Die komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen 9783111721149, 9783111003504

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SAMMLUNG GÖSCHEN BAND

DIE KOMPLEXE

1156/1156a

BERECHNUNG

VON

WECHSELSTROMSCHALTUNGEN von

DR. H A N S

HEINRICH

MEINKE

o. P r o f e s s o r a n d e r T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e M ü n c h e n

Mit 120 A b b i l d u n g e n

WALTER DE GRUYTER & CO. • o r m a l a G. J . Göscben'sche Verlagsband l u n g * J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • G e o r g R e i m e r * K a r l J . T r ü b n e r • Veit & C o m p

BERLIN

1957

© Copyright 1957 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35, Genthiner Str. 13. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nummer 1 1 1 1 56. — Satz und Druck: Mercedes-Druck, Berlin SW 61. — Printed in Germany

Inhalt Seite I. G r u n d l a g e n 1. Die Eulersche Gleichung 2. Komplexe Zahlen 3. Kreispendel und ebenes Pendel I I . D e f i n i t i o n der k o m p l e x e n G r ö ß e n 1. Komplexe Amplituden oder Zeiger 2. Komplexe Widerstände 3. Komplexe Leitwerte III. Wirk- u n d Blindwiderstände 1. Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung 2. Induktive und kapazitive Blind widerstände 3. Verlustwinkel 4. Serienresonanz 5. Parallelresonanz 6. Mehrfachresonanzen 7. Technische Wechselstromwiderstände IV. D a s Rechnen m i t k o m p l e x e n Widerständen 1. Die Umrechnung Widerstand—Leitwert 2. Das Kreisdiagramm 3. Serien- und Parallelschaltung 4. Verlustarme Widerstandstransformation 5. Ankopplung an Resonanzkreise 6. Spannungsteiler V . K o m p l e x e B e h a n d l u n g der S p a n n u n g s q u e l l e 1. Die Spannungsauelle 2. Die Stromquelle 3. Transformierte Spannungsauelle 4. Kompliziertere Netzwerke

4 7 10 16 20 27 31 39 42 47 57 68 77

81 85 93 99 109 114

115 12*2 127 130

V I . Vierpole 1. Der Vierpolbegriff 2. Verlustfreie Vierpole 3. Tiefpaß-, Hochpaß- und Bandpaßfilter 4. Induktive Kopplung (Transformator) 5. Brückenschaltungen

141 148 154 162 174

Schrifttum

179

Register

iso

I. Grundlagen Vorausgesetzt werden einfache Kenntnisse über trigonometrische Funktionen und komplexe Zahlen. Wenn auch gelegentlich Formeln und Begriffe der Differentialrechnung vorkommen, so sind diese jedoch keine unumgängliche Bedingung für das Verständnis des Buches. Die Grundbegriffe der Schwingungslehre und des Wechselstroms sollten ebenfalls bekannt sein. Gewisse wichtige Formeln und Begriffe werden in den folgenden Abschnitten, teilweise ohne Beweis, nochmals zusammengestellt. 1,1. Die Eulcrsche Gleichung Im Gegensatz zu der im mathematischen Schrifttum üblichen Schreibweise i bezeichnet man in der Elektrotechnik die Größe 1 mit j, weil der Buchstabe i zur Bezeichnung der Ströme verwendet wird.

Abb. 1. Funktionen am Einheitskreis (Radius 1)

folgenden benutzten Winkelgrößen nicht in Winkelgraden, sondern im Bogenmaß angegeben werden. Ein Winkel

. (32)

Komplexe Amplituden oder Zeiger

17

Diese Ergänzung verändert die ursprüngliche, jetzt in der komplexen Zahl m als Realteil enthaltene Schwingung (31) nicht, m gibt nach 1,3 den komplexen Momentanwert oder Drehzeiger der entstandenen Kreisbewegung, also den zeitabhängigen Ort, den die Schwingung auf dem Kreis in der komplexen Zahlenebene jeweils erreicht hat. Alle Rechnungen werden dann nur für die Kreisbewegung durchgeführt und dadurch sehr einfach. Wenn man stets im Auge behält, was dieses m eigentlich bedeutet, wird man fehlerhafte Operationen mit diesen komplexen Zahlen jederzeit vermeiden können. I m komplexen Resultat der Rechnung gibt dann wieder der Realteil die wirkliche, gesuchte Schwingung, während der Imaginärteil lediglich eine davon unabhängige, physikalisch uninteressante Ergänzungsschwingung ist, die die Aufgabe hatte, die formale Rechnung zu vereinfachen. Diesen Inhalt der komplexen Rechnung sollte man nie vergessen, auch wenn es sich um Anwendungen handelt, die keine mechanische Veranschaulichung möglich machen. Die Zeitabhängigkeit ist bei komplexer Rechnung stets in der F o r m e i m i gegeben. Diesen F a k t o r kann man aus dem komplexen m stets abspalten: m =

| a ] - e i(iui + v»> =

| a | • ejw> . eimt = a • eit + y>i) + | a 2 I • cos (cot + y 2 ) = | et | • cos (cot + ip0). (35)

Die S u m m e ist wieder eine Schwingung der F r e q u e n z co m i t neuer A m p l i t u d e | et | u n d neuer Ausgangsphase y>a. In k o m plexer Schreibweise l a u t e n die M o m e n t a n w e r t e n a c h (32) u n d (33) tttj = | ctj | • eivi • e ^ ;

m 2 = | ct21 • e'v* • & mt .

(36)

Die komplexen A m p l i t u d e n : ö l

= | Ö! | - elvi;

Ö2

= | a 2 1 • eiv*.

(37)

Die komplexe Darstellung der S u m m e der M o m e n t a n w e r t e : nt = | ö | . eJv« • e>mt = a • e ^ 4 = (| öi | • elvi + | ct21 • e>v>) • e' mt .

(37a)

U n t e r F o r t l a s s u n g des gemeinsamen Zeitfaktors e' w t auf beiden Seiten der Gleichung wird d a r a u s eine Gleichung f ü r die komplexen A m p l i t u d e n : a = + x + j | Oi | • sin yx\ mt = U • e ^ '

(48a)

u n d die komplexe A m p l i t u d e n a c h (34) U = | U | • ete . E i n Wechselstrom h a t den reellen M o m e n t a n w e r t i = | 3 | • cos (cot + f ) ,

(49) (50)

also den Absolutwert oder „ S c h e i t e l w e r t " 13 | u n d die P h a s e y , den komplexen M o m e n t a n w e r t i = | 3 | . e j • e'™' = 3 & a t . (51) sowie die komplexe A m p l i t u d e 3 = | 3 | - eiv. (51a) E i n W i d e r s t a n d Ii ist bei Gleichstrom d u r c h das O h m s c h e Gesetz U = I • R definiert. E i n W i d e r s t a n d , f ü r den a u c h bei Wechselstrom in jedem Z e i t p u n k t dieses Gesetz gilt, also die reellen M o m e n t a n w e r t e v o n S t r o m u n d S p a n n u n g in jedem Z e i t p u n k t proportional sind, ist ein Sonderfall u n d soll als reeller Widerstand R bezeichnet werden. Bei gegebenem Mom e n t a n w e r t i des Wechselstroms n a c h (50) l a u t e t d a n n der reelle M o m e n t a n w e r t der S p a n n u n g n a c h (48) u n d (41) u = i • R = 131 • -K • cos (tot + y>); | U | = 131 • R\ X = V (52) S t r o m u n d S p a n n u n g sind phasengleich. W e n n eine Wechsels t r o m s c h a l t u n g neben solchen reellen W i d e r s t ä n d e n auch I n d u k t i v i t ä t e n u n d K a p a z i t ä t e n e n t h ä l t (vgl. 111,2), sind die P h a s e x der S p a n n u n g an einem solchen Gebilde u n d die P h a s e yi des Stromes d u r c h eine derartige K o m b i n a t i o n verschieden. Der Quotient der M o m e n t a n s p a n n u n g n a c h (48) u n d des M o m e n t a n s t r o m e s n a c h (50) ist d a n n a b h ä n g i g v o n t, u n d das f ü r alle Berechnungen so wichtige O h m s c h e Gesetz b e s t e h t nicht m e h r . Von einem „ W i d e r s t a n d " solcher Gebilde k a n n also im eigentlich physikalischen Sinn n i c h t m e h r gesprochen werden. Der Begriff des komplexen Widerstandes (Impedanz): U m ein neues Gesetz zu schaffen, das d e m O h m s c h e n Gesetz

Komplexe Widerstände

23

formal gleicht und bei Wechselstrom die gleichen Berechnungen wie bei Gleichstrom gestattet, führt man den Begriff des komplexen Widerstandes SR ein. Der komplexe Widerstand SR soll der nach (47) berechnete Quotient der komplexen Amplituden (49) und (51) der Spannung und des Stromes sein. sR = !

