Atomphysik: Band 1 Allgemeine Grundlagen, Teil 1 [3., umgearb. Aufl. Reprint 2020] 9783112321737, 9783112310557

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SAMMLUNG

GÖSCHEN BAND

1009

ATOMPHYSIK von DR. K A R L

BECHERT

ord. Professor an der Universität Mainz und DR. C H R I S T I A N GERTHSEN ord. Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe

BAND

I

ALLGEMEINE GRUNDLAGEN, 1. TEIL von Dr. Cfa. Gerthsen

Dritte, umgearbeitete Auflage Mit 55 Abbildungen

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J. Göscben'sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp. BERLIN

1955

Alle R e c h t e , einschl. der R e c h t e der H e r s t e l l u n g von Photokopien u n d M i k r o f i l m e n , von d e r V e r l a e s h a n d J u n g v o r b e h a l t e n

Archiv-Nr 11 10 09 Druck. Paul Funk, Berlin W35 P r i n t e d in ( l e r m a n v

Inhalt des ersten Bandes

Seite

Werte der Fundamentalkonstanten § 1. Atom- und Molekulargewicht. Wirkungsquerschnitt

4 Kinetische Gastheorie.

§ 2. Die elektrische Elementarladung

6 22

§ 3. Das freie Elektron (Kathodenstrahlen, /3-Strahlen), Kanalstrahlen 25 § 4. Zählmethoden und statistischer Charakter der Einzelprozesse 46 § 5. Durchgang von Kathodenstrahlen durch Materie . . . .

52

§ 6. Impuls- und Energieerhaltung beim elastischen Stoß und bei der Atomzertrümmerung

57

§ 7. Streuung von a-Strahlen

71

§ 8. Periodisches System

79

§ 9. Radioaktivität

87

§ 10. Licht als Wellenerscheinung Register zu Band I und II

94 121

Werte der Fundamentalkonstanten (Nach J. W. M. Du Mond und E. R. Cohen, Rev. Modern Physics 25, 691, 1953) L = (6,02472 ± 0,00036) • 1023 Mol-1 R = (8,31662 ± 0,00038) • 107 erg/Mol-grad A ; = £ / £ = (1,38042 ± 0,00010) • 10-16 erg/grad = (8,6164 ± 0,0004) -10~ 6 eV/grad F = 9652,01 ± 0,25 elmag CGS = (2,89360 ± 0,00007) • 10" eistat CGS e = (4,80288 ± 0,00021) • 10"10 eistat. CGS = (1,60207 ± 0,00007) • 10- 20 elmag CGS c = (2,997929 ± 0,000008) • lO10 cm/sec Ruhmassen: = (9,1085 ± 0,0006) • 10~28 g 24 m o t o n = (1,67243 ± 0,00010). 10~ g Wi0 N e u t r o n = (1,67474 ± 0,00010) • lO"2* W^OElektron 0 P r

g

Atomgewichte: ÄK = 1,008142 ± 0,000003); P r o t o n = 1,007593 ± 0,000003 ¿ N e u t r o n = 1,008982 ± 0,000003 4 ¿ E l e k t r o n = (5,48760 ± 0,00013) . 10¿ D e u t e r i u m = 2,014735 ± 0,000006 17 ( e / t » o ) E l e k t r o n = (5,27299 ± 0,00016) • 10 eistat CGS 7 = (1,75888 ± 0,00005) • 10 elmag CGS W P r o t o n M E l e k t r o n = 1836,13 ± 0,04 0

0

W e r t e der Fundamentalkonstanten

Ruhenergien E0 =

m0c2: c2 = (5,10984 ± 0,00016). 105 eV Proton = (9,38232 ± 0,00024) • 10« eV j^o Neutron = (9,39526 ± 0,00024) • 108 eV Elektron =

»»„Elektron

= (2,81784 ± 0,00010) • 10"13 cm El h = (6,6252 ± 0,0005) • 10~27 erg sec mO

h = ^

= (1,05444 ; ± 0,00009) • 10"27 erg sec

Comptonwellenlängen (kc = — c V 2„

tt ¿C'Elekton

= — '— m c 0El

= (24,2625 ± 0,0006) • 10" 11 cm y ; ' -L'

