Zur Theorie der Zentrifugalpumpen [Reprint 2021 ed.] 9783112466483, 9783112466476

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VeröMcihungen der Turbn ientectmsicben Geselschaft EV .. ii.

Zur Theorie der

Zentrifugalpumpen von

Professor J. Bartl Graz

Mit 13 Abbildungen

Sonderabdruck aus der Zeitschrift „Die Turbine" VI. Jahrg. 1909 10, Heft XIV, XVI, XVII und XIX.

BERLIN Verlag von 1910

W. M. K r a y n

Copyright 1910 by M. Krayn, Berlin W . 5 7 .

ROSENTHAL ACo., BERLIN S O , RUNQESTR. 20

VORWORT D i e Wasserlieferung erfolgt durch eine Zentrifugalpumpe nicht immer anstandslos; sie ist häufiger Störungen unterworfen, als dies bei Kolbenpumpen der Fall ist. Unter gewissen Umständen hört trotz Fortdrehung des Rades die Wasserbewegung auf: „ D a s Wasser s c h n a p p t a b". Bei Wiederingangsetzung der gefüllten Pumpe läuft das Rad anfänglich leer u m ; erst, wenn die Geschwindigkeit des Rades über einen gewissen Wert hinauswächst, gerät das Wasser w i e d e r plötzlich i n Bewegung. Unter anderen Umständen, namentlich bei Steigerung der Radgeschwindigkeit entstehen in der Pumpe G e r ä u s c h e , die von Erschütterungen, wohl auch von „W a s s e r s c h l ä g e n " begleitet werden. — Es ist gewiss auch von praktischem Interesse, jene Umstände zu kennen, die zu solchen Vorkommnissen, von denen einige unerwünscht sind, führen, um dann den normalen Betrieb (Lieferung der normalen Wassermenge) von ihnen frei halten zu können. Der Verfasser versucht es, diesen Vorgängen näherzutreten. Er hat so die eigentümliche Erscheinung des Abschnappens, das plötzliche Wiederangehen des Wassers, das Verhalten des Wassers in einem stabilen und in einem labilen Zustand, das Auftreten von Geräuschen und von Wasserschlägen zu erklären gesucht. Auf Grund dieser Erkenntnisse ergibt sich auch eine erschöpfende Kritik der v o r g e k r ü m m t e n S c h a u f e l im Vergleich mit der r ü c k g e k r ü m m t e n S c h a u f e l .

Die erstgenannte lässt wohl eine langsamere Bewegung des Rades zu, doch verträgt sie keine so weitgehende Änderung der Radgeschwindigkeit als die zweite. Im Laufe der Abhandlung hat der Verfasser auch ein n e u e s V e r f a h r e n angegeben, das sich wegen seiner Einfachheit und Anschaulichkeit zur Bestimmung d e r S c h a u f e l f o r m für eine neu zu entwerfende Pumpe empfehlen dürfte. Weiter hat er noch den S p a l t v e r l u s t und die R a d s e i t e n r e i b u n g behandelt und schliesslich auch die heute so vielfach angewendeten m e h r s t u f i g e n P u m p e n in betracht gezogen. G r a z , im Juli 1910

J. Bartl.

1. Die verwickelten Beziehungen zwischen den Bestimmungsgrößen einer Zentrifugalpumpe (den Abmessungen und Winkeln), den Geschwindigkeiten (des Wassers und des Rades) und der Steighöhe haben seit jeher anregend gewirkt: einerseits auf den Theoretiker, um Studien behufs Feststellung dieser Beziehungen anzustellen, andererseits auf den praktischen Ingenieur, um diesen Zusammenhang durch Versuche aufzuziehen. So sind sehr beachtenswerte Arbeiten von H e r r m a n n , Z e u n e r , G r ü n e b a u m , S c h ü t t , Biel, B l a e ß , Kux, Reichel, Z e r k o w i t z u. a.*) entstanden. Wenn sich derartige theoretische Untersuchungen auch nur auf Grund gewisser Hypothesen anstellen lassen, die unter gewissen Bedingungen Vertrauen verdienen, so haben solche Studien doch den Wert, daß sie dem experimentierenden Ingenieur anzeigen, welche Beobachtungen anzustellen sind, um die Richtigkeit jener Hypothesen zu prüfen bezw. um neue zutreffende Annahmen aufzustellen. Die schon lange in der Turbinentheorie angewandten Sätze der Hydraulik von Bernoulli, Borda, Grashof u. a. führen *) H e r r m a n n . Die graph. Theorie d. Turb. u. Kreiselräder (1887, S. 194). Z e u n e r . Vorlesungen über Theorie der Turbinen (1899, S. 320). G r ü n e b a u m . Zur Theorie der Zentrifugalpumpen (1905). S c h ü t t . Die Wirkungsgrade d. Ventilatoren u. Zentrifugalpumpen (Z. d. V. d. Ing. 1906 S. 1715, 1907 S. 342). B i e l . Die Wirkungsweise d. Zentrifugalpumpen u. Ventilatoren (Heft 42 der „Mitteilungen üb. Forschungsarbeiten", herausgeg. v. Ver. deutsch. Ing.; 1907). B l a e ß . Zur Theorie der Zentrifugalpumpen u. Ventilatoren (Z. f. d. ges. Turbinenwesen 1907, S. 470). Kux. Wirkungsweise d. Kreiselpumpen (Z. d. V. d. Ing. 1907, S. 1274). R e i c h e l . Versuche an einer Zentrifugalpumpe (Z. .f. d. gesTurbinenwesen 1908, S. 101). Z e r k o w i t z . Beitrag z. Theorie d. Zentrifugalpumpen (Z. d. öst. Ing.- u. Arch.-Vereins, 1909, Die Turbine 1909, S. 45). l

