32396~ 48594 51833600

in Silber.

Ein Wechsel-Piaster gilt 8 Wechsel-Kea! de Plata, und ein Wechsel - k.eal 16 Quartos. Ein wirklicher Piaster gilt 10 Wechsel - Realen, 10 Quartos, oder 10’5 s io| Wechsel-Realen. Demnach verhält sich em Wechsel - Piaster : Piaster in Münze — 8 : io{, und es sind iof Wechsel - Piaster = 8 in Münze, oder 85 Wech­ sel-Piaster — 64 Piaster in Münze. Mithin

&4t Mithin fetzt man an : ? pf Steel» — i Wechsel-Piast. 85 Wechsel- Piast — Piaft. in Mänze rrz xcfafö , Piast. in M. •=- 868 Engl. Unzen roh 8 du), roh Span. — üuzen fefrt s? ii Unzen fein ^rünz.rvhCngl.Lilb. t Unze Engl. Silb. -62 vf. Steel.

r

1736 5208 53816' _ ___ 87. 376712 430528 4681992

116875

468i9h2^tzaeit 40,06 pf. 116875 4 467500 ,.. . 6992,00 ii6875

Weil nun eine Pistole 5 Wechsel-Piaster gilt, und.85 Wechsel-Piaster 64 Piaster in würt'licher Münze machen, die Feine zu io^ D6niei-s, so fin­ det sich der- gesetzmäßige Werth des Goldes gegen Silber in Spanien durch den Ansatz i

13^ 85 Wechs. Piast. — Piast. map» g Piast. in M.—Mk. roh. 46n 1*5*4gji-t, iölk. roh — SD?f. f«n.|

’...........

Q

242 255 85 H05 125 5525 2210 TIO5 138125

2080953)8. 15/07 138125 699703 J38125 690625 9078,00 138125

3283 3752 40803 ____ 5i 40803 204015 2080953

177* Rach dem alten Holländischen Münzgesetze und der Amsrerdammer Beo Belehnung, die gleichfalls die Kraft eines Gesetzes hat, müssen die Holländischen Dukaten 23 Karat 7 Grän fein halten, und 1000 Stück müssen wiegen 14 Mk, 1 Unze ii Engels. Wenn nun das Stück zu 4'fi. 9 Stüber in Beo. angenommen wird, so findet fich der gesetzmäßige Preis des feinen Goldes durch den Ansatz:

? fl. Beo. für i M. f. Gold L-rZ Mk. fein - 24 Mk. roh »88 2Lz Mk. roh -1000 Stück 2271 x Stück fl. Beo | 99 6813 18168 4542__ 642693

2592 2592 28512 gooo 228096000

gooo

S43 ä48o96ooo}gacit 354 fi, 13 Stüb. 642693 1928079 3528810 642593 3213465 3153450 642693 2570772 582678 X 20 Stüb. 11653560 642693 5226630 642693 Zn Silber. Müssen naL den Gesetzen 2üsDukarönS tvie-gen 26 Mk. 3 Unzen 15 Engels, nach den Gefe» tzrn müssen sie 15 Loth fein seyn» und das Stück gilt 3 fi. Beo. Also giebt sich der Preis des fei­ nen Silbers. ? fi. Beo. für i Mk. Gilb, fein $j Mk fein — 16 Mk. roh 147 Mk. — L^Dükatoroh tsgo i Dukaten --- 3fl. Byo. s.0.4 8 o^. 24 ff, 4 Stüb. 8+7 1694 35.4.0 847 3388 15» X 20 3040 84Z Ll i

20480

-44 Die alten holländischen Albertsthalee sollten nach dem Gesetz lo Psenny lo Gran, also 250 Gr. oder 13 Loth 16 Grän sein seyn. (Die neuen sind nicht übet 13 Loth 13 Grän fein.) Bey der Beo. Belehnung müssen 200 Stück wiegen 22 Mk. 6i Unzen, und das Stück gilt 48 Stüber. Das giebt folgenden Ansatz: ?fl. ? fl. Banco für rT Mk.S. Mk. S. f LZ 4^ZMk. fein -^Mk roh »44

365 xZfj Mk. -rOBSllbthlr ^(30.^40. ilg $ lAlbrtsthlr. 1825 2 2'l l84> 24fl. 4'Sttid. 730 9i25 9^.. T{&2° 38624 9125 36500 2184 2Q 221184 43680 9125 Der Goldpreis war 35411 st. Beo. Der Silberpreis 24»*. Also der Werth des GoldcZ gegen Silber = 7098 > 14/665; fast 14;. 484, 2258 484 1930 3220 484 2904 3160 484 2904 2560

*45 Wenn das Silber in Darren nach dem @e# halt zur Feine berechnet worden, so wird alsdann die Mk. fein ä 24p. 3 bis 4 Stüber in der Baneo angenommen. Folgende Bestimmungen kommen hiemit auch ganz nahe überein:

in circa 915 Stück von Achten, Pilaren und Mex>canen a Jo^Den fein, wiegen 100 Mk. Holl. «Nb werden in Banco zu 2200 fl. angenommen. 840 Stück neue französische Loubthaler zu 14t Loth, oder toi Deniers fem, wiegen loo Mk. Holl, und werden in Banco gleichfalls zu 2200 fl. angenommen. 200' Stück ganze oder 400 halbe drey fl. Stücke wiegen 25 Mk 5 Unzen 11 Engels, und sind 14I Loth fein. Nach dieser letzten Bestim­ mung kommt die Mk. fein Silber 24 fl. 18 Stü­ ber zu stehen, oder 24,, fl. Der Goldpreis war 354i| fl., allo der Werth des Goldes gegen Sil­ ber nach dieser letzten Bestimmung 'M-?- 14,253. Nach der vorigen Bestimmung --- ^-^3, also die 28/9*8 Mittelzahl = 14,459 oder fast 14^

»46 Das gesetzmäßige k«e! zwischen tzondo» und Amsterdam, I.) in Golde^ ?ßl.vls. - i Pf Steel. i Pf. Steel. -Lgißl. Steel. ^8 ßl. Steel. - 1 Unze engl. roh 4 ^rUnzxnroh - H Unzen fein ' löAi Londn.U. - 1619 Amß. U. 80 8 Unzen fei« -$#4&ft.Bco. 3 Lfl.kci>. - i Pf.vlS.Lco. J 240 , i fl. vlS. " rjößi.vls. 4 960 _39 864 288^

j

*374^0

224640 37440 59W

1619 10647 1183 7098 1183 ^915077 1915077 21065847

»T065S47 V 35t’® ßl. VlS. 599040 T797i2o V. i Pf. Steel. 3094647 599040 2995200 994470 599040 3954I

».) in Silber. ? ßl. VIS. — i Pf. Stert 10 i Pf. «Steel. — *0 6L Steck3i FLßl. Steel. — -rarkondn. Unz. roh rir Unzen roh — Unzen fein 3 Unzen fein — -r-Unzen roh ^FLh-londn. Unz. , — i6iyAmst.Unze» 847 Unzen roh — «Al Dukatens 4 — iPfvls. kco. z DukatanS i Pf« vls. — rsißl.vl«. 42541 __ 3i 254T 7623

78771

2875344 V 3646t »l#. 78771 p. i Pf« Stert 236313 512214 '78771 472626

444 _ 4 1776 1619 '15984 1776 10656 1770 2875344

37588 178. Wenn das Gold und Silber, oder welches einerley ist, dir Gold und Silbermünzen selbst, an zweyen Oertern, die mit einander durch die große Handlung in Verbindung stehen, keinen ge« fetzmäßigen, oder sonst ein für allemal bestimmten Preis haben, so läßt sich auch kein wahres P-rl zwischen den Münzen beyder Oerter durch Rech­ nung finden, das man als beständig betrachten

M8 könnte. Die- sogenannte Pari wird sich allemas äneern, wenn sich an einem oder dein andern Hrt, oder 'an Heyden zugleich der Gold- oder Sitberpreis ändert. Zu Hamburg hat itzt weder Gold noch Silber einen gesetzmäßigen oder sonst gestimmten Preis. Der Goldpreis wird in ßl. Beo k» i Dukat dadurch regusirt, daß 67 Stück auf die KöilnischeMk. gerechnet werden, die Feine zu 23t Karat angenommen. Wenn aber her Hamburger Beo. Fuß noch mit dem alten Reichs­ fuß von r6by einerley wäre, so müßte der Duka» ten S3i Karat fein seyn, 67 Stück eine Mark wieao»^ und das Stück 3 ft oder 6 Mk. Beo. gelten Weil nach diesem Fuß 167s? Stück eine Mk. sejn halten, so würde 1 Mk. fein Gold 204 Gulden oder 408 Mk ßco. gelten. Nack ebeft dem alten Reichskuß wäre der gesetzliche Preis ei­ ner Mk fein Silber eigentlich 27 Mk. Reo., näm« sich 9 thlr. oder 1 fl. die Mk fein, oder 27 Mk« Leo.^iSs sollen nämlich 8 Stück Speeiesthaler zu 3 Mf. Bea , eine rohe Mk. wiegen, und 14 Loth 4- Grau fein seyn: Das gäbe den Werth des Goldes gegen Silber.5= *|'i< = 15^. Es wird aber dieser Preis nicht gehalten, vielmehr kostet die Mk. fein eilbet itzt 27 Mk- ioßl. Bey. m. o.w, so wie der Preis ines Dukatens 6 Mk. Beo. m 0. w. Diesemnach ist auch der Werth des Goldes gegen Silber veränderlich. Nimmt.man an, der Dukaten koste m ßl. Beo., die Mk sein Silber koste n ßl. Beo., so läßt sich der folgende allgemeine Ansatz brauchen, den Werth des Gol, des gegen Silber zu finden, sobald für den Goldund Silberpreis etwas gewisses angenommen wird. | ? v« k. fein Silber — 1 Mk fein Gold 48 47lrKI Mk. fein Gold ~ r^Mk. roh 67 I i Mk. roh — 67Dukaten i i Dukat — rnßl. Beo. 336 n ßl. Beo. --- 1 Mk.Silb« 288 3216«.