Ac Proton = (1,32139 i Ac

Neutron

0,00004) • 10-13 cm

= (1,31958 ± 0,00004) • 10-13 cm

Aß (de Brogliesche Wellenlänge) = , e

~

E

-

,

'"Teilchen

T«ichen '

für

v

=

cTeilchen 4

\ E (e +

2)

'

beliebige Geschwindigkeiten.

a = t - = (7,29726± 0,00008) • lO- 3 ; 1/a -137,0377± 0,0016 haK = — - j = (5,29171 ± 0,00006) • lO- 9 cm mO Ele Rn — 109677,576 ± 0,012 cm- 1 = 109737,309 ± 0,012 cm" 1 Ja (relativistisch) = Ra ± 0,0005 eV

( l + ^ + • •] • 10"8 = 13,5978

eh f i B (Bohrsches Magneton) = — = (9,2732 + 0,0006) Zm°ElC • 10- 21 erg/Gauss eh f i K (Kernmagneton) = — — - — = (5,05038 ± 0,00036) 0Prot'C • 10-24 erg/Gauss ^Elektron = (9,2838 ± 0,0006) • 10- 21 erg/Gauss

6

Atom- und Molekulargewicht

^Proton = (2,79277 ± 0,00006) u K = (1,41045 ± 0,00009) • 10- 2 3 erg/Gauss Konstante des Wienschen Verschiebungsgesetzes: Amax T = 0,28979 ± 0,00005 cm gräd. Einige Umrechnur.gsbeziehungen: 1 cal = (4,1852 ± 0,0006) • 107 erg (nach Birge, Rev. Mod. Physics 1, Nr. 1, 1929); daraus R = 1,9871 ± 0,0004 cal/grad • Mol 1 eV = (1,60207- ± 0,00007) • 10- 1 2 erg Bei Umrechnung von Wellenzahlen v' = IjX in Energien E gilt: E = hv = hcv', und 1 c m - 1 entspricht hc = (1,98620 ± 0,00016) • 10- 1 6 erg • cm = (1,23978 ± 0,00005) • 10" 4 eV • cm 1 g Massendefekt pro Mol entspricht pro Atom c2/L erg = (9,31162 ± 0,00024) • 108 eV 1 at = 1,0132 • 106 dyn/cm 2 (nach Birge, Rev. Mod. Physics 1, Nr. 1, 1929)

§ 1. Atom- und Molekulargewicht Kinetische Gastheorie. Wirkungsquerschnitt Atom- und Molekulargewicht. Die chemische Zerlegung der in der Natur vorkommenden Stoffe hat zur Entdeckung einer beschränkten Zahl von Grundstoffen, E l e m e n t e n , geführt. Die Elemente sind mit chemischen Methoden nicht weiter zerlegbar. Die Erfahrungen der Chemiker haben gelehrt, daß sich zwei oder mehrere Elemente in einer chemischen Verbindung stets in einem bestimmten unveränderlichen Verhältnis ihrer in Gramm gemessenen Mengen vereinigen (Gesetz der konstanten Proportionen). Wenn zwei Elemente verschiedene Verbindungen miteinander bilden, so verhalten sich die in g gemessenen Mengen des einen der beiden Elemente, die sich mit der jeweils

