Zur absoluten Geometrie: [Mitteilung 1] [Reprint 2019 ed.] 9783111410210, 9783111046556

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Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der Wissenschaften Stiftung Heinrich. Lanz Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse Abteilung A. i

Jahrgang 1924. 4. Abhandlung.

Zur absoluten Geometrie. Von

L. Heffter in Freiburg i. Br.

E i n g e g a n g e n am 16. Februar 1924

Oi Berlin

und L e i p z i g

1924

W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. .T. G ö s c h e n ' s c b e V e r l a g s h a n r t l u n g I J. G u t t e n t a g , V o r l a g s b u c h h a n d l u n g I G e o r g K e i m e r / K a r l J. T r ü b n e r / V e i t & C o m p .

Zur absoluten Geometrie. Die nachstehende Vereinfachung und übersichtliche Gestaltung der Hauptformeln der absoluten Geometrie unter Wahrung der Dualität scheint noch nicht bekannt zu sein. Alle Bezeichnungen und Benennungen sind die in der Euklidischen Geometrie gebräuchlichen oder so gewählt, daß sie sich möglichst selbst erklären.1) I. Das absolute Gebilde.

Die projektive Geometrie des Raumes sei entwickelt. Dem Vorgang von C A Y L E Y ) und F. K L E I N ) folgend werde der projektive Eaum durch eine absolute F l ä c h e (A. F.) „geeicht". Ihre Gleichungen in zusammengehörigen Ebenen- und Punktkoordinaten seien 2

(la)

3

f(u, u) = u[ + u\ + u\ + eu\ (lb) F(x,x) =

e[x\+x\+xX)+x\

= 0,

= 0

wo 6 = -|-l ( e l l i p t i s c h e Geometrie) oder e = —1 (hyperbolische Geometrie) oder e = 0 ( p a r a b o l i s c h e oder E u k l i d i s c h e Geometrie) ist. Jede dieser beiden Formen ist die adjungierte der andern; im Falle 6 = 0 wenigstens F die adjungierte von f . Die A. F. in Achsenund Strahlenkoordinaten, d. h. ihr Tangentenkomplex hat die Gleichungen (2a)

(2b)

®(jt>,p)=p\i+p\l+p\l

Die Punkte, Ebenen, Strahlen der A. F. heißen a b s o l u t e P u n k t e , E b e n e n , Strahlen. Alle vier Formen sind so bestimmt, daß sie in der elliptischen und parabolischen Geometrie für alle reellen, nicht absoluten Elemente, in der hyperbolischen Geometrie aber für die e l l i p t i s c h e n (inneren) Punkte und für die h y p e r b o l i s c h e n , d.h. in das Innere der A. F. eintretenden Geraden und Ebenen positive ') Im übrigen vergl. man wegen der Bezeichnung von Formen und Determinanten das Lehrbuch der anal. Geom. von L. H E F F T E R und C. K O E H L E R . Leipzig, Teubner, I. 1905, II. 1923. a ) A sixt memoir on Quantics, Phil. Trans, t. 149 (1859); Coli. math. Papers Vol. II. *) Über die sog. Nicht-Euklidische Geometrie, Gött. Nachr. 1871 und die folgenden Abhandlungen. Ges. Math. Abhandlungen I. 1921.

L. Heffter :

4

Werte haben. Sie werden deshalb im folgenden stets in dieser Gestalt festgehalten und niemals mit einem Faktor multipliziert." Durch den Wert von e wird zugleich dem projektiven Raum, bei dem von einem Krümmungsmaß noch nicht die Rede sein kann, das K r ü m m u n g s m a ß + 1 , - 1 oder 0 aufgeprägt. II.

Normalkoordinaten.

Die Koordinaten jedes nicht absoluten Elementes können in die N o r m a l f o r m gesetzt werden durch Division mit bzw. (3)

Vf{H,u),

l ' / ' W ) , !'>('/,'/),

V(p,p).

Die Wahl des Vorzeichens dieser Wurzeln wollen wir frei lassen, um die wünschenswerte Übersichtlichkeit unserer Skizze nicht durch die Unterscheidung der beiden Möglichkeiten zu belasten. Sind die ui> xi, qik, phl bereits Normalkoordinaten, so ist für jedes nicht absolute Element des Raumes (4)

f(u,u)

= l, F{x,x)

= 1,