Daraus stießt die Regel: Man multiplicire den Goldpreis in ßl, Beo, p. r Duk mit der Zahl 68,4 oder 68t| und dividire was he raus kommt mit der» Silberpreis in ßl. Loo, p. j Mk. fein Silber,

Es sey z, D. der Goldpreis 6 Mk, Pro. p. r Dvkat ä 234 Karat fein, oder 96 ßl, Beo. Der Silberpreis gesetzmäßig 27 Mk. Banco, so findet man 16 162 27 oder 432 ßl. Banco, 6566,4 J Farit 15,2 68,4 432 96 "4104 1 2246 6156 432 2160 6566,4 86? 432 864 , Ist aber bey eben dem Goldpreise der .Sil­ berpreis 28 Mk. Banco die Mk, sein, oder 488 xl, Banco, so findet man:

68/4 x 96 ss 65 66,^14,66 beynahe 145 448 2086 448 179a , 294,4 448 2688 2560 448 Gilt dagegen der Dukaten 95 ßl. Banco, wie am gewöhnlichsten ist, wenn daS Gold nicht sehr gesucht wird, und- die Mk. fein Silber 27 Mk. 10 ßl. Banco; so findet man

68,4 95 ss i5?{ ~ 442 Man kann demnach etwa für den jetzigen mittlern Hamburger Banco - Fuß »folgendes an­ nehmen: 67 Stück Dukaten ä 23; Kar. fein auf die Kölln. Mk. Banco-Geld in Silber 27 Mk. 10 ßl. Beo. die Mk. Kölln, fein., Das Banco-Geld ist in natura nicht mehr vor­ handen , und wenn das Courant - Geld zu 11? thlr. »her 17 Gulden die Mk. fein ausgemünzr wird, so ist Beo. 23 pc. besser als Courant. Das Pari zwischen London und Hamburg. I.) in Golde. Es sey nun der Goldpreis in Hamburg m ßl. Beo. p. i Duk. ä 231 Kar., in London der Gold­ preis n ßl. Sterl. p. i Unze von 22 Karat: Man soll das wahre Pari in Golde zwischen London und Hamburg finden:

25 T

? ßl. VlS. i Pf. Steck. » ßl. Sterl. 6 ix, Unzen roh Unzen fein 47 160P Unzen Loadn. F Unzen 2 i Mk. i Duk. 6 ßl. Hauch. 960 47 6720 384

— 1 Pf. Steck. — 20 ßl. Steck. — i Unze roh — ii Unzen fein — Unzen roh 4 — 1703 Unzen Lilln. — i Mark — 67 Duk. — *» ßl. Hamb. Beo. — i ßl. VlS. Beo. 1703 1703 18733” 67 131131 45^0 112298 125411,1 3-go.c. 27>8m w* 4512 9024 ßl. vlS. *"”35171" p* i Pf. Steck. 4512 31584 3587,i 4512 Nach den Englischen Gefttzen ist n = 78 ßl Steel., «nd wenn « = 95 ßl. Hamb. Beo. an­ genommen wird, so findet man

27,8 95 I39Q 2502 2641,0

2641^33^ ßl. VlS. »= 78 J 2Z4 301 78

11) in Silber. Wenn, ferner die Mk. fein Silber in Ham, bürg m. Mk. Beo. kostet, und in London die Unze in Stücken von Achten 11 Den fein ange­ nommen n. pf Sterl. kostet, wie steht das Pari in Silber zwischen London und Hamburg? ? ßl. vls. — i Pf Sterl. i Pf Sterl. — 8L Sterl. i ßl Sterl. — xz Pf* Sterl. n pf. Sterl. — i Unze roh xz Unzen roh — ii Unzen sein £ Unzen — I Mk. Engl. x6ti0 ^ngl. — 1703 Mk. Kölln, i Mk Kölln — m, Mk. Hamb. Beo. i Mk Bey. X$ ßl. Beo. 6 l. Leo. — I ßl. Vls. | 2ZR 1703 170S id73,3 )Faeit 11:™. -4 n 168 193 24 ?9r Es sey der Preis für i Unze m Stücken von Ach­ ten in London 62 ßl., und Vie Mk. fein Silber gelte in Hamburg. 28 Mk., so hat man (2 78 2i84}35«lH ßl. vls. 61 p. i pf. Sterl. 28 186 '”'624 324” _156_ 60 -184 3oo_ -4

179 Ein anderes Beispiel des veränderlichen Pari giebt die Vergleichung des Englischen Geldes mit dem Venctianischen' Weil zu Venedig der Goldund Silberpreis veränderlich ist, so ist auch daselbst das Verhältniß zwischen dem Werth des Goldes und Silbers veränderlich. Der Goldpreiß wird ist Lire piccoli für i Unze fein Gvld bestimmt, der Silberpreis in Soldi piccoli für i Unze fein Silber. Es sei also der Goldpreis m Lire für l Unze fein Gold, und der Silberpreis n Soldi für i Unze fein Silber, so findet fich der Werth des Goldes gecen Silber leicht, wenn man weiß, daß i Lire 20 Soldi gilt. Denn der Goldpreis ist m Lire --- so. m Soldi, und dieser durch den Silberpreis ä« Soldi dividirt, giebt den Werth des Goldes gegen Sil» 20. TM I der — Es sei der Goldpreis 185 Lire»

der Silberpreis 12 Lire 8 Soldi > oder 248 Soldi# so ist der Werth des Goldes gegen Silber

Das Pari zwischen London und Venedig.

1) in Golde. Es sei wiederum der Goldpreis m Lire pic­ coli, und der Werth von ICO Lire corrent sei ». Lire piccoli in Venedig. In London sei der Goldpreis c ßl. Sterl. für 1 Unze Standartgold 22 Karat fein. Wenn nun 100 Mark Köllnisch gleich 783 Unzen in Benedig, und 100 Mk. Londner Troy gleich io6r£ Mk. Köllnisch ange« nommen werden ; so ist die Frage: wie vial pf.

Steel, in Gold'e zahlt London für i DUCat di Ban­ co in Venedig?

Man setzt an: I Duc. di Banco Lire Beo. Lire corr. a Lire picc. i Unze fein Gold 800 Kölln. Unzen iFSO Engl. Unzen 12 Unz. Stany. G. c ßl. Steel, t2 pf. Sterl> 144 1703 128 783 . 1152 5109 288 13624 11921 144 18434 1333449 744 1333449 73? 26 I4667939’ m 73728 129924 13713408 a. e. Das zweyte Produkt durchs erste dividirt, ? Pf. Steel. — L Duc. di Beo. — Ipp Lire Beo. — Lire corr. — m Lire picc, — 78ZVenet. Unz. — 1703 Kölln. Unzen — ii Unzen fein — i U. Stand. G. — i ßl. Steel. —

tü-? m di Beo-

pf. 1000. m. Hierin liegt folgende Regelt

dt _24 124 6»

744

giebt

1 Duc.

Oy no Lire corr. addier man die Sopra Mio, multiplicire was herauskommt in den Londner Goldpreis 935 mal genom­ men, das Produkt dividire man durch den losofachen Goldpreis in Venedig.

2Z5

Es sey a s= I2Y, so ist die Sopra agio 29 pC. Ferner sey der Goldpreis in Venedig 18z Lire picc. in London 78 ßl Sterling, so ist das Pari 935-129.78. 187-129.39 ----------------- ------------------- --- 50,85 Pf- Steel, looo. 185 500. 37. für I Duc di Beo. 11.) in Silber. Der Silberpreiö iir Venedig sey n Soldi pic* coli, der Werth von lOO Soldi corr. sey a Soldi piccoli, der Silbervreis in London e pf. Sterl. Die Frage ist: wie viel pf. Ster!, in Silber zahle London für i Ducat di Beo. in Venedig. Ma« setzt an: ?pf. Sterl. — iDucdißco. I Due. di Beo. — 124 Soldi Beo. 100 Soldi Beo. •— 120 Soldi corr. 100Soldi corr. a Soldi picc. n Soldi picc. — I Unze fein Silber 753 Unz. Benet. — K00 Unz. Kölln. 1703 Unz. Kölln. — iC00 Unz.Engl. H Unzen fein — 12U. Stand. Selb. i U. Stand. S. — - pf. Sterl.

144p x 124 128.«. « — 2285568. »•eDas letzte Produkt durch das erste dividirt giebt

14667939.«

Ayer pf. Sterl. für 1 Duc. n lOOO. «. di Beo. Das giebt die Regel: Au 110 Lire corr. addire man die Sopra agio, so hat man den Werth von 100 Lire corr. in Lire piccoli. Diesen INu ltiplieire man in den Londner Silberpreis 1558* mal genommen, und dividire was yerauskommt durch den looofachen Silberpreis in Venedig. Es sey, wie vorhin a = 129, der Silber­ preis in Venedig 12 Lire 8 Soldi, oder 248 Sol-

a;6 di, in London 69 pf. Sterl-, so ist das Pas. in Süber

'-?•£ = ^^2 = 53,9 pf. e,«t. 1002.248 124000 für I Duc» di BcO.

§. iSö. Das bisherige kann zur Lebung in solchen NechnungSsragen genügen, wenn es darauf an­ kommt, das wahre Wechsel-psri zwischen auslän­ dischen Münzsorten zu finden: es sollen nun noch einige Uebungeit in Vergleichung bey uns besann# ter Münzen folgen. Wenn nach dein Leipziger Münzfuß von 1738 der Dukaten 23 Karat 8 Grän fein' 67 Stück auf die Mk. roh zu 4 fl gesetzt, und die fl. 14. Loth 4 Grän fein 18 Stück auf die seine Mk. ausgeprägt sind: wie hoch ist der Werth des. Goldes gegen Silber nach dem Leipziger Fuß? ?Mk. Silber fein— i1 Mk. Gold fein LA^Mk.fein — £4 Mk roh 4 71 — 67 Duk» i Mk roh — 4fi» iDuk. — i Mk. fein *8fl-

K

67 16 402 67 1072) Fac. 15,1. 71 362 71

Wenn man überhaupt annimmt, der Preis deS Dukatens sey m fl., der Preis einer Mk. fein Silber /»fl., so hat man den Ansatz:

? Mk. Silber fein — r Mk. Gold fein’ < 7t Mk. fein — 7rMk.roh., ( iMk.roh — 67 Duk. I I Duk. -- -»fl. I »ff. — i Mk. ft Gilb» 1 yiTth 504 432, 67,9437 rrl.. 71 ' ». 426 564 71 497 67,0 7i 639 310 7i 284 ^Ü6a 7t 213 470 71 Das giebt die allgemeine Regel: Man Multiplicire den Preis des Dukatens in die Zahl 67,943 und dividire was herauskommt durch den Preis einer Mk. fein Silber, beyde Preise in fl. oder sonst einerley Namen ausge­ drückt. Rach dem Leipziger Fuß ist m --- 4, » --18, also der Werth des Goldes gegen Silber ---s i5^$, wie vorhin. dem Eonventionsfuß von *753 gilt bet

»58 Duk. 23 r Karat fein, 67 Stück auf die rauhe Mk., 4z fl., wovon 20 eine Mk. Silber hülten: wie steh» der Werth des Goldes Zegm ^Silber?

?Mk. Silber fein — »Mk Goldfein — 24Mk.roh 3 lMk.roh —67 Suf. 6 rSuf. ^•5 - 4-zfl. 4 10 fl. — i Mk. f. Silber Vermöge der vorigen allgemeinen Regel fände

7i i^Mk.fein

man—--rtzZ---,r, «nd den Werth des Goldes 20 gegen Silber — 67 9437 X = 14,155, welches mjt der. eben gefundene« Zahl überein kommt. Wenn nach dem Graumannschen Fuß von 1750 die Mk. fein Silber zu 14 thlr. ausgeprägt, und der Werth des GoldeS gegen Silber wie izf: i fest gesetzt ist: wie viel thlr. Silbcrqeld giebt «an für einen ReichsgesetzmLßigen Dukaten?

