Sammlung mathematischer Formeln [11. Aufl. Reprint 2019] 9783486777130, 9783486777123

Citation preview

Sammlung mathematischer Formeln Herausgegeben von FRITZ

WESTRICH

Mit 69 Abbildungen 11. Auflage

München

1951

J. L I N D A U E R V E R L A G

(SCHAEFER)

V E R L A G VON R. O L D E N B O U R G

Zum Gebrauch an den höheren Lehranstalten ministeriell genehmigt Alle Rechte bei J . Lindauer Verlag (Schaefer) Fritz Westrich, Direktor des O. v. Miller-Polytechnikums, Akademie für angew. Technik, München Geboren am 28.2.1886 zu Landstuhl/Pfalz Satz, Druck und Bindearbeiten: Dr. F. P. Datterer & Cie. - Inhaber Sellier - Freising

Vorwort zur 11. Auflage Die Formelsammlung wurde vollständig überarbeitet, verbessert und erweitert, soweit dies als notwendig erschien. Anregungen aus Fachkreisen konnte weitgehend entsprochen werden. Wie bei den vorangegangenen zwei Auflagen wirkten mit die Herren: Dr. Ludwig Baumgartner, Dr. Friedrich Nikol, Dr. Richard Vogel und Dr. Karl Popp. Allen Mitarbeitern sei herzlichst gedankt, auch dem Verlag für die gute Ausstattung. M ü n c h e n , Juli 1951 Fritz

Westrich

Inhalt I. Algebra A. Verhältnisgleichungen B. Umwandlungen C. Binomischer Satz und Anordnungslehre (Kombinatorik) D. Wahrscheinlichkeitsrechnung E. Die arithmetische und geometrische Folge und Reihe F. Zinseszinsrechnung G. Aus der Lehre von den komplexen Zahlen . . H. Aus der Lehre von den Gleichungen

7 7 10 13 14 15 15 18

II. Ebene und räumliche Geometrie A. Ebene Geometrie B. Raumgeometrie

22 32

III. Trigonometrie A. Die trigonometrischen Funktionen B. Die trigonometrischen Funktionen zusammengesetzter Winkel C. Sätze über das allgemeine (schiefwinklige) ebene Dreieck D. Sätze über das rechtwinklige Kugeldreieck . . E. Sätze über das allgemeine Kugeldreieck . . . F. Die zyklometrischen oder arcus-Funktionen

41 44 46 47 48 49

IV. Mathematische Erd- und Himmelskunde A. Die Koordinatensysteme an der Himmelskugel B. Die Kulminationshöhe eines Gestirns auf der Nordhalbkugel

52 53

6

Inhalt

C. Zeitgleichung D. Zeitumrechnung

54 54

V. Analytische Geometrie der Ebene A. B. C. D. E. F. G. H.

Der Punkt Koordinatenverwandlungen Die Gerade Der Kreis Die Ellipse Die Hyperbel Die Parabel Allgemeine Kegelschnittsgleichung

56 57 58 61 62 66 71 72

VI. Differentialrechnung A. B. C. D. E. F.

Der Grenzwert Differentiationsregeln Die Ableitungen der einfachsten Funktionen . Anwendung der Differentialrechnung . . . . Unendliche Reihen Grenzwertermittlung unbestimmter Ausdrücke

74 76 78 78 82 85

VII. Integralrechnung A. Integrationsregeln B. Einfache Integrale C. Anwendung auf Geometrie Sachverzeichnis

86 86 89 93

I. Algebra A. Verhältnisgleichungen Wenil a : b = c: d, so ist a • d = b • c ferner (a ± b) :a = (c ± d): c oder (a ± b) : b = (c ± d): d und {a + b): (a — b) = (c + d): (c — d). B. Umwandlungen b)2

a2

1. (a (a (a (a

+ — b)2 + b)3 — bf

= + 2ab = a2 — 2 ab = a3 + 8 a2b = a3 — 3 a2b

2. a2 a3 a3 an

— b2 +b3 — b3 — bn ...

= {a + b) (a — b) = (a + b) (a2 — ab + b2) = (a — b) \a2 + ab + b2) =

b2 b2 Sab2 + b3 Sab2 — bs

( a — 6) ( a » - 1

+ abn~2

... —ab2"'1 3. (a + b +

+ + -f +

c)2

=

«2

+

+ a "

- 2

b + an~s

b2 +

6"-1) +b2n)

+ b2 + c2 + 2aö + 2ac + 26c

4. Mittelwerte für a und b: a) Arithmetisches Mittel

= ———

b) Geometrisches Mittel

= \a-b

> tt • . ««! + W2

4. Soll von 2 Ereignissen Ex und E2 das erste eintreten, n i c h t a b e r das zweite, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür

14

I. Algebra

E. Die arithmetische und geometrische Folge und Reihe 1. Bei der a r i t h m e t i s c h e n

Folge

a, a + d, a + Zd, a +

3d,...

lautet das wte Glied z — a -f (n — 1 )d. 2. Die a r i t h m e t i s c h e

Reihe

a + (a + d) + (a + 2d) + ... hat den Summenwert n s

3. A r i t h m e t i s c h e

+ z

,

= 2" ( a + 2)Reihen

höherer

Ordnung.

a) Summe der Q u a d r a t z a h l e n JU 2 = l 2 + 22 + & + ...+ k=i = j-n{n

+ l){2n

k2 + ...

=

+ l);

b) Summe der K u b i k z a h l e n (Würfelzahlen) I k 3 = l s + 23 + 33 + . . . + k 3 + . . . + » 3 = k=i ' n (n + 1) \2 4. Bei der g e o m e t r i s c h e n F o l g e a, aq, aq2, aq3, ... ist das wte Glied z = a-q*~1. 5. Die g e o m e t r i s c h e R e i h e a + aq + aq2 + «9* n hat die Summe q— 1 1 — qn s = a — = a— — (7—1 1 —ff

I. Algebra

15

6. Für die u n e n d l i c h e g e o m e t r i s c h e R e i h e (n -> + oo) ergibt sich für den Fall, daß |q| < 1 ist, die Summe S =

n

1-

F. Zinseszinsrechnung Es sei a das Anfangskapital; p % der Zinsfuß, also q= 1+

P

der Zinsfaktor; n die Zahl der Jahre; kn der

Wert des Kapitals nach n Jahren (Endwert). 1. Endwert und Barwert eines Kapitals. Ein Kapital a liege n Jahre lang zu p % auf Zinseszinsen; sein Endwert ist dann , k„ = a- qn;

der Barwert eines nach n Jahren fälligen Kapitals ist also bj = a = kn — • r

2. Anlage auf Zinseszinsen mit jährlicher Zulage (Wegnahme) . Wird zu (von) dem Kapital a am Ende eines jeden Jahres der Betrag r hinzugelegt (abgehoben), so wird der Endwert am E n d e des «ten Jahres K = aqn{±)r

(im Bogenmaß gemessen) das Argument oder der Arcus von z. Weiter ist: x2 + y 2 ;

y y x *) w = arc tg — = arc sin — = arc cos — x r r

2. D e r S a t z - v o n M o i v r e lautet: (cos

90°)

7. Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck

F =

[Allgem.

c = a c Abb. 9

24

II. Ebene und räumliche Geometrie

8. Gleichseitiges Dreieck

Umkreisradius »" = -g- V3 o

Abb. 10

Inkreisradius 6 —

V^

Ankreisradius Qa =

=

9. Trapez a + 6 , r = — h — m¿i

Mittelparallele m =

a+ b

10. Kreis F = jw2; Umfang u = %nr.

Abb 11

11. Kreisausschnitt (Sektor)

Bogen b = 2nr-

a *) (a muß inGraden 360 angegeben sein)

12. Kreisabschnitt (Segment) Fo2 = Sektor — Dreieck = r z n ^

— sin a = 2

Abb. 13

r2

360

—

— 2

*) Vollwinkel 360», 1» = 60', 1' = 60".

