Theorie der Hochfrequenz-Schaltungen [Reprint 2019 ed.] 9783486777239, 9783486777222

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THEORIE DER HOCHFREQUENZSCHALTUNGEN VON

H. M E I N K E

MIT 3 8 3 A B B I L D U N G E N UND 2 TAFELN

M Ü N C H E N 1951 V E R L A G V O N R. O L D E N B O U R G

Copyright J951 by R. Oldenbourg Verlag München. Druck und Buchbinderarbeiten: R. Oldenbourg, Graph. Betriebe G . m . b . H., München.

VORWORT Das vorliegende Buch unternimmt den Versuch, einen Überblick über die Theorie der Hochfrequenzschaltungen zu geben, soweit sie nicht Elektronenröhren als Bauelemente enthalten. Der verfügbare Rahmen ist infolge der Zeitumstände begrenzt. Es m u ß t e aber trotzdem erreicht werden, daß die Aufgabenstellungen der modernen Dezimeter- und Zentimeterwellentechnik eine ihrer Bedeutung entsprechende Behandlung erhielten. U m den Leser nicht durch eine Fülle von Einzelheiten zu verwirren, mußte ich mich auf die Darstellung der grundlegenden Erscheinungen beschränken. Insbesondere hielt ich es f ü r meine Aufgabe, nicht die komplizierten exakten Theorien wiederzugeben, sondern dem technisch arbeitenden Ingenieur den anschaulichen physikalischen Inhalt der Vorgänge klarzumachen u n d diejenigen Rechenmethoden und graphischen Lösungsverfahren darzustellen, deren m a n sich in der Praxis bedient, um trotz aller Kompliziertheit der exakten Theorien mit erträglichem Aufwand eine quantitative Berechnung unter Einhaltung einer zu fordernden Genauigkeit von etwa 1 bis 2 % möglich zu machen. Die Erfahrung h a t gezeigt, daß solche vereinfachten Verfahren in der Technik außerordentlich erfolgreich sein können, weil der Überblick über die vorhandenen Möglichkeiten nicht durch umfangreiche mathematische Formulierungen verdeckt wird, deren Auswertung viel Zeit kostet, und die den Arbeitsmethoden des Praktikers nicht angepaßt sind. Die gesamte Materie bleibt trotz aller Vereinfachungen noch schwierig genug. Die Notwendigkeit der exakten wissenschaftlichen Begründung durch den Theoretiker bleibt nebenher stets bestehen. Besonderer Dank gebührt meinem Vater, Heinrich M e i n k e in Hamburg, der alle Zahlenrechnungen und den Entwurf aller Zeichnungen durchführte, sowie meinem Mitarbeiter Dipl.-Ing. A. S c h e u b e r , der das Manuskript eingehend durchgesehen, wertvolle Ratschläge zu verschiedenen P u n k t e h gegeben u n d die Korrekturen gelesen h a t . Dem Verlag danke ich f ü r seine Bemühungen u m die gute Ausstattung des Werkes trotz aller Schwierigkeiten. Herr Dr. O l d e n b o u r g legte mir nahe, durch weitgehende Verwendung des schrägen Bruchstrichs nennenswerten Platz u n d dadurch Kosten zu sparen, wobei ich annehmen möchte, daß der Leser diese Form der Formeldarstellung als brauchbar anerkennt. S t a r n b e r g , den 14. April 1948 H. M e i n k e Die beiden Diagramme (Beilagen I u n d II) können gegen eine Gebühr von DM. 0.50 je Satz vom Verlag bezogen werden.

l*

INHALTSUBERSICHT I. Vorbemerkungen § §

Seile

1. Einige grundlegende Betrachtungen 2. Das Rechnen mit komplexen Größen

7 13

II. Konzentrierte, verlustfreie Blindwiderstände § § § §

3. 4. 5. 6.

Ideale induktive Blindwiderstände . . . Gegeninduktivität Kapazitive Blindwiderstände Kombinierte Blindwiderstände

.

16 20 23 29

III. Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten § § § § § § §

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Das magnetische Feld einer Spule und ihre Verluste Das elektrische Feld des Kondensators und seine Verluste . . . Kombinationen verlustbehafteter Blindwiderstände Resonanztransformationen Breitbandschaltungen aus Resonanzkreisen Resonanz-Meßverfahren Technische Blindwiderstände

36 43 48 53 58 65 70

IV. Allgemeine komplexe Widerstände § § § § § § § §

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Technische Wirkwiderstände Einfache Widerstandstransformation Kompensationsschaltungen Filt'erschaltungen Breitbandtransformation Phasenschieber Vierpole Schaltungen bei sehr hohen Frequenzen

78 81 93 102 114 120 123 131

V. Die homogene Leitung § § § § § § § §

22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

Die am Ende kurzgeschlossene Leitung Blindwiderstände und Resonanzkreise aus Leitungen Wellen auf einer Leitung . . Die Leitungskonstanten Die Leitung als Vierpol Leitungsdiagramme Die Leitung als Meßgerät Die gedämpfte Leitung

1 . .

137 147 157 164 174 183 193 201

Inhaltsübersicht

5

Vi. LeitungsscHaltungen

§ § § §

80. 31. 32. 33.

Seite

Leitungstransformationen K o m p e n s a t i o n s - u n d B r e i t b a n d s c h a l t u n g e n aus L e i t u n g e n . . . Verlustfreie Vierpole im L e i t u n g s z u g Verlustfreie Vierpole zwischen v e r s c h i e d e n a r t i g e n L e i t u n g e n . .

209 218 225 234

VII. Die inhbmogene Leitung § ij § § § § §

34. 30. 36. 37. 38. 39. 40-

I)ie G r u n d g e s e t z e des e l e k t r o m a g n e t i s c h e n Feldes Die Begriffe S t r o m , S p a n n u n g , W i d e r s t a n d Das Wellenfeld der B a n d l e i t u n g Die inhomogene koaxiale L e i t u n g Inhomogenes Dielektrikum I n h o m o g e n i t ä t e n zwischen h o m o g e n e n L e i t u n g e n Inhomogene Bauformen

241 247 253 263 270 277 283

VIII. Hohlleiter § § § § § § §

41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.

Ilohlraumresonatoren Magnetische Wechselfelder in Hohlleitern Öie H 1 0 -Welle im R e c h t e c k r o h r Der W i d e r s t a n d s - u n d Vierpolbegriff bei d e r II 1 0 -Welle I n h o m o g e n e B a u e l e m e n t e eines Hechteckhohlleiters Klektrische Wechselfelder in Hohlleitern I n h o m o g e n e Wellenfelder

. . . .

289 298 304 311 316 322 326

I. Vorbemerkungen § 1. Einige grundlegende Betrachtungen

Derjenige, der sich von der niederfrequenten Elektrotechnik her den Problemen der modernen Höchfrequenztechnik nähern will, wird auf völlig ungewohnte Gedankengänge und Anschauungen stoßen, und die H a u p t a u f g a b e dieses Buches m u ß es daher sein, in einem Überblick über das gesamte Frequenzgebiet zwischen etwa 2 • 104 und 10 10 Hz, diese neuen allgemeinen Prinzipien aufzuzeigen, aus denen die Lösungen der unübersehbaren Einzelprobleme herauswachsen. Nur so wird es überhaupt möglich sein, in begrenztem Rahmen eine rein oberflächliche Darstellung zu vermeiden u n d dem Leser das Verständnis der in den verschiedenen Frequenzbereichen äußerlich so verschiedenartigen Schaltungen soweit zu vermitteln, daß er in der Lage ist, die schwierigere Spezialliteratur zu lesen und mit ihrer Hilfe die Aufgaben der Praxis zu lösen. N i c h t darf m a n dagegen erwarten, d a ß dieses kleine Buch bereits alle heute bekannten Schaltungsmöglichkeiten u n d ihre exakten Theorien mitteilt. Die Kunst des technischen Rechnens besteht darin, die Rechengenauigkeit in diejenige Größenordnung zu bringen, die der bei dem betreffenden Problem auftretenden Genauigkeit der Meßapparaturen und der Herstellbarkeit der einzelnen Bauelemente entspricht. Man verwende jeweils ein Rechen verfahren, das die einfachste, mit der gestellten Aufgabe verträgliche Darstellung ergibt. Dies geschieht nicht so sehr im Hinblick auf die Arbeitsersparnis, sondern zur Steigerung der Übersichtlichkeit. Umfangreiche Formeln verbauen oft die Möglichkeit, alle Varianten zu erkennen, weil sie nach umständlicher Auswertung immer nur Einzel werte ergeben. Die einfacheren Formeln und auch die durch ihre geometrische Veranschaulichung sehr wertvollen graphischen Methoden gestatten einen schnellen Überblick und geben Hinweise, ob das betreffende Problem noch Abwandlungen gestattet, die eine bessere Lösung ergeben als die ursprünglich beabsichtigte. Gierade im Gebiet der Hochfrequenztechnik, das sich noch in der stetigen Entwicklung befindet und täglich neue, ungelöste Probleme bietet, waren die Verfahren mit zweckmäßig vereinfachter und anschaulicher Darstellung meist erfolgreicher als exakte mathematische Theorien. Dieses Buch befaßt sich daher fast ausschließlich damit, solche einfachen Betrachtungsweisen in Anpassung an die einzelnen Aufgabenstellungen zusammenzustellen. Dabei besteht die Gefahr, daß die äußerlich so verschiedenartigen Formen der Schaltungen in den verschiedenen Frequenzbereichen die Hochfrequenztechnik in verschiedene getrennte Gebiete zerfallen lassen. Es war daher das Bestreben, überall den inneren Zusammenhang

8

Vorbemerkungen

aller Erscheinungen aufzuzeigen, der in den Maxwellschen Grundgesetzen des elektromagnetischen Feldes liegt. Dadurch erreicht man eine einheitliche Behandlung, die eine Anwendung der Erfahrungen des einen Frequenzbereichs auf einen anderen gestattet und dadurch den Umfang des gesamten, vom Hochfrequenztechniker zu beherrschenden Stoffes auf ein erträgliches Maß reduziert. Das elektromagnetische Feld sei daher der Ausgangspunkt aller Betrachtungen. Zur genauen Unterscheidung wird im folgenden die absolute Permeabilität des freien Raumes mit /u0 und die relat've Permeabilit ä t des Mediums mit ¡i bezeichnet, so daß sich die absolute Permeabilität des Mediums als p, • u 0 ergibt. Analog ist e 0 ,die absolute Dielektrizitätskonstante des freien Raumes und s die relative Dielektrizitätskonstante des Mediums. Die absolute Dielektrizitätskonstante des Mediums lautet also e • e 0 . Bssteht im Raum mit der Permeabilität /tQ eine magnetische Feldstärke H, so enthält ein Raumelement dV die magnetische Feldenergie dW m = Y f 0 H * - d V .

(1.1)

Dimensionen im technischen Maßsystem: / / [ A / c m ] , dV [cm 3 ], dWm [W.s], [io = 4n • 10~9

Vs A cm

471-10-

H cm

(1.2)

Ändert sich im Wechselfeld das H, so muß dauernd eine entsprechende Änderung der Feldenergie vor sich gehen, die durch die bekannten Induktionserscheinungen ihren Ausdruck findet. Wird das H durch ein stromdurchflossenes Leitergebilde erzeugt, das den Strom J [A| führt, so kann man die gesamte Energie Wm des entstandenen Feldes durch Addition aller dWm bilden und die Induktionserscheinungen durch eine Induktivität L [H] besonders einfach beschreiben, die durch folgendes Gesetz definiert ist: Wm = ^-LJ*.

(1.3)

Ändert sich J, so muß sich Wm entsprechend ändern, also Energie zugeführt oder abgeführt werden, was zu dem Fragenkomplex der Blindleistung in der Schaltung führt. Bei sehr hohen Frequenzen, wo beispielsweise bei Zentimeterwellen der Strom bis zu 10 10 Richtungswechsel je Sekunde durchmachen soll, nimmt dieser Energieumsatz des Feldes einen Umfang an, der alle anderen Vorgänge in der Schaltung, insbesondere den Umsatz an Wirkleistung, völlig überdeckt. An sich ist aber die Übertragung einer Wirkleistung vom Generator in den Verbraucher bezüglich der technischen Aufgabenstellung das eigentlich interessierende Moment. Die Hauptaufgabe der modernen Hochfrequenzschaltungstechnik kann man daher mit Recht als den Kampf gegen die Feldenergien bezeichnen. Die einfache Gleichung (1.3) wird bei höheren Frequenzen dadurch unbrauchbar, daß ausgedehntere Gebilde nicht mehr überall den gleichen Strom führen. Dadurch entfallen dann die bekannten Begriffe der Elektrotechnik überhaupt. Da dieser Übergang zu einer neuen Betrachtungsweise erfahrungsgemäß die Hauptschwierigkeit für das Verständnis der Hoch-

Einige grundlegende Betrachtungen

9

frequenztechnik enthält, soll dies der Kernpunkt des Buches sein, der in den Abschnitten I bis I I I vorbereitend behandelt wird. Im Raum bestehen ferner auch elektrische Felder, die ebenfalls eine Feldenergie besitzen. Ist in dem Raum dV mit der Dielektrizitätskonstanten « 0 die elektrische Feldstärke E [V/cm] gegeben, so enthält dV die Energie dWe=^-e0£2-dV mit 1

3,6 7i

io-12

(1.4) F

Ein größeres Leitergebilde enthält dann bei gegebener Spannung zwischen den Leitern die elektrische Feldenergie We = ^ C U \

(1.5) U [V]

(1.6)

die proportional zu U 2 ist, wobei der Proportionalitätsfaktor C [F] als Kapazität dieser Anordnung bezeichnet wird. Will man die Spannung ändern, so muß man durch Zuführung oder Abführung von Energie das We entsprechend ändern, und so ergibt sich bei sehr hohen Frequenzen, dem schnellen Spannungswechsel entsprechend, auch noch ein erheblicher Umsatz an elektrischer Energie. Keine Spannungsquelle ist in der Lage, solche Energiemengen im Momelit des Feldaufbaus bei wachsendem Strom oder wachsender Spannung zu liefern, und kein Gebilde ist in der Lage, die Wärmemengen aufzunehmen, die entstehen würden, wenn man diese Energiemengen im Moment des Feldabbaus bei abnehmendem Strom oder abnehmender Spannung durch Umwandlung in Wärme vernichten wollte. Die Schaltungskunst besteht nun darin, die nicht mehr benötigte Energie der einen Art im betreffenden Moment in Energie der anderen Art zu verwandeln und an einem geeigneten a n d e r e n Ort der Schaltung aufzubewahren, um sie zu dem späteren Zeitpunkt, wo man sie nach Ablauf der Schwingungsperiode wieder benötigt, zur Verfügung zu haben. Nur so wird es möglich, einen guten Wirkungsgrad zu erzielen und die Schaltungen mit Elektronenröhren auszusteuern, die stets relativ leistungs so h w a c h e Stromquellen darstellen, aber bei hohen Frequenzen durch nichts zu ersetzen sind. Mit Ausnahme weniger Fälle, wo man die Blindleistung zur Erzielung bestimmter Effekte nutzbringend verwenden kann, wird man durch geeignete Formgebung der Schaltelemente die Feldenergien klein halten, möglichst einfache Schaltungen mit wenigen Bauteilen wählen, insbesondere den felderfüllten Raum, also das Volumen der Schaltung, nach Möglichkeit beschränken. Bei höheren Frequenzen ist die Spannung zwischen den begrenzenden Leitern nicht mehr überall die gleiche und die Definition der Kapazität nach (1.6) hört überhaupt auf. Hier sind also völlig neue Definitionen erforderlich, wobei man sich natürlich bemühen wird, sich nicht unnötig weit von den gewohnten Begriffen zu entfernen. Ferner tritt bei hohen Frequenzen ein extremer Skineffekt auf, so daß die Ströme nur in sehr dünnen Oberflächenschichten der Leiter fließen (Eindring-

Vorbemerkungen

10

tiefe 10~3 bis 10 - 6 cm). Dies führt ebenfalls zu zahlreichen Erscheinungen, die für die normale Elektrotechnik ungewohnt sind. Da das Leiterinnere völlig frei von Strömen und Feldern ist, ist pin Leiter nicht mehr eine gut leitende Verbindung aller seiner Punkte, sondern man muß ihn konsequent so ansehen, als ob das Innere des Leiters unterhalb der dünnen stromdurchflossenen Schicht eine nichtleitende, andersartige Substanz ist, die für alle elektromagnetischen Vorgänge absolut undurchdringlich ist. Diese Erkenntnis wird zum Verständnis vieler eigenartiger Schaltelemente erforderlich sein. In der Gewöhnung an solche neuartigen Erscheinungen liegt der Schlüssel zum Umgang mit den Schaltungen bei höheren Frequenzen, die in der modernen Hochfrequenztechnik eine immer größere Rolle spielen und ein völlig neuartiges Gebiet der Elektrotechnik darstellen. Da die Betriebsfrequenzen / dann sehr große Zahlen ergeben, ist es vielfach zweckmäßig, an ihrer Stelle mit „Wellenlängen" zu arbeiten. Als Wellenlänge X bezeichnet man die zu der Betriebsfrequenz gehörende Wellenlänge der elektromagnetischen Wellen im freien Raum. Es ist stets das Produkt der Wellenlänge und der Frequenz gleich der Fortpflanzungsgeschwindigkeit v der Welle. Mit v = 3 • 108 [m/s] wird X = 3 • 10 8 // [m] = 3 • 10 10 // [cm],

(1.7)

Man wendet folgende Bezeichnungen an: Bereiche

Längstwellen Weilen

Langwellen Mittelwellen

Kurze

Kurzwellen

Wellen

Ultrakurzwellen

Sehr kurze Wellen

( 1 1 (

Dezimeterwellen Zentimeterwellen

Schaltungsarten

t

Konzentrierte Elemente * 1

* Leitungen

*

Hohlleiter

Frequenz

10 4 Hz 3 • 104 Hz 105 Hz 3 • 10 6 Hz 10 6 Hz 3-10« Hz 107 Hz 3 • 10' Hz 108 Hz 3 • 10 8 Hz 10» 3 • 109 10 10 3 -10 1 0

Hz Hz Hz Hz

Wellenlänge

30000 10000 3 000 1000 300 100 30 10 3 1 30 10 3 1

m m m m m m m m m m cm cm cm cm

Bei Verwendung des X sollte man den inneren Sinn des Wortes „Wellenlänge" ruhig vergessen und X einfach als eine zweckmäßige Frequenzangabe ansehen. Während man bei Frequenzen unter 108 Hz im allgemeinen ebensogut mit Frequenzangaben in MHz arbeiten könnte, wird man sich bei noch kürzeren Wellen eindeutig für die Benutzung des X entscheiden, weil dieses X dann auch unmittelbare Beziehungen zu den Vorgängen in der Schaltung hat. Die wirklichen auf den Leitungen in der Schaltung auftretenden Wellenlängen werden zur genauen Unterscheidung vom X stets mit X* bezeichnet.

Einige grandlegende Betrachtungen

11

Es gelingt im allgemeinen, den mathematischen Aufwand der hochfrequenztechnischen Probleme in dem Rahmen zu halten, der einem Ingenieur geläufig ist. Während also die prinzipiellen Schwierigkeiten erträglich bleiben, nehmen jedoch die Formeln häufig einen solchen Umfang an, daß der zeitliche Arbeitsaufwand für ihre Auswertung zu groß wird und ihr quantitativer Inhalt nicht mehr voll überblickt werden kann. Es ist eine bekannte Tatsache, daß wertvolle Eigenschaften bekannter Schaltungsgebilde jährelang unentdeckt blieben, weil eine zu komplizierte Formel die notwendigen Erkenntnisse nicht zu sehen gestattete, und daß sie sich erst demjenigen eröffneten, dem die notwendige Vereinfachung der mathematischen Darstellung gelang. Diese Vereinfachung geben die sogenannten Nähefungs verfahren, die gerade der Praktiker kennen und in größtem Umfang einsetzen sollte. Unter diesen Näherungen spielen die Reihenentwicklungen eine große Rolle. Ihre Anwendung wird in diesem Buch an zahlreichen Beispielen gezeigt. Die Differentialrechnung beweist, daß man eine gegebene Funktion nach der Vorschrift (1.19) in eine Potenzreihe mit unendlich vielen Gliedern entwickeln kann. Die Funktion und die Reihe sind identisch, solange die Reihe konvergiert. Einen praktischen Nutzen gibt die Reihe nur dann, wenn sie gut konvergiert, d.h. wenn man sich durch Anwendung^ einer begrenzten und möglichst geringen Anzahl von Gliedern der Ausgangsfunktion bereits mit ausreichender Genauigkeit nähert. Für technische Probleme reicht im allgemeinen eine Genauigkeit von 1% aus, d.h. die Abweichung zwischen der Funktion und der auf endlich viele Glieder beschränkten Reihe soll weniger als 1% des Funktionswertes sein. Ziel der Reihenentwicklung ist es, die gegebene, zu komplizierte Funktion in eine einfachere Form zu bringen, ujid dieses Ziel wird im allgemeinen nur dann wirklich erreicht, wenn bereits die beiden ersten Glieder der Reihe die Funktion mit der genannten Genauigkeit beschreiben. Eine solche Näherung stellt dann eine mathematisch exakte Formulierung dar, wenn man gleichzeitig angibt, welche Genauigkeit sie erreicht und für welche Grenzen der unabhängigen Veränderlichen x diese Genauigkeit erreicht wird. Maßgebend dafür ist das größte der unendlich vielen vernachlässigten Glieder der Reihe. Dieses Glied gestattet dann eine Abschätzung der Grenzen der aus zwei Gliedern bestehenden Näherung. In (1.14) ist ferner ein wichtiges Beispiel für eine Funktion mit z w e i unabhängigen Veränderlichen gegeben. Folgende Reihen werden vorzugsweise benutzt: l l ( l ± x )=

l T % +

x2 . . . . .

(1.8)

= i ± y *

— T

(1 9)

=

+

x

*

'

( 1 1 0 )

Für kleine x kann man das quadratische Glied der Reihe vernachlässigen und hat dann die komplizierte Funktion durch eine sehr einfache lineare Funktion ersetzt. Es gilt die Regel, daß für x < 0,1 stets bereits durch das

Vorbemerkungen

12

lineare Glied die technische Rechengenauigkeit von 1 % erreicht wird. Wenn an Stelle von (1 -j- x) der Ausdruck (a±b) steht, wo b < 0 , 1 a ist, rechnet m a n : a -)- = a (1 -f- b/a) und setzt dieses b/a = x, wobei dann die Forderung x < 0,1 erfüllt ist und die Näherungsformeln benutzt werden können. Wenn x eine komplexe Zahl ist, mü ß dabei j x\ < 0,1 sein. Eine geschickte Anwendung dieser Näherungen kann das Rechnen ganz wesentlich erleichtern, ohne daß man auf Genauigkeit zu verzichten braucht: Sehr oft finden diese Formeln Anwendung, wenn man das Verhalten einer Schaltung bei einer bestimmten Frequenz /„ kennt und nun ihr Verhalten in einem kleinen Frequenzbereich in der Umgebung dieser Frequenz kennenlernen will. Dann setzt man die Frequenz / dieses Bereiches als /=/0+zl/=/o(l+/!///„)

(1.11)

und betrachtet so kleine A /, daß \Af\/f0 < 0 , 1 und als Größe x in den Näherungsformeln verwendbar ist. Beispiel: Zur Frequenz / 0 gehöre nach (1.7) die Wellenlänge ).Q, zur Frequenz / die Wellenlänge X- E s ist dann X = 10 +

AX

+

(1.12)

Gesucht ist der Zusammenhang zwischen Af und Ah ,

,

Nach (1.7) wird

3 • 10 8

Wegen XQ = 3 • 1 0 8 / / 0 [ m ] wird nach (1.8) 1+

ZÜ/A0 = 1/(1 +

Af/f0)

™ 1

—Af/f0;

A X / X o ^ — Af/fo.

(1.13)

F ü r kleine Größen x1 und x2 gilt nach (1.8) unter Vernachlässigung aller Glieder höherer Ordnung, insbesondere der Produkte von x1 und x2 (1 +

^)/(l +

Xt) ~

1+

— X,.

(1.14)

Weitere hier verwendete Reihenentwicklungen sind: sin x = x—

x3/6

(1-15)

cos x = 1 — x j2

(1.16)

2

tg X =x In (1 ±

+

x) = ±

XSI3

(1.17)

x — x2/2

(1.18)

Alle diese Reihen können nach der Taylorentwicklung iix)=f(x0+Ax)

= f(xo) + ( £ )

x = x>

• Ax + { ß ) ^ .

( f

2

+

(1.19)

gewonnen werden. f(x0) ist dabei der Funktionswert des f(x) an der Stelle x = (df/dx)x = Xo und (d2f/dx2)x = xti usw. sind die; ersten, zweiten usw. Differentialquotienten an der Stelle x = x0.

Das Rechnen mit komplexen Größen

13

§ 2. Das Rechnen mit komplexen Größen

Im vorliegenden Rahmen kann nicht eine vollständige Ableitung der komplexen Rechenmethode gegeben werden, die bereits in zahlreichen Lehrbüchern dargestellt ist. Trotzdem sollen die Definitionen und Formeln kurz zusammengestellt werden, weil diese Methode für die quantitative Behandlung der Hochfrequenzschaltungen von ausschlaggebender Bedeutung ist. Eine Schwingung hat den r e e l l e n M o m e n t a n w e r t a = A • cos (cot

y),

(2.1)

die r e e l l e A m p l i t u d e A, die Kreisfrequenz m = 2nf und die Phase xp gegenüber einer Bezugsschwingung, der man die Phase Null zuerteilt hat. Diesen reellen Momentanwert ergänzt man durch ein imaginäres Zusatzglied zum komplexen Momentanwert et = A [cos (cot + y>) + j sin (cot - f yj)] = A • ei{ml +

v

\

(2.2)

wobei man die Eulersche Gleichung cos tx

j sin D) genauere Werte, ist aber wegen ihrer Einfachheit und Anschaulichkeit in vielen Fällen sehr günstig, da es in der Praxis oft darauf ankommt, sich schnell einen ungefähren Überblick zu verschaffen. Für die Spulen der Abb. 9 beträgt die Gegeninduktivität in sehr guter Näherung M =

9,9-WtWaP,»

i d12D22 1 + 8 (ZV + k 2 f

[nH] (Längen in cm). (4.6) A2 //)7+T2 /i l ist die Windungszahl der äußeren, n2 die Windungszahl der inneren Spule. Dabei kann man die eckige Klammer in den praktisch vorkommenden Fällen gleich 1 setzen, ohne einen Fehler von mehr als 5% zu machen, zumal man sehr kurze Spulen nach einem anderen Verfahren berechnet. Wenn die innere Spule nach Abb. 8 gedreht wird, ändert sich M ziemlich genau wie die Funktion cos 0,8 und sehr große Variation nach (3.13) erreichen. Beispielsweise für Lx = L 2 wird der kleinste Wert Lmm =2L 1 (1 — K) und der größte Wert 7, m a x = 2/^(1 -f- K). Der Variationsbereich ¿max/^min = U + A)/(l - K) (4.7) wird für K = 0 , 8 gleich 9 : 1, für K = 0 , 8 5 bereits 12 : 1. Nicht immer ist es möglich, die kleinere Koppelspule ins Innere der großen zu legen. Wenn die Konfiguration der Abb. 11 besteht, ist (4.6) abzuändern in 9,9-n^Dj2 1 A2A>2 M [nH] (Längen in cm). (4.8) DS 8 ( A 2+h2)2 l/W + h* Auch hier kann man die eckige Klammer meist gleich 1 setzen.

22

Konzentrierte, verlustfreie Blindwiderstände

O f t erreicht m a n eine veränderliche K o p p l u n g d a d u r c h , d a ß m a n nach Abb. 12 die beiden Spulen seitlich m i t veränderlichem A b s t a n d a koppelt. Solange a n i c h t e x t r e m klein ist, berechnet m a n das M ^ ^ n a c h folgendem Näherungsverfahren. Man d e n k t sich 11 und D 2 die Ringdurchmesser und F ein aus Abb. 14 zu entnehmender Faktor ist, der von dem Quotienten der beiden Entfernungen und r 2 abhängt. Diese Formel gilt auch noch, wenn beide Kreise in einer Ebene 1 iegen. Bei sehr hohen Frequenzen besteht bereits eine wirksame induktive Kopplung zwischen parallel, laufenden, einfachen Drähten (Abb. 15) u,'0

0.2

0,t

0,6

0.S V/-,

Abb. 14. Gekoppelte Kreisringe

1,0

*

l

l H

Abb. 15. Parallele Drähte

näherungsweise mit M = 4 , 6 / • lg10(l/a) — 0,6 l + 2a [nH] (Längen in cm),

(4.12)

wobei l die Drahtlänge, a der Abstand der Drähte (l > 2a) und der Drahtdurchmesser klein gegen a ist. Schrifttum: [Ibis 4], § 5. Kapazitive Blindwiderstände

Eine ideale Kapazität speichert die gesamte ihr zugeführte Energie in ihrem elektrischen Feld und gibt sie ohne Verlust wieder ab (§ 8), wenn die Ladung abfließt. Wenn dabei durch den Ladestrom keine wesentlichen magnetischen Felder in diesem Gebilde auftreten, also keine Speicherung magnetischer Feldenergie als Nebenerscheinung auftritt (§ 13), stellt diese ideale Kapazität einen negativen Blindwiderstand dar 9t c = / X c = —/l/(wC),

(5.1)

der sich genau umgekehrt proportional zur Frequenz ändert. Der zugehörige Leitwert lautet @c =jYc = 1/3RC = jioC. (5.1a)

Konzentrierte, verlustfreie Blindwiderstände

24

C ist die durch (1.6) definierte Kapazität des Kondensators, die bei Anwendung von (5.1) im technischen Maßsystem in Farad [F] einzusetzen ist. Abb. 16 gibt Anhaltspunkte über die in den verschiedenen Frequenzbereichen (§ 1) auftretenden C-Werte. Man arbeitet also durchweg mit sehr kleinen Kapazitäten, so daß sich die Einheit [F] nur wenig eignet und man allgemein mit der Einheit [pF] ( l p F = 1 0 ~ 1 2 F ) arbeitet. Die bei sehr hohen Frequenzen zweckmäßige Formel für Xc •qi 1 iq -¡gg -jggQ ersetzt außerdem die Frt X[mJ — — quenz durch die Wellenlänge X A b b . 16. K a p a z i t i v e B l i n d w i d e r s t ä n d e n a c h ( 1 . 7 ) u n d lautet dann jXc

= — j 530 - X/C [Q] (C in p F ; X in in).

(5.2)

Der Blindleitwert lautet dementsprechend jYc

= l/(jXc)

= j 0,00188 • Cß [S] (C in P F ; X in m).

(5.3)

Ein Kondensator besteht aus zwei Leitern, zwischen denen sich ein isolierendes Medium aus Luft oder einem festen bzw. flüssigen Dielektrikum befindet. Die Kapazitätsformeln wrerden im folgenden für L u f t a l s D i e l e k t r i k u m angegeben. Wenn dann der Raum zwischen den Leitern ganz mit einem anderen Dielektrikum gefüllt wird, erhöht sich die Kapazität um einen für die betreffende Substanz charakteristischen Faktor e, der als relative Dielektrizitätskonstante bezeichnet wird. Wenn das betreffende Medium den Raum nur teilweise ausfüllt,wird der Faktor kleiner; vgl. (8.7a) und (8.9). Wesentlich für die Verwendbarkeit eines Dielektrikums ist sein Verlustfaktor (§ 8). Sogenannte natürliche Dielektrika, die sich für hohe Frequenzen eignen, sind reines Paraffin mit £ 2,2, Quarzglas mit e «=< 4,5 und Glimmer mit e «a 7. Glimmer findet umfangreiche Verwendung. Als flüssiges Dielektrikum benutzt man für Hochspannungskondensatoren Paraffinöl mit e 2,2. Künstliche Dielektrika sind entweder organische Kunststoffe oder Keramik. Der bekannteste organische Kunststoff ist das Polystyrol mit e 2,4, in Deutsch land auch als Styroflex und Trolitul bekannt. Seine Nachteile sind die geringe mechanische Festigkeit und seine Erweichung bei 70° C. Diese Nachteile kann man durch besondere Herstellungsverfahren oder durch Beimischung von anderen Stoffen bis zu einem gewissen Grad beseitigen, wobei jedoch im allgemeinen das e und der Verlustfaktor ( § 8 ) steigt. Kleinere £-Werte erreicht man dadurch, daß man solche Stoffe schaumartig mit zahlreichen Luftbläschen erstarren läßt. Größere £ T Werte kann man durch Beimischung von Quarzpulver, Titandioxyd o. ä. erzielen (bis zu e = 20). Daneben gibt es eine ständig wachsende Zahl weiterer Kunststoffe, unter denen das Oppanol (Polyisobutylen) als plastischer Werkstoff für die Herstellung biegsamer Kabel wichtig ist (s 2,5). Durch Verwendung sehr dünner Kunststoffolien als

Kapazitive Blindwiderstände

25

Dielektrikum zwischen zwei Metallplatten können große Kapazitätswerte erzielt werden. Unter den keramischen Werkstoffen sind die Magnesiumsilikate (Frequenta und Calit) mit 6 ^ 6 wichtig. Bei Verwendung von Titandioxyd (Rutil) erreicht man Werte bis e = 80 bei kleinem Verlustfaktor., Durch entsprechende Mischungsverhältnisse läßt sich so jeder beliebige £-Wert herstellen. Von besonderer Wichtigkeit ist ferner die Möglichkeit der Erzeugung bestimmter Temperaturabhängigkeiten des e zur Kompensation des meist positiven Temperaturkoeffizienten der Induktivität in Resonanzkreisen (§ 9). Eine erschöpfende Darstellung dieser Stoffe ist im vorliegenden Rahmen nicht möglich, zumal ihre Entwicklung noch nicht abgeschlossen ist. Die häufigste Form des Kondensators für größere Kapazitätswerte stellt der Plattenkondensator dar, der aus zwei parallelen Platten besteht (Abb. 17). Seine Kapazität in Luft beträgt mit e 0 nach (1.5) C = e 0 • F/a

(5.4)

oder in zweckmäßiger Darstellung C — 0,088 • F/a [pF] (i?in c m 2 ; a in cm),

(5.4a)

wobei F die Fläche der gegenüberstehenden Platten und a der Abstand dieser Flächen ist und die Streukapazitäten des Randes vernachlässigt sind. Da _L a)V/////////7Ä

1 rf.

'////////AVA-^ t b \ v / / / / / / / / /h/ i/nX j_ —I l a • r / z / / / / / / / / / / / / / ' ' / / / / ' /

6 Abb. 18. Mehrfachplattenkondensator

y//////////A"". d a s/s///};'''-'-'-'Abb. 19. P l a u e n r ä n d e r

man in Luft wegen der erforderlichen Spannungsfestigkeit und der mechanischen Ungenauigkeit den Abstand a nicht sehr klein machen kann, benötigt man für größere 6'-Werte große Flächen. Für a = 1 m m erfordert z. B. ein C == 500 p F eine Fläche von 570 cm 2 . Solche Flächen stellt man nach Abb. 18 durch einen Mehrfachkondensator dar, wo man beide Seiten der Platten zur Kapazitätsbildung ausnützen kann. Größere Kapazitäten erreicht man nur dadurch, daß man ein Dielektrikum zwischen die Platten bringt und auf wesentlich kleinere Plattenabstände übergeht. F ist stets nach Abb. 17 die den beiden Platten gemeinsame Fläche. Wenn der eine Leiter nach Abb. 17 eine größere Fläche als der andere besitzt, so zählt doch in (5.4) nur der Teil F, wo sich die Platten gegenüberstehen. Zur genauen Berechnung der Kapazität gehört dann noch eine angenäherte Erfassung der Streukapazitäten der Plattenränder. Es werden die Randformen der Abb. 19 näher betrachtet.

Konzentrierte, verlustfreie Blindwiderstände

26

Die Randkapazität erfaßt man dadurch am besten, daß man sich die Platten um ein bestimmtes Stück A verbreitert denkt, so daß ihre wirksame Fläche F entsprechend größer als ihre geometrische Fläche ist. Mit dieser wirksamen Fläche F kann man dann C sehr genau nach (5.4) berechnen. Wenn der Kondensator ein Dielektrikum besitzt, das mit dem Plattenrand abschneidet, kann man die Randstreuung vernachlässigen, weil die Streufeldlinien dann in Luft verlaufen und entsprechend weniger wirksam sind. Die folgenden Angaben beziehen sich auf den Fall, wo der gesamte Streuraum ebenfalls mit Dielektrikum gefüllt ist, insbesondere also auf den Luftkondensator. Für die Anordnung der Abb. 19a wird für d < a näherungsweise A = 0 , 5 a + 0 , 1 6 r f [1 + l n ( l +

(5.5)

a/d)],

in Abb. 19b A = a + 0,16d [1 + In(1 + 2a/d)],

(5.6)

A = 0,44 a

(5.7)

in Abb. 19 < 0,16)2] = C [1 —

(6.19)

Dies ist eine insbesondere bei sehr kurzen Wellen oft verwendete Methode, um gegebene Kapazitäten zu verkleinern oder auch zu beseitigen. Jedoch ist dieses C' frequenzabhängig und seine Beseitigung gelingt nur für jeweils eine Frequenz. Wenn man wie in (3.2) und (5.2) auf die Wellenlänge X übergeht, wird aus (6.9) die sehr einfache Formel für die Resonanzwellenlänge lR = 0,06 1 F l C [m] (L in n H ; C in p F ) .

(6.20)

Entsprechend wird aus (6.8) XR

=

3 1 , 6 -\/L/C

[ f i ] (L

in n H ;

C in p F ) .

(6.21)

Wachsendes L und abnehmendes C vergrößert XR und dadurch die Steilheit der X-Kurven in Abb. 26. Abnehmendes L und wachsendes C wirkt in gleicher

33

Kombinierte Blindvviderstände

Weise auf YR in Abb. 27. Bei gegebenem ).R und L ist das zur Resonanz erforderliche C = 280 • 4 / L [pF] (L in nH; ).R in m)

(6.22)

und bei gegebenem C das benötigte L L = 2 8 0 - A|/C[nH] (C i n p F ; ?.R in m).

(6.23)

Beim Zusammenschalten mehrerer Widerstände bevorzugt man in der Hochfrequenztechnik, insbesondere bei höheren Frequenzen, das in Abb. 29 dar-

bzw.ty

.

bzw.ty

»

m bzw. ty

Abb. 29. Stufenschaltung

gestellte Schaltungsprinzip, das man als Stufenschaltung bezeichnen kann. Dann wird jeder weitere Widerstand durch Serien- oder Parallelschaltung an den Zweipolklemmen der gegebenen Kombination zugefügt und die Kombination entsteht stufenweise an den mit fortschreitenden Ziffern versehenen Klemmen. Vermieden werden sollen dabei die sehr schwierigen Brückenschaltungen, wo wie z.B. in Abb. 29 ein Widerstand 9t5 zwischen die Klemmen 3 und 1 als Brücke über mehrere Stufen gelegt werden könnte. Die quantitativ exakte Herstellung beabsichtigter Hochfrequenzschaltungen ist so schwierig, daß man sich nach Möglichkeit auf allereinfachste Schaltungen beschränken sollte. Den Widerstand 9tx bezeichnet man als den Abschlußwiderstand, die Serien widerstände (9t2 und 9t4) als Längswiderstände und die Parallelwiderstände (9i3) als Querwiderstände. In Abb. 29 würde man SR' = 9tx -)- 9t2 berechnen, dann den Leitwert @ ' = 1 /9t' bilden. Zwischen 3 und 3a liegt ein -[- @3 mit @3 == 1/SR3. AUS 9t" = 1/©" erhält man 9t'" = 9t" + 9t3 zwischen den Klemmen 4 und 4a. Wenn die Widerstände der Abb. 29 reine Blindwiderstände sind, berechnet man also bei 9^ beginnend stufenweise die Blindwiderstände an den bezifferten Klemmen, bei Serienschaltung durch Addition der Widerstände, bei Parallelschaltung durch Addition der Leitwerte j Y — —/ 1/X unter genauer Beachtung der Vorzeichen und bei Resonanzstellen unter Berücksichtigung der Verluste nach § 9. Eine sehr brauchbare Regel für solche Kombinationen ist der Satz, daß der Eingangsblindwiderstand (und auch der Blindleitwert) mit wachsender Frequenz (abnehmender Wellenlänge) stets wächst und nur für einzelne Frequenzen eine Sprung von -j- oo nach —oo macht, um dann wieder weiter zu steigen. Nach Abb. 26 bis 28 gilt dies sowohl für einzelne XL und Xc wie auch für ihre Serienschaltung, für ihre Parallelschaltung und die zugehörigen Leitwerte. Es ist nicht 3

Meinke,

Hochfrequenzschaltungen

Konzentrierte, verlustfreie Blindwiderstände

34

schwierig zu beweisen, daß nach Zuschaltung einer weiteren Stufe in Abb. 29 immer wieder ein mit wachsender Frequenz wachsender Blindwiderstand entsteht. Abb. 30 zeigt ein Beispiel. Wenn man dann alle Widerstände kennt, die zwischen den verschiedenen zusammengehörenden, bezifferten Klemmen auftreten, kann man an die Berechnung der Ströme und 1000 Spannungen an diesen 500 Klemmen (Abbi 29) gehen. 300 1 1 Man benutzt dabei folgende 53pF —mRegeln: Bei S e r i e n S c h a l 53pF =| ] 530 nH |l tungen ist der Strom, der i II 100 die Stufe unverändert durchSO • läuft, der zweckmäßige AusT SO gangspunkt. Z. B . ist = öi 4t & und = während 20 4=^3 ist. Bei P a r a l l e l ci\ Schaltung ist die Spannung 1 das wichtigste Rechenele-20 1 ment, weil dann sie die Stufe -40 unverändert durchschreitet 1 -SO

V

\

1 1 1 1

(U 2 = l l 3 ) . In Abb. 29 würde man also von ausgehen, -100 das gleich ist. Zwischen \ -V-H den Klemmen 3 und 3 a liegt F -200 der Blindwiderstand jX", -300 den man vorher berechnet -500 T hat. Dann ist tt 3 = jX" • -1000 und dadurch wieder U2 ge2 h- 6 S 10 20 40 SO SO \ 3,[m] geben. Zwischen den KlemAbb. 30. Kombinierte Resonanzen men 2 und 2 a liegt der Blindwiderstand jX', den man kennt. Dann ist = • — j U 2 / X ' und dadurch das Qi bekannt. So kommt man mit kleinstem Rechenaufwand durch eine solche Stufenschaltung hindurch; denn aus den Größen U 3 und kann man für jeden beteiligten Widerstand Strom und Spannung nach dem Ohmschen Gesetz berechnen. Man beachte die Vorzeichen und Phasen. Die Ströme sind zueinander teils gleichphasig, teils gegenphasig, ebenso die Spannungen XLn jeweils untereinander. Dagegen besteht zwischen den Spannungen und den Strömen der Faktor j (oder —/), also nach (2.6) und (2.8) die Phasendifferenz tt/2 (oder —tt/2). Andere Phasenlagen können bei verlustfreien Blindwiderständen nicht auftreten. Bei Resonanzstellen in der Schaltung muß man im allgemeinen die Verluste nach § 9 berücksichtigen und erhält nicht diese einfachen Verhältnisse. Zahlenbeispiel zu Abb. 29: 9t x = / 100 Q ; 9i 2 —. — / 50 £2; 9J 3 = / 50 Q ; 9l 4 = — / 50 Zwischen den Klemmen 2 und 2 a erscheint der Widerstand 9 1 ' = 9 ^ + 9 ^ = / 5 0 Q , Leitwert =—/'0,02S. Der Leitwert von 9{3 ist © 3 = — / 0,02 S. Zwischen 3 und 3a erscheint dann -80

\

V,

Kombinierte Blindwiderstände

35

der Leitwert © " = — / 0,04 S oder der Widerstand = j 25 ü . Zusammen mit 9i4 gibt dies zwischen den Klemmen 4 und 4a den Widerstand gl"' = _ j 25 Q. Setzt man & = 10 A, so folgt & = 10 A; U s =-91" • & = j 250 V = U 2 ; 3 2 = U2 • &' = 5 A = U x = j 500 V. Von besonderer Bedeutung sind die Stellen, wo der Blindwert Null oder der Blindwert oo auftritt. Den einfachsten Fall des Blindwiderstandes Null zeigt die Serienresonanzschaltung der Abb. 26. Man vergegenwärtige sich bei gegebenem Strom 3 die Spannungen 1XL und U c an den beiden Schaltelementen und U am Gesamtgebilde, die den Blindwiderständen direkt proportional sind. Wichtig ist insbesondere die entgegengesetzte Phase der Spannungen an den beiden Elementen. Man benutzt die Schaltung auch als Phasenumkehrschaltung, weil die Spannung an dem kleineren der beiden Widerstände umgekehrte Phase hat wie am Gesamtwiderstand. U=3-/'X; Uc=3-/Xc; UL=$-jXL. (6.24) Eine Resonanz tritt dann auf, wenn bei gegebenem II die Frequenz verändert wird und der Strom 3 i m Resonanzpunkt X = 0 unendlich groß wird. Der Blindwiderstand oo (Leitwert 0) tritt in der Parallelresonanzschaltung der Abb. 27 auf. Man vergegenwärtige sich bei gegebener Spannung U an dem Gebilde die Ströme 3 l und 3 c i*1 den Einzelelementen und den Gesamtstrom 3 ™ Abhängigkeit von der Frequenz, die den Leitwerten proportional sind.

3 = u • /T;

3c = u - / y c ;

(6.25)

Eine Resonanz tritt dann auf, wenn bei gegebenem Strom 3 die Spannung bei Y = 0 unendlich groß wird. Die nächsthöhere Resonanzschaltung entsteht, wenn man zum Serienkreis der Abb. 26 einen Blindwiderstand parallelschaltet oder zum Parallelkreis der Abb. 27 einen Blindwiderstand in Serie schaltet. Abb. 30 zeigt in einem Beispiel, daß dann sowohl ein Punkt X = 0 wie auch ein Punkt X = oo auftritt. Den Frequenzabstand dieser beiden Resonanzen kann man durch Wahl der Elemente beliebig einstellen. Durch wachsende Zahl der Einzelelemente nach Abb. 29 kann man weitere Nullstellen und Unendlichkeitsstellen erzeugen und den Frequenzgang variieren, ohne daß man an dem grundsätzlichen Ansteigen des X mit wachsender Frequenz etwas ändern kann. Man benutzt solche Schaltungen zu F r e q u e n z f i l t e r n , indem man diese Blindwiderstandskombinationen in Serie oder parallel zu einem Wirkwiderstand legt, dem von einer Spannungsquelle eine Wirkleistung zugeführt wird. jX = oo in Serie oder jX = 0 parallel wirkt dann als Sperre für die betreffende Frequenz, während jX=oo parallel oder jX = 0 in Serie zum Wirkwiderstand eine ungestörte Leistungsübertragung gestattet. Man erreicht dadurch eine Frequenzauswahl für die Wirkleistung in einem Verbraucher (Oberwellensiebung u. dgl.). Daneben interessieren Blindwiderstandskombinationen, die nur bei einer einzigen Frequenz betrieben werden, in denen aber einer der Bestandteile, z.B. eine Kapazität, stetig verändert wird. Man erhält dann beim Verändern der Kapazität ähnliche .Y-Kurven mit Resonanzen wie in Abb. 26, 27 und 30 3r

36

Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten

Al)b 31. Regelbare Kombination

beim Verändern der F r e q u e n z . Abb. 31 zeigt eine K o m b i n a t i o n aus drei Blindwiderständen m i t einer veränderlichen K a p a z i t ä t . F ü r einen b e s t i m m t e n W e r t C2 = C 2 oo erhält m a n den Blindwiderstand oo, f ü r einen kleineren W e r t C2 = C20 (größeres | X C 2 | ) den Blindwiders t a n d Null. Es ist C2 oo —C20 = Cv d e m n i c h t v e r ä n d e r t e n W e r t der Serienkapazität. Eine solche A n o r d n u n g k a n n m a n als einen stetig regelbaren S c h a l t e r benutzen, da sie parallel oder in Serie zu einem W i r k w i d e r s t a n d die von diesem Wirkwiderstand aus einer Sparinungsquelle aufgenommene Leistung durch Ändern der K a p a z i t ä t C2 stetig zu regeln g e s t a t t e t .

E r g ä n z e n d e s • S c h r i f t t u m : [2, 6, 7, 53].

Iii. Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten § 7. D a s magnetische Feld einer Spule und ihre Verluste

Eine der wichtigsten Erscheinungen ist der e x t r e m e Skineffekt des Leitungsstromes bei hohen Frequenzen. Die Ströme fließen auf den Leitern n u r in äußerst d ü n n e n Schichten an der Leiteroberfläche. B e t r a c h t e t m a n der E i n f a c h h e i t halber einen sehr dicken Leiter m i t ebener Oberfläche, der von parallelen Wechselströmen hoher Frequenz durchflössen wird, so s i n k t die A m p l i t u d e der Stromdichte beim Eindringen in den Leiter n a c h einer e-Funkt i o n a b (Abb. 32a). Die W i r k u n g dieser sehr komplizierten Stromverteilung ersetzt m a n d u r c h folgende Hilfsvorstellung, die das Rechnen vereinfacht, ohne wesentlich ungenau zu sein, u n d durch ihre Anschaulichkeit das Ver-

D a s m a g n e t i s c h e F e l d einer S p u l e und, ihre V e r l u s t e

37

ständnis f ü r viele ungewohnte Erscheinungen erleichtert. E i n Leiter besteht d a r n a c h vom S t a n d p u n k t der H o c h f r e q u e n z t e c h n i k ersatzweise aus zwei Substanzen von sehr verschiedenen E i g e n s c h a f t e n . N a c h A b b . 32b e n t h ä l t er eine d ü n n e Oberflächenschicht, die sogenannte Leitschicht, die die gleiche Leitfähigkeit h a t wie der ursprüngliche Leiter u n d gleichmäßig vom S t r o m durchflössen wird. D a r u n t e r w i r k t der restliche Leiter wie eine nichtleitende Substanz, die a u ß e r d e m feldabstoßende W i r k u n g h a t , d . h . in ihr können weder elektrische noch magnetische Felder bestehen. Eine wichtige Größe ist die Dicke s der Leitschicht, die von der Frequenz, der P e r m e a b i l i t ä t ¡a u n d der Leitfähigkeit o der Substanz a b h ä n g t . D a s proportional ]/ l//i ist, sind ferromagnetische Stoffe wegen der erheblich kleineren Leitschichtdicke n i c h t f ü r Oberflächen von Hochfrequenzleitern geeignet. D e n folgenden B e t r a c h t u n g e n wird daher ein ¡u = 1 zugrunde gelegt. F ü r die Leitschichtdicke gilt d a n n s = ]/.

(7.1)

F ü r die praktische Anwendung dieser F o r m e l sei folgendes Verfahren empfohlen. Man n i m m t uQ aus (1.2), ersetzt a> d u r c h 1 n a c h (1.7) u n d berechnet das s f ü r Silber (as = 6 2 • 10 4 S / c m ) . Alle anderen Leiterstoffe geben d a n n eine u m den F a k t o r Kx = ]/ osjo größere Leitschichtdicke u n d m a n e r h ä l t : s =

3,7 • 10- 4 Kx f l [cm] {1 in m),

wobei K x aus der nebenstehenden Tabelle zu e n t n e h m e n ist. Man f ü h r t hier als neue Definition den spezifischen Oberflächenwiderstand q* ein. q* ist der W i d e r s t a n d eines Oberflächenstücks der Breite 1 cm u n d der Länge 1 cm (und der Tiefe s n a c h Abb. 32b). Aus (7.1) folgt e * = 1 /(so) = ] /

w/u0/(2a).

(7-3)

F ü r die praktische Auswertung b e n u t z t m a n in Analogie zu (7.2) die Formel g* = 0,0044 • K-J]/X[Q]

(7.2)

Werkstoff Silber . . Kupfer. . Gold . . Aluminium Zink . . Messing Platin . . Manganin . Kohle . .

{X in m),

K, . . . . . .

1 1,03 1,2 1,4 2,0 2,2 2,6 5,2 50

(7.4)

wobei K1 wieder aus der Tabelle zu e n t n e h m e n ist. Ferner definiert m a n den Begriff der Oberflächenstromdichte ( J* = reelle A m p l i t u d e ; Q* = komplexe Amplitude), der eindeutig von dem b e k a n n t e n Begriff der Stromdichte in Leitern m i t gleichmäßiger Stromverteilung unterschieden werden m u ß . J* ist der Strom durch ein Oberflächenstück der Breite 1 c m (der Tiefe s in Abb. 3 2 b ) ; seine technische E i n h e i t ist [A/cm], B e t r a c h t e t m a n ein kleines Oberflächenstück der Länge dx in Stromrichtung u n d der Breite dy quer zur Stromrichtung nach Abb. 33, so ist J* • dy der durchfließende Strom, o* • dx/dy der W i d e r s t a n d des Stücks u n d nach (2.26) dx dN =

1

dx

1

2

dy

2

, (/* • dyf o* -j- =

•V*2 •w o* dx dy 3

(7.5)

Abb. 33. Oberfläclicnstück

38

Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten

die in diesem Oberflächenteil verbrauchte Wirkleistung. Der Faktor 1 / 2 tritt hier bei allen Leistungsformeln auf, weil Ströme und Spannungen stets als Scheitelwerte gegeben sind. Zu beachten ist, daß für die Leitfähigkeit eines Hochfrequenzleiters stets nur das a der dünnen Oberflächenschicht maßgebend ist. Ein eiserner Leiter mit versilberter Oberfläche wirkt wie ein Leiter aus Silber. Im Q* nach (7.4) tritt das A der verschiedenen Metalle im Ki nur als ]/' a auf, so daß Leitfähigkeitsunterschiede bei Hochfrequenz weit weniger wirksam sind als bei Gleichstrom (Faktor K1 der Tabelle). Dies liegt daran, daß die Leiter mit geringerer Leitfähigkeit a nach (7.1) eine g r ö ß e r e Leitschichtdicke besitzen. Da die magnetischen Felder nicht in den Leiter eindringen können wie bei Gleichstrom, laufen die magnetischen Feldlinien an den Leiteroberflächen stets parallel zu diesen. Zwischen der tangentialen magnetischen Feldstärke § an der Oberfläche und der Oberflächenstromdichte an der gleichen Stelle bestehen sehr einfache Beziehungen. Nach Abb. 34, die einen 1 c m breiten Ausschnitt der Abb. 32b zeigt, steht die magnetische Feldstärke stets senkrecht zum Strom, wobei die angegebenen Pfeilrichtungen zu beachten sind. Das allgemeine Durchflutungsgesetz (§ 34) lautet für technische Einheiten, daß der durch eine Fläche tretende Strom gleich der magnetischen Spannung längs des Flächenrandes ist. Bezieht man dies auf das in Abb. 34 dick ausgezogene Rechteck, dessen lange Kante gleich 1 cm und Abb. 34. Magnetische Feldstärke dessen schmale Kante gleich s ist, so tritt durch an der Leiteroberfläche

d i e g e

F I ä c h e

d e r

g t r o m

D i e

m a g n e t i s c h e

R a n d

_

Spannung gibt längs der unteren langen Kante keinen Beitrag, weil sie im feldfreien Innenraum des Leiters (Abb. 32 b) läuft. Die senkrechten Kanten s geben keinen Beitrag, da längs derselben kein Feld existiert. Nur die. lange Kante im Außenraum gibt mit der Länge 1 cm und der Feldstärke § [A/cm] die Spannung § • 1. Aus dem Durchflutungsgesetz folgt also die für die gesamte Hochfrequenztechnik fundamentale Beziehung § = S*

( $ und

in A/cm).

(7.6)

Jedes magnetische Feld an der Oberfläche eines Leiters erzeugt in der Leiteroberfläche einen dazu senkrechten Strom, wobei die komplexe Amplitude g * der Oberflächenstromdichte zahlenmäßig gleich der komplexen Amplitude § der Feldstärke ist (gleiche reelle Amplitude und gleiche Phase). Umgekehrt erzeugt jeder Oberflächenstrom ein entsprechendes magnetisches Feld. Da längs großer Leiteroberflächen im allgemeinen keine gleichmäßige magnetische Feldstärke bestehen wird, muß man also eine ungleichmäßige Verteilung des Stromes auf den Leiteroberflächen berücksichtigen, wodurch meist sehr komplizierte Verhältnisse entstehen. Die einfachsten Verhältnisse zeigt ein gerader Draht mit Kreisquerschnitt im freien Raum. Er ist nach Abb. 35 von kreisförmigen magnetischen Feldlinien umgeben, längs denen die Feld-

39

Das magnetische Feld einer Spule und ihre Verluste

stärke ,£) jeweils konstant ist. Die Oberflächenstromdichte ist auf der Drahtoberfläche dann nach (7.6) ebenfalls konstant. Wenn d der Drahtdurchmesser ist, beträgt der Gesamtstrom durch den Draht % — nd- Jg*. Die magnetische Feldstärke § ergibt sich aus dem Durchflutungsgesetz (§ 34) für die Feldlinie mit dem Radius r (Abb. 35): 2 nr -

> > >>

Abb. 43. I n h o m o g e n e s Dielektrikum

n1 = 4). Es entsteht dann eine Parallelschaltung von n1 Kapazitäten s • e0* b m und von ( n — Wj^) Kapazitäten f 0 • b/m, also insgesamt nach (6.4) C£ = e „ - & [ £ w i + ( " — n j \ l m .

(8.8)

Vergleicht man dies mit der Luftkapazität C nach (8.5), so wirkt das partielle Dielektrikum wie ein massives Dielektrikum mit der kleineren wirksamen Dielektrizitätskonstanten e'. Aus Cc = e' • C folgt für das e' mit C aus (8.5) e' =

(n— n-Jl/n.

(8.9)

Nur in diesen beiden Sonderfällen bleibt das für Luft in Abb. 39 konstruierte Feldlinienbild erhalten. Es ergibt sich, daß eine gewisse Menge Dielektrikum dort am wirksamsten ist, wo die Feldstärke groß ist, wo sie also viele Quadrate ausfüllt. Will man die zur Halterung der Kondensatorplatten unvermeidlichen Stützisolatoren unwirksam machen, so bringe man sie an Stellen an, w o die Feldstärke klein ist, beim Plattenkondensator nach Abb. 43 beispielsweise im großen Bogen zwischen den Rückseiten der Platten. Dann vermeidet man auch das Wirksamwerden der dielektrischen Verluste dieser Halterung nach (8.13). Bei beliebiger Form des Dielektrikums ändern sich auch die Feldlinien und man kann sich nur dadurch einen Anhaltspunkt verschaffen, daß man die gegebene Form wenigstens näherungsweise auf eine Form zurückführt, die zu einem der in Abb. 42 und 43 angeführten Sonderfälle paßt. .Bezüglich der Feldstärke ändert eine Schichtung parallel zu den Feldlinien nach Abb. 43 die für Luft

Das elektrische Feld des Kondensators und seine Verluste

47

berechneten Feldstärken nicht, während die Schichtung parallel zu den Äquipotentiallinien nach Abb. 42 die Feldstärken im Dielektrikum verkleinert, aber in den Luftschichten vergrößert. Dies bedeutet also eine Verminderung der Spannungsfestigkeit gegenüber einem reinen Luftkondensator. D ü n n e Luftschichten zwischen einem massiven Dielektrikum und den Kondensator platten sind daher sehr gefährlich, da in ihnen die Feldstärke annähernd e-mal so groß ist gegenüber dem für ein exakt homogenes Dielektrikum berechneten Wert. Eine in der Praxis übliche Methode, diese Gefahrstfellen zu umgehen, besteht darin, daß man die Kondensatorbeläge als Metallschicht unmittelbar auf das Dielektrikum aufbringt (metallisieren). Ein Kondensator im freien Raum ist verlustfrei, wenn man von den Verlusten des Ladestroms in den Zuleitungen absieht (§ 13). Verluste entstehen durch das zwischen den Leitern liegende Dielektrikum. In ihm entsteht durch die Wirkung der elektrischen Feldstärke eine Polarisation der Moleküle, was die Erhöhung der Kapazität um den Faktor e bedingt. Die Wechselfeldstärke erzwingt einen periodischen Wechsel der Polarisationsrichtung und daher molekulare Ströme, die nicht verlustfrei sind. Ein Kondensator hat also auch einen Verlustfaktor dc, der wie in (7.13) definiert ist. Es bestehen dann die gleichen Formeln (7.14) bis (7.16). Die Verluste werden beschrieben durch einen in Serie zur Kapazität liegenden Verlustwiderstand Rc, an dem die Verlustleistung Nc entsteht: dc = Rcl\Xc\\

Rc=dc-\XcV,

(8.10)

JVC = J J*RC = dc l J2 \Xc\=dc-\Bc\.

(8.11)

Dabei ist | Xc | der Blindwiderstand der Kapazität ohne das negative Vorzeichen. Wie in (7.17) definiert man als Gütefaktor des Kondensators die Größe Qc

=

1 [dc.

