Schriften zur Syllogistik: Zweisprachige Ausgabe 9783787336173, 9783787336166

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Philosophische Bibliothek

Gottfried Wilhelm Leibniz Schriften zur Syllogistik Lateinisch – Deutsch

Meiner

Gottfried Wilhelm Leibniz

Schriften zur Syllogistik

Herausgegeben, übersetzt und mit Kommentaren versehen von Wolfgang Lenzen

Lateinisch–Deutsch

FELI X M EI N ER V ER LAG H A M BU RG

PHILOSOPHISCHE BIBLIOTHEK BAND 712

Bibliographische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliographische Daten sind im Internet über ‹htt p://portal.dnb.de› abrufbar. ISBN 978-3-7873-3616-6 ISBN eBook: 978-3-7873-3617-3

Gedruckt mit Unterstützung des Förderungsfonds Wissenschaft der VG WORT © Felix Meiner Verlag Hamburg 2019. Alle Rechte vorbehalten. Dies gilt auch für Vervielfältigungen, Übertragungen, Mikroverfi lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen, soweit es nicht §§53 und 54 UrhG ausdrücklich gestatten. Satz: Type & Buch Kusel, Hamburg. Druck und Bindung: Strauss, Mörlenbach. Werkdruck papier: alterungsbeständig nach ANSI-Norm resp. DIN-ISO 9706, hergestellt aus 100% chlorfrei gebleichtem Zellstoff. Printed in Germany. www.meiner.de

INHALT

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Leseanweisung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

1. kapitel 1 Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik . . . . . . . . . . . . 1.1 Traditionelle Syllogistik* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Extension und Intension*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Die Algebra der Begriffe (L1)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Die Logik »unbestimmter Begriffe« (L2)** . . . . . . . 1.5 Zur Einbettung der Syllogistik in die allgemeine Begriffslogik** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 16 21 35 47

2. kapitel 2 »Einfache« Schlussprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Einleitung* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Aus der „Dissertatio de Arte Combinatoria“ 2.2.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 „Conversio logica“ 2.3.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 „De Negatione“ 2.4.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 58 59 66 80 81 86 94 95 98

VI

Inhalt

2.5 Aus „Ad Vossii Aristarchum“ 2.5.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 „Difficultates quaedam logicae“ 2.6.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Kommentar** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104 105 112 122 123 146

3. kapitel 3 Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen« . . . . . . 3.1 Einleitung* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Aus „Elementa Characteristicae Universalis“ 3.2.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 „Elementa Calculi“ 3.3.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aus „Calculus consequentiarum“ . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Aus „Regulae ex quibus de bonitate … judicari potest“ 3.5.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Essay No. 7 3.6.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Kommentar***. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Schlussbemerkung*/** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173 173 178 179 184 186 187 218 226 227 242

250 251 276 282 283 294 315

Inhalt

VII

4. kapitel 4 Zu den Linien- und Kreisdiagrammen . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Einleitung* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Scheda 6 alias „Elementa de continente et contento“ 4.2.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 „Essais de schèmes linéaires“ 4.3.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Aus „De formae logicae comprobatione“ 4.4.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Aus „Schedae de novis formis syllogisticis“ 4.5.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Kommentar** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

332 332

334 335 346 354 355 366 374 375 406 428 429 444

5. kapitel 5 Zur Axiomatisierung der Syllogistik . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Einleitung* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 „De formis syllogismorum mathematice defi niendis“ 5.2.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Aus „Schedae de novis formis syllogisticis“ 5.3.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

456 456 458 459 480 486 487 492

VIII

Inhalt

5.4 Aus „De formae logicae comprobatione …“ 5.4.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 5.4.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 5.4.3 Kommentar* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

6. kapitel 6 Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik . . . . . . . . 6.1 Einleitung* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Aus „De formae logicae comprobatione“ 6.2.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Kommentar** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Die Kalküle vom August 1690 6.3.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Kommentar** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 „Mathesis rationis“ 6.4.1 Lateinischer Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Deutscher Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Kommentar** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

510 510 512 513 546 566 567 592 604 605 650

verzeichnisse Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 Personenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

VORWORT

Aller guten Dinge sind drei! Im Jahre 1982 erschien als Band 338 der „Philosophischen Bibliothek“ Leibniz’ wohl wichtigste Abhandlung zur Logik, die Generales Inquisitiones de Analysi Notionum et Veritatum bzw. auf Deutsch: Allgemeine Untersuchungen über die Analyse der Begriffe und Wahrheiten, herausgegeben, übersetzt und mit einem Kommentar versehen von Franz Schupp. Achtzehn Jahre später folgte als Band 525 der „Philosophischen Bibliothek“, wiederum von Franz Schupp herausgegeben, übersetzt und mit einem Kommentar versehen, Die Grundlagen des logischen Kalküls. Dieser Sammelband enthielt außer dem titelgebenden Essay „Fundamenta calculi logici“ neun weitere Texte, in denen Leibniz seine Vision einer neuen, über die traditionelle Syllogistik weit hinausreichenden Logik skizzierte und hierfür verschiedene Probestücke bzw. „Specimina“ ablieferte. Nunmehr, wiederum achtzehn Jahre später, erscheinen als Band 712 der „Philosophischen Bibliothek“ die von mir herausgegebenen, übersetzten und mit Kommentaren versehenen Schriften zur Syllogistik. Die drei Bände ergänzen sich fast ohne Überschneidungen und decken praktisch das gesamte Spektrum seines logischen Schrifttums ab. Mit dem Erscheinen dieses Bandes wird noch eine andere Trilogie vollendet. Im Jahre 1990 hatte ich mit Das System der Leibnizschen Logik eine erste Monographie zu diesem Themenbereich veröffentlicht. Vierzehn Jahre später ließ ich unter dem Titel Calculus Universalis einen zweiten Band mit „Studien zur Logik von G. W. Leibniz“ folgen. Nun, wiederum vierzehn Jahre später, wende ich mich dem gleichen Thema ein drittes Mal zu. Ein solches Vorgehen verlangt nach einer Erklärung, zumal ich bereits anlässlich der Veröffentlichung des zweiten Werks zugestanden hatte, dass es überzeugender Gründe bedarf, wenn ein Autor „sich entschließt, ein gutes Jahrzehnt nach dem Erscheinen einer Monographie keine Neuauflage des alten, sondern ein

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Wolfgang Lenzen

komplett neues Werk zum selben Thema zu veröffentlichen“.1 Diese Gründe sind nicht inhaltlicher Natur, sondern betreffen »nur« die Frage der didaktisch optimalen Präsentation. Tatsächlich haben sich meine Ansichten über den Aufbau und Gehalt des Systems der Leibnizschen Logik seit nunmehr 35 Jahren praktisch keinen Deut verändert. Nach wie vor bin ich der Auffassung, dass Leibniz ganz allgemein „der bedeutendste Logiker zwischen Aristoteles und Frege“ ist und dass seine „Ideen zur Logik seiner Zeit so weit voraus“ waren, dass sie noch Anfang des 20. Jahrhunderts „fast zwangsläufig unverstanden bleiben mussten“.2 Außerdem ich bin im Besonderen immer noch fest davon überzeugt, – dass die vor allem in den „Generales Inquisitiones“ entwickelte »intensionale« Algebra der Begriffe, L1, isomorph ist zur gewöhnlichen extensionalen Mengenalgebra; und – dass die Theorie der »unbestimmten Begriffe« als eine Qu antorenlogik, L2, rekonstruiert werden muss, in der sich Individualbegriffe als maximal-konsistente Begriffe defi nieren lassen.

Für diese (und einige darüber hinausreichende) Thesen wurde in meinen Büchern auf unterschiedliche Weise argumentiert. Der hauptsächliche formale Unterschied besteht darin, dass es sich beim System der Leibnizschen Logik um eine kompakte Monographie handelte, in der auf eine Auseinandersetzung mit der Sekundärliteratur vollständig verzichtet wurde. Dagegen enthalten die in Calculus Universalis gesammelten Aufsätze akademische Kontroversen über Spezialthemen der Leibnizschen Logik. Inhaltlich versuchte ich die Unterschiede zwischen beiden Büchern durch eine Metapher wie folgt zu erläutern: Während im System nur die aus vielen Bruchstücken zusammengesetzte, gereinigte und polierte Statue präsentiert wurde, beschreibt Calculus Universalis auch den Steinbruch, aus dem das 1 Lenzen 2 Lenzen

(2004), S.5. (1983a), S.418/419.

Vorwort

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Rohmaterial stammt, und dokumentiert so die mühselige Arbeit, die der Bildhauer und der Restaurateur mit dem Kunstwerk hatten.3

Mit Leibniz’ Schriften zur Syllogistik soll nun, um im Bild der Metapher zu bleiben, der Leser selber den Steinbruch betreten, die originalen Blöcke mit ihren Ecken und Kanten von allen Seiten begutachten, um sich dann – unterstützt durch meine Kommentare – ein eigenständiges Bild davon zu machen, wie die „wahre Logick“ ausschaut, von der Leibniz in einem Brief an G. Wagner wie folgt schwärmte: Daß aber diese Vernunfft Kunst noch unvergleichlich höher zu bringen, halte ich vor gewiß, und glaube es zu sehen, auch einigen Vorschmack davon zu haben, dazu ich aber ohne die Mathematick wohl schwehrlich kommen wäre. […] Was nun meines ermeßens darinn zu leisten müglich, ist von solchem begriff, daß ich mir nicht getraue ohne würckliche Proben gnugsamen glauben zu fi nden.4

Etwas prosaischer formuliert besteht das Ziel des vorliegenden Bandes darin, auf dem Hintergrund der Originalschriften ausführlich und detailliert zu schildern, wie es Leibniz gelang, aus den zarten Wurzeln der traditionellen Syllogistik eine so fortschritt liche und leistungsstarke Logik wie L1 und L2 zu entwickeln. Dazu werden – im Anschluss an eine inhaltliche Einführung in Kap. 1 – die wichtigsten Schriften in der lateinischen Fassung mit deutscher Übersetzung vorgestellt und kritisch erörtert. In Kap. 2 betrachten wir kleinere Fragmente zu den sog. »einfachen« Gesetzen der Opposition, Subalternation, Konversion und Obversion. Kap. 3 behandelt die Arbeiten aus dem April 1679 zur Semantik der sog. »charakteristischen Zahlen«. Kap. 4 beschäftigt sich mit Leibniz’ Linien- und Kreisdiagrammen, die es gestatten, die Gültigkeit beliebiger Syllogis3 Lenzen 4 GP

(2004), S.5. 7, S.522.

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men zu bestätigen oder zu widerlegen. In Kap. 5 wird Leibniz’ »axiomatische« Reduktion der Gesamtheit der syllogistischen Schlüsse auf wenige fundamentale Prinzipien betrachtet. Das abschließende Kap. 6 widmet sich Leibniz’ vielfältigen Bemühungen, die Gesetze der traditionellen Syllogistik in seinem begriffslogischen System L1/L2 »identitätslogisch« zu beweisen. Mein Dank gilt dem Meiner-Verlag, namentlich Herrn Horst Brandt und Herrn Marcel Simon-Gadhof, die mich ermutigt haben, das bereits vor meiner Pensionierung in Angriff genommene, wegen außerakademischer Interessen 5 aber mehrere Jahre liegen gebliebene Buchprojekt wieder aufzugreifen, und die ihm dafür einen Platz in der „Philosophischen Bibliothek“ reserviert hielten. Ein weiterer Dank gilt dem Leibniz-Archiv, Hannover, sowie der Leibniz-Forschungsstelle, Münster, die mir die Editionsarbeit durch das Überlassen von Mikrofi lmen bzw. hochauflösenden Scans der Handschriften sehr erleichtert haben. Ein letzter, besonders herzlicher Dank gilt den Kollegen und Freunden Georg Meggle und Rainer Trapp, die die Mühe auf sich genommen haben, das umgangreiche »Manuskript« auf Verständlichkeit und Fehlerfreiheit gegenzulesen. Osnabrück, im Dezember 2018

5 Vgl.

Lenzen (2016).

Wolfgang Lenzen

LESEANWEISUNG

Dem Leser wird dringend die Lektüre von Kap. 1 angeraten, das eine umfassende Einführung in die traditionelle Syllogistik und in die Leibnizsche Begriffslogik bietet. Danach können die in den Kap. 2–6 behandelten Themen relativ unabhängig voneinander studiert werden. Vom Leser werden außerdem Logik-Grundkenntnisse vorausgesetzt, wie sie Studierende in einer einsemestrigen „Einführung in die Logik“ erwerben oder wie man sie sich im Selbststudium z.B. anhand von Kutschera/ Breitkopf (2014) aneignen kann. Die einzelnen Kapitel bzw. Abschnitte weisen unterschiedliche Schwierigkeitsgrade auf, die im Inhaltsverzeichnis durch Kennzeichnungen * leicht ** mittel *** schwierig angezeigt werden. Bei der Edition der Handschriften, speziell bei der Wiedergabe der gestrichenen bzw. geänderten Textvarianten, habe ich mich weitgehend an den Konventionen der Akademieausgabe orientiert, wie sie z.B. in A VI, 4, S.470 erläutert werden. – Inbesondere werden die Varianten durch arabische Ziffern (1), (2), … nummeriert, Untervarianten durch (a), (b), … gegebenenfalls mit weiteren Unterteilungen wie (ba), (bb), etc. – Ferner werden unsichere Lesarten durch spitze Klammern markiert, wobei bzw. einen bzw. mehrere nicht zu entziffernde Ausdrücke anzeigen. – Eckige Klammern weisen darauf hin, dass der jeweilige Ausdruck [xyz] so nicht im Manuskript steht, sondern vom Hrg. ergänzt oder geändert wurde. – Anstelle von senkrechten Strichen |, mit denen die Hrg.

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der Akademieausgabe Abschnitte des Manuskripts begrenzen, werden hier Schrägstriche / verwendet. – Im Gegensatz zur Praxis der Akademieausgabe werden von Leibniz metasprachlich verwendete Ausdrücke nicht kursiv gedruckt, sondern in (einfache) Anführungszeichen eingeschlossen, allerdings nur in solchen Fällen, wo ernsthaft Missverständnisse zu befürchten wären. – Leibniz’ eigene, in der Regel durch Unterstreichen erfolgten Hervorhebungen werden durch Kursivierung wiedergegeben und nicht, wie in der Akademieausgabe, durch S p e r r u n g. Innerhalb der Übersetzungen habe ich mir die Freiheit genommen, gelegentlich Ausdrücke kursiv (und selten auch fett) wiederzugeben, obwohl sie im Original nicht hervorgehoben wurden. Dies soll einerseits dem Leser das Verständnis eventuell mehrdeutiger Textpassagen erleichtern und andererseits eine Übereinstimmung mit den formalen Konventionen garantieren, die in meinen eigenen Beiträgen (d.h. in der Einleitung und in den Kommentaren) gelten. Und zwar verwende ich durchgängig: fette Buchstaben A, E, I, O zur Symbolisierung der kategorischen Satzformen; (ii) kursive Großbuchstaben aus dem Anfang (A, B, C, D) bzw. vom Ende des Alphabets (V, W, X, Y, Z) zur Symbolisierung von bestimmten bzw. »unbestimmten« Begriffen; (iii) Auch die traditionellen Namen der syllogistischen Modi (Barbara, Celarent, etc.) werden überall kursiviert. (iv) Die mnemotechnisch gewählten »Namen« von zentralen logischen Formeln (z.B. Konv 1 für das erste Konversionsgesetz) werden stets in Kapitälchen gesetzt. (i)

1. K APITEL

1 Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

1.1 Die traditionelle Syllogistik Aus heutiger Perspektive handelt es sich bei der von Aristoteles begründeten Syllogistik um eine relativ triviale Theorie, da sie sich als ein kleiner Ausschnitt der monadischen Prädikatenlogik rekonstruieren lässt.1 Ihre Grundelemente sind die vier kategorischen Satzformen, die in der Terminologie des 17. Jahrhunderts wie folgt formuliert werden: Omne B est C Nullum B est C Quoddam B est C Quoddam B non est C.

Dabei stehen die Symbole B, C, etc. für einstellige Prädikate bzw. Begriffe wie ,(ist ein) Mensch‘, ,(ist) gelehrt‘, ,(ist ein) Lebewesen‘, usw.2 Die ersten beiden Satzformen sind universeller, die beiden letzten partikulärer Natur. Die erste und dritte haben bejahenden bzw. affirmativen, die zweite und vierte verneinenden oder negativen Charakter. Im Einklang mit der Tradition sprechen wir von der universell affirmativen, der universell negativen, der partikulär affirmativen und der partikulär negativen Aussage und kürzen dies wie üblich durch UA, UN, PA und PN ab. 1 ,Monadisch‘

hat nichts mit den berühmten Leibnizschen Monaden zu tun, sondern bedeutet einfach ,einstellig‘. 2 Wie dieser Satz illustriert, verwende ich einfache Anführungszeichen, um in metasprachlicher Weise über den angeführten Ausdruck zu reden. Doppelte Anführungszeichen werden hauptsächlich für Zitate benutzt. Darüber hinaus verwende ich sog. »französische« Anführungszeichen, um anzudeuten, dass der fragliche Ausdruck in einer ungewöhnlichen (etwas seltsamen oder »schiefen«) Bedeutung gebraucht wird.

4

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

In der Literatur werden die Satzformen häufig mittels der Vokale A, E, I und O symbolisiert, z.B. die UA durch Formeln wie A(B,C), BaC, BCa, usw. Hier benutzen wir fette Großbuchstaben A, E, I, O, die den Begriffen als Operatoren vorangestellt werden. Die Bedeutung der normierten Satzformen A(B,C), E(B,C), I(B,C) und O(B,C) lässt sich mit den Mitteln der modernen Prädikatenlogik 3 wie folgt präzisieren: A (B ,C ) E (B ,C ) I(B ,C ) O (B ,C )

= = = =

∀x (B (x ) ∀x (B (x ) ∃x (B (x ) ∃x (B (x )

⊃ C (x )) ⊃ ¬C (x )) 4 ∧ C (x )) ∧ ¬C (x )).

Dabei symbolisiert ∀x den Allquantor ,für alle x‘, ∃x entsprechend den Existenzquantor ,für (mindestens) ein x‘. Darüber hinaus verwenden wir die satzlogischen Junktoren ¬ für die Negation ,nicht‘; ∧ für die Konjunktion ,und‘; ∨ für die Disjunktion ,oder‘ und ⊃ als Zeichen für die sog. materiale Implikation, die cum grano salis als ,wenn, dann‘ verstanden werden kann. Die strikte oder logische Implikation wird hingegen durch → symbolisiert. Allerdings erweist sich die Unterscheidung zwischen materialer und strikter Implikation innerhalb der Leibnizschen Logik als gar nicht sonderlich wichtig. Leider ist es nicht ganz einfach, die lateinischen Satzformen inhaltlich klar und idiomatisch ins Deutsche zu übertragen. Zwar lässt sich der Gehalt der UA, ,Omne B est C‘, meist adäquat durch ,Jedes B ist ein C‘ oder ,Alle B sind C‘ wiedergeben; gelegentlich erscheint aber auch die Formulierung ,Das ganze B ist C‘ angemessen. Die Normalfassung der UN, ,Nullum B est C‘, darf unproblematisch durch ,Kein B ist C‘ bzw. ,Kein B ist ein C‘ verdeutscht werden. Manchmal wird die UN aber durch ,Omne B non est C‘ ausgedrückt, und die wörtliche Übersetzung hiervon, also ,Jedes B ist nicht (ein) C‘, wäre mehrdeu3 Für

eine Einführung in die Grundgesetze der Aussagen- und Prädikatenlogik vgl. etwa Kutschera/Breitkopf (2014). 4 Bzw. damit logisch äquivalent: ¬∃x(B(x) ∧ C(x)).

Die traditionelle Syllogistik

5

tig, insofern der Ausdruck auch als Verneinung der UA, also als ,Nicht jedes B ist (ein) C‘, verstanden werden könnte. Der Ausdruck ,quoddam‘ wird in manchen Lehrbüchern durch ,ein gewisser‘ übersetzt, in anderen durch ,einige‘ oder durch ,manche‘. Wir verwenden den Ausdruck ,ein‘, der allerdings bei drohenden Missverständnissen zu ,(mindestens) ein‘ präzisiert werden kann. Gelegentlich bietet es sich auch an, die PA ,Quoddam B est C‘ mengentheoretisch als ,Ein Teil von B ist C‘ zu paraphrasieren. Schließlich könnte man die PN ,Quoddam B non est C‘ nicht nur durch ,Ein B ist nicht ein C‘, sondern idiomatischer durch ,Ein B ist kein C‘ wiedergeben. Um keine Konfusionen zu provozieren, legen wir im Allgemeinen folgende Normalformen zugrunde: A (B ,C ) E (B ,C ) I(B ,C ) O (B ,C )

= = = =

Jedes B ist ein C Kein B ist ein C Ein B ist ein C Ein B ist nicht ein C .

Die logischen Beziehungen zwischen den Satzformen werden oft durch das sog. Logische Quadrat illustriert: A ( F,G)

konträr

E ( F,G)

folgend

kontradiktorisch

folgend

I( F,G)

s u b konträr

O ( F,G)

Ihm zufolge verhalten sich die universellen Satzformen A(F,G) und E(F,G) konträr zueinander, d.h. sie können auf keinen Fall zusammen wahr, wohl aber zusammen falsch sein.5 Durch die 5 Vgl.

Band 4, Reihe VI der Akamieausgabe der Leibnizschen Schrif-

6

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

diagonalen Pfeile wird angezeigt, dass UA und PN einerseits sowie UN und PA andererseits kontradiktorisch entgegengesetzt sind, d.h. dass der eine Satz die Negation des jeweils anderen darstellt. In der Terminologie der modernen Logik nehmen diese Gesetze der Opposition folgende Gestalt an, wobei ein Doppelpfeil ↔ eine beidseitige logische Implikation, d.h. eine logische Äquivalenz symbolisiert: Opp 1 Opp 2

¬A (B ,C ) ↔ O (B ,C ) ¬E (B ,C ) ↔ I(B ,C ). 6

Die äußeren, vertikalen Pfeile des Logischen Quadrats signalisieren, dass gemäß dem Prinzip der Subalternation aus einer (affi rmativen oder negativen) universellen Aussage die jeweilige partikuläre folgt: Sub 1 Sub 2

A (B ,C ) → I(B ,C ) E (B ,C ) → O (B ,C ).

Die Relation zwischen den partikulären Satzformen I(B,C) und O(B,C) wird als subkonträr bezeichnet, was bedeutet, dass sie auf keinen Fall zusammen falsch, wohl aber zusammen wahr sein können.7 Ein weiterer wichtiger Baustein der traditionellen Syllogistik, der im Logischen Quadrat nicht dargestellt werden kann, besteht in der Lehre der Konversion. Hier geht es darum zu klären, unter welchen Voraussetzungen man die Reihenfolge der ten (kurz A VI, 4), S.248: „Theor. 6 Universalis Affi rmativa et Universalis Negativa sibi opponuntur contrarie […] Non possunt simul esse verae […] Possunt tamen simul esse falsae“. 6 Vgl. A VI 4, 244-245: „Theorem. 1 Hinc Universalis Affi rmativa et particularis negativa contradictorie sibi opponuntur adeoque nec simul verae sunt, nec simul falsae. […] Theorem. 3 Propositio universalis negativa et particularis affi rmativa sibi contradictorie opponuntur (ita, ut non possint esse simul verae aut simul falsae).“ 7 Vgl. A VI, 4, 248: „Theorema 7. Particularis affi rmativa et particularis negativa sibi opponuntur subcontrarie, seu possunt esse simul verae, non tamen simul falsae.“

Die traditionelle Syllogistik

7

Begriffe B, C innerhalb einer Satzform umkehren darf. Die partikulär affi rmative ebenso wie die universell negative Aussage gestattet offenbar eine einfache Konversion („conversio simplex“) im Sinne von: Konv 1 Konv 2

E (B ,C ) ↔ E (C , B ) I(B ,C ) ↔ I(C , B ). 8

Denn wenn ein B ein C ist, dann ist auch umgekehrt ein C ein B; wenn hingegen kein B ein C ist, dann ist auch kein C ein B. Eine solch einfache Konversion ist bei den übrigen Satzformen nicht möglich. Aus ,Jedes B ist ein C‘ folgt keineswegs generell, dass jedes C ein B wäre. Die universell affi rmative Aussage kann allenfalls – wie es in der Tradition heißt – »akzidentell« („per accidens“)9, d.h. bei gleichzeitiger Abschwächung der Quantität von einer universellen zu einer partikulären Aussage, konvertiert werden: Konv 3

A (B ,C ) → I(C , B ).

Wie man leicht sieht, ist dieses Gesetz eigentlich überflüssig, denn aus A(B,C) folgt wegen Sub 1 I(B,C) und hieraus gemäß Konv 2 I(C,B). Die akzidentelle Konversion der UA ist also ein Korollar der Subalternation in Konjunktion mit der »echten« Konversion der PA. Nach traditioneller Auffassung gestattet die partikulär negative Aussage keinerlei Konversion.10 Dies ist sicher richtig in dem Sinne, dass aus ,(Mindestens) Ein B ist nicht ein C‘ nicht allgemein gefolgert werden kann, dass umgekehrt ,(Mindes 8 Angesichts

von Opp 2 folgt Konv 2 logisch aus Konv 1, denn wenn zwei Aussagen logisch äquivalent sind, so auch deren Negationen. Im Übrigen hätte es ausgereicht, Konv 1 als einseitige Implikation E(B,C) → E(C,B) zu formulieren, denn gemäß demselben Prinzip folgt umgekehrt aus E(C,B) auch E(B,C). Analoges gilt für die Konversion der PA.  9 Die Konventionen bezüglich der Verwendung der unterschiedlichen Anführungszeichen wurden in Fußnote 2 erklärt! 10 Vgl. Leibniz’ knappe Bemerkung: „Conversio neutra (vi formae) in particulari negativa locum habet“ (A VI, 4, 249).

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Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

tens) Ein C ist nicht ein B‘ gilt. Allerdings kann man die konverse PN aus der stärkeren Prämisse einer universell negativen Aussage ableiten. Als Korollar von Konv 1 und Sub 2 gewinnt man nämlich aus E(B,C) via E(C,B) unmittelbar O(C,B): Konv 4

E (B ,C ) → O (C , B ).

Dieses Gesetz ist jedoch ebenso »überflüssig« wie Konv 3 und drückt keine eigentliche Konversion der PN, sondern eine »akzidentelle Konversion« der UN aus. Im Rahmen der sog. Scholastischen Syllogistik zieht man auch negative Begriffe (non-B, non-C, …) in Betracht. Zur Unterscheidung von der Satznegation ¬ soll die Negation eines Begriffs hier mittels des Operators ~ symbolisiert werden. Ebenso wie eine doppelt verneinte Aussage ¬ ¬α mit der unverneinten Aussage α logisch äquivalent ist, beinhaltet auch ein doppelt negierter Begriff nichts anderes als der unnegierte. Das entsprechende Gesetz der Doppelten Verneinung („duplex negatio affi rmat“) Neg 1

~ ~B = B

wird freilich in der Tradition selten explizit erwähnt, sondern bei einschlägigen Beweisen meist stillschweigend vorausgesetzt. Als »offi zielles« Gesetz der Scholastischen Syllogistik zählt hingegen das Prinzip der Kontraposition: Kontra 1 A (B ,C ) → A (~ C ,~B ),

das als weiteres Gesetz der Konversion („conversio per contrapositionem“) betrachtet werden kann. Dabei ist das begriffslogische Prinzip der Kontraposition einem aussagenlogischen Gesetz nachgebildet, das den Übergang von (β → γ) zur konversen Implikation (¬γ → ¬β) gestattet: Wenn aus β logisch γ folgt, so folgt umgekehrt aus der Falschheit von γ die Falschheit von β.11 11 Nicht nur die strikte, sondern auch die materiale Implikation gehorcht

dem Prinzip der Kontraposition, d.h. (β  ⊃  γ) ist mit (¬γ  ⊃  ¬β) logisch äquivalent.

Die traditionelle Syllogistik

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Angesichts des Gesetzes der doppelten Verneinung lässt sich das Prinzip Kontra 1 umkehren und damit zu einer Äquivalenz verstärken. Denn aus der Voraussetzung A(~C,~B) folgt (durch Substitution von ~C für B und von ~B für C) die Konklusion A(~~B,~~C), die sich gemäß Neg 1 zu A(B,C) vereinfachen lässt. Wegen der Äquivalenz von A(B,C) und A(~C,~B) sind dann aber auch deren Negationen äquivalent, d.h. man erhält für die partikulär negative Aussage ein analoges Prinzip der Konversion durch Kontraposition: Kontra 2 O (B ,C ) ↔ O (~ C ,~B ).

Als weiteres wichtiges Prinzip der Scholastischen Syllogistik bleibt das Gesetz der Obversion12 zu erwähnen, dem zufolge man von einer negativen Aussage (sei es einer universellen, sei es einer partikulären) zu der entsprechenden affirmativen übergehen kann, sofern man den ursprünglichen Prädikatbegriff, C, durch die Negation, ~C, ersetzt: Obv 1 Obv 2

E (B ,C ) ↔ A (B ,~ C ) 13 O (B ,C ) ↔ I(B ,~ C ).

Angesichts von Neg 1 ergibt sich als Korollar, dass auch eine affirmative Aussage (egal, ob universell oder partikulär) mit der entsprechenden negativen Aussage mit negiertem Prädikat äquivalent ist: Obv 3 12 Vgl.

A (B ,C ) ↔ E (B ,~ C ) 14

den Abschnitt „The Principles of Contraposition and Obversion“ im Eintrag „The Traditional Square of Opposition“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (htt p://plato.stanford.edu/). 13 Vgl. Leibniz’ Bemerkung: „Propositio Universalis negativa: Nullum B est C: reducetur ad hanc universalem affi rmativam: Omne B est non-C“ (A VI, 4, 126; die von Leibniz benutzten Kleinbuchstaben b, c wurden zur Vereinheitlichung durch Großbuchstaben ersetzt). 14 Die simple Ableitung etwa von Obv 3 aus Obv 1 läuft so: Substituiert man in Obv 1 für C ~C, so wird E(B,~C) mit A(B,~~C) äquivalent, also gemäß Neg 1 mit A(B,C). Genau so simpel fällt die Ableitung von Obv 4 aus Obv 2 aus. Weniger trivial hingegen ist die Tatsache, dass sich unter Voraussetzung von Obv 1 auch das Kontrapositionsgesetz Kontra 1 beweisen lässt.

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Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Obv 4

I(B ,C ) ↔ O (B ,~ C ).

Das wichtige Prinzip Obv 1 nimmt im Rahmen der »informellen« Syllogistik die Gestalt an, dass die UN ,Kein B ist ein C‘ („Nullum B est C“) alternativ als ,Jedes B ist nicht ein C‘ bzw. ,Jedes B ist ein nicht-C‘ („Omne B non est C“ bzw. „Omne B est non C“) formuliert werden kann. Zu erwähnen sind schließlich noch die »identischen« Aussagen ,Jedes B ist ein B‘ und ,(Mindestens) Ein B ist ein B‘: Omne A (B , B ) Quoddam I(B , B )

die dazu benutzt werden können, die Gesetze der Subalternation und der Konversion syllogistisch zu beweisen.15 Unter einem Syllogismus versteht man den Schluss von zwei Prämissen auf eine Konklusion, wobei alle drei Sätze kategorische Satzformen darstellen und in dem Schluss insgesamt (maximal) drei Begriffe vorkommen. Die beiden Begriffe, aus denen die Konklusion gebildet wird, heißen Minor bzw. Major,16 wobei der Minor das Subjekt und der Major das Prädikat dieser Aussage darstellt. Minor- und Majorbegriff bezeichnet man auch als Außenbegriffe. Der dritte Begriff, der sogenannte Medius, kommt in beiden Prämissen vor und wird dort mit dem Minor- bzw. mit dem Major zu einer Satzform verknüpft. Dementsprechend bezeichnet man diese Prämissen als Minor- bzw. Major-Aussage. Im Folgenden sollen die drei Begriffe (in Übereinstimmung mit der Systematik, die Leibniz in seinen reiferen Arbeiten verfolgt hat) so normiert werden: Denn von A(B,C) kann man gemäß Obv 3 zu E(B,~C) übergehen, was sich gemäß Konv 1 zu E(~C,B) konvertieren lässt, woraus schließlich mit Obv 1 das gewünschte A(~C,~B) folgt. 15 Vgl. vor allem die in Kap. 5.2 vorgestellte Arbeit „De formis Syllogismorum …“. Ähnliche Beweise fi nden sich in A VI, 4, 507 und A VI 4, 805. 16 In anderen Lehrbüchern spricht man vom Unterbegriff vs. Oberbegriff. Der Mediusterm heißt entsprechend ,Mittelbegriff ‘.

Die traditionelle Syllogistik

B C D

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Minorbegriff Mediusbegriff Majorbegriff.

Die Konklusion nimmt also immer die Gestalt Q(B,D) an, wobei das „signum“ Q (das die »Qu antität« und die »Qu alität« der Aussage symbolisiert) jeweils als A, E, I oder O zu konkretisieren bleibt. Die Syllogismen lassen sich – je nach Position des Mediusbegriffs innerhalb den Prämissen – in vier verschiedene Klassen oder »Figuren« einteilen. In der Ersten Figur ist der Medius, C, das Subjekt der Major- und das Prädikat der Minoraussage. Bei der Zweiten Figur tritt C in beiden Prämissen als Prädikat auf. In der Dritten Figur hingegen ist C beide Male das Subjekt. In der Vierten Figur schließlich ist C Prädikat der Major- und Subjekt der Minoraussage. Folgt man der Konvention, die Majorprämisse an erste Stelle zu setzen, so lassen sich die vier Figuren also folgendermaßen schematisieren: Majorprämisse Minorprämisse Konklusion Erste Figur

Q1(C,D)

Q2(B,C)

Q3(B,D)

Zweite Figur

Q1(D,C)

Q2(B,C)

Q3(B,D)

Dritte Figur

Q1(C,D)

Q2(C,B)

Q3(B,D)

Vierte Figur

Q1(D,C)

Q2(C,B)

Q3(B,D)

Die einzelnen Syllogismen oder »Modi« entstehen aus diesem Schema dadurch, dass für die Variablen Q1, Q2 und Q3 jeweils konkrete Quantitäts- bzw. Qualitätszeichen A, E, I oder O eingesetzt werden. Pro Figur gibt es rein kombinatorisch 4 *4 *4 = 64 Möglichkeiten, also in allen Figuren zusammen 4 * 64   =  256 mögliche Modi, von denen »üblicherweise« nur 24 als formal gültig angesehen werden. Innerhalb der Ersten Figur sind das vor allem die (gelegentlich als »perfekt« bezeichneten) Modi

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Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Barbara Celarent Darii Ferio

A (C , D ), E (C , D ), A (C , D ), E (C , D ),

A (B ,C ) → A (B , D ) A (B ,C ) → E (B , D ) I(B ,C ) → I(B , D ) I(B ,C ) → O (B , D ).

Die Vokale in den Merknamen symbolisieren die Qualität und Qu alität der Satzformen (in der Reihenfolge: Majorprämisse, Minorprämisse, Konklusion). Ferio kennzeichnet also z.B. den Schluss von einer Majorprämisse des Typs E und einer Minorprämisse des Typs I auf eine Konklusion vom Typ O. Grundsätzlich kann man (bei Kenntnis der zugehörigen Figur und damit der Position der Terme B, C, D) aus den Vokalen des Merknamens den jeweiligen Schluss rekonstruieren. Bei Fesapo der Vierten Figur etwa handelt es sich um den Schluss von E(D,C) und A(C,B) auf O(B,D). Der die gleichen Vokale enthaltende Felapton der Dritten Figur wäre hingegen als E(C,D), A(C,B) → O(B,D) zu rekonstruieren.17 Im Übrigen stecken in den Konsonanten der Merknamen noch weitere Informationen darüber, mit welchen logischen Mitteln man den Syllogismus aus einem Syllogismus der Ersten Figur gewinnen könnte. Dieser systematisch weniger bedeutsame Punkt soll hier nicht weiter betrachtet werden. Die Modi Barbara und Celarent haben als Konklusion jeweils eine universelle Aussage, die sich gemäß den Gesetzen der Subalternation zu einer partikulären abschwächen lässt. Man erhält so die subalternen Modi Barbari A (C , D ), A (B ,C ) → I(B , D ) Celaro E (C , D ), A (B ,C ) → O (B , D ).

In den Figuren II und IV gibt es drei weitere »sekundäre« Modi, die sich mittels der Subalternationsgesetze aus entsprechenden »primären« ableiten lassen.18 Einige Logiker wollten die subal17 »Inhaltlich«

handelt es sich bei beiden Syllogismen jedoch um den gleichen Schluss, denn die formal unterschiedlichen Prämisse E(D,C) und E(C,D) sind angesichts von Konv 2 logisch äquivalent. 18 Vgl. die Unterscheidung in primäre und sekundäre bzw. notwendige

Die traditionelle Syllogistik

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ternen Modi nicht als genuine Syllogismen zulassen und haben deshalb nur 19 gültige Modi anerkannt. Zählt man die »sekundären« Modi jedoch mit, so ergeben sich insgesamt 24 und zwar – wie Leibniz mit Genugtuung bemerkte – in jeder einzelnen Figur gleich viel, nämlich jeweils sechs.19 Ein weiterer Baustein der traditionellen Syllogistik sind gewisse Regeln, mit denen man bestimmte Schlüsse als ungültig nachweisen möchte. Gemäß dem wichtigsten Textbuch des 17. Jahrhunderts, der sog. „Logique de Port Royal“, lauten die beiden ersten Regeln: Syll 1 Syll 2

Der Mediusbegriff darf nicht in beiden Prämissen partikulär sein. Wenn ein Begriff in der Konklusion universell ist, so muss er auch in der entsprechenden Prämisse universell sein.20

Was es dabei heißen soll, dass ein Begriff universell bzw. partikulär ist, wird durch die »Axiome der Quantität und Qualität« erläutert:21 Quan

Der Subjektbegriff einer universellen Aussage ist stets universell; der einer partikulären Aussage hingegen partikulär.

und nicht-notwendige Syllogismen in den „Schedae de Novis formis …“, die in Kap. 5 näher diskutiert wird. 19 Vgl. vor allem die in Kap. 5.2 vorgestellte Arbeit „De Formis Syllogismorum …“. 20 Vgl. Arnauld/Nicole (1683: 183-184): „Le moyen ne peut être pris deux fois particulierement […] Les termes de la conclusion ne peuvent point être pris plus universellement dans la conclusion que dans les prémisses“. 21 Vgl. Arnauld/Nicole (1683: 183): „Le sujet d’une proposition pris universellement ou particulierement, est ce qui la rend universelle ou particuliere […] L’att ribut d’une proposition affi rmative […] est toûjours consideré comme pris particulierement […] L’att ribut d’une proposition negative est toûjours pris generalement“.

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Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Qual

Der Prädikatbegriff einer affi rmativen Aussage ist stets partikulär; der einer negativen Aussage hingegen universell.

Die nächsten Regeln enthalten Restriktionen bezüglich der Qualität der Aussagen: Syll 3 Syll 4

Mindestens eine der Prämissen muss eine affi rmative Aussage sein. Wenn die Konklusion eine negative Aussage ist, dann muss auch eine der Prämissen negativ sein.22

Eine weitere Regel drückt aus, dass die Konklusion sowohl in der Qualität als auch in der Quantität nicht »stärker« sein kann als die Prämissen23, d.h.: Syll 5.1 Syll 5.2

Wenn eine der Prämissen partikulär ist, dann muss auch die Konklusion partikulär sein. Wenn eine der Prämissen negativ ist, dann muss auch die Konklusion negativ sein.

Die letzte Regel schließlich besagt: Syll 6

Mindestens eine der Prämissen muss eine universelle Aussage sein.24

Darüber hinaus gibt es eine Fülle von speziellen Regeln für die einzelnen Figuren. Bei den Figuren I - III hat man je zwei Restriktionen:

22 Vgl.

Arnauld/Nicole (1683: 186) „On ne peut rien conclure de deux propositions negatives […] On ne peut prouver une conclusion negative par deux propositions affi rmatives“. 23 Vgl. Arnauld/Nicole (1683: 186): „La conclusion suit toûjours la plus foible partie, c’est-à-dire, que s’il y a une des deux propositions negatives, elle doit être negative; & s’il y en a une particuliere, elle doit être particuliere“. 24 Vgl. Arnauld/Nicole (1683: 187): „De deux propositions particulieres il ne s’ensuit rien“.

Die traditionelle Syllogistik

Figur I 1 Figur I 2 Figur II 1 Figur II 2 Figur III 1 Figur III 2

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In Figur I muss die Minorprämisse affi rmativ sein. In Figur I muss die Majorprämisse universell sein. In Figur II muss eine der Prämissen negativ sein. In Figur II muss die Majorprämisse universell sein. In Figur III muss die Minorprämisse affi rmativ sein. In Figur III muss die Konklusion partikulär sein.

Die komplizierteren Restriktionen für die Vierte Figur werden konditional wie folgt formuliert: Figur Iv 1

Figur IV 2

Figur IV 3

Wenn die Majorprämisse in der Vierten Figur affi rmativ ist, dann muss die Minorprämisse universell sein. Wenn die Minorprämisse in der Vierten Figur affi rmativ ist, dann muss die Konklusion partikulär sein. Wenn die Konklusion in der Vierten Figur negativ ist, dann muss die Majorprämisse universell sein.

Mit diesen Regeln werden wir uns in Kapitel 6 beschäft igen, wenn Leibniz’ Versuch in „Mathesis rationis“ zu betrachten bleibt, die Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit der traditionellen Syllogistik mit den Mitteln des Allgemeinen Kalküls der Begriffslogik zu beweisen.

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Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

1.2 Extension und »Intension« Die schon in der Scholastik geläufige Unterscheidung zwischen der Extension und der »Intension« eines Begriffs spielt für das Verständnis von Leibniz’ Logik eine zentrale Rolle. Im Standard-Lehrbuch des 17. Jahrhundert, der sog. Logik von Port-Royal, wird dieser Punkt wie folgt dargestellt: Bei den universellen Ideen sind zwei Dinge gut zu unterscheiden: die Komprehension und die Ausdehnung. Unter der Komprehension einer Idee verstehe ich die Attribute, die sie in sich enthält und die man von ihr nicht wegnehmen kann, ohne sie zu zerstören. So enthält z.B. die Idee des Dreiecks die Eigenschaft der Ausdehnung, der Gestalt, von drei Geraden, drei Winkeln und der Gleichheit dieser drei Winkel mit zwei Rechten, etc. in sich. „Unter der Ausdehnung der Idee verstehe ich die Subjekte, denen diese Idee zukommt, was man auch als Inhalt eines allgemeinen Terms bezeichnet […]25

Arnauld & Nicoles Verständnis der »Ausdehnung« einer »Idee« stimmt zumindest ungefähr mit dem überein, was heutzutage als Extension bzw. Umfang eines einstelligen Prädikates bezeichnet wird, nämlich die Menge aller Dinge, die unter den Begriff F fallen bzw. denen das Prädikat F(x) wahrheitsgemäß zugeschrieben werden darf, formal Ext(F) = {x: F(x)}. Bezüglich der Intension hat sich die Auffassung im Laufe der Jahrhunderte jedoch stark geändert. Im Rahmen der modernen Sprachphilosophie und Logik wird die Intension eines Ausdrucks als etwas verstanden, das in starkem Maße von der 25 Vgl.

Arnauld/Nicole (1683: 59): „Or dans ces idées universelles il y a deux choses qu’il est très-important de bien distinguer, la comprehension, & l’etendue. J’appelle comprehension de l’idée, les att ributs qu’elle enferme en soi, & qu’on ne lui peut ôter sans la détruire, comme la comprehension de l’idée du triangle enferme extension, figure, trois lignes, trois angles, & l’égalité de ces trois angles à deux droits, &c. J’appelle étendue de l’idée, les sujets à qui cette idée convient, ce qu’on appelle aussi les inferieurs d’un terme general […]“.

Extension und »Intension«

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jeweils betrachteten möglichen Welt abhängt. Nach traditioneller Auffassung ist die »Intension« eines Begriffs hingegen nicht auf unterschiedliche Welten relativiert, sondern quasi ein Spiegelbild seiner Extension (in der wirklichen Welt). So verstehen Arnauld & Nicole unter der Komprehension einer »Idee« F die Menge aller essentiellen Attribute des entsprechenden Begriffs, d.h. all jene Eigenschaften G, die in F enthalten sind und die man nicht aus F entfernen könnte, ohne F zu »zerstören«. Allgemeiner bzw. liberaler wollen wir (im Einklang mit Leibniz) unter der »Intension« des Begriffs F die Menge aller Merkmale oder Begriffe G verstehen, die in F enthalten sind, d.h. für die gilt F∈G. Aus dieser Auffassung bzw. »Definition«26 ergibt sich das Gesetz der (umgekehrten) Reziprozität von »Intension« und Extension: Rezi 1

Ext(F ) ⊆ Ext(G ) ↔ Int(F ) ⊇ Int(G ).

Leibniz hat die Gleichwertigkeit des extensionalen und des »intensionalen« Ansatzes in vielen Schriften hervorgehoben. In den „Elementa Calculi“ vom April 1679 erläutert er: Zum Beispiel verhält sich der Begriff des Goldes zum Begriff des Metalls wie Ganzes zum Teil. Denn im Begriff des Goldes ist der Begriff des Metalls und einiges darüber hinaus enthalten, z.B. der Begriff des schwersten unter den Metallen. Deshalb ist der Begriff des Goldes größer als der des Metalls. „(12) In den Schulen, wo nicht die Begriffe, sondern die unter die allgemeinen Begriffe fallenden Dinge betrachtet werden, spricht man anders. Dort sagt man dementsprechend, dass Metall größer ist als Gold, denn es enthält mehr Arten als das Gold. Und wollten wir die einzelnen Stücke Gold einerseits und die einzelnen Stücke Metall andererseits aufzählen, gäbe es von den letzteren mehr als von den ersteren, ja dann wären die ersteren in den letzteren wie 26 Die

Festlegung der Intension von F, Int(F), als Att ributsmenge {G: F∈G} (bzw. bei prädikatenlogischer Darstellung als {G: ∀x(F(x) ⊃ G(x))}) ist nur heuristisch zu verstehen. Für Details einer formal einwandfreien Defi nition einer »intensionalen« Interpretation vgl. Lenzen (1983b) bzw. Kap. 3 von Lenzen (2004).

18

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

ein Teil im Ganzen enthalten. […] In Wahrheit ziehe ich es aber vor, die allgemeinen Begriffe oder Ideen und deren Zusammensetzungen zu betrachten, weil sie nicht von der Existenz der Einzeldinge abhängen. Deshalb sage ich, dass Gold größer ist Metall, weil zum Begriff des Goldes mehr Bestimmungen nötig sind als für das Metall, und es erfordert mehr, Gold herzustellen, als ein beliebiges Metall. Meine Ausdrucksweise widerspricht zwar in dieser Beziehung nicht derjenigen der Schulen, aber sie sind doch sorgfältig auseinander zu halten.27

Aus dem Gesetz Rezi 1 folgt übrigens unmittelbar, dass zwei extensionsgleiche Begriffe immer dieselbe »Intension« besitzen: Rezi 2

Ext(F ) = Ext(G ) → Int(F ) = Int(G ).

Dieses Prinzip gilt selbstverständlich nicht für die moderne Auffassung, der zufolge zwar intensionsgleiche Ausdrücke immer extensionsgleich sind, aber umgekehrt extensionsgleiche Ausdrücke noch lange nicht die gleiche Intension haben müssen. In den Lehrbüchern der Logik veranschaulicht man das gerne mit einem Beispiel von Qu ine. Alle Lebewesen mit Herz, so wird als empirisch korrekt vorausgesetzt, besitzen eine Niere. Deshalb haben die Begriffe F = ,Lebewesen mit Herz‘ 27 Vgl.

Couturat, Opuscules et fragments inédits de Leibniz (im Folgenden kurz C.), S.53: „Exempli causa Notio auri et notio metalli differunt ut pars et totum; nam in notione auri continetur notio metalli et aliquid praeterea, exempli causa notio ponderosissimi inter metalla. Itaque notio auri est major notione metalli. (12) In scholis aliter loquuntur, non notiones spectando, sed exempla notionibus universalibus subjecta. Itaque metallum dicunt esse latius auro, nam plures continet species quam aurum; et si individua auri ab una parte et individua metalli ab altera parte numerare vellemus, utique plura essent haec illis, imo illa in his continerentur ut pars in toto. […] Verum malui spectare notiones universales sive ideas earumque compositiones, quia ab individuorum existentia non pendent. Itaque dico aurum majus metallo, quia plura requiruntur ad notionem auri quam metalli, et majus est aurum producere quam metallum qualecunque. Nostrae itaque et scholarum phrases hoc loco non quidem contradicunt sibi, distinguendae sunt tamen diligenter.“

Extension und »Intension«

19

und G = ,Lebewesen mit Niere‘ kontingenterweise, d.h. in der Welt, in der wir leben, dieselbe Extension. Doch beide Prädikate haben offensichtlich verschiedene Bedeutungen oder verschiedene Intensionen: In einer anderen möglichen Welt können es ja durchaus Tierarten geben, die zwar ein Herz aber keine Niere besitzen. Aus der Diskrepanz zwischen jetziger und damaliger Auffassung folgt aber keineswegs, wie Couturat Anfang des 20. Jahrhunderts noch meinte, dass die »intensionale« Sichtweise der Logik, die Leibniz von der Tradition übernommen hatte, „verworren und vage“ und deshalb der modernen, von Boole begründeten extensionalen Methode zwangsläufig unterlegen sei.28 Zu Recht hat Leibniz Zeit seines Lebens darauf beharrt, dass man die logischen Beziehungen wahlweise extensional oder »intensional« betrachten kann. In einem Fragment vom 1. August 1690 erläuterte er z.B. den Übergang von den einzelnen Gegenständen zu den »Ideen« („ab individuis ad ideas“) wie folgt: Wenn ich nämlich sage ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, will ich ausdrücken, dass die Menschen unter den Lebewesen zu suchen sind, d.h. wenn etwas kein Lebewesen ist, dann ist es auch kein Mensch. Umgekehrt, wenn ich sage ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, will ich ausdrücken, dass der Begriff des Lebewesens im Begriff des Menschen enthalten ist. „Die Methode der Begriffe ist nämlich konträr zu der der Individuen: Wenn alle Menschen einen Teil aller Lebewesen darstellen, bzw. wenn alle Menschen in allen Lebewesen [enthalten] sind, dann ist umgekehrt der Begriff des Lebewesens im Begriff des Menschen [enthalten]; und so wie es mehrere Lebewesen außer 28 Vgl.

Couturat (1901: 387): „L’échec fi nal de son système est donc extrêmement instructif, car il prouve que la Logique algorithmique (c’est-à-dire en somme la Logique exacte et rigoureuse) ne peut pas être fondée sur la considération confuse et vague de la compréhension; elle n’a réussi à se constituer qu’avec Boole, parce qu’il l’a fait reposer sur la considération exclusive de l’extension, seule susceptible d’un traitement mathématique.“

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Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

dem Menschen gibt, so ist irgendetwas zur Idee des Lebewesens hinzuzufügen, damit die Idee des Menschen entsteht. Indem nämlich die Bedingungen vermehrt werden, vermindert sich die Anzahl.29

Gegen 1700 lässt Leibniz seinen Protagonisten Theophile in den Nouveaux Essais diese Sichtweise noch einmal wie folgt erläutern: Die gewöhnliche Ausdrucksweise betrachtet mehr die Individuen, die Aristotelische hingegen mehr die Ideen oder Universalbegriffe. Sage ich nämlich ,Alle Menschen sind Lebewesen‘, so will ich zum Ausdruck bringen, dass die Menschen in den Lebewesen enthalten sind; aber ich meine zugleich, dass die Idee des Lebewesens in der Idee des Menschen enthalten ist. ,Lebewesen‘ umfasst mehr Einzeldinge als ,Mensch‘, doch ,Mensch‘ umfasst mehr Ideen oder mehr Formalbegriffe; der eine hat mehr Instanzen, der andere mehr Realitätsgrad; der eine hat eine größere Extension, der andere eine größere Intension.

Da Leibniz hier selber den Ausdruck ,Intension‘ verwendet, wollen wir von nun an die (französischen) Anführungszeichen um die Ausdrücke »Intension« bzw. »intensional« fallenlassen.

29 Vgl.

C., 235: „Scilicet quando dico Omnis homo est animal, hoc ipsum volo, homines inter animalia esse quaerendos, seu qui non sit animal nec hominem esse. Rursus quando dico Omnis homo est animal, volo notionem animalis contineri in idea hominis. Et contraria est methodus per notiones et per individua, scilicet: Si omnes homines sunt pars omnium animalium, sive si omnes homines sunt in omnibus animalibus, vicissim animalis notio erit in notione hominis; et si plura sunt animalia extra homines, addendum est aliquid ad ideam animalis, ut fiat idea hominis. Nempe augendo conditiones, minuitur numerus.“

Die Algebra der Begriffe (L1)

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1.3 Die Algebra der Begriffe (L1) Die von Leibniz vorwiegend zwischen 1679 und 1686 entwickelte Algebra der Begriffe lässt sich systematisch wie folgt beschreiben. Als Ausgangspunkt dient eine Menge von Begriffskonstanten A, B, C, … mit den Operatoren der Begriffskonjunktion und der Begriffsnegation. Die Konjunktion der Begriffe A und B symbolisiert Leibniz durch Juxtaposition als AB.

Diese Konvention soll auch hier übernommen werden. Die Negation von A bezeichnet er hingegen durch „non A“, gelegentlich mit einem Bindestrich als „non-A“. In früheren Arbeiten hatte ich die Begriffsnegation im Gegensatz zur Satznegation, die durch das übliche Zeichen ¬ symbolisiert wird, durch Überstreichen in der Gestalt A dargestellt. Hier soll jedoch die typographisch einfachere Formel ~A

verwendet werden. Der von Leibniz durch „A non-A“ dargestellte kontradiktorische Begriff nimmt dann z.B. die Gestalt A~A an, und dessen Negation, ~(A~A), repräsentiert den tautologischen Begriff, der allerdings bei Leibniz so gut wie nie vorkommt. Wie diese Beispiele klarmachen, muss die Reichweite des Negationsoperators gegebenenfalls durch Klammern deutlich gemacht werden. Während mit ~AB nur der erste Begriff verneint und dann konjunktiv mit dem zweiten, unnegierten Begriff verknüpft würde, wird in ~(AB) die gesamte Konjunktion verneint. Die Konjunktion zweier verneinter Begriffe stellt sich hingegen als ~A~B dar, und dies ist wiederum etwas anderes als ~(A~B). Die »de Morgansche« Reduktion der Disjunktion auf eine Negation der Konjunktion der einzeln negierten Komponenten lässt sich entsprechend wie folgt wiedergeben: Disj 1

A∨B := ~ (~A ~B ).

22

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Dieser Operator spielt jedoch in Leibniz’ Logik so gut wie keine Rolle. Als nächstes lassen sich beliebige Begriffe A, B mittels eines aus der syllogistischen »Kopula« abgeleiteten zweistelligen Operators ,ist‘ (bzw. „est“) zu Primsätzen der Gestalt „A est B“ verknüpfen. Diese fundamentale, durch A∈B

symbolisierte Beziehung bedeutet intensional, dass der Begriff A den Begriff B enthält („A continet B“). Bei extensionaler Betrachtung läuft dies darauf hinaus, dass der Umfang von A umgekehrt im Umfang von B enthalten ist. Als Abkürzung für die Verneinung der est-Relation dient im Folgenden das Zeichen ∉.

Trivialerweise ist die ∈-Relation reflexiv und transitiv, d.h. jeder Begriff A enthält sich selbst; und wenn ein Begriff A einen Begriff B enthält, der wiederum einen anderen Begriff C enthält, dann enthält auch der erste den dritten. Leibniz formulierte diese Prinzipien z.B. in den „Generales Inquisitiones“ – im Folgenden kurz GI – wie folgt: „B est B“ (§‹37), „[…] si A sit B et B sit C, A erit C“ (§‹19). Unter Verwendung der heute üblichen Junktoren lassen sich die Gesetze wie folgt formalisieren: Est 1 Est 2

A∈A A∈B ∧ B∈C → A∈C .

Die Identität oder »Koinzidenz« zweier Begriffe wird von Leibniz auf unterschiedliche Weise ausgedrückt, u.a. mittels der Zeichen ∞ und =, oft aber auch informell durch die Ausdrücke ,idem‘, ,coincidunt‘ oder ,aequivalent‘. Wie Leibniz selber betont hat, lässt sich die Koinzidenz als wechselseitige Inklusion im Sinne der folgenden Defi nition verstehen. Id 1

A = B ↔ (A∈B ∧ B∈A).

Die Algebra der Begriffe (L1)

23

Die Standardeigenschaften der Identität, also Reflexivität, Symmetrie und Transitivität, können dann mittels Id 1 aus den entsprechenden Gesetzen der ∈-Relation hergeleitet werden. Id 2 Id 3 I d  4

A = A A = B → B = A (A = B ∧ B = C ) → A = C . 30

Die Grundprinzipien der Konjunktion lauten für Leibniz: „AB est A“ (C. 263, Prinzip (15)), „AB est B“ (GI, §‹38) sowie „A continere B et A continere C idem est quod A continere BC“ (GI, §‹35), also formal: Konj 1 Konj 2 Konj 3

A B∈A A B∈B A∈B ∧ A∈C ↔ A∈B C .

Ein konjunktiver Begriff enthält somit – trivialerweise – beide einzelnen Konjunktionsglieder, und wenn ein Begriff A sowohl B als auch C enthält, dann enthält A auch die Konjunktion BC. Für die Begriffsnegation gilt zum einen das Prinzip der doppelten Verneinung, „Non-non-A = A“ (GI §‹96), d.h. Neg 1

~ ~A =A .

Zweitens genügt die Negation dem Prinzip der Kontraposition, d.h. wenn der Begriff A den Begriff B enthält, dann enthält umgekehrt die Negation von B die Negation von A: Neg 2

A∈B ↔ ~B∈~A .

In §‹77 GI lautet dieses Gesetz „Generaliter A esse B, idem est quod non-B esse non-A“, also auf Deutsch: „Dass A B enthält ist dasselbe wie, dass Nicht-B Nicht-A enthält“. Ein weiterer, mit 30 Die

berühmte Leibnizsche Regel der Substituierbarkeit identischer Ausdrücke, der zufolge koinzidierende Begriffe A, B innerhalb beliebiger Aussagen Ψ für einander salva veritate ersetzt werden dürfen, formal: A=B |− Ψ[A] ↔ Ψ[B], könnte induktiv (z.B. nach der »Länge« der Formel Ψ) bewiesen werden.

24

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

der Begriffsnegation verwandter Operator ist der der Möglichkeit oder Widerspruchsfreiheit eines Begriffs, der hier durch M(A)

symbolisiert werden soll. Leibniz drückt diese Bedingung nur informell aus, indem er davon spricht, dass der Begriff »seiend« oder möglich („ens seu possibile“) ist. Wie er selber bemerkte, lässt sich die Möglichkeit des Begriffs A jedoch durch die Forderung präzisieren, dass A keinen Widerspruch der Art ,B [und] non-B‘ enthält31, also formal: Mögl 1

M(A) ↔ A∉(B ~B ). 32

Leider war Leibniz sich nicht immer darüber im Klaren, dass mit der Bedingung ,ist »seiend«‘ dem Begriff A quasi eine »Meta«-Eigenschaft zugeschrieben wird. Er neigte stattdessen dazu, das Wort ,seiend‘ bzw. ,Ens‘ als »echten« Begriff zu deuten, der von einem Subjekt A – im Sinne der Formel ,A∈Ens‘ – normal prädiziert werden kann. Eine solche Auffassung erweist sich jedoch als unhaltbar. Denn angesichts des simplen Prinzips Konj  1 würde für beliebige Begriffe B aus A∈Ens mit AB∈A per Transitivität AB∈Ens folgen. Dass A selber widerspruchsfrei ist, garantiert jedoch keinesfalls, dass die Konjunktion AB ebenfalls widerspruchsfrei wäre. Speziell könnte man aus AB∈Ens mittels der Substitution B/~A die Folgerung A~A∈Ens ableiten im krassen Widerspruch zu Leibniz’ Einsicht „A Nicht-A ist nicht »seiend«“: Mögl 2 31 Vgl.

¬ M(A ~A). 33

GI, ZZ. 330-331: „A non-A contradictorium est. Possibile est quod non continet contradictorium seu A non-A“, also auf Deutsch: ,A [und] Nicht-A‘ ist ein Widerspruch. Möglich ist, was nicht einen Widerspruch bzw. A Nicht-A enthält’. 32 Diese Defi nition ließe sich noch weiter vereinfachen, indem man verlangt, dass ein widerspruchsfreier Begriff nicht die eigene Negation enthalten darf: Mögl 1* M(A) ↔ A∉~A. 33 Vgl. etwa §‹171 GI: „A non-A non est res“.

Die Algebra der Begriffe (L1)

25

Zur Abrundung seien noch zwei weitere, den Möglichkeitsoperator betreffende Gesetze erwähnt, die Leibniz entdeckt hat: Mögl 3 Mögl 4

A∈B → (M(A) → M(B )) A∈B ↔ ¬ M(A ~B ).

Gemäß Mögl  3 muss jeder Begriff B, der in einem widerspruchsfreien Begriff A enthalten ist, selber widerspruchsfrei sein,34 und durch Mögl 4 wird ein fundamentaler Zusammenhang zwischen ∈-Relation, Konjunktion, Negation und Widerspruchsfreiheit etabliert. Leibniz formulierte dieses überaus wichtige Gesetz z.B. in §‹169 GI wie folgt: Dass A Nicht-B nicht ein Ding ist, ist gleichwertig mit der universell affi rmativen Aussage Jedes A ist ein B.35

Man beachte dabei, dass der Ausdruck ,est res‘, d.h. ,ist ein Ding‘, eine für Leibniz übliche Alternativformel für ,est Ens‘, d.h. ,ist »seiend«‘ darstellt. Die große Bedeutsamkeit des Gesetzes Mögl  4 besteht darin, dass es sich als notwendig und (zusammen mit den übrigen, bisher aufgelisteten Prinzipien) hinreichend für eine vollständige Axiomatisierung der Begriffsalgebra erweist. Wie in Lenzen (1984) gezeigt wurde, ist nämlich die durch die obige Liste axiomatisierte Algebra der Begriffe isomorph zur Booleschen Mengenalgebra.

34 Vgl.

§‹55 GI: „Si A continet B, et A est vera, etiam B est vera“. Mit dieser Formulierung wollte Leibniz zugleich ein satz- und ein begriffslogisches Gesetz ausdrücken. Bei satzlogischer Interpretation bedeutet es, dass wenn α logisch β impliziert, dann β wahr sein muss, sofern α wahr ist. Bei begriffslogischer Deutung hingegen ist unter einem »wahren« A ein widerspruchsfreier Begriff („terminus possibilis“) zu verstehen, und dann läuft das Zitat genau auf Mögl 3 hinaus. Zur Relevanz der Leibnizschen Idee, die Gesetze der Satzlogik aus den Prinzipien der Begriffslogik herzuleiten, vgl. Lenzen (2004), Kap. 11. 35 „A non-B est non res aequivalet Universali Affi rmativae: Omne A est B“.

26

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Für spätere Bezugszwecke sei noch eine Reihe weiterer Theoreme angeführt: Est 3 Id 5 Id 6 Konj 4 Konj 5 Neg 3 Neg 4* Mögl 5

A∈B ↔ A = A B A = B → AC = B C A = B → ~A = ~B A B = BA A = AA A ≠ ~A A∈B → A∉~B A ≠ B → M(A ~B ) ∨ M(B ~A)

Leibniz’ teils formale, teils informelle Formulierungen lauten im Original: „Generaliter A esse B, idem est quod A = AB“, d.h. Dass A B enthält ist dasselbe, wie dass A = AB ist (GI, §‹83). „Si A = B erit AC = BC“ (GI, §‹171, quinto). „Si A coincidit ipsi B; non-A coincidit ipsi non-B“, d.h. Wenn A mit B zusammenfällt, dann fällt Nicht-A mit Nicht-B zusammen (GI, §‹9). „AB ∞ BA“ (C., 235, Prinzip (7)). „AA = A“ (GI, §‹171, tertio). „Propositio per se falsa est A coincidit ipsi non-A“, d.h. Dass A mit Nicht-A zusammenfällt, ist eine aus sich heraus falsche Aussage (GI, §‹11). „Si A est B tunc A non est non-B“, d.h. Wenn A B enthält, dann enthält A nicht Nicht-B (GI, §‹91). „Si A non = B tunc vel A non-B erit res, vel B non-A erit res“, d.h. Wenn A ≠ B, dann ist A~B »ein Ding« oder B~A ist »ein Ding« (GI, §‹168).

Die aufgelisteten Axiome bzw. Gesetze der »intensionalen« Begriffslogik können durch die folgende (auch von Leibniz so

Die Algebra der Begriffe (L1)

27

intendierte) extensionale Semantik leicht als allgemeingültig nachgewiesen werden36: Lediglich das Widerspruchsfreiheitsprinzip Neg  4* muss zuvor auf widerspruchsfreie Begriffe A eingeschränkt werden: Neg 4

M(A) → (A∈B → A∉~B ).

Definition: Eine Interpretation der Leibnizschen Begriffslogik L1 (über einem nicht-leeren Gegenstandsbereich G) besteht aus einer Funktion Ext und einer Bewertungsfunktion („valuation-function“) Val, so dass Ext jeder Begriffskonstanten A eine Extension, d.h. eine Menge von Individuen aus G, zuordnet, während Val jedem Satz einen Wahrheitswert (w oder f ) so zuordnet, dass gilt: (a) Ext(AB) = Ext(A) ∩ Ext(B), d.h. die Extension des konjunktiven Begriffs AB ist gleich dem Durchschnitt der einzelnen Mengen Ext(A) und Ext(B); (b) Ext(~A) = Ext(A), d.h. die Extension des Begriffs Non-A ist gleich dem mengentheoretischen Komplement von Ext(A); (c) Val(A∈B) = w gdw. Ext(A) ⊆ Ext(B), d.h. die Aussage ,A est B‘ erhält unter der Bewertung Val den Wahrheitswert wahr dann und nur dann, wenn die Extension von A eine Teilmenge der Extension von B darstellt; (d) Val(M(A)) = w gdw. Ext(A) ≠ ∅; d.h. die Aussage ,A ist möglich‘ wird unter der Bewertung Val dann und nur dann wahr, wenn die Extension des Begriffs A nicht-leer ist. Auf den ersten Blick möchte die Bedingung (d), der zufolge eine Aussage M(A) bei der Bewertung dann und nur dann wahr wird, wenn die Menge Ext(A) nicht-leer ist, inadäquat erscheinen. Aus ihr folgt insbesondere, dass Val(M(AB)) genau dann wahr wird, wenn Ext(AB) ≠ ∅, d.h. wenn es (mindestens) ein Ding x gibt, das zum Umfang des konjunktiven Begriffs AB gehört und das somit sowohl die Eigenschaft A als auch die Eigenschaft B besitzt. Zwar steht es in Einklang mit dem 36 Man

kann leicht nachprüfen, dass jedes Theorem von L1 durch jede Funktion Val den Wahrheitswert w erhält.

28

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

gewöhnlichen Sprachgebrauch, aus der Existenz eines Dings x mit den Eigenschaften A und B auf die Verträglichkeit der beiden Begriffe AB bzw. auf Möglichkeit der Konjunktion AB zu schließen; aber umgekehrt scheint die bloße Widerspruchsfreiheit von AB noch kein Garant dafür zu sein, dass es (mindestens) ein Ding x gibt, das unter die Begriffe A und B fällt. Zur näheren Rechtfertigung dieser Annahme ist ein kleiner Exkurs in Leibniz’ Metaphysik, speziell in seine Ontologie, notwendig. Leibniz verwendet in seinen logischen Arbeiten recht unterschiedliche Formulierungen, um die Widerspruchsfreiheit des Begriffs AB – und somit die Wahrheitsbedingung der PA – auszudrücken. In den „Generales Inquisitiones“ von 1686 fi nden sich insbesondere die Ausdrücke ,AB ist ein Ding‘ (oder noch kürzer ,AB ist‘)37 mit der Variante ,AB ist seiend‘38 , wobei ein »seiender« Begriff auch als möglicher 39 bzw. als wahrer Begriff40 bezeichnet wird. Dabei ist zudem die Komplikation zu beachten, dass »seiend« selber in einem zwiefachen Sinn verstanden werden kann, nämlich im Sinn des bloß möglichen oder des realen Existierens. So heißt es in §‹146 GI: Die partikulär affi rmative Aussage, ,Ein A ist ein B‘ stellt sich, in eine Aussage secundi adjecti umgeformt, so dar: AB ist, nämlich entweder möglich oder aktuell, so dass die Aussage entweder essentiell oder existentiell ist.41

 Vgl. §‹151 GI: „Quoddam A est B dat: AB est res“. Vgl. auch §‹169 „AB est res aequivalet quoddam A est B“. 38 Vgl. C., 232: „Omnis propositio categorica potest concipi ut terminus incomplexus cui tantum adjicitur est vel non est (secundi adjecti). Ita omnis homo est rationalis, sic concipi potest: Homo non rationalis non est, seu est non Ens. Qu idam homo est doctus dat: Homo doctus est Ens.“ 39 Vgl. GI §‹69: „BC est possibile seu non involvit contradictionem“. 40 Vgl. GI §‹194: „Terminus falsus est qui continet oppositos A non-A. Terminus verus qui est non-falsus“. 41 Vgl. A VI, 4, 780: „Propositio particularis affi rmativa, Quoddam A est B, transformata in propositionem secundi [adjecti], sic stabit: AB est,

Die Algebra der Begriffe (L1)

29

Dass dabei die aktuelle oder reale Existenz eine durchaus anspruchsvollere Bedingung als die bloß mögliche Existenz oder »Essenz« darstellt, wird z.B. im Fragment A VI, 4, 931 in Gestalt zweier Axiome wie folgt ausgedrückt: „Alles Existierende ist möglich. Einiges Mögliche ist nicht existierend.“42 In der verwandten Arbeit A VI, 4, 864 erklärt Leibniz seine zugrunde liegende Sichtweise etwas ausführlicher: Der Beweis einer wahren Aussage kann auf zweifache Weise erfolgen, entweder a priori durch reine Explikation, was man Apodeixis nennt, oder a posteriori durch hinzukommende Beobachtung. Erstere beruht auf der Essenz, letztere auf der Existenz, die erstere auf Notwendigkeit, letztere auf Kontingenz. „Dasjenige, was existiert, ist seiend bzw. ein mögliches Seiendes. Dasjenige existiert, was übereinstimmend wahrgenommen wird, d.h. so, dass sich zusammen mit den anderen, die wahrgenommen werden, kein Widerspruch ergibt. „Seiend ist, was übereinstimmend verstanden wird, d.h. so, dass es keinen Widerspruch impliziert.43

Diese Erläuterungen stehen in engem Zusammenhang mit Leibniz’ metaphysischen Ansichten über Gott und die Welt. Vor dem Akt der Schöpfung betrachtete Gott die umfassende Menge aller (logisch) möglichen Individuen und überlegte sich, welche davon mit welchen anderen »kompossibel« wären, d.h. zusammen (in ein und derselben Welt) existieren könnten. Dabei lässt sich eine mögliche Welt als maximale Menge von wechnempe vel possibilis vel actualis, prout propositio est essentialis vel existentialis“. 42 „Omne existens est possibile. Quoddam possibile non est existens“. 43 „Probatio veritatis duplex est, a priori per explicationem meram, quae dicitur Apodixis, a posteriori per accedentem perceptionem. Prior est per essentiam, posterior per existentiam, prior per necessaria, posterior per contingentia. Quod existit est Ens seu Est possibile. Existit quod percipitur consentienter seu ita ut non inferat contradictionem cum aliis quae percipiuntur. Ens est quod concipitur consentienter, seu ita ut non implicet contradictionem.“

30

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

selseitig kompossiblen Individuen auffassen. Da nicht sämtliche möglichen Individuen miteinander kompossibel sind, gibt es verschiedene mögliche Welten, und Gott hat letztendlich die beste aller möglichen Welten erschaffen und damit zugleich aus der Menge aller möglichen Individuen eine (kleine) Teilmenge der real existierenden Individuen ausgewählt. Die zentralen Konzepte der Leibnizschen Ontologie, d.h. die Begriffe der Kompossibilität (in Abgrenzung zur bloßen Möglichkeit) und der Existenz fi nden sich in äußerst komprimierter Fassung in der folgenden Sequenz von Defi nitionen: Möglich ist, was keinen Widerspruch impliziert. Existierend ist, was mit dem Perfektesten kompossibel ist. Kompossibel ist, was mit dem Anderen keinen Widerspruch impliziert.44

Generell ist also der einer Interpretation zugrunde liegende Gegenstandsbereich G stets als eine Menge von möglichen Individuen zu deuten. Nur auf diese Weise kann die Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit eines Begriffs A garantieren, dass es (mindestens) ein mögliches Individuum x gibt, das unter diesen Begriff fällt, dass also die Extension von A – im Bereich der möglichen Individuen – nicht leer ist. Bei Bedarf könnte man natürlich innerhalb der Menge G eine Teilmenge Ex als Menge der aktuell existierenden Individuen aussondern und als syntaktisches Pendant in die Sprache von L1 eine spezielle Konstante E für den Begriff der (realen) Existenz einführen. Die obige Defi nition der (extensionalen) Interpretation wäre dann um die Bedingung zu ergänzen: (e) 44 Vgl.

Ext(E ) = Ex.

A VI, 4, 867: „Possibile quod non implicat contradictionem. Existens compossibile perfectissimo. Compossibile quod cum alio non implicat contradictionem.“ Vgl. auch A VI, 4, 870 f.: „Ens, quicquid possibile est sive quicquid intelligi potest, hoc est in cujus notione resoluta nunquam prodit contradictio. Existens est quod maxime possibile est, seu cujus pauciora sunt requisita pro ratione essentiae, seu quod perfectius est.“

Die Algebra der Begriffe (L1)

31

Ferner könnte man als Gegenstück zum Möglichkeitsoperator M einen »Realitäts-Operator« R einführen, so dass die Aussage R(A) zum Ausdruck bringt, dass der Begriff A real exemplifiziert ist, d.h. dass es (mindestens) ein real existierendes Objekt y gibt, welches unter den Begriff A fällt. Ein solcher Operator ließe sich z.B. durch Real

R (A) := M(A E )

defi nieren.45 Im Folgenden sind deshalb zwei Varianten der kategorischen Satzformen auseinander zu halten. Die von Leibniz vorrangig intendierte »essentielle« Lesart, die sich auf den weiteren Bereich aller möglichen Individuen bezieht und die z.B. durch eines der beiden folgenden Schemata formalisiert werden kann: Schema 1essentiell UA PA

A∈B A∉~B

UN PN

UA PA

Schema 2essentiell ¬M(A~B) UN M(AB) PN

A∈~B A∉B ¬M(AB) M(A~B)

Oder die »existentielle« Lesart, die sich auf den engeren Bereich der real existierenden Individuen bezieht und die somit wie folgt zu formalisieren wäre: Schema 1existentiell UA PA

AE∈B AE∉~B

UN PN

AE∈~B AE∉B

UA PA

Schema 2existentiell ¬R(A~B) UN R(AB) PN

¬R(AB) R(A~B).

Val(R(A)) = w gdw. Val(M(AE)) = w gdw. Ext(AE) ≠ ∅ gdw. Ext(A) ∩ Ext(E) ≠ ∅ gdw. Ext(A) ∩ Ex ≠ ∅, d.h. gdw. es (mindestens) ein xεG gibt, das sowohl zum Umfang von A als auch zur Menge der real existierenden Dinge, Ex, gehört. 45 Denn

32

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Der Gedanke der Qu antifi kation über mögliche Objekte im Gegensatz zur Qu antifi kation über real existierende Objekte wurde von Leibniz vor allem im Fragment „Difficultates quaedam Logicae“ näher erläutert, um die Schlussweisen der Subalternation und der akzidentellen Konversion zu rechtfertigen. Couturat (1901: 357) erblickte darin nur eine „scholastische Unterscheidung zwischen dem Möglichen und dem Realen“. In Wirklichkeit handelt es sich jedoch um die geniale Antizipation eines Gedankens, der in neuester Zeit innerhalb der quantifizierten Modallogik mit großem Erfolg wieder aufgegriffen wurde. Zum Abschluss sei noch auf Leibniz’ Versuch eingegangen, die PA formal durch die (tautologische) Bedingung ,AB = AB‘ zu repräsentieren. Nachdem er in §‹151 GI das obige Schema 2 entwickelt hatte, bei dem die kategorischen Satzformen in Aussagen „secundi adjecti“ transformiert wurden, schloss er in §152 folgende Überlegung an: Und da man selbst identischen Aussagen nur im Falle »seiender« Begriffe vertrauen kann, so dass keine Wahrheit behauptet werden kann, ohne das Gegenteil befürchten zu müssen, wenn nicht zumindest die essentielle, wenn schon nicht die existentielle Realität dieser Begriffe46 feststeht, so wird es erlaubt sein, die vier Arten kategorischer Aussagen auch so auszudrücken: PA AB = AB (d.h. AB und AB fallen zusammen, d.h. AB ist »ein Ding«) PN A~B = A~B (d.h. A~B ist »ein Ding«) UA A~B ≠ A~B (d.h. A~B ist nicht »ein Ding«) UN AB ≠ AB (d.h. AB ist nicht »ein Ding«). 46 Mit

diesen Formulierungen drückt Leibniz den oben erläuterten Unterschied zwischen einer »essentiellen« und einer »existentiellen« Deutung von Aussagen (bzw. von den in solchen Aussagen vorkommenden Begriffen) aus. Die »essentielle Realität« von B ist nichts anderes als seine Widerspruchsfreiheit, M(B); die »existentielle Realität« entspricht der Bedingung R(B)!

Die Algebra der Begriffe (L1)

33

Leibniz erwägt hier also, Identitäten wie A = A oder AB = BA auf widerspruchsfreie Begriffe einzuschränken, weil er befürchtet, dass andernfalls die Logik selber in dem Sinne inkonsistent würde, dass mit einer Aussage α, die etwas von einem Begriff wie B~B behauptet, zugleich das Gegenteil, also ¬α[B~B], behauptet werden könne. Eine solche Furcht erweist sich jedoch als unbegründet. Zwar liegt der Logik L1 – wie jeder anderen »klassischen«, zweiwertigen Logik – das Prinzip „ex contradictorio quodlibet“ zugrunde, d.h. aus einer kontradiktorischen Aussage α folgt logisch jede beliebige Aussage β, also z.B. neben γ auch ¬γ. Das bedeutet aber nicht, dass man jemals zu befürchten hätte, dass mit einer Aussage γ zugleich die Negation ¬γ wahr werden könnte. Dass aus der kontradiktorischen Aussage α sowohl γ als auch ¬γ logisch folgt, bedeutet lediglich: Wenn α wahr wäre, so würde zugleich γ und ¬γ wahr sein. Aber eine kontradiktorische Aussage α ist ja gerade aus logischen Gründen falsch, d.h. α kann unmöglich wahr sein! Speziell kann man über einen widerspruchsvollen Begriff B~B in unproblematischer Weise wahre Aussagen machen, ohne dass zugleich die Negation dieser Aussage wahr würde. Die Begriffslogik muss also keineswegs dahingehend eingeschränkt bzw. modifiziert werden, dass – wie Leibniz in § 153 GI erwägt – „jede Aussage, in die ein Begriff eingeht, der »kein Ding« ist, negiert wird“, also als falsch angesehen wird. Einige Aussagen über »nicht seiende« Begriffe sind wahr, andere hingegen falsch. Z.B. ist es ein unverzichtbares Grundaxiom von L1, dass jeder Begriff der Gestalt B~B widerpruchsvoll bzw. »nicht seiend« ist. Diese Aussage, ¬M(B~B), ist also wahr; ihr Gegenteil, M(B~B), hingegen eindeutig falsch! Wahr ist ferner, dass die Konjunktion B~B mit sich selbst identisch ist; falsch hingegen, dass B~B ≠ B~B wäre. Ebenfalls wahr ist, dass man durch Vertauschung der Glieder des widerspruchsvollen Begriffs B(~B) den anderen widerspruchsvollen Begriff (~B)B gewinnt, und wahr ist schließlich auch, dass beide miteinander identisch sind: B(~B) = (~B)B!

34

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

So kam auch Leibniz nach reifl icher Überlegung zu dem Schluss, dass man grundlegende Gesetze wie Id 2 oder Konj 4 besser nicht auf widerspruchsfreie Begriffe begrenzen, sondern uneingeschränkt auch für widerspruchsvolle Begriffe postulieren solle.47 Damit werden aber die Formalisierungsversuche der kategorischen Satzformen gemäß Schema 3 UA PA

A~B ≠ A~B AB = AB

UN PN

AB ≠ AB A~B = A~B

hinfällig und sollten besser durch die sinngleichen Bedingungen gemäß Schema 2 ersetzt werden.

47 Vgl.

§‹154-155 GI: „Wenn also jemand es vorzieht, die Zeichen so anzuwenden, dass AB = AB gilt, ob nun AB »seiend« ist oder nicht […] so widerspreche ich dem nicht. […] Wenn man alles bedenkt, erscheint es vielleicht besser zu sagen, dass man jedenfalls in symbolischer Darstellung stets A = A setzen kann […]“.

»Unbestimmte Begriffe«

35

1.4 »Unbestimmte Begriffe« Aus der Begriffsalgebra L1 entsteht ein stärkeres System L2, indem man neben den Begriffskonstanten A, B, C, … auch »unbestimmte Begriffe« X, Y, Z, … zulässt. Diese Begriffsvariablen sind durch Quantoren ∃Y ∀Y

,es gibt ein Y‘ ,für alle Y‘

abzubinden, die freilich nicht, wie in heutigen Systemen der Prädikatenlogik, über Gegenstände, sondern über Begriffe laufen. Leibniz selber hat die Qu antoren meistens nicht explizit angegeben, sondern lediglich mittels zweier Sorten von »unbestimmten Begriffen« darzustellen versucht. So fi ndet sich in seinen Schriften ca. ab 167948 die Idee, die UA durch die Bedingung A = BY wiederzugeben: Die [universell] affi rmative Aussage ,A ist B‘ bzw. ,A enthält B‘, d.h. wenn man für A den [entsprechenden] Wert substituiert, ergibt sich, dass A mit BY zusammenfällt, wie z.B. ,Der Mensch ist ein Lebewesen‘, d.h. ,Mensch‘ ist dasselbe wie ,… Lebewesen‘, denn ,Mensch‘ ist dasselbe wie ,vernünftiges Lebewesen‘. Mit dem Zeichen Y bezeichne ich nämlich etwas Unbestimmtes, so dass BY dasselbe ist wie ,Ein gewisses B‘ bzw. ,Ein … Lebewesen‘. Deshalb ist ,A ist B‘ dasselbe wie ,A fällt mit einem gewissen B zusammen‘, d.h. A = BY.49 48 Im

Rahmen der Semantik »charakteristischer Zahlen«, die in Kap. 3 näher betrachtet wird, fordert Leibniz für die Wahrheit der UA, dass die dem Subjekt zugeordnete Zahl, a, sich als Produkt der entsprechenden Zahl für das Prädikat, b, mit einer gewissen »unbestimmten Zahl« y darstellt, d.h. dass a = y*b gilt. In diesen zahlentheoretischen Gleichungen liegt der Ursprung der begriffslogischen Darstellung A = YB. 49 Vgl. §‹16 GI: „Propositio affi rmativa A est B sive A continet B […] hoc est si pro A substituatur valor prodibit: A coincidere ipsi BY, ut homo est animal seu homo idem est quod animal …, nempe homo idem est quod animal rationale. Nota enim Y significo aliquid incertum, ut proinde BY idem sit quod quoddam B seu animal … (ubi subintelligitur rationale, si

36

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Y markiert also – ebenso wie das Auslassungszeichen ,…‘ – eine Leerstelle, an der ein Begriff einzusetzen wäre, der sich z.B. als »Wert« aus der Defi nition des Begriffs A ergibt. Bezeichnet etwa A eine Art der Gattung B, dann könnte als »Wert« die »spezifische Differenz« genommen werden, so wie im obigen Beispiel die Art des Menschen aus der Gatt ung der Lebewesen durch den »Wert« der Vernünftigkeit hervorgehoben wird. Wenn nun in einem Fall der »Wert« bzw. die Defi nition des Begriffs A als Unterart von B nicht bekannt ist, so kann man jedenfalls die Tatsache, dass A B enthält, mittels eines »unbestimmten Begriffs« Y als Gleichung A = YB darstellen: A ist „ein gewisses B“, „ein so-und-so B“ bzw. „ein …. B“. Dieser Gedanke lässt sich im Rahmen der Logik L2 präziser wie folgt formalisieren: Est 4

A∈B ↔ ∃Y (A = BY ). 50

Est 4 stellt eine quantorenlogische Variante des Gesetzes Est 3 dar, dem zufolge A∈B einfacher als A = AB dargestellt werden kann, d.h. die Bedingungen ∃Y(A = BY) und (A = AB) sind logisch äquivalent. Einerseits folgt aus (A = AB) gemäß dem Prinzip der »existentiellen Generalisierung«, Exist 1

α[A] → ∃Yα[Y ], 51

unmittelbar die Existenz eines Y (nämlich Y = A), so dass A = YB. Umgekehrt kann man aus ∃Y(A  = BY) auf A = AB schließen. Als Pendant zur Regel Exist 1 gilt nämlich das Prinzip der »Elimination« des Existenzquantors: Exist 2

∃Yα[Y ] → α[B] (wobei in der Aussage α[B] eine »neue« Konstante B gewählt werden muss, die in ∃Yα[Y] noch nicht vorkommt).

modo sciamus quid subintelligendum sit) seu quoddam animal. Itaque A est B, idem est quod A esse coincidens cuidam B seu A = BY.“ 50 Dieses Gesetz fi ndet sich auch in §§‹17, 158, 189 und 198 der GI. 51 Leibniz formuliert (bzw. antizipiert) diese Regel in §‹23 GI wie folgt: „Pro qualibet defi nita substitui posse indefi nitam nondum usurpatam. […], seu poni potest A = Y.“

»Unbestimmte Begriffe«

37

Geht man also von der Voraussetzung ∃Y(A = BY) aus, so erhält man gemäß Exist 2 (i) A = BC; daraus folgt aber mit Id 5 (ii) AB = BCB bzw. nach trivialen Umformungen (iii) AB = BBC und also angesichts von Konj 5 (iv) AB = BC. Wegen der Symmetrie und Transitivität der Identität gewinnt man aus (i) und (iv) schließlich das gesuchte (v) A = AB. Leibniz hat übrigens selber erkannt, dass die UA wahlweise durch A = AB oder durch ∃Y(A = BY) formalisiert werden kann. In einer Marginalie zum oben zitierten §‹16 GI heißt es: Es ist erwähnenswert, dass man statt A = BY auch A = AB sagen kann und dass es somit nicht notwendig ist, einen neuen Buchstaben anzunehmen.52

Ein Beweis hierfür fi ndet sich in den „Primaria Calculi Logici Fundamenta“ aus dem Jahre 1690: (10) Wenn A = AB, dann darf man ein Y annehmen so dass A = YB. Dies ist ein Postulat, doch es lässt sich auch beweisen, denn zumindest A selber kann ja durch Y bezeichnet werden. […] (13) Wenn A = YB, dann folgt A = AB. Das beweise ich so. A = YB (nach Voraussetzung), also AB = YBB (gemäß [11]) = YB (gemäß 6) = A (nach Voraussetzung). Die universell affi rmative Aussage lässt sich [also wahlweise] so ausdrücken: A = AB

oder

A = YB.53

Der erste Teil des Beweises (Abschnitt 10) beruht also auf dem Prinzip der »existentiellen Generalisierung«: Wenn A mit AB identisch ist, dann kann man die Existenz eines Y annehmen, 52 „Notabile

est pro A = BY posse etiam dici A = AB et ita non opus est assumtione novae literae.“ Vgl. auch §‹117, wo der Schluss von A = AB auf A = YB wiederum als gültig behauptet, aber noch nicht bewiesen wird. 53 Vgl. C., 235-6: „(10) Si A ∞ AB assumi potest Y tale ut sit A ∞ YB. Est postulatum, sed et demonstrari potest, saltem enim ipsum A potest designari per Y. […] (13) Si sit A ∞ YB, sequitur A ∞ AB. Hoc ita demonstro. A ∞ YB (ex hyp.) Ergo AB ∞ YBB (per 10) ∞ YB (per 6) ∞ A (ex hyp.). Universalis affi rmativa sic exprimi potest: A ∞ AB vel A ∞ YB.“

38

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

so dass A mit YB identisch ist; z.B. kann für Y das A selber gewählt werden. Der Beweis des zweiten Teils (Abschnitt 13) beruht ebenfalls auf dem Gedanken, der weiter oben expliziert wurde. Dabei rechtfertigt Leibniz den Schluss von A = YB auf AB = YBB durch das irrtümlicherweise von ihm als (10) bezeichnete Prinzip (11): „Wenn A = B, dann ist AC = BC“, also durch unser Id  5, und der anschließende Übergang von AB  =  YBB zu AB = YB erfolgt gemäß „(6) AA = A“, d.h. gemäß unserem Konj 5. Weiterhin benutzt Leibniz des Öfteren einen »unbestimmten Begriff« Y in der Funktion eines Existenzquantors dazu, die partikulär bejahende Satzform ,Ein A ist ein B‘, wie folgt darzustellen: „AY enthält B ist die partikulär affirmative Aussage hinsichtlich A“.54 Diese »elliptische« Formulierung wäre natürlich zunächst mittels eines explizit hinzugefügten Existenzquantors als ∃Y(AY∈B) zu verbessern. Doch auch danach bleibt mit der Formalisierung noch ein gravierendes Problem verbunden. Gemäß Konj 2 gilt ja trivialerweise AB∈B. Hieraus folgt per Exist 1 unmittelbar die Existenz eines Y, nämlich Y = B, so dass AY∈B. Die Formel ∃Y(AY∈B) ist also logisch wahr und kann somit die PA, die ja keineswegs für beliebige Begriffe A, B erfüllt sein muss, nicht adäquat repräsentieren. Wie Leibniz selber (mehr oder minder deutlich) erkannte, muss die Bedingung ∃Y(AY∈B) dahingehend modifi ziert werden, dass die Existenz eines mit A verträglichen Begriffs Y verlangt wird, so dass AY∈B. In §‹190 GI wiederholte er zunächst, dass die PA allgemein durch die Bedingung ausgedrückt werden kann, dass „A mit irgendeinem hinzugefügten Begriff [Y] B enthält“. Danach bemerkte er, dass man als ein solches Y insbesondere B selber nehmen könnte, wobei jedoch vorauszusetzen sei, dass der Begriff AY bzw. AB widerspruchsfrei ist:

54 Vgl.

GI, §‹48: „AY continet B est Particularis Affirmativa respectu ipsius A“; vgl. auch die §§‹112 und 190 GI sowie die Darstellung in C., 229-31 in der Gestalt „QA est B“.

»Unbestimmte Begriffe«

39

Demnach ist ,Ein A ist B‘ auch äquivalent mit ,AB ist B‘ bzw. ,AB = AB‘; gesetzt freilich, dass AB ein Ding bzw. ein wahrer [d.h. möglicher] Begriff ist, der keinen Gegensatz der Art X Nicht-X enthält.55

Fügt man die Bedingung der Widerspruchsfreiheit von YA zur ursprünglichen Formel ∃Y(AY∈B) explizit hinzu, so wird ∃Y(M(AY)∧AY∈B) äquivalent mit der einfachen Bedingung M(AB). Zunächst gilt nämlich generell, dass ein Begriff A dann und nur dann widerspruchsfrei ist, wenn er in irgendeinem widerspruchsfreien Begriff Y enthalten ist: Mögl 6

M(A) ↔ ∃Y (M(Y )∧Y∈A).

Die Implikation von links nach rechts ergibt sich (angesichts des trivialen A∈A) unmittelbar aus Exist 1. Existiert umgekehrt ein Y mit M(Y)∧Y∈A, so muss M(A) gelten; denn enthielte A einen Widerspruch der Gestalt B~B, so wäre wegen der Voraussetzung Y∈A (und angesichts der Transitivität von ∈) B~B auch in Y enthalten, im Widerspruch zur Voraussetzung M(Y). Substituiert man nun in Mögl 6 für A den Begriff AB, so erhält man zunächst M(AB) ↔ ∃Y(M(Y)∧Y∈AB) und hieraus als Korollar: Mögl 7

55 Vgl.

M(A B ) ↔ ∃Y (M(AY )∧AY∈B ). 56

A VI, 4, 785: „Particularis affirmativa: quoddam A est L, idem est quod A cum aliquo addito sumtum continere L […]. Proinde etiam quoddam A est L idem est quod AL continet L, seu AL = AL; posito scilicet AL esse rem seu terminum verum qui non implicat opposita ut X non-X“. Zwecks Angleichung wurde Leibniz’ Variable ,L‘ in der Übersetzung durch ,B‘ ersetzt. 56 Aus der Prämisse M(AB) ergibt sich nach Voraussetzung zunächst die Existenz eines Y mit M(Y) ∧ Y∈AB, woraus a fortiori Y∈A und weiter AY∈B folgt; hat man umgekehrt die Existenz eines Y* mit M(AY*) und AY*∈B, so folgt wegen des trivialen AY*∈A weiterhin AY*∈AB; setzt man also Y = AY*, so ist wegen M(AY*) auch M(Y), so dass insgesamt ∃Y(M(Y) ∧ Y∈AB) gilt, woraus endlich angesichts der Voraussetzung M(AB) ↔ ∃Y(M(A) ∧ Y∈AB) das zu zeigende M(AB) folgt.

40

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Leibniz’ Formalisierung der PA mittels der »elliptischen« Bedingung AY∈B, die expliziter als ∃Y(AY∈B) verstanden und durch die Zusatzbedingung der Widerspruchsfreiheit von AY korrigiert bzw. präzisiert werden muss, erweist sich also letztendlich als äquivalent mit der einfachen Bedingung M(AB), die gemäß dem im letzten Abschnitt entwickelten Schema 2 als alternative Formalisierung der PA dient. Substituiert man in Mögl 7 für B den Begriff ~B, so erhält man mit M(A~B) bzw. ∃Y(M(AY)∧AY∈~B) zwei äquivalente Formalisierungen der partikulär negativen Aussage. Andererseits lässt sich die PN gemäß Schema 1 als Negation von A∈B, d.h. qua A∉B, darstellen. Daraus ergibt sich das weitere quantorenlogische Gesetz Neg 5

A∉B ↔ ∃Y (M(AY ) ∧ AY∈~B ),

das Leibniz im Fragment C., 259-261 »elliptisch« so formulierte: „A ist nicht B ist dasselbe wie AY ist nicht-B“.57 Sein Beweis dieser Äquivalenz läuft wie folgt: (18) Oben (9) wurde gesagt, dass noch zu beweisen bliebe, dass ,A ist nicht B‘ mit ,YA ist Nicht-B‘ zusammenfällt, d.h. dass es dasselbe ist zu sagen ,A ist nicht B‘ und zu sagen ,Es gibt ein Y, so dass YA Nicht-B ist‘. Wenn ,A ist B‘ falsch ist, dann ist (gemäß 6 [d.h. gemäß Mögl 4]) A Nicht-B möglich. Nicht-B bezeichne man als Y, also ist YA möglich; also gilt ,YA ist Nicht-B‘. Deshalb haben wir aus der Annahme, ,A ist B‘ sei falsch, erschlossen, dass ,YA ist Nicht-B‘. Doch umgekehrt zeigen wir aus diesem jenes: Wenn ,YA ist Nicht-B‘, dann ist ,A ist B‘ falsch. Denn wenn ,A ist B‘ wahr wäre, könnte B für A substituiert werden, und man erhielte ,YB ist Nicht-B‘, was absurd ist.58 57 Vgl.

C., 259: „A non est B idem est quod YA est non B“. 58 Vgl. C., 261: „(18) Supra dictum est, demonstrandum esse: A non est B et QA est non B coincidere seu dicere A non est B, idem esse ac dicere: datur Q tale ut QA sit non B. Si falsum est A est B, possibile est A non B per n. 6. Non B vocetur Q. Ergo possibile est QA. Ergo QA est non B, itaque posito falsum esse A est B ostendimus QA esse non B. Jam contra ex hoc ostendamus illud: QA est non B, ergo falsum est A est B. Nam si verum esset

»Unbestimmte Begriffe«

41

Besonders interessant an diesem Beweis ist, dass Leibniz ausnahmsweise einmal den Existenzquantor ∃Y explizit mit den Worten ,es gibt ein Y, so dass‘ zum Ausdruck bringt und dass er auch die Möglichkeit bzw. Widerspruchsfreiheit des Begriffs YA expressis verbis hervorhebt. Im gleichen Kalkülentwurf (C., 259-261) verwendet Leibniz übrigens einen »unbestimmten Begriff« in der Funktion eines Allquantors dazu, die UA gemäß dem Gesetz Est 5

A∈B ↔ ∀Y (Y∈A → Y∈B )

auf eine Allaussage zurückzuführen: (15) ,A ist B‘ ist dasselbe wie ,Wenn Y A ist, dann folgt, dass Y auch B ist‘. Das beweisen wir so: Wir nehmen die Aussage ,A ist B‘ an. Ich behaupte, dass sich hieraus ableiten lässt: Wenn Y A ist, dann folgt, dass Y B ist. Das beweise ich so: Weil A B ist, ist also A = AB (gemäß 8). Doch wenn Y A ist, wird Y = YA sein. Wenn ich hier für A den Wert AB substituiere, ergibt sich Y = YAB. Also ,Y ist AB‘, also ,Y ist B‘ gemäß 8. Also ist bewiesen, dass man aus ,A ist B‘ schließen kann: ,Wenn Y ist A, so folgt Y ist B‘. Nun wollen wir umgekehrt aus ,Wenn Y A ist, so folgt, dass Y B ist‘ herleiten ,A ist B‘. Unter Y wird jedoch jeder Begriff verstanden, von dem gesagt werden kann ,Y ist A‘. Setzen wir, erstere Aussage sei wahr und letztere dennoch falsch; wenn sich hieraus ein Widerspruch ergibt, folgt jedenfalls letztere aus ersterer […]. Es sei diese Aussage ,ZA ist Nicht-B‘ aufgestellt. Doch es gilt schon ,ZA ist A‘; also ,ZA ist B‘ (denn ZA ist unter Y enthalten), also ,ZA ist B~B‘, was einen Widerspruch darstellt.59 A est B, posset B substitui in locum ipsius A, et fieret QB est non B, quod est absurdum.“ Vgl. auch den verwandten Beweis von „Axiom 6“ in C., 230/231. 59 Vgl. C., 260: „(15) A est B, idem est ac dicere si L est A sequitur quod et L est B. Hoc demonstrabimus: Assumamus hanc propositionem A est B. Dico hinc inferri si L est A, sequitur quod L est B. Hoc ita demonstro: Qu ia A est B, ergo A ∞ AB per 8. Jam si L est A, erit L ∞ LA. Ubi (pro A substituendo valorem AB) fit L ∞ LAB. Ergo L est AB. Ergo L est B per 8. Ergo demonstratum est, ex hac: A est B, inferri hanc: si L est A, sequitur L est B. Nunc inverse demonstremus, ex hac: Si L est A sequitur quod L est

42

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Der erste Teilschluss von A∈B und Y∈A auf Y∈B ist trivial und kann gewissermaßen als identitätslogischer Beweis für das Gesetz der Transitivität der ∈-Relation, Est 2, genommen werden. Auch die umgekehrte Ableitung von A∈B aus der Voraussetzung ∀Y(Y∈A → Y∈B) wäre eigentlich trivial, weil man ja für die Variable Y speziell A substituieren dürfte, also die Implikation (A∈A → A∈B) erhielte, aus der mit dem banalen A∈A direkt das gesuchte A∈B folgt. Dieser Schluss stellt einen Spezialfall des allgemeinen Prinzips der »Elimination« des Allquantors dar: All 1

∀Yα[Y ] → α[A].

Das korrespondierende Prinzip der Einführung eines Allquantors wäre entsprechend so zu formulieren: All 2

α [B] → ∀Yα[Y ], sofern die Begriffskonstante B in der Formel ∀Yα[Y ] nicht (mehr) vorkommt.

Der im obigen Zitat von Leibniz entwickelte Beweis der Äquivalenz Est 5 (genauer: der Implikation von rechts nach links) stützt sich allerdings nicht direkt auf das Gesetz All 1, sondern erfolgt indirekt durch eine reductio ad absurdum. Nimmt man an, dass ∀Y(Y∈A → Y∈B) wahr, A∈B hingegen falsch ist, so folgt aus A∉B gemäß dem zuvor bewiesenen Neg 5 die Existenz eines Z mit M(ZA) ∧ ZA∈~B. Da andererseits gemäß Konj 2 ZA∈A gilt und hieraus wegen der Voraussetzung ∀Y(Y∈A → Y∈B) auch ZA∈B folgen würde60, hätte man insgesamt ZA∈(B~B) im Widerspruch zu M(ZA)! Eine andere Möglichkeit, die universell affi rmative Aussage A∈B mit Hilfe eines Allquantors darzustellen, wird durch das

B, vicissim inferri A est B. Intelligitur autem L quicunque terminus de quo dici potest L est A. Ponamus illud esse verum, et tamen hoc esse falsum, quodsi inde sequitur absurdum, utique inferetur hoc ex illo […]. Statuatur ergo haec enuntiatio: QA est non B. Jam QA est A. Ergo QA est B (quia QA comprehenditur sub L). Ergo QA est B non B quod est abs.“ 60 Denn, wie Leibniz bemerkt, für die universell verwendete Variable Y darf man insbesondere den Ausdruck ZA substituieren.

»Unbestimmte Begriffe«

43

folgende Gesetz illustriert, das für die Leibnizsche Theorie der »distribuierten Terme« eine wichtige Rolle spielt: Est 6

A∈B ↔ ∀Y (AY∈B ).

Der Beweis dieser Äquivalenz ist einfach: Aus A∈B folgt für beliebiges Y mit dem Theorem AY∈A (Konj 1) gemäß Est 2 AY∈B; gilt umgekehrt ∀Y(AY∈B), so erhält man für Y = A insbesondere AA∈B, also gemäß Konj 5 das gesuchte A∈B. Leibniz hat zwar annäherungsweise, aber nie mit letzter Deutlichkeit erkannt, dass der Charakter eines »unbestimmten Begriffs« Y, der in den meisten Formeln als verkappter Existenzquantor fungiert, sich beim Übergang zu negierten Formeln in den eines Allquantors ändert. Diese Gesetze wären im Rahmen der Quantorenlogik L2 wie folgt zu präzisieren: Exist 3 All 3

¬∃Yα[Y ] ↔ ∀Y¬ α[Y ] ¬∀Yα[Y ] ↔ ∃Y¬ α[Y ].

In diesem Zusammenhang ist vor allem § 112 GI einschlägig, wo Leibniz sich mit der Frage beschäftigt, […] ob Y nicht in einem etwas anderen Sinn zu verstehen ist, wenn man sagt ,AY ist B‘, d.h. ,Ein A ist ein B‘, als wenn man verneint, dass irgendein A B sei, so dass nicht nur verneint wird, dass ein A ein B sei, bzw. dass dieses unbestimmte A ein B sei, sondern zugleich jedes beliebige aus den unbestimmten A, so dass deshalb der Sinn der Aussage, dass kein A ein B ist, darin besteht, ,AŶ ist B‘ zu verneinen […]. Wenn ich deshalb sage ,Ein A ist ein B‘, dann behaupte ich, dass dieses gewisse A ein B ist. Wenn ich verneine, dass ein A ein B sei bzw. dass dieses gewisse A ein B sei, dann scheine ich nur eine partikulär negative Aussage zu machen. Wenn ich hingegen von jedem beliebigen A, d.h. von diesem A und diesem A verneine, dass es B ist, dann verneine ich, dass AŶ B ist.

Durch Einführung eines neuen Typs eines »unbestimmten Begriffs«, Ŷ, versucht Leibniz also den Sachverhalt zu erfassen, dass AY∉B als Formel für ,Ein A ist nicht ein B‘ lediglich eine

44

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

partikulär negative Aussage darstellt, während die Verneinung der PA eine universelle Aussage ergibt, die von jedem beliebigen A, also von AŶ, negiert, dass es ein B ist. Anders formuliert: Während bei der formalen Repräsentation der PA qua AY∈B die Variable Y für einen Existenzquantor steht, muss die UN mit Hilfe einer andersartigen Variable Ŷ, die die Rolle eines Allquantors spielt, als AŶ∉B formalisiert werden, d.h. expliziter als ∀Ŷ(AŶ∉B). Doch diese Formel ist natürlich mit dem gleichen Problem behaftet, das schon weiter oben anlässlich der Formalisierung der PA qua „AY est B“ zur Sprache kam. So wie ∃Y(AY∈B) aus dem Axiom AB∈B ableitbar und somit logisch wahr war, wird ihre Negation, ∀Ŷ(AŶ∉B), nun aus logischen Gründen falsch. Offenkundig muss auch hier die Klausel eingefügt werden, dass der jeweilige Begriff Ŷ mit A verträglich, d.h. dass die Konjunktion AY möglich ist: ∀Ŷ(M(AŶ) → AŶ∉B). Leibniz hat mehrere Kriterien dafür entwickelt, wann ein Begriff A ein Individuum bezeichnet und somit einen Individualbegriff darstellt – formal I(A). Der grundlegende Gedanke dabei ist, dass der vollständige Begriff einer singulären Substanz („notio completa substantiae singularis“) sämtliche Begriffe oder Eigenschaften enthält, die dem entsprechenden Individuum a zukommen. Da für jedes Individuum a und für jede Eigenschaft B gilt, dass a entweder B oder ~B besitzt, kann man genauer defi nieren: Ind 1

I(A) ↔ ∀Y (A∉Y ↔ A∈~Y ). 61

Ein Individualbegriff A ist also ein maximal-konsistenter Begriff, der von jedem Paar kontradiktorisch entgegengesetzter Begriffe genau ein Element, d.h. entweder B oder ~B, enthält. Insbesondere ist jeder Individualbegriff per se widerspruchsfrei: Ind 2

I(A) → M(A).

die alternative Defi nition I(A) ↔ ∀Y(M(AY) → A = AY) vgl. §‹72 GI: „Unde si sit [possibile] AY, et terminus Y indefi nitus quicunque sit superfluus […] tunc A est Individuum. Si sit [possibile] terminus AB et A sit individuum, erit B superfluus, seu si AB = C erit A = C.“ 61 Für

»Unbestimmte Begriffe«

45

Mit Hilfe der Defi nition Ind 1 lässt sich nun im Rahmen von L2 die heute geläufige Quantifikation über Objekte als Spezialform einer Quantifikation über Begriffe, nämlich über Individualbegriffe, rekonstruieren. Neben den bisherigen, über Begriffe im Allgemeinen laufenden Quantoren ∀Y und ∃Y kann man nämlich zusätzliche Quantoren ΛY und VY defi nieren, deren Reichweite jeweils auf Individualbegriffe eingeschränkt wird: Ind 3 Ind 4

ΛXα[X ] ↔ d f ∀X ( I(X ) → α[X ]) V Xα[X ] ↔ d f ∃X ( I(X ) ∧ α[X ]).

Die UA ,Jedes A ist ein B‘, die in der extensionalen Prädikatenlogik durch ∀x(A(x) → B(x)) bzw. (mit Hilfe des mengentheoretischen Operators der Elementbeziehung) durch ∀x(xεA → xεB) formalisiert werden kann, lässt sich dann innerhalb der »intensionalen« Begriffslogik L2 durch die verwandte Formel ΛX(X∈A → X∈B) repräsentieren.62 In Analogie zum früheren Gesetz Est 5, dem zufolge sich die UA, A∈B, als äquivalent zu ∀Y(Y∈A → Y∈B) erwies, bekommt man so das strukturgleiche Gesetz, bei dem der »normale«, über Begriffe laufende Allquantor ∀ einfach durch den über »Gegenstände«, d.h. genauer über Individualbegriffe laufenden Allquantor Λ ersetzt wird: Est 7

A∈B ↔ ΛX (X∈A → X∈B ).

Diese Formel lässt sich mit Hilfe des weiteren Grundprinzips beweisen, dass ein Begriff A genau dann möglich ist, wenn es einen Individualbegriff X gibt, der A enthält: Mögl 8

M(A) ↔ VX (X∈A).

Dieses Prinzip ist quasi das syntaktische Pendant zu der im vorherigen Abschnitt erörterten semantischen Bedingung (d), der zufolge die Aussage ,A ist möglich‘ unter der Bewertung Val dann und nur dann wahr wird, wenn der Umfang des Begriffs A – im Bereich aller möglichen Individuen – nicht-leer 62 Für

die partikulär affi rmative Aussage ergibt sich entsprechend die Darstellung VX(X∈A ∧ X∈B).

46

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

ist. Die heute übliche extensionale Sichtweise, der zufolge ein Individuum x unter einen Begriff fällt, A(x), wird in Leibniz’ »intensionaler« Logik also dadurch widergespiegelt, dass der Individualbegriff X den entsprechenden Begriff enthält, X∈A. Der Beweis von Est 7 kann dann wie folgt geführt werden. Die Implikation von links nach rechts ist eine triviale Folge der Transitivität von ∈. Die Umkehrung hingegen erfordert einen komplizierteren, indirekten Gedankengang. Gelte ΛX(X∈A → X∈B), so folgt aus der Annahme, A würde nicht den Begriff B enthalten, gemäß Mögl 4 zunächst die Widerspruchsfreiheit des Begriffs A~B. Aus M(A~B) kann man mit Mögl 8 die Existenz eines Individualbegriffs X erschließen, der A~B enthält. Mit X∈A~B gilt aber a fortiori X∈A, so dass wegen der Voraussetzung ΛX(X∈A → X∈B) auch X∈B, also insgesamt X∈BA~B folgen würde, d.h. X wäre unmöglich im Widerspruch dazu, dass mit I(X) angesichts von Ind 2 insbesondere M(X) gelten muss.

Zur »Einbettung« der Syllogistik

47

1.5 Zur »Einbettung« der Syllogistik in den »Allgemeinen Kalkül« Leibniz hat vor allem in der (in Kapitel 6 genauer zu untersuchenden) Schrift „De Formae Logicae Comprobatione“ vielfältige Versuche unternommen, die Gesetze der Syllogistik als Theoreme seines „Calculus Universalis“ herzuleiten. Diese Beweise umfassen sowohl die »einfachen« Gesetze der Opposition, der Subalternation und der Konversion als auch die gültigen Modi der einzelnen Figuren. Dies setzt natürlich voraus, dass die kategorischen Satzformen durch entsprechende Formeln der Begriffsalgebra L1 bzw. der quantorenlogischen Erweiterung L2 repräsentiert werden. Hierfür gibt es die unterschiedlichsten Möglichkeiten. Die universell affi rmative Aussage, A(B,C), kann in L1 mittels des fundamentalen ∈-Operators als Inklusion B∈C dargestellt werden. Daraus ergibt sich das folgende, homogene Schema 1 UA PA

B∈C B∉~ C

UN PN

B∈~ C B∉C .

Die Homogeneität besteht darin, dass alle vier Satzformen jeweils nach demselben logischen Grundgedanken formalisiert werden. Das bedeutet, dass – ausgehend z.B. von der UA A(B,C) – die Formel für die UN gemäß dem Prinzip der Obversion als A(B,~C) bestimmt wird und die beiden partikulären Satzformen danach als Negation von A(B,~C) bzw. als ¬A(B,C) defi niert werden.63 Gemäß dem Gesetz Mögl 3 lässt sich die UA in die Aussage „secundi adjecti“ ,B non-C non est Ens‘, formal ¬M(B~C), transformieren. Also gewinnt man das nächste homogene 63 Wie

sich zeigen wird, hat Leibniz selber nur selten mit homogenen Schemata operiert, sondern meist versucht, die Schwierigkeiten, die sich bei einem Beweisversuch ergaben, dadurch zu beheben, dass er z.B. die universellen Satzformen gemäß dem einen, die partikulären hingegen gemäß einem anderen Schema formalisierte.

48

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Schema 2 UA PA

¬ M(B ~ C ) M(B C )

UN PN

¬ M(B C ) M(B ~ C ).

Als Variante von Schema 2 hat Leibniz des Öfteren das folgende Schema in Erwägung gezogen, bei dem die Widerspruchsfreiheit des Begriffs BC dadurch ausgedrückt wird, dass dieser Begriff selbst-identisch ist: Schema 3 UA PA

B~C ≠ B~C BC = BC

UN PN

BC ≠ BC B~C = B~C,

Wie in Abschnitt 1.3 erläutert wurde, ist dieser Ansatz jedoch formal inadäquat. Andererseits lässt sich die UA gemäß Est 3 als Identität B = BC darstellen, woraus ein weiteres homogenes Schema resultiert: Schema 4 UA PA

B = BC B ≠ B~C

UN PN

B = B~C B ≠ BC.

Im Rahmen der Quantorenlogik L2 ergeben sich zahlreiche weitere Darstellungsmöglichkeiten. Aufgrund des Gesetzes Est 4 lässt sich die UA B∈C zunächst durch ∃Y(B = CY) wiedergeben, woraus man per Homogenisierung UA PA

Schema 5 ∃Y(B = YC) ∀Y(B ≠ Y~C)

UN PN

∃Y(B = Y~C) ∀Y(B ≠ YC)

erhält. Die weiterhin von Leibniz erdachte Formalisierung der partikulär affi rmativen Aussage ,Quoddam B est C‘ durch ,YB est C‘ im Sinne von ∃Y(BY∈C) muss, wie weiter oben erläutert, durch die Zusatzforderung M(BY) ergänzt werden. Daraus ergibt sich (wiederum nach Homogenisierung) das Schema 6 ∀Y(M(BY) → BY∉~C) ∃Y(M(BY) ∧ BY∈C)

∀Y(M(BY) → BY∉C) ∃Y(M(BY) ∧ BY∈~C).

Zur »Einbettung« der Syllogistik

49

Bei Leibniz fi ndet sich gelegentlich auch eine Variante, bei der die Inklusionsbeziehung BY∈C gemäß dem Prinzip Est 3 in BY = CZ transformiert wird. So lautet der §‹159 der GI lakonisch: „YA = ZC est Partic. Aff.“ und in „De Formae Logicae Comprobatione“ heißt es entsprechend: Die partikulär affirmative Aussage ,Ein B ist ein C‘ wird so ausgedrückt: XB = YC.64

Der genaue Sinn dieser Formel wäre mit Hilfe zweier Existenzquantoren als ∃Y∃Z(YB = ZC) zu verdeutlichen. Doch auch diese Bedingung muss wieder durch die Zusatzbedingung der Verträglichkeit von Y mit B (bzw. von Z mit C)65 korrigiert werden, so dass sich (nach Homogenisierung) das komplexe Schema 7 ergibt: Schema 7 ∀Y∀Z(M(BY) → BY ≠ Z~C) ∀Y∀Z(M(BY) → BY ≠ ZC) ∃Y∃Z(M(BY) ∧ BY = ZC) ∃Y∃Z(M(BY) ∧ BY = Z~C)

Einfacher fallen die beiden folgenden Schemata aus, bei denen die Satzformen mittels nur eines Quantors formalisiert werden. Das erste beruht auf dem Gesetz Est 5, dem zufolge B∈C durch ∀Y(Y∈B → Y∈C) wiedergegeben werden kann. Schema 8 ∀Y(Y∈B → Y∈C) ∃Y(Y∈B ∧ Y∉~C) 64 Vgl.

∀Y(Y∈B → Y∈~C) ∃Y(Y∈B ∧ Y∉C).

C., 302: „Sed particularis affi rmativa Qu. C est B sic exprimitur: XB = YC“. Vgl. auch §‹89 GI, wo Leibniz die PA „quoddam animal est homo BY = AZ“ noch weiter in die Formel ,BY = ABY‘ umwandelt. Dahinter steckt offenbar der Gedanke, ausgehend von der UA ,Omnis homo est animal‘, formal A∈B, zunächst gemäß Konv 3 zu ,Quoddam animal est homo‘ überzugehen, wobei ,Quoddam B‘ durch BY formalisiert wird. Aus der Formel BY∈A gewinnt man dann entweder gemäß Est 4 (BY = ZA) oder gemäß Est 3 (BY = BYA). 65 Wenn man explizit M(BY) fordert, wird die weitere Bedingung M(ZC) redundant, denn sie folgt angesichts von BY = ZC aus der ersten.

50

Einleitung: Syllogistik und Begriffslogik

Das zweite hingegen rekurriert auf das Gesetz Est 6, dem zufolge die UA B∈C auch durch die Bedingung ∀Y(BY∈C) dargestellt werden kann. Diese Formel stellt eine Vereinfachung der Leibnizschen Bedingung dar, dass für „jedes beliebige, mit B verträgliche Y“66 gilt, dass BY C enthält: ∀Y(BY∈C) ∃Y(BY∉~C)

Schema 9 ∀Y(BY∈~C) ∃Y(BY∉C).

Hieraus gewinnt man schließlich das nachstehende Schema 10, bei dem die Satzformen durch »gemischte« Quantoren formalisiert werden. Denn die UA gemäß Schema 9, bzw. genauer die Teilformel YB∈C, lässt sich mit Hilfe des Gesetzes Est 4 in ∃Z(YB = ZC) verwandeln, so dass man expliziter die Darstellung ∀Y∃Z(YB = ZC) erhält, also nach Homogenisierung insgesamt Schema 10 ∀Y∃Z(YB = ZC) ∃Y∀Z(YB ≠ Z~C)

∀Y∃Z(YB = Z~C) ∃Y∀Z(YB ≠ ZC).

Wie sich bei der Diskussion der Schrift „Mathesis rationis“ in Kapitel 6.4 zeigen wird, ist Leibniz im Rahmen seiner Erörterung der »Qu antifi kation des Prädikates« auf eine (inhomogene) Variante67 dieses Schemas gestoßen, mit deren Hilfe er es letztendlich geschafft hat, die gesamte Syllogistik begriffslogisch zu verifizieren.

66 Vgl.

das in „Difficultates quaedam logicae“ entwickelte Kriterium für die Universalität eines Begriffs, spez. GP 7, 215: „Terminus A vel B sit universalis, si pro A vel B substituti potest YA vel YB, ubi Y potest esse quodcunque cum B compatibile velut C, F, etc.“. Eine nähere Diskussion fi ndet sich in Abschnitt 2.6. Hier sei nur angemerkt, dass Leibniz’ Beschränkung auf widerspruchsfreie Begriffe YB ausnahmsweise unnötig ist, denn ein widerspruchsvoller Begriff ZB enthält ja ebenfalls C. 67 Leibniz stellt dort die UN nämlich nicht mitt els eines negativen Begriffs ~C dar, sondern durch die Ungleichung ∀Y∀Z(YB ≠ ZC). Für die PA ergibt sich entsprechend die Formel ∃Y∃Z(YB = ZC).

2. K APITEL

2. »Einfache« Schlüsse

2.1 Einleitung Wir beginnen mit einigen kleineren Schriften, in denen Leibniz sich mit logischen Prinzipien auseinandersetzt, die in der Tradition als »einfache« Schlussweisen bezeichnet wurden, weil sie – im Gegensatz zu den Syllogismen – die Konklusion nicht aus zwei, sondern nur aus einer einzigen Prämisse erschließen. Innerhalb der sog. Aristotelischen Syllogistik, in der man ohne negative Begriffe auskommt, sind dies die Gesetze der Opposition, der Subalternation und der Konversion.1 Im Rahmen der sog. Scholastischen Syllogistik kommen Prinzipien der Kontraposition und der Obversion hinzu. Hinsichtlich der Opposition folgte Leibniz ganz der traditionellen Lehrmeinung, dass die UA und die PN ebenso wie die UN und die PA jeweils kontradiktorisch, d.h. als Negationen, entgegengesetzt sind: O pp   1 O pp   2

A (B ,C ) ↔ ¬O (B ,C ) E (B ,C ) ↔ ¬I(B ,C ).

Die einzigen diesbezüglichen Probleme betreffen die Frage, wie man diese Satzformen bzw. ihre Verneinungen »umgangssprachlich«, d.h. im logischen Jargon von ,omne‘, ,quoddam‘, ,nullum‘, ,est‘ und ,non‘, genau ausdrücken kann. Lässt man die Negation von Begriffen zu, so könnte man ja aus der UA ,Omne B est C‘ mittels eines einzigen Negationsausdrucks ,non‘ im Prinzip fünf verschiedene Formeln erzeugen: Non(Omne B est C); (Non-omne) B est C; 1 

Vgl. A VI 4, 235: „Consequentiae sunt vel simplices vel syllogisticae. Consequentiae simplices in scholis celebratae sunt Oppositio; Subalternatio; Conversio.“

54

Einfache Schlüsse

Omne non-B est C; Omne B non est C; Omne B est non-C.

Und die inferentiellen Beziehungen zwischen solchen Ausdrücken werden natürlich noch wesentlich komplizierter, wenn sich die Anzahl der Negationszeichen auf zwei, drei, vier oder gar fünf erhöht. Wie in Lenzen (1986) gezeigt wurde, hatte Leibniz Zeit seines Lebens heftig damit zu kämpfen, die logischen Zusammenhänge zwischen diesen Formeln – insbesondere die Unterscheidung zwischen ,B non est C‘ und ,B est non C‘ – zu durchschauen. Die folgenden Fragmente geben einen kleinen Einblick in diese Problematik. Die Lehre der Subalternation besagt, dass aus einer universellen Aussage die jeweils partikuläre folgt, also aus der UA die PA und aus der UN die PN: Sub 1 Sub 2

A (B ,C ) → I(B ,C ) E (B ,C ) → O (B ,C ).

Auch Leibniz ging eigentlich stets von der selbstverständlichen Geltung dieser Schlüsse aus. Die moderne Logik beharrt jedoch spätestens seit Couturat2 darauf, dass aus der UA ,Alle B sind C‘ streng genommen nicht die PA ,(Mindestens) Ein B ist ein C‘ folgt. Denn die als ∀x(B(x) ⊃ C(x)) zu analysierende UA ist bereits dann wahr, wenn es überhaupt keinen Gegenstand x mit der Eigenschaft B gibt, d.h. wenn gilt ∀x¬B(x). Die Wahrheitsbedingung für eine materiale Implikation wird nämlich üblicherweise so bestimmt, dass (α ⊃ β) dann und nur dann falsch ist, wenn α wahr, β hingegen falsch ist. Deswegen folgt aus ¬α logisch (α ⊃ β) bzw. – im Blick auf die Frage der Subalternation – aus ¬B(x) folgt logisch (B(x) ⊃ C(x)), egal welches Prädikat C man wählt. Ist somit der Prädikatbegriff B »leer«, d.h. gilt für alle x ¬B(x), so gilt a fortiori ∀x(B(x) ⊃ C(x)), d.h. die UA wird wahr.

2 Vgl.

Couturat (1901), S.‹9, Fn. 4

Einleitung

55

Die PA hingegen ist in diesem Fall falsch, denn wegen ∀x¬B(x) gilt ja ¬∃xB(x) und damit erst recht ¬∃x(B(x) ∧ C(x)). Auf diesen Einwand sind verschiedene Reaktionen möglich. Erstens könnte man einfach als Zusatzvoraussetzung fordern, dass Begriffe, mit denen man in der Logik operiert, stets »nichtleer« sind. Zweitens könnte man bestreiten, dass ∀x(B(x) ⊃ C(x)) eine adäquate logische Analyse der umgangssprachlichen Aussage ,Alle B sind C‘ darstellt. Mit anderen Worten, man beharrt darauf, dass die UA eigentlich einen »existential import« besitzt, d.h. dass sie – ganz im Sinne von Sub 1 – die Existenz mindestens eines x mit der Eigenschaft B impliziert. Dies könnte im Rahmen der Prädikatenlogik so umgesetzt werden, dass man die UA nicht länger durch die Formel ∀x(B(x) ⊃ C(x)) wiedergibt, sondern mittels der Zusatzbedingung, dass der Subjektbegriff B nicht leer ist. Bei diesem Vorgehen entstünde dann aber das Problem, dass die üblichen Oppositionsprinzipien nicht mehr in Strenge gelten, denn für einen »leeren« Begriff B wäre die UA zusammen mit der PA falsch. Leibniz hingegen hat einen dritten Weg beschritten. Er setzt in gewisser Weise voraus, dass die Grundbegriffe, die in die Bildung der kategorischen Satzformen eingehen, zumindest logisch widerspruchsfrei sind. Anlässlich der Diskussion der »Difficultates quaedam logicae« wird sich zeigen, ob diese Annahme das Problem der Subalternation zu lösen vermag. In diesem Zusammenhang muss insbesondere auch Leibniz’ Vorschlag erörtert werden, zwischen zwei Lesarten der kategorischen Aussagen zu unterscheiden: einer »existentiellen«, die sich auf einen Gegenstandsbereich von tatsächlich existierenden Individuen bezieht, und einer »essentiellen«, bei der der (weit größere) Bereich aller möglichen Individuen zugrunde gelegt wird. Hinsichtlich der Gesetze der Konversion war Leibniz sich offenbar nicht immer ganz sicher. Zwar stand für ihn die »einfache« Konversion der PA bzw. der UN außer Frage: Konv 1 Konv 2

I(B ,C ) ↔ I(C , B ) E (B ,C ) ↔ E (C , B ).

56

Einfache Schlüsse

Auch das folgende Prinzip der »akzidentellen« Konversion der UA hat er meistens als unproblematisch angesehen: Konv 3

A (B ,C ) → I(C , B ).

Lediglich bei der Erörterung der „Difficultates quaedam logicae“ bemerkte er, dass dieses Gesetz insofern problematisch ist, als in der Konklusion I(C,B) die Existenz mindestens eines Dinges vorausgesetzt wird, während die Prämisse A(B,C) dieses nicht unbedingt erfordert. Im Übrigen zeigen sich in Leibniz’ frühen Schriften deutliche Unsicherheiten im Umgang mit der (Konversion durch) Kontraposition sowie der verwandten Obversion: Kontra 1 A (B ,C ) ↔ A (~ C ,~B ) Obv 1 E (B ,C ) ↔ A (B ,~ C ) Obv 2 O (B ,C ) ↔ I(B ,~ C ).

Überhaupt stellt der korrekte Umgang mit negativen bzw. »infi niten« Begriffen die größte Crux seiner Logik dar. Ein weiteres Thema, das in diesem Kapitel angeschnitten wird, obwohl es nicht wirklich zu den »einfachen« Schlüssen gehört, sind die logischen Besonderheiten singulärer Aussagen. Zwar spielen singuläre Aussagen in Leibniz’ Schriften zur Syllogistik im Allgemeinen nur eine ganz periphere Rolle.3 Dennoch muss im Folgenden die – für moderne Logiker ziemlich merkwürdig klingende – Frage erörtert werden, ob singuläre Aussagen mit universellen oder mit partikulären »äquivalent« sind, ein Punkt, den Leibniz sowohl in der frühen „Dissertatio de Arte Combinatoria“ als auch in dem Spätwerk „Difficultates quaedam Logicae“ diskutiert. 3 Das

gilt auch für die anderen logischen Werke, in denen sich Leibniz um die Entwicklung eines »Allgemeinen Kalküls« der Begriffslogik bemüht. In der ausführlichsten Schrift, den Generales Inquisitiones von 1686, tauchen singuläre Terme bzw. Individualbegriffe nur im Zusammenhang mit der Erörterung der Existenz auf (§§‹71–74). Bezeichnenderweise enthält der Sachindex von Schupps Edition überhaupt keinen einschlägigen Eintrag wie ,singuläre Aussage‘, ,singulärer Term‘, etc.

58

Einfache Schlüsse

2.2.1 Aus der „Dissertatio de Arte Combinatoria«“1 24. […] In his Hospiniani speculationibus quaedam laudamus, quaedam desideramus. Laudamus inventionem novorum modorum: Barbari, Camestros, Celaro, Cesaro; laudamus quod recte observavit, modos qui vulgo nomen invenere, v.g. Darii etc. habere se ad modos a se enumeratos velut genus ad speciem […] Sed non aeque probare possumus, quod Singulares aequavit particularibus, quae res omnes ejus rationes conturbavit, efficitque ei modos utiles justo pauciores, ut mox apparebit. Hinc ipse in Controversiis dialect. c. 22 p. 430 errasse se fatetur, et admittit modos utiles 38, nempe 2 praeter priores 36. 1. In Darapti cum ex meris UA concluditur SA, quoniam Christus ita concluserit Luc. XX, v. 37, 38. 2. In Felapton cum ex UN et UA concluditur SN, quia ita concluserit Paulus Rom. IX, v. 13. Nos etsi scimus ita vulgo sentiri, arbitramur tamen alia omnia veriora. Nam haec: Socrates est Sophronisci fi lius, si resolvatur fere juxta modum Joh. Rauen, ita habebit: Qu icunque est Socrates, est Sophronisci fi lius. Neque male dicetur: Omnis Socrates est Sophronisci fi lius; etsi unicus sit. (Neque enim de nomine sed de illo homine loquimur). Perinde ac si dicam: Titio omnes vestes quas habeo do lego, quis dubitet etsi unicam habeam ei deberi? […] Vox enim: Omnis, non infert multitudinem, sed singulorum comprehensionem. Imo supposito quod

1 Der

Text folgt der Akademieausgabe (A VI, 1, 182–187). Leider ist keine Handschrift mehr auffi ndbar; deshalb konnte nicht überprüft werden, ob die »unlogischen« Fehler in Abschnitt 32 tatsächlich auf Unachtsamkeiten von Leibniz zurückzuführen sind oder auf Fehler des Druckers.

Aus der Dissertation »Über die Kunst der Kombinatorik«

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2.2.2 Aus der Dissertation „Über die Kunst der Kombinatorik“1 Aus der Dissertation »Über die Kunst der Kombinatorik« 24. […] Von diesen Spekulationen des Hospinianus loben wir einige, andere suchen wir vergebens. Wir loben die Erfi ndung der neuen Modi Barbari, Camestros, Celaro, Cesaro. Wir loben, dass er richtig beobachtet hat, dass die Modi, für die man gewöhnlich einen Namen erfunden hat, wie z.B. Darii, sich zu den von ihm aufgelisteten Modi so verhalten wie Gattung und Art, […] Doch wir können nicht gleichermaßen billigen, dass er die singulären Aussagen mit partikulären gleichgesetzt hat. Hierdurch bringt er all seine Überlegungen in Unordnung und bewirkt, dass ihm weniger Modi schlüssig sind, wie gleich klar wird. So gesteht er selber in „Controversiis dialect.“, Kap. 22, S.‹430 ein, sich geirrt zu haben, und er lässt 38 Modi als gültig zu, nämlich zwei außer den früheren 36. Erstens, in Darapti, wo er aus der UA die SA folgert, weil ja Christus so geschlossen hat (nach Lucas Kap. XX, Vers 37, 38). Zweitens, in Felapton, wo er aus UN und UA eine SN folgert, weil Paulus (Römer Kap. IX, Vers 13) so geschlossen hat. Auch wenn uns bewusst ist, hiermit etwas allgemein Bekanntes zu urteilen, halten wir dennoch alle übrigen für wahrer. Denn der Satz ,Sokrates ist Sohn des Sophroniscus‘ läuft, wenn man ihn nach der Art von Johannes Raue analysiert, ungefähr auf Folgendes hinaus: ,Wer immer Sokrates ist, ist Sohn des Sophroniscus‘. Es ist auch nicht falsch zu sagen ,Jeder Sokrates ist Sohn des Sophroniscus‘, obwohl er ein Einzelner ist (wir reden nämlich nicht von dem Namen, sondern von dem Menschen). Ebenso wenn ich sage ,Ich vermache dem Titius alle Kleider, die ich habe‘, wer zweifelt da wohl, dass, auch wenn ich nur ein einziges habe, ich ihm dieses schulde. […] Denn das Wort ,jeder‘ beinhaltet nicht eine Vielzahl, sondern die Zusammenfassung der Einzelnen. Unter der Annahme, dass Sokrates 1 Vgl.

auch die Übersetzung in Schmidt (1960), S.‹38–48, die sich mit diesen Ausschnitten teilweise überschneidet.

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Einfache Schlüsse

Socrates non habuerit fratrem, etiam recte loquor: Omnis Sophronisci fi lius est Socrates. Qu id de hac propositione dicemus: Hic homo est doctus? Ex qua recte concludemus: Petrus est hic homo, E. Petrus est doctus. Vox autem: Hic, est signum singulare. Generaliter igitur pronunciare audemus: omnis Propositio singularis ratione modi in syllogismo habenda est pro universali. Uti omnis indefi nita pro particulari. […] 30. Quod diximus de terminis infinitis vitandis, eius ratio nunc2 [patebit]: Prodiit cuiusdam Joh. Christoph. Sturmii Compendium Universalium seu Metaphysicae Euclideae, ed. 8 Hagae anno 1660 apud Adrian Vlacq. Cui annexuit novos quosdam modos syllogisticos a se demonstratos, qui omnes videntur juxta communem sententiam impingere in alteram vel utramque harum duarum regularum qualitatis: ex puris negativis nihil sequitur; et: conclusio sequitur qualitatem debilioris ex praemissis. Ut tamen recte procedat argumentum, vel assumat propositionem affi rmativam infi niti subjecti, quae stet pro negativa fi niti; aut contra, v.g. aequipollent: Qu idam non lapis est homo: et quidam lapis non est homo. (Verum annoto, non procedere in universali, v.g. Omnis lapis non est homo. E. omnis non lapis est homo.) Vel assumat negativam infiniti praedicati pro affirmativa finiti; vel contra, v.g. aequipollent: Omnis philosophus non est non homo; et: est homo. Vel 3. assumat loco datae conversam eius per contrapositionem. Jam UA convertitur per contrapos. in UN. UN et PN in PA. Ita facile illi est elicere ex puris neg. affi rmantem, si negativae eius tales sunt ut stent pro affi rmativis; item ex A et N elicere

2 /

partebit L/ patebit korr. Hrg.

Aus der Dissertation »Über die Kunst der Kombinatorik«

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keinen Bruder gehabt hat, ist es also auch richtig zu behaupten: ,Jeder Sohn des Sophroniscus ist Sokrates‘. Was sollen wir zu der Aussage sagen ,Dieser Mensch ist gelehrt‘? Aus ihr können wir korrekt schlussfolgern: ,Petrus ist dieser Mensch, also ist Petrus gelehrt‘. Das Wort ,dieser‘ ist ein Qu antitätszeichen für Einzelne. Ganz allgemein wagen wir deshalb zu behaupten: Jede singuläre Aussage ist hinsichtlich der Schlussweise im Syllogismus als universelle aufzufassen, so wie jede unbestimmte als partikuläre Aussage aufzufassen ist. […] 30. Nun wird der Grund für das sichtbar, was wir gerade über die zu vermeidenden »infi niten« [d.h. negativen] Ausdrücke gesagt haben. Von einem gewissen Johannes Christoph Sturm erschien im Jahre 1660 in Den Haag bei Adrian Vlacq das „Compendium Universalium seu Metaphysicae Euclideae“. Ihm fügte er einige neue, von ihm bewiesene syllogistische Modi hinzu, die nach gängiger Meinung gegen die eine oder andere der folgenden Regeln der Qualität zu verstoßen scheinen: ,Aus bloß verneinenden Aussagen folgt nichts‘, und: ,Der Schlusssatz folgt in der Qu alität der schwächeren Prämisse‘. Damit aber seine Beweisführung durchgeht, nimmt er entweder eine bejahende Aussage mit negativem Subjekt an, die für eine negative Aussage mit »fi nitem« Subjekt steht, bzw. umgekehrt. Z.B. sind gleichwertig ,Ein Nicht-Stein ist ein Mensch‘ und ,Ein Stein ist nicht ein Mensch‘. (Ich merke jedoch an, dass dies bei universellen Aussagen nicht gilt, z.B. ,Jeder Stein ist nicht ein Mensch‘ also ,Jeder Nicht-Stein ist ein Mensch‘.) Oder er nimmt eine verneinende Aussage mit negativem Prädikat statt einer bejahenden mit positivem Prädikat, bzw. umgekehrt. Z.B. sind gleichwertig ,Jeder Philosoph ist nicht ein Nicht-Mensch‘ und ,Jeder Philosoph ist ein Mensch‘. Oder er nimmt drittens an Stelle einer gegebenen Aussage jene, die man durch Umkehrung per Kontraposition gewinnt. Doch die UA wird durch Kontraposition in eine UN konvertiert, und die UN und die PN in eine PA. Daher ist es leicht, aus bloß verneinenden Aussagen

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Einfache Schlüsse

affi rmantem, si ista stet pro negativa. Ita patet omnes illas 8 variationes qualitatis fore utiles, et per consequens modos utiles fore 32 * 8 = 2563 juxta nostrum calculum. Similis fere ratio est syllogismi eius de quo Logici disputant: Qu icunque non credunt, damnantur. Judaei non credunt. E. damnantur. Sed eius expeditissima solutio est, minorem esse affi rmantem; quia medius terminus affi rmatur de minore. Medius terminus autem non est: credere, sed: non credere, id enim praeexstitit in majore prop. 31. Non possum hic praeterire modum Daropti ex ingenioso invento Cl. Thomasii nostri. Is observavit ex Ramo Schol. Dialect. Lib. 7 c. 6 pag. m 214 Conversionem posse demonstrari per Syllogismum adjiciendo propositionem identicam; v.g. UA in PA sic: Omne α est γ. Omne α est α (si in 3tiae modo Darapti velis; vel omne γ est γ, si in 4tae modo Baralip). E. quoddam γ est α. Item PA in PA. Sic: Quoddam α est γ. Omne α est α (si in 3tiae modo Disamis velis, vel omne γ est γ, si in 4tae modo Dibatis). E. quoddam γ est α. Item UN in UN (in Cesare 2dae) sic: Nullum α est γ. Omne γ est γ. Ergo nullum γ est α. Item PN in PN vel in Baroco 3tiae sic: Omne α est α. Quoddam α non est γ. E. quoddam γ non est α. (Vel in Colanto 4tae: Quoddam α non est γ. Omne γ est γ. Ergo quoddam γ non est α.) Idem igitur ipse in Conversione per Contrapositionem tentavit, v.g. hujus PN: Qu idam homo non est doctus, in hanc PA infi niti subjecti: Quoddam non doctum est homo. Syllogismus in Daropti erit talis: Omnis homo

3 Leibniz’

Zeichen für Multiplikation und Gleichheit wurden durch heute gängigere Symbole ersetzt.