25

II. Ebene und räumliche Geometrie 18. Dreieck mit Umkreis F

abc abc = — ^ ; Umkreisradius r = . _ 4r 4F

14. Dreieck mit Inkreis F = e-s;

s =4"

Abb. 14

(a + b + c)

Inkreisradius g

Ankreise :

Qu = s -— a

e

'~ s

—

c

1 , 1 , 1 1! 1 1 + -— H = ~L—1" ü—^ ~T~und K K e ~ ea ' |!?6 Qc K 1 l + — Qa + 6b +Qc— Q =• 4r. Qc ], 1

ßa

s - b ' 1

H

eb

26

II

Ebene und räumliche Geometrie

15. Regelmäßiges Vieleck (reguläres «-Eck) im Kreis und um den Kreis vgl. S. 30—31. Abb. 16

D

16. Kreis mit Sehnen, Sekanten und Tangente Sehnensatz: EA•EB = EC•ED Sekantensatz: OP-OQ = O R - O S Sekanten — Tangentensatz: OP • OQ = OT2.

Abb. 17

Dreieck: In jedem Dreieck schneiden sich die 3 Seitenhalbierenden (Schwerlinien) in einem Punkt ( S c h w e r p u n k t S) im Verhältnis 2 : 1 (größerer Abschnitt an der Ecke). Umkreismittelpunkt U eines Dreiecks = = Schnittpunkt der 3 M i t t e l s e n k r e c h t e n . Inkreismittelpunkt J eines Dreiecks = = Schnittpunkt der 3 W i n k e l h a l b i e r e n d e n . Schwerpunkt S, Höhenschnittpunkt H und Umkreismittelpunkt U liegen auf einer Geraden. Es ist HS : SU = 2 : 1 (Satz von Euler). a) Höhen:

b•c

,

a•c

,

a•b

II. Ebene und räumliche Geometrie

ha: hb: hc = — : 4- : — - bc:ac: a b c J_

J_

ha

hb

ab;

_ hc

b) Seitenhalbierende: • (b2 + c2) -

27

g ' Umkehrungen:

a*

a

=

v/2s? +

2s2-s2.

2 Beziehung: s 2 + s* + s 2 = und wobei

4 , FA = —\t{t

(«2 + i 2 + c2)

— sa) (t — sb) (i — s c ),

s« + Sf, + ,sc — 2 t ist.

c) Winkelhalbierende: In jedem Dreieck teilt die Halbierende eines Innen- oder Außenwinkels die Gegenseite im Verhältnis der anstoßenden Seiten, z. B . teilt die innere Winkelhalbierende wY die Seite c in die Abschnitte u und v, die äußere Winkelhalbierende w\ die Seite c in die Abschnitte u und v', für diese gelten: , ac bc u + v = c; u: v = a: o; u = —; v = ; a + b a -f- o wY = \j ab — uv w'Y = yj u'v' —• ab Wo, = -j-^— ]/ bc (a + b + c) {— a + b + c) 0 + c Wß = —i-— y ac (a + b + c) (a — b + c)

28

II. Ebene und räumliche Geometrie

wy = —- — l/ ab {a + b + c) (a + b — c) a +b Entsprechend: w'a. =

^— \/ bc (a + b —• c) (a — b + c) usf.

A p o l l o n i s c h e r Kreis: Der Ort für die Punkte, deren Abstände von zwei gegebenen Punkten A und B ein bestimmtes Verhältnis haben, ist ein Kreis. Sein Durchmesser ist der Abstand der Punkte D und E, welche die Verbindungsstrecke der Punkte A, B innen und außen nach dem gegebenen Verhältnis teilen. AD : BD = AE : BE — b: a (Strecken absolut gerechnet, ohne Richtungssinn!) F e u e r b a c h s c h e r Kreis: In einem Dreieck liegen die drei Fußpunkte der Höhen, die drei Mittelpunkte der Seiten und die drei Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte auf einem Kreis (Feuerbachscher Kreis). Sein Mittelpunkt halbiert die Strecke HU (H = Höhenschnittpunkt, U = Umkreismittelpunkt). Zu 5. R e c h t w i n k l i g e s D r e i e c k : ab c c= r = T ' ¥: Qa=

a + c —b ö '

6b ~

«=

b+ c— a 5 '

a + b—c 2

&=

a+b-\-c 5 '

P y t h a g o r e i s c h e D r e i e c k e z. B.: a= 3, b = 4, c = 5; a= 5, a = 8, b = 15, c = 17; a = 7, a = 20, b = 21, c = 29; a = 9, a = 11,

b= b= b= b=

12, 24, 40, 60,

c= c= c= c=

13 25 41 61; usw.

II Ebene und räumliche Geometrie

Sehnenviereck

(oder Kreisviereck):

Ein Viereck, dessen vier Ecken auf einem Kreisumfang liegen, heißt Sehnen- oder Kreisviereck. Zwei Gegenwinkel eines Sehnenvierecks ergänzen sich zu 180°. F = )J (s — a) (s — b) (s — c) (s —

wobei s =

^ 1" ° z

Ptolemäischer

d),

^ = halber Umfang,

Lehrsatz:

In jedem Sehnenviereck ist das Rechteck der Diagonalen (e • f ) gleich der Summe der Rechtecke aus den Gegenseiten: e • f = ac -f 6

f = \ / (a^

__ -i I (ad + bc) (ac +bd) \

ab -f- cd

bd.

'

\

+

c

(

a c

ad + bc

[e = Diagonale von Ecke (ad) nach (bc)] [/ = Diagonale von Ecke (ab) nach (cd)}. P

(ab -f- cd) • e 4r

(ad + bc) • f

4r

Tangenten viereck: Ein Viereck, dessen vier Seiten Tangenten eines Kreises sind, heißt Tangentenviereck. Die Summe zweier Gegenseiten eines Tangentenvierecks ist gleich der Summe der beiden anderen Gegenseiten: a + c = b + d

F = Q - s (s = halber Umfang). Für das S e h n e n - T a n g e n t e n v i e r e c k gilt: F = ]j abcd.

30

II

Ebene und räumliche Geometrie

Zu 15. Regelmäßige

Vielecke:

In jedem regulären n-Eck ist der Innenwinkel zwischen . „ . , . , In — zwei Seiten gleich s2»

Sn

= r

2) • 180°

•

1/ Sä —

4 —

= s2„ •

S e i t e S des umbeschriebenen reg. « - E c k e s aus der Seite s des einbeschriebenen reg. « - E c k e s : s

S = —

2rs

2 rS —;s = ]/4r2 — s2 ]/4:r2 + S 2

-- = (

Seite s des einbeschriebenen reg. « - E c k e s : = r y/8; s6 = r; s12 =

=

ss=

r

V2 — V3 =

fo—fö;

sM = » V 2 — ^ 2 + V 2 ; s5 =

s 10 =

|(|/5-l). (Goldener Schnitt!)

5

s 2 =

6

S 2

10 •

S

II Fläche

F

Ebene und räumliche Geometrie

des

einbeschriebenen

F3=^-r2V/3;

F 4 = 2r 2 ;

4

F

e

F8 =

«-Eckes:

F's = -f- r2 VlO + 2 ]Jl 8

2^|/2;F

n-sn-r

=

reg.