(8.12)

Wenn der Kondensator vollständig mit einem Dielektrikum ausgefüllt ist, wird dc gleich dem Verlustfaktor de der betreffenden Substanz. Das d, der Luft ist vernachlässigbar klein. Das de der in der Hochfrequenztechnik verwendeten Dielektrika liegt im allgemeinen zwischen 2 bis 5 • 10 - 4 und ist in den interessierenden Frequenzbereichen nicht wesentlich frequenzabhängig. Oberhalb 10® Hz muß man mit einem schwachen Anstieg rechnen. Wenn der Kondensator nur teilweise mit Dielektrikum gefüllt ist, ist das dc nur ein entsprechender Teil des de und im allgemeinen nur meßtechnisch zu bestimmen. Lediglich in den in Abb. 42 und 43 dargestellten Sonderfällen ist dc zu berechnen. In Abb. 42 hat man dann die Serienschaltung eines verlustfreien Luftkondensators und eines verlustbehafteten, mit Dielektrikum gefüllten Kondensators und in Abb. 43 eine entsprechende Parallelschaltung. Näheres in § 9. Angenähert berechnet man d c dann auf folgende Weise. Das Dielektrikum ist gegeben durch e und dc. Die Kapazität Cc des gegebenen Gebildes ist um den Faktor e' größer als die des gleichen Gebildes in Luft: Ce e'-C. Das e'

48

Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten

ist die wirksame D i e l e k t r i z i t ä t s k o n s t a n t e ; vgl. (8.7) bis (8.9). D a n n gilt in guter N ä h e r u n g allgemein: d c ^ d e ( e ' _ l)/(e — 1).

(8.13)

Ergänzendes S c h r i f t t u m : [8, 9, 10]. § 9. Kombinationen verlustbehafteter Blindwiderstände

Die B e t r a c h t u n g e n des § 6 müssen erweitert werden, weil jeder technische Blindwiderstand als komplexer W i d e r s t a n d zu b e t r a c h t e n ist. Man k a n n jedoch voraussetzen, d a ß der Verlustfaktor stets sehr klein ist. Man wird d a n n nicht die komplizierteren R e c h e n m e t h o d e n des § 15 verwenden, sondern zu wesentlich einfacheren Näherungsverfahren übergehen. E i n solcher W i d e r s t a n d k a n n als die Serienschaltung eines reinen Blindwiderstandes jX u n d eines sehr kleinen Wirkwiderstandes R dargestellt werden: iJi = R jX. Berechnet wird sein Leitwert @ = l/3l=l/(Ä + /X)z=G+/T. (9.1) N a c h (2.17) ist e x a k t G = R/(R2 + X2); Y = _ X/(R2 - f X2). (9.2) U n t e r der Voraussetzung R < 0,1 \X | wird daraus in guter N ä h e r u n g die wesentlich einfachere Formel G=R/X2;

Y = — l/X,

(9.3)

wobei im Nenner das kleine R'2 neben X2, vernachlässigt wurde. Aus der Serienschaltung eines Blindwiderstandes m i t einem sehr kleinen Wirkwiders t a n d k a n n m a n also eine gleichwertige Parallelschaltung eines Blindleitwerts jY u n d eines s e h r k l e i n e n Wirkleitwerts G machen. Bemerkenswert ist, d a ß dieses jY d a n n die gleiche Größe h a t wie im verlustfreien Fall. Die Serienschaltung R jX ist also auch identisch m i t der Parallelschaltung des g l e i c h e n Blindwiderstandes jX u n d eines Parallelwiderstandes Rp = 1/G = X2/R

(9.4)

(Abb. 44). U m g e k e h r t ist die Parallelschaltung eines Blindwiderstandes jX u n d eines großen Wirkwiderstandes Rp > 10 | X | identisch m i t der Serienschaltung des gleichen Blindwiderstandes j X u n d eines kleinen Wirkwiderstandes R = X2/RP

bzw.G

= G/Y2.

(9.5)

W e n d e t m a n dies auf einen verlustbehafteten Blindwiderstand 3} m i t dem Verlustfaktor d an,

Abi. 44. Äquivalente Schaltungen

so e r h ä l t m a n

a) m i t dem Ersatzbild Abb. 44 a (SR = R - f }X) nach (7.15a) u n d (8.10) R = d-\X

|,

(9.6)

b) m i t dem Ersatzbild Abb. 4 4 b (© = 1/31 .= G + jY) nach (9.3) bis (9.5) G = d-\Y\ und somit

Rp = 1/G = \X\/d

(9.6a) = \X\ • Q,

(9.7)

wo Q der G ü t e f a k t o r nach (7.17) oder (8.12) ist. Diese einfache U m r e c h n u n g

Kombinationen verlustbehafteter Blindwiderstände

49

der Serienverluste in Parallel Verluste, die für cl < 0,1 brauchbar ist, ist außerordentlich wichtig. Bei Serienschaltung verlustbehafteter Blindwiderstände rechnet man mit dem Serienersatzbild (Abb. 44a) nach (2.20), bei Parallelschaltung mit dem Parallelersatzbild (Abb. 44b) nach (2.21). Serienschaltung gleichartiger Blindwiderstände: Es sollen als Beispiel zwei Induktivitäten Lx und L2 mit den Verlustfaktorend L l und aL2 in Serie geschaltet werden. Der komplexe Gesamtwiderstand lautet nach (7.15a) SR = (dLi •°>L\ + dL2 • (oL2) + j ( « A + ß>Lg) = R + jX

(9.8)

und der neue Verlustfaktor d = R/X = dL1 • LX!(LX + L 2 ) + dL2 • L2!{LX + L2).

(9.9)

Parallelschaltung gleichartiger Blindwiderstände: Als Beispiel dienen zwei Kapazitäten C\ und C2 mit den Verlustfaktoren dcl und dc2. Der komplexe Gesamtleitwert lautet nach (9.6a) und (5.1a) © = ( d c l • OJC1 - f d c 2 •

MC2)

-f j

(MC1

-f

MC2)

=

G+JY

(9.10)

mit dem neuen Verlustfaktor d = G/Y = d c l • C1/(C1 + C2) + d c 2 • C2/(C1 4- C a ).

(9.10a) •

Es tritt also in (9.9) und (9.10a) eine Art Mittelwertbildung des Verlustfaktors ein. Wesentlich anders wird es jedoch, wenn eine Kombination verschiedenartiger Blindwiderstände vorliegt. Bei Serienschaltung einer Induktivität L mit dem Verlustfaktor dL und einer Kapazität C mit dem Verlustfaktor dc wie in Abb. 26 wird der Gesamtwiderstand 91 = [dL- (oL + d c /(o>C)] - f j [coL — 1 /(OJC)]

= R + jX

(9.11)

und der neue Verlustfaktor ^ ,_ a~\X\~

dL-wL 4 - dc/(mC) \oiL—\K wodurch in der mit dem komplexen Widerstand 9i 1 abgeschlossenen Spule Lx ein Strom entsteht:

ÜjT

3 « = ««/(/«»¿i + 3tj) = 3l2 • jwMKjcoL,

+ 9^).

(10.6)

Dieser Strom induziert nun umgekehrt in L2 wieder die Spannung U i 2 = jioM • die die Rückwirkung der Vorgänge im angekoppelten 9^-Kreis auf den Widerstand der von £5h2 durchflossenen Spule L2 darstellt. An der Spule L2 liegen daher zwei gegenläufige Spannungsteile, der Spannungsabfall jcoL2 • $L2 des am Blindwiderstand des L2 und obige Zusatzspannung UL2. Die Spannung U2 an den Klemmen von L2 lautet insgesamt U2 = $L2-

ja>L2 — SL1- jcoM.

(10.7)

zu3L2 un(i

Setzt man hier nach (10.6) ein, so ist 112 proportional der Proportionalitätsfaktor ist nach (2.14) der komplexe Widerstand 9?2 der Spule L2 mit dem angekoppelten Kreis des 5t 2 = 112/S2 = jo>L 2 + (coM)2/(/coL, + 9 ^ ) = ,o>L2 - f

.

(10.8)

Er setzt sich zusammen aus dem Blind widerstand ja>L2 der Spule und einem Zusatzwiderstand 9f ü , der von LX und 9i 1 abhängt. Hier sollen Näherungsformeln für einige besonders wichtige Fälle berechnet werden. Das M ist nach § 4 für Hochfrequenzspulen immer recht klein und daher das Zusatzglied klein gegen jü)L2. Es werden nur solche Fälle betrachtet, wo ja>Ll - j - 9ix = ein reiner Wirkwiderstand ist. Dann ist der Zusatzwiderstand 9}Ä ein kleiner Wirkwiderstand Rü in Serie zu L 2 und es tritt der Fall der Abb. 46a ein. Wie dort schaltet man eine Kapazität C2 parallel zu L2, deren Blindwiderstand entgegengesetzt gleich dem Blindwiderstand des L2 ist (Resonanz) und verwendet (10.2). Statt des R1 in (10.2) setzt man hier Rü = (o>M)2/R1 und statt X das OJL2 ein. Dann wird R2 = R1{L2/M)*. (10.9) Die Voraussetzung, daß (ja)Ll -{"^i) i n (10.8) ein reiner Wirkwiderstand R1 ist, ist in folgenden Fällen erfüllt: 1. Man mache Lx so ldein wie möglich und wähle ein rein reelles 9tx = Rv das wesentlich größer als u)L1 ist, so daß man mLi neben R1 vernachlässigen kann. Hier tritt die Aufgabe auf, ein bestimmtes M mit einem möglichst kleinen LX zu erreichen, also mit einer möglichst kleinen Koppelspule unter Fortlassung aller Windungen, die nicht wesentlich zum M beitragen. Wenn

Resonanztransformationen

57

m a n so zu gegebenem Rx das Lx sehr einschränken m u ß , wird m a n unter Ums t ä n d e n kein hinreichend großes M m e h r erreichen, u m nach (10.9) das gewünschte Übersetzungsverhältnis zu erhalten. D a n n hilft eine entsprechende Verkleinerung des L2 in (10.9), wobei m a n in L2 diejenigen Windungen fortfallen l ä ß t , die n u r wenig zum M beitragen. 2. W e n n Ly bei gegebenem R1 nicht klein genug wird, m u ß m a n dem Wirkwiderstand R1 eine Serienkapazität C1 geben, deren Blindwiderstand e n t gegengesetzt gleich d e m Blindwiderstand des L 1 ist (Resonanz). Man ersetzt also nach Abb. 4 9 b das SRj in (10.8) d u r c h R1 u n d den Blindwiderstand jXcl des C1 in Serie. 3. Eine solche Schaltung ist auch anzuwenden, wenn der gegebene Widers t a n d Sfi1 k o m p l e x ist, also eine größere Blindkomponente jX1 h a t , die m a n einschließlich des ja>L1 d a n n durch Serienschaltung eines zusätzlichen, entgegengesetzt gleichen Blindwiderstandes a u f h e b e n m u ß . I m m e r k o m m t es darauf an, alles zu beseitigen, was die E n t w i c k l u n g großer Ströme im J t j - R r e i s nach (10.6) erschwert, weil m a n n u r so m i t den kleinen M - W e r t e n größere Leistungen übertragen k a n n . D a m a n in der P r a x i s stets m i t einstellbaren Transformationsschaltungen arbeiten wird, m u ß m a n im Fall 2 u n d 3 n i c h t n u r das M veränderlich machen, sondern auch den zusätzlichen Serienblindwiderstand im 9^-Kreis. Dies erschwert n a t ü r l i c h die Bedienung der Schaltung, so d a ß m a n nach Möglichkeit immer den Fall 1 anstreben wird. 4. W e n n R^ schon relativ groß ist, so d a ß das Ubersetzungsverhältnis Rz/R1 nach (10.9) klein wird, k a n n m a n kein hinreichend großes M m e h r schaffen. D a n n schaltet m a n n a c h Abb. 49c die K a p a z i t ä t C\ p a r a l l e l zu R v W e n n der Blindwiderstand jX1 des C1 wesentlich kleiner als dieses Rt ist, k a n n m a n die Parallelschaltung nach (9.5) in eine Serienschaltung umrechnen. I n Serie zum C1 erscheint d a n n der kleine W i d e r s t a n d Rx' = Xl2/Rv der die Stelle des R1 in (10.9) einnimmt, wenn der Blindwiderstand jX1 des C1 entgegengesetzt gleich dem Blindwiderstand des L 1 wie im Fall 2 i s t : | | = v)Lv Setzt m a n dies in (10.9) ein, so erhält m a n Rt =

ft/fla/M)2

= (wL^/M)2/^,

(10.10)

woraus u n t e r E i n f ü h r u n g des K n a c h (4.4) ü = R2/R1

= [wL^/iMRJ]2

= [toM / (KZRj)]2

(10.10a)

wild u n d eine T r a n s f o r m a t i o n f ü r größere R1 bereits m i t sehr kleinen MW e r t e n möglich ist. Solange m a n alle beteiligten Blindwiderstände als verlustfrei b e t r a c h t e t , ist es leicht, die reellen Amplituden der Spannungen u n d Ströme in der Transformationsschaltung zu berechnen. I n diesem Fall verwendet m a n m i t Erfolg das P r i n z i p d e r d u r c h g e h e n d e n W i r k l e i s t u n g . W e n n in den E i n g a n g der Schaltung, wo der W i d e r s t a n d R2 besteht, eine Wirkleistung N e i n s t r ö m t , b e t r ä g t die reelle A m p l i t u d e des Eingangsstroms J2 wegen N = 12 J ' ^ 2 y2=]/27V//?2 (10.11)

58

Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten

und die reelle Amplitude der Eingangsspannung U2 wegen TV •= x / 2 U22/ R2 U,=

]i2N

(10.12)

Wegen der Verlustfreiheit wandert diese Leistung N voll in den Widerstand R X, so daß auch für R1 entsprechende Gleichungen gelten. Ist nach Abb. 46 bis 49 J1 die reelle Amplitude des Stromes im Verbraucher R1 und UX die Spannung an dem reellen RV so wird J1=]/2N;R1;

UX = l / 2 A W i r

(10.13)

Daraus folgen die allgemeinen Beziehungen • h / h = YKJKi, UjU^fR.jR,. (10.14) Die grundsätzliche Aufgabe der betrachteten Schaltungen besteht also darin, aus einem sehr kleinen Eingangsstrom J2 mit Hilfe von Resonanzen nach (9.33) große Verbraucherströme J1 zu erzeugen, damit in RX eine entsprechende Wirkleistung N entsteht. Bei induktiver Kopplung nach Abb. 49 dienen die großen Ströme dazu, trotz kleiner M-Werte nennenswerte Spannungen im Sekundärkreis zu erzeugen. Wenn man die LeistungsVerluste in den beteiligten Blindwiderständen berücksichtigen will, muß man entsprechende Verlustwiderstände einfügen. Sämtliche Schaltungen der Abb. 46 bis 48 enthalten einen Parallelresonanzkreis, dessen Verluste man nach (9.32) durch einen Widerstand R K beschreibt, der parallel zu i? 2 liegt. Die ankommende Leistung N verteilt sich dann auf /? 2 und RK. i? 2 erhält die Leistung 7V2 und RK die Leistung NK, die dann recht groß ist, wenn R2 groß ist: N2 = N/( 1 +

R2/RK);

NK

= N/(L +

RKIR2).

(10.15)

Als Wirkungsgrad der Transformatiönseinrichtung bezeichnet man N

= N2/N

= 1/(1 +

R2/RK).

(10.16)

J e größer R2 ist, je größer also in Abb. 46 und 47 das ü = R2/RV desto kleiner wird der Wirkungsgrad, weil die Ströme JX bei gleichem XR nach (9.33) dann immer größer werden. Bei der induktiven Kopplung nach Abb. 49 kommen außerdem noch die Verluste in den Blindwiderständen des angekoppelten Kreises hinzu. Besonders ungünstig ist die Schaltung der Abb. 49c, wo auch im Sekundärkreis noch ein Resonanzkreis mit Verlustwiderstand parallel zu R ± liegt. Man ersetzt daher die letztere Schaltung meist durch die wesentlich einfachere der Abb. 47 und 48. § 11. Breitbandschaltungen aus Resonanzkreisen

Der komplexe Widerstand eines Resonanzkreises ist nach Abb. 45 stark frequenzabhängig, d.h. er ändert sich bei kleinsten Frequenzänderungen ganz erheblich. I m Resonanzpunkt ist er ein reiner Wirkwiderstand, nur in einer kleinen Umgebung der Resonanz noch einigermaßen konstant und arm an Blindkomponenten. Als Bandbreite eines Resonanzkreises bezeichnet man den Frequenzabstand ^ Af nach (9.13), wo | = 1 ist, wo also nach

Breitbandschaltungen aus Resonanzkreisen

59

Abb. 45 die Resonanzkurve / x ( l ) auf den 0,7-fachen Resonanzwert u n d die W i r k k o m p o n e n t e / 2 ( | ) auf den 0,5-fachen Resonanzwert gefallen ist, w ä h r e n d die Blindkomponente / 3 (£) dem Betrage nach gleich der W i r k k o m p o n e n t e u n d die P h a s e des Widerstandes also nach (2.13) oder (2.19) gleich ist. I n n e r h a l b der B a n d b r e i t e k a n n m a n den Resonanzkreis in den meisten Fällen m i t befriedigender Genauigkeit als Wirkwiderstand R K benutzen. Die B a n d breite wird d a m i t ein K r i t e r i u m f ü r die B r a u c h b a r k e i t der Schaltung. Z u r Definition des f vgl. (9.16), (9.21), (9.27) u n d (9.29a). F ü r den einfachen Serienresonanzkreis folgt wegen | = -J- 1 nach (9.27) u n d (9.28) als B a n d b r e i t e A f = ± ( ß A ) faß

= ± dK-fR!2.

(11.1)

F ü r den einfachen Parallelresonanzkreis folgt aus (9.29a) u n d (9.30) als Bandbreite Af = ±(GK/YR)fR/2

= ±dK-fR>2.

(11.2)

Dieses Af h a t also in beiden Fällen den gleichen Z u s a m m e n h a n g m i t d e m Verl u s t f a k t o r des Kreises. J e größer dK, desto größer der verwertbare Frequenzbereich. dK k a n n m a n beim Serienkreis vergrößern durch Vergrößerung der W i r k k o m p o n e n t e RK oder Verkleinerung der B l i n d k o m p o n e n t e XR. Beim Parallelkreis ergibt sich eine Vergrößerung des d K d u r c h Vergrößerung der W i r k k o m p o n e n t e GK oder d u r c h Verkleinerung der B l i n d k o m p o n e n t e YR des Leitwerts. Vergrößerung der W i r k k o m p o n e n t e n RK bzw. GK b e d e u t e t meist größeren Verbrauch a n Wirkleistung u n d die B l i n d k o m p o n e n t e n XR bzw. YR lassen sich n i c h t immer beliebig verkleinern. I n vielen Fällen ist m a n daher gezwungen, andere Resonanzkombinationen von Blindwiderständen zu suchen, die eine größere B a n d b r e i t e besitzen. Dazu benötigt m a n m e h r als zwei Blind widerstände, aber der erhöhte A u f w a n d u n d die schwierigere Einstellung der Resonanz ist bei m a n c h e n Aufgaben durchaus t r a g b a r . Solche Schaltungen n e n n t m a n d a n n Breitbandschaltungen. Die große Frequenzabhängigkeit eines einfachen Resonanzkreises aus L u n d C k o m m t daher, d a ß zwar im R e s o n a n z p u n k t beide Blindwiderstände entgegengesetzt gleich sind, d a ß aber ihre Absolutwerte sich in Abhängigkeit von der Frequenz d u r c h die F a k t o r e n w u n d l/«r gegenläufig verhalten (Abb.50). W e n n m a n eine Resonanz m i t größerer B a n d b r e i t e will, m ü ß t e m a n zwei Blindwiderstände kombinieren, deren Absolutwerte in der U m g e b u n g der Resonanzfrequenz g l e i c h e Frequenzabhängigkeit zeigen. Die folgenden E r ö r t e r u n g e n beziehen sich auf den wichtigen Parallelresonanzkreis, wo m a n m i t Leitwerten rechnet. F ü r den Serienresonanzkreis gelten analoge Formeln m i t W i d e r s t ä n d e n . Abb. 50 zeigt den Absolutwert 1 /(cvL) des Leitwerts einer Spule u n d den Leitwert (oC der parallelgeschalt e t e n K a p a z i t ä t . Man e r k e n n t die gegenläufige fR f—— Frequenzabhängigkeit. E s wurde bereits in § 6 der Abb. 50. BHndieitwerte

60

Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten

allgemeine Satz erwähnt und für die wichtigsten Fälle bewiesen, daß der Leitwert jY einer b e l i e b i g e n Kombination von Blindwiderständen mit wachsender Frequenz stets wächst, so daß auf diesem Wege kein Blindwiderstand geschaffen werden kann, der einen umgekehrten Frequenzgang hat. Dagegen zeigt die Kurve / s (£) in Abb. 45, die z.B. nach (9.18) den Verlauf des Blindleitwerts jY in der Umgebung einer Resonanzstelle X = 0 beschreibt, daß eine Kombination v e r l u s t b e h a f t e t e r Blindwiderstände in der Umgebung der Resonanz ihren Frequenzgang umkehrt. Nur durch Kombination von Blindwiderständen mit Wirkwiderständen läßt sich also ein Blindwiderstand schaffen, der die für die Verbreiterung einer Resonanzkurve geeigneten Eigenschaften hat. In jedem Fall muß man dafür also wieder Wirkleistung opfern. Der abfallende Kurventeil des / 3 ( i ) in Abb. 45 liegt zwischen den Grenzen f = ± 1. Nach (11.1) und (11.2) ist das zu £ = ^ 1 gehörende Af proportional zum Verlustfaktor des Kreises. Je größer der Verlustfaktor, desto breiter wird allgemein der Frequenzbereich, in dem die Umkehr des Frequenzganges einer Blindkomponente stattfindet. Abb. 50 zeigt die zu erzielende Kompensation, wobei zu beachten ist, daß jeweils nur die Absolutwerte der Blindleitwerte eingetragen sind. Parallel zur Spule (Abb. 51) schaltet man einen komplexen Leitwert = G' -\-jY' nach (9.18), der in der Umgebung von jR die gewünschte Umkehr des Frequenzgangs des Y' zeigt. Man benötigt dazu also stets ein (sy, das zu einer Resonanz vom Typ X ~ 0 (Serienresonanz) gehört, während die Ausgangsschaltung (L und C) bei gleichem fR eine Resonanz vom Typ Y — 0 (Parallelresonanz) besitzt. Jede Resonanz muß man also mit einer Resonanzschaltung entgegengesetzten Typs kombinieren, wenn man Breitbandwirkung erreichen will. Das zusätzliche Y' (proportional / 3 (£) nach Abb. 45) ist der schraffierte Bereich der Abb. 50, dessen Frequenzgang so gewählt werden muß, daß Spule und Zusatzleitwert jY' zusammen in der Nähe von f R einen

'CHE} wC G v -•'¿TZ; V J' ' x f

Abb. 51. Breitbandresonanzsclialtung

Abb. 52. Kompensierter Resonanzpunkt

Absolutwert des Blindleitwerts geben, der die coC-Kurve berührt. Dann wird der gesamte Blindleitwert j [LOC — 1/(«L) + F'j = / Y"

(11.3)

den in Abb. 52 dargestellten Verlauf besitzen, wobei Y' aus (9.18) und Abb. 45 entnommen ist. Y" ist die Differenz zwischen der Kurve a>C und der Kurve | Y' — 1 /( 1,05. Ergänzendes Schrifttum: [12, 18, 19]. § 13. Technische

Biindwiderstände

In § 7 wurde bereits gezeigt, daß die Herstellung einer idealen Induktivität mit dem komplexen Widerstand (3.1) wegen der unvermeidlichen Verluste nicht gelingt. Dies muß hier noch bezüglich kapazitiver Nebeneffekte ergänzt

Technische Blindwiderstände

71

werden. Der Blind widerstand der Spule läßt Spannungen an der Spule entstehen, die ein elektrisches Feld zur Folge haben. Dieses Feld besitzt nach (1.4) elektrische Feldenergie, die nach (1.6) eine wirksame Kapazität ergibt. Im Prinzip besteht zwischen jedem Drahtstück und jedem anderen Drahtstück der Spule eine Kapazität, deren Feldenergie nach (1.6) von der Spannung zwischen den betreffenden Drahtstücken abhängt, die also um so wirksamer ist, je größer diese Spannung ist. Das genaue schaltungsmäßige Verhalten einer Spule ist also sehr kompliziert. Abb. 60 zeigt den Vergleich zwischen dem idealen Verlauf des | 9tJ = ft)L nach (3.1) A b b . 60. Spule mit Eigenkapazität und dem wirklichen Verlauf unter der Wirkung der Eigenkapazitäten. Für hinreichend niedrige Frequenzen bleibt der Verlauf coL. Mit wachsender Frequenz wirken die Kapazitäten zunächst so, als ob nur eine einzige Kapazität parallel zur Spule liegt wie in Abb. 27. Die gesamte elektrische Feldenergie W e aller Nebenkapazitäten zusammen ergibt bei der zwischen den Spulenenden liegenden Gesamtspannung U nach (1.6) eine wirksame Kapazität C, die man als die Eigenkapazität der Spule bezeichnet. Dies ist also keine wirkliche Kapazität, sondern nur eine gedachte Größe, die aber das Ansteigen des | 9tL | gegenüber dem OJL in Abb. 60 quantitativ gut beschreibt, solange 1 > ist, wobei XR die sogenannte Eigenwelle der Spule ist. Bei X — XR ergibt die Spule eine Parallelresonanz, deren reeller Resonanzwert Rmax wie in (9.32) von den Verlusten der Spule abhängt. Aus L und XR findet man die wirksame Eigenkapazität nach (6.22). Die wirksame Induktivität L' ist für X > XR größer als das gegebene Lund nach (6.18) zu berechnen. Der Blindwiderstand verläuft für X > XR nach (6.17) und in der Nähe der Resonanz nach (9.23a). Aus dem Resonanzwert ü m a x und dem Resonanzblindwiderstand XR = coRL (Abb. 60) findet man den Verlustfaktor dieser Eigenresonanz nach (9.30). Für X < XR wird dann der Verlauf des | 91J so'kompliziert, daß man die Abweichung nicht mehr durch eine einzelne Kapazität beschreiben und kaum noch quantitative Angaben machen kann. Für eine einlagige Zylinderspule im freien Raum sind Regeln über ihre Eigen welle aufgestellt worden, die zum mindesten Anhaltspunkte ergeben. In Abb. 61 ist XR als Funktion der Drahtlänge lD und der Spulenform dargestellt. XR ist dort jeweils ein Vielfaches der Drahtlänge lD. In Wirklichkeit wird die Eigenwelle noch größer sein, weil die Spule einen Wickelkörper oder eine Halterung besitzt, deren Dielektrizitätskonstante größer als 1 ist. Auch ein Kern aus Hochfrequenzeisen erhöht die Eigenkapazität merklich, weil Hochfrequenz-

Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten eisen eine Dielektrizitätskonstante von 20 bis 30 besitzt. F a s t immer m u ß m a n sich daher bemühen, der Spule eine möglichst k a p a z i t ä t s a r m e H a l t e r u n g zu geben, also 1 R klein gegen die Betriebswellenlänge zu machen, u m d a d u r c h ein rein induktives Verhalten zu erreichen. Nach (8.7) u n d (8.9) b e n ü t z t m a n möglichst wenig Dielektrikum u n d legt dieses an Stellen kleiner Feldstärke, also nach Möglichkeit n i c h t in die N ä h e der D r ä h t e . Bei mehrlagigen Spulen ist die E i g e n k a p a z i t ä t n u r d a d u r c h klein zu halten, d a ß die D r ä h t e m i t möglichst viel L u f t a b s t a n d gewickelt werden u n d die ersten u n d die letzten Lagen der Spule weit voneinander e n t f e r n t sind. Dies erreicht m a n a m besten durch Wicklung Spulenkörper

3 '0

2 Iß

-Drahtlänge

ohAbb. 61. Eigenwelle einer Spule

I

UI

ü M

Abb. 62. Scheibenwicklung

die sogenannte Scheibenwicklung, wo die Wicklung n a c h Abb. 62 in drei Teile geteilt ist, die nacheinander vollgewickelt werden, wo also der A n f a n g in I u n d das E n d e in I I I liegt. Zu diesen E i g e n k a p a z i t ä t e n ist auch die K a p a z i t ä t der Spule gegen ihre U m g e b u n g zu zählen. Man entferne daher alle anderen Gegenstände aus der N ä h e der Spule, insbesondere von den Bezirken der Spule, die eine hohe Wechselspannung gegen ihre U m g e b u n g besitzen, wo also die S t r e u k a p a z i t ä t e n besonders wirksam sind. Bei hochwertigen Spulen (großes Qj) wird m a n Wickelkörper aus K e r a m i k oder Kunststoff m i t kleinem Verlustfaktor benutzen, weil Verluste im D i e l e k t r i k u m als E r h ö h u n g der Spulenverluste b e m e r k b a r werden. E s t r i t t hier der Fall ein, der in (9.12a) beschrieben wurde, nämlich eine wesentliche E r h ö h u n g des Verlustfaktors durch die Anwesenheit einer Parallelkapazität (das a>C im Nenner) u n d zusätzlich durch deren Verluste (das dc • (ßC im Zähler). Dies e r k e n n t m a n auch m i t Hilfe von Abb. 45. / 2 (£) gibt den Wirkwiderstand, f 3 ( i ) den Blindwiderstand der Parallelschaltung. Der Verlustfaktor, also der Quotient / 2 // 3 , steigt bei A n n ä h e r u n g an die Resonanz außerordentlich' an. Zu beachten ist, d a ß sich auch das Verhalten der idealen Gegeninduktivität nach (4.1) nicht e x a k t verwirklichen läßt. E s bestehen K a p a z i t ä t e n zwischen jedem D r a h t s t ü c k der einen Spule u n d jedem D r a h t s t ü c k der anderen Spule. D a es meist unvermeidlich ist, d a ß nennenswerte Spannungen zwischen den beiden Spulen bestehen, werden alle diese N e b e n k a p a z i t ä t e n der jeweiligen Spannungsdifferenz entsprechend wirksam u n d ergeben eine zusätzliche K o p p l u n g , die die K o p p l u n g n a c h (4.1) u n t e r s t ü t z e n , aber auch abschwächen k a n n . Man verringert diese K o p p l u n g d a d u r c h , d a ß m a n die Spulen so legt, d a ß zwischen ihnen eine möglichst kleine S p a n n u n g besteht, gelegentlich

Technische Blindwiderstände

73

auch d u r c h B e n ü t z u n g von Doppelspulen, in denen die kapazitive Nebenkopplung entgegengesetzt gleiche Wirkungen gibt, die sich d a n n f ü r die gesamte Doppelspule gegenseitig a u f h e b e n . Das wirkliche Verhalten einer Spule in einer Schaltung wird auch d a d u r c h beeinflußt, d a ß im P r i n z i p zwischen der Spule u n d jeder anderen Leitung der Schaltung eine Gegeni n d u k t i v i t ä t besteht, die m a n n u r durch geeignete A b s c h i r m m a ß n a h m e n verhindert. Man beachte jedoch dabei, d a ß sich in jeder Abschirmwand n a c h Abb. 38 neue Stromkreise entwickeln, die n u n ihrerseits wieder I n d u k t i o n s wirkungen ausüben. Grundsätzlich bestehen auch zwischen allen Leitern der Schaltung K a p a z i t ä t e n , die m a n durch A b s c h i r m m a ß n a h m e n verhindern m u ß , wenn sie stören. Auch d a n n e n t s t e h e n in den Abschirmwänden wieder Ströme, nämlich die Ladeströme der K a p a z i t ä t zwischen dem Leiter und der Abschirmwand. Alle diese Störerscheinungen nehmen m i t wachsender F r e q u e n z zu, weil das Induktionsgesetz (4.1) die F r e q u e n z als F a k t o r e n t h ä l t und weil der Leitwert der S t ö r k a p a z i t ä t e n n a c h (5.1a) ebenfalls proportional zur Frequenz wächst. Die e x a k t e technische Darstellung einer Schaltung bei höheren Frequenzen h ä n g t daher ganz wesentlich von der B e a c h t u n g der Nebenwirkungen ab, die das wirkliche Verhalten eines größeren Schaltungsgebildes außerodentlich kompliziert machen können. Man wird sich daher m i t wachsender F r e q u e n z immer m e h r möglichst einfachen u n d übersichtlichen Schaltelementen m i t einwandfreier Abschirmung zuwenden (vgl. §21). Auch die Herstellung einer idealen K a p a z i t ä t nach (5.1) scheitert a n der T a t sache, d a ß die L a d e s t r ö m e des K o n d e n s a t o r s ein magnetisches Feld besitzen. An jeder s t r o m f ü h r e n d e n Oberfläche entstehen magnetische Felder nach (7.6), also auch magnetische Feldenergie nach (1.1), die eine i n d u k t i v e Nebenwirkung ergeben. Die induktiven Beiträge der einzelnen Leiterstücke richten sich n a c h der S t ä r k e des Stromes, den sie f ü h r e n . Der wirkliche Leitwert | © c | eines technischen K o n d e n s a t o r s h a t den gleichen Verlauf wie der W i d e r s t a n d I 9 J J einer Spule n a c h Abb. 60. F ü r niedrige Frequenzen ist | @ c | — ).R k a n n m a n den Leitwert sehr g u t durch die Serienschaltung der gegebenen K a p a z i t ä t m i t einer einzigen I n d u k t i v i t ä t beschreiben. Diese „ E i g e n i n d u k t i v i t ä t " L des K o n d e n s a t o r s b e s t i m m t m a n aus dem gegebenen C u n d XR nach (6.23). Die wirksame K a p a z i t ä t C' ist f ü r / > KR größer als C, frequenzabhängig u n d n a c h (6.13) zu berechnen. Der Blindleitwert berechnet sich dort nach (6.11) u n d in der Umgebung der Resonanz n a c h (9.19) u n d (9.27). Bei A n n ä h e r u n g an die Eigenresonanz steigt der Verlustfaktor n a c h (9.11a) merklich an, so d a ß m a n d o r t durch Versilbern der Leiteroberflächen (kleineres d L ) den Anteil DL • ML wesentlich verkleinern k a n n . Mit XR = 1 /(OJRC) u n d d e m Resonanz widerstand RK = 1 / G m a x ergibt sich der Verlustfaktor der Eigenresonanz n a c h (9.28). F ü r X < XR wird der K o n d e n s a t o r ein i n d u k t i v e r W i d e r s t a n d m i t kompliziertem, im allgemeinen n i c h t berechenbarem Verlauf, wo seine E i g e n i n d u k t i v i t ä t n i c h t mehr als zusammenhängendes Ganzes wirkt, sondern

74

Konzentrierte Blindwiderstände mit kleinen Verlusten

als verteilter Widerstand nach Abb. 133. Als Regel für XR kann gelten, daß ).R bei Luftkondensatoren etwa gleich der vierfachen Länge des Stromweges von einem Anschlußpunkt bis zum äußersten Ende der betreffenden Kondensatorplatte ist, bei dielektrischen Kondensatoren ist ).R etwa um den Faktor "j/e größer (am Ende offene Leitung nach § 23). Man sorge also für möglichst kurze Stromwege auf den Kondensatorflächen. Von besonderer Bedeutung sind diese Nebenerscheinungen, wenn man sehr große Blindwiderstände u>L oder sehr große Blindleitwerte ojC erzeugen will, da dann die nach (3.1) oder (5.1a) berechneten Blindwerte nach Abb. 60 oft hinter der Eigenresonanz liegen werden, also in Wirklichkeit nicht mehr auftreten. Dieser Fall tritt z . B . ein bei den verdrosselten Gleichstromzuführungen einer Schaltung. Bei Verwendung von Elektronenröhren führen in die hochfrequente Schaltung auch die an sich völlig schaltungsfremden, Gleichstrom oder niederfrequenten Wechselstrom führenden Speiseleitungen der Röhre (Kathodenheizung, Anodenspannung usw.). Man muß dann sehr darauf achten, daß diese Leitungen frei von hochfrequenten Wechselströmen bleiben und nicht als Undefinierte Schaltelemente wirksam werden, daß andererseits aber auch diese Spannungsquellen nicht durch hochfrequente Schaltelemente kurzgeschlossen werden. Jede solche Speiseleitung wird daher über eine sogenannte Drossel, eine Spule mit möglichst großem Blindwiderstand, an die hochfrequente Schaltung' herangeführt. U m einen möglichst großen Blindwiderstand zu erhalten, wird man die Eigenresonanz der Abb. 60 ausnutzen. Insgesamt muß man dann versuchen, das XR groß zu halten, also nach (6.21) möglichst viel L mit möglichst wenig C zu erreichen suchen, und außerdem kleine Verluste anstreben. Die Eigenresonanz hängt in gewissem Umfang von den Streukapäzitäten der Umgebung ab, die man meist nicht genau kennt. Man bleibt daher in der Praxis stets im Bereich X > AR, um mit Sicherheit den Bereich ). < ).R zu vermeiden. Abb. 63 zeigt als Beispiel b) Cü2J_

+

Abb. 63. Zuleitungen einer Elektronenröhre

die Verwendung einer Drossel LD in der Zuleitung der Anodenspannung f/« 0 einer Elektronenröhre. Als Anschlußpunkt am Anodenresonanzkreis wählt man einen Punkt kleinster Wechselspannung, wobei man den Gleichstromkurzschluß durch einen sehr großen Kurzschlußkondensator CÜ1 mit sehr kleinem Blindwiderstand jXx verhindert. CÜ1 stört den Hochfrequenzvorgang dann nicht. An CÜ1 entsteht eine sehr kleine Wechselspannung = ' jXl durch den Strom des Resonanzkreises, der wegen des sehr kleinen

Technische Blindwiderstände

75

praktisch vollständig über Cül fließt. Dieses U j b e s t i m m t den Wechselstrom der über die Drossel in die Speiseleitung s t r ö m t . Sehr wichtig ist, d a ß eine solche Drossel so gelegt wird, d a ß sie keine nennenswerte Gegeninduktivität mit irgendwelchen Hochfrequenzkreisen besitzt, d a die d u r c h diese Gegeni n d u k t i v i t ä t in der Drossel n a c h (4.1) induzierten Spannungen die Sperrwirkung der Drossel wieder aufAbschirmwand heben würden. Notwendig ist es daher, die Drossel hinter eine Abschirmwand zu legen, in der Flansch Schaltung n a c h Abb. 63 z. B. am -äußerer] •Siiberbelag besten d a d u r c h , d a ß m a n CÜ1 als innerer J einen durch diese Abschirmwand Stromanschluß Stromanschluß Keramik führenden Kondensator nach Abb. 64 b a u t . I n vielen Fällen m u ß m a n erreichen, d a ß die Hochfrequenz s t r ö m e auf den GleichstromAbb. 64. Flanschkondensator leitungen e x t r e m klein sind. D a n n ergänzt m a n die Drossel nach Abb. 63 durch einen zweiten K u r z schlußkondensator Cü2 zu einem Siebglied. D a der W i d e r s t a n d der Drossel groß gegen den W i d e r s t a n d des Cü2 ist, wird der S t r o m JD durch die Drossel f a s t nur von ISlßl b e s t i m m t . Liegt a n Cüt die bereits berechnete Spannung U 1; so fließt durch die Drossel ein S t r o m m i t der reellen Amplitude JD = U1/\ Stp], der p r a k t i s c h u n a b h ä n g i g von Cü2 u n d d e m W i d e r s t a n d der Speiseleitung ist. Dieser S t r o m verteilt sich d a n n wie in A b b . 5 7 b auf den Leitwert @ 2 des Cü2 u n d den Leitwert der Speiseleitung. R e c h n e t m a n dies formal auf ein Spannungsquellenersatzbild n a c h Abb. 57 a u m , so e r h ä l t m a n aus (12.2) nach Abb. 63b eine neue Spannungsquelle m i t •der Leerlaufspannung

u

*

=

r ^ r

= ( 1 3

'

1 )

in Serie zu Cü2, die n u n die hochfrequenten Ströme auf der anschließenden Speiseleitung bestimmt. Die Siebwirkung dieser (LC)-Kombination gibt m a n üblicherweise d u r c h die Größe A = In ( ¿ 7 ^ ) = In ( 1 ^ 1 - 1 0 8 1) (13.2) a n . b ist an sich eine dimensionslose Zahl. U m jedoch zu kennzeichnen, d a ß sie aus einem natürlichen Logarithmus definiert wurde, setzt m a n stets h i n t e r diese Zahl das K e n n w o r t „ N e p e r " . I m anglo-amerikanischen Sprachg e b r a u c h ist es üblich, solche Quotienten m i t Hilfe von Logarithmen der Basis 10 umzurechnen u n d b e n u t z t die Definitionsgleichung ¿ = 20-]g10(Cytfa)

(13.2a)

u n d kennzeichnet dieses b d a n n durch den Zusatz „Dezibel". E s ist 1 Neper == 8,1 Dezibel. Wesentlich ist also der Quotient | 9 t f l | - | © 2 l > der möglichst

76

Konzentrierte Blindwiderstände m i t kleinen Verlusten

groß sein soll. Dies bedeutet großes 3lD und © 2 , wobei man stets in die Bereiche hineinkommt, wo die Eigenkapazität der Drossel und die Eigeninduktivität des Kondensators von entscheidender Bedeutung wird. Großes & 2 bedeutet möglichst großes Cü2 mit möglichst kleiner Eigeninduktivität. In neuerer Zeit verwendet m a n hier Flanschkondensatoren nach Abb. 64. Dies sind keramische Zylinderkondensatoren mit kleiner Wandstärke und hoher Dielektrizitätskonstante, die also auf kleinem R a u m eine große K a p a z i t ä t ergeben. Der äußere Silberbelag ist über einen aufgelöteten Flansch direkt mit der Abschirmwand, durch die die Gleichstromleitung hindurchgeführt werden muß, verbunden. Der innere Silberbelag ist der Weg des Gleichstroms. Die wirksame I n d u k t i v i t ä t des Weges des Hochfrequenzstroms vom Anschlußpunkt der Schaltung bis zur Abschirmwand ist extrem klein. Es gelingt auf diese Weise die Herstellung von rein kapazitiven Blindwiderständen in der Größe von 2 ü , die weit oberhalb ihrer Grenzwelle liegen, wo also der Blindwiderstand der inneren I n d u k t i v i t ä t trotz der großen Kapazität noch kleiner als 1 Q ist. Bei 1 = I m m ü ß t e dann f ü r 2 Q, nach (5.2) eine K a p a z i t ä t von 265 p F erzeugt werden, deren Eigeninduktivität nach (3.2) kleiner als 0,5 n H sein muß. Solange die Eigenkapazität der Drossel und die Eigeninduktivität des Kondensators vernachlässigt werden, wird aus (13.2) nach (3.1) und (5.1a) b = \v(U1/Ui) = ln(aj2LDCü2).

(13.3)

Bei Annäherung an die Eigenresonanz werden XD und Y2 Kurven wie in Abb. 60 durchlaufen und entsprechend der Überhöhung dieser Werte gegenüber der gestrichelten Kurve in einem kleinen Frequenzbereich wesentlich größere Werte als nach (13.3) annehmen. Bei günstigem, durch exakte Messungen kontrolliertem Aufbau, kann man mit 6-Worten rechnen, wie sie in Abb. 65 dargestellt sind. ist die Eigenwelle der Drossel, und die Eigenwelle des

Kondensators soll wesentlich kleiner als sein. Man erreicht im Resonanzp u n k t der Drossel sehr hohe Werte, aber nur in einem kleinen Frequenzbereich. Wenn m a n größere Dämpfung erreichen und größere Frequenzbereiche überstreichen will, schaltet man zwei Siebglieder nach Abb. 66 hintereinander, wobei man zur Erzielung einer gleichmäßigeren Dämpfung den

Technische Blindwiderstände beiden Drosseln etwa u m 30% verschiedene Eigen wellen Siebwirkung b e t r ä g t d a n n in Erweiterung von (13.2)

77 u n d /. R2 gibt. Die

b = In (£V£/ S ) = In (UJU^) + ln(f/ 2 /C/ 3 ) = ^ + (>2,

(13.4)

ist also die S u m m e der Siebwirkungen der beiden Glieder, weil die Leerlaufs p a n n u n g U2 des ersten Siebes n a c h (13.1) u n d Abb. 6 3 b wegen des h o h e n Drosselwiderstandes 9i D 2 die Eingangsspannung des zweiten Siebes ist. Diese W e r t e der Abb. 66 erreicht m a n allerdings nur, wenn alle Bestandteile eine definierte U m g e b u n g haben, ihr Blindwiderstand in dieser U m g e b u n g genau gemessen wird u n d das gesamte Gebilde eine völlig dichte Abschirmung besitzt. Man bevorzugt dazu o f t einen A u f b a u in einem R o h r m i t vollständig geschlossener A u ß e n w a n d nach Abb. 67. Solche e x t r e m e n Siebwirkungen, die o f t verwendet werden, sind n u r d a n n sinnvoll, wenn das hochfrequente Gerät m i t einer absolut dichten Hülle umgeben ist, d a m i t n i c h t auf a n d e r e n Wegen wesentliche Felder austreten können. Dabei müssen bei der hochfreq u e n t e n Abschirmung andere Gesichtspunkte als bei Niederfrequenz angew a n d t werden, insbesondere müssen diese Gehäuse fugenlos sein, weil auf den Abschirmwänden sehr große Ströme fließen können u n d d a n n auch d u r c h die kleinste Fuge meßbare Felder austreten. Eine zusammenhängende metallische W a n d ist eine absolute Abschirmung, weil wegen des Skineffekts nach Raum

Abb. G7. Siebgüeder im Rolir

Abb. 68. Abschirmwantl

Abb. 32 das I n n e r e eines Leiters eine feldabstoßende Substanz ist. N a c h Abb. 68a sind die beiden Seiten einer Abschirmwand unabhängige Leitschichten ohne Z u s a m m e n h a n g . J e d e Fuge in der W a n d n a c h Abb. 68b, selbst wenn sie noch so d i c h t zu sein scheint, durchbricht das Abschirmprinzip, weil d o r t stets die Leitschichten beider Wandseiten zusammenstoßen, solange die Fuge nicht d u r c h Verlöten in einen e x a k t e n metallischen Z u s a m m e n h a n g gebracht wird. Die stets n u r punktweise B e r ü h r u n g aufeinandergelegter Metallflächen stellt keine sichere Abschirmung dar. Zur E r g ä n z u n g ist zu erwähnen, d a ß m a n in Leitungen, die n u r kleine Ströme f ü h r e n , die Drossel o f t auch durch einen einfachen, aber möglichst großen W i d e r s t a n d R ersetzt. E i n Beispiel gibt die Zuleitung der Gitterspannung zur Elektronenröhre in Abb. 63a. Man ersetzt d a n n in (13.1) u n d (13.2) das 9i D d u r c h R u n d erhält nicht die e x t r e m e Frequenzabhängigkeit des b wie in Abb. 65, die durch das der Abb. 60 entsteht. Ergänzendes S c h r i f t t u m : [53],

78

Allgemeine komplexe Widerstände

IV. Allgemeine komplexe Widerstände § 14. Technische Wirkwiderstände

Von besonderer Bedeutung sind Wirkwiderstände, die auch bei hohen Frequenzen einen definierten und phasenreinen Wert R besitzen, der nach Möglichkeit in einem großen Frequenzbereich gleich groß bleibt. Man bemüht sich daher, Widerstände zu schaffen, die ihren Gleichstromwert bis zu möglichst hohen Frequenzen behalten. In diesem Fall muß zunächst der Skineffekt hinreichend klein bleiben. Bei einem Widerstand aus massivem Draht mit Kreisquerschnitt ist (7.11) anzuwenden. Wenn hier also die Forderung der Frequenzunabhängigkeit erfüllt sein soll, ist zu verlangen, daß der Drahtdurchmesser d kleiner als die 1,7-fache Leitschichtdicke s nach (7.2) ist, also d < 6 • 1 0 - 4 Kx ]/X cm ist. Hier ist X in m einzusetzen und Kl aus der Tabelle auf S. 37 zu entnehmen. Da .man im allgemeinen Manganin oder das fast gleichwertige Konstantan benutzen wird (K1 = 5,2), muß dann d < 0,03 j/Ä mm bleiben. Manganindrähte sind also bei längeren Wellen durchaus verwendbar, ein Draht mit d = 0,1 mm noch frequenzunabhängig bis etwa X = 10 m. Da man in vielen Fällen auf extreme Frequenzunabhängigkeit keinen Wert legt, wird man dann auch noch dickere Drähte im Bereich der Kurzwellen verwenden. Extrem dünne Wolframdrähte {Kx ~ 2 bis 4 je nach der Temperatur) sind noch bei Dezimeterwellen im Bolometer anwendbar (siehe S. 81). Mit d = 0,01 mm ist der Widerstand eines Wolframdrahtes noch frequenzunabhängig bei X = 30 cm. Sehr störend ist aber die Tatsache, daß ein solcher Draht auch einen induktiven Blindwiderstand hat, weil die ihn durchfließenden Ströme ein magnetisches Feld aufbauen, insbesondere bei längeren Drähten, die man auf Wickelkörper in Form von Zylinderspulen aufwickelt. In diesem Fall muß man zu induktionsarmen Wicklungsarten übergehen, deren Prinzip Abb. 69 zeigt. Man führt die Drähte immer hin und her, legt sie dicht nebeneinander, so daß benachbarte Drähte stets vom Strom in e n t g e g e n g e s e t z t e r Richtung durchflössen werden. Dann erfüllen die magneStrom tischen Felder nur kleine Räume und die magnetische Feldenergie bleibt ebenfalls klein. Wichtig ist stets, daß man Abb. 69. Induktionsarme dann nicht durch zusätzliche Zuleitungsinduktivitäten neue Wicklung induktive Komponenten wieder hinzufügt. Bei höheren Frequenzen wird aber die Induktivität, insbesondere bei sehr dünnen Drähten so wirksam, daß man keine Drähte mehr verwenden wird. Für diesen Zweck sind die sogenannten Schichtwiderstände entwickelt worden. Sie bestehen aus einem keramischen Zylinder mit einer dünnen leitenden Schicht aus Platin oder Kohle. Solange die Schichtdicke des Leiters kleiner als die 0,7-fache Leitschichtdicke nach (7.2) ist, bleibt der Gleichstromwiderstand erhalten. Insbesondere Kohle mit K j ^ 50 gestattet noch bei Dezimeterwellen nennenswerte Schichtdicken. Schwierig ist dabei lediglich die Herstellung sehr hoher Widerstandswerte bei kleinen Zylinderlängen. Dann

Technische Wirkwiderstände

79

hilft man sich so, daß man Rillen in die Widerstandsschicht einschleift, derart, daß Stromwege wie in Abb. 69 entstehen, die also wesentlich länger als der Zylinder, aber trotzdem induktionsarm sind. Die Größe des Widerstandes richtet sich nach der aufzunehmenden Wirkleistung und den Abkühlungsverhältnissen. Ohne künstliche Kühlung rechnet man mit einer maximalen Belastung von etwa 0,3 Watt pro cm 2 der Zylinderoberfläche. Merkregel: Länge [cm] X Durchmesser [cm] gibt ungefähre Belastbarkeit [Watt], Künstliche Ventilation gestattet höhere Leistungen. Bei sehr großen Leistungen verwendet man einen keramischen Hohlzylinder als Träger, dessen Inneres man von Wasser durchströmen läßt. Die Induktivität solcher Schichtwiderstände ist sehr klein und nach (3.10) abzuschätzen. Wenn man die Induktivität weiter verkleinern will, baut man den Widerstand nach Abb. 7 in eine leitende zylindrische Außenhülle ein und erhält das L nach (3.12). Allgemein ist zu beachten, daß auch Kapazitäten zwischen allen Teilen der Schicht und gegen die Umgebung bestehen. Der Spannungsabfall am Widerstand ist meist groß und läßt durch diese Kapazitäten Blindströme fließen. Besonders groß sind diese Kapazitäten beim induktionsarmen Einbau nach Abb. 7. Insbesondere der keramische Träger (e = 6) und das eventuell durch ihn fließende Kühlwasser (e = 80) verstärken wegen ihrer hohen Dielektrizitätskonstanten diese kapazitiven Ströme. Solange die Länge des Widerstandes kleiner als A/10 ist, wirken alle diese Nebenkapazitäten so, als ob parallel zum Widerstand eine einzige, frequenzunabhängige Kapazität liegt. Ebenso wie in (9.3) bis (9.7) Näherungsformeln für den Fall angegeben wurden, daß eine dominierende Blindkomponente mit kleinen Wirkkomponenten kombiniert war, kann man hier analoge Formeln aufstellen, wenn eine dominierende Wirkkomponente mit einer kleinen Blindkomponente auftritt. Zunächst sei ein Wirkwiderstand R mit einem in Serie liegenden, wesentlich kleineren Blindwiderstand jX betrachtet: 9t = R jX; R > 10|X|. Als Phasenfaktor des Widerstandes R sei der Quotient kR = X/R

(14.1)

bezeichnet, der positiv oder negativ sein kann, und dessen Absolutwert kleiner als 0,1 ist. Der Leitwert des 9t ist dann exakt durch (2.17) gegeben. Unter der Voraussetzung \kR\ < 0,1 kann man im Nenner X2 neben R2 vernachlässigen und erhält als Näherung G = l/R;

y = — X/R2.

(14.2)

Aus der Serienschaltung wird also wie in Abb. 44 die gleichwertige Parallelschaltung eines Wirkleitwertes G und eines sehr kleinen Blindleitwertes j Y Bemerkenswert ist, daß £ die gleiche Größe hat wie wenn 9t ein phasenreiner Wirkwiderstand ist. Die Serienschaltung ist also auch identisch mit der Parallelschaltung des g l e i c h e n R und eines sehr großen Blind W i d e r s t a n d e s /Xp = — jl/Y = jRyx. (14.3) Vgl. Abb. 44. Wenn umgekehrt die Parallelschaltung eines Wirkwiderstandes R und eines sehr großen Blindwiderstandes jXP (| Xp \ > 10R) gegeben ist,

Allgemeine komplexe Widerstände

80

so ist sie gleichwertig der Serienschaltung des gleichen Wirkwiderstandes R und eines kleinen Blindwiderstandes jX = jR*/XP

= — jR2 • Y.

(14.4)

Der Phasenfaktor eines Leitwerts @ = ß - f jY mit \Y| < 0,1 G kG = Y/G = — X/R = —kR

(14.5)

ist gleich dem negativen Phasenfaktor des entsprechenden Widerstandes. Man beachte stets die Vorzeichenumkehr der Blindkomponente beim Übergang vom Widerstand zum Leitwert nach (9.2). Es bestehen in Analogie zu (7.15) und (9.6) bis (9.7) die Gleichungen X = kR • R;

Y = kG-G;

XP = R/kR.

(14.6)

Die wichtigste Anwendung ist die Serienschaltung eines Wirkwiderstandes R mit einer kleinen Induktivität XL

=

COL-,

kR =

A)L/R;

YL

=

—A>L/R2

(14.7)

und die Parallelschaltung mit einer kleinen Kapazität Yc=wC;

kG —

VJC/G

= (oC • R;

Xc = —wC-R2.

(14.8)

Da die technischen Wirkwiderstände g l e i c h z e i t i g eine kleine Induktivität und Kapazität besitzen, muß man eine Kombination nach Abb. 70 betrachten. R und L in Serie gibt nach (14.2) den Wirkleitwert 1/R und nach (14.7) den Blindleitwert YL = — M L / R 2 . Hinzu kommt der Blindleitwert Yc = aiC nach (14.8). Der Ic Summenleitwert Y = YL Y c liegt also parallel zum ° Leitwert G = \/R und die Kombination der Abb. 70 hat den Phasenfaktor A b b . 70. W i d e r s t a n d

r

mit

Blindkompcmenten

kG=

R(coC—

ojL/R2)=

R-COC — WL/R.

(14.9)

Die Phasenfaktoren des L und C wirken also gegeneinander. Es gilt die Regel, daß in (14.9) bei kleinen Widerständen R vorzugsweise die Induktivität des Widerstandes wirksam ist und klein gehalten werden muß. Dort übersteigt also die vom Strom erzeugte magnetische Feldenergie die von der Spannung am Widerstand erzeugte elektrische Feldenergie, weil der Strom groß ist. Dagegen ist in (14.9) bei großen Widerständen R wegen der kleinen Ströme vorzugsweise die Parallelkapazität wirksam und muß klein gehalten werden. Die Erzeugung sehr kleiner und sehr großer phasenreiner Widerstände ist daher nicht möglich. Dagegen besteht bei Widerständen mittlerer Größe (30 bis 200£2) die Möglichkeit der gegenseitigen Kompensation der beiden Blindkomponenten. Aus (14.9) folgt, daß für die spezielle Bedingung R=YLTC

(14.11)

eine vollständige und frequenzunabhängige Kompensation eintritt. Wenn man also einem Widerstand R eine definierte Umgebung gibt, so daß L und C durch den Aufbau eindeutig festgelegte Werte haben, kann man diesem L und C durch geeignete Formgebung der Umgebung solche Werte geben, daß

Einfache Widerstandstransformation

81

der betreffende Widerstand phasenrein gleich seinem Gleichstromwert bleibt, solange die Voraussetzung für das Bestehen der Näherungen (14.2) bis (14.8) gegeben ist, daß nämlich der von jeder Komponente erzeugte Phasenfaktor (14.7) bzw. (14.8) kleiner als 0,1 bleibt. Wenn man beispielsweise einen zylindrischen Schichtwiderstand in eine koaxiale, leitende Hülle nach Abb. 7 legt, kann man einen solchen Außendurchmesser finden, der gerade diese Kompensation gibt. Solche Widerstände sind dann frequenzunabhängig, solange ihre Länge kleiner als A/10 ist. Man beachte jedoch, daß die Induktivitäten und Kapazitäten der Zuleitungen zu einem solchen Widerstand ebenfalls in die Betrachtungen einbezogen werden müssen, wenn der Effekt eintreten soll. In vielen Fällen stellt man nicht so hohe Anforderungen, weil man die Möglichkeit hat, durch eine vorgeschaltete Widerstandstransformation nach § 10 oder § 15 Fehler des Widerstandes wieder auszugleichen. Trotzdem muß man sich stets bemühen, die Blindkomponenten des Widerstandes klein zu halten, weil dies die Einstellung der Transformation erleichtert, sowie ihre Frequenz abhängigkeit und die Leistungsverluste bei der Transformation vermindert. Man beachte also stets die gegebenen Regeln und halte die störenden Blindkomponenten der Zuleitungen klein, damit nur die unvermeidlichen Blindkomponenten der den Widerstand bildenden Leiter, auftreten. Von besonderer Bedeutung sind hier die Wolframdrähte, die man bei Leistungsmessungen verwendet, wobei man die zu messende Leistung dem Wolframdraht zuführt. Bei kleinen Leistungen mißt man die durch die Temperaturerhöhung hervorgerufene Erhöhung des Widerstandes des Drahtes in einer Gleichstrombrücke, die man mit Hilfe von Drosseln nach § 13 an die Enden des Wolframdrahtes anschließt. Bei größeren Leistungen mißt man die Temperatur der glühenden Drähte auf optischem Wege. Die dünnen Drähte haben eine große Induktivität, während kapazitive Nebenwirkungen nur bei extrem hohen Frequenzen auftreten. Mit abnehmendem Fadendurchmesser steigt das R schneller als das L, so daß dünnere Drähte einen kleineren Phasenfaktor ergeben. Ergänzendes Schrifttum: [9, 12, 15]. § 15. Einfache Widerstandstransformation

Die Gedankengänge des § 10 sollen hier auf solche Widerstände angewandt werden, die nicht mehr den Näherungsformeln (9.3) bis (9.7) genügen. Dann ist die exakte Gleichung (9.2) anzuwenden, die im allgemeinen für praktische Zwecke zu kompliziert ist. In diesem Fall geht man zu graphischen Methoden über. Man beachte dabei, daß jedes technische Gebilde in seinen wirklichen Eigenschaften stets etwas von den angenommenen oder beabsichtigten Werten abweicht, was man auch durch eine Messung wegen der unvermeidlichen Meßfehler nicht mehr kontrollieren kann. Es ist daher sinnvoll, alle Berechnungsverfahren in vereinfachte Näherungsverfahren umzuwandeln, wobei man darauf achten muß, die Genauigkeit der Berechnung der für den speziellen Zweck erforderlichen Genauigkeit anzupassen. Nur so kann man jeweils den Aufwand der Rechnung auf ein Minimum herabsetzen. Man wird dann dadurch belohnt, daß man ein Höchstmaß an Übersichtlichkeit erreicht 6

Meinke, Hochfrequenzschaltungen

82

Allgemeine komplexe Widerstände

und die Möglichkeiten einer Schaltung deutlicher erkennt. Insbesondere die graphischen Methoden sind durch die geometrische Veranschaulichung unübersichtlicher Formeln eine wertvolle Hilfe und erreichen bei richtiger Anwendung auch die erforderliche Genauigkeit. Die hier zu lösende Aufgabe besteht darin, daß ein gegebener komplexer Widerstand 9t0 durch Serienschaltung oder Parallelschaltung von möglichst verlustfreien Blind widerständen oder Blindwiderstandskombinationen in einen anderen komplexen Wert 9t transformiert wird, wobei dieses neue 9t vorzugsweise ein reiner Wirkwiderstand sein soll. Die günstigste technische Darstellbarkeit solcher Transformationen, bei denen der Verlust an Wirkleistung innerhalb der Transformationsschaltung sehr klein bleibt, liegt bei Widerständen in der Größe von 20 bis 500£1 Die graphische Behandlung dieser Aufgaben beruht auf den bekannten Inversionsdiagrammen, die eine graphische Lösung der Umwandlung der Widerstandskomponenten R und X in die Leitwertkomponenten G und Y nach (2.17) gestatten. Die Theorie der Inversion muß aus anderen Lehrbüchern entnommen werden. Es gelten folgende Regeln: Nach (2.17) ist G=

'(15.1)

R/(R2jrX*), 2

2

Y = — X/(fl +X ).

