Wärmeleitung und Temperaturausgleich: Die mathematische Behandlung instationärer Wärmeleitungsprobleme mit Hilfe von Laplace-Transformationen [Reprint 2022 ed.] 9783112646861

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H. Tautz Wärmeleitung und Temperaturausgleich

WÄRMELEITUNG UND TEMPERATURAUSGLEICH Die mathematische Behandlung instationärer Wärmeleitungsprobleme mit Hilfe von Laplace-Transformationen

von

Heinz Tautz

A K A D E M I E - V E R L A G • B E R L I N • 1971

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 Copyright 1971 by Akademie -Verlag GmbH Lizenznummer: 202 • 100/549/71 Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg Bestellnummer: 761 421 0 (5831) • ES 18 B 4 / 20 C 3 Printed in German Democratic Republic

Vorwort

Der Kern des vorliegenden Buches entwickelte sich während der langjährigen Arbeit des Verfassers an Problemen der Wärmeleitung, der Wärmeübertragung und vor allem der Berechnung von Erwärmungs- und Abkühlungsvorgängen, also instationärer Wärmeleitprozesse, im Zusammenhang mit der Untersuchung der thermischen Eigenschaften von Kunststoffen und mit Fragen ihrer Verarbeitung. Dabei machte sich der Mangel an geeigneten umfassenden Darstellungen, insbesondere in der deutschsprachigen Literatur, und das zeitaufwendige Aufsuchen entsprechender, weitverstreuter Arbeiten in der Zeitschriftenliteratur oft störend bemerkbar. In vielen Fällen blieb keine andere Möglichkeit, als die Berechnungen selbst vorzunehmen, wobei sich das Hilfsmittel der LAPLACE-Transformation als sehr nützlich erwies. So entstand die Absicht, die gefundenen Lösungen dem allgemeinen Gebrauch zugänglich zu machen, in systematischer Anordnung, mit einiger Vollständigkeit und in einer Form, die der unmittelbaren praktischen Anwendung auf einschlägige Probleme in Industrie und Forschung angemessen ist. Auf eine völlig exakte Darstellung der Methode der LAPLACE-Transformation konnte um so leichter verzichtet werden, als hierfür ausgezeichnete Spezialwerke zur Verfügung stehen, und es wurde nicht über das Maß dessen hinausgegangen, was zum Verständnis des jeweiligen Problems und für eine Sicherung der Korrektheit der Lösungen erforderlieh war. Der Verfasser dankt dem Verlag für das bereitwillige Eingehen auf diese Absicht, die verständnisvolle Berücksichtigung aller Wünsche und die sorgfältige Gestaltung des Buches, sowie Herrn Dr. P. Jung, Leipzig, für wertvolle Hilfe bei der Korrektur. Leipzig, April 1971.

Der Verfasser

Einleitung

Viele technische Prozesse sind mit der Erwärmung eines Werkstoffes und nachfolgender Abkühlung verbunden, z. B. die Bearbeitung von Metallen oder die Verarbeitung von Plasten. Dabei, oder auch bei der Heizung und Klimatisierung von Räumen, bei der Kühlung und Lagerung von Lebensmitteln oder bei der Konstruktion von Kraftmaschinen aller Art, ist die genaue Kenntnis des zeitlichen Verlaufs der Temperaturänderungen und der Gestalt des Temperaturfeldes in erwärmten oder abgekühlten Werkstücken, Räumlichkeiten, Maschinenteilen von großer Wichtigkeit. Dies erfordert, physikalisch gesprochen, die exakte Berechnung von instationären Wärme- bzw. Temperaturausgleichsprozessen, mathematisch gesehen, die Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter den verschiedensten Randbedingungen in Körpern unterschiedlicher Gestalt. Im Zusammenhang mit der aktuellen Forderung, alle technischen Prozesse so ökonomisch wie möglich zu gestalten, sie zu optimieren, ist es auch bei wärmetechnischen Berechnungen nicht mehr ausreichend, sie näherungsweise, d. h. unter sehr vereinfachenden Annahmen auszuführen, vielmehr ist es notwendig, die dem jeweils vorliegenden Problem angepaßte Lösung zugrundezulegen, die alle gegebenen Bedingungen möglichst exakt berücksichtigt. Daher ist es eine der beiden hauptsächlichen Aufgaben des vorliegenden Buches, eine größere Zahl technisch wichtiger Lösungen zusammenzustellen, zumal sich — zumindest in der deutschsprachigen Literatur — derartige Sammlungen kaum finden lassen. In den Standardwerken sind entweder nur die Lösungen der grundlegenden Aufgaben — Berechnung der Temperaturfeider in der planparallelen Platte, im Kreiszylinder und in der Kugel bei Vorliegen der Randbedingung konstanter Temperatur, konstanten Wärmeflusses oder konstanter Wärmeübergangszahl — oder die Lösungen ausgewählter Probleme enthalten, während die anderer Probleme in einer Vielzahl einschlägiger Fachzeitschriften aufgesucht werden müssen. Größerer Wert wurde hier auch solchen Fällen beigemessen, in denen die Randbedingungen zeitlich veränderlich sind oder die Anfangstemperatur örtlich verschieden ist, ebenso den sogenannten zwei- und dreidimensionalen Temperaturfeldern. Auch der zeitliche Verlauf des Wärmeaustauschs an der Oberfläche der betrachteten Körper wurde in vielen Fällen mit berechnet. Für die Lösung von Wärmeleitungsproblemen ist die Methode der L A P L A C E Transformation hervorragend geeignet. Es ist das andere Hauptanliegen dieses Buches, den Leser mit dieser Methode vertraut zu machen. Dabei werden die Grundlagen unter Verzicht auf vollständige mathematische Beweisführung möglichst knapp dargestellt und einzelne Wesenszüge der Methode im Laufe der Besprechung spezieller Aufgaben teils ausführlicher, teils in gedrängter Form