Aus der Dissertation »Über die Kunst der Kombinatorik«

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eine bejahende zu erschließen, wenn die verneinenden gerade solche sind, die für bejahende stehen; ebenso gewinnt man aus einer A und einer N eine bejahende Aussage, sofern diese für eine verneinende steht. Somit erhellt, dass alle jene 8 Variationen der Qualität gültig sein werden, und folglich gibt es nach unserer Rechnung 32 * 8 = 256 gültige Modi. Fast die gleiche Überlegung trifft auf jenen Schluss zu, über den die Logiker streiten: ,Wer nicht glaubt, wird verdammt. Die Juden glauben nicht. Also werden sie verdammt‘. Die einfachste Auflösung hiervon ist, dass die Minoraussage bejahend ist, weil der Medius vom Minorbegriff ausgesagt wird. Der Mediusbegriff lautet aber nicht ,glauben‘, sondern ,nicht glauben‘, dies steht nämlich in der Majoraussage an vorderer Stelle. 31. Ich kann hier nicht den Modus Daropti übergehen, den unser genialer Cl. Thomasius erfunden hat. In „Ex Ramo Schol. Dialect“, Buch 7, Kap. 6, M 214 hat er bemerkt, dass sich die Konversionsgesetze unter Hinzunahme identischer Aussagen durch Syllogismen beweisen lassen, z.B. die [akzidentelle Konversion der] UA in PA wie folgt: Jedes α ist γ. Jedes α ist α (wenn man den Modus Darapti der Dritten Figur nehmen will; oder Jedes γ ist γ, wenn man den Modus Baralip der Vierten Figur nimmt). Also: Ein γ ist α. Ebenso die [einfache Konversion der] PA in PA so: Ein α ist γ. Jedes α ist α (wenn man den Modus Disamis der Dritten Figur will; oder Jedes γ ist γ, wenn man den Modus Dibatis der Vierten Figur nimmt). Also: Ein γ ist α. Ebenso die UN [einfach konvertiert] in UN (durch Cesare der Zweiten Figur) so: Kein α ist γ. Jedes γ ist γ. Also Kein γ ist α. Ebenso die [einfache Konversion der] PN in PN entweder durch Baroco der Dritten Figur so: Jedes α ist α. Ein α ist nicht γ. Also ein γ ist nicht α. (Oder durch Colanto der Vierten Figur: Ein α ist nicht γ. Jedes γ ist γ. Also: Ein γ ist nicht α). Das gleiche hat er sogar bei der Konversion durch Kontraposition versucht, z.B. der PN ,Ein Mensch ist nicht gelehrt‘, in diese PA mit »infi nitem« Subjekt: ,Ein nicht Gelehrter ist ein Mensch‘. Der Syllogismus nach Daropti lautet so: ,Jeder Mensch

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Einfache Schlüsse

est homo. Qu idam homo non est doctus. E. quoddam quod non est doctum est homo. 32. Observari tamen hic duo debent. Minorem juxta Sturmianam doctrinam videri quasi pro alia 4 [positivam]: Qu idam homo est non doctus; deinde omnino optime sic dici: propositionis hujus: Qu idam homo non est doctus, conversam per contrapositionem proprie hanc esse etiam negativam; Quoddam doctum non est non non homo, et in conversione per contrapositionem identicam ipsam debere esse contrapositam; id ostendit Syllogismus jam non amplius in Daropti, sed Baroco: Omnis homo est non non homo (id est: omnis homo est homo). Quidam homo non est doctus. Ergo quoddam doctum non est non non homo (id est: quoddam 5 [doctum non] est homo). 33. Caeterum Sturmianos illos modos arbitror non formae sed materiae ratione concludere, quia quod termini vel fi niti vel infi niti sint non ad formam propositionis seu copulam aut signum pertinet, sed ad terminos. […]

4 /positam 5 /

L/ positivam ändert Hrg. non doctum L/ doctum non ändert. Hrg.

Aus der Dissertation »Über die Kunst der Kombinatorik«

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ist ein Mensch‘. ,Ein Mensch ist nicht gelehrt‘. Also: ,Einer, der nicht gelehrt ist, ist ein Mensch‘. 32. Hier sind jedoch zwei Dinge zu beachten. Die Minoraussage muss nach der Lehrmeinung von Sturm quasi wie eine positive betrachtet werden: ,Ein Mensch ist nicht-gelehrt‘. Demzufolge wäre es überhaupt am besten zu sagen: Die Konversion durch Kontraposition der Aussage ,Ein Mensch ist nicht gelehrt‘ führt streng genommen zur ebenfalls negativen Aussage Ein Gelehrter ist nicht ein nicht-nicht-Mensch, und bei der Konversion durch Kontraposition muss auch die identische Aussage selber kontrapositiv genommen werden. Dann gehört aber der Syllogismus nicht mehr zu Daropti, sondern zu Baroco: ,Jeder Mensch ist ein nicht-nicht-Mensch‘ (d.h. ,Jeder Mensch ist ein Mensch‘). ,Ein Mensch ist nicht gelehrt‘. Also: ,Ein Gelehrter ist nicht ein nicht-nicht-Mensch‘ (d.h. ,Ein Gelehrter ist nicht ein Mensch‘). 33. Im Übrigen glaube ich, dass diese Modi von Sturm nicht der Form, sondern nur der Materie nach gültig sind, denn die Tatsache, dass Begriffe »fi nit« bzw. »infi nit« sind, betritt nicht die Form der Aussage, d.h. die Kopula oder das Qu antorzeichen, sondern den Begriff. […]

66

Einfache Schlüsse

2.2.3 Kommentar Die im Alter von 19 Jahren verfasste Dissertation „Über die Kunst der Kombinatorik“ behandelt nicht vorrangig Fragen der Syllogistik, sondern entwickelt eine allgemeine Theorie der »Variationen« und »Komplexionen«, die sich auf beliebige Wissenschaftsbereiche anwenden lässt. Eine wichtige Anwendung erblickt Leibniz in der Bestimmung der Anzahl der (gültigen) syllogistischen Modi. Im Anschluss an Joh. Hospinianus zieht er dabei außer den universellen und partikulären Aussagen auch solche »indefi niter« und singulärer Natur in Betracht.1 Unter einer (in ihrer Qu antität) »unbestimmten« Aussage ist dabei eine Aussage zu verstehen, der jegliches Qu antitätszeichen („signum“) wie ,Jeder‘ („Omne“) bzw. ,Ein‘ („Quoddam“) fehlt. Das paradigmatische Beispiel ,Homo est animal‘ lässt sich leider nicht einfach ins Deutsche übersetzen, denn ,Mensch ist Lebewesen‘ wäre ungrammatisch, und ,Der Mensch ist ein Lebewesen‘ würde im Allgemeinen als universelle Aussage ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ verstanden. Wie sich noch zeigen wird, hat Leibniz sein eigenes Verständnis der »unbestimmten« Aussagen im Laufe der Jahre verändert. Während er zur Zeit der „Dissertatio“ und wohl auch noch gegen 1676 der Tradition folgend die Regel übernahm, eine »unbestimmte« Aussage als eine partikuläre zu deuten, setzt sich gegen 16792, spätestens ab 1686 das Verständnis von ,Homo est animal‘ bzw. abstrakter von ,A est B‘ als synonym mit der universellen Aussage ,Omne A est B‘ durch.

1 Vgl.

die Zusammenfassung in Abschnitt 18, wo Aussagen der Qu antität nach als universell oder partikulär oder indefi nit oder singulär bezeichnet und entsprechend durch U, P, I bzw. S symbolisiert werden: „Qu antitate autem propositio est vel Universalis vel Particularis vel Indefinita vel Singularis; nos brevitatis causa utemur literis initialibus: U, P, I, S“. 2 Vgl. Absatz # 6 der „Calculi universalis elementa“, wo Leibniz allgemein erklärt, dass der Subjektbegriff stets universell zu verstehen sei, wenn ihm nicht explizit das Zeichen der Partikularität vorangeht.

Kommentar

67

Wegen der Berücksichtigung von vier statt nur zwei Arten von Quantität kommen angesichts der beiden Sorten von »Qualität« (affi rmativ oder negativ) insgesamt acht Satztypen in Frage, die als Prämisse bzw. Konklusion eines Syllogismus auftreten können. Deshalb gibt es 8 * 8 = 64 unterschiedliche Paare von Prämissen und also 64 * 8 = 512 verschiedene Schlussweisen oder Modi, von denen Hospinianus nur 38, Leibniz hingegen 88 für logisch gültig hält. Hinsichtlich der »klassischen« Syllogismen, bei denen nur universale und partikuläre, aber keine singulären oder »unbestimmten« Aussagen betrachtet werden, bleiben Leibniz’ Ausführungen leider etwas unklar. Bezüglich der Figuren I – III schließt er sich der Tradition an und listet in einer Tabelle die bekannten Modi Barbara, Celarent, Barbari, Celaro, Darii und Ferio der Ersten Figur auf; ebenso Cesare, Camestres, Cesaro, Camestros, Festino und Baroco der Zweiten Figur; sowie Darapti, Felapton, Datisi, Ferison, Disamis und Bocardo der Dritten Figur. Für die Vierte Figur hingegen nennt er außer den »üblichen« Baralip, Dibatis und Fresisom (bzw. Fresismo) gewisse Modi Celanto, Fapesmo und Colanto. In späteren Jahren hat Leibniz jedoch Fehler in dieser tabellarischen Übersicht eingeräumt. In einem Brief an Placcius aus dem Jahre 1686 erwähnte er, dass die gültigen Modi der Vierten Figur abstrakt als „AEE, AAI, EAO, EIO, IAI, AEO“ zu charakterisieren wären. Und in einer Bekanntmachung in den Acta Eruditorum von 1691 erklärte er genauer, dass der vermeintlich gültige Modus OAO (Colanto) in der Vierten Figur wegfällt und durch AEE (Calerent bzw. Callentes) ersetzt werden muss.3 Auf die Frage der genauen Bestimmung der Anzahl der gültigen Modi (insbesondere der Vierten Figur) gehen wir später noch näher ein. Im Moment wollen wir uns auf jene Probleme konzentrieren, die in den ausgewählten Textausschnitten der „Kunst der Kombinatorik“ vorrangig thematisiert werden: 3 Leibniz

Stellungnahme zum von ihm nicht legitimierten Nachdruck der „Disser tatio de Arte Combinatoria“ wurde abgedruckt in A VI 2, S.‹549; dort fi ndet sich auch ein Hinweis auf Leibniz’ Mitteilung an Placcius.

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Einfache Schlüsse

(i) Was ist die logische Natur singulärer Aussagen? (ii) Inwiefern gelten die traditionellen Regeln der Syllogistik, dass aus bloß negativen Aussagen nichts folgt und dass die Qu alität der Konklusion der schwächeren Prämisse folgt? (iii) Wie lauten die einzelnen Konversionsgesetze und wie schlüssig sind die von J. Ch. Sturm konstruierten syllogistischen Beweise?

(Ad i) Aus heutiger Sicht ist eine singuläre Aussage im Allgemeinen weder mit einer partikulären noch mit einer universellen Aussage äquivalent. Zwar folgt die Normalform einer singulären Aussage, F(a), logisch aus der universell quantifizierten Aussage ,Für alle x: F(x)‘, symbolisch: ∀x F (x ) → F (a)

Umgekehrt impliziert F(a) selber die existentiell quantifizierte Aussage ,Für mindestens ein x gilt: F(x)‘, symbolisch: F (a) →∃x F (x ).

Aber beide Beziehungen lassen sich normalerweise nicht umkehren; so dass eben keine Äquivalenz vorliegt. Dessen ungeachtet ist die auf Johannes Raue zurückgehende Analyse von ,Sokrates ist Sohn des Sophroniscus‘ als ,Wer immer Sokrates ist, ist Sohn des Sophroniscus‘ auch aus der Perspektive der modernen Logik völlig korrekt. Sie lässt sich mit prädikatenlogischen Mitteln wie folgt erläutern. Bezeichnet man die Eigenschaft, ein Sohn des Sophroniscus zu sein, durch F(x) und kürzt man den Namen ,Sokrates‘ durch a ab, so nimmt die Aussage ,Sokrates ist Sohn des Sophroniscus‘ die Gestalt F(a) an. Ferner kann die universelle Aussage ,Wer immer Sokrates ist, ist Sohn des Sophroniscus‘ durch ∀x(x = a → F(x)) symbolisiert werden. Da die Formel F (a)  ↔  ∀x (x  =  a   → F (x ))

prädikatenlogisch wahr ist, kann man in diesem Sinn von einer Äquivalenz zwischen einer singulären und einer universellen

Kommentar

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Aussage sprechen.4 Ob darüber hinaus im Rahmen der Leibnizschen Begriffslogik eine weiter reichende Äquivalenz von universellen und singulären Aussagen besteht, soll anläßlich der Schrift „Difficultates quaedam Logicae“ in Abschnitt 2.6 noch näher diskutiert werden. Als nächstes sei angemerkt, dass die von Leibniz beiläufig vorgebrachte Charakterisierung des Demonstrativpronomens ,hic‘ als einem dritten Qu antitätszeichen („signum“) für das Singuläre – neben ,omne‘ als Zeichen für das Universelle und ,quoddam‘ als Zeichen für das Partikuläre – durchaus Sinn macht. Die logische Funktion dieses Operators ließe sich in Anlehnung an den modernen Kennzeichnungsoperator wie folgt rekonstruieren. Ist F(x) ein nichtleeres einstelliges Prädikat, so wird durch den Ausdruck ,dieses F‘ – formal δxF(x) – je nach Kontext jeweils ein Ding x mit der Eigenschaft F ausgewählt.5 Der von Leibniz genannte Beispielschluss wäre dann wie folgt zu analysieren. Kürzt M(x) das Prädikat ,x ist ein Mensch‘ ab und G(x) entsprechend ,x ist gelehrt‘, so kann die erste Prämisse ,Dieser Mensch ist gelehrt‘ durch (*)

G (δx M (x ))

dargestellt werden. Steht ferner p für ,Petrus‘, so lässt sich die zweite Prämisse ,Petrus ist dieser Mensch‘ durch (* *)

p  =   δx M (x )

ausdrücken. Aus den Annahmen (*) und (**) folgt dann identitätslogisch die Konklusion G(p), d.h. ,Petrus ist gelehrt‘. (Ad ii) Als nächstes betrachten wir die »Gegenbeispiele«, mit denen J. Ch. Sturm die traditionellen Regeln zu widerlegen ver4 Vgl.

auch Dürr (1949), S.‹17. Am Rande sei vermerkt, dass die von Leibniz er wähnte Umkehrung ,Jeder Sohn des Sophroniscus ist Sokrates‘ entsprechend durch ∀x(F(x) → x=a)) darzustellen wäre. Diese Aussage ist (unter Voraussetzung von F(a)) dann nur dann wahr, wenn Sokrates keinen Bruder hat. 5 Generell gilt dann das logische Gesetz F(δxF(x)).

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Einfache Schlüsse

suchte, dass sich aus zwei negativen Prämissen keine syllogistische Konklusion ableiten lässt bzw. dass die Konklusion eines Syllogismus mit einer negativen Prämisse selber negativ sein muss. Wie Leibniz treffend bemerkt, sind all diese Beispiele so konstruiert, dass die scheinbar negativen Prämissen in Wirklichkeit verkappt affi rmative Aussagen sind bzw. umgekehrt eine scheinbar affi rmative Konklusion in Wahrheit eine verkappt negative Aussage darstellt. Somit liegt keine eigentliche Verletzung der traditionellen Regeln vor. Dennoch lohnt es sich, die von Sturm verwendeten Umformungsregeln genauer zu analysieren. Dieses Thema ist relativ komplex und soll deshalb nicht in der Reihenfolge abgearbeitet werden, die Leibniz im zitierten Textauschnitt gewählt hatte. Wir beginnen mit dem einfacheren Fall 2, wo Sturm eine universelle Aussage mit »infi nitem« Prädikat wie z.B. ,Jeder Philosoph ist nicht ein Nicht-Mensch‘ in eine UA mit positivem Prädikat ,Jeder Philosoph ist ein Mensch‘ umwandelt. Dabei gehen wir zunächst von der (von Sturm ebenso wie von Leibniz offenbar geteilten) Voraussetzung aus, dass jede universelle Aussage der Form (†)

Jedes B ist nicht ein C

im Sinne von (‡)

Jedes B ist ein nicht-C,

zu verstehen ist, also gemäß Obv 1 als die universell negative Aussage ,Kein B ist ein C‘. Unter dieser Annahme erweist sich Sturms Transformation als logisch korrekt, denn die Prämisse ,Jeder Philosoph ist nicht ein Nicht-Mensch‘ kann zunächst in ,Jeder Philosoph ist ein Nicht-Nicht-Mensch‘ transformiert und dann gemäß dem Gesetz der doppelten Verneinung zu ,Jeder Philosoph ist ein Mensch‘ vereinfacht werden. Andererseits wäre es aufgrund der flexiblen Grammatik des Lateinischen auch möglich, die Formel (†), d.h. ,Omne B non est C‘, als satzlogische Verneinung der UA zu verstehen, d.h. als ,Non omne B est C‘ bzw.

Kommentar

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(‡‡) Nicht jedes B ist ein C.

In diesem Fall würde die Prämisse ,Jeder Philosoph ist nicht ein Nicht-Mensch‘ lediglich bedeuten ,Nicht jeder Philosoph ist ein Nicht-Mensch‘. Diese Aussage lässt sich via ,Ein Philosoph ist nicht ein Nicht-Mensch‘ in ,Ein Philosoph ist ein Mensch‘ umformen6. Aus dieser partikulär affi rmativen Aussage folgt jedoch das universelle Pendant ,Alle Philosophen sind Menschen‘ nicht »vi formae«, d.h. nicht mit logischer Notwendigkeit, sondern allenfalls – wie man sich in der Tradition auszudrücken pflegte – »vi materiae«, d.h. aufgrund der Bedeutung der konkreten Begriffe (und aufgrund der tatsächlich bestehenden Sachverhalte). Betrachten wir als nächstes die von Leibniz zuerst diskutierte Überführung einer PA mit negativem Subjekt wie z.B. ,Ein Nicht-Stein ist ein Mensch‘ in die PN ,Ein Stein ist nicht ein Mensch‘. Auch dieser Schluss ist »vi materiae« gültig, denn die Konklusion ,Ein Stein ist nicht ein Mensch‘ ist ja de facto wahr. Aber die Wahrheit dieser Aussage ergibt sich nicht vi formae aus der Wahrheit der Prämisse ,Ein Nicht-Stein ist ein Mensch‘, was man leicht durch ein strukturgleiches Beispiel mit einem anderem Subjektbegriff einsieht. Ersetzt man nämlich ,Stein‘ durch ,Philosoph‘, so bleibt die Prämisse ,Ein NichtPhilosoph ist ein Mensch‘ wahr; die Konklusion ,Ein Philosoph ist nicht ein Mensch‘ wird hingegen falsch. Abstrakter lässt sich Sturms Fehlschluss wie folgt analysieren. Eine PA mit »infi nitem« Subjekt, d.h. eine Aussage der Struktur I(~C,B), darf man zwar gemäß Konv 2 zu der ebenfalls partikulär affi rmativen Aussage mit »infi nitem« Prädikat, I(B,~C), konvertieren; und diese Aussage ließe sich gemäß 6 Ein

formaler Nachweis dieser Behauptung kann auf zwei Wegen erfolgen. Einerseits ist die Negation von A(B,~C) gemäß Obv  1 mit der Negation von E(B,C) äquivalent, also nach Opp 2 mit I(B,C). Andererseits kann man von ¬A(B,~C) via Opp 1 zu O(B,~C) übergehen und diese Formel mittels Obv 2 in I(B,~~C), also mit dem Gesetz der doppelten Verneinung in I(B,C) transformieren.

72

Einfache Schlüsse

Obv 2 weiter in eine partikulär negative Aussage, nämlich in O(B,C), transformieren. Doch die partikulär negative Aussage gestattet, wie der Tradition eigentlich bewusst war, keinerlei Konversion. Deshalb darf man im vorliegenden Fall nicht zu Sturms Konklusion O(C,B) übergehen. Dies hat Leibniz offenbar nicht deutlich (genug) erkannt. Er wies in der Klammerbemerkung lediglich darauf hin, dass der verwandte Schluss von der universellen Aussage (*)

Jeder Stein ist nicht ein Mensch

auf die UA mit »infi nitem« Subjekt, (**)

Jeder Nicht-Stein ist ein Mensch

ungültig sei. Diese Behauptung ist unmittelbar einsichtig, wenn man der weiter oben erläuterten »Konvention« folgt, Aussagen der Gestalt (†) stets im Sinne von (‡) zu verstehen. Denn dann besagt (*) so viel wie ,Jeder Stein ist ein Nicht-Mensch‘, und diese Aussage ist (analytisch) wahr, während (**) offenkundig falsch ist. Gehen wir nun zu der dritten Sturmschen Umformung über, die Leibniz als Kontraposition bezeichnet. Welchen logischen Schluss er dabei genau vor Augen hatte, bleibt leider etwas unklar. In Abschnitt 30 spricht er nur abstrakt davon, dass eine UA durch Kontraposition in eine UN konvertiert würde, und die UN und die PN in eine PA. Diese Thesen ließen sich ausführlicher wie folgt begründen. Die UA A(B,C) kann man gemäß dem eigentlichen Gesetz der Kontraposition, Kontra 1, zunächst in A(~C,~B) überführen; hieraus gewinnt man mittels Obv 1 E(~C,B), also eine UN mit »infi nitem« Subjekt. Analog lässt sich die UN E(B,C) per Obv 1 zunächst in A(B,~C) transformieren, woraus sich mittels »akzidenteller« Konversion, d.h. Konv 3, I(~C,B) ergibt, also eine PA mit »infi nitem« Subjekt. Schließlich gewinnt man auch aus der PN O(B,C) per Obv 2 zunächst I(B,~C) und dann durch einfache Konversion I(~C,B). In diesem Sinne lässt sich also eine UA in eine UN konvertieren, und eine UN ebenso wie eine PN impliziert jedenfalls

Kommentar

73

eine PA mit jeweils »infi nitem« Subjekt. Durch die Einführung negativer Begriffe ähneln diese Umformungsregeln in gewisser Weise den Gesetzen der Kontraposition. Das wesentliche Merkmal einer echten Konversion durch Kontraposition besteht jedoch darin, dass der Typ der Aussage (A bzw. O) erhalten bleibt und dass die Konversion bzw. Vertauschung von Subjekt und Prädikat eine Negation beider Begriffe involviert.7 Die obigen Transformationen verändern hingegen den Typus der jeweiligen Aussage und sind deshalb eher als Varianten der Obversion zu bezeichnen. Dass Leibniz jedenfalls genau diese Umformungen vor Augen hatte, geht aus dem Beispiel am Ende von Abschnitt 31 hervor. Dort wird nämlich die PN ,Ein Mensch ist nicht gelehrt‘ in die PA mit »infi nitem« Subjekt transformiert ,Ein nicht Gelehrter ist ein Mensch‘. Dieser Übergang besteht im Wesentlichen aus der Obversion von O(B,C) in I(B,~C) (gemäß Obv 2) und anschließender Konversion in I(~C,B) (gemäß Konv 2). (Ad iii) Der letzte Komplex betrifft Leibniz’ Auseinandersetzung mit Thomasius, insbesondere mit dessen syllogistischen Beweisen der Konversionsgesetze. Die »akzidentelle« Konversion der UA, d.h. das Gesetz Konv 3, soll sich nach Darstellung in Abschnitt 31 z.B. mittels des Modus Darapti der Dritten Figur beweisen 7 Entsprechend

bedeutet ja auch im aussagenlogischen Fall die Kontraposition der Wenn-dann-Aussage den Übergang von (α⊃β) zur Implikation (¬β⊃¬α), bei der beide Teilsätze negiert werden. Auch bei Varianten wie z.B. dem Schluss von (α⊃¬β) auf (β⊃¬α), bei dem keine »neuen« Negationszeichen hinzukommen, ändern beide Teilsätze nach der Konversion ihre »Qu alität«: Aus α wird ¬α und aus ¬β wird ¬¬β (bzw. vereinfacht β). Leibniz selber hat das satzlogische Prinzip der Kontraposition z.B. in der Arbeit „Analysis Particularum“ wie folgt formuliert: „Si ex propositione L […] sequitur propositio M […] tunc contra ex falsitate propositionis M sequitur falsitas propositionis L“ (A VI, 4, 655/6). D.h. wenn L logisch M impliziert, dann folgt umgekehrt aus der Falschheit von M die Falschheit von L.

74

Einfache Schlüsse

lassen. Dies sei zunächst genauer überprüft. Übernimmt man die in Leibniz’ reiferen Werken zumeist befolgte Norm, die Begriffe eines Syllogismus in der Reihenfolge Minor, Medius, Major durch B, C und D zu symbolisieren8, und folgt man weiterhin der Konvention, die Major-Prämisse stets an erste Stelle zu setzen, so nimmt der Modus Darapti der Dritten Figur (bei der ja der Medius beide Male als Subjekt fungiert) 9 folgende Gestalt an: A (C , D ), A (C , B ) ⇒ I(B , D ).

Mittels der Substitution B/γ, C/α und D/α gewinnt man dann aus der »identischen« Aussage ,Jedes α ist α‘, A(α,α), zusammen mit der Prämisse ,Jedes α ist γ‘, A(α,γ), die gewünschte Konklusion ,Ein gewisses γ ist α‘.10 Der als nächstes versuchte Beweis der einfachen Konversion der PA gemäß Konv 1 funktioniert allerdings nicht, wie im Text behauptet, mittels des Modus Dibatis, sondern – wie Leibniz in der späteren Schrift „De formis Syllogismorum Mathematice defi niendis“ ausführt – mit Hilfe von Datisi der Dritten Figur: Datisi

A (C , D ), I(C , B ) ⇒ I(B , D ).

Denn substituiert man hier wiederum B/γ, C/α und D/α, so erhält man aus der identischen Aussage A(α,α) mit der Prämisse I(α,γ) die gesuchte Konklusion I(γ,α).11

 8 Unter

dem Minor- bzw. Majorterm versteht man generell das Subjekt bzw. das Prädikat der Konklusion.  9 Für eine Defi nition der einzelnen Figuren vgl. Abschnitt 1.1 weiter oben. 10 Genau diesen Beweis hat Leibniz in „De formis syllogismorum“ in folgende Kurzfassung gebracht: „In Darapti tertiae demonstratur Universalem Affi rmativam posse converti per accidens, nempe: Omne A est A, Omne A est B. Ergo quoddam B est A.“ 11 Vgl. „De formis syllogismorum“: „(4) In Datisi tertiae demonstratur particularem affi rmativam posse converti simpliciter, nempe: Omne A est A, quoddam A est B. Ergo quoddam B est A.“

Kommentar

75

Der dritte Beweis der Konversion der UN mittels des Modus Cesare der Zweiten Figur ist hingegen wieder einwandfrei. Da in dieser Figur der Medius beide Male als Prädikat auftritt, hat Cesare die Struktur Cesare

E (D,C ), A (B ,C ) ⇒ E (B , D ).

Substituiert man neben dem früheren B/γ und D/α für C nun γ, so gewinnt man aus ,Kein α ist γ‘ plus der Identität ,Jedes γ ist γ‘ die gewünschte Konklusion ,Kein γ ist α‘.12 Der vierte von Thomasius versuchte »Beweis« der Konversion der PN ist natürlich zum Scheitern verurteilt, denn die partikulär negative Aussage gestattet nun einmal keine Konversion. Dennoch soll hier kurz untersucht werden, welcher Fehler dem fraglichen Schluss „Jedes α ist α. Ein gewisses α ist nicht γ. Also Ein gewisses γ ist nicht α“ zugrunde liegt. Laut Leibniz’ Darstellung handelt es sich um einen Syllogismus Baroco der Dritten Figur. Wenn es innerhalb dieser Figur tatsächlich einen gültigen Modus des Typs A,O,O gäbe, dann lautete er genauer: A (C , D ), O (C , B ) ⇒ O (B , D ).

Hieraus erhielte man mit der Substitution B/γ, C/α und D/α in der Tat den zitierten Schluss von der Identität A(α,α) und der PN O(α,γ) auf die konverse PN O(γ,α). Aber: in der Dritten Figur gibt es keinen gültigen Modus namens Baroco. Der einzig gültige Baroco ist ein Modus der Zweiten Figur, während in der Dritten lediglich Bocardo, d.h. O (C , D ), A (C , B ) ⇒ O (B , D )

gültig ist. Um hiermit die Konklusion O(γ,α) zu gewinnen, müsste man B/γ und D/α substituieren. Für C/γ geht dann zwar die Minoraussage wie gewünscht in eine Identität über, doch die Majorprämisse lautet nunmehr O(γ,α), so dass insgesamt die 12 Vgl. die elegante

Version in „De formis syllogismorum“: „(1) In Cesare secundae demonstratur Universalem Negativam posse converti simpliciter, nempe: Nullum A est B, Omne B est B. Ergo Nullum B est A“.

76

Einfache Schlüsse

PN O(γ,α) aus sich selber, nicht aber aus der konversen Formel O(α,γ) abgeleitet würde.13 Als letztes versuchte Thomasius, den etwas unglücklich als Kontraposition bezeichneten Schluss von der PN O(B,D) auf die korrespondierende PA mit negativem Subjekt, I(~D,B), mittels des so genannten Modus Daropti zu beweisen. Hierzu wäre Folgendes anzumerken: (i) der fragliche Konversionsschluss ist logisch durchaus gültig, denn aus O(B,D) folgt mit Obv 2 zunächst I(B,~D), und diese PA darf man gemäß Konv 1 zu I(~D,B) konvertieren. (ii) Es handelt sich dabei jedoch nicht wirklich um eine Konversion durch Kontraposition, weil, wie schon oben erläutert wurde, hierfür u.a. beide Begriffe durch ihre Negationen ersetzt werden müssten. (iii) Der gegen Ende von Absatz 31 zitierte, angebliche „Syllogismus nach Daropti: Jeder Mensch ist ein Mensch. Ein gewisser Mensch ist nicht gelehrt. Also: Ein gewisser, der nicht gelehrt ist, ist ein Mensch“ ist zwar logisch korrekt, sofern man den unnötig verkomplizierten Ausdruck ,Quoddam quod non est doctum‘ als synonym mit ,Quoddam non-doctum‘ versteht. Dann hat der Schluss nämlich die Struktur A (B , B ), O (B , D ) ⇒ I(~D, B ).

Wie unter (i) erläutert wurde, folgt die Konklusion I(~D,B) gemäß Obv 2 und Konv 1 aus O(B,D). Allerdings handelt es sich bei diesem sogenannten Daropti um keinen echten Syllogismus (irgendeiner Figur), weil der in der Konklusion auftretende Subjektbegriff ~D in keiner Prämisse vorkommt.14 Leibniz’ eigene Bemerkungen zur Problematik von Daropti (im 32. Abschnitt) sind ziemlich verworren. Erstens ist es nicht 13 Die

andere denkbare Substitution C/α scheidet hier aus, weil sonst aus der Majorprämisse die logisch falsche Formel O(α,α), d.h. die Negation der Identität A(α,α) entstünde. 14 Um den Schluss zu einem Syllogismus zu machen, müsste man die Prämisse O(B,D) (gemäß Obv 2) in I(B,~D) verwandeln. Dann ergibt sich aber lediglich eine Variante des syllogistischen Beweises der Konversion der PA (mit ~D anstelle des sonst üblichen D).

Kommentar

77

bloß Lehrmeinung von Sturm, sondern ein logisches Faktum, dass eine PN „quasi wie eine positive“ betrachtet werden kann. Genau dies ist ja der Kern des Prinzips der Obversion, sei es der UN E(B,C) in die UA A(B,~C), sei es der PN O(B,C) in die PA I(B,~C). Zweitens würde die von Leibniz genannte „Konversion durch Kontraposition“ der Aussage ,Ein gewisser Mensch ist nicht gelehrt‘ in die unnötig verkomplizierte Aussage ,Ein gewisser Gelehrter ist nicht ein nicht-nicht-Mensch‘ de facto auf eine Konversion der PN hinauslaufen. Eine solche Konversion ist aber, es sei noch einmal betont, logisch unzulässig. Deshalb ist Leibniz’ Beweisversuch mittels Baroco zum Scheitern verurteilt. Der Fehler bei seinem Schluss von ,Jeder Mensch ist ein Mensch‘ und ,Ein Mensch ist nicht gelehrt‘ auf ,Ein Gelehrter ist nicht ein Mensch‘ wäre wie folgt zu analysieren. Der Syllogismus Baroco der Zweiten Figur (bei der der Medius beide Mal als Prädikat auftritt) hat die Struktur A (D,C ), O (B ,C ) ⇒ O (B , D ).

Wählt man hier für D und C jeweils den Begriff ,Mensch‘, für B hingegen ,Gelehrt‘, so geht zwar A(D,C) in Leibniz’ Identität ,Jeder Mensch ist ein Mensch‘ über. Auch die Konklusion O(B,D) stimmt dann mit der gewünschten Aussage ,Ein Gelehrter ist nicht ein Mensch‘ überein. Doch diese Konklusion wird aus O(B,C), also aus derselben Aussage ,Ein Gelehrter ist nicht ein Mensch‘ erschlossen und nicht – wie Leibniz meinte – aus der konversen Aussage ,Ein gewisser Mensch ist nicht gelehrt‘. Fazit Insgesamt ist festzuhalten, dass ungeachtet der großen wissenschaftlichen Leistung, die dem 19-jährigen Leibniz mit der Dissertation „Über die Kunst der Kombinatorik“ gelungen ist, seine logischen Kenntnisse zu jener Zeit noch zu wünschen übrig lassen. Leibniz gelingt hier noch kein überzeugender Nachweis der Tatsache, dass die Anzahl der gültigen Modi in jeder der vier Figuren gleich ist. Auch bei der Diskussion der »einfachen« Schlüsse unterlaufen ihm zahlreiche Fehler und Unge-

78

Einfache Schlüsse

nauigkeiten. Er verwechselt (zumindest der Bezeichnung nach) das Prinzip der Kontraposition mit dem der Obversion, und er tendiert dazu, die Konversion der PN für gültig zu erachten, obwohl die Tradition die Ungültigkeit eines solchen Schlusses betont hatte. Vor allem aber fehlt dem jungen Leibniz noch jegliche Souveränität im Umgang mit »infi niten« Begriffen. Dies gilt auch für die als nächstes zu betrachtende Schrift, die sich gezielt der Frage der Konversion widmet.

80

Einfache Schlüsse

2.3.1 „Conversio Logica“1

{

2

Non Animal

Animal

{

Non homo

Homo (omnis) Ex hujusmodi schemate ostendi possunt omnes conversiones: Omnis homo est animal. 4 Ergo quicquid est non animal est non-homo. 5 Patet ex schemate. Nam quia omnis homo sub animali, ergo nullus utique sub non-animali. Quoddam animal est homo. Ergo quidam homo est animal. In schemate patet antecedens, quia homo est species animalis, id est quoddam animal. Patet et consequens, quia 6 utique de homine animal praedicatur. 7 Quoddam animal non est homo. Ergo quidam homo non est animal. Non sequit. 3

1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 2, 41; vgl. A VI, 4, 297–299; vgl. auch die teils fehlerhafte Edition in C., 253–255. 2 /Omnes conversionis Logicae species demonstrantur ex hoc schemate streicht L/ 3 /Ex hujusmodi … conversiones am Rande erg. L/ 4 (1) Ergo non animal est non homo quia enim omnis homo (2) Ergo nullum animal non est ho (3) Ergo quicquid (a) non est animal non est homo (b) est … 5 (1) Nam (a) omne (b) cum dico: Omnis homo est animal, hoc volo omnia exempla hominis (ba) esse (bb) contineri in exemplis animalium. (bba) Ergo (bbb) jam nihil contineri (bbc) nullum exemplum (2) Patet … 6 (1) Si omnis homo (2) utique … 7 (1) Qu idam homo non est animal (a) Qu idam homo (b) Quoddam animal non est homo (2) Quoddam …

„Die Konversionen in der Logik“

81

2.3.2 „Die Konversionen in der Logik“

{

Nicht-Lebewesen Lebewesen

{

Nicht-Mensch

Mensch (jeder) Mittels eines Schemas dieser Art lassen sich alle Konversionsgesetze zeigen. Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Wer kein Lebewesen ist, ist kein Mensch. Dies geht aus dem Schema hervor, denn da jeder Mensch unter die Lebewesen fällt, fällt keiner unter die Nicht-Lebewesen. Ein Lebewesen ist ein Mensch. Also: Ein Mensch ist ein Lebewesen. Wie aus dem Schema erhellt, gilt der erste Satz, denn der Mensch ist eine Spezies der Lebewesen, d.h. ein gewisses Lebewesen. Auch die Geltung des zweiten Satzes erhellt aus dem Schema, weil jedenfalls vom Menschen das Prädikat ,Lebewesen‘ ausgesagt wird. Ein Lebewesen ist nicht ein Mensch. Also: Ein Mensch ist nicht ein Lebewesen. Das folgt nicht.

82

Einfache Schlüsse

Omnis id est nullus non. Omne A est B, id est, omnia exempla ipsius A continentur sub exemplis ipsius B.8 Jam eadem exempla non possunt simul sub exemplis B et sub exemplis ipsius non-B contineri. Ergo,9 omnia exempla ipsius A non continentur sub exemplis ipsius non-B. Syllogismus itaque erit talis: 10 Omne B non est non B. 11 Omne (vel quoddam) A est B. Ergo Omne12 (vel quoddam) A non est non-B. Pro non-B scribamus C, et fiet propositio: Omne13 A non est C. Ergo omne C non est A, id est Ergo omne non-B non est A, seu: nullum non-B est A, seu quicquid non est B14 [non] est A. (nota aliud dicere: nullum-non B aliud nullum non-B). Hinc patet si datur propositionis universalis negativae conversio simpliciter dari universalis affi rmativae conversionem per contrapositionem, et contra. Jam Nullum A est C. Ergo nullum C est A demonstratur hoc modo: Si falsum est nullum C esse A, ergo aliquod15 C est A. Ergo aliquod A est C, cum tamen assumserimus nullum A esse C. Vel sic: Nullum A est C. Ergo non, quoddam A est C. Ergo16 non, quoddam C est A. Ergo nullum C est A. Probanda ergo sola conversio simplex particularis affi rmativae. Quoddam A est C. Ergo quoddam C est A. Quod per se

 8 (1) seu si quid est exemplum ipsius (2) Jam …  9 (1) nulla (2) omnia … sub (a) ipsi (b) exemplis … 10 (1) Qu ae exempla continentur sub exemplis ipsius B ea non continentur sub exemplis ipsius non-B (2) Qu icquid est B (3) Omne B … 11 /(vel quoddam) erg. L/ … 12 /vel quoddam/ erg. L. 13 /(quoddam) streicht L/ 14 (1) est A (2) non est A verb. Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe 15 (1) est (2) C est … est C (a) quod absurdum vel (b) cum tamen (ba) pro (bb) assumserimus … 16 (1) qu (2) (3) non, … A /non/ streicht L. …

„Die Konversionen in der Logik“

83

,Jeder‘, d.h. ,Keiner nicht‘. ,Jedes A ist ein B‘, d.h. alle Einzelfälle von A sind unter den Einzelfällen von B enthalten. Aber dieselben Einzelfälle können nicht gleichzeitig unter den Einzelfällen von B und jenen von Nicht-B enthalten sein. Also sind alle Einzelfälle von A nicht unter den Einzelfällen von Nicht-B enthalten. Deshalb muss der Syllogismus wie folgt ausschauen: Jedes B ist nicht ein Nicht-B Jedes (oder ein) A ist ein B Also: Jedes (oder ein) A ist nicht ein Nicht-B. Schreiben wir für Nicht-B C, so ergibt sich: Jedes A ist nicht ein C Also: Jedes C ist nicht ein A, d.h. Also: Jedes Nicht-B ist nicht ein A, bzw. Kein Nicht-B ist ein A, bzw. Was immer nicht ein B ist, ist nicht ein A (man beachte: es ist etwas anderes zu sagen ,nicht-kein B‘ und ,kein nicht-B‘).1 Hieraus geht klar hervor, dass wenn die universell verneinende Aussagen einfach konvertiert werden kann, dann kann die universell affi rmative Aussage durch Kontraposition konvertiert werden, und umgekehrt. [Die einfache Konversion] ,Kein A ist ein C‘, also ,Kein C ist ein A‘ lässt sich jedoch wie folgt beweisen. Wenn es nicht der Fall ist, dass kein C ein A ist, dann gilt ,Ein C ist ein A‘. Also ,Ein A ist ein C‘, während wir doch angenommen hatten, dass kein A ein C ist. Bzw. so: Kein A ist ein C, also nicht: Ein A ist ein C. Also nicht: Ein C ist ein A, also Kein C ist ein A. Zu beweisen bleibt also nur noch die einfache Konversion der partikulär affi rmativen Aussage: ,Ein A ist ein

1 Die

von Leibniz versuchte Unterscheidung zwischen den Ausdrücken ,nullum-non B‘ und ,nullum non-B‘ lässt sich nicht adäquat ins Deutsche übersetzen. Die Unterscheidung selber ist jedoch auch der Sache nach unbegründet.

84

Einfache Schlüsse

patet, idem enim est ac si diceremus dari exemplum commune ipsius C et ipsius A. Per propositiones particulares cuncta possunt absolvi:17 Om. A est B, id est non, quoddam A non est B, seu falsa propositio ista.18 Similiter Nullum A est D, id est, non, quodd. A est D. Hinc assumto19 [Quoddam] A est D. Ergo [quoddam] D est A cuncta demonstrantur. Negatio particularis negativae est affi rmatio universalitatis. Hinc ex meris particularibus concluditur sic: quoddam A non est B est falsa, quoddam A est A est vera, Ergo quoddam A est B est vera.

17 (1)

Omnis, id est non, q (2) Om. A est B (a) non (b) id est … (2) /Similiter/ erg. L … id est (a) fals (b) non (ba) Om A est B (bb) quodd A est B 19 /Omn. A est D. Ergo Omne D est A L/ Quoddam A est D. Ergo quoddam D est A ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe. 18 (1)

„Die Konversionen in der Logik“

85

C‘, also ,Ein C ist ein A‘. Doch dies erhellt aus sich selbst, denn es ist das gleiche wie zu sagen, dass C und A ein gemeinsames Element besitzen. Mittels der partikulären Aussagen können alle [anderen] behandelt werden: Jedes A ist ein B, d.h. nicht: Ein A ist nicht B, bzw. diese [partikulär negative] Aussage ist falsch. Ähnlich: Kein A ist ein D, d.h. nicht: Ein A ist ein D. Deshalb lassen sich unter der Annahme [des Konversionsgesetzes] ,Ein A ist ein D‘, also ,Ein D ist ein A‘ alle [übrigen Konversionsgesetze] beweisen. Die Negation einer partikulär negativen Aussage ist die Bejahung der Universalität. Deshalb kann man aus bloß partikulären Aussagen folgendes erschließen: ,Ein A ist nicht ein B‘ ist falsch, ,Ein A ist ein A‘ ist wahr; also: ,Ein A ist ein B‘ ist wahr.

86

Einfache Schlüsse

2.3.3 Kommentar In diesem Fragment versucht Leibniz, die verschiedenen Konversionsgesetze (einschließlich der Konversion durch Kontraposition) aus einer einfachen Betrachtung des Umfangs von Begriffen herzuleiten. Dabei lässt er jedoch eine Reihe von Unsicherheiten bezüglich der Formeln mit »infi niten« Begriffen erkennen, so dass man für den Text eine recht frühe Entstehung annehmen muss. Die Herausgeber der Akademieausgabe vermuten zwar – ohne äußerliche Datierungsmerkmale wie dem Wasserzeichen des verwendeten Papiers – eine zeitliche Nähe zu den Arbeiten vom April 1679, doch die in A VI 4, S.‹297 genannten Gründe für diese relativ späte Datierung sind wenig überzeugend. In den „Calculi universalis elementa“ wird jedenfalls das Obversionsprinzip wesentlich klarer formuliert als in „Conversio logica“1, und auch die Ableitung der einfachen Konversion der UN aus jener der PA erfolgt in der Arbeit von 1679 wesentlicher eleganter und souveräner als hier2. Die erste Ungenauigkeit fi ndet sich bereits im Eingangsdiagramm, wo Leibniz mit den Ausdrücken ,Non Animal‘ und ,Animal‘ einerseits sowie ,Homo‘ und ,Non homo‘ andererseits die Mengen aller Individuen symbolisieren möchte, die unter die jeweiligen Begriffe fallen, also die »Beispiele« („exempla“) von Lebewesen bzw. Nicht-Lebewesen auf der einen und von Menschen bzw. Nicht-Menschen auf der anderen Seite. Durch die geschweiften Klammern um die Begriffsumfänge von

1 Vgl.

A VI 4, 206: „Propositio universalis negativa, verbi gratia Nullus homo est lapis, reducatur ad hanc affi rmativam Omnis homo est non lapis“. 2 Vgl. A VI 4, 211: „(13) Et quia U.N. dicit falsitatem ipsius P.A. et P.A. concluditur ex conversa P.A. Ergo U.N. dicit falsitatem conversae P.A. id est […] veritatem conversae U.N. itaque converti potest simpliciter.“ Darüber hinaus vermuten die Herausgeber der Akademieausgabe eine zeitliche Nähe zu „De Negatione«“, doch auch diese Arbeit ist, wie unten begründet wird, in ihrer Diskussion der Fragen der Verneinung reifer als die „Conversio logica“.

Kommentar

87

,Homo‘ und ,Non homo‘ würden dann aber außer den Menschen auch alle Nicht-Menschen unter die Lebewesen subsumiert, also z.B. auch Steine! Wegen dieses Lapsus bleibt der nachfolgende Beweisversuch des Kontrapositionsprinzips „Jeder Mensch ist ein Lebewesen; also: Was immer nicht ein Lebewesen ist, ist nicht ein Mensch“, unbefriedigend. Aus dem Diagramm alleine geht jedenfalls nicht hervor, dass der Umfang des Begriffs ,Nicht-Lebewesen‘ in dem von ,Nicht-Mensch‘ enthalten wäre.3 Was aus ihm bestenfalls hervorgeht, ist das im nachfolgenden Text Behauptete, dass nämlich, weil jeder Mensch zur Menge der Lebewesen gehört, kein Mensch zum Umfang des Begriffs ,Nicht-Lebewesen‘ gehören kann. Dies ist jedoch (noch) nicht die eigentlich zu zeigende Behauptung, dass jedes Nicht-Lebewesen unter den Begriff ,Nicht-Mensch‘ fällt. Um nicht missverstanden zu werden: Das Kontrapositionsprinzip bzw. der Schluss von ,Alle Menschen sind Lebewesen‘ auf ,Alle Nicht-Lebewesen sind NichtMenschen‘ ist logisch völlig in Ordnung. Aber das fragliche Schema zeigt eben nicht, dass die Menge der Nicht-Lebewesen in der Menge der Nicht-Menschen enthalten ist, sondern zeigt fälschlicherweise, dass die Menge der Nicht-Menschen in der Menge der Lebewesen enthalten wäre. Ebenso ist Leibniz’ Schluss von ,Alle Menschen sind Lebewesen‘ auf ,Kein Mensch ist ein Nicht-Lebewesen‘ logisch durchaus korrekt und lässt sich sogar zu einem Beweis des fraglichen Kontrapositionsprinzips – bzw. genauer: zu einer Ableitung von Kontra 1 aus den Gesetzen Konv 2 und Obv 1 – erweitern. Genau dies versucht Leibniz nämlich im weiteren Verlauf des Textes, nachdem er zunächst das triviale Gesetz der Konversion der PA, Konv 1, abhandelt und anschließend den Fehler aus der „Dissertatio de Arte Combinatoria“ wiederholt, die Konvertier-

3 Ansonsten

könnte man ja wegen der im Diagramm dargestellten Subsumption von ,Non homo‘ unter ,Animal‘ per Transitivität weiter schließen, dass ,Non animal‘ in ,Animal‘ enthalten ist!

88

Einfache Schlüsse

barkeit der PN zu behaupten. Im Gegensatz zu damals erkennt er den Fehler nun aber spontan selber („Non sequit.“) und er rollt seine Überlegungen zum Kontrapositionsgesetz noch einmal auf. Dabei fällt ihm zunächst der scholastische Merkvers ein ,Jeder, d.h. Keiner nicht‘ („Omnis id est nullus non“), den er vor allem in den rechtsphilosophischen Arbeiten um 1670 wiederholt verwendet hatte.4 Mit dieser Gedächtnisstütze im Hinterkopf probiert er folgenden Beweis. Aus ,Jedes A ist ein B‘ kann man zunächst folgern ,Jedes A ist nicht ein Nicht-B‘, weil die »Beispiele«, die unter den Begriff B fallen, nicht zugleich unter den Begriff Nicht-B fallen können.5 In einem (an sich entbehrlichen) Zwischenschritt substituiert Leibniz dann für Nicht-B den Begriff C, um anschließend ,Jedes A ist nicht ein C‘ zu ,Jedes C ist nicht ein A‘ zu konvertieren. Dieser Umformungsschritt ist aber keineswegs trivial, sondern bedarf selber einer Rechtfertigung. Eine mögliche Begründung könnte sich z.B. auf die verwandte Formel ,Keiner, d.h. Jeder nicht‘ stützen. Dieser Merkvers ist als elliptische Version des Obversionsprinzips zu verstehen, dem zufolge sich z.B. ,Kein A ist ein C‘ als ,Jedes A ist nicht ein C‘ bzw. ,Jedes A ist ein Nicht-C‘ paraphrasieren lässt. Die auf diese Weise aus ,Jedes A ist nicht ein C‘ gewinnbare UN ,Kein A ist ein C‘ darf dann gemäß Konv 2 weiter zu ,Kein C ist ein A‘ konvertiert werden, und letztere Aussage wird von Leibniz nach Substitution von Nicht-B für C in ,Kein Nicht-B ist ein A‘ zurückverwandelt und schließlich durch erneute Anwendung des Obversionsprinzips ,Keiner, d.h. so viel wie Jeder nicht‘ in 4 Vgl.

insbesondere die „Elementa Juris Naturalis“ (A VI, 1, 465–480), wo Leibniz beim Beweis gewisser modallogischer und deontisch-logischer Prinzipien des öfteren auf elliptisch formulierte Gesetz der Art rekurriert: „nullus non et omnis coincidunt“, „Nullus et omnis non coincidunt“, „quidam non, et omnis coincidunt“, etc. Für eine ausführliche Darstellung seiner deontischen Logik vgl. Kap. 12 von Lenzen (2004). 5 Auf den syllogistischen Beweis dieses Prinzips gehen wir weiter unten noch näher ein.

Kommentar

89

die gewünschte Sukzedensformel von Kontra 1, d.h. in ,Jedes Nicht-B ist nicht ein A‘ transformiert.6 Das von Leibniz gezogene Zwischenfazit, dass man die Kontraposition der UA unter alleiniger Voraussetzung der Konversion der UN beweisen könne, ist also nicht ganz korrekt. Ein vollständiger Beweis von Kontra 1 setzt vielmehr auch das in den Kurzformeln ,Jeder, d.h. so viel wie Keiner nicht‘ bzw. ,Keiner, d.h. so viel wie Jeder nicht‘ versteckte Prinzip der Obversion voraus, das einen wechselseitigen Übergang von ,Jedes A ist ein B‘ zu ,Kein A ist nicht ein B‘ bzw. von ,Kein A ist ein B‘ zu ,Jedes A ist nicht ein B‘ gestattet. Betrachten wir nun den zwiefachen Syllogismus, mit dem Leibniz die Obversionsschlüsse von A(A,B) auf E(A,~B) und parallel von I(A,B) auf O(A,~B) zu beweisen versucht. Diese Syllogismen sind schon deshalb sehr interessant, weil bei ihnen als Prämisse die unorthodoxe »Identität« ,Jedes B ist nicht ein Nicht-B‘ auftaucht. Im Übrigen handelt es sich bei diesen Schlüssen offenbar um die Modi Celarent bzw. Ferio der Ersten Figur, die abstrakt folgende Gestalt annehmen: E (C , D ), A (B ,C ) ⇒ E (B , D ) E (C , D ), I(B ,C ) ⇒ O (B , D ).

Substituiert man hier C/B, D/~B und B/A, so erhält man einerseits den Schluss von E(B,~B) und A(A,B) auf E(A,~B), also eine Variante von Obv 1; andererseits ergibt sich aus E(B,~B) und I(A,B) die Konklusion O(A,~B), d.h. eine Variante von Obv 2. Insgesamt kann man somit gemäß Leibniz’ komprimierter Darstellung mit Hilfe der »identischen« Prämisse ,Jedes B ist nicht 6 Mit

dem Ergebnis „Also Jedes Nicht-B ist nicht ein A“ wäre die Ableitung von Kontra 1 eigentlich beendet, und die weiteren Paraphrasen bzw. Rückübersetzungen in die UN ,Kein Nicht-B ist ein A‘ bzw. ,Was immer nicht ein B ist, ist [nicht] ein A‘ sind im Grunde redundant. Dass Leibniz bei der allerletzten Umformung der weitere Lapsus unterlief, statt des sachlich gebotenen ,ist nicht ein A‘ zu formulieren ,ist ein A‘, deutet darauf hin, dass ihm die fraglichen Umformungen doch erhebliche Schwierigkeiten bereiteten.

90

Einfache Schlüsse

ein Nicht-B‘ aus ,Jedes (oder ein gewisses) A ist ein B‘ die entsprechende Konklusion ,Jedes (oder ein gewisses) A ist nicht ein Nicht-B‘ ableiten. So interessant diese syllogistischen Schlüsse auch sind, so kann man sie dennoch nicht als echte Beweise der Obversionsgesetze ansehen, weil es umgekehrt des Prinzips Obv 1 bedürfte, um die »negative Identität« ,Kein B ist ein Nicht-B‘ bzw. ,Alle B sind nicht Nicht-B‘ aus der wirklich identischen Aussage ,Jedes B ist ein B‘ herzuleiten. Außerdem beruht die stillschweigende Umformung der UN ,Kein B ist ein C‘ in ,Jedes B ist nicht ein C‘ auf dem traditionellen Merkvers „Nullus id est Omne non“, der selber den Grundgedanken der Obversion zum Inhalt hat. Des Weiteren sei angemerkt, dass der spätere »Beweis« von Konv 1 etwas unbefriedigend bleibt. Der Schluss „Ein A ist ein C, also Ein C ist ein A“ erhellt zwar gewissermaßen aus sich selbst, denn, wie Leibniz ausführt: „es ist das gleiche wie zu sagen, dass C und A ein gemeinsames Element besitzen“. Mit dem am Anfang der Arbeit gezeichneten Diagramm lässt sich dieses jedoch nicht begründen. Dafür müsste man z.B. in einem »Euler«-Diagramm den Durchschnitt der Mengen A und C so darstellen, dass wirklich offenkundig wird („patet per se“), dass wenn einige A C sind, dann auch umgekehrt einige C A sind. Leibniz’ abschließende Überlegung, dass man – anscheinend im Widerspruch zu den Regeln der Syllogistik – aus bloß partikulären Aussagen dennoch etwas erschließen kann, zeugt ein weiteres Mal von Unsicherheiten im Umgang mit der Negation. Denn der quasi-syllogistische Schluss von der Negation der PN ,Es ist falsch, dass ein A nicht ein B ist‘ plus der Identität ,Ein A ist A‘ auf die Konklusion ,Ein A ist ein B‘ stellt zwar in gewisser Weise einen korrekten Beweis des Subalternationsschlusses Sub 1 dar;7 aber die erste Prämisse ist keine partikuläre, sondern die Verneinung einer partikulären Aussage und deshalb – 7 Der

Schluss lässt sich als Spezialfall des Modus Darii der Ersten Figur analysieren: A(C,D), I(B,C) ⇒ I(B,D); man substituiere einfach B/A, C/A und D/B.

Kommentar

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gemäß den einfachsten Prinzipien der Opposition, die Leibniz kurz vorher noch einmal resummiert hatte – in Wirklichkeit eine universelle! Insgesamt kann man Leibniz’ Versuch, die Konversionsgesetze aus einer schematischen Betrachtung des Umfangs zweier Begriffe (und deren Negationen) herzuleiten, nicht als wirklich gelungen betrachten. Das Gesetz der Kontraposition wird zwar, anders als in „De Arte Combinatoria“, korrekt formuliert und nicht mehr mit dem verwandten Prinzip der Obversion verwechselt. Auch der Beweis des Gesetzes Kontra 1 – bzw. genauer: dessen Ableitung aus dem Prinzip Obv 1 – ist formal schlüssig. Die Behauptung, dass sich alle Konversionen alleine aus dem grundlegenden Prinzip Konv 1 ableiten lassen, bleibt jedoch uneingelöst, da die analysierten Schlüsse zumindest stillschweigend die traditionellen Umformungen ,Keiner, d.h. Jeder nicht‘ bzw. ,Jeder, d.h. Keiner nicht‘ voraussetzen, die selber gerade das Prinzip der Obversion ausdrücken. Was die Darstellung mittels extensionaler Schemata betrifft, so wird durch das eingangs gezeichnete Diagramm lediglich die UA graphisch korrekt als Teilmengenbeziehung zwischen dem Umfang des Subjekt- und dem Umfang des Prädikatbegriffs dargestellt. Ein Beweis oder auch nur eine Plausibilisierung der Konversionsgesetze ist damit aber noch nicht geleistet. Für die »einfache« Konversion der PA, I(B,C) → I(C,B), wären stattdessen Linien- oder Kreisdiagramme der folgenden Art zu zeichnen, wie Leibniz sie z.B. in „De formae logicae comprobatione“8 konstruiert hat: Die partikulär affirmative Aussage Ein B ist ein C Ein Mensch ist weise

{ BC

B C

Hieraus geht offensichtlich hervor, dass wenn einige B C sind, 8 Vgl.

Abschnitt 4.2 weiter unten.

92

Einfache Schlüsse

also der Durchschnitt des Umfangs von B mit dem Umfang von C nicht leer ist, dann trivialerweise auch umgekehrt der Umfang von C mit dem von B einen nichtleeren Durchschnitt besitzt. Für die Plausibilisierung des Gesetzes Konv 2, d.h. für die einfache Konversion der UN, müsste man entsprechend auf Diagramme der Art Die universell negative Aussage Kein B ist ein C Kein Mensch ist ein Stein

{ BC

B

C

zurückgreifen, die unmittelbar zeigen, dass wenn der Umfang von B disjunkt zu dem von C ist, dies natürlich auch umgekehrt gilt. Schließlich wäre die akzidentelle Konversion der UA durch Diagramme der folgenden Art zu verdeutlichen: Die universell affirmative Aussage Jedes B ist ein C B Jeder Mensch ist ein Lebewesen C

{

B

C

Hier sieht man, dass wenn der Umfang von B in jenem von C als Teilmenge enthalten ist, dann a fortiori beide Umfänge einen nichtleeren Durchschnitt, nämlich das gesamte B, besitzen. Auf diese graphischen »Beweise« kommen wir im Kapitel 4 noch ausführlich zurück. Im Moment sei nur angemerkt, dass das Prinzip der Konversion durch Kontraposition auch mit Leibniz’ reifen Diagrammen nicht plausibel gemacht werden kann. Dazu müsste nämlich neben dem Umfang von B und C auch das Komplement dieser Mengen schematisch dargestellt werden – hierfür fi nden sich jedoch bei Leibniz keinerlei Ansätze.

Kommentar

93

Fazit Insgesamt sprechen mindestens drei Faktoren dafür, dass die Schrift deutlich vor 1679 entstanden ist, eventuell schon zur Zeit der juristisch-logischen Arbeiten von 1670/71: (i)

Das Fehlen von Linien- oder Kreisdiagrammen, wie sie ungefähr ab 1676 nachweisbar werden. (ii) Der zumeist stillschweigende, unkritische Rekurs auf die scholastischen Merkverse ,Keiner, d.h. Jeder nicht‘ bzw. ,Jeder, d.h. Keiner nicht‘. (iii) Gravierende Fehler bzw. Unsicherheiten im Umgang mit der Negation, speziell (*) die zunächst behauptete, anschließend freilich korrigierte Konvertierbarkeit der PN; (**) die sachlich kaum zu begründende Unterscheidung zwischen den angeblich verschiedenen Ausdrücken ,nullum-non B‘ und ,nullum non-B‘9; (***) der Lapsus, die (metasprachliche) Verneinung einer PA als eine partikuläre Aussage zu betrachten.

9 Sinn würde es lediglich machen, zwischen ,non-nullum B‘ und ,nullum

non-B‘ zu unterscheiden. Die Aussage ,Non-nullum B est C‘ bedeutet so viel wie ,(Mindestens) Ein B ist ein C‘, während ,Nullum non-B est C‘ auf ,Omne non-B est non-C‘ hinausläuft, also per Kontraposition auf ,Omne non-non-C est non-non-B‘, d.h. ,Omne C est B‘!

94

Einfache Schlüsse

2.4.1 „De Negatione“1 In communi propositionum enuntiatione aliqua sunt incommoda. Recte quidem procedit: Omnis homo est animal. Et Qu idam homo est doctus. Sed in caeteris aliqua est difficultas. Nam Non omnis homo est doctus, significare dicitur Qu idam homo2 non est [doctus] seu falsum est omnem hominem esse doctum. Ergo non afficit3 totam propositionem, non ergo το omnis quod pertinet ad subjectum. Porro Nullus homo est lapis quomodo resolvetur, haud quidem per non omnis. Nec per omnis non, fieret enim Omnis non homo est lapis quod falsum. Ergo per non quidam, seu falsum quod quidam homo est lapis, ut nonnullus est quidam. Intelligendum est ergo signum quidem esse subjecti, sed non praefi xum esse propositionis seu4 quod eodem redit praedicati. Sed quid hoc? Omnis homo non est lapis. Hoc apparet non satis praevisum esse. Nam si 5 non pertinet ad totam propositionem, sensus erit falsum est omnem hominem esse6 lapidem, si ad praedicatum, sensus erit omnem hominem esse non lapidem seu nullum homi nem esse lapidem. Certe in propositione Qu idam homo non est doctus7 negatio non negat propositionem ipsa demta, sed negat praedicatum quasi quidam homo est non doctus. Aliud ergo est negari propositionem aliud negari praedicatum; dicemus ergo: non praefixum signo negare propositionem, praefixum copulae negare praedicatum, ut certam regulam habeamus. Sed ita aliunde malum. Nam in U. N. negatur praedicatum, omnis homo est non lapis, et itidem in P. N. quidam homo est non lapis. Sed conciliabilia omnia. U. N. et P. 1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 2, 72; vgl. A VI, 4, 299–300 oder auch C., 273. 2 (1) est non doctus (2) non est /non streicht Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe/ doctus. (a) Itaque (b) seu … 3 (1) praedicatum (2) totam … 4 (1) prae (2) quod … 5 (1) signi (2) non … 6 (1) lapidem (2) non lapidem … 7 (1) lapis (2) doctus (a) res eo (b) negatio …

„Über die Negation“

95

2.4.2 „Über die Negation“ Bei der üblichen Formulierung der Aussagen gibt es ein paar Ungereimtheiten. Zwar gehen ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ und ,Ein Mensch ist gelehrt‘ richtig vonstatten, doch bei den übrigen Sätzen besteht eine Schwierigkeit. Denn ,Nicht jeder Mensch ist gelehrt‘ scheint zu besagen, dass (mindestens) ein Mensch nicht gelehrt ist bzw. dass es falsch ist, dass jeder Mensch gelehrt sei. Also betrifft das Wort ,nicht‘ die gesamte Aussage und nicht den Ausdruck ,jeder‘, der zum Subjekt gehört. Doch wie wäre sodann ,Kein Mensch ist ein Stein‘ aufzulösen, kaum jedenfalls durch ,nicht jeder‘; und auch nicht durch ,jeder nicht‘, sonst ergäbe sich nämlich ,Jeder nicht Mensch ist ein Stein‘, was falsch ist. Also durch ,nicht einer‘, d.h. ,Es ist falsch, dass ein Mensch ein Stein ist‘, so dass ,nicht keiner‘ dasselbe ist wie ,einer‘. Die Sache muss also so aufgefasst werden, dass der Qu antorausdruck jedenfalls zum Subjekt gehört, während sich das vorangestellte ,nicht‘ auf die Aussage bezieht bzw., was auf das Gleiche hinausläuft, auf das Prädikat. Doch wie steht es mit ,Jeder Mensch ist nicht ein Stein‘? Hier scheint noch nicht genügend Vorsorge getroffen zu sein, denn wenn sich das ,nicht‘ auf die gesamte Aussage bezieht, bedeutet dies ,Es ist falsch, dass jeder Mensch ein Stein ist‘. Wenn es sich auf das Prädikat bezieht, bedeutet es, dass jeder Mensch ein Nicht-Stein ist bzw. dass kein Mensch ein Stein ist. Gewiss, in der Aussage ,Ein Mensch ist nicht gelehrt‘ verneint die Negation nicht die Aussage, von der das ,nicht‘ weggenommen ist, sondern sie verneint das Prädikat, so als ob gesagt würde ,Ein Mensch ist nicht-gelehrt‘. Es ist also etwas anderes, die Aussage zu verneinen und das Prädikat zu verneinen, so dass wir, um eine sichere Regel zu haben, sagen wollen: Wenn das Wort ,nicht‘ vor dem Quantorausdruck steht, verneint es die gesamte Aussage; wenn es vor der Kopula steht, verneint es das Prädikat. Doch so ist es in anderer Hinsicht schlecht, denn in der UN wird das Prädikat verneint: ,Jeder Mensch ist ein Nicht-Stein‘,

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Einfache Schlüsse

N. fit ex U. A. et P. A. praemittendo non praedicato. Sed non est earum contradictoria. Non praemissum propositioni significat ejus contradictoriam, praemissum copulae negat praedicatum.

„Über die Negation“

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und ebenso in der PN ,Ein Mensch ist ein Nicht-Stein‘. Doch dies alles lässt sich miteinander vereinbaren. Die UN und die PN entstehen aus der UA und der PA dadurch, dass ein ,nicht‘ vor das Prädikat gestellt wird. Doch dies bedeutet nicht, dass die erstere Aussage jeweils die Negation der letzteren wäre. Ein einer Aussage vorangestelltes ,nicht‘ bedeutet deren Negation, ein der Kopula vorangestelltes ,nicht‘ negiert das Prädikat.

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Einfache Schlüsse

2.4.3 Kommentar In diesem Fragment betrachtet Leibniz die verschiedenen Möglichkeiten, die kategorischen Satzformen durch Einfügen des Negationsoperator ,nicht‘ („non“) zu verneinen. Dabei geht er von der traditionellen Auffassung aus, dass jede (noch nicht verneinte) kategorische Satzformen aus drei syntaktischen Einheiten besteht: Subjekt, Kopula und Prädikat, wobei das Quantitätszeichen („signum“) als Teil des Subjekts angesehen wird. Deshalb gibt es für ihn nur drei mögliche Leerstellen, an denen man das ,nicht‘ einfügen könnte: vor dem Subjekt, vor der Kopula und vor dem Prädikat. Aus dem aus der Tradition übernommenen Befund, dass die Negation der UA mit der PN zusammenfällt, zieht Leibniz im ersten Absatz des Textes zunächst korrekt den Schluss, dass in der Aussage ,Nicht jedes B ist ein C‘ das ,nicht‘ die gesamte Aussage negiert. Andererseits meint Leibniz, dieses ,nicht‘ dürfe nicht als Negation des Qu antors interpretiert werden, weil dieser „zum Subjekt gehört“. Selbst wenn man dies einmal als unproblematisch voraussetzt, so ist doch keineswegs klar, ob die Negation der gesamten Aussage, ,Nicht (Jedes B ist ein C)‘, eine andere Bedeutung bzw. andere Wahrheitsbedingungen hat als die Aussage, bei der der Quantor in der Gestalt ,(Nicht jedes) B ist ein C‘ bzw. das Subjekt in der Gestalt ,(Nicht jedes B) ist ein C‘ verneint wird. Im nächsten Absatz probiert Leibniz aus, wie sich die mit Hilfe des Ausdrucks ,kein‘ formulierte UN auf anders negierte Ausdrücke reduzieren lässt. Die Gleichsetzungen von ,kein‘ mit ,jeder nicht‘ bzw. mit ,nicht jeder‘ erweisen sich anscheinend als Sackgassen, so dass Leibniz letztendlich die offenkundige Analyse ,kein‘ = ,nicht ein‘ übernimmt, die freilich im Lateinischen (,nullum‘ = ,non quidam‘) weit weniger offenkundig ist als im Deutschen. Als Korollar ergibt sich die weitere Gleichsetzung ,non nullum‘ = ,quidam‘ bzw. ,nicht kein‘ = ,ein‘. Man beachte, dass diese »Gleichungen« von einem ganz anderen Grundverständnis ausgehen als die entsprechenden

Kommentar

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»Merkverse«, die Leibniz in den rechtphilosophischen Schriften von 1670/1 explizit – und in der zuletzt diskutierten Schrift „Conversio Logica“ zumindest implizit – angewandt hatte. Wenn dort nämlich ,Keiner‘ mit ,Jeder nicht‘ gleichgesetzt wurde, so bedeutete dies, dass die mit dem »negativen Quantor« ,Kein‘ formulierte UN alternativ auch mit Hilfe des »affi rmativen Quantors« ,Jeder‘ ausgedrückt werden kann, nämlich in der Gestalt ,Jedes B ist nicht ein C‘. Wenn Leibniz hier nun dieselbe Gleichsetzung von ,nullus‘ mit ,omnis non‘ verwirft, so deshalb, weil sich sonst bei wörtlich verstandener Substitution aus ,Nullus homo est lapis‘ die Aussage ,Omnis non homo est lapis‘ ergäbe, die im Sinne von ,Jeder Nicht-Mensch ist ein Stein‘ natürlich falsch ist. In einem Zwischenfazit behauptet Leibniz, dass (i) der Quantor sich immer auf das Subjekt bezieht, (ii) ein vorangestelltes ,nicht‘ hingegen auf die Aussage; und dass (iii) diese Negation einer Aussage mit einer Negation des Prädikats gleichwertig sei. Mit der Problematik der These (i) müssen wir uns später noch eingehend beschäft igen. Im Moment sei zunächst festgehalten, dass die Auffasung (ii) völlig vernünft ig erscheint, während These (iii), wie Leibniz sich im nächsten Absatz des Fragments klar macht, eindeutig falsch ist. Dass die Negation des Prädikates nicht mit der Negation der gesamten Aussage äquivalent ist, wird erstens anhand der universellen Aussage ,Jeder Mensch ist nicht ein Stein‘ demonstriert. Wenn das ,nicht‘ hier als Satznegation zu verstehen wäre, wäre die Aussage ja mit ,Nicht: (Jeder Mensch ist ein Stein)‘, also gemäß Opp 1 mit der PN ,(Mindestens) Ein Mensch ist nicht ein Stein‘ äquivalent. Tatsächlich stellt die fragliche Aussage jedoch eine alternative Fassung der UN ,Kein Mensch ist ein Stein‘ dar, denn gemäß dem Prinzip Obv 1 ist A(B,~C) mit E(B,C) äquivalent. Zweitens lässt sich auch anhand einer partikulären Aussage zeigen, dass die Negation des Prädikats nicht als Negation der Aussage verstanden werden kann. Denn gemäß Obv 2, I(B,~C) ↔ O(B,C), ist die affi rmative Aussage mit negativem Prädikat ,Ein Mensch ist nicht-gelehrt‘ nichts anderes als

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Einfache Schlüsse

die PN ,Ein Mensch ist nicht gelehrt‘, während die satzlogische Negation ¬I(B,C) gemäß Opp 2 mit der UN E(B,C) äquivalent wäre.1 Damit bestätigt sich die Gültigkeit der beiden Regeln: SyllNeg 1

SyllNeg 2

Wenn innerhalb einer kategorischen Satzform das Wort ,nicht‘ vor dem Quantorausdruck steht, verneint es die gesamte Aussage. Wenn innerhalb einer kategorischen Satzform das Wort ,nicht‘ vor der Kopula ,ist‘ steht, verneint es das Prädikat.

Für die Frage der Datierung dieses Fragments ist einerseits die inhaltliche Parallele zu den „Generales Inquistiones“ zu beachten, auf die schon Couturat (C., 273, fn. 1) aufmerksam gemacht hat. ,Ein Mensch ist nicht ein Stein‘ bedeutet ,Ein Mensch ist ein NichtStein‘; diese Aussage ,Jeder Mensch ist nicht ein Stein‘ scheint zu bedeuten ,Jeder Mensch ist ein Nicht-Stein‘. Deshalb deuten wir allgemein das ,nicht‘ vor [der Kopula] ,ist‘ wie die Negation des Prädikats, doch das dem Qu antitätszeichen vorangestellte ,nicht‘ verstehen wir als Negation der Aussage.2

Angesichts der Ähnlichkeit beider Ausführungen erscheint es nicht unplausibel, das Fragment „De Negatione“ in die zeitliche Nähe der GI, also gegen 1686 zu rücken. Auch ein Vergleich mit der folgenden Schrift „Ad Vossii Aristarchum“ spricht dafür, dass „De Negatione“ jedenfalls im Zeitraum 1679–86 entstand. 1 Die

Geltung der beiden Obversionsprinzipien wird übrigens auch von Leibniz selber betont, wenn er im Schlussabsatz ausführt, dass die UN und die PN aus der UA und der PA einfach dadurch entstehen, „dass ein ,nicht‘ vor das Prädikat gestellt wird“. 2 Vgl. § 186 GI: „Qu idam homo non est lapis significat: quidam homo est non lapis, istud: Omnis homo non est lapis videtur significare Omnis homo est non lapis; itaque generaliter interpretabimur non ante est quasi praedicatum negativum sed si το non praeponitor signo, intelligimus propositionem negari.“

Kommentar

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Mit den zu jener Zeit erarbeiteten Regeln SyllNeg 1, 2 scheint Leibniz sich jedenfalls defi nitiv Klarheit verschafft zu haben, welche Bedeutungen die einzelnen Ausdrücke besitzen, die man durch Einfügen eines ,nicht‘ in die »umgangssprachlichen« Fassungen der kategorischen Satzformen erhält. Trotzdem wird er auch später noch oft mit den Wahrheitsbedingungen für die entsprechend negierten Formeln zu kämpfen haben, die sich im Rahmen der allgemeinen Begriffslogik ergeben. Dort fallen die Quantorausdrücke ,Nullus‘, ,Omnis‘ und ,Quoddam‘ nämlich weg, und die UA ,Jedes B ist ein C‘ wird als logische Relation zwischen den Begriffen B und C aufgefasst und dementsprechend abstrakt als ,B ist C‘ („B est C“) bzw. ,B enthält C‘ („B continet C“) wiedergegeben. Stellt man diese Beziehung mittels des Operators ∈ als B∈C dar, so gibt es offenkundig vier Möglichkeiten einer (einfachen) Verneinung. (i)

Durch Voranstellen eines ,nicht‘ vor die gesamte Aussage gewinnt man die satzlogische Negation ¬(B∈C). (ii) Durch Negation des Subjektbegriffs entsteht die universelle Aussage ~B∈C (bzw. noch deutlicher (~B)∈C), der zufolge jedes Ding, das die »infi nite« Eigenschaft Nicht-B besitzt, zugleich ein C ist. (iii) Bezieht sich die Negation auf die »Kopula« ,ist‘ bzw. ∈, so soll dies mit Hilfe des Symbols ∉ durch B∉C wiedergegeben werden. Dabei erscheint es äußerst naheliegend, B∉C im Sinne von (i), d.h. als äquivalent zu ¬(B∈C), zu verstehen. (iv) Durch Negation des Prädikatbegriffs entsteht schließlich wieder eine universelle Aussage B∈~C, die besagt, dass jedes Ding mit der Eigenschaft B die Eigenschaft Nicht-C besitzt. Sie muss also als UA mit »infi nitem« Prädikat – bzw. angesichts des Prinzips Obv 1 als eine UN – verstanden werden. Hieraus resultiert aber eine gewisse Diskrepanz zu den Regeln SyllNeg 1, 2, denn in der »informellen« Sprache der Syllogistik

102

Einfache Schlüsse

war die Negation der Kopula ,ist‘ mit der Negation des Prädikatbegriffs gleichwertig, während in der »formalen« Sprache der Begriffslogik die Negation der ∈-Relation, (iii), mit der Negation der gesamten Aussage, (i), äquivalent ist. Wie schon mehrfach erwähnt wurde, beging Leibniz selbst in den reifen Kalkülentwürfen von 1686 bis 1690 wiederholt den Kardinalfehler, die Formel (iii), die im Lateinischen ,B non est C‘ lautet, nicht im Sinne von (i) zu verstehen, sondern als synonym mit (iv), also mit ,B est non-C‘. Diese Verwechslung ist offenbar darin verwurzelt, dass in der traditionellen Terminologie sowohl ,Omne B non est C‘ als auch ,Quoddam B non est C‘ gemäß Konvention SyllNeg 2 problemlos mit der entsprechenden Formel ,Omne B est non-C‘ bzw. ,Quoddam B est non-C‘ identifiziert werden durften.

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Einfache Schlüsse

2.5.1 Aus „Ad Vossii Aristarchum“1 Der folgende eingerückte Absatz wurde gestrichen: Non omnis. Omnis est non, quidam non. Hinc non omnis est quidam non. Ipsa quidam το non proponi nequit sed tantum postponi. Nisi cum intelligitur quidam tantum oppositum omni. Possum enim dicere non quidam tantum, sed 2 omnes fecere. Itaque si dicam Qu idam A non est B

Simplicissima sunt Quoddam A est B. Quoddam A non est B.3 Harum contradictoriae sunt, illius: Non, quoddam A est B, seu nullum A est B; hujus: non, quoddam A4 non est B; seu Omne A est B. Hinc: Non, nullum A est B, idem est quod: quoddam A est B. Non, omne A est B, id est quoddam A non est B. Si jam addamus nomina negativa, ut non A, alia adhuc oriuntur, ut: Non-A.5 Quoddam Non-A. Quoties non praeponimus signo, negamus6 sive falsam dicimus totam propositionem, qualis est cum suo signo. Sin non postponimus signo7 et praefigimus termino, fit negativus, si copulae, idem est ac si propositioni negatae signum postea praefigeremus, ut cum dico: Non8 Omne A est B,9 [sensus] est, falsum esse, omne A esse B. Sin dicam Omne non-A est B subjectum est non A. Si dicam Omne A non est B, sensus est Nullum A est B, seu propositionem A non est B esse universalem.

1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 3, 73–76; vgl. A VI, 4, 609–624. 2 (1) /etiam streicht L/ omnis fecit (2) omnes … Itaque /si dicamus erg. L/ 3 (1) (2) Si (3) Si jam dicas fal (4) Harum … 4 /non erg. L/ est B seu (1) nullum (2) Omne … Hinc (a) Nonnu (b) Nonnullum (c) Non, nullum A est B id est quoddam (4) Non, … 5 (1) Omne Non-A (2) Quoddam… 6 /sive falsam dicimus erg. L/totam propositionem: (1) si postponimus, negamus (2) qualis … 7 /et praefigimus (1) subjecto (2) termino … copulae erg. L/ 8 (1) Omnis ho (2) Omne A … 9 /signum L/sensus ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe

Aus den Bemerkungen „Zum ,Aristarchus‘

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2.5.2 Aus den Bemerkungen „Zum ,Aristarchus‘ des G. J. Voß“ Der folgende eingerückte Absatz wurde gestrichen: Nicht jeder. ,Jeder‘, d.h., ,Nicht einer nicht‘. Also ist ,Nicht jeder‘ dasselbe wie ,Einer nicht‘. Dem Wort ,Einer‘ kann das ,nicht‘ nicht voran-, sondern nur nachgestellt werden, es sei denn, es wird als dem ,Jeder‘ entgegengesetzt betrachtet. Ich kann nämlich sagen, dass nicht einer nur, sondern alle es gemacht haben. Wenn deshalb gesagt wird ,Ein A ist nicht ein B‘ (bricht ab)

Die einfachsten Aussagen sind ,Ein A ist ein B‘, ,Ein A ist nicht ein B‘. Die Verneinungen davon sind einerseits ,Nicht: Ein A ist B‘ bzw. ,Kein A ist ein B‘, andererseits ,Nicht: Ein A ist nicht ein B‘, d.h. ,Jedes A ist ein B‘. Daraus folgt ,Nicht: Kein A ist ein B‘ ist dasselbe wie ,Ein A ist ein B‘ und ,Nicht: Jedes A ist ein B‘, d.h. ,Ein A ist nicht ein B‘. Wenn wir jedoch negative Begriffe hinzunehmen wie nicht A, ergeben sich noch andere Ausdrücke wie ,nicht-A‘, ,Ein Nicht-A‘. Sobald wir ,nicht‘ vor den Quantorausdruck setzen, wird die gesamte Aussage, so wie sie mit ihrem Qu antor dasteht, verneint bzw. als falsch behauptet. Wenn wir hingegen das ,nicht‘ hinter den Qu antor und vor den Begriff stellen, entsteht ein negativer Begriff. Wenn wir das ,nicht‘ der Kopula voranstellen, ist es dasselbe, als wenn wir der negativen Aussagen den Quantor später vorangestellt hätten. Wenn ich also sage ,Nicht jedes A ist ein B‘, so bedeutet das ,Es ist falsch, dass jedes A ein B ist‘. Sage ich hingegen ,Jedes nicht-A ist ein B‘, so ist ,Nicht-A‘ das Subjekt. Sage ich ,Jedes A ist nicht ein B‘, so bedeutet das ,Kein A ist ein B‘, d.h. die Aussage ,A ist nicht B‘ ist universell zu nehmen.

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Einfache Schlüsse

Neuter, nullus duorum. Alteruter, vel A vel B. Neuter id est neque A neque B, sive10 non A non B, quod differt a non AB, ut indoctus imprudens, cum sufficiat vel unum horum, ut quis11 in-(doctus-prudens) dicatur. Uterque, id est et A et B. 12 Quoddam A est B. Quoddam A non est B. Non quoddam A est B, seu Nullum A est B. Non quoddam A non est B, seu Omne A est B. 13 Licebitne forsan transferre negationem in signum, ut uno aliquo signo designemus universalem affi rmativam, universalem negativam. Licebitne etiam designare universali[ta]tem aut particularitatem praedicati, quod vulgo Scholastici vocant terminum distributum. A praedicatione imo et απο του inesse, optimum erit14 propositiones reducere ad coincidentiam. Quoddam A est B, significat nobis: quoddam A coincidere cuidam B, unde statim apparet conversio simpliciter,15 seu quoddam B coincidere cuidam A. Falsum est quoddam A cuidam B coincidere, seu Nullum A est B. Hinc patet etiam falsum esse quoddam B cuidam A coincidere, seu Nullum B esse A. 16 Omne A cuidam B coincidit, seu omne A est B; hinc apparet conversio17 per accidens, seu Quoddam B esse A, seu quoddam B omni adeoque et cuidam A coincidere.

10 (1)

vel non-A vel non-B (2) non A non B (a) est compo (b) seu non AB (c) quod … 11 (1) in-doctus (2) in-doctus-prudens …; Die von Leibniz als Klammer verwendete Überstreichung der beiden Terme ,doctus-prudens‘ wurde aus typographischen Gründen durch Klammerung ersetzt. 12 Quoddam quod est A seu quoddam. Quoddam quod non est A seu quoddam non. (2) Quoddam … non est B (a) Non quoddam est (b) Non q (c) Nullum es (d) Non quoddam /A erg. L/ non streicht L/ est B … 13 (1) Qu id (2) Licebitne … 14 (1) rem versehentlich nicht gestr. redi (2) propositiones … 15 /seu quoddam B coincidere cuidam A. erg. L/ 16 (1) Omne A est (2) Omne A et quoddam B coincidunt (3) Omne … 17 (1) secundum qu (2) per accidens …

Aus den Bemerkungen „Zum ,Aristarchus‘

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,Keiner‘, [d.h.] ,Nicht einer von beiden‘. ,Einer von beiden‘, [d.h.] ,Entweder A oder B‘. ,Keiner‘, d.h. ,Weder A noch B‘, bzw. ,Nicht A [und] nicht B‘, welches sich von ,Nicht A [und] B‘ unterscheidet, wie [z.B.] ,Nicht gelehrt [und] nicht klug‘, da eines von beiden ausreicht, damit jemand ,Nicht-(gelehrt [und] klug)‘ genannt wird. ,Beides‘, d.h. ,Sowohl A als auch B‘. ,Ein A ist ein B‘. ,Ein A ist nicht ein B‘. ,Nicht: Ein A ist ein B‘, d.h. ,Kein A ist ein B‘. ,Nicht: Ein A ist nicht ein B‘, d.h. ,Jedes A ist ein B‘. Ist es vielleicht erlaubt, die Negation in den Quantor zu übertragen, so dass wir die universell affi rmative und die universell negative Aussage mittels ein und desselben Quantorausdrucks bezeichnen? Ist es auch erlaubt, die Universalität bzw. Partikularität des Prädikats, d.h. das, was in den Schulen gewöhnlich die Distribution der Terme genannt wird, zum Ausdruck zu bringen? Am besten wird es sein, alle Aussagen von der Prädikation und von dem Enthaltensein auf die Identität oder Koinzidenz zurückzuführen. ,Ein A ist ein B‘ bedeutet uns ,Ein A fällt mit einem B zusammen‘, woraus sofort die einfache Konversion erhellt, dass nämlich ein B mit einem A zusammenfällt. ,Es ist falsch, dass ein A mit einem B zusammenfällt‘, d.h. ,Kein A ist ein B‘. Hieraus wird offenkundig, dass auch ,Ein B fällt mit einem A zusammen‘ falsch ist, d.h. dass gilt ,Kein B ist ein A‘. ,Jedes A fällt mit einem B zusammen‘, d.h. ,Jedes A ist ein B‘. Hieraus wird die akzidentelle Konversion offenkundig, d.h. dass auch gilt ,Ein B ist ein A‘, d.h. [nämlich] dass ein B mit jedem A und also auch mit einem A zusammenfällt.

108

Einfache Schlüsse

18

Omne A coincidit cuidam B, significat illud quod coincidit cuidam A coincidit cuidam B. Seu quando talis valet consequentia: Y coincidit cuidam A, Ergo Y coincidit cuidam B, dicitur Omne A coincidit cuidam B. 19 Quoddam A vocetur: qu. A. Def. 1.20 Quoddam A est B significat qu. A idem est cum qu. B, unde Corollar. Si qu. A est B, etiam qu. B est A. Def. 2. Quoddam A non est21 [C], vel potius qu. A est non-C significat qu. A idem est22 cum qu. non C. Unde Coroll. Si qu. A non est C, etiam qu. non C est A. Def. 3. Non: qu. A est D (seu falsum est qu. A est D),23 seu Nullum A est D, hoc est, falsum est qu. A idem esse cum qu. D. Unde Coroll.24 Si nullum A est [D], ergo etiam nullum D est A. Def. 25[4]. Non: qu. A est non E seu falsum est qu. A esse non E, seu Omne A est E, hoc est falsum est qu. A26 esse idem cum qu. non E. Unde Coroll. Si omne A est27 [E], etiam qu. [E] est A, nam, si falsum est28 qu. A esse idem cum qu. non-E, verum est qu. A esse

18 (1) Demons bricht ab (2) Omne A (a) signif (b) coincidit (3) Si quod sit de

quo possit dici ipsum esse A, itemque ipsum esse (4) Omne … significat (a) Si C coincidit cuidam A, etiam C coincidere cuidam B. Hinc Omne (b) illud … 19 (1) Idem (2) Quoddam A vocetur (a) Quod. (b) qu. A… 20 (1) Omne A est B (2) Quoddam … 21 /B L/ C ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe/ vel potius qu. A est non- (a) B (b) C… 22 (1) ad non C (2) cum qu. non C … Coroll. (a) qu. non C est A (b) Si qu. A: (ba) est B (bb) non … 23 /seu Nullum A est D erg. L/ 24 (1) falsum est qu. A coincidere (2) Null (3) Si … est: /B L/ D ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe. 25 /3 L/4 ändert Hrg./… falsum est (a) quoddam (b) qu. A … 26 (1) coinci (2) esse … 27 /B etiam qu. B L/E etiam qu. E ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe 28 (1) quodd. (2) qu. A … non-E: (a) etiam falsum est qu. (aa) E (ab) non E esse idem cum qu. A (3) verum …

Aus den Bemerkungen „Zum ,Aristarchus‘

109

,Jedes A fällt mit einem B zusammen‘ bedeutet: ,Jenes, das mit einem A zusammen fällt, fällt mit einem B zusammen‘. D.h., wenn der folgende Schluss gültig ist: Y fällt mit einem A zusammen, also fällt Y auch mit einem B zusammen, dann sagt man ,Jedes A fällt mit einem B zusammen‘. ,Ein A‘ soll durch ,Q.A‘ abgekürzt werden.1 Def. 1: ,Ein A ist ein B‘ bedeutet ,Q.A ist identisch mit Q.B‘. Deshalb ergibt sich als Korollar: Wenn Q.A ein B ist, dann ist auch Q.B ein A. Def. 2: ,Ein A ist nicht ein C‘ oder besser ,Ein A ist ein nicht-C‘ bedeutet ,Q.A ist identisch mit Q.nicht-C‘. Deshalb ergibt sich als Korollar: Wenn Q.A nicht ein C ist, dann ist auch Q.nicht-C ein A. Def. 3: ,Nicht: Ein A ist ein D‘ (bzw. ,Es ist falsch, dass Q.A ein D ist‘), bzw. ,Kein A ist ein D‘, das heißt ,Es ist falsch, dass Q.A mit Q.D identisch ist‘. Deshalb ergibt sich als Korollar: Wenn kein A ein D ist, dann ist auch kein D ein A. Def. 4: ,Nicht: Q.A ist ein nicht-E‘ bzw. ,Es ist falsch, dass Q.A. ein nicht-E ist‘ bzw. ,Jedes A ist ein E‘, das heißt ,Es ist falsch, dass Q.A mit Q.Nicht-E identisch ist‘. Daraus ergibt sich als Korollar: Wenn jedes A ein E ist, dann ist auch ein E ein A, denn wenn es falsch ist, dass Q.A mit

1 An

sich wäre es »logischer«, Leibniz’ Abkürzung ,qu‘ für ,quoddam‘ im Deutschen durch ,e‘ für ,Ein‘ wiederzugeben; durch die Wahl von ,Q‘ soll jedoch terminologisch schon die Einführung »unbestimmter Begriffe« vorbereitet werden, die uns vor allem in Kap. 5 und 6 noch ausführlich beschäft igen wird.

110

Einfache Schlüsse

idem cum qu. E per regulas contradictionis. Ergo29 per Coroll. def. 1 verum est qu. E esse idem cum qu. A. 30 Pendent autem omnia ex regulis coincidentiae et contradictionis. Regula coincidentiae prima Si A est idem cum B, etiam B est idem cum A. Regula coincidentiae secunda. Si A est idem cum B, et B est idem cum C, etiam A est idem cum C. Regula contradictionis prima.31 Non non-A idem est cum A. Regula contradictionis secunda.32 Coincidunt: verum est A idem esse cum B, et: falsum est A idem esse cum non-B. 33 Hinc caetera demonstrantur, v.g. demonstrabo: [coincidunt] verum est A esse idem cum B, et falsum est non A idem esse cum B.34 Hoc enim fit ex regula contradictionis secunda per regulam coincidentiae primam. Def.35 [5]. Idem est A ipsi B, si A substitui potest ipsi B,36 quod substitui potest ipsi A. Hinc statim demonstrantur regulae37 duae coincidentiae.

29 (1)

verum est qu. E (2) per … 30 (1) Operae pretium autem video stabilire nostras regulas contradictionis; quae omnes huc redeunt. (a) Si A est B (b) Si A coin (c) Omnia (2) Pendent autem omnia ex duabus regulis quarum una est coincidentiae altera contradictionis (3) Pendent … 31 /prima erg. L/ (1) non A (2) non non-A (a) est A (b) idem … 32 (1) Si A est (2) Coincidunt … 33 (1) Hinc caetera omnia demonstrantur (2) Hinc … 34 (1) Haec enim regula fit (2) Hoc … 35 /4 L/5 ändert Hrg. 36 (1) salva veritate (2) quod … 37 (1) con (2) duae …

Aus den Bemerkungen „Zum ,Aristarchus‘

111

Q.Nicht-E identisch ist, dann ist es gemäß den Regeln der Negation wahr, dass Q.A. mit Q.E identisch ist. Also ist es gemäß Korollar zu Def. 1 wahr, dass Q.E mit Q.A identisch ist. All diese Beweis hängen jedoch von den Regeln der Identität und der Negation ab. Die erste Regel der Identität: Wenn A mit B identisch ist, dann ist auch B mit A identisch. Die zweite Regel der Identität: Wenn A mit B identisch und B mit C identisch ist, dann ist auch A mit C identisch. Die erste Regel der Negation: Nicht-nicht-A ist identisch mit A. Die zweite Regel der Negation: ,Es ist wahr, dass A mit B identisch ist‘ ist äquivalent mit ,Es ist falsch, dass A mit nicht-B identisch ist‘. Hieraus lassen sich die übrigen herleiten, z.B. werde ich zeigen: ,Es ist wahr, dass A mit B identisch ist‘ ist äquivalent mit ,Es ist falsch, dass nicht-A mit B identisch ist‘. Das ergibt sich nämlich aus der zweiten Regel der Negation zusammen mit der ersten Regel der Identität. Def. 5: A ist identisch mit B, wenn A für B substituiert werden kann, wobei B selber auch für A substituiert werden kann. Hieraus lassen sich sofort die beiden Regeln der Identität ableiten.

112

Einfache Schlüsse

2.5.3 Kommentar Der hier abgedruckte Ausschnitt ist einem längeren Text entnommen, in dem sich Leibniz mit der 1662 erschienenen Schrift „Aristarchus sive De arte grammatica libri septem“ des G. J. Voss auseinandersetzt. Wegen der inhaltlichen Nähe zur „Analysis particularum“ und aufgrund des Wasserzeichens des verwendeten Papiers nehmen die Herausgeber der Akademieausgabe eine Datierung um 1685 an. Die aus logischer Sicht interessantesten Passagen fi nden sich gegen Ende des Manuskripts, wo Leibniz sich von Voss’ Ausführungen löst und eigene Überlegungen zu den kategorischen Satzformen und ihren Negationen entwickelt. Die gestrichene Passage wurde hier aufgenommen, um zu zeigen, dass der »reife« Logiker Leibniz nun souverän mit dem überlieferten Merkvers ,Jeder‘, d.h., ,Nicht einer nicht‘ umzugehen weiß. So wie in der modernen Prädikatenlogik eine Allaussage ∀xF(x) auf die Negation der Existenzaussage ¬∃x¬F(x) zurückgeführt werden kann, so lässt sich der syllogistische Quantor ,Jeder‘ durch ,Nicht: Einer … nicht‘ defi nieren; und als Folge ist dann ,Nicht jeder‘ äquivalent mit ,Einer nicht‘. Die anschließende Behauptung, dass die Negation ,nicht‘ dem Quantor ,Einer‘ angeblich nur nach-, nicht aber vorangestellt werden dürfe, erscheint hingegen sachlich unhaltbar, und vermutlich sah Leibniz diesen Fehler auch ein und machte einen neuen Anfang. Dabei rekapituliert er zunächst die bekannten Gesetze der Opposition, denen zufolge die Verneinung der PA ,Nicht: Ein A ist ein B‘ dasselbe ist wie die UN ,Kein A ist ein B‘, und analog die Verneinung der PN ,Nicht: Ein A ist nicht ein B‘ dasselbe wie die UA ,Jedes A ist ein B‘. Im folgenden Absatz wiederholt Leibniz noch einmal die in „De Negatione“ erarbeiteten Regeln SyllNeg 1, 2, denen gemäß das ,nicht‘ am Anfang des Satzes (bzw. vor den Qu antorausdruck gesetzt) auf eine Negation der gesamten Aussage hinausläuft, während das ,nicht‘ vor der Kopula mit einer Negation des Prädikatbegriffs gleichwertig ist. Darüber hinaus hält er

Kommentar

113

nun noch fest, dass ein ,nicht‘ unmittelbar hinter dem Quantor (bzw. unmittelbar vor dem Subjekt) die Negation eben dieses Subjektbegriffs bedeutet: SyllNeg 3 Wenn innerhalb einer kategorischen Satzform das Wort ,nicht‘ zwischen dem Quantorausdruck und dem Subjekt steht, verneint es den Subjektbegriff. In einem interessanten Exkurs geht Leibniz dann auf die logische Analyse der Partikel ,Keiner (von beiden)‘, ,Einer (von beiden)‘ und ,Beide‘ ein, wobei diese Ausdrücke freilich nicht primär als satzlogische, sondern als begriffslogische Operatoren im folgenden Sinn betrachtet werden. Dass einem Subjekt S keine (von beiden) Eigenschaften A, B zukommt, bedeutet, dass weder ,S ist A‘ noch ,S ist B‘ gilt. Dass dem Subjekt eine (von beiden) Eigenschaften A, B zukommt, heißt entsprechend, dass ,S ist A‘ oder ,S ist B‘ wahr ist; und dass dem Subjekt S schließlich beide Eigenschaften bzw. Attribute zukommen, bedeutet, dass sowohl ,S ist A‘ als auch ,S ist B‘ wahr ist. Die Negation des letzteren Sachverhalts, für die es im Lateinischen offenbar keinen eigenständigen Ausdruck gibt, läuft dann darauf hinaus, dass mindest eine der Aussagen ,S ist A‘ oder ,S ist B‘ falsch ist. Leibniz führt hierzu das Beispiel eines Menschen an, bei dem es ausreicht, wenn er nicht-gelehrt oder aber nicht-weise ist, damit wir ihn zu Recht als „nicht beides: gelehrt-und-weise“ bezeichnen dürfen. Diese Bedingung ist logisch schwächer als die Forderung, dass der Mensch keine (von beiden) Eigenschaften Weise bzw. Gelehrt besitzt. Der nächste, systematisch bedeutsame Punkt besteht in Leibniz’ Versuch, die kategorischen Satzformen so umzuformen, dass anstelle der üblichen Prädikation mittels der Kopula ,ist‘ die Beziehung der Koinzidenz oder Identität tritt. In einem ersten Ansatz wird die PA in die Bedingung transformiert, dass (mindestens) ein A mit einem (gewissen) B („cum quoddam B“) identisch ist. Aus der Perspektive der modernen Prädikatenlogik liegt es nahe, diesen Gedanken so zu präzisieren, dass mindestens ein Ding x, das die Eigenschaft A besitzt,

114

Einfache Schlüsse

mit einem Ding y, welches die Eigenschaft B besitzt, identisch ist: PA I d

∃x (A (x ) ∧ ∃y (B ( y) ∧ x =y)).

Wie man leicht sieht, ist diese Formel logisch äquivalent mit der »normalen« Bedingung ∃x(A(x) ∧ B(x)). Analog wäre die UA durch die Forderung zu präzisieren, dass jedes Ding x, das die Eigenschaft A besitzt, mit einem Ding y, welches die Eigenschaft B besitzt, identisch ist: UA I d

∀x (A (x ) ⊃ ∃y (B ( y) ∧ x =y)).

Auch diese Formel ist mit der üblichen Bedingung ∀x(A(x) ⊃ B(x)) logisch äquivalent. Das Ziel der Transformationen der Satzformen in Identitätsaussagen besteht darin, die »einfachen« Gesetze der Syllogistik, speziell die Prinzipien der Konversion, auf noch grundlegendere logische Wahrheiten zurückzuführen. Während sich nun die Formel PA Id wegen der Symmetrie der Identität und der Konjunktion leicht zu ∃y(B(y) ∧ ∃x(A(x) ∧ y=x)) konvertieren lässt, entsteht beim Versuch, die »akzidentelle« Konversion der UA zu beweisen, ein nicht unerhebliches Problem. Denn aus der Formel UA Id geht keineswegs „offenkundig“ hervor, dass ,Ein B mit einem A zusammenfällt‘. Der entwickelte Gedanke, dass wegen der Prämisse ,Jedes A fällt mit einem B zusammen‘ umgekehrt „ein B mit jedem A und also auch mit einem A“ zusammenfällt, wäre ja prädikatenlogisch wie folgt zu analysieren: Aus ∀x(A(x) ⊃ ∃y(B(y) ∧ x=y)) folgt durch »Umkehrung« ∃yB(y) ∧ ∀x(A(x) ⊃ y=x)). Hieraus soll man in einem weiteren Schritt durch Subalternation die gewünschte Bedingung ∃yB(y) ∧ ∃x(A(x) ∧ y=x)) erhalten. Der erste Schritt dieses »Beweises« ist jedoch offenkundig ungültig. Wie die moderne Logik lehrt, ist die Vertauschung der Quantoren in Formeln der Gestalt ∀x∃yΦ(x,y) zu ∃y∀xΦ(x,y) keineswegs allgemeingültig. Im von Leibniz betrachteten Spezialfall folgt aus ,Jedes A fällt mit einem B zusammen‘ mitnichten, dass irgendein B mit jedem A zusammenfallen („quoddam B

Kommentar

115

omni A coincidere“) würde. Jeder Mensch ist z.B. mit einem Lebewesen identisch; aber es gibt kein Lebewesen, das mit sämtlichen Menschen identisch wäre. Ein ähnlicher Fehler lässt sich übrigens auch in der (in Kap. 6 noch ausführlicher zu betrachtenden) Schrift „Mathesis rationis“ beobachten, wo Leibniz neben den obigen Gleichungen für die UA und die PN für die negativen Satzformen entsprechende Ungleichungen vorgeschlagen hat: (5) Wenn ich sage ,Kein A ist ein B‘, dann verstehe ich darunter, dass jeder von denen, die A genannt werden, verschieden ist von jedem von denen, die B genannt werden; und dies ist die universell negative Aussage. (6) Wenn ich schließlich sage ,Ein A ist nicht ein B‘, dann verstehe ich darunter, dass einer von denen, die A genannt werden, verschieden ist von jedem von denen, die B genannt werden; und dies ist die partikulär negative Aussage.

Im Formalismus der modernen Prädikatenlogik nehmen diese Bedingungen folgende Gestalt an: U N Id PN I d

∀x (A (x ) ⊃ ∀y (B ( y) ⊃ x ≠y)) ∃x (A (x ) ∧ ∀y (B ( y) ⊃ x ≠y)).

In diesem Kontext betrachtet Leibniz nun auch die folgenden unorthodoxen Bedingungen, die ansonsten erst von Logikern des 19. Jahrhunderts als sog. »Quantifi kation des Prädikates« systematisch untersucht wurden: Es könnten auch alle A alle B sein, d.h. alle von denen, die A genannt werden, sind identisch mit all jenen, die B genannt werden […] doch das ist in unseren Sprachen nicht üblich. Ebenso [unüblich wäre es auch zu sagen] ,Einige A sind identisch mit allen B‘, denn dies drücken wir aus, indem wir sagen ,Alle B sind [identisch mit] einigen A‘. Jedoch wäre es überflüssig zu sagen […], dass jeder beliebige von denen, die A genannt werden, verschieden ist von mindestens einem jener, die B genannt werden, denn das ist offenkundig immer erfüllt, außer wenn B ein Einzelner

116

Einfache Schlüsse

(„unicum“) darstellt. Umso mehr [überflüssig wäre es zu sagen], dass einige von denen, die A genannt werden, verschieden sind von einigen von denen, die B genannt werden.

Im Rahmen der modernen Prädikatenlogik wären diese Bedingungen wie folgt zu formalisieren: QP 1 QP 2 QP 3 QP 4

∀x (A (x ) ∃x (A (x ) ∀x (A (x ) ∃x (A (x )

⊃ ∀y (B ( y) ⊃ x =y)) ∧ ∀y (B ( y) ⊃ x =y)) ⊃ ∃y (B ( y) ∧ x ≠y)) ∧ ∃y (B ( y) ∧ x ≠y)).

Wie Leibniz anmerkt, werden solche Formulierungen in der Umgangssprache nomalerweise nicht gebraucht. Dennoch haben sie logisch klare Wahrheitsbedingungen. Insbesondere sind die »negativen« Bestimmungen QP 3 und QP 4 praktisch immer erfüllt, außer wenn es sich bei dem Begriff B um ein „unicum“, d.h. um einen Begriff handelt, unter den nur ein einziges Ding fällt. Entsprechend sind die »positiven« Bestimmungen QP 1 und QP 2 fast immer falsch. Leibniz’ kleiner logischer Fehler besteht nun in der Annahme, QP 2, also ,Einige A sind identisch mit allen B‘, könne äquivalent auch durch ,Alle B sind identisch mit einigen A‘ ausgedrückt werden. Eine solche Vertauschung der Qu antoren ist jedoch unzulässig. Wie schon oben erklärt, folgt z.B. aus ,Jeder Mensch ist mit einem Lebewesen identisch‘ keineswegs ,Einige Lebewesen sind mit allen Menschen identisch‘! In „Ad Vossii ,Aristarchum‘“ scheint sich Leibniz der Problematik seines »Beweises« auch selber bewusst geworden zu sein, denn im Anschluss an die fragliche Passage ging er sogleich dazu über, die identitätslogische Paraphrase der UA noch einmal gründlich zu überdenken. Dabei gelangt er zu der neuen Bedingung ,Jenes, das mit einem A zusammen fällt, fällt mit einem B zusammen‘, wobei die logische Funktion des ungewöhnlichen Ausdrucks ,Jenes‘ („illud“) wie folgt erläutert wird: Der Schluss von der Prämisse ,Y fällt mit einem A zusammen‘, auf die Konklusion ,Y fällt mit einem B zusammen‘ muss – für

Kommentar

117

beliebige Y – allgemeingültig sein. Im Formalismus der Prädikatenlogik erhält man für die UA also die alternative Darstellung (*)

∀y ( ∃x (A (x )∧y =x ) ⊃ ∃z (B (z)∧y =z)).

Diese Formel ist mit der üblichen Bedingung ∀x(A(x) ⊃ B(x)) logisch äquivalent und damit inhaltlich adäquat. Es würde jedoch alles andere als leicht fallen, die akzidentelle Konversion der UA mittels der Darstellung (*) zu beweisen. Aus diesem Grunde ging Leibniz unmittelbar anschließend zu einem anderen Ansatz über, um die kategorischen Satzformen mittels des »Operators« Q in Identitätsaussagen zu überführen. Gemäß Def. 1 – Def. 4 erhält man folgende Darstellung: I(A , B ) O (A ,C ) E (A , D ) A (A , E )

QA QA QA QA

= = ≠ ≠

QB Q~C QD Q ~E .

Lässt man das Problem, wie der »Operator« Q, der in Anwendung auf einen Begriff B den Ausdruck QB („quoddam B“) erzeugt, genau zu interpretieren ist, zunächst einmal außer Acht, so folgt aus der Identität QA = QB jedenfalls direkt QB = QA, d.h. die Konvertierbarkeit der PA. Ebenso darf man die PN, QA = Q~C à la Leibniz zu Q~C = QA konvertieren, ohne damit freilich eine »echte« Konversion partikulär negativer Aussagen bewiesen zu haben, denn eine solche gibt es ja nicht. Hingegen ist die »echte« Konvertierbarkeit der UN, QA ≠ QD, einfach zu beweisen, denn wegen der Symmetrie der Identität ist natürlich auch die Relation der Verschiedenheit symmetrisch bzw. umkehrbar. Bei dem Versuch, die »akzidentelle« Konversion der UA, d.h. den Schluss von A(A,E) auf I(E,A) zu beweisen, tun sich jedoch erneut größte Schwierigkeiten auf. Zu zeigen wäre ja, dass aus der Ungleichung QA ≠ Q~E die Gleichung QE = QA folgt, doch dies ist, ungeachtet Leibniz’ gegenteiligen Beteuerungen, im Allgemeinen keineswegs der Fall. Ohne nähere

118

Einfache Schlüsse

Explikation des »Operators« Q gilt jedenfalls rein identitätslogisch nicht, dass wenn eine gewisse Entität QA von Q~E verschieden ist, QA dann notwendig mit QE identisch sein müsse. Die von Leibniz aus dem Hut gezauberte „Zweite Regel der Negation“ ist schlechterdings falsch! Zwar folgt in der einen Richtung der behaupteten Äquivalenz aus der Annahme ,Es ist wahr, dass A mit B identisch ist‘, die Konklusion ,Es ist falsch, dass A mit Nicht-B identisch ist‘: Neg 6

A = B → A ≠ ~B . 1

Aber die umgekehrte Implikation, Neg 7*

A ≠ ~B → A = B ,

ist vollkommen unhaltbar. Der Begriff ,Hund‘ ist z.B. von dem Begriff ,Nicht-Katze‘ verschieden (denn einige Nicht-Katzen, z.B. Hasen, sind keine Hunde), doch deshalb fällt der Begriff ,Hund‘ selbstverständlich nicht mit dem Begriff ,Katze‘ zusammen. Zum Abschluss sei noch kurz überlegt, wie sich die obige Darstellung der vier kategorischen Satzformen mittels des »Operators« Q („quoddam“) konsistent rekonstruieren lässt. Die für die PA vorgeschlagene Formel QA = QB muss offenbar als Kurzfassung der vorher genannten Bedingung betrachtet werden, dass „(mindestens) ein A mit einem (gewissen) B zusammenfällt“ („quoddam A coincidere cuidam B“). Dies entspricht dem aus anderen Arbeiten bekannten (und z.B. im Abschnitt 1.5 der Einleitung diskutierten) Versuch, die PA mittels 1 Andernfalls

ließe sich ja aus A = B und A = ~B mit der Symmetrie und Transitivität der Identität B = ~B herleiten, doch eine Entität (sei es ein Satz, sei es, wie im vorliegenden Fall, ein Begriff ) ist – wie in Neg 3 festgehalten – niemals mit ihrer eigenen Negation identisch. Selbst wenn A ein kontradiktorischer Begriff ist und damit seine eigene Negation enthält, A∈~A, fällt A nicht mit ~A zusammen, denn das hieße ja zusätzlich, dass auch ~A umgekehrt A enthält. Da nach Voraussetzung A kontradiktorisch ist, ist ~A jedoch tautologisch und kann also nicht die Negation ~~A bzw. A enthalten.

Kommentar

119

zweier »unbestimmter Begriffe« durch YA = ZB wiederzugeben.2 Dabei sind Y und Z als (stillschweigend) durch Existenzquantoren gebunden zu verstehen, so dass sich für I(A,B) genauer die Formel ∃Y∃Z(YA = ZB) ergibt. Da nach dem Grundgedanken der Obversion die PN, O(A,C) als eine PA mit negiertem Prädikat, I(A,~C), angesehen werden darf, lässt sich Leibniz’ Formel QA  =  Q~C entsprechend als ∃Y∃Z(YA = Z~C) präzisieren. Die Formel für die UN E(A,D), QA ≠ QD, stellt angesichts der Oppositionsgesetze offenkundig die Negation der PA dar. Das bedeutet, dass die »unbestimmten Begriffe« nun jeweils als durch Allquantoren abgebunden zu verstehen sind, denn ¬∃Y¬∃Z(YA = ZD) ist ja mit ∀Y∀Z(YA ≠ ZD) logisch äquivalent. Entsprechend stellt die Formel QA ≠ Q~E für die UA die Negation der PN dar, so dass sie genauer als ¬∃Y¬∃Z(YA = Z~E), d.h. als ∀Y∀Z(YA ≠ Z~E) interpretiert werden muss. Insgesamt resultiert somit das folgende Schema: I(A , B ) O (A ,C ) E (A , D ) A (A , E )

∃Y ∃Z (YA  =  Z B ) ∃Y ∃Z (YA  =  Z~ C ) ∀Y ∀Z (YA  ≠ Z D ) ∀Y ∀Z (YA  ≠ Z ~E ).

Wie bereits in Abschnitt 1.5 betont wurde, ist die Darstellung der PA insofern inadäquat, als sich immer Begriffe Y und Z angeben lassen, so dass YA = ZB ist, nämlich insbesondere Y=B und Z=A! Um eine logisch einwandfreie »Einbettung« der kategorischen Satzformen in die Sprache von L2 zu erhalten, müssen also noch entsprechende Klauseln eingefügt werden, denen zu folge die »unbestimmten Begriffe« Y, Z mit den jeweiligen Begriffen A, B, C, D, und E logisch verträglich sind. Dann ergibt sich folgendes Schema: I(A , B ) O (A ,C ) E (A , D ) 2 Vgl.

∃Y ∃Z (M(AY ) ∧ M(Z B ) ∧ YA  =  Z B ) ∃Y ∃Z (M(AY ) ∧ M(ZC ) ∧ YA  = Z ~ C ) ∀Y ∀Z (M(AY ) ∧ M(Z D ) ⊃ YA  ≠ Z D )

insbesondere das dort aufgestellte Schema 10.

120

Einfache Schlüsse

A (A , E )

∀Y ∀Z (M(AY ) ∧ M(Z E ) ⊃ YA  ≠ Z ~E ).

Fazit: Einerseits gelingt Leibniz in diesen – anlässlich der Diskussion von Voss’ „Aristarchus“ eher beiläufig entstandenen – Reflexionen aus der Zeit um 1685 eine interessante Reduktion der kategorischen Satzformen auf (implizit doppelt quantifizierte) identitätslogische Formeln. Mit diesen und verwandten Formalisierungen wird er vor allem in „De formae logicae comprobatione“ die Aufgabe in Angriff nehmen, die syllogistischen Gesetze in seinem „Allgemeinen Kalkül“ zu beweisen. Andererseits zeigt Leibniz auch in dieser Arbeit wieder erhebliche Schwächen beim Umgang mit negativen Begriffen. Der in der „Zweiten Regel der Negation“ begangene Fehler (Neg 7*), aus der Verschiedenheit von A und Non-B, d.h. von A ≠ ~B, auf die Gleichheit von A und B, d.h. auf A = B, zu schließen, ist noch krasser als der in vielen anderen Arbeiten zu beobachtende Kardinalfehler, ,A non est B‘ mit ,A est non-B‘ gleichzusetzen, also das Prinzip Ne g 8*

A∉B → A∈~B

als gültig anzunehmen.3

3 Eine

liefert.

ausführliche Analyse dieses Fehlers wurde in Lenzen (1986) ge-

122

Einfache Schlüsse

2.6.1 „Difficultates quaedam Logicae“1 Difficultates quaedam Logicae solutu dignae occurrerunt: qui fit quod in singularibus procedit2 oppositio: Petrus Apostulus est miles, et Petrus Apostolus non est miles, cum tamen opponatur alias universalis affi rmativa et particularis negativa. An dicemus, singulare aequivalere3 particulari et universali? Recte. Itaque et cum objicietur singulare aequivalere particulari, quia in tertia figura conclusio debeat esse particularis,4 possit tamen esse5 universalis. V. g. Omnis scribens est homo, quidam scribens est Petrus Apostolus, Ergo Petrus Apostolus est homo. Respondeo:6 etiam praesto est conclusionem revera esse particularem, et perinde esse ac si conclusissemus: quidam Petrus Apostulus est homo. Nam Qu idam Petrus Apostulus et7 Omnis Petrus Apostolus coincidunt, quia terminus est singularis. Major8 haec est difficultas: quod conversio recepta videtur aliquando inducere falsum.9 Nempe conversio per accidens universalis affi rmativae in casu tali: omnis ridens est homo, Ergo quidam homo est ridens, nam prior vera est etiamsi nullus homo rideret, at posterior vera non est, nisi aliquis homo actu rideat.10 Prior loquitur de possibilibus, posterior de actualibus. At non11 occurrit difficultas similis si maneas in terminis possi-

 1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 5, 4, 1–2; vgl. auch GP 7, 211–217.  2 (1) conversio simpliciter v. g. Petrus (2) oppositio …  3 /particulari et erg. L/ universali; (1) Sed contra ostensum singulare aequivalere particulari. Nam cum in tertia (2) Recte …  4 (1) potest (2) et /streicht Hrg./ possit …  5 /singularis L / universalis ändert Hrg.  6 (1) conclusionem (2) /etiam praesto (a) esse (b) est erg. L/  7 (1) Petrus (2) Omnis Petrus …  8 (1) alia (2) haec … conversio /recepta erg. L/ videtur …  9 (1) Ex gr. (2) Nempe … 10 (1) Maj (2) Prior … 11 (1) est (2) occurrit … si (a) des (b) maneas …

„Einige logische Schwierigkeiten“

123

2.6.2 „Einige logische Schwierigkeiten“1 Ich bin auf ein paar logische Probleme gestoßen, die es wert sind, gelöst zu werden. Wie kommt es, dass im Falle singulärer Aussagen die Opposition gültig ist – z.B. ,Apostel Petrus ist ein Soldat‘ und ,Apostel Petrus ist kein Soldat‘ – während ansonsten der universell affi rmativen Aussage die partikulär verneinende entgegengesetzt ist? Sollten wir sagen, dass eine singuläre Aussage sowohl mit einer partikulären als auch mit einer universellen gleichwertig ist? Ja, in der Tat. Denn auch wenn eingewandt wird, dass eine singuläre Aussage mit einer partikulären äquivalent ist, weil die Konklusion in der Dritten Figur partikulär sein muss, so könnte sie [die singuläre Aussage] dennoch universell sein.2 Z.B. ,Jeder Schreiber ist ein Mensch‘, ,Ein Schreiber ist der Apostel Petrus‘. Also: ,Der Apostel Petrus ist ein Mensch‘. Ich antworte, dass auch hier die Konklusion in Wirklichkeit partikulär ist, und es verhält sich gleichsam so, als ob wir geschlossen hätten: ,Ein Apostel Petrus ist ein Mensch‘. Denn ,Ein Apostel Petrus‘ und ,Jeder Apostel Petrus‘ fallen zusammen, weil der Begriff singulär ist. Ein größere Schwierigkeit ist die, dass die übliche Konversion manchmal etwas Falsches erschließt, nämlich die akzidentelle Konversion der universell affirmativen Aussage in einem Fall wie: ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘, also ,Ein Mensch ist ein Lachender‘. Denn die erstere Aussage ist selbst dann wahr, wenn kein Mensch lachen würde, während die letztere nur dann wahr ist, wenn (mindestens) ein Mensch tatsächlich lacht. Die erstere spricht von möglichen, die letztere von tat1 Vgl.

auch die Übersetzung in Herring (1992), S.‹179–201. 2 Die interne Logik des Satzes ist ein wenig unklar. Das rührt wohl daher, dass Leibniz zunächst überlegt hatte: Singuläre Aussagen sind mit universellen äquivalent. Dagegen formulierte er zunächst selber den Einwand: Wegen des später betrachteten Syllogismus ist die singuläre Aussage ,Der Apostel Petrus ist ein Mensch‘ der Form nach partikulär. Danach sieht er aber ein, dass dies kein wirklicher Einwand ist, dass nämlich eine singuläre Aussage zugleich auch mit einer partikulären äquivalent sein kann.

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Einfache Schlüsse

bilium, v. g. omnis homo est animal,12 Ergo quoddam animal est homo. Dicendum ergo conclusionem quidam homo est ridens, esse veram in regione idearum, seu si ridens13 sumas pro quadam specie Entis possibilis, ut miles est species hominis, seu ut homo est species animalis. Ita quidam homo est ridens; vera erit propositio, etiamsi nullus homo ridens existat. Sanè conversio a me demonstratur per syllogismum tertiae figurae.14 Omnis ridens est ridens. Omnis ridens est homo. Ergo quidam homo est ridens, intelligo in regione idearum, si ridens sumatur pro hominis specie, non pro ridente actuali.15 Syllogismus hic in Darapti demonstrari potest ex prima per regressum seu nihil aliud assumendo, quam leges oppositionum, dum scilicet16 sumitur syllogismus in prima, et assumitur conclusionem esse falsam et unam praemissarum esse veram. Hinc sequitur alteram praemissarum esse falsam. Falsae autem conclusionis opposita est vera. 17 Leges autem oppositionum primitivae sunt, v. g. omnis homo est animal, huic ajo opponi quidam homo non est animal. Nam omnis homo est animal, idem est quod A homo est animal, B homo est animal, C homo est animal, et ita in caeteris. Et18 quidam homo non est animal, nihil aliud dicit quam B non esse animal, vel aliquid tale.19 Itaque opponuntur omnis homo est animal, et quidam homo non est animal. Sic opponuntur: Nullus homo est20 lapis, et quidam homo est lapis. Nam Nul12 (1)

seu (2) Ergo … homo. (a) Ridens igitur non (b) Dicendum ergo … quidam (ba) ridens est (bb) homo est … 13 (1) actu (2) sumas … possibilis (a) Ita quidam homo est ridens verum manet (b) /ut miles/ am Rande erg. u. streicht L. (c) ut miles … 14 (1) Omnis homo est (2) Omnis ridens est ridens (a) Qu idam (b) Omnis … 15 (1) Sanè (2) Syllogismus … prima (a) nihil (b) per regressum … 16 (1) assumitur (2) sumitur … 17 (1) Reg (2) Leges … 18 (1) animal (2) quidam homo (a) est animal nihil aliud dicit quam A vel B esse animal, vel (b) non est … 19 (1) quae proinde oppon (2) Itaque … 20 (1) animal (2) lapis …

„Einige logische Schwierigkeiten“

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sächlich existierenden Individuen. Eine vergleichbare Schwierigkeit tritt jedoch nicht auf, wenn man im Bereich der möglichen Individuen bleibt, z.B. ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, also ,Ein Lebewesen ist ein Mensch‘. Es wäre also zu sagen, dass die Konklusion ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ im Bereich der Ideen wahr ist, d.h. wenn ,Lachender‘ gewissermaßen als Spezies möglicher Individuen genommen wird, so wie ,Soldat‘ eine Spezies des Menschen oder ,Mensch‘ eine Spezies der Lebewesen darstellt. Deshalb ist die Aussage ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ auch dann wahr, wenn kein lachender Mensch realiter existiert. Gewiss, die Konversion wird von mir mittels eines Syllogismus der Dritten Figur bewiesen: ,Jeder Lachende ist ein Lachender‘, ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘, also ,Ein Mensch ist ein Lachender‘. Ich verstehe dies im Bereich der Ideen, so dass ,Lachender‘ als Spezies der Menschen genommen wird, und nicht für tatsächlich Lachende. Der Syllogismus Darapti hier lässt sich per Regressus aus der Ersten Figur ableiten. Dabei wird nichts anderes vorausgesetzt als die Gesetze der Opposition, indem ein Syllogismus der Ersten Figur genommen und gesetzt wird, dass dessen Konklusion falsch, eine seiner Prämissen jedoch wahr ist. Dann folgt, dass die andere Prämisse falsch ist. Das Gegenteil einer falschen Konklusion ist aber wahr. Die Gesetze der Opposition jedoch sind primitiv [d.h. nicht aus anderen Syllogismen beweisbar]. Z.B. sage ich, dass der Aussage ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ die Aussage ,Ein Mensch ist nicht ein Lebewesen‘ [als Negation] gegenüber steht. Denn ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ bedeutet so viel wie: Mensch A ist ein Lebewesen, Mensch B ist ein Lebewesen,

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lus homo est lapis significat: A homo non est lapis, B homo non est lapis, C homo non est lapis etc. Ergo falsa est talis: B homo est lapis,21 quae nihil aliud est quam aliquis homo est lapis. Atque hoc est proprie dictum de omni et dictum de nullo, tanquam fundamentum omnis doctrinae syllogisticae, nempe doctrina oppositionum pariter ac primae figurae,22 veluti omnis homo est animal; omnis miles est homo; Ergo omnis miles est animal,23 sic colligitur: quia omnis homo est animal, etiam miles homo est animal, per dictum de omni. Jam miles homo et miles coincidunt (quia omnis miles est homo), Ergo coincidunt miles homo est animal, et miles est animal. Ita recurrimus ad fundamentum illud meum reductionis, quo alias demonstravi leges syllogisticas. Omnis homo est animal, sic interpretabar:24 Homo animal et homo aequivalent, seu qui dicit Te esse hominem, dicit Te esse animal.25 Qu idam se appellabat Grünberg, viridis mons; sodalis ei dicit:26 sufficeret ut Te appelares Berg, Mons. Qu id ita;27 respondit prior, putasne omnes montes esse virides? Cui sodalis ita inquit nunc certe, nam 28 aestas erat. Ita illi naturalis sensus dictabat29 haec duo coincidere: omnis mons est viridis, et aequivalent viridis mons et mons. Reductio mea vetus talis fuit: Universalis Affirmativa: Omne A est B, id est aequivalent AB et A30 seu A non B est non Ens.31 Par21 (1)

seu quidem homo (2) quae nihil … Nam (2) veluti … 23 (1) Sensus nam (2) sic (a) int (b) colligitur: quia … est animal /per dictum de omni erg. L./ 24 (1) Omnis (2) Homo … 25 (1) Ita (2) Qu idam … Grünberg (a) alias (b) viridis … 26 (1) Sufficeret ut Te (2) /ei (a) dixeri (b) dicit streicht Hrg./sufficeret … Berg /Mons erg. L./ 27 (1) alter (2) respondit (a) alter (b) prior … 28 (1) aestate (2) aestas… 29 (1) has (2) haec … 30 /seu A non B est non Ens erg. L/ 31 (1) Opposita (2) Particularis negativa (a) Non aequivalent A (b) quidam (c) Quoddam … et A/seu A non B est Ens erg. L/ 22 (1)

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Mensch C ist ein Lebewesen, und so weiter. Und die Aussage ,Ein Mensch ist nicht ein Lebewesen‘ besagt nichts anderes, als dass B oder irgendein anderer solcher Mensch kein Lebewesen ist. Deshalb stehen sich gegenüber ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ und ,Ein Mensch ist nicht ein Lebewesen‘. Ebenso stehen sich gegenüber ,Kein Mensch ist ein Stein‘ und ,Ein Mensch ist ein Stein‘. Denn ,Kein Mensch ist ein Stein‘ bedeutet: Mensch A ist nicht ein Stein, Mensch B ist kein Stein, Mensch C ist kein Stein, etc. Also ist eine beliebige Aussage wie ,Mensch B ist ein Stein‘, die nichts anderes besagt, als dass irgendein Mensch ein Stein ist, falsch. Und dies ist das eigentliche dictum de omni bzw. das dictum de nullo, gewissermaßen das Fundament der gesamten Lehre von den Syllogismen, nämlich die Lehre der Opposition zusammen mit der Ersten Figur. Zum Beispiel ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, ,Jeder Soldat ist ein Mensch‘, also ,Jeder Soldat ist ein Lebewesen‘ wird so begründet: Da jeder Mensch ein Lebewesen ist, ist gemäß dem dictum de omni auch der Soldatenmensch ein Lebewesen. Doch die Begriffe ,Soldatenmensch‘ und ,Soldat‘ fallen zusammen (weil alle Soldaten Menschen sind). Also fallen auch die Aussagen ,Der Soldatenmensch ist ein Lebewesen‘ und ,Der Soldat ist ein Lebewesen‘ zusammen. So gelangen wir wieder zu meinem Fundament der Analyse, wodurch ich andernorts die syllogistischen Gesetze bewiesen habe. ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ pflegte ich wie folgt zu interpretieren: Die Begriffe ,Mensch Lebewesen‘ und ,Mensch‘ sind äquivalent, d.h. wenn jemand sagt, du seiest ein Mensch,

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ticularis Negativa: Quoddam A non est B, seu non aequivalent AB et A, seu A non B est Ens.32 At Universalis Negativa: Nullum A est B,33 erit AB est non Ens. Et Particularis Affirmativa34 quoddam A est B, erit AB est Ens. Ex hac interpretatione statim patent Regulae oppositionum (quibus demonstravi secundam et tertiam ex prima figura) et leges conversionum (quibus demonstravi figuram quartam) ut manifestum est35 ex terminis. Nam36 U.A. et P.N. opponuntur, quia aequipollentiam quam una affi rmat altera negat de37 iisdem; Et similiter U.N. et P.A. opponuntur simpliciter, quia 38 Entitatem, quam una affi rmat, altera negat de eodem. U.N. et P.A. convertuntur simpliciter, nam cum dico AB est39 non Ens, vel AB est Ens, nihil refert utrum dicam etiam BA est Ens vel40 BA est non Ens, nam aequivalent AB et BA. Sed U.A. et P.N. non convertuntur simpliciter, nam hae propositiones, AB aequipollet ipsi A, vel non aequipollet ipsi A, non eodem modo tractant A et B, nec inde sequitur AB aequipollet vel non aequipollet ipsi B. 41 At conversio per accidens propositionis affi rmativae hoc modo tractatae praesupponit conversionem simpliciter Parti32 (1)

Unde Particularis Affi rmativa Quoddam A est B sic a me enuntiabatur: AB est Ens. (2) At … 33 (1) (2) erit /AB est non Ens erg. L/ 34 (1) erit (2) quoddam 35 (1) Nam (a) convertitur (b) universalis (ba) affi rmativa (bb) negativa convertitur simpliciter, itemque particularis affi rmativa, ei opposit bricht ab (2) ex terminis. 36 (1) primum streicht L. (2) UA et PN opponuntur (a) quia quod una affi rmat (b) quia aequipollentiam … 37 (1) eadem (2) iisdem … 38 (1) existentiam quam (2) Entitatem, … 39 (1) Ens vel non Ens (2) non Ens vel … 40 (1) AB est ens (2) BA est /non erg. L/ Ens … 41 (1) At conversio (a) horum per (b) per accidens Universalis Affi rmativae sic demonstratur, ubi prius demonstratus fuere AB aequipollet ipsi A, sed A est Ens, ergo AB est Ens. Hinc demonstratur (a) hoc ex (b) Explicandi modo ubi primum (ba) convert bricht ab (bb) demonstrata erit adhuc subalternatio. (2) At conversio

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so sagt er, du seiest ein Lebewesen.3 Jemand nannte sich Grünberg; ein Freund meinte zu ihm: ,Es reicht doch, wenn du dich Berg nennst‘. ,Wieso das‘, fragte der erste, ,glaubst du, dass alle Berge grün sind?‘ ,Ja, zumindest jetzt‘ entgegnete der Freund, denn es war Sommer. So sagte ihm der natürliche Verstand, dass die Aussage ,Jeder Berg ist grün‘ damit zusammen fällt, dass die Begriffe ,grüner Berg‘ und ,Berg‘ äquivalent sind. Meine alte Zurückführung lief so: Die universell affirmative Aussage ,Jedes A ist ein B‘, das heißt ,AB und A sind äquivalent‘ oder auch ,A Nicht-B ist nicht-seiend [bzw. unmöglich]‘. Die partikulär negative Aussage ,Ein A ist kein B‘, d.h. ,AB und A sind nicht äquivalent‘ oder ,A Nicht-B ist seiend bzw. möglich‘. Die universell negative Aussage ,Kein A ist ein B‘ ergibt ,AB ist nichtseiend bzw. unmöglich‘; und die partikulär affirmative Aussage ,Ein A ist ein B‘ ergibt ,AB ist seiend bzw. möglich‘. Aus dieser Analyse erhellen sofort die Regeln der Opposition (mittels derer ich die Zweite und Dritte Figur aus der Ersten abgeleitet habe) sowie die Gesetze der Konversion (mittels derer ich die Vierte Figur bewiesen habe). Dies ist offenkundig aufgrund der Formulierungen, denn UA und PN stehen sich [als Negationen] gegenüber, weil die Äquivalenz [zwischen AB und A], die in der einen Aussage bejaht, durch die andere verneint wird. Ähnlich stehen sich die UN und die PA gegenüber, weil das Sein bzw. die Möglichkeit [von AB], die die eine bejaht, durch die andere verneint wird. Die UN und die PA lassen sich einfach konvertieren, denn wenn ich sage ,AB ist unmöglich‘ bzw. ,AB ist möglich‘, so

3 Eigentlich

müsste Leibniz hier argumentieren: Wenn jemand sagt, du seiest ein Mensch, dann sagt er soviel wie, du seiest ein menschliches Lebewesen [homo animal].

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cularis Affi rmativae jam demonstratam, et praeterea demonstrationem subalternationis 42 seu demonstrationem Particularis Affi rmativae ex universali affi rmativa: Omne A est B. Ergo quoddam A est B. Demonstratio sic procedit:43 Omne A est B, id est AB aequivalet ipsi A. Sed A est Ens, (ex hypothesi) Ergo AB est Ens, id est quoddam A est B.44 Sed quia pari jure etiam poterat dici BA est Ens, seu quoddam B est A, hinc habebas jam conversionem per accidens, seu talem collectionem: Omne A est B, ergo quoddam B est A.45 Universalis Negativa etiam converti potest per accidens, sed id alio modo demonstratur, nam converti potest simpliciter, et conversae sumi potest subalterna.46 Conversionem ejus simpliciter permissam jam demonstravimus, superest ut in ea demonstremus subalternationem.47 Nullum A est B, ergo quoddam A non est B. Nempe Nullum A est B, id est AB est non Ens, Ergo AB non aequivalet ipsi A, (quia A est Ens)48 id est quoddam A non est B. 49Caeterum quia Nullum A est B, id est quia AB est non Ens, et ideo BA etiam est non Ens, etiam BA non aequivalet ipsi B seu etiam quoddam B non est A. Habemus ergo hinc tam subalternationem quam conversionem per accidens ex Universali negativa.

42 (1)

quae talis est Omnis (2) /seu … affi rmativa erg. L/ (a) quae talis est (b) hoc (c) propositi (d) Demonstratio … 43 (1) AB ∞ A (2) /Omne A est B, id est erg. L/ AB aequivalet … 44 (1) id est (2) sed 45 (1) Sed universalis negativa non potest converti per Accidens (a) ut si dica (b) quia licet (c) ex ipsa duci possit particularis negativa, tamen haec non potest converti. Superest ut subalternationem ostendemus (ca) in par (cb) Universali negativa ad particularem negativam. Nullum A est B, sed AB est non Ens, hinc inferri debet AB non (2) Universalis negativa … 46 (1) Demonstram (2) Conversionem … 47 (1) Omnis (2) Nullus lapis est homo, ergo quidam lapis non est homo (3) Nullum A … quoddam (a) B non est (b) A non … 48 (1) Ergo (2) /id est … est B am Rande erg. L. / 49 (1) Caeterum quia AB est non Ens (2) Caeterum …

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spielt es keine Rolle, ob ich stattdessen sage ,BA ist unmöglich‘ bzw. ,BA ist möglich‘, denn AB und BA sind äquivalent. Die UA und die PN hingegen lassen sich nicht einfach konvertieren, denn in der Aussage ,AB ist mit A äquivalent‘ bzw. ,AB ist nicht mit A äquivalent‘ werden A und B nicht auf gleiche Weise behandelt, und so kann man nicht folgern, dass AB mit B äquivalent (bzw. nicht äquivalent) ist. Die akzidentelle Konversion der so analysierten UA setzt voraus, dass die einfache Konversion der PA schon bewiesen ist, und außerdem setzt sie den Beweis der Subalternation voraus, d.h. den Schluss von der universell affi rmativen auf die partikulär affi rmative Aussage: ,Jedes A ist ein B‘, also ,Ein A ist ein B‘. Der Beweis geht so: ,Jedes A ist ein B‘, d.h. ,AB ist mit A äquivalent‘. Doch ,A ist seiend bzw. möglich‘ (nach Annahme), also ,AB ist seiend bzw. möglich‘, d.h. ,Ein A ist ein B‘. Doch weil man mit gleichem Recht auch sagen könnte ,BA ist seiend bzw. möglich‘, d.h. ,Ein B ist ein A‘, hat man hier schon die akzidentelle Konversion, d.h. den Schluss: ,Jedes A ist ein B‘, also ,Ein B ist ein A‘. Die universal negative Aussage kann ebenfalls per accidens konvertiert werden, doch das wird auf andere Art bewiesen. Sie lässt sich ja einfach konvertieren, und von der so umgekehrten Aussage kann man zur subalternen übergehen. Dass die einfache Konversion der UN zulässig ist, wurde bereits gezeigt. Es bleibt also nur die Subalternation zu beweisen: ,Kein A ist ein B‘, also ,Ein A ist nicht ein B‘. ,Kein A ist ein B‘ ist ja so viel wie ,AB ist nicht-seiend bzw. unmöglich‘. Deshalb kann aber AB nicht mit A äquivalent sein (denn A ist seiend bzw. möglich), und das heißt ,Ein A ist nicht B‘. Im Übrigen ist, weil kein A ein B ist, d.h. weil AB nicht-seiend bzw. unmöglich ist, analog auch BA nicht-seiend bzw. unmöglich, und deshalb ist BA nicht äquivalent mit B, d.h. es gilt ,Ein B ist kein A‘. Wir erhalten hier also für die universell negative Aussage sowohl die Subalternation als auch die akzidentelle Konversion.

