Berechnung ebener, rechteckiger Platten mittels trigonometrischer Reihen [Reprint 21019 ed.] 9783486739954, 9783486739947

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Berechnung ebener, rechteckiger Platten mittels

trigonometrischer Reihen Von

Karl Hager Professor an der Techn. Hochschule, München

Mit 20 in den T e x t gedruckten Abbildungen

MtLnchen und Berlin Druck und Verlag von R. Oldenbourg 1911

Vorwort. Vorliegende Arbeit ist aus dem Bestreben entstanden, für die statische Berechnung der im Eisenbetonbau vielfach angewendeten, rechteckigen Platten theoretisch richtige Grundlagen zu schaffen. Ehe nun für die praktische Rechnung der Eisenbetonplatten eine brauchbare Theorie aufgestellt werden konnte, mußte eine solche für homogene Baustoffe gegeben werden. Dabei hat sich gezeigt, daß selbst schon für die Betrachtung nur einiger Belastungs- und Auflagerungsfälle umfangreiche Untersuchungen nötig waren. Ich habe es daher für zweckmäßiger gehalten, das Rechnungsverfahren für rechteckige Platten homogener Stoffe allein zu behandeln und die Anwendung dieses Verfahrens im Eisenbetonbau einer besonderen, bald folgenden Arbeit vorzubehalten, zumal auch die Berechnung homogener Platten für Maschineningenieure und Mathematiker von Interesse sein dürfte, welche beide aber mit dem Sondergebiet des Eisenbetonbaus keine Fühlung suchen. Zur Berechnung wurden trigonometrische Reihen angewendet und ihre Zahlenkoeffizienten nach einem besonderen Verfahren berechnet, dessen erste Anregung das Studium der Arbeiten von Timoschenko gab. Das hier für die Plattenberechnung benutzte Verfahren mit trigonometrischen oder auch hyperbolischen Reihen im Zusammenhang mit der vorgeschlagenen Bestimmung der Koeffizienten kann aber auch als Grundlage zur Lösung einer großen Zahl von Aufgaben der technischen Mechanik benutzt werden, bei welchen die Integration der Differentialgleichung oder auch die Aufstellung einer brauchbaren Differentialgleichung Schwierigkeiten begegnet. Die hyperbolischen Reihen werden dort wohl zweckmäßiger sein, wo keine Symmetrie gegeben ist. Es konnte nun nicht die Absicht sein, sämtliche, praktisch vorkommenden Belastungs- und Lagerungsfälle der Platte erschöpfend zu behandeln, wenn die ganze Arbeit in mäßigen Grenzen gehalten werden wollte. Deshalb wurden aber die Betrachtungen so eingehend durchgeführt, daß der Leser auch imstande sein wird, für andere Fälle brauchbare, trigonometrische Reihen selbst aufzustellen oder auch für die behandelten Fälle besser konvergierende Reihen vorzuschlagen. München,

im Juli 1911.

Hager.

Inhaltsverzeichnis. Seite

1. Die Differentialgleichung der ebenen Platte

1

2. Das Rechnungsverfahren

4

3. Der Träger auf zwei Stützen mit gleichförmig verteilter Belastung. Zahlenbeispiel

. . .

6 10

4. Die an vier Seiten freigelagerte, rechteckige Platte mit gleichförmig verteilter Belastung Zahlenbeispiel

11 21

5. Der beiderseits eingespannte Träger mit gleichförmig verteilter Belastung. Zahlenbeispiel

21 26

.

6. Die an vier Seiten eingespannte, rechteckige Platte mit gleichförmig verteilter Belastung Zahlenbeispiel

29 39

1. Der Träger auf zwei Stützen mit einer Einzellast belastet Zahlenbeispiel

40 45

8. Die an den vier Seiten freigelagerte, rechteckige Platte mit einer Einzellast belastet Zahlenbeispiel

47 58

9. Die an drei Seiten freigelagerte, rechteckige Platte mit gleichförmig verteilter Belastung Zahlenbeispiel

60 70

10. Die an den vier Eckpunkten gelagerte, rechteckige Platte mit gleichförmig verteilter Belastung Zahlenbeispiel

72 84

11. Die Auflagerkräfte des Trägers auf zwei Stützen mit gleichförmiger Belastung

86

12. Die Auflagerkräfte der an den vier Seiten frei gelagerten, rechteckigen Platte mit gleichförmig verteilter Belastung Zahlenbeispiel

87 90

13. Die größten Oberflächenspannungen

93

Benutzte Literatur. v. B a c h , Widerstandsfähigkeit ebener Wandungen von Dampfkesseln und Dampfgefäßen, Zeitschr. d. V. d. Ing. 1906; Versuche über die Formänderung und die Widerstandsfähigkeit ebener Wandungen, Ebenda 1908; Elastizität und Festigkeit, Berlin. B r a u e r , Festigkeitslehre.

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F a b r y , Théorie des sériés à termes constants.

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F ö p p l , Vorlesungen über technische Mechanik, III. und V . B a n d . G 1 a i s h e r , On certain sériés for rr, «

2

Leipzig.

&c;

The quarterly journal of pure and applied mathematics.

1903.

G r a ß h o f , Theorie der Elastizität und Festigkeit. Berlin 1878. L e b e r t , Étude des mouvements vibratoires, Annales des ponts et chaussées.

1899.

R e i f f , Geschichte der unendlichen Reihen. Tübingen 1889. R i t z , Uber eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, Journal für reine und angewandte Mathematik. 1909. S e r r e t , Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. S i m i é , Beitrag zur Berechnung der rechteckigen Platte, Zeitschr. des österr. Ing. und Arch.-Ver. 1908. T i m o s c h e n k o , Einige Stabilitätsprobleme der Elastizitätstheorie, Zeitschrift für Mathematik und Physik. 1910; Sur la stabilité des systèmes élastiques. (Russisch.) Kiew 1910.

