Einführung Analytische Geometrie [Reprint 2020 ed.] 9783112359563, 9783112359556

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Einführung in die

Analytische Geometrie von

Dr. Gerhard Kowalewski o . P r o f e s s o r an d e r k . k. D e u t s c h e n T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e in P r a g

Mit 112

Figuren

Leipzig Verlag

von

Veit 1910

& Comp.

Druck von Metzger & Witti? in Leipzig

Dem Andenken des Herrn Geheimen Regierungsrats

Prof. Dr. Thome seines hochverehrten Lehrers widmet dieses Buch der Verfasser

Vorwort Dieses Buch ist aus meinen Universitätsvorlesungen in Leipzig, Greifewald und Bonn entstanden. Die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes wird gewöhnlich in einem vierstündigen Semesterkolleg erledigt. Will man nicht ganz in den Elementen stecken bleiben, so muß man an manchen Stellen etwas schneller vorgehen. Da die Zuhörer von der Schule her schon eine ganze Menge analytisch-geometrischer Kenntnisse mitbringen, hat dies keine Gefahr. Eine große Schwierigkeit in der analytischen Geometrie ist die exakte Behandlung des Imaginären. Bei einer ersten Einführung ist es aber vielleicht zu verzeihen, wenn man in dieser Beziehung etwas zu wünschen übrig läßt. Die Hörer können sich diese Dinge in einem besonderen Kolleg über „Geometrie im komplexen Gebiet" aneignen, wie es Herr E. STUDY, der größte Meister der genannten Disziplin, in Bonn zu halten pflegte. Freilich wird eine solche Vorlesung anderswo selten geboten. P r a g , den 15. Oktober 1910.

Gerhard Kowalewski

Inhalt Seile

1. Kapitel: Vorbereitende Betrachtungen über Strecken und Winkel 2. .. Punktkoordinaten 3. ,. Geometrie auf der Geraden 4. .. Die Punkte und Geraden der Ebene 5. 6.

.. ..

7.

..

8. 9. 10.

1 17 34 58

..

Kurven in der Ebene Kurven zweiter Ordnung und Kurven zweiter Klasse vom projektiven Standpunkt Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung nach der Affinität und nach der Kongruenz Einiges über Kreise

214 263

.. .,

Punkte, Ebenen und Geraden des Raumes . . . . Flächen zweiter Ordnung und Flüchen zweiter Klasse

289 348

Sachregister

111 144

357

Erstes Kapitel.

Vorbereitende Betrachtungen über Strecken und Winkel. § 1.

Strecken iin Räume.

Eine S t r e c k e ist ein endliches Geradenstück, bei dem man A n f a n g s p u n k t und E n d p u n k t unterscheidet. Der Anfangspunkt sei Ä, der Endpunkt B. Dann sprechen wir von der Strecke AB. Der erste Punkt gibt also den Anfangspunkt an, der zweite den Endpunkt. Auch einzelne (und zwar große deutsche) Buchstaben werden wir zur Bezeichnung von Strecken benutzen. In den Figuren markieren wir (wenn dies nötig ist) den Endpunkt durch eine Pfeilspitze (vgl. Fig. 1). A Die Gerade A, B heißt der T r ä g e r der Fig. l. Strecke AB, die Entfernung der Punkte A und B (gemessen mit der zugrunde gelegten Längeneinheit) die L ä n g e der Strecke AB. Eine Strecke von der Länge 1 wird als E i n h e i t s s t r e c k e , eine Strecke von der Länge 0 als N u l l s t r e c k e bezeichnet. Als Symbol für eine Nullstrecke benutzt man die 0.

Fig. 3.

Strecken mit parallelen Trägern heißen p a r a l l e l . Sie können g l e i c h s i n n i g sein (vgl. Fig. 2) oder g e g e n s i n n i g (vgl. Fig. 3). Zwei Strecken A1B1 und Ä2 B2 werden als g l e i c h (oder äquivalent) betrachtet, wenn die eine aus der andern durch eine Parallelverschiebung (Translation) entsteht. Man schreibt in solchem Falle A1 B1 = KOWALK"\VSKI, A n a l y t i s c h e Geometrie

A2B2. 1

2

Addition von Strecken

Gleiche Strecken sind zunächst parallel. Ferner haben sie gleiche Länge. Endlich sind sie gleichsinnig. In Fig. 3 sind A1 Bl und A2 B2 zwar parallel und gleich lang, aber nicht gleichsinnig. Der Leser muß sich daran gewöhnen, daß bei der obigen Definition der Gleichheit eine Strecke allen Parallelverschiebungen unterworfen werden darf. Man kann dadurch ihren Anfangspunkt an eine beliebige Stelle des Raumes bringen und hat immer noch die gleiche Strecke. § 2.