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Caeterum venit in mentem etiam propositiones Universalem 50 Negativam et ei oppositam Particularem affi rmativam reduci posse ad aequipollentiam 51 hoc modo: Nullum A est B, id est AB est non Ens, etiam sic exprimi poterit:52 non aequivalent AB et AB Ens. Et similiter53 Quoddam A est B, id est AB est Ens, etiam sic exprimi poterit AB et AB 54 Ens aequivalent. Hinc ex isto55 enuntiandi modo etiam habetur U.N. et P.A.56 oppositio, et earundem conversio simpliciter. Itemque ex U.N. subalter natio.57 Nam esto Nullum A est B, fiet inde AB et AB Ens non aequivalent, inferendum est hinc Quoddam A non esse B, seu non aequivalere A et AB. Qu ia A et A Ens aequivalent ex hypothesi, quodsi ergo A et AB aequivalerent, etiam AB et AB ens aequivalerent, contra assumtum. Ita omnes propositiones logicas categoricas reduximus ad calculum aequipollentiarum. Caeterum hinc etiam 58 manifestius apparet fons erroris in tali conversione: omnis ridens est homo, Ergo quidam homo est ridens, cum tamen fieri possit59 et fieri potuisset ut nullus homo nunc revera rideat, imo unquam riserit, imo ut nullus homo existerit. Omnis ridens est homo,60 id est Ridens et Ridens homo61 aequivalent, sed ridens est Ens, ex hypothesi. Ergo 50 (1)

negativam (2) Affi rmativam (3) Negativam … particularem (a) Aff (b) negativam vers. nicht gestr. L (c) affi rmativam 51 (1) hoc (2) hoc modo: Omne A est B quod reduximus ad hanc: AB et A aequivalent (3) hoc … 52 (1) (2) non (3) non (a) coincidunt (b) aequivalent … 53 (1) non aequivalent Omn (2) Quoddam … Ens (a) sic (b) etiam sic … et AB /Ens erg. L/ (ba) coincidunt (bb) aequivalent … 54 /Ens erg. L/ (1) coincidunt (2) aequivalent … 55 (1) Enuntiatione (2) enuntiandi 56 (1) conversio simpliciter et a (2) oppositio 57 (1) nam si non aequivalent AB et AB Ens, etiam non aequivalent (2) Nam… 58 (1) manifestus (2) manifestius 59 (1) ut (2) et fieri potuisset ut 60 (1) sic exprimetur (2) id est … 61 (1) coincidunt (2) aequivalent …

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Im Übrigen fällt mir ein, dass sich auch die UN und ihre Negation, die PA, wie folgt auf eine Äquivalenzbehauptung reduzieren lassen: ,Kein A ist B‘, d.h. ,AB ist nicht-seiend bzw. unmöglich‘ kann auch so ausgedrückt werden: ,AB ist nicht äquivalent mit AB Seiend‘. Und entsprechend ,Ein A ist ein B‘, d.h. ,AB ist seiend‘ kann auch so ausgedrückt werden: ,AB ist mit AB Seiend äquivalent‘. Auch aus dieser Form der Darstellung ergibt sich die Opposition zwischen UN und PA und ihre einfache Konversion. Ferner aus der [Darstellung der] UN auch die Subalternation wie folgt: ,Kein A ist ein B‘ wird zu ,AB ist nicht äquivalent mit AB Seiend‘. Hieraus ist zu folgern ,Ein A ist kein B‘, d.h. ,A ist nicht äquivalent mit AB‘. Nach Voraussetzung sind A und ,A Seiend‘ äquivalent, wären somit A und AB äquivalent, so auch AB und ,AB Seiend‘ im Widerspruch zur Annahme. So haben wir alle kategorischen Aussagen auf den Kalkül der Äquivalenz zurückgeführt. Im Übrigen wird aus dieser Darstellung noch besser der Grund für den Fehler deutlich, der in dem Konversionsschluss steckt: ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘, also ,Ein Mensch ist ein Lachender‘, denn es kann bzw. könnte sein, dass kein Mensch jetzt tatsächlich lacht, ja sogar, dass kein Mensch überhaupt existiert hat. ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘, d.h. ,Lachend‘ ist äquivalent mit ,Lachender Mensch‘. Doch ,Lachender‘ ist nach Voraussetzung seiend bzw. möglich, also ist ,Lachender Mensch‘ seiend bzw. möglich, also auch ,Mensch der lacht‘4 ,

4 Leibniz

benutzt für diesen Zwischenschritt das logische Gesetz AB = BA und geht von der Widerspruchsfreiheit des Begriffs ,Ridens homo‘ zu der von ,Homo ridens‘ über. Im Deutschen lässt sich der Begriff ,Lachender Mensch‘ aber nicht idiomatisch zu ,Mensch Lachender‘ umkehren, deshalb wurde der Notbehelf ,Mensch, der lacht‘ gewählt.

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Ridens homo est Ens, Ergo homo ridens est Ens, seu quidam homo est ridens. Ubi Ens in62 propositione: homo Ridens est Ens, eodem modo sumi debet ut in propositione: ridens est Ens. Si sumatur Ens de possibilitate, seu63 ut sit ridens in regione idearum, etiam quidam homo est ridens non aliter accipi debet, quam homo ridens est Ens, nempe possibile seu in regione idearum. Sed si Ridens est Ens sumatur pro realiter existente, etiam Homo ridens est Ens pro tali64 sumi poterit, verumque erit aliquem hominem65 actu ridere. Idem est si processissemus per modum quo etiam particularis affi rmativa ad aequipollentiam reducitur: Omnis ridens est homo, id est Ridens et Ridens homo aequivalent. Porro Ridens et Ridens Ens aequivalent, ergo Ridens homo66 et Ridens homo Ens aequivalent, ergo67 et Homo Ridens et Homo Ridens Ens aequivalent, id est quidam homo est ridens,68 scilicet in regione idearum, seu69 ut homo ridens sit Ens, vel ut homo ridens et homo Ridens Ens aequivaleant, non ultra,70 neque quidam homo est ridens significat actu aliquem hominem ridere. Verba ergo linguae ambigua sunt, ambiguitatem vero reductio nostra tollit.71 Itaque cum infertur quidam homo est ridens, intelligitur speciem quandam hominis cum ridentis termino coincidere, seu ridens homo est ridens.72 Jam ridens lapis non sit ridens nam contradictionem involvit ridens lapis.

62 (1)

homo ridens (2) propositione … 63 (1) in regione idearum (2) ut sit 64 (1) sumta (2) sumi poterit 65 (1) existentem ri (2) actu … 66 (1) est ridens (2) et … 67 (1) Homo (2) et Homo Ridens … 68 (1) scilicet modo (2) scilicet in … 69 (1) ut Ens (2) ut homo … 70 (1) seu ut (2) neque … 71 /Itaque … involvit ridens lapis erg. L/ 72 (1) ridens lapis (2) Jam …

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d.h. ,Ein Mensch ist ein Lachender‘. Hier muss der Ausdruck ,Seiend‘ in der Aussage ,Mensch, der lacht, ist seiend‘ in gleicher Weise verstanden werden wie in der Aussage ,Lachend ist seiend‘. Wenn ,seiend‘ als möglich genommen wird, d.h. so, dass ,Lachend‘ im Bereich der Ideen verstanden wird, dann darf auch ,Mensch, der lacht‘ nicht anders verstanden werden als ,Mensch, der lacht, ist seiend‘, nämlich als möglich bzw. im Bereich der Ideen. Wird hingegen ,Lachend ist seiend‘ im Sinne der realen Existenz verstanden, so kann auch ,Mensch, der lacht, ist seiend‘ entsprechend verstanden werden, und dann trifft es zu, dass irgendein Mensch realiter lacht. Das gleiche ergäbe sich, wenn wir mittels der Methode verfahren wären, durch die auch die partikulär affi rmative Aussage auf eine Äquivalenzbehauptung reduziert wird: ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘, d.h. ,Lachender‘ ist äquivalent mit ,Lachender Mensch‘. Weiterhin ist ,Lachender‘ äquivalent mit ,Lachend Seiend‘, also sind ,Lachender Mensch‘ und ,Lachender Mensch Seiend‘ äquivalent, also ist auch ,Mensch, der lacht‘ äquivalent mit ,Mensch lachend Seiend‘, d.h. (mindestens) ein Mensch ist ein Lachender, natürlich nur im Bereich der Ideen, wo ,Mensch, der lacht‘ seiend ist, bzw. wo ,Mensch, der lacht‘ mit ,Mensch lachend Seiend‘ äquivalent ist, aber nicht darüber hinaus, wo ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ bedeutet, dass (mindestens) ein Mensch tatsächlich lacht. Die Wörter unserer Sprache sind also zweideutig, doch unsere Analyse hebt diese Zweideutigkeit auf. Wenn somit gefolgert wird ,Ein Mensch ist ein Lachender‘, dann ist das so zu verstehen, dass eine gewisse Spezies des Menschen mit dem Begriff des Lachenden zusammenfällt, d.h. ,Lachender Mensch‘ ist ,Lachend‘; hingegen gilt nicht ,Lachender Stein ist lachend‘, denn ,Lachender Stein‘ enthält einen Widerspruch.

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Hinc etiam patet, Universalem Affi rmativam cum sua opposita P.N.,73 toto coelo differe ab Universali Negativa cum sua opposita, cum in74 posterioribus Ens assumatur, non in prioribus. In omnibus tamen tacite assumitur Terminum ingredientem esse Ens. Omne A est B, id est AB ∞ A Quoddam A non est B id est AB non ∞ A Nullum A est B id est AB76 non est Ens seu AB non ∞ AB Ens Quoddam A77 est B id est AB est Ens seu AB ∞ AB Ens.

75

Ex his patet, in omne propositione Affi rmativa praedicatum esse particulare, sed non aeque patet in omni negativa praedicatum esse universale seu removeri. 78 Generaliter agnoscere poterimus an terminus79 A vel B sit universalis, si pro A vel B substitui potest YA vel YB, ubi Y potest esse quodcunque80 cum [A vel] B compatibile velut C, F etc. Jam ex AB ∞ A non licet inferre81 AYB ∞ A, licet enim B contineatur in A, non ideo YB continebitur in A. Similiter pro AB ∞ AB Ens non infertur AYB ∞ AYB Ens. Etsi enim YB sit Ens ex hypothesi, non ideo sequitur AY esse Ens. Itaque hinc patet praedicatum propositionis Affi rmativae non esse universale. Ostendamus jam simili Methodo praedicatum propositionis negativae esse universale. Nempe si AB non ∞ A, etiam AYB non ∞ A,82 sive enim YB 83 sit ∞ B, aut AY ∞ A, sive non, res procedit, nam si YB ∞ B, vel AY ∞ A, substitui poterunt pro B vel pro A. Si vero 73 (1)

et Univers (2) toto … 74 (1) posteriore (2) posterioribus 75 Am Rande dazu: Omnis homo est animal. Qu idam hom streicht L. 76 (1) est ens (2) non … 77 (1) non est (2) est 78 (1) Agnosci p (2) Generaliter 79 /A vel B erg. L/ 80 /cum /A vel erg. Hrg./ B compatibile erg. L/ 81 (1) AB (2) AYB ∞ A (a) nec ex (b) licet … 82 (1) quia YB ∞ B (2) sive 83 (1) aut A (2) sit …

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Hieraus wird auch deutlich, dass ein himmelweiter Unterschied besteht zwischen der universell affi rmativen Aussage und ihrer Negation, der PN, auf der einen Seite und der universell negativen Aussage mit ihrer Negation auf der anderen Seite: Bei den letzteren wird etwas als Seiend bzw. möglich vorausgesetzt, nicht aber bei den ersteren. In allen Aussagen wird dennoch stillschweigend vorausgesetzt, dass die jeweiligen Begriffe seiend bzw. möglich sind. Jedes A ist ein B, d.h. AB = A Ein A ist nicht ein B, d.h. AB ≠ A Kein A ist ein B, d.h. AB ist nicht Seiend bzw. AB ≠ AB Seiend Ein A ist ein B, d.h. AB ist Seiend bzw. AB = AB Seiend.

Hieraus erhellt, dass das Prädikat jeder affi rmativen Aussage partikulär ist. Hingegen wird nicht gleichermaßen deutlich, dass das Prädikat jeder negativen Aussage universell bzw. zu entfernen ist.5 Ganz allgemein kann man erkennen, ob ein Begriff A oder B universell ist, wenn man nämlich für A bzw. für B YA bzw. YB substituieren kann, wobei Y irgendein mit A bzw. mit B kompatibler Begriff ist wie etwa C, F, usw. So darf man aus [der UA] AB = A nicht folgern, dass AYB = A ist, denn wenn B in A enthalten ist, so braucht deshalb nicht YB in A enthalten zu sein. Ähnlich kann man aus [der PA] AB  =  AB  Seiend nicht folgern, dass AYB = AYB Seiend wäre. Denn auch wenn nach Voraussetzung YB seiend bzw. möglich ist, folgt dennoch nicht, dass AY seiend bzw. möglich wäre. Hieraus wird somit deutlich, dass das Prädikat einer affi rmativen Aussage nicht universell ist. Jetzt wollen wir noch mit einer ähnlichen Methode zeigen, dass das Prädikat einer negativen Aussage universell ist. Wenn nämlich AB ≠ A ist, dann ist auch AYB ≠ A. Egal nämlich, ob YB = B oder AY = A ist oder auch nicht, der Schluss geht durch, 5 Was

Leibniz mit dem Ausdruck ,bzw. zu entfernen‘ („seu removeri“) gemeint haben könnte, bleibt ein Rätsel. Parkinson (1966: 119) übersetzt die Passage „i.e. is removed“.

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Einfache Schlüsse

non aequipolleant, multo magis84 AYB et A non aequipollebunt. Idem est in AB non ∞ AB Ens. Superest ut demonstremus subjectum habere quantitatem suae propositionis.85 In U.A. AB ∞ A, Ergo et YAB ∞ YA, sed in P.N. si AB non ∞ A, non hinc sequitur YAB non ∞ YA, nam si Y ∞ B, foret YAB ∞ YA. Rursus vero in U.N. si AB non est Ens etiam YAB non est Ens, seu si AB non ∞ AB Ens, etiam YAB non ∞ YAB Ens. Sed in P.A. si AB est Ens, non sequitur etiam YAB esse Ens, potest enim86 sub Y assumi aliquid incompatibile cum A et B. Itaque ex nostro calculo omnes collegimus regulas87 distributionum. Caeterum et in altero illo modo demonstrandi logicas formas, ubi non per ideas, sed per exempla 88 subjecta progredimur, refellenda erit prava illa consequentia: Omnis ridens est homo, Ergo quidam homo89 est ridens seu ridet. Sensus est: Omnis ridens possibilis est homo, Ergo quidam homo est ridens possibilis; recte.90 Hunc sensum ostendit nostra interpretatio quae conversionem per accidens legitimam reddit. Ridens ∞ Ridens Homo.91 Jam Ridens ∞ Ridens Ens, Ergo Ridens homo ∞ Ridens homo Ens, quia Ridens ∞ Ridens Ens. Haec faciunt me vereri,92 ut ex interpretatione inductiva haec recte constitui possint. Aristoteles ipse viam idealem secutus videtur, nam dicit Animal inesse homini, nempe notionem no84 (1)

non Y, aliqu (2) AY et (3) AYB … AB ∞ A aequivalet AYB ∞ bricht ab (2) In Un. Aff. (3) In U.A. … ∞ YA (a) sed si (b) sed in P.N. si … 86 /sub Y erg. L/ assumi … 87 (1) Itaque ex nostro (2) /distributionum erg. L/ Caeterum … 88 (1) progreditur (2) /subjecta erg. L/ progredimus 89 (1) rid (2) ridet (3) est ridens seu … 90 (1) In hoc syllogismo Omnis ridens est ridens, Omnis ridens est homo, Ergo quidam homo est ridens (2) Y ridens est ridens talis esse potest interpretatio Y ridens ∞ Y ridens ridens, Y ridens ∞ Y ridens homo. Ridens ∞ ridens (3) Hunc sensum … 91 (1) Ridens homo (2) Jam /ridens/ vers. nicht gestr. L. (3) /Jam Ridens ∞ Ridens Ens, Ergo/ am Rande erg. L 92 (1) ut vereri (2) me vereri, ut ex (a) inductiv (b) interpretatione … 85 (1)

„Einige logische Schwierigkeiten“

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denn falls YB = B oder AY = A ist, können diese Terme für B bzw. für A substituiert werden. Wenn sie hingegen nicht äquivalent sind, dann ist noch weniger AYB mit A äquivalent. Das gleiche gilt für AB ≠ AB Seiend. Es bleibt noch zu zeigen, dass das Subjekt [einer kategorischen Aussage] die gleiche Quantität besitzt wie die Aussage selber. In der UA ist AB  =  A, also YAB  =  YA; hingegen folgt aus der PN, AB ≠ A, nicht, dass YAB ≠ YA wäre, denn für den Fall Y = B wäre YAB = YA. Wiederum folgt aber aus der UN ,AB ist nicht-seiend bzw. unmöglich‘, dass auch AYB nicht-seiend bzw. unmöglich ist, bzw. wenn AB ≠ AB Seiend, dann auch YAB ≠ YAB Seiend. Hingegen folgt aus der PA, AB ist seiend bzw. möglich, nicht, dass auch YAB seiend bzw. möglich wäre, denn für Y kann irgendein Begriff gewählt werden, der mit A und B unverträglich ist. Auf diese Art leiten wir aus unserem Kalkül sämtliche Regeln der Distribution her. Im Übrigen lässt sich der problematische Schluss: ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘, also ,(Mindestens) ein Mensch ist ein Lachender bzw. lacht‘ auch mittels der anderen logischen Beweisart, wo wir nicht mit den Ideen, sondern mit den einzelnen Individuen operieren, als fehlerhaft zurückweisen. Der Sinn ist: ,Jeder mögliche Lachende ist ein Mensch‘, also ,(Mindestens) ein Mensch ist ein möglicher Lachender‘; das ist in Ordnung. Diese Lesart wird durch unsere Interpretation bewiesen, durch die wir die akzidentelle Konversion als gültig erwiesen haben: ,Lachend‘ = ,Lachender Mensch‘, aber auch ,Lachend‘ = ,Lachend Seiend‘, also ,Lachender Mensch‘ = ,Lachender Mensch Seiend‘, denn es ist ja ,Lachend‘ = ,Lachend Seiend‘. Aufgrund dieser Erwägungen befürchte ich, dass diese Schlussfolgerung mittels der induktiven [bzw. extensionalen] Deutung nicht richtig begründet werden kann. Aristoteles selber scheint der [»intensionalen«] Methode der Ideen gefolgt

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Einfache Schlüsse

tioni, cum alias potius Homines insint animalibus.93 Videamus tamen, quid ex94 collectiva ratiocinatione duci possit. Barbara:95 Omnes Homines sunt in animalibus, Omnes Milites sunt in Hominibus, ergo Omnes Milites sunt in animalibus. Celarent:96 Omnes homines sunt extra lapides, omnes milites sunt in hominibus, ergo omnes milites sunt extra lapides. Darii: Omnes homines sunt in animalibus, quidam intelligentes sunt in hominibus, ergo quidam intelligentes sunt in animalibus. Ferio: Omnes homines sunt extra lapides,97 quaedam substantiae sunt in hominibus, Ergo quaedam substantiae sunt extra lapides. 98 In Darapti sic: Omnis homo est99 intelligens, Omnis homo est animal, Ergo quoddam animal est intelligens. Interpretatione collectiva:100 Omnes homines sunt in intelligentibus, omnes homines sunt in animalibus, Ergo quaedam animalia sunt in intelligentibus. Transferamus ad hunc syllogismum quo conversio per accidens demonstratur:101 Omnis ridens est ridens,102 Omnis ridens est homo, Ergo quidam homo est ridens. Interpretando: omnes ridentes sunt in ridentibus, omnes ridentes sunt in hominibus, Ergo quidam homines sunt in ridentibus.  93 (1)

Homines sunt (a) pars animalium (b) in (c) Milites sunt (2) Vide-

amus  94 (1) distributiva (2) collectiva  95 /Omnes … /Omnes/ … /Omnes/ Milites jeweils erg. L.  96 (1) Homines (2) Omnes … extra (a) animalia (2) lapides  97 (1) quidam intelligentes sun bricht ab (2) quaedam (a) corpora (b) substantiae …  98 (1) Sed (2) In  99 (1) animal. Omnis homo est intelligens. Ergo quoddam intelligens est animal. (2) intelligens 100 (1) Omnes homines sunt in animalibus. Omnes homines sunt in intelligentibus. Ergo (2) Omnes … 101 (1) Omnis homo est homo (2) Omnis ridens est (a) homine (b) ridens… 102 (1) quidam ride (2) omnis ridens est (a) in hominibus (b) est ho (3) Omnis

„Einige logische Schwierigkeiten“

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zu sein, denn er sagt, dass der Begriff Lebewesen im Begriff Mensch enthalten ist; während anders betrachtet die Menschen [als Individuen] in den Lebewesen enthalten sind. Lasst uns dennoch schauen, was man aus der kollektiven [extensionalen] Betrachtungsweise schlussfolgern kann. Barbara: ,Alle Menschen sind in der Menge der Lebewesen enthalten‘; ,Alle Soldaten sind in der Menge der Menschen enthalten‘, also: ,Alle Soldaten sind in der Menge der Lebewesen enthalten‘. Celarent: ,Alle Menschen befi nden sich außerhalb der Menge der Steine‘, ,Alle Soldaten sind in der Menge der Menschen enthalten‘, also: ,Alle Soldaten sind außerhalb der Menge der Steine‘. Darii: ,Alle Menschen sind in der Menge der Lebewesen enthalten‘; ,Einige Intelligente sind in der Menge der Menschen enthalten‘, also ,Einige Intelligente sind in der Menge der Lebewesen enthalten‘. Ferio: ,Alle Menschen befi nden sich außerhalb der Menge der Steine‘, ,Einige Substanzen sind in der Menge der Menschen enthalten‘, also ,Einige Substanzen befi nden sich außerhalb der Menge der Steine‘. Bei Darapti argumentiert man so: ,Jeder Mensch ist intelligent‘, ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, also ,(Mindestens) ein Lebewesen ist intelligent‘. Bei der kollektiven Deutung besagt dies: ,Alle Menschen sind in der Menge der Intelligenten enthalten‘, ,Alle Menschen sind in der Menge der Lebewesen enthalten‘, also ,Einige Lebewesen sind in der Menge der Intelligenten enthalten‘. Übertragen wir dies auf den Syllogismus, mit dem die akzidentelle Konversion bewiesen wird: ,Jeder Lachende ist ein Lachender‘, ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘, also ,(Mindestens) ein Mensch ist ein Lachender‘. Also [extensional] interpretiert: ,Alle Lachenden sind in der Menge der Lachenden enthalten‘, ,Alle Lachenden sind in der Menge der Menschen enthalten‘, also ,Einige Menschen sind in der Menge der Lachenden enthalten‘.

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Sed quid, si revera nullus homo rideat? Dico hanc propositionem Omnes104 ridentes sunt in hominibus,105 seu omnes ridentes sunt homines, etiam falsam esse, nam ut vera sit, etiam vera erit quidam ridentes sunt in hominibus,106 seu quidam ridentes sunt homines; sed ea falsa est, si nullus homo rideat. At secus est si dicas Omnes si qui rident sunt in hominibus, nam ex hac non sequitur quidam qui rident sunt in hominibus, sed haec tantum Qu idam si qui rident, seu suppositi ridentes sunt in hominibus. Itaque syllogismus erit talis: Omnes suppositi ridentes sunt suppositi ridentes (neque enim licet dicere, omnes suppositi ridentes sunt actu ridentes), omnes suppositi ridentes sunt homines, Ergo quidam homines sunt suppositi ridentes, seu interpretando: omnes suppositi ridentes sunt in suppositis ridentibus, Omnes suppositi ridentes sunt in hominibus107 scilicet suppositis, Ergo quidam homines108 suppositi (seu quidam qui sunt in hominibus suppositis) sunt in suppositis ridentibus. Hinc patet etiam subalternationis consequentiam simili abusui obnoxiam esse: Omnis ridens est homo, Ergo quidam ridens est homo, cum revera nemine reapse ridente, nullus ridens sit homo. Itaque patet109 in tali objectione propositionem universalem intelligi solere de110 supposito ridente, particularem de actuali ridente. Itaque cum dicitur: Omnis ridens est homo, ergo quidam ridens est homo, sensus erit:111 Omnis suppositus ridens est homo, Ergo quidam suppositus ridens est homo, unde recte concluditur: quidam homo112 (nempe suppositus) est suppositus 103 (1)

Dico conclusionem (2) Sed … 104 (1) homines su (2) ridentes 105 /seu … homines erg. L/ 106 /seu … homines am Rande erg. L/ 107 /scilicet suppositis erg. L/ 108 /suppositi erg. L/ … hominibus /suppositis erg. L 109 /in tali objectione erg. L/ 110 (1) homine (2) supposito 111 /Omnis … FINIS am Rande erg. L/ 112 (1) est (2) (nempe …

„Einige logische Schwierigkeiten“

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Doch was ist, wenn in Wahrheit kein Mensch lachen würde? Ich behaupte, dass dann auch die Aussage ,Alle Lachenden sind in der Menge der Menschen enthalten‘, d.h. ,Alle Lachenden sind Menschen‘ falsch wäre; denn um wahr zu sein, müsste auch wahr sein ,Einige Lachende sind in der Menge der Menschen enthalten‘, d.h. einige Lachende sind Menschen; doch das ist falsch, wenn kein Mensch lacht. Anders liegen die Dinge, wenn man sagt ,Alle jene, wenn sie lachen, sind in der Menge der Menschen enthalten‘, denn hieraus folgt nicht, dass einige, die lachen, in der Menge der Menschen enthalten sind, sondern lediglich, dass einige, wenn sie lachen, d.h. einige angenommen Lachende, in der Menge der Menschen enthalten sind. Deshalb läuft der Syllogismus auf Folgendes hinaus: ,Jeder angenommen Lachende ist ein angenommen Lachender‘ (denn man darf nicht sagen ,Jeder angenommen Lachende ist ein tatsächlich Lachender‘), ,Jeder angenommen Lachende ist ein Mensch‘, also ,(Mindestens) ein Mensch ist ein angenommen Lachender‘. Bei [extensionaler] Interpretation: ,Alle angenommen Lachenden sind in der Menge der angenommen Lachenden enthalten‘, ,Alle angenommen Lachenden sind in der Menge der Menschen, nämlich der angenommenen, enthalten‘, also ,Einige angenommenen Menschen (d.h. einige, die als Menschen angenommen werden) sind in der Menge der angenommen Lachenden enthalten‘. Hieraus erhellt, dass auch der Subalternationschluss: ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘ also ,Mindestens ein Lachender ist ein Mensch‘ einem ähnlichem Missbrauch unterliegt. Wenn nämlich de facto niemand lacht, dann gilt ,Kein Lachender ist ein Mensch‘. Es wird also deutlich, dass bei dem fraglichen Einwand die universelle Aussage so verstanden wird, dass sie von angenommenen Lachenden handelt, die partikuläre Aussage hingegen von tatsächlich Lachenden. Deshalb muss der Schluss ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘, also ,Mindestens ein Lachender ist ein Mensch‘ so verstanden werden: ,Jeder angenommen Lachende ist ein Mensch‘, also ,Mindestens ein angenommen Lachender ist ein Mensch‘, woraus man korrekt weiter schlie-

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Einfache Schlüsse

ridens. Sed non inde infertur: Ergo quidam homo est actu ridens. Sed si dicas: omnis actu nunc ridens est homo,113 ponis revera aliquem nunc actu ridere eumque esse hominem, adeoque aliquem hominem actu ridere. Semper enim assumendum est terminum esse verum Ens, at Actu nunc ridens ne quidem Ens erit, si falsum sit aliquem actu ridere, est impossibilitas hypothetica quae tamen hic sufficit. Finis

113 (1)

supponis (2) ponis revera

„Einige logische Schwierigkeiten“

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ßen kann: ,Mindestens ein Mensch (nämlich ein angenommener) ist ein angenommen Lachender‘. Hingegen kann man daraus nicht schließen: ,Mindestens ein Mensch ist ein tatsächlich Lachender‘. Sagt man aber ,Jeder jetzt tatsächlich Lachende ist ein Mensch‘, so setzt man damit, dass jemand nun tatsächlich lacht und dass dieser ein Mensch ist. Also gilt ,Mindestens ein Mensch lacht wirklich‘. Es ist nämlich stets vorauszusetzen, dass ein [in einer kategorischen Aussage vorkommender] Begriff in Wahrheit seiend ist, doch ,Jetzt tatsächlich Lachender‘ wäre nicht seiend, wenn es nicht der Fall wäre, dass jemand jetzt tatsächlich lacht. Und zwar handelt es sich hierbei um eine hypothetische Unmöglichkeit, die dennoch ausreicht. Ende

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Einfache Schlüsse

2.6.3 Kommentar Die vorliegende, äußerst inhaltsreiche Abhandlung zeugt von einem reifen Bewusstsein der diskutierten Probleme und stammt mit großer Wahrscheinlichkeit aus einer späten Periode. Parkinson (1966: lii) vermutet, dass die Schrift nach 1690, vielleicht sogar nach den Nouveaux Essais gegen 1705 verfasst wurde. Klar ist jedenfalls, dass sie auf logische Begriffsbildungen und Erkenntnisse zurückgreift, die Leibniz in den GI von 1686 und in Kalkülentwürfen von 1690 entwickelt hatte. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf vier Themenbereiche: 1. 2.

3.

4.

Die »Äquivalenz« von singulären Aussagen mit universellen bzw. mit partikulären Aussagen. Das anhand des etwas unglücklichen Beispiels vom lachenden Menschen diskutierte Problem des »existential import« von Allaussagen. Die unterschiedlichen Ansätze, die kategorischen Satzformen durch Gleichungen der allgemeinen Begriffslogik zu repräsentieren, um so die Schlüsse der Opposition, Subalternation und Konversion identitätslogisch zu beweisen. Der formale Beweis der traditionellen Doktrin, dass das Prädikat einer affi rmativen Aussage partikulär, das einer negativen hingegen universell ist, und dass die »Quantität« des Prädikates mit der »Qu antität« der Aussage übereinstimmt.

(Ad 1) Die Frage, ob singuläre Aussagen mit partikulären und/oder mit universellen äquivalent sind, ließe sich ähnlich trivial abhandeln, wie es im Zusammenhang mit der Dissertation „De Arte Combinatoria“ geschah. Dort wurde die »Universalität« des singulären Terms ,Sokrates‘ ja darauf zurückgeführt, dass die Aussage ,Sokrates ist ein Sohn des Sophroniscus‘ als äquivalent mit der Allaussage nachgewiesen wurde, dass jeder, der mit

Kommentar

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Sokrates identisch ist, ein Sohn des Sophroniscus ist. Analog ist dieselbe Aussage aber auch beweisbar äquivalent mit ,Jemand, der mit Sokrates identisch ist, ist ein Sohn des Sophroniscus‘. Ganz allgemein ist eine singuläre Aussage F(a) sowohl mit der partikulären Aussage ∃x(x=a ∧ F(x)) als auch mit der universellen Aussage ∀x(x=a ⊃ F(x)) logisch äquivalent. Wenn Leibniz in „Difficultates quaedam Logicae“ dieses Thema erneut aufrollt, steht jedoch etwas weniger Triviales zur Debatte. Anders als in der modernen Logik, wo ein kategorialer Unterschied zwischen singulären Termen (Namen) und generellen Termen (Prädikaten) besteht, gehören für die traditionelle Logik – Leibniz eingeschlossen – singuläre Begriffe in die gleiche syntaktische Kategorie wie »normale« Begriffe. Auch sie sind Begriffe, die eine Extension und eine »Intension« besitzen; singuläre Begriffe können als Subjekt (und theoretisch sogar als Prädikat!) einer Satzform auft reten; und man könnte singuläre Begriffe auch mit anderen Begriffen konjunktiv verknüpfen und im Prinzip sogar negieren.1 Die logische Besonderheit eines singulären Begriffs S besteht nun darin, dass S gewissermaßen minimale Extension und maximale Intension besitzt. Unter den Begriff S fällt nämlich einerseits nur ein einziges Individuum, so dass Leibniz hier auch von einem Einzelbegriff („unicum“) bzw. von der untersten Spezies („infi ma species“) spricht.2 Andererseits bezeichnet Leibniz einen singulären Begriff auch als »vollständigen« Begriff („notio completa“), weil er jeden Begriff enthält, der von dem fraglichen Individuum ausgesagt werden kann. Wie in Abschnitt 1.4 der Einleitung 1 De

facto fi ndet sich in Leibniz’ Schriften kein Beispiel einer Aussage mit negierten Individualbegriffen. Theoretisch könnte man aber z.B. die von Leibniz betrachtete Aussage ,Jeder Apostel Petrus ist ein Mensch‘ per Kontraposition zu ,Jeder Nicht-Mensch ist ein Nicht-Apostel-Petrus‘ konvertieren. 2 Vgl. das kurze Fragment A VI, 4, 866–867: „Et terminus qui omnia praedicata essentialia involvit, est species infi ma“. Mengentheoretisch wäre der Umfang von S als Einermenge {s} zu charakterisieren, die das Individuum s als einziges Element enthält.

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Einfache Schlüsse

ausgeführt wurde, lässt sich diese Auffassung von singulären Begriffen als »maximal-konsistenten« Begriffen im Rahmen der Logik L2 durch folgende Defi nition präzisieren: Ind 1

I(A) ↔ ∀Y (A∈Y ↔ A∉~Y ).

Ein Individualbegriff A – kurz I(A) – ist also einerseits widerspruchsfrei, in sofern A niemals zugleich einen Begriff und dessen Negation enthält. Andererseits ist A »vollständig« in dem Sinne, dass für jedes Y entweder Y oder ~Y in A enthalten ist. Nach traditioneller Auffassung können singuläre Aussagen als universelle Aussagen betrachtet werden (weil ein singulärer Begriff in ähnlicher Weise »distribuiert« ist wie das Subjekt einer universellen Aussage).3 Daraus ergibt sich für Leibniz folgendes »Paradox«: Wenn eine singuläre Aussage wie ,Apostel Petrus ist ein Soldat‘ mit einer universellen Aussage äquivalent ist, dann müsste deren Negation eigentlich mit einer partikulären äquivalent sein, denn gemäß den Prinzipien der Opposition ist die Negation einer universellen Aussage stets partikulär. Andererseits ist ,Apostel Petrus ist nicht ein Soldat‘ aber selber eine singuläre Aussage und müsste als solche universal sein. Insgesamt wäre also ,Apostel Petrus ist nicht ein Soldat‘ sowohl partikulär als auch universell! Um sich des logischen Status’ singulärer Aussagen innerhalb der Syllogistik zu vergewissern, betrachtet Leibniz den folgenden Schluss, der dem Modus Datisi der Dritten Figur nachgebildet ist: ,Jeder Schreiber ist ein Mensch‘, ,Ein Schreiber ist Apostel Petrus‘, also: ,Apostel Petrus ist ein Mensch‘. Damit der Schluss „vi formae“ gültig ist, müsste die Konklusion als eine 3 Vgl.

Arnauld & Nicole (1683), S.‹115: „Mais quoique cette proposition singuliere [Louis XIII. a pris la Rochelle] soit differente de l’universelle en ce que son sujet n’est pas commun, elle s’y doit neanmoins plutôt rapporter qu’à la particuliere; parceque son sujet, par cela même qu’il est singulier, est necessairement pris dans tout son étendue, ce qui fait l’essence d’une proposition universelle, & qui la distingue de la particuliere. […] Et c’est pourquoi les propositions singulieres tiennent lieu d’universelles dans l’argumentation“.

Kommentar

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PA gedeutet werden, d.h. ,Apostel Petrus ist ein Mensch‘ wäre genauer als ,Ein Apostel Petrus ist ein Mensch‘ zu verstehen. Unausgesprochen im Hintergrund von Leibniz’ Überlegungen steht dabei wohl die tradierte Auffassung, dass eine singuläre Aussage wie z.B. ,Sokrates ist ein Mensch‘ als äquivalent zu einer UA anzusehen ist, damit der Schluss ,Jeder Mensch ist sterblich‘, ,Sokrates ist ein Mensch‘, also: ,Sokrates ist sterblich‘ als schlüssige Instanz des Modus Barbara resultiert. Nach kurzem Zögern stimmt Leibniz zu und akzeptiert das »paradoxe« Resultat, dass eine singuläre Aussage sowohl die Funktion einer universellen als auch die einer partikulären besitzen kann, und er erklärt bzw. rechtfertigt dies damit, dass der entsprechende Begriff ,Apostel Petrus‘ sowohl mit ,Ein Apostel Petrus‘ als auch mit ,Jeder Apostel Petrus‘ zusammenfällt. Diese auf den ersten Blick recht merkwürdige Behauptung wurde in der neueren Literatur als „Wild Qu antity Thesis“ bezeichnet 4 , da es ihr zufolge egal ist, ob man einen Individualbegriff um einen Existenz- oder einen Allquantor ergänzt. Um die These zu überprüfen, beachte man zunächst, dass in Leibniz’ Logik mit »unbestimmten Begriffen« eine UA nicht nur durch die Formel A∈B, sondern mit Hilfe von Quantoren auch als ∀Y(AY∈B) dargestellt werden kann. Einerseits folgt aus ∀Y(AY∈B) für Y=A unmittelbar AA∈B, also wegen der Idempotenz der Konjunktion A∈B; andererseits lässt sich aus A∈B wegen AY∈A (gemäß Konj 1) für beliebiges Y per Transitivität AY∈B ableiten, so dass insgesamt gilt: Est 6

A∈B ↔ ∀Y (AY∈B ).

Dieses Gesetz wird uns in Teil (iv) noch weiter beschäftigen, wenn Leibniz’ Kriterium für die »Universalität« eines Begriffs zur Diskussion steht. Im Moment sei nur festgehalten, dass Est 6 in dem speziellen Fall, wo das Subjekt A ein Individualbegriff ist, die Äquivalenz z.B. von ,Apostel Petrus ist ein Soldat‘ mit ,Jeder Apostel Petrus ist ein Soldat‘ zum Ausdruck bringt. 4 Vgl.

etwa Englebretsen (1988).

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Einfache Schlüsse

In diesem Sinne ist der erste Teil der „Wild Qu antity Thesis“ durch Est 6 verifiziert: Eine singuläre Aussage ist mit einer universellen logisch äquivalent. Für den zweiten Teil der These ist zu beachten, dass Leibniz eine PA oft durch die Formel ,AY est B‘ darstellt. So heißt es z.B. in § 48 der GI: „AY continet B est Particularis Affirmativa“. Dabei ist der unbestimmte Begriff Y so zu verstehen, dass er durch einen Existenzquantor abgebunden ist. Deshalb sollte die Bedingung AY∈B besser explizit durch ∃Y(AY∈B) wiedergegeben werden, doch auch mit dieser Präzisierung bleibt noch ein Problem verbunden. Wie Leibniz selber wusste, impliziert eine Aussage der Form AC∈B per existentieller Generalisierung ∃Y(AY∈B).5 Nun gilt aber das triviale Konjunktionsgesetz AB∈B, so dass a fortiori auch ∃Y(AY∈B) logisch wahr ist und also nicht korrekt den Gehalt einer PA wiedergeben kann, deren Wahrheit ja im Allgemeinen vom Bestehen kontingenter Sachverhalte abhängt. Wie Leibniz in anderen Arbeiten bemerkte, ist genauer zu fordern, dass es einen mit A verträglichen Begriff Y gibt, so dass AY B enthält: ∃Y(M(AY) ∧ AY∈B).6 Deshalb muss die zweite Teilbehauptung der „Wild Quantity Thesis“, der zufolge bei einem singulären Subjektbegriff die Aussage ,A est B‘ mit ,Quoddam A est B‘ äquivalent ist, wie folgt formalisiert werden: Ind 5

I(A) → (A∈B ↔ ∃Y (M(AY ) ∧ AY∈B )).

Die erste »Hälfte« der Äquivalenz, d.h. A∈B → ∃Y(M(AY) ∧ AY∈B)), stellt eine Formalisierung des Subalternationsgesetzes Sub 1 dar. Dieser Schluss ist für beliebige widerspruchsfreie Begriffe A gültig, denn aus A∈B erhält man gemäß Est 3 zunächst A = AB; da A nach Voraussetzung möglich ist, gilt somit auch M(AB). Zusammen mit dem trivialen AB∈B folgt hieraus die Existenz eines Y, nämlich B, mit M(AY) ∧ AY∈B.

5 Vgl.

§ 49 GI: „Si AB est C, sequitur quod AY est C, seu sequitur quoddam A est C“. 6 Vgl. etwa C., 229–231, spez. den Beweis von Axiom 7.

Kommentar

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Der umgekehrte Schluss, ∃Y(M(AY) ∧ AY∈B)) → A∈B, ist hingegen nur unter der Voraussetzung gültig, dass es sich bei A tatsächlich um einen Individualbegriff handelt. Gilt nämlich, für ein gewisses Y, M(AY) ∧ AY∈B, so muss Y bereits in A enthalten sein, denn aus der gegenteiligen Annahme A∉Y ließe sich ja mittels des Gesetzes Ind  1 ableiten, dass A den negativen Begriff ~Y enthält. Dann wäre jedoch (gemäß Est 3) A = A~Y, also (nach Id 5) AY = AY~Y, was im Widerspruch dazu steht, dass der Begriff AY~A unmöglich, AY nach Voraussetzung hingegen möglich ist. Wegen des somit bewiesenen A∈Y (bzw. A = AY) folgt das gewünschte A∈B unmittelbar aus der Voraussetzung AY∈B. Insgesamt ist also die „Wild Qu antity Thesis“ in dem Sinne als gültig nachgewiesen, dass für einen singulären Subjektbegriff A die Aussage A∈B sowohl mit der universellen Aussage ∀Y(AY∈B) als auch mit der partikulären Aussagen ∃Y(M(AY) ∧ AY∈B) äquivalent ist. (Ad 2) Das vom Textumfang her dominierende Thema der „Difficultates quaedam Logicae“ betrifft die Probematik des »existential import«, d.h. die Frage, ob bzw. in welchem Sinn eine universelle Aussage präsupponiert, dass der Subjektbegriff nicht-leer ist. Dies ist in der Tat „eine größere Schwierigkeit“, die Leibniz einiges Kopfzerbrechen bereitete. Einige seiner Lösungsversuche müssen als vollkommen gelungen betrachtet werden, andere hingegen weisen Mängel auf. Wie zu Beginn des einleitenden Kapitels 1 erläutert, ist der Subalternationsschluss von ∀x(B(x) ⊃ C(x)) auf ∃x(B(x) ∧ C(x)) im Verständnis der zeitgenössischen Prädikatenlogik nur dann gültig, wenn es mindestens ein Ding x mit der Eigenschaft B gibt. Entsprechendes gilt für den Schluss der »akzidentellen« Konversion der UA, also den Schluss von ∀x(B(x) ⊃ C(x)) auf ∃x(C(x) ∧ B(x)), mit dem Leibniz sich hier vorrangig beschäftigt. Aus der etwas unschönen Beispielaussage ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘ folgt gemäß dem traditionellen Prinzip Konv 3 ,Ein Mensch ist ein Lachender‘. Nun ist nach gängiger Auffas-

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Einfache Schlüsse

sung jener Zeit das Menschsein eine essentielle Voraussetzung für die Fähigkeit des Lachens: Nur Menschen lachen. ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘ ist also in diesem Verständnis uneingeschränkt bzw. notwendigerweise wahr. Dagegen hängt die Wahrheit von ,(Mindestens) Ein Mensch ist ein Lachender‘ bzw. ,Ein Mensch lacht‘ davon ab, ob es – kontingenterweise – einen lachenden Menschen gibt. Leibniz behauptet nun, dass dieses Problem primär dann auftritt, wenn man die universelle Aussage »essentiell« interpretiert, so dass sie von „möglichen Individuen spricht“, während man der partikulären Aussage ein »existentielles« Verständnis zugrundelegt, sie also auf „tatsächlich existierende Individuen“ bezieht. Deutet man die PA hingegen ebenfalls im »essentiellen« Sinn bzw. „im Bereich der Ideen“, dann kann sie laut Leibniz auch dann wahr sein, „wenn kein lachender Mensch realiter existiert“. Dies ist zwar weitgehend korrekt; dennoch bleiben im Folgenden zwei Fragen genauer zu untersuchen: (1) Unter welchen Umständen ist eine »essentiell« interpretierte PA wahr und unter welcher Voraussetzung folgt sie logisch aus der ebenfalls »essentiell« interpretierten UA? (2) Wie verhält es sich entsprechend bei der »existentiellen« Deutung: Wie lautet hier die genaue Wahrheitsbedingung der PA und unter welcher Voraussetzung folgt sie aus der ebenfalls »existentiell« interpretierten UA? In Abschnitt 1.3 der Einleitung wurde gezeigt, dass sich die Unterscheidung zwischen einer »essentiellen« und einer »existentiellen« Lesart der kategorischen Satzformen logisch einwandfrei rekonstruieren lässt. Grundvoraussetzung ist lediglich, dass der Gegenstandsbereich G, der einer extensionalen Interpretation der Begriffslogik zugrunde liegt, als Menge von möglichen Individuen aufgefasst wird und dass innerhalb von G eine Teilmenge Ex der real existierenden Individuen ausgezeichnet wird. Die »essentiellen« Satzformen lassen sich dann wahlweise wie folgt formalisieren:

Kommentar

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Schema 1 essentiell UA PA

UA PA

B∈C B∉~C

¬M(B~C) M(BC)

UN PN

B∈~C B∉C.

UN PN

¬M(BC) M(B~C).

Schema 2 essentiell

Die Wahrheitsbedingung für die »essentielle« UA läuft dann gemäß den allgemeinen Regeln einer extensionalen Interpretation darauf hinaus, dass die Extension Ext(B) innerhalb des Grundbereichs G aller möglichen Individuen eine Teilmenge von Ext(C) darstellt, d.h. dass alle möglichen Dinge mit der Eigenschaft B zugleich die Eigenschaft C besitzen. Die »essentielle« PA hingegen wird durch die Interpretation genau dann wahr gemacht, wenn Ext(BC) ≠ ∅ ist, d.h. wenn es mindestens ein mögliches Ding x gibt, das sowohl unter den Begriff B als auch unter den Begriff C fällt. Aus der Wahrheit der UA folgt deshalb die Wahrheit der PA, sofern nur der Subjektbegriff B selber widerspruchsfrei ist,7 d.h., semantisch gesprochen, sofern der Umfang von B im Bereich der möglichen Dinge nicht leer ist. Von dieser (kursiv hervorgehobenen) Voraussetzung ging Leibniz jedoch zumindest implizit stets aus, und gelegentlich hat er sie auch explizit hervorgehoben. In einem Fragment aus der Zeit um 1690 erklärt er z.B.: Die universell affi rmative Aussage ,B ist C‘ ist wahr, wenn B mit BC zusammenfällt, und wenn B möglich ist und C möglich ist. Daraus folgt, dass wenn ,B ist C‘ eine wahre Aussage ist, [der Begriff ] ,B Nicht-C‘ einen Widerspruch impliziert, denn wenn man für B den äquivalenten [Begriff ] BC substituiert, ergibt sich B C Nicht-C, ein offenkundiger Widerspruch.8 lässt sich im Kalkül L1 beweisen: M(B) → (B∈C → B∉~C); denn mit B∈C und B∈~B ergäbe sich ja B∈(C~C) im Widerspruch zu M(B). 8 Vgl. C., 407/408 bzw. A VI, 4, 863: „Vera propositio categorica affirmativa universalis est: A est B, si A et AB coincidat, et A sit possibile, et B sit pos7 Entsprechend

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Einfache Schlüsse

Entsprechend spricht Leibniz im weiteren Verlauf der Arbeit davon, dass bei allen Aussagen stillschweigend vorausgesetzt sei, dass die jeweiligen Begriffe seiend (bzw. möglich) sind. Unter dieser Voraussetzung werden die kritischen Schlüsse der Subalternation und der »akzidentellen« Konversion – bei der im Moment zur Diskussion stehenden »essentiellen« Lesart der kategorischen Satzformen – also durchaus logisch gültig. Speziell wirft, wie Leibniz S.125 ausführt, der Konversionsschluss von ,Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ auf ,Ein Lebewesen ist ein Mensch‘ keine Probleme auf, „wenn man im Bereich der möglichen Individuen bleibt“, denn die Begriffe ,Mensch‘ und ,Lebewesen‘ sind selbstverständlich möglich. Analog ist der im Schlussabsatz (S.143f.) betrachtete Subalternationsschluss von ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘ auf ,Mindestens ein Lachender ist ein Mensch‘ gültig, sofern die Aussagen »essentiell« verstanden werden, also auf mögliche bzw. „angenommene“ („suppositi“) Lachende und „angenommene“ Menschen bezogen werden. Denn wiederum sind die Begriffe ,Lachend‘ und ,Mensch‘ zweifelsohne möglich. Diese Einsicht versucht Leibniz in weiteren Passagen noch auf andere Art zu begründen. Nachdem er sich auf S.129 die Repräsentation der Satzformen gemäß Schema 4 und Schema 2 ins Gedächtnis gerufen hatte, hielt er fest, dass aus diesen Darstellungen die Gesetze der Opposition und der einfachen Konversion folgen. Speziell ist die PA in der Gestalt M(BC) direkt konvertierbar, denn wegen Konj 4 ist BC = CB, woraus unmittelbar M(CB) folgt. Nun ergibt sich die akzidentelle Konversion der UA aus der einfachen Konversion der PA im Verbund mit der Subalternation, so dass Leibniz sich nur noch von der Gültigkeit von Sub 1 überzeugen muss. Sein Beweis läuft so: Wegen der UA gilt (gemäß Schema 4) B = BC: „Doch B ist seiend bzw. möglich (nach Annahme), also ,BC ist seiend bzw. möglich‘, d.h. sibile. Hinc sequitur, si A est B vera propositio est, A non-B implicare contradictionem, nam pro A substituendo aequivalens AB fit AB non-B quod manifeste est contradictorium“.

Kommentar

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,Ein B ist ein C‘“. Unter der – normalerweise stillschweigend getroffenen – Annahme, dass die in einer kategorischen Satzform auft retenden Begriffe widerspruchsfrei sind, kann man also von M(B) auf M(BC) und damit auf die Wahrheit der PA schließen! Im Absatz S.133 oben geht Leibniz dazu über, die UN und deren Negation gemäß dem folgenden Schema zu formalisieren. UA PA

Schema 3 essentiell B~C ≠ B~C seiend UN BC ≠ BC Seiend BC = BC Seiend PN B~C = B~C Seiend.

Dahinter steckt die Idee, das Wort ,seiend‘ in der Bedingung ,BC ist seiend‘ nicht als Operator im Sinne von M(BC) zu verstehen, sondern als normalen Begriff, den man vom Subjekt BC im üblichen Sinne prädizieren kann, wobei sich die so gewonnene Formel ,BC∈Seiend‘ anschließend gemäß Est 3 in ,BC = BC Seiend‘ transformieren ließe. Obwohl, wie schon mehrfach betont wurde, die Darstellung gemäß Schema 3 eigentlich inadäquat ist, fällt Leibniz’ Beweis des Prinzips Sub 2, formal betrachtet, weitgehend korrekt aus. Denn er folgert aus der UN, BC ≠ BC Seiend, zusammen mit der Voraussetzung B = B Seiend’, dass B = BC falsch sein muss, weil sonst per Substitution BC = BC Seiend folgen würde (im Widerspruch zur angenommenen Wahrheit der UN). Da also B ≠ BC gilt, ist die PN – in der Formalisierung gemäß Schema 4! –9 wahr. Trotz des Mankos der Bezugnahme auf das inadäquate Schema 3 macht dieser »Beweis« noch einmal deutlich, dass für die Subalternation stets die Widerspruchsfreiheit des Subjektbegriffs B vorausgesetzt werden muss – nur darf diese »stillschweigende« Annahme eben nicht durch ,B∈Seiend‘ bzw. 9 Dies

ist der Grund dafür, den Beweis als nur teilweise formal korrekt zu bezeichnen, denn es müsste noch der Nachweis erfolgen, dass die Darstellung der Satzformen gemäß dem (untauglichen) Schema 3 mit jener nach dem (einwandfreien) Schema 4, also mit M(B~C), äquivalent sind. Dies ist aber gerade nicht der Fall!

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Einfache Schlüsse

durch ,B  =  B Seiend‘ ausgedrückt werden10, sondern einzig durch M(B). Zweitens ist der dem »Beweis« zugrunde liegende Gedanke durchaus korrekt und ließe sich leicht zu einem echten Beweis von Sub 2 umformulieren. Tatsächlich beweist Leibniz im folgenden Absatz den verwandten Konversionsschluss von ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘ auf ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ logisch einwandfrei wie folgt: Aus der UA gemäß Schema 4, d.h. aus der Identität ,Lachend = Lachend(er) Mensch‘, folgt angesichts der »stillschweigenden« Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit von ,Lachend‘ die Widerspruchsfreiheit von ,Lachend(er) Mensch‘, also wegen des trivialen Symmetriegesetzes Konj 4 auch die Widerspruchsfreiheit von ,Mensch Lachend‘. Damit ist die Wahrheitsbedingung für die »essentielle« PA ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ gemäß Schema 2 erfüllt. Doch die Aussagen über Möglichkeit oder Unmöglichkeit von Begriffen darf man eben nicht gemäß Schema 3 als Identitäten interpretieren, wie Leibniz es anschließend noch einmal macht. Dort repräsentiert er die Voraussetzung der Möglichkeit des Begriffs ,Lachend‘ erneut als Äquivalenz von ,Lachend‘ mit ,Lachend Seiend‘, woraus identitätslogisch die Äquivalenz z.B. von ,Lachend(er) Stein‘ mit ,Lachend(er) Stein Seiend‘, also die Möglichkeit von ,Lachend(er) Stein‘ folgen würde. Wie er wenig später betont, ist dieser Begriff aber gerade nicht möglich, sondern enthält einen Widerspruch. Überhaupt lohnt es sich, den diesbezüglichen Absatz (S.136 oben) noch etwas eingehender zu analysieren. Dass „die Wörter unserer Sprache zweideutig“ sind, dass man kategorische Satzformen wahlweise als »essentielle« oder als »existentielle« Aussagen verstehen kann, wurde schon hinreichend diskutiert. Im nächsten Satz formuliert Leibniz die »essentielle« Lesart der PA ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ dann ziemlich ungenau 10 Denn

in einer Identität kann man gemäß Id 5 auf beiden Seiten salva veritate den Begriff C addieren, also von ,B = B Seiend‘ zu ,CB = CB Seiend‘ übergehen. Doch aus der Widerspruchsfreiheit von B folgt keineswegs automatisch die Widerspruchsfreiheit von CB!

Kommentar

157

indem er sagt, dass „eine gewisse Spezies des Menschen mit dem Begriff des Lachenden zusammenfällt, d.h. ,Lachender Mensch‘ ist ,Lachend‘“. Hier gehen offenbar zwei Gedanken durcheinander. Zum einen fiel Leibniz vermutlich ein, dass man – generell gesprochen – die partikulär affi rmative Aussage ,Ein B ist ein C‘ mittels des »unbestimmten Begriffs« Y als YB∈C darstellen kann. In Anwendung auf das obige Beispiel bedeutet dies, die PA ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ („quidam homo est ridens“) in ,Ein so-und-so Mensch ist ein Lachender‘ bzw. in ,Ein Y Mensch ist ein Lachender‘ umzuformen, und dies lässt sich cum grano salis auch mit den Worten umschreiben, dass „eine gewisse Spezies des Menschen“ zwar nicht – wie Leibniz sagt – mit dem Begriff des Lachenden zusammenfällt, aber diesen Begriff doch wenigstens enthält. Andererseits ist im vorliegenden Beispiel die universell affi rmative Aussage ,Jeder Lachende ist ein Mensch‘ de facto wahr, und diese Aussage lässt sich gemäß Est 3 in die Identität ,Lachend = Lachender Mensch‘ überführen. Geht man deshalb zu der abstrakteren Sichtweise über, ,Lachend‘ durch C und ,Mensch‘ durch B zu symbolisieren, so gilt also CB = C, und daraus kann man mit Exist 1 die Existenz eines Y ableiten, so dass YB = C. Deshalb gilt letztendlich doch, dass „eine gewisse Spezies des Menschen“ den Begriff des Lachenden nicht nur enthält, sondern mit ihm zusammenfällt. Für den weiteren Gedankengang reicht es aber aus, sich auf die schwächere Aussage im Sinne von YB∈C zu beziehen, denn Leibniz paraphrasierte die gerade diskutierte Passage ja mit den Worten „seu ridens homo est ridens“, d.h. abstrakt CB∈C, und nicht „seu ridens homo aequivalet ridens“, d.h. CB=C. Damit stoßen wir wieder auf das Problem, das schon in Abschnitt 1.4 anlässlich Leibniz’ Formalisierung von ,Ein B ist ein C‘ durch YB∈C diskutiert wurde. Die Formel YB∈C, bzw. expliziter ∃Y(YB∈C), ist logisch wahr, weil sie sich per existientieller Generalisierung direkt aus der Tautologie CB∈C ableiten lässt. Das bedeutet aber, dass nicht nur das Beispiel ,Lachender Mensch enthält Lachend‘, sondern gleichermaßen ,Lachender Stein enthält

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Einfache Schlüsse

Lachend‘ logisch wahr ist, auch wenn Leibniz beteuert, dass diese Instanz des Schemas CB∈C falsch sei, weil der Begriff CB bzw. ,Lachender Stein‘ widerspruchsvoll ist! Dagegen bleibt festzuhalten: Das Gesetz BC∈B und sein quantoren logisches Korollar ∃Y(YC∈B) ist für beliebige Konjunktionen von Begriffen logisch gültig, auch wenn B (bzw. Y) mit C unverträglich ist. Deshalb stellt, wie schon mehrfach betont wurde, YC∈B eben keine adäquate Formalisierung der PA ,Ein C ist ein B‘ dar, sondern muss um die Zusatzbedingung ergänzt werden, dass Y mit C verträglich ist. Im vorliegenden Beispiel von C = ,Stein‘ und B = ,Lachend‘ ist aber die Forderung M(CB) gerade nicht mehr erfüllt, und deshalb erweist sich die PA ,Ein Stein ist ein Lachender‘ letztendlich als falsch.11 Gehen wir nun zu den »existentiellen« Lesarten über, die sich im Rahmen von L1 durch Einführung eines Existenz-Prädikates, E, formalisieren lassen. Dabei soll die Extension des Begriffs E mit der Menge aller existierenden Objekte zusammenfallen, d.h. es ist stets Ext(E) = Ex. In Abschnitt 1.3 wurde das nachstehende Schema entwickelt: Schema 1existentiell UA PA

BE∈C BE∉~C

UN PN

BE∈~C BE∉C.

Die »existentielle« UA, BE∈C, besagt also, dass der um den Begriff der Existenz ergänzte Subjektbegriff B das Prädikat C enthält. Dies läuft gemäß den Bedingungen für eine extensionale Interpretation darauf hinaus, dass Ext(B) ∩ Ext(E) ⊆ Ext(C) gilt, d.h. dass jedes real existierende Ding x mit der Eigenschaft B zugleich die Eigenschaft C besitzt. Die Wahrheitsbedingung für die »existentielle« PA lässt sich besser anhand des alternativen Schema 2 erläutern:

11 Die

letztere Behauptung setzt voraus, dass man in Übereinstimmung mit Leibniz den Begriff ,Lachender Stein‘ tatsächlich als widerspruchsvoll ansieht.

Kommentar

UA PA

¬R(B~C) R(BC)

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Schema 2existentiell UN PN

¬R(BC) R(B~C).

Die Bedingung R(BC) besagt, dass der konjunktive Begriff BC »real exemplifi ziert« ist. Das bedeutet semantisch gesehen, dass – innerhalb des Teilbereichs Ex aller real existierenden Dinge – die Extensionen Ext(B) und Ext(C) einen nichtleeren Durchschnitt besitzen, d.h. dass mindestens ein Ding, welches sowohl die Eigenschaft B als auch die Eigenschaft C besitzt, realiter existiert. Der Schluss der Subalternation ist also bei der »existentiellen« Lesart dann und nur dann gültig, wenn der Subjektbegriff B selber »real exemplifiziert« ist, d.h. wenn es ein real existierendes Objekt gibt, das unter den Begriff B fällt. Dies hat Leibniz zwar annäherungsweise, aber nicht mit letzter Klarheit erkannt. Im zweiten Absatz S.133 wies er zunächst zu Recht darauf hin, dass die Voraussetzung des »Seins« eines Begriffs in einem doppelten Sinn verstanden werden kann. Wenn das »Sein« lediglich das Möglich-sein beinhaltet, dann reicht z.B. die Voraussetzung ,Lachend ist seiend‘ im Sinne von M(C) aus, um (angesichts der Wahrheit der UA „,Lachend‘ enthält ‚Mensch‘“, d.h. abstrakt C∈B) die Wahrheit der PA ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ im »essentiellen« Sinn sicherzustellen. Wird hingegen das »Sein« als reale Existenz gedeutet, dann garantiert die Voraussetzung ,Lachend ist Seiend‘ im stärkeren Sinn von R(C), dass die PA ,Ein Mensch ist ein Lachender‘ nun im »existentiellen« Sinn, R(BC), wahr wird, d.h. dass „irgendein Mensch realiter lacht“. Geht man von dem betrachteten Konversionsschluss zum entsprechenden Subalternationsschluss über, so lässt sich Leibniz’ Erkenntnis abstrakt wie folgt zusammenfassen. Unter Voraussetzung der Wahrheit der UA im üblichen, »essentiellen« Verständnis kann man (i) aus der Annahme der »essentiellen« Möglichkeit von B die Wahrheit der »essentiellen« PA erschließen, und (ii) aus der Annahme der »existentiellen« Möglichkeit von B auch die Wahrheit der »existentiellen« PA:

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Einfache Schlüsse

Sub 1a Sub 1b

A(B,C)essentiell ∧ Seiend(B)essentiell → I(B,C)essentiell A(B,C)essentiell ∧ Seiend(B)existentiell → I(B,C)existentiell

Denn aus der »essentiellen« UA z.B. gemäß Schema 4, d.h. aus B = BC, folgt mit M(B) unmittelbar M(BC), also die »essentielle« PA gemäß Schema 1. Und entsprechend folgt aus B = BC mit R(B) direkt R(BC), also die »existentielle« PA gemäß Schema 2. Damit ist aber noch nicht hinreichend geklärt, welche »Seiend«Prämisse notwendig ist, um aus der »existentiell« gedeuteten UA die existentielle PA abzuleiten. Dieser Frage wendet sich Leibniz erst im Schlussabschnitt zu, wo er behauptet, dass mit der Aussage ,Jeder aktuell Lachende ist ein Mensch‘ gesetzt würde, „dass jemand nun tatsächlich lacht und dass dieser ein Mensch sei“. Dieses „Setzen“ ist wohl im Sinne einer logischen Folgerung zu verstehen, und Leibniz begründet die Gültigkeit dieses Schlusses durch den Hinweis, dass alle Begriffe B, C (die in einer kategorischen Satzform vorkommen) „in Wahrheit seiend“ („verum Ens“) sind. Da diese »stillschweigende« Hintergrundannahme bislang immer im Sinne von M(B) bzw. M(C) verstanden wurde, scheint Leibniz hier also die Geltung des folgenden Subalternationsschlusses zu behaupten: Sub 1c

A(B,C)existentiell ∧ Seiend(B)essentiell → I(B,C)existentiell

Doch dieses Prinzip ist nicht allgemeingültig! Um aus der Prämisse, dass alle existierenden Dinge mit der Eigenschaft B zugleich die Eigenschaft C besitzen, logisch zwingend die Konklusion zu gewinnen, dass (mindestens) ein existierendes Ding sowohl die Eigenschaft B als auch die Eigenschaft C besitzt, reicht die Annahme des bloß »essentiellen« Seins von B nicht aus. Es müsste unbedingt die stärkere Voraussetzung des »existentiellen« Seins erfüllt sein, d.h. es müsste ein real existierendes Ding geben, das unter den Begriff B fällt. Mit anderen Worten: Der Subjektbegriff B muss, wie Couturat und andere Kritiker der traditionellen Doktrin der Subalternation immer wieder

Kommentar

161

betonten12, (im Bereich der aktuell existierenden Dinge) nicht-leer sein. Ein noch näherer Blick in den Text zeigt aber, dass Leibniz in der fraglichen Passage nicht die Geltung von Sub 1c, sondern stattdessen von Sub 1d A(B,C)existentiell ∧ Seiend(B)existentiell → I(B,C)existentiell

zum Ausdruck bringen wollte.13 Denn im weiteren Verlauf behauptet er nicht etwa bloß die Möglichkeit des einfachen Begriffs B bzw. konkret des Begriffs ,Lachend(er)‘, sondern die Widerspruchsfreiheit des konjunktiven Begriffs ,jetzt tatsächlich Lachend(er)‘ („actu nunc ridens“). Auf dem Hintergrund der oben entwickelten Semantik ist aber die Forderung der Widerspruchsfreiheit des Begriffs ,Existierendes B‘, M(EB), äquivalent mit der Forderung, dass der Begriff B real exemplifiziert ist, R(B). Beide Formeln laufen semantisch betrachtet darauf hinaus, dass es (mindestens) ein tatsächlich existierendes Objekt gibt, das unter den Begriff B fällt. Leibniz’ abschließende Bemerkung, dass in seinem konkreten Beispiel der Begriff ,jetzt tatsächlich Lachend(er)‘ unmöglich wäre, „wenn es nicht der Fall wäre, dass jemand jetzt tatsächlich lacht“, und dass es sich hierbei um eine „hypothetische Unmöglichkeit“ handele, die dennoch ausreiche, lässt sich wie folgt rechtfertigen. Der Begriff ,Lachend‘ ist, wie jeder einfache, positive Grundbegriff, für Leibniz absolut bzw. unbedingt möglich. Absolut unmöglich ist ein (zusammengesetzter) Begriff A nur dann, wenn sich bei seiner Analyse herausstellt, dass er einen Widerspruch der Gestalt B~B enthält. Als Beispiel hier12 Vgl.

Couturat (1901: 386): „D’abord, par un respect excessif pour la tradition, il [Leibniz] tenait à justifier la subalternation et la conversion partielle, et par elles les modes du syllogisme dont la Logique moderne a établie l’illégitimité“. 13 Das geht auch aus der Passage am Ende des zweiten Absatzes S. 159 hervor, wo Leibniz feststellt, dass wenn die (»stillschweigende« Voraussetzung) „,Lachend ist seiend‘ im Sinne der realen Existenz verstanden“ wird, dann die »existentielle« PA, „dass irgendein Mensch realiter lacht“, wahr wird.

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Einfache Schlüsse

für hatte Leibniz zuvor ,Lachend(er) Stein‘ genannt: Im Begriff ,Lachend‘, so könnte man argumentieren, ist der Begriff des Lebewesen enthalten; im Begriff ,Stein‘ hingegen die Negation des Begriffs Lebewesen, also enthält ,Lachend(er) Stein‘ den expliziten Widerspruch ,Lebewesen Nicht-Lebewesen‘. Deshalb ist der Umfang dieses Begriffes aus logischen Gründen (d.h. im Bereich aller möglichen Individuen) leer. Wenn hingegen lediglich angenommen wird, dass kein aktuell Lachender existiert, dann ist – semantisch betrachtet – der Umfang des Begriffs ,Lachend‘ im Teilbereich der aktuell existierenden Individuen leer. Daraus folgt zwar, dass die Extension des zusammengesetzten Begriffs ,Lachend Aktuell-Existierend‘ innerhalb des Grundbereichs G absolut leer und der Begriff selber somit – intensional betrachtet – unmöglich ist. Doch diese Unmöglichkeit beruht eben nicht auf einer logischen Analyse der Begriffe ,Lachend‘ und ,Aktuell-existierend‘, sondern auf der Hypothese, dass kontingenterweise niemand aktuell lacht. Eine logische Theorie der Quantifi kation über bloß mögliche bzw. über real existierende Objekte ist erst in den vergangenen Jahrzehnten beim Aufbau modallogischer Systeme wieder aufgegriffen worden. Sie zeigt, dass Leibniz’ Gedanken seiner Zeit so weit voraus waren, dass es fast schon wieder verständlich wird, wenn sie noch Anfang des 20. Jahrhunderts selbst durch versierte Logiker verkannt wurden. Couturat (1901: 359) sah in dieser Theorie nur eine spitzfi ndige „scholastische Unterscheidung zwischen dem Möglichen und dem Aktuell-Existierenden“, mit der Leibniz sich erfolglos aus der Aff äre zu ziehen bemühte. Couturat glaubte, eine Hauptursache für das angebliche Scheitern der Leibnizschen Logik darin diagnostizieren zu dürfen, dass es ihm nicht gelungen sei, den »existential import« („la portée existentielle“) der universellen Aussagen exakt zu defi nieren.14 Die vorangehende Analyse der „Difficul14 Auch

Bertrand Russell, ein ansonsten hervorragender Logiker und Leibniz-Kenner, hat sich diesem Fehlurteil angeschlossen. In Russell (1903:

Kommentar

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tates quaedam Logicae“ sollte jedoch klar gemacht haben, wie unberechtigt dieser Vorwurf ist. Leibniz hat sich in seinen logischen Untersuchungen nie an Überlieferungen oder »Autoritäten« geklammert, sondern frei von allen Vorurteilen nach den fundamentalen, beweisbaren Wahrheiten gesucht. (Ad 3) Sowohl in den GI von 1686 als auch in der vermutlich aus der gleichen Zeit stammenden Schrift „De formae logicae comprobatione“ hatte Leibniz zahlreiche Anläufe unternommen, die »einfachen« Schlüsse der Syllogistik aus fundamentalen Axiomen der Begriffslogik herzuleiten. Die dabei auft retenden Schwierigkeiten werden in Kapitel 6 ausführlich analysiert. Hier wollen wir uns auf die Ansätze konzentrieren, die Leibniz in den „Difficultates quaedam logicae“ verfolgt. Auf S.129 bezieht er sich auf die „alte Zurückführung“ der kategorischen Satzformen, der zufolge die UA wahlweise durch B = BC oder durch ¬M(B~C) dargestellt werden kann, die PN entsprechend wahlweise durch die jeweilige Negation, d.h. durch B ≠ BC bzw. M(B~C). Für die übrigen Satzformen zieht er hingegen nur jeweils eine Formalisierung in Betracht, nämlich ¬M(BC) für die UN und entsprechend M(BC) für die PA. Das resultierende Schema 5 UA B = BC bzw. ¬M(B~C) UN PA M(BC) PN

¬M(BC) B ≠ BC bzw. M(B~C)

ist also eine asymmetrische und inhomogene »Mischung« der früher erwähnten Schemata: Schema 2 UA ¬M(B~C) PA M(BC)

UN PN

¬M(BC) M(B~C).

364) spricht er von Leibniz’ angeblichem „failure to realise the fallacy in such moods as Darapti and in the scholastic doctrine of conversion and subalternation, which result from wrongly assigning existential import to universal terms“.

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Einfache Schlüsse

Schema 4 UA PA

B = BC B ≠ B~C

UN PN

B = B~C B ≠ BC

Leibniz betont zunächst, dass bei seiner Formalisierung die Oppositionsgesetze (trivialerweise) erfüllt sind, weil sich die jeweiligen Formeln für die UA und die PN – bzw. für die UN und die PA – als Negationen gegenüberstehen. Ferner betont er, dass die einfache Konvertierbarkeit der UN und der PA aus der Tatsache folgt, dass der in den Formeln ¬M(BC) bzw. M(BC) vorkommente Term BC15 symmetrisch ist, d.h. äquivalent in CB umgeformt werden kann. In diesem Zusammenhang erwähnt er noch, dass bei den Formeln für die UA und die PN keine solche Symmetrie besteht und also keine Konversion erlaubt ist. Im folgenden Absatz macht Leibniz sich zunächst klar, dass es für den Beweis der akzidentellen Konversion der UA (angesichts des schon bewiesenen Konv 1) ausreicht, das Subalternationsgesetz Sub 1 nachzuweisen. Dieser Beweis erfolgt dann so, dass die UA gemäß Schema 5 durch die Formel B = BC darstellt wird, aus der die gesuchte Bedingung für die PA, M(BC), sich deshalb ergeben soll, weil B selber „(nach Annahme) [!] seiend bzw. möglich“ ist. Nun ist zwar der Schluss von M(B) auf M(BC) wegen der vorausgesetzten Identität B = BC logisch trivial, aber es bedarf zumindest einer weiteren Erläuterung, wieso die „Annahme“ M(B) erfüllt ist. Eine Begründung fi ndet sich erst in einem viel späteren Absatz (S.137), wo Leibniz recht beiläufig erwähnt: „In allen Aussagen wird dennoch stillschweigend [!] vorausgesetzt, dass die jeweiligen Begriffe seiend bzw. möglich sind.“16 15 Die

von Leibniz benutzten Begriffskonstanten A und B wurden in B und C umbenannt, um eine einheitliche Darstellung der unterschiedlichen Schemata zu gewährleisten. 16 Die vorhergehende Behauptung eines „himmelweiten Unterschieds“ zwischen UA und PN auf der einen sowie UN und PA auf der anderen Seite ist jedoch unhaltbar. Nach Leibniz sollen die beiden letzteren Satzformen

Kommentar

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Im dritten Absatz S.131 wendet sich Leibniz dem Beweis des Gesetzes der akzidentellen Konversion der UN, Konv  4, zu. Auch hier ist angesichts des schon bewiesenen Konv 2 nur noch Sub 2 nachzuweisen, und Leibniz’ Argument läuft so: Aus der Formalisierung der UN gemäß Schema 5, ¬M(BC), folgt die entsprechende Formalisierung der PN, B ≠ BC, denn es könne „BC nicht mit B äquivalent sein“ weil ja B selber »seiend« bzw. möglich ist. Auch hier geht also wieder die »stillschweigende« Voraussetzung ein, dass Subjekt und Prädikat einer kategorischen Aussage jeweils mögliche, d.h. widerspruchsfreie Begriffe sind. Darüber hinaus ist mit diesem Beweis aber ein weiteres Problem verbunden. Im asymmetrischen und inhomogenen Schema 5 wird die UN gemäß Schema 2, die PN hingegen alternativ gemäß Schema 2 oder Schema 4 formalisiert. Dies setzt aber eigentlich voraus, dass man die Äquivalenz beider Schemata nachweist, d.h. z.B. die Äquivalenz von B ≠ BC und M(B~C). Obgleich nun die Formel B ≠ BC ↔ M(B~C) ein gültiges Theorem der Begriffsalgebra L1 darstellt (sie folgt ja direkt aus Est 3 und Mögl 4), dürfte es Leibniz äußerst schwer fallen, diese Äquivalenz aus noch grundlegenderen Axiomen etwa der Identität abzuleiten. Deshalb bleibt der gerade analysierte Beweis von Sub 2 etwas unbefriedigend bzw. unvollständig. (Ad 4) In zwei kurzen Absätzen (S.137f.) entwickelt Leibniz in gedrängter Form eine Theorie, mit der man allgemein bestimmen kann, ob ein Begriff A in einer Aussage α universal oder partikulär vorkommt. Der Bezugspunkt seiner Überlegungen ist die traditionelle Doktrin, der zufolge (i) das Subjekt einer universellen Aussage stets »distribuiert« bzw. universell ist, das einer partikulären Aussage hingegen partikulär,17 sowie „etwas als seiend voraussetzen“, nicht jedoch die ersteren. Wenn überhaupt, dann müsste man aber von den beiden partikulären Satzformen (gemäß Schema 2) sagen, dass sie etwas als seiend bzw. möglich darstellen, während UA und UN lediglich etwas als nicht-seiend aussagen. 17 Vgl. Arnauld/Nicole (1683: 182): „Le sujet d’une proposition pris uni-

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Einfache Schlüsse

(ii) das Prädikat einer negativen Aussage stets universell, das einer affi rmativen Aussage hingegen partikulär ist.18 Leibniz’ Kriterium lautet: (Universell) Der Begriff A tritt in einer Aussage α genau dann universell auf, wenn A in α salva veritate durch YA ersetzt werden kann, wobei Y ein beliebiger, mit A verträglicher »unbestimmter Begriff« sei. Diese Bedingung lässt sich im Kalkül L1 so präzisieren, dass aus der Aussage α[A] für beliebige B mit M(AB) logisch die Aussage α[AB] folgt. Im ausdrucksreicheren Kalkül L2 wäre entsprechend zu fordern, dass aus α[A] logisch ∀Y(M(AY) → α[AY]) folgt.19 Wie Leibniz als erstes ausführt, ist das Prädikat der universell affirmativen Aussage ,Jedes A ist ein B‘ nicht universell. Dabei stützt er sich auf das zuvor zusammengefasste Schema 6 UA PA

B = BC M(BC)

UN PN

¬M(BC)20 B ≠ BC,

bei dem die UA und PN wie in Schema 4, die UN und PA hingegen wie in Schema 2 dargestellt werden. Aus der Formel für die UA, d.h. aus A = AB, folgt nun keineswegs für jedes (mit B verversellement ou particulierement, est ce qui la rend universelle ou particuliere“. 18 Vgl. Arnauld/Nicole (1683: 183): „L’att ribut d’une proposition affi rmative […] est toûjours consideré comme pris particulierement […] L’attribut d’une proposition negative est toûjours pris generalement.“ 19 Die umgekehrte Ableitung von α[A] aus ∀Y(M(AY) ⊃ α[AY]) ist (zumindest für widerspruchsfreie Begriffe A) allgemeingültig, denn aus der Allaussage gewinnt man für Y = A zunächst M(AA) ⊃ α[AA], also wegen Konj 4 M(A) ⊃ α[A], so dass für einen widerspruchsfreien Begriff A jedenfalls α[A] wahr sein muss. 20 Leibniz schlägt als alternative Darstellung der UN die Formel ,AB ≠ AB Seiend‘ vor, die sinngemäß als ¬M(AB) zu verstehen ist, die aber – wie früher erläutert wurde – formal inadäquat ist und deshalb hier außer Betracht bleibt.

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trägliche) Y, dass A = ABY wäre. Letzteres würde ja angesichts von Est 3 bedeuten, dass A den komplexen Begriff BY enthält. Doch, so argumentiert Leibniz, „wenn B in A enthalten ist, so braucht deshalb YB [noch lange] nicht in A enthalten zu sein“, denn dann wäre a fortiori Y selber in A enthalten. Dies muss aber – für beliebig gewähltes Y – nicht unbedingt der Fall sein. Als zweites betrachtet Leibniz die partikulär affi rmative Aussage ,Einige A sind B‘, die durch die Formel ,AB = AB Seiend‘ repräsentiert werden soll. Diese Darstellung ist jedoch inadäquat und sollte durch die sinngleiche Bedingung ,AB ist seiend‘, formal M(AB), ersetzt werden. Mittels dieser Darstellung lässt sich dann leicht einsehen, dass das Prädikat B (ebenso wie natürlich auch das Subjekt A) der PA nicht universell ist. Denn aus M(AB) folgt für ein beliebiges, mit B verträgliches Y keineswegs, dass auch der komplexe Term ABY »seiend«, d.h. möglich bzw. widerspruchsfrei ist. Um ein Beispiel zu geben: Für B = Mensch, A = Gelehrt und Y = ~A, also Y = Nicht-gelehrt, ist einerseits M(AB) wahr, denn der Begriff ,Gelehrter Mensch‘ ist »seiend«. Ebenso gilt M(BY) bzw. M(B~A), denn auch ,Nichtgelehrter Mensch‘ ist »seiend«. Doch der zusammengefügte Begriff (ABY), d.h. (AB~A), ist eben nicht mehr »seiend«, sondern enthält den expliziten Widerspruch (A~A). Kurz und gut, wie Leibniz es selber formuliert, „auch wenn nach Voraussetzung YB seiend bzw. möglich ist, folgt dennoch nicht, dass AY seiend bzw. möglich wäre“. Also hat Leibniz für beide Typen von affi rmativen Aussagen nachgewiesen, dass ihr Prädikat nicht universell ist. Drittens wendet Leibniz sich der partikulär negativen Aussage ,Ein A ist nicht B‘ zu, die nun durch die Formel A ≠ AB repräsentiert werden soll. Der Prädikatbegriff B erweist sich hierbei als universell, denn, wie Leibniz erklärt: „Wenn nämlich AB ≠ A ist, dann ist auch ABY ≠ A“. Dies lässt sich – auch ohne die von Leibniz getroffene Fallunterscheidung – wie folgt einsehen. Dass mit A ≠ AB für ein beliebiges (mit B verträgliches) Y a fortiori A ≠ ABY gilt, bedeutet ja per satzlogischer Kontraposition, dass umgekehrt aus der Gleichung A = ABY logisch

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Einfache Schlüsse

A = AB folgt. Nun bedeutet A = ABY aber gemäß Est 3 so viel wie A∈BY. Mit den elementaren Theoremen Konj 1 und Est 2 folgt hieraus sofort, dass A insbesondere B selber enthält, also das gewünschte A = AB. Auf den noch ausstehenden Nachweis, dass die universell negative Aussage ein universelles Prädikat besitzt, hat Leibniz vermutlich aus Zeitgründen verzichtet. Er begnügte sich mit der lapidaren Behauptung: „Das gleiche gilt für AB ≠ AB Seiend“. Gemeint ist damit genauer die These, dass wenn AB nicht »seiend« bzw. möglich ist, dann erst recht der zusammengesetzte Begriff ABY nicht »seiend« bzw. nicht möglich sein kann. Dies ist tatsächlich ein allgemeines Gesetz der Begriffsalgebra, denn gemäß Konj 1 enthält ABY ja AB, sodass wenn AB ein widersprüchlicher Begriff ist, a fortiori auch ABY einen Widerspruch enthält und also nicht-»seiend« bzw. unmöglich ist. Im nächsten Absatz verifiziert Leibniz auch den anderen Teil der traditionellen Lehre, dem zufolge das Subjekt einer (affi rmativen oder negativen) Aussage genau dann universell ist, wenn die Aussage selber universellen Charakter besitzt. Bezüglich der UA weist er lakonisch darauf hin, dass aus der Darstellung der UA qua A = AB unmittelbar (für beliebige Y) YA = YAB folgt; deshalb ist der Subjektbegriff A universell. Dies ist in nuce ein Beweis (der einen Hälfte) des Gesetzes Est 6

A∈B ↔ ∀Y (AY∈B ),

mit dem wir uns in Abschnitt (i) weiter oben ausführlicher beschäftigt hatten. Leibniz geht nun sogleich zur Betrachtung der PN über, die als Negation der UA durch A ≠ AB repräsentiert wird. Aus dieser Ungleichung folgt jedoch nicht, dass – für beliebige Y! – AY von AYB verschieden wäre, denn, wie Leibniz ausführt, müsste dann bei der speziellen Substitution von B für Y ja AB ≠ ABB sein (im Widerspruch zu Konj 5). Also ist das Prädikat einer PN nicht universal, sondern partikulär. Im Falle der UN bezieht Leibniz sich alternativ auf die korrekte Darstellung ,AB ist nicht-seiend‘ oder auf die inkorrekte Formel ,AB ≠ AB Seiend‘. Sein Beweis im ersten Fall ist logisch

Kommentar

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einwandfrei, denn aus ¬M(AB) folgt a fortiori, dass auch der komplexere Begriff ABY (für beliebige Y) widerspruchsvoll ist. Der andere »Beweis«, der von der ohnehin inadäquaten Repräsentation ,AB  ≠  AB Seiend‘ ausgeht, wäre hingegen auch formal unschlüssig, denn (wie Leibniz sich im analogen Fall der PN kurz vorher klar gemacht hatte) aus einer Ungleichung der Gestalt AB ≠ ABC folgt eben nicht für beliebige Y, dass YAB von YABC verschieden sein müsse. Im letzten Fall der PA argumentiert Leibniz dann wieder völlig korrekt: Wenn AB »seiend« bzw. möglich ist, dann braucht (für ein beliebiges Y) YAB noch lange nicht möglich zu sein, denn man könnte den Begriff Y ja so wählen, dass er mit A und/oder mit B unverträglich ist. Leibniz selber benutzt hier die mehrdeutige Formulierung „incompatibile cum A et B“, die als ,unverträglich mit A und unverträglich mit B‘ oder auch als ,unverträglich mit A[und]B‘ verstanden werden könne. Der Beweis funktioniert jedenfalls auch bei der schwächeren Lesart21, denn für Y = ~(AB) gilt ¬M(ABY), so dass aus der Voraussetzung M(AB) eben nicht für alle Y M(ABY) folgt. Insgesamt ist es Leibniz also trotz des Lapsus mit der inadäquaten Formel „AB non ∞ AB Ens“ dennoch gelungen, aus seinem Kalkül „sämtliche Regeln der »Distribution«“ herzuleiten. Fazit Ein halbes Jahrhundert nach Leibniz’ Tod stieß der Tübinger Logiker Gott fried Ploucquet auf die 1765 (durch Raspe) publizierte Schrift „Difficultates logicas“. Und auch wenn er dort manches kritisieren zu müssen glaubte, hat er doch wenigstens den „Kunstgrif, dessen sich Leibniz bedient, um die Universalität eines Glieds in einem Satz zu erforschen“, mit den Worten „gefällt mir gar wohl“ nachdrücklich gelobt.22 Tatsächlich gibt es in dieser Schrift jedoch weit mehr zu loben.

21 Aus 22 Vgl.

¬M(AY) folgt begriffslogisch ¬M(ABY), aber nicht umgekehrt! Ploucquet (1766: 262).

170

Einfache Schlüsse

(a) Die Erkenntnis der »Äquivalenz« einer singulären Aussagen sowohl mit einer partikulären als auch mit einer universellen Aussage; (b) Die Unterscheidung zwischen der »essentiellen« und der »existentiellen« Lesart kategorischer Satzformen im Sinne einer Quantifizierung über bloß mögliche vs. real existierende Individuen; (c) Die Formalisierung der kategorischen Satzformen im Rahmen des Allgemeinen Kalküls und die darauf basierende, zumindest partielle23 Ableitung der »einfachen« Schlüsse; all dieses sind weitere Meisterstücke der Leibnizschen Logik, deren wahre Bedeutung erst allmählich offenbar wird.

23 Die

Prinzipien der »Scholastischen« Syllogistik, d.h. die Gesetze der Kontraposition und der Obversion, wurden von Leibniz außer Acht gelassen.

3. K APITEL

3. Zur Semantik der »char akteristischen Zahlen«

3.1 Einleitung Von der Utopie eines Systems »charakteristischer Zahlen« erhoffte Leibniz sich eine Methode, mit der sich rein rechnerisch entscheiden ließe, ob eine beliebige Aussage wahr oder falsch ist. Wenn solche Zahlen erst einmal gefunden wären, so heißt es in den „Anfangsgründen einer allgemeinen Charakteristik“ von ca. 16791, dann würde das menschliche Geschlecht über ein neues Instrument bzw. „Organon“ verfügen, „das die Kraft des Verstandes um vieles mehr verstärkt als die optischen Gläser den Augen geholfen haben, und das Mikroskope und Teleskope in dem gleichen Maße übertreffen wird, wie die Vernunft dem Sehsinn überlegen ist.“2 Mit Hilfe der charakteristischen Zahlen könnte, wie Leibniz in der vielzitierten Abhandlung „De Arte Characteristica“3 ausführt, jegliche wissenschaft liche Kontroverse defi nitiv geschlichtet werden: Wenn sich eine Meinungsverschiedenheit ergibt, so braucht zwischen zwei Philosophen kein größerer Disput zu entstehen als zwischen zwei Rechenmeistern, denn es reicht aus, die Stifte in 1 Vgl.

C. J. Gerhardt (Hrg.) Leibniz - Philosophische Schriften (im Folgenden kurz: GP), Bd. 7, 184f. oder die Übersetzung in Herring (1992: 43f.). Die Schrift wurde von den Hrg. der Akademieausgabe (A VI, 4, 263f.) auf Frühjahr – Sommer 1679 datiert. 2 Vgl. Herring (1992: 53) oder A VI, 4, 268: „Numeris autem plerarumque Notitia rum characteristicis semel constitutis habebit genus humanum organi genus novum, plus multo Mentis potentiam aucturum, quam vitra optica oculos juverunt tantoque superius Microscopiis aut Telescopiis quanto praestantior est ratio, visu.“ Die Anspielung auf Aristoteles‘ Logik bzw. „Organon“ ist natürlich nicht zufällig 3 Vgl. GP 7, 198f. Die Arbeit trägt im Original keinen Titel; in der Akademieausgabe (A VI, 4, 909f.) wird sie als „De Arte Characteristica ad perficiendas scientias ratione nitentes“ bezeichnet und auf ca. 1688 datiert.

174

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

die Hand zu nehmen, sich an die Rechentische zu setzen und einander […] aufzufordern: Rechnen wir’s aus!4

Etwas konkreter hoffte Leibniz, jedem Begriff B, der in der Alltagssprache bzw. in den Sprachen der Wissenschaft vorkommt, eine charakteristische Zahl Z(B) so zuordnen zu können, dass die Wahrheit der Aussage α, die die Begriffe B1, …, B n enthält, eine eindeutige Funktion der Zahlen Z(B1), …, Z(B n) darstellt und also im Prinzip mittels eines Algorithmus berechnet werden kann. Ausgehend von einer (mutmaßlich endlichen) Menge von Grundbegriffen A1, A2, …, A m, denen z.B. Primzahlen π1, π2, … πm als charakteristische Zahlen zugeordnet werden könnten, wäre die charakteristische Zahl eines komplexen Begriffs B als Produkt der entsprechenden Zahlen der Begriffe Ai zu wählen, aus denen sich B zusammensetzt. Eine universell affi rmative Aussage A(S,P) wäre demzufolge wahr, wenn die charakteristische Zahl des Subjekts, Z(S), die Zahl des Prädikats, Z(P), als (Prim-)Faktor enthält, d.h. wenn Z(S) glatt durch Z(P) teilbar ist. Unter der weiteren Voraussetzung, dass die Wahrheit einer beliebigen Aussage darauf hinausläuft, dass das Prädikat irgendwie im Subjekt enthalten ist5, könnte dann jede Wahrheit unfehlbar, mit rein arithmetischen Mitteln, ermittelt werden. Ein solcher Kalkül erscheint jedoch nicht bloß unrealistisch, sondern nachgerade unmöglich, denn er impliziert, dass auch das Bestehen eines empirisch-kontingenten Sachverhalts quasi 4 Vgl.

A VI, 4, 913: „[…] quando orientur controversiae, non magis disputatione opus erit inter duos philosophos, quam inter duos Computistas. Sufficiet enim calamos in manus sumere sedereque ad abacos, et sibi mutuo […] dicere: calculemus“. 5 Vgl. das in GP 7, 199-200 genannte Prinzip, dass man für jede Wahrheit einen Grund angeben könne, dass nämlich das Prädikat stets explizit oder implizit im Subjekt enthalten sei und dass dies nicht nur für notwendige, sondern auch für kontingente Aussagen zutrifft: „omnis veritatis […] reddi posse rationem, hoc est notionem praedicati semper notioni sui subjecti vel expresse vel implicite inesse, idque non minus […] in veritatibus contingentibus quam necessariis locum habere.“

Einleitung

175

a priori berechenbar wird und somit den Charakter einer Notwendigkeit annimmt. So hat sich Leibniz letztendlich mit einem weit weniger anspruchsvollen Ziel zufrieden geben müssen. In einer Serie von Arbeiten aus dem April 1679 bemühte er sich um die Entwicklung einer Semantik, mittels derer sich bestimmen lässt, ob eine Aussage logisch wahr bzw. ein Schluss logisch gültig ist. Diese Semantik setzt nicht die Kenntnis der wahren charakteristischen Zahlen voraus, sondern operiert lediglich mit fiktiven, hypothetisch angenommenen Werten: Ich tue so, als ob die wunderbaren charakteristischen Zahlen bereits gefunden wären, und unter Beachtung einer gewissen allgemeinen Eigenschaft von diesen wähle ich in der Zwischenzeit irgendwelche andere Zahlen, die diese Eigenschaft erfüllen. Dadurch, dass diese in Anwendung gebracht werden, beweise ich sofort durch eine herrliche Überlegung sämtliche logischen Regeln mittels der Zahlen, und ich zeige, wie man erkennen kann, ob eine Schlussfolgerung formal gültig ist.6

Selbst dieses Unterfangen erwies sich als schwierig genug, und im Rahmen dieses Buches kann nur ein kleiner Ausschnitt der neun Leibnizschen Essays betrachtet werden. In einem ersten Ansatz, der anhand der „Elementa Characteristicae Universalis“ (Abschnitt 3.2) sowie der „Elementa Calculi“ (Abschnitt 3.3) vorgestellt wird, soll jedem Begriff B, der in einem Syllogismus vorkommt, zunächst nur eine charakteristische Zahl Z(B) zugeordnet werden. Bei der Festlegung der Wahrheitsbedingungen partikulär affirmativer Aussagen traten jedoch bald Schwierig6 Vgl.

A VI, 4, 269/70: „Fingo itaque Numeros characteristicos illos tantopere mirabiles jam dari observataque illorum generali proprietate quadam tales numeros qualescunque ei proprietati congruentes interim assumo, iisque adhibitis statim mirabili ratione omnes regulas Logicas per numeros demonstro, et ostendo quomodo cognosci possit an argumentationes quaedam sint in forma bona. Utrum vero argumenta vi materiae bona sint aut concludant, tum demum sine ullo labore animi, aut errandi periculo, judicari poterit, cum ipsi veri Numeri Characteristici rerum habebuntur.“

176

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

keiten auf, die Leibniz veranlassten, zu einem komplizierteren Ansatz überzugehen. Wie im „Calculus consequentiarum“ (Abschnitt 3.4) skizziert und vor allem in „Regulae ex quibus … judicandum est“ (Abschnitt 3.5) detailliert ausgeführt wird, soll jedem Begriff B nunmehr ein Paar charakteristischer Zahlen {+Z1(B), -Z2(B)} zugeordnet werden, mit deren Hilfe sich dann adäquate Wahrheitsbedingungen für alle vier Satzformen formulieren lassen. Wie Leibniz behauptete – und wie erstmals Lukasiewicz (1951) nachweisen konnte –, stellt diese Semantik tatsächlich ein Modell der »Aristotelischen« Syllogistik dar, d.h. jener syllogistischen Logik, die auf negative Begriffe verzichtet. Leibniz selber war mit diesem Ansatz jedoch noch nicht ganz zufrieden. Zum einen suchte er nach einer Verallgemeinerung, bei der auch negativen Begriffen Zahlen so zugeordnet werden, dass außer dem Prinzip der doppelten Verneinung insbesondere die Gesetze der Kontraposition und der Obversion erfüllt sind. Paradigmatisch für diese Bemühungen betrachten wir den „Calculus consequentiarum“ (Abschnitt 3.4), der nebenher auch gut Leibniz‘ Intuitionen erhellt, die hinter dem Modell von Paaren charakteristischer Zahlen stehen. Zum anderen glaubte Leibniz möglicherweise, dass die semantischen Bedingungen inadäquat sein könnten, weil sie einen ungültigen Modus scheinbar als gültig erweisen. Zur Klärung dieser Frage betrachten wir den von Leibniz zwar nicht betitelten, aber als „No. 7“ eingeordneten Entwurf (Abschnitt 3.6), der äußerst komplexe Vorüberlegungen für einen möglichen Beweis der gültigen Syllogismen enthält und in dem noch einmal der Grundgedanke der Semantik präzisiert wird: Ein Schluss von den Prämissen P1, …, Pn auf die Konklusion K ist genau dann logisch gültig, wenn es für die in diesen Sätzen vorkommenden Begriffe B1, …, B m keine Zuordnung charakteristischer Zahlen gibt, bei der alle Prämissen P1, …, Pn wahr und die Konklusion K dennoch falsch wird. Sieben Jahre später, in den „Generales Inquisitiones de Analysi Notionum et Veritatum“, ist Leibniz noch einmal kurz auf die Semantik charakteristischer Zahlen eingegangen. In den

Einleitung

177

§§ 124-129 erwägt er, einem Begriff B doch nur eine charakteristische Zahl Z(B) und dem negativen Begriff ~B den Kehrwert, also 1/Z(B), zuzuordnen. Frohlockend behauptet er, mit diesem Ansatz das Geheimnis aufgelöst zu haben, dem er Jahre zuvor erfolglos nachgegangen war, doch einen Beweis hierfür blieb er schuldig. Wie in Abschnitt 3.7 beschrieben wird, wurden erst im 20. Jahrhundert vor allem von M. Sanchez-Mazas und V. Sotirov mögliche Erweiterungen der Leibnizschen Semantik entwickelt, mit denen sich die Gesetze der »Scholastischen« Syllogistik (mit negativen Begriffen) als gültig nachweisen lassen.

178

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.2.1 Aus „Elementa Characteristicae Universalis“1 April 1679. No 1. plag. 1. Elementa Characteristicae Universalis 2

Regula construendorum characterum haec est: Cuilibet Termino3 (id est subjecto vel praedicato propositionis) assignetur numerus aliquis hoc uno observato, ut terminus compositus ex aliis quibusdam terminis respondentem sibi habeat numerum4 productum ex numeris illorum terminorum invicem multiplicatis. Exempli causa, si fi ngeretur terminus animalis exprimi per numerum aliquem 2 (vel generalius a) terminus rationalis per numerum 3 (vel generalius r) terminus hominis exprimetur per numerum 5 2, 3, id est 6, seu productum ex multiplicatis invicem 2 et 3 (vel generalius per numerum ar). Regulae usus characterum in propositionibus categoricis sunt sequentes:6 Si Propositio Universalis Affirmativa est vera, necesse est ut numerus subjecti dividi possit exacte seu sine residuo, per numerum praedicati. 7 Si propositio particularis affirmativa est vera, sufficit ut vel numerus praedicati exacte dividi possit per numerum subjecti vel numerus subjecti per numerum praedicati.

1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, V 8, a 1-2; vgl. C. 42-44 und A VI

4, 182-183. 2 (1) Cuilibet (2) Regula (a) Fundamentalis (b) construendorum … 3 (1) assignetur numerus ali (2) (id est … 4 (1) compositum (2) productum … 5 (1) 2 in 3, seu 2 in 3 ductum (2) 2, 3 id … 6 (1) quibus tota Logica communis, quoad propositio (2) harum propositionibus (3) Si numerus (4) Si … 7 (1) Si propositio universalis (2) Si … vera: (a) necesse est ut numerus subjecti atque n (b) sufficit …

Aus „Elemente einer allgemeinen Charakteristik“

179

3.2.2 Aus „Elemente einer allgemeinen Charakteristik“1 April 1679, No. 1, Blatt 1 Elemente einer allgemeinen Charakteristik Die Regel für die Konstruktion der charakteristischen Zahlen lautet so: Jedem Term (d.h. dem Subjekt und dem Prädikat einer Aussage) wird eine Zahl zugeordnet, wobei nur das eine zu beachten ist, dass ein aus anderen Termen zusammengesetzter Term eine Zahl erhält, die das Ergebnis der Multiplikation der Zahlen jener Terme darstellt. Nimmt man zum Beispiel an, dass der Term ‚Lebewesen‘ durch eine Zahl 2 (bzw. allgemeiner l) und der Term ‚vernunftbegabt‘ durch 3 (bzw. allgemeiner v) ausgedrückt wird, dann wird der Term ‚Mensch‘ durch 2*3 bzw. 6 ausgedrückt, d.h. durch das Ergebnis der Multiplikation von 2 und 3 (bzw. allgemeiner durch die Zahl l*v). Die Regeln für die Anwendung der charakteristischen Zahlen auf die Aussagen lauten wie folgt: Damit eine universell affirmative Aussage wahr wird, ist es notwendig, dass die Zahl des Subjekts sich glatt, d.h. ohne Rest, durch die Zahl des Prädikates teilen lässt. Damit eine partikulär affirmative Aussage wahr wird, reicht es aus, dass entweder die Zahl des Prädikats sich glatt durch die Zahl des Subjekts oder die Zahl des Subjekts sich durch die Zahl des Prädikats teilen lässt. Damit eine universell negative Aussage wahr wird, ist es notwendig, dass sich weder die Zahl des Subjekts durch die Zahl des Prädikats noch die Zahl des Prädikates durch die Zahl des Subjekts glatt teilen lässt.

1 Vgl.

auch die Übersetzung in Schmidt (1960), S. 170-172.

180

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Si propositio 8 Universalis Negativa est vera, necesse est ut neque numerus subjecti dividi possit exacte per numerum praedicati neque numerus praedicati per numerum subjecti. Si propositio particularis 9 negativa est vera, necesse est ut numerus subjecti non possit exacte dividi per numerum praedicati. Dazu am Rande die folgenden, eingerückten Absätze: U.A. s/p succedit, id est numerus s dividi exacte potest per numerum p, sive si s/p exprimatur per fractionem (cujus numerator v.g. 6 sit s numerus subjecti v.g. hominis, denominator vero p numerus praedicati v.g. animalis), illa fractio debet aequivalere integro ut 6/3 est 2. P.A. s/p vel p/s succedit. U.N. neque s/p neque p/s succedit. P.N. s/p non succedit.

Hae quatuor Regulae sive defi nitiones propositionum categoricarum verarum (adeoque et falsarum, nam quae verae non sunt falsae sunt) secundum quantitatem (sive signa) et qualitatem (sive affi rmationem et negationem) differentium sufficiunt ad totam Logicam vulgarem quatenus de10 forma propositionum et syllogismorum agit uno mentis ictu cognoscendam; ita ut hinc statim cognosci possint Subalternationes, Oppositiones, Conversiones Propositionum, et Figurae ac modi legitimi syllogismorum. Statim enim in numeris11 examinabuntur propositiones, tum illae ex quibus fit conclusio, tum illae quae ex aliis concluduntur. Qu in imo ostendam aliquid amplius, quomodo12 statim per calculum demonstrari possint13 omnes formae Logicae catego 8 (1)

parti (2) Universalis …  9 (1) affi rmativa (2) negativa … ut (a) subjectum (b) numerus … 10 (1) formis propositionum et syllogismorum categoricorum (2) forma … 11 (1) examinabitur (a) an (b) sub (c) tum (2) examinabuntur … 12 (1) hinc demonstrari possit (2) statim … 13 (1) regulae (2) omnes …

Aus „Elemente einer allgemeinen Charakteristik“

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Damit eine partikulär negative Aussage wahr wird, ist es notwendig, dass die Zahl des Subjekts sich nicht glatt durch die Zahl des Prädikates teilen lässt. Dazu am Rande die folgenden eingerückten Absätze: UA s/p geht auf, d.h. die Zahl s lässt sich glatt durch die Zahl p teilen, bzw. wenn s/p als ein Bruch dargestellt wird (dessen Zähler s, etwa 6, die Zahl des Subjekts, etwa ‚Mensch‘, dessen Nenner p hingegen die Zahl des Prädikates, etwa ‚Lebewesen‘, darstellt), dann muss dieser Bruch gleich einer ganzen Zahl sein wie etwa 6/3 = 2. PA s/p oder p/s geht auf. UN Weder s/p noch p/s geht auf. PN s/p geht nicht auf.

Diese vier Regeln bzw. Defi nitionen der wahren kategorischen Aussagen (und ebenso der falschen, denn falsch sind jene, die nicht wahr sind), die sich nach der Quantität (bzw. dem Quantitätszeichen) und der Qu alität (bzw. der Bejahung bzw. Verneinung) unterscheiden, reichen aus, die gesamte gewöhnliche Logik, sofern sie die Gestalt der Aussagen und der Syllogismen behandelt, in einem Streich des Geistes zu durchschauen, so dass die Gesetze der Subalternation, der Opposition und der Konversion der Aussagen sowie die Figuren und die gültigen Modi der Syllogismen sofort erkannt werden können. Mittels der Zahlen werden nämlich alle Aussagen unmittelbar überprüft, sowohl jene, aus denen man die Konklusion ableitet, als auch jene, die aus anderen erschlossen werden. Es muss jedoch etwas ausführlicher gezeigt werden, wie sich die kategorischen Aussagen der Logik im Kalkül auch dann formal beweisen lassen, wenn jene gewünschten Zahlen der Terme bzw. der einzelnen Begriffe noch nicht vorliegen. Wie man nämlich in der symbolischen Algebra mit allgemeinen,

182

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

ricae, etiamsi ponamus nondum dari hos qui desiderantur Terminorum seu Notionum singularum numeros. Quemadmodum enim in Algebra literali calculamus14 circa numeros generales literis expressos, qui notos vel ignotos speciales quoscunque designant, ita hic quoque pro numeris illis literas adhibendo praeclara Logicae artis theoremata demonstrabimus. Itaque tanta est hujus inventi nostri Mirabilis praestantia, ut vel solum Votum atque Consilium ejus novam facem menti accendat, et scientias15 incredibili accessione locupletet. […]

14 (1) 15 (1)

numeris ignotis; (2) circa … augere (2) incredibili …

Aus „Elemente einer allgemeinen Charakteristik“

183

durch Buchstaben dargestellten Zahlen rechnet, die für irgendwelche bekannten oder unbekannten Größen stehen, so werden wir auch hier die herrlichen Lehrsätze der Logik beweisen, indem wir statt jener Zahlen Buchstaben verwenden. Deshalb ist die Vorzüglichkeit dieser unserer wunderbaren Erfindung so groß, dass schon der Wunsch danach und der Plan davon dem Geist eine neue Flamme entzündet und die Wissenschaften um einen unglaublichen Zuwachs bereichert.

184

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.2.3 Kommentar In diesem kurzen Ausschnitt formuliert Leibniz zunächst den Grundgedanken, dass einem konjunktiv zusammengesetzten Begriff BC als charakteristische Zahl das Produkt der Zahlen der Komponenten B und C zugeordnet werden soll. Die wörtlich verstandene Regel: Produkt Z (B C ) = Z (B )* Z (C )

führt jedoch zu einem kleinen Problem. Stehe etwa B für ‚Mensch‘, C für ‚Lebewesen‘ und D für ‚vernunftbegabt‘ und sei ferner, wie bei Leibniz, Z(C) = 2, Z(D) = 3 und deshalb Z(B) = Z(CD) = Z(C)*Z(D) = 2*3 = 6. Dann werden zwar die Aussagen A(B,C) und A(B,D) durch die folgende Regel wahr gemacht: Sem-A 1

A(B,C) ist wahr genau dann, wenn Z(B) sich (glatt) durch Z(C) teilen lässt

Aber die Aussage ‚Jeder Mensch ist ein vernunftbegabter Mensch‘, formal A(B,DB), wäre nicht wahr, weil Z(B) = 6 nicht durch Z(D)*Z(B) = 3*6 = 18 teilbar ist. Der Kern dieses Problems lässt sich wie folgt verdeutlichen. Im Rahmen der Begriffslogik L1 fällt der Begriff B mit BB zusammen; hingegen ist die Zahl Z(B) im Allgemeinen ungleich dem Quadrat Z(B)*Z(B), welches dem Begriff BB als Zahl zuzuordnen wäre. Dieses Problem kommt zwar im Rahmen der Syllogistik nicht wirklich zum Tragen, weil dort primär Satzformen mit einfachen, konjunktiv nicht zusammengesetzten Begriffen betrachtet werden. Dennoch erscheint es sinnvoll, zu einer kleinen Modifi kation überzugehen, durch die die genannte Schwierigkeit von vornherein vermieden wird. So hat z.B. Sanchez-Mazas (1977) vorgeschlagen, die Produkt-Regel dahingehend abzuändern, dass Z(BC) als Produkt aller Primfaktoren und damit als das sog. „kleinste gemeinsame Vielfache“ der Zahlen Z(B) und Z(C) defi niert wird. Alternativ könnte man nach Sotirov (1999) die Regel Produkt beibehalten und lediglich die Teilbarkeitsforderung dahingehend modifi zieren, dass jeder Primfaktor

 Kommentar

185

von Z(C) zugleich Primfaktor von Z(B) ist. Symbolisiert man die Menge aller Primfaktoren einer natürlichen Zahl n durch Π(n), so wäre für die Wahrheit einer universell affi rmativen Aussage also zu verlangen: Sem-A 2

A(B,C) ist wahr genau dann, Π(Z(B)) ⊇ Π(Z(C)).

Für die Wahrheit einer partikulär affi rmativen Aussage I(B,C) fordert Leibniz in dieser Arbeit zunächst, dass entweder die charakteristische Zahl von B durch jene von C oder umgekehrt Z(C) durch Z(B) geteilt werden kann. Sem-I 1

I(B,C) ist wahr genau dann, wenn sich Z(B) durch Z(C) oder Z(C) durch Z(B) teilen lässt.

Diese Forderung wäre entsprechend wie folgt zu modifizieren: Sem-I 2

I(B,C) ist wahr genau dann, wenn Π(Z(B)) ⊇ Π(Z(C)) oder Π(Z(C)) ⊇ Π(Z(B)).

Beide Versionen bleiben jedoch inhaltlich inadäquat, denn sie beruhen auf der Annahme, bei einer partikulär affi rmativen Aussage müsse stets einer der Begriffe die Art („species“) und der andere die zugehörige Gattung („genus“) bezeichnen. Wie sich im nächsten Abschnitt zeigen wird, gelangte Leibniz selber bald zu der Einsicht, dass diese Annahme viel zu stark ist und dass I(B,C) auch dann wahr sein kann, wenn weder B eine Art der Gattung C noch umgekehrt C eine Art der Gattung B darstellt.

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.3.1 Elementa Calculi1 April 1679. No 2. plag. 1 Elementa Calculi2 1) Terminus est subjectum vel praedicatum propositionis categoricae. 3Itaque sub termino nec signum nec copulam comprehendo. Itaque cum dicitur4 sapiens credit, terminus erit non credit, sed credens, idem est ac si dixissem sapiens est credens. 2) 5Propositiones hic intelligo categoricas, cum aliud speciatim non exprimo, 6 est autem [categorica] caeterarum fundamentum, et modales, hypotheticae, disjunctivae, aliaeque omnes categoricam supponunt. Categoricam autem voco A est B, vel A non est B,7 seu falsum est A esse B. Signi varietate accedente, ut vel universalis sit propositio et de omni subjecto intelligatur, vel particularis de8 quodam. 3) Cuilibet termino,9 assignetur suus numerus characteristicus, qui adhibeatur10 in calculando, ut terminus ipse adhibetur in ratiocinando. 11Numeros autem eligo in scribendo, alia si-

 1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 5, 8, 9-12; vgl. C., 49-57 und A VI,

4, 195-205.  2 (1) Univ (2) Logici streicht L  3 /Itaque … est credens/erg. L  4 (1) Petrus amat (a) non erit (b) terminus erit non amat, sed amans, idem est ac si dixissem Petrus (2) Deus vivit (3) sapiens …  5 (1) Propositionem hic intelligo categoricam etsi facile hinc progredi ad alias licebit, ut modales, hypotheticas, disjunctivas, etc. (2) Propositiones … categoricas, (a) in quibus spectantur tantum subjectum praedicatum (b) cum …  6 (1) et hinc (2) sunt autem categoricae (3) est … (a) categoricae L (b) categorica ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe  7 (1) signo tantum variato (2) seu  8 (1) quodvis (2) quodam  9 (1) ch (2) pro charactere (3) assignetur 10 (1) inter calculandum (2) in calculando 11 /Numeros … esse erg. L/

Elemente eines Kalküls

187

3.3.2 Elemente eines Kalküls1 April 1679, Nr. 2, Blatt 1

(1) Ein Term ist das Subjekt oder das Prädikat einer kategorischen Aussage. Deshalb verstehe ich unter einem Term weder das Qu antitätszeichen noch die Kopula. Wenn somit gesagt wird ‚Der Weise glaubt‘, so ist nicht ‚glaubt‘ der Begriff, sondern ‚Glaubender‘, denn es ist dasselbe, als wenn ich gesagt hätte ‚Der Weise ist ein Glaubender‘. (2) Unter Aussagen verstehe ich hier, sofern nicht ausdrücklich anderes erklärt wird, stets kategorische Aussagen. Denn diese sind das Fundament der übrigen, und modale, hypothetische, disjunktive und sonstige Aussagen setzen alle die kategorischen voraus. Als kategorische Aussage bezeichne ich aber ‚A ist B‘ und ‚A ist nicht B‘, d.h. ‚Es ist nicht der Fall, dass A B ist‘. Durch Hinzufügen der verschiedenen Qu antitätszeichen ergibt sich, dass die Aussage universell, also von jedem beliebigen Subjekt, oder partikulär, d.h. von einem bestimmten Subjekt, verstanden wird. (3) Jedem Term soll seine charakteristische Zahl zugeordnet werden, die so in die Berechnung eingeht, wie der Term selber in die logische Schlussfolgerung eingeht. Ich bediene mich beim Schreiben der Zahlen; zu gegebener Zeit werde ich andere Symbole den Zahlen und dem sprachlichen Ausdruck anpas-

1 Vgl.

auch die Übersetzungen in Schmidt (1960), S. 179-191, und in Herring (1992), S. 71-91.

188

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

gna suo tempore et 12[numeris] et ipsi sermoni accommodabo. Nunc autem maxima est numerorum utilitas, ob certitudinem et tractandi facilitatem, et quia hinc ad oculum patet, omnia in notionibus ad numerorum instar certa et determinata esse. 4) Regula inveniendi13 numeros characteristicos aptos haec14 unica est, ut quando termini dati conceptus componitur15 in casu recto ex conceptibus duorum pluriumve aliorum terminorum,16 tunc numerus termini dati characteristicus producatur17 ex terminorum termini dati conceptum componentium numeris characteristicis invicem multiplicatis. 18 Verbi gratia quia Homo est Animal rationale19 (et quia Aurum est metallum ponderosissimum) hinc si sit Animalis20 (metalli) numerus a, ut 221 (m ut [7]) Rationalis22 (ponderosissimi) vero numerus r ut 3 (p ut 5), erit23 numerus hominis seu h24 idem quod ar id est in hoc exemplo 2, 3 seu 6 (et numerus auri seu solis s idem quod mp, id est in hoc exemplo25 [7, 5 seu 35]).

12 (1)

numeros (2) numeris ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe sive constare (2) numeros 14 /unica erg. L/ jam streicht L 15 /in casu recto erg. L/ 16 (1) terminus characteristicus comp (2) /tunc numerus erg. L/ termini dati … 17 (1) ex numeris terminorum qui dati conceptum termini (2) ex (a) numeris chara (b) terminorum … 18 (1) Ut sit (a) hominis num (b) numerus (c) Animalis numerus characteristicus 2 (vel ), Rationalis 3 (vel ) (2) Verbi … 19 /(et quia … ponderosissimum) erg. L/inter / streicht L/ 20 (metalli) erg. L 21 (1) (vel 3) num (2) /(m ut /3 L/ 7) ändert Hrg. 22 (1) (3) (vel ) (2) /ponderosissimi vero erg. L/ numerus r ut (3) (a) (vel 5) (b) (p ut 5) 23 (1) hominis conceptus 2, 3 id est 6 /(auri sive soli ) erg. L/ (vel 3, 5 id est 15) (2) numerus … seu h (a) idem qu (b) idem … 24 (1) aequalis (2) idem quod … 25 /3, 5 seu 15 L/ 7, 5 seu 35 ändert Hrg. 13 (1)

Elemente eines Kalküls

189

sen. Im Moment sind jedoch die Zahlen wegen der Sicherheit und Leichtigkeit der Behandlung von größtem Nutzen und weil so offenkundig wird, dass bezüglich der Begriffe alles so gewiss und bestimmt ist wie im Fall von Zahlen. (4) Als Regel für die Erfindung geeigneter charakteristischer Zahlen dient nur diese eine: Wenn der Begriff eines gegebenen Terms in direkter Weise aus den Begriffen zweier oder mehrerer anderer Terme zusammengesetzt ist, dann ergibt sich die charakteristische Zahl des gegebenen Terms als Produkt der charakteristischen Zahlen der Terme, aus denen er sich zusammensetzt. Da zum Beispiel der Mensch ein vernünft iges Lebewesen (bzw. da Gold das schwerste Metall) ist, so ergibt sich, wenn die charakteristische Zahl l für ‚Lebewesen‘ (bzw. e für ‚Metall‘ 7)2, v für ‚vernunftbegabt‘ hingegen 3 (bzw. s für ‚schwerstes‘ 5) ist, dass die charakteristische Zahl m für ‚Mensch‘ gleich l*v, also im Beispiel 2*3 = 6 (bzw. die Zahl a für Gold oder Aurum 3 gleich m*s, d.h. im Beispiel 7*5 = 35) ist.

2 Wir

ersetzen das Symbol ‚m‘ für ‚Metall‘ durch ‚e‘, weil der Buchstabe ‚m‘ bereits für ‚Mensch‘ vorgesehen ist; entsprechend wurde die von Leibniz für ‚Metall‘ gewählte Zahl 3 durch 7 ersetzt, weil 3 bereits als Zahl für ‚vernünft ig‘ vergeben war. 3 Leibniz war von ‚aurum‘ zur alchimistischen Bezeichnung ‚sol‘ übergegangen, weil er ansonsten das Symbol ‚a‘ hätte verwenden müssen, das aber schon für ‚animal‘ reserviert war. Sinngemäß gehen wir von ‚Gold‘ zu ‚Aurum‘ bzw. von ‚g‘ zu ‚a‘ über.

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

5) Literas adhibebimus, ut hic a, r, h (m, p, s), quando aut26 numeri non adsunt aut saltem non27 speciatim considerantur, sed generaliter tractantur, quod hoc loco in Elementis28 tradendis nos facere oportet. 29Quemadmodum in Algebra symbolica seu Arithmetica figurata fieri solet, ne quod simul ac semel in infi nitis exemplis30 possumus in singulis praestare cogamur. Modum autem hic utendi literis infra explicabo. 6) Caeterum regula artic. 4. tradita sufficit ad omnes res totius mundi31 calculo nostro comprehendendas, quatenus de iis notiones distinctas habemus, id est quatenus earum requisita quaedam cognoscimus, quibus per partes examinatis, eas a quibuslibet aliis possumus distinguere,32 sive quatenus earum assignare possumus defi nitionem. Haec enim requisita nihil aliud sunt quam termini 33 quorum notiones componunt notionem quam de re habemus.34 Possumus autem plerasque res ab aliis discernere per requisita,35 et si quae sunt quarum requisita assignare difficile sit, iis interim ascribemus numerum aliquem 36 primitivum, eoque utemur ad alias res hujus rei ope designandas. Et hoc modo saltem omnes propositiones calculo invenire ac demonstrare poterimus,37 quae interim sine rei, pro primitiva interim sumtae resolutione demonstrari possunt.

26 (1)

de numeris non constat (2) numeri eos in specie (2) speciatim … 28 (1) tractandis (2) tradendis … 29 /Quemadmodum … explicabo erg. L/ 30 (1) ostendere (2) possumus in singulis (a) probare (b) praestare … 31 /(1) characteristicae (a) huic (b) nos (2) calculo … comprehendendas/ erg. L 32 /sive … defi nitionem erg. L/ 33 (1) componentes (2) quorum … 34 (1) Qu are quascunque res possumus ab aliis quibuslibet per requisita quaedam discernere. (2) Possumus … 35 (1) /in genere, exempli gratia lucis/ erg. u. gestr. L (2) et … 36 (1) primum (2) primitivum 37 (1) quae sine rei, (a) hujus (b) cujus requisita (2) quae … 27 (1)

Elemente eines Kalküls

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(5) Buchstaben, wie oben l, v, m (bzw. e, s, a), verwenden wir dann, wenn die Zahlen nicht verfügbar sind oder zumindest nicht konkret betrachtet, sondern allgemein behandelt werden, wie es uns hier in den zu berichtenden Elementen [des Kalküls] geeignet erscheint. Auf diese Art pflegt man in der symbolischen Algebra bzw. Arithmetik zu verfahren, so dass wir nicht gezwungen sind, das, was wir ein für allemal für eine unbegrenzte Anzahl von Fällen zeigen können, für jeden einzeln nachzuweisen. Die Art aber, wie hierbei die Buchstaben verwendet werden, werde ich später erklären. (6) Die in Artikel 4 entwickelte Regel reicht übrigens aus, um in unserem Kalkül alle Dinge der Welt zu behandeln, sofern wir von ihnen klare Begriffe besitzen, d.h. sofern wir gewisse ihrer Merkmale kennen, durch die wir sie nach sukzessiver Überprüfung von beliebigen anderen unterscheiden, d.h. sofern wir den Begriffen eine Defi nition geben können. Diese Merkmale sind nämlich nichts anderes als die Terme, deren Begriffe den Begriff bilden, den wir von dem Ding besitzen. Wir können aber die meisten Dinge von anderen durch ihre Merkmale unterscheiden, und wenn es einige gibt, deren Merkmale schwer zu bestimmen sind, werden wir ihnen zunächst eine Primzahl zuordnen und sie verwenden, um andere Dinge mittels dieses Dings zu defi nieren. Auf diese Art werden wir zumindest in der Lage sein, mit unserem Kalkül alle Aussagen zu fi nden und zu beweisen, die ohne eine Analyse des Dinges, das vorübergehend als ursprünglich genommen wird, bewiesen werden können.

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Sic Euclides nuspiam utitur defi nitione lineae rectae in suis demonstrationibus, sed ejus loco adhibuit quaedam pro axiomatis assumta; at Archimedes cum longius vellet progredi, coactus est ipsam lineam rectam resolvere, eamque defi nire, inter duo puncta minimam.39 Itaque hoc modo non quidem omnia, attamen innumera inveniemus tum quae jam ab aliis sunt demonstrata, tum quae ab aliis ex jam cognitis40 defi nitionibus et axiomatibus atque experimentis unquam poterunt demonstrari: idque ea praerogativa nostra,41 ut statim de oblatis propositionibus possimus per numeros judicare an42 sint probatae, et ut quae alii vix summo labore animi et casu, nos solo characterum ductu, et certa methodo,43 eaque vere analytica demus,44 ac proinde quae vix multi annorum millenarii alias praebituri erant mortalibus, intra seculum exhibere45 valeamus. 7)46 Ut autem usus numerorum characteristicorum pateat in propositionibus, considerandum est; omnem propositionem veram categoricam47 affi rmativam universalem, nihil aliud significare quam connexionem quandam inter Praedicatum et subjectum48 in casu recto de quo hic semper loquar, ita scilicet, ut praedicatum49 dicatur inesse subjecto vel contineri in 38 /Sic

… minimam am Rande in zwei Schritten erg. L/ Itaque si non omnia Certe innumera (2) Itaque … 40 (1) defi nitionis aut (a) ax (b) hypo (c) axioma (2) defi nitionibus … 41 (1) quod quae illi (2) /ut … alii erg. L/ 42 (1) verae (2) sint probatae (a) licet probatae (b) licet probationem ips (b) et … 43 (1) et ex veris (2) eaque … 44 (1) et quae vix multi annorum millenarii alias dedissent, (2) ac … 45 (1) poterimus (2) valeamus. 46 (1) Per Literas Majusculas designabimus numeros (a) eorum te (b) characteristicos Terminorum qui ingrediuntur in Propositiones quibus utimur. (2) Sequitur jam ex regula nostra (3) Ut … 47 /affi rmativam /universalem/ erg. sukzessive L 48 /in casu … loquar erg. L/ 49 (1) dicatur inesse subjecto /in aliquo casu seu in aliquo exemplo erg. L/ seu ut subjectum dicatur continere praedicatum: hoc est ut notio subjecti involvat notionem praedicati. Itaque cum dico (a) Omnis pius est felix (b) 39 (1)

Elemente eines Kalküls

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So benutzt Euklid nirgends in seinen Beweisen eine Defi nition der Geraden, sondern verwendet stattdessen gewisse als Axiome angenommene Aussagen. Als Archimedes hingegen weiter fortschreiten wollte, war er gezwungen, die Gerade selber zu analysieren und sie als kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu defi nieren. Auf diese Weise werden wir, wenn nicht alle, so doch unzählige Aussagen fi nden, sowohl solche, die schon von Anderen bewiesen wurden, als auch solche, die jemals von Anderen aus bekannten Defi nitionen, Axiomen und Erfahrungssätzen abgeleitet werden können. Und dies geschieht aufgrund unserer vorhergehenden Wahl, dass wir sofort mittels der Zahlen beurteilen können, welche der dargebotenen Aussagen gültig sind, und dass, was andere kaum mit größter Anstrengung des Geistes und zufällig fi nden, wir alleine durch das Zeichnen von Charakteren und nach einer sicheren, wahrhaft analytischen Methode liefern können; und dass wir deshalb schätzungsweise innerhalb eines Menschenalters darbieten können, was anderen Sterblichen in vielen Jahrtausenden kaum gewährt wurde. (7) Damit aber die Verwendung charakteristischer Zahlen in den Aussagen klar wird, ist zu beachten, dass jede wahre kategorische Aussage der universell affi rmativen Art nichts anderes bedeutet als eine bestimmte Verbindung zwischen Prädikat und Subjekt (im Nominativ, von dem ich hier stets rede), nämlich so, dass vom Prädikat behauptet wird, dass es im Subjekt enthalten ist, und zwar entweder absolut und an sich betrachtet oder doch sicherlich in einem Beispiel; oder anders gesagt, das

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subjecto, eoque vel absolute et in se spectato vel certe seu in aliquo exemplo, seu ut subjectum dicto modo dicatur continere praedicatum: hoc est ut notio subjecti vel in se, vel cum addito involvat notionem praedicati, ac proinde ut subjectum et praedicatum sese habeant invicem, vel ut totum et pars, vel ut totum et totum coincidens, vel ut pars ad totum.50 Primis duobus casibus propositio est universalis affi rmativa. Ita cum dico omne aurum est metallum, hoc volo tantum in notione51 [auri] contineri notionem metalli in casu recto, aurum enim est metallum ponderosissimum. Et cum dico omnis pius est felix, nihil aliud volo quam hoc: ejusmodi esse connexionem inter notionem pii et notionem felicis; ut is qui perfecte naturam pii intelligeret, deprehensurus sit naturam felicis in ea involvi52 in casu recto. At in omnibus casibus sive subjectum sive praedicatum sit pars aut totum, semper locum habet propositio particularis affi rmativa.53 Exempli causa quoddam metallum est aurum, licet enim metallum per se non contineat aurum tamen quoddam metallum 54 cum addito seu speciale (exempli causa id quod majorem ducati Hungarici partem facit) ejus naturae est, ut naturam auri involvat. Discrimen autem est in continendi modo, inter subjectum propositionis universalis et particularis. Nam subjectum propositionis universalis in se spectatum et absolute sumtum debet continere praedicatum, ita 55 auri notio per se spectata et absolute sumta metalli notionem involvit. Nam notio auri Omne aurum est metallem (c) Omnis homo est animal, nihil aliud volo quam in notione hominis contineri notionem animalis. Id est (ca) qui (cb) cum qui perfe (2) dicatur … 50 (1) Primo casu cum dico est (2) Primis … 51 (1) hominis contineri notionem animalis (2) /auri/ erg. Hrg. mit den Hrg. der Akademie-Ausgabe contineri notionem metalli … 52 /in casu recto erg. L/ (1) Cum dico quod (2) Idem locum habet in propositione universali affi rmativa. Exempli causa (a) quidam (b) quoddam animal est homo; id est quoddam animal (exempli causa Petrus, Paulus) ejus naturae est ut naturam hominis involvat. (3) At … 53 (1) quibusdam mutatis (2) si scilicet subjecto adjicias (3) Exempli 54 /cum addito seu speciale erg. L/ 55 (1) aurum absolute su (2) auri …

Elemente eines Kalküls

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Subjekt enthält das Prädikat in der genannten Weise, was bedeutet, dass der Subjektbegriff entweder für sich oder mit einem hinzugefügten Begriff genommen den Prädikatbegriff in sich einschließt, und dass sich deshalb Subjekt und Prädikat zueinander verhalten wie Ganzes und Teil oder wie Ganzes und damit zusammenfallendes Ganzes oder wie Teil und Ganzes. In den ersten beiden Fällen handelt es sich um eine universell affi rmative Aussage. Wenn ich also sage ‚Jedes Gold ist ein Metall‘, so will ich damit nur ausdrücken, dass der Begriff des Goldes den Begriff des Metalls (im Nominativ) enthält; denn Gold ist das schwerste Metall. Und wenn ich sage ‚Jeder Fromme ist glücklich‘, so will ich damit nichts anderes ausdrücken, als dass die Beziehung zwischen dem Begriff des Frommen und dem Begriff des Glücklichen so geartet ist, dass derjenige, der das Wesen des Frommen vollkommen erfasste, einsehen würde, dass das Wesen des Glücklichen (im Nominativ) darin eingeschlossen ist. Doch in allen Fällen, egal ob das Subjekt oder das Prädikat Teil oder Ganzes ist, gilt die partikulär affi rmative Aussage. Zum Beispiel ‚Ein gewisses Metall ist Gold‘. Auch wenn der Begriff ‚Metall‘ an sich den Begriff des Goldes nicht enthält, so ist doch der Begriff eines besonderen Metalls, dem eine gewisse Bestimmung hinzugefügt wird (zum Beispiel, dass es den Hauptteil eines ungarischen Dukaten ausmacht) von solcher Natur, dass er das Wesen des Goldes in sich einschließt. Die Art und Weise, wie das Subjekt [das Prädikat] enthält, ist jedoch bei einer universellen Aussage anders als bei einer partikulären. Denn das Subjekt einer universellen Aussage muss für sich betrachtet und absolut genommen das Prädikat enthalten, wie z.B. der Begriff des Goldes für sich betrachtet und

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est metallum ponderosissimum,56 sed in Propositione affi rmativa particulari, sufficit aliquo addito rem succedere. 57Ita notio metalli absolute spectata et in se sumta non involvit auri notionem; et ut involvat addendum est aliquid. Nempe signum particulare: quoddam 58 metallum, est enim certum quoddam metallum Y quod auri notionem continet. Imposterum autem cum dicemus Terminum in termino vel notionem in notione contineri, intelligemus simpliciter et in se. 8) Propositiones autem negativae59 tantum affi rmativis contradicunt, easque falsas esse asserunt. Ita propositio particularis negativa nihil aliud praestat quam ut neget propositionem affi rmativam universalem [veram] esse. Sic cum dico60 quoddam argentum non est solubile in aqua forti communi, hoc unum volo: falsam esse hanc propositionem affi rmativam universalem: Omne argentum in aqua forti communi solubile est. Nam datur exemplum contrarium si Chymistis quibusdam credimus, nempe Luna fi xa ut ipsi vocant. Propositio autem61 Universalis negativa tantum contradicit particulari affi rmativae. Exempli causa si dicam Nullus sceleratus est felix, hoc significo: falsum esse quod aliquis sceleratus sit felix. Itaque patet ex affi rmativis negativas intelligi posse et contra illas ex istis. 9) Porro in omni Propositione62 categorica sunt duo Termini; 56 /sed

… succedere erg. L/ Sed (2) Ita 58 (1) aurum (2) metallum, (a) ut appareat aliquid ad naturam (b) est … 59 (1) nihil aliud quam (2) tantum … 60 (1) quidam homo non est (2) quoddam animal non est homo, nihil aliud volo, quam hoc: falsam esse hanc propositionem Omne animal est homo (3) quoddam (a) metallum (b) argentum … 61 (1) Particularis negativa (2) Universalis (a) nihil aliud quam (b) negativa tantum … 62 (1) affi rmativa manifestum est terminos (a) vel aeque late patere, vel alterum altero esse angustiorem. (aa) Ita (ab) Si aeque late patent, propositio fit reciproca, ita ut semper praedicatum substitui possit in locum (b) differre ut ita dicam, extensione, id est vel unius notionem tantum continere quantum alterius, vel (ba) unius (bb) unam plus altera minusve continere. (2) categorica … 57 (1)

Elemente eines Kalküls

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absolut genommen den Begriff des Metalls in sich einschließt. Denn der Begriff des Goldes lautet ‚schwerstes Metall‘. Bei einer partikulär affi rmativen Aussage bedarf es hingegen eines Zusatzes [zum Subjekt], damit dies gelingt. Der Begriff des Metalls enthält absolut betrachtet und für sich genommen den Begriff ‚Gold‘ keineswegs. Um ihn einzuschließen, bedarf es einer Ergänzung, nämlich des partikulären Quantitätszeichens ‚ein gewisses Metall‘; denn es gibt ein bestimmtes Metall Y, welches den Begriff des Goldes enthält. Wenn wir jedoch im Folgenden davon sprechen, dass ein Ausdruck in einem Ausdruck bzw. ein Begriff in einem Begriff enthalten ist, dann verstehen wir dies schlechthin und an sich. (8) Die negativen Aussagen sind den affi rmativen kontradiktorisch entgegengesetzt und behaupten, dass diese falsch sind. So verneint eine partikulär negative Aussage lediglich, dass die universell affi rmative wahr ist.4 Sage ich also ‚Einiges Silber ist nicht in gewöhnlichem Scheidewasser löslich‘, so will ich damit nur die universell affi rmative Aussage ‚Jedes Silber ist in gewöhnlichem Scheidewasser löslich‘ als falsch behaupten. Denn wenn wir gewissen Chymisten glauben, gibt es ein Gegenbeispiel, welches sie ‚luna fi xa‘ nennen. Die universell negative Aussage andererseits widerspricht der partikulär affi rmativen. Wenn ich zum Beispiel sage ‚Kein Frevler ist glücklich‘, drücke ich damit aus, dass es nicht der Fall ist, dass irgendein Frevler glücklich ist. Es ist also klar, dass die negativen Aussagen aus den affi rmativen heraus verstanden werden können, und umgekehrt diese aus jenen. (9) Ferner gibt es in jeder kategorischen Aussage zwei Terme. Bezüglich der Art und Weise, wie zwei beliebige Terme inein4 Die

Übersetzung übernimmt die Korrektur der Hrg. der Akademieausgabe, d.h. die Einfügung des Wortes ‚veram‘. Sie wäre allerdings nicht zwingend notwendig gewesen, denn den gleichen Sachverhalt könn man auch so ausdrücken: „So verneint eine partikulär negative Aussage lediglich, dass die affi rmative universell gilt“. Entsprechend heißt es in Parkinsons Übersetzung: „So a particular negative proposition simply denies that an affi rmative proposition is universal.“

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duo vero quilibet termini63 quatenus inesse aut non inesse sive contineri aut64 non contineri dicuntur differunt modis sequentibus. Quod vel unus continetur in altero vel neuter. Si unus continetur in altero,65 tunc vel unus alteri aequalis est, vel differunt ut totum et pars. Si neuter in altero continetur, tunc vel commune aliquid continent66 (quod non nimis remotum sit) vel toto genere differunt. Sed haec per species explicabimus. 10) Duos Terminos sese continentes et nihilominus aequales, voco coincidentes. Exempli causa notio trianguli67 coincidit in effectu notioni trilateri, id est tantundem continetur in una, quantum in altera,68 tametsi id prima fronte aliquando non appareat; sed si quis resolvat unum pariter atque alterum, tandem incidet in idem.69 Ita coincidunt metallum ponderosissimum inter metalla et metallum fi xissimum inter metalla; tametsi absolute loquendo ponderosissimum et fi xissimum non coincidant;70 ut exemplo Mercurii patet,71 nam inter haec duo cuprum et72 argentum vivum, patet illud esse fi xissimum, hoc ponderosissimum. Sed hoc obiter. 73 11) Duo Termini sese continentes, nec tamen coincidentes vulgo appellantur Genus et species,74 quae quoad notiones, seu terminos componentes (ut hoc loco a me spectantur), differunt 63 (1)

secundum ipsum (2) quatenus differunt (2) non 65 /tunc vel … vel erg. L/ 66 /(quod … sit) erg. L/ 67 (1) aeque late pa (2) coincidit 68 (1) et si quis perfecte (2) /tametsi … quis erg. L/ 69 (1) Itaque et numeri eorum characteristici coincident (a) exempli causa (b) quemadmodum coincidunt bis sex et ter quatuor, tametsi diversae sint expressiones rei ejusdem. (2) Ita … ( 70 Leibniz hat den Abschnitt /Ita … obiter/ umrandet und dazu am Rande vermerkt NB. (1) nam liquidum ponderosissimum (2) ut … 71 (1) qui inter haec duo (2) nam … 72 (1) metallu (2) Hydrargyrum; (3) argentum … 73 /(11) … Exempli causa erg. L/ 74 (1) Ex quibus notion (2) quae quoad notiones, (a) spectan (b) differunt ut pars et totum, nam notio g (c) quae … 64 (1)

Elemente eines Kalküls

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ander enthalten oder nicht enthalten sind bzw. einander enthalten oder nicht enthalten, gibt es folgende Unterschiede. Entweder ist der eine Term in dem anderen enthalten, oder keiner enthält einen anderen. Ist einer in dem anderen enthalten, dann sind entweder beide gleiche [weil auch der letzterer im ersteren enthalten ist], oder sie verhalten sich wie ein Ganzes zum Teil. Wenn keiner von beiden im anderen enthalten ist, dann enthalten entweder beide etwas Gemeinsames (was nicht allzu weit entfernt ist), oder sie sind völlig verschieden. Das werden wir aber von Fall zu Fall erläutern. (10) Wenn zwei Terme sich enthalten und dennoch 5 gleich sind, so heißen sie ‚koinzidierend‘. Zum Beispiel fällt der Begriff des Dreiecks faktisch mit dem des Dreiseits zusammen, d.h. in dem einen Begriff ist genau so viel enthalten wie in dem anderen, auch wenn dies auf den ersten Blick nicht offensichtlich erscheint; doch wenn man den einen Begriff analysiert und ebenso den anderen, läuft es letztlich auf das Gleiche hinaus. (11) Wenn zwei Terme sich enthalten aber dennoch nicht koinzidieren6 , dann spricht man üblicherweise von Gattung und Art. Diese unterscheiden sich bezüglich der Begriffs- bzw. Termbestandteile (wie sie hier von mir betrachtet werden) wie Teil und Ganzes, und zwar so, dass der Gattungsbegriff der Teil

5 Diese

etwas irritierende Ausdrucksweise verführte Herring in (1992: 79) zu der fehlerhaften Übersetzung: „(10) Zwei Termini, die ineinander enthalten, dennoch aber nicht [!] gleich sind, nenne ich koinzidierende.“ Leibniz’ ungeschickte Wortwahl ‚nihilominus‘ erklärt sich wohl daraus, dass zwei Begriffe A und B, von denen einer im anderen enthalten ist, normalerweise nicht gleich sind, sondern der eine verhält sich zum anderen wie ein Teil zum Ganzen. Wenn A und B jedoch wechselseitig ineinander enthalten sind, dann ist zwangsläufig A = B. 6 Auch hier drückt Leibniz sich etwas irreführend aus, denn er denkt an Begriffe, von denen einer den anderen enthält, die aber nicht zusammenfallen, weil der letztere nicht umgekehrt auch den ersteren enthält. „Duo termini sese continentes“ wäre aber normalerweise im Sinne eines wechselseitigen Enthaltens zu verstehen!

