Topologie: Band 1 Allgemeine Topologie [4. Aufl. Reprint 2019] 9783110827002, 9783110041170

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Topologie i

Allgemeine Topologie

von

Dr. Wolfgang Franz o. Prof. an der Univ. Frankfurt Mitund 9 Figuren 4., verbesserte erweiterte Auflage

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Sammlung Göschen Band 6181

Walter de Gruyter Berlin • New York • 1973

€) Copyright 1972 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., 1 Berlin 30. — Alle Rechte, einBchl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen vom Verlag vorbehalten. — Printed in Germany. Satz und Druck: Mercedes-Druck, Berlin 61

ISBN 3 11 004117 0

Inhaltsverzeichnis Seite

Literaturverzeichnis Einleitung

5 7

I. Teil Theorie der allgemeinen topopologischen Bäume Kap. 1. Axiomatische Grundlegung § § § §

1 2 3 4

Vorbereitung: Metrische Räume Topologische Bäume Dualitätsprinzip XJ-, O- und K-Topologien

r

11 16 22 29

Kap. 2. Ausbau der Theorie § § § § §

5 6 7 8 9

Abbildungen und Funktionen Spurtopologie Zusammenhang Zusammenhang im R n Dichte

33 37 39 43 45

Kap. 3. Beziehungen verschiedener Topologien zueinander § 10 Basen § 11 Grobe und feine Topologien § 12 Produkt- und Quotiententopologien

48 52 54

II. Teil Spezielle Klassen von Bäumen Kap. 4. Durch Trennungsaxiome definierte Räume § 13 Hausdorffsche Räume § 14 Reguläre Räume § 15 Normale Räume

58 62 63

Kap. 5. Durch Überdeckungseigenschaften definierte Bäume: Kompakte Räume § 16 § 17 §18 § 19

Kompaktheit Eigenschaften kompakter und lokalkompakter Räume Abbildungen kompakter Räume Parakompakte Räume

66 70 72 74

4

Inhaltsverzeichnis I I I . Teil Metrische Bäume

Kap. 6. Theorie des metrischen Raumes § 20 Abstand von Punkten und Mengen § 21 Grenzwerte, Vollständigkeit § 22 Durchmesser, Beschränktheit

Seite 75 79 83

Kap. 7. Kompakten § 23 Kennzeichnung der Kompakten § 24 Abstand, Überdeckungen, Zusammenhang § 25 Abbildungen von Kompakten

85 88 92

Kap. 8. Metrisierung topologischer Räume § 26 Die Hauptsätze § 27 Notwendige Bedingungen § 28 Hinreichende Bedingungen

95 99 101

IV. Teil Anfänge der Dimensionstheorie Kap. 9. Polyeder § 29 Das Simplex § 30 Simplizialkomplexe und Polyeder § 31 Unterteilungen

106 112 117

Kap. 10. Dimension von Kompakten § 32 § 33 §34 § 35

Pflasterdimension Nulldimensionale Kompakten Pflastersatz Einbettungssatz

Grundformeln aus der Mengenlehre Index

122 127 132 135

140 141

Literaturverzeichnis Es werden nur die wichtigsten Werke genannt, die zur Vertiefung oder Ergänzung des in diesem Bändchen behandelten Stoffes dienen können. 1. 2. 3. 4.

F. H a u s d o r f f , Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914. F. H a u s d o r f f , Mengenlehre, 3. Ausg., Berlin 1935. P. A l e x a n d r o f f und H. H o p f , Topologie I, Berlin 1935. W. H u r e w i c z u n d H . W a l l m a n n , Dimension Theory, Princeton 1941. 5. n . C. AjieKcaHnpoB, KOMÖHHaTopHan TonoJiorHH. Moskau und Leningrad 1947. Englische Übersetzung: P. S. A l e x a n d r o v , Combinatorial Topology I, II, III, Rochester 1956,1957, 1960. 6. C. K u r a t o w s k i , Topologie I, II, Warschau 1948,1950. 7. N. B o u r b a k i , Eléments de Mathématique, LivrelII: Topologie générale. Chap. I: Structures topologiques, Paris 1951, Chap. II: Structures uniformes, Paris 1951, Chap. IX : Utilisation des nombres réels en topologie générale, Paris 1948. 8. J I . C . N O H T P N R H H ,

OCHOBM

KOM6HH&TOPHOH

TonoJiorHH.

Moskau und Leningrad 1947. Englische Übersetzung: L. S. Pontr j a g i n , Foundations of Combinatorial Topology, Rochester 1952. 9. Gr. N ö b e l i n g , Grundlagen der Analytischen Topologie, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1954. 10. D. W. H a l l und G. L. S p e n c e r , Elementary Topology, New York, London 1955. 11. J. L. K e l l e y , General Topology, Toronto, New York, London 1955. 12. E. K a m k e , Mengenlehre. Slg. Göschen 999/999a. Berlin 1955. 13. B. r . BOJITHHCKHÜ, roMOTOimyecKan Teopun HenpeptiBiitix OTOßpameHHÜ H BeKTopHHX noJieft. Trudy Mat. Inst. Steklow, No. 47 (1955). Englische Übersetzung: V. B. B o l t y a n s k i , Homotopy Theory of continuous mappings and of vector fields. Amer. Math. Soc. Tanslations, Ser. 2, Vol. 7,1957. 14. II. C. AJieKcaHHpoB, BBenemie B oßmyio Teopmo MHOJKCCTB h (JyHKUMH. Moskau 1948. Deutsche Übersetzung: P. S. A l e x a n d r o f f , Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktion, Berlin 1956.

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Literaturverzeichnis

15. H . - J . K o w a l s k y , Topologische Räume, Basel und Stuttgart 1961. 16. H . S c h u b e r t , Topologie, Stuttgart 1964. 17. S.-T. H u , Introduction to General Topology, San Francisco, London, Amsterdam 1966. 18. J . D u g u n d j i , Topology, Boston 1966.

Einleitung Das Wort Topologie leitet sich von dem griechischen Wort TOTtOQ ab, welches Stelle, Ort oder Raum bedeutet. Die Topologie ist demgemäß Wissenschaft vom Raum, sie analysiert den Raumbegriff und untersucht die Eigenschaften allgemeiner Räume. Sie ist also ein Teilgebiet der Geometrie. Dem steht nicht entgegen, daß sie zu den anderen großen Teilgebieten der Mathematik, der Analysis und der Algebra, in enger und fruchtbarer Beziehung steht. Sie liefert der Analysis die geometrischen Grundlagen; sie empfängt andererseits von der Analysis wesentliche Impulse (Algebraische Funktionen, Algebraische Geometrie) und entwickelt sich in gewissen Gebieten gemeinsam mit der Analysis weiter (Funktionalanalysis). Der Algebra als der fundamentalen Grundund Hilfsdisziplin der Mathematik entnimmt sie wesentliche Hilfsmittel (Lineare Algebra, Gruppen- und Modultheorie) und führt ihr ihrerseits wichtige neue Ergebnisse zu (Homologische Algebra). Das eigentliche Ziel der Topologie ist jedoch stets die Gewinnung geometrischer Erkenntnisse. Der Raumbegriff, der dieser Geometrie zugrunde liegt, wird in der Topologie so allgemein wie möglich gefaßt, er soll möglichst alles umfassen, wa's im weitesten Sinne des Wortes den Namen Raum verdient. Dazu gehören außer dem fundamentalen Grundmodell, dem gewöhnlichen euklidischen 3dimensionalen Raum R3 und dem w-dimensionalen Rn mit n = 1,2,2, ... und allen Teilmengen des Rn auch der unendlich-dimensionale Hilbertsche Raum H, die nichteuklidischen Räume und die Räume der Riemannschen Geometrie, aber auch allgemeinere Bildungen, wie z.B. die 4-dimensionale Menge der Geraden im R3, die Menge der Quadriken im Rn, die Phasenräume der Physik, Matrizen- und Funktionenräume und sehr viel allgemeinere hier noch nicht zu beschreibende Räume. Natürlich handelt es sich nicht um die besonderen Eigenschaften des einen oder des anderen dieser

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Einleitung

Beispiele, sondern um die allen diesen Räumen gemeinsamen charakteristischen Eigenschaften. Indem die Topologie so eine möglichst tief eindringende Analyse des Raumbegriffes erstrebt, hat sie nicht nur mathematischen, sondern, besonders in den grundlegenden Teilen, auch philosophisch-erkenntnistheoretischen Charakter. Während eine viel diskutierte klassische philosophische Lehre 1 ) behauptet, daß die Euklidische Geometrie des R 3 die denknotwendige Form menschlicher Raumanschauung sei, zeigen die ersten Kapitel der folgenden Darstellung, wie weit die neuere Forschung sich von diesem Standpunkt entfernt. Der Ausgangspunkt und die Methoden der Topologie ebenso wie ihre Beziehungen zu ihren Nachbardisziplinen lassen sich besonders einfach an einem wichtigen Beispiel erläutern, nämlich dem Bereich der reellen Zahlen, der ja auch für viele andere Teile der Mathematik von grundsätzlicher Bedeutung ist. Reelle Zahlen lassen sich addieren und multiplizieren, und die Gesetze, denen Addition und Multiplikation gehorchen, lassen sich aus wenigen Grundgesetzen, den sogenannten Körpergesetzen, ableiten. Die A l g e b r a untersucht diese Grundgesetze und ihre Konsequenzen. Sie betrachtet allgemeinere axiomatisch definierte Bereiche, in denen ähnliche Verknüpfungsoperationen wie Addition und Multiplikation mit denselben oder ähnlichen Grundgesetzen als Axiomen definiert sind und gelangt so zu den Begriffen Körper, Ring, Gruppe und anderen und zur Theorie dieser algebraischen Strukturen. An den Verknüpfungsoperationen der reellen Zahlen und ihren Verallgemeinerungen ist die T o p o l o g i e nicht oder jedenfalls zunächst nicht interessiert. Sie richtet vielmehr ihr Augenmerk auf solche Eigenschaften, die den reellen Zahlen als eindimensionalem Raum oder als Zahlgeraden zukommen, etwa auf die Tatsache, daß die Zahlenfolge 1, ... den Grenzwert Null hat. Sie hat es mit den Begriffen Umgebung, Nachbarschaft, Offenheit oder Abgeschlossenheit von Mengen reeller Zahlen, Stetigkeit reeller Funktionen und mit ähnlichen Begriffen zu tun. Unter diesen Begriffen wählt sie möglichst einfache und möglichst wenige axiomatische l

) vgl. etwa I. Kant, Prolegomena, Anmerkung I.

