Analytische Geometrie [4. Aufl. Reprint 2019] 9783111370835, 9783111013886

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Analytische Geometrie von

Dr. Karl Peter Grotemeyer o . P r o f e s s o r der M a t h e m a t i k a n der F r e i e n U n i v e r s i t ä t Berlin

4. A u f l a g e

M i t 73 A b b i l d u n g e n

Sammlung Göschen 65/65a Walter de Gruyter & Co. Berlin 1969 vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung * J . Guttentap. Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

©

Copyright 1969 b7 Walter de Gruyter & Co.. vormalß G. J. Göschen'sche Verlagshandlung / J. Guttentag Verlagsbuchhandlung / Georg Belmer / Karl J. Trübner/ Veit & Comp., Berlin 80. — Alle Hechte, einschl. der Rechte der Herstellung Ton Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7711698. Satz und Druck: Mercedes-Druck, Berlin 61. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis I. Einleitung

Seite s 7

II. Die Vektoralgebra 1. 2. 8. 4. 6. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Definition der gebundenen und freien Vektoren Die Addition Ton Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Subtraktion von Vektoren Beispiele Der Begriff der linearen Abhängigkeit Das Innere Produkt (skalares Produkt) Das äußere Produkt (vektorlelles Produkt) Das Spatprodukt Das dreifache Vektorprodukt Mehrfache Produkte

7 0 0 10 12 IS 17 20 22 24 26

III. Das Koordinatensystem 1. Darstellung der Vektoren durch Zahlentripel 2. Das Bechnen mit Spaltendarstellungen 3. Anwendungen und einfache Beispiele

26 28 SO

IV. Geraden und Ebenen 1. 2. 8. 4. 6. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Die Hessesche Normalform Ebene durch zwei sich schneidende Geraden Ebene durch Punkt und Gerade Schnitt von Ebene und Gerade Schnitt zweier Ebenen Das Ebenenbüschel, das Ebenenbündel Winkel zweier Ebenen Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Windschiefe Geraden Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden Das hyperbolische Parabolold Projektion auf eine Ebene Spiegelung am Punkt, an der Geraden, an der Ebene

32 36 86 86 37 38 40 41 42 44 46 50 61

V. Kugeln 1. 2. 3. 4. 6.

Die Kugelglelchung Sohnltt von Gerade and Kugel. Kugeltangenten Die Potenz eines Punktes für die Kugel Der Schnitt zweier Kugeln Die Potenzebene zweier Kugeln, die Potenzgerade

62 63 64 65 68

4

Inhaltsverzeichnis VI. Der Matrizenkalkül

Seite

1. Definition und Multiplikation von Matrizen 2. Die Addition Ton Matrizen, Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl 3. Die Nullmatrix, die Eillheitfimatrix, da* Transponieren 4. Determinante einer Matrix, adjungierte Matrix, inverse Matrix 6. Einige Folgerungen 6. Zeilen- und Spaltendarstellungen von Matrizen 7. Abriß über lineare Gleichungen

60 64 65 66 67 68 71

VII. Affine Abbildungen 1. 2. 5. 4.

Die Parallel Verschiebung Definition der affinen Abbildung Einfache Eigenschaften der Affinität Weitere Eigenschaften der Affinität, Determinante der Abbildung, ausgeartete Affinitäten, Scherungsafflnitäten 5. Bestimmung einer Affinität durch Original- und Bildpiinkte.... 6. Die Parallelprojektion 7. Die affine Gruppe

74 75 78 79 81 82 83

VIII. Bewegungen 1. Definition und Eigenschaften 2. Der Orthogonallsierungsprozeß, Konstruktion Matrizen 3. Einführung eines neuen Koordinatensystems 4. Fixelemente von Bewegungen 5. Eigentliche Bewegungen 6. Unelgentliche Bewegungen (Umlegungen) 7. Tabellarische Übersicht 8. Die Gruppe der Bewegungen

orthogonaler

86 87 87 89 62 94 96 97

IX. Ähnliche (äquiforme) Abbildungen 1. Definition der ähnlichen Abbildung 2. Einfache Eigenschaften der ähnlichen Abbildung

98 99

X. Die Flächen 2. Ordnung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Definition der f , Klassifikation und Aufzählung der F, Kurze Beschreibung der Ft Schnitt von Gerade und Quadrik, Tangentialebene, Doppelpunkt Diametralebenen (Durchmesserebenen) einer Quadrik Mittelpunkte und Mittelpunktsquadrlken Die Hauptachsentransformation Das charakteristische Polynom Eigenwerte und Eigenvektoren Durchführung der Hauptachsentransformation Beispiele Der Bang orthogonal äquivalenter Matrizen Die Diakrlminante Kennzeichnung der Quadrlken durch Invarianten

100 101 105 110 112 113 115 116 118 120 122 124 125 126

5

Inhaltsverzeichnis

Seite 15. Spezielle Quadrlkenklaasen; Diametralebenengesamthelt Quadrik 16. Die Richtkegel und der Asymptotenkegel einer Quadrik 17. Ebene Schnitte einer Quadrik 18. Die Kreisschnitte bellen einer Quadrik 19. Da« System konzyklischer Quadriken 20. Geschichtliches über die Quadriken

einer

134 136 138 143 151 162

XI. Einführung in die Projektive Geometrie des Raumes 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Homogene P u n k t - u n d Ebenenkoordinaten, der projektive B a u m D a s Dualitätsprinzip Kollineatlonen, Korrelationen Die Projektive Geometrie, einfache Invarianten Der H a u p t s a t z der Projektiven Geometrie Die linearen Gebilde des i ' s u n d projektive Koordinaten derselben Einstufige Gebilde, das Doppelverhältnis Weitere Eigenschaften des Doppelverhältnisses: harmonische Punktepaare ö. Involutionen

