Ingenieur-Mathematik in Beispielen 3: Integralrechnung. Fouriersche Reihen [Reprint 2018 ed.] 9783486786941, 9783486230390

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IngenieurMathematik in Beispielen 3 Integralrechnung - Fouriersche Reihen 252 vollständig durchgerechnete Beispiele mit 170 Bildern von Dr. Helmut Wörle, Hans-Joachim Rumpf und Dr. Joachim Erven Professoren an der Fachhochschule München 4., verbesserte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1994

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ingenieur-Mathematik in Beispielen. - München ; Wien : Oldenbourg. 3. Integralrechnung - Fouriersche Reihen / von Helmut Wörle... - 4., verb. Aufl. - 1994 ISBN 3-486-23039-5 NE: Wörle, Helmut

© 1994 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gesamtherstellung: R. Oldenbourg Graphische Betriebe GmbH, München

ISBN 3-486-23039-5

INHALT VORWORT

6

INTEGRALRECHNUNG

7

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Rationale algebraische Funktionen Nichtrationale algebraische Funktionen Transzendente Funktionen Potenzreihen F o u r i e r s c h e Reihen Kurvenintegrale Flächen- und Raumintegrale Numerische und graphische Integration

7 55 100 152 171 195 203 221

ANHANG

237

1. Mathematische Zeichen 2. Integrationsformeln 3. Sachverzeichnis

237 244 265

VORWORT ZUR VIERTEN AUFLAGE

Ein erfolgreiches technisches Studium e r f o r d e r t neben guten theoretischen mathematischen Kenntnissen vor allem die Beherrschung einschlägiger Rechenverfahren und deren Umsetzung auf praxisbezogene Aufgabenstellungen. Die "Ingenieur-Mathematik in Beispielen" mit vollständiger und ausführlicher Wiedergabe der Lösungswege sämtlicher Aufgaben entlastet hierbei von zeitraubender Rechenarbeit, unterstützt die Prüfungsvorbereitung und leitet zur korrekten Bearbeitung eigener Probleme an. Im vorliegenden Band III werden Integralrechnung, Fouriersche Reihen sowie dazugehörige numerische und graphische Verfahren behandelt. Der zweite Teil des bisherigen Bandes III über gewöhnliche Differentialgleichungen wird zusammen mit Aufgaben aus Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Kürze als Band IV erscheinen. Band I umfaßt lineare und nichtlineare Algebra, spezielle transzendente Funktionen und komplexe Zahlen, Band II Analytische Geometrie und Differentialrechnung. Das ebenfalls im Verlag R. Oldenbourg erscheinende "Taschenbuch der Mathematik" enthält die theoretischen Grundlagen und Formeln f ü r alle vier Bände der "Mathematik in Beispielen".

H.Wörle, H.Rumpf, J . E r v e n

INTEGRALRECHNUNG 1.

Rationale algebraische Funktionen

2 1. Gegeben ist in der Grundmenge G = R die g a n z r a t i o n a l e F u n k t i o n 2. G r a d e s f = { ( x ; y ) | y = 3x 2 + 4 x + 5 A x G R } oder kürzer y = f(x) = 3x 2 + 4x + 5 mit der D e f i n i t i o n s m e n g e D y = R. Es ist die Menge IM aller S t a m m f u n k t i o n e n

von f zu ermitteln.

IM = { F | F' = {(x;y) | y = 3x 2 + 4x + 5 } } = { F | F = {(x;y) | y = = x 3 + 2x 2 + 5x + C A C G R } } . Dieser Sachverhalt wird meist einfacher durch j f ( x ) dx = x 3 + 2x2 + 5x + C beschrieben, wobei CGR die I n t e g r a t i o n s k o n s t a n t e dieses u n b e s t i m m t e n I n t e g r a l s ist.*) Für jedes CGR ist somit y = F(x) = x 3 + 2x 2 + 5x + C eine Stammfunktion von y = f(x) = 3x2 + 4x + 5 im Intervall ] - o o ; + « > [ , da hier ^

dx

2.

= f(x).

r 2 x 3 - x 2 + 3x - 7 Man bestimme I dx 2

J j

X

2x^ - x^ + 3x - 7 Der I n t e g r a n d

(Integrandenfunktion)

y = f(x)

x2 ist für x(EE)y = R\ { o } definiert. Anstatt jeweils die Definitionsmenge zu benennen, kann man sich der Einfachheit halber mit der Aufzählung derjenigen Elemente begnügen, für die in der Grundmenge R die Funktion nicht definiert ist, hier also x 0. Die Integration läßt sich unter V e r wendung der Formeln 1.1 und 1. 2 im Anhang folgendermaßen durchführen: x ) d- x, -= \j ( 2 x J( fi(w

dx

=

x2

- * + 3 • ln|x| + +

C;

gültig in jedem, die Stelle x = 0 nicht enthaltendem Teilintervall von R. * ) Soweit im vorliegenden Band als Grundmengen und Definitionsmengen, die Menge R der reellen Zahlen oder kartesische Produkmengen IR2 , IR3 , ... verwendet werden, unterbleibt im folgenden der Kürze halber meist ein entsprechender Hinweis. Die Integrationskonstante ist, wenn nicht anders vermerkt, Element von IR.

8

Integralrechnung

3.

Jf (2-+

Man ermittle

dx.

(2 + 3x) 1

Der Integrand f(x)

— ist f ü r x -—• definiert. Um eine Stamm2 3 (2 + 3x) funktion von f(x) zu bekommen, kann die l i n e a r e S u b s t i t u t i o n 2 + 3x = z herangezogen werden (siehe Formel 3. 1). In Verbindung mit 3 dx = dz ergibt sich dann z~ 2 dz = - y • (2 + 3x)

Setzt man wieder z = 2 + 3x, so folgt -

00

'

-

2 T 3

2 - —• ; +00 3 '

und

+ C.

-J z"

f

dx (2 + 3 x r

3 2 + 3x

+ C in

Das Integral kann auch unmittelbar unter Verwendung der Formel 1. 3 e r halten werden.

jf(x)dx

= -I

= 3

-I.ln,z,

+

C= - f

in |7 - 6x|

+

C

unter Verwendung der linearen Substitution 7 - 6x = z, also -6dx = dz. Das Ergebnis gilt in jedem Intervall aus D y und kann auch unmittelbar mit der Formel 1.4 gefunden werden.

5.

y = f(x) = ax

2

+ b

f ü r a £ R U 0 } , b £ R und D v = R, falls ^

sgn a = sgn b bzw. Dy = R \ I r 1 f Die Darstellung j f(x) dx = —— l a

| / ~ ~ | andernfalls. 2ax

führt auf ein Integral vom Typ

2

fg'(x) Jax + b l . . dx. Nun besteht aber für jedes Intervall, in welchem g1 (x) vorhanJg(x) r (x) den und g(x) 0 ist, die Beziehung l — r T - dx = ln|g(x)| + C.

J

' ) Wird im folgenden nur y = f ( x ) angegeben, so soll stets / f ( x ) d x berechnet werden.

1. Rationale

algebraische

Funktionen

r i 2 Somit ist lf(x)dx = — • In|ax + b | + C in jedem Intervall aus D y . Dieses

Ergebnis kann über die Umformung f(x)

1 a

x x

2

— auch unmittelbar aus b +— a

Formel 1.16 erhalten werden.

6.

y = f(x) =

24x 2 + 10 4x

3

,.. ^ , fur x 1.

+ 5x - 9

Ähnlich wie in Nr. 5 ergibt sich f l M j „ f I f(x) dx = 2-1 •J

12x

2

+' i5

. „ , 3 dx = 2 • ln|4x" + 5x - 9| + C f ü r jedes

J 4x 3 + 5x -

Intervall aus IR\{1}. 7.

y = f( x ) = (x 2 + 3x - l ) 3 • (2x + 3)

und IDy = IR;

Jf(x)dx = J z 3 d z = j- z 4 + C = | - - ( x 2 + 3x - l ) 4 + C mit z = x 2 + 3x - 1 und dz = (2x + 3)dx. Allgemein gilt J G[g(x)] • g' (x)dx = | G ( z ) d z = F(z) + C mit z = g(x) und zwar in jedem x-Intervall, in welchem g' (x) existiert und dem durch z = g(x) ein z-Intervall zugeordnet wird, worin F' (z) = G(z) ist. Danach stellt das gefundene Ergebnis in jedem Intervall aus R die Stammfunktionen von y = f(x) dar.

8.

y = f(x) =

f ü r x # ± 1; (x 2 - l ) 2

J*f(x) dx = j„ • J(x , „2 - l ) " 2 • 2xdx -= y„ - J z " 2 d_z = —+ C = 2 J 2 z 2 Jx 1 1 2 — + C mit x - 1 = z und 2xdx = dz 2 2 x - 1 in jedem Intervall aus IR \ {-1;1} .

9.

y = f(x) =

x2 + x

f ü r x ¥= 0

und

x

-1.

10

Integralrechnung

f(x)dx = - f

^

—

= - f r ^ — = -lnll + z| + C =

= - l n | l + - | + C = ln|xl - l n | l + x | + C mit x = —, also z = — und dx z x

z

2

dz.

Allgemein gilt / G ( x ) d x = /G[g(z)] • g' (z)dz = F(z) + C = F[h(x)] + C mit x = g(z) und der Umkehrung z = h(x). Voraussetzungen und Geltungsbereich dieser F o r m e l : Wird einem z-Intervall, in welchem F' (z) = G[g(z)] • g' (z) ist, durch die stetig differenzierbare Funktion x = g(z) umkehrbar eindeutig ein x - I n t e r vall zugeordnet, so gilt das Ergebnis in diesem, soweit es auch ein Stetigkeitsintervall von y = G(x) ist. Im vorliegenden Beispiel ist F(z) = - l n | l + z\ Stammfunktion von ——— 1 + z in ]-oo;-l[ und ]-l;+oo[. Durch x = g(z) = — werden aus diesen Intervallen die Teilintervalle ] - ° ° ; - l [ , ]-l;0[, ]0;+oo[ umkehrbar eindeutig den x-Intervallen ]-l;0[, ]-oo;-l[, ]0;+°o[ zugeordnet, die auch Stetigkeitsintervalle von y = f(x) sind. Das Ergebnis gilt also, kurz gesagt, in jedem Intervall aus IR \ {-1;0 } . Es kann auch unmittelbar unter Verwendung der Formel 1.18 erhalten werden.

10.

y = f(x) =

1

2 1 - 3x

für x

± -i v T : 3

dx

dz

(x.VT)2 In 2 vT

vT

1 + xV3~

J 1

+ C

•In 2- v T

mit x \ T = z

1 + z + C 1 - z

und Formel 1 . 1 5 , gültig

1 - xvT

für jedes Intervall aus R \ j - y v T ; j v T j . 1 1 Bei vorhergehender Umformung des Integranden in —3 1 2 3 " X mel 1.15 unmittelbar verwendet werden.

kann die F o r -

I. Rationale algebraische

11.

Welchen Wert hat das b e s t i m m t e

dx

Integral :

U

Die Integrandenfunktion y = f(x)

11

Funktionen

- 2x + 2

ist f ü r alle x G IR stetig. 2x + 2

Somit gilt auch im Integrationsintervall [0;1] i i (i) dx | dz f ^ . f — j s - ^ . r . arc tan z J J J l + (x - i r i = a r c tan(x - 1) mit x - 1 = z

und

TT \

= a r c tan 0 - arc tan(-l) = 0

7T =

T /

T

dx = dz (Formel 1. 14).

Bei Einführung der Integrationsgrenzen bezüglich der neuen Veränderlichen z mit Hilfe von 0 - 1 = -1 und 1 - 1 = 0 verkürzt sich der Rechnungsgang auf i 7T \ 7T = 0 f(x) dx = arc tan z " 4 / 4

i

Das vorgelegte Integral stellt den Sonderfall der Formel 1.18 f ü r a = 1, b = -2, c = 2 dar.

12.

für x

y = f(x) = 3x s

0, x j= — ; «5

- 5x dx

f(x) dx = •

2 X

^

È. " 3X

+

dx 25 25 36 " 36

was mit der Substitution x - — = z

x-1)

und dx = dz unter Verwendung der

F o r m e l 1.15 auf j ^ d ,

dz

H

=

- r

-

[{)

l n

5 3 "

3

- z2

6

f m X

= — In 4 « 1 , 9 4 1 5

a-4

führt.

5 - 3x 3x

5 ï + • In 5 —

6

Z

-

z

= f ( l n |

+

l n

6

'

12

Integralrechnung

Substituiert man die Grenzen, so ergibt sich aus x - — = z für die neue 6

5 7 untere Integrationsgrenze 2 - — = — und für die obere 5 6 6 Damit folgt wiederum

f

f(x) dx = - —• In 5

6

+

Z

7 / 3 = --• ln?-ln6

5 6

25 — . 6

- • I n 4 » 1,941. 5

Die Integration kann auch mit Hilfe der Formel 1.18 erfolgen.

13.

f(x) =

i f M d x J x

J

J

2

2x + 1 x z + 4x + 8

2 X + 4 - 4 - 3 dx = f dx - 3. f — * . 2 + 4x + 8 x + 4x + 8 x 2 + 4x + 8

J

J

Damit ist eine Zerlegung in eine Differenz zweier Integrale erfolgt, von denen der Zähler des ersten Integranden gleich der 1. Ableitung der dazugehörigen Nennerfunktion ist und das zweite Integral entsprechend dem in Nr. 11 behandelten Beispiel gelöst werden kann. Es ergibt sich f(x) dx = ln(x 2 + 4x + 8) -

• arc tan

*

2

j + C.

Der hier aufgezeigte Weg wird allgemein durch die Formel 1.19 in Verbindung mit Formel 1.18 geleistet.

14.

y = f(x)

CfWdxJ

J

J

2x + 3 (x - 3)(x + 2)

für x

-2, x # 3 ;

f 2x - 1 4 , * - 1 + 4 dx d x = rI dx + 4 x2 - x - 6 x - x - 6 2

J

ix

dx - x - 6

Hieraus folgt i'

f(x) dx = ln|x 2 - x - 6| + i - l n 1 ^ 4 + C 5 | x + 2

x

f

- x - 6 = (x - 3) • (x + 2)

(Formel 1.18), was wegen

noch auf die Form

4 4 f(x) dx = ln|x - 3 | + In |x + 2| + y In | x - 3| - ~ - l n | x + 2|

1• Rationale algebraische Funktionen

13

1 9 = — -In Ix - 3 | + — l n | x + 2| gebracht werden kann und f ü r jedes 5 5 Intervall aus r \ {-2;3} gilt. Die in den Beispielen 19 ff. näher e r ö r t e r t e 5

f(x) =

5

—+

Partialbruchzerlegung

— des Integranden liefert das Ergebnis noch r a s c h e r .

Schließlich kann die Aufgabe auch unter Benützung der Formeln 1.12 und 1.13 gelöst werden.

15.

y = f(x) =

4X

" 7 (x - 3)

für

3; dx

(x - 3 ) '

J

-

~ "

J (X

_

3)2

5

= 4 • l n | x - 3|

+ C f ü r jedes Intervall aus K \ { 3 }. X —o Auch die Partialbruchzerlegung (vgl. Aufgaben 19 f f . ) 5 4 — sowie die F o r m e l 1.19 führen zum Ziel. f(x) = + X (x-3)2 " 3

o

16.

Man bestimme

i

6x

•dx .

(1 - 4x 3 ) 3

Der gebrochenrationale Integrand ist f ü r x = — i / T nicht definiert, doch liegt diese Stelle nicht im Integrationsintervall [ - 1 ; 0], 0 „ (0) 101 6x -3 1 . 2 dx = 6 z dz = — • z 4 1 (1 - 4x 3 ) 3

i,

_I = 4

1 3 2

' (1 - 4x )

tL"

=T " = ;7T = 0, 24 mit 1 - 4x 3 = z, 4 100 25

also x 2 dx = - -jl" Die Wiedereinführung der Veränderlichen x am Schluß dieser Rechnung kann unterbleiben, wenn man gemäß (-1) =» 1 - 4 • (-1) 3 = 5,

14

Integralrechnung

(0) = » 1 - 4 - 0 = 1 1

und dadurch — z 4

17.

die Grenzen des transformierten Integrals bestimmt

-2

= — - - i - = 0. 24 4 100 '

i-i)

Man bestimme für y = f(x) =

erhält.

den Wert des bestimmten Inte1 + x*

grals von x = -4 bis x = 4. Da f(-x) = f(x), also eine g e r a d e f

A

f ( x ) d x = 2

. f ^ ! _

Ji+

d x

x2

=

2

. f

Funktion 1

+

x 2

j i+

-

1

x2

vorliegt, kann

d x = 2 -

fdx-2-

J

f - ^

J i+

geschrieben werden, was nach dfen Formeln 1 . 1 und 1.14 auf

J

f(x)dx = 2 • [x - a r c tanx]* = 2 • (4 - arc tan 4) % 2- (4 - 1, 326) = = 5,348 führt. °

18.

. Welchen Wert hat

Gegeben ist y = f(x) =

J f(x) dx = ?

x2 + 2 Nach Zerlegen des Integranden in eine g a n z r a t i o n a l e g e b r o c h e n r a t i o n a l e F u n k t i o n wird •A s/2

und eine e c h t

-

8--

x2

1

dx -

+ 2'

- ln(x 2 + 2) - 4-V / 2~-arc tan — — V2 = 1-

19.

2-In 2 - 4

V 2 - — + In 2 = 1 - In 2 - 7rV2 % -4, 136 4 (Formel 1.14).

y = f(x) =

für x

1.

x 3 + 3x 2 + x - 5 Die durch Nullsetzen der Nennerfunktion entstehende algebraische Gleichung dritten Grades hat die ganzzahlige Lösung x = 1, womit etwa unter V e r -

I, Rationale algebraische

wendung des HORNERSchen S c h e m a s

1 1 1

die Zerlegung (x

3

+ 3x

o

+ x - 5) = (x - l)(x

2

15

Funktionen

3 1 4

1 4 5

-5 5 —

+ 4x + 5) gefunden wird.

Da der quadratische Faktor in G = IR nicht weiter zerlegt werden kann, gilt für die P a r t i a l b r u c h z e r l e g u n g der Ansatz 1

_

(x - 1) • (x 2 + 4x + 5)

A X

Bx + C x 2 + 4x + 5

1

Die Ermittlung der konstanten Koeffizienten A, B, C kann mit Hilfe der M e t h o d e d e r u n b e s t i m m t e n K o e f f i z i e n t e n geschehen. Hierzu multipliziert man den ganzen Ansatz mit dem Nennerpolynom und erhält 1 = A • (x 2 + 4x + 5) + (Bx + C) • (x - 1). Gleichsetzen der Koeffizienten bei denselben Potenzen links und rechts des Gleichheitszeichens ( K o e f f i z i e n t e n v e r g l e i c h ) führt auf das System x°l

1 = 5A - C

x11

0 = 4A - B + C

x2

0 = A + B

|

von drei linearen Gleichungen für die gesuchten Konstanten. Mit der Lösung ^ =

1

, B = -

1

1 , C = - — wird nun

f , , l f d x 1 f (x + 5) dx lf(x)dx = — i - — | — , woraus z . B . mit Hilfe der I 1(1 X - 1 10 o J

J

J

x* + 4x + 5

Formeln 1 . 4 , 1 . 1 8 und 1.19 If(x) dx = ^ r - I n Ix - l| - ^ r - l n ( x 2 + 4x + 5) - ^ r - a r c tan(x + 2) + C I XU AU AU für jedes Intervall aus R\ { 1 } erhalten wird.

1 + 2x 20. y = f(x) = — x(x 2 - 1)

für x ¥= 0,

|x| # 1.

