Mathematische Mußestunden: Eine Sammlung von Geduldspielen, Kunststücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer Natur [5. Aufl. Reprint 2019] 9783111637488, 9783111254999

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vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung / J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung Georg Reimer / Karl J . Trübner / Veit & Comp. B

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Ludendo discimus. Leibniz.

Archiv-Nr. 122435* Printed in Germany.

Druck von C. G. Röder A..-G. in Leipzig.

1425224.

recht,

©orfoort Sut etfìen Auflage Die vorliegende Sammlung ist für gebildete Laien bestimmt, denen von der Arithmetik nur die allerersten Elemente bekannt zu sein braueben. Sic behandelt, ähnlich wie die Sammlungen von Edouard Lucas 1 ) und Rouse Ball 2 ), historisch und kritisch die wichtigsten von den zur U n t e r h a l t u n g geeigneten Geduldspielen und Problemen mathematischer Natur. Wenn auch der Verfasser die Sammlungen von Lucas und Ball vielfach benutzt hat, so ist doch der größte Teil der in der vorliegenden Sammlung angestellten Erörterungen aus eigenen Studien des Verfassers hervorgegangen. Von Büchern mit ähnlichem Inhalt aus älterer Zeit ist in erster Linie das von Bachet de Meziriac 3 ) zu nennen. Vor Bachet behandelten Unterhaltungsaufgaben Cardano 4 ) und ') Edouard L u c a s , Récréations mathématiques, Paris 1882. Ferner: Lucas, L'Arithmétique amusante, Paris 1895, nach dem Tode des Verfassers herausgegeben von H. Delannoy, C. A. Laisant und E. Lemoine. 2 ) W . W . Rouse B a l l , Mathematical recreations and problems of past and present times, London 1892. z) B a c h e t de M e z i r i a c , Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Erste Auflage: Paris 1 6 1 2 ; zweite Auflage: Lyon 1624; dritte und vierte, von Labosne vermehrte und verbesserte Auflage: Paris 1874 und 1879. 4 ) C a r d a n o , De subtilitate libri XXI, Nürnberg 1550.

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Tartaglia 5 ), nach Bachet Oughtred 8 ) und Ozanam 7 ).

Die in

unserem Jahrhundert in Deutschland erschienenen Bücher v o n Montag 8 ), Mittenzwey 9 ) und anderen enthalten zwar viele Unterhaltungsaufgaben, geben aber keine tische Kritik der Probleme.

mathema-

Nur die v o m Verfasser in den

Jahren 1893—1895 in der „Naturwissenschaftlichen Wochenschrift" unter dem N a m e n „Mathematische Spielereien" veröffentlichten Artikel 1 0 ) enthalten schon eine, wenn auch nicht sehr eingehende, mathematische Kritik der dort behandelten Geduldspiele. H a m b u r g , November 1897.

Hermann Schubert.

6 ) T a r t a g l i a , Quesiti et inventioni diverse, Venetia 1554; Trattato de numeri e misure, Venetia 1556; Opere, Venetia 1606. 9 ) O u g h t r e d , Mathematical recreations, London 1653. ') O z a n a m , Récréations mathématiques et physiques, Paris 1694, mit vielen vermehrten und verbesserten Auflagen, i. B. 1723, 1803, 1840. •) M o n t a g , Die Wunder der Arithmetik, Leipzig. e ) M i t t e n z w e y , Mathematische Kurzweil, 3. Auflage, Leipzig 1895. 10 ) Diese Artikel sind auch, in einem Büchlein zusammengefaßt, für sich erschienen unter dem Titel „Zwölf Geduldspiele" Berlin 1895 (jetzt Verlag von Walter de Gruyter & Co., Berlin).

©oriuott 5Ut 3toeiten Sfluflaae Von diesen meinen „Mathematischen Mußestunden", die zuerst 1898 erschienen waren, fertigte ich schon 1899 eine neue, aus drei Bänden bestehende große Ausgabe an, die 1900 erschien und den Umfang verdreifachte. Obwohl diese große Ausgabe viele Freunde fand, so machten sich doch auch Wünsche geltend, die dahin gingen, daß neben der großen Ausgabe auch die kleine Ausgabe fortbestehen möchte. Demgemäß erscheint hier die 1898 erschienene k l e i n e Ausgabe, deren Exemplare vergriffen sind, noch einmal, ohne wesentliche Hinzufügungen. Zu der beim Vorwort der ersten Auflage angeführten verwandten Literatur sind jetzt zwei Bücher hinzuzufügen. Erstens: W. Große, Unterhaltende Probleme und Spiele, Leipzig 1897. Dieses Buch erschien nur einige Wochen früher als die erste Auflage meiner „Mathematischen Mußestunden", so daß es in ihr nicht mehr erwähnt werden konnte. Es knüpft vielfach an die Abhandlungen an, die der Verfasser schon früher in der „Naturwissenschaftlichen Wochenschrift" hatte erscheinen lassen, gibt aber auch mancherlei Neues und Interessantes. Das zweite Buch, mathematisch tiefer angelegt als Großes und mein Buch, hat den Mathematiker W. Ahrens zum Verfasser und ist betitelt: „Mathematische Unterhaltungen und Spiele", Leipzig 1901. Drittens

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sei noch erwähnt, daß den „Mathematischen Spielen" auch die Ehre erwiesen ist, in der großen „Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften" behandelt zu werden, freilich nur auf 14 Druckseiten. Der Bearbeiter des Enzyklopädieartikels ist der soeben erwähnte Ahrens. H a m b u r g , am 18. August 1903.

Hermann Schubert.

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l^orfoort 3ttr jSeufieatfißftung Gern übernahm der Unterzeichnete die Aufgabe, die Schubertschen Mathematischen Mußestunden neu zu bearbeiten. Verdankte er doch diesem Buche wertvolle Anregungen zu Studien während seiner eigenen Mußestunden, Studien, die ihn in den Stand setzen, verschiedene Fragen, die in dem Schubertschen Buche als noch unerledigt genannt sind, zu beantworten. E r erwähnt in dieser Beziehung seine neue, auf alle denkbaren Fälle erstreckbare Behandlungsweise des Rundreiseproblems, ganz besonders aber die darauf sich aufbauende Lösung der Rösselsprungaufgabe. Eine bereits 1904 erschienene Programmabhandlung des Unterzeichneten über diesen Gegenstand blieb vielleicht bezüglich der Bedeutung, welche sie nach des Verfassers Überzeugung für die Behandlung des Problems hat, nur deshalb unbeachtet, weil er versäumt hatte, mit dem erforderlichen Nachdruck darauf hinzuweisen. Auch der Paragraph: Magische Quadrate, war umzuarbeiten, um an Stelle von Überholtem noch nicht bekannte Entwicklungen und Ergebnisse des Verfassers aufnehmen zu können, Bruchstücke umfangreicherer Abhandlungen, an deren Veröffentlichung heute nicht zu denken ist. Von diesen neuen Zusätzen erfordern einzelne eine sorgfältigere Lektüre. Sie richten sich mehr an den Fachmann und sind durch kleineren Druck kenntlich gemacht. Einer weitgehenden Umarbeitung bedurfte auch der § 6 : Umfüllungsaufgabcn.

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Prof. Dr. Schubert hatte hier bei seinen Betrachtungen einen Nebenumstand übersehen, wodurch sich ein Fehler in die Darstellung eingeschlichen hatte. Der Schubertsche Text war deshalb hier nach den Angaben des Herrn Dr. W„ Ahrens zu verbessern, welcher zudem das Verdienst hat, die Schubert schen Ergebnisse erweitert zu haben. In den übrigen Paragraphen glaubte der Verfasser den altbewährten Schubertschen Text möglichst ungeändert lassen zu müssen. Die hieran vorgenommenen Änderungen sind im wesentlichen nur Kürzungen, welche auszuführen waren, um dem Buch den gewünschten geringeren Umfang zu geben. Möge das Buch auch in seiner neuen Form eine günstige Aufnahme finden. M . - G l a d b a c h , September 1924.

F. Eitting.

©ottaott 5ut fünften Sduflage Die vorliegende fünfte Auflage bringt im wesentlichen einen Neudruck der vierten Auflage. Hinzugekommen ist ein Kapitel über Sternsechsecke. Für dieses Problem, welches schon in der vierten Auflage kurz berührt war, scheint ein Interesse zu bestehen, da es neuerdings auch von anderer Seite ausführlicher behandelt worden ist. Ferner wurde in einem weiteren Kapitel das Spiel der dreißig bunten Würfel des Majors MacMahon, welches auch in Deutschland wachsende Verbreitung findet, in Kürze besprochen. M . - G l a d b a c h , 1. Februar 1935.

F. Fitting.

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31nöalt£bet3eii9ni£ I . Abschnitt : Zahlprobleme. Seite § 1. Erraten gedachter Zahlen 15 § 2. Vorauswissen erhaltener Resultate 24 § 3. Merkwürdige Zifferfolgen 26 § 4. Über sehr große Zahlen 35 49 § 5. Erraten der Augensumme verdeckt liegender Karten § 6. Umfüllungsaufgaben 53 § 7. Neunerprobe und Neunerkunststück 62 66 § 8. Würfelkunststücke § 9. Dominoketten 69 § 10. Darstellung aller Zahlen als Summen von Potenzen von Zwei 74 § 11. Das Bachetsche Gewichtsproblem 79 § 12. Erraten von Besitzern verschiedener Sachen . . . 82 § 13. Spiel von zwei Personen, die abwechselnd addieren 86 § 14. Vollkommene Zahlen 88 § 15. Pythagoreische und heronische Zahlen 93 § 16. Erschwerte Teilung 102 § 17. Trugschlüsse 109 I I . Abschnitt: Anordnungsprobleme. § 18. Das Problem der 15 Christen und der 15 Türken § 19. Magische Quadrate § 20. Boß-Puzzle oder Fünfzehnerspiel § 21. Ewiger Kalender für Wochentage und Osterdaten § 22. Ewiger Kalender für Neumond und Vollmond . . § 23. Eulersche Wanderungen § 24. Hamiltonsche Rundreisen § 25. Rösselsprünge § 26. Das Sternsechseck § 27. Das Spiel der 30 bunten Würfel des Majors Mac Mahon

119 132 161 183 188 193 201 215 246 256

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§1 Crraten öebarfjter Zafjlen Um e i n e g e d a c h t e Z a h l zu e r r a t e n , l a s s e m a n mit derselben beliebige Rechnungen ausführen. D a n n l a s s e m a n s i c h das e r h a l t e n e R e s u l t a t s a g e n , a u s dem m a n die g e d a c h t e Z a h l d u r c h L ö s u n g e i n e r G l e i c h u n g b e r e c h n e n k a n n , n a c h d e m m a n die a u s g e f ü h r t e n R e c h n u n g e n in a r i t h m e t i s c h e r Z e i c h e n sprache ausgedrückt hat. I n den einfacheren F ä l l e n , wo die g e d a c h t e Z a h l n u r a n f ä n g l i c h e i n m a l den v o r g e s c h r i e b e n e n Rechnungen unterw o r f e n w i r d , k a n n d a s L ö s e n der G l e i c h u n g d a d u r c h g e s c h e h e n , d a ß m a n m i t dem e r h a l t e n e n R e s u l t a t u m g e k e h r t v e r f ä h r t , wie m i t der ged a c h t e n Z a h l , d. h. s o w o h l die R e i h e n f o l g e d e r R e c h n u n g s a r t e n u m k e h r t , wie a u c h die R e c h n u n g s a r t e n s e l b s t , a l s o z. B . s u b t r a h i e r t s t a t t a d d i e r t , multipliziert statt dividiert. Durch arithmetische U m f o r m u n g e n l ä ß t s i c h j e d o c h die B e r e c h n u n g d e r g e d a c h t e n Z a h l aus dem R e s u l t a t k ü r z e r g e s t a l t e n . Z.B.: 1. Die gedachte Zahl werde um 5 vermehrt, die Summe mit 3 multipliziert und vom Produkt 7 subtrahiert. Erfährt man dann das erhaltene Resultat, so hat man dasselbe um 8 zu vermindern und den dritten Teil der erhaltenen Differenz zu nehmen, um die gesuchte Zahl zu erhalten. Denn (x -(- 5) • 3 — 7 = p ergibt nacheinander 3 x -J- 15 — 7 = p oder

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3x -)- 8 = p oder 3 • x = p — 8 oder x = (p — 8) : 3. War z. B. 4 die gedachte Zahl, so erhält man 20 als Resultat, woraus sich die gedachte Zahl durch die Berechnung 20 — 8 = 12, 12 : 3 = 4 ergibt. 2. Die gedachte Zahl werde mit 6 multipliziert, vom Produkt 5 subtrahiert, die Differenz mit 3 multipliziert, das Produkt um 1 vermehrt, die Summe durch 2 dividiert und der erhaltene Quotient um 7 vermehrt. Dann ist der neunte Teil des schließlich erhaltenen Resultats die gedachte Zahl. Denn [(6x — 5) * 3 — — | 1] : 2 — — ¡ T läßt sich umformen, wie folgt: [18x — 15 + 1]: 2 + 7 oder [18x— 14] : 2 + 7 oder 9x — 1 7 oder 9x. Also ist 9x das erhaltene Resultat, daher die gedachte Zahl x gleich dem neunten Teile des Resultats. Bei der B e r e c h n u n g der g e d a c h t e n Zahl a u s dem e r h a l t e n e n R e s u l t a t k a n n man auch den Ums t a n d v e r w e r t e n , daß wir i n u n s e r e r Z i f f e r s c h r i f t eine Summe von V i e l f a c h e n der Zahlen 1, 10, 100 usw. s c h r e i b e n , wie f o l g e n d e s B e i s p i e l z e i g t : 3. Die gedachte Zahl werde mit 2 multipliziert, zum Produkt 3 addiert, die Summe mit 5 multipliziert und von dem so erhaltenen Produkte 11 subtrahiert. Dann hat man vom erhaltenen Resultat nur die am Schluß stehende 4 fortzulassen, um die gedachte Zahl zu erhalten. War z. B. 7 die gedachte Zahl, so ergibt sich durch die vorgeschriebenen Rechnungen nacheinander 14, 17, 85, 74. Aus dem Resultat 74 erkennt man die gedachte Zahl 7. Die Begründung des Verfahrens liefert die Umformung: (2x -)- 3) • 5 — 11 oder 10x + 15 — 11 oder lOx + 4. Solche A u f g a b e n ü b e r E r r a t e n von Zahlen f i n den sich schon in dem 1612 z u e r s t e r s c h i e n e n e n k l a s s i s c h e n W e r k e von B a c h e t „ P r o b l e s m e s p l a i 6ans et d é l e c t a b l e s " . Da diese B a c h e t s c h e n A u f -

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g a b e n , obwohl sie n i c h t s B e s o n d e r e s b i e t e n , sondern teilweise unnötig kompliziert sind, seit ihrem Erscheinen nicht a u f g e h ö r t haben, immer wieder a n s T a g e s l i c h t g e z o g e n zu w e r d e n , u n d d a d u r c h eine gewisse h i s t o r i s c h e B e r e c h t i g u n g erlangt h a b e n , eo s o l l e n zwei v o n i h n e n a u c h in d i e s e m Buche Platz finden: 4. Man lasse jemand eine Zahl sich denken, dieselbe verdreifachen und dann die Hälfte nehmen, falls dies ohne Rest ausführbar ist. Falls dies aber nicht ohne Rest ausführbar ist, lasse man vorher 1 addieren, ehe die Hälfte genommen wird. Die erhaltene Hälfte lasse man mit 3 multiplizieren und sich das so gefundene Resultat sagen. Wenn man dieses durch 9 dividiert und die dabei erhaltenen Ganzen mit 2 multipliziert, erhält man die gedachte Zahl, falls das anfängliche Nehmen der Hälfte ohne Rest geschehen konnte, dagegen 1 weniger als die gedachte Zahl, falls beim Nehmen der Hälfte ein Rest geblieben war. Bei der Begründung dieses Verfahrens hat man zu unterscheiden, ob die gedachte Zahl gerade oder ungerade war. War sie gerade, so kann sie gleich 2 • n gesetzt werden, wo n eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Dann erhält man durch das angegebeneVerfahren nacheinander: 2 n • 3 = 6 n , 6n : 2 = 3n, 3n • 3 = 9 • n. Die Zahl 9 • n ist also gleich der Zahl, die man erfährt. Man rechnet nun für sich weiter 9 • n : 9 = n , n • 2 = 2 n , das ist aber die gedachte Zahl. Falls die gedachte Zahl ungerade war, darf man sie gleich 2 • n -J- 1 setzen, wo n eine beliebige ganze Zahl ist. Dann ergeben die vorgeschriebenen Rechnunge n nacheinander: (2n + l ) - 3 = 6 n + 3 , 6 n + 3 + l = 6 n + 4 , ( 6 n - f 4 ) : 2 = 3n + 2, (3n + 2) • 3 = 9n + 6. Man erfährt also die Zahl 9 • n-f- 6 • Dividiert man durch 9, so erhält man die Zahl n als die Ganzen der Division. Durch Multiplikation mit 2 und Addition von 1 erhält man die gedachte Zahl 2 • n + 1. 2

S c h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

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B e i der f o l g e n d e n A u f g a b e v o n B a c h e t m u ß m a n s o g a r u n t e r s c h e i d e n , ob die g e d a c h t e Z a h l b e i der T e i l u n g d u r c h 4 d e n R e s t 0, 1, 2 o d e r 3 läßt: 5. Man lasse die gedachte Zahl verdreifachen. Dann lasse man von der so erhaltenen Zahl oder von der um 1 größeren die Hälfte nehmen, j e nachdem beim Verdreifachen eine gerade oder eine ungerade Zahl erschienen war. Die erhaltene Hälfte lasse man wieder verdreifachen, und von dem Dreifachen oder der um 1 größeren Zahl die Hälfte nehmen, je nachdem eine gerade oder ungerade Zahl erschienen war. Dann lasse man sich die Ganzen sagen, die bei der Division jener Hälfte durch 9 entstehen. Die so erfahrene Zahl hat man mit 4 zu multiplizieren und zu dem erhaltenen Quotienten nichts oder 1 oder 2 oder 3 zu addieren, um die gedachte Zahl zu erhalten. Man hat nämlich nichts zu addieren, falls bei beiden Verdreifachungen gerade Zahlen erschienen waren, 1 zu addieren, falls nur bei der ersten Verdreifachung eine ungerade Zahl erhalten war, 2 zu addieren, falls dies nur bei der zweiten Verdreifachung geschehen war, und 3 zu addieren, falls bei beiden Verdreifachungen ungerade Zahlen gekommen waren. Zum Beweise dieses Verfahrens hat man zu unterscheiden, ob die gedachte Zahl bei der Teilung durch 4 den Rest 0, 1, 2 oder 3 ergibt, d. h., ob sie gleich 4 • n oder gleich 4 • n -f-1 oder gleich 4 • n -f- 2 oder gleich 4 • n + 3 zu setzen ist, wo immer n eine beliebige ganze Zahl bedeutet, a) Aus 4 • n entsteht durch die angegebenen Rechnungen nacheinander: 12 n, 6n, 18 n, 9n, n, woraus man dann schließt, daß 4 • n -f- 0 = 4n dj e gesuchte Zahl ist; b) aus 4 n - f - l entsteht: 1 2 n + 3 , 1 2 n + 4 , 6 n + 2 , 1 8 n + 6 , 9 n + 3 , n , woraus man 4 • n -J- 1 für die gedachte Zahl schließt; c) aus 4 n + 2 entsteht: 1 2 n + 6 , 6 n + 3 , 1 8 n + 9 , 18n + 10, 9 n - | - 5 , n, woraus man 4 n - f - 2 schließt; d) aus 4 n - ) - 3