155 158 162 163 165 167 168 173 175

XII. Behandlung der Quadriken im Rahmen der Projektiven Geometrie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Flächen zweiter Ordnung u n d Flächen zweiter Klaase Das singulare Gebilde einer Ft bzw. F'; der B a n g Tangente, Berührungsebene, Berührungspunkt Konjugierte Elemente In bezug auf ein quadratisches Gebilde . P o l u n d Polarebene Eezlproke Polaren Die projektive Erzeugung v o n Quadriken nach STAUDT Die projektive Erzeugung von Quadriken nach S T E I N E R Die projektive Erzeugung von Quadriken nach M A G N U S Die projektive Erzeugung von Quadriken nach S E Y D E W I T Z . . Der Trägheitssatz f ü r quadratische F o r m e n Die projektive Einteilung der Ft bzw. F'

XIII. Ergänzungen 1. Vektorr&ume 2. Lineare Abbildungen u n d Matrizen 3. Dualer B a u m , inneres P r o d u k t 4. Tensorprodukt, äußere P r o d u k t e 5. Normierte Vektorräume 6. K L E I N s c h e B ä u m e . Erlanger P r o g r a m m

Namen- und Sachverzeichnis

177 177 179 182 184 186 187 189 192 193 195 196

200 200 204 207 208 211 212

215

6

Literaturverzeichnis Das folgende Verzeichnis gibt nur eine Auswahl deutschsprachiger Lehrbücher der Analytischen Geometrie. 1. Ludwig Bieberbach, Einführung in die Analytische Geometrie, 4. Aufl., Bielefeld 1950. 2. Wilhelm Blaschke,Analytische Geometrie, 2. Aufl., Basel 1963. 3. Gerrit Bol, Elemente der Analytischen Geometrie, Teil 1 und Teil 2, Göttingen 1948 und 1949. 4. Lothar Heffter, Lehrbuch der Analytischen Geometrie, Berlin 1933. 5. Lothar Heffter, Grundlagen und analytischer Aufbau der Geometrie, Leipzig 1950. 6. Karl Kommerell, Vorlesungen über Analytische Geometrie der Ebene, des Baumes, 2 Bände, Leipzig 1949. 7. Gerhard Kowalewski, Einführung in die Analytische Geometrie, 4. verbess. Aufl., Berlin 1953. 8. Max Lagally, Vorlesungen über Vektorrechnung, 3. Aufl., Leipzig 1945. 9. Fritz Neiss, Analytische Geometrie, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950. 11. Günter Piokert, Analytische Geometrie, Berlin 1955. 12. Artur Schoenflies und Max Sehn, Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Baumes, 2. Aufl., Berlin 1931. 13. Emanuel Sperner, Einführung in die Analytische Geometrie und Algebra, 2 Bände, Göttingen 1948.

Formelverweiae: Es bedeutet beispielsweise VlU. 5. (16): Kapitel Vin, daraus Abschnitts und darin Formel(16). Fehlt die römische Ziffer, so handelt es sich um das laufende Kapitel.

7

I. Einleitung Die Hauptaufgabe der Analytischen Geometrie besteht darin, Methoden und Verfahren anzugeben, mit deren Hilfe man geometrische Aufgaben durch Rechnung lösen kann. Obwohl schon in der Antike erste Ansätze in dieser Richtung vorlagen (schon die Ägypter benutzten bei der Landmessung Zahlen zur Festlegung von Punkten; auch A r c h i m e d e s von Syrakus (—287 212) bediente sich rechtwinkliger Koordinaten) und die Geometrie als erste Wissenschaft unter dem Einfluß P i a t o n s (—429 348) aromatisiert wurde, konnte die eigentliche Analytische Geometrie erst nach dem weiteren Ausbau der Algebra entstehen 1 ). Diese beginnt daher erst, wenn auch in einer viel primitiveren Auffassung als heute, mit R. D e s c a r t e s (1596—1650) und P. de F e r m a t (1601 bis 1665)2). II. Die Vektoralgebra3) 1. Definition der gebundenen andfreienVektoren Vektoren dienen uns zur Festlegung der gegenseitigen Lage von Punkten. Wir definieren deshalb: Ein Vektor wird durch ein geordnetes Punktepaar bestimmt, durch seinen Anfangspunkt und seinen Endpunkt. Demgemäß können wir einen Vektor v e r a n s c h a u l i c h e n durch eine gerichtete Strecke E A (Fig. 1). Die in einem Endpunkt befestigten Vektoren heißen g e b u n d e n e Vektoren oder Ortsvektoren. Sieht man von der speziellen Lage im Raum ab, so spricht man von f r e i e n Vektoren oder kurz von Vektoren. Bei freien Vektoren wird also von allem außer Länge und Richtung abgesehen. x ) Die systematische geometrische Deutung der einfachsten algebraischen Operationen geht auf FE. VIETE (1540—1603) zurück. Die Methoden VIETE8 finden sich heute noch im elementargeometrischen Unterricht der Mittelstufe. a ) Hinsichtlich weiterer historischer Bemerkungen sei auf die im Literaturverzeichnis genannten Lehrbücher von W. BLASCHKE und G. BOL verwiesen. •) Die Bezeichnung „Vektor" wurde um 1846 von W. R. HAMILTON (1806 bis 1865) eingeführt. Die Vektorrechnung selbst wurde von H. GRASSMANN (1809 bis 1877) und HAMILTON entwickelt.

