Algebraische Berechnung des Regenbogens - Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: Sämtliche Werke, Ergänzungsband. Zweisprachige Ausgabe 9783787332892, 9783787305636

Citation preview

BARUCHDES PI NOZA

Al g e br a i s c heBe r e c hnung de sRe g e nbog e ns Be r e c hnungv on Wahr s c he i nl i c hke i t

Ni e de r l ä ndi s c h-De ut s c h

BARUCH DE SPlNOZA · SÄMTLICHE WERKE IN SIEBEN BÄNDEN und einem Ergänzungsband 1 Kurze Abhandlung von Gott, dem Menschen und seinem Glück (PhB 91 J 2 Die Ethik (PhB 92) 3 Theologisch-Politischer Traktat (PhB 93) 4

Descartes' Prinzipien der Philosophie (PhB 94) 5 Abhandlung über die Verbesserung des Verstandes Abhandlung vom Staate (PhB 95)

6 Briefwechsel (PhB 96 a) 7 Lebensbeschreibungen und Gespräche (PhB 96 bj

Ergänzungsband (PhB 350) Algebraische Berechnung des Regenbogens Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

BARUCH DE SPINOZA

Sämtliche Werke in sieben Bänden und einem Ergänzungsband

In Verbindung mit Otto Baensch und

Artur Buchenau herausgegeben und mit Einleitungen, Anmerkungen und Registern versehen von

CARL GEBHARDT

FELIX MEINER VERLAG HAMBURG

BARUCH DE SPINOZA

Algebraische Berechnung des Regenbogens Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Übersetzt, eingeleitet und mit Anmerkungen herausgegeben von HANS-CHRISTIAN LUCAS und MICHAEL JOHN PETRY

NIEDERLÄNDISCH-DEUTSCH

FE LI X M EI NE R VE R LAG H AMB U RG

P HILOS OP H IS C HE B IB LIO T HE K B AND 350 D ie W ie d e r ga b e d e s nie d e r lä nd is c he n Te xt e s e rfo l gt e na c h d e m O r i g ina l i m Be s it z d e r B ib l io t he k d e r R ij k s u n i ve rs it e it t e Le id e n – S i g na t ur 1 3 6 5 C 3 5 -. Ihr s e i für d ie U nt e rs t üt z u n g he rz l ic h ge d a nk t .

Bibliographische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliographische Daten sind im Internet abrufbar über ‹http://portal.dnb.de›. ISBN: 978-3-7873-0563-6 ISBN eBook: 978-3-7873-3289-2

© Felix Meiner Verlag GmbH, Hamburg 1982. Alle Rechte vorbehalten. Dies gilt auch für Vervielfältigungen, Übertragungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen, soweit es nicht §§  53 und 54 UrhG ausdrücklich gestatten. www.meiner.de

INHALT -Einleitung der Herausgeber Bibliographische Notiz . .

VII

XLI

BARUCH DE SPINOZA Stelkonstige Reeckening van den Regenboog Algebraische Berechnung des Regenbogens . Reeckeningvan Kanssen . . . . . . . . . Berechnung von Wahrscheinlichkeiten .

Anmerkungen der Herausgeber Personenregister . . . . . . . .

2 3 52

53

69 83

EINLEITUNG DER HERAUSGEBER Das siebzehnte Jahrhundert ist uns als das Zeitalter der Epochenschwelle vertraut. So geht A. Koyre davon aus, daß dieses Jahrhundert „eine radikale geistige Revolution erlebt und vollzogen hat, deren Wurzel und zugleich Frucht die moderne Naturwissenschaft ist" 1. Aus der Wendung gegen die Scholastik, die sich zunächst als Destruktion des beherrschenden Weltbildes vollzog, mußte die Rekonstruktion eines Weltzusammenhanges geleistet werden, welche ein grundsätzliches Zusammenwirken von metaphysischen, naturphilosophischen und naturwissenschaftlichen Anstrengungen erforderlich machte. Die naturwissenschaftlichen Schriften von Descartes oder Leibniz werden daher keineswegs als überflüssiges Beiwerk neben ihren philosophischen Hauptwerken betrachtet. Bei Thomas Hobbes hat die Überlieferung der Texte schon zu einem anderen Eindruck geführt: Wurde der Leviathan häufig um seine letzten, wie die Forschung jetzt erweist, grundlegenden Teile beschnitten, so fehlt den Editionen der Elementa häufig der Teil, in dem Hobbes sich der Probleme der Optik annimmt, wenngleich dies als eines der wissenschaftshistorisch faszinierendsten Themen des siebzehnten Jahrhunderts gelten muß. Dem Baruch de Spinoza wurden seine mathematischnaturwissenschaftlichen Überlegungen oft nur als ExkurA. Koyre: Von der geschlossenen Welt zum unendlichen Universum. Frankfurt/M. 1980, S. 11. (Original: From the Closed World to the Infinite Universe. Baltimore 1957.) Vgl. ferner: A. N. Whitehead: Science and the Modem World. New York 1925. A. E. Lovejoy: The Great Chain of Being. Cambridge/Mass. 1936. 1

VIII

EINLEITUNG

sionen in Gebiete ausgelegt, die ihm eigentlich fremd blieben. H. A. Wolfson geht sogar so weit, den Wert der Algebraischen Berechnung des Regenbogens (Stelkonstige Reeckening van den Regenboog) und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Reeckening van Kanssen) in Bezug auf seine Hauptwerke so gering einzuschätzen, wie Kleidung, Wäsche, Möbel und Silber, welche er bei seinem Tode hinterließ2 • Hegel freilich bemerkt, ohne Spinozas Abhandlung über den Regenbogen zu kennen, also nur aus Kenntnis der Lebensdarstellungen und der Briefe des Philosophen, Spinoza „ernährte sich selbst durch Verfertigung optischer Gläser; das Licht beschäftigte ihn" 3 . Ein Blick auf die Editionsgeschichte der beiden hier vorliegenden Abhan~­ lungen Spinozas kann die Schwierigkeiten der Rezeptionsgeschichte verdeutlichen. Die Zuordnung zu ihrem jeweiligen wissenschaftshistorischen Kontext soll dann einen Beitrag zu ihrer angemessenen Beurteilung leisten. I.

Die beiden Abhandlungen wurden erstmalig von Levyn van Dyck4, dem offiziellen Drucker des Stadtrats von Den Haag, H. A. Wolfson: The Philosophy of Spinoza. New York 1969; Bd. 1, S. 33. 3 G. W. F. Hegel: Sämtl. Werke. Hrsg. W. Glockner. Bd. 19, S. 369. 4 Zu Levyn van Dyck vgl. E. F. Kossmann: De Boekhandel te 's Gravenhage tot het eind van de 18de Eeuw.'s Gravenhage 1937. s. 113-117. 2

EINLEITUNG

IX

1687 veröffentlicht. Die Publikation geschah ohne Nennung des Autors, da eine Veröffentlichung irgendeines Werks von Spinoza, insbesondere auf Niederländisch, also in der Sprache des Volkes, zu jener Zeit ein erhebliches politisches Risiko implizierte und wegen Spinozas Fama als eines verruchten Atheisten auch den wohl ohnehin bescheiden kalkulierten Verkauf des Büchleins hätte beeinträchtigen können. Die Tatsache, daß gegenwärtig nur noch vier Exemplare des Originals erhalten sind5, legt den Schluß nahe, daß die erste Auflage von 1687 sehr gering gewesen sei. Möglicherweise hat Levyn van Dyck die Veröffentlichung der ausführlichen Refutation der spinozanischen Philosophie von J. F. Helvetius 6 noch im gleichen Jahr aus Gründen der Selbstrechtfertigung unternommen; diese Tatsache hätte aber auch die Neugier auf sein sonstiges Verlagsprogramm steigern können. Dennoch identifizierte erst in den fünfziger Jahren des 19. Jahrhunderts der Amsterdamer Buchhändler Frederik Muller die Stelkonstige Reeckening van den Regenboog als die Schrift Spinozas, die nach den Lebensdarstellungen als verbrannt oder verschollen galt. Er übergab das Büchlein van Vloten, der den Text zunächst mit 5

Die vier efuzig erhaltenen Exemplare befinden sich in den folgenden Bibliotheken: Bibliotheek Rijksuniversiteit Leiden (1365 C 35); Koninklijke Bibliotheek Den Haag (196 C 17); Universiteitsbibliotheek Amsterdam (288 D 13); Bibliotheque Nationale Paris (V 6645 - 4 -). 6 J. F. Helvetius: Adams oud Graft, 's Gravenhage 1687. Insbesondere S. 1-59.

X

EINLEITUNG

einer lateinischen Übersetzung in seine Edition der kleinen Schriften Spinozas von 1862 aufnahm. Erst als das Exemplar in der Koninklijke Bibliotheek in Den Haag aufgefunden wurde, stellte man fest, daß die Reeckening van Kanssen dem Text als Anhang ohne eigenes Titelblatt beigegeben war, und beide Texte wurden in die Gesamtausgabe von van Vloten und Land aufgenommen 7• Die erste Ausgabe der beiden kleinen Schriften kann weder von einem der nächsten Bekannten oder Freunde Spinozas zum Druck vorbereitet worden sein, noch kann sie bei ihrem Erscheinen große Aufmerksamkeit erweckt haben, denn obwohl diejenigen, die kurz nach seinem Tode über ihn schrieben, wußten, daß er eine Abhandlung über den Regenbogen verfaßt hatte, vertraten sie doch im allgemeinen die Ansicht, daß er sie verbrannt hätte und daß sie daher als verloren zu gelten habe. Jarig Jelles versichert im Vorwort der Opera Posthuma zwar, daß mit dieser Ausgabe eine vollständige Darbietung der Werke des Philosophen geleistet wurde, denn, auch wenn möglicherweise etwas von Spinoza Verfaßtes nicht gefunden worden sei, so könne man doch davon ausgehen, daß dies in den vorgelegten Schriften an anderer Stelle behandelt worden sei. Eine Ausnahme macht er dabei lediglich hinsichtlich der Abhandlung über den Regenbogen. Im Vorwort zu den Opera 7

J. van Vloten: Ad Benedicti Spinoza Opera quae supersunt

omnia Supplementum. Amsterdam 1862, S. 252-285. Opera quotquot repena sunt. Hrsg. J. van Vloten und J. N. P. Land. 2 Bde. Den Haag 1882-83. Bd. II, S. 507-524.

füNLEITUNG

XI

Posthuma wird als wahrscheinlich angenommen, daß Spinoza die Abhandlung verbrannt habe, und die Möglichkeit, sie könne noch an unbekannter Stelle existieren, wird dementsprechend als unwahrscheinlich abgewiesen: 11 Tractatulus de Iride, quem ante aliquot annos, ut quibusdam notum, composuit, quique, nisi eum igni tradidit, ut probabile est, alicubi delitescit". Das Vorwort der Nagelate Schriften allerdings setzt die Akzente etwas anders: 11 een klein Geschrift van de Regenboog, 't welck hy, gelijk men weet, gemaakt heeft, en dat, so hy't niet verbrant heeft, gelijk gelooft ward, noch by d'een, of d'ander, zonder dat men weet by wie, berust 118 • Damit wird die Möglichkeit, daß Spinoza die Arbeit verbrannt habe, zu einer allgemeinen vagen Vermutung und die Annahme gewinnt an Gewicht, daß irgendjemand, dem Spinoza das Manuskript ausgeliehen hatte, dieses noch in seinem Besitz hatte. Das Hervorheben der Tatsache, daß man eben nicht wisse, um wen es Beide Zitate nach: Spinoza Opera. Hrsg. C. Gebhardt. 4 Bde. Heidelberg 1925. Bd. IV, S. 431. Vgl. Spinoza - Lebensbeschreibungen und Gespräche. Einl., Übers. u. Anm. von C. Gebhardt. Hamburg 1977. S. 5: 11 Und wenn es auch glaublich ist, daß bei dem oder jenem noch etwas von unserem Philosophen Ausgearbeitetes versteckt ist, das sich hier nicht findet, so ist doch anzunehmen, daß sich nichts darin finden werde, was nicht öfters in diesen Schriften gesagt ist, außer etwa einer kleinen Abhandlung über den Regenbogen, die er, wie manchen bekannt ist, vor einigen Jahren verfaßt hat, und die, wenn er sie nicht dem Feuer überliefert hat, wie es wahrscheinlich ist, noch irgendwo verborgen ist." 8

XII

EINLEITUNG

sich dabei handelte, könnte hier auch als Mahnung verstanden werden, daß der Unbekannte sich bei dem Kreis der Freunde Spinozas melden möge, der die Ausgabe der Werke betrieben hatte. Dies geschah jedoch nicht, und so konnte sich die Version des Autodafe durchsetzen. Jean-Maxiinilian Lucas, ein in Den Haag lebender, aus Rouen stammender Arzt, der als ,Libertin' in Spinoza einen Gesinnungsgenossen vermutete und der seine bewundernde Lebensdarstellung sicher vor 1688, wahrscheinlich bereits in den ersten Jahren nach Spinozas Tod verfaßte, konstatiert kategorisch, daß Spinoza das Werk über den Regenbogen ins Feuer geworfen habe9• Die Version über das Autodafe stammt offenbar von der Familie van der Spijck, bei der Spinoza in den letzten Jahren seines Lebens logiert hatte. Diese Familie ist die ,sichere Quelle', auf die sich Sebastian Kortholt beruft, wenn er berichtet 10, Spinoza habe die Abhandlung „in seinem Sterbejahre ... den Flammen übergeben", wenngleich er betont habe, daß er ein ,,langes J.-M. Lucas: La vie et l'esprit de Mr. Benoit de Spinosa. Amsterdam 1719. Zu Lucas, Kortholt, Colerus vgl.: Die Lebensgeschichte Spinozas in Quellenschriften, Urkunden und nichtamtlichen Nachrichten. Hrsg. J. Freudenthal. Leipzig 1899. Ferner: Spinoza, Leben und Lehre. 1. Teil: Das Leben Spinozas. Von J. Freudenthal. 2. Teil: Die Lehre Spinozas. Aufgrund des Nachlasses von J. Freudenthal bearbeitet von C. Gebhardt. Heidelberg 1927. Spinoza - Lebensbeschreibungen, S. 3 7. 10 S. Kortholt in seinem Vorwort zu der von ihm besorgten zweiten Ausgabe von seines Vaters C. Kortholt: De tribus impostoribus. 1701. - Spinoza - Lebensbeschreibungen, S. 42. 9