—

2

—

auf Schaulinien, die einen ähnlichen Verlauf zeigen wie die gelegentlich von Turbinen-Versuchen gefundenen Linien*). Es ist naheliegend, zu versuchen, diese Sätze auch auf die Theorie der Zentrifugalpumpen anzuwenden. Das soll auch in der folgenden Abhandlung geschehen. Zunächst soll da der Zusammenhang der Wassergeschwindigkeiten mit der Radgeschwindigkeit, mit der Radarbeit und mit dem Wirkungsgrad bei k o n s t a n t b l e i b e n d e r S t e i g h ö h e bestimmt werden. Später soll auch der Zusammenhang dieser Größen bei k o n s t a n t b l e i b e n d e r Umlaufzahl des Rades ausgemittelt werden. Die Untersuchung wird aber auch auf die Bestimmung der Pressungshöhen an bemerkenswerten Stellen der Pumpe ausgedehnt werden; dadurch ergibt sich ein Anhalt für die Vorausbestimmung jener Fälle, in denen sich eine Hohlraumbildung (»Cavitation") einstellt, welche lästige Geräusche verursacht und auch gefährliche Wasserschläge zur Folge haben kann. Schließlich wird eine; eingehende Kritik der v o r g e k r ü m m t e n S c h a u f e l , für die von mancher Seite die kleinere Umlauf.1 zahl als bemerkenswerter Vorteil vorgebracht wird, angestellt werden können. Im Laufe der Abhandlung wird auch ein einfaches Verfahren (rechnerisch und zeichnerisch) zur Ausmittelung einer neu zu entwerfenden Zentrifugalpumpe angegeben. 2. Geschwindigkeit - Verhältnisse bei stossfreiem Betrieb. Fig. 1 zeigt die schematische Darstellung einer Pumpenlage; Fig. 2 zeigt die Geschwindigkeitsparallelogramme für den stoßfreien Betrieb; Fig. 3 die betreffenden Parallelogramme für einen davon abweichenden Betrieb und zwar für den Eintritt in das Rad bezw. für den Austritt aus Fig. 1. dem Rad. Für alle Wasserfäden seien starre Schaufelführungen nach der Bahn des mittleren Wasserfadens angenommen und ge*) Bartl. Das Verhalten der Turbine bei verschiedener Belastung (Zeitschrift des österreichischen Ing.- und Arch.-Vereins 1908 und Die Turbine 1909, S. 197).

—

3

—

dacht, daß so die Stoß Wirkung immer nur zwischen Wasserteilchen und den starren Schaufeln, aber nicht zwischen den Wasserteilchen selbst erfolge. Behufs genauer Führung des Wassers beim Übertritt desselben aus dem Saugraum in das Rad sei ein i n n e r e r L e i t a p p a r a t mit radial gestellten Schaufeln vorausgesetzt*). Das Parallelogramm der Geschwindigkeiten ist für den Eintritt ins Rad in Fig. 2 in Iu1c1ro1 angegeben.

Iq ist die absolute Wassergeschwindigkeit und In»! die relative Wassergeschwindigkeit; weil diese die Radschaufel berührt, ist daselbst der Stoß vermieden. I II sei die Bahn der absoluten *) Zumeist fehlt der innere Leitapparat; doch soll für die später entworfene Zentrifugalpumpe mit

der Einrichtung,

vorkommenden Fall

die der

Schaufelkanten würden gerichtetem

Eintritt

ein solcher

angenommen werden etwa

in Fig. 7 dargestellt ist. beim Eintritt

sich

ergeben,

in das Rad

die Verhältnisse und

Für

den

häufig

schiefgerichteten

anders als bei radial-

würde sich

eine andere

Haupt-

gleichung entwickeln.