1. Die Differentialgleichung der ebenen Platte. In diesem Buche wird zwar für die Berechnung der rechteckigen Platte ein Verfahren vorgeschlagen, das nicht von der Differentialgleichung ausgeht, aber es werden doch Zwischenergebnisse aus der Entwickelung dieser Gleichung benötigt, so daß sie hier kurz behandelt werden soll. Ich folge hierbei der Entwicklung, wie sie in den „Vorlesungen über Technische Mechanik" von Föppl, V. Band, gegeben ist, und verweise auch auf die dort ausführlicher niedergelegten nötigen Voraussetzungen, welche der Entwickelung dieser Differentialgleichung zugrunde gelegt werden müssen. Ist die Stärke h der Platte gegenüber ihren anderen Abmessungen klein, so darf m a n annehmen, daß die Punkte ihrer Mittelebene nur senkrechte Verschiebungen z erfahren (vgl. Fig. 1), so daß die wagerechten Verschiebungen parallel zur x- und y-Achse Null sind. Dagegen wird ein P u n k t außerhalb der Mittelebene mit den Koordinaten x, y, e in der Richtung der x-Achse eine Verschiebung x' und in der der Achse y-Achse eine solche y' erfahren: 1

j—M

f" J h 3

—r-

-

i

'

1

h

r

*

-

Fig. 1.

x' = — v • tg

cos

2 n—

^

1 n • x-

dx

0

I

n+ l '

v

fn = 33 p\ — An-

n/n--con+l

(2#i-l)»-

2n— 1

«

31 = — %;

4

f-'1 _

n = l

t@n°

n+ l

An

~

Z N

W

„ - , < - " • 2 7 i = r Hierbei sollen Z und N nur Bezeichnungen für den Zähler und Nenner sein. Aus dieser Gleichung sollen nun die A„ so bestimmt werden, daß sie die Belastung p, die die Einbiegung y bewirkt, zu einem Minimum machen: n-j 1 ^

n

=

0

=

2 A

n

i

2 n - i y . N - ± ¡ ^ j - Z

n+l

n+l

Nun ist zu beachten, daß die Gleichungen, aus denen die A„ gewonnen werden, homogene sind, denn die Größen N und Z enthalten ausschließlich die Werte An . Es würden also nicht nur An die Gleichung 7 befriedigen sondern auch jedes Vielfache X An ; daher ist A

2

t

Pli

t l l i l 1 (2/1— 1)5

•

9

—

Setzt man diesen Wert An in Gleichung 6, so kann man X berechnen: -(2»

2 p l

4 p l*

p

4 ( ~ 1 ) n + 1 i (2n— 1)»

l)

VV ' ~ In — 1 X= 2 4

_

.f

P

(-1)

n+1

_

(~1)

n4l

o,

7

i8)

Die abkürzenden Bezeichnungen B' und A„ können aus dieser Gleichung ersehen werden. Die Gleichung der elastischen Linie kann sonach durch die trigonometrische Reihe ausgedrückt werden: y = B'

n = co_

Z An - cos

2n — 1

n= ce(—1)

»

n= 1

n+ 1

71 • x = B' • - — 7 0 n= l

1

\

i n

— t l

2n — 1

nä • cos

1

-.

n • x.

Nun ist noch zu prüfen, ob die Ergebnisse, die sich von dieser Darstellung der elastischen Linie ableiten lassen, mit den Ergebnissen der Statik übereinstimmen. Das Biegungsmoment in der Trägermitte ist

X=u (Py

für 1 = 0 ist

dx2

~

(JL\5 w

i-Q-TiK

\dx>J

~

Die Reihe hat den Wert

n = CO

/ 2B

1 \2 „j,

V 35 t - J L Ü

n

/ n" 1

.t 3 V1

(2n—l)6

27 ' 125

(2 „ _ 1)2.

343

somit ist ••[3]

Ell

- 8

Mithin ergibt die trigonometrische Reihe dasselbe Mittelmoment, wie es von der Statik her bekannt ist, so daß also die trigonometrische Reihe zur Berechnung dieses Mittelmomentes richtig gewählt und die Koeffizienten An richtig bestimmt worden sind. Die Belastung auf die Längeneinheit p kann durch die vierte Ableitung der elastischen Linie ausgedrückt werden. p =

4>9R d 7 = 1

, 6 , ,

dSy s i = t

,

"= ® , : 1

i l , ,

[In — 1 \* 2/i — 1 r r ~ " j c o * — r ~ p

x-

-

10

-

Für den Punkt x = 0 ist , - . . » [ 3 1

- . . « ^ . f - s p ! , ) ' x=0

^ 4 - p l* In \4 n = os t-G-n*\lJ 4 pl.

1 . 1 3 ' 5

n+ 1

( _ 1L )

„ - ! (2/1 — l ) 8 1 7

Da die Reihe den Wert -j- hat, ist die Gleichung richtig und die vierte Ableitung der trigonometrischen Reihe hat das nach der Statik zu erwartende Ergebnis für den Punkt x = 0 tatsächlich geliefert. Damit ist der Beweis erbracht, daß die gewählte trigonometrische Reihe und ihre vier ersten Ableitungen an dieser Stelle des Trägers die algebraische Gleichung der elastischen Linie und ihre vier ersten Ableitungen ersetzen können und daß die Beiwerte A„ der Reihenglieder nach dem eingeschlagenen Verfahren richtig bestimmt worden sind. In den Punkten x =

+_ ^ wird die Reihe Null und damit p = 0, d. h. für

diesen Punkt würde die vierte Ableitung der Reihe nicht an die Stelle der vierten Ableitung der elastischen Linie gesetzt werden können, da ja auch für die vierte Ableitung der Reihe keine Bedingungen gestellt worden sind. Es wäre nun zu prüfen, ob die Momentenlinie nach der trigonometrischen Reihe mit der Parabel genügend übereinstimmt. Zahlenbeispiel. Ein Träger von der Stützweite l = 5,00 m mit einer gleichmäßig verteilten Belastung von p = 3096 kg/m belastet hat folgende Biegungsmomente: Abstand vom Auflager

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Biegungsmomente mkg nach der Parabel

0 3482 6192 8122 9288 9675

nach der trigon. Reihe vier Gliedern mit einem, drei, zwei,

— 40 3 060 5 850 8 070 9 510 10 000

— 44 3358 6203 8186 9294 9630

— 44 3438 6203 8106 9294 9710

0 3450 6170 8140 9280 9680

Unterschied

0,9% 0,4% -0,2% 0,1% -o,i%

Die Reihe zeigt schon bei dem ersten Glied eine sehr gute Übereinstimmung mit der Momentenparabel. Bei Berücksichtigung mehrerer Glieder (zwei oder vier) kann man für alle Punkte des Trägers mit Hilfe der Reihe hinreichend genaue Biegungsmomente erhalten, wenn auch die Genauigkeit nach der Mitte des Trägers zu sich bessert (vgl. Fig. 5). Es kann somit die Parabel durch die trigonometrische Reihe in allen Punkten des Trägers ersetzt werden. In anderen Belastungsfällen wird sich zeigen, daß die Reihen zuweilen nur für gewisse Bereiche bei Berücksichtigung einer beschränkten Gliederzahl mit

-

0

0.5

1.0

1.5

2.0

11

2.5

-

3.0

3,5

4.0

4,5

5.0 m.