Einleitung

9

Grundbegriffe und unter den Eigenschaften dieser Grundbegriffe möglichst einfache und wenige als Axiome aus und gelangt so, analog zu dem oben beschriebenen Verfahren der Algebra, zu dem grundlegenden Begriff des allgemeinen topologischen Raumes. Man vergleiche etwa die späteren Definitionen 1.1 oder 2.1. Das eigentliche Gebäude der Topologie besteht in den aus diesen Axiomen abzuleitenden Eigenschaften dieser topologischen Räume und solcher Klassen spezieller Räume, die sich aus ihnen durch weitere einschränkende Axiome ableiten lassen. — Von diesem Standpunkt aus stellt sich im übrigen die Rolle der Analysis, der Theorie der Funktionen auf der reellen Geraden, wie folgt dar: Sie ist eine zusammengesetzte Struktur, die teils auf algebraischen, teils auf topologischen Axiomen beruht und infolgedessen ein komplizierteres Gepräge zeigt als Algebra und Topologie. Genau genommen spielt noch eine weitere, eine Anordnungsstruktur, dabei eine Rolle, auf die hier nicht eingegangen wird. Da im folgenden ein axiomatischer Aufbau der Topologie gegeben wird, sind zum Verständnis Vorkenntnisse aus anderen Gebieten grundsätzlich nicht erforderlich. Es wird aber nichtsdestoweniger erwartet, daß der Leser mit den Grundtatsachen der reellen Analysis, der Algebra und der elementaren Geometrie einigermaßen vertraut ist, und zwar aus den folgenden beiden Gründen: Zunächst trägt es wesentlich zum Verständnis und zur richtigen Würdigung der Gedankenführung eines axiomatischen Gebäudes bei, wenn man bereits eine ungefähre Vorstellung wenigstens von den rohesten Umrissen des zu Erwartenden hat und wenn man die Tragweite und die Gültigkeit oder Nichtgültigkeit allgemeiner Sätze an Hand eines bereits bekannten speziellen Modells vergleichend beurteilen kann. Zum anderen müssen wir von Anfang an bei den Beispielen zur allgemeinen Theorie gewisse Grundtatsachen aus den genannten Gebieten als bekannt voraussetzen und benutzen. — Für den in der Lektüre mathematischer Literatur weniger Erfahrenen sei noch folgendes bemerkt: Die Ausführungen und insbesondere die Beweise sind im allgemeinen knapp gehalten, sie erfordern ein genaues Durch-

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Einleitung

denken aller Einzelheiten, auch solcher, die nicht bis ins letzte ausgeführt sind. Dies geschieht am besten, indem man die Schlüsse selbständig im einzelnen nachvollzieht (mit Papier und Bleistift!) und insbesondere reichlich Figuren und Lageskizzen anfertigt, die hier aus Platzmangel nur in weniger. Fällen beigefügt werden konnten.

I. Teil Theorie der allgemeinen topologischen Bäume Kap. 1. Axiomatische Grundlegung § 1. Torbereitung: Metrische Räume

In diesem Paragraphen behandeln wir noch nicht allgemeine topologische Räume, sondern als Vorstufe eine etwas einfachere, zugleich aber besonders wichtige spezielle Klasse von Räumen, die sogenannten metrischen Räume. Diese Einführung dient zunächst dazu, Beispiele bereitzustellen und auf die später aufzustellenden Axiome der topologischen Räume hinzuführen, so daß sie dem Leser plausibel erscheinen. Erst in Kapitel 6 werden wir die Theorie der metrischen Räume um ihrer selbst willen eingehender entwickeln. 1.1 Definition: Eine Metrische Struktur, kurz eine Metrik, über einer Menge R ist gegeben, wenn jedem Paar x, y von Elementen von R eine reelle Zahl d(x, y) Sg 0 zugeordnet ist mit den Axiomen [M 1] d(x, y) = 0 dann und nur dann, wenn x = y. [M 2] d(y, x) = d(x, y). [M 3] Dreiecksaxiom: d(x, z) sS d (x, y) + d(y, z). 1.2 Definition: Eine Menge R zusammen mit einer Metrik über R heißt ein metrischer Raum. Man sagt, die Metrik sei der Menge R aufgeprägt. Die Menge R heißt die dem metrischen Raum zugrunde liegende Menge. Die Elemente von R heißen Punkte, d(x, y) heißt der Abstand oder die Entfernung der Punkte x und y. Über einer Menge R können sehr wohl verschiedene Metriken durch verschiedene Abstandsfunktionen d(x, y) und d'(x, y) gegeben sein, wie es die später folgenden Beispiele zeigen.

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Kap. 1. Axiomatische Grundlegung

Die Abstandsfunktion d(x, y) befolgt zwei weitere, der Dreiecksungleichung ähnliche Regeln: | d(x, z) — d(z, y) | ^ d(x, y) (2. Dreiecksungleichung) | d(x, y) — d(x', y') | ^ d(x, x') + d{y, y') (Vierecksungleichung). Hier bedeuten die senkrechten Striche den absoluten Betrag der betreffenden reellen Zahlen. — Die 2. Dreiecksungleichung ergibt sich aus der 1.: Es ist d (x,2) — d(z, y)fid (x, y); durch Vertauschung von x und y und Zusammenfassung der beiden Ungleichungen folgt die 2. Dreiecksungleichung. — Die Vierecksungleichung ergibt sich aus d(x, y) d(x, x') + d(x', y') + d(y', y), also d(x, y) — d(xr, y') ^ d(x, x') + d(y, y'); durch Vertauschung von x mit x' und von y mit y' und Zusammenfassung der beiden Ungleichungen folgt die Vierecksungleichung. 1.3 Definition: Ist p ein Punkt von R und e > 0, so heißt die Menge U£ (p) = {x | d(x,p) ff* (X, Y, ...), die auseinander hervorgehen durch rein mechanische Ersetzung von U durch n , Kern durch Hülle, 0 durch R, c durch und durch die umgekehrten Ersetzungen. Man nennt diesen Bildungsprozeß das Dualitätsprinzip für topologische Räume. Man kann noch die folgende Ergänzung hinzufügen. Sind einige der zusammensetzenden Mengen X, Y, ... nicht beliebig, sondern an die Voraussetzung gebunden, offen zu sein, so erhält man offenbar eine richtige Relation, wenn man in der dualen Relation für die entsprechenden Mengen die Voraussetzung macht, abgeschlossen zu sein. Handelt es sich an Stelle einer Relation zwischen zwei Mengen um die Behauptung, die Menge A = F (X, Y, ...) sei offen, so gilt die duale Behauptung, daß F* (X, Y, ...) abgeschlossen ist. In diesen Betrachtungen kann man natürlich die Worte „offen" und „abgeschlossen" miteinander vertauschen. Eine einwandfreie Begründung des Dualitätsprinzips verlangt eigentlich eine Klärung der logischen Grundbegriffe, insbesondere des Begriffs der „Aussage". Wir begnügen uns aber mit der vorstehenden Skizze, die jedenfalls für die Zwecke des folgenden Paragraphen ausreicht: Die Sätze sind zu zweien dual einander gegenübergestellt; wir beweisen immer nur den einen davon, den anderen kann der Leser nach der obigen Anleitung leicht daraus ableiten. Es brauchen nur die Sätze mechanisch dualisiert zu werden, es ist keineswegs nötig, die Beweise aufzurollen und zu dualisieren.

24

Kap. 1. Axiomatische Grundlegung

3.1 Satz: v durchlaufe eine beliebige Indexmenge, i die endlieh vielen Zahlen 1,..., n. (0 1) Die Vereinigung U Av beliebig vieler offener Mengen Av ist offen. 0 ist offen.

(A 1) Der Durchschnitt fl Av beliebig vieler abgeschlossener Mengen Av ist abgeschlossen. B ist abgeschlossen.

(0 2) Der Durchschnitt fl Ai von endlich vielen offenen Mengen Ai ist offen. R ist offen.

(A 2) Die Vereinigung U Ai von endlich vielen abgeschlossenen Mengen A{ ist abgeschlossen. 0 ist abgeschlossen.

Beweis: ( O l ) : Sei p e U Av. Dann ist p e Av f ü r mindestens ein v, und es gibt eine Umgebung von p, die ganz zu Av gehört. Diese Umgebung gehört auch zu U Av, womit die Offenheit von U Ar bewiesen ist. — (0 2): Sei p e fl A%. Dann ist p e Ai für jedes i, und es gibt Umgebungen Ut e U (p), die ganz in Ai enthalten sind. Dann ist PI Ui ebenfalls Umgebung von p nach [U 3], und zwar eine in fl A{ enthaltene Umgebung. Daher ist fl Ai offen. • — Daß 0 und R offen u n d abgeschlossen sind, wurde schon im Anschluß an Definition 2.7 festgestellt. Über 0 als Vereinigungsmenge und R als Durchschnitt vergleiche man den Index unter „Vereinigung" und „Durchschnitt". Man überzeuge sich durch Gegenbeispiele, daß (0 2) und (A 2) im allgemeinen nicht für unendlich viele At gelten. I m reellen R 1 etwa erhält man ein Gegenbeispiel zu (A2), indem man als A{ die einpunktigen Mengen { p } f ü r alle p einer nicht abgeschlossenen Menge nimmt. 3.2 Satz: Der Kern A ist offen.

Die Hülle Ä ist abgeschlossen.

Der keineswegs triviale Beweis benutzt zum ersten Male [U 4]: Sei x e A. Dann gibt es C/ e II (a;) mit x e U c A. Nach [ü 4] gibt es F e U (ar) derart, daß U eU (y) f ü r alle y e V. Alle y sind also innere Punkte von i , F c A. Dies zeigt, daß x innerer P u n k t von A ist. •

§ 3. Dualitätsprinzip

3.3 Satz: A ist Vereinigung aller offenen Teile von A; man sagt, A sei die größte offene Teilmenge von A.

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Ä ist Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von A; man sagt, Ä sei die kleinste abgeschlossene Obermenge von A.