Addition von Strecken.

21 und 93 seien zwei Strecken. Nehmen wir irgend einen Punkt P, so läßt sich ein zweiter Punkt Q derart wählen, daß P Q = 2i ist.

Ferner läßt sich ein dritter Punkt R derart wählen, daß QR = 93 ist. Die Strecke P R definieren wir als die S u m m e der Strecken 21 und 93. Diese Summe wird mit 2t + 99 bezeichnet. Es ist also Pi? =

+ 95.

Fängt man die Konstruktion mit irgend einem anderen Punkte P' an, d. h. bestimmt man Q' und R' in der Weise, P ' 0 ' = 21, ist, so wird offenbar

Q'R' =

P' R' = PR.

Es kommt also immer die gleiche Strecke heraus, wie man auch den Ausgangspunkt P wählen mag. Um die Strecke 95 + 21 zu erhalten, muß man nach der obigen Regel zuerst Q so wählen, daß PQ = © wird, und dann R so, daß Q.R=2t wird. Man sieht aus Fig. 4, daß die Punkte R und R zusammenfallen, daß also (1) 2t + 93 = 93 + 21 ist.

Addition von Strecken

3

Nehmen wir noch eine dritte Strecke (£ hinzu und wählen den Punkt 5 derart, daß KS = e ist, so wird (91 + 8) + e = PR + RS = PS und St + (33 + C£) = PQ + Q S = PS, also (2)

(9t + ©) + E = 91 +

+ G).

F ü r die Streckenaddition gilt also nicht nur das k o m m u t a t i v e Gesetz (1), sondern auch das a s s o z i a t i v e Gesetz (2), gerade so wie bei der Addition von Zahlen. Statt (9t + 93) + © schreibt man einfach 9( + 93 + (£. Was unter 9lj + 9l2 + . . . + 9tM, der Summe der n Strecken 9i1? 91 2 ,..., 9In zu verstehen ist, bedarf jetzt keiner weiteren Erklärung. Um diese Summe zu konstruieren, geht man von einem beliebigen Punkte P 0 aus und wählt die Punkte Pv P2, ..., Pn der Reihe nach so, daß P 0 rPl = $I -"l 1

ist.

1

P rP2 = "2' 21

• • •)

Pn~\ Pr n — s1(

Dann hat man 9ix + 9(2 + . . . + a B = P0 Pu.

Wenn 91 + 9t' = 0 ist (also 91 + 91' eine Nullstrecke), so heißen die Strecken 9t und 91' e n t g e g e n g e s e t z t . Ist PQ= 9t, QR = 91' und 9t + 9t' = 0, so bedeutet dies, daß die Punkte P und R zusammenfallen. 9t' ist also gleich QP. F ü r 91' pflegt man zu schreiben — 91. Die Strecken 9t und -ss 0 — 9t sind gleich lang und parallel, aber gegensinnig (vgl. Fig. 3). 9t — 93 wird definiert als die Summe der beiden Strecken 9t und — 58, 9t - 93 = 9t + ( - 93). Ist (vgl. Fig. 5) P Q = 9t,

Pß=ö,

so wird

Fig. 5. RQ = 9t - ¡8.

Dies läßt sich aus der Figur entnehmen oder aus der Gleichung RQ = RP+PQ = PQ + {- PR). 91 — 58 ist also hier gleich der Strecke, die von dem Endpunkt von 93 nach dem Endpunkt von 9t führt. l*

4

Parallelstrecken zu einer orientierten Oeraden

§ 3.

Parallelstrecken zu einer orientierten Geraden.