Einleitung

VII

behandelt. Das Ziel ist, den Benutzer nach der Lektüre des Buches in die Lage zu versetzen, bei ihm auftretende Probleme, auf deren Berechnung wegen der Vielzahl der möglichen Kombinationen der auftretenden Bedingungen hier verzichtet werden mußte, selbständig nach dieser Methode zu lösen. Die im vorliegenden Buch enthaltenen Beispiele — vor allem diejenigen, deren Lösung kurzgefaßt dargestellt ist — können vom Leser als Übungsaufgabe benutzt werden. Viele Lösungen ergeben sich in Gestalt unendlicher Reihen. Eine nähere Betrachtung zeigt, daß sie für extreme Werte der Zeitvariablen — meist für kleine Werte von t — schlecht konvergieren. Bei Benutzung der Methode der L A P L A C E Transformation ist es aber fast immer möglich, eine zweite Form der Lösung zu entwickeln, die gerade für das Intervall der Zeitvariablen, für das die erste Lösung ungeeignet ist, gut auswertbare Formeln liefert. Diese Zweitlösungen werden häufig mit angegeben, so daß die zahlenmäßige Auswertung der Formeln für alle Werte von t in diesen Fällen gewährleistet ist. Auf die Berechnung von Zahlenbeispielen wird hier verzichtet. Sie ist mit den üblichen Hilfsmitteln — Rechenstab, Logarithmentafel und Tafeln der auftretenden Funktionen — bei geringen bis mittleren Anforderungen an die Genauigkeit leicht auszuführen, oder man kann die graphischen Darstellungen dafür heranziehen, die hier für solche Lösungen beigefügt wurden, in die nicht allzuviele unabhängige Variablen eingehen. Diese Darstellungen sind in dimensionsloser Form ausgeführt und daher, wie bekannt, für beliebige Kombinationen von Körperabmessungen, Stoffwerten und Werten der Zeitvariablen verwendbar. Bei hohen Anforderungen an die Genauigkeit, bei Berechnungen von Lösungsvarianten und ähnlichen Anforderungen wird man sich elektronischer Rechenanlagen bedienen. Auch hierfür sind die gegebenen mathematischen Beziehungen ohne weiteres geeignet, es konnte jedoch im Rahmen dieses Buches nicht näher darauf eingegangen werden.

Inhaltsverzeichnis

1.

Grundlegende Begriffe des Temperaturfeldes. Temperaturausgleich und Wärmeleitungsgleichung . .

1

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Temperaturfeld und Temperaturgradient Wärmefluß und Wärmeleitfähigkeit Die Differentialgleichung der Wärmeleitung Die Grenzbedingungen Wärmeaustausch an der Körperoberfläche

1 3 4 5 7

2.

Die Laplace-Transformation und die inverse Transformation

2.1. 2.2.

Die LAPLACE-Transformation Regeln für das Rechnen mit LAPLACE-Transformationen Die inverse LAPLACE-Transformation Berechnung von Korrespondenzen

11 16 22

3.

Laplace-Transformation der Wärmeleitungsgleichung und der Randbedingungen. Ermittlung von Lösungsansätzen im Unterbereich

31

3.1. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.4.

Transformation der Wärmeleitungsgleichung Transformation der Randbedingungen Lösungsansätze im Unterbereich Lösungsansatz in kartesischen Koordinaten Lösungsansatz in Kugelkoordinaten Lösungsansatz in Zylinderkoordinaten Beschreibung des gesamten Lösungsganges

31 32 33 33 34 34 35

2.3. 2.4.

. . . .

. . . . . . . .

4.

Ausführliche Berechnungsbeispiele

4.1.

Unendlich ausgedehnte Platte mit endlicher Dicke, konstante Oberflächentemperatur &0 (Randbedingung 1. Art) Kugel, konstanter Wärmefluß durch die Oberfläche (Randbedingung 2. Art) Unendlich langer Zylinder, Wärmeaustausch an der Oberfläche nach dem NEWTONschen Gesetz bei konstanter Umgebungstemperatur (Randbedingung 3. Art) .

4.2. 4.3.

9 9

37

37 50

56

5.

Temperaturfelder in Körpern mit zusammenhängender Oberfläche

67

5.1.

Unendlich ausgedehnte Platte mit endlicher Dicke und symmetrischen Randbedingungen .

68

Inhaltsverzeichnis 5.1.1. 5.1.2. 5.1.3. 5.2. 5.2.1. 5.2.2. 5.2.3. 5.3. 5.3.1. 5.3.2. 5.3.3.

Randbedingung 1. Art Randbedingung 2. Art Randbedingung 3. Art Kugel Randbedingung 1. Art Randbedingung 2. Art Randbedingung 3. Art Unendlich langer Zylinder Randbedingung 1. Art Randbedingung 2. Art Randbedingung 3. Art

68 68 69 75 75 76 76 82 82 84 85

6.

Temperaturfelder in Körpern mit zwei getrennten Oberflächen

86

6.1.

