Mathematische Mußestunden: Eine Sammlung von Geduldspielen, Kunststücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer Natur [8. und 9. Aufl. Reprint 2020] 9783111482552, 9783111115733

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Prof.

Dr.

H e r m a n n

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Ätijemiitiftfje iBuftejhinbßn Eine S a m m l u n g von Geduldspielen, Kunststücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer N a t u r Neubearbeitet von

Prof.

Dr.F.

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in M . - G l a d b a c h Achte und neunte

B E R L I N

Auflage

1941

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO.

vormals G.J.Göschen'sche Verlagshandlung /J.Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp.

Alle

Rechte, von

insbesondere der

das

Verlagshandlung

Übersetzungsrecht, vorbehalten

Ludendo discimus Leibniz

Archiv-Nr. 12 24 41 Printed in Germany

Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 55

©ortoort sut Etjlen S t u f l a j e Die vorliegende Sammlung ist für gebildete Laien bestimmt, denen von der Arithmetik nur die allerersten Elemente bekannt zu sein brauchen. Sie behandelt, ähnlich wie die Sammlungen von Edouard Lucas 1 ) und Rouse Ball 2 ), historisch und kritisch die wichtigsten von den zur U n t e r h a l t u n g geeigneten Geduldspielen und Problemen mathematischer Natur. Wenn auch der Verfasser die Sammlungen von Lucas und Ball vielfach benutzt hat, so ist doch der größte Teil der in der vorliegenden Sammlung angestellten Erörterungen aus eigenen Studien des Verfassers hervorgegangen. Von Büchern mit ähnlichem Inhalt aus älterer Zeit ist in erster Linie das von Bachet de Meziriac 3 ) zu nennen. Vor Bachet behandelten Unterhaltungsaufgaben Cardano 4 ) und *) Edouard L u c a s , Récréations mathématiques, Paris 1882. Ferner: Lucas, L'Arithmétique amusante, Paris 1895, nach dem Tode des Verfassers herausgegeben von H. Delannoy, C. A. Laisant und E. Lemoine. 2 ) W . W . Rouse B a l l , Mathematical recreations and problems of past and present times, London 1892. s ) B a c h e t de M é z i r i a c , Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Erste Auflage: Paris 1 6 1 2 ; zweite Auflage: Lyon 1624; dritte und vierte, von Labosne vermehrte und verbesserte Auflage: Paris 1874 und 1879. 4 ) C a r d a n o , De subtilitate libri XXI, Nürnberg 1550.

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Tartaglia 5 ), nach Bachet Oughtred 6 ) und Ozanarn 7 ). Die in unserem Jahrhundert in Deutschland erschienenen Bücher von Montag 8 ), Mittenzwey 9 ) und anderen enthalten zwar viele Unterhaltungsaufgaben, geben aber keine mathematische Kritik der Probleme. Nur die vom Verfasser in den Jahren 1893—1895 in der „Naturwissenschaftlichen Wochenschrift" unter dem Namen „Mathematische Spielereien" veröffentlichten Artikel 10 ) enthalten schon eine, wenn auch nicht sehr eingehende, mathematische Kritik der dort behandelten Geduldspiele. H a m b u r g , November 1897.

Hermann Schubert.

6 ) T a r t a g l i a , Quesiti et inventioni diverse, Venetia 1554; T r a t t a t o de n u m e r i e misure, Venetia 1556; Opere, Venetia 1606. 6 ) O u g h t r e d , M a t h e m a t i c a ! recreations, L o n d o n 1653. ') O s a n a m , Récréations mathématiques et physitjues, Paris 1694, m i t vielen v e r m e h r t e n und verbesserten Auflagen, z . B . 1723, 1803, 1840. 8 ) M o n t a g , Die W u n d e r der Arithmetik, Leipzig. ö ) M i t t e n z w e y , M a t h e m a t i s c h e Kurzweil, 3. A u f l a g e , Leipzig 1895. 10 ) Diese Artikel sind a u c h , in einem Büchlein zusammeng e f a ß t , f ü r sich erschienen u n t e r dem Titel M Zwölf Geduldspiele" Berlin 1895 (jetzt Verlag von W a l t e r de G r u y t e r & Co., Berlin).

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©otiuort 3Ut 5tociten 25ufiaoE Von diesen meinen „Mathematischen Mußestunden", die zuerst 1898 erschienen waren, fertigte ich schon 1899 eine neue, aus drei Bänden bestehende g r o ß e Ausgabe an, die 1900 erschien und den Umfang verdreifachte. Obwohl diese große Ausgabe viele Freunde fand, so machten sich doch auch Wünsche geltend, die dahin gingen, daß neben der großen Ausgabe auch die kleine Ausgabe fortbestehen möchte. Demgemäß erscheint hier die 1898 erschienene k l e i n e Ausgabe, deren Exemplare vergriffen sind, noch einmal, ohne wesentliche Hinzufügungen. Zu der beim Vorwort der ersten Auflage angeführten verwandten Literatur sind jetzt zwei Bücher hinzuzufügen. Erstens: W. Große, Unterhaltende Probleme und Spiele, Leipzig 1897. Dieses Buch erschien nur einige Wochen früher als die erste Auflage meiner „Mathematischen Mußestunden", so daß es in ihr nicht mehr erwähnt werden konnteEs knüpft vielfach an die Abhandlungen an, die der Verfasser schon früher in der „Naturwissenschaftlichen Wochenschrift" hatte erscheinen lassen, gibt aber auch mancherlei Neues und Interessantes. Das zweite Buch, mathematisch tiefer angelegt als Großes und mein Buch, hat den Mathematiker W . Ahrens zum Verfasser und ist betitelt: „Mathematische Unterhaltungen und Spiele", Leipzig 1901. Drittens

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sei noch erwähnt, daß den „Mathematischen Spielen" auch die Ehre erwiesen ist, in der großen „Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften" behandelt zu werden, freilich nur auf 14 Druckseiten. Der Bearbeiter des Enzyklopädieartikels ist der soeben erwähnte Ahrens. H a m b u r g , am 18. August 1903.

Hermann Schubert.

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©ortoott 3UE J&cufcearfieitung Gern übernahm der Unterzeichnete die Aufgabe, die Schubertschen Mathematischen Mußestunden neu zu bearbeiten. Verdankte er doch diesem Buche 'wertvolle Anregungen zu Studien während seiner eigenen Mußestunden, Studien, die ihn in den Stand setzen, verschiedene Fragen, die in dem Schubertschen Buche als noch unerledigt genannt sind, zu beantworten. E r erwähnt in dieser Beziehung seine neue, auf alle denkbaren Fälle erstreckbare Behandlungsweise des Rundreiseproblems, ganz besonders aber die darauf sich uufbauende Lösung der Rösselsprungaufgabe. Eine bereits 1904 erschienene Programmabhandlung des Unterzeichneten über diesen Gegenstand blieb vielleicht bezüglich der Bedeutung, welche sie nach des Verfassers Überzeugung für die Behandlung des Problems hat, nur deshalb unbeachtet, weil er versäumt hatte, mit dem erforderlichen Nachdruck darauf hinzuweisen. Auch der Paragraph: Magische Quadrate, war umzuarbeiten, um an Stelle von Überholtem noch nicht bekannte Entwicklungen und Ergebnisse des Verfassers aufnehmen zu können, Bruchstücke umfangreicherer Abhandlungen, an deren Veröffentlichung heute nicht zu denken ist. Von diesen neuen Zusätzen erfordern einzelne eine sorgfältigere Lektüre. Sie richten sich mehr an den Fachmann und sind durch kleineren Druck kenntlich gemacht. Einer weitgehenden Umarbeitung bedurfte auch der § 6 : Umfüllungsaufgaben.

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Prof. Dr. Schubert hatte hier bei seinen Betrachtungen einen Nebenumstand übersehen, wodurch sich ein Fehler in die Darstellung eingeschlichen hatte. Der Schubertsche Text war deshalb hier nach den Angaben des Herrn Dr. W. Ahrens zu verbessern, welcher zudem das Verdienst hat, die Schuhertschen Ergebnisse erweitert zu haben. In den übrigen Paragraphen glaubte der Verfasser den altbewährten Schubert sehen Text möglichst ungeändert lassen zu müssen. Die hieran vorgenommenen Änderungen sind im wesentlichen nur Kürzungen, welche auszuführen waren, um dem Buch den gewünschten geringeren Umfang zu geben. Möge das Buch auch in seiner neuen Form eine günstige Aufnahme finden. M . - G l a d b a c h , September 1924.

F. Eitting.

©ottaort Sur fünften SCuflagc Die vorliegende • fünfte Auflage bringt im wesentlichen einen Neudruck der vierten Auflage. Hinzugekommen ist ein Kapitel über Sternsechsecke. Für dieses Problem, welches schon in der vierten Auflage kurz berührt war, scheint ein Interesse zu bestehen, da es neuerdings auch von anderer Seite ausführlicher behandelt worden ist. Ferner wurde in einem weiteren Kapitel das Spiel der dreißig bunten Würfel des Majors MacMahon, welches auch in Deutschland wachsende Verbreitung findet, in Kürze besprochen. M . - G l a d b a c h , 1. Februar 1935.

F. Fitting.

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Prof. Dr. Schubert hatte hier bei seinen Betrachtungen einen Nebenumstand übersehen, wodurch sich ein Fehler in die Darstellung eingeschlichen hatte. Der Schubertsche Text war deshalb hier nach den Angaben des Herrn Dr. W. Ahrens zu verbessern, welcher zudem das Verdienst hat, die Schuhertschen Ergebnisse erweitert zu haben. In den übrigen Paragraphen glaubte der Verfasser den altbewährten Schubert sehen Text möglichst ungeändert lassen zu müssen. Die hieran vorgenommenen Änderungen sind im wesentlichen nur Kürzungen, welche auszuführen waren, um dem Buch den gewünschten geringeren Umfang zu geben. Möge das Buch auch in seiner neuen Form eine günstige Aufnahme finden. M . - G l a d b a c h , September 1924.

F. Eitting.

©ottaort Sur fünften SCuflagc Die vorliegende • fünfte Auflage bringt im wesentlichen einen Neudruck der vierten Auflage. Hinzugekommen ist ein Kapitel über Sternsechsecke. Für dieses Problem, welches schon in der vierten Auflage kurz berührt war, scheint ein Interesse zu bestehen, da es neuerdings auch von anderer Seite ausführlicher behandelt worden ist. Ferner wurde in einem weiteren Kapitel das Spiel der dreißig bunten Würfel des Majors MacMahon, welches auch in Deutschland wachsende Verbreitung findet, in Kürze besprochen. M . - G l a d b a c h , 1. Februar 1935.

F. Fitting.

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Snöalt^berseitfinf^ I . Abschnitt: Zalilprobleine, Seite § 1. Erraten gedachter Zahlen 15 § 2. Vorauswissen erhaltener Resultate 24 § 3. Merkwürdige Zifferfolgen 26 35 § 4. Über sehr große Zahlen § 5. Erraten der Augensumme verdeckt liegender Karten 49 § 6. Umfüllungsaufgaben 53 62 § 7. Neunerprobe und Neunerkunststück § 8. Würfelkunststücke 66 § 9. Dominoketten 69 § 10. Darstellung aller Zahlen als Summen von Potenzen von Zwei 74 § 1 1 . Das Bachetsche Gewichtsproblem 79 82 § 12. Erraten von Besitzern verschiedener Sachen . . . § 13. Spiel von zwei Personen, die abwechselnd addieren 80 § 14. Vollkommene Zahlen 88 § 15. Pythagoreische und heronische Zahlen 93 § 16. Erschwerte Teilung 102 § 17. Trugschlüsse 100 I I . Abschnitt: Anordnungsprobleme. § 18. Das Problem der 15 Christen und der 15 Türken § 19. Magische Quadrate . . . § 20. Boß-Puzzle oder Fünfzehnerspiel § 21. Ewiger Kalender für Wochentage und Osterdaten § 22. Ewiger Kalender für Neumond und Vollmond . . § 23. Eulersche Wanderungen § 24. Hamiltonsche Rundreisen § 25. Rösselsprünge § 26. Das Sternsechseck § 27. Das Spiel der 30 bunten Würfel des Majors Mac Mahon

119 132 161 183 188 193 201 215 246 256

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§1 Crraten scbatfjter Magien U m e i n e g e d a c h t e Z a h l zu e r r a t e n , l a s s e m a n mit derselben beliebige R e c h n u n g e n ausführen. Dann l a s s e man sich das erhaltene R e s u l t a t s a g e n , a u s dem m a n die g e d a c h t e Z a h l d u r c h L ö s u n g e i n e r G l e i c h u n g b e r e c h n e n k a n n , n a c h d e m m a n die a u s g e f ü h r t e n R e c h n u n g e n in a r i t h m e t i s c h e r Z e i c h e n sprache a u s g e d r ü c k t hat. In den einfacheren F ä l l e n , wo die g e d a c h t e Z a h l nur a n f ä n g l i c h e i n m a l den v o r g e s c h r i e b e n e n R e c h n u n g e n unterw o r f e n w i r d , k a n n d a s L ö s e n d e r G l e i c h u n g dadurch geschehen, daß man mit dem erhaltenen R e s u l t a t u m g e k e h r t v e r f ä h r t , wie m i t der ged a c h t e n Z a h l , d. h. s o w o h l die R e i h e n f o l g e der R e c h n u n g s a r t e n u m k e h r t , wie a u c h die R e c h n u n g s a r t e n s e l b s t , a l s o z. B. s u b t r a h i e r t s t a t t a d d i e r t , multipliziert statt dividiert. Durch arithmetische U m f o r m u n g e n läßt sich j e d o c h die B e r e c h n u n g der gedachten Zahl aus dem R e s u l t a t kürzer gestalten. Z. B.: 1. Die gedachte Zahl werde um 5 vermehrt, die Summe mit 3 multipliziert und vom Produkt 7 subtrahiert. Erfährt man dann das erhaltene Resultat, so hat man dasselbe um 8 zu vermindern und den dritten Teil der erhaltenen Differenz zu nehmen, um die gesuchte Zahl zu erhalten. Denn (x-j-5) • 3 — 7 = p ergibt nacheinander 3 x -)- 15 — 7 = p oder

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3 x -)- 8 = p oder 3 • x = p — 8 oder x = (p — 8) : 3. War z. B. 4 die gedachte Zahl, so erhält man 20 als Resultat, woraus sich die gedachte Zahl durch die Berechnung 20 — 8 = 12. 12 : 3 = 4 ergibt. 2. Die gedachte Zahl werde mit 6 multipliziert, vom Produkt 5 subtrahiert, die Differenz mit 3 multipliziert, das Produkt um 1 vermehrt, die Summe durch 2 dividiert und der erhaltene Quotient um 7 vermehrt. Dann ist der neunte Teil des schließlich erhaltenen Resultats die gedachte Zahl. Denn [(6x — 5) - 3 — — f 1] r 2 — — f 7 läßt eich umformen, wie folgt: [18x — 15 + 1] : 2 + 7 oder [18x — 14] : 2 + 7 oder 9 x — 7 -f- 7 oder 9x. Also ist 9x das erhaltene Resultat, daher die gedachte Zahl x gleich dem neunten Teile des Resultats. B e i d e r B e r e c h n u n g der g e d a c h t e n Z a h l a u s d e m e r h a l t e n e n R e s u l t a t k a n n m a n a u c h den Ums t a n d v e r w e r t e n , daß wir in unserer Z i f f e r s c h r i f t e i n e S u m m e v o n V i e l f a c h e n d e r Z a h l e n 1, 10, 100 usw. s c h r e i b e n , w i e f o l g e n d e s B e i s p i e l z e i g t : 3. Die gedachte Zahl werde mit 2 multipliziert, zum Produkt 3 addiert, die Summe mit 5 multipliziert und von dem so erhaltenen Produkte 11 subtrahiert. Dann hat man vom erhaltenen Resultat nur die am Schluß stehende 4 fortzulassen, um die gedachte Zahl zu erhalten. War z. B. 7 die gedachte Zahl, so ergibt sich durch die vorgeschriebenen Rechnungen nacheinander 14, 17, 85, 74. Aus dem Resultat 74 erkennt man die gedachte Zahl 7. Die Begründung des Verfahrens liefert die Umformung: (2x -{- 3) • 5 — 1 1 oder lOx + 1 5 — 11 oder lOx + 4. S o l c h e A u f g a b e n ü b e r E r r a t e n von Z a h l e n f i n d e n s i c h schon i n dem 1612 z u e r s t e r s c h i e n e n e n k l a s s i s c h e n Werke von B a c h e t „Problesmes plais a n s et d é l e c t a b l e s " . Da d i e s e B a c h e t s c h e n A u f -

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g a b e n , obwohl sie n i c h t s B e s o n d e r e s b i e t e n , sondern teilweise unnötig kompliziert sind, seit ihrem Erscheinen nicht a u f g e h ö r t haben, immer wieder a n s T a g e s l i c h t g e z o g e n zu w e r d e n , u n d d a d u r c h eine g e w i s s e h i s t o r i s c h e B e r e c h t i g u n g erlangt h a b e n , so s o l l e n zwei v o n i h n e n a u c h in d i e s e m Buche Platz finden: 4. Man lasse jemand eine Zahl sich denken, dieselbe verdreifachen und dann die Hälfte nehmen, falls dies ohne Rest ausführbar ist. Falls dies aber nicht ohne Rest ausführbar ist, lasse man vorher 1 addieren, ehe die Hälfte genommen wird. Die erhaltene Hälfte lasse man mit 3 multiplizieren und sich das so gefundene Resultat sagen. Wenn man dieses durch 9 dividiert und die dabei erhaltenen Ganzen mit 2 multipliziert, erhält man die gedachte Zahl, falls das anfängliche Nehmen der Hälfte ohne Rest geschehen konnte, dagegen 1 weniger als die gedachte Zahl, falls beim Nehmen der Hälfte ein Rest geblieben war. Bei der Begründung dieses Verfahrens hat man zu unterscheiden, ob die gedachte Zahl gerade oder ungerade war. War sie gerade, so kann sie gleich 2 • n gesetzt werden, wo n eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Dann erhält man durch das angegebeneVerfahren nacheinander: 2 n • 3 = 6 n , 6 n : 2 = 3 n , 3n - 3 = 9 • n. Die Zahl 9 • n ist also gleich der Zahl, die man erfährt. Man rechnet nun für sich weiter 9 - n : 9 = n , n - 2 = 2 n , das ist aber die gedachte Zahl. Falls die gedachte Zahl ungerade war, darf man sie gleich 2 • n -f-1 setzen, wo n eine beliebige ganze Zahl ist. Dann ergeben die vorgeschriebenen Rechnunge n nacheinander: ( 2 n - f 1)- 3 = 6 n + 3 , 6 n + 3 + 1 = 6n + 4 , ( 6 n - f 4 ) : 2 = 3 n + 2 , (3n+2) • 3 = 9 n + 6 . Man erfährt also die Zahl 9 • n-f- 6 . Dividiert man durch 9, so erhält man die Zahl n als die Ganzen der Division. Durch Multiplikation mit 2 und Addition von 1 erhält man die gedachte Zahl 2 • n 1. 2

S c h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

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Bei der f o l g e n d e n A u f g a b e von B a c h e t m u ß m a n sogar u n t e r s c h e i d e n , ob die g e d a c h t e Zahl bei der T e i l u n g durch 4 den R e s t 0, 1, 2 oder 3 läßt: 5. Man lasse die gedachte Zahl verdreifachen. Dann lasse man von der so erhaltenen Zahl oder von der um 1 größeren die Hälfte nehmen, je nachdem beim Verdreifachen eine gerade oder eine ungerade Zahl erschienen war. Die erhaltene Hälfte lasse man wieder verdreifachen, und von dem Dreifachen oder der um 1 größeren Zahl die Hälfte nehmen, je nachdem eine gerade oder ungerade Zahl erschienen war. Dann lasse man sich die Ganzen sagen, die bei der Division jener Hälfte durch 9 entstehen. Die so erfahrene Zahl hat man mit 4 zu multiplizieren und zu dem erhaltenen Quotienten nichts oder 1 oder 2 oder 3 zu addieren, um die gedachte Zahl zu erhalten. Man hat nämlich nichts zu addieren, falls bei beiden Verdreifachungen gerade Zahlen erschienen waren, 1 zu addieren, falls nur bei der ersten Verdreifachung eine ungerade Zahl erhalten war, 2 zu addieren, falls dies nur bei der zweiten Verdreifachung geschehen war, und 3 zu addieren, falls bei beiden Verdreifachungen ungerade Zahlen gekommen waren. Zum Beweise dieses Verfahrens hat man zu unterscheiden, ob die gedachte Zahl bei der Teilung durch 4 den Rest 0, 1, 2 oder 3 ergibt, d. h., ob sie gleich 4 • n oder gleich 4 • n -f- 1 oder gleich 4 • n -}- 2 oder gleich 4 • n -(- 3 zu setzen ist, wo immer n eine beliebige ganze Zahl bedeutet, a) Aus 4 • n entsteht durch die angegebenen Rechnungen nacheinander: 12 n, 6n, 18 n, 9n, n, woraus man dann schließt, daß 4 * n - j - 0 = 4 n die gesuchte Zahl ist; b) aus 4n-f- 1 entsteht: 12n -f- 3, 1 2 n + 4 , 6 n - J - 2 , 1 8 n + 6 , 9 n - f 3 , n, woraus man 4 • n -j- 1 für die gedachte Zahl schließt; c) aus 4 n + 2 entsteht: 1 2 n + 6 , 6 n + 3 , 1 8 n + 9 , 1 8 n - f l 0 , 9 n 4 - 5 , n, woraus man 4n-}-2 schließt; d) aus 4n -}- 3

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e n t s t e h t : 1 2 n + 9, 12n + 10, 6 n + 5 , 1 8 n - f l 5 , 18n + 16, 9 n - f - 8» woraus man 4 n - ( - 3 schließt. Ein solches E r r a t e n gedachter Zahlen m u ß demjenigen, der gar nichts von Algebra v e r s t e h t , noch r ä t s e l h a f t e r erscheinen, wenn m a n die g e d a c h t e Zahl selbst nicht bloß anfänglich, sondern auch n a c h h e r noch einmal oder m e h r e r e Male in die Rechn u n g h i n e i n z i e h t , wie f o l g e n d e B e i s p i e l e zeigen: 6. Die gedachte Zahl werde u m 3 vermehrt, die Summe m i t 6 multipliziert, das P r o d u k t u m 3 vermindert, die erhaltene Differenz dann aber noch u m die anfänglich gedachte Zahl vermindert; endlich werde noch der erhaltene Unterschied durch 5 dividiert, was immer möglich sein m u ß . Da6 so erhaltene Resultat lasse m a n sich sagen. U m aus ihm die gedachte Zahl zu finden, h a t m a n es nur u m 3 zu vermindern. D e n n der Ausdruck [(x -j- 3) • 6 — 3 — x ] : 5 ergibt durch arithmetische Umformung x -f- 3 . W a r z. B. 19 die gedachte Zahl, so erhält man durch die angegebenen Rechnungen nacheinander die Zahlen 22, 132, 129, 110, 22. E r f ä h r t m a n n u n die Zahl 22 als letztes Resultat, so h a t m a n 22 u m 3 zu verm i n d e r n , u m die gedachte Zahl zu erhalten. 7. Das Vierfache der gedachten Zahl lasse m a n u m 3 vermindern, die erhaltene Differenz mit 6 multiplizieren, zu d e m erhaltenen Produkte erst 3 u n d d a n n noch die gedachte Zahl addieren, die erhaltene Summe durch 5 dividieren u n d zu dem erhaltenen Quotienten das Dreifache der Zahl addieren, die u m 1 größer ist, als die gedachte Zahl. D a n n lasse m a n sich das Resultat nennen. Der achte Teil desselben ist i m m e r die gedachte Zahl. D e n n der Ausdruck [(4x — 3) * 6 -J- 3 + x ] : 5 -f- 3 ( x - f - l ) ergibt durch Vereinfachung nacheinander (25x — 1 5 ) : 5 - f 3 x + 3 oder 5 x — 3 + 3 x - f 3 oder 8 x . W a r z. B. 11 die gedachte Zahl, so erhält m a n durch die angegebenen Rechnungen nacheinander 44, 41, 246, 249, 2*

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260, 52, dann 52 + 3 • (11 + 1) = 52 -f 3 • 12 = 52 + 36 = 88. Dieses Resultat ergibt aber die gedachte Zahl 11, wenn man es durch 8 dividiert. Wenn der R a t e n d e A r i t h m e t i k und A l g e b r a vers t e h t , so kann er es auch d e m j e n i g e n , der sich die zu r a t e n d e Zahl g e d a c h t h a t , ganz Ü b e r l a s s e n , welche R e c h n u n g s a r t e n er nacheinander anwenden will und mit welchen Zahlen er es tun will. Nur muß ihm der, der die Zahi g e d a c h t h a t , a n g e b e n , welche Zahl er a d d i e r t , s u b t r a h i e r t , m u l t i p l i z i e r t oder zum Divisor b e n u t z t . Dann wird der R a t e n d e die g e d a c h t e Zahl x nennen und aus den gehörten Angaben eine Gleichung z u s a m m e n s t e l l e n . Durch Lösung derselben erhält er dann die gesuchte Zahl x , die er r a t e n wollte. Dabei darf die g e d a c h t e Zahl auch eine n e g a t i v e Zahl oder ein Bruch sein. E b e n s o dürfen die zum Rechnen v e r w a n d t e n Zahlen auch n e g a t i v oder gebrochen sein. Wenn dann aber die g e d a c h t e Zahl mehr als einmal in die Rechnung hineingezogen wird, so k a n n es kommen, daß die zur A u f f i n d u n g der g e d a c h t e n Zahl dienende Gleichung von höherem als dem ersten Grade wird und daher die L ö s u n g der Gleichung schwieriger wird. In einfachen F ä l l e n und bei kleinen Zahlen wird es freilich leicht sein, die Zahl x zu r a t e n , die die e n t s t a n d e n e Gleichung richtig macht. Hier nur noch ein Beispiel für den F a l l , daß die Gleichung, welche die gedachte Zahl l i e f e r t , vom zweiten Grade wird. 8. Man lasse die gedachte Zahl mit der um 1 größeren multiplizieren, vom Produkt die gedachte Zahl subtrahieren und sich den erhaltenen Rest nennen. Die Quadratwurzel aus demselben ergibt die gedachte Zahl. Denn x (x -f- 1) — x

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ergibt x 2 + x — x , d. h. x 2 . War z. B. 29 die gedachte Zahl, so erfahrt man die Zahl 841 als Resultat. Die Quadratwurzel aus 841 ergibt 29 als die gedachte Zahl. 9. Derjenige, der sich eine Zahl gedacht hat und dem es ganz überlassen ist, wie er damit rechnen will, gibt an, daß er das Doppelte der gedachten Zahl zu 17 addiert hat, die erhaltene Summe mit der gedachten Zahl multipliziert hat und auf solche Weise zu der Zahl 135 gelangt ist. Der Ratende hat dann anzusetzen: (17 -j- 2x) x = 135, woraus er 2 x 2 - f 1 7 x = 135 und daraus 4x 2 + 3 4 x = 270 folgert. Um anfanglich Brüche zu vermeiden, wird er diese Gleichung mit 4 multiplizieren, woraus 16x 2 -f- 136x = 1080 folgt. Durch Addition des Quadrats des achten Teils von 136, also der Zahl 17, ergibt sich dann: (4x) 2 + 2 • 4x • 17 + 172 = 1369. Die Quadratwurzel aus 1369 ergibt 37, so daß links das Quadrat von 4x -(- 17, rechts das von 37 erschienen ist, woraus folgt, daß 4x -)- 17 = 37 oder 4x -f- 17 = — 37 ist. Im ersten Falle ergibt sich 5 als gedachte Zahl. Der zweite Fall ergibt x== — 13%, so daß, wenn auch eine negative gebrochene Zahl gedacht sein könnte, der Ratende zweifelhaft sein muß, ob die Zahl 5 oder die Zahl — 13% gedacht war. B i s h e r war immer nur v o r a u s g e s e t z t , d a ß eine e i n z i g e Zahl g e d a c h t ist. Sind zwei oder mehr Zahlen g e d a c h t , so f ü h r t die A u f f i n d u n g derselben auf ein S y s t e m von zwei oder mehr Gleic h u n g e n mit ebensoviel U n b e k a n n t e n . S i n d mehr Zahlen g e d a c h t , als A n g a b e n d a r ü b e r g e m a c h t w e r d e n , so f ü h r t die Lösung auf s o g e n a n n t e diop h a n t i s c h e Gleichungen*). Die d a r a u f f ü h r e n d e n *) Die methodische Lösung solcher Gleichungen findet man im ersten Teil von Band V der „Sammlung Schubert", betitelt „Niedere Analysis", Leipzig 1902.