EINLEITUNG

XIII

und eifriges Studium ... auf die Ausarbeitung und Niederschrift" gewandt habe. Schließlich stellt Colerus, d. i. Johannes Köhler, in seiner bekannten Lebensbeschreibung Spinozas fest: „Ich kenne hier Leute von Ansehen, die diese Schrift gesehen und gelesen, doch ihm abgeraten haben, sie herauszugeben. Er hat sie, verdrießlich darüber, ein halbes Jahr vor seinem Tode verbrannt, wie seine Hausgenossen mir berichtet haben." 11 Wenn auch die Version von dem Autodafe nicht die ganze Wahrheit enthält, so ist doch andererseits auch nicht auszuschließen, daß sachkundige Freunde Spinozas, denen die Problematik voll bewußt war, der man sich zu stellen hatte, wollte man der experimentellen Optik eine theoretische Grundlage verschaffen, ihm von der Veröffentlichung seiner Abhandlung abrieten: Trotz der Tatsache, daß Descartes' Theorie des Lichtes und der Farben bereits mehr als ein Jahrzehnt vor Spinozas Tod in wesentlichen Teilen als überholt gelten mußte, blieb Spinozas Konzeption im wesentlichen cartesianisch. - Descartes hatte beispielsweise angenommen, daß es lediglich drei Weisen gäbe, in denen sich das Licht fortpflanze: direkt, durch Refraktion und durch Reflexion. Dagegen wurde etwa um 1665 Grimaldis Entdeckung der Diffraktion, d. h. der Beugung des Lichts, bekannt, welche dann vermutlich Huygens dazu anregte, seine Wellentheorie des Lichts zu entwickeln, welche er u J. Colerus: Das Leben des Bened. von Spinoza ... Aus dem Französischen ins Hochteutsche übers. Frankfurt 1733. - Spinoza Lebensbeschreibungen, S. 84.

XIV

EINLEITUNG

1679 erstmalig öffentlich bekannt machte. Robert Hooke veröffentlichte 1665 einen Versuch, die Entstehung von Farben in dünnen Glimmerplättchen auf der Grundlage zu erklären, Licht als ein Schwingungsphänomen zu verstehen; bald darauf führte Newton seine berühmte Reihe prismatischer Experimente durch, welche ihn zu der Überzeugung brachten, weißes Licht als Zusammensetzung verschiedener Komponenten zu betrachten, die durch Refraktion getrennt werden können. 12 Descartes hatte eine Erklärung der Farbe auf die Weise versucht, Licht als Aktion oder Bewegung einer extrem feinen Materie zu verstehen, deren Teile winzige Kügelchen sind, die fähig seien, durch die Poren der irdischen Körper zu rollen und mit wechselnder Geschwindigkeit zu rotieren. 13 Obwohl Huygens in der

Vgl. A. 1. Sabra: Theories of Light from Descartes to Newton. London 1967. V. Ronchi: The Nature of Light. An historical survey. London 1970. A. E. Shapiro: Kinematic Optics. A Study of the Wave Theory of Light in the Seventeenth Century. In: Archive for History of Exact Sciences 11 (1973) S. 134-266. K. F. Weinmann: Die Natur des Lichts. Darmstadt 1980. M. Minnaert: The Nature of Light and Colour in the Open Air. New York 1954. 13 R. Descartes: Discours de la Methode pour bien conduire sa raison, &. chercher la verite dans les sciences. Plus la Dioptrique. Les Meteores. Et la Geometrie. Qui sont des effais de cete Methode. Leiden 1637. (Les Meteores VIII: De L'Arc-En-Ciel.) Vermutlich kannte Spinoza die folgende Ausgabe: Renati Des Cartes Specimina Philosophiae: Sev Dissertatio de Methodo recte regendae rationis, &. veritatis in scientiis investigandae: Dioptrice, et Meteora. Am12

XV

EINLEITUNG

Folge bemerkte 14, daß nichts weniger wahrscheinlich sei als diese Erklärung, nennt Spinoza, offenbar ohne diese Entwicklungen zu berücksichtigen, die sich in der theoretischen Fundierung der experimentellen Optik vollzogen, Descartes' Erklärung der Farben wohlmeinend eine erfreuliche Entdeckung" (s. S. 15). Es ist unwahrscheinlich, daß Spinoza eine derart unkritische Haltung gegenüber Descartes' Optik eingenommen hätte, wenn er seine Abhandlung sehr viel später als 1667 verfaßt hätte. überdies ist es aus seiner Korrespondenz offensichtlich, daß die theoretische Optik zwischen dem Frühsommer 1665 und dem Frühling 1667 in großem Maße sein Interesse beanspruchte. So informierte ihn beispielsweise 1665 Henry Oldenburg, der Sekretär der Royal Society, über die Veröffentlichung von Robert Boyles Experiments and Considerations conceming colours von 1663, ein Werk, das er ebenfalls mit Huygen:s diskutierte. 15 Wahr11

sterdam jL. u. D. Elzevier) 1656. jMeteorum VIII: De Iride.) Vgl. Oeuvres des Descartes. Hrsg. C. Adam und P. Tannery. Bd. VI. {Discours de la Methode & Essais.) Paris 1965. De L'Arc-En-Ciel: S. 325-344. 14 Oeuvres Completes de Christiaan Huygens. Publiees par la Societe Hollandaise de Sciences. La Haye 1888-1950. Bd. X, S. 405. 15 Vgl. Baruch de Spinoza: Briefwechsel. Übers. u. Anm. von C. Gebhardt. 2. Aufl. durch weitere Briefe ergänzt m. Einl. u. Bibi. von M. Walther. Hamburg 1977. Nr. 25 (von Oldenburg), Nr. 26 (an Oldenburg), Nr. 36 (an Hudde) und Nr. 39, 40 (an Jelles). Vgl. auch die niederländische Edition: Spinoza - Briefwisseling. Hrsg. F. Akkerman, H. G. Hubbeling, A. G. Westerbrink. Amsterdam 1977.

XVI

EINLEITUNG

scheinlich hat er in dieser Zeit auch sein Exemplar der Optica Promota von James Gregory (London 1663) erworben16, und es mag sehr wohl die wissenschaftliche Rückständigkeit dieses Werks gewesen sein, welche Spinoza ermutigte, Hand an die Explikation von Descartes' Erklärung des Regenbogens vermittelst der analytischen Geometrie zu legen. Als Gregory sein Buch schrieb, wußte er offensichtlich nichts von Descartes' Forschungsergebnissen, denn er präsentiert das Gesetz der Refraktion als seine selbständige Entdeckung, zudem stellt er keinen Versuch an, den Regenbogen zu erklären. Robert Moray, der erste Präsident der Royal Society, war jedoch dermaßen beeindruckt von seinen Fähigkeiten, daß er ihn in Kontakt mit Huygens zu bringen versuchte, und dies mag Spinoza zu der Meinung gebracht haben, daß Oldenburg und seine Kollegen Aufklärung über die Verdienste der optischen Theorie Descartes' benötigten. Während des folgenden Jahres korrespondierte Spinoza mit Jan Hudde über Linsen und im März 1667 mit Jarig Jelles über Descartes' Lehren zur Dioptrik und zum Teleskop. Trotz dieses Gedankenaustausches wird aus Huygens' Weise, sonst in seiner Korrespondenz auf ihn Catalogus van de Bibliotheek der Vereniging het Spinozahuis te Rijnsburg. Leiden 1965. S. 23 INr. 54). Bald nach seiner Ankunft in London im Jahre 1663 verfaßte Gregory eine bis heute unveröffentlicht gebliebene Ergänzung seiner Optica promota !David Gregory, B.29, Edinburgh), in der er eine Emendation seiner Behandlung der Reflexion und der Refraktion unter Berücksichtigung des Sinusgesetzes anstrebte. 16

EINLEITUNG

XVII

anzuspielen 17, doch deutlich, daß offenbar keine sehr erleuchtende Reaktion auf die Entwicklung der postcartesischen Optik von Spinoza zu erwarten war, und Huygens tat wohl gut daran, sich darauf zu beschränken, ihn nur hinsichtlich der technischen Probleme der Herstellung von Linsen zu konsultieren. Für die eindeutige Feststellung der Autorschaft Spinozas hinsichtlich der Reeckening van Kanssen bildet die Tatsache, daß alle frühen Biographen Spinozas zwar dessen Abhandlung über den Regenbogen erwähnen, die zweite Abhandlung jedoch unerwähnt lassen, eine gewisse Schwierigkeit. Allerdings ist nur das von Muller aufgefundene Exemplar zertrennt worden. Bierens de Haan, in dessen Besitz das Mullersche Exemplar übergegangen war, fand dann heraus, daß sich in seiner Sammlung von Schriften zur Wahrscheinlichkeitslehre ein Schriftehen befand, das genau zu seinem offenbar zertrennten Exemplar der Berechnung des Regenbogens paßte. Die übrigen drei erhaltenen Exemplare weisen im übrigen keine Spuren einer Neubindung auf, so daß man von der gesicherten Tatsache ausgehen kann, daß beide Abhandlungen gemeinsam veröffentlicht worden sind. 18 C. Huygens: Oeuvres Completes. Bd. VI. (Nr. 151-215. Sept. 1667-Mai 1668.) 18 S. o. Anm. 5. Das Exemplar, das aus dem Besitz Mullers, bzw. de Haans stammt, befindet sich jetzt in Leiden. Als sicheres Indiz für die gemeinsame Veröffentlichung der beiden Abhandlungen muß die Tatsache gelten, daß beide gemeinsam als ein Werk in De Boekzaal van Europe (Nr. 14, S. 153-157; Rotterdam, JanuarFebruar 1693) von Pieter Rabus besprochen wurden. 17

XVIII

EINLEITUNG

Außerdem kann man davon ausgehen, daß Spinoza Mitte der sechziger Jahre mit Freunden und Bekannten die Theorie der Wahrscheinlichkeit diskutierte. Sein Brief an Jan van der Meer vom 1. Oktober 1666 ist das unübersehbare Zeichen dieses Interesses und bedeutet gleichzeitig einen Hinweis auf den wahrscheinlichen Bearbeiter der ersten Ausgabe. Die Diskussion über die Möglichkeit einer Berechnung von Wahrscheinlichkeiten hatte Huygens 1657 mit der Veröffentlichung seiner Ratiociniis in aleae Judo auf die Ebene mathematischer Untersuchung erhoben. Das Buch blieb bis zum Ausgang des Jahrhunderts allgemein die Textgrundlage zu dieser Thematik. Seine niederländische Übersetzung erschien 1660, und diese führte zu einer Vertiefung und weiteren Verbreitung der Diskussion zu Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Aus der Korrespondenz, die Huygens 1665 mit Jan Hudde zu entsprechenden Fragen führte, geht hervor, daß Huygens bereits zu dieser Zeit einige seiner Grundkonzeptionen neu bedachte. 19 Am Ende C. Huygens: Ratiociniis in aleae ludo. Die Schrift wurde erstmalig in F. van Schootens Exercitonum Mathematicorum, Amsterdam 1657, veröffentlicht. Erst später erschien sie in niederländischer Übersetzung als: Rekeningh in Spelen van Geluck. Amsterdam 1660. Vgl. Oeuvres Completes. Bd. XIV (1920), S. 50-91. Die neuerliche Zuwendung, die Huygens dieser Problematik widmete, geht aus den zahlreichen Appendices hervor, welche Notizen Huygens' aus der Zeit von 1656 bis 1688 dokumentieren (S. 92-179). Vgl. ferner die Korrespondenz, Bd. V, Nr. 1374-1450. 19

EINLEITUNG

XIX

seiner Abhandlung hatte er fünf Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung an Beispielen des Glücksspiels zur Diskussion gestellt. Offenbar bezieht sich Spinoza in seinem Brief an van der Meer auf diese von Huygens aufgeworfenen Fragen. Darüber hinaus ist die niederländische Version von 1660 in Spinozas Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wörtlich wiederzufinden. Es ist freilich nicht rekonstruierbar, ob Spinoza seine Aufzeichnungen, die er wohl anläßlich eines Neuabdrucks der von Huygens aufgestellten Probleme niederschrieb, als eine separate Abhandlung geplant hat. Ebensowenig wissen wir, warum er seine methodologischen Überlegungen mit der Auflösung des ersten Problems, auf das er sich bereits in einem Brief an van der Meer bezogen hatte, abgebrochen hat. Es ist allerdings gut denkbar, daß er diese Aufzeichnungen in der Form von Briefbeilagen zur Diskussion stellte, wie er es ja auch mit einzelnen Teilen der Ethica getan hatte20, und daß sie so in den Besitz von van der Meer gelangten. Vgl. den Brief von Simon de Vries (Briefwechsel, Nr. 81 S. 33): „Unser Collegium ist folgendermaßen eingerichtet. Einer (aber der Reihe nach jeder) liest vor, erklärt nach seiner Auffassung und beweist dann alles, entsprechend der Folge und Ordnung Ihrer Lehrsätze. Im Falle, daß man einander nicht befriedigen kann, hielten wir es für der Mühe wert, es anzumerken und an Sie zu schreiben, damit Sie uns womöglich Aufklärung geben." Vgl. ferner Brief 9. - Geht man andererseits von der Annahme aus, daß die Abhandlung, so wie sie jetzt vorliegt, keine Briefbeilage gewesen ist, sondern einen Teil eines Briefes an Jan van der Meer ausgemacht hat, dann legt sich auch die Annahme nahe, daß es van der Meer 20

XX

EINLEITUNG

Die Rasanz der wissenschaftlichen Entwicklung in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts wird in gewisser Weise aus der Ratlosigkeit des Herausgebers deutlich, der einerseits den Blick auf die Forschungsergebnisse der vorhergehenden Generation gerichtet hält und andererseits andeutet, daß er die Veröffentlichung hauptsächlich im Interesse der jüngeren Generation, vielleicht auch für Laien unternehme (s. S. 7). Der Herausgeber, dies kann man wohl daraus schließen, war schlechterdings nicht in der Lage, den Fortschritt, den die Forschung in den vorausgehenden dreißig Jahren erzielt hatte, zu erfassen. Dementsprechend empfiehlt er auf der Titelseite dem Publikum das Werk „zum Zwecke der näheren Verknüpfung der Physik mit der Mathematik" (s. S.3). Als der Leidener Mathematikprofessor Frans van Schooten 1657 den von Descartes geleisteten Neuerungen der Geometrie durch seine Veröffentlichung Pi.iblizität verschaffen wollte, stellte dieses Unternehmen zweifelsohne ein Desiderat dar. Dies konnte 1687, also im Jahr der Veröffentlichung der beiden hier vorliegenden Abhandlungen, nicht mehr gelten. Die wissenschaftliche Welt erwartete keine weitere Bestätigung dieser längst allgemein anerkannten methodologischen Verknüpfung. Nun erwartete man von neuen Veröffentlichungen die effiziente Analyse der Grundlagen und Resultate experimenteller Arbeit, freilich auch die Prinzipien der Umformung dieser Resultate in die Sprache der Mathematik. war, der Huygens' Problemstellungen Spinozas Lösung des ersten Problems voranstellte.