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

ut pars et totum; ita ut generis notio sit pars, speciei notio sit totum, componitur enim ex genere et differentia.75 Exempli causa notio auri et notio metalli differunt76 ut [totum et pars]; nam in notione auri continetur notio metalli et aliquid praeterea, exempli causa notio ponderosissimi inter metalla. Itaque notio auri est major notione metalli. 12) In Scholis aliter loquuntur, non notiones77 spectando, sed exempla notionibus universalibus subjecta. Itaque78 metallum dicent esse latius auro, nam plures continet species quam aurum79 et si individua auri ab una parte et individua metalli ab altera parte numerare vellemus, utique plura essent haec illis, imo illa in his continerentur ut pars in toto. Et hac quidem observatione adhibita, et characteribus accommodatis possent omnes regulae Logicae a nobis demonstrari alio nonnihil calculo quam hoc loco fiet; tantum quadam calculi nostri inversione. Verum malui spectare notiones universales sive ideas, earumque compositiones, quia ab individuorum existentia non pendent. Itaque dico80 aurum majus metallo, quia plura requiruntur ad notionem auri quam metalli, et majus opus est aurum producere, quam metallum qualecunque. Nostrae itaque et scholarum phrases hoc loco non quidem contradicunt sibi, distinguendae sunt tamen diligenter. Caeterum in loquendi81 modis nihil a me sine quadam ratione atque utilitate innovari, patebit consideranti.82 13) Si neuter terminorum in altero continetur, appellantur Disparata, et tunc rursus ut dixi vel aliquid commune habent, 75 (1)

Si vero non (2) Exempli … 76 (1) ut latius et angustius nam aurum (a) pr (b) continet (2) ut (a) majus et minus (b) pars et totum L /totum et pars ändert Hrg. 77 (1) spectando sed exempla species (2) sed (a) species (b) exempla … 78 (1) aurum appellant (2) metallum … 79 (1) Ego volo (2) /et si … pendent. Itaque erg. L/ 80 (1) met (2) aurum majus (a) sive aequ (b) metallo … 81 (1) modo (2) modis 82 (1) Et (2) Cum ergo notio unius termini cujusdam plus continet quam notio alterius, sequitur ex iis quae supra posuimus artic. 8. (3) (13) Si …

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und der Artbegriff das Ganze darstellt, denn letzterer setzt sich aus dem Gattungsbegriff und der spezifischen Differenz zusammen. Zum Beispiel verhalten sich der Begriff des Goldes und der des Metalls wie Ganzes zum Teil, denn im Begriff des Goldes ist der Begriff des Metalls und etwas anderes enthalten, z.B. der Begriff des schwersten unter den Metallen. Somit ist der Begriff des Goldes größer als der des Metalls. (12) Die Schulphilosophen drücken sich anders aus, weil sie nicht die Begriffe betrachten, sondern die Einzeldinge, die unter die allgemeinen Begriffe fallen. Deshalb sagen sie, Metall sei umfassender als Gold, weil es mehr Arten enthält als dieses; und wenn wir die einzelnen Stücke Gold einerseits und die einzelnen Stücke Metall andererseits zählen wollten, so wären die letzteren zahlreicher als die ersteren, folglich wären erstere in letzteren wie ein Teil im Ganzen enthalten. Durch Anwendung dieser Beobachtung und durch eine Anpassung der Zeichen können alle logischen Prinzipien von uns durch einen Kalkül bewiesen werden, der sich von diesem hier ein wenig unterscheidet, indem er quasi dessen Umkehrung darstellt. Ich habe es jedoch vorgezogen, die allgemeinen Begriffe bzw. die Ideen und ihre Zusammensetzungen zu betrachten, weil sie nicht von der Existenz der Einzeldinge abhängen. Deshalb sage ich, dass Gold umfassender ist als Metall, da für den Begriff des Goldes mehr verlangt ist als für den des Metalls und da mehr dazu erforderlich ist, Gold herzustellen, als ein beliebiges Metall. Unsere Ausdrucksweise und die der Schulphilosophen widersprechen sich in diesem Punkte nicht, doch sie müssen sorgfältig unterschieden werden. Im Übrigen wird dem, der die Sache bedenkt, einleuchten, dass ich nur solche Ausdrucksweisen neu einführe, für die es einen Grund und Nutzen gibt. (13) Wenn keiner der beiden Terme in dem anderen enthalten ist, heißen sie disparat; und dann enthalten sie, wie schon erwähnt, entweder etwas Gemeinsames oder sie sind völlig

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

vel toto genere differunt. Aliquid commune habent, qui sub eodem sunt genere,83 quos posses dicere Conspecies,84 ut Homo et brutum animalis 85 conceptum habent communem. Aurum et Argentum metalli, Aurum et Vitriolum communem habent conceptum mineralis. Unde patet etiam plus minusve commune habere duos terminos, prout 86 genus earum minus magisque remotum est. Nam si genus sit valde remotum,87 tunc exiguum etiam erit, in quo symbolizent species. Et si genus sit remotissimum, exempli gratia88 aliquas res dicemus esse Heterogeneas seu toto genere differre, ut Corpus et Spiritum, non quod nihil illis commune sit, saltem enim ambo sunt substantiae, sed quod hoc genus commune sit valde remotum.89 Unde patet quid Heterogeneum dicendum sit vel non, a comparatione90 pendere. Nobis91 vero in calculo sufficit duas res nullas ex quibusdam notionibus certis a nobis designatis, habere communes, etsi alias forte communes habeant. 14) Haec jam quae de Terminis sese varie continentibus aut non continentibus diximus, transferamus ad92 numeros eorum characteristicos. Quod facile est quia diximus93 artic. 4. quando terminus concurrit ad alium terminum constituendum,94 id est cum notio termini in notione alterius termini continetur, tunc 83 (1)

itaque (2) quos … plus autem (2) ut … animalis… 85 (1) natu (2) conceptum … 86 (1) species (2) genus earum (a) magis minusve (b) minus … 87 (1) parum (2) /tunc erg. L/ exiguum … 88 (1) sub (2) substantia (3) aliquas res dicemus (a) res toto genere differre, (b) esse … 89 (1) nam praeter ea quae omnibus substantiis nobis (2) Unde … 90 /seu relatione ad distantiam a genere/ gestr. L 91 (1) autem sufficit duas res nihil habere commune, ex illis quibusdam notionibus certis a nobis (a) assumtis (b) designatis, etsi fo (2) vero … 92 (1) nostras (2) numeros … 93 (1) quando terminus continet (a) terminum (b) terminos quosdam tunc (ba) notionem (bb) termini (2) Numerum produci (3) artic. 4. … 94 /id est … continetur erg. L/ 84 (1)

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verschieden. Etwas Gemeinsames enthalten solche Begriffe, die zur gleichen Gattung gehören und die man als artverwandt bezeichnen könnte. So enthalten z.B. ‚Mensch‘ und ‚Tier‘ den Begriff des Lebewesens gemeinsam, ‚Gold‘ und ‚Silber‘ den des Metalls, ‚Gold‘ und ‚Vitriol‘ den des Minerals. Hieraus erhellt auch, dass zwei Terme etwas in dem Maße mehr oder weniger gemeinsam enthalten, wie ihre Gattung weniger oder weiter entfernt ist. Wenn nämlich die Gattung sehr weit entfernt ist, dann wird auch das, was beide Arten gemeinsam »symbolisiert«7, sehr geringfügig sein. Und wenn die Gatt ung am aller entferntesten ist, wie z.B. bei x-beliebigen Dingen, dann nennen wir sie heterogen bzw. völlig verschieden; wie z.B. Körper und Geist, wobei auch diese streng genommen nicht nichts gemeinsam enthalten, denn beide sind ja zumindest Substanzen, doch diese gemeinsame Gattung ist sehr, sehr weit entfernt. Hieraus erhellt, dass es von einem Vergleich abhängt, ob wir Dinge heterogen nennen oder nicht. Für unseren Kalkül reicht es jedoch, zwei Dinge als heterogen anzunehmen, wenn sie keinen Begriff aus einer bestimmten, von uns ausgezeichneten Menge gemeinsam enthalten, auch wenn sie vielleicht irgendwelche anderen Begriffe gemeinsam enthalten. (14) Was wir gerade über Begriffe gesagt haben, die in verschiedener Weise ineinander enthalten oder nicht enthalten sind, wollen wir nun auf ihre charakteristischen Zahlen übertragen. Das ist leicht, weil wir in Art. 4 gesagt haben, dass wenn ein Term zur Konstitution eines anderen beiträgt, d.h. wenn der Begriff des einen Terms im Begriff des anderen enthalten

7 Leibniz

war offenbar selber unsicher, ob er das Gemeinte hier adäquat ausdrückt. In der Handschrift fi ndet sich hinter dem »Fremdwort« ‚symbolizent‘ ein kleines ‚?‘!

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numerum95 characteristicum termini constituentis, concurrere per multiplicationem ad productionem numeri characteristici pro termino constituendo assumendi; seu quod idem est96 numerum characteristicum termini97 constituendi seu alium continentis, divisibilem esse per numerum characteristicum termini constituentis seu qui alteri inest.98 Exempli gratia, notio animalis concurrit ad constituendam notionem hominis, itaque et99 numerus characteristicus animalis a (verbi gratia 2) concurret100 cum alio aliquo numero r (ut 3) ad producendum per multiplicationem numerum ar sive h, (2, 3 vel 6) nempe101 [numerum] characteristicum hominis. Ac proinde necesse est numerum ar vel h102 (sive 6) dividi posse per a (sive per 2). 15) Qu ando autem Termini duo sunt coincidentes, exempli causa Homo et Animal Rationale, tunc103 et Numeri, h et ar sunt coincidentes in effectu (velut 2, 3 et 6). Quoniam tamen nihilominus terminus unus hoc modo alterum continet,104 licet reciproce, nam homo continet animal rationale (sed nihil praeterea) et animal rationale continet hominem (et nihil praeterea, quod scilicet non jam in homine contineatur), hinc necesse est et numeros h et ar (2, 3 et 6) sese continere, quod utique verum est, quia105 sunt coincidentes, idem autem numerus utique continetur in se ipso. Necesse est praeterea etiam unum per  95 /characteristicum erg. L/ termini constituentis (1) seu ejus (2) concur-

rere /per multiplicationem erg. L/ ad productionem (a) termini (b) numeri …  96 (1) terminum (2) numerum  97 (1) constituentis qui alteri inest, (2) constituendi  98 (1) Ex gr. (2) Exempli gratia, (a) Animal concurrit ad co (b) notio …  99 (1) terminus (2) numerus 100 (1) cum alio numero (2) cum … ad (a) constituendum (b) producendum … 101 (1) numerum (2) nempe /numerum erg. Hrg./ characteristicum 102 (1) dividi posse per (2) (sive 6) … 103 (1) dividi po (2) et Numeri / h et ar erg. L/ sunt … effectu (a) (ita (b) (6 et 2,3 (c) (velut … 104 (1) nam hom (2) licet … 105 (1) aequales (2) sunt

Elemente eines Kalküls

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ist, dann trägt die charakteristische Zahl des konstituierenden Terms als Multiplikationsfaktor zur charakteristischen Zahl bei, die für den zu konstituierenden Term anzunehmen ist; mit anderen Worten: die charakteristische Zahl des zu konstituierenden Terms, der einen anderen enthält, muss durch die charakteristische Zahl des anderen, konstituierenden Terms, der in ihm enthalten ist, teilbar sein. Zum Beispiel trägt der Begriff des Lebewesens zur Konstitution des Begriffs ‚Mensch‘ bei. Deshalb trägt auch die charakteristische Zahl für ‚Lebewesen‘, l (z.B. 2) zusammen mit einer weiteren Zahl v (etwa 3) zur Entstehung des Produkts l*v (2*3 bzw. 6), also der charakteristischen Zahl für ‚Mensch‘ bei. Und somit ist es auch notwendig, dass sich die Zahl l*v bzw. m (etwa 6) durch l (etwa 2) teilen lässt. (15) Sind zwei Terme wie z.B. ‚Mensch‘ und ‚vernünftiges Lebewesen‘ gleich, dann sind auch ihre charakteristischen Zahlen m und v*l de facto gleich (wie 2*3 und 6). Da jedoch auch hier der eine Term den anderen enthält, und zwar wechselseitig, denn ‚Mensch‘ enthält ‚vernünftiges Lebewesen‘ (und nichts sonst) und ‚vernünftiges Lebewesen‘ enthält ‚Mensch‘ (und nichts anderes, was nicht schon in ‚Mensch‘ enthalten ist), so müssen sich die Zahlen m und v*l (6 und 2*3) wechselseitig enthalten; und das trifft zu, denn sie sind ja gleich, und jede Zahl ist in sich selbst enthalten. Entsprechend ist es auch notwendig, dass die

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alterum posse dividi106 quod etiam verum est; nam si quis numerus per seipsum dividatur prodit unitas.107 Itaque quod artic. praecedenti diximus, ut Termino uno alium continente, characteristicus illius divisibilis sit per characteristicum hujus, id etiam in terminis coincidentibus locum habet. April. 1679. No 2. plag. 2

16) Hinc itaque per Numeros characteristicos etiam illud scire possumus, quinam108 terminus alium non contineat. Nam tantummodo tentandum est utrum109 Numerus hujus exacte dividere possit Numerum illius. Exempli gratia, si Numerus characteristicus hominis110 fi ngatur esse 6, simiae vero 10 patet quod nec simiae notio contineat notionem hominis, nec contra haec illam, quia nec 10 dividi potest exacte per 6 nec contra 6 per 10. Hinc si quaeratur an111 in notione ejus qui justus est contineatur notio sapientis, id est an nihil praeterea requiratur ad sapientiam quam id quod in justitia jam continetur; tantum examinandum erit an numerus characteristicus justi dividi exacte possit per numerum characteristicum sapientis, nam si non praecedit divisio, patet adhuc aliquid112 requiri ad sapientiam quod non requiritur in justo; nempe scientiam rationum, pot106 (1)

id est (2) quod Ergo quod (2) Itaque 108 (1) termini in se invicem non contineantur. (2) terminus in alio non contineatur. (3) terminus … 109 (1) alterius (2) Numerus unius exacte dividi possit per Numerum alterius (3) Numerus 110 (1) sit 6, Metalli vero sit 20 (2) fi ngatur esse 6 (a) Meta (b) Metalli vero (c) simia vero 10 patet (ca) nec simia (caa) in ho (cab) notionem (cac) in notione hominis (caca) nec inesse (cacb) nec notio contineri, nec contra haec (cacba) in illa (cacbb) continere (cb) quod … 111 (1) avarus ne sit 15 (2) in notione ejus (a) qui vilia vendit (b) qui veste detrita (c) vestem detritam vendit contineatur notio avari (d) qui est justus contineatur notio sapientis (e) qui … sapientis (ea) ita ut nihil praeterea requiritur (eb) an (ec) id est … 112 (1) praeter (2) requiri (a) quod ad justiti (b) ad … 107 (1)

Elemente eines Kalküls

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eine Zahl durch die andere geteilt werden kann; und auch dies trifft zu, denn wenn man eine Zahl durch sich selbst teilt, ergibt sich 1. Auch im Falle von koinzidierenden Termen gilt also, was im vorhergehenden Artikel gesagt wurde, dass nämlich, wenn ein Term einen anderen enthält, die charakteristische Zahl des ersteren durch die des letzteren teilbar sein muss. April 1679, Nr. 2, Blatt 2

(16) Deshalb können wir mittels der charakteristischen Zahlen auch ermitteln, welcher Term einen anderen nicht enthält. Denn man muss nur probieren, ob sich die charakteristische Zahl des einen exakt durch die des anderen teilen lässt. Nimmt man zum Beispiel an, die charakteristische Zahl von ‚Mensch‘ sei 6, die von ‚Affe‘ aber 10, so wird klar, dass weder der Begriff ‚Affe‘ im Begriff des Menschen noch umgekehrt dieser in jenem enthalten ist, denn weder lässt sich 10 glatt durch 6 teilen, noch umgekehrt 6 durch 10. Wenn somit gefragt wird, ob im Begriff des Gerechten der Begriff des Weisen enthalten ist, d.h. ob für die Weisheit nicht anderes erforderlich ist als das, was bereits in der Gerechtigkeit enthalten ist, dann muss nur untersucht werden, ob die charakteristische Zahl von ‚Weise‘ glatt durch die charakteristische Zahl von ‚Gerecht‘ geteilt werden kann.

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est enim aliquis esse justus per consuetudinem seu habitum113 etiamsi rationem eorum quae agit reddere non possit. Quomodo autem id minimum quod adhuc requiritur sive supplendum est, inveniri etiam per numeros characteristicos queat, postea dicam. 17) Itaque hinc possumus scire an propositio aliqua Affi rmativa Universalis sit vera. Nam114 in ea semper notio subjecti115 absolute et indefi nite sumta, ac per se atque in genere spectata, continet notionem116 praedicati. Omne scilicet aurum est metallum, id est metalli notio continetur in notione generali117 auri per se spectata ut quicquid aurum esse ponitur eo ipso metallum esse ponatur, quoniam omnia requisita metalli (ut: esse ad sensum homogeneum,118 in igne saltem certa ratione administrato liquidum, et tunc non madefaciens res119 alterius generis immersas) in requisitis auri continentur. Quemadmodum pluribus explicuimus supra articulo 7. Itaque si velimus scire an120 omne aurum sit metallum (nam dubitari potest exempli gratia an aurum fulminans adhuc sit metallum quoniam est in forma pulveris, et in igne121 quadam ratione administrato disploditur non funditur) tantum122 explorabimus an ei insit metalli defi nitio, id est simplicissima opera,

113 (1)

quamvis (2) etiam sine scientia (3) etiamsi … streicht L/ absolute sumta (2) in se (3) absolute … 115 (1) in se continet notionem praedicati (a) absolute (b) sumta in se (c) absolute … 116 (1) subjecti (2) praedicati. (a) Homo scilicet est ani (b) Aurum scilicet est metallum, (c) Omne … 117 (1) auri (2) generali (a) seu (aa) abs (ab) indefi n (b) auri … 118 (1) esse in igne liquidum (2) opacum, posse esse (a) saltem in igne satis for (b) /liquidum/ versehentlich nicht gestr. in igne saltem satis forti, suffi (3) in … et (a) in hoc (b) tunc … 119 (1) reliquas (2) alterius 120 (1) omnis justus sit sapiens (2) omne 121 (1) certa ratione (2) quadam 122 (1) dividemus (2) explorabimus 114 /vel

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Gelingt die Teilung nicht, ist offenbar etwas für die Weisheit erforderlich, was für die Gerechtigkeit nicht notwendig ist; nämlich die Einsicht in die Gründe. Denn jemand kann aus Überlieferung oder Gewohnheit gerecht sein, obgleich er nicht in der Lage ist, die Gründe für sein Handeln anzugeben. Auf welche Art man diese Bedingungen, die mindestens erforderlich sind bzw. die hinzugefügt werden müssen, mittels der charakteristischen Zahlen fi nden kann, werde ich später erklären. (17) Demnach können wir auch herausfi nden, ob eine universell affi rmative Aussage wahr ist, denn bei ihr enthält der Subjektbegriff, absolut und unbegrenzt verstanden und ganz allgemein für sich betrachtet, stets den Prädikatbegriff. Z.B. ‚Jedes Gold ist ein Metall‘, d.h. der Begriff des Metalls ist für sich betrachtet im allgemeinen Begriff des Goldes enthalten, so dass, wenn immer etwas als Gold gesetzt wird, dieses zugleich als Metall gesetzt wird. Denn alle Bedingungen des Metalls (wie: für die Sinne homogen sein, im Feuer zumindest bei besonderer Handhabung flüssig werden und dann eingetauchte Dinge anderer Art nicht benetzen) sind schon in den Bedingungen des Goldes enthalten. Dies wurde in Art. 7 weiter oben ausführlich erklärt. Wenn wir also wissen wollen, ob jedes Gold ein Metall ist (denn es könnte z.B. bezweifelt werden, ob Knallgold noch ein Metall ist, da es die Form eines Pulvers hat und bei entsprechender Anwendung nicht schmilzt, sondern explodiert), müssen wir nur untersuchen, ob die Defi nition des Metalls in ihm enthalten ist; dies ist, sofern die charakteristischen Zahlen

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cum numeri characteristici adsunt, an numerus characteristicus123 auri dividi possit per numerum characteristicum metalli. 18)124 Sed in Propositione affirmativa particulari non est necesse ut praedicatum in subjecto per se et absolute spectato insit, seu ut notio subjecti per se praedicati notionem contineat, sed sufficit praedicatum in aliqua specie subjecti contineri seu notionem alicujus exempli seu speciei subjecti continere notionem praedicati; licet qualisnam ea species sit, non exprimatur. Hinc si dicas125 quidam expertus est prudens, non quidem illud dicitur in notione126 experti in se spectata contineri notionem prudentis.127 Neque etiam id negatur sed instituto nostro sufficit,128 quod aliqua species experti habet notionem, quae notionem prudentis continet tametsi forte non sit expressum, qualisnam illa sit species; nempe etsi hoc loco non exprimatur eum demum expertum esse prudentem qui praeterea habet judicium naturale, sufficit tamen subintelligi aliquam speciem experti prudentiam involvere. 19) Imo si129 notio subjecti in se spectata continet notionem

123 (1)

unius dividi possit per numerum chararacteristicum alterius (2)

auri … 124 (1) Propositio (2) Sed in Propositione particulari (a) notio subjecti non per se sed cum aliquo addito, notionem continet praedicati, sed sufficit (aa) notionem subjecti cum aliquo addito continere notionem praedicati, sive speciem subjecti, nam (ab) ex notione subjecti cum aliquo addito fit subjecti species, ut patet ex artic. (ac) notio subjecti cum aliquo addito constituit speciei subjecti notionem ut (aca) dictum est (acb) in artic. 11. ostensum est. (b) affirmativa … ut (ba) subjectum (bb) praedicatum …. 125 (1) aurum est metallum (2) quoddam aurum est metallum (3) quoddam metallum (4) quidam (a) eruditus (b) expertus … 126 (1) eruditi (2) experti 127 (1) enim sufficit (2) etiam … 128 (1) quod aliqua species eruditi aliquam habet notionem, quae (a) eruditi (b) notionem prudentis continet tametsi forte /nobis/ gestr. L non sit examinatum (2) quod … 129 (1) omnis species (2) auri notio (a) absolute sumta contineat (b) absolute et per se (3) notio

Elemente eines Kalküls

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zur Verfügung stehen, eine ganz einfache Aufgabe, nämlich zu untersuchen, ob sich die charakteristische Zahl für ‚Gold‘ durch die für ‚Metall‘ teilen lässt. (18) Bei einer partikulär affi rmativen Aussage hingegen ist es nicht notwendig, dass das Prädikat für sich genommen und absolut betrachtet im Subjekt enthalten ist bzw. dass der Subjektbegriff für sich den Prädikatbegriff enthält; vielmehr reicht es aus, wenn das Prädikat in irgendeiner besonderen Art des Subjekts enthalten ist bzw. wenn der Begriff einer besonderen Beispielsart den Begriff des Prädikates enthält, wobei man nicht ausdrücklich erwähnen muss, wie diese besondere Art beschaffen ist. Sagt man, dass ein gewisser Erfahrener klug ist, dann behauptet man somit nicht, dass im Begriff des Erfahrenen für sich betrachtet der Begriff des Klugen enthalten sei. Aber dieses wird auch nicht verneint, sondern es reicht für unser Vorhaben aus, dass eine gewisse Art des Erfahrenen einen Begriff besitzt, der den Begriff des Klugen enthält, auch wenn vielleicht nicht ausdrücklich gesagt wird, wie diese Art beschaffen ist. Denn auch wenn hier nicht ausdrücklich gesagt wird, dass gerade jener Erfahrene klug ist, der zusätzlich über ein natürliches Urteilsvermögen verfügt, reicht es trotzdem aus, wenn man damit meint, dass eine gewisse Art der Erfahrung die Klugheit in sich einschließt. (19) Wenn der Subjektbegriff für sich betrachtet den Prädikatbegriff enthält, dann enthält auch der um einen Begriff er-

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praedicati,130 utique etiam notio subjecti cum addito, seu notio speciei subjecti notionem praedicati continebit. Quod nobis sufficit, quia non negamus131 ipsi subjecto inesse praedicatum, cum speciei ejus inesse dicimus. Itaque possumus dicere quoddam metallum in igne (recte administrato) est liquidum; etsi potuissemus generalius et utilius sic enuntiare: Omne metallum in igne etc. Habet tamen et particularis assertio suos usus,132 velut cum facilius demonstratur aliquando quam generalis, aut cum auditor133 eam facilius recepturus est quam generalem; et134 particularis nobis sufficit. 20) Quoniam itaque ad propositionem particularem affi rmativam nihil aliud requiritur quam ut species subjecti contineat135 praedicatum, hinc subjectum se habet ad praedicatum vel ut136 [species] ad genus, vel ut species ad aliquid sibi coincidens seu attributum reciprocum, vel ut genus ad speciem, id est: habebit sese notio subjecti ad notionem praedicati, vel ut totum ad partem, vel ut totum ad totum coincidens, vel ut pars ad totum, (vide supra artic. 7 et 11). Ut totum ad partem, cum notioni subjecti velut speciei inest notio praedicati velut generis,137 verbi gratia si bernacla sit subjectum, avis praedicatum, ut to130 (1)

multo magis notio (2) utique ipsum subjectum continere (2) ipsi (a) spe (b) subjecto … 132 (1) cum scilicet (2) /ut streicht L/ velut 133 (1) magis paratus est (2) eam 134 (1) specialis (2) particularis … 135 (1) praedicatum et vero notio speciei subjecti idem est quod notio subjecti cum addito (per artic. 11). Hinc sequitur istud additum posse esse tale, ut notio speciei subjecti inde composita fiat aequalis seu coincidens notioni praedicati. Nam notio (a) praedicati vel est pars notionis subjecti, an v (b) praedicati (c) subjecti se habet ad notionem (ca) praedicati vel (cb) subjecti (cc) praedicati vel ut pars ad totum, vel ut totum ad totum coincidens vel ut (cca) parte (ccb) totum ad partem (2) praedicatum, hinc (a) notio subjecti se habet ad notionem (b) subjectum … 136 (1) genus ad speciem vel ut /speciem L/species ändert Hrg /ad … 137 /si (1) virtus (2) justitia (3) temperantia, (4) homo subjectum, (a) justitia (b) virtus praedicatum, (5) avis sit subjectum, bernacla praedicatum (6) bernacla … praedicatum erg. L/ 131 (1)

Elemente eines Kalküls

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weitere Subjektbegriff bzw. der Begriff einer besonderen Art des Subjekts diesen. Das genügt uns, denn wenn wir behaupten, dass das Prädikat in einer besonderen Art des Subjekts enthalten ist, dann schließen wir damit nicht aus, dass es im Subjekt selber enthalten ist. Deshalb können wir sagen, dass ein bestimmtes Metall im Feuer (bei entsprechender Handhabung) flüssig ist, auch wenn wir allgemeiner und sinnvoller behaupten dürften, dass jedes Metall im Feuer etc. Trotzdem gibt es auch für die partikuläre Behauptung nützliche Verwendungen, zum Beispiel wenn sie einfacher beweisbar ist als die universelle, und die partikuläre reicht uns auch dann, wenn sie dem Zuhörer leichter zugänglich ist als die allgemeine. (20) Da somit für die partikulär affi rmative Aussage nicht mehr verlangt ist, als dass eine besondere Art des Subjekts das Prädikat enthält, so verhält sich das Subjekt zum Prädikat wie eine Art zur Gattung oder wie eine Art zu etwas damit Gleichen, d.h. wie ein wechselseitiges Attribut, oder wie eine Gattung zu einer Art, d.h. der Begriff des Subjekts verhält sich zum Begriff des Prädikats entweder wie ein Ganzes zum Teil oder wie ein Ganzes zum damit gleichen Ganzen oder wie ein Teil zum Ganzen (vgl. Art. 7 und 11 weiter oben). Das Verhältnis von Ganzem zum Teil liegt vor, wenn im Begriff des Subjekts als Art der Begriff des Prädikats als Gattung enthalten ist, zum Beispiel wenn ‚Rotgans‘ das Subjekt und ‚Vogel‘ das Prädikat ist. Das Verhältnis von Ganzem und damit

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tum ad totum coincidens cum duo aequivalentia de se invicem dicuntur, ut cum138 triangulum est subjectum, trilaterum praedicatum; et denique ut pars ad totum, ut cum metallum est subjectum, aurum est praedicatum. Itaque dicere possumus139 quaedam bernacla est avis; quoddam triangulum est trilaterum (etsi has duas propositiones potuissem etiam enuntiare universaliter); denique quoddam metallum est aurum. Aliis casibus propositio particularis affi rmativa locum non habet.140 Haec autem ita demonstro: si species subjecti continet praedicatum, utique continebit vel ut141 coincidens sibi vel ut partem, si ut aequale sibi seu coincidens, tunc utique praedicatum est species subjecti, quia speciei subjecti coincidit.142 Sin species subjecti praedicatum continet ut partem, praedicatum erit genus speciei subjecti per artic. 11. Itaque praedicatum et subjectum erunt duo genera ejusdem speciei. Jam duo genera ejusdem143 speciei vel coincidunt, vel si non coincidunt necessario se habent, ut genus et speciem.144 Hoc autem facile ostenditur, nam ex speciei notione formatur notio generis sola abjectione. Cum ergo ex specie duorum generum communi ambo genera per abjectionem145 continuam prodeant, id est superfluis abjectis relinquantur, unum prodibit ante alterum; et ita unum erit ut totum, alterum ut pars.

138 (1)

justitia (2) triangulum 139 (1) quaedam temperantia est virtus (2) quaedam 140 (1) Si praedicatum (a) vel subjectum aliquid contineant (b) aliquid contineat quod non est compatibile cum aliquo alio (2) Nam (3) Haec … 141 (1) aequale vel ut (2) coincidens 142 (1) Si continet ut partem (2) Sin 143 (1) subjecti (2) speciei, necessario se habent ut totum et partem (a) seu ut (b) id est genus et speciem (3) speciei … 144 (1) , vel (2) Si coincidunt habemus rursus (a) quod (b) initio (c) intentum. Sin sint inter se ut genus et species (3) Hoc … nam (a) ex species (b) ex gen (c) ex speciei … 145 (1) prodeant, necesse est continuatam (2) continuam

Elemente eines Kalküls

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gleichem Ganzen liegt vor, wenn zwei gleichwertige Begriffe wechselseitig voneinander ausgesagt werden, wie etwa wenn ‚Dreieck‘ das Subjekt und ‚Dreiseit‘ das Prädikat ist. Schließlich liegt das Verhältnis von Teil zu Ganzem vor, wenn z.B. ‚Metall‘ das Subjekt und ‚Gold‘ das Prädikat ist. Deshalb können wir sagen: ‚Eine gewisse Rotgans ist ein Vogel‘ und ‚Ein gewisses Dreieck ist ein Dreiseit‘ (obwohl man beide Aussagen auch in universeller Form behaupten könnte) sowie schließlich ‚Ein gewisses Metall ist Gold‘. Wenn die Dinge sich anders verhalten, ist eine partikulär affi rmative Aussage nicht statthaft. Das beweise ich so: Wenn eine gewisse Art des Subjekts das Prädikat enthält, so enthält sie dieses entweder als ihr gleichwertiges Ganzes oder als Teil; wenn als ihr Gleichwertiges bzw. mit ihr Zusammenfallendes, dann ist das Prädikat jedenfalls eine Gatt ung des Subjekts, weil es mit der Art des Subjekts zusammenfällt. Enthält die Art des Subjekts das Prädikat hingegen als Teil, dann ist das Prädikat die Gattung der Art des Subjekts, gem. Art. 11. Deshalb sind Prädikat und Subjekt zwei Gattungen derselben Art. Doch zwei Gatt ungen derselben Art fallen entweder zusammen, oder sie verhalten sich, wenn sie nicht zusammenfallen, notwendigerweise wie Gattung und Art. Dies ist jedoch leicht zu beweisen, denn aus dem Begriff der Art gewinnt man den Begriff der Gattung einfach durch Weglassen [der »spezifischen Differenz«]. Wenn also die beiden Gatt ungsbegriffe einer gemeinsamen Art durch fortgesetztes Weglassen hervorgehen, d.h. übrigbleiben, wenn man die überflüssigen Bestimmungen weglässt, so entsteht der eine vor dem anderen und dann verhält sich der eine wie das Ganze und der andere wie ein Teil.

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Imo est paralogismus, et simul cadunt146 multa quae hactenus diximus, video enim147 propositionem particularem affirmativam locum habere etiam cum neutrum est genus vel species, ut148 quoddam animal est rationale modo scilicet149 termini sint compatibiles. Hinc patet etiam non esse necesse ut vel subjectum per praedicatum vel praedicatum per subjectum dividi possit. Qu ibus multa hactenus inaedificavimus. Ergo150 specialiora justo diximus; adeoque de integro ordiemur. Am Rande: 2, 3, 4, 5 Adamas: corpus sensibile homogeneum151 durabilissimum

146 (1)

omnia quae (2) multa 147 (1) speciem (2) propositionem 148 (1) omne an (2) quoddam 149 (1) qui adhibentur (2) termini 150 (1) specialia (2) specialiora 151 (1) fusile (2) durabilissimum

Elemente eines Kalküls

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Doch dies ist ein Trugschluss! Und damit wird vieles von dem bisher Gesagten hinfällig. Ich sehe nämlich, dass eine partikulär affi rmative Aussage wie z.B. ‚Einige Lebewesen sind vernünft ig‘ auch dann wahr sein kann, wenn keiner der Begriffe eine Art bzw. eine Gatt ung bezeichnet; hier ist es nur notwendig, dass beide Terme miteinander verträglich sind. Deshalb ist es auch nicht notwendig, dass [die charakteristische Zahl des] Subjekts durch [die charakteristische Zahl des] Prädikats geteilt werden kann, bzw. umgekehrt [die charakteristische Zahl des] Prädikats durch [die charakteristische Zahl des] Subjekts. Auf diese Annahme haben wir aber bislang viel aufgebaut. Was wir behauptet haben, ist also spezieller als notwendig, und deshalb wollen wir von Neuem beginnen. Am Rande: 2, 3, 4, 5 Diamant: Körper, sinnlich wahrnehmbar, homogen, überaus hart

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.3.3 Kommentar Zu Beginn der Arbeit fällt auf, dass Leibniz wiederholt – wenngleich nicht allzu systematisch – zwischen einem Ausdruck bzw. Term („terminus“) und einem Begriff („conceptus“ bzw. „notio“) unterscheidet. Heuzutage würde man diese Unterscheidung naheliegenderweise so deuten, dass Begriffe bzw. Begriffswörter wie ‚Mensch‘, ‚Lebewesen‘, … eine besondere Art von Ausdrücken darstellen, neben der andere Wortarten wie Namen, Adjektive, Verben, etc. existieren. Ähnlich erläutert Leibniz ja auch in Absatz 2, dass er unter einer Aussage („propositio“) nur eine spezielle Art von Aussagen verstehen möchte, nämlich die kategorischen Satzformen, in Abgrenzung von anderen möglichen Arten wie Modalaussagen, Wenndann-Aussagen, usw. Diese Deutung stimmt jedoch kaum mit den Ausführungen der folgenden Absätze überein, wo Leibniz wiederholt eine Eins-eins-Zuordnung von Termen und Begriffen voraussetzt. Speziell spricht er bei der Erläuterung der Produkt-Regel (§ 4) davon, dass der Begriff („conceptus“) eines gegebenen Terms („termini dati“) aus den Begriffen zweier oder mehrerer anderer Terme zusammengesetzt sein kann. Und in Absatz 6 heißt es noch verwirrender, dass man von einer »Sache« („res“) einen klaren Begriff („notio distincta“) habe, sobald man alle notwendigen Bedingungen kennt, wobei diese „requisita“ nichts anderes als die Terme sind, deren Begriffe („notiones“) zusammengenommen den Begriff bilden, den wir von der »Sache« besitzen. Dieser terminologische Wirrwarr soll im Folgenden durch Unterscheidung einer ontologischen, einer sprachlich-syntaktischen und einer intensional-semantischen Ebene aufgelöst werden. Auf der ontologischen Ebene gibt es außer den Einzeldingen bzw. Individuen auch »allgemeine Dinge« wie »den Menschen«, »das Lebewesen«, »das Pferd«, etc., die man mengentheoretisch als Klasse aller einschlägigen Individuen auffassen könnte.1 1 Im

Falle von Stoff- bzw. Dingarten wie »die Luft«, »das Wasser« usw.

Kommentar

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Von diesen »allgemeinen Dingen« macht sich der Mensch kraft seiner Vernunft gewisse Ideen bzw. Begriffe, die in der jeweiligen Sprache durch entsprechende Begriffsworte bzw. Terme ausgedrückt werden. Ein Begriff ist demzufolge die (intensionale) Bedeutung bzw. Intension eines Terms, dessen Extension andererseits aus dem jeweiligen »allgemeinen Ding« besteht, d.h. aus der Menge aller Individuen, die unter den Begriff fallen. Bei dieser Deutung gibt es also (relativ zu einer konstant gehaltenen Sprache wie z.B. dem Lateinischen) eine eineindeutige Korrespondenz zwischen Termen und Begriffen, so dass es im Ergebnis keinen Unterschied macht, ob man die charakteristischen Zahlen den Termen oder den Begriffen zuordnet. Sprachlichsyntaktische Ebene

Intensionalsemantische Ebene

Ontologische (extensionale) Ebene

Terminus ‚homo‘ bzw. der Term ‚Mensch‘

Notio oder conceptus hominis bzw. der Begriff des Menschen

»Der Mensch« (d.h. die Menge aller Menschen)

Leibniz’ Ausführungen in § 1 laufen also darauf hinaus, dass sich jede kategorische Aussage (wie z.B. ‚Sapiens credit‘) in eine Normalform (z.B. ‚Omne sapiens est credens‘) überführen lässt, welche abstrakt betrachtet die Gestalt qScP annimmt. Dabei stellt q das jeweilige Quantitätszeichen (‚omne‘ bzw. ‚quoddam‘) dar, S das Subjekt, c die Kopula (‚est‘ bzw. ‚non est‘) und P das Prädikat der Aussage. Den deskriptiven Termen bzw. Begriffen S und P werden dann charakteristische Zahlen zugeordnet, während die logische Funktion der synkategorematischen Ausdrücke q und c durch passende Regeln erfasst werden müssen.

erschiene es freilich adäquater, die »allgemeinen Dinge« als mereologische »Summen« der einzelnen Teile zu deuten.

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

In § 7 heißt es etwas ungenau, dass bei sämtlichen universell affi rmativen Aussagen „der Subjektbegriff entweder für sich oder mit einem hinzugefügten Begriff genommen den Prädikatbegriff in sich einschließt“. Wie der textkritische Apparat (S.192, # 47) zeigt, hatte Leibniz zunächst korrekt behauptet, dass die fragliche Bedingung für alle affirmativen Aussagen zutrifft; erst danach fügte er das Wort ‚universell‘ ein, ohne die vorherige Behauptung entsprechend zu modifizieren. Genau genommen gilt die disjunktive Bedingung („entweder für sich oder mit einem hinzugefügten Begriff “) jedenfalls für beliebige affirmative Aussagen, und der Unterschied zwischen universell und partikulär affi rmativen Aussagen besteht genau darin, dass bei einer UA das Prädikat, P, für sich im Subjekt, S, enthalten ist, während bei einer PA lediglich das um einen gewissen Begriff Y ergänzte Subjekt, YS, das Prädikat P enthält.2 Die Variable Y für einen solchen »unbestimmten Begriff« steht übrigens in der Handschrift – die Herausgeber der Akademie-Edition haben sie jedoch offenbar übersehen. Im Rahmen der Begriffslogik, wie Leibniz sie ab 1679 entwickelt und spätestens mit den „Generales Inquisitiones“ zum Abschluss gebracht hat, wird jedenfalls die UA durch die Formel S∈P, die PA hingegen durch YS∈P formalisiert. Mit Leibniz‘ Aufasssung der Wahrheitsbedingung einer partikulär affi rmativen Aussage ist jedoch ein schwerwiegendes Probem verbunden. Wenn ‚Einige S sind P‘ immer schon dann wahr wäre, sofern es einen Begriff Y gibt, so dass das Subjekt, S, ergänzt um Y, also SY oder YS, P enthält, so würde jede beliebige PA als wahr betrachtet werden müssen. Denn aus logischen Gründen existiert stets ein Begriff Y, so dass YS P enthält, nämlich Y=P! Die Aussage PS∈P ist ja ein allgemeines (in der Nomenklatur von Kap. 1 Konj 1 genanntes) begriffslogisches Axiom. Also wird die Formel ∃Y(YS∈P) ein Theorem der Logik »unbestimmter Begriffe«. 2 Auch

hier drückt Leibniz sich wieder sehr ungenau aus: Es gibt nicht ein bestimmtes Metall („quoddam metallum“), welches den Begriff des Goldes enthält, sondern der Begriff eines bestimmten Metalls (symbolisch YM) enthält den Begriff des Goldes (G).

Kommentar

221

Wie Leibniz im Laufe der Entwicklung seines begriffslogischen Kalküls immer deutlicher klar wurde, muss die Formel für die PA um die Zusatzbedingung ergänzt werden, dass der fragliche »unbestimmte Begriff« Y mit dem Subjektbegriff S logisch verträglich ist: ∃Y(M(YS) ∧ YS∈P). Diese Bedingung lässt sich dann freilich zu der Forderung vereinfachen, dass die Konjunktion SP selber logisch möglich ist: M(SP), bzw. in Leibniz‘ eigener Terminologie „SP est possibile“ bzw. ‚ „SP est res“ bzw. „SP est ens“. Ansatzweise wird diese Einsicht bereits gegen Ende der hier betrachteten „Elemente eines Kalküls“ erkennbar, wenn Leibniz (S.217) beiläufig erwähnt, dass es für die Wahrheit einer PA „nur notwendig ist, dass beide Terme miteinander verträglich sind“! Weiter unten gehen wir auf andere Entwürfe der Semantik charakteristischer Zahlen ein, in denen dieses Problem gründlicher diskutiert wird. In den §§ 9-11 und 13 klassifi ziert Leibniz die möglichen Fälle, in denen zwei beliebige Begriffe A, B „sich einander enthalten oder nicht enthalten“. Primär sind vier Situationen zu unterscheiden: (i) A∈B ∧ B∈A, d.h. A=B; (ii) A∈B ∧ B∉A; (iii) B∈A ∧ A∉B; (iv) A∉B ∧ B∉A. Der in § 10 besprochene Fall (i) »koinzidierender« Begriffe wird durch das Beispiel ‚Dreieck‘ vs. ‚Dreiseit‘ illustriert; er ist logisch völlig unproblematisch. In § 11 geht es um die Fälle (ii) und (iii), wo ein Begriff den anderen enthält aber nicht umgekehrt. Leibniz behauptet hier, dass der enthaltende Begriff stets die jeweilige Art („species“) ausdrücken würde, während der enthaltene Begriff die jeweilige Gattung („genus“) bezeichnet. Das entspricht der traditionellen Auffassung, die seit Petrus Hispanus als »Baum des Porphyr« bezeichnet wird und der zufolge sich sämtliche Begriffe hierarchisch zu einer Pyramide anordnen lassen. An ihrer Spitze steht der jeweils höchste bzw. allgemeinste Gattungsbegriff (das „summum genus“) wie z.B. ‚Substanz‘ oder ‚Seiendes‘. Durch sukzessives Hinzufügen von konkreten Bestimmungen (z.B. ‚körperlich‘ vs. ‚nicht-körperlich‘) werden die Begriffe dann schritt weise unterteilt, bis man am Boden der Pyramide die unterste Art („infima species“) der Individuen bzw. Individualbegriffe erreicht.

222

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

In diesem Zusammenhang erläutert Leibniz in den §§ 11-12 das umgekehrt reziproke Verhältnis von Extension und Intension eines Begriffs. Z.B. enthält der Begriff des Goldes – intensional gesehen – den Begriff des Metalls, während – extensional betrachtet – der Umfang des Begriffs Gold, also die Menge aller einzelnen Goldstücke, in der Menge aller Metallstücke enthalten ist.3 Wie bereits in Abschnitt 1.2 der Einführung betont wurde, impliziert dieses Reziprozitätsgesetz, dass zwei extensional gleiche Begriffe stets die gleiche Intension besitzen. Die traditionelle Auffassung der Intension darf also nicht mit der modernen Auffassung verwechselt werden, der zufolge die Intension eines Begriffs (bzw. eines Prädikates) A nicht bereits durch die Extension (in der wirklichen Welt) festgelegt ist, sondern erst durch Angabe, welche Extension A in jeder der verschiedenen möglichen Welten besitzt. Der noch offene Fall (iv), nämlich A∉B ∧ B∉A, wird in §14 diskutiert. Leibniz spricht dabei von disparaten Begriffen und unterscheidet die beiden Unterfälle (v), wo A und B zumindest einen gewissen Teilbegriff C gemeinsam enthalten, und (vi), wo es kein solches C gibt, so dass A∈C ∧ B∈C – in diesem Fall heißen A und B „völlig verschieden“ bzw. heterogen. Auch hier ist es wieder wichtig, den Unterschied zwischen extensionaler und intensionaler Sichtweise zu beachten. Heutzutage würde man zwei Begriffe (bzw. einstellige Prädikate) F und G als völlig verschieden bezeichnen, wenn sie disjunkte Umfänge besitzen, d.h. wenn es kein x gibt, welches zugleich ein F und ein G wäre. In diesem Verständnis sind z.B. die Begriffe ‚Hund‘ und ‚Katze‘ völlig verschieden. Intensional betrachtet gilt das aber keineswegs. Beide Begriffe enthalten z.B. den Begriff des Lebewesen (oder noch spezifischer 3 Die

alternative Sichtweise, der zufolge der Begriff des Goldes intensional größer, extensional jedoch kleiner ist als der des Metalls, verführte Leibniz in § 11 zu dem Flüchtigkeitsfehler, ersterer würde sich – intensional betrachtet – zu letzterem wie „pars et totum“ verhalten. Die Korrektur zu ‚totum et pars‘ wurde weder von Couturat noch von den Hrg. der Akademieausgabe vorgenommen.

Kommentar

223

den Begriff des Säugetiers); deshalb sind sie keineswegs heterogen. Wie Leibniz selber betont, ist die Frage der Heterogenität zweier Begriffe jedoch keine kategorische, sondern eine relative bzw. graduelle Angelegenheit. Wenn man (im »Baum des Porphyr«) nur hinreichend weit noch oben steigt, fi ndet man für (praktisch) alle prima facie heterogenen Begriffe A, B letztendlich einen Begriff C, der sowohl in A als auch in B enthalten ist, etwa den allgemeinsten ontologischen Begriff der Substanz! Aus rein logischer Perspektive kann man entsprechend feststellen, dass beliebige Begriffe A, B auf jeden Fall den tautologischen Begriff ‚C oder nicht C‘ gemeinsam enthalten.4 Eine präzise Defi nition heterogener bzw. – wie es in den logischen Arbeiten zum sog. Plus-Minus-Kalkül heißt – „inkommunikanter“ Begriffe müsste deshalb fordern, dass es keinen vom »Nichts« verschiedenen Begriff Y gibt, so dass A∈Y ∧ B∈Y.5 In § 18 wiederholt Leibniz noch einmal, dass es für die Wahrheit einer PA nicht erforderlich sei, dass das Prädikat P „an und für sich“ im Subjekt S enthalten sei, sondern lediglich in einer gewissen Art des Subjekts, d.h. in einem gewissen YS. Er veranschaulicht diesen bereits in § 7 entwickelten Gedanken durch zwei Beispiele und geht in § 19 dazu über, das Subalternationsprinzip zu erläutern: Wenn P an und für sich in S enthalten ist, dann muss P erst recht in einer besonderen Spezies von S enthalten sein. Die verallgemeinerte Schlussfolgerung S∈P → ∀Y(YS∈P) ist zwar logisch einwandfrei, leidet jedoch an

4 Außerdem

ist der disjunktive Begriff ‚A oder B‘ stets sowohl in A als auch in B enthalten; solche Begriffsdisjunktionen hat Leibniz jedoch notorisch außer Acht gelassen. 5 Eine Defi nition fi ndet sich z.B. in der Abhandlung „Non Inelegans Specimen Demonstrandi in Abstractis“, A VI, 4, 847: „Def. 4 Si aliquid M insit ipsi A itemque insit ipsi B, id dicetur ipsis commune, ipsa autem dicentur communicantia. Si vero nihil commune habent […], dicentur incommunicantia“.

224

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

dem Schönheitsfehler, dass die dahiner stehende Formalisierung der PA durch die Bedingung ∃Y(YS∈P) – wie oben erklärt wurde – inadäquat ist. Trivialerweise gibt es immer ein Y, so dass YS∈P, nämlich insbesondere Y=P! Auf dem Hintergrund der strukturähnlichen Darstellung der UA als S∈P und der PA als YS∈P versucht Leibniz im Laufe des § 20 zu beweisen, dass die PA nur in drei Fällen wahr werden kann: (i) wenn S∈P wahr ist; (ii) wenn darüber hinaus P∈S, also insgesamt S=P gilt; oder (iii) wenn zwar nicht S∈P, aber zumindest P∈S zutrifft. Wenn das stimmen würde, so ließe sich hiermit die Wahrheitsbedingung für die PA begründen, die Leibniz gegen Ende der „Elemente der allgemeinen Charakteristik“ aufgestellt hatte: Damit eine partikulär affirmative Aussage wahr wird, reicht es aus, dass entweder die Zahl des Prädikats sich glatt durch die Zahl des Subjekts oder die Zahl des Subjekts sich [glatt] durch die Zahl des Prädikats teilen lässt.

Tatsächlich stellen die Fälle (i) – (iii) jedoch keine notwendigen, sondern lediglich hinreichende Bedingungen für die Wahrheit der PA dar, d.h. eine PA kann auch dann erfüllt sein, wenn weder (i) noch (ii) noch (iii) vorliegt bzw. wenn weder S∈P noch P∈S gilt. So gelangte auch Leibniz gegen Ende der „Elemente eines Kalküls“ letztlich zu der Einsicht, dass es für die PA nicht notwendig ist, „dass das Subjekt durch das Prädikat oder das Prädikat durch das Subjekt teilbar ist“. Der bislang probierte Ansatz der Semantik charakteristischer Zahlen war offenbar zu einfach bzw. „spezieller als angebracht“ und muss durch komplexere Bedingungen ersetzt werden. Abschließend sei angemerkt, dass bei dem bisherigen semantischen Ansatz insbesondere der syllogistische Modus Darii als nicht allgemeingültig resultieren würde. Denn bei der Wahl der charakteristischen Zahlen Z(B)=3, Z(C)=6, Z(D)=2 würde die Prämisse ‚Alle C sind D‘ als wahr resultieren, da 6 ohne Rest durch 2 teilbar ist. Ferner wäre ‚Einige B sind C‘ wahr, da die Zahl des Prädikats, 6, durch die Zahl des Subjekts, 3, teilbar

Kommentar

225

ist. Dagegen wäre die Konklusion ‚Einige B sind D‘ als falsch anzunehmen, da weder Z(B)=3 durch Z(D)=2 noch umgekehrt 2 durch 3 ohne Rest teilbar ist.

226

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.4.1 Aus „Calculus Consequentiarum“1 2

Calculus consequentiarum

Duo sunt quae in omni argumentatione dijudicari debent:3 Forma, nimirum et Materia. Contingere enim potest ut argumentum aliquando succedat in certa materia, quod aliis omnibus exemplis ejusdem formae applicari non potest. Exempli causa si ita ratiocinemur: 4

Omne Triangulum est trilaterum Quoddam Triangulum non est aequilaterum Ergo quoddam Aequilaterum non est Trilaterum.

Conclusio bona est sed vi materiae non formae, nam exempla similis formae afferri possunt, quae non succedunt, exempli causa: Omne metallum est minerale Quoddam metallum non est aurum Ergo quoddam aurum non est minerale. Itaque et calculus qui Materiam tangit a calculo formali separari potest. 5Cum enim invenissem cuilibet sive Termino sive notioni, suum ascribi posse numerum characteristicum, 6cujus interventu idem futurum est calcu lare et ratiocinari; et vero ob mirificam rerum complicationem, nondum veros numeros characteristicos exhibere possim, antequam7 summa plera rumque

1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 5, 8, 24-27; vgl. C., 84-89 und A VI,

4, 222-227. 2 (1) Modus (2) Calculus 3 (1) Mater (2) Forma 4 (1) Omnis pius est felix Qu idam (a) fortunatus (b) pius non est fortunatus Ergo quidam fortunatus non est felix (2) Omne 5 (1) (2) (3) Cum … 6 /cuius … ratiocinari erg. L/ 7 (1) pleraque (2) summa plerarumque (a) m (b) rerum

Aus „Kalkül der Folgerungen“

227

3.4.2 Aus „Kalkül der Folgerungen“1 Kalkül der Folgerungen Bei jeder Argumentation müssen zwei Aspekte beurteilt werden: die Form und der Inhalt. Es kann nämlich vorkommen, dass eine Schlussfolgerung bei einem bestimmten Inhalt gelingt, aber in allen anderen Fällen der gleichen Form fehlschlägt. Zum Beispiel wenn wir so schließen: Jedes Dreieck ist ein Dreiseit Einige Dreiecke sind nicht gleichseitig Also: Einige Gleichseitige sind keine Dreiseite Hier ist die Konklusion dem Inhalt nach korrekt, aber nicht der Form nach, denn es können Beispiele der gleichen Form beigebracht werden, die nicht korrekt sind, zum Beispiel: Jedes Metall ist ein Erz Einige Metalle sind nicht Gold Also: Einiges Gold ist nicht ein Erz. Deshalb ist der Kalkül, der den Inhalt berücksichtigt, von dem formalen Kalkül zu unterscheiden. Als ich nämlich entdeckt hatte, dass jedem beliebigen Term oder Begriff seine charakteristische Zahl zugeschrieben werden kann, durch deren Verwendung in Zukunft Rechnen und Schlussfolgern dasselbe werden, da ich jedoch wegen der wunderbaren Zusammenhänge zwischen den Dingen die wahren charakteristischen Zahlen noch nicht anzugeben vermag, bevor die Prinzipien der meisten

1 Vgl.

auch die deutsche Übersetzung in Schmidt (1960), S. 227-233.

228

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

rerum capita in ordinem redegero; consideravi8 consequentiarum formam nihilominus calculo comprehendi ac numeris demonstrari posse fictitiis, qui loco verorum numerorum characteristicorum interim adhiberentur. Quod ita patefaciam. 9[…] In omni propositione10 praedicatum inesse dicitur subjecto, seu praedicati notio in subjecti notione involvitur.11 Nam in propositione Universali affi rmativa cum dico: Omnis homo est animal; hoc volo: animalis conceptum involvi in hominis conceptu (nam hominis conceptus est, esse animal rationale). Et cum dico Omnis pius est felix,12 significo eum qui intelligat naturam pietatis, etiam intellecturum in ea felicitatem veram contineri. Itaque in propositione universali affi rmativa manifestum est praedicatum in subjecto per se spectato contineri. Sed si propositio sit particularis affi rmativa, tunc praedicatum non continetur in subjecti notione per se spectata, sed in subjecti notione cum aliquo addito sumta;13 id est in aliqua subjecti species. Fit enim14 speciei notio ex notione generis, cum addita aliqua differentia. Similiter in Propositione Negativa15 cum negamus praedicatum hoc modo quo dixi subjecto inesse;16 eo ipso affi rmamus negationem praedicati sive terminum praedicato contradictorium subjecto inesse. Ut cum dico: Nullus sceleratus est felix: idem est ac si dicerem: Omnis sceleratus est non-felix, seu non-

 8 (1)

formam, interim (2) consequentiarum forma (a) interim (b) nihilominus  9 In dem hier ausgelassenen Absatz definiert L nur die bekannten Grundbegriffe Subjekt, Prädikat, Kopula, affirmativ, negativ, Quantität, Qualität … 10 /affi rmativa erg. u. streicht L/ 11 (1) ut cum dico (2) Et (3) /Nam … /affi rmativa/ erg. L/ 12 (1) hoc volo si quis intelligat naturam pietatis, eum (2) significo … 13 (1) Nam (2) id est 14 (1) species (2) speciei notio 15 (1) dicimus prae (2) cum 16 (1) vel quod idem est dicimus (2) eo ipso affi rmamus (a) subjectum contineri in termino (b) negationem …

Aus „Kalkül der Folgerungen“

229

Dinge in eine Ordnung gebracht sind, habe ich erwogen, die formale Gültigkeit von Schlussfolgerungen nichtsdestoweniger in einem Kalkül zu erfassen und mit fi ktiv angenommenen Zahlen, die statt der wahren charakteristischen Zahlen einstweilen zugelassen werden, zu beweisen. Das zeige ich so. […] In jeder Aussage, so sagt man, ist das Prädikat im Subjekt enthalten, d.h. der Begriff des Prädikates ist im Begriff des Subjekts eingeschlossen. Denn wenn ich in einer universell affi rmativen Aussage behaupte ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, so will ich damit ausdrücken, dass der Begriff des Lebewesens im Begriff des Menschen enthalten ist (denn der Begriff des Menschen besteht darin, ein vernunftbegabtes Lebewesen zu sein). Und wenn ich sage ‚Jeder Fromme ist glücklich‘, so bedeutet dies, dass wer die Natur der Frömmigkeit erkennt, auch einsieht, dass in ihr das wahre Glück enthalten ist. Deshalb ist offenkundig in jeder universell affi rmativen Aussage das Prädikat für sich genommen im Subjekt enthalten. Bei einer partikulär affi rmativen Aussage hingegen ist das Prädikat nicht im für sich betrachteten Begriff des Subjekts enthalten, sondern nur im um ein gewisses Merkmal ergänzten Begriff, das heißt in einer bestimmten Art des Subjekts. Der Begriff der Art entsteht nämlich aus dem Begriff der Gattung, indem eine bestimmte Differenz hinzugefügt wird. Wenn wir entsprechend in einer negativen Aussage verneinen, dass das Prädikat in der von mir beschriebenen Weise im Subjekt enthalten ist, dann bejahen wir zugleich, dass die Verneinung des Prädikates bzw. der dem Prädikat kontradiktorisch entgegengesetzte Term dem Subjekt innewohnt. Wenn ich etwa sage ‚Kein Frevler ist glücklich‘, dann ist das dasselbe wie wenn ich sagen würde ‚Jeder Frevler ist unglücklich‘ bzw.

230

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

felicitatem scelerato inesse. Et cum dico17 [quidam] pius est nonfortunatus, hoc volo: τό non-fortunatum inesse cuidam speciei seu exemplo pii. Considerandum porro est, omnem notionem18 compositam, constare ex pluribus aliis notionibus,19 interdum positivis, interdum et negativis. Exempli gratia cum dico: numerus primitivus, intelligo hoc:20 numerus non-divisibilis per majorem unitate. 21 Ideo ut generaliter procedamus: quamlibet notionem exprimemus duobus22 Numeris characteristicis, uno cum nota + seu plus, altero cum nota – seu minus.23 Exempli gratia: Primitivus est

numerus +22

24

indivisibilis -17

Considerandum etiam est Terminos omnes negativos hanc habere proprietatem, ut quando positivi se habent ut genus et species, contra negativi eorum se habeant inverso modo, ut species et genus. Exempli gratia Corpus est genus, Animal est species;25 latius enim patet corpus quam animal,26 quia corpus continet animalia et plantas aliaque. Sed contra non-animal est latius quam non-corpus. Omnia enim non-corpora sunt etiam non17 (1)

quidam scelerat (2) /quidam erg. Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe/ pius (a) non est fortunatus (2) est non-fortunatus 18 (1) componi (2) compositam 19 (1) iisdem (2) iisque (3) interdum (a) affi rmativis, interdum negativis (b) interdum (c) positivis 20 (1) numerus indivisibilis (a) per numerum (b) nisi per unita (2) numerus (a) indivisibilis per numeru (b) non-divisibilis per (ba) unitate (bb) majorem unitate. 21 (1) Et vero sola notio Dei pure positiva est, nullamque limitationem seu negationem involvit. Ideo (2) Ideo 22 (1) notis (2) Numeris 23 (1) Nimirum (2) Exempli 24 (1) +17 -13 (2) +22 -17 25 /nam corporis erg. u. streicht L/ 26 /quia corpus continet (1) metalla, plantas, animalia (2) animalia … aliaque erg L/

Aus „Kalkül der Folgerungen“

231

das Nicht-glücklich-sein wohnt dem Frevler inne. Und wenn ich sage ‚Einige Fromme sind unglücklich‘, so meine ich, dass das Nicht-Glücklich-sein einer gewissen Beispielsart des Frommen innewohnt. Ferner ist zu bedenken, dass jeder zusammengesetzte Begriff aus mehreren anderen, teils positiven, teils negativen Begriffen besteht. Sage ich zum Beispiel ‚Primzahl‘, so verstehe ich darunter eine Zahl, die nicht durch eine andere Zahl größer als 1 geteilt werden kann. Deshalb müssen wir allgemein so vorgehen: jeden beliebigen Begriff drücken wir durch zwei charakteristische Zahlen aus, eine mit + d.h. dem Plus-Zeichen, die andere mit – oder dem Minus-Zeichen versehen. Zum Beispiel Primzahl ist eine

unteilbare -17

Zahl + 22

Zu bedenken ist auch, dass alle negativen Terme folgende Eigenschaft besitzen: Wenn die positiven Terme sich wie Gattung und Art zueinander verhalten, dann verhalten sich die negativen umgekehrt wie Art und Gattung. Zum Beispiel ist ‚Körper‘ die Gattung, ‚Lebewesen‘ eine Art, denn ‚Körper‘ erstreckt sich weiter als ‚Lebewesen‘, weil ‚Körper‘ außer den Lebewesen auch Pflanzen und andere umfasst. Hingegen erstreckt sich ‚NichtLebewesen‘ weiter als ‚Nicht-Körper‘, denn alle Nicht-Körper

232

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

animalia, sed non contra; dantur enim 27 non-animalia, quae tamen non sunt non-corpora, verbi gratia plantae. Itaque quemadmodum plura dantur corpora quam animalia; ita contra plura dantur non-animalia quam non-corpora. 28 His ita intellectis possumus vera ponere fundamenta calculi nostri.29 Nimirum omnis notionis positivae (negativae) numerum characteristicum positivum (negativum) seu nota + (vel -) affectum conflabimus ex multiplicatione in se invicem omnium 30 numerorum characteristicorum earum notionum positivarum (negativarum), ex quibus ipsius termini positiva (negativa) notio componitur.31 Ita sit animal +13 -5 fiet termini hujus: numerus characteristicus sive

rationale +8 -732 homo +13,8 +104

-5,7 -35.

Hoc unum tantum in ista Numerorum efformatione cavendum est ne idem aliquis numerus33 in positivis et in negativis contineatur, id est ne positivus et negativus numerus dividi possint per unum eundemque numerum, seu habeant communem divisorem. Nam si sic scripsissemus: 27 (1)

non-corpora quae tamen non sunt non-animalia (a) pla (b) itaque pl (2) non-animalia 28 (1) Ex his jam possumus exstruere calculi nostri fundamenta. Nam si termin (2) His 29 (1) Nimirum omnem (2) omnis notionis (a) pos (b) t (3) Nimirum omnem notionem partem (4) Nimirum omnis notionis (a) positivae (b) terminum (c) /positivae (negativae) numerum characteristicum /positivum (negativum) seu (ca) signo (cb) nota + /affectum streicht L/ (vel -) affectum conflabimus … 30 (1) notionum (2) numerorum (a) /earum notionum /positivarum erg. L// streicht Hrg. mit Couturat (b) earum … 31 (1) Eodemque modo (2) Ita 32 (1) fiet homo + 13,8 -5,7 seu (2) fiet … Am Rande dazu die Rechnung: 13 [*] 8 [=] 104 33 (1) in signo plus et (2) in positivis

Aus „Kalkül der Folgerungen“

233

sind zugleich Nicht-Lebewesen, aber nicht umgekehrt, denn es gibt auch Nicht-Lebewesen, die trotzdem keine Nicht-Körper sind, zum Beispiel Pflanzen. So wie es demnach mehr Körper gibt als Lebewesen, so gibt es umgekehrt mehr Nicht-Lebewesen als Nicht-Körper. Nach diesen Einsichten können wir die wahren Grundlagen unseres Kalküls aufstellen. Wir bilden die positive (bzw. die negative), d.h. mit dem Vorzeichen + (bzw. -) versehene charakteristische Zahl eines jeden positiven (bzw. negativen) Begriffs aus der wechselseitigen Multiplikation der cha rakteristischen Zahlen all jener positiven (bzw. negativen) Begriffe, aus denen der positive (bzw. negative) Begriff eben jenes Terms zusammengesetzt ist. Sei etwa Lebewesen vernunftbegabt +13 -5 +8 -7,2 so ergibt sich für den Term Mensch die charakteristische Zahl +13*8 -(5*7) bzw. +104 -35.

Bei dieser Bildung der Zahlen ist nur eines zu beachten, dass nämlich keine Zahl zugleich in der positiven und in der negativen enthalten ist, d.h. dass die positive und die negative Zahl nicht durch ein und dieselbe Zahl geteilt werden können bzw. einen gemeinsamen Teiler besitzen. Denn hätten wir geschrieben:

2 

Am Rande die Rechnung: 13*8 = 104

234

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

animal +13 -5

rationale +10 -7 homo +130 -35

scripsissemus absurdum. Nam notio quae significatur per +5, contradictoria est ejus quae significatur per -5. Itaque cum in rationalis notione positiva 10 contineatur 5 (nam 10 dividi potest per 5 seu 10 fit ex multiplicatione 5 in 2),34 seu cum in rationali ponatur 5, in animali autem contra 35 negetur 5, seu contineatur contradictorium ipsius 5, sequetur animal et rationale esse incompatibilia, adeoque hominem ex ipsis compositum implicare36 contradictionem, quoniam ita tam positivus ejus numerus +130, quam negativus dividi potest per 5, quod cum falsum sit consequens est absurdam fore hanc exprimendi rationem, adeoque semper cavendum esse ne37 numerus positivus et negativus habeant eundem divisorem.38 Intellectis jam terminis sigillatim sumtis, videamus et quomodo conjungi possint; seu quomodo propositionum quantitas, qualitas, et39 veritas (in quantum id fieri potest ratione, seu numeris characteristicis) dignoscatur. Nimi rum generaliter omnis propositio falsa 40 [est], quae cognosci potest sola vi rationis, seu quae in terminis implicat; haec est, in qua subjectum et praedicatum41 continent notiones incompatibiles, sive in qua duo qui-

34 (1)

et in amimali (2) seu 35 (1) positur (2) negetur 36 (1) contradictorium (2) contradictionem /quoniam … per 5 erg. L/ 37 (1) notio pos (2) numerus 38 /sive ne erg. und streicht L/ 39 (1) ex his (2) veritas /in quantum (a) ex forma liceb (b) ea ratione (c) id fieri … characteristicis erg L/ 40 (1) est in qua subjecti et praedicati (2) in terminis vi formae (3) /est, streicht L, erg. Hrg./ quae … 41 (1) terminos habent (2) continent notiones incompatibiles (a) id est (b) sive in qua duo (ba) numeri characteristici (bb) quidam …

Aus „Kalkül der Folgerungen“

Lebewesen +13 -5

235

vernunftbegabt +10 -7, Mensch +130 -35,

so hätten wir etwas Widersinniges geschrieben. Denn der durch +5 bezeich nete Begriff ist das kontradiktorische Gegenteil des durch -5 bezeichneten Begriffs. Wenn somit im Begriff ‚vernunftbegabt‘ die positive Zahl 10 die 5 enthält (denn 10 lässt sich durch 5 teilen bzw. 10 entsteht durch Multiplikation von 5 und 2), oder wenn im Begriff ‚vernunftbegabt‘ die 5 gesetzt, im Begriff ‚Lebewesen‘ die 5 hingegen verneint wird, d.h. das Gegenteil der 5 enthalten ist, so ergäbe sich, dass ‚Lebewesen‘ und ‚vernunftbegabt‘ unverträglich wären. Also würde der Begriff ‚Mensch‘, der aus diesen zusammengesetzt ist, einen Widerspruch enthalten, da ja seine positive Zahl +130 ebenso wie seine negative Zahl [-35] jeweils durch 5 teilbar wären. Und weil dies falsch ist, ergibt sich zwangsläufig, dass jene Art der Darstellung absurd ist. Deshalb muss immer vermieden werden, dass die positive und die negative Zahl ein und denselben Teiler besitzen. Nachdem nun die einzelnen Begriffe verstanden sind, müssen wir schauen, auf welche Weise sie verknüpft werden können, d.h. auf welche Art die Qu antität und die Qu alität der Aussagen sowie ihre Wahrheit erkannt wird (soweit dies durch bloße Vernunft bzw. durch die charakteristischen Zahlen geschehen kann). Zweifelsohne ist im Allgemeinen jede Aussage falsch, die alleine durch Vernunft als falsch erkannt werden kann, d.h. die begriffl ich einen Widerspruch impliziert, was bedeutet, dass in ihr das Subjekt und das Prädikat logisch un-

236

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

dam numeri characteristici diversorum terminorum42 (subjecti unum, praedicatum alterum) diversarumque notarum (unum cum nota +, alterum cum nota -) habent communem divisorem. Exempli causa sit propositio: 43

pius +10 -3

est

miser +14 -5

patet terminos44 +10 (id est + bis 5) et -5 esse incompatibiles, significant enim contradictoria, ac proinde statim ex numeris ipsorum characteristicis patet propositionem cui hi numeri conveniunt esse falsam 45 in terminis, et contradictoriam ejus esse46 ex terminis veram. 47 Porro antequam specialibus Propositionum formis secundum quantitatem et qualitatem suos numeros characteristicos accomodemus, illud in genere48 repetendum est, quod supra diximus, Notionem praedicati semper inesse subjecto aut ejus speciei.49 Hoc jam in Numeros characteristicos ita transferamus:50 Esto propositio Universalis affi rmativa: Omnis sapiens est +70 -33

42 (1)

pius +10 -3

ejusdem (2) /(subjecti unum praedicati alterum)/ erg. L diversarumque notarum (a) in eadem propo (b) /(unum … nota -) erg. L/ habent … 43 (1) homo est lapis (2) metallum est animatum (3) pius 44 (1) +10 et -5 id est (2) +10 (id est … 45 /in terminis erg. L/ 46 (1) falsam (2) veram (3) ex terminis veram 47 (1) Qu antitas autem et qualitas propositionum ita dignoscetur: (a) Omnis pro (b) Propositio universalis affirmativa est, (ba) in qua (bb) (verbis gratia: Omnis sapiens est pius) /darunter +70 – 33 bzw. +10 -9/ in qua quilibet numerus characteristicus subjecti (v.g. +70 et -33 (2) Porro … 48 (1) considerandum est, semper (2) repetendum 49 (1) id est (2) id est re ad stylum numerorum characteristicorum translata, semper dividi posse per numeros characteristicos praedicati ejusdem in bricht ab (3) Hoc 50 (1) Homo (2) Omnis homo est animal (3) Esto

Aus „Kalkül der Folgerungen“

237

verträgliche Begriffe enthalten, oder dass in ihr zwei charakteristische Zahlen verschiedener Terme (einer das Subjekt, der andere das Prädikat) und verschiedener Vorzeichen (der eine mit dem + Zeichen, der andere mit dem – Zeichen) einen gemeinsamen Teiler besitzen. Sei zum Beispiel die Aussage Der

Fromme ist +10 -3

elend +14 -5

Offenbar sind die Terme +10 (d.h. + 2*5) und -5 unverträglich, denn sie bezeichnen Entgegengesetztes; und deshalb geht aus ihren charakteristischen Zahlen unmittelbar hervor, dass die Aussage, dem diese Zahlen entsprechen, begriffl ich falsch und ihre Verneinung begriffl ich wahr ist. Bevor wir nun den in Hinsicht auf Quantität und Qualität zu unterscheidenden Satzformen ihre charakteristischen Zahlen anpassen, ist noch einmal allgemein zu wiederholen, was bereits oben gesagt wurde, dass nämlich der Begriff des Prädikates immer im Begriff des Subjekts bzw. in einer Art des Subjekts enthalten ist. Das übertragen wir jetzt wie folgt auf ihre charakteristischen Zahlen. Sei die universell affi rmative Aussage: Jeder

Weise ist +70 -33

fromm +10 -3.

238

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Patet51 praedicatum inesse debere notioni subjecti per se sumtae quia in omni casu inest, adeoque numeros characteristicos52 subjecti dividi posse per numeros characteristicos praedicati ejusdem notae ut +70 per +10, et -33 per -3. Similiter Omnis homo est +130 -35 +

animal rationale 13 -5 +10 -7.

Patet +130 dividi posse per +13 et per +10; et -35 dividi posse per -5 et -7. Am Rande: Omne animal non-homo est corpus sentiens non-rationale 53 Omnis quinarius non binarius Omnis quaternarius non-(major denario) est figuratus non-quadratoquadratus In propositione autem Affi rmativa particulari, quemadmodum supra diximus,54 sufficit notionem praedicati inesse notioni subjecti additamento aliquo auctae, seu praedicatum inesse speciei subjecti,55 id est characteristicos numeros subjecti multiplicatos per alios numeros reddi posse divisibiles per characteristicos numeros praedicati. Cumque id semper possit fieri,56 quilibet enim numerus multiplicando reddi potest per alium numerum quemlibet divisibilis; hinc patet propositionem particularem affi rmativam semper habere locum; nisi aliqua ex57 supra dicto capite incompatibilitas seu pugna oriatur.

51 (1)

subjectu (2) praedicatum … sumtae /quia in omni casu inest/ erg. L 52 (1) praedicati (2) subjecti … numeros characteristicos (a) subjecti et (b) praedicati 53 (1) Omnis binarius minor vicenario (2) Omnis (a) octonarius (b) quinarius 54 (1) praedicatum inest (a) non subjecto (b) subjecto non per se, sed (2) sufficit 55 (1) num (2) praedicatum alia (3) characteristicos 56 (1) semper enim (2) quando nulla est repugnantia in pri (3) quilibet 57 (1) caeteris capitibus /supra dictis versehentlich nicht gestr. L/ (2) supra

Aus „Kalkül der Folgerungen“

239

Offensichtlich muss der Begriff des Prädikats in dem für sich genommenen Begriff des Subjekts enthalten sein, denn er ist in jedem Fall enthalten; deshalb lassen sich die charakteristischen Zahlen des Subjekts mit dem jeweiligen Vorzeichen durch jene des Prädikats teilen, also +70 durch +10 und -33 durch -3. In ähnlicher Weise: Jeder

Mensch ist ein +130 -35

vernunftbegabtes +10 -7

Lebewesen +13 -5

Offensichtlich kann +130 durch +10 und durch +13 geteilt werden, ebenso kann -35 durch -7 und durch -5 geteilt werden. Am Rande: Jedes Lebewesen, welches ein Nicht-Mensch ist, ist ein empfi ndender nicht-vernünftiger Körper. Jedes Vielfache von 5, welches nicht Vielfaches von 2 ist, (bricht ab) Jedes Vielfache von 4, welches nicht größer ist als ein Vielfaches von 10, ist ein ausgebildetes Nicht-Quadratoquadrat. Wie wir oben gesagt haben, reicht es bei einer partikulär affi rmativen Aussage hingegen aus, dass der Prädikatbegriff in einem um einen Zusatz erweiterten Subjektbegriff bzw. das Prädikat in einer Art des Subjekts enthalten ist, das heißt, dass die charakteristischen Zahlen des Subjekts mit gewissen anderen Zahlen multipliziert durch die charakteristischen Zahlen des Prädikates teilbar gemacht werden können. Und da das immer geschehen kann – denn jede beliebige Zahl kann durch Multiplikation so erweitert werden, dass sie durch eine beliebige Zahl teilbar wird –, so erhellt, dass eine partikulär affi rmative Aussage stets zutrifft, sofern nicht nach dem oben formulierten Grundsatz eine Unverträglichkeit oder ein Widerstreit entsteht.

240

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Exempli causa: Qu idam fortunatus est +11 -9

miser +5 -14

Patet effici posse ut miseria sit in aliqua fortunati specie; in eo scilicet qui fortuita aeternis praefert. Jam species aliqua fortunati habet notionem compositam ex notione fortunati tanquam genere, et notione differentiae hujus fortunati ab alio qui miser non erit, haec differentia sit 15 -28. Fiet Qu idam fortunatus +15,11 -28,9 Jam 15,11 dividi potest per58 [5] et 28,9 per 14. Itaque patet effici posse, ut praedicatum insit speciei subjecti. Eadem mutatis mutandis etiam ad propositiones negativas transferri possunt.59 Exempli gratia: (bricht ab)

58 /11 59 (1)

L/ 5 ändert Hrg. mit Couturat mit den Hrsg. der Akademieausgabe Ubi hoc unum observandum est quod (2) Exempli

Aus „Kalkül der Folgerungen“

241

Zum Beispiel: Ein gewisser

Glücklicher ist +15 -9

elend +5 -14

Offenbar kann man bewirken, dass in einer Art des Glücklichen das Elend enthalten ist; in der nämlich, die das Glück dem Unvergänglichen vorzieht. Nun besitzt irgendeine Art des Glücklichen einen Begriff, der aus dem Begriff des Glücklichen als Gattung und dem Begriff der Differenz zusammengesetzt ist, durch den sich jener Glückliche von anderen, die nicht elend sind, unterscheidet. Diese Differenz sei +15 -28; dann ergibt sich Ein gewisser Glücklicher +15*11 -28*9 Jedoch kann 15*11 durch 5 und 28*9 durch 14 geteilt werden. So lässt sich also bewirken, dass das Prädikat in einer Art des Subjekts enthalten ist. Dasselbe kann mutatis mutandis auch auf die negativen Aussagen übertragen werden. Zum Beispiel (bricht ab).

242

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.4.3 Kommentar In Couturats Edition rangiert der von Leibniz mit „Calculus consequentiarum“ überschriebene, aber nicht nummerierte Text aufgrund der Paginierung der Handschrift1 nach den „Regulis ex quibus de bonitate consequentiarum … judicari potest, per numeros“. Die Herausgeber der Akademieausgabe ordnen ihn hingegen chronologisch vor dem letzteren, von Leibniz als „No. 6“ gezählten Text ein, ja sogar noch vor No. 5 „Modus examinandi Consequentias per Numeros“. Nun markiert No.  5 ziemlich eindeutig den Übergang von der einfachen Semantik mit nur einer charakteristischen Zahl zur komplexeren Semantik mit Zahlenpaaren. Aus der textkritischen Edition geht nämlich klar hervor, dass Leibniz für die UA und die PN dort zunächst die »alte« Bedingung formuliert hatte: […], I. dass die Zahl des Subjekts einer universell affi rmativen Aussage genau (ohne Rest) durch die Zahl des Prädikats geteilt werden kann, z.B. ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘; für ‚Mensch‘ schreiben wir 6, für ‚Lebewesen‘ 2, weil 6 genau durch 2 geteilt werden kann. II. Bei einer partikulär affi rmativen Aussage kann nicht so geteilt werden; z.B. ‚Einige Lebewesen sind nicht Menschen‘, denn 2 lässt sich nicht durch 6 teilen.2

Diese Passage wurde anschließend durch die Bestimmung ersetzt, dass jedem Term eine „zusammengesetzte Zahl“ wie z.B. 1 Die Nummerierung der Handschriftenseiten wurde nicht von Leibniz,

sondern vom Verwalter seines Nachlasses, Eduard Bodemann, vorgenommen. 2 Vgl. A VI, 4, 233, Z. 8-15: „Cuicunque praemissarum termino (id est subjecto vel praedicato propositionis categoricae) assignetur numerus sed talis I. ut numerus subjecti Propositionis universalis affi rmativae possit dividi exacte (nullo manente residuo) per numerum praedicati, ex.g. omnis homo est animal, pro homine scribamus 6, pro animali 2, quia 6 dividi exacte potest per 2; II in propositione particulari negativa non possit dividi hoc modo, ex.g. quoddam animal non est homo, quia 2 non potest dividi per 6.“

Kommentar

243

+15; -12 oder +5; -2 zuzuordnen sei. An Stelle der einfachen Regel I tritt somit die Bestimmung: Bei einer universell affi rmativen Aussage muss die mit dem Vorzeichen + versehene Zahl des Subjekts durch die mit dem Zeichen + versehene Zahl des Prädikats geteilt werden können, und die mit dem Minus-Zeichen versehene Zahl des Subjekts muss sich durch die mit dem Zeichen – versehene Zahl des Prädikates teilen lassen.3

Aufgrund dieses »Umbruchs« kann man mit einiger Wahrscheinlichkeit schließen, dass der hier zu erörternde Text nach No. 5 entstanden ist, denn in ihm fi nden sich keine Überreste der »alten« Semantik mehr.4 Andererseits wurde der „Kalkül der Folgerungen“ mit großer Sicherheit vor No. 6 verfasst, denn die »neue« Semantik wird dort deutlich ausgereifter präsentiert. Leibniz beginnt seine Überlegungen mit dem Hinweis, dass man in der Logik zwischen materialer und formaler Gültigkeit 3 Vgl.

A VI, 4, 233, Z. 23-25: „In Propositione universali affi rmativa debet numerus subjecti cum signo + dividi posse per numerum praedicati cum signo +, et numerus subjecti cum signo minus debet dividi posse per numerum praedicati cum signo -“. In Couturats Edition sind diese Änderungen nur mit Mühe nachzuvollziehen, da nur ein Teil der Streichungen abgedruckt wurde, was zu scheinbaren Inkonsistenzen führt. So fi ndet sich auf S. 75 die »neue« Regel II für die PN mit der Bedingung für Zahlenpaare als Ergänzung (die Couturat stets durch geschweifte Klammern markiert), doch im Anschluss hieran stolpert der Leser über die »alte« Regel mit nur jeweils einer Zahl. Hier zeigt sich wieder einmal, wie wichtig eine textkritische Edition für das Verständnis der Leibnizschen Gedanken ist. 4 Die Hrg. der Akademieausgabe argumentieren (A VI, 4, 221-2), dass im „Calculus Consequentiarum“ ebenso wie im „Modus examinandi Consequentias per Numeros“ Leibniz „erstmals zur Zahlenpaardarstellung der Urteilstermini“ übergeht und dass erstere Schrift vermutlich nach der letzteren entstanden sei, weil in ihr eine gewisse „Bestimmung noch nicht wie dann [in der letzteren] für die Darstellung der negativen Urteile fruchtbar gemacht wird“. Mit der fraglichen Bestimmung meinen sie die Interpretationsbedingung Sem-E 2, die in der Tat im „Calculus Consequentiarum“ zwar noch nicht explizit formuliert, aber dennoch inhaltlich motiviert wurde.

244

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

eines Schlusses unterscheiden muss. Dem Inhalt nach gültig wäre er bereits dann, wenn die Konklusion de facto wahr ist. Um der Form nach gültig zu sein, muss sich die Wahrheit der Konklusion zwingend aus der Wahrheit der Prämissen ergeben. Bei Leibniz‘ erstem Beispiel handelt es sich um einen Schluss mit wahren Prämissen und einer wahren Konklusion, den man somit als material gültig betrachten kann. Er ist aber nicht formal gültig, da es – wie das zweite Beispiel zeigt – formgleiche Schlüsse gibt, bei denen die Prämissen wahr bleiben, die Konklusion hingegen falsch wird. Die Bedingung der formalen Gültigkeit eines Schlusses lässt zwei verschiedene Lesarten zu. In der zeitgenössischen Logik verlangt man von einem solchen Schluss lediglich, dass wenn alle Prämissen wahr sind, dann auch die Konklusion wahr sein muss. Alternativ könnte man aber auch fordern, dass alle Prämissen wahr sind und dass sich hieraus zwangsläufig die Wahrheit der Konklusion ergibt. Vor allem in der angelsächsischen Literatur unterscheidet man in diesem Sinne zwischen einem validen und einem voll gültigen Schluss.5 Da sich mit Hilfe der »wahren« charakteristischen Zahlen die Wahrheit beliebiger Aussagen berechnen ließe, wären sie ein Instrument, die »soundness« eines Schlusses zu bestimmen. Mit Leibniz‘ vorläufig angenommenen Zahlen kann man hingegen nur seine »validity« überprüfen. Als nächstes wiederholt Leibniz den sattsam bekannten Gedanken, dass bei jeder affi rmativen Aussage „der Begriff des Prädikats im Begriff des Subjekts eingeschlossen“ sein soll. Bei einer UA gelte das für den Subjektbegriff S an sich; bei einer PA nur für den „um ein gewisses Merkmal“ Y ergänzten Begriff YS. Ein solches YS meint Leibniz als eine »Art« („species“) des Subjekts ansehen zu dürfen. Tatsächlich ist es nun zwar so, dass bei der gewöhnlichen Klassifi kation eines Gegenstandsbereichs (wie z.B. dem der Lebewesen) jeder Artbegriff, A, aus einem Gat5 Vgl.

etwa den Eintrag „Validity and soundness“ in der Internet Encyclopedia of Philosophy (htt p://www.iep.utm.edu/val-snd/).

Kommentar

245

tungsbegriff, G, dadurch hervorgeht, dass zu G eine bestimmte »Differenz«, D, hinzugefügt wird. Es gilt dann A = DG, so dass neben der UA ‚Alle A sind G‘ auch die PA ‚Einige G sind A‘ wahr ist. Doch in der in Abschnitt 3.2 behandelten Schrift „Elementa Calculi“ hatte Leibniz eigentlich schon eingesehen, dass die PA ‚Einige S sind P‘ auch dann wahr sein kann, wenn S und P (bzw. P und S) sich nicht wie Gattung und Art zueinander verhalten. Erst gegen Ende der Arbeit erkennt Leibniz dieses Problem in seiner vollen Ernsthaft igkeit. Er macht sich (S. 239) nämlich klar, dass der fragliche Grundgedanke – die Existenz einer »Art« YS, so dass YS P enthält – in die Zahlensemantik übertragen bedeuten würde, dass es zu vorgegebenen und natürliche Zahlen n, m gibt, so dass n*s durch p und m*s durch p teilbar ist. Wie dem exzellenten Mathematiker Leibniz nicht verborgen bleiben konnte, existieren solche Zahlen n, m jedoch immer, so dass anscheinend „eine partikulär affi rmative Aussage stets zutrifft“. Wenn jede PA semantisch als wahr ausgewiesen wird, dann würde gemäß dem Oppositionsprinzip jede UN als falsch bewertet – eine auf den ersten Blick katastrophale Folgerung! Bevor wir Leibniz‘ Lösung dieses Problems betrachten, lohnt es sich, die gerade hervorgehobenen Konsequenz etwas genauer zu analysieren. Wenn eine beliebige UN durch die Semantik als falsch bewertet wird, dann führt dies – so könnte man vermuten – dazu, dass gültige Syllogismen, deren Konklusion eine UN darstellt, automatisch ungültig werden. Denn die Konklusion z.B. von: Celarent

E(C,D), A(B,C) → E(B,D)

ist ja immer falsch. Dennoch bleibt dieser Schluss formal gültig, denn die formale Gültigkeit beinhaltet ja nur die konditionale Bedingung: Wenn (bei einer Bewertung) alle Prämissen wahr werden, dann muss auch die Konklusion wahr werden. Die erste Prämisse von Celarent ist jedoch selber eine UN, die als solche (durch die zur Debatte stehende Semantik) niemals wahr gemacht werden kann. Also gibt es keine Bewertung, bei der

246

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

alle Prämissen des Schlusses wahr und die Konklusion dennoch falsch wäre. Celarent (und verwandte gültige Syllogismen) bleiben deshalb auch bei der fraglichen Semantik, die jede PA wahr und jede UN falsch macht, formallogisch gültig. Andererseits hätte diese Semantik den zwar nicht ganz katastrophalen, aber dennoch äußerst unerwünschten Effekt, dass einige offenkundig ungültige Syllogismen als gültig bewertet werden. Man betrachte z.B. den Syllogismus »Dirii«, der aus dem bekannten Modus Darii dadurch hervorgeht, dass man die Prämisse ‚Alle C sind D‘ zu ‚Einige C sind D‘ abschwächt: Dirii

I(C,D), I(B,C) → I(B,D).

Die Konklusion dieses Schlusses ist eine PA, wird also semantisch immer wahr gemacht. Deshalb ist das Schlussschema Dirii formal gültig und man könnte z.B. materialiter argumentieren: ‚Einige Philosophen sind Frauen‘; ‚Einige Männer sind Philosophen‘, also: ‚Einige Männer sind Frauen‘! Um derlei »absurde« Konsequenzen zu unterbinden, ist es also dringend erforderlich, die Semantik der charakteristischen Zahlen – und das heißt konkreter die Behandlung negativer Aussagen und negativer Begriffe – zu modifizieren. Wie die Ausführungen auf S. 229 unten zeigen, will Leibniz die UN ‚Kein Frevler ist glücklich‘ auf die entsprechende UA mit negiertem Prädikatbegriff ‚Jeder Frevler ist unglücklich‘ zurückführen. Dies ist eine Instanz des Gesetzes der Obversion: Obv 1

E(S,P) ↔ A(S,~P).

Entsprechend ließe sich die PN ‚Einige Fromme sind nicht glücklich‘ auf die PA ‚Einige Fromme sind nicht-glücklich‘ – bzw. idiomatischer: ‚Einige Fromme sind unglücklich‘– reduzieren. Dieser Übergang ist im Originaltext kaum zu erkennen. Erst der kritische Apparat enthüllt, dass Leibniz zunächst ‚quidam pius non est fortunatus‘ geschrieben hatte, bevor er daraus ‚quidam pius est non-fortunatus‘ machte. Jedenfalls entspricht die Umformung dem allgemeinen Prinzip:

Kommentar

Obv 2

247

O(S,P) ↔ I(S,~P).

Der Rückgriff auf die Gesetze der Obversion könnte eine wesentliche Vereinfachung der Semantik charakteristischer Zahlen bedeuten. Wenn es nämlich gelingen sollte, mittels einer Funktion Φ den negativen Begriffen ~B geeignete charakteristische Zahlen Z(~B) so zuzuordnen, dass Z(~B) = Φ(Z(B)), dann könnte man die Interpretationsbedingung Sem-A von der UA auf die UN übertragen und man erhielte insgesamt ein »homogenes« Schema, bei dem die Wahrheitsbedingungen aller vier Satzformen einheitlich durch Teilbarkeits- bzw. Nichtteilbarkeitsbedingungen ausgedrückt werden. Bei der Suche nach einer solchen Funktion Φ ließ Leibniz sich von der Überlegung leiten, dass jeder komplexe Begriff B aus einer Reihe »positiver« Merkmale C1, …, Cn und einer Reihe »negativer« Merkmale D1, …, D m zusammengesetzt ist. So enthält z.B. der Begriff der Primzahl das »positive« Attribut ‚Zahl‘ und das »negative« Attribut, ‚nicht durch eine natürliche Zahl m > 1 teilbar‘. Dabei nimmt Leibniz offenbar an, dass es »von Natur aus« feststeht, welche Begriffe positiv und welche negativ (bzw. »privativ«) sind. In verschiedenen anderen Schriften hat er jedenfalls seiner Meinung Ausdruck verliehen, dass es eine Grundmenge primitiver Eigenschaften bzw. Begriffe P1, P2, … P j, … gibt, die in dem Sinne »positiv« sind, als sie beliebig miteinander konjunktiv verknüpft werden können, ohne einen logischen Widerspruch zu erzeugen.6 Jedem Begriff B soll dementsprechend ein Paar charakteristischer Zahlen so zugeordnet werden, dass die positive Komponente Z1(B) das Produkt aller Z(Ci) und die ne6 In

einem kleineren Fragment (LH IV, 7 B 2, 39), das noch nicht in der Akademieausgabe erschienen ist, entwickelt Leibniz einen von seinen sonstigen Kalkülen stark abweichenden Formalismus zur Definition primitiver und privativer Begriffe. Die mit diesem Ansatz verbundenen Schwierigkeiten wurden in Lenzen (1991) analysiert. Da mir die Druckfahnen des Aufsatzes seinerzeit nicht zur Korrektur vorgelegt wurden, enthält die Arbeit leider zahlreiche sinnstörende Druckfehler.

248

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

gative Komponente Z2(B) das Produkt aller Z(D i) darstellt. In dem einfachen Beispiel ‚Mensch‘ = ‚vernünft iges Lebewesen‘ ergibt sich bei Annahme von für ‚Lebewesen‘ und für ‚vernünftig‘ für den komplexen Begriff ‚Mensch‘ somit oder . Zusätzlich fordert Leibniz nun noch, dass die positive und die negative Komponente eines charakteristischen Zahlenpaares keinen gemeinsamen Teiler besitzen dürfen. Denn ein Paar wie , bei dem beide Komponenten durch 5 teilbar sind, würde zum Ausdruck bringen, dass in dem zugehörigen Begriff B zugleich ein positives (durch +5 gekennzeichnetes) Attribut C und seine (durch -5 gekennzeichnete) Negation ~C enthalten wäre. Dieser Gedanke wird auf S.237 oben weiter ausgesponnen. Leibniz führt dort aus, dass jede beliebige Aussage, die einen Widerspruch impliziert, notwendigerweise falsch ist. Für den Bereich der kategorischen Satzformen bedeutet dies, dass jede (affirmative) Aussage A(S,P) oder I(S,P), „bei der das Subjekt und das Prädikat logisch unverträgliche Begriffe enthalten“, logisch falsch ist. In der Tat, wenn es einen Begriff Q gibt, so dass z.B. S Q enthält, während P ~Q enthält, d.h. wenn A(S,Q) und A(P,~Q) gilt, dann kann es kein Ding x geben, welches sowohl die Eigenschaft S als auch die Eigenschaft P besitzt, d.h. I(S,P) – und a fortiori A(S,P) – muss falsch sein. Wenige Jahre später, bei der Ausarbeitung seines »Allgemeinen Kalküls« der Begriffslogik, wird Leibniz diesen wichtigen Gedanken so formulieren, dass er einen Begriff B als möglich bzw. »seiend« defi niert, wenn B keinen Widerspruch der Form Q und ~Q enthält.7 Im vorliegenden Kontext der Semantik charakteristischer Zahlen wird der Gedanke sich widersprechender Begriffe C und ~C durch die Bedingung, die positive und die negative Komponente eines Zahlenpaares dürften keinen gemeinsamen Teiler besitzen, allerdings nur ungenau erfasst. Wenn Leibniz ausführt, dass „im 7 Vgl.

etwa § 2 der GI: „A non-A contradictorium est. Possibile est quod non continet contradictorium seu A non-A. Possibile est quod non est: Y, nonY“ (A VI, 4, 749, Fn. 8).

Kommentar

249

Begriff ‚vernunftbegabt‘ die 5 gesetzt, im Begriff ‚Lebewesen‘ die 5 hingegen verneint wird, d.h. das Gegenteil der 5 enthalten ist“, so suggeriert dies die Annahme, dass man generell die charakteristische Zahl eines negativen Begriffs ~B dadurch gewinnen könnte, dass man vor die Zahl von B einfach das Minuszeichen setzt: Sem-Neg 1

Z(~B) = -Z(B).

In der Tat hatte Leibniz diese Bedingung bereits in den „Calculi universalis investigationes“ in Erwägung gezogen, letztendlich aber als ungeeignet zurückgewiesen. Nun bezog sich aber die Regel Sem-Neg 1 ohnehin auf die »alte« Semantik mit nur einer charakteristischen Zahl und müsste nun dahingehend modifiziert werden, dass beim Übergang von B zu ~B beide Komponenten das umgekehrte Vorzeichen bekommen: Sem-Neg 2

Z(~B) = .

Durch diese Regel, die Leibniz in späteren Arbeiten in Erwägung zieht, wird zwar das Gesetz der doppelten Verneinung erfüllt, denn es gilt allgemein Z(~(~B)) = Z(B). An den weiteren Gesetzen der »scholastischen« Syllogistik, insbesondere am Prinzip der (Konversion per) Kontraposition, muss diese Regel – wie sich in den nächsten Abschnitten zeigen wird – jedoch scheitern. In der vorliegenden Arbeit hat Leibniz das Gesetz Kontra 1

A(S,P) ↔ A(~P,~S)

zwar insofern thematisiert, als er darauf hinwies, dass „wenn die positiven Terme sich wie Gattung und Art verhalten, dann verhalten sich die negativen umgekehrt wie Art und Gatt ung“. Wie diesem Prinzip im Rahmen der Semantik der charakteristischen Zahlen Rechnung getragen werden könnte, hat er jedoch nicht weiter untersucht. Mit der bloßen Ankündigung der Untersuchung negativer Aussagen bricht der „Kalkül der Folgerungen“ ab.

250

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.5.1 Aus „Regulae ex quibus de bonitate consequentiarum … judicari potest, per numeros“1 April. 1679. No 6. plag.1 Regulae ex quibus de bonitate consequentiarum formisque et modis syllogismorum 2 categoricorum judicari potest, per numeros. Has regulas ex altiori principio duxi, et quibusdam mutatis accommodare possum syllogismis modalibus, hypotheticis, aliisque quibuscunque varie multiplicatis, continuatis, transformatis ac perturbatis, ita, ut summa in numeris subducta 3 etiam in longissimis ratiocinationibus appareat an consequentia sit proba.4 Cum tamen hactenus logici communiores tantum et simpliciores et certo tantum ordine dispositas argumentationes examinare possint, et caeteras taediose in has resolvere cogantur, quae res homines a regulis logicorum ad usum transferendis non sine causa avertit. Habeo5 praeterea et modum excogitandi certas notas characteristicas6 quae si rebus accommodentur, inde judicare liceat an argumentum sit vi materiae bonum, si non vi formae;7 imo alia inveniri possunt ex eodem principio, multo majoris momenti atque usus quam quae attigi, sed nunc8 modum facillimum ad numeros exigendi

1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 5, 8, 2-23; vgl. C., 77-84 und A VI,

4, 242-251. 2 /categoricorum/ erg L 3 (1) statim (2) /etiam … ratiocinationibus erg. L/ appareat 4 /Cum … transferendis (1) merito (2) non … avertit./ erg. L 5 /praeterea erg. L/ et /modum cogitandi erg. L/ certas … 6 (1) ex quibus judicari licet (2) quae 7 (1) aliaque (2) imo 8 (1) de consequentiis (2) modum facillimum (a) examinandi (b) per numero (c) ad numeros exigendi (ca) formam (cb) formas (cba) syllogismorum (cbb) consequentiarum …

Regeln

251

3.5.2 Aus „Regeln, durch die man die logische Gültigkeit von … Syllogismen rein rechnerisch beurteilen kann“1 April 1679, Nr. 6, Blatt 1. Regeln, durch die man die logische Gültigkeit von Schlussfolgerungen und Formen und Modi kategorischer Syllogismen rein rechnerisch beurteilen kann Diese Regeln habe ich aus einem höheren Prinzip abgeleitet, und ich kann sie durch ein paar Veränderungen den modalen und hypothetischen Syllogismen anpassen sowie beliebigen anderen Schlüssen, die in mannig faltiger Weise vervielfältigt, aneinandergereiht, umgeordnet oder vermischt werden, und zwar so, dass summa summarum rein rechnerisch deutlich wird, ob eine noch so lange Schlussfolgerung logisch gültig ist. Hingegen konnten die Logiker bislang nur die gewöhnlichen, einfachen und in eine bestimmte Ordnung gebrachten Argumentationen überprüfen und waren darauf angewiesen, die übrigen Schlussfolgerungen umständlich in die ersteren aufzu lösen, was die Leute nicht ohne Grund von den zur Anwendung bestimmten Transformationsregeln der Logiker abgeschreckt hat. Darüber hinaus verfüge ich über eine Methode, bestimmte charakteristische Zeichen auszudenken, die, wenn sie den Dingen angepasst werden, es zu beurteilen gestatten, ob ein Argument dem Inhalt, wenn nicht der Form nach gültig ist. Aus demselben Prinzip können sogar andere Regeln erfunden werden, die von größerem Nutzen und Bedeutung sind als die hier behandelten. Doch jetzt bin ich genügend damit beschäftigt, eine besonders

1 Vgl.

auch die Übersetzung in Schmidt (1960), S. 217-227.

252

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

formas consequentiarum in scholis celebratarum, exponere satis habebo. […]9 Venio nunc ad numeros quibus Termini sunt exprimendi; eamque in rem10 sive regulas sive defi nitiones dabo sequentes. (I) Si qua offeratur propositio, tunc pro quolibet ejus Termino, subjecto scilicet vel praedicato, scribantur numeri duo, unus affectus11 Nota, +, seu plus, alter Nota, −, seu minus. Exempli gratia sit propositio: omnis sapiens est12 pius. Numerus respondens sapienti sit, +20 -21, numerus respondens13 pio sit +10 -3.14 Eosque vocabo imposterum Numeros cujusque Termini characteristicos (interim assumtos). Der folgende eingerückte Absatz wurde von Leibniz gestrichen: (II) Si signa mutentur15 numerorum alicujus termini, ut ex + fiat −, et ex − fiat +, tunc fiet numerus termini16 contradictorie oppositi, ut pii numerus est +10 -3, erit +3 -10 numerus non-pii.

Hoc unum tantum cavendum est ne17 duo numeri ejusdem Termini, ullum habeant communem divisorem, nam si18 (loco +20 -21) pro sapiente sumsissemus numerum +9 -6 (qui ambo dividi possunt per eundem nempe per 3) non fuissent ullo modo apti. 19 Possumus etiam loco numerorum uti literis, ut in Analysi speciosa. Sub literis enim quivis numerus conditiones easdem habens potest intelligi, ut si numerus pii sit +a -b, hoc uno observato ut a et b sint primi inter se seu nullum habeant communem divisorem.  9 Der folgende Absatz, in dem Leibniz wieder die verschiedenen Satzformen

und ihre Bestandteile erläutert, wurde ausgelassen. 10 (1) regulas dabo breves. (2) sive … sequentes. 11 (1) signo, (2) Nota … alter (a) signo, (b) Nota 12 (1) pius (2) justus (3) pius 13 (1) pio (2) justo (3) pio 14 (1) Ubi cavendum est hoc unum. (2) Eosque … 15 (1) termini, tunc pro ipso termino (2) numerorum 16 (1) oppos (2) contradictorie 17 (1) terminus (2) duo 18 (1) v.g. (2) verbi (3) (loco 19 /Possumus … divisorem/ erg. L

Regeln

253

einfache Methode darzustellen, Zahlen zur Überprüfung der in den Schulen gepriesenen Schlussfolgerungen zu fi nden. […]2 Jetzt gehe ich zu den Zahlen über, durch die die Begriffe ausgedrückt werden sollen; und hierfür gebe ich folgende Regeln bzw. Defi nitionen. (I) Ist irgendeine Aussage gegeben, so werden für jeden ihrer Terme, d.h. für das Subjekt bzw. für das Prädikat, zwei Zahlen hingeschrieben, die eine mit dem Pluszeichen, +, versehen, die andere mit dem Minuszeichen, -. Sei zum Beispiel die Aussage ‚Jeder Weise ist fromm‘. Das dem Begriff ‚weise‘ zugeordnete Zahlenpaar sei +20 -21, das entsprechende Zahlenpaar für ‚fromm‘ sei +10 -3. Diese nenne ich künft ig die (einstweilen hypothetisch angenommenen) charakteristischen Zahlen des jeweiligen Begriffs. Der folgende eingerückte Absatz wurde von Leibniz gestrichen: (II) Wenn man die Vorzeichen der Zahlen eines Terms vertauscht, so dass aus + ein - und aus - ein + wird, dann ergibt sich die Zahl des kontradiktorisch entgegengesetzten Terms, wie wenn z.B. das Zah lenpaar für ‚fromm‘ +10 -3 ist, dann ist +3 -10 jenes für ‚nicht-fromm‘.

Hierbei ist nur auf Eines Acht zu geben, dass nämlich die Zahlen für einen Term keinen gemeinsamen Teiler besitzen. Wenn wir für ‚weise‘ (anstelle von +20 -21) das Zahlenpaar +9 -6 genommen hätten, so wären diese in jeder Hinsicht ungeeignet gewesen (denn beide sind durch die gleiche Zahl, nämlich durch 3, teilbar). Anstelle von Zahlen kann man wie in der Algebra auch Buchstaben verwenden. Ein Buchstabe kann nach meinem Verständnis für eine beliebige Zahl stehen, die die entsprechenden Bedingungen erfüllt; so könnte +a –b die Zahl für ‚fromm‘ sein, wobei nur vorauszusetzen ist, dass a und b relativ prim sind, d.h. keinen gemeinsamen Teiler besitzen. 2 In dem hier ausgelassenen Absatz erläutert Leibniz lediglich noch ein-

mal die verschiedenen Satzformen und ihre Bestandteile.

254

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

20

(II) Propositio universalis affirmativa vera est (verbi gratia Omnis sapiens est21 pius)22 +70 -33 +10 -3 +cdh –ef +cd -e 23 in qua quilibet numerus characteristicus24 subjecti (v.g. + 70 et – 33) per praedicati numerum characteristicum25 ejusdem notae (+70 per +10 et -33 per -3) exacte26 (id est ita ut nihil maneat residuum) dividi potest27 (ita si +70 dividas per +10 prodit [7], remanet nihil. Si [-33] dividas per -3 prodit [11] remanet nihil.) Et contra quando id non fit falsa est. (III) Propositio particularis negativa vera est, quando universalis affi rmativa vera non est. Et contra. Verbi gratia Qu idam pius non est sapiens28 +10 -3 +70 -33 +cd -e cdh –ef29 patet nec +10 dividi posse per30 +70 nec -3 dividi posse per – [33] ex quibus duobus defectibus vel unus suffecisset ad effi-

20 (1)

(Regula II) (a) In propositione (b) Propositio est (c) In Propositione (ca) universali (cb) particulari (d) In propositione Particulari affi rmativa (e) In Propositione Universali affi rmativ (f) Propositionis (2) (II) Propositio 21 (1) pius (2) justus (3) pius 22 (1) +20 -21 (2) +70 – 33 23 (1) numeri characteristici sub (2) quilibet 24 (1) subjecti dividi potest per numerum characteristicum praedicati (2) (v.g. + 20 et -21) subjecti (v.g. sapientis) per praedicati (v.g. pii) (3) subjecti 25 (1) ejusdem notae (2) (nempe 20 (a) (+10 et -3) (b) ejusdem notae (ba) (+20 per + 10 et -21 per -3) (bb) (+70 … 26 (1) dividi potest (2) (id … 27 (1) (ita 20 (2) (ita si 20 dividas per 10 prodit 2, remanet nihil. (a) Si dividas per 3 (b) Si -21 L/ -33 ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe/ dividas per -3 prodit 7 L/ 11 ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe 28 (1) +20 -21 (2) +70 -33 29 Diese Zeile fehlt in der Akademieausgabe 30 (1) +20 (2) +70 nec -3 … per /-21 L /-33 ändert Hrsg. mit den Hrg. der Akademie-Ausgabe (a) ex quibus vel unius (b) ex

Regeln

255

(II) Eine universell affirmative Aussage wie zum Beispiel Jeder Weise ist fromm +70 -33 +10 -3 +cdh –ef +cd -e ist wahr, wenn jede charakteristische Zahl des Subjekts (z.B. + 70 und -33) durch die entsprechende charakteristische Zahl des Prädikates mit dem gleichen Vorzeichen (+70 durch +10 und -33 durch -3) genau (d.h. so, dass kein Rest bleibt) geteilt werden kann; (wenn man z.B. +70 durch +10 teilt, ergibt sich 7, ohne Rest; wenn man -33 durch -3 teilt, ergibt sich 11, ohne Rest). Und umgekehrt gilt: Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, dann ist die Aussage falsch. (III) Eine partikulär negative Aussage ist wahr, wenn die universell affi r mative Aussage falsch ist, und umgekehrt. Sei zum Beispiel Ein Frommer ist nicht weise +10 -3 +70 -33 +cd -e cdh –ef so ist klar, dass weder +10 durch +70 noch -3 durch -33 geteilt werden kann; von diesen beiden nicht erfüllten Bedingungen hätte bereits eine ausgereicht, um die PN wahr (bzw. was das

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ciendam 31 particularem negativam veram (vel quod idem est ad reddendam universalem affi rmativam falsam). Ita si dicas Qu idam sapiens non est fortunatus 32 +70 -33 +8 -11 +cdh –ef +g -f patet non posse dividi exacte33 +70 per +8 quod sufficit licet -33 dividi possit per -11. 34

Theorema 1 Hinc Universalis Affi rmativa et particularis 35 negativa contradictorie sibi opponuntur adeoque nec simul verae sunt nec simul falsae. (IV) Propositio universalis negativa vera est36 (verb. gratia Nullus pius est miser) +10 -3 +5 -14 +cd –e +l -cm in qua duo quidam diversarum notarum et diversorum terminorum numeri (ut +10 et -14, nam ille habet notam +, hic notam minus; ille sumtus est ex subjecto, hic ex praedicato) habent divisorem communem (nempe +10 et -14 ambo dividi exacte possunt per 2). 37Et contra quando id non fit falsa est. 38

Theorem. 2 Hinc Propositio universalis39 negativa converti potest simpliciter. Id est ex hac: nullus pius est miser, sequitur: nullus miser est pius, vel contra. Qu ia, nihil refert utrum dicas et quem 31 (1)

affi rm (2) negativam 32 (1) +20 – 21 +6 -7 (2) +70 … 33 (1) +20 (2) +70 … licet (a) -21 (b) -33 … per (ba) -7 (bb) -11 34 (1) Corollarium 1 (2) Theorema 1. 35 (1) affi rmativa (2) negativa 36 (1) qua (2) in qua (3) (verb. … 37 /Et … est. erg L/ 38 (1) Corollar. (2) Theorem. 39 /negativa erg. L/

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gleiche bedeutet, um die UA falsch) zu erweisen. Wenn man etwa annimmt Ein Weiser ist nicht reich +70 -33 +8 -11 +cdh –ef +g -f so ist klar, dass +70 nicht genau durch +8 teilbar ist, was genügt, obwohl -33 durch -11 geteilt werden kann. Theorem 1 Die universell affi rmative und die partikulär negative Aussage stehen sich kontradiktorisch gegenüber, so dass sie weder zusammen wahr noch zusammen falsch sein können. (IV) Die universell negative Aussage (zum Beispiel Kein Frommer ist unglücklich) +10 -3 +5 -14 +cd –e +l -cm ist wahr, wenn irgendwelche zwei mit verschiedenen Vorzeichen versehenen Zahlen verschiedener Terme (wie +10 und -14, denn erstere hat das Vorzeichen +, letztere das Vorzeichen -; erstere stammt aus dem Subjekt, letztere aus dem Prädikat) einen gemeinsamen Teiler besitzen (denn +10 und -14 können beide genau durch 2 geteilt werden). Und wenn umgekehrt diese Bedingung nicht erfüllt ist, dann ist die Aussage falsch. Theorem 2 Die universell negative Aussage lässt sich einfach konvertieren. D.h. aus ‚Kein Frommer ist elend‘ folgt ‚Kein Elender ist fromm‘, und umgekehrt. Weil es nämlich egal ist, wie man dies sagt und welchen Begriff man als Subjekt und welchen man

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terminum pro subjecto aut quem pro praedicato habeas neque enim in40 conditionem propositionis universalis negativae verae subjecti aut praedicati mentio41 diversimode ingreditur sed sufficit unius termini numerum unius notae per alterius termini numerum alterius notae posse dividi quicunque tandem ex his duobus terminis subjectum sit aut praedicatum. (V) Propositio particularis affirmativa vera est quando universalis negativa vera non est.42 Et contra. Verbi gratia: Qu idam fortunatus est miser43 +11 -9 +5 -14 +n –p44 +l -cm 45 quia nec +11 et -14 nec [-9] et +5 communem divisorem habent (quorum alterutrum46 alias suffecisset ad propositionem universalem negativam veram reddendam). Similiter: Qu idam sapiens est47 pius48 +70 -33 +10 -3 +cdh –ef +cd -e 49 quia nec +70 et -3 nec -33 et +10 divisorem communem habent.

40 (1)

defi nitionem (2) conditionem (a) Prop Univ Neg (b) propositionis … 41 /diversimode erg. L/ 42 (1) seu quando non reperitur (2) Et contra 43 (1) +11 -7 +5 -4 (2) +11 -9 +5 -14 44 (1) +ls –cm (2) +l -cm 45 (1) +11 dividi potest per -4, nec -7 per +5 (2) +11 et (a) −4 (b) −14, nec /-7 L/ -9 ändert Hrsg. mit den Hrg. der Akademie-Ausgabe/ +5 communem … 46 /alias erg. L/ 47 (1) justus (2) pius 48 (1) +20 −21 (2) +70 −33 49 (1) +20 dividi potest per -3, nec -21 per +10. (2) +20 et -3, nec -21 (3) +70 et …

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als Prädikat betrachtet, so wird in die Wahrheitsbedingung für die universell negative Aussage Subjekt bzw. Prädikat nicht in unterschiedlicher Weise ausgezeichnet, sondern es genügt, dass eine mit einem bestimmten Vorzeichen versehene Zahl des einen Terms durch die mit dem anderen Vorzeichen versehene Zahl des anderen Terms geteilt werden kann3, egal welcher der beiden Terme nun das Subjekt bzw. das Prädikat ist. (V) Eine partikulär affirmative Aussage ist wahr, wenn die universell negative falsch ist, und umgekehrt. Zum Beispiel Ein Reicher ist unglücklich +11 -9 +5 -14 +n -p +l -cm weil weder +11 mit -14 einen gemeinsamen Teiler besitzt4 noch -9 mit +5 (wobei andernfalls eine dieser Bedingungen ausreichen würde, die universell negative Aussage wahr zu machen). Ähnlich bei Ein Weiser ist fromm +70 -33 +10 -3 +cdh -ef +cd -e weil weder +70 mit -3 einen gemeinsamen Teiler besitzt, noch -33 mit +10.

3 Korrekterweise

müsste Leibniz hier sagen: „dass eine mit einem bestimmten Vorzeichen versehene Zahl des einen Terms einen gemeinsamen Teiler besitzt mit der mit dem anderen Vorzeichen versehenen Zahl des anderen Terms“. 4 Wie der textkritische Apparat zu # 45 auf S.258 zeigt, hatte Leibniz auch hier zunächst wieder an die stärkere Bedingung gedacht, dass bei den Paaren und eine mit einem + versehene Zahl des einen Paars durch eine mit einem – versehene Zahl des anderen Paars teilbar sein müsse.

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50

Theorem. 3 Propositio universalis negativa et particularis affi rmativa sibi contradictorie opponuntur (ita, ut non possunt esse simul 51 verae aut simul falsae). Patet ex dictis. 52

Theorem. 4 Propositio particularis affi rmativa converti potest simpliciter, v.g. quidam fortunatus est miser, Ergo quidam miser est fortunatus. Qu idam sapiens est53 pius, Ergo quidam pius est sapiens. Patet eodem modo quo ostendimus propositionem Univ. Negativam (quae huic contradicit) simpliciter converti 54vid theor. 2. 55 Hae sunt propositionum categoricarum verarum pro diversa sua qualitate et quantitate, defi nitiones seu conditiones quibus continentur totius calculi Logici principia, unde jam consequentias Logicas celebriores solo56 numerorum usu jam explicato, demonstrabimus: Consequentiae illae sunt vel57 simplices vel syllogisticae. Consequentiae simplices58 celebriores 50 (1)

Corollar. 3. (2) Theorem. 3. falsae (2) verae 52 (1) Corollar. 4 (2) Theorem. 4 53 (1) justus (2) pius, Ergo /et streicht L/ quidam (a) justus (b) pius … 54 /vid. Theor. 2 erg L/ 55  (1) Et his (2) Hae sunt (a) defi nitiones sive totius Calculi Logici Categorici (aa) fundamenta (ab) princi (b) propositionum … quantitate (ba) sive totius (bb) defi nitiones (bba) et in his defi nitionibus continentur (bbb) seu …principia (bbba) Hinc alia adhuc Corollaria duci possunt circa (bbbb) ex quibus jam reliquas (bbbc) ex quibus se (bbbd) unde … celebriores 56 (1) calculo numerorum demonstrabo (2) numerorum 57 (1) syllo (2) composit (3) derivatae (4) syllogisticae 58 (1) sunt Oppositio, Subalternatio, Conversio (a) De Oppositione contradictoria jam (aa) duo habuimus di (ab) probavimus coroll (b) Oppositio, est vel contradictoria inter ea quae nec simul vera nec simul falsa esse possunt, de quibus diximus coroll. 1 et 3, vel est contraria cum duae propositiones (ba) simul esse possunt falsae non tamen s (bb) non possunt simul esse verae, (bba) sunt tamen (bbb) possunt tamen esse simul falsae. Hinc Coroll. 5. Universal. Affi rm. et Univers. Neg. sibi (bbba) contradictorie 51 (1)

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Theorem 3 Die universell negative und die partikulär affi rmative Aussage stehen sich kontradiktorisch gegenüber (d.h. so, dass sie nicht beide zusammen wahr, aber auch nicht beide zusammen falsch sein können). Das erhellt aus dem Gesagten. Theorem 4 Die partikulär affi rmative Aussage lässt sich einfach konvertieren, z.B. ‚Ein Reicher ist elend‘ also ‚Ein Elender ist reich‘. ‚Ein Weiser ist fromm‘, also ‚Ein Frommer ist weise‘. Dies erhellt in gleicher Weise, wie wir die einfache Konvertierbarkeit der universell negativen Aussage (die die Verneinung der partikulär affi rmativen darstellt) gezeigt haben. Vgl. Theorem 2. Dies sind die Defi nitionen bzw. Wahrheitsbedingungen der nach Qu a lität und Qu antität verschiedenen kategorischen Aussagen, in denen die gesamten Prinzipien des Logischen Kalküls enthalten sind. Davon werden wir die berühmten logischen Schlussfolgerungen alleine durch die bereits erläuterte Verwendung von Zahlen beweisen. Diese Schlussfolgerungen sind entweder einfacher oder syllogistischer Natur. Bei den berühmteren ein fachen Schlussfolgerungen handelt es sich um die Subalternation, die Opposition und die Konversion. Eine

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sunt Subalternatio, Oppositio, Conversio. Subalternatio est cum ex universali concluditur particulare. Sit ergo 59

Theorem. 5 Semper locum habet subalternatio seu semper ex universali concludi potest particulare. Omne sapiens est60 pius 61 +70 -33 +10 -3 +cdh -ef +cd -e Ergo quidam sapiens est62 pius. Hoc ita demonstro:63 -33 dividi potest per [-3] 64(ob propositionem universalem affi rmativam, per reg. 2). Ergo65 +70 et [-3] non habent divisorem communem (alioqui66 ♥ -70 et -33 haberent eundem divisorem communem, quod est contra reg. 1). Similiter67 +70 dividi potest per +10 (per reg. 2) ergo68 -33 et +10 non habent divisorem communem (alioqui ♥ enim69 -33 et [+]70 haberent etiam divisorem communem, quod est contra reg. 1). Quoniam ergo70 tam +70 et -3, quam -33 et +10 non habent divisorem communem, vera erit propositio particu-

(bbbb) contrarie opponuntur. Non possunt enim simul esse verae. (2) celebriores 59 (1) Coroll. 5. (2) Theorem. 5. 60 (1) justus (2) pius 61 (1) +20 −21 (2) +70 −33 62 (1) justus (2) pius 63 (1) +20 (2) -21 dividi potest per -7 (3) -33 … /-11 L/ -3 ändert Hrsg. mit den Hrg. der Akademie-Ausgabe 64 (1) ob propositionem (2) (per (3) ob prop. Univ. aff. (4) ob … 65 (1) +20 (a) non dividi potest per -7 (b) et -7 (2) +70 et /-11 L/-3 ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe/non habent 66 /♥ erg. L/ (1) +20 et −21 (2) +70 et −33 haberent /eundem erg. L/ divisorem 67 (1) +20 (2) +70 68 (1) −21 non potest (2) −33 et 69 (1) −21 et 20 (2) −33 et /+ erg. Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe/ 70 70 (1) +20 (2) +70 … quam (a) -21 et +20 (b) -33 et +10

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Subalternation liegt vor, wenn aus einer universellen Aussage die partikuläre entsteht. Sei also Theorem 5 Eine Subalternation fi ndet immer statt, d.h. aus einer universellen Aussage kann immer die partikuläre erschlossen werden. Jeder Weise ist fromm +70 – 33 +10 -3 +cdh –ef +cd –e Also Ein Weiser ist fromm. Das beweise ich wie folgt. -33 lässt sich durch -3 teilen (wegen Regel 2 für die universell affi rmative Aussage). Also besitzen +70 und -3 keinen gemeinsamen Teiler (andernfalls ♥ hätten +70 und -33 denselben gemeinsamen Teiler, was Regel 1 widerspricht). Analog ist (gem. Reg. 2) +70 durch +10 teilbar, also haben -33 und +10 keinen gemeinsamen Teiler (andernfalls ♥ hätten nämlich -33 et +70 ebenfalls einen gemeinsamen Teiler, was der Reg. 1 widerspricht). Der Grund für die durch ‚♥‘ gekennzeichnete Schlussfolgerung ist für jeden, der die Natur der Zahlen versteht, offenkundig, denn der Teiler eines Teilers ist zugleich Teiler des Geteilten. Wenn zum Beispiel -33 als dritte

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laris affi rmativa (per reg.71 [5]) nempe quidam sapiens est pius. (Ratio consequentiae72 per ♥ notatae manifesta est numerorum naturam intelligenti, quia divisor divisoris est etiam divisor dividendi.73 Itaque si verbi gratia74 -33 tertius numerus, et +10 divisor75 habent divisorem communem, is divisor divisoris +1076 et numeri -33 erit etiam divisor dividendi per +10, nempe77 +70. Ergo sequeretur -33 et +70 habere divisorem communem.) 78 Ita et in Negativis res demonstrari poterit: Verbi gratia: Nullus pius est miser +10 -3 +5 -14 +cd –e +l -cm Ergo: Qu idam pius non est miser 79 Nam quia +10 et -14 habent communem divisorem (ob universalem negativam per reg. 4), ergo -3 et -14 non habent communem divisorem (nam alioqui etiam -3 et +10 communem divisorem haberent contra reg. 1) Ergo nec -3 dividi potest per -1480 (alioqui haberent communem divisorem, quia divisor divisoris est etiam divisor dividendi).81 Jam -3 non potest dividi

71 /4

L/ 5 ändert Hrsg. mit den Hrg. der Akademie-Ausgabe (1) quod demonstrandum e (2) nempe … est (a) justus (b) pius 72 /(1) est (2) signo (3) per … intelligenti erg. L/ 73 (1) Ergo si +10 divisor (2) seu divisor et dividendus haben (3) Itaque 74 (1) +10 (2) -21 (3) -33 (a) et +10 (b) tertius 75 (1) habent (2) (numeri 20) (3) habent (a) dividentem (b) divisorem 76 (1) erit etiam (2) et numeri (a) -21 (b) -33 … 77 (1) +20 (2) +70 … sequeretur (a) -21 et +20 (2) -33 et +70 … 78 (1) Quoniam ergo tam +20 et -3 quam -21 et +10 non h (2) Eodem mod (3) Ita … 79 (1) Nam quia (a) (b) +10 dividi potest per +5 (2) Nam … divisorem /(ob … reg. 4)/ erg. L … 80 (1) alioqui (2) (semper enim divisor et dividendus communem div (3) (alioqui … 81 (1) Ergo (2) Jam

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Zahl und +10 als Teiler einen gemeinsamen Teiler besitzen, dann ist dieser Teiler des Teilers +10 und der Zahl -335 zugleich Teiler jeder durch +10 teilbaren Zahl, also von +70. Also würde folgen, dass -33 und +70 einen gemeinsamen Teiler besitzen). Die Subalternation kann auch im Falle negativer Aussage auf gleiche Art bewiesen werden. Zum Beispiel Kein Frommer ist unglücklich +10 -3 +5 -14, +cd -e +l -cm Also: Ein Frommer ist nicht unglücklich. Denn da +10 und -14 einen gemeinsamen Teiler besitzen (wegen Regel 4 für universell negative Aussage), haben -3 und -14 keinen gemeinsamen Teiler (andernfalls hätten auch -3 und +10 einen gemeinsamen Teiler, was Regel 1 widerspricht). Also gilt erst recht, dass -3 nicht durch -14 teilbar ist (andernfalls hätten sie einen gemeinsamen Teiler, weil ja der Teiler eines Teilers auch Teiler des Vielfachen ist). Nun kann -3 nicht durch -14 geteilt werden, also ist die partikulär negative Aussage (gemäß Regel 3) wahr. Quod erat demonstrandum. Diese beiden Beweise sind von größter Bedeutung, und zwar nicht, weil sie eine ohnehin schon sichere Sache noch sicherer

5 Schmidt

(1960: 489) meint, dass bei Leibniz wie auch in C., 81 ‚+33‘ statt des sachlich gebotenen ‚-33‘ stehen würde; tatsächlich ist dies aber nur ein Editionsfehler von Couturat. Parkinson (1966: 29) hat Schmidts »Korrektur« mit der Anmerkung „Leibniz’s text has +33“ (fn. 1) kritiklos übernommen.

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per -14.82 Ergo propositio particularis negativa est vera (per reg. [3]) Quod erat demonstrandum. Hae duae demonstrationes maximi momenti sunt, 83 non quidem ad rem per se claram 84 reddendam certiorem, sed ad calculi nostri fundamenta jacienda, ac cognoscendam harmoniam. Certe tum maxime animadverti me veras 85 calculi leges obtinuisse, cum has demonstrationes, a quarum successu pendebant86 omnia, sum assecutus. Et ratio hujus rei est quia notiones universales tractans,87 transitum maxime quaerabam a genere ad speciem: neque enim considero genus88 ut majus quiddam specie, seu ut totum ex speciebus, quemadmodum solet fieri (non male quidem, quia individua generis se habent ad individua speciei ut totum ad partem) sed considero genus ut partem speciei, quia notio speciei ex notione generis et differentiae conflatur. Et huic principio hanc calculandi rationem inaedificavi, quia non individua 89 sed ideas spectavi. Verum ita procedenti difficillimus fuit descensus a generi ad speciem, quia est progressus90 a parte ad totum. 91 Huic vero his ipsis demonstrationibus viam munivi, 92quibus ab universalibus ad particularia tenditur. Subalternationem sequitur Oppositio. Est autem Oppositio vel contradictoria 93 cum duae propositiones oppositae nec simul verae esse possunt nec simul falsae (quam locum habere 82 (1)

propositio est particularis negativa (2) Ergo … reg. /5 L/ 3 ändert Hrsg. mit den Hrg. der Akademieausgabe 83 (1) etsi in re nota (2) non 84 (1) certam reddam (2) reddendam … nostri (a) vera (b) vera streicht L (c) fundamenta … 85 (1) numerorum for (2) calculi leges assecutum, (3) calculi … 86 /inde streicht L/ 87 (1) expectabam transitum ad species. (2) transitum 88 /ut … seu erg. L/ 89 (1) et singulari (2) sed 90 (1) a toto ad parte (2) a parte 91 (1) Hunc vero (aa) positis p (b) loco (2) Huic 92 (1) quae ab particulari (2) quibus 93 /cum (1) utrique (2) duae … falsae erg. L/

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machen würden, sondern weil sie die Grundlagen unseres Kalküls bilden und die Harmonie erkennen lassen. Als ich diese Beweise, von deren Erfolg alles abhing, damals entdeckte, habe ich insbesondere bemerkt, die wahren Gesetze des Kalküls erlangt zu haben. Und der Grund hierfür liegt darin, dass ich bei der Behandlung der allgemeinen Begriffe vor allem den Übergang von der Gattung zur Art suchte; denn ich betrachtete die Gattung nicht, wie sonst üblich, als etwas Größeres als die Art, d.h. wie ein aus den Arten zusammengesetztes Ganzes (was nicht falsch wäre, weil sich ja die Individuen der Gatt ung zu den Individuen der Art wie ein Ganzes zum Teil verhalten), sondern ich betrachtete die Gattung als einen Teil der Art, weil der Begriff der Art sich aus dem Begriff der Gatt ung und der spezifischen Differenz zusammensetzt. Und auf diesem Prinzip habe ich die vorliegende Rechen methode errichtet, denn ich betrachtete nicht die Individuen, sondern die Ideen. Bei diesem Vorgehen war aber der Übergang von der Gattung zur Art sehr schwierig, weil er dem Übergang vom Teil zum Ganzen entspricht. Den Weg hierhin habe ich jedoch mit eben diesen Beweisen geebnet, durch die man vom Allgemeinen zum Besonderen übergeht. Nach der Subalternation kommt die Opposition. Eine Opposition ist ent weder kontradiktorisch, wenn zwei entgegengesetzte Aussagen weder zugleich wahr noch zugleich falsch sein können (wie es gemäß Theor. 2 bei der universell affi rmativen und der partikulär negativen Aussage der Fall ist sowie gemäß

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inter Universalem affi rmativam et particularem negativam dictum theor.94 [1] et inter universalem negativam et particularem affi rmativam th. 3) vel contraria cum non possunt esse simul verae, possunt tamen esse simul falsae,95 vel subcontraria, cum possunt simul esse verae, non tamen simul falsae. Theor. 6. Universalis Affirmativa et Universalis Negativa sibi opponuntur contrarie. V.g. Omnis sapiens est fortunatus +70 -33 +8 -11 +cdh –ef +g –f et Nullus sapiens est fortunatus. Non possunt simul esse verae96 nam si prior et posterior simul est vera, sequetur ex posteriore: quidam sapiens non est fortunatus (per th. 5) prior autem erat Omnis sapiens est fortunatus, ergo hae duae simul verae erunt contra th. 1. Possunt tamen simul esse falsae. Nam fieri potest ut neque +70 dividi possit per +8 (Ergo prior est falsa per reg. 2) neque tamen aut +70 et -11 aut -33 et +8 habeant divisorem communem (Ergo posterior est falsa per reg. 4). (Potuisset et aliud exemplum assumi, in quo nec numerus97 qui esset loco -33 potuisset dividi per numerum qui esset loco -11, sed res eodem redit). April. 1679 No 6. plag. 2 Theor. 7 Particularis affi rmativa et particularis negativa sibi opponuntur subcontrarie,98 seu possunt esse simul verae, non tamen simul falsae, verbi gratia Qu idam sapiens est fortunatus et quidam sapiens non est fortunatus. Sequitur ex praecedenti: nam 94 1

L/ 2 ändert Hrsg. mit Couturat und den Hrg. der Akademieausgabe 95 (1) vel (2) (de quo mox) (3) vel … 96 (1) Nam tum quidam sapiens est fortu (2) nam 97 /qui esset loco/ erg. L …numerum /qui esset/ erg L … -11 /sed … redit/ erg. L 98 /seu … fortunatus/ erg. L

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Theor. 3 bei der universell negativen und der partikulär affi rmativen); oder die Opposition ist konträr, wenn beide Aussagen nicht zusammen wahr, wohl aber zusammen falsch sein können; oder sie ist subkonträr, wenn beide zusammen wahr, nicht jedoch zusammen falsch sein können. Theor. 6 Die universell affi rmative und die universell negative Aussage stehen sich konträr gegenüber. Z.B. die Aussagen Jeder Weise ist wohlhabend +70 -33 +8 -11 +cdh -ef +g –f und Kein Weiser ist wohlhabend können nicht zusammen wahr sein. Denn wenn erstere und letztere zugleich wahr wären, so würde aus letzterer (gem. Th. 5 [d.h. per Subalternation]) folgen ‚Ein Weiser ist nicht wohlhabend‘; die erstere lautete aber ‚Jeder Weise ist wohlhabend‘; also wären diese beiden zusammen wahr im Widerspruch zu [dem Oppositionsgesetz] Th. 1. Hingegen können beide Aussagen zusammen falsch sein, denn es könnte geschehen, dass weder +70 durch +8 teilbar ist (so dass also die erstere Aussage gemäß Reg. 2 falsch wäre), noch dass +70 mit -11 und auch nicht -33 mit +8 einen gemeinsamen Teiler besitzt (so dass also die letztere Aussage gem. Reg. 4 falsch wird). (Man könnte auch ein anderes Zahlenbeispiel nehmen, bei dem sich nicht einmal die statt -33 gewählte Zahl durch die Zahl teilen ließe, die statt -11 zu wählen wäre, doch dies läuft auf das Gleiche hinaus). April 1679, Nr. 6, Blatt 2 Theor. 7 Die partikulär affi rmative und die partikulär negative Aussage stehen sich subkonträr gegenüber, d.h. sie können beide zusammen wahr, aber nicht zusammen falsch sein. Das folgt aus dem Vorhergehenden. Denn da (gemäß Th. 1, 3) die parti kulären Aussagen den universellen Aussagen der anderen Qualität kontradiktorisch entgegengesetzt sind, sind

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

quia universalibus contrarii signi contradictorie opponuntur particulares (per th. 1, 3), hinc cum illa sunt verae, hae sunt falsae, et contra. Jam illae possunt esse simul falsae (per th. 6 praeced.) ergo hae simul verae. Illae non possunt esse simul verae (per idem th. 6), ergo hae non possunt esse simul falsae.99 Conversio100 fit vel simpliciter vel per accidens. Conversio quae fit simpliciter locum habet in universali negativa101 per th. 2 (Nullus pius est miser. Ergo nullus miser est pius, vel contra) et in particulari affi rmativa102 per th. 4. (quidam fortunatus est miser, Ergo quidam miser est fortunatus.) Et contra. 103 Conversio per accidens locum habet in universali affi rmativa, ut mox ostendam. Conversio neutra (vi formae) in particulari negativa locum habet. De conversione per contrapositionem hic non loquor ea enim novum terminum assumit. Exempli gratia Omnis sapiens est pius. Ergo qui non est pius non est sapiens. Seu104 [Nullus] nonpius est sapiens. Habemus enim tres terminos: sapiens, pius, non-pius. Mihi autem sermo est hic de consequentiis simplicibus ubi servantur105 iidem termini. Praeterea usus hujus conversionis nullus est necessarius ad demonstrandas syllogismorum figuras et modos. Et proprietates hujusmodi infi nitorum terminorum non-pius, non-miser, etc. demonstrari debent et possunt per nostrum calculum, sepa ratim, quemadmodum modalium. Habent enim multa peculiaria, nam si ipsos adhibeas, syllogismus poterit habere quatuor terminos, et nihilominus bonus erit, aliaque multa quae non sunt hujus loci quia propo-

 99 /Ita

fieri potest sim/ streicht L 100 (1) est vel simplex vel (2) fit 101 /per th. 2 erg. L/ (1) (Omnis (2) (Nullus 102 /per th. 4 erg. L/ 103 (1) Conversio per accidens (2) Conversio… 104 /Omnis L/ Nullus korrigiert Hrg. mit Couturat. Die Hrg. der AkademieAusgabe korrigieren den Lapsus von Leibniz anders, nämlich durch ‚Seu Omnis non-pius est [non-]sapiens‘. Dies macht jedoch weitere Korrekturen notwendig. 105 (1) idem (2) iidem

Regeln

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diese wahr, wenn jene falsch sind, und umgekehrt. Doch jene [die universellen] können (gemäß dem vorherigen Th. 6) zusammen falsch, also können diese [partikulären] zusammen wahr sein. Jene können (gemäß demselben Th. 6) nicht zusammen wahr sein, also können diese nicht zusammen falsch sein. Eine Konversion erfolgt entweder einfach oder akzidentell. Eine einfache Konversion fi ndet gemäß Th. 2 bei der universell negativen Aussage Anwendung (‚Kein Frommer ist elend‘, also ‚Kein Elender ist fromm‘, oder umgekehrt) und gemäß Th. 4 bei der partikulär affi rmativen Aussage (‚Ein Wohlhabender ist elend‘, also ‚Ein Elender ist wohlhabend‘, und umgekehrt). Eine akzidentelle Konversion fi ndet, wie gleich gezeigt wird, bei der universell affi rmativen Aussage Anwendung. Bei einer partikulär negativen Aussage fi ndet (der logischen Form nach) keinerlei Konversion Anwendung. Von der Konversion durch Kontraposition spreche ich hier nicht, denn sie führt einen neuen Begriff ein. Zum Beispiel ‚Jeder Weise ist fromm‘, also ‚Jeder, der nicht fromm ist, ist nicht weise‘ bzw. ‚Kein Unfrommer ist weise‘. Wir haben hier nämlich drei Begriffe: Weise, Fromm und Unfromm. Ich will hier aber nur von den einfachen Schlussfolgerungen reden, bei denen dieselben Begriffe beibehalten werden. Außerdem ist die Verwendung dieser Konversion für den Beweis der syllogistischen Modi und Figuren überhaupt nicht notwendig. Und die Eigenschaften dieser Art »infiniter« Begriffe wie ‚Unfromm‘, ‚Nicht-elend‘ etc. müssen und können in unserem Kalkül separat bewiesen werden, so wie auch die Eigenschaften der Modalbegriffe. Die infi niten Begriffe haben nämlich viele Besonderheiten; denn wenn man sie zulässt, könnte ein Syllogismus vier Begriffe enthalten und dennoch logisch gültig sein. Und es gibt noch viele andere Besonderheiten, die hier nicht behandelt

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

situm est nobis106 syllogismorum categoricorum triterminorum generales modos et figuras calculo ostendere. Theor. 8 Universalis affi rmativa converti potest per accidens. Omnis sapiens est pius, Ergo quidam pius est sapiens.107 Nam quia omnis sapiens est pius, ergo108 (per th. 5) quidam sapiens est pius. Ergo (per th. 4) quidam pius est sapiens. […]109 A consequentiis simplicibus in quibus duo tantum sunt termini transeo ad110 consequentias triterminas seu syllogismos categoricos. Sed tunc paulo majore cura opus est ad numeros terminorum apte assumendos: quia idem terminus111 nempe medius utrique praemissae inest,112 et ideo numeri ejus characteristici utriusque praemissae regulis accomodari113 debent: Quod ut fiat primum ipse medius accomodetur uni extremorum, Majori scilicet vel minore termino, sed114 alter extremus postea ipsi accomodetur.115 Ubi notandum praestare subjectum accomodare praedicato quam contra, ut ex regulis superioribus consideranti constabit. Itaque si qua sit116 praemissa in qua Medius terminus sit117 subjectum, ab ea incipiatur et praedicati 106 (1)

syllogismos categoricos communiter receptos per calculum demonstra (2) syllogismorum … figuras (a) osten (b) calculo 107 (1) Nam (2) Ergo (a) quidam (b) quidam pius est sapiens (3) Nam 108 /(per th. 5) erg. L/ 109 Hier ausgelassen sind zwei längere, von Leibniz verworfene Absätze, die sich jedoch in der Akademie-Ausgabe (A VI, 4, 249-250) finden. 110 (1) compositas (2) consequentias 111 (1) major scilicet et minor (2) nempe 112 (1) ideoque utriusque regulis s (2) et ideo … 113 (1) possunt (2) debent 114 (1) medius postea accomodatur (2) alter extremus … 115 (1) Et semper sa (2) Ubi notandum /semper streicht L/ praestare (a) praedi (b) subjectum 116 (1) propositio (2) praemissa 117 (1) praedicatum ab ea (2) subjectum … et (a) medius (b) praedicati ejus /pro arbitrio gestr. L/ numeris … assumtis (ba) his (bb) accommodentur /ei erg. L/numeris … termini; (bba) his postea al (bbb) inventis …

Regeln

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werden, weil unsere Aufgabe darin besteht, mittels des Kalküls die allgemeinen Modi und Figuren der kategorischen Syllogismen mit nur drei Begriffen zu beweisen. Theor. 8 Eine universell affi rmative Aussage kann akzidentell konvertiert werden. ‚Jeder Weise ist fromm‘, also ‚Ein Frommer ist weise‘. Denn da jeder Weise fromm ist, gilt (gem. [dem Subalternationsgesetz] Theor. 5) ‚Ein Weiser ist fromm‘, also (gem. [dem Prinzip der einfachen Konversion] Theor. 4) ‚Ein Frommer ist weise‘. Von den einfachen Schlussfolgerungen, in denen nur zwei Begriffe vorkommen, gehe ich zu den Schlussfolgerungen mit drei Begriffen über, d.h. zu den kategorischen Syllogismen. Doch nun ist bei der Wahl geeigneter [charakteristischer] Zahlen für die Begriffe etwas größere Sorgfalt nötig, weil ein und derselbe Begriff, nämlich der Medius, in beiden Prämissen vorkommt und also seine charakteristischen Zahlen den Regeln für beide Prämissen angepasst werden müssen. Zu diesem Zweck muss zunächst der Medius einem der Außenbegriffe, d.h. dem Major oder dem Minor, angepasst werden und der andere Außenbegriff danach diesem. Dabei ist zu beachten, dass es besser ist, das Subjekt dem Prädikat anzupassen als umgekehrt; dies wird aus der Betrachtung der obigen Regeln einsichtig. Wenn es also eine Prämisse gibt, in der der Medius das Subjekt darstellt, sollte man mit ihr beginnen, und nachdem man die Zahlen für das Prädikat willkürlich gewählt hat, werden ihm

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

ejus numeris pro arbitrio assumtis accomodentur ei numeris subjecti seu medii termini; inventis jam ita medii termini numeris, his numeri alterius termini in altera praemissa etiam accomodentur. Habitis jam ita Majoris ac Minoris termini numeris characteristicis, facile apparebit an eam inter se legem servent, quam conclusionis forma praescribit, id est an conclusio vi formae ex praemissis ducatur. Sed ut haec numerorum assumtio facilius fiat, certas quasdam regulas praescribam.

