Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen [4 Auflage, Reprint 2021] 9783112545621, 9783112545614

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I. P. NATANSON THEORIE DER FUNKTIONEN EINER REELLEN VERÄNDERLICHEN

MATHEMATISCHE LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN

H E R A U S G E G E B E N VON D E R AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN DER DDR Z E N T R A L I N S T I T U T FÜR MATHEMATIK U N D MECHANIK

I. A B T E I L U N G

MATHEMATISCHE LEHRBÜCHER B A N D VI

THEORIE DER FUNKTIONEN EINER REELLEN VERÄNDERLICHEN VON

I. P. N A T A N S O N

AKADEMIE-VERLAG 1975

• BERLIN

I. P. N A T A N S O N

THEORIE DER FUNKTIONEN EINER REELLEN VERÄNDERLICHEN

Herausgegeben von Prof. Dr. K A R L B Ö G E L f

4. A U F L A G E

Mit 9 Abbildungen

AKADEMIE-VERLAG-BERLIN 1975

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Erschienen im Staatsverlag für phyB.-math. Literatur, Moskau Übersetzung aus detn Russischen

Als Lehrbueh an den Universitäten und Hoehschulen der Deutsohen Demokratischen Republik eingeführt Ministerium für Hoch- und Fachschulwesen

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Str. 3 - 4 © 4. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1975 Lizenznummer: 202 • 100/428/75 Offsetdruck und buchbinderische Weiterverarbeitung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer" 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 760 09 51 (5114) • LSV 1034 Printed in GDR E V P 39, -

Vorwort des Heraasgebers zur deutschen Ausgabe

Nachdem die erste Auflage von I. P . NATANSONS „Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen" sowohl im russischen Original als auch in der deutschen Übersetzung vergriffen war, ist im Jahre 1957 eine zweite russische Auflage erschienen. Über die wesentlichsten Änderungen gegenüber der ersten Auflage unterrichtet das Vorwort des Verfassers. Insbesondere ist sehr zu begrüßen, daß das Buch nunmehr auch die Verallgemeinerungen desLEBESGUEIntegrales (das PERRON- und das ÜENJOY-Integral, letzteres im engeren und im weiteren Sinne) behandelt. Der Unterzeichnete hat die Herausgabe der deutschen Übersetzung dieser zweiten Auflage um so lieber übernommen, als er schon die „Konstruktive Funktionentheorie" desselben Verfassers übersetzt und herausgegeben hat. So war es ihm auch möglich, an einigen Stellen Verbesserungen gegenüber dem Original anzubringen, die ihm der Verfasser selbst brieflich mitgeteilt hatte. Der aus der ersten deutschen Ausgabe erhalten gebliebene Teil wurde eingehend überprüft, Druckfehler berichtigt, und der Stil in einigen Fällen geglättet. Bei der Durchsicht haben die Herren G. DÄHNERT und H. HLLBLG mitgeholfen, denen an dieser Stelle der Dank des Herausgebers ausgesprochen wird. Für Hinweise auf evtl. noch vorhandene Mängel wäre der Herausgeber den Fachkollegen jederzeit dankbar. Hmenau, den 31. Juli 1960

K . BOGEL

Vorwort zur zweiten russischen Auflage

In folgenden Punkten unterscheidet sich die zweite Auflage wesentlich von der ersten: 1. Ausführlich behandelt wird das Problem der Änderung der Integrationsvariablen in LEBESGUE-Integralen (wenn die alte Variable eine monotone Funktion der neuen ist). 2. Es werden die Grundlagen der Theorie der konvexen Funktionen gebracht, e i n s c h l i e ß l i c h der U n g l e i c h u n g e n v o n J E N S E N u n d (im A n h a n g ) v o n YOUNG. 3. Bewiesen

werden

die

Sätze

von

CANTOR u n d

DU BOIS-REYMOND

—

DE LA VALLEE-POUSSIN sowie einige andere, die sich auch auf die eindeutige Entwicklung einer Funktion in eine FOURIER-Reihe beziehen. 4. Es wird die Theorie der ÜENJOY-PERRON-Integrale entwickelt, sowie der B e g r i f f des ÜENJOY-CHINTSCHIN-Integrales.