EINLEITUNG

XXI

Die Veröffentlichung erfolgte zwanzig Jahre nach der Niederschrift der beiden Abhandlungen und zehn Jahre nach Spinozas Tod. Mit der abwandelnden Weise, das berühmte Diktum von Horaz zu zitieren, in dem es heißt, daß ein Manuskript neun Jahre zurückgehalten werden solle, bevor man es publiziere (s. S. 9), beabsichtigte der Herausgeber gewiß einen versteckten Hinweis auf den nicht genannten Autor Spinoza. Für den Leser der sechziger Jahre wäre der Hinweis relativ leicht zu entschlüsseln gewesen, zumal auch Descartes in einem Brief an Mersenne von I 633 diese Wendung des Horaz verwendet hatte, in dem er sich mit der Verurteilung Galileis beschäftigte, insonderheit da diese Briefe in Glazemakers schöner niederländischer Übersetzung weite Verbreitung fanden. 1687 allerdings hatte sich das Interesse der wissenschaftlichen Welt von Galilei und Descartes in die Richtung der Diskussion über Newtons Principia und die neue experimentelle Physik verlagert. Es ist daher nicht unbedingt überraschend, daß es niemandem besonders auffiel, daß hier gerade zwei bis dahin unveröffentlichte Schriften Spinozas in Den Haag gedruckt worden waren. Es gibt gute Gründe zu der Annahme, daß Spinozas Briefpartner Jan van der Meer (1639-1686) die beiden Schriften zum Druck vorbereitete. Über seine Lebensumstände sind bisher keine Nachforschungen angestellt worden. Da diese aber für ein näheres Verständnis der Umstände der Abfassung und der Überlieferung der Texte von Bedeutung sind, sei es gestattet, hier einige Details zu vermerken. Jan van der Meer stammte aus einer Leidener Patrizierfamilie;

XXII

EINLEITUNG

sein Vater gehörte dem Magistrat an und war auch Bürgermeister dieser Stadt, von 1651-1653 übte er das Amt des Schatzmeisters der Universität aus. Es ist nicht bekannt, ob er in Leiden oder an einer anderen Universität immatrikuliert war, aber man kann annehmen, daß ihm, wie in den akademisch interessierten Patrizierkreisen üblich, die Bemühungen van Schootens und seiner Schüler bekannt waren. Vermutlich gingen die Finanzgeschäfte seines Vaters nach dessen Tod 1654 auf ihn über. Die Korrespondenz mit Spinoza über Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung nahm er daher wohl hauptsächlich aus professionellem Interesse auf, insbesondere wegen der Einschätzung des Risikos bei Lebensversicherungen. Seine Fragen an Spinoza mögen sich aus dem Versuch herrechnen, die mathematische Methodik, wie sie Huygens in den Niederlanden wirksam machte, mit der Analyse der Londoner Sterbestatistik zu verbinden, welche zu Beginn der sechziger Jahre von John Graunt veröffentlicht worden war. 21 Dafür spricht auch, daß van der Meer 1670 zum Steuereinnehmer der Regierung in Leiden ernannt wurde und in der Folge mit Johan de Witt darüber korrespondierte, ob es ratsam sei, der Regierung durch den Verkauf von Lebensrenten Finanzen zu beschaffen.22 Wenn der Herausgeber de Witts Veröffentlichung über J. Graunt: Natural and Political Observations ... upon the Bills of Mortality. London 1662-65. Vgl. 1. Hacking: The Emergence of Probability. Cambridge 1975. S. ll. 22 Vgl. Brieven aan Johan de Witt. Hrsg. R. Fruin und N. Japiske. 2 Tle. Amsterdam 1919-22. Teil II, S. 530. (24. März 1670.) Brieven 21

EINLEITUNG

XXIII

die Lebensrenten in seiner Vorrede nennt (s. S. 7), so könnte also auch dies für die Herausgeberschaft van der Meers sprechen. Es läßt sich nachweisen, daß van der Meer neben seiner Tätigkeit als Steuereinnehmer der Regierung ab 1670 auch eine sehr aktive Rolle in der Regierung der Stadt Leiden wahrnahm; allerdings läßt sich nicht feststellen, ob er seine wissenschaftlichen Interessen in dieser Zeit noch weiter verfolgte. Es ist jedoch mit einiger Sicherheit anzunehmen, daß er den Kontakt mit Spinoza nicht aufrechterhielt. Daß wir seinen Namen nicht aus den Opera Posthuma oder den Nagelate Schriften kennen, kann jedoch nicht überraschen, da die Herausgeber peinlich darauf achteten, keinen Lebenden so in Zusammenhang mit Spinoza zu bringen, daß ihm seine Namensnennung hätte schaden können. Der Name ist daher erst aus einem Brief von G. H. Schuller bekannt, in dem dieser 16 78 Leibniz Auskunft über Spinozas Briefpartner gab. Gehen wir von der Annahme aus, daß van der Meer die Papiere Spinozas besaß und sie für den Druck vorbereitete, so legen seine vielfältigen geschäftlichen Kontakte in Den Haag die Vermutung nahe, daß sich in diesem Zusammenhang die Möglichkeit ergab, Kontakt mit dem Verleger Levyn van Dyck aufzunehmen und daß daraus der Plan erwuchs, die Manuskripte zu veröffentlichen. 23 van Johan de Witt. Hrsg. R. Fruin, G. W. Kernkamp, N. Japiske. 4 Tle. Amsterdam 1906-13. Teil IV, S. 230-32. (April-Mai 1671.) 23 Zur Person von Jan van der Meer vgl.: G. van Rijckhuysen: Geslacht en Wapenboek. Teil VI. Folio 198-199. (Nicht immer auf dem letzten Stande.) Naamwyser, waar in vertoond werden de

XXIV

EINLEITUNG

II.

Die Entwicklung der Optik stellt zweifellos eines der faszinierendsten Probleme der Wissenschaftsgeschichte des siebzehnten Jahrhunderts dar24, und der ästhetische Reiz sowie die religionshistorische Bedeutung des Regenbogens, welche auch Spinoza bewußt waren (s. S.13), ließengerade diese Naturerscheinung immer wieder zum Gegenstand wissenschaftlicher Erklärungsversuche werden. Spinozas Abhandlung über den Regenbogen ist daher dem Zusammenhang der Auseinandersetzung mit der aristotelisch geprägten Physik der Scholastik zuzuordnen, welche die philosophisch-wissenschaftliche Diskussion des siebzehnten Jahrhunderts prägte. Aristoteles widmete zwei Kapitel seiner Meteorologie (III, ~)einer Explikation des Regenbogens. Ausgehend von der relativen Position der Sonne, der Regenwolke und des Auges des Betrachters kam er zu einer im großen und ganzen angemessenen geometrischen Darstellung der Größe und Form des Regenbogens. Freilich fand seine Darstellung ihre Grenze darin, daß er die Erscheinung durch die Reflexion des Sonnenlichts an der als kompakte Masse verstandenen Naamen van de Ed. Achtb. H. H. Regenten der Stadt Leyden. Tsedert den fare 1641 tot 1687. Leiden 1688. f. van Nieuwenburg: Uit de Geschiedenis van het Woudendorphofje. In: faarboekje voor Geschiedenis en Oudheidskunde van Leiden en Omstreken. Teil 55. 1963. s. 111. 24 Vgl. Anm. 12.

EINLEITUNG

XXV

Regenwolke erklärte, da er nichts von der Berechnung des Lichts in den einzelnen Regentropfen wußte. Die Konzeption der Refraktion wurde erst von Robert Grosseteste in die Erklärung des Phänomens eingebracht. Dietrich von Freiberg erblickte in großen Zügen die theoretischen Konsequenzen, die sich ergeben, wenn man sich auf die Reflexion und Refraktion bezieht, welche innerhalb der einzelnen Regentropfen stattfinden. 25 Trotz dieser Entwicklungen konnte die aristotelische Position bis zum Beginn des siebzehnten Jahrhunderts nicht als wirklich überwunden gelten. So waren beispielsweise Keplers frühe Bemühungen, den Regenbogen zu erklären, noch aristotelisch geprägt; auch die vielgelesene Explikation des Liebert Froidment war historisch-eklektischen Charakters. Selbst Descartes scheint zu seiner Explikation des Regenbogens durch ein populärwissenschaftliches Werk angeregt worden zu sein, das J. Leurechon veröffentlicht hatte. Dieser kommt darin zu dem vernichtenden Schluß: „alle Philosophen und Mathematiker, welche so viele Jahre lang die Ursachen des Regenbogens untersucht haben, haben nicht mehr gelernt als einen bloßen Anschein der Wahrheit". 26 Allerdings hatte Willebrord Snel das Gesetz der Refraktion entwickelt. Dadurch kam die Suche nach einer befriedigenderen Erklärung des Regenbogens in Gang, die darauf A. C. Crombie: Robert Grosseteste and the Origins of Experimental Science 1100--1700. Oxford 1953. 26 L. Froidment: Meteorologicum libri sex. Antwerpen 1627; sechste Ausgabe 1670. Buch 6, Kap._ 1. J. Leurechon: Recreations 25

XXVI

EINLEITUNG

abzielte, dieses Naturphänomen grundsätzlich in den Zusammenhang einer mathematisch geprägten Welterklärung einzubringen. Descartes faßt daher in seiner Abhandlung über den Regenbogen seine Haupteritdeckung folgendermaßen zusammen: Er habe die Feder ergriffen und alle Strahlen berechnet, die auf die verschiedenen Punkte eines Wassertropfens fallen, um festzustellen, in welchem Winkel sie nach zwei Refraktionen und einer oder zwei Reflexionen unser Auge erreichen. Er habe dann herausgefunden, daß nach einer Reflexion und zwei Refraktionen mehr Strahlen in einem Winkel von 41 bis 42 Grad gesehen werden können als in einem kleineren Winkel, und daß keine in einem größeren Winkel gesehen werden können. Ferner habe er herausgefunden, daß nach zwei Reflexionen und einer Refraktion mehr Strahlen das Auge in einem Winkel von 51 bis 52 Grad als in irgendeinem größeren Winkel und daß es keine Strahlen in einem kleineren Winkel erreichen. 27 Auf der Basis der Beobachtung dieser Strahlenverbündelungen um diese maximalen und minimalen Winkel gelangte Descartes zu einer verläßlichen mathematischen Grundlage für seine Spekulation über die Farben des Regenbogens. Sie ermöglichte ihm außerdem seine überzeugende Explikation der ungleichmäßigen Belichtung, welche für die Aristoteliker stets ein ungelöstes Problem geblieben war. Wenngleich Mathematiques. Pont-a-Mousson 1626. Niederld. Übers. 1636; 6. Ausg. 1673. Nr. 46. Vgl. C. B. Boyer: The Rainbow. From Myth to Mathematics. New York und London 1959. 27 Oeuvres de Descartes. Bd. VI (1965) S. 335 f.

EINLEITUNG

XXVII

Descartes' geometrische Erklärung des Regenbogens bei einigen Physikern und Naturphilosophen der Zeit auf Widerstand und Unverständnis stieß, wurde sie doch allgemein als die endgültige Lösung des Problems angesehen. Im übrigen erklären auch heute noch Lehrbücher und Lexika das Phänomen in der cartesianischen Weise. Descartes hatte seine Explikation des Regenbogens geometrisch ausgeführt und anhand von Diagrammen die Natur der Refraktion und des Zusammenhangs von Refraktion und Reflexion in jedem einzelnen Regentropfen erläutert. In seiner Geometrie von 1637 allerdings zeigte er, daß geometrische Figuren derart in algebraische Ausdrücke umgesetzt werden können, daß alles daraus Folgende durch reine Deduktion entwickelt werden kann. Diese seither als analytische Geometrie bekannte Verfahrensweise hat die damals auf den Gebieten der Mechanik, Astronomie und Optik übliche und notwendige stetigeJkrücksichtigunggeometrischer Figuren abgelöst und hat daher in der Wissenschaft rasch Anerkennung gefunden. Frans van Schooten lehrte das Verfahren mit großem Erfolg in Leiden und veröffentlichte 1649 eine lateinische Version der Geometrie seines Lehrers Descartes. Zehn Jahre später kam eine zweite Auflage des Werks heraus, welche um einen ausführlichen Kommentar erweitert war und wichtige Artikel verschiedener seiner Anhänger, z.B. Jan Hudde und Johan de Witt, enthielt. 28 28 ·

Geometria, a Rena~o Des Cartes. 2 Tie. Amsterdam 1659-61.