Unendlich ausgedehnte Platte mit endlicher Dicke und unsymmetrischen Randbedingungen Randbedingungen 3. Art an beiden Oberflächen . . . Randbedingung 3. Art an der einen, 1. Art an der anderen Oberfläche Randbedingungen 1. Art an beiden Oberflächen . . . Randbedingung 4. Art an der einen, 3. Art an der anderen Oberfläche Randbedingung 4. Art an der einen, 1. Art an der anderen Oberfläche Randbedingung 3. Art an der einen, 2. Art an der anderen Oberfläche Randbedingung 1. Art an der einen, 2. Art an der anderen Oberfläche Randbedingungen 2. Art an beiden Oberflächen . . . Randbedingung 4. Art an der einen, 2. Art an der anderen Oberfläche Hohlkugel Randbedingungen 3. Art an beiden Oberflächen . . . Randbedingung 3. Art an der einen, 1. Art an der anderen Oberfläche Randbedingungen 1. Art an beiden Oberflächen . . . Randbedingung 3. Art an der einen, 4. Art an der anderen Oberfläche Randbedingung 1. Art an der einen, 4. Art an der anderen Oberfläche Randbedingung 2. Art an der einen, 3. Art an der anderen Oberfläche Randbedingung 2. Art an der einen, 1. Art an der anderen Oberfläche Randbedingungen 2. Art an beiden Oberflächen . . . Randbedingung 2. Art an der einen, 4. Art an der anderen Oberfläche Unendlich langer Hohlzylinder (Rohr) Randbedingungen 3. Art an beiden Oberflächen . . . Randbedingung 3. Art an der einen, 1. Art an der anderen Oberfläche Randbedingungen 1. Art an beiden Oberflächen . . .

6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1.5. 6.1.6. 6.1.7. 6.1.8. 6.1.9. 6.2. 6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.5. 6.2.6. 6.2.7. 6.2.8. 6.2.9. 6.3. 6.3.1. 6.3.2. 6.3.3.

87 88 92 95 97 97 97 99 100 101 102 102 104 107 109 110 111 112 113 114 115 116 117 120

IX

Inhaltsverzeichnis 6.3.4. 6.3.5. 6.3.6. 6.3.7. 6.3.8. 6.3.9. 7. 7.1. 7.1.1. 7.1.2. 7.1.3. 7.2. 7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.3. 7.3.1. 7.3.2. 7.3.3. 8. 8.1. 8.1.1. 8.1.2. 8.1.3. 8.1.4. 8.2. 8.2.1. 8.2.2.

Randbedingung 3. Art an der einen, 4. Art an anderen Oberfläche Randbedingung 1. Art an der einen, 4. Art an anderen Oberfläche Randbedingung 2. Art an der einen, 3. Art an anderen Oberfläche Randbedingung 2. Art an der einen, 1. Art an anderen Oberfläche Randbedingungen 2. Art an beiden Oberflächen . Randbedingung 2. Art an der einen, 4. Art an anderen Oberfläche

der der der der

126 127 127

130 . . 132 der 133

Temperaturfelder in einem unendlich ausgedehnten Körper, von dem ein Teilbereich ausgespart ist . . . Halbunendlicher Körper Randbedingung 3. Art an der Oberfläche Randbedingung 1. Art an der Oberfläche Randbedingung 2. Art an der Oberfläche Unendlich auagedehnter Körper mit kugelförmigem Hohlraum Randbedingung 3. Art an der Oberfläche des Hohlraumes Randbedingung 1. Art an der Oberfläche des Hohlraumes Randbedingung 2. Art an der Oberfläche des Hohlraumes Unendlich ausgedehnter Körper mit zylindrischem Hohlraum Randbedingung 1. Art an der Oberfläche des Hohlraumes Randbedingung 3. Art an der Oberfläche des Hohlraumes Randbedingung 2. Art an der Oberfläche des Hohlraumes Zwei- und dreidimensionale Temperaturielder und -ausgleichsvorgänge Randbedingungen 1. oder 3. Art und einheitliche Rand- bzw. Umgebungstemperatur an der gesamten Oberfläche Allgemeine Form der Lösung Beispiel: Temperaturverlauf in einer „eindimensionalen" Ecke, Randbedingung 1. Art — Abkühlung und Erwärmung Beispiel: Erwärmung eines endlich langen Zylinders — Randbedingung 3. Art Beispiel: Abkühlung eines Quaders — Randbedingung 1. Art Randbedingungen 2. Art an der gesamten Oberfläche Allgemeine Form der Lösung Beispiel: Temperaturverlauf in einer „eindimensionalen" Ecke

134 134 135 137 138 139 139 140 141 141 142 145 146 149

151 151 155 156 157 161 161 162

Inhaltsverzeichnis 8.3. 8.3.1. 8.3.2. 8.3.3. 8.4. 8.4.1. 8.4.2. 8.4.3. 8.4.4.

Randbedingungen 1. oder 3. Art — Verschiedene Rand- bzw. Umgebungstemperaturen in einzelnen Oberflächenbereichen . Beispiel: Vierseitig-rechtwinkliges Prisma — Randbedingungen 1. Art Beispiel: Quader — Randbedingungen 3. Art . . . . Beispiel: Endlicher Zylinder — Randbedingungen 3. Art Randbedingungen 2. und 3. (1.) Art in einzelnen Oberflächenbereichen Beispiel: Vierseitig-rechtwinkliges Prisma — Randbedingung 2. Art an einer Fläche und Randbedingungen 1. oder 3. Art an den anderen Flächen Beispiel: Quader — Randbedingungen 2. Art an zwei gegenüberliegenden Flächen und 3. Art an den anderen Flächen Beispiel: Endlicher Zylinder — Randbedingungen 1., 2. und 3. Art . . . . * Beispiel: Endlicher Hohlzylinder — Randbedingungen 2., 3. und 4. Art

9.

Temperaturfelder Wärmequellen

9.1. 9.1.1.