l*

—

4

—

Wasserbewegung durch den Schaufelraum; beim Austritt in II ergeben sich dann die Geschwindigkeiten nach den Strecken des Parallelogramms IIu2c2tt>2. IIu2 ist daselbst die Radgeschwindigkeit, IIto2 die relative Austrittsgeschwindigkeit des. Wassers; ihre Richtung stimmt mit der letzten Tangente an der Schaufellinie überein. Endlich ist IlCg die absolute Austrittsgeschwindigkeit, die mit der Tangente der absoluten Bahn gleichgerichtet ist. Es sei ein das Rad umfassender ä u ß e r e r L e i t a p p a r a t angeordnet; soll nun auch hier beim Übertritt des Wassers in den Leitapparat der Stoß vermieden sein, dann muß die erste Tangente an der Leitschaufel mit der Richtung IIc2 übereinstimmen. Für den stoßfreien Eintritt in das Rad gilt Uj = c0 • cot ßi und für den stoßfreien Übertritt aus dem Rad in den äußeren Leitapparat gilt a, = cr,(cot ß2 -f cot a3) Wegen : u2 = r t : r2 rechnet sich also für den stoßfreien Betrieb ^ . i o . C o t ß 1 = c 0 tß 2 + cota3 1 Cr,

l

r

Für den speziellen Fall c0 = cr2 lautet die Beziehung zwischen den Winkeln /•„ ^ • cot ßx = cot ß2 + cot a3 1' l

r

3. Geschwindigkeitsverhältnisse bei beliebigem Betrieb. Bei einer anderen Radgeschwindigkeit (innen und außen u2) wird sich eine andere Wassergeschwindigkeit cQ beim Eintritt einstellen. Das Parallelogramm der Geschwindigkeiten vor dem Eintritt ist in Fig. 3 in Ia^oiVo dargestellt. Wegen des Abweichens der relativen Geschwindigkeit Iiv0 von der Tangente I*! an die Radschaufel entsteht jetzt ein Stoß und damit eine plötzliche Änderung der Geschwindigkeiten. Von den beiden Komponenten der Geschwindigkeit Iiv0, nämlich von IjCJ und Xjifo kann die zweite, die senkrecht zu 11 ist, nicht zur Geltung kommen; sie verschwindet, wodurch für jedes "2 Kilogramm Wasser ein Energieverlust in der Höhe von entsteht. Die erste Komponente Jxt reduziert sich sofort auf die kleinere Geschwindigkeit Iwlt für welche die radiale Komponente so groß ist wie die radiale Komponente vor dem Stoß, wenn im Leitapparat und im Rad gleichgroße freie Durchflußflächen bestehen, was behufs Vereinfachung der Entwickelung angenommen werden soll. Wegen der Herab-

—

5

—

selzung der Tangentialgeschwindigkeit von auf Iu^ entsteht ein Energieverlust wie in einer geraden Rohrleitung bei plötz2

licher Erweiterung; nach B o r d a ist dieser Verlust ^ ^ .

Der

Gesamtverlust beim Eintritt beträgt also

wenn die Geschwindigkeitsstrecke WjW0 durch o 1 ausgedrückt wird. Nach dem Stoß gilt also das Geschwindigkeitsparallelogramm Iw^u^; die Abweichung cYca ist gleich w1w0 = öi-

Beim Austritt II aus dem Rad (Fig. 3) hat das Wasser die relative Geschwindigkeit w2 in der Richtung t\\w2 der letzten Radschaufeltangente. Ihre Größe ergibt sich aus dem Austrittsparallelogramm, dessen radialgerichtete Höhe cft mit der radialgerichteten Höhe des Eintrittsparallelogramms durch

—

6

—

die Beziehung CrtF2 — e ^ zusammenhängt, worin mit Fi und F2 die freien Durchflußflächen im Eintrittsmantel und Austrittsmantel bezeichnet werden. Das über IIIV 2 und I I « 2 errichtete Parallelogramm IIB^U^ gilt für den Bewegungszustand v o r d e m A u s t r i t t aus dem Rad. Beim Übertritt des Wassers in den äußeren Leitapparat entsteht also jetzt ein Stoß und dabei plötzlich eine Änderung der Wassergeschwindigkeit, weil d mit der Tangente IIJC2 an die Leitschaufel nicht zusammenfällt. Die Geschwindigkeit c2 hat die beiden Komponenten 11*2 und x2C2. Die letztere Komponente verschwindet aus demselben Grunde, dessentwegen beim Eintritt xwa weggefallen ist. Aber auch die erste Komponente llx2 verbleibt nicht; die Tangentialgeschwindigkeit kann sich nur in der Größe IIc3 ergeben, wenn die Durchflußflächen im Austrittsumfang des Rades und im Eintrittsumfang des Leitapparates gleichgroß sind, somit die radialgerichtete Wassergeschwindigkeits-Komponente während des Übertritts keine Änderung erfährt. Das über I I « 2 und IIC 3 gezeichnete Parallelogramm Uu^c3w3 gilt also für den Bewegungszustand nach dem Eintritt in den äußeren Leitapparat. Der Gesamtverlust beim Übertritt des Wassers aus dem Rade in den Leitapparat beträgt somit

2g

2g'

wenn die Geschwindigkeitsstrecke net wird. 4. Hauptgleichung wähnten Verlusten ^ seien,

w3w2 mit ö 2 bezeich-

zwischen u2, c0, fi„. und

Außer den er-

die mit HVl bezw. H Vl bezeichnet

sind noch andere hydraulische Verluste zu berück-

sichtigen.