:xxvm

ElNI.EITUNG

Spinozas Abhandlung über den Regenbogen kann als Teil der gemeinsamen Bemühungen dieser Gruppe angesehen werden, die analytische Geometrie fortzuentwickeln. Spinoza nimmt damit einen der erfolgreichsten Beiträge des Descartes zur Physik seiner Zeit auf, der eindrucksvoll die Überlegenheit der neuen Physik gegenüber der durch Aristoteles geprägten vormals gültigen Naturerklärung belegte. Da Spinoza jedoch der Aufweis der Begründung der beiden Regeln in Descartes' Darstellung des Regenbogens fehlt und er ,Liebhabern der Algebra' auch die Grundlage der von Descartes gebotenen Berechnungstafeln bieten will (s. S. 19), liefen er diese nach und setzt die Darstellung in eine algebraische Ausdrucksweise um. Die Abhandlung kann daher der Entwicklung der angewandten Mathematikzugerechnet werden, welche mit der ersten Formulierung symbolischer Algebra ihren Anfang genommen hatte und einen Höhepunkt erreichte, als Leibniz und Newton die Infinitesimalrechnung entwickelten. Es war andererseits nicht zuletzt Spinozas praktische Beschäftigung mit optischen Problemen, nämlich seine offenbar hochspezialisierte Herstellung optischer Linsen, die seine Aufmerksamkeit auf Descartes' Explikation des Regenbogens lenkte. Trotz dieser empirischen Einblicke auch in die experimentelle Physik setzt Spinoza offenbar einfach physikalische Regeln voraus, welche seinen algebraischen Berechnungen erst ihren effektiven analytischen Charakter verbürgen. In wissenschaftshistorischer Sicht muß daher festgestellt werden, daß Spinoza durch sein rein methodologisches Interesse hinsichtlich der bahnbrechenden Untersuchungen der empirischen

EINLEITUNG

XXIX

Gegebenheiten, welche in seiner Zeit Hooke, Huygens und Newton anstellten und die auch heute noch in naturwissenschaftlicher Sicht Interesse erwecken, offenbar keine Anstrengungen unternommen hat. Wenn man es als Schwäche der Abhandlung über den Regenbogen ansehen kann, daß Spinoza darin den Zusammenhang von wissenschaftlicher Fundierung und unvermeidlicher Ungenauigkeit in der experimentellen Physik zu wenig berücksichtigt und seine Abhandlung daher in naturwissenschaftlicher Sicht kein großes Interesse erwecken kann, so machen diese Gesichtspunkte gerade die Modernität der zweiten Abhandlung aus, der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Reeckening van Kanssen). Stochastische Erwägungen werden gemeinhin als zentrale Problematik empirischer Wissenschaft angesehen und ihre Geschichte weist weit zurück, wenn man sie im Zusammenhang der dialektischen Spannung zwischen den Kategorien des Einen und des Vielen und der Spekulation hinsichtlich des Verhältnisses von Zufall und Notwendigkeit betrachtet. So ist die Frequenztheorie zu möglichen Ereignissen beispielsweise bereits von Aristoteles in seiner Rhetorik (135 7 a) formuliert worden: „Eine Wahrscheinlichkeit ist etwas, das gewöhnlich geschieht; allerdings nicht, wie es nach einigen Definitionen scheint, alles was gewöhnlich geschieht, sondern nur das, was zur Klasse des Kontingenten oder des Variablen gehört. Es hat die gleiche Relation zu dem, demgegenüber es wahrscheinlich ist, welche das Besondere gegenüber dem Allgemeinen hat." - Im Mittelalter gab es keinen wesentlichen Fortschritt über diese Auffassung hin-

XXX

EINLEITUNG

aus. Die Wahrscheinlichkeitstheorie bestand daher in dieser Epoche lediglich in der Klassifizierung von Ereignissen als sicher, wahrscheinlich und nicht erkennbar. Erst im sechzehnten Jahrhundert wurde eine klare Unterscheidung zwischen dem induktiven, klassifizierenden Vorgehen und der mathematischen Berechnung der Wahrscheinlichkeit getroffen. Den ersten Versuch, eine Wahrscheinlichkeitstheorie aus obersten Prinzipien zu deduzieren, stellte der italienische Mathematiker, Arzt und Philosoph Geronimo Cardano, Zeitgenosse des nun berühmteren Giordano Bruno, an. Sein Ziel war eine rein mathematische Verfahrensweise, welche durch empirische Daten nicht falsifiziert werden konnte. Als begeisterter Spieler wählte er das Glücksspiel als Ausgangspunkt seiner Überlegungen zum Problem der Wahrscheinlichkeit. Sein Werk über das Glücksspiel wurde im übrigen zuerst 1663 in Amsterdam publiziert. Die prinzipielle Voraussetzung, die ein gerechtes, ,faires' Spiel garantiert, ist für Cardanodie „aequalitas", die sich als Chancengleichheit grundsätzlich auf alle das Spiel betreffenden Umstände zu beziehen hat. 29 Girolamo (Hieronymus) Cardano: Liber de Ludo in Aleae. In: Opera Ornnia. Lyon 1663. Repr. New York und London 1967. Bd. 1, S. 263: „Est autem, ornnium in Aleae principalissimum, aequalitas, ut pote collusoris, astantium, pecuniarum, loci, fritilli, Aleae ipsius." Vgl. 0. Ore: Cardano-The Gambling Scholar. Princeton 1953, S. 202: „We should consider the whole circuit (i. e. all the possibilities), and the number of those casts which represents in 29

EINLEITUNG

XXXI

Der Ausgang von der konkreten Situation des Glücksspiels bedeutete allerdings in diesen frühen Anfängen keine ,naive' Einschränkung allein auf ein Errechnen von Spielchancen. Vielmehr wurde offenbar die Situation des Spiels als konzentrierte Rekonstruktion einer jeden möglichen Kontingenz verstanden. Das Auffinden von Regelzusammenhängen in diesem Kontext bot sich freilich für die entsprechenden Untersuchungen an, da der allgemeine Gesamtzu~ammenhang kontingenten Geschehens sich hier bereits durch gültige Spielregeln gewissermaßen parzelliert darstellte. 30 Die Tatsache, daß der Chevalier Antoine de Mere Pascals Aufmerksamkeit auf das Wahrscheinlichkeitskalkül gelenkt hat, das in Glücksspielen enthalten ist, wird im allgemeinen als der Ansatz der deduktiven Wahrscheinlichkeitstheorie angesehen, welche bis zur Zeit von Laplace vorherrschte und zu der Spinoza seinen Beitrag· leistete. Pascal führte mit Fermat einen Briefwechsel über dieses Thema, und er informierte die Pariser Akademie über seine Absicht, eine Abhandlung über dieses Thema zu verfassen. Es war jedoch Huygens, der als erster zu diesem Thema sein Ratiociniis in aleaeludo !Amsterdam 1657) veröffentlichte. Alle diese Begründer der Wahrscheinlichkeitstheorie ginhow many ways the favorable results can occur, and compare that number to the remainder of the circuit, and according to that proportion should the mutual wagers be laid so that we may contend on equal tenns." 30 Vgl. Spinoza: Briefwechsel. Nr. 37. S. 165.

XXXII

EINLEITUNG

gen von der Grundannahme aus, daß, ebenso wie die analytische Geometrie des Descartes es ermöglicht, nichtideale Punkte, Linien und Oberflächen genau zu berechnen, die algebraische Kalkulation der Gewinnchancen im Glücksspiel uns in den Stand setzen würde, die algebraische Berechnung von Möglichkeiten, die präzise Vorausberechnung eines sonst als zufällig zu betrachtenden Ereignisses zu erzielen. Die übliche Weise, sich der Problematik zu nähern, war zwar das Beispiel des Glücksspiels, als Feld der eigentlichen Anwendung wurde jedoch schon in dieser frühen Phase das Feld kaufmännischer Risiken gesehen, wie es z.B. das Feld der Versicherungen darstellte. Die Erwartungen dehnten sich allerdings auch auf das Gebiet der Jurisprudenz, Politik und sogar die Theologie aus. Der führende Politiker des niederländischen Großbürgertums, der Ratspensionär Johan de Witt, erblickte dementsprechend rasch die Möglichkeit, die Mathematisierung von Risiken kaufmännisch auszuwerten, indem er sie auf das Geschäft mit Lebensversicherungen bezog3 1, denn aus der Berechenbarkeit der Chancengleichheit ergab sich bereits früh der Blick auf eine gewinnträchtige Verbesserung der eigenen Ausgangsposition. Huygens zeigt in grundsätzlicher Weise den Ausgangspunkt dieses Beziehungssystems. Natürlich geht auch er von der Spielsituation aus: 11Wenn auch in den Spielen, in denen allein der Zufall entscheidet, die Ergebnisse unsicher sind, so hat doch die Chance (Kans-

J. de Witt: Waerdye van Lyf-Renten Naar proportie van LosRenten. Den Haag 1671. 31

EINLEITUNG

XXXIII

se), die jemand hat, zu gewinnen oder zu verlieren, ihre sichere Bestimmtheit." Grundlegende Voraussetzung einer solchen Bestimmung ist für Huygens dann allerdings die ebenbürtige Ausgangsposition der Spieler: 11 Ich nehme zur Grundlage der Aussichten beider, daß bei Spielen die Aussicht (Kansse), die jemand auf irgend etwas hat, ebensoviel wert ist wie das, welches er durch regelmäßiges Spiel erreichen kann, das heißt, daß niemand Verlust droht. Zum Beispiel: Wenn jemand ohne mein Wissen in einer Hand 3 Schillinge verbirgt und in der anderen 7 Schillinge und mir die Auswahl läßt, welche Seite ich haben möchte, so ist dies für mich ebensoviel wert, als ob ich 5 Schillinge sicher hätte. Denn wenn ich 5 Schillinge habe und mir andererseits die Möglichkeit geboten wird, die gleiche Aussicht auf den Gewinn von 3 oder von 7 Schillingen zu haben, dann ist es ein gerechtes Spiel. " 32 Er erprobt sein Prinzip in der Folge an einer Reihe zunehmend komplexerer Problemstellungen. Die ersten drei dieser unter dem Titel ,Voorstel' angeführten Problemstellungen betreffen die Gewinnwahrscheinlichkeit, die sich im Glücksspiel unter der Voraussetzung von zwei oder drei gleichen Ausgangspositionen und der von zwei ungleichen Ausgangspositionen ergibt. In den folgenden Problemstellungen geht es Huygens um die konkreten Spielergebnisse oder Gewinnpunkte, die in Spielen zwischen zwei oder drei Partnern erwartet werden können, und die Möglichkeit einer mathematischen Vorausberechnung der zu erwartenden Ergebnisse. In den letzten fünf 32

C. Huygens: Oeuvres Completes. Bd. XIV, S. 61 L

XXXIV

EINLEITUNG

Problemstellungen grenzt Huygens seine Untersuchungen dann auf die Situation des Würfelspiels ein. Zum Abschluß stellt er fünf Probleme zur Diskussion, wobei er das erste und das dritte von Fermat und das fünfte von Pascal übernimmt und das zweite sowie das vierte selbst entwickelt. Eben diese beiden von Huygens selbst entwickelten Problemstellungen aber waren nicht eindeutig, da die Regeln nicht eindeutig formuliert waren, was sich bereits in seinem Briefwechsel mit Johannes Hudde im Jahre 1665 erwies. Trotzdem war diese Abhandlung so aufschlußreich, daß sie das Standardwerk zur Wahrscheinlichkeitsrechnung blieb, bis 1713 Jakob Bernoullis Ars conjectandi erschien. Spinoza seinerseits befaßt sich in seinem Brief an Jan van der Meer33 mit der Situation des Spiels. Offenbar hatte ihn van der Meer nach den Möglichkeiten einer gerechten Verteilung der Gewinnchancen bei Glücksspielen befragt. Spinoza stellt in einer relativ schlichten Weise die Möglichkeiten der Herstellung einer für alle Spielteilnehmer gleichen Ausgangsposition dar. Wenn seine Formulierungen auch eher darauf deuten, daß die Problemlösung seine eigene Leistung sei, so ist doch kaum vorstellbar, daß Spinoza Huygens' Abhandlung nicht zur Kenntnis genommen hätte, zumal sich ein Exemplar der lateinischen Ausgabe von Huygens' Abhandlung in Spinozas Bibliothek befand. Interessant ist ein gewisses Schwanken der Terminologie innerhalb dieses Briefes, dessen niederländisches Original freilich nicht mehr erhalten ist. Bezeichnet der Text 33

Spinoza: Briefwechsel. Nr. 38.

EINLEITUNG

XXXV

der Opera Posthuma die Gewinnerwartung mit der Bezeichnung ,sors', so tritt anfangs im Text der Nagelate Schriften, für die eine redaktionelle Bearbeitung des Originals nicht auszuschließen ist, neben ,kans' als Ausdruck für die Gewinnwahrscheinlichkeit das Wort ,lot', das eine wörtlichere Übersetzung von ,sors' darstellt und zunächst wohl in fundamentalerer Weise die Erwartung des glücklichen Spielausgangs ausdrückt. In der Folge allerdings spricht Spinoza die Gewinnwahrscheinlichkeit nur noch mit dem Ausdruck ,kans' an. Offenbar schließt sich Spinoza damit der bereits von Huygens vorgeprägten Wortwahl an. Die mathematische Problematik, die Spinoza in seiner Reeckening van Kanssen (Berechnung von Wahrscheinlichkeiten) behandelt, ist erheblich komplizierter als die relativ einfachen Überlegungen in dem Brief. Der fragmentarische Charakter der Schrift wird allerdings daraus deutlich, daß Spinoza (oder der Herausgeber; s. o. Anm. 20) die fünf Probleme von Huygens übernimmt, die dieser am Schluß seiner Abhandlung zur Diskussion stellt, daß er jedoch nur die Lösung des ersten Problems durchführt. Dieses Problem war ursprünglich 1656 von Fermat aufgestellt worden. Huygens veröffentlichte es zwar zusammen mit der Lösung, er gab jedoch nicht an, vermittelst welcher Methode er zu dieser Lösung gekommen war. Es ist anzunehmen, daß Spinoza, angeregt durch einen Gedankenaustausch mit van der Meer über die Bedeutung von Huygens' Buch, den Weg der Auflösung vorführen wollte. Besonders bemerkenswert erscheint an Spinozas Ausführungen der Nachdruck, den er auf die Wichtigkeit der Befolgung der zweiten Regel aus

XXXVI

EINLEITUNG

Descartes' De Methodo II legt: „jedes Problem, das ich untersuchen würde, in so viele Teile zu teilen, wie es angeht und wie es nötig ist, um es leichter zu lösen. " 34 III.