Fig. 5.

genügender Genauikeit Anwendung finden können. Damit ist aber nicht ausgeschlossen, daß man auch für die anderen Belastungsfälle noch besser entsprechende trigonometrische Reihen bilden kann.

4. Die an vier Seiten frei gelagerte, rechteckige Platte mit gleichförmig verteilter Belastung. Die in der Fig. 6 dargestellte ebene Platte von der Dicke h ruhe auf den Schneiden A B, BC, CD und DA frei auf. Die Überstände der Platte über die Auflagerschneiden hinaus seien so klein, daß sie vernachlässigt werden können. Die Platte selbst sei gewichtslos gedacht aber mit einer gleichmäßig verteilten Last von n x kg/qm belastet. In die Platte soll ein Koordinatensystem so gelegt werden, daß die x—y-Ebene der Auflagerebene parallel in

Abstand über der Auflagerebene liegt und der

Koordinatenanfang in der Plattenmitte sich befindet. Durch die Belastung entstehen in dem Punkte (x, y, v) der Platte Normalspannungen ff* und - 1' " \bx'~ mc rri- — 1

frzz_ 1 db22Zz\\ * ' m ' bx2j

(1)

Hierbei bedeutet wieder t den Elastizitätsmodul, m die Poissonsche Zahl und z die vertikale Koordinate eines Punktes (x, y) der elastischen Fläche der Platte. Es wären also die Spannungen in jedem Plattenpunkte bekannt, wenn gegeben wäre.

* = /(«,

y)

Da diese Funktion aber unbekannt ist, so ersetzen wir sie durch eine trigonometrische Reihe. Die Funktion und also auch die trigonometrische Reihe müssen aber folgenden Bedingungen genügen. ' -

-

30

-

Wegen der unnachgiebigen Auflager muß sein L

z = o für x = +. 2 und jeden Wert von y sowie für y = ±_ lj und jeden Wert von x. Infolge der Symmetrie müssen dz ^

= o für x = o und jeden Wert von y und

^ = o für y = o und jeden Wert von x sein. Durch die vollkommene Einspannung werden dz Ii = o für x = ± 2 jeden Wert von y, dz l ^ = o für y = +_ 2 und jeden Wert von x. Ferner müssen

und

^ für x — +_ ^ bzw. y = +_ ^ negativ werden, h

l

wenn sie für x = 0, y — 0 positiv sind, und müssen für x = +. 2 bzw. y = + ^ je zweimal dieselben Werte haben. Diese Bedingungen werden erfüllt von der trigonometrischen Reihe 4 m'n k *

2 2

• cos

m!

l

1

l n x

1

•cos

2n'

1

1 [1

,_

1 ) 2

1

3 (2m')2J |_3 (2n') 2 0 0 8

(2m' — 1)2 —1 _2»y-

( 2 f i

1

4

1 (2 m' — l)'2 n'n

l

I I I -g-.i2^5|,

y

'

(2/i' —1)2

. . . .

(38)

die in ihrem Bau der des eingespannten geraden Trägers entspricht. Zi l Für x = +_ 2 und für y = +_ ^ werden die Klammerausdrücke Null, so daß auch entsprechend der starren Auflagerung an den Einspannungsgeraden die Einbiegung z = 0 wird. Dagegen gibt die Reihe für x = o, y = o einen von Null verschiedenen Wert. 2 2 "»' m • »00» ' = » . dz - Il -kk\) (/ J M 4 m'n v -" A Am'n' , , (/ _I I— 1 oI • .o T^sin—; ¿71 = 1 — 1 I_ \ .I •" V) x - \ 2 n j [ 2 n )

1

n

. Z

l

n

-

. 2m'-l —5—

ßm

+ 1

2ri 2

(2n' — l ) ®

08

—

A

1

m

n 271 x

n

[

3

2

1

l

k

\ /I 1 in'ny 0 0 9 ) • [3 • ( 2 7 ^ ' ~T'"

1 y

ot'

X

^ 2

(2n'—l)

1

\

3 ' ( 2 » ' ) « j 'i

dz

Wie oben gefordert wurde, wird für x = 0, x = ± j sowie y = ± 2 "dje 2 2 Td Fz : = /fc)i \ • m- Z t «' „ ^= !yi

1

Hierbei ist Cn- —

31

unc'

(I) ei110 Abkürzung. Der Aus-

l, l, ^ und — j bei gleichem y denselben Wert an

den doppelten negativen Wert, den er bei x = 0 annimmt. m.Tl

2 m' — 1

- i

n

m n

\ 3

1_ (2m' —1)2

i n x

1

(2m')2

h

1 1 W 3 (2m')2/ \ .

2ra'— 1

^ _1_ 3 2b'

(2m'-if .

4rtn Z

sm

y

\

+ -2^rr-8m—i—2nyy l dz +. ^ i s t ^ = 0.

Für y = 0 und y = ö2z _ ( Ä Y dy« — V2»;

cos

m'

=!

»' .ri

A

n

. , (i l3

/J _ V \2m'J

m n

cos

1 (2m' - 1)"

h

2TO' — 1 _ \/ 1 in'ny , 2N' — 1 \ ^ 271® — Cm' J I — 3 c o s — + cos j 27r y I

(

J, \2 m' = co n' = 00 & • ^ ^c//;

In diesem Ausdruck bezeichnet Cm• =

1

(40) 1 1 + 3 " (2m')'1

^^

eine

Abkürzung. Nunmehr kann nach Gleichung 9) die elastische Energie 91 der Platte berechnet werden

« - i £ s ß [CST+ (ffi(•- i) •+1 («•- i) • £ • H l * (9> 00

Die Integration ist nun gliedweise durchzuführen. U «I 1 2

2

2

00

2

00

Die quadratischen Glieder dieser Summe sollen zuerst behandelt werden, wobei folgende beiden Integrale zu bilden sind. 2

n j(I

¿Fcos'2inry+(2^=1)4co«2 — r _ L . . I +

1

1 2 n y

+

. 1 + c - . J U « .