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entsteht: 12n + 9 , 1 2 n + 10, 6n + 5, 18n + 1 5 , 1 8 n - f 16, 9n-|- 8, n, woraus man 4n-(- 3 schließt. E i n s o l c h e s E r r a t e n g e d a c h t e r Z a h l e n muß demj e n i g e n , der g a r n i c h t s v o n A l g e b r a v e r s t e h t , noch r ä t s e l h a f t e r e r s c h e i n e n , w e n n m a n die g e d a c h t e Zahl selbst nicht bloß a n f ä n g l i c h , sondern auch n a c h h e r n o c h e i n m a l oder m e h r e r e Male in die R e c h n u n g h i n e i n z i e h t , wie f o l g e n d e B e i s p i e l e z e i g e n : 6. Die gedachte Zahl werde um 3 vermehrt, die Summe mit 6 multipliziert, das Produkt um 3 vermindert, die erhaltene Differenz dann aber noch um die anfänglich gedachte Zahl vermindert; endlich werde noch der erhaltene Unterschied durch 5 dividiert, was immer möglich sein muß. Das so erhaltene Resultat lasse man sich sagen. Um aus ihm die gedachte Zahl zu finden, hat man es nur um 3 zu vermindern. Denn der Ausdruck [(x -f- 3) • 6 — 3 — x ] : 5 ergibt durch arithmetische Umformung x -J- 3. War z. B. 19 die gedachte Zahl, so erhält man durch die angegebenen Rechnungen nacheinander die Zahlen 22, 132, 129, 110, 22. Erfährt man nun die Zahl 22 als letztes Resultat, so hat man 22 um 3 zu vermindern, um die gedachte Zahl zu erhalten. 7. Das Vierfache der gedachten Zahl lasse man um 3 vermindern, die erhaltene Differenz mit 6 multiplizieren, zu dem erhaltenen Produkte erst 3 und dann noch die gedachte Zahl addieren, die erhaltene Summe durch 5 dividieren und zu dem erhaltenen Quotienten das Dreifache der Zahl addieren, die um 1 größer ist, als die gedachte Zahl. Dann lasse man sich das Resultat nennen. Der achte Teil desselben ist immer die gedachte Zahl. Denn der Ausdruck [(4x — 3) • 6 + 3 -f- x ] : 5 -f- 3 (x -)- 1) ergibt durch Vereinfachung nacheinander (25x — 1 5 ) : 5 -)- 3 x -(- 3 oder 5 x — 3 + 3 x - ) - 3 oder 8x. War z. B. 11 die gedachte Zahl, so erhält man durch die angegebenen Rechnungen nacheinander 44, 41, 246, 249, 2*

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260, 52, d a n n 52 + 3 • (11 + 1) = 52 + 3 • 12 = 52 - f 36 = 88. Dieses Resultat ergibt aber die gedachte Zahl 11, wenn m a n es durch 8 dividiert. Wenn der Ratende Arithmetik und Algebra vers t e h t , s o k a n n e r es a u c h d e m j e n i g e n , d e r s i c h d i e zu r a t e n d e Z a h l g e d a c h t h a t , g a n z ü b e r l a s s e n , w e l c h e R e c h n u n g s a r t e n er n a c h e i n a n d e r a n w e n d e n w i l l u n d m i t w e l c h e n Z a h l e n e r es t u n w i l l . N u r m u ß ihm der, der die Zahl g e d a c h t h a t , a n g e b e n , w e l c h e Z a h l er a d d i e r t , s u b t r a h i e r t , m u l t i p l i z i e r t oder zum Divisor b e n u t z t . Dann wird der R a t e n d e die g e d a c h t e Zahl x n e n n e n und aus den g e h ö r t e n A n g a b e n eine Gleichung zusammenstellen. Durch L ö s u n g d e r s e l b e n e r h ä l t er d a n n die g e s u c h t e Z a h l x , die er r a t e n w o l l t e . D a b e i d a r f die g e d a c h t e Z a h l a u c h eine n e g a t i v e Z a h l oder ein B r u c h sein. E b e n s o d ü r f e n die zum Rechnen verwandten Z a h l e n a u c h n e g a t i v oder g e b r o c h e n sein. W e n n d a n n a b e r die g e d a c h t e Z a h l m e h r als e i n m a l in d i e R e c h n u n g h i n e i n g e z o g e n w i r d , so k a n n es k o m m e n , d a ß die zur A u f f i n d u n g der g e d a c h t e n Z a h l d i e n e n d e G l e i c h u n g v o n h ö h e r e m als d e m e r s t e n G r a d e wird u n d d a h e r die Lösung der Gleichung schwieriger wird. In einfachen Fällen u n d b e i k l e i n e n Z a h l e n w i r d es f r e i l i c h l e i c h t s e i n , die Z a h l x zu r a t e n , die die e n t s t a n d e n e G l e i c h u n g r i c h t i g m a c h t . H i e r n u r n o c h ein Beispiel f ü r den Fall, daß die Gleichung, welche die g e d a c h t e Zahl liefert, vom zweiten Grade wird. 8. Man lasse die gedachte Zahl mit der u m 1 größeren multiplizieren, v o m P r o d u k t die gedachte Zahl subtrahieren u n d 6ich den erhaltenen Rest nennen. Die Quadratwurzel aus demselben ergibt die gedachte Zahl. D e n n x (x -f-1) — x

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ergibt x 2 + x — x , d. h. x 2 . War z. B. 29 die gedachte Zahl, so erfährt man die Zahl 841 als Resultat. Die Quadratwurzel aus 841 ergibt 29 als die gedachte Zahl. 9. Derjenige, der sich eine Zahl gedacht hat und dem es ganz überlassen ist, wie er damit rechnen will, gibt an, daß er das Doppelte der gedachten Zahl zu 17 addiert hat, die erhaltene Summe mit der gedachten Zahl multipliziert hat und auf solche Weise zu der Zahl 135 gelangt ist. Der Ratende hat dann anzusetzen: (17 -f- 2x) x = 135, woraus er 2x 2 + 17x = 135 und daraus 4x 2 + 34x = 270 folgert. Um anfänglich Brüche zu vermeiden, wird er diese Gleichung mit 4 multiplizieren, woraus 16x 2 136x = 1080 folgt. Durch Addition des Quadrats des achten Teils von 136, also der Zahl 17, ergibt sich dann: (4x) 2 + 2 • 4x • 17 + 172 = 1369. Die Quadratwurzel aus 1369 ergibt 37, so daß links das Quadrat von 4x 17, 7echts das von 37 erschienen ist, woraus folgt, daß 4x + 17 = 37 oder 4x + 17 = — 37 ist. Im ersten Falle ergibt sich 5 als gedachte Zahl. Der zweite Fall ergibt x = —13%, so daß, wenn auch eine negative gebrochene Zahl gedacht sein könnte, der Ratende zweifelhaft sein muß, ob die Zahl 5 oder die Zahl — 13% gedacht war. B i s h e r w a r immer nur v o r a u s g e s e t z t , d a ß eine einzige Zahl g e d a c h t ist. S i n d zwei oder mehr Zahlen g e d a c h t , so f ü h r t die A u f f i n d u n g derselben auf ein S y s t e m von zwei oder mehr Gleichungen m i t e b e n s o v i e l U n b e k a n n t e n . S i n d mehr Zahlen g e d a c h t , als A n g a b e n d a r ü b e r g e m a c h t w e r d e n , so f ü h r t die Lösung auf s o g e n a n n t e diop h a n t i s c h e Gleichungen*). Die d a r a u f f ü h r e n d e n *) Die methodische Lösung solcher Gleichungen findet man im ersten Teil von Band V der „Sammlung Schubert", betitelt „Niedere Analysis", Leipzig 1902.

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Probleme sollen jedoch hier ausgeschlossen bleiben. D a g e g e n soll hier der Fall e r w ä h n t w e r d e n , d a ß zwei Z a h l e n g e d a c h t sind u n d a u c h zwei A n g a b e n d a r ü b e r vorliegen, sowie, daß drei Zahlen g e d a c h t sind und drei Angaben darüber vorliegen. Einige Beispiele einfachster N a t u r folgen hier: 10. Man lasse sich die Summe u n d die Differenz zweier gedachter Zahlen angeben. Von den beiden Resultaten, die m a n so e r f ä h r t , nehme m a n die halbe Summe u n d die halbe Differenz. D a n n h a t m a n die gedachten Zahlen. Denn x y = a u n d x — y = b ergeben durch Addition 2 x = a - } - b oder x gleich der H ä l f t e v o n a + b . Ferner erhält m a n durch Subtraktion 2 y = a — b oder y gleich der H ä l f t e von a — b. 11. Yon drei gedachten Zahlen lasse m a n die erste u n d zweite, die erste u n d dritte, sowie die zweite u n d dritte addieren. Man hört, daß dadurch die Summen 13, 18, 21 erh t e n sind. Man setzt d a n n a n : x y = 13, x -f- z = 21, y -+- z = 18. Man addiere alle drei Gleichungen. D a n n erhält m a n 2 x + 2 y + 2z = 52 oder x - f y - f z = 26. Subtrahiert m a n v o n dieser Gleichung jede der drei angesetzten Gleichungen, so erhält m a n x = 8 , y = 5 , z = 13 als die gedachten drei Zahlen. W e n n also ü b e r h a u p t bei drei gedachten Zahlen die Summe j e zweier angegeben wird, so h a t m a n von der H ä l f t e der Summe der drei angegebenen R e s u l t a t e jedes einzelne Resultat zu subtrahieren, u m die drei gedachten Zahlen zu erhalten. F ü r d e n L a i e n g e s t a l t e n sich solche auf R a t e n von Zahlen bezüglichen A u f g a b e n d a d u r c h oft f e s s e l n d e r , d a ß die Z a h l e n sich auf Dinge b e z i e h e n , die d e n R a t e n d e n p e r s ö n l i c h b e s o n d e r s a n g e h e n , wie e t w a die Z a h l der G e l d s t ü c k e , die er b e i sich h a t , die Z a h l s e i n e r Z ä h n e , d a s D a t u m s e i n e s Geburtstages, sein Geburtsjahr, sein A l t e r , die

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Z a h l e n , d i e e r g e w ü r f e l t h a t , usw. V o n s o l c h e n e i n g e k l e i d e t e n Z a h l e n - R a t e - A u f g a b e n hier nur ein Beispiel: 12. Man b i t t e denjenigen, dessen Alter m a n r a t e n will, v o n der Zahl, die sein Alter in J a h r e n ausdrückt, die Quersumme (Summe der Ziffern) anzugeben. Darauf b i t t e m a n ihn, die betreffende Zahl umzukehren, d. h. die Zehner zu Einern u n d die Einer zu Zehnern zu machen, u n d d a n n den Unterschied zwischen der ursprünglichen u n d der umgekehrten Zahl zu sagen. U m aus den beiden so erhaltenen Angaben das Alter zu bestimmen, dividiere m a n die zu zweit angegebene Zahl durch 9, was i m m e r ohne Rest möglich ist. Den erhaltenen Quotienten h a t m a n d a n n zur Quersumme zu addieren u n d von der Quersumme zu subtrahieren. Die H ä l f t e der in beiden Fällen erhaltenen Resultate stellen die Ziffern der Zahl dar, die das Alter angibt. E r f ä h r t m a n z. B. 11 als Quersumme u n d 63 als Differenz, so h a t m a n 63 durch 9 zu dividieren u n d die erhaltene Zahl 7 zu 11 zu addieren u n d von 11 zu subtrahieren. So erhält m a n 18 u n d 4, deren H ä l f t e n 9 u n d 2 sind. Die Entscheidung, ob das Alter d a n n 29 oder 92 J a h r e beträgt, wird, w e n n nicht auf andere Weise, dadurch herbeigeführt, daß m a n sich sagen läßt, ob die ursprüngliche Zahl oder die durch U m k e h r u n g der Ziffern entstandene Zahl die größere war.

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§ 2 ©orau^toíffen etfjaltenet

ßefultate

W e n n m a n j e m a n d , der sich eine Z a h l g e d a c h t h a t (vgl. § 1 ) , v o r s c h r e i b t , wie er m i t d e r Z a h l w e i t e r r e c h n e n s o l l , s o l ä ß t es s i c h s o e i n r i c h t e n , d a ß die g e d a c h t e Zahl sich bei der B e r e c h n u n g forthebt, wobei natürlich vorausgesetzt wird, daß m a n die g e d a c h t e Z a h l n i c h t allein a n f ä n g l i c h , s o n d e r n a u c h n a c h h e r noch m i n d e s t e n s e i n m a l in die R e c h n u n g hineinzieht. Die B e r e c h n u n g des e n t s t a n d e n e n A u s d r u c k s , der außer der sich f o r t hebenden gedachten Zahl x nur noch b e s t i m m t e Z a h l e n e n t h ä l t , f ü h r t d a n n zu e i n e m R e s u l t a t e , das d e r j e n i g e , der sich die Zahl g e d a c h t h a t , a u c h e r h a l t e n h a b e n m u ß , so d a ß m a n i h m s e i n R e s u l t a t sagen k a n n , wie folgende Beispiele zeigen: 1. Man lasse die gedachte Zahl verdreifachen, zu dem Dreifachen 2 addieren, die Summe mit 4 multiplizieren, zum P r o d u k t e 4 addieren, die Summe durch 12 dividieren u n d v o m Quotienten die gedachte Zahl subtrahieren. D a n n weiß m a n , d a ß der, der sich die Zahl gedacht h a t , die Zahl 1 erhalten haben m u ß , gleichviel, welche Zahl er sich gedacht h a t . Denn ( 3 x + 2 ) - 4 + 4 ergibt 1 2 x + 8 - f 4 oder 1 2 x + 1 2 , dies durch 12 dividiert ergibt x 1 . Subtrahiert m a n aber x von x 1 j so m u ß immer 1 herauskommen, gleichviel, wie groß x ist. W a r z. B. 7 die gedachte Zahl, so w u r d e n nacheinander folgende Zahlen erhalten: 21, 23, 92, 96, 8, 1. W a r 9 die gedachte Zahl, so ergab sich: 27, 29, 116, 120, 10, 1.

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2. Die gedachte Zahl werde um 5 vermehrt, die Summe mit 18 multipliziert, vom Produkte das Dreifache der gedachten Zahl subtrahiert, die Differenz durch 15 dividiert und vom Quotienten die gedachte Zahl subtrahiert, so ergibt sich immer 6, gleichviel welche Zahl gedacht war. Denn [ ( x + 5 ) - 1 8 — 3 x ] : 15— x = [18x + 90— 3 x ] : 15 — x = [ 1 5 x + 90] :15 — x = x + 6 — x = 6. War z . B . 13 die gedachte Zahl, so ergab sich nacheinander: 18, 324, 285, 19, 6. War 45 die gedachte Zahl, so erhielt man: 50, 900, 765, 51, 6. 3. Die beiden Zahlen, von denen die eine um 3, die andere um 4 größer ist, als die gedachte Zahl, lasse man miteinander multiplizieren, das Produkt vervierfachen und zu diesem Vierfachen 1 addieren. Aus der erhaltenen Summe lasse man die Quadratwurzel ziehen und von derselben das Doppelte der gedachten Zahl subtrahieren. Dann erhält man immer 7. Denn 4 (x + 3) (x + 4) + 1 ergibt 4x 2 + 28x + 49 = (2x + 7) 2 . Also liefert die Quadratwurzel-Ausziehung 2 x - j - 7 . Subtrahiert man aber 2 • x von 2 • x -f- 7, so bleibt immer 7 übrig, gleichviel wie groß x war. War etwa 96 die gedachte Zahl, so hat man zu rechnen: 99*100, also 9900, woraus dann durch Vervierfachung 39600 hervorgeht. Dann ist die Quadratwurzel aus 39601 zu ziehen. Dieselbe ergibt 199. Wenn man dann von diesem Resultat das Doppelte der gedachten Zahl, also 192 abziehen läßt, wird in der Tat die Zahl 7 erhalten.

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.fficifiimitbigr ZiffEtfoIgtn Die Welt der Zahlen birgt mannigfache Eigenschaften, die dem Laien wie ein Wunder erscheinen müssen, während sie dem Arithmetiker, weil er diese Eigenschaften beweisen kann, selbstverständlich erscheinen. Hier sollen einige Eigenschaften behandelt werden, bei denen die R e i h e n f o l g e der aufeinanderfolgenden Ziffern maßgebend ist. Die sechsziffrige Zahl

142857

hat die merkwürdige Eigenschaft, daß die R e i h e n f o l g e i h r e r Z i f f e r n s i c h n i c h t ä n d e r t , wenn man sie mit 2, 3, 4, 5 oder 6 multipliziert, wobei man die erste Ziffer als auf die letzte folgend ansehen muß. In der Tat gibt das Zweifache: 285714; Vierfache: 571428; Dreifache: 428571; Fünffache: 714285; Sechsfache: 857142. Nimmt man weiter das Siebenfache, so erhält man eine Zahl, die aus lauter Neunen besteht. Multipliziert man mit einer Zahl, die größer als 7 ist, so erhält man eine Zahl, die aus mehr als sechs Ziffern besteht. Wenn man dann die Zahl, die den ßechs letzten Ziffern vorangeht, zu der Zahl addiert, die aus den sechs letzten Ziffern besteht, so erhält man wiederum dieselbe Zifferfolge wie oben, also immer eine der sechs Zahlen 142857 oder 428571 oder 285714 oder 857142 oder 571428 oder 714285. Beispielsweise multiplizieren wir die ursprüngliche Zahl 142857 mit 24, so erhalten wir 3428568.