«1

1 0

=|r>VlO-2V5.

sl

2

V

R a d i u s Q des Kreises:

4r 2 dem

reg.

«-Eck

einbeschriebenen

2 + V 2 ;

fto=-jVlO

Seite

S

des

+2V5

umbeschriebenen

S3==2r\/3;

S4 =

S6 = ^ V

S

/

3;

8

=

2r;

S5 =

reg.

.

«-Eckes:

2 r V' 5 — 2 ^ 5 ;

2r(V2-l);

Oy / —5 1 0 = — V 2 5 — 10 ; o Fläche

F„ des

umbeschriebenen

(F3)„ =

3r 2 v/3 ;

(Fe)„ =

2r> y/8 ; ( F 8 ) „ = 8r*• (V^2 -

reg.

(F4)u = 4r"; (F5)„ =

(F10)„ =

«-Eckes: Vö — 2 ^ 5 ;

l) ;

2r 2 • V/ 25 — 1 0 V ö .

82

II. Ebene und räumliche Geometrie

Die Anzahl aller Diagonalen eines allgemeinen «-Eckes ist n • (n — 3)

2

Die Winkelsumme eines w-Eckes beträgt (» — 2) • 180°. Goldener S c h n i t t (oder stetige Teilung): a: x =

x: (a —

x)

a = 1(^-1)^0,62

x

a.

B. Raumgeometrie V M d R r

= = = — =

Volumen ( R a u m i n h a l t ) ; 0 — Oberfläche; Mantelfläche; Raumdiagonale; h = H ö h e ; s = Mantellinie; Radius der umbeschriebenen K u g e l ; Radius der einbeschriebenen Kugel.

a Abb. 18

2. Quader V = abc; c

a Abb. 19

O = 2 (ab + ac + bc) ;

II. Ebene und räumliche Geometrie

3. Prisma (w-seitig) V = Gh .

Abb. 20

4. Pyramide (w-seitig)

3

G Ä

Abb. 21 5. Reguläres Tetraeder (Reguläres Polyeder Nr. 1 Regelmäßiges 4-flach) O = a* V3 Ve;

R

•tVS-:

Die Verbindungslinien der Ecken eines Tetraeders mit den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Seitenflächen {Schwerlinien) schneiden sich in einem Punkt (Schwerpunkt des Tetraeders) Dieser Punkt teilt jede der 4 Schwerlinien im Verhältnis 3 1 (größerer Abschnitt an der Ecke). 3

Westrich,

Formeln

Abb. 22

33

34

II. Ebene und räumliche Geometrie

6. Reguläres Oktaeder (Reguläres P o l y e d e r N r . 3 R e g e l m ä ß i g e s 8-flach) V =

Iß;

A = -J-V2;

O = 2a?][3 ; Ä =

f V 2 ;

r - f V 6 . Abb. 23

7. P y r a m i d e n s t u m p f (w-seitig)

G : g = (A +

:

8. Reguläres Dodekaeder (Reguläres P o l y e d e r N r . 4 R e g e l m ä ß i g e s 12-flach) (15 + 7 V ß ) ; O = 3a 2 V 5 (5 +

2

V5 ) ;

fi=4L(1+VB);

Abb. 25

=

V250 + 110V5.

35

II Ebene und räumliche Geometrie

9. Reguläres Ikosaeder (Reguläres Polyeder Nr. 5 Regelmäßiges 20-flach)

O = 5a2 V3 ; R = j

^ 2 ( 5 + V5 );

=

3

2

V

V i

Abb. 26

6

Es gibt nur fünf konvexe reguläre Polyeder (Platonische Körper). e = Anzahl der Ecken n = Seitenzahl einer Be/ = „ ,, Flächen grenzungsfläche k= ,, ,, Kanten m = Zahl der von einer Ecke Polyedersatz von Euler: ausgehenden.Kanten. e + / = k + 2.

Weiter gilt:

n • f = 2k;

m •e =

.

Es gibt nur 5 regelmäßige (Platonische) Körper. m

n

/

e

k

5 regulärePolyeder

8 8 4 8 5

8 4 8 5 3

4 6 8 12 20

4 8 6 20 12

6 12 12 80 30

Tetraeder Hexaeder (Würfel) Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder

3*

36

II. Ebene und räumliche Geometrie

S a t z von C a v a l i e r i : Zwei Körper haben gleichen Rauminhalt, wenn sie so gestellt werden können, daß sie in - jeder Höhe gleiche Querschnitte haben. 10. Zylinder*) (Wake) V = n • r2h M= 2nrh O = 2w (r -f h). Abb. 27

11. Kegel*)

s = y»-2 + k% M = nrs = Tis2 •

360

0 — nr (r + s).

12. Kegelstumpf*) V s

+

+

= y ( ä — r) 2 + h2

M — 7t (R + r)- s O = nR (R -+- s) + mr (r + s).

13. Kugel 4 — jw8 , 0 = 4 jtr2. Abb. 29 *) Gemeint ist der gerade Kreis- oder Drehzylmder bzw gerade Kreis- oder Drehkegel oder -kegelstumpf

der

37

II. Ebene und räumliche Geometrie

14. Kugelabschnitt (-segment) H a u b e = Kappe = Kugelkalotte M

=

2nrh

n (Q 1 +

=

2

O = 7i (2g

W-)

Q 2 = h (2r —

h).

h?)

15. Kugelausschnitt (-sektor) •2 V

=

—

nr*h

O' - - Kugelhaube 4- Kegelmantel =

nr

(Q + 2h)

=

nr

(2h

+

Abb. 30

=

\jh

" - ( 2 r — h).

'

16. Kugelzone (-schicht)

M O

h

4- 3o22 +W)

F= =

•)-cotgc; cos a = tg b • cotg c. £ . Sätze über das allgemeine Kugeldreieck Es seien a, b, c die Seiten, a, ß, y die ihnen gegenüberliegenden Winkel eines Kugeldreiecks (sphärischen Dreiecks) und e = a + ß + y — 180° der sog. sphärische Uberschuß (Exzeß); dann gilt: 1. Fläche des Kugeldreiecks:

2. Sinus-Satz: sin a : sin b : sin c = sina : sin/9 : siny. 3. Cosinus-Satz für eine Seite: cos a = cos b • cos c + sin b • sin c • cos a; usw. 4. Cosinus-Sa.tz'für einen Winkel: cos a = — cos ß • cos y + sin ß • sin y • cos a; usw.

49

IH Trigonometrie

5. Cotangenten-Satz: cotg a • sin c = cotg a • sin ß + cos c • cos ß. 6. Nepersche Gleichungen (Analogien): a — b 0

« + ß

t

0

5

2

C0S

g

sin

=

2

a — b

2

s m

t g

" l

-

cos

2 ~

2 ß

c t s

cos ——— .

—

a

^ T J '

_

sm

a — b tg

c o gt g ^ 2

2

. a + b

a + b __

=

.