Die Vektoralgebra

8

Ein solcher Vektor erscheint daher als Klasse aller gleich langen und gleichgerichteten Strecken. Jede dieser gerichteten Strecken kann zur D a r s t e l l u n g des Vektors Verwendung finden. Zwei

E Fig. 1. Vektor als geordnetes Punktepaar E, A ; gebundene Vektoren; drei gleiche (freie) Vektoren

gerichtete Strecken gleicher Länge und Richtung bestimmen denselben Vektor. Zum Gleichheitsbegriff führt also eine gewisse logische Abstraktion. Genauer wollen wir definieren: Zwei Vektoren sind gleich (Zeichen =), wenn sie durch eine Parallelverschiebung auseinander hervorgehen. "Wir wollen Vektoren und Ortsvektoren durch kleine Frakturbuchstaben bezeichnen. Die Länge eines Vektors a heißt B e t r a g des Vektors und wird mit | o | bezeichnet. Der Vektor der Länge Null heißt N u l l v e k t o r , wofür man o schreibt. Besitzt ein Vektor die Länge 1, so spricht man von einem E i n h e i t s v e k t o r . Um den Gegensatz zwischen Vektoren und Zahlen zu betonen, werden die letzteren jetzt auch S k a l a r e genannt. Der Vektor ist ein neues geometrisches Hilfsmittel, das dazu dienen kann, viele physikalische Größen (z. B . Geschwindigkeiten, Kräfte, Feldstärken) zu kennzeichnen, bei denen es nicht genügt, ihre Intensität durch eine einzige Zahl anzugeben, sondern bei denen auch die Angabe ihrer Richtung notwendig ist. In der Geometrie selbst liefert die Vektorrechnung erhebliche Vereinfachungen bei Auffassung und Darstellung der Erkenntnisse.

Die Addition von Vektoren

9

Für die Kombination von zwei und mehr Vektoren werden neue Rechenregeln festgesetzt. Da diese mit den gewohnten Rechenregeln für Zahlen gewisse Analogien zeigen, so wollen wir auch die Worte Addition, Subtraktion, Multiplikation und ebenso die Zeichen + , — benutzen. Jedoch erhalten diese Begriffe neue Bedeutung bei den Vektoren bzw. Ortsvektoren. 2. Die Addition von Vektoren Legen wir die beiden Vektoren a und b so aneinander (Fig. 2), daß der Endpunkt von b mit dem Anfangspunkt von a zusammenfällt, dann wird durch den Anfangspunkt von b und den Endpunkt von a der Vektor a + b erklärt. Um die K o m m u t a t i v i t ä t dieser Addition, d. h. um das Gesetz a + b = = b + a nachzuweisen, hat man lediglich die Figur der drei Vektoren a, b, a + b zu ergänzen durch die in Fig. 2 dünn gezeichneten Vektoren a und b. Dann liefert die Figur sofort die Behauptung. Die Gültigkeit des A s s o z i a t i v g e s e t z e s a + (b + c) == (a + b) + c für drei beliebig gewählte Vektoren folgt unmittelbar aus der Figur 3. Auf Grund dieser Regel können wir alle Klammern auflösen.

Flg. 2. Addition von Vektoren, Kommutativit&t

Fig. 3. Das Assoziativgesetz

3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Ist a eine positive Zahl 1 ), so versteht man unter a a einen V e k t o r , der die gleiche Richtung wie a besitzt und a-mal so lang ist: | a a | = a | a |. *) Alle auftretenden Zahlen sollen, wenn nichts anderes gesagt ist, stets reell sefr.

10

Die Vektoralgebra

Unter — a wollen -wir den Vektor verstehen, der gleiche Länge wie o, aber entgegengesetzte Richtung zu a aufweist: | - a | = |a|. Jetzt können wir auch leicht — a a mit a > 0 erklären, nämlich als Vektor, der in die entgegengesetzte Richtung von a weist und den a-fachen Betrag von abesitzt: |— a a | = a | a | . Flg. 4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Offensichtlich gilt für den Nullvektor o stets a 0=0. Ferner gilt für die Zahl 0 stets 0 a = 0.

Aus Bequemlichkeit wollen wir auch festsetzen h a = ah. Wir geben die einfachen Rechenregeln für die Multiplikation mit Skalaren an, die man sich leicht an Figuren klar macht: 1.

n (a + b)

= n a + nb ,

2.

(n + m) a

= n a+ m a,

3.

n (m a)

= (n m) a ,

4.

1a

=

a.

Bemerkung: Ist a * 0 ein Vektor, so ist —U a = T-^-T ein Einl = a + (— b). Damit haben wir schon die Subtraktion durch Zurückführung auf die Addition erklärt (vgl. Fig. 5). Die zeichnerische Ausführung erläutert die Figur 6.

Die Subtraktion von Vektoren

Flg. 5. Definition der Subtraktion Ton Vektoren

11

Fig. 6. Ausführung der Subtraktion

Wir wollen jetzt noch die Frage prüfen, ob die so eingeführte Subtraktion vernünftig ist, d. h. ob die Regel

(a + 6) — b = a

Fig. 7.

richtig ist. Um die Gültigkeit dieser Formel einzusehen, braucht man nur die Figur 7 zu betrachten. Bemerkung 1: Die Vektoren bilden gegenüber der Addition eine Gruppe.1) Damit faßt man die folgenden Eigenschaften zusammen. Zunächst ist je zwei Vektoren durch die Addition wieder ein Vektor zugeordnet. Dazu kommt I. die Gültigkeit des Assoziativgesetzes; II. es gibt einen Vektor o (Nullvektor), so daß für jeden Vektor a gilt o + a = a; III. zu jedem Vektor a gibt es den Vektor — a, so daß a + (— a) = o gilt. Da die Addition kommutativ ist, so spricht man auch von einer kommutativen oder a b e l s e h e n 2 ) Gruppe. Bemerkung 2: Abstrahiert man von der Bedeutung der Größen a, b, c... und fordert nur, daß sie, wie eben beschrieben, eine abelsche Gruppe SS hinsichtlich der Addition bilden, so wird man unmittelbar auf den Begriff des abstrakten Vektorranmes geführt. Sind a, i, c ... ') Das Fachwort „Gruppe" ist 1830 von E. GALOIS (1811-1832) eingeführt worden. ') Nach N. H. ABEL (1802—1829).