Es ist offenbar der methodologische Einfluß des Descartes, der Spinozas Abhandlung über den Regenbogen und die Wahrscheinlichkeit mit dem mos geometricus der Ethica verbindet. 35 Als maßgeblich kann dabei die in den Regulae ad directionem ingenii aufgestellte Grundforderung gelten, „daß, wer den richtigen Weg zur Wahrheit sucht, mit keinem Gegenstand umgehen darf, über den er nicht eine den arithmetischen oder geometrischen Beweisen gleiche Gewißheit gewinnen kann" 36, wenngleich das Werk erst nach Descartes' und Spinozas Tod veröffentlicht wurde. In den hier vorliegenden Abhandlungen wird vornehmlich der Einfluß von Descartes' De Methodo sichtbar. Entsprechend der dritten Regel des zweiten Kapitels dieser Schrift muß der Philosoph seine Gedanken in die ,gehörige Ordnung' bringen, „d. h. mit den einfachsten und am leichtesten zu Zitiert nach: R. Descartes: Von der Methode. Hrsg. L. Gäbe. Hamburg 1960. S. 15. 35 S. von Dunin-Borkowski: Der junge Despinoza. Münster 1910. S. 398-416. H. G. Hubbeling: Spinoza's Methodology. Assen 1967. S. 33f., S. 130, S. 136. H. A. Wolfson: The Philosophy of Spinoza. New York 1969. Bd. I, S. 32-60. 34

EINLEITUNG

XXXVII

durchschauenden Dingen beginnen, um so nach und nach, gleichsam über Stufen, bis zur Erkenntnis der zusammengesetztesten aufzusteigen". 36 Entsprechend dieser Regel geht Descartes im Falle des Regenbogens von dem vergleichsweise einfachen dioptrischen Gesetz der Refraktion als unmittelbarer Voraussetzung für die wissenschaftliche Explikation des komplizierten meteorologischen Phänomens aus. In grundsätzlich genetischer Weise gewendet ist diese Verfahrensweise in den beiden hier vorliegenden Abhandlungen zu finden und bestimmt auch grundlegend das methodische Vorgehen der Ethica. Die ins Auge fallenden Unterschiede in der Behandlung der Mathematik und der Naturwissenschaft liegen nicht so sehr in der grundlegenden Methodologie bei Spinoza und Descartes als vielmehr in der unterschiedlichen Auswertung der Behandlung dieser Gebiete. Descartes, der sich gegen die aristotelisch geprägte Scholastik wandte und deren Lehreinfluß an den Universitäten zurückdrängen wollte, verfaßte nicht zuletzt aus diesem Grunde seine Abhandlung über die Geometrie und widmete sich auch detaillierten Problemen der Mechanik, der Astronomie, aber auch der Physiologie und Medizin. Spinoza hatte offenbar kein Interesse an der Ausbildung einer ,Schule' an den Universitäten. Bekanntlich hat er ja auch das Angebot einer Professur in Heidelberg ausgeschlagen. Sein Interesse galt allein dem Aufweis der grundsätzlichen Erkennbarkeit der Welt zum Zwecke einer vemunftgemäßen Lebensge36

R. Descartes: Von der Methode. Ibid.

XXXVIII

EINLEITUNG

staltung, die er als einzig ethische akzeptierte. Hinsichtlich der Inhalte der Naturwissenschaften gibt er sich daher damit zufrieden, die allgemeinen Rahmenbedingungen ihrer Erkenntnis aufzuzeigen (Ethica II, Prop. 13). Es scheint zunächst eindeutig, daß Spinoza bei der Bewertung des empirisch-experimentellen Vorgehens in den neuen Wissenschaften gemäß dem geringen Erkenntniswert, den er der ersten Erkenntnisart, der imaginatio, gegenüber den höheren Erkenntnisarten ratio und scientia intuitiva beimißt, zu negativen Resultaten kommen mußte. Freilich erweist sich bei genauerem Zusehen, daß dem verhältnismäßig geringen aktualen Erkenntniswert der höchsten Erkenntnisart sogar eine Höherbewertung der imaginatio gegenüber der scientia intuitiva korrespondiert, wobei allerdings die zweite Erkenntnisart den absoluten Vorrang erhält.37 Zentrale Aufgabe der wissenschaftlichen Naturbetrachtung hat dementsprechend die rational begründende Zuordnung der empirischen Daten zu sein. Wie diese Aufgabe praktisch durchzuführen sei, zeigt Spinoza mit der Auflösung des realen Phänomens ,Regenbogen' in algebraische Zeichen und mit der Formulierung der zu erwartenden Gewinnwahrscheinlichkeit im Glücksspiel durch die Sprache der Mathematik. Gemeinsames Ziel dieser Anstrengungen, wie auch seiner eigentlich philosophischen Schriften, ist also die Erhebung der Erkenntnis von ungesicherter Einzelheit und temporal bestimmter KontinVgl. zu dieser Problematik: C. De Deugd: The Significance of Spinoza's First Kind of Knowledge. Assen 1966. 37

EINLEITUNG

XXXIX

genz auf den Rang eines ewig gültigen rationalen Regelzusammenhanges. Ob freilich Spinoza den wissenschaftlichen Einzeluntersuchungen der Natur grundsätzlich ein geringeres Interesse entgegenbrachte, so daß aus diesem Grunde eher nur nebensächliche Untersuchungen zu dieser Thematik überliefert sind, oder ob ihm der Tod keine weitere Vertiefung in diese Thematik gestattete, ist wohl nur schwer zu entscheiden. In einem seiner letzten Briefe jedenfalls erkundigt sich Spinoza bei Tschirnhaus nach der Art der neuen Entdeckungen über die Strahlenbrechung.38

Ob Spinoza sich hier auf die Entdeckung der doppelten Strahlenbrechung im isländischen Kßstall durch den Dänen Erasmus Bartholinus von 1669 bezog oder aber auf die Lichtbrechung im Prisma, durch welche weißes Licht in Farben auseinanderfällt, eine Entdeckung, die Newton durch eine Mitteilung an Oldenburg bekannt machte und die jahrelang diskutiert wurde, - ist kaum zu -entscheiden. {Vgl. Spinoza: Brie1wisseling. S. 513.j 38

BIBLIOGRAPHISCHE NOTIZ Originalausgabe Anonym: Stelkonstige Reeckening van den Regenboog. Reeckening van Kanssen. Den Haag 1687. Weitere Ausgaben Stelkonstige Reeckening van den Regenboog. In: Ad Benedicti de Spinoza Opera quae supersunt Supplementum. Hrsg. [. van Vloten. Amsterdam 1862, S. 252-285. Stelkonstige Reeckening van den Regenboog. Reeckening van Kanssen. In: Opera quotquot reperta sunt. Hrsg. [. van Vloten und[. P. N. Land. 2 Bde. Den Haag 1882-83. Bd. II, S. 507-524. B. de Spinoza: Stelkonstige Reeckening van den Regenboog en Reeckening van Kanssen. Hrsg. [. P. N. Land. Den Haag 1883. Twee Zeldzame Werken van Benedictus Spinoza. Hrsg. B. de Haan. In: Nieuw Archief voor Wiskunde. XI, 1884. S. 49-82. B. de Spinoza: Stelkonstige Reeckening van den Regenboog en Reeckening van Kanssen. Two nearly unknown Treatises. Hrsg. B. de Haan. Leiden 1884. Spinoza Opera Hrsg. C. Gebhardt. 4 Bde. Heidelberg 1925, 2 1972. Bd. IV, S. 345-362. B. de Spinoza: Algebraic Calculation of the Rainbow. Faksimile der Originalausgabe mit einer Einleitung von G. den Doesschate. (Dutch Classics on the History of Science, Bd. V.) Nieuwkoop 1963. Stelkonstige Reeckening van den Regenboog en Reecke-

XLil

BIBLIOGRAPHISCHE NOTIZ

ning van Kanssen. Hrsg. M. J. Petry. In: Spinoza: Karte Geschriften. Amsterdam 1982. S. 495-533.

Übersetzungen Iridis Computatio Algebraica, ad ma;orem physicae matheseosque connectionem. In: Ad Benedicti de Spinoza Opera quae supersunt Supplementum. Hrsg. f. van Vloten. Amsterdam 1862, S. 252-285. Spinoza: Calcul des chances. In: Oeuvres Completes de Christiaan Huygens. 22 Bde. Den Haag 1888-1950. Bd. XIV. 1920. S. 29-31. (B. de Spinoza): Calculus of Chances. In: f. Dutka: Spinoza and the Theory of Probability. (Scripta Mathematica. Bd. XIX. Nr. 1. März 1953. S. 24-33.) Abhandlungen f. Dutka: Spinoza and the Theory of Probability. In: Scripta Mathematica. Bd. XIX. Nr. 1. März 1953. S. 24-33. R. McKeon: Spinoza on the Rainbow and on Probability. In: Harry Austryn Wolfson. fubilee Volume. ferusalem 1965. Bd. II, S. 533-559. M. f. Petry: De Regenboog. In: Spinoza. Kernmomenten in zi;n Denken. Baam 1977. S. 31-43.

BARUCH DE SPINOZA

Stelkonstige Reeckening van den Regenboog Algebraische Berechnung des Regenbogens

STELKONSTIGE

REECKENING VAN DEN

REGENBOOG, 'Dienende tot naedere famenknoping der N lltuurhtntle met de Wiskon.ften.

1 N 's G R A V E N H A G E , Ter Druckerye van LE VYN VAN DYCK 1 M. DC. LXXXVII.

Algebraische Berechnung des REGENBOGENS

zum Zwecke der näheren Verknüpfung der Physik mit der Mathematik

Den Haag In der Druckerei von Levyn van Dyck 1687

Cicero Tuscu!11n11rum qu,efiionum Lib. 1 • in princ. In fummo apud illos honorc Gcometria fuit , itaque nihil Mathcmaticis illufirius. At nos mericnd.irati.onandi.que utilitate hujus artis tcrminavimus modum.

1Jy haer , te -weten by de qriecken , is Je &eet1\pnfl in z..eer groot aen\jcn ge'Weefl. Zo datter niet uyt„ muntendcr 'Was 4/sde lVisk.onflenaers; maer li'y, namem/ijck de 'R.,omeynen , bebben de mtlte van de:ze ~11.Jl bepae!t met de 11t1ttigfaqdt )an l'lltttm m van teilen.

CICERO TUSCULANARUM QUAESTIONUM LIB. 1 IN PRINC.

5

In summo apud illos honore Geometria fuit, itaque nihil Mathematicis illustrius. At nos metiendi rationandique utilitate hujus artis terminavimus modum. Das bedeutet

Bei jenen, nämlich bei den Griechen, hat die 10 Geometrie in sehr hohem Ansehen gestanden. So daß nichts ausgezeichneter war als die Mathematiker; aber wir, nämlich die Römer, haben die Größe dieser Kunst eingegrenzt auf die Nützlich• keit des Messens und des Zählens.

JE~

'DE3'(_,LEZE7\.

t.Alhoe'welmen, 'Befcheydt Lez..er, met dez.,e ~cke­ ningb niet geerne de qeleerde zoude mishagen ; zoo is eghter het vernYJl(JlJen, dat hec 'fJOoorheelden l1an de Heer Hudde , 'Burgemeejler van dmjlerdam , in z;.!fne 11erkQrtinge der 11ergelij"ckingm , en 'Vajje en.Igemeene 1{.egels der grootjle en der k/_eynfle; van Je ~eer Huygem , 'Poorwaer den Ocghappei l1an alle die geene , die deZ! l(onjlen bemimJen, in verfcheyde van Z,J11t geefoge en nogtans z._eet doorwerk,te Schriften ; en 1'a1l de Heer de l-Vitt, in -::J1n leven ~edtpenjionaris va11 Hollandt, in z;jjne klare bejcbrij11i11ge der K..cgeijneden , cn waml;c 1'an Lijjrenten tegem Lofrenteu. IF"ar:rom het tc meer l1oor die geene , die geerne )an ecn ieder , cen 'Wcymgb leergi'erigh z:Jinde, iJNde 1't.rjlaen werden, gc„ oorlojt is, -v.m het befttntle een aer1'M1~ nemende allenskens op te ~limmen, en met Jen 'R_egenboogh als 11an de11 grondt te beginnen. 'By gelcgentbe„dt dan, dat iemandt &ezjgh 'Was met zjgh te oe!fenen in de ~s eerjle 'Boecken 1Jan

ANDEN LESER

s

* 10

* 1s

*

20

*

Obzwar man, geneigter Leser, mit dieser Berechnung nicht ohne Not den Gelehrten verstimmen sollte; so besteht doch das Vertrauen, daß es das vornehmste Augenmerk davon, etwas an den Tag zu bringen, sein sollte, dem Ungelehrten zu Hilfe zu kommen. Hierfür hat man in diesen Landen für die ;ungen Leute, die arbeitsam sein wollen, die guten Vorbilder des Herrn Hudde, Bürgermeister von Amsterdam, mit seinen Verkürzungen der Gleichungen und seinen festen und allgemeinen Regeln der Maxima und der Minima; des Herrn Huygens, fürwahr der Augapfel von allen denen, welche diese Wissenschaften lieben, in verschiedenen seiner geistreichen und dennoch sehr ausgearbeiteten Schriften; und des Herrn de Witt, zu Lebzeiten Ratspensionär von Holland, in seinen klaren Beschreibungen der Kegelschnitte und seiner Bewertung von Leibrenten gegen Losrenten. Weshalb es um so mehr für diejenigen, welche gern von einem jeden auch nur ein wenig Lernbegierigen verstanden werden möchten, gestattet ist, vom Bekannten auszugehen und allmählich aufzusteigen und mit dem Regenbogen ebenso von Grund an zu beginnen. Bei Gelegenheit dann, als ;emand damit beschäftigt war, sich in den ersten sechs Büchern

..;! E :J( 'DE3( LEZE1\ ")4n Euclides, zo heeftmen de~ aenmenk,ingen, die l1ol:em de leffe 'Van Horatius meer dan tieu jarm in een hoec1 alleen het light toevtrtroU?Pt met dit in~ght, op Jat de 11en~melingen zo11den lytnnen f{fen de nuttigheydt , en het gebru1ck der beginfelen, die Q ~ou­ Jea mogen hebben geleert, ende ooc~ hoe ?;,Ytr de kennijfe der Stel~onjl den geenen , die met de?;,Y fijne ptnfelen Cjodts heerlijcke JChepfelen maer l1oor een /tJeyn gedeelte :zyec~1111ateboot~n, van noden is. Indien ghy hierdoor, r.Beminde Le~r, l/Jert opge?Declz.E. , om de~ gemeenz..ame 'IPJ~ va11 betraghtinge , en nael1r;tj/i11ge der natuurlijk!_ redm 11iet te verweryen; zo z..al de?;,Y geringe proeve mter goedts veroorz..tteckt hebbm , alsmen ?Jgh ~ude hebben tlerven be/o')Jen. r aett 'llJ1l.