Atom- und Molekulargewicht

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gleichen Menge des anderen Elementes verbinden, wie kleine ganze Zahlen. In den drei Mangan-Sauerstoffverbindungen Manganoxydul, Braunstein und dem Anhydrid der Übermangansaure verbinden sich mit 1 g Mangan die Sauerstoffmengen: 0,291 g, 0,582 g, 1,018 g. Sie verhalten sich wie 2 : 4 : 7 (Gesetz der multiplen Proportionen). Die Gewichtsmengen, in welchen sich die Elemente untereinander vereinigen, sind also stets die gleichen oder stehen in dem einfachen ganzzahligen Verhältnis, in welchem sie sich in Verbindungen gegenseitig vertreten. Insbesondere nennt man Ä q u i v a l e n t g e w i c h t (Grammäquivalent) die Zahl von Grammen eines Stoffes, die sich mit 1 g Wasserstoff verbinden oder 1 g Wasserstoff vertreten können. Die Äquivalentgewichte unterscheiden sich je nach der Wertigkeit des Elementes in der Verbindung um einfache rationale Zahlenfaktoren. Die Gewichte, in denen ein Element in alle seine Verbindungen eingeht, sind nach dem Gesetz der multiplen Proportionen Vielfache einer kleinsten Gewichtsmenge, die f ü r das Element charakteristisch ist. Die Verhältnisse dieser kleinsten "Gewichte nennen wir Verhältnisse der A t o m g e w i c h t e der Elemente. Man kann das Atomgewicht e i n e s Elementes festsetzen; der Chemiker definiert: Das Atomgewicht des Sauerstoffs ist 16,000000. Die Atomgewichte aller anderen Elemente sind dann chemisch bestimmbar (Atomgewichte aller Elemente s. S. 80). Das Äquivalentgewicht ist nach dieser Festsetzung gleich dem Atomgewicht, geteilt durch die Wertigkeit gegen Wasserstoff. (Über die physikalische Atomgewichtsskala s. S. 40.) Das chemische Symbol eines Elements (z. B. Stickstoff N) bedeutet gleichzeitig eine bestimmte Gewichtsmenge, 1 G r a m m a t o m , mit der es mit 16 g Sauerstoff reagieren oder Sauerstoff ersetzen kann. Zum Beispiel werden die beiden Verbindungen Stickoxyd und Stickstoffdioxyd durch NO und NO a dargestellt. Der Index 2 zeigt an, daß auf die gleiche

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Atom- und Molekulargewicht

Stickstoffmenge bezogen, im N0 2 doppelt soviel Sauerstoff enthalten ist wie im NO. Die Summe der in einer Verbindung enthaltenen Atomgewichte, jedes mit dem beigefügten Index multipliziert, heißt Molekulargewicht der Verbindung. Ein Grammmolekül (oder Mol) ist diejenige Menge eines Stoffes, die soviel Gramm enthält, wie das Molekulargewicht des Stoffes angibt. Die obengenannten Gesetze finden durch die Atomh y p o t h e s e ihre einfache Deutung (Dalton 1803). Die Unterteilung jedes Elementes führt zu untereinander gleichen kleinsten Teilchen, den A t o m e n, die chemisch nicht weiter zerlegbar sind. Die Verhältnisse der Atomgewichte geben direkt die Verhältnisse der Gewichte der Atome an. Daher enthalten Mengen, deren Gewichte im Verhältnis der Atomgewichte stehen, die gleiche Zahl von Atomen. Die im G r a m m a t o m enthaltene Zahl von Atomen ist die Los c h m i d t s c h e Zahl L = (6,02472 ± 0,00036) • 1023; siehe S. 25. Die Unterteilung einer Verbindung führt zu-kleinsten Teilen, die wir als Moleküle bezeichnen. Ein Molekül Stickstoffdioxyd besteht nach der Atomhypothese aus einem Atom N und zwei Atomen 0. Die Zahl der in der Molekulargewichtsmenge enthaltenen Moleküle ist offenbar ebenfalls gleich L. Die Atomhypothese ist zur Schaffung einer Übersicht über die chemischen Erscheinungen von größter Fruchtbarkeit; aus der chemischen Erfahrung allein kann aber die Existenz der Atome nicht bewiesen werden. Der Nachweis der atomistischen Struktur des Stoffes gelingt mit physikalischen Methoden. Einiges aus der kinetischen Gastheorie. Neben den chemischen Eigenschaften der Materie muß die Atomhypothese auch ihr physikalisches Verhalten deuten können. Ihren