Auf einer Geraden g kann man in zwei verschiedenen Richtungen fortschreiten. Hat man die eine als die positive (die andere als die negative) festgesetzt, so ist g, wie man zu sagen pflegt, o r i e n t i e r t . Die positive Richtung markieren wir durch einen beigesetzten Pfeil. Alle Strecken, die auf der orientierten Geraden g liegen, zerfallen in zwei Klassen. Durchläuft man eine solche Strecke von ihrem Anfangspunkt bis zu ihrem Endpunkt, so achreitet man entweder in der positiven oder in der negativen Richtung von g fort. Im ersten Falle sprechen wir von einer p o s i t i v e n , im zweiten Falle von einer n e g a t i v e n Strecke. In Fig. 6 ist Pj Qx eine negative, P2 Q2 eine positive Strecke. A!

^B;

A,

QT

%

P-

Fig. 6.

Da man jede Strecke, die zu g parallel ist, durch Translation auf g bringen kann, so bezieht sich diese Klassifikation auf alle Parallelstrecken zu g. In Fig. 6 ist z. B. A1 eine negative und A2 B2 eine positive Strecke. Wenn die Strecke AB zu g parallel ist und die Länge l hat, so wollen wir ihr die M a ß z a h l l oder — l beilegen, je nachdem es eine positive oder negative Strecke ist. Wir bezeichnen die Maßzahl von AB mit AB. Offenbar sind die Maßzahlen von AB und BA entgegengesetzt gleich. Es ist also ÄB + Bl

= 0.

Eine Nullstrecke hat die Maßzahl 0. A B ist durch seine Maßzahl vollkommen bestimmt. Wenn A'B', eine andere Parallelstrecke zu g, dieselbe Maßzahl hat wie AB, so ist AB = A' B I n der Tat sind beide Strecken gleich lang, parallel und gleichsinnig. Ist m eine beliebige reelle Zahl, so gibt es immer Parallelstrecken zu g mit der Maßzahl m. Um eine solche Strecke zu erhalten, nehme man auf g einen Punkt P und trage von ihm aus,

Charakterisierung der Strecken durch Zahlentripel

5

je nachdem m > 0 oder m < 0 ist, in der positiven oder negativen Richtung ein Stück von der Länge \m ab. 1 P, Q, R seien drei beliebige Punkte auf g. Dann ist PQ + QR + RP = 0. Zunächst bemerken wir, daß PQ + Q Ji + R P bei einer beliebigen Vertauschung der Punkte P, Q, R höchstens sein Zeichen ändert. Vertauschen wir z. B. P mit Q, so ergibt sich QP + PR. + R~Q = — {P Q Q R + RP). PQ und Q P haben nämlich entgegengesetzt gleiche Maßzahlen, ebenso QR und R Q sowie R P und P R . Gelingt es uns für irgend eine Permutation P', Q', R' von P, Q, R zu beweisen, daß P' Q' 4- (¿' R' + R' P' = 0 ist, so folgt daraus HQ+QR+RP= 0. Nun läßt sich aber die Permutation P\ Q', R' derart wählen, daß P' Q', P' R' und Q' R' positive Strecken sind, daß man also von P' aus der positiven Richtung auf g folgend zuerst nach Q' und dann nach R' gelangt. P'Q', P' R' und Q'R' sind jetzt einfach die Längen von P'Q', P'R', Q'R'. Die Strecke P'R' ist offenbar so lang wie P'Q' und Q'R' zusammen, d. h. man hat F I T = P'~Q' + O^ß' oder P'Q7 + (TW + RTF = 0 . Setzen wir PQ = 91, QR = SB, so wird PR = 21 + «8 und die Formel PR = PQ + QR besagt, d a ß d i e M a ß z a h l v o n 91 + 83 g l e i c h d e r S u m m e d e r M a ß z a h l e n v o n 9t u n d © i s t . § 4.

Charakterisierung der Strecken durch Zahlentripel.

Durch einen Punkt 0 des Raumes denke man sich drei Geraden 93 ? e z ° g c n > d i e a b e r n i c h t in e i n e r E b e n e liegen d ü r f e n . 91 sei eine beliebige Strecke. Wir bringen sie durch Translation mit ihrem Anfangspunkt nach 0. Ihr Endpunkt falle dabei nach P. Q, E s sei also OP = 91. Jetzt konstruieren wir das in Fig. 7 angedeutete Parallelepipedon, indem wir durch P Parallelebenen zu den drei Ebenen g2, g3 und g3, gx und gv g2 legen. Dann ist 0 P = 0 Pj + P, 0 S + die Summe der Projektionen von X 1( Dj, 3 i - Bezeichnen wir die Projektionen durch einen angehängten Strich, so ist = x/ +

+

3/

und nach § 3 217 = ^ ' + i / +

3/-

Aus § 7 wissen wir aber, daß ä / = rx cos (g1 g2), ist.