Die Vektoralgebra

12

Elemente eines Körpers K (z. B. rationale Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen), so hat man zu fordern, daß a a stets wieder ein Element der Gruppe SB ist. Sind dann noch die Formeln 1., 2., 3., 4. von Nummer 3 ausnahmslos gültig, so heißt 33 Vektorraum über K. 5. Beispiele a) Mittelpunkt einer Strecke. Die Strecke AB läßt sich durch die Ortsvektoren (bezüglich des Nullpunktes N) a und b ihrer Endpunkte beschreiben. Für den Ortsvektor m des Mittelpunktes findet man aus der Figur 8 sofort m = a + - i (b — a) = i (a + i>). u

u

b) Gerade, gegeben durch Punkt und Richtung. Ist a der Ortsvektor des gegebenen Punktes bezüglich des Nullpunktes N und e ein Vektor in Richtung der Geraden, so muß sich der Ortsvektor j eines beliebigen Punktes der Geraden (vgl. Fig. 9) darstellen lassen

Fig. 8. Mittelpunkt einer Strecke

m = — (a + 6)

Fig. 9. Gerade, gegeben durch Punkt und Richtung

als Summe des Ortsvektors a und eines geeigneten Vielfachen t e des Vektors e: 5 = a + t e. Lassen wir t alle reellen Zahlen durchlaufen, so beschreibt j alle Punkte der Geraden. Die Variable i heißt P a r a m e t e r der Geraden, und die vorstehende Gleichung nennt man Parameterdaistellung der Geraden. Schon an der Herleitung der Parameterdarstellung der Geraden zeigt es sich, wie durch die Vektorrechnung der geometrische Sachverhalt außerordentlich plastisch zum Ausdruck kommt.

Beispiele

13

c) Gerade, gegeben durch zwei Punkte. Sind a und b die beiden Ortevektoren der beiden Punkte, und ist j der Ortsvektor des laufenden Punktes der Geraden, so ist die Parameterdarstellung der Geraden gegeben durch S = a + t (b - a ) ; denn b — a ist ein Vektor in Richtung der Geraden (vgl. Fig. 10).

Flg. 10. Gerade, gegeben durch zwei Funkte

d) Ebene, gegeben durch Punkt und zwei Richtungen. Es sei a der Ortsvektor des gegebenen Punktes, und e, f seien zwei Vektoren, die nicht parallel sind. Wie aus der Figur 11 zu entnehmen ist, läßt sich der Ortsvektor j eines beliebigen Punktes der Ebene, die durch den „Punkt" a geht und von den Vektoren e und f „aufgespannt" wird, darstellen in der Form E = a + ie + r f . Lassen wir die Parameter t, r unabhängig die reellen Zahlen durchlaufen, dann beschreibt j alle Punkte der Ebene. Damit haben wir eine Parameterdarstellung der Ebene gefunden.

Fig. 11. Ebene, gegeben durch Punkt und zwei Bichtungen

Fig. 12. Ebene, gegeben durch drei Punkte

Die Vektoralgebra

14

e) Ebene, gegeben durch drei Punkte. Sind a, b, c die Ortsvektoren der drei gegebenen Punkte, dann sind die Vektoren 6 — a und c — a sicher nicht zueinander parallel, wenn die drei Punkte nicht in einer Geraden liegen. Da 6 — o und c — a, an a angeheftet, die Ebene „aufspannen", so folgt nach d) die gesuchte Parameterdarstellung: j = a + /(b-a) + r(c-a).

Fig. 13 Einfache Eigenschaft des Parallelogrammes

I) Beweis eines einlachen Satzes über das Parallelogramm. In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Wir wollen diesen Satz beweisen. In der Bezeichnungsweise der Figur 13 laui ten die Parameterdarstellungen jf der beiden Diagonalen: [(1) s = i ( a + ß ) und 1(2) t) = a + t (b — a ) .

Dabei sind j und tj die laufenden Punkte. Da der Schnittpunkt der beiden Diagonalen sowohl auf (1) als auch auf (2) liegt, so gilt und

3 = i„(a + b),

3 = a + r 0 (b — a)

(1 - 0 folgt wiederum unter Benutzung finition des inneren Produktes, daß der Winkel, beiden Vektoren bilden, kleiner als ein Rechter < 0 ist dieser Winkel dagegen größer als ein Man vergleiche dazu die Figur 18.

Flg. 18. 0.

= 0,

der Deden die ist. Für Rechter.

< 0

Mit Hilfe des inneren Produktes läßt sich der Betrag eines Vektors a für viele Rechnungen äußerst bequem darstellen: denn es gilt = | o |3. Daher ist I o | = + )/. Der Einheitsvektor, der die gleiche Richtung wie a 4= o besitzt, lautet jetzt: o +

yVä>'

Das innere Produkt (skalarcs Produkt)

19

Bemerkung 1: Für findet häufig auch die Bezeichnung a 2 Verwendung. Dabei ist jedoch zu beachten, daß eine Bildung wie a 3 sinnlos ist. Ferner ist die „Wurzel" aus a 2 nicht etwa der Vektor n, sondern der Betrag dieses Vektors. Bemerkung 2: Man beachte, daß für das innere Produkt das assoziative Gesetz nicht gilt! So ist beispielsweise c ein Vektor in der Richtung von ± c; denn ist ein Skalar. Andererseits ist a ein Vektor, der in die Richtung von ± a fallt; denn hier ist ein Skalar. Daher sind diese beiden Ausdrücke sicher im allgemeinen verschieden.