Da die Nennerfunktion als das Produkt von drei Linearfaktoren x • (x - 1) • (x + 1) dargestellt werden kann, gilt für die P a r t i a l b r u c h z e r l e g u n g der Ansatz

16

X

Integralrechnung

1 + 2x A_ • (x - 1) • (x + 1) ~ X

B x - 1

C x+1

oder 1 + 2x = A(x - 1) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1). Sind, wie im vorliegenden Beispiel, alle Nullstellen des Nennerpolynöms reell und verschieden, so setzt man zur Bestimmung der Konstanten zweckmäßig diese Nullstellen nacheinander in die letzte Gleichung ein. Für x = 0, x = 1, x = -1 ergibt sich der Reihe nach 1 = -A, 3 = 2B, -1 = 2C. Hiermit wird

H'-iT-fiA-Hifr = - ln|x| +

£t

lnlx - ll - — -lnlx + ll + C ¿t

für jedes Intervall aus IR \ { -1; 0; 1) mit C als Integrationskonstante. Schreibt man den Integranden in der Form f(x) =

1

+

x(x2 - 1)

2 x2 - 1

, so kann das Integral des ersten Summanden

gemäß der Formel 1. 20 in Verbindung mit Formel 1.18,das des zweiten Summanden mit Formel 1.15 gefunden werden.

21.

y = f(x) =

für |x|=£ 1. (x - 1) • (x2 - 1)

Das Nennerpolynom hat für x = -1 eine einfache und für x = 1 eine zweifache Nullstelle. Es gilt deshalb für die P a r t i a l b r u c h z e r 1 e g u n g der Ansatz 1 / u / 1\2 (x +. 1)- (x - 1)

A B C 7- + + r~ , X+1 2 x-1 (x - 1)

der nach Beseitigung der Nenner in der Form 1 = A • (x - l) 2 + B -(x + 1) + C • (x 2 - 1) geschrieben werden kann.

17

1. Rationale algebraische Funktionen

Koeffizientenvergleich: x° |

1 = A + B - C

x1 |

0 = -2A + B

x2 I

0 = A + C.

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist A =

, B = y,

C = --i-

Damit folgt

woraus mit den Formeln 1. 3 und 1.4

f

f(x) dx = ~ l n

x

* * + C für jedes Intervall aus R \ { - 1 ; 1 } mit 2 x - 1

+

x - 1I

C als Integrationskonstante erhalten wird.

22.

x2

y = f(x) =

X

+

x

X +

6

für x

-2, x

-1, x

0.

x 3 . (x + l ) 2 - (x + 2) Ansatz: x2 + x + 6 3 , ^2/ 0\ x • (x + 1) • (x + 2)

A 3 x

+

B 2 x

C +— + x

2 (x + 1)

x + 1

x + 2 '

x 2 + x + 6 = A • (x + l ) 2 • (x + 2) + B • x • (x + l ) 2 • (x + 2) + + C • x 2 • (x + l ) 2 • (x + 2) + D • x 3 - (x + 2) + + E - x 3 . (x + 1) • (x + 2) + F - x 3 . (x + l ) 2 . Die M e t h o d e d e r u n b e s t i m m t e n K o e f f i z i e n t e n führt hier auf ein lineares Gleichungssystem von 6 Gleichungen. Dieses läßt sich auf drei Gleichungen reduzieren, wenn man zunächst wie in der vorherigen Aufgabe durch Einsetzen der vorhandenen drei reellen Nullstellen des Nennerpolynoms drei der Koeffizienten bestimmt. Zur Ermittlung der übrigen Konstanten können dann irgendwelche reelle Zahlenwerte eingesetzt werden. Für die Nullstellen x = - 2 , x = - l ,

x = 0 folgt über

8 = F - (-8), 6 = D - (-1), 6 = A - 2 mit F = -1, D = -6 und A = 3 dann für die beliebig gewählten weiteren Zahlenwerte x = 1, x = 2 und x = 3 das Gleichungssystem

18

Integralrechnung

2B+2C + E=-1 3 B + 6C + 4 E = 7 4 B + 1 2 C + 9 E = 17 mit der Lösung B = -7, C = 12, E = -11. Damit ergibt sich

-

^ „ = -— J x + 2 ^

- In|x + 2| + C

+ — + 12 • ln| x| + — — - - 11. Inlx + ll x x + 1

-

f ü r Intervalle aus IR\ {-2; -1; 0} und C als

Integrationskonstante.

i

3x

0

+ x + 2

dx ?

(x + l ) ( x 2 + l ) 2

3x 2 + x + 2 Die Integrandenfunktion y = f(x) = (x + 1) (x 2 + l ) 2 ist im Integrationsintervall [0; 3] überall stetig. Das Nennerpolynom hat f ü r x = -1 eine einfache reelle und f ü r x = ± i ein zweifaches Paar konjugiert komplexer Nullstellen. Ansatz für P a r t i a l b r u c h z e r l e g u n g : 3x 2 + x + 2 2

(x + 1) (x + l )

A

= 2

X +

Bx + C

+

2

(x + l )

2

+ Dx + E x2 + 1

oder 3x 2 + x + 2 = A • (x 2 + l ) 2 + (Bx + C) • (x + 1) + (Dx + E) • (x + 1) • (x 2 + Koeffizientenvergleich: x°|

2 = A + C + E

1

x !

1 = B + C + D + E

x2 |

3 = 2A + B + D + E

x

3

|

0 = D + E

x4 |

0 = A + D

1. Rationale algebraische

19

Funktionen

Mit der Lösung A = B = E = 1, D = -1, C = 0 wird nun dx o

0

0 ' ' 0 2 1 was mit der Substitution x + 1 = z und xdx = —dz auf 10

1

f(x) dx = ln| x + ll

2

10

dz

r — i r 2 2 ' J Z " ' j

= In 4 + a r c tan 3

x2+ 1

+ a r c tan x

-ylnlzl

2z

= In 4 + a r c tan 3 - 0, 05 + 0, 5 - 0, 5 • In 10 « 1 , 9 3 4

24.

Man ermittle den Wert von

l

führt.

dx . 8x 3 - 1

Die Definitionslücke des Integranden f ü r x = -i- liegt außerhalb des Integrationsintervalls [ - 2 ; 0], Da die Partialbruchzerlegung nur f ü r echt gebrochenrationale Funktionen erklärt ist, muß der Integrand durch Polynomdivision zunächst auf die Form x

f(x) = 2x + 2 8x

3

gebracht werden. - 1

Ansatz: x

x

=

8x 3 - 1

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1)

A

= X

_ +

"

oder x = A • (4x 2 + 2x + 1) + (Bx + C) • (2x - 1); Koeffizientenvergleich: x°| 1

0 = A - C

x !

1 = 2A - B + 2C

x2|

0 = 4A + 2B

Bx + C 4x 2 + 2x + 1

20

Integralrechnung

Damit folgt

f

f ( x ) dx =

xz

-4 +

b

0

r

i r ^ 3 ' J 2x -

(

lnl2x - l|

• arc tan 2 V3~

1 0

" 3 '

Ji

2x - 1

dx =

4x' + 2x + 1

1 2 - — • ln(4x + 2x + 1)

4x + 1

vT

1 1 = -4 - — -In 5 + — -In 13 + 6 12

2 vT

arc tan 1

^ VT'

-3, 520

arc tan

(Formeln 1.4, 1.18, 1.19) -

Das unbestimmte Integral von •

läßt sich mittels der Formel 1.25

8x auch direkt angeben.

25.

x5

y = f(x) x

3 +

für x # -1. 1

Die Auswertung des Integrals läßt sich in ähnlicher Weise wie in der v o r herigen Aufgabe vornehmen. Wesentlich kürzer wird der Rechnungsgang o jedoch bei Verwendung der Substitution x + 1 = z und damit 2, dz x dx = — . Man erhält (f(x)dx = f

J

J

x3~

^ dx = - i - f ^ - ^ - d z = i » ( z 3 J Z 3 x3 + 1

- l n l z l ) + C, =

= i . ( x 3 + 1 - In|x3 + l l ) + C j = u

= y'X3

lnlx 3 + l | + C2

für jedes -1 nicht enthaltende

Intervall mit C j und Cg = C j + - i als Integrationskonstanten.

1. Rationale algebraische

26.

Funktionen

21

für IxI ± V i

y = f(x) =

Auch bei dieser Aufgabe wird statt Partialbruchzerlegung zweckmäßiger die Substitution x

2

dz = z und damit xdx = - y - ausgeführt: dz 2

1 , = —•In

£. 2 + x • i -

2 + z

+ C =

8

+ C

für Intervalle, die ± y/2 nicht enthalten.

2 - x*

Das Ergebnis kann auch unmittelbar aus Formel 1. 33 entnommen werden.

27.

y = f(x) =

mit a G I R \ { 0 } ,

nSIN\{l} .

(1 + a x 2 ) n Unter diesen Voraussetzungen ist D y = IR, falls a > 0, Dv

=

R

\i- ——; H

y

vCT

— 1

-

falls


y > -^-j beschriebenen Flächenstücks? x y

... ...

-5 -0,8

-4 -1

-3 -1,33

-2 -2

-1 -4

-0, 5 . . . -8 .. .

-If•dx = 4 ln|x = -4 • In 4 as -5, 545. J also |A*[ ~ 5,545.

30. Man bestimme die geometrische Maßzahl | A* | des Inhalts A derjenigen Fläche, die von der X-Achse, der Parabel 3. Ordnung mit der Gleichung 1 o o y = f(x) = — • (x - 3x + 2 0 ) und dem zur Y-Achse parallelen Geradenpaar g l-2 s x ± 3 = 0 eingeschlossen ist .*) x

. . . -4

-3

-2

-1

0

1 2

3

4

...

R e l a t i v e s M a x i m u m Mj ^ 0 ; — j , L 16 \I . r e l a t i v e s M i n i m u m M2 12; —

Zur Ermittlung der geometrischen Flächenmaßzahl | A*| muß die Fläche in 2 Teilflächen mit den Maßzahlen A^ und A^ zerlegt werden, für welche beständig f(x) < 0 bzw. f(x) > 0 ist. Dann gilt | A* | = | A\\ + Ag. Mit x = -2 als Abszisse des Schnittpunktes P der Parabel mit der X-Achse folgt

*) Wenn nicht anders vermerkt, beziehen sich die Koordinatenangaben immer auf ein kartesisches Koordinatensystem, d.h. auf ein Rechtssystem mit orthogonalen Achsen und gleichen Längeneinheiten auf diesen. Dies gilt auch dann, wenn aus Gründen der Zweckmäßigkeit in den Bildern unterschiedliche Maßstäbe auf beiden Achsen gewählt sind. Unter Koordinaten werden immer Maßzahlen verstanden; mit Einheiten mulitplizierte Koordinaten (Größen) werden als dimensionierte bezeichnet.

24

Integralrechnung

61

At = \ - ^ ( x 3 - 3x 2 + 20) dx = - ( i — x 3 + 20x 3 3 \ 4

12

'

3

= J

2

325

| (x 3 - 3x 2 + 20) dx 61 12

Ia*|

325 +

12

- 32,167.

8

31.

Welchen Wert hat das bestimmte Integral

r

iox

J 4/. + x2

—, u n g e r a dJ e r,F u n kw tion;

y = 4 + x 0 0

X y

±1 ±2

±2 ±2, 50

±4 ±2

±6 ±1,50

±8 ±1,18

±10 ±0,96 . . .

R e l a t i v e s M a x i m u m M j (2; 2, 50), r e l a t i v e s M i n i m u m M2 (-2; -2, 50); rV-r^ri-Schnittpunkt mit der X-Achse im Nullpunkt.

f

« H P !

dx = 5 • ln(4 + x 2 ) 4 + x 5. In 3 , 4 « 6,119

(Formel 1.16). Das Ergebnis ist gleich der Differenz Ag - | A j | aus den geometrischen Maßzahlen der Teilflächen mit den Inhalten A j und A2.

32.

Man berechne das bestimmte Integral

J 1 + 2x^ 1 + 2x x

0

±0,5 3,33

und damit

±1 1,67

+2 0,56

±3 0,26

±4 0,15 . . .

'

dx ?

1. Rationale algebraische

Funktionen

R e l a t i v e s M a x i m u m M (0; 5). Da der Integrand eine g e r a d e F u n k t i o n ist, folgt 1 2 — +x 0 2 = 5 - v T arc tan(x • V i ) % 9,470. (Formel 1.14)

33.

Es ist das bestimmte Integral

Î

16 dx

16

16 16

X y

-

0 1

(gerade ±1 1,07

Funktion);

±1,5 1,46

±2 ±°°

±2,5 -0,69

Nach der Formel 1. 32 wird 16 dx 4 16 - x

= 32

2 +x I 2

-

x

dx J ' 16 - xq o

„

x

+ 2 • arc tan — 2

= In 7 + 2 • arc tan 0, 75

i

3, 233.

z

34.

zu berechnen.

x

x

R e l a t i v e s M i n i m u m M (0; 1).

In

-

Man ermittle

x +2 dx. x - 3

±3 -0,25

+4 - 0 , 0 7 . ..

25

In tegralrechnung

x + 2 x - 3

x + 2 x - 3

Durch die Umformung y = f(x)

falls x < -2 V x > 3

x + 2 , falls -2 < x < 3 x - 3

des Integranden kann die Betragsdarstellung vermieden werden. X y

. . . -5 . . . 0,38

-4 0,29

-3 0,17

-2 0

-1 0,25

0 0,67

1 1,5

2 3 4 4 oo 6

S p i t z e in P ( - 2 ; 0). Das Integral kann mit Hilfe der Formel 1.11 ausgewertet werden:

= [x + 5 • ln|x - 3| ]"_4 - [x + 5 • ln|x - 3|]_\ = = 2 + 5- ln-1 - (4 - 5 • In 5) = 4,365. Unter Verzicht auf Formel 1.11 errechnet sich

i i +

x - 3

(x - 3) + 5 dx = x - 3 dx =

= x + 5 • ln|x - 3| + C für Intervalle aus IR \ { 3 } .

j 35.

Mit y = f(x) = ^

2x 2 , falls 0 < x < 1 i x

J f ( x ) dx

, falls x = 0

und j ' x . f(x) dx.

, falls 1 < x < 2

ermittle man

5 ... 3,5 . . .

I. Rationale algebraische

X y = f(x) y = x • f (x)

0 0,5 0

0,25 0,125 0,031

0,5 0,5 0,25

0, 75 1, 125 0, 844

1 2 2

1,5 0,667 1

Funktionen

2 0,5 1

Die Integrandenfunktionen y = f(x) und y = x - f(x) sind im Integrationsintervall [0; 2] stückweise stetig und daher integrierbar. Zerlegt man [0; 2] in die Teilintervalle [0; 1], [1; 2] und ändert man, falls erforderlich, die Funktionswerte an den Rändern dieser Teilintervalle so ab, daß die Integrandenfunktionen hier (einseitig) stetig sind, so ergibt sich :

I

2

i

2

j*f(x) dx = J f ( x ) dx + j"f(x) dx = j*2x 2 dx +

+

lnixi

= - + ln2 O

«

1,360

r

dx =

und

f

J x • f(x) dx = ^ x - f(x) dx + J x • f ( x ) dx = J 2x 3 dx + j 1 •dx

4*4

= 1,5.

Hierbei findet die Tatsache Verwendung, daß eine über ein Intervall integrierbare Funktion integrierbar bleibt und denselben Integralwert liefert, wenn man an endlich vielen Stellen Funktionswerte abändert.

36.

Gegeben sind die Punktmengen

IMX = j ( x ; y ) ] x e l R A 0 < y < ( 4 x + 17) J und M2 = j ( x ; y ) | x


( ^ T t )

}'

Es ist die Maßzahl A* des Flächeninhalts A der Punktmenge M = M j n M, zu ermitteln. 1 /1 + 2x \ ^ Die Graphen von y = — • (4x + 17) und y = I— schneiden sich in

28

Integralrechnung

den

Punkten

Si(-3;1)

M i n i m u m / I

+

\ 2

zweiten Graphen

liegt ein

r e l a t i v e s

vor.

x -4

- 5

..

("g";0]

;4 I . I n M

2

2x

-

. . .

E s

des

und S2

1 , 6 5

-3

- 1

-2 0,56

1 , 3 6

0 , 1 1

0 , 2 5

9

. . .

'

ist 1 =

„

^

1

1 5

+

~2

~~4~

+ 2

-

2x -

dx

x

2 =

9 , 3 7 5

-2

+

2

-

dx

x

=

-3 0,75 4

9 , 3 7 5 -

=

^ 20

_

i

2

4x

9 , 3 7 5

+

-

25

+ X

20 • In12

(2

-

xl

dx

-

+

x)

=

2

25 2

-

7 , 1 0 1 .

x

(Formeln

37.

Man

b e s t i m m e

den Wert

des

u n e i g e n t l i c h e n

1. 3 und

1.4)

I n t e g r a l s

+00

r

dx

I

für

n

J

n E

R A

n >

1.

x L

F ü r

n

>

1

to. f

' ; , : ! ri : : ! : '- - i ; ' rtr-'.'

"1 *

J

t*

folgt

=

lim

xn

lim x0-t«.

1

-

f

J

^

Wm:

*

xn

n

„n

-

j-

1

!»

nié 1

-

n

•

lim x 0 - +•

1 \ r

n

-

1

=

n - 1

§

SritrS IÄ f ß fgi

m

1. Rationale algebraische

1

2

3

4

... 8

1

0,13

0,04

0, 02 . . .

... 4

1

0,25

0,11

0,06 . . .

... 2

1

0, 50

0,33

0,25 . . .

x

...

X" 3 -2 X X- 1

0,5

29

Funktionen

Wenn n = 1 ist, gilt =

I J X

lim

( —— = lim 1 X "o

xo

Das u n e i g e n t l i c h e

lim In x_ = oo x0 -1°

rin|x|l,=

Integral

dx

ist somit k o n v e r g e n t

für

n > 1 und d i v e r g e n t für n = 1.

38.

Für das von der negativen X-Achse und dem Graphen von y = 2-

x+1

begrenzte, sich ins Unendliche erstreckende Flächenstück vom Inhalt A soll die Inhaltsmaßzahl Ä* mit Hilfe des zugeordneten u n e i g e n t l i c h e n I n t e g r a l s bestimmt werden. X y

-oo 0

-4 0,09

Relatives

-3 0,15

-2 0,25

-1 0

Maximum M

-0,5 0 -8 +oo

0, 5 24

1 4

2 0,75

4 0,16...

3 0,30

) J Schnittpunkt mit der X-Achse

S ( - l ; 0). A" = ,

dx =

1

2 • lim

x = 2 • lim "0--

fV -

X

+

1 — x3

dx =

2x 2

= 2 • lim ( 1 - - i + — + —— = 1. — l 2 x0 2x2

1 \ - -I--

..'.il.... j..

A \

.... '

•

Integralrechnung

39.

Mit Hilfe eines u n e i g e n t l i c h e n

Integrals

ermittle man die

Maßzahl A* des Inhalts A des durch die Punktmenge B = | (x; y) | x G R A

A 0
dt

-

g ( t)

dt von LEIBNIZ die Sektorfläche zu

dt

A = ~ 1 [a • cos t • b • c o s t - b • s i n t • (-a • sint)]dt = u

• 1 dt = —— u

b H> T va' - x a

Sieht man den dargestellten Ellipsenbogen als Graph von y = an, kann man auch nach Formel 1. 61 A =

x f~2 —• va 2

a- b-7r

a' +„ 2

T

- x

a r c sin , \ |a|

rechnen.

Für die halben Volumina der Rotationsellipsoide findet man 2

V y - •J 4b 2" 0 und V

x=

( b 2

Ì4

-

y 2 ) d y

=

b

t 2 - x 2i) dx , = TT.b (a

24

a 2 -X

•J a

v.

= __. a*2. b • 7T 3

0

= f-a.b 3

x

- -

2

0

2

Es bestehen demnach die Zusammenhänge V

y

= - • a 2 • b • tt = 3

V x =-3 - a . b ^ . T r

=

a

' ^ —

• 2 - TT • Xg = A • 2 • 7r • Xg - 2 -Tr.yg = A - 2 - v r . y g ,

und

.,

44

Integralrechnung

woraus unmittelbar die dimensionierten Koordinaten des Schwerpunktes S 4 4 zu x„ = a ~ 0,424 a und y c = — • b « 0,424 b erhalten werden. S 3 TT S 3,

58. Man bestimme die S c h w e r p u n k t s k o o r d i n a t e n Xg und yg des abgebildeten Flächenstückes vom Inhalt A, wenn die gekrümmte Seite in bezug auf das gewählte Koordinatensystem der Gleichung y = — genügt. Der Schwerpunkt S liegt aus Symmetriegründen auf der Winkelhalbierenden mit der Gleichung y = x, weshalb nach der GULDINs c h e n Regel V*

*s =

gilt.