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P r o b l e m e s o l l e n j e d o c h hier a u s g e s c h l o s s e n b l e i b e n . D a g e g e n s o l l hier d e r F a l l e r w ä h n t w e r d e n , d a ß zwei Z a h l e n g e d a c h t s i n d u n d a u c h zwei A n g a b e n d a r ü b e r vorliegen, sowie, daß drei Zahlen g e d a c h t s i n d u n d drei A n g a b e n d a r ü b e r v o r l i e g e n . E i n i g e Beispiele einfachster N a t u r folgen hier: 10. Man lasse sich die Summe und die Differenz zweier gedachter Zahlen angeben. Von den beiden Resultaten, die man so erfährt, nehme man die halbe Summe und die halbe Differenz. Dann hat man die gedachten Zahlen. Denn x -j- y = a und x — y = b ergeben durch Addition 2 x = a - ( - b oder x gleich der Hälfte von a -(- b . Ferner erhält man durch Subtraktion 2 y = a — b oder y gleich der Hälfte von a — b. 11. Von drei gedachten Zahlen lasse man die erste und zweite, die erste und dritte, sowie die zweite und dritte addieren. Man hört, daß dadurch die Summen 13, 18, 21 erli ten sind. Man setzt dann an: x -(- y = 13, x -f- z = 21, y -f- z = 18. Man addiere alle drei Gleichungen. Dann erhält man 2x + 2y + 2z = 52 oder x - f y - f z = 26. Subtrahiert man von dieser Gleichung jede der drei angesetzten Gleichungen, so erhält man x = 8 , y = 5 , z = 1 3 a l s die gedachten drei Zahlen. Wenn also überhaupt bei drei gedachten Zahlen die Summe j e zweier angegeben wird, so hat man von der Hälfte der Summe der drei angegebenen Resultate jedes einzelne Resultat zu subtrahieren, um die drei gedachten Zahlen zu erhalten. F ü r den L a i e n gestalten sich solche auf R a t e n von Zahlen bezüglichen A u f g a b e n dadurch oft f e s s e l n d e r , d a ß die Z a h l e n s i c h a u f D i n g e b e z i e h e n , die d e n R a t e n d e n p e r s ö n l i c h b e s o n d e r s a n g e h e n , wie e t w a d i e Z a h l der G e l d s t ü c k e , die er bei sich h a t , die Z a h l s e i n e r Z ä h n e , d a s D a t u m s e i n e s Geb u r t s t a g e s , s e i n G e b u r t s j a h r , sein A l t e r , d i e

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Z a h l e n , d i e e r g e w ü r f e l t h a t , usw. V o n s o l c h e n e i n g e k l e i d e t e n Z a h l e n - R a t e - A u f g a b e n hier n u r ein Beispiel: 12. Man b i t t e denjenigen, dessen Alter m a n r a t e n will, von der Zahl, die sein Alter in J a h r e n ausdrückt, die Quersumme (Summe der Ziffern) anzugeben. Darauf b i t t e m a n ihn, die betreffende Zahl umzukehren, d. h. die Zehner zu Einern u n d die Einer zu Zehnern zu machen, u n d d a n n den Unterschied zwischen der ursprünglichen u n d der umgekehrten Zahl zu sagen. U m aus den beiden so erhaltenen Angaben das Alter zu bestimmen, dividiere m a n die zu zweit angegebene Zahl durch 9, was immer ohne Rest möglich ist. Den erhaltenen Quotienten h a t m a n d a n n zur Quersumme zu addieren u n d von der Quersumme zu subtrahieren. Die H ä l f t e der in beiden Fällen erhaltenen Resultate stellen die Ziffern der Zahl dar, die das Alter angibt. E r f ä h r t m a n z. B. 11 als Quersumme u n d 63 als Differenz, so h a t m a n 63 durch 9 zu dividieren u n d die erhaltene Zahl 7 zu 11 zu addieren u n d von 11 zu subtrahieren. So erhält m a n 18 u n d 4, deren H ä l f t e n 9 u n d 2 sind. Die Entscheidung, ob das Alter d a n n 29 oder 92 J a h r e beträgt, wird, wenn nicht auf andere Weise, dadurch herbeigeführt, d a ß m a n sich sagen läßt, ob die ursprüngliche Zahl oder die durch Umkehrung der Ziffern entstandene Zahl die größere war.

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§ 2 öorau^totffen erfjaltenet ßefultatc W e n n m a n j e m a n d , der sich eine Zahl g e d a c h t h a t (vgl. §1), v o r s c h r e i b t , wie er m i t d e r Z a h l w e i t e r r e c h n e n s o l l , so l ä ß t es s i c h so e i n r i c h t e n , daß die g e d a c h t e Zahl sich bei der B e r e c h n u n g forthebt, wobei natürlich vorausgesetzt wird, daß m a n die g e d a c h t e Zahl nicht allein a n f ä n g l i c h , s o n d e r n a u c h n a c h h e r n o c h m i n d e s t e n s e i n m a l in die R e c h n u n g hineinzieht. Die B e r e c h n u n g des e n t s t a n d e n e n A u s d r u c k s , der a u ß e r der sich f o r t hebenden gedachten Zahl x nur noch b e s t i m m t e Z a h l e n e n t h ä l t , f ü h r t d a n n zu e i n e m R e s u l t a t e , d a s d e r j e n i g e , der sich die Zahl g e d a c h t h a t , a u c h e r h a l t e n h a b e n m u ß , so d a ß m a n i h m s e i n R e s u l t a t sagen k a n n , wie f o l g e n d e Beispiele zeigen: 1. Man lasse die gedachte Zahl verdreifachen, zu dem Dreifachen 2 addieren, die Summe mit 4 multiplizieren, z u m P r o d u k t e 4 addieren, die Summe durch 12 dividieren und v o m Quotienten die gedachte Zahl subtrahieren. D a n n weiß m a n , daß der, der sich die Zahl gedacht h a t , die Zahl 1 erhalten haben m u ß , gleichviel, welche Zahl er sich gedacht h a t . D e n n (3x + 2) • 4 + 4 ergibt 1 2 x - f 8 + 4 oder 12x + 12, dies durch 12 dividiert ergibt x -f- 1 • Subtrahiert m a n aber x von x —{- 1 , so m u ß immer 1 herauskommen, gleichviel, wie groß x ist. W a r z. B. 7 die gedachte Zahl, so wurden nacheinander folgende Zahlen erhalten: 21, 23, 92, 96, 8, 1. W a r 9 die gedachte Zahl, so ergab sich: 27, 29, 116, 120, 10, 1.

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2. Die gedachte Zahl werde um 5 vermehrt, die Summe mit 18 multipliziert, vom Produkte das Dreifache der gedachten Zahl subtrahiert, die Differenz durch 15 dividiert und vom Quotienten die gedachte Zahl subtrahiert, so ergibt sich immer 6, gleichviel welche Zahl gedacht war. Denn { ( x + 5 ) - 1 8 — 3 x ] : 15— x = [18x + 90 — 3 x ] : 15 — x = [15x + 90]: 15 — x = x -f 6 — x = 6. War z. B. 13 die gedachte Zahl, so ergab sich nacheinander: 18, 324, 285, 19, 6. War 45 die gedachte Zahl, so erhielt man: 50, 900, 765, 51, 6. 3. Die beiden Zahlen, von denen die eine um 3, die andere um 4 größer ist, als die gedachte Zahl, lasse man miteinander multiplizieren, das Produkt vervierfachen und zu diesem Vierfachen 1 addieren. Aus der erhaltenen Summe lasse man die Quadratwurzel ziehen und von derselben das Doppelte der gedachten Zahl subtrahieren. Dann erhält man immer 7. Denn 4 (x + 3) (x + 4) + 1 ergibt 4x 2 + 28x + 49 = (2x + 7) 2 . Also liefert die Quadratwurzel-Ausziehung 2 x - ) - 7 . Subtrahiert man aber 2 • x von 2 • x -)- 7, so bleibt immer 7 übrig, gleichviel wie groß x war. War etwa 96 die gedachte Zahl, so hat man zu rechnen: 99* 100, also 9900, woraus dann durch Vervierfachung 39600 hervorgeht. Dann ist die Quadratwurzel aus 39601 zu ziehen. Dieselbe ergibt 199. Wenn man dann von diesem Resultat das Doppelte der gedachten Zahl, also 192 abziehen läßt, wird in der Tat die Zahl 7 erhalten.

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$5 £Dcrr;üiütbige

^iffecfolgen

Die Welt der Zahlen birgt mannigfache Eigenschaften, die dem Laien wie ein Wunder erscheinen müssen, während sie dem Arithmetiker, weil er diese Eigenschaften beweisen kann, selbstverständlich erscheinen. Hier sollen einige Eigenschaften behandelt werden, bei denen die R e i h e n f o l g e der aufeinanderfolgenden Ziffern maßgebend ist. Die sechsziffrige Zahl 142857 hat die merkwürdige Eigenschaft, daß die R e i h e n f o l g e i h r e r Ziffern sich n i c h t ändert, wenn man sie mit 2, 3, 4, 5 oder 6 multipliziert, wobei man die erste Ziffer als auf die letzte folgend ansehen muß. In der Tat gibt das Zweifache: 285714; Vierfache: 571428; Dreifache: 428571; Fünffache: 714285; Sechsfache: 857142. Nimmt man weiter das Siebenfache, so erhält man eine Zahl, die aus lauter Neunen besteht. Multipliziert man mit einer Zahl, die größer als 7 ist, so erhält man eine Zahl, die aus mehr als sechs Ziffern besteht. Wenn man dann die Zahl, die den sechs letzten Ziffern vorangeht, zu der Zahl addiert, die aus den sechs letzten Ziffern besteht, so erhält man wiederum dieselbe Zifferfolge wie oben, also immer eine der sechs Zahlen 142857 oder 428571 oder 285714 oder 857142 oder 571428 oder 714285. Beispielsweise multiplizieren wir die ursprüngliche Zahl 142857 mit 24, so erhalten wir 3428568.

Die den letzten sechs Ziffern vorangehende Zahl ist 3. Addieren -wir dieselbe zu der Zahl 428568, die aus den sechs letzten Ziffern besteht, so ergibt sich 428571, also eine Zahl, die dieselbe Zifferfolge h a t , wie die ursprüngliche Zahl 142857, wenn m a n die erste Ziffer 1 als auf die letzte 7 folgend ansieht. Nur wenn m a n mit einem Vielfachen v o n 7 multipliziert, erhält m a n auf dieselbe Weise eine Zahl, die sich aus sechs Neunen zusammensetzt. Multipliziert m a n z. B. mit 42, so erhält m a n zunächst 5999994, u n d da diese Zahl 6ieben Ziffern h a t , soll man die, von rechts gerechnet, siebente Ziffer 5 zu 999994 addieren, was in der T a t auf 999999 f ü h r t . Diese wunderbare Eigenschaft der Zahl 142857 erkennt m a n als sehr natürlich, wenn m a n daran denkt, d a ß 142857 die Periode der Dezimalbruchentwicklung des Bruches ^ ist. Entwickelt m a n ^ in einen Dezimalbruch, so erscheinen nacheinander die Reste 3, 2, 6, 4, 5, 1, die m a n immer mit zehn zu multiplizieren h a t , u m den folgenden Quotienten zu erhalten. Dadurch erscheinen 4, 2, 8, 5, 7, 1 als Quotienten. Folglich m u ß der Bruch A die Periode 428571, § die Periode 285714, £ die Periode 857142 usw. haben. N u n ist aber anderseits j- das Dreifache von i , 'i das Zweifache von * , ^ das Sechsfache von y usw. Hiermit ist aber die erwähnte Eigenschaft der Zahl 142857 als natürlich nachgewiesen, f ü r den Fall, d a ß der Multiplikator kleiner als 7 ist. Multipliziert m a n ^ m i t 7, so erscheint die Zahl 1; 1 ist aber anderseits gleich dem periodischen Dezimalbruch, der aus lauter Neunen besteht. Wie zu verfahren ist, wenn der Multiplikator größer als 7 ist, geht aus dem folgenden Beispiel hervor, wo 24 als Multiplikator gewählt ist. Daß der Bruch einem periodischen Dezimalbruch gleich ist, dessen Periode 142857 ist, läßt sich arithmetisch so ausdrücken: 1 _ 142857 7 ~ 10« ~

+

142857 ~1Ö«"

+

142857 10" + " "

27

Multipliziert m a n n u n mit 24, so erhält m a n : 3 7

428568 —

10®

3 "" 10°

428568 10 1 2

3 10 12 ^

Man sieht also, daß m a n die den letzten sechs Ziffern voranstehende 3 zu der Zahl, die aus den letzten sechs Ziffern besteht, addieren m u ß , u m wiederum eine Zahl m i t derselben Zifferfolge zu e r h a l t e n . Aus der voranstehenden B e g r ü n d u n g geht hervor, d a ß die merkwürdige Eigenschaft der Zahl 142857 jeder (p — 1)ziffrigen Zahl zukommen m u ß , die die Periode der Dezimalbruchentwicklung von -i- ist, wo p Primzahl ist. U m weitere solche Zahlen zu finden, müssen wir also Primzahlen p v o n der Eigenschaft bestimmen, d a ß dsr Dezimalbruch, der gleich ~ ist, eine Periode mit p — 1 Ziffern h a t . Die kleinste v o n solchen Zahlen ist 7, d a n n folgen 17 u n d 19. Die Dezimalbruchentwicklung von -jlij ergibt eine Periode v o n 16 Stellen, nämlich: 0588235294117647. Betrachtet m a n diese Periode als eine Zahl f ü r sich, so h a t dieselbe die nämliche Eigenschaft, wie 142857, falls m a n die 0, mit der die Periode beginnt, mit zur Zahl hinzurechnet, so d a ß die Zahl also nicht als fünfzehnziffrig, sondern als sechzehnziffrig betrachtet wird. Man k a n n d a n n die Zahl mit einem ganz beliebig gewählten Multiplikator multiplizieren, immer wird eine Zahl mit derselben Zifferfolge wiedererscheinen. Multipliziert m a n z. B. mit 4, so erhält m a n : 2352941176470588. Multipliziert m a n mit 17, so erscheinen wieder lauter N e u n e n . Multipliziert m a n mit einer Zahl, die größer als 17 ist, so h a t m a n die den 16 letzten Ziffern voranstehende Zahl zu

28

der aus diesen 16 Ziffern bestehenden Zahl zu addieren, u m wieder eine Zahl mit derselben Zifferfolge zu erhalten. Multipliziert m a n z. B. mit 441, so erhält m a n zunächst 25882352941176468. Die den 16 letzten Ziffern voranstehende 5882352941176468 addiert, ergibt

Zahl

2

zu

5882352941176470, eine Zahl mit derselben Zifferfolge, wie die ursprüngliche Zahl. Derartige Zahlen, wie die zwei besprochenen, welche von J- u n d -jL, herrühren, gibt es natürlich unzählig viele, indem alle Brüche —, bei denen die Periode der Dezimalbruchentp wicklung p — 1 Stellen h a t , eine solche Zahl hervorrufen müssen. Man bemerke, daß diese Eigenschaft nicht alle Brüche i - haben, bei denen p Primzahl ist, sondern n u r diejenigen, f ü r welche die Zahl 10, die Basis unserer Zifferschrift, primitive Wurzel ist, wie m a n sich zahlentheoretisch ausdrückt. W ä h l t m a n eine Primzahl p von der Eigenschaft, d a ß der Dezimalbruch, der gleich -i- ist, eine Periode von weniger als p — 1 Stellen h a t , so gibt eine solche Periode eine Zahl, die d u r c h Multiplikation mit gewissen Multiplikatoren zu Zahlen von gleicher Zifferfolge f ü h r t . Der Unterschied ist also der, d a ß nicht jede, sondern nur gewisse Zahlen zu Multiplikatoren gewählt werden dürfen. Entwickelt m a n z. B. -jL. in einen Dezimalbruch, so gelangt m a n zu der Periode 076923. Daher h a t die Zahl 076923 die Eigenschaft, mit gewissen F a k t o r e n multipliziert zu Zahlen zu führen, die dieselbe Zifferfolge haben. Diese F a k toren sind 1, 10, 9, 12, 3, 4, sowie alle Zahlen, die u m ein

29

Vielfaches v o n 13 größer sind.

Multipliziert m a n aber die

Zahl 076923 mit den F a k t o r e n 2, 5, 6, 7, 8, 11, so erhält m a n 153846, 384615, 461538, 538461, 615384, 846153, also Zahlen, die u n t e r sich wieder dieselbe Reihenfolge der Ziffern 1, 5, 3, 8, 4, 6, 1, 5, 3, . . . darbieten. Multipliziert m a n mit F a k t o r e n , die u m ein Vielfaches v o n 13 größer sind als 2, 5, 6, 7, 8, 11, so erhält m a n Zahlen mit mehr als sechs Ziffern, aus denen m a n in derselben Weise wie oben sechsziffrige Zahlen mit gleicher Zifferfolge gewinnen k a n n . Wir erkennen also, d a ß sich aus der Dezimalbruchentwicklung von J^J zwei sechsziffrige Zahlen gewinnen lassen von der Eigenschaft, d a ß die Multiplikation einer derselben mit einem beliebig gewählten F a k t o r zu einer Zahl f ü h r t , die dieselbe Zifferfolge h a t , wie die eine oder die andere von den beiden sechsziffrigen Zahlen. Der Zahl 13 gehören also in derselben Weise zwei Zifferfolgen an, wie den Zahlen 7 u n d 17 j e eine Zifferfolge angehörte. Nehmen wir ferner die Primzahl 41 u n d entwickeln ^ in einen Dezimalbruch, so gelangen wir zu einer Periode von nur fünf Stellen. D a h e r h a t die Zahl, die diese Periode bildet, nämlich: 02439 die Eigenschaft, d a ß sie, mit allen denkbaren F a k t o r e n multipliziert, zu acht Gruppen von j e fünf Ziffern f ü h r t , so d a ß die fünf Zahlen einer solchen Gruppe immer gleiche Zifferfolge haben, n ä m l i c h : 02439 1 gibt 10 „ 18 „ 16 „ 37 „

SO

mal 02439 24390 43902 39024 90243

02439 2 gibt 20 „ 36 „ 32 „ 33 „

mal 04878 48780 87804 78048 80487

02439 3 gibt 30 „ 13 „ 7 „ 29 „

mal 07317 73170 31707 17073 70731

usw.

Man k a n n n u n natürlich auch eine beliebige dieser Zahlen, etwa 70731, herausgreifen. Mann k a n n d a n n sicher sein, d a ß , wenn m a n sie mit einem beliebigen F a k t o r multipliziert, m a n immer wieder auf eine der acht möglichen Zifferfolgen stößt, sobald m a n nur immer die Regel befolgt, daß die den letzten fünf Ziffern etwa noch voranstehende Zahl zu der aus diesen f ü n f Ziffern bestehenden Zahl addiert wird. Ganz allgemein erkennen wir also folgendes: W e n n p e i n e P r i m z a h l i s t , s o f ü h r t die D e z i m a l b r u c h e n t w i c k l u n g aller B r ü c h e , die p zum N e n n e r h a b e n , auf g G r u p p e n von j e - ^ - Z a h l e n von solcher E i g e n s c h a f t , daß die Multiplikation irgendeiner dieser Zahlen mit einem beliebigen F a k t o r i m m e r wieder auf eine der p — 1 Z a h l e n f ü h r t , sobald m a n die etwa den p — 1 l e t z t e n Z i f f e r n n o c h v o r a n s t e h e n d e Z a h l zu d e r ans diesen letzten p — 1 Ziffern b e s t e h e n d e n Zahl a d d i e r t . D a b e i h a b e n die Zahlen in einer u n d ders e l b e n G r u p p e g l e i c h e Z i f f e r f o l g e , wie z. B. 48780 u n d 80487. Zu merkwürdigen Zifferfolgen f ü h r t auch die Dezimalmalbruchentwicklung des Bruches ^ . Die Periode derselben wird von der folgenden Zahl gebildet: 012345679. Multipliziert m a n dieselbe mit 9, so erhält m a n eine Zahl, die aus lauter Ziffern 1 besteht, weil -^j- = -g- ist u n d die Periode des Dezimalbruchs, der gleich ist, die Zahl 1 ist. D a r a u s folgt d a n n , d a ß durch Multiplikation mit jedem Vielfachen von 9 eine Zahl entsteht, die aus lauter gleichen Ziffern besteht. I n der Zahl 012345679 sind alle Ziffern von 0 bis 9 außer 8 vertreten, u n d zwar auch der Reihe nach. Multipliziert m a n n u n die Zahl 012345679 mit irgendeiner nicht durch 3 teilbaren Zahl, so erhält m a n eine Zahl, die wieder-

3*

u m aus allen Ziffern von 0 bis 9 mit A u s n a h m e einer bestellt, u n d diese eine fehlende Zahl ist i m m e r diejenige, welche m a n zu d e m F a k t o r addieren m ü ß t e , d a m i t eine d u r c h 9 teilbare Zahl e n t s t e h t . Multipliziert m a n z. B. mit 2, so erhält m a n 024691358, eine Zahl, in der alle Ziffern a u ß e r 7 = 9 — 2 v o r k o m m e n . Multipliziert m a n m i t 8, so erhält m a n die Zahl 098765432, also eine Zahl, in der alle Ziffern außer 1 = 9 — 8 v o r k o m m e n . Multipliziert m a n mit 13, so k o m m t eine Zahl h e r a u s , bei der alle Ziffern a u ß e r 5 v o r k o m m e n , weil 5 die Zahl ist, die m a n zu 13 addieren m u ß , d a m i t die nächste d u r c h 9 teilbare Zahl 18 e n t s t e h t .

Diese E i g e n s c h a f t bleibt

a u c h d a n n noch bestehen, w e n n der F a k t o r , m i t d e m multipliziert wird, größer als 81 ist. N u r m u ß d a n n , ähnlich wie bei den oben b e h a n d e l t e n Zifferfolgen, die Zahl, die den n e u n letzten Ziffern v o r a n g e h t , zu der aus diesen Ziffern b e s t e h e n d e n Zahl addiert werden. Multipliziert m a n endlich die Zahl 012315679 m i t einem F a k t o r , der d u r c h 3, aber n i c h t d u r c h 9 teilbar ist, so erhält m a n in den neun Ziffern eine dreimal wiederholte dreiziffrige Zahl. Multipliziert m a n z. B. m i t 12, so erhält m a n 148148148.