Regeln

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die Zahlen für das Subjekt, d.h. den Medius, angepasst. Nachdem die Zahlen für den Medius so bestimmt wurden, werden auch die Zahlen für den anderen Begriff der anderen Prä misse diesen angepasst. Liegen die charakteristischen Zahlen des Major- und des Minorbegriffs vor, so wird sogleich deutlich, ob sie dem Gesetz genügen, das durch die logische Form der Konklusion festgelegt wird, d.h. ob die Konklusion aus den Prämissen formal schlüssig folgt. Damit jedoch diese Wahl der Zahlen leichter erfolgt, werde ich gewisse Regeln aufstellen.

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.5.3 Kommentar In diesem Text entwickelt Leibniz ausführlich den komplexeren semantischen Ansatz, bei dem jedem Begriff B zwei charakteristische Zahlen Z1(B) und Z2(B) zugeordnet werden: die erste soll mit einem Plus-, die zweite mit einem Minuszeichen versehen werden. Diese Vorzeichen waren zwar, wie sich in Abschnitt 3.4 zeigte, durchaus philosophisch motiviert, insofern die positiven Zahlen den »positiven« Merkmalen und die negativen Zahlen den »privativen« Att ributen des Begriffs entsprechen sollen. Für das eigentliche »Funktionieren« der Semantik haben sie jedoch, wie Glashoff (2002) argumentierte, keine wirkliche Bedeutung.1 Wichtig ist allein, dass die beiden Komponenten stets eindeutig unterscheidbar bleiben, was z. B. auch dadurch gewährleistet wäre, dass man die zweite Zahl in einer anderen Schrift als die erste darstellt. Kürzt S das Subjekt und P das Prädikat der kategorischen Satzform ab, so lassen sich die charakteristischen Zahlenpaare außer in der Gestalt bzw. z.B. durch und wiedergeben. In einigen Entwürfen hat Leibniz diese Unterscheidungsmethoden sogar kombiniert. So heißt es z.B. in der letzten der neun Arbeiten aus dem April 1679: In jeder kategorischen Aussage sei die charakteristische Zahl des Subjekts +s -σ des Prädikates +p -π. […] Dabei ist nur das eine zu beachten, dass die sich entsprechenden, durch lateinische bzw. griechische Buchstaben ausgedrückten 1 Glashoff behauptet darüber hinaus, dass die Verwendung positiver vs.

negativer Zahlen irreführend sei und dass die einzig »korrekte« Deutung des Zahlenpaars darin bestünde, es als Bruch s/σ aufzufassen. Vgl. Glashoff (2002), S. 166: „… Leibniz’s notation +s -σ for his number pairs […] is not a good choice as it induces misleading associations with pairs of positive and negative numbers. In opposition to that we will show […] that the correct way of interpreting the characteristic numbers […] is to regard them as positive rational numbers s/σ”.

Kommentar

277

Zahlen (nämlich s und σ, ebenso p und π […]) relativ prim sind, d.h. keinen gemeinsamen Teiler außer der 1 besitzen.2

An Stelle der früheren Bedingung Sem-A 1, die die Wahrheit einer universell affi rmativen Aussage festlegt, tritt nunmehr die (auch schon in „Calculus consequentiarum“ aufgestellte) Forderung: Sem-A 3

A(S,P) ist wahr genau dann, wenn Z1(S) sich durch Z1(P) und Z2(S) sich durch Z2(P) teilen lässt.

Hieraus ergibt sich (unter Beachtung von Opp 1) für partikulär negative Aussagen folgende Bedingung: Sem-O 3

O(S,P) ist wahr genau dann, wenn Z1(S) nicht durch Z1(P) oder Z2(S) nicht durch Z2(P) geteilt werden kann.

Für universell negative Aussagen fordert Leibniz hingegen: Sem-E 3

E(S,P) ist wahr genau dann, wenn Z1(S) und Z2(P) oder Z2(S) und Z1(P) einen gemeinsamen Teiler besitzen.

Hieraus ergibt sich (qua Opposition) für partikulär affi rmative Aussagen schließlich: Sem-I 3

I(S,P) ist wahr genau dann, wenn weder Z1(S) mit Z2(P) noch Z2(S) und Z1(P) einen gemeinsamen Teiler besitzen.

Durch diese Bedingungen ist zunächst einmal gewährleistet, dass nicht jede PA automatisch wahr (bzw. nicht jede UN automatisch falsch) gemacht wird, denn es lassen sich für vorgegebene Begriffe S, P stets Zahlenpaare und wählen, so dass einerseits die Grundvoraussetzung erfüllt ist, dass die Komponenten ein und desselben Zahlenpaars relativ 2 Vgl.

S. 238.

A VI, 4, S. 252 oder die deutsche Übersetzung in Schmidt (1960),

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

prim zueinander sind, d.h. s besitzt keinen gemeinsamen Teiler mit σ und p auch keinen gemeinsamen Teiler mit π. Andererseits kann aber s einen gemeinsamen Teiler mit π (wie z.B. bei und ) und/oder σ einen gemeinsamen Teiler mit p besitzen (wie z.B. bei und ), wodurch die UN jeweils wahr – bzw. die PA jeweils falsch – gemacht würde. Wie Leibniz in den Theoremen 1-4 festhält, sind bei dieser Semantik nicht nur die Gesetze der Opposition trivialerweise erfüllt, sondern auch die Gesetze der einfachen Konversion. Denn die Wahrheitsbedingungen für die UN und für die PA wurden bewusst symmetrisch formuliert, so dass es keinen Unterschied macht, welcher der beiden Terme das Subjekt und welcher das Prädikat der jeweiligen Aussage darstellt. Weniger trivial hingegen ist die Tatsache, dass bei dem neuen semantischen Ansatz auch die Gesetze der Subalternation erfüllt werden. Wie Leibniz in Theorem 5 zeigt, folgt aus der Bedingung Sem-A 3 nicht nur für die Beispielszahlen , , sondern für beliebig zu wählende Größen , , dass die Bedingung Sem-I 3 erfüllt sein muss. Wäre nämlich s nicht relativ prim zu π, so gäbe es eine natürliche Zahl k (größer als 1), durch die sowohl s als auch π teilbar sind. Nach Voraussetzung von Sem-A 3 ist jedoch σ glatt durch π teilbar, d.h. es gibt eine natürliche Zahl m (≥1), so dass σ = m*π. Da nach Annahme π durch k teilbar ist, wäre also erst recht σ durch k teilbar. Damit wäre k gemeinsamer Teiler von s und σ im Widerspruch zu der Grundvoraussetzung, dass die beiden Komponenten einer charakteristischen Zahl stets relativ prim zueinander sind.3 Die Subalternation zwischen UN und PN beweist man wie folgt. Wenn die UN wahr ist, muss entweder +s mit -π oder +p mit -σ einen gemeinsamen Teiler besitzen. Sei etwa k (>1) gemeinsamer Teiler von s und π. Dann kann σ nicht glatt durch π teilbar sein, denn aus der Annahme einer natürlichen Zahl m noch offene zweite Teilbehauptung, dass auch σ relativ prim zu p ist, beweist man völlig analog. 3 Die

Kommentar

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(≥1) mit σ = m*π würde folgen, dass k (als Teiler von π) auch Teiler von σ wäre; also hätten s und σ einen gemeinsamen Teiler, was wieder der Grundvoraussetzung widerspricht, dass beide Komponenten einer charakteristischen Zahl relativ prim zueinander sind.4 In den Theoremen 6, 7 zeigt Leibniz schließlich, dass sich die beiden universellen Satzformen konträr (und die beiden partikulären demzufolge subkonträr) zueinander verhalten. Dass UA und UN nicht zusammen wahr sein können, ergibt sich – ohne auf Details der charakteristischen Zahlen eingehen zu müssen – aus den bereits bewiesenen Theoremen. Denn aus der Annahme der Wahrheit der UA folgt per Subalternation jene der PA und hieraus per Opposition die Falschheit der UN. Somit bleibt nur noch nachzuweisen, dass UA und UN zusammen falsch sein können. Hierfür reicht ein einziges Gegenbeispiel völlig aus. Bei der von Leibniz angegebenen Wahl , wird die UA falsch, weil 70 kein Vielfaches von 8 ist; und die UN wird falsch, weil weder 70 mit 11 noch 33 mit 8 einen gemeinsamen Teiler besitzt. Als Korollar ergibt sich unmittelbar, dass PA und PN durch das gleiche Beispiel zusammen wahr gemacht werden. Außerdem können PA und PN niemals zusammen falsch sein, weil ansonsten UN und UA zusammen wahr wären. Als weiteres Korollar folgt die »akzidentelle« Konvertierbarkeit der UA (Theorem 8), weil ganz generell – ohne Bezugnahme auf Details der charakteristischen Zahlen – aus der UA zunächst die PA gemäß Sub 1 abgeleitet und das Resultat gemäß Konv 2 konvertiert werden darf. Damit ist insgesamt gezeigt, dass alle »einfachen« Gesetze der »Aristotelischen« Syllogistik durch Leibniz‘ Semantik als allgemeingültig ausgewiesen werden, und es bleibt nur noch der Nachweis offen, dass dies auch für die (allgemein als gültig akzeptierten) »Modi« bzw. Syllogismen gilt.

4 Auch

hier verläuft der Beweis des zweiten Unterfalls, wo angenommen wird, dass p und σ einen gemeinsamen Teiler besitzen, völlig analog.

280

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Diese Aufgabe wird Leibniz in No.  7 seiner einschlägigen Arbeiten in Angriff nehmen. Zuvor wollen wir aber erst die Versuche betrachten, den negativen Begriffen charakteristische Zahlen so zuzuordnen, dass auch die Gesetze der »Scholastischen« Syllogistik, d.h. insbesondere die Gesetze der Obversion und der Kontraposition, erfüllt werden. Einen Ansatz hierzu hatte Leibniz in der vorliegenden Schrift unternommen, als er in Erwägung zog, die charakteristische(n) Zahl(en) des Begriffs ~B einfach durch Vertauschen der Vorzeichen der Zahl(en) von B zu gewinnen. Wenn Z(B) etwa ist, soll für Z(~B) also gewählt werden. Damit wäre insbesondere das Gesetz der doppelten Verneinung erfüllt, denn nach zweifachem Vertauschen der Vorzeichen erhält man natürlich Z(~(~B)) = Z(B).5 Andererseits würde bei diesem Ansatz das Kontrapositionsgesetz offenkundig verletzt. Gälte nämlich A(S,P), d.h. für die charakteristischen Zahlen und sei sowohl s durch p als auch σ durch π teilbar, z.B. und . Nach der von Leibniz erwogenenen Regel wären dann ~S die Zahl(en) und ~P die Zahl(en) (bzw. allgemeiner vs. ) zuzuordnen. Damit würde aber die Aussage A(~S,~P) wahr, so dass anstelle des (gültigen) Kontra 1 die umgekehrte, selbstverständlich ungültige Implikation A(S,P) → A(~S,~P) als allgemeingültig ausgewiesen würde. Vermutlich hatte Leibniz dieses Problem selber erkannt und deshalb den fraglichen Absatz gestrichen.6

5 Außerdem

würde der widerspruchsfreie Begriff B(~B) gemäß der Produktregel die »unmögliche« Zahl erhalten, was durchaus Leibniz‘ Intuition entspricht. 6 Ähnlich hatte bereits Couturat (1901: 332-3) auf die Probleme hingewiesen, die sich aus der Bestimmung der charakteristischen Zahlen negativer Begriffe für das Gesetz der Kontraposition ergeben. Darauf gehen wir im Abschnitt 3.7 noch ausführlicher ein.

282

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.6.1 Essay „No. 7“1 April 1679. No 7 In omni Propositione Categorica sit numerus characteristicus subjecti +s -σ praedicati +p -π. Fient aequationes duae nempe ls = mp3 et λσ = μπ. 4 Hoc uno observato ut numeri expressi literis latinis et graecis sibi respondentibus5 (nempe s et σ, item p et π, itemque l et λ ac denique m et μ), sint primi inter se, seu nullum habeant divisorem communem praeter unitatem. Fiet ex his s = mp/l σ = μπ/λ p = ls/m π = λσ/μ Dazu am Rande as = mp aσ = μπ es = mp/l eσ = μπ/λ 6 es/π vel eπ/s reducibiles In Propositione Universali affi rmativa erit l = 1 et λ = 1.7 In propositione Particulari Negativa erit vel l vel λ major quam 1. 2

1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 2, 16-17; vgl. die gekürzte Fassung in C., 245-247 und A VI, 4, 251-256. Die Arbeit wurde von Leibniz nicht betitelt. Die Hrg. der Akademieausgabe gaben ihr den Titel „Numeri characteristici latine graece hebraice expressi“. 2 (1) In omni propositione categorica cuius subjectum s -σ, praedicatum (2) In … 3 Zur Vereinfachung wurde Leibniz‘ „aequ.“ überall (außer im textkritischen Apparat) durch das moderne Zeichen = ersetzt. 4 (1) numeri gra (2) numeri … 5 /(nempe … et μ) erg. L/ 6 (1) communem habent divisorum (2) reducibiles 7 Daneben: male

Essay „No. 7“

283

3.6.2 Essay „No. 7“1 April 1679. No. 7 In jeder kategorischen Aussage sei die charakteristische Zahl des Subjekts +s -σ des Prädikates +p -π. Daraus ergeben sich zwei Gleichungen, nämlich l*s = m*p und λ*σ = μ*π. Dabei ist nur das eine zu beachten, dass die sich entsprechenden, durch lateinische und griechische Buchstaben ausgedrückten Zahlen (nämlich s und σ und p und π sowie l und λ und m und μ) relativ prim sind, d.h. keinen gemeinsamen Teiler außer der 1 besitzen. Hieraus ergibt sich s = m*p/l σ = μ*π/λ p = l*s/m π = λ*σ/μ. Am Rande: a*s = m*p a*σ = μ*π e*σ = μ*π/λ e*s = m*p/l e*s/σ oder e*σ/s reduzierbar. Bei einer universell affi rmativen Aussage ist l = 1 und λ = 1. Bei einer partikulär negativen Aussagen ist l oder λ größer als 1.

1 Vgl. auch die Übersetzung in Schmidt (1960), S. 238-240, der freilich die

stark gekürzte Version aus C., 245-247 zugrundeliegt.

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

In propositione Universali negativa erunt vel s et π vel σ et p non-primi inter se; id est habentes divisorem communem. In propositione8 particulari affirmativa erunt tam s et π quam σ et p primi inter se seu nullum habentes divisorem communem. Propositus sit syllogismus examinandus: Omnis sapiens est pius. Qu idam sapiens est fortunatus. Ergo quidam fortunatus est +8 −11

sapiens +70 −33 pius +10 −3 fortunatus +8 −11 pius. +10 −3

Qu ae conclusio procedit, quia neque 8 per 3 neque 11 per 10 dividi potest. Item: Das folgende Beispiel wurde gestrichen: Omnis pius est felix 9felix +5 -1 Qu idam10 pius non est fortunatus Ergo Qu idam fortunatus non est felix +8 -11 +5 -1 Quod non procedit quia (bricht ab) Aliter ista comminisci licet: considerandum nempe si animal est genus homi nis, contra: non-homo est genus non-animalis, itaque 11

seu Sit

Nullus homo est lapis Omnis homo est non-lapis. +h -c 1 −cd

Debet h dividi per 1, et cd dividi per c. Hinc si dixas: Omnis homo est corpus non lapis, debet hominis numerus12 positivus dividi posse per numerum corporis,  8 (1)

universali (2) particulari pius (2) felix 10 (1) felix (2) pius 11 (1) Omnis ho (2) Nullus homo est (a) animal (b) lapis 12 /positivus erg. L/  9 (1)

Essay „No. 7“

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Bei einer universell negativen Aussage sind entweder s und π oder σ und p nicht relativ prim zueinander, d.h. sie besitzen einen gemeinsamen Teiler. Bei einer partikulär affi rmativen Aussage sind sowohl s und π als auch σ und p relativ prim zueinander, d.h. sie besitzen keinen gemeinsamen Teiler. Sei ein Syllogismus zur Überprüfung gegeben: Jeder Weise ist fromm Weise +70 - 33 Fromm +10 -3 Ein Weiser ist wohlhabend Wohlhabend +8 -11 Also Ein Wohlhabender ist fromm +8 -11 +10 -3 Diese Konklusion ist gültig, weil weder 8 durch 3 noch 11 durch 10 geteilt werden kann. Das folgende eingerückte Beispiel wurde gestrichen Ebenso: Jeder Fromme ist glücklich Glücklich +5 -1 Ein Frommer ist nicht wohlhabend Also Ein Wohlhabender ist nicht glücklich +8 – 11 +5 -1, was ungültig ist, weil (bricht ab). Das kann man auch anders begründen. Es ist nämlich zu beachten, dass so wie ‚Lebewesen‘ die Gatt ung von ‚Mensch‘ darstellt, so stellt umgekehrt ‚Nicht-Mensch‘ die Gattung von ‚Nicht-Lebewesen‘ dar. Deshalb ist Kein dasselbe wie Jeder Sei

Mensch ist ein Mensch ist ein +h –c

Stein Nicht-Stein. 1 –c*d

Dabei muss h durch 1 geteilt werden können und c*d durch c. Wenn man somit sagt Jeder Mensch ist ein nicht-steinerner Körper, dann muss sich die positive Zahl von ‚Mensch‘ durch die Zahl

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

at numerus lapidis debet dividi posse per numerum hominis privativum. +rs -ρσ = +xp -ξπ13 14 Semper rs = xp et ρσ = ξπ 15 In prop. U. erit r = 1 et ξ = 1 in prop. Part. erunt maj. un[itate]. Am Rande: 16 Mutata aequatione in propositionem, nihil refert in subjecto qualisnam sit ρ neque in praedicato qualisnam sit x. Hinc si sit propositio: 17 Omnis homo est non lapis inde fiet aequatio: 18 [+]s -ρσ = −π +xp Ergo −s +ρσ = −xp +π Hinc: 19 [+by –βυ] [+]da –δα +ce -γε [bricht ab] In omni syllogismo est major minor medius. In prima figura est Med. Maj. ⎥ Minor Med. ⎥ Min. Maj. seu Minor Med. ⎥ Med. Maj. ⎥ Min. Maj. In secunda: Med. Maj. ⎥ Med. Min. ⎥ Min. Maj. In tertia: Maj. Med. ⎥ Min. Med. ⎥ Min. Maj.

13 Leibniz

hat den 1. mit dem 3. und den 2. mit dem 4. Ausdruck durch geschweifte Linien verbunden. 14 (1) In prop (2) Semper 15 (1) U.A. (2) U. 16 (1) Nihil refert in subjecto (2) Mutatio 17 (1) s -ρσ aequ. (2) s (a) (b) -1 est +1 -σ (3) Omnis 18 (1) s -ρσ aequ. xp (a) -ξσ (b) -σ Er (2) /+ erg. Hrg./ s -ρσ aequ. (a) –xp (b) -σ +xp 19 (1) +by aequ. -βυ (2) +by -βυ /+ erg. Hrg./ da … / Leibniz hat unter das gestrichene ‘aequ’ in (1) wieder ein ‘aequ’ geschrieben, das hier gestrichen wird.

Essay „No. 7“

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von ‚Körper‘ teilen lassen, während sich die Zahl von ‚Stein‘ durch die »privative« Zahl von ‚Mensch‘ teilen lässt. +r*s -ρ*σ = +x*p -ξ*π.2 Es ist stets r*s = x*p und ρ*σ = ξ*π. Bei einer universellen Aussage ist r = 1 und ξ = 1. Bei einer partikulären Aussage sind sie [r und ξ] größer als 1. Hierzu am Rande: Wenn man die Gleichung in eine Aussage verwandelt, dann ist es egal, wie die Zahl ρ im Subjekt und wie die Zahl ξ im Prädikat beschaffen ist. Wenn deshalb die Aussage lautet Jeder Mensch ist ein Nicht-Stein ergibt sich hieraus die Gleichung [+]s -ρ*π = -π +x*p Also -s +ρ*π = -x*p + π. Also +by -βυ [+]da -δα +ce -γε (bricht ab) In jedem Syllogismus gibt es den Major-, den Minor- und den Medius-Term. In der Ersten Figur ist [die Position der Terme in den Aussagen] Medius Major ⎥ Minor Medius ⎥ Minor Major bzw. [bei vertauschten Prämissen] Minor Medius ⎥ Medius Major ⎥ Minor Major. In der Zweiten Figur: Medius Major ⎥ Medius Minor ⎥ Minor Major. In der Dritten: Major Medius ⎥ Minor Medius ⎥ Minor Major.

2 Leibniz

hat den ersten Term mit dem dritten und den zweiten mit dem vierten durch gebogene Linien verbunden; es handelt sich also nicht um eine einfache, sondern eine Doppelgleichung, wie auch aus dem folgenden Satz erhellt.

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Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Sit minor y, Medius e, Major a, fiat20 21 (1) by = ce (2) βυ = γε 22 (3) fe = da (4) φε = δα (5) ly = ma (6) λυ = μα 23 Ergo (7) y/e = c/b (8) υ/ε = γ/β 24 (10) ε/α =25 δ/φ (9) e/a = d/f (11) y/a = m/l (12) υ/α = μ/λ Ergo per 7 et 9 fit (13) y/a =26 cd/bf adeoque per 11 (14)27 cd/bf = m/l. (15) υ/α = γδ/βϕ Eodemque modo28 per 8 et 10 seu per 12 16)29 γδ/βϕ = μ/λ Rursus jungendo 7 et 11 fiet: (17) a/e = cl/bm seu per 9 fiet (18)30 f/d = cl/bm, sed haec aequatio 18 non differt ab aequatione 14. (19) y = ce/b et (20) y = ma/l. Ergo (21) ce/b = ma/l seu (22)31 a = cle/mb. Hinc unus Terminus semper sumi poterit pro arbitrio. Sumatur medius e, pro arbitrio,

20 Mit

den Hrg. der Akademieausgabe stellen wir die Nummern, die Leibniz über das ‚aequ.‘ gesetzt hat, vor die jeweilige Gleichung. 21 (1) aequ. me aequ. (2) by … 22 (1) de aequ. fa δε aequ. ϕα (2) fe … 23 (1) Ergo si (2) Ergo … Für eine einfachere Darstellung der Brüche wurden Leibniz‘ Querstriche durch Schrägstriche ersetzt und gegebenenfalls Faktoren vor oder nach dem Bruch in den Zähler verschoben. 24 (1) f/d (2) d/f 25 (1) / (2) δ/ϕ 26 (1) cf/bd (2) cd/bf (a) aequ. (b) adeoque … 27 (1) cf/bd (2) cd/bf 28 (1) υ/α aequ. (2) per … υ/α = (a) γϕ/βδ (b) γδ/βϕ 29 (1) γϕ/βδ (2) γδ/βϕ 30 (1) d/f (2) f/d 31 (1) aequ. mb/cl (2) (22) a

Essay „No. 7“

289

Es sei Minor y Medius e Major a. Dann ergibt sich (1) +b*y = c*e (2) β*υ = γ*ε (3) f *e = d*a (4) ϕ*ε = δ*α (5) l*y = m*a (6) λ*υ = μ*α. Also (7) y/e = c/b (8) υ/ε = γ/β (9) e/a = d/f (10) ε/α = δ/ϕ (11) y/a = m/l (12) υ/α = μ/λ. Also erhält man aus (7) und 9 [durch Multiplikation]: (13) y/a = c*d/b*f und also mit (11) [durch Gleichsetzung]: (14) c*d/b*f = m/l. Auf die gleiche Weise aus (8) und (10): (15) υ/α = γ*δ/β*ϕ bzw. mit (12): (16) γ*δ/β*ϕ = μ/λ. Verbindet man weiterhin (7) und (11) [durch Umkehrung und Multiplikation], so ergibt sich (17) a/e = c*l/b*m bzw. mit (9) [nach Umkehrung und Gleichsetzung]: (18) f/d = c*l/b*m, doch diese Gleichung (18) unterscheidet sich nicht von der Gleichung (14). (19) y = c*e/b und (20) y = m*a/l, also (21) c*e/b = m*a/l bzw. (22) a = c*l*e/m*b. Also kann immer ein Ausdruck beliebig gewählt werden. Es sei der Medius, e, beliebig gewählt.

290

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen« 32

bf/cd = l/m min b med f/med c maj d = min l/maj m33 34 βϕ/γδ = λ/μ y = ce/b υ = γε/β 35 a = fe/d α =36 ϕε/δ Itaque ex datis sex aequationibus habemus sex alias.37 38 U.A. +rs = xp +ρσ = ξπ erit r = 1 et ρ = 1 P.N. erit39 r Γ 1 vel ρ Γ 1 40 P.A. erunt41 r/ξ et ρ/x primi inter se, item U.N. erunt alterutri non primi inter se vel sic: Rrs = Xxp et Ρρσ = Ξξπ in U.A. erit Rr = Ρρ = 1 in P.N. contra alterutrum in U.N. erit r = ξ vel x = ρ 42 Minor Medius Major +y -υ +e -ε +a –α43 32 (1)

bd/cf (2) bf/cd Angabe ‚Minor‘, ‚Medius‘ bzw. ‚Major‘ werden von Leibniz mit den jeweiligen Zahlenvariablen b, f, c, d, l, m durch Überstreichen verbunden. 34 (1) βϕ/γδ (2) βϕ/γδ 35 (1) de/f (2) fe/d 36 (1) ε/ (2) ϕε/δ 37 Die Zuordnung der folgenden Passage zu den anderen Textteilen ist nicht eindeutig. Die Hrg. der Akademieausgabe ordnen sie weiter hinten ein. 38 (1) +s -σ aeq (2) +ls aequ. mp +λσ aequ μπ erit l aequ 1 et m aequ 1 (3) rs aequ … 39 (1) l Γ 1 vel λ Γ 1 (2) r …. 40 (1) U. N. (a) erit (b) erunt l/μ primi inter se (2) P. A. … 41 (1) l/μ et λ/m (2) r/ξ … 42 (1) Si conclusio debet esse U.A. (2) Ubi notandum ce/b necessario esse numerum integrum ergo si pro b ponatur Be et pro e ponatur EB, fiet y aequ. cEB/cB aequ. E. Sic ergo melius scribatur y aequ. E. (3) In omni propositione s aequ. mp/l. Ergo fiet l aequ. (a) mp aequ. ln (b) ng et (ba) (bb) m aequ. ng et p aequ. Ph fiet s aequ. ngPh/gh aequ. xP posito Ph = p /Simil/ streicht Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe. (4) Minor … 43 Leibniz verbindet den Minor- mit dem Medius-, den Medius- mit dem Majorund den Minor- mit dem Majorterm jeweils durch geschwungene Linien. 33 Die

Essay „No. 7“

291

[23] b*f/c*d = l/m Minor_b * Medius_f/Medius_c * Major_d = Minor_l/Major_m [24] β*ϕ/γ*δ = λ/μ [25] y = c*e/b [26] υ = γ*ε/β [27] a = f *e/d [28] α = ϕ*ε/δ. Also erhalten wir aus den gegebenen sechs Gleichungen [(1)-(6)] sechs andere [(23)-(28)]. +r*s = x*p [und] +ρ*σ = ξ*π U.A. r = 1 und ρ = 1 P.N. r < 1 oder ρ > 1 P.A. r/ξ und ρ/x sind relativ prim ebenso U.N. r/ξ oder ρ/x sind nicht relativ prim. Oder so: R*r*s = X*x*p und Ρ*ρ*σ = Ξ*ξ*π Bei der U.A. ist R*r = Ρ*ρ =1 Bei der P.N. ist mindestens ein Produkt ≠ 1 Bei der U.N. ist r = ξ oder x = ρ [Bei der P.A. ist r ≠ ξ und x ≠ ρ.] Minor Medius Major 3 +y -υ +e -ε +a -α

3 Leibniz

verbindet hier den Minor- mit dem Medius-, den Medius- mit dem Major- sowie den Minor- mit dem Majorterm durch geschwungene Linien.

292

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

44

Prima figura: Medius major ⎥ minor medius ⎥ minor major Sec. Fig. Medius major ⎥ Medius minor ⎥ Minor Major Tert. Fig. Major Medius ⎥ minor medius ⎥ Minor Major Quarta figura: Major medius ⎥ medius minor ⎥ minor major Itaque in superioribus scribemus: 45

Major

Minor46

Dda = Ffe ‫ד‬da= ‫פ‬ϕε Conclusio

Bby = Cce ‫ב‬βυ = ‫ג‬γε Lly = Mma ‫ל‬λυ = ‫מ‬μα

CcDd/BbFf = Mm/Ll

‫ג‬γ‫ד‬δ/‫ב‬β‫פ‬ϕ = ‫מ‬μ/‫ג‬λ

Ex hoc calculo omnes modi et figurae derivari possunt per solas regulas Numerorum. Si47 nosse volumus an [aliquis modus] procedat vi formae, videmus an contradictorium conclusionis sit compatibile cum praemissis, id est an numeri reperiri possint48 satisfacientes simul praemissis et contradictoriae conclusionis; quodsi nulli reperiri possunt concludet argumentum vi formae.

44 Leibniz

hat die jeweiligen Begriffspaare untereinander geschrieben. Hier werden sie der Einfachheit halber durch senkrechte Striche getrennt. 45 Links daneben eine Aufstellung, bei der die Zahlen e und a, die den in der Major-Prämisse vorkommenden Termen entsprechen, für die jeweilige Figur in einer mit „1 2“ überschriebenen Ordnung aufgelistet werden: „Prim. Fig. e a Sec. fig. e a Tert. fig. a e 4. Fig. a e“. 46 Links neben den Gleichungen eine Aufstellung, bei der die Zahlen y und e, die den in der Minor-Prämisse vorkommenden Termen entsprechen, in einer mit „1 2“ überschriebenen Ordnung aufgelistet werden: „1. F. y e 2. F. e y 3. F. y e 4. Fig. e y“. 47 /ex g. streicht L/ … an /aliqua figura L/ aliquis modus ändert Hrg. mit Thiel (1980) und Henrich (2002). 48 (1) suffi (2) satisfacientes simul (a) terminis (b) praemissis

Essay „No. 7“

293

Erste Figur: Medius Major ⎥ Minor Medius ⎥ Minor Major Zweite Figur: Medius Major ⎥ Medius Minor ⎥ Minor Major Dritte Figur: Major Medius ⎥ Minor Medius ⎥ Minor Major Vierte Figur Major Medius ⎥ Medius Minor ⎥ Minor Major Deshalb schreiben wir in den obigen Gleichungen [für die] Majorprämisse4 D*d*a = F*f *e [und] ‫*ד‬d*a= ‫*פ‬ϕ*ε [für die] Minorprämisse5 B*b*y = C*c*e [und] ‫*ב‬β*υ = ‫*ג‬γ*ε [für die] Konklusion L*l*y = M*m*a [und] ‫*ל‬λ*υ = ‫*מ‬μ*α. C*c*D*d/B*b*F*f = M*m/L*l [und]

‫*ג‬γ*‫*ד‬δ/‫*ב‬β*‫*פ‬ϕ = ‫*מ‬μ/‫*ל‬λ.

Aus diesem Kalkül lassen sich alle Modi und Figuren alleine durch Zahlenregeln beweisen. Will man wissen, ob irgendein Modus formal gültig ist, so muss man schauen, ob das Gegenteil der Konklusion mit den Prämissen verträglich ist, d.h. ob Zahlen gefunden werden können, die die Prämissen zugleich mit der Negation der Konklusion erfüllen. Wenn keine solchen Zahlen gefunden werden können, ist der Schluss formal gültig.

4 Daneben: „Erste Figur e a 5 Daneben:

Zweite Figur e a Dritte Figur a e 4. Figur a e“. „1. F. y e 2. F. e y 3. F. y e 4. Fig. e y“.

294

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

3.6.3 Kommentar Diese Arbeit, mit der Leibniz seine Untersuchungen zur Semantik charakteristischer Zahlen zwar nicht vollendet, aber doch zu einem gewissen Abschluss bringt, macht sowohl vom Äußeren als auch vom Inhaltlichen her einen etwas zwiespältigen Eindruck. Für die folgende Diskussion unterteilen wir den Text in verschiedene Abschnitte. In der ordentlich gegliederten und in Schönschrift verfassten Einleitung wird zunächst noch einmal der Grundgedanke zusammengefasst. Dem Subjekt und dem Prädikat einer kategorischen Aussage sollen Zahlenpaare bzw. zugeordnet werden, wobei die vier Zahlen mittels vier weiterer Koeffizienten1 l, m, μ und λ zu einem Paar von Gleichungen umgeformt werden: (i)

l*s = m*p

und

λ*σ = μ*π.

Diese Gleichungen fungieren zum einen als Folie, auf der die Wahrheitsbedingungen für die Satzformen durch entsprechende Forderungen für l, m, λ und μ relativ einheitlich formuliert werden können. Zum anderen dienen sie als Richtschnur für die konkrete Festlegung der Zahlen z.B. für das Subjekt, wenn jene für das Prädikat bereits vorgegeben sind, oder umgekehrt. So hatte Leibniz bereits im Essay No. 5 die Frage, wie man „bei gegebenen Zahlen für den einen Begriff die Zahlen des anderen Begriffs in der nach Qualität und Quantität verschiedenen Aussage fi nden“2 kann, durch zwei Forderungen beantwortet. Erstens müssen die (durch lateinische und griechische Buchstaben) einander zugeordneten Zahlen jeweils relativ prim sein. Zweitens gilt je nach logischem Typ der Satzform:

1 Leibniz

selber verwendete den Ausdruck „coefficiens“ bereits in seinem ersten Entwurf „Elementa Characteristicae Universalis“. Vgl. C., 47, oder A VI, 4, 191. 2 Vgl. A VI 4, 228 oder C., 71: „Ex numeris unius termini invenire numeros alterius termini in propositione pro varia qualitate et quantitate“.

Kommentar

295

Bei einer universell affi rmativen Aussage ist l = 1 und λ=1. Bei einer partikulär negativen Aussagen sind l oder λ (oder beide) >1. Bei einer universell negativen Aussage sind s und π oder σ und p nicht relativ prim zueinander. Bei einer partikulär affi rmativen Aussage sind alle diese Zahlen, d.h. s und π sowie σ und p relativ prim zueinander.3

Im nun zur Diskussion stehenden Textabschnitt löst Leibniz die Gleichungen (i) nach den Zahlen des Subjekts bzw. des Prädikats auf: (ii) (iii)

s = m*p/l p = l*s/m

und und

σ = μ*π/λ. π = λ*σ/μ.

Dazu notiert er am Rande zwei weitere Gleichungen sowie eine dritte Bedingung, deren Sinn und Zweck recht dunkel erscheint: (iv) (v) (vi)

a*s = m*p und e*s = m*p/l und e*s/π oder

a*σ = μ*π e*σ = μ*π/λ e*π/s sind »reduzibel«.

Wie der textkritische Apparat zeigt, versteht Leibniz unter einem »reduziblen« Bruch einen solchen, der durch einen bestimmten Faktor k (>1) gekürzt werden kann. In einer ersten Fassung des Textes hieß es nämlich, dass die fraglichen Ausdrücke „einen gemeinsamen Teiler besitzen“.4 Bedingung (vi) steht also in engem Zusammenhang mit der Wahrheitsbedin3 Vgl.

A VI 4, 228-229, oder C., 72. Ähnlich hatte Leibniz schon im Essay No. 1 „Elementa Characteristicae Universalis“, wo jedem Begriff B lediglich eine Zahl zugeordnet wurde, mittels des Beispiels ‚Homo‘ (H) und ‚Animal‘ (A) die Gleichung „vH aequ. rA“ betrachtet, die der obigen Gleichung (*) unmittelbar entspricht. Mit ihrer Hilfe lassen sich für alle vier Satzformen einheitliche Wahrheitsbedingungen formulieren, die jeweils auf Eigenschaften der Koeffizienten v und r Bezug nehmen; vgl. C., 45 oder A VI, 4, 187. 4 Die entsprechende Manuskriptstelle ist schwer zu entziffern; die Lesart „communem habent divisorem“ übernehme ich von der Akademieausgabe; vgl. A VI 4, S. 252, Z. 26.

296

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

gung der UN, der zufolge „entweder s und π oder σ und p […] einen gemeinsamen Teiler besitzen“. Allerdings wird in der zweiten Hälfte der Oder-Bedingung (vi) nicht, wie logischerweise zu erwarten wäre, die Reduzibilität von σ/p verlangt, sondern die von π/s. Außerdem bleibt unklar, wieso Leibniz die Brüche s/π und σ/p um einen Faktor e erweitert hat. Ähnlich rätselhaft bleibt die Funktion des Faktors e bzw. a in den Gleichungen (v) und (iv). Ohne das ‚e‘ würde (v) einfach mit (ii) zusammenfallen, und ohne das ‚a‘ würde (iv) auf die folgende Bedingung hinauslaufen, die zwar nicht für beliebige Satzformen, aber doch für universell affirmative Aussagen stets erfüllt sein muss: (vii)

s = m*p

und

σ = μ*π.

Vielleicht wollte Leibniz mit (iv) eine Alternative zur speziellen Bedingung (vii) formulieren, und vielleicht mit (v) eine Alternative zur allgemeinen Bedingung (i). Vielleicht war er aber auch bei der Abfassung der Zeilen (iv) –(vi) einfach etwas verwirrt, und vielleicht bezieht sich die selbstkritische Anmerkung „Schlecht!“ auf eben jene Passage und nicht auf den Absatz, neben den sie im Manuskript am nächsten platziert zu sein scheint. Sowohl Couturat als auch die Herausgeber der Akademieausgabe ordnen den Kommentar „male“ – auf Grund des äußerlichen Erscheinungsbildes sicherlich zu Recht – der links daneben stehenden Aussage zu. Aber diese Forderung, nämlich: „Bei einer universell affi rmativen Aussage ist l = 1 und λ = 1“ ist alles andere als schlecht, sondern sie bildet das unverzichtbare Rückgrat der gesamten Leibnizschen Semantik, bringt sie doch (auf dem Hintergrund von (i)) nichts anderes zum Ausdruck, als dass bei einer universell affi rmativen Aussage das Prädikat stets im Subjekt enthalten – und damit die Zahl des Subjekts durch die Zahl des Prädikates teilbar – ist. Im folgenden Absatz betrachtet Leibniz zwei konkrete Syllogismen, um die Semantik der charakteristischen Zahlen zu testen. Das erste Beispiel ist eine Instanz des gültigen Modus Datisi der Dritten Figur. Durch die »zufällig« gewählten Zahlen

Kommentar

297

für den Medius-Begriff ‚Weise‘, für den Major-Begriff ‚Fromm‘ und für den Minor-Begriff ‚Wohlhabend‘ bestätigt sich die Gültigkeit des Modus in dem Sinne, dass beide Prämissen (‚Jeder Weise ist fromm‘ und ‚Ein Frommer ist wohlhabend‘) ebenso wie die Konklusion (‚Ein Wohlhabender ist fromm‘) wahr gemacht werden. Doch dies ist selbstverständlich – anders als Couturat zu glauben schien 5 – noch kein Beweis! Für einen solchen müsste gezeigt werden, dass bei jeder Zuordnung von charakteristischen Zahlen, bei der beide Prämissen wahr werden, auch die Konklusion den Wert wahr erhält. Der zweite Beispielschluss enthält außer dem – nun als Medius fungierenden – Begriff ‚Fromm‘ () und dem – nach wie zuvor als Minor verwendeten – Begriff ‚Wohlhabend‘ () den Major-Begriff ‚Glücklich‘, dem die Zahl zugewiesen werden soll. Da der Schluss die Struktur A-O-O besitzt und von der Position der Begriffe her zur Dritten Figur gehört, ist er ungültig. Dementsprechend hatte Leibniz wohl erwartet, dass seine Semantik ihn auch als ungültig ausweisen würde. Tatsächlich werden zunächst beide Prämissen erfüllt, denn +10 ist durch +5 und -3 durch -1 teilbar, so dass ‚Jeder Fromme ist glücklich‘ wahr wird. Ferner wird ‚Ein Frommer ist nicht wohlhabend‘ wahr, weil +10 nicht durch +8 teilbar ist.6 Leibniz glaubte nun offenkundig, dass die Konklusion durch die gewählten Zahlen falsch gemacht wird, denn frohlockend schrieb er „quod non procedit quia“, um dann beim Nachrechnen feststellen zu müssen, dass die Konklusion eben doch wahr wird, denn +8 ist ja nicht durch +5 teilbar! Also korrigierte er die voreilige Behauptung, der Schluss sei als ungültig erwiesen, indem er das „quod non procedit quia“ mit einem kräftigen Querstrich durchstrich. Anschließend strich er das gesamte Bei5 Couturat

(1901), S. 334 kommentiert das Beispiel nämlich so: „Ces trois termes vérifient les conditions de validité des prémisses; ils vérifient aussi celles de la conclusion. Donc le syllogisme est valide.“ 6 Darüber hinaus ist auch -3 nicht durch -11 teilbar; die Bedingung für die Wahrheit der PN ist also gleich doppelt erfüllt.

298

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

spiel mit zwei Schrägstrichen durch und ging zu einem anderen Thema über. Couturat (1901) interpretierte diesen Passus so, dass Leibniz die Unzulänglichkeit des semantischen Ansatzes erkannt habe und dass das gesamte System der charakteristischen Zahlen überhaupt fehlerhaft sei.7 Parkinson (1966) schloss sich zunächst Couturat an und behauptete, Leibniz habe seinen Kalkül aufgegeben, weil man mit ihm den fraglichen ungültigen Schluss als gültig beweisen könne.8 Noch krasser behauptete Burkhardt (1980), Leibniz‘ Versuch der Arithmetisierung der Syllogistik sei „widerspruchsvoll, denn der falsche Syllogismus AOO3 kann nicht widerlegt werden“. Parkinson korrigierte seine frühere Behauptung allerdings einige Jahre später (1988) dahingehend, dass das spezielle Beispiel von Leibniz einfach unglücklich gewählt war und dass man die Ungültigkeit des fraglichen Schlusses mit einem anderen Beispiel nachweisen kann.9 In der Tat hatte schon Th iel (1979) ein solches Gegenbeispiel konstruiert10 und darauf hingewiesen, dass das korrekte Gültigkeitskri-

 7 Vgl.

Couturat (1901), S. 334: „Ainsi ce système de notation n’est pas valable“. Dazu heißt es in einer Fußnote: „Aussi Leibniz a-t-il barré ce second syllogisme, en s’apercevant que sa méthode ne réussissait pas à en démontrer l’invalidité“.  8 Vgl. Parkinson (1966), S. xxii: „Leibniz, however, abandoned this [arithmetical] interpretation, probably because he thought that it could be used to prove a syllogism in the third figure which is in fact invalid“.  9 Vgl. Parkinson (1988), S. 254: „Im vorliegenden Beispiel sind beide Prämissen und die Konklusion wahr. Dies bedeutet jedoch nicht, dass ein nichtschlüssiger Syllogismus als schlüssig »erwiesen« wurde; beim schlüssigen wie beim nichtschlüssigen Syllogismus können je beide Prämissen und ihre Konklusion wahr sein.“ In Fn. 95 gesteht Parkinson seinen früheren Fehler ein: „Ich wurde zuerst von Professor P. T. Geach in einem Brief auf diesen Irrtum hingewiesen; dieselbe Feststellung machte in jüngerer Zeit Professor Christian Th iel“. In Fn. 99 weist er ferner darauf hin, dass die von Geach vorgeschlagene Abänderung des Zahlenpaars für ‚wohlhabend‘ von zu ein passendes Gegenbeispiel liefert. 10 Vgl. Th iel (1980), S. 20: „Eine solche [Zuordnung von Zahlenpaaren]

Kommentar

299

terium von Leibniz selber explizit wie folgt formuliert worden war: Wenn wir wissen wollen, ob [irgendein Modus] kraft der Form gültig ist, so prüfen wir, ob das kontradiktorische Gegenteil der Konklusion mit den Prämissen verträglich ist, d.h. ob man Zahlen fi nden kann, die zugleich die Prämissen und das kontradiktorische Gegenteil der Konklusion befriedigen; wenn sich keine fi nden lassen, so ist der Schluss kraft der Form gültig.

Th iel analysierte die gesamte Situation so, dass Leibniz 1. zuerst mit einem anderen, „unzureichenden Kriterium“ für die Gültigkeit von Schlüssen operiert habe: „Er hat dann 2. das genannte Gegenbeispiel gefunden, und daraufh in 3. das neue, zureichende Kriterium aufgestellt“.11 Wie soll das ursprüngliche, inkorrekte Kriterium aber genau gelautet haben? Th iel unterstellt Leibniz die Annahme, „dass eine syllogistische Schlussform dann gültig sei, wenn es eine Zuordnung von Zahlenpaaren zu den drei Begriffen des Syllogismus gibt, die mit den Prämissen auch die Konklusion wahr macht“. Dass dem Logiker Leibniz ein derart grober Schnitzer unterlaufen sein sollte, erscheint jedoch ziemlich unwahrscheinlich. Viel plausibler ist vielmehr folgende Vermutung. Bei all seinen Untersuchungen zur Semantik der charakteristischen Zahlen hatte Leibniz stets den Wunschtraum im Hinterkopf, dass man dereinst die »wahren« Zahlen fi nden würde, mit deren Hilfe die Wahrheit beliebiger Aussagen »berechnet« werden könnte. Bei Verwendung dieser »wahren« Zahlen würde jeder formal ungültige Schluss sofort als ungültig entlarvt, weil den Prämissen der Wert ‚wahr‘, der Konklusion hingegen der Wert ‚falsch‘ zugeordnet wird. Die Betrachtung eines einzigen Zahlenbeispiels reicht in diesem Fall also völlig aus.12 gibt es aber bei dem von ihm [Leibniz] zuletzt untersuchten Beispiel: fromm ↔ [15, 22] glücklich ↔ [5,11] reich ↔ [10, 33]“. 11 Vgl. Th iel (1980), S. 21. 12 Interessanterweise ließe sich die formale Gültigkeit eines Schlusses nicht so einfach beweisen. Die Tatsache, dass bei der Anwendung der

300

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Nun dienten – wie oben erläutert wurde – die Gleichungen (*) als Richtschnur für die Findung geeigneter Zahlen. Und auch wenn Leibniz sicher bewusst war, dass es sich bei den vorläufig angenommenen Zahlen (noch) nicht um die »wahren« Zahlen handelte, so war er vermutlich optimistisch genug zu glauben, dass – solange er sich nur korrekt an der Richtschnur orientierte – die so gefundenen bzw. konstruierten Zahlen »hinreichend wahr« sein, d.h. ausreichen würden, um über die logische Gültigkeit eines vorgegebenen Schlusses zu entscheiden.13 Wie dem auch immer sei, Leibniz hat im Anschluss an die Erkenntnis „non procedit“ nicht den naheliegenden Weg beschritten, einfach andere Zahlen zu suchen, die den Syllogismus A-O-O der Dritten Figur als ungültig erweisen würden. Stattdessen probierte er spontan (und nicht mehr in Schönschrift) einen gänzlich anderen Ansatz aus. Der Hintergrund dieses Teils, der recht flüchtig auf die Rückseite des Blattes LH IV, 7 B 2, 16 geworfen wurde, ist die in den früheren Essays schon mehrfach behandelte Thematik »privativer« bzw. negativer Begriffe. Leibniz rekurriert dabei einerseits auf das Gesetz der Kontraposition, dem zufolge z.B. ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ in ‚Jedes Nicht-Lebewesen ist ein Nicht-Mensch‘ umgeformt werden darf. Andererseits betrachtet er das verwandte Prinzip der Obversion, dem zufolge sich z.B. die UN ‚Kein Mensch ist ein Stein‘ in die UA mit negativem Prädikat ‚Jeder Mensch ist ein Nicht-Stein‘ transformieren lässt. Wie schon im Kommentar zu 3.4 betont wurde, würde die Semantik der charakteristischen Zahlen deutlich vereinfacht und vereinheitlicht, wenn es gelingen sollte, mittels einer Funktion Φ den negativen Begrif»wahren« charakteristischen Zahlen die Prämissen und die Konklusion eines Schlusses wahr werden, zeigt nur seine materiale, nicht aber seine formale Gültigkeit. 13 Ähnlich schrieb Th iel (1980), S. 20: „Genau genommen ist die Sache noch etwas komplizierter. Leibniz scheint geglaubt zu haben, man könne mit beliebigen teilerfremden Zahlen anfangen, und wenn man dann die weiteren Zahlen allein nach den allgemeinen Zuordnungsregeln wähle, liefere das genannte Kriterium die Gültigkeit“.

Kommentar

301

fen ~B geeignete (d.h. mit den übrigen Bestimmungen kompatible) Zahlen Z(~B) so zuzuordnen, dass Z(~B) = Φ(Z(B)). Denn dann könnte man die Interpretationsbedingung für die UA auf die UN übertragen und erhielte insgesamt ein »homogenes« Schema, bei dem die Wahrheitsbedingungen der universellen Satzformen einheitlich dem Grundgedanken „Praedicatum inest subjecto“ folgen, d.h. durch die Teilbarkeit von s durch p und von -σ durch -π ausgedrückt werden, während für die partikulären Satzformen (gemäß den Prinzipien der Opposition) entsprechende Nicht-Teilbarkeitsbedin gun gen gelten. Einen solchen Versuch, die Zahl z.B. von ‚Nicht-Stein‘ in Abhängigkeit von der Zahl von ‚Stein‘ festzulegen, unternimmt Leibniz in der folgenden Passage, indem er zunächst setzt: (†)

Omnis +h; -c

homo est non-lapis [+]1; -cd

und erläutert, die (positive) Zahl von ‚homo‘, +h, müsse durch 1 (!) teilbar sein, und die Zahl cd durch c. Der Sinn dieses überraschenden Ansatzes erhellt ein wenig aus der anschließenden Erklärung, dass bei der verwandten Aussage ‚Omnis homo est corpus non-lapis‘ die positive Zahl von ‚homo‘ durch die (positive) Zahl von ‚corpus‘ teilbar sein muss und außerdem die (positive) Zahl von ‚Stein‘ durch die »privative« Zahl von ‚homo‘. Ein Vergleich beider Bestimmungen lässt folgende Hypothesen sehr plausibel erscheinen: 1. (+)1 stellt die (positive) Zahl von ‚corpus‘ dar; 2. –c soll die negative Zahl von ‚homo‘ darstellen (obwohl wegen der Alliteration prima facie auch ein Bezug zu ‚corpus‘ möglich erscheint); 3. –cd stellt entsprechend die negative Zahl von ‚non-lapis‘ dar; 4. deshalb stellt +cd die positive Zahl von ‚lapis‘ dar.

Die erste Hypothese beruht darauf, dass die Aussagen ‚Jeder Mensch ist ein Nicht-Stein‘ („Omnis homo est non-lapis“) und

302

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

‚Jeder Mensch ist ein nicht-steinerner Körper‘ („Omnis homo est corpus non-lapis“) von Leibniz offenbar als synonym betrachtet werden. ‚Körper‘ lässt sich nämlich als allgemeinster, oberster Gattungsbegriff auffassen, der in jedem Artbegriff enthalten ist. Deshalb kann die Zahl dieses quasi »tautologischen« Begriffs mit der Einheit gleichgesetzt werden, durch die die Zahl jedes beliebigen Begriffs teilbar ist. Für die übrigen Hypothesen spricht nicht nur die Platzierung der Zahlen –c und –cd innerhalb von Schema (†), sondern vor allem die Forderung von Leibniz, die (positive) Zahl von ‚Stein‘ müsse sich durch die »privative« Zahl von ‚Mensch‘ teilen lassen. Diese Bedingung leitet sich aus dem Gesetz der Kontraposition ab: Da jeder Mensch ein Nicht-Stein ist, ist umgekehrt jeder Stein ein Nicht-Mensch. Der Begriff ‚Stein‘ enthält also den »privativen« Begriff ‚Nicht-Mensch‘, so dass gemäß dem Grundgedanken der Semantik von Zahlenpaaren die positive Zahl des ersteren durch die positive Zahl des letzteren bzw. durch die »privative« Zahl des Gegenbegriffs (‚Mensch‘) teilbar sein muss. Mit dem in (†) ausprobierten Ansatz sind aber eine Reihe von Problemen verbunden. Das Hauptproblem besteht in der – von Leibniz hier mutmaßlich wieder zugrunde gelegten – Regel Sem-Neg 2

Z(~B) = ,

die – wie schon in Abschnitt 3.5.3 gezeigt wurde – mit dem Prinzip der Kontraposition unverträglich ist. Ferner ist nicht einzusehen, wieso die positive Komponente der Zahl von ‚Nicht-Stein‘ alleine aus der Einheit 1 bestehen soll, die doch offenbar von dem »tautologischen« Begriff ‚Körper‘ herrührt. Normalerweise müsste die negative Komponente des Zahlenpaars von ‚Stein‘, etwa -σ, eine »normale« Zahl ≠ 1 sein, die dann gemäß Sem-Neg 2 zur positiven Komponente von ‚NichtStein‘ mutiert. Allerdings könnte man das Zahlenbeispiel in (†) entsprechend modifizieren und +1 z.B. durch +σ zu ersetzen; es muss lediglich gewährleistet bleiben, dass +h durch +σ teilbar bleibt.

Kommentar

303

Die Annahme eines »tautologischen« Begriffs, T, dessen Zahl durch symbolisiert sei, führt jedoch zu einer weiteren, gravierenden Schwierigkeit. Damit für alle Begriffe S die Aussage A(S,T) wahr wird, müsste gemäß der Standard-Bedingung Sem-A 2 jedes +s durch +t und jedes -σ durch -τ teilbar sein. Das bedeutet aber, dass nicht nur, wie in Leibniz‘ Beispiel (†), +t = +1, sondern auch -τ = -1, d.h. insgesamt Z(T) = sein muss! Dies ist zwar an und für sich noch kein Widerspruch, denn auch die spezielle Zahl Z(T) erfüllt die notwendige Voraussetzung, dass beide Komponenten einer charakteristischen Zahl relativ prim sein müssen. Die Annahme Z(T) = hätte jedoch im Verbund mit Sem-Neg 2 die absonderliche Konsequenz, dass Z(~T) ebenfalls gleich wäre, denn das letztere Zahlenpaar geht ja aus dem ersteren durch Vertauschen der Komponenten hervor. Damit würde neben A(S,T) auch A(S,~T) semantisch gültig, d.h. in jedem Begriff S wäre außer dem »tautologischen« Begriff auch dessen Negation, d.h. der »kontradiktorische« Begriff, enthalten. Es ist müßig zu spekulieren, ob Leibniz die Probleme geahnt hatte, die mit (†) verbunden sind. Jedenfalls hat er das Beispiel nicht weiter ausgearbeitet, sondern stattdessen versucht, die Wahrheitsbedingungen für eine UA mit negativem Prädikat, ‚Alle S sind Nicht-P‘, ganz allgemein zu bestimmen. Hierzu ruft er sich die abstrakte Doppelgleichung (i) in Erinnerung, wobei lediglich statt der Koeffizienten l, m, λ und μ nun andere, nämlich r, x, ρ und ξ genommen werden. Diese Doppelgleichung komprimiert er anschließend in die Gestalt (viii)

+r*s -ρ*σ

=

+x*p -ξπ.14

Dabei verbindet Leibniz die mit einem Plus- bzw. einem Minus-Zeichen versehenen Terme jeweils mittels geschwungener Linien,

14 Zur

Abgrenzung von normalen Gleichungen werden in solchen unorthodoxen »Gleichungen« beide Terme vom Gleichheitszeichen durch einen größeren Abstand getrennt.

304

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

um klarzustellen, dass die unorthodoxe Gleichung (viii) eine Kurzform der Doppelgleichung (ix)

r*s = x*p

und

ρ*σ = ξ*π

darstellen soll. Das Schema (viii) verwendet er dann, um das Beispiel ‚Omnis homo est non-lapis‘ – als Instanz der allgemeinen Satzform ‚Omne S est non-P‘ – in die folgende Formel zu überführen: (x)

[+]s -ρ*σ

=

-π +x*p.15

Wie der textkritische Apparat enthüllt, hatte er statt (x) zunächst geschrieben (xi)

s -ρ*σ

=

x*p -ξ*π,

anschließend jedoch das ‚ξ‘ gestrichen bzw. durch eine ‚1‘ ersetzt: (xii)

s -ρ*σ

=

x*p -1*π.

Dies erfolgte im Einklang mit der wenig später explizierten Bedingung, dass bei jeder universellen (d.h. affi rmativen ebenso wie negativen!)16 Aussage stets r = 1 und ξ = 1 zu gelten habe. Danach strich Leibniz aber die modifi zierte Gleichung (xii) durch und ersetzte sie in zwei Schritten17 durch die Endfas15 Leibniz hat den Term s in der Gleichung (x) ohne Vorzeichen geschrie-

ben. In unserer Edition wurde sinngemäß ein Pluszeichen hinzu-gefügt, während in der Akademieausgabe (A VI, 4, 253, Z. 29) ein Minuszeichen steht. Aus dem textkritischen Apparat geht jedoch hervor, dass s hier noch kein Vorzeichen besitzt, sondern erst in der nächsten Zeile bzw. Gleichung (xiii) – beim Übergang zu den jeweils negierten Termen - ein Minuszeichen bekommen muss! 16 Leibniz hatte zunächst geschrieben: „In prop. U.A. erit r aequ. 1 et ξ aequ. 1“, danach das ‚A‘ jedoch gestrichen! 17 Die erste Variante von (xii) ist die etwas unsichere Lesart „s - ρσ aequ. xp -π“, aus der (xii) durch Vertauschen der beiden Terme auf der rechten Hälfte der Gleichung hervorgeht. Die Hrg. der Akademieausgabe haben stattdessen als Vorform von (xii) die abgebrochene Gleichung „s -ρσ aequ.

Kommentar

305

sung (x). Dabei unterscheidet sich (x) von (xii) eigentlich nur dadurch, dass die beiden Ausdrücke ‚x*p‘ und ‚1*π‘ bzw ‚π‘ vertauscht werden, so dass die negativen Terme jeweils rechts stehen. Abschließend formte Leibniz (x) in (xiii)

-s +ρ*σ

=

-x*p +π

um. Diese Umformung beruht offenbar auf der Überlegung, dass wenn (wie in (x) verlangt) die beiden Terme +s und +x*p gleich sind, „ergo“ gemäß simpler Vorzeichenrechnung –s gleich –x*p sein muss; entsprechend folgt aus -ρ*σ = -π (gemäß (x)), dass (nach Vorzeichenregeln) +ρ*σ = π gilt. Demzufolge läuft die Formel (x) explizit auf folgende Doppelgleichung hinaus: (xiv)

+s = +x*p

und

-π = -ρ*σ.

Die durch (xiv) festgelegte Bedingung für die Wahrheit von ‚Alle S sind Nicht-P‘ kann nun nicht mehr auf dem Prinzip SemNeg 2 beruhen, was man folgendermaßen einsieht. Mit und als Zahlen von S bzw. P würde man gemäß SemNeg 2 für den negativen Begriff ~P die Zahlen bzw. erhalten. Damit die Aussage A(S,~P) wahr wird, müsste +s durch +π und -σ durch –p teilbar sein, d.h. es gäbe natürliche Zahlen y und υ (≥ 1), so dass (xv)

+s = +y*π

und

-σ = -υ*p.

Dies ist jedoch mit (xiv) unverträglich, denn wenn s (wegen s = y*π) durch π teilbar ist und π selber (wegen π = ρ*σ) durch σ teilbar ist, dann wäre s erst recht durch σ teilbar im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Komponenten eines Zahlenpaares relativ prim zueinander sein müssen.18 –xp“ (vgl. A VI, 4, 253, Z. 28f., Variante (2a)). Von der Sachlage her erscheint es jedoch wahrscheinlicher, dass Leibniz im Anschluss an „s - ρσ aequ.“ zunächst geschrieben hatte „xp -π“ (also eine Wiederholung von (xii), bei der lediglich die ‚1‘ bzw. das gestrichene ‚ξ‘ nun wegfällt); danach strich er ‚xp –‘, fügte hinter dem stehengebliebenen ‚π‘ ‚+xp‘ ein und setzte vor ‚π‘ ein neues Minuszeichen. 18 Auch aus den beiden anderen Teilbedingungen von (xiv) und (xv)

306

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Es stellt sich deshalb die Frage, welches zu Sem-Neg 2 alternative Prinzip sich hinter der Bedingung (xiv) verbirgt. Dazu setzen wir wieder voraus, dass die Zahlen für S und P durch und , jene von ~P (bzw. Non-P) hingegen durch symbolisiert sind. Aus der Interpretationsregel SemA 2 ergibt sich dann für die Wahrheit von A(S,~P), dass +s durch +n und -σ durch -ν teilbar sein muss, d.h. es existieren natürliche Zahlen z und ζ (≥ 1), so dass (xvi)

+s = z*n

und

-σ = -ζ*ν.

Aus den linken Gleichungen in (xiv) und (xvi) folgt unmittelbar die Bedingung (xvii)

x*p = z*n,

durch die eine recht lockere Abhängigkeit der positiven Zahl von ~P, d.h. n, von der entsprechenden Zahl von P, d.h. p, verlangt wird.19 Aus den beiden rechten Gleichungen in (xiv) und (xvi) lässt sich hingegen die Bedingung π/ρ = ζ*ν bzw. (xviii)

ν = π/ρ*ζ,

ableiten, der zufolge die negative Zahl von ~P, d.h. ν, durch eine Division aus der entsprechenden Zahl von P, d.h. π, hervorgeht, also einen Teiler von π darstellt. Sei z.B. konkret = und = . Gemäß dem früheren Kriterium Sem-E 2 wäre dann E(S,P) wahr, denn +42 und -15 besitzen 3 als gemeinsamen Teiler. Um den Bedingungen (xvii) & (xviii) zu genügen, könnte man als Zahlen für ~P dann z.B. (oder oder )) wählen, so dass der neue Ansatz durchaus erfolgversprechend erscheint. Leider scheitert Bedingung (xviii) jedoch am Prinzip der doppelten Verneinung! Geht man nämlich von Z(~P) = zum entsprechenden Zahlenpaar für ~~P über, ergibt sich ein Widerspruch, denn aus s = x*p und σ = υ*p folgt, dass p ein gemeinsamer Teiler von s und σ wäre. 19 Insbesondere könnte n = p sein, aber n könnte auch ein Mehrfaches von p oder umgekehrt p ein Mehrfaches von n sein.

Kommentar

307

so müsste die negative Komponente ein Teiler von -5 sein. Nach dem Prinzip der doppelten Verneinung ist ~~P jedoch mit P äquivalent, so dass deren Zahlen übereinstimmen müssten. Die negative Komponente von P, -π, ist aber nach Voraussetzung gleich -15, d.h. kein Teiler, sondern ein Vielfaches von -5. Kurz und gut: Um dem Prinzip der doppelten Verneinung zu genügen, müsste der Nenner ρ*ζ in (xviii) generell = 1 sein. Dann ist a fortiori ρ = 1, so dass sich die rechte Gleichung in (xiv) auf (-π = -σ) reduziert. Damit würde jedoch die Bedingung (xiv), die ein Wahrheitskriterium für die UN ‚Alle S sind ~P‘ defi nieren sollte, zugleich die UA ‚Alle S sind P‘ erfüllen! Wiederum ist es müßig zu spekulieren, inwiefern Leibniz die Probleme »gespürt« hat, die mit dem Ansatz (xiv) verbunden sind. Jedenfalls hat er das Thema der allgemeinen Wahrheitsbedingung für Sätze der Form A(S,~P) nicht weiter verfolgt, sondern auf einem neuen Bogen einen kompletten Neuanfang gemacht. Die beiden letzten Zeilen des alten Bogens gehören vom Inhaltlichen bereits zum nachfolgenden Block, denn sie haben nichts mehr mit der Thematik negativer Begriffe zu tun, sondern beziehen sich auf die charakteristischen Zahlen des Minor-, des Major- und des Mediusbegriffs, wie sie wenig später durch ‚y‘, ‚a‘ und ‚e‘ (für die positiven Komponenten) sowie ‚υ‘, ‚α‘ und ‚ε‘ (für die negativen Komponenten) symbolisiert werden. Dabei hatte Leibniz zunächst geschrieben: „+by aequ. -βυ et“, dann das ‚aequ.‘ ebenso wie das ‚et‘ gestrichen; später aber unterhalb des gestrichenen ‚aequ‘ wieder ein ‚aequ.‘ eingefügt, welches dementsprechend in der Akademieausgabe (A VI, 4, 253, Z. 14) so stehenblieb. Da die Gleichung „+by = -βυ“ so aber überhaupt keinen Sinn macht, wurde das Gleichheitszeichen in unserer Edition getilgt.20

20 Vermutlich

wollte Leibniz hier eine unorthodoxe Gleichung der Art „+by -βυ = +da -σα“ formulieren, mit der die Zahlen von Minor und Majorbegriff elliptisch zu der Doppelgleichung ‚+by = +da & -βσ = -δα‘ zusammengefasst werden.

308

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Die folgenden Ausführungen sind entgegen Leibniz‘ sonstiger Gewohnheit quer über das ganze Blatt geschrieben, ohne links oder rechts einen Rand frei zu lassen. In der oberen Hälfte von LH IV, 7 B 2, Blatt 17 verläuft der Text weitgehend linear; in der unteren zerfallen die Überlegungen jedoch in verschiedene Gruppen, deren zeitliche Genese und inhaltliche Abfolge nicht eindeutig zu rekonstruieren ist.21 Von den behandelten Themen her lässt sich der Text wieder in mehrere Unterabschnitte aufteilen. Im ersten charakterisiert Leibniz die verschiedenen syllogistischen Figuren durch die Position der Begriffe. Dabei fällt auf, dass die Erste Figur in zwiefacher Weise (mit jeweils vertauschten Prämissen) beschrieben wird, während die Vierte Figur überhaupt keine Erwähnung fi ndet. Außerdem verwechselt Leibniz hier (wie auch weiter unten) die Zweite und die Dritte Figur.22 Zu Beginn des zweiten Unterabschnitts kürzt Leibniz den Minor-, den Medius- und den Majorbegriff (bzw. die ihnen korrespondierenden Zahlen) durch die Buchstaben y, e und a ab. Etwas genauer: Wenn der Mediusbegriff selber durch Y symbolisiert wird, dann sollen seine Zahlen durch (+)y und (-)υ dargestellt werden; dem Mediusbegriff E sind entsprechend (+)e und (-)ε als Zahlen zuzuordnen; und dem Majorbegriff A schließlich (+)a und (-)α. Nun wird in der Minor-Aussage der Minor-Begriff, Y, mit dem Medius, E, verknüpft. Daraus ergeben sich (nach Hinzufügen entsprechender Koeffizienten b, c, β und γ) zwei Gleichungen der oben beschriebenen Art (i), nämlich

21 Hieraus

erklären sich die Abweichungen zwischen der hiesigen Edition und der Akademieausgabe. In Couturat’s Edition fehlen ohnehin mehrere wichtige Passagen. 22 In der Zweiten Figur fungiert der Mediusbegriff in beiden Prämissen als Prädikat, in der Dritten hingegen beides Mal als Subjekt. Diese Sichtweise hat Leibniz eigentlich in allen Arbeiten zur Syllogistik geteilt; vgl. „De Formis Syllogismorum Mathematice Defi niendis“ (C., 413-4); „De Formae Logicae Comprobatione per Linearum Ductus“ (C., 295-296); „Schedae de novis formis et figuris syllogisticis“ (C., 208); „Mathesis rationis“ (C., 196).

Kommentar

(1)

+b*y = +c*e 23

und

309

(2) -β*υ = -γ*ε.

Die nächsten Gleichungspaare (3) und (4) bzw. (5) und (6) spiegeln analog die Beziehungen in der Major-Aussage bzw. in der Konklusion wider. Als nächstes formt Leibniz (1)-(6) (durch entsprechende Divisionen) in (7)-(12) um. Aus (7) und (9) gewinnt er (durch Multiplikation der jeweiligen Seiten) eine neue Gleichung (13), aus der mit (11) (gemäß identitätslogischen Regeln) (14) folgt. Diese Gleichung defi niert einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den sechs (von Fall zu Fall passend zu wählenden) »positiven« Koeffizienten b, c, f, d, l, m. Analog gewinnt Leibniz aus (8) und (10) die Gleichung (15), die mittels (12) die Gleichung (16) liefert, welche als Pendant zu (14) einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den sechs »negativen« Koeffizienten β, γ, ϕ, δ, λ und μ defi niert.24 Weiterhin leitet Leibniz aus (7) und (11) (durch Division der jeweiligen Seiten) die Gleichung (17) ab, aus der in Kombination mit (9) (nachdem man dort jeweils zum Kehrwert übergeht) identitätslogisch (18) folgt. Auch (18) defi niert einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den »positiven« Koeffizienten b, c, f, d, l, m; doch die mathematischen Beziehungen stimmen mit denen in (14) überein und brauchen deshalb nicht weiter berücksichtigt zu werden. Dementsprechend spart Leibniz sich die Mühe, für die »negativen« Koeffizienten β, γ, ϕ, δ, λ, μ eine analoge Ableitung vorzunehmen.25 Stattdessen rekurriert er 23 Eine

interessante Kleinigkeit am Rande: Leibniz hat nur den ersten Term in Gleichung (1) noch mit dem Vorzeichen ‚+‘ versehen; alle weiteren Gleichungen und Rechnungen werden ohne Plus- und Minuszeichen fortgeführt. 24 Die lasche Ausdrucksweise von »positiven« bzw. »negativen« Faktoren bedeutet genauer: Es sind jene Faktoren oder Koeffizienten, die bei der Betrachtung der »positiven« bzw. »negativen« Komponenten der charakteristischen Zahlen in die Gleichungen (1), (3) und (5) bzw. (2), (4) und (6) eingeführt wurden. 25 Aus (8) und (12) könnte man ansonsten die zu (17) parallele Gleichung

310

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

noch einmal auf die Ausgangsgleichungen (1) und (5), in denen jeweils die »positive« Zahl des Minorterms, y, vorkommt. Er löst diese Gleichungen in Gestalt von (19) und (20) nach y auf und erhält durch Gleichsetzung die Gleichung (21), die dann noch nach a aufgelöst, d.h. zu (22) umgeformt wird. Aus dieser komplexen Beziehung leitet Leibniz ab, dass stets einer der vorkommenden Terme, etwa der Medius-Term e, beliebig gewählt werden darf. Diese freie Wahlmöglichkeit spielt jedoch bei den nachfolgenden Überlegungen anscheinend keine Rolle. Denn die (von Leibniz nicht mehr nummerierte) Gleichung (23) geht nicht etwa aus (22) durch freie Wahl von e hervor, sondern stellt einfach eine Umformung von (14) bzw. (18) dar, also jener zentralen Bedingung, in der alle »positiven« Koeffizienten b, c, f, d, l, m miteinander verknüpft werden. Die folgende, unorthodoxe Gleichung mit den »Kommentaren« ‚Minor‘, ‚Medius‘, ‚Major‘ wiederholt noch einmal diesen Sachverhalt, wobei Leibniz sich lediglich klar macht, wo die einzelnen Koeffizienten (bzw. deren Brüche b/c, f/d und l/m) herstammen: b und c von der Minoraussage, bei der der Minorbegriff y gemäß Ausgangsgleichung (1) mit dem Medius e verknüpft wird; f und d von der Majoraussage, bei der der Medius e gemäß (3) mit dem Major a verknüpft wird; und l und m von der Konklusion, bei der der Minor y gemäß (5) mit dem Major a verknüpft wird. In Gleichung (24) wird das Pendant zu (23) für die »negativen« Koeffizienten β, γ, ϕ, δ, λ, μ formuliert; diese Gleichung stellt lediglich eine Umformung von (16) dar. Schließlich rundet Leibniz den Komplex von Gleichungen durch (25) & (26) sowie (27) & (28) ab. Hierdurch werden die bereits bekannten Beziehungen in der Minor- bzw. Majoraussage (also (1) & (2) bzw. (3) & (4)) noch einmal wiederholt bzw. nach den Zahlen des Minorbegriffs, , bzw. des Majorbegriffs, , aufgelöst. Wie Leibniz selber resümiert, hat er somit aus den Ausgangs(*) α/ε = γ*λ/β*μ ableiten und bekäme so aus (*) mit (10) (bzw. dem jeweiligen Kehrwert) (**) γ*λ/β*μ = ϕ/δ; doch (**) ist wiederum nur eine Variante der bereits abgeleiteten Gleichung (16).

Kommentar

311

gleichungen (1)-(6) sechs andere Gleichungen, nämlich (23)-(28), abgeleitet. Der wesentliche Unterschied zwischen beiden Gleichungssystemen besteht darin, dass im ursprünglichen Fall die Zahlenverhältnisse für die Konklusion, also (5) & (6), mit Hilfe der Zahlen des Minor- und Majorbegriffs (, ) formuliert worden war, während in (23) & (24) nur noch die »positiven« bzw. »negativen« Koeffizienten vorkommen. Zum Auft akt des Finales betrachtet Leibniz wieder die Grundgleichung (ix)

r*s = x*p

und

ρ*σ = ξ*π,

wobei die Variablen nicht mehr dem Minor-, Medius- und Majorbegriff eines Syllogismus nachgebildet sind, sondern allgemeiner dem Subjekt und Prädikat einer kategorischen Satzform (bzw. deren Zahlen und ). Als nächstes formuliert er die Wahrheitsbedingungen für die einzelnen Satzformen, indem eine UA – wie üblich – genau dann als wahr betrachtet werden soll, wenn sowohl r als auch ρ = 1 ist. Dementsprechend ist eine PN dann und nur dann wahr, wenn mindestens eine dieser Zahlen, r oder ρ, ≠ 1 bzw. >1 ist. Die anschließenden Bedingungen für die UN und die PA werden allerdings anders als üblich formuliert. Zum einen bedient Leibniz sich der etwas »schlampigen« Ausdrucksweise, dass die Brüche r/ξ bzw. ρ/x relativ prim („primi inter se“) sein sollen. Präziser müsste es heißen, dass die Brüche irreduzibel sind, oder dass die Zahlen r und ξ (sowie ρ und x) relativ prim sind, d.h. keinen gemeinsamen Teiler (>1) besitzen. Wichtiger ist jedoch folgende Innovation. Normalerweise wird für die Wahrheit z.B. der PA verlangt, dass weder die »positive« Komponente der Zahl des Subjekts, s, einen gemeinsamen Teiler mit der »negativen« Komponente der Zahl des Prädikats, π besitzt; noch dürfen entsprechend (-)σ und (+)p einen gemeinsamen Teiler besitzen. Tatsächlich fordert Leibniz nun aber nicht, dass diese Zahlen selber relativ prim sind, sondern ihre Koeffizienten r und ξ bzw. ρ und x, die in die Gleichung (ix) einfl ießen, sollen „primi inter se“ sein! Dies setzt die Geltung des folgenden Theorems voraus, bei dem

312

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

die Relation ‚x und y sind relativ prim‘ durch RP(x,y) abgekürzt sei: Theorem 1: Für alle natürlichen Zahlen s, σ, p, π, r, ρ, x, ξ gilt: Wenn RP(s,σ) ∧ RP(p,π) ∧ r*s = x*p ∧ ρ*σ = ξ*π, dann gilt: RP(s,π) ∧ RP(σ,p) dann und nur dann wenn RP(r,ξ) ∧ RP(ρ,x))).

Als nächstes verkompliziert Leibniz den bisherigen Ansatz noch einmal dadurch, dass er in die Doppelgleichung (ix) für jeden der vier Terme einen zusätzlichen, durch Großbuchstaben symbolisierten Koeffizienten einfügt und so die folgende Gleichung erhält: (xix)

R*r*s = X*x*p

&

Ρ*ρ*σ = Ξ*ξ*π.

Dieser Schritt ist offenbar dadurch motiviert, dass man auf der Folie von (xix) die Wahrheitsbedingungen für alle Satzformen noch einheitlicher durch Gleichungen bzw. Ungleichungen zwischen Koeffizienten ausdrücken kann, nämlich: Sem-A 4 Sem-O 4 Sem-E 4 Sem-I 4

A(S,P) wird wahr gdw. R*r = Ρ*ρ = 1 O(S,P) wird wahr gdw. R*r ≠ 1 oder Ρ*ρ ≠ 1 E(S,P) wird wahr gdw. r = ξ oder x = ρ I(S,P) wird wahr gdw. r ≠ ξ und x ≠ ρ.26

Dabei stellen die Kriterien Sem-A 4 und Sem-O 4 unmittelbare Varianten der früheren Bedingungen Sem-A 3 und Sem-O 3 dar, während die Adäquatheit von Sem-E 4 und Sem-I 4 die Geltung der folgenden, keineswegs trivialen Behauptung voraussetzt: Theorem 2: Unter den gegebenen Randbedingungen (dass nämlich die Komponenten der Zahlen des Subjekts, s und σ, sowie des Prädikats, p und π, relativ prim sind, und dass außerdem die Doppelgleichung vergisst hier, die zu Sem-E („in U.N. erit r aequ. ξ vel x aequ. ρ“) korrespondierende Bedingung Sem-I auszubuchstabieren. 26 Leibniz

Kommentar

313

(xix) erfüllt ist) sind die »diagonal« entgegengesetzten Komponenten s und π sowie σ und p dann und nur dann relativ prim, wenn r ≠ ξ und x ≠ ρ ist. Oder noch formaler: Für alle natürlichen Zahlen s, σ, p, π, r, R, ρ, Ρ, x, X, ξ, Ξ gilt: Wenn RP(s,σ) ∧ RP(p,π) ∧ R*r*s = X*x*p ∧ Ρ*ρ*σ = Ξ*ξ*π dann gilt RP(s,π) ∧ RP(σ,p) dann und nur dann, wenn r ≠ ξ ∧ x ≠ ρ.

Für den letzten Finalschritt veranschaulicht Leibniz zunächst noch einmal die Beziehungen zwischen dem Minor-, dem Medius- und dem Majorbegriff (bzw. zwischen ihren charakteristischen Zahlen , und ) durch geschwungene Linien und ruft sich die Position der Terme innerhalb der jeweiligen Figur in Erinnerung.27 Sodann überträgt er die Doppelgleichung (xix) auf die drei Aussagen eines Syllogismus und erhält so das folgende, imposante System von sechs Gleichungen mit insgesamt 36 »Unbekannten«: (xx) (xxi) (xxii)

D*d*a = F*f *e B*b*y = C*c*e L*l*y = M*m*a

& & &

‫*ד‬d*a= ‫*פ‬ϕ*ε ‫*ב‬β*υ = ‫*ג‬γ*ε28 ‫*ל‬λ*υ = ‫*מ‬μ*α.

In Ermangelung hinreichend vieler passender griechischer Buchstaben rekurriert Leibniz dabei auch auf hebräische Schriftzeichen, ohne dass damit ein tieferer Sinn verbunden zu sein scheint.29 Als »Krönung« der gesamten Untersuchung 27 Dabei

lässt Leibniz wieder den Medius in der 2. Figur beide Male als Subjekt und in der 3. Figur beide Male als Prädikat auftreten, während diese Figuren üblicherweise umgekehrt defi niert werden. 28 In einer Nebenüberlegung hält Leibniz sich die Reihenfolge der jeweiligen Terme (Medius und Major bzw. Minor und Medius) in der jeweiligen Figur vor Augen. Diese beiläufige Überlegung wurde in den textkritischen Apparat verschoben. 29 Aus diesem Grund übernehmen wir auch nicht den von den Hrg. der Akademieausgabe gewählten Titel „Numeri characteristici latine, graece, hebraice expressi“ sondern beziehen uns auf die Schrift einfach als ‚No. 7‘. In dem früheren Entwurf No. 3 („Calculi Universalis Elementa“) hatte Leibniz hingegen mit Absicht hebräische Buchstaben gewählt, um

314

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

präsentiert Leibniz abschließend die folgende Doppelgleichung, die – als Pendant zu den früheren Gleichungen (14) & (16) – die zu beachtenden Beziehungen zwischen den »positiven« und zwischen den »negativen« Koeffizienten defi niert: (xxiii) C*c*D*d/B*b*F*f = M*m/L*l & ‫*ג‬γ*‫*ד‬δ/‫*ב‬β*‫*פ‬ϕ = ‫*מ‬μ/‫*ג‬λ.

Die Arbeit endet mit der optimistischen These, dass sich mithilfe des geschilderten Kalküls die Gültigkeit jedes syllogistischen Modus berechnen ließe. Außerdem expliziert Leibniz noch einmal den Grundgedanken der Semantik charakteristischer Zahlen: Ein Schluss von den Prämissen P1, P2 auf die Konklusion K ist formal gültig, wenn es keine Zuordnung von charakteristischen Zahlen gibt, bei der P1 und P2 wahr, K jedoch falsch wird.

auszudrücken, dass es sich um eine ganze oder eine gebrochene Zahl handelt – vgl. C., 58 oder A VI, 4, 207.

Schlussbemerkung

315

3.7 Schlussbemerkung Wie in der Einleitung zu diesem Kapitel betont wurde, hat sich das – im Vergleich zum Wunschtraum der »wahren« charakteristischen Zahlen – relativ bescheidene Unterfangen, eine zahlentheoretische Semantik zu entwickeln, mit der sich die logische Gültigkeit syllogistischer Schlüsse entscheiden lässt, letztendlich als ein durch und durch anspruchsvolles Unternehmen entpuppt. Auf dem langen Weg von der Produkt-Regel und dem simplen Ansatz mit nur einer charakteristischen Zahl bis hin zu dem komplexeren Ansatz mit Zahlenpaaren, deren Komponenten keinen gemeinsamen Teiler besitzen dürfen, musste Leibniz viele Klippen umschiffen. So stellt sich natürlich die Frage: Was hat er letztendlich geschafft? Zwar hatte Leibniz schon in dem oben ausführlich dargestellten Essay No. 6, den „Regulae ex quibus de bonitate consequentiarum … judicari potest“, fehlerfrei nachgewiesen, dass seine Semantik die »einfachen« Gesetze der Opposition, Subalternation und Konversion erfüllt. Doch der noch offene Beweis der Syllogismen ist ihm auch in dem abschließenden Essay No. 7 nicht gelungen. Die Ableitung der komplexen Doppelgleichung (xxiii) mit 24 lateinischen, griechischen und hebräischen Variablen stellt ja allenfalls ein Prolegomenon für einen solchen Beweis dar, aber noch keinen Beweis an sich. Dabei wäre dieser, wie sich gleich zeigen wird, recht einfach zu fi nden gewesen. Zuvor sei aber kurz auf ein generelles Bedenken eingegangen, das Parkinson (1988: 255) wie folgt formulierte: Es bleibt die Frage, warum Leibniz diese Art [Semantik] nicht weiter entwickelte […]. Wahrscheinlich ärgerte ihn seine Unfähigkeit, etwas zu fi nden, was man heute Entscheidungsverfahren nennen würde. Er gibt keine Regeln zur Auffi ndung von Zahlenpaaren an, die die Unschlüssigkeit eines Syllogismus beweisen, glaubt jedoch ohne Zweifel, dass man solche Zahlenpaare fi nden kann, was tatsächlich zutrifft. Wie aber soll er die Schlüssigkeit eines Syllogismus beweisen? Wie zeigen,

316

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

dass Zahlenpaare, die beide Prämissen und das kontradiktorische Gegenteil der Konklusion erfüllen, nicht gefunden werden können?

Dieses »Problem«, das z.B. auch in Henrich (2002) ernsthaft diskutiert wurde, ist jedoch ein Pseudo-Problem.1 Leibniz hat im Zusammenhang mit den »einfachen« Gesetzen der Syllogistik wunderbar demonstriert, wie man die Allgemeingültigkeit von Schlüssen nachweist: Einfach indem man zeigt, dass für beliebige Zahlenpaare, Z(S) = , Z(P) = , etc., bei denen die Prämissen wahr werden, auch die Konklusion wahr wird! So etwas ist das normale Procedere eines semantischen Beweises! Konkret konstruiert man den fehlenden Beweis am einfachsten so, dass man sich zunächst Klarheit darüber verschafft, wie viele bzw. welche der 24 als gültig angesehenen Syllogismen überhaupt bewiesen werden müssen. Wie in Kapitel 5 ausführlich gezeigt wird, hat Leibniz eine vorbildlich klare »Axiomatisierung« der Syllogistik entwickelt, bei der es ausreicht, neben den Gesetzen der Opposition, Subalternation und Konversion z.B. die vier »perfekten« Modi der Ersten Figur, also Barbara, Celarent, Darii und Ferio als Grundprinzipien zu wählen. Alle übrigen 20 Syllogismen lassen sich dann mit elementaren logischen Mitteln, speziell mittels des Schlusses des „Regressus“, aus diesen herleiten. Nachdem die semantische Gültigkeit der 1 Vgl.

Henrich (2002), S. 215: „Man kann nicht ausschließen, dass Parkinsons Argument, der Nachweis könne nicht erbracht werden, dass bei gültigen Schlüssen keine Zahlen zu den Prämissen und zur negierten Konklusion gefunden werden können, bei [Leibniz‘ angeblicher] Aufgabe [der Semantik] eine Rolle gespielt hat.“ Henrich weist ferner darauf hin, dass auch Mittelstraß/Schroeder-Heister (1986: 405) hier ein echtes Problem entdeckt zu haben glauben. Die Leibnizsche Semantik stelle angeblich kein „Überprüfungsverfahren für gültige Syllogismen zur Verfügung, da unendlich viele Charakterisierungen der Begriffe eines Syllogismus in Betracht gezogen werden müssen […] Defi nitiv entschieden werden kann nur über Gegenbeispiele für ungültige Syllogismen.“

Schlussbemerkung

317

»einfachen« Schlüsse bereits bewiesen ist, steht also nur noch der Nachweis der vier »perfekten« Syllogismen offen. In Lenzen (1990a: 26-27) wurde dieser so erbracht: Die Gültigkeit des Modus Barbara ergibt sich unmittelbar aus der Transitivität der Teilbarkeitsbeziehung. Sind , und die den Termen B, C bzw. D zugeordneten charakteristischen Zahlenpaare, und ist sowohl A(C,D) als auch A(B,C) wahr, so heißt dies, dass c 1 exakt durch d1, c2 durch d2, b 1 durch c 1 und b2 durch c2 teilbar ist. A fortiori muss dann b 1 durch d1 und b2 durch d2 teilbar sein, so dass A(B,D) als wahr resultiert. Bei Celarent ergibt sich zunächst aus der Wahrheit der Prämisse E(C,D) numerisch: +c 1 hat einen gemeinsamen Teiler mit -d2, oder aber -c2 hat einen gemeinsamen Teiler mit +d1 […]; da gemäß der zweiten Prämisse, A(B,C), insbesondere +b 1 durch +c 1 teilbar ist, folgt im ersten Unterfall, dass a fortiori +b 1 einen gemeinsamen Teiler mit -d2 besitzt; im anderen Unterfall hingegen folgt, dass -b2 mit +d1 einen gemeinsamen Teiler hat, weil -b2 durch -c2 […] teilbar ist. Also ist E(B,D) erfüllt, wie für Celarent zu zeigen war. Bezüglich Darii sei vorausgesetzt, dass c 1 durch d1 und c2 durch d2 teilbar ist (wegen A(C,D)); ferner habe weder b 1 einen gemeinsamen Teiler mit c2 noch b2 mit c 1 (wegen I(B,C)). Dann folgt unmittelbar, dass b 1 auch keinen gemeinsamen Teiler mit d2 bzw. b2 keinen gemeinsamen Teiler mit d1 haben kann, weil andernfalls z.B. der gemeinsame Teiler von b 1 und d2 erst recht gemeinsamer Teiler von b 1 und dem Vielfachen von d2, c2, wäre. Also ist I(B,D) […] erfüllt. Die Gültigkeit von Ferio schließlich erkennt man indirekt so. Ist E(C,D) wahr, so hat […] entweder c 1 einen gemeinsamen Teiler mit d2 oder aber c2 einen gemeinsamen Teiler mit d1; wäre nun die Konklusion, O(B,D), nicht erfüllt, also A(B,D) wahr, so hieße dies, dass b 1 durch d1 teilbar wäre und zugleich b2 durch d2; wegen der Prämisse hätte dann aber entweder c 1 einen gemeinsamen Teiler mit b2 oder c2 einen solchen mit b 1 im Widerspruch zur zweiten Prämisse I(B,C), die […] gerade beinhaltet, dass sowohl b 1 teilerfremd mit c2 als auch b2 teilerfremd mit c 1 ist.

318

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Jan Lukasiewicz hatte in (1951) als erster gezeigt, dass die Leibnizsche Semantik in dem Sinne korrekt ist, dass sie die Grundprinzipien seiner eigenen (d.h. von Lukasiewicz und Słupecki entworfenen) Axiomatisierung der Aristotelischen Syllogistik erfüllt, und er hielt dies für einen glücklichen Zufall: Leibniz did not know that the Aristotelian syllogistic could be axiomatized, and he knew nothing about rejection and its rules. He only tested some laws of conversion and some syllogistic moods in order to be sure that his interpretation was not wrong. It seems, therefore, to be a mere coincidence that his interpretation satisfies our asserted axioms […]. In any case it is strange that his philosophical intuitions, which guided him in his research, yielded such a sound result.2

Wenn Lukasiewicz die Essays vom April 1679 etwas gründlicher studiert hätte, dann wäre es ihm bestimmt nicht mehr rätselhaft, sondern einigermaßen evident erschienen, dass die logischen Intuitionen, von denen sich Leibniz bei der Entwicklung der Semantik charakteristischer Zahlen leiten ließ, letztendlich zu einem einwandfrei funktionierenden System geführt haben. Es ist alles andere als Zufall, dass diese Semantik ein Modell der »Aristotelischen«, d.h. ohne Begriffsnegation operierenden Syllogistik darstellt. Andererseits ist es Leibniz trotz intensiver Bemühungen nicht gelungen, seinen semantischen Ansatz auf die »Scholastische« Syllogistik auszudehnen und deren spezifische Gesetze der Obversion und der Kontraposition gleichfalls als gültig zu erweisen. Die Gründe für dieses Scheitern – und mögliche Auswege aus der Problematik – sollen nun abschließend erörtert werden. Der erste Versuch, negativen Begriffen charakteristische Zahlen zuzuordnen, fi ndet sich in Essay No. 3, den „Calculi universalis Elementa“, wo noch mit dem einfachen Ansatz nur einer charakteristischen Zahl operiert wird. Leibniz betrachtet das Beispiel ‚Kein Mensch ist ein Stein‘, das qua Obversion in ‚Jeder Mensch 2 Vgl.

Lukasiewicz (1951), S. 126.

Schlussbemerkung

319

ist ein Nicht-Stein‘ umgeformt werden kann. Er erwägt dann, dem negativen Begriff ‚Nicht-Stein‘ eine unbestimmte Zahl („numerus indefinitus“) zuzuordnen, „von der nur das eine feststeht, dass sie nicht durch die Zahl von ‚Stein‘ dividiert werden kann.“ Dieser Gedanke liefert jedoch, für einen vorgegebenen Begriff B mit der charakteristischen Zahl Z(B), keinen eindeutig definierten Wert Z(~B), sondern lediglich die Rahmenbedingung: Sem-Neg 3

Z(~B) ist nicht durch Z(B) teilbar.

Sei etwa Z(B) = 3, dann dürfte Z(~B) kein Vielfaches von 3, also insbesondere weder gleich 6, noch gleich 9, noch … sein. Doch diese schwache Forderung lässt unendlich viele Alternativen offen; speziell könnte Z(~B) gleich 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, … sein. Ohne weitergehende Bestimmung lässt sich deshalb nicht ermitteln, ob das Gesetz der doppelten Verneinung erfüllt wäre, d.h. ob Z(~(~B)) = Z(B). Und ohne weitergehende Bestimmung kann man die Bedingung Sem-Neg 3 auch nicht dazu verwenden, die Wahrheitsbedingung für die UN aus jener für die UA abzuleiten. Im zweiten Teil der genannten Arbeit (C., 62-66) widmet Leibniz sich erneut der Problematik negativer Begriffe, die er stellenweise sogar als unmögliche Begriffe („notiones impossibiles“) bezeichnet, und erwägt zunächst, deren Zahlen mittels griechischer Buchstaben durch Brüche zu repräsentieren. Einige seiner Ausführungen suggerieren, dass man als Zahl von (~B) einfach den Kehrwert der Zahl von B nehmen sollte: Sem-Neg 4

Z(~B) = 1/Z(B).

Im weiteren Verlauf der Untersuchungen wird jedoch klar, dass der Kehrwert 1/Z(B) nicht der Operation des Negierens eines Begriffs entspricht, sondern vielmehr der – in Leibniz‘ Logik völlig neuartigen – Operation des Weglassens („omissio“) eines Begriffs B aus einem anderen, zusammengesetzten Begriff BC! Die Grundidee hierbei ist, dass so wie z.B. der Begriff ‚Mensch‘ aus dem Begriff ‚Lebewesen‘ durch Hinzufügen von ‚vernunftbegabt‘ entsteht, so ließe sich umgekehrt der Begriff ‚Lebewesen‘ aus dem Begriff ‚Mensch‘ durch Wegnahme von ‚vernünftig‘ gewinnen.

320

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Dies ist ein sehr interessanter Gedanke, den Leibniz in späteren Entwürfen des sog. Plus-Minus-Kalküls aufgegriffen und systematisch ausgearbeitet hat. Bei dieser Gelegenheit hat er auch explizit betont, dass ein großer Unterschied zwischen begriffl icher Subtraktion oder Wegnahme und der Negation bzw. dem Zufügen eines negativen Begriffs besteht: Das Weglassen von Begriffen ist etwas anderes als die Verneinung. Z.B ist der Begriff ‚nicht vernunftbegabter Mensch‘ absurd bzw. widersprüchlich, aber man darf sagen: ‚Abgesehen von der Vernunftbegabung ist der Affe ein Mensch‘. […] ‚Mensch‘ – ‚vernunftbegabt‘ ist etwas anderes als ‚nicht vernunftbegabter Mensch‘. Denn ‚Mensch‘ – ‚vernunftbegabt‘ = ‚Tier‘, aber ‚nicht vernunftbegabter Mensch‘ ist unmöglich.3

Übertragen auf die Ebene der charakteristischen Zahlen bedeutet dies: Wenn ich also gefragt werde, was außer ‚Mensch‘ notwendig ist, damit der gleiche Begriff wie ‚Lebewesen‘ entsteht, so antworte ich: Nichts Positives ist zusätzlich nötig, sondern es ist vielmehr etwas wegzunehmen, nämlich die Vernunftbegabung; und diese Wegnahme wird durch einen Bruch 1/v ausgedrückt. Das bedeutet, um die Zahl von ‚Mensch‘, m, auf die Zahl von ‚Lebewesen‘, l, zurückzuführen, muss die Zahl des Menschen mit dem Bruch 1/v multipliziert, d.h. m muss durch v dividiert werden. […] „So wie wir die Setzung von Begriffen durch die Multiplikation der Zahlen ausdrücken, so drücken wir die Wegnahme von Begriffen durch die Division der Zahlen aus.4

3 Vgl.

A VI, 4, 851; die Arbeit „Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis“ stammt auf der Zeit um 1687. Auch in den GI von 1686 hat Leibniz auf den Unterschied zwischen begriffl icher Negation und der Wegnahme (bzw. »Division«) von Begriffen hingewiesen; „Distinguenda negatio a divisione, divisione fit omissio alicujus termini, sed non ideo negatio […]“. 4 Vgl. C., 63, oder A VI, 4, 213; Leibniz hatte übrigens statt der Setzung („positio“) von Begriffen zuerst von einer „additio“ gesprochen!

Schlussbemerkung

321

Die Defi nition der charakteristischen Zahl eines negativen Begriffs gemäß Sem-Neg 2 ist deshalb zurückzuweisen, auch wenn sie der Bedingung genügt, dass die Zahl von ~(~B), d.h. 1/ (1/Z(B)), mit Z(B) übereinstimmt. Weitere Ansätze zur Bestimmung von Z(~B) fi nden sich in Essay No. 4, den „Calculi universalis investigationes“. Leibniz bemerkt dort zunächst, dass „man die Negation eines Begriffs wie ‚Nicht-Mensch‘ nicht angemessen durch ein Minuszeichen ausdrücken kann“5. Die (schon in Abschnitt 3.4.3 erwähnte) Regel Sem-Neg 1

Z(~B) = -Z(B)

würde zwar dem Prinzip der doppelten Verneinung genügen, doch sie ist aus mindestens zwei Gründen untauglich. Kombiniert man z.B. den negativen Begriff ‚nicht klug‘ („non-prudens“) mit dem positiven Begriff ‚gelehrt‘ („doctus“), so würde die Konjunktion ‚doctus non-prudens‘ bei Annahme von SemNeg-1 gemäß der Produkt-Regel die Zahl +d*(-p) bekommen, die arithmetisch mit –(d*p) zusammenfällt. Letztere wäre aber – gemäß Sem-Neg-1 – die charakteristische Zahl von ‚non-(doctus prudens)‘, und beide Begriffe sind keinewegs synonym.6 Noch schlimmer: Kombiniert man zwei negative Begriffe wie ‚non-prudens‘ und ‚non-justus‘, so wäre Z(~P~J) = Z(~P)*Z(~J) = (-p)*(-j), also nach Vorzeichenregeln = +(p*j), d.h. der Begriff ‚weder klug noch gerecht‘ erhielte dieselbe charakteristische Zahl wie ‚klug und gerecht‘!7 5 Vgl.

C., 69, oder A VI, 4, 220: „Negationem alicuius termini, ut nonhomo, non possum commode exprimere per signum minus, quia id afficit totum terminum, quod hic esse non debet.“ 6 Vgl. C., 69, oder A VI, 4, 220: „Nam cum dico: doctus non-prudens, speciatim dico esse doctum sed non prudentem; possem quidem dicere: non-(doctus-prudens), sed tunc non tantundem dico.“ Leibniz selber deutete übrigens die Zusammenfassung der beiden Begriffe ‚doctus-prudens‘ nicht mittels Klammern, sondern durch Überstreichen an. 7 Vgl. C., 69, oder A VI, 4, 220: „Si dicam doctus non-prudens non-justus, non possumus inde facere: +d*(-p)*(-j), fieret enim +(d*p*j).“ Statt des Multiplikationszeichens ‘*’ verwendet Leibniz übrigens Kommata.

322

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Danach spielt Leibniz kurz mit dem Gedanken, die charakteristische Zahl negativer Begriffe durch Wurzeln auszudrücken: Sem-Neg 5

Z(~B) = √ Z(B).

Für diesen Ansatz spricht nach Leibniz einerseits, dass man „unverträgliche Begriffe gewissermaßen durch inkommensurable Zahlen ausdrücken kann wie a und √ α“. Außerdem glaubt er anscheinend, dass durch Sem-Neg 5 das Gesetz der doppelten Verneinung erfüllt würde, denn er verweist auf die „Ähnlichkeit, dass ‚nicht-nicht‘ eine Bejahung erzeugt, so wie √ α a erzeugt.“ Dies ist aber nicht ganz korrekt. Die Tatsache, dass ~~A begriffslogisch mit A zusammenfällt, wäre auf der Ebene der charakteristischen Zahlen durch die Gleichung √ √ α = a zu repräsentieren; doch diese Gleichung ist mathematisch inkorrekt. Die korrekte Gleichung √ α * √ α = a hingegen würde (auf dem Hintergrund der Regel Produkt) zum Ausdruck bringen, dass die Konjunktion von ~A mit ~A mit A gleichwertig wäre, doch dies ist begriffslogisch inkorrekt: ~A~A ist gemäß Konj 5 mit ~A äquivalent, nicht aber mit A! Dementsprechend sah auch Leibniz ein: „wenn man ‚ungerecht‘ mit ‚ungerecht‘ kombiniert, dann entsteht daraus nicht ‚gerecht‘.“8 Als nächstes betrachtet Leibniz wieder Sem-Neg 4, d.h. die Repräsentation der Zahl von ~A durch den Kehrwert der Zahl von A. Das gravierendste Problem dieses Ansatzes besteht darin, dass der widerspruchsvolle Begriff A~A gemäß der ProduktRegel die Zahl a*(1/a), d.h. 1 bekommen würde. Da jede Zahl Z(B) durch 1 teilbar ist, ergäbe sich somit für jede widerspruchsvolle Aussage der Gestalt B∈A~A der Wert wahr! So erkannte auch Leibniz schnell, dass die Division bzw. Bildung des Kehrwerts nichts taugt.9 Im Laufe der nächsten sieben Jahre geriet diese Einsicht jedoch leider in Vergessenheit. In den §§124-129 8 Vgl.

C., 69, oder A VI, 4, 220: „Vero in eo hic est discrimen, nam potius id significat √√ α esse a. Nam etsi componas injustum injustum non inde facies justum.“  9 Vgl. C., 69: „Itaque patet non procedere divisionem.“

Schlussbemerkung

323

der „Generales Inquisitiones“ kehrte Leibniz noch einmal zur Thematik der charakteristischen Zahlen zurück und behauptete, nun endlich das Geheimnis gelöst zu haben, „dem ich vor einigen Jahren erfolglos nachgegangen war“.10 Seine »Lösung« beruht aber ausgerechnet auf dem untauglichen Gedanken, die Zahl von ‚Nicht-B‘ durch den Bruch 1/b zu repräsentieren.11 In der Arbeit vom April 1679 setzte Leibniz die Suche nach Alternativen, die Zahl z.B. von ‚non-Homo‘ in Abhängigkeit von der Zahl von ‚Homo‘ zu defi nieren, noch eine Weile fort. Aufgrund der Erwägung, dass der Begriff ‚Nicht-Mensch‘ alles Beliebige außer dem Menschen („quidvis praeter hominem“) bezeichnet, probierte er den Ansatz Sem-Neg 6

Z(~B) = y –Z(B),

bei dem die Variable y (bzw. genauer: der zugehörige »unbestimmte Begriff« Y) einerseits als Begriff der »Einheit« und andererseits als Begriff »jedes beliebigen Seienden« verstanden werden soll.12 Beide Lesarten sind jedoch mit Schwierigkeiten behaftet. Wenn das ‚y‘ wirklich eine Variable darstellen soll, dann liefert Sem-Neg 6 keine wohldefinierte Zahl, sondern nur eine triviale Rahmenbedingung für die Festlegung einer solchen Zahl. Deshalb ließe sich (ähnlich wie schon oben bei SemNeg 3) nicht einmal entscheiden, ob das Gesetz der doppelten Verneinung erfüllt wäre. Versteht man hingegen die Redeweise 10 Vgl. GI, § 129: „Ita arcanum illud detexi, cui ante aliquot annos frustra

incubueram“. 11 Vgl. § 129 GI, wo Leibniz zunächst die Wahrheitsbedingung für die UA ‚A est B‘ wie üblich durch die Teilbarkeit von Z(A) durch Z(B) formuliert und dann postuliert: „quando A dividi potest exacte per non-B seu per 1/B seu quando A continet fractionem 1/B (quae repraesentat non-B) repraesentatur Universalis negativa.“ 12 Vgl. C., 70 oder A VI, 4, 221: „Videtur autem ille [i.e. non-homo] esse terminus unitatis qui idem quod terminus Entis seu cujuslibet. Non homo erit y-H“. Ob das ‘y’ von Leibniz als Klein- oder Großbuchstabe gemeint war, lässt sich nicht mit Sicherheit sagen. Um die Diskussion zu erleichtern, geben wir jedenfalls alle in Frage kommenden Begriffe durch Großbuchstaben und ihre Zahlen durch Kleinbuchstaben wieder.

324

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

vom „terminus unitatis“ wörtlich als Begriff der Einheit, so wäre dieser Begriff Y – bzw. genauer seine Zahl y = Z(Y) – mit der 1 gleichzusetzen. Das dann resultierende Kriterium Sem-Neg 7

Z(~B) = 1 – Z(B),

würde zwar dem Gesetz der doppelten Verneinung Genüge tun, aber es scheitert offenkundig am Prinzip der Kontraposition. Sei etwa Z(B) = 14 und Z(C) = 7; gemäß Sem-Neg 7 hätte man dann Z(~C) = 1 – 7 = -6 und Z(~B) = 1 – 14 = -13. Da 14 duch 7 teilbar ist, wäre die Aussage ‚Alle B sind C‘ wahr; hingegen würde ‚Alle Nicht-C sind Nicht-B‘ falsch, da -6 nicht durch -13 teilbar ist. So hat denn auch Leibniz das Kriterium Sem-Neg 7 nicht ernsthaft weiter verfolgt, sondern ist gleich zu einem anderen Ansatz übergegangen, der direkt an die Überlegungen anknüpft, die weiter oben im Zusammenhang mit Sem-Neg 1 diskutiert wurden.13 Als Zahl etwa von ‚doctus non-prudens non-justus‘ darf man ja, wie Leibniz sich klargemacht hatte, nicht d*(-p)*(-j) wählen, weil sich beide Minuszeichen durch die Multiplikation aufheben würden. Deshalb erwägt er nun: Jede verneinte Zahl trennen wir von der anderen durch das Zeichen ‚nicht‘, wie ‚gelehrt nicht-klug nicht-gerecht‘ („doctus non-prudens non-justus“) und schreiben ‚d nicht pj‘. Wenn es sich nur um ‚unklug ungerecht‘ („imprudens injustus“) handelt, schreiben wir ‚1 nicht pj‘. Wenn dann der Begriff ‚gelehrt nichtklug nicht-gerecht‘ selber verneint wird, so wird daraus offenkundig ‚gerecht klug nicht-gelehrt‘ und wir schreiben dafür ‚pj nicht d‘. Und weil wir so die negativen Begriffe nicht mit den bejahenden vermischen, wissen wir auch, dass alle Teiler der Zahl, um die es sich handelt, negative sind. Es müssen jedoch immer in einer Gleichung die negativen den negativen und die affi rmativen den affi rmativen gleich sein.

13 De

facto probiert Leibniz in den wenigen Schlusszeilen der Arbeit sogar noch zwei weitere Ansätze. Der erste ist jedoch so obskur, dass er hier nicht diskutiert werden muss.

Schlussbemerkung

325

Trotz zahlreicher Ungenauigkeiten und Fehler enthält diese Passage ein paar wichtige Gedanken, die gleich detaillierter herausgearbeitet werden sollen. Vorab jedoch ein Wort zu den Mängeln. Erstens erweist es sich als recht störend, dass Leibniz die Ebene der Begriffe nicht hinreichend von der Ebene der (zugeordneten) Zahlen unterscheidet. Gleich eingangs spricht er von »negierten« Zahlen („numerus negatus“), während man streng genommen von negierten Begriffen („terminus negatus“) und/oder von negativen Zahlen („numerus negativus“) reden müsste. Dies ist keine pure Beckmesserei, sondern berührt den zentralen Punkt, wie die charakteristische Zahl eines negativen Begriffs – bzw. im vorliegenden Kontext konkreter: der Konjunktion zweier negativer Begriffe (wie z.B. ‚nicht-klug nicht-gerecht‘) – genau zu verstehen ist. Die von Leibniz erwogene Darstellung ‚non pj‘ beantwortet diese Frage nicht eindeutig, weil der Negationsausdruck ‚non‘ ja prima facie für Begriffe und nicht für Zahlen defi niert ist. Allerdings steht stark zu vermuten, dass die lasche Ausdrucksweise von einer »negierten« Zahl non-pj auf eine negative Zahl, also –(pj), hinauslaufen soll. Am Rande sei vermerkt, dass Leibniz gegen Ende der zitierten Passage jedenfalls selber spürte, wie ungenau das Reden von »negierten« Zahlen ist. Aus dem textkritischen Apparat geht hervor, dass er zunächst „Quod et ita non miscemus numeros negatos …“ geschrieben hatte, um danach das ‚numeros‘ zu ‚terminos‘ zu korrigieren.14 Einen weiteren Fehler beging Leibniz im Satz zuvor, als er behauptete, die Negation des (konjunktiv zusammengesetzten) Begriffs ‚doctus non-justus non-prudens‘ würde den (ebenfalls konjunktiv zusammengesetzten) Begriff ‚justus prudens indoctum‘ liefern. Tatsächlich ist die Negation einer Konjunktion jedoch mit der Disjunktion der negierten Komponenten gleichwertig. Während dieses (später) so-genannte De-Morgansche 14 Diese

Änderung steht nicht nur im textkritischen Apparat von A VI, 4, 221, Z. 13, sondern sie war schon in Couturat’s Edition vermerkt: „Quod et ita non miscemus [numeros] negatos affi rmatis, …“ (C., 70).

326

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Gesetz für den Bereich von Aussagen Leibniz durchaus geläufig war, hat er es für den Bereich der Begriffe nie mit letzter Klarheit erkannt. Zwar hatte er in einer früheren Passage des gleichen Essays, die oben anlässlich der Diskussion von Sem-Neg 1 diskutiert wurde, zurecht festgehalten, dass die Verneinung der Konjunktion ‚gelehrt und klug‘ nicht äquivalent ist mit (bzw. „nicht ebensoviel besagt wie“) ‚gelehrt aber nicht-klug‘. Der letztere Begriff, der die Struktur A~B besitzt, impliziert bzw. enthält den ersteren, d.h. es gilt das begriffslogische Gesetz Neg 9

(A~B)∈~(AB).

Denn (A~B) enthält (gemäß Konj 2) insbesondere ~B; und ~B selber enthält (gemäß dem Kontrapositionsgesetz Neg 2) ~(AB), weil trivialerweise AB∈B gilt. Die Umkehrung von Neg  9 ist jedoch selbstverständlich ungültig. Analog enthält Leibniz‘ Beispielsbegriff ‚justus prudens indoctum‘, also JP~D, den Begriff ~(D~J~P), also die Verneinung von ‚doctus non-justus non-prudens‘, denn es gilt allgemein: (AB~C)∈~(C~A~B);15 doch auch diese Begriffsinklusion ist selbstverständlich nicht umkehrbar. Sieht man von diesen Fehlern und Ungenauigkeiten ab, so kann man aus Leibniz‘ Überlegungen jedenfalls folgende wertvolle Idee herauslesen. Er denkt offenbar daran, alle negativen Attribute eines Begriffs B auf die eine Seite und alle positiven Att ribute auf die andere Seite packen und dementsprechend die charakteristische Zahl von B so zu konstruieren, dass die positive Komponente, die den positiven Attributen entspricht, deutlich getrennt bleibt von der negativen Komponente, die den negativen Attributen entspricht. Damit die Minus-Zeichen sich nicht durch Multiplikation aufheben, soll einfach ein Minuszeichen vor den Komplex aller negativen Attribute (bzw. genauer ihrer Zahlen) gesetzt werden. Damit antizipiert er die Darstel15 Tatsächlich

enthält aufgrund der erwähnten Konjunktionsgesetze und des Kontrapositionsprinzips Neg  2 bereits jedes einzelne Glied der Konjunktion (AB~C) den negativen Begriff ~(C~A~B)!

Schlussbemerkung

327

lung der Begriffe durch Zahlenpaare, wie sie ansonsten erst im chronologisch nächsten Essay No. 5 („Modus examinandi consequentias per Numeros“) explizit formuliert wird. Ein weiterer interessanter Punkt besteht darin, dass Leibniz offenbar glaubte, aus der »Zahl« „d non pj“, die nach den vorhergehenden Erläuterungen als Zahlenpaar zu verstehen ist, „pj non d“, d.h. als Wert der Negation des fraglichen Begriffs ableiten zu dürfen. Dies entspricht dem bereits früher erwähnten Prinzip Sem-Neg 2

Z(~B) = ,

das allerdings – es sei noch einmal betont – mit dem Gesetz der Kontraposition unverträglich ist. Im Übrigen verbirgt sich in der oben zitierten Passage „Wenn es sich nur um ‚unklug ungerecht‘ handelt, schreiben wir ‚1 nicht pj‘“ ein weiterer interessanter Gedanke. Nur die negativen Attribute des ursprünglichen Begriffs „doctus non-prudens non-justus“ zu betrachten bedeutet ja, von dem positiven Attribut („doctus“) zu abstrahieren bzw. dieses Attribut »wegzunehmen«. Als Zahl für den so entstehenden rein negativen Begriff schlägt Leibniz „1 non pj“ vor. Dahinter verbirgt sich offenbar der Gedanke, dass wegen der »Wegnahme« von D die positive Komponente des zugehörigen Zahlenpaars durch d geteilt werden muss, so dass übrig bleibt. Allgemeiner wäre dann einem rein negativen Begriff B das Zahlenpaar zuzuordnen und einem rein positiven Begriff C entsprechend . Die Einheit ‚1‘ entspricht dabei dem »leeren« Begriff, der etwas genauer als tautologischer Begriff interpretiert werden müsste. Symbolisiert man diesen Begriff durch T, ergäbe sich für seine charakteristische Zahl insgesamt: Sem-Taut 1 Z(T) = .

Diese Bedingung spiegelt exakt das begriffslogische Gesetz wider, demzufolge T in jedem beliebigen Begriff A enthalten ist.16 16 Dies

ist selber ein Korollar des Gesetzes „Ex contradictorio quodli-

328

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

Angesichts der Bedingung Sem-A 2 muss nämlich, für beliebige A, Z(A) = durch Z(T) teilbar sein, und dies gilt dann und nur dann, wenn Z(T) = ! Zum Abschluss unserer Erörterung der vielfältigen Versuche, negativen Begriffen geeignete charakteristische Zahlen zuzuordnen, betrachten wir die Arbeit „Regulae quibus observatis …“, in der es Leibniz scheinbar gelungen ist, das Gesetz der „Conversio per contrapositionem“ zu beweisen. Ausgehend von einem Beispiel, bei dem den Begriffen ‚weise‘ und ‚fromm‘ die Zahlen und zugewiesen werden, gewinnt er für ‚nicht fromm‘ gemäß Sem-Neg 2 das Zahlenpaar mit umgekehrten Vorzeichen, also bzw. . Dadurch wird einerseits gemäß Sem-A-2 die UA ‚Jeder Weise ist fromm‘ wahr, denn +20 ist durch +10 teilbar und ebenso -21 durch -3. Andererseits wird auch die Aussage ‚Kein Nichtfrommer ist weise‘ wahr, sofern man das übliche Kriterium für eine UN zugrundelegt. Denn die positive Komponente der Zahl von ‚Nichtfromm‘, +3, hat ja einen gemeinsamen Teiler mit der negativen Komponente von ‚Weise‘, -21, so dass gemäß Sem-E 2 die Wahrheit der fraglichen Aussage folgt. Darüber hinaus zeigt Leibniz, dass dieses Resultat nicht von der speziellen Wahl der Zahlen abhängt, sondern sich auch für beliebige andere Zahlen ergibt, die die Ursprungsaussage ‚Jeder Weise ist fromm‘ erfüllen. Wie kann das aber sein, wo doch – wie früher gezeigt wurde – das Kriterium Sem-Neg 2 mit dem Prinzip der Kontraposition unverträglich ist? Nun, das was gerade bewiesen wurde, ist nicht, wie Leibniz behauptet, eine Konversion durch Kontraposition, sondern eher eine Konversion per Obversion! ‚Omnis sapiens est pius‘, bzw. allgemeiner A(S,P), lässt sich gemäß Obv  3 in E(S,~P) transformieren, so dass man mittels der einfachen Konversion der UN E(~P,S), d.h. ‚Nullus non-pius est sapiens‘ erhält. Bei einer echten Kontraposition müssen hingegen beide Terme S, P bet“, welches in der Gestalt A~A∈B zum Ausdruck bringt, dass ein widerspruchsvoller Begriff wie A~A jeden beliebigen Begriff B enthält.

Schlussbemerkung

329

negiert und ihre Position von A(S,P) zu A(~P,~S) konvertiert werden. Leibniz hätte somit zeigen müssen, dass bei Annahme der Wahrheit von ‚Omnis sapiens est pius‘ auch ‚Omnis non-pius est non-sapiens‘ wahr wird. Gemäß dem Prinzip Sem-Neg 2 lauten die charakteristischen Zahlen dieser Aussage aber: Omnis

non-pius est +3 -10

non-sapiens +21 -20.

Deshalb wird diese Konklusion gleich doppelt falsch, denn weder lässt sich +3 durch +21, noch -10 durch -20 teilen! Dementsprechend hatte bereits Couturat (1901: 333) zu Recht diagnostiziert: „C’est là un défaut capital de ce système de notation“. Das Problem der charakteristischen Zahlen negativer Begriffe wurde erst viele Jahre später durch zeitgenössische Logiker wie M. Sanchez-Mazas und V. Sotirov gelöst. Sanchez-Mazas (1977) geht davon aus, dass es in der zugrundeliegenden Sprache der Syllogistik nur endlich viele Grundbegriffe B1, …, B m gibt, denen die charakteristischen Zahlen b 1, …, b m zugeordnet sein mögen. Er betrachtet dann die »volle Zahl« Π, die als Produkt aller b i defi niert (und als charakteristische Zahl des »unmöglichen Begriffs« interpretiert) wird. Dann lässt sich die Zahl eines negativen Begriffs, ~B, als Quotient der »vollen Zahl« und der Zahl von B defi nieren: Sem-Neg 8

Z(~B) = Π/Z(B).

Bei diesem Ansatz ist das Gesetz der doppelten Verneinung erfüllt, denn Π/(Π/Z(B)) = B. Da ferner die Konjunktion (B~B) (unter Voraussetzung der Produkt-Regel) die Zahl Z(B)*Z(~B) = Z(B)*(Π/Z(B)) = Π erhält, stellt Π tatsächlich die Zahl des »unmöglichen Begriffs« dar. Für den tautologischen Begriff ~(B~B) ergibt sich entsprechend die Zahl Π/Π, d.h.: Sem-Taut 2

Z(T) = 1.

Wenn man im Sinne von Leibniz für die kategorischen Satzformen verlangt:

330

Zur Semantik der »charakteristischen Zahlen«

A(S,P) ist wahr gdw. Z(S) ist durch Z(P) teilbar; E(S,P) ist wahr gdw. Z(S) ist durch Z(~P) teilbar; I(S,P) ist wahr gdw. Z(S) ist nicht durch Z(~P) teilbar O(S,P) ist wahr gdw. Z(S) ist nicht durch Z(P) teilbar,

dann erhält man endlich das sehnsüchtig erhoffte Modell für die »Scholastische« Syllogistik mit Begriffsnegation, denn außer dem Gesetz der doppelten Verneinung wird nun auch das Gesetz der Kontraposition erfüllt. Ist nämlich A(S,P) wahr, d.h. lässt sich Z(S) glatt durch Z(P) teilen, so gibt es eine natürliche Zahl m so dass Z(S) = m*Z(P). Dann gilt aber Π/Z(S) = Π/m*Z(P), also nach Multiplikation mit m: m*Π/Z(S) = Π/Z(P), d.h. gemäß Sem-Neg 8: Z(~P) = m*Z(~S), so dass A(~P,~S) wahr wird.

4. K APITEL

332

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4 Zu den Linien- und Kreisdiagrammen 4.1 Einleitung Spätestens seit Leonhard Eulers Veröffentlichung seiner „Briefe an eine deutsche Prinzessin über verschiedene Gegenstände der Physik und Philosophie“ kennt man in der Logik die Methode, das Verhältnis zweier Begriffe, wie es traditionell durch die vier kategorischen Satzformen ausgedrückt wird, mit Hilfe von Diagrammen zu veranschaulichen. Die sogenannten Euler-Kreise hielt ihr »Erfi nder« für ein Hülfsmittel von ungemeinem Nutzen, wenn wir uns recht deutlich erklären wollen, worinn eigentlich die Richtigkeit eines Schlusses bestehe. Da ein allgemeiner Begrif eine unendliche Menge von einzelnen Dingen enthält, so betrachte man ihn als einen Raum, worinn all diese einzelnen Dinge eingeschlossen sind. Als für den allgemeinen Begrif: Menschen: macht man einen Zirkel A und stellt sich vor, daß er alle Menschen begreife. Ebenso macht man für den allgemeinen Begrif: sterblich: einen Zirkel B und stelle sich wieder vor, daß alles Sterbliche darinn enthalten sey. Wenn ich hernach behaupte, daß alle Menschen sterblich sind, so heißt dieses anders nicht, als die erste Figur ist in der andern enthalten.1

Wie in diesem Kapitel gezeigt werden soll, hat Leibniz die Idee, die logischen Verhältnisse der kategorischen Satzformen durch entsprechende Mengendiagramme zu illustrieren, fast 100 Jahre vor Euler gekannt und in vielfältiger Weise ausgearbeitet, möglicherweise sogar erfunden. Laut Burkhardt (1980: 62) sollen »Euler-Kreise« allerdings schon fast ein Jahrhundert vor Leibniz von einem gewissen Julius Pacius bzw. einem Nicolaus Ray marus Ursus benutzt worden sein. Mit Couturat (1901) wird man jedenfalls Leibniz für den Erfi nder wenn nicht der »Euler-Kreise«, so doch zumindest der Liniendiagramme halten dür1 Vgl.

Euler (1773), Teil 2, S. 89–90.

Einleitung

333

fen, die Couturat für „noch genialer und noch perfekter“ hielt als die Kreisdiagramme.2 Wir beginnen in Abschnitt 4.2 mit einer vermutlich sehr frühen, als „Scheda 6“ klassifizierten Schrift, in der Leibniz die Grundidee der Liniendiagramme für die vier Satzformen skizziert, ohne sie bereits auf Syllogismen anzuwenden. In Abschnitt 4.3 gehen wir zu einem kleineren Fragment über, das Couturat mit „Essais de schèmes linéaires des syllogismes“ bezeichnete und in dem die Gültigkeit der Modi der Figuren I und II überprüft wird. Leibniz war mit den dort benutzten Diagrammen jedoch nicht ganz zufrieden, weil aus ihnen die Geltung der traditionellen Regeln der Quantität nicht hervorgeht. In Abschnitt 4.4 betrachten wir (ausschnittsweise) die sehr umfangreiche Arbeit „De Formae logicae comprobatione per linearum ductus“. In ihr fi nden sich Varianten von Linien- und Kreisdiagrammen, mit denen nicht nur die Gültigkeit aller traditionellen Modi, sondern auch die Geltung gewisser allgemeiner Regeln der Syllogistik bewiesen bzw. – wie es im Titel korrekter heißt – bestätigt werden kann. Dabei geht Leibniz insbesondere auf die traditionelle Lehre von den distribuierten bzw. nicht-distribuierten Begriffen ein und entwickelt seine Theorie der vollkommenen bzw. unvollkommenen Schlussweisen. Der Schlussabschnitt 4.5 widmet sich dem Spätwerk „Schedae de novis formis syllogisticis“ bzw. genauer der Handschrift LH IV, 6, 15, 7–8, die noch einmal in komprimierter Form einen diagrammatischen Beweis aller gültigen Modi der vier Figuren enthält.

2 Vgl.

Couturat (1901), S.25: „Il n’a pas seulement inventé avant Euler les schèmes circulaires de tous les modes du syllogisme; il a aussi inventé un système de schèmes linéaires encore plus ingénieux et plus parfait“.

334

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4.2.1 Scheda [6] alias „Elementa de continente et contento“1 (1) Propositio categorica est2 Enuntiatio de toto aut parte termini unius3 nempe quod idem sit aut diversum ei quod inest, seu contento4 termini alterius. Terminus de cujus toto aut parte enuntiatio fit est5 (2) subjectum et ponitur primo loco ut B, et si de toto6 tunc in propositione ponitur (3) Omne B; si de parte7 tunc ponitur (4) Quoddam B, et priore casu propositio vocatur (5) universalis, posteriore (6) particularis; et in hoc dicitur consistere (7) quantitas propositionis. Alter terminus velut C dicitur (8) praedicatum; et, si8 identitas seu coincidentia enuntiatur, adjungitur subjecto per το (9) est, veluti Omne B (aut Quoddam B) est C,9 et (10) propositio affirmativa dicitur. Sin10 enuntiatur diversitas unius ab altero, hoc fit per το (11) non est, veluti Omne B non est C, aut Quoddam B non est C, et propositio vocatur (12) Negativa. Et in hoc dicitur consistere (13) qualitas propositionis.11 Caeterum loco hujus Omne B non est C, solet etiam dici (14) Nullum B est C.12 Postremo terminus cujus totum13 idem alicui aut diversum dicitur posset dici (15) universalis, sed solet dici iis distributus; sin parte tantum, posset dici particularis sed  1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 2, Bl. 11–12; vgl. C., 321–324. quae (2) Enuntiatio  3 (1) quod coincidat aut non coincidat (2) nempe  4 (1) in termino altero (2) termini  5 Diese und alle folgenden Nummerierungen wurden nachträglich ergänzt.  6 (1) praeponitur omne (2) tunc  7 (1) praeponitur quoddam ut quod (2) tunc  8 (1) coincidentia (2) identitas … enuntiatur /id streicht L/ adjungitur  9 (1) estque (2) Enunti (3) et 10 (1) coincidentia (2) non-coincidentia vel exclusio unius ab altero enuntiatur (3) enuntiatur 11 (1) Pro (2) Caeterum 12 (1) Solent autem compendio quantitas et qualitas exprimi per quatuor vocales, universalis affi rmativa per A, particularis affi rmativa per I, universalis negativa per E, (a) particularis affi rmativa (b) particularis negativa per O. (2) Postremo 13 (1) coincidere alicui aut non coincidere (2) idem  2 (1)

„Elemente des Enthaltenden und des Enthaltenen“

335

4.2.2 Blatt [6] alias „Elemente des Enthaltenden und des Enthaltenen“1 „Elemente des Enthaltenden und des Enthaltenen“ (1) Eine kategorische Aussage ist eine Behauptung über das Ganze oder den Teil eines Begriffs, dass er nämlich identisch ist mit – oder verschieden ist von – dem Inhalt eines anderen Begriffs. Der Begriff, über dessen Teil oder Ganzes etwas behauptet wird, heißt das (2) Subjekt und wird an die erste Stelle gestellt, wie z.B. B. Wenn es sich um das Ganze handelt, dann heißt es in der Aussage (3) Jedes B; wenn es sich um einen Teil handelt, dann heißt es (4) Ein B; und im ersteren Fall wird die Aussage eine (5) universelle, im letzteren Fall eine (6) partikuläre genannt. Und hierin – so sagt man – besteht (7) die Quantität der Aussage. Der andere Begriff, wie etwa C, heißt das (8) Prädikat; und wenn eine Identität oder Koinzidenz behauptet wird, dann fügt man dem Subjekt den Ausdruck (9) ist hinzu, zum Beispiel ‚Jedes B (bzw. ein B) ist C‘, und man spricht von einer (10) affirmativen Aussage. Wenn die Verschiedenheit des einen vom anderen behauptet wird, geschieht dies mittels des Ausdrucks (11) ist nicht, zum Beispiel ‚Jedes B ist nicht C‘ oder ‚Ein B ist nicht C‘, und man spricht von einer (12) negativen Aussage. Und hierin – so sagt man – besteht (13) die Qualität der Aussage. Übrigens pflegt man anstelle von ‚Jedes B ist nicht C‘ auch zu sagen (14) Kein B ist C. Schließlich kann ein Begriff, dessen Ganzes als mit einem anderen identisch oder von dem anderen verschieden behauptet wird, als universell bezeichnet werden, doch man pflegt ihn als (15) distribuiert zu bezeichnen. Wenn nur ein Teil des Begriffs betroffen ist, könnte er als partikulär

1 Vgl.

auch die Übersetzung in Schmidt (1960), 157–161.

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Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

solet dici (16) non distributus. Nos alterutrum indiscriminatim usurpabimus. Scholion Propositio Universalis Affirmativa Omne B est C, veluti Omnis homo est animal, vel quod eodem14 redit Omnes homines sunt animalia sive tota multitudo hominum15 eadem est contento in multitudine animalium ut linea B16 respondet contento in linea C. Dazu am Rande: B C 17

Malumus tamen dicere totum B idem esse contento ipsius C,18 quam parti. Nam interdum fit19 ut totum B coincidat toti C. Ut si dicam 20 (de plano intelligens) Omne triangulum est trilaterium, quia ambo termini aeque late patent. Et vicissim Omne trilaterum est triangulum.21 Sed recepto loquendi modo quem propositiones categoricae affi rmativae sequuntur,22 nulla praedicatis (perinde ac subjectis) adjiciuntur universalitatis vel particularitatis signa, atque adeo dissimulatur, an ad23 partem tan-

14 (1)

Omnes homines sunt (2) redit coincidit (2) eadem 16 /coincidet vel streicht L/ respondet (1) lineae (2) contento 17 (1) Nolo (2) Malumus … dicere (a) multitud (b) totam multi (c) partem B (d) totum B (da) contineri parti C> (db) coincidere (dc) idem esse … 18 (1) sed contento tantum C (2) quam 19 (1) ut cum propositio (2) ut totum 20 (1) Omne triangulum planum est tri (2) (de plano … 21 (1) Sed quia in proposi (2) Sed (3) sed recepto … categoricae /affi rmativae erg. L/ 22 (1) non exprimatur quantitas praedicati utrumque toti parti coincidat utrum subjecti pars vel totum parti praedicati coincidat (a) ideo (b) vi expressionis seu formae id relinquitur in incerto de quidem praedicati res certa est, de toto non idem. Et si toti praedicato coincidatur (2) nulla … 23 (1) totum (2) partem 15 (1)

„Elemente des Enthaltenden und des Enthaltenen“

337

bezeichnet werden, jedoch pflegt man ihn als (16) nicht distribuiert zu bezeichnen. Wir verwenden beide Ausdrucksweisen unterschiedslos. Eine universell affi rmative Aussage ‚Jedes B ist C‘ wie z.B. ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ oder, was auf das gleiche hinausläuft, ‚Alle Menschen sind Lebewesen‘ oder ‚Die gesamte Menge der Menschen ist identisch mit einem Inhalt der Menge der Lebewesen‘, so wie die Strecke B einem Inhalt der Strecke C entspricht. Dazu am Rande: B C

Wir sagen lieber, dass das ganze B mit einem Inhalt und nicht mit einem Teil von C identisch ist. Denn manchmal geschieht es, dass das ganze B mit dem ganzen C zusammenfällt. So z.B. wenn ich (an ebene Figuren denkend) sage ‚Jedes Dreieck ist ein Dreiseit‘, denn beide Begriffe erstrecken sich gleich weit; und umgekehrt ‚Jedes Dreiseit ist ein Dreieck‘. Nach der üblichen Redeweise, der die affi rmativen kategorischen Aussagen folgen, wird dem Prädikat (anders als dem Subjekt) kein Zeichen der Universalität oder Partikularität zugefügt, und deshalb wird nicht ausgedrückt, ob sich die Identität nur auf einen Teil oder aber auf das Ganze des Prädikats bezieht. Kraft des Ausdrucks

338

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

tum praedicati an vero ad totum 24 pertineat coincidentia. Ideo vi expressionis seu formae id relinquitur in incerto25 et cum totum praedicatum hoc loco afficitur, id dicitur per accidens fieri. Sane de parte praedicati res certa (cum et in casu totius26 coincidentis pars coincidat, quippe quae in toto continetur).27 Itaque vi formae non attingitur nisi pars praedicati. Propositio particularis affi rmativa est Quoddam B est C, veluti Qu idam homo est sapiens, vel quod eodem redit28 pars multitudinis hominum coincidit29 [vel] eadem est cum contento in multitudine sapientium. Dazu am Rande: [B] [C]

Uti pars lineae B respondet contento in linea C.30 Et pars quidem subjecti respondebit parti praedicati si alii quam homines sint sapientes31 (veluti genii, ipseque Deus); toti vero, si solis hominibus sapientia convenire intelligatur. Ita si dicamus Quosdam homines esse32 imperatores, pars hominum toti imperatorum 33 seriei coincidet. Sed vi formae id tantum34 in propositione affi rmativa particulari certum est, partem praedicati affici, et coincidere parti subjecti. 24 (1)

coi (2) pertineat cum totum (1) sit dicitur (2) praedicatum … fieri/ erg. L 26 (1) pars in toto con (2) coincidentis 27 (1) Itaque in propositione universali affi rmativa (a) B est (b) Omne B est C, subjectum est distributum praedicatum (2) Itaque vi formae (a) nihil potest concludi nisi de praedicati parte (b) non attingitur … 28 (1) Qu idam homines sunt sapientes (2) pars 29 /vel ergänzt Hrg./eadem est erg L/cum (1) parte (2) contento in (a) numero (b) multitudine 30 (1) Parti quidem pr (2) Et … 31 /(veluti… Deus)/ erg. L 32 (1) Reges (2) imperatores 33 (1) multitud (2) seriei 34 (1) certum est partem ipsius (2) in propositione (a) (b) affi rmativa … 25 /et

„Elemente des Enthaltenden und des Enthaltenen“

339

oder der Form bleibt dies also im Ungewissen, und wenn in einem solchen Fall das ganze Prädikat betroffen ist, so sagt man, geschehe dies zufällig. Allerdings ist die Sache bezüglich eines Teils des Prädikates sicher (weil auch im Falle der Koinzidenz mit dem Ganzen ein Teil koinzidiert, der freilich das Ganze beinhaltet). Somit ist kraft der logischen Form nur ein Teil des Prädikates betroffen. Eine partikulär affi rmative Aussage ist ‚Ein B ist C‘, wie z.B. ‚Ein Mensch ist weise‘, oder was auf das Gleiche hinausläuft, ‚Ein Teil der Menge der Menschen koinzidiert bzw. ist identisch mit einem Inhalt der Menge der Weisen‘, so wie ein Teil der Strecke B einem Inhalt der Strecke C entspricht. Dazu am Rande: [B] [C]

Und zwar entspricht der Teil des Subjekts einem Teil des Prädikates, wenn es außer dem Menschen auch andere Weise gibt (wie etwa Geister oder gar Gott); hingegen entspricht der Teil des Subjekts dem Ganzen des Prädikates, wenn man der Auffassung ist, dass Weisheit alleine dem Menschen zukommt. Wenn wir z.B. sagen ‚Einige Menschen sind Herrscher‘, so fällt ein Teil der Menschen mit der gesamten Reihe der Herrscher zusammen. Doch kraft der logischen Form steht bei einer partikulär affi rmativen Aussage nur fest, dass ein Teil des Prädikates betroffen ist, und dass dieses mit einem Teil des Subjekts zusammenfällt.