= 2n

• A*

Einsetzen der Flächenmaßzahl 2 A* = 4 - - 2 + \ — x 2

= 1 + 2-In

2, 3863

und der Volumenmaßzahl v ; = 2 2 . , . i

, 10,9956

+ 0,5

X

liefert *S

= y

10,9956 S ^ 2TT - 2, 3863

~°'733'

59. Durch Rotation einer Ellipse mit den Halbachsen a und b um eine zu ihrem D u r c h m e s s e r von der Länge 2b parallele Achse im Abstand d > a entsteht ein e l l i p t i s c h e r T o r u s . Wie groß ist dessen Rauminhalt V? Mit A = a • b-7r als Flächeninhalt der Ellipse (siehe Nr. 57) erbringt die R e g e l v o n GULDIN unmittelbar V = ab7T • 2 7r • d = 2abd 7r2.

I

\ ¿±

/

1. Rationale algebraische Funktionen

45

60. Es ist die Lage des S c h w e r p u n k t e s S einer Halbkugel vom Radius r unter der Voraussetzung homogener Massenverteilung zu ermitteln. Bei Wahl des Koordinatensystems wie in der Abbildung kann der im 1. Quadranten gelegene Großkreisbogen der Kugel als Graph von y = f(x) = V r 2 *s = v ~ " j

x

- x2

'[f(x

angesehen werden. Nach der Formel

)] dx für die

dimensionierte Abszisse Xg des Schwer2 -3 punktes, wobei hier V = — rJ7r zu x 3 setzen ist, errechnet sich *S

=

3

J

- • f 2r3/r

x(r2 - x2)dx =

r 2 x2

x

;

T

2rJ

3 -r r.

Da der Schwerpunkt auf der Drehachse liegt, ist yg = 0.

61. Ein gerader Kreiskegel mit Radius R und Höhe H wird längs seiner Achse durchbohrt. Welchen Abstand Xg hat der S c h w e r p u n k t S des Restkörpers mit Volumen V vom Grundkreis des Kegels unter der Annahme konstanter Dichte bei einem Bohrradius r ? Gemäß der Abbildung gilt mit h als Höhe der Bohrung nach dem M o m e n t e n s a t z *S

V = x 0 , • V'

- Xg„ •

wobei V1 das Volumen des Kegelstumpfes, V " das des zugehörigen herausgebohrten Teils und Xgi bzw. XgM die entsprechenden dimensionierten Abszissen ihrer Schwerpunkte bedeuten. Dieser Ansatz führt über jrl xg. 1 ± . ( r 2 3

+

. 2r 2 ) = * •

R r

R

2R

x-(R

dx - ff- I x • r dx = £r h2„2

46

Integralrechnung

mit h = (R - r ) . —

auf

H- (R - r ) 2 . (R + 3r)

*S =

4R • (R 2 + Rr - 2 r 2 )

62. tes

Man bestimme die Maßzahl I des a x i a l e n T r ä g h e i t s m o m e n I der Fläche vom Inhalt A, die von dem Graphen mit der Gleichung 4x -, den beiden Geraden g j = x - 1 = 0 und g 2 = x - 3 =0 y = f(x) = 1 + xz sowie der X-Achse begrenzt ist. X

0

±1

y

0

±2

±2 ±1,60

Relatives

±4 ±0,94 . . .

±3 ±1,20

Maximum

M(l;2)

3

Die Formel I* = •j-J|[f(x)]| 3 dx führt auf I

64 = — x 3

dx = iJ (1- + x 2 )3 ' 9

32 r =

J (1 + z ) °

3

p mit x

= z und 2xdx = dz.

Formel 1. 7 oder die Umformung

11 f ( z 3

J

+

(1

l ) - l +

Z)3

d2

=

1

32,f 3

J

(1 + z)

(1 +

dz zf

ergibt x

32 3 '

-1 1 + z

+

2 '

=

224

-

2,987.

(1 + z)

63. Es ist das p o l a r e T r ä g h e i t s m o m e n t I eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b bezüglich des Schwerpunktes zu berechnen.

1 Rationale algebraische

47

Funktionen

In dem in die Figur eingezeichneten xy-Koordinatensystem lautet die Gleichung der Hypotenuse y

x mit 0 < x < a , und es gilt für das a Trägheitsmoment in bezug auf die x-Achse a

T

1 x=J

3 a

0

b

dx = a • b

b-i-x a

12

12

Hinsichtlich der durch den Schwerpunkt S verlaufenden, dazu parallelen x' -Achse bestimmt sich das Trägheitsmoment mit Hille des STEINERschen S a t z e s zu , b x' = Tx * ( T

T

a •b

In Verbindung mit i v' y

a • bü

a • bJ

12

18

a -b 36

i3- b w a s o wegen der speziellen Lage des Ach36

senkreuzes durch Vertauschung von a und b aus I x , folgt, wird das gesuchte p o l a r e T r ä g h e i t s m o m e n t bezüglich der auf der xy- Ebene senkrechten Achse durch S a b ' , 2 I+ I„ + b ) ~36

64. Gegeben ist, wie abgebildet, ein gerader Kreiszylinder (Radius R, Höhe h, Masse m) in einem rechtwinkligen xyz-Koordinatensystem. Man ermittle die a x i a l e n T r ä g h e i t s m o m e n t e J z , J x , J y bezüglich der entsprechenden Koordinatenachsen. Sieht man den Zylinder als Haufen von Punkten Pj, (x„ ; y u ; Massen Am^ für v = 1, 2, . . ., n an, so ist Jz = J ,

( 4 + y^) • Am^ ,

Jx = Z

) mit den

(y^ + z 2 ) • Am„ ,

J vJ = v2= \ (x2 + 4 ) • fim,, . Weil im vorliegenden Falle aus Symmetriegründen J x = n

x

+ Jv = y

2

' Jx = 2 A v_ ]

ist, folgt

n

+ y2) • A m „ + 2 • Z

v=

|

z 2 • A m „ , also

Integralrechnung

+ J„

mit

J

=

I

4

als p l a n a r e m T r ä g h e i t s m o m e n t bezüglich der xy-Ebene. Denkt man sich nunmehr die Masse homogen v e r t e i l t , so ergibt sich als Dichte des Zylinders. P =• R27Th Wird dieser, wie in der Abbildung angedeutet, in konzentrische Hohlzylinder zerlegt und ist r der Innenradius, r + dr der Außenradius eines d e r a r t i gen Hohlzylinders, so errechnet sich f ü r dessen Volumen AV, Masse Am und Trägheitsmoment A J Z nacheinander A V « dV = 2 r n h • dr, A m « dm = p dV = 2 ir h p • r • dr, AJ„ « dJz = r 2 d m = 2 7 r h p - r 3 - d r . R

Damit wird J„ =

2nhp

"J

r 3 • dr

7rpR 4 h

= 2 7T h p

mR

Zur Berechnung von J z empfiehlt sich eine Zerlegung des Zylinders in Scheiben durch Parallelebenen zur xy-Ebene. Volumen AV, Masse A m und planares Trägheitsmoment A J z bezüglich der xy-Ebene einer solchen aus d e r Abbildung erkennbaren Scheibe der Dicke dz im gerichteten Abstand z von der xy-Ebene ergeben sich dann zu AV « dV Am « d m A J Z « dJ

= R2jr-dz, = p dV = R 2 7rp-dz, = z 2 dm = R 2 7rp * z 2 - dz.

Dies liefert J ,

R2ttp-

z 2 • dz = 2R27rp

mR'

mir

dz = 2R 7rp'

R 2 7rp h 3

mh'2

12

12

m

und somit

I. Rationale algebraische

49

Funktionen

65. Welches T r ä g h e i t s m o m e n t J x hat der abgebildete homogene Hohlzylinder der Länge 1 und den Radien r a und r j ? Es ist

i

J x - f p - j e l - * { > « * _i i = ff- Kp .

t

ra

1

(r - r. a

Ü 1

• >

2 x

>

ff .p 4 4 = —— (r - r.) • 1, wobei p die 2 a i

Dichte bedeutet. Dieses Ergebnis kann mit m = p • n • 1 • (r 2 - r?) für die Masse des Körpers noch in a ITl o n = - r - - ( r + r-)

Jx

1 umgeformt werden.

66. Die Achse eines homogenen geraden Kreiskegels mit Radius R, Höhe h und Masse m fällt gemäß der Abbildung in die z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Man berechne die T r ä g h e i t s m o m e n t e J„ Jy bezüglich der entsprechenden Koordinatenachsen. P

=

3m i pR 2 • ff • h

R2.*

ist die Dichte des Kegels. Zerlegt man diesen durch Parallelebenen zur xyEbene in dünne Scheiben, so können Volumen AV, Masse Am und Trägheitsmoment A J z bezüglich der z-Achse einer derartigen Scheibe (siehe Nr. 64) durch AV

ff' dz.

« . i f

Am % dm = pdV =

pRf

ff

z 2 dz =

3m •

dz

//

Integralrechnung

dm •

z

3mR

A J z - dJ z =

2h was auf J„ =

3mR

4 , z -dz

5

h 3 n = — • mR führt.

4 3mR z • Jdz = 2h

2h 5

Weil aus Symmetriegründen J „ = J

y

, , angegeben werden,

o

10

ist, kann man sich etwa auf die

Berechnung von J x beschränken. Das Trägheitsmoment A J x der oben beschriebenen Scheibe bezüglich der x-Achse errechnet sich mit Hilfe von Nr. 64 und des S a t z e s v o n STEINER zu 2

dm-

>2 + dm • z2 = 3m /R + 1 • z • dz. h3 U h 2

A J X ^ dJ x

.. • Damit wirdJ TJ x

3m h3 20

67.

2 ~ /R \ I 4 / + 1 •l z \4h2 ' J m • (R2 + 4h 2 ).

, dz

3m

R

h J3 \ 4 h

+ 1

h 5

(Siehe auch Nr. 242)

Die von den Strahlen mit der Gleichung y = f(x) = 2 h—i- -1 x| , der

X-Achse und dem Geradenpaar gj.2 = x + 2 = 0 eingeschlossene Fläche rotiere um diese Achse. Welche Maßzahl J* hat das T r ä g h e i t s m o m e n t J x des entstehenden Rotationskörpers bei homogener Massenverteilung von der Dichte p ? 2

Die Formel J* =

p*. I [f(x)] 4 dx liefert mit p* als Maßzahl der Dichte

51

1. Rationale algebraische Funktionen

68. Man bestimme das a x i a l e T r ä g h e i t s m o m e n t J einer Vollkugel vom Radius r bezüglich einer durch ihren Mittelpunkt verlaufenden Achse. Unter der Voraussetzung homogener Massenverteilung ergibt sich bei der Dichte p

J = J x = 2- j

= 7T p 8 15

r

4

X

p2r 2 ' ~ X

( r 2 - x 2 ) 2 dx o

x5

5 4 p IT R oder mit m = — p r jr 3 2

2

als Kugelmasse J = — m r . 5

69. Bei der Bewegung eines Körpers bestehe zwischen dem skalaren Wert v seiner Geschwindigkeit v und der Zeit t > 0 der Zusammenhang v =

At2

mit B > 0. Wie groß ist der im Zeitintervall 0 < t < T B3 + t3 zurückgelegte Weg s,p ?

Integration der gegebenen G e s c h w i n d i g k e i t s - Z e i t - F u n k t i o n gibt nach Formel 1. 26

_ d + t3

A t 2

B3

t =

A .

l n

|

B 3

= y . [ l n ( B 3 + T 3 ) - InB3]

+

er-

t3|

=A-ln

70. An einer im Gestell d drehbar gelagerten senkrechten Achse ist im Punkt A eine vertikal bewegliche Stange konstanter Querschnittsfläche q und der Länge 1 angelenkt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem skalaren Wert co der Winkelgeschwindigkeit 1 ; /24

jf(x)dx =

|

• xdx =

zdz =

+ z

Vi

= 9 • \/24" - 2 - V F ^ 40,627 mit V ^ T T 1 = z oder x^ - 1 = z 2 und xdx = zdz.

58

Integralrechnung

82. y = f(x) = — für Dy = R+ \ {1}; 1 - Vx~ Die Substitution z also x = z (siehe Formel 3.11) und damit dx = 2zdz liefert unter Verwendung der Formeln 1.1 und 1. 4 • 2zdz = 2 • j -JL_ dz = -2 j ^ f ^

jf(x)dx = j ^

= -2-j (1 + z + z2)dz +

2 dz = -2„ • /z + z— z3 • +— z \ 2 3

- 2• In 11 - z| + C = = -i- \/x • (6+3 Vx~+ 2x) - 2 • In 11 - VT| + C in [ 0; 1[ und ]l;+oo[. 83. y = f(x) =1 - Vx für x > 0. i + VT Mit der Substitution Vx" = z oder x = z6 und damit dx = 6z5dz gemäß Formel 3.11 ergibt sich zunächst 2 5 (1 z) z5 dz=6-r ff(x)dx = 6-i 1 " Z3 .zz5dz = 6-f ~ - dz, J1 - z+ z J J1+ z woraus nach Polynomdivision

Jf(x)dx -6-j"( z4 - z2 - z + | f(x)dx == -6-1 dz folgt. z - z+ 1 Die Formeln 1.1, 1.18 und 1.19 führen dann auf 1 , / 2 Z+ f(x)dx = -6 •51Z 5 " o31Z3 " 212 Z + ln(z T' " I'

•arc tan '2z - 1 vT VT 5

A

+c =

l

l

1) +

2. Nichtralionale algebraische

+

i

• a r c tan

vT

/2

.° F o r m e l 3.12) auf eines mit goniometrischem Integranden zurückgeführt:

ff(x)dx = 3 f J

C

°S/dt

J sintV4 4-ln

Mittan(i)

=

=

- 4 • sin^t

tanl-

S i n t

1 + cos t

hieraus

+ C.

-

* *

=

J Sin 1

( F o r m e l 2. 14 * ) )

sin t , r "27 1 + V 1 - sin t

für | 11 < — 2

folgt

x

f (x)dx = - • In i=

2~ +

l

+

l / l

-

C =

-T.ln

+ Vi

- x2

+ C,

f f

was auch unmittelbar aus der Formel 1. 53 gefunden werden kann.

3

\/2 87.

Man ermittle den W e r t von

[

dx 2 3

Durch die Transformation x = 3 • sin t, also dx = 3 • cos t dt (vgl. v o r heriges Beispiel und F o r m e l 3.12),kann das Integrationsintervall 0;

umkehrbar eindeutig auf das t-Intervall

* ) Integration transzendenter Funktionen siehe S. 100.

TT

°'4

abgebildet

2. Nichtrationale

algebraische

werden. Damit ergibt sich _L 1

f

f

dx

|

v ^ T ^

3

4

3 • cos t

V7

=

y

61

Funktionen

9 • sin' 2T

dt 3

— «0,111.

.tant

i

r )

T

dt cos 27t

(Formel 2 . 2 3 )

Das Ergebnis kann auch mit Formel 1. 74 gefunden werden.

88.

y = f(x) =

für xGR \ { 0 } . /T + 24 "3 16 2

xdx

100. Man berechne den Wert des bestimmten Integrals

2 0 Vx + 5x + 4

Wie bei den beiden vorhergehenden Beispielen ist der Integrand X f(x) = — 3 Vx 2 + 5x + 4

von der Form F(x; V a x 2 + bx + c ). Da

x 2 + 5x + 4 = 0 die reellen Lösungen x j = -4 und x 2 = -1 besitzt, kann entsprechend der Formel 3. 18 durch die Substitution z =

1 X +

r2 - 1 + 4z 2 - V x + 5x + 4 , also x = und damit 4 1 - z2

dx = 2z •

3 (1 -

werden.

dz, ein Integral mit rationalem Integranden erhalten Z 2)2

3

72

Integralrechnung

Wie man aus der im Integrationsintervall 0 < x < 2 gültigen Umformung 1 /IxX + + 1

i -

Vitt

x + 4

erkennen kann, wächst dort z mit zunehmen-

dem x streng monoton. Das x-Intervall [0; 2] wird daher umkehrbar ein__1 deutig auf das z-Intervall abgebildet, und über V x 2 + 5x + 4 = 2 ' 3z ergibt sich 1 - z 2

sft.

j f ( x ) d x = j* -

2-(4z z - 1)

J dZ

=

2 9

4z + — Z 5 z

« ,

0,054.

Eine andere Möglichkeit der Auswertung bietet die Anwendung der P r o d u k t i n t e g r a t i o n unter Verwendung der Formel 1. 74: 2

2

ff( X )dX = J

0

2x + 5

=

Vx^ + 5x + 4

J

0

\/x2 + 5x + 4

J

2

2x + 5 • M

dx

V x 2 + 5x + 4

• i v r . i ^ - i .

101. y = f(x) =

2.V¥

£ 0

-V2

8

+

1 y

Vx 2

+ 5x + 4

0,054.

• für x £ [ 0 ; 1], x # 2. (x - 2) 2 V x 2 - x

Nach Formel 1. 78 ergibt sich mit der Substitution x - 2 = — oder z 1 + 2z dz J x = und dx z „2 z dz jf(x)dx = + j — , wobei von den doppelten Vorzeichen das 2 V ^ z + 3z + 1 obere im F a l l z > 0, das untere für z < 0 gilt. Dieses Integral läßt sich nach Formel Nr. 1. 70 weiter behandeln und liefert in Verbindung mit Formel Nr. 1. 69 über

2. Nichtrationale

i

3_f

f(x)dx = + 4 - \ / 2 z 2 + 3z + 1

— V 2 z 2 + 3z + 1

-

+ 2 •V^"-V/2z2 + 3 z + 1

-1 2(x - 2)

Funktionen

73

dz

J

4

lf(x)dx =

algebraische

\/2z2 + 3z + 1 • Inj 4z + 3 +

3

+ C

3 - v T In , Vnx . -— x + — 8

3x - 2 + 2 - v T - V x 2 " x - 2

+ C

in ]-oo ; 0[ , ]1; 2[ , ] 2 ; + 0 0 [ unter Verwendung der Beziehung In

3x

-

-

2-V2-Vx2

-

x

x - 2

x - 2

= In 3x

2 + 2 v / 2 _ -Vx 2 -

102. y = f(x) = —

•

„2

für x e [ - 8 ; 1 [ \ { 0 } .

r i - x

ax

Die Funktion ist von der Form F i x ; a, b, c, d £ R ,

z3 - 8

^ ———— ) mit nGN und

als eindeutige Umkehrung ergebenden Substitution

9

= 1 -

z3 + 1

\

weshalb das unbestimmte Integral nach Formel 3 . 1 5 mit der

sich aus z = V ^ T x =

2

, also dx =

z3 + 1

27z 2 dz

, auf

(z 3 + l ) 2

f f z3 f \f(x)dx = 27 l dz = 9 - 1 z J J (z 3 - 8) 2 J kann.

3z 2 — dz (z 3 - 8) 2

zurückgeführt werden

Hieraus folgt mit p a r t i e l l e r I n t e g r a t i o n und anschließender Verwendung der Formel 1. 24 sowie der Identität (z 2 + 2z + 4) • (z - 2) = z 3 - 8 lf(x)dx = 9 • '

Z

8 - z3

f

dz

J ; 8 - z3

74

In tegralrechnung

. 8 9z

8 - z

3

1

(z

- 2)

24

z2

+ 2z + 4 /

+ —r •, In

z

= 9

z3

\

j

f

x - 1 V/8 + X

XJ

(

x

)

_ . y _

d x =

+

Vf

+ x

_ . l n 1

3V3"

x

a + x

1_

.arc tan

1 - x

L vT und ]0;1[

mit C j , C2

+ c1

z + r arc tan ViTy

+

c

l-

+ C,

+ x - 2 • Vi - x I -

+ 1

- In | x | -

+ C.,

als Integrationskonstanten.