= ü _ | e i < x - v ) = | a t | •ei«'.

(53)

Dieses Gesetz entspricht also formal dem Ohmschen Gesetz. Der Absolutwert | SR | des komplexen Widerstandes ist gleich dem Quotienten der Absolutwerte (Scheitelwerte) von Spannung und Strom. F ü r die mit den üblichen Meßinstrumenten gemessenen Scheitelwerte | U | und | 3 | (bzw. die Effektivwerte U e ff und l e ff) gelten die dem Ohmschen Gesetz entsprechenden Gleichungen: = T T L ; I u I = IKI • 13 l; u*tr = I» I-hff. (54) IO| leff Der Absolutwert | SR | wird auch als „Scheinwiderstand" bezeichnet. Die Phase des SR gibt die Phasendifferenz von Spannung und Strom. Man kann SR auch durch seine rechtwinkligen Koordinaten darstellen: (55) SR = R + j X . R nennt man die Wirkkomponente (Wirkwiderstand, Resistanz), X die Blindkomponente (Blindwiderstand, Reaktanz). Näheres zu diesen Bezeichnungen in 111,1. Es gelten die Umrechnungsformeln (6) bis (8) nach Abb. 2 :

1*1 =

R =

ISRI-cosip; X =

|SR|-sinRL=\

coRC

= XR.

[(111)

Beide Blindwiderstände haben also dort den gleichen Resonanzwert XR, nur mit entgegengesetztem Vorzeichen. Die Resonanzfrequenz ergibt sich bei gegebenem L und C nach (111) aus 2 7r/B=coB = - ! = 1/LC

Nach (111) und (112) ist

(112)

_ = /L/C . (113) Setzt man L in H und C in F ein, so erhält man fR in Hz und XR in Q. Wenn die Induktivität L und die Resonanzfrequenz gegeben sind, findet man das erforderliche C aus c =

(H4)

umgekehrt das L bei gegebenem C als COr*-C

Für Frequenzen, die kleiner als die Resonanzfrequenz sind, ist X nach (110) kapazitiv; für Frequenzen, die größer als die Resonanzfrequenz sind, ist X induktiv (Abb. 16). Strom und Spannung in der Schaltung der Abb. 15: Bei gegebener Spannung U an der Serienschaltung beträgt der Strom durch die Blindwiderstände nach (110) 3

= und seine reelle Amplitude 1 3 | =

1/(0,0)

(116)

(117) 1o,l1UI/U)1 • | coL — 1 /(a,C) | ist der Wert von coL — 1¡(coC) ohne Berücksichtigung des Vorzeichens. Den Verlauf von 131 zeigt Abb. 17. Unterhalb der Resonanzfrequenz eilt der Strom der Spannung

Serienresonanz

49

um jr/2 vor (kapazitiv); oberhalb der Resonanzfrequenz eilt die Spannung dem Strom um tt/2 vor (induktiv). Unterhalb der Resonanzfrequenz sind U und U c phasengleich, dagegen

f

1 1 30

-/n/-ive- ü w H h ICmü 100 aF

1 -

10 0

/

\

2

flKHzl—

Abb. 17. Strom im verlustfreien Serienresonanzkreis bei konstanter Spannung U

U und U z gegenphasig (Phasendifferenz ti). Oberhalb der Resonanzfrequenz sind U und U £ gleichphasig, dagegen U und U c gegenphasig. | 3 I durchläuft bei gegebenem U nach Abb. 17 eine Resonanzkurve und wird im Resonanzpunkt (von Verlusten abgesehen) unendlich groß. Auf beiden Seiten der Resonanzfrequenz fällt | 3 | steil ab. Die Spannungen an den beiden Blindwiderständen lauten einzeln nach (5a) und (116) Ux = 3 • j coL = U 1 ¿ t f t * ! '1 - l / K L C ) ' Uc =

(118) (119)

Die beiden Teilspannungen U £ und U c haben eine Phasendifferenz von ti (e jIt = — 1; entgegengesetztes Vorzeichen). Die Teilspannungen | U £ | und | U c | sind zum Teil größer als die Gesamtspannung | U |. [ U £ | = | 3 | • X L und I ^ c | = | 3 | • ] Xc | durchlaufen bei gegebenem | 111 ähnliche Resonanzkurven wie | 3 | nach Abb. 17. Abb. 18 zeigt im Gegensatz dazu die Spannung | U | am gesamten Widerstand 4 M e i n k e , Wechselstrom-Schaltungen

50

Wirk- und Blindwiderstände

bei gegebenem S t r o m | 3 | und die Spannungen an den beiden Teilwiderständen:

In diesem F a l l entstehen keine Resonanzkurven. | 140 Sl20 B ~100 80 60

40 20

O

2

( f„ 6 ,K

8

10

12

14

16 18 20 f l KHz)—

Abb. l * Spannungen im Serienresonanzkreis bei konstantem^Strom ö

Die Resonanz der Schaltung der A b b . 1 5 nennt m a n Serienresonanz. D e r ältere Ausdruck „ S p a n n u n g s r e s o n a n z " für diesen F a l l wird in neuerer Zeit seltener gebraucht, weil er mißverstanden werden kann. Verhalten in der Umgebung der Resonanz: W e n n m a n den Resonanzblindwiderstand XR nach (113) einführt, erhält man s t a t t (110) die F o r m e l X = X

R

( ^ - ^ ) = X \(tiR CO I

R

( f - ! ? ) . \fR 11

(120)

In vielen F ä l l e n interessiert nur das Verhalten von X in der unmittelbaren Umgebung der Resonanzfrequenz. Af sei die

Serienresonanz

51

Abweichung der betrachteten Frequenz / von der Resonanzfrequenz fR: f= f

R

+ A f .

(121)

Af ist also positiv, wenn die betrachtete Frequenz größer als die Resonanzfrequenz ist. Af ennt man die Verstimmung und v =

A

JIR

(122)

die relative Verstimmung. Die im folgenden entwickelten Formeln sind Näherungsformeln, die nur unter der Bedingung | v | < 0,1 bestehen. Die Frequenzabweichungen von der Resonanzfrequenz sollen also nicht mehr als ± 10% betragen. In (120) setzt man jetzt ein:

Für kleine v kann man durch folgende Näherungsformel eine wesentliche Vereinfachung erzielen: Es ist 1/(1 + v) «a 1 — v, solange | v | < 0,1 ist. Wer diese Formel nicht aus der Reihenlehre kennt, kann sich durch Einsetzen von kleinen Zahlen v von der Genauigkeit der Formel überzeugen. Aus (120) wird in der Nähe der Resonanzfrequenz X = X

r

2

^ - = Xr-2V (M

(ML--L).

(134)

Resonanz entstellt für einen bestimmten Wert des C, genannt CR, bei dem die Blindkomponente des Sft verschwindet; vgl. (114): 1 (135) co L Allgemein ist das einstellbare C = CR+ AG. (136) AG gibt die Abweichung des jeweils eingestellten Kapazitätswertes vom Resonanz wert CR an. Liegt am Kreis stets die gleiche Spannung U, so durchläuft der Absolutwert des Stromes I SR I

I / 1/ RR

r

I2

i

+ [COL -

A)(GR

+

(137)

AC)i

eine Resonanzkurve, die hier bei wachsendem G und gleichbleibender Frequenz die gleiche Form wie die Resonanzkurve der Abb. 20 bei gleichbleibendem G und wachsender Frequenz hat. Wichtig ist die Entwicklung einer Näherungsformel für die Umgebung der Resonanz in Analogie zu (126). 3 Ä ist der Resonanzstrom nach (128). X

R

= O J L - - -

1

(138)

C0 t R ist der Wert der Blindwiderstände im Resonanzfall. co (CR

1 + AC)

1 MGR

1 11

-r

AG P "

1 I L _ A C \ •JGR R I\1 G CR

(139)

Man verwendet also die gleiche Näherung wie bei der Verarbeitung der Gl. (123), die also dann hinreichend genau ist, wenn ¡An • ^¡ ist. Man beginnt zweckmäßig mit dem Zeiger 3 des durch die Schaltung fließenden Stromes, den man auf die reelle Achse legt. Dann liegt der Zeiger U/£ der Spannung an Rr ebenfalls auf der reellen Achse. Die Spannung U^ an der Induktivität zeigt senkrecht nach oben, die Spannung Uc senkrecht nach unten. Wegen der angegebenen Voraussetzung ist | U £ | > | U c | und der Summenzeiger U = U s + U£ + Uc zeigt schräg nach oben. Die Länge des Zeigers U ist nach (125) |Ul = | 3 | - j / ß Ä 2 + ( c o L - i ) 2 ,

(143)

die Phasendifferenz q> zwischen Spannung und Strom durch

gegeben. 111,5. Parallelresonanz

Eine zweite einfache Kombination von Blindwiderständen, die von außerordentlicher Bedeutung ist, ist die Parallelschaltung einer Induktivität und einer Kapazität (Abb. 23). Bei Parallelschaltung rechnet man mit Leitwerten. Der resultierende Blindwert lautet nach (83) und (87)

Mlh . 23 , P&rMdK30n!Ln2kTeis

ohne Verluste

j Y = j (YC + YL) = j (COC - L/(COL)).