Atom- und Molekulargewicht

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ersten Erfolg erzielte sie bei der Anwendung auf die i d e a l e n Gase. Diese gehorchen der Zustandsgieichung (1) . f • v = CT (Boyle-Mariotte-Gay-Lussac), (j> Druck, v spezifisches Volumen =—({? = Dichte), T absolute Temperatur). Nach (1) ist p • v konstant bei konstanter Temperatur. Diese Beziehung läßt sich aus der kinetischen Gastheorie ableiten, wobei sich eine Deutung des Begriffs der Temperatur ergibt. Nach der Atomhypothese muß alle Materie, also auch ein Gas, Atome und Moleküle enthalten. Da ein verdünntes Gas stark zusammendrückbar ist, sind in ihm die Teilchen weit voneinander entfernt anzunehmen, und weil es jeden ihm dargebotenen leeren Kaum rasch erfüllt, müssen die Teilchen große Geschwindigkeiten haben. E i n Gas b e s t e h t also aus r a s c h b e w e g t e n T e i l c h e n ; das erklärt unmittelbar den Druck auf die Wand. Der Druck eines Gases, multipliziert mit der Fläche der Wand, ist nämlich die auf die Wand ausgeübte Kraft. Nach Newton wird die Kraft durch die Änderung des Impulses in der Zeiteinheit gemessen. Beim Aufprall auf die Wand übertragen die Teilchen, die von ihr mit veränderter Richtung und Geschwindigkeit zurückgeworfen werden, einen Impuls; die gesamte Impulsänderung der Wand pro Zeiteinheit und Flächeneinheit mißt also den Druck des Gases. Bei dem Zusammenstoß der Gasteilchen untereinander und mit der Wand ändern sie im allgemeinen ihre Geschwindigkeit öj nach Größe und Richtung. Da die Stoßzahl aber sehr groß ist (vgl. S. 14), sind im Durchschnitt im cm3 eine bestimmte, zeitlich unveränderliche Zahl n( von Teilchen mit der Geschwindigkeit ö, vorhanden. Wir betrachten ein Wandstück Aar und legen senkrecht dazu und auf Aa zu gerichtet die x-Achse eines Koordinatensystems. Die Geschwindigkeits-

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Atom- und Molekulargewicht

k o m p o n e n t e eines 0¿-Teilchens s e n k r e c h t zu Aa ist dann V i x und daher die während der S t o ß d a u e r erfolgende Änderung der I m p u l s k o m p o n e n t e des Teilchens s e n k r e c h t zur W a n d 2 m - X ) i x , wenn wir den S t o ß als elastisch a n n e h m e n . D e m B e trag nach ebenso groß ist der beim S t o ß auf die W a n d übert r a g e n e I m p u l s . Alle üj-Teilchen, die in der Zeit At zum S t o ß m i t A a k o m m e n , sind offenbar in dem schiefen Zylinder e n t h a l t e n , derZfff als Grundfläche und die Seitenlänge | ü , j At in R i c h t u n g von t); h a t , denn diesen W e g k ö n n e n die Teilchen g e r a d e noch in der Zeit At zurücklegen; dabei m u ß nach unserer F e s t l e g u n g der z - R i e h t u n g t) i x > 0 sein. D a s Zylindervolumen istzlcr-üia; • At und daher ntAatiiXAt die Zahl der im Z y l i n d e r enthaltenen Teilchen, also die Zahl der i n Z l i auf Aa stoßenden t>;-Teilchen. Die I m p u l s ä n d e r u n g von Aa in At b e k o m m t man durch Multiplikation m i t der I m p u l s ä n d e r u n g beim einzelnen S t o ß : 2 w - ü t I ; durch S u m m i e r e n über alle Geschwindigkeiten üj ( m i t ü i x > 0 ) ergibt sich die g e s a m t e Impulsänderung vonZlcr u n d / U und durch Division mit AaAt der D r u c k p auf die W a n d : (2)

n i . 2mt>k; ( 0 i a : > 0 ) . i D a wegen der großen Teilchenzahl alle Teilchenrichtungen gleich häufig sein werden, so wird es ebensoviele m i t \3ix < 0

wie m i t \}ix >

p = ¿

0 geben. S u m m i e r e n wir über alle V i x ^

0, so

gilt daher s t a t t (2) (3)

p =

i

mt)?x.