103. Welche geometrische Maßzahl | A* | hat der Inhalt A der von der Parabel P = y2 - 4x = 0 und der Geraden g s 2x - y -12 = 0 eingeschlossenen Fläche? Nach Bestimmung der Schnittpunkte Sj(9; 6) und S2(4; -4) beider Kurven sowie der Abszisse x = 6 des Schnittpunktes S3 von g mit der X-Achse kann die geometrische Flächenmaßzahl |A*| zu

Ia*

- A*2

+

1 Agi

+

|A;I =

2 -Vx"dx - ~ • (9 - 6) • 6 +

- \ 2 -Vxdx

4 =

1

X 21

5

n

2

^ 1

- 9 + —- • x 2

n 125 = —— » 41, 667

=

.VF

3 , 9x - — • In 8 1 -X

/ V/ 8 + x + 1 1 - x

L>/3

Iz+1\

liefert

• V(8 + x ) ( l - x) 2 + - - In |

3 vT

in ] - 8 ; 0[

4 V^i"

8 + x 1 - x

9 ,

•arc tan

I

.

• arc tan

9 , l oi 3 , i 3 oi 3\/3 + — m • In | z - 2 y- - • In z - 81 — ¿i 8

Die Rücksubstitution mit z =

f„

1

-4)-(-4)

+ 4 =

J

angegeben werden.

: 6 ip

Tiä-Ifit Urft Sil rl 7nffi /• trHF?m g| | 1 § f§ V^J jffi t.fi' I I fri Jg ir tm


/ F « 6,627 35

I

z

7

v/i 0

mit V 2 - x = z

109. Gegeben ist die Punktmenge

A

und

dx = -2z dz.

{(x;y) | 0 < x < 4 A 0 < y
1, folgt hieraus unter Verwendung der F o r m e l 1.15 f dx J 1 + a • cos x

=

2 f dz a - l j a + l a - 1 1 a - 1

2

In

/a + 1 +z a - 1 /a + 1

+ C 3 = F x (x) + C 3

3. Transzendente

mit

F

(x) = 1

_JÜEW_.ln

v ^ T I

Dies gilt zunächst nur in - a r e cos

1

Funktionen

113

'a + 1 x /x + tan — a - 1 l2

WI-HT) (2k - 1) -7T ; - a r e cos ( -— ) + 2k • ff

+ 2k • it ; a r e cos

—

a r e cos \ - — ) + 2k • jr ; (2k + 1) • n

+ 2k • rr

und

für k G

Weil aber y

für a > 1 in jedem Intervall der Definitions1 + a • cosx menge D y = {x ] 1 + a • c o s x =£0} stetige Stammfunktionen besitzt, gehören auch noch (siehe Aufgabe 162) die Intervallränder (2k ± l)-ir zum Gültigkeitsbereich, wenn man F,((2k ± l) ir ) = lim F,(x) = 0 definiert. 3 • cosx

Demnach ist

= F 1 (x) + C 3

V2 + tan • In

mit Fj^(x) = 2 • v T

, falls x ^ (2k ± l ) i r

VF - tan (—

114

Integralrechnung

und F ^ x ) = 0, falls x = (2k ± l)-ir ergebenden Intervallen. X

f^x) Fj(x)

... ... ...

30° 0,28 0,14

0° 0,25 0

60° 0,4 0,31

für k G 2

90° 1 0,62

109,47.. .

in den sich für a = 3 0

± O°

±

00

120° -2 0,81

150° 180° . . . -0,63 -0,5 0,28 0 ...

Falls a < 1, liefert Formel 1.14

i

dx 1 + a•cosx

mit

r ^ I ' V l ^ f

• arc tan

F2(X)

a r c t a n / — — +

rri'

t a n

C4 = F 2 ( x ) + C4

(T

Das Ergebnis gilt zunächst jedoch nur in ](2k - l)-ir ; (2k + 1 ) T [ mit k € Z. Weil aber die Existenz stetiger Stammfunktionen in jedem Teilintervall der für a^ < 1 gesichert ist, - r von y = z y i *f ä • cos x kann der Gültigkeitsbereich auf [(2k - 1) • 7r ; (2k + 1)• 7r ] ausgedehnt wer± TT definiert wird. den , wenn F 9 ((2k ± 1) jt ) = lim F' ,olXJ (x) = -— X -M 2 k11-iriO ± ]) • irZ T 0 " >-(2ki

Definitionsmenge D

Damit ergibt sich

i

dx 1 + a • cosx :

ff 2 (x)dx = f rr x 1 Ü - + + X

f 2 (x)

0 0,75

ir 1 ————- und z . B . für a = — insbesondere v ^ 3

F2(x)

J

±30° 0,78

^ •' C (O S X ±60° 0,86

= li.V2 . 4

±90° 1

±120° 1,2

±150° 1,41

±180° . . . 1,5

3. Transzendente

115

Funktionen

ir

| cos(mx) ^rr • a - cosx

164. Es soll das bestimmte Integral J m = m

und m G Z unter Verwendung einer R e k u r s i o n s f o r m e l den. j i-i»,. tJ Mit der Identität

0

11

z 0 in A = 2 • lim

r J

(z

dz 1). z + 1)

übergeht.

Bei Zerlegung in Partialbrüche folgt hieraus z 0 A* = 2 • lim

/-0 -» +oo

= 2

Ifen

+

i)

dz = 2- lim [-In|z + II + l n | z l ] ' ° =

In 2 + lim In . '•0"*" \ Z„ + 1

In 2 + lim In ¿o +«. I

= 2 • In 2 « 1, 386. -0 5x 179. Durch den Graphen von y = 2 • e ' und die beiden positiven Koordinatenachsen wird ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück vom Inhalt A begrenzt. Durch welchen Punkt P 0 (x Q ; 0) ist eine Parallele zur YAchse zu legen, die das Flächenstück in zwei inhaltsgleiche Teile zerlegt? -1 6 0 1 2 3 4 5 y . . . 3,30 2 1,21 0,74 0,45 0,27 0,16 0,10 0 , 0 6 . . . Für die Abszisse xQ des Punktes P Q muß die Zahlenwertgleichung J 2 •e-0'

5x

d x = 2 • j*2 • e-°. 5 x dx gelten,

woraus über x l e" 0 , lirn J e " 0 - . 55x ddx x = 2 • j*

5x

dx

und

3. Transzendente

-2 • lim [e-°> x, -+- L

5 x

= -4 • 1[e" 0 -

Jf

0

5 x

Jf

0

Funktionen

123

oder

e"°'5xi - 1 = 2-e-°-5xo - 2

lim

die transzendente Gleichung e"°> 5 x o = 0 , 5

mit der Lösung

x Q = 2 • In 2 « 1, 386

folgt.

180. Es ist die geometrische Maßzahl |a*| = | A j [ + A^ + j Ag| des Flächenstücks vom Inhalt A = A^ + + Ag zu ermitteln, das von der XAchse und dem Graphen von y = cos(2x) - cos x im Intervall 0 < x < 2n begrenzt ist. x y

0 0

±30° -0,366

±60° -1

±90° -1

±120° 0

±150° 1,366

±180°... 2

Relative

M a x i m a M-^O; 0), M 2 ( ir ; 2), Mg(2v ; 0);

Relative

Minima

M 4 ( l , 318; -1,125), M 5 (4, 965; -1,125).

Nach Ermittlung der S c h n i t t p u n k t e S ] ^ - 7 r ; 0 j

S

und

2 \ "3

der Kurve mit der X-Achse können die Maßzahlen der beiden Flächenstücke mit den Inhalten A j und Ag aus Symmetriegründen zu

[cos(2x) - c o s x ] d x

— sin(2x) - s i n x

¿t

¿t

- IT

3

0

i

J J = - — • — V3

2

=

j g - — V 3 = - — s/3~ angegeben werden. C,

Mit [cos(2x) - c o s x ] d x = — sin I —ir -

J

- sin —f

- — sin — Jf +

124

Integralrechnung

3 sin

+ Sin | — IT

folgt die gesuchte g e o m e t r i s c h e |A*|

= 2 | A\\

+ A*2 = |

Flächenmaßzahl

V ? + J V ? = 3 V T ««5,196.

181. Welche Maßzahl A* hat der Inhalt A des durch den Graphen von tanx,

die Gerade g = x - — = 0

und die X-Achse eingeschlossenen

Flächenstücks ? : 30 ±0,192

± 15 ±0,019

0

±45°

±60° ±5,196

Mit der Substitution tanx und

dx cos 2 x

= (1 + tan^ x) dx =

= (1 + z 2 ) d x = dz ergibt sich

tan"5 x dx - f0

h

dz • i z" + z

1

~2

• ln(l + z 2 )

=

I

. I

l n 2

«0,153.

0 0 Die Aufgabe kann auch mittels Formel 2. 28 behandelt werden.

182. Man b e s t i m m e den Inhalt A des vom Graphen von y = c - e a x sin(b x) mit a < 0 , b > 0, c > 0 und der positiven x-Achse begrenzten, sich ins Unendliche erstreckenden Flächenstückes für die speziellen Werte a = -0, 04 c m " 1 b = — cm * und c = 15 cm.

Der zugehörige Graph von y = 15 - e " 0 '

04

x ^m .s i n I i i . \ 10 cm I

cm

d i e x - A c h s e in x k = - i • k = 5 k cm mit k

b c 2n = 7 •(. _ n=o a^ + b

an

2a7r

an

> • .

b

- X

W

~b

bc a2

+

+ 1 2air

b2 1 - e

b c a2

+

b2 1 - e

«131,16884 cm

a7r b

angegeben. In gleicher Weise findet man die Summe der sich in der unteren Halbebene erstreckenden Flächeninhalte über -(¿n 2n+l

e a x • sin(b x)dx

i

an b

b c a2

+

an

~ + 1

„.

(2n+l)

• e

b2

« 35,40498 • 0,6703° cm 2 an

bc

ZA2n+l

a2

+

b

1 a ir

b2 1 - e

107,39197 cm

mit n G Z .

T

Der gesuchte Flächeninhalt A beträgt demnach an

A = J

Maxima

zu

3. Transzendente

x,

k

und die O r d i n a t e l i 2

4c0

e

-

seiner r e l a t i v e n o.(

a x

9LE e

127

w k = x„ + — • 7 T « 0, 75419 + k • 2— ß

a r c .t a n (! 2 0 |I + L. k-7r a

=— ß

Funktionen

ß

Maxima

zu

k

\ » 4 , 1 2 4 6 9 • 0, 67523 k

mit k e 2.

a2 + 4ß2

Mit V e r w e n d u n g d e r F o r m e l 2 . 4 4 findet m a n A

- c jj ee - ^ . s l n ^ W d x ^ . j e - ^ d x - l o

je

a x

cos(2 0 x ) d x =

0

J

*0

= — • lim ~ 2

- a x dx - y - l i m _

\ e ~ a x c o s ( 2 0x)dx =

c e- a x - — • lim 2- ( a 2 +

4ß2)

[ - a - c o s ( 2 / 3 x ) + 2ß • sin(2 0 x ) ]

2a

J 1 V«l i—m+QD e'axo »-o' t

j lim c

~2Ö~

- 11 2- ( a 2 + 4/32)

e " a X o • [ - a • cos(2 ß x ) + 2ß • s i n ( 2 ß x Q ) ] + a 2c ß, 2

c a 2 • (a2

+4ß2)

: 9,96109.

a - ( a 2 + 4 ß 2)

/X\

184. D u r c h den G r a p h e n von y = x • a r c sin ( — I , die G e r a d e g = x - 2 = 0 und die X - A c h s e w i r d ein F l ä c h e n s t ü c k b e g r e n z t . W i e g r o ß i s t die M a ß z a h l A* seines Inhaltes A?

128

x y

Integralrechnung

0 0

+0,5 0,126

±1,5 1,272

±1 0,524

±2 3,142

j • sin(2t) - i

• sin(2t) dt = 2

• t • cos(2t)

mit der Substitution x = 2 • sin t, also dx = 2 • cos t dt und Formel 2. 36.

185. Welche Maßzahl A* besitzt der Flächeninhalt A des als Punktmenge Ä. = {(x; y) | 0 < x < 1 A 0 < y < ar tanh x } beschriebenen, sich ins Unendliche erstreckenden Flächenstücks? 0 0

±0,2 ±0,20

±0,4 ±0,42

±0,6 ±0,69

±0,8 ±1,10

±0,9 ±1,47

±1 ±°°

Nach Formel Nr. 2. 82 wird i

-J

ar tanh x dx =

1 o x • ar tanh x + — • ln(l - x ) lim a-> I -0

= lim - I • ln(l + a) - I - • ln(l - a) + | • ln(l + a) + i j - I -0

lim ^ - I -0 , , = In 2 +

ln(l + a) + - i - ^ - • ln(l - a)

lim

• i - o

1 ln(l-a) —• 2

1

Mit der L ' H O S P I T A L s c h e n R e g e l wird der Grenzwert des zweiten Terms zu Um_^ j • (1 - a) = 0 erkannt (Siehe Band II). Somit ist A* = In 2

0, 693.

• ln(l - a)

3. Transzendente

129

Funktionen

186. Gegeben ist die Parameterdarstellung x = f(t) = a • sin t, y = g(t) = = b • sin(2t) mit 0 < t < 360° und a > 0, b > 0. Man ermittle den Inhalt A der von dem zugehörigen Graphen eingeschlossenen Fläche. t X

a y

b

0

±15°

±30°

±45°

±60°

±75°

±90°

0

±0,26

± 0 , 50

± 0 , 71

±0,87

±0,97

±1

0

± 0 , 50

±0,87

±1

±0,87

±0,50

0

...

Nach der F o r m e l von LEIBNIZ o dg(t) f(t) dt

M

df(t) dt = dt

- g(t)-

o 2- j* [ a - s i n t - 2 b cos(2t) 'itìfflS a = ¡2 cm, A = 1.3 cm

2

b sin(2t) • a-cos t]dt = U

2 ab

•i

3 1 - — sin t + — sin(3t) dt =

= ab • 3 cost - — cos(3t)

= ab • 3 - -

= — ab.

Durch zweimalige Anwendung der Formel 2. 35 in A = 2 ab • l [2 • sin t - cos(2t) - sin(2t) • cos t]dt kommt man zum selben Ergebnis.

187. Wie groß ist der Inhalt A der von der g e s t r e c k t e n mit der Gleichung x = f(t) = (R - r) • cos t + a • cos y = g(t) = (R - r) • sin t - a • sin

—j t

Hypozykloide *

'

und 0 < a < r umschlossenen

Fläche, wenn das Verhältnis der Radien R und r von festem und rollendem Kreis ganzzahlig ist?

130

Integralrechnung

Bei Wahl des Koordinatensystems wie in der Abbildung kann mit a als Abstand des Kurvenpunktes P vom Mittelpunkt M des rollenden Kreises und t als Parameter, der gesuchte Flächeninhalt als Summe der Inhalte von — kongruenten r Teilflächen nach der F o r m e l v o n LEIBNIZ zu -

-2

f ( t )

- H - T

.M). dt

«W dt

g ( t )

angegeben werden. df(t) , , R - r /R - r Unter Verwendung von — — = -(R - r) • sin t - a — • sin I UND

M L dt

= (R .

- "

P)

-T

. COS t - A• 2 R - r -— r

.COS (

(R - 2 r ) . cos

r

R " r --^j-t - i ( R -

•

= £

(R - r) • ( R - r -

-

2 \

• t ) folgt

\ r

-t

dt =

2r).,in(|..t 2

2tt

1

= (R - r) • ( R - r - i - J *

.

Für die in der Figur gewählten Abmessungen R = 3r = 6a = 4 cm wird x = 2r • cos t h—~ cos(2t),

y = 2r • sin t - ^ • sin(2t)

und es gilt die

Wertetabelle t X r

0

30°

60°

90°

120°

150°

180° . . .

2,50

1,98

0,75

-0,50

-1,25

-1,48

-1,50 . . .

y r

0

0,57

1,30

2,00

2,17

1,43

Der Flächeninhalt beträgt A = — r^n .

0

3. Transzendente

131

Funktionen

188. Welchen Flächeninhalt A überstreicht ein gespannter Faden, wenn er von einem Kreis mit Radius r um einen halben K r e i s umfang abgewickelt wird? Bei Einführung eines kartesischen Koordinatensystems wie in der Zeichnung lautet die Parameterdarstellung der Bahnkurve des Fadenendpunktes P x = r • (cos t + t • sin t), y = r • (sin t - t • cos t) mit t e R als Parameter ( K r e i s v o l v e n t e ) . t X

r r

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

1

1,077

1,271

1,481

1,570

1,402

0,884 -0, 004

0

0,021

0,160

0,497

1,046

1,742

2,445

2,8

2,973

TT

3,2

-1 - 1 , 1 8 5 ir

3,136

... ...

Der Inhalt der überstrichenen Fläche berechnet sich unter Verwendung der F o r m e l v o n LEIBNIZ zu A = Ai + A2

Ar

r2

f

2 - 2'J [(cos

t + t • sin t) • t • sin t -

r "2 r^7r -(sin t - t • cos t) • t • cos tj dt + — ( s i n 7 r - n- cos 1r) - — — =

2 J

6

189. Man bestimme den Inhalt A des von der L e m n i s k a t e mit der Gleichung (x^ + y^)^ - y^) = 0 und a > 0 eingeschlossenen F l ä chenstücks. Bezüglich der Y-Richtung ergeben sich die r e l a t i v e n Mi;2 und die r e l a t i v e n M i n i m a a rr a M3;4 ( ± 4 . ^ - 4 • Doppelpunkt

im Nullpunkt.

Maxima

132

Integralrechnung

Wegen des symmetrischen Kurvenverlaufs bezüglich beider Koordinatenachsen genügt es, den Inhalt des im 1. Quadranten liegenden Flächenstückes zu ermitteln. Unter Verwendung der mit der Transformation x = rcosV und y = r sinip sich ergebenden Darstellung r = f(¡p) = a Vcos(2i^) dimensionierten Polarkoordinaten r und

0 begrenzt ist? Der Kurvenverlauf ist symmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung y = x; die Gerade g = y + x + a = 0 ist Asymptote. Zur Ermittlung des Flächeninhaltes wird die Darstellung r = f ( ^ ) = 3a-

sini^ cosy? cos 3 ^

+ sin3ip

der Relation in dimensionierten Polarkoordinaten r und ip herangezogen.

3 HRw 8

, was über

0 auf Xg = " Y ß - R w « -0, 589 R

führt.

(

H • I x| \ x; 0; — 2R— des anfangs eingeführten Rechtecks vom Inhalt A(x) wird wiederum nach dem Momentensatz o o ZS

•V = j " ^ A ( x ) d x ,

also z s -V = - - ¿ " j " * - A(x) dx. - R

Das auftretende bestimmte Integral wurde bereits bei der Berechnung von Xg ausgewertet. Man erhält hiermit zg.|-HR2 =

, also z s = - ^ t t H ~ 0,295 H.

203. Ein Rad vom Durchmesser 2r rollt auf einer Geraden unter Beibehaltung der Richtung seiner Drehachse ohne zu gleiten. Welche Länge s hat der Weg, den ein Punkt P auf dem Umfang des Rades bei einer Umdrehung zurücklegt? Die Bahnkurve des Punktes P ist eine g e w ö h n l i c h e Parameterdarstellung x = f(t) = r • t - r sint

und

Z y k l o i d e , die der

y = g(t) = r - r c o s t

mit dem Drehwinkel t als Parameter genügt.

t X

r y

r

0°

30°

60°

90°

120°

150°

180° . . .

0

0,02

0,18

0,57

1,23

2,12

3,14

...

0

0,13

0, 50

1,00

1, 50

1,87

2,00

...

3. Transzendente

145

Funktionen

Die Länge des zurückgelegten Weges beträgt s = 2, j y [ M I j 0

2 +

[ M I j

2

dt

*

= 2 V2r • J V i

=

r

2r.p(l-cost)2

+ s i n2t

dt =

0

- cos t dt = 4 r j " s i n - |dt i = -8r • cos —

8 r.

204. Die Eintauchtiefe eines homogenen quaderförmigen Körpers von der Länge 1, der Breite b und der Höhe h in Wasser sei t > — . Welche Arbeit 2 W muß geleistet werden, um diesen Körper um seine Längsrichtung soweit zu kippen, daß eine waagrechte obere Kante den Wasserspiegel berührt?

