Neuer Beweis des Transversalensatzes in der absoluten Geometrie [Reprint 2019 ed.] 9783111560595, 9783111189963

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Sitzungsberichte der

Heidelberger Akademie der Wissenschaften Stiftung Heinrich Lanz

Mathematisch - naturwissenschaftliche Klasse *) Jahrgang 1921 erschien im Verlage von Carl Winters in Heidelberg.

Unwersitälsbuchhandlimg

Im. Verlag von Walter de Gruyter & Co. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Gultentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp., Berlin erschienen: A b t e i l u n g A.

Mathematisch-physikalische Jahrgang

Wissensehaften.

1 9 2 2 : 3 Hefte.

J a h r g a n g 1 9 2 3 : 5 Hefte. J a h r g a n g 1924: 11 Hefte. A b t e i l u n g B.

Biologisehe Wissensehaften.

J a h r g a n g 1923: 1 Heft. Von Jahrgang

1925 ab findet die Trennung in Abteilung A und B nicht mehr statt. Jahrgang

1. 2.

1925.

HEFFTER, LOTHAR. Zur absoluten Geometrie II. Reichsmark 0 50 ROESER, E R N S T . Die komplementären Figuren der nichteuklidischen

Ebene. Reichsmark 0'50 3. FLADT, K U N O . Neuer Beweis f. d. Zuordnung von rechtwinkligem Dreieck und Spitzeek in der hyperbolischen Elementargeometrie. Reichsmark 0'30 4 . ISALOMON, W I L H E L M . Beobachtungen über Harnische. Reichsmark 0 - T 0 5 . L O E W Y , A. Beiträge zur Algebra. 1 - 4 . Reichsmark 1 — 6. H E L L P A C H , W I L L Y . 2. Mitteilung zur Physiognomik der deutschen Volksstämme. Reichsmark O'SO 7 . L O E W Y , ALFRED. Neue elementare Begründung u. Erweiterung der Galois'schen Theorie. Reichsmark 2-— 8. C Ü B T I Ü S , THEODOR U. BEETHO, A L F R E D . Einwirkung von Stickstoffkohlenoxyd und von Stickstoffwasserstoffsäure unter Druck auf aromatische Kohlenwasserstoffe. Reichsmark (J-40 ROESER, ERNST. Die gnomonische Projektion in der hyperbolischen Geometrie. 9 Reichsmark 0'70 10. RASCH, G. Über die Ausnützung der Gezeiten des Meeres zur Energiegewinnung. Reichsmark 0'80 1 1 . SALOMON, W I L H E L M . Magmatische Hebungen. Reichsmark 1 ' 2 0 12. PÜTTER, A. Altersbestimmungen an Drachenbäumen von Tenerife. Reichsmark 0'90 1 3 . V O L K , OTTO. Über geodätische rhombische ICurvennetze auf krummen Flächen, insbesondere auf Flächen konstanter Krümmung. Reichsmark 1 10 1 4 . ROESER, E R N S T Die Fundamentalkonstruktion der hyperbolischen Geometrie. Reichsmark 1 40 (Fortsetzung siehe 3. ümschlagseite) *) Bestellungen auf solche Veröffentlichungen der math.-naturw. Klasse, welche früher im Verlag von Carl Winters Universitätsbuchhandlung in Heidelberg erschienen sind nimmt auch der Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin, entgegen.

Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n Mathematisch • naturwissenschaftliche Klasse = = =

Jahrgang 1929. 18. Abhandlung.

Neuer Beweis des Transversalensatzes in der absoluten Geometrie Von

Friedrich Gruber in Wien

Vorgelegt von Herrn

Liebmann

in der Sitzung vom 9. November 1929

B e r l i n und L e i p z i g

1929

W a l t e r de G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s e h e V e r l a g s h a n d l u n g / J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g / G e o r g K e i m e r / K a r l J. T r ü b n e r / Veit & Comp.

Neuer Beweis des Transversalensatzes in der absoluten Geometrie V o r b e m e r k u n g : Der hier mitgeteilte Beweis des Satzes, daß im Dreieck die Transversalen von den Ecken nach den Mitten der Gegenseiten einander in einem Punkt schneiden, ist einfacher als der des Unterzeichneten1), benützt aber ebenfalls räumliche Hilfskonstruktionen. Ein Beweis mit den Hilfsmitteln der absoluten Geometrischen Ebene allein ist noch nicht gelungen, und so gilt noch das kürzlich geprägte Wort 2 ): Er gehört zu den Sätzen, „die zwar in einer Disziplin (absolute Geometrie der Ebene) als geltend anerkannt sind, aber noch nicht in ihr bewiesen". Liebmann. H i l f s s a t z : Das Lot von der Mitte einer Seite auf die Mittelsenkrechte einer zweiten Seite geht durch die Mitte der dritten Seite. Dieser Satz läßt sich folgendermaßen beweisen: Sei von der Mitte D der Seite AG das Lot auf die Mittelsenkrechte m der Seite AB gezogen; es muß nach dem Axiom von Pasch die Seite BC treffen, der Schnittpunkt heiße E. Die Fußpunkte der Lote von A resp. B auf die Gerade DE seien F und G. Es muß AF=BG sein. Man mache nun BH= AD, dann ist A AFD = A BGH, folglich