Arithmetik für Gymnasien: Heft 1 Für mittlere Klassen [Reprint 2020 ed.] 9783112365625, 9783112365618

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Arithmetik für Gymnasien Bearbeitet von

Dr. Hermann Schubert Professor

und

Adolf Schumpelick Gberlehrer

beide an der Gelehrtenschule des Zohanneums in Hamburg

Zugleich-fünste Auflage von Schuberts Sammlung von Aufgaben usw.

Erstes heft: Für mittlere Klaffen

Leipzig G. 3- Göschen fche Verlagshandlung 1907

Aus -em Vorwort zur ersten Austage. DaS vorliegende Buch enthält erstens einen systematischen Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik und Algebra, welcher wiffenschastlichen und didaktischen Prinzipien in gleicher Weise Rechnung trägt, zweitens ein reichhaltiges Übungsmaterial von Fragen und Aufgaben auf allen Gebieten des arithmetischen Gymnasial-Unterrichts. Obwohl den Aufgaben im ganzen viel mehr Raum gespendet ist, als den jedem Paragraphen vorangestellten theoretischen Erörterungen, so sollen die letzteren doch ein besonderes Lehrbuch entbehrlich machen. Im Hinblick auf den Zweck deS arithmetischen Gymnasial-Unterricht-, zur allgemeinen UniversitätSreife mitzuwirken, habe ich die nur durch Kunst­ griffe lösbaren Gleichungen weniger berücksichtigt, als andere Bücher eS getan haben, dagegen durch eine ausführlichere Behandlung der Arithmetik im engeren Sinne die Mittel dazu geboten, daß dem Schüler ein tieferes Verständnis von dem Organismus, der arithmetischen Operationen, von dem Wesen der negativen, gebrochenen, irrationalen und imaginären Zahlen eröffnet werdm könne. In bezug hierauf möchte ich jedoch folgende- nicht unerwähnt lassen. Da eine naturgemäße Systematik der Arithmetik fich mit einer Einteilung des arith­ metischen Unterrichtsstoffs nach Klaffen-Pensen nicht genau vereinigen läßt, so enthalten der zweite und der dritte Abschnitt auch schon solche theoretischen Unterscheidungen und Fragen, welche man au- didaktischen Gründen lieber für eine höhere Unterricht-stufe reserviert. ES muß daher dem Urteile und der Neigung de- Lehrer- überlaffen bleiben, zu entscheiden, wa- er aus diesen Ab­ schnitten neben den Umformungen der Ausdrücke und ähnlichem den Schülern schon auf den ersten Unterricht-stufen bieten, und was er einer Besprechung in höheren Klaffen unterziehen will. Selbst diejenigen Fachmänner, welche fich der vom Verfasser gegebene» theoretischen Entwickelung nur teilweise oder gar nicht anschließen mögen, werden doch in dem umfangreichen, geordneten AnfgabenMaterial genügenden übungSstoff für ihre Schüler finden, und vielleicht auch die vorgerechneten Muster-Beispiele bei ihrem Unterricht verwenden können. Gelegentlich habe ich nicht allein geometrische und physikalische, sondern auch sprachliche und historische Notizen und Fragen herangezogen, nament­ lich, wenn dieselben geeignet sind, arithmetische Begriffe und Wahrheiten heller zu beleuchten. Ebenso habe ich geglaubt, dem Buche auch zwölf eingekleidete Gleichungen aus der griechischen Anthologie, einige Aufgaben auS dem antiken

IV

Sorwort.

Leben, sowie eine Tabelle der griechischen und römischen Maße einverleibeu zu dürfen. Durch den ersten Abschnitt, welcher, an den Rechen-Unterricht an­ knüpfend, nichts von Begründungen enthält, soll erreicht werden, daß der Schüler mit dem Konventionellen in der Arithmetik (Termini, die im RechenUnterrichte weniger gebräuchlich sind, Vergleichung-- und Operationszeichen, Klammer-Konventionen, Bedeutung der Buchstaben usw.) vertraut ist, ehe er an die eigentliche Arithmetik herantritt. Zugleich bietet dieser Abschnitt dem Lehrer die Gelegenheit, seine Schüler bereits in den ersten Wochen des arithmetischen Unterrichts durch paffende Berechnungs-Aufgaben auch schriftlich beschäftigen zu können. Gleichungen ersten Grades, bei denen die Unbekannte nur an einer Stelle vorkommt, find schon den Abschnitten II und III an gewiffen Stellen eingereiht, da die Lösung solcher Gleichungm sich naturgemäß an die Subtraktion, bezw. die Division anschließt. Ferner find die Gleichungen ersten Grades, bei denen die Unbekannte an mehreren Stellen vorkommt, derartig rubriziert, daß man mit Leichtigkeit diejenigen herausfinden wird, welche man den Schülern schon während der Durchnahme der arithmetischen Sätze geben kann, um ihnen die Erfolge der Buchstabenrechnung greifbar zn machen. Potenzen, deren Exponenten natürliche Zahlen sind, habe ich als abgekürzt geschriebene Produkte schon bei der Multiplikation eingeführt. Dem Abschnitt über die Operationen dritter Stufe habe ich aus praktischen Gründen einen Abschnitt vorangehen lassen, welcher das Quadrieren, die Quadratwurzeln, die quadratischen Gleichungen, das Irrationale und das Imaginäre für sich be­ handelt. Die Gründe für diese Einschaltung erkennt man, wenn man bedenkt, daß die Planimetrie und die Algebra den Schüler viel öfter auf die Quadrat­ wurzel, als auf die allgemeine Wurzel führen, und daß die Potenz- und Wurzel­ rechnung mit allgemeinen Exponenten erst wichtig wird, wenn das Verständnis der Logarithmen vorzubereiten ist. Der Begründung der im Rechen-Unterricht gelernten Algo­ rithmen ist besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Denn der arithmetische Unterricht hat die Pflicht, daS bei dem Schüler geweckte Kausalitätsbedürfnis auch hinsichtlich deS elementaren Rechenunterrichts vollauf zu befriedigen. Aus dem­ selben Grunde ist auf die Begründung deS Verfahrens der QuadratwurzelAuSziehung nicht weniger Wert gelegt, als auf die Gnübung dieses Verfahrens. Bei einem großen Teile der Fragen und kürzeren Aufgaben hat der Verfaffer an eine mündliche Beantwortung in der Klassö gedacht. Um die Be­ nutzung des BucheS zu erleichtern, hat jede noch so kurze Frage oder Auf­ gabe eine besondere Nummer erhalten. Ebenso sind die wichtigsten arith­ metischen Gesetze mit besonderen Namen bezeichnet. Auf die Richtung, welche ich seit Jahren bei meinem arithmetischen Unterricht befolge, und auch bei der Ausarbeitung dieser Sammlung befolgt habe, sind namentlich die Arbeiten von Großmann (Lehrb. d. Arithm.), Hankel (Borl. üb. komplexe Zahlen) und Ernst Schröder (Lehrb. d. Arithm.), sowie die Vorlesungen meiner verehrten Lehrers Kronecker, nicht ohne Einfluß

Borwort.

V

geblieben. Möge es mir gelungen sein, die Resultate der wissenschaftlichen Studien dieser Männer über das System der Arithmetik und über die Er­ weiterungen des Zahlengebiets dem Schulunterrichte soweit zugänglich gemacht zu haben, wie es didaktische Rücksichten zulassen! Hamburg, im Februar 1883.

Hermann Schubert.

Vorwort zur fünften Auflage. Während die zweite, dritte und vierte Auflage, abgesehen von einigen neu hinzugefügten Aufgaben, ein fast unveränderter Abdruck der ersten Auflage waren, ist die Schubertsche Aufgabensammlung für die vorliegende fünfte Auflage voll­ ständig neu bearbeitet worden, und zwar im wesentlichen von dem an zweiter Stelle unterzeichneten Herausgeber. Sie erscheint deshalb unter verändertem Titel und mit den Namen beider Herausgeber. Der im ersten Borwort von dem Verfasser der ersten vier Auflagen aus­ gesprochene Grundgedanke des Buche- ist bet der Neubearbeitung durchaus fest­ gehalten worden. Denn für den Schüler einer höheren Lehranstalt, insbesondere den Gymnasiasten, der in der Arithmetik eine exakte Wissenschaft kennen lernen soll, ist nach übereinstimmender Ansicht der Herausgeber ein strenger systematischer Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik unerläßlich. Die Veränderungen an den jedem Paragraphen vorausgeschickten theo­ retischen Erörterungen betreffeis daher im wesentlichen die Form. ES ist an vielen Stellen versucht worden, die Ableitung dem Standpunkt des Schülers mehr anzupassen, die Regeln kürzer zu fassen und durch Überschriften und Her­ vorhebung im Druck die Übersichtlichkeit zu erhöhen. Die früheren §§ 4) und 5) sind als gesonderte Paragraphen gestrichen; ihr Inhalt ist in den voraufgehenden und folgenden Paragraphen zum Teil verwendet worden. Die früheren §§ 17) bis 20) und 25) sind als §§ 20 bis 24 in einem Anhang vereinigt. Im übrigen ist die Reihenfolge der Paragraphen dieselbe geblieben, so daß nur die Nummern geändert werden mußten. In den §§ 9) und 10) (Division und Gesetze der Operationen zweiter Stufe, früher §§ 11 und 12) ist der „Divisionsstrich" sowohl in den theoretischen Erörterungen als auch in den Aufgaben vollständig vermieden worden. Der Zweck dieser Änderung ist ein doppelter. Erstens soll die Ana­ logie zwischen den Gesetzen der Operationen zweiter Stufe und denen der Operationen erster Stufe deutlicher hervortreten, zweitens soll die Gefahr ver­ mieden werden, daß der Divisionsstrich als Bruchstrich und der Quotient als Bruch bezeichnet und behandelt wird, eine Gefahr, die sehr nahe liegt, da die Schüler mit Bruch und Bruchstrich aus dem Rechenunterricht vertraut find.

Borwort.

V

geblieben. Möge es mir gelungen sein, die Resultate der wissenschaftlichen Studien dieser Männer über das System der Arithmetik und über die Er­ weiterungen des Zahlengebiets dem Schulunterrichte soweit zugänglich gemacht zu haben, wie es didaktische Rücksichten zulassen! Hamburg, im Februar 1883.

Hermann Schubert.

Vorwort zur fünften Auflage. Während die zweite, dritte und vierte Auflage, abgesehen von einigen neu hinzugefügten Aufgaben, ein fast unveränderter Abdruck der ersten Auflage waren, ist die Schubertsche Aufgabensammlung für die vorliegende fünfte Auflage voll­ ständig neu bearbeitet worden, und zwar im wesentlichen von dem an zweiter Stelle unterzeichneten Herausgeber. Sie erscheint deshalb unter verändertem Titel und mit den Namen beider Herausgeber. Der im ersten Borwort von dem Verfasser der ersten vier Auflagen aus­ gesprochene Grundgedanke des Buche- ist bet der Neubearbeitung durchaus fest­ gehalten worden. Denn für den Schüler einer höheren Lehranstalt, insbesondere den Gymnasiasten, der in der Arithmetik eine exakte Wissenschaft kennen lernen soll, ist nach übereinstimmender Ansicht der Herausgeber ein strenger systematischer Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik unerläßlich. Die Veränderungen an den jedem Paragraphen vorausgeschickten theo­ retischen Erörterungen betreffeis daher im wesentlichen die Form. ES ist an vielen Stellen versucht worden, die Ableitung dem Standpunkt des Schülers mehr anzupassen, die Regeln kürzer zu fassen und durch Überschriften und Her­ vorhebung im Druck die Übersichtlichkeit zu erhöhen. Die früheren §§ 4) und 5) sind als gesonderte Paragraphen gestrichen; ihr Inhalt ist in den voraufgehenden und folgenden Paragraphen zum Teil verwendet worden. Die früheren §§ 17) bis 20) und 25) sind als §§ 20 bis 24 in einem Anhang vereinigt. Im übrigen ist die Reihenfolge der Paragraphen dieselbe geblieben, so daß nur die Nummern geändert werden mußten. In den §§ 9) und 10) (Division und Gesetze der Operationen zweiter Stufe, früher §§ 11 und 12) ist der „Divisionsstrich" sowohl in den theoretischen Erörterungen als auch in den Aufgaben vollständig vermieden worden. Der Zweck dieser Änderung ist ein doppelter. Erstens soll die Ana­ logie zwischen den Gesetzen der Operationen zweiter Stufe und denen der Operationen erster Stufe deutlicher hervortreten, zweitens soll die Gefahr ver­ mieden werden, daß der Divisionsstrich als Bruchstrich und der Quotient als Bruch bezeichnet und behandelt wird, eine Gefahr, die sehr nahe liegt, da die Schüler mit Bruch und Bruchstrich aus dem Rechenunterricht vertraut find.