(15.2)

Alle Widerstände 9t, die nach Abb. 71 auf einem Kreis liegen, der durch den Nullpunkt geht, und dessen Mittelpunkt auf der r e e l l e n Achse liegt, haben den gleichen Wirkleitwert G = 1 /Rp, wobei Rp der P u n k t ist, in dem der Kreis die reelle Achse schneidet; denn die Gleichung (15.1) ist für konstantes G die Gleichung dieses Kreises. Solche Kreise konstanten Wirkleitwerts werLeitwertkreise in der Widerstandsden als G - K r e i s e bezeichnet. Alle Widerebene (I: Parailel-L, I I : Parallel-C) stände 9t, die nach Abb. 71 auf einem Kreis liegen, der durch den Nullpunkt geht und dessen Mittelpunkt auf der p o s i t i v i m a g i n ä r e n Achse liegt, haben den gleichen negativen (induktiven) Blindleitwert Y = — 1 ¡Xp, wobei Xp der Punkt ist, in dem der Kreis die imaginäre Achse schneidet. Man erkennt, daß (15.2) für konstantes negatives Y die Gleichung dieses Kreises ist. Ebenso sind die entsprechenden Kreise unterhalb der reellen Achse Kreise für alle Werte 9t, die gleichen positiven (kapazitiven) Blindleitwert haben. Solche Kreise konstanten Blindleitwerts bezeichnet man als Y - K r e i s e . Für die hier interessierenden Widerstandstransformationen ist folgende Tatsache wichtig: Wenn man parallel zu einem gegebenen Widerstand 9t 0 einen reinen Blindwiderstand schaltet, ändert sich nach (2.21) der Wirkleitwert G dabei nicht; d . h . der Widerstand 9t, der das Ergebnis der Parallelschaltung darstellt, liegt auf

Einfache Widerstandstransformation

83

dem durch 3i 0 laufenden G-Kreis. Wenn in Abb. 71 ein Wert 9t 0 oberhalb der reellen Achse und ein Punkt 9t 0 ' unterhalb der reellen Achse betrachtet werden, so verschieben sich diese auf dem zugehörigen G-Kreis, und zwar beim Parallelschalten einer Induktivität in Richtung der Pfeile I, beim Parallelschalten einer Kapazität in Richtung der Pfeile I I . Dabei kann in keinem Fall der Ursprung R = 0 , X — 0 überschritten werden, wogegen ein Überschreiten des mit Rp bezeichneten Schnittpunkts jederzeit möglich ist. So erhält man eine sehr anschauliche Darstellung dieses Vorgangs. Um zu einer einfachen quantitativen Auswertung zu kommen, zeichnet man das sogenannte Transformationsdiagramm nach Abb. 72. Es enthält eine systematische Folge von GKreisen, deren Parameter in einer Zehnerteilung aufeinan- , derfolgen. In Abb. 72, die für | Widerstände in der Umgebung x von 10 £2 brauchbar ist (10 Q = 0,1 S), findet man Kreise mit G von 0,06 bis 0,17 S im Parameterabstand 0,01 S. Das G ist nach Abb. 71 der Reziprokwert des Punktes, wo der Kreis die reelle Achse schneidet, nimmt also mit wachsendem Kreisdurchmesser ab. Ebenso enthält Abb. 72 eine Folge von Kreisen mit positivem und negativem Y zwischen 0,12 S und — 0 , 1 2 S im Parameterabstand 0,01 S. Das gesamte Kreissystem zeichnet man auf gewöhnliches KoorA b b 72 Transformationsdiagramm dinatenpapier, in dem man dann auch die Koordinaten R und X eines Widerstandes 9} ablesen kann. Ist z. B. ein Widerstand 3t == R -(- jX = 7,7 + j 5,2 Q gegeben, so zeichnet man ihn in dieses Kreissystem ein (Abb. 72). Die Parameter G und Y der durch 9t gehenden Diagrammkreise geben dann die Wirkkomponente und die Blindkomponente des © = 1/9?: G = 0,09 S; Y = — 0,06 S. Wenn 3t nicht direkt auf den gezeichneten Kreisen liegt, gewinnt man G und Y durch Interpolation aus den benachbarten Kreisen. Wenn umgekehrt der Leitwert @ = G / Y gegeben ist, findet man die Komponenten R und X des entsprechenden Widerstandes 9t = l / @ aus dem Punkt 9t, der der Schnittpunkt der beiden, zu den betreffenden Werten G und Y gehörenden Diagrammkreise ist. Dadurch hat man eine sehr einfache Umrechnung zwischen den Komponenten des 9t und (M unter Vermeidung von (15.1) und (15.2). Daraus entwickeln sich dann zahlreiche Anwendungsmöglich 6*

84

Allgemeine komplexe Widerstände

keiten, mit deren Hilfe sich der an sich recht komplizierte, quantitative Umgang mit komplexen Größen wesentlich vereinfacht. Unangenehm ist lediglich, daß man für die verschiedenen Widerstandsbereiche verschiedene Diagramme braucht, da ein solches Kreissystem immer nur in einem beschränkten Bereich eine ausreichende Genauigkeit hat. Bei Annäherung an den Nullpunkt häufen sich die Kreise, während nach außen hin ihre Abstände immer größer werden. Hier hilft das Rechnen mit neut r a l e n k o m p l e x e n Zahlen a und b, die man nach einem passenden System auf die komplexen Widerstände bezieht. Man zeichnet ein solches Kreissystem mit neutralen Koordinaten at und a2 in der Umgebung des Punktes 1, wie es dem Buch als Beilage I in zweifarbigem Druck beigegeben ist. Dann wählt man eine reelle, möglichst einfache Zahl Z von passender Größe (beispielsweise eine Zehnerpotenz) und dividiert den Widerstand 9i durch Z. Den Quotienten 9J/Z = R/Z - f jX/Z = a = aj + ja2 (15.3) legt man zweckmäßigerweise durch geeignete Wahl des Z in die Umgebung des Punktes 1, wo das Kreissystem die beste Ablesegenauigkeit besitzt. Die G-Kreise tragen hier den Parameter b1 (Kreisdurchmesser 1/^), die 7-Kreise den Parameter b2 (Kreisdurchmesser 1 jb2). Die im Punkte a abgelesenen Werte ¿>j und ¿i2 sind der Realteil und der Imaginärteil des k o m p l e x e n Reziprokwerts £> = 1/a: b = ^ + jb2 = 1/a. (15.4) Für Z = 1 ist also 91 = a und © = b. Mit beliebigem Z ist SK a • Z und daher der Leitwert © = 1/fft = (z/myz = b/Z = bJZ + jb2/z. (15.4a) In den folgenden allgemeineren Rechnungen dividiert man also zu Beginn alle gegebenen Widerstände durch Z nach (15.3). Die ganze Rechnung führt man dann mit den relativen Zahlen a und b durch. Das Resultat ist ein relativer Widerstand a, den man mit Z multipliziert, um 9i zu erhalten. Wünscht man den Leitwert © = l/9i, so muß man den relativen Leitwert f> = 1/a durch Z dividieren. Während es bei niedrigen Frequenzen gebräuchlich ist, Widerstands transformationen mit Hilfe von Eisenkerntransformatoren durchzuführen, ist die Transformation mit Hilfe induktiver Kopplung bei Hochfrequenz wegen der kleinen Kopplungsfaktoren nur brauchbar, wenn man wie in § 10 Resonanzerscheinungen zu Hilfe nehmen kann. Die Verluste bei der Transformation sind dann jedoch oft erheblich. Für Widerstände mittlerer Größe ist bei kleineren Transformationsverhältnissen die Anwendung eines Transformators so 'ungünstig, daß man zu Blind wider standsschaltungen übergeht, wie sie im folgenden beschrieben werden. Zunächst soll betrachtet werden, wie sich ein gegebener komplexer Widerstand 3 t 0 = R0-\- j X 0 durch Serien- oder Parallelschaltung eines Blindwiderstandes ändert. Bei Serienschaltung eines Blindwiderstandes j X bleibt nach (2.20) der Wirkwiderstand R 0 des 9i 0 erhalten und man addiert die Blindwiderstände X 0 und X. Bei Serienschaltung

Einfache Widerstandstransformation

85

eines induktiven Blindwiderstandes jX1 verschiebt sich nach Abb. 73a das 9i 0 nach 9ij senkrecht nach oben um die Strecke Xv Bei Serienschaltung eines kapazitiven Blindwiderstandes jX' 2 wandert 9i 0 nach 9i 2 senkrecht nach unten um das Stück \X2\- Bei Parallelschaltung eines induktiven Blindwidera)

Widerstandsebene

b)

Leitwertsebene

A b b . 73. T r a n s f o r m a t i o n d u r c h einen l l l i n d w i d e r s t a n d I : Serien-L, I I : Serien-C I : Parallel-C, I I : Parallel-L I I I : Parallel-L, I V : Parallel-C I I I : Serien-C, I V : Serien-L

standes j X 3 wandert 5R0 nach Abb. 73a auf seinem G-Kreis gegen den Uhrzeigersinn nach 913. Um die Lage des 9i 3 zu gewinnen, liest man in 9f{0 den zugehörigen Blindleitwert Y0 am y-Kreis ab. Ferner berechnet man den Blindleitwert ; T 3 = — / 1 / Xs der parallelgeschalteten I n d u k t i v i t ä t u n d addiert nach (2.21) y 0 und y 3 . 9i 3 liegt dann auf dem G-Kreis des 9i 0 dort, wo ihn der y-Kreis mit dem Parameter (y o -(- Y3) schneidet (Abb. 73a). Beim Parallelschalten eines kapazitiven Blindwiderstandes j X 4 verschiebt sich 3i 0 auf seinem G-Kreis nach Abb. 73a im Uhrzeigersinn nach 9i4. U m den Ort des 9i 4 zu erhalten, berechnet man zunächst den Leitwert jYi — — j 1/X,. 9t4 liegt dann auf dem gleichen G-Kreis dort, wo ihn der y-Kreis mit dem Parameter ( y 0 + y 4 ) schneidet (Y i positiv). Man erkennt, d a ß die Möglichkeiten zum Verändern des 9f 0 mit Hilfe e i n e s Blindwiderstandes nur beschränkt sind. Auch zwei Blindwiderstände in Serie oder zwei Blindwiderstände parallel geben keine anderen Möglichkeiten als die Verschiebung des 9t 0 auf einer senkrechten Geraden oder auf dem G-Kreis nach Abb. 73a. Um die allgemeine Transformationsaufgabe zu lösen, ein gegebenes komplexes Sij in einen anderen gewünschten Wert 9?2 zu verschieben, benötigt man mindestens zwei Blindwiderstände, von denen der eine in Serie und der andere parallel geschaltet werden muß. Es gibt dann zahlreiche Kombinationen von Induktivitäten und Kapazitäten zu solchen Transformationsschaltungen, und die gestellte Aufgabe läßt sich meist mit mehreren verschiedenen Schaltungen lösen. Der Transformationsweg ist dabei stets die Kombination eines senkrechten Geradenstücks und eines Stücks eines G-Kreises. Abb. 74 zeigt

86

Allgemeine komplexe Widerstände

als Zahlenbeispiel die Verschiebung des Widerstandes = 41 -(- / 49 Q in den Wert 9t 2 = 90 + / 99 fi mit Hilfe zweier typischer Schaltungen. Die eine Schaltung verschiebt 9^ durch ein Parallel-6' nach 9t' genau unter 9t 2 und dann 9t' senkrecht nach oben durch ein Serien-L in das gewünschte 5R2.

Abb. 74.

Blindwiderstandstransformatioiien

Den Zwischenpunkt 9t' = 90 -)- / 30 Q findet man sehr leicht als Schnittpunkt der senkrechten Geraden durch 9t2 und des G-Kreises durch 9 t r Den Blindleitwert j Y 1 der Parallelkapazität findet man nach Abb. 73a als Differenz der Blindleitwerte des und 9t', also als Differenz der, Parameter der durch diese Punkte gehendeo Y-Kreise. Durch JR1 geht der F-Kreis mit dem Parameter — 0,012 S, durch 3t' der Y-Parameter — 0,0033 S, also Y1 = — 0,0033 -j- 0,012 = 0,0087 S. Der Blindwiderstand j X 2 der Serieninduktivität ist die Differenz der Blindwiderstände des 9t 2 und des 9t', also X2 — 99 — 30 = 69 ii. In der zweiten Schaltung der Abb. 74 wandert 9tj durch ein Serien-L senkrecht nach oben bis zum G-Kreis des 9t 2 nach 9t" = 41 -j- / 81 il, so daß der Blind widerstand X 3 der Serieninduktivität 81 — 49 = 32 il betragen muß. Dann wandert 9t" auf dem G-Kreis nach 9t2, wobei der Leitwert }' 4 dieser Parallelkapazität gleich der Differenz der in 9t" und 9t 2 als Parameter der 7-Kreise abgelesenen Blindwerte ist: 7 4 = —0,0055 + 0,0098 = 0,0043 S. Um den Nutzen solcher graphischer Verfahren voll würdigen zu können, rechne man vergleichsweise diese Aufgabe mit Hilfe von (15.1) und (15.2) und mit dem Diagramm der Beilage I. Da alle beteiligten Blindwiderstände frequenzabhängig sind, tritt die gewünschte Transformation lediglich für eine einzige Frequenz /„ exakt und für eine kleine Umgebung dieser Frequenz näherungsweise ein. Man interessiert sich für diese Frequenzabhängigkeit, weil sie je nach Aufgabenstellung nützlich oder schädlich sein kann. Zu diesem Zweck betrachtet man eine kleine Umgebung der Frequenz / 0 : (15.5) f=f»+Af.

Einfache Widerstandstransformation

87

Für die Frequenz /„ (Af = 0) hat der Eingangswiderstand seinen Sollwert 9i 2 0 , für die anderen Frequenzen einen abweichenden Wert (9t 20 -j- A 9t2). Der Widerstandsfehler Zl9t2 hat einen Realteil und einen Imaginärteil . A1Ra = ARa + jAXa,

(15.6)

die beide eine Funktion von / sind und in der Umgebung von f0 in eine Reihe nach Potenzen von Af entwickelt werden können. Für kleine Af kann man die Reihe nach dem linearen Glied abbrechen, d. h. die Fehler AR2 und AX2 sind dann einfach proportional zu Af: AR2 = Kx • Af;

AX2=K2-Af.

(15.7)

Die Frequenzabhängigkeit gibt man zweckmäßig durch den Absolutwert \Am2\

= ]/ (AR2)t

+

(AXa)*=-fä*

+ ~KJ\Af\

(15.8)

an. U m die Frequenzabhängigkeit verschiedener Schaltungen vergleichen zu können, betrachtet man den relativen Widerstandsfehler |.d9t 2 |/|9l 2 o| i n Abhängigkeit von der relativen Frequenzänderung \Af\/f0. Als Maß der Frequenzabhängigkeit für kleine Af kann man dann den Quotienten F

= MSRal/ISlsol

\Af\/fo

*,«/o |3i«ol

(15.9)

definieren. Als wichtige Merkregel gilt für Schaltungen aus zwei Blindwiderständen, daß F annähernd proportional zur Länge des Transformationsweges in der Widerstandsebene ist. Als Transformationsweg bezeichnet man die durchlaufenen Stücke der senkrechten Geraden und der G-Kreise. F wächst also grundsätzlich mit wachsendem Abstand von Sij und 9i 2 und ist am kleinsten bei Schaltungen, die die Transformation auf kürzestem Wege erreichen. Abb. 75 ¿00 zeigt als Beispiel die Trans- i formation eines reellen Wiverstandes = 100 Q in cz -¡gg derschiedene reelle Werte v 3! 20 und für diese 9t 20 die Kurve, auf der 9?2 bei Frequenzänderungen wandert. Durch gestrichelte Kurven sind die Punkte verbunden, die zu relativen Frequenzänderungen Abb. 75. Frequenzabhängigkeit der Transformation A f l f 0 v o n ± 0 , 0 5 u n d ± 0,1

gehören. Man erkennt die lineare Beziehung (15.7) für kleine Af und das Anwachsen des F mit wachsendem Transformationsweg. Für Leser, die dieses Beispiel als Anwendung des Transformationsdiagramms noch quantitativ nachrechnen wollen, seien folgende Anhaltspunkte gegeben. Wenn eine

88

Allgemeine komplexe W i d e r s t ä n d e

Induktivität L bei der Frequenz / 0 den Blindwiderstand XL0 = (o0L hat, so hat sie bei der nach (15.5) abweichenden Frequenz / den Blindwiderstand X

L

=

(ÜL

=

OJ0L

• O)/Ü>0

=

• / / /

0

=

X

L

0

(1 + Aflf0).

(15.10)

Ebenso gilt für den Leitwert einer Kapazität, die bei der Frequenz / 0 den Blindleitwert y c 0 = CÜ C hat, 0

Yc = A>C = w0C

• CJ/CO0

= Yc0 • / / / „ = Yc0 (1 + Af/f0).

(15.10a)

Wenn man für kleine J / / / 0 die Näherung nach (1.8) anwendet, gilt für den Leitwert einer Induktivität YL = — !/(C) = X c 0 (1 -

Mit diesen Gleichungen kann man die Abweichungen in der Nähe der Frequenz / 0 leicht berechnen, wenn die Daten der Schaltung bei der Frequenz /„ gegeben sind. Abb. 76 zeigt die Durchführung einer bestimmten Transformation mit

zwei verschiedenen Schaltungen, von denen die eine einen langen, die andere einen kurzen Transformationsweg hat. Dementsprechend ist auch die Frequenzabhängigkeit F nach (15.9) verschieden groß: auf dem kurzen Weg über 9?" wird F = 1,4; auf dem langen Weg über 9?' wird F = 2,4. In vielen Fällen ist das 9ij nicht genau bekannt oder auch veränderlich. Dann baut man den Transformator mit zwei stetig einstellbaren Blindwiderständen und kann Werte Sij eines größeren Bereichs der Widerstandsebene in den gewünschten Wert 9i 2 verschieben. Abb. 77 zeigt als Beispiel, welche Werte ilij man in einen bestimmten reellen Wert R2 transformieren kann, wenn man L und C zwischen 0 und oo variiert. Da man aber L und C nur in bestimmten Grenzen verändern kann, ist der Bereich des Sij in praktischen Fällen stets kleiner. U m mit einer Parallelkapazität nach 7?2 zu kommen, muß der Zwischenwert 9a' auf dem G-Kreis durch fi2 liegen und auf ihm nach Abb. 73a im Uhrzeigersinn wandern können. Für C = 0 liegt SR' in R2 und für C = oo im Nullpunkt, so daß alle Punkte 9i' der oberen Kreishälfte geeignet sind. U m

Einfache

Widerstandstransformation

von durch ein Serien-L nach einem solchen 9v' zu kommen, muß 9v1 in dem •schraffierten Bereich unterhalb des Halbkreises liegen. Da der SKj-Bereich begrenzt ist, wird man also gewisse Anhaltspunkte über die voraussichtliche Lage des haben müssen, wenn man eine Transformationsschaltung auswählt. In gleicher Weise ist es natürlich auch möglich, ein g e g e b e n e s SRj mit stetig veränderlichen Blindwiderständen in Werte 9R2 eines größeren Bereichs der

Abb. 77, Transformationsbereicli

A b b . 78. Der W i d e r s t a n d eines Parallelresoiiair/.kreises

Widerstandsebene zu verwandeln, wenn man beispielsweise die günstigste Anpassung des 9?x an eine Spannungsquelle mit einem nicht genau bekannten Innenwiderstand erreichen will. Auch den Verlauf des komplexen Widerstandes 9i einer Parallelresonanz nach (9.23) kann man sich so veranschaulichen. Der Leitwert © nach (9.22) hat einen konstanten Wirkleitwert GK. Alle 9i liegen also auf dem zu diesem GK gehörenden G-Kreis: RK — \/GK (Abb. 78). Die Lage des 9i auf diesem Kreis ist durch den Blindleitwert jY — j £ GK nach (9.22) gegeben. 9i liegt also jeweils auf dem zu dem f gehörigen I'-Kreis des Transformationsdiagramms. In Abb. 78 ist die Lage des 9i für verschiedene Werte von f gezeichnet. Der Absolutwert |9i| beschreibt den Verlauf des fv die Wirkkomponente R das / 2 , die Blindkomponente X das / 3 der Abb. 45 in Abhängigkeit von f. Man kann sine solche Transformation auch mit drei Blindwider ständen ausführen. Dann ergibt eine bestimmte Kombination von Schaltelementen im allgemeinen unendlich viele Dimensionierungen, die dieses Ziel erreichen. Abb. 79 gibt ein Beispiel für eine Transformation von 3ij = Rl = 100 il nach 5R2 — R2 = 200 Q über verschiedene Wege I bis VI. Durch Wahl verschieden großer Induktivitäten L erreicht man zunächst verschieden hohe Punkte 9t i bis 9tyj. Von diesen Punkten aus kommt man durch Wahl einer geeigneten Kapazität C1 auf einem G-Kreis zu den Punkten 9}'/ bis 9tvi> die auf einer senkrechten Geraden über R2 liegen, wobei R2 = 9t vi ist- Von dem jeweiligen 9t" gelangt man dann mit Hilfe einer geeigneten Kapazität

90

Allgemeine komplexe Widerstände

C2 nach R2. E s gilt auch hier im allgemeinen die Regel, daß die Frequenzabhängigkeit mit wachsendem Transformationsweg wächst, so daß man dann große Umwege wie z. B. über 9ij und j vermeiden sollte. In Einzelfällen sind aber Kombinationen denkbar, die eine geringere Frequenzabhängigkeit trotz größerem Weg in der Widerstandsebene haben (vgl. § 16 und § 17). Wenn man stetig einstellbare Blindwiderstände benutzt, kann man wieder Transformationsbereiche wie in Abb. 77 schaffen, die bei drei Blindwiderständen durchweg wesentlich größer sein werden als bei Verwendung von nur zwei Blindwiderständen. Man sorge aber stets dafür, daß man die Transformation durch die eingestellten Größen auch immer quantitativ übersehen kann, weil die zahlreichen verschiedenen Einstellmöglichkeiten der drei Blindwiderstände stets die Gefahr bestehen lassen, daß man zufällig Einstellungen gewählt hat, mit denen man einen großen Transformationsumweg macht, sich einer Resonanzschaltung nach §10 annähert, und dann eine unnötig große Frequenzabhängigkeit mit nennenswerten Verlusten an Wirkleistung in den Blindwiderständen vorliegt. Mehr als drei Blindwiderstände sollte man nicht verwenden, da man dann das Verhalten der Schaltung nicht mehr übersehen kann. 200

•S

200

100 R[B]-

A b b . 79 Transformation mit drei Blindwiderständen

A b b . 80. Transformation mit stetig regelbarem Übersetzungsverhältnis

Zur Lösung der einfachen Transformationsaufgabe, ein gegebenes in ein gegebenes 9t 2 zu verschieben, benötigt man (von Ausnahmefällen abgesehen) zwei Blindwiderstände. Wenn drei Blindwiderstände zur Verfügung stehen, kann man von der Schaltung noch die Erfüllung einer weiteren Bedingung fordern. Ein Beispiel soll näher betrachtet werden, das gleichzeitig beweist, welche wertvolle anschauliche Hilfe das Transformationsdiagramm sein kann. Die Schaltung der Abb. 79 soll wieder einen reellen Widerstand 9ftj = R1 in einen reellen Widerstand 9t2 = #20 transformieren. Für den in Abb. 80 betrachteten Fall wird als Zusatzbedingung gestellt, daß C1 ein veränderlicher Drehkondensator ist und daß sich beim Verändern des Cx der Endpunkt 9fJä annähernd auf der reellen Achse bewegt. Das bedeutet, daß der Eingangswiderstand 9ta praktisch ein reiner Wirkwiderstand R2 bleiben

Einfache Widerstandstransformation

91

und durch Verändern des G\ das Transformationsverhältnis R z / R i stetig verändert werden soll. Der durch das L erzeugte Punkt 91' oberhalb von Rx bleibt dabei konstant. 9t" verschiebt sich beim Verändern des C1 auf einem C-Kreis. Der Abstand der Punkte 9t" und 9t 2 ist stets konstant gleich dem Blindwiderstand |X C 2 | des C2. Wenn sich 9t" verschiebt, verschiebt sich also auch 9t 2 auf einem um | X c , \ nach unten verschobenen gleichartigen Kreis. Wenn dabei 9t2 möglichst auf der reellen Achse wandern soll, muß dieser verschobene G-Kreis in dem mittleren Punkt Z?20 die Achse berühren. Bei dieser Schaltung b'enötigt man also zwischen 9t' und 9t" einen G-Kreis, dessen Mittelpunkt das vorgeschriebene mittlere i? 2 0 ist. Man zeichnet den Kreis u m fi20 und findet 9t' und 9t" durch die senkrechten Geraden durch Ri und R20. Die Strecke /? 1 9t' ist XL, die Strecke -R 20 9t" das erforderliche \XC2\. Die Differenz der Blindleitwerte des 9t' und 9t" gibt den zur Erreichung des Punktes R20 benötigten Leitwert des Cv also den mittleren Wert des Cr Ändert man C1 um diesen Wert herum, so wandert der Eingangswiderstand 9i a der Schaltung auf dem verschobenen G-Kreis und bleibt zunächst in der Nähe der reellen Achse. Man beachte, daß dieses Resultat hier ohne Rechnung auf rein anschaulichem Wege gewonnen werden konnte. Wenn man ein etwas kleineres |X C 2 | wählt, so wandert 9t 2 auf dem gestrichelten Kreis der Abb. 80, der für praktische Zwecke eine noch bessere Annäherung an die reelle Achse darstellt. So wird es möglich, im gezeichneten Beispiel den Wirkwiderstand R2 im Verhältnis 1:2,5 durch die einfache Bedienung des C\ zu verschieben, ohne daß größere Blindkomponenten des 9t 2 auftreten. Die allgemeinste Transformationsschaltung ist durch Abb. 81 gegeben (vgl. Abb. 29), wobei 9t 0 der komplexe, zu transformierende Widerstand und alle weiteren 9i n Blindwiderstände sind. U m diese Blind widerstände richtig zu dimensionieren, müssen nicht nur 7o 73 7i h ihre Widerstandswerte bekannt sein, sondern auch die, Ströme t t • » * n3 ZI, Ui u* und Spannungen in den einzelnen » » » T Elementen, weil Erwärmung und t ISpannungsfestigkeit maßgebend l für den Aufbau sind. Zu deren Abb. 81. Allgemeine Transiormationsschaltung Berechnung darf man annehmen, daß die Blindwiderstände verlustfrei sind und das in § 10 entwickelte Prinzip der durchgehenden Wirkleistung angewandt werden kann. Man vergleiche (10.11) bis (10.14) und die Erläuterungen zur Abb. 29. Man konstruiere zunächst den Transformationsweg mit den Zwischenpunkten 9t', 9t", 9t'" usw. Bekannt sei die Wirkleistung N, die dem Verbraucher 9t 0 = ]X0 zugeführt werden soll. Der Verbraucher wird vom Strom der reellen Amplitude J0 durchflössen und es ist dann iV = 1 / 2 Jn l ' Ro oder bei gegebenem AT

5?

V

|'--V/ R0

(15.13)

sehr leicht zu berechnen. Die Spannung U 0 an 9t 0 hat dann die reelle Amplitude U0=J0-

iay =

V

w

w

-V)

'Ro=]/2N/G0,

(15.14)

92

Allgemeine komplexe W i d e r s t ä n d e

wobei G0 der Wirkleitwert des 9t0 ist, der im Punkte 5R0 aus dem Transformationsdiagramm entnommen wird. Eine wichtige Regel lautet: Den Strom in einem komplexen Widerstand berechnet man bei gegebenem N stets mittels des Wirkwiderstandes nach (15.13), die Spannung dagegen mittels des Wirkleitwerts nach (15.14). So erhält man die jeweils einfachsten Formeln. Durch Zufügen des Blind Widerstandes 3lj wird aus 9t0 nach Abb. 81 der komplexe Widerstand 9t', dessen Klemmen wegen der Verlustfreiheit der Blindwiderstände das gleiche N zugeführt wird. Ist R' der Wirkwiderstand des 9t' und G' sein aus dem Diagramm entnommener Wirkleitwert, so ist wie in (15.13) und (15.14) ] ' = ]/2/V// fR, wo ein kapazitiver Leitwert parallelgeschaltet wird, und werden daher im Uhrzeigersinn nach unten verschoben. So tritt also der prinzipielle Ausgleich ein. Wählt man das YRP nach (16.8), so kommen die dem Resonanzpunkt 5 benachbarten Punkte 4 und 6 fast genau nach R1 zurück wie in Abb. 84, weil dort der G-Kreis nahezu senkrecht läuft, während die weiter entfernten Punkte nicht mehr nach R 1 kommen, weil der G-Kreis sie schon nach außen verschiebt. Der Eingangswiderstand 9t 2 der Schaltung durchläuft dann für größere Af eine charakteristische Spitzkurve, deren Spitze in Iix liegt, wo sich die in der Nähe der Resonanz liegenden Punkte häufen. Die bezifferten Punkte der 9t 2 -Kurven entsprechen den gleichbezifferten Punkten der -Geraden. Eine gute Kompensation tritt ein, solange der Betrag des Phasenfaktors des 9{1 nach (14.1) kleiner als 0,1 ist. Der Kompensationsbereich ist durch diejenige kritische Frequenzabweichung AfK festgelegt, bei der der Betrag des Phasenfaktors gleich 0,1 ist: 0,\ = Aa-AfKIRi

=

A.-AtK-R1,

oder nach (16.7) AfK = 0,1 • RJAX

= O.IA/?! Av) = QMiTx-Av.

(16.10)

Führt man nach (9.26) und (9.29) wieder XRS und YRp wie in (16.8) ein, so wird die relative kritische Frequenzabweichung: A f

K

/ f

R

=

(),()5/]/XRS-YRP

.

(16.11)

Mit wachsendem XRS und also mit wachsender Blindleistung in den Schaltelementen, wird der Frequenzbereich kleiner. Die Kompensation tritt mit ausreichender Qualität zwischen den Grenzen ( f R -[- AfK) ein. Wenn allgemein der gegebene Widerstand komplex ist und sich sowohl seine Wirkkomponente R x wie auch seine Blindkomponente in Abhängigkeit von der Frequenz ändert (Abb. 82), wird eine Kompensation wesentlich schwieriger. Man muß sich aber trotzdem bemühen, mit möglichst einfachen Schaltungen auszukommen. Es soll daher untersucht werden, welche Kompensationsmöglichkeiten Schaltungen aus z w e i .Blindwider ständen bieten,

„ J Abb. 87. Allgemeine Kompensation

Abb. 88. SRi'-Kurve

Kompensationsschaltungen

99

wobei der eine Blindwiderstand in Serie u n d der andere parallel geschaltet wird. Lediglich f ü r die Schaltung der Abb. 87 soll dies n ä h e r a u s g e f ü h r t werden. Andere (LC)-Kombinationen g e s t a t t e n ebenfalls eine entsprechende Behandlung u n d geben weitere Kompensationsmöglichkeiten. Hier stellt m a n zweckmäßig zunächst die F r a g e : Wie m u ß ein Abschlußwiderstand 9t x ' dieser Schaltung in Abhängigkeit v o n der F r e q u e n z verlaufen, d a m i t er d u r c h die vorgegebene (jLC)-Kombination in einen frequenzunabhängigen, reellen W i d e r s t a n d R20 verwandelt wird ? W e n n m a n diese 9ft x '-Kurve k e n n t u n d sie m i t der K u r v e eines gegebenen vergleicht, k a n n m a n leicht erkennen, ob die Schaltung sich zur K o m p e n s a t i o n dieses 9 ^ eignet. I n Abb. 88 ist eine solche St^-Kurve gezeichnet. Der P u n k t 9 V w a n d e r t über den gezeichneten Transformationsweg n a c h i? 2 0 . W e n n die F r e q u e n z kleiner wird, n i m m t der Blindwiderstand das L ab, ebenso der Blindleitwert des C u n d der n a c h R20 zu transformierende W e r t n ä h e r t sich dem P u n k t R2Q. Bei der Frequenz Null m u ß Slj' = R20 sein, weil d a n n die Blindwiderstände n i c h t m e h r t r a n s formieren. Mit wachsender Frequenz wird f ü r das gegebene L u n d C der Transformationsweg immer größer u n d 9?]/ n ä h e r t sich a s y m p t o t i s c h der negativen Imaginärachse. Die bezifferten F r e q u e n z p u n k t e auf der S ^ ' - K u r v e bezeichnen P u n k t e gleichen F r e q u e n z a b s t a n d e s u n d zeigen die W a n d e r u n g s geschwindigkeit des 3 V auf der K u r v e m i t wachsender Frequenz. N u r wenn ein gegebenes 9 ^ (Abb. 87) bei einer b e s t i m m t e n F r e q u e n z auf d e m zu dieser F r e q u e n z gehörenden P u n k t der Sij'-Kurve liegt, wird es d u r c h die zugehörige Transformationsschaltung in den reellen W e r t R 2 0 t r a n s f o r m i e r t . Bei einer K o m p e n s a t i o n s s c h a l t u n g m u ß m a n aber noch m e h r verlangen, weil ein F r e q u e n z b e r e i c h erzielt werden soll, f ü r den 9tx in ß 2 0 t r a n s f o r m i e r t wird. Dies definiert m a n zweckmäßig so, d a ß d a n n z w e i g t j - P u n k t e des erstrebten Frequenzbereiches m i t den zu diesen beiden Frequenzen gehörenden P u n k t e n der K u r v e zusammenfallen müssen. Abb. 89 zeigt die notwendige K o n f i g u r a t i o n . Die P u n k t e 9?! geben in Abhängigkeit von der F r e q u e n z eine K u r v e , die die ' - K u r v e in zwei P u n k t e n A u n d B schneidet, die so nahe beieinander liegen sollen, d a ß die zwischen ihnen liegenden K u r v e n stücke des Sij u n d des 9i 1 ' sich n i c h t zu sehr voneinander entfernen. Die Pfeilrichtung wachsender Frequenz m u ß auf b e i d e n K u r v e n die g l e i c h e sein, insbesondere soll zu den P u n k t e n A u n d B auf b e i d e n K u r v e n jeweils die g l e i c h e F r e q u e n z gehören. D a n n wird f ü r die zu A u n d B gehörenden Frequenzen das 9 ^ genau n a c h R20 t r a n s f o r m i e r t u n d f ü r die dazwischenliegenden P u n k t e bleibt der Eingangswiderstand 9?2 der Schaltung der Abb. 87 wie in Abb. 82 innerhalb eines kleinen Kreises u m R20 h e r u m . Außerhalb dieses Bereichs t r i t t keine wesentliche K o m p e n s a t i o n m e h r ein. J e weiter A u p d B auseinanderliegen, desto größer wird der Frequenzbereich, desto größer aber auch die Abweichung des 9?2 von R20 in dem Bereich zwischen 7»

Allgemeine komplexe Widerstände

100

A und B. Je größer der in Abb. 82 gezeichnete Grenzkreis sein darf, desto weiter kann man also A und B voneinander entfernen. Diese Bedingungen, bei denen Kompensation auftritt, sind sehr schwerwiegend und ihre Erfüllung nur jeweils für ganz spezielle Kombinationen möglich. Da man aber dem L und C der Schaltung noch beliebige Werte erteilen kann, sind trotzdem viele Möglichkeiten vorhanden. Um diese zu übersehen, ist folgendes systematische Verfahren anwendbar. Betrachtet wird zunächst die Schaltung der Abb. 90. Die Gesamtheit aller Sij'-Kurven, die also wie in Abb. 88 bei entsprechender Dimensionierung'der Schaltelemente in den reellen Eingangswiderstand i? 2 0 transformiert werden, kann man am besten mit Hilfe relativer Widerstände darstellen. Man dividiert alle auftretenden Widerstände durch den Sollwert R20, bildet also ty = a v / r t a o - * i ' / ß 2 0 + j X S / R w

(16.12)

und zeichnet diese Kurve nach Abb. 90 in eine relative Widerstandsebene mit den Koordinaten R/R20 u n d XjR2o- Die r -Kurve läuft dann bei der Frequenz Null in den Punkt 1 (/// = R20). Ist XL der Blindwiderstand des L und Yc der Blindleitwert des C in Abb. 90, so sind ihre relativen Werte = XL/R20 = (üL/R20 ;

Vc Yr • R20 Längs einer t j -Kurve ist also der Quotient

:

coC- R2 0 "

(16.13)

(16.14) ? = xJVc = (L/C)/R202 konstant. Daraus folgt die wichtige Erkenntnis, daß alle Schaltungen, die das gleiche Verhältnis L/C haben, auch die gleiche l^'-Kurve besitzen. Die Gesamtheit aller möglichen r.'-Kurven ist daher durch eine Kurvenschar gegeben, wie sie Abb. 90 zeigt. Zu jeder Kurve ist als Parameter die Kenngröße q nach (16.14) angegeben. Das Verhalten der Schal tung wird dadurch sehr übersichtlich. Benötigt wird jetzt noch eine Kennzeichnung, zu welchen Frequenzen die einzelnen Punkte einer Kurve gehören. Da zu jeder Kurve nur der Quotient L/C nach (16.14) festliegt, aber die Wahl des L noch frei ist, gehören zu jedem Kurvenpunkt je nach dem gewählten L ganz verschiedene Frequenzen, aber stets der g l e i c h e Wert xL nach (16.13). Dies ist nach Abb. 88 durchaus verständlich, weil der Transfor1.0 1.2 14- 1,61.820 mationsweg von einem gegebenen Sftj' nach R20 nur mit einem beAbb.

90.

Bückwärtsdiagramm

Kompensationsschaltungen

101

stimmten XL durchgeführt werden kann. Jede r/-Kurve in Abb. 90 setzt sich daher aus Punkten verschiedener x L -Werto zusammen. Punkte mit gleichem xL sind durch die gestrichelten Kurven verbunden. Diese gestrichelten Kurven sind Kreise, nämlich jeweils der um das Stück xL nach unten verschobene G-Kreis durch den Punkt 1. Der Quotient der xL-Werte zweier Punkte der gleichen J^'-Kurve ist nach (16.13) gleich dem Quotienten der zu diesen beiden Punkten gehörenden Frequenzen. Die Frequenz, die einem Punkt r / zukommt, liegt nach (16.13) erst dann fest, wenn man L und R20 bereits gewählt hat. Andererseits kann man jedem Punkt r x ' eine Frequenz / zuteilen und dann das L aus dem xL des Punktes, dem / und dem R20 berechnen. Das Kurvensystem der Abb. 90 nennt man das Rückwärtsdiagramm der Kompensationsschaltung. Gegeben sei nun ein bestimmter frequenzabhängiger Verlauf 9{, wie in Abb. 89. Dabei wird die Aufgabe insofern eingeschränkt werden müssen, als der zu erreichende Wert Rzo zunächst noch freigestellt ist, ebenso die Lage des kompensierbaren Bereichs auf der Stj-Kurve, also die Lage der Punkte A und B. Durch diese Ungebundenheit erreicht man eine Kompensation auf relativ einfache Weise, und wenn man überhaupt erst eine Kompensation gefunden hat, ist es im allgemeinen leicht, von dort aus die Bedingungen so zu verändern, daß die Kompensation weiteren, noch zu stellenden Bedingungen genügt. Man wählt sich zunächst eine geeignete Folge von Werten R20 und bildet jedem zu jedem R20 den Quotienten r 1 = SR J //f 2 o= ^¡/^20 + ¡^1/^20/i 2 0 erhält man also eine r,-Kurve. insgesamt eine tj-Kurvenschar. Im Gegensatz zur Ij'-Kurvenschar der Abb. 90, wo bei konstantem R20 das Verhältnis L/C geändert wurde, wird 'hier also das ^ ^ ^ -Kurven lt 2(j zum Parameter. Diese lyKurvenschar zeichnet man in das Rückwärtsdiagramm der Abb. 90 ein und erhält Abb. 91. Dann findet man zu jeder r r K u r v e eine l^'-Kurve, die diese in zwei benachbarten Punkten A und B schneidet. Man prüft zunächst, ob die Pfeilrichtung wachsender Frequenz auf b e i d e n Kurven übereinstimmt (vgl. Abb. 89). Ist dies nicht der Fall, so ist die gewählte Schaltung prinzipiell ungeeignet und man muß , , , . „ . -,. Abb. 91. KompciisaLioiisiumkle das L und C anders kombinieren. Stimmt die Pfeilrichtung, so betrachtet man die Frequenzen in den Schnittpunkten. In A bestehe auf der r r K u r v e die Frequenz fA, in B die Frequenz fB. Zu A gehört auf der tj'-Kurve der Wert xJA, zu B der Wert xLB. Dann muß = xla!xLB

(1615)

sein, damit die Frequenzen in A und B auf beiden Kurven gleich und A und B nach R20 transformiert werden. Man findet nun unter den verschiedenen Ij-Kurven und ^'-Kurven leicht die beiden, für die die Bedingung (16.15) erfüllt werden kann. Zu dieser tj-Kurve gehört dann ein ganz bestimmter

102

Allgemeine komplexe Widerstände

Wert fi20, der der Schaltung zugrunde gelegt werden muß. Aus der zugehörigen tj'-Kurve ist der Wert q zu entnehmen, und damit nach (16.14) der Quotient L/C bekannt. Da in A das xLA zur Frequenz fÄ gehört, ergibt sich aus (16.13) das L und die Schaltung ist quantitativ dargestellt. Ermittelt man zu dieser Schaltung (Abb. 87) den Verlauf des Eingangswiderstandes 9t 2 , so erhält man eine charakteristische Schleife nach Abb. 82, die für fA und fB durch R20 läuft, und die um so größer wird, je weiter A und B auseinander lagen. Meist liegt die so erreichte Kompensation nicht im gewünschten Frequenzbereich, sondern zwischen irgendwelchen Frequenzen fA und fB. Wenn man die einfache Kompensationsschaltung beibehalten will, muß man dann versuchen, die 9^-Kurve zu ändern. Hier hilft oft das Ähnlichkeitsgesetz des elektromagnetischen Feldes [16]. Dieses besagt, daß sich der Eingangswiderstand eines Gebildes mit Ausnahme der durch den Skineffekt verursachten, meist vernachlässigbaren Nebenerscheinungen nicht ändert, wenn man alle geometrischen Dimensionen des Gebildes sowie die Wellenlänge X um den g l e i c h e n F a k t o r vergrößert. Wenn also obige Kompensation geglückt war, kann man durch Verkleinerung oder Vergrößerung des das darstellenden Gebildes ein Sftj gewinnen, das die gleiche Kurve wie vorher durchläuft, aber bei entsprechend kleineren oder größeren Frequenzen, dessen Kompensation also in einem .entsprechend anderen Frequenzbereich nach dem gleichen Prinzip eintritt, wobei dieser Frequenzbereich dann der ursprünglich gewollte sein kann. Dieses Prinzip eignet sich besonders für den Eingangswiderstand von Antennen. E s ist aber auch möglich, das gegebene SRj zunächst mit einem Blindwiderstand zu kombinieren, um die 9^-Kurve dadurch so zu verändern, daß die Kompensation im gewünschten Frequenzbereich stattfindet. So kommt man zu einer quantitativen Darstellung der Kompensation mit d r e i Blindwiderständen, die außerordentlich viele Möglichkeiten hat. Ergänzendes Schrifttum: [ 1 5 , 5 4 ] . § 17. Filterschaitungen

E i n Filter ist eine Schaltung, die zwischen Generator und Verbraucher gelegt wird, und die für bestimmte Frequenzen Wirkleistung zum Verbraucher durchläßt (Durchlaßbereich), für andere Frequenzen den Leistungsdurchgang zum Verbraucher sperrt (Sperrbereich). Um definierte Verhältnisse zu erhalten, werden folgende idealisierenden Annahmen gemacht: Der Verbraucher ist ein frequenzunabhängiger reiner Wirkwiderstand Rv Das vorgeschaltete Filter besteht aus verlustfreien Blindwiderständen und der Innenwiderstand der speisenden Quelle ist ein frequenzunabhängiger reiner Wirkwiderstand R,- (Abb. 92). I m idealen DurchlaßAbb. 92.

Tiefpaßfilter

*

v

'

»1.1.10

bereich soll die Filterschaltung den Abschluuwiderstand am Filtereingang wieder unverändert als phasenreines R1 erscheinen lassen, also so wirken, als ob kein Filter vorhanden ist. An sich verbraucht das Filter keine Wirkleistung und läßt stets die aufgenommene Wirkleistung

Filterschaltungen

103

zum Verbraucher durch. Es wirkt in Verbindung mit dem Innenwiderstand des Generators aber derart, daß es im Sperrbereich eine so große Fehlanpas sung des Eingangswiderstandes 9t 2 a n den Innenwiderstand des Generators ergibt, daß 9t 2 praktisch keine Wirkleistung aufnimmt. Die quantitative Wirkung des Filters hängt daher sehr wesentlich vom Innenwiderstand Ri des Generators ab. Es interessieren einige Sonderfälle: 1. Ri ist sehr groß gegen alle auftretenden Werte von 9i 2 . Beim Stromquellenersatzbild ist neben @ 2 in (12.3) zu vernachlässigen und g 2 = Die Stromquelle liefert einen belastungsunabhängigen Strom in das Filter. Die Filterdämpfung beschreibt man hier am besten durch das Verhältnis des Stromes J1 im konstanten Verbraucher Rv zum konstanten Speisestrom / 2 = Jk nach (15.16) JJJk = i R 2 I R l =

(17.1)

wobei R 2 die Wirkkomponente des Eingangswiderstandes 9i 2 ist- Im Durchlaßbereich, wo R2 = Ri ist, wird J1!Jk — 1. Im Sperrbereich kommt es also darauf an, möglichst kleines i? 2 zu erzeugen. Setzt man den Quotienten JJJk gleich e~b, so gibt dieses b = In {JJJJ

= j l n (RjRz)

(17.2)

eine sehr zweckmäßige, quantitative Darstellung der durch das Filter erzeugten Dämpfung in Neper; vgl. (13.2) und (13.2a). Im Durchlaßbereich ist b = 0. 2. Ri ist sehr klein gegen alle Werte 5R2. In (12.1) ist dann Ri neben 9ft2 z u vernachlässigen und ttj = U 2 Die Spannungsquelle liefert eine belastungsunabhängige Eingangsspannung U 2 am Filter. Die Filterdämpfung beschreibt man hier zweckmäßig durch das Verhältnis der Spannung Ul am konstanten Verbraucher Rl zur konstanten Eingangsspannung Ut nach (15.16) U J U t = i G ^ G i = e"6, wobei G2 der Wirkleitwert des @ 2 = l/iK 2 und G1 = l/R1 ergibt sich die Filterdämpfung in Neper zu b = \n(Ui/U1)

=

\\n(Gl!G2).

(17.3) ist.

Nach (17.3)

(17.4)

Im Durchlaßbereich ist wiederum 6 = 0, U1 = IJ\- Im Sperrbereich kommt es dann darauf an, möglichst kleines G2 zu erzeugen. Die Aufgabe des Filters erfüllt man in beiden Fällen dadurch, daß der Eingangswiderstand 9t 2 im Sperrbereich ein Blind widerstand mit sehr kleiner Wirkkomponente ist. 3. Bei sehr hohen Frequenzen interessiert vorzugsweise der Sonderfall = Rv Im Durchlaßbereich besteht Anpassung und R x nimmt die maximal aus der Quelle entnehmbare Wirkleistung ^max = J £ V / f t i = |

UfIRi

(17-5)

104

Allgemeine komplexe W i d e r s t ä n d e

auf. I m Sperrbereich n i m m t das komplexe 9i 2 = R2 -(- jX2 eine wesentlich kleinere Wirkleistung TV = x / a ' # 2 a u f - I n Abb. 92 ist allgemein f ü r R i = R 1 das J2 gegeben durch J2 =- Uil | + 9i 2 | oder die durch das Filter geschickte Wirkleistung L 77 2

2

1

\R1 + m2\2~

]_

2

TT

Ul

2

^

/1 7

(R1 + R2)^+X22'

{ l L b }

I n diesem Fall beschreibt m a n die D ä m p f u n g des Filters a m besten durch den Quotienten der von Rt aufgenommenen Wirkleistung N n a c h (17.6) u n d der Wirkleistung A' m ax nach (17.5), die der Verbraucher R1 a u f n e h m e n w ü r d e , wenn kein Filter eingeschaltet wäre. N _ iVmax~

4RX R2 (R1 + R2y + X22'

(17 7)

-

U m einen Vergleich m i t den Formeln (17.1) u n d (17.3) zu erhalten^ k a n n m a n s t a t t (17.7) auch den Quotienten der Spannung Ux a m Verbraucher u n d der Spannung f / m a x bilden, die bei Abwesenheit des Filters a m Verbraucher bestehen w ü r d e : N ^ -1/ --~ 21/ in 8) 1 Umax ~ F ^max ~ \ (#1 + «2)2 + *22 ' (17.7) u n d (17.8) sind relativ unübersichtlich u n d werden daher durch ein einfaches K r e i s d i a g r a m m e r l ä u t e r t . Gesucht wird der geometrische Ort aller P u n k t e 9t 2 ™ der Widerstandsebene, die den gleichen Quotienten 7V/JVmax geben. (17.7) ist die Gleichung dieser K u r v e , nämlich eine Beziehung zwischen den K o o r d i n a t e n R2 u n d X2 der Widerstandsebene, wobei iV//V m a x eine gegebene Zahl ist. Dies ist offensichtlich die Gleichung eines Kreises, die nach U m f o r m u n g wegen R1 = Ri l a u t e t

R2 — 12

— 11 -R,

+ X22 = 4 ^ '

x

f e

x

- 1 W

(17.9)

Der M i t t e l p u n k t M des Kreises liegt auf der reellen Achse bei R2 = (2iVmax/W — 1 )R( u n d das Q u a d r a t seines R a d i u s ist die rechte Seite von (17.9). U m ein einheitliches D i a g r a m m zu erhalten, geht m a n wieder auf relative Widerstände über u n d dividiert alle Widerstände durch R f . ta = 9 W

= *«/»< + j X t / R f

(17.10)

Der relative Innenwiderstand der Quelle ist d a n n Ri/Ri = 1. I n dieser relativen Widerstandsebene m i t den K o o r d i n a t e n R2/R{ u n d X2/R( h a t der K r e i s (17.9) die Gleichung R i _ I Nm*x Ii< " -V

_

*2\2 + m

^

, -Vmax INn T f f - 1

!

-

( 1 7 1 1 )

Diese Kreise zeigt Abb. 93. W e n n also ein bestimmtes 9t 2 gegeben ist, berechnet m a n r 2 nach (17.10), t r ä g t dieses r 2 i n das D i a g r a m m ein u n d liest N/NmAX im P u n k t r 2 ab. Zunächst soll das Problem des Tiefpaßfilters behandelt werden, wo f ü r niedrige Frequenzen Durchlaß und f ü r hohe Frequenzen^ Sperre besteht. E i n erstes

105

Filterschaltungen

Filter dieser Art zeigt bereits Abb. 83a, wo der Widerstand Rt mit einem L und C nach (14.11) kombiniert ist und die Grenze des exakten Durchlasses etwa durch (16.1) gegeben ist. Abb. 84 zeigt f ü r dieses Filter den Verlauf des 9f 2 für alle Frequenzen, woraus -man die Dämpfung des Filters in Abhängigkeit

/

* 1

/

- t f

f

/

\

/A

//

\ 1

V *

\\ \w

\

\

/

115

\\4< \ V

1 "

\

\v>s-

\\v

1

/

/

//

'

/I

/

V E* \

[>

\ /

\

\

\

S

\

\\ /

\ \

»

2

/

/

/

\ N \

/

\

K A

/

/ x

/

/

/

/

Abb. 93. Wirkleistungsdiagramm

von der Frequenz nach (17.2), (17.4) oder (17.7) ermitteln kann. Bei Verwendung des beiliegenden Transformationsdiagramms zur Berechnung des ¡Ji2 rechnet man a m besten mit r e l a t i v e n d r ö ß e n nach (15.3) und (15.4), wobei m a n hier die Zahl Z gleich dem Rl setzt. Man erhält dann Ergebnisse, die f ü r alle Werte von R1 gültig sind. Der relative Abschlußwiderstand rx = R \ l R \ = 1 liegt dann in einem besonders günstigen P u n k t des Diagramms. I n Serie zu r1 ist nach Abb. 83 a der relative Blind widerstand x, — coL/R1 geschaltet. F ü h r t man hier K nach (16.1) ein und beachtet (14,11), so wird einfach xL = 0,l - f / f K .

(17.12)

Parallel dazu schaltet man dann den relativen Blindleitwert yc = coC • R1 der Kapazität, der nach (16.1) und (14.11) ebenfalls gleich yC = 0 , l - / / / K

(17.13)

ist. So erhält man sehr leicht die Kurve des relativen Eingangswiderstandes X.2= r2 J f j x 2 für alle Frequenzen /, die in Abb. 93 eingezeichnet ist. Die Wirkkomponente r 2 = Ji2/R1 kann man sofort in (17.1) benutzen und erhält JJJk = ]/V2. Zu r 2 liest man im Transformationsdiagramm das zugehörige g 2 = l / r 2 ab, insbesondere die relative Wirkkomponente g 2 = G 2 " R i = G 2 /O l , so daß man aus (17.3) U J U i = ]/g 2 >n einfachster Weise berechnen kann.

106

Allgemeine komplexe Widerstände

Zur Berechnung von (17.8) trägt man die relative Kurve r2 = das Diagramm der Abb. 93 ein, entnimmt zu jedem Punkt das N/Nmax und berechnet UJU max- Die in (16.1) definierte kritische Frequenz fK begrenzt den Bereich, wo der Eingangswiderstand 9i2 noch ausreichend genau mit R1 übereinstimmt (Kompensation). Die Siebwirkung des Filters beginnt jedoch erst bei wesentlich höheren Frequenzen und hängt maßgeblich von R i ab. Die in Abb. 93 dargestellte Kurve r 2 zeigt, daß die Wirkkomponente r2 für f > fK zunächst sogar noch ansteigt (vgl. Abb. 84), also für R t = oo der Faktor J1/Jk größer als 1 wird, um erst bei wesentlich höheren Frequenzen zu sinken. Auch für Ri = Rl sinkt das UJUmax zunächst fast gar nicht, weil sich die Parameter N/Nmax der Kreise der Abb. 93 in der Umgebung von 1 nur sehr langsam vom Wert 1 entfernen. Lediglich die Kurve Ux/Ut für Ri = 0 beginnt für f > fK sofort mit einem langsamen, wenn auch nicht befriedigenden Abfall. Der wesentliche Abfall beginnt etwa bei der zehnfachen kritischen Frequenz. Die Frequenz fs= 10 fK nennt man daher die Grenz f r e q u e n z des Filters. Es ist mit (16.1) wg = 2nfg = 10 wK = 1 /]/L C = Rx/L

iV/y/i/yy^/'.vwi'i

0,5

1,0

I

\/(RxC).

(17.15)

i l l l I I II Abb. 94 gibt zu der betrachteten Schaltung den Verlauf des J1/Jk für Quellen mit hohem Innenwiderstand R{, den Verlauf des U j U i für Quellen mit kleinem Innenwiderstand R i und des U J V m a x nach (17.8) für angepaßte Quellen (R} = Rt) in Abhängigkeit von f / f g . Aus den drei Kurven der Abb. 94 kann man dann die Filterkurven für andere R(-Werte leicht abschätzen. Bei der Grenzfrequenz sind die Blindwider5 stände nach (17.15) f/fs-

Abb. 94. E i n f a c h e Filterkurven

L/R1 == f / f g •

yc = coC • Rx = f / f g .