Die große Nützlichkeit des inneren Produktes belegen wir durch vektorielle Beweise zweier Lehrsätze der Elementargeometrie: Der Lehrsatz des Pythagoraa. Es seien a, b, c die drei Seitenvektoren eines Dreiecks (siehe Fig. 19). Da die Spitze von 6 mit dem Ende von c zusammenfällt, so ist offenbar: c+ a + b = o und daher — c = ( a + b). Für das innere Produkt finden wir unter Beachtung der angegebenen Rechenregeln: = + + 2 . Da = 0 und = 0. Außerdem gilt (vgl. Fig. 20) Also ist

c=

0 =

b=

f-fjA.

= 0 und = 0. Oder ausgerechnet = = . Daraus folgt aber unmittelbar - fo) f> = 0 oder = 0. Damit ist der Satz aber schon bewiesen. 8. Das äußere Produkt (vektorielles Produkt) Das äußere Produkt [a b] zweier Vektoren ein Vektor sein mit den Eigenschaften: Fi) [ a b ] steht senkrecht auf a und b. 7 2 ) | [a b] | = | a | • | b | sin

2)

+

(a3 \ —

Z>3) e 2 +

Z>2 — a 2 6j) e 3 .

Daraus ergibt sich aber die obige Spaltendarstellung von [a b].

30

Das Koordinatensystem

e) Das Spatprodukt: ¡ ist die Länge der Projektion des Ortsvektors pj auf e und damit, abgesehen vom Vorzeichen, die Länge des Lotes von N auf die Ebene (vgl. Fig. 28). Weist e nach derjenigen Seite der Ebene, auf welcher N n i c h t liegt, dann ist positiv, im anderen Fall dagegen negativ. Man nennt auch den Stützabstand

der E b e n e v o n N.

3 G r o t e m e y e r : Analytische Geometrie

34

Geraden und Ebenen

Wir wollen jetzt den Abstand eines beliebigen Punktes mit dem Ortsvektor a von der Ebene (4) bestimmen, (a = o ist der eben behandelte Fall.) Zu diesem Zweck fällen wir vom Punkt a das Lot auf die Ebene, f sei der Lotfußpunkt (siehe Fig. 29). Der gesuchte Abstand wird dann durch | a — f | = 0, d. h. = 0.

. Daher ist nach Einsetzen des Wertes von t0: (5) f - o = - < ( a - V i ) e> e. Da e ein Einheitsvektor ist, so gilt (6) | a - f | = ± . Zur Untersuchung des Vorzeichens wird Gleichung (5) skalar mit dem Vektor e multipliziert: (7)

=

.

Liegt a auf der Seite der Ebene, nach welcher e weist, so ist positiv, und nach (7) gilt dasselbe auch für

Ebene durch zwei sich schneidende Geraden

35

. Dieser Ausdruck stellt nach (6) den gesuchten Abstand für diesen Fall dar. Ist dagegen a auf der entgegengesetzten Seite der Ebene gelegen, so ist, wie aus (7) folgt, — positiv und stellt in diesem Fall den gesuchten Abstand dar. Insgesamt gilt daher: Setzt man für den laufenden Punkt j in der Ebenendarstellung in Hessescher Normalform = 0, | e | = 1 den Ortsvektor a eines beliebigen Punktes ein, so stellt < (a - t»0 e> den mit Vorzeichen versehenen Abstand des Punktes a von der Ebene dar. Dieser Abstand ist positiv, wenn a auf der Seite der Ebene liegt, nach welcher e weist. Liegt a auf der anderen Seite, so erhält der Abstand das negative Zeichen. Setzt man speziell den Nullvektor für a ein, d. h. bestimmt man den Abstand von N zur Ebene, so erhält man — , ein Ergebnis, das schon oben hergeleitet wurde. 2. Ebene durch zwei sich schneidende Geraden Sind Qi und g2 die Ortsvektoren zweier sich schneidender Geraden, und ist § der Schnittpunkt beider Geraden, dann lassen sich dieselben so darstellen: g x = § + = 0 und der Geraden g = a + 11>. F ü r den Schnittpunkt 3 muß gelten = 0 und 3 =

a + i„ b.

Den Wert t0 finden wir durch Einsetzen aus = 0, d. h. + l„ = 0. Ist =(= 0, so erhalten wir stets eine Lösung t0 und damit genau einen Schnittpunkt § = a _ < ( a - f e > 6 .

Fig. 30. Schnitt von Gerade und Ebene

Ist = 0, dann sind Ebene und Gerade zueinander parallel; denn der Stellungsvektor e der Ebene ist jetzt zu der Geradenrichtung b senkrecht. Gilt = 0, so liegt der Punkt a in der Ebene. Wenn sowohl = 0 als auch = 0 ist, dann werden die obigen Gleichungen für alle ¿-Werte erfüllt, d. h.

d i e

G e r a d e

H e g t

g a n z

i n

d e r

Ebene. Das erkennt man auch unmittelbar aus der angegebenen geometrischen Bedeutung dieser beiden Gleichungen.

Schnitt zweier Ebenen

37

5. Der Schnitt zweier Ebenen

Es seien zwei Ebenen gegeben: (1)

< ( i - a 1 ) u 1 > = 0,

(2)

< ( t - a 2 )it 2 > = 0.

Wir wollen ihren Schnitt ermitteln (vgl. Fig. 31). Sind ux und u2 linear abhängig, d. h. ist [ux u 2 ] = o, so sind beide Ebenen parallel. Gilt = 0, so liegt o2 in der Ebene (1).