Borwort.

VI

In § 14 (Proportionen, früher § 16) ist dem Begriff der direkten und

indirekten Proporttonalität ein breiterer Raum gewidmet worden. Z« dieser Änderung hat die Erfahrung den Anlaß gegeben, daß Schülern auch höherer Klaffen der Begriff der direkten und indirekten Proportionalität und ihr Aus­

druck in Formeln besonders in physikalischen Anwendungen oft große Schwierig­

keiten bereitet. Bon größerem Umfang als die Änderungen im theoretischen Teil sind die

Änderungen im Aufgabenmaterial.

Biele Aufgaben, besonder- im ersten, etn-

leitenden Abschnitt, sind gestrichen worden, andrerseits ist das Aufgabenmaterial fast sämtlicher Paragraphen bedeutend vermehrt worden.

Die größte Zahl an

neuen Aufgaben findet sich in den §§ 15 bis 18 (Gleichungen).

Ein besonderes Heft enthält die Resultate aller derjenigen Aufgaben, bei welchen

eine

Beruhigung

des

Schüler-

über

die

Mchtigkeit

der

gefundenen

Lösung wünschenswert erscheint, bei denen jedoch die Kenntnis de- Resultats ihm die Denkarbett nicht abnimmt.*) Hamburg, im Februar 1907.

Herman« Schubert.

Adolf Schumpelick.

*) Dieses Resultatheft kann durch jede Buchhandlung bezogen werden. Die VerlagShandl ung.

Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt:

Einführung in die arithmetische Sprache.

§ 1. Die vier Spezie- in arithmetischer Sprache........................................................... § 2. Reihenfolge der Rechengeschäste.................................................................................. § 3. Der Buchstabe in der Arithmetik.............................................................................. Historische- zu Abschnitt I.........................................................................................................

Zweiter Abschnitt:

Seite 1 4 9 13

Operationen erster Stnfe.

§ 4. Begriff der Addition......................................................................................................... § 5. Begriff der Subtraktion................................................................................................ § 6. Gesetze der ersten Stufe................................................................................................ § 7. Erste Erweiterung des Zahlengebiet- (Null und negative Zahlen).................. Historische- zu Abschnitt II............................. *.........................................................................

14 21 25 32 43

Dritter Abschnitt: Operattoneu zweiter Stufe. § 8. Begriff der Muttiplikatton........................................................................................... § 9. Begriff der Division......................................................................................................... § 10. Gesetze der zweiten Stufe................................................................................................ § 11. Zweite Erweiterung de- Zahlengebiets (Gebrochene Zahlen)............................ Historische- zu Abschnitt IH....................................................................................................

44 58 65 73 92

Vierter Abschnitt: Anwendungen der Gesetze der Operattoueu erster und zweiter Stufe. § 12. Wichtige Berwandlung-formeln.................................................................................. 93 § 13. Die Hauptform der Au-drücke....................................................................................... 98 § 14. Proportionen.............................................................................................................................102 § 15. Gleichungen ersten Grade- mit einer Unbekannten................................................... 114 § 16. Eingekleidete Gleichungen ersten Grade- mit einer Unbekannten ... 128 § 17. Gleichungen ersten Grade- mit mehreren Unbekannten......................................143 § 18. Eiugekleidete Gleichungen ersten Grade- mit mehreren Unbekannten. . . 155 8 19. Arithmetische Reihen erster Ordnung.............................................................................. 162 Historische- zu Abschnitt IV..........................................................................................................166

Anhang. § 20. Eigenschaften der natürlichenZahlen............................................................................... 167 § 21. Zahlsysteme und Zahlzeichen.......................................................................................... 175 § 22. Dezimalbrüche.......................................................................................................................179 § 23. Maße.........................................................................................................................................189 8 24. Zwölf Gleichungen au- dergriechischen Anthologie.................................................... 195 Historische- zum Anhang.............................................................................................................. 198

Erster Abschnitt.

Einführung in Vie arithmetische Sprache. § i.

Die vier Species in arithmetischer Sprache. Theorie. A) Das Zeichen: liest man:

=

+

—

gleich

plus

minus

B) Namen der vier Species oder Operattonen:

Beispiel:

Addition Subtraktion Multiplikativ» Division

12 + 4 = 16 12 — 4 = 8 12 4 = 48 12 : 4 = 3

Die zweite Die erste Zahl, Zahl, hier 4, hier 12, heißt: heißt:

Summand Miauend Faktor Dividend

durch

mal

Summand Subtrahend Faktor Divisor

Namen des Resultats:

Summe Differenz Produkt Quotient.

Summand plus Summand gleich Summe. Minuend minus Subtrahend gleich Differenz. Faktor mal Faktor gleich Produkt. Dividend durch Divisor gleich Quotient Addition und Subtraktion heißen Operationen erster Stufe. Multiplikation und Division heißen Operationen zweiter Stufe.

C. Ausdrücke. Bei jeder Operation findet man aus zwei Zahlen eine dritte. Diese dritte Zahl heißt je nach der Operation Summe, Differenz, Produkt, Quottent; sie kann auf doppelte Weise dargestellt werden: entweder ausgerechnet, wie in den obigen vier Beispielen: 16, 8, 48, 3; oder unausgerechnet, wie: 12 + 4, 12—4, 12 - 4, 12 : 4. Schubert und Schumpelick, Arithmetik.

Heft 1.

§ 1.

2

Die vier SpecieS in arithmetischer Sprache.

Unausgerechnet dargestellte Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten nennt man Ausdrücke. Zwei Ausdrücke sind gleich, wenn sie dieselbe Zahl darstellen, z. B.: 15 — 6 = 3 • 3, 20 + 8 = 56:2.

D. Vergleichung und Vergleichuugszeichrn.

Ist eine Zahl nicht gleich einer andern, so ist sie entweder größer oder kleiner. Auch für „größer als* und für „kleiner als" hat man zwei Zeichen, nämlich: > und b c— a

a>b c> a

a>b c= b

a> b c< b

a< b c— a

a< b c< a

a< b c= b

a< b e> b

c> b

c> b

a> c

a> c

c< b

c< b

a a

a=b c< b

a= b c< a

a=b c> b

c> b

a> c

c< b

c >a.

16

§ 4.

Begriff der Addition.

v. Begriff der Addition.

6ine Zahl b zu einer Zahl a addieren heißt zu den Einheiten von a die Einheiten von b hiuzuzählen. Die Zahl a nennt man wohl den Augmdus, die Zahl b den Addendus (doch siehe E). Da man nur gleich­ benannte oder unbenannte Einheiten zählen kann, so hat auch nur die Addition von gleichbenannten oder unbenannten Zahlen einen Sinn. E. Vertauschungsgesetz und Verbindungsgesetz.

Aus dem Begriff der Addition folgt unmittelbar die Richtigkeit der oben mit I und II bezeichneten Gesetze, die in Worten so ausgesprochen werden können:

I) VertauschungSgesetz: Die beiden Summanden einer Summe dürfen vertauscht werden, ohne daß dadurch die durch die Summe dargestellte Zahl sich verändert, z. B.: 6 -f- 4 = 4 -s- 6

II) Verbindungsgesetz: Eine Summe wird zu einer Zahl addiert, indem man den ersten Summanden addiert und zur er­ haltenen Summe den andern Summanden addiert. Z. B.: 3 -s- (7 + 8) = 3 4- 7 4- 8. Wegen des BertauschungSgesetzes braucht man zwischen dem Augendus und dem Addendus, wenn es nur auf das Ergebnis ankommt, nicht zu unter­ scheiden; man bezeichnet die beiden Zahlen daher zusammenfaffend als Sum­ manden oder auch wohl als Addenden, Posten, Terme, Glieder. Das Verbindungsgesetz kann noch auf mannigfache andere Weise aus­ gesprochen werden, namentlich auch so: Wenn man den einen Summanden einer Summe um eine gewisse Zahl vergrößert, so wird auch die Summe um dieselbe Zahl vergrößert. Aus dem Bertauschungsgesetz und dem Berbindungsgesetz ergibt sich noch eine Reihe von andern Formeln, die der Kürze wegen auch Verbindungsgesetze heißen sollen. Z. B.: a 4 b 4- c = a 4 (•) 4 e) = a 4 (c 4- b) = a 4 c 4- b a 4- (b 4~ c) = a + b + c = (a + b) -4 c = c -|- (a 4- b) a + (b4'C4-d) = a+(b4'c) + d = a4~b-4c4-d. So gelangt man zu der praktischen Regel: Allgemeine Verbindungsregel: Bei einem Ausdruck, der außerhalb und innerhalb der Klammern keine andern Operationszeichen als Pluszeichen enthält, dürfen alle Klammern beliebig fortgelassen und beliebig gesetzt werden und dürfen auch alle Summanden in beliebige Reihenfolge gebracht werden. F. Summen von mehr als zwei Gliedern.

Eine Summe, deren erstes Glied selbst wieder eine Summe ist, faßt man kurz als eine Summe von drei Gliedern auf, und so fort. Z. B.: a 4 b 4 4 ist eine Summe von drei Gliedern, x + y + z + u + v ist eine Summe von fünf Gliedern, x + (y + z) + (u + v) ist eine Summe von drei Gliedern.

§ 4.

Begriff der Addition.

17

G. Addition abgekürzt geschriebener Summe«.

Besonders häufig treten Summen von lauter gleichen Gliedern auf. Man schreibt dann diese- Glied nur einmal, setzt davor einen Punkt und vor den Punkt die Zahl, welche angibt, wieviel solche Glieder die Summe haben soll. Z. B.: 3 + 3 + 3 + 8 + 3 = 5- 3 a + a + a 4- a —4a x + x — 2 - x.

Die Zahl, welche zählt, wieviel Glieder man sich denken soll, nennt man dm Koeffizienten der abgekürzt geschriebenen Summe. Der Punkt kann vor einem Buchstaben fortgelaffen werden. Z. B.: Wenn man zwei abgekürzt geschriebene Summen mit demselben Gliede zu addieren hat, so hat man nur die Koeffizienten zu addieren. Denn: 3a-|-4a = (a4-a + a) + (a + a + a + a)

= a-|-a-|-a-f-a + a + a4-a=7a. Eine einzige Zahl kann man als Summe von einem Gliede auffaffen, und deshalb mit dem Koeffizienten 1 behaftet denken. Z. B.:

4b + b = 4b + lb = (b + b + b + b) + (b) = b + b + b + b+ b = 5b. H. Addition von Gleichungen.

Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches, oder in Formelsprache:

a= b c = d sadd.)

a 4* o

b 4~ d.

Um die Richtigkeit des Schluffes zu beweisen, kann man ausgehm von b 4- d = b 4- d (C II). Da nun a == b und c = d ist, so kann man für das b der linken Seite a, für das d der linken Seite c einsetzen (C V). Dadurch erhält man a 4- c = b 4- d. Die Ausführung dieses Schluffes, also die Herleitung einer neuen Gleichung durch Addition der linken und rechten Seiten zweier Gleichungen, bezeichnet man kurz als Addition der beiden Gleichungen. I. Addition von Ungleichungen.