Beweis: Da A offen ist, wird A bei der Bildung der Vereinigung V aller offenen Teile von A mit berücksichtigt, es ist also A 0 eine Umgebung U = Us von x gibt derart, daß | / (x') — / (x) | < s ist, wenn x' e U. Über reelle Funktionen gilt der folgende Satz, auf dessen wohlbekannten Beweis wir verzichten können. 5.8 Satz: Sind die reellen Funktionen f und g stetig auf dem topologischen Raum R, so sind auch die Funktionen a - f , f ±9,

f'9,

|f|

mit beliebigem reellen a stetig . • § 6. Spurtopologie

Ist R ein metrischer Raum S, eine Teilmenge von R, so kann man S ohne weiteres als metrischen Raum auffassen, da ja für je zwei Punkte von S eine Entfernung erklärt ist, die den Axiomen [M 1] — [M 3] für metrische Räume genügt. Für topologische Räume R verwenden wir zur Einführung einer Topologie über einer Teilmenge S von R den Begriff der

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Kap. 2. Ausbau der Theorie

Spur. Ist S c R eine beliebige, fest zu denkende Menge und durchläuft A beliebige Teilmengen von R, so heißt i

s

=

i n S

die Spur auf S der Menge A. Es gelten die Regeln (vgl. Grundformeln (4), (4')) (A U B)s = ASU

Bs,

(A n B)s = As n

Bs,

die man ohne weiteres bestätigt; sie gelten auch entsprechend für beliebig viele Faktoren. 6.1 Satz: In der Teilmenge S des topologischen Raumes R mit der Topologie % wird dadurch eine Topologie %s definiert, daß man die Spuren As auf S der offenen Mengen A von R zu offenen Mengen von S erklärt. Beweis: Av mit den Indexen v e N durchlaufe die offenen Mengen von R. Bv = Av n S bezeichne jeweils die Spur von Av in S. Es ist zu zeigen, daß die Bv die Axiome [ O l ] und [ 0 2] erfüllt. In der Tat ist, wenn jetzt v eine beliebige Teilmenge von N durchläuft, \JBV=

U(i»)s = (Ui,)s = i s ,

wobeie eine offene Menge von R ist. Daraus folgt [Ol]. Ganz entsprechend ergibt sich [0 2], • 6.2 Definition: Die in Satz 6.1 erklärte Topologie Xs heißt die Spurtopologie Xs von auf S oder die durch % in S induzierte Topologie oder auch die Relativtopologie über S, S heißt Teilraum von R. Ist 4 c B, so bezeichne wie bisher CA = R — A das Komplement in R; ist B 0 ist t? darstellbar als Summe endlich vieler abgeschlossener disjunkter Teilmengen eines Durchmessers < s. Solche Teilmengen, und zwar vom Durchmesser ig

3»

,

bilden offensichtlich die Mengen C't1.. j n = ^ n Cjj.. j n , wenn C{1_,.in alle C-Intervalle w-ten Ranges durchläuft. — Die Punkte aus C ' i 1 . . . i n lassen sich, wie man leicht sieht, wie folgt beschreiben: Es sind die Punkte mit den zugeordneten i n , v n + i , vn+z,..wobei die v n + i , Folgen der Form ¿1 vn+2, ••• unabhängig voneinander die Werte 0,1 annehmen. Ist p ein Punkt aus "G mit der zugeordneten Folge ..., so bilden die Cl1...¿B für n = 1,2,... offensichtlich eine Umgebungsbasis von p. — Ohne Beweis bemerken wir noch, daß man t> in formal besonders einfacher Weise definieren kann als Menge aller derjenigen reellen Zahlen a, die sich als triadische Brüche a = 0, v i , vz • • • schreiben lassen, die nur die Ziffern 0 und 2, nicht aber die Ziffer 1 benutzen.

Kap. 3. Beziehungen verschiedener Topologien zueinander § 10. Basen j

Eine Topologie % über einer Menge B ist vollständig bestimmt durch das System D der offenen Mengen bzw. durch die Systeme U(p) der Umgebungen der Punkte p. Diese Systeme sind umgekehrt durch X eindeutig bestimmt. Für manche Zwecke, insbesondere zur Konstruktion von Topologien über einer gegebenen Menge, ist es erwünscht, £ durch weniger umfassende, wenn auch nicht eindeutig durch % bestimmte Systeme zu beschreiben. Dies geschieht durch Raumbasen und Umgebungsbasen, die wir jetzt einführen.

§ 10. Basen

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10.1 Definition: Ein System = {Bv | v aus einer Indexmenge N} von offenen Teilen Bv des topologischen Raumes R heißt eine Basis von R oder eine Basis von wenn jede offene Menge von R Vereinigungsmenge von Elementen von 33 ist. Wir weisen darauf hin, daß wir 0 in jedem Falle als Vereinigungsmenge (siehe Index) mitrechnen; 0 braucht also nicht in iß vorzukommen. — Beispiele: (a) £> selbst ist Basis von R. — (b) In einem metrischen Raum R bilden sämtliche Kugelumgebungen aller Punkte von R eine Basis. Ist nämlich 0 eine offene Menge von R, x eO, so gibt es eine Umgebung Ux = UE(Z) mit xeüx^O. Dann ist 0 = U Ux, genommen über alle x e 0. — (c) Im Rn bilden die Kugelumgebungen mit rationalen Radien um rationale Punkte (d.h. solche mit nur rationalen Koordinaten) eine Basis. Ist nämlich 0 eine offene Menge des Rn, x eO, so gibt es eine Kugelumgebung tt2e(#) mit rationalem Radius 2s um x, die ganz in 0 liegt. In U£(:r) liegt dann sicher ein rationaler Punkt a, und für Vx = ll c (a) gilt x e Vx c 0. Dann ist 0 = UVX, genommen über alle x e 0. Da die Menge der rationalen Punkte im Rn und damit auch die Menge der Kugeln mit rationalem Radius um diese Punkte abzählbar ist, kann man sagen: Der Rn besitzt eine abzählbare Basis. — (d) Man zeigt leicht, daß auch der Hilbertsche Raum H eine abzählbare Basis besitzt. Man nehme etwa alle Kugelumgebungen mit rationalem Radius um die Punkte der Form (ri,..., rn, 0, 0,...) mit rationalen r\,..., rn. 10.2 Satz: In dem gegebenen topologischen Raum R sei 33 = {Bv | v aus einer Indexmenge N} ein System offener Mengen. 33 ist Basis von R dann und nur dann, wenn zu jeder offenen Menge O W. (2) Für die Umgebungssysteme in% und %' gilt U(p) => Vi'{p) für jedes p e R. (3) Der Kern in % einer Menge A enthält den Kern in %' von A. (3') Die Hülle in % einer Menge A ist enthalten in der Hülle in %' von A.

58

Kap. 3. Beziehungen verschiedener Topologien zueinander

Der Beweis ergibt sich aus den Sätzen der § 2, 3, die die Grundbegriffe „offen", „abgeschlossen", „Umgebung" usw. gegenseitig charakterisieren. So ist etwa der Kern A die größte offene Teilmenge von A ; da ¡0 mehr offene Mengen enthält als £)', ist der Kern % von A umfassender als der Kern in • 11.3 Satz: Sind die Systeme 33 und 33' Basen der Topologien % und 3/ über derselben Menge R, so ist % dann und nur dann feiner als %', wenn es zu jeder Menge B'ß e 33' und jedem p e B'ß ein Bv e 33 gibt mit ye£,c B'ß. Beweis: Ist % feiner als %', so ist B'ß Vereinigung von Mengen Bv, und mindestens eine dieser Mengen Bv muß enthalten, p e 5» c B'ß. — Ist umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt, so ist jede Menge B'ß Vereinigung von Mengen Bv: Ist nämlich p e B'ß, so gibt es ein Bv = Bv(p) mit p e Bv(p) c: B'ß. Offenbar ist B'ß = U Br(p), genommen über alle V e B'ß. • Jetzt sei eine noch untopologisierte Menge R gegeben. In § 10 fragten wir, welche Systeme von Teilmengen von R als Basen für eine Topologie von R geeignet sind. Wir verallgemeinern diese Fragestellung: Gegeben sei ein beliebiges System 6 = {C„\v beliebige Indexe} von Teilmengen von R. Gibt es eine Topologie % von R, bei der die Gv offene Mengen sind % Sicher ist das bei der diskreten Topologie von R der Fall. Sei nun % irgendeine Topologie, bei der die Cv offene Mengen sind, D sei das System aller bei X offenen Mengen. Dann sind nach [O 2] auch alle endlichen Durchschnitte von Mengen Gv in X offen. 33 = {Bß\/u Indexe} sei das System dieser endlichen Durchschnitte; auch R rechnen wir zu diesen Durchschnitten (siehe Index unter „Durchschnitt"). Es ist ß c 33 c £). Ferner sind nach [Ol] beliebige Vereinigungsmengen von Mengen Bß in X offen; Co sei das System dieser Vereinigungsmengen, auch 0 rechnen wir dazu. Es ist also 33 c Do c D- Das System Do genügt, so behaupten wir jetzt, bereits den Offenheitsaxiomen [0 1] und [02]. [O 1] liegt infolge des allgemeinen assoziativen Gesetzes für die Vereinigungsbildung auf der Hand, [0 2] folgt ähnlich aus dem dis-

§ 12. Produkt- und Quotiententopologien

59

tributiven Gesetz für Durchschnitt und Vereinigung (Grundformeln (2)). Somit bestimmt Do eine Topologie So von R, und zwar eine gröbere Topologie als %. Wir fassen das Ergebnis zusammen: 11.4 Satz: £ = {Cv\v aus einer Indexmenge N} sei ein Sytem von Teilmengen einer Menge R. Es gibt eine eindeutig bestimmte gröbste Topologie So über R, in der die Cv offene Mengen sind. S heißt ein Erzeugendensystem oder eine Sub-Basis für

So. •

Die durch diesen Satz gegebene Möglichkeit, Topologien in einer Menge R zu erzeugen, ist bei der Konstruktion von Beispielen und anderen speziellen Topologien besonders nützlich. § 12. Produkt- und Quotiententopologien