Fig. 31. Schnitt zweier Ebenen

Aus [ U l u 2 ] = o und = 0 folgt somit das Zusammenfallen beider Ebenen. Es sei jetzt [ u ^ ] 4= o. Dann gibt es einen Punkt der beiden Ebenen angehört. Man kann S etwa dadurch finden, daß man eine geeignete Gerade, die der Ebene (1) angehört, mit der Ebene (2) zum Schnitt bringt. Ist die Richtung dieser Geraden nicht parallel zur Ebene (2), so gibt es stets einen Schnittpunkt nach 4 . . Dieser Punkt heiße 8. Die Gerade zur Bestimmung von § kann man auf verschiedene Weise finden. Entweder man wählt einen Punkt p der Ebene (1) so, daß p — dj nicht parallel zur Ebene (2) ist, d. h. =t= 0 ist; g = dj + i (p — dj) ist dann eine Gerade, die (1) angehört. Oder man wählt direkt einen Vektor c mit i b2]

(8)

d

=

(0l

—

+

to 6 1

~ T° ^

Nach äußerer Multiplikation mit bx findet man d j p ^ j j = [fx («X - »0] - To [6x b,]. Ein ganz analoges Ergebnis liefert die äußere Multiplikation mit b2: dK°i + «o [61 £>*]• Jetzt wird jede der beiden Gleichungen skalar mit [bx b2] multipliziert. Dann verschwinden beide linken Seiten der Gleichungen und die gesuchten Parameterwerte lassen sich direkt angeben

_ (61 (»! - a.) [bx b2]) '

0

_ (b, K - a2) [bt b2]) ~ •

44

Geraden und Ebenen

Damit haben wir die Aufgabe vollständig gelöst; denn durch Angabe von t0 und T„ ist auch die Lage der kürzesten Verbindung beider Geraden bestimmt. Bemerkung: Die notwendigen Bedingungen (3) und (4) für den Vektor des kürzesten Abstandes lassen sich auch ohne Aiileihe an die Anschauung direkt mit Hilfe der Differentialrechnung finden. 10. Gerade dureh Funkt und zwei windschiefe Geraden Wir wenden uns jetzt einer anderen Fragestellung zu. Es seien gx = a t + t b t und g2 = a 2 + r b2 zwei windschiefe Geraden, p sei ein Punkt, der nicht auf den Geraden liegt. Gibt es dann eine Gerade durch den Punkt p, welche die Gerade gx und die Gerade g2 trifft ? Die Lösung dieser Aufgabe läßt sich leicht angeben. Man lege durch p und gx sowie durch p und g2 je eine Ebene (vgl. Fig. 36). Diese beiden Ebenen schneiden sich in der gesuchten Geraden. Aus dieser einfachen geometrischen Überlegung folgt auch sofort die Eindeutigkeit der Lösung. Wir führen jetzt diese Überlegung analytisch durch.

Flg. 36. Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden

Da p nicht auf der Geraden gx liegt, so sind p — und Bj linear unabhängig (vgl. 2.). Also ist [(p — o^ bx] 4= o und entsprechend auch [(p — a 2 ) b2] =j= o. Wir setzen jetzt

Gerade durch Punkt und zwei windschiefe Geraden

45

Dann lauten die Gleichungen der beiden Ebenen durch p und 3! sowie durch p und g 2 : (1) < ( j - p) «!> = 0, = 0. Nach 5. läßt sich sofort die Schnittgerade dieser Ebenen angeben : (2) j = )) + ffK4 Bemerkung 1: Es ist stets u 2 ] 4= o; denn aus der linearen Abhängigkeit der beiden Vektoren Uj und u 2 folgt nach (1) das Zusammenfallen beider Ebenen. Dann können aber die Geraden und g 2 nicht windschief sein, da sie einer Ebene angehören. Unter den gemachten Voraussetzungen gibt es also stete die Schnittgerade (2). Wir wollen jetzt die Punkte der Geraden (2) ermitteln, in welchen die Gerade gj und die Gerade g 2 getroffen werden. Dazu brauchen wir nur den Schnittpunkt von g, mit der Ebene = 0 bzw. den Schnittpunkt von g 2 mit der Ebene = 0 zu bestimmen (siehe Fig. 36). Für die Parameterwerte t0 bzw. r 0 dieser Schnittpunkte findet man (vgl. 4.): ! u 2 > t0 + = 0 bzw.

' I q — m i I • I q — ™21 — () = P (t,, KJ - P (9, K3) = 0, E3(t))^P(t),K,)-P^,K3) = 0.

Die Potenzebene zweier Kugeln, die Potenzgerade

59

Subtrahiert man (20J von (202), so gilt: (21) = Nach IV. 6. gehören also die drei Ebenen Ex = 0, E,i = 0, Ea = 0 einem Ebenenbüschel an: Die drei Potenzebenen dreier Kugeln sind entweder parallel oder gehen durch eine Gerade, der sog. Potenzgeraden der drei Kugeln.1) Wann sind die Potenzebenen Fn = 0, E2 = 0, E3 = 0 der drei Kugeln Kx = 0, K2 = 0, K3 = 0 parallel ? Aus der Parallelität von E1 = 0 und E2 = 0 folgt für die StellungsVektoren dieser Ebenen H (trti — m2) = X (rrt! — m3) und m2 + a m3 X m, = — , a= . 1 + o [J, In diesem Fall liegen die drei Kugelmittelpunkte auf einer Geraden. Es schneiden sich daher die Potenzebenen dreier Kugeln, deren Mittelpunkte n i c h t auf einer Geraden liegen, stets in einer Geraden, der Potenzgeraden. Da wir diese Potenzgerade als Schnittgerade der beiden Potenzebenen E1 = 0 und E2 = 0 mit den Stellungsvektoren — m2 und m — i ni3 finden können, so gibt, wie aus IV. 5. (4) folgt, der Vektor = [(mj. — m2) (ntj — m 3 )] die Richtung der Potenzgeraden an. Denken wir uns durch die drei Mittelpunkte nti, nt2, m 3 eine Ebene gelegt, dann sind die Vektoren ttti — m2 und rrti — m 3 zu dieser Ebene parallel, und tü steht auf dieser Ebene senkrecht. Die Potenzgerade dreier Kugeln, deren Mittelpunkte nicht auf einer Geraden liegen, steht senkrecht auf der Elene durch die drei Kugelmittelpunkte. Bemerkung: Aus diesem Ergebnis kann man leicht eine Konstruktion für die Potenzebene zweier sich nicht reell schneidender Kugeln gewinnen: Man schneide beide Kugeln mit einer dritten ') Dieses Ergebnis hat schon G. MONGE (1746—1818) angegeben.