In derselbm Weise kann man auch eine Gleichung und eine Ungleichung oder zwei Ungleichungen addieren. Es gelten nämlich die Sätze:

1) Größeres zu Gleichem oder Gleiches zu Größerem . Größeres zu Größerem addiert gibt Größeres.

oder

2) Kleineres zu Gleichem oder Gleiches zu Kleinerem oder Kleineres zu Kleinerem addiert gibt Kleineres. In Formel» spräche: Schubert und SchumpeUck, Arithmetik.

Heft 1.

2

18

§ 4.

1) a = b c > d (add.)

a+ c > b + d 4) b = a d < c (add.)

b 4- d < a -|- c

Begriff der Addition.

2) a > b c = d (add.)

a + c > b 4- d 5) b < a d = c (add.) b 4- d < a 4- c

3) a > b c > d (add.)

a 4- c > b 4- d. 6) b < a d , < hinzu (C VII und VIII): 31) a > b b =c

32) x < v

c

v = q x q

35) p > q q>3

36) a > 4 b c (add.)

49) a :> 11 aZ> 9 (add.)

50) a 4- b < 7 c 4 (add.)

51) a + b>c + d e + f > g (add.)

52) x 15 b 4- c > 3 (add.)

13 (add.)

2*

53) Was kann man aus a

b und c = d über a 4- c schließen?

54) Warum darf man nicht au- a » + c b + d ist?

b und c

d schließen, daß

55) Wieviel Glieder hat die Summe a 4- (b + c) + (d + e + f) a) vor Auflösung der Klammern? b) nach Auflösung der Klammern? 56) Wieviel Glieder hat die Summe a4a + » + «4-* + » + », wie schreibt man dieselbe abgekürzt, und wie heißt der dabei auftretende Koeffizient? Vereinfache: 57) 4a 4- 9a 58) 16b 4- 9b 59) 9x 4- 3x 4- 5x 60) 13x 4- x 4- 6x 61) 37y4-(3y4-60y) 4- 190y 62) 5a 4-[37a 4-(25a 4-33a)] 68) llx 4* [5x 4~ (9x 4~ 25x)j 4* (3x 4- 5x 4~ "x)4~ 35x Vereinfache möglichst: 64) 5a 4- 7b 4- 8a 65) 9b 4- 11a 4- 7b 4- 2a 66) 19p 4- 3q 4~ 4p 67) 27x 4- (3y 4-4-4- 3x) 69) 4a 4-3b 4-b 4-(b 4- 7a) 68) 74m 4- 6p 4- (8m 4~ 9p) 70) 13x 4- 7y 4- 6x -s- 24y 71) x 4- 2y 4- 25z 4- x + y 72) 711x 4- 3y 4- 89x 4- (17y -f- 4x) -f- (96x -f- 100y) 73) 15a 4- [7b 4- (3a 4- 4b)] 4. [8a + (7a + b)] 4- 3b 74) 4x 4- (7y + 3z) + (8x 4-9y 4- 16z) 4- [4x 4- (13y + 2z)] 75) 77 p 4- 7q 4- r 4- P 4- (4p 4- r) 4- (8q 4- 9) 4- (r 4- 4p) 76) 17x 4- [14y 4- (16z 4- 7y 4- 15x 4- 4z) 4- 9y] 4- 8x 77) x 4- y 4- (3x 4- 3y) -]- (5y -s- 5z) -s- (6z 4- 6x).

78) Die Zahl 37 ist eigentlich eine abgekürzt geschriebene Summe, nämlich 37 = 10 4- 10 4- 10 4- 7 = 3 • 10 4- 7. Stelle ebenso als Summe dar: a) 48, b) 525, c) 619, d) 4123. Mit Benutzung dieser Schreibweise kann man durch das Ber­ bindungsgesetz veranschaulichen, warum das Verfahren, nach welchem das Addieren mehrziffriger Zahlen im Rechenunterricht gelehrt wird, richtig sein muß. Z. B.: 43 4- 25 = (4 • 10 4- 3) 4- (2 • 10 4- 5) = (4 • 10 4- 2 • 10) 4- (3 4- 5) = 6 • 10 4- 8 = 68; 57 4- 29 = (5 • 10 4- 7) 4- (2 • 10 4- 9) = (5 • 10 4- 2 • 10) (7 4- 9) =-= 7 ■ 10 4- 16 = 7 • 10 4- 10 4- 6 = 8 ■ 10 4- 6 = 86. Verdeutliche in ähnlicher Weise:

79) 24 4- 73 82) 4596 4- 713

80) 223 4- 416 83) 8192 4- 4488

81) 713 4- 564 84) 657343 4- 75911.

§. 5.

Begriff der Subtraktion.

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§ 5. Legriss -er Subtraktion. Theorie. I) Erste Defiuitiousformel: (a — b) 4- b = a, II) Zweite Defiuitiousformel: (a + b) — b = a.

A. Begriff der Subtraktion.

Eine Zahl b von einer Zahl a subtrahieren heißt die Zahl finden, zu welcher b addiert werden muß, damit a herauskommt. Dies spricht die Formel I aus. 12 — 5 bedeutet also die Zahl, welche, um 5 vermehrt, 12 gibt, oder, was dasselbe ist, die Zahl, welche für x gesetzt werden muß, damit die Bestimmungsgleichung (§ 3E)

x + 5 = 12 richtig wird. Die Subtraktion entsteht also aus der Addition dadurch, daß man die Summe und den einen Summanden als bekannt und den andern Summanden als unbekannt, und deshalb als gesucht betrachtet. Man nennt deshalb die Subtraktion die Umkehrung der Addition. Bei dieser Umkehrung erhält die bekannte Summe den Namen Minuendus, der bekannte SuMnand den Namen Subtrahendus, der gesuchte Summand den Namen Differenz. Hiernach besteht die Berechnung einer Differenz im Raten des Wertes der Unbekannten einer Gleichung. Um z. B. 12—5 zu berechnen, hat man den Wert x aus der Gleichung x + 5 = 12 zu raten. Dieses Raten wird durch den ersten Rechen-Unterricht teils gedächtnismäßig, teils mechodisch (§ 6, Aufg. 89) gestaltet. Unterscheidet man bei der Addition zwischen Augendus und Addendus, so muß man genau genommen von zwei Umkehrungen der Addition sprechen, je nachdem man den Augendus oder den Addendus als gesucht betrachtet. Wegen des Vertauschungsgesetzes der Addition ist es jedoch nicht nötig, die beiden Um­ kehrungen der Addition als verschiedene Operationen anzusehen. B. Bedingung für die Ausführbarkeit der Subtraktion.

Während die Addition zweier Zahlen immer ausführbar ist, kann eine Subtraktion zweier Zahlen nur dann ausgeführt werden, wenn der Minuendus größer als der Subtrahendus ist. Denn der Minuendus, welcher nach der Definition als eine Summe aufzufassen ist, die den Subtrahendus als Sum­ manden besitzt, muß immer größer sein als der Subtrahendus und zwar um die gesuchte Differenz. C. Entgegengesetzte Operationen.

Die zweite Definitionsformel ist richtig, weil » -s- b — b, der ersten Definitionsformel gemäß, die Zahl bedeutet, welche um b vermehrt, a + b gibt,

§ S. Begriff der ©ubttattion.

22

und diese Eigenschaft nur die Zahl a hat. Diese zweite Definitionsformel liefert, im Verein mit der ersten eine Rechearegel, welche man kurz so auSzudrLcken pflegt: Addition und Subtraktion derselben Zahl heben sich auf. Man nennt deshalb Addition und Subtraktion auch entgegengesetzte Operationen, das Pluszeichen und das Minuszeichen also entgegengesetzte Zeichen. D. Subtraktion abgekürzt geschriebener Smumeu. Bei der Subtraktion von zwei abgekürzt geschriebenen Summen mit gleichem Gliede hat man die Koeffizienten zu subtrahieren. Denn es ist z. B.:

5 a — 3a=(a-f-a + a-|-a + a) — (a + a + a) = a + &4-(a + a' + a) — (a + a + a) = a + a= 2a; 8 y — 8y =- (5y -s- 3y) — 3y = 5 y; 7 x — x = 6x + x — x = 6 x E. Subtraktion von Gleichungen. Gleiches von Gleichem subtrahiert gibt Gleiches,' oder in Formelsprache:

a = b c = d (subtr.) a — o ----- b — d Der Beweis ist ebenso zu führen wie der des entsprechenden Schlusies für die Addition (§ 4 G).

F. TrausposttionSregel erster Stufe. Daraus, daß x = a— b und x 4- b = a ganz dasselbe, nur in zwei verschiedenm Schreibweischl, aussagen, ergibt sich die für die Lösung von Gleichungen wichtige

LrauSpofitiouS-Regel erster Stufe: Eine Zahl, welche auf der eine« Seite einer Gleichung Summand ist, kaun auf die andere Seite der Gleichung als Subtrahend geschrieben werden, vvd umgekehrt. Ma« nennt dann die Zahl transponiert.

Z. B.:

Aus x 4- 5 ---12 folgt x=12-5 = 7. AuS 3 4- x= 16 folgt x= 16 — 3 = 13. AuS x — 9 --3 folgt x = 3 4- 9 = 12. Wenn die Unbekannte Summand oder Minuend ist, kann man, wie obige Beispiele zeigen, die Gleichung durch einmalige Anwendung der TranSpofitionSregel lösen, d. h. so umformen, daß auf der einen Seite die Unbekannte allein steht oder „isoliert" ist. Ist aber die Unbekannte Subtrahend, so muß man die Transposttionsregel zweimal anwenden, indem man zuerst die Unbekannte auf die andere Sette der Gleichung transponiert und sie dann dort durch nochmalige Anwendung der TranspofittonSregel isoliert. Z. B.:

7 — x= 7 = 7 — 5 — x=

5 5 4~ 1 x 7 — 5 = 2

a — x=b a = b 4- x a—b=x x = a — b.

§ 5. Begriff der Subtraktion.

23

Kürzer gelangt man von a — x = b zu a — b = x durch Anwendung der Regel: „Subtrahend und Differenz dürfen vertauscht werden." Die Richtigkeit dieser Regel folgt aus dem Vertauschungsgesetze. Das Transponieren kaun auch als eine Anwendung der Sätze: „Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches" und „Gleiches von Gleichem subtrahiert gibt Gleiches" aufgefaßt werden. Subtrahiert man z. B. von x -s- 5 ---> 12 die Gleichung 5 — 5, so erhält man, da x -s- 5 — 5 nach Formel H gleich x ist, x=12-5.

Aufgabe«. 1) Wie heißt die Zahl: a) welche, zu 8 addiert, 14 gibt? b) welche um 8 größer ist als 14, c) welche, um d vermehrt, s gibt? d) welche, zu d hinzugefügt, s gibt? 2) Worin besteht die „Probe" einer Subtraktionsaufgabe? 3) Wie heißt die Zahl, welche in der graphisch dargestellten Zahlenreche von der Zahl s aus um d Schritte nach links liegt? 4) a) Wieviel Schritte muß man in der Zahlenreihe von s aus rückwärts gehen, um auf die Zahl 6 zu stoßen? b) Wie groß muß s mindestens sein, damit diese Frage Sinn hat? 5) Addieren und subtrahieren kann man auch andere Dinge alS benannte und unbenannte Zahlen. Wie addiert und subtrahiert man z. B. a) Strecken? b) Winkel? 6) Man weiß, daß die Summe zweier Zahlen p ist, und daß die eine Zahl q ist; wie ist die andere Zahl arithmetisch darzustellen? 7) Um wieviel ist a größer als a — b? 8) Eine Zahl ist um q größer als p — q, wie heißt sie? 9) Beweise mit Hilfe des BertauschungSgesetzes der Addition aus den Formeln I und II die Formeln:

b) b -s- a — b = a.

a) b 4" (a — b) = a,

Vereinfache die folgenden Ausdrücke:

10) 13) 16) 18) 20) 22) 24)

n — v -f- v 11) u + v —v 12) P4-q4-r —r 15) a 4* a — a v 4-w 4- x—x—w 14) a — b 4~ c 4~ b 16 + b—164-c —b 17) p 4- 14 + 3 — 17 19) m — (a — b) 4- (»—b) 4- c —c 2 -|- (a 4" b) — (a 4~ b) 5a 4- b —b 21) 5a + 11b —11b 9a 4- 6b — 5c 4- 5c 23) X — (y 4-3z) 4-(y 4-3z) 5a— 2b 4- c+ 2b 25) 2a 4- 3b 4- c — 3b —c.