Der Beweis dieser

m e r k w ü r d i g e n E i g e n s c h a f t e n der Zahl 012345679 w ü r d e hier zu weit f ü h r e n . Gesagt sei n u r , d a ß diese Eigenschaften dam i t z u s a m m e n h ä n g e n , d a ß j e n e Zahl die Periode der Dezim a l b r u c h e n t w i c k l u n g v o n -—————^T^T ist.

I n ganz anderer Weise erscheinen alle 2n-ziffrigen Zahlen m e r k w ü r d i g , deren erste n Ziffern 1 heißen, deren weitere n — 1 Ziffern 5 heißen u n d deren letzte Ziffer 6 ist.

Denn

j e d e solche Zahl ist eine Q u a d r a t z a h l , wie groß auch n sein mag.

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So i s t :

16 1156 111556 11115556

das das das das

Quadrat Quadrat Quadrat Quadrat

von 4 von 34 von 334 von 3334 usw.

Dieselbe Eigenschaft hat auch jede 2n-ziffrige Zahl, deren erste n Ziffern 4 heißen, deren weitere n — 1 Ziffern 8 heißen und deren letzte Ziffer 9 ist. So ist: 49 4489 444889 44448889

das das das das

Quadrat Quadrat Quadrat Quadrat

von 7 von 67 von 667 von 6667 usw.

Um diese Eigenschaft zu begründen und zugleich zu erkennen, ob noch andere 2 n-ziffrige Zahlen dieselbe Eigenschaft haben, betrachten wir zunächst das Quadrat von b = 3 (10 a + W -

1

+ . . . + 10 + 1).

Wir erhalten: b 2 = 9 (10 a + 10a — 1 + . . . -f 10 + l ) 2 oder: b 2 = (10 — 1) (10 a + l O * - 1 -f . . . + 10 + 1) mal (10 a + l o a - 1 -f- . . . + 1 0 + 1) oder, nach bekannter Umformung: b 2 = (10 a + ! — 1) (10 a + 10 a — 1 + . . . + 1 0 + 1) oder: b 2 = (10 2 a + 1 + 10 2 a + 1 0 2 1 1 - 1 + . . . — 1 0 a + ! ) — (10 a + 1 0 a ~ 1 + . . . + 1). Nachdem diese Umformung, die wir benutzen wollen, vorauf genommen ist, gehen wir von der Identität (nb + l ) 2 = n 2 b 2 + 2 n b + 1 3

S c h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

aus, deren rechte Seite wir auch so schreiben können: n 2 ( 1 0 2a + l + 102» + . . . + 10» + 1) -f (6n — n 2 ) (10» + l o a - 1 + . . . + 10) + (6n — n 2 + 1 ) . Setzt man nun in diesem Ausdruck n = 1 , so erhält man: (b + 1)2 = 1 • (10 2 a + 1 -f . . . 10» + ! ) + 5 • (10a + . . . + 10) + 6 , woraus rechts die Zahlen 16, 1156, 111556, 11115556 usw. hervorgehen, wenn man nacheinander a = 0 , a = 1 , a = 2 , a = 3 usw. einsetzt, während links (3 -}- l ) 2 » (33 -f-l) 2 , (333 + l ) 2 , (3333 -f l) 2 herauskommt. Setzt man zweitens n = 2 , so erhält man: [6 (10» -f 1 0 » - ! + . . .) + 1]2 = 4(10 2 » + l + . . . -f 10» + ! ) + 8 (10» + . . . -f 10) -f 9 , woraus für a = 0 , a = l , a = 2 usw. nacheinander folgt: 7 2 = 49 , 672 == 4489 , 667a = 444889 usw. Setzt man n gleich 3 oder größer als 3, so bleiben zwar unsere obigen Formeln noch richtig. Sie bilden aber dann keine Quellen mehr für merkwürdige Zahlen, weil n 2 , 6n — n s und 6n — n 2 -{-1 Ziffern sein müssen, also nicht größer als 9 sein dürfen.

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§4 Öfter fegt sroge £af)lcn Im Innern von Australien ebensowohl wie im Innern von Südamerika gibt es Völkerschaften, welche Zahlen, die größer sind als 2 oder 6, in ihrer Sprache nicht auszudrücken vermögen, weder durch besondere Zahlwörter noch durch Zusammensetzung von Wörtern für kleinere Zahlen, noch auch durch Umschreibungen. Solche Völker haben überhaupt nicht das Bedürfnis, Zahlen, die größer sind, als wesentlich verschieden aufzufassen. So erzählt Herr von den Steinen von den Bakairi, die am Xingu, einem Nebenflusse des Amazonenstromes, wohnen, daß sie Zahlen von 1 bis 6 durch Zusammensetzung auszudrücken vermögen, daß sie aber, veranlaßt, noch größere Zahlen zu nennen, sich in die Haare fassen, um dadurch etwas Unzählbares auszudrücken. So wird ferner von den Botokuden, die auch in Südamerika zwischen dem R i o Doce und dem Rio Pardo wohnen, berichtet, daß sie sprachlich nur eins und viel unterscheiden können, und daß sie daher schon für 2 und 3 ein und dasselbe Wort haben. Wenn wir mit Achselzucken auf ein so geringes Bedürfnis, Zahlen auszudrücken, herabsehen, so sollten wir, kritisch gegen uns selbst, nicht vergessen, daß auch in unserer modernen Kultur der Durchschnittsmensch nicht imstande ist, große Zahlen voneinander zu unterscheiden, oder wenigstens nicht imstande ist, im Gebiete großer Zahlen richtige Schlußfolgerungen zu machen. Wie dem Botokuden die Unter3

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Scheidung von 2 und 3 als unwesentlich erscheint, so erscheint auch manchem modernen Kulturmenschen die Unterscheidung von einer Billion und einer Trillion als unwesentlich, oder wenigstens denkt er nicht daran, daß die eine Zahl eine Million mal so groß ist wie die andere, sich also zu ihr verhält, wie etwa die Entfernung von Berlin nach San Franzisko zu der Breite einer Straße. Daß auch unser Zahlbedürfnis in früheren Zeiten kleiner war als heute, erkennen wir aus der Vergleichung der Zahlwörter der indogermanischen Sprachen. Während die Zahlwörter f ü r die Zahlen von 1 bis 100 in allen diesen Sprachen große Verwandtschaft zeigen, hört dies schon bei den Zahlwörtern f ü r Tausend auf. Denn yßj.v, mille und tausend haben gewiß keine etymologische Verwandtschaft. Wir können hieraus schließen, daß erst nach der Trennung der indogermanischen Völker bei ihnen das Bedürfnis entstanden ist, eine so große Zahl wie Tausend sprachlich auszudrücken. Was das Zahlwort „Million" anbetrifft, so soll dasselbe zuerst im J a h r e 1362 gebraucht sein. Doch ist es wohl erst viel später in allgemeineren Gebrauch gekommen. Wenigstens kennt Adam Riese, der große deutsche Rechenmeister, der um die Mitte des 16. Jahrhunderts lebte, das Wort „Million" noch nicht, sondern umschreibt es durch „Tausend mal Tausend". Noch viel später entstanden die Zahlwörter „Billionen" und „Milliarde". Das Wort Milliarde f ü r tausend Millionen kam erst im 19. J a h r h u n d e r t in Gebrauch, und zwar zuerst in der Finanzsprache. Namentlich in der Astronomie ist die Kenntnis der Tatsache, daß eine Billion das Millionenfache einer Million ist, von Wichtigkeit. Während nämlich die Entfernungen der Planeten von der Sonne oder voneinander zwischen sechs Millionen und einigen hundert M i l l i o n e n Meilen variieren, betragen die Entfernungen der nächsten Fixsterne von der Sonne oder von irgendeinem P u n k t e unsres Planetensystems zwischen fünf B i l l i o n e n u n d mehreren

hundert B i l l i o n e n Meilen. Da aber eine Billion zu einer Million sich verhält wie eine Million zu 1, so sind alle Entfernungen zwischen den Sternen des Planetensystems verschwindend klein gegenüber der Entfernung der Planeten von irgendeinem Fixstern. Vom Sirius aus gesehen, muß demnach nicht bloß die Sonne oder die Erde, sondern unser ganzes Planetensystem wie ein verschwindend kleiner Lichtpunkt aussehen, gerade so wie uns der Sirius erscheint, der möglicherweise auch ein ganzes Planetensystem ist. Das Verhältnis einer Million zu einer Billion erkennt man ferner sehr deutlich, wenn man sich berechnet, daß in weniger als zwei Monaten eine Million von Sekunden vergeht, daß aber zu einer Billion von Sekunden mehr als dreißigtausend Jahre erforderlich sind, daß also das Menschengeschlecht in historischen Zeiten noch keine Billion von Sekunden erlebt hat. Der Grund, warum wir uns bei Zahlen, die einige hundert Millionen überschreiten, leicht irren, liegt darin, daß Handel, Industrie und Technik uns selten zu Zahlen führten, die mehr als acht Ziffern haben, und daß man es nur in den mathematischen und physikalischen Wissenschaften nötig hat, so große Zahlen zu handhaben. Diese Wissenschaften haben daher eine weitergehende Wortbildung für große Zahlen erfordert. Für das Millionenfache einer Billion hat man das Wort Trillion gebildet. Eine Trillion wird also durch eine 1 mit 18 angehängten Nullen schriftlich dargestellt. So weitergehend gelangt man zu einer Quadrillion, die durch eine 1 mit 24 angehängten Nullen zu bezeichnen ist. So kann man mit Benutzung der lateinischen Zahlwörter beliebig weitergehen. Man würde also unter einer Zentesillion die Zahl verstehen, die die 600 te Potenz von 10 ist, also durch eine 1 mit 600 angehängten Nullen dargestellt werden müßte. Doch wird man natürlich schon bei Zahlen, die mehr als eine Million betragen, es vorziehen, sie durch Potenzen von 10 näherungsweise, auszu-

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drücken. Z. B. b e t r ä g t das Gewicht der Erde zwischen 5.10 2 * u n d 6.10 24 kg. Die Tatsache, daß die Resultate der modernen e x a k t e n Wissenschaften zuerst die Bildung von Wörtern für große Zahlen nötig machten, könnte uns zu dem Glauben f ü h r e n , d a ß auch kein Volk früherer Zeiten sich mit großen Zahlen beschäftigt h a t . Dies ist im großen und ganzen richtig. Ein Volk jedoch m a c h t hierin eine Ausnahme, nämlich die I n d e r . I n Indien, wo auch unsere bequeme Zifferschrift erfunden wurde, gab es schon zu Buddhas Zeiten besondere Zahlwörter f ü r alle Zahlen bis zu 100000 Millionen, und B u d d h a selbst 6oll die Zahlwortbildung bis zur Zahl 10 5 4 fortgesetzt haben, also bis zu der Zahl, die wir, nach Analogie der Wörter Million, Billion u n d Trillion, Nonillion nennen müßten. Auch aus dem alten Nationalepos und den Volksmärchen der Hindus geht ihre Liebe zu großen Zahlen u n v e r k e n n b a r hervor. Dort wird von einem König erzählt, der 1000 Billionen Diamanten besessen haben soll. Dort ist von einer Schlacht die Rede, in der 10000 Sextillionen Affen gekämpft haben, also mehr Affen, als in unserm Planetensystem Platz h ä t t e n , auch wenn m a n die Affen dicht beieinander packen würde. Dort wird ferner mitgeteilt, daß es 24000 Billionen Götter gebe und d a ß B u d d h a 600000 Millionen Söhne gehabt habe. Ein solches Streben, das Erhabene durch große Zahlen auszudrücken, finden wir bei keinem andern Volke als den Hindus. Das einzige Beispiel, das im griechischen Altertum bezüglich großer Zahlen v o r k o m m t , ist die Sandrechnung ( < j ) 0 | J L | U T r 5 ) des Archimedes, in der berechnet wird, •wieviel Sandkörner in der Welt Platz h ä t t e n , wenn die Welt als 6oundsovielmal so groß wie die E r d e vorausgesetzt würde. Aber Archimedes untern a h m seine Sandrechnung nicht, u m in großen Zahlen zu schwelgen, sondern u m zu zeigen, d a ß es unrichtig sei, von unzählig vielen Sandkörnern zu sprechen u n d daß die Zahlen(

reihe nach oben hin unbegrenzt sei, wenn auch keine einfachen Zahlwörter mehr da wären, um solche Zahlen sprachlich kurz auszudrücken. Die Vorliebe der Hindus für übertrieben große Zahlen trat noch mehr hervor, als im 4. Jahrhundert unsrer Zeitrechnung indische Brahmapriester die moderne Zifferschrift erfanden, die darauf beruht, daß eine Ziffer, je nach der S t e l l e , die sie einnimmt, ihr Einfaches, ihr Zehnfaches, ihr Hundertfaches usw. bedeutet, und daß die Stelle einer ganz ausfallenden Stufenzahl durch ein besonderes Zeichen, die 0, ausgefüllt wird. Dieses Prinzip, nach dem jetzt die Zahlen von allen Völkern geschrieben werden, die überhaupt eine Zifferschrift haben, ermöglicht es, mit zehn Zeichen, nämlich denen für die Zahlen von 0 bis 9, j e d e noch so große Zahl zu s c h r e i b e n , was z.B. in der römischen Zifferschrift nicht möglich ist, weil in dieser immer neue Zeichen eingeführt werden müssen, wenn man immer größere Zahlen schreiben will. Die indische Zifferschrift und die bequemen Methoden, nach denen in ihr gerechnet werden kann, drangen im 8. Jahrhundert zu den Arabern und durch diese im 10.—12. Jahrhundert zu den christlichen Völkern Europas. Doch dauerte es bis zur Zeit der Reformation, ehe die indische Zifferschrift auch im Volksrechnen feste Wurzel gefaßt hatte. Nun aber erstanden im 16. Jahrhundert große Rechentalente, wie Adam Riese und Ludolf van Ceulen, die es verstanden, mit sehr großen Zahlen richtige Berechnungen auszuführen. Obgleich wir heutzutage nicht eine Vorliebe für große Zahlen, so wie die Inder, besitzen, so wird doch unser Interesse für große Zahlen wachgerufen, wenn sich dieselben auf Dinge beziehen, die uns, bezüglich kleiner Anzahlen, geläufig sind. Im folgenden ist daher eine Reihe von interessanten Beispielen zusammengestellt, in denen große Zahlen vorkommen. 1. Das Skatspiel, in welchem bekanntlich 32 Karten unter 3 Personen so verteilt werden, daß jede 10 erhält und daß

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2 Karten besonders gelegt werden, führt zu der Frage, auf wievielfache Weise sich die 32 Karten in der angegebenen Weise verteilen lassen, oder mit anderen Worten, wieviel verschiedene Spiele möglich sind. Die Kombinationslehre antwortet auf diese Frage, daß die gesuchte Anzahl gleich 32! To"!

10!

10!

2!

ist, wo immer a ! das Produkt aller Zahlen von 1 bis a ist. Rechnet man aus, so erhält man für die gesuchte Zahl 2753 Billionen 264408 Millionen und 504640. Um eine Vorstellung von der Größe dieser Zahl zu bekommen, fügen wir folgendes hinzu. Wenn die ganze lebende Menschheit nichts weiter zu tun hätte, als Tag und Nacht Skat zu spielen, und zwar so, daß immer 3 zusammenspielten und 1 Spiel durchschnittlich in 5 Minuten erledigten, so würden 52—53 Jahre nötig sein, um zu erreichen, daß jede der durch die obige Zahl dargestellten Kartenverteilungen durchgespielt wäre. Wenn aber allein die Bewohner Altenburgs, des Geburtslandes des Skatspiels, diese Aufgabe zu erledigen hätten, so würden sie 5—600000 Jahre brauchen, ehe sie sagen könnten, daß jedes denkbare Skatspiel in Altenburg gespielt sei. Wir fügen hinzu, daß unter den rund 2753 Billionen Spielen sich 655 Billionen oder 22—23 % befinden, bei denen wenigstens ein Wenzel (Bube) im Skat liegt, d. h. zu den beiden besonders gelegten Karten gehört, daß aber kaum 4 Millionen Spiele oder der 700 millionte Teil aller Spiele so beschaffen ist, daß einer der Mitspieler Treffsolo mit 11 Matadoren spielen kann. 2. Viel größer als beim Skatspiel ist die Zahl aller denkbaren Verteilungsmöglichkeiten beim Whistspiel, bei welchem 52 Karten unter 4 Mitspieler verteilt werden, so daß jeder

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13 K a r t e n erhält.

Die gesuchte Zahl ergibt sich durch Be-

rechnung des Ausdrucks: 52! 13! B T 13! 13! ' Mau erhält: und und und und

53 644 Quadrillionen 737765 Trillionen 488792 Billionen 839237 Millionen 440000.

Von der Größe dieser Zahl gibt vielleicht das folgende Beispiel eine Vorstellung. Wenn die ganze Erdoberfläche, einschließlich aller Gebirge und Ozeane, mit Whisttischen so besetzt werden k ö n n t e , daß der Tisch nebst den 4 Spielern immer nur l q m bedeckte, und wenn dann a n jedem dieser Tische unaufhörlich Whist gespielt würde u n d zwar immer in j e 5 Minuten 1 Spiel, so würde es länger als 1000 Millionen J a h r e dauern, ehe auf dieser nur mit Whisttischen bedeckten E r d e jede denkbare Verteilungsart der 52 K a r t e n durchgespielt wäre. 3. I n den vorangehenden beiden Beispielen f ü h r t e uns die Kombinationslehre zu sehr großen Zahlen. Nicht weniger groß werden die Zahlen, die aus geometrischen Progressionen hervorgehen. D a s bekannteste Beispiel hierfür liefert die Geschichte v o n der Belohnung, die der E r f i n d e r des Schachspiels erhalten sollte. Diese Geschichte, die in I n d i e n , der H e i m a t des Schachspiels u n d der großen Zahlen, e n t s t a n d e n ist u n d seit J a h r h u n d e r t e n in alle Arithmetikbücher Eingang gefunden h a t , l a u t e t folgendermaßen. E i n König in I n d i e n , n a m e n s Shehram, forderte den E r f i n d e r des Schachspiels, namens Sessa E b n Daher, auf, er möchte sich selbst eine Belohnung f ü r seine E r f i n d u n g auswählen. Der E r f i n d e r

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e r b a t darauf die Zahl der Weizenkörner, die auf ein Schachb r e t t k ä m e n , wenn m a n auf das erste Feld eins legte, auf das zweite 2, auf das d r i t t e 4 u n d so weiter auf jedes folgende Feld doppelt soviel, als auf das vorhergehende. Der König versprach ihm gern diese nach seiner Meinung sehr bescheidene Belohnung. Als die Zahl aber berechnet wurde, f a n d sich, d a ß dieselbe gleich 2 6 4 — 1 sei, oder: 18 Trillionen u n d 446744 Billionen u n d 073709 Millionen u n d 551615 betrug. Der König war nicht imstande, sein Versprechen zu halten, u n d wäre es auch nicht gewesen, wenn er die ganze E r d e besessen h ä t t e u n d sein ganzes Leben lang unaufhörlich Weizen gepflanzt u n d geerntet h ä t t e . Denn es ergibt sich, d a ß , wenn m a n den ganzen festen Teil der Erdoberfläche gleichmäßig mit Weizenkörnern bestreute, eine über 9 m m hohe Schicht entstehen würde, wenn m a n die obengenannte Anzahl von Weizenkörnern ausstreute. 4. Zu Potenzen der Zahl 2 f ü h r t auch die Frage nach der Zahl der Ahnen, die irgendein bestimmter, j e t z t lebender Mensch A h a t . E r h a t 2 Eltern, also 4 Großeltern, 8 Urgroßeltern, 16 Ururgroßeltern usw. Bezeichnet m a n also die E l t e r n als Ahnen ersten Ranges, die Großeltern als Ahnen zweiten Ranges usw., so ergibt sich, d a ß A 2 n Ahnen n-ten Ranges h a t . N u n k a n n m a n annehmen, d a ß auf 1 J a h r h u n d e r t 3 Generationen kommen, d a ß also vor 100 J a h r e n die Urgroßeltern von A so alt waren, wie A j e t z t ist. Also haben von A j e t z t vor 100 J a h r e n 8 Ahnen gelebt, vor 200 J a h r e n also 64, usw. So erhalten wir, d a ß vor 1900 J a h r e n , also bei Beginn unsrer Zeitrechnung, 8 1 9 Ahnen von A gelebt haben. Das sind aber ungefähr 144000 Billionen Menschen. Diese

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hätten aber auf der Erdoberfläche nicht Platz gehabt, selbst wenn man annehmen wollte, daß die ganze Erdoberfläche, einschließlich aller Gebirge, Ozeane und Wüsten, mit den dicht aneinander gedrängten Ahnen der Person A bedeckt gewesen wäre. Denn, damit 144000 Billionen Menschen auf der Erdoberfläche Platz hätten, müßten auf jedem Quadratdezimeter 2—3 Menschen stehen, was unmöglich ist. Wir 6ehen also, daß in unserer Schlußweise ein Fehler stecken muß. Man erkennt denselben, wenn man an die, wenn auch nicht immer nachweisbare Verwandtschaft der Menschen untereinander denkt. Zwar hat ein Mensch gewöhnlich noch 8 Urgroßeltern. Ob er aber 16 verschiedene Ururgroßeltern gehabt hat, wird schon zweifelhafter, da durch Heirat von Verwandten die Zahl 16 auf 14 oder noch weniger herabsinken kann. So weitergehend gelangt man dazu, daß es schon sehr unwahrscheinlich wird, daß irgendein Mensch 2 2 0 verschiedene Ahnen zwanzigsten Ranges hat. Die Zahl der Ahnen ist also nicht immer zu verdoppeln, wenn man um einen Rang zurückgeht. Jedenfalls können vor 1900 Jahren nicht mehr Ahnen von A gelebt haben, als auf der Erde Menschen existierten, und da dies sicherlich nicht über 2000 Millionen waren, so folgt schon hieraus, daß innerhalb der 1900 Jahre sehr oft unter den Ahnen von A Heiraten von Personen stattgefunden haben müssen, die, wenn auch nicht nachweisbar, miteinander verwandt waren. 5. Da die Zinseszinsrechnung auf geometrischen Progressionen beruht, so gelangt man auch zu sehr großen Zahlen, wenn man voraussetzt, daß während eines langen Zeitraums ein Kapital durch Zinseszins sich vermehrt. Am bekanntesten ist hierfür das Beispiel des zur Zeit von Christi Geburt auf Zinseszins gelegten Pfennigs. Daß man zu einer ungeheuren Geldsumme gelangt, wenn man sich die Verzinsung mehrere Jahrhunderte hindurch fortgesetzt denkt, kann man schon

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aus der folgenden Betrachtung entnehmen. Wenn man % rechnet, 60 ergibt sich, daß ein Kapital sich in 100 J a h r e n v e r h u n d e r t f a c h t , was leicht im Gedächtnis zu behalten ist. Also wird in 200 Jahren aus einem Pfennig 100 Mark, in 300 Jahren 100 2 Mark, in 400 Jahren 100 3 Mark usw., also in 1900 Jahren 100 1 8 Mark, d. h. 1 Sextillion Mark, d. h. 200 Millionen mal soviel Mark, als die Zahl, die angibt, wieviel Gramm die Erde wiegt. Rechnet man genau 4 % und nur 1875 Jahre für den Zeitraum, während dessen 1 Pfennig durch Zinseszins anwachsen soll, so erhält man als schließlich entstandenes Kapital:

und und und und

865986 626476 236508 270156 786660

Quadrillionen Trillionen Billionen Millionen Mark und 24 Pfennig.

Um eine ungefähre Vorstellung von der Größe dieser Summe zu haben, denke man sich, daß die ganze Masse unsrer Erde aus Gold bestände, das den Feingehalt der deutschen Zwanzigmarkstücke hätte. Dann würden 84 solcher goldenen Erdkugeln den Wert der soeben genannten Geldsumme darstellen. Rechnet man 5 % statt 4 % , so gelangt man zu einer noch viel größeren Geldsumme. Um den Wert derselben darzustellen, wären sogar 5191 Millionen von solchen goldenen Erdkugeln erforderlich. 6. Wenn umgekehrt die Summe einer geometrischen Reihe, deren konstanter Quotient 1 übersteigt, gegeben ist, so überschätzen wir meist die daraus folgende Anzahl der Glieder. Hierfür das folgende Beispiel. Um 9 Uhr morgens werde ein Mord entdeckt. Der Entdecker teile die Nachricht darüber innerhalb der Viertelstunde zwischen 9 und 9\ Uhr 3 Personen mit. Wir wollen weiter annehmen, daß jede dieser

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3 Personen innerhalb der nächsten Viertelstunde 3 n e u e n Personen die Nachricht mitteilt u n d d a ß dies so fortgesetzt werden könnte, indem jeder, der die Nachricht gehört h a t , immer in einer Viertelstunde 3 Personen findet, denen die Nachricht noch neu ist, u n d die sie n u n von ihm erfahren. W e n n es möglich wäre, d a ß die Nachricht an jeden von den 1500 bis 1700 Millionen die E r d e bewohnenden Menschen nur auf die angegebene Weise gelangen könnte, so würde schon am selben Tage nachmittags Uhr jeder Erdbewohner die Nachricht erfahren haben. Denn nach 19 Viertelstunden haben die Nachricht soviel Menschen erhalten, wie die Summe der folgenden Reihe a n g i b t : 1 + 3 -!- 3 2 + . . . 3 1 9 . Die Summe dieser Reihe ist aber

(3 20 •—• 1) oder

1743 Millionen 392200, also mehr als 1700 Millionen. 7. Die Methoden, welche dazu dienen, die Lichtstärke zu messen, haben ergeben, d a ß die Wirkung des Sonnenlichtes auf der E r d e ebenso groß ist, wie die Wirkung v o n 60000 Stearinkerzen auf einen P u n k t ist, der nur 1 m Abstand h a t . Da m a n n u n weiß, d a ß die Lichtwirkung u m g e k e h r t proportional dem Quadrate der E n t f e r n u n g s t a t t f i n d e t , so k a n n m a n berechnen, wieviel Stearinkerzen dort, wo die Sonne sich b e f i n d e t , brennen m ü ß t e n , damit ihre W i r k u n g auf der Erde dieselbe wäre, wie die der Sonne. Es ergibt sich ungefähr die Zahl von 1350 Quadrillionen Kerzen. Da die E r d e aber n u r 5 Quadrillionen Kilogramm wiegt, so würde die Erde, auch wenn sie n u r aus Stearin bestände, nicht ausreichen, u m die genannte Anzahl von Stearinkerzen herzustellen.