Wir schicken einige mengentheoretische Betrachtungen voraus. seien zwei Mengen, die Menge R — R\ X R% aller Paare x = xi X mit x% e Ri und e R% heißt die Produktmenge von Ri und i?2, Ri und R \ = s< 0, allgemeine Umgebungen seien alle Obermengen von Streifenumgebungen. Die Umgebungsaxiome sind erfüllt, es handelt sich also hier um einen topologischen Raum. — Alle Punkte (xo, yo + c) mit beliebigem reellen c, d.h. alle Punkte der Senkrechten durch (xo, yo) haben dieselben Umgebungen | x — XQ | < e. Jeder Punkt (XQ, YO + c) ist also Berührungspunkt der aus dem einzigen Punkt (xo, yo) bestehenden Menge. Diese einpunktige Menge ist also nicht abgeschlossen. — Wir werden jetzt unseren Räumen nacheinander eine Reihe von immer stärker einschränkenden Axiomen auferlegen, wodurch Räume wie die oben angeführten ausgeschlossen werden. Die so definierten Räume sind spezieller als die bisher behandelten, besitzen daher eine ausgeprägtere Struktur, die sich in den Sätzen äußert, die zu der bisherigen Theorie hinzukommen. — Wir wollen zunächst durch ein Axiom auscshließen, daß sämtliche Umgebungen eines Punktes p noch andere Punkte als p gemeinsam haben. 13.1 Definition: Ein topologischer Baum R heißt ein hausdorffscher Raum und seine Topologie 2 heißt hausdorffsch, wenn eines der beiden folgenden, gleichwertigen Axiome erfüllt ist: [Hd] Sind p 4= q zwei Punkte von R, so gibt es Umgebungen V e IX(p) und V e IX(g) mit U O F = 0 (hausdorffsches Trennungsaxiom).

§ 13. Hausdorffsche Räume

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[Hd'] Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Umgebungen eines Punktes p enthält nur p. [Hd] heißt Trennungsaxiom, weil es die beiden Punkte p und q durch die Umgebungen U und V trennt; es ist nach F. Hausdorff benannt, der seine Bedeutung zuerst erkannte. — Man kann übrigens in [Hd], ohne sachlich etwas zu ändern, U und V als offen annehmen. — Wir werden im folgenden fast ausschließlich hausdorffsche Räume behandeln. Beweis der Gleichwertigkeit: [Hd] => [Hd']: Sei [Hd] erfüllt und p ein fester Punkt aus B. x durchlaufe alle Punkte =(= p von B. Es gibt nach [Hd] Umgebungen Ux e U(p) und Vx 6 U(x), die wir als offen annehmen, mit Ux O Vx = 0. QVX ist abgeschlossene Umgebung von p, die x nicht enthält. Dies beweist [Hd']. — [Hd'] => [Hd]: Ist p =f= q, so gibt es eine abgeschlossene Umgebung U e ll(p), die q nicht enthält. CU ist dann offen und wegen qe QU Umgebung von q; es ist U O CU = 0. • 13.2 Satz: Jeder Teilraum eines hausdorffschen Baumes ist hausdorffsch. Der Beweis folgt unmittelbar aus [Hd] und Satz 6.4. • 13.3 Satz: In einem hausdorffschen Baum ist jede nur aus einem Punkt bestehende Menge abgeschlossen. Der Beweis folgt aus [Hd'] und Axiom [A 1], • 13.4 Satz: Jede Topologie über einer Menge B, die feiner ist als eine hausdorffsche Topologie über B, ist selbst hausdorffsch. Der Beweis folgt ohne weiteres aus [Hd] und Satz 11.2, (2). • 13.5 Satz: Das Produkt B = IJBr einer beliebigen Menge von topologischen Bäumen Bv =}= 0 (mit den Indexen v) ist dann und nur dann hausdorffsch, wenn alle Faktoren hausdorffsch sind. Beweis: Seien alle B„ hausdorffsch und p, qe B, p =)= q. Dann sind für mindestens einen Index v die Projektionen cpT(p) = pr, (pv{q) = qv von p, q nach Bv verschieden. Da 5»

68

Kap. 4. Durch Trennungsaxiome definierte Räume

Rv hausdorffsch ist, gibt es in Rv Umgebungen Uv e \X{pv), VveU(qv) mit Uv n Vr = 0. Dann sind (p^U?), (ppHVy) trennende Umgebungen für p und q. — Sei umgekehrt R hausdorffsch. Rv sei eine feste Komponente von R. Diejenigen Punkte von R, deren v-te Komponente Rv durchläuft, deren übrige Komponenten jedoch in beliebiger Weise fest gewählt sind, bilden nach § 12, Feststellung (6) einen zu Rv homöomorphen Teilraum von R. Nach Satz 13.2 ist dieser Teilraum hausdorffsch, also ist es auch Rv. • 13.6 Definition: Der Punkt p des hausdorffschen Raumes R heißt Limes der Punktefolge x\, ..., in Zeichen p = lim xn, »->00 wenn zu jeder Umgebung U e U(p) ein no = no{U) existiert, so daß xn G U für n > wo- Wenn die Folge einen Limes besitzt, heißt sie konvergent in R. Man beachte, daß die Punkte einer Folge nicht alle verschieden zu sein brauchen; eine Folge ist eine Familie (siehe unter „Grundformeln" am Schluß dieses Bändchens) von Punkten von R. Zum Beispiel kann für alle n, die größer als ein festes no sind, XJI — X konstant sein; dann hat die Folge sicher x als Limes. Eine Folge braucht selbstverständlich keinen Limes zu haben. — Eine Teilfolge einer konvergenten Folge ist wieder konvergent mit demselben Limes. 13.7 Satz: In einem hausdorffschen Raum hat eine Folge höchstens einen Limes. Beweis: Ist p Limes der Folge x\, x^, ... und q #= p, so gibt es Umgebungen U e U(p) und V e U(g) mit U n V = 0 . Für alle n > no ist xn e U, also xn £ V, daher kann q nicht Limes der Folge sein. • 13.8 Satz: Ist f : R -> 8 eine bei p e R stetige Abbildung, hausdor§scher Räume R, 8, so gilt Aus lim xn = p folgt lim f{xn) = f(p). »-> oo

n-*oo

§ 13. Hausdorffsche Räume

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Beweis: Sei V e VL(f(p)). U — / _ 1 ( F ) ist wegen der Stetigkeit bei p Umgebung von p. Es gibt ein wo, das von U, also von V abhängt, derart, daß xn e U, wenn n > wo- E s folgt f(xn) £ V für diese n, womit die Limes-Gleichung bewiesen ist. • 13.9 Definition: Ist A ein Teil von R, so heißt p e R Limespunkt von A, wenn p Limes einer Punkt folge aus A ist. Hiernach ist ein Limespunkt von A sicher ein Berührungspunkt von A. Das Umgekehrte gilt zwar für metrische Räume (siehe Satz 21.1), aber nicht allgemein. Wir zeigen das an dem Funktionenraum B, den wir unmittelbar vor Definition 2.4 als Beispiel angeführt haben. Wir haben dort für B die Eigenschaft festgestellt, die wir in diesem Paragraphen als Axiom [Hd~\ formuliert haben; B ist also hausdorffsch. A sei die Teilmenge von B, die aus den Funktionen / besteht, die fast überall den Wert 1, nur an endlich vielen Stellen nicht 1, sondern 0 als Wert haben, g habe überall den Wert 0. g ist sicherlich Berührungspunkt von A, aber, so behaupten wir, nicht Limespunkt von A. Ist nämlich /i, /2, ... irgendeine konvergente Folge aus A mit dem Limes /*, so kann /* höchstens an den Stellen 0 sein, an denen eine der Funktionen /i, /2,... 0 ist, und das sind für jede dieser Funktionen endlich viele, insgesamt also höchstens abzählbar viele. An allen anderen Stellen hat /* sicher den Wert 1, es ist also /* 4= g. Auch in anderer Beziehung leistet der Limes-Begriff im allgemeinen weniger als man etwa aus der reellen Analysis gewohnt ist. Z.B. läßt sich die Stetigkeit einer Abbildung im allgemeinen nicht mehr durch Konvergenz von Folgen und Bildfolgen charakterisieren. Will man für den allgemeinen Fall eine entsprechend wirksame Grenzwertbildung benutzen, so hat man sogenannte „Filter" einzuführen, die jedoch außerhalb des Rahmens unserer Darstellung liegen. (Vgl. Lit.-Verz. Nr. 7.) In einem hausdorffschen Raum kann man von den Häufungspunkten p einer Menge A über die Definition 3.11 hinaus noch etwas mehr aussagen. Ist nämlich U\ eine Umgebung von p, so liegt in U\ definitionsgemäß noch ein Punkt x\ =|= p von A. Ist U2 eine Umgebung von p gemäß [Hd], die xi nicht enthält, so liegt entsprechend in U± n V2 ein X2 #= p, X2 4= «l- So fortfahrend erhält man innerhalb U i eine Folge xi, X2, . . . voneinander verschiedener Punkte von A . Wir können also sagen:

70

Kap. 4. Durch Trennungsaxiome definierte Räume

13.10 Satz: In einem hausdorffschen Raum liegen in jeder Umgebung eines Häufungspunktes p einer Menge A unendlich viele Punkte von A. • § 14. Reguläre Räume

14.1 Definition: Ein topologischer Raum R und seine Topologie X heißen regulär, wenn R hausdorffsch ist und eine der drei folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllt: [Rg] Zu jeder abgeschlossenen Menge A c R und jedem Punkt p $ A gibt es Umgebungen U von A und V von p mit U n F = 0. [iigr'] Jede Umgebung eines Punktes p enthält eine abgeschlossene Umgebung von p; m. a. W. die abgeschlossenen Umgebungen von p bilden eine Umgebungsbasis von p. [Rg"] Jede Umgebung U eines Punktes p enthält eine offene Umgebung W von p mit W [Rg'] : Es genügt, [Rg'] für eine offene Umgebung W von p zu beweisen. Dann ist C W abgeschlossen, und nach [Rg] gibt es Umgebungen U von CW und V von p mit U n V = 0 ; U und V dürfen offen angenommen werden. Es ist V => Ua>, Ur> woraus wegen Ur Ür> folgt Ua => Ua'. Setzen wir noch Ua = B für x < 0 und Ua = 0 für a, > 1, so gilt für alle reellen x Ua

Ua', wenn « < x'.