?thlt. — iDuk. 67 Duk. — i Mk. roh. 71 L^-Mk.roh — i-;Mk. fein 5 iMk.f.G.— ^stMkf.Silb. M 23 7 rMk.f.S — ^rhtr. X"6o" 11431) Fac. 2 thlr. 497 4010 -o gl. Z pf. J23_ S040 149t 339 r 24 gl.

13564 6782 . 8'384 gl. ».4020) 20 gl. Z Pf.

Wie viel thlr. Sl'berg-ld giebt Man nach kven dem Sufi für eine Pistole ä 2iä Karat feip, und 35 Stück auf die Mk. roh gerechnet? ?thlr. — i Pistole ZZP-st. — iMk.roh 48. « L^-Mk.tvh — rr»Mk.fern Silber 5! iMkf. Gold — i Mk.f. Silber^- x# thlr.

~I75 48 1400 700

»Z.------ .

420,21) Fac.zthlr. 84 420

0/21

8400

§. tSt,

Das wahre Pari zwischen Neichsgeketzmäfiigen Dukaten und Pistolen zu finden die Pistolen 2,1$ Kar. fein, und 35 Stück auf die Mk. roh gerechnet. ?Duk. — r Pistole 140 K^Pist. — L^Kar f. a87 2ot ^7i^LA;Kar.f.— F^Duk. 140 98 , 99 ;o 9940 7547 Es find also 9940 Pistolen — 17487 Duk. oder i Pistole -s 1,75925 Duk. etwas weniger üts 1* Duk. Wenn also nach »dem Leipziger Fuß der Dukaten 2| thlr. gilt, so muß die Pistole 4 thlr» 165 al. gelten. ... Gilt der Dukaten 2| thse^ so muß die Pisto­ le 4 thlr. 20,4z gl- gelten. Rach dem Convemions-- Fuß gilt der Duk. 4| fi. öder 2 thlr. i8gl. 8p.f-, also die Pistole 7 fl. $v$U oder 4thlr. aii gl * R s

Wie viel thlr. Sl'berg-ld giebt Man nach kven dem Sufi für eine Pistole ä 2iä Karat feip, und 35 Stück auf die Mk. roh gerechnet? ?thlr. — i Pistole ZZP-st. — iMk.roh 48. « L^-Mk.tvh — rr»Mk.fern Silber 5! iMkf. Gold — i Mk.f. Silber^- x# thlr.

~I75 48 1400 700

»Z.------ .

420,21) Fac.zthlr. 84 420

0/21

8400

§. tSt,

Das wahre Pari zwischen Neichsgeketzmäfiigen Dukaten und Pistolen zu finden die Pistolen 2,1$ Kar. fein, und 35 Stück auf die Mk. roh gerechnet. ?Duk. — r Pistole 140 K^Pist. — L^Kar f. a87 2ot ^7i^LA;Kar.f.— F^Duk. 140 98 , 99 ;o 9940 7547 Es find also 9940 Pistolen — 17487 Duk. oder i Pistole -s 1,75925 Duk. etwas weniger üts 1* Duk. Wenn also nach »dem Leipziger Fuß der Dukaten 2| thlr. gilt, so muß die Pistole 4 thlr» 165 al. gelten. ... Gilt der Dukaten 2| thse^ so muß die Pisto­ le 4 thlr. 20,4z gl- gelten. Rach dem Convemions-- Fuß gilt der Duk. 4| fi. öder 2 thlr. i8gl. 8p.f-, also die Pistole 7 fl. $v$U oder 4thlr. aii gl * R s

16© Gilt der Duk. 2* thlr., so muß die Pistole 4 thlr. 23 gl. 94 pf. gelten. Umgekehrt ist r Duk.Pistol, oder i Duk. -- 0,56842 Pistol. Gilt also die Pistole 5 thlr. so muß der Dukat 2 thlr. 20r gl. gelten. 182. Dergleichungstafeln nach dem wahren Pari lassen sich nur zwischen goldenen Münzen unter sich, und zwischen silbernen Münzen ebenfalls unter sich, berechnen *). Eine allgemeine richtige Vecglei-chungStafel zwischen goldenen und filbernen Mün­ zen zu berechnen, ist deswegen nicht wohl thunlich, weil der Werth des Goldes gegen Silber nach dem einen Münzfuß so, nach dem andern wieder anders ist. Daraus laßt sich beurtheilen, was von der Bergleichungstafrl zu halten sey, die man jetzt in einigen kleinen Taschen - Kalen­ dern findet, und die auch Herr Schmid seiner Rechenkunst einverleibet hat. Sie ist so einge­ richtet, daß fie den Werth einer jeden darin auf­ geführten Münze in Pistolen zu 5 thlr. anzeiaen soll. Richtiger, und allgemein brauchbarer hatte sie gerathen können, wenn nur der Werth der goldenen Münzen auf diese Art berechnet, der Werth der silbernen aber in Silbermünze, etwa in n f 8. F. oder ConventionS-Geld, oder sonst einer willkührlich gewählten nach einem bekann­ ten Münzfuß geprägten Silbermünze, nach dem wahren Pari angegeben wäre. Es scheint, auch, daß bey Berechnung der Tafel nicht das wahre

*) Einem alten Landsmanne zu Ehren zeig« ich feigen# der »dilch an: Peter Herrmann Büschau'S ge, naiie Und deutliche Berechnung der neuen Zweydriltel Jhiveren Geldes re. im Vergleich Mit de« abwechsel»# «n Coursen, von i Echilling an bis ico Rthlr. Ro­ stock i/c-7 — UebrigenS haben dergleichen Berecheniugen nur ihren temporellen Werth!

a6i Pari, sondern der veränderliche Cours zum Grun­ de gelegt sei, weil kein bestimmter, sondern fast durchgängig ein Werth angegeben ist, der um r bis 2 gl. unbestimmt bleibt. A. B. ein Guinee zu 6 thlr. 8 bis io gl. Das Pari giebt den Ansatz: ?l Pistolen — I GuinSe 89 44’ Guinße — ^LUnz.roh % « Unj roh — ii Unz. fein 8 Unzen — i Mk. Engl. 40.1^0420 jf#005R f. eng.— 1703501s. köll. Mk. fein —24 Mk. roh 87 i Mk. rvh—jF Pistolen 7 3480 89 31320 2784 309720

1703 1703 18733 21

39339,3 i'Fac. 1,27028 30972 Pistol.

18733 37466 393393*

8367,3 30972 61944 217290' 30972 816404____ 88600 30972 61944 26656 Wenn also die Pistole 5 thle. gilt, so giebt das für die Guinee 6 thlr. 8 gl. 5? pf. Und wenn die Guinee 21 ßl. Steel, gilt, so ist das Pf. Steel, in

Golde = 55. 7,27028 Pistolen, oder r Ps. Steel, in Golde = 6 thlr. 1 gl. 2T| pf, Die Tafel giebt an, 6 rhlr, 1 thlr, r bis 4 gl.

§• 183. Es scheint also, die Tafel sei so eingerichtet: man har für den Werth derGil der münze denjeniqen angen 0 mmen, den sie in eben dem Lande, wo sie gebräuchlich ist, in Golde hat, und dieser Werth ist hier-nächft auf Pistolen zu 5 thlr. gebracht. Hiebei liegt alsden« zugleich dasjenige Verhältniß des Geldes gegen Silber zum Grunde, was in dem Lande, wo die ausländische Silbrr'münze zu Haule gehört, üblich ist. An England ist der Werth des Gottes gegen Silber -- 15,234 : 1, oder 1 Pf, Gold ist so viel als 15,234 Pf. Silber werth, mit# hin 1 Pf Silber so viel, als Pf. Gold; ilnd in dieser Voraussetzung' wäre i Pf. Sterl. -Cngl. Sübergeld in Pistolen 6 thlr, 1 gl. 2^ pf. werth. Nach dem deutschen Conventions-Fuß aber ist der Werth des Goldes gegen Silber 14^: 1 oder 14,155 : i. D. i i Pf. Gold ist 74,155 Pf. Sil, der, oder 1 Pf. Sisber ist Pf- Gold werth; demnach gilt nach dem Conventions-Fuß 1 Pf. Silber in Golde mehr, als es nach dem Englischen Münzfuß in Golde gilt; eS muß also nach eben dem Conventionsfuß r Pf. Sterling Silbergeld in Golde mehr gelten, als es im Englische» Münz­ fuß gilt, und zwar so viermal mehr so viel mal der Werth des Goldes gegen Silber ngch Engli­ schen Fuß im Werth des Goldes gegen Silber nach dem Conventionsfuß enthalten ist. Mithin würde nach diesem Fuß der Werth von 1 Pf. Sterl. Engl. Silbergeld in Pistolen gefunden werden, wenn man setzte;

soz

Was thut es Nach Eftzl. Werth thut i Pf.Gterk. also nach dryu deS Goldes Silberg. in Pistol. schem Werth des Goldes? ^1. — 6 thlr. i gl 2t? pf. — »der 14155 ? — tz thlr. 1 gl< 2rL pf. - I5234‘ 14155 24 Rest 1072 145 gl. 120 17421 2900 X 1327 ?.45?r i#748« pf. 17421 pf. 1079 156789 »der 1874,8 pf. 121947 div. 12) "18797259 > 1327 156 gl. 24 pf. div. 24) 14155 ' 46.4.2.2' 6 thlr 12 St. 2j pf. -4155 42465 39575 14155 28310 112659 14155

Nach der Proportion deS Conventionsfußes wäre also der Werth von 1 Pf. Sterl. Engl. Sil­ bergeld in Pistolen 6 thlr.' 12 gl. 3 pf; wenn die Piuole 5 thlr. gilt, so findet sich der Werth von i Pf. Sterl. Engl. Silbergeld in deutschen EonventionS» Gelde, wenn man ansetztr

2^4 5 chl. in P. - 4 thl- 21 gl. 3 pf. C. - 6 thl. i2 gl.Lpf. fit P. S 9 CX6 8 3 a|6 2 * 4 29 thl. 7 gl. 6pf. i L i —15— i — i r - — 9—9 — * — 4— 10 r — 4 — 10 » — 5— ~ 31 rhl. r8gl. 5 Pf-

F. 6 thl. 8 gl. 6 pf. Sour. ®.p.i Pf. Steel. Daß dies Facit das wahre Pari sei, beweiset Ättch der folgende Ansatz, ? thlr. Cour. Geld — aOßl. Sterl. « fix ff. Sterl. — Unzen Engl. 3« 20 xz0 Unzen roh — in Unzen fein 8 Unzen i Mk. 1^00 Mk. Engl. —1703 Mk. Kölln.