Definieren wir den M i t t e l w e r t A Teilchen in der üblichen W e i s e : (4)

A •n = 2

so können wir schreiben (5)

einer G r ö ß e A über n

rii A ¿, mit n = £ i p =

nmti'i;

nt,

11

Atom- und Molekulargewicht 3

dabei ist n = JE die Zahl aller Teilchen im cm . Wegen der i gleichen Häufigkeit aller Flugrichtungen ist t>! = üj; = *>i, und wegen t>2 = ö^ + üf + t)| folgt (6)

p = nm • -^t>2;

ww hat die Bedeutung der Masse der n Teilchen im cm3, d. h. der Masse in der Volumeinheit, also der Dichte Q des Gases. Es gilt (7)

? = §»*.

Mit dieser Gleichung der kinetischen Gastheorie vergleiche!} wir Gl. (1). Die Konstante G hat für jedes Gas einen anderen Wert. Eine universelle Form der Gasgleichung erhält man, wenn man das A v o g a d r o s c h e G e s e t z hinzunimmt. Nach ihm verhalten sich die Dichten zweier idealen Gase bei gleichem p, T wio die Molekulargewichte M: (8) 6 i : q 2 = M^.Mz, d. h. der Ausdruck M/g ist für alle (hinreichend verdünnten) Gase bei gleichem p, T gleich. Er bedeutet offenbar das Volumen eines Mols, kurz M o l v o l u m e n (F) genannt. Daher ist (vgl. (1)>: (9)

pv = p ^ = CT.

Nach A v o g r a d o ist pV/T für alle (hinreichend verdünnten) Gase gleich und daher CM eine universelle Konstante, die G a s k o n s t a n t e R; ihr Wert: (8,31662 ± 0,00038) • 107 erg/ Mol • grad = (1,9871 ± 0,0004) cal/Mol • grad. Es folgt (10)

pV = RT.

Durch Multiplikation mit M/Q = IIv bringen wir (7) auf dieselbe Form: (11)

pV =

M-~ü2-,

12

Atom- und Molekulargewicht

also durch Vergleich mit (10) (12)

Für Wasserstoffgas (H 2 , Molekulargewicht 2,016) bekommt man so bei Zimmertemperatur (T «s 300° abs.)

M -

8,317 • 10'- 3 • 102 2,016

=

x 93

_

'

1Q5

cm sec

=

t 9 3

'

km . sec

also, wie vermutet, recht hohe Geschwindigkeiten. Schwere Moleküle bewegen sich langsamer; für Joddampf (J 2 , Molekulargewicht 253,84) gilt bei derselben Temperatur [-' ö 2 •= 172 m/sec. Nach (12) ist ö 2 der Temperatur T proportional. Wir formen (12) um; wegen M = Lrn ist (13)

^

=

\ u

R T

=

\ T

T

=l

k T

'

wenn wir die Konstante (14)

R/L = k (Boltzmannsche Konstante)

einführen; ihr Wert: (1,38042 ± 0,00010) • 10- 16 erg/grad. Bilden wir die mittlere kinetische Energie eines Teilchens nach der Vorschrift (4), so ist s — 1 „ m „ Ekin =n

und das ist gerade die linke Seite von (13); die m i t t l e r e k i n e t i s c h e E n e r g i e der T e i l c h e n i s t also f ü r alle Gase bei g l e i c h e r T e m p e r a t u r g l e i c h (|A;T) u n d s t e i g t p r o p o r t i o n a l T an. Bei Zimmertemperatur ist sie RS 6,21 • 10~14 erg, -das sind nach einer Umrechnung, die wir in § 3 kennenlernen werden, ^ 1/25,8 eV. Die Z a h l Z der Z u s a m m e n s t ö ß e , die ein Teilchen in der sec erleidet, können wir so abschätzen: Wir betrachten die Teilchen als Kugeln vom Radius a; kommen zwei Teilchen