X / = A, ^ ,

f / = n2 ^ ,

3 / = v2 ^

Also gilt die Gleichung r, cos [g1 g2) = l2 ^ +

t)j + v2

.

Daraus folgt durch Multiplikation mit r2, bei Beachtung von (1), (3)

(2t, 9is) = r, r, cos (gl g2) = ^ x2 + t)i ^ + äi h •

Das innere P r o d u k t zweier S t r e c k e n ist gleich der S u m m e der P r o d u k t e aus den g l e i c h n a m i g e n Koordinaten. Man kann dies Resultat auch so ableiten. Zunächst verifiziert man;, daß für drei Strecken 2t, 33, © die Relation (4) (91 + 8 , — 1,

und das gilt für jeden Wert von cp. glt g2 seien zwei orientierte Geraden iu der x,y-Ebene (xg^) — cp1, (xg2) = rp2. Dann lauten ihre Richtungskosinus cos (jPj, sin (p1, 0 Da {gY g.2) =

bzw.

und

cos cp2, sin rp2, 0.

x) + {xg2) = rp2 — cp1 ist, so liefert Formel (5) cos ( — 1,

und das gilt für jeden Wert von cp. glt g2 seien zwei orientierte Geraden iu der x,y-Ebene (xg^) — cp1, (xg2) = rp2. Dann lauten ihre Richtungskosinus cos (jPj, sin (p1, 0 Da {gY g.2) =

bzw.

und

cos cp2, sin rp2, 0.

x) + {xg2) = rp2 — cp1 ist, so liefert Formel (5) cos ( brauchen nicht alle reell zu sein. Z. B. sind sie es nicht bei der Gleichung i +V = Von dieser können wir daher nicht sagen, daß sie ein Punktepaar auf g darstellt. Alles, was wir sagen können, ist also dies: x 2

Manche Gleichungen « t e n Grades stellen ein System von «Punkten dar, manche aber auch nicht. Derartige Sätze sucht man in der Mathematik möglichst zu vermeiden. Man will nicht genötigt sein fortwährend Ausnahmen zu machen. Deshalb erweitert man lieber die Begriffe so lange, bis alles sich einem Satze unterordnet und keine Ausnahme mehr übrig bleibt. Wir wollen vereinbaren auch zwei k o m p l e x e Zahlen x1, x2, die n i c h t beide verschwinden, als Koordinaten eines Punktes zu betrachten. Ist das Verhältnis x1:x2 reell, d . h . sind x1, x2 proportional zu zwei reellen Zahlen Xi y j SO ist es der Punkt mit den Koordinaten x^, x2. Andernfalls sprechen wir von einem i m a g i n ä r e n Punkt der Geraden g. Sind xlt x2 proportional zu yx, y2, so sagen wir, daß beide die Koordinaten eines und desselben Punktes sind. Im Falle xx y2 — x2 yi ^ 0 betrachten wir die Punkte xlt x2 und ylt y2 als verschieden. Nach dieser Erweiterung des Punktbegriffs können wir sagen, d a ß die G l e i c h u n g (2), in der nicht alle Koeffizienten gleich Null sind, s t e t s ein S y s t e m von n P u n k t e n d a r s t e l l t . Sie brauchen übrigens nicht alle verschieden zu sein. Es können mehrere von ihnen zusammenfallen. Die Gleichung x^xt2 *= 0 definiert die beiden Punkte 1, i und 1, — i. Dabei ist i die imaginäre Einheit (i2 = — 1). W i r haben hier zwei imaginäre Punkte und zwar zwei konjugiert imaginäre Punkte, xx, x2 und ylf y2 heißen konjugiert imaginäre Punkte, wenn x1, x2 zu yx, y2 proportional sind [j/l und y1 konjugiert komplex, ebenso y2 und y2). § 16. Projektive Koordinaten auf der Geraden. Xy, x2 und Xj", x2" seien zwei v e r s c h i e d e n e Punkte auf der Geraden q, es sei also Setzen wir 2'=|= 0.