V

t

2

a—ß

2 a +ß

sin——

c '

t g

J

'

F . Die zyklometrischen oder arcus-Funktionen 1. E r k l ä r u n g :

Wenn x = sin y ist, so lautet die

Umkehrung:

y = arc sin x; (gelesen: „arcus sinus x"; y ist der Bogen oder Winkel, dessen sinus gleich x ist);

entsprechend: Wenn x = cos y, so ist y = arc cos x x = tg y, „ „ y = arc tg x * = ctg y, „ 4

Westrich,

Formeln

„

y = arc ctg x

50

III. Trigonometfie

2. D e f i n i t i o n s b e r e i c h : Im Bereich reeller Zahlen sind die Funktionen arc sin x "und arc cos x nur möglich für |*| ^ 1; dagegen arc tg % und arc ctg x möglich für alle Werte von x zwischen — oo und + °c . 3. Vieldeutigkeit und Hauptwert der zyklometrischen Funktionen: Als Umkehrungen der periodischen trigonometrischen Funktionen sind die zyklometrischen Funktionen unendlich vieldeutig. Es gilt nämlich: yx ± & • 2 7i arc sin x = .. y2 ± k • In = (n — yx) ± k • In ; f y1 ±k-2n arc cos x = ( \ y2 ± k-2n = (2ji — yx)

±k-2n

arc tg x = y ± k-n arc ctg x — y ± k- n Zur Einschränkung der Vieldeutigkeit wurden die sogenannten H a u p t w e r t e festgelegt: für y = arc sin * der Hauptwert ,,

y = arc cos x

,,

,,

„

y = arc tg *

„

„

JL 2t 0 rS y ig jr n n —— < y < -

„

y = arc ctg *

„

„

0 < y < n

4. Beispiele: a) Es ist

n 1 sin 80° = sin — = —; 6

I n arc sin — = -f- — ; 2

arcsml - -

1\

b

= -

n

?

2

deshalb

, ,

entsprechend

III. Trigonometrie

b)

51

cos 45° = cos ~ — folglich

,

arc cos ~ r\/'2 = ~ und 2 4

1 2) arc cos [: — "2 Vrz\

c)

=

tg60« = t g | also

•

arc tg

5. Allgemein gilt:

71

=

71

— i

=

3

4"

n

'

/3 ;

= ~ und arc tg (— l/lf) = — ^ • ö ö

arc sin (— x) — — arc sin %; arc cos (— x) — n — arc cos x arc tg (— x) = — arc tg x; arc ctg (—x) = n — arc ctg x. 6. A d d i t i o n s t h e o r e m e der arcus-Funktionen: a) arc sin x ± arc sin y = arc sin (x y'l—y 2 ± y \/l— x2) b) arc cos x ± arc cos y = arc cos (xy =F | / l — • c) arc tg x ± arc tg y = arc tg

x± y 1 =F xy

d) arc ctg x ± arc ctg y = arc. ctg

xy T 1 y ±x

— y2)

7. Zusammenhang der z y k l o m e t r i s c h e n Funktionen mit den n a t ü r l i c h e n L o g a r i t h m e n : *) a) arc sin z = — i In {iz + y/1 —z2) b) arc cos z = — i In (z + yjz1 — l) \ . i c) arc tg 2 = — - I n

\+iz — iz

A-l arc ctg z = {- 1In i-Z + 1 d) 2 iz — 1 *) Vgl. Seite 18, I G 5.

4*

IV. Mathematische Erd- und Himmelskunde A. Die Koordinaten-Systeme an der Himmelskugel Die Lage irgendeines P u n k t e s a m Himmelsgewölbe wird d u r c h zwei A b m e s s u n g e n oder K o o r d i n a t e n festgelegt. Z u r B e s t i m m u n g dieser K o o r d i n a t e n b e n u t z t m a n vier S y s t e m e von g r ö ß t e n Kreisen, die in der folgenden T a f e l z u s a m m e n gestellt sind.

System

I Abb. 42

II Abb. 42

III Abb. 43

Grundebene

Horizont

Abszisse Bogen mit Bezeichnung SH

Azimut a

SN

HimmelsÄquator AQ

HimmelsÄquator AQ

QD

Stundenwinkel t T D Rektaszension et TB

IV Abb. 43

Ekliptik

©

/Ö

Astronom. Länge

Tierkreiszeichen s. S. 55!

Zählung vom Südpunkt S in Richtung S W N

Ordinate Bogen mit Bezeichnung HG

Höhe h

MeridianD G punkt Q Deklination in R i c h t u n g ai > a2 >

a

» ,• • • •

hat einen G r e n z w e r t a , geschrieben lim a„ = a, wenn die «—* 00 Zahlen an der Zahl a für hinreichend große Werte von n beliebig nahe kommen und von n ab innerhalb der erreichten Nähe bleiben; geometrisch dargestellt: wenn nach Annahme jeder noch so kleinen Umgebung von a (Intervall von a — e bis a + e) alle Zahlen a„ von einem gewissen n ab in diese Umgebung fallen; e 1 a0

1

1 a2

1—I Abb. 65

U an

s 1 a

L

genau ausgedrückt: wenn es zu jeder (noch so kleinen) Zahl s eine Zahl n gibt, so daß | av — a | < e für alle v 2: n . Eine Folge heißt k o n v e r g e n t , wenn sie einen Grenzwert hat, d i v e r g e n t , wenn sie keinen Grenzwert hat.

VI. Differentialrechnung

75

2. W i c h t i g e G r e n z w e r t e : 1 lim — = 0; »->•00 n

lim

n = 1 l-b feste positive Zahl) ; + i

lim y f p = 1 ; il—>00 lim »—>oo

= |? ^ < \ u fur^> = 1

n

i— lim y « = 1 ;

für j> > 1 divergiert die Folge

p,p\p3,...) n i j m — = 0 für p > 1. »->00 p

8. Eine unendliche Folge heißt m o n o t o n z u n e h m e n d oder m o n o t o n a b n e h m e n d , wenn für alle n a„ +1 > a„ bzw. a„ + 1 < a„. Eine monoton zunehmende Folge, deren Zahlen unter einer oberen Schranke bleiben, hat einen Grenzwert. Eine monoton abnehmende Folge, deren Zahlen über einer unteren Schranke bleiben, hat einen Grenzwert. 4. K o n v e r g e n z k r i t e r i u m von C a u c h y : Eine unendliche Folge a 0 , Oy, a 2 , . . . hat einen Grenzwert, wenn für jedes (beliebig kleine) e | ap — aq \ < e für alle p, q von einer gewissen Größe ab. Unendliche Folgen können zur Darstellung irrationaler Zahlen verwendet werden; z. B. e — 2,71828

= lim

+

(Euler;vgl. S. 10u.78).

5. G r e n z w e r t e i n e r F u n k t i o n . Wenn eine Veränderliche x die Werte einer gegen a konvergenten Folge x0, xv x2,... annimmt, schreibt man x-*a („* gegen«").

76

VI. Differentialrechnung

E r k l ä r u n g : Eine Funktion f(x) der stetigen Veränderlichen x hat für x a einen Grenzwert g, geschrieben lim / {x) — g, wenn für alle Folgen x , x , x , . . . , die gegen a 0

x

2

x—ra

konvergieren, die Folge der Funktionswerte . . . gegen g konvergiert.

f(x

0

) , /(%),

f(x

2

),

Wichtige Funktions-Grenzwerte: siehe Seite 85 F, b. Eine Funktion heißt s t e t i g an der S t e l l e x = a, wenn lim / ( * ) = / ( « ) . x~ya

B.