Atom- und Molekulargewicht

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1 und 2 zum Stoß, so ist die geringste Entfernung der beiden Teilchenmittelpunkte ax + a2 = 2 a. Vom Teilchen 1 aus gesehen liegen die Mittelpunkte aller Teilchen 2, die mit 1 zusammenstoßen, auf einer Kugel vom Eadius 2 a („Stoßkugel") um den Mittelpunkt von 1. Die Zahl Z ist offenbar gegeben durch die Zahl von „Treffern" der Molekülmittelpunkte 2 in der sec auf die „Scheibe", welche die Stoßkugel den Mittelpunkten 2 darbietet. Für das Zustandekommen von Treffern kommt es auf die Relativgeschwindigkeit der stoßenden Moleküle gegeneinander an. Das Molekül 1 laufe mit der mittleren Geschwindigkeit v durch das Gebiet der Moleküle 2. Die mittlere Relativgeschwindigkeit von 1 gegen 2 ist dann auch von der Größenordnung von v, also gleich ocv, wenn a ein Zahlenfaktor von der Größenordnung Eins ist. In der sec treffen soviele Moleküle 2 auf die Scheibe vom Querschnitt JI • (2 a)2, wie Moleküle 2 in dem Zylinder von der Grundfläche7r • (2a)2 und einer Seitenlänge enthalten sind, die gleich dem von 1 relativ zu dem Teilchen 2 in der sec zurückgelegten Weg ist, also gleich ocv ist. Sind n Teilchen 2 in der Volumeinheit enthalten, so ist nn • (2a)2 aw die Zahl der Teilchen 2 im Zylinder, also zugleich die Stoßzahl Z. Durch eine genauere Rechnung unter Beachtung der Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen (vgl. S. 18) bekommt man den Zahlenfaktor oc = ¡/ 2, und daher (15)

Z

= j t j / 2 -( 2 a )

2

-nv:

Aus der Geschwindigkeitsverteilung kann auch v bestimmt werden — es ist offenbar v = — • 2 n

nach (4)'—; man findet:

i

und nach (12) (17)

v ^ 0,921 • J/V 2 .

| t>j | , also v 4= j/« 2 ,

14

Atom- und Molekulargewicht

n läßt sich leicht durch p, T ausdrücken; wegen (6) und (13) ist (18)

p = nie T.

Einsetzen von (16) und (18) in (15) gibt (19)

z =

4.(2-)-„|/¿'T;

für H 2 ist unter Normalbedingungen (p = 1 Atmosphäre, T = 273°) Z = 6,2 • 10" pro sec; dabei haben wir den Wert 2a = 1,75 • 10~5 cm benützt. Für schwerere Gase ist Z wegen des [/ M im Nenner kleiner. Der Weg, den ein Teilchen zwischen zwei Zusammenstößen zurücklegt, heißt f r e i e W e g l ä n g e X; sein Mittelwert, die mittlere freie Weglänge X, ergibt sich leicht aus Z. Denn es ist v, der wirkliche Weg eines Teilchens in der sec, gleich der Summe aller freien Weglängen, die das Teilchen in der sec zurücklegt, also X • Zahl der wirklichen Zusammenstöße in der sec. Also ist v = X • Z, weil Z die mittlere Zahl der Zusammenstöße in der sec ist. Es folgt (20)

/.

1

n n \'2 (2 a)2

..

1 1

, ; 7i\/2

2

V(2a)

X hängt nach (20) bei festem p, T nicht sehr von der Teilchenart ab, denn von den Radien a ist bekannt, daß sie immer in der Größenordnung 1 / 2 bis einige Angströmeinheiten (1 A = 10~ 8 cm) liegen. Für 2a «a 1,75 A (entspricht H 2 ) ist bei Normalbedingungen X ** 2,7 • 1 0 - 5 cm, also etwas unterhalb der Größenordnung der Wellenlängen sichtbaren Lichtes. Bei 10~4 mm Hg Druck ~ 1/(76 • 105) at wird aber X nach (20) um den Faktor 7C 10® größer: ~X m 2,1 m, d. h. wesentlich größer als die normalen Apparatdimensionen. Setzen wir 2 a ea 2,58 A (entspricht N2 und Luft, vgl. S.22, wenn wir dort für Ag und N2 gleiche Radien a annehmen),