-

C2 ») dy

Ii

f (fl " cos2 4T: " * + cos2

1 2 71 x) dx = 4

+ T = ^^

—

32

—

In diesen beiden Integralen sind die Glieder, welche Integrale von der Form •i i f 4 rin 2ri — 1 f 4 rin I cos —j— y • cos j in y dy und l cos — — y • ay u

o

enthalten, weggelassen worden, weil diese Integrale Null sind. Die quadratischen Glieder bilden somit die Summe m'=cc n'=cc m

Zi

n=i

10/ti/l Ä

*

m'n

1

1

' ' 36 T 1 9 ' (2rif* +

\

( 2 r i — 1)* +

2 C2n

'j

•

•

(42)

Die Doppelglieder der Quadratsumme 41) haben die unbekannten Baiwerte Am- „• • An- +,,„< + ». Solange r und s beide verschieden von Null sind, werden die Doppelglieder Null, da ihre Teilglieder Integrale von der Form

l cos 2 —j— xdx oder C m' n x hn x , j cos — i — cos —^— a : o enthalten, wobei tri und k ganze Zahlen bedeuten. aber Null.

Diese Integralwerte sind

Diejenigen Doppelglieder dagegen, in welchen r=o schieden von Null.

und s #= o ist, sind ver-

Läßt man hierbei wieder diejenigen Teile weg, welche infolge der mehrfach erwähnten Integrale Null werden, so sind noch folgende Integrale zu bilden. j, . f/1 ,4m', Am-n- Am\n- \ » \ (9 c o a ~ X

,2m'— 1 „ 1

+

\

j

=

m n'

'

j4"l'.n'+'

10 h 36 •

j"^-n' ' Cn + a " ty — ^n' ' ^n t « ' 2 Die Doppelglieder der Quadratsumme bilden somit die Summe m — cc n'=co -

m'=l

« = 00 10 l Ii Am' n' • Am',n' -f s • 70 • Cn' • Cn' -(- «•

n'=l » =—n' f l

tA

?L 1 2

2

r(7^*\2 / w - l J J M •dx • 00

M4

'

) +

loiii 72 •

m'=co n'=oo

2

m'=l

2

„-=1

A mn

1 1 L/L 1 ' ' 2 \ 9 - (2n')< + ( 2 n ' - 1)«

«=co

2

n'=X » = — n'4-1

"1

Am.n..Am.tn.+ a C n . C n .

+

J

J

.

(43)

-

33 —

Durch entsprechende Vertauschung lv m', x, C„ und s mit l, n', y, erhält man hieraus auch ii L

und r

2 2

r ( 7 * ^ •

J

J

M

oo

dV y

m4- - -

-

( \ 2 n )

~

1

72

L m " i

)

I»'=I n ' = i

+

v

Von dem Integral

r

A

„

.i

n

2

_ j _ + __ L.

t i . \9 (2 m')< +

( 2 m ' - l ) *

— x

1

J Sl r = — ^m ' t 1 A n'=

n

m

-

m

n

. .

Am-

.

r


n ' = o o

m' = n' = » = oo \ /m'=3on'=oo — — — j4m'n" ' • Cn' Cn' — s) I — — m' = n' = 1, s = — n' +1 / \m' = 1 n' = l m' = n' = r = oo \"| — — — vlm'n' ' -^m' | r n' • Cm' • Cm' -fr) I m ' = n ' = l r = m'

:

•

Am'

1

ii- == und en, kann die Tatsache benützt werden, daß an der Lastangriffsstelle das größte Biegungsmoment ist und seine Komponenten parallel zur x - und y -Achse am größten sind. Es müssen d2 z d2 z d3 z also an der Lastangriffsstelle ^ ^ und ein Maximum und deshalb ^ s o d3z wie r—^3 Null werden. dw y m' = co n' = oo

/«

/ ._

,

An, n

....

(2m'— 1) 008

n-=i~ ' ' w ) \ ,, 2m'n \ / . 2 « ' — 1 , , , -(- dm- (2 m'Y cos p xj • I sin j ny-\-enl'i\3i.

m =03 n-= oo

• | ( 2 « ' — 1>:! cos

2 , 1

j-

2m' — 1

77x h . 2n' \ sin — n y l ,

, ,

.

2m'

\

ny-\- en- • (2«') 3 cos

Diese Ausdrücke werden für x — cl und y = c Null, wenn (2m — IV' cos

, _ d m - H a g e r , Berechnune usw.

2 m' — 1

n ct

am (Im )•• cos

2 m' ji . . q = 0, h

2m' - 1 i • Cx ,o . 4 vi (i (2 m—-1) J 2 m' ~ ' (2 m'f . COS —•— n • Ci h

COS

• • • • l'U)

(2 «' — 1):! cos

50

-

2 jj* | 2 n* 7T ^ nc-\-e n - (2n') s cos — ^ — c = 0, 2n' — 1 * 2n' COS — J — n • c

(2n' - 1 ) » (2«')'

C0S en

"~

'

{/

Aus den beiden Gleichungen 70) und 71) können somit die beiden Größen dn• und en. berechnet werden. Die elastische Energie (innere Arbeit) 91 der Platte ist nach Gleichung 9)

«••-m[

f .

\ sin J

2m'- , Ii

1

(b-a)'

% der äußeren

x n , , — i Amn'

Isin

P

^

Kräfte

ist

/• 2 m' — 1 . 2 m' x \ I Sin ^ xn-j-Om-Sin — j 7t J

. . 2 n'n \ 71 y -j-en- • sin —^—y) ay a x,

,

/

2 m'

xn • d x = — 77,—-, t t — cos (2 m ' — l)/i \

— 1

k

Die Gleichung 74) nimmt somit folgende Form

(

.'

2 m ' - 1

\

1/ • a, • 7

Ii

an

77, II 771 DZ Tl' OZ

-

— 0,000525; 0,000457; — 0,000316; 0,000173; 0,000166.

t-nfi-k-n*• 24 2000000-24 • (m2 — 1) • 2 = W 7 * = -0,01. 97,4- = -

= 49300000 [0,664 (J + + 0,00687

+ 0,01805 ( j + j g ) + 0,01805

+

+ 0,002184 (J +

+ 0,00204 ( | +

+ 0,00204 ( f +

+

ß ) + 0,002184 ( f

+ 0,000457

^

+

+ 0,000831 ( f +

+ 0,000525 ( i + | | + 0,000525 ( f +

f^j

+

+ 0,000316 ( f + § ) + 0,000173 ( f + f ? )

+ 0,000316 ( f +

+ 0,000166

ÄQiMinnm 4 9 3 0 0 000.

i«

+

Nach 17 Gliedern erhält man „ x o = 17 438 200 kg/qm = 1743,8 kg/cm2. Diu Reihe steigt aber noch weiter, da erst später die negativen Glieder einsetzen. Das Anwachsen der Reihe kann man an folgender Übersicht erkennen = 1. 1021, 2. 1093, 3. 1298, 4. 1393, 5. 1411, 6. 1473, 7. 1512, 8. 1580, 9. 1612, 10. 1620, 11. 1652, 12. 1664, 13. 1693, 14. 1705, 16. 1739, 17. 1743 kg/cm2. Die Reihe konvergiert, wie bereits früher schon bemerkt, schlecht, weil die negativen Glieder erst bei m' oder n = 11 beginnen, dann aber in einer großen Serie auftreten, wie nachstehende Übersicht zeigt. m' =