Wird mit a der K r ä n g u n g s w i n k e l bezeichnet, so ist die aufzuwendende Arbeit, um den Körper aus der waagrechten Lage um den Winkel a 0 zu kippen, W = fI "[ M i ( a ) + M 2 ( a ) ] d ß

. Hierbei sind

a ) = d j ( a ) • G,

o M2(P ) + sin(2 co t + 2 ¡p )], wobei co die Kreisfrequenz und

~ Av

"

xJ

2 ' T

+ 1

1 +

+

C

1

3

" 2 ' T

9

=

1 3 5 13 2 4 6 13

+ C,

als Gesamtheit der Stammfunktionen zunächst in ] - l ; 1[ mit C j als Integrationskonstante . Die durch Integration erhaltene Reihe konvergiert auch noch für x = ±1, da in diesen Fällen alternierende Reihen vorliegen, die den Forderungen des LEIBNTZschen K r i t e r i u m s genügen. Die Darstellung von J(x) gilt somit nachdem A B E L s c h e n G r e n z w e r t s a t z für x g [ - l ; 1], Zur Auffindung von Stammfunktionen für ]-

+

[1 - ( - 1 ) " ] =

5. Fouriersche

2{Cl

-

1 ~

C

)

2

~

0

S o m i t

l a u t e t

C

d i e

1

+

C

Reihen

f ü r

v

u n g e r a d e

f ü r

v

g e r a d e .

g e s u c h t e

2

2




/

2 ( C

( -

-

X

C

2

d e r

+

— TT

• [ s i n x \

6 7T

v e r w e n d e t e n

c h e

+

4 ö

s i n ( 2 / J ^ J (1 = 0

2ß

I +

3

I '

5

arc tan(-l)

A b b i l d u n g

=

1

I +

7

-

+

)

+

F O U R I E R S

1

C

?

2

d i e

- i 4


x) in Abhängigkeit von den Maßzahlen v ihrer Kreisfrequenzen auf, so ergibt sich das abgebildete S p e k t r u m für die Maßzahlen kp der Amplituden.

I

I

der

5. Fouriersche

Reihen

220. Die tt -periodische Funktion 2C — y = f(x) =

2C

ff

. * in 0 < x < —

x

-(x-7r)

n

in — < x < 7r ¿

mit C 6 R ist in ihre FOURIERS c h e R e i h e

zu entwickeln.

Da die vorgelegte Funktion g e r a d e ist, d.h. f(-x) = f(x), treten in der zugehörigen Reihe keine Sinusglieder auf, und es gilt deshalb mit T = 7r ao TR(x) = — +

^ > av • cos(2 u x)

und

2 r = — • l f(x) • cos(2 v x) dx = 77 "J

v=\

•ri

f(x) • cos(2 y x)dx,

wobei zur Ausnützung der Symmetrieeigenschaft das Integrationsintervall ff _ 7r 2 '

herangezogen wird.

2

E s berechnen sich jr 2

i

4 f 2C . 4C = — • \ — xdx = — o

oder kürzer elementar

a.*0

4 T TT 4

C = C,

und mit Verwendung von Formel 2. 39 8C

8C f x • cos(2 v x) dx = •ní 7

2C i*2 •

, . „ r • [ c o s ( f x ) - 1] =

tt2

4C v2

0

.

n2

x • sin(2 vx) 2- v 2C

[(-1)"

+

1

• cos(2 i>x)

4-v'

- 11 =

für v ungerade für v gerade

mit p = 1, 2, 3,

...

176

Integralrechnung

Mit diesem Ergebnis folgt die Reihendarstellung . , C 4C TR(x) = — - — 2 C

4C

2

-r2

4C

yj

ir2 X

Ii C

h c

^ ( y i + Y2> X

C

Ii c i

(Vi + y 2 )

cos(2x) + 4 • cos(6x) + -^r • cos(lOx) + . . . y Zu

2

"^= o

cos(2x),

cos(4ji + 2)x (2ju .+ i\2 1)* 4C

y2 9

0°

10°

^2

cos(6x);

15° -0,351

20°

30°

40°

-0,310

-0,203

-0,070

0

0,023

0,045

0,023

0

-0,287

-0,158

-0,047

0

-0,405

-0,381

-0, 045

-0,023

-0,450

-0,404

50°

60°

70°

75°

80°

90°

0,070

0,203

0,310

0,351

0,381

0,405...

-0,023

-0,045

-0,023

0

0,023

0,045...

0,047

0,158

0,287

0,351

0,403

0,450 . . .

0 -0,351

45°

Im zugehörigen A m p l i t u d e n s p e k t r u m

sind

und die Beträge der

Amplitudenmaßzahlen Av der Teil Schwingungen in Abhängigkeit von

5. Fouriersche Reihen der Maßzahl v ihrer Frequenzen aufgetragen. Einsetzen von x = — in die gefundene Reihe ergibt mit TR

r

- C

über

4C

C =

J_ 25

die Darstellung

jr' i 1 -— = 1 + — + —

+

221. Man gebe die

FOURIERsche R e i h e

[ C• x y = f(x) =

0

i

• • 20

(2ii + 1)

der 2tt -periodischen Funktion

in-7T „ v= 1

=

2 C

=

y

sin(,x) = 2 C - 2 > 1 ) V- I

i sin x - [ ^

sin(2x)

V + 1

sin(3x)

"

-

^

^ ^

=

+

A v • sin(v x).

Die Abhängigkeit der Beträge der Amplituden A „ von den Maßzahlen v der Frequenzen für die einzelnen Teilschwingungen ist in der Figur veranschaulicht.

c

I |I I I I |• • • r 5

222. Wie lautet die FOURIERS c h e R e i h e stellten 2 TT -periodischen Graphen?

10

r

des in der Abbildung darge-

In bezug auf das gewählte kartesische Koordinatensystem kann der Kurvenverlauf durch

y = f(x) =

i

x

in 0 < x < 7r

3£ 4

in x = it

7T

2 it

T

in ff < x < 2 TT

in x = 0

und

x = 2tt

erfaßt werden. Wählt man wie in den vorhergehenden Aufgaben den reellen Lösungsweg, so erhält man

5. Fouriersche Reihen

2

a„ = - M f ( x ) d x 0

2

( y * - y )

=

2 2» f(x) • c o s (

2»

ir

if

Í

1

x • cos( vx) dx + \ — cos(i>x)dx

7T

=

vx)dx

1

x • sin(v x)

7T

v

+

1 p2

. . • cos( v x)

sin( vx)

2v

_ L . [cOS( v 77 ) - 1] = - i - • [(-1)" - 1] y27T V27T 2

für v ungerade, (Formel

2.39)

für v gerade, 2> f (x) • sin( v x) dx = jr

2 jr

J x • sin( v x) dx +

x • c o s ( f x)

+

1

'

( v x) dx

. . . sin( v x)

= - - ¿ - [ c o s í . T r ) + 1] = r 0

für v ungerade,

l - —

für v gerade,

mit v = 1, 2, 3, . . .

sin

2v

• cos(i> x)

[(-1)" + 1]

(Formel 2.36).

Demnach lautet die Reihe TR(x) =

2

- — • c o s x - 4 - " sin(2x) • cos(3x) • sin(4x) 7T 2 y TT 4

179

180

Integralrechnung

—

• cos(5x) - -g- • sin(6x)

2_

• i - 2

COS[(2/LI

ff

-

~ (2M

1). x]

sin(2 ß x )

2M

- L)2

die noch bei Beschränkung auf die Darstellung durch Sinusfunktionen auf die Form TR(x) =

2

+ — • sin(x + 270°) + i • sin(2x + 180°) + • sin(3x + 270°) + 7T 2 y 7T

+ 4 ' sin(4x + 180°) + - f - • sin(5x + 270°) + 4 • sin(6x + 180°) + . . 4 257T b

= Aq +

^

A

v '

sin(vx

+ f

v

'

für p ungerade, mit A Q = — ,

A„ für f gerade

f 270° = j 18q0

als Amplitude und

für f ungerade, ^ gerade

{ür

, . , , , als Phasenwinkel der

v -ten Teilschwingung gebracht werden kann.

1,5

0,5

L l

Bei Wahl des k o m p l e x e n .

l TR(x) = 2 j C „ - e

2fn T

Lösungsweges

x

^

mit c „

-i—i-

• 111 •

ist

T

r -l= - • l f(x) • e

TT T

x dxfür^G

5. Fouriersche

181

Reihen

Im vorliegenden Falle für T = 2 ir ist dann 2 TT f f - « * C„ = — • 1 f(X)- e - i ' ^ d x = - ¿ • f » 0 0 Unter Verwendung der auch im Komplexen gültigen Formeln 2 . 1 und 2. 2 ergibt sich so für v G Z 0} _L i 2 m I

e-1

(-ivx

1 f -

(-D' . 1 j,2

(-1)" 2 TT

- 1 •,2f

1 — 2 TT • l/

(-D

TT I" e " 1 ' r x l + IT ' -i V 2

0

1 / • TT / i i -i-i>7T (-1 V 7T - 1) - — +—• — - — e j,2 2 \ i> i»

v,2

I

2t

*

1)

.„2

2 TT ' l

-

1

(i • vir + 1)

+ +

J 1-

2 • (-1) 4

n + -r- i

2

v2

-

-(-1)" V

+ 1 - (-1)"

"

-1

. 1 + (-D" +1"— 4v

v = 0 bringt c Q = — ' J , « ,

V

+

für i> ungerade, für v gerade-

f

j

für v ungerade, Hieraus bekommt man 1 c^, |

für v gerade, aber v für v = 0

und damit das A m p l i t u d e n s p e k t r u m .

|C j (

0,

182

Integralrechnung

Einsetzen der c„ -Werte in TR(x) liefert

TRw

•2 I 7T- 1¿—tZ. e"2li ""'*

4

C

woraus sich mit Hilfe der EULERschen F o r m e l n und

eiz

TR(x) =

IM^

¿-J

eiz + e"iz 2

1 = cos z

_ e-iz — = sin z wieder die reelle Darstellung 1 ^ > * U

n 2

-

fi:

+— 4

ei

(2ii-D x

-ftp -l)-x

+

(2M - l ) 2

e

i-2 M X

2

- e

-i-2ß-x

cos(2 M - 1) • x

'—I >1=1 l "

sin(2 M • x)

f(29 ß - i\2 1)

ergibt.

Die reellen F O U R I E R k o e f f i z i e n t e n können schließlich auch noch schneller über i 0 = 2 • c 0 = rr , -2

a„

b,,

i>2ff

= 2 • Re c„

= 2 • Im c„

für j; ungerade,

0

für v gerade,

0

für v ungerade,

=
= - r - ( l - e~ R ) 2 J 4 R g Aus I = j" e"( x 2 + y 2 ) dA = ^Je** 2 dx j B

über

|^"e"x2dx|

und deshalb

= Ij + I a

lim

L1 = ~ . 4

R -.t»

folgt für R -> + »

0

=— der gesuchte Wert

j"e~ x "dx =

Vif

^

7. Flächen-und

207

Raumintegrale

Für die in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik wichtige GAUSS-

sehe

Verteilungsfunktion

» _ü — l e ^ dt, die sich nach

(x) =

V 2! 7 TT t

der Substitution z

Vi"

x

(x) =

1 v^T

'TT •

f 2dz

, also dz =

237.

vT

, auch durch

7?

• l e'z •

darstellen läßt, gilt demnach

J( . • ' +00

lim 4>(x)

dt

^

1 lfe ~

+00

z

2 dz =

2

f 2 l e " z dz = 1.

(Siehe auch N r . 218)

Ein g e r a d e r K r e i s z y l i n d e r Z m i t der Höhe H und den Grundkreisradien

R w i r d von einer Ebene geschnitten, die einen Grundkreisdurchmesser

AB

enthält und den Umfang der anderen Grundfläche nur in einem Punkt C t r i f f t . Wo liegt der Schwerpunkt S des abgeschnittenen k e i l f ö r m i g e n Stückes? ( V g l . N r . 202) D i e h a l b k r e i s f ö r m i g e Grundfläche B j des entstehenden

Zylinderhufs

kann nach Einführung eines rechtwinkligen xyz-Koordinatensystems

gemäß

der Abbildung als Menge IBj von Zahlenpaaren (x;y) beschrieben werden. jl W e i l die schneidende Ebene der Graph von z = - — • x ist, folgt mit R H i l f e eines F l ä c h e n i n t e g r a l s Zylinderhufs.

V =

\ ( - — • x ) dA als Volumen des

208

Integralrechnung

Geht man durch x = r • cos , y = r • sin v zu P o l a r k o o r d i n a t e n der xy-Ebene über, so wird B j durch die Paarmenge

in

{ k

3

erfaßt, welche bei Deutung von (r; = n n • (H (x) • k ) dA = — • Bi o'1 2tt

M

r J

"

x=a

[ f

y = 0

x=o

t

ß

dy =

y = t>

, / h2 + a 2 In

• a2

2

- A

4 y = 0

4 JT

dy =

x = 0

x = a

M h 2 + x2)

dx

—

(Formel 1.16).

v

"

dy

212

Integralrechnung

241. Der in Nr. Welchen Betrag dem Einfluß der Schnittgerade h

234 beschriebene Körper K sei homogen mit der Dichte p . |M| hat das Drehmoment M, wenn sich der Körper unter in Richtung der z-Achse wirkenden Schwerkraft um die von Ebene E und xy-Ebene dreht? Siehe Abbildung auf S. 204.

Die Wirkungslinie der im Punkte Q(x; y; z) angreifenden Schwerkraft hat x + y _ a von der Drehachse h den gerichteten Abstand d(x; y; z) .

VT Bezeichnet g den skalaren Wert der Erdbeschleunigung und B = {(x; y; z) | 0 < x < a A 0 < y < a - x A 0 < z < f(x; y)} f(x;y) = - ^ ( a 2 - x 2 - y 2 )

mit

die den Körper K beschreibende Menge von

Koordinatentripeln, dann ist |M| = p - g - J " | d ( x ; y ; z ) | dV = B

P-G

J ( a - x - y) dV. Das auftretende R a u m i n t e g r a l

kann nach

vT Umwandlung in ein D r e i f a c h i n t e g r a l den: IM |

P-g

folgendermaßen errechnet wer-

(a - x - y) dV =

v/i" '

y = s - x z = f(x;y)

fli(f

P-g

w

V2"

x=0

-

P-g

y=0

dy dx =

[(a - x - y) • z ] 1 - ' ^ '

dy ^ dx =

X=0 y= 0 X=a y - x

p g

"W f

• vT

i f

X=0

+ (x

(a - x - y) dz ,=0

J

P- g .•vT

y =0

- a •x y

J A U _ r[y lr 3 + (x - a) • y z ^+ /(x22 _- „2 a z )-y +

2

4

i r

- a 2 • x + a 3 )] dy l dx = , X - a

+

- T - -

9

3 y

+

9

x^ - a z —

2

—

y

2

+

7. Flächen- und Raumintegrale

213

y = a — x

+ (x3 - a • x2 - a 2 • x + a 3 ) • y

dx =

y = o x = a

P • g

4 3 2 2 3 4 65742 + r T "

für gewisses

]a;b[

falls y = f(x) in [a;b] zweimal stetig differenzierbar ist. Im vorliegenden Falle gestattet diese Formel jedoch keine Abschätzung für R T , da schon f' (x) für x = b = 5 nicht mehr existiert.

Verwendet man zur Flächenberechnung die SIMPSONsche R e g e l , was wegen der gewählten geraden Anzahl der Teilintervalle möglich ist, so folgt nach

224

A*

Integralrechnung

= J '(y0

+ 4

y 2 , -1

+ 2

i>= i

•£

y2"

i

+ y 2n) + R S

= S 2n

+ RS

5 mit 2n = 16 und h = — für die in der Tabelle zusammengestellten Ordilb naten A*

5 = 48

8 ,[yo + 4

7

' Z y 2 f -1 "= I

+ 2

" Z ^ «= 1

+ y 16 ] + R S

*

67831 + R g ,

wobei auch hier die Formel Rg -

180'

'

• f ( 4 ) ( £ ) für gewisses £ zwischen a und b keine

Abschätzung von Rg ermöglicht, weil y = f(x) in [a;b] nicht viermal stetig differenzbierbar ist.

Dasselbe gilt von der Näherungsformel Rg aj

S 2n

" Sn —

mit S n als Ergebnis

der SIMPSON-Näherung bei halber Intervallanzahl n = 8. Diese unterliegt nämlich den gleichen Voraussetzungen und unterstellt überdies, daß sich an den bei 2n und n Teilintervallen angesprochenen Stellen £ nur wenig unterscheidet. Die Anschauung läßt vermuten, daß die SIMPSONsche Regel für das o. a. Integral ungenaue Werte liefert. Der Graph von y = f(x) besitzt eine zur Y-Achse parallele Tangente in x = 5 und läßt sich deshalb in der Nähe p dieser Stelle nur schlecht durch Parabeln mit der Gleichung y = ax (a £R) annähern. Man kann den Schwierigkeiten dadurch begegnen, daß man vor Anwendung der SIMPSONschen Regel die Faktorisierung 125 - x 3 = = (5 - x).(x 3 + 5x + 25) mit nachfolgender Substitution 5 - x = z 2 für z > 0 , also dx = -2zdz vornimmt. Es ergibt sich dann 5 S A* = J x • V l 2 5 - x 3 dx = J x • Vö - x • \/x2 + 5x + 25 dx = °o

0

= J (5 - z 2 ) • z • V(5 - z 2 ) 2 + 5 • (5 - z 2 ) + 25 • (-2z) dz = n/J

f

= l 2 • z 2 • (5 - z 2 ) • \/z4 - 15z2 + 75 dz. 0

8. Numerische und graphische Integration

225

Die jetzt auftretende Integrandenfunktion y = f (z) = 2z 2 • (5 - z 2 ) • \ / z 4 - 15z 2 + 75

ist wegen z 4 - 15z 2 + 75 > 0

für z £ R beliebig oft differenzierbar und daher eine Abschätzung des Fehl e r s Rg mit der oben nicht verwendeten Näherungsformel möglich.

V

0

1

2

Z„

0

h*

yv

0

1,68156 7

4

3

5

fr* 6, 60814

14,43050

8

9

10

71,28237

13

14

1H

* *

67,66248

50,93842

36,30967

24,58323 10

* * 60,71659

11

y0, y 2 , • • • • yi5> der SIMPSONschen R e g e l

48,69636 12

IT

1 6 ^ 79,30356 15

83,75205

83,72789

78,52151

16 Vi"

28,35614

0

Unter Verwendung von 2n = 16 Teilintervallen von [0; und

6

als

mit h = - — 16 Teilpunktsordinaten erhält man mit

226

Integralrechnung

Ii A* = y (y 0 + 4

-1 +

e= |

'

2

+

)

flßi

=

®16

+

V

«103,30251 + R s . Ein Anhaltswert für R q ergibt sich über die Rechnung mit der halben Intervallanzahl n = 8, also h = —— gemäß o A* = I " • [yQ + 4 • (y2 + y 6 + y 1 0 + y 1 4 ) + 2 • (y 4 + y 8 + y 1 2 ) + y 1 6 ] + R g = S

_ = S g + R g « 103,30206

zu

Rg »

16 " S 8 —

« 0,00003.

Dies liefert A* « S 1 6 + R g « 103,30254.

248.