So bei der Bewegung des Wassers durch

den

Seiher, durch das Fußventil und durch das Saugrohr bis zum Eintritt in das Rad .

•

dann bei der Bewegung des Wassers in den Radzellen . . . . .

tr • ^

dann bei der Bewegung des Wassers vom Eintritt in . den äußeren Leitapparat, durch denselben und durch den Gehäuseraum bis zum Steigrohr (Be. ginn der gleichmäßigen Rohrweite) schließlich bei der Bewegung des Wassers im Steigrohr bis zu dessen. Mündung . . . . . . .

•

2g

.. . Zj

—

7

—

w2 und c3 bedeuten die bekannten Geschwindigkeiten beim Austritt, c, und cj sind die Geschwindigkeiten in der Saugbezw. Druckleitung, X,r "Ci td sind Widerstandskoeffizienten. Die einzelnen Ausdrücke bedeuten die Widerstandshöhen in Metern, aber auch die Arbeitsverluste für jedes Kilogramm Wasser in Meterkilogramm. Von der vom Rad auf das Wasser übertragenen Energie Ha (beim Eintritt des Wassers in das Rad) und Ha" (während des Durchganges des Wassers durch das Rad) gehen die oben erwähnter Beträge verloren. Der Rest (zumeist weit größer als die Verluste) muß hinreichen, die Erhebung des Wassers vom Niveau des Saugbehälters bis zur Steigrohrmündung zu bewirken und dem Wasser daselbst noch die Arbeitsgeschwindigkeit Cd zu sichern. Werden die Saughöhe und die Druckhöhe mit Hs bezw. Ha bezeichnet — ihre Summe gibt die ganze Steighöhe H„ — so läßt sich die Hauptgleichung in der allgemeinsten Form so ausdrücken: {HA-

+ HA") = (Hs + ,

r

Hd) + (HVi + H„e) +

• J-J.+

W22 , r, C32 , r.. Cd2\ , C"2 ,2g 2g 2g) 2g

Bekanntlich lassen sich die Arbeitshöhen Ha ausdrücken:

0

2

und

Ha"

HA' = i % (cUt — c„a) und HA" = ^ («2 • cu, — «ic«,); hierin bedeuten cu„ cUl c„, die Tangentialkomponenten der absoluten Geschwindigkeit vor und nach dem Eintritt in das Rad bezw. vor dem Austritt aus dem Rad in der Richtung der Radgeschwindigkeiten ui bezw. « 2 . Wegen der radialen Zuführung des Wassers zum Rad ist cu„ = 0, also ist HA' =

% cUl

und

HA"

=

~ (u^CU, — u^U,)

3

und die ganze Arbeitshöhe H A = H a ' + B a HA

=

~

ITY«,

3'

Behufs Vereinfachung der mathematischen Entwickelung seien die maßgebenden Durchflußquerschnitte gleichgroß gewählt, sodaß dann auch die betreffenden Durchflußgeschwindigkeiten gleichgroß sind: es = c0 = cr% = cd = c„ Für jede dieser Geschwindigkeiten kann also c0 gesetzt werden. ist dann

Aus Fig. 3 folgt zunächst cUl = «2 — cr, cot ß 2 , somit =

(U2 - c0 cot ß2)

3»

Die Verlusthöhen

IJVl

ö1-

Hv, =

2g

B.V, — Für

die

üVt

und

°1 = («1 — C0 C 0 t ßl)

und

ö

mit

rechnen sich aus cfj und ö 2 :

2 = («2 — C» c o t ßi) — cn cot Og Cr, =

cQ:

(«1 - ¿0 cot ßj)2 («2 — C0 cot ß2 •f 0 cot a3)2

Zusammenfassung

der anderen

hydraulischen

Verluste seien w2 und % auch durch c0 ausgedrückt. nämlich: J * w und c a ' sin ß2 sin ctg

Es ist

Somit wird die Summe der Verluste ( + 1 Sr • - J ü t + i/ • - - V + \ sin 2ß2 sin 2as Weil

sin 2ß2 '

2

= 1 + cot 2ß2 und

sin

^

£

= 5v* $

) 2 g

~

21

= 1 + cot 2(13 ist, wird auch

= (?• + ir + O + irf + ir COt 2ß2 + Xj COt ^

•

5'

Werden die Ausdrücke der Gleichungen 3 " 4 5 ' in die Hauptgleichung 2 eingesetzt und diese dann geordnet, dann ergibt sich die neue Form dieser Gleichung in Ac02

— 2Buic0—Cu2*

worin die Buchstaben A B C

+

2gHn

=

0

6

folgende Bedeutung haben:

A =(!+J)C°t2ßl + i" + 1 B

= ( y +

Jjcotßi-cotßa

C-HS)

Der Zusammenhang der Größen u2 und c0 ist in Fig. 4 • für eine bestimmte Steighöhe //„ veranschaulicht.

u2 ist längs

der Abszissenachse, c0 parallel zur Ordinatenachse aufgetragen.