1

,< =

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

99°' 297°' 495°' 693°' 891°' 1089°' 1287°' 1485°' 1683°' 1881°' 2079°' 2275°' (135) (333) (171)

yuadrantl Vorzeich. des cos

IV i '

II

IV i "

(9)

(207)

(45)

(243)

I i

III

I i T

III

II r

T

Daher sind die Vorzeichen der Koeffizienten Amn

(81)

(279)

(115)

I IV _ i _ i 1 1

II

zu bilden, wie folgt:

Die Vorzeichen der Reihenglieder im Ausdruck axo sind deshalb Glied

1; 10

1; 11

( - ) ( - l ) H = (+);

l) 12

Glied:

( )(

= ( );

4; 11 (+)

(—i) l ä

= (—);

2; 11 (+)(-l)13=(_);

5; 11 (—)

3; 11

(—1)16=(-);

(+)(-i)M=(-);

1; 12 (+)(-i)13 = (-).

Es wechseln also bei dieser Reihe große Serien positiver Glieder mit ebenso großen Serien negativer Glieder ab.

-

60

—

9. Die an drei Seiten freigelagerte, rechteckige Platte mit gleichförmig verteilter Belastung. Es sei die rechteckige Platte ABCD von der Stärke h, der Länge und der Breite l an den drei Seiten AB, AD, BC frei gelagert und mit der gleichförmig verteilten Last n x auf die Flächeneinheit belastet. Zur Berechnung der Platte auf Biegung soll ein Koordinatensystem so in die Platte gelegt werden, daß die iy-Ebene die Mittelebene der Platte bildet, wie in der Fig. 15 dargestellt ist.

-*X yimtWHiwwwwH,iwrw>w/WHf>t>wW'V»w////w>.

D

i B Fig. 15.

Durch die Belastung der Platte geht ihre Mittelebene in die elastische Fläche über. Wäre die Gleichung der elastischen Fläche bekannt, so könnten mit Hilfe ihrer zweiten Ableitungen nach den Gleichungen 1) die Spannungen berechnet werden. An die Stelle der unbekannten Funktion der elastischen Fläche z = f (xy), soll nun wieder eine unendliche trigonometrische Reihe gesetzt werden, die jedoch eine Reihe von Bedingungen erfüllen muß. Wir setzen 771 ~ CC 7l' CO Z= 2' Ar m' ^ 1 n' — 1

2 /«' + 1 2m' — 1 sinj n x-\- K • sin — X J

c

u

s

2n' — 1 ny1

(78)

Wegen der starren Auflagerung der Platte muß sein z = o für x = o und für alle Werte von y sowie für y =

und jeden Wert von x.

x = ¿j z > o sein mit Ausnahme in den Punkten x =

Ferner muß für

und y =

+_ ^.

Diese Bedingungen werden von der Reihe 78) erfüllt. dz

" " = ocn ==: Ä n.f1

m n

/2m'—1 \ 2Tr"'C0S~2h

2m'—1

2n' — 1 • cos . n y.

,

2m' 4 - 1 -2irc

o a

2m' + l \ ~ ^ 2' h "rl

—

61

-

Wegen der geraden Auflagerlinien AC und BD ist für y = Wert von x

b z N o x

b

+_ ^

und jeden

z

Für x — o muß ^— "> o sein,

= o.

b x

bz Auch diese Randbedingungen werden von dem Ausdruck ^— erfüllt.

* ! = ..• = ,-

2 bPz b

m

.

..

' = =

L(—— *)9in -ÜT *x

= =

[ / 2 m ' —

-f 1 V . 2m'+ 1 2/, *J -3in 2fr

1

1

( 2 m '

+

\2 .

2m' — 1

2/i' — 1 j

71XJC0S

(79)

• •

Diese Ableitung ist den Biegungsmomenten proportional, die in den zur x;-Ebene parallelen Ebenen wirken. Sie muß deshalb auch an denjenigen Stellen Null werden, an welchen diese Biegungsmomente Null werden. b - z

l

= 0 für x = o und jeden Wert von y sowie für y = +. ^ und alle Werte

b2z von x. Diese Bedingungen werden von der Reihe für jj—^ erfüllt.

Aber auch an

dem freien Rande CD muß diese Ableitung für alle Werte von y Null werden. b2z Diese Bedingung ist erfüllt, wenn K so gewählt wird, daß bildet Null wird. 2m' — 1

^ ,

, ™ • i , „ /2m'+1

K

b Z

•c—= b y

_

(2

m'

—

-

(2

m'

+

, ">

„

l p

\

^

— l l

h

71

X

, (2m' — l ) 2 . 2 m ' + l \2n' — 1 . 2n'— + (2m' + 1)2 s m ~ 2 7 T ~ ' 7 f" " • s,n

1 b

Wegen der Auflagergeraden A B ist für x = o und jeden Wert von y Infolge der Symmetrie zur x-Achse ist auch

dz

V

b

by2

erfüllt.

= C 0 n ^. 00 . T . 2m' — 1 , /2m' — 1 \ 2 . 2 m ' + l 2 2 — l m „' s i n — ^ /yj+ .~r) a m — s - r — 2 1 l L 1 \2m + 1 / 2 fr m :' = 1 n — 1

• \ — r — ) Da

z

m

I 2 n '

b2z

den

V

cos

z

^— — 0.

= 0 für y = 0 und alle Werte v o m .

Diese Bedingungen werden von der unendlichen Reihe für ^ b2z

ge-

1)2

m' = oon' = eo I 2m' — — —Am'n' Sin —

m- = 1 n• = 1

V-',

für x—^

.

1 J (81)

71 y

Biegungsmomenten, welche in den zur yz-Ebene parallelen

Ebenen wirken,

proportional ist, muß dieser Ausdruck in den drei Auflagerb2z l geraden Null werden. = o für x — o und alle Werte y sowie für y = +. ^ und alle Werte von x. Dagegen muß an dem freien Rande CD

b2z y

> 0 sein.