REEC-

AN DEN LESER

9

• des Euklid zu üben, so hat man diese Anmerkungen, die der Belehrung des Horaz zufolge mehr als • zehn fahre in einer Ecke gelegen hatten, allein aus der Einsicht ans Licht gebracht, daß die Anfänger s den Nutzen und die Anwendung der Prinzipien sollten einsehen können, die sie gelernt haben möchten, und auch, wie sehr die Kenntnis der Algebra denjenigen vonnöten ist, die diesen feinen Pinselstrich in Gottes herrlicher Schöpfung zu10 mindest zu einem kleinen Teil nachzuahmen suchen. Falls Sie hierdurch, geliebter Leser, angeregt werden, diese wohlerprobte Weise der Betrachtung und der Nachforschung der natürlichen Vernunft nicht zu verwerfen, so wird dieser geringe 1s Versuch mehr Gutes verursacht haben, als man sich hätte versprechen dürfen. Leben Sie wohl.

REECKENING VAN DEN

REGENBOOG. Die geene , die een weynig kenniffe hebben van de Wetenfchappen , dienende om het gezigt , het edelfl:e van onze uyterlijke zmnen, behulpzaem te zyn, ofte om het zelvc teverluftigen, zijn nictonkrindig, dat als de ftralen van de Zon, ofte van het ligt fcheefachtigh vallen op een v lack van glas, van water, ofte van cenige andere voghtigheyt, dezelve in 't begin van dat vlack niet meer recht, ofte volgens een reghte linie , maer fchuyns ofte afgefchampt doorgaen, opdczelve wijze, gclijckmcn by dagelijxze ondervindinge cen ftock ofrc roeyricm in ~t water, als gebroken A zict,

(1)

11

BERECHNUNG DES REGENBOGENS Diejenigen, welche einige Kenntnis von den Wissenschaften haben, die dazu dienen, dem Sehen, dem edelsten unserer äußeren Sinne, behilflich zu s sein oder dasselbe zu erfreuen, sind nicht unwissend darüber, daß, wenn die Strahlen der Sonne oder des Lichts schief auf eine Fläche von Glas, von Wasser oder irgendeiner anderen Feuchtigkeit fallen, dieselben nach dem Auftreffen auf die Fläche io nicht mehr gerade oder in einer geraden Linie fortschreiten, sondern schräg oder abgeleitet, auf dieselbe Weise, wie man in alltäglicher Erfahrung einen Stock oder einen Ruderriemen im Wasser als gebrochen

'.2.

REECKENING VAN

ziet, en datmcn dit breecken, ofte fchampen der firalen hunne refractie noemt. Hun is medc niet onbekent , datmcn aen de wcerfl:uyt van dczcl ve fl:ralen , wanncerze door de foelie, die achter een glas offpiegel is , ofte iet diergelij x, niet kunnen doororeken , maer wederkcren, oock gewoon is te gevendenaem van reB.ed:ic , waerom wy geen fwarigheyt zullen maken zomtijts diergelijcke woorden, beter verll:acn werdende, als de nederduytze, te gebruycken. Dewijle dan den Rcgenboogh, dat heerlijck teecken des V erbonts voor de Godtsgeleerdc , by de natuurkundige volgens degrontwettcn , door God.t de Heere de gefi:liapenc dingen medegedeelt, wert geoordeelt veroorzaeckt tc weraen door de refractie cn rdlexie van de firalcn van de Zon , vallende op een ontallijckc menighte van kleyne droppelen waters : zoo is het zcer aanmerkens weerd.igh voor .de jonge liefhebbers der Wiskonfl:en , dat hacren grotcn voorganger de Heer Def-

cartes

(2)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

13

sieht, und daß man dieses Brechen oder Abweichen der Strahlen ihre Refraktion nennt. Ihnen ist weiterhin nicht unbekannt, daß man den Widerprall derselben Strahlen, wenn sie durch die Folie, die s hinter einem Glas oder Spiegel ist, oder etwas dergleichen nicht durchbrechen können, sondern wiederkehren, auch gewohnt ist, mit dem Namen der Reflexion zu bezeichnen, weshalb wir gelegentlich derartige Worte, welche besser zu verstehen 10 sind als die niederdeutschen, ohne Umstände ge• brauchen werden. Da nun der Regenbogen, das herrliche Zeichen des Bundes für den Theologen, von dem Physiker entsprechend den Grundgesetzen, die Gott der is Herr den geschaffenen Dingen mitgeteilt hat, so beurteilt wird, daß er durch die Refraktion und Reflexion der Sonnenstrahlen verursacht wird, welche auf eine unzählige Menge von kleinen • Wassertropfen fallen: daher ist es sehr der Auf20 merksamkeit der jungen Liebhaber der Mathematik wert, daß ihr großer Vorgänger Herr Desicartes

DEN RE GE NB 0 0 G. 3 cartes niet alleen aenwijft, dat de onderfte en voornaemfte Regcnboogh wert gezien door middel van twee refrachen , en een reßexie, cn de bovenfte door twee refrachen en twee reßexien , cn dacrom zigh ßaeuwer vertoont, als de eer!l:e , of de voornaemfte ; maer daer cn boven, dat hy oock door reeckeningh bcpaelt, ende met redenen acnwijft , dat den grootften hoeck , waer in de kleynfte Regenboog kan gezien worden , of zyn hal ven middellyn niet groter kan zyn als 4 \ graden 4 7 minuten , enden alderkleynften hoeck, waer in degrootfte Regenboog kan gezien worden, ofzyn halven middellyn niet klynder kan zyn, als ; t graden, 3 7 minuten. Dog om wat verder te gaen, 't is myns oordeels een aengename uytvindinge, die hy voortbrenght over het root, geel, groen, blaeuw en diergelijke couleuren van den Regenboog, maer byzonder zietmen da.er uyt eenmerckteecken van zyncn aerdigen geeft , als hy reden gceft , waerom de rode couleur wert gczien aen de bolle ofte de uytA 2. wen-

{3)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

15

nicht allein zeigt, daß der unterste und vornehmste Regenbogen vermittelst zweier Refraktionen und einer Reflexion gesehen wird und der höchste vermittelst zweier Refraktionen und zweier Reflexios nen, weshalb sich dieser schwächer tönt als der erste oder vornehmste; aber außerdem ermittelt er auch durch Berechnung und weist mit Gründen auf, daß der größte Winkel, der im kleinsten Regenbogen gesehen werden kann, oder sein halber 10 Durchmesser, nicht größer sein kann als 41 Grad 47 Minuten und daß der allerkleinste Winkel, der im größten Regenbogen gesehen werden kann, oder sein halber Durchmesser, nicht kleiner sein kann • als 51Grad37 Minuten. Doch um noch weiter zu is gehen, es ist meines Erachtens eine erfreuliche Entdeckung, welche er über das Rot, Gelb, Grün, Blau und dergleichen Farben des Regenbogens ge* leistet hat, aber insbesondere sieht man daran ein Merkmal seines gründlichen Geistes, als er Gründe 20 angibt, warum die rote Farbe an der konvexen oder der

13 kleiner] 0: klynder statt kleynder

4

REECKENING VAN

wendige z ydc van den onderften Regen~, cn aen de hollc , ofte de inwendige zyde van de bovcnftc, tc weten , om dat hy onderzogt hebbcndc de wetten van de fchaduwe en het light, betoont, dat het middelpunt van ieder droppel waters , alwaer de groodl:e fchaduwe , ofdickte is, komt boven de refraene der ß:ralen, die tot ons oogh komen in den onderfte Rcgenboogh, en dat daerom de krachtighß:e colcur tc weten het root is onder de fchaduwe, namentlijck aen de bolle zyde, maer dat in de groodl:en Regenboog, het middelpunt van iedcr droppel waters komt onder de refraelie, die tot ons oogh komt , cn dat daerom het root komt boven de fchaduwc, te weten aen de hollc zydc. Maer vermits hy voor de beminnaers der Stelkonft,nae zij ne gewoonte, verborgen hout, op wat wyze hy de twee regels der refracnen, waer door hy zyn tafel heeft uytgereeckent , en die hy blotelijck ter neder frelt, heeft gevonden; zoo zullen wy dezelve hier korte-

lijck

(4)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

17

äußeren Seite des untersten Regenbogens gesehen wird und an der konkaven oder der inneren Seite des obersten. Er betont nämlich, weil er die Gesetze von Schatten und Licht untersucht hatte, daß s der Mittelpunkt eines jeden Wassertropfens, wo der größte Schatten oder der größte Umfang ist, sich über der Refraktion der Strahlen befindet, die unser Auge aus dem untersten Regenbogen erreichen, und daß darum die kräftigste Farbe, nämlich 10 das Rot, unter dem Schatten, das heißt auf der konvexen Seite, auftritt, daß sich aber im größeren Regenbogen der Mittelpunkt eines jeden Wassertropfens unter der Refraktion befindet, die unser Auge erreicht, und daß sich darum das Rot über is dem Schatten, nämlich auf der konkaven Seite • befindet. Da er aber für die Liebhaber der Algebra nach seiner Gewohnheit verborgen hält, auf welche Weise er die zwei Regeln der Refraktion gefunden 20 hat, auf deren Grundlage er seine Tafel berechnet hat und die er bloß voraussetzt, so wollen wir dieselbe hier in Kürze

DEN

REGENBOOG. ; lijck Stelkonftigh bewij zen , dies wy een glaze Bol ofte grote droppel waters vertonen , met den cirkel A F D G K B Z , waerinne genomen zyndezekerelengtevoor de linie HF verders gevonden werdt de ' -............. .M. linie CI, en bygeP volgemede bogen FG E„ ·--·„··-·--·enFK,en eyndelijk y 0 ook mede dehoeken X. ONP en

ae

XQ...Rop

'R

devolgende wijze.

A3

On-

(5)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

19

algebraisch bP,weisen. Deswegen werden wir eine Glaskugel oder einen großen Wassertropfen durch den Kreis A F DG KB Z [siehe die Darstellung auf S. 18] darstellen, in welchem eine bestimmte Länge s für die Linie H F angenommen wird, ferner für die Linie C 1 gefunden wird und folglich für die Bogen F G und F K und endlich für die Winkel 0 N P und X Q R und zwar auf die folgende Weise.

6

REECKENING V AN Onderftelt zijnde , dat verfcheyde ftralen ';" J, komende uyt het lighaem der Zonne , waer ~;;'..' ;,~ van hier .ccn is afgebeeld~ , met de linie Y F, ;y;/"' cvenwydig zyn mct de m1ddellyn AB, endat de halvcmiddellynC D zy gcdeeltin 10000 delen, cn dat devoorfz Y F 9000 diergelijcke dcelcn vcrrc is van de voorfz middellyn AB ,ofit!de wytevan HF: wy willen weten, hoe groot eerft, H F gegeven zynde, zal zyn de linie C I , daer nae de grote van de bogen F G en F K , en cyndelijck in wat voor een hoeck wy dezelve ftrael, nae een refl.exie in K en twee refrafüen in F cn N zullen kunnen zien in P, en oock nae twee refrachen in F en Q._en twee rcfl.exien in K en N zullen kunnen zien in R, dat is , wy willen weten de grote van den hoeck 0 N P , en de grote van den hoeck X Cl.R. Om dan voor eerft tc vinden de lenghtc van de linie C 1, dewy le ick wete , dat de reden van de refrache van het water is als 2 so tegens 187, zoomoet HF tot C 1, zijnde de twee

(6)

. BERECHNUNG DES REGENBOGENS,

21

Unterstellen wir, daß verschiedene Strahlen, die aus dem Körper der Sonne kommen, von denen hier einer durch die Linie Y F dargestellt wird, mit dem Durchmesser A B parallel verlaufen und daß der •s halbe Durchmesser C D in 10 000 Teile geteilt sei, sowie daß die besagte Linie Y F 9000 solcher Teile oder den Abstand H F von dem vorher benannten Durchmesser A B entfernt sei: Wir wollen zuerst wissen, wie lang unter der Voraussetzung, daß HF 10 gegeben ist, die Linie C 1 ist, danach suchen wir die Größe der Bogen F G und F K, und schließlich fragen wir, in welchem Winkel wir denselben Strahl nach einer Reflexion in K und zwei Refraktionen in F und N am Punkt P werden sehen 15 können, und ferner, in welchem Winkel wir ihn nach zwei Refraktionen in F und Q und zwei Reflexionen in Kund N am Punkt R werden sehen können. Das bedeutet, daß wir die Größe des Winkels 0 N P und die Größe des Winkels X Q R 20 wissen wollen. Zunächst geht es darum, die Länge der Linie C 1 zu finden: Da ich weiß, daß das Verhältnis der Refraktion des Wassers 250 zu 187 beträgt, so muß das Verhältnis von H F zu C 1, welches die

Vgl. die gro-

ßeFigurauf der anderen Seite [22J.