Atom- und Molekulargewicht

15 5

so erhalten wir für Normalbedingungen X ex 1,3 • 10~ cm, für 10" 4 mm Hg-I)ruck X 1,0 m. Bei jedem Zusammenstoß im Gasraum wird infolge des Energie- und Impulsaustausches die Geschwindigkeit der einzelnen Teilchen geändert; wegen der großen Zahl von Teilchen und von Zusammenstößen muß sich eine stationäre Geschwindigkeitsverteilung derart herausbilden, daß im Mittel immer die gleiche Zahl von Teilchen dn(v) eine Geschwindigkeit zwischen v und v + dv besitzt. Um zu erkennen, wie diese Geschwindigkeitsverteilung von der Temperatur abhängt, betrachten wir zunächst die Dichteverteilung in einer vertikalen, hinreichend ausgedehnten Gassäule im Schwerefelde bei der Temperatur T. Wir setzen überall gleiche Temperatur T und konstante Schwerebeschleunigung g voraus. In einer Schicht von der Dicke dz nimmt der Druck p von unten nach oben um das Gewicht dieser Schicht ab, das auf dem cm 2 lastet; die Masse der Schicht ist q • dz • 1, (g = Dichte der Luft), also (21)

— dp

=

ggdz.

Die Gasgleichung gibt p = gÄT/A/, woraus folgt dp und do

(22)

1/1

— ~ =

=

dgRTjM

-mg(z~za)

also

j-4j,dz;

q

=

q0

• e

hT

q 0 entspricht der Höhe z0. Einsetzen von g = nm, wo n = Teilchenzahl im cm 3 , in (22) zeigt, daß n mit der Höhe veränderlich ist: n = n(z), und da mgz die potentielle Energie 2?,,,, des Teilchens im Schwerefeld ist: (23)

n { z ) = n { z

0

) e

Gl. (23) bezieht sieh offenbar auf den Fall thermischen Gleichgewichts; es treten keinerlei Veränderungen im Gas

16

Atom- und Molekulargewicht

ein. (23) ist ein Spezialfall eines allgemeinen Gesetzes 1 ): Der mechanische Zustand des einzelnen Teilchens sei beschrieben durch Angabe des Impulses ( p x , py, pz; p = mö) und der Koordinaten ( x y z ) ; E sei die Gesamtenergie des Teilchens. Dann ist im t h e r m i s c h e n G l e i c h g e w i c h t die Zahl N{px, py, Vz\ y, z) d e r Teilchen, die den Impuls (px, py, pz) und die Lage (x, y, z) haben: (24)

N(px,p„,pz\

xry,z)

K-E( 0) kT = N{PI,PI,PIX», y*,z«).e~ ; die Größen mit dem Index Null beziehen sich auf einen bestimmten, aber beliebig wählbaren Zustand; (24) kann auch so geschrieben werden: Ii (25) N(px,...,e) = C.e~kT ; C ist eine Konstante, die aus der Gesamtzahl 9? aller Teilchen bestimmt werden kann, indem man (25) über alle Werte von Vxi Pyi • • -,z summiert. Bei endlich er. Teilchenzahl 9t und kontinuierlichem Spielr a u m f ü r p oder x, y, z wird daher C beliebig klein. Das ist auch zu erwarten: Wenn neben px auch alle px + dpx f ü r das Teilchen möglich sind, dann wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Teilchen gerade px als Impulskomponente hat, verschwindend klein; also auch die Zahl N der Teilchen, die gerade px haben. Dann spricht man besser von der Zahl dN(px, . . ., z) der Teilchen, die einen Impuls zwischen px u n d px + dpx, und Koordinaten zwischen x und x + dx haben. dN wird der Größe des Spielraums dpx • dpy • dpz • dx - dy • dz, den wir mit drp• Axq abkürzen, proportional sein, d. h. (26)

dN(px,..z) = D •e

^-dxv-dxq\

') Der Beweis von (24) und (26) wird in den Lehrbüchern der Statistik und kinetischen Gastheorie gegeben.