—

9

—

—

Bei

10

näherer Untersuchung

Hyperbel*).

—

zeigt

sich die Schaulinie als ein

Die Wassergeschwindigkeit c0l

die sich bei

einer bestimmten Radgeschwindigkeit einstellt, ergibt sich aus der Gleichung 6 mit B

_ _ _ - L I / /

5

2

I

C

\

S »

2 H

2

7

Für einen vorgeschriebenen Wert des Verhältnisses — = t t c0

rechnet sich

» = V - A + f ß n + C*

e

und

*

=

In Fig. 4 ist die Hyperbel gezeichnet. Die Punkte a s b f bedeuten

gewiße

Für tiz < «2„ gibt

charakteristische es

Zustände

des

Wassers.

keinen Beharrungszustand der Wasser-

bewegung; die Gleichung 7 gibt für u^ = u^ gerade nur einen Wert für c0,

die Wurzelgröße ist hiefür = 0.

Für a2 >

und < «2s gibt die Gleichung zwei positive Werte für c0.

u2a Der

Fall s trifft zu für c0 = 0, wenn also der Gesamtausdruck in der Gleichung mit dem negativen Zwischenzeichen = 0 wird. Für u2 > u2s gibt es für ca einen positiven und einen negativen Wert; für die Pumpe hat natürlich nur der positive Wert eine Bedeutung. D e r Zustand a entspricht der kleinsten Radgeschwindigkeit,

bei der ein Beharrungszustand in der Wasserbewegung

noch bestehen kann; bei einer Verlangsamung der Bewegung, und selbst wenn die Radgeschwindigkeit um sehr wenig abgenommen hat, »schnappt das Wasser a b " , d. h. die Wasserbewegung

hört

in

den Rohrleitungen und im Gehäuse auf,

nur das zwischen den Radschaufeln befindliche Wasser macht noch die Radbewegung mit; wegen des Fußventils am unteren Ende des Saugrohres hält sich aber das Wasser bis zur oberen Mündung des Steigrohres. Soll das so stehende Wasser wieder *) Es besteht nämlich die hierfür charakteristische Beziehung: (— C) A — (— B)2 < 0. Der Winkel der reellen Hyperbelachse gegen die Abzissenachse

hb+Hd 2g * = 2-g + + 2-g+ ?rg

Crf2

IC2 5

Alle in den obigen Gleichungen 21 bis 25 angesetzten Glieder haben die Bedeutung von Energien oder Arbeitsmengen (übertragenen oder verlorenen) für 1 kg Wasser; in diesem Falle sind sie in Meterkilogrammen gedacht. Dieselben Glieder haben auch die Bedeutung von Höhen in Metern, wenn man sich die Energiebeträge durch je 1 kg dividiert denkt. Aus den obigen Gleichungen rechnen sich nun die Pressungshöhen h0, hu h2, h%. Aus der Gleichung 21 folgt wegen cs — c0: ^ = ^ _ ^ _ ^ + f einem Abreißen folgt bald ein stoßartiges Wiederzusammentreffen der hinteren, nun voreilenden Masse mit der vorderen, nun rückbleibenden Masse (Wasserschlag). T a b e l l e I. s

b

/

13,283

15,283

15,283

16,336

0,883

0

2,032

2,366

2,831

0,0397

0

0,2105

0,2853

0,4085

7,521

6,904

6,359

a m/sek

«2

i

m 18,0

m/sek

„2

*) Für den seltenen Fall, daß die Rückbewegung des Wassers nur auf einer Radseite erfolgt, müßte obiger Wert für q durch 2 dividiert werden.