Projektive

^

Koordinaten

|

h

l

£2

—

X

~

X

\ 1

auf

X X

2 2

~

X

der

X

2

X

1

X

2

'

1

'

so gehören zu jedem Punkt xx, x2 zwei Werte beide gleich Null sind, weil aus den Gleichungen ~~'

vCj

—

£ 3 , die nicht

y

^

1

"

X

w ^ - n s ® -

-

d) ^ ( a o)(db) ( a d ) { b c )

( A C B D )

=

1

-

=

( a j ) ( M (a d ) (b c)

=

1

'

( Ä B C D ) .

Jetzt können wir für jede Permutation A', B', C, D' der vier Punkte A, B, C, D den Wert von (A' B'C' D') angeben. Dabei ergibt sich folgende Tabelle: ( A B C D ) ( B A

( B A D C )

=

( C D

A B )

=

( D C B A )

=

S ,

G D )

=

( A B D C )

=

( D C A B )

=

( C D B Ä )

=

1 :

( A C B D )

=

( B D

=

( C A

D B )

=

( D B

=

1

=

1 :(1

( C A B D )

1

=

=

A G )

C A )

( D B A C )

=

( A C D B )

=

( B D C A )

( . B G A D )

=

( A D B G )

=

( D A C B )

=

( G B D A )

=

( C B A D )

=

( D A B C )

=

( A D C B )

=

( B G D A )

=

S ,

-

S , -

i ) ,

( S - V ) \ S , d : ( S

-

Vgl. meine „Einführung in die Determinantentheorie", S. 36.

1).

42

Verhalten

von

(AB

CD)

bei

Um sich z. B. zu überzeugen, daß folgendes (BADC)

=

Vertauschungen

( B A D C )

1 :(ABDC)

=

=

usw. 3

ist, bemerke man

(ABCD).

Ahnlich geht es in den andern Fällen. Aus den vier ersten Gleichungen ersieht man, daß (ABCD) u n g e ä n d e r t b l e i b t , wenn man zwei P u n k t e und g l e i c h z e i t i g die b e i d e n a n d e r n v e r t a u s c h t . Ferner geht aus den obigen Gleichungen folgendes hervor: V i e r P u n k t e g e b e n im a l l g e m e i n e n s e c h s v e r s c h i e d e n e D o p p e l v e r h ä l t n i s s e . 1 B e z e i c h n e t man eins von i h n e n m i t 3, so l a u t e n die f ü n f a n d e r n -1, S

S -

1 - 3 , '

1 -

ä '

1

ö

'

( 5 - 1

Wir wollen jetzt untersuchen, wann vier v e r s c h i e d e n e Punkte weniger als sechs Doppelverhältnisse liefern. Das passiert dann und nur dann, wenn eine der Gleichungen 0 stattfindet. (1)

i

s

1—0

O

0—1

Diese Gleichungen können wir auch so schreiben: =l,

2 3 = 1 ,

d

2

- 3 + 1 = 0 ,

3(3

— 2) = 0.

Wäre 3 = 1, so hätte man 1 — 3 = 0, also (ACBD)

d. h.

=

(a b) (e d)

_

(a d)(eb)

~

0,

q '

Das ist aber unmöglich, weil wir die vier Punkte A, B, C, D als v e r s c h i e d e n voraussetzen. Die erste Gleichung 32 = 1 kann also nur in der Weise erfüllt sein, daß 3 = — 1 ist. In diesem Falle haben wir 1

-

1

1

3 - 2

1

-

1

ö

~

1

- 2

— -

l

Es gibt hier also nur d r e i verschiedene Doppelverhältnisse, nämlich - 1, 2 und 1 Setzt man z. B. ö = 3, so nehmen 1 : i5, 1 —

,

J,

=

[x

=

C«/

x"),

so lautet die Gleichung der Involution = 0• In den x und y geschrieben hat sie daher die Form Si 9s + M i

(xx)[y

x")

-j- (x x") (y x)

=

0.