40 3

120 8 160 Xzr

29760

Mk.Kölly. feinthl. Cour.T.

I73 1703 I7o3

189033 div. mit 29760)

Facit 6 thlr. 8 gl. 6 pf. wie vorhin. Dies Beispiel wird zur Genüge beweisen, daß die erwähnte Münzvexgleichungstqfel beim Sildergelde gar nicht mit Sicherheit brauchbar sei. Wenn diese Tafel für 1 Pf. Sterl. 6 thlr. 1 bis 4 gl. in Pistolen angiebt, so ist das ohngefähr das Pari in Golde, nicht in;(Silber. Angehende Rech­ ner können zur Uebung andere Zahlen, die in der Tafel angegeben sind eben so prüfen.

Dritte Abtheilung.

Von den^ Potenzen und Logarithmen, nebst ihren Anwendungen auf mehrere RechnungsfraHen. Erster Abschnitt, Von den Potenzen und Logarithmen übevhaupt.

§.

184.

Eine Potenz oder Dignität heißt jedeProdukt mehrerer gleicher Factvren. Ist eine Po­ tenz aus der Multiplikation zweyer solcher Fak­ toren entstanden, so heißt sie die zweite Potenz oder eine Huadratzahl, die dritte Potenz führt den besondern Namen der Cubsczahl: die 65# Hern Potenzen werden gewöhnlich ohne solche spe# cielle Benennungen bezeichnet, eine Potenz irgend einer Ordnung durch Zeichen auszudrü­ cken, d. i. um kenntlich zu machen, aus wie vielen gleichen Factvren ein Produkt bestehen soll, schreibt znan über d,eZM die einige mahle mit sich selbst zu multipliciren ist, eine kleine Ziffer' hin, die eS ausdrückt, wie viele mahle die Zahl mit sich selbst multiplizirt werden soll und die der Exponent der Potenz heißt; also heißt: 5* so viel als: 5 x 5 x 5 £ 5 =: 625 und 5’ = 5 x‘ 5 = 25.

§. i85' Die Zahl 5 hier, oder überhaupt jeder einzeln? Factor, der einige mahle mir sich selbst multipii?

*66

zirt worden ist, heißt die Wurzel der Potenz. Um also anzuzeigen, daß zu einer gegebenen Wurzel die gehörige Potenz gefunden werden soll, schreibt man den Exponenten über die Wurzel hin. Die Wurzel der Quavratzahl heißt Qua­ dratwurzel und die der Cubiczahl die Cubic« Wurzel. Wenn eine Potenz gegeben ist, so muß man daraus wieder die zugehörige Wurzel finden können. Um dieß anzüdcuten wird die Potenz unter diesem Zeichen hingeschrieben (V") und so heißt also:

C. ist, oder 106 thlr., wenn dec Zinsenfuß 6 pc. ist, und dies war im rrz §. der Grund der so ge, nannten Zinserechnung. Wie nun nach die­ ser Zinserechnung vermittelst der Regel Detri leicht gefunden wird, wie groß ein Kapital bin­ nen Jahresfrist durch die hinzugekommenen Zin­ sen geworden sey, so läßt sich auch umgekehrt nach der Regel Derri finden, wie groß das Ka­ pital vor einem Jahr gewesen sey, ehe die Zinsen hinzugekommen. Was jetzt 105 oder 106 thlr. find, das waren ein Jahr vorher 100 lhlr, ehe die Zinsen hinzukamen, Und dies ist der Grund, der so genannten Rabatt- oder Jnterusurien-Rechnung. 195. Gesetzt, zwei Personen vergleichen sich bey Schließung eines Handels dahin, daß der Käu­ fer dem Verkäufer, die festgesetzte Kaufsumme al­ lererst nach Verlauf einer Zeit j. B- eines Iah-

«84

res zu bezahlen, schuldig seyn solle: nach geschlos­ senem Handel entschließt sich der Käufer, seine Schuld gleich setzt baar zu bezahlen. Empfinge aber der Nerkaufcr jetzt gleich die ganze KaufSumme, so müßte er nach Verlauf eines Jahres die darauf gewonnenen Zinsen dem Käufer zu­ rück zahlen, weil dieser ja fein Geld so lange hätte behalten und selbst die Zinsen gewinnen kön­ nen. Beyde wollen indessen gern jetzt gleich aus­ einander seyn: deswegen ist der Käufer nur schul­ dig, eine Summe zu bezahlen, die so groß ist, daß wenn am Ende des JahrS die darauf gewonDiesemnachzahlt der Käufer weniger als die verabrete Kauf - Summe in des Verkäufers Händen sei. neuen Zinsen hinzukommen, gerade die verabrededete Kauf-Summe^ und was er wegen der frühern Bezahlung abkürzt, heißt der Rabatt oder daJntecusurium. Es fragt sich also,, wie jedesmal der Rabatt zu berechnen sey? z. B. Es soll jemand 1000 thlr. nach einem Jahr bezahlen, er bezahlt sie aber gleich, wie groß ist der Rabatt? Man suche ein neues Kapital, welches mit seinen einjährigen Zinsen wieder 1000 thlr. ausmacht, und mai» sezze an: 105 thlr. waren vor i I. rw thlr. — 1000 thlr. ? 5) 2i 5) 20 1000 20000 _ . . 2i)F.Y52_-;thlr. Werden diese yZ2;?thlr. von 1000 thlr. abge­ zogen, so giebt der Rest den gesuchten Rabatt. 1000

47-r thlr. Rabatt.

Will man sich überzeugen, baß dies richtig sey, so kann man die Probe so ansetzen: _ _ 700^ thlr. — jo5_t^lc. — YZ2;? thlr? 27^el 2I^ 5 2CCp0 2I)~ 200 Fac. iooo thlr. Will man den Rabatt gleich haben, so kann man auch so ansetzen: 105 thlr. — 5 thlr. — iooo 5) 2i 5) I 27)^. , thlr. Rabatt. Diese Rechnung ergiebt also, daß man ei, gentlich nicht z von 700, sondern 5 von 705 rabattiren müsse, wenn der Zinsensuß 5 pc. ist. Wäre er 6 pc., so müßte man 6 von 106 rabattiren.

§• 196 Ist ein Kapital zu einem festgesetzten Zinsen­ fuß ausgeliehen worden, so wachst es jährlich in arithmetischer Progreßion. Sind z. B. 100 thlr. zu 5 pc. jährlicher Zin­ se verliehen, so beträgt dies Kapital nach Berlauf von einem Jahre 105 thlr. nach 2 Jahren iio thlr., nach 3 Jahren 115 thlr. u. s. f. vor­ ausgesetzt, daß die in jedem Jahr gewonnenen Zinsen am Ende desselben Juhres nicht zu dem zinstragenden Kapital geschlagen sind und im fol­ genden Jahr ebenfalls Zinsen tragen. Wenn also jemand nach Verlauf einer gewissen Anzahl von Jahren, ein Kapital zu zahlen schuldig ist, und er will es jetzt gleich bezahlen, so findet man das jetzt baar zu bezahlende Kapital, nach folgender Regel: , Man suche die Zinsen, welche 100 thlr. in der gegebenen Anzahl Jahre tragen, ad di re hiezu iso thlr, und schlie-

tze dann nach der Regel Detrir wie sich die um ihre Zinse vermehrten roo thlr. verhalten, zu ioo thlr., so verhält sich das künftig zu zahlende Kapital, zu dem setzt baar zu bezahlenden. Z. B. Es ist je, mand nach 2 Zehren 1000 thlr. zu zahlen schul­ dig, er will mit 5 pC. Rabatt so gleich zahlen, wie viel betragt die baare Zahlung? Ein Kapital von roo rhlr wird nach Ber« lauf von 2 Jahren no, also schließt man: Hs) lhlr. waren vor 2 Lahr ioo thlr. — loosrichlr.? 100 10000 n^tnt» 909^ thlr. Also ist der Rabatt yoii t()lr. Man kann sich allemal von der Richtigkeit der Rechnung durch die Probe überzeugen, wenn man umgekehrt ansetzt: ioo thlr. geben in 2 Lahr no thlr. — 909^ thlr. >< ir ioo “ ■ . T.. — —— ioo0d IIOOO

n) F. i000 thlr. Man rabattirt also auf 2 Jahr 10 von uo, auf 3 Jahr 15 von 115, auf 4 Jahr 20 von 120, u. s. f. Rach dem 6 pC. Zinsenfuß aber auf 2 Jahr 12 von 112, 18 von 118, 24 von 124 u. f. f. Eben so rabattikt man auch auf halbe Jahre, Vierteljahre, Monate, nach dem 5 pC. Zinsenfuß, auf t Jahr, 2* von 102L, auf ; Jahr ij von roij, auf i Monat s| von ioos£. Rach dem 6 pC. Zinsenfuß auf t Jahr 3 von 103, auf ; Jahr It von 1016, auf 1 Monat i von iooi. z. B. Es kauft jemand eine Obligation von 1500 sl., .so erst nach 6 Monat fällig, und soll 6 pC. p. a. rabattiren, wie viel ist die bauet Zahlung? D». jährliche Zinse ist hier 6 pC., also ist die halbjährige Zinse 3 pC., mithin setzt man an;

SS?

103 —100 — 1500* X 100 150000

IO3)?4ntro 145613? fl. und der Rabatt 43,^. Exempel zur Uebung.

7> Es kauft jemand eine Obligation oder ei­ nen Wechselbrief von 1500f(v so erst nach « Mo­ nat fällig, und bedingt sich mit t pC zu rabattiren, wie groß ist also die baare Zahlung, und der Rabatt? Antw 1) 1492* ff. 2) /Zfl. 2) Es soll jemand nach 5 Jahren ein Kapital von Z00O thlr. bezahlen, er vergleicht fich aber dahin, daß er mit 6| pC. Rabatt gleich bezahlen will, wie groß ist also der Rabatt, und wie viel muß er baar bezahlen? Antw, die baare Zahlung ist 2264?; thlr. und der Rabatt 735^. 3) Es kauft jemand eine Obligation von 1600 Mk., die erst über 10 Monat fällig ist, und genießet wegen der baaren Zahlung 8 pC. p. A. Rabatt, wie viel beträgt also 7) der Rabatts und 2) die baare Zahlung? Antw. 1) -ioo Mk. 2) 7500 Mk. 4) Einer kauft einen Wechsel von 1292 Mk. 6 61., der nach 11 Monat zahlbar ist, und genie­ ßet wegen der baaren Zahlung 6 pC. p. A. Ra^ batt. Es frägt sich, wie viel 1) der Rabatt, und 2) die baare Zahlung betrage? Antw. 1) 67 Mk. 6ßl. 2) 722,5 Mk. ‘ 5) Es kauft jemand eine Schuld von 1317 Mk. 7 ßl., die über io$ Monat fällig ist, und genießet 8 pC. p. A. Rabatt. Wie viel beträgt 1) der Rabatt und 2) die baare Zahlung? Antw. 1) 86 Mk. 3ßl. 2) 7231 Mk. 4 61. 6) Eine Obligation von 227 Mk., so über ein Jahr zu bezahlen fällig, wird mit 61 pC. Rabatt verkauft, wie viel beträgt 1) der Rabatt,

2) di? baare Zahlung? 2--8 Mk.