Differentiationsregeln

1. Sind wund v F u n k t i o n e n einer V e r ä n d e r l i c h e n x und ist c ein (nicht n o t w e n d i g p o s i t i v e r ) F e s t w e r t (eine K o n s t a n t e ) , so gilt: v

a)

d { u ± v )

du

— Ä T ™ d

b)

(uv)

—;

d v

= M—

dx

dv

,

du

\- v-r-

dx

dc

C)\

,

,

,

=

= UV -(- VU

dx

n

=

Aus a), b) und c) folgen: d ( u + c )

=

u

,

dx

d(cu)

e)

dx

d ,,

f)

f u \ — I \ n/

— T T dx

du v dx =

u

13

dv — dx

=

vu

—

uv

- , ^ 0 .

VI

2. I s t y = F(u) dy

77

Differentialrechnung

und u = f (x), so i s t dy

du

J ^ ^ l ^ J ^

(Kettenregel).

8. S i n d die V e r ä n d e r l i c h e n x und y als tionen eines P a r a m e t e r s t gegeben durch x =

d{tgx) _ 1 ¿x cos2x d (cotg *) rf x

,

^

(arc cotg x) dx

1 l+x

2

d (e*) _ ^ dx

1Q 13. 0 x In a Hiebei ist "log x der Logarithmus von x (x > 0) für die positive, von 1 verschiedene Grundzahl a, In x ist der natürliche Logarithmus von * für die Grundzahl e = 2,71828 D. Anwendungen der Differentialrechnung 1. A n w e n d u n g e n auf die Geometrie, a) Ist eine Kurve y = f ( x ) gegeben und bildet die Tangente in einem Punkte -Pi(%,yi) der Kurve mit der X-Achse den *) Bei den Arcusfunktionen ist immer der Hauptwert gemeint; d h —

— arc 71 2

sin

—

• ® —

, 71 < arc tg < H . 2 '

71 2

arc cos

—

n

, 71* < arc cotg < H ,

(vgl. III F, 3 S. 50).

2

VI Differentialrechnung

Winkel ro,, ist ferner (

) der Wert des ersten Differen-

\ d x j

tialquotienten,

79

1

der des zweiten Differentialquotien-

ten, gebildet für die Stelle xv ylt so ist: a)

b) Gleichung der Tangente im Punkte y —

Vi

/

=

X

yx) der Kurve

Px(xv

\ d x

J i

c) Gleichung der Normale im Punkte P x {x^y^j der Kurve: y — x — x

yi

=

1

1

/j

f

\ . wenn

d y \

/

d

y \

-p-

\ d x j

=4=n 0. 1

v ^ A d) Krümmungsradius o im Punkte P(x, y) der Kurve: /¿y\21 3 *

/

2

1 +

W

f d

2

y \

„

[dx2 Krümmung (Krümmungsmaß) K = —. Q

Koordinaten des Krümmungs-Mittelpunktes M (fi, i ) : 2 +y'—2 u — x — y'(i —-—,/ + y' )' ; v = y-\ . i y "

*

y "

2. H o c h - und T i e f w e r t e ( M a x i m a und Minima) einer Funktion einer Veränderlichen. Die Hoch- und Tiefwerte der Funktion y =

M

treten nur für diejenigen Werte der Veränderlichen x ein, welche der Gleichung *) Q kann auch negativ sein.

80

VI. Differentialrechnung

genügen. Um zu entscheiden, ob ein Hoch- oder ein Tiefwert vorliegt, ist der 2. Differentialquotient f"(x) für diese Werte von x zu bilden. Man hat dann einen H o c h w e r t , wenn f"(x) n e g a t i v ist, einen T i e f w e r t , wenn f"(x) p o s i t i v ist. Für die Kurve y = f(x) geben die Hoch- und Tiefwerte die Stellen an, in denen die Tangente zur X-Achse parallel ist. 3. W e n d e p u n k t e

einer

Ist an einer Stelle der Kurve y — f"(x) = 0, jedoch der 3. Diff.-Q. f"'(x) so hat die Kurve an dieser Stelle einen Die Werte der Diff.-Q. an einer Stelle halten der Kurve. Ist

Kurve. f(x) der 2. Diff.-Q. * 0 (nicht gleich 0), Wendepunkt. bestimmen das Ver-

dann ist (hat) die

Kurve

an dieser Stelle

4-

-(-

steigend konkav

+

—

steigend konvex

-j-

fallend konkav

—

fallend konvex

0

-j-

ein Minimum

0

—

ein Maximum

0

Wendepunkt

0

Wendepunkt

0

mit horizontaler Tangente

Kurvenbild

- W -

VI. Differentialrechnung

81

4. N e w t o n s N ä h e r u n g s v e r f a h r e n . Ist % ein angenäherter Wurzelwert der Gleichung f(x) = 0 und h die Verbesserung, also xw — x1 h ein neuer verf(x ) *) besserter Wurzelwert, dann ist h = „.V• /

(*i)

5. A n w e n d u n g e n auf die M e c h a n i k . a) Bewegung eines Punktes auf der X-Achse; t ist die Zeit. Geschwindigkeit v = Beschleunigung b =

dt =

b) Bewegung eines Punktes auf einer Kurve in der XYEbene. Die rechtwinkligen Koordinaten x, y des bewegten Punktes sind als Funktionen der Zeit t gegeben; ds ist das Längenelement der Bahn. Die Geschwindigkeit v fällt in die Richtung der Bahntangentö. Es ist dann die

Die Beschleunigung b läßt sich in eine Komponente bt in Richtung der Tangente und eine Komponente b„ in Richtung der Normale zerlegen. Ist g der Krümmungsradius, so wird die

Tangentialbeschleunigung bt = v2 Normalbeschleunigung bH = — •

e

*) Siehe auch I, 6 S. 21. 6

Westrich,

Formeln

(L v d^s = —2> dt dt

82

VI

Differentialrechnung

£ . Unendliche Reihen 1. K e n n z e i c h e n d e r K o n v e r g e n z . Unter \a\ versteht man den absoluten Betrag der Zahl a. a) Ist u o + ui + u2 + • • • eine Reihe mit p o s i t i v e n u n d n e g a t i v e n Gliedern, so konvergiert diese Reihe sicher, wenn die Reihe der absoluten Beträge | U0 | + |«1 | + | U2 | + • • • konvergiert. b) Eine Reihe mit lauter p o s i t i v e n Gliedern u

0 + U1 + u2 + us + • • •

k o n v e r g i e r t , wenn d i v e r g i e r t , wenn

lim U " + n-* +oo Mn lim n—*-t-oo

+

i

< 1 ; sie > 1 *).

c) Eine Reihe, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind (alternierende Reihe), konvergiert, wenn von einem gewissen n ab u„ + i < u„ und lim \u„\ = 0 . K —> CO 2. Die Taylorsche und die Maclaunnsche Reihe. h /' (*) + A2 a) f (x + h) = f (x) + — —/"(*)+... (Taylorsche Reihe). b) / w = / ( 0 ) + f / ' ( 0 ) -

£/"(0)+... (Maclaurinsche Reihe).

w

*) Ist

lim + QO Scheidung möglich »

n 1 w

n

= 1, dann ist auf diese Weise keine Ent-

VI. Differentialrechnung 3. E n t w i c k l u n g reihen. a) G e o m e t r i s c h e 1

einiger

83

Funktionen

in

Potenz-

Reihe:

= l + X + X* + X? + . . . + X* + . . .]

1— x

Konvergenzbedingunei 1 < * < + 1 d . h . | * | < 1. b)

Exponentialreihe: X2

% 1 +

^ =

T T + " 2 !

X3

x"

+ ä ! — OO < X < + CO ,

wobei n! = c)

1•2 •3 •...•«.