(17.17)

xL und yc sind stets gleich groß, während der Blindwiderstand XL des L um den Faktor ( f / f g ) 2 größer als der Blind w i d e r st a n d |X C | des C ist. Für größere Werte f / f g liegt das r 2 in Abb. 93 bereits so nahe an der imaginären Achse, daß die graphische Auswertung nicht mehr befriedigt. Man kommt dann

Filterschaltungen

107

wie folgt schnell zum Ziel: Für Frequenzen ///„ > 5 fließt wegen des großen XL der Eingangsstrom fast ausschließlich durch C, so daß näherungsweise einfach f/ 2 = J2/{mC) ist. Der Strom J l durch die Serienschaltung des L und wird dann aus U2 berechnet als J1 = U2!}/ (o)L)2 -)- Rt2. Da für diese hohen Frequenzen R1 jedoch wesentlich kleiner als c»L ist, wird angenähert J\ = U2/(O)L). Für R{ = oo ist J 2 = Jk und damit J J J k = \/{m2LC) = ( f a / f ) 2 nach (17.17) mit Ry nach (14.11). Für Ri = 0 ist U2 = Ux und somit nach (17.17) UJUi = Rj{1- und 0 des Widerstands und des Leitwerts entgegengesetzt gleich, so daß man 6 V nach (19.2) auch durch die Phasenwinkel der Leitwerte ausdrücken kann. Wenn man dann einen Widerstand parallelschaltet (z.B. 9i a in Abb. 81), ändert sich die Phase der Spannung nicht, weil U 2 = lt x ist. In einer längeren Schaltung nach Abb. 81 ändern also nur die Serienwiderstände die Phase der Spannung entsprechend der Konstruktion der Abb. 115. Wenn an der Parallelschaltung der Widerstände 9i 0 und 3ì1 (Abb. 116) die Spannung U liegt, so tritt eine Phasendifferenz ö j zwischen dem Strom in 9J 0 und dem Gesamtstrom durch die Parallelschaltung ein. Man rechnet dann mit Leitwerten @ 0 = l / 9 i 0 und (sJL -_= ]/5R r Durch @ 0 fließt der Strom So = U- @ 0 und durch die Parallelschaltung ( @ 0 + ©j) der Strom & = U (® 0 + ®i)-

Phasenschieber

121

Der Leitwert © 0 besitzt den Phasenwinkel 0 O nach (2.15) und (2.19), der Leitwert (® p + ©i) d e n Phasenwinkel 0 1 : @ 0 = |©0| • tj&°; ©o + © i = |@ 0 -|•e5'®1. Die Phasendifferenz Öj zwischen 3o u n ( l 3 t erhält man aus dem Quotienten

Es ist daher

\Jo

I

I

dJ = 0 1 — e o = 0 o — 0

v

(i9.4)

also gleich der Differenz der Phasenwinkel der betrachteten Leitwerte (® 0 -() und (350 oder anschaulieh in Abb. 116 der Nullpunktswinkel zwischen dem Ort @ 0 und (@ 0 -|in der L e i t w e r t s e b e n e . Da die Phasenwinkel der Widerstände und Leitwerte nach (2.19) entgegengesetzt gleich sind, kann man ö j nach (19.4) auch durch die Differenz der Phasenwinkel der Widerstände 9f 0 = l / © 0 und 9i = l / ( @ 0 + ®i) ausdrücken. Man beachte jedoch in (19.2) und (19.4) genau die Vorzeichen. Wenn man eine umfangreichere Transformationsschaltung aus Blindwiderständen nach Abb. 81 hat, zeichnet man den Transformationsweg in der Widerstandsebene. Dann geben alle senkrechten Geradenstücke (Serienwiderstände) einen Beitrag zur Phasendrehung der Spannung, während die Stücke der G-Kreise (Parallelwiderstände) dazu keinen Beitrag liefern. Bezüglich des Vorzeichens des d v nach (19.2) beachte man die Richtung, in der die Geradenstücke durchlaufen werden. Die Verschiebung durch eine Serieninduktivität gibt einen positiven Winkel, die Serienkapazität dagegen einen negativen Winkel. Der Transformations weg der Abb. 110 gibt z.B. insgesamt keine Phasendrehung, da die beiden Geradenstücke entgegengesetzte Richtung haben und für die Dimensionierung nach (18.3) bis (18.6) die beiden Drehwinkel entgegengesetzt gleich sind. Die Phasendrehung des Stromes findet dagegen längs der G-Kreise (Parallelwiderstände) statt und ist jeweils gleich der Differenz der Phasenwinkel der Endpunkte dieser Kreise. Bezüglich des Vorzeichens des d j nach (19.4) ergeben Parallelkapazitäten einen positiven, Parallelinduktivitäten einen negativen Winkel. Unter einer Phasenschieberschaltung im engeren Sinn soll eine Schaltung aus Blindwiderständen verstanden werden, die mit einem reellen R 0 abgeschlossen ist und k e i n e Widerstandstransformation bewirkt, dagegen aber eine definierte Phasendrehung. Hierzu eignen sich alle in § 17 genannten Filterschaltungen in ihrem Durchlaßbereich. Bei exaktem Durchlaß, wo das R 0 als Eingangswiderstand erscheint und der Transformationsweg wie in Abb. 105 oder 106 verläuft, also die Blindwiderstände durch (17.27) oder (17.28) gegeben sind, ist der Drehwinkel der Spannung bzw. der Drehwinkel des Stromes der in Abb. 105 bzw. 106 eingezeichnete Winkel ö v bzw. öj. In Abb. 105 ist im Dreieck O f i ^ / tg (dj/2) = X J I t v

(19.5)

Die Phasendrehung der Spannung erfolgt jeweils durch die Serienwiderstände j X t und jX., — j X v Nach (19.2) ist 6 u / 2 gleich dem Unterschied der Phasen-

Allgemeine komplexe Widerstände

122

winkel des 9}/ u n d des Rv

also tg (, die auf einem Kreis b1 = const liegen. Die mit F multiplizierten Zahlen F • a liegen dann auch auf einem Kreis und somit auch die 5R2 nach (20.28) auf einem um jXn verschobenen Kreis. Da alle Kreise b1 = const durch a = 0 gehen (vgl. Beilage I), gehen alle 9i 2 -Kreise für konstantes /?, durch jX2l. Ebenso geben alle mit gleicher Blindkomponente X x nach (20.29) gleiches b2, im Diagramm der Abb. 126 also entsprechende Kreise X1 = const, die auf den ersteren senkrecht stehen. Der Kreis für reelles 9l x = R1 geht durch die Punkte jX2l und jX2k. Die Kreissysteme der Abb. 126 und 72 unterscheiden sich nur dadurch, daß die reelle Achse des 3f 2 um X2l verschoben ist und daß die Parameter an den Kreisen Ri statt G und X , statt Y heißen, wobei Rj = G/F und Xl = Y/F JrXn ist. In einem Diagramm nach Abb. 126 findet man ohne Mühe zu gegebenem R1 und Xx den komplexen Punkt 9i 2 als 9

Meinke,

HochfregucnzschaUungsn

130

Allgemeine komplexe Widerstände

Schnittpunkt der zu diesen Parametern gehörenden Kreise. Insbesondere erkennt man leicht die Änderung des JR2 bei Änderung des 9ftj. Besonders einfach sind die s y m m e t r i s c h e n verlustfreien Vierpole. Dort ist A=D, also nach (20.22) und (20.25) Xu = — X2l, also nach (20.26) auch Xlk = —X2k. Aus (20.20) wird % + jB/A Hier benutzt man oft die Analogie zur homogenen verlustfreien Leitung nach §26. Man führt daher unter Benutzung von (20.24) und (20.22), zwei neue Größen Z und a durch folgende Gleichungen ein: B/A=X2k

=

Z-tga;

C/A = — l / X 2 I = tg a/Z,

(20.31)

wobei also z

= i q J

^ =

=

l

=

7

-

;

(20.32)

auf sehr einfache Weise aus leicht meßbaren Größen berechnet werden können. In den häufigen Fällen, wo Z und tg a reell sind, wo also X2k und X2l verschiedenes Vorzeichen haben, sieht man den symmetrischen verlustfreien Vierpol als ein Stück einer homogenen verlustfreien Leitung an und verwendet zur Berechnung seines Verhaltens die Methoden der Leitungstheorie (§ 27). Daher bezeichnet man das nach (20.32) definierte Z als den Wellenwiderstand des symmetrischen verlustfreien Vierpols und das a nach (20.33) als sein Phasenmaß. Das Wort „Wellenwiderstand" ist historisch begründet und entspricht in seinem eigentlichen Sinn nicht mehr dem heutigen Inhalt. Im angloamerikanischen Sprachgebrauch nennt man ihn treffender „characteristic impedance", also charakteristischen Widerstand. Schließt man nämlich den symmetrischen verlustfreien Vierpol durch den Widerstand = Z ab, so wird nach (20.30) und (20.31) auch 9i 2 = Z. Dieses reelle Z ist also der Widerstandswert, der durch den vorgeschalteten Vierpol nicht transformiert wird. Man vergleiche den Fall der Abb. 105 und 106. Daß dieser Widerstandswert charakteristisch für das Verhalten des Vierpols ist, zeigt später das Diagramm der Abb. 179. Vierpole mit komplexen Widerständen interessieren im allgemeinen nur unter zwei Gesichtspunkten, als Vierpole aus Blindwiderständen mit kleinen Verlusten, die man zweckmäßig nach der am Schluß von § 15 erwähnten Methode berücksichtigt, und als sogenannte Dämpfungsvierpole, bei denen der Vierpol nur noch einen sehr kleinen Teil der seinem Eingang zugeführten Wirkleistung dem Verbraucher zuführt. Am einfachsten orientiert man sich meßtechnisch über das Verhalten solcher Vierpole, indem man Blindwiderstände (einschl. = 0 und Stj = oo) an den Vierpolausgang legt und den zugehörigen Eingangswiderstand SR2 mißt. Während dann alle 9i 2 des verlustfreien Vierpols auf der imaginären Achse liegen, liegen sie im allgemeinen Fall auf einem Kreis

Schaltungen bei sehr hohen Frequenzen

131

nach Abb. 127, den man als den Kennkreis bezeichnen kann. Die Eingangswiderstände 9i2J. für = 0 und für = oo sind komplex. Man findet den Kreis bei bereits gemessenem 9i 2t und 3t2I, wenn man das 9i2 noch für eijien beliebigen Blindwiderstand = jX 1 mißt. Rechnerisch ergibt sich der Kreis bei gegebenen Vierpolkonstanten 91, 33, (£ und wenn man in (20.20) = jX 1 setzt und die komplexe Gleichung des 9i2 = R 2 -\in zwei reelle Gleichungen für i? 2 und X2 zerlegt. Eliminiert man aus diesen Gleichungen den Parameter X^ so erhält man die Kreisgleichung. Für beliebig komplexes 9fJj ergibt sich stets ein $R2 i n n e r h a l b des Kennkreises. Je kleiner der Kennkreis, desto mehr Wirkleistung geht beim Durchgang durch den Vierpol verloren. Bei verlustarmen Vierpolen muß der Kennkreis nahe an der imaginären Achse liegen. Je mehr sich im Betriebszustand bei gegebenem Verbraucher Sij der Eingangswiderstand 9t2 dem Kennkreis nähert, ein desto größerer Anteil der Wirkleistung geht im Vierpol verloren [20].

Abb. 127. Kennkreis eines verlustbehafteten Vierpols

Abb. 128. Ersatzbild für extrem gedämpfte Vierpole

In extremen Fällen kann der Kennkreis zu einem Punkt zusammenschrumpfen. Dann ist sein Eingangswiderstand 9i2 unabhängig von 9 t r Dies tritt ein, wenn die Vierpolwiderstände und Leitwerte in Abb. 123 wesentlich größer sind als der Widerstand oder Leitwert des Verbrauchers. Solche Vierpole betrachtet man dann nach dem Ersatzbild der Abb. 128. Eingangsscitig sind sie ein konstanter Widerstand 9t2, ausgangsseitig eine neue Spannungsquelle t t u mit einem Innenwiderstand 9t f l , der unabhängig vom 91,- der eingangsseitigen Spannungsquelle ist und vom Vierpol bestimmt wird. Die Leerlaufspannung U u der inneren Spannungsquelle ist nach (20.1) proportional zum Eingangsstrom Qf2: = ^ k ' 3a-

(20-34)

Der durch diese Gleichung definierte Proportionalitätsfaktor fR^., der die Dimension eines Widerstandes hat, wird als der Kopplungswiderstand des Vierpols bezeichnet. Ergänzendes Schrifttum: [6, 9, 18, 19, 20]. § 21. Schaltungen bei sehr hohen Frequenzen

Die Gesichtspunkte, die in § 13 und § 14 für die Einzelelemente behandelt wurden, gelten in gleicher Weise auch für die gesamte Schaltung. Je höher die Frequenz wird, desto weniger wird sich die Schaltung entsprechend den 9*

Allgemeine komplexe

132

Widerslände

theoretischen Erwartungen verhalten. D i e Verbindungsleitungen zwischen den S c h a l t e l e m e n t e n haben eine I n d u k t i v i t ä t mit nennenswertem Blindwiderstand, aber auch eine n i c h t vernachlässigbare K a p a z i t ä t . Man beachte die I n d u k t i v i t ä t des geraden Drahtes nacii (3.10) und ihren Blindwiderstand n a c h Abb. 3. Z. B. besitzt ein Draht v o n 1 m m Durchmesser und 1 cm Länge ein L 10 n H und bei / = 1 m bereits ein XL 19 £2. Der gleiche Draht h a t nach (5.8) eine K a p a z i t ä t v o n ungefähr 0,18 p F (Blindwiderstand | Xc \ ^ 3 0 0 0 Q. bei / == 1 m) gegen seine U m g e b u n g , wenn diese einen mittleren A b s t a n d v o n 1 c m v o m Draht hat. Solche Widerstandswerte k ö n n e n das Verhalten einer Schaltung schon wesentlich beeinflussen. H i n z u k o m m e n unübersehbare i n d u k t i v e und kapazitive K o p p l u n g e n zwischen den verschiedenen Schaltelementen, so d a ß m a n das wirkliche Verhalten einer Schaltung bei sehr hohen Frequenzen nur bei genauer Berücksichtigung aller N e b e n e f f e k t e i m voraus berechnen kann. Besondere Schwierigkeiten treten dann auf, wenn solche Erscheinungen das einfache Prinzip der Stufenschaltung der Abb. 29 durchbrechen, Brückenglieder (z. B. 3?5 in Abb. 29) über verschiedene Schaltelemente hinweg bilden und dädurch das bisherige einfache Berechnungsverfahren der Stufenschaltungen zunichte machen. W e n n man daher eine q u a n t i t a t i v richtige und nicht untragbar komplizierte Berechnung v o n Schaltungen bei sehr hohen Frequenzen erreichen will, ist man zur Verwendung äußerst einfacher Schaltungsgebilde gezwungen, bei denen das A u f t r e t e n unübersehbarer N e b e n e f f e k t e möglichst vermieden ist. Insbesondere w e n n m a n Schaltungen für b e s t i m m t e A u f g a b e n wie in den §§ 16 bis 19 bauen will, m u ß m a n e x a k t berechenbare Gebilde benutzen, da der gewünschte Zweck ja nur für g a n z b e s t i m m t e Widerstandswerte eintritt. Mit wachsender Frequenz werden die verwendeten Werte L und C immer kleiner und die Anteile der schwer übersehbaren und leicht beeinflußbaren Streufelder größer. Be1 n u t z t m a n die Formel (5.4a) / / \ / \ \ , I ' I \ für den Plattenkondensator •M)}/>/>\ der Abb. 129a, so ist die Ersatzbild: Ersatzbitd-. \ Streufeld R a n d s t r e u u n g durch die scheinbare P l a t t e n Verbrei— I I — C+C, terung A nach (5.5) zu beo. C T . Jf* rücksichtigen. B e i einer Abb. 129. Kondensator mit Streufeld wirklichen Plattenbreite b g i b t das Verhältnis der P l a t t e n f l ä c h e des homogenen inneren Feldes z u m Flächenanteil des verbreiternden A das Verhältnis des Kapazitätsanteils des homogenen inneren F e l d e s z u m A n t e i l des . äußeren Streufeldes. Mit abnehmender K a p a z i t ä t bei k o n s t a n t e m a und d, also abnehmender Plattenfläche F b , n i m m t b und d a m i t der Anteil des homogenen Feldes ab, während a)

I

ih

Abschirmung

fr

Schaltungen bei sehr hohen Frequenzen

133

das A annähernd gleich groß bleibt. Ein Vergleich von (5.5) bis (5.7) zeigt, daß A sehr wesentlich von der Form der Umgebung abhängt, also die Gesamtkapazität bei kleinem b sehr wesentlich durch Veränderungen in der Umgebung verändert wird. Zur Herstellung definierter Kapazitäten gehört deshalb vor allem eine definierte, unveränderliche, leitende Abschirmung. Es treten zwar auch Nebenkapazitäten Cx und C\ zwischen den Kondensatorplatten und der Abschirmung auf (Abb. 129b), jedoch sind diese oft berechenbar oder mindestens exakt meßbar. Wenn möglich verbindet man dann die eine Platte mit der Abschirmung wie in Abb. 129c und erreicht dadurch, daß die Nebenkapazität C\ verschwindet und C2 ein Bestandteil der gewünschten Kapazität wird. Dies ist ein erstes Beispiel dafür, wie man durch geeignete Wahl der äußeren Abschirmung das Ersatzbild eines Gebildes wesentlich vereinfachen und das Verhalten einer Schaltung übersichtlicher gestalten kann. Auch die Streufelder der Induktivitäten sollte man in dieser Weise begrenzen. Man vergleiche das einfache Beispiel der Abb. 7. Auch für umfangreichere Schaltungen ist das Vorhandensein der Abschirmung und ihr zweckmäßiger Einsatz innerhalb der Schaltung von großer Wichtigkeit. Abb. 130 zeigt 7777777777777777 die Breitbandschaltung der Abb. 107 Abschirmung in zwei möglichen Formen innerhalb einer Abschirmung. Das L„ hat zwei verschiedene Lagen, die rein theoretisch keinen Unterschied der Schaltung geben, wohl aber bei Berücksichtigung der Kapazitäten Abschirmung zwischen den einzelnen SchaltungsAbb. 130. A b g e s c h i r m t e r B r e i l b a n d t r a n s f o r m a l o r punkten und der Abschirmung. Eine dieser Nebenkapazitäten kann man jeweils ausschalten, indem man die Abschirmung mit dem zugei w.L _ 1L. hörigen Punkt der Schaltung verbindet. Wenn man dies in Abb. Abb. 131. B r e i t b a n d l r a n s f o r m a l o r m i t A b s c h i r m u n g 130a durchführt, verbleiben stets Nebenkapazitäten, die einen Brückenwiderstand (9}5 in Abb. 29) darstellen. Die Schaltung der Abb. 130b hat dagegen eine durchgehende Verbindung zwischen dem einen Pol des Generators und dem einen Pol des Verbrauchers. Wenn man diese mit der Abschirmung gleichsetzt, erhält man Abb. 131 und sieht, daß dann einschließlich der Nebenkapazitäten eine reine Stufenschaltung entsteht. Die Nebenkapazität a wurde in § 14 als Nebenkapazität des Wirkwiderstandes R0 ausführlich betrachtet und kann nach (14.11) unwirksam gemacht werden. Die Kapazität b ist eine Kapazität parallel zu Lj und in § 13 behandelt. Die Kapazität c der Abb. 130b ist verschwunden und die Kapazität d als Bestandteil des C2 zu berücksichtigen. Der Strom durch die Kapazität e

Allgemeine komplexe Widerstände

134

ist für die Schaltung jetzt ohne Interesse. Die Störerscheinungen werden also sehr übersichtlich, wenn man allgemein Schaltungen wie in Abb. 29 benutzt, die e i n e durchgehende Verbindung zwischen Generator und Verbraucher haben, und man die Abschirmung als diese durchgehende Verbindung benutzt. Eine Möglichkeit, mit Schaltungen zu arbeiten, die nicht unmittelbar an der Abschirmung hängen, aber das gleiche einfache Verhalten zeigen, sind die symmetrisch aufgebauten Schaltungen (Abb. 132), die durch Verdopplung der vorher betrachteten, sogenannten unsymmetrisch aufgebauten Schaltungen (Abb. 131) entstehen. Wenn das Gebilde dann auch räumlich völlig symmetrisch ist und symmetrisch in der Abschirmung liegt, sind alle entsprechenden Nebenkapazitäten jeweils gleich (ax = a 2 ; ¿j = ¿>2 usw.). Dann ist die Abschirmung eine neutrale Leitung, über die keine Ausgleichströme fließen (Querzweig einer genau abgeglichenen Brücke), so daß die gleichen Ströme wie in Abb. 131 fließen. Jede Störung der Symmetrie ändert dann aber das Verhalten der Schaltung in komplizierter Weise, so daß solche symmetrischen Schaltungen in der Hochfrequenztechnik bei höheren Frequenzen nicht empAbb. 132. Doppelschaltung fehlenswert sind. Eine Abschirmung ist zwar ein unvermeidlicher Bestandteil der Schaltung, aber sie bringt auch große Nebenkapazitäten, die mit wachsender Frequenz entscheidenden Einfluß gewinnen. Diese Kapazitäten stören nur dann nicht, wenn sie, wie in Abb. 131 die Kapazität d, parallel zu einer sowieso vorhandenen Kapazität C 2 liegen. Man macht dann lediglich das einzubauende C2 etwas kleiner, so daß man zusammen mit der Kapazität d den beabsichtigten Wert C'2 erhält und dieser Teil der Schaltung exakt den theoretischen Forderungen entspricht. Sehr störend dagegen sind solche Kapazitäten, die parallel zu Induktivitäten liegen (b in Abb. 131), da sich dadurch das Verhalten der Induktivität grundlegend ändert (Abb. 60). Daneben sind sehr gefährlich die Induktivitäten der Verbindungsleitungen in der Längsrichtung. Während eine Zuleitungsinduktivität in Serie • Vierpol Ersatzbild: zu einer Induktivität nicht stört, b) verändert eine solche das Verhalten a» einer Serienkapazität ganz erheblich. Abb. 133. Eine Schaltung aus Serien- Cx und Einfachster Vierpol für sehr hohe Frequenzen Parallel- Lx wie in Abb. 131 links macht daher bei sehr hohen Frequenzen große Schwierigkeiten, während die Schaltung aus Serien-L 2 und Parallel-C 2 i n Abb. 131 rechts sehr exakt dargestellt werden kann und daher für Schaltungen bei sehr hohen Frequenzen bevorzugt wird. Dies liegt daran, daß bereits ein Leiter relativ allgemeiner Form 2

—L

T T

Schaltungen bei sehr hohen Frequenzen

135

in einer Abschirmhülle nach Abb. 133a ein praktisch verlustfreier Vierpol ist, der alseine Kombination von verschiedenen L u n d C n a c h Abb. 133b aufgefaßt werden kann, weil jedes Leiterstück diese beiden Bestandteile in sich trägt. Das Studium solcher Schaltungen wird daher im folgenden einen großen R a u m einnehmen. Zunächst sollen einige grundlegende Eigenschaften derartiger Schaltungen, die sich aus Gliedern nach Abb. 134a u n d b zusammensetzen, geklärt werden. e)

i

1/2

L/Z

X ZLn = L xcn=c

Abb. 134. Elementarglieder

Abb. 135 zeigt die Transformation eines gegebenen 9tx durch solche Glieder. Die Schaltung der Abb. 134a transformiert 9tx über 9t 3 nach 9?6, die Schaltung Abb. 134b über 9t 4 nach 9t e . Solange 9i 1 und 9?6 dicht beieinander liegen, ist das Ergebnis 9?e bei gleichem L u n d C annähernd unabhängig davon, ob man Abb. 134a oder b benutzt. Auch wenn m a n die Aufteilung nach Abb. 134c verwendet, erhält m a n dann das gleiche 9t e über die Zwischenpunkte 9i 2 u n d 9f s der Abb. 135. Man gewinnt also das wichtige Ergebnis, d a ß die V e r t e i l u n g des L und C innerhalb einer (LC)-Transformationsschaltung gleichgültig ist, solange die Transformationswege klein Abb. 135. sind. Rechnerisch sieht dies folgender- Transformation durch Elementarglieder maßen aus: Liegt parallel zu einem Widerstand 9t ein kleiner kapazitiver Leitwert jwC, so lautet der Gesamtleitwert (l/9t -)- jcoC), also der Widerstand nach (1.8) 1/(1/91 + jcoC) = 91/(1 + jcoCfR) ~ 9t (1 — jmCfft)-

(21.1)

Die Näherung gilt, solange | c o C 9 t | < 0 , l , also a>C < 0,l/|9t| ist. Dann wirkt eine Parallelkapazität näherungsweise wie die Serienschaltung eines kleinen komplexen Widerstandes —/C%].

(21.3)

Das Ergebnis 9?6 der Schaltung der Abb. 134c mit o>C < 0,1 / 1 2 1 ergibt einen Wert zwischen den Werten 9i 6 nach (21.2) und (21.3): 9i6 = 3»! [1 + ¡(oLj^

— jcoCmj. + ofiLC (1 + SRa/3fl£)/2].

(21.4)

Die noch weiter unterteilten Schaltungen (Abb. I34d) ergeben ähnliche Werte wie (21.4). Das Zusatzglied ist stets proportional zu aflLC. Wenn co 2 LC < 0,01

(21.5)

ist, ist der Eingangswert 3?6 mit ausreichender Genauigkeit unabhängig von der V e r t e i l u n g des L und C in der Schaltung, solange die Summe L aller Induktivitäten und die Summe C aller Kapazitäten gleich bleibt. Damit dabei die Näherung (21.1) gilt und (21.5) erfüllt ist, muß für L und C folgende Nebenbedingung bestehen: wC< 0,1/191!|;

u>L < 0,1 • 19ij|.

(21.6)

Man kann aber auch jede solche Schaltung als einen symmetrischen Vierpol nach Abb. 134c auffassen und ihm einen Wellenwiderstand Z nach (20.32) und ein Phasenmaß anach (20.33) zuschreiben. Unter Berücksichtigung von (21.5) ist der Kurzschlußwiderstand dieser Schaltung X2k = o)L und der Leerlaufwiderstand Xn = — l/(coC), also Z=l/LIC-, tga

a = sm{*li)

Der Eingangsblindwiderstand lautet nach (23.2) und (23.2a) mit und (23.5) f ü r z •= l 3i 2 = / X 2 = U 2 /3 2 = / Z - t g ( a / + a / 1 ) : = / Z - t g [ a / + a r c t g ( X j / Z ) ] .

(23.3) _ .. ' /., (23.4) (23.6)

Dieses A'2 kann man aus Abb. 141b entnehmen, wenn man den Anfangsp u n k t od = 0 um cd, nach rechts verschiebt. Gleiches gilt für den Eingangsleitwert. Abb. 143a zeigt ein Beispiel f ü r positives Xx (induktiver Abschluß) und Abb. 143c f ü r negatives (kapazitiver Abschluß). F ü r X1 > 0 ist 0 < odi < n\2 oder nach (22.20) 0 < lx < 1*¡4. F ü r X1 < 0 wird dagegen tt/2 < 71 ß nimmt wegen der zunehmenden Induktivität | y 2 | immer mehr ab und erreicht für 10/?,. Dann kann man die Serienschaltung des jXK und Rl nach (9.3) umrechnen in eine Parallelschaltung des gleichen XK und eines sehr großen Widerstandes R2 = XKy Rv

(23.33)

Das unveränderte CK gibt zusammen mit dem Resonanzkreis eine Resonanz X = oo, so daß als Eingangswiderstand zwischen den gezeichneten Klemmen

Wellen auf einer

157

Leitung

der Abb. 150 nur das R2 nach (23.33) bleibt. Bei all diesen Schaltungen liegt parallel zum Ii2 der Verlustwiderstand des Resonanzkreises RK , der einen verkleinerten Wirkungsgrad der Transformation nach (10.16) bedingt. Wenn man die Kapazität CK als verlustfrei annimmt, wird R K = 1 /GL , also gleich dem reziproken Verlustleitwert der Leitung. § 24. W e l l e n a u f einer

Leitung

Zunächst wird die Leitung wieder wie in Abb. 137 als eine Folge kleiner Leitungsstücke Az mit der Induktivität AL = L* • Az und der Kapazität AC — C*- Az betrachtet, wobei Az so klein sein soll, daß co 2-AL-AC < 0,01 oder Az < 0,l/(a>"|/ L* €*) ist. Man vergleiche den Anfang von §22, insbesondere (22.2). Nach (22.13) bzw. (22.20) soll also Az < 0,1/« bzw. Az < 0,015A* sein, wobei /.* die in §22 auf der kurzgeschlossenen Leitung definierte charakteristische Länge („Wellenlänge") ist. Die bisherigen Betrachtungen müssen nun auf Abschlußwiderstände SRj der Leitung ausgedehnt werden, wo ein allgemeiner komplexer Widerstand ist. Zunächst soll wieder ein besonders einfacher Fall betrachtet werden. Der Abschlußwiderstand sei ein reiner Wirkwiderstand. Wenn dieser nun gerade so groß ist, daß er gleich dem Wellen widerstand Z der Leitung nach (22.4) ist, dann ist die durch den letzten Elementarvierpol der Leitung (Abb. 151) bedingte W'ider-X JL r* standstransformation bereits in Abb. 84 behandelt (Abb. 152). Unter der obigen Bedingung JL r OOO J

^ÖÖO^ÖOÖ'-j-

Je t

t

Abb. 151. L e i t u n g mit A b s c h l u ß w i d e r s l a n d Z

fi??' Fall RZ

A b b . 152. T r a n s f o r m a t i o n d u r c h ein kurzes I,eitungsstück

< 0,01, die mit der Bedingung R^oC und ojL/R1 kleiner als 0,1 in § 16 [Grenzfrequenz coK nach (16.1)] identisch ist, wird dann der Eingangswiderstand des Leitungsstücks gleich diesem Z, so daß der folgende Vierpol wieder den Abschlußwiderstand Z hat, also ebenfalls den EingangswiderstandZ. Die Vierpolkette der Abb. 151 hat dann in allen Zwischenpunkten den Eingangswiderstand Z. Es findet längs der Leitung keine W7iderstandstransformation statt. Dies stimmt mit den Betrachtungen über symmetrische verlustfreie Vierpole in §20 überein, wo der charakteristische Widerstand Z („Wellenwiderstand") als derjenige Widerstand erkannt wurde, der durch den Vierpol nicht transformiert wird. Nicht nur jedes Leitungselement, sondern auch das ganze Leitungsstück der Länge l ist solch ein symmetrischer verlustfreier Vierpol mit dem Wellenwiderstand Z = ]/ 1J*¡C* nach (22.4). co 2-AL-AC

158

Die h o m o g e n e L e i t u n g

Bei der Widerstandstransforma+ion durch reine Blindwiderstände in der Schaltung nach Abb. 81 berechnet man die reellen Amplituden U und J nach (15.15). Da hier keine Widerstandsänderung erfolgt, bleibt also U und J längs der Leitung k o n s t a n t , so daß die Verhältnisse außerordentlich einfach werden. Es findet lediglich eine Phasendrehung des Stromes $ und der Spannung 11 längs der Leitung statt, jedoch bleiben U und 3 in jedem Punkt z gleichphasig, weil ihr Quotient U / 3 = Z überall ein reiner Wirkwiderstand ist. In Abb. 152 Mitte ist die Widerstandstransformation des Z durch ein Leitungsstück Az betrachtet. Aus Z entsteht durch Serienschaltung des A L der komplexe Widerstand 3t' = Z jco • A L . Wie in Abb. 115 und (19.2) entsteht dadurch eine Phasendrehung d u der Spannung, die gleich der Differenz der Phasenwinkel der Widerstände 9t' und Z , also gleich dem Phasenwinkel 0 ' des 3t' ist. Da tg 0 ' = co • A L / Z nach (2.13) und für kleine Winkel 0 ' das t g 0 ' = 0 ' nach (1.17) ist, wird djj = w - A L j Z = m ] / L * C * •A z = « • Az

(24.1)

nach (22.4) und (22.13). Durch das Pärallelschalten des AC in Abb. 152 kommt 9t' nach 9t", wobei für die kleinen A L und AC wieder gleich Z ist. Dabei tritt eine Phasendrehung des Stromes Q um S j ein, die nach (19.4) gleich der Differenz der Phasenwinkel der Widerstände 9t' und 9ft" = Z ist, also gleich dem obigen 0 ' — 6 V . Auf der mit Z abgeschlossenen Leitung ist allgemein d j = d u und die Phasendrehungen auf einem Leitungsstück zwischen einem Ort z x und einem Ort z 2 proportional zum Abstand (z2 — Zj) dieser Punkte: 8

u

= d

J

= oc(z2 — z 1 ) = 2 n ( z 2 — Z y ) / X * .

(24.2)

Den Proportionalitätsfaktor « nennt man daher auch die Phasenkonstante der Leitung. Maßgebend für die Phasendrehung ist also das Verhältnis des Abstandes zur Wellenlänge auf der Leitung. Ein Leitungsstück der Länge Ä* dreht die Phase um den vollen Winkel 2n. Auch hier erkennt man das / * wieder als eine für das Verhalten der Leitung charakteristische Länge.. Es ist nun nicht mehr schwer, mit diesen Ergebnissen die exakte Lösung für die mit dem Wellenwiderstand Z abgeschlossene Leitung zu finden. Man geht in Abb. 151 lediglich zu infinitesimalen Leitungsstücken dz mit Induktivitäten d L = L * - dz und Kapazitäten dC = ¿7* • dz über. Die Vierpolgleichungen des infinitesimalen Leitungsstücks dz findet man bereits in (22.10) und (22.11). Ihre Lösungsfunktion ist hier nach den vorhergehenden Erörterungen eine Spannung und ein Strom mit längs der Leitung konstanten reellen Amplituden und einer Phasendrehung nach (24.2). Für einen beliebigen Ort z der Leitung gilt: U = U 1 .e , ' 2MM *;

3 =3i-e

l

(24.3)

wobei UA und die phasengleichen Größen am Ort z = 0 sind: UJ/^J = Z , und die Phasendrehung um az nach (2.2) als komplexer Faktor e J a z dargestellt wurde. Für beliebige Orte z der Leitung gilt dann ebenfalls tl/Q = Z- Die Funktionen (24.3) sind die e x a k t e n Lösungen für die Leitung mit stetiger

159

Wellen auf einer Leitung

homogener Längsverteilung. Zur physikalischen Veranschaulichung kann man von 11 und Q nach (24.3) über die komplexen Momentanwerte U und i nach (2.4) und (2.2) zu den reellen Momentanwerten u und i nach (2.1) übergehen: u = U1-eJ'(oji+2«w; Wenn man w=

i = 3 1 -e 3 ( u , i +

*.

(24.4)

23lzM )

und damit auch ^ die Phase 0 zuerteilt, wird daraus U l -

cos

(tot +

2nz/X*);

i =

J

l

•

cos

(cjt

+

2nz/X*).

(24.5)

Diese reellen Momentanwerte, die eine Welle darstellen, geben den wirklichen zeitlichen Ablauf der Leitungsvorgänge wieder. Zunächst soll nun ein Wellenvorgang ganz allZeitlicher A b l a u f einer W e l l e in v e r s c h i e d e n e n P u n k t e n z gemein betrachtet werden. I n d e r Funktion A • cos (cot -j- 2nzjX*) ist ein zeitlicher Ablauf mit einer räumlichen Abhängigkeit verknüpft. Man kann diese Funktion auf zwei Arten darstellen. Einmal nach Abb. 153 als cos-Kurve, die den zeitlichen Ablauf an einem bestimmten Ort z betrachtet. Die Schwingungsdauer r = 1// ist der zeitliche Abstand zweier gleicher Schwingungszustände. Zeichnet man dazu den Verlauf der Schwingung an einem anderen Ort (z -j- Az), so erhält' man eine verschobene cos-Kurve, die die Phasenverschiebung (24.2) zwischen den Schwingungen an den beiden Orten demonstriert. Abb. 154 zeigt für einen bestimmten Zeitpunkt den Momentanzustand der verschiedenen Schwingungszustände längs der Leitung. Als Wellenlänge X* bezeichnet man hier den räumlichen Abstand zweier gleicher Schwingungszustände in einem bestimmten Zeitpunkt. Zu einem späteren Zeitpunkt (t -(- At) erhält man eine verschobene cos-Kurve, weil alle Punkte der Leitung inzwischen einen anderen Schwingungsmomentanwert erreicht haben. Diese Verschiebnng des Momentanbildes längs der Leitung mit fortschreitender Zeit ist der eigentliche Inhalt des üblichen Wellenbegriffs (fortschreitende Welle). Als Phasengeschwindigkeit v * bezeichnet man die Geschwindigkeit, mit der sich das Momentanbild (Abb. 154) längs der Leitung verschiebt. Man bedenke jedoch, daß diese Verschiebung nur ein rein äußerliches Kennzeichen ist und sich unter Umständen bei einer Welle in Wirklichkeit gar nichts verschiebt, sondern dieses bekannte Bild der Welle nur durch die Phasenverschiebung (24.2) zwischen benachbarten Schwingungen entsteht. Denkt man sich einen unendlich langen Wellenzug mit der Wellenlänge X* und der Frequenz / und betrachtet man den

160

Die homogene Leitung

Durchgang der Welle durch einen b e s t i m m t e n P u n k t z, so laufen durch ihn je Zeiteinheit / Wellenlängen. I s t die Phasengeschwindigkeit v*, so ist also v* = / • X*.

(24.6)

Diese f u n d a m e n t a l e Gleichung wurde bereits in (1.7) benutzt, wo die Phasengeschwindigkeit der Wellen im freien R a u m gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Außenlei/er N a c h diesen allgemeinen Erkenntnissen soll die Welle (24.4) der Leitung in einem M o m e n t a n Innenleiter . J b ild veranschaulicht werden. z ^ t ^ -— Bewegungsrichtung

N a c h in

( 2 4 - 5 ) verläuft der Strom i

e i n e m

b e s t i m m t e n Zeitpunkt nach einer cos-Funktion als Längss t r o m auf dem Innenleiter der Abb. 155. E s wechseln Stellen großen Stromes (dargestellt durch mehrere Stromfäden) mit Stellen kleinen Stromes. Man beachte die Strcmumkehr m i t d e m Vorzeichen der cos-Funktion. I m Abstand /.* wiederholt sich das Bild. I m Außenleiter f i n d e t m a n eine entgegengesetzte Stromrichtung. D i e Stromkreise schließen sich durch die Querströme der Leitungskapazitäten. W e n n 11 die k o m p l e x e A m p l i t u d e der Leitungsspannung nach (24.3) ist, beträgt der Querstrom durch die K a p a z i t ä t C*-Az eines kleinen Leitungsstücks Az: = jo>C* • Az • U. Der Faktor j ergibt nach (2.6) eine Phasenverschiebung der Querströme /IQ gegen die Querspannung U u m 7tß, also auch gegen den Längsstrom 3 , der mit U phasengleich ist. Während sich also 3 i m reellen Momentan wert nach der F u n k t i o n cos (mt -j- 2nz/"/.*) ändert, ändert sich zlQ nach der F u n k t i o n cos (tot -)- 2JZZ/)* -j- 7t ß ) = I m Momentanbild längs der Leitung nach Abb. 155 — sin(a>Z -)- ^Ttzß*). liegt also das M a x i m u m des $ dort, wo ZlQ seine Nullstelle hat und umgekehrt. D i e Stromdichteverteilung des zlQ- ist durch größeren oder kleineren Abstand der Stromfäden dargestellt. E s e n t s t e h e n so zusammenhängende Stromkreise. ' D i e m i t Q phasengleiche Spannung 11 zwischen den Leitern hat ihr M a x i m u m dort, wo auch Q sein M a x i m u m hat. D i e Spannungspfeile 11 in Abb. 155 laufen also quer durch die Stromkreise. Dieses ganze Momentanbild wandert mit Phasengeschwindigkeit längs der Leitung. Für die Hochfrequenzt e c h n i k ist diese Wellendarstellung nur v o n geringem I n t e r e s s e ; d e n n die Welle ist charakterisiert durch ihre Wanderungsgeschwindigkeit v* und ihr Momentanbild, also durch Begriffe, die einer direkten Messung nicht zugänglich sind. Meßbar sind die reellen Amplituden J und (J an einem b e s t i m m t e n P u n k t der Leitung und die Phasenverschiebung (24.2) zwischen zwei Punkten. D i e s ist der Grund weshalb m a n in der Praxis nicht mit Wellen rechnet, sondern Wesentlich erfolgreicher mit d e m Vierpolbegriff. Eine Leitung ist also aufzufassen als eine stetige Folge infinitesimaler Vierpole mit den Vierpolgleichungen (22.10) und (22.11) (§26). Diese Vierpolbetrachtungen ges t a t t e n dann auch bei der i n h o m o g e n e n Leitung ( § 3 6 ) eine einfache Erweiterung, die der Wellenbegriff nicht mehr kennt. A b b . 155. M o m e n l a n b i l d einer L e i t u n g s w e l l e

Wellen auf einer Leitung

161

Wenn U und J die reellen Amplituden in einem P u n k t z sind und die mit Z abgeschlossene Leitung in diesem P u n k t nach Abb. 151 den Eingangswiderstand Z h a t , nimmt dieses Z die Leistung N = 1/2 J U = 1/2J2Z auf, d . h . die Welle transportiert je Sekunde durch den betreffenden Leitungsquerschnitt die Energie N. H a t die Leitung je cm Länge den Wirkwiderstand R*, so verbrauchte ein Leitungsstück der Länge dz die Wirkleistung dN = 1/2 J2R*-dz und die transportierte Wirkleistung N vermindert sich längs der Leitung in Richtung zum Verbraucher überall u m dieses dN. Da an der gleichen Stelle z das J im dN das gleiche ist wie das J im N, folgt dN = (TV/Z) R* • dz.

(24.7)

J e größer N (je größer also ./), desto größer ist dN. Da die Koordinate z a m Leitungsende beginnt, wächst N mit wachsendem z und dN ist also in (24.7) positiv. Aus (24.7) folgt die Differentialgleichung

Der Verlauf des N längs der Leitung wird also durch eine Funktion beschrieben, deren Differentialquotient bis auf einen konstanten Faktor gleich der Funktion ist. Diese Forderung erfüllt die Funktion K • e2ß'z mit beliebigem K. Wenn man diese in (24.8) einsetzt, folgt 1 R* Ä = 2 Z (24-9> und als Lösungsfunktion N = Ni' e2ßlZ, (24.10) wobei der F a k t o r K = N^ die am Verbraucher bei z = 0 ankommende Leistung ist. Schickt man in den Eingang einer Leitung der Länge l die Leistung so wird der Wirkungsgrad der Leitung ri1 = N1/Ni=e-iß>1. (24.11) J und U sind überall wegen N = 1/2 /2 Z = 1/2 U2/Z proportional zu ]/iV und sinken ebenfalls in Richtung zum Verbraucher langsam a b : U=U1-

eß,z;

J=Jy-

eßiZ.

(24.12)

ß x n e n n t man die Dämpfungskonstante der Leitung. Diese einfachen Betrachtungen gelten nur f ü r sehr kleines ßv wie man es in normalen Leitungen findet (§25). Wenn die Leitung ein Dielektrikum m i t dem Verlustfaktor de (§ 8) besitzt, treten zusätzliche Wirkleistungsverluste im Dielektrikum auf. Wenn U die reelle Amplitude der Leitungsspa'nnung ist, t r i t t in der Kapazität C* • dz des Leitungsstücks dz die Blindleistung 1/2 U2 o)C* • dz auf, also nach (8.11) die Wirkleistung dN = j

U2 o)C*Je • dz.

(24.13) 1

2

Die von der Welle transportierte Leistung ist N = /2 U /Z und dN also wieder dem N proportional dN = NZ-a>C*de • dz. (24.14) 11

Meinke, Hochfrequenzschaltungen

Die homogene Leitung

162

Bei hinreichend kleinem de ,wenn also Strom- und Spannungsverteilung praktisch die gleichen sind wie bei der verlustfreien Leitung, wird wegen Z = y L*jC* nach (22.4) ZcoC* = = 2ji/X* nach (22.20), und die Differentialgleichung für N hat die Form dN _ y 27tde Die Lösung f ü r N lautet wie in (24.10), wobei hier jedoch die neue Dämpfungskonstante ß2 = nJJl* (24.16) auftritt, die dem dielektrischen Verlustfaktor proportional ist. Da d, annähernd frequenzunabhängig ist, wächst dieses ß2 proportional zur Frequenz, weil A* nach (22.20) umgekehrt proportional zu to ist. Die dielektrischen Verluste der Leitung werden also mit wachsender Frequenz immer bedeutsamer, weil im ß1 nach (24.9) das R* nur dem Skineffekt nach (7.3) entsprechend proportional zu ]/eo wächst. Wenn das nach (24.9) und das ß2 nach (24.16) gleichzeitig vorhanden und beide klein sind, multipliziert man beide durch die Dämpfung hervorgerufenen Faktoren: N = N1-eißit-e2ß>z

=Nvtlt — 2 n z j } * ) , ebenso also auch in der komplexen Amplitude: Hinlaufende Welle: U'

3' = 3i' •¿i2nzß'\

Reflektierte Welle: II" = U x " • e~] 2"z,x';

g " = . e~3

;

(24.18)

Der allgemeinste Zustand einer Leitung ist dann durch eine Uberlagerung dieser beiden Wellen zu beschreiben: U=W

+ 1 1 " = U / • eJ'2n2,A* + U/'-e - i 2 " z / A *,

3=3' +

3"=3i'-e

M

*

163

W e l l e n auf e i n e r L e i t u n g

Diesen allgemeinsten Wellenzustand nennt man eine „gemischte Welle", die allgemein in § 26 behandelt wird. Die Vorgänge im § 22 und § 23 betreffen den Sonderfall, wo die hinlaufende Welle vollständig reflektiert wird und eine sogenannte „stehende Welle" entsteht. Während für die hinlaufende Welle die Beziehung U'l^'= Z auch für die komplexen Amplituden bestellt, findet man bei der reflektierten Welle die Beziehung U"/3" = —Z, weil beim Einsetzen der reflektierten Welle in (22.10) oder (22.11) beim Differenzieren nach z ein negatives Vorzeichen auftritt. Am Leitungende z = 0 ist dann die Spannung und der Strom gegeben durch U ^ I V + IV'; 3i = 3i' + 3 i " = ( U i ' — Liegt nun am Leitungsende ein komplexer Verbraucher

(24.20) so wird

% = = Z 0 V + tV')/0V - IV')(24-21) Es findet sich stets eine solche Wellenkombination von und Ii!", die am Ort z = 0 das für das 9tx passende Verhältnis U^/Si besitzt. Aus (24.21) folgt der Quotient „ (24.22) r ,* = ü i - = •"Ii*— 1 = r * . e3«V 11 1 K 1 IV ati/Z-t-1 Das komplexe Verhältnis 9\fZ des Verbrauchers zum Wellenwiderstand bestimmt das Verhältnis der komplexen Amplituden der beiden Wellen am Leitungsende. nennt man daher das Wellenverhältnis am Leitungsende. Der Absolutwert des r t * enthält das Verhältnis der reellen Amplituden Uj" und Ui der beiden Wellen, und seine Phase 0X* ist die Differenz der Phasen des Uj" und U/. Ist r* das Wellenverhältnis in einem beliebigen Punkt z der Leitung, also der Quotient der a j y mt Spannungen VL" und U' der beiden Wellen in diesem Punkt, so ist der Absolutwert r* überall gleich weil bei Vernachlässigung der kleinen Verluste die reellen Amplituden U" und U' der Wellen gleich groß bleiben. Es ändert sich lediglich / die Phase 0* des r*, weil die zum V / V'/ Verbraucher laufende Welle U' nach 3min i (24.19) eine mit wachsendem z wachsende Phase, die reflektierte Welle Abb. 156. Spannung und Strom längs der Leitung U" aber wegen der geänderten Bewegungsrichtung der Welle nach (24.19) eine mit wachsendem z abneh . mende Phase hat. Daher enthält 0 * die doppelte Änderung

\ * Y/ -

3( Z ist, wird bei gleicher Spannung der Strom durch die Induktivität kleiner und die Transformation ergibt nach Abb. 152 rechts eine resultierend kapazitive Wirkung. In gleicher Weise kann man auch die Transformation eines beliebig komplexen 9i 1 durch ein kurzes Leitungsstück finden. Setzt man dies über die Vierpolfolge der Abb. 166 fort, so erhält man stufenweise Transformationen, wie sie in der oberen Hälfte der Abb. 167 für einen reellen Widerstand Rl Z dargestellt sind. Sogewinnt man anschaulich das Transformationsverhalten eines größeren Leitungsstücks. D a die reelle Amplitude J des Eingangsstroms der Teilvierpole bei Vernachlässigung aller Verluste nach (15.15) proportional zur Wurzel aus der reziproken Wirkkomponente des Eingangswiderstandes des jeweiligen Vierpols ist, ändert sich J entsprechend längs der Leitung und man gewinnt so eine vierpolmäßige Erklärung der Stromkurve der Abb. 156b. Da die reelle Amplitude U der Spannung längs der Leitung nach (15.15) proportional zur Wurzel aus der reziproken Wirkkomponente des Eingangsleitwerts ist, erklärt man durch die Widerstandstransformation der Abb. 167 auch die Spannungskurven der Abb. 156a. Am Ort des Spannungsmaximums (Stromminimums) sind U und Q phasengleich, weil dort auch alle Teilwellen tt', IX" und phasengleich sind; dort ist der Eingangswiderstand der Leitung reell und zwar größer als Z. Ebenso ist am Ort des Spannungsminimums (Strommaximums) der Eingangswiderstand reell, aber kleiner als Z. Macht man die Länge Az der Leitungsstücke immer kleiner, so gewinnt man mit differentiellen Leitungsstücken dz die exakte Form des Leitungsverhaltens. (24.19) gibt bereits die allgemeinste Form der Leitungsvorgänge als Lösung der differentiellen Vierpolgleichungen (22.10) und (22.11). Sie ist jedoch für die praktische Verwendung nur dann geeignet, wenn man sie durch (24.20) auf

Die homogene Leitung

176

a m die Größen und Leitungsende bezieht, u m Yierpolgleichungen wie in (20.1) f ü r eine L e i t u n g endlicher Länge zu erhalten. Aus (24.20) folgt Ki1 =1li(U1 + $1Z) u n d U j " = V 2 (U, — S j Z ) ; die zugehörigen Ströme erhält m a n aus ^ = U { ¡ Z u n d = — VL^'/Z. Aus (2.3) ergeben sich die b e k a n n t e n Formeln

1/2 [e' 2"zlx' + e~ > 2n2/A*] = cos (2nzß*); 1 / 2 [e>

2nzl

j

>-' — e~

2 zl

* *']

(26.1)

= j sin ( 2 n z / ? * ) .

(26.2)

Setzt m a n dies alles in (24.19) ein, so bleibt als endgültige F o r m der Vierpolgleichungen U =

U j • coa(2nzß*)

3 =

/• (UJZ)

+

/ & Z • s i n (2ttz/A*) ;

sin(2nzß*)

( 2 6 3 )

• c o s (2nzß*).

+

N a c h (20.1S) bis (20.18) v e r h ä l t sich also die Leitung wie ein v e r l u s t f r e i e r s y m m e t r i s c h e r Vierpol m i t den K o n s t a n t e n 21 = ® = cos (2tiz/1*), 83 = jZ • sin(2:rz/A*) u n d g = j(\/Z) sm(27izß*), die die Bedingung (20.19) erfüllen. Man beachte auch die U m f o r m u n g (20.31) bis (20.33), wobei hier az = 2 n z ß * das P h a s e n m a ß a ist. Zunächst soll die W i d e r s t a n d s t r a n s f o r m a t i o n d u r c h eine Leitung der Länge / b e t r a c h t e t werden. Man k a n n dazu (20.30) benutzen. Z u m k o m p l e x e n Abschlußwiderstand 9l x = l l j / ^ i gehört nach (26.3) d a n n der Eingangswiderstand Ug _ 2

~

82 ~

ml +

jZ.tg(2nlß*)

1 + / (SRi¡Z)

tg (2nlß*)'

>

Diese komplexe Gleichung k a n n m a n m i t Hilfe graphischer Methoden so einfach darstellen, d a ß sie a u c h f ü r kompliziertere Anwendungen übersichtlich wird. Zweckmäßig b e t r a c h t e t m a n zunächst den Sonderfall eines r e e l l e n Abschlußwiderstandes = m - Z , der kleiner als der Wellenwiderstand sein soll (m < 1). Dieser Z u s t a n d l ä ß t sich d a n n später sehr einfach auf den Fall eines allgemeinen Sij erweitern. F ü r m-Z ist m+jtg(2nlß*) m

* =

Z

1 +

(26 5)

jm-tg(2nlß*)

"

m i t dem Realteil l + tg2(2

m 7

nlß*)

u n d d e m Imaginärteil >X' = W

-

»')

•

1 +

(26

-7>

Man sucht n u n in der komplexen Widerstandsebene alle P u n k t e 9t 2 , die durch Leitungen m i t gleichem Wellenwiderstand Z, aber verschiedener Länge l aus d e m gleichen Abschlußwiderstand m-Z hervorgehen. Zu diesem Zweck eliminiert m a n aus (26.6) u n d (26.7) die Größe tg(2nlß*) u n d erhält eine Gleichung zwischen R2, X2, Z u n d m von folgender F o r m :

R

Z

>-\ (l +

m

2

+ *2 2 =

2

\ m

(26.8)

Die L e i t u n g als Vierpol

177

Da die Ableitung dieser Gleichung etwas umständlich ist, beweist man sie am besten dadurch, daß man (26.6) und (26.7) in (26.8) einsetzt und nachweist, daß sich eine Identität ergibt. (26.8) ist die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf der reellen Achse bei x / 2 Z (ljm -f- m) liegt und den man am besten durch seine Schnittpunkte m • Z und Z/m mit der reellen Achse charakterisiert. Ein solcher Kreis wird im folgenden als m-Kreis bezeichnet (Abb. 168).

Ferner benötigt man in der Widerstandsebene die Kurve der Punkte 9J2> durch eine Leitung konstanter Länge l aus reellen Widerständen m • Z bei verschiedenem m entstehen. In diesem Fall eliminiert man aus (26.6) und (26.7) die Größe m und erhält eine Gleichung zwischen R2, X2, Z und Iß* in der Form #22 f + Z ' ctg (inlß*)]2 = [Z/sin(4ml/X*)] 2 . (26.9) Diese Gleichung beweist man ebenfalls am einfachsten dadurch, daß man R 2 nach (26.6) und X2 nach (26.7) einsetzt. (26.9) ist die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf der imaginären Achse bei — Z - c t g ( 4 n l / k * ) liegt und der durch den Punkt Z geht. Ein solcher Kreis wird im folgenden, kurz als /-Kreis bezeichnet (Abb. 168). Wenn ein bestimmter reeller Widerstand m-Z gegeben ist, zeichnet man zunächst seinen w-Kreis. Zu gegebener Leitungslänge l berechnet man Iß* und zeichnet den ¿-Kreis. Der gesuchte Eingangswiderstand 9?2 ist dann der Schnittpunkt der beiden Kreise (Abb. 168). Es gibt stets zwei Schnittpunkte. Der richtige ist derjenige, bei dem zwischen der reellen Achse und dem zuge12

M e i n k e , Hochfrequenzschaltungen

178

Die homogene L e i t u n g

hörigen Abschnitt des /-Kreises der Winkel 4 n l ß * wie in Abb. 168 liegt. Der zweite Schnittpunkt ist der Eingangswiderstand 9t2' der gleichen Leitung, die mit dem Widerstand Z/m abgeschlossen ist. Mit wachsendem Iß* wandert 9i2 auf dem wi-Kreis im Uhrzeigersinn. Wenn umgekehrt ein komplexes 3}2 gegeben ist, so liegt dieses bei gegebenem Z auf einem m-Kreis und einem Z-Kreis der Widerstandsebene. Den m-Kreis kann man nach Abb. 169 finden. Die Winkelhalbierenden des Winkels —Zfä^Z und des zugehörigen Außenwinkels schneiden die reelle Achse in den Punkten m-Z und Z/m. Diese Konstruktion beruht auf dem Lehrsatz des Apollqnius aus der elementaren Geometrie für das Dreieck — Z $ i 2 Z . Den i-Kreis findet man durch die Konstruktion der Abb. 170. Der Mittelpunkt M des Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke di2Z mit der imaginären Achse. Abb. 170 zeigt ferner die Beziehungen einiger wichtiger Punkte zur Größe l/X*. Aus diesen Tatsachen folgt folgender wichtige Satz, der das quantitative Arbeiten mit Leitungsschaltungen wesentlich erleichtert: Wenn eine Leitung mit dem Wellen widerstand Z gea) geben ist, kann man sich jeden komplexen Widerstand (also auch den Abschlußwiderstand 9^) entstanden denken aus einem reellen Abschlußwiderstand m-Z und einer r/2 XV* J/U* A* vorgeschalteten Leitung vom Wellenwiderstand Z und bestimmter b) Länge l (Abb. 168), wobei man den Wm Punkt m-Z nach Abb. 169 und die Größe l/X* aus dem Winkel i n l ß * der Abb. 170 finden kann. Weiteres in § 27. Die Vorgänge auf m X72 MX' einer mit einem beliebig komplexen Widerstand abgeschlossenen Leitung sind also die gleichen wie auf einer um längeren Leitung, die mit einem reellen Widerstand m-Z abgeschlossen ist. Alle auf Leitungen auftretenden Erscheinungen kann man daher auf der mit einem reellen Widerstand abgeschlossenen Leitung studieren, deren Gleichungen wesentlich einfacher als bei komplexem Abschluß sind. Man kann sich sogar auf den Fall m < 1 beschränken. Für einen reellen Abschlußwiderstand m-Z (m < 1) ist m-Z = Abb. Spannung und Strom auf der Leitung Dann wird aus (26.3)

179

Die Leitung als Vierpol U = l l j [coä(2nzp*) + j (l/m) sin(2nzjl*)}; & [cos(27izß*) + jm • sin(2nzj!*)}. 8

(26.10)

(26.11)

Die komplexen Amplituden U und g entstehen aus ihren Werten Uj und am Leitungsende (z = 0) durch einen komplexen Faktor, der von m und zß* abhängt. Leicht meßbar und daher wichtig ist der Verlauf der reellen Amplituden , — U= U-L ]/cos (2nz/X*) + (l/m) 2 sin 2 (2nz/k*); (26.12) J = Jx ]/cos2 (2nzji*) +

w2

. sin2 (2nzß*),

(26.13)

deren Verlauf f ü r m = 0,5 in Abb. 171a dargestellt ist. Die Darstellung in der Form J7/i/ m a x und / / / m a x ist sehr zweckmäßig, da dann beide Kurven gleichen Verlauf zeigen und nur um A*/4 gegeneinander verschoben sind. Man vergleiche Abb. 156. Diese Kurven haben die Periode l*/2. Stets ist dabei m

ferner Ux = Umjn und ^maT

— fmin/^max — ^min/Mrnax. Jt =

'max*

IST ' ^^ »

Abb. 172 zeigt eine Serie von Spannungskurven für verschiedene Werte m, wobei m = 0 der Sonderfall der Abb. 141a ist. Die Phase der Spannung U bezogen auf die Phase der Spannung t ^ am Leitungsende, also der Phasenwinkel dv des Quotienten U/Uj, ist nach (26.10) gegeben durch tg 8V = (l/m) tg(ZjizjX*). (26.16) Abb. Abb. 173 zeigt als Kurve 4 den Verlauf des 8V f ü r m = 0,5 und vergleichsweise in Kurve 3 für m = 1 nach (24.2) (Abschlußwiderstand Z). Mit wachsender Fehlanpassung macht djj wachsende Schwankungen um die mittlere Gerade. Im Extremfall m = 0 treten nach Kurve 5 Sprünge u m n auf [Vorzeichenwechsel der sinFunktion in Gl. (22.18)]. Die Phase des Stromes $ bezogen auf die Phase des Stromes am Leitungsende, also der Phasenwinkel des Quotienten lautet dementsprechend 12*

(26.14)

Wegen Uy/Jl = m-Z ün

= Jr,

•Z.

ist nach

(26.14) (26.15)

172. Spannungskurve für reellen Abschluß

Abb. 173. Phasen längs der Leitung bei reellem Abschluß

180 nach (26.11)

Die homogene

Leitung

tg dj = m- tg(2nz//*).