Antw, i) iz Mk.

7) Siner verkauft eine Obligation Mk., so über. 6 Monat fällig, mit 8 Rabatt. Es frägt fid) also, wie viel der Rabatt, 2) die baare Zahlung? 103 Mk. 2) 2500 Mk.

2)

von 2600 pC. p. A. beträgt 1) Antw. 1)

8) Ein Schuldbrief von 179k Mk. 6 ßl., so über 9 Monat fällig ist, wird mit 81 pC. p. A. Rabatt verkauft. Wie viel betragt 1) der Ra­ batt, 2) die baare Zahlung? Antw. 1) 105 Mk. 6 61. 2) 1686 Mk. So wie man besonders berechnete Tafeln für Wechsel» und Münzberechnungen hat; so giebt es auch eigene Rabatttafeln, aus denen man wissen kann, wie viel von einem Kapitale nach Wochen, Monaten oder Jahren zu rabauiren sei, wenn der Zinsenfuß gegeben ist. Der­ gleichen Tabellen kann man sich aber sehr leicht selbst besorgen, wenn man folgendes beobachtet, Es heiße das Kapital das nach n Jahren bezahlt werden soll K, jetzt gleich soll y bezahlt werden, so ist also k — y der Rabatt; wenn von 100 w bezahlt werden, so ist ein Kapital von ioo thlr. nach l Jahre zu: 100 -s- w angewachsen > also nach n Jahren zu 100 -4- nw. Da nun y in n Jahren s= K wird, so ist K : y s= 100 + nw : 100 100K

ioo 4- nw Knw also K — y = ioo + nw wenn also zu 8 pc. Kapitale verzinset werden, daher w — 8, so ist der Rabatt für i I. > 2 I 13 3 14 3.

wenn K eine große Zahl z. B. = 999989 wäre, so kann man die Logarithmen von -F, nehmen; und dann ist: fiel. log. K -- 5,9999952 15| SS 0,8696662 — 2

log Rad. — 4,8696614

also Rabatt = 74073,2

für 11. log.K -- 5,9999952 --- 0,1396620 — i lag. Rab. --- 5,1396572 Rabatt -- 137929 für in.log.K = 5,9999952 1T| ss 0,2867896 — r

log. Rab. — 5,2867848 Rab. = 193544 fürIV.log.K =? 5,9999952 1 ss 0,484576 r — i log. Rab. --- 5,4845713

Rab. s= 305290,12.

Zuweilen wird auch die Waare erst nach Verlauf von gewissen Monaten bezahlt, dann ist jn ss s*m und also: Kmw K — y 12004- mw also m|, i ..... für . 2 I 3 ist K—y|siTK 7jK|7?K u. s. f. für wag, wonach wie vorher der Rabatt gefunden werden kann.

Dritter Abschnitt.

Don cher Zeitrechnung bei ausstehenden Ka>pitalien. §• 197* Wenn eüt Kapital nach Verlauf einiger Zeit erst zahlbar ist und man soll ein andere- finden, T

-KV

das in einem Jahre so viele Zinsen kragen wür­ de alS von jenem in mehreren Jahren gewonnen werden; so erhält man dieß sogleich, wenn man das erste Kapital mit der Zeit multiplicirt, in welcher es zahlbar oder fällig wird. So kann man sich folgende Tafel nach Wilikühr entwerfen.Kapital; Zoo, 600,900,1300,1500,1800,2ioo, 2400,2700,3000 in Jahren I* 2. 3. 4* 5* 7* 8. 9* to.

Man hätte auch fragen können, wie groß das Kapital sein müsse, das in einem Jahre, mit einem Kapitale von 300 thlr. in 4 Monaten glei­ che Zinsen trägt, und man erhält diese Tafel: Kapital SZ, 40, 75,100,12Z, 130/ r75,200,225,250,275,300 in Jahren t 1 1 X f 6 7 S 9 IO Y* 12 T», Ti,Ti'Ti, Ti/ Ti' Ti' Ti, Ti'Ti, Ti' TS

wo die Zaht 100 die Größe des gesuchten Kapi­ tals anzeigt Man fleht also daß auch hier die gegebene Regel bleibt.

Ueberhaupt folgt auS der Frage, wie groß ein Kapital sein müsse, daS in 1 Jahre so viel Zinsen trägt, alS solches ein Kapital a in n Jqh, ren thut? sehr leicht die Proportion: I I. n 3. s= athlr. K. : xthlr. K. und »thlr. K. s= »athlr. K. wenn n SB 5 und a s= 2500, so ist r I. : 5 I- — 2500thlr. ; »thlr. »thlr. = 12500 thlr. also geben 12500 thlr. in r Jqyre so viele Zinsen alS 2500 thlr. in 5 Jahren. Um dieß nach dem gemeinen Ansätze zu 6t* rechnen, müßte man schreiben: wie viel in 1 I.? was 25oothlr. in 5 I. also wäre die Rechnung nach den Regeln dee verkehrten Regel Detri zu führen; n mag nun tine ganze Zahl oder einen Bruch bedeuten.

Auch a kann ein Bruch seyn, denn man hätte nach einem Kapitale fragen können Las in i Jahre so viele Zinsen giebtals M thlr. in io Jahren. 1 Jahr? — H thlr. — ifj Jahre. ■14 6

5

13 ___ 5__ _65___

10 thlr. 40 ßs, §. 198. Auch können mehkeke Kapitalien gegeben sein, deren Vetfallzeiten verschieden sein können und man wird leicht ein Kapital angeben können, das in einem Jahre so hoch verzinset werden als di-se alle in ihren verschiedenen Vetfallzeiten zusammen, gilt jetzt sei bei allen ncch der Zin­ senfuß gleich. Denn z. B. 2co fl Nach 3 Jahren, 600 ft. nach 4 Jahreii, 800 fl nach 5 Jahreri, und 1000 fl. nach 6 Jahren fällig sind, so läßt sich leicht ausmachen, wie groß ein Capital sein müsse, das in einem Jahre mit allen diesen zusammen ge­ nommen gleiche ZrNskn gebe: Seo 600 800 looo

x x x x

3 4 5 6

= 600 fl. in — 2400 —1 — s= 4000 - -------. = 6000 - -—

t I I i

I. --— —

Antw. 13000* fl. Sind die Verfallzeiten verschiedenartig be­ stimmt, so muß Man solche Ausdrücke dafür su­ chen, daß die Zeiten alle einerlei NameN erhalten; z. B. wenn 1500 fl. nach 3 Mon. 1500 fl., nach 5 Mon, 1000 fl., nach 9 Mon., 2000 fl. nach 1 Jahre und 3000 fl. nach 8 Tagen fällig sind; ss betragen;

L 2

fi 92

1500 st. in 3 Mon. so viel als^'Z' oder 375 st. ist 1500 s s j - — —625—1 1000 - - 9 — — — *?r — 750 — 2000 . -12 — — — 2000 — 2000 — 3000 - — — — **?*• — 65^1 —

1 I. — I— I— I—

3815*1 fl- r 3> Von den auf solche Art gefundenen Kapita­ lien kann man leicht die zugehörigen Zinsen finden, ivenn der Zinsenfuß bestimmt ist, für 3815s* fl. zu 6 pC. ist die einjährige Zinse: 256** ft, und dies ist zugleich die sämmtliche Zinse der 5, in verschie­ denen Verfallzeiten fälligen Kapitale. Wir viel ist die sämmtliche Zinse zu 6pC. von 2000 st. auf 37 Lage, von 2679 st« auf 53 Tage, von 3000 fl. auf 84 Tage, von 4800 st. auf 113 Tage? Antw. 166s st.

§. 199. So wie bifiher von der Redaction der Verfallzeiten der Kapitalien auf i jährige Verfallzeit die Rede war; so kann mvn auch mehrere Kapi­ tale die auf verschiedene, Art verzinset werden, auf ein Kapital zu 1 pC. Zinse p. A. reduziren, wenn man jedes Kapital mit seinem Zinsenfuße multiplizirt. Fragt man z. V. : wenn 1000 thlr. zu 5 pC. stehen, wie groß muß 1 Kapital zu r pC. seyn, wenn es mit jenen iooo thlr in gleichen Verfall­ zeiten gleiche Zinsen geben soll? so ist die Antwort 5000 thlr. sehr leicht gefunden. Sind also mehrere Kapitale gegeben, die ver­ schieden verzinset werden; so kann man fie auf ähnliche Art wie im vor. auf ein Kapital redu« ziren, daS mit 1 pC. verzinset in gleicher Zeit gleiche Zinse giebt, z. B Wie viel ist die gestimmte Zinse eines Jahres von 500 fl. zu 3 pC., von 650 fl. zu 4 pC., von 800>fl. zu 4* pC., von 1000 fl. zu 5 pC., und von 1400 fl. zu 6 pC.?

r-r Zoo fl. zu 3 pe. -eben 1500 ft. zu r pC. 650 r — 4 pC. 800 4 —44— 1000 - — 5 — 1400 4 — 6 —

— — — —

biv. »♦ io°)

2600 4 — X — 3600 ♦ — X — 5000 - — i — 8400 - — r — 2l loofl.— T — 2nfl.d.,ährl.Z.j.TpC.

Die Regel in diesem und im vor. macht also die öfteren Wiederholungen der gewöhnliche» Ansätze nach der Regel Detri unnöthig.

§. 20Q. Sind Verfallzeit und Zinsenfuß der beiden mit einander zu vergleichenden Kapitalien verschieden, z. B. wenn es hieße: wie groß muß ein Kapital sein, das auf 1 Monat zu 1 pC. steht, wenn es mit einem Kapitale auf 6 Monate zu 5 pC. gleich viele Zinsen geben soll? iso sieht man leicht, daß die Regeln der umgekehrten Regel quinque ihre Anwendung finden, denn nach §. 197 ist: II: n 3—2 thlr. Kap. :x thlr. K. u.nächvor. §. rpC :m pC =a thlr. Kap.: X thlr. K.

also^ pC «m pCj" = ® ttjlc. K.: x thlr. St. wenn a — 400, n = 6, m = 5 ist, oder frägt: 400 rhlr. stehen auf 6 Jahre zu groß muß ein Kapital sein, daß auf i pC. steht, und mit jenen 400 thlr. Zinsen geben soll? so ist: i : 30 ä 400 : 12000.

wenn man 5 pC., wie 1 Jahr zu gleich viele

Auch hiernach kann man eine Frage, wie fol« -ende: wie groß ist die sämmtliche Zinse von 400 fl. auf 6 Monate ä 5 pC., von 650 fl. auf 8 Monate zu 4I pC., von 1000 fl. auf9Monat zu 4 pC., und von 1300 fl. auf ii Monate tu 6 pC.?