Sinusreihe: x3

x7

x'°

,

x2"+1 OO < X < + OO.

d)

Cösinusreihe:

c o s ^ = 1— —

x* +-—

xe' — - i +

x2n ... + ( _ ! ) » - -

+

...;

OO < X < + OO. e) L o g a r i t h m i s c h e , ,„ ln(l

x% =

Reihe: x3

x4 +

— 1 < x ^

+

...;

+

1.*)

*) Zur B e r e c h n u n g des L o g a r i t h m u s einer pos. ganzen Zahl z x x3 1 + x d i e n t die Reihe In z = In = 2 1 ' 3 + T + - " . 1— x z— 1 worin x — , zu setzen ist. z + 1 6*

84

VI

Differentialrechnung

f) Binomialreihe: m sei eine beliebige reelle Zahl /m\ /m\ (m\ — 1 < X < + 1. g) Arcustangensreihe: a r c t g x

X = r

-

X3 y

+

X5 -

T

x1 T +

. . .

x2n+1 +(-!,»——+.. ; — 1 ^ x < + 1.

Für x = 1 folgt:

71 arc tg 1 = — , also

-y- = l — 4" + v — TT + ••• (Leibnizsche Reihe). 4 8 5 7 (Praktisch unbrauchbar, da 300 Glieder notwendig, um n auf 2 Dezimalen genau zu erhalten!)

Eine wesentlich besser (schneller) konvergierende Reihe für n wird erhalten durch die Beziehung: n 1 + arc tg — 1 + arc tg —, i x folglich , , - , : — = arc tg —

71 4

1 2

1 3 • 23

1 5 •o52 5

n7. •M27

1 1 1 1 + v5 — 3 • 5 3 5 • 55 1 8

1_ o3 • oa 83 +

7-5

1 5 - 8®

1 7 • 87

(Reihe von Schulz, Wien 1850). 4. Aus 3,b)—d) folgen die in I G , 5 S. 18 angegebenen sog. E u l e r ' s c h e n G l e i c h u n g e n . Aus ihnen ergibt sich: g2t* _ cos x +I i sin x cos% — »sin* *) Vgl Seite 50 ff , III F

=

1 +! i t2g x • 1—ttgx'

VI Differentialrechnung ,1-1-

oder h x = In

itgx

. . . . .

= In

TT

; wird hierin x = —, 4

1 — itgx

so ergibt sich — 4

85

[„Schellbach'sche Zauberformel"]

1—i

F. Grenzwertermittlung unbestimmter Ausdrücke 0 oo 77 —• 0 und oo a) Nimmt eine gebrochene Funktion Form

0

a

J ^ M

(X)

=

b) Einige Grenzwerte*): ,. sin x lim — 1;

x—>0

lim

x

lim x^o

hm

X

ex—

1

X

In cos % x

x—>0 „

= 1;

lim

lim

X e* — e~x

x—>o

^ = 0;

*) Vgl VI A, 2 S 75

1 — cos x

X

-0; - 2;

a" — 1 In« lim = —- ; x * o b —1 In o a* — b*

,

a

= in — •

VII. Integralrechnung A. Integrationsregeln 1. M e t h o d e der t e i l w e i s e n ( p a r t i e l l e n ) gration. Sind u und v Funktionen von x, so ist

Inte-

u 4— dx = uv — it) dx oder \udv = uv — j v du. dx J dx J J 2. M e t h o d e der

Substitution.

Ist x =

0 bzw.

c

> 0

cos x

c o t g x dx = In s i n % + C = In (c s i n x), s i n x >

0

bzw. c sin x > 0 dx COS

„ — = t g x + C, c o s % =f= 0 X

d>% — -2 — = sin x dx r

T

— c o t g x + C, s i n % 4= 0

^

d x

a + bx2 dx 2 2 xi — a2

=

=

=

„ arctg*+C

- L a r c t g f l / 6 % ) + C, ab > ab \ \ a 1 , x — a 'S"111 , + 2a x + a

_

%—a ~~ , x + a

C ;

0

> 0

dx — r = a r c s i n % + C, x2 < 1 y i — %2 C dx r % Allgemein: I , = arc sin 1- C, x2< 2 2 °]ja —x a J d%

]/x2

+

dx /2- , \x — a2

= In {x +]/x2

+a2)

a2

+C

= In (x -|-V%2 — a2 ) + C, % > a > 0 '

V a 2 — x2 dx = '

— a r c sin — + 2 a

] / a 2 — * 2 + C, 2 '

a > x > 0 (Kreis-Integral)

88

VII. Integralrechnung

dx + 2bx + cx2 =

19 Iy-

In {b + cx + y7 yja, + 2bx - f cx2)

+

C,

c > 0; (a + 2bx + cx2) > 0

dX • — * ~ b I C / — ^^ ;> = arc sm /— -+- \a - 2 bx — cx2 yc y 6 2 + ac c > 0 ; {a + 2bx — c%2) > 0 ; (ö2 + ac) > 0

I

20.

Vc

\/x\~)a2dx {

x

=

-]/x\±ja2{±)

± t — In (* +\/x*(t)a*)

e'dx = ex

21.

I

22.

I a"dx =

+C,

(x + ljx2^^2)

>0

+C

a

\-C; « > 0, a =t= 1

m a

23.

In % dx = x .(In x — 1)

24.

sin" xdx = — — s i n " - 1 x cos x 4- —

n

n

1 f • n - 1I sin" sin ~

8

xdx4-C,

n = 2, 8, ( c o snxdx

J 26.

i

| ^ = 1 sin%

i

27

"

=

— c o s " - 1 x sin x +

lntg£+C, 2

dx

l ^ = "

, l

— — — i c o s " ~ 2 xdx

n

n

t

n

t g f 2

in < 4 - 2 )

C

+C

> 0

^ +

J

4,...

'

in t

< 4 - 2

x\ ) > °

89

V I I . Integralrechnung

G. Anwendungen auf Geometrie Gegeben ist eine Kurve y = f (x); F sei der Inhalt der (ebenen) Fläche, die von dieser Kurve, der X-Achse und den zu den Abszissen xx und x2 gehörigen Ordinaten begrenzt wird. 1. F l ä c h e n i n h a l t

F. = J' ydx = f (x) dx

2. R a u m i n h a l t

von

Drehkörpern.

a) Die von der Kurve y = f(x), der X-Achse und den zu den Abszissen xx und x2 gehörigen Ordinaten begrenzte Fläche wird um die X - Achse gedreht. (Abb. 66; der Achsenschnitt des Drehkörpers ist schraffiert.) V = n j* y2 dx *>

Abb. 66

b) Dieselbe Fläche wird um die Y-Achse gedreht. (Abb. 67.)

r-tW

: 2njx y dx Abb. 67

90

VII. Integralrechnung

c) Die Fläche, die von der Kurve x = F(y), der Y-Achse und den zu den Ordinaten yx und y 2 gehörigenLoten begrenzt ist, wird um die Y-Achse gedreht (Abb. 68). V =

n j

x*dy

Abb. 68

3. O b e r f l ä c h e 0 eines Körpers, der durch D r e h u n g der K u r v e y = f(x) um die X - A c h s e e n t steht: 0 =

2*\y

+ (

^ J d x

4. L ä n g e des K u r v e n b o g e n s , der z w i s c h e n den P a r a l l e l e n x = x1 und x = 'x2 gelegen i s t :

s

=

n / i

dy V —— dx dx )

5. Die K o o r d i n a t e n x0, y0 des S c h w e r p u n k t e s e i n e r (ebenen) F l ä c h e F, w e l c h e g l e i c h m ä ß i g m i t Masse b e l e g t g e d a c h t wird:

F-x0=\xydx

F-y0=

—

jy2dx

91

V I I . Integralrechnung

6. Die G u l d i n s c h e eines D r e h k ö r p e r s :

Regel f ü r den

Rauminhalt

Der Rauminhalt V x ( Vy) des Körpers, der durch Drehung der Fläche F um die X (Y) -Achse entsteht, ist gleich dem Produkt aus der Fläche F und dem Wege des Schwerpunktes der Fläche F, also Vx =

2ny0-F

Vy = 2 jt x0 • F.