5. Es wird die Frage erörtert, wie sich die grundlegenden Sätze auf Funktionen mit unbeschränktem Definitionsbereich ausdehnen lassen. Bei der Abfassung des entsprechenden Kapitels habe ich mich der Ergänzung bedient, welche der Redakteur der amerikanischen- Übersetzung des Buches, Professor E . HEWITT, hineingearbeitet hat.

6. Im Anhang wird die Frage der Rektifizierbarkeit einer explizit gegebenen Kurve behandelt. Um eine übermäßige Vergrößerung des Buchumfanges zu vermeiden, habe ich den Satz von HAUS DORFF (über die Nichtlösbarkeit der „leichten" Aufgabe der Maßtheorie) sowie das Kapitel X V I I der ersten Auflage weggelassen (das speziell den durch russische Gelehrte erzielten Fortschritten gewidmet war). Bei der Vorbereitung der neuen Auflage erhielt ich viele wertvolle Hinweise von Professor G. M. FICHTENHOLZ; außerdem gaben mir eine Reihe von Ratschlägen der Redakteur des Buches, Dozent G. P. AKILOFF, und mein Sohn G. J . NATANSON. Allen Genannten spreche ich meinen Dank aus. 8. Dezember 1956

J . NATANSON

Vorwort zur ersten russischen Auflage

Dieses Buch will vorzugsweise ein den Lehrplänen unserer Universitäten entsprechendes Lehrbuch sein. Um aber der Funktionentheorie in ihrer wachsenden Bedeutung für die Ausbildung der Mathematiker gerecht zu werden, habe ich (in Kleindruck) eine Reihe von Fragen mit hineingenommen, die außerhalb dieser Lehrpläne liegen. Die reelle Funktionentheorie beginnt auf den Universitäten mit dem dritten Studienjahr. Beim Leser wird daher vorausgesetzt, daß er die Grundbegriffe der Analysis vollständig beherrscht: die Irrationalzahlen, die Grenzwerttheorie, die wichtigsten Eigenschaften der stetigen Funktionen, die Ableitungen, die Integrale und die Reihen werden in deren Umfang als bekannt angenommen, wie sie in jeder Hauptvorlesung über Differential- und Integralrechnung enthalten sind. Den meisten Kapiteln sind Übungen beigefügt, wobei zu sagen ist, daß diese in der Mehrzahl ziemlich schwierig sind und gelegentlich beträchtliche Anstrengungen erfordern. Nichtsdestoweniger rate ich allen, die sich den Inhalt des Buches gründlich aneignen wollen, dringend, sich um die Lösung wenigstens eines Teiles der gestellten Aufgaben zu bemühen. In der vorliegenden Form ist das Buch eine Überarbeitung meines früheren „Die Grundlagen der Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen'', das in kleiner Auflage im Jahre 1941 im Leningrader Universitätsverlag erschienen und nach kurzer Zeit vergriffen war. Der Gedanke an eine Neuauflage dieses früheren Buches tauchte recht bald auf und wurde zunächst vom Verlag ,,Radjanska Schkola" verwirklicht, der eine von dem Dozenten an der Kiewer Universität S. J . SUCHOWITZKI verfaßte und erweiterte Übersetzung ins Ukrainische herausgab. Professor E. J . REMES, der ehemalige Rezensent dieser Übersetzung, gab mir bei dieser Gelegenheit mehrere wertvolle Ratschläge, die ich im vorliegenden Buche verwenden konnte. Außerdem bin ich den Professoren N. K . BARI, D. K . FADDEJEFF und vornehmlich G. M. FICHTENHOLZ für zahl-

reiche Ratschläge und Hinweise sehr verpflichtet. Ihnen allen spreche ich hiermit meinen aufrichtigen Dank aus. 3. Dezember 1949

J . NATANSON

Inhaltsverzeichnis K a p i t e l I. U n e n d l i c h e Mengen § 1. Mengenoperationen § 2. Eineindeutige Zuordnung § 3. Abzählbare Mengen § 4. Die Mächtigkeit des Kontinuums § 5. Vergleich von Mächtigkeiten

1 5 8 13 20

K a p i t e l II. P u n k t m e n g e n § 1. Häufungspunkte § 2. Abgeschlossene Mengen § 3. Innere Punkte und offene Mengen § 4. Abstand und Trennbarkeit § 5. Die Struktur offener und abgeschlossener Mengen § 6. Kondensationspunkte. Die Mächtigkeit abgeschlossener Mengen. . . .