294 kürzer beantworten, qis wenn man für jeden Theil der Frage besonder-eine Proportion suchen wollte:

400ff.hi6’Dl z.zpe.sovixlal? 560 — 8 — 41— 1000 — 9 — 4 — — 1300 —ii — 6 — —

i2ooofl.a. iM. z.ipL. 20160 — i — z.i — 36000 — i — z.i — 85800 — i — z.i —

153960 fLa.rDLj.ipC, odex 12830 fi. aus 1 Jahr zu i pC. also die Zinse 128,- fl§. 20T.

Das im 160 §. angeführte Exempel, bei web chem die RegelLainqüe dreimal angewendet wer, den mußte, kann ebenfalls durch dies Verfahren in einem einzigen Ansatz aufgelöftt werden: näpilich 5680 fl. auf 8 Mon. — 45440. 4260 fl. auf 10 Mon. — 42600. 6780 fl. auf 7 Mon. — 47460. Summe 135500. Also geben alle diese Kapitalien zusammen so viel Zinsen, als 135500 fl. in i Monat; nun kgnn mgn schließen? 100fl. _ r fl _ 13553# M in 12 Mpn. 11 '' in I Mon.? 6775_______ ' I2)S. 564. i fl.

Noch einige Exempel zur Uebung. 1) Wie viel ist die sämmtliche Zinse von 127 thlr. auf 3 Monat, von 586 thlr. auf 7 Monat, von 1728 thlr. auf 1 Monat von 500thlr. auf 2 Jahr, pnd von 800 thlp. auf 3 Jahr, i 5 pC.? Antw. 1527^ thlr. 2) Wenn man jährlich 8 pC. giebt, wie viel ist die sämmtliche Zmse von 500 Mk. in 3 Jahr, von

8oo Mk. in 2 Hahr, von 600 Mk. in 7 Monat, von rooo Mk. in ir Monat, und von 8000 Mk. in 3 Monat? Antw. 5191 Mk. 3) Wie viel ist der sämmtliche Zins eines Iah, reS von 800 Mk. zu 3s pC., von 500 Mk. zu 4 pc., von 900 Mk- zu 5 pc., von igoo Mk. zu 51 pG., von 80 Mk. zu 6 pc.? Antw. 152^ Mk. 4) Wie viel ist die jährliche Zinse von 328thlc. ä 2 pc., von 560 thlr. ä 3 pC., von 780 thlr. i 4 pc., von 5728 thlr. ä 8 pG-? Antw, 512? thlr. 5) WaS beträgt der sämmtliche ZjnS von 3'28 thlr. ä 5 pc. in 8 Monat, von 1728 thlr. ä 4pc, in 6 Mon , von 5736 thlr. ä 2 pC. in 3 Monat, von 520thlr. a 8 pc. in3 )ahr? Ant«. 194;; thlr.

§. ?c>r»

Bisher ward nach der Grösse deS Kapitals für eine gegebene Berfallzeit und einen bestimm­ ten Zinsenfuß gefragt; man könnte aber auch um, gekehrt die Zeit für ein gewisses Kapital suchen, in welcher dies so viele Zinsen tragen müßte alS ein anderes gegebenes Kapital. Hieher ivürde das §. 140 n. 9 schon vorgekommene Exempel gehören: wie lange müssen 700 thlr. stehen, damit sie so viele Zinsen tragen als 1000 thlr, in 8 Monaten:

700? — 8 — 1000 7)

80 uj Monat.

Man findet also immer die Verfallzeit eines gegebenen Kapitals, wenn man das Produkt ei­ nes andern Kapitals in dessen Berfallzeit mit dem gegebenen Kapitale dividirt. Hiernach reduzirt man auch sehr leicht die verschiedenen Derfallzeiten mehrerer Kapitalien auf einerlei Berfallzeit, ,. B.

Es ist Jemand ioo thlr. nach 2 Jahren und ioo thlr. nach 4 Jahren mit einerlei pC. Zinse zu bezahlen schuldig, wann können beide Kapi« laUen zugleich bezahlt werden, damit die Zinsen so viel betragen, als die Summe der Zinsen, wenn ,edes Kapital erst nach seiner Derfallzeit bezahlt worden wäre? ico thlr. n. 2 I. sind so viel als 200 thlr. n. 1 I. 110 — n. 4 — — 400 — — i — 200 600 beide Capitalien betragen so viel als 600 thlr. in i Jahre, also findet man nach dem vorigen die Verfallzeit für 200 thlr. --r — z I. Es erkauft jemand eine Parthie Waaren für ioöoo thlr., mit der Bedingung 2500 thlr. nach 3 Mon., goco thlr. n. 6 Mon., 2000 thlr. n. 8 Msn. u. den Rest nach 1 Jahre zu bezah­ len. Wenn aber nachher alle 10000 thlr. auf einmahl bezahlt werden, wann muß alsdann die Zahlung geschehen: 2500 thlr. a. 3 M. so viel als 7500 thlr. a. 1 M. 3000 — — 6 — — — 18000 — — i — 2000 — 1—8 — — — 16000 — — i — 2500 — —12 — — — 30000 — — i —

IOC00

7/1500

oder nach 7 Monathen. Einer kauft eine Parthie Waaren um 12000 thlr. und bedingt 3000 thlr. baar, 2500 thlr. n. 4 Mon., 1500 thlr. n. 6 Mon., 1000 thlr. n. 9 Mon., 2000 thlr. n. i I. und die übrigen 2000 thlr. nach if I. zu bezahlen, wann muß die Zah­ lung des Ganzen geschehen?

3ooo thlr. haar oder aus o Mo«.------- o 2500 — — auf4 Monathe roooo chlr. a. i M. 150c — — — 6 — — 9000 —* i — 1000 — — — 9 — — 9000 — i — 2000 — — —12 — — 24000 — i 2000 — — —18 — — 36000 — i _

K000

88000

I2) 7* Mon. Wenn die ganze Summe nicht ausdrücklich bestimmt und nur die abzutragenden Kapitalien in Theilen der Summe ausgedrückt find; so kann man auf ähnliche Art wie eben gezeigt worden, die verschiedenen Verfallzesten auf die mittlere Nerfallzeit der ganzen Summe reduziren; z. V. Es ist jemand eine Summe schuldig, wovon Z baar, | über 1 Mon., | über 6 Monath und der Nest über 10 Monat bezahlt werden soll; wann können alle diese Posten zusammen bezahlt wer­ t baar 24 den? | n. 4 Mon. — f 2 32 ; n. 6 Most.—H 3154 4n.ioM.------- ätl 3I30

116 24) 4< Mon. Exempel zur Uebung.

1) Es soll jemand bezahlen 400 Mk. nach 3 Monaten, 550 Mk. nach 6 Mon., und 600 Mk. nach 8 Mon., wenn diese Posten nun auf einmal bezahlt werden sollen, so fragt es ßch: wann eS geschehen müsse? Antw, nach 6 Monat. 2) Es soll jemand 1200 Mk. bezahlen, näm­ lich 200 Mk. über 2 Mon., 350 über 5 Monat, 450 Mk. über 7 Monat, und den Rest über 8 Monat, es fragt fich: wann diese Posten können zusammen bezahlt werden? Anlw, nach 5, Monat.

epi 3) Es sollen 800 Mk. in folgenden Terminen bezahlt werden r nämlich 140 Mk. über 3s Monat, 260 Mk. über 5 Monat, ißo Mk. über 7* Mon, und der Rest aber 9 Monat, wenn können diese Posten mit einem male bezahlt werden? Antw, nach 6| Monat. 4) Eine gewisse Summe Geldes soll also bt# zahlt werden: nämlich j nach 4 Monat, z nach 6 Monat, f nach 9 Monas, und der Rest nach i Jahr: Es fragt sich, wenn diese Summe auf ein, mal befahlt werden fallt?, zu welcher Zeit müßte es geschehen? Antw, nach 8 Monat. §♦ 203,

Nach eben diesen Gründen lassen sich auch folgende Aufgaben lösen: Einer ist 600 Mk. über 6 Monat, und 800 Mk^ über 9 Monat zu bezahlen schuldig. Er be# zahlt aber sogleich 200 Mk., und nach^8 Monat 600 Mk. Wre lange kann nun der Debitor den Rest noch behalten? Man wird leicht einsehen, daß hier die Sum, me der schon bezahlten Posten,‘ von der nach 6 Monat zu bezahlenden Summe abgezogen werden muß, und mit diesen Resten verfährt mqn, wie im vorigen §. Dirs Exempel würde also so ste­ hen; -ooMk.baar 600 Mk. nach 8 Mon.—4800 Mk. 800 Mk. 4860 Mk. 600 Mk. nachbMon.—3600 800 Mk. — y Mon.—7200

1406 800

fliest 600

10800 4800

Rest 6c00 6)--------Antw, nach lO'Mon.

Eben so sind auch die beyden folgenden und alle ähnlichen Exempel dieser Art zu berechnen: 1) Es soll jemand nach 9 Monat 700 Wk. bezahlen, bezahlt aber nach 4 Monat 450 Mk. Wie lange kann er also den fRest noch behalten? Antw. 18 Monat. 2) Es soll jemand nach 8 Monat 800 Mk. bezahlen, er bezahlt aber 200 Mk. nach 4 Mon., und 200 Mk nach 6 Mon., wie lange kann er den Rest noch behalten? Antw, n Monat.

204. Man kann diese Methode auch auf verschie­ dene Arten von Rechnungsfragen anwenden; so laßt sich z. B das zweyte Exempel des 160 §. ebenfalls nach der Regel des 199 §. berechnen. Man kann nämlich so anseyenr für 24 (£t. auf 15 M. | wird so viel 360 Ct. auf 1 M« — 2vCt. — 8 — 'bezahlt, als 1606t. — 1 — — 25 Ct. — 37 — I für 925 Ct. — ri -

Summe 1445 Ct., Nun war der Akkord so getroffen, daß der Kaufmann für 4 Ct auf 60 Mellen 81 thsr. be­ zahlen wollte, also hat »nan: wird so tuet für 4 Ct, auf60M- bezahlt,als 2406t. guf 1 Meile. I für Nun setzt man nach der Regel Detxi gu; 240 Ct. — 81 thir. — 1445 Ct. 480

5)-W

~17

'

289

^7_ 2023 _ 289 7 4913 96;8.5i&

Vierter Abschnitt.