7. S i m p s o n s c h e R e g e l z u r n ä h e r u n g s w e i s e n Ber e c h n u n g e i n e r (ebenen) F l ä c h e F. Wird die positive Strecke b — a in 2« gleiche Teile geteilt und ist y0 die Ordinate im Punkte x = a, y1 die Ordinate im ersten Teilpunkte, y2 die Ordinate im zweiten Teilpunkte . . . und y2n die Ordinate im Punkte x = b, so ist angenähert F =

"~ßTr~ DK

+ y +

4

+ 2 (y2 + y4 + • • • +

+ y* + • • • + y2„-2)].

+

Sachverzeichnis Die angegebenen Zahlen beziehen sich auf die Seiten

Ableitungen (1. Diff.Quotient.) 78 Absoluter Betrag einer Zahl 16, 82 Abstand eines Punktes von einer Geraden 60 Abszisse 52, 89 Achse der Parabel 71, 72 Achtflach, regelmäßiges 34 Allgemeine Kegelschnittsgleichung 72 Additionstheoreme 44 — d. arcus-Funkt. 51 Alternierende Reihe 82 Ankreise 25 [10 Anordnungslehre (Kombinatorik) Apollonischer Kreis 28 Arcus (arc) 16; arc cos 16, 49, 50, 78; a r c c o t g 49, 50, 78; arc sin 49, 50, 78; arc tg 16, 49, 50, 78 Arcusfunktionen 49, 50, 78 Arcustangensreihe 84 Argument 16 Arithmetische Folge, — Reihe 14 — Reihen höherer Ordnung 14 Arithmetisches Mittel 7 Astronomische Breite 52 — Länge 52 Asymptoten 68, 69 Azimut 52 Barwert 15 Basis (Potenz) 8; (Logarithmus) 9 Beizahlen (Koeffizienten) 10 Berührende (Tangente) 26 Beschleunigung 81 Binomialreihe 84 Binomischer Satz 10 Bogen (Kreis) 24 Bogenmaß 44

Brennstrahl (Parabel) 71 Brennstrahlen (Ellipse) 62 — (Hyperbel) 67 Briggs'scher Logarithmus 9 Casus irreducibilis (Gl. 3. Gr.) 19 Cavalieri-Satz 36 Cosinus (cos); Cotangens (cotg) 41 Reihe 83 Satz 46, 48 Cotangentensatz 47, 49 Deklination 52 Diagonale (Eckenlinie) 22, 32 Differentialquotient (1., 2., 3.) 79, 80 Differentialrechnung 74 —, Anwendung a. Geometrie 78 —, Anwendung a. Mechanik 81 Differentiationsregeln 76 Diskriminante einer Gleichung 3. Gr. 19 Divergent, divergieren 74, 82 Dodekaeder, reguläres 34 Doppelverhältnis 56, 60 Drehkegel, Drehkegelstumpf 36 Drehkörper 89 Drehung eines Koordinatensystems 58 Drehzylinder (Walze) 36 Dreieck, ebenes —, allgemeines 23, 46 —, gleichschenklig-rechtw. 23 —, gleichseitiges 24 —, rechtwinkliges 23, 41 Dreieck, sphärisches —, allgemeines 48 —, Fläche 48 —, rechtwinkliges 47, 48 Dreieck, i. d. analyt. Geometrie —, Flächeninhalt 56

Sachverzeichnis Eckenlinie (Diagonale) 22, 32 Einheitskreis 17, 44 Einheitswurzeln 16 Ekliptik 52 Ellipsengleichung 62, 66, 72 —, (i. Parameterdarstellung) 65 Ellipsengleichung (i. Polarkoordinaten) 65 Ellipsoid, dreiachsiges 37 Entfernung zweier Punkte 56 Erd- u. Himmelskunde 52 Eulersche Gleichungen 18, 84 Exponent (Hochzahl) 8 Exponentialreihe 83 Exzentrizität der Ellipse, lineare 62, numerische 62 Exzentrizität der Hyperbel, lineare 67, numerische 67 Feuerbachscher Kreis 28 Fläche des Kugeldreiecks 48 Flächeninhalt eines eb. Dreiecks und n-Ecks i. d. analyt. Geometrie 56 — einer Ellipse 63 —, in der Integralrechnung 89 Flächensatz (eben. Dreieck) 47 Folge (Reihe) arithm -geometr 14 Formeln von Cardano (Gleich 3. Gr.) 19 — der Kombinatorik 10 Frühlingspunkt 52, 54 Fundamentalsatz d Algebra 20 Geogr Breite 53; — Länge 55 Geometr. Folge 14; — Reihe 14 — Reihe, unendliche 83 Geometrisches Mittel 7 Geradengleichungen 58, 59 Gerade, parallel 60 —, senkrecht aufeinander 60 Geschwindigkeit 81 Gleichseitige Hyperbel 66 Gleichung 2. u 3. Grades 18 Goldener Schnitt 32 Greenwicher Zeit 55 Grenzwert 74, 75 Griechische Buchstaben 96

93

Größte Kreise (Hauptkreise) 47 Grundzahl (Potenz) 8 — (Logarithmus) 9, 10 Guldin'sche Regel 91 Halber Umfang eines Dreiecks 22 Halbmesser eines Umkreises 24,25 Harmonisches Mittel 7 Harmonische Teilung 56 Haube = Kappe (einer Kugel) 37 Hauptachsen der Ellipse 62 Hauptachsen der Hyperbel 66 Hauptkreise (größte Kreise) 47 Heronische Formel 22 Hessesche Normalform 59 Himmelsäquator 52 Hoch- u. Tief werte (Maxima, Minima) 79, 80 Hochzahl (Exponent) e Potenz 8 Höhe (von Körpern) 32 — eines Gestirns 52 Höhensatz 23 Horizont 52 Hyperbelgleichung 66, 69, 70, 72 —, bez a. d Asymptoten 69 —, in Polarkoordinaten 70 Hypotenuse (Spannseite) 41, 48 Ikosaeder, reguläres 35 Inkreis, Inkreisradius 25 Integralrechnung, Integrale 86-88 —, Anwendung a. Geometrie 89 Integration, partielle (teilw ) 86 —, Substitution 86 Kathete (Lotseite) 41, 48 Kathetensatz 23 Kegel, Kegelstumpf 36 Kegelschnittsgleichung (allg ) 72 Keil, Keilstumpf 39, 40 Kettenregel 77 Koeffizienten (Beizahlen) 10 Kombinationen 12 Kombinatorik (AnordnungsLehre) 10 Komplexe Zahlen, konj. komplex 15, 16 Konj. Durchmesser (Ellipse) 64 — (Hyperbel) 68