30 33 39 42 46 51

K a p i t e l III. M e ß b a r e Mengen § 1. Das Maß beschränkter offener Mengen § 2. Das Maß beschränkter abgeschlossener Mengen § 3. Äußeres und inneres Maß beschränkter Mengen § 4. Meßbare Mengen § 5. Meßbarkeit und Maß als Bewegungsinvarianten § 0. Klassen meßbarer Mengen § 7. Allgemeine Bemerkungen über das Maßproblem § 8. Der Satz von V I T A L I

57 63 68 72 77 82 87 89

K a p i t e l IV. M e ß b a r e F u n k t i o n e n § 1 . Definition und einfachste Eigenschaften meßbarer Funktionen . . . . § 2. Weitere Eigenschaften meßbarer Funktionen § 3. Folgen meßbarer Funktionen. Konvergenz dem Maß nach § 4. Die Struktur meßbarer Funktionen § 5 . Die W E i E R S T R A S S 8 c h e n Sätze . K a p i t e l V. D a s LEBESGUE-Integral b e s c h r ä n k t e r §1. Definition des LEBESGUE-Integrals § 2. Grundlegende Eigenschaften des Integrals § 3. Grenzübergang unter dem Integralzeichen

95 99 102 109 . 1 1 7

Funktionen

§ 4 . Vergleich des RIEMANN-und des LEBESGUE-Integrals

§ 5. Aufsuchen einer Stammfunktion

K a p i t e l VI. S u m m i e r b a r e F u n k t i o n e n § 1. Das Integral einer nichtnegativen meßbaren Funktion § 2. Summierbare Funktionen mit beliebigem Vorzeichen § 3. Grenzübergang unter dem Integralzeichen

124 130 137 140

146 150 159 166

X

Inhaltsverzeichnis

K a p i t e l VII. Q u a d r a t i s c h s u m m i e r b a r e § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. §6.

Funktionen

Grundlegende Definitionen. Ungleichungen. N o r m Konvergenz im Mittel Orthogonalsysteme Der R a u m l 2 Linear u n a b h ä n g i g e Systeme Die R ä u m e Lp u n d lp

K a p i t e l VIII. F u n k t i o n e n v o n e n d l i c h e r V a r i a t i o n . Integral § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8.

181 184 193 204 213 218 Das

STIELTJES-

Monotone F u n k t i o n e n Abbildung v o n Mengen, Differentiation einer monotonen F u n k t i o n F u n k t i o n e n von endlicher Variation Das HELLYsche Auswahlprinzip Stetige F u n k t i o n e n von endlicher Variation D a s STiELTjES-Integral Grenzübergang u n t e r d e m STiELTjES-Integral Lineare F u n k t i o n a l e

K a p i t e l IX. A b s o l u t s t e t i g e F u n k t i o n e n . D a s

227 . . 230 241 247 250 255 261 266

unbestimmte

LEBESGUE-Integral

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7.

Absolut stetige F u n k t i o n e n Differentialeigenschaften der absolut stetigen F u n k t i o n e n Stetige Abbildungen D a s u n b e s t i m m t e LEBESGUE-Integral E i n f ü h r u n g einer neuen Veränderlichen im LEBESGUE-Integral . . . . P u n k t e größter Dichte, a p p r o x i m a t i v e Stetigkeit Ergänzungen zur Theorie der F u n k t i o n e n von endlicher Variation u n d zur Theorie des STiELTjES-Integrals § 8. Berechnung einer S t a m m f u n k t i o n

K a p i t e l X. S i n g u l a r e I n t e g r a l e . T r i g o n o m e t r i s c h e Konvexe Funktionen

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5.