Homogene innere Wärmequelle Unendlich ausgedehnte Platte mit endlicher Dicke — Randbedingung 3. bzw. 1. Art Kugel — Randbedingung 3. bzw. 1. Art Unendlich langer Zylinder — Randbedingung 3. bzw. 1. Art Halbunendlicher Körper — Randbedingung 3. bzw. 1. Art Innere Wärmequelle mit ortsabhängiger Ergiebigkeit Platte mit endlicher Dicke und unsymmetrischen Randbedingungen 3. (1.) Art an beiden Oberflächen Halbunendlicher Körper mit Randbedingung 3. (1.) Art Lokale Wärmequellen mit vernachlässigbarer Dicke und Wärmekapazität Punktförmige Wärmequellen Punktförmige Quelle in einem unendlich ausgedehnten Körper Punktförmige Quelle im Mittelpunkt einer Kugel . . . Linienförmige Wärmequellen Linienförmige Quelle in einem unendlich ausgedehnten Körper Linienförmige Quelle in der Achse eines unendlich langen Zylinders Flächenförmige Wärmequellen Oberfläehenparallele wärmeabgebende Schicht in einer Platte Kugelförmige wärmeabgebende Schicht in einem unendlich ausgedehnten Körper

9.1.2. 9.1.3. 9.1.4. 9.2. 9.2.1. 9.2.2. 9.3. 9.3.1. 9.3.1.1. 9.3.1.2. 9.3.2. 9.3.2.1. 9.3.2.2. 9.3.3. 9.3.3.1. 9.3.3.2.

und

-ausgleichsyorgänge

mit

163 164 166 168 170 170 174 175 176 178 179 179 185 187 188 191 191 194 195 195 195 195 197 197 198 201 202 204

XI

XII

Inhaltsverzeichnis 9.3.3.3. 9.4. 9.4.1. 9.4.2. 9.5.

10.

Zylindrische wärmeabgebende Schicht in einem unendlich langen Hohlzylinder Innere Wärmequellen mit endlichen Dickenabmessungen und Wärmekapazitäten Wärmeerzeugende Schicht in einer Platte mit endlicher Dicke Zylindrische Wärmequelle in einem unendlich ausgedehnten Körper Wärmequelle in einem Körper mit mehrdimensionalem Temperaturfeld

205 207 207 209 211

Temperaturfelder und -ausgleichsvorgänge in Körpern mit ortsabhängigen Anfangsbedingungen . . . 2 1 4

10.1. Stückweise stetige Anfangstemperaturverteilung. . . 10.1.1. Einheitliche thermische Stoffwerte im ganzen Körper 10.1.1.1. Unendlicher Körper, plattenförmiger Teilbereich auf konstanter höherer Anfangstemperatur 10.1.1.2. Unendlicher Körper, kugelförmiger Teilbereich auf konstanter höherer Anfangstemperatur 10.1.1.3. Unendlicher Körper, zylindrischer Teilbereich auf konstanter höherer Anfangstemperatur 10.1.1.4. Zwei sich berührende halbunendliche Körper mit voneinander verschiedenen konstanten Temperaturen . . 10.1.1.5. Unendlich ausgedehnte Platte mit endlicher Dicke, zentrale Schicht auf konstanter, höherer Anfangstemperatur 10.1.2. Die Teilbereiche haben verschiedene thermische Stoffwerte, die Wärmeleitfähigkeit eines Teilbereichs ist sehr groß 10.2. Unendlich ausgedehnte Platte mit endlicher Dicke, ortsabhängige Anfangstemperaturverteilung . . . . 10.2.1. Anfangstemperaturverteilung nach einer trigonometrischen Funktion 10.2.2. Lineare Anfangstemperaturverteilung 10.2.3. Parabolische Anfangstemperaturverteilung 10.3. Kugel mit ortsabhängiger Anfangstemperaturverteilung 10.3.1. Lineare Anfangstemperaturverteilung 10.3.2. Parabolische Anfangstemperaturverteilung 10.3.3. Anfangstemperaturverteilung nach einer trigonometrischen Funktion 10.4. Zylinder mit ortsabhängiger Anfangstemperaturverteilung 10.4.1. Parabolische Anfangstemperaturverteilung 10.4.2. Anfangstemperaturverteilung nach einer Besselfunktion 10.4.3. Logarithmische Anfangstemperaturverteilung . . . . 10.5. Halbunendlicher Körper mit ortsabhängiger Anfangstemperaturverteilung

215 215 215 219 221 225 226 226 228 228 232 234 236 236 237 238 239 239 240 241 243

11.

Temperaturfelder und -ausgleichsvorgänge mit zeitabhängigen Randbedingungen 244

11.1.

Periodisch veränderliche Randbedingungen 1. und 3. Art 244

Inhaltsverzeichnis XIII 11.1.1. 11.1.2. 11.1.3. 11.1.4. 11.2. 11.3. 11.3.1. 11.3.2. 11.3.3. 11.3.4. 11.4. 11.4.1. 11.4.2. 11.4.3. 11.4.4. 11.5. 11.5.1. 11.5.2. 11.5.3. 11.5.4. 11.6. 12. 12.1. 12.2. 12.2.1. 12.2.2. 12.2.3. 12.2.4. 12.2.5. 12.2.6. 12.2.7. 12.3. 12.3.1. 12.3.2. 12.4. 12.4.1. 12.4.2. 12.4.3. 12.5. 12.5.1.

Unendlich ausgedehnte Platte mit endlicher Dicke und symmetrischen Randbedingungen Halbunendlicher Körper Kugel Unendlich langer Zylinder Periodisch veränderlicher Wärmefluß Zeitproportionale Änderung der Umgebungs- oder Oberflächentemperatur Unendlich ausgedehnte Platte mit symmetrischen Randbedingungen Kugel Unendlich langer Zylinder Halbunendlicher Körper Zeitproportionale Änderung des Wärmeflusses . . . Unendlich ausgedehnte Platte mit symmetrischen Randbedingungen Kugel Unendlich langer Zylinder Halbunendlicher Körper Exponentieller Verlauf der Randbedingung 1. und 3. Art Halbunendlicher Körper Unendlich ausgedehnte Platte mit symmetrischen Randbedingungen Kugel Unendlich langer Zylinder Der allgemeine Lösungsweg Inhomogene Körper (Körper aus Schichten mit verschiedenen thermischen Stoffwerten) Grundlagen des Lösungsverfahrens Die an beiden Oberflächen mit gleichartigen Deckschichten versehene Platte (symmetrischer Fall). . . Randbedingungen 1. Art an beiden Oberflächen . . Ergänzungen: Abkühlung einer Platte mit symmetrischen Deckschichten und Quader mit Deckschicht . Wärmewiderstand in der Berührungsfläche KernDeckschicht Homogene innere Wärmequelle in der Kernschicht Kernschicht auf konstanter, höherer Anfangstemperatur Randbedingungen 3. Art an beiden Oberflächen . . Randbedingungen 2. Art an beiden Oberflächen . . Kugel mit einer Deckschicht Randbedingung 3. Art Randbedingung 1. Art Zylinder mit einer Deckschicht Randbedingung 3. Art Randbedingung 1. Art Randbedingung 2. Art Halbunendlicher Körper mit einer Deckschicht . . . Randbedingung 3. Art