— 49 — Aus Fig. 3 nun lassen sich c,11 c22 und w22 und aus Gleichung 3 die Arbeitshöhe HA" ausdrücken nach ¿l2 = ib2 + ( " 1 - ^ 0 cot ß,)2 C£ =

H"A

=

(«2 —

Cr» +

COt ß2)2

«2 («2 — Cr, COt ß2) — — Ö! («! — £q COt ßj)

—

Cn*

'

Cr,

• Cr? (1 -f- COt 2ß2).

sin 2ß2

Behufs Vereinfachung sei F0 = F2 genommen, dann ist Cr, = c0 zu setzen (Gleichung 42). Nach Einsetzung des so ausgedrückten Druckhöhenunterschiedes in Gleichung 43 ergibt sich für die Wassermenge q der Ausdruck 45 x) («22 - «12) - io2 (cot 2ß2 - cot % - f r - fr cot 2ß2)

q = n. 4 * r 2 . 0 / 2 ^ ( 1

Der Spielraum ö muß durch genaueste Messung des äußeren Durchmessers des Anschlußringes des Rades und des inneren Durchmessers der anschließenden Gehäuseöffnung ermittelt werden. Der Halbmesser /-,-, die Winkel ßj und ß 2 sind dem gegebenen Rade zu entnehmen, die Radgeschwindigkeiten ux und « 2 aus der Umlaufzahl zu rechnen. Die Geschwindigkeit c0 läßt sich aus Gleichung 42 ausdrücken: Co —Ca

.

wenn F Behufs Ausrechnung von c0 ist also Q = Q + q für eine erste Rechnung durch Schätzung von q anzusetzen. Es bleiben noch die Größen x und 4-, die nur durch geeignete Versuche ermittelt werden können. Die Rohrleiturigswiderstände mögen aus den manometrischen Beobachtungen, die an passenden Stellen der Leitungen angestellt werden, ermittelt werden, etwa Der bei M r und M 2 in Fig. 13. manometrische Ü b e r d r u c k bei M t ist 46 ist

hm 1 =

Hd

—

.

H',

„

Cd2

, Ca2

Cd2

Cd'

Daraus rechnet sich Z j

Der mano-

metrische U n t e r d r u c kCs' bei M„ ist h,m = Ms Hr" + fs 47 1 ¥ 2g 2g woraus sich

Cs

berechnen läßt.

— 50 — Der Unterschied der absoluten Druckhöhen bei M t und M 2 ist

(hb + h wi) — (hb — h tm) = h mi + h mi = = (Hs + Hd) - (H'> + Nr") + , „ Cs2 , „ CS2 Cd2 . Cs2 . Ca2 !Tg+S*2S-2g+2-g+2-g + Die W e l l e n a r b e i t Lw läßt sich aus den Bestimmungsgrößen des elektrischen Stromes des Antriebmotors und aus dessen Wirkungsgrad oder auch durch Bremsung des Motors bei ausgeschalteter Pumpe ermitteln. Diese Arbeit wird verwendet zur Überwindung der L a g e r r e i b u n g Lri, auch zur Überwindung der R a d s e i t e n r e i b u n g Lrw und zur Leistung der eigentlichen hydraulischen R a d a r b e i t A = 1000 QHji, die vom Rade auf die durchs Rad gehende Wassermenge übertragen wird. Also ist

Lw = Lri + Lrw + \OOOQHA

48

Daraus läßt sich L^ rechnen, wenn vorher Lri durch besondere Versuche erhoben und HA nach Gleichung 3 " aus

MA=~U2 («2 — cr. cot ß2) bestimmt wird.

Somit ist dann

Lrw = Lw — Lri — 1000 QHA

48'

Nun kann endlich darangegangen werden, die Verluste H v l und H v2 beim Übertritt des Wassers in das Rad bezw. in den äußeren Leitapparat zu ermitteln. Die Radarbeit 1000 QHa wird aufgewendet: 1. zum Heben der Menge Q auf die Höhe H n , zur Überwindung der Rohrleitungswiderstände und zur Erzielung der Austrittsgeschwindigkeit ca in der Mündung des Steigrohres; aber auch 2. zur Überwindung der Widerstände bei den Übergängen in das Rad und aus dem Rad, dann im Rade selbst und vom Eintritt in den äußeren Leitapparat bis zum Beginn der Druckleitung. Sonach gilt die Gleichung 1000 QHA = 1000Q (H„ + f . g + 1000 Q

+ HV2 +

+ Ug

+

£J +

C

49

Werden die Widerstandszahlen durch besondere Versuche ermittelt, so läßt sich aus dieser Gleichung die Summe (Hvi-\-Hv2) rechnen. Mit dieser Summe werden die Werte dieser Verluste verglichen, die sich aus den Gleichungen 4 bestimmen lassen. Bei Nichtübereinstimmung wird die Einführung von Verbesserungsfaktoren versucht.