Von Zins auf Zins und der zusansi» mengesePten ZnterusurienRechnung. §. 205. Der AnwachS eines sundirten Kapitals um feine jährliche Zinse, nimmt nach einer arithmemetischen Progression zu, deren Raine die Zinse ist, wie §. 195. gezeigt worden. Hiebei ward nur allein von dem Kapitale gesprochen. Man sieht aber wohl eia, daß die Progression von anderer Beschaffenheit seyn müsse, wenn die Zinsen zu­ gleich zum Kapitale angewandt und wieder Zinsen tragen sollen; dann muß begreiflich das fun« biete Kapital - weit schneller wachsen, als es durch eine arithmetische Progression ausgedrückt werden kann. Bei 5 pc. sind 1000 thlr. nach einem Jahre 1050, diese 50 neu hinzu gekommenen find nach einem Jahre, wenn das fundirte Kapital 2 Jah­ re gestanden hat --- 52, 5 thlr., also ist dann das ganze Kapital zu 1102,5 thlr angewachsen. Die 1000 thlr. Kapital wachsen mit ordentlichen Zin­ sen fort, abers die 50 thlr. Zinsen des ersten JahreS wachsen jährlich um ihre Zinse 2,5 thlr.; ausserdem kommen jährlich aufs neue 2,5 thlr. hinzu, die wieder nach 5 pC. fortwachsen, nebst den Zinsen von 2,5 thlr. die mit ihren Kapitalien wachsen; so waren also ;pop ti)Ir. nach: 1 I. -- 1050 2 — — 1100 + 2,5 3 — = ii5P + 2 X (2,5) + r,5 + 0,125 4 — — 1200 + 3 X (2,5) + 2 X (2,5) •4- 25 + 3 x (0,125) + 0,125 + 0,00625.

301

Man ficht also, daß, wenn hier die Größe des Kapitals Zach rem Ende eines Jahres durch die gewöhnlichen Rechnungen nach der Regel De« tri bestimmt werden soll, man dies nicht anders er­ fahren könne, als daß yran jedesmal durch einen neuen Ansatz untersuche, wie groß das am Ende des einen Jahres gefundene Kapital während des folgenden Jahres werden müsse, also:

100

thlr. n. i I. —105 thlr. —

io00

thlr. ?

1050

to0

thlr. n. i I. — 105 thlr. — 1050 thlr. ? Jö5_ 525**

105___ 1102,5 thlr.« 100 thlr. — i I. — 105 — 1102,5

20

21

21, ftIO25

22050

,

23552,5 1157/6

100 thlr. — r I, — 20

k>5

21

thlr. —1157,6 21 11576 2Zl52

24309.6 3O) 1215,48 also 100 thlr. am Ende des ersten JahreS — 1050, am Ende deS zweiten 1102,5; am Ende dedritten = 1157,6; am Ende des vierten — 1215,48. Wenn man die vorher mitgechettten Reihen ver«

3oa gleicht, so findet man dadurch für da- dritte Jähr um 0,025 und für das vierte um 0,02625 zu viel. Die Au-drütke sind also noch nicht ganz genau, die eben, mttgetheilte Rechnung aber zu weitläuftig. Geht m zu 2 gl. Summe 35 Maaß.

Demnach ist die völlige Antwort auf die vorge­ legte Frage folgende: Man nimmt (3 9 3 Maaß zu 18 gl. thut 54 gl. 15 5 Maaß zu 16 gl. — 80 gl. 60 20 Maaß zu 7 gl. — 140 gl. 40 13? Maaß zu 5 gl. — 66? gl. 5 N Maaß zu 2 gl. — 3$ gl

43 Maaß des verm. W. 344 gl. i Maaß des verm. W. thut 8 gl. Weil grade 8 Maaß des Weins zu i6Z gl ge> funden wurden, so war es nicht nöthig, diese Hahl eben so, wie die andre Zahl 35 Maaß des Weins zu 6 gl. nach der Vermischungsregel zu verthcilen: denn man wüste schon, daß 3 Maaß des Weins zu 18 gl. auf 5 Maaß des Weins zu 16 gl. erfordert

Z5wurden. Weil man aber feine völlige Freyheit hat, die drey schlechter» Arten, wie man will, zu per, Mischen, so könnte man auch annehmen ii Maaß zu7 gl. thun 77 gl. 3 Maaß — 5 gl. — 15 gl. 18 Maaß — 2 gl. — 36 gl. Z2Maaßd.verm W thuti28gl. iMaaßd.verm.W. — 4 gl. Nun giebt die Alligatwnsregel auf 16 des Weins zu 16J gl. i6z 4 kommen 8) 3£ des Weins zu 4 gl. 8; 4 Ferner die Vermischungsregel. Für den bessern Mmellvem 8M.zuibZgl.—3Mzu-i8gl. — 16M. zu I6;gl.? 8)j[ ' 8) 3 Antwort 6 Maaß zu 18 gl. 8 M. zui6igl.—5 M. zu 16gl — i6M zu 16; gl. ? 8)— 8)— Antw, io Naaß zu 16 gl. Summe io Maaß. Für den schlechtern Mtttrlwein 32M.jU4gl.—- nM.zu7gl.— 35M.z»4gl.? X ii 32) 385 Antwort 12 Maaß zu 7 gl32M.zu4gl. — 3M.z«5gl» —35M. jU4gl.? 3 32) _i°5_ Anrw. 3t=- Maaß tu 5 gl. m 32 M.

3SM.ru4Sl.—18 M. jU2 gl. — 35SR. ju4gl * ^46 9 9 i6)'_3i5 Antw. Maaß zu 2 gl. Summe ZZ Maaß. Mfo giebt sich auf die vorgelegte Frage auch folgende Antwort: Man nimmt

192 320 385 i°5 630

6 Maaß zu 18 gl. thun 10 Maaß zu 16 gl. — i2-;Maaß zu 7 gl.' — 3^ Maaß tu 5 gl. — 9^ Maaß zu 2 gl. —

108 gl. 160 gl. 84,4 gl. 16’Jgl. 39Z gl.

51M. des verm. W. thut 408 gl. i M- des verm. W. — 8 gl5- 233. Wofern Rechnungsfragen dieser Act nicht der» gleichen Nebenumsiande enthalten, weswegen un# ter allen möglichen Antworten, die an sich gefun­ den werden könnten, nur eine oder einige alle« diesen Nebenumstanden ein Genüge leisten, so kann der Rechner nicht wissen, waö für eine Antwort der Fragende eigentlich haben will. Es kann seyn, daß man zufällig die rechte Antwort trift: und In dieser Rücksicht mag wohl der Name Regel Coeci oder, Blindeechnung zuerst entstanden seyn, weil man bey Fragen dieser Art nur rathen muß, was der Fragende haben will. Indessen versteht man jetzt gewöhnlich durch Regel Coeci den In­ begriff derjenigen Maximen, nach welchen man bey Rechnungöfraaen dieser Art die Antwort suchen muß, wenn sie in ganzen Zahlen verlangt wird. Dieser Nebenumstand macht, daß unter den un­ zählig vielen Antworten, die an sich die Frage rich, tig auslösen, nur eine, oder einige wenige, die man alle übersehe» kann, übrig bleiben, unter denen als»

auch gewiß die Antwort seyn muß,' die der Fragen« de haben will. Man soll durch Zusammenschmelzung eines io löthigen, iLlöthigen und izlöthigeu Silbers zoMk. izlöchiges zuwege bringen: wie viele Mk. von je­ der drey zuerst genannten Arten werden erfordert? doch wird keine Antwort für richtig angenommen, als eine solche, welche die Frage in ganzen Zah­ len auflösei.

Nechnungsschlüsse. Man nehme an, daß x Mk des lolöthigen, 7 Mk. des ralöthigen und z Mk. des izlöthigen Sil­ bers erfordert werden; und erwäge, daß diese 3 Zahlen zusammen 30 Mk. auSmachen sollen, so läßt sich das kurz so ausdrücken: Ls soll x + 7 + * = 3° seyn. Noch mehr: w Mk. lolöthig Silber thun 10. x Loth sei» 7 Mk. i2löthig Silber — 12. 7 Loth fein z Mk. izlöthig Silber — 15. 2 Loth fein (®+7-bs) Mk des Mixti thun j tück zu 8 thlr. —

ioq

Stück?

ICO

Fac. 6| Stück. 5 St. zu8 thlr. —8 St.zu lothlr. — 6;Gt.?

’L^5

l 2Q X 20 Fac. 4 Stück zu io thlr.

5 St. zu 8 thlr. - r St. zu 5 thlr. - 6| St. ?

5' 3

4 20 __ 8_ 5)^~ 3)z. 2; St. zu 5 thlr.

das gäbe folgende Antwort: 4 Ocb'cn zu 10 thlr thun 40 thlr. Kühe zu 5 thlr. — 13} — 93* Schaafe zu L thlr — 4^4 — 100 Stück thun

100 rhlr.

Ob nun gleich diese Antwort richtig ist, und unzählig viele andre, eben so richtige Antworten gefunden werden können, so siehet man doch wohl, weil von lebendigem Viehe die Rede ist, das? keine Brüche von Kühen und Gchaafen kom« men müssen: kurz.- daß die Antwort in ganze« Zahlen verlangt werde. Man setze also, daß

x Schaafe j Kühe 2 Ochsen gekauft sind, so ist x 4- / 4- z = 100 Stück.

Ferner x Schaafe thun % x thlr. y Kühe —5 y thlr. z Ochsen — io 2 thlr. Alle 100' Stück' kosten (' x +57 + 10 r) thlr.

Weil das nun 100 thlr. seyn sollen.

so ift 1 x + 5 y + io z = loo. oder x + io j + ao « h 200. aber x 4- y 4z — Io°»

dir Sudtr. giebt 9 y + 19 z div. mit 9 .

= 100 — 9.

folglich^ -t-2§z — 11s ober/4-2 z-fr 5 z= 114-f.

Man subtn Z — Z. so ist j4-2z

unt>2z4'~------ - auf beyden Seiten 2 —. I

subtrahirt, giebt y

11 — (2 z 4------------ )♦

Mithin wird erfordert:

1) Daß 9 in z — 1 aufgehe, also kann » nicht kleiner als 10 seyn, und für z kann man nur die Zahlen 10, 19, 28, u. s. f. nehmen. Weil indessen jede Zahl in o aufgeht, so könnte Z —— I auch wohl 2=i seyn. Dann wäre—-— = 0,

und y = ii —22=9, also x = 100 — (y 4z) = 90. Es wird ferner erfordert: 2) daß (2z 4- - ------- -) kleiner als 11 sey , da­ mit sich dies-von ii abziehen lasse: also kann für z weder die Zahl 10, noch auch eine größere ge» nommen werden. Denn wäre z = 10, so hätte L—£ man schon 2 z = 20, und es muß 2 » + —

kleiner al^ 11 seyn: Also kann keine andere als folgende Auflösung in ganjen Zahlen gefunden werden:

Z6y 90 Schaafe das Stück 9 Kühe ju 5 thlr. i Ochse zu 10 thlr. Summe 100 Stück thun

f thlr. thun 45 thlr. — — 45 thlr. — — io thlr. — -- 100 thlr.