DEN REGENBOOG.

'1

twee linien, diederefiaCöeafineten, ook dezelve reden bebben. Ickzegge mitsdien volgens den regel van dryen 2; o, geeft 1S7 , wat geeft 9000, ofte HF? ende komt voor C I 6732.Dogom nu mede te bewij zen, dat de linien HF en CI de refra„ d:ie van het water afmeeten , zo flelle ick voor de frrael , in de nevensgaende figuur, 0 F, ende in hct punt F, van waer derefractiegaetnaer K, trecK:e ik een raecklyn, raeckende den Cirkel A F Bin F, dewijle nu volgens de leere van Defcartes in zijn tweedc Hoofdl:uk van de V erhandelingc derVerrekijkers, 0 P en R L,dezerefrad:ic afineten : zoo zullen H F en C I mcde dezc refraCb.e afmeten , om dat H F is cven zoo groot

(7)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

23

zwei Linien sind, welche die Refraktion bemessen, von der gleichen Größe sein. Der Regel vom Dreisatz folgend sage ich, wenn 250 der Zahl 18 7 entspricht, welche Zahl entspricht dann 9000 oder s HF, und es ergibt sich für CI die Zahl 6732. Doch um nun auch zu beweisen, daß die Linien H F und C I die Refraktion des Wassers bemessen, nehme ich 0 F in der nebenstehenden Figur als den Strahl, und ziehe in dem Punkt F, von dem aus die Refrak10 tion nach K fortgeht, eine Tangente, welche den Kreis A F B in F berührt; weil nun nach der Lehre von Descartes im zweiten Abschnitt seiner Ab• handlung vom Fernrohr 0 P und R L diese Refraktion bemessen: so werden H F und C 1 diese 15 Refraktion bemessen, denn H F ist ebenso

8 REECKENING V AN groot als 0 P, en C I even zo groot als R L, want dewijlc van de dryhoecK:en P 0 F en H F C de zyden 0 F en F C gelijck zyn , ofte evcn groot , te weten halve middellynen van twee gelijke cirkels, den reghten hoeck 0 P F mede gclijck aen den rechten hoeck F H C, en den uytwendigen hoeck 0 F P medc gelijck aen1 den i~w~ndigen , ,„, hoeck H C F ; zoo volgt, dat de linien 0 P ::,,2.~11e en F H med.e elkanderen gelijk zijn. Op geErrftr. lijke wijze wert mede betoont, dat delinien R L en C 1 elkanderen geli jk zijn. Vermits nu de linien 0 P en R L de refracbe afmeten, zo zullendan med.e delinien F H en CI de refradie afmeten. ,t Welk frondete bewijzen. Ten tweeden, wederom naegezien werdende de groote figuur , als deze linien H F cn C 1 gevonden zyn , zoo vintmen ook lightelijck de bogen FG en F K. Want als men het vierkant van HF afi:rekt van het vierkant van den halven middellyn C F , zoo bekomtmen een vierkant , wiens wortel is de finus.

BERECHNUNG DE.S REGENBOGENS

25

groß wie 0 P und C 1 ebenso groß wie R L; denn da in den Dreiecken P 0 F und H F C die Seiten 0 F und F C gleich, bzw. von gleicher Größe sind, nämlich halbe Durchmesser von zwei gleichen s Kreisen, der rechte Winkel 0 PF identisch mit dem rechten Winkel F H C und der äußere Winkel 0 F P identisch mit dem inneren Winkel H C F, so folgt, 1daß die Linien 0 P UJld F H einander gleich sind. Auf die gleiche Weise wird ebenso hervorgehoben, 10 daß die Linien R L und C 1 einander gleich sind. Da nun aber die Linien 0 P und R L die Refraktion bemessen, so müssen ebenso die Linien F Hund C 1 • die Refraktion bemessen. Was zu beweisen war. Zweitens, wieder in bezug auf die große Figur, da 15 diese Linien H F und C 1 gefunden sind, so findet man auch auf einfache Weise die Bogen FG und F K. Denn wenn man das Quadrat von HF von dem Quadrat des halben Durchmessers C F abzieht, so erhält man ein Quadrat, dessen Wurzel der

1 Buch/, Prop. 26.

DEN REGENBOOG. 9 finus of den hoeckmaet van dan boog F D, ofte den hoeck F C D , welcke wortel is ruym 43 58. Dit getal over een brengende met de Tafelen van Lantsbergen , van van Schoten , ofte van ymandt anders , zo hevintmen voor F C D een hoeck van 2. S graden 5o minuten , oftc om nogh naeder te kamen van 2.; graden ; o ~ minuten, waer van het dobbel is de boog F G, ofte ; 1 graden 4-l minuten. Op dezelve wyze wert de boogh F K mede bevonden te zyn 95 graden 2.2 minuten. 't Welck wyalleen uytdedriehoexmeeting hebben willen aenwyzen. Maer om tcn derden te komen tot het vinden van de hoecken 0 N P en X Q_R , dat is om te vinden , ' de halve middellijnen , J„, •• c de hooghtens van beyde de Regenbo- ~~~ orte ., Errft•· gen, gelijckmen zigh lightclijck kan ver- ~;„ ,, beelden door het verlengen van de linien !~~"j~N NP, cn Q R, · cn uyt P en R harecynden, ~r;~­ ofte het oogh des aenfchouwers , evenwydi- ~:. ,.... ge te trecken, met de middellij n AB : zo is den 1

B

EER·

(9)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

27

Sinus oder das Winkelmaß des Bogens F D ist, oder des Winkels F CD, dessen Wurzel gut 4358 beträgt. Vergleicht man diese Zahl mit den Tafeln von • Lantsbergen, von van Schoten oder von irgend s einem anderen, so erhält man für F C D einen Winkel von 25 Grad 50 Minuten oder, um noch genauer zu sein, von 25 Grad 50\4 Minuten, wovon der Bogen F G das Doppelte beträgt, oder 51 Grad 41 Minuten. Auf dieselbe Weise wird festgestellt, daß 10 der Bogen F K 95 Grad 22 Minuten beträgt. Was wir nur vermittelst der Trigonometrie demonstrieren wollten. Aber nun wollen wir zum dritten kommen, zum Ermitteln der Winkel 0 N P und X Q R, d. h. zum is Ermitteln der 1halben Durchmesser oder der Höhen der beiden Regenbogen, welches man sich auf einfache Weise vorstellen kann, indem man die Linien N P und Q R verlängert und von ihren Endpunkten P und R aus, oder vom Auge des • 20 Betrachters, Parallelen zum Durchmesser A B zieht: so ist die

1 Buch1,

Prop. 29.

Siehe dazu die Figur des Regenbogens bei Descartes .

10

REECKENlNG V AN EERSTEN REGEL.

'Datmen om

V

te be~mm

Jen hoecf\. 0 :J(P, o.fte Jen balven middel/y11, Jatis, o........._ Je hf!Dg~~e 1 ·~

'tJlllltkk/!zn- DH-,r----~f6" flen~egen-

boogh, Jen boOgb FG

moet opte1lenmeti So graden, en

, iiaJF-----1

l .---·--=_,,,__.,,, E

Y 0

aaet"P4n ttf trec~n

het Jobbel '11an Jen boogh F 1(.

&

WER-

(10)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

29

ERSTE REGEL

Daß man, um den Winkel 0 NP zu erhalten, oder den halben Durchmesser, d. h. die Höhe des kleineren Regenbogens, den Bogen F G mit 180 Grad s addieren muß und davon das Doppelte des Bogens • F K subtrahieren muß.

DE N

RE G E NB 0 0 G.

WERKING E N

11

BE W Y S.

Om dezen regcl , die Defcartes met lange en klare woorden heeft beklcedt, gclijckmen doen moet „ als men fchrijft voor de gcene, die met het enkel gebruyck te vredcn zyn, en die hy nogtans voor die geene, die geeme den grondt, ofde reden van alles weten, heeft vcrduyfrert, tc brengen , ofre te ftcllcn in frclkonfrigc tcrmcn : zo nemc ik a voor ecn winkelhaeck , of reghtcn hoeck , ofi:e een boog van 90 graden , b voor de boog F G , c voor de boogh F K , want dczc twce bogen tc vorcn gevonden zijnde, zijn bekent , x voor den hock 0 NP , cn y voor den hock G F K , die wy nocmen den hocck der refi·acbe, cn die volgens de gegcvc bogen t'clkens vcrandert, zo is dan volgcns den voorgdklden regcl den hoeck 0 NP oftc x :xi b + 2 a - l c. Om dit nu uyttcvindcn, endete bewyzen, zo neme ik x voor den hocck 0 NP , en y voor den hocck P NM 1 zyndc mcde den hoeck der rcfraCl:ie , B 2 zo

(11)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

31

ANWENDUNG UND BEWEIS

Um diese Regel, die Descartes in ausführliche und klare Worte gekleidet hat, wie man es tun muß, wenn man für diejenigen schreibt, die sich einzig mit der Anwendung zufrieden geben, welche er s jedoch für diejenigen verdunkelt hat, die gern den Grund oder die Regel von allem wissen wollen, in algebraische Form zu bringen oder in dieser Form abzufassen: so setze ich a für einen Winkelhaken oder einen rechten Winkel oder einen Bogen von 90 10 Grad, b für den Bogen FG, c für den Bogen F K, denn diese beiden Bogen sind bekannt, da wir sie bereits ermittelt haben, x für den Winkel 0 N P und y für den Winkel G F K, den wir auch den Winkel der Refraktion nennen und der sich den gegebenen is Bogen gemäß verändert. Es ist dann der vorgeschlagenen Regel gemäß der Winkel 0 N P oder x= b+2a-2c. Um dies nun herauszufinden und zu beweisen, setze ich x für den Winkel 0 N P und y für den Winkel P NM, welches auch der Winkel der 20 Refraktion ist,

12

REECKENING V AN

zoisdanden hoeck 0 NM :o x +y. Laet nu mede voltooyt werden den driehoeck F L K, ,,..,,, zo zaldenden hoeck F LK 1 medezyn x+y. ~:;~;~ Het is nu vcrder openbaer , dat den hoeck F K L medeis:o c, gelijck wy ten dienß:e van de onervarene nader hier onder bewyzen, en ~:,::;.: den hoeck L F K :io 1 : zo is ~ dan ~ + 2.J + c:212. a, 'E1rfli. en mitsdien x of 0 NP :o 2. a - 2. .J- c. Nu den boogh G K, zyndc het verfchil der bogen F K. enFG, tewetenc-b, oftedcn hoeck GCK i ,,..,, getrockcn tot het middelpunt , is 1 eens zoo ~:,;;, groot als den hoeck G F K getrocken tot den omtrek; zo is cLin G F K :o ·-. ', maerG F K was gefreit» J, zo is dany :o •-;-• , en 2 y :o c- b, en - 2y :o-c+ b. Deze -c +b dan in de bovengcmelde vergelijkingh geß:elt zynde in de plaets van -2.1, zokomtO NP ofte~ »h+2a-2c, gelijck volgens den regel was geftelt; en 't welk wy moeften bewyzen. Indien nu verders iemant moghte twyffelen, dat denhoek F K L, als mooe den hoek

Q...NMevenzogrootis, als den boogh FK,

ofte

(12)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

33

so ist dann der Winkel 0 NM= x + y. Vorausgesetzt das Dreieck F L K werde auch vervollständigt, so wird dann der Winkel F L K1 auch gleich x + y sein. Es ist nun ferner offensichtlich, daß der Wins kel F K L auch = c ist, wie wir im folgenden im Dienste des Unerfahrenen beweisen werden, und der Winkel L F K = y: so ist2 also x + 2y + c = 2a, und folglich ist x oder 0 NP = 2a - 2y -c. Da nun der Bogen G K, der die Differenz der Bogen F Kund 10 FG ausmacht, nämlich c - b oder den Winkel G C K zum Mittelpunkt gezogen, ist3 doppelt so groß wie der Winkel G F K zum Umkreis gezogen; also ist dann G F K = , aber da G F K = y gesetzt war,soistdanny= , und2y= c- b, und-2y= is -c + b. Setzen wir in der obengenannten Gleichung nun -c+b an die Stelle von -2y, so ergibt sich 0 N P oder x = b + 2a - 2c, wie es entsprechend der Regel gesetzt war - und was wir zu beweisen hatten. 20 . Falls nun weiter jemand daran zweifeln sollte, daß der Winkel F K L, wie auch der Winkel Q NM, ebenso groß sei wie der Bogen F K 3 dann! 0: den statt dan

1 Buch

l,

Prop. 29.

2 Buch1, Prop. 32.

3

Buch III,

Prop. 20.