245 252 256 258 260 262 262 263 263 264 264 265 265 266 266 267 267 271 272 273 274 275 275 277 278 283 285 288 289 289 291 292 293 295 296 297 298 299 300 301

XIV

Inhaltsverzeichnis 12.5.2. 12.5.3. 12.5.4. 12.6. 12.6.1. 12.6.2. 12.6.3. 12.6.4. 13. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Randbedingung 1. Art Randbedingung 2. Art Zwei sich berührende halbunendliche Körper . . . . Aus zwei Schichten mit endlicher Dicke zusammengesetzte Platte (unsymmetrischer Fall) Randbedingungen 3. Art Randbedingungen 1. Art Verschiedene Anfangstemperaturen der beiden Schichten Lokale Wärmequelle an der Berührungsfläche . . . .

302 302 303

Temperaturfelder in anisotropen Körpern . . . . Die Wärmeleitungsgleichung in anisotropen Stoffen . Transformation der Wärmeleitungsgleichung und der Randbedingungen Quadratisches Prisma Unendlich ausgedehnter Körper mit geradliniger Wärmequelle

312 312

Anhang A Exponentialfunktion Trigonometrische Punktionen Hyperbelfunktionen Zylinderfunktionen Modifizierte Zylinderfunktionen Das Fehlerintegral Die Integral-Exponential-Funktion Ei

305 305 307 308 309

313 315 318 327 328 330 331 335 338 345

Anhang B FotTRiER-Zerlegung periodischer Funktionen mit Hilfe der LAPLACE-Transformation 346 Anhang C Korrespondenzen Funktionstafeln

353 360

1.

Grundlegende Begriffe des Temperaturfeldes. Temperaturausgleich und Wärmeleitungsgleichung

Zu den Größen, die den physikalischen Zustand eines Körpers beschreiben, gehört die Temperatur. Es ist eine erfahrungsgemäße Tatsache, daß Temperaturunterschiede, die sich zwischen verschiedenen Stellen eines Körpers aus irgendwelchen Gründen ausgebildet haben, nicht bestehen bleiben, sondern durch Wärmeleitung ausgeglichen werden, sobald der Körper sich selbst überlassen bleibt und die Ursachen für die Aufrechterhaltung der Temperaturunterschiede entfallen. Ebenso gleichen sich die Temperatur eines Körpers und die seiner Umgebung im Laufe der Zeit aus, wenn sie ursprünglich verschieden waren. Soll ein Körper erwärmt werden, so kann dies durch Wärmeerzeugung im Innern, etwa durch eingebaute Heizdrähte oder -bänder oder durch dielektrische Erwärmung geschehen oder dadurch, daß ihm von der Oberfläche her Wärme zugeführt wird. Bei erwünschter Abkühlung muß Wärme durch die Oberfläche abgeführt werden. Ein solcher Erwärmungs- oder Abkühlungsprozeß benötigt Zeit, da die Ausbreitung der Wärme nur mit endlicher Geschwindigkeit erfolgt, und im Körper bilden sich vorübergehend Temperaturunterschiede aus, weil ein Wärmetransport nur dann vonstatten gehen kann, wenn Temperaturunterschiede vorhanden sind. Die Aufgabe, die wir uns stellen, besteht darin, die Temperaturverteilungen in verschieden gestalteten Körpern und ihre zeitlichen Änderungen unter mannigfaltigen Bedingungen zu ermitteln, d. h. in Gestalt mathematischer Funktionen darzustellen. Die Kenntnis des Temperaturverlaufs und seiner zeitlichen Veränderungen in Körpern, in denen sich Wärmeleitungs- und Temperaturausgleichsvorgänge abspielen, ist von großer technischer Bedeutung. Zunächst ist es erforderlich, daß einige Begriffe geklärt werden wie: Temperaturfeld, Temperaturgradient, Wärmestrom und Wärmefluß. Danach ist die grundlegende Differentialgleichung aufzustellen, und die physikalischen Bedingungen sind zu beschreiben und zu formulieren, unter denen sich Temperaturfelder in einem Körper ausbilden und Temperaturänderungen und -ausgleichsvorgänge vollziehen.

1.1.

Temperaturfeld und Temperaturgradient

Ohne Einzelheiten über die Temperaturverteilung in einem Körper zu kennen, kann man feststellen: In einem Punkt kann in einem bestimmten Augenblick immer nur eine einzige Temperatur herrschen, d. h., die Temperatur ist eine ein-

2

1. Grundlegende Begriffe des Temperaturfeldes

deutige Funktion von Ort und Zeit: fi = h(r,

(i.i)

t).