—

Statt H m =

51

wird nach Fig. 3 gesetzt: H

V i

Statt Hm —

=ks.^p? +

2g

50

2g

wird nach Fig. 3 gesetzt:

f-i

y

X

2 ¿2 I t

x

2

50'

Die aus Gleichung 49 ermittelte Summe von //„t + H v2 wird gleichgesetzt der Summe der Werte für llvl und Hv2 aus 50 und 50', wofür die Geschwindigkeitswerte x ^ , ü \ x v xtfw aus der Fig. 3 gerechnet werden können. Aus den so für je zwei Versuche nach 49 zusammengestellten Gleichungen können die Werte der Verbesserungsfaktoren ks und k„ ermittelt werden *). Sind die Werte der ks nicht viel voneinander abweichend und dann auch jene der kw, dann läßt sich der Mittelwert der ks und auch jener der kw als angenähert für alle Versuche geltend ansehen. Sollten sich auch bei Versuchen mit anderen Rädern gleichgroße Mittelwerte ergeben, dann wären damit allgemein geltende Werte für diese empirischen Faktoren gefunden. 17. Gesamt-Wirkungsgrad r ^ - Die ganze auf die Welle von außen übertragene mechanische Leistung ist Lw; die vom Rad an das Wasser abgegebene Leistung istZ^ — Lr = 1000 QHA; die tatsächlich erzielte Nutzleistung ist 1000 Q • H„. Somit schreibt sich der Gesamt-Wirkungsgrad % 1000 £LH„_

1000 £LH» 1000 &{H„ + HZV) 1000 QHA " 1 0 0 0 £ > ( / / „ +M1V)' 1000 QHA ' Lw

Lw

Hierin bedeutet HZv die Summe a l l e r hydraulischen Verlusthöhen mit A u s n a h m e der Stoßverlusthöhen H v i und H v i. Also wird H^ £i(H„ + Hlv) Lw — Lr IYS

~

HH-\-H£V'

QHA

Lw

Darin kann bezeichnet werden f j — j ^ j J Y ~ Tl'

^ ^ Q / f / ^ ~ ^

a s

' c ' e r Wirkungsgrad der Wasserhebung mit Außerachtlassung der Stoßverlusthöhen HVi und Hvg, a s ' Wirkungsgrad der Pumpe,

—— = q,/ als der dynamische Wirkungsgrad der Anlage. *) In ähnlicher Weise können auch bei Turbinen die Rechnungsergebnisse mit den Versuchsergebnissen in Einklang gebracht werden (meine Abhandlung „Das Verhalten der Turbine bei verschiedener Belastung"; „Turbine" 1909, S. 225, Gleich. 39). 4

— 52 — Für Q = Q , wenn keine Rückströmung des Wassers zwischen Rad und Gehäusewand angenommen werden darf, JJ-

ist i\i • r ^

also gleich r> dem früher eingeführten hydrau-

lischen Wirkungsgrad (Oleich. 34). D ü m m e r l i n g * ) setzt eine Formel obigen Bezeichnungen schreiben läßt: Hn =

H

an, die sich nach

|

I

F-I

rin -+-

tl\v

• N P

n y hat also die Bedeutung von r ^ • ^ kann also auch geschrieben werden: 1000 Q (Hn

V =

der Gleichung 51,

H^v)

u

18. Mehrstufige Zentrifagalpumpe. Der Rechnungsgang für die Ausmittelung einer m e h r s t u f i g e n Zentrifugalpumpe kann leicht nach dem Rechnungsgang für ein Einzelrad nach den Gleichungen 2 und 13 abgeleitet werden. Es sollen i Räder, auf derselben Welle vereinigt, die geforderte Wassermenge auf die Höhe H„ heben. Für den stoßfreien, normalen Betrieb ergibt sich aus Gleichung 2 :

Wie früher sei c0 die radiale Eintrittsgeschwindigkeit in jedes Rad; ferner = ü s 4 r

( 1 + c o t 2

ß

a

)

' =

=

C

r

*

2

( 1 + c o t

2a3)

-

cot a 8 = — — cot ßi — cot ß,. 1

Cr,

Die Radarbeitshöhe für jedes Rad ist also cot 2 ß a )

. frf +

/ tf

+* ¥

( 1

+

c o t

2

°3)+

, Cc?~I +

IVJ

Die Durchflußquerschnitte normal zu den Geschwindigkeiten Co cs c^ Cd ca seien mit F0 Fs F2 Fj Fa bezeichnet, dann ist Q= ^ = FsCs = = FdCd = FaCa Daher können in der früheren Gleichung für HA die Geschwindigkeitsverhältnisse durch die entsprechenden umgekehrten Querschnittsverhältnisse ersetzt werden. Wenn behufs Vereinfachung des Ausdruckes obige Querschnittsflächen *) Zeitschrift d. Österreich, lng.- u. Arch..-Vereins (1908 S. 463).