Man sieht hieraus, daß (x x) (y x")

_

(x x") (?/ x')

_

^

~~

ist, daß also {x) und [y) zu (x), (x") harmonisch sind. B e i e i n e r I n v o l u t i o n sind j e zwei e n t s p r e c h e n d e P u n k t e h a r m o n i s c h zu d e n D o p p e l p u n k t e n . Eine Involution, so kann man es auch ausdrücken, ist der Inbegriff aller Punktepaare, die zu einem gegebenen Puuktepaar harmonisch siod. Wenn die beiden Doppelpunkte durch die Gleichung «j2

a0

+

2a1

x1 x2

+ a2

= 0

x22

gegeben sind, wie lautet dann die Gleichung der Involution? Offenbar lautet sie «o «i

Vi

+

a

x

K

y-z +

x

-i Vi)

+

a

t

x

2

2/2 =

Denn diese Gleichung stellt eine Involution dar, deren Doppelpunkte die gewünschten sind. 1 Wenn öj 1 Ctr ? 2 = 0 ist (a„, an, a12 aber nicht alle verschwinden), so spricht man von einer a u s g e a r t e t e n I n v o l u t i o n . Die Gleichungen anxl + (71S a;2 = 0, al2Xi + o J 2 1 2 = 0 bestimmen einen Punkt (f). Man hat

also a u = ff , a12 = — „

(«0 „ (y) >t («") „

„ ¡1 „

iy'), )> [y")

4. entsprechen. Da die Punkte (?/), (»'), [y") verschieden sind, ebenso die Punkte (*'). [y')> iz")> 8 0 gibt es eine und nur eine projektive Abbildung der Geraden auf sich selbst, welche die Zuordnungen 1—3 bewirkt. Diese Abbildung ordnet jedem Punkt («) einen solchen Punkt (ti) zu, daß die Doppelverhältnisse von K

(?/'). (y), (-')

und

(»), («"). («'), (y')

54

Bestimmung

einer Involution

durch zwei

Punktepaare

einander gleich sind, d. h. (u y') (y '%') _ (v x')(%"y') (u %') {y'f y') ~ (v y')

oder (u y) (v y) (y"x) (»'V) = [u z) [v z) (y" ij) {z"y').

Man sieht sofort, daß dies eine Involution ist. Denn die Gleichung ist in bezug auf (u) und (v) symmetrisch. Daher ist die Bedingung 4 von selbst erfüllt. Es schadet nichts, wenn [y") und {z") zusammenfallen. Fallen auch (y') und (z') zusammen, so hat man die beiden Doppelpunkte der Involution und dadurch ist sie vollkommen bestimmt. Wir wollen hier noch eine kleine Aufgabe behandeln. (x), (x"){x") seien drei verschiedene Punkte auf einer Geraden. In der Involution mit den Doppelpunkten (a;"), \x") entspreche dem Punkte \x) der Punkt («/'). Ebenso entspreche in der Involution mit den Doppelpunkten (x"), [x) dem Punkte [x") der Punkt [y") und in der Involution mit den Doppelpunkten (&'), (x") dem Punkte (x") der Punkt {y"). Man soll die Gerade derart projektiv auf sich selbst abbilden, daß den Punkten (x'), {x"\, [x") der Reihe nach die Punkte (?/'), [y"), {y'") zugeordnet werden. Es bestehen hier die Relationen (vgl. S. 52) {x'x")(y'x")

+ [y'x"){xx")

{ x x ' W x ) + {y"x'"]{x"x)

=0, =

0,

[x'" x'){y" x") + {y"'x') [x'"x") =

0.

Die Gleichung {(cc x") {y x") + (x x") {y x")\ (x x") (x'x") + \[x x") (y x) + (x x) {y x"')j (x" x") (x" x)

+ {(a; x) [y x") + (x x") (y x')\ ix" x) (x" x") = 0 stellt eine Abbildung dar, die das Verlangte leistet, und zwar ist es eine Involution, deren Doppelelemente durch die Gleichung [x x") [x x") [x x") [x x")

+ (a; x") {x x') [x" x") (x" x) + [x x) [x x") (x" x) [x" x") = 0

gegeben sind. Daß nicht alle Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung verschwinden, sieht man daraus, daß die Punkte [x'), (»"), (x") ihr