(26.17)

Den Verlauf von dj findet man in Abb. 173 für m = 0,5 in Kurve 2 und vergleichsweise für m = 1 in Kurve 3, für rn — 0 in Kurve 1. Die Sprünge des dj für m = 0 liegen nach (22.19) dort, wo die cos-Funktion ihr Vorzeichen wechselt. Dem gleichmäßigen Wandern der Phase nach (24.2) bei Anpassung (9i, = Z) entspricht ein ungleichmäßiges Wandern bei Fehlanpassung. , Sehr günstig ist die Darstellung des tl und g durch Pfeile nach Abb. 1, deren Größe und Richtung von m und z/2* abhängt. In Abb. 174 ist der Pfeil für m = 0,5 in Abhängigkeit von zß* dargestellt. Er enthält nach (26.11) zwei Bestandteile, einen Vektor • cos (2jizjX*), der mit dem Ausgangsstrom phasengleich ist, und einem Vektor • sin (2ttz/A*), der dazu senkrecht steht. Auf der angepaßten Leitung mit m — 1 ergibt sich nach (2.3) der Vektor (24.3) konstanter Länge Jv dessen Abb. 174. Slromellipse Endpunkt P auf einem Kreis mit dem Radius J1 läuft, wobei der Winkel 8 j nach (24.2) proportional zu z ist (Abb. 174). Aus diesem P erhält man nach (26.11) den EndZXz/}* punkt P' des Vektors Q für beP' liebiges m durch senkrechte Projektion, wobei sich die Abstände von der waagerechten Achse um 0 den Faktor m verkleinern. Aus dem äußeren Kreis wird dann eine Ellipse mit dem Achsenverhältnis m, auf der P' in Abhängigkeit von z mit wechselnder Geschwindigkeit nach Abb. 173 wandert. Die in Abb. 175. Relative Strom- und Spannungsellipse Abb. 174 gezeichneten Punkte auf der Ellipse entsprechen konstanten Abständen Azjl*. Ihre Dichte stellt also die Änderungsgeschwindigkeit der Phase in Abhängigkeit von zß* dar. An den Stellen der Ellipse, wo der Pfeil $ lang ist, dreht sich ^ nur langsam. An den Stellen, wo der Pfeil kurz ist, dreht sich $ schnell. Dies ist die anschauliche Erläuterung der Kurven der Abb. 173. Abb. 174 stellt eine Vereinigung der Darstellungen der Abb. 171a und 173 (Kurve 2) dar. Man vergleiche diese Abbildungen. Der Vektor IX

Die Leitung als Vierpol

181

besteht nach (26.10) ebenfalls aus zwei Teilen und sein Endpunkt P" wandert ebenfalls auf einer Ellipse mit dem Achsenverhältnis m. Die Spannungsellipse steht jedoch senkrecht zur Stromellipse, weil das Maximum der Spannung am Ort z des Stromminimums liegt (Abb. 171a). Wenn man beide Ellipsen in Abb. 175 gleichzeitig darstellen will, betrachtet man die Vektoren f/i^max u n ( l 3/^max- Dann erhält man nach (26.14) zwei gleiche Ellipsen, wobei man die zusammengehörenden Werte von II und durch Projektion aus dem gleichen Punkt P eines äußeren Kreises mit dem Radius 1 gewinnt und zwar einmal durch senkrechte Projektion, einmal durch waagerechte Projektion, wobei sich jedesmal der Abstand von der Achse um den Faktor m verkleinert. Das zu einem bestimmten z gehörende P findet man auf dem äußeren Kreis mit Hilfe des Winkels 2nz\)*. Wenn eine Leitung von gegebenem Wellenwiderstand Z mit einem komplexen Widerstand JRj abgeschlossen ist, sucht man nach Abb. 169 und Abb. 170 die beiden durch 9ij gehenAbb. 176. Widerstandstransformation den Kennkreise. Wenn diese beiden Kreise in Abb. 176 gegeben sind, kennt man die zugehörigen Werte m und IJX* der beiden Kreise. SR, denkt man sich dann entstanden aus einem reellen Widerstand m-Z und einem vorgeschalteten Leitungsstück der Länge l v Sucht man den Eingangswiderstand SR2 der vor geschalteten Leitung der Länge l, so ist dieser gleich dem Eingangswiderstand einer mit m-Z abgeschlossenen Leitung der Länge (Z-f- ) und wie in Abb. 168 zu finden. Durch Vorschalten der Leitung wandert im Uhrzeigersinn auf seinem Abb. 177. Strom- und Spannungsellipse bei m-Kreis nach $R2 bis zum Schnittkomplexem Abschluß punkt des Z-Kreises mit dem Parameter {l-^-l^ß*. Abb. 177 beschreibt die Konstruktion der Strom- und Spannungs vektoren bei komplexem Abschluß widerstand. Es gibt wieder die beiden gleichen Ellipsen der Abb. 175. Auf dem Außenkreis gewinnt man mit Hilfe des Winkels 2 n l j l * den zum Leitungsende gehörenden Punkt Pi und aus ihm wie in Abb. 175 durch Projektion die Endpunkte P ^ und Pi" der Vektoren llj/U m ; i x und 3i/^max des Leitungsendes (z = 0). Dreht

Die homogene Leitung

182

man sich dann auf dem Außenkreis um den Winkel 2nz/l*, so erhält man den Punkt P, der zu dem Leitungsort z gehört, und aus ihm die Vektoren U/Z7max und 3/^max a m 0 r t z- Die eingezeichneten Winkel dj und Su geben die Phasendrehung durch die Leitung an. Das Verhältnis der Vektorlängen {U/UmxJliU-ilUmax) gibt das Verhältnis U/U v also die Änderung der reellen Amplitude der Spannung. Entsprechendes gilt für den Strom. Abb. 171b bis d zeigen den charakteristischen Verlauf der reellen Amplituden für verschiedene Abschlußwiderstände bei gleichem Wert m-Z, wobei also ähnliche Verhältnisse auftreten wie in Abb. 143. Abb. 171b behandelt den Fall eines 9tj mit induktiver Komponente, wo stets kleiner als 2*/4 ist, Abb. 171c den Fall eines 9i1 mit kapazitiver Komponente, wofür A*/4 < < Ä*/2 ist. Abb. 171 d zeigt den Fall des reellen Abschlußwiderstandes = Z/m (m < 1), der eine Verallgemeinerung des offenen Leitungsendes der Abb. 143b darstellt (h = x*mWenn man mit Leitwerten rechnet, ist die Leitung mit dem komplexen Leitwert = Si/tt], abgeschlossen. Man sucht dann den Eingangsleitwert der Leitung der Länge l, der nach (26.3) lautet ffl

3»

( ^ + 7(1/2)

tg(2nl/?*)

Diese Formel gleicht formal (26.4), wobei lediglich © 2 und 9R2, und 9t1( sowie Z und 1/Z vertauscht sind. Für den Eingangsleitwert © 2 gelten also entsprechend alle für den Widerstand 3}2 abgeleiteten Beziehungen, so daß bei Leitungen Widerstände und Leitwerte in gleicher Weise behandelt werden können. Man kann den komplexen Abschlußleitwert ebenfalls ersetzen durch einen reellen Leitwert m/Z und eine vorgeschaltete Leitung der Länge l r Es gibt durch @ 1 einen m-Kreis mit dem Mittelpunkt bei (1 Im -f- m)/(2Z) nach (26.8), der die reelle Achse in den Punkten m/Z und 1 /(m-Z) schneidet und nach Abb. 169 konstruiert werden kann. Ferner gibt es durch einen ¿-Kreis mit dem Mittelpunkt bei —(1/Z) ctg (47ilL/X*.) nach (26.9), der nach Abb. 170 konstruiert werden kann. Die Transformation des (SJj nach © 2 findet man dann wie in Abb. 176. Weiteres in §27. Eine wesentliche Vereinfachung erreicht man im quantitativen Umgang mit Leitungsschaltungen durch die Diagramme des § 27. Lediglich für sehr kleine m versagen diese Diagramme. Für sehr kleine m rechnet man daher mit den folgenden einfachen Näherungsformeln. Es sei m < 0 , 1 . Der m-Kreis der Abb. 168 wird dann sehr groß und die Ellipsen der Abb. 175 sehr schmal. Die folgenden Betrachtungen beschränken sich wieder auf den Fall eines sehr kleinen, reellen Abschlußwiderstandes m-Z. Für den allgemeinen Fall eines komplexen Abschlusses sind lediglich alle Längen um das passende l t zu vergrößern. Abb. 172 läßt erkennen, daß für sehr kleines m nur geringe Unterschiede gegenüber der Kurve für m = 0 der Abb. 141a auftreten werden. Lediglich die in Abb. 178 vergrößert gezeichnete Umgebung des Minimums läßt das m > O in Erscheinung treten. In der kleinen Umgebung des Spannungsminimums ist nach (1.16) cos (2nz/l*) 1 und nach (1.15) sin (2nzjl*)

Leitungsdiagramme

183

2n -Az/X*, wobei Az der Abstand des betrachteten Punktes Minimums (Az = 0) ist. Dann wird aus (26.12) U =

UMLA

Y T +

Den Vergleich dieser Kurve mit der Kurve für m = 0 zeigt Abb. 178. Mit ?=(27i/m) (Az/X*) ist dies der reziproke Verlauf einer Resonanzkurve nach Abb. 45. Da man den Spannungsnullpunkt auch als Spannungsknoten bezeichnet, charakterisiert man die Kurve (26.19) durch die „Knotenbreite". Knotenbreite ist in Abb. 178 der Abstand -J- Az der beiden Leitangsorte, wo die Spannung U den ]/2-fachen Wert der Minimalspannung C7min hat. Dies tritt nach (26.19) dort ein, wo (2,nlm)(Azß*) = ± 1 ist, also bei

z vom

Ort des

(26.19)

(2NFM)2(ÄZ/K*)2-

Abb. 178. Spannungskurve für kleines m

Az = ± X* • m/(2ji). (26.20) Man vergleiche die Definition der Bandbreite eines Resonanzkreises nach (11.1) und (11.2). Für den Eingangswiderstand erhält man aus (26.6) und (26.7) nur dann einfache Näherungsformeln, wenn nicht nur m, sondern auch | m • tg (2nl/X*) | klein bleibt. Von der folgenden Näherung sind also diejenigen Bereiche der Leitung ausgeschlossen, für die | tg (2nl/X*) | groß ist, also die Umgebung des Spannungsmaximums. Für den dadurch ausgeschlossenen Bezirk kann man ähnlich einfache Näherungen für den Leitwert (26.18) entwickeln. Es sei also M < 0,1 und | M- tg (2TII/X*) \ < 0,1. Dann wird in (26.6) und. (26.7) der Nenner gleich 1 und in (26.7) das (1 — m2) ^ 1. Mit 1 - f tg2(2TII/X*) == 1/cos 2 (2ti//A*) ergibt sich dann i? 2 = mZ/cos2

(2nlß*);

jX2 = jZ- tg (2jü/l*).

(26.21)

Das X2 unterscheidet sich im Bereich der Näherung nicht von dem X2 für m = 0 nach (22.15) und Abb. 141b. § 27. Leitungsdiagramme

Zur einfachen Behandlung von Leitungsaufgaben ist aus der Konstruktion der Abb. 168 ein Diagramm entwickelt worden. Die Grundlage des Diagramms ist der Begriff des relativen Widerstandes. Als relativen Widerstand r bezeichnet man den Quotienten des wirklichen Widerstandes 91 und des Wellenwiderstandes Z. Der relative Widerstand ist eine dimensionslose Zahl. Nach (24.22) hängt das Verhalten der Leitung wesentlich von dem Quotienten O^/Z ab. Mit + j X L ist

= gyz = RJZ+jxjz

= n+

jxr

(27.1)

Die homogene Leitung

184

Gesucht wird der Eingangswiderstand 3i 2 = R2 -f- jX2 und sein relativer Wert r 2 = m2/Z = RJZ + jXJZ

= r 2 + jx2.

(27.2)

Umgekehrt gewinnt man den wirklichen Widerstand aus dem relativen Widerstand durch Multiplikation mit Z gt = x-Z=r-Z+jx-Z=

R + jX.

(27.3)

Bei Benutzung relativer Größen wird aus (26.4), wenn man beide Seiten durch Z dividiert, die fundamentale Gleichung 2 —

v1+itg(2nlß*) 1 -h / r x • t g ( 2 n l ß * )

(Z7A)

Auch wenn man mit Leitwerten rechnet, benutzt man relative Größen. Der relative Leitwert als dimensionslose Zahl ist sinngemäß das P r o d u k t des wirklichen Leitwerts (Jj = G - J - / T und des Wellenwidei standes Z Q=®-Z

= G-Z + jY-Z=g

+ jy.

(27.5)

In der Umkehrung gewinnt man das wirkliche @ aus dem relativen g durch Division durch Z @ = 9ß =

g/Z + jyß

= G+

jY.

(27.6)

Formt man die Leitwertgleichung (26.18) durch Multiplikation mit Z auf relative Größen um, so ergibt 9 l + /tg (2nlß*) 0 2 - l + / 8 x - t Ä (2nlß*) (Z7-7> eine Gleichung, die formal mit (27.4) übereinstimmt. Der relative Leitwert ist nach (27.3) und (27.5) der Reziprokwert des relativen Widerstandes: 9 = 1/r.

(27.8)

Bei Benutzung relativer Größen erhält man Gleichungen, die unabhängig von Z sind, also ein Diagramm zu entwickeln gestatten, das für a l l e homogenen Leitungen brauchbar ist. Dieses Diagramm ist dann auch g l e i c h z e i t i g für Widerstände und Leitwerte brauchbar. Die Abb. 168 bis 170 und Abb. 176 lassen sich unmittelbar auf relative Widerstände r übertragen, wenn man in ihnen Z = 1 setzt. Die relativen Widerstände wandern also beim Vorschalten einer Leitung auf einem m-Kreis, der nach (26.8) folgende Gleichung hat: 111 , \i22 r i1 /11 \i2 w m) -j- X2 = i—/ T7.9) 20 1\m 1 +m 2 \m j Diese Kreise mit dem Mittelpunkt bei 1 / 2 (l/ra-|- m) gehen durch die Punkte m und 1/m der reellen Achse. Abb. 179 zeigt das System dieser w-Kreise. Die /-Kreise haben im relativen Koordinatensystem nach (26.9) die Gleichung r

2 _j_ [ £

c

t g (4nlß*)] 2 = 1/sin 2 (4nlß*).

(27.10)

Abb. 179 zeigt ebenfalls eine Serie solcher Z-Kreise. Da die trigonometrischen Funktionen in (27.10) die Periode I ß * = 0,5 besitzen, sind alle /-Kreise, die sich im Parameter Iß* um Vielfache von 0,5 unterscheiden, identisch. Der

185

Leitungsdiagramme

Punkt 1 teilt den /-Kreis in zwei Teile. Der Teil oberhalb der reellen Achse hat einen anderen Parameter Iß* erhalten als der Teil unterhalb der reellen Achse, weil zur Vermeidung von Verwechslungen stets m < 1 angenommen wird und dann die beiden Teile des Kreises nach Abb. 168 (9t2 und 9i 2 ') verschiedenen Leitungslängen entsprechen, wenn man stets von einem Punkt m-Z mit m < 1 ausgeht. Dieses Kreissystem der Abb. 179 zeichnet man auf ux-o.13

ux-w

on

0,36

0.35

W

0.17 0.1S

0.13

0.20

021

0.22

033 0.32

0.31

0,30

0.29

0.23

UX-0.27

A b b . 179. K r e i s d i a g r a m m für relative W i d e r s t ä n d e

gewöhnliches Millimeterpapier als Grundnetz und erhält dann das Diagramm, das als Beilage I I des Buches zu finden ist. Dieses Diagramm wird im folgenden stets als L e i t u n g s d i a g r a m m bezeichnet. Zu jedem komplexen Punkt r der relativen Widerstandsebene gehört eine Zahl m und eine Zahl Iß*, nämlich die Parameter der beiden durch x gehenden Diagrammkreiss. Den Widerstand 31 = t • Z kann man sich dann entstanden denken aus einem reellen Widerstand m • Z und einer vorgeschalteten Leitung der Länge l. Nach (27.4) ist dann m + i tg (2jtZ/A*) (27.11) 1 + / m • tg (2nl/Ä*) mit der Wirkkomponente wie in (26.6) r =

m

1 +

tg2 ( 2 n l ß * )

1 +

m2-tg2(27il/?*)

(27.12)

und der Blindkomponente analog (26.7) ] X -

= / ( l - -m*

tg mi

(2nlj)* •t g 2 (2 n l ß * )

(27.13)

Die Anwendung des Leitungsdiagramms: Gegeben ist der Abschlußwiderstand SRj _-j- jXv der Wellenwiderstand Z der Leitung und die Wellen-

186

Die homogene Leitung

länge A*. Man berechnet zunächst den relativen Widerstand r x nach (27.1) und sucht mit Hilfe des Grundnetzes (Beilage II) den P u n k t rL mit den Koordinaten und xv Dieser P u n k t liegt auf einem m-Kreis, dessen Parameter das m (26.14) des Transformationsvorgangs ergibt. r x liegt ferner auf einem /-Kreis, dessen Parameter IJX* man abliest. kann man dann ersetzt denken durch einen reellen Widerstand m-Z und eine vorgeschaltete Leitung der Länge l v Die Ersatzgrößen und m findet man also sehr einfach. H a t die dem vorgeschaJtete Leitung die Länge l, so berechnet man l/X* und verschiebt t j wie in Abb. 176 auf seinem m-Kreis im Uhrzeigersinn nach r 2 , wobei sich der Parameter des ¿-Kreises von I^/X* u m l/X* auf (1^/X* -)- l/X*) erhöht. I n r 2 kann man die relativen Werte r 2 und x2 aus dem Grundnetz ablesen und findet dann den wirklichen Eingangswiderstand 9l2 durch Multiplikation mit Z nach (27.3). In Abb. 179 sind die Punkte r x und r 2 f ü r das folgende Zahlenbeispiel eingetragen: = 32,4 + / 14,4 Q ; Z = 60 Q ; = 0 , 5 4 - f / 0,24. Es ist also m = 0,5 und IJX* — 0,05; gegeben ist ferner die Leitungslänge l = 12,5 cm und X* = 50 cm, also l/X* = 0,25. r 2 liegt dann auf dem m-Kreis mit m = 0,5 beim Parameter IJX* - f l/X* = 0,30: r 2 = 1,56 — / 0,68. Aus Z = 60 Q. folgt 3d2 = 93,5 — / 40,8 £X Wenn die Summe (IJX* + l/X*) größer als 0,5 sein sollte, zieht man so oft 0,5 ab, bis der Parameter kleiner als 0,5 ist, weil ein Parameterzuwachs u m 0,5 jeweils einen vollen Umlauf auf dem m-Kreis darstellt. Dieses wichtige Diagramm wurde erstmalig von O. S c h m i d t [23] angegeben. I n gleicher Weise geht man vor, wenn man das Diagramm auf Leitwerte anwenden will. Dies beruht auf der formalen Gleichheit von (27.4) und (27.7). Es wird also in Zukunft das Leitungsdiagramm der relativen Widerstandsebene und das Leitungsdiagramm der relativen Leitwertsebene unterschieden. Zum gegebenen Abschlußleitwert berechnet man nach (27.5) den relativen Leitwert gj = •Z = -)- / yv Mit Hilfe der Koordinaten gj und y1 des Grundnetzes trägt man den P u n k t gx in das Diagramm ein und liest in g., den Parameter lx/X* ab. Die vorgeschaltete Leitung der Länge l verschiebt gx im Uhrzeigersinn auf dem m-Kreis, wobei sich der Parameter des /-Kreises von IJX* u m l/X* auf (IJX* -j- l/X*) erhöht. Der so gewonnene P u n k t g 2 h a t die Koordinaten g2 und y2 im Grundnetz, aus denen man den wirklichen Eingangsleitwert @2 nach (27.6) berechnet: © 2 = g j Z -f- / y 2 /Z. Der Übergang von einem gegebenen relativen Widerstand r auf seinen relativen Leitwert g = 1/r nach (27.8) ist im Diagramm sehr einfach: Schaltet man vor das t j nach (27.4) eine Leitung der Länge l = A*/4, so wird 2nl/X* = n/2 und tg (2nl/X*) = oo. Um die Gleichung auch dann noch benutzen zu können, formt man sie vorher dadurch um, daß man Zähler und Nenner mit — / ctg (2nl/X*) multipliziert. Man erhält dann _ —/r1-ctg(2^/A*)+ 1 — / ctg(2nliX*)^x1 F ü r l = ;.*/4 wird ctg (2nl/X*) = 0 und r 2 = l / r r Wenn man also in Abb. 180 von einem gegebenen t 1 ausgehend den Parameter des Z-Kreises u m 0,25 erhöht,

Leitungsdiagramme

187

also auf den zweiten Schnittpunkt des ¿-Kreises mit dem m-Kreis übergeht, so hat dieser Punkt r 2 den Wert 1/tj = g^ ist also gleich dem relativen Leitwert des 9 t r Wenn man bei Leitungsrechnungen vom Widerstand zum Leitwert übergehen muß, so wandert man einfach zum zweiten Schnittpunkt der beiden Diagrammkreise. Das genannte Diagramm kann auch zur Berechnung von Strom und Spannung benutzt werden. Zunächst muß man dann nach Abb. 181 die Transformation des relativen Widerstandes von r t nach und des relativen Leitwerts von gt nach g2 [*W/*5 -Vf, auf dem m -Kreis kennen. Da die Leitung verlustfrei ist, gilt nach Abb. 180. Überganglvom Widerstand zum Leitwert (15.16) für die reellen Amplituden U 2 I U 1 = Y G j G 2 = Y^]g i -, (27.14) / 2 / / x = V r j h , = V ^ / z v (27.15) Die Änderung des Stromes und der Spannung ist also stets umgekehrt proportional zu der Wurzel aus den relativen Wirkkomponenten (Abb. 181). Auch die Phasenänderungen ö j des Stromes und d a der Spannung bei der Transformation gibt das Diagramm nach einer einfachen Regel. M ist in Abb. 182 der Mittelpunkt Abb. 181. des m-Kreises, der nach (27.9) bei Zur Berechnung von Strom und Spannung m m V2 ( V + ) liegt. Zunächst soll eine mit einem reellen Widerstand m-Z abgeschlossene Leitung betrachtet werden. Den Transformationsweg in der relativen Widerstandsebene von m nach r gibt Abb. 182. Es soll nun bewiesen werden, daß der Winkel 2 d j zwischen der reellen Achse und der Verbindungsgeraden Ml liegt. Nach (26.17) Abb. 182. Phasenbeziehungen am m-Kreis ist tg d j = m • tg (2712/2*), also 2m • tg (2nzjX*) tg(2 gleichsetzt. W e n n m a n dies auf eine Leitung m i t beliebig komplexem Abschlußwiderstand anwendet, e r h ä l t m a n den Transformationsweg der Abb. 183 von r 1 nach r 2 . W e n n m a n sich d a n n Sij aus einem reellen Abschlußwiderstand m-Z e n t s t a n d e n d e n k t , ist die P h a s e n d r e h u n g des Stromes bei der T r a n s f o r m a t i o n von r x n a c h r 2 gleich der Differenz der n a c h Abb. 182 gewonnenen Phasendrehungen von m nach r 2 u n d von Iijm m nach r t . Der Winkel 26 j h a t d a n n die in Abb. 183 gezeichnete Lage und ist sehr leicht aus d e m D i a g r a m m zu e n t n e h m e n . Die P h a s e n d r e h u n g der S p a n n u n g f i n det m a n bei reellem Abschluß r li =— m m i t Hilfe des zu r geAbb. 183. Phasenbeziehungen bei komplexem Abschluß h ö r e n d e n

relativen

Leitwerts

g

=_- 1/r, der nach Abb. 180 aus d e m r gewonnen wird. Der Winkel 2 6 u liegt d a n n nach Abb. 182 zwischen der reellen Achse u n d der Strecke M g. Der Beweis ist ähnlich wie zu dj. Bei allgemeinem, k o m p l e x e m Abschluß f i n d e t m a n den Winkel 2 6 u n a c h A b b . 183 zwischen den entsprechenden L e i t w e r t s p u n k t e n gj u n d g 2 . E i n Nachteil des bisher entwickelten D i a g r a m m s ist, d a ß m a n stets n u r einen Teil der Widerstandsebene zeichnen k a n n , weil sie unendlich groß ist. E s gibt zahlreiche Möglichkeiten, durch geeignete Abbildungsverfahren vollständige D i a g r a m m e e n d l i c h e r Ausdehnung aus dem D i a g r a m m der Abb. 179 zu entwickeln. So wie m a n die komplexe Zahl r durch ihre rechtwinkligen K o o r d i n a t e n r u n d x beschreibt, k a n n m a n sie auch vollständig d u r c h die Angabe der beiden Größen m u n d ///,*, also durch die P a r a m e t e r der beiden d u r c h den P u n k t r gehenden Diagrammkreise festlegen, m u n d l/X* n e n n t m a n d a n n die Leitungskoordinaten des x. D a m zwischen 0 u n d 1, Iß* zwischen 0 u n d 0,5 liegt, h a t m a n eine neue Koordinatendarstellung, deren K o o r d i n a t e n endlich bleiben, wenn auch die W i d e r s t a n d s k o o r d i n a t e n r u n d x unendlich g r o ß werden. 9t = oo h a t die Leitungskoordinaten m = 0 u n d Hl* = 0,25. W e n n m a n darauf verzichtet, die Widerstandsebene im Diagramm darzustellen, sondern das Ziel verfolgt, eine möglichst brauchbare Rechenhilfe in Diagrammf o r m zu erreichen, k a n n m a n Abb. 184 benutzen. Das neue D i a g r a m m e n t h ä l t ein rechtwinkliges G r u n d n e t z f ü r die Leitungskoordinaten. Dieses G r u n d n e t z ist der E r s a t z f ü r die Kreise der Abb. 179. An die Stelle der w-Kreise t r e t e n die waagerechten Geraden m = const, an die Stelle der /-Kreise die senkrechten Geraden l , = const. E i n gegebenes w a n d e r t beim Vorschalten einer Leitung der Länge l nach Abb. 185 einfach auf der waagerechten m-Geraden u m das Stück Iß* nach r 2 . U m die Lage eines durch seine Widerstandskoordinaten rl

Leitungsdiagramme

189

190

Die homogene Leitung

und x t gegebenen Punktes r x in dem Diagramm finden oder zu einem im Diagramm gegebenen P u n k t t 2 die Widerstandskoordinaten r2 und x2 leicht ablesen zu können, zeichnet man in Abb. 184 Kurven r — const und X — const, die im Diagramm der Abb. 179 den Geraden r = const und x = const

• l/X'-0.25 Abb. 185. Zur Anwendung der Abb. 184.

(in Abb. 179 gestrichelt), also den Koordinatenlinien des Grundnetzes der Beilage I I entsprechen. Die Gleichung der Linie r = const ist (27.12), wo man dem r einen bestimmten konstanten Wert gibt und eine Gleichung zwischen den Leitungskoordinaten m und l/X* erhält. Diese Kurve findet man graphisch sehr leicht, wenn man das Kreissystem der Abb. 179 besitzt. Zu dem jeweils gewünschten r zeichnet man dort die senkrechte, gestrichelte Gerade r= const oder nimmt im Diagramm der Beilage I I die entsprechende Gerade r = const des Grundnetzes. Zu jedem P u n k t r dieser Geraden kann man dann das m und Iß* ablesen und mit Hilfe dieser beiden Zahlen den Ort dieses Punktes in das Koordinatennetz der Abb. 184 eintragen. Ebenso findet man die Linien x = const aus (27.13), wenn man dem x einen konstanten Wert gibt, oder aus dem Kreissystem der Abb. 179, durch das man eine waagerechte Gerade x = const legt. Man verfolge in Abb. 179 die dort gestrichelt eingezeichneten Geraden r = 0,7 und x = 0,3 und die entsprechenden Kurven in Abb. 184. Abb. 185 zeigt die Anwendung dieses neuen Diagramms auf die Transformation von t j nach r 2 f ü r das gleiche Zahlenbeispiel wie in Abb. 179. Man berechnet aus Sij und Z das r x = t-J -(- j xL nach (27.1). Das r t ist in Abb. 185 der Schnittpunkt der Kurven r t = 0,54 und xL = 0,24. Das t j verschiebt sich dann auf der waagerechten Geraden m = 0,5 um das Stück l/X* = 0,25 nach r 2 . r 2 ist der Schnittpunkt der Kurven r 2 = 1,56 und x 2 = — 0,68: r 2 = 1,56—-/0,68. Die lineare Bewegung von r 2 nach r 2 gestattet bei verschiedenen Aufgaben (§ 30) neue graphische Lösungsmöglichkeiten, die das Diagramm der Abb. 179 mit der- komplizierteren Kreisbewegung nicht gestattet. Andererseits gestattet auch das Diagramm der Abb. 179 bei anderen Aufgaben wieder Lösungsmethoden, die mit dem Diagramm der Abb. 184 nicht möglich sind. Beide Diagramme sind daher je nach Aufgabenstellung verwendbar. Es sei darauf hingewiesen, daß man die m-Teilung des neuen Diagramms auch logarithmisch verteilen kann. Dann erhält man das Dia-

191

Leitungsdiagramme

ÖC2>-

S?CS

192

Die homogene Leitung

gramm der Abb. 186, das auch eine befriedigende Anwendung auf sehr kleine m-Werte gestattet. Im Buchdruck erscheinen solche Diagramme oft unübersichtlich, da sie bei der praktischen Verwendung zweifarbig sein sollen wie die beiden Beilagen dieses Buches. Auch dieses Diagramm läßt sich ohne Abänderung für relative Leitwerte verwenden. Es werden dann die Kurven r == const Kurven konstanten relativen Wirkleitwerts, also g = const, und die Kurven x = const Kurven konstanten relativen Blindleitwerts, also y = const. Beispiele der Anwendung in Abb. 211b und 215. Ebenso wie man einen Widerstand durch Vorschalten einer Leitung in einen anderen Wert $R2 nach (26.4) verwandeln kann, so kann man auch eine durch $Rt- und Uj gegebene Spannungsquelle durch Vorschalten einer Leitung verändern. Die Spannungsquelle mit der vorgeschalteten Leitung der Länge l (Abb. 187a) wirkt wie eine neue Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand 9?/ und der Leerlaufspannung Uj' (Abb. 187b). Der Innenwiderstand einer Spannungsquelle ist der Widerstand, den man zwischen den beiden Klemmen der Quelle mißt, wenn man die 1 ' 0 __ r ^- [ _ | Klemmen des Uj kurzschließt. 10* Z. B. mißt man in Abb. 187 a ^ ^ 50 1 zwischen den Klemmen 3 und 4, 20 0 wenn man die Klemmen 5 und 6 Hi' kurzschließt. Ebenso mißt man W 1°—I I—2 das neue 9t/ zwischen den Klemu'i l men 1 und 2, wenn man die Klem> v v , „„ „ ' Add. 187. J ^Transformierte SpannungsqueUe men 5 und 6 kurzschließt. 9t/ ist 2 o also der Eingangswiderstand der Leitung der Länge l, die mit dem Widerstand 9tf abgeschlossen ist. Das 9f}j wird also durch eine Leitung nach den gleichen Gesetzen transformieit wie ein gewöhnlicher Abschlußwiderstand: "

1

- - ! Z • tg (27il//.*) J (^ilZ)tg(2jilß*)

\tt.iO)

Auch diese Transformation kann mit den beschriebenen Diagrammen durchgeführt werden. Die reelle Amplitude U{ der neuen Leerlaufspannung kann wegen der Verlustfreiheit der vorgeschalteten Leitung wieder nach dem Prinzip, der durchgehenden Wirkleistung berechnet werden. Die ursprüngliche Spannungsquelle (Abb. 187a) mit = Ri~\~ j X t und der reellen Amplitude Ui gibt, wie in (17.5) bei reellem Innenwiderstand, auch bei komplexem Innenwiderstand 9 t , = Hir\ jXt die maximale Wirkleistung Nmax = 1U Ui2!Ri ab. Da die Leitung verlustfrei ist, muß auch die Ersatzspanrlungsquelle der Abb. 187b die g l e i c h e maximale Wirkleistung 7Vmax = 1/8Ui'2/R,' abgeben. Es ist daher ähnlich wie in (27.14) einfach Ui'/Ui = fÜT/iti

= Yrlir,,

(27.19)

wobei r- = R- ¡Z und ri = RJZ die relativen Wirkkomponenten der Innenwiderstände sind. Man vergleiche die Erläuterungen zur Abb. 181.

Die Leitung als Meßgerät

193

Von besonderem Interesse ist der Fall 9t, = Z, wo stets 9t/ = Z u n d U{ = Ui ist. E i n e Spannungsquelle, deren I n n e n w i d e r s t a n d gleich dem Wellenwiders t a n d Z der Leitung ist, wird durch Leitungen beliebiger Länge u n v e r ä n d e r t übertragen. F ü r 9t, 4- Z s c h w a n k t Ui in Abhängigkeit von der Leitungslänge wie die S p a n n u n g U längs einer fehlangepaßten Leitung k o n s t a n t e r Länge. Will m a n die von einem Abschlußwiderstand 3 t aus einer gegebenen Spannungsquelle m i t = Z e n t n o m m e n e Wirkleistung N berechnen, so transf o r m i e r t m a n 9i x in den reellen W i d e r s t a n d 3 \ = m - Z . Die a n den gleichen Ort t r a n s f o r m i e r t e Spannungsquelle erscheint d o r t wegen 9tf = Z u n v e r ä n d e r t : 31/ = 9t, = Z, Ui = Ui- Infolge der Verlustfreiheit der Leitung ist d a n n die v o m reellen W i d e r s t a n d 31 = m • Z aufgenommene Wirkleistung gleich der gesuchten, vom Abschlußwiderstand v e r b r a u c h t e n Wirkleistung N'1 t/(2 m ' 2 ~Z~ (L - mf

N ,r

1

=

max

4 m (T+~m)*'

(27.20)

2

wobei A max = / 8 Ui IZ die v e r b r a u c h t e Wirkleistung bei Anpassung 3t = Z (m — 1) ist. Der F a k t o r 4m/(l -(- m)2, u m den sich die Leistung gegenüber vV max verkleinert, ist f ü r m > 0,5 n u r von geringem Einfluß. Man darf also noch ganz erhebliche Fehlanpassungen zulassen, ehe der Verbrauch an Wirkleistung stärker a b n i m m t . D a die von d e m komplexen Abschlußwiderstand 9tj bei 9t, = Z aufgenommene Wirkleistung nach (27.20) n u r eine F u n k t i o n von m ist, so sind also f ü r 9t,. = Z d i e m-Kreise des Leitungsdiagramms auch Kreise k o n s t a n t e r Wirkleistung N. Ergänzendes S c h r i f t t u m : [24, 25]. § 28. Die Leitung als Meßgerät

Die wichtigste Gruppe der auf der homogenen Leitung a u f b a u e n d e n Meßv e r f a h r e n b e r u h t auf der Messung des Verlaufs der 'reellen Amplitude des Stromes oder der S p a n n u n g längs der Leitung n a c h Abb. 171 oder im Sonderfall m = 0 nach Abb. 141a oder Abb. 143. Man k a n n sich darauf beschränken, das Verhältnis m — Um¡n/ f^max oder m = , / m i n / / m a x u n d den A b s t a n d l m i n eines Strom- oder Spannungsminimums vom Leitungsende zu messen, weil d u r c h diese beiden Größen der relative Kurvenverlauf U I U m a x oder J j / m a x bereits eindeutig festgelegt ist (vgl. Abb. 175). W e n n m a n d i ^ Spannungsk u r v e m i ß t , h ä n g t n a c h Abb. 171 f ü r das erste Minimum v o m Leitungsende die E r s a t z l ä n g e m i t /, min d u r c h ZmiI1 = 2 z u s a m m e n . E s ist also Zj/A* = 0,5 — ¿ min /Ä*. Der relative Abschlußwiderstand der Leitung liegt also auf dem zu d e m gemessenen m gehörenden m-Kreis des Leitungsdiagramms (Beilage I I ) dort, wo ihn der Z-Kreis m i t dem P a r a m e t e r l j ) . * = 0,5 — Zm¡n/A* schneidet. Dies ist die b e k a n n t e s t e Methode zur Messung eines komplexen W i d e r s t a n d e s bei sehr hohen Frequenzen. Bei der Auswertung der Messung beachte m a n die K o n f i g u r a t i o n der Abb. 187. Bei reinen Blindwiderständen genügt bereits die Messung des l m i n . D a n n ist n a c h (23.1) das gesuchte jX1 = - j Z - t g ( 2 n l 13

M e i n k e , Hochfrequenzschaltungen

m

J?.*).

(28.1)

194

Die homogene Leitung

Wählt man nicht das erste, sondern ein anderes Spannungsminimum im Abstand Zmin n • A*/2 (n= 1, 2, ...) vom Leitungsende, so bleibt (28.1) unverändert, da der tg die Periode n hat. Für sehr kleine m (m < 0,1) und \m • tg(2nlmiJl*)\ < 0,1 kann man die einfache Näherung (26.21) verwenden und erhält mit Iß* = 0,5 — Z min /2* in Serie zu dem Blindwiderstand (28.1) den kleinen Wirkwiderstand =

mZj

cos2

(28.2)

(2nlm{njh*

Wenn man statt der Spannungskurve die Stromkurve mißt und ¿ m i n der Abstand eines Stromminimums vom Leitungsende ist, erhält man nach dem gleichen Aüswertungsverfahren der Abb. 188 den relativen Abschlußleitwert g t = l / r r Man vergleiche dazu Abb. 180. zum Die Periodizität der Strom- und Spannungs- a) Strommesser kurven kann man zur Messung des ?* benutzen. Schütz Am genauesten wird die Messung auf einer am Ende kurzgeschlossenen Leitung, bei der der Abstand benachbarter Nullpunkte gleich 2*/2 ist. Dieser Abstand kann sehr genau gemessen werden. Da in einer Leitung ohne

7,

| zum Spannung$-

I I-Kk I II I | z0-Az •

Abb. 188. Auswertung einer Widerstandsmessung

I •

z0'iz :

-••

Abb. 189.

Leitungsabtaster

Dielektrikum nach (25.8) A* = % ist, kann man aus dieser Messung nach (1.7) auch eine relativ genaue Frequenzmessung gewinnen. Zu solchen Messungen benutze man eine nach außen abgeschirmte Leitung, damit das längs der Leitung zu verschiebende Abtastorgan das Feld der Leitung nicht in Undefinierter Weise stört. Als Beispiel wird eine koaxiale Leitung betrachtet. Der Außenleiter erhält einen Längsschlitz, der das Verhalten der Leitung kaum verändert, da auf dem Außenleiter nur Längsströme fließen, aber keine Ströme quer zum Schlitz. Der Wellenwiderstand wird dadurch nach (25.12) etwas größer, weil das fehlende Stück der Wand den Kapazitätsbelag C* verkleinert und die durch den Schlitz austretenden magnetischen Felder den Induktionsbelag L* vergrößern, wobei (25.9) erhalten bleibt. Diese kleine Wellenwiderstandsänderung kann man nach Abb. 234

Die Leitung als Meßgerät

195

messen. Den Strom an einer bestimmten Stelle mißt man mit einer kleinen Drahtschleife, deren Ebene in der Längsrichtung der Leitung, also senkrecht zu den magnetischen Feldlinien liegt (Abb. 189a). Die Schleife führt dann zu einem geeichten Anzeigeorgan. Die Spannung mißt man nach Abb. 189b mit einer kleinen Platte durch kapazitive Ankopplung an das elektrische Feld der Leitung. Von dieser Platte führt eine Leitung zum Anzeigeorgan, wobei der Außenleiter dieser Leitung mit dem Außenleiter der zu messenden Leitung verbunden ist. Da bei einer größeren Schleife nach Abb. 189a und sehr hohen Frequenzen die Möglichkeit besteht, daß durch den Draht der Schleife auch noch eine kapazitive Kopplung mit dem elektrischen Feld der Leitung vorliegt, ergibt sich die Gefahr, daß in einer solchen Schleife gleichzeitig das elektrische und das magnetische Feld wirksam werden (Mischkopplung). Man erhält dann keine reine Strommessung, sondern eine frequenzabhängig gemischte Anzeige, die sich nicht zur Auswertung eignet. Aus diesem Grunde bevorzugt man die Spannungsmessung nach Abb 189b. Die Abtastplatte der Abb. 189b besitzt eine gewisse räumliche Ausdehnung und koppelt sich in die Leitung zwischen den Punkten (z-{-Az) und (z— Az). Da die Spannung sich längs der Leitung sowohl in der Amplitude wie in der Phase ändert, koppelt sich die Platte an die verschiedenen Spannungen des Bereichs der Breite 2Az, zeigt also einen Mittelwert der Spannungen dieses Bereichs an. Man könnte sich daher veranlaßt sehen, die Platte sehr klein zu machen, um wirklich nur in einem Punkt abzutasten. Eine ideale punktförmige Abtastung erreicht man jedoch nie und dies ist auch nicht erforderlich, wie aus folgenden Betrachtungen hervorgeht. Die Platte habe die endliche Breite 2Az wie in Abb. 189b. Auf der Leitung besteht nach (26.10) eine Spannung der komplexen Amplitude U = Uj [cos(2nz/X*) + / (1/m) sin(2nz/X*)]. Die Platte wird unterteilt in infinitesimale Stücke der Breite dz. Über jedes Stück fließt ein Teilstrom d$K = K'U'dz zum Spannungsmesser, der proportional der Spannung 11 an der betreffenden Stelle der Leitung ist, wobei K eine nicht näher interessierende Kopplungskonstante sei. Der ausgekoppelte Gesamtstrom der zwischen den Orten (z0 — Az) und (z0-|r Az) liegenden Platte ist dann z0 + Az z, + Az

z0 — Az

z, — Az

Setzt man hier obiges tt ein, wodurch man auch die Phasenlage der einzelnen Teilströme d$ K gegeneinander berücksichtigt, so wird

Die homogene Leitung

196

Wendet man die bekannten trigonometrischen Formeln für (sin «—sin ß ) und (cos « — cos ß ) an, so wird

%k=

T

2 K

2n

.

2TT-AZ

s m —

—

17

U l

2nza

.1 .

2nza

(28.3)

ist also exakt proportional zur Spannung U an der Stelle z 0 , also der M i t t e der Platte. Dieses fließt zum Spannungsmesser und erzeugt an dessen Widerstand 9i die Spannung = 9t • ! j k > deren Betrag vom Spannungsmesser angezeigt wird. Die Breite Az zeigt sich lediglich in dem ortsMit wachsendem ¿Iz wächst solange unabhängigen Faktor sin (2n • Azjl*)Az < 1*14t bleibt. Doch sollte man Az < A*/10 lassen, damit die Induktivität der Koppelplatte nicht wirksam wird. Die Ankopplung des Abtasters nach Abb. 189 stört die Vorgänge auf der Leitung etwas, so daß man nur eine lose Kopplung vornehmen sollte. Der Abtaster wirkt wie ein komplexer Widerstand 9f T , der am Ort z 0 der Leitung parallelgeschaltet ist (Abb. 190a). 9t r besteht aus der Serienschaltung der Koppelkapazität C K und dem Widerstand des Abtastorgans. Es muß also nicht nur C K klein sein, sondern auch groß und insbesondere so beschaffen sein, daß keine Serienresonanz des C K und 9t^ besteht, die unter Umständen ein kleines 9tr ergeben würde. Dieses 9i r wird bei der Messung längs der Leitung verschoben i—i—^ und verändert die Spannung auf k1 kt -¡jl der Leitung je nach dem Ort J des 9t r in ganz verschiedener Weise. Um die Spannung U am Ort des Abtasters bei gegebener Spannungsquelle (Ui, 9t4) zu berechnen, transformiert man den Abschlußwiderstand 9t3 über die BelastungTeiner LeUunfdurch den Abtaster

Leitung der Länge z0 nach (26.4) und erhält parallel zu 9t T den Widerstand 9t2, der die Wirkung des hinteren Leitungsendes ersetzt. Ferner transformiert man die Spannungsquelle nach (27.18) und (27.19) an den Ort des 9i r mit dem neuen Innenwiderstand 3V und der neuen Leerlauf spannung Ui'. Um die Spannung U an diesem Ort zu berechnen, geht man zweckmäßig nach (12.2) auf das Stromquellenersatzbild der Abb. 57b und auf Leitwerte über. In Abb. 190c liegen dann @2 = l/9t2> © r = l/9t T , und © / = l/9t/ parallel und werden vom Strom g*' = Ui'/3t/ durchflössen. Es ist dann U = 3*7(@2+@T+@i')-

(28.4)

Für @T = 0 ergibt dies die gewöhnliche Leitungsspannung nach (26.10). (SjT ist dann einflußreich, wenn @2 klein ist, also an den Orten eines Spannungsmaximums. Das Ausmaß des Einflusses von (SJj, hängt aber auch von (5$/, also von dem Innenwiderstand 9t,. der die Meßleitung speisenden Quelle ab. Wenn zufällig (Sj2und g l e i c h z e i t i g klein werden, kann auch ein kleines

Die Leitung als Meßgerät

197

(großes 3 i T ) von meßbarem Einfluß sein. Daraus ergibt sieh die Forderung, daß der Innenwiderstand der speisenden Quelle möglichst gleich Z sein soll. Dann ist nämlich überall SR/ = Z und @ / = 1/5R/ = 1/Z wird nie gefährlich klein, so daß schon für 9 i T > 20 Z praktisch keine Einwirkung des 9 f r mehr meßbar ist. Auch den Innenwiderstand 9it- einer Spannungsquelle kann man mit Hilfe von Leitungen messen. Wenn man in der Anordnung der Abb. 187a die K l e m m e n 5 und 6 kurzschließen Abtaster verschiebbarer kann, hängt man an die K l e m m e n 1 Kurzschluß und 2 einen neuen Generator und m i ß t 9i f als Abschlußwiderstand der Leitung wie vorher. Wenn man die K l e m m e n 5 und 6 nicht kurzschließen kann, weil sie nicht zugänglich sind oder durch das Kurzschließen auch das 91 j verändert würde, benutzt man die Meßschaltung der Abb. 191a. D e r zu messende Generator speist eine Abb. 191. Messung des Innenwiderstandes einer Spannungsquelle Leitung mit verschiebbarem Abtaster. Die Leitung wird in Abstand l vom Generator kurzgeschlossen. E s entsteht ein Spannungsbild (Abb. 191b) wie in Abb. 141a. Gemessen wird die maximale Spannung t / m a x auf der Leitung im Abstand X*j4 vom Kurzschlußpunkt. Verändert man die Leitungslänge l durch Verschieben des Kurzschlusses, so m i ß t man am Ort (l — 2*/4) jeweils ein anderes t / r a a x . Abb. 192 zeigt dieses an den Stellen ( l — A * / 4 ) gemessene t / m a x in Abhängigkeit von l. Das Leitungsstück der Länge x*/4 zwischen Kurzschluß und Spannungsmaximum kann man auch fortfallen lassen und nach Abb. 1 4 3 b mit einer am Ende o f f e n e n Leitung der Länge l 0 = l — Ä * / 4 (Abb. 191b) die gleichen Ergebnisse erhalten. t / m a x ist dann die Spannung am Ende der offenen Leitung und nach Abb. 187 gleich der Leerlaufspannung U { der Ersatzspannungsquelle am Leitungsende, wobei also die Spannungsquelle U { durch die Leitung der Länge l 0 zwischen Spannungsquelle und Ort des i / m a x transformiert wird. Dabei ist £ / m a x = Ui, wenn diese transformierende Leitungslänge l0 = l — ¿ * / 4 = n - ¿*/2 ( n = 0 , Abb. 192. Verlauf des Umax in Abb. 191 1, 2, ...) ist, weil dann der E i n gangswiderstand der am Ende offenen Leitung unendlich groß ist, also auch die wirkliche Spannungsquelle im Leerlauf arbeitet. Nach (27.19) ist allgemein t/max =

V i i R ^ R i ,

wobei Ri die konstante Wirkkomponente des Innenwiderstandes

(28.5) und R,'

198

Die homogene Leitung

die von der Leitungslänge l 0 abhängige Wirkkomponente des nach (27.18) an den Ort des f / m a x transformierten Innenwiderstandes 91/ ist. f f t / durchläuft in Abhängigkeit von l 0 den m-Kreis der Widerstandsebene (Abb. 193), der durch 9if geht. Das Minimum UI des C/ m a x in Abb. 192 tritt nach (28.5) also ein, wenn 3t/ seinen kleinsten Wert m-Z erreicht. Das Maximum Un des U m i x t r i t t ein, wenn 9i/ seinen größten Wert Z/m erreicht. Es ist daher f / r / f / n = m, (28.6) gleich dem Parameter des mKreises, auf dem SRi liegt. Wenn in Abb. 192 bei der am Ende kurzgeschlossenen Leitung die zur Erreichung des Un erforderliche Leitungslänge l = \ ist. so ist bei der am Ende offenen Leitung (l± — A*/4) die entsprechende Leitungslänge, die 9t; in den reellen Wert Zjm transformiert. Der P u n k t Z\m h a t im Diagramm den Parameter 0,25 und der P u n k t daher den Parameter 0,25 — (Zj —1*14)11* = 0,5 — y i * .

'

ci

Vergleichsleitung '

Der Winkel Anly/X*, der den Ort des auf seinem durch (28.6) bestimmten /«-Kreis festlegt, ist in Abb. 193 gezeichnet. Der wichtige Fall SR,. = Z würde wegen

= 1 bedeuten, daß tfmax unabhängig von l ist. Auch zur Phasenmessung kann man eine Leitung verwenden. Gegeben sei in Abb. 194 eine Schaltung aus zahlreichen Elementen wie etwa in Abb. 29, bei der man die Phasenlage der Spannungen tt„ gegeneinander messen will. Man besitzt ferner eine mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossene, vom gleichen Generator gespeiste Vergleichsleitung. Ein empfindliches Anzeigeorgan ist gleichzeitig über eine kleine Kapazität C\ an den zu untersuchenden P u n k t der Schaltung und über eine kleine Kapazität Cn an die Vergleichsleitung angekoppelt. Cn ist ein längs der Leitung verschiebbarer Abtaster wie bei allen bisherigen Messungen. Durch Verschieben des Cu und eine Regelung der ausgekoppelten Spannungsamplitude kann man die Anzeige im Anzeigeorgan dann zum Verschwinden bringen, wenn dem Anzeigeorgan über seine beiden Zuleitungen zwei gleich große Spannungen entgegengesetzter Phase zugeführt werden. Setzt man nun C1 an einen zweiten P u n k t der oberen Schaltung, so muß man C n längs der Leitung um ein Stück ¿dz verschieben Abb. 194. Phasenmessung

m

Die Leitung als Meßgerät

199

und unter Umständen auch den Amplitudenregler nachstellen, um die Anzeige wieder zum Verschwinden zu bringen. Die Phasendifferenz der Spannungen in den beiden Punkten der oberen Schaltung ist dann gleich der Phasen differenz (24.1), die der Verschiebung Az auf der mit Z abgeschlossenen Leitung proportional ist. In vielen Fällen will man aus technischen Gründen kein längs der Leitung verschiebbares Anzeigeorgan. Es besteht dann die Möglichkeit, das Anzeigeorgan an einem festen Leitungsort zu lassen und die Leitungslängen posaunenartig zu verändern. In der Schaltung der Abb. 190a würde man dann entweder die Länge z 0 zwischen Verbraucher und Abtaster oder die Länge (l — z 0 ) zwischen Abtaster und Generator ändern. Es interessiert der Verlauf der Spannung U am Ort des Abtasters beim Verändern der Leitungslängen. Man macht wieder die Umrechnung auf das Ersatzbild der Abb. 190b, wobei der Einfluß des 9t r zu vernachlässigen sei (3i r = oo). Man erkennt, daß die ¿/-Kurve wesentlich vom 5R, des Generators mitbestimmt wird. Ein einfaches Meßverfahren für wird man daher nur erhalten, wenn man dem bestimmte, besonders geeignete Werte gibt. 1. % = Z; verändert wird z 0 . In Abb. 190b sind 3 i / = Z und = Ul konstant, 9 t r = oo und 9i 2 verschiebt sich auf dem zuStj gehörenden m-Kreis. Für iftg — Z ist dabei dieser m-Kreis nach (27.20) gleichzeitig ein Kreis konstanter Wirkleistung N. Alle entstehenden 9i 2 nehmen aus der Quelle das gleiche N auf, die Spannung U1 an 9tj ist konstant und die Spannung U an 9f 2 ergibt sich mit i / 2 == U aus (27.14). U verläuft also beim Verändern von z0 nach der gleichen. Kurve wie bei konstanter Leitungslänge und verschiebbarem Abtaster, so daß die Auswertung zur Bestimmung von 9fti die gleiche bleibt wie bei der früheren Methode. 2. §Rf = 0; verändert wird (l—z 0 ). Man legt den Abtaster zweckmäßig an das Leitungsende, so daß z 0 = 0 und die gemessene Spannung U gleich der Abschlußspannung U1 ist. Bei 9ij = 0 liegt am Leitungseingang die k o n s t a n t e Spannung llj- Den Zusammenhang zwischen Ut und U1 gibt (26.12) für z = / mit Ui == U. Bei gegebenem Uj schw&nkt dann die gemessene Spannung U, nach der Funktion r,

IJtH

;

(l,w)-*in-(±ni///.*),

(28.7)

also nach dem r e z i p r o k e n Gesetz wie die bei konstanter Leitungslänge mit verschiebbarem Abtaster längs der Leitung gemessene Spannung U nach (26.12). Es ergibt sich nach (28.7) ein Verlauf des U x von gleicher Art wie der des i / m a x in Abb. 192. Die reziproke Funktion i / j / i / j hat dann einen Kurvenverlauf wie in Abb. 171, den man bezüglich des unbekannten Sftj entsprechend auswertet. Als Richtungskoppler bezeichnet man eine wichtige Anordnung, mit deren Hilfe man in dem Gemisch einer hinlaufenden und einer reflektierten Welle nach (24.19) den Anteil U' der hinlaufenden oder 11" der reflektierten Welle jeden für sich allein messen kann. B u s c h b e c k benutzt dazu folgendes Gesetz:

Die homogene Leitung

200

Man multipliziere in (24.19) 3 mit Z und beachte U' = — 3 " - Z . Dann, ist H+ 3-Z=2U';

• Z und U" =

U —3-Z=2U".

(28.8)

Man benutzt die Anordnung der Abb. 195. Aus der Leitungsspannung U gewinnt man durch kapazitive Spannungsteilung über Cx und C2 nach Abb. 196 an C2 die Teilspannung Kx • U- Wenn parallel zu C2 kein Belastungswiderstand liegt, fließt durch die Kapazitäten der Strom X ZK VI"

ZKW

c* -

jVL 1 /(wC,) + 1/(üj6'2)

SM Li

1 -i

-w-yz • U"~JZ

Abb. 195. Richtungskoppler nach Buschbeck

Abb. 196. Kapazitive Spannungsteilung

und an C2 entsteht die Spannung Utf = Sc [-//(®C2)]

= U(1 + C2ICX) =

K1-\1.

(28.9)

Der Proportionalitätsfaktor ist reell und frequenzunabhängig. Die Spule L1 der Abb. 195 besitzt eine Gegeninduktivität zur Leitung und der Leitungsstrom ^ induziert in ihr eine Leerlaufspannung t t j = jo)M nach (4.1). Belastet man LT mit einem reellen Widerstand R, der sehr klein gegen den Blindwiderstand jcoLt der Spule ist, so fließt durch Lx und R ein Strom der praktisch nur von ja)LI abhängt: ^ = UjKjcoL^ — M/Lr An R entsteht dann die Spannung UJ

=

R-3I

= 3-R-M/LI=K,-Z-3.

(28.10)

Der Proportionalitätsfaktor K 2 • Z ist ebenfalls reell und frequenzunabhängig. Durch Einstellen des C2 kann man Kl und K2 gleich groß machen: Kl = K2= K. Schaltet man dann wie in Abb. 195 U^ und U j in Serie, so entsteht zwischen den rechten Klemmen im Leerlauf u n a b h ä n g i g von der Frequenz die Summe U

Ü

+ U J = tf(ll + 3 - Z ) = 2 Ä > U '

(28.11)

nach (28.8), wobei auf richtigen Wicklungssinn der Spule zu achten ist, damit Uy und VLj auch wirklich mit positivem Vorzeichen kombiniert werden. Legt man an diese Klemmen ein h o c h o h m i g e s Voltmeter, so gibt dieses unabhängig von der Frequenz eine Anzeige proportional zur Amplitude U' der hinlaufenden Welle. Baut man in Abb. 195 eine zweite gleiche Anordnung ein, bei der das Ln (Lj = Lu) entgegengesetzten Wicklungssinn wie Lx hat,

Die gedämpfte Leitung

201

so wird an ihr 1lj = — K • Z • $ und die Hintereinanderschaltung gibt eine Summe Up+Uj = ÄT(U — S-Z) = 2K-VL" (28.11a) nach (28.8), die frequenzunabhängig und proportional zur Amplitude U " der reflektierten Welle ist. Aus den an diesem konstanten Ort gemessenen Größen U' und U" kann man folgende wichtigen Werte der Leitungsvorgänge leicht berechnen: Nach Abb. 156 ist t/max = U' + und nach (26.14) m= UminIUm„

U";

Umin = U ' -

= (£/'—

U")I{U'+

U"

(28.12)

U").

(28.13)

Das Verschwinden der Anzeige des U " bedeutet Anpassung des Abschlußwiderstandes. Man erhält so eine einfache direkte Anpassungsanzeige. Die hinlaufende Welle transportiert nach § 24 die Leistung N' = V2 U'J' = 1/2 U'^/Z, die reflektierte Welle die Leistung N" = 1/2U"J" Im Verbraucher bleibt die Leistung 8 1 U'2— U"2 N = N' — N" = ir ^ (28.14) Dieses sind die Größen, die für eine Leitung im Betriebszustand im wesentlichen interessieren und aus U' und U" sofort berechnet werden können. Die beschriebene Anordnung im Zuge der Leitung stellt daher eine außerordentlich nützliche Meßvorrichtung dar, die sogar weitgehend frequenzunabhängig ist, weil das K1 nach (28.9) und das K2 nach (28.10) die Frequenz a> nicht enthalten. Ergänzendes Schrifttum: [27 bis 30, 58], § 29. Die gedämpfte Leitung

Bisher wurden die Verluste der Leitung als so klein angenommen, daß sie den Verlauf des Stromes und der Spannung nur soweit verändern, als die Amplituden der Welle längs der Leitung nach (24.12) langsam abnehmen, ohne daß sich die K u r v e n f o r m e n der Abb. 141, 143 und 171 meßbar ändern. Mitunter sind jedoch die Verluste so groß, daß sie durch eine genauere Theorie erfaßt werden müssen. Der infinitesimale Leitungsabschnitt (Abb. 1'39) besteht dann nicht aus zwei Blindwiderständen, sondern allgemein aus zwei komplexen Widerständen. An die Stelle des induktiven Blindwiderstandes ja) • iL = joiL* • dz tritt der komplexe Widerstand c/JJv = 91* • dz. Das 91* kann man sinngemäß als den komplexen Widerstandsbelag der Leitung bezeichnen. E s ist der Längswiderstand pro cm Leitungslänge. An die Stelle des kapazitiven Leitwerts ja> • dC = ja>C*-dz tritt der komplexe Leitwert d® = 05* • dz. Das © * ist der Querleitwert pro cm Leitungslänge und kann als komplexer Leitwertsbelag bezeichnet werden. Aus den Differentialgleichungen (22.10) und (22.11) des infinitesimalen Leitungsstücks wird dann sinngemäß allgemein =

(29.1)

=

(29.2)

Die homogene Leitung

202

Auch auf dieser Leitung entstehen Wellen wie in (24.18), jedoch mit einem allgemeineren Exponenten der e-Funktion: Hinlaufende Welle:

U'

^

=

Rücklaufende Welle:

U" = U / ' - e ^ ;

3" =

• tr*,

(29"3)

wobei Iii', Ux" und 3 i ' , 3 i " Spannung und Strom der beiden Wellen bei z = 0 sind. Setzt man (29.3) in die Differentialgleichungen ein, so erhält man für die hinlaufende Welle y

• Ui' • e5* = 9t* • 3 i ' •

Daraus folgt

;

y = ß + joi=

r

• ey2 = ® * •

|/3t*-©*.

'e" 2 -

L* und der komplexe Leitwertsbelag © * = jioC*. Die komplexe Fortpflanzungskonstante

y =

+ JOJL*) ja)C*

= jo)]/L*C*

j / l —jR*/(a)L*)

(29.13)

nach (29.5) entsteht aus der Phasenkonstante /co]/Z/*C* der verlustfreien Leitung nach (22.13) durch den komplexen Faktor ] / l — - J R * / ( A > L * ) . Der komplexe Wellenwiderstand 3 =

(R* + jwL*)/{ja>C*)

= Z l/l-jR*/(wL*)

(29.14)

nach (29.6a) entsteht aus dem Wellenwiderstand Z = ~|/L*/C* der verlustfreien Leitung durch den gleichen komplexen Faktor. Die Größe R*/(a>L*) = dIr ist der Verlustfaktor des Längswiderstandes der Leitung. Solange dieser Verlustfaktor klein bleibt, kann man die Näherungsformel (1.9) anwenden u n d erhält aus (29.13) für R*/(OJL*) < 0,1

y = jü)]iL*C*

(1 - /

= X

""

[ /.* A0* und Iß* < 0,25. Das R1 wird für R1 < Rz gemäß Abb. 206 für die niedrigere Frequenz nur bis zum Punkt 9?2 oberhalb der reellen Achse transformiert. Für eine h ö h e r e Frequenz wird X* < A0* und l/X* > 0,25, so daßi? x in einen Punkt unterhalb der reellen Achse transformiert wird. Die Abweichung des St, von R9 beschreibt Abb. 206. Frequenzabhängigkeit der A*/4-Transformation , \ „. , ,, . man formelmäßig für kleine Frequenzabweichungen durch folgende Größe F, die auch für zahlreiche spätere Rechnungen wichtig ist:

F=

-mr-

.

(

3

0

-

3

)

Da bei Leitungsschaltungen in den Formeln für 9i 2 nicht /, sondern X* als Frequenzvariable vorkommt, muß man (1.11) bis (1.13) benutzen. Für |zl/|// 0 < 0,1 gilt also Af/f0

— AXß0 = — AX*/X0*,

(30.4)

weil das X im freien Raum und das X* auf der Leitung einander direkt proportional sind. Der Eingangs widerstand 9i 2 der mit Rl abgeschlossenen Leitung ist durch (26.4) gegeben, jedoch eignet sich diese Formel für den vorliegenden Fall nicht, weil bei l=X0*j4 das tg (27tl/X 0 *) = oo wird. Man formt deshalb (26.4) um, wobei man die Formeln ctg x = 1/tg x und Z2/Rl = i? 2 nach (30.1) benutzt: . / Z • tg (2nljX.*) [1 — / (RJZ) ctg ( 2 t ü ß * ) } j (Ri/Z) tg ( 2 n l ß * ) [1 — / (Z/Hr) ctg ( 2 n l ß * ) ] 2

1 —;(Ä1/Z)ctg(2^M») 1 — KZ/HJ ctg (2nlß*)

(30-5)

Leitungstransformationen

211

Formeln dieser Art kommen im folgenden oft vor und interessieren vorzugsweise bei Kompensationsaufgaben in einem kleinen Frequenzbereich um ein mittleres herum: 1* = -J- AÂ*, wobei im vorliegenden Fall A0* = 41 ist. Unter gewissen einschränkenden Bedingungen, die aber in der Praxis meist erfüllt sind, kann man eine solche Formel durch Reihenentwicklung (§1) in eine sehr einfache Form bringen. Das Verfahren dieser Reihenentwicklung, das später noch oft in gleicher Weise verwendet wird, soll hier ausführlich behandelt werden. Der Leser möge durch Vergleich von (30.5) und (30.7) den Nutzen solcher Näherungen erkennen, die für die Praxis oft eine unvermeidliche Notwendigkeit sind. Für \AX*\ß0* < 0,1 wird nach (1.8) 2nl

n [

AX*\

x* ~ V (1 + A P fa*) ~ 2 i 1 ~~ l ü * ) wegen Ä0* = 41. Dann wird durch Einsetzen ctg (2nlß*) ~ ctg [nß -

(Al*ßü*) nj2] = tg [ ( ¿ U * / V ) ?*/2].

Wegen des kleinen /)â*/a 0 * kann man dann nach (1.17) die Reihenentwicklung der tg-Funktion benutzen und nach (30.4) auf Af übergehen: ctg (2nIß*) ~ tg [ ( z U * / V )

« (AX*ß0*) n/2 « -

(Af/f0) nß.

(30.6)

Nachdem man so die komplizierte ctg-Funktion durch eine lineare Funktion unter der Voraussetzung M/l//o < 0,1

(30.6a)

ersetzt hat, setzt man (30.6) in (30.5) ein, und kann dann die Näherung (1.14) anwenden, solange im Nenner von (30.5) die Größe (Z/Rt) (|Zl/|//0)71¡2 < 0 , 1 bleibt, also \Af\/f0 < 0,06-RJZ (30.6b) ist. Durch diese beiden Bedingungen für Af ist also der nutzbare Frequenzbereich der Näherung begrenzt. Dann wird aus (30.5) die sehr einfache Formel m2 = n 2 [1 - / (Z/Ä! — RJZ) (Af/f0) nß}.

(30.7)

Die Abweichung des Üi2 vom i? 2 ist also für genügend kleine Af durch eine reine Blindkomponente gegeben, wie dies auch aus Abb. 206 hervorgeht. J e mehr R1 Und Z verschieden sind, desto größer wird dieser Fehler. Der Faktor F nach (30.3) lautet hier für hinreichend kleine Frequenzabweichungen F = | ZjRx — RJZ | • nß.

(30.8)

Wenn ü = /? 2 /ß x das Transformationsverhältnis ist, wird daraus mit (30.1) F =\]fü

— 1/j/ö | • nß.