297 301

Reihen.

§ 1. Fragestellung § 2. Darstellung einer F u n k t i o n in einem gegebenen P u n k t durch ein singulares Integral § 3. A n w e n d u n g auf die Theorie der FouRiER-Reihen § 4 . Weitere Eigenschaften der trigonometrischen Reihen u n d der F O U R I E R Reihen § 5. ScHWARZsche Ableitungen u n d konvexe F u n k t i o n e n § 6. Eindeutigkeit der E n t w i c k l u n g einer F u n k t i o n in eine trigonometrische Reihe K a p i t e l XI. P u n k t m e n g e n im z w e i d i m e n s i o n a l e n

270 273 275 280 290 294

309 314 319 328 336 348

Raum

Abgeschlossene Mengen 360 Offene Mengen 362 Maßtheorie ebener Mengen 366 Meßbarkeit u n d Maß als Bewegungsinvarianten 374 Der Z u s a m m e n h a n g zwischen d e m Maß einer ebenen Menge u n d dem Maß ihrer Schnitte 380

I nhaltsverzeichnis Kapitel XII. Meßbare Funktionen ihre I n t e g r a t i o n §1. § 2. § 3. § 4.

XI

mehrerer Veränderlichen

lind

Meßbare Funktionen. Erweiterung stetiger Funktionen Das LEBESGUE-Integral und seine geometrische Bedeutung Der Satz von F U B I N I Änderung der Reihenfolge der Integrationen

Kapitel XIII. Mengenfunktionen Integrationstheorie

und

ihre Anwendungen

385 389 392 397 in

der

tj 1. Absolut stetige Mengenfunktionen § 2. Das unbestimmte Integral und seine Differentiation § 3. Verallgemeinerung der bisherigen Ergebnisse Kapitel XIV. Transfinite §1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7.

Zahlen

Geordnete Mengen. Ordnungstypen Wohlgeordnete Mengen Ordnungszahlen Transfinite Induktion Die zweite Zahlklasse Die Alephs Das Axiom und der Satz von Z E R M E L O

K a p i t e l XV. Die § 1. § 2. § 3. § 4.

BAiREsche

415 421 424 427 428 431 434

Klassifikation

Die BAiREschen Klassen Die BAiREschen Klassen sind nicht Die Funktionen der ersten Klasse Halbstetige Funktionen

438 444 451 462

leer

K a p i t e l X V I . E i n i g e V e r a l l g e m e i n e r u n g e n des ~§1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10.

LEBESGUE-Integrals

Einführung Definition des PERRON-Integrals Grundeigenschaften des PERRON-Integrals Das unbestimmte PERRON-Integral Vergleich des PERRON-Integrale mit dem LEBESGUE-Integral Eine abstrakte Integraldefinition und ihre Verallgemeinerung Das DENjoy-Integral im engeren Sinne Der Satz von H . H A K E Der Satz von P . S. A L E X A N D R O W und H. LOOMAN Das DENJOY-Integral im weiteren Sinne

K a p i t e l XVII. Funktionen bereichen §1. § 2. § 3. § 4. " § 5. § 6.

401 408 410

mit

nicht

beschränkten

. . . .

471 472 474 477 480 484 491 494 501 506

Definitions-

Das Maß einer nicht beschränkten Menge Meßbare Funktionen Integrale über nicht beschränkte Mengen Quadratisch summierbare Funktionen Funktionen von endlicher Variation. STIELTJES-Integrale Unbestimmte Integrale und absolut stetige Mengenfunktionen

. . . .

510 512 513 515 516 520

XII

Inhaltsverzeichnis

K a p i t e l XVIII. Aus der F u n k t i o n a l a n a l y s i s § 1. § 2. § 3. § 4.

Metrische und insbesondere lineare normierte Räume Kompaktheit Kriterien für die Kompaktheit von Mengen in einigen Räumen . . . . Der BAN'ACHsche Fixpunktsatz und einige Anwendungen

523 530 536 553

A nhang I. Die Länge eines Kurvenbogens II.