Vereinfache mit Beachtung von I )

26) 7 x — 4x 28) 4p 4“ 21p — 5p 30) 9y— 2y 4- 7y

die Ausdrücke: 27) 27p —18p 29) 8x 4~ 5x — 4x 31) 4a 4-7a— 3a 4-(4b — 3b)

§ 5. Begriff der Subtraktion.

24

32) 34) 36) 37) 38)

m +3a 4-5a—8a 33) 11a + 4a + 7b — 15a 7 — 2b+(b + b) 85) 5x -|- 7y 4-3x—4x 4a + 7b 4- 3a —(2a + 5a) + 3b — 7b + 4c—4c 10a 4-[10b 4-(10c —4c)] —10a 2a — 3b 4- 5c 4- (2b 4- b) 4- 3a — (8c — 3c).

39) Erläutere mit Hilfe von § 4, H, warum der in E ausgesprochene Satz richtig ist.

Führe folgende Subtraktionen aus: 40) x =y 41) x = a 4“ b 5 — 5 (subtr.) b = b (subtr.)

43) 3a=4b 2a = c (subtr.)

42) a 4- b = c a = d (subtr.)

44) x 4- 5 = 8 45) x4~ a = b 5 — 5 (subtr.) a = a (subtr.)

Löse nach Vorschrift von F die folgenden Gleichungen: 46) x —15 = 6 47) x 4- 20 = 31 48) 25 4- x= 100 49) x 35 = 80 50) 72 — x = 25 51) 67 = x — 33 52) 98 —x=90 53) 424 =x 4-399 54) 1000 = 497 4-x 55) 728 = 1028 —x 56) 625 —x = 433 57) 728 4-x= 900 58) 325 = x — 25 59) 524 = 554 —x 60) 283 = 173 4-x 61) 10000—x----999 62) 3 480 4~ x=3 600 63) 4990=6010—x 64) x 4~ a = b 65) x — a = b 66) a — x = b 67) 89 — x = 6a 68) 3a = x — a 69) 3a — x=2b 70) x — 4 — 5 = 20 71) x 4- 4 4- 5 = 20 72) x4-24 —134-67 4- 10 = 100 73) x — 4-4-16 4-10 — 35 = 35 74) x-|-a—b — c4-d-|-e4-f=g 75) x4-3a— 4b4-9c=lld 76) Zwei Knaben A und B spielen „Zahlenraten". A denkt sich eine Zahl, B sagt ihm, er solle 4 hinzuzählen und 11 abziehen. A sagt, er habe schließlich 43 erhalten. Welche Zahl hat sich A gedacht?

77) Wenn ich eine Zahl, die ich im Sinne habe, von 16 subtrahiere, zur erhaltenen Differenz 16 addiere, von der Summe erst 6 und dann 3 subtrahiere, erhalte ich 16. Welche Zahl hatte ich int Sinne? 78) Jemand gibt von dem Gelde, welches er bei sich hat, erst 10 und dann 13 aus. Als er dann noch 19 e b = b_ (subtr.)

2) a 4- b < c _________ b = b (subtr.)

a______ -< c — b

a______ > c — b 3)

a — b > c b = b (add.) a

4)

a — b < c b = b (add.) a

> c 4 b

< c 4- b

Aufgabe«. 1) Setze in die Formeln I bis IV rechts die überflüssigen Klammern.

2) Die Formeln I bis IV sollen vorwärts und rückwärts in Worte über­ setzt werden, a) so daß jeder Satz mit „anstatt" anfängt und bei dem Gleichheitszeichen „kann man auch" gesagt wird, b) so daß bei dem Gleichheitszeichen „indem man" gesagt wird 3) In welcher von den Formeln I bis V ist das Gesetz ausgesprochen: „Statt eine Summe um c zu vermindern, kann man auch den einen Summanden um c vermindern?"

4) Welche von den Formeln I bis V kann so übersetzt werden: „Den Subtrahendus einer Differenz um c vermehren heißt die Differenz um c vermindern" ? 5) Übersetze in ähnlicher Weise die Formel II. 6) Übersetze die Formel b 4- a — c = b — c 4- a in Worte a) vor­ wärts, b) rückwärts.

§ 6.

Gesetze der ersten Stufe.

29

7) Beweise die Formel in Nr. 6 dadurch, daß aus ihrer rechten Seite die linke Seite allmählich entwickelt wird, und zwar so, daß zuerst das Bertauschungsgesetz der Addition, dann die Formel II und endlich noch einmal das Bertauschungsgesetz angewandt wird.

Beweise die folgenden Formeln a) nach dem Vorbilde von Nr. 7, b) nach dem Dorbilde der Beweise in A: 8) a — b — c = a — c — b 9) a — (c — b) — a -s- b — c 10) b — (c — a) = a + b — c 11) a — (b-s-o-s-d) —a—b — c — d 12) (a — n) + (b + n) = a + b 13) (a + n) — (b + n) = a — b. 14) Sprich in Worten aus: a) die Formel in Nr. 12, b) die Formel in Nr. 13, beide rückwärts gelesen. 15) Formuliere arithmetisch und beweise die Sätze: a) Addiert man die Differenz zweier Zahlen zu ihrer Summe, so erhält man das Doppelte der größeren Zahl, b) Subtrahiert man die Differenz zweier Zahlen von ihrer Summe, so erhält man das Doppelte der kleineren Zahl. 16) Sprich aus und beweise (a + b) — (c + d) = (a — c) + (b — d).

Berechne jeden der folgenden Ausdrücke a) vor Auflösung der Klammern, b) nach Auflösung aller Klammern: 17) 19) 21) 23) 25) 26) 27) 28) 29)

18) 2000 — (400 — 40) 124 —(24 + 53) 20) 1111 + (200 — 40 + 9) 4723 — [700 + 30 + 3] 6000 + (879 + 34 — 60) 22) 47678 — (892 —20 — 57) 700 — (42 + 3) + (57 — 13) 24) 8921 + (28 + 56)—(72 —2) 6123 + 477 — (23 + 89) — (100 — 10) + (64 — 4) 7777 + 23 — 84 — (423 — 76 — 72) + (543 + 7 — 18) 8100 + [423 — (25 + 18)] — [72 + 16 — (28 — 8)] 12000 + 576 — [478 — (72 + 16) — (84 — 14) + (93 — 7)] 5600 — 428 — [123 — (85 — 50) + (23 + 7)] + [847 + 26 - (13 + 13)].

Berechne die folgenden Ausdrücke nach Auflösung der Klammern mit Be­ nutzung der oben unter E angeführten Regel IV: 30) 31) 32) 33)

13 — 7 + 15 + 19 — 18 — 4 + 37 — 16 + 5 — 7 + 100 84 — (65 — 60) + (57 — 23 — 4) + (78 + 73 — 16) 100 — [82 + 5 — (23 + 15) + (100 — 4 — 93)] 427 + 83 — [23 + (74 — 16)] + [27 — (6 +13) — 5],

Aus den folgenden Ausdrücken sollen alle Klammern fortgeschafft werden: 34) a — (p — q + r) 36) 13 + a — b + (c — d — e — f)

35) a + b — (c + d) + (e — f) 37) A+B—[C+D+(E —F)].

Die folgenden Ausdrücke sollen durch Vereinigung der abgekürzt geschriebenen Summen (§ 4G, § 5 D) möglichst vereinfacht werden: 38) 4a + 3a—5a + 2a 40) 8a —4b + 7b + 3b

39) 13x — 5x + 6x + 7x 41) 100 —4b —8b —9b

43) 4a 4- 3a — 6b 4- 5b 11 - 6d 4- 9d 4- 3d 4- 9 45) 4x 4- Sy — x 4- 2 Oy 4- x 8a — 4b 4- c 4- 7a 4- 3b 5m —- m 4- 3p 4- 4m — p 47) 7q 4- 3q4- 4r — 6r 3a — 4b 4-c4-7a4-b — c 49) 5a — 4a — b 4- c 4- 2b 7a — 8c 4- 9b — 2a 4- 8c --4b 10x + 12y — 2z + 4x 4- 5y + 8z 6a — 4b 4- 5c — 3a 4- 8b — 7c 19a — 3b 4- 4c — 7c 4- 16a 4- 4b — 3c 4- a 4x 4- 5y — 3y 4* 4z 4- 6x — 19x 4~ y 4~ z 3p 4- 4q 4- r — s 4-1 4- 4r 4- 192q — 13t 214u 4- 13w — 272u 4- 279v 4- 72u — 270v 4- 3w 4x 4~ 5y 4" 7z — 2x — 2y 4* 5z 4* 6x 4- 5y — 4z.

42) 44) 46) 48) 50) 51) 52) 58) 54) 55) 56) 57)

Ebenso die folgenden Ansdrücke, z« lösen sind:

58) 60) 62) 68) 64) 65) 66) 67) 68)

bei denm aber noch

vorher Klammern

9a — (5a 4- b) 59) 19x 4- (4y — x) 87—(3a 4- 4) — 2a 61) 4a—7b 4- (3a — b 4- c) 4- 4c 27a — (b 4- c — a) 4- (4b — c) 11a — (7b — 9c) 4- (8b — 6c) — 3a 13a — [6b 4- (8c — 4b) — 12c] 5x 4- (x — Sy) — (4x — y) 4- (7x 4- 3y) — (3y 4- x) 4- (4x 4- 16y) a— b —c 4~ (a 4- b — c) 4~ fa — b 4- c) 4~0> + c — a) —(a — b) 4a — 5 4- (6a — 7) — (3a -j- 4) 4- (6a 4- 15)—(a 4- 1) m 4- 4n 4~ 3q — [27m — (25p 4- 24m) — 80q] 4~ (94m — n — q).

Schließe die auf da- erste Glied folgenden Glieder jedes Aggregats mit Benutzung der unter D angeführten Regel II in eine Klammer ein: 69) a+3b4-4c4-d

70) p — 3q 4-v 4-r + s

71) 7m —3a—11b —12c 73) 24 4-x 4- 2y—3z —u

72) A — B — C 4-D 4-E 74) 16 — a 4- b — c 4- d — e.

Schließe die drei letzten Glieder jedes der folgenden Aggregate in eine Klammer ein:

75) 4a 4- b + c - d 77) 17 v—13 w — 4x — y 79) 4a 4- a' — b' + c' — d'

76) 3p4-q4-r —2s —4t 78) 26 —a-|-b4-c4-d 80) e4-f—g—h4- 10k.

81) Verwandle das folgende Aggregat auf alle mögliche Weise in ein Aggregat von nur drei Gliedern, ohne die Reihenfolge der Glieder zu

ändern: 7a — 3b 4- 4c — d — 3s. 82) Ändere auf alle mögliche Weise die Reihenfolge der drei auf das erste

Glied folgmden Glieder bei:

a) m — a4~ b — c

b) 8m — a 4- 2b 4~ c-

Verwandle nach Vorschrift der Formeln V, und V2 die folgenden Differenzen in Differenzen a) deren Minuend»- 15 ist, b) deren Minuend»- 1000 ist, c) deren Subtrahend»- 1 ist, d) deren Subtrahend»- 800 ist. 83) 19 — 7

84) 34 — 33

85) 700 — 689.

§ 6.

86)

Gesetze der ersten Stufe.

31

Vereinfache die folgenden Ausdrücke nach Ausführung der Substitutionen A = 7x -|- 3y — z, B = 8x — y -f- 15z, C = 16x — y — z: a) A + B + C b) A — B 4- C c) A — B — C d) B — A + C e) C — A — B f) C 4- A — B.