-

62

-

Auch diese Bedingungen werden von der vorgeschlagenen Reihe erfüllt. Außer den bisher betrachteten Bedingungen muß aber auch die Vertikalkraft am freien Rande CD der Platte in allen Punkten Null sein. Betrachtet man ein parallelepipedisches Plattenelement, dessen Kanten dx, dy und h sind, so wirkt an der Fläche h • dy dieses Elementes eine Vertikalkraft d Va, welche von der Schubspannung T„ herrührt. Nach Gleichung 2) ist AV d V

M

'-

T

KI

Ö3Z

* * ~ — m 2 — i • 12

bxby-

Am freien Rande ist x = lx und dVxz = 2

dVilt=0

w' — co n' = co

»

~ m' = 1 n ~ 1 , 12m' —IY

+ Vw+t) • ö :i z

\3

/ 2 m' -{- 1

m'=con' = a>

/2m' — l \ 2 / 2 m ' + 1 + t ) ( 27,

7

1

71

\

2m'+ 1 )

c

o

s

7

1

x

2m' — 1 2n'—

71 X

1

*) 008 — r ~ 7 1 y>

f2m' — 1 71 27j '

\

+ 1W

2m'-f-l

1cos

COS

2m'-l 71 27j

l / 2 / i ' — 1 \2 \[—i—")co

s

x

2»' — 1 — i — 7 1 y-

Diese beiden Ableitungen werden für x = Null, so daß auch die zuletzt gestellte Bedingung dVi,z = 0 von der gewählten unendlichen trigonometrischen erfüllt wird. Zur Berechnung der Beiwerte An-n. kann das gleiche Verfahren wie in den früheren Abschnitten angewendet werden. Es ist also zunächst die elastische Energie 21 der in drei Seiten gelagerten Platte zu bilden. A+fc 1,2 2 91

: 2

lf 00

!+* l,IT2

irf3t h

=

2

j-~(ff'2-hffu2)dx-dydc.

i i 0 0 h

2

Mit Hilfe der Gleichung 9)

- -ib

1

+

+

m 2 ) f f [/ d2 z \ 2 . /ö 2 z\ 2 , 2

d2z

d2z~| .

J J [M w) - • > * •

i, 2 r i*/f>2z\2

I| 2 t' C/m-= n' = co

0 0

0 0

r/2m' — 1

\2 .

, m

2m'—1

1

, /2m' — l \ 2 / 2 m ' + l + \2* + I ) ( 2h

\ 2 . 2m' + i 1 2n' — 1 \2, , ) • " » — « * J - o o i — j — « f j dydx.

71

y (1

•

,ao.

63 — In den quadratischen Gliedern dieses Polynoms kommen folgende Integrale v o r :

C , 2 n ' - l Vcos-

,

/

l ,ydy=-£,

o h \* f . , 2 m ' — 1

12m' — 1

J o

\ - 2 k - ' )

T 1 . 2m'— • [ - 4 *sin

1

^+

2h

S

,

12m' — 1 |

71 x d x =

71 j

x = l, , 2m' — 1 1 2ij 7 1 1 J * T2 m ' ^ 1 ) " H

=

12m' — 1 l— 2 7 , —

\« ij * 2'

71 )

1 = 0

2m' — 1 \ « /2m- + 1 2m' + l ] l 2Zj

y _f J o

gin2

71 j

2m' + 1 „ , , 2h

=

/2m' - l y \2m' + i)

/2m' + 1 \ 2Z,

Die Doppelglieder des Polynoms enthalten Integrale von der

y

h

71 /

2

Form

i_ 2

f cos

» - U y . /

2

#j

0

cos 2 « L + 2 £ - _ l nydy £

= 0

und i. f . 2m' — 1 . 2m' + l sin — ^ TT x * sin

2r—1

!"xax

= 0,

o so daß sie sämtlich Null sind und das Quadrat der Summe nur aus den Quadraten der einzelnen Glieder besteht. i. a C C Ib2?\2

m' = CO n' = Co

oo [¡2m'

r . 2m' — 1 '[sm 2ix

71 x +

— l

\* lh

, ¡2m' — IV1/2m'

I, 2

i, 2

0 0

0 0

12m' — 1 \2 . 2 m ' + 1 \2m' 1 j s i n ~ 2 i r

Für die quadratischen zu lösen: 2n' — 1 l

n

+ 1

\* lli~\

l / 2 n ' — 1 \2 2/i'—1 — i — 7 1 j coa—j—ny)

Glieder dieses Ausdruckes sind folgende

V'f , '• I 22n'— V'f „ 2n' 2 « '— - ll n ' - i1 Y\Wl J )cos — i — " y d y = \ t — " j - ^ ; o

71

(8:i)

dxdv-

Integrale

—

m

64

-

t • ., 2m' — 1 i, ) 2h—7ix'dx==2; o i. . , 2m'+ 1 Im' - l\* h 1 sm2—s-r—nxdx = ' 2/, \ » ' + i/ ' 2' j

r

Die Doppelglieder des Quadrates enthalten die Integrale f 2n' — 1 2n'4-2s— l cos ^ ny • cos L-j

C • 2m' — 1 7 1 1 l sin 2] ' o

.

sm

2m' +

1

2r-l

= 0,

nxdx = 0;

wobei s und r ganze Zahlen sind, welche aber nicht beide zugleich Null sein können. Die Doppelglieder werden also, wie oben, Null, so daß das Quadrat der Summe nur aus der Summe der quadratischen Glieder besteht. ( Ii 2

PP/-'Z\2J

,

m'Z

nx Aus dieser Gleichung kann man cos ^ y und somit auch x berechnen. Für eine quadratische Platte ist l =

71X 1"|/" i £r =f 2I|// -T

und

+ - ^ T

C 0l 9 2

(tJ6)

Die Spannung (2i»»' — l ) ( 2 / l ' -f- 2s— 1)/' Nach Einführung der Abkürzungen kann die elastische Energie kürzer geschrieben werden

1 4 u02h3 I m*j II, 21 = 24m' = n' = » =^co -f" — — — -Am'n'" ^m' n m' = ln' = l » = — n' + l m' = n' = r = co — -Am' n' • m ' = l n ' = lr = —m' + l m' = n' = 8 = c: "t- —' m' = ln' = l i u'

m' = 00 ti' = co — A2m'n' • Am' n' m' = 1 n' = 1 m' = oo n' = 00 « • bm'n' s "I- — — -42m'n' • C m'n', m' = l n ' = l 2 l m = co n' = co r. n' n' r ~f~m ( — — .4m' n' * C m' n' \m'= 1 n'= 1 Im' n' • 4 m ' . n ' f « ' fm'n's . 1

.

.

.