Ein Beispiel von

STEINHAUS

III. Einige Zusatzbemerkungen über konvexe Funktionen

505 569

570

Literaturverzeichnis

577

Namenregister

584

Sachregister

585

KAPITEL I

UNENDLICHE MENGEN § 1. Mengenoperationen Grundlage der Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen ist die „Mengenlehre". Diese Disziplin h a t eine verhältnismäßig kurze Geschichte: Die ersten ernsthaften, auf G. CANTOR zurückgehenden Arbeiten auf diesem Gebiet erschienen gegen Ende des vergangenen Jahrhunderts. Dennoch stellt die Mengenlehre heute einen beträchtlichen Teil der Mathematik dar. F ü r unser Lehrbuch ist sie jedoch n u r ein Hilfsmittel; daher beschränken wir uns auf die Elemente dieser Disziplin und verweisen den Leser, der seine Kenntnisse auf dem Gebiet der Mengenlehre vertiefen will, auf die Werke von P. S. A l e x a n d r o w und F. H a u s d o r f f . 1 ) Der Mengenbegriff ist einer der grundlegenden mathematischen Begriffe u n d läßt keine präzise Definition zu. Deshalb beschränken wir uns auf eine Beschreibung. Als Menge wird eine Gesamtheit bezeichnet, in der alle Objekte mit gemeinsamem Merkmal zusammengefaßt sind. So k a n n m a n von der Menge aller natürlichen Zahlen, der Menge aller P u n k t e einer Geraden, der Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten usw. sprechen. Wenn wir von einer Menge sprechen, so nehmen wir an, daß bezüglich eines jeden Objektes genau eine der beiden folgenden Aussagen besteht: Entweder gehört dieses Objekt als Element zur Menge oder nicht. Ist A irgendeine Menge, x ein Objekt, so wird die Zugehörigkeit von x zu A beschrieben durch x € A. Wenn x nicht zu A gehört, so wird dies ausgedrückt durch x e A. Ist z. B. R die Menge aller rationalen Zahlen, so ist 1/21R. Eine Menge ist nie Element von sich selbst. ATA. ') Andere Werke über Mengenlehre siehe im Literatlirverzeichnis (Anmerkung des Übersetzers). 1

N a t a n s o n , Beeile Funktionen

2

Unendliche Mengen

[Kap. I

Um zu allgemeinen und einfachen Formulierungen zu kommen, ist es zweckmäßig, die sogenannte „leere Menge" einzuführen. Diese enthält überhaupt kein Element. Ein Beispiel dafür ist die Menge der reellen Wurzeln der Gleichung x2 + 1 = 0 . Die leere Menge wird durch das Symbol 0 bezeichnet. Dabei entsteht im weiteren nicht die Gefahr der Verwechslung mit der Zahl „Null"; denn aus dem Zusammenhang wird klar sein, worum es sich handelt. Neben der leeren Menge haben wir uns mit ,,einelementigen" Mengen zu befassen, d. h. mit Mengen, die nur aus einem Element bestehen. Z. B. enthält die Menge der Wurzeln der Gleichung 2x - 6 = 0 als einziges Element die Zahl 3. Man muß sich davor hüten, eine einelementige Menge mit ihrem einzigen Element zu verwechseln. Werden die Elemente einer Menge A allgemein mit x bezeichnet, so schreibt man bisweilen A = {*}• Wenn es möglich ist, alle Elemente einer Menge anzugeben, so schreiben wir sie nacheinander auf und umschließen sie mit geschweiften Klammern, z. B. A = {a, b, c, d}. Definition 1 : A und B seien zwei Mengen. Wenn jedes Element von A auch Element von B ist, so heißt A Teil- oder Untermenge der Menge B, in Zeichen A czB,

B=> A.

Eine derartige Relation bezeichnet man als Inklusion. Bezeichnen wir mit N die Menge aller natürlichen, mit R die Menge aller rationalen Zahlen, so gilt N cz R. Offenbar ist jede Menge Teilmenge von sich selbst: A