87) Gib die Formeln an, welche mit jeder der folgmden vier Regeln in Einklang find: a) Eine Rechnung erster Stufe an einer Summe ist (dem Resultate nach) dieselbe Rechnung an einem der Summanden. b) Rechnung an einer Differenz ist dieselbe Rechnung am Minuendus oder die entgegengesetzte am Subtrahendus. c) Rechnung mit einer Summe ist dieselbe Rechnung mit den Summanden nacheinander in irgend einer Reihenfolge. d) Rechnung mit einer Differenz ist dieselbe Rechnung mit dem Minuendus und die entgegengesetzte mit dem Subtrahendus in irgend einer Reihenfolge. 88) Erläutere, inwiefern man die Formel (Nr. 16) (a + »') - (b + b') = (a - b) + (a'-b')

bei dm folgenden Subtraktionen benutzt: a) 87 JC 70 — 12 Jt 50 3^6 b) 24 M 38 l — 13 M 15 l c) 7 römische Meilen (milia passuum) und 400 passns vermindert um 4 römische Meilen und 250 passus. 89) Erläutere, inwiefern man die Formel (Nr. 16) a + a' — (b 4- b') = (a —b) + (a — b') benutzt, wmn man 76 — 24 dadurch berechnet, daß man die Zehner für fich und auch die Einer für fich subtrahiert, und die mtstandmm Differmzm zu einer neuen Zahl zusammmfügt nämlich 76 — 24 = (7 • 10 + 6) — (2.10 + 4) = (7 • 10 — 2 • 10) + (6 — 4) = 5 . 10 + 2 = 52. 90) Die Differenz 87 — 29 berechnet man entweder so: 87 — 29 = (8.10 + 7) — (2 . 10 + 9) = (8 • 10 — 2 . 10) — (9 — 7) = 6 - 10 — 2 = 5 . 10 + 10 — 2 = 5 • 10 + (10 — 2) = 5 • 10 + 8 = 58 oder so: 87 — 29 = (8 • 10 + 7) — (2 • 10 + 9) = (7 • 10 + 10 + 7) — (2• 10 + 9) = (7 -10 — 2 ■ 10) 4" (10 — 9 4- 7) = 5 . 10 4- 8 = 58. Erläutere in derselben Weise die Berechnungen von: a) 26 — 17 c) 63 — 46 e) 895 —736 b) 93 — 8 d) 824 — 573 f) 4123 — 2345.

Um die folgenden Gleichungen zu lösen, schaffe man zuerst die Klammem weg, verfahre dann nach der Regel IV und transponiere erst zuletzt. 91) 19 —(x 4- 4) = 10 92) 19 —(x —4) = 10 93) 57 4-(y—18) = 64 94) 10 — [4 — (3 4-y)] = 63

32

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

(Rull und negative Zahlen.)

Führe die folgenden Subtraktionen aus (vergl. F):

108) a -|- x > q a = a (subtr.)

109) a 4- b = c 4- d by (subtr.)

112) a > u v b < v (subtr.)

113) x 4- 2y < 4a— 5b 2y > 7b (subtr.)

114)

Sprich die sechs Schlüsse unter F in Worten aus.

Was kann man aus folgenden Ungleichungen für x schließen: (vergl. G)

115) 118) 121) 124)

x 4- 5 > 8 14 —x

116) x — 3 8 122) x 4- 99 < 120 2a—7b.

117) 8 4- x > 15 120) 10—x>2 123) x— 5a >b

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets. (Null und negative Zahlen). Theorie. I) Definitiv«: (a—b)4-b = a, auch wenn a nicht größer als b ist. II) Definition der Null: a — a = 0. III) Definition der negativen Zahlen: a— (a4-n)=0 — n== — n. IV) a 4- 0 = a, 0 4- a = a, a — 0 = a. V) a4-(—n)=a—n, a—(—n)=a4-n, (—n)—a=—(n4-a). A. Begriff der unausführbaren Differenzform.

Aus der Definition der Silbtraktion als der Umkehrung der Addition ergibt sich, daß a — b, wenn a gleich b oder kleiner als b ist, eine bloße Bereinigung dreier Zeichen ist, welche zwar die Form einer Differenz hat, aber insofern noch sinnlos ist, als sie keine Zahl im Sinne des § 4 (kein Ergebnis des Zählens) darstellt. Hierin liegt aber noch kein Grund, solche

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

(Null und negative Zahlen.)

33

Differenzformen aus der Arithmetik zu verbannen; um so weniger, als die Zulassung derartiger Differenzformen die Sprache der Arithmetik wesentlich vereinfacht. Wir erklären deshalb, auch wenn a gleich b oder kleiner ist als b, a—b als eine Differenzform, welche, wenn sie auch keine Zahl darstellt, doch der Definitionsformel der Subtraktion (a — b) + b = a gehorchen soll. B. Definition der Null und der negativen Zahlen.

Für solche Differenzformen gelten dann ohne weitere- die Gesetze des § 6. Denn diese stützen sich einzig und allein auf die Definittonsformel (a — b) + b = a, deren Geltung wir auch für die neuen Differenzformen gefordert haben. Bon besonderer Bedeutung sind hier die Formeln V des § 6. Sie sprechen die Gleichheit aller Differenzformen aus, die man aus einer bestimmten Differenzform erhält, indem man Minuendus und Subtrahend»- um dieselbe Zahl vermehrt oder vermindert.

Daraus folgt zunächst die Gleichheit aller Differenzformen, bei denen der Minuendus gleich dem Subtrahend«- ist. Es ist also a—a=b—b=c—c usw. Für a — a setzt man das Zeichen 0 (gelesen: „nnD").

Eine Differenzform, bei welcher der Minuendus kleiner ist als der Subtrahend»-, kann man schreiben: a — (a -|- n). Sie ist nach dem oben ge­ nannten Gesetz (Formeln V be8 § 6) gleich jeder andern Differenzform, die man erhält, wenn man den Minumdus und den Subtrahendus um dieselbe beliebige Zahl vermehrt oder vermindert, oder, was dasselbe ist, wenn man an Stelle von a eine beliebige andere Zahl einsetzt. So ist z. B.:

7 — 9 = (7 — 4) — (9 — 4) = 3 — 5 oder 7 — (7 + 2) = 3 — (3 4-2) = 3 — 5 oder allgemein a — (a -s- n) ----- b — (b 4* *>)• Das heißt: Es sind alle Differenzformen gleich, bei denen der Subtrahendus um dieselbe Zahl n größer ist als der Minuendus. SS ist daher zweckmäßig, von allen diesen untereinander gleichen Differenzformen eine als Vertreter der ganzen Gruppe auSzuwählen. Dafür eignet sich am besten die Differmzform, in welcher der Minuend»- gleich 0 ist, in der also der Subtrahendus die genannte Zahl n ist, welche die ganze Gruppe von Differenzformen auszeichnet. Nach der Formel Vt des § 6 ist nämlich:

a — (a 4~ n) = (a — a) — (a 4- n — a)

0 — n.

Statt der Differenzform 0 — n setzt man endlich das abkürzende Zeichen — n, also:

a — (a + n) = 0 — n = — n (gelesen: „minus n"), z.B.: 7 —9=7—(7 4-2)=(7 —7) —(7 4-2 —7) = 0 — 2= —2. Da die meisten Gesetze der Arithmettk nicht bloß auf Zahlen, sondern auch auf die eben definierten Zeichen 0 und—n anwendbar sind, so nennt man, Schubert ltnb Schumpelick, Arithmetik. Heft 1. 3

34

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

(Rull und negative Zahlen.)

der Kürze wegen, auch diese Zeichen 0 und —n „Zahlen". Wenn man die Zahlen — 1, — 2, — 3, — 4, — 5 usw. den eigentlichen Zahlen im Sinne des § 5, also 1, 2, 3, 4, 5 usw. gegenüberstellt, so nennt man erstere negative, letztere positive Zahlen. C. Graphische Darstellung. Bei der graphischen Abbildung (§ 4) der positiven Zahlen ist das Bild der Zahl a — 1 immer um einen Schritt linls von dem Bilde der Zahl a. Will man also dieses Abbildungsverfahren nach links von 1 fortsetzen, so hat man den Punkt, welcher einen Schritt links von 1 liegt, mit 1 — 1, d. h. mit 0, den Punkt, welcher noch einen Schritt links von 0 liegt, mit 0 — 1, d. h. mit — 1 zu bezeichnen, und so fort. So entsteht die folgende Abbildung: —I------ 1--------1------- 1------ 1------ 1------ 1-------1------- 1------- 1------- 1------- 1-------1-------1------- 1------

—5—4—3—2—1

012345

Durch die Einführung der Null und der negativen Zahlen wird also das Zahlengebiet in dem Sinne erweitert, daß bei der graphischen Abbildung nun auch Punkte links von 1 Zahlen darstellen können.

D. Relative Zahlen, Vorzeichen, absoluter Betrag. Da 0 + a oder a 4 0 = a + (b — b) = a + b — b = a und auch a — 0 = a — (b — b) ----- a — b + b = a ist, so ergibt sich der Satz:

Eine Zahl bleibt ungeändert, wenn man sie um Null vermehrt oder vermindert. Da nun 0 — n = — n ist, und da ferner 0 4- n = n ist, so liegt es nahe, für n auch -s- u zu schreiben. Demgemäß sagt man statt „positiver und negativer Zahlen" auch „Zahlen mit dem Borzeichen plus" und „Zahlen mit dem Vorzeichen minus." Von den beiden Borzeichen 4- und — heißt das eine das „entgegengesetzte" oder das „umgekehrte" des andern. Mit Borzeichen versehene Zahlen nennt man relative Zahlen. Streicht man von einer relativen Zahl das Borzeichen fort, so entsteht eine Zahl, die man den absoluten Betrag der relativen Zahl nennt. Z B. 4- 7 ist eine positive Zahl, ihr absoluter Betrag ist 7, — 7 ist eine negative Zahl, ihr absoluter Betrag ist auch 7. Eine positive und eine negative Zahl heißen „einander entsprechend", wenn ihre absoluten Beträge gleich sind, z. B. + 7 und — 7. Setzt man in 0 4- n = 4- n und in 0 — u — — n die Zahl n gleich null, so gelangt man zu dem Begriff von 4* 0 und — 0 und zu der Er­ kenntnis, daß sowohl + 0 als auch — 0 gleich 0 zu setzen ist. Man zählt deshalb auch die Zahl Null zu den relativen Zahlen. E. Rechenregeln. Je nachdem eine negative Zahl als Summandus oder als Subtrahendus oder als Minuendus auftritt, hat man eine der drei folgenden Regeln an­ zuwenden.

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

(Null und negative Zahlen.)

35

1) Eine negative Zahl wird addiert, indem man ihren absoluten Betrag subtrahiert, denn: a + (—n)=a -s- sb — (b + n)] = a + b—(b +n) = a +b—b—n=a—n, oder: a + (—0) — a + (0— n) = a + 0— n = a — n. 2) Eine negativeZahlwird subtrahiert, indem man ihren absoluten Betrag addiert» denn: a — (—n) = a — [b—(b + n)] = a—b + (b + n)=a—b + b + n=a -|-n, oder: a — ( — n) = a — (0 — n) = a — 0 +- n = a + n. 3) Bon einer negativen Zahl wird subtrahiert, indem man zu ihrem absoluten Betrage addiert und die entstandene Summe negativ setzt, denn: (— n) — a== [b — (b + n)] — a = b — (b + n + a) = b — [b + (n + a)] — — (n + a)oder: ( — n) — a = (0 — n) — a = 0 — (n + a) = — (n -|- a). Die Zahl a in den voranstehenden drei Nummern kann selbst positiv, null oder negativ sein. Z. B.: (+ 4) + (— 7) = (+ 4) - 7 = 4 — 7 = - 3 (- 4) + (-7) = (- 4) - 7----------- (4 + 7)----------- 11 (+ 4) — (— 7) = ( + 4) + 7 = 4 + 7 = + 11 (- 4) - (— 7) =(- 4) + 7 = 7 - 4 = + 3 0 + (— 7) = 0 — 7 = —7 0 — (— 7) = 0 + 7 = + 7. AuS den obigen drei Regeln ergeben sich für das Rechnen mit relativen Zahlen die folgenden praktischen Regeln:

Regeln für daS Rechnen mit relativen Zahlen.