Dabei bedeuten: r den Ortsvektor, der von einem im allgemeinen willkürlieh wählbaren Nullpunkt aus zum betrachteten Punkt gezogen wird, t die Zeit, gezählt von einem ebenso frei wählbaren Zeitpunkt Null an, und •& die Temperatur. Wir wählen als Formelzeichen den Buchstaben & um anzudeuten, daß man bei der mathematischen Behandlung der Wärmeleitung auch in bezug auf die Temperatur einen Nullpunkt willkürlich festlegen kann, mit anderen Worten, daß es nur auf Temperaturdifferenzen und nicht auf die absoluten Beträge der Temperatur ankommt. Praktisch gibt es bei jedem Wärmeleitungsproblem eine Temperatur, die sich als Nullniveau der Temperaturzählung verwenden läßt; in vielen unserer späteren Beispiele werden wir dazu die gleichmäßige Anfangstemperatur im betrachteten Körper benutzen. Man bezeichnet eine räumliche Temperaturverteilung auch als Temperaturfeld. Da die Temperatur eine skalare Größe ist, stellt das Temperaturfeld ein skalares Feld dar. In einem Temperaturfeld, das stetig ist, d. h. in dem überall zu infinitesimalen Abständen auch infinitesimale Temperaturdifferenzen gehören, gibt es zu jedem Punkt in bestimmten Richtungen weitere benachbarte Punkte, die dieselbe Temperatur haben, und von diesen Punkten aus gesehen wieder weitere Nachbarpunkte mit derselben Eigenschaft. Die Punkte gleicher Temperatur liegen jeweils auf einer Fläche, der Isothermenfläche. Da, wie schon bemerkt, die Zuordnung der Temperatur zu den Punkten im Feld eindeutig ist, können Isothermenflächen nirgends einander schneiden. Sie sind entweder innerhalb des Körpers in sich geschlossen oder enden am Rand des Körpers. In vielen Fällen, die wir später berechnen werden, ist die Berandung (Oberfläche) des Körpers selbst eine Isothermenfläche. Wir betrachten einen Punkt A des Temperaturfeldes, der in einem bestimmten Augenblick die Temperatur &1 angenommen hat, also der Isothermenfläche &1 = const angehört, und die Gesamtheit aller Punkte B, die im gleichen Augenblick die etwas höhere Temperatur besitzen, also auf der Isothermenfläche = const liegen. Letztgenannte Punkte haben verschiedene Abstände von A, der Quotient aus Temperaturdifferenz # 2 — und Abstand A B heißt Temperaturanstieg von A nach B. Unter allen Punkten B gibt es einen, der den geringsten Abstand von A hat, der Temperaturanstieg nimmt in diesem Fall den größten Wert an. Man bezeichnet ihn als Temperaturgradienten, grad &, im Punkt A. Die Richtung von A nach B ist die der Senkrechten in A auf der Isothermenfläche (wenn man die Temperaturdifferenz — hinreichend klein wählt). Der Gradient ist also eine richtungsbehaftete Größe, ein Vektor; er wird positiv gerechnet in Richtung zunehmender Temperatur, sein Betrag stimmt mit dem des erwähnten Quotienten überein und hat die Dimension grd • cm - 1 bzw. grd • m _1 . Die Gradienten in einem Temperaturfeld sind, wie die Temperatur selbst, von Ort und Zeit abhängig: grad & = f2(r,

t),

ihre Gesamtheit bildet das Gradientfeld.

(1.2)

1.2. Wärmefluß und Wärmeleitfähigkeit

1.2.

Wärmefluß und

3

Wärmeleitfähigkeit

Zwischen Punkten mit ursprünglich verschiedener Temperatur findet ein von selbst verlaufender Ausgleich statt, der durch einen Transport von Wärmeenergie vollzogen wird. Nach der experimentellen Erfahrung fließt die Wärme entgegengesetzt zur Richtung des Temperaturgradienten, also von Orten mit höherer Temperatur zu solchen mit niedrigerer Temperatur mit einer Stärke, die dem Betrag des Gradienten proportional ist. Diejenige Wärmemenge, die pro Zeiteinheit durch eine Fläche mit der Größe Eins fließt, die auf der Strömungsrichtung senkrecht steht, nennt man den Wärmefluß. Der Wärmefluß stellt einen Vektor dar, dessen Richtung und Betrag die bereits genannten Eigenschaften besitzen. Seine Dimension ist cal • cm -2 • s _1 bzw. W • m - 2 . Der Proportionalitätsfaktor von Wärmefluß q und Gradient heißt Wärmeleitfähigkeit Wir erhalten die Grundgleichung q = —A • grad &,

(1.3)

in der das Minuszeichen auf die entgegengesetzte Richtung von Wärmefluß und Gradient hinweist. Die Wärmeleitfähigkeit ist eine charakteristische Größe für den Stoff, aus dem der Körper besteht. A ist in isotropen Körpern eine skalare Größe, in anisotropen eine tensorielle, und im allgemeinen in mehr oder weniger starkem Maße von der Temperatur abhängig; ihre Dimension ist cal • cm -1 • s _1 • grd -1 bzw. W • m - 1 • grd -1 . Wir werden bis auf einen Ausnahmefall nur isotrope Körper betrachten und müssen aus mathematischen Gründen die Temperaturabhängigkeit vernachlässigen, also konstante Werte von X annehmen. Die durch eine Fläche beliebiger Größe in der Zeiteinheit fließende Wärmemenge heißt Wärmestrom q, die Dimension ist cal • s - 1 bzw. W. Steht ein Flächenstück dA nicht senkrecht auf der Richtung des Temperaturgradienten, so ist der Wärmestrom dg = |g | • cos « • d^4 = — X • |grad

• cos « • d^4.

(1.4)

(Polabstand): 8& ~8t

2

/8 &

« TT-I ydr*

2 8&

r

1 82& cos w 8& + 1 7 1 + T +

r 8r

5

r 8xp

i

82&\

1 z

r s r n ip 8\p

r s m y ¿9?/

,

+

Qr

(1.10b)

gc

in Zylinderkoordinaten r (Radius),

e-P< dt = f ( p ) . J 2t\7iat o Die Zusammenfassung der Exponenten ergibt

(2.31)

Substituiert man nun x —— =v, 2-fiä

, 1 d v = - -

x 1 , — d t = —— vdt, 2 j/öi 2i

,— x /p Vpt = — \ V* 2v ]f a

so erhält man unter Beachtung der Transformation der Integrationsgrenzen i = 0 —> v = oo, t = oo v = 0 o •j—r- f i V I /(p = e-w/o j _ ( J

t\

2t\ vj

e

\

2»

I dv

,

OO

oo =

/ e~{v~2v^pl")

vW 0 Benutzt man die Substitution

dv.