Atom- und Molekulargewicht

17

D ist endlich und durch die Gleichung bestimmt: B

(27)

JdN

= 31 = D Je~*T

drpdrq;

das Integral rechts geht über den ganzen Bereich der möglichen Impuls- und Koordinatenwerte. Anwendung von (26) auf das i d e a l e Gas. Bevor wir die Rechnung wirklich anstellen, machen wir uns klar, daß man wesentliche Züge der Geschwindigkeitsverteilung schon ohne Rechnung finden kann. Die Zahl der Moleküle mit sehr großen Geschwindigkeiten wird klein sein, um so kleiner, je höher die Geschwindigkeit ist, zu der wir die zugehörige Molekülzahl angeben wollen. Dasselbe gilt für sehr kleine Geschwindigkeiten, wenn wir nach der Zahl der Teilchen fragen, deren Geschwindigkeit zwischen v und v + dv liegt. Denn deren Anzahl ist proportional drp, daher wegen p = mv proportional msv2dv, nimmt also mit abnehmendem« zu Null ab. Da dN eine Anzahl ist, also immer positiv, muß die Geschwindigkeitsverteilung (gemeint als Zahl der Teilchen mit einer Geschwindigkeit zwischen v und v + dv) zwischen v = 0 und v = cc ein Maximum haben; sie ist also eine Kurve, die mit wachsendem v von Null ansteigt, über ein Maximum geht und für großes v stark gegen Null abnimmt (vgl. (33) und Abb. 1, S. 19). Für die Rechnung nehmen wir der Einfachheit halber an, die kinetische Energie sei nur solche der Translationsbewegung; von Rotation der Moleküle sehen wir ab. Dann ist (28) E = -Ekin + Spot(3)I ®kin = •Yv* =

- = £ ;

der Variablenbereich in (26) und (27) geht über das Gasvolumen V in drt, in px, ps, p¡¡ von — oo bis + oo. Durch Integration von (26) über drq erhält man die Zahl der Teilchen m i t b e s t i m m t e m I m p u l s 1 ) : *) Gemeint ist: mit einem Impuls im Spielraum dr^. 2

B e c h e r t u. G e r t h s e n , Atomphysik I

18

Atom- und Molekulargewicht •^imt (29)

dX(px,py,pz)

= I)-e

kT

dTpJe

d,Tq K-e

kT

dr,

letzteres nach (27). Mit Hilfe von (28) u n d + 00 /e-i'rff =

(30)

]/n

folgt f ü r die Zahl der Teilchen m i t einem v o r g e g e b e n e n I m p u l s m i t den K o m p o n e n t e n px, py, pz (im S p i e l r a u m dxp, also g e n a u e r : m i t einer x-Komponente zwischen px u n d px + dpx, usw.): (31)

dX(px,p„pt)=We

*mkT

drp-

1_ _ J-inmkT)'U

I m zweiten Teil v o n (31) ist auf die G e s c h w i n d i g k e i t u m g e r e c h n e t ; d o r t s t e h t die Zahl der Teilchen m i t b e s t i m m t e r G e s c h w i n d i g k e i t m i t den K o m p o n e n t e n vx, vy, vz ( e n t s p r i c h t d e m f r ü h e r e n nt • F ) , die n a t ü r l i c h gleich dN(px, py, pz) ist. X u r der S p i e l r a u m dvxdvydvz u n t e r s c h e i d e t sich v o n drp (um den F a k t o r m 3 ). (31) h e i ß t M a x w e l l - B o l t z m a n n s c h e s G e s c - h w i n digk'eits Verteilungsgesetz. Die f r ü h e r a n g e g e b e n e n .Mittelwerte v2, v lassen sich aus (31) (oder der folgenden Gleichung (33)) g e m ä ß der V o r s c h r i f t (4) leicht n a c h r e c h n e n . Aus (31) folgt a u c h die Zahl der Teilchen m i t b e s t i m m t e m G e s e l l w i n d i g k e i t s b e t r a g v; d a z u m u ß m a n ü b e r alle Ges c h w i n d i g k e i t s r i c h t u n g e n bei f e s t e m G e s c h w i n d i g k e i t s b e t r a g integrieren. Mit (32)

t)x

A sin # cos