(145)

Der Verlauf des Y in Abhängigkeit von der Frequenz soll betrachtet werden. Abb. 24a zeigt für ein Zahlenbeispiel die Größen YC = coC und YL = - l/(a>L) allein und als Kombi-

58

Wirk- und Blindwiderstände

nation Y. Wegen des verschiedenen Vorzeichens heben sich die beiden Leitwerte gegenseitig teilweise auf. Man vergleiche

Abb. 24. Blindleitwert (a) und Blindwiderstand (b) des Parallelresonanzkreises

Abb. 16. E s gibt einen Resonanzpunkt, in dem Y = 0 ist. Die Resonanzfrequenz fR, bzw. mR = 2 nfR ergibt sich aus der

Parallelresonanz

59

Bedingung der Gleichheit der beiden Leitwerte Y c und j Y L a)RC

=

—

-

=

Y

mRL

R

(146)

.

Beide Blindwiderstände haben dort (abgesehen vom Vorzeichen) den gleichen Resonanzblindleitwert YR. Man vergleiche (111). Es gelten auch hier die Resonanzbedingungen (112) bis (115) unverändert wie beim Serienresonanzkreis. Für Frequenzen, die kleiner als die Resonanzfrequenz sind, ist Y nach (145) negativ (induktiv); für Frequenzen, die größer als fR sind, ist Y positiv (kapazitiv; Abb. 24a). Abb. 25 zeigt die reelle Amplitude | 3 | des Stromes 3 durch diesen Leitwert j Y bei gegebener Spannung U nach (65) 3 = U • j Y;

|3| = | U | - m = |U|

J_

a>C

— (oL

•

(147)

Im Resonanzpunkt wird bei Vernachlässigung der Verluste 3 = 0. Die Ströme in den einzelnen Widerständen betragen (Abb. 25) 3C = U • j

3x

1,23

(148)

.

J L

1.0

0

ojC

5/CTH00V10m H]

loolnf

2

C

3

-

1/

1

,

.

K0 . (151) Die Resonanz der Schaltung der Abb. 23 nennt man Parallelresonanz. Der ältere Ausdruck „Stromresonanz" für diesen

Parallelresonanz

61

Zustand wird in neuerer Zeit seltener verwendet, weil er zu Mißverständnissen Anlaß geben kann. Verhalten in der Umgebung der Resonanz: Führt man den Resonanzblindleitwert YR nach (146) in (145) ein, so erhält map in Analogie zu (120) (152) Y X r - l - - ^ ) = r«(f -!?). \0)R ml \fR fI Wie beim Serienresonanzkreis führt man die Verstimmung Af nach (121) und die relative Verstimmung v nach (122) ein und rechnet mit (123) wie bei der Gewinnung der Gl. (124). Es ergibt sich aus (152) die Formel für die Umgebung der Resonanzfrequenz r = r a - 2v ( | » | < o , i ) . (153) Der Leitwert Y ist also proportional zu v und YR. Je größer C, desto größer YR, desto schneller ändert sich Y bei Änderung der Frequenz. Wirkung der Verluste: Die Verluste der beiden Blindwiderstände beschreibt man durch ihre beiden Verlustleitwerte GL und Gc nach (107). Man muß also die Schaltung der Abb. 23

i m

4=,

-600

-400

-200

jO j

Bandbreite

200

WO

AfiHzi

600

-

Abb. 27. Resonanzkurve der Spannung bei konstantem Strom

62

Wirk- und Blindwiderstände

durch einen parallelen Verlustleitwert GR = GL + GC ergänzen (Abb. 27), der den Verbrauch an Wirkleistung darstellen soll. Der komplexe Leitwert des Kreises lautet jetzt ® = GR + j [0>C - l/(coL)]

(154)

und in der Umgebung der Resonanzfrequenz nach (153) ®=G

Ä

+jr*-2i>

( h | L erscheint als I t Serien widerstand j X L zum beabft -—4 R—sichtigten Wirkwiderstand (Abb. 38), A b b der dadurch einen Phasenfehler cp ' ^ erhält. Das Gebilde erscheint als komplexer Widerstand mit positivem Phasenwinkel = R + j coL = | 3t | • eJ" . (187) Es interessiert in der Praxis nur der Fall, bei dem coL klein gegen R ist; dann besteht die Näherungsformel: | 9t | = \/R2 ~V{o)Ly = R | / f + t g > f« R (q>< 0,2). (188) Für kleine

C • R. Dann ist für kleine Phasenfehler näherungsweise | ® | = / ( I / £ * ) + (ö)C)» = 1

/l + tg'0« 1,

(189)

(190) (191)

2

denn das kleine tg ?? kann neben 1 vernachlässigt werden. Der Absolutwert des Widerstandes ist nach (191) näherungsweise (192) ist also bei kleinen Phasenfehlern gleich dem Wirkwiderstand R. Die Phase des SR ist nach (201) gleich (-•&) (Abb. 39c). Genau genommen hat also jeder Widerstand sowohl induktive wie kapazitive Komponenten, die bei hohen Frequenzen nicht zu vernachlässigen sind. Für mittlere Widerstandswerte (etwa 30 bis 200 Q) ist es durch geeignete Anordnung des Widerstandsgebildes möglich, dem Wirk widerstand eine solche

Technische Wechselstromwiderstände

81

Induktivität und Kapazität zu geben, daß die induktive Phase q> nach (187) und die kapazitive Phase & nach (189) gleich sind. Da sie, auf den Widerstand bezogen, entgegengesetztes Vorzeichen haben (Abb. 38 und Abb. 40c), können sie sich dann gegenseitig aufheben. Dieses Prinzip, die Wirkung einer Parallelkapazität durch eine Serieninduktivität zu kompensieren, ist von erheblicher Bedeutung und wird in VI,3 noch eingehender erörtert (Abb. 99). In den Schaltbildern der Abb. 36, 37, 38 und 39 wird ein gegebenes elektrisches Gebilde durch ein sogenanntes Ersatzbild beschrieben. Das Spulenzeichen bedeutet dann nicht etwa das technische Gebilde einer Spule, sondern einen gedachten Widerstand, der ein idealer Blindwiderstand nach (81) ist, ebenso das Kapazitätszeichen einen idealen Blindwiderstand, dessen Frequenzverhalten durch (86) gegeben ist. Ein Ersatzbild ist also eine Schaltung aus idealen Widerständen, dessen komplexer Widerstand möglichst genau mit dem tatsächlichen komplexen Widerstand des gegebenen technischen Gebildes übereinstimmen soll. Außerdem gibt es natürlich auch Aufklärung über die physikalischen Ursachen, die dieses Widerstandsverhalten bedingen. IV. Das Rechnen mit komplexen Widerständen IV,1. Die Umrechnung Widerstand-Leitwert Widerstand SR und Leitwert & sind zwei verschiedene Darstellungsformen des Verhaltens des gleichen Gegenstandes. Wenn man das Prinzip verfolgen will, jeweils die zur Lösung einer Aufgabe günstigste Form der komplexen Größen zu benutzen, wird man im Rahmen größerer Aufgaben mehrfach die Darstellung wechseln müssen. Man wird z. B. teilweise mit Wirk- und Blindwiderstand rechnen, teilweise aber auf die Leitwertdarstellung übergehen wollen. Dieser Übergang erfordert stets eine gewisse Rechenarbeit, die sehr häufig zu leisten ist. Wenn man die Vorteile des Leitwertbegriffs voll ausnutzen will, muß dieser Übergang in eine möglichst einfache Form gebracht werden, damit nicht die durch den Leit-

6 Meinte, Wechselstrom-Schaltungen

82

Das Rechnen mit komplexen Widerständen

wert ersparte R e c h e n a r b e i t d u r c h die A r b e i t des U m r e c h n e n s wieder verlorengeht. Gegeben sei der W i d e r s t a n d 31 = R + j X. G e s u c h t ist sein L e i t w e r t © = G + j Y = 1/31. Den R e z i p r o k w e r t einer k o m plexen Zahl f i n d e t m a n in (15) : @ =