§. 235. Wenn Silber mit einer oder mehrer« andern Arten Silber legirt werde» soll, und de» allen diese» Sitderarten von besserm und schlechterm Gehalt fhtoec sich kein anderer Zusatz, als allein von Kupfer, oder doch nur einerley Art schlech­ ter» A»»ails, so sind di bisherigen Regeln alle, mal hinlänglich, die Rechnung zu führen, wenn ein gewisses Gewicht an Silber vom verlangten Gehalt aus mehrer» andern Arten. vom bessern und schlechter» Gehalt zuwege gebracht werden soll. In der Sprache der Münstmeister, auch an, drer Gold- und Silberarbeiter heißt dies, den Tiegel beschicken. Beym Golde läßt sich die Rechnung eben so führen, wenn man Gold von gegebenem Gehalt mit einer oder mehrer» andern Goldarten von besserm oder schlechtern Gehalt be­ schicken will: nur muß der Zusatz entweder allein Silber, oder allein Kupfer seyn. Weil man aber Gold wohl mit -Silber und Kupfer zugleich legirt, so werden die Rechnungöfragen verwickelter, wenn dergleichen Gold mit einem andern Golde beschickt werden soll, damit ein verlangter Gehalt an Gold, Silber und Kupfer zuwege gebracht wer­ de. Methoden zu finden, wie man in Fallen die­ ser Art die Rechnung führen müßte, um das ge­ suchte Resultat, nicht allein genau, sondern auch auf dem kürzesten und bequemsten-Wege zu fin­ den, würde schon ein Geschäft der höhern Re­ chenkunst seyn: indessen kann man sich in man­ chen Fällen auch einer Näherungsmethode bedie, nen, wovon die Auflösung der folgenden Rech­ nungsfrage eine Probe geben wird.

3» + » + r) — *s m 4-# II.) i (»» + «+ 7) = iU” + 4

Die fernern Kunstgriffe bestehen darinn, daß inan in jeder Gleichung einen Buchstaben von den barinn enthaltenen Zahlen und übrigen Buchsta­ ben so abzusondern sucht, daß er aus einer Seite des Gleichheitszeichens allein zu stehen komme. Weil es gleichviel ist, welchen Buchstaben man istez« zuerst wählt, so sey es hier zuerst der Buch­ tao m, und man mache mit der ersten Gleichung olgende Veränderungen. Was m enthält, und vor dem Gleichheits« -eichen steht, lasse man vor demselben, was aber hinter demselben steht, und m enthält, setze man vor dasselbe, jedoch mit dem Zeichen, (—) wenn es hinter dem Gleichheitszeichen (-J-) hatte. Was vor dem Gleichheitszeichen steht, und kein m enthält, setze man eben so mit dem entgegen gesetzten Zeichen hinter dasselbe, dies ist alsdann eben so viel, als wenn man auf beiden Seiten gleichviel subtrahirt. Nun war

— ?) x — ;

x — l y,

oder | m und m es

+ 5t

=

+

Daraus wird (i — 4i) m =

X — 5® y,

Ferner war

n ) ?£ »» + »3 * = I »» 4- ? x 4- ♦ 7. Daraus folgt (7& - t) >»=.(* — 4) » 4- iy,.

oder m m =

x 4. f y.

folglich m = ’ x 4-

Diese ^beiden Werthe von groß seyn, also ist auch

U Ä - 11 y = |

m müssen gleich

+JJ y.

Diese Gleichung multiplizkre man auf beiden Seiten mit 25, so hat man

25.29 25.26 Ä —= 15 ® + »8 r» Dies weiter mit i8.multiplieirt,

giebt

25. .29. x — 50. 56. 7 = 18.15 x + 18* 18. yoder 725, X — 2800. y — 270. x + 324. 7. Um nun vor dem Gleichheitszeichen allein x zu bekommen, setze man 2800. y mit dem Zeichen 4* hinter dasselbe, das ist sy viel, als wenn man das Produkt auf beiden Seitsn addirt, und wenn man Vie schon vorhin angeführte Regel hiemit verbindet, so erhält man:

(725 — 270) «= (2800 + 324} Tn oder 455 x= 3124. y. mithin x -- ’H? 7. oder 7 — Txa* x* Vorhin war « == ? a + II7; wird hier der gefundene Werth von x gebraucht, so ist 9372 4- 8.yr " " *— ........ y> 91.25 J

und die Rechnung giebt

m "" — xi-22010 y. 7 5 /• oder 7« «

also 7 =s Ferner war 7 ---

7. 7».

x, alsd auch

’M --- U« UNd x s= M* vd/r x

b

7».

Run erinnere man sich an die Bedeutung dek Buchstaben: es war nämlich m die Anzahl der Mk. des schlechten! mit Dukaten und Küpser zu Aa 2

beschickenden Goldes, ® die gesuchte Anzahl Mk. Dukatengold, y. 6k gesuchte Zahl Mk. des Kup­ fers. Bei der Frage des vor. §. war m -- 75, also geben die beiden Gleichungen, ® » m 7 — «1$ ”»/ eine sehr leichte Auflösung der vor« gelegten Aufgabe.' §- 2Z8 Man nehme nämlich « — 75 an, -ie Rechnung' 1562 75 7810 TO934 i r 7150X106,40326 Mk. 1101 Duk.

7-05-0 1101 6606

444° noi 4404 360.0 IIOI 3303 _ 297.0 I IOI

2202 7680 I IOI

so giebt

455 75 2275 3i85 341 25316 4972 Stf, 2202 Kupfer. 121.05 2202 T TOTO

10950 2202 8üo8 2.1.42.0 2202 19818 16.02.0 2202 15414 6060 2202

Probe. Die gefundenen 106,40326 Mk. Duk. halten Silber und fein Gold. 10640326 >2,21673 Mk. Silber. 48 y6 104 48 96 80 48 3-2-3 48 288

35-2 48 336 166 48 Don 106,4.0.3.2.6 Mk. Dukaten subtr. 2,21 6 7 3 Mk. Silber 104,18 6 Z 3 Mk. fein Gold. Also halten 106,40326 Mk. Duk. fein Gold 104,18653 Mk. Silber 2,21673 Mk.

Zn de« Tiegel setzt man folgende Massen fchtrch;..Gold Duk. Gold. — — 75 Mk. — ' 106,4032 Mk — — — 75 Mk-! 106,4032 Mk.

thut

Kupfer. fein Gold. — ■— 48,9583 Mk. 104,1865 — — — 15,4972 Mk. — —

Silber. 22,3958 Mk. 2,2167 — — ■ —

15,4972 Mk. .153,1448 Mk,

24,6125 Mk.

Kupfer 3,6459 Mk« — — 15,4972 Mk. 19,1431 Mk^

Nach der Goldgülden, regjrung setzt man r84 f.G. — 3 Silber—153,1448 f. G. 9 56 9 1378,3032 >24,6125 56 Silber, T12 vorhin —8 funden 56 224

an

Mk. wie ge-

34-3 56 336

14'3 56 112 382 56 i8? f. G. — 2$ Rupf. — 153,1448 f.Gold? -78)------------------ > 56 /— Fac. 19,1431 Mk. Kupfer, 8 lJ 1 ebenfalls wie vorhin. Die ganze Masse wird also stark: an feinem Golde 153,1448 Mk. an Silber 24,6125 — an Kupfer 19,1431 — Summe 196,9004 Mk. Die Proberechnung in diesem §. kann durch die Anwendung der Logarithmen sehr erleichtert wer, den. wenn ross 75> so ist 1. x — 1.1562 4- l. 75—1, nor 1.1562 =? 3,1936810 log 75 ----1,875^613 5,0687423

316 und log IIOI --- 3,041787z 2,0269550 also x 53106,40326 Mk. Duk. 1.7 = 1.455+1.75 — 1.2202. 1 455 = 2,6580114 log 75 ---1,8750613

4,5330727 leg 2202 --- 3,3428'73 1,1902554 und y ---15,49721 Mk. Kupfer.

Drobe.

Die gefundenen 106,40326 Mk. Duk. halten Silber und f. G. X 106,40326 = 2,216731. 1.106,40326 = 2,0269550 log 48 — 1,6812412 o,3457lZ8 also 2,216731 Mk. Silber u.s.f. Ferner nach der Goldgülden Legirung hat man: i84 f. G. — 3 Silb. —153,1448 f. G. ?

56

, 9 X 153,1448 = 2,1850899 1.9=0,9542425 3J393324 log 56 — 1,748'880 1,3911444

also »4,6125 Mk. S. w. v.

377 Um den Kupfergehalt zu bestimmen fetze man : I8y f. G. — 2i Ä. — 153,1448 f. G. log 153,1448 ---- 2,T850899 log 7 — 0,8450980 3,03.0.1.8-79 log 56. --- 1,748'880

1,2819999 also 19,143 Mk. Kupfer w. v.

378'

3 asatz. Bey der ersten Uebung im Rechnen mit ge­ nannten 1 Zahlen muß man folgende Namen und Eintheilungen einiger Münzen, Maaße und Gewichte kennen.

Einthcilung der^Münzen. iLouisd'or gilt zthlr. ithlr. halt zMk. oder 24 gl. oder 48 ßl. i Mk. ibßl. oder 8 gl. i gl- 2 ßl. -ßl. 6pf. Eintheilung der Gewichte.

hält — — — — —

280 Pf. 110 Pf. 16 Pf. 16 Unzen. 2 Loth, 4 Quentchen.

1 i i i i i

Schpf. Ct. i'pf. Pf. Unze Loth

i i i i

Eintheilung deS Längen-Maaße-. Ruthe halt 8 Ellen. Elle — 2 Fuß. Fuß — 12 Zoll, Zoll — 12 Linien.

L7Getreide-MaaK,

i Last halt 8 Drbt. i Drbt. i2 Schfl. i Schfl. 12 Metzen. Dey Waaren, die stück- oder ellenweksa verkauft werden, zählt man

auf — — — —

i i i i i

Zimmer 4 Decher. Decher 10 Stück. Scbock 3 Stiege. Stiege 20 Ellen. Elle 4 Quartier.

Maaße der flüssigen Sachen, I Last halt 2 i Faß , — 4 i Oxhoft— 6 i Ohm — 4 I Anker — 40

Faß. Oxhoft. Anker. Anker. Pott.

Beym Papier zählt man

auf i Ballen 10 Rieß. — i Rieß 20 Buch. — i Buch 24 Bogen,

Erklärungen der gebrauchten Zeichen» -d. kouisd'or. rhlr. Reichsthaler oder Thaler. Mk. oder mk. Mark. gl. Groschen. ßl. Schilling. pf. Pfennig. vls. Blämisch. ßvls. Schilling Blämisch. pf. vls. Pfenning Blämisch. Schpf. Schiffpfund. Ck. Centncr. Lpf. kiespfund. Pf. Pfund. Qu. Quentchen. ot. Zimmer. Drbt. Drömt Schfl. Scheffel. p. für. pC. pro Cent. pC. p. A. pro Cent pro Aiinöt B°. Banco. 1, und log. Logarithmen.