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8. I m Zeitalter der Bakterien ist es wohl auch interessant» zu erfahren, wieviel Bakterien höchstens auf der E r d e Platz haben. Wir denken uns zu diesem Ende die Umgebung der Erdrinde als einen Kugelring, dessen äußere Kugel 869 Meilen Radius h a t , während die innere Kugel nur 860 Meilen Radius h a t . F ü r das Volumen dieses Kugelringes ergeben sich 35300 Quadrillionen Kubikmillimeter. Nehmen wir nun a n , daß durchschnittlich in jedem Kubikmillimeter 1 Million Bakterien hausen, so ergibt sich, d a ß unmöglich mehr als 35300 Quintillionen Bakterien auf der Erde existieren können. 9. U m eine Vorstellung davon zu haben, eine wie große Genauigkeit eine Zahl veranlaßt, von der man 100 oder noch mehr Dezimalstellen k e n n t , betrachten wir das folgende Beispiel. Die Zahl x, welche angibt, wieviel mal so groß der U m f a n g eines Kreises ist, als sein Durchmesser, ist ttwas größer als 3 u n d lautet auf 6 Dezimalstellen: 3,141592 . . was b e d e u t e t , d a ß x größer als 3,141592, aber kleiner als 3,141593 ist. Da die Zahl x irrational ist, so ist es unmöglich, sie in Dezimalstellen genau anzugeben. Wohl aber verzehnfacht sich die Genauigkeit durch jede weitere Dezimalstelle. Obgleich nun die Berücksichtigung von 7 bis 10 Dezimalstellen f ü r alle Anwendungen vollkommen ausreicht, so hat m a n doch die Zahl x j e t z t auf mehr als 500 Dezimalstellen berechnet. Um zu zeigen, welch einen Grad von Genauigkeit auch nur 100 Dezimalstellen darstellen, diene das folgende Beispiel. Der Sirius ist 83 Millionen mal Millionen Meilen von uns e n t f e r n t . Durch ihn denken wir uns um das Zentrum der Erde eine Kugel gelegt und diese ungeheure Kugel so von Bakterien angefüllt, d a ß auf jedes Kubikmillimeter Millionen mal Millionen Bakterien k o m m e n . Die Zahl der in dieser Weise jene Kugel füllenden Bakterien wird d a n n mit 74 Ziffern

geschrieben. D a n n denken wir u n s diese Bakterien ausgep a c k t u n d auf eine gerade Linie gelegt, so d a ß immer zwei aufeinanderfolgende Bakterien ebensoweit voneinander entf e r n t sind, wie der Siriu6 von der E r d e , also 83 Billionen Meilen. Auf diese Weise erhalten wir eine Strecke, die so viel Meilen lang ist, als das P r o d u k t von 83 Billionen mit der 74ziffrigen Zahl der Bakterien b e t r ä g t . Diese Strecke sei der Durchmesser eines Kreises, dessen U m f a n g wir uns d a n n auf zweierlei Weise bestimmt denken, erstens durch wirkliche Ausmessung, zweitens dadurch, daß wir seinen Durchmesser mit multiplizieren, wobei wir uns 100 Dezimalstellen von Ti berücksichtigt vorstellen wollen. D a n n müssen die beiden f ü r den U m f a n g jenes Kreises erhaltenen Resultate voneinander abweichen, weil j a von der Zahl % nur 100 Dezimalstellen beim Multiplizieren berücksichtigt sind. Diese Ungenauigkeit m ü ß t e sich n u n äußerst bemerkbar machen, d a der Kreis so ungeheuer groß ist. Trotzdem würde m a n finden, d a ß der Unterschied zwischen dem durch wirkliche Messung b e s t i m m t e n U m f a n g e u n d dem durch Multiplikation mit i: auf 100 Stellen berechneten U m f a n g e noch nicht den millionten Teil eines Millimeters betrüge. 10. Z u m Schluß sei b e m e r k t , d a ß die Arithmetik u n s g e s t a t t e t , mit n u r 3 Ziffern eine Zahl zu schreiben, die viel größer ist als die Zahl, die m a n erhält, wenn m a n alle in diesem P a r a g r a p h e n bis j e t z t e r w ä h n t e n Zahlen miteinander multipliziert, das erhaltene P r o d u k t mit einer Quadrillion multipliziert, dies wieder mit einer Quadrillion u n d so fort, bis millionenmal eine solche Multiplikation mit einer Quadrillion s t a t t g e f u n d e n h a t . Viel größer als die auf solche Weise entstehende Zahl ist die Zahl

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D e n n diese Zahl bedeutet das P r o d u k t von 9 9 F a k t o r e n , von denen jeder 9 ist. N u n ist 9 9 = 9 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 = 387 Millionen 420489. So oft also, wie die zuletzt genannte Zahl angibt, haben wir uns 9 als F a k t o r zu setzen, u m zu der Zahl

zu gelangen. Da das menschliche Leben nicht ausreicht, um diese Zahl auszurechnen, so wird es genügen, wenn wir die Anzahl der Ziffern, mit denen sie geschrieben wird, angeben. Es sind dies jedenfalls mehr als 369 Millionen und 690000 Ziffern, aber weniger als 369 Millionen u n d 700000 Ziffern. Wollte m a n die Zahl schreiben, so würde m a n dazu eine Länge v o n 1848,4 bis 1848,5 k m nötig haben, wenn man die Ziffern so eng nebeneinander schreibt, d a ß 20 auf 1 dm gehen.

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Straten btt SHugenfumme betbef&t Uegenbec Öactcn Auf einer einfachen arithmetischen U m f o r m u n g b e r u h t das sehr verbreitete K a r t e n k u n s t s t ü c k , bei welchem die Summe der W e r t e verdeckt liegender K a r t e n erraten wird. Meist wird dasselbe bei 32 K a r t e n in folgender Weise ausgeführt. Man bittet j e m a n d , er möchte sich 3 beliebige K a r t e n auswählen, dieselben verdeckt als u n t e r s t e K a r t e n von 3 zu bildenden H ä u f c h e n hinlegen, d a n n von dem Werte jeder dieser K a r t e n an weiterzählen bis 11 u n d f ü r jede beim Weiterzählen ausgesprochene Zahl 1 K a r t e hinzulegen. Darauf läßt m a n sich die übriggebliebenen K a r t e n geben u n d k a n n aus der Anzahl derselben entnehmen, wie groß die W e r t s u m m e der zu Anfang ausgewählten 3 untersten K a r t e n der e n t s t a n d e n e n 3 H ä u f c h e n ist. Man h a t nämlich in diesem Falle 4 zu der Anzahl der empfangenen übriggebliebenen K a r t e n zu addieren. D a n n erhält m a n die Wertsumme. Es möge ein As den W e r t 11, ein König den Wert 4, eine D a m e den W e r t 3, ein Bube den W e r t 2, eine Zehn, Neun, Acht, Sieben beziehungsweise die Werte 10, 9, 8, 7, haben. Angenommen n u n , j e m a n d habe König, Acht, As als unterste K a r t e n ausgewählt. D a n n h a t er beim ersten Haufen den König mit 4 zu bezeichnen, d a n n weiterzuzählen von 5 bis 11, also 7 K a r t e n hinzuzulegen. Ebenso h a t er auf die Acht noch 3 K a r t e n zu legen, u m auf die Grenze 11 zu kommen. 4

S c h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

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Bei dem As aber h a t er keine K a r t e n hinzuzulegen, weil dasselbe 6chon 11 gilt. Demnach h a t er im ersten H a u f e n 8 K a r t e n , im zweiten 4, im dritten 1 K a r t e . E r h a t also abzuliefern 32 weniger 8 — — ) 4> — — | 1 oder 19 K a r t e n . 19 -{- 4 gibt 23. Folglich m u ß die Wertsumme 23 sein. I n der T a t ist 4 + 8 + 1 1 = 23. W e n n zweitens 52 K a r t e n vorhanden sind, jedes der 4 Ä6se 11, jedes der 12 Bilder 10 u n d sonst jede K a r t e so viel gelten soll, wie Augen auf ihr sind, wenn ferner wiederum 3 Häufchen gebildet werden sollen u n d dabei bis 18 gezählt werden soll, so h a t m a n zur Anzahl der empfangenen übriggebliebenen K a r t e n 5 hinzuzuzählen, u m die W e r t s u m m e der untersten K a r t e n der 3 Häufchen zu erhalten. Beispielsweise mögen u n t e n 1 F ü n f , 1 Zehn u n d 1 König gelegt sein. D a n n müssen auf die Fünf noch 13, auf die Zehn noch 8, auf den König, der j a Zehn gelten soll, auch noch 8 K a r t e n hinzugelegt werden, so d a ß im ersten H a u f e n 14, im zweiten 9 , im dritten 9 K a r t e n liegen. Also sind zur Bildung der 3 H a u f e n 32 K a r t e n verbraucht. Demnach werden 20 K a r t e n zurückgegeben. Zu dieser Anzahl addiert m a n 5 u n d erhält dadurch die richtige W e r t s u m m e 25, die sich aus 5 u n d 10 u n d 10 zusammensetzt. Man erkennt sofort, daß es bei diesem K u n s t s t ü c k ganz gleichgültig ist, welcher W e r t jeder K a r t e erteilt wird, u n d d a ß die Zahl, die m a n zur Anzahl der zurückerhaltenen K a r t e n addieren m u ß , u m die W e r t s u m m e der untenliegenden K a r t e n zu bekommen, nur von der Anzahl n der K a r t e n , der Anzahl h der zu bildenden Häufchen u n d der Summe z der Grenzzahlen abhängt, bis zu welchen m a n bei den h H a u f e n zählen soll. Es ist nicht schwer, diese Abhängigkeit durch eine Formel auszudrücken. F ü r jeden der b H a u f e n möge a j , a 2 , a 3 , . . . ajj den W e r t der untersten K a r t e bezeichnen, ferner b j , b ä , . . . bj, die zu jedem H a u f e n verbrauchten Karten»

So

endlich zlt z 2 , . . . z^ die Grenzzahl, bis zu welcher bei j e d e m H a u f e n gezählt werden soll. D a n n i s t : a a

a

i + 2+ h +

b b

b

i = 2= h =

z z

i + 1; 2 + 1;

z

h + 1•

A d d i e r t man diese h Gleichungen, so erhält m a n , wenn a z

i + i +

a z

2 + ••• + = a , b t -j- b 2 + . . . -f- b h = b , 2 + • • • + z h = z gesetzt w i r d : a + b = z+ h .

N u n ist aber die Gesamtzahl b der verbrauchten K a r t e n gleich dem Überschuß der Anzahl n aller vorhandenen K a r t e n über den zu empfangenden Rest r, also gleich n — r . Daher k o m m t : a---n — r = z - f - h oder: a = z-[-h-{-r — n . I m ersten der obigen Beispiele war n = 32 , h = 3 , z gleich 3mal 11 = 33 , also ist nach der soeben abgeleiteten F o r m e l : a = r + 4. . I m zweiten der obigen Beispiele war n = 52 , h = 3 , z gleich 3 m a l 18 oder 54. Also ergibt sich: a = r +

5.

D a es wünschenswert ist, d a ß die K a r t e n zur Bildung der H ä u f c h e n ausreichen u n d d a ß mindestens 1 K a r t e übrigbleibt, m u ß z < n sein. Ferner darf der höchste einer K a r t e erteilte W e r t natürlich nicht größer sein, als die größte der Grenzzahlen z1, z 2 , . . . z^. D a d u r c h sind für die Grenzzahlen Bedingungen f ü r ihre Größe gegeben, die wir f ü r den Fall, 4*

5i

d a ß z t == z 2 = . . . = z , also z = h • z1 ist, u n d d a ß der niedrigste Wert einer K a r t e 1, der höchste Wert 11 b e t r ä g t , aufstellen wollen. Damit mindestens 1 K a r t e übrigbleibt, m u ß h Zj < n sein, u n d d a m i t die gemeinsame Grenzzahl z1 vom höchsten Wert 11 nicht übertroffen wird, m u ß auch Zj ;> 11 sein. Also ist die Grenzbedingung f ü r zl die folgende: H
b -f- c . Soll dann durch das Umfüllen jede mögliche Literzahl erreicht werden, so gibt es dafür nur zwei Methoden, auf welche man von selbst geführt wird, wenn man bei jedem Schritt darauf bedacht ist, keine Umfüllung vorzunehmen, durch welche sich eine schon dagewesene Teilung wiederholt, solange sich noch andere bieten. Denn eine solche Umfüllung wäre ja ganz unnötig. Von diesen Methoden, welche beide nach Durchlaufung aller überhaupt vorhandenen Teilungsmöglichkeiten schließlich auf die Ausgangsstellung zurückfuhren, ist die erste: „Man gieße aus A in C, bis C voll ist, dann den Inhalt von C in B, darauf wieder aus A in C, bis C voll ist, und auch wieder den Inhalt von C in B. So fahre man fort, bis B ganz voll ist. Darauf fülle man den Inhalt von B in A und wenn in C ein Rest geblieben ist, diesen in B. Jetzt wiederhole man das anfängliche Verfahren und zwar wiederum so lange, bis B voll ist. Dann gieße man den Inhalt von B wieder in A und wenn in G ein Rest geblieben ist, diesen in B usw. Die zweite Methode lautet folgendermaßen: Man gieße aus A in B, bis B voll ist, dann aus B in C, bis C voll ist. dann den Inhalt von C in A, dann nochmals aus B in C, bis Q voll ist, dann aus dem vollen C in A und wiederhole dies so lange, bis es nicht mehr gelingt, C aus B ganz zu füllen. Darauf gieße man trotzdem diesen Rest in C, so daß B leer wird. Nun fülle man von neuem aus A in B, bis B voll ist und wiederhole den eben beschriebenen Prozeß, bis wiederum in B weniger als C ist. Dann gieße man diesen Rest wieder in C, fülle das leere B aus A, gieße aus B in C, bis C voll ist, usw.

57

Die erste dieser Methoden stellen wir an dem Beispiel N r . 4 dar, bei welchem die Bedingung a > b -f- c erfüllt ist, u n d erkennen a n diesem sofort, daß, wenn m a n die Reihenfolge der Teilungsschritte u m k e h r t , also von der letzten Reihe 15, 0, 0 anfangend zu der vorletzten 8, 7, 0 weiterschreitet usf., gerade die zweite TeilungsNr. 4. methode entsteht, d a ß also diese beiden Verfahren Umkehrungen voneinander sind. B c A (15) (7) 15 12 12 9 9 6 6 13 13 10 10 7 7 14 14 11 11 8 8 15

0 0 3 3 6 6 7 0 2 2 5 5 7 0 1 1 4 4 7 0

(3)

0 3 0 3 0 3 2 2 0 3

0 3 1 1 0 3 0 3 0 0

Treten wir nun an die Frage h e r a n : Unter welchen Umständen läßt sich durch das Umfüllen jede mögliche Literzahl von 1 bis a erreichen ? Als Antwort ergibt sich, daß b und c nur der Bedingung unterworfen sind, keinen gemeinsamen Teiler zu haben. D a n n nämlich können beim Umfüllen nicht alle Zahlen erscheinen, sondern natürlich nur diejenigen, welche ebenfalls diesen Teiler haben.

Gehen •wir j e t z t auf die oben aufgestellte Bedingung a > b -f- c zurück: von ihr war ausgegangen worden, weil es sich zeigt, daß, wenn sie erfüllt ist, die beiden oben angegebenen Methoden die einzigen sind, mit denen m a n einen Fortschritt in der Behandlung unserer Aufgabe erzielen kann. Weicht m a n von ihr ab, so können die beiden Methoden noch immer anwendbar bleiben, sind aber nicht mehr die einzig möglichen. Eine solche Abweichung von jener Bedingung k o m m t bei folgender E r w ä g u n g in Frage: Soll eine vollständige Durchf ü h r u n g unseres Teilungsverfahrens bis zur Wiedererreichung der Anfangsstellung möglich 6ein, so m u ß bei Benutzung der ersten Methode jedenfalls im Gefäß A immer so viel Flüssig-

keit Bein, daß C ganz gefüllt werden kann. A ist jedenfalls a m leersten, wenn in B b Liter sind. Dann aber soll man j a aus B in A füllen. Sind aber in B nur Nr. 5. b — 1 Liter und ist C noch leer, so fragt es A B C sich, ob in A noch so viel Flüssigkeit ist, (13) (9) (5) daß C ganz gefüllt werden kann. Da aber alle Flüssigkeit zusammen unverändert a 13 0 0 8 0 5 Liter betragen muß, so müßte in A a — b -J— 1 8 5 0 Liter sein. Dies darf also nicht kleiner als c 3 5 5 sein, d. h. in arithmetischer Zeichen3 9 1 sprache : 12 0 1 12 1 0 a ;> b -j- c —• 1 . n 1 l 5 6 7 0 Daß bei a = b -)- c — 1 wirklich die 2 6 5 oben angegebenen Methoden noch zum Ziel 2 9 2 führen, lehrt das Beispiel Nr. 5. Dieses 11 0 2 11 2 Beispiel zeigt auch, daß hier, wie behauptet 0 6 2 5 wurde, noch andere von dem bisherigen 6 7 0 Verfahren abweichende Umfüllungsmöglich1 7 5 keiten vorhanden sind, indem man bei1 9 3 spielsweise von der zweiten Zeile 8, 0, 5 10 0 3 oder der vierten 3, 5, 5 direkt zur zwei10 3 0 5 3 5 undzwanzigsten 0, 8, 5 übergehen kann. 5 8 0 Für a besteht aber nicht bloß die untere 0 8 5 Wertgrenze b -f- c — 1, sondern auch eine 0 9 4 obere, wie uns das Beispiel Nr. 6 (s. S. 60) 4 9 0 zeigen soll. Hier sind nur die Literzahlen 0 9 4 4 4 5 von 1 bis 11 zu erreichen (8 -J- 2 = 10 der 4 9 0 zehnten Zeile und 9 -(- 2 , wenn man die 13 0 0 Gefäße B und C aus A ganz füllt). Läßt man wie in Nr. 6 (s. S. 60) auch 6olche Flüssigkeitsmengen als Lösungen zu, welche sich aus dem Inhalt zweier Gefäße zusammensetzen, so ist nach Dr. W. Ahrens

59

Nr. 6. A

B

C

(50) (9) (2) 50 48 48 46 46 44 44 42 42 40 40 49 49 47 47 45 45 43 43 41 41 50

6o

0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 9 0 1 1 3 3 5 5 7 7 9 0

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 0 2

0 2 0 0

Nr. 7.

Nr. 8 a .

A B C (31) (12) (5)

A B C (20) (13) (9)

31 26 26 21 21 16 16 28 28 23 23 18 18 30 30 25 25 20 20 15 15 27 27 22 22 17 17 29 29 24 24 19 19 31

0 0 5 5 10 10 12 0 3 3 8 8 12 0 1 1 6 6 11 11 12 0 4 4 9 9 12 0 2 2 7 7 12 0

0 5 0 5 0 5 3 3 0 5 0 5 8 + 5=13 1 1 0 5 0 5 0 5 4 4 0 5 0 5 9 + 5=14 2 2 0 5 0 5 0 0

20 11 11 2 2 15 15 6 6 19 19 10 10 1 1 14 14 5 5 18 18 9 9 0 0 13 13 4 4 17 17 8 8

0 0 9 9 13 0 5 5 13 0 1 1 10 10 13 0 6 6 13 0 2 2 11 11 13 0 7 7 13 0 3 3 12

0 9 0 9 5 5 0 9 1 1 0 9 0 9 6 6 0 9 2 2 0 9 0 9 7 7 0 9 3 3 0 9 0

(Mathem. Unterhaltungen u. Spiele, 2. A u f l . , Bd. I , S. 119) eine Teilung der a Liter in jedem beliebigen Verhältnis nach unseren beiden Methoden auch d a n n noch möglich, w e n n b + c — l < a < 2 b + 2 c + l ist. Wir wollen dies an dem Beispiel Nr. 7 zeigen, f ü r dessen Zahlen diese Bedingung zutrifft. I n der T a t kommen u n t e r B alle Zahlen von 1 bis 12 vor, 13 erscheint in der Reihe 18, 8, 5 als 8 - f 5, 14 in der Reihe 17, 9, 5 als 9 + 5 u n d die Zahlen von 15 bis 31 t r e t e n unter A auf. Dr. W . Ahrens zeigt aber noch weiter, d a ß auch f ü r den Fall b + c — 2 < a < 2 b + 2 c + l die Aufgabe der Herstellung jedes Teilungsverhältnisses noch lösbar ist, allerdings bei a = b -f- c — 2 nicht m e h r auf zwei Wegen. Wir wollen dies an einem achten Nr. 8 b . Beispiel betrachten, dessen Behandlung nach der ersten Methode folgenden Verlauf n i m m t A B C {Nr. 8 a): (20) (13) (9) N a c h der Teilung 8, 12, 0 ist keine Fort20 0 setzung des Verfahrens möglich, weil mit 7 13 d e n in A vorhandenen 8 Litern das Gefäß C 4 7 16 4. nicht v o n neuem gefüllt werden k a n n . Auf 16 0 eine solche Unterbrechung stößt m a n in 3 13 j e d e m Falle, wenn a = b -f- c — 2 ist. U m 3 8 die noch fehlenden Literzahlen 4 u n d 8 12 8 herzustellen, steht aber noch die zweite 12 0 Methode zur Verfügung, welche die Teilungen Nr. 8 b liefert, d a n n aber auch abbricht.

0 0 9 0 4 4 9 0 8

Bezüglich der genaueren Begründung aller unserer Angaben verweisen wir auf das Ahrenssche Buch.

Öl

§7 JÖEuncrprofie unti ^eunecßunftflüdi J e d e Zahl läßt, durch 9 dividiert, denselben Rest, wie wenn ihre Quersumme, d. h. die Summe aller ihrer Ziffern, durch 9 dividiert wird. Dies r ü h r t daher, daß die Basis 10 unsrer Zifferschrift u n d deshalb auch ihre Potenzen 100, 1000 usw., durch 9 dividiert, den Rest 1 lassen. Denn, wenn eine Zahl a Einer, b Zehner, c Hunderter, d Tausender u s w . h a t , 60 läßt sie sich folgendermaßen schreiben: a -j- 10b + 100c + lOOOd + . . . , u n d diese Summe läßt sich zerlegen in eine andere Summe» deren erster Addend a - j - b - j - c - j - d - ) - . . . , also die Quers u m m e der vorliegenden Zahl ist, während der zweite A d dend 9 b - f 99 c + 999 d + . . . heißt, also eine durch 9 teilb a r e Zahl darstellt. Da dieser zweite Addend bei der Division durch 9 keinen Rest läßt, so m u ß der Rest, der bleibt, wenn m a n a + 10b - f 100c + lOOOd + . . . durch 9 dividiert, derselbe sein, wie wenn m a n die Quersumme a-(- b -f- c -J- d -f- . . . durch 9 dividiert. Mit Benutzung dieser Regel k a n n m a n auch bei vielziffngen Zahlen sehr schnell den N e u n e r r e s t bestimmen. Man h a t nur nacheinander die Ziffern zu addieren u n d immer, sobald m a n dabei auf eine zweiziffrige Zahl stößt, wiederum deren Ziffersumme zu nehmen, wie folgendes Beispiel verdeutlicht: E s sei zu der Zahl 74056892 der Neunerrest zu bestimmen, d. h. der Rest, der bleibt, wenn m a n diese Zahl durch 9 divi-

62

diert. Man rechnet d a n n so: 7 + 4 = 1 1 , d. h. 1 -¡- 1 = 2, 2 + 0 = 2 , 2 + 5 = 7 , 7 + 6 = 1 3 , d. h. 1 + 3 = 4 , 4 + 8 = 12 , d. h. 1 + 2 = 3 , 3 + 2 = 5 . Die Ziffer 9 konnte bei der Addition ausgelassen werden. E s ergibt sich also der Neunerrest 5. Auf diese Weise findet m a n bei einiger Übung den Neunerrest einer Zahl viel schneller, als wenn m a n die Zahl wirklich durch 9 dividiert. Auf dem Bestimmen des Neunerrestes b e r u h t die N e u n e r p r o b e , die in früheren J a h r h u n d e r t e n beim Rechnen in den vier Spezies immer angewandt ist, j e t z t aber vielfach in Vergessenheit geraten ist, was bei den Vorteilen, die die Neunerprobe bietet, sehr zu bedauern ist. Die Neunerprobe besteht darin, daß m a n , außer mit den gegebenen Zahlen selbst, nebenbei auch ebenso mit ihren Neunresten rechnet. D a n n m u ß das aus den Zahlen selbst gewonnene R e s u l t a t u n d das ebenso aus den Neunresten erhaltene Resultat denselben Neunrest haben. S t i m m t dies nicht, so m u ß m a n einen Rechenfehler gemacht haben. D e r Beweis der Richtigkeit der Neunerprobe geht aus folgendem hervor. W e n n eine Zahl n den Neunerrest r h a t , so ist zu setzen: n = 9a + r . W e n n eine zweite Zahl n ' den Neunerrest t h a t , so ist f e r n e r : n ' = 9 a ' + r' . Aus beiden Gleichungen erhält m a n aber durch Addition, Subtraktion u n d Multiplikation i m m e r rechts eine Summe, deren erster Addend durch 9 teilbar ist, während der zweite Addend r + r ' , r — r ' , r • r ' heißt. Damit ist die Neunerprobe f ü r die drei ersten Grundrechnungsarten bewiesen. Bei der Division braucht man nur den Neunerrest des Dividendus mit dem des P r o d u k t s aus dem Quotienten u n d dem Divisor zu vergleichen. Namentlich erweist sich die Neunerprobe beim Multiplizieren von vielziffrigen Zahlen als wertvoll.