R

~ JX • Q

=

R

• Y =

—

il93~>

m i t den Sonderfällen f ü r reine W i r k w i d e r s t ä n d e (X = 0): © = G = 1/R. Zu b e a c h t e n ist vor allem, d a ß die Blindk o m p o n e n t e beim Ü b e r g a n g zu L e i t w e r t e n ihr Vorzeichen ä n d e r t . W e n n der komplexe W i d e r s t a n d ein W i r k w i d e r s t a n d m i t sehr kleiner B l i n d k o m p o n e n t e ist ( X < 0,1 R) (Abb. 38), k a n n m a n in (193) X 2 neben R 2 vernachlässigen u n d erhält die einfacheren N ä h e r u n g s f o r m e l n ß = i ;

r = - ~

(XLx. Wenn dann Li + L 2 = L die Gesamtinduktivität mit dem Blindwiderstand \XL = \ coL ist, besteht der induktive Zweig aus der Serienschaltung von Rs und j XL. Diese beiden Widerstände kann man wegen der Kleinheit von Rs nach (200) wieder in eine Parallelschaltung des Wirkwiderstandes Rt = XL2j Rs und des unveränderten Blindwiderstandes j XL umrechenn. Schaltet man nun nach Abb. 62a parallel dazu einen kapazitiven Blindwiderstand, dessen Blindwiderstand j Xc entgegengesetzt gleich j XL ist (Parallelresonanz), so kompensiert dieses Xc das XL, und es bleibt nur der reelle Widerstand Rv Der Transformationsfaktor ist also: Xr 1(217) Rv Rs Ri Dieser Transformationsfaktor ist unabhängig von der Frequenz. Die Schaltung der Abb. 62b würde nach den gleichen Überlegungen die Formel geben: R* = txci + xC2y IG, + C2Y (218)

R2

\

XC2

'

\

G1

I

Wenn man umgekehrt sehr große Wirkwiderstände RL in sehr kleine R2 transformieren will, verwendet man die gleichen Schaltungen in umgekehrter Richtung (Abb. 63).

112

Das Rechnen mit komplexen Widerständen

Wenn man die Bedingung nicht einhalten kann, daß die Wirkwiderstände sehr klein oder sehr groß gegen die Blindwiderstände sind, werden die Näherungsformeln (200) un-

Abb. 63. Transformation mit teilgekoppelten Resonanzkreisen

genau, und man muß die exakten Formeln (196) und (197) bzw. das Kreisdiagramm der Abb. 49 benutzen. Abb. 64 zeigt eine Anwendung des wichtigen Verfahrens, mit Hilfe eines Drehkondensators und einer parallelen unveränderlichen Spule sehr große und vor allen Dingen auf einfachste Weise stetig verAbb. 64. Kapazitive Ankopplung änderliche, kapazitive und indukan einen Resonanzkreis tive Blindwiderstände herzustellen. L sei konstant und C werde verändert. Es sei C = CR + AG , (219) wobei CR der Wert der Kapazität ist, der bei gegebenem L zur Resonanz nach (114) erforderlich ist. Der Resonanzblindleitwert lautet bei der Frequenz w Y

h

=oiCr=\7l\=^l.

(220)

Nach (154) ist dann der gesamte Leitwert des Kreises mit dem C nach (219) ® = GR + j(coC R + (O A C - - ^ I = G

r

+ ]co A C , (221)

wobei AG die Veränderung der Kapazität G gegenüber dem Resonanzwert C R angibt. Der komplexe Widerstand 9t des

Ankopplung an Resonanzkreise

113

Kreises durchläuft bei Veränderung der Kapazität folgende Werte: SR = fi

+

j X = 4 = _ @ Gr + j w • AG (222)

RI> 1 +

]COACRR

RR ist der Resonanzwirkwiderstand nach (165). Der Absolutwert | SR | durchläuft eine Resonanzkurve R r

| SR | =

(223)

|/1 + (a> • AG • RRy mit der normierten Form (Abb. 21) 1

K= ÜL1= RR

F ü r Ax

|/1 +

; Ax = a, -AG • RR.

(224)

(AX)*

= ± l , also f ü r AG = ± 1 /(CORR) ist | SR ] = IlR

h%

und SR hat die Phase ± tt/4; vgl. (170) bis (172) und Abb. 28. R und X verhalten sich bei Veränderung des C genau so wie in Abb. 29 und Abb. 53 bei Veränderung der Frequenz. Der entstehende Blindwiderstand j X hat einen umso größeren Verlustfaktor R/X, je näher man der Resonanz kommt. Wenn man nach diesem Verfahren große Blindwiderstände herstellen will, bleibe man daher stets außerhalb der Bandbreite des Kreises. Man erreicht nach Abb. 29 und (172) keine beliebig großen Blindwiderstände. Im folgenden wird ein Beispiel zur Anwendung dieser Erkenntnisse gegeben: Zur Ankopplung eines niederohmigen Verbrauchers an hochohmige Resonanzkreise benutzt man oft die Schaltung der Abb. 57d. Der Verbraucher R2 wird durch eine sehr kleine, veränderliche Kapazität CK an einen Resonanzkreis gekoppelt (Abb. 64), dessen Kapazität etwas kleiner als die zur Resonanz erforderliche ist (AC negativ), so daß der verstimmte Kreis den zur Transformation benötigten i n d u k t i v e n Parallelwiderstand darstellt. Durch Veränderung von CK und C kann man die Größe der transformierenden Blindwiderstände und den Transformationsfaktor leicht und genau einstellen. 8 M e i n k e , Wechselstrom-Schaltungen

114

Das Rechnen mit komplexen Widerständen

IV,6. Spannungsteiler Das Teilung»Verhältnis: Ein Spannungsteiler besteht allgemein aus einer Kombination zweier komplexer Widerstände und 9t2 nach Abb. 65. Der Ausgang der Schaltung ist unbelastet. An dem Gesamtwiderstand SR = + 2ft2 liegt die Ausgang

j—i-

Eingang

LZ—

j

Abb. 65. Allgemeiner Spannungsteiler

gegebene Spannung U lt es fließt der Strom 3, = U1(/5£ durch beide Widerstände, und an dem Widerstand 9t2 liegt die gesuchte Spannung ( 2 2 5 )

=

Das Verhältnis l y U i i s t also durch das Verhältnis 3t2/(3ti + 9t2) der komplexen Widerstände bedingt. Das „Teilungsverhältnis', lautet

Wenn man die erzeugte Spannung U2 praktisch ausnutzen will, muß man an die Ausgangsklemmen, d. h. parallel zu Sft2, einen Verbraucher SR legen. Dadurch ändert sich die Spannung | U21, weil sich der Spannungsteilerstrom 3i jetzt auf Sft2 und 9t verteilt, also an 9t2 nicht mehr die unbelastete Spannung 3i • 9t2 bestehen kann. Wenn man eine definierte, belastungsunabhängige Spannungsteilung erzeugen will, muß stets der belastende Widerstand 91 groß gegen 9t2 sein. Für definierte Spannungsteiler besteht daher stets das Problem, wie klein 9t werden darf, damit der entstehende Fehler des | U21 ein praktisch zulässiges Maß nicht überschreitet. Eine besondere Rolle spielen die frequenzunabhängigen Spannungsteiler (Abb. 66). Der Ohmsche Spannungsteiler (Abb. 66a) besteht aus zwei Wirkwiderständen R± und R2:

v = —^— = R , +

R2

1 +

R J R ,

.

(227)

V

'

Spannungsteiler

115

Der kapazitive Spannungsteiler a) , (Abb. 66b) wird bei Hochfrequenz oft VL2 verwendet. Obwohl er aus frequenzabthängigen Widerständen besteht, ist die Spannungsteilung frequenzunabhängig: bl 1 /(a)CJ l/(coCJ 1/(coC2) 1 Gi C, + C2 1 + GJG, •

h

V =

~

tti 0 1

(228)

Seltener wird der induktive Spannungsteiler (Abb. 66c) benutzt, der auch frequenzunabhängig teilt:

t * »C, 1 VI, r

Abb. 66. FieQuenzunabMngige Spannungsteiler

a)L 1 z = (229) = y coLt + a>L2 + L2 1 + LJL2' ' Ein weiterer bekannter Spannungsteiler ist das (LC)-Glied (Abb. 67), das als Verdrosselung benutzt wird, um eine Gleichstrom oder niederfrequente Wechselströme führende Leitung von Strömen hoher Fref ] 'y f 1,11 quenz zu befreien. Die Spannungsteilung ^ 4 lautet nach (226) B =

2

(230)

Abb. 67. Hochfrequenzsperre

o/ LG Das Teilungsverhältnis sinkt mit wachsender Frequenz, solange die beteiligten Blindwiderstände nicht durch die in 111,7 beschriebenen Effekte verändert werden. Näheres auch in VI,3. V. Komplese Behandlung der Spannungsquelle V,l. Die Spannungsquelle Zur vollständigen Berechnung der Vorgänge in einer Schaltung gehört die quantitative Kenntnis der Spannungsquelle. Bei Gleichstrom beschreibt man das Verhalten einer Spannungsquelle durch ihre Leerlaufspannung U L und ihren Innenwiderstand Äj. Bei gegebenem Verbraucher Ra ist dann die Spannung U am Verbraucher und der Strom I im Verbraucher 8*