Mit Hilfe der Integraldarstellung In x

•if

soll In x für x > 1 un-

ter Verwendung der SIMPSONschen R e g e l mit 4 Teilintervallen durch eine gebrochenrationale Funktion F(x) angenähert und der Fehler abgeschätzt werden. Uber h = —-—

und z Q = 1, Zj =

i . x + 3 , x + 1 u = 1 + h = — — , z 2 = 1 + o2h = —— 1=Z„ Z, Zg = 1 + 3h

3x + 1

Z4

= X, also y 0 = l , yi =

Zj

y

z3 JC = Z4

Z

2 = ^TT

4 1 1 y„ = r-, y 4 = — sowie f(z) = — liefert die SIMPSONsche R e g e l ^ OX + i. X z In x = j"f(z) dz = F(x) + Rg mit F(x) = y

(yD + 4y x + 2y 2 + 4y 3 + y 4 )

und R

s

=

"lür'h4'f(4)

(

*}

für

gewisses

f

*[•

8. Numerische und graphische

Integration

Es ergibt sich 16 , x - 1 /' 16 4 «- ++ x + 17t ++ «3 x + ;l + • F(x) = 1 2 • (1 + x+3

_1_ +

12

J_ 12

J_ 12

16x - 16 x + 3

x +

76

16x - 16 ^ 3x+l

64 8 64 + 16 +1 + 4 x + 1 3 " 3 • (3x + 1) x+3

x - 1 + 16 x +

4x - 4 x+1

64 64 8 x+3~x+l~3-(3x+l)

76 3

12

1 x

64 64 8 + r + .x+3 x+1 3 • (3x + 1)

x

12

12

Wegen f

X +

721x 3 + 1303x 2 + 495x + 9 36x • (x + 1) • (x + 3) • (3x + 1) '

76

C4\ , „ 24 w (z) = —

1 - x wird R g = - j ^ -

für € e ] l ; x [ . Damit ist

24

/x - 1

(x - l ) 5 J _ 1920 ' £5

£5

< Rg
*

A

33} *

3

3

3

-177587

-177077

-177059 5

für k A

55 -

A

54

+

A

65 =

A

64

+

' ( A 5 4 - A 4 4 ) « 3,177075

255

• < A 64 "

A

54> «

3

>177059 5

für k = 6 A

66 =

A

65 +

• (A65 "

A

55> *

3

-177059 •

Als Halbmatrix erhält man damit 4,001611 3,443501 3,253325 3,197187 3,182177 3,178344

3,257464 3,189932 3,178474 3,177173 3,177066

3,185430 3,177710 3,177087 3,177059

3,177587 3,177077 3,177059

und hieraus I ss Agg » 3,17706.

3,177059

X

Mit Hilfe des für x € R + \ { 1 } durch Li(x) logarithmus

3,177075 3,177059

J

int

definierten I n t e g r a l -

ergibt sich die Darstellung I = Li(6) - Li(2).

251. In der abgebildeten 2 ir periodischen Kurve sind die Ordinaten y^ bezüglich der Abszissen Xß = ß -30° mit (J = 0, 1, . . . , 12 durch folgende Wertetabelle festgelegt: X

y X

y

0 -10 300° -29

30° 8 330° -25

60° 19

90° 27

120° 29

150° 25

180° 10

210° -8

240° -19

270° -27

360° -10

Man bestimme durch n u m e r i s c h e und b v der Näherung

Integration

die Koeffizienten a.v

8. Numerische und graphische Integration

o ^ - i TR(x) ss - g - + lav »= I

cos

(

v

' x)

+

s n

be

i (

v

' X)1

6c

+

233

os(6x).

f ü r die zugehörige FOURIERS c h e R e i h e . (Siehe S. 171 ff.)

Bei Wahl von 12 ä q u i d i s t a n t e n T e i l p u n k t e n ten in der Reihenentwicklung angenähert durch 12

a

o = } ' Z

können die Koeffizien-

12

y

a

M '

-ZyM-C0S

"

mit

"

=

i'2'

-"

6

und

v «=i ' ———fJ I mit v = 1 , 2 , . . . , 5

(1 = 1

u .1T

angegeben werden. 1 -^ s i " 6 c= Zi v Führt man die numerische Auswertung nicht mit Hilfe eines p r o g r a m m i e r baren Taschenrechners durch, erweist sich die Einführung eines Rechenschemas als zweckmäßig. Es ergibt sich z . B . aus =

y

A + B

l

y

y

3

y

4 8

y

7

4 d4

s

5

d

5

Vl2

yn

yio

y

9

y

s

s

i

S

2

s

3

s

d

i

d

2

d

S

o

A - B

y5

2

3

A

y6

B s

6

und

C + D C - D

s

o

s

i

S

2

s

6

s

5

s

4

u

o

U

o

V

v

1

U

1

v

2

2

u

3

3

C

d1

d

2

D

d5

d

4

E + F

P1

P

2

E - F

q1

d

3

E F

P

3

Integralrechnung

234

für die vorliegenden Zahlenwerte uQ = Uj = u2 = u3 = 0; = 66,

Pl

p 2 = 96,

v Q = -20,

p 3 = 54;

= -34,

v 2 = -20;

q j = q g = 0.

Damit folgt 6ao 6a

=

uo

+

U1 +

u2

+

u3

= °>

l « v Q + 0, 866 V l + 0, 5V 2 »

6bx «s 0, 5 P l + 0, 866p2 + p 3

«s -59, 44,

170,14,

6a 2 = uQ + 0, 5uj - 0,5U 2 - u 3 = 0, 6a3

=

vo

"

v2

«

6b2 « O.Sööqj + 0, 866q 2 = 0, 6b3

=

=

p

l

"

p3

=

12'

6a 4 = u 0 - 0, 5uj - 0,5u 2 + u 3 = 0,

6b4

O.Seöqj - 0,866q 2 = 0,

6a 5 w v Q - 0, 866vj + 0, 5v 2 ss -0, 56,

6b g

0, 5 P l - 0, 866p2 + p 3 as 3, 86,

6a ß = uQ - ux + u2 - u 3 = 0. Die FOURIERsche Reihe lautet demnach näherungsweise T R ( x ) es -9, 91 • cos x - 0, 09 • cos(5x) + 28, 36 . sin x + 2 • sin(3x) + + 0, 64 • sin(5x) = \/28, 362 + 9, 91 2 • sin(x +

0 zurückgelegten Weg s = f(t) durch g r a p h i s c h e I n t e g r a t i o n für die speziellen Werte

8. Numerische

t s X

cm y cm

und graphische Integration

235

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1,5

3

5,5

9

13,5

19

25, 5

33

0

3,33

2,67

0

-3,33

0

9,33

26,67 . . .

-2,67

Maximum

Relatives

1 ^ ( 1 , 8 0 cm; 3,46 cm), relatives

Minimum

M 2 (12,20 cm; -3,46 cm).

dg(t) 2 dt

dh(t) 2 dt

als Ableitung der gesuchten Weg-Zeit-Funktion s = f(t) nach der Zeit t ergibt sich t s = f(t) = j f' ( r )dr . o Für die gegebenen speziellen Werte erhält man ds

/.x

1 I I t \2

Tt2

6t

„ \2

cm

««-ii^f^rr^T"

cm s

Der b e s s e r e n Übersichtlichkeit halber wurde in der folgenden Abbildung das für den Graphen von s = f(t) verwendete Koordinatensystem in Richtung der s-Achse parallel verschoben. Wegen f(0) = 0 muß der Graph durch den Nullpunkt dieses Systems verlaufen.

236

Integralrechnung

Mit den Maßstäben „„ mm . M t = 20 , Mg = 5

mm

für Zeit und Geschwindigkeit

cm

sowie dem Polabstand p = 40 mm bezüglich des Pols P ist der Maßstab f ü r die zurückgelegte Wegstrecke s durch n/r

Mt - M i =—

=

„„ r 2 0 - 5 mm 1 ö - —

„ _ mm = 2' 5 ^ T

festgelegt.

Aus der Abbildung ist die von t = 0 bis t = 6 s zurückgelegte Wegstrecke s T = f(T) «

61 mm 2 , 5 ^ cm

= 24. 4 cm zu entnehmen.

ANHANG

1.

Mathematische Zeichen

Die folgende Zusammenstellung enthält lediglich die wichtigsten verwendeten mathematischen Symbole in Anlehnung an DIN 1302, 1303 und 5486. Die Bedeutung von spezielleren Zeichen und Abkürzungen ist jeweils an der betreffenden Stelle erläutert. Zeichen

Bedeutung

+

plus minus

•

: oder =

multipliziert mit dividiert durch gleich ungleich

-

identisch entspricht proportional angenähert gleich

-A

entspricht angenähert


>

größer als




größer oder gleich

AB

Strecke mit den Endpunkten A und B

viel größer als

238

Anhang

Zeichen

Bedeutung

AB

BogenstQck mit den Endpunkten A und B

a°

Winkel a in Altgrad gemessen

a = arca

Winkel a im Bogenmaß gemessen Quadratwurzel

vT"

n-te Wurzel

lal

Betrag von a

log b x

Logarithmus von xelR + zur Basis b

lgx = log 1 0 x

gewöhnlicher oder BRIGGSscher Logarithmus von x € R + zur Basis 10

lnx = log e x

natürlicher Logarithmus von x(ER + zur Basis e

2 V ~

Summe von v = 1 bis v = n

1

laikl

Determinante der Elemente a ^

A = (a^)

Matrix der Elemente a ^

det A

Determinante der Matrix A

a

einspaltige Matrix

.T T A , a

transponierte Matrix von A, n

A-l

inverse Matrix von A

A, BC

Vektoren A, BC

A° t AI

Einheitsvektor von A —k Betrag von A

A

skalarer Wert von A

—¥

—»

y'

A

z

vektorielle Komponenten von A in Richtung von X, Y, Z -Achse eines kartesischen Koordinatensystems

A x> A y '

A

z

skalare Komponenten von A

A

X'

A

—»

A- B = A B

Skalarprodukt, inneres Produkt von A und B

A x B

Vektorprodukt, äußeres Produkt von A und B

I. Mathematische

Zeichen

Zeichen

Bedeutung

A(B x C)

Spatprodukt von A, B, C

i, j, k

Einheitsvektoren im positiven Richtungssinne von X, Y, Z-Achsen eines kartesischen Koordinatensystems

Rn

n-dimensionaler Raum

sin, cos 1 tan, cot J

trigonometrische Funktionen

arc sin, arc cos 1 arc tan, arc cot J

Arcus-Funktionen

sinh, cosh 1 tanh, coth J

hyperbolische Funktionen

ar sinh, ar cosh 1 ar tanh, ar coth J

Area-Funktionen

sgn x

f 1, wenn x > 0 < 0, wenn x = 0 L -1, wenn x < 0

n!

1 - 2 -3 - . . .

( - )

n! , , ., m! • (n - m)!

(»)

a (a - 1)- . . . •( et - m + 1) ... —• , ' T TT für a e R , 1 - 2 - 3 - . . . -(m - l ) m meN

(n - 1). n für nsN für m, n€ N A n > m

ja \

1

Re z

Realteil von z € (C

Im z

Imaginärteil von zGC

(oj

(xi;x2)>(xi;x2J---;xn)

geordnetes Paar, n-Tupel

[a;b]

abgeschlossenes Intervall a, b

]a;b[

offenes Intervall a, b

]a;b]

halboffenes Intervall a, b

V

Umgebung einer Stelle

239

Anhang

240

Zeichen

Bedeutung

y = f(x)

y als Funktion der reellen Veränderlichen x

y = f(x x ; x 2 ; . . . ; x,j)

y als Funktion der n reellen Veränderlichen xl»

*2' ' ' ' ' xn

fog

Verkettung der Funktionen f und g

lim

Limes, Grenzwert gegen unendlich

„

« W dx

=

y(n)

=

M M dx n

^dy_ L

= f ( x ) =

= f

(n)w

dx

=

¿Hz dx11

1. Ableitung von y = f(x) nach x n-te Ableitung von y = f(x) nach x

1. Ableitung von y = f(t) nach t 9y

l

g ^ - = f X i ( x i ; x 2 ; . .. ; x n )

1. partielle Ableitung von y = f ( x j j x 2 ; . . . ; x n ) nach x.

d f f r j ; x3x, 2 ;. • •; x n ) ,2 3 y 3 x j 3X3 " f * i X 3 ^ X l ' X 2 '

" ' ^

x j ; . . . ; xn) 3x

dy =

df(x)

dy =

df(xj5 x2; ...

l

2. partielle Ableitung von y = = f ( x j ; x 2 ;. • •; x n ) nach x^ und x 3

9x3

Differential von y = f(x) ; xn)

vollständiges Differential von y = f ( x i ; x2; . . . ; x j

1. Mathematische

Zeichen

Bedeutung

r

Ortsvektor

d?

241

1. Ableitung des Ortsvektors als Funktion von t

^ =

dT

Zeichen

r

1. partielle Ableitung des Ortsvektors bezüglich Abhängigkeit von x

9? 9x jf(x)dx = b

Unbestimmtes Integral

jf b

jf(x)dx = a

Bestimmtes Integral über [a; b]

ji a

Flächenintegral über das ebene Flächenstück B

jf(x;y)dA B

Raumintegral über das Raumstück B

jf(x;y;z) dV x = b y = ll

j"

j"f(x;y)dy

x=j

Doppelintegral von f(x;y) über [a;b] und [c;d]

y= C

U = u( ? ) V = v( r") p

dx

i

\i(~r) ds P0|C) p,

) ds

U als skalare Ortsfunktion von r —» V als vektorielle Ortsfunktion von r s k a l a r e s Kurvenintegral von P Q bis P j längs der Kurve C in einem Skalarfeld vektorielles Kurvenintegral von P 0 bis P j längs der Kurve C in einem Vektorfeld

P0(C) p, dr

s k a l a r e s Kurvenintegral von P 0 bis P j längs der Kurve C in einem Vektorfeld

j"u(?) dF

Oberflächenintegral über das Flächenstück F in einem Skalarfeld

P 0 lCl

F

j"vC?) dF F

Oberflächenintegral über das Flächenstück F in einem Vektorfeld

242

Anhang

Zeichen

Bedeutung

(C)

Kurvenintegral über geschlossene Kurve C, bzw. Oberflächenintegral über geschlossene Fläche F

F

grad U

Gradient eines Skalarfeldes U

div V

Divergenz eines Vektorfeldes V

rot V

Rotation eines Vektorfeldes V

V

Nabla-Operator

A

LAPLACE-Operator

L[f(t)]

LAPLACE-Transformation von f(t)

L _ 1 [F(s)]

inverse LAPLACE-Transformation von F(s)

U(t - tQ)

Einheitssprungfunktion

5(t-to)

Impulsfunktion

/A, m

Mengen /A, IB

a e IR

a ist Element von IR

IN

Menge aller natürlichen Zahlen

H

Menge aller ganzen Zahlen

Q

Menge aller rationalen Zahlen

m

Menge aller reellen Zahlen

c

Menge aller komplexen Zahlen

Z+",

Menge aller positiven, negativen ganzen Zahlen

2$ = INo

Menge aller nicht negativen ganzen Zahlen Menge aller nicht positiven ganzen Zahlen

R+,R~ R

o'Ro

Menge aller positiven, negativen reellen Zahlen Menge aller nicht negativen, nicht positiven reellen Zahlen

G

Grundmenge

ID y

Definitionsmenge der Funktion y = f(x) bzw. y = f(xi;x2;

1. Mathematische Zeichen

Zeichen

Bedeutung

Wy

Wertemenge der Funktion y = f(x) bzw. y= ...;xn)

IL

Lösungsmenge

{x | . . . }

Menge aller x, für die . . . gilt

{ }

Leere Menge

=0

/A n IB

Durchschnitt von /A und IB

A U B

Vereinigungsmenge von /A und IB

/A \ m

Differenzmenge von /A und IB

/ACE

IA ist Teilmenge von IB

Ä C IB

/A ist echte Teilmenge von IB

A X IB

Produktmenge von IA und IB

Ax/A

Produktmenge von /A und /A

/An

Produktmenge von n Mengen IA

AAB

Die Aussagen A und B gelten zugleich

AVB

Von den Aussagen A, B gilt mindestens eine

A => B

Aus Aussage A folgt Aussage B

Ao B

Die Aussagen A und B sind gleichwertig

243

244

2.

Anhang

Integrationsformeln *>

1. Unbestimmte Integrale algebraischer Funktionen

J d ; c =

v-n + l

.

7rrr

« +

1.2

i — J x

= In lje | ;

1.3

[(ax

+ b)ndx

= -

-(ax

, ^ r djc l 1.4 \ = - - l n \ax + b\ J ax + b a

für

, „ f x d* x b 1.5 \ - = - - — In \ax + b\ a aL •> ax + b „

1 6

1.7

f x dx \7 J (ax+b)2

f x{ax J für

1.8

« 4 - 1 .

2

a

dx =

— ¿x(ax

+ l

für

für

, j^O ;

1 - + - r l n | < i x + 6| ax + b a2

1

(Ii + 2 ) f l ' i

« 4 - 2 ,

n^-I,a=fO;

a =)= 0 ;

1

f i • ( « * + & ) " d x = -(ax J x n mit

1.9

+ bf

b

+ b)"

(ax + b)n+2

für

-

, a^O;

* + 2 (ax (rt + 1 ) £ T

b)n+l

« 4 0 ;

+ b)n+

b[--(ax J x

+ b)n~1

dx

n > 0 ;

— = — - • In + b) b

x

für

¿ 4 0 ;

* ) Die Integrationskonstanten sind der Kürze halber weggelassen. Sämtliche Formeln sind nur für die zulässigen Definitionsmengen zu verstehen. Alle Konstanten sind, soweit nichts anderes vermerkt, beliebige reelle Zahlen.

2. Integrationsformeln

r 1 1 0

dx

J x(ax

+ b )

mit

n

f ax

+ b

J

+ d

1.11 \

ex

_ n

> 0 ,

1

1

~ ( n - i ) b '

für a

n

dx=-x +

(ax

4 1 b e -

+ b f

und ad

;

b

dx

1.12

c .für

bc

fur

X dx (ax

+ b)

(cx +

d)

1

ac .für

b

,dX . = --arctan(~) '2+x2 a Va/

1.14 \

1.15

1.17

f

-

dx

J r - r

2

I = — -In 2a

ad bc

-

1

( a x + b) ( c x + d)

1.13

•In

-

für

a + X a - x

dx

b J x(ax

+

ad

ax

±

fur

cx + ^

b)n~l

;

• . , < - .