Die Menge derjenigen x, für die ein gegebener Punkt x e R in Ua liegt, ist offenbar eine linke Halbgerade auf der reellen Achse, die durch eine reelle Zahl f(x) erzeugt sei. Diese Funktion f(x), behaupten wir, erfüllt das TJrysohnsche Axiom [C7]. Sicher ist f(x) = 0 für x e A und f(x) = 1 für xe B. Die Stetigkeit von f(x) ist sofort einzusehen: Um | f(q) — f(p) [ ^ e zu erhalten, hat man q nur innerhalb der Menge Uf(P)_e — Uf(p)+e z u wählen, welche eine offene Menge (Satz 3.7) und daher Umgebung von p ist. Damit ist der Satz 15.2 bewiesen. • Es wird nicht behauptet, daß man auch 0 < f(x) < 1 auf C(.4 U B) erreichen könne. Daß ist im allgemeinen nicht der Fall. Der folgende, später für die Metrisationstheorie wichtige Satz zeigt, daß man unter weiteren Voraussetzungen über die offene Menge CA = 0 erreichen kann, daß / genau für die Punkte von 0 größer als 0 ist. 15.3 Satz: (Ergänzung zum Urysohnschen Satz 15.2): Die offene Menge 0 des normalen Raumes R sei Vereinigung von abzahlbar vielen abgeschlossenen Mengen. Dann gibt es in R eine reelle stetige Funktion f(x) mit 0 iS f(x) ig 1, die für alle und nur die Punkte von 0 größer als 0 ist. Beweis: Sei 0 = U B n für n = 1,2, Wir setzen B\ = B, CO = A und wenden dann die Gedanken des vorigen Beweises in etwas modifizierter Form an: Uq, Ui, Ui, Uhaben

74

Kap. 5. Kompakte Räume

die obige Bedeutung. Ui wird jedoch gewählt als offene Umgebung der abgeschlossenen Menge Ui U und im übrigen wieder so, daß Üi in Uq enthalten ist. Seien dementsprechend schon konstruiert _

Uj_ mit v = 1, ..., 2» und ?7,-i = V und U=> 2» 2n 2n 2n

n

U

m= 1

Bm.

Dann bleiben die Bestimmung der Ü2v-i die gleiche bis auf "¡n+T U i : Diese Menge wird gewählt als offene Umgebung von 2«+l

U i U Bn+1, deren Hülle in Uo enthalten ist. Fahren wir 2n im übrigen fort wie oben, so ergibt sich für jedes reelle oc eine offene Menge U a mit " 1 U a 3 Ua', wenn a < a'; Ua U Bm, wenn a = ——.n m=l ¿ Die Definition von f(p) ist wie oben, ebenso der Stetigkeitsbeweis. Ist nun p e 0, so ist für geeignetes n : p e Bn c U i . 2n Daraus folgt f{p) Sg

also f(p) > 0. •

Kap. 5. Durch Überdeckungseigenschaften definierte Bäume: Kompakte Bäume § 16. Kompaktheit

Die jetzt zu behandelnden kompakten Räume sind besonders wichtig und durch viele geometrisch bedeutsame Eigenschaften ausgezeichnet. Sie werden durch Überdeckungseigenschaften definiert, die wesentlich schärfere Einschränkungen darstellen als die Trennungsaxiome. Unter einer Überdeckung eines Raumes R versteht man eine Familie ® = {Dv | v e N} von Teilen D R mit Indexen v aus

§ 16. Kompaktheit

75

einer Indexmenge N, für die UD r = R gilt; jeder Punkt wird also von mindestens einer Menge Dv „überdeckt". % heißt endlich oder unendlich, je nachdem ob N endlich oder unendlich ist. ® heißt offen, wenn alle Dv offene Mengen sind; entsprechend wird eine abgeschlossene Überdeckung erklärt. Ist N' ein Teil von N und D' = {Dv | v e N'} ebenfalls eine Überdeckung von R, m.a.W. reichen schon die Dv mit v e N ' zur Überdeckung von R aus, so heißt eine Teilüberdeckung von man sagt auch, sei in ® enthalten. Ist A eine Teilmenge von R, so sagt man, die Familie ® = {Dv | v G N} von Teilmengen von R überdecke A, wenn A c UDr. — Im Hinblick auf den Heine-Borelschen Überdeckungssatz über Punktmengen im Rn definieren wir: 16.1 Definition: Ein topologischer Raum R und seine Topologie Ü heißen kompakt, wenn R hausdorffsch ist und eins der folgenden, gleichwertigen Axiome erfüllt: [Kp] Jede offene Überdeckung von R besitzt eine endliche Teilüberdeckung. [Kp'] Jeder Familie 91 von abgeschlossenen Teilmengen von R vom Durchschnitt 0 besitzt eine endliche Teilfamilie vom Durchschnitt 0. [.Kp"] Eine Familie 2t von abgeschlossenen Teilmengen von R, von der jede endliche Teilfamilie nichtleeren Durchschnitt hat, hat selbst einen nichtlleeren Durchschnitt. Die Gleichwertigkeit dieser Axiome liegt auf der Hand. [.Kp'] ist dual zu [Kp], [Kp"\ ist die Formalumkehrung von [Kp']. Als Beispiele für kompakte Räume führen wir an: (1) Jede endliche Menge mit einer hausdorffschen Topologie. — (2) Eine konvergente Folge einschließlich ihres Limes; man erkennt die Kompaktheit sofort aus der Definition des Limes. — (3) Im Rn sind die kompakten Mengen identisch mit den zugleich abgeschlossenen und beschränkten Mengen. Der Heine-Borelsche Überdeckungssatz der Analysis nämlich zeigt auf der einen Seite, daß diese Mengen kompakt sind, während andererseits Satz 17.2 unten zeigt, daß eine kompakte Menge des Rn abgeschlossen ist, und man sofort sieht, daß eine nicht beschränkte Menge des Rn nicht

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Kap. 5. Kompakte Räume

kompakt sein kann. Einen unabhängigen Beweis für diese Behauptung werden wir in § 23 (Satz 23.6) geben. 16.2 Definition: Eine Teilmenge A c R von R heißt kompakt, wenn A als Teilraum kompakt ist. 16.3 Satz: Eine Teilmenge A c: R ist dann und nur dann kompakt, wenn jede Überdeckung von A mit offenen Mengen von R eine endliche Teilüberdeckung enthält. Beweis: Sei A kompakt, und die Familie ® = {Dv} aus offenen Mengen Dv c R überdecke A. Dann sind die Spuren (Dt)A = DV n A J.-offen und bilden eine Überdeckung von A. Nach [Kp] reichen endlich viele dieser Spuren (DV)A zur Überdeckung von A aus; daher reichen auch die endlich vielen entsprechenden Mengen Dv zur Überdeckung von A, w.z.z.w. — Ganz entsprechend beweist man die Umkehrung indem man beachtet ,daß die -offenen Teile von A als Spuren ii-offener Mengen darstellbar sind. • Ehe wir die Untersuchung der kompakten Räume beginnen, gehen wir auf zwei verwandte Begriffsbildungen, nämlich auf „abzählbar kompakte Räume" und „folgenkompakte Räume" ein. 16.4 Definition: Ein topologischer Raum R heißt abzählbar kompakt (auch üo-kompakt), wenn er hausdorffsch ist und eine der drei folgenden, gleichwertigen Eigenschaften besitzt: (1) Jede abzählbare offene Überdeckung von R besitzt eine endliche Teilüberdeckung. (2) Jede unendliche Teilmenge A von R hat mindestens einen Häufungspunkt. (3) Jede abnehmende Folge Ai ^ ••• nichtleerer abgeschlossener Teilmengen von R hat nichtleeren Durchschnitt. Beweis für die Gleichwertigkeit von (1), (2) und (3): (1) => (2): Angenommen, die unendliche Menge A habe keinen Häufungspunkt. Ao = | »' = 1, 2, ...} sei eine abzählbare Teilmenge von A aus lauter verschiedenen Punkten X{. Auch AQ hat keinen Häufungspunkt, ist also abge-

§ 16. Kompaktheit

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schlössen, CAo also offen. Zu jedem Z{ gibt es eine offene Umgebung Ui e tl(a;i), die außer xi keinen Punkt von AQ enthält. CAQ und die ZTj bilden eine offene abzählbare Überdeckung. von E, die nach (1) eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Das ist aber offensichtlich unmöglich, unsere Annahme war also falsch. (2) => (3): Wenn in der gegebenen Folge nichtleerer abgeschlossener Mengen A{ (i — 1 , 2 , . . . ) von einem Index an alle Ai einander gleich sind, ist sicher DAi 4= 0 • Andernfalls kann man eine Teilfolge sämtlich voneinander verschiedener Ai auswählen; wir dürfen annehmen, daß von vornherein Ai 4= Ai+±. Man wähle dann je einen Punkt ai e Ai — Ai+i und nach (2) einen Häufungspunkt a der unendlichen Menge der «¿. «j und alle dj mit j > i liegen in Ai. Wegen der Abgeschlossenheit von Ai ist also a e Ai, a e DAi, womit DAi als nichtleer erkannt ist. (3) => (1): = {Di | i = 1, 2, ...} sei eine abzählbare offene Überdeckung von R. Die Mengen AI = C(D\ U • • • UDj) bilden für i = 1,2, ... eine abnehmende Folge abgeschlossener Mengen vom Durchschnitt 0 . Daher ist nach (3) sicher ein AN = 0 , also 0 = C(DI U ••• U DN), R = DI U • • • U DN, womit eine endliche Teilüberdeckung von 2) konstruiert ist. • Durch Vergleich der Eigenschaft (1) mit dem Kompaktheitspostulat [Kp] ergibt sich sofort: 16.5 Satz: Ein kompakter Raum ist abzahlbar kompakt. • Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Ein Beispiel eines abzählbar kompakten, aber nicht kompakten Raumes findet man bei Alexandroff-Hopf, Lit.-Yerz. [3], Seite 86. I n der russischen Literatur und bei Alexandroff-Hopf werden kompakte Räume als „bikompakt" bezeichnet, während abzählbar kompakte Räume „kompakt" genannt werden. Da jedoch abzählbar kompakte, nicht kompakte Räume von geringerer Bedeutung zu sein scheinen, empfiehlt sich diese Bezeichnungsweise kaum. Für Räume mit abzählbarer Basis (Satz 16.6) und für metrische Räume (Satz 23.2) besagen beide Begriffe dasselbe. Gelegentlich benutzt man auch einen