I.

Mau subtrahiert eine relative Zahl» indem mau die entsprechende mit dem umgekehrten Borzeichen versehene Zahl addiert. Z. B.: (- 4) — (+ 7) = (— 4) + (- 7) und (- 4) — (— 7) = (— 4) + (+ 7).

II.

Man addiert zwei Zahlen mit gleichen Borzeichen» indem man der Summe ihrer absoluten Beträge daS gemeinsame Borzeicheu gibt. Z. B.: (+ 4) + (+ 7) = + 11 und (- 4) + (— 7)--------- 11.

III.

Mau addiert zwei Zahlen mit verschiedenen Borzeicheu, indem man der Differenz ihrer absoluten Beträge daS Borzeicheu der größere« gibt. Z. B.: (— 4) + ( + ?) — + 3 und (+ 4) + (— 7) — — 3 Da die Reihe der negativen Zahlen durch wiederholtes Hinzufügen von — 1 entsteht, nennt man — 1 die Einheit der negativen Zahlen. Dem An­ fänger im Rechnen mit relativen Zahlen bietet es oft eine Erleichterung, wenn er jede positive Zahl als Summe von positiven, jede negative Zahl als Summe von negativen Einheiten auffaßt und berücksichtigt, daß gleiche Anzahlen positiver und negativer Einheiten sich bei der Addition gegenseitig aufheben. In dem Ausdruck (— 17) + (+ 9) heben sich z. B. 9 von den 17 negativen Einheiten gegen die 9 positiven Einheiten von (+ 9) auf, es bleiben also 8 negative Einheiten übrig, d. h. es ergibt sich die Zahl — 8

36

§ 7.

Erste Erweiterung de» Zahlengebiets.

(Null und negative Zahlen.)

Über die graphische Veranschaulichung des Rechnens mit relativen Zahlen siehe Aufgabe 18) bis 23). F. Vorteile der Einführung der Rull und -er negativen Zahle«.

1) Jedes Aggregat von p Gliedern kann man als Summe von p relativen Zahlen auffafsen. Man nennt eine solche Summe von relativen Zahlen eine algebraische Summe. Es ist z. B.: 9 + 4 — 3 — 2 + 18 — 1 + 5 = (+ 9) + (+ 4) + (— 3) + (— 2) 4- (+ 18) + (— 1) + (+ 5) eine algebraische Summe der sieben Summanden + 9, 4- 4, — 3, — 2, + 18, — 1, 4- 5. 2) Bei der Berechnung eines Aggregats kann man jetzt stets die Reihen­ folge der Glieder beibehalten. Z. B.: 5 — 18 — 3 4-5 — 6 4- 30 kann man jetzt so berechnen: 5 — 18 = —13,— 13 —3 = — 16, — 16 4- 5 = — 11, — 11 —6 = —17, —17 4- 30= 4- 18. 3) Aus jeder richtigen Gleichung erhält man wieder eine richtige Gleichung, wenn man zugleich allen Gliedern der linken Seite und allen Gliedern der rechten Seite das entgegengesetzte Zeichen gibt. Um dies einzu­ sehen, subtrahiere man die Gleichung von 0 = 0. 4) Diese Regel kann man anwenden bei der Lösung von Bestimmungs­ gleichungen. Aus der Gleichung 7 — x = 5 kann man z. B. durch Transposition von 7 schließen — x = 5 — 7 = — 2 und erhält hier­ aus nach 3) die Lösung x = 2. 5) Gleichungen, die vor Einführung der Null und der negativen Zahlen als nicht lösbar erscheinen mußten, können jetzt als lösbar erkannt werden. Z. B. ergibt 4 — (x 4- 7) = 2 die Lösung x = — 5. 6) Auch bei benannten Zahlen gewährt die Einführung negativer Zahlen oft eine Vereinfachung. So kann man z. B.: a Schritte rückwärts als — a Schritte vorwärts a c/ft Schulden als — a —3 + 1 > — 1 (add.) — 2 > —3 (subtr.)

+ 7>—3

— 3 > —5

2< + 8.

AufgiUrerr. 1) Gib Differenzformen an, welche der Differenzform a) 8 — 8, b) 9 — 11, c) 13 — 41, d) 128 — 400, e) 428 — 428, f) 7100 — 8100 gleich­ gesetzt werden dürfen. 2) Wie schreibt man kürzer für a) 20 — 20? b) 18 — 25? c) 700 — 920? 3) Inwiefern ist die Formel (§ 6, Nr. 6) b — c + a = b + a — c in § 6 noch sinnlos, wenn b < c ist, und inwiefern erhält sie durch diesen Paragraphen Sinn? 4) Was ist a — b — c, wenn a = b + c ist? 5) Was ist 5a —5a? 6) Was ist 5a —(5a + 1)? 7) WaS ist a) 16 + 0? b) 0 + 16? c) 16 — 0? d) 0 — 16? e) 0 + 0? f) 0 — 0? 8) Wieviel Einer haben die Zahlen 40, 150, 7000? 9) Warum darf die Null bei 40 nicht fortgelassen werden, während doch bei 4 4- 0 das Zeichen + 0 fortgelaffen werden darf? 10) Weshalb pflegt man vor eine Zahl nie eine 0 zu setzen und schreibt z. B. 713 und nicht etwa 0713? 11) Was ist (a — n) — a? 12) Was wird aus der Formel a — (b + c) = a — b — c, wenn — c statt c substituiert wird? 13) Wie heißt der absolute Betrag der Differenzen: a) 16 — 19, b) 19 — 16, c) 24 — 124, d) 124 — 24? 14) Was wird aus der Definitionsformel der negativen Zahlen a — (a + n) — — n, wenn n = 0 gesetzt wird? 15) Formuliere und beweise den Satz: „Die Summe zweier verschiedener relativer Zahlen von gleichem absolutem Betrage beträgt 0." 16) Gilt der Satz, daß eine Summe größer ist als einer ihrer Summanden, auch dann, wenn der andere Summand negativ ist? 17) Wie ändert sich da- Resultat der Subtraktion, wenn man MinuenduS und Subtrahendus miteinander vertauscht? 18) Die durch a + b geforderte Addition kann man graphisch darstellen, indem man von dem Punkt, der die Zahl a darstellt, um b Schritte vorwärts, d. h. nach rechts geht. Um auch die durch a + (— b) ge-

88

§ 7.

19)

20)

21) 22)

28) 24) 25)

26)

27)

28) 29) 30)

31)

32) 33)

Erste Erweiterung des ZahlengebietS.

(Rull und negative Zahlen.)

forderte Addition zu veranschaulichen, müßte man von a auS um (— b) Schritte vorwärts gehen, a) Was kann man statt dessen tun (vgl. F6)? b) Wie kann man also die Addition einer negativen Zahl graphisch darstellen? Verdeutliche hiernach graphisch die Berechnung von: a) 4 + (— 7), b) 10 + (- 6), c) 6 + (- 10), d) (- 6) + (- 6). Die durch a — b geforderte Subtraktion kann man graphisch darstellen, indem man von dem Punkt, der die Zahl a darstellt um b Schritte rückwärts, d. h. nach links geht. Um auch die durch a — (— b) ge­ forderte Subtraktion zu veranschaulichen, müßte man von a aus um (— b) Schritte rückwärts gehen, a) Was kann man statt dessen tun (vgl. F6)? b) Wie kann man also die Subtrattion einer negattven Zahl graphisch darstellen? Veranschauliche graphisch die Berechnung von: a) 4 — (— 7), b) 10 - (— 6), c)6 —(- 10), d) (— 6) - (- 6). Nach der ursprünglichen Definitton der Subtrattion bedeutet a — (— b) die Zahl, die zu (— b) addiert werden muß, damit a herauskommt. Wie kann man hiernach die Subttaktion einer negattven Zahl graphisch darstellen? Veranschauliche nach 22) die in 21) angedeuteten Subtraktionen. Um wieviel ist a) (— 7) kleiner als -s- 7, b) (— n) kleiner als + a, c) (— n) kleiner als Null, d) (— 7) kleiner als 4? Wieviel Grade wurde es wärmer, wenn das Thermometer a) von — 5UC bis + 7»6, b) von — a°C bis + b°C stieg? (Vgl. die Skala des Thermometers mit der graphischen Darstellung der posittvea und negattven Zahlen.) Die mittlere Juli-Temperatur in Berlin ist + 18,7°C, die mittlere Januar-Temperatur ist — 2,4 "0. Um wieviel Grade ist die JuliTemperatur höher als die Januar-Temperatur? Der höchste bekannte Berg, der Gaurisankar, ist ungefähr 8800 m hoch, die größte im stillen Ozean gemessene Meerestiese beträgt 8500 m. Wie hoch liegt die Spitze des Gaurisankars über der tiefsten Stelle des stillen Ozeans? Wieviel Jahre vor Chr. Geb. wurde Augustus geboren, der 14 Jahre nach Chr. Geb. im Alter von 77 Jahrm starb? Blei schmilzt bei 332°C, Quecksilber friert bei einer um 371 °C tieferen Temperatur. Bei wieviel Grad C friert Quecksilber? Die Brocken-Spitze liegt 1142 m über dem Meeresspiegel, das Tote Meer liegt 1536 m unter dem Gipfel des Brockens. Welche Höhe über dem Meeresspiegel hat da- Tote Meer? A machte beim Billardspiel a points, B machte a + p points. Um wieviel points steht A besser? Jemand gewinnt 2 b 3) a d (div.) c > d (div.) a : c -< b : d a : c < b: d a: c > b: d

und umgekehrt gelesen: 4) b < a d — c (div.) b : d < a: c

5) b = a d < c (biü.)

6) b > a d a:c

b:d > a:c

Dabei ist vorausgesetzt, daß a, b, c, d positiv sind, sowie daß c ein Teiler von a und d ein Teiler von b sei. Um 1) zu beweisen, schließe man aus a >■ b, a = b 4- p, wo p eine positive Zahl bedeutet, und dividiere nun links durch c, rechts durch d. Dann findet man durch Anwendung der Formel VIII: a; c = b : d 4 p : d, also a : c > b : d. Um 2) in derselben Art zu beweisen, schließe man aus c > d, c = d 4- p, wo p eine positive Zahl bedeutet. Dann ergibt sich: a : c = b : (d 4- p). Durch Anwendung von Formel X erhält man b : (d 4- p) = b : d 4- (— dp): [d (d 4 p)]. Also ist d : (d 4- p) d. h. a: c, kleiner als b : d, nämlich um bp : [d (d 4- p)]. Analog ist 3) zu beweisen.

§ 10.

Gesetze der zweiten Stufe.

69

H. Transpofitionsregel zweiter Stufe für Angleichungen.

Aus den Schlüffen 1) und 4) von H und den entsprechenden 2) und 5) von K in § 8 folgt, daß für Ungleichungen, unter Voraussetzung positiver Zahlen, dieselbe TranspositionSregel zweiter Stufe gilt wie für Gleichungen. Denn: 1) a • b > c 2) a • b c 4) a : b ■ e: b

a

< c: b

a

> c • b

a

\bft + d),

(a + b): c • [e : (f: g)] = Schreibt man umgekehrt statt des Bruchstrichs einen Doppelpunkt, oder fällt aus irgend einem anderen Grunde der Bruchstrich ganz fort, so darf man natürlich nicht vergessen, Zähler und Nenner, wenn die Klammerregeln es er­ fordern, in Klammern zu setzen, wie die obigen Beispiele, von rechts nach links gelesen, zeigen.