1 bc

4 0

1 r

In | c x +

c2

c

+

245

c=fO;

d

+ b

0

,

1_ ax

+ b

b c - a d

- ad bc

= 0

In (\a - ad

In | a x +

und

|ax + b I

ac

40

> 0 , für

1

1.19

2 ax + b

2

für 1.18

• arc tan

2

2

b

2 ax + b - \/b2

In

ac

=0,

b2

4ac-

- 4

2

2ax

+ b + \Jb

- 4 a c > 0 ,

=(=0 ,

a

ac -4ac

a + 0 ;

— -In |ajc2 + äjc + c| + ( ? - — ) ' (

+ bx + c

2a

\

2a!

dx 2

J ax

+ bx + c

für a =1= 0 ; J_ 2c

1.20 J

x(a x2

+ bx + c)

1

a

+ bx + c)

(n -

~ (n -

3) a

b

1) (4ac

- b)

2 ax + b 2

- b )'

(a x

+ bx + c)"~x

dx 2

J (a x

+ bx +

c)n~l

mit n > 0 für » 4 1 und 4ac - 2>2 =)= 0 ; (n= 1 siehe Nr. 1.18)

r

(px

+ q)dx

_

- p

2

J (a.x + i,v + c)" bp + ( q

~ 2a

mit

n

1

2(«-Da

r

2

(ax

dx 2

* (ax

> 0 für

+ bx n

+

c)n

^ 1 und

(n = 1 siehe Nr. 1.19)

+ c

x

2

l)(4ac

r 2

+ bx

ax + b

1 n

2 (2 n -

| +

2 2c d J tax

c = 0 , ab^O \

dx

J (a x

+ bx + c\

+— - In 2

bx

2

2

c 0,

.für

f

2

\ax

für

dx

dx

•In-

a

0

+ bx

+ c)"

~1

+

2. Integrationsformeln

1

1

l ) c ' ( a ^ + òx + c)"-1

2 ( « b f

dx 2

~ 2 c i ( a x

1.23

J

dx 2

x(a

x

+ bx

c ) x(ax

+ bx

n > 0

f J

dx 3

a

± x

für

1.25

3

~

6a

2

n

f

3

) a

±x

3

1.28

x(a

3

±x

3

4

¿x)"

¿ + 0 1

+ 2

+ aje + X )

und

c = 0 ;

arc t a n

l2x+a\ — )

+ x

S^ x

(2x+a\ arc t a n I •== I \ a y / T '

i

für

•In

3 ci 3

)

a =f 0 ;

1 4

-

4a

3

\x2

\/2

arc t a n

2a3s/2

L 2 9

für

± ^ 'In | c 3 ± x 3 | ;

dx J a

n > 0

a 4 0 ;

x2 dx ^— r — = J a3± x3

J

c ^ 0 ,

dx

1 , \a2 +ax + x2\ 1 = — • In 5— ± (a ± x ) ay/3 6 a

x d x

dx 1.27

|a

2

und

~

J (a X2 +

(a±x)2

1

x

1

a * 0 ;

für

1.26

_

n

+ bx)n~l

ñb

1.24

c)"-1

1 x{ax2

( 2 « - l ) f l

(.n = 1 siehe Nr. 1.20)

+

fur

J_ ~~ nb'

mit

+

dx 2

mit

+ cf

+ c)n

+ bx

1 f +

~

- a \ / 2 x + a

x + l ) + arc t a n

dx =

^ '

a

r

c

2

t

a

n

W

für

û

+

,

x -

l)

j

für a * 0

247

248

Anhang

1.30 j

x2

dx

a4 + x 4

=

4

4a3

•In

1.36 1.37

a - x

a+x

1.34 C i l É f L = J L In Ja4-*4 4a

y/ax

a + x

„ für

+ b

f

x"

dx

y/ax

~

(2

+ b

(2 (2nn

f

—1

l )l)aJ a J

y/ax + b

nb

+

l)a

n +

1 1.38 j

dx x y/ax

Vb + b

dx y/ax

dx

( 2 n - 3)a 2 {n - 1) b

-

• arc tan

> 0

sjb

ax + b

für

a40 ;

für

a=f0,

für

a40 ,

b>0, 0 ;

b
0

"

fÜr

•^j/^-ln ^ V ä ^ Ä + für 1.45

' S

s/ax + b • \Jcx + rf

für

f

J

* dx

1/

arc t a n \

c ac< 0 ;

'

1

.

r — T = = =— \Jax + b y/ax + b • y/cx + a ac ad + ber lac

\ J

.

dx —,

y/ax + b • y/cx + d

1.47 ^ y/ax + b-y/cx

• VcxTd)

> 0 ,

2 i/-« — y

a }

1.46 \

flc

» 4 1 ; ( - - » N r . 1.39)

c ( a x + 6) -

a(cx + d)

y/cx*d, û c =f 0 ;

fur

+ d dx=-| (x + ^ J " * ) V«* + ¿ • dx

J var +

fc-vw

r

+ a

.r

+

+

-

250

Anhang

1.48. J fcXx

* ^ d x =^s/ax+b V 2c

1.49

1.50

J

,

J \Jax + b • \/cx

i

xn

dx

v

H

mit

1.54

für

1 ?

-

r dx \ . , J x V

;

"

für

-

ß

M

dx v :X

-

2

fl2

= ln|x + V *

J

0

n> dx

x yjx

2

-

a2

für

_ (n - l ) a 2 f xn~2 + « J \/a

mit

y/a2±x2

2

-a

2

für

mit

;

dx

für

a 40 ;

V « 2 ±*2 + _ „n — 1

dx 3. 2 Jx"-

°

s/a2±x2

( « - 1)

1,56

1.58

^

1

S x " V 0

(«-

^

=ln(x +V52+^2)

+x2

=

1.53

+d

f / ,X , = arc sin J v« - x \\a\i

1 5 2

+ d +

dx

dx \ai

• y/cx

l

n > 0

für

für

a40;

0;

a 4 0 ;

1 = _ — • arcsin \a\

für

a 40 ;

n 4 1

und

a 4 0 ;

2. Integrationsformeln

1.59

J

dx x

n

\ / x

1

2

- a

^ >/x2 -

~ { n - \ ) a

2

'

2

x " "

^ 1.60

V ^ T ?

_

v. d x = - > \ f i

T

T x

^

jC

1.61 y/a2

- x2

dx

a2 1

+

"

a2 + —

i

> 0

für

- x2

+ —

und

Vfl2 + x 2 ) ;

-ln(x +

Q2

= ~ - s/a2

251

I X \

• arcsin

j

für

a =f= 0 ;

1.62 xy/a2 1.63

x" mit

± x

dx = ± i

2

yja ±x 2

dx

2

n > 0

1.64

für

s/a2±x2*

für

= — — -x n + 2 a =(= 0 ;

d x - ^ T T

a 4 0

y/a ±x

n + 1

2

;

x"

2

dx

n + 2 J v 0 ;

+ bx + c

dx

—

c2

1.71

dx

a

+ c[

0,

a >

+ c

+ bx

+ bx

dx + bx

+ c

+ c

"

'

= — 2 (2 ax - 3

b) \/ax2

4 a

+ bx + c +

3 Z>2 — 4ac ^ dx für a 4 0 ; 2 J 2 8a V« * + bx + c

[

bx

--7=-In

+ 2 c

+ 2 >/c

+

öx + c

y/c

für c > 0 , 1.72

dx x

+

bx

+ c

sjx(ax

bx

+ 6)

für

1

c = 0

und

/ ¿>x + 2 c \ • arc sin ; — 2; — - 1 \|xlVö -4ac/ ( - c .für c < 0 und ¿>2 - 4 ac > 0; 1.73

C2

dx = x 2 + i>x + c

- —

dx -2c i J x V*7*2 + bx + c

cx

V

a

für

*

2

c

+

bx

40;

+ c

-

¿ 4 0

2, Integrationsformeln

1.74

f

d x (y/ax

2

(\/ax

2

+ bx

+

"

( 2 n

-

1 ) (b

mit n >

-

c

- 4

ac)

4 ac

f J\

8 a

1.76

[ x yja J

x2

b - — ( 2 8a2

1.77

a + 0;

j x2

y/ax

S b2

2

dx = £ + bx

2a'

= + c

) (x mit

a

k)

~

i

+ bx

+ c +

' (siehe Nr. 1.69)

für

+ c dx = — \ / a x 3 a

2

+ bx b { b

+ bx

l n

1.18)

!a x2

+

+ c +

+ bx

+ c dx = ^

f \y/ä^x2

2

J

+ bx

^

+ c*

-

2

- A a c ) c dx . , \ , , L 2 2 16a 3 y/ax + bx

= + c

t/

y/a

z = — — x - k

x

2

( 6 ax

und

+ c A - a k2

5 b) y/ä'x^+bx

für

za~x

r + bx

-

+ c d x

dx 1.78

b x + c )

(siehe Nr. 1.69)

— 4 ac 16 a

2

,—, + b) yja x2

ax

für

+

- r yjax

+ bx

+ 0;

siehe Nr.

+ b x + c d x = ^ x \

- b2

2

b2 - 4 ac

0 für n

2

- 4 a c )

d.v

J i\/ax

1/7 = 0 s i e h e N r . 1 . 6 9 ,

^ y / a x

1) (b2

n -

1

1) a 2

-

(2

b + c)2"

+ bx

8 (n

2 n + l

+ c )

2 ax

1.75

253

y / Ä z + bk

2

a =f 0 ;

+ c

3

+

(siehe Nr. 1.75)

dz + Bz

+ c ,

+ a

B=2ak

+

b ,

w o b e i d a s o b e r e V o r z e i c h e n f ü r x > k, d a s u n t e r e f ü r x < k g i l t .

254

Anhang

x + a2 x2

C a0 + al

+

+ A t x + A2

2

X2

V«

= (A0

+ A

n

+ ... + an

+ bx

J

x" X

c

x

+ ... + An_t

[ — ^ = = = + J va "X + c

für

x"~

a+ 0

l

)-\/ax

und

2

+ bx

+ c +

a ^ O ;

die unbekannten Konstanten A0,Ai,... ,An können nach Differentiation durch Koeffizientenvergleich ermittelt werden.

2.

Unbestimmte Integrale transzendenter Funktionen

r 2.1 \ J

eax

dx

=

e"* — a

r

für

a40;

1

2.2 \ x - e a * dx = ^ (ax - l)e f l *

2.3 ^ j r - e ^ d x = r

2.4 \ J

x"•

eax

dx

f

2.5

\ b

a x

J

e"

=

n G

IN 0

d x

=

und

a

a

a

1

x

-e^dx

=

( - 1)" > ~

+

"

+

an+l

40 ; a 4 0 ,

- I n (ax)

f

C \ x " J

a*0;

l)x"~2

-

für

a• In b =x

für

a3

bax

2.6 ^ In (ax) d x

n

+

a

a4 0;

2)eÜX

x"

n{n

t

2

La mit

(a2x2-2ax+

\

nxn~x

\x»

für

- x

Ä > 0 ;

für

n + l

a40; 1

} xn • In {ax) dx = ^j-j- • In (ax) - - ^ - j - y

2.7

für

«4 — 1

und

a

40 ;

[In (ax)]" ' 1 —

__ 2.8

f [In ( « * ) ] " \ L v n

2.9

\ logft (ax) dx = — [ x - l n ( a x ) - x ] -> In b

J

x

dx

=

n + 1

1 r, f \ sin (ax) d x = - — cos (ax)

2.10

J

a

^ für

für

J

« = -1 für

afO;

und

a40 ;

a=j=0,Ä>l;

2. Integrationsformeln

1

-X • sin (2 ax) + — für 4 a 1

2.11

sin2(ax) dx =

2.12

sin 3 (ax) dx = — cos (ax) [cos2 (ax) - 3] 3a

2.13

sin"(ax) dx =

à x

1

mit

a x

2.15

dx

1 . . = — - cot ( a x ) sin (ax) a

2.16

dx _ _ 1 sin (ax) 2a

nr\c (/iv^ cos(ax) sin~(ax)

2.17

dx - sin"(ax)

1

2

n > 0

fur

fur

a=0 ;

a• =fn 0 ;

¡„ a =f 0 ;

11 2a

x / a/IY\ tan , — \ 2

für

dd x + n - 2 1f sin" (a;c) s i n ""_ 2 ( a x ) n -— 1 J sin"

n 4= 1

und

a 40 ;

für

a40 ;

2.19

cos 2 (a x) d X = — sin (2 a x) + 4 a 2

2.20

cos J (ax) dx =

1

X

für

— • sin (ax) [sin" (ax) - 3] 3a

a4 0 ;

für

a

[ cos "(ax) d x = — • c o s " _ 1 ( a * ) * sin ( a x ) + J na Jp + \ c o s " _ 2 ( a x ) d x mit n > 0 und n J C ^ L - = - L . i n J cos ( a x ) 2a

a =1= 0 :

-1

cos ( a x ) d x = - sin ( a x ) a

2.22

und

cos ( a x )

(n—l)a für

f

2.18

2.21

für a * 0 :

n > 0

\ i = — •, InLI tani ( — )| sin (ax) a I \ 2

mit

a =f 0

— • sin" " 1 (ax) • cos (ax) + na

- — i í sin"_2(ax) dx n •> 2.14

255

1 - sin ( a x )

für

a + 0;

0;

a =)= 0 ;

256

Anhang

2.23

2.24

= — tan (ax) a

cos2(ax)

dx _ 1 cos (ax) 2a

sin (ax) cos-(ax)

dx

2.25

n

cos (ax) mit

n > 0

für

a4 0 ;

+

4a

jn 1 + sin (ax) ^ 1 —sin(ox)

1

sin (ax)

(n — \ )a

-

für

n — 21 rc

und

tan (ax) d x = - - • In | cos (ax) | a

2.27

tan 2 (ax) d x = — tan (ax) - x a

2.28

tan"(ax) d x = mit

n> 0

für

n 4 1

und

c o t 2 ( a x ) d x = - — cot (ax) — x a

2.31

cot"(ax) d x = - - — • c o t (n - l)a n4 1

a40 ;

af 0 ;

2.30

für

für

w - 1

und

• /•

2.33

=

^ • /l \ j

l i

b - a

i

a40 ;

für

a4 0 ;

( f l x ) - i c o t M _ 2 ( a x ) dx J

a4 0 ;

sin (ax) cos (ax) dx = — • sin 2 (ax) 2a

2.32

a40 :

• t a n " ~ 1 ( ö x ) - \ t a n " ~ 2 ( a x ) d* J

cot (ax) dx = — • In | sin (ax) | a

n> 0

für

für

2.29

mit

sin (a - b)x

für

a =f 0 ;

sin (a + b)x

[a cos (ax) sin (bx) - b sin (ax) cos (6x)l

(a = b siehe Nr. 2 . 1 1 )

dx dx

a40 ;

2.26

(n - 1) a

4=0;

n — m —11 JJ ccooss""-_"2 ( a ; t )

cos" Ha*)

n =)= 1

^

für

. \a | 4 I b |

257

2. Integrationsformeln

2.34

( c o s ( a x ) c o s ( b x ) dx J = ~z b¿ -

=

sin (a - b)x ° 22 (a - bb) )

S1"

r [ - a sin ( a x ) c o s (bx) a¿

+

sin (a + b) 2 (a +

x

b)

+ b c o s ( a x ) sin ( 6 x ) l

für

|a| + |ô|

(a= b siehe Nr. 2 . 1 9 )

2.35

^ sin ( a x ) c o s (¿>x) d x =

-

cos (a (a -

1 b2

-

a2

[a c o s ( a x ) c o s {bx)

c o s ( a + b)

b)x

2 (a +

b)

+ b sin (ax)

x

b)

sin ( 6 x ) ]

für

¡airlôl

ia = b siehe Nr. 2 . 3 2 )

S I

{ax) dx = — [sin ( a x ) - a x c o s ( a x ) ] ar

x-sin

2.37

^x:sin(ax)dx = \

2.38

und

a=*=0;

[ 2 a x s i n ( a x ) + (2 - a 2 x 2 ) c o s ( a x ) ]

f x " sin ( a x ) d x = J mit n > 0

für

— x" a

cos ( a x ) + - f x " a J

- 1

für

a =1=0;

c o s (ax)

dx

a - 0 ;

S !

2.40

2.41

2.42

2.43

x • c o s ( a x ) dx = — [ c o s ( a x ) + a x sin ( a x ) ] für a =t= 0 ; a' Î x 2 • c o s (a.r) dx = [ 2 a x c o s (ax) — ( 2 — a2x2) sin ( a x ) ] für J a [xn J

c o s ( a x ) d x = — x " sin ( a x ) - — f x " a a i

mit

n > 0

und

c \ eax

sin (bx)

eax d x = — — — [a • sin (bx) a¿ + bL

für

a2

r \ eax

s i n "(bx)

J

J

+ b2

n > 0

sin ( a x ) d x

- 1

a f 0 ;

b • cos

-

(bx)]

+ 0 ;

— 11b c o s (bx)] für

a=i=0:

1 dx - — a¿ + n1 + und

1^2 b + 0 ;

bz

- e " * s i n " - ' ( 6 * ) [ a sin (bx)

\ e"X

s i n

"~

2

(

0

*)

d x

-

258

2.44

2.45

Anhang

f eax \ eax cos (¿x) dx = ——— [a • cos (bx) + b • sin (¿x)l J al + bl für a2 + b2 4 0 ; r ax 1 \ e cosn(bx) dx = —1 — -ea* c o s " - H M [a cos (bx) + J a + n1 bz n(n-\)b2C + nb sin (¿x)] + l J-r \ eax cos n - 2 (bx) dx a + nL bl J für

und

b =)= 0 ;

r 1 \ x eax sin (bx) dx = —l r • x eax [a sin (bx) - b cos (bx)] a + b1

2.46

J

_ 1 , , • eax[(a2 - b2) sin (bx) -lab (a2 + b2)2

-

2.47

n> 0

für

a2 + b2 f 0 ;

J\ x

eax cos (bx) dx =

1

L

a^ + b

~ (a2 + b2)2 e " X U a2 ~

cos (bx)]

-x eax[a cos (bx) + b sin (bx)] -

C0S

+ 2 a b Sin

(M]

für a2 + b2 + 0 ; 2.48

Jf

arc sin (ax) dx = x • arc sin (ax) + — y / l - (ax)2 a

2.49 farc cos (ax) dx = x -arc cos (ax) J

2.50 (arc tan (ax) djc = x • arc tan (ax) •>

a

\/ 1 - (ax)1

2a

für

für

0-

a- 0;

l n [ l + ( a x ) 2 ] für a 4 0

l n [ l + ( a x ) 2 ] für a ^ 0 ; 2.51 (arc cot (ax) dx = x • arc cot (ax) + J 2a 2.52 [ sinh (ax) dx = - cosh (ax) J a 2.53 ^sinh2(ax) dx =

für

a= 0;

• sinh (2 ax)

für

a == f 0;

2. Integrationsformeln

2.54

1

r

\ s i n h " ( a x ) dx = — • sinh" ~ 1 ( a x ) cosh ( a x ) J na

n —1 f

\ s i n h " ~ 2 ( a x ) dx

n

mit

J

2.55

f — — J sinh (ax)

2.56

f — ^ = - —*coth(ax) J sinh2(ax) a

~> 5 7

dx \ Jsinh"(ax)

n

= -

1

für

f dx \ 1 J sinh"_2(ax)

1

für

und

a == j 0 ;

a 40; a 4 0 ;

cosh

( « - 1 )a

0

n>

= - - l n Itanh ( — ) a I \2 /

f

n —

2.58

(ax) ;

sinhn_1(a*) mit

1 f \ cosh ( a x ) d x = - sinh ( a x ) J a

n> 0 für

n3 1

für

f c o s h 2 ( a x ) d x = — -sinh ( 2 ax) + J 4a 2

2.60

f c o s h " ( a x ) d x = — • c o s h " ~ l ( a x ) sinh ( a x ) + J na +

2

-62

2.63

— - f c o s h " - 2 ( a x ) dx

n

J

[ — — — j cosh (ax)

i

à X

J cosh"(ax)

mit

= - • arctan (eax) a

[ t í ,=--tanh(ax) J cosh2(ax) a

+

2.64

n- 1

(n — \) a

für

« > 0

für

für

a~ 0 ;

a± 0;

und

a = 0;

a * 0 ;

afO;

+

cosh"-1^*)

_ 2 r d.v \ mit n - 1 J c o s h " ~~ - ( (ix )

n

und

a ± 0 ;

2.59

2.61

259

n > 0 für

[ tanh ( a x ) d x = - • In [cosh ( a x ) ] J a

für

n ==j 1 und

a + 0;

a ±0 ;

Anhang

260

2.65

^ t a n h 2 ( a x ) dx = - — • tanh ( a x ) + x

2.66

[ tanh"(ax) dx = - - — — • tanh" ~ 1 fa*) + i tanh"~ 2 (ax) dx J (n - l)a J mit n > 0 für « 4 1 und a = 0 ;

2.67

J

für

a

i coth (ax) dx = — • In | sinh (ax)|

J

a

für

a 4= 0 ;

a40 ;

2.68

i c o t h 2 ( a x ) dx = - — • coth (ax) + x

2.69

( coth"(ax) dx = • c o t h " - 1 (ax) + [ c o t h " - 2 ( a x ) dx J (n - l)fl J mit n > 0 für « 4 1 und a =f 0 ;

2.70

\ sinh (ax) cosh (ax) dx = — • sinh 2 (ax) J 2a

2.71

für

a40;

für

a40;

\ sinh (ax) sinh (bx) dx = 1

J

für

— ^ [a cosh (ax) sinh (bx) - b sinh (ax) cosh (ft*)] |a|4lö|;

(a = b siehe Nr. 2 . 5 3 )

2.72 \ cosh (ax) cosh (fcx) dx = J 1 = —L — [a sinh (ax) cosh (bx) - b cosh (ax) sinh (2>x)] a — b für

2.73

| a | 4 1^1 ;

iß — b siehe Nr. 2 . 5 9 )

\ sinh (ax) cosh (bx) dx = 1 = —;—— [a cosh (ax) cosh (bx) - b sinh (ax) sinh (öx)l i a — bz J

für

2.74

|a | 4 | b | ;

(a = b siehe Nr. 2 . 7 0 )

\ sinh (ax) sin (bx) dx = 1 [a cosh (ax) sin (Ax) - b sinh (ax) cos (öx)] 2 a + b2 für a 2 + b2 4 0 ;

261

2. Integrationsformeln

.75

^ sinh (ax) cos ( b x ) dx = 1 [a cosh ( a x ) cos (bx) + b sinh (ax) sin ( 6 x ) ] a2

für 2.76

a2

für

tur

2.80

2.81

2.82

2.83

2

f 0

;

; [a sinh ( a x ) sin (bx) - b cosh (ax) cos ( è x ) ]

+

b2

a2

+ b

2

4 0

;

2 + 1,2 a2

+ b

COS 2

=¡=

0

+

b

cosh

( a x ) s ' n (ÔX)]

;

f xn sinh (ax) dx = - • x" cosh ( a x ) - — f x" ~1 cosh (ax) dx J a a J mit

2.79

+ b

\ cosh ( a x ) cos (bx) dx = 1 =

2.78

b2

a2

^ cosh (ax) sin (bx) dx = = —

2.77

+

n

> 0

und

a f 0 ;

n f f 1 \ x" cosh ( a x ) dx = — - x " sinh (ax) - — \ x " - 1 sinh ( a x ) dx J a a J mit n > 0 und a 4= 0 ;

C ar sinh ( a x ) dx = x -ar sinh ( a x ) J î ar cosh ( a x ) dx = x • ar cosh ( a x )

J

\/1 + ( a x ) 2

a

a

y/(ax)2

- 1

für

für

f ar tanh ( a x ) dx = x • ar tanh ( a x ) + — • In [ 1 - ( a x ) 2 ] J 2a für a - 0 ; 1 ^ ar coth ( a x ) dx = x • ar coth (ax) + — • In [(ax) 2 - 1 2a für

a * 0 .

a-0;

StO:

262

3.