Sie liefert indes nur eine wertvolle Kontrolle, aber keinen Beweis für die Richtigkeit einer Rechnung, da trotz falscher Rechnung der richtige Neunerrest erscheinen kann, z. B. wenn, wie es beim Dividieren geschehen kann, Nullen fortgelassen werden ( 8 1 2 8 : 8 = 116 statt 1016; 116 und 1016 haben denselben Neunerrest 8). Auf dem Nehmen des Neunerrestes beruhen auch mehrere Zahlenkunststücke, von denen besonders das folgende überraschend wirkt. Man lasse jemand eine ganz beliebige vielziffrige Zahl hinschreiben. Man bitte ihn dann, eine Zahl darunter zu schreiben, die aus genau denselben Ziffern sich zusammensetzt, aber in ganz behebiger andrer Anordnung. Dann lasse man die kleinere der beiden Zahlen von der größeren subtrahieren und in der erhaltenen Differenz*) eine beliebige Ziffer, die nicht 0 ist, ausstreichen. Die durch dieses Ausstreichen entstandene vielziffrige Zahl lasse man nochmals aufschreiben und sich zeigen. Dann kann man aus dieser Zahl bestimmen, welche Ziffer ausgestrichen wurde, ohne eine Ahnung davon zu haben, welche Zahl anfänglich aufgeschrieben war. Man hat nämlich von der Zahl, die einem gezeigt wird, den Neunerrest zu nehmen und denselben von 9 abzuziehen. Dann erhält man stets die ausgestrichene Ziffer. Es sei z. B. anfänglich die Zahl 4735892006 aufgeschrieben.

Darunter werde dann geschrieben: 2004589673.

Die Differenz beider Zahlen ergibt: 2731302333. * ) Wenn man will, kann man die Differenz auch erst noch mit einer ganz beliebigen Zahl multiplizieren lassen, und in dem erhaltenen Produkte eine beliebige Ziffer ausstreichen lassen.

Es werde nun, wollen wir annehmen, die Ziffer 1 ausgestrichen. Dann wird einem also die Zahl 273302333 gezeigt. Ihr Neunerrest ist 8. Folglich ist 9 — 8 = 1 die ausgestrichene Ziffer. Warum dies immer stimmen muß, erkennt man, wenn man daran denkt, daß der Minuendus und der Subtrahendus der Subtraktion dieselben Ziffern, also auch dieselbe Quersumme und deshalb denselben Neunerrest besitzen. Folglich muß ihre Differenz durch 9 teilbar sein, also muß die ausgestrichene Ziffer und der Neunrest der durch das Ausstreichen entstehenden Zahl die Summe 9 haben. Man hat demnach nur den Neunrest der Zahl, die einem gezeigt wird, von 9 zu subtrahieren, um die ausgestrichene Ziffer zu erhalten.

5

S o h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

MrfelRtinftjMc Die Aufgabe, die Zahlen zu erraten, die gewürfelt werden, gehört in die G r u p p e der in § 1 behandelten Aufgaben, sobald bei der Lösung derselben einzig u n d allein arithmetische Operationen b e n u t z t werden, nicht aber auch die besondere Beschaffenheit eines Würfels. Die Würfel, wie sie seit einigen J a h r h u n d e r t e n üblich sind, enthalten 6 Flächen, auf denen die 6 Zahlen von 1 bis 6, dargestellt durch 1 bis 6 P u n k t e , angebracht sind, aber immer derartig, daß zwei Zahlen, die zusammen 7 ergeben, auf 2 gegenüberliegenden, also einander parallelen Würfelflächen stehen. Wenn also bei einem Würfel die Zahl a oben liegt u n d der Würfel umgekehrt wird, so erscheint die Zahl 7 — a oben. Auf dieser besonderen Beschaffenheit der Würfel beruhen mehrere K u n s t s t ü c k e , von denen wir hier n u r zwei, die v o n verschiedener N a t u r sind, hervorheben: 1. Um zu r a t e n , welche beiden Zahlen j e m a n d mit 2 Würfeln geworfen h a t , lasse m a n den ersten Würfel umkehren u n d sich die n u n entstandene Augensumme sagen. Darauf lasse m a n auch den zweiten Würfel umkehren u n d sich gleichfalls die d a d u r c h erschienene Augensumme sagen. Die beiden Zahlen, die m a n gehört h a t , addiere m a n , subtrahiere die Summe von 21 u n d halbiere den Rest. D a n n erhält m a n die erste der beiden zu ratenden Zahlen. Ferner addiere m a n 7 zu der zuerst genannten Zahl u n d subtrahiere von der er-

haltenen Summe die zu zweit genannte Zahl. Die H ä l f t e des Restes ergibt die zweite zu ratende Zahl. Es sei z. B. geworfen:

Nach Umkehrung des ersten Würfels ist die Augensumme 2 -f- 4 = 6 . Nach darauffolgender U m k e h r u n g des zweiten Würfels ist die Augensumme 2 -f- 3 = 5. Die Zahlen 6 u n d 5, die m a n hört, addiert m a n . Dies gibt 11, 21 — 11 ergibt 10, wovon die H ä l f t e 5 die Zahl des ersten Würfels ist. Ferner ist 6 + 7 = 13 , 13 — 5 = 8 , also ist die H ä l f t e von 8, d. h. 4, die Zahl des zweiten Würfels. 2. Um einen Wurf von 3 Würfeln zu raten, lasse man die 3 Würfel nebeneinandersetzen. Dahinter lasse m a n noch 3 Würfel setzen, die in derselben Reihenfolge denselben Wurf darstellen. Darauf lasse m a n die 3 angesetzten Würfel u m k e h r e n , so daß n u n 6 Würfel nebeneinanderstehen. Dieselben stellen eine sechsziffrige Zahl dar. Diese sechsziffrige Zahl lasse m a n erst durch 37 u n d den erhaltenen Quotienten noch durch 3 dividieren. Die Divisionen müssen immer aufgehen. W a s nach der Division durch 3 h e r a u s k o m m t , ist eine vierziffrige Zahl, die m a n sich sagen l ä ß t . Von ihr subtrahiere m a n 7, den Rest dividiere m a n durch 9. Dadurch erhält m a n eine dreiziffrige Zahl, deren 3 Ziffern den zu r a t e n d e n W u r f darstellen. Angenommen, es habe j e m a n d

gewürfelt. N a c h d e m er d a n n 3 Würfel, die denselben Wurf darstellen, dahintergesetzt u n d dieselben umgekehrt h a t , h a t er das folgende Bild vor sich: 5*

• H El 0 • ö Diese 6 Würfel stellen die Zahl 263514 dar. Diese, durch 37 dividiert, ergibt 7122, diese Zahl, durch 3 geteilt, gibt 2374. Die Zahl 2374 wird nun dem, der den Wurf erraten will, mitgeteilt. Man hat 7 abzuziehen und durch 9 zu dividieren. So erhält man erst 2367 und dann 263. Also sind die Augen 2, 6 und 3 geworfen. Warum dies immer stimmen muß, erkennt man aus folgendem. Die durch den Wurf dargestellte dreiziffrige Zahl heiße a, dann wird die Zahl 777 — a dahintergesetzt, so daß die entstehende sechsziffrige Zahl heißt: 1000 a + (777 — a ) . Dies ist aber 999 a + 777. Diese Zahl ergibt nach der Division durch 37: 2 7 a + 21, also kommt Diese Zahl, vermindern. Division mit

68

nach der Division durch 3 die Zahl 9 a -f- 7. die man hört, hat man zunächst um 7 zu Dann erhält man 9 • a , woraus man durch 9 die gesuchte Zahl a erhält.

S9 ©ominafiettcn Auf jedem Stein eines Dominospiels sind 2 Zahlen durch Punkte, also in natürlicher Zifferschrift dargestellt, wobei auch die Zahl 0, gekennzeichnet durch einen leeren Platz, mit berücksichtigt ist. In dieser Weise sind bei einem richtigen Dominospiel alle denkbaren Paare von je 2 der Zahlen von 0 bis n vorhanden, wobei auch die n 1 Paare von 2 gleichen Zahlen nicht fehlen dürfen, die man Pasche nennt. So ergeben sich -J (n -)- 1) ( n + 2) Steine für ein vollständiges Dominospiel. Die Kombinationslehre ergibt auch eine Formel für die Summe aller Augen auf den sämtlichen Steinen eines Dominospiels, nämlich £ n (n -)- 1) (n -f- 2).*) Bei den im Handel vorkommenden Spielen ist n eine der Zahlen 6, 7, 8 oder 9. Da jeder Dominostein durch die Summe der Augen, die sich auf ihm befinden, eine bestimmte Zahl darstellt, so lassen sich aus Dominosteinen auch magische Quadrate (siehe § 19) zusammensetzen. Doch übergehen wir hier derartige Anordnungen von Dominosteinen, weil sie mit dem Wesen des Dominospiels nichts zu tun haben. Ebensowenig hat mit dem Charakter des Dominos das Kunststück zu tun, das man aus dem in § 5 behandelten erhält, wenn man bei demselben *) Denn jede Zahl kommt auf einem Pasch zweimal und außerdem noch n mal, im ganzen also ( n - j - 2 ) mal vor. Die Summe aller Zahlen von 0 bis n ist ferner £ n (n -j- 1). Also ist die gesamte Augensumme \ n (n -f- 1) (n -f- 2).

die K a r t e n durch Dominosteine ersetzt. Die Hauptregel des Dominospiels verlangt, daß eine K e t t e von Steinen derartig gebildet wird, d a ß immer 2 gleiche Zahlen zusammenstoßen. W e n n die Zahlen auf den Steinen nicht durch P u n k t e , sondern durch gewöhnliche Ziffern dargestellt werden, wie im folgenden geschehen soll, so sieht eine solche K e t t e folgenderm a ß e n aus:

E n d i g t eine solche Dominokette mit derselben Zahl, mit der sie auch a n f ä n g t , so d a ß sie als eine in sich zurücklaufende Linie gelegt werden k a n n , so heißt die K e t t e g e s c h l o s s e n . Da bei einer K e t t e immer 2 gleiche Zahlen einander benachbart sind, so k o m m t außer der Anfangszahl und der Schlußzahl jede Zahl eine gerade Anzahl mal vor. Bei einer geschlossenen K e t t e k o m m t also j e d e Zahl eine gerade Anzahl mal vor. Folglich läßt sich bei einem Spiel, dessen Steine die Zahlenpaare von 0 bis n enthalten, eine geschlossene Kette aus a l l e n Steinen bilden, wenn die Anzahl, wie oft jede Anzahl vorkommt, also n -f- 2 , eine gerade Zahl ist, d. h. wenn n eine gerade Zahl ist, also etwa 6 oder 8. Wenn aber n, also

70

auch n -f- 2 , ungerade ist, so lassen sich alle Steine zu ^ (n 1) unge8chlossenen Ketten zusammenlegen, wobei auch ein einzelner Stein, der nicht Pasch ist, als eine ungeschlossene K e t t e zu betrachten ist. Dabei l ä ß t sich auch erreichen, d a ß alle Ketten, mit Ausnahme einer, aus einem einzelnen Stein bestehen. Folglich müssen sich alle Steine zu £ (n — 1) einzelnen Steinen und einer ungeschlossenen K e t t e zusammenstellen lassen. Daher ist, wenn n ungerade ist, die Maximalzahl der Steine einer ungeschlossenen K e t t e gleich dem Überschuß der Gesamtzahl | (n + 1) (n -f- 2) über £ (n — 1), d. h. gleich: i (n 2 + 2 n + 3 ) . Ist aber n gerade, so lassen sich alle Steine verwenden, u m eine einzige geschlossene K e t t e zu erhalten. I n einer geschlossenen K e t t e aller Steine mit Ausschluß der n -f- 1 Pasche k a n n jeder Pasch an ^ n Stellen liegen. Folglich ist die Gesamtzahl aller denkbaren K e t t e n aus allen £ (n -f- 1) (n -}- 2) Steinen n j " + 1 mal so groß als die Zahl aller denkbaren Möglichkeiten, aus den | n (n -f- 1) Steinen, die nicht Pasche sind, eine geschlossene K e t t e zu legen. Die letztere Zahl ist für n = 4 von H e r r n Lucas in seinen Récréations zu 63 360 angegeben u n d f ü r n = 6 von Herrn Reiß in Frankf u r t a. M. (in den Annali di Matematica pura ed applicata 1871) zu 129 Millionen u n d 976320 berechnet. Der U m s t a n d , d a ß bei geradem n alle ^ (n -f- 1) (n -f- 2) Steine sich zu einer geschlossenen K e t t e zusammenlegen lassen, gibt zu einer überraschenden Täuschung Veranlassung. E n t f e r n t m a n nämlich heimlich aus dem Dominospiel einen Stein, der nicht Pasch ist, so müssen die übrigen Steine, wie m a n 6ie auch der Spielregel gemäß legen mag, immer eine ungeschlossene K e t t e bilden, deren Anfangszahl und Schlußzahl die beiden Zahlen sind, die auf dem heimlich entfernten

7i

Steine stehen, so daß m a n imstande ist, demjenigen, der die K e t t e legt, von vornherein zu sagen, d a ß er, wie er auch die Steine anordnen mag, immer, wenn er mit der Zahl a a n f ä n g t , mit der Zahl b endigen m u ß , wo a u n d b die beiden Zahlen des heimlich entfernten Steines sind. Man k a n n das K u n s t stück auch so einrichten, d a ß m a n dem andern, der die K e t t e legen will, sagen läßt, mit welcher Zahl er anfangen u n d endigen möchte und wieviel Steine er verwenden möchte. Man n i m m t dann Steine von solcher Beschaffenheit fort, d a ß sich aus ihnen e i n j ungeschlossene K e t t e legen läßt, die mit denselben Zahlen anfängt u n d schließt, die vom andern bei seiner K e t t e als Anfangs- u n d Schlußzahl gewünscht sind. W e n n z. B. bei einem Dominospiel, bei dem n = 6 ist, also 28 Steine vorhanden sind, der andere wünscht, mit 23 Steinen eine K e t t e zu legen, die mit 4 a n f ä n g t und mit 5 schließt, so hat man 5 Steine fortzunehmen, die eine K e t t e bilden, deren Endzahlen 4 u n d 5 sind, z. B. die folgenden:

4

2

2

2

Nachdem diese 5 Steine entfernt sind, k a n n aus den 23 übrigen Steinen eine einzige K e t t e noch auf mannigfache Äxten gelegt werden, immer aber müssen 4 u n d 5 die E n d zahlen sein. Bei ungeradem n müssen mindestens ^ (n — 1) Steine heimlich e n t f e r n t werden, damit sich aus den übrigen Steinen eine K e t t e mit vorgeschriebenen Endzahlen legen läßt, und zwar müssen die zu entfernenden ^ (n — 1) Steine alle Zahlen von 0 bis n mit Ausnahme derjenigen beiden Zahlen umfassen, die als Endzahlen der K e t t e gewählt sind. Soll z. B. bei einem Dominospiel, bei dem n = 9 ist, also 55 Steine vorhanden

72

eind, eine Kette entstehen, die mit 3 anfangt und mit 7 endigt, so entferne man etwa die Steine: 0 i 1

2 i 4

5 |6

8 |9

Natürlich kann man auch mehr Steine entfernen. Es hat z. B. dieselbe Wirkung, ob man den einen Stein

2

4

oder, statt dessen, die beiden Steine entfernt.

3

4

und

73

§10 ¡ D a r f t c l l u n g a l l e r STaiilen lian P u t e n s e n b a u

Summen Sluci

Die Beschaffenheit der in 5 Finger gegliederten H ä n d e ist einzig u n d allein d a r a n schuld, d a ß die Zahl 10 der Finger beider H ä n d e die Basis der Zahlwortbildung u n d auch der Zahlzeichenbildung bei fast allen Völkern geworden ist. Man k a n n jedoch, nach Analogie unserer auf dem Stellenwert beruhenden Zifferschrift, auf jeder beliebigen anderen Zahl als Basis eine Zifferschrift a u f b a u e n , n u r natürlich nicht auf der Basis 1. Die kleinste Zahl, die als Basis dienen kann, ist also 2. So wie wir im Zehnersystem außer 0 noch 9 Ziffern haben, so h a t m a n im Zweiersystem außer 0 nur eine Ziffer, nämlich 1, und diese 1 ist, je nachdem sie, von rechts an gerechnet, die erste, zweite, dritte usw. Stelle einnimmt, als 1, als 2 1 , als 2 2 usw. zu rechnen. I m Zweiersystem erscheint daher jede Zahl als Summe von Potenzen von 2 dargestellt. So ist z. B . : 111 = 1 + 2 1 - f 2 2 = 7 , ferner: 1010011 = 1 + 2 * + 2 4 + 2« = 1 + 2 + 16 + 6 4 = 83; 1 1 1 0 1 0 0 = 2 2 + 2 4 + 2 5 + 2« = 4 + 1 6 + 3 2 + 6 4 = 116. Will m a n umgekehrt eine dekadisch geschriebene Zahl dyadisch, d. h. im Zweiersystem, darstellen, so subtrahiere

74

m a n von ihr die höchste Potenz von 2, die zu subtrahieren geht, den erhaltenen R e s t behandle m a n ebenso und fahre so fort, bis m a n auf den Rest 0 oder 1 k o m m t . J e d e Potenz von 2, die zu subtrahieren geht, wird durch eine 1 dargestellt, jede fehlende durch eine 0. Soll z. B. die Jahreszahl 1897 dyadisch geschrieben werden, so m u ß m a n zunächst erkennen, d a ß 2 1 0 = 1024 die höchste P o t e n z von 2 ist, die in 1897 enthalten ist. Der Rest 1897 — 1024 = 873 enthält 2" = 512, 873 — 512 = 361 enthält 2 8 = 256. Der Rest 361 — 256 = 105 enthält 2 T nicht, wohl aber 2 6 = 64. Der Rest 105 — 64 = 41 enthält 25 = 32. Der Rest 41 — 32 = 9 enthält 2 1 nicht, wohl aber 2 3 = 8. Der Rest 9 8 ist gleich 1, so daß die zweite und erste Potenz v o n 2 fehlen. Daher i s t : 1897 =

11101101001.

Auf der Darstellung der Zahlen durch Potenzen von 2 beruhen mehrere Kunststücke, v o n denen hier einige Platz finden sollen. 1. Man fertigt sich 7 K ä r t c h e n an, auf deren erstem alle Zahlen stehen, die in dyadischer Zifferschrift mit einer 1 endigen, d. h. alle ungeraden Zahlen. Auf das zweite Kärtchen bringt m a n alle Zahlen, deren vorletzte dyadische Ziffer eine 1 ist, also 2, 3, 6, 7, 14, 15 usw. Auf das dritte K ä r t c h e n k o m m e n alle Zahlen, deren v o n rechts dritte Ziffer in dyadischer Zifferschrift eine 1 ist, wie 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15 usw. Das siebente Kärtchen würde die Zahlen von 64 bis 127 enthalten. Man b i t t e t d a n n j e m a n d , sich eine Zahl u n t e r 128 zu denken, gibt ihm nacheinander die 7 Kärtchen u n d läßt sich jedesmal sagen, ob die gedachte Zahl auf dem K ä r t c h e n ist oder nicht. Die Summe der ersten Zahlen derjenigen Kärtchen, auf denen die gedachte Zahl steht, ergibt dieselbe. W a r z. B. 77 die gedachte Zahl, so würde dieselbe als auf dem ersten, dritten, vierten u n d siebenten K ä r t c h e n

75

befindlich gemeldet werden müssen, wonach man zu rechnen hätte: 1 + 4-J-8 + 6 4 = 77. Statt der Zahlen kann man auch Vornamen, Städtenamen usw. nehmen, die in gewisser Weise den Zahlen zugeordnet sind, etwa gemäß einer Tabelle, die man willkürlich zusammengestellt hat. Statt 7 Kärtchen kann man natürlich auch weniger oder mehr nehmen. Bei n Kärtchen kann man 2 n — 1 Zahlen oder Namen raten lassen. 2. Auf einem Tisch liegt eine gewisse Anzahl gleichartiger Gegenstände, etwa Spielmarken. Die Person A will diese raten und bittet B, er möchte, während A abwesend ist, von den Spielmarken nacheinander immer eine mit der rechten Hand und eine mit der linken Hand aufnehmen, die mit der rechten Hand aufgenommenen in einen Sammeltopf werfen, die mit der linken Hand aufgenommenen aber auf den ersten von einer Anzahl von Tellern legen, die in gerader Linie auf dem Tisch stehen müssen. Bleibt dabei eine Spielmarke übrig, so soll B dieselbe auf den Tisch oberhalb des ersten Tellers legen. Dann soll mit den auf dem ersten Teller liegenden Spielmarken ebenso verfahren werden, indem die mit der rechten Hand aufgenommenen in den Sammeltopf geworfen, die mit der linken Hand aufgenommenen aber auf den zweiten Teller gelegt werden, und, falls eine übrigbleibt, dieselbe oberhalb des zweiten Tellers Platz finden soll. So fortfahrend, muß B schließlich alle Spielmarken in den Sammeltopf geworfen haben, mit Ausnahme der wenigen, die auf dem Tisch oberhalb des einen oder des anderen Tellers liegen werden. Schließlich muß es kommen, daß auf einem Teller nur eine einzige Spielmarke liegt, die man dann oberhalb des Tellers zu legen hat. Wenn dann A an den Tisch herantritt, so kann er die Anzahl der Spielmarken raten, die ursprünglich auf dem Tisch

76

lagen. Er hat nur bei jedem Teller, über dem eine Spielmarke liegt, eine Potenz von 2 zu addieren, und zwar beim n-ten Teller die (n — l)te Potenz von 2. Angenommen, A finde das folgende Bild vor:

oooooooo O

O

O

O

Er hat dann zu rechnen:

1 + 4 + 8 + 3 2 = 45 . Es waren also ursprünglich 45 Spielmarken auf dem Tisch. 3. Noch überraschender wirkt die Benutzung der Eigen, schaft jeder Zahl, eine Summe von Potenzen von 2 zu sein, bei dem folgenden Kunststück. A und B haben verabredet, daß die beiden Flächen einer Münze 0 und 1 einer dyadisch geschriebenen Zahl bedeuten sollen, also etwa die Wappenseite 0, die Schriftseite 1 darstellen soll. A geht hinaus, während B von den Teilnehmern der Gesellschaft eine Zahl verabreden läßt, die A raten soll. B düpiert die Gesellschaft, indem er sagt, daß A imstande wäre, allein aus den Winkeln, unter denen Münzen zueinandergelegt werden, jede beliebige Zahl zu erraten. B nimmt daher irgendwelche Münzen und stellt durch sie die verabredete Zahl dyadisch dar, indem er eine Münze, bei der die Schriftseite nach oben liegt, als 1 rechnet und eine, bei der die Wappenseite nach oben liegt, als 0 rechnet. Um zu täuschen und die Gesellschaft nicht auf den Gedanken kommen zu lassen, daß es bei dem Kunststück wesentlich ist, welche Seite oben liegt, wird B mit den Münzen Figuren bilden und so tun, als ob er sich Mühe gibt, die Winkel möglichst genau zu legen. Angenommen, die Gesellschaft habe die Zahl 217 verabredet. Dann wird B etwa das folgende Münzenbild legen, in dem jeder Kreis eine Münze darstellen und

77

W bzw. S andeuten soll, ob die Wappenseite oder die Schrift-

A kommt an den Tisch und erkennt aus den darauf liegenden Münzen, die er von rechts nach links ansieht, daß die verabredete Zahl 1 + 8 -f 16 + 64 + 128 = 217 war.