116

Komplexe Behandlung der Spannungsquelle

R* I = ür Ra + Ri' "" Ret + Ri Die vom Verbraucher aufgenommene Leistung U=Ur

U •I =

Ut

Ra (Ra +

P

_ 1

Uj}

(232)

Rif

erreicht ihr Maximum bei Anpassung ( R a =

(231)

R(): (233)

Bei Wechselstrom, kommt man zu analogen Formeln. Die Spannungsquelle (Abb. 68) enthält eine elektromotorische Kraft und einen inneren Widerstand. Diese beiden Kennzeichen der Quelle sind rein formaler Natur und brauchen keinesfalls eine physikalische Bedeu[—' —9—x tung zu haben. Auf folgende J ®i ,L n _ Weise kommt man zu einer einwandfreien Beschreibung des Verhaltens einer Quelle: Belastet man die Quelle mit einem Widerstand 3t 0 nach Abb. 68a, so fließt ein Strom 3 und an 9t 0 entsteht eine Spannung U. Im Leerlauf mit SR,, = 00 nach Abb. 68b fließt kein Strom und man mißt zwischen den Klemmen des Generators die Leerlaufwechselspan. nung mit dem reellen Momentan[ " M " ~° wert uL = | U £ | • cos (cot + %L) 1 und der komplexen Amplitude U t = | Ux | • eä*x; im Kurzschluß mit = 0 nach Abb. 68c mißt man den Kurzschlußstrom mit Abb. 68. Spannungsquelle dem reellen Momentanwert iK = cos (cot + y!K) und der komplexen Amplitude 3k = 3K ci'i'K. Der Innenwiderstand wird in sinngemäßer Er3x

Die Spannungsquelle Weiterung der Gleichstromformeln als komplexer stand 3ti durch folgende Definition festgelegt:

117 Wider-

% = Ri + ] Xi = ^ = f ^ - j 0(xr. - Vk) = I % I • ¿ U durch 3 und 3 durch U ersetzen. Dann erhält man aus (235) direkt (250) und (251). Dies sind dann die geeigneten Gleichungen für das Rechnen mit Leitwerten. Man gewinnt dementsprechend aus (237) durch Umtausch

Die Stromquelle

123

und die maximale Leistung P

m a x

_ 1 "8

unter den Bedingungen JY = — 1Yi -a — Wie in (241) ist jetzt

I3k (V Ga

(253 =Gi.

(254)

(255) Pmax i„ ;. ' Die formale Ähnlichkeit mit (241) läßt auch hier die Anwendung des Diagramms der Abb. 71 zur Berechnung von P / P m a x zu. Man berechnet hier die neutrale komplexe Zahl 3t = A + j A, (256) Q Ya + Yf mit A1 = und A2 , zeichnet dieses 3i in Abb. 71 Gi Gi ein und entnimmt P / P m a x Physikalische Veranschaulichung der Gl. (250) und (251): Die Parallelschaltung zweier Leitwerte & a und h a t den resultierenden Leitwert (@ 0 + ©¿). Fließt durch diese Kombination ein Strom 3 x , so entsteht an ihr die Spannung U = 3 i c / ( @ 0 + @ t ) ; man vergleiche (251). Durch den Teilleitwert & a fließt der Strom 3 = 3 K • @ a /(@a + ©¿); man vergleiche (250). Die Gleichungen (250) und (251) kann man also auch so entstanden denken, als ob ein gegebener Strom 3 X durch die Parallelschaltung des Innenwiderstandes und des Verbrauchers @ 0 fließt. Man kann sich also die Wirkung einer Quelle auch so vorstellen, als ob im Innern der Quelle nach a) 2


^ 1 1 9*2 + j ^12

/Ol q\

Dies kann man durch Division umformen in + j •" „ • a21 ] A21 :k2 + A22 Aus (285) wird für verlustfreie Vierpole

(314)

•A-u A-22 + A A (315) a 21 = 1 . Verwendet man diese Formel und führt die Widerstände j XLl, j XL2 und den Kernwiderstand j X2 ein, so wird

S ^ j X ü + r y ^ r .

(316)

Der Eingangswiderstand, besteht also aus dem Leerlaufwiderstand der schon dann vorhanden ist, wenn kein Verbraucher angeschlossen ist, und einem Zusatzglied, das dem Quadrat des Kernwiderstandes proportional ist und den Verbraucherwiderstand 9i2 enthält. Ein Beispiel für diese Formel und eine geeignete geometrische Vcranschaulichung ist in Abschn. VI,4 gegeben.

Verlustfreie Vierpole

151

Symmetrische Vierpole: Man nennt einen Vierpol symmetrisch, wenn seine Schaltung so aufgebaut ist, daß er beim Umkehren sein Verhalten nicht ändert. Dies ist z. B. immer dann der Fall, wenn die innere Schaltung des Vierpols bezüglich Eingang und Ausgang symmetrisch aufgebaut ist. Bei einem symmetrischen Vierpol müssen dann die Vierpolgleichungen (283) und (284) mit den Gleichungen (309) und (310) übereinstimmen, d. h. die Vierpolkonstanten müssen die gleichen sein. Dies ist nur möglich, wenn 2f n = » 2 2 ist. Dies ist also die Bedingung für einen symmetrischen Vierpol. Daraus folgt mit (285) « n = »22 = ^ l + 3li,3tT. (317) Im Ersatzbild der Abb. 92 ist = 5R3. Der symmetrische Vierpol hängt nur noch von zwei komplexen Konstanten 2i12 und 2l21 ab, ist also rechnerisch bereits wesentlich einfacher. Diese beiden Konstanten führt man meist auf den Kurzschlußwiderstand nach (287) .. "'il2 «22 ] / l + »12 »21 und den Leerlaufwiderstand nach (289) =

(328)

_ «11 _ Y 1 + «12 «21 /Olm ( 1 ) «2; zurück, weil die Größen 9t X l und 9 t £ l meist besonders einfach zu berechnen und auch einfach zu messen sind. Aus 5RXl und ¿RLl berechnen sich die Vierpolkonstanten des symmetrischen Vierpols als £l -

« n = «2, = sjj

_

9t j a

.

1

l/l

; 1

21

(320)

/321)

sRni/i-awstj,/

Veilustfreier symmetrischer Vierpol: Besonders einfach werden die Verhältnisse, wenn der Vierpol nur aus Blindwiderständen besteht. Im verlustfreien Vierpol sind Kurzschlußwiderstand und Leerlaufwiderstand stets Blindwider-

Vierpole

152

stände, so daß zwischen Eingangsspannung und Eingangsstrom die Phasendifferenz n j 2 oder (—jz/2) bestehen muß. und 5t sind Blind widerstände: 1RKL = j XKL\ 91 £j = j XLL. Die Vierpolkonstanten eines verlustfreien, symmetrischen Vierpols lauten also nach (320) und (321) (322)

1

2in =

X/XII

= j

%

XKI

|/1 - xK1/xL1 XJ.1

(323)

1

J-

X

K 1

/X

L 1

XKJXLL)

ist eine positive oder negative, reelle Zahl, (1demnach entweder eine reelle oder eine XKI/X-LI VI imaginäre Zahl. Die einfachsten Schaltungen für einen symmetrischen, verlustfreien Vierpol gibt Abb. 94; vgl. Abb. 92 mit 3t, = 3ta. Sie bestehen jeweils aus drei Blindwiderständen, von denen die beiden symmetrisch liegenden gleich sind. Eine Anwendung solcher Vierpole gibt VI,3. 2a o o LA Die Vierpolgleichungen der IISchaltung sollen als Beispiel aufVi-Vx, Abb. 04. Einfache symmetrische gestellt werden. Beim Kurzschluß verlustfreie Vierpole am Ausgang (Abb. 95a) wird das hintere j X x kurzgeschlossen, und der Eingangswiderstand berechnet sich nach (58) als Parallelschaltung von j XT und j X 2 ; 9t Ä 1 = j XKL = j Z j X2/(X1 + X2). Bei Leerlauf am Ausgang (Abb. 95b) ist der Eingangswiderstand die Parallelschaltung von j Z j und j ( Z 1 + Z 2 ): St/,1 =

j XLI = j

2 XX + Z 2

(324)

153

Verlustfreie Vierpole

Die Vierpolkonstanten lauten dann nach (322) und (323) 2IU = 3t22 = 1 + X2/Xt 2l12 = %

1 =

- j

2 X l

+

A 2

'

(reell);

(325)

(imaginär);

(326)

(imaginär). (327)

Diese einfachen Konstanten gestatten mit Hilfe der allgemeinen Gleichungen aus VI,1 die Berechnung des Verhaltens einer solchen Schaltung. Für die T-Schal- a) Kurzschluß tung nach Abb. 94a sind die Vierpol-CDkonstanten aus (304) bis (307) für Z x = ,X3 zu entnehmen. Für jeden Vierpol gibt es einen ganz bestimmten Wert des Ver- b) Leerlauf brauchers 9t2, für den der Eingangswiderstand 9t, wieder gleich ist, der Vierpol also den komplexen Widerstand nicht transformiert. Diela Abb. 95. ses spezielle Sft2 bezeichnet man bei Leerlauf und Kurzschluß der symmetrischen Vierpolen als den symmetrischen II-Schaltune „Wellenwiderstand" 3 des Vierpols. Dieser Widerstand hat keine physikalische Beziehung zu Wellenvorgängen; der Name kommt vielmehr aus analogen Formeln aus der Leitungstheorie, wo Wellen auftreten. Aus (290) folgt mit 2l u = 3i22 für 3i, = m, 3 =

= j/sKxi-SRit.