(30.9)

Wenn für eine bestimmte Aufgabe eine gewisse Abweichung |zl9î2|/.R2 zulässig ist, so kann man nach (30.3) bei gegebenem F Frequenzabweichungen m

=

von der mittleren Frequenz / 0 gestatten. 14»

(fo/F)

(30.10)

212

Leitungsschaltungen

Von besonderem Interesse sind die sogenannten Anpassungstransformationen. Bei diesen ist eine homogene Leitung vom Wellenwiderstand Z mit einem komplexen Widerstand 9ti abgeschlossen. Längs der Leitung sollen dann geeignete Maßnahmen getroffen werden, um auf der Leitung Anpassung zu erreichen. Die einfachste Maßnahme ist die Parallelschaltung eines Blindwiderstandes jX in einem geeigneten Punkt der Leitung nach Abb. 207a. Größe und Lage des a

)[*

1 J*

b)X induktiv

f Anpassung

Abb. 208. Widerstandsdiagramm zur Abb. 207 Ort des V cjX

kapazitiv

Abb. 207. Anpassung durch verschiebbaren Blindwiderstand

Abb. 209. Leitwertsdiagramm zur Abb. 207

Blindwiderstandes gewinnt man mit Hilfe des Leitungsdiagramms nach Abb. 208. Der Punkt 9li wandert durch die vorgeschaltete Leitung auf seinem m-Kreis. Anpassung kann man dadurch erreichen, daß 9tx bis zu einem Schnittpunkt des m-Kreises mit dem durch Z gehenden G-Kreis wandert. Besitzt man ein induktives jX, so legt man dieses X an den Ort der Leitung, wo SRj in den unteren Schnittpunkt 91' der beiden Kreise transformiert wird. Die dazu erforderliche Leitungslänge l ist aus der Parameterdifferenz der Z-Kreise der Punkte 9^ und 31' zu entnehmen. Der Leitwert jY — —•/ 1/X muß dann gerade so groß sein, daß dieses 91' auf dem G-Kreis nach Z verschoben wird. Y ist also gleich dem negativen Blindleitwert des 9t', den man mit Hilfe des Transformationsdiagramms (§ 15) leicht findet. Wenn man einen kapazitiven Blindwiderstand jX parallelschalten will, muß man den oberen Schnittpunkt 91" der beiden Kreise benutzen. Wesentlich günstiger ist in diesem Fall die Verwendung des Leitungsdiagramms für Leitwerte. Abb. 209 bezieht sich auf relative Leitwerte nach (27.5), zu deren Ermittlung man Abb.

213

Leitungstransformationen

180 benutzen wird, wenn man von relativen Widerständen ausgeht. Das relative gx wird auf seinem am-Kreis nach g' = ZjW senkrecht über 1 oder nach g" = Z/$l" senkrecht unter 1 verschoben und wandert dann senkrecht nach unten oder oben nach 1. Das relative y des parallelzuschaltenden Blindwiderstandes ist dann gleich der Strecke von g' oder g" nach 1. Für relative Leitwerte g = g -j- /' y lautet die Kreisgleichung entsprechend (27.9) m

+ y2 =

(30.11)

•m

Das y der Punkte g' und g" findet man aus dieser Gleichung, wenn man g = 1 setzt. Es ergibt sich dann der wirkliche Leitwert nach (27.6) zu Y

=

±

( ] / m ~ l / f m ) / Z .

(30.12)

Das positive Vorzeichen gilt für den Punkt g ' , das negative Vorzeichen für den Punkt g". Wenn man die Spannungskurve längs der Leitung kennt, findet man leicht den Ort, an dem man dieses Y parallelschalten muß. Bei induktivem Leitwert jY = — j 1/X liegt der Ort 9t' nach Abb. 207 b auf dem abfallenden Teil der Spannungskurve, bei kapazitivem Leitwert der Ort W nach Abb. 207 c auf dem ansteigenden Teil. Den genauen Ort findet man mit Hilfe von (27.14). Die Spannungskurve besitzt eine Maximalspannung t / m a x , zu der der relative Leitwert g m i n = m, und eine Minimalspannung f/ m j n j zu der der relative Leitwert g m a x = 1/m gehört. Am Ort des Blindwiderstandes jX besteht ferner eine Spannung U, zu der der relative Wirkleitwert g = 1 des g' oder g" gehört. Daher ist nach (27.14) u =

£ W

i m

Anpassung

^

j

, |,

^

^

Abb. 210. Anpassung mit zwei ortsfesten Blindwiderständen

„

Abb. 211. Diagramme zur Abb. 210 =

i/min/l/w =

l/i/n

•u

(30.13)

Zu einer Anpassungstransformation gehören stets zwei Einstell Vorgänge, im obigen Beispiel die Verschiebung des jX an den richtigen Ort und die Ein-

214

Leitungsschaltungen

Stellung der richtigen Größe des X. Ein verschiebbarer Blindwiderstand kann in vielen Fällen nicht als eine technisch befriedigende Lösung angesehen werden. Man verwendet dann auch Schaltungen, die zwei Blindwiderstände einstellbarer Größe an zwei verschiedenen, nicht veränderlichen Orten der Leitung nach Abb. 210 enthalten. Man benutzt wie in Abb. 209 das Leitungsdiagramm (§ 27) für relative Leitwerte. In Abb. 211 a wird der relative Leitwert g, = Z/dij des Leitungsabschlusses zunächst auf seinem m-Kreis über die vorgeschaltete Leitung mit der unveränderlichen Länge nach g' verschoben. Der Leitwert jY1 verschiebt dann g' senkrecht nach oben oder unten um das Stück y1 Y1 • Z. Da Y1 einstellbar ist, liegt der neue Punkt g" irgendwo auf der senkrechten gestrichelten Geraden durch g'. Dieses g" wandert dann auf seinem »i-Kreis zu einem Punkt g'", der auf der gestrichelten Geraden durch 1 liegen muß, damit g'" durch das einstellbare / T 2 nach 1 verschoben werden kann. Die Orte g" und g'" liegen also auf den gestrichelten Geraden nicht von vornherein fest. Sie liegen aber auf einem gemeinsamen m-Kreis und der Parameterabstand der ¿-Kreise der beiden Punkte ist durch die unveränderliche Leitungslänge l 2 gegeben. Zu suchen sind also diejenigen Punkte g" und g'" der beiden gestrichelten Geraden, die gerade den Parameterabstand Z2/A* haben. Diese Aufgabe ist mit dem Kreisdiagramm der Abb. 179 nicht ohne weiteres zu lösen, wohl aber mit dem Diagramm der Abb. 184 in Anwendung auf relative Leitwerte, wo an die Stelle von r und x einfach g und y treten. Abb. 211b zeigt den Transformationsvorgang in diesem zweiten Diagramm. An die Stelle der beiden gestrichelten Geraden g = const (Abb. 211a) treten hier die beiden gestrichelten Kurven g = const des neuen Diagramms. Der Punkt gx ist gegeben. E r verschiebt sich auf einer waagerechten Geraden m == const nach g' wie ip Abb. 185, g' wandert durch die Parallelschaltung des jY1 auf der zugehörigen Kurve g = const nach g", g" über die Leitung auf einer waagerechten Geraden m = const nach g'" und g'" durch die Parallelschaltung des jY2 abschließend auf der zugehörigen Kurve g = const nach oben auf die Anpassungslinie m = 1, die in diesem Diagramm den Punkt 1 des Diagramms der Abb. 179 darstellt. Gesucht sind die beiden Punkte g" und g'". Man weiß nur, daß sie auf den gestrichelten Kurven liegen, und zwar auf der gleichen waagerechten Geraden m = const, die die gegebene Länge l2/X* hat. Mit Hilfe eines Lineals kann man nun aber sehr schnell finden, wo eine Strecke solcher Länge liegt. Dann liegen alle Punkte fest und die Differenz der im Diagramm an den Kurven y = const abzulesenden relativen Blindleitwerte y', y" und y'" gibt die erforderlichen Blindleitwerte jY1 und der Schaltung: Y1 = (y"—y')/Z; Y2 = —y"'/Z. Dies ein erstes Beispiel für eine erfolgreiche Anwendung des Diagramms der Abb. 184 für eine Aufgabe, die mit dem Diagramm der Abb. 179 nicht in einfacher Form lösbar ist. Die Kunst der quantitativen Rechnung liegt stets in der richtigen Auswahl der Hilfsmittel. Diese einstellbaren Blindwiderstände stellt man meist durch am Ende kurzgeschlossene Leitungen dar, mit denen man durch Verändern der Leitungslänge nach Abb. 141b jeden Blindwiderstand zwischen —oo und oo erzeugen kann.

Leitungstransformationen

215

Bei der nicht abgeschirmten Doppelleitung ist dieser Blindwiderstand nach Abb. 212a eine einfache Drahtschleife, bei der koaxialen Leitung ein seitlicher Ansatz (Abb. 212b). Während die Verschiebung des Blindwiderstandes längs der Leitung in Abb. 212a ein leicht lösbares Problem ist, sind entsprechende Konstruktionen bei abgeschirmten Leitungen al wesentlich schwieriger, so daß man dann lieber mit ortsfesten Elementen nach Abb. 210 arbeitet. An sich könnte man auch die TransformationsSchaltungen des § 15 zur Anpassungstransformation benutzen und würde dann an irgendeiner Stelle der Leitung einen Serienblindwiderstand und einen b) Parallelblindwiderstand einbauen. Wenn man für die koaxiale Leitung ein Gebilde sucht, das tatsächlich wie ein definierter Serienblindwiderstand wirkt, muß man einen Blindwiderstand nach .,„„„,, Abb. 213a in das Innere des Innenleiters oder I < nach Abb. 213b außerhalb des Außenleiters legen. 1 Die Einstellung des Serienblindwiderstandes im Abb. 212. Parallelblindwiderstände

a) Serienwiderstand

aI

Kurzschluß

I

Ausgang

im Innenleiter

t

Parallelwiderstand

13 Eingang

b) Serien widerstand im Außenleiter Kurzschluß

Abb. 213.

Serienblindwiderstände

Serienwiderstand

3

U

- J

Ersatzbild: 1

u

—

J

Abb. 214. Kombinierte

Blindwiderstände

Innenleiter ist dann aber sehr schwierig. Brauchbar ist die Konstruktion der Abb. 214, bei der der Serienblindwiderstand im Innenleiter des Parallelblind^riderstandes liegt und die verschiebbaren Kurzschlüsse ohne Mühe von außen erreichbar sind. Ein einfaches Kriterium dafür, ob eine Anordnung als Serienblindwiderstand oder als Parallelblindwiderstand wirkt, ist folgendes: Ein Serienblindwiderstand ;\tfird vom gesamten Leitungsstrom $ durchflössen und alle Ströme und Spannungen in ihm sind proportional zu Ein Parallelblindwiderstand dagegen führt an seinem Eingang die volle Leitungsspannung U und alle Ströme und Spannungen in ihm sind proportional zu U. Bei komplizierteren Gebilden ist diese Entscheidung nicht immer einfach, obwohl obige Bemerkungen zunächst äußerst primitiv zu sein scheinen. Die genannten Schaltungen brauchen durchaus nicht nur zur Erzielung einer Anpassung benutzt zu werden, sondern sie können ganz allgemein zur Trans-

216

Leitungsschaltungen

formation eines gegebenen 3tj in einen anderen komplexen Wert 5t2 dienen. Für die Schaltung der Abb. 210 ändert sich dann an der Konstruktion der Abb. 211b nichts außer der Forderung, daß das Endziel nicht ein P u n k t m = 1, sondern ein anderer vorgegebener Wert g 2 = Z/3R2 ist. Durch dieses g 2 läuft eine Kurve g = const, auf der das g'" liegen muß. Es gilt dann die Regel, daß man Längen l2 zwischen jY1 und jYs vermeiden muß, die in der Nähe von A*/2 liegen oder sehr klein sind. Am besten arbeitet man mit Zwischenleitungen l2 == 2*/4. Auch die Schaltung der Abb. 207 kann man f ü r solche allgemeinen Transformationen benutzen. Jedoch wird dann die Berechnung komplizierter und zweckmäßig auf graphischem Wege mit Hilfe des Diagramms der Abb. 184 durchgeführt. Abb. 215 zeigt die Schaltung und den Transit 1 -j k h 'Ik

formationsweg im Diagramm. Gegeben sind der relative Endleitwert g t = Z f f i v der gewünschte relative Eingangsleitwert g2 = Z/9?2 und die Leitungslänge l, während und l 2 noch frei verfügbar sind, wobei jedoch ihre Summe stets gleich l sein muß. Die Leitung lL verschiebt auf einer waagerechten Geraden m = const nach g', wobei aber g' zunächst noch keine genau fixierte Lage auf der gestrichelten Geraden durch g, hat. g' wandert dann wegen des parallelgeschalteten Blindleitwerts jY auf der Kurve g = const nach g", das auf der waagerechten Geraden durch g 2 liegen muß, damit das Leitungsstück Z2 nach dem gewünschten g2 transformieren kann. Der waagerechte Abstand von g, und g2 im Diagramm ist gleich b, der Abstand von gx und g' gleich IJ1* und von g" und g 2 gleich Z2/A*. Der waagerechte Abstand a von g' und q" ist also a = b — {IjX* - f l2/X*) = b~ Iß* (30.14) und bei gegebener Gesamtlänge / berechenbar. Um und l 2 zu bestimmen, legt man auf das Diagramm beispielsweise einen Papierstreifen der Breite a,

Leitungstransformationen

217

den man parallel zur m-Achse seitlich hin und her schiebt. Man findet schließlich eine Lage (in Abb. 215 schraffiert), bei der die Ränder des Streifens die beiden waagerechten Geraden in zwei Punkten g' und g" schneiden, die auf der gleichen Kurve g = const liegen. Damit kennt man aber Zj/A* und i 2 /l*, also die Lage des Blindwiderstandes jY. Die Differenz der relativen Blindleitwerte y" und y' des g" und g', die man an deD durch g" und g' laufenden Kurven y = const ablesen kann, ist der relative Blindleitwert y des parallelzuschaltenden Blindwiderstandes: Y = y/Z = (y" — y')/Z. (30.15) Zwischen Leitungsschältungen und Schaltungen aus konzentrierten Elementen gibt es gewisse Analogien, die oft wertvolle Dienste beim Auffinden neuer Schaltungsmöglichkeiten leisten. Es besteht stets eine gewisse Ähnlichkeit zwischen dem Verhalten eines nicht zu langen Leitungsstücks und einer (L6')-Schaltung, insbesondere auch bezüglich der Frequenzabhängigkeit und der Phasendrehung. Man vgl. Abb. 167. Die Schaltung der Abb. 216a ist z. B. einem Leitungsstück vergleichbar, wenn |9t| < Z ist, die Schaltung der Abb. 216b, wenn |9t[ > Z ist. Dagegen besteht keine Analogie zu den

x

X .

£

»h

X-w—° -X-

Abb. 216. Vergleichsschaltungen der kurzen Leitung

b

)
0,9). Die mit dem Wellenwiderstand Z abgeschlossene Leitung ist eine ideale Kompensationsschaltung, da jedes Serien-ZlL durch ein am gleichen Ort befindliches Parallel-ZlC unschädlich gemacht wird (Abb. 151). Abb. 206 zeigt den frequenzabhängigen Eingangswiderstand einer A*/4-Transformationsleitung. Es ist nicht schwierig, diesen Frequenzgang für einen kleinen Frequenzbereich zu kompensieren. Man benötigt dazu einen in Serie geschalteten Serienresonanzkreis wie in Abb. 85. Dieser hat bei der Resonanzfrequenz /„ den Blindwiderstand Null, bei höheren Frequenzen einen induktiven und bei niedrigeren Frequenzen einen kapazitiven Blindwiderstand nach (6.10). Zur Kompensation der bei kleinen Frequenzänderungen {\Af\/f0 < 0,1) auftretenden Blindkomponenten des 9l2 m u ß man dann dem Serientreis ein solches XR geben, daß sein Blindwiderstand / 2 XR (Af/f0) nach (9.14) und (9.26) gleich dem negativen Blindwiderstand des 9t2 in (30.7) wird, also XR = Rz (ZJR1 — RJZ) ti/4 = Z [(Z/Rj)2 — 1] jr/4

(31.2)

Kompensations- und Breitbandschaltungen aus Leitungen

219

nach (30.1). Diesen Serienresonanzkreis kann man nach (23.28) auch durch eine am Ende offene Leitung der Länge A0*/4 ersetzen. Anstelle der Größe XR tritt dann nach (23.9) und (30.6) die Größe n • ZK/4, wenn ZK der Wellenwiderstand der Kompensationsleitung ist. Es ist also nach (31.2) Zk

= Z[(Z/R1)*

— \].

(31.3)

Die Kompensationsleitung legt man wie in Abb. 213a in das Innere des Innenleiters und erhält aus Abb. 20oa die Abb. 218. Ebenso wie bei den Schaltungen des § 16 und § 18 Ort des R, |\ Ort 1 funktionieren diese KompensaOrtdesdesRR, \0rt des R2 ,,, n///,//r/n n////////iir/l'l///l//lllln//ll///////ll/'/////J, tionen stets nur für kleine Fref R± ^ X " Wellenwiderst. Wellenwiderst. quenzabweichungen Af, für die J ^ -, Wellenwiderst. Wellenwiderst Z Wellenwiderst, j Ri Welienfiilrrst. Zu die benutzten Näherungen gül- X . 1 j| ^ tig sind. Für größere Frequenz- ^-j ' Änderungen durchlaufen die Ein\/i////iii/ii/n>i/>n//>i»im>>mi/i>>///n>>>?n»ir>>>i>>>r y/i////////i////i////)/////?'i>)i)/i////i/////ii/i;///>//iw»>r gangswiderstände auch hier die Abb. 218. Kompensierender Serienresonanzkreis bekannte Schleifenkurve in der Widerstandsebene (Breitbandtransformator). Man verfolge die Transformation punktweise in den Diagrammen für einen größeren Frequenzbereich. XR in (31.2) bleibt jedoch nur dann positiv, wenn Z > R1 ist, wenn also wie in Abb. 206 ein kleineres R r in ein größeres i? 2 transformiert wird. Wenn jedoch ein größeres R± mit Z < R1 in ein kleineres R2 transformiert wird, dann wird im Punkt R2 als dem linken Punkt m-Z des m-Kreises der m-Kreis mit wachsender Frequenz von unten nach oben durchlaufen. In diesem Fall benötigt man zur Kompensation am Eingang einen parallelgeschalteten Parallel resonanzkreis. Wenn man das Verhalten dieser Anordnung betrachtet, benutzt man Leitwerte. Man transformiert also in der Leitwertsebene den kleineren Leitwert Gx = l/i?j = m/Z über den halben /«-Kreis in den größeren Leitwert G2 = 1 /R2 = l/(mZ) und erhält das gleiche Bild der Abb. 206, hier lediglich in der Leitwertsebene. Entsprechend den Erläuterungen zu (30.7) gilt dann bei nicht zu großem RJZ für den Eingangsleitwert @2 = G,[ 1 — / {Rxß

-

Z/RJ (Af/f0) 7iß]

(31.4)

und der dazu parallelgeschaltete Parallelresonanzkreis mit dem Blindleitwert / 2 Yr (Af/F0) nach (9.20) und (9.29) benötigt in Analogie zu (31.2) mit Z = |//?1/f2 wie in (30.1) den Resonanzblindleitwert YR = G2(R1/Z~Z/R1)n/4:^(l/Z)

[(fij/Z)2 —1] tt/4.

(31.5)

Es liegen also in (30.7) und (31.4) zwei inverse Schaltungen vor. An dem letzten Beispiel sieht man wieder deutlich, daß die Kenntnis allgemeiner Zusammenhänge zwischen inversen Schaltungen viel Rechenarbeit sparen kann, weil jedes Ergebnis gleichzeitig genaue Aussagen über das Verhalten der inversen Schaltung enthält. Auch hier kann man den parallelzuschaltenden Parallelresonanzkreis nach (9.20) durch eine am Ende kurzgeschlossene Leitung der Länge A0*/4 ersetzen., Anstelle der Größe YR tritt dann nach (22.16) und (30.6)

220

Leitungsschaltungen

die Größe yr/(4ZK), wenn ZK der Wellenwiderstand der Kompensationsleitung ist. Es ist also nach (31.5) _

Zk =

Z

tu I7.\z (Äx/Z)«

x

(31.5a)

Man kann den Serienresonanzkreis der Abb. 218 auch durch eine vorgeschaltete Kompensationsleitung der Länge A0*/2 nach Abb. 219a ersetzen. Bei der | Ort des R.,

\0rt des Rz

A b b . 219. K o m p e n s i e r e n d e ^*/2-Leitung

Frequenz /„ (Wellenlänge A0*) transformiert diese Leitung den zugehörigen P u n k t i? 2 nicht, weil der volle m-Kreis durchlaufen wird. Bei einer kleineren Frequenz ist X* > A0*, also II?.* < 0,5, und die Kompensationsleitung dreht den Abschlußwiderstand nicht mehr um den vollen Kreis. Bei einer größeren Frequenz ist x* < A 0 *und//A* > 0,5. Die Kompensationsleitung dreht dann also um mehr als einen vollen Kreis. Wenn in Abb. 219a der Wellenwiderstand ZK der A*/2-Leitung größer als R2 ist, ist diese Leitung imstande, das frequenzabhängige 9l2 der Abb. 206 für kleinere Frequenzänderungen'weitgehend zu kompensieren. Nach Abb. 219b dreht sich dann bei der mittleren Frequenz / 0 dasi? 2 wieder nach R 2 zurück. Das 9i2 der niedrigeren Frequenz, das oberhalb der reellen Achse liegt, wird nicht über den vollen Kreis gedreht und kann bei passender Wahl des ZK fast in das reelle R2 transformiert werden. Ebenso wird das 3l2 der höheren Frequenz, das unterhalb der reellen Achse liegt, über mehr als den vollen Kreis gedreht und fällt dadurch ebenfalls nahezu in das reelle /i 2 . Dieses Zusammenfallen gelingt für hinreichend kleine Af, wo die -Kreise der Abb. 206 und 219b sich berühren, praktisch vollkommen. Für etwas größere Af überschneiden sich diese beiden Kreise. Das kompensierte 9t2 kommt aber auch hier in die unmittelbare Nähe des gewünschten R2 zu liegen. Um das notwendige ZK zu berechnen, muß die Transformationsgleichung (26.4) f ü r diese / 0 */2-Leitung betrachtet werden. Es ist ¿ * = A 0 *+ AX* und l = ;,0*/2. Wie bei der Ableitung von (30.6) wird

Kompensations- und Breitbandschaltungen aus Leitungen

221

mit (1.8) 2nl

ko*

) *

¿o*

tg(27ilß*) =

(1

+

A l * \

71 A

A

W

> n \ l

)

t g (n—n-AA*/A0*)

Nach (1.17) und (30,4) ist dann für tg(2jiiß*)

**

=

\ A f \ / f

~ 7 i - A X * ß

0

0

— tg

< 0,1:

*

^ n ( A f / f

0

(31.6)

) .

Wenn diese Leitung mit dem frequenzabhängigen $R2 nach (30.7) abgeschlossen ist, lautet ihr Eingangswiderstand nach (26.4) und (31.6) SR»

•9i2

+

i n

( A f / f o ) Z

j { ^ / Z k )

1

n

K

= 3t2 m

( A f i f o )

l

+

j n

(

Z

• i n ( < d i

2

M I Z

K

( A f / f )( A f l f

0 0

)

)

Ähnlich wie bei den Erläuterungen zu (30.7) wird hier für nicht zu großes Z

K

f m3

-

9i2

[1

=

9i2

+

+

j7i

{ A f i f

j n ( A f l f

0

0

)( Z j m

)( Z

K

I %

2

— % I Z

~ m j Z

K

K

W x

) 1

2

(31.7)

-

Das 9?2 hat nach (30.7) ebenfalls eine Blindkomponente. Wenn diese entgegengesetzt gleich der in (31.7) zusätzlich auftretenden Blindkomponente ist, tritt Kompensation ein, wobei man für hinreichend kleine Af in der Blindkomponente von (31.7) ohne Fehler das 9t2 durch 7?2 ersetzen kann. Es muß also _ _iK Z r

2

\ R

y

Z

'

-

A

(31.8)

sein. Aus dieser Formel kann man ZK zu gegebenem Rt und I(2 unter Benutzung von (30.1) berechnen: ZK = R2 [K/2 + |/1 + (.K/2)2]. (31.8a) Man kann die Frequenzabhängigkeit der Transformation der Abb. 206 auch dadurch beseitigen, daß man zwischen das gegebene R1 und die A*/4-Leitung eine geeignete Kompensationsschaltung legt. Betrachtet werde wieder der Fall R, < Z. Die A*/4-Leitung dreht a) ( ' " " " " " " " " " " W ' W W ' M W / f f f M ' . t- JT-l 1 /TTT 11 nur für die mittlere Frequenz f0 (Wellen- \ ) R länge V ) das reelle R1 in das reelle ß 2 . r — Rz Für eine kleinere Frequenz dreht sie nicht mehr über den vollen Halbkreis. Wenn auch für die kleinere Frequenz das reelle R2 entstehen soll, muß man nach Abb. 220 von einem komplexen Punkt Sij des m-Kreises ausgehen, der oberhalb der reellen Achse liegt. Für eine größere Frequenz dreht die Leitung um mehr als einen Halbkreis. Wenn auch für diese höhere Frequenz das reelle R entstehen soll, muß man von Abb. 220. Kompensierender Parallelresonanzkreis 2

222

Leitungsschaltungen

einem komplexen Punkt ausgehen, der unterhalb der reellen Achse liegt. Die einzubauende Kompensationsschaltung muß also erreichen, daß das gegebene reelle R1 in ein komplexes, frequenzabhängiges transformiert wird, das obigen Anforderungen genügt. Dies erreicht man dadurch, daß parallel zu R1 ein Parallelresonanzkreis mit passendem Y R geschaltet wird. Bei der Ableitung von (31.5) wurde ein reelles R1 •> Z in ein kleineres R2 transformiert und der Eingang der Schaltung mit einem pärallelgeschalteten Parallelresonanzkreis kompensiert. Man kann nun aber jede Schaltung, die ein größeres R1 in ein kleineres R 2 transformiert, auch in umgekehrter Richtung verwenden, um ein gegebenes kleineres R2 in ein größeres R1 zu transformieren, wobei die Breitbandigkeit erhalten bleibt. Die Umkehrung der zu (31.5) gehörenden Schaltung ist aber die Schaltung der Abb. 220. Es gilt also auch hier für YR die Gl. (31.5), wobei lediglich Rx durch R2 und G2 durch G, = 1 ¡R1 zu ersetzen ist. Auch hier kann man wie bei dem in Serie liegenden Serienresonanzkreis den parallelgeschalteten Parallelresonanzkreis durch eine 2*/2-Leitung im Leitungszug ersetzen. Diese Kompensationsleitung liegt dann in Abb. 220a zwischen der Leitung mit dem Wellenwiderstand R1 und der Leitung mit dem Wellen widerstand Z. Im Gegensatz zum ZK in Abb. 219 a ist hier das ZK < Z. So gewinnt man die Leitungsanalogien zu den Breitbandtransformatoren des § 18, wobei jeder (LC)-Elementartransformator der Abb. 216a und b durch eine A*/4-Leitung ersetzt wird und Kompensationsglieder aus Resonanzkreisen durch eine 2*,'2-Leitung. Wenn die A*/2-Leitung einen in Serie ge-

schalteten Serienresonanzkreis ersetzt, ist nach Abb. 219 ZK > Z, wenn sie einen parallelgeschalteten Parallelresonanzkreis ersetzt, ist ZK < Z. Der Serienresonanzkreis liegt stets am hochohmigen Ende der A*/4-Leitung, der Parallelresonanzkreis am niederohmigen Ende. Die Anwendung eines solchen Leitungsersatzes nach den Gedankengängen des § 18 ist sehr einfach, da die

Kompensations- und Breitbandschaltungen aus Leitungen

223

Kurven des Vorwärts- und Rückwärtsdiagramms die m-Kreise des Leitungsdiagramms sind. Die Breitbandschaltung der Abb. 112 c wird man dann durch zwei hintereinandergeschaltete A*/4-Leitungen ersetzen. Die Schaltung und ihre Transformation zeigt Abb. 221. Entsprechende Näherungsrechnungen ergeben folgende Dimensionierung: 4,

Z1 = y~Rf-R2\

Z2 =

• i?2

(31.9)

Die erste 2*/4-Leitung transformiert für die mittlere Frequenz / 0 das Rl nach (30.1) in den reellen Wert R' = ]//f 1 i? 2 , die zweite Leitung dieses R' nach R2. Für niedrigere Frequenzen drehen beide Leitungen nicht mehr über den vollen Halbkreis, wobei jedoch bei der speziellen Wellenwiderstandskombination nach (31.9) trotzdem wieder ein Eingangswiderstand in der Nähe von R2 erreicht wird. Für höhere Frequenzen drehen beide Leitungen über mehr als einen Halbkreis, so daß der komplexe Zwischenpunkt 9t' unterhalb der reellen Achse liegt. Bei der Dimensionierung nach (31.9) ergibt sich aber ebenfalls ein Eingangswiderstand in der Nähe von R2. Das Zahlenbeispiel der Abb. 221 zeigt ferner, welche Transformationsfehler für größere Frequenzabweichungen entstehen. Das einfachste Bandfilter mit Leitungscharakter stellt eine A*/2-Leitung dar, die nicht mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossen ist. Wenn eine X*j4Leitung den Schaltungen der Abb. 216a und b ähnlich ist, so ist die A*/2-Leitung einer Doppelschaltung ähnlich, und zwar eine mit R Z abgeschlossene Leitung dem Ersatzbild der Abb. 222b. Der Durchlaß für l = X*l2 entspricht dem Durchlaß der Schaltungen nach Abb. 105 und 106. Er besteht exakt nur für eine Frequenz und ausreichend genau in einer kleinen Umgebung dieser Frequenz, die umso kleiner ist, je mehr R und Z verschieden sind. Man kann auch auf einer reflexionsfrei abgeschlossenen Leitung eine solche Filterwirkung erzeugen, wenn man auf ihr zwei gleiche Blindwiderstände (Leitwert jY) im Abstand l anbringt. Diese in Abb. 223 b dargestellte Schaltung entspricht sehr genau der aus konzentrierten Elementen bestehenden Schaltung der Abb. 223a, Das Transformationsverhalten betrachtet man am besten in der relativen Leitwertsebene. Beide Schaltunsen Abb. 222. Vergleichsschal, ... . , .. , tungen der ¿»/2-Leitung geben für eine bestimmte Abb. 223. Vergleich zweier Filter

X X

-j-^oö^J-X X-

224

Leitungsschaltungen

Frequenz ungestörten Durchgang, wo also der Abschlußwiderstand Z wieder als Eingangs wider stand erscheint bzw. der relative Leitwert 1 über die relativen Leitwerte g' und g" als Zwischenpunkte wieder nach 1 transformiert wird. Den Transformations verlauf für diese Frequenz gibt Abb. 223 für beide Beispiele, wobei man die Ähnlichkeit der Transformationswege deutlich erkennt. Der Durchlaß in Abb. 223a ist durch (17.28) bestimmt. In Abb. 223b wird der Punkt 1 durch das relative jy = jY-Z nach g' senkrecht über 1, dann das g' auf seinem m-Kreis durch die Leitung nach g" senkrecht unter 1 und abschließend g" durch das vordere jy wieder nach 1 transformiert. Die Parameterdifferenz der /-Kreise der Punkte g' und g" muß also gleich l/X* sein, während g' = 1 -J- jy und g" = 1 — jy ist. Aus dem Leitungsdiagramm geht hervor, daß l/X* < 0,25 ist und sich dem Wert 0,25 immer mehr nähert, je kleiner y ist. Diese Schaltung ist von allgemeinem Interesse, weil sie zeigt, daß man eine durch einen Blindwiderstand auf einer Leitung hervorgerufene Störung für eine gegebene Frequenz durch eine zweite gleiche Störung in einem bestimmten Abstand l kompensieren kann. Ein eigentliches Bandfilter mit größerer Bandbreite, das den ungestörten Durchgang in einem größeren Bereich ^ Af um eine mittlere Frequenz /„ gestattet, erreicht man, wenn man die A*/2-Leitung mit einem Kompensationsglied kombiniert. In Abb. 224 wird der Fall Z < R betrachtet. Bei der Frequenz / 0 , für die l = A0*/2 ist, dreht die Leitung das R um den Wellenwiderstand Z' R diejenige des 91 aufheben kann. Diese Kompensation t r i t t ein, wenn n ( A f / f 0 ) (Z/R -

ii!Z)H + n(A///0)

(ZK/R -

H/ZK)R = 0

ist, wobei man wieder bei der Blindkomponente in (31.7) s t a t t des f ü r hinreichend kleine Af mit ausreichender Genauigkeit das reelle R einsetzen durfte. Aus obigem — ( Z / R — R/Z) = ZK/R — R/ZK folgt dann R/Z = ZK/R oder Z-ZK

= R2.

(31.12)

J e mehr M und Z verschieden sind, desto kleiner das durchgelassene Frequenzband. Ergänzendes Schrifttum: [¿54] § 32. Verlustfreie Vierpole im

Leitungszug

Alle Bereiche einer Leitung, in denen die Homogenität gestört ist, werden als Vierpole im Zuge der Leitung angesehen. Von besonderer Wichtigkeit sind dabei die verlustfreien Vierpole, die im folgenden betrachtet werden. I h r Verhalten wird durch drei reelle Konstanten nach (20.15) bis (20.19) beschrieben. Hier interessiert vor allem die Widerstandstransformation (20.20). I n § 20 wurde bewiesen, daß jeder verlustfreie Vierpol durch drei Blindwiderstände nach Abb. 123 vollständig ersetzt werden kann. F ü r einen Vierpol im Zuge einer homogenen Leitung nach Abb. 225a gibt es noch günstigere Ersatzbilder. Z. B. ist es durchaus naheliegend, die beiden an die Vierpolklemmen angrenzenden Blindwiderstände der Abb. 123 durch Leitungsstücke vom Wellenwiderstand Z zu ersetzen. Aus der Schaltung der Abb. 123a würde dann Abb. 225. Ersatzbilder verlustfreier Vierpole die Ersatzschaltung der Abb. 225b mit bestimmten Leitungslängen Ii und ¡2, aus der Schaltung der Abb. 123 b die Ersatzschaltung der Abb. 225c; Beweise später. Den t t t t ff, TRZ Vorteil dieser neuen Ersatzbilder erläutert Abb. 226. Abb. 226. Zur Schaltungstheorie verlustfreier Vierpole Die Schaltungstheorie enthält folgende Grundaufgabe: Gegeben ist ein Widerstand 9i0, der über eine Leitung der Länge l v einen anschließenden 15

[ ei n k e, Hochfrequenzsclmltungen

226

Leitungsschaltungen

verlustfreien Vierpol und dann nochmals durch eine Leitung der Länge l 2 in einen komplexen Widerstand 9f{3 transformiert wird. Das 9t3 ist zu berechnen. Dies geschieht so, daß 9t0 mit Hilfe des Leitunsgdiagramms über die Leitung in den Wert 9i 1 transformiert wird, der der Abschlußwiderstand des Vierpols ist. Der Vierpol transformiert Sftj nach (20.20) in den Widerstand 3f}2„ der der Abschlußwiderstand der vorderen Leitung ist. 9?2 transformiert man weiter mit dem Leitungsdiagramm nach 9} 3 . Schwierig ist an diesem Vorgang die Transformation von fRx nach 9i 2 , die stets aus drei Schritten besteht. Man kann die Transformation wesentlich vereinfachen, wenn man das Ersatzbild der Abb. 225c benutzt. Dann transformiert man das 9t 0 über eine Leitung der mit Hilfe des Länge -f- £/) an den Ort des gedachten jX in den Wert Leitungsdiagramms. Zu schaltet man das jX in Serie und erhält den Wert 9?2', der der Abschlußwiderstand der vorderen Leitung der Länge (l2 -f- l 2 ) ist und nach 3t8 transformiert wird. Da es vom Standpunkt des Arbeitsaufwandes gleichgültig ist, ob man 9t0 nach oder nach 9t x ' transformiert, hat man durch das neue Ersatzbild die Vierpoltransformation auf e i n e n e i n z i g e n zusätzlichen Schritt zurückgeführt. Genau so könnte man das Ersatzbild der Abb. 225b benutzen, bei dem lediglich andere Längen und l 2 auftreten. Es soll nun bewiesen werden, daß sich jeder verlustfreie Vierpol auf das Ersatzbild der Abb. 225c zurückführen läßt, wobei sich dann gleichzeitig die Vorschriften zur Berechnung der drei neuen Kenngrößen l2 und X ergeben. Man benutzt die Widerstandstransformation (20.20) mit den drei unabhängigen Konstanten B' = B/A, C = C/A und D' = D/A: 3^2 = (3*1 + iB')/(WiC'

+ D').

(32.1)

Alle drei Konstanten können beliebige Werte annehmen. Es ist zu beweisen, daß es zu jeder beliebigen Kombination dreier reeller Zahlen B', C' und D' ein Ersatzbild mit reellen Größen l2 und X gibt. Die Transformatione Wirkung eines solchen Vierpols ist bereits bekannt, wenn man weiß, daß ein reeller Abschlußwider stand = Z einen bekannten komplexen Wert 3t2 und der Abschlußwiderstand SKj = 0 einen bekannten Blindwiderstand jX2k am Eingang des Vierpols erzeugt. Setzt man in (32.1) = Z ein, so wird 9*2 = Rt + jX 2 =(Z + iB')l(jZC + D') (32.2) und für SFJ:-, = 0 erhält man jX2k = jB'/D'. (32.3) Wenn R2, X2 und X2k gegeben sind, sind dies drei Gleichungen für B', C' und ü ' , so daß damit also die Vierpolkenngrößen nach (20.15) bis (20.19) festliegen und dadurch auch die Transformation nach (20.20) für beliebiges Man braucht also nur zu beweisen, daß zu jeder Kombination von reellen Zahlen R2, X2 und X2k das Ersatzbild der Abb. 225c drei r e e l l e Zahlen l2 und X gibt, daß also dieses Ersatzbild in jedem Fall nach definierten Vorschriften realisierbar ist. Bei Benützung des Ersatzbildes der Abb. 225c wird der Abschlußwiderstand Z durch die Leitung nicht transformiert. Das in Serie geschaltete jX bewirkt eine Verschiebung in den Wert 5t 2 ' = Z -j- jX (bei positivem X in Abb. 227 also senkrecht nach oben), der dann auf dem

Verlustfreie Vierpole im Leitungszug

227

m-Kreis durch die Leitung Z2' nach 3i2 transformiert wird. Wenn also B', C' und D' bekannt sind, berechnet man SR2 nach (32.2), zeichnet den m-Kreis durch 9fl2 und findet 5R2' senkrecht über Z. Das zu den gegebenen Konstanten gehörende X des Ersatzbildes der Abb. 225c

ist die Strecke Z)i\2' und das Z2' aus der Parameterdifferenz l 2 'ß* der Z-Kreise durch die Punkte 9t2 und SJ{2' zu entnehmen. Da es durch jeden Punkt der Widerstandsebene einen w-Kreis gibt, gibt es also zu jeder Kombination (B', C', D') bestimmte reelle Werte X und L'. Ferner War der *

Abb. 227.

Zur B e s t i m m u n g der Vierpolkonstanten

zum Abschlußwiderstand = 0 gehörende Eingangswiderstand jX2k nach (32.3) gegeben. Bei Benutzung des Ersatzbildes der Abb. 225c wäre mit 9ftx = 0

1

• tg (2^'M*) + Z • tg (2jiI,'IX*) •. x + z(32.4) ~i - LX,Z + tg (271///A*)] tg (Xnl/ß*)

Denn j Z • tg(27tZ1'/A*) ist der Widerstand 9t/ der am Ende kurzgeschlossenen Leitung der Länge Zx' nach (22.15), zu dem j X zu addieren ist, worauf man (26.4) für die Leitung Z2' anwendet. (32.4) ist bei gegebenem X2k, X und eine lineare Gleichung für ß*). Da die tg-Funktion jeden Wert zwischen —00 und 00 annehmen kann, gibt es stets ein reelles Der Wert X ist dabei eindeutig bestimmt, wenn man z. B. vorschreibt, daß er positiv sein soll. Die Werte Z/ und Z2' sind nur bis auf ganzzahlige Vielfache von A*/2 festgelegt. Man beachte, daß man die Konstruktion der Abb. 227 auch bei negativem X stets anwenden kann. Wenn man mit Leitwerten in der Leitwertsebene arbeitet, ergibt sich die gleiche Konstruktion zum Ersatzbild der Abb. 225 b. Man kann also durch Herausziehen von zwei Leitungsstücken Zx' und Z2' das gesamte Verhalten eines verlustfreien Vierpols auf die einfache Serienschaltung

A b b . 228.. Zur B e s t i m m u n g der Vierpolkonstanten

oder Parallelschaltung eines Blindwiderstandes zurückführen. Wichtig ist, daß für jeden solchen Vierpol g l e i c h z e i t i g vier Möglichkeiten eines Ersatzbildes bestehen, die Serienschaltung eines positiven Blindwiderstandes nach Abb. 225 c, die Serienschaltung eines negativen Blindwiderstandes nach 15*

228

Leitungsschaltungen

Abb. 225c, die Parallelschaltung eines positiven Blindleitwerts nach Abb. 225b und die Parallelschaltung eines negativen Blindleitwerts nach Abb. 225b. Man kann jeweils das geeignetste Ersatzbild auswählen und findet darunter in vielen Fällen eines, das direkt den elektrischen Vorgängen im Vierpol entspricht, also den Vorzug der Anschaulichkeit hat. Zu diesen vier Ersatzbildern gehören vier verschiedene Längenkombinationen /,'). Zwischen den X- und Y-Werten der vier Ersatzbilder bestehen einfache Beziehungen. Abb. 228a zeigt den Vorgang der Abb. 227 für relative Widerstände r = 9 \ / Z . Der relative positive Blindwiderstand jx = j X/Z ist die Strecke von 1 nach r 2 '. Wenn man ein negatives X verwendet, muß man über den Zwischenpunkt t 2 " nach r 2 wandern. Das relative negative x = X/Z ist dann die Strecke von 1 nach r 2 ", so daß also dieses negative x absolut genommen genau so groß ist wie das positive x des anderen Ersatzbildes. Abb. 228b zeigt die zugehörige relative Leitwertsebene. Den zum r 2 gehörenden relativen Leitwert g 2 = l/r 2 = Z/9ft2 findet man nach Abb. 180 auf dem gleichen /«-Kreis im zweiten Schnittpunkt des zu r 2 gehörenden /-Kreises. Der positive relative Blindleitwert jy = jY-Z transformiert vom Punkt 1 nach g 2 ' senkrecht über 1 und auf dem m-Kreis weiter nach g 2 . Bei negativem Blindleitwert geht die Transformation über g 2 " nach g 2 . Der relative positive und der relative negative Leitwert y sind also absolut genommen gleich. Da in Abb. 228a und b der gleiche m-Kreis benutzt wird, sind auch das relative x = XIZ und das relative y = Y - Z der vier Ersatzbilder absolut genommen gleich groß. Es ist also stets | X / F | = Z 2 . Die Zeichnungen lassen auch unmittelbare Beziehungen zwischen den Längen l 2 ' der verschiedenen Ersatzbilder erkennen. Es bleibt nun die wichtige Frage, wie man zu einem gegebenen Vierpolgebilde das Ersatzbild findet. Rechnerisch kann man vorgehen, wenn der Vierpol als Stufenschaltung aus bekannten Blindwiderständen nach Abb. 29 oder als stetige Folge bekannter infinitesimaler Vierpole nach § 26 gegeben ist. In diesen Fällen berechnet man die Widerstandstransformation für einen Abschlußwiderstand Z, also den zugehörigen Eingangswiderstand 9f 2 und findet das X (bzw. Y) und die Länge Z2' nach den Konstruktionen in Abb. 227 und 228. Dann kehrt man den Vierpol um, d. h. man legt den Abschlußwiderstand Z an den bisherigen Eingang und berechnet den Eingangswiderstand 9t 2 für die bisherigen Aasgangsklemmen. Macht man für dieses 9i 2 die Kreiskonstruktion, so ergibt sich bei gleichem X (bzw. Y) jetzt /,' aus der Parameterdifferenz lt'//.* der /-Kreise durch 9i 2 und 9?2'. Bei der Umkehrung tritt also der gleiche m-Kreis wie vorher auf. Statt der Umkehrung des Vierpols kann man zur '-Bestimmung auch das jX2k berechnen und von jX2k ausgehend rücklaufend das /j'/A* ermitteln. Wenn von vornherein bekannt ist, daß der Vierpol symmetrisch ist, wird / / = Z2' und die Umkehrung des Vierpols ist nicht erforderlich. Wenn der Vierpol der Berechnung nicht zugänglich ist, muß man sich ihm meßtechnisch nähern. Dies geschieht zweckmäßig nach der sogenannten Knotenverschiebungsmethode. In Abb. 229 befindet sich auf der Leitung ein verschiebbarer Kurzschlußschieber im Abstand vom Vier polausgang. Der Vierpol ist also nach (22.15) mit dem Blindwiderstand 9?i = j X l

Verlustfreie Vierpole im Leitungszug

229

t g ( 2 t i l y ' i * ) abgeschlossen. Durch Verändern des k a n n m a n Xt zwischen —oo u n d oo variieren. Der Vierpol t r a n s f o r m i e r t das 9{1 in einen W i d e r s t a n d 9i 2 = jX2, der ebenfalls ein reiner Blindwiderstand ist. H i n t e r dem Vierpol f i n d e t m a n eine Spannungsverteilung nach Abb. 141a, vor d e m Vierpol eine Verteilung n a c h Abb. 143 entsprechend dem jeweiligen X2- Die L e i t u n g v o r dem Vierpol besitzt einen verschiebbaren A b t a s t e r wie in § 28, m i t d e m m a n im

jZ •

verschiebbarer Kurzschluß

Kurzschiuli

1

1

Knoten

Abb. 229. Hessling der Knotenverschiebung

Abb. 230. Knotenverschiebungskurve

A b s t a n d L, v o m Vierpoleingang den Ort eines Spannungsnullpunktes (Knoten) feststellt. W e n n m a n den Kurzschlußschieber stetig verschiebt, verschiebt sich auch der Ort dieses K n o t e n s stetig m i t . Zweckmäßig t r ä g t m a n die S u m m e / /j l 2 als F u n k t i o n von auf u n d erhält d a n n charakteristische K u r v e n wie in A b b . 230 m i t der Periode A*/2, weil alle beteiligten trigonometrischen F u n k t i o n e n diese Periode h a b e n . Zur späteren Auswertung m u ß m a n mindestens u m 1*12 verKurzscMuß schieben. Man m u ß daher vor d e m Vierpol einen solchen K n o t e n wählen, d a ß bei der Verschiebung das Z2 stets im jeweils meßbaren Bereich bleibt. Die S u m m e l s c h w a n k t zwischen

W e r t e n ln und wobei in R i c h t u n g wachsender ein steiler Abfall u n d ein schwächerer Anstieg abwechseln. U m das Z u s t a n d e k o m m e n dieser K u r v e zu erläutern, wird in Abb. 231 ein Vierpol b e t r a c h t e t , der n u r einen Serienblindwiders t a n d e n t h ä l t , also der Spezialfall der Abb. 225c Im

Abb. 231. Knotenverschiebung durch Serienblindwiderstände

piit ^ ' = 0 u n d / a ' = 0. I n diesem Fall ist = / Z - t g (2JIIJ/Ä*) nach (22.15) u n d durch die Serienschaltung des jX das 3l 2 = ; [ X + Z - t g ( 2 ^ / A * ) ] .

Leitungsschaltungen

230

Das gemessene /2 entspricht dem l m i n in (28.1) f ü r den gleichen Abschlußwiderstand 9^2 = jX2 der vorderen Leitung. 9t2 = / [ X + Z • tg (27ÜJX*)-] = — jZ • tg (2nl2/l*) ist also die benötigte Beziehung zwischen lx und

woraus sich

tg (2 nl2fi*) = — [ X / Z - f t g ( 2 ^ / A * ) ]

(32.5)

ergibt. Die Summe l = -)- Z2 erhält man dann mit der trigonometrischen Umformung te(2nm*)t g ^ W + t g ^ M * ) M >~ l—tg(2nl1ß*)-tg(2nl2ß*) und (32.5) aus tg(27Ti/l*) = -

J

+

[XjZ

X/Z + tg(2nl1ß*)]

tg(2nkß*)''

(32>6)

Für X = 0, also bei nicht vorhandenem Vierpol, ist tg (2nIß*) = 0. Betracht e t man die Verschiebung des ersten Knotenpunktes, so ergibt sich daraus l= -f- lz = A*/2, also ein von lx unabhängiges l (Abb. 231). I n Abb. 231 ist ferner f ü r den ersten Knotenpunkt rechts vom Vierpol die Z-Kurve nach (32.6) f ü r ein mittleres positives X (X = 2Z) eingezeichnet. Die /-Kurve nach (32.6) für den zweiten Knotenpunkt rechts vom Vierpol hat f ü r das gleiche, jedoch negative X (in Abb. 231 X = — 2 Z ) die gleiche Form, lediglich nach oben und links verschobst. Für X = ± oo erhält man entsprechende Kurven, die ebenfalls in Abb. 231 zu finden sind. Dabei ist wegen X = i oo das $R2 = i also unabhängig von l v Es ist daher f ü r den ersten Knotenpunkt rechts vom Vierpol l 2 = A*/4, also l = Z2 = -(- 2*/4 und f ü r den zweiten I n Abhängig,Knotenpunkt l2 = A*/4 -(- X*j2 = 3/4A*, also 1 = l^^Ul*. keit von / 1 stellt l dann jeweils eine Gerade dar. Alle diese Kurven gehen unabhängig von X f ü r l-y = A*/4 und = A*/4-j- n-X*',2 durch l = A*/2, weil f ü r diese Werte die hintere Leitung den Eingangswiderstand 9ix = oo hat, so daß auch 9 l 2 = oo ist und daher rechts vom Vierpol stets eine Spannungsverteilung nach Abb. 143 b vorliegt. Benutzt man andere Knoten f ü r die Messung, so ist l um entsprechende Vielfache von 2*/2 größer bzw. kleiner. Allgemein gilt daher f ü r alle Kurven, daß sie bei Benutzung eines anderen Knotens in g l e i c h e r F o r m , u m ein entsprechendes n-X*/2 nach oben oder unten verschoben, wieder auftreten. Diese Verschiebung ist f ü r die nachfolgende Auswertung ohne Interesse, so daß keinerlei Wert auf eine Untersuchung der Frage gelegt zu werden braucht, welcher spezielle Knoten jeweils betrachtet wird. I m folgenden werden daher stets die ¿-Kurven der Abb. 231 vorausgesetzt. An diesen Kurvenformen ändert sich auch nichts, wenn man zum allgemeineren Vierpol nach Abb. 225c durch Hinzufügen der Leitungen und l 2 ' übergeht. Es t r i t t lediglich eine Verschiebung der Kurven nach links u m und nach unten u m Zx' Z2' ein, weil das Zx der Abb. 231 im allgemeinen Fall durch {lx -j- / / ) und das l der Abb. 231 durch (lL -j- ¿/ -f- l2 -)- l2') ersetzt wird. Um aus solchen Kurven das zugehörige X zu gewinnen, geht man am besten folgenden Weg: Man sucht die Extremwerte der /-Kurven der Abb. 231.. Diese

231

Verlustfreie Vierpole im Leitungszug

Extremwerte findet man, wenn man (32.6) differenziert und den Differentialquotienten gleich Null setzt. Dieser Differentialquotient ist im einen Fall gleich Null, wenn sein Nenner unendlich groß ist. Dies tritt ein bei tg(2nlJX*) = ± 0 0 , also für = A*/4 und A*/4 + A*/2. Nach (32.6) ist für dieses 1. tg (2nlß*) = 0, (32.7) also l = A*/2. Dieses l ist das / m i n für X < 0 bzw. das / m a x für X > 0 (vgl. Abb. 231). Der Differentialquotient ist ferner gleich Null, wenn sein Zähler gleich Null ist. Dies tritt dort ein, wo t g ( 2 7 z = — 1 / 2 X/Z ist, also nach (32.6) für

Dies gibt Z max für X < 0 und / m i n für X>0 (vgl. Abb. 231). Nach (32.5) gilt dabei für die Extremwerte tg (2nl1/X*) = tg (2TI12/X*). Sieht man von den jeweiligen Vielfachen von A*/2 ab, so liegen also Extremwerte dann vor, wenn lx = l2 ist, wenn also der Blindwiderstand jX symmetrisch zwischen Kurzschlußpunkt und Knotenort liegt. Die Differenz des Zraax und / m i n sei als AI = ¿max — ¿min

(32.8)

bezeichnet. Dann ist wegen tg (oc — ß) = (tg tx — tg ß)/( 1 -j- tg «. • tg ß) t g ( 2 7 r ^ a x / A * ) — tg(27ri m i n M*) Alll*) 1 ' 1 +tg(2 7 I / m axM*)-tg(2 7 t / m i n/A*) und für X > 0 nach (32.7) und (32.7 a)

te(2n

tg (

2

„ . A l H * ) =

I I

^

m

-

(32.9)

Unter Benutzung der Formel tg (2 A*/2 wird, k a n n m a n noch X*/2 von d e m errechneten W e r t s u b t r a h i e r e n ; d e n n eine Ä*/2-Leitung t r a n s f o r m i e r t n i c h t . I n Abb. 231 ist ferner stets Z max = A*/2. I n Abb. 230 dagegen ist Z max kleiner, weil ein Teil des f r ü h e r e n Zx jetzt als /L' innerhalb des Vierpols liegt, ebenso ein Teil des f r ü h e r e n l 2 als l 2 innerhalb des Vierpols. Bei der Messung n a c h Abb. 229 werden als Zt u n d l 2 aber n u r die L ä n g e n a u ß e r h a l b des Vierpols gerechnet. E s ist daher in Abb. 230 / m a x = X*l2 — (/,' -f- l2'). Hieraus gew i n n t m a n bei gemessenem Z m a x die Summe (Zt' -(- l 2 ) u n d schließlich m i t Hilfe von (32.13) Z2' = Z 1 2 - Z m , x - A * / 4 . (32.14) Es können sich dabei u n t e r U m s t ä n d e n negative L ä n g e n ergeben. U m positive Werte Z2' zu erhalten, addiert m a n 1*12, was m a n ohne weiteres darf, weil eine A*/2-Leitung n i c h t transformiert. W e n n m a n das Ersatzbild der Abb. 225 c f ü r n e g a t i v e X aus der gemessenen K u r v e der Abb. 230 gewinnen will, b e n u t z t man die Tatsache, d a ß g e m ä ß Abb. 231 stets Z min = X*ß ist. I n (32.13) u n d (32.14) t r i t t d a n n a n die Stelle des Z12 der Ort Zn des K u r v e n m i n i m u m s u n d a n die Stelle des Z max das Z min . W e n n man das Ersatzbild der Abb. 225 b m i t p o s i t i v e m Y aus der K u r v e der Abb. 230 gewinnen will, beachte m a n , d a ß g e m ä ß Abb. 232 stets Z m a x = X*ß bei lx=nX*\2 liegt. I n (32.13) ist d a n n 3 / 4 A* durch A*/2 zu ersetzen u n d in (32.14) fällt das 2*/4 f o r t . Das E r s a t z b i l d der Abb. 2 2 5 b mit n e g a t i v e m Y gibt g e m ä ß Abb. 232 das ¿min = ¿*/2 bei Zj = n • /.*/2. Man erhält d a n n Ii = X*/2

in;

l2 = ¿ii •

¿min-

(32.15)

E i n e n Sonderfall stellen die Vierpole m i t X = 0 u n d Y = 0 dar. I h r E r s a t z bild ist d a n n einfach ein S t ü c k Leitung der Länge l' = Zx' -j- l 2 vom Wellenwiderstand Z, u n d bei der Berechnung nach Abb. 226 k a n n m a n direkt von 9i 0 n a c h 3t 3 über eine L e i t u n g der L ä n g e (/ t -(- l' -f- Z2) im L e i t u n g s d i a g r a m m transformieren. Solche Vierpole geben bei der Messung nach Abb. 230 kons t a n t e s l wie in A b b . 231 u n d 232. Man b e n u t z t derartige Vierpole sehr gerne, weil sie die Anpassung auf der L e i t u n g nicht stören. Beispiele solcher Vierpole geben die F i l t e r des § 17 im Durchlaßbereich. Falls diese Vierpole n i c h t e x a k t abgeglichen sind, geben sie ein sehr kleines X oder Y u n d geringe Schwankungen des Z in Abb. 230 m i t kleinem ZlZ. Das gemessene AI l ä ß t d a n n o f t erkennen, durch welche zusätzlichen S c h a l t m a ß n a h m e n m a n das AI zum Verschwinden bringen k a n n . F ü r kleine AI e r h ä l t m a n n a c h (1.17) aus (32.10) u n d (32.12) die N ä h e r u n g e n X = 2n • AI-ZIX*-,

Y = 2n-Alj{Z-1*).

(32.16)

234

Leitungsschaltungen

Wegen l m i n = l max = ' ist dann die Länge der inneren Vierpolleitung V =

+ Ig' = l*j 2 — l,

(32.17)

weil (l -f- l') stets gleich k*/2 sein muß. Ergänzendes Schrifttum: [31, 34, 36]. § 33. Verlustfreie Vierpole zwischen verschiedenartigen Leitungen

Die Ergebnisse des § 32 sollen jetzt auf den Fall erweitert werden, wo die beiden anschließenden Leitungen in Abb. 225a verschiedenen Wellenwiderstand und verschiedene Wellenlänge X* besitzen. Zunächst wird im einfachsten Fall das Verhalten zweier verschiedener aneinanderstoßender Leitungen nach --, Abb. 233 behandelt. Es soll der Eingangswiderstand 9*3 bei gegebenem Abschlußwiderstand 9t 0 berechnet werden. Zur Anwendung des Leitungsdiagramms arbeitet man mit relativen Widerständen. Man bildet r 0 = l3iJZl! wobei Zx der Wellenwiderstand der an 9i0 anschließenden Leitung ist. H a t diese die Länge und die Wellenlänge Aj*, so berechnet man IJXy* und dreht r 0 auf seinem m-Kreis nach t^, wobei der Parameter der ¿-Kreise um * zunimmt. 9ix = r x • Zx ist der Eingangswiderstand der hinteren Leitung und Abb. 233. Wellenwiderstandssprung gleichzeitig der Abschlußwiderstand der vorderen Leitung mit dem Wellenwiderstand Z 2 . Um das Leitungsdiagramm auf die vordere Leitung anwenden zu können, benötigt man den relativen Abschlußwiderstand r 2 = 9tJZ^. Das gtx braucht man an sich nicht auszurechnen, sondern kann direkt von r x auf r 2 umrechnen: *« = V zxß%(33.1) Der Übergang auf den anderen Wellenwiderstand zeigt sich also in der Multiplikation mit dem reellen Faktor ZJZ2. Dabei bleibt der Phasenwinkel des t x erhalten, und es multipliziert sich nur sein Absolutwert mit dem Faktor Zy/Z^. Abb. 233 zeigt die entsprechenden Vorgänge in der relativen Widerstandsebene. Der Übergang von r x nach r 2 ist eine Verschiebung auf einer Geraden durch den Nullpunkt, wobei sich der Abstand vom Nullpunkt u m den Faktor Z 1 /Z 2 ändert. Für Zx > Z 2 (Abb. 233) entfernt sich r 2 vom Nullpunkt, f ü r Zx < Z 2 nähert sich t 2 dem Nullpunkt. Dieses r 2 wandert dann wieder auf seinem m-Kreis nach t 3 entsprechend der Länge l 2 und der Wellenlänge A2* der vorderen Leitung: 9t 3 = r 3 • Z 2 . Macht man f ü r die Anordnung der Abb. 233 einen Kurzschlußversuch wie in Abb. 229, so kann man wieder eine Kurve ähnlich Abb. 230 erhalten. Man muß dann jedoch berücksichtigen, daß das 1* auf beiden Leitungen verschieden

Verlustfreie Vierpole zwischen verschiedenartigen Leitungen

235

sein kann und daß im Prinzip nur der Quotient Iß* wirksam ist. Man kann also nur die Quotienten ^/Aj* und l2/X2* für solche Kurven benutzen. Man trägt also die Summe a = W

+ W

(33.2)

als Funktion von IJXj* auf (Abb. 234) und erhält eine Kurve gleicher Form wie in Abb. 230 bis 232. Diese Kurve kann man in folgender Weise berechnen. Die hintere Leitung der Länge hat nach (22.15) den Eingangswiderstand 9tx = jZ1-tg(2nl1/Xl*). Ein im Abstand /2 vom Übergangspunkt gemessener Knoten auf der vorderen Leitung ergibt nach (28.1) ein 9ftx = — jZ2 • tg (2 nljjl2*), das dem obigen gleich ist. Daher wird tg (2 Jrij/V) = — (Zißz) tg ( 2 t i W ) .