340

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Propositio35 Universalis Negativa est Nullum B est C, sive Omne B36 non est C, veluti Nullus homo est lapis, sive37 quod eodem redit, Omnes homines non sunt lapides,38 vel tota multitudo hominum exclusa est a tota multitudine lapidum, neque assignari potest pars multitudinis hominum quae coincidat39 parti aut contento multitudinis lapidum. Hic consideratu dignum est subjectum non minus quam praedicatum totum affici enuntiatione, esseque adeo Universale seu distributum ut vocant. Dazu am Rande: B C

Propositio Particularis Negativa est: Quoddam B non est C, veluti quidam homo non est sapiens, sive40 pars multitudinis hominum41 excluditur a tota multitudine sapientum. Dazu am Rande: B C

Hoc etiam apparet in lineis B et C, nec refert an linea C producatur donec respondeat parti ipsius B, modo non eousque ut ei parti respondeat, a qua exclusa est. Fieri scilicet potest, ut alii homines sint sapientes, sed sufficit quosdam sapientes non esse. Hic autem rursus apparet praedicatum esse universale: unde manifestum est praedicatum propositionis affi rmativae esse particulare vi formae seu non distributum, praedicatum propositionis negativae esse universale seu distributum.42 35 (1)

Part (2) Universalis 36 (1) est (2) non est 37 (1) quoddam (2) quod 38 (1) sive (2) vel 39 (1) parti streicht Hrg. (2) multitudi (3) parti aut … 40 (1) in multitudine hominum est (2) pars 41 (1) non coincidit (2) multitudini contento (3) excluditur 42 (1) Omnibus (2) Ex propositione universali caeteris se-

„Elemente des Enthaltenden und des Enthaltenen“

341

Eine universell negative Aussage ist ‚Kein B ist C‘ oder ‚Jedes B ist nicht C‘, wie z.B. ‚Kein Mensch ist ein Stein‘ bzw. – was aus dasselbe hinausläuft – ‚Alle Menschen sind nicht Steine‘ oder ‚Die ganze Menge der Menschen ist ausgeschlossen von der ganzen Menge der Steine‘, und man kann keinen Teil der Menge der Menschen auswählen, der mit einem Teil oder Inhalt der Menge der Steine zusammenfallen würde. Dabei ist es wichtig zu beachten, dass durch die Aussage das Ganze des Subjekts ebenso wie das Ganze des Prädikates betroffen ist, und somit ist das Subjekt universell oder, wie man auch sagt, distribuiert. Dazu am Rande: B C

Eine partikulär negative Aussage ist ‚Ein B ist nicht C‘, wie z.B. ‚Ein Mensch ist nicht weise‘, oder ‚Ein Teil der Menge der Menschen ist von der ganzen Menge der Weise ausgeschlossen‘. Das wird auch aus den Linien B und C deutlich. Dazu am Rande: B C

Und es ist egal, ob man die Strecke C so weit [nach links] zieht, bis sie einem Teil von B entspricht, solange man sie nur nicht so weit verlängert, dass sie jenem Teil von B entspricht, von dem C ausgeschlossen ist.2 Es kann nämlich geschehen, dass andere Menschen weise sind; jedoch genügt es, dass einige nicht weise sind. Hier zeigt sich wieder, dass das Prädikat universell ist: Von daher ist es offenkundig, dass das Prädikat einer affi rmativen Aussage der logischen Form nach partikulär bzw. nicht distribuiert ist, das einer negativen Aussage hingegen universell oder distribuiert. 2 In

C., 323, wurde die C-Linie ohnehin so reproduziert, dass sie sich partiell mit der B-Linie überschneidet, während Leibniz die Linien so gezeichnet hatte, dass das linke Ende von C auf der Höhe des rechten Endes von B liegt.

342

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Qu idam43 categoricas propositiones adhuc magis quantitate variant, et44 universali ac particulari adjiciunt indefi nitam45 et singularem. Sed indefi nita46 quae signo quantitatis caret, v.g. homo est sapiens, cum incertae sit magnitudinis, securitatis ergo pro particulari habenda est donec aliquid amplius constet. Nisi constet ut fere sit 47 compendio loquendi signum universalitatis48 supprimi; hoc ergo non ad logicam, sed ad interpretationem verborum pertinet. Singularis autem propositio, v.g. Petrus est homo, referenda est ad universalem, cum totum termini in uno hoc exemplo singulari contineatur. Neque enim cum Petrum dicimus plures eo nomine, sed certum aliquem designamus. Sed nunc a Scholiis familiarius omnia explicantibus ad Theoremata et demonstrationes veniamus. Axiomata Die folgenden eingerückten Absätze mit Vorgängerversionen der Axiome wurden gestrichen: 1. Quod idem esse inexistenti seu contento id ipsum49 et inesse perinde est, veluti AB idem est ipsi CD, contento in EF50 Dazu am Rande: E C D F A B

quitur particularis Omne B coincidit (a) (b) contento in C, aut diversa est. (3) Qu idam 43 (1) adjiciunt categoricis propositionibus (2) categoricas 44 (1) adjiciunt indefi (2) universali 45 (1) seu (2) et 46 /quae … sapiens/ am Rande erg. L 47 (1) aut (2) compendio 48 (1) ad certe (2) supprimi 49 (1) in (2) inest (3) et inesse perinde est /seu content streicht L/ 50 Daneben eine weitere Vorform eines Liniendiagramms sowie zwei kaum zu entziffernde Versionen früherer Axiome, die jedenfalls ein weiteres Mal das ungewöhnliche Verbum ‚exest‘ enthalten.

„Elemente des Enthaltenden und des Enthaltenen“

343

Einige Logiker machen einen noch größeren Unterschied hinsichtlich der Qu antität der kategorischen Aussagen und fügen der universellen und der partikulären noch die unbestimmte und die singuläre hinzu. Da bei einer unbestimmten Aussage, die des Quantitätszeichens entbehrt, wie z.B. ‚Mensch ist weise‘, der Größenumfang unsicher ist, wollen wir sie der Sicherheit halber für eine partikuläre halten, solange nichts darüber hinaus feststeht, es sei denn, es steht beinahe als Sprachregel fest, dass das Zeichen der Universalität unterdrückt wird; doch dies betrifft nicht die Logik, sondern die Deutung der Sprache. Eine singuläre Aussage, wie z.B. ‚Petrus ist ein Mensch‘, ist der universellen zuzuordnen, da das Ganze des Begriffs in diesem einen singulären Beispiel enthalten ist. Denn wenn wir von Petrus sprechen, dann beziehen wir uns nicht auf mehrere dieses Namens, sondern auf einen bestimmten. Doch jetzt wollen wir von den Erläuterungen, die alles in bestens bekannter Weise darlegen, zu den Theoremen und Beweisen übergehen. Die folgenden eingerückten Absätze mit Vorgängerversionen der Axiome wurden gestrichen: 1. Was mit einem Enthaltenen bzw. Inhalt identisch ist, das ist in gleicher Weise enthalten, wie z.B. wenn AB mit CD identisch ist, welches in EF enthalten ist: Dazu am Rande: E C D F A B

344

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

2. Quod idem 51 esse non inexistenti seu excluso id ipsum 52 et exesse perinde est, veluti AB idem est ipsi CD quod est extra EF Dazu am Rande: E F C D A B

1 Qu icquid inest inexistenti id ipsum inest, veluti si AB insit ipsi AC et AC insit ipsi AD, ipsum AB erit in AD. Dazu am Rande:

A

B

C

D

2 Qu icquid inest excluso, id ipsum exclusum est. Veluti53 [si] AB sit in AC, et AC sit extra DE, etiam AB erit extra DE. Dazu am Rande:

A

B

C

D

E

Quodlibet sibi inest, aut sibi exclusum non est. 54 Coincidunt quorum contenta eadem sunt. Et vicissim. Hinc Si A insit ipsi B, et B ipsi A, coincident A et B. Coincidunt55 duo cum quodvis contentum unius inest contento alterius. Nam si inest contento alterius, etiam idem erit alicui alterius contento.

51 (1)

est (2) esse 52 (1) est (2) exest (3) et exesse … 53 /si erg. Hrg. mit Couturat/ 54 (1) Si A insit ipsi B, et B insit ipsi A coincidunt A et B, et vicissim. (2) Coincidunt (a) quorum quodlibet (b) quorum (ba) alt (bb) contenta … 55 (1) (2) duo

„Elemente des Enthaltenden und des Enthaltenen“

345

2. Was mit einem Nicht-Enthaltenen bzw. Ausgeschlossenen identisch ist, das ist selber ausgeschlossen, wie z.B. wenn AB mit CD identisch ist, welches außerhalb von EF liegt:

Dazu am Rande:

E

F

C A

D B

Axiome 1. Was in einem Enthaltenen enthalten ist, ist in selbigem enthalten, wie wenn AB in AC und AC in AD enthalten ist, dann ist AB auch in AD enthalten. Dazu am Rande:

A

B

C

D

2. Was in einem Ausgeschlossenen enthalten ist, das ist selber ausgeschlossen, wie wenn AB in AC enthalten ist, AC aber außerhalb von DE liegt, dann liegt auch AB außerhalb von DE. Dazu am Rande:

A

B

C

D

E

Jedes ist in sich selbst enthalten bzw. nicht von sich selbst ausgeschlossen. Identisch sind jene, deren Inhalte gleich sind, und umgekehrt. Wenn somit A in B und B in A enthalten ist, dann sind A und B identisch. Zwei [A und B] sind identisch, wenn ein beliebiger Inhalt des einen [A] im Inhalt des anderen [B] enthalten ist. Denn wenn er im Inhalt des anderen [B] enthalten ist, dann ist er auch identisch mit irgendeinem Inhalt des anderen [B].

346

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4.2.3 Kommentar Die Manuskriptseiten LH IV, 7 B 4, 11–12, die den vorliegenden Text enthalten, wurden von Leibniz nicht betitelt, sondern lediglich als „Scheda 5“ eingeordnet. In der Handschriftensammlung befi nden sie sich direkt nach dem Essay „De Formae Logicae Comprobatione per Linearum ductus“, der bereits mit „Scheda 1“ – „Scheda 5“ gegliedert worden war. Wie Couturat zu Recht bemerkte, handelt es sich bei Scheda 5, welches im Folgenden korrekter als ‚Scheda 6‘ bezeichnet werden soll, aber nicht um einen chronologischen bzw. inhaltlichen Nachfolger, sondern „um einen davon unabhängigen Essay“.1 So ganz und gar unabhängig voneinander sind die Arbeiten freilich nicht, denn am Ende von „De Formae Logicae Comprobatione“ fi ndet sich folgender – mit anderer Tinte nachträglich eingefügter2 – Hinweis: Durch Hinzufügen der alten Elemente über das Enthaltende und das Enthaltene können wir diese [bisherigen Überlegungen] in den Zustand formaler Beweise bringen, und zwar auf doppeltem Weg, dem der Beispiele und dem der Ideen.3

Von daher steht mit einiger Wahrscheinlichkeit zu vermuten, dass es sich bei dem hier zu diskutierenden Text um eben jene „alten Elemente“ handelt, an die Leibniz sich erinnerte und die er dann zur Abrundung von „De Formae Logicae Comprobatione“ als Scheda 6 anhängte. 1 Vgl.

C., S. 322 fn. 1: „Ce qui suit est un autre essai, indépendant du précédent“. 2 Dass der Satz nachträglich eingefügt wurde, geht bereits aus Couturats Edition hervor, denn die Passage wurde dort (S. 321) in eckige Klammern gesetzt. Dass die Tinte eine andere ist, konnte ich erst einem Farbscan entnehmen, den mir die Münsteraner Leibniz-Forschungsstelle freundlicherweise zur Verfügung stellte. 3 Vgl. C., S. 321: „Possumus jungendo veteranea Elementa de continente et contento haec in demonstrationes formales redigere duplici via, exemplari et ideali.“

Kommentar

347

Wenn diese Hypothese zutrifft, dann müsste Scheda 6 deutlich älter sein als die letztere Arbeit, die vermutlich aus der Zeit um 1690 stammt4. Tatsächlich sprechen mehrere Indizien dafür, dass Scheda 6 viele Jahre früher verfasst wurde. Zum einen hat Leibniz sich noch nicht so recht vom Sprachgebrauch der »Schulen« emanzipiert und bezieht sich mehrfach auf deren Terminologie, z.B. hinsichtlich der indefi niten sowie singulären Aussagen. Er schlägt vor, indefi nite Aussagen (ohne den informellen Quantorausdruck ‚omne‘) als partikuläre Aussagen zu interpretieren, während die Formel ‚B est C‘ in den Arbeiten ab 1679 durchgängig im universellen Sinn gedeutet werden. Zum anderen bedient Leibniz sich einer ziemlich unbeholfenen Terminologie, um zum Ausdruck zu bringen, dass eine Menge B in einer anderen Menge C enthalten – bzw. nicht enthalten – ist. Er sagt nämlich, dass die Menge („multitudo“) B gleich sei einem Enthaltenen bzw. Inhalt („contento“) der Menge C, wobei noch ein Unterschied zwischen dem Enthaltenen und dem Teil einer Menge gemacht wird. Unter einem Teil versteht Leibniz offenbar einen echten Teil von C, während ein Enthaltenes auch mit dem ganzen C zusammenfallen darf. In reiferen Arbeiten wie z.B. der „Nu meratio Terminorum Simpliciorum“ aus dem Zeitraum Sommer 1680 bis Winter 1684/85 wird diese Terminologie dahingehend vereinfacht, dass als enthaltende Menge („continens“) grundsätzlich jedes C bezeichnet wird, in dem irgendein B enthalten ist („inest“), während B selber als Enthaltenes („contentum“) bezeichnet wird und das Verhältnis zwischen B und C als eines von Teil und Ganzem.5 Noch auffälliger sind die terminologischen Diskrepanzen bei der Formulierung der mengentheoretischen Verhältnisse, die den (partikulär oder universell) negativen Aussagen entsprechen. Die Redeweise, dass bei einer UN wie ‚Kein Mensch ist 4 Laut

Auskunft der Leibniz-Forschungsstelle Münster ist das Wasserzeichen des für „De formae logicae comprobatione“ benutzten Papiers für den Zeitraum ab 1690 belegt. 5 Vgl. A VI, 4, 392: „Cui aliquid inest seu continens. Quod inest seu contentum. (Qu ae duo si homogenea sint … dicuntur totum et pars).“

348

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

ein Stein‘ die gesamte Menge der Menschen von der gesamten Menge der Steine ausgeschlossen („exclusa“) ist, fi ndet sich zwar auch in späteren Arbeiten. Die alternative Formulierung, dass man keinen Teil der Menge aller Menschen auswählen kann, der mit einem Teil oder einem Inhalt der Menge aller Steine zusammenfallen würde, ist hingegen recht verschroben; und noch ungewöhnlicher erscheint der Versuch, den Grundgedanken der beiden „Axiomata“ in einem zunächst probierten, dann allerdings gestrichenen Ansatz wie folgt auszudrücken: 1. Quod idem esse inexistente seu contento, et inesse perinde est. 2. Quod idem esse non inexistenti seu excluso, id ipsum et exesse perinde est.

Hier ist es zum einen logisch nicht ganz korrekt, das Nicht-Enthaltende mit dem Ausgeschlossenen gleichzusetzen. Im Allgemeinen darf man jedenfalls aus der Annahme, dass eine Menge B in der Menge C nicht eingeschlossen ist, nicht folgern, dass B von C (völlig) ausgeschlossen ist. Zum anderen benutzt Leibniz als Gegenbegriff zum Enthaltensein („inesse“) das äußerst ungewöhnliche Verb „exesse“, welches in seinen Schriften zur Logik nirgendwo sonst aufzutauchen scheint.6 Außerdem erscheint die in Scheda 6 gegebene Formulierung der Axiome 1 und 2 deutlich unreifer als in der ca 1682–1684 entstandenen Arbeit „De Formis Syllogismorum Mathematice defi niendis“, wo es sehr elegant heißt: Wenn ein Ganzes C in ein anderes Ganzes D fällt, bzw. wenn das ganze C außerhalb eines D fällt, dann wird auch das, was in C enthalten ist, im ersteren Fall innerhalb von D fallen bzw. im letzteren Fall außerhalb von D fallen. Und das nennt man gewöhnlich das „Dictum de omni et nullo“.7 6 Wie

der textkritische Apparat zeigt, operiert Leibniz hier mehrfach mit dem Ausdruck ‚exesse‘ bzw. ‚exest‘. Das Sachverzeichnis zu A VI, 4 registriert in den gut 500 Arbeiten aus dem Zeitraum 1677–1690 keinen einzigen Eintrag des Begriffs ‚exesse‘. 7 Vgl. C., 410–411 oder A VI, 4, 497: „Si totum aliquod C cadat intra ali-

Kommentar

349

Dass Scheda 6 jedenfalls vor der – im nächsten Abschnitt zu betrachtenden – Arbeit „De Formae Logicae Comprobatione“ verfasst wurde, geht des Weiteren aus den Liniendiagrammen selber hervor, die Leibniz hier zwar schon für alle vier kategorischen Satzformen zeichnet, die aber erst in späteren Schriften detaillierter ausgearbeitet und für den Beweis von syllogistischen Schlüssen verwendet werden. Lediglich im Anschluss an die Axiome 1 und 2, die das sog. „Dictum de omni et nullo“ zum Ausdruck bringen, fi nden sich einfachste Formen eines graphischen Nachweises der Gültigkeit der Modi Barbara und Celarent. Als letztes Indiz für eine recht frühe Entstehungszeit von Scheda 6 sei auf die Dürftigkeit der logischen Prinzipien verwiesen, die Leibniz am Ende des Textes aus den beiden Axiomen herleitet. Im Wesentlichen handelt es sich um das Prinzip der Reflexivität der Inklusionsbeziehung, demzufolge jede Menge A in sich selbst enthalten ist, sowie um die Defi nierbarkeit der Identität oder Koinzidenz zweier Mengen als wechselseitige Inklusion. Interessant ist dabei lediglich, dass Leibniz den letzteren Gedanken zunächst in der »normalen« (auch in vielen späteren Arbeiten verwendeten) Form ausdrückte, dass A mit B dann und nur dann zusammenfällt, wenn A in B und umgekehrt B in A enthalten ist: (*)„„Si A insit ipsi B, et B ipsi A, coincidunt A et B, et vicissim.“

quod D, vel si totum C cadat extra aliquod D, tunc etiam id quod inest ipsi C priore quidem casu cadet intra D, posteriore vero casu cadet extra D. Et hoc est quod vulgo vocant dictum de omni et nullo“. Leibniz bezeichnet in dieser Schrift, die von den Hrg. der Akademieausgabe auf „Mai 1682 bis Dezember 1684“ datiert wurde, eine Menge übrigens nicht (mehr) als „multitudo“ sondern als „aggregatum“. In den reifen Arbeiten zum sog. PlusMinus-Kalkül (aus der Zeit um 1686) fasste Leibniz das „Dictum de omni“ nicht mehr als (unbeweisbares) Axiom auf, sondern leitete es als Theorem aus noch grundlegenderen Axiomen der Identität ab. „24) Continens continentis est continens contenti […] seu contentum contenti est contentum continentis, seu si A est in B, et B est in C, etiam A est in C“. Vgl. A VI 4, 818.

350

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Diese Defi nition, die mit Hilfe des modernen Symbols ⊆ für die mengentheoretische Inklusion durch (i)„(A ⊆B ∧ B ⊆A) ↔ (A=B )

formalisiert werden könnte, wurde von Leibniz anschließend jedoch gestrichen und durch folgende elliptische Variante ersetzt: (**)„„Coincidunt quorum contenta eadem sunt. Et vicissim“.

Eine naheliegende Interpretation dieser Bedingung besteht darin, dass A und B dann und nur dann zusammenfallen, wenn beliebige »Inhalte« der einen Menge zugleich auch Inhalte der anderen Menge sind. Dies ließe sich mit Hilfe des modernen Allquantors ∀Y wie folgt formalisieren: (i i) „A = B ↔ ∀Y (Y⊆A ↔ Y⊆B ).

Aus (ii) lässt sich dann – wie Leibniz beiläufig behauptet – die übliche Bedingung (i) ableiten.8 Danach gibt Leibniz jedoch noch eine weitere mögliche Defi nition der Identität an: (***)„„Coincidunt duo cum quodvis contentum unius inest contento alterius“.

Auch diese Bedingung wäre wieder in naheliegender Weise in der Gestalt (ii) zu formalisieren. Doch Leibniz beendet seine Überlegungen mit der folgenden, sehr elliptischen Beweisskizze: 8 Denn

im Text heißt es ja anschließend: „Hinc [!] si A insit ipsi B et B insit ipsi A, coincident A et B“. Eine formale Ableitung von (i) aus (ii) könnte z.B. so ausschauen: Gelte A⊆B ∧ B⊆A, und sei Y irgendeine Menge mit Y⊆A, so gilt wegen der Transitivität der ⊆-Relation (Axiom 1) auch Y⊆B. Analog erhält man aus Y⊆B mittels B⊆A auch Y⊆A, so dass insgesamt ∀Y(Y⊆A ↔ Y⊆B), also gemäß (ii) A=B gilt. Umgekehrt gewinnt man aus A=B mit (ii) ∀Y(Y⊆A ↔ Y⊆B), und hieraus, indem man Y=A setzt, (A⊆A ↔ A⊆B); wegen des Theorems A⊆A („Quodlibet sibi inest“) wird also A⊆B ableitbar. Setzt man hingegen Y=B, so erhält man analog via B=B umgekehrt auch B⊆A, also insgesamt A⊆B ∧ B⊆A, wie für (i) zu zeigen war.

Kommentar

351

Nam si inest contento alterius, etiam idem erit alicui alterius contento.

Dahinter verbirgt sich vermutlich folgende Überlegung: Wenn eine beliebige Teilmenge („quodvis contentum“) Y der einen Menge, A, in dem Inhalt der anderen Menge, B, enthalten ist, Y⊆B, dann ist Y identisch mit irgendeinem Inhalt, d.h. mit irgendeiner Teilmenge Z von B. Da mit diesem Argument offenbar (***) aus (**) abgeleitet werden soll, würde das bedeuten, dass Leibniz die Defi nition (**) nicht im Sinne von (ii), sondern komplexer im Sinne der folgenden Formel (iii) verstanden hat, die mit Hilfe eines All- und eines Existenzquantors zum Ausdruck bringt, dass bei koinzidierenden A und B jede Teilmenge Y von A mit einer Teilmenge Z von B identisch ist (und vice versa jedes Z⊆B mit einem Y⊆A): (iii)

A = B ↔ ∀Y(Y⊆A → ∃Z(Z⊆B ∧ Y=Z )) ∧ ∀Z(Z⊆B → ∃Y(Y⊆A ∧ Z=Y )).

Zum Abschluss noch eine Anmerkung zu den Axiomen 1 und 2, von denen Couturat behauptet hatte, dass sie nur vom extensionalen Standpunkt aus gültig seien.9 Diese These lässt sich so sicher nicht aufrechthalten. Zunächst einmal ist, wie Couturat in (1901) genauer ausführte, von einer potentiellen Kritik allenfalls Axiom 2 betroffen, keinesfalls aber Axiom 1.10 Außerdem muss beachtet werden, dass die Axiome von Leibniz als mengentheoretische Grundprinzipien konzipiert wurden und als solche uneingeschränkt gültig bleiben, egal ob die Mengen als Extensionen oder als Intensionen von Begriffen gedeutet werden. Couturats Kritik richtet sich nicht wirklich gegen das – durch ein Liniendiagramm veranschaulichte – Gesetz, dass wenn die Menge oder Strecke AB Teil einer Menge oder Strecke AC ist, AC 9 Vgl.

C., 323, fn. 2: „Ici Leibniz se place au point de vue de l’extension […]. Ces mêmes axiomes seraient faux au point de vue de la compréhension“. 10 Vgl. Couturat (1901), S. 362, wo es mit Bezug auf Axiom 2 („Qu icquid inest excluso, id ipsum exclusum est“) heißt: „cette formule n’est valable qu’au point de vue de l‘extension“.

352

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

selber jedoch außerhalb von DE liegt, dann auch AB außerhalb von DE liegen muss. Seine Bedenken betreffen vielmehr das verwandte begriffslogische Gesetz, das Leibniz an anderer Stelle wie folgt formuliert hatte: 14) Includens excludentis est excludens exclusi. Seu si A includit B, et B excludit C, etiam A excludet C.11

Im Rahmen der Leibnizschen Begriffslogik stellt dieses Gesetz einen Spezialfall der Transitivität der ∈-Relation, Est 2, dar, nämlich: (†)„A∈B ∧ B∈~C → A∈~C.

Dass ein Begriff B einen anderen Begriff C ausschließt, bedeutet ja gerade, dass B die Negation von C enthält. Couturat interpretierte das zitierte Gesetz 14 hingegen wie folgt: „Wenn A B enthält und wenn B und C sich gegenseitig ausschließen, dann schließen sich auch A und C gegenseitig aus“, und dieses Prinzip ist in der Tat – vom extensionalen Standpunkt aus betrachtet – falsch.12 Selbstverständlich gibt es Mengen A, B und C, so dass B in A enthalten ist, außerdem B und C sich (extensional) ausschließen, d.h. mengentheoretisch disjunkt sind; während A selber nicht (völlig) disjunkt zu C ist: B

A

C

Auf dieses Problem wird in Abschnitt 4.4.3 noch näher eingegangen. 11 Vgl.

GP 7, 209 oder die textkritische Ausgabe in der Vorausedition, Faszikel 3, S. 510. Da die Hrg. der Akademieausgabe den Text nicht in Bd. VI, 4 aufgenommen haben, gehen sie offenbar davon aus, dass er nach 1690 verfasst wurde. 12 Vgl. Couturat (1901), S. 20/21: „L’autre [formule], au contraire, qui est le principe des quatre modes négatifs: « Si A contient B et si B exclut C, A exclut C » n’est nullement évidente […] mais elle est fausse au point de vue de l‘extension“.

354

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4.3.1 „Essais de schèmes linéaires“1 Omnis homo est animal 2 Omne animal est animal Ergo Quoddam animal est homo Omnis homo est animal Qu idam homo est homo Ergo quidam homo est animal Omnis homo est animal Ergo quidam homo est animal Omnis homo est animal Omnis doctus est homo Ergo omnis doctus est animal Omne C est B Omne A est C E. Omne A est B Quoddam A non est B Omne C est B E. Quoddam A non est C Daneben das Liniendiagramm C B 3 [A]

1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 2, 18–19; der Titel stammt von Couturat; vgl. C., 247–249. 2 (1) Omne animal est homo (2) Omnis … 3 Eine entsprechende Linie für den dritten Begriff hatte Leibniz zuächst oberhalb von C gezeichnet; die Bezeichnung ‚A‘ wurde vom Hrg. ergänzt.

„Versuche von Liniendiagrammen“

4.3.2 „Versuche von Liniendiagrammen“ Jeder Mensch ist ein Lebewesen Jedes Lebewesen ist ein Lebewesen Also: Ein Lebewesen ist ein Mensch Jeder Mensch ist ein Lebewesen Ein Mensch ist ein Mensch Also: Ein Mensch ist ein Lebewesen Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Ein Mensch ist ein Lebewesen Jeder Mensch ist ein Lebewesen Jeder Gelehrte ist ein Mensch Also: Jeder Gelehrte ist ein Lebewesen Jedes C ist ein B Jedes A ist ein C Also: Jedes A ist ein B Ein A ist nicht B Jedes C ist ein B Also: Ein A ist nicht C Daneben das Liniendiagramm C B [A]

355

356

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Omne C est B Q. A non est B Q. A non est C Daneben ein Liniendiagramm sowie ein partielles Kreisdiagramm C B A

C

B

Nullus homo est brutum Nulla arbor est brutum Nulla arbor est homo Nullus homo est brutum Nullus doctus est brutum Ergo Nullus doctus est homo Felapton Nullus homo est lapis 4 5 Omnis adamas est lapis Qu. Adamas non est homo

N. B est C B O. A est C C Q. A non est B [A]

Auf der Rückseite eine Tabelle mit 12 Liniendiagrammen 6

A.CD A.BC A.BD 4 (1)

B C D

} }

A.BC A.CD

}

A.BD

N. est B (2) N. B est C 5 (1) Omnis homo est animal (2) Omnis adamas … 6 Eine Vorform des ersten Diagramms (mit nur zwei Linien für B und C, aber ohne A-Linie) wurde gestrichen. Bei der zweiten Fassung war die D-Linie zunächst rechts länger als die C-Linie. Die durch Klammern zusammengefassten Kommentare (A.CD, A.CD, A.BD) wurden nachträglich eingefügt. L. hat die Diagramme in zwei Sechserreihen angeordnet und durch Doppelstriche voneinander getrennt. Ferner hatte er die jeweiligen Diagramme von den symbolisch abgekürzten Satzformen (links daneben) durch einfache senkrechte Striche abgetrennt. Auf eine Wiedergabe dieser Linien wird hier verzichtet.

„Versuche von Liniendiagrammen“

357

Jedes C ist ein B Ein A ist nicht B Ein A ist nicht C Daneben ein Liniendiagramm sowie ein partielles Kreisdiagramm C B A

C

B

Kein Mensch ist ein Tier Kein Baum ist ein Tier Kein Baum ist ein Mensch Kein Mensch ist ein Tier Kein Gelehrter ist ein Tier Also: Kein Gelehrter ist ein Mensch Felapton Kein Mensch ist ein Stein Kein B ist ein C Jeder Diamant ist ein Stein Jedes A ist ein C Ein Diamant ist kein Mensch Ein A ist nicht B

B C [A]

Auf der Rückseite eine Tabelle mit 12 Liniendiagrammen A.CD A.BC A.BD

B C D

} }

A.BC A.CD

}

A.BD [Barbara]

358

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

E.CD A.BC E.BD

B C D

A.CD I.BC I.BD

B C D7

E.CD I.BC O.BD

B C D

A.CD A.BC I.BD

B C D

E.CD A.BC O.BD

B C D

E.DC A.BC E.BD

B C D

A.DC E.BC E.BD

B C D

E.DC I.BC O.BD

B C D

7 Die 8 Die

8

D-Linie war zunächst länger gezeichnet (ebenso lang wie die C-Linie). B-Linie war zunächst länger gezeichnet (ebenso lang wie die C-Linie).

„Versuche von Liniendiagrammen“

E.CD A.BC E.BD

B C D

[Celarent]

A.CD I.BC I.BD

B C D

[Darii]

E.CD I.BC O.BD

B C D

[Ferio]

A.CD A.BC I.BD

B C D

[Barbari]

E.CD A.BC O.BD

B C D

[Celaro]

E.DC A.BC E.BD

B C D

[Cesare]

A.DC E.BC E.BD

B C D

E.DC I.BC O.BD

B C D

[Camestres]

[Festino]

359

360

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

A.DC O.BC O.BD E.DC A.BC O.BD A.DC E.BC O.BD

B C D 9

B C D

B C D

Forte haec melius exhiberi possent, v.g.10 semper apparere debet, utrum terminus aliquis11 conclusionem ingrediens sit universalis vel particularis, nam si est particularis in praemissis, erit et particularis in conclusione, et si sit12 universalis in conclusione, erit et universalis in praemissis. Quando13 linea termini extremi non tota lineata est, terminus ipse est particularis, et talis est tam in praemissa quam in conclusione. Medium semper limito utrinque, quia utrum sit universalis an particula ris nil refert ad regulas quae de termino in praemissa argumentantur ad terminos in conclusione.

  Die

B-Linie war zunächst durchgehend gezeichnet und wurde dann in zwei Teile (links einfach, rechts gepunktet) korrigiert. 10 (1) Barbara; daneben ein Liniendiagramm, bei dem die drei symbolisierten Aussagen A.BC, A.CD und A.BD zusätzlich durch die Silben ‚ba‘, ‚Bar‘ und ‚ra‘ bezeichnet werden. Dieses Diagramm wurde gestrichen und durch das in der Edition weiter unten folgende ersetzt. (2) semper … 11 (1) (2) conclusionem ingrediens sit (a) distr (b) universalis … 12 (1) parti (2) universalis 13 (1) in (2) linea non (3) linea …

„Versuche von Liniendiagrammen“

A.DC O.BC O.BD

B C D

E.DC A.BC O.BD

B C D

A.DC E.BC O.BD

B C D

361

[Baroco]

[Cesaro]

[Camestros]

Vielleicht lässt sich dies besser darstellen. Z.B. sollte stets deutlich werden, ob ein in die Konklusion eingehender Begriff universell oder partikulär ist. Denn wenn er in den Prämissen partikulär ist, dann auch in der Konklusion; und wenn er in der Konklusion universell ist, dann auch in den Prämissen. Wenn die Linie eines Außenbegriffs nicht vollständig durchgezogen ist, dann ist der Begriff selber partikulär; und das trifft sowohl auf die Prämisse als auch auf die Konklusion zu. Den Mediusbegriff beschränke ich immer auf beiden Seiten, denn für die Regeln, die von den Begriffen in einer Prämisse etwas bezüglich der Begriffe in der Konklusion erschließen, spielt es keine Rolle, ob der Medius universell oder partikulär ist.

362

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Am Rande hierzu die Diagramme: Barbara A.BC A.CD

}

} }

A.BD

Disamis I CD B A CB C I BD D

Videndum an modus semper ex lineamento deduci possit. Videtur nisi quod non discernes Barbari et Barbara, quia eadem praemissae. Idem in reliquis talibus. Am Rande verschiedene weitere Diagramme, u.a. die fragmentarische Zeichnung:

sowie Diagramme für die vier Satzformen: B 14

A.BC C B I.BC C 14 Leibniz

hat in diesen Diagrammen nur die mittlere Linie als richtige Linie gezeichnet, von denen der jeweilige B- bzw. C-Anteil durch geschweifte Klammern abgegrenzt wird. Der Einfachheit halber werden diese geschweiften Klammern hier durch Linien ersetzt.

„Versuche von Liniendiagrammen“

363

Am Rande die Diagramme: Barbara A.BC A.CD

}

} }

A.BD

Disamis I CD B A CB C I BD D

Es bleibt zu sehen, ob sich der jeweilige Modus immer aus der Linienzeichnung ableiten lässt. Da scheint so zu sein, sofern man keinen Unterschied macht zwischen Barbari und Barbara, die ja die gleichen Prämissen besitzen. Das gleiche gilt für die übrigen so gelagerten Fälle. Am Rande verschiedene weitere Diagramme, u.a. die fragmentarische Zeichnung:

sowie Diagramme für die vier Satzformen: B A.BC C B I.BC C

364

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

B 15

E.BC C B

O.BC C

Haec methodus linearum procedit in argumentatione tritermina; sed non videtur aeque fere procedere, cum plures propositiones, et cum terminus conclusionis sit item medium. Nempe cum conclusione suppressa, novaque assumpta praemissa, fit alia conclusio quae solum sequitur ex tribus. Applicanda haec ad actuales argumentationes autorum. Ita possunt esse 4 termini, imo plures.

15 Die

Rekonstruktion der Diagramme für die UN und die PN wird durch einen Papierverlust am Rande des Blattes LH IV, 7 B 2, 19 erschwert. Wir orientieren uns an der Darstellung in C., 249.

„Versuche von Liniendiagrammen“

365

B E.BC C B O.BC C

Diese Methode der Liniendiagramme funktioniert bei einem Schluss mit drei Begriffen; doch sie scheint nicht annähernd so gut zu funktionieren, wenn noch mehr Aussagen vorliegen und wenn ein Begriff, der in der Konklusion auftritt, seinerseits als Mediusbegriff dient. Denn wenn die Konklusion unterdrückt und als neue Prämisse angenommen wird, entsteht eine andere Konklusion, die nur aus drei Aussagen folgt. Dies wäre auf die tatsächlichen Argumente der Autoren anzuwenden. So kann es vier oder noch mehr Begriffe geben.

366

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4.3.3 Kommentar Kommentar Dieses Fragment besteht im Wesentlichen aus drei Teilen, die sich mit den drei Seiten (18r, 18v, 19r) der Handschrift (LH IV, 7 B 2) decken. Teil 1 beginnt mit ein paar eher zufällig ausgewählten Schlüssen sowie vereinzelten Linien- bzw. Kreis-Diagrammen. Die ersten beiden Syllogismen beweisen anhand eines Beispiels die akzidentelle Konvertierbarkeit der UA bzw. das Gesetz Sub 1, welches anschließend noch einmal als »einfacher« Schluss wiederholt wird. Sodann folgen eine konkrete Instanz sowie das abstrakte Schlussschema des Modus Barbara, bevor der Modus BarocoII in zwei aufeinanderfolgenden Varianten formuliert und durch flüchtig dahingeworfene Liniendiagramme illustriert wird. Die Zeichnungen weichen von den späteren Diagrammen, wie sie in Teil 2 der Arbeit systematisch entwickelt werden, in mehrerlei Hinsicht ab. Bei der ersten Fassung steht die relativ kurze B-Linie unterhalb der etwas längeren C-Linie, so dass eigentlich die Aussage ‚Jedes B ist ein C‘ symbolisiert wird, während die Major-Prämisse von Baroco aus der umgekehrten Aussage ‚Jedes C ist ein B‘ besteht. Zur Darstellung der Minor-Prämisse ‚Ein A ist nicht B‘ hatte Leibniz eine dritte kurze Linie zunächst oberhalb der C-Linie und dann unterhalb der B-Linie gezogen, so dass sie sich nicht mit letzterer überschnitt. Dies würde man jedoch normalerweise als Veranschaulichung der UN ‚Kein A ist ein B‘ ansehen, während der fragliche Syllogismus nur die schwächere PN ‚Ein A ist nicht B‘ voraussetzt. Diese Ungereimtheiten sollten offenbar durch die zweite Fassung ausgemerzt werden. Zum einen zeichnet Leibniz die C-Linie nun kürzer als die B-Linie und veranschaulicht somit in »üblicher« Weise, dass jedes C zugleich ein B ist. Ferner ist die A-Linie im linken Bereich punktiert, im rechten hingegen durchgezogen, was wohl symbolisieren soll, dass es rechts einige A geben muss, die nicht B sind, während es links einige A geben kann, die B sind. Allerdings bleibt die genaue Bedeutung der punktierten Linien unklar. Auch die B-Linie war ja in einem

Kommentar

367

Teilbereich punktiert gezeichnet, doch dort hatte Leibniz die Punkte zusätzlich unterhalb des durchgezogenen Strichs gezeichnet, während sie bei der A-Linie anstelle einer durchgezogenen stehen. Im Text folgen zwei Beispiele von Schlüssen aus universell negativen Prämissen. Wie die traditionelle Logik mittels der Regel Syll 3 betonte, lassen sich aus bloß negativen Aussagen keine gültigen syllogistischen Schlussfolgerungen ziehen. Leibniz wählt nun seine beiden Beispiele so, dass die Konklusion im einen Fall wahr, im anderen hingegen falsch ist. Vielleicht wollte er hier überprüfen, ob bzw. wie sich die Regel Syll  3 durch Liniendiagramme bestätigen lässt. Die fragmentarische Zeichnung gegen Ende des Textes darf man vermutlich als einen diesbezüglichen Versuch deuten, der allerdings zu keinem absolut überzeugenden Resultat führt.1 Teil 1 endet mit einem als „Felapton“ klassifizierten Syllogismus, der de facto die Struktur von Cesaro II besitzt, weil der Mediusbegriff (‚lapis‘) in beiden Prämissen als Prädikat fungiert, während er bei FelaptonIII beide Male die Subjektposition inne haben müsste. Der Grund für diese Diskrepanz liegt darin, dass 1 In

der im nächsten Abschnitt zu betrachtenden Schrift „De formae logicae comprobatione …“ hat Leibniz diesen Punkt noch einmal aufgegriffen. Er wiederholt die traditionelle Lehrmeinung, dass aus bloß verneinenden Aussagen nichts folge (vgl. C., 318: „Manifestum etiam est ex meris negativis nil sequi“) und begründet dies in zwei Schritten. Erstens könne man aus Aussagen über den Ausschluss („exclusio“) der Begriffe B und D (jeweils vom Mediusbegriff C) niemals etwas Positives hinsichtlich des Enthaltens bzw. Zusammenfallens („coincidentia“) zwischen B und D ableiten. Zweitens folge aus den gleichen Prämissen auch nichts hinsichtlich eines eventuellen Ausschlusses zwischen B und D, weil es selbst im Falle E(B,C) ∧ E(D,C) möglich erscheint, dass B mit D zusammenfällt. Eben dies soll durch das folgenden Liniendiagramm gestützt werden, dem freilich genau so wenig echte Beweiskraft zukommt wie dem Diagramm aus den „Schèmes linéaires“: B −−−− C −−−− D −−−−

368

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Leibniz als zweite Prämisse ursprünglich ‚Omnis homo est animal‘ in Betracht gezogen hatte. Zusammen mit ‚Nullus homo est lapis‘ hätte man hieraus gemäß Felapton die entsprechende Konklusion ‚Quoddam animal non est lapis‘ ableiten können. Aus irgendwelchen Gründen ersetze Leibniz dann in der zweiten Prämisse aber ‚homo‘ durch ‚adamas‘ und ‚animal‘ durch ‚lapis‘. Um hieraus gemäß Cesaro die Konklusion ‚Quoddam adamas non est homo‘ zu gewinnen, musste nur noch der frühere Mediusbegriff (‚homo‘) zum neuen Major und der frühere Majorbegriff (‚lapis‘) zum neuen Medius umerklärt werden. Für die abstrakte Formalisierung des Schlusses implizierte dies, dass die ursprüngliche Formel ‚N. C est B‘ streng genommen zu ‚N. B est C‘ »korrigiert« werden sollte, obwohl die Formeln E(C,B) und E(B‚C) angesichts von Konv 1 natürlich äquivalent sind. Der textkritische Apparat zeigt jedenfalls, dass Leibniz es sich nicht nehmen ließ, diese Formalie tatsächlich durchzuführen. Schießlich wird die Untersuchung des fraglichen Syllogismus noch durch ein Liniendiagramm abgerundet, bei dem E(B,C) »wie üblich« durch B C

veranschaulicht wird und A(A,C) durch C A

I m Vergleich zu den weiter oben betrachteten Diagrammen kommen hier als neues graphisches Element senkrechte Begrenzungsstriche hinzu, während die Einteilung der C-Linie in einen durchgezogenen und einen punktierten Teil wegfällt.2 Andererseits geht aus dem Diagramm nicht hinreichend hervor, dass die Konklusion des Syllogismus keine universell, sondern 2 Im Übrigen zeichnete Leibniz im unteren Teil dieses Blatts noch einige

Dreiecke, die aber für die Thematik der Liniendiagramme keine Bedeutung zu haben scheinen.

Kommentar

369

nur eine partikulär negative Aussage darstellt. Das Diagramm visualisiert also eigentlich den Modus Cesare und nicht Cesaro! Diese Problematik wird unten noch ausführlicher diskutiert. Der zweite Teil des Fragments (Seite 18v) enthält lediglich die sorgfältig angelegten Tabelle mit Liniendiagrammen für die 12 Modi der Figuren I und II.3 Diese Tabelle entstand vermutlich eine gewisse Zeit nach Teil 1, denn sie verwendet nun einheitlich die Begriffssymbole B, C und D (anstelle der früheren A, B und C) sowie die abstrakten syllogistischen Operatoren E, A, I und O (anstelle der informelleren Abkürzungen ‚N.‘, ‚O.‘ und ‚Q.‘). Eine UA wie z.B. A(B,C) wird nun (fast) durchgängig durch das Teildiagramm B C

wiedergegeben, und eine UN wie E(C,D) stets in der Gestalt C D

Eine kleine Ausnahme von der ersten Konvention gibt es nur dann, wenn in einem Syllogismus wie Barbara oder Barbari beide Prämissen universell affi rmativ sind. Statt der an sich »logischen« Darstellung B C D

wählte Leibniz nämlich letztendlich die Variante B C D

3 Es

ist müßig zu spekulieren, wieso Leibniz die anderen Figuren III und IV ausgelassen hat.

370

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Die Voraussetzung, dass alle C auf jeden Fall D sind, während es möglicherweise einige D gibt, die nicht C sind, kommt hier also dadurch zum Ausdruck, dass die D-Linie ohne seitliche Begrenzungen gezeichnet wird.4 Die Darstellung der partikulären Satzformen gestaltete sich für Leibniz offenbar noch schwieriger. Bei Darii hatte er die Prämisse ‚Einige B sind C‘ zunächst so wiedergegeben, dass die B-Linie ohne seitliche Begrenzung genau so lang wie die C-Linie gezogen war. Wie aus dem textkritischen Apparat hervorgeht, entschied er sich jedoch ab Ferio dazu, die Linie des Subjektbegriffs kürzer zu zeichnen als die des Prädikats, so dass I(B,C) (z.B. in Festino II) die folgende Gestalt annimmt: B C

Aus diesem Diagramm geht jedoch nicht hervor, dass die PA konvertierbar ist, d.h. dass mit I(B,C) stets I(C,B) zu gelten hat. Eine solches Problem tritt bei der partikulär negativen Aussage O(B,C) natürlich nicht auf. Die Asymmetrie in dem (z.B. in Baroco) gezeichneten Diagramm: B C

ist durchaus erwünscht und sachlich korrekt. Zwar ähnelt dieses Diagramm ein wenig zu sehr demjenigen für die UN, insofern die B-Linie ebenfalls (ganz) außerhalb der C-Linie liegt; doch durch den fehlenden linken Begrenzungsstrich soll offenbar ausgedrückt werden, dass es dort möglicherweise B gibt, die zugleich C sind. Ein weiteres Manko der „Schèmes linéaires“ besteht darin, dass die subalternen Modi Barbari, Celaro, Cesaro und Camestros durch absolut die gleichen Diagramme veranschaulicht werden 4 In

der Handschrift hatte Leibniz bei dem Diagramm für Barbara die D-Linie ursprünglich nach rechts (über den Rand der C-Linie hinweg) verlängert und dieses Verlängerungsstück danach punktiert; diesen Ansatz anschließend jedoch wieder gestrichen.

Kommentar

371

wie ihre Pendants Barbara, Celarent, Cesare und Camestres. Diesen Punkt monierte auch Leibniz selber, als er zu Beginn des dritten Teils (Blatt 19r) anmerkte, es sollte aus den Diagrammen besser hervorgehen, ob die in die Konklusion eingehenden Begriffe universell oder partikulär sind. Dazu erläuterte er noch, dass ein partieller Begriff durch eine nicht ganz durchgezogene Linie („linea non tota lineata“) repräsentiert würde, so dass ein universeller Begriff entsprechend an seiner durchgezogenen Linie erkennbar sein müsste. Würde man den Ausdruck ‚nicht ganz durchgezogen‘ – in naheliegender Weise – so verstehen, dass damit eine teilweise punktierte Linie gemeint ist, so hieße dies insbesondere, dass der Minorbegriff, B, innerhalb der Modi Barbara und Celarent partiell wäre und entsprechend der Majorbegriff, D, innerhalb der Modi Baroco und Camestros. Dies widerspricht aber der üblichen Lehrmeinung, der zufolge das Subjekt jeder universellen Aussage sowie das Prädikat jeder negativen Aussage selber universell bzw. »distribuiert« ist.5 Deshalb muss Leibniz‘ Ausdruck „non tota lineata“ offenbar anders interpretiert werden. Nun hieß es ja in der Fortsetzung: Den Mediusbegriff beschränke ich immer auf beiden Seiten, denn für die Regeln, die von den Begriffen in einer Prämisse etwas bezüglich der Begriffe in der Konklusion erschließen, spielt es keine Rolle, ob der Medius universell oder partikulär ist.

Diese etwas unklare Aussage lässt sich vielleicht dahingehend deuten, dass eine Linie für Leibniz genau dann „tota lineata“ ist, wenn sie auf beiden Seiten durch einen vertikalen Strich begrenzt wird. Da die B-Linie bei Barbara und Celarent jeweils begrenzt, bei Darii und Ferio hingegen »offen« ist, wäre somit – im Einklang mit der traditionellen Auffassung – der Minorbegriff bei den Modi mit universeller Minorprämisse universell, 5 Vgl.

etwa Leibniz‘ beiläufige Bemerkung in C., 316: „Hinc quia subjectum propositionis Universalis [est] distributum, et praedicatum propositionis negativae itidem est distributum, …“.

372

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

bei jenen mit partikulärer Minorprämisse hingegen partikulär. Da weiterhin die D-Linie bei Barbara 6 und Darii »offen«, bei Celarent und Ferio hingegen begrenzt ist, wäre entsprechend der Majorbegriff bei den Modi mit affi rmativer Konklusion partikulär, bei jenen mit negativer Konklusion hingegen universell. Auch dies entspricht voll und ganz den traditionellen Regeln der Syllogistik. Andererseits wäre der Mediusbegriff, weil die C-Linie stets begrenzt gezeichnet wird, durchgängig als universell zu verstehen, was nicht nur der Tradition widerspricht, sondern auch intern zu Widersprüchen führt. Denn bei Barbara fungiert C ja einerseits als Prädikat der affirmativen Prämisse A(B,C) und wäre als solcher partikulär; zugleich ist C aber auch Subjekt der universellen Majorprämisse A(C,D) und müsste als solcher universell sein. Diese Ungereimtheit wollte Leibniz offenbar mit dem Hinweis aus dem Wege räumen, dass es „keine Rolle spielt, ob der Medius universell oder partikulär ist.“ Am Ende des Fragments fi nden sich zusätzliche Diagrammentwürfe für die einzelnen Satzformen. Ein besonderes Merkmal des dort probierten Ansatzes besteht darin, dass die jeweiligen Begriffsbeziehungen mittels einer einzigen Linie veranschaulicht werden, von der die Teilbereiche für B und für C durch geschweifte horizontale Klammern abgegrenzt werden. Dies bedeutet jedoch keine Einschränkung der graphischen Darstellungsmöglichkeiten, denn die Klammern selber werden teilweise durchgezogen, teilweise punktiert gezeichnet sowie teilweise mit und teilweise ohne zusätzliche seitliche Begrenzung. Deshalb lassen sich die »Klammer-Diagramme« unmittelbar in die »Normalform« mit zwei Linien »übersetzen« und vice versa. Für die PA ergibt sich so die symmetrische Darstellung: B C

6 In

Couturats Edition ist die D-Linie bei Barbara fälschlicherweise mit einer Begrenzung (links) gezeichnet.

Kommentar

373

die gegenüber dem früheren Diagramm B C

den Vorteil besitzt, die Konvertierbarkeit der PA zu veranschaulichen.7

Fazit: Die „Essais de Schèmes linéaires“ vermitteln den Eindruck eines Experimentierfeldes, auf dem Leibniz unterschiedliche Darstellungen der Satzformen testet und die gültigen Modi der Ersten und der Zweiten Figur verifiziert. Die fragmentarischen Versuche bieten einen deutlichen Fortschritt gegenüber dem Ansatz aus den „Elementa de continente et contento“. Sie bleiben aber etwas unbefriedigend, weil sie die Geltung »einfacher« Gesetze (insbesondere der Konversion) sowie der traditionellen Regeln der Quantität (hinsichtlich der »distribuierten« bzw. »nicht-distribuierten« Begriffe) nur unzureichend veranschaulichen. In der im nächsten Abschnitt zu betrachtenden Schrift wendet Leibniz große Mühe auf, diese Mängel zu beheben.

7 Das

am Rande gezeichnete Diagramm für den Modus Disamis bleibt etwas unbefriedigend, weil durch die C- und D-Linie eigentlich die Aussage I(D,C) veranschaulicht wird, während der Schluss selber die konverse Prämisse I(C,D) enthält.

374

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4.4.1 Aus „De formae logicae comprobatione per linearum ductus“1 Sched. 1 Aliquoties cogitavi de formae logicae comprobatione per linearum ductus. Ducantur tot rectae2 una sub alia quot termini, propositiones per rectarum habitudines exprimentur, dum rectae rectas continent. Ubi ea cautione opus est, ut ne plus exprimatur quam vi formae oportet, atque adeo cavendum3 tum ne propositio particularis designetur quasi universalis, tum ne propositio quae non semper aut non vi formae est convertibilis tanquam convertibilis exhibeatur. Commode etiam praecedet semper4 major ter minus, quia est in majore propositione quam solemus in syllogismis praeponere, medio loco medius, infi mo minor collocetur. Itaque docebimus separatim modum exhibendi propositiones. Pro conclusionis autem designatione non est opus cautione, quam ne propositionem faciamus universaliorem quam est. Propositio Universalis affirmativa Omne B est C Omnis homo est animal

}

5

B C

B C

quae6 designatio ostendit omnes homines7 in omnibus animalibus esse comprehensos. Sed quia propositio non est simpliciter convertibilis, hinc oportet rectam 8 [C] esse majorem, 1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 4, 1–10; vgl. auch C., 292–321. 2 /una sub alia/ erg. L 3 /tum … universalis, tum/ erg. L 4 (1) minor (2) major 5 (1) Omne A est B (2) Omne B est C; entsprechend ersetzt Leibniz die Symbole ‚A‘ und ‚B‘ vor dem Liniendiagramm durch ‚B‘ und ‚C‘. Das Kreisdiagramm enthielt zunächst drei mit ‚A‘, ‚B‘ und ‚C‘ beschriebene Kreise; danach zeichnete Leibniz zwei Varianten mit zwei Kreisen ‚B‘ und ‚C‘. 6 (1) figura (2) designatio 7 (1) esse (2) in … 8 (1) B (2) C verb. Hrg. mit Couturat

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

375

4.4.2 Aus „Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus durch das Zeichnen von Linien“1 Blatt 1 Ich habe einige Male darüber nachgedacht, wie man die Gültigkeit eines Syllogismus durch das Zeichnen von Linien überprüfen kann. Man zeichne so viele Gerade untereinander, wie es [im Syllogismus] Begriffe gibt. Die Aussagen werden durch das Verhältnis dargestellt, in dem die Geraden Gerade enthalten. Dabei muss man darauf achten, dass nicht mehr dargestellt wird, als aufgrund der logischen Form gefordert ist; und so muss man achtgeben, dass eine partikuläre Aussage nicht wie eine universelle dargestellt wird, und dass eine Aussage, die nicht immer bzw. nicht kraft der logischen Form konvertiert werden kann, als eine konvertierbare dargestellt wird. Es ist auch sinnvoll, den Majorbegriff immer an erste Stelle zu setzen, denn er tritt ja in der Major-Prämisse auf, die wir bei den Schlüssen üblicherweise voranzustellen; der Mediusbegriff steht in der Mitte, der Minorbegriff an letzter Stelle. Wir werden also die Darstellungsweise der Aussagen nacheinander erklären. Bei der Darstellung der Konklusion ist aber keine Vorsicht vonnöten, dass man die Aussage allgemeiner macht als sie ist. Die universell affirmative Aussage

}

Jedes B ist ein C Jeder Mensch ist ein Lebewesen

B C

B C

Diese Darstellung zeigt, dass alle Menschen in allen Lebewesen enthalten sind. Doch weil die Aussage sich nicht einfach konvertieren lässt, muss die Gerade C länger sein, denn umge-

1 Vgl.

auch die Übersetzung in Schmidt (1960), S. 372–389, die dort den Titel trägt „Versuch der beweisenden Syllogistik“.

376

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

neque enim omnia animalia vicissim in omnibus hominibus continentur,9 sed tantum quaedam animalia, partem scilicet ipsius10 [C] contineri in [B]. Propositio universalis11 negativa

}

Nullum12 B est C Nullus homo est lapis13

B C

B

C

Hinc patet ex ipsa designatione14 propositionem esse simpliciter conver tibilem nullumque hominem sub lapidibus et nullum lapidem sub hominibus contineri. Propositio particularis affirmativa

}

Quoddam15 B est C Qu idam homo est sapiens

B C

B C

Patet ex designatione quosdam homines esse inter sapientes,16 ubi simul apparet necessario quosdam sapientes esse inter homines17 seu propositionem esse simpliciter convertibilem. Nempe pars unius lineae parti alterius respondet. Sed nihil ultra exprimitur, caveturque ne vel omnes homines dicantur sapientes, vel omnes sapientes ad homines restringantur, quasi omnes sapientes essent homines. Dazu am Rande: Dum prope totus circulus alteri inest vel abest, indicatur18 sub parte posse casum totius comprehendi.

 9 /sed

… in A/ erg. L 10 (1) B contineri in A (2) C contineri in B korr. Hrg. mit Couturat 11 (1) affi r (2) negativa 12 (1) A est B A (2) B est C B 13 (1) B (2) C 14 (1) figuram semper (2) propositionem … 15 (1) A est B A (2) B est C B 16 (1) sed cautio adhibita est (2) ubi 17 /seu … convertibilem/ erg. L 18 (1) sub quodam posse (2) sub …

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

377

kehrt sind nicht alle Lebewesen in allen Menschen enthalten, sondern nur einige Lebewesen, nämlich jener Teil von C, der in B enthalten ist. Die universell negative Aussage Kein Mensch ist ein Stein

}

Kein B ist ein C

B

B

C

C

Aus dieser Darstellung wird klar, dass sich die Aussage einfach konvertieren lässt und dass kein Mensch in den Steinen und kein Stein in den Menschen enthalten ist. Die partikulär affirmative Aussage

}

Ein B ist ein C Ein Mensch ist weise

B C

B C

Aus der Darstellung wird deutlich, dass sich einige Menschen unter den Weisen befi nden, wobei zugleich klar wird, dass sich notwendigerweise einige Weise unter den Menschen befi nden, d.h. dass die Aussage einfach konvertierbar ist, denn der Teil der einen Linie entspricht dem Teil der anderen. Darüber hinaus wird jedoch nichts dargestellt und es wird darauf Acht gegeben, dass nicht etwa alle Menschen als Weise ausgezeichnet oder alle Weisen auf Menschen eingeschränkt werden, so als ob alle Weisen Menschen wären. Sofern fast der ganze Kreis im anderen enthalten ist bzw. außerhalb des anderen liegt, wird damit angezeigt, dass unter

378

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Nam si omnis homo sit ani mal,19 verificatur quendam hominem esse animal; et nullo homine existente lapide verificatur et quendam hominem non esse lapidem. Propositio particularis negativa

}

Quoddam 20 B non est C Qu idam homo non est 21 rusticus

B C

B C

Non produximus22 dextrorsum rectam [C] ne inde inferatur conversio et concludat aliquis quendam 23 rusticum non esse hominem: Propositio enim24 particularis negativa nullam habet conversionem.25 Notatu dignum hic apparet, in propositione affi rmativa, sive universali sive particulari, vi formae praedicatum non totum affici, sed parti tantum praedicati inesse subjectum sive totum in universali, sive pro sua parte in particulari propositione. Sed in negativa propositione totum praedicatum affici eamque de qua agitur subjecti mensuram a quavis praedicati parte, seu quod idem est, a quovis ejus exemplo excludi. Hinc26 terminos distinguimus in distributos seu universales, et non distributos seu particulares. Subjecti mensura habetur ex signo propositionis, estque universalis in universali, particularis in particulari propositione. Sed praedicatum est particulare in affirmativa, universale in negativa. Hinc propositio debilior27 qualitate habet praedicatum fortius quantitate.

19 (1)

etiam (2) verificatur 20 (1) A est B A (2) B est C C 21 (1) Rex (2) rusticus 22 (1) B (2) /dextrorsum erg. L/ rectam (a) B (b) C korr. Hrg. mit Couturat 23 (1) Regem (2) rusticum 24 (1) Univer (2) particularis 25 (1) Nam ad (a) conjunctiones (b) combinationes (ba) propositionum (bb) conclusio (2) Notatu … 26 (1) (2) terminos 27 (1) sed praedic (2) qualitate

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

379

dem Teil auch der Fall des Ganzen umfasst wird. Denn wenn alle Menschen Lebewesen sind, ist zugleich wahr, dass einige Menschen Lebewesen sind; und wenn kein Mensch als Stein existiert, dann ist zugleich wahr, dass einige Menschen keine Steine sind. Die partikulär negative Aussage Ein Mensch ist nicht Bauer

}

Ein B ist nicht C

B C

B C

Wir ziehen die Linie C nicht weiter nach rechts, damit nicht etwa eine Konversion angenommen und geschlossen wird, dass ein Bauer nicht ein Mensch sei. Die partikulär negative Aussage gestattet nämlich keine Konversion. Es ist erwähnenswert, dass hier durch unsere Darstellungen deutlich wird, dass in einer affi rmativen Aussage, sei sie universell oder partikulär, der logischen Form nach nicht das gesamte Prädikat betroffen ist, sondern dass das Subjekt nur in einem Teil des Prädikates enthalten ist, und zwar das ganze Subjekt bei einer universalen und ein Teil des Subjekts bei einer partikulären Aussage. Bei einer negativen Aussage hingegen ist das gesamte Prädikat betroffen, und der jeweilige Umfang des Subjekts, um den es sich handelt, wird von jedem Teil des Prädikates bzw., was das gleiche ist, von jedem seiner Elemente ausgeschlossen. Von daher unterscheiden wir zwischen distribuierten bzw. universellen und nicht-distribuierten bzw. partikulären Begriffen. Der Umfang des Subjekts ergibt sich aus dem Quantitätszeichen der Aussage; er ist also bei einer universellen Aussage universell und bei einer partikulären Aussage partikulär. Hingegen ist das Prädikat einer affi rmativen Aussage partikulär, das einer negativen Aussage universell. Die Aussagen von schwächerer Qu alität besitzen also ein Prädikat von stärkerer Quantität.

380

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

FIGURA I 28

B major, C medius, D minor. Nam A servo pro exprimenda universali affi rmativa.

Barbara A Omne C est B

B

A Omne D est C

C D

} }

Major Minor

}

Conclusio

A E[rgo] Omne D est B nempe29 omne D quod est C. Daneben das Kreisdiagramm:

D

C

B

Lineae punctatae30 connectunt lineas proximas significantque enuntiationes factas ex medio termino et altero extremorum. Sed linea tractu continuo facta significat conclusionem. In minore termino31 [D] duplex lineola, si totum terminum occupat, universalis est propositio, sin minus, particularis. Barbari A Omne C est B A Omne D est C I

B C D E[rgo] Quoddam D est B nempe32 quoddam D quod est C.

28 /B

major (1) A medius, C minor. (2) C medius … affi rmativa/ erg. L. In allen nachfolgenden Modi der 1. Figur bis Cesare der 2. Figur wurde entsprechend A zu B, B zu C und C zu D abgeändert; diese Änderungen werden im textkritischen Apparat nicht extra vermerkt. 29 /omne erg. L/D quod est /in streicht L/C 30 (1) significant enuntiationem ex duabus lineis proximis (2) connectunt 31 /C L/ D verbessert Hrg. mit Couturat 32 (1) est in C (2) quoddam …

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

381

FIGUR I

B Major-, C Medius-, D Minor-Begriff. Denn A verwende ich als Symbol für die universell affi rmative Aussage. Barbara A Jedes C ist ein B A Jedes D ist ein C

B C D

} }

Major Minor

}

Konklusion

A Also: Jedes D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist. Daneben das Kreisdiagramm:

D

C

B

Die gepunkteten [senkrechten] Linien verbinden benachbarte [waagerechte] Linien und symbolisieren die Aussagen, die mittels des Mediusbegriffs und einem der äußeren Begriffe gebildet werden. Doch eine durchgezogene [senkrechte] Linie symbolisiert die Konklusion. Wenn die doppelt [bzw. fett] gezeichnete [waagerechte] Linie beim Minor D den gesamten Begriff ein nimmt, dann handelt es sich um eine universelle Aussage, wenn nicht, um eine partikuläre. Barbari A Jedes C ist ein B A Jedes D ist ein C I

B C D Also: Ein D ist ein B, nämlich ein D, welches ein C ist.

382

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Non differt schema a priori, nisi sola recta continua conclusionem significante, quae a conclusione33 [magis] abscindit quam necesse est. Celarent E Nullum C est B B D C A Omne D est C C D E E[rgo] Nullum D est B nempe34 omne D quod est C.

B

Celaro E Nullum C est B B A Omne D est C C D O E[rgo] Quoddam D non est B nempe35 quoddam D quod est C. 36

Darii A Omne C est B I Quodd. D est C I

B D C B C D E[rgo] Quodd. D est B nempe37 omne D quod est C.

Ferio E Nullum C est B B 38 C D B I Qu. D est C C D O E[rgo] Qu. D non est B nempe39 omne D quod est C. 33 (1)

minus L (2) magis korr. Hrg. 34 (1) quod est in C (2) /omne erg. L/ D quod … 35 (1) D est in C (2) quoddam … 36 Eine Vorform von Darii: Omne B est A Quoddam C est B E[rgo] Qu . C est A mit einem entsprechenden Liniendiagramm wurde von Leibniz gestrichen und durch die obige Variante ersetzt. 37 (1) id D quod est in C (2) omne … 38 Leibniz hatte zunächst ein ähnliches Diagramm gezeichnet, bei dem lediglich die Kreise für C und für D vertauscht waren, und dazu angemerkt: Ferio et Celarent non diff (bricht ab). 39 (1) id D quod est in C (2) omne …

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

383

Dieses Schema unterscheidet sich nicht von dem vorherigen, außer in der durchgezogenen [senkrechten] Linie, die die Konklusion symbolisiert und die von der Konklusion [bzw. vom Minorbegriff D] mehr wegschneidet als notwendig ist. Celarent E Kein C ist ein B B D C B A Jedes D ist ein C C D E Also: Kein D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist. Celaro E Kein C ist ein B B A Jedes D ist ein C C D O Also: Ein D ist nicht B, nämlich ein D, welches ein C ist. Darii A Jedes C ist ein B B D C B I Ein D ist ein C C D I Also: Ein D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist. Ferio E Kein C ist ein B I Ein D ist ein C

B C D B C D O Also: Ein D ist nicht B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

384

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

FIGURA II Cesare E Nullum B est C A Omne D est C E

E A O

B D C C 40[B] D E[rgo] Null. D est B nempe41 omne D quod est C Idem schema pro Cesare et Celarent Cesaro Null. B est C B Omn. D est C C D E[rgo]42 Qu. D non est B nempe43 quoddam D quod est C

Camestres A Omne B est C B D E Null. D est C C D E Erg. Null. D est B nempe44 omne D quod non est C

B C

Camestros A Omne B est C B E Null. D est C C D 45 O Ergo Qu. D non est B nempe quoddam D quod non est C

40 /B

erg. Hrg./ id D quod est in C (2) omne … 42 (1) D (2) Qu . … 43 (1) id D quod est in C (2) quoddam … 44 (1) id D quod non est in C (2) omne … 45 (1) Null. D (2) Qu . D non est (a) C (b) B nempe (ba) id D est in C (bb) quoddam … 41 (1)

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

385

FIGUR II Cesare E Kein B ist ein C A Jedes D ist ein C

B D C [B] C D E Also: Kein D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

Neben dem Kreisdiagramm: Das gleiche Schema für Cesare und für Celarent. Cesaro E Kein B ist ein C A Jedes D ist ein C

B C D O Also: Ein D ist nicht B, nämlich ein D, welches ein C ist. Camestres A Jedes B ist ein C E Kein D ist ein C

B D B C C D E Also: Kein D ist ein B, [weil] nämlich jedes D, welches kein C ist [a fortiori kein B ist]. Camestros A Jedes B ist ein C E Kein D ist ein C

B C D O Also: Ein D ist nicht B, nämlich ein D, welches kein C ist.

386

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Festino E Null. B est C I Qu. D est C

B B D C C D 46 O [Ergo] Qu. D non est B nempe47 Omne D quod est C Baroco A Omn. B est C B D B O Qu. D non est C C D O Erg. Qu. D non est B nempe48 omne D quod non est C

C

FIGURA TERTIA Darapti A Omne C est B A Omne C est D I

B C C D Erg. Quodd. D est B nempe50 omne D quod est C

Felapton E Null. C est B A Omn. C est D

B B C D O Ergo Qu. D non est B nempe51 omne D quod est C

46 /Ergo

D

D

B

49

C

erg. Hrg./ 47 (1) id D quod est in C (2) Omne … 48 (1) id D quod est in C (2) Omne … 49 Daneben eine gestrichene Vorform des Diagramms und die Anmerkung: Hic praeferenda Ellipsis 50 (1) id (2) omne 51 (1) id (2) omne

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

387

Festino E Kein B ist ein C I Ein D ist ein C

B B D C C D O [Also:] Ein D ist nicht B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

Baroco A Jedes B ist ein C O Ein D ist nicht C

B D B C C D O Also: Ein D ist nicht B, nämlich jedes D, welches kein C ist. DRITTE FIGUR Darapti A Jedes C ist ein B A Jedes C ist ein D I

B C D C D Also: Ein D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

B2

Felapton E Kein C ist ein B A Jedes C ist ein D

B B D C C D O Also: Ein D ist nicht B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

2 Daneben

eine gestrichene Vorform des Diagramms mit Kreisen und die Anmerkung: „Hier sind Ellipsen vorzuziehen.“

388

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Disamis I Qu. C est B A Omn. C est D I

C

D

B

C

B

Erg. Qu. D est B

Datisi A Omn. C est B I Qu. C est D I

B C D

B C D Qu. D est B 52 nempe omne D quod est C

D

Dazu am Rande: Datisi 53 et Disamis mereretur poni ante Darapti, et Bocardo et Ferison ante Felapton, quia Darapti sequitur ex Datisi vel ex Disamis, et Felapton sequitur ex Bocardo vel Ferison. Bocardo O Qu. C non est B A Omne C est D

C

D

Ferison E Null. C est B I Qu. C est D

D

B

B B C D O Qu. D non est B nempe quoddam D quod est C.

B C C D O Qu. D non est B nempe omne D quod est C.

52 (1)

(2) nempe Disamis erg. L/ … Bocardo /et Ferison erg. L/ … quia (1) illud sequitur ex hoc (2) Darapti … 53 /et

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

Disamis I Ein C ist ein B A Jedes C ist ein D I

B C D Also: Ein D ist ein B.3

C

D

389

B

Datisi A Jedes C ist ein B I Ein C ist ein D I

B D C B C D [Also:] Ein D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

Dazu am Rande: Man könnte zu Recht Datisi und Disamis vor Darapti setzen und ebenso Bocardo und Ferison vor Felapton, denn Darapti folgt aus Datisi bzw. aus Disamis, und Felapton folgt aus Bocardo bzw. Ferison. Bocardo O Ein C ist nicht B A Jedes C ist ein D

B B C D C D O [Also:] Ein D ist nicht B, nämlich ein D, welches ein C ist.

Ferison E Kein C ist ein B I Ein C ist ein D

B C D B C D O [Also:] Ein D ist nicht B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

3 Zum

etwas überraschenden Fehlen der einschlägigen Begründung vgl. den Kommentar, Abschnitt 4.4.3.3.

390

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

FIGURA QUARTA Callentes A Omn. B est C E Null. C est D

B C D E Null. D est B nempe omne D quod non est C.

D

B

C

(Dazu am Rande:) 54 Hic modus eandem concludendi vim habet quam Camestres nec schemate differt. Callentos Eodem modo non differt schemate a Camestros. Baralip A Omne B est C A Omne C est D I

B C D 55 Qu. D est B, nempe quoddam D quod est C.

B

C

D

(Am Rande zum Kreisdiagramm:) ut Barbara Dibatis I Qu. B est C A Omne C est D I

B C D Qu. D est B nempe quodd. D quod est C.

B

C D

(Dazu am Rande:) Dibatis poni debebat ante Baralip 56 et Fresisom ante Fessapmo, ratio mox sequetur.

54 (1)

Haec fig (2) Hic … quod (2) nempe 56 (1) et Fessapmo (2) et Fresisom … 55 (1)

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

391

VIERTE FIGUR Callentes A Jedes B ist ein C E Kein C ist ein D

B D C D E Kein D ist ein B, nämlich jedes D, welches kein C ist.

B

C

(Dazu am Rande:) Dieser Modus besitzt die gleiche Schlusskraft wie Camestres, und auch im Diagramm unterscheidet er sich nicht von ihm. Callentos In gleicher Weise unterscheidet sich dieser Modus im Diagramm nicht von Camestros. Baralip A Jedes B ist ein C A Jedes C ist ein D I

B B C D Ein D ist ein B, nämlich ein D, welches ein C ist.

C

D

(Am Rande zum Kreisdiagramm:) wie Barbara. Dibatis I Ein B ist ein C A Jedes C ist ein D I

B B C D Ein D ist ein B, nämlich ein D, welches ein C ist.

C D

(Dazu am Rande:) Dibatis sollte vor Baralip gesetzt werden und Fresisom vor Fessapmo; der Grund hierfür folgt gleich.

392

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Fessapmo E Nullum B est C A Omn. C est D

B C D O Qu. D non est B nempe omne D quod est C.

Fresisom E Null. B est C I Qu. C est D

B C D O Qu. D non est B nempe omne D quod est C.

B

B

D

D

C

 C

Consideratu dignum est Baralip a Dibatis, item Fessapmo a Fresisom non differe in schemate, nisi quod recta medium terminum repraesentans57 producitur in Baralip et Fessapmo ad eas partes ubi cum caeteris terminis nihil amplius commune. Unde vis concludendi in his duobus oritur a vi concludendi in Dibatis et Fresisom, qui modi ideo ante alteros quisque ante respondentem poni deberetur. 58 Sunt ergo modi boni sed imperfecti diversi generis tamen a prioribus; nam ut Barbari, Celaro, Cesaro, Camestros, et Callentos in eo sunt59 imperfecti, quod minus inferunt quam possunt, inferunt enim particularem conclusionem cum possent universalem,60 ut faciunt ejusdem figurae modi respondentes61 [Barbara,] Celarent, Cesare, Camestres,62 Callentes, ita Darapti ob Disamis vel Datisi; Felapton ob Bocardo vel Ferison; Baralip ob Dibatis,63 [Fessapmo] ob Fresisom64 im-

57 (1)

reducitur (2) producitur /in Baralip et Fessapmo erg. L/ ad … 58 (1) Hi ergo (2) Sunt enim (1) (a) et (b) (2) boni … 59 (1) incompleti (2) imperfecti 60 (1) ita Barbari, Celaro, Felapton (2) ut … 61 /Barbara erg. Hrg. in Übereinstimmung mit Couturat/ 62 (1) Callentes; ita Felapton, Darapti ob Datisi; Felapton ob Bocardo (2) Callentes … 63 /Fessapo L/ Fessapmo ändert Hrg. 64 (1) incompleto sunt quia (2) imperfecti

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

393

Fessapmo E Kein B ist ein C A Jedes C ist ein D

C

Fresisom E Kein B ist ein C I Ein C ist ein D

 C

B B D C D O Ein D ist nicht B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

B B D C D O Ein D ist nicht B, nämlich jedes D, welches ein C ist.

Es ist erwähnenswert, dass sich die Schemata von Baralip und Dibatis und ebenso von Fessapmo und Fresisom nur dadurch unterscheiden, dass die Gerade, die den Mediusbegriff darstellt, bei Baralip und bei Fessapmo bis in jenen Teil gezogen wird, wo er mit den anderen Begriffen nichts Gemeinsames mehr hat. Deshalb entspringt die Gültigkeit der beiden Schlüsse [Baralip und Fessapmo] jener von Dibatis und Fresisom, welche somit vor die anderen – jede vor die entsprechende – gestellt werden müssten. Es handelt sich also um gültige, aber unvollkommene Modi, freilich von einer anderen Art als die früheren. Denn so wie Barbari, Celaro, Cesaro, Camestros und Callentos in der Hinsicht unvollkommen sind, als sie weniger erschließen als sie könnten – sie erschließen nämlich eine partikuläre Konklusion, obwohl sie eine universelle erschließen könnten, wie es die entsprechenden Modi der gleichen Figur Barbara, Celarent, Cesare, Camestres und Callentes tun; so ist Darapti unvollkommen im Vergleich zu Disamis oder Datisi, Felapton im Vergleich zu Bocardo oder Ferisom, Baralip im Vergleich zu Dibatis und Fessapmo im Vergleich zu Fresisom in der Hinsicht, dass sie etwas Überflüssiges annehmen, nämlich eine universelle Aussage, wo sich die gleiche Konklusion auch aus einer partikulären Aussage derselben Figur ergeben würde. So würde es

394

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

perfecti sunt quia superfluum assumunt, nempe65 universales propositiones ubi idem concludi potest in eadem figura ex particulari, ut in Darapti vel major66 prop. sufficiebat particularis ut in Disamis, vel minor ut in Datisi. Idem est in Felapton, ubi etiam duobus modis patet imperfectio67 vel ex Bocardo vel ex Ferison; in Baralip et68 [Fessapmo] non nisi uno; nam pro illo sufficiebat Dibatis, pro hoc Fresisom.69 Unde patet omnes imperfectos alterutro modo ex perfectae figurae modis derivari vel addendo praemissae superfluam quantitatem, vel demendo conclusioni utilem. Notandum autem est omnes imperfectos70 modo priore qui non omne quod possunt inferunt, uno demto Callentos, simul esse imperfectos et posteriore,71 ut plus assumant quam necesse est; quod non est mirum, cum minus faciant quam possent; ideo sufficerat illis minus ad hoc quod faciunt. Nempe72 hac ratione in prima Figura Barbari imperfectus est modus ob Darii, Celaro ob Ferio,73 in secunda Fig. Cesaro ob Festino, Camestros ob Baroco; in tertia74 non est imperfectio primi generis, quia omnes conclusiones sunt particulares; sed imperfectio secundi generis75 est in tertia, et quidem sola semper est duplex, ut scil. modus imperfectus ob duos alios ejusdem figurae talis fiat. In quarta76 Callentos tantum priore ratione est modus imperfec65 (1)

Darapti (2) universales … (2) prop. /(a) (b) sufficiebat 67 /vel … Ferison am Rande erg. L/   68 /Fessapo L/ Fessapmo ändert Hrg 69 /Unde … utilem am Rande erg. L/ 70 (1) primo modo (2) modo priore (a) quia (b) qui … inferunt / uno demto Callentos erg. L/ 71 /uno erg. und streicht L/ 72 (1) hoc (2) hac ratione 73 /in secunda Fig. erg. L/ (1) (2) Cesaro ob Festino (a) vel (b) Camestros 74 (1) duplex (2) non 75 /est erg. L/ in tertia /et quidem sola erg. L/ 76 (1) imperfectio (2) Callentos tantum (a) modo (b) priore ratione est /modus erg. L/ 66 (1)

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

395

in Darapti ausreichen, wenn die Majoraussage partikulär wäre wie in Disamis bzw. die Minoraussage wie in Datisi. Ebenso verhält es sich bei Felapton, wo die Unvollkommenheit in zwei Arten offenkundig ist, entweder bezüglich Bocardo oder bezüglich Ferison. In Baralip und in Fessapmo besteht die Unvollkommenheit nur in einer Hinsicht, denn für den ersteren Modus würde Dibatis ausreichen und für den letzteren Fresisom. Hieraus wird klar, dass sich alle unvollkommenen Modi auf die eine oder andere Weise aus den Modi der vollkommenen Figur ableiten lassen, indem entweder eine Prämisse von unnötig starker Quantität angenommen oder indem die korrekt erschließbare Quantität der Konklusion abgeschwächt wird. Es sollte auch erwähnt werden, dass – mit der einen Ausnahme von Callentos – alle in ersterer Hinsicht unvollkommenen Schlüsse, insofern sie nicht alles erschließen, was sie könnten, zugleich auch unvollkommen in letzterer Hinsicht sind, insofern sie mehr annehmen, als notwendig wäre. Doch das ist kein Wunder, denn da sie weniger erschließen als sie könnten, würde es ausreichen, wenn sie für das, was sie erschließen, weniger annehmen. So ist nämlich dieser Überlegung zufolge in der Ersten Figur Barbari unvollkommen gegenüber Darii und Celaro gegenüber Ferio. In der Zweiten Figur Cesaro gegenüber Festino und Camestros gegenüber Baroco. In der dritten Figur gibt es keine Unvollkommenheit der ersten Art, weil alle Konklusionen partikulär sind. Doch hier gibt es Unvollkommenheiten der zweiten Art und diese treten stets doppelt auf, weil nämlich die unvoll kommenen Modi [Darapti und Felapton] jeweils gegenüber zwei anderen Modi der gleichen Figur unvollkommen sind.

396

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

tus non et posteriore, etsi enim minus concludat quam posset, tamen ob singulares rationes nihil praemissis de universalitate detrahi potest. Neque enim77 locum habet IEO in ulla figura, ut alibi demonstratum est; nec78 AOO in quarta79, Sched. 2 quod sic demonstrabimus schemate in exemplum examinis80 propositi alicuius modi, de quo dubitamus: Omne B est C Qu. C non est D

B C D

81

Sed non sequitur Qu. D non est B quia aliquando Omn. D est B stantibus iisdem praemissis. Hactenus quantitates82 ex individuis terminorum aestimavimus. Et cum dictum est omnis homo est animal, consideratum est omnia individua humana esse partem individuorum animalis. Sed inversa plane est ratio aestimandi secundum ideas. Nam uti83 homines sunt pars animalium, ita contra notio animalis est pars notionis quae homini competit, homo enim est animal rationale. Placet haec quoque methodo notionum schemata instituere. Et incipiamus a propositionibus separatis, deinde ad 84 syllogismos pergamus. 77 (1)

in quarta figura (2) locum habet (a) (b) IEO … AE (2) AOO 79 (1) quod ex schemate indagabimus. Omn B est C Qu . C non est D (a) Tamen D non est B non sequitur. (b) Non tamen Qu. D non est B quia effici potest stantibus iisdem praemissis ut Omne D sit B. Aliquando et schema ubi potest omne D posse esse B. (2) quod … Die erste Variante enthält zwei hier nicht reproduzierte Fassungen eines Liniendiagramms mit der Anmerkung: Lineae pro conclusione significant esse non universalem. 80 (1) propositae alicuius figurae (2) propositi … 81 (1) Non tamen Qu . D non est B stantibus iisdem praemissis effici potest ut (2) Sed … 82 /propositionum erg. und streicht L/ 83 (1) exempla hominum sunt pars (2) in (3) homines 84 (1) propositiones (2) syllogismos 78 (1)

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

397

In der Vierten Figur ist Callentos nur gemäß dem ersteren Gedanken unvollkommen, aber nicht gemäß dem letzteren. Obwohl dieser Modus weniger erschließt als möglich wäre, lässt sich nämlich die Universalität in den Prämissen aus unterschiedlichen Gründen nicht abschwächen. Denn, wie andernorts gezeigt wurde, ist der Modus IEO in keiner Figur schlüssig; und in der vierten Figur ist AOO unschlüssig, [Blatt 2] was wir mittels eines Schemas zeigen als Beispiel der Überprüfung einer beliebigen vorgeschlagenen Schlussweise, an der Zweifel bestehen: Jedes B ist ein C Ein C ist nicht ein D

B C D

Doch hieraus folgt nicht, dass ein D nicht ein B wäre, denn gelegentlich gilt bei Geltung der gleichen Prämissen: Jedes D ist ein B. Bislang haben wir die Quantität [extensional] gemäß den Individuen beur teilt, die unter die Begriffe fallen. Und wenn gesagt wurde ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, so wurde das so verstanden, dass alle menschlichen Individuen einen Teil aller Individuen ausmachen, welche Lebewesen sind. Aber umgekehrt existiert sicherlich die [intensionale] Beurteilung gemäß den Ideen. Denn so wie die Menschen einen Teil der Lebewesen darstellen, so ist umgekehrt der Begriff des Lebewesens Teil des Begriffs des Menschen, denn der Mensch ist das vernunftbegabte Lebewesen. Deshalb ist es angebracht, auch nach dieser Methode der Begriffe Liniendiagramme aufzustellen. Dabei beginnen wir mit den einzelnen Satzformen und gehen dann zu den Syllogismen über.

398

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Propositio Universalis Affirmativa animal Omnis homo est animal Omne B est C

85

B C

}

tale Homo

animal Homo idem est quod animal tale. Propositio particularis affirmativa Qu idam homo est sapiens Quodd. B est C

}

Sed hanc video ut notionaliter exprimatur plane aliam in formam redigi debere. Nempe formanda est notio non sapientis talis et86 negandum est eam homini aequivalere. Ita prodibit talis expressio: Homo non est non-sapiens tale. 87 Propositio: Homo est non sapiens, est universalis affi rmativa (qualis mox fiet ex universali negativa), sed eam negatur esse veram. Propositio Universalis Negativa est

Nullus homo est88 lapis 89 Null. B est C 90 Etiam haec redigitur in aliam formam, nam fit inde Homo est idem quod non-lapis talis. non lapis

talis

= Homo

B non lapis C

85 (1)

rationale (2) tale 86 (1) dice (2) negandi (3) negandum … homini (a) aequale (b) aequivalere 87 (1) Proposi (2) non sapiens tale (3) Propositio … affi rmativa /(qualis … negativa) erg. L 88 (1) animal (2) lapis 89 (1) Omne (2) Null. 90 (1) Hae (2) Etiam /haec erg. L/

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

399

Die universell affirmative Aussage: Lebewesen so und so beschaffen Jeder Mensch ist ein Lebewesen B Mensch Jedes B ist ein C C Lebewesen ‚Mensch‘ ist dasselbe wie ‚Ein so und so beschaffenes Lebewesen‘.

}

Die partikulär affirmative Aussage: Ein Mensch ist ein Weiser Ein B ist ein C

}

Wie ich bemerke, muss diese Aussage jedoch für eine begriffsmäßige Darstellung in eine andere Form gebracht werden. Man muss nämlich den Begriff des so und so beschaffenen Nicht-Weisen bilden und verneinen, dass er mit dem Begriff des Menschen äquivalent ist. Also ergibt sich dieser Ausdruck ‚Mensch ist nicht ein so und so beschaffener Nicht-Weiser‘. ‚Mensch ist Nicht-Weiser‘ ist eine universell affi rmative Aussage (wie sie sogleich aus einer universell negativen entsteht), und von ihr wird verneint, dass sie wahr ist. Die universell verneinende Aussage ist

Kein Mensch ist ein Stein Kein B ist ein C. Auch diese wird in eine andere Form gebracht; es wird nämlich daraus: ‚Mensch‘ ist dasselbe wie ‚So und so beschaffener Nicht-Stein‘. Nicht-Stein So und so beschaffen = Mensch B Nicht-Stein C

400

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Propositio particularis negativa est 91

Qu idam homo non est sapiens Qu. B 92 [non] est C

est opposita universalis affirmativae,93 quae sic formatur: Homo est sapiens talis. Et hanc veram esse negatur, et dicetur Homo non est94 idem quod sapiens talis. Ita jam omnes exhibebimus: A U.Aff. Omnis homo est animal; notionaliter Homo idem est quod animal tale O P.Neg. Qu idam homo non est sapiens; Homo non idem est quod sapiens talis E U.Neg. Nullus homo est lapis; Homo idem est quod non-lapis talis I P.Aff. Qu idam homo est sapiens; Homo non idem est quod non-sapiens talis.

Itaque caeterae propositiones95 ad propositionem universalem Affi rmativam reducuntur vel eam negando vel terminum negantem adhibendo. Et omnia redeunt ad aequationem vel aequationis negationem. Idque posset applicari ad singulos modos, ducique inde vis concludendi. Im Anschluss hieran geht Leibniz dazu über, die Gesetze der Syllogistik mittels verschiedener Formalisierungen der Satzformen algebraisch zu beweisen. Diese Abschnitte gehören zur Thematik von Kapitel 6 und werden deshalb dort erörtert. Hier erfolgt ein Sprung zum vierten Blatt der Arbeit, wo die ursprüngliche Thematik der Bestätigung der »logischen Form« durch Liniendigramme wieder aufgegriffen wird. 91 (1)

Nullus (2) Qu idam erg. Hrg./ 93 (1) formatur (2) quae 94 (1) sapie (2) idem 95 (1) rediguntur (2) ad 92 /non

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

401

Die partikulär negative Aussage ist Ein Mensch ist nicht weise Ein B ist [nicht] ein C.

Das ist die Verneinung einer universell affi rmativen Aussage, welche so gebildet wird: ‚Mensch‘ ist ‚So und so beschaffener Weiser‘; und es wird verneint, dass diese Aussage wahr ist, so dass behauptet wird: ‚Mensch‘ ist nicht dasselbe wie ‚So und so beschaffener Weiser‘. So stellen wir nun alle Aussagen dar: A UA ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, begriffl ich ausgedrückt: ‚Mensch‘ ist dasselbe wie ‚So und so beschaffenes Lebewesen‘. O PN ‚Ein Mensch ist nicht weise‘, begriffl ich ausgedrückt: ‚Mensch‘ ist nicht dasselbe wie ‚So und so beschaffener Weiser‘. E UN ‚Kein Mensch ist ein Stein‘, begriffl ich ausgedrückt: ‚Mensch‘ ist dasselbe wie ‚So und so beschaffener Nicht-Stein‘. I PA ‚Ein Mensch ist weise‘, begriffl ich ausgedrückt: ‚Mensch‘ ist nicht dasselbe wie ‚So und so beschaffener Nicht-Weiser‘.

Deshalb lassen sich die übrigen Aussagen auf die universell affi rmative zurückführen, indem man diese nämlich verneint oder einen verneinten Begriff einführt. Und alle Aussagen laufen auf Gleichungen bzw. Ungleichungen hinaus. Das ließe sich auch auf die einzelnen Modi anwenden und deren Schlüssigkeit hieraus ableiten. Im Anschluss hieran geht Leibniz dazu über, die Gesetze der Syllogistik mittels verschiedener Formalisierungen der Satzformen algebraisch zu beweisen. Diese Abschnitte gehören zur Thematik von Kapitel 6 und werden deshalb dort erörtert. Hier erfolgt ein Sprung zum vierten Blatt der Arbeit, wo die ursprüngliche Thematik der Bestätigung der »logischen Form« durch Liniendigramme wieder aufgegriffen wird.

402

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Scheda 4

Sed non est opus astringi nos in calculo ad aequationes. Sufficit cum dicitur96 in Univers. Aff. Omnis homo est animal, homines inesse animalibus, seu coincidere omnes homines et quaedam animalia. Et in Part. Aff. coincidere quosdam homines et quaedam animalia. In Univ. Neg. omnes homines et97 omnes lapides esse non coincidentes seu quemlibet hominem esse non coincidentem cuicunque lapidi. In Partic. Negativa quendam hominem esse non coincidentem98 cuicunque sapienti, seu quemlibet hominem esse non coincidentem cuicunque sapienti. U.A.99

B C

100

Omne B est C, id est omnia B coincidunt quibusdam C. Ergo quaedam C coincidunt cum omnibus B. Unde et quaedam C coincidunt quibusdam B. P.A.101

B C

Quoddam B est C, id est102 quoddam B coincidit cuidam C. Unde vicissim quoddam C coincidit cuidam B.  96 /in

Univers. Aff. erg. L/ omnia (2) omnes lapides (a) non coin (b) esse non coincidentes / seu … lapidi erg. L/  98 /cuicunque erg. L/  99 Am Rande und im Text mehrere Vorformen des Diagramms; Leibniz kennzeichnet den jeweils betroffenen Bereich durch doppelte Striche, die hier aus typographischen Gründen durch fette ersetzt werden. 100 (1) (2) (3) Omne B coincidit cuidam C. Ergo quoddam C coincidit cuidam B. Et quaedam C coincidunt omnibus B. (4) / Omne B est C id est erg. L/ omnia B … 101 Am Rande wurde das gleiche Diagramm wieder gestrichen; im Text wurde eine Variante des Diagramms, bei dem der linke Teil der B-Linie fälschlicherweise doppelt gezogen war, wieder gestrichen. 102 (1) quaedam B coincidunt quibusdam C unde vicissim quaedam (a) B (b) C coincidunt quibusdam B (2) quoddam …  97 (1)

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

403

Blatt 4

Es ist jedoch nicht nötig, dass wir uns im Kalkül auf Gleichungen beschränken. Es reicht aus, wenn wir im Fall der universell affirmativen Aussage ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ sagen, dass die Menschen in den Lebewesen enthalten sind, d.h. alle Menschen mit einigen Lebewesen zusammenfallen. Ebenso im Fall der partikulär affirmativen Aussage, dass einige Menschen mit einigen Lebewesen zusammenfallen. Im Fall der universell negativen Aussage, dass alle Menschen mit allen Steinen nicht-zusammenfallen, d.h. dass ein beliebiger Mensch nicht zusammenfällt mit irgendeinem Stein. Im Falle der partikulär negativen Aussage, dass ein Mensch nicht zusammenfällt mit irgendeinem Weisen, d.h. dass jeder Mensch nicht zusammenfällt mit irgendeinem Weisen. UA

B C

Jedes B ist ein C, d.h. alle B fallen zusammen mit einigen C. Also fallen auch einige C mit allen B zusammen. Und deshalb fallen auch einige C mit einigen B zusammen. PA

B C

Ein B ist ein C, d.h. ein B fällt mit einem C zusammen. Weshalb umgekehrt auch ein C mit einem B zusammenfällt.

404

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

U.N.103

B C

Nullum B est C, id est omnia B excluduntur ab omnibus C. Unde vicissim omnia C excluduntur ab omnibus B.104 Item falsum foret quodd. B coincidere cuidam C. Patetque adeo et oppositio cum P.A. P.N.105

B C

Quoddam B non est106 [C], id est quoddam B excluditur a quolibet C. Ergo falsum est omne B coincidere cum quodam C, si quoddam B non coincidit cum ullo C. Unde patet oppositio ad U.A. Patet etiam hinc inventio termini distributi et non distributi107 ex lineis duplicatis quas duximus, quibus designatur quae in terminis afficiantur. Terminus distributus est idem qui totalis seu universalis,108 non distributus qui particularis seu partialis. Subjectum est ejusdem quantitatis cuius propositio. Nempe109 prout propositio est universalis aut particularis, minor terminus est totalis aut partialis. Hinc in U.A. et U.N., totum subjectum afficitur, in P.A. et P.N. tantum pars ejus. Sed praedicatum in omni propositione affi rmativa est partiale seu non distributum, et in omni propositione negativa est totale seu distributum, cum subjectum vel totum vel pro parte a toto praedicato excludatur. Ex hac consideratione termini distributi aut non distributi theoremata fluunt insignia regulaeque quae figuris leges praescribunt modisque generales. 103 Am Rande und im Text wurde eine Variante des Diagramms, bei dem von

der C-Linie senkrechte gestrichelte Linien Richtung B-Linie gehen, gestrichen. 104 (1) Unde non aliquod B (2) Item 105 Am Rande und im Text gestrichene Varianten des Diagramms. 106 /C erg. Hrg./ 107 /ex lineis …afficiuntur erg. L/ 108 (1) Et non (2) non distributus 109 (1) subjectum est universa (2) prout

Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus

UN

405

B C

Kein B ist ein C, d.h. alle B sind von allen C ausgeschlossen. Weshalb auch umgekehrt alle C von allen B ausgeschlossen sind. Ebenso wäre es falsch zu sagen, dass ein B mit einem C zusammenfällt. Und somit wird auch die Opposition zur PA offenkundig. PN

B C

Ein B ist nicht C, d.h. ein B ist von jedem beliebigen C ausgeschlossen. Also ist es falsch, dass jedes B mit einem C zusammenfällt, wenn ein B nicht mit irgendeinem C zusammenfällt. Von daher ist die Opposition zur UA offen kundig. Auch das Auffi nden der distribuierten bzw. nicht-distribuierten Terme erhellt aus den von uns gezogenen verstärkten Linien, mit denen angezeigt wird, welcher Teil des Begriffs betroffen ist. Ein distribuierter Begriff ist dasselbe wie ein totaler bzw. universeller, ein nicht distribuierter dasselbe wie ein partieller oder partikulärer. Das Subjekt hat dieselbe Quantität wie die Aussage. Je nachdem nämlich, ob die Aussage universell oder partikulär ist, ist der Minorbegriff total oder partiell. Daher ist in der UA und der UN das ganze Subjekt betroffen, in der PA und der PN nur ein Teil hiervon. Das Prädikat hingegen ist in jeder affi rmativen Aussage partiell bzw. nicht distribuiert und in jeder negativen Aussage total bzw. distribuiert, weil das Subjekt entweder in Gänze oder zum Teil vom ganzen Prädikat ausgeschlossen wird. Aus dieser Betrachtung der distribuierten bzw. nicht-distribuierten Begriffe ergeben sich bedeutsame Theoreme und Regeln, die den Figuren und den Modi allgemeine Gesetze vorschreiben.

406

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4.4.3 Kommentar Dieser Text enthält die bei weitem ausführlichste Ausarbeitung des Gedankens, den Inhalt der kategorischen Satzformen durch Diagramme zu veranschaulichen und damit die Schlüssigkeit von Syllogismen zu überprüfen. Der Aufbau, die sorgfältige Ausarbeitung und der gesamte »Stil« der Arbeit sprechen dafür, dass Leibniz den Entwurf (bzw. zumindest Teile davon) für eine Publikation gedacht hatte. Ihm gelingt hier nicht nur ein vollständiger Beweis aller gültigen Modi, sondern er illustriert (zumindest an einem Beispiel) auch, wie man ungültige Schlussweisen widerlegen kann. Die Abhandlung versteht sich weitgehend von selbst. Dennoch bleiben im Folgenden zahlreiche Details zu erörtern, die der Übersicht halber in vier Unterabschnitte aufgeteilt werden: 1. die Darstellung der einzelnen Satzformen durch Kreisdiagramme; 2. die Darstellung der einzelnen Satzformen durch Liniendiagramme; 3. die darauf basierenden Beweise der 24 syllogistischen Schlüsse; 4. das Problem der intensionalen Pendants der Liniendiagramme. 4.4.3.1 Während Leibniz Liniendiagramme auch in verschiedenen anderen Arbeiten entwickelte, fi nden sich Kreisdiagramme praktisch nur im vorliegenden Text. Was zunächst die Darstellung der partikulären Aussagen betrifft, so stimmen die Diagramme für die PA und die PN im Grunde überein: (PN K)

B

C

(PA K)

BC

Zwar versuchte Leibniz offenbar, einen gewissen Unterschied dadurch zu suggerieren, dass er bei (PN K) die Kreise weiter auseinander zog und bei (PA K) enger ineinander schob, doch dies ist logisch belanglos. Streng genommen illustrieren beide Dia-

Kommentar

407

gramme jedenfalls ein und denselben Sachverhalt, dass nämlich die Umfänge von B und von C sich so überschneiden, dass (i) einige B C sind, aber zugleich auch (ii) einige B nicht C und analog (iii) einige C nicht B. Hieraus ergeben sich jedoch ein paar nicht unerhebliche Probleme. Zum einen könnte man mit Hilfe der Diagramme analog zu den gültigen Modi Darii und Ferio entsprechende ungültige Modi Dario und Ferii »beweisen«. Zum anderen ließe sich neben der Konvertierbarkeit der PA auch die einfache Konvertierbarkeit der PN begründen, d.h. der unzulässige Schluss von ‚Ein B ist nicht ein C‘ auf ‚Ein C ist nicht ein B‘. Wie schon in Lenzen (1990a: 19) erklärt wurde, müsste man, um solche Ungereimtheiten […] zu verhindern und um überhaupt den Gehalt der partikulären Satzformen besser darzustellen, […] zusätzliche graphische Hilfsmittel einsetzen, die deutlich machen, dass bei der PA der Durchschnitt der Kreise B und C als nichtleer angenommen wird, während bei der PN jener Teil des Kreises B nichtleer ist, der außerhalb von C liegt; etwa durch Schraff ur der jeweiligen Kreissegmente.1

Für eine derartige Verbesserung, wie sie im 19. Jahrhundert insbesondere von Gergonne (1816) und Venn (1881) erarbeitet wurde, fi ndet sich in Leibniz‘ Arbeiten jedoch keinerlei Spur.2 Die Darstellung der universellen Satzformen ist vergleichsweise unproblematisch: (UN K)

1 Vgl.

B

C

(UA K)

B

C

Lenzen (1990a), S.19. 2 Mit etwas Wohlwollen könnte man allenfalls die von Leibniz bewusst oder unbewusst vorgenommene Positionierung der Buchstaben B und C in den Kreisen als einen solchen Versuch deuten, denn bei der PA hatte er ‚B‘ im Durchschnitt der Umfänge von B und C platziert, bei der PN hingegen links daneben. Dieser Ansatz (falls es überhaupt ein solcher war) bleibt jedoch alleine deshalb zum Scheitern verurteilt, weil er die Asymmetrie der PN nicht widerzuspiegeln vermag.

408

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Bei (UA K) könnte man allenfalls monieren, dass die Menge der B scheinbar immer echt in C enthalten sein muss, so dass der Speziallfall B = C ausgeschlossen wird. Leibniz wollte damit unterbinden, dass man aus dem Diagramm eine Konvertierbarkeit der UA ableitet. In dem von ihm herangezogenen Beispiel ist es natürlich korrekt, den B-Kreis kleiner als den C-Kreis zu zeichnen, denn während: […] alle Menschen in allen Lebewesen enthalten sind, […] sind umgekehrt nicht alle Lebewesen in allen Menschen enthalten, sondern nur einige.

Doch diese Verhältnisse gelten eben nicht immer, wie etwa das Beispiel B = ‚Dreieck‘ und C = ‚Dreiseit‘ klarmacht. Das Dilemma ließe sich wieder nur mittels eines zusätzlichen graphischen Hilfsmittels lösen, indem man durch Schraff ur oder ähnliches anzeigt, dass der außerhalb von B liegende Bereich von C durchaus leer sein kann. Aus dem gleichen Grunde fällt es etwas schwer, Leibniz‘ Behauptung zuzustimmen, dass die Geltung der Subalternationsprinzipien durch die Kreisdiagramme veranschaulicht würde: Sofern fast der ganze Kreis im anderen enthalten ist bzw. außerhalb des anderen liegt, wird damit angezeigt, dass unter dem Teil auch der Fall des Ganzen umfasst wird. Denn wenn alle Menschen Lebewesen sind, ist zugleich wahr, dass einige Menschen Lebewesen sind; und wenn kein Mensch als Stein existiert, dann ist zugleich wahr, dass einige Menschen keine Steine sind.

Couturat interpretierte den ersten Satz des Zitates so, dass Leibniz behaupten wollte, dass ‚Teil‘ ‚Ganzes‘ einschließt, d.h. dass eine partikuläre Aussage die entsprechende universelle als Spezialfall umfasst.3 In der Tat ist es logisch korrekt, die PA ‚Einige 3 Vgl. C., 293, fn. 1: „Leibniz veut dire que «pars» inclut «totum», c’est-à-

dire que la particulière comprend l’universelle comme cas spécial“. Im Übrigen sei darauf hingewiesen, dass Couturat bei der Edition des fraglichen Satzes ein kleiner Fehler unterlief. Während es in der Handschrift eindeutig hieß „indicatur sub parte posse casum totius comprehendi“, edierte er

Kommentar

409

B sind C‘ auch dann als wahr anzusehen, wenn die UA ‚Alle B sind C‘ gilt. Ebenso sollte man die PN ‚Einige B sind nicht C‘ auch dann als wahr ansehen, wenn die UN ‚Kein B ist ein C‘ bzw. ‚Alle B sind nicht C‘ gilt. Aber die Geltung dieser Subalternationen wird durch die fraglichen Diagramme nicht wirklich bestätigt. Dass (PA K) den Spezialfall (UA K) umfasst, wäre nur dann ersichtlich, wenn das linke Segment des B-Kreises in (PA K) mittels eines graphischen Zusatzes als Bereich gekennzeichnet würde, der leer sein kann. Entsprechend müsste man in (PN K) das Überschneidungsegment der beiden Kreise als potentiell leer markieren, damit der Spezialfall der Disjunktheit, (UN K), mit umfasst wird. 4.4.3.2 Bei den Liniendiagrammen ist von vornherein ein Unterschied zwischen der symmetrischen (und deshalb konvertierbaren) PA gegenüber der asymmetrischen (und deshalb nicht konvertierbaren) PN gewährleistet: (PA L1)

B C

(PN L1)

B C

Wie Leibniz erklärte, wurde die C-Linie bei (PN L1) nicht nach rechts verlängert, damit aus der Graphik nicht etwa gefolgert wird, dass mit ‚Einige B sind nicht C‘ stets auch einige C nicht B sind. Alleine wegen dieser Tatsache kann man dem Urteil von Couturat zustimmen, dass die Liniendiagramme den Kreisdiagrammen überlegen sind. Trotzdem bleiben auch sie mit kleineren Problemen behaftet. Interpretiert man nämlich die graphischen Darstellungen so, dass die Länge einer Linie genau den Umfang des jeweiligen Begriffs repräsentiert, so könnte man aus (PN L1) immerhin noch ableiten, dass mit ‚Einige B sind nicht C‘ zugleich auch einige B C sind. Entsprechend ließe sich aus (PA L1) herauslesen, dass das ‚casum‘ als ‚partem‘. F. Schmidt machte daraus in seiner Übersetzung (1960: S. 374) den fast unverständlichen Satz: „Indem fast der ganze Keis in oder außerhalb dem anderen ist, wird angezeigt, dass unter dem Teil ein Teil des Ganzen begriffen werden kann.“

410

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

bei Geltung von ‚Einige B sind C‘ stets auch einige B nicht C und ebenso einige C nicht B sind. Diese Probleme verschwinden erst dann, wenn Leibniz zu Beginn von „Blatt 4“ die jeweils betroffenen Teile des Begriffs durch doppelte bzw. verstärkte Linien hervorhebt. Anstelle von (PA L1) und (PN L1) ergeben sich so: (PA L2)

B C

(PN L2)

B C

Die verstärkten Linien markieren dabei den Bereich, wo es Elemente bzw. Individuen geben muss, die unter den jeweiligen Begriff fallen. Die einfachen Linien hingegen markieren Bereiche, wo es Individuen geben kann, die unter den Begriff fallen. Deshalb geht z.B. aus (PA L2) eindeutig hervor, dass es in dem verstärkten Bereich einige B geben muss, die zugleich C sind; darüber kann es in den normal gezeichneten Bereichen der Bund der C-Linie weitere Elemente geben, so dass es zwar möglich, aber eben nicht notwendig ist, dass einige B nicht C bzw. einige C nicht B sind. Ähnlich zeigt das verbesserte Diagramm (PN L2) eindeutig, dass es einige B geben muss, die nicht C sind, während es ansonsten durchaus einige B geben kann, die C sind. Leibniz hat im späteren Verlauf seiner Untersuchungen auch die ursprünglichen Diagramme der universellen Satzformen (UA L1)

B C

(UN L1)

B C

mittels verstärkter Linien wie folgt modifiziert: (UA L2)

B C

(UN L2) C

B

Bei der Repräsentation der UN wäre eine solche Veränderung eigentlich nicht notwendig gewesen. Die Tatsache, dass die Umfänge der beiden Begriffe disjunkt sind, dass also kein B ein C (und entsprechend kein C ein B) sein kann, geht bereits aus dem schlichten Diagramm (UN L1) eindeutig hervor.4 Das neue 4 Selbst

die senkrechten Begrenzungslinien wären hier (wie auch

Kommentar

411

Diagramm (UA L2) hingegen ist der früheren Darstellung wieder eindeutig überlegen. Um der Tatsache gerecht zu werden, dass ‚Jedes B ist ein C‘ nicht zu ‚Jedes C ist ein B‘ konvertiert werden darf, hatte Leibniz ursprünglich die Linie B kürzer als C gezeichnet: Diese Darstellung [in (UA L1)] zeigt, dass alle Menschen in allen Lebewesen enthalten sind. Doch weil die Aussage sich nicht einfach konvertieren lässt, muss die Gerade C länger sein, denn umgekehrt sind nicht alle Lebewesen in allen Menschen enthalten, sondern nur einige Lebewesen, nämlich jener Teil von C, der in B enthalten ist.

Damit würde aber streng genommen die Wahrheit der »identischen« Aussage ‚Jedes B ist ein B‘ ausgeschlossen. Das verbesserte Diagramm (UA L2) zeigt demgegenüber völlig korrekt an, dass jedes B ein C sein muss, während es durchaus auch einige C geben kann, die nicht B sind. Leibniz selber sah den Nutzen der verstärkten Linien vor allem darin, dass sie eine Verifi kation der traditionellen Lehre von der »Distribution« der Begriffe gestatten. In der Tat, die Diagramme (PA L2) und (PN L2) veranschaulichen deutlich, dass der Subjektbegriff B einer partikulären Aussage »nicht-distribuiert«, d.h. nur partiell betroffen ist, während der Prädikatbegriff C in der affirmativen Aussage ebenfalls partiell, in der negativen hingegen ganz betroffen ist. Weiterhin geht aus (UA L2) und (UN L2) hervor, dass das Subjekt einer universellen Aussage stets »distribuiert«, d.h. zur Gänze betroffen ist, während das Prädikat im affirmativen Fall partiell, im negativen Fall jedoch ebenfalls ganz betroffen ist. Darüber hinaus lassen sich durch die verbesserten Liniendiagramme nun auch die traditionellen Gesetze der Subalternation »beweisen« bzw. bestätigen. Aus der UA »folgt« die PA in dem Sinne, dass das Diagramm für die letztere, (PA L2), jenes für die bei den Varianten in den „Veteranea Elementa“ bzw. in den „Schèmes linéaires“) im Grunde entbehrlich.

412

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

erstere, (UA L2), als Spezialfall umfasst, nämlich den Fall, wo der nicht verstärkte Abschnitt der B-Linie »leer« ist. Analog »folgt« aus der UN die PN, insofern (UN L2) als Spezialfall von (PN L2) betrachtet werden kann, bei dem wiederum der nicht verstärkte Abschnitt der B-Linie »leer« ist. Zur Abrundung dieses Abschnittes werfen wir einen kurzen Blick auf die „Generales Inquisitiones“ von 1686, wo Leibniz auch mit doppelt bzw. verstärkt gezeichneten Linien experimentiert hatte. In den §§ 113–123 versuchte er zum einen, die Diagramme wahlweise für die Extensionen und die Intensionen der Begriffe zu konzipieren – dieses Problem wird in Absatz 4.4.3.4 noch näher erörtert. Zum anderen bereicherte er die Methode der Liniendiagramme um zwei graphische Hilfsmittel: Eine senkrechte Linie bezeichnet die Grenzen, außerhalb welcher sich die Terme nicht, aber innerhalb welcher sie sich unbeschadet der Begriffsbeziehung erstrecken können. So wie eine senkrechte Linie das Maximum bezeichnet, so bezeichnet eine doppelte waagrechte Linie das Minimum, d.h. das, was nicht unbeschadet der Begriffsbeziehung weggenommen werden kann […]. Anstelle der doppelten Linien ziehe ich eine verstärkte vor.5

Auf diese Weise entstanden die folgenden Diagramme6: 5 Vgl.

A VI, 4, 771/2: „Lineola perpendicularis significat limites ultra quos non possunt et intra quos possunt extendi termini salva propositione seu habitudine. Ut lineola perpendicularis significat maximum, ita duplex linea horizontalis significat minimum seu quod detrahi non potest salva habitudine […]. Pro duplici malo fortiorem.“ 6 Die Diagramme sind dem Text nicht mit völliger Gewissheit und Eindeutigkeit zu entnehmen, weil Leibniz sie zunächst für die Intensionen der Begriffe konzipiert hatte und glaubte, dass die extensionale Variante hieraus einfach durch Vertauschung der beiden Begriffe bzw. Linien hervorginge: „[…] itaque generaliter dici potest priorem repraesentationem a posteriore in eo saltem differe, quod lineae in figura transponantur“ (§ 123). Wegen der Symmetrie bzw. Konvertierbarkeit von PA und UN können die Diagramme aus §§ 114 + 120 unverändert übernommen werden; sie tauchen hier als (PA L3) und (UN L3) auf. Ferner transformierte Leibniz das zunächst

Kommentar

(UA L3) B C (PA L3) B C

413

(UN L3) B C (PN L3) B C

Leider gab Leibniz keinerlei Hinweis, welche Bedeutung die gepunkteten Linien haben sollen, die neben den normalen und den fetten Linien auftreten. Man wird aber annehmen dürfen, dass sie lediglich die Bereiche markieren, in denen überhaupt Elemente bzw. Individuen vorkommen könnten – damit werden sie aber im Prinzip entbehrlich. Lässt man sie der Einfachheit halber weg, so stimmen die resultierenden Diagramme mit den entsprechenden Varianten aus „De formae logicae comprobatione“ jedenfalls weitgehend überein. 4.4.3.3 Beim Beweis der Syllogismen gibt Leibniz sich anfangs größte Mühen, dem Leser die Bedeutung der einzelnen Elemente, die in die Linien- bzw. Kreisdiagramme einfl ießen, zu erklären. Am linken Rand stehen – durch einen senkrechten Strich säuberlich abgetrennt – die Kürzel A, E, I, bzw. O für die im Syllogismus vorkommenden Satzformen, die daneben in abstrakter Gestalt wiederholt werden. Die Liniendiagramme selber bestehen aus den waagerechten Linien für die drei Begriffe B, C, D, die in der Reihenfolge Major, Medius, Minor untereinander gezogen werden, sowie aus punktierten bzw. durchgezogenen senkrechten Linien, die jeweils zwei Begriffe (bzw. deren Linien) zu einer Aussage verknüpfen. Zur weiteren Verdeutlichung verbindet Leibniz bei Barbara die jeweiligen Begriffe (bzw. Linien) noch mit geschweiften Klammern. Außerdem hebt er beim Minorbegriff D durch Verdoppelung (bzw. Verstärkung) der Linie hervor, ob dieser zur Gänze (»distribuin § 113 gezeichnete intensionale Diagramm für die UA in das extensionale Schema (UA L3) und bemerkte: „Eodem modo repraesentatio particularis negativae est inversa prioris“ (§ 123). Das hier wiedergegebene (PN L3) wurde aus Leibniz‘ intensionalem Diagramm in § 121 durch Vertauschen der beiden Begriffe erzeugt.

414

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

iert«) oder nur zum Teil betroffen ist.7 Schließlich expliziert er die Beweiskraft der jeweiligen Diagramme, indem er an die jeweilige Konklusion im Nachhinein eine Erläuterung der Art „nämlich jedes D, welches ein C ist“ anhängte. Wie man den Streichungen im Manuskript entnehmen kann, hatte Leibniz ursprünglich geschrieben: „nämlich dasjenige D, welches in C“ ist. Um noch mehr Klarheit zu schaffen, präzisierte er dies nachträglich durch die quantifizierte Angabe ‚jedes D‘ oder ‚ein D‘. Bei Modi mit negativer Konklusion führt dies jedoch zu gewissen sprachlichen Härten. Z.B. lautet die Konklusion von Celarent „Kein D ist ein B“. Die hinzugefügte Erläuterung „nämlich jedes D, welches ein C ist“ würde nur dann passen, wenn die UN (gemäß dem Prinzip der Obversion) als „Jedes D ist nicht ein B“ paraphrasiert worden wäre.8 Noch unglücklicher erscheint die Rechtfertigung der Schlussfolgerung von Camestres: „Ergo Nullum D est B, nempe omne D quod non est C“. Bei wörtlicher Übersetzung hieße das ja: „Also: Kein D ist ein B, nämlich jedes D, welches nicht ein C ist“. Diese kaum verständliche Begründung wurde deshalb von uns etwas eigenmächtig wie folgt uminterpretiert: „Also: Kein D ist ein B, [weil] nämlich jedes D, welches nicht C ist, [a fortiori nicht B ist]“. Etwas irritierend erscheint gelegentlich auch die Erläuterung bei den Modi mit partikulärer Konklusion. Z.B. heißt es bei Darii: „Ein D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist“. Diese Begründung ist zwar der Sache nach korrekt, insofern aus der Prämisse, dass einige D C sind, mit der weiteren Prämisse, dass alle C B sind, folgt, dass einige D B sind, „nämlich jene D, welche C sind“. Leibniz‘ Formulierung „nämlich jedes D, welches C ist“ 7 Entsprechend

hatte schon Couturat (1901), S. 28 angemerkt: „Leibniz souligne ou double le segment affecté du petit terme, afi n d’indiquer si la conclusion est universelle ou particulière (selonque le petit terme est doublé en totalité ou en partie)“ 8 Dieses rein sprachliche Problem taucht entsprechend in der II. Figur bei Cesare und Camestres auf sowie in der IV. Figur bei Callentes.

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415

suggeriert aber, dass in der Konklusion alle D betroffen wären, d.h. dass der Minorbegriff »distribuiert« auftreten würde, was natürlich nicht der Fall ist.9 Verwandte Schwierigkeiten sind insbesondere in der Dritten Figur zu beobachten, wo der Mediusbegriff in beiden Prämissen als Subjekt auftritt. Leibniz will die Begründungen für die Konklusion ‚Ein D ist ein B‘ bzw. ‚Ein D ist nicht ein B‘ in der gleichen schematischen Form geben, wie er sie für die Figuren I und II gewählt hatte, d.h. mit Bezug auf die Minorprämisse. Um ein einleuchtendes Argument zu erhalten, müsste diese Prämisse aber zunächst konvertiert werden, damit D an die Subjektposition gelangt. Leibniz‘ Begründung z.B. von Darapti: Jedes C ist ein B Jedes C ist ein D Also: Ein D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist

wirkt ein bisschen gekünstelt. Überzeugender wäre eine Argumentation, bei der die stillschweigende Bezugnahme auf die Konversionsgesetze z.B. folgendermaßen expliziert wird: Also: Ein D ist ein B, denn da jedes C ein D ist, gibt es mindestens ein D, welches C ist, und jedes solche D ist ein B, weil es ein C ist.

Ein solcher Rekurs auf die Konversionsregeln erscheint vor allem beim Modus Disamis unverzichtbar. Aus den Prämissen ‚Ein C ist ein B‘ und ‚Jedes C ist ein D‘ folgt zwar logisch die Konklusion ‚Ein D ist ein B‘, doch die »schematischen« Rechtfertigungsversuche: (i) Also: Ein D ist ein B, nämlich jedes D, welches ein C ist bzw. (ii) Also: Ein D ist ein B, nämlich ein D, welches ein C ist

9 Ähnliches

gilt für Festino, Baroco der II. Figur sowie Darapti, Felapton, Datisi und Ferison der III. Figur.

416

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

wären zum Scheitern verurteilt. (i) ist unschlüssig, da ja nicht jedes D, welches ein C ist, eo ipso auch B sein müsste. Dies geht aus dem Diagramm Ein C ist ein B Jedes C ist ein D

B C D

unmittelbar hervor. Doch auch der Begründungsversuch (ii) wäre unschlüssig, denn betrachtet man (irgend)ein D, welches ein C ist, z.B. ein solches aus dem rechten Abschnitt der D-Linie, wo sie sich mit der C-Linie deckt, so ist nicht garantiert, dass es sich dabei um ein D handelt, welches ein B ist. Dieses Problem dürfte wohl auch Leibniz bewusst geworden sein, denn auf eine Begründung à la (i) oder (ii) hat er bei Disamis verzichtet. Eine überzeugende Argumentation ließe sich nur durch Rekurs auf die Regeln der Konversion angeben, etwa wie folgt: (iii)

Also: Ein D ist ein B, denn da gemäß der ersten Prämisse ein C ein B ist, ist nach Konv 1 umgekehrt ein B ein C, und damit ist wegen der zweiten Prämissen ein B ein D bzw. wegen Konv 1 ein D ein B.

In ähnlicher Weise muss man auch die von Leibniz versuchten Begründungen für die Modi Baralip IV und Dibatis IV als unzulänglich zurückweisen. Bei Dibatis wird dies besonders augenscheinlich: Ein B ist ein C Jedes C ist ein D

B C D Ein D ist ein B, nämlich ein D, welches ein C ist.

Notabene: Natürlich ist der Schluss logisch gültig, doch Leibniz‘ Rechtfertigung nach dem üblichen Schema „nempe quoddam D quod est C“ funktioniert hier nicht. Denn aus der bloßen Tatsache, dass es (wegen der 2. Prämisse) einige D gibt, welche C sind, folgt auch in Kombination mit der 1. Prämisse keineswegs, dass diese D, welche C sind, zugleich B sein müssten. Stattdes-

Kommentar

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sen wäre – wieder unter Rekurs auf Gesetze der Konversion – zu argumentieren: (iv)

Also: Ein D ist ein B, denn da gemäß der 1. Prämisse ein B ein C ist, welches wegen der 2. Prämisse auch ein D ist, ist umgekehrt (wegen Konv 1) ein D ein B.

Ungeachtet der hier herausgearbeiteten Schönheitsfehler lässt sich feststellen, dass Leibniz mit dieser Arbeit ein großer Wurf gelungen ist, der den Titel „De formae logicae comprobatione per linearum ductus“ vollauf verdient. Sowohl die »Eulerschen« Kreisdiagramme als auch die noch aussagekräftigeren Liniendiagramme bilden ein ausgereiftes Hilfsmittel, um die Gültigkeit syllogistischer Schlüsse zu überprüfen. Die »klassischen«, von der Tradition als gültig akzeptierten 19 Modi werden durch 19 verschiedene Kreisdiagramme bestätigt, und für den um die »subalternen« Modi erweiterten Komplex von 24 gültigen Syllogismen bietet der Text entsprechend 24 Liniendiagramme. Aus kombinatorischen Gründen existieren bekanntlich in jeder Figur 43 oder 64, also bei vier Figuren insgesamt 256 theoretisch mögliche Modi. Zieht man von dieser Zahl die der gültigen ab, bleiben insgesamt 232 ungültige Modi übrig, die man im Prinzip alle durch Liniendiagramme widerlegen könnte. Leibniz begnügte sich im vorliegenden Text damit, einen einzigen als ungültig nachzuweisen, nämlich den Modus A-O-O der Vierten Figur. In der Tat zeigt das Diagramm Jedes B ist ein C Ein C ist nicht D

B C D

eindeutig, dass bei Geltung der Prämissen A(B,C) und O(C,D) die fragliche Konklusion O(D,B) durchaus falsch werden kann; die D-Linie wurde ja so gezogen, dass A(D,B) erfüllt ist. Am Rande sei erwähnt, dass auch außerhalb der vorliegenden Abhandlung zumindest eine Textpassage existiert, wo Leibniz einen ungültigen Modus mit Hilfe eines Liniendiagramms

418

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

widerlegte. In der von Couturat sehr gekürzt edierten Handschrift LH IV, 6, 14, 3–4 liest man nämlich: Firemos ist ungültig, und in keiner Figur gibt es [einen gültigen] Modus IEO. Für die Vierte Figur widerlege ich das so. I(D,C), E(C,B) [also] O(B,D). Dies, so sage ich, folgt nicht. C

B D Denn wegen E(C,B) müssen die Linien [für C und B] so gezogen werden, dass kein Teil der einen mit einem Teil der anderen übereinstimmt. Ferner muss wegen I(D,C) [die Linie für] D so gezogen werden, dass ein Teil mit einem Teil [der Linie für] C übereinstimmt. Daraus sieht man schon, dass zwar ein Teil von D nicht mit B übereinstimmt [so dass also korrekt O(D,B) erschlossen werden könnte], aber [das umgekehrte O(B,D)] folgt nicht, denn man kann [die Linie für] D so zeichnen, dass das ganze B mit ihr übereinstimmt.10

Zur Abrundung dieses Themenkomplexes sei darauf hingewiesen, dass Leibniz die Liniendiagramme auch zum Anlass nahm, seine Konzeption der vollkommenen bzw. unvollkommenen Modi zu illustrieren. Ein Syllogismus ist erstens dann unvollkommen, wenn er »weniger« erschließt, als er eigentlich könnte, d.h. wenn er eine partikuläre Konklusion besitzt, obwohl aus den Prämissen das universelle Pendant folgen würde. Von solch unvollkommenen (gelegentlich auch als »subaltern« bezeichneten) Modi gibt es insgesamt fünf. Ein zweiter Typ von Unvollkommenheit liegt dann vor, wenn für die tatsächlich

10 Vgl.

LH IV, 6, 14, 3: „Firemos falsum est, et in nulla Figura datur IEO. In quarta sic refuto. IDC. ECB. OBD. Ajo id non sequi. […] Nam ob ECB debent rectae ita collocari, ut nulla pars unius parti alterius respondeat; porro ob IDC, debet D ita collocari, ut pars ejus respondeat ipsi C. Videamus jam in hinc sequatur quandam partem ipsius [D] non respondere ipsi [B], sed patet non sequi, possem enim D sic producere ut tota B ipsi respondeat.“ Das in diesem Zitat ausgelassene Liniendiagramm fi ndet sich in C., 204.

Kommentar

419

gefolgerte Konklusion eine »schwächere« Prämisse (d.h. eine partikuläre anstelle einer universellen) genügen würde, als im Syllogismus angenommen wird. Von dieser Sorte gibt es weitere vier. Wir stoßen hier also auf drei wichtige Kernzahlen: 24 – 19 – 15, die uns auch in den „Schedae de novis formis …“ (Abschnitt 4.5) noch beschäftigen werden. Zur Erinnerung: Die Tradition ging in aller Regel davon aus, dass es nur 19 gültige Modi geben würde. Leibniz selber war immer stolz darauf, durch Hinzunahme der fünf »subalternen« Modi die Anzahl der gültigen auf 24 erhöht zu haben, denn so entstand eine Symmetrie von je sechs gültigen Modi in jeder der vier Figuren. Von diesen 24 sind jedoch nur 15 »vollkommen«. 4.4.3.4 Ab Seite 396 bzw. 397 wendet sich Leibniz einer intensionalen Betrachtungsweise zu und versucht, Liniendiagramme für die Intensionen der Begriffe zu konstruieren. Für die UA ‚Jedes B ist ein C‘ zeichnet er zunächst das Schema (UA IL)

B C

welches aus dem üblichen extensionalen Diagramm einfach durch Vertauschen der beiden Begriffe (bzw. ihrer Linien) vervorgeht: (UA EL)

B C

Dieses Vorgehen beruht auf der Reziprozität von Extension und Intension und wurde (bereits11) in den „Generales Inquisitio11 Die

Annahme, dass „De formae logicae comprobatione“ frühestens 1690, also nach den „Generales Inquisitiones“ entstanden ist, beruht auf der von der Münsteraner Leibniz-Forschungsstelle angewandten Methode der Wasserzeichen. Eine solche Hypothese ist natürlich nie absolut sicher. Burkhardt (1980: S. 23) datiert „De formae logicae comprobatione …“ auf 1686, ohne freilich Belege oder Indizien zu nennen. Er folgt mit seiner Vermutung der Einschätzung von Kauppi, die in (1960: S. 184) behauptet hatte,

420

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

nes“ mit eben dieser Rechtfertigung durchexerziert: So wie die Menge aller Menschen in der Menge aller Lebewesen enthalten ist, so enthält umgekehrt die »Idee« des Menschen jene des Lebewesens. Als nächstes versucht Leibniz, das Diagramm (UA IL) plausibel zu machen, indem er die beiden Abschnitte der B-Linie, die ja insgesamt die Intension von ‚Mensch‘ repräsentieren soll, in die Intensionen der Begriffe ‚Lebewesen‘ und ‚so und so beschaffen‘ aufteilt. Dies ist jedoch aus mehreren Gründen untauglich. Erstens handelt es sich bei dem Ausdruck ‚so und so beschaffen‘ – im Original „tale“ – um gar keinen echten Begriff, sondern lediglich um eine Begriffsvariable, die im Leibnizschen Kalkül ansonsten durch einen Buchstaben aus dem Ende des Alphabets (wie z.B. Y) symbolisiert wird. Ein »unbestimmter Begriff« Y besitzt aber als solcher überhaupt keine konkrete Bedeutung, drückt keine konkrete Idee aus und besitzt deshalb auch keine konkrete Intension. Deshalb wäre es auf jeden Fall notwendig, zu der ursprünglichen Form des Diagramms (UA IL) zurückzukehren. Wie der textkritische Apparat zeigt (und wie auch schon Couturat anmerkte)12, hatte Leibniz anstelle von ‚tale‘ vorher ‚rationale‘ geschrieben. Da der Begriff ‚Mensch‘ mit dem Begriff ‚vernunftbegabtes Lebewesen‘ zusammenfällt, liegt es nahe, die Intensionen der drei Begriffe wie folgt zu arrangieren: Lebewesen

vernunftbegabt

B (Mensch) C (Lebewesen)

Es ist aber keineswegs garantiert, dass dieser Ansatz allgemein funktioniert, d.h. dass man die Intension eines konjunktiven Begriffs CD in einem Liniendiagramm einfach dadurch reprä-

dass die fragliche Arbeit „offensichtlich aus derselben Zeit wie Generales Inquisitiones“ stammt. 12 Vgl. C., 300, Fn. 2: „Leibniz a substitué «tale» à «rationale».“

Kommentar

421

sentieren kann, dass man die einzelnen Intensionen von C und D »addiert« bzw. aneinanderreiht. Dass mit den intensionalen Diagrammen ernsthafte Schwierigkeiten verbunden sind, wird jedenfalls auch Leibniz schnell deutlich, wenn er sich der PA zuwendet. In § 114 der „Generales Inquisitiones“ hatte er hierfür das Diagramm (PA IL)

B C

ausprobiert, welches im Wesentlichen mit dem extensionalen Diagramm der PA übereinstimmt.13 In der Tat, wenn man generell die intensionalen Diagramme aus den extensionalen einfach dadurch gewinnen dürfte, dass die beiden Begriffe vertauscht werden, so müssten sie im Falle von PA und UN übereinstimmen, denn: Die partikulär affi rmative und die universell negative Aussage werden auf dieselbe Art wie vorher repräsentiert, da es egal ist, welche [Begriffe bzw. Linien] voran und welche nachgestellt werden. (§ 123 GI)

Doch das Diagramm (PA IL) ist offenkundig inadäquat. Zum Beispiel überschneiden sich die Intensionen der Begriffe ‚Hund‘ und ‚Katze‘, weil beide u.a. den Begriff ‚Haustier‘ enthalten. Aber die Aussage ‚Einige Hunde sind Katzen‘ ist selbstverständlich falsch. Vermutlich war sich Leibniz dieser Problematik bewusst, als er in „De formae logicae comprobatione“ die PA „Ein Mensch ist ein Weiser“ betrachtete und bemerkte, dass „diese Aussage für eine begriffsmäßige Darstellung jedoch in eine andere Form gebracht werden“ müsse, nämlich in die Gestalt der Negation der korrespondierenden UN. Wenn (UA IL) korrekt die intensionalen Begriffsverhältnisse einer UA repräsentiert, dann bietet sich ja generell die Strategie an, die Diagramme für die drei übrigen 13 Wie

weiter oben erläutert wurde, bleibt hier lediglich die Bedeutung der punktierten Linien, die z.B. in (PA L1) nicht vorkommen, unklar.

422

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Satzformen gemäß den Prinzipien der Obversion und Opposition herzuleiten. Die UN ‚Kein B ist ein C‘ transformiere man in eine UN mit negativem Prädikat, ‚Jedes B ist nicht C‘, und die partikulären Satzformen entsprechend als deren Negationen. Diesem Gedanken folgend versucht Leibniz, in einer Tabelle die vier Satzformen als Gleichungen bzw. Ungleichungen mit Hilfe des »unbestimmten Begriffs« ‚So und so beschaffen‘ darzustellen. Geht man von seinen konkreten Beispielen (mit den Begriffen Mensch, Lebewesen, Weise und Stein) zu den abstrakten Satzformen über, so ergeben sich folgende Formeln: UA PN UN PA

A(B,C) O(B,C) E(B,C) I(B,C)

B = YC B ≠ YC B = Y~C B ≠ Y~C.

Dabei muss der »unbestimmte Begriff« Y innerhalb der universellen Satzformen so verstanden werden, dass er jeweils durch einen Existenzquantor abgebunden ist. Dass z.B. der Begriff des Menschen den Begriff des Lebewesens enthält, kann man ja nicht nur durch die Gleichung ‚Mensch‘ = ‚vernunftbegabtes Lebewesen‘ ausdrücken, sondern äquivalent auch durch die Behauptung, dass es einen so-und-so-beschaffenen Begriff Y gibt, so dass ‚Mensch‘ = ‚Y Lebewesen‘: ∃Y(M = YL). Analog lässt sich die UN ‚Kein Mensch ist ein Stein‘ bzw. ‚Jeder Mensch ist ein Nicht-Stein‘ intensional durch die Bedingung wiedergeben, dass es einen so-und-so-beschaffenen Begriff Z gibt, so dass ‚Mensch‘ = ‚Z Nicht-Stein‘: ∃Z(M = Z~S). Da die PN die Negation der UA darstellt, ändert sich der Charakter des »unbestimmten Begriffs« Y jedoch von einem (verkappten) Existenzquantor zu dem eines (verkappten) Allquantors: ∀Y(M ≠ YL). Und entsprechend muss die Formel für die PA genauer als ∀Z(M ≠ Z~S) verstanden werden. Diese Explikation und Präzisierung des obigen Schemas macht aber zugleich deutlich, dass es äußerst schwierig sein dürfte, diese Bedingungen durch Liniendiagramme zu repräsentieren. Erstens ist, wie bereits im Zusammenhang mit

Kommentar

423

dem Beispiel ‚Mensch‘ = ‚vernunftbegabtes Lebewesen‘ betont wurde, keineswegs klar, ob man die Intension konjunktiver Begriffe durch simple »Addition« der korrespondierenden Linien wiedergeben kann. Zweitens erscheint es noch unklarer, wie sich die Intensionen negativer Begriffe in einem Liniendiagramm darstellen lassen.14 Drittens bleibt vollkommen ungeklärt, wie man die (für die partikulären Satzformen notwendige) Verschiedenheit der Intension von B von allen Intensionen der Begriffe YC (bzw. Y~C) durch Liniendiagramme repräsentieren sollte. Von daher verwundert es nicht, dass Leibniz seinen Versuch der Konstruktion intensionaler Diagramme unvermittelt abgebrochen hat. Entsprechend hatte bereits Couturat darauf hingewiesen, dass es Leibniz in „De formae logicae comprobatione“ nicht einmal gelungen sei: […], die vier klassischen Satzformen [in Diagramme] zu übersetzen, geschweige denn die syllogistischen Modi […]. Dieses Scheitern ist bedeutsam und beweist, dass alleine der extensionale Standpunkt einen geometrischen Schematismus unterstützt.15

Couturat ging dann noch näher auf den verwandten Versuch aus den „Generales Inquisitiones“ ein, wo Leibniz vermutet hatte, die intensionalen Diagramme entstünden aus den extensionalen einfach durch Vertauschen der beiden Begriffe. Couturat widerlegte diese Annahme durch folgendes Gegenbeispiel. Stellt man den Modus Celarent gemäß Leibniz‘ Hypothese »intensional« dar, so würde der an sich gültige Schluss durch das Diagramm: 14 So

wurde auch schon von Kauppi (1960: S. 190) moniert, dass bei Leibniz jegliche „Regel fehlt, welche die Darstellung der Termini A und non-A in derselben Figur [d.h. in einem intensionalen Liniendiagramm] ermöglichen würde“ 15 Vgl. Couturat (1901), S. 30: „Mais il ne réussit pas même à traduire ainsi les quatre propositions classiques, encore moins les modes syllogistiques, et il paraît y renoncer. Cet échec est significatif, et prouve que le point de vue de l’extension seul comporte le schématisme géométrique.“

424

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Kein C ist ein D Jedes B ist ein C Kein B ist ein D

Also

B C D

als ungültig nachgewiesen, denn hier sind ja offensichtlich einige B D. Sanchez-Mazas meinte jedoch, „dass Couturat bei seiner Argumentation ein Fehler unterlaufen ist, der seine Folgerungen als verfrüht, wenn nicht als überhaupt unbegründet erweist“.16 Ch. Th iel schloss sich dieser Kritik an und warf Couturat vor, dass im obigen Diagramm zwar die Repräsentation von ‚Jedes B ist C‘ mit Leibniz‘ Vorstellungen konform ginge, dass aber bei der Darstellung von ‚Kein C ist ein D‘ Couturat keine „Dualisierung durchgeführt, sondern einfach die extensionale Deutung übernommen“ habe.17 Couturat hätte stattdessen das Diagramm für die UN übernehmen sollen, wie Leibniz es in „De formae logicae comprobatione“ in Betracht gezogen hatte. Dieser Einwand zielt aber weitgehend ins Leere. Couturat’s Gegenbeispiel war ja explizit gegen den Ansatz aus den „Generales Inquisitiones“ gemünzt, und dort hatte Leibniz unmissverständlich behauptet, sowohl für die UA als auch für die UN würden die intensionalen Diagramme aus den extensionalen (bzw. umgekehrt die extensionalen aus den intensionalen) dadurch hervorgehen, dass man die Begriffe (bzw. ihre Linien) einfach vertauscht. Th iels Kritik kann man deshalb allenfalls als Vorschlag gutheißen, sich ernsthafter mit Leibniz‘ alternativem Ansatz aus „De formae logicae comprobatione“ zu beschäftigen, wo z.B. die Aussage ‚Kein Mensch ist ein Stein‘ intensional wie folgt repräsentiert werden sollte: Nicht-Stein So und so beschaffen B (Mensch) C (Nicht-Stein) 16 Vgl.