§11. Zweite Erweiterung des Zahlengebiets. (Gebrochene Zahlen.) Um Undeutlichkeiten zu vermeiden, muß der Bruchstrich immer so gestellt werden, daß seine Verlängerung vorangehende oder nachfolgende Gleichheits­ und Operationszeichen in deren Mitte treffen würde. Man mache daher nach einem solchen Zeichen lieber zuerst den Bruchstrich und schreibe dann den Zähler darüber und den Nenner darunter. C. Graphische Abbildung.

Bei unserer graphischen Abbildung der Zahlen werden die eigentlich ge­ brochenen Zahlen durch Punkte dargestellt, die zwischen den Punkten liegen, 7 welche die ganzen Zahlen darstellen. Um z. B. das Bild von -g- zu erhalten, hat man einen Punkt aufzusuchen, der so beschaffen ist, daß man auf die Zahl 7 stößt, wenn man die Strecke zwischen 0 und dem gesuchten Punkte von 0 aus 3 mal nach rechts abträgt. So entsteht die folgende Abbildung:

-8 5 -i i —4

—3

—2

—3 4 i i —1

11 0

1 2 11

7 3 1i 1

2

7 2 —i—i—i---3 4

5

D. vruchregelu. Da eigentliche Brüche nichts anderes sind als unausführbare Quotienten, so behalten die in 8 10 abgeleiteten Formeln für ausführbare Quotienten auch für eigentliche Brüche ihre Geltung. Einige dieser Formeln, die für das Rechnen mit Brüchen besondere Bedeutung haben, sind daher, mit Bruchstrich geschrieben, diesem Paragraphen vorangestellt. Die Formeln II, III, VI sind identisch mit den Formeln V und VIII bis X aus § 10. Die Formeln IV stimmen mit den in den Aufgaben 8) bis 10) von § 10, die Formeln V mit den in Aufgabe 16) von § 10 aufgestellten Formeln überein. Die folgenden Bruchregeln sind mit Ausnahme der ersten und dritten nichts weiter als Übersetzungen der Formeln II bis V in Worte.

Brnchregelu. 1) Jede Zahl kann als Bruch betrachtet werden, dessen Zähler sie selbst und dessen Nenner 1 ist.

2) Ein Bruch bleibt seinem Werte nach «ngeändert, wen» man ihn erweitert oder hebt, d. h. wenn man Zähler und Nenner mit der­ selben Zahl multipliziert oder dividiert (Formel II.)

a a.n a a: n b"— bTn' b"— b7n’

3 6 Z —'S ’

15 5 9" —"3 ’

7 ' ~ 1

21 IT

3) Zwei Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie durch Erweitern ans gleichen Nenner bringt (gleichnamig macht), dann die Zähler der so erhaltenen Brüche addiert oder subtrahiert und die erhaltene Summe oder Differenz dnrch den gemeinsamen Nenner dividiert. (§ 10 F und § 10 Aufg. 19.)

76

§ 11.

(Gebrochene Zahlen.)

Zweite Erweiterung des Zahlengebiets.

a j c ad j bc ad + bc . a c Unb b d — V ‘ cs bd ' bd bd 3 1 _27 4 __31e 5 7 15 4 U 36 36 36' v 9 — 18 . 7 4 7 44 7 37 4 11— 1 11 11 11“ 1P 12 1 £ , 8^ _2 13 4 "T 3 + "6 — 12 12 + 12 12'

ad bc ad —b c bd bd — bd 14 1 18 —18’

Der bei der Addition oder Subtraktion zu bestimmende gemeinsame Nenner heißt Generalnenner (Hauptnenner). Er ist das kleinste gemeinschaft­ liche Vielfache der Nenner, d. h. die kleinste Zahl, in der alle Nenner ent­ halten sind. Diese Zahl ist bei kleineren Nennern leicht zu finden; so ist 12 die kleinste Zahl, in der 4, 3 und 6 enthalten sind (letztes Beispiel). Bei größeren Zahlen gilt folgende Regel: Man läßt zunächst die Nenner, die in andern Nennern enthalten sind, fort und stellt die übrigen dar als Produkte von Potenzen von Primzahlen, d. h. von Zahlen die außer sich selbst und 1 keinen Teiler haben. Der Generalnenner muß dann jede überhaupt vorkommende Primzahl als Faktor ent­ halten und zwar in der höchsten vorkommenden Potenz. Sind z. B. 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 20 die vorliegenden Nenner, so läßt man 2, 3, 4, 5 unberücksichtigt und zerlegt die andern. Es ist: 8 = 23, 9 = 32, 12 = 22 • 3, 20 -= 22 • 5. Der Generalnenner ist dann 23 • 32 • 5 = 360 (vgl. § 20 D). 4) Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert «ud das erhaltene Produkt durch den Renner dividiert. (Formel IV.)

a ac 3 . b" ' C — b ' 4" ' °

15 "4 *

5) Ein Bruch wird durch eine Zahl dividiert, indem man den Nenner mit der Zahl multipliziert und den Zähler durch das erhaltene Produkt dividiert. (Formel IV.)

a a 3 — 3 lT : c = bc' T : ö = 20' 6) Eine Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie mit dem umgekehrten Bruch multipliziert. (Formel IV.)

b c ac r 3 - 4 20 a : — = a • c = -7—, 5 : = 5 • — = —. c b b ' 4 3 3 7) Zwei Brüche werden multipliziert, indem man'Zähler mit Zähler, Neuner mit Neuuer multipliziert und das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner dividiert. (Formel V.)

a c ac 3 5 b * d — bd' T’Y

15 28‘

8) Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem man ihn mit dem umgekehrten zweiten Bruch multipliziert. (Formel V.)

a . c b ' d

a b

d c

ad bc'

3 5 4'7

*L." 4 i>

20"

§11.

Zweite Erweiterung des Zahlengebiets.

(Gebrochene Zahlen.)

77

E. Relativ-gebrochene Zahlen. Der § 7 erteilte unausführbaren Differenzen einen Sinn, dieser Para­ graph erteilt unausführbaren Quotienten einen Sinn. Die Vereinigung der dadurch hervorgerufenen beiden Erweiterungen des Zahlengebiets führt auf zwei Arten von Zahlsormen, nämlich erstens auf unausführbare Quotienten,

deren Dividendus und Divisor relative Zahlen sind, z. B. unausführbare Differenzen,

Zahlen sind, z. B.

1

deren Minuendus und

3

—y

-t—=, zweitens

auf “T O Subtrahendus gebrochene

ist durch

Die erste Art von Zahlformen

die

obigen Betrachtungen (A) mit definiert, weil die Erfindung der gebrochenen Zahlen der Erfindung der relativen Zahlen nachfolgte, also bei der Definition der gebrochenen Zahlen der Quotient auch von relativen Zahlen schon erklärt war. Dagegen ist die zweite Art von Zahlformen noch nicht definiert, weil in § 7 Minuendus und Subtrahendus noch nicht als gebrochen vorausgesetzt wer­ den konnten. Wiederholen wir nun die Erörterungen von § 7, indem wir nur immer Minuendus und Subtrahendus als ganz oder eigentlich gebrochen vor­

aussetzen, so gelangen wir dazu, unter — * eine Differenzform zu verstehen, welche der Definitionsformel (— ~) + (c +

—c

immer gehorcht, auch wenn a kein Vielfaches von b ist. Indem wir nun eine solche Differenzform wieder eine Zahl nennen, erhalten wir die Definition der negativen gebrochenen Zahl. Auf dieselbe Weise wie im § 7 gelangen wir dann zum Begriff der positiven gebrochenen Zahl, zum Begriff der relativen gebrochenen Zahl, zum Begriff von ihrem absoluten Betrage und schließlich zu Regeln über das Rechnen mit relativen gebrochenen Zahlen, Regeln, welche mit den Rechenregeln über relative ganze Zahlen genau übereinstimmen. Z. B.:

(- i)+(-i)=-(i+n(-f)+(+i)=-(f-i),(-i)-(-i) = (-+ c — b" "*

a

c " "6" a ac b + c ~ b" — b(b + cT

■£" (b +c) a b+c _ "b

b~T (a + b) : (c + d) = A + T+d .ad C a+T

do —aä a c “*■ (c + d)c

b-^ = Rest. 3)

(x2 + 1) : (X + 1) = X - 1 + -j—

X« + X

X

-X + 1 — X — 1 + 2 = Rest. G. Vorteile der Einführung der gebrochenen Zahlen. 1) Aus jeder richtigen Gleichung erhält man wieder eine richtige Gleichung, wenn man die reziproken Werte beider Seiten einander gleichsetzt. Um dies einzusehen, dividiere man die Gleichung 1 = 1 durch die ursprüngliche Gleichung. 2) Diese Regel kann man anwenden bei der Lösung von Bestimmungs­ gleichungen. Aus der Gleichung ^ = 4 folgt z. B. y — und daraus

x = 3.

Aus 2^^3 = 37=78

2x—3 = 3x —8, x = 5.

3) Gleichungen, die vor Einführung der gebrochenen Zahlen als unlösbar erscheinen mußten, können jetzt als lösbar erkannt werden. Z. B. ergibt:

5 — 7 = 0 die Lösung: x = ~ 6x 4- 1 3x — 5 1 . o..r 11 ------- ! btc Losung x^ — g- = — 3$.

o y

4) Die Formeln von § 9 und § 10 können auf den Fall ausgedehnt werden, daß die darin auftretenden Dividenden keine Vielfachen der zugehörigen Divisoren sind. • 5) Die in den Formeln der Paragraphen 4 bis 10 auftretenden Buch­ staben können selbst positive oder negative gebrochene Zahlen sein.

H. Rull und unendlich groß. Schon oben ist angezeigt, daß

wenn x gleich null und a von null

verschieden ist, eine sinnlose Quotientenform ist.

Doch erhält y Sinn,

wenn

§ 11.

x zwar nicht

Zweite Erweiterung des Zahlengesetzes.

null,

aber

(Gebrochene Zahlen.)

eine sehr kleine Zahl ist.

welchen Sinn — in diesem

Falle erhält,

hat

81

Um zu beantworten,

man die

nicht al-

Zahlen

konstant, sondern als veränderlich zu betrachten. Denkt man sich bei einem Produkte 3 • x, daß der Faktor x immer größer wird, also die Zahlen­ reihe aufwärts ohne Aufhören durchläuft, so wird e- möglich sein, immer ein so großes x zu finden, daß 3x größer als jede noch so große vorgeschriebene Zahl wird. Soll z. B. 3x größer als 3 000000 werden, so muß x größer sein als 1000000. Dasselbe ist nicht bloß bei der Zahl 3, sondern bei jeder positiven ganzen oder eigentlich gebrochenen Zahl a der Fall. Soll z. B. -^x größer als eine Billion werden, so muß x größer als 10 Billionen gewählt werden. Wir haben also den Satz: 1) Ein Produkt, dessen einer Faktor eine konstante, positive Zahl ist, kann dadurch, daß man den andern Faktor hinreichend groß wählt, größer als jede noch so große Zahl gemacht werden. Diese Wahrheit wird nun in der arithmetischen Zeichensprache so aus­ gedrückt: 1) a • oo = oc (gelesen: a mal unendlich groß gleich unendlich groß). Wir lernen hierdurch zweierlei kennen, erstens das Zeichen oo, welches ausdrückt, daß eine veränderliche Zahl größer als jede noch so große Zahl ge­ setzt werden darf, zweitens einen neuen Gebrauch des Gleichheitszeichens, indem dasselbe hier nicht zwei konstant gedachte, sondern zwei veränderlich gedachte Zahlen, also nicht Seiendes, sondern Werdendes verbindet. Hiernach wird auch der Sinn der Gleichungen a • (— oo) = — oo, (— a) • (oo) = — oc, (— a) (— oo) = + oo verstanden werden können. Dem Begriff „unendlich groß" steht der Begriff „unendlich klein" gegenüber. „Unendlich klein" oder „Verschwindend" nennt man eine veränderlich gedachte Zahl, wenn sie kleiner gemacht werden kann

als jeder noch so kleine positive, echte Bruch.