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Die den letzten sechs Ziffern vorangehende Zahl ist 3. Addieren wir dieselbe zu der Zahl 428568, die aus den sechs letzten Ziffern besteht, so ergibt sich 428571, also eine Zahl, die dieselbe Zifferfolge hat, wie die ursprüngliche Zahl 142857, wenn man die erste Ziffer 1 als auf die letzte 7 folgend ansieht. Nur wenn man mit einem Vielfachen von 7 multipliziert, erhält man auf dieselbe Weise eine Zahl, die sich aus sechs Neunen zusammensetzt. Multipliziert man z. B. mit 42, so erhält man zunächst 5999994, und da diese Zahl sieben Ziffern hat, soll man die, von rechts gerechnet, siebente Ziffer 5 zu 999994 addieren, was in der Tat auf 999999 führt. Diese wunderbare Eigenschaft der Zahl 142857 erkennt man als sehr natürlich, wenn man daran denkt, daß 142857 die Periode der Dezimalbruchentwicklung des Bruches ,L ist. Entwickelt man in einen Dezimalbruch, so erscheinen nacheinander die Reste 3, 2, 6, 4, 5, 1, die man immer mit zehn zu multiplizieren hat, um den folgenden Quotienten zu erhalten. Dadurch erscheinen 4, 2, 8, 5, 7, 1 als Quotienten. Folglich muß der Bruch £ die Periode 428571, -f die Periode 285714, die Periode 857142 usw. haben. Nun ist aber anderseits ^ das Dreifache von nj-, das Zweifache von das Sechsfache von y usw. Hiermit ist aber die erwähnte Eigenschaft der Zahl 142857 als natürlich nachgewiesen, für den Fall, daß der Multiplikator kleiner als 7 ist. Multipliziert man ^ mit 7, so erscheint die Zahl 1; 1 ist aber anderseits gleich dem periodischen Dezimalbruch, der aus lauter Neunen besteht. Wie zu verfahren ist, wenn der Multiplikator größer als 7 ist, geht aus dem folgenden Beispiel hervor, wo 24 als Multiplikator gewählt ist. Daß der Bruch 1 einem periodischen Dezimalbruch gleich ist, dessen Periode 142857 ist, läßt sich arithmetisch so ausdrücken: 1 _ 142857 142857 142857 _ 6 12 7 10 ^ 10 10 18

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Multipliziert m a n n u n mit 24, so erhält m a n : 428568 . 3 10 8 10«

428568 10 1 2

3 10 12

Man sieht also, d a ß m a n die den letzten sechs Ziffern voranstehende 3 zu der Zahl, die aus den letzten sechs Ziffern besteht, addieren m u ß , u m wiederum eine Zahl mit derselben Zifferfolge zu erhalten. Aus der voranstehenden Begründung geht hervor, d a ß die merkwürdige Eigenschaft der Zahl 142857 jeder (p — 1)ziffrigen Zahl z u k o m m e n m u ß , die die Periode der Dezimalbruchentwicklung von -i- ist, wo p Primzahl ist. U m weitere solche Zahlen zu finden, müssen wir also Primzahlen p v o n der Eigenschaft bestimmen, daß der Dezimalbruch, der gleich - i ist, eine Periode mit p — 1 Ziffern h a t . Die kleinste v o n solchen Zahlen ist 7, d a n n folgen 17 u n d 19. Die Dezimalbruchentwicklung v o n ergibt eine Periode von 16 Stellen, nämlich: 0588235294117647. Betrachtet m a n diese Periode als eine Zahl f ü r sich, so h a t dieselbe die nämliche Eigenschaft, wie 142857, falls m a n die 0, mit der die Periode beginnt, mit zur Zahl hinzurechnet, so d a ß die Zahl also nicht als fünfzehnziffrig, sondern als sechzehnziffrig b e t r a c h t e t wird. Man k a n n d a n n die Zahl mit einem ganz beliebig gewählten Multiplikator multiplizieren, immer wird eine Zahl mit derselben Zifferfolge wiedererscheinen. Multipliziert m a n z. B . mit 4, so erhält m a n : 2352941176470588 Multipliziert m a n mit 17, so erscheinen wieder lauter N e u n e n . Multipliziert m a n mit einer Zahl, die größer als 17 i s t , so h a t m a n die den 16 letzten Ziffern voranstehende Z a h l zu

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der aus diesen 16 Ziffern bestehenden Zahl zu addieren, u m wieder eine Zahl mit derselben Zifferfolge zu erhalten. Multipliziert m a n z. B. m i t 441, so erhält m a n zunächst 25882352941176468. Die den 16 letzten Ziffern voranstehende 5882352941176468 addiert, ergibt

Zahl

2

zu

5882352941176470, eine Zahl mit derselben Zifferfolge, wie die ursprüngliche Zahl. Derartige Zahlen, wie die zwei besprochenen, welche von TL u n d j L , herrühren, gibt es natürlich unzählig viele, indem alle Brüche —, p 7 bei denen die Periode der Dezimalbruchentwicklung p — 1 Stellen h a t , eine solche Zahl hervorrufen müssen. M a n bemerke, d a ß diese Eigenschaft nicht alle Brüche h a b e n , bei denen p Primzahl ist, sondern nur diejenigen, f ü r welche die Zahl 10, die Basis unserer Zifferschrift, primitive Wurzel ist, wie m a n sich zahlentheoretisch ausdrückt. W ä h l t m a n eine P r i m z a h l p von der Eigenschaft, d a ß der Dezimalbruch, der gleich i ist, eine Periode von weniger als p — 1 Stellen h a t , so gibt eine solche Periode eine Zahl, die d u r c h Multiplikation mit gewissen Multiplikatoren zu Zahlen v o n gleicher Zifferfolge f ü h r t . Der Unterschied ist also der, d a ß nicht jede, sondern n u r gewisse Zahlen zu Multiplikatoren gewählt werden dürfen. Entwickelt m a n z. B. -jlj- in einen Dezimalbruch, so gelangt m a n zu der Periode 076923. Daher h a t die Zahl 076923 die Eigenschaft, mit gewissen F a k t o r e n multipliziert zu Zahlen zu f ü h r e n , die dieselbe Zifferfolge haben. Diese F a k t o r e n sind 1, 10, 9, 12, 3, 4, sowie alle Zahlen, die u m ein

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Vielfaches von 13 größer sind. Multipliziert man aber die Zahl 076923 mit den Faktoren 2, 5, 6, 7, 8, 11, so erhält man 153846, 384615, 461538, 538461, 615384, 846153, also Zahlen, die unter sich wieder dieselbe Reihenfolge der Ziffern 1, 5, 3, 8, 4, 6, 1, 5, 3, . . . darbieten. Multipliziert man mit Faktoren, die um ein Vielfaches von 13 größer sind als 2, 5, 6, 7, 8, 11, so erhält man Zahlen mit mehr als sechs Ziffern, aus denen man in derselben Weise wie oben sechs ziffrige Zahlen mit gleicher Zifferfolge gewinnen kann. Wir erkennen also, daß sich aus der Dezimalbruchentwicklung von •jij zwei sechsziffrige Zahlen gewinnen lassen von der Eigenschaft, daß die Multiplikation einer derselben mit einem beliebig gewählten Faktor zu einer Zahl führt, die dieselbe Zifferfolge hat, wie die eine oder die andere von den beiden sechsziffrigen Zahlen. Der Zahl 13 gehören also in derselben Weise zwei Zifferfolgen an, wie den Zahlen 7 und 17 je eine Zifferfolge angehörte. Nehmen wir ferner die Primzahl 41 und entwickeln in einen Dezimalbruch, so gelangen wir zu einer Periode von nur fünf Stellen. Daher hat die Zahl, die diese Periode bildet, nämlich: 02439 die Eigenschaft, daß sie, mit allen denkbaren Faktoren multipliziert, zu acht Gruppen von je fünf Ziffern führt, so daß die fünf Zahlen einer solchen Gruppe immer gleiche Zifferfolge haben, nämlich: 02439 1 gibt 10 „ 18 „ 16 „ 37 „

SO

mal 02439 24390 43902 39024 90243

02439 mal 2 gibt 04878 20 „ 48780 36 „ 87804 32 „ 78048 33 „ 80487

02439 3 gibt 30 „ 13 „ 7 „ 29 „

mal 07317 73170 31707 17073 70731

Man kann nun natürlich auch eine beliebige dieser Zahlen, etwa 70731, herausgreifen. Mann kann dann sicher sein, daß, wenn man sie mit einem beliebigen Faktor multipliziert, man immer wieder auf eine der acht möglichen Zifferfolgen stößt, sobald man nur immer die Regel befolgt, daß die den letzten fünf Ziffern etwa noch voranstehende Zahl zu der aus diesen fünf Ziffern bestehenden Zahl addiert wird. Ganz allgemein erkennen wir also folgendes: Wenn p eine P r i m z a h l i s t , so f ü h r t die D e z i m a l b r u c h e n t w i c k l u n g a l l e r B r ü c h e , die p zum Nenner h a b e n , auf g Gruppen von j e - ^ - Z a h l e n von solcher E i g e n s c h a f t , daß die M u l t i p l i k a t i o n i r g e n d e i n e r d i e s e r Zahlen mit einem bel i e b i g e n F a k t o r i m m e r w i e d e r auf eine der p — 1 Zahlen f ü h r t , sobald m a n die e t w a den p — 1 l e t z t e n Ziffern noch v o r a n s t e h e n d e Zahl zu der aus diesen l e t z t e n p — 1 Ziffern b e s t e h e n d e n Zahl a d d i e r t . Dabei h a b e n die Zahlen in einer und derselben Gruppe g l e i c h e Z i f f e r f o l g e , wie z. B. 48780 und 80487. Zu merkwürdigen Zifferfolgen führt auch die Dezimalmalbruchentwicklung des Bruches Die Periode derselben wird von der folgenden Zahl gebildet: 012345679. Multipliziert man dieselbe mit 9, so erhält man eine Zahl, die aus lauter Ziffern 1 besteht, weil -gj- = -J- ist und die Periode des Dezimalbruchs, der gleich ist, die Zahl 1 ist. Daraus folgt dann, daß durch Multiplikation mit jedem Vielfachen von 9 eine Zahl entsteht, die aus lauter gleichen Ziffern besteht. In der Zahl 012345679 sind alle Ziffern von 0 bis 9 außer 8 vertreten, und zwar auch der Reihe nach. Multipliziert man nun die Zahl 012345679 mit irgendeiner nicht durch 3 teilbaren Zahl, so erhält man eine Zahl, die wieder31

um aus allen Ziffern von 0 bis 9 mit Ausnahme einer besteht, und diese eine fehlende Zahl ist immer diejenige, welche man zu dem Faktor addieren müßte, damit eine durch 9 teilbare Zahl entsteht. Multipliziert man z. 6 . mit 2, so erhält man 024691358, eine Zahl, in der alle Ziffern außer 7 = 9 — 2 vorkommen. Multipliziert man mit 8, so erhält man die Zahl 098765432, also eine Zahl, in der alle Ziffern außer 1 = 9 — 8 vorkommen. Multipliziert man mit 13, so kommt eine Zahl heraus, bei der alle Ziffern außer 5 vorkommen, weil 5 die Zahl ist, die man zu 13 addieren muß, damit die nächste durch 9 teilbare Zahl 18 entsteht. Diese Eigenschaft bleibt auch dann noch bestehen, wenn der Faktor, mit dem multipliziert wird, größer als 81 ist. Nur muß dann, ähnlich wie bei den oben behandelten Zifferfolgen, die Zahl, die den neun letzten Ziffern vorangeht, zu der aus diesen Ziffern bestehenden Zahl addiert werden. Multipliziert man endlich die Zahl 012345679 mit einem Faktor, der durch 3, aber nicht durch 9 teilbar ist, so erhält man in den neun Ziffern eine dreimal wiederholte dreiziffrige Zahl. Multipliziert man z. B . mit 12, so erhält man 148148148. Der Beweis dieser merkwürdigen Eigenschaften der Zahl 012345679 würde hier zu weit führen. Gesagt sei nur, daß diese Eigenschaften damit zusammenhängen, daß jene Zahl die Periode der Dezimalbruchentwicklung von —— —- ist.

In ganz anderer Weise erscheinen alle 2 n-ziffrigen Zahlen merkwürdig, deren erste n Ziffern 1 heißen, deren weitere n — 1 Ziffern 5 heißen und deren letzte Ziffer 6 ist. Denn jede solche Zahl ist eine Quadratzahl, wie groß auch n sein mag. So ist:

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16 1156 111556 11115556

das das das das

Quadrat Quadrat Quadrat Quadrat

von 4 von 34 von 334 von 3334 usw.

Dieselbe Eigenschaft hat auch jede 2n-ziffrige Zahl, deren erste n Ziffern 4 heißen, deren weitere n — 1 Ziffern 8 heißeu und deren letzte Ziffer 9 ist. So ist: 49 4489 444889 44448889

das das das das

Quadrat Quadrat Quadrat Quadrat

von 7 von 67 von 667 von 6667 usw.

Um diese Eigenschaft zu begründen und zugleich zu erkennen, ob noch andere 2 n-ziffrige Zahlen dieselbe Eigenschaft haben, betrachten wir zunächst das Quadrat von b = 3 (10» + 1 0 a ~ l + . . . + 10 + 1). Wir erhalten: b 2 = 9 (10» + 1 0 » " 1 + . . . + 10 + l) a oder: b 2 = (10 — 1) (10» + 1 0 » - 1 + . . . + 10 -f 1) mal (10» + 1 0 » - 1 + . . . + 10 + 1) oder, nach bekannter Umformung: b 2 = (10» + l — 1 ) (10» + 1 0 » - ! + . . . + 1 0 + 1) oder: b 2 = (10 2a + l + 10 2 » + 1 0 2 » - 1 + . . . —10» + *) — ( 1 0 » + 1 0 » - ! + . . . + 1). Nachdem diese Umformung, die wir benutzen wollen, vorauf genommen ist, gehen wir von der Identität (nb + l) 2 = n 2 b 2 + 2 n b + l 3

S e h n b e r t , Mathematische Mußestunden.

^ ^

aus, deren rechte Seite wir auch so schreiben können: n 2 (10 2 »+ 1 + 10 2a + . . . + 10a + ! ) + (6n — n 2 ) (10® + 10 &—1 (-10) + (6n-n2+l). Setzt man nun in diesem Ausdruck n = 1 , so erhält man: (b + l ) 2 = 1 • ( l O 2 ^ 1 + . . . 10» + ! ) + 5 • (loa + . . . + 10) + 6 , woraus rechts die Zahlen 16, 1156, 111556, 11115556 usw. hervorgehen, wenn man nacheinander a = 0 , a = 1 , a = 2 , a = 3 usw. einsetzt, während links (3 -f- l) 2 , (33 -f-l) 2 , (333 + l ) 2 , (3333 + l) 2 herauskommt. Setzt man zweitens n = 2 , so erhält man: [6 (10a + 10» —1 + . . . ) + 1 ] 2 = 4 ( 1 0 2 a + ! + . . . + 10 a + 1 ) + 8 (10tt + . . . + 10) + 9 , woraus für a = 0 , a = 1 , a = 2 usw. nacheinander folgt: 7 2 = 49 , 672 = 4489 , 6672 = 444889 usw. Setzt man n gleich 3 oder größer als 3, so bleiben zwar unsere obigen Formeln noch richtig. Sie bilden aber dann keine Quellen mehr für merkwürdige Zahlen, weil n 2 , 6 n — n 8 und 6n — n 2 -j-1 Ziffern sein müssen, also nicht größer als 9 sein dürfen.

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§4 ifaet fefjt 0tofee Magien Xm Innern von Australien ebensowohl wie im Innern von Südamerika gibt es Völkerschaften, welche Zahlen, die größer sind als 2 oder 6, in ihrer Sprache nicht auszudrücken vermögen, weder durch besondere Zahlwörter noch durch Zusammensetzung von Wörtern für kleinere Zahlen, noch auch durch Umschreibungen. Solche Völker haben überhaupt nicht das Bedürfnis, Zahlen, die größer sind, als wesentlich verschieden aufzufassen. So erzählt Herr von den Steinen von den Bakairi, die am Xingu, einem Nebenflusse des Amazonenstromes, wohnen, daß sie Zahlen von 1 bis 6 durch Zusammensetzung auszudrücken vermögen, daß sie aber, veranlaßt, noch größere Zahlen zu nennen, sich in die Haare fassen, um dadurch etwas Unzählbares auszudrücken. So wird ferner von den Botokuden, die auch in Südamerika zwischen dem Rio Doce und dem Rio Pardo wohnen, berichtet, daß sie sprachlich nur eins und viel unterscheiden können, und daß sie daher schon für 2 und 3 ein und dasselbe Wort haben. Wenn wir mit Achselzucken auf ein so geringes Bedürfnis, Zahlen auszudrücken, herabsehen, so sollten wir, kritisch gegen uns selbst, nicht vergessen, daß auch in unserer modernen Kultur der Durchschnittsmensch nicht imstande ist, große Zahlen voneinander zu unterscheiden, oder wenigstens nicht imstande ist, im Gebiete großer Zahlen richtige Schlußfolgerungen zu machen. Wie dem Botokuden die Unter3*

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Scheidung von 2 und 3 als unwesentlich erscheint, so erscheint auch manchem modernen Kulturmenschen die Unterscheidung von einer Billion und einer Trillion als unwesentlich, oder wenigstens denkt er nicht daran, daß die eine Zahl eine Million mal so groß ist wie die andere, sich also zu ihr verhält, wie etwa die Entfernung von Berlin nach San Franzisko zu der Breite einer Straße. Daß auch unser Zahlbedürfnis in früheren Zeiten kleiner war als heute, erkennen wir aus der Vergleichung der Zahlwörter der indogermanischen Sprachen. Während die Zahlwörter für die Zahlen von 1 bis 100 in allen diesen Sprachen große Verwandtschaft zeigen, hört dies schon bei den Zahlwörtern für Tausend auf. Denn yß^ioi, mille und tausend haben gewiß keine etymologische Verwandtschaft. Wir können hieraus schließen, daß erst nach der Trennung der indogermanischen Völker bei ihnen das Bedürfnis entstanden ist, eine so große Zahl wie Tausend sprachlich auszudrücken. Was das Zahlwort „Million" anbetrifft, so soll dasselbe zuerst im Jahre 1362 gebraucht sein. Doch ist es wohl erst viel später in allgemeineren Gebrauch gekommen. Wenigstens kennt Adam Riese, der große deutsche Rechenmeister, der um die Mitte des 16. Jahrhunderts lebte, das Wort „Million" noch nicht, sondern umschreibt es durch „Tausend mal Tausend". Noch viel später entstanden die Zahlwörter „Billionen" und „Milliarde". Das Wort Milliarde für tausend Millionen kam erst im 19. Jahrhundert in Gebrauch, und zwar zuerst in der Finanzsprache. Namentlich in der Astronomie ist die Kenntnis der Tatsache, daß eine Billion das Millionenfache einer Million ist, von Wichtigkeit. Während nämlich die Entfernungen der Planeten von der Sonne oder voneinander zwischen sechs Millionen und einigen hundert M i l l i o n e n Meilen variieren, betragen die Entfernungen der nächsten Fixsterne von der Sonne oder von irgendeinem Punkte unsres Planetensystems zwischen fünf B i l l i o n e n und mehreren

hundert B i l l i o n e n Meilen. Da aber eine Billion zu einer Million sich verhält wie eine Million zu 1, so sind alle Entfernungen zwischen den Sternen des Planetensystems verschwindend klein gegenüber der Entfernung der Planeten von irgendeinem Fixstern. Vom Sirius aus gesehen, muß demnach nicht bloß die Sonne oder die Erde, sondern unser ganzes Planetensystem wie ein verschwindend kleiner Lichtpunkt aussehen, gerade so wie uns der Sirius erscheint, der möglicherweise auch ein ganzes Planetensystem ist. Das Verhältnis einer Million zu einer Billion erkennt man ferner 6ehr deutlich, wenn man sich berechnet, daß in weniger als zwei Monaten eine Million von Sekunden vergeht, daß aber zu einer Billion von Sekunden mehr als dreißigtausend Jahre erforderlich sind, daß also das Menschengeschlecht in historischen Zeiten noch keine Billion von Sekunden erlebt hat. Der Grund, warum wir uns bei Zahlen, die einige hundert Millionen überschreiten, leicht irren, liegt darin, daß Handel, Industrie und Technik uns selten zu Zahlen führten, die mehr als acht Ziffern haben, und daß man es nur in den mathematischen und physikalischen Wissenschaften nötig hat, so große Zahlen zu handhaben. Diese Wissenschaften haben daher eine weitergehende Wortbildung für große Zahlen erfordert. Für das Millionenfache einer Billion hat man das Wort Trillion gebildet. Eine Trillion wird also durch eine 1 mit 18 angehängten Nullen schriftlich dargestellt. So weitergehend gelangt man zu einer Quadrillion, die durch eine 1 mit 24 angehängten Nullen zu bezeichnen ist. So kann man mit Benutzung der lateinischen Zahlwörter beliebig weitergehen. Man würde also unter einer Zente6ilIion die Zahl verstehen, die die 600 te Potenz von 10 ist, also durch eine 1 mit 600 angehängten Nullen dargestellt werden müßte. Doch wird man natürlich schon bei Zahlen, die mehr als eine Million betragen, es vorziehen, sie durch Potenzen von 10 näherungsweise auszu-

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drücken. Z. B . beträgt das Gewicht der Erde zwischen 5.10 2 4 und 6.10 2 4 kg. Die Tatsache, daß die Resultate der modernen exakten Wissenschaften zuerst die Bildung von Wörtern für große Zahlen nötig machten, könnte uns zu dem Glauben führen, daß auch kein Volk früherer Zeiten sich mit großen Zahlen beschäftigt hat. Dies ist im großen und ganzen richtig. Ein Volk jedoch macht hierin eine Ausnahme, nämlich die Inder. In Indien, wo auch unsere bequeme Zifferschrift erfunden wurde, gab es schon zu Buddhas Zeiten besondere Zahlwörter für alle Zahlen bis zu 100000 Millionen, und Buddha selbst soll die Zahl Wortbildung bis zur Zahl 10 54 fortgesetzt haben, also bis zu der Zahl, die wir, nach Analogie der Wörter Million, Billion und Trillion, Nonillion nennen müßten. Auch aus dem alten Nationalepos und den Volksmärchen der Hindus geht ihre Liebe zu großen Zahlen unverkennbar hervor. Dort wird von einem König erzählt, der 1000 Billionen Diamanten besessen haben soll. Dort ist von einer Schlacht die Rede, in der 10000 Sextillionen Affen gekämpft haben, also mehr Affen, als in unserm Planetensystem Platz hätten, auch wenn man die Affen dicht beieinander packen würde. Dort wird ferner mitgeteilt, daß es 24000 Billionen Götter gebe und daß Buddha 600000 Millionen Söhne gehabt habe. Ein solches Streben, das Erhabene durch große Zahlen auszudrücken, finden wir bei keinem andern Volke als den Hindus. Das einzige Beispiel, das im griechischen Altertum bezüglich großer Zahlen vorkommt, ist die Sandrechnung (2 =

z

a

z

h +

b

h =

z

i + i; 2 1» h+ 1•

Addiert man diese h Gleichungen, so erhält man, wenn «1 + a 2 + • • • + a h = a » b l + b 2 + • • • + z z i 4" z 2 "4" • • • h = z gesetzt wird: a-f b = z - j - h .

b

h = t .