Anhang

Spezielle Substitutionen

f 1 f 3.1 \ F(ax + b) dx = -\F(z) für

dz

mit ax+b=z,

dz dx = — ,

mit tanx = z ,

dx =

a +0;

f 3.2 j F ( t a n x ) d x

=

f F{z) j p — i2 U+z

3.3 ^ F ( c o t x ) dx

=- J

a\ 3.4 \ F ^ - ] d x

_

A —2 dz — z

'

> mit cotT x = z ,

F Z

fF(z) ^ - ddz z a l ——

a mit -— ==zz ..

A dx =

djc dx == --

dz 1+z2' r 1+z2 D Z

dz a—- .

für a + 0 ; dx =

dz

3.5 \ F(a*) dx J für a > 0 ;

=— \ — Ina J z

dz mit a* = z ,

3.6 J F(e*) dx

=

dz

mit e* = z .

dx = — ;

3.7 ^ F(lnx) dx

= ^F(z)-e 2 dz

mit l n x = z ,

dx = ez dz

3.8 ^ F(sin x, cos x; tan x; cot x) dx = -z2 1

+z

/x\ mit tanI —

1 -z2\

2z

2

'

1

2

- z '

2z

/ 1 + Z

x = 2 arctan z + 2 kn,

und (2 k-\)-n0,

l

z

^ F ( x ; y/ax2

H

l

z

,

\Ja x2

z

+ bx

3.19

ä x2

J F ( x ; sjax

H

z

2

-

X

2

- X A

a

2

—X i z — a - zl

, z =

1 x -

~\/cz +ad; z;

(z

+a\/c\ 2

- a)

/

\fc

;

X

X '

xx

2

- X I

+ bx + c = 0

, = • \Jax1 + bx + c ;

+ d) d x =

y/cx 2

b

+bz 2

+ c) dx =

2

+ b ;

+ c +

x

z 2 r e e l l e n L ö s u n g e n v o n ax2 m i t x t - xa2 - als undx =

2

c = 0,/)f0

- a + bx

- x

y/c'z2

/ / \

z + b

r

+ bz + a-\/c\

'

sowie

2 • \fc'

2

\fc-z2

+ b

2

a x

+ c) d x =

+ bx

2~\fc-z

mit x =

3.18

x2

^ F ( x ; \Ja

bc\

a

'

2z

,

„

^

— a

dz

für a ~ 0 m i t x =

z2

-

a

b

3.

3.

Sachverzeichnis

265

Sachverzeichnis

Die rechts der registrierten Wörter angegebenen Zahlen verweisen auf die Seiten. Das Zeichen~bezieht sich auf sprachliche Endungen.

ABELscher Grenzwertsatz 152, 153, 155 Absolute Konvergenz 153 Adiabatische Zustandsanderung 99 Algebraische rationale Funktion 7 ff. - nichtrationale Funktion 55 f f . , 152, 155, 159 ff. , 221, 222 Alternierende Reihe 154, 155, 162, 170 Amplitudenspektrum 174 ff. Anschnittsteuerung 150 Approximation im Mittel 83 Arbeit bei einer Tellerfeder 229 - Kippen eines Schwimmkörpers 145 - eines Wechselstromes 148, 151 - im Kraftfeld 199 Archimedische Spirale 34 Arithmetische Mittel einer Funktion 31 Astroide 138 Ausflußzeit 98 Binomische Reihe 152 f f . , 164, 167 BIOT-SAVARTsches Gesetz 100 Bogenlänge einer ebenen Kurve 84 f f . , 133, 144, 166 - - Ellipse 166 - - Epizykloide 133 - - hyperbolischen Spirale 85 - - Kettenlinie 133 - konischen Schraubenlinie 135 - - NEILschen Parabel 84 - - Parabel 2. Ordnung 86, 96 - - Raumkurve 135

- - Zykloide 144 BOYLE -MARIOTTE sches Gesetz 52 DESCARTESsches Blatt 132 Differential- und Integralrechnung, Hauptsatz der 152 Dipol, elektrischer 219 Doppelintegral 204 ff. , 215 ff. Drehfläche (siehe Rotationskörper) Drehimpuls eines Kreisringes 201 Drehkörper (siehe Rotationskörper) Drehmoment eines Körpers 212 Drehung einer Stange 51 Dreieck, Trägheitsmoment eines 46 Dreifachintegral 208, 212 Durchbohrung von Drehkörpern 45, 209

Ebene Kurve, Bogenlänge einer 84 ff. , 133, 144, 166 Effektivwert einer Spannung 149 - - Stromstärke 150 Einweggleichrichtung 194 Elektrische Ladung, Kraft auf eine 53 Ellipse 76, 93, 166 Ellipsensegment 76 Ellipsensektor 42 Ellipsoid, Rotations- 36, 43 Elliptisches Normalintegral 157, 168

266

Anhang

Energie, magnetische 53 Energiebilanz eines el. Schaltkreises 151 Epizykloide 133 EULERsche Formel 182, 187 - Konstante 157 Evolvente, Kreis - 131 Exponentialreihe 157

Faß, Volumen eines elliptischen 36 Federungsarbeit 227 Fehlerabschätzung bei Reihen 161 ff. Feld, skalares 198, 200 -, vektorielles 195 ff. Feldstärke, magnetische 54, 100 Flächeninhalt bei einer Archimedischen Spirale 34 - - - geschlossenen Kurve 33, 34, 129 ff. - - - Kreisevolvente 131 - eines DESCARTESschen Blattes 132 Ellipse 76 Hypozykloide 129 - - Kreissegmentes 89, 97 - - ~ Lemniskate 131 - - Parabelsegmentes 31, 74, 93 Flächenintegral 203 ff. , 215 ff. Flächenmaßzahl 22 ff. , 75 f f . , 121 ff. , 159 f f . , 221 ff. -, geometrische 23, 74, 75, 123, 124 Flächenstück ~ , ebenes, Inhalt eines 22 f f . , 74 f f . , 121 f f . , 159 f f . , 221 ff. - ~ , -, Schwerpunkt eines 41 f f . , 89, 139 - ~ , -, Trägheitsmoment eines 46 f f . , 92, 93, 210 , gekrümmtes, Inhalt eines 87 f f . , 137 f f . , 217

Fliehkraftregler 51 Flüssigkeit, Ausflußzeit einer 98 Fluß, magnetischer 54, 211 FOURIERsche Reihe 171 f f . , 232 - - , Koeffizientenberechnung, komplex 180, 186, 188, 194 - - , - , numerisch 232 - - , - , reell 171 f f . , 190 ff. Funktion, Arcus- 117 f f . , 127 -, A r e a - 121, 128 -, arithmetisches Mittel einer 31 -, Betrag einer 25, 81 -, Exponential- 100 ff. , 121 ff. - , ganzrationale 7 ff. -, gebrochenrationale 7 ff. -, goniometrische 104 f f . , 123 ff. , 144 ff. -, hyperbolische 118 f f . -, Integralexponential- 157 -, Integralsinus- 166 - in Parameterdarstellung 33, 86, 129 ff. , 134, 138, 166, 216, 217, 220 - in Polarkoordinaten 34, 85, 132, 206 ff. , -, nichtrationale algebraische 55 f f . , 152, 155, 159 ff. , 221, 222 -, logarithmische 103 f f . , 121 -, periodische 104 f f . , 171 f f . - Potential- 197 -, rationale algebraische 7 f f . -, stückweise stetige 26, 171 ff. -, transzendente 100 f f . , 156, 157, 228 -, trigonometrische (siehe goniometrische Funktion) -, Vektor- 195 ff. Funktionaldeterminante 205 f f . , 214

3

Sachverzeichnis

267

Gas, adiabatische Zustandsänderung 99 -, i s o t h e r m e Zustandsänderung 52 GAUSSsche Verteilungsfunktion 169, 171, 207 Gedämpfte Schwingung 124, 126, Geometrische Flächenmaßzahl 23, 74, 75, 123, 124 - Reihe 125, 165 Geschwindigkeit - Zeit - Funktion 51

Inhalt eines ebenen Flächenstücks 22 f f . , 74 ff. , 121 f f . , 159 f f . , 221 ff. - - gekrümmten - , allgemein 87 f f . , 137 f f . , 217 Rotationsfläche 87 f f . , 137 ff. Integrabilitätsbedingung 196 ff. Integral, b e s t i m m t e s 11, 13, 18 f f . , 56 ff. , 65, 68 ff. , 102, 104 ff, 110 ff, 157, 226 ff.

Gewöhnliche Zykloide 144 Gleichmäßige Konvergenz 154, 158 ff. , 162, 167 Gliedweise Integration 152 ff. Graphische Integration 234 Grenzwertsatz, ABELscher 152,

-, -, -, -, -, -,

153, 155 GULDINsche Regel 43 ff. , 87, 91

Halbkugel 45 Hauptsatz der Diff. - u. I n t e g r a l rechnung 152 Hohlzylinder ~ , T r ä g h e i t s m o ment eines 49 HORNERsches Schema 15 HOSPITALsche Regel 128 Huf, Zylinder- 93, 143, 207 Hyperbel 23, 28, 37, 75 Hyperbolische Spirale 85 Hyperboloid, Rotations- 36, 37, 87 Hypozykloide 129

Impuls, D r e h - eines K r e i s r i n g e s 201

Induktion, vollständige 115 Induktivität 53

Doppel- 204 ff. , 217 ff. D r e i f a c h - 208, 212 Flächen- 203 f f . , 215 ff. Kurven- 195 ff. Linien- 195 ff. nicht geschlossen d a r s t e l l b a r e s 155 ff. , 221 ff. -, Oberflächen- 215 ff. -, Raum- 203 ff. -, unbestimmtes 7 ff. , 55 f f . , 100 ff. -, uneigentliches 28 f f . , 37, 79 ff. , 102, 121 f f . , 124 ff. , 135, 136, Integral-Exponentialfunktion 157 - - L o g a r i t h m u s 232 - -Sinus 166 Integralrechnung 7 ff. -, Mittelwertsatz der 32 Integrand 7 ff. Integration durch spezielle Ans ä t z e 66, 68, 70 - - Substitution 8 ff. , 56 f f . , 100 ff. graphische 234 - nach Partialbruchzerlegung 13, 15 f f . , 32, 122 - nichtrationaler a l g e b r a i s c h e r Funktionen 55 ff. , 152, 155, 159 f f . , 221, 222 -, numerische 219, 221 ff. -, p a r t i e l l e 62, 63, 72, 73, 101 f f . , 106 ff. , 109, 117 ff. ,139 ff.

268

Anhang

- rationaler algebraischer Funktionen 7 ff. - stückweise stetiger Funktionen 26, 171 ff. - transzendenter Funktionen 100 ff. , 156, 157, 226, 228 - von Reihen 152 ff. Integrationskonstante 7 ff. Isotherme Zustandsänderung 52

Ladung, Kraft auf elektrische 53 Länge eines ebenen Kurvenbogens 84 ff. , 133, 144, 166 - - räumlichen Kurvenbogens 135 LEIBNIZ, Formel von 33, 43, 95, 129 ff. -, Kriterium von 154, 155, 162, 170 Leistung eines Wechselstroms 147 Lemniskate 131 Linienintegral

195 ff.

Logarithmus, Integral- 232 Kettenlinie 133 Koeffizientenvergleich 15 f f . , 21,

66, 68, 71 Körper ~ , Oberfläche eines 87 f f . , 137 f f . , 215, 217 - ~ , Schwerpunkt eines 45, 91, 141, 142, 146 , Trägheitsmoment eines

47 f f . , 142, 201, 213 - ~ , Volumen eines 35 f f . , 43 f f . , 87, 93 f f . , 136, 203 ff. Konischer Körper 38 - ~ Schraubenlinie 135 Konvergenz, absolute 153 -, gleichmäßige 154, 158 f f . , 162, 167 Krängungsarbeit 145 Kraft auf Punktladung 53 Kraftfeld, Arbeit im 199 Kreis 89, 90 -

evolvente 131 kegel 49, 213, 217 -, durchbohrter 45 - stumpf 50 ring 201

- segment 89, 97 - zylinder 40, 47

- - huf 93, 142, 207 Kreuzgelenkgetriebe 190 Kugel 45, 51, 209 - koordinaten 213 Kurvenintegral 195 ff.

MAC LAURINsche Reihe 166, 170 Magnetische Energie 53 - Feldstärke 54, 100 Fluß 54, 211 Majorante 153, 157, 167 Mantelfläche (siehe Oberfläche) Maßzahl einer Fläche 22 ff. , 75 f f . , 121 ff. , 159 f f . , 221 ff. - - -, geometrische 23, 74, 75, 123, 124 Mittel, Approximation im 83 -, arithmetisches einer Funktion 31 -, quadratisches einer Funktion 149 Mittelwertsatz der Integralrechnung 32 Momentensatz 42, 45, 143, 208, 209

NEILsche Parabel 35, 84 Nichtrationale algebraische Funktionen 55 f f . , 152, 155, 159 f f . , 221, 222 Normalbeschleunigung 52 Normalenvektor einer Fläche 215 ff. Normalintegral, elliptisches 157, 168

3.

Normalverteilung 169, 171, 207 Numerische Integration 219, 221 ff. Oberfläche eines astroidenförmigen Rotationskörpers 138 - - Körpers 87 f f . , 137 f f . , 215, 217 - - Rohrkrümmers 215 - - Rotationshyperboloids 88 - - Rotationskörpers 87 ff. , 137 ff. - - Rotationsparaboloids 89 - - schiefen Kreiskegels 217 - - sinusförmigen Rotationskörpers 137 Oberflächenintegral 215 ff. Ortsfunktion 195 ff.

Parabel 2. Ordnung 22, 31, 35, 37, 74, 75, 86 - 3. Ordnung 23 - , NEILsche 35, 84 - segment 41, 74 Parabolischer Rohrkrümmer 94, 215 - Zylinderhuf 93 Paraboloid 35, 37, 87, 89, 203, 212

ParameterdarStellung, Funktion in 33, 86, 129 f f . , 134, 138, 166, 216, 217, 220 Partialbruchzerlegung 13, 15 ff. , 32, 122 Partielle Integration 62, 63, 72, 73, 101 f f . , 106 f f . , 109, 117 f f . , 139 ff. Periodische Funktion 104 f f . , 171 ff. POISSONsches Gesetz 99 Polarkoordinaten, Funktion in 34, 85, 132, 206 ff. Potentialfunktion 197 Potenzreihe 152 ff.

Sachverzeichnis

269

Produktintegration (siehe partielle Integration) Quadratisches Mittel einer Funktion 149

Rationale algebraische Funktion 7 ff. Rauminhalt (siehe Volumen) Raumintegral 203 ff. Regelfläche 38 Regler, Fliehkraft- 51 Reihe, alternierende 154, 155, 162, 170 -, binomische 152 f f . , 164, 167 -, Exponential- 157 -, FOURIERsche 171 ff. , 233 - , geometrische 125, 165 -, MAC LAURINsche 166, 170 - , Potenz- 152 ff. -, trigonometrische 171 ff. , 233 Rekursionsformel 22, 64, 92, 107, 115 Rohrkrümmer 94, 215 ROMBERG-Verfahren 228 Rotation einer Stange 51 Vektorfeldes 198 Rotationsellipsoid 36, 43 - hyperboloid 36, 37, 87 - körper ~ , Oberfläche eines 87 f f . , 137 ff. - - ~ , Schwerpunkt eines 45, 91, 141 - - ~ , Trägheitsmoment eines 47 f f . , 142, 213 - - ~ , Volumen eines 35 f f . , 43 f f . , 87, 136 - paraboloid 35, 37, 87, 89, 203, 212 Schraubenfläche 39, 204 Schraubenlinie, konische 135

270

Anhang

Schwerpunkt eines durchbohrten Kreiskegels 45 - - ebenen Flächenstücks 41 f f . , 89, 139 - - Ellipsensektors 42 - - ~ Halbkugel 45 - - Kreisbogens 90 - - Kreissegmentes 89 - - Kreiszylinderhufs 142, 207 - - Kurvenbogens 90, 140 - - Parabelsegmentes 41 - - Rotationskörpers 45, 91,

- - Kreisringes 201 - - Kreiszylinders 47 Kugel 51 - - Dreiecks 46 - zweier Kreiskegelstümpfe 50 Transzendente Funktion 100 f f . , 156, 157, 226, 228 Trapezregel 222 Trigonometrische Reihen 171 ff. , 233

141 Schwingung, gedämpfte 124, 126 SIMPSONsche Regel 219, 221 ff. Skalarfeld 198, 200, 203 Spannung, Effektivwert einer 149 -, induzierte 53

Uneigentliches Integral 28 f f . , 37, 79 f f . , 102, 121 f f . , 124 f f . , 135, 136 Unendliche Reihen (siehe Reihen)

Spektrum, Amplituden- 174 ff. Spirale, Archimedische 34 -, hyperbolische 85 Stammfunktion 7 f f . , 55 f f . , 102 Standardabweichung 169 STEINERscher Satz 47, 50 Stromstärke, Effektivwert einer 150 Substitutionsmethode 8 f f . , 56 f f . , 100 ff.

Tank ~ , Teilfüllung eines 97 Teilbruchzerlegung (siehe P a r tialbruchzerlegung) Tellerfelder 227 Torus, Volumen eines elliptischen 44 Trägheitsmoment eines ebenen Flächenstücks 46 f f . , 92, 93, 210 - - ~ Ellipsenfläche 93 - - Hohlkreiszylinders 49 - - Körpers 47 f f . , 142, 201, 213 - - Kreiskegels 49, 213

Vektorfeld 195 ff. Verschiebungsfluß 220 Verteilung, Normal- 169, 171, 207 Vollständige Induktion 115 Volumen eines elliptischen Fasses 36 - - - Torus 44 - - Körpers 35 f f . , 43 ff. , 87, 93 f f . , 136, 203 ff. - - Kreiskegelstumpfs 39 - - Paraboloidteiles 203 - - Rohrkrümmers 94 - - Rotationshyperboloids 36, 37 - - Rotationskörpers 35 f f . , 43 ff. , 87, 136 - - Rotationsparaboloids 35, 37, 87, 203 - - Schraubenkörpers, zylindrischen 39, 204 - - Wulstes 87 - zweier sich durchdringender Kreiszylinder 40

3. Sachverzeichnis

Wechselstrom ~ , Arbeit eines 148, 151 - ~ , Effektivwert der Spannung eines 149 , - - Stärke eines 150 , Einweggleichrichtung eines 194 , Wirkleistung eines 147 — , Zweiweggleichrichtung eines 192 Wulst 87

Zeit-Geschwindigkeit-Funktion 51 Zustandsänderung, adiabatische 99 -, isotherme 52 Zweiweggleichrichtung 192 Zykloide 129, 133, 144 Zylinderhuf 93, 143, 207 Zylinderkoordinaten 208

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