(328)

Für verlustfreie symmetrische Vierpole ist ? = y-X

K l

-X

L l

(329)

entweder ein reiner Wirkwiderstand (wenn Xfll und Xl2 verschiedenes Vorzeichen haben) oder ein reiner Blindwiderstand (wenn XLl und XL2 gleiches Vorzeichen haben). Nach den bereits angegebenen Formeln ist für die Schaltung der Abb. 94b

154

Vierpole (330)

Betriebszustände, bei denen der Vierpol den vorhandenen Widerstand nicht transformiert, sind in vielen Fällen sehr erwünscht und daher von großer praktischer Bedeutung. Da elektrotechnische Vorgänge im allgemeinen die Übertragung von Wirkleistung zum Ziel haben, interessieren besonders diejenigen verlustfreien Vierpole, bei denen 3 reell ist, bei denen also in der Wurzel des Nenners in (330) eine negative Zahl steht, d. h. bei denen X1 und X2 verschiedenes Vorzeichen haben und (331) ist. Da Blindwiderstände grundsätzlich frequenzabhängig sind, kann ein Vierpol diese Bedingung immer nur in einem begrenzten Frequenzbereich, den man den „Durchlaßbereich" des Vierpols nennt, erfüllen. VI,3. Tiefpaß-, Hochpaß- und Bandpaßfilter Unter einem Filter wird ein verlustfreier Vierpol verstanden, der in einem gewissen Frequenzbereich möglichst keine oder nur eine geringe transformierende Wirkung ausübt, d. h. den Verbraucher dort praktisch direkt mit seiner Spannungsquelle verbindet (Durchlaßbereich), in den anderen Frequenzbereichen aber möglichst viel transformiert und dadurch eine so große Fehlanpassung zwischen dem Verbraucher und dem Innenwiderstand der Quelle hervorruft, daß dem Verbraucher praktisch gar keine Wirkleistung zugeführt wird (Sperrbereich). Um definierte Aussagen zu ermöglichen, wird das Filter stets in der häufig vorkommenden Schaltung der Abb. 96 betrachtet. Der Verbraucher ist ein frequenzunabhängiger Wirkwiderstand IL, der Innenwiderstand der Spannungsquelle ebenfalls ein frequenzunabhängiger Wirkwiderstand 31, = IL. Im Durchlaßbcreieh transformiert der Vierpol

Tiefpaß-, Hochpaß- und Bandpaßfiltcr

155

nicht, sein Eingangswiderstand ist dann gleich R2. Es besteht Anpassung, und der Verbraucher nimmt nach (240) maximale I TO, Vierpol

-Cü-i t

Abb. 00. Filterschaltuns

Leistung auf: Pmix braucher beträgt

= 1/s | U7, | 2 /i? 2 . Die Spannung am Ver-

I U21 = ]/2 P m a x • IL =

| Uz | .

(332)

Solange der Vierpol nur wenig transformiert, liegt der Eingangswiderstand Sfli in der Nähe von TL, und die aufgenommene Wirkleistung ist nach Abb. 71 nur wenig von P m a x verschieden, die Spannung [ U 2 1 am Verbraucher nur unwesentlich kleiner als 1 [ 2 \ U £ | . Damit | U21 merklich klein wird (Sperrbereich), muß P sehr klein sein und SRj sehr nahe an der imaginären Achse liegen (vgl. Abb. 100 und 101). Einfache Kompensationsschaltung: Zunächst muß untersucht werden, unter welchen Umständen überhaupt ein verlustfreier Vierpol nicht transformiert. Abb. 97 zeigt eine besonders einfache Schaltung dieser Art. Wenn vor den Wirkwiderstand R2 eine Serieninduktivität L geschaltet wird, so transformiert diese das R2 senkrecht nach oben nach 3t' = R2 + j OJL. Die anschließende Parallelkapazität verschiebt dann SR' nach Abb. 50 auf einem 0-Kreis im Uhrzeigersinn. Wenn man den Leitwert j o>C der Kapazität richtig wählt, kann man dabei SR' in einen r e e l l e n Widerstand R, transformieren (Abb. 97), der dem Ausgangswiderstand Ä 2 sehr nahe liegt. Je kleiner a>L ist, desto näher liegt R1 an R2, weil der achsennahe Teil des G-Kreises praktisch senkrecht von oben nach unten verläuft, also den durch das kleine j coL erzeugten Weg kompensiert. Zu beachten ist, daß die Kompensation mit wachsendem coL immer schlechter wird. Eine Schaltung aus einem Sorienwiderstand und einem Parallel-

Vierpole

156

widerstand kann also nie zu einer exakten Kompensation führen, d. Ii. der Eingangswert Ii1 wird immer von R2 verschieden sein. Der Eingangswiderstand ist ein reiner Wirk-

widerstand, wenn der Blindleitwert des SR' = R2 + j wL gleich dem Blindleitwert j coC der Kapazität ist. Nach (193) ist also

oder

J^Ly>'22 + (mhf ¡U

= m

C

(!'f •

(333) '

y

(334)

Für hinreichend niedrige Frequenzen ist Ji2 frequenzunabhängig gleich J/Ljü. Angewendet wurde diese Tatsache bereits in 111,5 zur gegenseitigen Kompensation des induktiven und des kapazitiven Phasenwinkels eines Wirkwiderstandes nach Abb. 38 und Abb. 39. Die Kompensation gelingt bei gegebenem L und G jeweils nur für das zugehörige R2. Sie ist jedoch annähernd frequenzunabhängig, solange der Transformationsweg klein bleibt (solange also genügend klein ist). Der Leser berechne ein Zahlcnbeispiel für gegebenes L und C mit wachsender Frequenz. Kompensation im T-Glied: Wenn man einen in sich kompensierten, also nicht transformierenden Vierpol mit größeren Blindwiderständen aufbauen will, muß man die Schaltung der Abb. 97 zu einer symmetrischen Schaltung nach Abb. 94

Tiefpaß-, Hochpaß- und Bandpaßfilter

157

ergänzen. Eine Kompensation ist immer dann möglich, wenn die Blindwiderstände j X1 und j X2 verschiedenes Vorzeichen haben, der eine also induktiv, der andere kapazitiv ist. Es wird die Schaltung der Abb. 98 jXz JX2 als Beispiel betrachtet. Der Verbraucher R2 wird durch das anschließende Serien-L nach SR' = CpXi R2 + j COL transformiert, dann durch das Parallel-C auf einem 0-Kreis im Uhrzeigersinn nach SR" verschoben. Die Größe des G wird nun so gewählt, daß SR" genau unter R2 liegt. Dann wird SR" durch das vordere Serien-L wieder nach R2 transformiert. Der Eingangswiderstand ist also genau gleich dem Abschlußwiderstand. Die erforderlichen Blind- Abb. 98. Kompensationssclialtung widerstände entnimmt man dem in Form eines T-Gliedes Kreisdiagramm der Abb. 47, in das der Transformationsweg eingezeichnet wird. Das X2 = OJL kann man beliebig wählen, wodurch die Punkte SR' und SR" dann gegeben sind. Aus den zu SR' und SR" gehörenden Y-Werten nach (193) I1 Y 1I =

—

+ (COLF

=

(335)

+ X22

V

'

ergibt sich der erforderliche Blindleitwert der Querkapazität als 2 Y und der Blindwiderstand RI =

21 F l

{COLF _ R2* +

2 cOL

XJ

2 I X,

(336)

Ebenso kann X2 eine Kapazität und X 1 eine Induktivität sein (Abb. 102a). Kompensation im Ii-Glied: Abb. 99 zeigt das entsprechende II-Glied. R2 wird durch das hintere Parallel-C auf einem G-Kreis nach SR' verschoben. Der kapazitive Widerstand j Z x

158

Vierpole

kann beliebig gewählt werden. SR' wird dann durch das Serien-L nacü SR" transformiert, wobei der Blindwider tancl j X2 so gewählt wird, daß SR" wieder auf dem durch R, gehenden G-Kreis liegt. Das vordere Parallel-C verschiebt dann Ä2 H jxljc cflXi SR" genau nach R2, so daß der Ausgangspunkt wieder erreicht ist. Zeichnet man den Transformationsweg in das Kreisdiagramm der Abb. 47, so kann man aus ihm zu gegebenem kapazitivem Leitwert j Y1 = — j 1/X1 das erforderliche X2 als Abstand der Punkte SR' und SR" entnehmen. Nach (202) ist der Blindwiderstand der PunkAbb. 99. Kompensationsschaltung te SR' und SR" (Wirkleitwert G, in Form eines II-Gliedes = 1/R2 und Blindleitwert j Yx)

TTTT

IV I

1Ä

1

Yi\ G22 + Y *

1 (1 /R2f

1 + (1/XiT '

v

(337\

Daraus folgt die Kompensationsbedingung: |X2|

= = 2

| X | = 2 | X

1

| ^ ^

i

.