Nun ist aber die Gesamtzahl b der verbrauchten Karten gleich dem Überschuß der Anzahl n aller vorhandenen Karten über den zu empfangenden Rest r, also gleich n — r • Daher kommt: a-(-n — r = z - | - h oder: a = z-j-h-j-r — n. Im ersten der obigen Beispiele war n = 32 , h = 3 , z gleich 3mal 11 = 33 , also ist nach der soeben abgeleiteten Formel: a = r -f- 4 . Im zweiten der obigen Beispiele war n = 5 2 , h = 3 , z gleich 3mal 18 oder 54. Also ergibt sich: a= r+

5.

Da es wünschenswert ist, daß die Karten zur Bildung der Häufchen ausreichen und daß mindestens 1 Karte übrigbleibt, muß z < n sein. Ferner darf der höchste einer Karte erteilte Wert natürlich nicht größer sein, als die größte der Grenzzahlen z 15 z 2 , . . . z h . Dadurch sind für die Grenzzahlen Bedingungen für ihre Größe gegeben, die wir für den Fall, 4*

5i

daß z1 = z2 = . . . = z , also z = h • z1 ist, und daß der niedrigste Wert einer Karte 1, der höchste Wert 11 beträgt, aufstellen wollen. Damit mindestens 1 Karte übrigbleibt, muß hz t < n sein, und damit die gemeinsame Grenzzahl xx vom höchsten Wert 11 nicht übertroffen wird, muß auch z1 > 11 sein. Also ist die Grenzbedingung für z1 die folgende: n ii < < Y • Hieraus folgt z. B., daß bei 32 Karten und 3 Häufchen z1 nur 11 sein kann, wenn die gestellten Bedingungen erfüllt bleiben sollen. Bei 52 Karten und 4 Häufchen dürfte z 1 die Werte 11 und 12 haben. Man beachte, daß die Anzahl n der Karten ganz beliebig sein darf, und daß dieselben auch kein volles Spiel zu bilden brauchen, sondern ganz beliebige Karten sein dürfen. Man wird daher, um in dieses Kunststück Abwechslung hineinzubringen, recht viel beliebige Karten nehmen, um recht viel Haufen bilden zu können. Hat man z. B. 100 Karten zur Verfügung, so könnte man bis zu 9 Haufen bilden lassen, wie die obige Grenzbedingung zeigt. Aus ihr folgt zx— 11 für n = 100 und h = 9 .

32

Ctmfölluna^auföaöcn Die Aufgaben, die wir hier behandeln, finden sich seit Bachets*) klassischem Buche nicht allein in allerhand Büchern, die arithmetische Belustigungen enthalten, sondern auch in Kalendern, Kinderbüchern und neuerdings in Unterhaltungsblättern und Provinzialzeitungen. Diese Aufgaben setzen voraus, daß nur eine beschränkte Anzahl von Gefäßen zur Verfügung steht und daß jedes dieser Gefäße eine bestimmte Anzahl von Litern faßt, ohne etwa durch Teilstriche erkennen zu lassen, der wievielte Teil des Gefäßes gefüllt ist. Mit Hilfe solcher Gefäße soll dann durch wiederholtes Umgießen schließlich eine vorgeschriebene Anzahl von Litern in das eine oder in das andere Gefäß hineinkommen. Als Flüssigkeit ist meist Milch oder Wein gewählt. Gewöhnlich wird bei diesen Aufgaben vorausgesetzt, daß nur 3 verschieden große Gefäße vorhanden sind, daß das größte dieser Gefäße vollkommen gefüllt ist, daß die beiden andern aber ganz leer sind und daß nun eine Halbierung der im größten Gefäße befindlichen Flüssigkeit stattfinden soll, indem nach wiederholtem Umgießen das größte Gefäß die eine Hälfte, das zweitgrößte die andere Hälfte der Flüssigkeit enthält. Bei Bachet (1612) hat die Aufgabe die folgende Fassung: „2 Freunde haben sich 8 Maß Wein zu teilen, sie besitzen *) Vor Bachet behandelte das Problem Tartaglia im Anfang des 16. Jahrhunderts. Es kommt aber auch schon in älteren Quellen vor.

53

denselben in einem 8 Maß fassenden Gefäße, haben aber außerdem nur noch 2 leere Gefäße, von denen das eine 5 Maß, das andere 3 Maß faßt. Wie können sie den Wein in genau gleiche Teile teilen, indem sie sich einzig und allein der 3 Gefäße bedienen?" Zu dieser Aufgabe gibt Bachet zwei Lösungen, welche, wenn wir Liter statt Maß sagen, folgendermaßen lauten: 1. Man gieße den Wein in das 5 1 fassende Gefäß, bis dasselbe voll ist, dann gieße man aus diesem Gefäß so lange in das 3 1 haltende Gefäß, bis letzteres voll ist, so daß in dem zweitgrößten Gefäße 2 1 übriggeblieben sind. Nun gieße man den Inhalt des kleinsten Gefäßes in das größte, so daß dasselbe nunmehr 6 1 enthält. Dann gieße man die in dem zweitgrößten Gefäße zurückgebliebenen 21 in das jetzt leere kleinste Gefäß. Darauf fülle man das zweitgrößte Gefäß, indem man aus dem größten Gefäß so viel abgießt, bis das zweite ganz gefüllt ist, so daß nunmehr die 3 Gefäße, der Reihe nach, 1, 5, 2 1 enthalten. Jetzt entleere man das zweite Gefäß so weit, daß das kleinste Gefäß voll wird. Dann sind im zweiten Gefäß 41 zurückgeblieben. Man hat also nur noch die im kleinsten Gefäß vorhandenen 3 1 in das größte zu gießen, um zu erreichen, daß die 8 1 halbiert sind. 2. Bei der zweiten von Bachet gegebenen Lösung gießt man zuerst in das 3 1 haltende Gefäß, bis dasselbe voll ist, darauf die so erhaltenen 3 1 in das mittelgroße Gefäß. Dann füllt man wiederum das kleinste Gefäß, indem man aus dem größten ausgießt, so daß im größten 2 1 zurückbleiben. Nun gießt man aus dem kleinsten so lange in das zweitgrößte, bis dieses voll ist, und dann den ganzen Inhalt desselben in das größte Gefäß, das nun 7 1 enthalten muß, während im kleinsten 11 vorhanden ist. Dieses gießt man nun in das mittelgroße Gefäß. Endlich füllt man aus dem größten Gefäß in das kleinste, bis dieses voll ist, so daß im größten 4 1 enthalten

54

sein müssen und die Aufgabe also gelöst ist, wenn man noch die im kleinsten enthaltenen 3 1 in das mittelgroße Gefäß übergießt. Man kann diese Lösungen übersichtlicher und kürzer darstellen, wenn man den drei Gefäßen drei Kolumnen zuordnet und nacheinander in die Zeilen dieser Kolumnen die Zahlen schreibt, welche angeben, wieviel Liter nach jedem Umfüllen in den Gefäßen enthalten sind. Diese kürzere Darstellungsweise wollen wir auch im folgenden immer beibehalten. Ferner wollen wir die drei Gefäße mit A, B , C bezeichnen, so daß A das größte, B das zweitgrößte, C das drittgrößte bezeichnet. Die Zahl der Liter, die jedes Gefäß überhaupt fassen kann, setzen wir in Klammern unter A, B, C. So gewinnen die beiden oben auseinandergesetzten Lösungen die untenstehende übersichtliche Gestalt. (Nr. 1 und Nr. 2.) Nr. 1. A

B

Nr. 2 • C

A

B

Nr. 3. C

(8) (5) (3)

(8) (5) (3)

8 3 3 6 6 1 1 4

8 5 5 2 2 7 7 4 4

0 5 2 2 0 5 4 4

0 0 3 0 2 2 3 0

0 0 3 3 5 0 1 1 4

0 3 0 3 1 1 0 3 0

A B C D (24) (13) (11) (5) 24 13 8 0 11 16 16 3 3 8

0 0 0 8 8 8 0 13 8 8

0 11 11 11 0 0 8 8 8 8

0 0 5 5 5 0 0 0 5 0

Man kann das Bachetsche Umfüllungsproblem in dreierlei Richtungen verallgemeinern: 1. dahin, daß man statt der Zahlen (8), (5), (3) beliebig gewählte andere Zahlen setzt, welche angeben sollen, wieviel Liter die drei Gefäße A, B, C fassen sollen;

55

2. dahin, d a ß m a n als Ziel nicht allein die Halbierung, sondern die Erreichung jeder möglichen Literzahl b e t r a c h t e t ; 3. dahin, d a ß m a n m e h r als 3 Gefäße als zur Verfügung stehend voraussetzt. Da die dritte Erweiterungsrichtung weniger Interesse bietet, weil die A u f f i n d u n g einer Lösung d a d u r c h zu sehr erleichtert wird u n d die Anzahl der denkbaren Lösungen zu groß wird, so wollen wir diese Erweiterung des Problems nicht eingehender behandeln, sondern n u r ein Beispiel geben, das wir den „ M a t h e m a t i c a l Recreations" v o n Ball entnehmen. Das Gefäß A sei voll u n d enthalte 24 1, die Gefäße B , C, D , die leer sind, mögen 13, 11 u n d 5 1 fassen. Man soll die 24 1 durch Umgießen in 3 gleiche Teile teilen. Eine sehr kurze Lösung des Problems ist in Nr. 3 (s. S. 55) gegeben. Obwohl Ball in seinem Buche die Ansicht ausspricht, d a ß solche Umfüllungsaufgaben nur durch Versuche, nicht aber mathematisch gelöst werden können, so versuchte der Verfasser dennoch i n seinen in der N a t u r w . Wochenschr. erschienenen Artikeln über mathematische Spielereien (1891—94) eine kritische Behandlung der Umfüllungsprobleme bezüglich der beiden ersten der obengenannten drei Verallgemeinerungsrichtungen. Die Zahlen f ü r die v o n A, B, C gefaßten Liter mögen beziehungsweise a, b , c heißen. Zuerst sieht m a n leicht ein, d a ß bei dem Umfüllen immer nur zweierlei s t a t t f i n d e n k a n n . E n t w e d e r m a n m a c h t das Gefäß, a u s dem m a n gießt, ganz l e e r oder m a n m a c h t das Gefäß, i n das m a n gießt, ganz v o l l . D a h e r k a n n es, wie o f t m a n auch umgießen m a g , niemals v o r k o m m e n , d a ß keins der Gefäße ganz leer u n d zugleich auch keins ganz voll ist. W e n n also bei unsrer tabellarischen Darstellung der Ergebnisse der aufeinanderfolgenden Umfüllungen in einer Reihe keine 0 v o r k o m m t , so m u ß notwendig entweder die zweite Zahl derselben Reihe gleich b oder die d r i t t e Zahl dieser Reihe gleich c sein. D a ß die erste Zahl gleich a ist,

konnte ausgelassen werden, weil immer vorausgesetzt wird, daß überhaupt nur a Liter der Flüssigkeit vorhanden sind. Wir machen nun aus einem noch anzugebenden Grund zuerst die Annahme, es sei a > b + c . Soll dann durch das Umfüllen jede mögliche Literzahl erreicht werden, so gibt es dafür nur zwei Methoden, auf welche man von selbst geführt wird, wenn man bei jedem Schritt darauf bedacht ist, keine Umfüllung vorzunehmen, durch welche sich eine schon dagewesene Teilung wiederholt, solange sich noch andere bieten. Denn eine solche Umfüllung wäre ja ganz unnötig. Von diesen Methoden, welche beide nach Durchlaufung aller überhaupt vorhandenen Teilungsmöglichkeiten schließlich auf die Ausgangsstellung zurückführen, ist die erste: „Man gieße aus A in C, bis C voll ist, dann den Inhalt von C in B, darauf wieder aus A in C, bis C voll ist, und auch wieder den Inhalt von C in B. So fahre man fort, bis B ganz voll ist. Darauf fülle man den Inhalt von B in A und wenn in C ein Rest geblieben ist, diesen in B. Jetzt wiederhole man das anfängliche Verfahren und zwar wiederum so lange, bis B voll ist. Dann gieße man den Inhalt von B wieder in A und wenn in C ein Rest geblieben ist, diesen in B usw. Die zweite Methode lautet folgendermaßen: Man gieße aus A in B, bis B voll ist, dann aus B in C, bis C voll ist. dann den Inhalt von C in A, dann nochmals aus B in C, bis voll ist, dann aus dem vollen C in A und wiederhole dies so lange, bis es nicht mehr gelingt, C aus B ganz zu füllen. Darauf gieße man trotzdem diesen Rest in C, so daß B leer wird. Nun fülle man von neuem aus A in B, bis B voll ist und wiederhole den eben beschriebenen Prozeß, bis wiederum in B weniger als C ist. Dann gieße man diesen Rest wieder in C, fülle das leere B aus A, gieße aus B in C, bis C voll ist, usw.

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Die erste dieser Methoden stellen wir an dem Beispiel Nr. 4 dar, bei welchem die Bedingung a > b -f- c erfüllt ist, und erkennen an diesem sofort, daß, wenn man die Reihenfolge der Teilungsschritte umkehrt, also von der letzten Reihe 15, 0, 0 anfangend zu der vorletzten 8, 7, 0 weiterschreitet usf., gerade die zweite TeilungsNr. 4. methode entsteht, daß also diese beiden Verfahren Umkehrungen voneinander sind. A B c (15) (7) (3) 15 12 12 9 9 6 6 13 13 10 10 7 7 14 14 11 11 8 8 15

0 0 3 3 6 6 7 0 2 2 5 5 7 0 1 1 4 4 7 0

0 3 0 3 0 3 2 2 0 3 0 3 1 1 0 3 0 3 0 0

Treten wir nun an die Frage heran: Unter welchen Umständen läßt sich durch das Umfüllen jede mögliche Literzahl von 1 bis a erreichen ? Als Antwort ergibt sich, daß b und c nur der Bedingung unterworfen sind, keinen gemeinsamen Teiler zu haben. Dann nämlich können beim Umfüllen nicht alle Zahlen erscheinen, sondern natürlich nur diejenigen, welche ebenfalls diesen Teiler haben.

Gehen wir jetzt auf die oben aufgestellte Bedingung a > b -f- c zurück: von ihr war ausgegangen worden, weil es sich zeigt, daß, wenn sie erfüllt ist, die beiden oben angegebenen Methoden die einzigen sind, mit denen man einen Fortschritt in der Behandlung unserer Aufgabe erzielen kann. Weicht man von ihr ab, so können die beiden Methoden noch immer anwendbar bleiben, sind aber nicht mehr die einzig möglichen. Eine solche Abweichung von jener Bedingung kommt bei folgender Erwägung in Frage: Soll eine vollständige Durchführung unseres Teilungsverfahrens bis zur Wiedererreichung der Anfangsstellung möglich sein, so muß bei Benutzung der ersten Methode jedenfalls im Gefäß A immer so viel FlüssigJe?

keit sein, d a ß C ganz gefüllt werden k a n n . A ist jedenfalls a m leersten, wenn in B b Liter sind. D a n n aber soll m a n j a aus B in A füllen. Sind aber in B nur Nr. 5. b — 1 Liter u n d ist C noch leer, so f r a g t es A B C sich, ob in A noch so viel Flüssigkeit ist, (13) (9) (5) d a ß C ganz gefüllt werden k a n n . Da aber 0 13 0 alle Flüssigkeit zusammen unverändert a 8 0 5 Liter betragen m u ß , so m ü ß t e in A a — b -(- 1 0 8 5 Liter sein. Dies darf also nicht kleiner als c 5 3 5 sein, d. h . in arithmetischer Zeichen1 3 9 sprache : 12 0 1 1 12 0 a > b -f- c — 1 • 1 5 7 6 0 7 D a ß bei a = b -f- c — 1 wirklich die 2 6 5 oben angegebenen Methoden noch zum Ziel 2 2 9 f ü h r e n , lehrt das Beispiel Nr. 5. Dieses 0 2 11 Beispiel zeigt auch, d a ß hier, wie behauptet 2 11 0 6 2 5 wurde, noch andere v o n dem bisherigen 6 7 0 Verfahren abweichende Umfüllungsmöglich1 7 5 keiten v o r h a n d e n sind, indem m a n bei1 9 3 spielsweise von der zweiten Zeile 8, 0, 5 10 0 3 oder der vierten 3, 5, 5 direkt zur zwei10 3 0 3 5 5 undzwanzigsten 0, 8, 5 übergehen k a n n . 5 8 0 F ü r a besteht aber nicht bloß die untere 0 8 5 Wert grenze b -j- c — 1, sondern auch eine 4 0 9 obere, wie uns das Beispiel N r . 6 (s. S. 60) 0 4 9 zeigen soll. Hier sind n u r die Literzahlen 0 9 4 4 4 5 von 1 bis 11 zu erreichen (8 2 = 10 der 4 0 9 zehnten Zeile u n d 9 -f- 2 , wenn m a n die 13 0 0 Gefäße B u n d C aus A ganz füllt). L ä ß t m a n wie in Nr. 6 (s. S. 60) auch solche Flüssigkeitsmengen als Lösungen zu, welche sich aus d e m I n h a l t zweier Gefäße zusammensetzen, so ist nach D r . W . Ahrens

59

Nr. 6.

Nr. 7.

Nr. 8a.