(33.3)

Dann ist nach (33.2) der Zusammenhang zwischen a und lJXi * tg(2 na) = tg{2nl1ß1*

_t

+ 2

nl2ß2*)

_.

s(2nia*)

(33"4)

Für Zi = Z 2 wird tg (2 na) = 0. Betrachtet man dann die Verschiebung des ersten Knotenpunktes rechts vom Übergangspunkt, so ergibt sich daraus a = 0,5, also ein von h/h* unabhängiges a. Abb. 234 zeigt diese Gerade. In Abb. 234 ist ferner für den jeweils ersten Knoten rechts vom Übergangspunkt für Zy > Z 2 , ZJL < Z 2 , Zx — 0 und Zl= oodie zugehörige «-Kurve nach (33.4) eingezeichnet. Für Zx #= Z 2 schwankt dabei a mit der Periode 0,5 um die mittlere Gerade für Zx = Z 2 . Für alle Werte IJX^* = n • 0,25 Abb. 234. Messung eines Wellenwiderstandssprungs [tg(2 nljl*) = 0 oder ± o o ] wird tg{2na) = 0 oder a = 0,5. Wie in § 32, so gilt auch hier allgemein für alle Kurven, daß sie bei Benützung eines anderen Knotens in g l e i c h e r Form, lediglich um ein entsprechendes n- 0,5 verschoben, wieder erscheinen. Es interessiert dabei für die Auswertung wiederum nicht, welcher Knoten jeweils gewählt wurde, weshalb im folgenden stets ein Kurvenverlauf nach Abb. 234 vorausgesetzt wird. Aus einer gemessenen a-Kurve nach Abb. 234 kann man den Faktor bestimmen, wenn man wieder die Differenz Aa = a m a x — amin

ZJZ2 (33.5)

236

Leitungsschaltungen

der Extremwerte der Kurve betrachtet. Um diese Extremwerte zu erhalten r differenziert man (33.4) nach I J k u n d setzt den Differentialquotienten gleich Null. Daraus ergibt sich f ü r den Ort lx der Extremwerte

tg(27illß1*) = ±yz2/zi.

(33.6)

Setzt man dies in (33.4) ein, so erhält man die Extremwerte a m a x und a m l n aus

tg (2 na) =

t]/zjz[

- ^Z^Z2).

(33.7)

F ü r Z 2 > Zx gibt das positive Vorzeichen das' a m a x und das negative Vorzeichen das a m i n . Dann ist in Abb. 234 Aa/2 = a m ; i x — 0 , 5 = 0 , 5 — « m i n u n d mit tg (n • Aa) = ' t g (27icr m a x —n) = tg ( 2 n a m a x ) ist nach (33.7) tg (7t • Aa) = j

(^/Z, — fzjz2).

(33.8)

Wenn Z2 < Z1 ist, gibt das negative Vorzeichen das a m a x und es wird tg (71-Aa) = A (y'ZJZ2 — f z j z j ) .

(33.9)

Aus der Lage der Extremwerte gewinnt man die Entscheidung, ob Z1 kleiner oder größer als Z 2 ist, u n d k a n n dann aus dem Aa der gemessenen a - K u r v e den Quotienten ZJZ2 nach (33.8) oder (33.9) bestimmen. Dies ist eine sehr brauchbare Methode zur Messung von Wellenwiderständen. Wenn entweder Zx oder Z2 bekannt ist, gewinnt man daraus das unbekannte Z der anderen Leitung. Die Messung ist sehr genau, weil sie nur Längenmessungen enthält und Knotenorte sehr genau bestimmt werden können. Wenn Z1 u n d Z 2 nur wenig verschieden sind Z 2 = Z j + ZlZ2 = Zx (1 + AZz/ZJ,

(33.10)

also AZ2/Z1 sehr klein ist, wird auch das Aa klein und man kann (33.8) (AZ2 > 0) nach (1.17), (1.9) u n d (1.10) in eine Näherungsformel bringen:

n-Aa = i ( j / l + AZ2:Z, — [ 1 (1

1Z.Z,)) ;

F ü r kleines AZ2 liegen die Extremwerte des a nach (33.6) bei /¿j* = 1/8-)- w'4, also in der Mitte zwischen den Orten IJli* = n/4:, wo stets a = 0,5 ist. Auch (33.4) kann man dann wesentlich vereinfachen. Nach (33.10) und (1.8) wird 1 — ZXJZ2 = AZ2/Zv I m Nenner von (33.4) kann man Zx == Z2 setzen, da die Berücksichtigung des ZlZ2 nach (33.10) keine interessierende Verbesserung des Resultats mehr gibt, weil tg (2 na) wegen des kleinen Zählers sowieso schon sehr klein ist. Mit t g a / ( l -f- t g 2 « ) = 1 / 2 sin (2«) wird tg (2na) — Va (AZ 2 /ZJ) sin (4 71^/,^*). Das a liegt nach Abb. 234 in der Nähe von 0,5, so daß statt (1.17) die Näherung tg (2na) = 2n (a—0,5) benutzt wird. Dann ist a = 0,5 + - L ^ 471

sin(4 n l y ß f )

(33.12)

Verlustfreie Vierpole zwischen verschiedenartigen L e i t u n g e n

237

eine reine sin-Schwankung um den Mittelwert 0,5 (Abb. 235a). Mit Hilfe dieser Methode kann man schon kleinste Wellenwiderstandsunterschiede zwischen aneinanderstoßenden Leitungen messen. Man darf dann jedoch nicht übersehen, daß im Übergangspunkt zwischen Zi 1, das man auf diese Weise am einfachsten graphisch bestimmt, und das erforderliche l 2 ß * des Ersatzbildes ist die Parameterdifferenz der ¿-Kreise der Punkte r2 und K'. Man erhält stets ein reelles l 2 . Ferner kann man den Eingangsblindwiderstand jX2k für den Abschlußwiderstand = 0 nach (20.20) wie in (32.3) zu jX2k = j B'/D' berechnen, der ebenfalls jeden beliebigen positiven und negativen Wert haben kann. Nach dem Ersatzbild der Abb. 236 wäre das gleiche jX2k nach (26.4) wie in (32.4) durch 1 A 24 - /

1

_

R {Zi/Za)

t g ^ ^ * ) .

t g (2ttfe'/V)

gegeben. Dies ist bei bekanntem X2k eine lineare Gleichung für tg(2nly/Xy*), die stets eine reelle Lösung für ly hat. Man hat also einen Vierpol mit bebestimmten Konstanten B', C und D' und ein Ersatzbild mit bestimmten Konstanten ly, l2 und K', die für = Z und 3fJ1 == 0 die gleichen Eingangswiderstände 5R2 und jX2k besitzen. Dann sind aber Vierpol und Ersatzbild auch in ihrem Verhalten für beliebige Abschlußwiderstände identisch, weil durch 3i2 und j X 2 k das Verhalten des Vierpols bereits eindeutig festgelegt ist. Man beachte, daß man das Ersatzbild auch mit einem K' < 1 ausrüsten könnte. Dann würde in Abb. 237 der zweite Schnittpunkt (m = K') des /«-Kreises durch r2 mit der reellen Achse benutzt werden und der Transformator den Punkt rx' auf seinem Wege nach r 2 ' = t/ • K' der reellen Achse nähern. In diesem Fall würden sich dann allerdings andere Werte ly und l2 ergeben. Das Transformatorersatzbild hat also stets zwei Möglichkeiten, wobei der K'-Wert des einen Ersatzbildes der Reziprokwert des K' -Wertes des anderen Ersatzbildes ist, weil der m-Kreis der Abb. 237 die reelle Achse in den Punkten m und 1 ¡rn schneidet. Zu beachten ist, daß ein symmetrischer Vierpol hier n i c h t die symmetrischen Längen ly' = l 2 ' gibt. Man kann das Transformator-

240

Leitungsschaltungen

ersatzbild auch auf den Fall des § 32 anwenden, f ü r den d a n n wegen Z1 = Z2 n a c h (33.18) das K' = K wird. I m § 32 h ä t t e m a n also sechs verschiedene Möglichkeiten eines einfachen Ersatzbildes (X < 0, X > 0, Y < 0, Y > 0, K < 1,

K >

1).

E i n e n solchen Vierpol wird m a n wieder in der Anordnung der Abb. 234 messen, wo n u n in die Trennstelle der beiden Leitungen n a c h Abb. 238 der Vierpol eingefügt wird. Man m i ß t verlustfreier Vierpol / j u n d l2 u n d berechnet a Kurzschluß ZiXi f Knoten nach (33.2). Dieses a in Abhängigkeit von l ^ i j * gibt wieder die charakteristischen K u r v e n wie in Abb. 234, jedoch wegen der Leitungen u n d l2 nach links u m ß* und u n t e n u m l { ß - f - l 2 '/¿ 2 * verschoben. S t a t t des F a k tors Z x f Z 2 in Abb. 234 werden hier die Schwank u n g e n durch den F a k t o r K' n a c h (33.18) bedingt, so Abb. 238. Knotenverschiebungsmessung d a ß m a n aus d e m Aa n a c h (33.5) hier s t a t t d e s - Z x ß 2 n a c h (33.8) u n d (33.9) den F a k t o r K' in gleicherw e i s e erhält. F ü r K' < 1 erhält m a n s t a t t (33.8) t g (n • Aa)

1

(j/1/Ä7 — j / J O

(33.20)

dfk'-

(33.21)

u n d f ü r K' > 1 s t a t t (33.9) tg

(n-Aa)

|/i/r).

F ü r K' in der N ä h e von 1 ergibt sich d a n n Aa =

¿71

-±-\l-

K'

(33.22)

I m Fall K' > 1, der dem Fall Zx > Z2 in Abb. 234 entspricht, w ü r d e f ü r Zj' = 0 u n d / 2 ' = 0 der M i t t e l p u n k t des steilen K u r v e n s t ü c k s i m P u n k t e ZJ/AJ* = n • 0,5 liegen. D a i m allgemeinen Fall der Abb. 238 das um kleiner wird, ist die K u r v e der Abb. 238 gegenüber Abb. 234 u m l ^ ß n a c h links verschoben. Liegt in Abb. 238 der Mittelpunkt I des steilen K u r v e n stücks bei l-^ßi*, so ist also l ^ ß * = 0,5 — V V -

(33.23)

Dieser P u n k t I liegt in Abb. 234 bei u = 0,5, in Abb. 238 jedoch u m k'/^i* VA>* = 0,5 — a' tiefer, weil u n d l 2 in Abb. 238 entsprechend kürzer sind. Also wird l2'ß2* = luß1*—a'. (33.24)

Die inhomogene Leitung— Die Grundgesetze des elektromagnetischen Feldes 241 I m Fall K' < 1, der d e m Fall Z1 < Z 2 in Abb. 234 entspricht, würde m a n die gleiche Auswertung auf den M i t t e l p u n k t I I des flachen Kurventeils beziehen, der g e m ä ß Abb. 234 ebenfalls bei I J l * = 0,5 liegt. Man erhält d a n n analog l ^ ß * = 0,5 — / 1 2 / V (33.25) und {{¡1* = / 1 2 / V — (33.26) Sollten sich bei der Auswertung der Gl. (33.23) bis (33.26) negative W e r t e ergeben, so a d d i e r t m a n 0,5, u m positive Ergebnisse zu erhalten (vgl. § 32). E r g ä n z e n d e s S c h r i f t t u m : [25, 31, 34, 36].

VII. Die inhomogene Leitung § 34. Die Grundgesetze des elektromagnetischen Feldes

Bezeichnungen f ü r die elektrische F e l d s t ä r k e : (S = komplexe Amplitude einer räumlichen K o m p o n e n t e ; e = © • e'mt = komplexer M o m e n t a n w e r t ; E — reelle A m p l i t u d e ; e = reeller Momentan wert. Bezeichnungen f ü r die magnetische F e l d s t ä r k e : § = komplexe Amplitude einer räumlichen Kompon e n t e ; i) = Jg> • ( Jmt = komplexer Momentan w e r t ; Ii = reelle A m p l i t u d e ; h = reeller Momentan wert. Vgl. § 2. Man n e n n t ein Feld homogen, wenn alle Feldlinien parallel verlaufen u n d die F e l d s t ä r k e in allen P u n k t e n des R a u m e s gleich groß ist. Das Bild des homogenen elektrischen Feldes zeigt der P l a t t e n k o n d e n s a t o r m i t unendlich großen Flächen (Abb. 239). Das homogene magnetische Feld f i n d e t m a n zwischen zwei parallelen, unendlich großen P l a t t e n (Abb. 240), die s e n k r e c h t zur Zeichenebene von gleichmäßig verteilten Strömen durchflössen werden.

Abb. 239. Homogenes elektrisches Feld

Abb. 240. Homogenes magnetisches Feld

Abb. 241. Feldlinien schräg zum Weg

Als elektrische S p a n n u n g U zwischen zwei P u n k t e n A u n d B einer Feldlinie bezeichnet m a n das P r o d u k t (S • s der elektrischen Feldstärke u n d des A b s t a n des s dieser P u n k t e , als magnetische S p a n n u n g dementsprechend das P r o d u k t der magnetischen Feldstärke u n d des Abstandes. Die elektrische Spannung zwischen zwei beliebigen P u n k t e n C u n d L) ist das P r o d u k t 6 • s • cos tp der Feldstärke (S u n d der Projektion s • cos y> des Abstandes s auf die Feldlinie 16

M e i n k e , Hochfrequenzschalt ungeu

242

Die inhomogene Leitung

(Abb. 241) oder das Produkt der Feldstärkekomponente (Ss = (£ - cos tp in Richtung des Weges und des Weges s. Diese beiden letzteren Definitionen sind gleichwertig. Entsprechendes gilt für die magnetische Spannung. Als Grenzbedingung des elektrischen Feldes bezeichnet man die Forderung, daß die elektrischen Feldlinien stets senkrecht auf den begrenzenden Leitern auftreffen, d. h. daß die elektrische Feldstärke dort keine Komponente tangential zur Leiteroberfläche hat. Als Grenzbedingung des magnetischen Feldes bei hohen Frequenzen (extremer Skineffekt) bezeichnet man die Forderung, daß die magnetischen Feldlinien in der Nähe der Leiteroberflächen parallel zu den Leiteroberflächen laufen, d. h. daß die magnetische Feldstärke dort keine Komponente senkrecht zur Oberfläche haben darf. Auf den Leiteroberflächen der Abb. 239 befindet sich eine gleichmäßig verteilte Ladung mit der Ladungsdichte (Ladung pro cm 2 Fläche) e0- © mit e 0 aus (1.5), wenn das Dielektrikum aus Luft besteht. Die Vorzeichen der Ladungen und die Richtung der elektrischen Feldlinien sind so festgelegt, daß die Feldlinien stets von den positiven zu den negativen Ladungen laufen. Die Ströme auf den Leitern der Abb. 240 haben überall die gleiche Oberflächenstromdichte (§ 7), und diese hängt mit der magnetischen Feldstärke nach (7.6) zusammen. Den Zusammenhang zwischen Stromrichtung und Feldlinienrichtung entnehme man aus Abb. 34. Alle folgenden Betrachtungen gelten zunächst für den freien Raum mit s = 1 • Die Wirkung eines Dielektrikums wird in § 38 näher erörtert. Die Größe e 0 - 6 bezeichnet man als die Verschiebungsdichte. Dieses Wort gehört ebenfalls zu der Gruppe von Wörtern, die aus der historischen Entwicklung entstanden sind und deren eigentlicher Inhalt sich nicht mehr mit dem Wort deckt. Diese Größe wird daher hier mit „Felddichte" bezeichnet. Anschaulich dargestellt wird die Felddichte durch die Zahl der Feldlinien, die durch eine Fläche von 1 cm 2 treten, die senkrecht zu den Feldlinien steht. An einer Leiteroberfläche ist sie gleich der Ladungsdichte (Ladung pro cm 2 Oberfläche). Je zwei Ladungseinheiten der beiden Oberflächen sind durch eine Feldlinie verbunden. Durch eine Fläche F senkrecht zu den Feldlinien (Abb. 242) tritt also in jedem Moment die Feldlinienmenge £0 • e • F. Auf den zugehörigen Leiteroberflächen sitzt dann die momentane Ladung q— E0- e-F. Alle betrachteten Felder sind hoch+Q frequente Wechselfelder und q = ¡Q • e,y + dy) • dx mit negativem Vorzeichen ergibt. Die linke Kante dy besitzt die Komponente Qy(x,y), die eine etwas andere Größe als die Feldstärke §„(£ -j- dx,y) der rechten Kante hat. Ihr Beitrag lautet — &u( x >y)' (ly- Insgesamt lautet also das Durchflutungsgesetz des Feldstromes durch dF jwe0

•

dx dy = §u(x

-f

dx,y)

• dy — §y(x,y)

• dy

— §xi x >y + dy) • d x - f §x( x >y) • d x

(34-5)

246

Die inhomogene Leitung

oder joje 0 . ® f

=

-dx

(34.6)

T y

Die beiden Größen rechts sind partielle Differentialquotienten und man erhält schließlich als Differentialform des Durchflutungsgesetzes:

Das zweite Grundgesetz des elektromagnetischen Feldes ist das I n d u k t i o n s g e s e t z . Es lautet für ein homogenes Feld, das wie in Abb. 243 durch eine Fläche F t r i t t : Die elektrische Spannung längs des Randes der Fläche ist gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Kraftflusses durch die Fläche. Die komplexe Amplitude des magnetischen Kraftflusses 0 ist das Produkt 0 = f*o ' £> • F • cos y, = ¡¿0 • §N • F, (34.8) wobei /u,Q aus (1.2) zu entnehmen ist. F-cos y> ist der durch die schräge Fläche F herausgeschnittene Querschnitt des Feldes, $Qn die Projektion der magnetischen Feldstärke ig auf die Flächennormale. Die zeitliche Änderungsgeschwindigkeit des Kraftflusses

//////)//. Ort des jX1 physikalisches Ersatzbild: Abschluß^ Ersatz hapazität \ leitung

J*~ Vierpol—*j Ersatzbild:

*

Abb. 257.

£ Querkapazität

Abb. '256. Abschlußplatte

Abb. 258. Koaxiale Kegelleitung

Abb. 259. Koaxiale Kegelleitung

Ein Beispiel einer induktions- und feldstromfreien Fläche, die nicht eben ist, gibt die koaxiale Kegelleitung, die nach Abb. 258 aus zwei gleichachsigen Kegeln mit gemeinsamer Spitze besteht. Die elektrischen Feldlinien sind dann Kreise um die Kegelspitze nach Abb. 259, die magnetischen Feldlinien

Das Wellenfeld der Bandleitung

253

Kreise u m die Kegelachse wie bei der gewöhnlichen koaxialen Leitung (Abb.40). L ä ß t m a n die elektrischen Feldlinien u m die Kegelachse rotieren, so entstehen Kugelflächen, die induktions- u n d feldstromfrei sind, weil sie das Feldliniennetz e n t h a l t e n . Die L e i t u n g wird d u r c h diese Kugelflächen in Stücke geteilt, die m a n als Vierpole b e t r a c h t e t . Ebenso k a n n m a n sie in infinitesimale S t ü c k e dz teilen u n d deren I n d u k t i v i t ä t (iL u n d K a p a z i t ä t dC berechnen. D a n n e r g i b t sich, d a ß die Leitung einen k o n s t a n t e n Induktionsbelag L* u n d einen k o n s t a n t e n K a p a z i t ä t s b e l a g C* h a t . Wenn m a n als Leitungskoordinate z d e n R a d i u s der Kugelflächen n i m m t , h a t m a n bei fehlendem Dielektrikum eine homogene Leitung m i t dem k o n s t a n t e n Wellenwiderstand z

=

6 0

•

l n

äü^fy

( 3 5

-

1 }

u n d der Leitungswellenlänge 1* = X wie bei der gewöhnlichen Leitung nach (25.8). Über weitere relativ einfache induktions- u n d feldstromfreie Flächen vgl. § 36 u n d § 37. § 36. Das Wellenfeld der Bandleitung

Als homogene Bandleitung sei eine Leitung aus zwei parallelen, sehr breiten leitenden B ä n d e r n bezeichnet. Sie soll in Abb. 260 so liegen, d a ß die Längskoordinate z in R i c h t u n g der Zeichenebene l ä u f t ; es fließen //////////////////////////4///^/,//(//,//,///(. also auch die Leitungsströme ^ in ] j J | j j \ j j Vit.nnn» "Hin i ' > >' l I II R i c h t u n g der Die • / / / / / / / / / / / / / elektrischen Feldlinien verlaufen senkrecht zu den begrenzenden Abi). 260. Homogene ltandleilung P l a t t e n parallel zur Achse des Koordinatensystems. Die magnetischen Feldlinien sind nach Abb. 240 Geraden parallel zur i/-Achse, die senkrecht nach oben auf der Zeichenebene s t e h t . Abb. 240 zeigt also den Leitungsquerschnitt zur Abb. 260. W ä h r e n d in Abb. 240 die Ströme senkrecht zur Zeichenebene fließen u n d die Feldlinien in der Zeichenebene liegen, ist es in Abb. 260 u m g e k e h r t . Die P l a t t e n sollen senkrecht zur Zeichenebene sehr breit sein. Sie besitzen zwar eine R a n d s t r e u u n g nach Abb. 19, deren Anteil a m Gesamtfeld aber so klein sein soll, d a ß er n i c h t in Erscheinung t r i t t . D a die Feldlinien überall parallel sind, ist längs jeder Feldlinie die F e l d s t ä r k e k o n s t a n t . Die elektrische Feldstärke ist also u n a b h ä n g i g von x, die magnetische Feldstärke § (senkrecht zur Zeichenebene) u n a b h ä n g i g von y. N a c h (7.6) ist d a n n die Oberflächenstromdichte auf den P l a t t e n ebenfalls u n a b h ä n g i g von y. (f soll positiv sein, wenn es in R i c h t u n g der i'-Achse zeigt u n d ig positiv, wenn es in R i c h t u n g der «/-Achse zeigt (senkrecht zur Zeichenebene nach oben). Nach Abb. 34 h a b e n die Ströme bei positivem ip die in Abb. 260 gezeichnete R i c h t u n g . W e n n a der P l a t t e n a b s t a n d ist, h ä n g t © m i t der Spannung U zwischen den P l a t t e n nach (8.1) durch g = ll/o

(36.1)

Die inhomogene Leitung

254

zusammen. § ist nach (7.6) gleich der Oberflächenstromdichte 3*- Wenn b die Plattenbreite und der Gesamtstrom der Platte ist, wird & = 3 * = 3/i.

(36.2)

Die Leitung hat den Wellenwiderstand Z nach (25.3). Daraus ergibt sich das Verhalten von U und nach der Leitungstheorie. Da © und

WMM.

' ' ' i'ooocSooooad^

Abb. 293. Reflexionsfreie Isolierstützen bei der Bandleitung / / > j J /"yT"? /1 f f / " i ; / .»y'jffiyyyv ;

form ohne große Mühe. Man könnte auch zusätzlich einen Einschnitt in den unteren Leiter machen, wobei dann beide Einschnitte bei gleichem e eine geringere Tiefe als in Abb. 292 aufweisen könnten. Die gleichen Überlegungen kann man auch für die koaxiale Leitung durchführen und erhält dann Stützenformen wie in Abb. 294. Bei der koaxialen Leitung ist

18»

Abb. 294. Reflexionsfreie Isolierstützen bei der koaxialen Leitung

276

Die inhomogene Leitung

der E i n s c h n i t t in den Innenleiter wesentlich wirksamer als im Außenleiter, weil in (37.5) das A •r0/r f ü r kleine r sehr groß wird. Abb. 295 zeigt die richtige Dimensionierung f ü r g l a t t e Stützen bei zwei gebräuchlichen Wellenwiderständen. U n t e r die vorliegenden Probleme gehört a u c h der Grenzfall, wo m a n längs einer induktions- u n d feldstromfreien F l ä c h e einen idealen Leiter beginnen l ä ß t . Dies entspräche d a n n einem idealen Leitungskurzschluß. Bei der homogenen L e i t u n g ist also eine leitende Querebene nach Abb. 296 der ideale Kurzschluß, der keine Feldverzerrung a m Leit u n g s e n d e h e r v o r r u f t , bei d e m a u c h der K u r z s c h l u ß p u n k t e x a k t in dieser E b e n e liegt u n d die Leit u n g bis zu dieser E b e n e als homogene L e i t u n g w i r k t . W e n n m a n im inhomogenen Feld einen K u r z schluß anbringen will, der das Feld n i c h t v e r ä n d e r n soll, u m die Vierpolauswertung n a c h d e m bisherigen Schema a u f r e c h t zu erhalten, i i i l ¡ I i | T i l I I I I I M l I I I I I I I I I I I I I I | I I | I l i I I I I I I I I I I I . I l I I I I l I I I I

/ / / / / / ) Abb. 295. Reflexionsfreie Isolierstützen

Abb. 296. Idealer Leitungskurzschluß

so m u ß m a n die leitende Querfläche längs einer induktions- u n d feldstromfreien Fläche der inhomogenen Leitung legen. I n dieser Fläche ist d a n n überall ® = 0 u n d es enden keine elektrischen Feldlinien auf ihr. Wohl aber fließen in dieser Fläche Ströme u n d a n der Oberfläche bestehen die ungestörten magnetischen Feldlinien. Die O b e r ü ä c h e n s t r o m d i c h t e wird durch (7.6) u n d die Stromrichtung durch Abb. 34 b e s t i m m t . Die Ströme fließen senkrecht zu den magnetischen Feldlinien, also bei der inhomogenen Bandleitung parallel von oben n a c h u n t e n , bei der inhomogenen koaxialen Leit u n g radial zur Leitungsachse auf dieser Fläche. E r g ä n z t m a n die Anordn u n g der Abb. 281 auf der rechten Leitungsseite durch eine solche K u r z schlußfläche, so h a t m a n ein berechenbares Resonanzgebilde, wie es in Abb. 147 schematisch als Leitungsstück m i t B e l a s t u n g s k a p a z i t ä t dargestellt ist, hier aber einschließlich aller I n h o m o g e n i t ä t e n r e c h t genau u n d einfach berechnet werden k a n n .

Inhomogenitäten zwischen homogenen Leitungen

277

§ 39. Inhomogenitäten zwischen homogenen Leitungen

Die Beispiele der §§37 und 38 zeigen, daß in der Praxis im wesentlichen solche Inhomogenitäten interessieren, die als begrenzte Bezirke zwischen zwei anschließenden homogenen Leitungen liegen. Man kann dann die gesamte Inhomogenität als Vierpol zwischen homogenen Leitungen ansehen und sie durch die Ersatzbilder der §§32 und 33 beschreiben. Wenn man für die Inhomogenität den Z-Verlauf kennt, kann man die Transformation durch die Inhomögenität berechnen, beispielsweise dadurch, daß man den Vierpol als eine Folge kleiner Leitungsstücke mit verschiedenem Z betrachtet. Wenn man die Transformation kennt, kann man die Kenngrößen des Vierpols nach den Vorschriften des § 32 (Wellenwiderstand auf beiden Seiten des Vierpols gleich) oder § 33 (Wellenwiderstände auf beiden Seiten des Vierpols verschieden) berechnen und dann sehr einfach mit dem Vierpol arbeiten. Im allgemeinen interessieren solche Störungsstellen dann, wenn ihre Gesamtlänge noch klein gegen die Wellenlänge ist. Dann sind wesentlich einfachere Berechnungsverfahren möglich, die im folgenden dargestellt werden sollen. Es ist auch gar nicht sinnvoll, diese Inhomogenitäten etwa nach dem genannten Verfahren bei beliebig hohen Frequenzen zu betrachten, weil dann die Feldlinien doch nicht mehr nach den statischen Linien verlaufen. Die vollständige Theorie der inhomogenen Felder bei sehr hohen Frequenzen ist schwierig und wenig lohnend. Man beschränkt sich daher auf die einfache Näherung und verschafft sich Anhaltspunkte für die Frequenzgrenze, bis zu der die Näherung verwendet werden kann (§46). Allgemein kann gesagt werden, daß die Frequenzabhängigkeit von den Stellen des statischen Feldes ausgeht, wo in tiefen Ecken Feldlinienquadrate entstehen, die wesentlich größer als die anderen sind. Zur Vermeidung frühzeitiger Fre; großes quenzeinflüsse bemüht man sich daher um Felder mit möglichst ausgeglichener / ( / / / ' C i ' s o y s i i Quadratteilung. Anordnungen wie in 1 11 1 \ j 1 1 iI I I -l—l—1—1—V-—i^V 1 Abb. 297 mit einem tiefen Einschnitt ^/V ^ ) ) ; h s ; -> J ; ; •> ; ' Ss zeigen schon bei relativ niedrigen Frequenzen Abweichungen des Feldes von A b b 297. E x t r e m e I n h o m o g e n i t ä t den statischen Linien. Als erstes werden die Inhomogenitäten einer Bandleitung in Luft betrachtet, die beiderseits an Leitungen gleichen Wellenwiderstandes anstoßen (Abb. 269 und 270). Die Frequenz soll so niedrig sein, daß man wie in Abb. 134 alle Induktivitäten und Kapazitäten des inhomogenen Bereichs noch in einer e i n z i g e n Induktivität und einer e i n z i g e n Kapazität zusammenfassen kann. Dazu muß (21.5) erfüllt sein. L sei die Summe aller AL der Inhomogenität und C die Summe aller AC. Dann kann man die gesamte Inhomogenität als einen symmetrischen Vierpol mit einem mittleren Wellenwiderstand Z m nach (21.7) und einem Phasenmaß am nach (21.8) auffassen oder als eine homogene Leitung vom Wellenwider stand Z m und der Länge l m = am • ä * / ( 2 j i ) . Das A* = ?. ist dabei die Wellenlänge auf den anschließenden homogenen Leitungen

Die inhomogene Leitung

278

mit L u f t als Dielektrikum. Bei der inhomogenen Bandleitung berechnet sich jedes A L aus dem Feld nach (36.13). Die Summe aller A L ist dann

L = /J,0-F/b,

(39.1)

wobei F die Summe aller AF, also die gesamte von der Inhomogenität bedeckte Fläche ist. Da diese Fläche an das homogene Feld der anschließenden Leitungen stößt, sind ihre Feldgrenzen dort praktisch geradlinig und das F daher oft sehr leicht zu berechnen. Die Kapazität jedes Feldstreifens war nach (36.11) AC = e 0 • bjm. Bedeckt die Inhomogenität n solche Streifen, so ist die Kapazitätssumme C = e0-b-n/m

(39.2)

und der Wellenwiderstand nach (21.7) einfach Zm = Y l / C = (mn/b) mit Y/j, 0 /e 0 = 1 2 0 [ Q ] ,

[//.'• m/n [Q]

(39.3)

Das Phasenmaß lautet nach (21.8)

am = a»]/L6' = co ]//j0e0 ]/F- n/m.

(39.4)

Mit tu y ^ o = oc = 27t//.* wird die wirksame Länge LM =

\ : F • N 60 l m (39.16) sein m u ß . F ü r höhere Frequenzen (kleineres /*) m u ß m a n die I n h o m o g e n i t ä t durch z w e i Leitungsstücke beschreiben, wobei d a n n f ü r das l m jeder Teilleitung (39.16) erfüllt sein m u ß . Man teilt d a n n die I n h o m o g e n i t ä t durch eine in ihrer Mitte gelegene Feldlinie in zwei a n n ä h e r n d gleiche Teile u n d berechnet Zm u n d lm f ü r jeden dieser Teile nach den gegebenen Formeln. Dabei zeigt es sich, d a ß f ü r eine I n h o m o g e n i t ä t , die beiderseits a n Leitungen gleichen Wellenwiderstandes Z0 a n s t ö ß t , die Z - K u r v e i m allgemeinen so symmetrisch ist, d a ß beide Teile ein nahezu gleiches Zm ergeben, so d a ß d a n n immer noch der Vierpol durchgehend ein einziges Zm besitzt, so d a ß lm/k* < 0,032 oder in Erweiterung von (39.16) X* > 30 lm ist. Bei noch höheren Frequenzen m u ß m a n den Vierpol in drei u n d mehr Teile teilen. Die reflexionsfreien Durchgangsvierpole zeigen jedoch innerhalb der I n h o m o g e n i t ä t o f t

Inhomogenitäten zwischen homogenen Leitungen

281

so geringe Abweichungen des Z vom Z 0 (Abb. 269b, 280b, 2 8 9 b u n d 292), d a ß auch noch bei Unterteilung in vier Teile k a u m nennenswerte Abweichungen der verschiedenen Zm voneinander a u f t r e t e n , so d a ß m a n d a n n noch f ü r e t w a ?.* > 15 lm innerhalb des Vierpols m i t einem mittleren Wellenwiderstand Z,n f e c h n e n k a n n . J e weniger das Z innerhalb des Vierpols schwankt, d e s t o höhere Frequenzen l ä ß t er reflexionsfrei durch. Man w ä h l t also stets solche Abgleichmaßnahmen, die zu möglichst gleichmäßigem Z innerhalb des Vierpols f ü h r e n , d. h. m a n vermeidet jegliche Feldkonzentration wie z. B. in Abb. 280a zwischen den Ecken. Alle diese reflexionsfreien Vierpole h a b e n T i e f p a ß c h a r a k t e r u n d sind reflexionsfrei von der Frequenz Null bis zu einer kritischen Frequenz wie in § 17. I n Abb. 270 wäre lm = 1,6 a n a c h (39.7) u n d das Winkelstück brauchbar f ü r 1* > 24 a, weil das Z sehr g u t ausgeglichen ist. Vierpole m i t Dielektrikum haben etwas größere Z-Änderungen u n d der Vierpol der Abb. 292 ist m i t lm = a n u r brauchbar f ü r e t w a 1* > 30 a. Dem Leser sei dringend empfohlen, einige Beispiele genauer durchzurechnen, d a m i t er praktische E r f a h r u n g e n m i t diesen wichtigen Dingen sammelt u n d sich f ü r ihn diese umfangreichen E r ö r t e r u n g e n m i t anschaulichem I n h a l t füllen. Abweichungen des Zm vom Z0 geben einen kleinen Transformationsfehler bei Anpassung, den m a n ähnlich wie (38.5) f i n d e t . Bei der Ableitung m u ß m a n das dortige Ze durch Zm u n d das h/X* d u r c h /m/A* ersetzen. E s wird d a n n f ü r kleine 27zl m /X* u n d nicht zu große Abweichungen des Zm von Z0 n a c h (1.17) u n d (1.14) der Eingangswiderstand 91, bei Anpassung wie in (38.4) 9i 2 = Z 0 [ 1 + j(Zm/Z0

— Z0/Zm) 2nlmia*]

= Z 0 + A%

(39.17)

oder wie in (38.5) M 9 i 2 | / z 0 = I ZJZQ

— Z0/Zm

I • 23tljk*.

(39.18)

F ü r kleine Abweichungen des Zm Zn = Z0+AZ

(39.19)

wird d a n n aus (39.18) m i t Hilfe von (1.8) näherungsweise \m2\

= in-\AZ\-IJX*.

(39.20)

W i r k s a m wird also stets das P r o d u k t | AZ \ • lm, also des Wellenwiderstandsfehlers u n d der wirksamen Länge. W e n n m a n den Vierpol d u i c h ein solches Zm beschreibt, wendet m a n eine Transformation nach Abb. 287 c an, die aus einer ganzen Reihe von Schritten besteht. Wesentlich günstiger wäre die B e n u t z u n g der Ersatzbilder des § 32, bei denen der Vierpol aus einer homogenen L e i t u n g v o m Wellen widerstand Z 0 besteht, die nach Abb. 225 b oder c lediglich einen Störblindwiderstand besitzt u n d n a c h Abb 226 eine wesentlich einfachere Transformationsberechnung zuläßt. I n dem Bereich, wo die Beschreibung des Vierpols durch ein einziges mittleres Zm g e s t a t t e t ist, k a n n m a n eine beliebige U m o r d n u n g der L u n d C des Vierpols wie in Abb. 134 vornehmen. Die I n h o m o g e n i t ä t h a b e die K a p a z i t ä t C u n d die I n d u k t i v i t ä t L. Man n i m m t n u n einen solchen Teil L0 der I n d u k t i v i t ä t L, d a ß L0 u n d C zusammen ein

Die inhomogene Leitung

282

Stück Leitung vom Wellenwiderstand Z0 = ]/LJC und der Länge // -f- h' = ]/L0 C/y^e, bilden. Die restliche Induktivität (L—L0) stellt dann den Störblindwiderstand jX der Abb. 225c dar, der positiv oder negativ sein kann. In dem betrachteten Gültigkeitsbereich der Näherung, also unterhalb einer kritischen Frequenz, ist dieses neue Ersatzbild sogar frequenzunabhängig. Dieses jX legt man zweckmäßig in Abb. 225c in die Mitte der Länge -j- l 2 '); denn nach den Erörterungen zur Abb. 134 kann man den Vierpol bei solchen Frequenzen noch als symmetrisch betrachten. Im Beispiel der Abb. 269a ist Z0 = 120th- a/b[O], C nach (39.2) mit m = 5 und n= 8 gleich l,6e 0 -&, L nach (39.1) mit F = 2,02 a2 gleich ¡u0 • 2,02 a2/b. Das für das C wegen Z0 = ]/L0/C benötigte L 0 = Z02 • C

(39.21)

a2/b

ist also gleich 1,6 und die Länge l^' -f- = 1,6 a. Das restliche L — L0 = f j , 0 - 0,42 a2/b gibt den in Serie liegenden Störblindwiderstand, der in der verbesserten Form der Abb. 270 gleich Null ist. Wenn man eine Inhomogenität zwischen zwei Leitungen v e r s c h i e d e n e n Wellenwiderstandes nach den Abb. 265 oder 274 hat, kann man diese unter den gleichen Bedingungen durch eine Leitung vom mittleren Wellenwiderstand Zm nach den gleichen Formeln wie vorher ersetzen. Dieses Zm liegt im allgemeinen in der Mitte zwischen den beiden homogenen Wellenwiderständen. Man vergleiche die gestrichelte Kurve in Abb. 265. Die Berechnung der Widerstandstransformation wird jedoch wesentlich einfacher, wenn man das Transformatorersatzbild des § 33 benutzt, wo die ganze Feldstörung in dem Faktor K' nach (33.18) enthalten ist und die Transformation auf Wegen wie in Abb. 233 erfolgt. Unterhalb einer kritischen Frequenz, bis zu der man nach Abb. 134 noch die L und C innerhalb des Vierpols beliebig anordnen kann, teilt man das L in zwei Teile Lx und L 2 und das C in zwei Teile C\ und C'2 und zwar so, daß Lx und C\ zusammen eine Leitung vom Wellenwiderstand Z 1 = y L J C ^ der auf der einen Seite anschließenden homogenen Leitung und Z/2 und C2 zusammen eine Leitung vom Wellenwiderstand Z2 = ]/Z^/Ca der auf der anderen Seite anschließenden homogenen Leitung bilden. Aus den vier Gleichungen -(- L2 = L\ - f - C2 = C; V = L l /C 1 ; V=L2/C2 kann man die vier Größen Lv Cv L2 und C2 berechnen. Man ersetzt dann den Vierpol durch zwei Leitungsstücke der Längen = ^L 1 C 1 lyjÄ^e 0 und Z2' = ]/L2(-'2/^/^0 Eo m i t jeweils gleichem Wellenwiderstand wie die an sie anschließende Leitung und erhält einen Z-Sprung, wie er in Abb. 274b dargestellt ist, an einer Stelle, die ein bestimmtes Stück Z1' h i n t e r dem geometrischen Sprung liegt. Dies bedeutet, daß das Ersatzbild der Abb. 236 unterhalb einer kritischen Frequenz stets angenähert in ein Ersatzbild mit K = 1 umgerechnet werden kann, so daß in (33.18) K' = ZJZ2 wird und nur ein einfacher Wellenwiderstandssprung nachbleibt. Manchem Leser wird diese

Inhomogene Bauformen

283

Betrachtungsweise oberflächlich und wenig korrekt erscheinen. Man darf jedoch nicht vergessen, daß die strenge Theorie dieser Inhomogenitäten äußerst schwierig ist und exakte Lösungen nur in den wenigsten Fällen zu erwarten sind. Andererseits ist zu betonen, daß die hier benutzten Näherungen bezüglich ihrer Anwendbarkeit mit völliger Strenge diskutiert werden können und daher einwandfrei sind. Es fehlt jedoch der Raum, um solche kritischen Untersuchungen in vollem Umfang durchzuführen. Dieses soll Einzelaufsätzen in Fachzeitschriften vorbehalten bleiben. § 40. Inhomogene Bauformen

Die inhomogenen Teile der Leitungsschaltungen sind diejenigen, die dem planenden Ingenieur die größten Schwierigkeiten machen. Wenn auch die Meßtechnik nach § 32 und § 33 Möglichkeiten zur exakten Feststellung der Eigenschaften eines gegebenen Vierpols bietet, so müssen doch Methoden gefunden werden, um die Feld Vorgänge trotz aller Schwierigkeiten mit erträglichem Aufwand verstehen zu lernen, wobei unter Umständen schon rein qualitative Betrachtungen großen Nutzen bringen. Unsere Kenntnisse auf diesem Gebiet sind heute noch gering, und es wird erhebliche Arbeit in dieser Richtung erforderlich sein. Man bevorzugte daher bisher oft Bauelemente aus homogenen Leitungen, weil diese leicht berechenbar sind und lediglich Streufelder an ihren Enden aufweisen, deren Wirkung aber im allgemeinen zu erfassen ist. Diese Leitungsschaltungen nach § 30 und § 31 haben jedoch den Nachteil, daß sie Baulängen in der Größe der Wellenlänge erfordern, was oft aus technischen Gründen nicht tragbar ist. Dagegen benötigen Schaltungen aus konzentrierten Elementen wenig Raum, besitzen aber erhebliche Streufelder. Man muß sich dann bemühen, solche Schaltungen und solche Schaltelemente zu finden, deren Streufelder übersichtliche und quantitativ erfaßbare Form haben. Dies gilt besonders für den Wellenbereich X = 20 cm bis X = 20 m, während für noch kürzere Wellenlängen reine Leitungsschaltungen durchaus günstig sind. Ein interessantes Beispiel ist die A*/4-Transformation nach Abb. 205. Man kann sie ersetzen durch eine einfache (LQ-Schaltung, die man etwa in der Form der Abb. 299a darstellt. Das L ersetzt man durch eine kurze Leitung mit großem Z und das C durch eine kurze a) Leitung mit kleinem Z. Dieses Gebilde kann man nach § 37 erfassen und erhält den Z-Verlauf der Abb. 299b, den

R.t Abb. 299. (LC)-Transformator

R2

Abb. 300. (LC)- und Leitungstransformation

284

Die i n h o m o g e n e

Leitung

man durch zwei Leitungsstücke mit den mittleren Wellen widerständen Zlnt und Z 2m nach § 39 ersetzt. Abb. 300 zeigt vergleichsweise den Transformationsweg I der {LC)- Schaltung nach § 15, den Transformationsweg II der ¿*/4-Leitung nach Abb. 204 und den Transformationsweg III der Abb. 299, der aus zwei Stücken von »¡-Kreisen besteht. So erreicht man eine Verkürzung der Bauform, die man durch weitere Konzentrierung des L und C immer mehr verkleinern kann. Eine reine (LC)-Wirkung wird man kaum erreichen. Eine Nachbildung von Schaltungen nach § 16 bis § 18, wo es auf sehr genaue Einhaltung der Blindwiderstandswerte und ihres Frequenzgangs ankommt, gelingt daher nur bei exakter Berücksichtigung aller Nebeneffekte und dauernder meßtechnischer Kontrolle. Dabei ist zu beachten, daß die Bauelemente so dicht nebeneinander liegen, daß Maßnahmen an einem Element stets auch Änderungen in den Feldern der Nachbarelemente hervorrufen. Ein schwieriges Bauelement sind die Winkelstücke koaxialer Leitungen. Schon die gekrümmte koaxiale Leitung nach Abb. 301 erfordert eine kom-

Abb. 301. Gekrümmte Leitung

Abb. 302. Winkelstücke

plizierte Theorie, die in exakter Form noch nicht bekannt ist. Man weiß, daß der Wellenwiderstand einer gekrümmten koaxialen Leitung etwas größer ist als der einer geraden Leitung mit gleichem Querschnitt [man vgl. die Bandleitung nach (36.22)]. Die induktions- und feldstromfreien Flächen sind Ebenen durch das Drehzentrum M senkrecht zur Zeichenebene. Der Kapazitätsbelag C* ist fast genau der gleiche wie bei einer geraden Leitung gleicher Achslänge. Die Querebenen und damit die magnetischen Feldlinien liegen auf der Innenseite der Krümmung dichter nebeneinander als auf der Außenseite, weshalb die Feldstärken § dort etwas größer sind und sich der Induktionsbelag L* etwas erhöht [60], Dem § entsprechend fließen auch die Oberflächenströme verzugsweise auf der Innenseite der Kiümmung. Da das C* in erster Näherung nicht geändert wurde, wird daher das durch die Krümmung größer. Umgekehrt verhält es sich mit einem Winkelstück nach Abb. 302a, für das meßtechnisch ein mittlerer Wellenwiderstand Zm der Inhomogenität bestimmt wurde, der k l e i n e r als der Wellen widerstand Z0 der anschließenden homogenen Leitungen ist. Ein solcher Winkel wird daher durch Verkleinerung des Innenleiters innerhalb der Inhomogenität reflexionsfrei, am einfachsten durch eine Abschrägung nach Abb. 302b, wodurch im

Inhomogene Bauformen

285

wesentlichen die Kapazität verkleinert wird und gleichzeitig noch die kritische Frequenz steigt, weil die Induktivität dabei nicht meßbar wächst. Man vermeide stets Maßnahmen, durch die die Feldenergie so wesentlich zunimmt, daß die kritische Frequenz in die Nähe der Betriebsfrequenz absinkt. Da Bandleitung und koaxiale Leitung die wesentlichen Bauelemente der Leitungsschaltungen sind, muß man auch den reflexionsfreien Übergang von einer koaxialen Lei/ tung auf eine Bandleitung gleichen Wellenwiderstandes / *TFiifrr» ¿fy oft verwenden. Hier benutzt man am besten die Winkelform der Abb. 303, bei d$r man den mittleren WellenIi pn widerstand der Inhomogenität dadurch auf die richtige l1 j Größe bringt, daß man die Breite des Bandes keilförmig in bestimmter, durch Messung zu gewinnender übergang>Yon°KoaxiaiForm auf den Durchmesser des Innenleiters der koaxialen l e i t u n g a u f B a n , l l e U u n K Leitung zusammenschrumpfen läßt. Es folgt nun die Betrachtung der Bauelemente, die einen sogenannten „Sechspolcharakter" haben. Ihre Theorie ist noch komplizierter als die der bisherigen Elemente mit „Vierpolcharakter" und noch über einfachste Anfänge nicht hinausgekommen. Ein Sechspol ist ein Verzweigungspunkt, in dem sich eine ankommende Leitung in zwei abgehende Leitungen aufteilt. Zunächst sollen Serien Verzweigungspunkte betrachtet werden, deren Name darauf beruht, daß die abgehenden Leitungen a und b in Serienschaltung an die

ankommende Leitung c geschaltet werden. Abb. 304 zeigt ein einfaches Beispiel für eine homogene Bandleitung, wobei insbesondere der Verlauf des Stromes ^ von Interesse ist. Besitzt die Leitung c in der Nähe der Verzweigung den Strom so fließt dieser nach dem gezeichneten Schema stetig in die

286

Die inhomogene

Leitung

Zweigleitungen hinein oder wieder heraus. Die ankommende Spannung 11 teilt sich jedoch in die Teile 1I1 und tt 2 auf, weil die elektrischen Feldlinien im Verzweigungspunkt zerschnitten werden (Abb. 306). Diese Tatsache ist das charakteristische Kennzeichen für die Serienschaltung zweier Verbraucher, die ja dann stets vom gleichen Strom unter Aufteilung der Spannung durchflössen werden. Ein Parallelverzweigungspunkt einer Bandleitung würde dagegen das Aussehen der Abb. 305 haben, wo sich der Strom ^ in zwei Teile teilt, aber die Eingangsspannung beider Leitungen gleich ist, die beiden Leitungen a und b also parallel am Ausgang der Leitung c hängen. Die Serienverzweigung der Abb. 304 soll näher betrachtet werden. Auf den Leitungen selbst werden die Felder der homogenen Leitungen bestehen, die im Übergangsgebiet eine kleine Inhomogenität durchlaufen. Für nicht extrem hohe Frequenzen werden wieder die statischen elektrischen Feldlinien bestehen. Abb. 306 zeigt das statische Feld bei gegebener Spannung U zwischen den Platten I und I I , das jedoch wesentlich davon abhängt, welche Spannung an der Platte I I I liegt. Abb. 306a zeigt einen Zustand, bei dem zwischen I und I I I der größere und zwischen I I I und I I der kleinere Teil der Spannung liegt, Abb. 306b den Zustand, wo zwischen I und I I I der kleinere, zwischen I I I und I I der größere Teil liegt. Wenn man statt der Gleichspannung Wechselspannung anlegt, und zwar zwischen I und I I I eine komplexe Amplitude l l j = Ij\ • e3®1 und zwischen I I I und I I eine komplexe Amplitude lt 2 = U 2 ' ei»>>,» die Eingangswiderstände und 9i2 der beiden Leitungen phasengleich sind: 1I1 = 30T; r ™ v. • : , 3 • 9ti; U¿2 = vi3 • Sft . Dann gibt es nach Grenzflächen im Serien-Verzweigungspunktt i 2

Abb. 307 eine einzige Feldlinie, die a l l e d r e i Leiter trifft, während alle anderen nur zwischen je zwei Leitern verlaufen. Diese Feldlinie ist die Trennlinie der drei Leitungen. Für die zugehörige Fläche kann man den Eingangswiderstand der Leitung a und den Eingangswiderstand 9f2 der Leitung b definieren. Die Summe

Inhomogene Bauförmen

287

(gij -j- 3i2) ist dann der exakt definierte Abschlußwiderst^nd der Leitung c. Wenn man sich die Äquipotentiallinien des Feldes (Abb. 306) wieder als Strömungslinien der Energie vorstellt (Abb. 265), kann man anschaulich erkennen, wie sich die aus der Leitung c ankommende Energie auf die beiden Leitungen verteilt. Im allgemeinen Fall grenzt man den Sechspol auf den angrenzenden Leitungen, in genügendem Abstand von der Inhomogenität durch homogene Querschnittsebenen ab wie den Vierpol in Abb. 254. Ein Sechspol ist ein relativ kompliziertes Gebilde, weil schon ein verlustfreier Sechspol durch sechs unabhängige Konstanten beschrieben werden muß. Ein empfehlenswertes Ersatzbild zeigt Abb. 308a für einen Serienverzweigungspunkt mit drei Leitungsstücken

Sechspol Welle

Abb. 309. Serien-Verzweigungspunkt

w f r

I

T

1 -¡H * 000 f Sechspol

Abb. 308. Ersatzbilder für Verzweigungspunkte

J -r7-rr^77~rrrrr)p-r77T.

Grenzen des Sechspols

Abb. 310. Parallel-Verzweigungspunkt

und drei Kapazitäten und Abb. 308 b für einen Parallel Verzweigungspunkt mit drei Leitungsstücken und drei Induktivitäten. Dies ist dann die sinngemäße Erweiterung der Vierpolersatzbilder der Abb. 225. Die innere Kombination der drei Blindwiderstände ist dann der eigentliche Verzweigungspunkt. Unterhalb einer gewissen kritischen Frequenz enthalten diese Ersatzbilder sogar nur frequenzunabhängige Elemente, wobei die Kapazitäten und Induktivitäten auch negativ sein können. Je niedriger die Frequenz, desto mehr kann man die Ersatzbilder vereinfachen, wie dies in § 39 für Vierpole gezeigt wurde. Bei hinreichend niedrigen Frequenzen wird man die Stör blindwiderstände überhaupt vernachlässigen. Eine Serien Verzweigung für koaxiale Leitungen zeigt Abb. 309 [49]; die bekannte Parallelverzweigung findet man in Abb. 310. Auch die Anordnungen der Abb. 213 sind Blindwiderstände

288

Die inhomogene

Leitung

aus Nebenleitungen, die über einen Serienverzweigungspunkt an die Hauptleitung angekoppelt sind. Ein ähnliches Gebilde ist der Symmetriertopf nach Abb. 311, der einen Übergang von einer koaxialen Leitung auf eine symmetrische Leitung nach Abb. 136 b ermöglicht. Ein direkter Anschluß der einen Leitung an die andere ist nicht möglich, da man sinnvollerweise den Außenleiter der koaxialen Leitung an die äußere Abschirmung der symmetrischen Leitung anschließen muß. Dies gelingt mit der Schaltung der Abb. 311, deren Funktion deshalb etwas schwierig zu erklären ist, weil es ein wirklich zutreffendes Ersatzbild aus konzentrierten Elementen nicht gibt. Die Anordnung wird nur dann verständlich, wenn man nach Abb. 32b berücksichtigt, daß durch den extremen Skineffekt nur sehr dünne Oberflächenschichten leitend und die darunterliegenden Leiterteile feldabstoßend sind, also keine leitende Verbindung bedeuten. Nur die in Abb. 3 l l dick ausgezogenen Oberflächen stellen die an der Stromführung beteiligten Leiter dar. Daher ist zwar der Außenleiter der beiden Leitungen an sich direkt verbunden, bei Berücksichtigung der Oberflächenleitung jedoch nur auf einem Innenleiter großen Umweg. Dagegen -Aussenleiter der koaxialen Leitung sind die beiden Innenleiter der symmetrischen Leitung u n m i t t e l b a r mit Innenleiter und Außenleiter der koaxialen Leitung verbunden, wobei in der ÜbergangsAussenleiter der symmetrischen stelle eine gewisse FeldLeitung störung auftritt, die Abb. 312. man in erster Näherung Ersatzbild der Abb. 311 Abb. 311. Symmetriertopf durch eine Parallel kapazität C beschreiben kann (Abb. 312). Es muß nun untersucht werden, in welcher Weise die zusätzliche Verbindung der Außenleiter auf das Verhalten der Anordnung einwirkt. Die Umwege sind zwei koaxiale. Leitungen mit dem Innendurchmesser d, dem Außendurchmesser D und der Länge l. die nach Abb. 312 in Serie zueinander liegen. Abb. 312 zeigt deutlich, daß dann der Außenleiter der symmetrischen Leitung wirklich eine Symmetrielinie der Schaltung ist und die Spannungen zwischen dem Außenleiter der symmetrischen Leitung und den beiden Innenleitern gleich groß sind und entgegengesetzte Phase haben, wie es sein soll. Die beiden Leitungen der Länge / stellen zwei gleiche Blindwiderstände jX nach (22.15) dar, die in Serie als Widerstand 2 jX parallel zur Störkapazität C liegen. Man kann dann noch L < A*/4 so wählen, daß 2 j X ein induktiver Blindwiderstand wird und den Blindwiderstand des C für eine bestimmte Frequenz in Parallelresonanz verschwinden läßt. Ergänzendes Schrifttum: [2, 31, 34, 35, 54, 56, 57, 59].

Hohlleiter

289

- Hohlraumresonatoren

VIII. Hohlleiter § 41. Hohlraumresonatoren

In Abb. 313a ist für eine homogene Bandleitung der Länge /*/2, die an beiden Enden kurzgeschlossen ist, die Verteilung der Feld- und Leitungsströme gezeichnet. Es handelt sich um zwei am Ende kurzgeschlossene A*/4-Leitungen nach Abb. 260, die an ihrem Eingang zusammengeschaltet sind. Da eine kurzgeschlossene A*/4-Leitung nach (22.15) den Eingangswiderstand oo hat, bedeutet dies, daß ein solches Leitungsstück bei Vernachlässigung der Verluste ohne Stromzufuhr von außen als ein in sich geschlossenes Resonanzgebilde schwingen kann. Ebenso ist dann auch die ,?.*/2-Leitung der Abb. 313a ein solches Resonanzgebilde. Wir betrachten eine Leitung mit Luft als Dielektrikum, für die also X* = /. ist. Um spätere Verwechslungen mit der Wellenlänge in Hohlleitern zu vermeiden, wird im Leitungsströme > der oberen folgenden überall dort ?. statt X* benutzt, ^ — Wand wo die Wellenlänge auf der Leitung gleich der Wellenlänge im freien Raun? a)

- M -

f

Feidstrom

!

_

Leitungsstrom

Leitungsströme J der unteren Wand

Leitungsströme Js der Seitenwand

i i.

A b b . 313.

Beidseitig kurzgeschlossene B a n d l e i t u n g

A b b . 314.

Zylindrischer H o h l r a u m

ist. Die Spannung zwischen den Leitern verläuft nach (22.18) und Abb. 313b nach der Funktion U = tt m a x ' sin(2nzjX), dementsprechend auch die elektrische Feldstärke © = U/ff und die Feldstromdichte jwe() - CS, wie es in Abb. 313a durch die verschiedene Feldliniendichte angedeutet ist. Der Längsstrom auf den Leitern verläuft nach (22.19) und Abb. 313b nach der Funktion 3 = 3max • cos(2tiz/A), ist also an den Kurzschlußorten am größten und nimmt zur Mitte hin ab. Der senkrechte Leitungsstrom in den Kurzschlußebenen ist ebenfalls gleich 3max- Beide Leitungshälften bilden in sich geschlossene Stromkreise mit einem Feldstrom, der über den ganzen Zwischenraum verteilt ist. Die magnetischen Feldlinien stehen senkrecht zur Zeichenebene. Die magnetische Feldstärke ist nach (7.6) überall gleich der Oberflächenstromdichte auf den Leitern an der betreffenden Stelle, also proportional 19

Meinke,

HochfrequenzschalLiingen

Hohlleiter

290

zum Leitungsstrom nach Abb. 313b. Sie ist am größten in der Nähe des Kurzschlusses und nimmt zur Mitte hin ab. Läßt man nun das Gebilde der Abb. 313a um die strichpunktierte Gerade als Achse rotieren, so erhält man einen zylindrischen Hohlraum nach Abb. 314. Die Verteilung der Spannung und des Feldstroms im Achsenschnitt hat den gleichen prinzipiellen Verlauf wie in Abb. 313. In der Umgebung der Achse häufen sich also die Feldströme. Die Leitungsströme fließen radial zur Achse hin oder von der Achse weg Vmd werden zum Rand hin größer. In den senkrechten Wänden fließen senkrechte Leitungsströme. Die magnetischen Feldlinien sind Kreise in waagerechten Ebenen nach Abb. 314b, wobei die Feldstärke § zum Rande hin zunimmt. Die Verteilung von Strömen und Feldern verläuft dabei nicht mehr genau nach einer sin-Funktion oder cos-Funktion, aber doch nach einer ganz ähnlichen Funktion, die nun berechnet werden soll. Den Raum innerhalb des Zylinders kann man durch induktions- und feldstromfreie Zylinder nach Abb. 282 mit dem Radius r aufteilen. Wie bei der inhomogenen Leitung kann man das in Abb. 315 gezeichnete Teilvolumen durch zwei Zy"j" linder mit den Radien r und (r -j- dr) abgrenzen o und als Vierpol betrachten. Der Vierpol enthält ^ das Volumen na[(r-\-dr)2—r2] = 2 na • r • dr für infinitesimale dr und die magnetische Feldenergie dWrn = na • r • dr • fi0H2, wobei H gleich Abb. 315. Volumelement des zylin- der Oberflächenstromdichte J* auf den Kreisdrischen Hohlraums . . , „ . , . . . ringen ist. Der gesamte m Richtung aui die Achse fließende Strom in den leitenden Kreisringen ist J=2nr-J*, also H— J/(2nr). Nach (1.3) hat dann der Kreisring die Induktivität dL = ~ ^ d r = L * - d r .

(41.1)

Liegt zwischen den Kreisringen die Spannung U, so besteht im Vierpol^ die elektrische Feldstärke @ == tt/a. Die elektrische Feldenergie ist nach (1.4) mit obigem dV gegeben durch dWe = na-r-dr• e0E2, und der Raum besitzt daher nach (1.6) die Kapazität dC

= ^ -

e

a

±

d

r = C*.dr.

(41.2) '

K

Nach den Erörterungen des § 36 hat man also in Abb. 315 einen infinitesimalen Vierpol mit dem Wellenwiderstand Z = ]/ dLjdC = l/^o/eo . Ergänzendes Schrifttum: [8, 58],

§ 43. Die H „-Welle im Rechteckrohr

Wenn die Betriebswellenlänge X kleiner als die Grenzwellenlänge wird, erhält man nach (42.12) ein imaginäres K und e~Kz ist nicht mehr eine mit wachsendem z aperiodisch absinkende Funktion, sondern ein komplexer Faktor geworden, der in (42.6) bis (42.8) wie in (36.5) die Ausbreitung aller Felder in W e l l e n f o r m darstellt. Die Möglichkeit einer solchen Wellenausbreitung soll nun f ü r den einfachen Fall eines Rohres mit Rechteckquerschnitt anschaulich erläutert werden. Man geht aus von einer homogenen Bandleitung (Abb. 338a), für deren Welle die Felddarstellung in § 36 gebracht wurde. Es ent-

305

Die H10-Welle im Rechteckrohr

stehen im Momentanbild Stromkreise, die von magnetischen Feldlinien durchsetzt sind wie in Abb. 155 bei der koaxialen Leitung. Dieses Momentanbild verschiebt sich längs der Leitung mit Phasengeschwindigkeit. Wenn man nun diese Bandleitung durch zwei leitende Längswände zu einem Rechteckrohr ergänzt, so wird die Leitung dadurch auf beiden Seiten kurzgeschlossen und es ist normalerweise keine Welle mehr möglich. Es tritt dann nur das aperiodische Absinken angeregter Felder nach § 42 auf. Wenn jedoch die Bandleitung genügend breit war, wenn beispielsweise die Breite a größer als A/2 ist, bedeuten diese seitlichen Wände keinen Kurzschluß im eigentlichen Leitungsstroro

magn.