94

Sachverzeichnis

Konjugierte Hyperbel 66 — Richtungen (Parabel) 71 Konvergent, Konvergenz 74, 82 Koordinat.-Verwandlungen 57 Kreis, -abschnitt(-segment), -ausschnitt(-sektor), -bogen, -umfang 24 Kreisgleichung 61 Kreisintregal 87 Kreiskegel, -kegelstumpf, -zylinder 36, 38 Kreisring 38 Kreistangente (Gleichung) 61, 62 Kreisteilungsgleichung 20 Krümmung 79 Krümmungsradius 79, 81 Kubik-(Würfel-) zahlen 14 Kubische Gleichung (Gl. 3.Gr.) 18 Kugel, -abschnitt (-segment), -aupschnitt(-sektor), -haube (-kappe), -keil-, -Oberfläche, -Schicht, -zone, -zweieck 36, 37 Kugeldreieck (sphär. Dreieck) 47, Kulminationshöhe 53 [48 Kurvenbogen (Länge) 90 — (Längenelement) 81 Leibniz'sche Reihe 84 Leitlinien der Ellipse 63 — der Hyperbel 67 Logarithmen, Logarithmand 9 Logarithmische Reihe 83 Logarithmus, gemeiner (künstl., Briggs'scher) 9 —, natürlicher 10 Lotseite (Kathete) 41, 48 Maclaurinsche Reihe 82 Mantelfläche, Mantellinie 32 Maxima, Minima (Hoch-, Tiefwerte) 79, 80 Mechanik (Diff.-Rechnung) 81 Mitteleuropäische Zeit 55 Mittelparallele (i. Trapez) 24 Mittelpunktsgleichung (Ellipse) 62 — (Hyperbel) 66 Mittlere Ortszeit 55

mittlere (Sonnen-)Zeit 54, 55 Modul 16 Moivre'scher Satz 16 monoton 75 Näherungsverfahren 21, 81 Natürlicher Logarithmus 10 Natürliches Maß e. Winkels 44 Neigung einer Strecke 56 Neper'sche Gleichungen (Analogien) 49 — Regel 47 Nordhalbkugel d. Himmels 53 Nordpunkt des Horizonts 53 Normalbeschleunigung 81 Normale (Gleichg.) einer Kurve 79 Obelisk 40 Oberfläche von Drehkörpern 90 — der Kugel 36 Oktaeder, reguläres 34 Ortszeit, mittlere 55 Parabel„durchmesser" 71 Parabelgleichung 71, 72 — in Polarkoordinaten 72 Parallellage (Ellipse) 66 — (Hyperbel) 70; — (Parabel) 72 Parallele Gerade (analytische Geometrie) ,60 Parallelseit (Parallelogr.) 22 Parallelverschieb, d. Koord. S. 58 Parameter der Ellipse 62, 65 — der Hyperbel 67 — der Parabel 71 Parameter (bei Funktionen) 77 Partielle Integration 86 Pascal'sches Dreieck 11 Permutationen 11 Platonische Körper 35 Polare (Kreis) 61, 62 — (Ellipse) 63, 66 — Hyperbel) 68, 70 — (Parabel) 71, 72 Polarkoordinaten 57, 65, 70, 72 Polyeder 32—35 Potenz e. Punktes i. B. e. Kr. 62 Potenzen; Potenzwert 8

Sachverzeichnis Potenzreihen 83 Prisma 33, 38 Prismatoid, Prismoid 39 Ptolemäischer Lehrsatz 29 Pyramide; Pyr.-Stumpf 33, 34 Pythagoreischer Lehrsatz 23 Pythagoreisches Dreieck 28 Quader 32 Quadrant (Winkelfeld) 42 Quadrat 22 Quadrat. Gleichung (Gl. 2. Gr.) 18 Quadratzahlen-Summe 14 Rauminhalt geom. Körper 32—40 — von Drehkörpern 89 Rechteck 22 Rechtwinkl. Dreieck 23, 41, 47 „Reduzierte'.' Gleich. 3. Grad. 18 Regelmäßiges Achtflach 34 — Vieleck 26, 30 Regelmäßiges Vierflach 33 Regulär = regelmäßig 32—35 Regula falsi 21 Reihen, arithmetische 14 •—, geometrische 14 —, unendliche 82 Rektaszension 52 Rente 15 Richtungsgröße (-faktor) 58, 59 Rotationsparaboloid 38 Scheiteltangente d. Parabel 71 Schellbach'sche Zauberformel 85 Schneidende (Sekante) 26 Schulz'sche Reihe für n 84 Schwerpunkt einer Fläche 57, 90 Sehne; Sehnensatz 26 Sehnenviereck 29 Sekante; Sekantensatz 26 Sekanten-Tangentensatz 26 Senkr. Gerade (an. Geom.) 60 Simpson'sche Regel 91 Sinus (sin) 41; Sinus-Satz 46, 48 Sinusreihe 83 Sonnenzeit, mittlere 55 Spannseite (Hypotenuse) 41, 48 Sphärischer Überschuß 48

95

Sphärisches Dreieck (Kugel-) 47, Sternzeit 54, 55 [48 Stetig 76 Stifel'sches Zahlendreieck 11 Strahlenbüschel 60 Stundenwinkel 52 Substitution 86 Südpunkt des Horizonts 52, 53 Summe der Quadratzahlen 14 Summe der Kubikzahlen (Würfel-Zahlen) 14 Tangens (tg) 41 Tangente = Berührende 26 Tangente (Ellipse) 63, 66 — (Hyperbel) 68, 70 — (Kreis) 61, 62 — (Parabel) 71, 72 Tangente e. allgem. Kurve 79 Tangentensatz 47 Tängentenviereck 29 Tangentialbeschleunigung 81 Taylorsche Reihe 82 Teilung einer Strecke 56 Tetraeder, reguläres 33 Tierkreiszeichen 55 Tilgungsrate 15 Trapez 24 Umfang (Dreieck) 22 — (Kreis) 24 Umkreis 25; -halbmesser 24, 25 Umwandl. trig. Funktionen 43 Unbestimmte Ausdrücke 85 Unendliche Folge 74 Unendliche Reihen 82 Variationen 12 Verhältnisgleichungen 7 [30 Vieleck, regelmäß. (regulär.) 26, Vierflach, regelmäßiges 33 Vierstreckensatz 23 Vollwinkel 24 Vorzeichen trig. Funktionen 42 Wahre Zeit 54 Wahrscheinlichkeit 13 Wahrscheinlichkeitsrechn. 13

96

Anhang

Wall 40 Walze (Zylinder) 36 Wendepunkt einer Kurve 80 Winkeleinheit (natürliche) 44 Winkelfeld (Quadrant) 42, 43 Winkelhalbierende 60 Winkel zweier Geraden 60 Würfel 32 Wulst 38 Wurzel, -exponent (-hochzahl) 9 Wurzeln einer Gleichung 20, 21 Zahlen, komplexe 15 Zeit, Greenwicher 55 —, mitteleuropäische 55

Zeit, mittlere 54, 55 —, mittlere Ortszeit 55 —, Steinzeit 54, 55 —, wahre 54 Zeitgleichung 54 Zeitumrechnung 54 Zeit und Winkel 55 Zinseszins, Zinsfaktor 15 Zone (Kugelzone) 37 Zwanzigflach 35 Zwölfflach 34 Zyklometrische'Funktionen 49,50 Zylinder (Walze) 36 Zylinderhuf 49 Zylinder, schief abgeschnitt. 38

Die griechischen Buchstaben Aa

Bß

Alpha

Beta

H t] Eta

Nv Ny

Ty Gamma

Ad Delta

Es Epsilon

09

it

Kx

Theta

Jota

Kappa

Lambda

» s Xi

Oo

n n

Omikron

Pi

PQ

Tz

Yv

Tau

Ypsilon

4>