Sanchez-Mazas (1979), S. 381. Das Zitat selber stammt aus Th iel (1979), S. 18. 17 Vgl. Th iel (1979), S. 18.

Kommentar

425

Tatsächlich versuchte Th iel, diesen Gedanken zu einem eigenen System von „Pfahldiagrammen“ weiter zu entwickeln. Einige Jahre später musste er jedoch das Scheitern seines Ansatzes eingestehen.18 Nach gründlicher Analyse kam er zu dem Schluss, dass die Probleme in den „fundamentalen Merkmalen der intensionalen Interpretation der Leibnizschen Diagramme“ verankert sei, deren grundsätzliche Inadäquatheit auch schon von R. Kauppi nachgewiesen worden sein soll.19 Th iel beendete seine Überlegungen wie folgt: Whatever the chances for a consistent reformulation of the intensional approach to assertoric syllogistic, its structure and mechanisms will have to be much more complex and sophisticated than those of the methods and devices we have considered so far. (Th iel 1991, S. 368)

Diese Skepsis mag in Hinblick auf die Möglichkeit intensionaler Liniendiagramme durchaus berechtigt sein. Was hingegen die allgemeinere Frage einer konsistenten Rekonstruktion der intensionalen Logik betrifft, so ist diese nicht erst seit der Veröffent18 Vgl.

Th iel (1991), S. 365: „[…] the stake diagrams are inadequate as criteria for the validity of syllogistic modi, as was fi rst pointed out to me by Professor Gereon Wolters of the University of Constance in a letter 27 March, 1980“. 19 Kauppi ging nämlich in (1990) davon aus, dass angesichts der Reziprozität von Extension und Intension der Begriffe auch die Diagramme ein Merkmal der „Inversion“ bzw. der „Umkehrung des Standpunktes“ aufweisen müssten. „Die wesentliche Schwierigkeit dabei liegt in der Darstellung der Negation. Die extensionalen Diagramme müssen ausdrücken, dass der Umfang eines Begriffs und der seiner Negation […] ohne gemeinsame Individuen sind […]. Will man eine Inversion durchführen, muss man darstellen, dass zwei miteinander unvereinbare Begriffe, z.B. ein Begriff und seine Negation, keinen gemeinsamen Enthaltenden haben. […] Ein solcher Sachverhalt kann weder mit den Eulerschen Kreisen noch mit den Leibnizschen Liniendiagrammen adäquat abgebildet werden“ (S. 276). Wenig später diagnostiziert Kauppi den eigentlichen Knackpunkt wie folgt: „Es ist klar, dass zwei miteinander unvereinbare Begriffe denselben Begriff enthalten können, wie z.B. die Begriffe ‚rot‘ und ‚blau‘ den Begriff ‚farbig‘.“

426

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

lichung von Das System der Leibnizschen Logik im Jahre 1990 positiv entschieden, sondern bereits seit dem Erscheinen von Lenzen (1983b), d.h. der Abhandlung „Zur extensionalen und »intensionalen« Interpretation der Leibnizschen Logik“.

428

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4.5.1 Aus „Schedae de novis formis syllogisticis“1 FIG. I Barbara vel Barbari O. B est C O. A est B

{ {

C B A

O. A est C vel Q. A est C

{ {

C B A

N. A est C vel Q. A non est C

{ {

C B A

Q. A est C

{ {

C B A

Q. A non est C

Celarent vel Celaro N. B est C O. A est B Darii vel Barbari O. B est C Q. A est B Ferio vel Cesaro N. B est C Q. A est B

FIG. II Cesare vel Cesaro N. C est B O. A est B

{ {

C B A

N. A est C vel Q. A non est C

C B A

N. A est C vel Q. A non est C

Camestres vel Camestros O. C est B N. A est B

1 Ediert

{ {

nach der Handschrift LH IV, 6, 15, 7–8; vgl. den stark gekürzten Abdruck in C., 209–210 sowie die Edition in Mugnai (2010).

„Neue syllogistische Schlussweisen“

429

4.5.2 Aus „Neue syllogistische Schlussweisen“ FIGUR I Barbara bzw. Barbari Jedes B ist C Jedes A ist B

{ {

C B A

Jedes A ist C bzw. Ein A ist C

{ {

C B A

Kein A ist C bzw. Ein A ist nicht C

{ {

C B A

Ein A ist C

{ {

C B A

Ein A ist nicht C

Celarent bzw. Celaro Kein B ist C Jedes A ist B Darii bzw. Barbari Jedes B ist C Ein A ist B Ferio bzw. Cesaro Kein B ist C Ein A ist B

FIGUR II Cesare bzw. Cesaro Kein C ist B Jedes A ist B

{ {

C B A

Kein A ist C bzw. Ein A ist nicht C

C B A

Kein A ist C bzw. Ein A ist nicht C

Camestres bzw. Camestros Jedes C ist B Kein A ist B

{ {

430 2

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Festino

N. C est B Q. A est B

{ {

C B A

Q. A non est C

{ {

C B A

Q. A non est C

3

Baroco

O. C est B Q. A non est B

Ex Festino sequitur Cesaro sed mutandum est nonnihil Baroco Camestros schema, et limitandus terminus A.

{

FIG. III Disamis

4

Q. B est C O. B est A

{ {

C B A

Q. A est C

Ex Disamis fit Darapti si illimitatus C producetur minimum quantum B. Darapti O. B est C O. B est A

{ {

C B A

Q. A est C

{ {

C B A

Q. A non est C

Bocardo 5 Q. B non est C O. B est A

Ex Bocardo fit Felapton si exclusio fiat universalis retracto limite ipsius C. 2 (1)

Festino, vel Cesaro (2) transit in Cesaro si limitetur A (3) Festino Baroco vel Camestros (2) Baroco 4 /vel Darapti streicht L/ 5 /vel Felapton streicht L/ 3 (1)

„Neue syllogistische Schlussweisen“

431

Festino Kein C ist B Ein A ist B

{ {

C B A

Ein A ist nicht C

{ {

C B A

Ein A ist nicht C

Baroco Jedes C ist B Ein A ist nicht B

Aus Festino folgt Cesaro und aus Baroco folgt Camestros, doch dabei ist das Schema ein wenig zu ändern und der Begriff A muss begrenzt werden. FIGUR III Disamis Ein B ist C Jedes B ist A

{ {

C B A

Ein A ist C

Aus Disamis entsteht Darapti, wenn die unbegrenzte Linie C mindestens so weit wie B gezogen wird. Darapti Jedes B ist C Jedes B ist A

{ {

C B A

{ {

C B A

Ein A ist C

Bocardo Ein B ist nicht C Jedes B ist A

Ein A ist nicht C

Aus Bocardo entsteht Felapton, wenn das Sich-Ausschließen [von B und C] universell gilt, indem die Grenze der C-Linie [nach rechts über die Grenze von B] zurückgezogen wird.

432

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Felapton N. B est C O. B est A

{ {

C B A

Q. A non est C

{ {

C B A

Q. A est C

Datisi 6 O. B est C Q. B est A

Ex Datisi fit Darapti si A7 illimitatus producatur minimum quantum B. Ferison vel Felapton N. B est C Q. B est A

C B A

{ {

Q. A non est C

Eodem modo ex Ferison fit Felapton. FIG. IV Cadere vel Cadero O. C est B N. B est A

{ {

C B A

{ {

C B A

N. A est C vel Q. A non est C

Fedibo 8 N. C est B Q. B est A

Ex Fedibo9 fit Fegano eodem modo.

 6 /vel

Darapti streicht L/  7 (1) limitatur (2) illimitatus  8 /vel Fegano streicht L/  9 (1) (2) fit …

Q. A non est C

„Neue syllogistische Schlussweisen“

433

Felapton Kein B ist C Jedes B ist A

{ {

C B A

Ein A ist nicht C

{ {

C B A

Ein A ist C

Datisi Jedes B ist C Ein B ist A

Aus Datisi entsteht Darapti, wenn die unbegrenzte Linie für A mindestens so weit wie B gezogen wird. Ferison bzw. Felapton Kein B ist C Ein B ist A

C B A

{ {

Ein A ist nicht C

Auf die gleiche Weise entsteht aus Ferison Felapton. FIG. IV Cadere bzw. Cadero Jedes C ist B Kein B ist A

{ {

C B A

{ {

C B A

Kein A ist C bzw. Ein A ist nicht C

Fedibo Kein C ist B Ein B ist A

Ein A ist nicht C

Aus Fedibo entsteht auf die gleiche Weise Fegano.

434

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

10

Fegano

N. C est B O. B est A

{ {

C B A

Q. A non est C

{ {

C B A

Q. A est C

Digami11 Q. C est B O. B est A

Ex Digami fit Balani si C limitetur ut non possit egredi B. Balani O. C est B O. B est A

{ {

C B A

Q. A est C

Barbara Celarent primae Darii Ferioque Cesare Camestres Festino Baroco secundae Tertia grande sonans edit Darapti Felapton Adjungens Disamis Datisi Bocardo Ferison Cadere Fedibo Fegano Digami Balani quart.

Haec ordine disponenda essent schemata quo in versibus locantur modi. Prodibunt Schemata 19, quot modi. Giessae nuper (1715 haec scribo) Triangulum Logicum edidit. Habemus O. A est B Q. A est B N. A est B Omne A est B Quoddam A est B Nullum A est B

Superest Quoddam A non est B, quod aliqua nota similis … exprimendum esset, ut fieret … A est B. Posset novum formari pronomen Haudum, Haujusdum, Hauidum, etc. Haudum erit idem quod haud omne. Itaque pro Quoddam A non est B scribemus H. A est B.

10 (1)

(2) Fegino L/ Fegano korr. Hrg. Balani streicht L/

11 /vel

„Neue syllogistische Schlussweisen“

435

Fegano Kein C ist B Jedes B ist A

{ {

C B A

Ein A ist nicht C

{ {

C B A

Ein A ist C

Digami Ein C ist B Jedes B ist A

Aus Digami entsteht Balani, wenn die Linie für C so begrenzt wird, dass sie nicht über die von B hinausreichen kann. Balani Jedes C ist B Jedes B ist A

{ {

C B A

Ein A ist C

Barbara, Celarent, Darii und Ferio in der Ersten Figur Cesare, Camestres, Festino und Baroco in der Zweiten Die groß klingende Dritte ergibt Darapti und Felapton unter Hinzufügen von Disamis, Datisi, Bocardo und Ferison Cadere, Fedibo, Fegano, Digami und Balani in der Vierten.

In der Reihenfolge, wie die Modi in den Versen genannt werden, wären die Diagramme anzuordnen. Es ergeben sich so 19 Diagramme, ebenso viele wie Modi. In Giessen hat [jemand] neulich (ich schreibe dies 1715) das „Triangu lum Logicum“ herausgegeben. Wir haben

J. A ist ein B Jedes A ist ein B

E. A ist ein B Ein A ist ein B

K. A ist ein B Kein A ist ein B

Somit bleibt ‚Ein A ist nicht ein B‘ übrig, das mittels eines ähnlichen Zeichens … auszudrücken wäre, so dass sich ergibt: … A ist ein B. Man könnte einen neuen Ausdruck ‚Ñedes‘ (‚ñede‘, ‚ñeder‘, usw.) bilden. ‚Ñedes‘ bedeutet so viel wie ‚nicht jedes‘. Deshalb schreiben wir statt ‚Ein A ist nicht B‘: ‚Ñedes A ist B‘.

436

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

12

In prima Fig. non datur praemissa particularis negativa. Modi13 non necessarii sunt, qui ex modis ejusdem figurae sola subsumtione fluunt. Et hi sunt duplicis generis; alia enim oriuntur, dum14 pro conclusione universali substituitur particularis, ut in prima Barbari, Celaro, pro Barbara, Celarent; in secunda Cesaro, Camestros, pro Cesare, Camestres. In quarta Cadero pro Cadere.15 Hi non variant schema. Alii oriuntur, dum in praemissa pro particularis substituitur universalis, nam quod ex particulari sequitur, magis etiam sequitur ex universali. Sic in prima Barbari ex Darii, Celaro ex Ferio; in secunda Cesaro ex Festino, Camestros ex Baroco;16 in tertia Darapti ex Disamis vel ex Datisi, Felapton ex Bocardo vel ex Ferison; in quarta Fegano ex Fedibo, Balani ex Digami. Hinc modi17 necessarii sunt 15, nempe in prima, secunda, tertia quatuor, in quarta tres.18 Modi ob conclusionem non necessarii non variant schema; sed modi ob praemissas non necessarii variant. Modi ob conclusionem non necessarii sunt quinque, duo in prima, duo in secunda, unus in quarta. Modi ob praemissas non necessarii sunt quatuor,19 duo in tertia et duo in quarta. Ergo sunt Schemata 19. Modi quartae Cadere, Digami, Balani oriuntur ex prima transpositione praemissarum et conversione conclusionis. Caeteri quorum conclusio non est convertibilis oriuntur ex 2da & 3tia per conversionem alterius praemissarum.

12 /In

prima /Fig. erg L/non datur … negativa erg. L/ 13 (1) superflui (2) non necessarii 14 (1) ex (2) pro 15 /Hi … schema erg. L/ 16 (1) in tertia Darapti ex Disamis (2) in … 17 (1) non superflui (2) necessarii 18 (1) Omnes modi quartae excepto Fedibo oriuntur ex prima (a) mod (b) Ergo (ba) modi (bb) Sche (bricht ab) (2) Modi ob (a) praemissas (b) conclusionem … 19 (1) in (2) duo

„Neue syllogistische Schlussweisen“

437

In der Ersten Figur gibt es keine partikulär negative Prämisse. Jene Modi sind nicht-notwendig, die aus einem Modus derselben Figur alleine durch Subalternation folgen. Davon gibt es zwei Arten. Einige entstehen nämlich, indem man die universelle Konklusion durch eine partikuläre ersetzt wie in der Ersten Figur Barbari und Celaro statt Barbara und Celarent; in der Zweiten Cesaro und Camestros statt Cesare und Camestres; in der Vierten Cadero statt Cadere. Hierbei ändern sich die Liniendiagramme nicht. Andere nicht-notwendige Modi entstehen, wenn in einer Prämisse eine partikuläre Aussage durch eine universelle ersetzt wird, denn was aus einer partikulären Aussage folgt, folgt umso mehr aus einer universellen. Auf diese Weise geht in der Ersten Figur Barbari aus Darii hervor, Celaro aus Ferio; in der Zweiten Cesaro aus Festino, Camestros aus Baroco; in der Dritten Darapti aus Disamis bzw. aus Datisi und Felapton aus Bocardo bzw. aus Ferison; in der Vierten Fegano aus Fedibo und Balani aus Digami. Also gibt es 15 notwendige Modi, nämlich je vier in der Ersten, Zweiten und Dritten Figur und drei in der Vierten. Die Modi, die wegen der abgeschwächten Konklusion nicht-notwendig sind, verändern das Liniendiagramm nicht; aber die Modi, die wegen der verstärkten Prämisse nicht-not wendig sind, tun dies. Von den Modi, die wegen der Konklusion nicht-notwendig sind, gibt es fünf: Zwei in der Ersten, zwei in der Zweiten und eine in der Vierten Figur. Von den Modi, die wegen der Prämisse nicht-notwendig sind, gibt es vier: Zwei in der Dritten und zwei in der Vierten Figur. Also gibt es 19 verschiedene Liniendiagramme. Die Modi Cadere, Digami und Balani der Vierten Figur entstehen aus der Ersten durch Umstellen der Prämissen und Konversion der Konklusion. Die anderen, deren Konklusion nicht konvertiert werden kann, entstehen aus der Zweiten und Dritten Figur durch eine Konversion einer Prämisse.

438

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

Cum occurrunt20 in praemissis universales negativ[ae], utrumque termi num simpliciter limitare oportet; cum occurrit in praemissis universalis affi r mativa, saltem subjectum producibile limitare oportet; major vel minor terminus particularis non opus habet limitatione. Major vel minor terminus qui est praedicatum propositionis affi rmativae non habet opus limitatione. 21 Termini qui non est limitatus partem locare potes etiam alibi, etsi22 parti jam posita non connectatur, seu, etsi linea sit interrupta, inservit ad refutandum. Itaque omittandae limitationes non necessariae. 23Omnis ter minus propositionis negativae est limitatus, praedicatum propositionis par ticularis negativae est limitatum. Subjectum praedicationis universalis affi r mativae est limitatum. Omne subjectum propositionis particularis est illimitatum. Omne praedicatum propositionis affi rmativae est illimitatum. Omne praedicatum propositionis negativae est limitatum. Solae hic spectantur praemissae; eae constant ex medio termino et ex extremis.24 Extremi termini non nisi unam praemissam ingrediuntur. Itaque in illis non est difficultas. 25 In modis necessariis nunquam evenit ut medius simul sit terminus propositionis26 universalis negativae, et subjectum propositionis universalis affi rmativae; neque ut sit simul sub20 /in

praemissis erg. L/ universales /negativa L/negativae korr. Hrg/ (1) linea (2) lineas (3) uterque … 21 (1) Terminus (2) Termini 22 (1) pro (2) et (3) parti 23 /Omnis … universalis (1) affi rmativae (2) negativae … est limitatum/ erg. L 24 (1) Cum medius (2) Extremi /ergo streicht L/ termini non nisi (a) semel occurrunt; (ab) si occurrunt (ab) si extremus terminus est in propositione universali negativa, limitandus est sive sit subjectum, sive praedicatum. Si sit /praedicatum erg. L/ in propositione particulari negativa est limitatum. Subjectum (b) unam praemissam ingrediuntur. 25 (1) Medius (2) In … 26 /universalis erg. L/

„Neue syllogistische Schlussweisen“

439

Wenn in den Prämissen universell negative Aussagen vorkommen, dann ist es angebracht, einfach beide Begriffe zu begrenzen. Wenn in den Prä missen eine universell affi rmative Aussage vorkommt, dann ist es angebracht, zumindest das Subjekt in herzustellender Weise zu begrenzen. Ein partikulärer Major- oder Minorbegriff bedarf keiner Begrenzung. Wenn der Major- oder Minorbegriff Prädikat einer affi rmativen Aussage ist, bedarf er keiner Begrenzung. Den Teil eines nicht begrenzten Begriffs kann man auch woanders hin setzen, und auch wenn er mit dem bereits gesetzten Teil nicht verbunden ist, d.h. wenn die Linie unterbrochen ist, dient er dennoch für eine Widerlegung. Deshalb sollten alle unnötigen Begrenzungen weggelassen werden. Jeder Begriff einer UN ist begrenzt; das Prädikat einer PN ist begrenzt; das Subjekt einer universell affi rmativen Prädikation ist begrenzt. Jedes Subjekt einer partikulären Aussage ist unbegrenzt. Jedes Prädikat einer affi rmativen Aussage ist unbegrenzt. Jedes Prädikat einer negativen Aussage ist begrenzt. Hier werden nur die Prämissen betrachtet; sie bestehen aus dem Mediusbegriff und einem der äußeren Begriffe. Die äußeren Begriffe gehen in jeweils nur eine Prämisse ein. Deshalb gibt es bei ihnen keine Schwierigkeiten. Bei den notwendigen Modi passiert es nie, dass der Medius zugleich als beliebiger Begriff [d.h. Subjekt oder Prädikat] einer UN und als Subjekt einer UA auftritt. Und es passiert auch

440

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

jectum propositionis universalis affi rmativae,27 et praedicatum propositionis negativae. Seu generaliter in modis necessariis nunquam evenit ut medius28 ob binas praemissas debeat limitari. Invenio etiam medium semper limitari. Itaque vel est terminus propositionis negativae, vel subjectum universalis affi rmativae. Sed in modis non necessariis tertiae29 et quartae contingere potest ut sit bis ex diversa praemissa limitandus; et quidem in Darapti bis limitatur quia bis est subjectum propositionis universalis affi rmativae. In Felapton tertiae et Fegano quartae bis limitatur, quia simul est terminus propositionis30 universalis negativae, et subjectum universalis affi rmativae. Potest syllogismus esse compositus plurium mediorum si supprimatur conclusio31 prosyllogismi tanquam in praemissis virtualiter contenta. Itaque procedit hic syllogismus compositus. Omne B est C. Omne A est B. Omne D est A. Ergo Omne D est C. Hic omnes termini sunt limitati praeter C. Dazu am Rande das Diagramm: Omne B est C Omne A est B [Omne A est C] Omne D est A Omne D est C

C B A D

} } }

In tali schemate patet non esse32 necesse suppleri conclusionem. Utile erit combinationes syllogismorum adhiberi ex exemplis Autorum.

27 /et

streicht Hrg./ praedicatum propositionis /universalis streicht L/ negativae 28 (1) (2) ob (3) ob binas (a) diversas rationes (b) praemissas 29 /Darapti et Felapton streicht L/ 30 /universalis erg. L/ 31 (1) syll (2) prosyllogismi 32 (1) supplendum (2) necesse suppleri

„Neue syllogistische Schlussweisen“

441

nicht, dass er das Subjekt einer UA und zugleich das Prädikat einer negativen Aussage ist. D.h. ganz allgemein passiert es bei den notwendigen Modi nie, dass der Medius wegen beider Prämissen begrenzt werden müsste. Ich denke mir auch aus, dass der Medius immer begrenzt wird. Deshalb ist er ein beliebiger Begriff einer negativen Aussage oder das Subjekt einer UA. Bei den nicht-notwendigen Modi der Dritten und Vierten Figur kann es jedoch passieren, dass der Medius wegen der verschiedenen Prämissen zweimal begrenzt werden muss; und zwar wird er in Darapti zweimal begrenzt, weil er zweimal das Subjekt einer UA ist. In Felapton der Dritten und in Fegano der Vierten Figur wird er zweimal begrenzt, weil er zugleich beliebiger Begriff einer UN und Subjekt einer UA ist. Ein Syllogismus kann auch aus mehreren Mediusbegriffen zusammengesetzt sein, wenn die Konklusion des Prosyllogismus, der in den Prämissen quasi virtuell enthalten ist, unterdrückt wird. Deshalb gelingt dieser zusam mengesetzte Syllogismus: Jedes B ist ein C. Jedes A ist ein B. Jedes D ist ein A. Also: Jedes D ist ein C. Hier sind alle Begriffe außer C begrenzt. Dazu am Rande das Diagramm: Jedes B ist ein C Jedes A ist ein B [Jedes A ist ein C] Jedes D ist ein A Jedes D ist ein C

C B A D

} } }

Bei einem derartigen Diagramm ist es offensichtlich nicht notwendig, die Konklusion hinzuzufügen.

442

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

33

Binionum dabuntur 276. Sed si modos34 non necessarios excludas, erunt modi 19, et schemata 35 binionum 171, seu 19*18/1*2. Am Rande dazu u.a. folgende Rechnungen: 24 * 23 * 22/1 * 2 * 3 8 * 23 * 11 8 * 253 36 [2024] 24 * 23/2 23 * 12 276 37

15 * 14[/1 * 2] 15 * 7 105

33 (1)

Modorum (2) Binionum 34 (1) non necessarios (2) schemata (3) non necessarios excludas, erunt (a) schemata binionum 105 (b) modi … 35 (1) combi (2) binionum 36 /4 beginnt L/ 2024 erg. Hrg. 37 15 * 14 L /2 * 1 erg. Hrg.

„Neue syllogistische Schlussweisen“

443

Es wäre nützlich, Kombinationen von Syllogismen zuzulassen, wie sie sich in den Beispielen einiger Autoren fi nden. Es gibt 276 »Binionen«. Wenn man jedoch die nicht-notwendigen Modi ausschließt, gibt es nur 19 Modi und 171, d.h. 19*18/1*2, Schemata von »Binionen«. Am Rande dazu u.a. folgende Rechnungen: 24 * 23 * 22/1 * 2 * 3 8 * 23 * 11 8 * 253 [2024] 24 * 23/2 23 * 12 276 15 * 14[/1 * 2] 15 * 7 105

444

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

4.5.3 Kommentar Dieses Fragment, das Leibniz ca. ein halbes Jahrhundert nach dem Jugendwerk „De Arte Combinatoria“ – und ca. ein Jahr vor seinem Tode – verfasste, ist ein nachdrückliches Indiz für seine lebenslange Beschäft igung mit logischen Problemen. Interessanterweise verknüpft Leibniz auch in dem Spätwerk noch einmal syllogistische mit kombinatorischen Fragestellungen. Ganz gegen Ende des Textes stellt er nämlich kursorische Überlegungen an, was passiert, wenn man zwei oder mehr Syllogismen zu Kettenschlüssen aneinanderreiht. Schaltet man zwei verschiedene Syllogismen hintereinander, so ergeben sich, sofern man 24 von einer Gesamtzahl von 24 gültigen Modi ausgeht, ( 2 ), d.h. 24*23/2*1 = 276 Möglichkeiten oder »Binionen« – wie Leibniz die Zweier-Kombinationen zu bezeichnen pflegt. Legt man stattdessen die Anzahl der »klassisch« gültigen Modi zugrunde, so 19 erhält man ( 2 ) = 19*18/2*1 = 171 Fälle; und reduziert man die Zahl weiter auf die der »notwendigen« Modi, so landet man bei ( 152 ) = 15*14/2*1 = 105. Exakt diese Multiplikationen finden sich am Ende des Blattes, wo Leibniz noch anfi ng, die Anzahl der Dreier-Kombinationen oder »Trinionen« zu berechnen, also der Möglichkeiten, drei verschiedene Syllogismen hintereinander zu schalten. Die Formel lautet dann ( 24 3 ), also 24*23*22/1*2*3 bzw. gekürzt 8*23*11. Leibniz multipliziert in einem ersten Schritt 23*11, fängt auch noch an, das Ergebnis 253 mit 8 malzunehmen, um dann aber offenbar die Lust zu verlieren. Von dem Produkt 2024 schreibt er jedenfalls nur noch die letzte Ziffer 4 hin und bricht die Rechnerei danach ab.1 1 Am

unteren Rande fi nden sich noch die weiteren Rechnungen 2*3/1*2 = 3 sowie 3*4/2 = 6. Der Sinn der letzteren erhellt ein wenig aus der daneben stehenden Tabelle von vier Elementen a, b, c, d, aus denen Leibniz die sechs Zweierkombinationen ab, ac, ad, bc, bd, cd erzeugt. Vielleicht wollte er damit die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, zwei verschiedene syllogistische Operatoren (A, E, I, O) zu kombinieren. Die andere Rechnung könnte entsprechend mit der Anzahl der möglichen Kombinationen zweier verschiedener informeller Quantoren (O., Q., N.) zusammenhängen. Mugnai

Kommentar

445

Der eigentliche Text besteht aus zwei Hälften, die sich auf die Blätter 7v bzw. 8r der Handschrift (LH IV, 6, 15) verteilen. Teil 1 enthält eine komprimierte Zusammenstellung der 19 verschiedenen Liniendiagramme, mit denen die Schlüssigkeit aller 24 gültigen Modi bewiesen bzw. bestätigt wird. Teil 2 liefert ergänzende Erläuterungen und Anmerkungen vor allem zur Unterscheidung von »notwendigen« und »nicht-notwendigen« Syllogismen. Die Liniendiagramme unterscheiden sich von denen in „De formae logicae comprobatione“ in mehrerlei Hinsicht. Die Linienpaare für die Prämissen und die Konklusion werden nicht mehr durch vertikale Linien verbunden.2 Dafür werden die Linien selber – gemäß gleich zu erläuternden Regeln – durch kurze senkrechte Striche begrenzt. Auf doppelt bzw. verstärkt gezeichnete Linien, mit denen in der früheren Arbeit die Doktrin der »Distribution« der Begriffe veranschaulicht wurde, verzichtet Leibniz nun ganz. Stattdessen benutzt er – ähnlich wie in den „Generales Inquisitiones“ – einfache vs. gepunktete Linien, deren Funktion und Bedeutung noch näher untersucht werden muss. In „De formae logicae comprobatione“ hatte Leibniz als didaktische Hilfestellung zunächst die Liniendiagramme für die einzelnen Satzformen präsentiert, aus denen sich dann die Beweise für die Syllogismen zusammenfügen lassen. Einen solchen »Service« für den Leser sucht man hier vergebens. Allerdings lassen sich die (jeweils in mehreren Varianten auftauchenden) Diagramme für die Satzformen relativ eindeutig aus den Darstellungen der Syllogismen extrapolieren. Für die UN ‚Kein B ist ein C‘ dient fast immer das folgende Diagramm, bei dem beide Linien durchgehend gezeichnet,

(2010: S. 125) merkt zu diesen Zahlenspielen nur an: „The manuscript ends with some calculations concerning the number of moods“. 2 Dadurch entfällt insbesondere die Unterscheidungsmöglichkeit zwischen den »subalternen« Modi und ihren »vollkommenen« Pendants.

446

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

durch senkrechte Striche begrenzt und so zueinander platziert sind, dass sie sich nicht überschneiden: (UN L4)

Kein B ist ein C

B C

Die seitlichen Begrenzungslinien haben dabei offensichtlich die gleiche Funktion wie in den „Generales Inquisitiones“: Sie markieren das »Maximum«, d. h. den Bereich, über den hinaus sich der jeweilige Begriff nicht „salva habitudine“, d.h. nicht „unbeschadet der Begriffsbeziehung“ erstrecken kann.3 Eine kleine Abweichung von der Darstellung (UN L4) lässt sich lediglich beim Modus FelaptonIII beobachten, wo die B-Linie teilweise punktiert ist. Dies ist darauf zurückzuführen, dass innerhalb der Dritten Figur der Mediusbegriff B auch in der anderen Prämisse als Subjekt vorkommt, und da es sich dort um eine UA handelt, »muss« die B-Linie dementsprechend gezeichnet werden. Anders als in den früheren Entwürfen wird die PA ‚Ein B ist ein C‘ nun nicht mehr symmetrisch dargestellt, sondern primär durch ein Diagramm, bei dem das Subjekt B durch eine durchgehend gezeichnete, aber unbegrenzte Linie repräsentiert wird, das Prädikat C hingegen durch eine begrenzte Linie, die wahlweise durchgezogen oder partiell punktiert sein kann4: (PA L4) Ein B ist ein C

3 Die

B C

oder

zur bekannteren Formel „salva veritate“ parallele Bedingung „salva propositione“ bzw. „salva habitudine“ fi ndet sich in § 113 GI. Die deutsche Übersetzung „unbeschadet der Begriffsbeziehung“ stammt von Schupp (1982: 87). Parkinson (1966: 74) übersetzt dies als „without affecting the proposition, i.e. the relation of the terms“. 4 Vgl. z.B. die Diagramme für Ferio , Festino oder Ferison (durchgezoI II III gen) vs. Darii I (teilweise punktiert). Im letzteren Fall ist es natürlich notwendig, dass die B-Linie über den durchgezogenen Bereich der C-Linie platziert wird.

Kommentar

447

Damit diese Darstellungen mit den Gesetzen der Konversion kompatibel bleiben, müssen auch die umgekehrten Diagramme, bei denen die Linie für das Prädikat unbegrenzt, die für das Subjekt hingegen begrenzt und gegebenenfalls teilweise punktiert ist, als zulässige Repräsentationen einer PA gelten. Tatsächlich fi nden sich solche Varianten bei Disamis III, Datisi III, FerisonIII, Fedibo IV und BalaniIV. Die UA ‚Jedes B ist ein C‘ wird in der Regel durch das folgende Diagramm wiedergegeben, bei dem beide Linien gleich lang und seitlich begrenzt sind, die Linie für den Subjektbegriff B jedoch teilweise punktiert ist, während die für das Prädikat C durchgehend gezeichnet wird: (UA L4)

Jedes B ist ein C

B C

Hieraus erhellt im Vergleich mit dem früheren Diagramm (UA L3), dass die durchgezogene Linie das »Minimum« kennzeichnet, d.h. den Bereich, wo es „salva habitudine“ Individuen geben muss, die unter den jeweiligen Begriff fallen. Demgegenüber markiert eine punktierte Linie einen Bereich, wo es solche Elemente geben kann, aber nicht geben muss. Durch diese Differenzierung wird das Problem umgangen, auf das weiter oben im Zusammenhang mit (UA L1) hingewiesen wurde: Die C-Linie ist nicht mehr kategorisch, sondern nur potentiell länger als die B-Linie; deshalb geht aus (UA L4) zwar hervor, dass die UA nicht »einfach konvertiert« werden kann; doch das Diagramm lässt die Möglichkeit offen, dass die UA auch in dem Spezialfall B = C erfüllt ist.5 Weiterhin lässt sich aus den Diagrammen (UA L4) 5 Bei

den Beweisen der Syllogismen tritt das Diagramm (UA L4) in mehreren Varianten auf. (i) Bei Barbara I ist der Begriff B zugleich Prädikat der Minor- und Subjekt der Major-Prämisse; deshalb müsste seine Linie einerseits durchgehend, andererseits teilweise punktiert sein. Leibniz improviert hier so, dass er den punktierten Bereich beim Medius B kürzer zeichnet als beim Minor A. (ii) Auch bei Balani IV fungiert der Medius B in der einen Prämisse als Prädikat und in der anderen als Subjekt. In diesem Fall behält Leibniz das Diagramm (UA L4) für die Major-Prämisse jedoch unverändert

448

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

und (PA L4) die Geltung des einschlägigen Subalternationsgesetzes herauslesen: Wenn alle B in den C enthalten sind, dann sind erst recht einige B in den C enthalten. Für die Darstellung der PN schließlich verwendet Leibniz hauptsächlich zwei Spielarten: (PN L4) Ein B ist nicht C

B C

oder

Durch die linke Begrenzung der C-Linie und den durchgehenden Teil der B-Linie wird jeweils symbolisiert, dass es einige B geben muss, die nicht C sind. Andererseits bleibt die PN stets kompatibel mit der PA, d.h. es kann durchaus einige B geben, die C sind. Bei der ersten Variante ist dies dadurch gewährleistet, dass die B-Linie nicht begrenzt ist; bei der zweiten dadurch, dass der Teil der B-Linie, der sich mit der C-Linie überschneidet, punktiert gezeichnet wird. Auch hier ist wieder die Geltung des entsprechenden Subalternationsgesetzes sichergestellt: Wenn alle B außerhalb von C liegen, dann liegen erst recht einige B außerhalb von C. Die Beweise für die einzelnen Modi verstehen sich weitgehend von selbst; dennoch erscheinen ein paar Erläuterungen angebracht. Durch das erste Diagramm wird sowohl der Modus Barbara als auch das »subalterne« Pendant Barbari als schlüssig nachgewiesen, denn wegen der Prämissen ‚Jedes A ist ein B‘ und ‚Jedes B ist ein C‘ ist die jeweilige Konklusion ‚Jedes A ist ein C‘ bzw. ‚Ein A ist ein C‘ im Diagramm erfüllt. Entsprechendes gilt für das zweite Diagramm, welches zugleich die Schlüssigkeit von Celarent und Celaro illustriert. Das dritte Diagramm soll analog sowohl die Gültigkeit von Darii als auch jene von Barbari zeigen. Dafür hätte Leibniz aber auf der linken und modifiziert nur das für die Minor-Prämisse so, dass das Subjekt B den punktierten Teil verliert, dafür aber das Prädikat A ohne begrenzende Striche gezeichnet wird. (iii) Bei Disamis III, Darapti III und Datisi III verteilt sich der punktierte Bereich auf beide Seite der B-Linie. (iv) Bei FelaptonIII und Bocardo III ebenso wie bei Digami IV wird die Linie für den Subjektbegriff B zwar punktiert gezeichnet, die für das Prädikat A jedoch nicht begrenzt.

Kommentar

449

Seite statt der Prämisse ‚Ein A ist ein B‘ streng genommen die Alternative „‚Ein A ist ein B‘ bzw. ‚Jedes A ist ein B‘“ schreiben müssen! Und dann ließe sich einwenden, dass die A- und die B-Linie des Diagramms nur die Prämisse von Darii (‚Ein A ist ein B‘) aber nicht jene von Barbari (‚Jedes A ist ein B‘) adäquat repräsentiert.6 Diese kleine Ungenauigkeit hat Leibniz später selber bemerkt. Innerhalb der Zweiten Figur wählte er für Cesare und Cesaro bzw. für Camestres und Camestros jeweils ein und dasselbe Diagramm. Als er sich dann den Modi Festino und Baroco zuwendet, probierte er – wie der textkritische Apparat enthüllt – erneut die alternative Überschrift „Festino bzw. Cesaro“ und „Baroco bzw. Camestros“ aus, um anschließend zu präzisieren: Aus Festino folgt Cesaro und aus Baroco folgt Camestros, doch dabei ist das Schema ein wenig zu ändern und der Begriff A muss begrenzt werden.7

Ganz generell hatte Leibniz ursprünglich nur 15 verschiedene Diagramme gezeichnet, mit denen die Gültigkeit von 19 Modi illustriert werden sollte, so dass also in vier Fällen je zwei durch ‚vel‘ verknüpfte Modi durch dasselbe Diagramm erfasst wurden. Nach den fraglichen Korrekturen ergaben sich jedoch „19 Diagramme, ebenso viele wie Modi“, was übrigens in keinem Widerspruch zu der Tatsache steht, dass es insgesamt 24 gültige Modi gibt. Das Verhältnis dieser drei Kategorien von 15 bzw. 19 bzw. 24 Schlussweisen wird im weiteren Verlauf der Arbeit anlässlich der Unterscheidung zwischen »notwendigen« und »nicht-notwendigen« Modi näher analysiert. Die traditionelle Logik des 17. Jahrhunderts hatte zumeist nur 19 Modi als schlüssig aner6 Ein

entsprechender Einwand betrifft natürlich das folgende Diagramm für Ferio und Cesaro! 7 Entsprechendes gilt für die Paare , , der III. Figur sowie und der IV. Figur.

450

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

kannt, nämlich je vier in der Ersten und Zweiten Figur, sechs in der Dritten und fünf in der Vierten.8 Dem gegenüber hob Leibniz immer wieder hervor, dass durch Einbeziehung der »subalternen« Modi jede der vier Figuren sechs gültige Modi umfasst. Die fünf hinzugenommenen Modi weisen allerdings den »Mangel« auf, dass sie „weniger erschließen als sie könnten“,9 d.h. sie gehen aus »vollkommenen« oder »notwendigen« Modi dadurch hervor, dass eine an sich mögliche universelle Konklusion zu einer partikulären abgeschwächt wird. Wie schon in „De Formae Logicae Comprobatione“ weist Leibniz nun noch darauf hin, dass es innerhalb des Kanons der 19 üblicherweise anerkannten Modi eine zweite Gruppe gibt, die ebenfalls »unvollkommen« bzw. »nicht-notwendig« sind, nämlich jene vier Modi die „mehr annehmen als notwendig wäre“.10 Dies bedeutet genauer, dass sie für ihre Konklusion jeweils eine universelle Prämisse voraussetzen, obwohl eine partikuläre ausreichen würde. Damit ergibt sich insgesamt folgende Situation. Zieht man von den 24 überhaupt gültigen Modi die in ersterer Hinsicht »unvollkommenen« Modi BarbariI, Celaro I, Cesaro II, Camestros II und Cadero IV ab, so landet man bei den 19 traditionell als gültig anerkannten Modi. Zieht man von diesen nun auch die in letzterer Hinsicht »unvollkommenen« Modi DaraptiIII, FelaptonIII, Fegano IV und BalaniIV ab, so endet man bei der Kerngruppe von 15 »vollkommenen« bzw. »notwendigen« Modi: Figur I: Barbara, Celarent, Darii, Ferio Figur II: Cesare, Camestres, Festino, Baroco Figur III: Disamis, Bocardo, Datisi, Ferison Figur IV: Cadere, Fedibo, Digami. 8 Vgl.

etwa Arnauld/Nicole (1666), S. 189: „[…] on peut conclure qu’il a a dix-neuf espèces de syllogismes“. 9 Dies ist die analoge Charakterisierung des ersten Typs eines »unvollkommenen« Modus, wie Leibniz sie in „De Formae Logicae Comprobatione“ angegeben hatte. 10 Auch diese Formulierung stammt aus „De Formae Logicae Comprobatione“.

Kommentar

451

Gegen Ende der Arbeit umreißt Leibniz seine Konzeption der Begrenzung der Begriffe (bzw. ihrer Linien), die offensichtlich in engem Zusammenhang mit der traditionellen Lehre der »Distribution« der Begriffe steht. Allerdings sind hier mehrere Diskrepanzen unübersehbar. Bezüglich der universell negativen Aussagen spricht Leibniz zunächst davon, es sei „angebracht, beide Begriffe einfach zu begrenzen“. Etwas später heißt es knapper und präziser: „Jeder Begriff einer UN ist begrenzt“. Tatsächlich sind im Schema (UN L4) beide Linien begrenzt, so wie ja gemäß traditioneller Lehrmeinung beide Begriffe einer UN »distribuiert« bzw. universell zu verstehen sind. Bezüglich der universell affi rmativen Aussagen spricht Leibniz erst etwas unklar davon, es sei „angebracht, zumindest das Subjekt in herzustellender Weise [producibile] zu begrenzen“.11 Wenig später präzisiert er dann: „das Subjekt einer universell affi rmativen Prädikation ist begrenzt“ und „Jedes Prädikat einer affi rmativen Aussage ist unbegrenzt“. Dies steht wieder im Einklang mit der traditionellen Doktrin, derzufolge das Subjekt einer UA universell bzw. »distribuiert«, das Prädikat hingegen partiell bzw. »nicht-distribuiert« sein soll. Allerdings spiegelt das Diagramm (UA L4) dieses nicht adäquat wieder, da dort auch die Linie für das Prädikat C durch seitliche Striche begrenzt ist. Eine Erklärung für diese Unstimmigkeit ist möglicherweise darin zu suchen, dass Leibniz einerseits betonte: „Wenn der Major- oder Minorbegriff Prädikat einer affi rmativen Aussage ist, bedarf er keiner Begrenzung“; andererseits erwog er, den Mediusbegriff immer zu begrenzen.12 Außerdem ist zu beachten, dass

11 Das

in der Handschrift recht eindeutig als „producibile“ zu lesende Wort scheint eine Eigenschöpfung von Leibniz zu sein – in den gängigen Latein-Lexika taucht es jedenfalls nicht auf. Mugnai (2010: 122/123) las das Wort als „praedicabile“ und übersetzte die Passage „Cum occurrit in praemissis universalis affi rmativa, saltem subjectum producibile limitare oportet“ wie folgt: „If in the premises a universal affi rmative sentence occurs, then at least the predicable subject has to be bounded“. 12 Vgl.: „Invenio etiam medium semper limitari“. Mugnai (2010: 123)

452

Zu den Linien- und Kreisdiagrammen

die Überlegungen zur Begrenzung von Begriffen erst nach der Konstruktion der Liniendiagramme stattfanden und dass Leibniz vielleicht nur Zeit und Lust fehlte, die Einsicht „Deshalb sollten alle unnötigen Begrenzungen weggelassen werden“ durch eine nachträgliche Überarbeitung der Diagramme in die Tat umzusetzen. Es lohnt sich nicht, detailliert auf die weiteren Diskrepanzen einzugehen, die die noch offenen partikulären Satzformen betreffen. Leibniz‘ Behauptungen: […] das Prädikat einer PN ist begrenzt; […] Jedes Subjekt einer PA ist unbegrenzt. Jedes Prädikat einer affi rmativen Aussage ist unbegrenzt. Jedes Prädikat einer negativen Aussage ist begrenzt

stehen zwar voll in Einklang mit der entsprechenden Doktrin der »Distribution« der Begriffe. Aber die oben extrapolierten Liniendigramme (PA L4) und (PN L4) spiegeln diese Behauptungen nicht (vollständig) wider. Zwei kurze Bemerkungen zum Abschluss. Leibniz‘ beiläufige Bemerkung, dass jemand „neulich“ ein „Triangulum Logicum“ publiziert habe, bezieht sich nach den Recherchen von Mugnai (2010) konkreter auf das 1714 erschienene Werk „Inventum novum quadrati logici universalis“ eines gewissen Johann Christian Lange. Wichtiger jedoch ist, dass dank des Hinweises „ich schreibe dies 1715“ eine sichere Datierung der „Schedae de novis formis syllogisticis“ möglich wurde, während über die Entstehungszeit der anderen, in diesem Kapitel betrachteten Arbeiten nur Vermutungen angestellt werden konnten. So lässt sich abschließend konstatieren, dass Leibniz noch im Jahre vor seinem Tode durchaus innovative Ideen zur Syllogistik zu entwickeln vermochte. Über viele Jahrhunderte hinweg hatten sich Logiker nicht daran gestört, dass nur die ersten drei kategorischen Satzformen A(S,P), E(S,P) und I(S,P) durch jeweils verschiedene Quantorausdrücke ‚Omne‘, ‚Nullum‘ und ‚Quodübersetzt dies wie folgt: „Moreover, I fi nd that the middle term is always bounded“.

Kommentar

453

dam‘ charakterisiert wurden, während die vierte, O(S,P), mühsam mithilfe von ‚Quoddam‘ und einer Negation paraphrasiert werden musste. Erst Leibniz kommt im Jahre 1715 endlich der Gedanke, diese Asymmetrie durch Einführung eines Kunstwortes ‚Haudum‘ (bzw. ‚Ñedes‘) zu beseitigen: ‚Ñedes‘ bedeutet so viel wie ‚nicht jedes‘. Deshalb schreiben wir statt ‚Ein A ist nicht ein B‘: ‚Ñedes A ist B‘.

Eine wahrhaft brillante Idee!

5. K APITEL

5 Zur Axiomatisierung der Syllogistik

5.1 Einleitung In diesem Kapitel betrachten wir drei Texte, in denen Leibniz die Gesamtheit aller gültigen syllogistischen Schlüsse auf wenige Grundprinzipien zurückführt. In der frühen Schrift „De formis syllogismorum mathematice defi niendis“ – auf Deutsch: „Über die mit mathematischer Exaktheit zu bestimmenden syllogistischen Modi“ – wird zunächst gezeigt, dass man aus dem in der Tradition als „Dictum de omni et nullo“ bezeichneten „Funda mentum syllogisticum“ durch Hinzunahme zweier »subalterner« Schlussweisen genau sechs gültige Modi der Ersten Figur erhält. Aus diesen gewinnt Leibniz mithilfe des aussagenlogischen Prinzips des „Regressus“ je sechs gültige Modi der Figuren II und III. An quasi axiomatischen Grundprinzipien werden dabei lediglich die beiden »Identitäten« Omne Quoddam

A (B , B ) I(B , B )

sowie die üblichen Gesetze der Opposition vorausgesetzt: Opp 1 Opp 2

¬A (B ,C ) ↔ O (B ,C ) ¬E (B ,C ) ↔ I(B ,C )

Alle übrigen »einfachen« Schlüsse der Subalternation und der Konversion lassen sich hingegen mit Hilfe der bereits bewiesenen Syllogismen logisch herleiten. Der gegen Ende der Arbeit angekündigte Beweis der Vierten Figur fehlt; er fi ndet sich jedoch in späteren Arbeiten aus dem Umfeld der „Mathesis rationis“ bzw. der „Schedae de novis formis syllogisticis“. Konkreter betrachten wir einen Ausschnitt aus der Handschrift LH IV, 6, 15, 1-2, wo Leibniz in tabellarischer Form die gewöhnliche Reduktion der Modi der Figuren II – IV auf jene der Ersten Figur zusammenfasst. Zur Ergänzung gehen

Einleitung

457

wir noch auf einen kurzen Abschnitt von „De formae logicae comprobatione“ ein, in dem Leibniz beweist, dass sich alle »negativen Syllogismen«, in denen also Satzformen der Typen E(B,C) oder O(B,C) vorkommen, kraft des Prinzips der Obversion auf »affi rmative Syllogismen« reduzieren lassen, die nur Satzformen der Typen A(B,C) und I(B,C) enthalten. Auf diese Weise gelangt man zu einer alternativen »Axiomatisierung«, bei der nicht mehr das volle „Dictum de omni et nullo“ vorausgesetzt werden muss, sondern lediglich das „Dictum de omni“.

458

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

5.2.1 „De formis syllogismorum mathematice definiendis“1 De formis syllogismorum mathematice defi niendis Neminem harum rerum intelligentem dubitare arbitror, quin Logicae pars quae de figuris et modis syllogismorum 2 agit, ad geometricum rigorem revocari possit. Et sane non pauci3 homines ingeniosi jam in eo ostendendo studium posuere; mirum tamen est verum, modorum utilium numerum nondum determinatum haberi quod nunc facere aggredimur, nec indignum Geometra putamus. Nam si laudantur qui corporum regularium numerum defi niere, quorum nisi ad contemplandi jucunditatem usus nullus est, si4 Conchoeidis aut Cissoeidis alteriusve figurae raro usum habentis proprietates5 elegantiores eruisse dignum ingenio mathematici exercitium videtur, quanto6 potius erit ratiocinationem humanam qua neque praestantius neque utilius quicquam habemus, sub Mathematicas leges cogere. Nec proinde culpandi sunt Logici quod ista7 sunt prosecuti, sed quod istis pueros fatigarunt. 8 Nos autem non tantum pro contemplandi exactitudine ostendemus cur tres tantum sint figurae directae, quarta vero indirecta; et in unaquaque9 directarum modi sex, in indirecta autem10 novem; sed et juvandis discentium ingeniis Canonem  1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 C, 83–84; vgl. auch A VI, 4, 496–505 sowie C., 410–416.  2 /quos categoricos absolutos vocant streicht L/ agit …  3 /jam in eo ostendendo streicht L/ homines … in eo (1) argumen (2) ostendendo  4 (1) (2) (3) Conchoeidem aut Cissoeidem aliumve figuram (4) Conchoeidis …  5 (1) elegantes invenisse (2) elegantiores …  6 (1) satius (2) potius  7 (1) profundius rimati sunt, sed (2) sunt  8 /Nos … respectu./ am Rande erg. L  9 /autem streicht L/ 10 (1) octo (2) novem

Über die mit mathematischer Exaktheit

459

5.2.2 „Über die mit mathematischer Exaktheit zu bestimmenden syllogistischen Modi“1 Über die mit mathematischer Exaktheit zu bestimmenden syllogistischen Modi Niemand, der etwas von der Sache versteht, zweifelt wohl daran, dass der Teil der Logik, der von den syllogistischen Figuren und Modi handelt, zu geometrischer Strenge gebracht werden kann. Auch haben sich bereits nicht wenige fähige Männer um diesen Nachweis bemüht; trotzdem ist es erstaunlicherweise so, dass die Anzahl der gültigen Schlussweisen immer noch nicht bestimmt wurde. Dies nehmen wir jetzt in Angriff und halten es eines Geometers nicht für unwürdig. Denn wenn diejenigen gerühmt werden, welche die Anzahl der regelmäßigen Körper bestimmt haben, deren Behandlung nur dem Ergötzen der Betrachtung dient, wenn es eine eines mathematischen Kopfes würdige Übung zu sein scheint, die schönen Eigentümlichkeiten einer Konchoide oder einer Kissoide oder einer anderen, selten einmal Nutzen bietenden Kurve zu erforschen, wie viel mehr wird es dann wert sein, das menschliche Vernunftschließen, das Vorzüglichste und Nützlichste, was wir besitzen, unter mathematische Gesetze zu zwingen. Deshalb sind die Logiker nicht darum zu tadeln, dass sie dieser Aufgabe nachgegangen sind, sondern deswegen, weil sie die Knaben damit gequält haben. Wir aber werden nicht nur um der Genauigkeit der Betrachtung willen aufzeigen, warum es nur drei direkte Figuren und eine indirekte gibt, nämlich die Vierte, und in jeder direkten sechs Modi, in der indirekten jedoch neun, sondern wir werden auch den Lernenden ein logisches Instrument als Hilfsmittel

1 Vgl.

auch die Übersetzung in Schmidt (1960), S.357–368.

460

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Logicum subjiciemus mirifici usus ad agnoscendum e vestigio solis tribus lineis rectis ductis, utrum propositus aliquis modus sit concludens, sine ullo figurarum11 et regularum logicarum respectu. Fundamentum12 Syllogisticum hoc est: Si totum aliquod C cadat intra aliquod D, vel si totum C cadat extra aliquod D, tunc etiam id quod inest ipsi C priore quidem casu cadet intra D, posteriore vero casu cadet extra C. Et hoc est quod vulgo vocant dictum de omni et nullo. 13 Hinc statim nascuntur modi illi primitivi: Omne C est D. Omne B est C. Ergo Omne B est D. (Hoc est totum aggregatum individuorum ipsius C comprehenditur sub14 individuis ipsius D, jam omnia individua ipsius B comprehenduntur sub individuis ipsius C. Ergo et sub individuis ipsius D.) 15Vel si mavis Omne B est C. Omne C est D. Ergo Omne B est D (hoc est: individua ipsius B continentur in individuis ipsius C,16 et individua ipsius C continentur in individuis ipsius D. Ergo individua ipsius B continentur in individuis ipsius D). Omne C est D. Quoddam B est C. Ergo Quoddam B est D 17 Vel Quoddam B est C, Omne C est D. Ergo quoddam B est D 11 (1)

respectu (2) et … horum Syllogisticorum (2) Syllogisticum (a) in eo consistit ut si totum (aa) aliquid (ab) aliquod C in aliquo alio D contineri, vel totum C in aliquo alio non contineri dicatur quod (b) hoc est … 13 (1) Ut si quis dicat Omne (a) solubile (b) fermentatum est acidum (c) metallum C est fusile D, idem est ac si diceret, aggregatum omnium metallorum totum contineri sub aggregato omnium fusilum. Itaque si quid postea reperiatur sub aggretato omnium metallorum, verbi gratia omne aurum, vel quaedam moneta (2) Nempe secundum vulgaria exempla: Si dicas (a) Omnis homo es (b) Omne animal est (ba) substantia (bb) (bc) est (3) Hinc 14 (1) sub aggregatis ipsius (2) sub … 15 /Vel … ipsius D.)/ erg. L 16 (1) et haec in individuis (2) et … 17 (1) (Hoc est totum aggregatum individuorum ipsius C comprehenditur sub individuis ipsius D; jam quaedam individua ipsius B comprehenduntur 12 (1)

Über die mit mathematischer Exaktheit

461

bereitstellen, das auf wunderbare Weise geeignet ist, alleine mittels dreier gezeichneter Geraden – ohne jede Bezugnahme auf Figuren und Regeln der Logiker – zu erkennen, ob ein gegebener Modus schlüssig ist. Das Fundament der Syllogistik besteht in Folgendem: Wenn irgendein Ganzes, C, innerhalb eines [anderen Ganzen], D, liegt oder wenn das Ganze, C, außerhalb von D liegt, dann wird auch das, was innerhalb von C liegt, im ersten Falle innerhalb von D, im zweiten Falle außerhalb von D liegen. Und dies nennt man üblicherweise das dictum de omni et nullo. Hieraus ergeben sich sofort die folgenden ursprünglichen Modi: Jedes C ist ein D; Jedes B ist ein C; also Jedes B ist ein D (d.h. die Menge aller Individuen von C ist Teil der Individuen von D, aber alle Individuen von B sind in den Individuen von C enthalten, also auch in den Individuen von D). Oder wenn man lieber will [mit umgekehrter Reihenfolge der Prämissen]: Jedes B ist C; Jedes C ist D; also Jedes B ist D, (d.h. die Individuen von B sind in den Individuen von C enthalten und die Individuen von C in den Individuen von D; also sind die Individuen von B in den Individuen von D enthalten). Jedes C ist ein D; Ein B ist ein C; also Ein B ist ein D, oder [wiederum mit umgekehrter Reihenfolge der Prämissen]: Ein B ist ein C; Jedes C ist ein D; also Ein B ist ein D (d.h.: einige

462

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

(hoc est quaedam individua ipsius B continentur in individuis ipsius C. Omnia individua ipisus C continentur sub individuis ipsius D. Ergo18 quaedam individua ipsius B continentur sub individuis ipsius D.) Brevius19 ambos modos comprehendendo: B vel ex toto vel parte, sive respectu vel omnium vel quorundam individuorum, inest ipsi C; jam totum C inest ipsi D. Ergo et B vel ex toto vel ex parte inerit ipsi D. Nullum C est D. Omne B est C. Ergo Nullum B est D. Item Nullum C est D. Quoddam B est C. Ergo quoddam B non est20 [D]. (Hoc est:21 B vel ex toto vel ex parte22 inest ipsi C; jam totum C cadit extra D; ergo et B vel ex toto vel ex parte cadet extra D). Haec autem non minus geometricae certitudinis sunt, quam si dicatur23 cui inest totum, ei et inest pars, vel a quo removetur totum, ab eo et removetur pars. 24 Ex his jam paucis caeteros modos omnes demonstrabimus, usi tum subalternatione, tum regressu, tum conversione; et quidem per subalter nationem seu argumentum ab universali sub individuis ipsius C. Ergo quaedam individua ipsius B (a) nempe illa ipsi (b) etiam sub individuis ipsius D continentur. (2) vel … 18 (1) omnia (2) quaedam 19 (1) Aristotelico enuntiandi more: B inest (2) ambos … 20 C L/ D korr. Hrg. mit Couturat und den Hrg. der Akademieausgabe 21 (1) totum (2) B … 22 (1) cadet in C (2) inest 23 (1) quod inest parti id etiam inest toti vel quod (2) cui … 24 (1) Ex his jam paucis caeteros modos omnes demonstrabimus ac determinabimus, prius autem explicabimus quid sit contradictio, (a) et usi (b) In regressu utimur hoc principio, quod conclusione existente falsa, et una praemissarum existente vera, altera necessario debeat esse falsa. /Nam si ambae verae essent, utique et conclusio foret vera erg./ Propositione autem aliqua existente falsa, pro vera assumi potest ejus contradictoria. Jam universalis affi rmativa (ba) contradictoria est (bb) et particularis negativa /sunt contradictoriae erg./ seu Omne B est C contrad. Quoddam B non est C. (bba) (bbb) /Item erg./ Universalis Negativa et particularis Affi rmativa sunt /etiam erg. L/ contradictoriae; seu Nullum B est C contrad. Quoddam B est C. (2) Ex …

Über die mit mathematischer Exaktheit

463

Individuen von B sind in den Individuen von C enthalten; alle Individuen von C sind in den Individuen von D enthalten; also sind einige Individuen von B in den Individuen von D enthalten). Kürzer, indem man beide Arten zusammenfasst: B ist ganz oder teilweise, d.h. hinsichtlich aller oder einiger Individuen, in C enthalten; nun ist das ganze C schon in D enthalten; also wird auch B ganz oder teilweise in D enthalten sein. Kein C ist ein D, Jedes B ist ein C, also Kein B ist ein D. Ebenso: Kein C ist ein D; Ein B ist ein C, also Ein B ist nicht ein D. (D.h.: B liegt ganz oder teilweise in C; nun fällt aber das Ganze C außerhalb von D; also liegt auch B ganz oder teilweise außerhalb von D.) Diese Prinzipien besitzen keine geringere geometrische Gewissheit, als wenn man sagt: Worin ein Ganzes enthalten ist, darin ist auch der Teil enthalten, oder: Wovon man das Ganze entfernt, davon entfernt man auch den Teil. Bereits aus diesen wenigen Modi werden wir alle übrigen beweisen, indem wir mal die Subalternation, mal den Regressus und ein andermal die Konversion anwenden. Und zwar werden wir durch Subalternation, d.h. durch den Schluss vom Universellen auf das Partikuläre, zwei abgeleitete Modi der Ersten

464

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

ad particulare ostendemus modos duos primae figurae derivativos vulgo non usitatos; per regressum ostendemus ex primis omnes modos figurae secundae et tertiae ac per hos ipsam conversionem;25 denique accedente prioribus mediis (subalternationi et regressui) conversione, ostendemus modos figurae quartae seu indirectae. 26 Brevitatis autem causa morem Logicorum secuti imposterum Universalem affirmativam exprimemus per A, universalem Negativam per E, particularem affirmativam per I; particularem Negativam per O, et scribemus ABC, EBC, IBC, OBC pro exprimenda propositione, et AAA, AEE, etc. pro exprimendo modo. 27 Hinc quatuor primi modi primae figurae, quos primitivos seu ab alios independentes esse diximus, ita enuntiabuntur, Barbara: Celarent: Darii: Ferio:

ACD. ECD. ACD. ECD.

ABC. ABC. IBC. IBC.

ABD EBD IBD OBD.

Ubi A. E. I. O significant formam, B, C, D materiam, nempe B minorem, C medium, D majorem terminum. 28V. g. ACD significat Omne C est D; ECD significat Nullum C est D; IBD significat Quoddam B est C; OBD significat Quoddam 29 [B] non est C. 30 Subalternatio autem (cujus ope ex his quatuor modis alii duo modi primae figurae ducuntur), ita demonstratur: Omne A est B. Quoddam A est A. Ergo Quoddam A est B. Quod est argumentum in Darii. Similiter: Nullum A est B. Quoddam A est A. Ergo quoddam A non est B. Quod est argumentum in Ferio. Hinc ex Barbara ducitur Barbari, pro conclusione ABD scribendo IBD, 25 (1)

Denique (a) per conversionem (b) partim per conversionem et regressum ostendimus modos figurae quartae (2) denique … 26 (1) Communi au (2) Brevitatis 27 (1) (2) Hinc … figurae (a) quos ab aliis independentes (b) quos … ita (ba) demonstrab (bb) enuntiabuntur … 28 /V. g. … est D/ erg. L 29 O L/ B korr. Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe. 30 (1) Subalternatio ita (2) Subalternatio autem …

Über die mit mathematischer Exaktheit

465

Figur beweisen, die gewöhnlich nicht benutzt werden. Durch den Schluss des Regressus leiten wir aus der Ersten Figur alle Modi der Zweiten und Dritten Figur her, und aus diesen dann die Gesetze der Konversion selber. Schließlich werden wir die Modi der Vierten, indirekten, Figur beweisen, indem wir zu den beiden früheren Hilfsmitteln (Subalternation und Regressus) noch die Konversion hinzunehmen. Der Kürze halber aber werden wir im Folgenden gemäß der Sitte der Logiker die universell bejahende Aussage durch A, die universell verneinende durch E, die partikulär bejahende durch I, die partikulär ver neinende durch O symbolisieren und ABC, EBC, IBC, OBC schreiben, um den jeweiligen Satz darzustellen, und AAA, AEE usw. für den entsprechenden Modus. Die ersten vier Modi der Ersten Figur, die wir die ursprünglichen, d.h. von den anderen unabhängigen, genannt haben, werden demnach so dargestellt: Barbara: Celarent: Darii: Ferio:

ACD ECD ACD ECD

ABC ABC IBC IBC

ABD EBD IBD OBD.

Hier bezeichnen A, E, I, O die Form, B, C, D den Inhalt, nämlich B den Minor- oder Unterbegriff, C den Medius, D den Majorbzw. Oberbegriff. Z. B. bedeutet ACD: Jedes C ist ein D; ECD bedeutet: Kein C ist ein D; IBC bedeutet: Ein B ist ein C; OBD bedeutet: Ein B ist nicht ein D. Die Subalternation aber (mit deren Hilfe aus diesen vier Modi zwei weitere der Ersten Figur abgeleitet werden) lässt sich wie folgt beweisen: Jedes B ist ein D; Ein B ist ein B, also Ein B ist ein D. Das ist ein Schluss gemäß Darii. Entsprechend: Kein B ist ein D, Ein B ist ein B; also Ein B ist nicht ein D, was einen Schluss gemäß Ferio darstellt. Deswegen kann man aus Barbara Barbari ableiten, indem man anstelle des Schluss-

466

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

quod ex ea sequitur; et ex Celarent ducitur Celaro, pro conclusione EBD scribemus OBD quod ex ea sequitur. Habemus ergo duos modos novos eosque derivativos primae figurae: Barbari: Celaro:

ACD. ABC. IBD ECD. ABC. OBD

Horum modorum utilitas apparebit in progressu ad omnes alios modos aliarum figurarum Methodo nostra constanti ex prima deducendos. Apparebit etiam tres figuras directas, primam, secundam & tertiam, habere numerum modorum aequalem, nempe senarium, et ex unoquoque modo primae methodo regressus31 quae nunc sequetur demonstrari unum modum secundae et unum modum tertiae. Hinc secundae figurae etiam duos novos modos adjicio, tertia autem jam vulgo plena habetur. In Regressu utimur hoc principio, quod conclusione existente falsa 32 (hoc est contradictoria ejus existente vera) et una praemissarum existente vera, altera praemissarum necessario debeat esse falsa, seu 33 contradictoria ejus debeat existere vera. Supponit ergo Regressus34 principium contradictionis. Est autem Contradictio inter Universalem affi rmativam et particularem negativam, seu si falsa sit A, vera est O; et contra; item inter universalem negativam et particularem affi rmativam, seu si falsa sit E vera erit35 [I] et contra. Jam ex sex modis primae figurae ducemus modos secundae et tertiae per Regressum, incipiendo a Barbara, ibique36 rem trademus ita explicate, ut in sequentibus breviores esse possimus. In Barbara prima: Omne C est D. Omne B est C ergo omne B est D. Itaque si ponatur major esse vera (Omne C est D) et falsa 37 con31 (1)

nunc explicanda (2) quae 32 (1) et una praemissarum existente vera (2) (hoc … 33 (1) opposita (2) contradictoria 34 /Oppositionem seu streicht L/ 35 /A L/ I korr. Hrg. mit Couturat und mit den Hrg. der Akademisausgabe 36 (1) regressum (2) rem 37 /contra streicht L/

Über die mit mathematischer Exaktheit

467

satzes ABD den daraus folgenden Satz IBD schreibt; und aus Celarent wird Celaro abgeleitet, indem man statt der Konklusion EBD die daraus folgende Aussage OBD schreibt. Wir erhalten also zwei neue, abgeleitete Modi der ersten Figur: Barbari: Celaro:

ACD ECD

ABC ABC

IBD OBD

Der Wert dieser Modi wird sich im weiteren Verlauf zeigen, wenn wir alle anderen Modi der übrigen Figuren nach unserer einheitlichen Methode aus der Ersten ableiten. Dabei wird sich auch zeigen, dass die drei direkten Figuren, die Erste, die Zweite und die Dritte, eine gleiche Zahl von Schlussweisen besitzen, nämlich sechs, und dass mittels des gleich zu erläuternden Schlusses des Regressus aus jedem Modus der Ersten ein solcher der Zweiten und einer der Dritten Figur folgt. Deshalb füge ich auch der Zweiten Figur zwei neue Modi hinzu, während die Dritte in der üblichen Form bereits vollständig vorliegt. Beim Schluss des Regressus wenden wir das Prinzip an, dass, wenn die Konklusion [eines Schlusses] falsch (d.h. ihre Negation wahr) ist, eine der Prämissen hingegen wahr ist, dann die andere Prämisse falsch, d.h. deren Negation notwendigerweise wahr sein muss. Der Regressus setzt also den Satz vom (ausgeschlossenen) Widerspruch voraus. Zwischen der universell bejahenden und der partikulär verneinenden Aussage besteht aber ein Widerspruch, d.h., wenn A falsch ist, dann ist O wahr, und umgekehrt; ebenso besteht ein Widerspruch zwischen der universell verneinenden und der partikulär bejahenden Aussage, d.h., wenn E falsch ist, so ist I wahr, und umgekehrt. Aus den sechs Modi der Ersten Figur werden wir die Modi der Zweiten und Dritten Figur per Regressus ableiten, indem wir mit Barbara beginnen, und dort werden wir die Sache so ausführlich behandeln, dass wir bei den folgenden Ableitungen kürzer sein können. Barbara der Ersten Figur: Jedes C ist ein D; Jedes B ist ein C; also Jedes B ist ein D. Nimmt man an, die Majoraussage (Jedes C ist ein D) sei wahr, die Konklusion hingegen falsch, deren Negation (Ein B ist nicht

468

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

clusio ac proinde vera ejus contradictoria (quoddam B non est D) falsa erit minor (seu quoddam B non erit C). 38Jam argumentum tale: Omne C est D, quoddam B non est D, ergo quoddam B non est C, est in Baroco secundae, oritur ergo ac demonstratur hic modus per regressum ex Barbara primae supponendo conclusionem modi hujus primae falsam, et majorem veram. Sin ponitur39 in Barbara conclusio falsa (seu quoddam B non esse D) minor vera (seu omne B esse C) erit major falsa (seu quoddam C non erit D), quod est in Bocardo tertiae. Sed ut brevioribus notis totum hoc exprimamus: 40

ACD ACD

Hinc

Barbara primae Regressus Ergo Baroco secundae

ACD

Hinc

Barbara primae Regr. Ergo Bocardo tertiae

Hinc

Celarent primae Regr. Ergo Festino secundae

ACD

OCD OBD ECD ECD ECD

ABC

ABD OBD

OBC OBD

OBC

ABC ABC

ABD OBD

ABC

OCD

ABC

EBD IBD

OBC IBD

OBC

38 (1) et ita per regressum (2) quod argu (3) quod (a) est argumentum (b) est

in Baroco secundae (ba) quod proinde (bb) oriturque adeo ex Barbara primae per regressum supponendo conclusionem falsam et majorem veram. (2) Iam … 39 (1) /in Barbara erg. L/ (a) conclu (b) major falsa (seu quoddam C non esse D) (2) in Barbara … 40 Leibniz beginnt die folgende Aufstellung mit einem gestrichenen Ansatz, bei dem die Ableitungen von Baroco II und Bocardo III untereinander geschrieben sind. Diese hier nicht reproduzierte Vorfassung ist in der Akademieausgabe (A VI, 4, 500) abgedruckt. Danach geht er dazu über, die beiden Ableitungen in einer zweispaltigen Tabelle einzutragen, wie sie auch schon Couturat (C., 413f. ) reproduziert hatte. Aus typographischen Gründen geben wir den Inhalt einspaltig wieder.

Über die mit mathematischer Exaktheit

469

ein D) also wahr, so muss die Minoraussage falsch sein (d.h. Ein B ist nicht ein C). Ein solcher Schluss: Jedes C ist ein D; Ein B ist nicht ein D; also Ein B ist nicht ein C, ist aber Baroco der Zweiten Figur. Dieser Modus ergibt sich also per Regressus aus Barbara, indem man annimmt, die Konklusion dieses Modus der Ersten Figur sei falsch, aber die Majoraussage wahr. Nimmt man hingegen an, die Konklusion in Barbara sei falsch (d.h. mindestens ein B sei nicht ein D) während die Minor-Aussage wahr ist (d.h. jedes B sei ein C), dann muss die Major-Aussage falsch sein (d.h. mindestens ein C ist nicht ein D); das ist der Modus Bocardo der Dritten Figur. Um das Ganze abgekürzt darzustellen: Barbara I Regressus Also Somit

Baroco II

ACD

Barbara I

ACD Regr. Also

Somit

Bocardo III

Celarent I Regr. Also Somit

ACD ACD

Festino II

OCD OBD ECD ECD ECD

ABC OBC OBD

ABD OBD OBC

ABC ABC

ABD OBD

ABC

OCD

ABC

EBD IBD

OBC IBD

OBC

470

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Hinc

Celarent primae Regr. Ergo Disamis tertiae

ECD

ACD ACD

Hinc

Darii primae Regr. Ergo Camestres secundae

ACD

Hinc

Darii primae Regr. Ergo Ferison tertiae

ECD ECD

Hinc

Ferio primae Regr. Ergo Cesare secundae

ECD

Hinc

Ferio primae Regr. Ergo Datisi tertiae

ACD ACD

Hinc

Barbari primae Regressus Ergo Camestros secundae

ACD

Hinc

Barbari primae Regr. Ergo Felapton tertiae

ECD ECD

Hinc

Celaro primae Regr. Ergo Cesaro secundae

ICD IBD

ACD

OCD EBD

ECD

ICD ABD

ACD

OCD EBD

ECD

ABC ABC

EBD IBD

ABC

ICD

IBC

IBD EBD

EBC EBD

EBC

IBC IBC

IBD EBD

IBC

OCD

IBC

OBD ABD

EBC ABD

EBC

IBC IBC

OBD ABD

IBC

ICD

ABC

IBD EBD

OBC EBD

OBC

ABC ABC

IBD EBD

ABC

OCD

ABC

OBD ABD

OBC ABD

OBC

Über die mit mathematischer Exaktheit

ECD

Celarent I Regr. Also Somit

Disamis III Darii I

Somit

Regr. Also Camestres II Regr. Also FerisonIII Ferio I Regr. Also

Somit

ECD

Datisi III Regressus Also Camestros II

FelaptonIII Celaro I Regr. Also Cesaro II

ICD ABD ACD ACD ACD ACD

Regr. Also

Somit

ECD ECD

Ferio I

Barbari I

Somit

OCD EBD

ECD

Barbari I

Somit

ACD

Cesare II Regr. Also

Somit

ACD ACD

ACD

Darii I

Somit

ICD IBD

OCD EBD ECD ECD ECD

471

ABC ABC

EBD IBD

ABC

ICD

IBC

IBD EBD

EBC EBD

EBC

IBC IBC

IBD EBD

IBC

OCD

IBC

OBD ABD

EBC ABD

EBC

IBC IBC

OBD ABD

IBC

ICD

ABC

IBD EBD

OBC EBD

OBC

ABC ABC

IBD EBD

ABC

OCD

ABC

OBD ABD

OBC ABD

OBC

472

Hinc

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Celaro primae Regr. Ergo Darapti tertiae

ECD ICD ABD

ABC ABC

OBD ABD

ABC

ICD

Patet ex hoc Schemate, dum ex Modo figurae primae ducitur per regressum modus respondens41 figurae secundae vel tertiae, majorem in prima manere etiam majorem in secunda; at minorem in prima manere minorem in tertia. 42Conclusio vero et minor in prima et secunda, item conclusio et major in prima et tertia prius in contradictorias mutatae inter se permutantur,43 hoc est conclusio primae per contradictoriam suam in secunda facit minorem et minor primae in secunda facit conclusionem; vel contra. At conclusio primae in tertia facit majorem, et major primae in tertia facit conclusionem. Modi etiam secundae et tertiae figurae inter se respondentes seu ex eodem modo primae ducti, eandem habent propositionem communem, quae minor est in secunda, major in tertia, caeteras (in suas contradictorias prius mutatas) etiam permutant. Hinc sequitur si quis modos secundae vel tertiae inventos 44 eadem ratione per regressum tractet, ut modos primae tractavimus, non prodire novos modos, sed eosdem quos jam determi navimus.45 Nam si in secunda majorem servemus, redi41 (1)

secundae servari (a) majo (b) (tertia) majorem (ba) in prima (mi (bb) (minorem) in prima manere etiam majorem /(minorem) streicht L/ in secunda /(tertia) streicht L/ (2) secundae vel … 42 /Conclusio … permutantur erg. L/ 43 (1) (2) hoc est conclusio primae (a) in secunda fit et major primae (aa) in secunda fit /per erg. und streicht L/ (b) /per contradictoriam suam fit erg. L/ fit streicht Hrg./ in secunda facit minorem … 44 (1) eodem modo (2) eadem ratione 45 (1) Nam si in modo secundae servemus majorem et conclusionem majoremque (/prius streicht L/ in contradictorias suas prius mutatas) inter se permutemus redit modus primae, ex quo eodem plano modo factus erat hic modus secundae. Sin in eodem modo secundae servemus minorem, et conclusiones inter se (2) Nam …

Über die mit mathematischer Exaktheit

ECD

Celaro I Regr. Also Somit

Darapti III

ICD ABD

473

ABC ABC

OBD ABD

ABC

ICD

Aus diesem Schema wird ersichtlich: Wenn aus einem Modus der Ersten Figur per Regressus ein entsprechender Modus der Zweiten oder Dritten Figur abgeleitet wird, dann bleibt die Majoraussage der Ersten Figur auch Majoraussage der Zweiten, und die Minoraussage der Ersten bleibt Minoraussage in der Dritten Figur. Dagegen tauschen die Konklusion und die Minoraussage in der Ersten und Zweiten Figur, ebenso die Konklusion und die Major-Aussage in der Ersten und Dritten Figur, nachdem sie in ihre Negationen verwandelt wurden, ihre Plätze, d.h. die Konklusion der Ersten erzeugt durch ihre Negation die Minoraussage in der Zweiten Figur, und die Minoraussage der Ersten Figur erzeugt die Konklusion in der Zweiten, und umgekehrt. Hingegen erzeugt die Konklusion der Ersten Figur die Majoraussage in der Dritten und die Majoraussage der Ersten Figur die Kon klusion in der Dritten. Ferner haben die korrespondierenden Modi der Zweiten und der Dritten Figur, die nämlich aus demselben Modus der Ersten Figur gewonnen sind, einen Satz gemeinsam, der in der Zweiten die Minor- und in der Dritten Figur die Major-Aussage darstellt; die beiden anderen Aussagen tauschen, nachdem sie in ihre jeweiligen Negationen verwandelt wurden, ihre Plätze. Hieraus folgt: Wenn man die entstandenen Modi der Zweiten und Dritten Figur auf dieselbe Art per Regressus behandelt, wie wir es bei der Ersten Figur gemacht haben, so ergeben sich daraus keine neuen Modi, sondern nur diejenigen, die wir schon bestimmt haben. Denn wenn wir in der Zweiten Figur die Majoraussage beibehalten, wird sie auf jenen Modus der Ersten

474

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

tur ad modum primae (eandem majorem habentem) ex quo is modus secundae ductus erat. Sin minorem servemus, reditur ad modum tertiae (46minorem servatam pro sua majore habentem) qui ex eodem modo pimae ductus erat. Idem est in tertia, ubi si minorem servemus reditur ad modum primae (ejusdem minoris) unde is modus tertiae tractus erat; sin majorem servemus, reditur ad modum47 [secundae] (majorem servatam pro sua minore habentem) ex eodem primae ductum. Ita ex48 Cesare per regressum servata majore fit pater Ferio, servata minore frater Datisi; similiter ex49 Datisi per regressum fit pater Ferio aut frater Cesare. 50 Hinc facile etiam sciri potest ad quem primae modum 51 datus aliquis secundae tertiaeve modus reducatur hoc disticho52 observato Altera majorem sed tertia forma minorem Ex prima servat quando regressus erit. Ut jam amplius barbaris vocabulis Cesare, Camestres, etc. reductionis causa inventis opus non sit, modo quis intelligat nihil aliud hic regressum appellari, quam supposita falsitate conclusionis et veritate unius praemissae concludere53 falsitatem alterius praemissae. Res generaliter ita patet dissimulando qualitatem et quantitatem In prima Regressus Ergo Hinc in secunda 46 (1)

CD CD CD

BC BC BD

BD BD BC

eandem pro majore habentem (2) minorem … 47 /tertiae L/ secundae ändert Hrg. mit den Hrg. der Akademieausgabe/ (1) eandem (2) (propositionem (3) majorem … 48 (1) Baroco per regressum servata majore fit pater Barbara aut frater (a) Baroco (b) Bocardo (2) Cesare … 49 (1) Bocardo per regressum fit pater Barbara, aut frater Baroco (2) Datisi … 50 /Hinc … CD erg. L/ 51 (1) propositus (2) datus 52 (1) servato (2) observato 53 (1) verita (2) falsitatem alterius (a) propo (b) praemissae

Über die mit mathematischer Exaktheit

475

Figur zurückgeführt, aus dem er abgeleitet worden war und der dieselbe Major-Aussage enthält. Wenn wir dagegen die Minor-Aussage beibehalten, wird sie auf jenen Modus der Dritten Figur zurückgeführt, der aus dem gleichen Modus der Ersten Figur abgeleitet worden war und dessen Majoraussage die beibehaltene Minoraussage ist. Ebenso verhält es sich bei der Dritten Figur: Wenn wir hier die Minoraussage beibehalten, wird man auf jenen Modus der Ersten Figur (mit derselben Minoraussage) zurückgeführt, aus der dieser Modus der Dritten Figur abgeleitet worden war; und wenn wir die Majoraussage beibehalten, wird sie auf einen Modus der Dritten Figur zurückgeführt, der aus dem gleichen Modus der Ersten Figur abgeleitet worden war und dessen Minoraussage die beibehaltene Majoraussage ist. So wird durch den Regressus bei beibehaltener Majoraussage aus Cesare der »Vater« Ferio, bei beibehaltener Minoraussage hingegen der »Bruder« Datisi; entsprechend wird aus Datisi per Regressus der »Vater« Ferio oder der »Bruder« Cesare. Somit lässt sich auch leicht erkennen, auf welchen Modus der Ersten Figur ein gegebener Modus der Zweiten oder Dritten Figur zurückgeführt wird, indem man nämlich das folgende Distichon beachtet: Die Zweite Figur behält die Major-, die Dritte die Minor-Aussage Aus der Ersten Figur, wenn der Regressus angewendet wird. Somit bedarf es der barbarischen, für die Zwecke der Reduktion erfundenen Namen Cesare, Camestres, usw. nicht mehr, sobald man einsieht, dass der Regressus nichts anderes bedeutet, als dass bei Voraussetzung der Falschheit der Konklusion und der Wahrheit der einen Prämisse die Falschheit der anderen folgt. Allgemein stellt sich die Sache, wenn man die Qualität und die Quantität [der Aussagen] außer Acht lässt, wie folgt dar: In Figur I Regressus Also Somit in Figur II

CD CD CD

BC BC BD

BD BD BC

476

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

In prima Regressus Ergo Hinc in tertia

CD CD BD

BC BC

BD BD

BC

CD

54

Haec secundae tertiaeque figurae demonstratio simul continet earum originem a priori, seu modum quo potuere inveniri quae demonstrandi ratio optima est; synthetica enim est sive combinatoria, non vero analytica quae figuras istas jam datas assumit. Praevideri etiam hac methodo potest quot modi et figurae oriantur, nam unus modus figurae primae unum dat secundae unumque tertiae. Fecit autem, credo, neglectus novorum a me additorum modorum primae et secundae figurae, ut hoc methodus non observaretur; alias enim non apparet ejus universalitas in modis tertiae ex prima derivandis, unde Logici communiter utuntur conversionibus ad demonstrandos secundae et tertiae figurae modos; set ita simul incidere in modos quartae. Haec vero nostra Methodus figuras directas secundam nempe et tertiam ex prima ducit per regressum, at modos indirectos figurae scilicet quartae per regressum solum obtinere non licet, sed conversiones55 sunt adhibendae, quae tamen ipsae per secundam tertiamque figuram debent demonstrari, ut nunc ostendam. Unde hac methodo vera ratio apparet, cur quarta figura a figurarum directarum numero excludatur, et secundae tertiaeque sit postponenda, quandoquidem non nisi per illas demonstratur. Ut autem ad quartam figuram accedamus, praedemonstrandae erunt conversiones. (1) In Cesare secundae demonstratur Universalem Negativam posse converti simpliciter, nempe: Nullum A est B, Omne B est B. Ergo Nullum B est A. 54 (1)

Haec (a) demonstrat (b) Demonstratio secundae tertiaeque figurae (2) Quoniam ergo (a) regressu (b) per regressum ex secunda tertiaque figura nulli novi habentur modi (3) Ex figura secunda et tertia jam demons (4) Haec … 55 (1) obtinendae sunt, quae tamen per regressus, nempe ex secunda ter (2) sunt …

Über die mit mathematischer Exaktheit

In Figur I Regressus Also Somit in Figur III

CD CD BD

BC BC

BD BD

BC

CD

477

Dieser Beweis der Zweiten und der Dritten Figur enthält zugleich deren Ursprung a priori, d.h. die Art und Weise, in der sie entdeckt werden konnten. Dies ist die beste Beweismethode, nämlich die synthetische oder kombinatorische, im Gegensatz zur analytischen, die diese Figuren als schon gegeben voraussetzt. Durch jene Methode kann auch vorhergesagt werden, wie viele Modi und Figuren entstehen, denn ein Modus der Ersten Figur liefert jeweils einen der Zweiten und einen der Dritten Figur. Ich denke, dass die Vernachlässigung der neuen, von mir hinzugefügten Modi der Ersten und Zweiten Figur schuld daran ist, dass diese Methode nicht bemerkt wurde; denn andernfalls fällt ihre Allgemeingültigkeit bei der Ableitung der Modi der Dritten aus der Ersten Figur nicht ins Auge, weshalb die Logiker sich gewöhnlich der Konversionsgesetze bedienen, um die Modi der Zweiten und der Dritten Figur herzuleiten; doch auf diese Weise stoßen sie zugleich auf Modi der Vierten Figur. Unsere Methode hingegen leitet die direkten Figuren, d.h. die Zweite und die Dritte, durch den Regressus her. Die indirekten Modi, also die der Vierten Figur, vermag man jedoch nicht durch den Regressus allein zu erhalten, sondern hier müssen auch die Konversionsregeln hinzugezogen werden, die freilich selber mittels der Zweiten und Dritten Figur bewiesen werden können, wie nun gezeigt werden soll. Durch dieses Vorgehen wird somit der wahre Grund aufgedeckt, wieso die Vierte Figur nicht zur Menge der direkten Figuren gehört und der Zweiten und Dritten Figur nachzuordnen ist, weil sie nämlich nur durch diese bewiesen wird. Um nun aber zur Vierten Figur zu kommen, sind vorher die Konversionen zu beweisen: (1) Gemäß Cesare der Zweiten Figur lässt sich zeigen, dass die universell verneinende Aussage simpliciter umgekehrt werden kann, nämlich: Kein A ist ein B; Jedes B ist ein B; also Kein B ist ein A.

478

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

(2) In Darapti tertiae demonstratur Universalem Affirmativam posse converti per accidens, nempe: Omne A est A. Omne A est B. Ergo Quoddam B est A. (3) In56 Festino secundae demonstratur universalem negativam posse converti per accidens, nempe: Nullum A est B, quoddam B est B. Ergo B non est A. (4) In Datisi tertiae demonstratur57 particularem affi rmativam posse converti simpliciter, nempe: Omne A est A. Quodddam A est B. Ergo quoddam B est A. Hoc modo enim (ut et in demonstranda subalternatione apparuit) con sequentiae biterminae, adhibitis propositionibus identicis, eundem terminum bis ponentibus, praebent syllogismos triterminos. Conversio per contrapositionem huc non pertinet, in contrapositione enim ipsi termini mutantur translata 58 [negatione] a copula seu forma in ipsum terminum seu materiam 59. Licet autem identicae aliis etiam in modis adhibeantur, tamen nullas novas conversiones obtinebimus, sed plerumque in conclusionem praemissae repetitricem incidemus. Cui accedit quod solae propositiones affi rmativae identicae esse possint, et pro negativis veniendum est ad contrapositionem. Ut enim dicere possum, Omnis homo est homo, ita dicere etiam possum Nullus nonhomo est homo. Sed contrapositio ut dixi hujus loci non est.60

56 (1)

Darap (2) Festino 57 (1) universalem (2) particularem 58 /mutatione L/ negatione ändert Hrg. 59 /ut adeo consequentia per contrapositionem revera streicht L/ 60 Am Ende der Seite der Verweis „Figura Qu arta“. Im Übrigen enthält das Manuskript noch eine längere Anmerkung zu Fabri, die in der Akademieausgabe (A VI, 4, 503–505) abgedruckt ist.

Über die mit mathematischer Exaktheit

479

(2) Gemäß Darapti der Dritten Figur lässt sich zeigen, dass die universell bejahende Aussage per accidens umgekehrt werden kann, nämlich: Jedes A ist ein A; Jedes A ist ein B; also Ein B ist ein A. (3) Gemäß Festino der Zweiten Figur lässt sich zeigen, dass die universell verneinende Aussage per accidens umgekehrt werden kann, nämlich: Kein A ist ein B; Ein B ist ein B; also Ein B ist nicht ein A. (4) Gemäß Datisi der Dritten Figur lässt sich zeigen, dass die partikulär bejahende Aussage simpliciter umgekehrt werden kann, nämlich: Jedes A ist ein A; Ein A ist ein B; also Ein B ist ein A. Auf diese Art und Weise (die auch schon beim Beweis der Subalternation in Erscheinung getreten ist), erweisen sich die [»einfachen«] Schlüsse mit zwei Begriffen als Syllogismen mit drei Begriffen, wobei identische Aussagen hinzu genommen werden, in denen ein und derselbe Begriff zweimal vorkommt. Die Konversion durch Kontraposition gehört nicht hierher; bei der Kontraposition werden nämlich die Begriffe selber verändert, indem die Negation von der Kopula, also der Form, auf den Begriff selber, also auf den Inhalt, übergeht. Obwohl identische Sätze auch in anderen Modi benutzt werden können, ergeben sich keine neuen Konversionen, sondern meistens nur Konklusionen, die irgendeine Prämisse wiederholen. Hinzu kommt, dass als identische Aussagen nur bejahende in Frage kommen, und für die verneinenden [identischen Aussagen] müsste man die Kontraposition heranziehen. So wie man nämlich sagen kann: Jeder Mensch ist ein Mensch, so kann man auch sagen: Kein Nicht-Mensch ist ein Mensch; doch die Kontraposition soll, wie erwähnt, hier nicht betrachtet werden.

480

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

5.2.3 Kommentar „Kein Kommentar“ wäre man fast geneigt zu sagen – so klar erscheinen Leibniz‘ Ausführungen, mit denen er zeigt, dass die gesamte Syllogistik sich auf die Geltung der folgenden »axiomatischen« Grundprinzipien reduzieren lässt: (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Das „Fundamentum syllogisticum“ bzw. das „Dictum de omni et nullo“, welches zu Recht als eine analytisch wahre Aussage angesehen werden kann. Die Gesetze der Subalternation, die selber aus dem „Fundamentum Syllogisticum“ mit Hilfe der »Identität« I(B,B), d.h. ‚Einige B sind B‘, ableitbar sind. Der aussagenlogische Schluss des Regressus, dem zufolge aus der Gültigkeit eines Schlusses von zwei Prämissen P1, P2 auf die Konklusion K gefolgert werden kann, dass auch die folgenden Schlüsse logisch gültig sind: ¬K, P1 ⇒ ¬P2 bzw. ¬K, P2 ⇒ ¬P1. Die Gesetze der Opposition, denen zufolge die PN die Negation der UA und die PA die Negation der UN darstellt. Die Gesetze der Konversion, die selber wiederum aus den schon bewiesenen Prinzipien mit Hilfe von I(B,B) und der weiteren Identität A(B,B), d.h. ‚Jedes B ist ein B‘, abgeleitet werden können.

Mit dieser Reduktion zeigt sich zugleich, dass die drei »direkten« Figuren jeweils gleich viele, nämlich sechs gültige Modi enthalten. Umso überraschender muss deshalb die eingangs aufgestellte Behauptung erscheinen, dass es in der »indirekten« Vierten Figur neun gültige Modi geben soll. Dabei handelt es sicher nicht um einen bloßen Lapsus, denn der textkritische Apparat (# 10) zeigt, dass Leibniz statt ‚neun‘ zunächst ‚acht‘ erwogen hatte. Andererseits fi ndet sich in zahlreichen späteren Briefen der Hinweis, dass Leibniz bereits „in seiner Jugend“ die bemerkenswerte Symmetrie entdeckt habe, dass alle vier Figuren die gleiche Anzahl gültiger Schlussweisen

Kommentar

481

besitzen.1 De facto war ihm diese Tatsache jedoch zumindest 1666, also zur Zeit der Abfassung des Jugendwerks „De Arte Combinatoria“, noch nicht klar bewusst, wie er 1686 in einem Brief an Placcius eingestand.2 Hieraus scheint zu folgen, dass „De formis syllogismorum mathematice defi niendis“ nach 1666 aber vor 1686 verfasst wurde. Tatsächlich gehen die Herausgeber der Akademieausgabe wegen des Wasserzeichens des Papiers von einer mutmaßlichen Entstehungszeit „Mai 1682 bis Dezember 1684“ aus.3 Eine mögliche Erklärung für die falsche, viel zu hoch angesetzte Zahl der gültigen Modi der Vierten Figur ist vielleicht darin zu suchen, dass diese nach traditioneller Auffassung fünf betragen soll, Leibniz diesen jedoch die sog. »indirekten Modi« der Ersten Figur hinzurechnen möchte, die – wie er in mehreren anderen Arbeiten betont hat – in Wirklichkeit zur Vierten Figur gehören.4 Wie dem auch sei, ohne eine genauere 1 Vgl.

den Brief vom 22. März 1714 an Bourguet „J’ay demontré dans ma jeunesse, non seulement qu’il y a veritablement quatre figures, ce qui est aisé, mais aussi que chaque Figure a six modes utiles“ (GP 3, 569). Vgl. ferner den Brief vom 2. September 1708 an Koch: „Inveni olim cujusque figurae modos bonos sex nec plures aut pauciores esse posse“ (GP 7, 478) sowie den Brief Ende 1696 an Gabriel Wagner „Ich habe auch etwas zur neugierigkeit beygetragen, indem ich wißkunstig bewießen, daß iede der vier figuren just nur sechs gültige arthen habe und also (gegen die gemeine lehre) eine soviel als die andere, immaßen die Natur in allen Dingen regular“ (GP 7, 519). 2 Vgl. D VI, 1, 31–32: „Ceterum, ut obiter dicam, erraveram ipse in libello Artis combinatoriae, cum numerum modorum utilium inirem. Modi enim quartae esse debent AEE, AAI, EAO, EIO, AEO [IAI]“. Das Zitat wurde übernommen von Couturat (1901), S.6–7, Fn. 2. Offiziell hat Leibniz auch in den Acta Eruditorum von 1691 auf den entsprechenden Fehler von 1666 hingewiesen. 3 Vgl. A VI, 4, 496 sowie die einleitenden Bemerkungen zu „De modis syllogisticis primariis atque secundariis“, A VI, 4, 494. 4 Da die Anzahl der »indirekten« Modi jedoch im Allgemeinen mit fünf bzw. sogar mit sechs angesetzt wird, käme man so eigentlich auf eine Summe von zehn bzw. elf statt neun. In diesem Zusammenhang ist auch zu beachten, dass Leibniz in der langen, nachträglich eingefügten Anmerkung

482

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Erörterung der Vierten Figur, die in „De Formis syllogismorum mathematice defi niendis“ fehlt und die erst im folgenden Text behandelt werden soll, lässt sich dieses Rätsel schwerlich lösen. Für eine relativ frühe Datierung der vorliegenden Schrift sprechen jedenfalls auch die fragmentarischen Überlegungen am Schluss der Arbeit, wo Leibniz kurz auf das Prinzip der Kontraposition bzw. allgemeiner auf die Zulassung negativer Begriffe eingeht. Zum einen äußert er hier das Bedenken, der Rückgriff auf eine „Konversion per Kontraposition“ sei logisch nicht ganz einwandfrei, weil dabei die Negation „von der Kopula, also der Form, auf den Begriff selber, also auf den Inhalt, übergeht“.5 Dies erinnert stark an die Bedenken, die er bereits in der Dissertation von 1666 und noch in einer Arbeit vom April 1679 formuliert hatte.6 Ferner wird Leibniz auch in der vorliegenden Arbeit der Unterschied zwischen der Obversion und der Kontraposition nicht wirklich klar. Allem Anschein nach hat er ja (in Verallgemeinerung des Beispiels ‚Jeder Mensch ist ein Mensch‘, also ‚Kein Nicht-Mensch ist ein Mensch‘) den Schluss vor Augen, der es gestattet, eine UA ‚Alle B sind C‘ in die UN ‚Kein Nicht-C ist ein B‘ umzuformen bzw. umgekehrt die UN ‚Kein B ist ein C‘ in die UA ‚Jedes B ist ein Nicht-C‘. Dieses üblicherweise als Obversion bezeichnete Gesetz wäre wie folgt zu formalisieren: Obv 3 Obv 1

A (B ,C ) ↔ E (B ,~ C ) E (B ,C ) ↔ A (B ,~ C ).

zu Fabry letztendlich bemerkt, dass es insgesamt eben doch 4 mal 6 = 24 gültige Modi gäbe: „Habet Fabrius modos 50 utiles, hoc est revera 25 […]. Ego habeo modos utiles tantum 24“ (A VI, 4, 504). 5 Aus inhaltlich-logischer Perspektive scheint klar, dass Leibniz hier sagen wollte: „in contrapositione enim ipsi termini mutantur translata negatione [!] a copula seu forma in ipsum terminum seu materiam“. Dieser Lapsus wurde jedoch weder von Couturat noch von den Hrg. der Akademieausgabe korrigiert. 6 Vgl. weiter oben die Diskussion der „Dissertatio de Arte Combinatoria“ in Abschnitt 2.2.3 bzw. der „Regulae ex quibus …“ in Abschnitt 3.4.3.

Kommentar

483

Unter einer echten Kontraposition versteht man hingegen den Übergang von ‚Alle B sind C‘ zu ‚Alle nicht-C sind nicht-B‘: Hier werden also beide Begriffe B, C durch ihre Negationen ~B, ~C ersetzt: Kontra 1 A (B ,C ) → A (~ C ,~B ).

Wenn Leibniz des Weiteren ausführt, dass nur affirmative Aussagen die Gestalt einer »Identität« annehmen können, während man bei negativen Aussagen Zuflucht zur Kontraposition nehmen müsse, dann meint er offenkundig, dass man aus Omne

A(B,B)

via Obversion die weitere »Identität« Nullum

E(B,~B)

ableiten kann. So folgt ja aus seinem Beispiel ‚Jeder Mensch ist ein Mensch‘ mittels Obv  3 die Aussage ‚Kein Mensch ist ein Nicht-Mensch‘, die sich angesichts der einfachen Konvertierbarkeit einer UN in Leibniz‘ Variante ‚Kein Nicht-Mensch ist ein Mensch‘ umformen lässt. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass man analog von der partikulär affi rmativen Aussage ‚Einige B sind B‘ per Obversion, d.h. genauer mittels Obv 4

I(B ,C ) ↔ O (B ,~ C ),

zur PN ‚Einige B sind nicht Nicht-B‘ übergehen kann. D.h. neben der »affirmativen Identität« Quoddam

I(B , B )

erhielte man als weitere »negative Identität« die Aussage Haudum

O (B ,~B ). 7

Abschließend sei noch erwähnt, dass Leibniz den obigen Beweis der Subalternationsgesetze in mehreren anderen Arbeiten 7 Der

»Name« dieses Gesetzes beruht auf dem genialen Vorschlag von Leibniz, der weiter oben (Kap. 4.5) erörtert wurde.

484

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

als Beleg dafür hervorgehoben hatte, dass »identische Aussagen« in der Logik durchaus einen Wert haben. So erklärte er in einem Fragment aus dem Zeitraum 1686-87: Auf ähnliche Weise wird mittels einer identischen Aussage die Subalternation, d.h. die Ableitung der partikulären aus der universellen Aussage bewiesen. ‚Jedes A ist ein B‘, also ‚Ein A ist ein B‘. Dabei wird ein Syllogismus der Ersten Figur vorausgesetzt. Die Ableitung erfolgt so: ‚Jedes A ist ein B‘ (nach Annahme); ‚Ein A ist ein A‘ (gemäß Identität), also ‚Ein A ist ein B‘. Auch wenn das nicht hierhin gehört, so führe ich es dennoch als Beispiel an, damit deutlich wird, dass auch identische Aussagen ihren Nutzen besitzen.8

Dass die Subalternation – bzw. die beim »Beweis« vorausgesetzte »Identität« Quoddam – nicht im strengen Sinne formallogisch gültig ist, wurde von Couturat heftig kritisiert.9 Leibniz‘ 8 Vgl.

A VI, 4, 805: „Similiter ope propositionis identicae demonstratur subalter natio, seu collectio particularis ex universali. Omne A est B, ergo quoddam A est B supposito syllogismo primae figurae. Collectio talis est: Omne A est B (ex hypothesi), quoddam A est A (per identicam). Ergo quoddam A est B. Qu ae etsi non sint hujus loci, tamen exempli causa affero, ut appareat, identicas quoque suum usum habere“. Vgl. auch das Fragment „De demonstratione axiomatum non identicorum“ aus der Zeit um 1682–84: „Simili ratione aliquando ostendi Logicas consequentias commode demonstrari per veritates identitas. Exempli gratia haec consequentia: Omnis homo est animal. Ergo quidam homo est animal, est Enthymema, quod perficitur et transit in syllogismum ope suppletae propositionis identicae: Omnis homo est animal. Qu idam homo est homo. Ergo quidam homo est animal“ (A VI, 4, 507). 9 Vgl. Couturat (1901), S.9–10, Fn. 4: „Il faut remarquer que la subalternation faut ce que vaut la prémisse soi-disant identique: «Quelque A est A». Or si l’universelle: «Tout A est B» n’a pas de portée existentielle, la particulière «Quelque A est B» en a une, en ce qu’elle implique qu’il y a des A: car «quelque A» est considéré comme contradictoire de «nul A». Par suite, dire «quelque A est A», c’est dire qu’il existe des A, ce qui n’est nullement une proposition identique. La particulière contient donc quelque chose de plus que l’universelle correspondante, à savoir ce jugement d’existence,

Kommentar

485

Stellungnahme zu diesem Problem fi ndet sich in der in Kap. 2.6 ausführlich diskutierten Arbeit „Difficultates quaedam logicae“. Im folgenden Abschnitt 5.3 wird die »Axiomatisierung« der Syllogistik durch die Behandlung der Vierten Figur abgerundet.

et ne peut pas s’en déduire. Aussi la Logique moderne n’admet-elle pas la subalternation.“

486

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

5.3.1 Aus „Schedae de novis formis syllogisticis“1 Modi primae 2 Barbara Celarent Darii Ferio Gabali Legano

ACD. ECD. ACD. ECD. ACD. ECD.

ABC. ABC. IBC. IBC. ABC. ABC.

ABD EBD IBD OBD IBD OBD

Modi secundae cum reductione vulgari ad ex ad ad per

Cesare Celarent Camestres Celarent Festino Ferio Lesaro Legano Baroco Barbara

EDC. ECD. ADC. ECB. EDC. ECD. EDC. ECD. ADC. ADC.

ABC. ABC. EBC. ADC. IBC. IBC. ABC. ABC. OBC. ABD.

EBD EBD. EBD EDB OBD OBD OBD OBD OBD ABC

3

Nam si quis neget conclusionem in Baroco quae est OBD, seu statuat oppositam ABD, admittatu majorem in Baroco quae est ADC, in Barbara cogetur admittere ABC, seu negare4 OBC, quae est minor in Baroco; nemo ergo admissis praemissis in Baroco negare potest conclusionem. per 1 Ediert

Gaceno Gabali

ADC. ADC.

EBC. ABD.

OBD IBC

nach der Handschrift LH IV, 6, 15, 2; vgl. auch C., 208–209. 2 Leibniz hat die Tabellen zweispaltig angelegt; aus typographischen Gründen werden sie hier einspaltig reproduziert. 3 (1) Nam negando conclusionem in Baroco, et (2) Nam … Baroco (a) (b) quae … 4 /praemissam streicht L/

Aus „Neue syllogistische Schlussweisen“

487

5.3.2 Aus „Neue syllogistische Schlussweisen“

Barbara Celarent Darii Ferio Gabali Legano

Die Modi der Ersten Figur ACD. ABC. ABD ECD. ABC. EBD ACD. IBC. IBD ECD. IBC. OBD ACD. ABC. IBD ECD. ABC. OBD

Die Modi der Zweiten Figur mit der üblichen Reduktion

ad ex ad ad per

Cesare Celarent Camestres Celarent Festino Ferio Lesaro Legano Baroco Barbara

EDC. ECD. ADC. ECB. EDC. ECD. EDC. ECD. ADC. ADC.

ABC. ABC. EBC. ADC. IBC. IBC. ABC. ABC. OBC. ABD.

EBD EBD EBD EDB OBD OBD OBD OBD OBD ABC

Denn wenn jemand die Konklusion von Baroco, also OBD, verneint und somit das Gegenteil, also ABD, behauptet, und wenn er zugleich die Wahrheit der Majoraussage von Baroco, also ADC, zugesteht, dann ist er wegen Barbara gezwungen zuzugestehen, dass ABC, d.h. er verneint OBC, welches die Minoraussage von Baroco darstellt. Also kann niemand, der die Prämissen von Baroco zugibt, die Konklusion verneinen. per

Gaceno Gabali

ADC. ADC.

EBC. ABD.

OBD IBC.

488

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Nimirum conclusionis et alterius praemissarum in dato modo reducendo sumendae sunt oppositae servata altera praemissarum.5 Modi tertiae cum Reductione vulgari ad ex ad per ad ad

Darapti Darii Disamis Darii Datisi Darii Bocardo Barbara Felapton Ferio Ferison Ferio

ACD. ACD. ICD. ACB. ACD. ACD. OCD. ABD. ECD. ECD. ECD. ECD.

ACB. IBC. ACB. IDC. ICB. IBC. ACB. ACB. ACB. IBC. ICB. IBC.

IBD IBD IBD IDB IBD IBD OBD ACD OBD OBD OBD OBD

Modi quartae cum reductione vulgari ex ex ex

Baralimp Barbara Digamis Darii Cademop Celarent

ADC. ACB. IDC. ACB. ADC. ECB.

ACB. ADC. ACB. IDC. ECB. ADC.

IBD ADB IBD IDB OBD EDB

nempe op fit ex ent conversione per accidens ex ad ad

5 /

Calmentes Celarent Fesapo Ferio Fresiso Ferio

ADC. ECB. EDC. ECD. EDC. ECD.

ECB. ADC. ACB. IBC. ICB. IBC.

modus streicht L

EBD EDB OBD OBD OBD OBD

Aus „Neue syllogistische Schlussweisen“

489

Allerdings sind in dem gegebenen, zu reduzierenden Modus, während die eine Prämisse beibehalten wird, die Negationen der Konklusion und der anderen Prämisse zu nehmen. Die Modi der Dritten Figur mit der üblichen Reduktion ad ex ad per ad ad

Darapti Darii Disamis Darii Datisi Darii Bocardo Barbara Felapton Ferio Ferison Ferio

ACD. ACD. ICD. ACB. ACD. ACD. OCD. ABD. ECD. ECD. ECD. ECD.

ACB. IBC. ACB. IDC. ICB. IBC. ACB. ACB. ACB. IBC. ICB. IBC.

IBD IBD IBD IDB IBD IBD OBD ACD OBD OBD OBD OBD

Die Modi der Vierten Figur mit der üblichen Reduktion ex ex ex

Baralimp Barbara Digamis Darii Cademop Celarent

ADC. ACB. IDC. ACB. ADC. ECB.

ACB. ADC. ACB. IDC. ECB. ADC.

IBD ADB IBD IDB OBD EDB

denn op ensteht aus ent durch akzidentelle Konversion. ex ad ad

Calmentes Celarent Fesapo Ferio Fresiso Ferio

ADC. ECB. EDC. ECD. EDC. ECD.

ECB. ADC. ACB. IBC. ICB. IBC.

EBD EDB OBD OBD OBD OBD

490

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Cum ex praefigitur modo primae, innuitur sola conversione conclusionis in modo primae haberi6 modum propositum transpositis saltem praemissis. Cum ad praefigitur modo primae, tunc7 ex modo dato reducendo per conversionem fit modus primae habens conclusionem quaesitam. Cum per praefigitur modo primae, tunc fit regressus, seu 8 ostenditur si negetur modus propositus affi rmaturque adeo opposita, inferri oppositam praemissae per modum primae; contra hypothesin.

6 /alium

streicht L/ modum /propositum erg. L/ magis conclus (2) ex … 8 (1) ex modo proposito (2) ostenditur 7 (1)

Aus „Neue syllogistische Schlussweisen“

491

Wenn einem Modus der Ersten Figur ex vorangestellt ist, wird damit angedeutet, dass man den fraglichen [zu reduzierenden] Modus alleine durch Konversion der Konklusion des Modus der Ersten Figur erhält, wobei lediglich die Prämissen umgestellt werden müssen. Wenn einem Modus der Ersten Figur ad vorangestellt wird, dann entsteht aus dem gegebenen, zu reduzierenden Modus durch Konversion ein Modus der Ersten Figur, welcher die gewünschte Konklusion besitzt. Wenn einem Modus der Ersten Figur per vorangestellt wird, dann benutzt man die Schlussfolgerung des Regressus, d.h. man zeigt, dass wenn der fragliche Modus negiert und somit sein Gegenteil behauptet wird, dann mittels eines Modus der Ersten Figur sich das Gegenteil einer Prämisse ableiten lässt, im Widerspruch zur Voraussetzung.

492

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

5.3.3 Kommentar Zu Beginn des Textes fällt auf, dass Leibniz für die subalternen Modi der Ersten Figur statt der üblichen Namen ‚Barbari‘ bzw. ‚Celaro‘ neue Bezeichnungen verwendet, nämlich ‚Gabali‘ und ‚Legano‘. Diese terminologische Änderung erklärt sich aus einer vorher erläuterten Regel, der zufolge „jeder Modus einer abgeleiteten Figur auf einen Modus der Ersten Figur mit dem gleichen Anfangsbuchstaben zurückgeführt werden soll“. Bei der traditionellen Namensgebung hatte man dementsprechend die ersten vier Konsonanten des Alphabets (B, C, D, F) verwendet. Um nun genauer zwischen einer Reduktion auf Barbari und einer solchen auf Barbara (bzw. auf Celaro vs. Celarent) differenzieren zu können, lässt Leibniz die Namen der subalternen Modi mit den folgenden Konsonanten des lateinischen Alphabets, G und L, beginnen.1 Konsequenterweise erhalten dann auch zwei Modi der Zweiten Figur neue Namen. Camestros wird wegen der Reduzierbarkeit auf Barbari alias Gabali nun als Gaceno bezeichnet, und Celaro wegen der Reduzierbarkeit auf Cesaro alias Legano als Lesaro. Als nächstes fasst Leibniz in einer komprimierten Tabelle die traditionelle Reduktion der Figuren II – IV auf Modi der Ersten Figur zusammen. Dabei fi nden drei verschiedene, durch Kürzel ‚ad‘, ‚ex‘ und ‚per‘ bezeichnete Reduktions- bzw. Beweismethoden Anwendung. Mit ‚per‘ symbolisiert Leibniz die Anwendung des Regressus, der allerdings (anders als in „De for mis syllogismorum mathematice defi niendis“) nur ganz selten, nämlich innerhalb der Zweiten Figur bei Baroco und Gaceno, eingesetzt wird. Ansonsten erfolgt die Reduktion mittels der 1 Vgl.

C., 207: „Porro quia reperi duos novos modos secundae non posse per regulas dictorum versuum duci ex modis veteribus primae, sed sic ex modis ejus novis oriri, ideo ut regulam servarem, quod quivis modus figurae derivativae reducendus sit ad modum primae ejusdem initialis, et quia B, C, D, F, sunt initiales quatuor veterum modorum primae; nunc pro duobus novis adhibui G et L“.

Kommentar

493

Gesetze der Konversion in zwei Varianten. Im einfachen, durch ‚ex‘ bezeichneten Fall wird lediglich eine Konversion der Konklusion vorgenommen (wobei zusätzlich noch die beiden Prämissen umgestellt werden müssen). Im komplexeren Fall ‚ad‘ müssen beide Prämissen des zu reduzierenden Modus konvertiert werden. So ergibt sich für die sechs Modi der Vierten Figur folgender Beweis: (i) Baralimp (alias Baralip) gewinnt man „aus“ („ex“) Barbara, indem man dort, d.h. in dem Schluss A(C,B), A(D,C) ⇒ A(D,B), die Prämissen vertauscht und die Konklusion „per accidens“ zu I(B,D) konvertiert. So entsteht der Modus der Vierten Figur A(D,C), A(C,B) ⇒ I(D,B), der üblicherweise als ‚Baralip‘ bezeichnet wird. Das ‚p‘ in diesem Namen symbolisiert dabei die Verwendung einer »akzidentellen« Konversion gemäß dem traditionellen Merkvers: S will simpliciter konvertieren, P hingegen per accidens M will umstellen, C gemäß Regressus zurückführen.2 Der Buchstabe ‚m‘ in ‚Baralimp‘ symbolisiert also zusätzlich eine Vertauschung der Prämissen, und der gesamte Name ‚Baralimp‘ hängt mit dem traditionellen ‚Baralip‘ in der Weise zusammen, dass die ersten beiden Vokale umgestellt (!) wurden. Genauer erläuterte Leibniz, dass er aus den traditionellen Bezeichnungen für die fünf »indirekten« Modi der Ersten Figur, d.h. Celantes, Baralip, Dabitis, Fapesmo, Frisesmo

neue Namen für die korrespondieren Modi der Vierten Figur dadurch erzeugt habe, dass er „die beiden ersten Silben [bzw. exakter: deren Vokale] umgestellt und den Buchstaben ‚m‘ hinzugefügt“ bzw. weggelassen habe, je nachdem, ob eine Umstellung der Prämissen erfolgt. Somit ergeben sich: Calmentes, Baralimp, Digamis, Fesapo, Fresiso.

2 Vgl.

etwa C., 204: „S vult simpliciter verti, P porro per acci/ M vult transponi, C per impossibile duci“.

494

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Zur Komplettierung der Vierten Figur kommt schließlich noch der neue Modus Cademop hinzu.3 Die Beweise bzw. Reduktionen erfolgen dann im Einklang mit der jeweiligen Namensgebung wie folgt: (ii) Digamis (alias Dabitis) „aus“ Darii: In dem Schluss Darii A(C,B), I(D,C) ⇒ I(D,B)

vertausche man (wegen ‚m‘) die Prämissen und konvertiere (wegen ‚s‘) die Konklusion simpliciter. So ergibt sich Digamis

I(D,C), A(C,B) ⇒ I(B,D).

(iii) Cademop „aus“ Celarent: In dem Schluss Celarent E(C,B), A(D,C) ⇒ E(D,B)

vertausche man (wegen ‚m‘) die Prämissen und konvertiere (wegen ‚o‘) die Konklusion per accidens. So ergibt sich Cademop

A(D,C), E(C,B) ⇒ O(B,D).

(iv) Calmentes „aus“ Celarent: In dem Schluss Celarent E(C,B), A(D,C) ⇒ E(D,B)

vertausche man (wegen ‚m‘) die Prämissen und konvertiere (wegen ‚s‘) die Konklusion simpliciter. So ergibt sich Calmentes

A(D,C), E(C,B) ⇒ E(B,D).

(v) Fesapo reduziert „auf“ („ad“) Ferio: In dem Schluss Fesapo 3 Vgl.

E(D,C), A(C,B) ⇒ O(B,D)

C., 206–207: „Nomina autem quinque modorum veterum figurae quartae formavi ex nominibus receptis quinque modorum quos vocant indirectos primae: Celantes, Baralip, Dabitis, Fapesmo, Frisesmo. Nam quia hi solis transpositis praemissis, sine ulla alia mutatione, dant quartam; hinc pro nominibus quartae formandis transposui duas priores indirectorum syllabas, et adjeci literam M, ubi in indirectis abest, omisi [ubi adest]. Et fiet: Calmentes, Baralimp, Digami, Fesapo, Fresiso. Sed addi debet novus modus Cademop, ut jam dixi.“ Auf den Lapsus von Leibniz, der statt der Bestimmung ‚ubi adest‘ geschrieben hatte ‚quia abest‘, hat schon Couturat (C., S.207, Fn. 1) hingewiesen.

Kommentar

495

konvertiere man die erste Prämisse (wegen ‚s‘) simpliciter und die zweite (wegen ‚p‘) per accidens. Ohne Umstellung der Prämissen (kein ‚m‘) ergibt sich dann der Schluss Ferio

E(C,D), I(B,C) ⇒ O(B,D).

(vi) Fresiso reduziert „auf“ Ferio: In dem Schluss Fresiso E(D,C), I(C,B) ⇒ O(B,D)

konvertiere man (wegen zweier ‚s‘) beide Prämissen simpliciter. Ohne Umstellung der Prämissen (kein ‚m‘) ergibt sich so wieder der Schluss Ferio

E(C,D), I(B,C) ⇒ O(B,D).

Damit ist der Beweis der Vierten Figur abgeschlossen, und es hat sich im Verbund mit den Ausführungen in „De formis syllogismorum mathematice defi niendis“ bestätigt, dass die gesamte »Aristotelische Syllogistik« (d.h. jene Form der Syllogistik, bei der man auf negative Begriffe verzichtet) auf folgende Grundprinzipien reduziert werden kann: (1) Das „Dictum de omni“ in Gestalt der beiden Modi Barbara A(C,D), A(B,C) ⇒ A(B,D) Darii A(C,D), I(B,C) ⇒ I(B,D). (2) Das „Dictum de nullo“ in Gestalt der beiden Modi Celarent E(C,D), A(B,C) ⇒ E(B,D) Ferio E(C,D), I(B,C) ⇒ O(B,D). (3) Die beiden Oppositionsgesetze Opp 1 ¬A(B,C) = O(B,C) Opp 2 ¬E(B,C) = I(B,C). (4) Die beiden »Identitäten« Omne A(B,B) Quoddam I(B,B). (5) Das aussagenlogische Schlussprinzip: Regressus Wenn P1, P2 ⇒ K, dann P1, ¬K ⇒ ¬P2 bzw. Wenn P1, P2 ⇒ K, dann P2, ¬K ⇒ ¬P1.

Aus dem im nächsten Abschnitt vorgestellten kurzen Text geht schließlich noch hervor, dass man im Rahmen der »Scholasti-

496

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

schen Syllogistik«, bei der negative Begriffe explizit zugelassen werden, auf das „Dictum de nullo“ zugunsten des Prinzips der Obversion verzichten könnte.

498

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

5.4.1 Aus „De formae logicae comprobatione per linearum ductus“1 Promisi ostendere omnes syllogismos negativos posse mutari in affi rmativos, ex negativa faciendo affi rmativam 2 [infi niti praedicati]. Ostendamus percurrendo modos omnes negativos. Celarent dabit3 in Barbara Omn. B est C, omne C est non D. Ergo Omne B est non D. Celaro4 dabit in Barbari Omne B est C, omne C est non D. Ergo quodd. B est non D. Ferio 5 dabit in Darii Quodd. B est C, omne C est non D. Ergo quodd. B est non D. Cesare 6 dabit in Barbara conversione simpliciter majoris: Omne B est C, omne C est non D (quia Null. D est C. Ergo et null. C est D). Ergo Omne B est non D7. Cesaro 8 Ex omne B est non D sequitur Qu. B est non D. Camestres 9 in Barbara Omne B est non C et (quia Omne D est C fit) Omne non C est non D. Ergo omne B est non D. Camestros10 in ex Omne B est non D infert Ergo quoddam B est non D. Festino11 ex Darii Qu. B est C et (quia Null. D est C seu Nullum C est D) Omne C est non D. Ergo Qu. B est non D.

 1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 4, 10 verso; vgl. C., 319–321. subjecti L/ infi niti korr Hrg./ praedicati korr. Hrg. mit

 2 /indefi niti

Couturat/  3 /in Barbara erg. L/  4 /dabit in Barbari erg. L/  5 /dabit in Darii erg. L/  6 (1) Omne B est C dabit (2) dabit in Barbara (a) Omne B est C. Omne D est non C (b) conversione …  7 /seu Nullum B est D streicht L/  8 (1) Ex iisdem Ergo quodd. B est (2) Ex …  9 /in Barbara erg. L/ (1) Nullum (2) Omne … 10 /in iisdem erg. L/ 11 /ex Darii erg. L/

Bestätigung der logischen Form

499

5.4.2 Aus „Bestätigung der logischen Form durch das Zeichnen von Linien“1 Ich habe versprochen zu beweisen, dass sich alle negativen Syllogismen in affi rmative verwandeln lassen, indem man aus der negativen Aussage eine affi rmative mit »unendlichem« [d.h. negativem] Prädikat macht. Das werden wir zeigen, indem wir alle negativen Modi der Reihe nach durchgehen. Celarent ergibt „in“ Barbara: Jedes B ist ein C; Jedes C ist ein nicht-D. Also: Jedes B ist ein nicht-D. Celaro ergibt „in“ Barbari: Jedes B ist ein C; Jedes C ist ein nicht-D. Also: Ein B ist ein nicht-D. Ferio ergibt „in“ Darii: Ein B ist ein C; Jedes C ist ein nicht-D. Also: Ein B ist ein nicht-D. Cesare ergibt „in“ Barbara durch einfache Konversion der Majoraussage: Jedes B ist ein C; Jedes C ist ein nicht-D (weil Kein D ein C ist. Also ist auch Kein C ein D). Also: Jedes B ist ein nicht-D. Cesaro: Aus Jedes B ist ein nicht-D folgt Ein B ist ein nicht-D. Camestres „in“ Barbara: Jedes B ist ein nicht-C und (weil gilt: Jedes D ist ein C, ergibt sich [per Kontraposition]) Jedes nicht-C ist ein nicht-D. Also: Jedes B ist ein nicht-D. Camestros „in“ derselben: Aus Jedes B ist ein nicht-D folgt also: Ein B ist ein nicht-D. Festino „aus“ Darii: Ein B ist ein C und (weil Kein D ist ein C bzw. Kein C ist ein D) Jedes C ist ein nicht-D. Also: Ein B ist ein nicht-D.

1 Vgl.

auch die Übersetzung in Schmidt (1960), S. 415–417.

500

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Baroco ex Darii Qu. B est non C12 et (quia Omne D est C) Omne non C est non D. Ergo Qu. B est non D. Felapton ex Darii13 Qu. B est C (quia Omne C est B) Omne C est non D. Ergo Qu. B est non D.14Vel si malumus residere figuram (quod in secunda non licuit) in Darapti: Omne C est B. Omne C est non D. Ergo Qu. B est non D. Bocardo ex Disamis Omn. C est B. Qu. C est non D. Ergo Qu. B est non D. Ferison15 ex Datisi. Qu. C est B. Omne C est non D. Ergo Qu. B est non D. Callentes16 ex Barbara. Nempe Callentes ita stat: Null. C est B. Omn. D est C. Ergo Null. B est D. Transpositis praemissis fiat Omn. D est C. Omne C est non B. Ergo Omne D est non B seu Null. D est B, unde convertendo Null. B est D. Unde et in Callentos iisdem manentibus17 praemissis concluditur Qu. B non est D. Fessapmo18 ut reducatur ad Baralip, modum ejusdem figurae sola qualitate ubique differentem, oportet in universali negativa subjectum facere infi nitum seu negativum, quod licet. Sic ergo: Omne C est B. Omne non D est C (quia Null. D est C). Ergo Qu. B est non D. Fresismo non habet modum ejusdem19 figurae sola qualitate ubique differentem. Revocabimus ergo ad 20 Darii primae figurae. Nempe Qu. C est B (unde Qu. B est C) Null. D est C (unde Omne C est non D). Ergo Qu. B est non D. Rem ergo habemus in omnibus modis comprobatam.

12 (1)

Omne (2) et … 13 (1) Omne (2) Qu . … Omne C est (a) non (b) B … 14 (1) Disamis eodem modo. Bocardo (2) /vel … licuit) erg. L/ in … 15 (1) in (2) ex 16 (1) in (2) ex 17 /in L/ streicht Hrg. 18 (1) in Baralip Omne C est B. Non potest ad Baralip qui (2) ut … sola /enim erg. L/ qualitate /ubique erg. L/ differentem … 19 (1) quantitatem, (2) 20 (1) primam figuram (2) Darii …

Bestätigung der logischen Form

501

Baroco „aus“ Darii: Ein B ist ein nicht-C und (weil Jedes D ist ein C [per Kontraposition]) Jedes nicht-C ist ein nicht-D. Also: Ein B ist ein nicht-D. Felapton „aus“ Darii: Ein B ist ein C (denn Jedes C ist ein B); Jedes C ist ein nicht-D. Also: Ein B ist ein nicht-D. Oder wenn wir es vorziehen, die Figur beizubehalten (was in der Zweiten nicht erlaubt ist) „in“ Darapti: Jedes C ist ein B. Jedes C ist ein nicht-D. Also: Ein B ist ein nicht-D. Bocardo „aus“ Disamis: Jedes C ist ein B. Ein C ist ein nicht-D. Also: Ein B ist ein nicht-D. Ferison „aus“ Datisi: Ein C ist ein B. Jedes C ist ein nicht-D. Also: Ein B ist ein nicht-D. Callentes „aus“ Barbara: Denn Callentes schaut so aus: Kein C ist ein B. Jedes D ist ein C. Also: Kein B ist ein D. Stellt man die Prämissen um, so ergibt sich: Jedes D ist ein C. Jedes C ist ein nicht-B. Also: Jedes D ist ein nicht-B bzw. Kein D ist ein B, woraus sich per Konversion ergibt: Kein B ist ein D. Somit wird auch in Callentos bei gleich bleibenden Prämissen erschlossen: Ein B ist nicht ein D. Um Fessapmo „auf“ Baralip zu reduzieren, einen Modus derselben Figur, der sich nur überall durch die Qualität unterscheidet, muss man in der universell verneinenden Aussage das Subjekt in einen »unendlichen«, d.h. negativen Begriff umformen, was erlaubt ist. So ergibt sich also: Jedes C ist ein B. Jedes nicht-D ist ein C (denn Kein D ist ein C). Also: Ein B ist ein nicht-D. Zu Fresismo gibt es keinen Modus derselben Figur, der sich nur überall durch die Qualität unterscheidet. Deshalb führen wir ihn „auf“ Darii der Ersten Figur zurück. Denn Ein C ist ein B (und deshalb Ein B ist ein C); Kein D ist ein C (und deshalb Jedes C ist ein nicht-D). Also: Ein B ist ein nicht-D. Damit haben wir die Sache für alle Modi bewiesen.

502

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Ex hoc principio etiam ostendemus ex puris negativis sequi aliquid, sed conclusionem habere quartum terminum.21 In syllogismis igitur nostris manet regula quod ex puris negativis nil sequatur. Aliter autem aliquid inde sequi sic ostendemus: Nullus homo est lapis. Nullus homo est angelus. Ergo quidam non angelus non est lapis. Res ostenditur reductione negativarum ad meras affi rmativas hoc modo: Omni homo est non lapis. Omnis22 homo est non angelus. Ergo quidam 23 non angelus est non lapis, vel quidam non lapis24 [est non] angelus, ubi sunt non nisi tres termini.25 Vel sic: Qu idam non lapis est homo. Omnis homo est non angelus. Ergo quidam non lapis est 26 [non] angelus vel contra. Videamus an27 aliquid etiam ex universali et particulari negativis simul sequatur. Et quidni?28 Nullus homo est [angelus]. Qu idam 29 homo non est sapiens. Hinc omnis homo est non 30 angelus. Qu idam homo est non sapiens. Ergo quidam non sapiens est non angelus. Sed haec nihil mutant in figura syllogistica. Nec operae pretium est haec amplius deduci, nam facile ex his quae constant colligantur. Videri tamen possunt quae habet Cl. Sturmius in suo quem vocat Euclide catholico, quem olim juvenis in Batavis dedit, et quem31 adulescens legere memini. Etsi nostris desideratis non satisfaceret. 21 (1) Nam (a) igitur (b) ideo in syllogismis nostris aliquid sequitur e (2) In … 22 (1)

angelus est non lapis (2) homo … 23 (1) angelus non est lapis qu (2) /non erg. L/ angelus … 24 /non est angelus L/ est non angelus korr. Hrg. mit Couturat/ubi(a) manent (b) sunt … 25 (1) Idem succedit etiam si alterutra (2) vel sic Omnis homo est non lapis. Qu idam non lapis est angulus (2) Vel … 26 /non erg. Hrg. mit Couturat/ 27 (1) talia equidem ex (2) aliquid etiam (a) uni (b) ex … 28 (1) Omnis non homo non (2) Nullus homo est /lapis L/ angelus korr. Hrg. 29 (1) sapiens non est homo (2) homo … 30 (1) lapis (2) angelus 31  (1) quoque (2) adulescens / streicht L/ legere …

Bestätigung der logischen Form

503

Mit Hilfe dieses Prinzips [der Obversion] können wir auch zeigen, dass aus rein negativen Aussagen etwas folgt, doch in der Konklusion kommt dann ein vierter Begriff vor. Deshalb bleibt in unseren Syllogismen die Regel bestehen, dass allein aus negativen Aussagen nichts folgt. Dass jedoch in anderer Weise etwas aus ihnen folgt, zeigen wir so: Kein Mensch ist ein Stein. Kein Mensch ist ein Engel. Also: Ein Nicht-Engel ist nicht ein Stein. Dies beweist man wie folgt durch Reduktion der negativen Aussagen auf affi rmative: Jeder Mensch ist ein NichtStein. Jeder Mensch ist ein Nicht-Engel. Also: Ein Nicht-Engel ist ein Nicht-Stein bzw. Ein Nicht-Stein ist ein Nicht-Engel, wobei nur drei Begriffe vorkommen. Oder so: Ein Nicht-Stein ist ein Mensch. Jeder Mensch ist ein Nicht-Engel. Also: Ein NichtStein ist ein Nicht-Engel, oder umgekehrt [Ein Nicht-Engel ist ein Nicht-Stein]. Lasst uns auch schauen, ob etwas aus einer universell negativen und einer partikulär negativen Aussage zugleich erschlossen werden kann. Und warum auch nicht? Kein Mensch ist ein Engel. Ein Mensch ist nicht weise. Daraus ergibt sich [per Obversion]: Jeder Mensch ist ein Nicht-Engel. Ein Mensch ist ein Nicht-Weiser. Also: Ein Nicht-Weiser ist ein Nicht-Engel. Doch solche Schlüsse ändern nichts an [der Lehre von] der syllogistischen Figur. Und es lohnt sich auch nicht, diese weiter zu verfolgen, denn sie lassen sich leicht aus den geltenden [Syllogismen] ableiten. Trotzdem kann man jene [Schlussweisen] aus dem Buch von [J. Ch.] Sturm betrachten, das er als „Katholischen Euklid“ bezeichnet und einst als Jugendlicher in Passau herausgegeben hat und welches ich mich als Heranwachsender gelesen zu haben erinnere, auch wenn es unsere Erwartungen nicht erfüllt hat.2 2 Leibniz

meint hier wohl Johann Christian Sturms Werk Universalia Euclidea, das nach Angaben der Hrg. der Akademieausgabe 1661 in Den Haag erschien (vgl. A VI, 4, 682, Fn. 8). In der „Dissertatio de Arte Combinatoria“ hatte Leibniz etwas korrekter auf das „Compendium Universalium seu Metaphysicae Euclideae“ des Joh. Ch. Sturm verwiesen und als Jahr des Erscheinens 1660 genannt.

504

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

5.4.3 Kommentar Wenn Leibniz in diesem Textabschnitt, der nur einen Bruchteil der komplexen Überlegungen zur „Bestätigung der logischen Form durch das Zeichnen von Linien“ enthält, die gleiche systematische Sorgfalt hätte walten lassen, die seine Ausführungen „Über die mit mathematischer Exaktheit zu bestimmenden syllogistischen Modi“ auszeichnet, dann hätte er sich viel Arbeit ersparen können. Denn um zu zeigen, dass sich alle »negativen« Modi auf affi rmative zurückführen lassen, würde es eigentlich ausreichen, dieses lediglich für das „Dictum de nullo“, d.h. für die Modi Celarent und Ferio zu beweisen. Schließlich wurde in den anderen, in diesem Kapitel besprochenen Arbeiten ja bereits nachgewiesen, dass – unter Voraussetzung der grundlegenden »Axiome« der Syllogistik – alle Modi der Figuren II – IV aus jenen der Ersten Figur abgeleitet werden können. Aus irgendwelchen Gründen hat Leibniz sich aber entschieden, lieber die volle Liste der 24 Modi zu durchforsten und die darin enthaltenen 16 »negativen« Schlussweisen (drei der Ersten, sechs der Zweiten, drei der Dritten, und vier der Vierten Figur) sukzessive abzuarbeiten. Dabei sind ihm allerdings auch einige Ungenauigkeiten und kleinere Fehler unterlaufen. Der Grundgedanke der Reduktion besteht darin, dass sich jede (universell oder partikulär) negative Aussage gemäß dem Prinzip der Obversion in eine affi rmative Aussage mit negiertem Prädikat verwandeln lässt. Insbesondere darf man von der UN ‚Kein B ist ein C‘ äquivalent zu der UA ‚Jedes B ist ein Nicht-C‘ übergehen, und ebenso von der PN ‚Ein B ist nicht ein C‘ zu der PA ‚Ein B ist ein Nicht-C‘: Obv 1 Obv 2

E(B,C) ↔ A(B,~C). O(B,C) ↔ I(B,~C).

So benutzt Leibniz u.a. bei der Reduktion von Celarent auf Barbara stillschweigend das Gesetz Obv 1, wenn die Majorprämisse ‚Kein C ist ein D‘ in ‚Jedes C ist ein nicht-D‘ transformiert wird. Und bei der entsprechenden Reduktion von Ferio auf Darii käme

Kommentar

505

zusätzlich das Gesetz Obv 2 zum Tragen, wenn die Konklusion ‚Ein B ist ein nicht-D‘ abschließend noch in ‚Ein B ist nicht ein D‘ zurück verwandelt würde, um der formalen Struktur EIO gerecht zu werden (was Leibniz freilich nicht explizit tut). Beim Beweis der Modi Camestres und Baroco rekurriert Leibniz darüber hinaus auf das Prinzip der Kontraposition, denn er formt z.B. ‚Jedes D ist ein C‘ in ‚Jedes nicht-C ist ein Nicht-D‘ um. Allgemein wird somit das Gesetz: Kontra 1

A(B,C) ↔ A(~C,~B)

vorausgesetzt. Allerdings lassen sich die fraglichen Modi alternativ auch ohne Kontra 1 beweisen. Um etwa Camestres zu beweisen, könnte man die Minorprämisse ‚Kein B ist ein C‘ zunächst zu ‚Kein C ist ein B‘ konvertieren, diese Aussage dann mittels Obv 1 zu ‚Jedes C ist ein Nicht-B‘ umformen, um mit der Majorprämisse ‚Jedes D ist ein C‘ gemäß Barbara ‚Jedes D ist ein Nicht-B‘ zu gewinnen, woraus sich durch nochmalige Obversion ‚Kein D ist ein B‘ und letztendlich per Konversion die gesuchte Konklusion ‚Kein B ist ein D‘ ergibt. Die Reduktionen der ersten sieben Modi (von Celarent bis Camestros) charakterisiert Leibniz jeweils mittels der Präposition „in“, während er bei den nachfolgenden sieben (Festino bis Callentos) von einer Reduktion „aus“ („ex“) und bei den letzten zwei von einer Reduktion „auf“ („ad“) spricht. Man könnte deshalb vermuten, dass hiermit wieder ein systematischer Unterschied in der Beweisführung angezeigt werden soll, wie er es im letzten Text durch die drei Reduktionstypen „ex“, „ad“ und „per“ vorbildlich erklärt hatte. Diese Annahme lässt sich jedoch nicht bestätigen. Insbesondere sind die hiesigen Reduktionen „ex“ und „ad“ nicht gleichwertig mit den entsprechenden Beweisformen innerhalb der „Schedae de novis formis syllogisticis“, wo mit „ex“ jeweils eine Konversion der Konklusion und mit „ad“ eine Konversion der Prämissen signalisiert worden war. Im vorliegenden Text hingegen fi ndet bei allen drei Typen „in“, „ad“ und „ex“ neben einer Obversion auch eine Konversion einer Prämisse statt.