(111)

Für die weitere Behandlung der- Platte ist nun die Deformationsarbeit 2 der äußeren Kräfte der Platte zu berechnen. Da die Auflager starr sein sollen, beschränkt sich diese Arbeit auf die Arbeit der gleichförmig verteilten Belastung n x der Flächeneinheit. 2 2

2 = 4• 11 71^ ' 2

^ y d x-

Setzt man z aus der Reihe 97) hier ein, so erhält man '•I \ 2 m=con' = co / 2 TO'— 1 2 /l' — 1 — — .1 m n' (COS j 71tßs X • \J\JH COS j| 1 l m' = 1 n' = 1 \ 00 2TO'— 1 2 n' — 1 -j- COS j // ( • cos j ny d xdy. l

71 y

-

80

-

Führt man die Integration gliedweise durch, wobei die bereits mehrfach benutzten Integralwerte zu verwenden sind, so kann man für die Deformationsarbeit % folgende Doppelsumme schreiben m' + 1

oder mit der Abkürzung „ *

m

'

n

_

m' + n' m'4-1 (~1) , (-!)__ , 7 i ( 2 m ' — l)(2n'—1) 2 (m' — 1)" + i . ji m' = con' = oo

%

=

A 71

I / i

^

m' = 1 n' = l

n'+l (~1) 2(«' — 1

A m - W g m ' n -

( 1 1 4 )

Die elastische Energie ist gleich der negativen Deformationsarbeit. 91 = -

S.

Bezeichnet man zur Abkürzung den Wert des Ausdruckes in der eckigen Klammer der Gleichung 111) mit [ ] , so kann man schreiben

24-i

4

_ 4 ' n * 2 71

LJ

Tri' 11 .111

— co ti' — oo

T * — V Am = 1 n' = 1

— m'

,n . .ogm

•n •

Durch Umformung dieser Gleichung und Einführung der Abkürzungen B, Z und N erhält man B =

/

1 \

, 4

\

m?

I

m = 00 n = oo

^ Am' m' = 1 „ • = 1

n' • gm' n'

= *V

(115)

Es sind jetzt noch die unbekannten Koeffizienten zu bestimmen, wie dies bei bei den bereits früher berechneten Platten durchgeführt worden ist. In der Gleichung 115) ist die Belastung der Flächeneinheit nK als Funktion der Koeffizienten An .„. ausgedrückt. Von allen den durch die Veränderlichkeit der Beiwerte Am.n. möglichen Belastungen n x ist die kleinste zu suchen, welche zu einer gegebenen Einbiegung gehört. Daher bestehen für die Größen An ,n , die Gleichungen b B

Ö Am'

n'

= 0.

Diese Gleichungen sind jedoch homogene, weil sämtliche Glieder des Zählers Z und des Nenners N unbekannte Größen An ,n , enthalten.

-

|2 Ö^m'n' = L a

-

-

n' \[am- n- + Cm" n-m+

m' = oo +

81

• em' /« =n-n'\ +1 2 Am-

» = oo

— - 4 m ' + r, n ' • dm'n'r +

r = m' + l

-

n' + «' • ¿m' n' «

21

^m", n' -f < • / m ' n" « • — m

8=n' + l

J

^ — gm' n' 'Z

— 0.

2 Dividiert man diese Gleichung durch N und setzt dabei

B, so erhält

man Gleichungen zur Berechnung der unbekannten A n . n ,. 2

Am- n- (Om' n' \

Cm' n') 4 - - Am- n' 4- « • i^m' n' m I , = _B. + i ' \ m' = oo + 2 Am' + r.n'-dm'n'r = gm' n' • B r = — m' + 1

-(" Cm" n ' H

s

fm' n' 8 ' ) ml (116)

Da diese Gleichungen homogen sind, genügen sie zur Berechnung der Unbekannten An,„< noch nicht. Sie werden befriedigt von jedem A. • Am,„18 — 1 . /12 — 1\ \, -7 Ii ~ 2 " A 21 (

°'087'

Cl1 =

°' 0 8 7 »

en = 4 ( ^ + 0,64 + 0,405) = 0,081,

¿>1U = ^ ( | + 0 , 3 2 + 0 , l l ) = 0,057,

tu 1 = ß

d m = 0,057,

+ 0,11 + 0,135) = 0,0617,

g u = 0,32 + 1 = 1,32. =

0,212)

=0,060,

(0,25-0,103+0^2 -0,135) = 0 3 3 2 , q k /12-1 = ^ * 9^87

ci2 = f g ( | + 0,64) = 7 , 0 4 , ¿12-1 = ^ ( 0 , 5 - 0,105—0,32) =0,0048, 81 d a = -jg- (0,5+0,32 ++ 0,103) 0,103) = 4,68,

0,228, fia

= — 0,103 + 0,5 — 0,166 = 0,23.

02! = 7,04, ea = 0,332,

Ca = 0,06, ¿>21, = 4,68,

/ m = ^ • g ^ g j j = - 0,0253, g21

om = ^

= 0,0048,

= —0,23.

- 0,212) = 4,86,

622 = 16 Ä (0,25 — 0,212 — 0,045) = — 0,00394,

C22 = 4,86, 622-1 = 0,0048 • 81 = 0,379,

81 /22-1 = j g (0,105 — 0,32 + 0,135) = — 0,41, §22 = — 0,333 + 0,035 = 0,297.

= 0,379,

Än (0,087 + 0,087 + 0,081) + I

+

a

+ I« •

060 + 7,040 + 0,332)+

1,32,

+ 1 * • ^ - = 0,23,

An (7,04 + 0,060 + 0,332) + An

—4—) + ¿11 •

An (4,86 + 4,86 - 0,0394) + Ä21

-

+

= - 0,297.

• 0,255 +341 2 • 0,0439 + AiX • 0,0285 = 1,32, ^12 • 7,432 — ~ÄU - 0,0546 + A& • 2,34

= 0,23,

3421 • 7,432 + Am • 2,334 + A u • 0,0024 = 0,23, ¿22 • 9,724 + Ä 2 1 • 0,0087 + A12 • 0,1895 = —0,297. Die vier Gleichungen kann man am bequemsten durch Annäherung lösen, indem man zunächst in der ersten yl ia und A 21 Null annimmt, sodann in der zweiten A aa Null setzt usw. Die damit gefundenen Werte werden darauf bei der zweiten Berechnung von Au aus der ersten Gleichung usw. benutzt. Die zweite Rechnung wird meist genügen. Somit ergibt sich

— 0,297 — 0,087 • 0,0293 — 0,0689 • 0,1895 9,724

0,0321.