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Kap. 5. Kompakte Räume

allgemeineren für beliebige Kardinalzahlen X gebildeten Begriff „^-Kompakt", bei dem die obige Eigenschaft (1) entsprechend verallgemeinert wird. 16.6 Satz: In einem topologischen Baum B mit abzählbarer Basis hat jede offene Überdeckung eine abzahlbare offene Teilüberdeckung. Für solche Bäume R fallen die Begriffe,,kompakt" und ,,abzählbar kompakt" zusammen. Beweis: Sei {Bn | n = 1 , 2 , . . . } eine abzählbare Basis von B und ® = {Dv | v e N} eine offene Uberdeckung von B. Die Menge aller derjenigen Bn, die in wenigstens einem Dv enthalten sind, möge die Teilfolge Bni, Bn2, ... bilden. Die Mengen dieser Teilfolge überdecken B (vgl. Satz 10.2). Wählt man zu jedem dieser Bnt ein Dv mit Bn( c Dv = Dnt, so bilden diese Dn< offensichtlich eine abzählbare offene Teilüberdeckung von ® des Raumes B. Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. — Ist überdies B abzählbar kompakt, so besitzt nach (1) eine endliche Teilüberdeckung von B; B ist also kompakt. Zusammen mit Satz 16.5 ergibt dies den zweiten Teil des Satzes. • 16.7 Definition: Ein topologischer Baum B heißt folgenkompakt, wenn er hausdorffsch ist und jede Punktfolge ai ( ¿ = 1 , 2 , . . . ) eine konvergente Teilfolge hat. 16.8 Satz: Ein folgenkompakter Baum B ist abzählbar kompakt. Beweis: Wir zeigen, daß B die Eigenschaft (2) von Definition 16.4 besitzt. Wählt man nämlich aus der dort genannten unendlichen Teilmenge A c: B eine unendliche Folge aus lauter verschiedenen Punkten aus, so hat sie eine konvergente Teilfolge mit einem Limes a. Dann ist a Häufungspunkt von A. • Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht man kann aber sagen: 16.9 Satz: Hat der Baum B in jedem Punkt eine abzahlbare Umgebungsbasis (1. Abzählbarkeitsaxiom), so fallen für B die Begriffe folgenkompakt und abzählbar kompakt inhaltlich zusammen.

§ 17. Eigenschaften kompakter und lokalkompakter Räume

79

Zu beweisen ist noch, daß ein abzählbar kompakter Raum R mit 1. Abzählbarkeitsaxiom folgenkompakt ist. Es ist also zu zeigen, daß eine Punktfolge ai (i = 1, 2, ...) aus Ii eine konvergente Teilfolge hat. — Wenn in der Folge ein Punkt unendlich oft auftritt, ist er Limes einer konstanten Teilfolge. Andernfalls bildet die Folge eine unendliche Menge; sie hat nach 16.4, (2) einen Häufungspunkt a. I n jeder Umgebung von a liegen nach Satz 13.10 unendlich viele Punkte der Folge. Sei nun B\ => ••• eine Umgebungsbasis von a gemäß Satz 10.9. Wir wählen zunächst ani beliebig in B\. Da in B± unendlich viele Folgenpunkte liegen, können wir a„2 e _ß2 mit ?i2 > ni wählen. So fortfahrend erhalten wir die Teilfolge ani, an2, ..., bei der anj 6 Bj, ny+i > nj ist. Sie hat ersichtlich den Limes a. • Aus den letzten Sätzen (16.6 und 16.9) folgt 16.10 Satz: In topologischen Räumen mit abzählbarer Basis fallen die Begriffe „kompakt", „abzählbar kompakt" und, „folgenkompakt" inhaltlich zusammen. § 17. Eigensehalten kompakter und lokalkompakter Bäume

Die beiden folgenden Sätze bilden ein zusammengehöriges Satzpaar. 17.1 Satz: In einem kompakten Raum ist jede abgeschlossene Menge kompakt. 17.2 Satz: In einem hausdorffschen Raum ist jede kompakte Menge abgeschlossen. Beweis von Satz 17.1: R sei kompakt, A c R, A abgeschlossen. Wir beziehen uns auf [ K p ' ] : 2t = {A„ | v aus einer Indexmenge N} sei eine Familie A-abgeschlossener Teilmengen von A vom Durchschnitt 0 . Da A abgeschlossen ist, sind die Av auch ^-abgeschlossen (Satz 6.3, 2. Hälfte). [Kp'], angewandt für R, besagt, daß 91 eine endliche Teilfamilie vom Durchschnitt 0 besitzt. Dies bedeutet aber auch, daß [ÜTp'] für den Raum A gilt, d.h. daß A kompakt ist. •

80

Kap. 5. Kompakte Bäume

Beweis von Satz 17.2: A sei ein kompakter Teil des hausdorffschen Raumes It. Wir zeigen, daß CA offen ist. Sei p G CA; wir zeigen, daß eine ganze Umgebung von p zu CA gehört, x durchlaufe die Punkte von A. Nach [Hd] existieren Umgebungen Ux e ll(a;), Vx e VL(p) mit TJX H Vx — 0. TJx und Vx können als offen angenommen werden. Endlich viele dieser Ux, etwa UXl,...,UXn, reichen zur Überdeckung von A aus. Dann sind u = u ux„ i= 1

v = n Vx{ i=1

offen, also Umgebungen von A und p mit U D V = 0. Insbesondere ist V Umgebung von p, die A nicht trifft. • — Unser Beweis ergab etwas mehr, nämlich daß A und p trennende Umgebungen besitzen, was wir gleich noch benötigen werden. — In einem kompakten Raum sind nach den beiden letzten Sätzen die Begriffe „abgeschlossen" und „kompakt" gleichbedeutend. 17.3 Satz: Ein kompakter Baum ist normal. Wir beweisen zunächst die Regularität, dann die Normalität. — Sei B kompakt, A c- R, A abgeschlossen, p$A. Wir beweisen [Bg]: Nach Satz 17.1 ist A kompakt. Nach der Schlußbemerkung des letzten Beweises existieren Umgebungen U von A und V von p mit U n F = 0 , wie zunächst zu zeigen war. — Seien A, B disjunkt und abgeschlossen, also kompakt in B. Wir beweisen [iVroJ: Sei y e B. Wie eben existieren offene Umgebungen Uy von A und Vy von y mit Uy n Vy = 0 . Endlich viele der Vy, etwa Vyv ..., VVn, reichen zur Überdeckung von B aus. Dann sind U = n Uy(, V = Ü Vy, i= 1 i=1 offene Umgebungen von A und B mit U O V = 0, sie in [Nm] verlangt werden. • 17.4 Satz: In einem hausdorffschen auch A U B und A n B kompakt.

wie

Baum ist mit A und B

§ 17. Eigenschaften kompakter und lokalkompakter Räume

81

Beweis: (1) ® = {Dv | v aus einer Indexmenge N} sei eine offene Überdeckung von A \J B durch Mengen D , c i (im Sinne von Satz 16.3). ® überdeckt auch A, und endlich viele der Dv reichen zur Überdeckung von A aus. Dasselbe gilt von B, also reichen auch insgesamt endlich viele der Dv zur Überdeckung von A U B aus. — (2) A und B sind abgeschlossen nach Satz 17.2, A n B ist ^-abgeschlossener Teil der kompakten Menge A, also nach Satz 17.1 ebenfalls kompakt. • 17.5 Satz: Das Produkt Rq = R X S zweier topologischer Räume R =|= 0 , 8 4= 0 ist dann und nur dann kompakt, wenn beide Faktoren R und 8 kompakt sind. Beweis: Zunächst ist R dann und nur dann hausdorffsch, wenn R und S hausdorffsch sind (Satz 13.5). — Sei Rq kompakt. Die Projektionsabbildungen ' als Summe zweier Mengen Di und D2, die definiert sind wie unter A. gesperrt angegeben ist. Man prüft leicht nach, daß für D' die Axiome [Ol] und [O2] erfüllt sind (man verwende die Grundformeln (1), (1') bis (3), (3'), so daß D' wirklich eine Topologie %' in B' definiert. — ist hausdorffsch, es gilt das Axiom [Hd]: Für zwei Punkte p, qe B ist das wegen der Form von D2 klar; für einen Punkt p€ B und den Punkt u benutzt man die Lokalkompaktheit bei p; eine kompakte Umgebung U von p und ihr Komplement CU sind in 6»

84

Kap. S. Kompakte Bäume

diesem Falle trennende Umgebungen. — Daß % die Spur von geht aus der Form von Di und D2 ohne weiteres hervor.

ist,

C. Kompaktheit von %': ® = {Dv} sei eine offene Überdeckung von _B'. In mindestens einem D„ etwa Do, kommt u vor. Do gehört zu Di, CDo ist also kompakt. Endlich viele der D, reichen zur Überdeckung von CDo aus. Nimmt man noch Do hinzu, so hat man endlich viele Dr, die R' bedecken. %' ist also in der Tat kompakt. • § 18. Abbildungen kompakter Säume