78

§ 1 1

SSadjetfdje

tëetuldjt&ïtofileni

Schon in dem Bachetschen Buche „Problèmes plaisans et délectables" f i n d e t sich die Aufgabe, welche Gewichtsstücke vorhanden sein müssen, d a m i t m a n auf einer Wage jede ganze Zahl von P f u n d e n bis 40 wiegen könne, wenn es darauf a n k o m m t , möglichst wenig solcher Gewichtsstücke zu haben. W e n n nur die eine Wagschale zum Aufsetzen der Gewichte b e n u t z t werden soll, so ergibt sich, d a ß die Zahlen, welche angeben, wieviel P f u n d jedes Gewichtsstück wiegt, die aufeinanderfolgenden Potenzen von 2 sein müssen, da, wie in § 10 gezeigt ist, jede ganze Zahl als Summe von Potenzen der Zahl 2 darstellbar ist. W e n n aber beide Wagschalen zum Aufsetzen der Gewichte b e n u t z t werden dürfen, also auch Gewichte subtrahiert werden dürfen, so sind die Potenzen von 3 die Zahlen, welche angeben, wieviel P f u n d die Gewichtsstücke wiegen müssen. U m also jede ganze Zahl von P f u n d e n bis 40 wiegen zu können, müssen vier Gewichtsstücke vorhanden sein, die 1, 3, 9, 27 P f u n d wiegen. I n der T a t k a n n m a n durch Additionen u n d Subtraktionen, die nur zwischen diesen 4 Zahlen oder einigen von ihnen bewerkstelligt werden, jede ganze Zahl bis 40 erreichen, wie die folgende Tabelle zeigt:

79

1 2 3 4 5 6 7 8

= 1 = 3 — 1 = 3 = 3+ 1 = 9 - 3 - 1 = 9— 3 = 9 — 3 + 1 = 9— 1 25 26 27 28 29 30 31 32

17 = 2 7 — 9 — 1 9 = 9 18 = 2 7 - 9 10 = 9 + 1 11=9 + 3— 1 19 = 2 7 — 9 + 1 12 = 9 + 3 20 = 27 — 9 + 3 — 1 13=9 + 3+ 1 21 = 2 7 — 9 + 3 14 = 2 7 — 9 — 3 — 1 22 = 27 — 9 + 3 + 1 23 = 27 — 3 — 1 15 = 27 — 9 — 3 16 = 27 — 9 — 3 + 1 24 = 27 — 3

= 27 — 3 = 27 — 1 =27 = 27 + 1 = 27 + 3 = 27 + 3 =27 + 3 = 27 + 9

33 34 35 36 37 38 39 40

+ 1

— 1 + 1 —3

1

= 27 =27 =27 = 27 = 27 = 27 = 27 =27

+ + + + + + + +

9 —3 9— 3+ 1 9— 1 9 9 + 1 9 + 3— 1 9+ 3 9+ 3 + 1

Man erkennt leicht, daß es mit weniger Gewichten nicht möglich sein kann, alle Zahlen von 1 bis 40 darzustellen und daß man überhaupt, mit Hilfe der addierten oder subtrahierten Potenzen von 3: 1, 3, 9, 27, 81, . . . 3 n alle Zahlen von 1 bis £ (3 n +

1

— 1) darstellen kann.

Das Bachetsche Gewiohtsproblem ist seit seinem ersten Erscheinen 1612 in sehr vielen Büchern und Zeitschriften bis auf den heutigen T a g wiederholt worden.

Doch es hat erst

neuerdings eine mathematisch behandelte Erweiterung

er-

fahren, und zwar durch den Major Macmahon in seiner Abhandlung „Certain special partitions of numbers" (im Quarterly

Journal of Mathematics,

1886).

Dort wird die all-

gemeinere Aufgabe behandelt, auf welche Weise es überhaupt möglich ist, alle Gewichte von 1 Pfund bis n Pfund zu wiegen, wenn die Gewichtsstücke gleich oder verschieden schwer vorausgesetzt werden. Aus den entwickelten Formeln ergibt sich

So

z. B. für n = 40, daß es auf achtfache Weise möglich ist, jede ganze Zahl von Pfunden von 1 Pfund bis 40 Pfund zu wiegen, wenn die Bedingung hinzukommt, daß nur Gewichtsstücke von 1, 3, 9, 27 Pfund verwandt werden sollen, und daß jedes Gewicht nur auf einerlei Weise darstellbar sein soll. Die 8 Möglichkeiten sind: 1. 40 Gewichtsstücke von je 1 Pfund; 2. 1 Gewichtsstück von 1 Pfund und 13 von je 3 Pfund; 3. 4 Gewichtsstücke von je 1 Pfund und 4 von je 9 Pfund; 4. 1 Gewichtsstück von 1 Pfund, 1 von 3 Pfund und 4 von je 9 Pfund; 5. 13 Gewichtsstücke von je 1 Pfund und 1 von 27 Pfund; 6. 1 Gewichtsstück von 1 Pfund, 4 von 3 Pfund, 1 von 27 Pfund; 7. 4 Gewichtsstücke von 1 Pfund, 1 von 9 Pfund, 1 von 27 Pfund; 8. 1 Gewichtsstück von 1 Pfund, 1 von 3 Pfund, 1 von 9 Pfund und 1 von 27 Pfund. Die achte Möglichkeit gibt die Lösung des Bachetschen Problems. Man erkennt, daß diese Lösung diejenige ist, bei der am wenigsten Gewichtsstücke gebraucht werden und auch die einzige ist, bei der alle Gewichtsstücke verschieden wiegen.

6

Schubert, Mathematische Mnflestnnden.

8i

$ 12

Crcatcn hon S&efitsern becftfjiebener gatfieti 3 Personen I, I I , I I I sitzen u m einen Tisch, auf dem 3 kleine Gegenstände a, b , c u n d 24 Spielmarken liegen. E i n e 4. Person D gibt von den Spielmarken 1 a n I, 2 a n I I , 3 an I I I . I n Abwesenheit von D eignet sich jede von den 3 Personen einen von den 3 Gegenständen a, b, c an u n d steckt ihn in die Tasche. D erbietet sich n u n zu raten, welchen Gegenstand I, welchen I I u n d welchen I I I fortgenommen h a t , falls in seiner Abwesenheit folgendes s t a t t f i n d e t . Von den übriggebliebenen 18 Spielmarken soll die Person, welche sich den Gegenstand a genommen h a t , so viel Spielmarken nehmen, als ihr D anfänglich gegeben h a t , ferner die Person, welche sich b genommen h a t , doppelt so viel, wie ihr D gegeben h a t , u n d endlich die Person, welche sich c genommen h a t , viermal so viel, wie ihr D gegeben h a t . D ist d a n n imstande, aus der Anzahl der noch auf dem Tische liegenden Spielmarken zu ersehen, welchen Gegenstand die Person I, welchen I I u n d welchen I I I genommen h a t . Dieses von Bachet in seinen „Problèmes plaisans et délectables" (Nr. X X V ) aufgestellte u n d genau erörterte Problem ist seitdem in vielen Büchern u n d Unterhaltungszeitschriften mit unwesentlichen Varianten reproduziert worden. Die 3 Gegenstände a, b , c können an die 3 Personen I, I I , I I I auf sechserlei Weise verteilt werden. Schreibt m a n nämlich von den 3 Buchstaben a, b , c denjenigen an erster,

82

zweiter oder dritter Stelle, mit dem der von I, I I oder I I I genommene Gegenstand bezeichnet ist, so ergeben sieb die 6 durch Permutieren der Buchstaben a, b u n d c entstehenden Tripel. Bei jeder der 6 möglichen Verteilungsarten k o m m t eine andere Summe der fortgenommenen Spielmarken, also auch eine andere Anzahl der auf dem Tisch liegengebliebenen heraus, wie aus der folgenden Tabelle ersichtlich i s t : Verteilung: a a b b c c

b c a c a b

c b c a b a

Fortgenommen: 1 1 1 1 1 1

1 .1 2 2 4 4

+2.2 + 2.4 + 2.1 + 2.4 + 2.1 + 2.2

+ + + + + +

3.4 3.2 3.4 3.1 3.2 3.1

Rest: = = = = = =

17 15 16 13 12 11

lv 3 2 5 6 7

U m den Zusammenhang der 6 Restzaklen 1, 3, 2, 5, 6, 7 mit den 6 Verteilungsarten leicht im Gedächtnis behalten zu können, h a t schon Bachet einen Merkvers angegeben. N i m m t m a n s t a t t der ersten 3 Buchstaben a, b , c die 3 ersten Vokale a, e, i, so läßt sich die Beziehung der Reste zu den Verteilungsa r t e n durch den folgenden Vers b e h a l t e n : P a r fer, César, jadis, devint, si grand, prince. Die hierin e n t h a l t e n e n Worte bzw. W o r t p a a r e beziehen sich, der Reihenfolge nach, auf die Reste 1, 2, 3, 5, 6, 7. H a t m a n so aus d e m übriggebliebenen Rest das W o r t oder W o r t p a a r des Merkverses, so geben die beiden darin enthaltenen Vokale der Reihe nach an, welchen Gegenstand I u n d welchen I I genommen h a t , woraus d a n n von selbst folgt, welchen Gegens t a n d I I I genommen h a t . W a r e n z. B. 2 Spielmarken liegengeblieben, so gibt der Merkvers das W o r t „César". Da e der zweite, a der erste Vokal des Alphabets ist, so h a t I den zweiten Gegenstand, I I den ersten, also I I I den dritten ge6*

83

nommen. Waren 6 Spielmarken liegengeblieben, so ergibt „si grand", daß I den dritten, II den ersten, also III den zweiten Gegenstand genommen hat. Oughtred, dessen „Mathematical recreations" in London 1653 erschienen, gab als mnemotechnisches Hilfsmittel statt des Bachetschen französischen Verses den folgenden lateinischen Vers: Salve certa animae semita vita quies. Schon Bachet hat sein Problem von 3 Personen und 3 Sachen auf 4 Personen und 4 Sachen ausgedehnt. Die Anzahl der auf dem Tisch liegenden Spielmarken ist in diesem Falle bei ihm 78. Die Personen I, II, III, IV haben mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 zu multiplizieren, und die zweiten Faktoren, die von den 4 genommenen Gegenständen abhängen, sind 1, 4, 16, 0. Es sind 24 Verteilungsarten möglich, die von den Anzahlen der auf dem Tisch zurückgebliebenen Spielmarken so abhängen, wie die folgende Tabelle angibt, wo die 4 Sachen a, b, c, d genannt sind. Reste 0 1 3 5 7 8 12 13 18 21 22 24

S4

I d a d a b b d a d a b b

II a d b b d a a d b b d a

III b b a d a d c c c c c c

IV c c c c c c b b a d a d

Reste 27 29 30 33 38 39 43 44 46 48 50 51

I d a d a b b c c c c c c

II c c c c c c d a d a b b

III a d b b d a a d b b d a

IV b b a d a d b b a d a d

Die Verteilung von 4 Sachen u n t e r 4 Personen ist vor Bachet schon in einem von Diego Palomino verfaßten u n d 1599 erschienenen Buche behandelt, in dem auch die magischen Q u a d r a t e besprochen sind. D e n k t m a n sich s t a t t der den Personen zugewiesenen Zahlen von 1 bis 4 die allgemeinen Zahlen a

li

a

2i a 3 9 * • • a n

und s t a t t der den 4 Sachen zugewiesenen Zahlen 1, 4, 16, 0 die allgemeinen Zahlen so gelangt m a n von dem Bachetschen Probleme zu dem folgenden mathematischen Probleme: W e n n man bei jedem der n ! durch P e r m u t a t i o n von x l 5 Xj, . . . x n entstehenden Komplexe die n darin a u f t r e t e n d e n Größen der Reihe nach mit den gegebenen Zahlen , a 2 , a 3 , . . . a n multipliziert u n d die erhaltenen n P r o d u k t e addiert, so entstehen als Summen n ! Zahlen, die alle verschieden sein sollen. Wie sind d a n n Xj, x 2 , x 3 , . . . x„ zu bestimmen ? Falls

a

i> a^» • • • a n die Zahlen von 1 bis n bedeuten, h a t H e r r Labosne, der Bearbeiter der 1879 erschienenen vierten Auflage des Bachetschen Buches, eine Methode angegeben (vgl. dort Note IV), die immer zu einer Lösung f ü h r t . Doch fehlt bis j e t z t eine allgemeine Behandlung des Problems. Auch f ü g t e H e r r Labosne hinzu, daß man die auf die 4 Gegenstände bezüglichen Bachetschen Zahlen 1, 4, 16, 0 auch durch 1, 2, 5, 15 ersetzen k a n n , falls den 4 Personen die Zahlen 1, 2, 3, 4 zugewiesen werden.

$ 15 £ p t e l b a n îtaef l&etfonen, bie a&taerfjfeïnb abbieren A und B verabreden ein Spiel, das darin besteht, d a ß j e d e r eine größere Zahl nennt, als diejenige ist, die der andere eben genannt h a t , d a ß aber der Überschuß einer genannten Zahl über die vorhergenannte Zahl nicht größer ist als 10, u n d d a ß derjenige g e w o n n e n h a t , der zuerst die Zahl „ 1 0 0 " zu nennen berechtigt ist. Bei diesem schon von Bachet mitgeteilten Spiel (Problèmes plaisans et délectables, Problème X X I I ) gewinnt immer derjenige, der zuerst eine der Zahlen 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89 nennen k a n n , falls er d a n n weiterhin keine andere Zahl als eine Zahl derselben Reihe n e n n t . W e n n er d a n n 89 g e n a n n t h a t , so k a n n der andere, der Spielregel gemäß, keine andere Zahl als eine der Zahlen von 90 bis 99 nennen, worauf d a n n sofort 100 genannt werden darf, wodurch das Spiel gewonnen ist. D a m i t aber einer der Spieler, etwa A, 89 nennen k a n n , m u ß er vorher 78 genannt haben, da d a n n B bei seinem Addieren u n t e r 89 bleiben m u ß . D a m i t ferner A 78 nennen k a n n , m u ß er vorher 67 genannt haben, usw. Man sieht also, d a ß m a n von der Grenzzahl 100 nacheinander 11 abziehen m u ß , u m die Zahlen zu erhalten, die A nennen muß, u m sicher zu gewinnen. Ist verabredet, d a ß B das Spiel beginnen soll und n e n n t er eine Zahl der obigen Reihe, so m u ß A verlieren, falls B nie eine andere Zahl, als eine der obigen Reihe n e n n t . W e n n aber B beginnt u n d eine nicht jener Reihe an-

86

gehörige Zahl nennt, so m u ß A gewinnen, falls er sofort die nächste erlaubte Zahl der obigen Reihe n e n n t u n d d a n n konsequent immer 11 zu der von i h m zuletzt genannten Zahl addiert. Das allgemeine Gesetz, nach dem eine solche Reihe zu bilden ist, ist leicht zu erkennen. Setzt m a n z s t a t t 100 u n d ist d der verabredete höchste Überschuß einer genannten Zahl über die vorher genannte, so wie es eben 10 war, so stellt z — n • (d -f- 1) die Zahlen dar, die A nacheinander nennen m u ß , u m zu gewinnen. Soll also z. B. derjenige gewinnen, der zuerst 40 sagen k a n n , u n d ist 6 der verabredete höchste Überschuß, so h a t A, u m zu gewinnen, sich aus 40 — 7 n die Zahlenreihe: 5, 12, 19, 26, 33 zu berechnen u n d diese Zahlen nacheinander zu nennen. W e n n beide Spieler, A u n d B, das Spiel u n d die zugehörige Reihe kennen, so gewinnt natürlich der, der anfängt, eine Zahl zu nennen. Eine kleine Variante des Spiels besteht darin, daß derjenige v e r l i e r e n soll, der zuerst die Zahl z nennen m u ß . D a n n m u ß A, u m zu gewinnen, die Zahlen nennen, die aus z — 1 — n (d + 1) hervorgehen, wenn m a n f ü r n ganze Zahlen einsetzt, also, falls wieder z = 40, d = 6 ist, 4, 11, 18, 25, 32. W e n n A es erreicht h a t , 32 nennen zu dürfen, so m u ß der andere Spieler B notwendigerweise eine der Zahlen v o n 33 bis 38 nennen. Darauf sagt A 39 u n d B, da er eine größere Zahl nennen muß, höchstens aber 40 sagen darf, m u ß 40 sagen, wodurch A gewonnen, B verloren h a t .

87

§ 14 &oUftommene M a g i e n Die Griechen liebten es, schon seit der Zeit der P y t h a goreer, die ganzen Zahlen hinsichtlich ihrer eigentümlichen Eigenschaften zu studieren. Namentlich wurden die Zahlen hinsichtlich der Summe ihrer Teiler untersucht. J e d e Zahl w a r entweder vollkommen oder überschießend oder mangelh a f t . V o l l k o m m e n hieß eine Zahl, wenn die Summe ihrer sämtlichen Teiler ihr gleich ist, ü b e r s c h i e ß e n d , wenn die Teilersumme größer als die Zahl selbst ist, m a n g e l h a f t , wenn die Teilersumme kleiner als die Zahl selbst ist. Dabei wurde die Zahl 1 als Teiler mitgezählt, nicht aber die Zahl selbst als ihr eigener Teiler betrachtet. Die Teilersumme einer Zahl findet man leicht aus ihrer Zerlegung in Primfaktoren, wie folgende Beispiele zeigen. Die Zahl 72 ist gleich 8 mal 9, also gleich 2 3 • 3 2 , woraus folgt, daß ihre sämtlichen Teiler, einschließlich 72 selbst, entstehen, wenn man jede Zahl der Reihe 1, 2, 2 2 , 2 8 mit jeder der Zahl der Reihe 1, 3, 3 S multipliziert. Also muß die Summe der Teiler der 2 3 mit Zahl 72 herauskommen, wenn man 1 -}- 2 -f- 2 2 1 -f- 3 -f- 3 2 multipliziert und vom erhaltenen Produkt 72 subtrahiert. Man erhält dadurch 15 • 13 — 72 = 195 — 72 = 123. Da 123 größer als 72 ist, so ist 72 eine überschießende Zahl. Prüfen wir zweitens die Zahl 880. Ihre Zerlegung in Primfaktoren ergibt viermal die Primzahl 2, einmal die 5, einmal die 11. Also ist 880 = 2* • 5 • 11, weswegen sich die sämtlichen Teiler von 880 ergeben, wenn m a n jede Zahl der

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Reihe 1, 2, 4, 8, 16 mit jeder Zahl der Reihe 1, 5, und das Produkt endlich mit jeder Zahl der Reihe 1, 11 multipliziert. Daraus folgt, d a ß die Teilersumme von 880 gleich (1 + 2 + 4 + 8 + 16) (1 + 5) (1 + 11) — 880 i s t , also 31 • 6 • 12 — 880 = 186 • 12 — 880 = 2232 — 880 = 1352 ist. Also ist auch 880 überschießend. Dagegen ist 147 eine mangelhafte Zahl, weil 147 = 3 • 7 2 und (1 + 3) (1 -)- 7 - f 49) — 147 = 228 — 147 = 81 < 147 ist. Endlich ist die Zahl 496 vollkommen, weil 496 = 2 4 • 31 i s t , und weil (1 + 2 + 4 + 8 + 16) (1 + 31) — 496 = 31 • 32 — 496 - 992 — 496 = 496 ist. Wie schon Euklid u m 300 vor Christi Geburt bewiesen h a t , entstehen gerade vollkommene Zahlen dadurch, d a ß man irgendeine Primzahl, die um 1 kleiner ist, als eine Potenz von 2, mit der nächst kleineren Potenz von 2 multipliziert. Es ist z. B. 31 eine Primzahl, die um 1 kleiner ist als 32, die f ü n f t e Potenz von 2. Multipliziert man 31 mit der nächst niederen Potenz von 2, also mit 16, so entsteht die vollkommene Zahl 496. D a ß diese Euklidische Regel immer zu einer vollkommenen Zahl f ü h r t , geht aus dem oben dargelegten Verfahren f ü r die A u f f i n d u n g der Teilersumme einer Zahl hervor. Denn, wenn 2n — 1 eine Primzahl ist, so erhält m a n die Teilersumme der Zahl (2 n — 1) • 2 n

—1

dadurch, d a ß m a n die S u m m e l + ( 2

n

- l )

mit der S u m m e 1 + 2 + 22 + 23 + multipliziert u n d vom erhaltenen P r o d u k t e die Zahl selbst subtrahiert. N u n i s t :

(1 - f 2» — 1) • (1 + 2 + 2 2 + . . . 2 " - 1 ) — (2 — 1) • 2 n — 1 = 2 n • (2 n — 1) — 2 n ~ 1 • (2 n — 1) = (2 n — 1) • ( 2 » — 2 ° - ! ) = ( 2 i — 1 ) . 2 " - 1 - (2 — 1) n

=

( 2 » -

J) •

- I .

Man sieht also, d a ß die Teilersumme gleich der Zahl selbst wird. Euler h a t bewiesen, daß es keine anderen g e r a d e n vollkommenen Zahlen geben k a n n , als die auf solche Weise entstehenden. D a ß es keine ungeraden vollkommenen Zahlen unterhalb einer sehr hohen Grenze geben k a n n , ist neuerdings bewiesen. Noch aber ist ein allgemeiner Beweis nicht geliefert, daß es ü b e r h a u p t keine ungeraden volllkommenen Zahlen geben kann. Von späteren Griechen haben sich besonders Nikomachos u n d Jamblichos mit vollkommenen Zahlen beschäftigt. Von Jamblichos ist ein ausführlicher Bericht über diese Zahlen v e r f a ß t , in dem b e h a u p t e t wird, d a ß jede Myriadenstufe eine vollkommene Zahl e n t h ä l t . U n t e r erster Myriadenstufe versteht nämlich Jamblichos die Zahlen von 104—10®, u n t e r zweiter die von 10 8 bis 10 1 8 u n d ü b e r h a u p t unter n-ter Myriadenstufe die Zahlen von 10 4 n bis 10 4 < n + 1>. H e r r Hultsch h a t 1895 u n d 1896 diese B e h a u p t u n g des Jamblichos in den Nachr. der Kgl. Sachs. Gesellsch. der Wiss. geprüft u n d festgestellt, daß die erste myriadische Stufe zwar eine, die zweite aber zwei, die dritte keine, die vierte eine, die f ü n f t e , sechste, siebente, achte keine, die neunte aber wieder eine vollkommene Zahl besitze. Da (2P — 1) • 2P — 1 nur d a n n eine vollkommene Zahl liefert, wenn 2P — 1 Primzahl ist, so ist die Aufsuchung der Primzahlen v o n der F o r m 2 P — 1 erforderlich, u m alle vollkommenen Zahlen finden zu können. Mit dieser Aufsuchung h a t sich besonders Mersenne beschäftigt, u n d zwar in seinen 1644 erschienenen Cogitata Physico-Mathematica. Zunächst ist ein-

go

zusehen, daß 2P — 1 n u r d a n n Primzahl sein k a n n , wenn p Primzahl ist. Denn wenn p = m • n wäre, wo m u n d n beide größer als 1 6ind, so folgt aus der Teilbarkeit von x n — 1 durch x — 1, d a ß auch 2 m • n — 1 durch 2 m — 1 teilbar sein m u ß . Man h a t n u n nacheinander die Zahlen von der F o r m 2P — 1, wo p Primzahl ist, u n t e r s u c h t , u n d zwar vorläufig bis p = 127. So ist n u n m e h r festgestellt, d a ß 2 P — 1 , wo p < ; 127 ist, nur d a n n Primzahl ist, wenn p eine der Zahlen 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127 ist. Die aus den 9 ersten dieser 12 Zahlen entstehenden Primzahlen von der F o r m 2P — 1 sind folgende: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147'483647, 2'305843'009213'693951. Hieraus ergeben sich nach dem oben besprochenen Euklidischen Bildungsgesetz als vollkommene Zahlen: 6, 28, 496, 8128, 33'550336, 8589'869056, 137438'691328; 2'305843'008139'952128, u n d 2'658455'991569'831744'654692'615953'842176, zu welchen 3 noch größere aus den Zahlen 89, 107 u n d 127 entstehende hinzukommen. E s sind also bis j e t z t 12 vollkommene Zahlen wirklich ausgerechnet, u n d die größte u n t e r ihnen ist 77-ziffrig. Es ist auffällig, daß jede dieser Zahlen entweder mit der Ziffer 6 oder mit den Ziffern 28 endigt. Dies ist nicht Zufall, sondern ein allgemeines, f ü r alle geraden vollkommenen Zahlen bewiesenes Gesetz. Mit der Definition der vollkommenen Zahlen verwandt ist die Definition der „ b e f r e u n d e t e n " Zahlen. Befreundet heißen nämlich 2 verschiedene Zahlen, wenn jede v o n ihnen gleich der Teilersumme der a n d e r n ist. Solche 2 Zahlen sind

9i

z. B. 220 und 284, denn 220 = 2 a • 5 • 11, 284 = 2 2 • 71, woraus folgt, daß die Teilersumme von 220 gleich (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 5) (1 - f 11) — 220 = 7 • 6 • 12 — 220 = 504 — 220 = 284 ist, u n d daß die Teilersumme v o n 284 gleich (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 71) = 7 • 72 — 284 = 504 — 284 = 220 ist. Nach Jamblichos sollen schon die Pythagoreer den Begriff der befreundeten Zahlen aufgestellt haben. Mit der Aufstellung eines allgemeinen Gesetzes zur A u f f i n d u n g von P a a r e n befreundeter Zahlen beschäftigten sich Cartesius u n d d a n n Euler.