506

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

Die versuchte Reduktion von Fessapmo auf Baralip enthält übrigens einen Fehler, auf den bereits Couturat hingewiesen hatte. Zu beweisen wäre ja der Schluss: E(D,C), A(C,B) ⇒ O(B,D). Leibniz behauptet nun, dass aus E(D,C) A(~D,C) folgen würde, weil man „in einer universell verneinenden Aussage das Subjekt (!) in einen »unendlichen«, d.h. negativen Begriff umformen“ dürfe. Dies ist aber ein Fehlschluss. Gemäß Obv 1 darf man von E(D,C) lediglich zu A(D,~C) übergehen, d.h. die UN in eine UA mit negiertem Prädikat verwandeln. Der Leibnizsche Schluss hingegen würde, wie Couturat erläuterte, auf eine illegitime Konversion der UA hinauslaufen.1 Dieser Fehler tangiert jedoch nicht das Gesamtresultat der Reduzierbarkeit aller »negativen Modi« auf affi rmative Schlussweisen, denn Fessapmo könnte man z.B. wie folgt beweisen: Aus E(D,C) ergibt sich per Konversion E(C,D) und gemäß Obv 1 A(C,~D). Zusammen mit der zweiten Prämisse A(C,B) könnte man deshalb gemäß Darapti I(B,~D) erschließen, woraus sich mit Obv 2 die gewünschte Konklusion O(B,D) ergibt.2 Die Schlussabschnitte gehören nicht mehr zur Thematik der Reduktion der »negativen Modi« auf affi rmative Schlussweisen und wurden hier nur aufgenommen, um einen Punkt abzurunden, der bereits in Kap. 2.2 anlässlich der „Dissertatio de Arte Combinatoria“ diskutiert worden war: Die Geltung gewisser, insbesondere von Ch. Sturm vorgebrachter Schlüsse, die im Widerspruch zu der tradierten Lehrmeinung zu stehen scheinen, dass aus „rein negativen Aussagen nichts folgt“. Wie die Erörterungen in Abschnitt 2.2.3 zeigten, war der junge Leibniz sich bezüglich der Geltung der Sturmschen Schlüsse nicht ganz sicher. Er vermutete damals zwar, 1 Vgl.

C., 320, Fn. 1: „C’est là une erreur: Nul D n’est C (ou Nul C n’est D) donne Tout D est non-C (ou Tout C est non-D), mais non Tout non-D est C, ce qui est une conversion simple (illégitime) de l’U.A.“. 2 Alternativ ließe sich O(B,D) bzw. I(B,~D) gemäß Darii auch aus E(C,D) bzw. A(C,~D) im Verbund mit der PA I(B,C) ableiten, welche aus der Prämisse A(C,B) gemäß »akzidenteller Konversion« folgt.

Kommentar

507

dass diese lediglich „vi materiae“ und nicht „vi formae“ gültig seien, akzeptierte aber dennoch die Äquivalenz der beiden partikulären Aussagen ‚Ein Nicht-Stein ist ein Mensch‘ und ‚Ein Stein ist nicht ein Mensch‘. Tatsächlich ist jedoch die letztere PN, O(S,M), gemäß Obv 2 mit I(S,~M) äquivalent und nicht mit I(~S,M)! In der vorliegenden Arbeit legt Leibniz im Umgang mit Formeln, bei denen der Subjekt- oder der Prädikatbegriff durch die jeweilige Negation ersetzt wird, eine etwas größere Souveränität an den Tag. Er beweist zunächst, dass aus den beiden UN ‚Kein Mensch ist ein Stein‘, formal E(B,C), und ‚Kein Mensch ist ein Engel‘, formal E(B,D), nach Obversion die beiden UA A(B,~C) und A(B,~D) entstehen, aus denen man gemäß Darapti die PA I(~C,~D) erschließen kann. Beim zweiten Beispiel, mit dem aus einer UN und einer PN eine PA (mit negativem Subjekt und negativem Prädikat) erschlossen werden soll, gerät Leibniz aber ein wenig ins Stolpern. Er beginnt wieder mit der UN ‚Kein Mensch ist ein Stein‘ (E(B,C)) und wählt für die PN ‚Ein Mensch ist nicht weise‘ (O(B,D)). Die letztere Aussage formt er (im Sinne von Obv 2) in die PA ‚Ein Mensch ist nicht-weise‘ (I(B,~D)) um, während er die erstere (im Sinne von Obv 1) in ‚Jeder Mensch ist ein nicht-Stein‘ überführt. Wie aus dem textkritischen Apparat # 31 hervorgeht, ändert er diese Aussage (im Original „Omnis homo est non lapis“) jedoch zu „Omnis homo est non angelus“ um, ohne bei der Ursprungsprämisse eine entsprechende Änderung durchzuführen (diese Korrektur wurde deshalb von uns vorgenommen). Aus ‚Jeder Mensch ist ein Nicht-Engel‘, d.h. formal A(B,~C), kann man dann mit I(B,~D) gemäß Datisi korrekt Leibniz‘ Konklusion I(~D,~C), d.h. ‚Ein Nicht-Weiser ist ein Nicht-Engel‘ ableiten. Zum Abschluss dieses Kapitels sei darauf hingewiesen, dass man – bei Zulassung negativer Begriffe – angesichts der Beweisbarkeit der »negativen Modi« die gesamte Syllogistik auf folgende Grundprinzipien zurückführen könnte:

508

Zur Axiomatisierung der Syllogistik

(1) Das aussagenlogische Prinzip des Regressus. (2) Das „Dictum de omni“ in Gestalt der Modi Barbara A(B,C), A(C,D) ⇒ A(B,D) Darii A(B,C), I(C,D) ⇒ I(B,D) (3) Die »Identitäten« Omne A(B,B) Quoddam I(B,B) (4) Die Gesetze der Opposition Opp 1 ¬A(B,C) = O(B,C) Opp 2 ¬E(B,C) = I(B,C) (5) Die Gesetze der Obversion Obv 1 E(B,C) ↔ A(B,~C). Obv 2 O(B,C) ↔ I(B,~C).

Hieraus folgt weiter, dass der von Leibniz sehnsüchtig erhoffte Beweis der Syllogistik in seinem »Allgemeinen Kalkül« eigentlich ein Kinderspiel wäre. Legt man nämlich die einfachste homogene Repräsentation der Satzformen gemäß Schema 1 zugrunde3: (UA) (PA)

B∈C B∉~C

(UN) (PN)

B∈~C B∉C,

so sind die Prinzipien der Obversion und Opposition qua Konstruktion gewährleistet. An begriffslogischen Gesetzen blieben somit nur die Pendants zu Barbara und Darii sowie zu Omne und Quoddam zu beweisen. Im folgenden Kapitel werden wir die zahlreichen Schwierigkeiten beleuchten, mit denen Leibniz selber beim Beweis dieser Prinzipien zu kämpfen hatte.

3 Vgl.

dazu weiter oben Abschnitt 1.5.

6. K APITEL

6 Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik 6.1 Einleitung Der Versuch, die traditionellen Lehrsätze der Syllogistik in seinem eigenen, im Prinzip wesentlich leitungsfähigeren System der Begriffslogik zu beweisen, stellt das zentrale Thema der Leibnizschen Forschungen zur Logik dar. Auch sein umfangreichstes Hauptwerk, die „Generales Inquisitiones …“, stecken voller solcher Ansätze, bei denen wahlweise auf Prinzipien des Basiskalküls L1 oder der quantorenlogischen Erweiterung L2 zurückgegriffen wird. Da die Beweisversuche dort jedoch nicht zusammenhängend entwickelt, sondern in z.T. weit auseinander liegenden Paragraphen eher sporadisch thematisiert werden, bleibt diese Schrift hier außer Acht. Stattdessen betrachten wir in Kap. 6.2 einen Ausschnitt aus der schon in 4.4 behandelten Schrift „De formae logicae comprobatione …“, in der Leibniz vorwiegend mit komplexen Formeln aus L2 operiert. Dabei gerät er in größere Schwierigkeiten, weil er die genauen Zusammenhänge zwischen All- und Existenzquantoren nicht hinreichend durchschaut. Außerdem meint er, die Widerspruchsfreiheit des konjunktiven Begriffs BC dadurch zum Ausdruck bringen zu dürfen, dass die Identität BC = BC bzw. das Symmetriegesetz BC = CB erfüllt ist. Dahinter steckt der Gedanke, man könne über widerspruchsvolle Begriffe keine verlässlichen Aussagen machen, eventuell seien sie nicht einmal mit sich selbst identisch. Eine derartige Befürchtung hatte Leibniz schon in den „Generales Inquisitiones“ geäußert, aber letztendlich als unfundiert zurückgewiesen.1 In der (vermutlich zwischen 1686 und 1690 entstandenen) Arbeit „De formae logicae comprobatione“ probiert Leibniz nun insgesamt sechs verschiedene – teils korrekte, teils inkorrekte – Schemata zur Reprä1 Vgl.

GI § 155: „Omnibus ergo expensis fortasse melius erit, ut dicamus semper in characteribus quidem poni posse A = A licet quando A non est res, nihil inde utiliter concludatur“ (A VI, 4, 781).

Einleitung

511

sentation der kategorischen Satzformen aus, ohne letztendlich zu einem befriedigenden, vollständigen Beweis zu gelangen. Deshalb wenden wir uns in Kap. 6.3 zwei sehr fortgeschrittenen Fragmenten aus dem August 1690 zu, die »eigentlich« eine vollständige Ableitung der syllogistischen Gesetze aus den Grundprinzipien des »Allgemeinen Kalküls« beinhalten. Leibniz wollte seine Überlegungen jedoch nicht als vollwertigen Beweis akzeptieren, weil sie auf gewissen Prinzipien – wie insbesondere dem der Kontraposition – beruhen, die er trotz ihres fundamentalen Charakters nicht als unbeweisbare Axiome vorauszusetzen bereit war, sondern die er in vergeblichen Anstrengungen zu beweisen bzw. aus den Axiomen der Identität herzuleiten sich bemühte. Zum Abschluss betrachten wir in Kap. 6.4 das (vermutlich sehr späte) Meisterwerk „Mathesis rationis“, in dem Leibniz sich ebenfalls zum Ziel setzte, die Gesetze der Syllogistik auf die fundamentalsten Prinzipien der Identität zurückzuführen. In eher informeller Weise bestätigt er zunächst die allgemeinen Regeln der Qualität und Quantität sowie die spezielleren Regeln für die einzelnen Figuren. Daraus leitet er dann systematisch die Schlüssigkeit aller traditionell als gültig anerkannten Modi ab und zeigt darüber hinaus, dass keine weiteren Schlüsse allgemeingültig sind. In diesem Kontext entwickelt er einen neuartigen ΦF ΨG-Symbolismus, der sich bei genauerer Analyse als Variante des quantorenlogischen Ansatzes herausstellt, die kategorischen Satzformen mittels zweier »unbestimmter Begriffe« wie folgt darzustellen: A (F,G ) E (F,G ) I(F,G ) O (F,G )

∀Y ∃Z (Y F = ZG ) ∀Y ∀Z (Y F ≠ ZG ) ∃Y ∃Z (Y F = ZG ) ∃Y ∀Z (Y F ≠ ZG ).

512

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

6.2.1 Aus „De formae logicae comprobatione per linearum ductus“1 […] Ita jam omnes exhibebimus: A U.Aff. Omnis homo est animal; notionaliter Homo idem est quod animal tale O P.Neg. Qu idam homo non est sapiens; Homo non idem est quod sapiens talis E U.Neg. Nullus homo est lapis; Homo idem est quod non-lapis talis I P.Aff. Qu idam homo est sapiens; Homo non idem est quod non-sapiens talis.

Itaque caeterae propositiones2 ad propositionem universalem Affirmativam reducuntur vel eam negando vel terminum negantem adhibendo. Et omnia redeunt ad aequationem vel aequationis negationem. Idque posset applicari ad singulos modos, ducique inde vis concludendi. Barbara Omne C est B C = BX Celarent Nullum C est B C = X non B Darii Omne C est B C = BX

Omne D est C. D = CY Omne D est C D = CY Qu. D est C. D non = Y non C

Ergo Omne D est B. Ergo D = BXY Ergo Null. D est B Ergo D = YX non-B Ergo Qu. D est B. Ergo D non = Y non BX

Sed hinc non sequitur D non = YX non B quod desideratur. Unde est aliqua adhuc in tali calculo difficultas. Exemplum sumamus: Omnis homo est animal, Qu idam sapiens est homo. E. quidam sapiens est animal. Secundum calculum: Homo3 idem est quod 1 Ediert

nach der Handschrift LH IV, 7 B 4, 3r – 6v; vgl. auch C., 301–311. Die ersten Zeilen dieses Ausschnitts überschneiden sich mit dem Text in Kap. 4.4. 2 (1) rediguntur (2) ad 3 (1) est enim (2) idem …

Überprüfung der logischen Gültigkeit

513

6.2.2 Aus „Überprüfung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus durch das Zeichnen von Linien“1 […] So stellen wir nun alle Aussagen dar: A UA ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ Begriffl ich ausgedrückt: ‚Mensch‘ ist dasselbe wie ‚So und so beschaffenes Lebewesen‘. O PN ‚Ein Mensch ist nicht weise‘ Begriffl ich ausgedrückt: ‚Mensch‘ ist nicht dasselbe wie ‚So und so beschaffener Weiser‘. E UN ‚Kein Mensch ist ein Stein‘ Begriffl ich ausgedrückt: ‚Mensch‘ ist dasselbe wie ‚So und so beschaffener Nicht-Stein‘. I PA ‚Ein Mensch ist weise‘ Begriffl ich ausgedrückt: ‚Mensch‘ ist nicht dasselbe wie ‚So und so beschaffener NichtWeiser‘.

Deshalb lassen sich die übrigen Aussagen auf die universell affi rmative zurückführen, indem man diese nämlich verneint oder einen verneinten Begriff einführt. Und alle Aussagen laufen auf Gleichungen bzw. Ungleichungen hinaus. Das ließe sich auch auf die einzelnen Modi anwenden und deren Schlüssigkeit hieraus ableiten. Barbara Jedes C ist ein B C = BX Celarent Kein C ist ein B C = XNon-B Darii Jedes C ist ein B C = BX

Jedes D ist ein C D = CY Jedes D ist ein C D = CY Ein D ist ein C D ≠ YNon-C

Also Jedes D ist ein B. Also D = BXY Also Kein D ist ein B Also D = YXNon-B Also Ein D ist ein B. Ergo D ≠ YNon(BX).

Doch hieraus folgt nicht D ≠ YXNon-B, was erforderlich wäre. Deshalb besteht in einem solchen Kalkül noch eine Schwierigkeit. Nehmen wie ein Beispiel: Jeder Mensch ist ein Lebewesen;

1 Vgl.

auch die Übersetzung in Schmidt (1960), S. 389–403.

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Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

animal rationale; sapiens4 non idem est quod Y non homo. Ergo sapiens non idem est quod Y non animal-rationale. 5Sed talis collectio non sufficit. 6Ergo hoc modo video calculum claudicare. Idem est in sequenti: Ferio Nullum C est B Qu. D est C. Ergo Qu. D non est B. 7 D non = Y non C. Ergo D non = Y. non C = X. non B (X non B) 8

Nunc dispicio in quo nodus. Misso igitur hoc genere expressionis, venio ad aliud ubi Est semper est secundi adjecti. Prop. Univ. Aff.

Omnis homo est animal. Ita stabit: Homo non animal non est seu non datur. Prop. Partic. Aff. Qu. homo est sapiens. Ita stabit: Homo sapiens est seu datur. Prop. Univ. Neg. Nullus homo est lapis. Ita stabit: Homo lapis non est. Prop. Partic. Neg. Qu idam homo non est sapiens. Ita stabit: Homo non sapiens est.

Videamus an hinc duci possint ratiocinationes syllogisticae. Barbara

Omne C est B C non B non est

Omne D est C. Ergo Omne D est B. D non C non est.

Sed quomodo hinc concludemus: D non B non est? Ita hoc quoque ex pressio non est apta. Redibimus ergo ad aequationes, et quidem Universalis affirmativae ex pressionem 9priorem tenebimus. Omne C est B, id est

4 (1)

idem est quod (2) non idem est quod (a) homo (b) Y non … 5 (1) Hinc video (2) Sed … 6 Am Rande hierzu: NB 7 (1) D = n (2) D non … 8 (1) Cogi (2) /Nunc vacat L; streicht Hrg. (3) nunc /videre streicht L/ dispicio … 9 /priorem erg. L/

Überprüfung der logischen Gültigkeit

515

Ein Weiser ist ein Mensch. Also: Ein Weiser ist ein Lebewesen. Gemäß dem Kalkül: ‚Mensch‘ ist dasselbe wie ‚vernünftiges Lebewesen‘. ‚Weise‘ ist nicht dasselbe wie ‚Y Nicht-Mensch‘. Also ‚Weise‘ ist nicht dasselbe wie ‚Y Nicht-Vernünftiges-Lebewesen‘. Doch eine solche Folgerung reicht nicht aus. Also hinkt, wie ich sehe, der Kalkül auf diese Weise. Das gilt auch für den folgenden Schluss: Ferio

Kein C ist ein B C = XNon-B

Ein D ist ein C D ≠ YNon-C

Also Ein D ist kein B. Also D ≠ YNon(XNon-B)

Nun sehe ich, worin der Knoten besteht. Deshalb gebe ich diese Darstellungsart auf und gehe zu einer anderen über, bei der das ‚est‘ immer im Sinne der Darstellung „secundi adjecti“ aufgefasst wird. UA

PA UN PN

Jeder Mensch ist ein Lebewesen. Nimmt die Form an: Mensch Nicht-Lebewesen ist nicht seiend bzw. nicht gegeben. Ein Mensch ist weise. Nimmt die Form an: Mensch Weise ist seiend bzw. gegeben. Kein Mensch ist ein Stein. Nimmt die Form an: Mensch Stein ist nicht seiend [bzw. nicht gegeben]. Ein Mensch ist nicht weise. Nimmt die Form an: Mensch Nicht-weise ist [seiend bzw. gegeben].

Wir wollen schauen, ob sich hieraus die syllogistischen Schlussfolgerungen ableiten lassen. Barbara Jedes C ist ein B Jedes D ist ein C. Also Jedes D ist ein B. C Non-B ist nicht seiend D Non-C ist nicht seiend.

Doch wie erschließen wir hieraus: D Non-B ist nicht seiend? Somit ist auch diese Ausdrucksweise nicht geeignet. Kehren wir also zu den Gleichungen zurück, und zwar behalten wir für die UA den früheren Ausdruck bei: Jedes C ist ein B, d.h. C = YB. Doch die PA ‚Ein C ist ein B‘ wird so ausgedrückt: XB = YC.

516

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

C = YB. Sed particularis affirmativa Qu. C est B sic exprimetur: XB = YC. Universalis negativa Nullum C est B, sic exprimetur C = Y non-B, ut ante. Particularis negativa Qu. C non est B sic exprimetur XC = Y non B. Sic jam procedet demonstratio syllogismorum. Barbara Celarent Darii

Ferio

Barbari Celaro

Omn. C est B C = XB Nullum C est B C = X non-B Omne C est B C = XB

Om. D est C. D = YC Omn. D est C D = YC Qu. D est C. VD = YC

Erg. Omn. D est B Ergo D = XYB Ergo Null. D est B Ergo D = YX non-B Ergo Qu. D est B Ergo VD = YXB quod procedit Nullum C est B Qu. D est C Ergo Qu. D non est B C = X non-B VD = YC Ergo VD = YX non B quod procedit Omn. C est B Omne D est C. Erg. Quodd. D est B C = XB D = YC Ergo VD = VYXB Nullum C est B Omn. D est C Ergo Qu. D non est B C = X non B D = YC Ergo VD = VYX non-B

Noto quod ex hac expressione facile demonstratur subalternatio et conversio universalis affi rmativae, et particularis affi rmativae, sed non aeque facile conversio Universalis Negativae et Oppositio. Omne10 C est B, seu C = YB. Ergo quodd. C est B11 nam quia C = YB, ergo VC = VYB, sit VY = Z, fit VC = ZB12 quod est subalternatio. Jam ex VC = ZB sequitur ZB = VC. Ergo quia C = YB sequitur ZB = YC.

10 (1)

B est (2) C (2) nam 12 (1) jam vicissim (2) quod 11 (1)

Überprüfung der logischen Gültigkeit

517

UN Kein C ist ein B, wird so ausgedrückt: C = Y Non-B, wie zuvor. PN Ein C ist kein B, wird so ausgedrückt: XC = Y Non-B. Nun geht der Beweis der Syllogismen so vonstatten. Barbara Jedes C ist ein B C = XB Celarent Kein C ist ein B C = XNon-B Darii Jedes C ist ein B C = XB

Jedes D ist ein C D = YC Jedes D ist ein C D = YC Ein D ist ein C. VD = YC

Also Jedes D ist ein B Also D = XYB Also Kein D ist ein B Also D = YXNon-B Also Ein D ist ein B Also VD = YXB Das funktioniert. Ferio Kein C ist ein B Ein D ist ein C Also Ein D ist kein B C = XNon-B VD = YC Also VD = YXNon B Das funktioniert. Barbari Jedes C ist ein B Jedes D ist ein C. Also Ein D ist ein B C = XB D = YC Also VD = VYXB Celaro Kein C ist ein B Jedes D ist ein C Also Ein D ist kein B C = XNon B D = YC Also VD = VYXNon-B

Ich merke an, dass mittels dieser Darstellung die Subalternation und die Konversion der UA und der PA leicht bewiesen werden können, jedoch nicht so leicht die Konversion der UN und die Opposition. Jedes C ist ein B, bzw. C = YB. Also: Ein C ist ein B, denn wegen C = YB ist VC = VYB; setzt man VY = Z, so ergibt sich VC = ZB, also die Subalternation. Nun folgt aus VC = ZB aber ZB = VC. Also folgt, wenn C = YB, dass ZB = YC [d.h. die akzidentelle Konversion der UA].

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Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Sed13 Nullum C est B seu C = X non B non facile dat14 B = Z non C nisi ope syllogismi. Nempe in Cesare hoc modo 15

Nullum A est B A = X non B

Omne B est B B=B

Ergo Nullum B est A Ergo B = Y non A.

Sed prius demonstrandus est modus Cesare per regressum, seu per principium contradictionis, itaque supponenda contradictio. Sed haec quoque ex isto modo exprimendi nostro non bene apparet, v.g. quod16 haec Nullum C est B et Qu. C est B nec simul possunt esse vera nec simul falsa. Id non apparet ex hac expressione 17

C [=] X non B

et

ZC = YB.

Si ergo retenta expressione affi rmativarum ipsam Universalem negativam sic exprimamus Nullum C est B

id est18

XC non = YB,

ipsa expressio dabit19 oppositionem cum particulari affi rmativa. Unde et statim sequitur conversio YB non = XC. Similiter20 particularem negativam sic exprimemus: Quodd. C non est B, id est C non = YB unde statim sequitur oppositio ad universalem Aff. 21 Hanc exprimendi rationem applicemus ad Modos.

13 (1)

Nullus homo est (2) Nullum … 14 /conversionem streicht L/ B = (1) C non (2) Y non C … 15 (1) Nullum (2) Omne (3) Nullum 16 (1) inter haec (a) Omne C est (b) Nullum B est C (c) Nullum C est B et Qu. C est B non datur medium (2) /inter haec streicht Hrg./ Nullum … 17 (1) B est X non C (2) C /est X non B L/ = X non B korr. Hrg./ et (a) (b) Y (c) ZC 18 (1) C non (2) XC … 19 (1) contradictionem /streicht Hrg./ (2) /oppositionem … affi rmativa/ erg. L (a) Similiter (b) Unde 20 (1) Universa (2) particularem 21 (1) Hanc (2) Hanc exprimendi

Überprüfung der logischen Gültigkeit

519

Aber aus Kein C ist ein B bzw. C = XNon-B ergibt sich nicht einfach B = ZNon-C außer mit Hilfe eines Syllogismus. Denn in Cesare schließt man so: Kein A ist ein B A = XNon-B

Jedes B ist ein B Also Kein B ist ein A B=B Also B = YNon-A.

Doch muss zuvor der Modus Cesare durch den Schluss des Regressus bzw. das Prinzip des Widerspruchs bewiesen werden, so dass also der Widerspruch [bzw. die Opposition von UN and PA] vorausgesetzt wird. Doch auch dies geht aus unserer Ausdrucksweise nicht gut hervor, z.B. dass die Aussagen ‚Kein C ist ein B‘ und ‚Ein C ist ein B‘ weder zusammen wahr noch zusammen falsch sein können. Das wird aus dem Ausdruck C = X Non-B

und

ZC = YB

nicht offenkundig. Wenn wir also die Ausdrucksform der affi rmativen Aussagen beibehalten und die UN wie folgt ausdrücken: Kein C ist ein B

d.h.

XC ≠ YB,

dann ergibt sich aus dieser Darstellung die Opposition mit der PA. Und hieraus folgt auch sofort die Konversion YB ≠ XC. In ähnlicher Weise drücken wir die PN so aus: Ein C ist kein B

d.h.

C ≠ YB.

Daraus folgt unmittelbar die Opposition mit der UA. Diese Ausdrucksweise wollen wir auf die einzelnen Modi anwenden.

520

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Barbara est ut supra, ut et Darii et Barbari. Celarent

Nullum C est B. Omne D est C. Ergo Nullum D est B. 22 (1) XC non = YB (2) D = ZC

Ex 1 est (3) XZC non = YZB. Ergo ex 3 per 2: XD non = YZB. Quod erat dem. Ferio

Nullum C est B. Quodd. D est C.

Ergo quodd. D non est B.

(1) XC non = YB (2) VD = ZC

Jam ostendendum D non = WB. Nam si esset D = WB, foret per 2 VWB = ZC seu YB = ZC contra 1. Veniamus ad figuram secundam. Cesare:

Nullum 23 B est C Omne D est C Ergo Nullum D est B YB non = ZC D = VC

Ostendendum jam XD non = WB. Sit XD = WB XVC = WB quod est contra 1. Camestres: Omne B est C B = XC

24

et per 2 erit

Nullum D est C Ergo Nullum D est B YD non = ZC

Ostendendum est VD non = WB. Si esset VD = WB, tunc per 1 foret VD = WXC contra 2. Festino:

Nullum B est C XB non = YC

Quodd. D est C Quodd. D non est B VD = ZC

Ostendendum D non = WB. Nam si esset D = WB, tunc per 2 foret VWB = ZC contra 1. Baroco:

Omne B est C B = VC

22 Hier

Quodd. D non est C Ergo Quodd. D non est B D non = XC

und im Folgenden stellen wir (mit Couturat) die Zahlen, die Leibniz oberhalb des ‚=‘-Zeichens geschrieben hatte, vor die Gleichungen. 23 (1) C est B (2) B est C 24 (1) erit (2) et …

Überprüfung der logischen Gültigkeit

521

Barbara ist wie früher, ebenso Darii und Barbari. Celarent: Kein C ist ein B Jedes D ist ein C Also Kein D ist ein B. (1) XC ≠ YB (2) D = ZC

Wegen (1) ist (3) XZC ≠ YZB. Also folgt aus (3) mit (2): XD ≠YZB. Quod erat demonstrandum. Ferio:

Kein C ist ein B (1) XC ≠ YB

Ein D ist ein C Also Ein D ist kein B. (2) VD = ZC

Nun ist zu zeigen D ≠ WB. Wäre jedoch D = WB, so ergäbe sich wegen (2) VWB = ZC bzw. YB = ZC im Widerspruch zu (1). Gehen wir jetzt zur Zweiten Figur über! Cesare:

Kein B ist ein C Jedes D ist ein C Also Kein D ist ein B (1) YB ≠ ZC (2) D = VC

Nun ist XD ≠ WB zu zeigen. Sei XD = WB, so erhält man mit (2) XVC = WB, was (1) widerspricht. Camestres: Jedes B ist ein C Kein D ist ein C Also Kein D ist ein B (1) B = XC (2) YD ≠ ZC

Zu zeigen ist VD ≠ WB. Wäre VD = WB, so ergäbe sich wegen (1) VD = WXC im Widerspruch zu (2). Festino:

Kein B ist ein C Ein D ist ein C (1) XB ≠ YC (2) VD = ZC

Ein D ist kein B

Zu zeigen D ≠ WB. Denn wäre D = WB, dann ergäbe sich wegen (2) VWB = ZC im Widerspruch zu (1). Baroco:

Jedes B ist ein C Ein D ist kein C Also Ein D ist kein B (1) B = VC (2) D ≠XC

522

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

25

Ostendendum D non = ZB. Nam si esset D = ZB26 tunc per 1 foret D = ZVC, contra 2. Sin D = ZB substituissemus in 2, prodisset ZB non = XC, quod etiam est contra 1. Nam ex 1 sequitur ZB = ZVC. Am Rande zu den vorstehenden Beweisen: Patet ex hoc calculo quod et aliunde constat, aut conclusionem esse particularem negativam, aut aliquam praemissarum esse universalem affi rmativam, alioqui nulla haberetur aequatio, adeoque nec substitutio in calculo.

Notandum hunc modum duplici modo demonstrari. Conferendum nostro modo probandi per regressum. Hoc in27 […] locum habet28 et in aliis modis ubi plures aequationes. Imo ostendit se hic tertia ratiocinatio seu regressus, nempe ex 2 fit VD non = XVC. Ergo per 1 est D non = XB. Ita notabile habetur secundum hunc calculum aliquem modum29 secundae figurae demonstrari sine regressu. Video idem succedere in Camestres et in universum ubi Univ. Aff. seu aequatio est in praemissis. Nam in Camestres B = XC YD 30non = ZC.

ostendendum est VD non = WB. Ex 2 fit XYD non = XZC non = (per 1) ZB. Seu XYD non31 [=] ZB ut desiderabatur. Imo et in Festino res videtur procedere, ubi nulla univ. aff. in praemissis. XB non = YC 25 (1)

YD = ZC Ostendendum D non = WB

Ergo (2) Ostendendum 26 (1) foret per 1 (2) tunc … 27 /(1) (2) / streicht L und hinterlässt so eine vom Hrg. (mit Couturat) durch […] angedeutete Lücke 28 (1) ubi plur (2) et … 29 (1) non (2) secundae 30 Hier und in den folgenden drei Gleichungen bzw. Ungleichungen hat Leibniz das ‚non‘ nachträglich ergänzt. 31 /=/ erg. Hrg.

Überprüfung der logischen Gültigkeit

523

Zu zeigen D ≠ ZB. Denn wäre D = ZB, so ergäbe sich wegen (1) D = ZVC, im Widerspruch zu (2). Wenn wir hingegen D = ZB in (2) substituiert hätten, dann wäre ZB ≠ XC hervorgegangen, was ebenfalls (1) widerspricht. Denn aus (1) folgt ZB = ZVC. Am Rande zu den vorstehenden Beweisen: Aus diesem Kalkül geht hervor, was auch auf andere Weise feststeht, dass entweder die Konklusion eine PN ist, oder eine der Prämissen eine UA. Andernfalls hätte man keine Gleichung und somit wäre keine Substitution im Kalkül möglich.

Es ist zu beachten, dass man diesen Modus auf zweifache Art beweisen kann, indem man unserer Beweisart die durch den Regressus hinzufügt. Das fi ndet in […] statt sowie in anderen Modi, bei denen mehrere Gleichungen vorkommen. Hier zeigt sich vielmehr eine dritte Form einer Schlussfolgerung bzw. des Regressus, denn aus (2) ergibt sich VD ≠ XVC. Also ist wegen (1) D ≠ XB. Es ist somit bemerkenswert, dass gemäß unserem Kalkül ein Modus der Zweiten Figur ohne Regressus bewiesen werden kann. Ich sehe, dass das auch bei Camestres gelingt und generell dann, wenn in den Prämissen eine UA bzw. eine Gleichung vorkommt. Denn in Camestres

[Jedes B ist ein C

Kein D ist ein C]

(1) B = XC

(2) Y D ≠ ZC

ist zu zeigen [Kein D ist ein B, d.h.] VD ≠ WB. Aus (2) ergibt sich XYD ≠ XZC ≠ (wegen (1)) ZB, d.h. wie gewünscht XYD ≠ ZB. Die Sache scheint sogar bei Festino zu funktionieren, wo es unter den Prämissen keine UA gibt. (1) XB ≠ YC

(2) YD = ZC

Zu zeigen D ≠ WB

524

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

32

Ex 1 fit ZXB non = YZC. Ergo per 2. fit ZXB non = YD. Sed haec ratiocinatio nimium concludit, ita enim conclusio fit universalis negativa, et conclusio non sequeretur praemissam debiliorem. Nam ZXB non = YD est Nullum D est B. Videamus in

Ferio Null. C est B VC non = XB

Qu. D est C YD = ZC

Ergo qu. D non est B Ostendendum D non = WB.

Sed ex 1 fit VZC non = ZXB. Ergo per 2 fit VYD non = XB quod itidem nimium concludit.33 Nempe non licet semper in negativis idem ascribere, de quo infra. Veniamus ad exemplum in rebus. C sit homo, B sit lapis, D corpus. VC non = XB. Homo lapideus non idem est cum lapide humano. YD = ZC. Corpus humanum idem est cum homine corporeo. Ex priore ZCV non = ZXB seu homo corporeus lapideus non est idem cum lapide humano corporeo. Jam ex 2 pro homine corporeo substituatur corpus humanum et fiet34 VYD non = ZXB seu corpus humanum lapideum non est idem cum lapide humano corporeo.35 Quod quidem recte concluditur, sed inde non sequitur absurdum quod in indefi nitis. Nempe non licet in absurdis substituere idem sibi ipsi. Itaque rursus emendandum esse calculum video. Et36 particularis affi rmativa aliter exprimetur atque adeo et ei contradictoria universalis negativa. Qu idam homo est animal sic: Homo animal37 (seu homo animalis) est animal homo seu animal humanum. Quod permittetur si homo animal sit Ens. Alioqui nec permittetur haec aequatio. Si homo C et animal B scribetur CB =38 BC. Sed pro universali negativa fiet CB non = BC. 32 (1)

Ex 2 fit YD = ZYC. Ergo per 1 fit YD = (a) (b) ZXB sed haec identica ergo non procedit (2) Ex 1 … 33 /Nempe … negativis (1) (2) idem … infra/ am Rande ergänzt L 34 (1) humanum co (2) VYD (a) = (b) non = … 35 (1) Vid (2) Sed inde (3) quod … 36 (1) Univers (2) particularis 37 /(seu homo animalis) erg. L/ est (1) homo (2) animal (3) animal /homo seu animal humanum/ erg. L 38 (1) CB (2) BC

Überprüfung der logischen Gültigkeit

525

Aus (1) ergibt sich ZXB ≠ YZC. Also ergibt sich mit (2) ZXB ≠ YD. Doch diese Schlussfolgerung erschließt zu viel, denn die Konklusion ist eine UN und würde somit die schwächere Prämisse übertreffen. Denn ZXB ≠ YD entspricht der Aussage ‚Kein D ist ein B‘. Betrachten wir Ferio Kein C ist ein B (1) VC ≠ XB

Ein D ist ein C (2) YD = ZC

Also Ein D ist kein B Zu zeigen D ≠ WB.

Doch aus (1) ergibt sich VZC ≠ ZXB. Also ergibt sich mit (2) VYD ≠ XB, was ebenfalls zu viel erschließt. Dazu am Rande die Bemerkung: Es ist nämlich bei Ungleichungen nicht immer erlaubt, auf beiden Seiten das Gleiche hinzuzufügen; mehr dazu weiter unten. Betrachten wir ein konkretes Beispiel. C sei ‚Mensch‘, B sei ‚Stein‘, D ‚Körper‘. VC ≠ XB: ‚Steinerner Mensch‘ ist nicht dasselbe wie ‚Mensch licher Stein ‘. YD = ZC: ‚Menschlicher Körper‘ ist dasselbe wie ‚Körperlicher Mensch‘. Aus der ersten Ungleichung folgt ZCV ≠ ZXB, d.h. ‚Körperlicher steinerner Mensch‘ ist nicht dasselbe wie ‚Menschlicher körperlicher Stein‘. Wenn nun gemäß (2) für ‚Körperlicher Mensch‘ ‚Menschlicher Körper‘ substituiert wird, ergibt sich VYD ≠ ZXB, d.h. ‚Menschlicher steinerner Körper‘ ist nicht dasselbe wie ‚Menschlicher körperlicher Stein‘. Dies ist zwar korrekt erschlossen, doch hieraus folgt nichts Absurdes wie bei den unbestimmten Begriffen. Denn in widersprüchlichen Aussagen darf man nicht Identisches füreinander substituieren. Wie ich sehe, muss der Kalkül also wieder verbessert werden. Und die PA wird anders ausgedrückt, und damit auch die ihr entgegengesetzte UN. ‚Ein Mensch ist ein Lebewesen‘ wird so dargestellt: ‚Mensch Lebewesen‘ (bzw. ‚lebendiger Mensch‘) ist dasselbe wie ‚Lebewesen Mensch‘ (bzw. ‚Menschliches Lebewesen‘). Diese Gleichung ist erlaubt, wenn ‚Mensch Lebewesen‘ ein »seiender« [d.h. widerspruchsfreier] Begriff ist; andernfalls wäre sie nicht erlaubt. Wenn ‚Mensch‘ C und ‚Lebewesen‘ B ist, schreibt man CB = BC. Doch die UN wird CB ≠ BC.

526

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Die folgenden, eingerückten Absätze wurden gestrichen: 39

Et universalis affi rmativa ipsa fiet determinata: Omnis homo est animal, id est homo est 40 homo animalis. Ita jam omnibus determinatis, resumamus syllogismos negativos Celarent Nullum C est B Omne D est C Ergo Null. D est B CB non = BC D = DC Ostendendum est DB non = BD. Nam DCB non = BCD per 1. Ergo per 2 erit DB non = BD. Quod erat dem. Cesare Nullum B est D Omne D est C Ergo Nullum D est B BC non = CB D = DC Ostendendum DB non = BD. Ex 1. fit BCD non = DCB Ergo per 2 fit BD non = DB. Camestres (bricht ab)

Quanquam nec referat si transponas dicasque CB non = CB id est rejicienda aequatio quam ingreditur terminus falsus etsi alioqui ut identica non possit non videri vera. Quoniam autem hoc loco 41[loco] incertarum notionum suppletoriarum velut X et Y assumsimus defi nitas; oportet et in universali affi rmativa et ejus opposita confugere ad notiones determinatas, v.g. Homo est animal exprimemus Homo42 idem est quod animal homo seu animal humanum. Resumamus ergo calculum ab integro. Prop. Univ. Aff. Omne B est C in calculo43 dabit B = CB Prop. Part. Neg. Quodd. B non est C in calculo dabit44 B non = CB

39 (1)

Sed (2) Et 40 (1) animal (2) homo … 41 /loco erg. Hrg. mit Couturat/ 42 (1) = (2) idem 43 (1) B = BC (2) /dabit erg. und streicht L/ (3) dabit (a) BC = C (b) B = CB 44 (1) B non = BC (2) B non = CB

Überprüfung der logischen Gültigkeit

527

Die folgenden, eingerückten Absätze wurden gestrichen: Und die UA selber wird als determinierte Aussage: Jeder Mensch ist ein Lebewesen, d.h. ‚Mensch‘ ist [gleich] ‚Mensch Lebewesen‘. Da nun in allen Aussagen nur bestimmte Begriffe vorkommen, kehren wir zu den negativen Syllogismen zurück: Celarent Kein C ist ein B Jedes D ist ein C Also Kein D ist ein B (1) CB ≠ BC (2) D = DC Zu zeigen ist DB ≠ BD. Denn DCB ≠ BCD wegen (1). Also ergibt sich gemäß (2) DB ≠ BD. Quod erat demonstrandum. Cesare Kein B est D Jedes D ist C Also Kein D ist ein B (1) BC ≠ CB (2) D = DC Zu zeigen DB ≠ BD. Aus (1) ergibt sich BCD ≠ DCB. Also erhält man gemäß (2) BD ≠ DB. Camestres (bricht ab)

Gleichwohl ist es egal, ob man [die Begriffe] umstellt und sagt CB ≠ CB, d.h. eine Gleichung, die einen »falschen« [bzw. widerspruchsvollen] Begriff enthält, ist zurückzuweisen, auch wenn andernfalls nicht eingesehen werden kann, wie sie als Identität nicht wahr sein könnte. Da wir nun aber anstelle der hinzugefügten unbestimmten Begriffe wie X und Y bestimmte Begriffe angenommen haben, liegt es nahe, auch bei der UA und ihrer Negation zu bestimmten Begriffen überzugehen. Z. B. drücken wir ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ so aus: ‚Mensch‘ ist dasselbe wie ‚Mensch Lebewesen‘ bzw. ‚Menschliches Lebewesen‘. Wiederholen wir also den Kalkül ganz von vorne! UA PN

Jedes B ist ein C Ein B ist kein C

ergibt im Kalkül ergibt im Kalkül

B = CB B ≠ CB

528

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Prop. Part.45 Affirm. Quodd. B est C in calculo dabit46 BC = CB Prop. Univ. Neg. Nullum B est C in calculo dabit BC non = CB 47

Oppositio patet ex constructione, nempe inter Univ. Aff. et Part. Neg. item inter Part. Aff. et Univ. Neg. Subalternatio demonstratur ab universale ad particulare. Omne B est C. Ergo quodd. B est C 48

B = BC. Ergo BC = BCC = CB. Nam in hoc calculo duplicatio literae vel notionis nil addit. Ut si dicerem Homo est animal animal. Nullum B est C. Ergo quodd. B non est C. BC non = CB. Ostendendum est B non = BC. Nam49 si esset B = BC, foret CB = BC (ex praeced.) contra assumtionem.

Conversio etiam demonstratur, et quidem conversio simpliciter, ut Part. Aff. nempe et Univ. Neg.

BC = CB BC non = CB

Ergo CB = BC. Ergo CB non = BC.

Conversio quoque per accidens in universali affi rmativa demonstratur ex demonstrata subalternatione. Nempe Omne B est C. Ergo quodd. C est B. In calculo B = CB Ergo BC = CB (quod est subalternatio) Ergo CB = BC (quod est particularis affi rmativae conversio simpliciter) id est quodd. C est B. Nunc veniamus ad syllogismos. Barbara Omne C est B. Omne D est C. Ergo Omne D est B. 51 C = BC D = CD Ostendendum D = BD. 52 Ex 1 fit CD = BCD Ergo per 2 fit D = BD. 50

45 (1)

Neg. (2) Affirm. 46 (1) BC non = CB (2) BC = CB 47 (1) Subalternatio Omne B est C (2) Oppositio … 48 (1) B = BC (2) B = CB Ergo (a) CB (b) BC = CB (c) BC = … 49 (1) B = B (2) si … 50 (1) Barbara Omne (a) B est C (b) C est B Omne (2) Barbara … 51 (1) C = BC D = CD ergo (a) (collando (b) explicando C ex (ba) poster (bb) 2 (per 1) D = BCD = (per 2) BD. (2) C = BC … 52 (1) In 2 ponatur valor ipsius C per (2) Ex …

Überprüfung der logischen Gültigkeit

PA UN

Ein B ist ein C Kein B ist ein C

ergibt im Kalkül ergibt im Kalkül

529

BC = CB BC ≠ CB

Die Opposition ist aufgrund der Konstruktion offenkundig erfüllt, nämlich zwischen der UA und der PN sowie zwischen der PA und der UN. Die Subalternation beweist man von der universellen zur partikulären Aussage: Jedes B ist ein C. Also Ein B ist ein C. B = BC. Also BC = BCC = CB. Denn in diesem Kalkül fügt die Verdoppelung des Buchstaben bzw. des Begriffs nichts Neues hinzu, wie wenn ich sagen würde: Der Mensch ist ein Lebewesen Lebewesen. Kein B ist ein C. Also Ein B ist kein C. BC ≠ CB. Zu zeigen ist B ≠ BC. Wäre nämlich B = BC, so ergäbe sich CB = BC (aus der vorherigen Gleichung [durch beiderseitiges Zufügen von C]) entgegen der Voraussetzung.

Auch die Konversion wird bewiesen, und zwar die einfache Konversion: wie in der PA: Nämlich und der UN:

BC = CB BC ≠ CB

Also CB = BC. Also CB ≠ BC.

Auch die akzidentelle Konversion der UA lässt sich aus der bewiesenen Subalternation herleiten. Denn Jedes B ist ein C. Also Ein C ist ein B. Im Kal kül: B = CB, also BC = CB (das ist die Subalternation); also CB = BC (welches die einfache Konversion der PA darstellt), d.h. Ein C ist ein B. Kommen wir jetzt zu den Syllogismen! Barbara Jedes C ist ein B Jedes D ist ein C Also Jedes D ist ein B. (1) C = BC (2) D = CD Zu zeigen D = BD. Aus (1) ergibt sich CD = BCD, also mit (2) D = BD.

530

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Celarent Null. C est B. Omne D est C. Ergo Null. D est B. CB non = BC D = CD Ostendendum DB non = BD. Ex 1 fit CDB non = BCD. Ergo ex 2 fit DB non = BD. Darii Omne C est B. Quodd. D est C.Ergo Qu. D est B. C = BC DC = CD Ostendendum DB = BD.

Ex 253 fit DCB = BCD et omisso utrobique C fiet DB = BD. Sed sic ratiocinari non licet, quia ita Major propositio non ingrederetur calculum. Vereor ergo ne in meis ratiocinationibus praecedentibus sit lubricum. Nempe sciendum non licere literam adjungere quam non constat ex praemissis esse ingredientibus compatibilem. Ergo non licet sic ratiocinari ut in Barbara fecimus: ubi erat C = BC, D = CD, et ostendendum erat D = BD. Dico non licere ex 1 facere CD = BCD 54 nam licet ex 2 constet C et D esse compatibila, tamen non constat B et D esse compatibilia. Aliter ergo procedendum.55 Hinc in 2 ex 1 fit D = BCD ergo per 2 fit D = BD. Itaque resumemus calculum syllogismorum, adhibita cautione dicta, ne combinemus quae non constant esse combinabilia. Barbara Omne C est B. Omne D est C. Ergo omne D est B. C = BC D = CD ostendendum D = BD. In 2 pro C ponendo valorem ex 1 fit D = BCD. Ergo per 2 fit D = BD. Celarent Nullum C est B. Omne D est C. Ergo Null. D est B. CB non = BC D = CD ostendendum DB non = BD.

Nam si esset DB = BD,56 tunc per 2 foret CDB = BCD. Ergo omissa D fiet CB = BC contra 1. Nempe omittere utrobique ean-

53 (1)

/fit vers. nicht gestr. L/ DCB = CDB per 1 (2) fit …

54 (1) quia (a) nond (b) non constat an (2) nam … .constet (a) B et (b) C et … 55 (1) 56 (1)

Qu ia C et D compatibila per 2 (2) Hinc … fore (2) tunc … foret (a) CBD (b) CDB …

Überprüfung der logischen Gültigkeit

531

Celarent Kein C ist ein B Jedes D ist ein C Also Kein D ist ein B. (1) CB ≠ BC (2) D = CD Zu zeigen DB ≠ BD. Aus (1) ergibt sich CDB ≠ BCD. Also ergibt sich aus (2) DB ≠ BD. Darii Jedes C ist ein B. Ein D ist ein C. Also Ein D ist ein B. (1) C = BC (2) DC = CD Zu zeigen DB = BD.

Aus (2) ergibt sich DCB = BCD und durch Weglassen von C auf beiden Seiten erhält man DB = BD. Doch eine solche Schlussfolgerung ist nicht gestattet, weil hierbei die Majoraussage in den Kalkül gar nicht eingehen würde. Ich fürchte daher, dass in meinen vorangehenden Argumentationen etwas Schlüpfriges steckt. Man muss nämlich wissen, dass es nicht erlaubt ist, einen Buchstaben [bzw. Begriff ] hinzuzufügen, von dem nicht gemäß Voraussetzung feststeht, dass er mit den Bestandteilen verträglich ist. Deshalb ist es nicht erlaubt, so zu argumentieren, wie wir es bei Barbara getan haben: Dort war (1) C = BC, (2) D = CD, und zu zeigen blieb D = BD. Ich sage, es ist nicht erlaubt, aus (1) zu schließen, dass CD = BCD, denn obwohl wegen (2) feststeht, dass C und D verträglich sind, so steht dennoch nicht fest, dass B und D miteinander verträglich sind. Also müssen wir anders verfahren. So gewinnt man aus (2) mit (1) D = BCD, also ergibt sich wegen (2) D = BD. Wir werden also den syllogistischen Kalkül wieder aufnehmen und dabei darauf achtgeben, dass wir nur solche Begriffe kombinieren, von denen feststeht, dass sie miteinander verträglich sind. Barbara Jedes C ist ein B Jedes D ist ein C Also Jedes D ist ein B. (1) C = BC (2) D = CD zu zeigen D = BD.

Setzt man in (2) für C den Wert gemäß (1) ein, ergibt sich D = BCD. Also erhält man mittels (2) D = BD. Celarent Kein C ist ein B Jedes D ist ein C Also Kein D ist ein B.

(1) CB ≠ BC

(2) D = CD

zu zeigen DB ≠ BD.

Wäre nämlich DB = BD, so ergäbe sich gemäß (2) CDB = BCD. Also ergibt sich durch Weglassen von D CB  =  BC im Widerspruch zu (1). Das Weglassen des gleichen Buchstabens auf bei-

532

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

dem literam licet, ascribere nisi de combinabilitate constet non licet. Darii

Omne C est B. Qu. D est C. C = BC DC = CD

Ergo Qu. D est B. ostendendum est DB = BD.

Sane patet quia D et C combinabilia sunt et in C est B, etiam B et D combinabilia esse. Sed nostro calculo res sic patebit. Ex 2 per 1 fit DBC = BCD et omissa C fit DB = BD. Ferio

Null. C est B. Qu. D est C. CB non = BC DC = CD

Ergo Qu. D non est B. ostendendum D non = BD.

Si D esset [=] BD, tunc per 2 foret BCD = CBD. Ergo CB = BC contra 1. Ita negativae ostendentur refutando oppositum. Barbari Omne C est B. Omne D est C. Ergo Quodd. D est B. C = BC D = CD ostendendum DB = BD. 57

Nempe in Barbara ostendimus D = BD. Ergo DB = BD.

58

Celaro Nullum C est B. Omne D est C. Ergo quodd. D non est B. 59 CB non = BC D = CD ostendendum D non = BD.

60

Nimirum si esset D = BD, tunc per 2 foret CD = BCD. Ergo C = BC. Ergo CB = BC contra 1. An invertendo sic: CB non = BC. Ergo C non = BC. Ergo combinando CD non = BCD ergo (per 2) D non = BD. 61 Video nempe combinationem semper fieri posse in negativis, ut si sit C non = BC dico D adscribi posse utrobique ut fiat CD non = BCD nam si ponas D esse incompatibile cum B,62

57 (1)

Nam ex 2 per 1 fit D = BCD (2) Nempe … 58 (1) Celaro In Celarent est (2) Celaro … 59 (1) In Celarent ex praemissis conclusimus D (2) CB non = BC … 60 (1) Nam si (2) Nimirum … D = BD (a) foret D = (b) tunc … Ergo (ba) D = BD ergo et BC = B (bb) C = BC. … 61 (1) Hac patet (2) Video 62 (1) quod tum (2) respondeo quod tum /? erg. Hrg. mit Couturat/

Überprüfung der logischen Gültigkeit

533

den Seiten ist nämlich erlaubt, das Hinzufügen hingegen nur dann, wenn die Verträglichkeit feststeht. Darii

Jedes C ist ein B (1) C = BC

Ein D ist ein C (2) DC = CD

Also Ein D ist ein B. zu zeigen ist DB = BD.

Es ist allerdings klar, dass wenn D und C verträglich sind und B in C enthalten ist, dann auch B und D verträglich sein müssen. In unserem Kalkül wird dieser Sachverhalt so offenbar: Aus (2) ergibt sich mit (1) DBC = BCD und durch Weglassen von C ergibt sich DB = BD. Ferio

Kein C ist ein B (1) CB ≠ BC

Ein D ist ein C (2) DC = CD

Also Ein D ist kein B. zu zeigen D ≠ BD.

Wäre D = BD, so ergäbe sich gemäß (2) BCD = CBD, also CB = BC im Widerspruch zu (1). So werden die negativen Modi durch Widerlegung des Gegenteils bewiesen. Barbari

Jedes C ist ein B Jedes D ist ein C Also Ein D ist ein B. C = BC D = CD zu zeigen DB = BD.

Bei Barbara haben wir nämlich gezeigt D = BD; also DB = BD. Celaro Kein C ist ein B (1) CB ≠ BC

Jedes D ist ein C. Also Ein D ist kein B. (2) D = CD zu zeigen D ≠BD.

Freilich, wäre D = BD, dann gemäß (2) CD = BCD, also C = BC, also CB = BC im Widerspruch zu (1). Oder umgekehrt so: CB ≠BC, also C ≠ BC, also durch Hinzufügen CD ≠ BCD, also (gemäß 2) D ≠ BD. Ich sehe nämlich, dass das Hinzufügen [eines Begriffs] in einer Ungleichung stets möglich ist. Ist z.B. C ≠ BC, so behaupte ich, dass man auf beiden Seiten D zufügen kann, so dass sich CD ≠ BCD ergibt. Denn wenn man annimmt, dass D mit B unverträglich ist, so antworte ich: Was soll‘s? Umso mehr ist nämlich eine Aussage zu verneinen, in der so ein Widerspruch vorkommt. Es ist jedoch nicht erlaubt, in einer Ungleichung

534

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

respondeo quid tum [?] tanto magis enim neganda propositio in qua hoc absurdum. Sed in negativis omittere eandem utrobique literam non licet, fortasse quidem ex ea ipsa litera ascripta oritur incompatibilitas et ratio negandi. Ergo tandem habemus praeclaram calculi regulam: In affi rmatione coincidentiae omittere63 utrobique eandem literam licet, ascribere eandem nisi de combinabilitate constet non licet. Sed in negatione coincidentiae ascribere utrobique eandem literam licet, omittere non licet, nisi rursus de ejus cum caeteris combinabilitate constet. Ita enim constat ob ipsam non fieri negationem. Am Rande hierzu: NB Imo subest error, ut mox dicetur. Patet etiam hinc etsi64 regressu negativa demonstretur assumendo oppositum, tamen haec methodo dum combinatur in negativis, eam directe posse demonstrari ut vel in hoc exemplo patet sic. In Celarent CB non = BC per 1 ibi. Ergo CDB non = BCD. Ergo per 2. ibi DB non = BD. Et in Ferio CB non = BC per 1. ibi. Ergo BDC non = CBD sed DC = CD. Ergo D non = BD. Alioqui ex DC = CD fieret eadem praecedens coincidentia quae tamen negatur. Ubi tamen video admisceri aliquid indirectum. Praestat ergo oppositum negativae probari. Cesare

Nullum B est C. Omne D est C. BC non = CB D = CD

Ergo Null. D est B. DB non = BD.

Si enim esset DB = BD, inde per 2 foret CDB = BCD et (omisso D) BC = CB contra 1. Directe sic: BC non = CB. Ergo CDB non = BCD, ergo per 2 fiet DB non = BD. Video directe posse probari conclu-

63 (1) 64 (1)

literam (2) utrobique Analytice (2) regressu

Überprüfung der logischen Gültigkeit

535

denselben Buchstaben auf beiden Seiten wegzulassen, vielleicht ist nämlich eben dieser zugefügte Buchstabe [bzw. Begriff ] der Grund für die Unverträglichkeit und für die Verneinung. Wir erhalten also schließlich folgende bedeutsame Regel des Kalküls: Bei der Bejahung einer Identität ist es erlaubt, auf beiden Seiten den gleichen Buchstaben wegzulassen; aber man darf den gleichen Buchstaben nur dann hinzufügen, wenn die Verträglichkeit gesichert ist. Hingegen ist es bei der Verneinung einer Identität erlaubt, einen Buchstaben auf beiden Seiten hinzuzufügen, während das Weglassen nicht erlaubt ist, es sei denn, es steht fest, dass er mit den anderen verträglich ist. So steht nämlich fest, dass er nicht der Grund für die Verneinung ist. Am Rande hierzu: N.B: Vielmehr besteht hier ein Irrtum, wie bald erklärt wird. Hieraus erhellt auch: Obwohl durch den Schluss des Regressus eine negative Aussage bewiesen wird, indem man das Gegenteil annimmt, so lässt sie sich dennoch direkt beweisen, wenn sie durch diese Methode in negativen Aussagen kombiniert wird. Das wird in folgendem Beispiel deutlich. In Celarent ist gemäß dem dortigen (1) CB ≠ BC. Also [gemäß der obigen Regel des Hinzufügens] CDB ≠ BCD. Also wegen (2) dort DB ≠ BD. Ebenso ist in Ferio gemäß (1) dort CB ≠ BC. Also BDC ≠ CBD, aber [wegen (2) dort] DC = CD. Also D ≠ BD. Sonst würde aus DC = CD dieselbe vorangehende Gleichung werden, die dennoch verneint wird. Hier sehe ich jedoch, dass etwas Indirektes beigemischt ist. Es ist also besser, das Gegenteil einer negativen Aussage zu beweisen. Cesare Kein B ist ein C Jedes D ist ein C Also Kein D ist ein B. (1) BC ≠ CB (2) D = CD DB ≠ BD.

Wäre nämlich DB = BD, so ergäbe sich hieraus mit (2) CDB = BCD und (durch Weglassen von D) BC = CB im Widerspruch zu (1). Ein direkter Beweis geht so: BC ≠ CB. Also CDB ≠ BCD, also ergibt sich gemäß (2) DB ≠ BD. Ich sehe, dass man negative Konklusionen beweisen kann, wenn in den Prämissen eine UA

536

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

siones negativas, cum in praemissis est universalis affi rmativa. Itaque succedit in Celarent, Celaro, Cesare, non in Ferio. Camestres Omne B est C. Nullum D est C. Ergo Nullum D est B. B = CB DC non = CD Ostendendum est DB non = BD.

Si esset DB = BD tunc65 per 1 foret DCB = CBD seu DC = CD contra 2. Vel directe sic: DC non = CD per 2. Ergo DCB non = CBD. Unde per 1, erit DB non = BD. Festino

Null. B est C. Qu. D est C. BC non = CB DC = CD

Ergo Qu. D non est B. ostendendum est D non = BD.

Si esset D = DB, ex 2 foret BCD = CDB seu BC = CB contra 1. Vel directius, quia BC non = CB erit BDC non = CBD 66 quod tamen prodiret ex DC = CD per 2 si esset D = BD. Patet non prorsus directe procedere demonstrationem, quia abest praemissa universalis affi rmativa. Baroco

Omn. B est C. Qu. D non est C. Ergo Qu. D non est B. B = CB D non = CD ostendendum est D non = BD.

Qu ia D non = CD. Ergo DB non = CBD. Ergo per 1 DB non = BD. Sed hoc nimium probat, fiet enim conclusio Universalis Negativa. Sed hinc jam disco corrigendam esse meam regulam, nec licere etiam in negativis impune combinare, nam si liceret, ex D non67 [=] BD posset fieri DB non = (BBD) seu BD. Ergo ex particulari negativa posset fieri universalis negativa. Ergo omnes istae ratiocinationes quibus volui in negativis evitare regressum, per accidens tantum succedere, reapse non sunt tutae. Regressu igitur nos contentos esse oportet. Et sic

65 (1)

foret (2) tunc … Ergo per (2) quod tamen … per 2 (a) Ergo non est D = BD (2) si … 67 /= erg. Hrg./ 66 (1)

Überprüfung der logischen Gültigkeit

537

vorkommt. Deshalb klappt das bei Celarent, Celaro, Cesare, nicht aber bei Ferio. Camestres Jedes B ist ein C Kein D ist ein C Also Kein D ist ein B. (1) B = CB (2) DC ≠ CD zu zeigen DB ≠ BD.

Wäre DB = BD, so ergäbe sich aus (1) DCB = CBD bzw. DC = CD im Widerspruch zu (2). Oder direkt so: DC ≠ CD gemäß (2). Also DCB ≠ CBD. Daraus ergibt sich mittels (1) DB ≠ BD. Festino

Kein B ist ein C Ein D ist ein C (1) BC ≠ CB (2) DC = CD

Also Ein D ist kein B. zu zeigen D ≠ BD.

Wäre D = DB, so ergäbe sich mit (2) BCD = CDB bzw. BC = CB im Widerspruch zu (1). Oder direkter: da BC ≠ CB ist, ist BDC nicht = CBD, was jedoch aus DC = CD (laut (2)) hervorginge, wenn D = BD wäre. Es ist klar, dass der Beweis nicht noch direkter geführt werden kann, weil keine UA als Prämisse da ist. Baroco

Jedes B ist ein C Ein D ist kein C Also Ein D ist kein B. (1) B = CB (2) D ≠ CD zu zeigen D ≠ BD.

Da D ≠ CD, ist also DB ≠ CBD. Also gemäß (1) DB ≠ BD. Doch dieser Schluss geht zu weit, denn es ergibt sich [statt der PN] eine UN. Hieraus erkenne ich nun, dass meine Regel korrigiert werden muss. Auch in negativen Aussagen darf man nicht ohne Gefahr einen Begriff hinzufügen. Dürfte man dies, so ließe sich aus D ≠ BD ableiten DB ≠ (BBD) bzw. BD. Also würde sich aus einer PN eine UN ergeben. Somit sind alle diese Beweisführungen, durch die ich bei den negativen Aussagen einen Regressus vermeiden wollte, in Wirklichkeit unsicher, auch wenn sie zumindest per accidens zutreffen. Wir müssen uns also mit dem Regressus begnügen

538

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

ratiocinandum: si D esset = DB, foret, per 2, DB non = CDB. Ergo68 [B] non = CB contra 1. Ut ergo regulae calculi recte constituantur, videndum quandonam adjici utrobique litera aut omitti debeat. U. A. est 69 P. A.

C = BC CB = BC

P. Neg. C non = BC U. Neg. CB non = BC.

70

71

Litera compatibilis utrobique addi potest in affi rmativis v.g. si constat D esse compatibile cum C et cum B, pro C = BC scribi potest CD = BCD; sed non in negativis, nam ex C non72 [=] BC non potest fieri BC non = (BCC seu) BC, alioqui ex particulari negativa fieret universalis negativa. Tum demum ergo in negativis licita additio si constet nil tale posse involvi, nec tunc refert de incompatibilitate, haec enim potius auget falsitatem. Sunt et in omissione difficultates, nam utique quia C = BC non licet facere 0 = B. Sic quia reduplicatio73 nil mutat ex CB non = BC liceret facere CB non = BCC, at omissio utrobique C fieret B non = BC. Hoc quidem succedit, sed dubito an vi formae. Sane74 ex C non = BC an licet facere 0 non = B; id verum. An ergo licet omittere in negativis.75 LM non = LM. Ponamus hoc verum esse quia LM implicat contradictionem. Non ideo sequitur M non = M aut L non = L. Videamus ergo an liceat76 consequentias demonstrare calculo non suspecto.

68 /D

L/ B korr. Hrg. mit Couturat 69 (1) U. A. (2) P. A. 70 (1) Neg. (2) U. Neg 71 (1) Si (2) Litera … potest /in affi rmativis erg. L/ 72 /= ergänzt Hrg. mit Couturat/ 73 (1) non licet (2) nil … 74 (1) non licet facere (2) ex … BC (a) non (b) an 75 (1) B (2) LM non = (a) ABM (b) LM non = LM. (a) Dicemusque (b) Ponamus 76 (1) syllog (2) consequentias

Überprüfung der logischen Gültigkeit

539

und wie folgt schlussfolgern: Wäre D = DB, so ergäbe sich, wegen (2), DB ≠ CDB. Also [nach Weglassen von D] B ≠ CB im Widerspruch zu (1). Damit also die Regeln des Kalküls richtig gefasst werden, müssen wir schauen, wann auf beiden Seiten ein Buchstabe hinzugefügt oder weggelassen werden darf. Die UA lautet C = BC PA CB = BC

PN UN

C ≠ BC CB ≠ BC.

Bei affi rmativen Aussagen darf ein verträglicher Begriff auf beiden Seiten hinzugefügt werden. Wenn z.B. feststeht, dass D mit C und mit B verträglich ist, dann kann man für C = BC schreiben CD = BCD. Aber bei negativen Aussagen geht das nicht, denn aus C ≠ BC kann man nicht folgern BC ≠ (BCC bzw.) BC, sonst ließe sich aus der PN die UN ableiten. Obwohl also bei negativen Aussagen ein Hinzufügen nur erlaubt ist, wenn feststeht, dass so etwas keinen Widerspruch involviert, spielt die Unverträglichkeit dort keine Rolle, denn sie vergrößert nur die Falschheit. Auch beim Weglassen gibt es Probleme, denn aus C = BC kann man nicht folgern 0 = B. Und weil eine Verdoppelung nichts verändert, könnte man aus CB ≠ BC ableiten CB ≠ BCC, und nach Weglassen von C auf beiden Seiten ergäbe sich B ≠ BC. Der Schluss ist zwar gültig, doch ich bezweifle, ob er der Form nach gültig ist. Freilich, ob man aus C ≠ BC ableiten darf 0 ≠ B; das ist richtig. Ob also ein Weglassen in den negativen Aussagen [generell] erlaubt ist? LM ≠ LM. Nehmen wir an, dies sei wahr, weil LM einen Widerspruch enthält. Dann folgt hieraus jedoch nicht, dass M ≠ M oder dass L ≠ L. Lasst uns also schauen, ob man die Folgerungen im Kalkül mit unverdächtigen Regeln beweisen kann.

540

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Subalternatio. B = BC. Ergo BC = 77CB. Conversio per accidens B = BC Ergo BC = CB. Ergo CB = BC. Barbara C = BC D = CD ostendendum D = BD. Ex 2 per 1 fit D = BCD. Ergo per 2 fit D = BD. Celarent CB non = BC D = CD ostendendum DB non = BD.

Nam si esset DB = BD, tunc per 2 foret CDB = BCD. Unde si omittere utrobique D licet, fieret CB = BC contra 1. Sed haec omissio visa suspecta, nec tamen alia via apparet. Die folgenden eingerückten Absätze wurden gestrichen: Sane C et B nil habent commune per 1. An omittemus aequationes veniasmusque ad inclusiones. U. A. Omne C est B seu78 notio C continet notionem B. Seu ipsi C inest B. P. A. Qu. C est B79 id est notio BC continetur in eodem, seu quiddam est BC. Sed video nos redire in effectu ad priora. Hae simus demonstrando Celarent CB non = BC D = CD ostendendum DB non = BD. Si esset DB = BD adeoque compatibiles B et D etiam per 2 sunt compatibiles B et C contra 1. Sed calculo sic fiet: si DB = BD, erit per 2 CDB = BCD 80 contra 1 nam ob DB non = BD fit CDB non = BCD.

Puto81 suppletionem in talibus ut DB non = BD, et omissionem in talibus ut CDB = BCD semper fieri posse. Et sane82 si DB est non Ens seu falsum etiam CDB erit non ens seu falsum.

77 (1)

BC (2) CB 78 (1) e.g. (2) C continet B (3) notio … 79 (1) id est C CB et B BC quod continet B seu ipsi C (2) C continet (3) quoddam Y quod B continet (4) id est … 80 /contra 1 nam/ erg L/ sed /streicht Hrg./ ob … 81 /omissionem et streicht L/ 82 (1) si DB incompatibiles (2) si …

Überprüfung der logischen Gültigkeit

541

Subalternation B = BC Also BC = CB Akzidentelle Konversion B = BC Also BC = CB Also CB = BC. Barbara (1) C = BC (2) D = CD Zu zeigen D = BD. Aus (2) ergibt sich mit (1) D = BCD. Ergo ergibt sich gemäß (2) D = BD. Celarent (1) CB ≠ BC(2) D = CD Zu zeigen DB ≠ BD.

Wäre nämlich DB = BD, so ergäbe sich mit (2) CDB = BCD. Wenn es erlaubt ist, auf beiden Seiten D wegzulassen, würde hieraus folgen CB = BC im Widerspruch zu (1). Allerdings erscheint eine solche Weglassung suspekt; doch ist kein anderer Weg ersichtlich. Die folgenden eingerückten Absätze wurden gestrichen: Freilich haben C und B wegen (1) nichts gemeinsam. Ob wir die Gleichungen weglassen und zu Inklusionen übergehen sollen? UA Jedes C ist ein B, d.h. der Begriff C enthält den Begriff B, oder dem C wohnt B inne. PA Ein C ist ein B, d.h. der Begriff BC ist in sich selber enthalten, oder Etwas ist BC. Aber ich sehe, dass wir so im Effekt zu den früheren zurückkehren. Diese haben wir bei Beweis von Celarent CB ≠ BC D = CD zu zeigen DB ≠ BD. Wäre DB = BD und wären somit B und D verträglich, dann wären wegen (2) auch B und C verträglich im Widerspruch zu 1. Aber im Kalkül stellt es sich so dar: wenn DB = BD, dann ist wegen (2) CDB = BCD im Widerspruch zu (1), denn wegen DB ≠ BD ergibt sich CDB ≠ BCD.

Ich glaube, dass das Zufügen in Ausdrücken wie DB ≠ BD sowie das Weglassen in Ausdrücken wie CDB = BCD stets geschehen darf. Und freilich, wenn DB nicht »seiend« bzw. »falsch« ist, dann ist auch CDB nicht »seiend« bzw. »falsch«.

542

Darii

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

C = BC

DC = CD

ostendendum DB = BD.

Ex 2 per 1 fit DBC = BCD. Puto hic etiam permissam 83[sit] omissionem ut fiat DB = 84[BD]. Nam certe si datur DBC etiam datur DB ergo DB = BD. Ferio

CB non = BC DC 85[=] CD

ostendendum 86 D non = BD.

Nam si esset87 D = BD ex 2 fieret BDC = CBD et CB = BC contra 1. Barbari

88

C = BC

D = CD

ostendendum DB = BD.

In 2 pro C ponatur valor ex 1 fit D = BCD. Ergo (per 2) D = BD. Unde89 DB = BD. Celaro

CB non = BC D = CD

ostendendum D non = BD.

Nam si esset D = BD,90 tunc inde per 2 fieret D = CDB, unde ex D = BD in sinistro pro D ponendo CDB et in dextro pro D ponendo CD fiet91 CBD = BCD seu CB = BC contra 1. Brevius si esset D = BD inde per 2 fiet CD = BCD, et pro CD ponendo92 CDB fiet CBD = BCD, id est CB = BC contra 1. Haec per omnes modos fieri merentur, ut notionalis analysis bene constituatur. Sed videamus an non liceat et in aestimatione per individua talem analysin comminisci.

83 /sic

L/ sit ändert Hrg. L/ BD korr. Hrg./ Nam (1) nihil (2) certe si (a) possibile est DBC etiam possibile est DB (b) datur … 85 /DC non = CD L/ non streicht Hrg. mit Couturat 86 (1) DB non = BD (2) D non = BD 87 (1) DB = BD (2) D = BD 88 (1) CB = BC (2) C = BC 89 /ob BD streicht L/ 90 (1) foret D (2) tunc per 2 foret (3) tunc ex eo per 2 fieret CD = BCD tunc ex duobus valoribus ipsius D fieret (4) tunc ex D per 2 (5) tunc inde per 2 fieret CD = BCD, ubi rursus in parte sinistro pro D ponendo BD fiet CBD = BCD id est CB = BC contra (6) tunc … 91 (1) BCD = BC (2) CBD = BCD … 92 (1) BD fiet (2) CBD … 84 /BC

Überprüfung der logischen Gültigkeit

Darii

(1) C = BC

(2) DC = CD

543

zu zeigen DB = BD.

Aus (2) ergibt sich mit (1) DBC = BCD. Ich glaube, dass auch hier das Weglassen erlaubt ist, so dass sich ergibt DB = [BD]. Denn gewiss, wenn es DBC gibt, dann gibt es auch DB, also ist DB = BD. Ferio

(1) CB ≠ BC

(2) DC = CD

zu zeigen D ≠ BD.

Wäre nämlich D = BD, so ergäbe sich mit (2) BDC = CBD und [also nach Weglassen von D] CB = BC im Widerspruch zu (1). Barbari

(1) C = BC

(2) D = CD

zu zeigen DB = BD.

In (2) wird für C der Wert gemäß (1) substituiert und es ergibt sich D = BCD. Also (wegen 2) D = BD. Und daraus [durch Hinzufügen von B] DB = BD. Celaro

(1) CB ≠ BC

(2) D = CD

zu zeigen D ≠ BD.

Wäre nämlich D = BD, so ergäbe sich hieraus mit (2) D = CDB; also ergäbe sich aus D = BD, indem man für das linke D CDB und für das rechte D CD setzt: CBD = BCD bzw. CB = BC im Widerspruch zu (1). Kürzer: wäre D = BD, so ergäbe sich hieraus mit (2) CD = BCD, und setzt man für CD CDB, so ergibt sich CBD = BCD, d.h. CB = BC im Widerspruch zu (1). Dies verdient für alle Modi durchgeführt zu werden, damit die begriffl iche Analyse korrekt aufgebaut ist. Doch lasst uns schauen, ob es nicht auch möglich ist, eine solche Analyse gemäß der Betrachtung der Individuen auszudenken.

544

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

In Univ. Aff. Omnis homo est animal, seu omnes homines sunt animalia, sit homo C et animal B, potest fieri93 B = C+B quod significat animalia aequari hominibus et animalibus simul. Partic. Neg. Qu. C non est B, exprimatur B non = C+B, id est non omnia B aequantur omnibus B et C. Univ. Neg. Nullum C est B, dabit non B = C+non B, cujus negatio foret particularis affirmativa. Sed hinc non bene ducitur conversio simpliciter harum duarum propositionum.

93 (1)

B = (2) B = CB (3) B = C+B

Überprüfung der logischen Gültigkeit

545

Bei der universell affirmativen Aussage ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, oder ‚Alle Menschen sind Lebewesen‘ sei C ‚Mensch‘ und B ‚Lebewesen‘. Dann kann man setzen B = C+B, was bedeuten soll, dass die Menge der Lebewesen gleich ist der Menge der Menschen und der Lebewesen zugleich. Die partikulär negative Aussage ‚Einige C sind nicht B‘ wird so ausgedrückt: B ≠ C+B, d.h. nicht alle B fallen zusammen mit allen B und C. Die universell negative Aussage ‚Kein C ist ein B‘, ergibt Non-B = C+Non-B, und die Negation hiervon wäre die partikulär affirmative Aussage. Doch aus dieser Darstellung lässt sich die einfache Konversion der beiden Aussagen nicht gut herleiten.

546

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

6.2.3 Kommentar Wie in Kap. 4.4 gezeigt wurde, ging Leibniz nach der gelungenen „Bestätigung der logischen Gültigkeit eines Syllogismus“ mittels extensionaler Linien- und Kreisdiagramme dazu über, entsprechende Diagramme für die Intensionen der Begriffe auszuprobieren. In diesem Kontext entwickelte er die hier zu Anfang noch einmal abgedruckte Darstellung der kategorischen Satzformen, die man von Leibniz‘ Beispiel B = ‚Mensch‘, C = ‚Lebewesen‘ abstrahierend wie folgt verallgemeinern könnte: UA UN PA PN

Jedes B ist ein C Kein B ist ein C Ein B ist ein C Ein B ist kein C

B = YC B = YNicht-C B ≠ YNicht-C B ≠ YC.

Dabei wurde der informelle Ausdruck ‚so und so beschaffen‘ („tale“) durch die Variable (bzw. den »unbestimmten Begriff«) Y ersetzt, so wie Leibniz es in den nachfolgenden Beweisen ja auch selber macht. Nun muss, wie schon mehrfach betont wurde, der »unbestimmte Begriff« Y innerhalb der Formel B = YC als durch einen Existenzquantor abgebunden verstanden werden, so dass die Bedingung für die UA expliziter als ∃Y(B = YC) zu verstehen ist. Für die UN erhält man – gemäß dem Gesetz der Obversion – entsprechend die Formel ∃Y(B = Y~C), und die Gleichungen bzw. Ungleichungen für die partikulären Satzformen ergeben sich hieraus per Opposition bzw. Negation. Dabei gehen die Existenzquantoren natürlich in Allquantoren über, und man erhält insgesamt das (bereits in Kap. 1.5 vorgestellte) Schema 5 UA PA

∃Y(B = YC) ∀Y(B ≠ Y~C)

UN PN

∃Y(B = Y~C) ∀Y(B ≠ YC).

Mit diesem Schema startet Leibniz den ersten Beweisversuch, wobei sich seine etwas elliptischen Argumente leicht zu vollständigen Beweisen ausarbeiten lassen. Aus den Prämissen von

Kommentar

547

Barbara, also ‚Jedes C ist ein B‘, d.h. ∃X(C = XB), und ‚Jedes D ist ein C‘, d.h. ∃Y(D = YC), kann man durch Beseitigung des Existenzquantors zu (C = XB) und (D = YC) übergehen; hieraus erhält man qua Substitution identitätslogisch D = Y(XB) bzw. D = (YX)B, woraus sich für Z = YX nach Einführung eines Existenzquantors ∃Z(D = ZB) ergibt, d.h. die Formalisierung der Konklusion ‚Jedes D ist ein B‘. Am Rande sei bemerkt, dass diese relativ trivialen Umformungen und Schlüsse nicht nur die Geltung des Gesetzes der Symmetrie der Konjunktion (z.B. BX = XB) voraussetzen, sondern auch das (von Leibniz nie explizit in Betracht gezogene) Gesetz der Assoziativität der Konjunktion, dem zufolge insbesondere X(YB) = (XY)B ist. Solche von Leibniz stillschweigend vorausgesetzten Eigenschaften der Begriffskonjunktion werden hier nur deshalb erwähnt, weil in späteren Ansätzen diese und ähnliche Gesetze – inklusive des basalen Identitätsaxioms B = B – ja gerade zur Disposition gestellt, d.h. genauer auf widerspruchsfreie Begriffe B eingeschränkt werden sollen. Der Beweis für Celarent läuft ebenso glatt, aber bei Darii tauchen ernsthafte Probleme auf. Leibniz benutzt die Prämisse (C = XB) (im Sinne von ∃X(C = XB)), um aus (D ≠ Y~C) (im Sinne von ∀Y(D ≠ Y~C)) per Substitution (D ≠ Y~(XB)) zu gewinnen. Doch hieraus folgt eben nicht, dass (D  ≠  YX~B), was – wie Leibniz bemerkt – für die Konklusion (D ≠ Z~B) „erforderlich wäre“. Zumindest gibt es keine offensichtliche Möglichkeit, den Ausdruck ~(XB) logisch korrekt in Z(~B) umzuformen. Leibniz versucht daraufhin, sich die Schwierigkeit anhand des Beispiels C = ‚Mensch‘, B = ‚Lebewesen‘ und D = ‚Weise‘ zu verdeutlichen.1 Doch diese Überlegungen bringen keinen echten Erkenntnisgewinn, so dass Leibniz – nachdem er noch einen kurzen Blick 1 Interessanterweise

schwankt Leibniz dabei zwischen einer semiformalen und einer gänzlich informellen Betrachtungsweise, indem er die partikulären Sätze mittels des »unbestimmten Begriffs« Y darstellt, die UA ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘ hingegen nicht durch ‚Mensch‘ = ‚X Lebewesen‘ paraphrasiert, sondern mittels eines bestimmten Begriffs qua ‚Mensch‘ = ‚vernünftiges Lebewesen‘.

548

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

auf die verwandte Problematik beim Modus Ferio warf – die Darstellung gemäß Schema 5 für untauglich erklärte und zu einem anderen Ansatz überging. Diese Schwierigkeiten verdienen es jedoch, genauer analysiert zu werden. Tatsächlich ist der Schluss Darii52

∃X (C = X B ), ∀Y (D ≠ Y~ C ) ⇒ ∀Z (D ≠ Z ~B )

zwar logisch gültig, aber alles andere als leicht zu beweisen – und zwar auch dann, wenn man einen indirekten Beweis probiert. Wenn man annimmt, dass die Konklusion ∀Z(D ≠ Z~B) falsch ist, dann müsste man mit Hilfe der Prämisse ∃X(C = XB) ableiten, dass die andere Prämisse, ∀Y(D ≠ Y~C), ebenfalls falsch sein muss: Darii5Ind ∃X (C = X B ), ∃Z (D = Z ~B ) ⇒ ∃Y (D = Y~ C ).

Nach jeweiliger Elimination des Existenzquantors ergeben sich die Formeln (i) C = XB und (ii) D = Z~B, aus denen man irgendwie die Existenz eines Y mit (iii) D = Y~B herleiten müsste. Dazu könnte man von (i) durch Negation beider Seiten zu (iv) ~C = ~(XB) übergehen, doch diese Gleichung lässt sich – mit den im Leibnizschen Kalkül zur Verfügung stehenden Gesetzen – leider nicht nach ~B »auflösen«. Etwas Derartiges erscheint jedoch notwendig, um qua Substitution in (ii) zu (iii) zu gelangen. Dieses Problem ist offenbar der „Knoten“, den Leibniz bei seinen Überlegungen sah und der ihn dazu veranlasste, Schema 5 aufzugeben und zu einer anderen Repräsentation der Satzformen überzugehen, bei der die »Kopula« ‚est‘ im Sinne der Konzeption „secundi adjecti“ aufgefasst werden soll. Bevor wie uns den dabei neu auftauchenden Problemen zuwenden, wollen wir aber erst die hinter Darii5Ind verborgenen Schwierigkeiten noch detaillierter analysieren. Spätestens seit den „Generales Inquisitiones“ war Leibniz eigentlich bekannt, dass man die komplexe Darstellung der UA 2 Der Index ‚5‘ bezieht sich auf die Nummer des zugrundliegenden Sche-

mas.

Kommentar

549

[∃Y](C = YB) zu C = CB vereinfachen kann. Zum einen folgt aus C = CB unmittelbar die Existenz eines Y (nämlich Y = C), so dass C = YB. Geht man umgekehrt von der Existenz eines Y mit C = YB aus, so ergibt sich (nach »Addition« von B auf beiden Seiten) CB = (YB)B = Y(BB); wegen des Idempotenzgesetzes Konj 5 folgt also CB = YB, woraus sich mit der Voraussetzung C = YB (per Substitution oder gemäß Transitivität der Identität) schließlich das gewünschte CB = C bzw. C = CB ergibt. Eben diesen Sachverhalt hatte Leibniz bereits in § 16 GI nachdrücklich betont.3 Für die UN lässt sich die Bedingung [∃Y](C = Y~B) entsprechend zu C = C~B vereinfachen, so dass man unter Berücksichtigung der Gesetze der Opposition das schon in Abschnitt 1.5 vorgestellte Schema 4 UA PA

B = BC B ≠ B~C

UN PN

B = B~C B ≠ BC

erhält. Der kritische Modus Darii nimmt dann folgende Gestalt an: Darii4

C = CB , D ≠ D ~ C ⇒ D ≠ D ~B .

Um ihn zu beweisen, würde es sich empfehlen, wiederum zur indirekten Variante überzugehen: Darii4Ind C = CB , D = D ~B ⇒ D = D ~ C .

Überraschenderweise gestaltet sich der Beweis selbst dieses prima facie recht einfachen Schlusses ebenfalls als ziemlich schwierig. Zwar könnte man erneut von der Prämisse (i) C = CB durch beidseitige Negation zu (ii) ~C = ~(CB) übergehen, doch diese Gleichung lässt sich (mit den im Kalkül L1 zur Verfügung stehenden Gesetzen) wiederum nicht so ohne weiteres nach ~B »auflösen«, um diesen Wert dann in (iii) D = D~B zu substitu3 Vgl.

A VI, 4, 751: „Propositio Affirmativa A est B sive A continet B […] idem est quod A esse coincidens cuidam B seu A = BY. Notabile est pro A = BY posse etiam dici A = AB et ita non opus est assumtione novae literae.“ Diese wichtige Erkenntnis wird auch in den Kalkülentwürfen vom August 1690 noch einmal betont. Vgl. Abschnitt 6.3 weiter unten.

550

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

ieren und nach Umformungen daraus irgendwie (iv) D = D~C abzuleiten. Allerdings kann man (ii) nun dazu benutzen, die Konklusion (iv) in (v) D = D~(CB) zu verwandeln, so dass nur die Folgerung (vi) D = D~B ⇒ D = D~(CB) zu beweisen bleibt. Da jedoch (in Ermangelung des Operators der begriffl ichen Disjunktion) in L1 kein De-Morgansches Gesetz zur Verfügung steht, mit dem man den Ausdruck ~(CB) weiter umformen könnte, ist ein direkter Beweis von (vi) anscheinend unmöglich. Eine Lösung dieses Problems eröffnet sich erst dann, wenn man die Identitäten D = D~B und D = D~(CB) im Sinne des Gesetzes Est 3 in die Inklusionsbeziehungen D∈~B bzw. D∈~(CB) verwandelt. In der Tat: Wenn immer ein Begriff D den negativen Begriff ~B enthält, dann muss er erst recht den Begriff ~(CB) enthalten, denn da umgekehrt (gemäß Konj 2) der positive Begriff CB den Teilbegriff B enthält, folgt gemäß dem Prinzip der Kontraposition A∈B ↔ ~B∈~A

Neg 2

aus CB∈B (vii) ~B∈~(CB). Damit hätte man Darii4Ind letztendlich bewiesen. Überhaupt bleibt festzustellen, dass Leibniz sich sehr viel Mühe erspart hätte, wenn er von vornherein mit dem einfachen Schema 1 UA PA

B∈C B∉~C

UN PN

B∈~C B∉C

gearbeitet hätte. Die Modi Barbara und Celarent nehmen nämlich dann die Gestalt Barbara1 Celarent1

C∈B ; D∈C ⇒ D∈B C∈~B ; D∈C ⇒ D∈~B

an und folgen direkt aus dem fundamentalen Axiom der Transitivität der ∈-Relation Est 2. Auch die anderen beiden »vollkommenen« Modi Darii1 Ferio1

C∈B ; D∉~ C ⇒ D∉~B C∈~B ; D∉~ C ⇒ D∉B

Kommentar

551

lassen sich – unter Verwendung des Prinzips der Kontraposition  – recht einfach beweisen. Angesichts des aussagenlogischen Prinzips des Regressus sind diese Schlüsse ja mit den folgenden, indirekten Varianten gleichwertig: Darii1Ind C∈B ; D∈~B ⇒ D∈~ C Ferio1Ind C∈~B ; D∈B ⇒ D∈~ C .

Geht man in Darii1Ind von der Prämisse C∈B per Kontraposition zu ~B∈~C über, so stellt also auch dieser Syllogismus nur eine Instanz des Transitivitätsgesetzes Est 2 dar. Ähnlich gewinnt man in Ferio1Ind aus der Prämisse D∈B per Kontraposition ~B∈~D, so dass mit C∈~B per Est 2 die Konklusion D∈~C folgt. Damit ist das gesamte „Fundamentum Syllogisticum“ bzw. das „Dictum de omni et nullo“ in L1 bewiesen. Angesichts der Resultate von Kapitel 5, insbesondere Abschnitt 5.2.3, wären somit für einen vollständigen Beweis der Syllogistik nur noch die Gültigkeit der »einfachen« Gesetze der Subalternation, der Opposition und der Konversion nachzuweisen. Die Gesetze Opp 1, Opp 2 sind jedoch in jedem homogenen Schema, also insbesondere in Schema 1, qua Konstruktion trivialerweise erfüllt. Ferner lassen sich die Gesetze der »einfachen« Konversion leicht beweisen. Im Rahmen von Schema 1 nehmen sie folgende Gestalt an: Kon v   1 1 B∈~ C ↔ C∈~B Kon v  2 1 B∉~ C ↔ C∉~B .

Aus B∈~C folgt aber mit dem Gesetz der begriffslogischen Kontraposition, Neg 2, zunächst ~~C∈~B, also gemäß dem Prinzip der doppelten Verneinung das gewünschte C∈~B. Die umgekehrte Implikation C∈~B → B∈~C ergibt sich völlig analog, und aus dem somit bewiesenen Konv 11 gewinnt man Konv 21 per aussagenlogischer Kontraposition!4 besagt ja: Wenn aus der (Wahrheit der) Aussage α logisch die (Wahrheit der) Aussage β folgt, dann folgt umgekehrt aus der Falschheit von β (bzw. aus ¬β) die Falschheit von α (d.h. ¬α). 4 Dieses

552

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Die Gesetze der »akzidentellen« Konversion Konv 31 Konv 41

B∈C → C∉~B B∈~ C → C∉B

brauchen nicht separat bewiesen zu werden, da sie sich direkt aus denen der Subalternation mit Hilfe von Konv 11, Konv 21 ableiten lassen. Somit bleibt abschließend nur noch ein Blick auf die Subalternation zu werfen: Sub 11 Sub 21

B∈C → B∉~ C B∈~ C → B∉C .

Der Schluss Sub  11 deckt sich mit den Prinzip der Widerspruchsfreiheit, das Leibniz u.a. in §91 GI aufgestellt und wie folgt zu beweisen versucht hatte: Wenn A B enthält, dann enthält A nicht Non-B. Sei nämlich, falls das angenommen werden kann, wahr, dass A Non-B enthält. Nun enthält aber A nach Voraussetzung schon B. Also A enthält B Non-B, was absurd ist.5

Streng genommen zeigt dieses Argument jedoch »nur«, dass wenn ein Begriff A sowohl B als auch Non-B enthält, A dann ein »absurder«, d.h. widerspruchsvoller Begriff ist. Mit anderen Worten: Das Widerspruchsfreiheitsprinzip muss im Sinne des in Abschnitt 1.3 vorgestellten Gesetzes Neg 4

M(A) → (A∈B → A∉~B )

auf »seiende« bzw. konsistente Begriffe A eingeschränkt werden. Damit erweist sich die Subalternation wiederum unter der Zusatzvoraussetzung gültig, dass der Subjektbegriff B möglich ist, also – semantisch gesprochen – einen nichtleeren Umfang (im Bereich aller möglichen Individuen) besitzt. Diese Voraus5 Vgl.

A VI, 4, 766: „Si A est B tunc A non est non-B. Esto verum A esse non-B, si quidem fieri potest, jam A est B ex hypothesi. Ergo A est B non-B, quod est absurdum.“

Kommentar

553

setzung nahm in Leibniz‘ syllogistischer Ableitung der Subalternationsgesetze die Gestalt der »Identität« Quoddam I(B , B )

an. Es sei noch einmal betont, dass es sich bei ‚(Mindestens) ein B ist ein B‘ im Gegensatz zu ‚Jedes B ist ein B‘, formal: Omne

A (B , B ),

nicht um eine echte Identität bzw. um eine logisch wahre Aussage handelt, sondern um die (wenngleich relativ schwache) materielle Zusatzannahme, dass es mindestens ein (mögliches) Individuum gibt, welches unter den Begriff B fällt. Nachdem wir uns somit Klarheit darüber verschafft haben, wie ein begriffslogischer Beweis der syllogistischen Lehrsätze und Modi auf der Basis von Schema 1 hätte erfolgreich durchgeführt werden können, wenden wir uns wieder den Leibnizschen Bemühungen in „De formae logicae comprobatione“ zu. Im zweiten Anlauf (S.515) geht Leibniz von der Auffassung der Satzformen „secundi adjecti“ aus, die er ursprünglich in §§144–151 der „Generales Inquisitiones“ entwickelt hatte: (145) Aus jeder Aussage „tertii adjecti“ kann eine Aussage „secundi adjecti“ gebildet werden, indem das Prädikat mit dem Subjekt zu einem einzigen Begriff zusammengesetzt und von diesem gesagt wird, er sei […] ein Ding […] (146) Die partikulär affi rmative Aussage ‚Ein A ist ein B‘ lautet in eine Aussage „secundi adjecti“ verwandelt ‚AB ist‘, d.h. ‚AB ist ein Ding‘ […] (148) Die partikulär negative Aussage ‚Ein A ist nicht ein B‘ wird so in eine Aussage „secundi adjecti“ umgewandelt: ‚A Nicht-B ist‘, d.h. ‚Ein A welches nicht B ist, ist ein Ding‘[…]

Wählt man für die UA und die UN die Negationen der entsprechenden partikulären Satzformen PN bzw. PA, so ergibt sich insgesamt das folgende (bereits in Kap. 1.5 erwähnte)

554

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Schema 2 UA PA

¬M(B~C) M(BC)

UN PN

¬M(BC) M(B~C).6

Auf der Grundlage dieses eleganten Schemas erweist sich jedoch schon der Beweis des grundlegenden Modus Barbara als überaus schwierig: Barbara 2

¬ M(C ~B ); ¬ M(D ~ C ) ⇒ ¬ M(D ~B )

Wie könnte man aus den beiden Prämissen, so fragt sich Leibniz, jemals erschließen „D Non-B ist nicht seiend? Somit ist auch diese Ausdrucksweise nicht geeignet“. Tatsächlich handelt es sich bei Barbara2 zwar um eine logisch völlig korrekte Schlussfolgerung, doch ihr Beweis gestaltet sich mit den von Leibniz in Betracht gezogenen, identitätslogischen Gesetzen selbst dann als schwierig, wenn man zur indirekten Variante Barbara2ind ¬ M(C ~B ); M(D ~B ) ⇒ M(D ~ C )

übergeht. Ein Ausweg eröffnet sich erst dann, wenn man die Prämisse ¬M(C~B) mittels des Prinzips Mögl 4 zunächst in C∈B verwandelt, hieraus per Kontraposition (d.h. Neg 2) ~B∈~C gewinnt, so dass a fortiori D~B∈D~C gilt. Deshalb lässt sich gemäß Mögl 3 aus der Widerspruchsfreiheit des ersten Begriffs, M(D~B), die Widerspruchsfreiheit des darin enthaltenden zweiten Begriffs, M(D~C), ableiten. Leibniz‘ nächster Beweisversuch stützt sich auf das folgende Schema, bei dem die universellen Satzformen wie in Schema 5 repräsentiert werden, die partikulären hingegen durch Formeln 6 Vgl.

A VI, 4, 780: „(151) Habemus ergo propositiones tertii adjecti sic reductas ad propositiones secundi adjecti: Quoddam A est B dat AB est res Quoddam A non est B dat A non-B est res Omne A est B dat A non-B non est res Nullum A est B dat AB non est res“.

Kommentar

555

mit jeweils zwei »unbestimmten Begriffen«, die offenkundig als durch Existenzquantoren abgebunden zu verstehen sind: UA ∃Y(B = YC) PA ∃Y∃Z(BY = ZC)

UN PN

∃Y(B = Y~C) ∃Y∃Z(BY = Z~C).

Wie in Kap. 1.4 betont wurde, sind die beiden letzteren Formeln jedoch (in L2) beweisbar, denn sie folgen durch zweifache Anwendung der Regel der Einführung des Existenzquantors aus den Tautologien BC = BC bzw. B~C = B~C. Deshalb müsste das Schema »eigentlich« dahingehend verbessert werden, dass man – wie in Schema 7 aus Kap. 1.5 – die jeweilige Zusatzbedingung hinzufügt, dass der Begriff Y mit B verträglich ist: Schema 5/7 UA ∃Y(B = YC) UN ∃Y(B = Y~C) PA ∃Y∃Z(M(BY) ∧ BY = ZC) PN ∃Y∃Z(M(BY) ∧ BY = Z~C)

Wir wollen nun überprüfen, ob dies für den nachfolgenden Beweisgang von Leibniz einen Unterschied macht. Die Beweise der Modi Barbara und Celarent, die ohnehin nur universelle Satzformen enthalten, laufen wie weiter oben (nach Schema 5) glatt durch. Auch Darii und Ferio »funktionieren« nun, wie Leibniz (S.517) frohlockend notiert. Nähme man die Leibnizschen Formalisierungen von ‚Ein D ist ein B‘ bzw. ‚Ein D ist kein B‘ im Sinne von ∃Y∃Z(DY = CZ) bzw. ∃Y∃Z(DY = (~C)Z)) wörtlich, so wären die Konklusionen tautologisch, die entsprechenden Schlüsse also trivialerweise gültig. Aber auch in der nichttrivialen Lesart Darii5/7 ∃X(C=XB), ∃YZ(M(YD)∧YD=ZC) ⇒ ∃YZ(M(YD⇒ YD=ZB) Ferio5/7 ∃X(C=XB), ∃YZ(M(YD)∧YD=Z~C) ⇒ ∃YZ(M(YD)∧ YD=Z~B)

lassen sich Leibniz‘ etwas elliptische Überlegungen leicht zu vollständigen Beweisen ergänzen. Denn aus der Existenz dreier »unbestimmter Begriffe« X, V und Y, so dass C = XB und [M(VD)∧] VD=YC gewinnt man per Substitution M(VD) ∧ VD=YXB, also – indem man YX durch Z ersetzt und V zu Y um-

556

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

benennt – die gewünschte Existenz von Y und Z mit M(YD) ∧ YD = ZB.7 Leibniz‘ Beweis der Subalternation (genauer von Sub  1) ist bei wörtlichem Verständnis wiederum trivialerweise gültig, weil die Konklusion ‚Ein C ist ein B‘ in der Lesart ∃Y∃Z(BY = ZC) quantorenlogisch wahr ist (und damit aus jeder beliebigen Prämisse logisch folgt). Geht man hingegen zur modifizierten Darstellung der PA gemäß Schema 5/7 über, so wäre zu beweisen: Sub 15/7

∃Y (C = Y B ) ⇒ ∃V ∃Z (M(VC ) ∧ VC = Z B ).

Nach Annahme der Existenz irgendeines Y mit C = YB kann man zwar – wie es Leibniz tut – auf beiden Seiten der Gleichung einen beliebigen Begriff V »addieren« und weiter argumentieren: „setzt man VY = Z, so ergibt sich [∃V∃Z] VC = ZB, also die Subalternation“. Doch für die Konklusion von Sub  15/7 bliebe zusätzlich nachzuweisen, dass der »unbestimmte Begriff« V mit C verträglich ist: M(VZ)! Dies setzt jedoch voraus, dass der Subjektbegriff C selber widerspruchsfrei ist! Nimmt man eben diese Bedingung, M(C), als Zusatzprämisse hinzu, so lässt sich Leibniz‘ Gedankengang zu einem lückenlosen Beweis von Sub 15/7 ergänzen, denn mit M(C) und [∃Y]C = YB kann man nun ein beliebiges, mit C verträgliches V wählen (insbesondere z.B. V = C), so dass dann M(VC) und VC = V(YB) = (VY)B = ZB gilt.8 Die wirklichen, mit Schema 5/7 verbundenen Probleme betreffen die Gesetze der Opposition sowie der »einfachen« Konversion der UN. Leibniz sieht keinen Weg, aus der Formalisierung von ‚Kein C ist ein B‘, d.h. [∃X](C = X~B), umgekehrt [∃Z] (B = Z~C), d.h. ‚Kein B ist ein C‘ herzuleiten. Wie weiter oben im Zusammenhang mit Schema 5 erläutert wurde, gelingt ein solcher Beweis (mit Hilfe der Leibniz‘ zur Verfügung stehen7 Der

Beweis von Ferio5/7 erfolgt natürlich völlig analog. gilt für Leibniz‘ Beweisversuche der subalternen Modi Barbari und Celaro. 8 Entsprechendes

Kommentar

557

den Gesetze) erst dann, wenn man von der Darstellung mit den unbestimmten Begriffen X, Z gemäß Est 4 zu der einfacheren Repräsentation C∈~B und B∈~C übergeht, deren Äquivalenz dann aus dem Prinzip der Kontraposition folgt. Leibniz selber versuchte, das Problem der Konversion der UN dadurch in den Griff zu bekommen, dass er sich den syllogistischen Beweis von Konv 1 in Erinnerung rief. Doch dabei bemerkte er zu Recht, dass dieser die Geltung des Modus Cesare voraussetzt, welcher seinerseits „den Schluss des Regressus bzw. das Prinzip des Widerspruchs“ präsupponiert. Insbesondere müsse also vorab das Gesetz Opp 2 bewiesen werden, doch „das wird aus dem Ausdruck C = X Non-B und ZC = YB nicht offenkundig.“ Leibniz hielt dieses Problem offenbar für so gravierend, dass er den auf Schema 5/7 basierenden Beweisversuch abbrach und zu einem neuen Ansatz überging, der gleich noch näher zu untersuchen bleibt. Vorweg wollen wir jedoch in einem kleinen Exkurs etwas detaillierter die Schwierigkeiten analysieren, die mit dem Beweis von Opp 2 innerhalb von Schema 5/7 verbunden sind. Dieser ziemlich formelreiche Teil belegt in eindrucksvoller Weise, auf welch hohem logischen Niveau Leibniz‘ Überlegungen im Grunde angesiedelt sind. Leser, die an solchen »technischen« Details nicht interessiert sind, können die folgenden zwei Absätze getrost überschlagen. Zu zeigen ist die Äquivalenz Opp 25/7

∃X (B = X~ C ) ↔ ¬∃Y ∃Z (M(BY ) ∧ BY = ZC ).

Der Beweis der Implikation von links nach rechts erfolgt am besten indirekt. Es möge also einerseits ein X existieren, so dass (i) B = X~C; andererseits möge es Y und Z geben, so dass (ii) M(BY) und (iii) BY = ZC. Aus (iii) folgt identitätslogisch (durch beidseitige »Addition« von B) (iv) BBY = BZC. Substituiert man auf der rechten Seite von (iv) für B den Wert aus (i), also X~C, so ergibt sich die Gleichung (v) BBY = (X~C)(ZC), die nach basalen Gesetzen zu (vi) BY = XZC~C umgeformt werden kann. Der linke Term BY ist jedoch nach Voraussetzung (ii) möglich

558

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

bzw. widerspruchsfrei, während der rechte Term (XZC~C) den widersprüchlichen Begriff C~C enthält und somit selber unmöglich ist. Für den Beweis der Implikation von rechts nach links nehmen wir an, dass es keine Begriffe Y und Z gibt, so dass zugleich (i) BY = ZC und (ii) M(BY) (bzw. M(ZC)) gilt. Setzt man nun insbesondere (iii) Y = C ∧ Z = B, so gilt aber BY = ZC bzw. BC = BC; da (i) für diese Begriffe erfüllt ist, kann die Bedingung (ii) für sie nicht gelten, d.h. es folgt (iv) ¬M(B,C). Aus (iv) folgt jedoch gemäß Mögl 3, dass B die Negation von C enthalten muss: (v) B∈~C, woraus sich mit Est 3 unmittelbar B = B~C und nach Einführung eines Existenzquantors die gewünschte Konklusion ∃X(B = X~C) ergibt. In seinem vierten Anlauf will Leibniz die Formalisierung der UA nach Schema 5 mit der der PA gemäß Schema 7 kombinieren und für die UN und die PN die jeweiligen Negationen nehmen, so dass die Gesetze der Opposition qua Konstruktion erfüllt sind: UA PA

B = YC BY = ZC

UN PN

BY ≠ CZ B ≠ YC .

Etwas präziser wäre dieses Schema wie folgt zu vervollständigen: Schema 5/7Opp UA ∃Y(B = YC) UN ∀Y∀Z(M(BY) → BY ≠ CZ) PA ∃Y∃Z(M(BY) ∧ BY = ZC) PN ¬∃Y(B = YC).

Bereits beim Beweis von Celarent offenbart Leibniz jedoch überraschende Schwächen im Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen. Im Basiskalkül L1 gilt selbstverständlich das Prinzip, dass man auf beiden Seiten einer Gleichung einunddenselben Term »addieren« darf: Id 5

A = B → AC = B C .

Dieses Gesetz ist ein unmittelbares Korollar des noch fundamentaleren Prinzips, dass identische Ausdrücke „salva veritate“

Kommentar

559

füreinander substituiert werden dürfen. Denn da (gemäß Id 1) jeder Term mit sich selbst identisch ist, gilt insbesondere AC = AC, so dass man mit A = B per Substitution AC = BC gewinnt. Aus Id 5 folgt übrigens sofort (mittels aussagenlogischer Kontraposition), dass man in einer Ungleichung jederzeit einunddenselben Term »subtrahieren« darf: Id 7

AC ≠ B C → A ≠ B .

Leibniz hingegen setzt bei seinem »Beweis« von Celarent umgekehrt voraus, dass man in einer Ungleichung denselben Term auf beiden Seiten »addieren« dürfe: Id 8*

A ≠ B → AC ≠ B C .

Denn er versucht, aus der Formel „(1) XC ≠ YB […] (3) XZC ≠ YZB“ herzuleiten. Das Prinzip Id 8* würde (wiederum gemäß aussagenlogischer Kontraposition) implizieren, dass man in einer Gleichung einunddenselben Term »subtrahieren« dürfe: Id 9*

AC = B C → A = B .

Doch dies ist natürlich ein Irrtum! Zum Beispiel fällt der konjunktive Begriff ‚Vernunftbegabter Mensch‘ mit ‚Vernunftbegabtes Lebewesen‘ zusammen, doch daraus folgt nicht, dass ‚Mensch‘ = ‚Lebewesen‘ wäre. Leibniz‘ »Beweis« von Celarent ist also fehlerhaft, und den gleichen Fehler wiederholt er noch einmal bei den Beweisversuchen für Camestres und Festino, bevor es ihm dämmert: „Doch diese Schlussfolgerung erschließt zuviel, denn die [aus XB ≠ YC mittels Id 8* hergeleitete] Konklusion [ZXB ≠ YD] ist eine UN und würde somit die schwächere Prämisse [XD = ZC, also eine PA, in puncto Quantität] übertreffen“. Kurz darauf bemerkt er generell: Es ist nämlich bei Ungleichungen nicht immer erlaubt, auf beiden Seiten das Gleiche hinzuzufügen;

doch er zieht hieraus nicht die einzig richtige Konsequenz, Id 8* gänzlich preiszugeben, sondern versucht, dieses Prinzip auf

560

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

widerspruchsfreie (bzw. mit den übrigen Begriffen A und B kompatible) Begriffe C einzuschränken. Genauer geht Leibniz zunächst zu einem neuen – dem mittlerweile fünften – Ansatz über, bei dem die PA ‚Ein B ist ein C‘ durch die (tautologische) Formel ‚BC = CB‘ repräsentiert werden soll und die UN entsprechend durch ‚BC ≠ CB‘. Für die UA und die PN will er die Darstellung gemäß Schema 4 beibehalten, so dass sich (S. 527/529) folgendes Schema ergibt: UA B = B C PA CB = B C

UN PN

CB ≠ B C B ≠ BC

Sinngemäß will Leibniz mit der Bedingung ‚CB = BC‘ den Sachverhalt erfassen, dass der konjunktive Begriff CB (bzw. BC) widerspruchsfrei oder möglich ist. Im Grunde genommen handelt es sich bei diesem Schema also um einen (inhomogenen) Verschnitt der Schemata 4 und 2: Schema 4/2 UA PA

B = BC M(BC)

UN PN

¬M(BC) B ≠ BC

Mit diesem Schema gerät Leibniz aber bald wieder in große Schwierigkeiten. So wendet er beim Versuch, Celarent zu beweisen, erneut das untaugliche Prinzip Id 8* an, und beim anschließenden Beweisversuch von Darii rekurriert er auf das gleichermaßen untaugliche Id  9*. Anschließend bemerkt er jedoch selber, dass „eine solche Schlussfolgerung […] nicht gestattet“ ist und er fürchtet zu Recht, dass in seinen „vorangegangenen Argumentationen etwas Schlüpfriges steckt“. Etwas genauer vermutet er, dass man einen Begriff (wie C) nur dann »addieren« dürfe, wenn feststeht, dass er mit den anderen Begriffen (wie A und B) verträglich ist. Leider erläutert er nicht weiter, ob er dabei an die »Addition« innerhalb einer Gleichung oder innerhalb einer Ungleichung denkt. Beim erneuten Versuch, Celarent zu beweisen, stützt er sich jedenfalls wieder auf das untaugliche Prinzip Id 9* und rechtfertigt dies mit der Behauptung:

Kommentar

561

Das Weglassen des gleichen Buchstabens auf beiden Seiten ist nämlich erlaubt, das Hinzufügen hingegen nur dann, wenn die Verträglichkeit feststeht.

Dies ist jedoch gleich doppelt unhaltbar. Erstens ist das Weglassen eines Begriffs in einer Gleichung wie AC = BC nicht generell gültig; zweitens ist es nicht notwendig, das Hinzufügen auf beiden Seiten einer Gleichung wie A = B auf solche Begriffe C einzuschränken, die mit A (bzw. B) verträglich sind. Drittens würden die Schwierigkeiten, mit denen sich Leibniz im weiteren Verlauf seiner Untersuchungen konfrontiert sieht, auch dadurch nicht verschwinden, dass man das (an sich uneingeschränkt gültige) Prinzip Id 5 in der fraglichen Weise, d.h. im Sinne des Gesetzes A = B ∧ M(AC) → AC = BC beschränkt. Etwas später wiederholt Leibniz seine irrtümliche Auffassung, das Hinzufügen eines Begriffs C sei innerhalb einer Ungleichung stets erlaubt, wobei er vor allem den Spezialfall vor Augen hat, dass C mit den anderen Begriffen unverträglich ist. Über die Frage der Vernünftigkeit des entsprechenden Prinzips A ≠ B ∧ ¬M(AC) ∧ ¬M(BC) → AC ≠ BC brauchen wir an dieser Stelle kein Urteil zu fällen.9 Es reicht der Hinweis, dass der entsprechende Schluss von A ≠ B auf AC ≠ BC im Normalfall eines mit A und mit B verträglichen Begriffs C jedenfalls logisch ungültig bleibt. Überhaupt steckt die von Leibniz wenig später aufgestellte »bedeutsame« Regel („regula praeclara“) voller Fehler: Bei der Bejahung einer Identität ist es erlaubt, auf beiden Seiten den gleichen Buchstaben wegzulassen; aber man darf den gleichen Buchstaben nur hinzufügen, wenn die Verträglichkeit gesichert ist. Hingegen ist es bei der Verneinung der Identität erlaubt, 9 Die Annahme des Prinzips würde implizieren, dass ein widerspruchs-

voller Begriff wie B~B nicht mit sich selbst identisch ist. Denn ist B selber widerspruchsfrei, d.h. insbesondere B ≠ B~B, so ergäbe sich durch »Addition« des mit B (und a fortiori mit B~B) unverträglichen Begriffs ~B die Ungleichung B~B ≠ B~B(~B).

562

Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

einen Buchstaben auf beiden Seiten hinzuzufügen, während das Weglassen nicht erlaubt ist, es sei denn, es steht fest, dass er mit den anderen verträglich ist.

Insbesondere erkannte Leibniz beim späteren Versuch, den Modus Baroco zu beweisen, „dass meine Regel korrigiert werden muss“. Doch auch mit dem anschließenden Verbesserungsversuch traf er nicht wirklich ins Schwarze: [i] Bei affi rmativen Aussagen darf ein verträglicher Begriff auf beiden Seiten hinzugefügt werden. […] [ii] Aber bei negativen Aussagen geht das nicht […]. [iii] Bei negativen Aussagen ist ein Hinzufügen nur erlaubt, wenn feststeht, dass so etwas keinen Widerspruch involviert […]. [iv] Auch beim Weglassen [innerhalb einer Gleichung] gibt es Probleme, denn aus C = BC kann man nicht folgern 0 = B. […] [v] Freilich, ob man aus C ≠ BC ableiten darf 0 ≠ C, das ist richtig. [vi] Ob also ein Weglassen in den negativen Aussagen [generell] erlaubt ist?

Dazu in aller Kürze ein paar Bemerkungen. Behauptung [i] ist korrekt; das Prinzip Id 5 gilt jedoch nicht nur für die »Addition« von verträglichen, sondern auch für unverträgliche Begriffe. [ii] ist ebenfalls korrekt, d.h. das Prinzip Id 8* ist ungültig; es wird jedoch nicht dadurch gültig, dass man vom dem zu »addierenden« Begriff verlangt, dass er mit den anderen Begriffen verträglich ist, d.h. These [iii] ist falsch. Behauptung [iv] ist wiederum korrekt, und das von Leibniz skizzierte Gegenbeispiel ist so zu verstehen, dass ‚0‘ einen tautologischen Begriff bezeichnet, der (intensional betrachtet) »nichts« enthält. These [v] ist nicht nur hinsichtlich des Beispiels, sondern allgemeiner im Sinne von Id 7 korrekt. Damit ist die von Leibniz gestellte Frage [vi] zu bejahen, und zu seinem anschließend betrachteten »Gegenbeispiel« bleibt folgendes zu erläutern. Leibniz will eine Ungleichung der Gestalt A ≠ A als Ausdruck dafür verstehen, dass A widerspruchsvoll bzw. unmöglich ist. Nun dürfte man in der Tat aus der Annahme, dass eine Konjunktion wie LM unmög-

Kommentar

563

lich ist, nicht ableiten, dass die einzelnen Konjunktionsglieder L oder M selber unmöglich sein müssen. Zwar folgen aus dem im Kap. 1.2 erwähnten Gesetz Mögl 3 als Korollare: Mögl 3.1 Mögl 3.2

M(A B ) → M(A) ∧ M(B ) ¬ M(A) → ¬ M(A B ).

Aber die Umkehrungen sind selbstverständlich ungültig. Sowohl der Begriff ‚Mensch‘ als auch seine Negation ‚Nicht-Mensch‘ sind möglich, aber die Konjunktion ‚Mensch Nicht-Mensch‘ ist trivialerweise unmöglich! Deshalb ist auch das folgende Prinzip ungültig: Mögl 9*

¬ M(A B ) → ¬ M(A) ∨ ¬ M(B ).

Dessen ungeachtet bleibt der Schluss von LM ≠ LM auf L ≠ L bzw. auf M ≠ M gemäß Id 7 identitätslogisch gültig! Leibniz‘ Verwirrungen bezüglich der Geltung der elementaren Prinzipien des Hinzufügen und Wegnehmens von Begriffen rühren offenbar daher, dass er die Grundgesetze der Identität von Begriffen in unzulässiger Weise mit der Bedingung ihrer Widerspruchsfreiheit verknüpft. In diesem Kontext sei noch einmal daran erinnert, dass Leibniz auch in den „Generales Inquisitiones“ vorübergehend erwogen hatte, die Geltung von ‚AB = AB‘ oder ‚AB = BA‘ auf widerspruchsfreie Begriffe einzuschränken, letztendlich aber einsah, dass eine solche Restriktion unnötig ist.10 Die im Text noch folgenden, im Prinzip auf Schema 4/2 beruhenden Beweisversuche bleiben deshalb im Grunde wertlos, da sie immer wieder auf die unhaltbare Regel rekurrieren, „dass ein Zufügen [von C] in Ausdrücken wie DB ≠ BD sowie ein Weglassen [von C] in solchen wie CDB = BCD stets geschehen darf“. Identitätslogisch sind diese Prinzipien (im Sinne von Id  8* bzw. Id  9*) ungültig, auch wenn die korrespondierenden Schlussfolgerung „wenn DB nicht »seiend bzw.

10 Vgl. die §§ 153–155 mit der schon in Fußnote 1 (S.510) zitierten Schluss-

folgerung.

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Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

»falsch« ist, dann ist auch CDB nicht »seiend« bzw. »falsch«“ im Sinne von Mögl 3.2 durchaus korrekt ist. Dass Leibniz die Problematik seines Ansatzes zumindest erahnt, wenn nicht sogar erkannt hat, geht nicht nur daraus hervor, dass er an einer Stelle selbstkritisch eingestand: „Allerdings erscheint eine solche Weglassung [wie in Id 9*] suspekt; doch ist kein anderer Weg ersichtlich“. Ein weiteres Indiz besteht darin, dass er seinen »intensionalen« Ansatz letztendlich unvollendet abbrach und als letzten Strohhalm zur alternativen, extensionalen „Betrachtung der Individuen“ griff: Bei der universell affirmativen Aussage […] ‚Alle Menschen sind Lebewesen‘ sei C ‚Mensch‘ und B ‚Lebewesen‘. Dann kann man setzen B = C+B, was bedeuten soll, dass die Menge der Lebewesen gleich ist der Menge der Menschen und der Lebewesen zugleich. Die partikulär negative Aussage ‚Einige C sind nicht B‘ wird so ausgedrückt: B ≠ C+B […] Die universell negative Aussage ‚Kein C ist ein B‘ ergibt Nicht-B = C+Nicht-B, und die Negation hiervon wäre die partikulär affirmative Aussage.

Diese mengentheoretische Repräsentation der Satzformen ist so zu verstehen, dass ‚B+C‘ die Vereinigung der Mengen B und C symbolisiert und ‚Non-B‘ das Komplement der Menge B. Wie Leibniz bei seinen Untersuchungen zum sog. Plus-Minus-Kalkül herausgefunden hatte, läuft die Bedingung ‚B = C+B‘ darauf hinaus, dass die Menge C in der Menge B enthalten ist.11 Mit Hilfe der modernen Symbole ∪ für die Vereinigung, ⊆ für die Enthaltensbeziehung und B für das Komplement nimmt das Schema dann folgende Gestalt an: Schema 11 UA PA

11 Vgl.

C⊆B C⊄B

UN PN

C⊆B C⊄B

etwa „Prop. 13“ und „Prop. 14“ der Arbeit „Specimen Calculi Coincidentium et Inexistentium“ (A VI, 4, 830f.).

Kommentar

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Dieses Schema beinhaltet zwar eine adäquate Repräsentation der kategorischen Satzformen; für Leibniz‘ Zwecke eines Beweises der syllogistischen Grundgesetze wäre es jedoch denkbar schlecht geeignet. Zum einen kommt in den Entwürfen zum Plus-Minus-Kalkül der Operator der Komplementbildung überhaupt nicht vor – Leibniz operiert stattdessen mit der mengentheoretischen Subtraktion.12 Zum anderen wäre es wieder sehr schwierig, mit den zur Verfügung stehenden Mitteln insbesondere die Konvertierbarkeit der UN bzw. der PA nachzuweisen. Z.B. lautet das Gesetz Konv 1 innerhalb von Schema 11: Konv 111

C ⊆ B→ B ⊆ C

Dieser Schluss (bzw. seine Variante C ⊆ B → B ⊆ C ) drückt quasi das Prinzip der mengentheoretischen Kontraposition aus und ist als solches durchaus gültig. Angesichts der weiter oben beleuchteten Schwierigkeiten, die sich grundsätzlich beim Versuch eines identitätslogischen Beweises der Kontraposition auftun, ist jedoch kaum zu erwarten, dass Leibniz’ es jemals hätte schaffen können, Konv 111 bzw. sein Pendant, bei dem das moderne Symbol ⊆ wieder durch die originale Bedingung ersetzt wird,13 zu beweisen. So sah denn auch Leibniz schlussendlich ein: Doch aus dieser Darstellung [gemäß Schema 11] lässt sich die einfache Konversion der beiden Aussagen [UN und PA] nicht gut [!] herleiten.

Das Thema ‚Beweis der Syllogistik im »Allgemeinen Kalkül«‘ war damit für ihn (zumindest in der Schrift „De formae logicae comprobatione …“) »gestorben«. Im folgenden Abschnitt bleibt ein weiterer Anlauf zu untersuchen, den er Anfang August 1690 unternahm.

12 Für

Einzelheiten vgl. die Rekonstruktion des Plus-Minus-Kalküls in Lenzen (2000). 13 Das wäre die Formel (Non-B = C+Non-B) → (Non-C = B+Non-C).

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Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

6.3.1 „Primaria Calculi Logici fundamenta“1 1. Aug. 1690 Omnis propositio categorica potest concipi ut terminus incomplexus, cui tantum adjicitur est vel non est (secundi adjecti). Ita Omnis homo est rationalis, sic concipi potest Homo3 non rationalis (non est, seu est) non Ens. Qu idam homo est doctus4 dat: Homo doctus est Ens Nullus homo est lapis,5 dat: Homo lapis est non Ens Qu idam homo non est doctus6 dat: Homo non doctus est Ens. Hinc statim apparent primo aspectu conversiones et oppositiones. Sic U.N. et P.A. sunt convertibiles, quia facta reductione in ea uterque terminus eodem modo se habet. Hinc tamen patet propositionem reductam a reducenda differe, seu aliud esse Qu idam homo est doctus, et Homo doctus est Ens. Quia cum dico Homo doctus est Ens simul exprimo Qu idam homo est doctus, & quidam doctus est homo. Opponitur U.N. et P.A. nempe AB est non Ens, et AB est Ens. Opponitur U.A. et P.N. nempe A non B est non Ens, et A non B est Ens. Sed videamus quomodo et subalternatio seu subsumtio hinc duci possit. Omnis homo est animal. Ergo quidam homo est animal.7 A non B est non Ens. Ergo AB est Ens. 2

1 Ediert

nach den Handschriften LH IV, 7 B 2, 3r, 3v und LH IV, 7 C 97 (vgl. C. 232–235; 235–237 sowie 421–423). Die Texte werden hier unter ein und demselben Titel zusammengefasst, obwohl der letztere von Leibniz leicht abweichend als „Fundamenta Calculi Logici“ überschrieben wurde. 2 /universalis/ erg. und streicht L 3 (1) rationalis (2) non rationalis (a) est (b) non est (c) (non est … 4 (1) id est (2) dat 5 (1) id est (2) dat 6 (1) id est (2) dat 7 (1) AB (2) A non B …

„Die ersten Grundlagen des logischen Kalküls“

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6.3.2 „Die ersten Grundlagen des logischen Kalküls“1 1. August 1690 Jede kategorische Aussage lässt sich als ein inkomplexer Begriff auffassen, dem im Sinne der Konstruktion „secundi adjecti“ lediglich der Ausdruck ‚ist‘ oder ‚ist nicht‘ angehängt wird. Somit kann man ‚Jeder Mensch ist vernunftbegabt‘ so auffassen: ‚Nicht vernunftbegabter Mensch ist nicht bzw. ist nicht »seiend«‘. ‚Ein Mensch ist gelehrt‘ ergibt: ‚Gelehrter Mensch ist »seiend«‘. ‚Kein Mensch ist ein Stein‘ ergibt: ‚Steinerner Mensch ist nicht »seiend«‘ ‚Ein Mensch ist nicht gelehrt‘ ergibt: ‚Nicht gelehrter Mensch ist »seiend«‘. Hieraus werden die Konversionen und die Oppositionen auf den ersten Blick deutlich. So sind die UN und die PA [»einfach«] konvertierbar, weil sich bei der durchgeführten Umformung beide Begriffe auf die gleiche Weise verhalten. Dabei zeigt sich freilich, dass sich die umgeformte Aussage von der umzuformenden unterscheidet, d.h. es ist etwas anderes, zu sagen ‚Ein Mensch ist gelehrt‘ und ‚Gelehrter Mensch ist »seiend«‘. Denn wenn ich sage ‚Gelehrter Mensch ist »seiend«‘ drücke ich gleichzeitig aus ‚Ein Mensch ist gelehrt‘ und ‚Ein Gelehrter ist ein Mensch‘. Eine Opposition besteht zwischen der UN und der PA, d.h. zwischen ‚AB ist nicht »seiend«‘ und ‚AB ist »seiend«‘. Eine Opposition besteht zwischen der UA und der PN, d.h. zwischen ‚ANicht-B ist nicht »seiend«‘ und ‚ANicht-B ist »seiend«‘. Wir wollen sehen, auf welche Weise auch die Subalternation bzw. Subsumption bewiesen werden kann. 1 Vgl.

die Übersetzung in Schmidt (1960), S.161–167, die allerdings von den „Primaria logici Calculi fundamenta“ nur den ersten Teil (C., 232–235) berücksichtigt. Vgl. ferner die Übersetzung in Schupp [2000], SS. 45–51, 53–59 und 61–67.

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Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Nullus homo est lapis. Ergo quidam homo non est lapis.8 AB est non Ens. Ergo A non B est Ens, et B non A est Ens. 9 Non valet consequentia AB est Ens, ergo A non B est non Ens. Aliquid esse non Ens regulariter concludi non potest, nisi quando adest contradictio, ut A non A est non Ens. Demonstranda est haec consequentia A non B est non Ens, ergo AB est Ens. Id est demonstranda est haec consequentia Omne A est B. Ergo quoddam A est B. Hanc autem alias sic demonstraveram:10 Omne A est B. Quoddam A est A ergo quoddam A est B. Sed haec demonstratio supponit demonstrationem syllogismi primae figurae. Nempe Omne A est B, quoddam C est A, ergo quoddam C est B. Reducendo: A non B est non Ens. AC est Ens. Ergo CB est Ens. Quomodo haec consequentia demonstrabitur? Quoniam igitur ex hac reductione non facile apparet vis consequentiae, non est habenda pro optima resolutione. Sic ergo melius reducendo omnia ad aequipollentiam seu quasi aequationem: 11 A ∞ YB est U.A. adjiciendo Y tanquam terminum subintellectum supplentem, Omnis homo est idem quod animal quiddam. 12 YA ∞ ZB est P.A. Qu idam homo seu talis homo est idem quod quidam doctus. 13 A ∞ Y, non-B Nullus homo est lapis, seu Omnis homo est non lapis, seu homo et quidam non lapis coincidunt.

  (1)

A non B (2) AB …non B est /non streicht L/ Ens, et … est /non streicht

L/ Ens.   (1) Propo (2) Si (3) Si AB est Ens fit A non B est non Ens. (4) Non valet … AB est /non streicht L/ … est non Ens. /Sed haec ergo streicht L/ 10 (1) Omne A est A (2) Omne A est B … 11 (1) AY (2) A ∞ (3) A ∞ (a) BY (b) YB … 12 (1) A ∞ (2) AY (3) YA ∞ (a) (b) ZB … 13 (1) Non-A (2) Y Non-A ∞ non BZ (a) est (b) quidam non homo est idem quod lapis, nam Nullus homo (2) A ∞ Y, non-B …

„Die ersten Grundlagen des logischen Kalküls“

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‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, also ‚Ein Mensch ist ein Lebewesen‘: ‚ANicht-B ist nicht »seiend«, also ‚AB ist »seiend«‘. ‚Kein Mensch ist ein Stein‘, also ‚Ein Mensch ist nicht ein Stein‘: ‚AB ist nicht »seiend«‘, also ‚ANicht-B ist »seiend«‘ und ‚BNicht-A ist »seiend«‘. Die Schlussfolgerung: ‚AB ist »seiend«‘, also ‚ANicht-B ist nicht »seiend«‘ ist ungültig. Dass etwas nicht »seiend« ist, lässt sich auf reguläre Weise nur dadurch erschließen, dass ein Widerspruch vorliegt wie z.B.: ‚ANicht-A‘ ist nicht »seiend«. Zu beweisen ist die Folgerung: ‚ANicht-B ist nicht »seiend«, also ‚AB ist »seiend«‘. D.h. zu beweisen ist dieser Schluss: ‚Jedes A ist ein B‘, also ‚Ein A ist ein B‘. An anderem Ort habe ich dies so bewiesen: ‚Jedes A ist ein B‘; ‚Ein A ist ein A‘; also: ‚Ein A ist ein B‘. Doch dieser Beweis setzt den Beweis eines Syllogismus der Ersten Figur voraus, nämlich [Darii]: ‚Jedes A ist ein B‘; ‚Ein C ist ein A‘; also: ‚Ein C ist ein B‘. Nach Umformung: ‚ANicht-B ist nicht »seiend«; ‚CA ist »seiend«‘; also ‚CB ist »seiend«‘. Auf welche Art kann diese Schlussfolgerung bewiesen werden? Nachdem also aus dieser Umformung die Schlüssigkeit [von Darii] nicht leicht ersichtlich wird, ist sie nicht als optimale Lösung zu betrachten. Somit ist es besser, alle Aussagen auf Äquipollenzen bzw. quasi auf Gleichungen zu reduzieren. A = YB stellt die UA dar, wobei Y als ein mitverstandener, ergänzender Ausdruck hinzugefügt wird. ‚Jeder Mensch‘ ist dasselbe wie ‚Ein Lebewesen‘. YA = ZB stellt die PA dar: ‚Ein Mensch‘ bzw. ‚Der so und so beschaffene Mensch‘ ist dasselbe wie ‚Ein Gelehrter‘. A = YNicht-B [stellt die UN dar:] ‚Kein Mensch ist ein Stein‘, d.h. ‚Mensch‘ und ‚Ein Nicht-Stein‘ fallen zusammen. YA = ZNicht-B [stellt die PN dar:] ‚Ein Mensch ist nicht gelehrt bzw. ist nicht-gelehrt‘, d.h. ‚Ein Mensch‘ und ‚Ein NichtGelehrter‘ fallen zusammen.

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Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

YA ∞ Z non-B Qu idam homo non est14 doctus seu est nondoctus, seu quidam homo et quidam non doctus coincidunt. Hinc jam omnia demonstrantur; verbi gratia: Omnis homo est animal. Ergo quidam homo est animal. Nam A ∞ YB, ergo 15[ZA] ∞ ZYB. Sit ZY ∞ W. Ergo16 [ZA] ∞ WB. Nullus homo est lapis. Ergo quidam homo non est lapis; eodem modo. Nam A ∞ Y non-B. Ergo ZA ∞ ZY non-B seu ZA ∞ W non-B. 17 Qu idam homo est doctus, Ergo quidam doctus est homo. YA ∞ ZB. Ergo ZB = YA. Die folgenden eingerückten Sätze wurden verworfen: Nullus homo est lapis, Ergo nullus lapis est homo. A ∞ Y non-B. Ergo non A ∞ 18non. (Y (non B)) ∞ B. Supponitur scilicet haec consequentia aequatio fundamentalis: non(Y (non B)) = B, seu negando quendam excludi est poni . Sed non valet et haec consequentia A ∞ B ergo non A (bricht ab)

Nullus homo est lapis. Ergo nullus lapis est homo, patitur difficultas in hac19 resolutione. Alibi sic demonstravimus: Nullus homo est lapis. Omnis lapis est lapis, Ergo [nullus] lapis est homo; in secunda figura. Sed ita prius ipsa secunda figura esset demonstranda, quanquam id non difficile ex nostris.

14 (1)

lapis seu est non-lapis (2) doctus … 15 /ZB L/ ZA korr. Hrg. mit Couturat 16 /ZB L/ ZA korr. Hrg. mit Couturat/ ∞ (1) YB (2) WB. 17 (1) Omnis (2) Qu idam 18 (1) (2) non. (Y (non B)) ∞ (a) YB (b) B. [In dem doppelt negierten Ausdruck ‚non Y non B‘ drückt Leibniz die Reichweite des jeweiligen ‚non‘ durch Überstreichen des betreffenden Terms an; die Überstreichungen werden hier und im Folgenden aus typographischen Gründen durch Klammern ersetzt.] 19 (1) demonstratione (2) resolutione

„Die ersten Grundlagen des logischen Kalküls“

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Hieraus wird nun alles bewiesen, zum Beispiel: ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, also ‚Ein Mensch ist ein Lebewesen‘. Denn A = YB, also ZA = ZYB. Sei ZY = W, also ZA = WB. ‚Kein Mensch ist ein Stein‘, also ‚Ein Mensch ist kein Stein‘. [Der Beweis erfolgt] auf die gleiche Weise: Denn A = YNicht-B, also ZA = ZYNicht-B bzw. ZA = W Nicht-B. ‚Ein Mensch ist gelehrt‘, also ‚Ein Gelehrter ist ein Mensch‘: YA = ZB, also ZB = YA. Die folgenden eingerückten Sätze wurden verworfen: Kein Mensch ist ein Stein, also Kein Stein ist ein Mensch. A = YNicht-B, also Nicht-A = Nicht-(Y(Nicht-B)) = B. Diese Folgerung setzt offenbar die folgende fundamentale Gleichung voraus: Nicht-(Y(Nicht-B)) = B, d.h. ‚einen‘ zu negieren ist dasselbe wie auszuschließen, dass ‚alle‘ gesetzt werden. Doch diese Folgerung ist ungültig: A = B also Nicht-A (bricht ab)

‚Kein Mensch ist ein Stein‘, also ‚Kein Stein ist ein Mensch‘. Diese Darstellung leidet unter einer Schwierigkeit. Andernorts haben wir [die Subalternation syllogistisch] so bewiesen: ‚Kein Mensch ist ein Stein‘; ‚Jeder Stein ist ein Stein‘; also: ‚Kein Stein ist ein Mensch‘ [d.h. gemäß Cesare] in der Zweiten Figur. Doch so wäre zunächst die Zweite Figur zu beweisen, obwohl dies aus unseren [Darlegungen] nicht schwierig ist. Lasst uns zunächst die Schwierigkeit herausarbeiten, die sich beim Beweis der einfachen Konversion der UN ergab.

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Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

Exponamus primum difficultatem in demonstranda conversione simplici Universalis20 [negativae]. A ∞ Y non-B. Ergo B ∞ Z non-A.21 Instituamus analysin. Si hoc procedit Ergo A ∞ Y(non Z (non-A)). Ergo ostendendum est haec duo aequari A et Y non(Z (non-A)), v.g. homo et22 quidam non (quidam (non homo)) coincidunt. Nempe23 quaelibet res praeter hominem est quidam non homo.24 Talis aliqua res verbi gratia Z non A, vocetur M. Erit utique25 A ∞ Y non M. Utique enim homo est unus ex illis rebus quae sunt non M. Alioqui quidam A foret M, seu WA ∞ TM seu WA ∞ TZ non A quod est absurdum. Nempe si falsa A ∞ Y non M, vera est WA ∞ TM26 quae consequentia adhuc stabilienda. Omnis homo est animal Ergo Omne non animal est non homo, A ∞ YB ∞ non B ∞ Z non A. Haec consequentia est fundamentalis, aequivalentque haec duo ex natura το omnis. Haec ergo assumo A ∞ B ergo non A ∞ non B vel contra et: A ∞ YB Ergo Z non A ∞ non B,27 seu si το homo coincidit cum animali quodam, nempe rationali, utiqui το non-animal coincidit cum quodam non homine. Nempe haec res pendet a 28 transitu ab individuis ad ideas. Scilicet quando dico Omnis homo est animal, hoc ipsum volo, homines inter animalia esse quaerendas. Seu qui non sit animal nec hominem esse. Rursus quando dico omnis homo est animal, volo notionem animalis contineri in idea hominis. Et contraria est methodus per notiones et per individua, scilicet: Si omnes homines sunt 20 /affi rmativae

L/ negativae korr. Hrg. mit Couturat 21 (1) Si hoc procedit (2) Instituamus … 22 (1) doctus non (2) quidam … 23 (1) quidam non homo (2) quaelibet … 24 (1) haec res, v.g. Z (2) Talis … 25 (1) A (2) A ∞ Y non M. (a) Utique enim homo non (b) Utique … 26 (1) haec (2) quae consequentia adhuc /demonstranda vel streicht L/ stabilienda 27 (1) seu si το Homo coincidit cum quodam animali, v.g. rationali, (2) seu … 28 (1) connexione (2) tra (3) connexione (4) transitu …

„Die ersten Grundlagen des logischen Kalküls“

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A = Y Nicht-B, also B = ZNicht-A. Stellen wir eine Analyse an! Wenn diese Folgerung stimmt, dann ergibt sich [durch Substitution] A = YNicht-(ZNicht-A). Deshalb bleibt zu zeigen, dass die beiden Ausdrücke ‚A‘ und ‚YNicht-(ZNicht-A)‘ äquivalent sind, z.B. dass ‚Mensch‘ und ‚ein gewisser Nicht-(ein gewisser Nicht-Mensch)‘ zusammenfallen. Ein beliebiges Ding außer einem Menschen ist nämlich ein gewisser Nicht-Mensch. Ein beliebiges solches Ding, zum Beispiel ZNicht-A, soll M genannt werden. Dann wird also A = YNicht-M gelten. Denn ein Mensch ist jedenfalls eines jener Dinge, welche nicht M sind. Andernfalls wäre ein A ein M, d.h. WA = TM bzw. WA = TZNicht-A, was absurd ist. Wenn nämlich A = YNicht-M falsch ist, dann ist WA = TM wahr. Diese Folgerung bleibt bislang noch zu sichern. ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, also ‚Jedes Nicht-Lebewesen ist ein Nicht-Mensch‘; A = YB ↔ Nicht-B = ZNicht-A. Diese Schlussfolgerung ist fundamental, und beide Ausdrücke sind aufgrund der Bedeutung von ‚Jeder‘ äquivalent. Ich mache also folgende Annahmen: A = B, also Nicht-A = Nicht-B oder umgekehrt; und A = YB, also ZNicht-A = Nicht-B, d.h. wenn der Ausdruck ‚Mensch‘ mit ‚ein gewisses Lebewesen‘ zusammenfällt, nämlich mit ‚vernunftbegabtes Lebewesen‘, dann fällt jedenfalls ‚Nicht-Lebewesen‘ mit ‚ein gewisser NichtMensch‘ zusammen. Diese Sache hängt nämlich vom Übergang von den Individuen zu den Ideen ab. Denn wenn ich sage ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, dann meine ich, dass die Menschen unter den Lebewesen zu suchen sind, d.h. wenn etwas kein Lebewesen ist, dann ist es erst recht kein Mensch. Wiederum wenn ich sage ‚Jeder Mensch ist ein Lebewesen‘, so meine ich, dass der Begriff des Lebewesens in der Idee des Menschen enthalten ist. Somit ist der Zugang über die Begriffe

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Zum begriffslogischen Beweis der Syllogistik

pars omnium animalium, seu si omnes homines sunt in omnibus animalibus, vicissim animalis notio erit in notione hominis; et si plura sunt animalia extra homines, addendum est aliquod ad ideam animalis, ut fiat idea hominis. Nempe augendo conditiones, minuitur numerus. Die folgenden eingerückten Absätze wurden mit dem Hinweis „verte retro primaria“ gestrichen: Primaria Logici fundamenta: A ∞ A. 29 A ∞ A est vera. 30 A non ∞ B non A 31 Eadem sunt A ∞ B et A non ∞ non B et non A ∞ non B Si A ∞ B est vera A non ∞ B est falsa et vicissim. 32 Idem est A ∞ B et non A ∞ non B. Idem est A ∞ B et A ∞ B est vera Idem est A non ∞ B et A ∞ B est falsa. 33

Primaria Calculi Logici fundamenta (1) A ∞ B idem est quod A ∞ B est vera. (2) A non ∞ B idem est quod A ∞ B est falsa. (3) A ∞ A (4) A non ∞35 B (non A) (5) A ∞ non(non(A))

34

(2) A ∞ B (3) AB (4) A ∞ B et non A (5) A ∞ A … 30 (1) A ∞ B non A est falsa (2) A non ∞ B non A 31 (1) A ∞ B est vera utique A ∞ non B est falsa et vicissim (2) Idem est A ∞ B et A non ∞ non B. (3) Eadem sunt … 32 (1) Si A idem est (2) Idem est … 33 (1) (2)