A B C (50) (9) (2)

A B C (31) (12) (5)

A B C (20) (13) (9)

50 48 48 46 46 44 44 42 42 40 40 49 49 47 47 45 45 43 43 41 41 50

6o

0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 9 0 1 1 3 3 5 5 7 7 9 0

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0

31 26 26 21 21 16 16 28 28 23 23 18 18 30 30 25 25 20 20 15 15 27 27 22 22 17 17 29 29 24 24 19 19 31

0 0 5 5 10 10 12 0 3 3 8 8 12 0 1 1 6 6 11 11 12 0 4 4 9 9 12 0 2 2 7 7 12 0

0 5 0 5 0 5 3 3 0 5 0 5 8 + 5=13 1 1 0 5 0 5 0 5 4 4 0 5 0 5 9 + 5=14 2 2 0 5 0 5 0 0

20 11 11 2 2 15 15 6 6 19 19 10 10 1 1 14 14 5 5 18 18 9 9 0 0 13 13 4 4 17 17 8 8

0 0 9 9 13 0 5 5 13 0 1 1 10 10 13 0 6 6 13 0 2 2 11 11 13 0 7 7 13 0 3 3 12

0 9 0 9 5 5 0 9 1 1 0 9 0 9 6 6 0 9 2 2 0 9 0 9 7 7 0 9 3 3 0 9 0

(Mathem. Unterhaltungen u. Spiele, 2. Aufl., Bd. I, S. 119) eine Teilung der a Liter in jedem beliebigen Verhältnis nach unseren beiden Methoden auch dann noch möglich, wenn b + c — l £ ist, der Wert der Summe in der dritten Klammer größer als weil > -g->-g-, ij- > -J- ist, usw. So erhält man, daß die Summe aller Brüche in den ersten a Klammern größer als • a sein muß. Will man also, daß die Summe größer werden soll als die bebeliebig groß angenommene Zahl b, so hat man nur 2 mal b Klammern zur Addition zu verwenden, d. h. man hat die Summation der Brüche

J-,

-J- usw. bis zum Bruche ^ ^

fortzusetzen. Dann kann man sicher sein, eine Summe zu erhalten, die noch größer als b ist. Wenn man aber die Brüche addieren soll, von denen jeder der c-te Teil des vorhergehenden ist, so bleibt man bei fort-

114

gesetzter Addition immer unterhalb einer gewissen angebbaren Grenze, die man nie überschreiten kann, wieweit man auch die Summation fortsetzen mag, obwohl man dieser Summe sich fortgesetzt nähert. Ein bekanntes Beispiel bietet die Reihe: Nimmt man nur 3 Glieder zur Addition, so erhält man Fügt man dann noch immer 1 Glied hinzu, so erhält man 1-ffi usw. Man erkennt leicht, daß die erhaltenen Summen die Zahl 2 als Grenze haben, d. h., daß sie zwar immer kleiner als 2 bleiben, aber doch sich der Zahl 2 immer mehr nähern. Dieses Beispiel lehrt also, daß die Summe von unzählig vielen Brüchen nicht unendlich groß zu sein braucht, sondern auch einer angebbaren endlichen Zahl, in unserem Beispiel der Zahl 2, unendlich nahe kommen kann. Auf Nichtbeachtung dieser Wahrheit beruht auch der Trugschluß des Zenon von Elea (Aristoteles, Physica, liber VI, Kapitel 9), der so ausgesprochen werden kann: Achilleus verfolgte eine Schildkröte, die ihm ein Stadium voraus war, mit einer Geschwindigkeit, die zehnmal so groß ist, als die der Schildkröte. Zenon behauptet: Achilleus wird die Schildkröte nie einholen. Denn während er das erste Stadium durchläuft, legt die Schildkröte -j1^ des zweiten Stadiums zurück; und während er dieses durchläuft, ist die Schildkröte um Stadium weitergekrochen. Als Achilleus auch diese Strecke zurückgelegt hat, hat sich das Tier um Stadium vorwärts bewegt, usw. Man erkennt, daß der Weg des Achilleus aus einer Summe von unzählig vielen Wegen besteht, von denen jedoch jeder der zehnte Teil des vorhergehenden ist. Eine solche Summe ist aber eine endliche. Achilleus durchläuft nämlich nicht mehr Stadien, als die Summe 1 + IV+ 8»

T'Ö\> Ö + • • •

angibt; und dies ist 1-J- Stadium. Ebenso ergibt eich, daß der Weg der Schildkröte TV + Torr + TÖW + • • * = iV" A1 _

1 • TO

also -fr Stadium beträgt. Auch die Zeit, die Achilleus zum Einholen braucht, ergibt sich als eine Summe von unzählig vielen Zeiträumen, von denen jeder der zehnte Teil des vorhergehenden ist. Betrachtet man nämlich die Zeit, die Achilleus zum Durchlaufen des ersten Stadiums gebraucht, als Zeiteinheit, so verbraucht er sowohl wie die Schildkröte so viel Zeiteinheiten, wie die folgende Summe 1

+

angibt, und dies ist 1-J-.

IIÖ

Toff + T ü W

Z W E I T E R

A B S C H N I T T

§tn0r&mnt0^fr0fileme

§18 Œag $roûïem

bet 15 Cfitiflen

bec 15

unb

dürften

Dieses Problem gab Bachet in der zweiten Auflage seiner „Problèmes plaisans" (Lyon 1624) in folgender Form auf: „Auf einem Schiffe befanden sich 15 Christen und 15 Türken. Als ein gewaltiger Sturm sich erhoben hatte und das Schiff schon dem Untergang geweiht schien, erklärte der Kapitän, daß, wenn 15 von den 30 auf dem Schiff befindlichen Personen über Bord geworfen würden, das Schiff und das Leben der übrigen 15 Personen gerettet werden könnten. Diesem Rate wollte man Folge leisten. Man kam überein, diejenigen 15, welche sich für die übrigen opfern sollten, auf folgende Weise zu bestimmen. Alle 30 Personen sollten 6ich in eine Reihe stellen, dann sollte wiederholt von 1 bis 9 gezählt werden, und immer derjenige über Bord geworfen werden, auf den die Zahl 9 fiel. Dabei sollte der erste als auf den letzten folgend angesehen werden, und nach jedesmaliger Ausscheidung des 9. sollte bei der in der Reihe zunächst folgenden Person das Zählen von 1 bis 9 von neuem beginnen. Welche Plätze mußten die 15 Christen einnehmen, um zu erreichen, daß sie selbst sämtlich verschont blieben und gerade die 15 Türken ins Meer zu werfen waren ? " Dieselbe Aufgabe befindet sich auch vor Bachet bei Tartaglia und später mit verschiedenen Varianten in Zeitschriften, die mathematische Unterhaltungsaufgaben enthalten. Die Lösung kann man durch Probieren leicht finden, wenn man sich 30 Striche macht, dann immer I I Q

von 1 bis 9 zählt, jeden Strich, auf den die Zahl 9 trifft, irgendwie kennzeichnet und beim Weiterzählen nicht versäumt, die so gekennzeichneten Striche zu überspringen. Auf solche Weise findet man die folgende Lösung des Problems:

I I I ITTTTT! ITH I T U T I I T T T I T T I IT Dies heißt, daß aufeinanderfolgen müssen: 4 Christen, 5 Türken, 2 Chr., 1 T., 3 Chr., 1 T., 1 Chr., 2 T., 2 Chr., 3 T., 1 Chr., 2 T., 2 Chr., 1 T. Bachet fügte dieser Lösung auch ein mnemotechnisches Hilfsmittel bei, nämlich den Vers: Mort, tu ne falliras pas, En me livrant le trépas! Achtet man nur auf die Vokale dieses Verses, so hat man die Reihenfolge o, u, e, a, i, a, a, e, e, i, a, e, e, a, wo man für a als den ersten Vokal des Alphabets 1, für e 2, für i 3, für o 4, für u 5 zu setzen hat, um zu erkennen, wieviel Christen und wieviel Türken immer abwechseln müssen. Ozanam gab einen lateinischen Vers, der in derselben Weise die Lösung kennzeichnet, nämlich: „Populeam virgam mater regina ferebat." Ball gab in 6einen „Récréations" den folgenden englischen Merkvers für die Lösung des Problems: „From numbers' aid and art Never will famé départ!" Ein deutscher Merkvers lautet: „Gott schlug den Mann in Amalek, Den Israel bezwang!" I20

Tartaglia teilte bei seiner Erörterung des Problems auch die Lösungen der Aufgaben mit, die entstehen, wenn man irgendeine der 10 Zahlen von 3 bis 12 statt 9 einsetzt, und zwar gab er jede der 10 Lösungen durch einen italienischen Vers wieder, der, wie die obigen Verse, durch die Nummern der darin auftretenden Vokale die zu bildende Reihenfolge liefert. Im Laufe der Zeit hat das Problem manche das Wesen der Sache nicht ändernde Varianten erfahren. In Freunds Bätseischatz (Reclam 1885) sind zwei Varianten aufgeführt. Erstens sind an die Stelle der 30 Schiffbrüchigen 30 Deserteure getreten, von denen 15 erschossen und 15 begnadigt werden sollen. Zweitens 6ind an die Stelle der 15 Christen und 15 Türken 16 Weiße und 16 Neger getreten, die auch zusammen Schiffbruch erlitten haben und von denen die 16 Neger zu opfern sind, und zwar dadurch, daß nicht der jedesmalige 9., sondern der jedesmalige 10. über Bord geworfen werden soll. Faßt man als das Wesentliche des Problems nur dies auf, daß n Personen so anzuordnen sind, daß bei Entfernung immer desjenigen, der beim Abzählen als d-ter erscheint, gewisse im voraus bezeichnete Personen übrigbleiben, so läßt sich das Problem noch vor Tartaglia weiter zurückverfolgen. Es kommt nämlich dann 6chon in der Schrift des Hegesippus „De bello Judaico" vor, und zwar im 16.—18. Kapitel des dritten Buches. Dort wird nämlich erzählt, daß nach der Zerstörung Jerusalems der berühmte jüdische Schriftsteller Josephus sich mit 40 andern Juden in einen Keller geflüchtet hatte, von denen alle, ausgenommen Josephus selbst und einer seiner Freunde, sich selbst töteten, und daß dies auf folgende Weise zugegangen sei. Alle, außer Josephus und seinem Freunde, erklärten, daß sie lieber sterben als den Siegern in die Hände fallen wollten. Josephus, der sich scheute, seine Absicht, leben zu bleiben, zu offen auszusprechen, schlug vor, daß die

121

Tötung in einer gewissen Ordnung sich vollziehe. Sie möchten sich alle in eine Reihe stellen und dann solle der jedesmalige Dritte sich selbst den Tod geben, wobei der erste als auf den letzten folgend anzusehen sei. Der Vorschlag wurde angenommen und dadurch, daß Josephus sich auf den 31. Platz und seinen Freund auf den 16. Platz stellte, rettete er sein eigenes und seines Freundes Leben, weil von den 41 Personen die übrigen 39 sich, dem angenommenen Vorschlage gemäß, schon vorher getötet hatten, ehe die Abzahlung unter den letzten beiden zu beginnen hatte. Dies scheint das älteste Vorkommen des Problems zu sein. Obwohl das Problem unter uns immer wieder von neuem auflebt, indem die Kinder nicht durch Losen, sondern durch Abzählen denjenigen oder diejenigen bestimmen, welche bei irgendeinem Spiele eine besondere Rolle spielen sollen, so hat das Problem dennoch niemals eine mathematische Behandlung erfahren, bis der Verfasser dieses Buches eine solche in der „Naturwissenschaftlichen Wochenschrift" und in den „Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg" vor einigen Jahren veröffentlichte. Die wichtigsten Resultate dieser mathematischen Untersuchungen sollen hier Platz finden. Das Problem läßt sich in verallgemeinerter Form aussprechen, wie folgt: Auf einer Kreisperipherie liegen n P u n k t e , die, der Reihe nach, im Sinne eines Uhrzeigers, durch d i e Z a h l e n 1, 2, 3, » . . n — 1, n b e z e i c h n e t s i n d . Man z ä h l t , mit P u n k t 1 b e g i n n e n d , der Reihe nach d i e P u n k t e b i s z u r Z a h l d. D e r P u n k t , d e n d i e Zahl d t r i f f t , wird a u s g e s t r i c h e n . Bei dem in der R e i h e n ä c h s t f o l g e n d e n P u n k t e b e g i n n t man wied e r z u z ä h l e n , u n d z w a r w i e d e r v o n 1 b i s d. D e r P u n k t , den j e t z t die Zahl d t r i f f t , wird a u c h aus-

122

g e s t r i c h e n , u n d so s e t z t m a n d i e s e s V e r f a h r e n f o r t , bis alle P u n k t e a u s g e s t r i c h e n sind, wobei m a n n i e v e r s ä u m e , die a u s g e s t r i c h e n e n P u n k t e b e i m Z ä h l e n zu ü b e r s p r i n g e n , E s soll b e r e c h n e t w e r d e n , w e l c h e N u m m e r d e r P u n k t h a t , der a l s e r s t e r , w e l c h e , d e r a l s z w e i t e r , und ü b e r h a u p t w e l c h e N u m m e r x d e r P u n k t h a t , der als e - t e r P u n k t a u s g e s t r i c h e n wird. Naturgemäß sind n, d, e positive Zahlen. Auch kann d kleiner, gleich oder größer als n sein. Die Zahl e kann natürlich nicht größer als n sein. Fragt man, welcher Punkt als letzter ausgestrichen wird, so hat man e = n zu setzen. Zunächst ergibt sich sehr einfach, daß, wenn man die gesuchte Nummer des ausgestrichenen Punktes immer mit x bezeichnet, x = d wird, wenn e = 1 und n nicht kleiner als d ist. Wenn ebenfalls e = 1, aber n < d ist, so ist x gleich dem Reste, der übrigbleibt, wenn man d durch n dividiert. Dies ist aus der Art des Abzählens unmittelbar ersichtlich. Damit sind für e = 1 alle Zahlen x bestimmt. Was die Zahlen für e = 2 angeht, so fand der Verfasser, daß dieselben aus denen für e = l dadurch hervorgehen, daß man die letzteren um d wachsen läßt; wenn man dabei auf eine Zahl stößt, die größer als n ist, so hat man n einmal oder öfter zu subtrahieren, bis eine Zahl herauskommt, die nicht größer als n ist. Doch ergibt sich auf solche Weise aus einer für e = 1 richtigen Zahl diejenige für e = 2 richtige Zahl, welche sich auf e i n e u m 1 g r ö ß e r e A n z a h l v o n P u n k t e n , also auf n-f- 1 Punkte, bezieht. Z . B . ist für d = 3 , e = 1, n = 3 die gesuchte Zahl x auch gleich 3. Aus x = 3 folgt nun die für d = 3, e = 2, n = 4 richtige Zahl, indem man d, also hier 3, hinzufügt. Dies gibt 6. Da aber 6 größer als 4 ist, so soll man 4 abziehen, wodurch man die Zahl 2 erhält. Dies heißt, daß, wenn man bei 4 Punkten

123

immer von 1 bis 3 zählt, die als zweite ausgestrichene Zahl ursprünglich die zweite Stelle einnahm, was man auch leicht durch den Versuch erkennt. Mathematisch läßt sich das vom Verfasser gefundene Gesetz, das die Zahlen für n + 1 und e -j- 1 auf die Zahlen für d und e zurückführt, in folgender Weise aussprechen. Das Funktionszeichen f bezeichne die Abhängigkeit der Zahl x von den Zahlen n, d, e. Ferner bezeichne a = r (mod n), daß, wenn a durch n dividiert wird, der Rest r bleibt, wo r eine der Zahlen von 1 bis n sein muß. Dann lautet unser Gesetz: d + f ( n , d , e ) = f ( n + l , d , e + l) (mod n). Als Beispiel folgen hier alle Zahlen x für d = 3, d = 4 und d = 9 tabellarisch zusammengestellt. Da man immer nur d zu addieren hat und die Summe entweder gar nicht Erste Tabelle: d = 3. n

e= 1

1

1

2

3

4

2

1

3

3

1

2

4

3

2

4

1

5 6

3 3

1

5 4

2 2

2

5

6

7

9

10 11 12

2

4

7

3

6 6

8

3

6

1

7 5

2

5 5

1 1

4 4

7

2

7

5 10 11 8

4 2

7

7

2

11

5

9

3

6

9

4

8

8 5

10 11

3

6

9

2

7

1

3

6

9

1

5

10

8 4

12

3

6

9

12

4

8

1

124

8

1

10

oder um n oder u m 2 n usw. zu vermindern hat, so kann m a n solche Tabellen ohne Nebenrechnung aus dem Kopfe entwickeln. Die aufeinanderfolgenden Kolumnen beziehen sich auf die Werte von e, die Zeilen auf die Werte von n. Die Addition von d erfolgt in den schrägen Reihen von oben links nach unten rechts. Bei diesen Tabellen beachte man den wichtigen Umstand, daß immer die n Zahlen, die in derselben Zeile mit n stehen, alle Zahlen von 1 bis n umfassen müssen, so daß nie eine solche horizontale Reihe dieselbe Zahl zweimal zeigen kann. Hierdurch ist eine wichtige Kontrolle bei der allmählichen Berechnung der Tabelle gegeben. Setzt man diese Tabelle bis n = 30 fort, so ergibt die letzte Zeile die Lösung der ursprünglichen Form unseres Problems, bei der n = 30 und e eine der Zahlen 1 bis 15 ist. Zweite Tabelle: d = 4. n

e= 1

1 2

1

3 4

2

3

4

2

1

1 4

3

2

1

3

2

5

6

7

8

9

10 11 12

5

4

3

5

2

1

6

2

1

3

6

5

7

4 4

1

6

5

2

4

8

5

2

7 1

3

8

3

7

6

9 10

4

8

3

9

6

5

7

2

1

4

8

2

3

10

6

5

4

8

1

11

7

9 3

1

11

7 6

2

5

10

12

4

8

12

5

10

3

11

7

6

9

•

•

•

•

.

9 2

. . . . . . .

1 •

125

Man erkennt dann auch, in welcher Reihenfolg« die 15 Türken über Bord geworfen werden. Bei Fortsetzuig der Tabelle würden nämlich in die Zeile, die sich auf i = 30 bezieht, die folgenden Zahlen kommen: 9, 18, 27, 6, 16, 26, 7, 19, 30, 12, 24, 8, 22, 5, 23, 11, 29, 17, 10, 2, 28, 25, 1, 4, 15, 13, 14, 3, 20, 21. Dritte Tabelle: d = 9. n e= 1 1 1 2 1 3 3 4 1 4 5 6 3 2 7 8 1 9 9 10 9 11 9 12 9 13 9 14 9 15 9 16 9 17 9

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 1 4 5 1 5 3 1 8 7 6 5 4 3 2 1

2 2 3 3 1 2 6 3 4 6 4 3 6 10 2 6 8 4 3 2 13 14 11 13 8 12 6 11 4

2 4 5 1 6 7 5 2 7 8 4 5 2 7 8 5 3 4 1 6 11 3 1 2 10 5 8 12 10 11 12 1 4 8 6 8 7 10 13 3 5|2 1 4 7 1 |l4 11 10 13 15|l0 6 3 2

7 4 5 7 1 7 3 1 2 12 10 16 5 5 8

2 10 11 12 5 6 11 6 14 15 3 4 15 7 8 14 12 13 716 17

1

Die dritte Tabelle löst alle Fragen, die sich auf d = 9 beziehen. Wenn z. B. in einer Klasse von 14 Schülern derjenige, der irgendein Amt übernehmen soll, dadurch bestimmt wird, daß immer der jedesmalige 9. ausscheidet

I2Ö

u n d der zuletzt übrigbleibende Schüler das A m t b e k o m m t , so k a n n m a n ersehen, d a ß es der 6. der Klasse ist, weil die Tabelle f ü r n = 14, e = 14 die Zahl 6 liefert. Die bisher auseinandergesetzte Methode, u m bei gegebenen Zahlen d, n , e das zugehörige x zu f i n d e n , verlangt, d a ß m a n erst die Zahlen x f ü r alle W e r t e , die kleiner als n sind, berechnet, ehe m a n die auf n selbst bezüglichen x erk e n n e n k a n n . E s f r a g t sich n u n , ob nicht die M a t h e m a t i k Mittel liefert, u m direkt aus den gegebenen Zahlen d, n , e das zugehörige x = f ( n , d , e) zu f i n d e n . Dies ist in der T a t möglich. U m die Lösung des Problems der direkten E r m i t t l u n g der Zahl x aus n , d, e verständlich zu m a c h e n , müssen wir einige E r k l ä r u n g e n vorangehen lassen. Eine geometrische Reihe ist bekanntlich eine Reihe v o n Zahlen, bei denen jede folgende aus der u n m i t t e l b a r vorhergehenden e n t s t e h t , i n d e m m a n diese mit einer u n d derselben Zahl, d e m k o n s t a n t e n Q u o t i e n t e n der Reihe, multipliziert. So ist 1, 2, 4, 8, 16, 32 eine geometrische Reihe, deren Anfangsglied 1 u n d deren k o n s t a n t e r Quotient 2 ist. So ist ferner 16, 20, 25, 3 1 i , 3 9 t V eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied 16 u n d d e m k o n s t a n t e n Quotienten Ist der k o n s t a n t e Quotient keine ganze Zahl, sondern ein Bruch, so müssen a u c h die Glieder der Reihe entweder sofort oder später gebrochene Zahlen werden, gleichviel wie das Anfangsglied heiße. W e n n m a n n u n i n diesem Falle, sobald ein Bruch e n t s t e h t , i m m e r die n ä c h s t g r ö ß e r e g a n z e Zahl d a f ü r setzt u n d d a n n a u c h diese ganze Zahl m i t dem k o n s t a n t e n Q u o t i e n t e n multipliziert, u m das nächste Glied zu erhalten, so b e k o m m t m a n eine Reihe v o n l a u t e r ganzen Zahlen, die natürlich nicht

127

m e h r eine genaue geometrische Reihe darstellt u n d die wir eine g a n z z a h l i g e R e i h e n e n n e n wollen. U m diese Erk l ä r u n g zu verdeutlichen, folgen hier einige ganzzahlige Reihen, bei denen i m m e r das Anfangsglied a u n d der k o n s t a n t e Quotient q g e n a n n t i s t : 1. a = 1, q = | g i b t : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 15, 20, 27, . . . 2. a = 10, q = f i g i b t : 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, . . . 3. a = 25, q = |

g i b t : 25, 30, 36, 44, 53, 64, 77, 93,

N a c h Feststellung des Begriffs der ganzzahligen

Reihe

l ä ß t sich das R e s u l t a t des Verfassers bezüglich einer direkt e r e n E r m i t t l u n g des W e r t e s v o n x = f ( n , d , e) aus gegebenen W e r t e n v o n a , n , d , e darstellen, wie f o l g t : „ M a n subtrahiere e v o n n, multipliziere die Differenz m i t d u n d addiere d a n n 1. Die so erhaltene Zahl nehme m a n als Anfangsglied einer ganzzahligen Reihe, als deren Quotient m a n ——— zu n e h m e n h a t . D a n n b e s t i m m e m a n in dieser d— 1 Reihe das größte v o n allen Gliedern, die noch nicht größer als d • n sind. Der u m 1 v e r m e h r t e Unterschied zwischen d e m so b e s t i m m t e n Gliede u n d dem eben g e n a n n t e n P r o d u k t e ist stets die genaue P l a t z n u m m e r x . " Hierzu die folgenden Beispiele: 1. d = 3, n = 14, e = 13, Man h a t also 14 P u n k t e , zählt i m m e r bis 3 u n d f r a g t , welcher P u n k t als vorletzter ausgestrichen wird. Das Anfangsglied ist d (n — e) -f- 1 d = 3 • (14 — 13) - f - 1 = 4. Der k o n s t a n t e Quotient ist — 1 3 3 = —•, das P r o d u k t d • n , das größer sein m u ß als 3—1 2 das zu wählende Glied der ganzzahligen Reihe, ist 3 • 14 = 42. Die Reihe beginnt also mit 4, 6, . . . u n d ist fortzusetzen, bis 42 überschritten wird. Also: =

4, 6, 9, 14, 21, 32, 48.