Z. B.

ist unendlich

klein, wenn a eine positive, konstante Zahl ist, weil y kleiner als jeder noch

so kleine positive, echte Bruch werden kann, wenn man nur x hinreichend groß 7 1 wählt. Um z. B. — kleiner als 1000000 zu machen, müßte man x größer als 7000000 nehmen. Wenn sich eine veränderlich gedachte Zahl einer konstanten Zahl immer mehr nähert, d. h. sich von ihr um eine unendlich kleine Zahl unterscheidet, so nennt man die konstante Zahl ihren Grenzwert (limes). Z. B. hat b — x den Grenzwert b, wenn die veränderliche Zahl x sich der Zahl 0 nähert. Man schreibt dies so: lim (b — x) = b (gelesen: „limes b — X für eine Zahl X, x — 0 (die sich der Null nähert, ist gleich b“. Hiernach darf man 0 als den Grenzwert von x ansehen, wenn x unendlich klein wird. Der Kürze wegen und wenn kein Mißver­ ständnis möglich ist, läßt man oft das Zeichen „lim“ fort und setzt statt x die Zahl ein, der sich x nähert. Deshalb bedeutet: Schubert und Schumpelick, Arithmetik.

Heft 1.

6

82

§11.

2)

Zweite Erweiterung deS Zahlengebiets.

(Gebrochene Zahlen.)

= 0 eigentlich folgendes: Der Bruchs-kann kleiner als jede

noch so kleine Zahl gemacht werden, wenn man nur x hinreichend groß wählt; 3)

^-=qc, wenn a positiv ist, folgendes: Der Bruch

kann

bei

positivem a größer als jede noch so große Zahl gemacht werden, wenn man nur x hinreichend klein wählt. Erläutere in ähnlicher Weise, wie oben Satz 1 erläutert ist, auch den Satz 2) und 3). Ebenso auch die Formeln: 4)

00 -j- L — 00,

5)

oc — L — 20,

6) a — 00 — — 00,

00 7) ~ = ao.

9

8) Um —für ein verschwindendes X ist gleich — oc.

Was ist ferner: 9) 10)

lim lim

13 13

n fiit ein kleiner werdendes, sich der Zahl 11 näherndes x? 1X für ein größer werdendes, sich der Zahl 11 näherndes X?

In H 9 v lernten wir, daß

gleichgesetzt werden kann. 11)

vieldeutig ist, d. h. jeder beliebigen Zahl

Ebenso sind vieldeutig die Zeichen-Bereinigungen:

12) oc -o,

13) ao — oc.

Warum?

Aufgaben. 1) Was versteht man unter a) f? b) iM c) TV? d) ? 2) Nenne sechs andere Quotientenformen, die der Quotientenform a) f, b) c) f, d) ff gleichgesetzt werden dürfen? 3) Welche von den folgenden Brüchen find eigentliche Brüche, und welche sind ganze Zahlen, die als gebrochene geschrieben find? a) |, b) f, c) d) f, e) A. f) 8) V' h) *. 0 ¥- k) W4) Schreibe als Brüche mit dem Nenner 1 und mit dem Nenner 2 die ganzen Zahlen: a) 4, b) 40, c) 720. 5) Kehre die folgenden Brüche um: a) -f, b) T74, c) |f, d) if-7, e) im. 6) Wie"^eißt der reziproke Wert von a) f, b) c) 4, d) 2, e) 400,

f) fff, g) -3JL? 7) Wie heißt der "Betrag des Bruches: a) ff, b) f,

c) J^,

d)

e) t’Ä f) itf, 8) rM 8) Setze statt des Bruchstrichs Doppelpunkt-Divisionszeichen in: a) s + y-_c, b) ^±2, c) -±.--e, d) 9) Markiere bei der graphischen Abbildung der Zahlen die Punkte, welche f f usw. bis darstellen.

§ 11.

Zweite Erweiterung des ZahlengrbietS.

(Gebrochene Zahlen.)

83

10) Gib an, welche Erörterungen in § 7 den Erörterungen A. in diesem Paragraphen genau entsprechen? 11) Inwiefern könnte man die Erfindung der relativen Zahlen die erst­ stufige, die Erfindung der gebrochenen Zahlen die zweitstufige Erweiterung des Zahlengebiets nennen? 12) Welche Form-Veränderung einer Differenz entspricht derjenigen FormVeränderung eines Bruches, welche man Heben oder Reduzieren nennt? Erläutere dies an dem Beispiel 3 —12 = 0 — 9. 13) Ist die Ausdrucksweise „einen Bruch verkleinern" statt „heben" zulässig? 14) Welche Formel entspricht hier der Formel: a — a = b — b? 15) Für die Differenz gleicher Zahlen hat man ein besonderes Zeichen, nämlich 0, eingeführt. Warum war es nicht nötig, für den Quotienten gleicher Zahlen ein besonderes Zeichen einzuführen? 16) Jede uneigentliche Differenz kann man in eine Differenzform ver­ wandeln, deren Minuendus 0 und deren Subtrahendus eine natürliche Zahl ist. Gib an: a) warum es in der Bruchlehre einen entsprechen­ den Satz gibt, wenn der Nenner ein Vielfaches des Zählers ist, z. B. Xi, b) warum nicht, wenn der Nenner kein Vielfaches des Zähler­ ist, z. B. 17) Auf was für eine Zahl kommt man, wenn man einen Bruch, bei welchem der Nenner ein Vielfaches des Zählers ist, umkehrt? 18) Dars man Brüche addieren, indem man Zähler zu Zähler und Nenner zu Nenner addiert? 19) Hebe die Brüche a) b) |f, c) d) ff, e) M. 20) Erweitere die folgenden Brüche so, daß der Nenner 72 erscheint: a) b) 1 c) 2, d) |, e) I, f) 2. g) 3_, h) H, i) £ k) £ 21) Suche den Generalnenner zu folgenden Nennern nach dem bei der dritten Bruchregel angegebenen Verfahren, a) 30, 36, 45; b) 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20; c) 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, “ 60, “ "* 72.

Berechne:

22) Ä + A 25) H+(ö- Ä) 28)1-Hi-^ 31) I + l-i + iT 34) I + 5 + 4+ I + I + 7+ ? 3«) l-l + f-l+lV-l1 1 3 38) tö +_H + fs + H 40) 3 + 5 — Fd + Tz — li

1 1 3

42) 4-(l-l) + (f-|) 43) (• 73

47) i-

9 8 8’15

£5

4 50) 27 • z

51) £ ' 30

52) | • 15 -s 6*

§11.

84

Zweite Erweiterung des Zahlengebiets. (Gebrochene Zahlen.)

61) |: 4

62)

7.12,48 9 * 35 49 16 7. . ( 4 . 50\ 21 ' 8 ' VI 25 9 / . £ • 7

b) i*, c)

76) Was bedeutet a)

d) — |?

Bei den folgenden Beispielen soll das Resultat als relativ-gebrochene Zahl angegeben werden, also in den Formen 4- » oder 0 oder — a oder 4- -5- oder —p wo a und b positive ganze Zahlen sind:

78) ||• 81) =-|-

77) l-l 80) 4-1^

83) (-1) (-t)-1-8:32 85) 72 : (4- 24 — 29); (— 18)

87)

4-3.4 — 4-5 + (7 — 9) - 3 — 44-H TT 14-2.3» 7 . JL

89)

91)

7») i - 5 + A ~ Ä 821 ~3*4- bs 82) 4.T5 + =ää

+

84) 3:(- 5)+ 3. (-2). 86) =!*.(_ 8) :[(-•54-0*8

1883

-34-I _ 4,(13-f).A , ______0_____ 3______ i___|______

-I

+

H

27— 6 • (0 — 1) T 13 : 5 • 4 • ( - 2/

Bereinfache die folgenden Ausdrücke, in denen Brüche nur als Zahlen­ koeffizienten vorkommen:

92) 94) 95) 96) 98) 99) 101) 103) 105) 107) 108)

(ja + lb) - (la - Ab) 93) (ja - |b) - (A» + Ab) (|x 4- |y — töz) — (äx — -1-y + üz) 3ab — (Jac 4- 5bc 4" f) 4" (|bc — Aac — 1) (4a - lb - 1c) -1 97) (3a-|b 4-5): (1 4-1) (4x - y) • 1 4- 1 - 3(x - 1) 4- 4 • (A |x) (|a 4- fb) (Ja - 5b) 100) (7a — |b) (12a - lb) (3 a — b — l)(a 4- 1 • b 4- A) 102) (ja 4-|b)2 (jx-Jy 4- l)(4x-ly 4-3-f) 104) (1 4- x)2 (1 — x)2 106) (ap2 4- bp 4- c) • 1p |(x 4- y) 4- 1 (x — y) + f (2x 4- y) 4- 1 (2x 4- 4y) (- lab) (-1 cd): (fac): (Abd) -1 •

§ 11.

Zweite Erweiterung des Zahlengebiets.

(Gebrochene Zahlen.)

85

Die folgenden Ausdrücke follm durch Anwendung der dritten Bruchregel

vereinfacht werden:

3p

5p

5p

HO) — *• + + ± +± ' 9 9 ’ 9 9 ’ 9 11 Ox 4ab — 7cd , 3ac — 4ab , 7cd—ao 112) --------------H--------- 5--------1-------56 6 * 5-------6 11 2a 2b 4- 3c 4a — b + 16c

109) 13 13 ' 13 3p —q , q , 2p 111) c *c * c a b + c — 3a 113) T 7

116) * + y_y

y i *-y 115) x + 2^2

118) 11

1 -

8 T

ab xy 128) i_ p + q p —q 4 132) x+^J133)x_-Sl 131) a —

+1

12S)

c "b

-

b c a + 2b a—b b 134) a — 4- 2a"-3b -|- c 135) 5 8 3 a 4" b a-b 3a 4* b — c 4a — b 4* o 136) 137) 4 2 3 6 7p4“3q—llr . 5p — q 4~ 10r 3p — q 4* 9r 188) 5 1 3 s5

130) a 4-

140)

4p 9p — m 21" 4 a — b + c , 7a -f- 3b -f- 5e 4 1 8

4m — p

139) 4a + b — c 2

+

a — 2b-|-c 16

141) 143)

145)

q)1 144) (p-q)2 +■ i__ (p + 4pq 4pq

(a-b) 4p7 p2q3r2

8p5q2

,

pq4r2 "•

q7 p3q3r

3p4q3 p2q2r3

..-.4a . 7 a2 —b2 , 3ab — 7a2o 4-b2o 146> v + —b~ +--------- ---------------

x2 — x — 1 X—1

3x2—5x4-7 x+1

+

2x3 — 5x2 -f- x — 1 (x—1) (x-HF

§ 11.

86 148) 149) 151)

152) 153)

Zweite Erweiterung de- Zahlengebiet«.

(Gebrochene Zahlen.)

a» + b» 4a» — ab + b» 3ab —a2 —2b2 a —b 2a —3b a—b 1» _ jb , _|c bc ac * ab 3x — y . 7x + 5y 8'5' 4x-l 7-3-» _________________ —i__ t* + 4 12 p 3p * 4p * 12p 6p ___ 5_____ |_____ Z___________ i I A l 2 (a —1) _r 3 (a — 1) 6(a—1) a—1*

+

Zur Vereinfachung der folgenden Ausdrücke find die Bruchregeln 4) bis 8) anzuwenden: . , .x 13 m n 155>4?ä'2'« 154> —q- q 1M> M

157) r • s • 7 rsq 160) (|’-4+4

1 sei öa«d 168) 26p»q • 13pq

1M> siä? ■im

161> (?-£+£)•*•'

162) ^:(3.)

163) ^ip4 : (Sabic3)

164) -iSb-:( ■ 24x2y5)

165)

15a2x + , -67 25abx \ . /K5ax)x !66) (!£ ,Tby 2 2)-