18.1 Satz: Ist f : R -> 8 eine stetige Abbildung eines kompakten Raumes R in den hausdorffschen Raum S, so ist die Bildmenge f(R) kompakt. Beweis: Es sei So = f(R). ® = {Dr | v aus einer Indexmenge N} sei eine offene Überdeckimg von Sq. Dann sind die Mengen /_1(Z>V) offen, und die Familie {/ _1 (Z),)} bildet eine offene Überdeckung von R. Endlich viele der f~l{Dv) reichen zur Überdeckung von R, daher reichen die entsprechenden endlich vielen Dr zur Überdeckung von So- • — Die stetigen Abbildungen eines kompakten Raumes R in einen hausdorffschen Raum 8 sind hiernach abgeschlossene Abbildungen (vgl. die Bemerkungen im Anschluß an Def. 5.4). 18.2 Satz: Eine monomorphe stetige Abbildung f : R -»• 8 eines kompakten Raumes R in einen hausdorffschen Raum 8 ist ein Homöomorphismus von R auf einen Teilraum von S. Eine sowohl mono- als auch epimorphe stetige Abbildung f von Rin 8 ist ein Homöomorphismus von R auf S; eine solche Abbildung erweist R und S als homöomorph. Wir beweisen den ersten Teil des Satzes, der zweite ist ein Spezialfall davon. Es muß die Stetigkeit der reziproken Abbildung f~x(R) R bewiesen werden. Nun bildet /, die reziproke Abbildung zu / _ 1 , abgeschlossene Mengen von R in kompakte, also abgeschlossene Mengen von f(R) ab, wie wir soeben festgestellt haben. Daher ist / - 1 nach dem Kriterium (2') von Definition 5.4 stetig. • — Aus diesem Satz läßt sich eine axiomatisch bemerkenswerte Folgerung ziehen, welche die Sonderstellung der Kompakten Räume beleuchtet:

§ 18. Abbildungen kompakter Räume

85

18.3 Satz: Ist die der Menge R aufgeprägte Topologie % kompakt, so bleibt sie weder bei echter Vergröberung noch bei echter Verfeinerung kompakt. Beweis: Eine kompakte Topologie % auf R wird durch das hausdorffsche Axiom [Hd] und durch das Überdeckungsaxiom [Kp] charakterisiert. Beim Übergang von % zu einer gröberen Topologie bleibt offensichtlich [Kp] erhalten. Wäre hausdorffsch, so wäre die identische Abbildung von (R, %) auf (R, stetig und nach dem letzten Satz ein Homöomorphismus, also % = — Beim Übergang von % zu einer feineren Topologie %+ bleibt offensichtlich [Hd] erhalten. Wäre 21+ kompakt, so wäre die identische Abbildung (R, %+) auf (R, X) stetig und nach dem letzten Satz ein Homöomorphismus, also £ = • Sei / eine stetige reelle Funktion auf einem kompakten Raum R, also eine stetige Abbildung von R in die reelle Gerade R1. f(R) ist eine kompakte Teilmenge von R1. f(R) ist beschränkt, denn eine unbeschränkte Teilmenge von R1 erfüllt sicher nicht das Kompaktheitsaxiom [Kp]; außerdem ist f(R) abgeschlossen (Satz 17.2). Daher hat f(R) eine endliche untere und eine endliche obere Grenze a und b, und diese beiden Zahlen sind selbst Funktionswerte a = f(x), b = f(y) mit x, y e R. Also gilt 18.4 Satz: Eine reelle stetige Funktion f(x) über einer kompakten Menge R besitzt ein endliches Maximum und ein endliches Minimum, die je an mindestens einer Stelle von R angenommen werden. Ist f(x) überdies auf R stets positiv, so gibt es ein ö > 0 mit der Eigenschaft f(x) > 0, der zweite ist es wegen (j/s~ + p«)/2 < )/« < 1 ebenfalls. Damit ist (1) bewiesen. — Wir behaupten weiter (2): Für 0 < s < 1 ist 2 J/7 0 < ]/s — Pn < 2 + (n - 1) )/s Die linke Ungleichung ist schon gezeigt. Die rechte ist für n = 1 richtig. Sei sie für ein w- > 1 schon bewiesen, dann ist nach (*) und der Induktionsannahme 2 + (»-1)1/«

L

2

J

wobei rechts der Summand pnj2 fortgelassen werden durfte. Durch weitere Abschätzung folgt \S -pn+1
1 und für 0 < s < 1, ferner trivialerweise auch für s = 0 „ ,r~ 0 < ys — pn
0 gibt es ein Wo = «o (£) mit I Pn (n0

und alle 0 < s < 1 .

§ 18. Abbildungen kompakter Räume

91

Daraus folgt, wenn man s = i 2 setzt, | Pn ( nQ und alle — 1 < t < + 1. Setzt man et = t' mit einer Konstanten c > 0, so wird cpn[~2

j -

11'

< es für n > wo und alle — c < t'
0 Polynome gu g2 £ $ mit | gi — 0 sei vorgegeben. | g | ist auf R beschränkt, | g(x) | < c mit einem reellen c für alle x e R. Satz 18.10 liefert | j>(t) — 111 | < e für 111 < c. Daraus folgt | P (six))

~ I 9ÍX) I | < s für alle x e R.

Das Polynom p(t) ist] gleichmäßig stetig im abgeschlossenen Intervall |í | < c : | p(t') — p(t) | < e für 11' — t | < ó. Zu g als Funktion von existiert eine Funktion j e ® mit

92

Kap. 5. Kompakte Bäume

1 9(x) — 9(x) | < U Cv wird bewiesen sein, wenn U Gv als abgeschlossen nachgewiesen ist. Denn dann ist wegen U C , 3 Ucv auch UC„ = UC„ => ÜÖ„. - Um nun UGv als abgeschlossen zu erweisen, zeigen wir, daß C (U Cv) offen ist. Die Familie {C r } ist nach dem vorigen Satz lokalendlich, es gibt also zu jedem Punkt x e C (U Cy) eine Umgebimg Ux, die Cv nur für endlich viele v trifft, etwa für v — vi,..., vn. Dann ist Vx—Ux — CVl — ... — CVjl eine offene Umgebung von x, die ganz in C (U Gv) liegt. • 19.5 Definition: Ist ® = {Dv | v e N} eine Überdeckung von R, so heißt die Überdeckung © = {Eß \ /i e M} eine Verfeinerung von wenn es zu jedem Eß ein Dv mit Eß c: Dr gibt. Diese Relation unter den Überdeckungen von R ist transitiv : ist ® feiner als ® und ^ feiner als ß, so ist % feiner als ®. — Von zwei gegebenen Überdeckungen ® und (£ von R braucht nicht eine feiner als die andere zu sein, sie können unvergleichbar sein. — Sind ® = {Dv | v e N} und (S = {Eß | ¡x e M} zwei Überdeckungen von R, so bilden die

94

Kap. 5. Kompakte Räume

Durchschnitte Dv O Eß eine Familie 1} eine Überdeckung von R. — Sei nun schon Fi für alle X < v so konstruiert, daß (1) FA offen und c f ^ c .Daist, (2) { F a mit X < v, Dp mit ¡i>v} eine Überdeckung von R ist. Dann bilden wir die abgeschlossene Menge Av = R -

U Vx-

U Dß.

X < v

n > v

Es ist analog wie eben Av c: Dv, und es existiert wegen [.Nm"] eine offene Menge Vv mit Av c Vv c Vv c Dv. Damit ist Vp für alle v erklärt. Es bleibt zu zeigen, daß die Vv eine Überdeckung von R bilden. — Sei dazu x ein Punkt aus R. x liegt nur in endlich vielen Dv, etwa DVl, ..., DVr; dabei sei vr der größte dieser Indexe. Entweder liegt x in VVl, ..., Vrr_v Andernfalls betrachten wir AVr = B-

U F A

vf

x liegt dann nicht in den beiden Substrahenden, also liegt x in AVt und daher auch in CVr. Damit ist SS = {Vv} als Überdeckung von R nachgewiesen. • 19.8 Definition:

so ist Z Jt V') < e, so daß d {x, y) ^ d (x, x') + d (x', y') + d (y', y) < d {x', y') + 2e ^,d{A) + 2e. Da dies für jedes e > 0 gilt, folgt d(x, y) iS d{A), also d(Ä) = sup d(x, y) ^ d{A), womit der Satz bewiesen ist. • Eine Überdeckung % = {Dv | v aus einer Indexmenge N} eines Raumes R oder einer Menge A c: R heißt e-Überdekkung von R bzw. von A, wenn alle d(D,,) < e. 22.3 Definition: Eine Menge A 0 eine endliche e- Überdeckung gestattet. Eine totalbeschränkte Menge A ist beschränkt. Ist nämlich für irgendein festes s > 0 ® = {Di | i = 1, ..., m) eine endliche e-Überdeckung von A und «j ein fest gewählter Punkt in Di, ist ferner d = Max d («¡, für i,k = 1, ..., m, so gilt für je zwei Punkte x, y e A und passende i und k, daß d(x, y) ^ d(x, aj) -f d(ai, ajc) + d (a^, y) ^ d + 2s. — Umgekehrt braucht eine beschränkte Menge nicht totalbeschränkt zu sein, wie die Menge der Einheitspunkte ei = (0,..., 0 , 1 , 0 , . . . ) im Hilbertschen Raum zeigt, die den Durchmesser hat, aber keine endliche 1-Überdeckung gestattet. 22.4 Satz: Der metrische Raum R ist dann und nur dann totalbeschränkt, wenn jede Folge aus R eine Cauchysche Teilfolge hat. Beweis: Sei zunächst R totalbeschränkt. Wir gehen von einer beliebigen Folge x\, x 0 A e-verkettet; daraus kann man schließen, daß Uo außer po noch mindestens einen weiteren Punkt pai 4= Poo = Po enthält. Uoo c Uq und Uoi c Uo seien Kugelumgebungen von poo und poi mit einem Radius < ~ und mit Üoo n Üoi = Analog seien Uio

c

0.

Ui und Un c: Ui mit einem Durch-

messer < -^r und mit Üio O Ün = 0 bestimmt. Fährt man so fort, so erhält man für jede natürliche Zahl r = 1, 2, ..., 2r nichtleere disjunkte abgeschlossene Mengen TJi1...it mit d{Üil...ir) C ^ u n d Üil...irir+1 0 gegeben. Zu jedem x e R bezeichne Ux die dz-Umgebung von x, die durch ein dx bestimmt wird mit der Eigenschaft ^ (/ (»'). / ( x )) < £> wenn d (x', x)

wo u n d alle x. Für jedes feste x e R ist daher /i (x), fe (x),... eine Cauchysche Folge in dem vollständigen Raum S. Ihr Limes heiße f(x). Wir beweisen, daß / (x) an jeder Stelle x = XQ e R stetig und Grenzwert unserer Cauchyschen Folge ist, womit dann der Satz bewiesen ist. — Die Folge fn• (x) ist konvergent gegen f{x), also ist, wegen der Stetigkeit der Abstandsfunktion d die Folge d(fn(x),fw{x)) konvergent gegen d(fn(x),f{x)). Aus der zuletzt angegebenen Ungleichung folgt also bei diesem Grenzübergang d(fn(x),f(x)) no und alle x. (Dies bedeutet die „gleichmäßige Konvergenz" der Abbildungsfolge fi {x), fz (x),... gegen / (x), woraus wir nun die Stetigkeit in bekannter Weise schließen.) Es ist d(f(x),

f(x„)) < d(f(x), +

fn(x))

+

dQn(x),fn(xo))

d(fn{x0),f(x0)).