128

Da 48 schon größer als 42 ist, so ist 32 das größte Glied, das d • n nicht überschreitet. Nun ist zu rechnen n — 32 1 = 42 — 32 - f 1 = 11. Also scheidet der 11. Punkt als vorletzter aus. Das ergibt sich auch aus der ersten unserer drei Tabellen, wenn wir dort die schräge Reihe der vorletzten Zahlen fortsetzen. Dort steht 5 für n = 12, d = 11, also kommt 8 für n = 13, d = 12 und 11 für n = 14, d = 13, wodurch unsere Berechnung bestätigt wird. 2. d = 10, n = 8, e == 8. Man hat also in einer Kreisperipherie 8 Punkte, zählt von einem Anfangspunkt aus immer bis 10, streicht den bei 10 erreichten Punkt aus und fährt fort, bis alle Punkte ausgestrichen sind, indem man immer die schon ausgestrichenen Punkte nicht mitzählt. Es wird gefragt, der wievielte von den 8 Punkten zuletzt ausgestrichen wird. Das Anfangsglied d (n -— e) -)- 1 ist hier 1, der konstante Quotient

^ = Man kann die Reihe d—1 9 • hier sofort mit 9, 10 beginnen, da die voraufgehenden Glieder j a kleiner als 9 sein müssen. So erhalten wir: 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 23, 26, 29, 33, 37, 42, 47, 53, 59, 66, 74, 83, . . . Nun ist d • n = 80. Also ist 74 zu wählen. 80 — 74 -(-1 = 7. Also wird der 7. Punkt zuletzt ausgestrichen. 3. Welchen Platz hatte der Türke, der gemäß der ursprünglichen Fassung des Problems zuletzt über Bord geworfen wurde ? Hier ist d = 9, n = 30, e = 15. Das Anfangsglied d (n — e) -j- 1 ist 9 • 15 -j— 1 oder 136, der konstante Quotient ist , das Produkt, bis zu welchem die Reihe fortzusetzen ist, 270. Also: 136, 153, 173, 195, 220, 248, 279. Daher ist 248 zu wählen und 270 — 248 + 1 = 23 zn rechnen. Folglich hatte der letzte über Bord geworfene Türke 9

S c h u b e r t , M a t h e m a t i s c h e Mußestunden.

I2Q

den 23. P l a t z , was mit der oben f ü r d = 9 u n d n = 30 angegebenen Zahlenreihe in Einklang ist. 4. E s sei die obenerwähnte, im Rätselschatz v o n F r e u n d mit Nr. 269 bezeichnete Aufgabe zu lösen, bei welcher n = 32, d = 10 u n d e jede der Zahlen 1 bis 16 ist. Bezeichnet man die W e r t e v o n x , die f ü r e = 1, 2, 3, . . . 16 herauskommen, mit Xj, x 2 , . . . x l g , so h a t m a n , u m x l 5 x 2 , . . . x 1 6 zu finden, ganzzahlige Reihen aufzustellen, deren konstanter Quotient übereinstimmend JjS- b e t r ä g t u n d deren Anfangsglieder die Zahlen 311, 301, 291, 281, . . . 161 sind. D a s maßgebende P r o d u k t , das von den gewählten Gliedern der Reihe nicht überschritten werden darf, ist 320. Also ist x 1 = l + 320 — 3 1 1 = 10, x 2 = 1 + 320 — 3 0 1 = 20, x 3 = 1 320 — 291 = 30, was auch unmittelbar ersichtlich ist. U m x 4 — x l g zu f i n d e n , haben wir die folgenden ganzzahligen Reihen zu betrachten. Zieht m a n die letzte Zahl dieser Reihen immer v o n 1 -f~ 320 ab, so erhält m a n die W e r t e v o n x 4 bis x 1 6 . 281, 271, 261, 251, 241, 231, 221, 211, 201,

313 302 290

310 298 286, 274, 262, 249, 237, 225, 212, 190, 171, 161, 179, 199, 279, 268, 257, 246, 235, 224, 191, 213, 181, 202,

JJO

• X4 • X5 . x6

= = =

X

318 305 292 277, 308 264, 294

• 7 = • XR = • X» = • X10 = • xn = • *12 =

250, 278, 309 . . • 236, 263, 293 . . • 222, 247, 275, 306 •

= X

14 = 15 -

X

X

l«

-

321 — 313 = 8 321 — 302 = 19 321 — 290 = 31 321 — 321 — 321 — 321 — 321 — 321 — 321 —

310 298 318 305 292 308 294

= = = = = = =

11 23 3 16 29 13

27 321 — 309 = 12 321 — 293 = 28 321 — 306 = 15

Hierdurch ergibt sich die Stellung der Weißen und der Neger zueinander aus dem folgenden Schema, wo w bzw. n bedeutet, daß den Platz ein Weißer, bzw. ein Neger einzunehmen h a t : w w n w w w w n w n n n n w n n w w n n w w n w w w n n n n n w . Schließlich sei noch erwähnt, daß, wenn d = 2 ist, der konstante Quotient der Reihe -j-= 2 wird, so daß eine w i r k l i c h e geometrische Reihe entsteht, wodurch die Berechnung des Gliedes dieser Reihe, um das 2 n -f- 1 vermindert werden muß, sehr erleichtert wird. Ist außer d = 2, auch e = n, so hat man einfach 2 n -)- 1 um die nächst niedere Potenz von 2 zu vermindern. Sind z. B. 100 Personen abzuzählen, indem man immer nur bis 2 zählt, so ergibt sich die Platznummer desjenigen, der zuletzt allein übrigbleibt, wenn man 201 um die nächst niedere Potenz von 2, also um 128 vermindert. So erhält man, daß der 73. zuletzt übrigbleibt.

9*

§19 Ü&agtfdje »ÖuabrntE

A. Einleitendes. Das erste magische Quadrat, das im christlichen Abendlande auftritt, befindet sich als Attribut auf dem „Melancholie" genannten Kupferstich von Albrecht Dürer. Dasselbe sieht so aus: 16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Diese Anordnung der 16 Zahlen von 1 bis 16 hat die merkwürdige Eigenschaft, daß sich stets dieselbe Summe 34 ergibt, gleichviel, ob man die 4 Zahlen addiert, die in jeder der 4 horizontalen Reihen stehen, oder die 4 Zahlen addiert, die in jeder der 4 vertikalen Reihen stehen, oder endlich die 4 Zahlen addiert, die in jeder der beiden diagonalen Reihen stehen. Überhaupt nennt man m a g i s c h e s Q u a d r a t ein Quadrat mit n • n quadratischen Feldern, in denen n • n

132

aufeinanderfolgende Zahlen, meist die Zahlen von 1 bis n • n , derartig angeordnet sind, d a ß die Summe von n Zahlen i m m e r dieselbe ist, gleichviel, ob diese n Zahlen in einer horizontalen, einer vertikalen oder einer diagonalen Reihe zusammenstehen. W i r f i n d e n diese Aufgabe bei den Arabern sehr verbreitet. Von diesen gelangten die magischen Quadrate d a n n zu den Oströmern. Endlich h a b e n sich seit Albrecht D ü r e r auch die westeuropäischen Gelehrten mit den Methoden zur Herstellung solcher Q u a d r a t e beschäftigt. Das älteste u n d einfachste magische Quadrat besteht in der quadratischen Anordnung der 9 Zahlen 1 bis 9, so d a ß die Summe in jeder horizontalen, vertikalen u n d diagonalen Reihe stets dies lbe, nämlich 15, wird. Dieses Q u a d r a t sieht so aus:

6

1

8

7

5

3

2

9

4

I n der T a t ist 6 + 1 + 8 = 7 + 5 + 3 = 2 + 9 + 4 = 6 + 7 + 2 = 1 + 5 + 9 = 8 + 3 + 4 = 6 + 5 + 4 = 8 + 5 + 2 = 15 . Man erkennt m a t h e m a t i s c h leicht, daß alle magischen Quadrate der Zahlen v o n 1 bis 9 die Zahl 5 in der Mitte u n d die geraden Zahlen in den 4 Ecken haben müssen, so daß nur 8 solcher magischen Quadrate möglich sind, die jedoch alle aus einem von ihnen hervorgehen, wenn m a n dasselbe auf alle mögliche Weise d r e h t u n d u m k i p p t . Aus dem Dürerschen Quadrate der Zahlen von 1 bis 16 lassen sich noch viele andere magische Quadrate durch methodische Umstellungen ableiten. Auf einfachste Weise bildet m a n ein magisches Quadrat der Zahlen v o n 1 bis 16, indem m a n

133

sich diese Zahlen zunächst in natürlicher Reihenfolge einschreibt, also so: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

und indem man dann die Zahlen in den 4 Eckfeldern, also 1, 4, 13, 16 und die Zahlen in den 4 Mittelfeldern, also 6, 7, 10, 11 stehen läßt, statt jeder der übrigen Zahlen aber die Zahl schreibt, die man erhält, wenn man sie von 17 subtrahiert, also 15 statt 2, 14 statt 3, 12 statt 5, 9 statt 8, 8 statt 9, 5 statt 12, 3 statt 14, 2 statt 15. So erhält man das folgende magische Quadrat: 1

15

14

4

12

6

7

9

8

10

11

5

13

3

2

16

Hier erscheint überall die Summe 34 sowohl aus den horizontalen als auch aus den vertikalen und diagonalen Reihen. Dazu kommt noch die besondere Eigenschaft, daß auch immer 4 Zahlen, die um die Mitte herum ein Quadrat oder ein Rechteck bilden, die Summe 34 liefern, z. B . 1, 4,

*34

13, 16, sowie 15, 14, 3, 2, sowie 12, 9, 8, 5, sowie 6, 7, 1 0 , 1 1 oder auch 15, 9, 2, 8 u n d 1 4 , 1 2 , 3, 5. Dieses Q u a d r a t entsteht aus d e m Dürerschen, wenn m a n es erst u m 180° dreht u n d h i e r a u f die beiden mittleren Vertikalreihen miteinander vertauscht.

B. Ältere Bildungsarten für ungerade Felderzahl. Schon seit alter Zeit k e n n t m a n Vorschriften, u m magische Q u a d r a t e auch von m e h r als 3 • 3 oder 4 • 4 Feldern zu bilden. Z u n ä c h s t l ä ß t sich leicht die Summe berechnen, die sich bei einer gegebenen Felderzahl aus jeder Reihe ergeben m u ß . Sollen die Zahlen v o n 1 bis n 2 ein magisches Q u a d r a t bilden u n d ist x die k o n s t a n t e Summe jeder Reihe, so m u ß x • n die Summe aller Zahlen v o n 1 bis n 2 sein. N u n findet m a n aber bekanntlich die Summe aller Zahlen von 1 bis m, indem m a n m mit der nächstfolgenden Zahl m -f- 1 multipliziert u n d v o m P r o d u k t e die H ä l f t e n i m m t . Also ist x • n = » n a (n a - f 1) oder x=-£n(n2 + l), woraus sich x = 15 ergibt, wenn n = 3 i s t ; x = 34, wenn n = 4 ; x = 65, wenn n = 5; x = 111, wenn n = 6 ; x = 175, wenn n = 7; x = 260, wenn n = 8 ; x = 369, wenn n = 9 ; x = 505, wenn n = 10, usw. Die als indisch überlieferte Vorschrift f ü r die Herstellung magischer Q u a d r a t e mit ungerader Fclderzahl in jeder Reihe läßt sich folgendermaßen aussprechen: „ M a n schreibe 1 in die Mitte der obersten Reihe, d a n n 2 als unterste Zahl der rechts daneben befindlichen Vertikalreihe u n d schreibe d a n n die weiteren Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge diagonal n a c h rechts oben so ein, daß m a n nach Erreichung des rechten Randes am linken R a n d e in der darüber befindlichen Reihe f o r t f ä h r t , u n d nach Er-

135

reichung des oberen Randes am unteren Rande in der rechte daneben befindlichen Reihe die Zählung weiterführt, wobei nur noch zu beachten ist, daß man, wenn man auf ein schon besetztes Feld stößt, statt dessen das Feld ausfüllt, das unter dem zuletzt ausgefüllten sich befindet." Auf diese Weise ist z. B. das folgende magische Quadrat der Zahlen von 1 bis 7 mal 7 gebildet, in dem man überall die Summe 175 erkennt.

30

39

48

1

10

19

28

38

47

7

9

18

27

29

46

6

8

17

26

35

37

5

14

16

25

34

36

45

13

15

24

33

42

44

4

21

23

32

41

43

3

12

22

31

40

49

2

11

20

Eine weitere Förderung der Theorie der magischen Quadrate und der Methoden zu ihrer Herstellung verdanken wir dem Byzantiner Moschopulos im 14. Jahrhundert, ferner noch dem berühmten Rechenmeister Adam Riese und dem Mathematiker Michael Stifel, die beide in der Mitte des 16. Jahrhunderts lebten. I m 17. Jahrhundert beschäftigten sich mit den magischen Quadraten Bachet de M6ziriac und Athanasius Kircher. Um 1700 endlich wurde die Theorie derselben durch die französischen Mathematiker De la Hire und Sau-

136

v e u r erheblich gefördert. I n neuerer Zeit bekümmerten sich die M a t h e m a t i k e r weniger u m die magischen Quadrate wie ü b e r h a u p t u m derartige Unterhaltungsaufgaben. Doch f a ß t e 1882 Herr Scheffler in Braunschweig seine u n d andere Studien über magische Quadrate in einem besonderen Buche zusammen. Am b e k a n n t e s t e n von den verschiedenen Methoden, magische Quadrate mit ungerader Felderzahl zusammenzusetzen, ist außer der oben erörterten sogenannten indischen die folgende Methode: „Man schreibe die Zahlen nach ihrer natürlichen Reihenfolge in folgender Weise diagonal:

7 6 | 5 4 3 2 1

12 11

10 9

8

27

23

33 32

31 30

42 41

40 39

49 48

47 46

38 45

37

29

35 34

26 25

24

22

28

20

18

16

21

19

17

15

14 13

44

36 43

Nachdem m a n so 25 Felder des zu füllenden Quadrats von 49 Feldern ausgefüllt h a t , setze m a n die an jeder Quadratseite außerhalb befindlichen 6 Zahlen, ohne die Stellung derselben gegeneinander zu ändern, genau in die an der Gegenseite befindlichen leer gebliebenen Felder." Nach dieser

137

von Bachet de Meziriac herrührenden Methode e n t s t e h t das folgende magische Q u a d r a t der Zahlen v o n 1 big 4 9 :

4

29

12

37

20

45

28

35

11

36

19

44

27

3

10

42

18

43

26

2

34

41

17

49

25

1

33

9

16

48

24

7

32

8

40

47

23

6

31

14

39

15

22

5

30

13

38

21

46

C. Neuere Bildungsweisen für ungerade Felderzahl. Es f r a g t sich, ob es nicht allgemeinere Bildungsverfahren, als die in B erörterten, gibt, die, wenn möglich, auf alle denkbaren magischen Quadrate von b e s t i m m t e r Felderzahl f ü h r e n . F ü r ungerade Felderzahl ist ein solches allgemeineres Bildungsverfahren zuerst von De la Hire angegeben u n d von H e r r n Scheffler in dessen oben zitiertem Buche vervollk o m m n e t . U m dieses Verfahren kennenzulernen, wählen wir das Beispiel von 5 • 5 Feldern. Zunächst formieren wir 2 Hilfsquadrate. I n das erste schreiben wir f ü n f m a l die Zahlen von 1 bis 5, in das zweite die Vielfachen von 5, nämlich 0, 5 , 1 0 , 15, 20. Es ist n u n zunächst klar, d a ß durch Addieren jeder der Zahlen v o n 1 bis 5 mit jeder der Zahlen 0, 5, 10,

15, 20 alle 25 Zahlen v o n 1 bis 25 e n t s t e h e n . E s h a n d e l t sich also bloß noch d a r u m , die Zahlen so einzubeschreiben, d a ß durch Addition der beiden Zahlen in 2 entsprechend liegenden Feldern auch wirklich jede Zusammenstellung einm a l u n d auch n u r einmal h e r a u s k o m m t , u n d d a ß ferner in jeder horizontalen, vertikalen u n d diagonalen Reihe in j e d e m H i l f s q u a d r a t jede Zahl auch wirklich erscheint. D a n n m u ß die erforderliche S u m m e 65 erscheinen, weil die Zahlen von 1 bis 5 z u s a m m e n 15 u n d die Zahlen 0, 5 , 1 0 , 1 5 , 20 zusammen 50 ergeben. Man erreicht die erforderliche A r t der Einschreib u n g d a d u r c h , d a ß m a n sich 1, 2, 3, 4, 5 (oder 0, 5, 10, 15, 20) zyklisch d e n k t , d. h. auf 5 folgend wieder 1, u n d d a ß m a n n u n , v o n irgendeiner Zahl ausgehend, e n t w e d e r keine oder i m m e r 1 oder 2 usw. Zahlen überspringt. So entstehen Zyklen der ersten bis vierten O r d n u n g . Z. B. ist 3, 4, 5, 1, 2 ein Zyklus erster Ordnung, 2, 4 , 1 , 3, 5 ist zweiter O r d n u n g , 4, 2, 5, 3 , 1 ist d r i t t e r Ordnung, 1, 5, 4, 3, 2 ist vierter Ordnung. Man h a t n u n bei beiden H i l f s q u a d r a t e n zunächst darauf zu achten, d a ß horizontal in allen Reihen dieselbe Zyklusordnung festgehalten wird u n d d a ß dasselbe auch in den vertikalen Reihen geschieht, d a ß aber die Zyklusordnung horizontal u n d vertikal verschieden ist. Endlich h a t m a n n u r noch darauf zu achten, d a ß zu denselben Zahlen des einen H i l f s q u a d r a t s in dem a n d e r n H i l f s q u a d r a t nicht gleiche Zahlen, sondern v e r s c h i e d e n e Zahlen z u g e h ö r e n , d . h . in Feldern liegen, die dieselbe Lage in den beiden Q u a d r a t e n h a b e n . Möglich sind also z. B. die folgenden H i l f s q u a d r a t e : 2