DEN REGENBO OG. 13 ofte c, te weten, als den hoeck E C K , daer van is het bewijs aldus. De hoecken CF K, v enCKF elkander gelijkwe+zend'"- ' 'fd.„.,..„ „,..,.,, om de1l..-I ,,,.,,. ghe~jck­

....._

beerugen drie-h.oek

~MCKF;zo

volgt,dat P zydämen cven zoo grootzyn als va1u / ieder het..J y dobbel, te WeteIL.> o•tl.'• / T den hoek 1.mf•h· tltr 11.F F K N ; J1rau.. maer de hoe.ken CFK, en CKF maken met den B3 hoek:

/'

(13)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

35

oder c, nämlich wie der Winkel F C K, so ist der Beweis dafür der folgende. Die Winkel C F K und C K F sind einander gleich4 wegen des gleichschenkligen Dreiecks C K F; daraus folgt, daß sie s zusammen ebenso groß sind wie das Doppelte eines jeden, nämlich der Winkel F K N; aber die Winkel C F K und C K F machen mit dem

1 F] 0: E statt F

• Das Leidener Original ist an dieser Stelle beschädigt; der vollständige Text lautet im Original: om d'eygenschap der Reflectie.

4

Buch1,

Prop. 5.

wegen der Eigenschaft der Reflexion.•

1+

REECKENING VAN

~:,f::;~ hoek FC Krofi:e c, 1 So graden, oftwee rcghtc; ., Errflt • .cn F K N , die dezel ve rwcc hoeckcn geli j c k

was, maeckt mct F K L oock 1 8 o graden, 6 of:,3~:,fl,~ te twee reghtc : zoo vol gt dan , als mcn van dezegelijkcdingcn, gelijckc dingenafnccmt, ''-'' d.at 7 hunnercficnFC K, cn FK Lmcdc zullengelijkzyn, tcwctcnbcydcgelijkc, 'twelk '•EtrJlt. fronde tc bewijzcn. Verdcrs bcwijfimcn zcer lichtelijk mcdc, dar Q_N M cvcn zoo groot is, alsF K L, wacrommc die mcdc is c. 6 J„,J,

r.a:·

:xi

T W E E D E N R E G E L. 'D111men , 0111 te bek,gmen den hoeck X ~'R.., oJ den b.#ven miJdelly11 , dat iI de hoogbte 1'an den grootjlen 'R..egenboog, den gevomlen hoec~ 0 $\(_ P moet ajtrec~n van Jen boogb F 1\.., WERKING EN BEWYS. In ftclkonfiigc tcrmen is dan den hock X Q_R :n c- x,en is het bewys daer van aldus. Den hock Q_N Mishier bovenaengcwezen te zyn c, en 0 NM=» x +J, zoisd.a.O.Q_N 0 z c x-J, en :xi

by

(14)

BERECHNUNG DES REGENBOGENS

37

Winkel FC K5 oder c 180 Grad oder zwei rechte Winkel aus; und F K N, welcher selbst zwei Winkeln gleich war, macht zusammen mit F K L auch 180 Grad6 oder zwei rechte Winkel aus: Daraus s folgt dann, wenn man gleiche Dinge von gleichen Dingen subtrahiert, daß 7 ihre Reste FC Kund F K L ebenso gleich sein sollten, nämlich beide gleich c, was zu beweisen war. Ferner kann man auch sehr leicht beweisen, daß Q N M ebenso groß ist wie 10 F K L, weshalb dieser auch = c ist.

ZWEITE REGEL

Um den Winkel X Q R zu erhalten, - oder den halben Durchmesser, das bedeutet, die Höhe des größeren Regenbogens, muß man den gefundenen • Winkel 0 NP von dem Bogen F K subtrahieren. ANWENDUNG UND BEWEIS

20

Algebraisch ausgedrückt ist dann der Winkel X Q R = c - x; und der Beweis dafür ist folgendermaßen: Der Winkel Q N M ist bereits ausgewiesen als identisch mit c, und 0 N M = x + y, so ist also Q N 0 = c - x - y, und

5

Buch1,

Prop. 32.

6

Buch1,

Prop. 13. 7

Anhand der allgemein bekannten 3. Prop. in Buch 1.

D E N R E G E NB 0 0 G. 1s by gcvolge' mcde X'"' •J,.,ti•nJ, "'ander zal winnen. 'De vrage is in wat reden de kans van A.jlaet tegens die van Bl A r.Ant.

53

(1)

BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN

•

FRAGEN

I. A und B spielen unter der Bedingung mit 2

s Würfeln gegeneinander, daß A gewinnen soll, wenn er 6 Augen wirf.t, aber B soll gewinnen, wenn er 7 Augen wirft. Zuerst soll A einen Wurf machen, danach B zwei Würfe nacheinander, dann wieder A zwei Würfe und so fort, bis der eine oder der 10 andere gewonnen hat. Die Frage ist, in welchem Verhältnis die Gewinnwahrscheinlichkeit von A zu der von B steht.

:z.

R E E C K E

!~

I N G

Antwoort als 103 55. tot I 22 76. 1 l Vrie Speelders A. B. en C. nemende I 2.fch_ijven 'l'an de welke 4 wit zyn en 8jwart:/peelen op d1eConditie, dat die van haer eer/I blindelingh een witte zal gekozen hebben, winnen zal, en dat A. eerfl zalnemen, dan B. de t·weede , en dan C. en dan wederom .LI. en zoo vervolgens met beurten. 'De vrage is in wat reden haere kanffen flaen tegens nu1/kander l 1I1 cA. wed tegens B. dat hy uyt 40. kaerten, dat i! 1 o. van iederJoort 4.kaerten uyttrecken zal zoo dat hy van elke .foort 1. zal hebben. Hier wert de kansvan A.tegens die van B.

ge-

(2)

BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN

55

Antwort: Wie 10355 zu 12276. II. Drei Spieler, A, B und C, welche 12 Steine nehmen, von denen 4 weiß sind und 8 schwarz, spielen unter der Bedingung, daß der;enige ges winnt, der von ihnen als erster blind einen weißen ausgewählt hat, und daß A zuerst nehmen soll, dann als zweiter B und danach C, dann wieder A und weiter der Reihe nach. Die Frage ist, in welchem Verhältnis ihre Chancen sich zueinander 10 verhalten. III. A wettet mit B, daß er aus 40 Katten, d. h. 10 von ;eder Farbe, 4 Karten in der Weise ziehen wird, daß er von ;eder Farbe eine haben Wird. Hier wird die Chance von A gegen die von B

V A N

K A N S S E N.

3

gevonden als 1 o o o. tegens 8 1 3 9. 1V. Genomen hehbendege!ijck hier te vooren 1 2 . .fch_ifven 4. witte en 8. .fJJarte, z.oo 'i.vetf /}. tegens B. dat hy hlindelings 7._(ch/}'ven daer uyt zal nemen, onderwelke 3. wit zullen .z/jn, men vraeght 1n ·wat reden de kans van uJ. tegens die van B. ßaet l //. c..d. en B.genomenhebhendeelck 1 2. penningen Jfaee!en met 3. dobheljleenen op dez.e Conditie, dat als'er 1 1. oogen geworpen u·orden, v1. een penninck aen B. moet ge·ven, maer als'er 14.ge·worpen worden d.1t dan B. een penninck aen C/I. moetgeven, en dat hy hetfpel winnen zal, die enjl alA 2 !e

(3)

BERECHNUNG VON

WAHRSCHEINLICHKEITE.N

57

ermittelt als 1000 zu 8139. IV. Nehmen wir wieder wie oben 12 Steine, von denen 4 weiß und 8 schwarz sind. Nun wettet A gegen B, daß er blind 7 Steine auswählen werde, s von denen 3 weiß sein sollen. Man fragt, in welchem Verhältnis die Gewinnwahrscheinlichkeit von A gegen die von B steht.

10

V. A und B haben ;eweils 12 Pfennige und spielen mit 3 Würfeln unter der Bedingung, daß ;edesmal, wenn 11 Augen geworfen werden, A einen Pfennig an B zu geben hat, daß aber B einen Pfennig an A zu geben hat, wenn eine 14 geworfen wird, und daß derjenige das Spiel gewinnen soll, der als erster

4

REECKENING

/e de penningen zalhebben. Hier werd ge·vonden de kans ·van A. tegens B. te zfjn als 2 4 4 1 4 o 6 2 5 tot 282429536481.

EERSTE VRAEG-STUCK. A. en B. fpeelen tegensmalkanderen met 2 fleenen op defe Conditie, dat A. zal ·winnen als hy 6 oogen werpt, maer B. zal winnen als hy 7 oogen werpt. A zal eerfl eene werp doen , daer na B t·wee werpen achtervolgens dan weder A t·wee werpen, en zoo voorts tot dat d'een ofd' ander zalwinnen. Ve vrage is in wat reden de kans vanAßaet tegensdie vanB l c.Ant· woort als 103 55. tot 122 76. Om

(4)

BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN

59

alle Pfennige hat. Hier ergibt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von A gegen B als 244140625 zu 282429536481.

ERSTE FRAGE

A und B spielen unter der Bedingung mit zwei Würfeln gegeneinander, daß A gewinnen soll, wenn er 6 Augen wirft, aber B soll gewinnen, wenn er 7 Augen wirft. Zuerst soll A einen Wurf machen, danach B zwei Würfe nacheinander, dann wieder 10 A zwei Würfe und so fort, bis der eine oder der andere gewonnen hat. Die Frage ist, in welchem Verhältnis die Gewinnwahrscheinlichkeit von A • zu der von B steht. Antwort: Wie 10355 zu 12276.

V AN

K A N S S E N.

5

Om deze vrage te beantwoorden, zoo klove ick dezelve volgens den tweeden regel van de Denckonft van de Heer Defcartes, indeze tweevolgende voorftellen.

EERSTE VOORSTEL. B mA fpeelen teger.s ma/kander met 1 Steenen opdie Conditie, dat B u,/ cwinnen als '?J 7 oogen cwerpt , en A als hy 6 oogen :werpt, mits dat ieder ;:,,a/ doen tcwee cwerpen nß ma/luinder, en dat B eerft cwerpen u,/, haer kanjfen

zJjn

B

A

lf1f6

837f 11631

WERKING EN BEWYS. Laet de kans van A weert zijn x, ende het geene ingezet is, ofte de pot, zy genoemt , ", zo is dan de kans van B weert 11-x. Het blykt ook in dit geval, dat elkemael, als de beurt van B wederkomt, de kans van A dan weder x moetweertzijn, A 3 maer

(5)

BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN

61

Um diese Frage zu beantworten, löse ich dieselbe entsprechend der zweiten Regel der Methode des Herrn Descartes in die zwei folgenden Lehrsätze • auf.

ERSTER LEHRSATZ

10

B und A spielen unter der Bedingung mit zwei Würfeln gegeneinander, daß B gewinnen soll, wenn er 7 Augen wirfr, und A, wenn er 6 Augen wirfr. Vorausgesetzt, daß beide zwei Würfe nacheinander machen und daß B zuerst wirft, sind ihre Gewinnwahrscheinlichkeiten B 14256

A 8375

22631 ANwENDUNG UND BEWEIS

Angenomnien die Gewinnwahrscheinlichkeit von 1s A habe den Wert x, und der Einsatz, oder der Topf, sei a genannt, so beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit von Be a - x. Es zeigt sich in diesem Falle , auch, daß jedesmal, wenn B wieder an die Reihe kommt, die Gewinnwahrscheinlichkeit von A 20 wieder den Wert von x haben muß,

6

REECKENING

maer zoo dikmaels , als het de beurt van A is om te werpen zoo moet zyn kans meerder weert zijn. Laet ons.J ftellen voor het geene, datze dan weert is. Overmits nu , dat B ecrfi moet werpen , cn datter tcn eerfien 6 werpen op 2 ileenen zijn, van de 36 werpen, die hem 7 oogen kunncn gcven , zoo wert gcvondcn , dat hy in die twce reyzen, die hy werpen mach, de redens verkort zijndc, 1 1 kanffen heeft tot a, ofre om te winnen, en 25 die hem docn miffen, dat is , die de bcurt van A doen komen, zoo hecfr dan A by gevolge, als B begint te wcrpen 1 1 kanffen tot o, ofre om te verliezen, en 25 kanifen, om te hebben J, te weten, dat het zijn beurt wort om te werpen. Het welk aen A zoo veel weert is, als ;:', maer daer is geftelt, dat de kans van A van eerfien aen x weert was , zoo is dan ;~' ::o x, en daerom y ::o ::·. Om 7

(6)

BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN

63

aber je häufiger A an die Reihe kommt zu werfen, um so größer muß seine Gewinnwahrscheinlichkeit sein. Setzen wir nun y dafür, was sie dann wert ist. Daraus nun, daß B zuerst werfen muß und daß s unter den 36 möglichen Würfen 6 Würfe auf 2 Würfeln möglich sind, die ihm 7 Augen bringen können, ergibt sich, daß bei den zwei Malen, die er werfen darf, das Verhältnis gekürzt ausgedrückt, seine Gewinnwahrscheinlichkeit 11 zu a steht, 10 oder daß ihm, um zu gewinnen, 25 Chancen fehlen, welche nämlich der Seite von A zufallen. Folglich steht dann, wenn B zu werfen beginnt, die Wahrscheinlichkeit für A zu verlieren 11 zu 0, und die Wahrscheinlichkeit, y zu erlangen, nämlich wieder is mit dem Werfen an die Reihe zu kommen, beträgt 25. Dies bedeutet für A den Wert von ~ \; aber es ist gesetzt, daß die Gewinnwahrscheinlichkeit für A von Anfang an den Wert x betrug, also ist dann ~ = x, und darum ist y = 32~x •

V A N K A N S S E N. 7 Om nu de weerdc van .Y noch op een andere wyze te vinden, zoo is het zeecker, dat A zullende wcrpcn 5 kanffen heefr tot a, ofre om te winncn, 0111 datter 5 kanffen zijn van 36, die hem 6 oogen kunnen geven , 't welk uyrgereeckent zijnde , zoo wert bcvondcn dar A in twee werpen 335 kanffen heefr tot a, ende 96 1 0111 de beurt van B tc doen wederkceren , dar is , om voor zieh zelven te hebben x, 't welk zoo veel is, als m • ,~ 6961 ~, dir dan zijndc :oy ende te voren gevonden zijndc ;;x :o "/, zoo moct J;