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§15 l^ptljagoreiidje unb öecanifdjc galjlen Die Umkehrung des pythagoreischen Lehrsatzes sagt aus, daß ein Dreieck rechtwinklig ist, wenn das Quadrat über einer Seite ebensoviel Inhalt hat, wie die Summe der Quadrate über den beiden andern Seiten. Man kann daher einen rechten Winkel dadurch konstruieren, daß man 3 Zahlen x, y, z sucht, die der Bedingung x 2 = y 2 -{- z 2 genfigen, und daß man dann ein Dreieck herstellt, dessen Seiten x, y und z mal so groß sind, als irgendeine als Maßeinheit dienende Strecke. Die kleinsten Zahlen, die der Bedingungsgleichung x 2 = y 8 -f- z 2 gehorchen, sind 5, 4, 3, indem 5 2 = 25 = 4 2 -f- 3 2 = 16 + 9 ist. Die Erkenntnis, daß die Zahlen 5, 4, 3 auf ein r e c h t w i n k l i g e s Dreieck führen, ist, nach dem Berichte der Griechen, uralten ägyptischen Ursprungs. Hiernach sollen in ältester Zeit bei der Fundamentierung eines ägyptischen Baues die Harpedonapten, d. h. Seilspanner, deshalb eine Rolle gespielt haben, weil sie in der Kunst geübt waren, 3 Pflöcke so in die Erde zu stecken, daß sie einen genauen rechten Winkel ergaben. Nachdem nämlich durch die von der Sonne entworfene kürzeste Schattenlänge die genaue Richtung von Norden nach Süden als die eine Hauptrichtung des zu errichtenden Bauwerks festgestellt war, mußten die Seilspanner kommen, um die Richtung von Osten nach Westen als die zweite Hauptrichtung durch

93

Pflöcke zu bezeichnen. Sie bedienten sich dazu eines in sich selbst zurücklaufenden Seiles, das durch Knoten in 12 gleiche Teile geteilt war, und sorgten nun dafür, daß die beiden Pflöcke, die die Richtung von Norden nach Süden angaben, um 4 solcher Teile entfernt waren. Wenn sie dann mit einem dritten Pflock das in sich selbst zurücklaufende Seil so spannten, daß sich an den einen Pflock 5 Teile, an den andern Pflock 3 Teile anschlössen, so bildeten die beiden Seilrichtungen, die 3 und 4 Teilen entsprachen, einen genauen rechten Winkel. Hiernach muß also dem Erfinder des ägyptischen Seilspannens bekannt gewesen sein, daß, wenn die Seiten eines Dreiecks sich wie 3 zu 4 zu 5 verhalten, dasselbe rechtwinklig sein muß. Außer dem Zahlentripel 3, 4, 5 ist namentlich noch 5, 12, 13 als ein solches bekannt, das zu einem rechtwinkligen Dreieck führt. Dieses Zahlentripel kommt in einer Aufgabe vor, die in der chinesischen Arithmetik „Kiu tschang" steht. Nach chinesischer Angabe soll der Kiu tschang etwa 2600 vor Christi Geburt von Tsin Kiu Tschau verfaßt sein. Die Aufgabe lautet: „Im Mittelpunkte eines quadratischen Teiches von 10 Fuß Seitenlänge wächst ein Schilf, das sich 1 Fuß hoch über das Wasser erhebt. Als man dasselbe ans Ufer nach der Mitte einer Seite zog, reichte es gerade bis an den Rand des Teiches. Wie tief war der Teich ? " Die Antwort ist 12 Fuß, indem die Mitte des Teiches, wo das Schilf sich über das Wasser erhebt, die Wurzel des Schilfs und die Mitte der einen Seite des von dem Teich gebildeten Quadrats die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks sein müssen, dessen Seiten 12 -J— 1 Fuß, 12 Fuß und die Hälfte von 10 Fuß sind. Jedes Tripel von positiven ganzen Zahlen, das die Gleichung x 2 = y 2 -j- z2 erfüllt, nennt man ein pythagoreisches Tripel, wegen des Zusammenhangs dieser Gleichung mit dem von Pythagoras entdeckten Lehrsatz. Mit der Aufsuchung

94

solcher pythagoreischen Tripel haben sich schon die griechischen Mathematiker beschäftigt. Es ist sehr leicht, ein Bildungsgesetz zu finden, das mit Sicherheit zu allen denkbaren Tripeln führt. Zunächst ist klar, daß jedes richtige Tripel dadurch unzählig viele neue Tripel hervorruft, daß man jede der 3 Zahlen x, y, z des Tripels mit einer und derselben Zahl multipliziert. So ist 6, 8, 10 oder 9, 12, 15 ein pythagoreisches Tripel, weil 3,4, 5 eins ist. Deswegen brauchen wir uns nur mit der Aufsuchung solcher Tripel zu beschäftigen, die keinen gemeinsamen Teiler haben. Demgemäß können wir auch voraussetzen, daß die beiden Kathetenzahlen y und z keinen gemeinsamen Teiler haben. Denn wenn sie einen solchen hätten, müßte ihn auch x haben, und das wollten wir ausschließen. Pythagoreische Zahlentripel, die keinen gemeinsamen Teiler haben, sollen „ u r s p r ü n g l i c h e " heißen, und solche, die einen gemeinsamen Teiler haben, wollen wir „ a b g e l e i t e t e " nennen. Um alle ursprünglichen Tripel zu finden, setzen wir x = y -f- a , oder, da x 2 = y 2 -f- 2 a y + a 2 ist, y 2 + 2 a y + a 2 = y 2 + z2 oder endlich: I. a ( 2 y + a ) = z 2 . Dann darf a weder den Faktor 4 enthalten noch einen ungeraden Faktor, der keine Quadratzahl ist. Im ersten Falle müßte 2 y -f-a , welches dann gerade wäre, auch den Faktor 4 haben, weil sonst a (2 y -f- a) kein Quadrat sein könnte, d. h. y müßte wie z gerade sein, was ausgeschlossen ist. Im zweiten Fall müßte, damit a (2 y -(- a) ein Quadrat ist, 2 y -f- a und deshalb auch y wie z selber durch a teilbar sein. Wir würden also wieder kein ursprüngliches Tripel erhalten. Es bleiben also für a nur zwei Möglichkeiten: 1. a ist eine ungerade Quadratzahl, 2. a ist das Doppelte einer ungeraden

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Quadratzahl. Nehmen wir das letztere an und setzen a = so folgt aus I : z 2 = 2w 2 (2y + 2w 2 ) = 4w 2 (y + w 2 ), y+ wir:

2wJ,

muß also eine Quadratzahl v a sein. Danach haben II. y = v 2 — w 2 III. z =

|/4W2V2= 2W v

IV. X = V2 — w 3 -f 2 w 2 = V 2 + w 2 . Aus den Gleichungen I I und IV folgt, daß v 2 gerade sein muß. Denn wären w 2 und v s beide ungerade, so wären x und y beide gerade, was ausgeschlossen ist. Aus I I I und IV folgt ferner, daß x — z = (v — w) 2 , d. h. daß x die Summe aus z und einer ungeraden Quadratzahl ist. Ist also die eine Kathete y um das Doppelte einer ungeraden Quadratzahl kleiner als die Hypotenuse x, so ist die andere Kathete z um eine Quadratzahl kleiner als diese. Die oben unterschiedenen Fälle 1 und 2 treten also stets gemeinsam auf, und 2 liefert nichts Neues. Wenn wir in den drei Gleichungen I I , I I I und I V für v und w irgendwelche ganze Zahlen einsetzen, so erhalten wir für x , y , z stets ganze Zahlen, die der pythagoreischen Gleichung x2 _ y2 _j_ z 2 Genüge leisten. Damit dieselben auch positiv und ohne gemeinsamen Teiler werden, müssen wir v und w so wählen, daß dreierlei Bedingungen erfüllt werden: erstens v > w , zweitens v und w ohne gemeinsamen Teiler, drittens v und w nicht beide ungerade. Aus jedem Zahlenpaar v und w, das diese Bedingungen erfüllt, ergeben sich durch die Gleichungen I I , I I I und IV 3 Zahlen x , y , z , die ein ursprüngliches pythagoreisches Zahlentripel bilden. Zugleich haben wir er-

kannt, daß kein solches Tripel existieren kann, das nicht auf diese Weise entstände. {

v

= n ,

\ w =

1|

Wenn wir also

i - i i |w =

2J


7'/. 28«/» lö'/a 4'!» 23 121jl2

Vh ao

9 2S Ii

«

24Va 11 3 21V. 11

J a n u a r i. S c h a l t j . F e b r u a r i. Schaltj. J a n u a r i. G e m e i n j . F e b r u a r i. G e m j . März April Mal Juni Juli August September . . . Oktober November . . . Dezember . . . .

3 4Va 4 SVs 4 5V= 6 7Va 8 9Va 11 11'/.. 13 13V=

I m a l t e n Stil sind S c h a l t j a h r e solche J a h r e , deren Zahl d u r c h 4 teilb a r ist. I m n e u e n Stil sind S c h a l t j a h r e solche J a h r e , deren Z a h l n i c h t auf 00 endigt u n d d u r c h 4 teilbar ist, a u ß e r d e m solche J a h r e , d e r e n Z a h l d u r c h 400 teilbar ist. Alle ü b r i g e n J a h r e sind G e m e i n j a h r e . 1900 ist also i m a. St. Schaltj., i m n . S t . G e m e i n j a h r . — Gem e i n j a h r e h a b e n 28 T a g e i m Febr., Schaltj. 29.

Von der S u m m e d e r i n I u n d I I d e m J a h r h u n d e r t u n d d e m J a h r g a n g beigesetzten f e t t g e d r u c k t e n Z a h l e n s u b t r a h i e r e m a n die i n I I I d e m M o n a t beigesetzte fettged r u c k t e Zahl. D a n n ist das e r h a l t e n e Resultat, n ö t i g e n f a l l s u m 29Va v e r m e h r t o d e r v e r m i n d e r t , das D a t u m eines N e u monds. Z.B.: 1 1897 D e z e m b e r (n. St.) = 0 + 7Vt — 131/B + 29V« - 231/«. Der E i n t r i t t de» N e u m o n d s w a r a m 23. D e z e m b e r abends g e g e n 9 U h r . 2. 1572 A u g u s t 4 l /a + 1 4 — D'/a — 9. A m 9. A u g u s t 1572 w a r N e u m o n d .

IQ2

§ £3 €ulerfdje

iBanberungcn

Innerhalb Königsbergs bildet der Pregel eine „Kneiphof" genannte Insel. Über die beiden Flußarme, welche diese Insel bilden, führen 7 Brücken, von denen 5 auf die Insel selbst führen und 2 die beiden Arme schon vorher überschreiten, ehe dieselben die Insel umschließen, wie die folgende mehr schematisch als topographisch aufzufassende Figur zeigt, in der das Wasser schattiert, Land und Brücken nicht schattiert sind.

Hier bedeutet B die Insel, A das Land zwischen den beiden Flußarmen, C und D das Land rechts und links von diesen Flußarmen. Um das Jahr 1775 erhob sich nun eine Diskussion darüber, ob es möglich sei, einen Spaziergang in Königsberg so einzurichten, daß man alle 7 Brücken in beliebiger Reihenfolge, jede aber nur einmal passiert. Man erkennt leicht, daß es unmöglich sein muß. Als Leonhard Euler, der berühmte Mathematiker des 18. Jahrhunderts, von diesem Problem hörte, verallgemeinerte er dasselbe, indem er statt der 4 Landflächen eine beliebige Anzahl setzte, zwischen denen Brücken und Wasserläufe in beliebiger Anordnung sich befinden. Er schrieb eine Abhandlung darüber, T3

S c h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

die er 1736 der Petersburger Akademie vorlegte. Da es bei dem Königsberger Problem u n d allen ähnlichen Problemen nicht auf die Größe der Landflächen u n d Brücken, sondern nur auf die V i e l f a c h h e i t d e r Z u g ä n g l i c h k e i t a n k o m m t , so ersetzt m a n , u m die Übersicht zu erleichtern, die Landflächen am besten durch P u n k t e u n d die Brücken durch Linien. Dadurch e n t s t e h t aus dem Problem der Königsberger Brücken das Problem, die folgende Figur in einem einzigen Zuge herzustellen, oder, was dasselbe ist, die 7 Linien der Figur ohne Unterbrechung so zu durchwandern, d a ß j e d e Linie einmal, aber auch n u r einmal, passiert wird.

Aus diesem Problem sind die mannigfachen A u f g a b e n entstanden, welche verlangen, eine beliebige Figur in einem einzigen Zuge oder in einer vorgeschriebenen Anzahl von Zügen zu zeichnen, Aufgaben, welche gelegentlich in Unterhaltungs- u n d in Jugendzeitschriften auftreten. Die Lösung aller solchen Probleme gestaltet sich durch die folgende Überlegung äußerst einfach. J e d e r P u n k t , der nicht Anfangsu n d nicht E n d p u n k t einer Durchwanderung der Figur ist, m u ß 2 oder 4 oder 6 oder ü b e r h a u p t eine gerade Anzahl von Ausgängen haben, da m a n immer hinkommen u n d auch wieder fortkommen m u ß . W e n n also eine Figur keine P u n k t e

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mit einer ungeraden Anzahl von Zugängen besitzt, sondern wenn von jedem ihrer Punkte eine gerade Anzahl von Wegen ausgeht, so muß die Figur immer in einem einzigen Zuge herstellbar sein. Dabei kann dann jeder Punkt als Ausgangspunkt gewählt werden, muß aber zugleich Schlußpunkt werden, so daß sich bei einer solchen Figur in sich zurücklaufende Rundreisen einrichten lassen, bei denen jeder Punkt mindestens einmal besucht wird, jede Linie aber einmal und nur einmal durchwandert wird. Beispielsweise läßt sich jede der folgenden Figuren leicht auf mannigfache Weise in einem einzigen Zuge herstellen, weil alle Punkte immer eine gerade Anzahl von Ausgängen besitzen:

13*

*95

Was die P u n k t e mit einer u n g e r a d e n Anzahl von Ausgängen betrifft, so läßt sich zunächst einsehen, daß solche P u n k t e immer in gerader Anzahl v o r h a n d e n sein m ü s s e n . U m dies einzusehen, denke m a n sich auf jeden P u n k t die Anzahl seiner Ausgänge hingeschrieben. Die G e s a m t s u m m e der so erhaltenen Zahlen muß ergeben, wieviel L i n i e n die Figur besitzt, wobei jedoch zu beachten ist, daß jede Linie dabei sowohl in ihrem einen wie in ihrem andern E n d p u n k t e berechnet ist. Folglich ist jene Gesamtsumme das Doppelte der Anzahl aller Linien, also eine g e r a d e Zahl. Von dieser geraden Zahl denke man sich alle geraden Zahlen abgezogen, welche bei den sämtlichen P u n k t e n der Figur stehen. D a durch diese Subtraktion wieder eine gerade Zahl e n t s t e h e n muß, so ist hiermit bewiesen, d a ß die Summe der a n P u n k t e n der Figur stehenden ungeraden Zahlen i m m e r eine gerade sein m u ß . Da man endlich von einer ungeraden Zahl immer eine gerade subtrahieren muß, u m auf die Zahl 1 zu kommen, so folgt nun, daß die Anzahl der P u n k t e , die eine ungerade Anzahl von Ausgängen h a b e n , g e r a d e sein m u ß . Betrachten wir n u n zunächst eine Figur, welche a u ß e r P u n k t e n , von denen eine gerade Anzahl von Wegen a b f ü h r t , nur 2 P u n k t e besitzt, die eine ungerade Anzahl von Ausgängen haben. D a n n k a n n keiner dieser P u n k t e Zwischenstation auf einer W a n d e r u n g über die Linien dieser Figur sein, weil m a n immer, nach Erreichung eines Punktes auf dem einen Wege, auf einem andern Wege ihn wieder verlassen muß, was nur bei einer geraden Anzahl von Zugängen erreichbar ist. Hieraus folgt, d a ß der eine der beiden P u n k t e mit ungerader Ausgangszahl Anfangs Station, der andere Endstation werden m u ß . Beispielsweise läßt sich die folgende Figur auf mehrfache Weise in einem einzigen Zuge herstellen, aber i m m e r nur, wenn von den IQÖ

P u n k t e n A u n d Z der eine A n f a n g s p u n k t , der andere Schlußp u n k t wird:

Eine der vielen möglichen Lösungen ist z. B. der folgende Zug: ABCDEZFGH JAHKGZDLCAMCNDMNHMGNZ. I n derselben Weise erkennt m a n n u n leicht, daß, wenn eine Figur 4 P u n k t e mit ungerader Ausgangszahl enthält, sie nicht in einem einzigen Zuge, wohl aber in 2 Zügen gezeichnet werden k a n n , indem von den 4 P u n k t e n 2 f ü r den einen und 2 f ü r den andern als Anfangs- u n d Schlußpunkt gewählt werden. Allgemein ergibt sich, d a ß jede Figur immer in so viel Zügen hergestellt werden k a n n , wie die H ä l f t e der Anzahl sämtlicher P u n k t e b e t r ä g t , von denen eine ungerade Anzahl von Wegen ausgeht. W e n n wir diese Regel auf das Problem der Königsberger Brücken anwenden, so haben wir zu beachten, d a ß von den 4 P u n k t e n A, B , C, D der auf dieses Problem bezüglichen schematischen Figur B 5 Ausgänge h a t , während jeder der 3 übrigen P u n k t e 3 Ausgänge h a t ; woraus zu schließen ist, d a ß die 7 Brücken v o n Königsberg nur auf z w e i Wanderungen mit verschiedenen Anfangs- u n d E n d p u n k t e n passiert werden können, wenn es darauf a n k o m m t , d a ß jede Brücke n u r einmal betreten wird, z. B . auf den beiden Wanderungen C A B u n d D B C B D A.

197

Um ein weiteres Beispiel zu haben, betrachten wir die Figur des pythagoreischen Lehrsatzes mit dem zum Beweise notwendigen Lote von A auf D E. B

Da nur die Punkte A und L eine ungerade Anzahl von Ausgängen haben, so ist die Figur in einem einzigen Zuge zu zeichnen, wenn man bei A anfängt und bei L aufhört oder umgekehrt. Z. B. stellt der Weg LKAGFBELDCIHACKBA die Figur in einem einzigen Zuge her. Um endlich zu entscheiden, in wieviel Zügen die Figur des Schachbretts herzustellen ist, beachte man, daß von den 81 Punkten dieser Figur die 4 Ecken 2 Ausgänge und die 49 inneren Punkte je 4 Ausgänge haben, so daß bloß die 4 • 7 Punkte, welche am Rande liegen und nicht Ecken sind, als Punkte mit 3, also einer ungeraden Anzahl von Ausgängen übrigbleiben. Da die Hälfte von 4 • 7 = 1 4 beträgt, so sind

198

zur Herstellung der Figur des Schachbretts mindestens 14 Züge erforderlich. Es entsteht noch die Frage, auf welche Weise bei einer vorliegenden Figur die Linien zu durchwandern sind, damit auch wirklich jede Linie einmal beschritten wird. Dies ist sehr einfach. Nachdem m a n sich die P u n k t e mit ungerader Ausgangszahl als Anfangs- u n d Schlußpunkte von Zügen gekennzeichnet h a t , verbinde m a n zunächst jeden Anfangspunkt m i t einem Schlußpunkt in irgendwelcher Weise. D a n n bleiben n u r noch Wege übrig, die in sich geschlossen sind. Es ist nun immer sehr leicht, diese in sich geschlossenen Wege mit in einen der schon gezeichneten ungeschlossenen Wege hineinzuziehen. Von den verschiedenartigen Einkleidungen, die m a n den a u s dem Problem der Königsberger Brücken hervorgegangenen Aufgaben gegeben h a t , sind besonders zwei beachtenswert. Die erste Einkleidung setzt an die Stelle der P u n k t e Länder u n d a n die Stelle der Linien zu überschreitende Grenzen zwischen diesen L ä n d e r n . So würde ein K o n t i n e n t von 8 Ländern, die so zueinanderliegen, wie die 8 Flächenstücke der folgenden Figur, in 2 Wanderungen bereist werden können, wenn es darauf a n k o m m t , d a ß jede Grenze zwischen 2 Ländern einmal überschritten wird. D a ß mindestens 2 Wanderungen erforderlich sind, folgt daraus, d a ß 4 von den 8 Ländern eine ungerade Anzahl v o n Grenzen gegen andere Länder

igg

haben. I n der Figur bedeutet die jedem Flächenstücke eingezeichnete Zahl, wieviel andere Flächenstücke dasselbe begrenzen. Die zweite Einkleidung überträgt die in einer Ebene gedachten Resultate auf den R a u m , indem sie an die Stelle von P u n k t e n und Linien der Ebene Körper setzt, die aus Flächen, K a n t e n und Ecken sich zusammensetzen. Die Aufgabe besteht dann darin, sämtliche K a n t e n zu passieren, jede aber nur einmal. Dabei kann man als Stationen entweder die Ecken oder die Flächen auffassen. J e nachdem hat man dann zu überlegen, welche Ecken eine ungerade Anzahl von K a n t e n aussenden oder welche Flächen eine ungerade Anzahl von Seiten besitzen. Beispielsweise hat ein Würfel 8 Ecken, von denen jede 3 K a n t e n aussendet, und 6 Flächen, von denen jede 4 K a n t e n enthält. Daher können die 12 K a n t e n eines Würfels in weniger als 4 Wanderungen nicht beschritten werden, wenn m a n nur auf den K a n t e n wandert, also die Ecken als Stationen benutzt, um von einer K a n t e zu einer andern zu gelangen. Wenn m a n aber die Flächen zum Übergang von einer K a n t e zu einer andern benutzt, so ist nur eine Wanderung nötig, damit jede K a n t e einmal überschritten wird.

200

§ 24

^amütonfctje Ötmbrcifen I m J a h r e 1859 erschienen in London zwei Geduldspiele, die von dem b e r ü h m t e n Mathematiker Hamilton, dem Schöpfer der Quaternionentheorie, herrührten. Das eine Spiel hieß: „Die Reisenden auf dem Dodekaeder oder eine Reise um die W e l t " , das andere „ D a s Ikosaeder-Spiel". Beide Spiele sind wesentlich nicht verschieden, sie ähneln äußerlich den in § 23 behandelten „Eulerschen W a n d e r u n g e n " , erweisen sich aber bei näherer B e t r a c h t u n g als ganz verschieden von diesen. Das Dodekaeder-Spiel verlangt, durch W a n d e r u n g auf den K a n t e n eines regelmäßigen Dodekaeders dessen 20 Ecken zu erreichen, dabei jede E c k e nur einmal zu besuchen u n d schließlich auf den Ausgangspunkt zurückzukehren. Zur Vorstellung eines regelmäßigen Dodekaeders gelangt der Laie am einfachsten d a d u r c h , d a ß er bei der folgenden Figur sich die

äußern 5 Fünfecke u m die K a n t e n des innern Fünfecks nach oben umgebogen denkt u n d auf das so entstandene Kästchen

201

sich ein genau ebenso geformtes K ä s t c h e n aufgesetzt d e n k t , u n d zwar so, daß ganz oben wagerecht das innere Fünfeck des zweiten Kästchens zu liegen k o m m t u n d daß die oberen K a n t e n des unteren Kästchens mit den unteren K a n t e n des oberen Kästchens zusammenfallen. Der so entstehende Körper wird v o n 12 Fünfecken begrenzt, so d a ß 20 Ecken entstehen, von denen jede 3 K a n t e n u n d also auch 3 Flächen aussendet. Als Gesamtzahl aller K a n t e n ergibt sich 30. Da der Körper lauter gleiche K a n t e n u n d lauter gleiche Winkel zwischen 2 Flächen besitzt, so gehört er zu den 5 regulären K ö r p e r n . Das reguläre Ikosaeder, nach welchem das zweite von H a m i l t o n angegebene Spiel b e n a n n t ist, wird von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt, 60 d a ß 12 Ecken entstehen, von denen jede 5 Flächen u n d also auch 5 K a n t e n aussendet. Das Dodekaeder u n d das Ikosaeder stehen sich so gegenüber, d a ß immer der eine K ö r p e r sich bezüglich seiner Flächen so verhält wie der andere bezüglich seiner Ecken. Das Ikosaeder-Spiel verlangt, d a ß die 20 Flächen eines regulären Ikosaeders sämtlich besucht werden, jede aber nur einmal, u n d d a ß dabei der Übergang von einer Fläche zu einer benachbarten nur durch Überschreiten der gemeinsamen Grenzkante beider s t a t t f i n d e t . Wegen des oben angedeuteten Zusammenhangs zwischen Dodekaeder u n d Ikosaeder ist das Ikosaeder-Spiel, dem Wesen nach, von dem Dodekaeder-Spiel nicht verschieden. Wir besprechen daher im folgenden nur das Dodekaeder-Spiel. Da es u n b e q u e m ist, zur Ausführung der W a n d e r u n g auf dem K a n t e n n e t z eines regulären Dodekaeders i m m e r das Modell eines solchen Körpers zur H a n d zu nehmen, so ersetzen wir jenes K a n t e n n e t z durch eine ebene Figur, die die f ü r das Spiel allein wesentlichen Eigenschaften der Dodekaederoberfläche auch besitzt. Weil es bei dem Spiel darauf a n k o m m t , die 20 Ecken auf einer W a n d e r u n g auf den K a n t e n sämtlich zu besuchen, dabei aber

202

jede nur einmal, so k a n n das Spiel auch auf den Linien jeder Figur ausgeführt werden, die sich aus 20 P u n k t e n u n d 30 Verbindungslinien so zusammensetzt, d a ß von jedem P u n k t e genau 3 Linien ausgehen, u n d d a ß diese Linien 12 Fünfecke begrenzen. Dabei können die Linien gerade oder k r u m m sein. Demgemäß ersetzen wir das K a n t e n n e t z des regulären Dodekaeders durch die folgende, leicht zeichenhare Figur.