(2.32)

'

ipt = v, t = 0

= v = 0,

t, i = oo —>v = oo,

f

2.4. Berechnung von Korrespondenzen so erhält man jtp)

23

oo j-r f X -i l~p 2t - t 2ß i - . ] ' , = e-xVpia / \ — — e '® I d« J 2vt -fit \ ® v

o

'

00

2 f * l/Ze-K^l'd,. VÜJ \ a ' o

=

(2.33)

Durch Addition von (2.32) und (2.33) ergibt sich 2HP) =

^ / ( * + £ o

]/f) e - K H '

d..

Mit der neuen Substitution

wird mit Gl. (A6.1a) + 00

2f{p) = e-^P/a J ^ / e-« ! dit = 2e"*Vp/» . Vji J

(2.34)

— 00

Somit finden wir die Korrespondenz 2i

Q-x'Hat ^

e-xföTo.

(2.35)

In den folgenden Beispielen inverser LAPLACE-Transformationen werden die verschiedenen, im vorigen Abschnitt erläuterten Berechnungsverfahren angewendet. Als erste Unterfunktion wählen wir f(P) = ~t~T—T =

•

(2-36)

Dies ist eine eindeutige Funktion von p mit zwei einfachen Polen bei p1 =-)-«&> und p2 — — iw. Man kann daher die Beziehung (2.19) anwenden. Es ist 9t (P) = ^ ( p * +

«>2)=2p

24

2. Laplace-Transformation

und inverse

Transformation

und damit y^ifiP)]

=

" t ^

0

e+i0,i

+ O ~f l W \ *** = T 2-(—im)

2 • (+»cu)

{eimt

+

2

Mit Benutzung der EüLERSchen Formel (s. (A2.3b)) erhalten wir F(t)

= ¿C-^fip)]

cos cot.

=

(2.37)

Als weiteres Beispiel betrachten wir die Funktion f{p) = J - = m . pn+1

(2.38)

g2(p)

Dies ist ebenfalls eine eindeutige Funktion von p mit einem (n + l)-fachen Pol bei p = 0. Wenn man den EHES (2.29) anwendet, entfallen alle Glieder der unendlichen Reihe, und es wird nur das Residuum bei p = 0 benötigt. Mit der TAYLOR-Entwicklung von e?' an dieser Stelle bekommt man Res

{f(p)

eP'} _ i —

woraus man F(t)

=

I«

^Ti

Ii« ^"n\~p

TT p " ^

+

V

p n+l

= c_j = —

(2.39 a)

n\

entnimmt. Statt der Fakultät kann man auch die Gammafunktion verwenden 1

tn

»>-1,

(2.39b)

und es läßt sich nachweisen, daß diese Beziehung auch für nichtganzzahlige n gilt. (Für unsere Temperaturausgleichsprobleme sind vor allem noch die Korrespondenzen mit halbzahligem n von Bedeutung. Vgl. hierzu Anhang A, Gl. (A 6.28c).) Da, wie man sich überzeugen kann, keine Unterfunktion p m (m 2g 0) möglich ist, besteht die in (2.39b) angegebene Schranke für n. Das dritte Beispiel sei

f(p) = n p

'

*

p- c o s (iTp/4:)

= - Ä

(2.40)

p • h{p)

y

'

mit einer Zeitkonstante T, die die Bedeutung einer Schwingungsdauer (Periode) hat. Eine Polstelle liegt, wie man sofort erkennt, bei p0 = 0, es handelt sich um einen Einfachpol. Weitere (einfache) Polstellen ergeben sich so: iTv

- f

=

TZ ± ( 2 n - l ) ~ ,

p =

2 71

T i {

2 n - i ) .

Y

.

2.4. Berechnung von Korrespondenzen

25

(Hier sind die p-Werte mit jeweils gleichem Betrag, aber entgegengesetztem Vorzeichen beide zu berücksichtigen, weil sie voneinander verschiedene Summanden für die HEAVisiDE-Reihe liefern.) Da weiterhin d A'Ö>) =

( c o s iTpl4)

^

-K) P • h'(p)

= - ;

T iTv — sin —

T / - i — sin

=

2n — - —

1

\ n)

[ ± ( - i r1],

=

-

1) • y ]

•

= +(_1)»(2»-1) j ,

t )

' £±

^

» = 1,2,...

und cos 0 = 1 ist, wird F(t)

=

[ j [ p • cCo OsS( i('T p j A

1 e-i(2n-l)2^(/T i i l ( - l ) " ( 2 n - 1)^/2 I T

i

( - l ) » ( 2 n — 1)jt/2

e+t(2n-l)2.T dtp2/

(3.4b)

pgc

in Zylinderkoordinaten: id2u 1 du 1 d2u = « _ 2 + _ _ + _2 + \dr r 8r r d 0 gehalten. Für die Behandlung dieses Problems ist das rechtwinklige Koordinatensystem x, y, z geeignet. Die Lage des Koordinatensystems ist in Abb. 4.1 dargestellt. Da die Platte in y- und z-Richtung nicht begrenzt ist, wird die Wärme nur in xRichtung in die Platte eindringen und das Temperaturfeld außer von t nur von der «-Koordinate abhängig sein. Da die Anfangsbedingung #Anf=0 4*

bei

pq

1 / 33 ^ q2 \128ii 2

r

l/i

1 -)

_9_ 128r 2

+

\ , / 3

( - — | -

— j -

q \8r

8R

—

+

128 q2r2

+

&qR

L l

®

"')

3

15 128q 2 R 2

\ ")

h\ J

_ 3 _ _ 7A _ h_ 64Rr 8R 8r

/+ '

Diese Unterfunktion läßt sich mit Hilfe der Korrespondenzen 5 -\-L.