60

Der Matrizenkalkül

Kugel. Es lassen sich dann sofort die Potenzebenen zeichnen. Die gesuchte Potenzebene steht dann senkrecht auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden gegebenen Kugeln und läuft durch

Fig. 50. Konstruktion der Potenzebene E zweier Kugeln Klt A",

die Schnittgerade der beiden konstruierten Potenzebenen. Die Figur 60 zeigt diese Konstruktion bei einem Normalriß auf die Ebene durch die Mittelpunkte der zwei gegebenen und den der dritten gewählten Kugel. VI. Der Matrizenkalkül Für viele Fragen, insbesondere der Analytischen Geometrie, sind Hilfsmittel zweckmäßig, die hier entwickelt werden sollen. 1. Definition und Multiplikation von Matrizen1) Eine Tafel von Zahlen aik:

/ « I I «12 « l s \

91 = I an «22 a23 j \ « 3 1 «32 «33/

nennt man eine quadratische, dreireihige Matrix mit den E l e m e n t e n aik. Der Index i des Elementes aik soll die Zeile und der zweite Index h die Spalte angeben, in welcher die »> Nach A. CAYLEY ( 1 8 2 1 - 1 8 9 5 ) . Doppelindizes treten schon bei G.W. L E I B N I Z (1646-1716) auf.

Definition und Multiplikation von Matrizen

61

Zahl aik steht innerhalb der Matrix 8t. Wir schreiben manchmal auch 21 = (aik). Zwei Matrizen 91 und SB nennen wir gleich: 9t = 33, wenn beide Tafeln übereinstimmen. Wir wollen uns jetzt nach einer zweckmäßigen Verknüpfung, die wir Multiplikation nennen wollen, von zwei Matrizen St und SB umsehen. Dazu betrachten wir die beiden „Transformationsformeln" 3

= Z ais ys, (i = 1, 2, 3 ) s=1

(1)

und ys=

Z bsk zk, (s = 1, 2, 3 ) . «:= i Wie lautet jetzt der Übergang von den z zu den x ? Wir erhalten aus (1) und (2) sofort

(2)

3

3

X, = Z ais Z bskzk= s = l k= 1

3

/

3

\

3

Z Z ais bsk) zk= Z etU zk . * = 1 \ »=1 / k—1 3 Setzen wir auf diese Weise, d. h. durch Z ais bsk = eik die s=1 beiden Matrizen 91 und 93 zusammen, so erhalten wir eine neue Matrix G, die wir das Produkt von 9t und SB nennen wollen: (3)

J Zunächst kann man unmittelbar die beiden Spalten n i c h t miteinander multiplizieren, weil die Spaltenzahl von a nicht mit der Zeilenzahl von b übereinstimmt. Man führt daher die Zeile a'=(a1a2a3) ein. Man nennt a' die t r a n s p o n i e r t e Matrix von a. (a' soll natürlich denselben Vektor wie a darstellen. Der Strich soll nur die unterschiedliche Schreibweise angeben: einmal als Spalte und dann als Zeile geschrieben.) Jetzt ist die Multiplikation möglich: a' b = («! a2 a3) I M = (ai h + + a3 b3). V Wir erhalten als Produkt eine Matrix, bestehend aus einer Zeile und einer Spalte. V e r a b r e d e n wir jetzt, bei Matrizen, die aus einer Zeile und einer Spalte, d. h. aus einem Element bestehen, die Matrizenklammern wegzulassen (wir identifizieren also das Element einer einspaltigen und einzeiligen Matrix mit dieser Matrix), dann können wir schreiben (M3) a' b = . Natürlich ist auch b' a = a' b = , wie man sofort durch Nachrechnen bestätigen kann. Manchmal ist es zweckmäßig, sich die Matrizen selbst aus Zeilen- oder Spaltenvektoren aufgebaut zu denken: 91 = Oder

a2' | la 3 'J

mit

a,-' = (atl ai2 ai3), i = 1, 2, 3.

® = { b t b2 b 3 } mit

= j ö ^ j , h = 1, 2, 3.

64

Der Matrizenkalkül

In dieser Schreibweise läßt sich leicht das Produkt 91 33 berechnen : (Mt) 91'

i "i' \ 3. Umgekehrt gibt es auch eine Lösung j , wenn b sich durch die Wj, ro2, lt)3 linear darstellen läßt; wenn nämlich cx + tt>2 c2 + tt>3 c3 = b gilt, so ist die Spalte I¡•?! = r x + c, t 2 -»• r 2 = r 2 + c. Daher gilt ö -> 6 = ü. Vektoren bleiben also bei der Abbildung (1) ungeändert. Aus diesem Grunde nennt man die Abbildung (1) gemäß der Definition eines Vektors (II. 1.) eine Parallelverschiebung. Besitzen j, j , c bezüglich {iV; e^ e2, e 3 } die Spaltendarstellungen I

=

(Xl\

I

I)

„ (£A E = I X2 I > C =

/

(Cl\

I C2 I! W3/

so lautet die Abbildung (1) in dieser Schreibweise ixa ix1 + / le,'l *e 3' die Spaltendarstellung des Punktes P bezüglich {N; eu e2, e3}. Um die Spalte für P bezüglich K zu bestimmen, müssen wir noch eine Parallelverschiebung vornehmen, derart, daß dem Punkt N mit dem Ortsvektor w im alten System K im neuen Koordinatensystem K die Nullspalte entspricht. Danach ist

(7)

« = «(*-»), £ = {&J.