4

1 5

1

3

5

3

5

2

4

2

4

1

3

15 20 0 5 und

20

5 10

10 15 20 0

5

4

1

3

5

2

10 15 20

3

5

2

4

1

0

0

10 15 0

5

5 10 15 20

139

Addiert m a n n u n i m m e r die beiden Zahlen, die in gleichliegenden Feldern stehen, so erhält m a n dag folgende magische Q u a d r a t der Zahlen 1 bis 25:

17

24

1

8

15

6

13

20

22

4

25

2

9

11

18

14

16

23

5

7

3

10

12

19

21

Man e r k e n n t , d a ß m a n so eine große Menge v o n magischen Q u a d r a t e n mit 5 • 5 Feldern bilden k a n n . Man h a t nämlich n u r die beiden H i l f s q u a d r a t e auf jede mit den angegebenen Bedingungen verträgliche A r t u n d Weise anzufüllen. Zudem h a b e n die so e n t s t e h e n d e n Q u a d r a t e noch die besondere Eigentümlichkeit, d a ß j e 5 Zahlen, welche 2 Reihen ausfüllen, die einer Diagonale parallel sind u n d auf verschiedenen Seiten derselben liegen, auch die k o n s t a n t e Summe 65 liefern, z. B. 3 u n d 24, 20, 11, 7 oder 1, 22, 18 u n d 14, 10. Es e n t s t e h t also die Summe 65 im ganzen auf 20 fache Weise, nämlich aus 5 horizontalen Reihen, aus 5 vertikalen Reihen, a u s 2 diagonalen Reihen u n d aus zweimal 4 P a a r e n von Reihen, die diesen diagonalen Reihen parallel sind. H e r r Scheffler h a t bewiesen, d a ß jedes magische Q u a d r a t , das alle diese Bedingungen erfüllt, auch aus 2 H i l f s q u a d r a t e n in der angegebenen Weise e n t s t e h e n m u ß . Mit der Eigentümlichkeit, d a ß 2 einer Diagonale parallele Reihen v o n 5 Zahlen a u c h die k o n s t a n t e Summe 65 liefern, h ä n g t die folgende Eigens c h a f t solcher magischen Q u a d r a t e zusammen. W e n n m a n neben oder ü b e r oder u n t e r ein solches Q u a d r a t dasselbe

I40

i m m e r nochmals wieder ansetzt, so liefern beliebige 5 • 5 Felder, die m a n willkürlich herausgreift, i m m e r wieder ein richtiges magisches Q u a d r a t . Setzt m a n z. B. das obige magische Q u a d r a t nach rechts u n d nach u n t e n weiter f o r t , so erhält m a n die folgende F i g u r : 17 24

1

8 15 17 24 1

6 13 20 22 4 25 2

9

6 13 20 22 4

11 18 25 2

14 16 2 3 5

8 15 17 6

9 11 18 25

7 14 16 2 3 5

7 14

3 10 12 19 21 3 10 12 19 21 3 17 24

1

8

15 17 24

6 13 20 22 4 25 2

9

1

8 15 17

6 13 20 22 4

11 18 25 2

9

6

11 18 25

Jedes Q u a d r a t von 5 • 5 Feldern, wie z. B. die beiden f e t t u m s ä u m t e n , zeigt die obenerwähnten magischen Eigenschaften, daß nämlich die k o n s t a n t e Summe 65 aus 20 • 5 Zahlen erhalten werden kann.

D. Gerade Felderzahl. Bisher haben wir von magischen Quadraten mit g e r a d e r Felderzahl nur das von 4 • 4 Feldern kennengelernt. Wir wenden uns j e t z t der B e t r a c h t u n g solcher Q u a d r a t e auch von größerer Felderzahl zu. I s t die Anzahl der Felder a n einer Quadratseite 4 oder 8, so l ä ß t sich die soeben entwickelte Methode der Hilfsquadrate wieder anwenden. Beschäftigen wir uns zuerst mit dem 16feldrigen Q u a d r a t und lassen wir a, b , c, d beliebige Zahlen b e d e u t e n . D a n n können die Zahlen 60, wie es die linke umstehende Figur zeigt, derartig in das Quadrat eingeordnet werden, d a ß in

141

a

b

c

d

C

B

D

A

d

c

b

a

D

A

C

B

b

a

d

c

A

D

B

C

c

d

a

b

B

C

A

D

allen Reihen, Kolonnen (d. h. Vertikalreihen) und Diagonalen (zusammengefaßt: in allen magischen Richtungen) dieselbe Summe erscheint. Die rechts danebenstehende Figur zeigt dasselbe Quadrat um 90° gedreht mit Abänderung der Zahlen a, b, c, d in A, B, C, D. Addiert man jetzt wieder wie oben bei den 25feldrigen Quadraten die beiden in glcichliegenden Feldern stehenden Zahlen, so ergibt sich das Quadrat:

a+ C b+ B

c+ D d+ A

d + D c+ A

b + C a+B

b + A a+ D d + B c+ C c+ B d + C a+ A b + D

dessen Felder alle verschieden besetzt sind, und zwar gerade mit den 16 Zahlen: a a a a

142

+ + + +

A B C D

b b b b

+ + + +

A B C D

c+ c+ c+ c+

A B C D

d+ d + d + d +

A B C D,

die sich als S u m m e n aus j e einer der Zahlen a, b , c, d u n d j e einer der Zahlen A, B, C, D ergeben. U m magische Q u a d r a t e mit den Zahlen 1 bis 16 zu bilden, k a n n m a n den Zahlen a, b, c, d u n d A, B, C, D folgende 6 voneinander verschiedene Arten v o n Zahlenwerten geben: a , b , c, d k a n n sein 1, 2, 3, 4 1, 2, 5, 6 A, B, C, D k a n n sein ' 0, 4, 8, 12 ' 0, 2, 8, 10 1, 2, 9, 10 1, 3, 5, 7 1, 3, 9, 11 1, 9, 5, 13 * 0, 2, 4, 6 " 0, 1, 8, 9 ' 0, 1, 4, 5 ' 0, 1, 2, 3 in beliebiger Zuordnung, so daß also a jeden der jedesmaligen 4 W e r t e 1, 2, 3, 4 ; 1, 2, 5, 6, usw. annehmen kann. W ä h l t m a n z. B. die Zahlen 3 u n d setzt etwa a = 9, b = 1, c = 10, d = 2 und A = 6, B = 0, C = 4, D = 2, so sind die H i l f s q u a d r a t e : 9

1

10

2

4

0

2

6

2

10

1

9

2

6

4

0

1

9

2

10

6

2

0

4

10

2

9

1

0

4

6

2

u n d durch ihre Verschmelzung e n t s t e h t das magische Quadrat: 13

1

12

8

4

16

5

9

7

11

2

14

10

6

15

3

Mit Hilfe der f ü r a , b , c, d u n d A, B , C, D angegebenen Zahlen lassen sich 432 verschiedene, auch nicht durch Drehung oder Spiegelung auseinander ableitbare magische Quadrate bilden, zu denen übrigens auch das Dürersche u n d das mit i h m zusammenhängende Q u a d r a t von Seite 134 ge-

143

hört. Man erhält das erste, wenn man setzt: a = 5, b = 0, c = 1, d = 4; A = 9, B = 3, C = 11, D = 1. Für das andere ist zu setzen: a = 1, b = 7, c = 5, d = 3; A = 1, B = 8, C = 0, D = 9. Eine Weiterentwicklung hat dieser Gedanke in der Abhandlung des Neubearbeiters: Rein mathematische Behandlung des Problems der magischen Quadrate von 16 und 64 Feldern (Jahresbericht d. Deutschen Mathem.-Vereinigung, 40. Bd. 1931, Heft 6/8) dadurch erfahren, daß jedes magische Quadrat mittels dyadischer Darstellung seiner Zahlen in 4 „Komponenten" zerlegt wird. Die Möglichkeit zweier solcher Hilfsquadrate gibt Veranlassung zu einer interessanten Kartenanordnung. Ordnet man nämlich die obigen Buchstaben a, b, c, d den Werten As, Bube, Dame, König zu, dagegen A, B, C, D den Farben Karo, Cœur, Pik, Treff, so erhält man durch Verschmelzung der beiden Hilfsquadrate zu einem einzigen Quadrat eine quadratische Anordnung der 4 Asse, der 4 Buben, der 4 Damen und der 4 Könige derart, daß in jeder horizontalen, vertikalen und diagonalen Reihe jeder Wert und jede Farbe einmal und nur einmal vertreten ist, wie die folgende Figur zeigt, wo K, C, P, T bzw. die Farben Karo, Coeur, Pik, Tïeff bedeuten, und wo die daran gesetzten Indizes 1, 2, 3, 4' bzw. das As, den Buben, die Dame und den König bezeichmen sollen:

144

Ki

C2

P3

t4

P*

t3

K2

Ci

T,

Pi

c3

k4

k3 Ti

P*

Versucht m a n , für 2 n =

6 zwei solche Hilfsquadrate zu-

sammenzusetzen, so findet m a n , daß es leicht gelingt, in einem Q u a d r a t die Zahlen 1, 2 , 3 , 4 , 5, 6, im anderen die Zahlen 0 , 6 , 12, 18, 2 4 , 3 0 in der gewünschten Weise anzuordnen, d a ß aber dann alle Versuche mißlingen, in den 3 6 P a a r e n gleichliegender Felder alle 3 6 P a a r e der Zahlen 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 mit den Zahlen 0 , 6 , 1 2 , 18, 2 4 , 3 0 einzuschreiben.

Da-

gegen lassen sich für jede höhere gerade Felderzahl Hilfsq u a d r a t e formieren, die alle Bedingungen erfüllen, die notwendig sind, u m aus ihnen ein magisches Quadrat abzuleiten. W i r wollen diese Aufgabe jetzt für ein 8 • 8 feldriges Quadrat in Angriff nehmen und zu dem Zweck die nachstehende Figur 1 a* a» a a a* a*

a a Fig. 1. betrachten. Wir finden in ihr eine Zahl a in jeder Reihe, Kolonne und Diagonale gerade einmal eingezeichnet. Die Figur zeichnet sich durch eine besondere Eigenschaft aus: Dreht man sie nämlich nach jedesmaliger Änderung des Buchstabens einmal nach rechts, einmal räch links um 90°, spiegelt schließlich die beiden gedrehten Quadrate noch am unteren Brettrand und bringt dann jedes der vier so entstmdenen Quadrate mit dem ursprünglichen Quadrat zur Deckung, so findet sich, daß jedesmal gerade einer der geänderten Buchstalen mit einem Buchstaben a im selben Feld zusammenkommt, bei jeder der vier Verschmelzungen ein anderer. W i r haben die vier Felder, wo dies stattfindet, mit einem Sternchen versehen Diese Beschaffenheit unserer Figur ist nicht durch 10

S c h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

145

Probieren gefunden. Man kann vielmehr alle Figuren, welche mit ihr die genannte Eigenschaft teilen, auf Grund mathematischer Überlegungen finden, auf deren Entwicklung hier verzichtet werden muß. Schreibt man nun in die Felder, welche zu den mit a besetzten in irgendeiner Richtung symmetrisch liegen, die Buchstaben b, g und h, so gewinnt man die nachstehende Figur 2. Die weitere a

b b

g

h

h

g

b

a

b

a

h

g

a h

b

g

a g

e

h

a

g

h

h

a

h

g

a

b

b

h Fig. 2.

Ausfüllung des Quadrates erfolgt so, daß man es durch die in die Figur eingezeichnete Senkrechte halbiert, sodann die Hälften übereinanderschiebt und in die mit a überdeckten Felder den Buchstaben e, in die mit b überdeckten Felder den Buchstaben f setzt, usw. So kommt das Quadrat Figur 3 zustande, aus welchem a

b

c

d

c

d

a

b

h

g e

f

e

f

h

d

c

b

g a

b

a

d

c

e

f

g

h

g

h

e

f

h

G

E

B

D

F

H

C

A

f

H

F

A

C

E

G

D

B

b

a

E

G

D

B

H

F

A

C

d

c

F

H

C

A

G

E

B

D

f

e

C

A F

H

B

D

G

E

h

g d

D

B

E

G

A

G

H

F

c

A

C

H

F

D

B

E

G

a

b

B

D

G

E

C

A

F

H

e

f

g d

h

g e

c

b

a

h f

g e

a

b

c

d

Fig. 3.

Fig. 4.

durch Drehung um 9 0 ° nach rechts und Änderung der kleinen Buchstaben in große das Quadrat Figur 4 entsteht. Beide Qua-

146

drate bilden durch Verschmelzung ein Quadrat von magischen Eigenschaften. Setzt man für a . . . h, A . . . H passende Zahlenweite, die man auf mannigfache Weise wählen kann und in einer sehr großen Zahl von Umstellungen und tut dies für alle möglichen Formen der Quadrate aus a . . . h, A . . . H, so findet man 390168 576000 nicht durch Drehung oder Spiegelung in einander überführbare magische Quadrate von 8 • 8 Feldern. Damit ist aber dieser eine Typus von 64 feldrigen magischen Quadraten bei weitem noch nicht erschöpft, wie die folgende Figur zeigt, bei welcher die beiden Hilfsquadrate gleich zusammengelegt sind. Auch alle diese Quadrate lassen sich vollzählig bestimmen. Aa

Bb

Cc

Dd

Ee

Ff

Gg

Hh

He

Cf

Bg

Eh

Da

Gb

Fe

Ad

Eb

Fa

Gh

Hg

Af

Be

Cd

De

Ch

Hc

Ab

Fe

Gd

Dg

Ef

Ba

Fg

Ed

De

Cb

Bc

Ah

Ha

Gf

Gc

Dh

Ea

Bf

Cg

Hd

Ae

Fb

Bd

Ag

Hf

Ga

Fh

Ec

Db

Ce

Df

Ge

Fd

Ac

Hb

Ca

Bh

Eg

Eine andere recht förderliche Methode, welche zur Bildung aller Arten geradzahliger magischer Quadrate dienen kann, wollen wir an dem Beispiel der 6 • 6 feldrigen Quadrate erläutern. Nach Seite 135 ist für ein solches Quadrat die Summe der Zahlen in jeder Reihe 111 = 3 . ( 1 8 + 19). Nun kommen in der Mehrzahl dieser Quadrate in jeder magischen Richtung drei gerade und drei ungerade Zahlen vor. Nehmen wir ein solches Quadrat (Figur 6) io*

147

und ziehen von jeder seiner geraden Zahlen 19 und von jeder ungeraden Zahl 18 ah, so erhalten wir dadurch ein Quadrat, dessen Felder mit den Zahlen 1, —1, 3, —3, 5, —5, . . . 17, —17 jede zweimal vorkommend, besetzt sind und welches in jeder magischen Richtung die Summe 0 hat (Figur 5 a). Überdeckt man 17 —15 —13 —1 —5 17

36

4

5

18

13

35

3

29

17

10

30

22

21

24

26

25

6

9

15

14

12

11

31

28

—3 —5 —7 —7

34

7

19

27

8

16

15 —11 1

2

33

32

20

23

1

—15 11 —1 —9 11 3

5

—17 15

Fig. 5.

7

13

7

3

—13 —9 13

9

9 —11 —3 1

6 —17

Fig. 5 a. 19

19

18

19

18

18

18

18

18

19

19

19

18

19

19

18

19

18

18

19

19

18

18

19

19

18

18

18

19

19

19

18

19

19

18

18

Fig. 5 b. es mit dem nur die jedesmal abgezogenen Zahlen 18 und 19 zeigenden Quadrat Figur 5b, so wird das ursprüngliche Quadrat wiederhergestellt. Es erweist sich zweckmäßig, die beiden Hilfsquadrate Figur 5a und 5b, in welche wir Fig. 5 zerlegt haben auf folgende Weise wieder zu einem Quadrat zu vereinigen: Da die Felder des Quadrats Fig. 5 b nur die Zahlen 18 und 19 enthalten , also nur von zweierlei Art sind, so kann man in Figur 5 a die Felder dieser beiden Arten dadurch kenntlich machen, daß

148

man etwa die mit 19 besetzten schraffiert und die anderen unschraffiert läßt. Man erhält so Figur 5 c.

Fig. 5 c. Für eine solche schraffierte Figur gelten nun von vornherein die Grundsätze: I. In jeder magischen Richtung liegen drei schraffierte und drei unschraffierte Felder. II. Von zwei die gleiche Zahl (etwa 1 oder —1 usw.) enthaltenden Feldern muß stets das eine schraffiert, das andere unschraffiert sein. Das Quadrat Figur 6 c stellt einen besonderen Typus der magischen Quadrate von 36 Feldern dar: Die Diagonalzahlen derselben Reihe sind überall gleich und die Zahlen in den Feldern der unteren Quadrathälfte ergänzen stets die Zahlen der symmetrisch zu ihnen liegenden Felder der oberen Quadrathälfte zu Null. Um ein solches Quadrat zu bilden, muß man sich zuerst geeignete Zahlen für die Reihen der oberen Quadrathälfte schaffen. Dies läßt sich durch Tabellen leisten, in welche man alle Zusammenstellungen von je 4 der Zahlen ± 1 , ± 3 . ± 5 . . . auf. nimmt, deren Summe 2 - 17 oder 2- 15 oder 2- 13 usw. ist. Wie sodann die Einordnung dieser Zahlen in das Quadrat und die Schraffierung der Felder zu geschehen hat, wollen wir hier kurz zeigen. Fassen wir in Figur 5 c die vier Diagonalzahlen ± 17 ins Auge, so finden w i r , daß je zwei in derselben Kolonne stehende gleichschraffiert sind. Dasselbe zeigt sich bei den vier Zahlen ±11,

149

± 7 , ± 3 , ± 5 und ± 1. Wir wollen diese Art der Schraffierung jener vier Zahlen „Kolonnen-Schraffierung" (K-S) nennen, während wir f ü r die Art der Schraffierung der Zahlen ± 9, ± 13, ± 16 die Bezeichnung „Diagonal-Schraffierung" (D-S) wählen wollen, weil in dem Trapez, dessen Eckpunkte die mit diesen Zahlen besetzten Felder bilden, die Verbindungsgeraden der gleichschraffierten Felder die Diagonalen sind. Während in unserem Quadrat Figur 5 c die Diagonalzahlen alle K-S haben, können auch acht von ihnen D-S bekommen. Wir wollen aber hier nur von dem ersten Fall handeln. Es gilt nun als Folgerung aus II der Satz: III. In jeder Kolonne kann die Anzahl der mit K-S zu versehenden Felder nur 0 oder 4 sein. Aus I I I folgt, daß außer den zwölf Diagonalzahlen noch zwölf andere Zahlen K-S erhalten müssen, während f ü r die zwölf letzten D-S zu verwenden ist. Um zu erkennen, welche das sein müssen schreiben wir die Zahlen der oberen drei Reihen so nieder: 17, 17 11, 11 7, 7

—15, —1, —13, . , —15, - 1 , . , —9, . , . , —13, —9,

. , 3, 3,

—6 5

Jede der Zahlen 1, 3 . . . 17 erscheint in diesen Zeilen zweimal und man überzeugt sich leicht, daß zur D-S nur solche Zahlen gewählt werden dürfen, welche hier mit gleichem Vorzeichen vorkommen (also nicht —5 und 5). Schreibt man nun die Zahlen — 1 5 , — 1 3 , — 9 der drei oberen Reihen, welche zusammen mit den entsprechenden Zahlen + 15, + 1 3 , + 9 der unteren Quadrathälfte in Figur 5c D-S haben, besonders, so erhält man folgendes Bild: —13 — 15 — 15 —9 — 13 —9 Diese Anordnung der 6 Zahlen (in jeder Reihe und in jeder Kolonne je 2) ist das charakteristische Merkmal f ü r solche Zahlen, welche D-S erhalten können. Man darf also auch statt der Zahlen ± 9 , ± 1 3 , ± 1 5 der Figur 5 c die Zahlen ± 3 , ± 1 3 , ± 1 5 oder ± 1, ± 9, ± 13 oder, was wir tun wollen, ± 1, ± 3 , ± 13 zur D-S wählen. Welche Plätze ihnen anzuweisen sind, ist leicht bestimmbar. Wir wählen unter der ziemlich großen Zahl von Anordnungsmöglich-

keiten die d e r Pigtr 6, worauf auch eine der beiden möglichen Schraffienmgsweüsei ausgeführt ist. D i e E i n o r d n u n g und die Schraffierung 'der ibrigen Zahlen kann auf m e h r f a c h e Weise geschehen u n d b i e t e t ieine Schwierigkeit.