Lösung im "ÜB u = h

c o s h 9X t ü , p q • sinh qL + h • cosh qL'

,5

Polstellen bei p = 0 und bei p„ = —u^ajL2, qn = finjiL (alles Einfachpole) mit der Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte ¡xn bzw. ßn n\hL = cot fi

bzw.

ß/h = cot ßL,

(ji=ßL),

(5.8)'

Rücktransformation mit dem HES. Lösung im OB 0 =

mit

^

A«

—2

Ancos/inxlL-e-»«'-atlL']J

2 h L

=

2 I I, m

f^n + hL(l

- L ^ x ^ L

2smfl„

1

I J, rx = 1 : ' + hL) cos iin fin + sin pH • cos fi„

& = &n ( l - 2 f „ . , . * \ »=i (ßn2 + h2)L 6*

für

, . ^ H r v ' A , cos /?„£ /

+ h

(5.9a)

(5"9b>

c

(5.9d)

70

5. Körper mit zusammenhängender Oberfläche

geeignet für größere Werte at/L2; & = &u

für t -> oo stationärer Endzustand

für

\x\^L.

Eigenwerte //„ und Werte An in Tab. C. 5 im Anhang und in Abb. 5.2 und 5.3, u für Plattenmitte x = 0 und -Oberfläche i = ± L in Abb. 5.4 und 5.5. Unterfunktion für kleine Werte atjL2 u

/ e-g(L-x)

=

h &

e-g(L+x)

\

OO /ff _ h\n

v \p(q — r ~+ r h)r + ~i—r~rr) p(q + h)f •^02\q

+

hj

(ß-W)

e~2B,£>

Oberfunktioni = &u [erfc l

.

+ erfc

+

L

L

2 yät

4- x

2\at

(1 - 2h[3L

— e»(£-*>+Ä, .s 3 H3 cö t) 1 ö g Ph 8 H

1 § •3« a

/Ä+'oi/R> - r

2

[ + (kR — 1) \ 2 ^ä/ +

entsprechende Summanden mit entgegengesetztem Vorzeichen mit (3i? + r) -1

weitere Summandenj

(5.24)

3,5 3,0 P*

2,5 2,0 ',5 W 0,5

0

0,01 2

5 0,1 0,2 0,5 1

2

5

10 20

50 100 ®

hR

Abb. 5.8 Die ersten vier Wurzeln fi„ der Gleichung fi/( 1 — hR) = tan/i (Eigenwerte für die Lösung für die Kugel mit Randbedingung 3. Art) in Abhängigkeit von hR (R Kugelradius) Es ist ¡in* = nn — (n — 1)tz aufgetragen. 2,0

/>

1,8

l--Ii 775/

>A

/

1,0

0,8 0,6 OA 0,2 0 0,01 2

-J 5 0,1 0,2 0,5

F r 1

2

5

10 20

50 100

hR

Abb. 5.9 Die ersten vier Faktoren An der Lösung für die Kugel mit Randbedingung 3. Art Man beachte den Wechsel des Vorzeichens!

5.2.

oo C i

vo

vjCÌ

C i

CSI

•J3 ci N 03 bo e tì S> o •fi

O O Q

C i

CSI

¡3 «

O

oo'o-j

>o'o/~

o 8 / •Q o "

:c3 £ fi

o

8

CN Ct

fi

\

s

f

&P3 3

h te

a

3

o +

+

finx/D]

cos ¡xn]

(6.3)

D.

Der Nenner der Glieder unter dem Summenzeichen läßt sich in Hn

sin fi„

[ 2 ^ • sin2 ¡un + (KD + h2D)(fin — sin fin • cos fin)]

(6.3 a)

umformen, wenn man fj,n2 — \ D h % D aus (6.2) in (6.3) einführt. Gl. (6.3) ist für numerische Berechnungen mit größeren Werten ai/D2 geeignet. Bei t -> 00 stellt sich ein stationärer Endzustand ein, der durch den ersten Term in (6.3) beschrieben wird, den man umformen kann in (#U! — &v2)h2D(l KD

+ k

hzD

+ d

+

Kx)

K

(6.3b)

D

Der Temperaturgradient ist im stationären Endzustand d& _

da;

1

KDKD{ftVl—$u2)

~D

KD

h2D

+ KD

+ h2D

(6.4)

'

Aus (6.3 b) oder aus (6.4) geht hervor, daß die Temperatur linear mit x verläuft. Für kleine Werte atjD2 ist im U B

= &Ü1K

u

e-qx

e-?(B-x)

+ &u2K

p(q

(q

|

P(q + K)

+

K)

-

P(2

+ K)(Q + K)

^

(q —

hje-i^^

v(q + K)(q + K) ±

(6.5)

im OB = #U! erfc

-

erfc

e»>*+>-'2(l + K D ß ) + ^ h t D { \ + =

e c D

hlDhiD^h1D

ftl-P/2)

+ hiD

&=QJQCD. 6.1.2.

. ( 6 1 0 a )

'

(6.10b)

Randbedingung

3. Art an der einen,

1. Art an der anderen

Oberfläche

An der Oberfläche bei x — 0 soll jetzt die konstante Temperatur &01 vorgeschrieben sein. Man erhält alle erforderlichen Beziehungen, wenn man in den Gleichungen des Abschnitts 6.1.1. gegen Unendlich gehen läßt und # 0 i statt &V1 einführt. Um die Unterfunktion der Temperaturverteilung aus (6.1) zu erhalten, dividiert man Zähler und Nenner mit h x :

u

[