— 53 — gleich groß angenommen werden, müssen auch die Geschwindigkeiten gleich groß sein. Dann wird = Q +

Ha

+1r

(1 + cot

+ f/ (1 + cot 2a3) + y + -)-] 53

Der Klammerausdruck tritt an die Stelle von (£2 + 1) in der Gleichung 13. Daher ist für die Zentrifugalpumpe mit /-Stufen statt ( ^ + 1) zu setzen

(7- + fr + f/ + y + fr COt % + J, COt »a3 + - l )

53'

Hierin ist zu setzen

cot 2a3 = ^ COt ßx — COt ß2j2 = (0 — cot ß2)2

53"

Für Ha gilt wie für das Einzelrad nach Gleichung 3 " : —

c()

cot ß2)

Zur Entwickelung der Schaufelform für eine gewisse normale Radgeschwindigkeit u2 kann auch ein graphisches Verfahren wie jenes, das im Abschnitt 7 erläutert wurde, angewandt werden. Der Unterschied liegt nur in einigen Rechnungsgrößen: für die mehrstufige Pumpe treten die Größen ~I I I und 4an die Stelle der Größen Hnn Sa -M und 1 l im Ausdruck für Mit der mehrstufigen Pumpe werde nun e i n E i n z e l r a d verglichen, das so eingerichtet sei wie jedes der Räder der mehrstufigen Pumpe; es soll so betrieben werden, daß es die ganze Wassermenge Q der Pumpe auf die Höhe zu heben vermag. Die Wassergeschwindigkeit muß also in beiden Pumpen denselben Wert haben, wogegen die Radgeschwindigkeit u2' des Einzelrades etwas größer als jene der mehrstufigen Pumpe gehalten werden muß, was sich aus folgender Überlegung erkennen läßt. Zunächst gilt für die mehrstufige Pumpe 1 «2 (u2 - Co cot ß2) = +

i/(

Ha

=

^

+

Y~g [

t

+

^

+

l+C0t2a3) + y + 7 }

c o t

2ß

s)

+

54

Verschieden davon gilt für das Einzelrad j

u2'

(«2' - c0 cot ß2) = +

te

Ha'

= ^ + f-g [fs + fr (l + cot 2ß2) +

(1 - f cot 2a3) 4- fy + 1 j + HVI +

Hv2.

55

— 54 — Weil die Radarbeitshöhen HA und HA' schon wegen der Verschiedenheit der Klammerausdrücke nicht gleich groß sind, so können auch die linksseitigen Ausdrücke nicht gleich groß sein. Wenn also bei der Radgeschwindigkeit a 2 der Betrieb der mehrstufigen Pumpe stoßfrei ist, so wird der Betrieb bei der davon abweichenden Radgeschwindigkeit u 2 ' mit Stoßwirkung vor sich gehen; deshalb sind auch in Gleichung 55 noch die Stoßverlusthöhen Ho1 und Hv2 hinzugesetzt worden. Cd

Zunächst seien noch die Glieder -H- und Z J der beiden i

rechtsseitigen Klammerausdrücke miteinander verglichen. Nach Abschnitt 8 ist Zd — X Li

worin l j und dd die Länge und den

Durchmesser der Druckleitung (von der Pumpe bis zur Steigrohrmündung) bedeuten. Das Glied L i in Gleichung 5 4 ist also gleich - 4 - J j ^—Y".

Für das Einzelrad mit der Steighöhe

Rohrlänge / d / = = - y - * ) , = ud—

Zj' == \ Li l

Gleichung 54. unterscheiden

ist in

ist die

Gleichung 55

die

Zahl

mithin ebenso groß wie die Größe Li. l

jn

Die rechtsseitigen Glieder dieser Gleichungen sich in den Klammern nur in den ersten und

letzten Größen: ^5 deshalb

also

=

schon

1

in Gleich. 54 und

+ 1 in Gleich. 5 5 ;

und dann noch wegen des Hinzutretens der

Größen H v l + H V2 in Gleichung 55 ist H a ' merklich größer als H a . die

Darum ist nun auch « 2 ' größer als u 2 zu halten, wie

linksseitigen Glieder

Der Betrieb

des

der Gleichungen

zum Vergleich

erkennen

herangezogenen

lassen.

Einzelrades

ist also nicht mehr ganz stoßfrei. *) E s wird a n g e n o m m e n , d a ß die Saugleitungen in beiden A n l a g e n gleichgestaltet seien und die Druckleitungen in derselben g l e i c h m ä ß i g e n Steigung,

dann

der H ö h e n ,

stehen die L ä n g e n der Druckleitungen im Verhältnis

also ist ld:ld'

= (Hn—

Hs):

— H*^;

in

Verhältnisse stehen auch die Widerstandsziffern Qd u n d frf'. Einzelrad ist daher in die G l e i c h u n g 5 5 f d ' = W e n n Hn

sehr

setzt werden,

groß

ist

£d.

im Vergleich zu Hs,

Jln

F ü r das

— einzusetzen. —Ms

darf (d' = idX-

also so g r o ß wie das auf die Druckleitung

Glied im Ausdruck der G l e i c h u n g 5 4 .

demselben

ge-

bezügliche

—

55

—

Die hydraulischen Wirkungsgrade stellen sich auf r< = r|' =

J£

für die mehrstufige Pumpe, : Ha'

— J^,

demnach ist wegen ÜA < HA

für das verglichene Einzelrad; ZU

setzen

N : V = HA' : HA.

R|>RL/»

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