(338)

Xl kann auch eine Induktivität und X2 eine Kapazität sein (Abb. 102b). Tiefpaßfilter: Die in Abb. 98 und 99 dargestellte Kompensation gilt exakt nur für die betrachtete Frequenz /„, bei der die beteiligten Blindwiderstände die richtige Größe haben. Für die Frequenz Null (X2 = 0; Xx = oo) ist aber ebenfalls der Vierpol ohne transformierende Wirkung. Wenn man die Transformation durch den Vierpol im Kreisdiagramm (Abb.47) für die Frequenzen zwischen Null und der gewählten Kompensationsfrequenz /„ durchführt, so erkennt man, daß für diesen Frequenzbereich die Abweichungen des entstandenen Eingangswiderstandes SRX des Filters vom Ausgangswert R2 nicht

Tiefpaß-, Hochpaß- und Bandpaßfilter

159

sehr groß sind. Das liegt daran, daß sowohl der Blindwiderstand j COL als auch der Leitwert j coC gleichlaufend proportional zur Frequenz wachsen und daher stets eine teilweise Kompensation entsteht, solange der Transformationsweg im Kreisdiagramm klein ist. Für Frequenzen jedoch, die wesentlich größer als /„ sind, tritt kaum eine Kompensation ein. Der sehr große Querleitwert j coC schließt dann den Verbraucher RZ praktisch kurz, und das sehr große j ojL verhindert die Ausbildung eines größeren Stromes von der Quelle zum Verbraucher. Den näheren Verlauf des Eingangswiderstandes 3tj in Abhängigkeit von der Frequenz zeigt Abb. 100. 2,07mH R

2= W 0 °l) ,

2,07mH

ojgßr

j*rVi*i

Die Zahlen, an. der Kurve geben die Frequenz in KHz an f0= 5 KHz

Abb. 100. Eingangswiderstand eines Tiefpaßfilters

Für die Frequenzen Null und /„ ist SFtx = i?2; dazwischen durchläuft eine kleine Schleifenkurve und nähert sich für größere Frequenzen asymptotisch der imaginären Achse. Trägt man diese Widerstandskurve in das Wirkleistungsdiagramm der Abb. 71 ein (X< = 0 nach Abb. 89; alle Widerstände dividiert durch R { = Ä2), so kann man daraus die von aufgenommene Wirkleistung P entnehmen. Da der Vierpol verlustfrei ist, wird das ganze P vom Abschlußwiderstand II2

Vierpole

160

verbraucht. Für die Frequenzen Null und /„ ist 2ftx = iü2 = 3ftf und P = P m a x = 1 / s | U i J 2 / R2. Nach (71) liegt dann an ß2 die Spannung | U21 = ]/2 P • = 1/2 \ \XL \. Für die anderen Frequenzen ist P kleiner und | U21 < Va | Ux | . Je weiter sich im Wirkleistungsdiagramm vom Anpassungspunkt entfernt, desto kleiner wird P und | U21 . Abb. 101 zeigt den Verlauf von | U21 im Zahlenbeispiel der Abb.100 für | U £ | = 2 V '/¿IVIlKO

\

| Ol« £ I? 0,4

\ \

0,6 2,07mH 2,07mli

-

100 Q

rniiiVlr-^H

\

s

1 =2V

0,3

0

2

4

f

6

8

10

12

14

f [ K H z ] — Abb. 101. Durchlaßkurve'eines Tiefpaßfilters

in Abhängigkeit von der Frequenz. Zwischen Null und /„ wird praktisch die volle Spannung an R2 erzeugt (Durchlaßbereich); für höhere Frequenzen nimmt die Spannung mit wachsender Frequenz ab (Sperrbereich). Man spricht daher von einem Tiefpaßfilter. nochpaßfilter: Wenn man als Längswiderstände Kapazitäten und als Querwiderstände Induktivitäten benutzt (Abb. 102), ändert man gegenüber Abb. 102. Hochpaßfuter dem Tiefpaßfilter das Vorzeichen der Blindwiderstände. Eine Kompensation für eine bestimmte Frequenz ist auch dann möglich. Bei der Schaltung nach

Tiefpaß-, Hochpaß- und Bandpaßfilter

161

Abb. 102a erfolgt die gleiche Transformation wie in Abb. 98, jedoch in umgekehrter Richtung über SU" nach SR', ebenso bei der Schaltung der Abb. 102b in umgekehrter Richtung wie in Abb. 99. Die Werte der Blindwiderstände bei der Frequenz /„ sind (abgesehen vom Vorzeichen) die gleichen wie vorher, weil auch hier die Kompensationsbedingungen (336) und (338) gelten. Das Frequenzverhalten der Schaltungen ist jedoch grundsätzlich anders als vorher, da hier jetzt der Längswiderstand — j • 1l{coC) und der Querleitwert — j • 1/(coL) umgekehrt proportional zur Frequenz wachsen. X 2 und Yx werden also mit wachsender Frequenz kleiner. Für die Frequenz co ist X 2 = 0 und Y 1 = 0, der Vierpol also wirkungslos (wie bei der Frequenz Null im Tiefpaßfilter). Das Frequenzverhalten dieser Filter zwischen den Frequenzen / 0 und oo ist das gleiche wie beim Tiefpaßfilter zwischen den Frequenzen Null und /„ (praktisch ungestörter Durchlaß). Für Frequenzen unterhalb von / 0 verhält sich dies Filter so wie das Tiefpaßfilter oberhalb von /„. Bandpaßfiltei: Wenn man die Blindwiderstände des Filters nicht wie bisher aus einfachen Kapazitäten oder Induktivitäten, sondern wieder aus Kombinationen von Blindwiderständen aufbaut, kann man Filter mit verschiedenartigem Frequenzverhalten erzeugen. Als „Bandpaßfilter" bezeichnet man ein Filter, das zwischen zwei Frequenzen f 1 und f 2 seinen Durchlaßbereich, für Frequenzen unterhalb von f l und oberhalb von / 2 seinen Sperrbereich hat. Hier wird lediglich die einfache Schaltung der Abb. 103 betrachtet, in der der Längsblindwiderstand j X 2 durch einen Serienresonanzkreis, der Querblindwiderstand j X 1 durch einen Parallelresonanzkreis dargestellt Lo ist. Beide Kreise haben die Abb. 103. Bandpaßfilter gleiche Resonanzfrequenz f R nach (112), bei der der Vierpol wegen X 2 = 0 und r x = 0 ohne transformierende Wirkung ist. Für Frequenzen unterhalb von f R ist der Serienresonanzkreis ein kapazitiver, der Parallelresonanzkreis ein induktiver Blindwiderstand. Dort verhält sich die Schaltung wie ein Hochpaß11 M e i n k e . Wechselstrom-Schaltungen

162

Vierpole

filter. B e i geeigneter Dimensionierung tritt für eine Frequenz / i < /k (Abb. 104) Kompensation ein. Zwischen fR und ft liegt dann ein Durchlaßbereich, unterhalb von /, der Sperrbereich. F ü r Frequenzen oberhalb von fR ist der Serienresonanzkreis /fl

f R f2

/

0,8

i et Oß

1

M 04

i

\ \

/ /

0,2 0,3

0,5

1

2

4

6 8 10 20 f [KHz]—

30

Abb. 104. Durchlaßkurve eines Bandpaßfilters

ein induktiver, der Parallelresonanzkreis ein kapazitiver Blindwiderstand, und das Filter wirkt wie ein Tiefpaßfilter. Bei der gegebenen Dimensionierung tritt für eine Frequenz / 2 > fK ebenfalls Kompensation ein (Abb. 104); zwischen fR und / a liegt wieder ein Durchlaßbereich, oberhalb von / 2 ein Sperrbereich. Zwischen f± und / 2 liegt also das Frequenzband des ganzen Durchlaßbereichs. VI,4. Induktive Kopplung (Transformator) Der Begriff der Gegeninduktivität (Abb.105): Gegeben sei eine (Primär-)Spule mit der Induktivität L x . Sie werde durchflössen von einem StrommitderkomplexenAmplitude 3 i = |3i| •e^1 und dem reellen h Momentanwert it = 13i | • cos (cot + ipx). VL:12 h B S 1 » Dieser Strom erzeugt in der Umgebung der Spule ein magnetisches M Abb.105. induitiveKoppinn« Wechselfeld. Ebenso wie bei der Ab-