Nach dem Bewiesenen sind der erste und der dritte Summand iS e, wenn n > no bei beliebigem x; der mittlere Summand ist wegen der Stetigkeit von fn (x) kleiner als e, wenn d (x, xo) < 0 und f : R -> S eine stetige Abbildung eines metrischen Raumes R in den metrischen Raum 8, so heißt f eine e-A bbildung, wenn d (/_1 (y)) < e für alle yef{R). Bei einer £-Abbildung folgt also aus f(x{) = f(x2), daß d (xi, X2) < e, oder anders gewendet, aus d (xi, X2) ^ £, daß f(x 1) =|= f(x2); man beachte aber, daß dies für das Erfülltsein der Definitionsbedingung ¿(/ _ 1 (y)) < e noch nicht ausreicht. — Die e-Abbildungen bilden gewissermaßen eine Vorstufe für die monomorphen Abbildungen. Wir bezeichnen den Raum aller e-Abbildungen eines Kompaktums R in den metrischen Raum S mit (R, 8). Dann ist (R, S), über alle e > 0 oder über alle e = — (n — 1 , 2 , . . . ) genomn men, gleich dem Raum der monomorphen stetigen Abbildungen von R in S. 25.4 Satz: Zu jeder e-Abbildung f des Kompaktums R in den metrischen Raum S existiert ein rj > 0 mit der Eigenschaft: Aus d (f(x{), f(xz)) < 7] folgt d{x\, x%) < e. Wir beweisen, daß d(x 1, «2) sä £ nach sich zieht, daß d (/ («1), / (»2)) Sä »7 > 0. Die Menge A der Punkte x\ x x% des kompakten Raumes R X R mit d (x±, e ist abgeschlossen, also kompakt, d ( j (x{), f (xzf) ist eine positive, reelle stetige Funktion über A. Daraus ergibt sich (Satz 18.3) die Existenz eines rj > 0 der verlangten Art. • 25.5 Satz: Ist R ein Kompaktum und 8 ein beliebiger metrischer Raum, so ist (R, S) ein offener Teilraum von $ (R, 8). Beweis: Sei f

V

(R, S) und d ( f , g) < - ^ m i t einer reellen

Zahl rj >0 gemäß dem vorigen Satz. Wir zeigen, daß auch g e-Abbildung ist, womit dann der Satz bewiesen ist. — Nehmen wir für x\, e R an g{x\) = g («2) = y. Dann folgt d (/ (si), f (x2)) (2): Sei d(x, y) = e > 0. Jede e-Überdeckung gemäß (1) liefert eine überdeckende Menge A mit x e A, aber, wegen d (A) < e, y ^ A und analog eine überdeckende Menge B mit y 6 B, x $ B. A und B sind von der verlangten Art. (2) => (3): Sei x e R und C(x) die Zusammenhangs-Komponente von x. Zu jedem y e R, y J? x, existiert nach (2) eine offen-abgeschlossene Menge A mit x e A, y $ A. Es ist G(x) (1): Sei x e R und U eine offene Umgebung von x, Für jedes reelle r] > 0 betrachten wir die ^-Komponente Vv(x), die eine offen-abgeschlossene Menge darstellt (Satz 24.4). Durchläuft rj eine monoton abnehmende Nullfolge, so bilden die Vv (x) eine abnehmende Folge abgeschlossener Mengen innerhalb des Kompaktums R, und das gleiche gilt für die abgeschlossenen Mengen Vv (x) — U. Wären die Vv (x) — U

156

Kap. 10. Dimension von Kompakten

sämtlich nicht leer, so hätten sie einen gemeinsamen Punkt, während doch der Durchschnitt C\Vn(x) aller Vv(x) gleich der Zusammenhangs-Komponente G(x) ist (vergleiche die Bemerkung vor Satz 24.6), die nach (3) nur aus x besteht, so daß sicher C(x) — U — 0 gilt. Also ist Vn(x) — U für hinreichend kleines rj leer, d.h. es ist für diese rj sicher Cv(x) a U. Damit haben wir das vorläufige Ergebnis: Die rj-Komponene Vv(x) eines Punktes xeR hat bei hinreichend kleinem, rj beliebig kleinen Durchmesser. — Sei nun s die in der Behauptung (1) genannte reelle Zahl. Jedem x e R ordnen wir eine ^-Komponente Vv(x) mit d(Vv(x)) < e zu, wie es nach dem Bewiesenen durch geeignete Wahl von rj möglich ist. Diese Vv (x) bilden eine offene Überdeckung von R, aus der man eine endliche Überdeckung ®=

{Di\i=l,...,m}

aussondern kann, die demnach aus offen-abgeschlossenen Mengen Di mit d {Di) < e besteht. Dann ist = {Di, D2 - Di, D3 - (Z)i u D2), .. Dm-{D1 U ••• U-D»_i)} ebenfalls eine abgeschlossene e-Überdeckung, und zwar eine solche, die aus disjunkten Mengen von einem Durchmesser < e besteht, so wie es in (1) verlangt wurde. • Im vorigen Paragraphen haben wir bei der Erwähnung der Peano-Kurve darauf hingewiesen, daß bei stetigen Abbildungen die Dimension zunehmen kann. Wir zeigen jetzt, daß man sogar das nulldimensionale Cantorsche Diskontinuum 15 stetig a u f beliebig hochdimensionale Würfel, a u f den oo-dimensionalen Hilbert- Quader und ein beliebiges Kompaktum abbilden kann. 33.2 Satz: Jedes nichtleere Kompalctum R ist stetiges Bild des Cantorschen Dislcontinuums. Beweis: R gestattet als totalbeschränkter Raum bei jedem reellen e > 0 endliche e-Überdeckungen 3) = {Di | i = 1, ..., n}. Dabei darf man die Di als abgeschlossen voraussetzen, da man andernfalls die Di durch Di ersetzen kann und d (Di) =

§ 33. Nulldimensionale Kompakten

157

— Man betrachte zunächst eine Überdeckung ®i = {Dit | i\ = 1, ..., wi = 2 m i } von R durch nichtleere abgeschlossene Di 1 von einem Durchmesser < i . Man beachte

d(Di).

dabei, daß R nichtleer ist und daß man die Anzahl n der überdeckenden Mengen ohne weiteres auf eine beliebige Zweierpotenz 2 m i erhöhen kann, wenn man etwa in der Aufzählung einige Mengen Dit wiederholt. Jedes D(1 ist selbst ein nichtleeres Kompaktum. Man überdecke es durch 2mz nichtleere abgeschlossene Mengen D{1i2 (¿2 = 1, ..., 2m2) mit d(Di 1 i 2 ) < Auch die Anzahl dieser überdeckenden Mengen kann man auf eine für alle Dii gleiche Zweierpotenz 2mz bringen. Es ergibt sich eine Überdeckung 2) 2 = {^¿ii 2 | ¿1 = 1,..., 2 m i ; ¿2 = 1 , . . . , 2mn} von R durch n2 = 2OTi+ma Mengen. Entsprechend fortfahrend erhält man für jedes r = 1,2, ... eine Überdeckung ®

r

=

{ D

l i

. . .

t r

\ i

v

= l ,

...,2™v

mit v = l , . . . , r }

von R durch nr = 2 n i c h t l e e r e einem Durchmesser
(am Schluß von § 9) auftretenden ¿/-Intervalle mi-ten Ranges und bezeichnen sie in einer gegenüber § 9 veränderten Weise als C41 (¿1 = 1, ..., 2mi) in ihrer natürlichen Anordnung auf dem Intervall [0, 1]. Ferner betrachten wir die ri2 = 2 m i+ m 2 (7-Intervalle (mi + «i2)-ten Ranges. I n jedem CHi sind 2mz davon enthalten, die jetzt entsprechend mit OMi (¿2 = 1, ..., 2mz) bezeichnet werden. ,+m In analoger Weise werden die nr = 2mi+'' r (7-Intervalle ( « i -\ [- m r )-tenRanges mit C*i.. bezeichnet. C m i + " ' + m r , sei wiefrüher die Vereinigung aller C-Intervalle (mi + • —|- m r )ten Ranges. Dann ist 00 = n cm i+—+»»r, r=1

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Kap. 10. Dimension von Kompakten

Es ist d(Ch---ir) = -. Die Punkte x e t? werden 3»»i+"-+»»r umkehrbar eindeutig durch Folgen C 4 i 0*1*2 => ••• bzw. durch Folgen (»i ¿2 • • -) bestimmt, wobei x e C{vir und jetzt iv die Werte 1, ' , 2m" durchläuft. Sei nun x ein beliebiger Punkt von f> mit der zugeordneten Folge (¿1 ¿2 —). Die Folge von abnehmenden Kompakten AJL =

Dhh

^ •••

in B bestimmt dann eindeutig einen in allen diesen Mengen enthaltenen Punkt p e R, den wir als Bild p = f(x) von x bezeichnen. Wir behaupten, daß / eine epimorphe Abbildung auf R darstellt, die überdies stetig ist. Mit dem Beweis dieser Behauptung ist dann der Satz bewiesen. — Ist po e R beliebig gegeben, so bestimme man ein Di1 mit po e Div darauf e i n D i j j2 (mitdemselben ¿1) mit po e D i t i 2 und so fortfahrend eine Folge Di j - D f i i 2 " ' > die po als einzigen gemeinsamen Punkt enthält. Dann suche man in den eindeutig bestimmten Punkt XQ auf, der der Folge C^i 0*1*2 z> • • • gemeinsam ist. Offenbar ist po = f(x0), womit f(x) als epimorph nachgewiesen ist. — Sei weiter ein e > 0 gegeben und sei r so groß, daß ^ < s. Wie eben sei po = f(x0). Jedes x mit d(x, XQ)