Die Figur besteht also aus 3 konzentrischen Kreisen, von d e n e n der mittlere sowohl mit dem inneren wie mit dem äußeren durch je 5 gerade Querstrecken verbunden ist. Wie die Oberfläche des Dodekaeders, enthält diese Figur in 12 Fünfecken 20 P u n k t e , die durch 30 Linien miteinander verbunden sind, i n d e m jeder P u n k t 3 Linien aussendet. Es wird nach einigen Versuchen immer leicht gelingen, die Linien unserer F i g u r sich so durchwandert zu denken, daß jeder P u n k t einmal besucht wird und der Schlußpunkt mit dem Ausgangsp u n k t zusammenfällt. H a m i l t o n stellte aber von vornherein die weitere Forderung, d a ß die ersten 5 Stationen vorge-

203

schrieben Bein sollen. Bei dieser Beschränkung ist das Problem auf 2 fache oder auf 4 fache Weise lösbar, j e nach der W a h l der ersten 5 Stationen (s. Fig.).

Sind z. B. in der vorstehenden Figur A, B, C, D, E die ersten 5 S t a t i o n e n , so ergibt die weitere W a n d e r u n g F G H J K L M N O P Q R S T U A eine naheliegende Lösung. Ein zweites Problem, das Hamilton stellte, schrieb die 3 ersten Stationen und die nicht mit der Anfangsstation identische Schlußstation willkürlich vor, hielt aber sonst an der grundlegenden Forderung fest, d a ß jede Station nur einmal besucht werden dürfe. Dieses zweite Problem f ü h r t zu 0, 1, 2, 4 oder 6 Lösungen, j e nach der Wahl der gegebenen 4 Stationen. Beispielsweise h a t das Problem nur eine einzige Lösung, wenn A, B, C als Anfangsstationen, Q als Schlußstation gegeben ist. Diese Lösung l a u t e t : A B C D E F T U N M L K J H G R S O P Q.

204

Sind dieselben Anfangsstationen, aber eine andere Schlußstation vorgeschrieben, so ergeben sich 2, 4 oder 6 Lösungen, ausgenommen, wenn K , D, F, P, M, N, T Schlußstationen sind. D a n n hat das Problem nämlich gar keine Lösung. Eine dritte Modifikation, die Hamilton dem Probleme gab, n a h m mehrere aufeinanderfolgende Anfangsstationen als gegeben an und verlangte d a n n , d a ß nach einer vorgeschriebenen Anzahl von folgenden Stationen es u n m ö g l i c h werde, weiterzureisen, ohne daß die Vorschrift, jede Station nur einmal zu besuchen, verletzt werde. Wenn z. B. T, S, R, Q 4 gegebene Anfangsstationen sind, und dann verlangt wird, daß nach 6 weiteren Stationen die Fortsetzung der Reise unmöglich werde, so ergibt sich die eine Lösung: TSRQJHDEFG. Endlich bestand eine vierte Modifikation des Geduldspiels darin, daß eine vorgeschriebene Station bei der Reise ausgeschlossen sein sollte. Wenn z. B. A, B, C die 3 ersten Stationen, D die letzte Station sein sollen, und wenn außerdem der Ort M ausgeschlossen sein soll, so ergeben sich 2 Lösungen, von denen die eine heißt: ABCKLP QJHGRSONUTFED. Die ursprüngliche Fassung des Problems verlangte jedoch nicht derartige erschwerende Bedingungen, sondern nur, d a ß j e d e Station einmal besucht werden solle und daß die Reise nach dem Ausgangspunkt zurückkehre. Das so gefaßte Problem läßt eine elegante mathematische Behandlung zu, die schon Hamilton selbst in der Versammlung der British Association vom J a h r e 1857 gab, und die auf folgenden Überlegungen b e r u h t : Wenn man irgendeine Station erreicht h a t , so bieten sich immer zwei Wege zur Weiterreise dar, weil die Station im ganzen drei Ausgänge h a t . Von diesen beidrn Wegen m u ß bezüglich der Richtung, in der m a n die Station erreicht

205

h a t , der eine Weg rechts, der andere links abgehen. W ä h l t m a n den Weg rechts, so sei dies mit r bezeichnet, w ä h r e n d das Linksweiterreisen durch 1 ausgedrückt werde. In dieser Weise k a n n jede Rundreise durch 20 Buchstaben ausgedrückt werden, welche entweder r oder 1 heißen. Beispielsweise m ü ß t e die oben zuerst erwähnte Rundreise, bei welcher die Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge erscheinen, so ausged r ü c k t werden: rrrlllrlrlrrrlllrlrl. Da der Schlußpunkt immer mit dem Anfangspunkt identisch sein soll, so k a n n m a n aus dieser mit r r r beginnenden Reihenfolge beliebige andere Reihenfolgen ableiten, indem m a n an beliebiger Stelle a n f ä n g t und den ersten Buchstaben als auf den letzten folgend ansieht. Ebenso k a n n man auch jede solche Reihenfolge in umgekehrter Richtung lesen. I n solcher Weise k a n n m a n , wie Hamilton bewiesen h a t , a u s dieser einen als richtig erkannten Lösung jede sonst noch vorhandene Lösung ableiten. W e n n nämlich die 5 Anfangsstationen beliebig gegeben sind, so ist aus ihnen die Richtung zu entnehmen, die m a n beim Verlassen der zweiten, d a n n der dritten, endlich der vierten Station jedesmal einschlagen m u ß . Es k a n n nämlich nur einer von den folgenden 8 auf die 5 ersten Stationen bezüglichen Fällen eintreten: r r r , r r l , r l r , r l l , I r r , I r l , l l r , . 111. Alle diese 8 Gruppen sind aber aus der obigen mit r r r beginnenden Reihenfolge als Anfänge v o n einer Reihenfolge zu entnehmen, u n d zwar erkennt m a n , daß mit r r r die obige und die genau umgekehrte Reihenfolge beginnen. Dadurch, d a ß m a n mit dem auf die Mitte folgenden r r r anfängt, erhält m a n keine neue Reihenfolge, sondern die alte nochmals, weil die zweite H ä l f t e der ersten Hälfte genau

20Ö

kongruent ist. Die beiden erhaltenen, mit i r r beginnenden Reihenfolgen ergeben u n m i t t e l b a r die beiden Lösungen des Problems, welche möglich sind, wenn die 5 Anfangsstationen in der durch r r r angedeuteten Folge liegen. W e n n zweitens r r l der Anfang ist, so ergeben sich wiederum 2 Reihenfolgen, woraus sich die beiden Lösungen ergeben, die möglich sind, falls die 5 Anfangsstationen in ihrer Lage dem Symbol r r l entsprechen, wie z. B. A B C D H . Ebenso gibt es auch 2 mit r l l beginnende Reihenfolgen. U n d da durch Vertauschung von r u n d 1 der anfängliche Zyklus in seine U m k e h r u n g übergeht, so verhält sich 111 wie r r r , l l r wie r l l u n d I r r wie r l l . Es bleiben daher nur noch die Anfänge r l r u n d I r l übrig, welche sich wieder gleich verhalten, u n d von denen jeder zu 4 Lösungen f ü h r t . Den 4 mit r l r beginnenden Lösungen entsprechen z. B. die 5 Anfangsstationen A, B , C, K , J u n d die 4 Rundreisen: 1. 2. 3. 4.

ABCK ABCK ABCK ABCK

J QRGHDEFTSOPLMNUA; JHDEFGR QPLMNOSTUA; J QRSOPLMNUTFGHDEA; J QPLMNOSRGHDEFTUA.

Aus der Lage der gegebenen 5 Anfangsstationen l ä ß t sich also sofort entnehmen, ob 2 oder 4 Rundreisen möglich sind. Auf unserm anfänglichen Zyklus rrrlllrlrlrrrlllrlrl k a n n m a n auch erkennen, in welchen Fällen eine Rundreise mit 6 oder noch mehr gegebenen Anfangsstationen gelingt. Bei 6 gegebenen Stationen handelt es sich d a r u m , ob m a n sich beim Passieren der 4 mittleren Stationen so wendet, d a ß die 4 Wendungen in dem obigen vorwärts oder rückwärts gelesenen Zyklus vorkommen. Aus den Buchstaben r u n d 1 lassen sieb aber 16 Gruppen zu j e vieren zusammen-

bog

stellen, von denen 12 in unserm Zyklus vorkommen, 4 aber nicht. Diese 4 sind: r r r r , r l l r , l r r l , 1111. Von diesen 4 Gruppen können r r r r und 1111 naturgemäß nicht vorkommen, da sie sich auf die Umwanderung eines Fünfecks beziehen, so daß als sechste Station wiederum die erste Anfangsstation auftritt. Es bleiben also nur noch die Fälle rllr und lrrl als solche übrig, bei denen eine Rundreise unmöglich ist. Der erste dieser Fälle tritt z. B . ein, wenn A, B, C, K , L, P als die 6 ersten Stationen vorgeschrieben sein sollten. Man sieht die Unmöglichkeit einer so beginnenden Rundreise auch daran, daß bei einem derartigen Reiseanfang die Station M nicht wieder verlassen werden könnte. Denn von ihren drei Nachbarn B, L, N sind B und L schon vorher passiert, so daß man also zu M nur von N aus gelangen könnte, ohne dann die Möglichkeit einer Weiterreise zu haben. Aus unserm Zyklus ergibt sich auch sehr leicht die Anzahl der möglichen Rundreisen in den Fällen, wo weniger als 5 Anfangsstationen gegeben sind. Wieviel Lösungen immer bei einer vorgeschriebenen Anzahl von Anfangspunkten möglich sind, zeigt folgende Tabelle: Anfangspunkte: 8, 9, 10 7 . . . . 6. . . . 5 . . . . 4 . . . . 3 . . . . 2 . . .

.

1 . . . .

Lösungen: 1 oder 0; 2 oder 1 oder 0; 3 oder 2 oder 1 oder 0; 4 oder 2; 6 oder 4 ; 10; 20; 30.

Es entsteht nun die Frage, ob die Hamiltonsche Methode, welche ja aus einer Lösung alle Lösungen leicht ergibt, auch

208

imstande ist, von vornherein eine Lösung theoretisch zu entwickeln. Die B e j a h u n g dieser Frage erkennt m a n aus gewissen Relationen, die zwischen den Gruppierungen der Buchstaben 1 und r aus der N a t u r der zugrunde gelegten aus 12 Fünfecken bestehenden Figur fließen. Man ersieht daraus leicht, d a ß m a n immer zu demselben Ausgangspunkt z u r ü c k k o m m t , gleichviel, ob m a n zweimal nacheinander links geht oder erst rechts, d a n n dreimal links u n d endlich w e d e r rechts. Z. B. gelangt m a n , v o n U kommend, über A u n d B nach M, indem m a n zweimal links geht. Man gelangt aber auch über A, E , D, C, B nach demselben P u n k t M, wobei m a n erst rechts, d a n n dreimal links u n d zuletzt rechts geht. Man k a n n diese Erscheinung symbolisch so ausdrücken: 11= rlllr. Ebenso überzeugt m a n sich auch von der Richtigkeit der folgenden Gleichung: Irl = rllr. Aus diesen beiden Relationen gehen noch zwei weitere da durch hervor, d a ß m a n r u n d 1 miteinander v e r t a u s c h t . Diese Relationen k a n n m a n n u n verwenden, u m aus einer selbstverständlichen Rundreise über nur 5 Stationen die auf alle 20 Stationen bezüglichen Zyklen abzuleiten. W e n n m a n den U m f a n g eines der Fünfecke, aus denen sich unsere Figur z u s a m m e n s e t z t , umkreist, so k e h r t m a n zum A n f a n g s p u n k t zurück, indem m a n entweder f ü n f m a l nacheinander links oder f ü n f m a l rechts umbiegt. Diese Tatsache nehmen wir als Ausg a n g s p u n k t . D a n n erhalten wir bei fortwährender B e n u t z u n g der Relation 11 = r l l l r die folgende theoretische Abteilung eines Zyklus: (11) III = ( r l l l r ) 111 = (rrlllrlr) (rlllrl) = (rrrlllrlrlr) (rrlllrlrl) = rrrlllrlrlr rrlllrlrl. 14

S c h o b e r t , Ilathematische Mußestunden.

20g

Von welcher Relation m a n auch ausgehen m a g u n d wie m a n auch die Substitutionen vornehmen m a g , m a n gelangt, sobald man 20 Buchstaben erzielt h a t , immer zu einer Gruppe, die sich von der eben gefundenen entweder n u r d a d u r c h unterscheidet, d a ß sie an einer anderen Stelle a n f ä n g t , aber zyklisch mit ihr identisch ist, oder, daß sie rückwärts s t a t t v o r w ä r t s l ä u f t . Damit steht im Einklang, daß es keine anderen Lösungen gibt als die, welche aus unserm Zyklus hervorgehen. Außer Hamilton selbst h a t auch der französische Artillerieoffizier H e r m a r y Methoden angegeben, die zu allen Lösungen des Hamiltonschen Problems führen, deren Mitteilung jedoch hier zuviel R a u m kosten würde. Es liegt nahe, das Hamiltonsche Rundreiseproblem auf andere aus P u n k t e n u n d Linien in beliebiger Weise zusammengesetzte Figuren auszudehnen u n d die Behandlung anderer Aufgaben auf das so verallgemeinerte Problem zurückzuf ü h r e n . So k a n n z. B. die Frage nach den Rösselsprüngen des Schachbretts, welche uns im nächsten P a r a g r a p h e n beschäftigen wird, als ein solches Rundreiseproblem aufgefaßt werden. Man braucht zu dem Zwecke nur die 64 Felder des Brettes durch 64 P u n k t e zu ersetzen u n d immer 2 P u n k t e , zwischen deren entsprechenden Feldern ein Springerzug möglich ist, zu verbinden, u m eine Figur zu erhalten, durch welche die Aufsuchung von Rösselsprüngen auf das verallgemeinerte Hamiltonsche Rundreiseproblem zurückgeführt werden k a n n . Da wir diesen Gedanken im nächsten P a r a g r a p h e n wieder a u f n e h m e n wollen, soll hier zunächst gezeigt werden, wie m a n das Rundreiseproblem in seiner allgemeinsten F o r m in Angriff nehmen k a n n . Nehmen wir an, auf einer Figur sei eine Rundreise b e k a n n t , z . B . der Kreis der beigefügten Figur (s. S. 211), und beginnen wir mit der Frage: Woran erkennen wir, ob die übrigen Linien der Figur C Q , F R , G O u n d S N noch weitere Rundreisen er-

2IO

möglichen u n d wie diese v e r l a u f e n ? Stellen wir diese Frage zuerst f ü r CQ allein u n d verlassen also unseren Kreis in Q, u m auf C Q nach C weiterzuschreiten. Wir können von dort aus unsere Reise über B oder über D weiter fortsetzen. D a d u r c h scheidet aber entweder CD oder B C aus der Rundreise aus, einer der P u n k t e B u n d D behält nur noch einen Ausgang, u n d es k a n n deshalb keine Rundreise entstehen. Dasselbe f i n d e t s t a t t , wenn wir die ursprüngliche Rundreise bei C verlassen, u m auf C Q nach Q weiterzugehen. C Q vermag also keine x

j L g

U' T-l s.

P

O N

M

neue Rundreise zu liefern. Anders ist es mit den Linien F R , G O u n d S N . Von E h e r k o m m e n d wollen wir in F aus der ursprünglichen Rundreise heraustreten, u m auf F R nach R weiterzuschreiten. Hier wenden wir uns über Q u n d P nach O, k ö n n e n über 0 G nach G gelangen, v o n dort aus in der R i c h t u n g über H den P u n k t N erreichen u n d schließlich mit B e n u t z u n g von N S über T , U . . nach E u n d F zurückgelangen u n d damit eine zweite Rundreise schließen. Der G r u n d f ü r das Zustandekommen dieser zweiten Rundreise ist darin zu suchen, d a ß die P u n k t e F , G ; N, O u n d Q, R , a n welchen die Linien F R , G O u n d S N aus der ursprünglichen Rundreise heraustreten, in dieser ersten Rundreise zu j e zwei aufeinanderfolgen. H ä t t e m a n nämlich auch nur eine dieser Linien geändert, z. B. die Linie von 0 nicht nach G 14*

211

(oder E ) , sonclßrn nach irgendeinem anderen F nicht benachb a r t e n P u n k t der ersten Rundreise gezogen, etwa nach J , so h ä t t e m a n , nachdem von O aus J erreicht war, weder nach H noch nach K hin die Rundreise fortsetzen können, weil sonst entweder K oder H seinen zweiten Ausgang verlieren würde. Es wäre also f ü r diese geänderte Linie der Fall CQ eingetreten u n d die neue Rundreise nicht zustande gekommen. Durch Verallgemeinerung k o m m t m a n so zu der wichtigen E r k e n n t n i s : Die Linien, auf welchen m a n die ursprüngliche Rundreise verläßt, führen nur d a n n zu einer neuen Rundreise, wenn immer je zwei derselben von solchen P u n k t e n abzweigen, die auf der Ausgangsrundreise aufeinanderfolgen. Diese Bedingung m u ß zwar erfüllt sein, sie ist aber nicht hinreichend. Denn wenn sie zutrifft, können die neuhinzugefügten Linien auch mehrere voneinander getrennte Rundreisen ergeben, wie schon das einfache Beispiel der folgenden Figur zeigt.

Der K e r n unseres Verfahrens zur A u f f i n d u n g neuer R u n d reisen besteht darin, d a ß m a n die ursprüngliche Rundreise in Stücke zerlegt u n d diese d a n n mittels der hinzutretenden Verbindungslinien in anderer Weise wieder zusammenfügt. Es ist deshalb gar nicht nötig, daß m a n v o n einer fertigen Rundreise ausgeht. Man k a n n auch von mehreren getrennten

212

Rundreisen oder sogar von mehreren ungeschlossenen Liniensfigen ausgehen. So k a n n m a n beispielsweise bei den Hamiltonschen Rundreisen verfahren, wenn m a n auf der Figur von S. 204 die 10 Querstrecken, durch welche die drei konzentrischen Kreise verbunden sind, zunächst einmal ganz streicht. Soll irgendeine Rundreise entstehen, so unterbrechen wir zuerst den äußeren konzentrischen Kreis an zwei nebeneinanderliegenden P u n k t e n , z. B. Q u n d R , u n d fügen dementsprechend die Verbindungsstrecken Q J u n d R G wieder in die Figur ein. Dadurch ergeben sich die P u n k t e G u n d J als Unterbrechungsstellen des m i t t l e r e n Kreises. Da sie nicht nebeneinander liegen, m u ß dieser Kreis noch an zwei weiteren P u n k t e n unterbrochen werden, v o n denen der eine auf dem Kreise neben G, der andere neben J liegen m u ß , z. B. an den P u n k t e n K und H . D a m i t sind auch die Linien K C und H D wieder nötig geworden, u n d da diese zu den auf dem innersten konzentrischen Kreis nebeneinanderliegenden P u n k t e n C u n d D führen, so ist d a d u r c h eine Hamiltonsche Rundreise gegeben, die folgenden Verlauf n i m m t : Q P O S R G F T U N M L K C B A E D H J Q. Um diese B e t r a c h t u n g e n übersichtlicher zu gestalten u n d zu gleicher Zeit die Möglichkeit einer Notierung ihrer Ergebnisse zu schaffen, empfiehlt es sich, die zu der ursprünglichen Figur hinzutretenden Linien mit Ziffern zu versehen u n d diese Ziffern a n die E n d p u n k t e der Linien zu setzen. So erhielten die P u n k t e F u n d R der Figur 1 die Ziffer 1, G u n d O die Ziffer 2, N u n d S die Ziffer 3. D u r c h l ä u f t m a n n u n von irgendeinem P u n k t aus die Ausgangsrundreise etwa im Uhrzeigersinn u n d notiert dabei der Reihe nach die Ziffern, welche m a n a n ihren P u n k t e n t r i f f t , so erhält m a n in unserem Falle die N o t i e r u n g 1-2 —3-2 —1-3, bei welcher die Stücke G H . . . N u n d 0 . . . R der ersten R u n d -

213

reise durch einen wagerechten Strich ersetzt sind, S, T . . . F aber als Verbindungsstrich zwischen den beiden äußersten Ziffern 1 und 3 hinzuzudenken ist. Die Notierung läßt sogleich erkennen, daß hier eine neue Rundreise gewonnen ist: man braucht nur von irgendeiner Ziffer aus über den Strich zu einer zweiten, von dieser zu der ihr gleichen, sodann wieder über den Strich zu einer dritten usw. überzugehen, um so schließlich nach Durchlaufung aller Ziffern auf die erste zurückzukommen. Betrachten wir die folgende Figur, so stoßen wir zur Beantwortung der Frage, ob auf ihr eine Rundreise existiert.

welche die 5 Linien E T , DM, GO, H P und L S alle in sich schließt, auf die Notierung 3. 4—1- 5 — 2-3 — 1-5 — 2-4. Sie gibt an, daß man auf dieser Figur von 3 auf 4, von 4 auf 1 und von 1 wieder auf 3 zurückgeführt wird, während die Ziffern 2 und 5 eine zweite von dieser ersten getrennte Rundreise anzeigen. Wir haben hiermit eine Methode skizziert, welche zur Aufsuchung von Rundreisen auf ganz beliebig gestalteten Figuren oder Körpern Verwendung finden kann. Im folgenden Paragraphen wollen wir von ihr bei der Herstellung von Rösselsprüngen Gebrauch machen.

214

§ 25 ßäffelfprönge A. Einleitendes. Die Aufgaben, welche in den Unterhaltungszeitschriften unter dem Namen Rösselsprung vorgelegt werden, verlangen vom Leser, 64 Silben, die in die 64 Felder einer Schachbrettfigur eingeschrieben sind, derartig zusammenzustellen, daß erstens j e zwei Silben, die der Leser aufeinanderfolgen läßt, auf dem Schachbrett in zwei Feldern stehen, zwischen denen beim Schachspiel der Springer springen darf, u n d daß zweitens die nach diesem Prinzip vom Leser gefundene Silbenfolge einen Sinn gibt, gewöhnlich sogar ein kleines gereimtes Gedicht liefert. E h e wir auf diese Aufgaben u n d die schwereren umgekehrten Aufgaben, die verlangen, richtige Rösselsprünge zu s c h a f f e n , näher eingehen, müssen wir, zur Verdeutlichung der folgenden Erörterungen, einige Erklärungen vorausschicken. F ü r diejenigen von unseren Lesern, denen nicht vom Schachspiel her die Gangart des Springers b e k a n n t ist, wollen wir diese zuerst an der nachstehenden Figur erklären.

c

b

1 a

d Sp

h

e g

f

215

Auf dem m i t Sp bezeichneten Feld befinde sich ein Springer. Dieser k a n n d a n n im nächsten Zug irgendeine der mit a, b . . . h beschriebenen Felder erreichen, falls diese alle auf dem B r e t t v o r h a n d e n sind. Verläuft z. B. der B r e t t r a n d längs der verdoppelten Geraden, so kommen d a d u r c h die Felder a u n d h in Fortfall, u n d wird ein zweiter B r e t t r a n d durch die v e r s t ä r k t e Gerade dargestellt, so bleiben f ü r den Springer nur die Felder e, f u n d g übrig. Von zwei Feldern, zwischen denen sich der Springer in dieser Weise bewegen darf, wollen wir sagen, daß sie „sich rösseln". Die Bewegung zwischen zwei sich rösselnden Feldern heiße ein Sprung. Das R ö s s e l s p r u n g p r o b l e m b e s t e h t n u n in der A u f g a b e , i n d i e 64 F e l d e r d e s S c h a c h b r e t t s d i e 64 Z a h l e n v o n 1 bis 64 d e r a r t i g e i n z u s c h r e i b e n , d a ß z w e i F e l d e r , die a u f e i n a n d e r f o l g e n d e Z a h l e n e n t h a l t e n , s i c h r ö s s e l n . Ersetzt m a n d a n n noch die Zahlen von 1 bis 64 durch 64 Silben, die in ihrem Zusammenhange einen Sinn geben, so entsteht die Aufgabe, nun umgekehrt die 64 Silben so abzulesen, daß die 64 Silben den gewünschten Sinn liefern, wobei der Löser einer solchen Aufgabe in fortwährendem Zweifel ist, welchen der verschiedenen noch möglichen Sprünge er von dem zuletzt betretenen Felde zu machen h a t , einem Zweifel, der zu Anfang und bei den 16 Mittelfeldern, deren jedes 8 Felder rösselt, a m meisten Verlegenheit bereitet. Von einer solchen Rösselsprungaufgabe geben wir auf S. 217 ein Beispiel. Die Lösung dieser Rösselsprünge wird in den Unterhaltungszeitschriften meist in F o r m eines Diagramms gegeben, d. h. es werden die Mitten der aufeinanderfolgenden Felder durch gerade Linien verbunden. Man k a n n jedoch die Lösung auch so geben, d a ß m a n die im Rösselsprung aufeinanderfolgenden Felder der Reihe nach mit den Zahlen

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