Dabei ist j die Spalte für P bezüglich K und je die Spalte für P bezüglich K. Da die orthonormiert sind, so gilt {•/ = öik. Daraus folgt für 2 = G. % ist also eine orthogonale Matrix. Nur wenn ei, e2, e3 in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, ist | X | = 1. Auf Grund der Formel (1) können wir jetzt jede Bewegung als Wechsel des Koordinatensystems deuten und umgekehrt. Da sich jeder Vektor als Differenz zweier Ortsvektoren darstellen läßt, so liefert (7) sofort das Transformationsgesetz für die Spaltendarstellungen eines Vektors beim Wechsel des Koordinatensystems: (7') 6= £ b, wobei 6 die Spalte des Vektors bezüglich K und t> diejenige bezüglich K bezeichnet. Wir wenden uns jetzt wieder den Bewegungen zu. ') Die ii. e„ ei sind Spalten bezüglich K

Fixelemente von Bewegungen

89

4. Fixelemente von Bewegungen Ein Punkt, der nach Anwendung einer Bewegung (1) auf der betreffenden sich abgebildet wird, heißt Fixpunkt Bewegung. Besitzen alle Punkte einer Geraden oder Ebene diese Eigenschaft, so sprechen wir von Fixgerade oder Fixebene der betreffenden Abbildung. Aus der Bemerkung im Anschluß an den Satz in VII. 5. folgt sofort: I) Besitzt eine Bewegung (1) vier Fixpunkte, die nicht in einer Ebene liegen, so ist die Bewegung die Identität, d. h. alle Punkte des Raumes sind Fixpunkte: 33 = | P2 — |> die auf der Fixgeraden senkrecht stehen und in einer Ebene liegen. (f x , f 2 seien zwei Punkte der Fixgeraden.) Es muß dann unter (1) das Trapez pj, f15 f 2 , p 2 in ein kongruentes Pi*> tu f2> P2* abgebildet werden. Das ist nur möglich, wenn die Seite pj, f j um denselben Winkel wie die Seite p 2 , f 2 gedreht wird. Insgesamt stellt die Bewegung (1) eine Drehung des Raumes um die Fixgerade dar.

Wir wollen jetzt die Fixelemente der Abbildung (1) bestimmen. Diese finden wir aus der Gleichung j = 83 j + c oder (8) (33 - ®) E + c = o. Es soll eine Fallunterscheidung nach dem Rang der Matrix (33 — 6) vorgenommen werden, wobei die Ergebnisse aus VI. 7. benutzt werden. a) Rang ( » — (£) = 3. Dann ist | 83 — @ [ + 0, und es gibt genau einen Fixpunkt (9)

f = - (SB - (S)"1 c.

b) Rang («—2* | = | - 0, |.

Definition der ähnlichen Abbildung Weil pn

99

und damit auch p l 5 Jp2 beliebig gewählt sind, so

muß die Abbildung (1~~) eine Bewegung sein. ^ E ist daher eine orthogonale Matrix: j & = $ mit © ' $ = ©. Die Abbildung (1) stellt genau dann eine ähnliche Abbildung dar, wenn © = X ® ist, wobei ® eine orthogonale Matrix und A > 0 eine Zahl sein muß. 1

2. Einlache Eigenschaften der ähnlichen Abbildung Man überzeugt sich leicht, daß die Ähnlichkeiten eine Gruppe bilden. Auch hier bilden wieder die orientierungstreuen ähnlichen Abbildungen eine Untergruppe. Invariante Eigenschaften gegenüber der Gruppe der Ähnlichkeiten heißen ä q u i f o r m . Alle Winkel und das Verhältnis zweier beliebiger Strecken sind bei ähnlichen Abbildungen invariant. Ist b ein Vektor und ö* sein Bildvektor, so gilt nach (2) 11>* | = X ] ö |. Desgleichen erhalten wir f ü r einen Vektor ro #= o: | tu* | = X | tu |. Daher gilt |m*| M " Damit ist schon der zweite Teil des Satzes bewiesen. Nun bilden wir ü*' ra*. Nach (1) gilt jetzt t>* = X % ü,

tu* = X $ m.

Daraus wird wegen der Orthogonalität von ® b*' to* = X2 Ü' m. Ist schließlich noch t> =t= o, ro + o, so gilt ö*'tt>* t>'w |b*||tt>*| = |ü||K>[' Aus der geometrischen Bedeutung der vorstehenden Produkte liest man aber die Winkelinvarianz ab. T

Die Flächen 2. Ordnung

100

X. Die Flächen 2. Ordnung 1. Definition der F 2 TJnter einer Fläche 2. Ordnung, kurz Quadrik oder F2 genannt, wollen wir die Gesamtheit von Punkten verstehen, deren Ortsvektor j (als Spalte geschrieben) einer Gleichung der Form (1) E'2lS+ 2 a ' j + a 0 0 = 0 *) genügt. Dabei ist 91 eine symmetrische dreireihige quadratische Matrix (91= 91'); a ist eine Spalte und am eine reelle Zahl: ¡an a12 a13\ ia01\ IXA 9t = la 12 a 22 a231, o = U„ 2 I, s = I xA. \ $ 1 3