Bestimmung

einer Involution

durch x,wei

55

Punktepaare

nicht genügen. Ersetzt man z. B. (x) durch [x'), so reduziert sich die linke Seite auf (x'x")2

[xx'"f,

ist also nicht gleich Null. Auch handelt es sich nicht um eine ausgeartete Involution. Denn (?/), (?/'), [y") sind, wie man sich überzeugt, drei verschiedene Punkte. Wir wollen die beiden Doppelpunkte unserer Involution zu Fundanientalpunkten machen und den Punkt (x') zum Einheitspunkt. Die neuen Koordinaten bezeichnen wir mit deutschen Buchstaben. Dann wird die Involution dargestellt durch = 0 11 l h + h und der Punkt [x) hat die Koordinaten j^' = 1, £,' = 1. Ihm wird durch die Involution der Punkt 1, t)./= — 1 zugeordnet. Die Punkte (>;'), (t/) sind zu fr"), (j'") harmonisch. Es ist also Qc' i")")' %"') (i' i'") (1)' i")

d. h.

r 1 " ) ( f / " + ii'") +

oder

=

_ j '

O t e V " - ii'") = o

i ' A ' i " ' - iä"f2'"= Dem Punkt (j") entspricht bei der Involution der Punkt i; 3 "= — y3". Da (y"), (q") zu (y'), (y'") harmonisch sind, besteht die Relation o r r: ) o r n = _ j (j" i "Ö(p"s') d. h. oder

(Ei"- i * " ) ( i i ' V + h " % " ) +

0

is") =

Nun sind aber jj", y3" zu y3"', y^" proportional, also ist rr

3

- r2"3 =

0

und

El""-Es'"»

= 0.

Die drei Punkte (y'), (5"), (y'") genügen daher der Gleichung Ex3 - l 2 3 = 0. Setzt man für j j , y2 ihre Ausdrücke in xlt x2 ein, also l'l = "l®! + °2X2>

so geht j j 3 — y23 in (x x')(x x") (x x'") — e0x1z

12 = t)1 iCj + b3 x2, + 3cj xl2x2

+ 3c2x1x22

+ c3x23

=

f{x).

Bestimmung einer Involution

56

Jetzt nehmen wir

außer (x) noch

durch zwei Punktepaare einen

zweiten Punkt (y).

Seine

deutschen Koordinaten seien ^ , t)2, d. h. es sei =

ni

V\ +

Q

> y-i'

t), = bL ^ + b2 y,. Dann wird * l'l + ,U 91 = l)2

+ l"

Q1

X1

=

+ P H\) + °2 + Ml)

+

X2

t'2 V"X2

+ ,« Vi) > +

d. h. der Punkt [Ix + (iy) ist zugleich der Punkt ( A j + fitj). Es besteht infolgedessen für alle Werte von A, fi die Gleichung t)x)3 - (Ar s + P9 2 ) s = flA« + M) •

{k^+H

Hier müssen nun die Koeffizienten von A3, A2 n, ?*.fi2, fi 3 rechts und links übereinstimmen. Afi 2 gleich setzen.

W i r wollen bloß die Koeffizienten von

Dann ergibt sich

(*) h Vi2 - h Vi1 = (c0 ^ + C1 X2) Vi2 +

2 (C1 X1

+ C2 Xi) Vi V% + (C2 X1 +CSX2) Vi 2-

Wenn nun vermöge der linearen Transformation Vi =

ai

Vi + °2 lh '

= K Vi +

l,2

Vi

eine Gleichung von der Form S80 tf + 2 ® ,

9l

t)2 + 932 t)22 = B0 y * + 2B, yx yt + B2 y22

stattfindet, so ist immer B 0 B,

I «0

Q1 Q2

Bi B2

! « 1 ®2

b, b2

d. h. d i e D i s k r i m i n a n t e 1 e i n e r q u a d r a t i s c h e n F o r m m u l t i p l i ziert

sich, wenn

man

die

Form

einer

linearen

Transfor-

m a t i o n u n t e r w i r f t , mit dem Q u a d r a t der T r a n s f o r m a t i o n s determinante. Setzt man ®o9i 2 + 253 1 t )l i) 2 + 582t;22 = ( ^ ' ) ( t ) i r ) , so wird b » Vi2 +

2 Bi

Vi 2/2 +

Bi

y