Feldlinien

Abb. 339. Hohlrohrelement der Abb. 338 b J L

Wandstrom

magn.

Feldlinien

Abb. 3 3 8 . i'eldbild a) bei der Bandleitung b) im R e c h t e c k r o h r

b)

JL

Feldstrom

Abb. 3 4 0 . E r s a t z b i l d a) für die Bandleitung b) für das Hohlrohr

Sinn mehr. Wir betrachten zunächst den theoretisch besonders interessanten Fall a = iß (K = 0). Während auf der Bandleitung der Abb. 338a alle Leitungsströme in Richtung der Leitung fließen, machen sich die beiden seitlichen Wände nach Abb. 329 dadurch entscheidend bemerkbar,* daß für a = 2/2 nur Ströme quer zur Leitung über die Seiten wände fließen, so daß in der Leitungsrichtung z keine Ströme bleiben, die eine sich ausbreitende Welle ermöglichen würden. Betrachtet man die Querströme in einem schmalen Rohrstück nach Abb. 339, so tritt in diesem Querstück der in Abb. 313 gezeichnete Zustand ein. Das Querstück wird dann ein Resonanzgebilde, das bei Vernachlässigung der Verluste einen unendlich großen Widerstand darstellt. Eine einfache Bandleitung hat ein (LC)-Ersatzbild nach Abb. 340a. Zum Entstehen einer Welle ist erforderlich, daß der Längswiderstand ein induktiver und der Querblindwiderstand ein kapazitiver Widerstand ist. Beim Rohr nach Abb. 338b hat man jedoch parallel zur Querkapazität eine Querinduktivität (Abb. 340b) geschaltet, die durch die magnetische Feldenergie der Ströme über die Seitenwände entsteht. Der Querblindwiderstand ist also ein Parallelresonanzkreis und eine Welle entsteht nur dann, wenn der resultierende Blindwiderstand dieses Kreises kapazitiv ist, wenn also die Betriebswellenlänge 1 kleiner als die Resonanzwellenlänge dieses Parallel20

Meinke,

Hoehfrequenzschallungca

306

Hohlleiter

kreises ist. Diese Resonanzwellenlänge ist also die Grenzwellenlänge ).g des Rohres. Da die Resonanz des Gebildes der Abb. 339 bei a = 2/2 liegt, entsteht so die Grenzwellenlänge Xg = 2a nach (42.11). Wenn man die Abb. 338a durch die Querströme nach Abb. 338b ergänzt, hat man das vollständige System der Stromkreise, deren Zentrum je ein Feldstrombündel in der Rohrmitte ist, das hier eine ähnliche Rolle wie der Leitungsstrom im Draht der Abb. 329 spielt. Diese Feldstrombündel wändern jedoch mit der Phasengeschwindigkeit in der Wellenrichtung. Sie sind wie in Abb. 328 von magnetischen Feldlinien umgeben, deren genauere Form Abb. 343b zeigt. Die Leitungsströme speisen das senkrechte Feldstrombündel von allen Seiten, und zwar als Querströme über die senkrechten Wände und als Längsströme sogar teilweise aus den benachbarten Feldstrombündeln. Man vergleiche auch Abb. 343a. An Stelle von e~Kz schreibt man beim Wellenfeld besser e^"*2, um die Fortpflanzungskonstante tx auch hier einzuführen. Das positive Vorzeichen beschreibt dabei genau wie bei der koaxialen Leitung (§ 24) den Fall der in Richtung abnehmender z laufenden Welle, das negative Vorzeichen den der in Richtung wachsender z laufenden Welle. Es ist nach (42.10) auf Grund einer kleinen Umformung ± j

0 C =

K = ± j(2nß)|/l—[¿/(2a)]*,

(43.1)

wobei die Wurzel im Wellenfall (i. < 2a) wieder reell ist. D a « = 2n/2,* ist, wird nach (43.1) die Wellenlänge im Rohr H* = X/-/r^[3L/(2a)f.

(43.2)

Sie ist größer als 1, was darauf zurückzuführen ist, daß die wirksame Querkapazität der Leitung ähnlich wie in (6.19) durch die parallele Induktivität (Abb. 340b) frequenzabhängig verkleinert wird. Für X = Xg = 2a wird 1* =. oo und gibt die Überleitung zu der aperiodischen Feldausbreitung in § 42. Je mehr sich X von ).g entfernt, desto mehr nähert sich 7* dem ).. Für die folgenden Berechnungen der Feldstärken und des Leistungstransports betrachten wir zunächst eine in Richtung wachsender z laufende Welle. Für die in Richtung abnehmender z laufende Welle erhält man in (43.4) und (43.5) lediglich ein positives Vorzeichen, während in (43.10) bis (43.12) keine Änderung eintritt, weil es sich dort um r e e l l e Amplituden handelt. Aus den Feldkomponenten (42.6) bis (42.8) wird in der/Wellendarstellung mit K = joc cos(7ty/a) • c~i*z;

(43.3)

= — /(«IM W«) süi(ny/a) • e~jxz; 3 z

g , = _ co/j,0(91/oc) cos(ny/a) • e~ « .

(43.4) (43.5)

Die reelle Amplitude aller Feldkomponenten ist unabhängig von z, die Amplituden der Welle sind längs der Leitung also konstant. Die Komponenten und sind phasengleich und haben die gleiche Abhängigkeit von y. Die «/-Abhängigkeit der Komponenten stellt man als anschauliche Gedächtnishilfe

30?

Die H10-Welle im Rechteckrohr

am besten nach Abb. 341 dar. Längs der Strecke a sind senkrecht Pfeile der Länge cos(tty/a) gezeichnet, die also die räumliche Verteilung der Größe des $Qy und (i x längs einer Linie parallel zur «/-Achse geben, und waagerecht Pfeile der Länge sin(ny/a), die die Verteilung der Größe des ijp2 geben. Die Erkenntnis, daß ein solcher Hohlleiter nichts anderes ist als eine gewöhnliche Leitung mit zusätzlichen Querströmen ist sehr bedeutsam, weil sie eine Anwendung aller bisher für gewöhnliche Leitungen entwickelten Gesetze, Berechnungsverfahren und Schaltungsmöglichkeiten gestattet. Ein Hohlleiter ist ein außerordentlich einfacher Ersatz für eine andere Leitung, wenn man bedenkt, welche Schwierigkeiten z. B. die Abstandshalter bei cos (ify/à) gewöhnlichen Leitungen machen. E r hat den Nachteil, daß er bei längeren Wellen sehr große Dimensionen haben muß, damit seine Grenzwellenlänge genügend groß wird. Bei sehr kurzen sin (Xy/a) Wellen ist das Rohr dagegen eine Abb. 341. ideale Leitung. Es muß nun noch geDie y-Abhängigkeit der Feldkomponenten prüft werden, ob er bezüglich Spannungsfestigkeit und Dämpfung einigermaßen günstige Eigenschaften hat. Wichtig ist also die Berechnung der durch eine Welle bei gegebenen Feldstärken transportierten Leistung. Der Poyntingsche Vektor S nach (36.10) und Abb. 264 setzt sich hier aus zwei Bestandteilen zusammen, einem Leistungstransport in der s-Richtung (43.6)

S. = \ E . H . = SW und einem Leistungstransport in der «/-Richtung Sv

=

~9 EXHZ

=

(43.6a)

SB.

Da @ x und nach (43.3) und (43.5) phasengleich sind, ist cos 0=1 und Sz daher eine Wirkleistung Sw, während und $Qz nach (43.3) und (43.4) eine Phasendifferenz von n/2 aufweisen, so daß sin & = 1 ist und Sv daher eine Blindleistung SB darstellt. Neben der allgemeinen Energiewanderung in der z-Richtung findet also eine Pendelung von Energie in der Querrichtung statt. Für den Energietransport der Welle interessiert nur der Bestandteil Sw = y Ex Hy = Y (m^0/oc)A2 • cos 2 (ny/a).

(43.7)

Ai

¿fa

Sw ist eine Leistungsdichte, also der Energietransport durch j eine Fläche von 1 cm 2 . Durch eine Fläche F tritt die Leistung S w - F . Bei raumabhängigen Komponenten benutzt man infinitesimale Flächen dF. Durch einen kleinen senkrechten Streifen der Breite dy in der Querschnittsebene des Rohres (Abb. 342) Abb. 342. parallel zur x-Achse (dF = h • dy) tritt die Leistung dN = Zur BerechderWirk" Sw-b-dy. Addiert man den Leistungsdurchgang aller Teil- n u n gleistung 20*

Hohlleiter

308

flächen dF des Querschnitts, so erhält man die gesamte, von der Welle transportierte Leistung n/2

7V= ( Sw-b-dy —

Es ist co^/jitg £o =

2N/X

WFI0/(X

= ~a-b-

A^-wfi0l//>. Eingangsebene

A b b . 3 4 6 . Hohlleiterschaltung

A b b . 347.

Querschnittssprung

zeigt das Prinzipbild einer Hohlleiterschaltung. Die Inhomogenität im Leitungszug wird als „Vierpol" bezeichnet und durch zwei ungestörte Querschnittsebenen wie in Abb. 254 begrenzt, für die man den relativen Abschlußwiderstand r x und den relativen Eingangswiderstand r 2 definiert. Besonders interessieren auch hier die verlustfreien Vierpole, also Inhomogenitäten, deren Oberflächen aus idealen Leitern bestehen. Wenn die Inhomogenität beiderseits an zwei gleiche Hohlleiter stößt, wendet man die Erfahrungen des § 32 an. Man mißt die Vierpolgrößen mit Hilfe eines verschiebbaren Kurzschlusses nach Abb. 229 und erhält die gleichen Kurven wie in Abb. 230. Man verwendet zweckmäßig die Ersatzbilder der Abb, 225, deren Auswertung wie in § 32 erfolgt. Man beachte lediglich, daß die Wellenlänge X* hier nach (43.2) zu berechnen ist, und daß sich aus (32.10) oder (32.12) nicht die wirklichen Blindwiderstände jX und ;Y, sondern nur die relativen Werte x = ±2 tg(;r • ¿Iß*); y = ± 2 tg(ji • ¿Iß*) (44.7) berechnen lassen. Dies behindert jedoch die Anwendung der Ersatzbilder in keiner Weise. Wenn die Inhomogenität beiderseits an zwei verschiedene Hohlleiter stößt (Abb. 347), wendet man das Transformatorersatzbild des

314

Hohlleiter

§ 33 an, ebenso die dort beschriebene Meßmethode und das Auswertungsverfahren. Es interessieren dann jedoch nicht die Paktoren Zj/Z 2 und K, sondern nur der kombinierte Faktor K' nach (33.18), der den Zusammenhang zwischen den relativen Widerständen r x ' und r 2 ' beiderseits des Transformators nach (33.17) beschreibt. Wenn man diese Gedankengänge konsequent durchführt, unterscheiden sich Hohlleiter Schaltungen und gewöhnliche Schaltungen bei Verwendung von Leitungsquerschnitten mit eindeutigem H 10 -Wellentyp überhaupt nicht. Der Übergang vom relativen Widerstand r zum wirklichen Widerstand 9t = t • Z ist erst dann möglich, wenn man einen Wellenwiderstand des Hohlleiters definiert. Dabei ist jedoch völlig klar, daß es einen Wellenwiderstand i n exakter Definition nicht gibt, weil die Begriffe Strom und Spannung nicht definierbar sind. Trotzdem ist mehrfach versucht worden, Wellenwiderstandsdefinitionen einzuführen, die unter gewissen Einschränkungen brauchbar sind. Die erste Definition ist der sogenannte F e l d w e l l e n w i d e r s t a n d , der in Erweiterung von (36.7) entsteht. Man beachte dabei die Komponente !qz nicht, weil ihr Beitrag zum Energietransport nach (43.6a) ein reiner Blindvorgang ist und bezieht sich nur auf die energietransportierenden Querkomponenten und ¡¡)y. Bei der gewöhnlichen Leitung ist der Wellenwiderstand der Quotient der reellen Amplituden der Spannung und des Stromes. In Analogie dazu definiert man sinnvoll beim Hohlleiter den Quotienten der reellen Amplituden der elektrischen Feldstärke Ex und der magnetischen Feldstärke H y als „Feldwellenwiderstand" Z F . Ex (Ojun 120 n ZF = ^ = ^ = [Q] iL { ,, y ~ * ~ y 1 — U/(2a)f

(44.8)

nach (43.8a) ist für alle Punkte des Querschnitts konstant und hat die Dimension eines Widerstandes. E r unterscheidet sich vom Feldwellen widerstand der Bandleitung nach (36.7) lediglich durch die Wurzel im Nenner. Bei der Grenzfrequenz ist ZF unendlich groß, nimmt mit wachsendem Abstand von der Grenzfrequenz (abnehmendes ?.) ab und erreicht für hohe Frequenzen den Grenzwert 12071 Q, also den Feldwellenwiderstand der gewöhnlichen Bandleitung. Diese Frequenzabhängigkeit ist bei Betrachtung der Ersatzbilder der Abb. 340 durchaus verständlich. Die gewöhnliche Leitung hat nach dem Ersatzbild der Abb. 340a den Wellenwiderstand Z = ~\j ALjAC, der unabhängig von der Frequenz ist. In Abb. 340b liegt jedoch parallel zum AC eine Induktivität, so daß die wirksame Kapazität AC', die den Wellenwiderstand bedingt, nach (6.19) frequenzabhängig und bei der Grenzfrequenz (Resonanzfrequenz der Parallelschaltung) gleich Null wird. Multipliziert man den relativen Widerstand r mit ZF, so erhält man einen wirklichen Widerstand 8t F = x • ZF, (44.9) den man als den F e l d w i d e r s t a n d des Hohlleiters in der betreffenden Querschnittsebene bezeichnet. I m Falle des reflexionsfreien Abschlusses, wo also nur eine hinlaufende Welle gegeben ist, ist 9ftF = ZF.

Der Widerstands- und Vierpolbegriff bei der H10-Welle

315

Der Begriff des Feld wellen Widerstandes befriedigt nicht immer. Wenn man z. B . zwei Hohlleiter verschiedenen Querschnitts nach Abb. 347 aneinanderstoßen läßt, so möchte man darin wie bei gewöhnlichen Leitungen einen Wellenwiderstandssprung sehen, wobei die Feldstörungen in der Übergangsstelle durch einen Transformationsfaktor K wie in § 33 bei einem entsprechenden Sprung in der inhomogenen Bandleitung beschrieben werden müßten. Es wäre also sinnvoll, beiden Leitungen einen wesentlich verschiedenen Wellenwiderstand zuzuschreiben, der von den Kantenlängen a und b abhängen müßte. Das ZF in (44.8) enthält aber die Kante b überhaupt nicht und ist auch nicht wesentlich von a abhängig, wenn man sich nicht in der unmittelbaren Nähe der Grenzfrequenz befindet. E s ist daher üblich, noch den sogenannten L e i t u n g s w e l l e n w i d e r s t a n d zu definieren, der folgende Form erhält F b ZL = - - - „ - - • l/l —U/(2a)f «

(44.10)

Hierin ist F ein Zahlenfaktor, der von den verschiedenen Autoren verschieden festgelegt wird, der aber völlig uninteressant ist, weil er alle Rechnungen unverändert durchläuft und bei der Quotientenbildung ZLJZL2 im Übergang zwischen zwei verschiedenen Rechteckquerschnitten fortfällt. Diese Definition des ZL erweist sich als sehr sinnvoll und kann nach neueren Theorien sogar exakt begründet werden. Ohne größeren Aufwand kann man die auftretenden Abhängigkeiten etwa folgendermaßen begründen. Man kann sich einen Hohlleiter nach Abb. 348 aufgebaut denken aus übereinanderliegenden Hohlleitern gleicher Höhe b' und gleicher Breite a, SN in denen gleiche H 10 -Wellen laufen. Alle Teile transJN n JN portieren dann die gleiche Leistung AN. Gibt es m :b JN solcher Schichten, dann ist die Gesamtleistung N = JN '77777777777777777777' i'i m - A N , wobei die Ströme auf den Begrenzungsflächen und alle Feldstärken überall gleich sind. Der ganze Q U e r g c ^l^' g ®^ r t e . l u n D . Hohlleiter der Höhe b = m-b' überträgt also die rnfache Leistung des einzelnen Hohlleiters bei gleichem Strom, wobei jedoch die Spannung b • {£x längs einer elektrischen Feldlinie im ganzen Hohlleiter m-mal so groß ist wie die Spannung b' • (¡x längs der gleichen Feldlinie im Teilleiter. Eine Leitung, die bei g l e i c h e m Strom und m-facher Spannung die m-fache Leistung transportiert, hat sinngemäß den /«-fachen Wellenwiderstand. Das ZL in (44.10) muß daher direkt proportional zu b sein. Den Einfluß der Breite a auf ZL erhält man auf Grund des Ä h n l i c h k e i t s g e s e t z e s des elektromagnetischen Feldes: Wenn man in einem verlustfreien Gebilde a l l e Dimensionen um den Faktor n und auch die Betriebswellenlänge ). um den gleichen Faktor n vergrößert, bleibt das elektromagnetische Feld unverändert erhalten. Man muß also einem Hohlleiter, dessen Kantenlängen man um den Faktor n auf n-a und n • b vergrößert, bei der Betriebswellenlänge n • 1 den gleichen Wellenwiderstand zusprechen wie dem ursprünglichen mit den Kanten a und b bei der Wellenlänge X. Diese Bedingung erfüllt die Definition (44.10) ebenfalls, da lj{2a) = nX/(2na) und b/a = nbj(na)

Hohlleiter

316

ist. Durch diese beiden Überlegungen ist das ZL nach (44.10) bis auf den Faktor F bereits festgelegt. Von besonderem Interesse ist der Fall eines durch eine leitende Querschnitts ebene kurzgeschlossenen Hohlleiters, auf dem sich eine Verteilung der elektrischen Feldstärke entsprechend £//£/ m a x i n Abb. 141 a und eine Verteilung der magnetischen Querfeldstärke Hy entsprechend / / 7 m a x in Abb. 141a ausbilden wird. Der relative Widerstand im Abstand l vom Kurzschluß ist ein reiner Blindwiderstand X = j x = j tg ( 2 n l / ) . * )

(44.11)

wie in (22.15) und Abb. 141b. So kann man also Blindwiderstände aus Hohlleitern darstellen. Für l = A*/2 wird x == 0. Wenn man im Abstand 1 = i * / 2 v o m Kurzschluß nochmals eine leitende Ebene anbringt, erhält man ein in sich abgeschlossenes Resonanzgebilde wie in Abb. 313 bei der gewöhnlichen Leitung, und zwar entsteht das in Abb. 325 dargestellte quaderförmige Resonanzgebilde. Die Resonanzwellenlänge XR nach (41.25) findet man aus der Bedingung c = i * / 2 mit }.* aus (43.2) c =

- • 2 ] / l —• [1/(20,)]*

(44.12)

Ergänzendes Schrifttum: [8],

§ 45. Inhomogene Bauelemente eines Rechteckhohlleiters

Die schaltungsmäßig einfachsten Bauelemente besitzen im Vierpolersatzbild der Abb. 225 den relativen Blindwiderstand x = 0 oder den relativen Blindleitwert y = 0 und ergeben bei der Messung nach Abb. 229 in Abb. 230 eine waagerechte Gerade -f- Z2 = const. Sie wirken dann wie ein Stück einer homogenen Leitung der Länge (Zj' — — ( Z2'), das die homogenen Anschlußleitungen reflexionsfrei verbindet. Kleine Schwankungen des (l t -{- / 2 ) bedeuten restliche Reflexionen nach (39.20), die man dadurch erkennen und durch geeignete Maßnahmen beseitigen kann. Ein wichtiges Beispiel ist der Leitungswinkel nach Abb. 349, der dem Winkel der homogenen Bandleitung nach Abb. 269 und 270 durchaus entspricht. Zwischen b) a) der inhomogenen Bandleitung nach § 36 und dem inhomogenen Hohlleiter bestehen theoretisch begründete iiiiniMift-r--I I I l I II iiiinini\\\ II I II I \ ' V Analogien, die eine sinngemäße Anwen• m»»mti»i \ \ T T T» » t ^ N dung der Ergebnisse des § 36 auf Hohl11111111111 \ \ I I II I I \ ' i' 'I ' " 111111111 leiter ermöglichen. In Abb. 349 ist Abb. 349. Winkelstück der Verlauf der elektrischen Feldlinien skizziert. Die senkrechten elektrischen Feldlinien der ankommenden Welle im waagerechten Rohrteil müssen waagerechte elektrische Feldlinien im senkrechten Rohrteil anregen. Dies kann nur durch die waagerechten Komponenten des Streufeldes im Knickpunkt erfolgen, die in Abb. 349a verhältnismäßig

Inhomogene Bauelemente eines Rechteckhohlleiters

317

schwach sind, so daß nicht die volle ankommende Wellenenergie nach oben weiterläuft, sondern ein großer Teil reflektiert wird. Die Abschrägung der Ecke nach Abb. 349b erhöht dieses Streufeld und es gibt wie in Abb. 270 eine bestimmte Abschrägung, die reflexionsfreien Durchgang ergibt. Die reflexionsfreie Dimensionierung der Abschrägung ist jedoch im Hohlleiter etwas frequenzabhängig. In gleicher Weise kann eine abgeschrägte Ecke auch bei einem Winkelstück angewendet werden, das sich um die in Abb. 331 gezeichnete «-Achse winkelt, während sich der Winkel der Abb. 349 um die y-Achse winkelt. Als Blende wird ein leitender Einsatz nach Abb. 350 bezeichnet, der eine irgendwie geformte, vorzugsweise rechteckige Öffnung hat. Für solche Blenden eignet sich besonders das Vierpoler Satzbild der Abb. 225 b. Legt man die Grenzebenen des Vierpols nach Abb. 346 außerhalb der Streufelder fest, so sind die Ersatzlängen Z/ und Z2' praktisch genau gleich den geometrischen Längen bis zur Blende, solange die Blende nicht sehr dick ist. Die Blende wirkt wie ein konzentrierter Querblindwiderstand am Ort des Einbaus. Die Ströme auf den Blendenwänden und die elektrischen Felder zwischen den

g 0

1

4= —'

°

A b b . 352. Ersatzbild der Blende der A b b . 350

Abb. 351.

S t r o m v e r l a u f und elektrisches F e l d linienbild einer Blende

Blendenkanten zeigt Abb. 351 für die hintere Blendenhälfte. Die Blendenöffnung ist von annähernd senkrechten elektrischen Feldlinien umgeben, über die entsprechende Feldströme fließen. Diese sind zu ergänzen durch entsprechende Leitungsströme auf der Blende und unter Umständen auch noch auf der Hohlleiter wand. Das zweckmäßige Ersatzbild der Blende ist der Parallelresonanzkreis nach Abb. 352. Wenn die durch den Einbau der Blende entstehenden, zusätzlichen Feldströme und Blendenströme sich vollständig ergänzen, also aus der Leitung keine Ströme zur Speisung der Blende abgezweigt werden müssen, hat die Blende ihre Resonanzfrequenz mit dem relativen Leitwert y = 0, gibt also reflexionsfreien Durchgang. Bei z u u n ( l die Blendenströme höherer Frequenz nehmen die Feldströme ab (Abb. 352) und der benötigte Strom zur Speisung des restlichen muß vom Hohlleiter geliefert werden. Die Blende wirkt wie eine kapazitive Last mit y > 0. Bei niedrigerer Frequenz nehmen die Feldströme und die Blendenströme £5B zu, und der Hohlleiter muß einen Teil des liefern. Die Blende wirkt dann wie eine induktive Last mit y < 0. Der Sonderfall der

318

Hohlleiter

sogenannten „kapazitiven" Blende länge gleich der Grenzwellenlänge lg bereich stets ein Leitwert y > 0. Spannungsfestigkeit und ist daher

nach = 2a Eine nicht

Abb. 353 hat eine Resonanzwellendes Hohlleiters, ist also im Betriebssolche Blende hat nur eine kleine immer anwendbar. Der Sonderfall

Abb. 353. Kapazitive Blende

Abb. 354. Induktive Blende

der „induktiven" Blende nach Abb. 354 hat eine relativ hohe Resonanzfrequenz und ist daher in dem praktisch verwendeten Frequenzbereich stets ein Leitwert mit y < 0, wobei | y | umso größer wird, je kleiner der Blendenschlitz ist. Diese Blende verwendet man sehr oft. In einem durch das Rohr laufenden Draht nach Abb. 329 parallel zur Kante b regt die Welle zusätzliche senkrechte Ströme an und der Draht erzeugt im praktisch verwendeten Frequenzbereich und bei nicht extremer Stiftdicke einen induktiven Querleitwert. Dagegen ist ein Draht parallel zur Kante et praktisch stromlos und daher ohne Wirkung. Wenn der Draht nach Abb. 355a nur als Stift in den Hohlleiter hineinragt, sind die Leitungsströme im Stift durch Feldströme vom Stiftende zur oberen Wand zu ergänzen und der entstandene Querleitwert erhält das Ersatzbild eines Serienresonanzkreises nach Abb. 355b. Bei der Resonanzfrequenz schließt der Stift den Hohlleiter kurz. Bei höherer Frequenz wirkt er wie ein induktiver, bei niedriger Frequenz wie ein kapazitiver Querwiderstand. Mit wachsender Tauchtiefe nähert sich die Resonanzwellenlänge des Stiftes der Grenzwellenlänge des Hohlleiters. Bei kleiner Tauchtiefe hat man stets einen kapazitiven Querleitwert, der mit wachsender Stiftdicke größer wird. Ein Stift mit veränderlicher Tauchtiefe ist ein oft verwendetes zusätzliche Wandströme Hilfsmittel zur Erzeugung eines stetig einstellbaren Blindleitwerts. Stifte, die

Abb. 355. Hohlrohr mit Tauchstift

nicht wie in Abb. 355 a in der Rohrmitte zu stehen, zeigen gleiches Verhalten, aber wert, weil die den Stiftstrom anregende leiters mit wachsendem y nach (43.5) wie

Abb. 356. Dielektrische Scheibe

sondern näher zur Seitenwand einen kleineren wirksamen LeitQuerspannung b • (!£x des Hohlcos (nyJa) abnimmt.

Inhomogene Bauelemente eines Rechteckhohlleiters

319

Eine dielektrische Scheibe nach Abb. 356 läßt sich in ihrer Wirkung exakt berechnen wie die Scheibe der homogenen Leitung nach Abb. 287. Innerhalb des Dielektrikums besteht ebenfalls eine ungestörte H 1 0 -Welle mit senkrechten elektrischen Feldlinien, so daß nur elektrische Feldlinien parallel zu den Trennflächen bestehen, die die Grenzbedingung (38.1) befriedigen müssen. Wenn man bei der Ableitung der Feldgleichungen in § 4 2 überall e 0 durch e • e c ersetzt, also die u m den Faktor s vergrößerten Feldströme berücksichtigt, so wird lediglich gemäß (42.9) das oc in (43.1) umgewandelt in = {27i-\/eß) yT—

[k/{2a]/J)]2

(45.1)

und dementsprechend tritt in (43.3) bis (43.5) dieses neue oce anstelle von oc auf. Ebenso wird nach (44.8) ZFF

J.T H v

- , , 120:7 [ß]. , j/e V i — [A/(2aj/e)]2

(45.2)

Der neue Feldwellenwiderstand ZFE ist also im wesentlichen um den Faktor 1 /"j/e kleiner, genau so wie der Wellenwiderstand einer gewöhnlichen Leitung nach (25.14). In der Wurzel macht sich ferner die v e r g r ö ß e r t e Grenzwellenlänge im Dielektrikum igs = 2a-]/e (45.3) bemerkbar. Man hat also in der Grenzfläche des Dielektrikums jeweils einen Feldwellenwiderstandssprung von ZF auf ZFE, dessen Wirkung wie in Abb. 287 c berechnet wird. Dünne Scheiben wirken wie eine Querkapazität. Die Wellenlänge in der Scheibe lautet in Abwandlung von (43.2) l* =

(45.4)

l-[A/(2«yF)]2

y

enthält also ebenfalls den Faktor l / ] / e wie das 4 * der gewöhnlichen Leitung nach (25.14). Eine Scheibe der Länge Ae*/4 wirkt wie eine ¿„*/4-Transformationsleitung nach Abb. 205, transformiert also beispielsweise einen reellen relativen Widerstand r± = RF1/ZF in den reellen Wert r 2 == RF2/ZF. Wegen RF2 = Z%JRFX analog (30.1) ist nach (44.8) und (45.2) _(ZFJZF?

R

2

r

i

_

1-W(2a)]»

i—u/(2«ye)]

1 2

er

i

Bauelemente, die ähnlich wie Querblindwiderstände wirken, sind Rohransätze entlang der Kante b nach Abb. 357, die in gewissem Abstand l vom Anschlußpunkt kurzgeschlossen sind. Ein solcher Anschlußpunkt wirkt wie eine Parallelverzweigung nach Abb. 310. Wenn die Grenzwellenlänge des Rohransatzes unter der Betriebswellenlänge liegt, ist in ihm keine Welle möglich und er wirkt wie eine Feldstörung der Hauptleitung, die praktisch unabhängig von l ist, wenn l nicht zu kjurz ist. Ist dagegen in dem Ansatzrohr eine H 1 0 Welle möglich, so wdrkt neben der Feldstörung des Eingangs der Ansatz wie ein relativer Parallelblindwiderstand jK • tg(2nlß*) nach (44.11) mit einem gewissen Kopplungsfaktor K, der von der Größe der Rohröffnung abhängt.

320

Hohlleiter

Man kann dann durch Verändern von l den parallelgeschalteten relativen Blindleitwert stetig verändern. Wenn jedoch das Ansatzrohr nach Abb. 358 parallel zur Kante a in der Mitte der Fläche liegt, zerschneidet die Rohröffnung nach Abb. 344 praktisch nur die L ä n g s s t r ö m e der Hauptleitung und der Ansatz wirkt annähernd als Serienwiderstand nach den gleichen Gesetzen wie oben. Wesentlich für die Wirkung eines solchen Ansatzes ist also

A b b . 357. R o h r a n s a t z parallel zur K a n t e b A b b . 3d8. R o h r a n s a t z parallel zur K a n t e a

Feldströme A b b . 359. F r e q u e n z f i l t e r

a)

Trennfläche Abb. 361.

Hohlrohrverbindungen

A b b . 360. S t r o m v e r l a u f im z y l i n d r i s c h e n Z w i s c h e n s t ü c k der A b b . 359

die Art und das Ausmaß der Störung der Leitungsströme der Hauptleitung durch die Rohröffnung. Man benutzt alle diese Blindgrößen vorzugsweise für Anpassungstransformationen wie in Abb. 207 bis 210. Man kann auch besonders geformte Gebilde in den Hohlleiter einschalten, z . B . ein zylindrisches Zwischenstück nach Abb. 359, die dann als Frequenzfilter wirken. Das Zwischenstück wirkt etwa wie ein Hohlraumresonator nach Abb. 314, der in der Umgebung seiner Resonanzfrequenz wie ein in Serie zur Leitung geschalteter Parallelresonanzkreis wirkt und bei seiner Resonanzfrequenz den Leistungsdurchgang sperrt. Wenn der Außendurchmesser des Zwischenstücks in die Größenordnung von X kommt, kann er dagegen bei einer bestimmten Frequenz einen exakten Durchlaß geben und wirkt dann etwa wie eine in Serie zum Hohlleiter liegende, am Ende kurzgeschlossene Leitung der Länge A*/2 (relativer Eingangswiderstand x — 0). Solche Zwischenzylinder wendet man mit relativ kleiner Dicke A an. Den ungefähren

Inhomogene Bauelemente eines Rechteckhohlleiters

321

Verlauf der Ströme in einem derartigen Gebilde kann man mit Hilfe der Theorie der am Ende kurzgeschlossenen Leitung in Erweiterung von Abb. 314 gewinnen. Abb. 360 zeigt die Stromverhältnisse» Wenn die Außenkante des Zylinders von der Hohlleiterwand etwa den mittleren Abstand Iß hat, bildet sich ungefähr im Abstand A/4 von der Außenkante eine Nullstelle des Leitungsstromes wie in Abb. 313. Die Leitungsströme entsprechen ungefähr einer cos-Funktion. Im Abstand 2/2 von der Außenkante haben sie also wieder ein Maximum, und diese seitliche Leitung hat den Eingangswiderstand Null (Abb. 141b), gibt daher als Serienwiderstand im Zuge der Hauptleitung einen praktisch reflexionsfreien Durchgang. Auf der Wand des Zwischenstücks gibt es also einen Kreis, der ungefähr den Abstand A/4 vom Außenrand hat und frei von Leitungsströmen ist. Wenn man zwei Hohlleiter aneinander setzen will, in deren Wänden sehr große Längsströme fließen, so legt man in die Trennstelle ein solches zylindrisches Zwischenstück und nimmt die mechanische Trennung der beiden Leitungen längs des stromfreien Kreises der Abb. 361a vor (unkritische Kontakte). Um die seitlichen Dimensionen der Anordnung zu verkleinern, kann man das Zylinderstück auch nach Abb. 361b knicken und erhält dadurch für das linke Hohlleiterende eine glatte Schlußebene. Ein Durchlaßfilter für eine bestimmte Frequenz erhält man auch durch Anwendung zweier induktiver Blenden nach Abb. 354 in der Anordnung der Abb. 362. ist der Blendenschlitz klein und der Abstand der Blenden gleich 1*12, so wirkt der Raum -X*/Zzwischen den Blenden als Hohlraumresonator nach Abb. 325, der durch den Welle einen Blendenschlitz angeregt wird und durch den zweiten Schlitz eine neue ~2T Welle in dem Hohlleiter -XAbb. 362. Durchlaßfilter für eine definierte Frequenz der anderen Saite entstehen läßt. Nach dem gezeichneten Ersatzbild entspricht die Anordnung einem z wi schenge schal teten Parallelresonanzkreis, der induktiv an die Abb. 363. Drehung der Polarisationsebene Leitungen angekoppelt ist. Durch zwei solche Resonatoren in geeignetem Abstand kann man auf einfachem Wege ein Resonanzbandfilter (§11) gewinnen. Wenn man die Polarisationsrichtung der Welle drehen will, kann man auf einem längeren Rohrstück eine langsame Verdrehung nach Abb. 363 vornehmen. Bei kleineren • Verdrehungen kann man auch unmittelbar die verdrehten Querschnitte nach Abb. 364 aneinandersetzen und die entstehenden Lücken durch leitende Flächen (schraffiert) füllen. Die Feldstörungen 21

M e i n k e , Hochfrequenzschaltungen

322

Hohlleiter

machen sich hier als eine Blendenwirkung der restliehen Durchgangsfläche bemerkbar, die einen induktiven Parallelleitwert ergibt. Durch eine kleine kapazitive Zusatzstörung kann man diesen Leitwert kompensieren, also z. B. durch eine zusätzliche Blende in der Durchtrittsöffnung.

i r

N,

4 Ahb. 364. Anordnung bei geringer Drehung der- Polarisationsebene

N,

Abb. 365. Serien-Verzweigungspunkt

Einen einfachen Serienverzweigungspunkt gewinnt man nach Abb. 365, wenn man in den Hohlleiter eine leitende Querebene parallel zur Kante a einsetzt. Dadurch teilt sich die ankommende Leistung in zwei Teile, deren Größe von der Aufteilung der Querschnittsfläche durch die leitende Ebene bestimmt wird. Wenn beide Teilleitungen reflexionsfrei abgeschlossen sind, ist ziemlich genau NJNt = bjbr (45.6) Das homogene Feld bleibt praktisch ungestört mit Ausnahme weniger Streu feldlinien, die von der vorderen Kante der eingebauten Platte ausgehen. Die eingetretene Verkleinerung der abgehenden Hohlleiterquerschnitte {b1 und b2) kann man rückgängig machen, indem man hinter der Verzweigung den Querschnitt langsam wieder anwachsen läßt. Ein solches Wachsen der Kante b nach Abb. 366 bedeutet allgemein ein stetiges Wachsen des Leitungs wellenWiderstandes (44.10) und gibt einen reflexionsfreien Übergang, wenn das • l • Anwachsen langsam genug erfolgt. Als Abb. 366. Reflexionsfreier Übergang einfache Merkregel kann gelten, daß sich die Höhe b des Querschnitts auf einem Leitungsstück der Länge Z = A* höchstens verdoppeln darf. Ergänzendes Schrifttum: [44 bis 46, 56, 57, 59],

§ 46. Elektrische Wechseifelder in Hohlleitern

Elektrische Wechselfelder in Hohlleitern zeigen ein ähnliches Verhalten wie die magnetischen Wechselfelder in § 42. Ein besonders einfaches und auch vom technischen Standpunkt aus interessantes Beispiel gibt ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt und zylindersymmetrischem elektrischen Feld, wie es durch einen zylindersymmetrischen Stempel nach Abb. 367, beispielsweise das Ende einer koaxialen Leitung, erzeugt wird. Zwischen Stempel und Rohr bestehe eine Wechselspannung, so daß elektrische Feldlinien zwischen Rohr und Stempel verlaufen, längs deren die Feldströme fließen. Zu diesen Feldströmen gehören Leitungsströme auf den Rohrwänden und dem Stempel,

323

Elektrische Wechselfelder in Hohlleitern

die auf dem Rohr alle in Richtung der Rohrachse fließen. Es gibt also auf dem Rohr k e i n e Q u e r s t r ö m e wie bei den magnetischen Feldern des §42. Die magnetischen Feldlinien sind wegen der Zylindersymmetrie Kreise in Querschnittsebenen, deren Mittelpunkte auf der Achse liegen (vgl. §37). Die Größe der magnetischen Feldstärke lautet nach dem Durchflutungsgesetz § = 3 c / ( 2 7 c r ) . wobei der gesamte Feldstrom durch den betreffenden F Rohr elektr. Feldlinien Feldstrom

7

Abb. 367. Anregung eines zylindersymmetrischen, elektrischen Feldes

magn. Feldlinie

Abb. 368. Zum Durchflutungsgesetz

Feldlinienkreis mit dem Radius r nach Abb. 368 ist. Die magnetische Wechsel • feidstärke erzeugt durch Induktion weitere elektrische Felder, die als sekundäre Felder bezeichnet werden und die die. primären Felder verstärken. Man vergleiche die Erläuterungen zu Abb. 330. In dem in Abb. 367 gezeichneten Beispiel fl.eßt Strom von links auf den Stempel und die Spannung des Stempels gegen das Rohr nimmt daher zu. Die elektrische Feldstärke nimmt also ebenfalls zu und der Feldstrom fließt entlang den Feldlinien in Richtung der t lektrischen Feldstärke. Die Richtung der magnetischen Feldstärke nach dem Durchflutungsgesetz zeigt Abb. 368. Wenn die Spannung nach Abb. 369 nach einer sin-Funktion zunimmt, nimmt der Feld^¡¿¡trom und ström und die magnetische Feldstärke nach einer magn. Feldstärke Spannung cos-Funktion ab, weil der A n s t i e g der sin-Funktion immer langsamer erfolgt. Abnehmende magnetische Feldstärke induziert längs der Kanten der Rechtecke F der Abb. 368 eine elektrische Spannung, die negativ ist, wenn man die Kanten in dem in Abb. 263 und 368 gezeichneten Sinn bei der SpanAbb. liiüi. nungsberechnung nach § 34 durchläuft. Diese Span- Spannung unii Feldstnmi nung ändert sich nach einer Funktion sinru/ entsprechend dem zeitlichen Absinken der cos-Funktion. Wegen des negativen Vorzeichens der Spannung laufen die sekundären elektrischen Feldstärken gegen die in Abb. 368 gezeichnete Pfeilrichtung der Rechteckkanten, haben also innerhalb des gezeichneten Kreises stets gleiche Richtung wie die primären Feldstärken. Dies gilt bei näherer Betrachtung für jeden Zeitpunkt. Der Effekt wächst mit wachsender Frequenz, weil bei gegebenem Primärfeld sowohl der Feldstrom (die magnetische Feldstärke) als auch die induzierte Spannung mit wachsender Frequenz wachsen. Innerhalb des Rohres breitet sich also das elektrische Feld mit wachsender Frequenz immer weiter aus. 21*

324

Hohlleiter

Auf die genaue Berechnung der Felder soll verzichtet werden. Es ergibt sich wie in § 42 das Resultat, daß alle Feldstärken und Ströme (von kleinen Abweichungen in der unmittelbaren Nähe des Stempels abgesehen) mit wachsendem Abstand vom Stempel, also wachsendem z, nach einer Funktion e~Kz abnehmen, wobei die hier positive Konstante K wie in (42.12) durch K = (27E/;.g) y i — ( X J W

(46.1)

gegeben ist. Dieses Gesetz besteht für alle magnetischen und elektrischen Felder in homogenen Hohlleitern, wobei für die verschiedenen möglichen Feldformen jeweils das zugehörige l g einzusetzen ist. Für das oben betrachtete Feld ist z. B. ¿„=1,311», (46.2) wenn D der Durchmesser des kreisförmigen Rohres ist. Für X>10Xg also X > 13 D wird K = 2nllg = 4,8/D (46.3) unabhängig von der Frequenz. Dieses K gilt auch für die Frequenz Null, also für das statische elektrische Feld. Solange die Rohrdimensionen nicht in die Größenordnung von D = A/10 kommen, bleiben die statischen Feldlinien auch im Wechselfeld erhalten, also bis zu re'ativ hohen Frequenzen. Man benutzt das Gesetz (46.3) bei den sogenannten Hohlrohrspannungstpilern. I n einem Rohr nach Abb. 370 befindet sich eine anregende Platte wie in Abb. . . . 367 und eine aufnehmende Platte im anregende aufnehmende . . p/affe Platte Abstand z. Liegt zwischen der an•f////////////////. regenden Platte und dem Rohr eine Wechselspannung Uv so regen die elektrischen Wechselfelder des Rohres auch eine kleine Spannung U2 zwischen der aufnehmenden Platte und Abb. 370. Hohlrohrspannungsteiler dem Rohr an und zwar einen als Funk tion von z exakt definierten Teil der anregenden Spannung Uv Wenn man dann den Abstand Z um Az erhöht, so entspricht die dann aufgenommene Spannung U2' den um e~K'A~ gesunkenen Feldstärken am Ort der aufnehmenden Platte. Zu einer Abstandsänderung Az gehört also ein Absinken des U2 auf U2' um den Faktor n a c h (46.3). Wie in (13.2) wird dann die Dämpfung des Vierpols durch ln(i/1/i/2) in Neper angegeben. Zu einer Abstandsänderung Az gehört also ein Dämpfungszuwachs In(U2/U2) = K-Az = 4,8-Az/l) [Neperj (46.4) proportional zu Az und unabhängig von der Frequenz, solange ). > 1 3 0 ist. Auf Grund dieses einfachen Gesetzes eignet sich die ohne Mühe mit großer Präzision herstellbare Anordnung der Abb. 370 als D ä m p f u n g s n o r m a l . Oft verwendet man ein Rohr mitZ) = 2,4cm und erhält dann einen Dämpfungszuwachs von genau 2 Neper je cm Verschiebung. Wenn 1,3.0 < 1 < 13D ist, muß man für K in (46.4) die genauere Formel (46.1) einsetzen und die Dämpfung wird frequenzabhängig.

Elektrische

Wechselfelder

in

325

Hohlleitern

Falls X < Xg wird, t r i t t wieder eine W e l l e n a u s b r e i t u n g im Hohlrohr wie in § 4 3 ein, wobei wie in (43.1) die Phasenkonstante ± j < x = K = ±

j(2n/X)

i / n r ^ j i

(46.5)

ist. Das positive Vorzeichen beschreibt dabei wieder wie bei der koaxialen Leitung (§ 24) den Fall der in Richtung abnehmender z laufenden Welle, das negative Vorzeichen den Fall der in Richtung wachsender z laufenden Welle. Die Wellenlänge im Hohlrobr ist wie in (43.2) X*

=

X j f T — ( X ß

g

(46.6)

f .

Diese Gleichungen gelten allgemein für Wellen in Hohlleitern, wobei X„ die Grenzwelle des verwendeten Wellentyps ist. Diese Welle bezeichnet m a n zur Unterscheidung von anderen in dem Rohr möglichen, aber technisch nicht verwendeten Wellentypen als die E 01 -Welle oder TM 01 -Welle. E-Welle soll bedeuten, daß sie aus einem statischen elektrischen Feld abgeleitet wird, im Gegensatz zur H-Welle nach § 43, bei der ein magnetisches Feld der Ausgangspunkt war. TM-Welle bedeutet transversal magnetische Welle, weil ihre magnetischen Feldlinien Kreise in einer Querschnittsebene sind, also keine longitudinalen magnetischen - Komponenten in der z-Richtung bestehen. Das Verhalten der E 01 -Welle kann m a n nach Abb. 371b durch Vergleich mit der in Abb. 371a dargestellten Welle einer koaxialen Leitung sehr leicht anschaulich erläutern. Wenn man den Innenleiter der koaxialen a)

Wandstrom

Feldstrom

P P C X

r p Q x

Leitunasstrom

r x x j . H

b)

Wandstrom

X X X 7 , 'H

Stromkreis

. Querfe/dstrom

Leitung in Abb. 371a fortfallen läßt, kann man seine Wirkung bei ausreichend hoher Frequenz durch gleichlaufende Längs f e 1 d ströme ersetzen und erhält das völlig gleichartige Momentanbild der Abb. 371b E 01 -Welle. Notwendig ^¡Ml-n

LängsfeUstrom A b b . 371. Feldbild

a) bei d e r k o a x i a l e n L e i t u n g b) bei der E 0 1 - W e l l e

A b b . 372. L e i t u n g s e r s a t z b i l d bei der E t l - W e l l e

ist dazu lediglich eine relativ hohe Frequenz, damit das elektrische Längsfeld auch f ü r den Energietransport ausreichende Feldströme, besitzt. Im Gegensatz zur Abb. 352 muß man also das Ersatzbild des Leitungselements bei der E o r W e i l e durch Abb. 372 darstellen. Die Serienkapazität zur Induktivität beschreibt die elektrische Feldenergie des elektrischen Längsfeldes. Da eine Leitung nur dann eine Welle führen kann, wenn das Längsglied des Ersatzbildes induktiven Charakter hat, ist im Rohr nur eine E 0 l -Welle möglich, wenn der Blindwiderstand der beiden Serienglieder resultierend induktiv ist,

Hohlleiter

326

also f ü r Frequenzen oberhalb ihrer Serienresonanzfrequenz. Die Resonanzfrequenz der Serienglieder ist die Grenzfrequenz des Rohres. Die technische Anwendung dieses Wellentyps ist nicht häufig, weil seine Grenzwellenlänge nach (46.2) u n t e r h a l b der Grenzwellenlänge der H n - W e l l e nach (43.18) liegt. I n einem Rohr, dessen Durchmesser eine E 0 1 -Welle g e s t a t t e t , ist also stets auch eine H u - W e l l e möglich, u n d es besteht die Gefahr, d a ß die E 0 1 -Welle an den inhomogenen Bauelementen der Schaltung teilweise in eine H u - W e l l e verwandelt wird. Die E 0 1 -Welle ist also nicht u n b e d i n g t stabil. Schon bei der Anregung der Welle ist zu beachten, d a ß keine H n Welle nebenher e n t s t e h t u n d den Wellenzustand im R o h r unübersichtlich m a c h t . Die reine Anregung gelingt immer d a n n , wenn das anregende Gebilde e x a k t zylindersymmetrisch ist wie z. B. in Abb. 367, wo keine longitudinalen magnetischen Feldstärken a u f t r e t e n u n d alle magnetischen Feldlinien Kreise in der Querschnittsebene werden. J e d e longitudinale ^) z -Komponentc w ü r d e eine H u - W e l l e anregen. Geradlinige R o h r f ü h r u n g u n d strenge Zylindersymmetrie der Gesamtschaltung machen die Anwendung der E 0 1 -Welle möglich. Man ist z . B . dort zu ihrer Verwendung gezwungen, wo m a n aus einer feststehenden Sendeanlage eine stetig rotierende Antenne speisen will. D a n n m u ß nach Abb. 373 irgendwo im Leitungszug ein Übergang von einer feststehenden Leitung auf eine u m ihre Achse rotierende Leitung s t a t t f i n d e n . Hier k o m m t n u r eine Leitung mit kreisförmigem Querschnitt in Frage, wobei die Verwendung einer H n - W e l l e mit definierten Feldlinienrichtung nach Abb. 345 feststehendem und rotierendem eine dauernde Rotation der Polarisationsrichtung Leitungsstück . zur Folge h a b e n würde. Die E 0 1 -Welle geht dagegen wegen ihrer Zylindersymmetrie u n v e r ä n d e r t in die rotierende Leitung über, wenn m a n durch eine hinreichende Ü b e r l a p p u n g der Außenleiter f ü r eine befriedigende kapazitive Verbindung der beiden R o h r e sorgt (Abb. 373). Ergänzendes S c h r i f t t u m : [2, 8, 42, 45 bis 47, 58], feststehend

^

rotierend

A b b . 373. Ü b e r g a n g z w i s c h e n

ihrer

§ 47. I n h o m o g e n e Wellenfelder

Es wurden bereits zahlreiche inhomogene elektrische Felder b e t r a c h t e t . I h r e q u a n t i t a t i v e Behandlung ging von der A n n a h m e aus, d a ß m a n bei hinreichend niedrigen Frequenzen das angenäherte Bestehen der statischen elektrischen Feldlinien a n n a h m . Es ist daher eine Diskussion erforderlich, in wie weit eine solche A n n a h m e ü b e r h a u p t g e s t a t t e t ist. Die vorhergehenden Untersuchungen über aperiodische Felder in Hohlrohren geben bereits die ersten Hinweise. Es zeigte sich dort, d a ß statische elektrische Felder bestimmter F o r m auch als Wechselfelder bei r e l a t i v hohen Frequenzen a n n ä h e r n d u n v e r ä n d e r t bestehen bleiben, solange die Betriebsfrequenz wesentlich unterhalb einer f ü r die einzelnen Feldformen charakteristischen Grenzfrequenz bleibt. Bei der m a t h e m a t i s c h e n U n t e r s u c h u n g von I n h o m o g e n i t ä t e n zwischen homogenen Leitungen wie in den §§ 36 bis 40 zerlegt m a n n u n das Feld in

Inhomogene

Wellenfelder

327

der Umgebung der Inhomogenität in einen homogenen Wellenbestandteil als Hauptteil, wobei diese Welle die gleiche Form wie in den anschließenden homogenen Leitungen hat, und ein zusätzliches elektrisches Störfeld von gleichem Charakter wie die aperiodischen Felder in Hohlrohren. Das Störfeld sinkt mit wachsendem Abstand von der Inhomogenität Sehr schnell ab, ähnlich wie die Funktion e~Kz der Hohlrohrfelder. Das Störfeld kann zwar eine etwas kompliziertere Form haben, zeigt aber im wesentlichen doch einen Abfall nach e~Kz mit einem bestimmten K. Daraus folgt dann, daß die Feldlinien des Störfeldes frequenzun.abhängig gleich den Feldlinien des zugehörigen statischen Feldes sein werden, solange die Betriebsfrequenz wesentlich kleiner als die für das Störfeld charakteristische Grenzfrequenz ist. Die genauere theoretische Untersuchung soll sich auf die Frage beschränken, welche aperiodischen elektrischen Wechselfelder zwischen zwei parallelen, leitenden Ebenen möglich sind. Die Ebenen haben den konstanten Abstand b, und der Nullpunkt und die Achsen des Koordinatensystems liegen wie in Abb. 331. Man betrachtet sozusagen einen rechteckigen Hohlleiter, dessen Breitseite unendlich groß ist. Bisher bestand als Lösung des Feldes zwischen zwei Ebenen die ebene Welle mit den einzigen Komponenten (£x und Das alleinige Bestehen einer Komponente bedeutete Parallelität und Geradlinigkeit aller elektrischen Feldlinien. Ein inhomogenes Feld ist jedoch durch gekrümmte Feldlinien gekennzeichnet, die in dem hier betrachteten Fall stets in der (x,z)-Ebene (Zeichenebene) gekrümmt sein sollen. Dies bedeutet das Auftreten elektrischer Komponenten (Sz in der z-Richtung. Die Betrachtung des Feldes zwischen parallelen leitenden Ebenen muß daher auf Lösungen ausgedehnt werden, bei denen auch eine Komponente ß z zugelassen . wird. Solche Felder treten z. B. auf, wenn ähnlich wie in Abb. 367 zwischen den leitenden Ebenen nach Abb. 374 ein elektrisches Wechselfeld durch eine dritte Platte angeregt wird, wobei der Längsschnitt der Platte unabhängig von y ist. Das magnetische Feld besitzt dann nur eine Komponente und alle drei Komponenten und sind unabhängig von y. Die Anregung e j n e s elektrischen wechseiFeldgleichungen zwischen diesen Größen werden feldes mit g 2 -Komponenten nach den Regeln des § 34 aufgestellt. Sie lauten: = —ä^-r-^;

(47.1)

/CO £ o-GEX=--^;

(47.2)

, o j s =

(47.3)

Hinzu kommt die Kontinuitätsbedingung für die elektrischen und magnetischen Feldlinien, wobei auf die Ableitung der Gl. (42.4) verwiesen sei. Hier

Hohlleiter

328

ist entsprechend

ö

3,6

1.2

1.5

1,9

2.6

3,3

3,6

1,1 n

i

'

t

t

w

w

s

.

i

.

*

k

3,9 i

i

'

M

Abb. 377. Sprunghafte Abstandsänderung

m

336

Hohlleiter

und (für n = 1,2, . . . ) 2 /'f»(2) = V " 2 xi x= o

' cos

TtTZ CC 'A x xi

(47.38)

ist. Für unendlich kleine Quadrate geht das ¿"-Zeichen in ein J - Z e i c h e n über. Abb. 377 a zeigt als Beispiel den Fall einer sprunghaften Abatandsänderung zweier sonst paralleler Ebenen, wodurch sich im Bereich des Sprungs eine Feldinhomogenität ergibt. Die Äquipotentiallinien und die Feldlinien des statischen Feldes geben das eingezeichnete krummlinige Koordinaten -

A b b . 378. /«..-Verteilung in den Streifen der A b b . 377

A b b . 379. Fourierkoeffizienten des ¡x, der A b b . 378

winklige System der Abb. 377b (vgl. Abb. 375b) abgebildet wird. Die Zahlen in den Quadraten der Abb. 377b geben dabei das durch die Transformation entstehende fir(x,z) = K2(x,z) an. Je nach dem Feinheitsgrad der Unterteilung kann man beliebig genaue ( « r -Werte erhalten. Man erkennt, daß großen „Quadraten" in Abb. 377a große M r -Werte entsprechen. Abb. 378 zeigt für die einzelnen Feldlinienstreifen der Abb. 377 als Parameter (womit sich die s-Abhängigkeit ergibt) den Verlauf des ur in Abhängigkeit von x. Man beachte, daß das fiktive Medium teils paramagnetischen ( « r > l ) und teils diamagnetischen ( , « r < l ) Charakter hat. Abb. 379 zeigt die zugehörigen

337

Inhomogene Wellenfelder

Fourierkoeffizienten /xr0(z), url{z) und ur2(z) nach (47.37) und (47.38). Die E c k e n geben dabei innerhalb eines u r n -Verlaufs Extremwerte verschiedenen Vorzeichens, ju nachdem eine Konzentration oder Schwächung des Feldes vorliegt. F ü r die /¿ r l -Kurve ergibt eine Feldkonzentration (VI) einen positiven Extremwert, eine Feldschwächung ( V I I I ) einen negativen E x t r e m w e r t . Die M r 2 -Kurve zeigt das umgekehrte Verhalten. Wichtig ist die Erkenntnis, daß auch bei relativ kräftigen Inhomogenitäten das |wri| erheblich kleiner als « r 0 ist und alle übrigen I« I noch wesentlich kleiner sind, so daß man in der Praxis in seinen Spitzen zu berücksichtigen braucht, während vielfach nur das man höhere „-Werte meist vernachlässigen darf. Durch Abrunden der E c k e n kann man die Extremwerte der ¡_irn bedeutend verkleinern. So ist z. B . für den gleichen Abstandssprung mit einer abgerundeten E c k e nach Abb. 380

*7777777r77777777777

7777777777777777t.

A b b . 380. Übergang mit abgerundeter

A b b . 381. Tiefe Einbuchtum

Ecke

der positive A nteil des ¿t r l nahezu verschwunden. Einen extremen F a l l stellt die tiefe Einbuchtung der Abb. 381 dar, bei der innerhalb der Einbuchtung sehr große /i,.-Werte entstehen, wodurch schon bei relativ niedrigen Frequenzer sich eine selbständig stehende Welle innerhalb der Einbuchtung ausbildet. Man vgl. (47.32). Setzt man (47.33) bis (47.36) in (47.20a) ein, so ergibt sich mit co2,w0e0 == (2tt/;.)2 nach (25.8) (2rr//.)2

ttx / o - r / i c o s — -! - /2 COS

2 n x

-

X,

+

TtX 2 TTX Frl C03 - - - + /i)2COS

X

(47.39)

71X , 2 TTX /ICOS — + 4/ 2 C O S — — Ttx

,

,

/o" + / i " c o s — + /./' cos -

2 l t x

Multipliziert man unter Verwendung von nxTTX

n , n x

cos ——— cos cos —^— — - — --

"

( n ,

cos •

+ n,)TTX

[- c o s

(n, —

ii2)ttx

(47.40)

die linke Seite in (47.39) aus, so ist die Gleichung (47.39) erfüllt, wenn man alle cos-freien Glieder auf der rechten und linken Seite einander gleichsetzt

Hohlleiter

338

und ebenso die jeweiligen Faktoren der cos(nnx/xj). Erstmalig wurde das vollständige unendliche Gleichungssystem von R . P i l o t y aufgestellt [50]. Im ersten Fall erhält man dann die Beziehung (2 ti/A)2

fo PrO

+ Y /l Prl +

Pr2

-fo"

(47.41)

h-h"-,

(47.42)

+

und im zweiten Fall eine Folge von Gleichungen der Form (2 7l\lf

fo Prl

+ /l /'rO

( 2 TilX)2

fo /'r2

+ /ä

fr 0 J r

'°rl 2~ /l

TT

T ^ '" r 2 2n\

''

2

2

^ - j / a —/a".

(47.43)

woraus man dann prinzipiell die einzelnen (der unendlich vielen) Funktionen /„ berechnen kann und die Differentialgleichungen (47.17a) bis (47.20a) gelöst sind. Technisch verwendbar sind die Lösungsfunktionen (47.33) bis (47.35) aber nur dann, wenn die Reihen konvergieren und einen praktischen Nutzen erzielt man wiederum nur, wenn sie rasch konvergieren, man also ohne wesentlich ungenau zu sein möglichst mit dem Glied f0(z) abbrechen kann. Die Konvergenz wird dabei mit wachsender Frequenz schlechter und entscheidend bestimmt von der Konvergenz der Reihe des fir(x,z) nach (47.36). Anordnungen mit abgerundeten Ecken nach Abb. 380 geben eine sehr gute Konvergenz und auch ein Verlauf des u r wie in Abb. 378 und 379 ist brauchbar. Eine Anwendung auf die sehr extreme Inhomogenität der Abb. 381 ist aber nicht mehr lohnend. Für die praktische Auswertung ist es dabei wichtig, Näherungen zu entwickeln, um ohne viel Aufwand einen groben, oft aber schon genügenden Überblick über die einzelnen Werte f n zu bekommen, wobei man sich dann von vornherein auf die Glieder beschränken kann, die von maßgeblichem Einfluß sind. Bevor Näherungsmethoden erläutert werden, soll aber noch der besonders interessierende Fall untersucht werden, unter welchen Bedingungen in Abb. 375a @ z * = 0 ist. Dann besteht nur eine Komponente bzw. in Abb. 3 7 5 b nur eine Komponente Q x nach (47.21) und die statischen Feldlinien bleiben auch im Wechselfeld erhalten. Mit = 0 ist nach (47.19) und nach (47.17) K-&x* unabhängig von x aber wegen (47.18) und (47.20) abhängig von z. Die Differentialgleichungen (47.17) bis (47.20) gehen über in /cüco ( * • © » * ) = - - § - ; /ayi0 {K 2 •

= -

Ö h z

(K •