Induktive Kopplung (Transformator)

163

leitung der idealen Formeln XL — coL und Y0 = coC wird hier eine ideale induktive Kopplung betrachtet, bei der der reelle Momentanwert des magnetischen Kraftflussestf>2in der Sekundärspule pro portional zum reellenMomentanwert \ des Stromes in der Primärspule ist (&2 = M • it) und keine sonstige Beeinflussung der Sekundärspule durch Vorgänge in der Primärspule besteht. Abweichungen von diesem idealen Gesetz entstehen z. B. durch kapazitive Nebenkopplungen zwischen den Spulen, nichtlineare Zusammenhänge zwischen der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Induktion im Eisen. In der unbelasteten Sekundärspule wird eine Wechselspannung mit dem reellen Momentanwert w i2 induziert. Das Induktionsgesetz lautet für die Mpmentanwerte uL2 = d&2jdt =[M • dijdt = - JMj • cu • [ 3i | • sini(et>i + y>i). (339) Den Proportionalitätsfaktor M nennt man die Gegeni n d u k t i v i t ä t zwischen den Spulen und mißt sie in Henry; u L2 hat nach (29a) gegenüber eine um ?r/2 voreilende Phase und nach (5a) die komplexe Amplitude U £J = o)M • 3X • eW2 = j cüM • 3i • (340) Die Transformatorgleichungen: U i 2 ist die komplexe Amplitude der Leerlaufspannung der Sekundärspule. Hängt an ihr ein komplexer Verbraucher m2 (Abb. 106), so fließt im Sekundärkreis ein Strom [32 = | 3j I • eiv" durch die Serienschaltung des 9t a und des induktiven Blindwiderstandes j coL2 der Sekundärspule mit der Induktivität L2. Nach (235) und (340) gilt im Sekundärkreis « _

_

j toM

C3411

Der Primärstrom 3i erzeugt einen belastungsabhängigen Sekundärstrom 32- An dem Verbraucher 3i2 liegt die Spannung «. = 3,-3t, = 3 x ^ i % - . j WL2 + gt2 ii*

(342)

164

Vierpole

Ebenso wie der Primärstrom 3i nach (340) in der Sekundärspule eine Spannung induziert, so induziert rückwärts auch der in der Sekundärspule fließende Strom 32 eine zusätzliche Spannung in der Primärspule: U £ l = j OJM • 32- Ohne Beweis sei der allgemeine Satz mitgeteilt, daß der Proportionalitätsfaktor -M, der hier die induktive Kopplung von der Sekundärspule auf die Primärspule beschreibt, den gleichen Wert M hat, wie er ihn in (340) für die Kopplung von der Primärspule auf die Sekundärspule hatte. Die Gegeninduktivität M ist also in beiden Richtungen gleich groß. Die Spannung Ux auf der Primärseite setzt sich daher aus zwei Teilen zusammen, dem Spannungsabfall 3i • j (oLy des Primärstroms an der Primärinduktivität und der durch den Sekundärstrom induzierten Spannung U ^ : (343) Ui = 3i • j a)Lx - 3 2 • j OJM . Das Minuszeichen deutet an, daß bei gleichem Umlaufsinn der Ströme der beiden Spulenwicklungen 3i ein in die Spule hinein(Abb. 106), 3 2 jedoch ein aus der Spule herausfließender Strom ist. Zwei induktiv gekoppelte Spulen bezeichnet man meist als Transformator oder Übertrager und faßt sie als Vierpol auf. Die Vierpolgleichung (283) für die Spannung Ux gewinnt man aus (343), wenn man 3i nach (341) durch 3 2 ausdrückt und dann Sft2 durch U2/32 ersetzt. Die Vierpolgleichung (284) für den Strom 3i gewinnt man aus (341), wenn man 3t2 = U2/32 setzt: (344) (345) Diese Gleichungen gestatten die Anwendung aller bisher abgeleiteten Vierpolgleichungen mit (346) (347)

Induktive Kopplung (Transformator)

165 (348) (349)

Insbesondere ist es möglich, Ersatzbilder aus Blindwiderständen nach Abb. 92 aufzustellen. Abb. 107 zeigt das TErsatzbild mit SRi =

91

— 1

= j co (Li - M),

(350)

""21

^

=

~ = ]ojM, -il 21

5K, -

= i«

(351) (4

- M).

(352)

Abb. 107. Transformator-Ersatzbild

Dies Ersatzbild ist also sehr einfach und besteht aus 3 Induktivitäten {Ly — M), M und (L 2 — M). Die Gegeninduktivität M bildet den Kernwiderstand. Es gibt Fälle, bei denen eine der Ersatzinduktivitäten negativ ist : Beispielsweise gilt für den sogenannnten „streuungsfreien" Übertrager, dem sich die Transformatoren mit geschlossenem Eisenkern weitgehend annähern, stets M = j/Li L 2 , so daß beispielsweise für L 2 < Li das M > L 2 ist. In der Starkstromtechnik führt daher dieses Ersatzbild meist zu einer negativen Ersatzinduktivität auf einer Seite. Bei den Transformatoren mit Luftspulen ist dagegen das M wesentlich kleiner und alle 3 Induktivitäten in Abb. 107 positiv. Bei Verwendung solcher

166

Vierpole

Ersatzbilder kann man also das Verhalten des Iransiormators durch eine Kombination von Serien- und Parallelschaltungen beschreiben und die Regeln des Abschn. IV,3 verwenden und Transformationen wie in Abschn. IV,4 durchführen. Wenn der Transformator durch seine Kenngrößen Lu L2 und M gegeben ist, kann man sein Verhalten mit Hilfe der Gleichungen (344) und (345) leicht berechnen. Transformator im Leerlauf: Es ist 3 2 = 0 und Ui --\X2LJM. Das Spannungs-Übersetzungsverhältnis ist frequenzunabhängig : i y U ! = MI Lt. (353) Den mit einem sehr großen. Widerstand ( > w L 2 ) belasteten Transformator benutzt man als Spannungswandler, um eine gegebene Spannung Ui frequenzunabhängig in eine andere Spannung U2 zu verwandeln, die durch geeignete Wahl von M und Lx in eine jeweils zweckmäßige Größenordnung gelegt werden kann. Aus (344) und (345) folgt für 3 2 = 0: 3

£

i = - j 4 - U i -

(354)

Dieses 3/,i nennt man den Leerlaufstrom des Transtormators. Auf der Primärseite erscheint der Transformator mit dem Leerlaufwiderstand Sftii = UjySix = j Ö>JÜ1 -

(355)

Transformator im'| Kurzschluß (U2 = ü): 3 i = 3 2 Ltf M nach (345). Das Strom-Übersetzungsverhältnis ist frequenzunabhängig : 3a/3i = M / L2. (356) Den mit kleinem 9t2 belasteten Transformator benutzt man daher auch als Stromwandler, z. B. zur Messung von großen Strömen 3 i mit Hilfe kleiner Ströme 3 2 . Komplex belasteter Transformator: Die Sekundärspule sei mit dem Widerstand 9t2 = U2/32 = Ä2 + j X2 belastet (Abb. 106). Der zwischen den Eingangsklemmen der Primärspule gemessene Eingangswiderstand lautet nach (341) und (343):

Induktive Kopplung (Transformator)

167

(coM)3 (357) 9 t i = i - = j a>hOl = f k Z l + ®s • Der Eingangswiderstand setzt sich aus dem Leerlaufwiderstand nach (355) und einem Zusatzwiderstand 9 t s = Rs + j Xs zusammen, der durch die Vorgänge auf der Sekundärseite verursacht wird und dem Quadrat der Gegeninduktivität proportional ist. Diese wichtige Gleichung wertet man mit Hilfe des Kreisdiagramms der Abb. 48 aus. Man setze h = l1 + ] l 2 = j ^ M y 1 ( j ( o L 2 + %y,

(358)

also = R2L(O)MF; \ = (OJL2 + X2) / (OJMF. Dann ist a = a x + j a2 = 1/b = £fts; ax = Rs\ a 2 = Xs\

(359) (360)

und

(361)

«Rj = j cüLJ + a .

Das Diagramm für 9t x (Abb. 108) ist also das um j OJL, nach oben verschobene Diagramm des a. Die Komponenten des

Nullpunkt desft s kapazitiver Bereich IX2