In zweiter Annäherung erhält man: 1,32 — 0,0439 • 0,0689 — 0,0285 • 0,0293 = 5,16 usw. 0,255

= 5 197 000 kg/qm = 519,7 kg/cm«. Bei Berücksichtigung von 1

112m' —1\2]

71 X.

m'—n',

ergibt sich

x—y

to Ol

2

16 • Iii

Ii—l,

1)

(m2—

T

• i ¿1 "»' = oon' = oo ,

.i»

n3

, (—1)

m ' n '(

2re'— 1 • cos j—

) [\

^

) "'"my

l

/ J

7i • y.

Zahlenbeispiel. Für eine quadratische Platte von je 2,00 m Stützweite und 0,10 m Stärke, welche an den Rändern frei gelagert und mit 20 000 kg/qm gleichförmig belastet ist, soll unter Annahme der Poissonschen Zahl m = 4 der Stützdruck der Plattenränder berechnet und der veränderliche Stützdruck der Längeneinheit des Plattenrandes in einer Kurve dargestellt werden. 32-,

7i

32 . 2 0 0 0 0 . ^ 97,4

Nach dem bereits betrachteten Zahlenbeispiel der an den Rändern frei gelagerten Platte sind Än = _ 0,40, ÄJ2 = Ä21 = + 0,00385, 1 2 2 = — 0,00055, Ä1S = Ä,,= Ji

-z

— 0,00084, Ä„ = ÄS2 + 0,000194, I S 3 = — 0,0000712.

= J ' i 2 = 105100jo,40(J + 4 L 4 ) + 0,00385• 3 ( l + ^ j ) +0,00385 ( ¿ + ¿ 5 ) + 0,00055 . 3

+

+ 0,000194.5(| +

+ 0,00084.5 ( j + 4

3

4

) +0,000194-3+

) + 0,00084 +0,0000712-5

+

4

-J

( g + ^ j

Bei Berücksichtigung von 1 2 3 4 5 6 . 7 8 9 Gliedern erhält man: Ji = 13 120 15 925 16 134 16 296 19 078 19 214 19 445 19 491 19 550 kg,1 s*

80000

während infolge der doppelseitigen Symmetrie J i = — r — = 20 000 kg sein 4 2Z sollte. Berücksichtigt man nur vier Glieder so erhält man eine Annäherung auf 18,5% Unterschied.

Gleichzeitig liefert dieses Rechnungsergebnis eine Bestätigung für die Richtigkeit des Rechnungsverfahrens. Der Stützdruck der Längeneinheit i» muß nach Gleichung 126) für mehrere 2Z

Werte von x berechnet werden, wenn man die Verteilung des Stützdrucken längs der Plattenseite darstellen will. 16 •

715

Iii 2 _ 16 20000 8 _ g26Q0. 31

. . 2m' — 1 , Für x = o ist cos 5 nx = 1, h U m = -82600 [-0,40 + 0,00385

+ A )

- 0,00084

+

+

. Ii =11 ; 1' 7» i ) -0,00385-3

0,00055.3 ( i +

i)

- 0,00084.5. ( f +

+0,000194.5 ( f + A ) - 0,000194 • 3 •

+

-0,0000717- 5 ( 1 + 4-4)} Berücksichtigt man 1

2

3

4

5

0

7

8

9

Glieder,

so erhält man i±zo=

10325 12495 12237 11854 14044 14169 13623 13806 14036kg/m 10

11

12

13

14

15

16 Glieder

14 456 14436 14 307 14 302 14366 14 360 14330 kg/m Für i = 0,5 ist

=

und 2m'—l _ tc_ 3* 5® 7jnt 9n 11n 13* 15 71 17 tt Zi 71 * — 4 ' 4' 4 ' 4' 4 ' 4 ' "4"' ' ~4~ 2mr | COS—^—7ix= +0,707 - 0,707 -0,707 +0,707 +0,707 -0,707 - 0,707 +0,707 +0,707 Bei Berücksichtigung von Gliedern erhält man 1

2

4

5

5959

5688

7236

7147

7533

11

12

13

14

15

16

7541

7450

7446

7401

7505

7310

5777

10 7527

'i-z.oT

3

6

7

8

9 7662

7384 kg/m.

7824 kg/m

— 92 — Für x = 0,25 ist

3 71 ~§~

n ~8~

=0,92388

0,382

=

10369

9540

h

5 71 ~8~

" ö

2 m' — 1 h 9jt

11 8 2 m'— 1 COS i WX

7 71 "8"

" z 075

3950

=

10468

^ il nach

nach 9, 1933 kg/m nach 16 Gliedern. In Fig. 19 ist ein kleiner Teil der errechneten Werte i j_z aufge-

10821

o einen

8 758

cos ^ = 0,383, o und 1950 kg/m

_

tragen und mit Kurven verbunden worden. Man kann annehmen, daß sich die Werte ü allmählich den zwei 2

13 *

15 n

n 7i

— 0,383 — 0,924 — 0,924 — 0,383 + 0,383 + 0,924 + 0,924

8801 kg/m. nach 16 Gliedern ergibt sich 9168 kg/m. Für x = 0,75

JIS

8 549

ff ff ff

f* & n ff & ff ff 16 ff

1

Geraden der Figur nähern. Dieses Ergebnis ist nicht unerwartet; denn die Reihen der zweiten Ableitungen der elastischen Linie des Trägers nähern sich mit wachsender Gliederzahl der quadratischen Parabel. Da die StQtzkraft den dritten Ableitungen proportional ist, kann auch bei der Platte eine sich der Geraden nähernde Stützkraftkurve erwartet werden. Im vorliegenden Fall müßte also i i noch auf T* 20 000 kg wachsen. Wenn es auch bei dem 16. Glied erst 14 330 kg erreicht hat, ist das Anwachsen bis 20 000 kg nicht unwahrscheinlich. Für die praktische Berechnung der Stützkräfte konvergieren also die gewählten trigonometrischen Reihen zu schlecht.

8 931

cos ~ = — 0,924, und ö nach 2 Gliedern, 2047

wahrscheinliche Stützdrucklinie, li-ig. Reihe mit / (flied. n « „ Zßtiedern.

« n v

8 718

Fig. lt.

-

93

-

13. Die größten Oberflächenspannungen. Bisher wurden nur die Spannungen parallel zu den Koordinatenachsen a x und a y betrachtet, wobei die Achsen mit Ausnahme des Belastungsfalls der konzentrierten Last Symmetrieachsen der Platte und der Last waren. Es ist nun die Frage zu beantworten, ob nicht schräge Oberflächenspannungen größere Werte annehmen können als die berechneten a x o und -f- * cos 2