Fig. 6. Auf diese W e i s e lassen sich ohne besondere M ü h e und Zeita u f w a n d alle 3 6 felirigen Quadrate zählen, welche dem obengenannten T y p u s en:sprechen. I h r e Zahl, die übrigens nur ein kleiner Bruchteil aller magischen Q u a d r a t e von 36 Feldern ist, fand sich als 1983 655 680. Auch 36 feldrige Quadrate von irgendeinem anderen Typus lassen sich so zählen, u n d es ist nicht ausgeschlossen, d a ß tuf diesem W e g e die Herstellung und Zählung aller magischen Q u a l r a t e von 36 Feldern gelingt.

E. Magische Jahreszahl-Quadrate. Bisher haben wir immer nur von magischen Quadraten gesprochen, in denen die n 2 Zahlen von 1 bis n 2 stehen. Man kann natürlich sich die Aufgabe stellen, irgendwelche andere n 2 Zahlen in die Felder einzuschreiben; nur müssen natürlich solche Zahlen irgendwelchen Zusammenhang haben. Nimmt man z. B. statt der Zahlen von 1 bis n 2 die Potenzen von a 1 bis a"2, so erhält man ein magisches Quadrat, in dem nicht die Summe, sondern das Produkt aller Zahlen jeder

151

Reihe k o n s t a n t ist. Aus dem magischen Q u a d r a t f ü r 3 • 3 Felder e n t s t e h t so f ü r a =

2:

64

2

256

128

32

8

4

512

16

Hier k o m m t überall das k o n s t a n t e P r o d u k t 2 1 6 = 3 2 7 6 8 heraus. Noch einfacher ist es, zu jeder Zahl eines gewöhnlichen magischen Quadrats eine u n d dieselbe Zahl b zu addieren. D a n n erhält m a n die aufeinanderfolgenden Zahlen von b + 1 bis b -)- n 2 einbeschrieben. Man k a n n es d a n n leicht erreichen, d a ß aus jeder Reihe eine bestimmte, irgendwie interessierende Zahl als Summe h e r a u s k o m m t , etwa eine Jahreszahl. Zwischen der Zahl n der Felder an jeder Quadratseite, der zu addierenden Zahl b u n d der gewünschten Summe s besteht eine Gleichung, die sich leicht ableiten läßt. Oben ist gezeigt, d a ß bei einem gewöhnlichen magischen Q u a d r a t aus jeder Reihe sich die Summe ^ n (n 2 + 1) ergeben m u ß . F ü r jede Reihe k o m m t n u n n • b hinzu. Also k o m m t : s=

»n (n* + 1) + n b .

Hieraus folgt, daß, falls die Zahl n ungerade ist, sie Teiler von s sein m u ß . Ist n gerade u n d von der F o r m 2° • m, wo m ungerade ist, so ergibt sich, daß s sowohl den Teiler m , wie auch den Teiler 2"-1 haben m u ß . Da 1897 durch 7 teilb a r ist, so sind magische Quadrate von 7 • 7 Feldern möglich, die aus allen Reihen die Summe 1897 geben. Es ergibt sich

152

sich dann 246 als die Zahl, die zu jeder Zahl eines gewöhnlichen magischen Quadrats von 49 Feldern zu addieren ist. Ein solches Quadrat folgt hier: Konstante Summe 1897. 250 275 258 283 266

291 274

281 257 282 265 290 273 249 256 288 264 289 272 248 280 287 263 295 271 247 279 255 262 294 270

253 278 254 286

293 269 252 277 260 285 261 268 252 276 259 284 267 292

F. Ineinanderliegende magische Qnadrate. Scharfsinn und Geduld hat die Mathematiker auch zu magischen Quadraten geführt, welche die Eigentümlichkeit haben, daß, wenn man nacheinander am Rande je eine Reihe fortnimmt, das übrigbleibende kleinere Quadrat noch immer ein magisches ist, d. h. die Eigenschaft hat, daß alle Reihen dieselbe Summe ergeben. Es mag hier genügen, von solchen Quadraten zwei Beispiele zu liefern, von denen das eine 7 • 7, das andere 8 • 8 Felder hat. Die Zahlen innerhalb jeder fettgedruckten Umrahmung bilden Quadrate, die wieder für sich aus jeder horizontalen, vertikalen und diagonalen Reihe gleiche Summen ergeben.

153

40

1

2

3

42

41

46

38

31

13

14

32

35

12

39

30

26

21

28

20

11

43

33

27

25

23

17

7

6

16

22

29

24

34

44

5

15

37

36

18

19

45

4

49

48

47

8

9

10

1

63

62

4

5

59

58

8

56

15

49

48

44

19

20

9

55

47

25

28

39

38

18

10

11

22

40

37

26

27

43

54

53

42

34

35

32

29

23

12

13

24

31

30

33

36

41

52

14

45

16

17

21

46

50

51

57

2

3

61

60

6

7

64

G. Magische Quadrate mit magischen Teilen. Zerlegt man ein Quadrat von 8 • 8 Feldern durch die beiden den Seiten parallelen Mittellinien in vier Teile von je 4 • 4

154

Feldern, so k a n n man die Aufgabe stellen, die Zahlen von 1 bis 64 so einzufttgen, daß nicht allein das Ganze ein magisches Quadrat ist, sondern daß auch jeder der vier Teile magisch ist, d. h. aus jeder horizontalen, vertikalen und diagonalen Reihe eine konstante Summe liefert. Diese Aufgabe löst das folgende Beispiel:

58

7

29

36

54

11

17

48

59

6

32

33

55

10

20

45

8

57

35

30

12

53

47

18

5

60

34

31

9

56

46

19

62

3

21

44

50

15

25

40

63

2

24

41

51

14

28

37

4

61

43

22

16

49

39

26

1

64

42

23

13

52

38

27

Schreibt man einem Quadrate von 3 * 3 Feldern die Zahlen von I bis I X magisch ein und ersetzt dann jede dieser Zahlen wieder durch ein magisches Quadrat von 3 • 3 Feldern, indem man in das Quadrat I die Zahlen von 1 bis 9, in das Quadrat I I die Zahlen von 10 bis 18 usw. magisch einschreibt, so erhält man ein Quadrat von 9 * 9 Feldern, das nicht bloß als Ganzes magisch ist, sondern auch aus 9 Quadraten sich zusammensetzt, die jedes für sich magisch sind. Das so entstehende Quadrat sieht also so aus:

155

11

18

13

74

81

76

29

36

31

16

14

12

79

77

75

34

32

30

15

10

17

78

73

80

33

28

35

56

63

58

38

45

40

20

27

22

61

59

57

43

41

39

25

23

21

60

55

62

42

37

44

24

19

26

47

54

49

2

9

4

65

72

67

52

50

48

7

5

3

70

68

66

51

46

53

6

1

8

69

64

71

H. Hagische Polygone. Statt des bisher allein betrachteten Quadrats kann auch eine andere Figur, etwa ein Rechteck oder ein Polygon von beliebig vielen Seiten auftreten. Hierfür nur zwei von Herrn Scheffler gelieferte Beispiele: 1. Die Zahlen von 1 bis 32 lassen sich zu 4 * 8 so in ein Rechteck einschreiben, daß die langen Reihen 132, die kurzen 66 als Summe ergeben, nämlich:

156

17

15

14

5

4

22

23

32

8

26

6

13

21

3

31

24

25

7

27

20

12

30

2

9

16

18

19

28

29

11

10

1

2. Die Zahlen von 1 bis 73 lassen sich u m ein Zentrum, in d e m die Zahl 37 steht, zu 3 Sechsecken gruppieren, die beziehungsweise 3, 5, 7 Zahlen in jeder Seite enthalten u n d nicht allein durch ihre 6 Seiten, sondern auch durch ihre 3 Eckdurchmesser u n d ihre 3 Mittellote zu den Seiten immer dieselbe Summe liefern, nämlich v o n innen nach a u ß e n 111, 185, 259. (Vgl. nachstehende Figur.)

J. Magische Würfel. Mehrere Forscher, namentlich Kochansky (1686), Sauveur (1710), Hügel (1859) u n d Scheffler (1882) haben den Gedanken der magischen Q u a d r a t e von der Ebene auf den R a u m ausgedehnt. Man denke sich einen Würfel durch Ebenen, die parallel den Seitenflächen laufen u n d gleichen A b s t a n d voneinander haben, in lauter würfelförmige Fächer geteilt, u n d d a n n denke m a n sich die Aufgabe gestellt, den

157

F ä c h e r n die aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen so einzufügen, d a ß jede Reihe v o n links nach rechts, jede von vorn nach hinten, jede von oben nach unten, j e d e Diagonale eines Q u a d r a t s u n d auch jede durch das Z e n t r u m des Würfels gehende H a u p t d i a g o n a l e Zahlen enthält, deren S u m m e immer dieselbe bleibt. F ü r 3 • 3 • 3 Fächer läßt sich kein solcher magischer Würfel herstellen. F ü r 4 • 4 • 4 Fächer l ä ß t es sich erreichen, d a ß jede einer W ü r f e l k a n t e parallele Seite u n d jede H a u p t d i a g o n a l e die k o n s t a n t e Summe 130 liefert. Um einen magischen W ü r f e l von 64 Fächern auf der Ebene des Papiers darzustellen, denken wir uns die in die 64 Fächer gehörigen Zahlen oben auf dieselben aufgeschrieben und d a n n j e 16 Zahlen schichtenweise v o n oben nach u n t e n abgehoben. So erhalten wir 4 Quadrate v o n j e 16 Feldern, die zusammen den magischen Würfel darstellen, wie folgendes Beispiel zeigt: E r s t e Schicht v o n oben. 1

48

32

49

63

18

34

15

60

21

37

12

6

43

27

54

56

25

41

8

10

39

23

58

13

36

20

61

51

30

46

3

Dritte Schicht von oben.

/5c?

Zweite Schicht v o n oben.

Unterste Schicht.

62

19

35

14

4

45

29

52

7

42

26

55

57

24

40

9

11

38

22

59

53

28

44

5

50

31

47

2

16

33

17

64

Hier erscheint die k o n s t a n t e Summe 130 im ganzen 52 mal, nämlich 16 m a l aus den Reihen v o n links n a c h rechts, 16 mal aus den Reihen v o n oben nach u n t e n , 16 mal aus den Reihen von v o r n nach h i n t e n u n d d a n n noch 4 mal aus den Reihen, die 2 Gegenecken des Würfels verbinden. Dagegen ergeben die Diagonalen der 12 Quadrate, die den Grenzflächen parallel laufen, die Summe nicht. I n überaus kunstvoller Weise h a t m a n das Problem der magischen Quadrate mit d e m des Rösselsprungs, bezüglich dessen auf § 25 verwiesen wird, i n Verbindung gebracht. Die Felder 1 u n d 2, 2 u n d 3 usw. bis 63 u n d 64 legt m a n überall so, daß ein Springerzug zwischen ihnen möglich ist (S. 215 unten) u n d erhält dadurch einen Rösselsprung. Dabei ordnet man die Zahlen so an, d a ß alle Reihen u n d Spalten wie bei einem magischen Quadrat gleichsummig werden. D a bisher alle Versuche mißlungen sind, auch den Diagonalen diese konstante Summe zu geben u n d d a m i t Figuren zu gewinnen, welche die Eigenschaften der Rösselsprünge u n d der magischen Quadrate in sich vereinigen, h a t m a n derartige Figuren semimagische Rösselsprünge genannt. Der hier wiedergegebene ist von Bruno L e h m a n n , Wiesbaden, konstruiert worden. Einen zweiten findet m a n auf S. 218. I n beiden Figuren weisen alle Reihen u n d Spalten die S u m m e 260 auf. 26 41 50 45 24 39 20 15

Tl

48 25 40 19 16 23 38

42 27 46 49 44 21 14 17 47 52 43 28 13 18 37 22 2 29 6 53 36 63 12 59 7 54 3 32 5 60 35 64 30 1 56 9 62 33 58 11 55 8 31 4 57 10 61 34

'59

W ä h r e n d die Lösung dieser Aufgabe schon beim Schachb r e t t auf erhebliche Schwierigkeiten stößt, ist es Emil Lange, H a m b u r g , neuerdings gelungen, sie f ü r B r e t t e r v o n 12 X 12, 16 X 16, 20 X 20 usw. Feldern auf die mannigfaltigste Weise zu lösen. Desgleichen k e n n t m a n j e t z t auch v o n d e m Gen a n n t e n halbmagische Rösselsprünge auf Rechtecken v o n 8 X 12, 12 X 16 usw. Feldern sowie auf B r e t t e r n v o n der F o r m des Vierschachbrettes. Wir verweisen bezüglich dieser Rösselsprünge auf die S c h r i f t : S. V a t r i q u a n t , Les parcours magiques de Lange, Bruxelles, Librairie d u Sphinx, 75, rue Philippe Baucq, u n d geben zum Schluß einen 144-feldrigen semimagischen Langeschen Rösselsprung, bei welchem in allen Reihen u n d Spalten die Summe 870 ist. 138 15 78 59 140 13 96 41 122 31 94 43 79 58 139 14 77 60 121 32 95 42 123 30 16 137 62 75 12 141 40 97 34 119 44 93 57 80 11 144 61 76 33 120 37 98 29 124 136 17 74 63 142 9 100 39 118 35 92 45 81 56 143 10 73 64 117 36 99 38 125 28 18 135 2 71 116 101 8 65 110 107 46 91 55 82 115 102 3 72 109 106 7 66 27 126 134 19 70 1 104 113 68 5 108 111 90 47 83 54 103 114 69 4 105 112 67 6 127 26 20 133| 52 85 22 131 50 87 24 129 48 89 53 84 21 132 51 86 23 130 49 88 25 128

IÓO

§ £ 0 2 & o W i i 5 3 i e a b e r iFünfeefinecftiiei Seit langer Zeit hat kein Geduldspiel ein derartiges Interesse bei der ganzen gebildeten Menschheit hervorgerufen, als in den Jahren 1879 und 1880 das in Deutschland unter dem Namen „Boß-Puzzle", in Frankreich unter dem Namen „Jeu du taquin" (Neckspiel), in England unter dem Namen „Fifteenth-Puzzle" eingeführte Spiel. Monatelang bildeten die an dieses Spiel sich anknüpfenden Erörterungen eine stehende Rubrik in Journalen und Zeitungen. Selbst in Straßenbahnwagen konnte man die kleinen Kästchen mit den 15 Holzklötzchen erblicken und unruhige Hände darin schieben sehen. Unternehmende Wirte luden zu einem Boß-Puzzle-Turnier ein, in welchem ein vom Wirt gestelltes Problem gegen Auszahlung einer hohen Belohnung gelöst werden sollte. Natürlich wurde es dann nicht gelöst, weil es zu der Gruppe der unlösbaren Probleme gehörte, wie aus dem Folgenden ersichtlich sein wird. Aber auch ernste Gelehrte widmeten dem neuen Geduldspiel ihr Interesse und ihre Zeit. Die erste mathematische Behandlung des Spiels erschien schon 1879 in dem „American Journal of mathematics pure and applied" und hatte den Mathematiker Woolsey Johnson zum Verfasser. 11

S c h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

1 6 1

Eine Verallgemeinerung der Theorie dieses Gelehrten veröffentlichte dann in demselben Journal Professor Story. In Deutschland gab der Verfasser dieses Buches eine gemeinverständliche, für Laien bestimmte Erörterung des Spiels. Dieselbe erschien 1880 in Hamburg als kleine Broschüre unter dem Titel „Theoretische Entscheidung über das BoßPuzzle-Spiel, allgemeinverständlich dargestellt mit Anleitung zur schnellen Bildung lösbarer und unlösbarer Aufgaben". In den folgenden Auseinandersetzungen schließt sich der Verfasser im wesentlichen an die in diesem Büchelchen niedergelegten Erörterungen an, da die von anderen aufgestellten theoretischen Prüfungen des Spiels für Nichtmathematiker schwerer verständlich sind. Mit Recht wird man nach dem Erfinder dieses fesselnden Geduldspiels fragen. Darüber ist nichts weiter bekannt, als was der Mathematiker Sylvester, Professor an der Hopkins-Universität zu Baltimore, auf der Jahresversammlung der „Association française pour l'avancement des sciences" in Reims mitteilte. Danach soll im Dezember 1878 das Spiel von einem taubstummen Amerikaner erfunden sein, als derselbe Nummern, die in einem Kästchen lagen und in Unordnung geraten waren, in die natürliche Reihenfolge bringen sollte. Aus irgendwelchem Grunde nahm er eine Nummer heraus und suchte nun, durch bloßes Schieben sein Ziel zu erreichen. Wir gehen nun zu der Erörterung des ursprünglichen Boß-Puzzle-Problems über. Dasselbe verlangt, i n e i n e m q u a d r a t i s c h e n K ä s t c h e n , das f ü r 16 g l e i c h große S t e i n e mit quadratischer Oberfläche gerade P l a t z hat, a b e r nur 15 solche m i t den Zahlen v o n 1 bis 15 b e s c h r i e b e n e u n d sich b e r ü h r e n d e S t e i n e e n t h ä l t , diese S t e i n e , wenn sie b e l i e b i g l i e g e n , d u r c h b l o ß e s V e r s c h i e b e n so zu v e r ä n d e r n , d a ß die f o l g e n d e Figur entsteht:

IÔ2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Die durch diese Figur b e s t i m m t e Stellung der 15 Steine zueinander •wollen wir die r e g u l ä r e Stellung nennen. Beispielweise sei die folgende Stellung durch Verschieben in die reguläre ü b e r z u f ü h r e n : 1

6

2

3

5

10

7

4

11

8

12

15

9

13

14

Unter anderm wird m a n dieses Problem d a d u r c h lösen können, daß m a n bei der gegebenen Anfangsstellung zunächst den mit 15 beschriebenen Stein auf das leere Feld r ü c k t u n d d a n n die 3 Steine 11, 8, 12 n a c h rechts schiebt. Aus der so gewonnenen Stellung: 1

6

2

3

5

10

7

4

11

8

12

13

14

15

9

11*

163

kann man nach und nach die folgenden Stellungen leicht durch Schieben erreichen: 1

6

2

3

1

6

2

3

5

10

7

4

5

10

7

4

9

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15

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3

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6

7

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9

10

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15

12

13

14

15

12

Aus der letzten dieser 4 Stellungen kann man nun aber die reguläre Stellung sofort dadurch erreichen, daß man die Steine 8 und 12 nach aufwärts schiebt. Es fragt sich zunächst, w i e v i e l P r o b l e m e m ö g l i c h s i n d , d . h . wieviel verschiedene Anordnungen sich den 15 Steinen geben lassen, wobei vorausgesetzt werden soll, daß bei jedem Problem das leere Feld, wie bei der regulären Stellung, rechts unten ist. Um zu finden, wieviel Anordnungen sich bei 15 Dingen bewerkstelligen lassen, fangen wir mit 2 Dingen a und b an. Dieselben können nur 2 Anordnungen haben, nämlich a b und b a. Bei 3 Dingen gibt es schon 3 mal soviel, also 6, weil c entweder vor a b oder zwischen a b oder hinter a b treten kann und ebenso mit b a. Hieraus folgt wieder, daß 4 Dinge a, b, c, d 4 mal soviel, also 4 • 3 • 2 = 24

IÖ4

verschiedene A n o r d n u n g e n h a b e n können. Also k a n n m a n , so f o r t f a h r e n d , erkennen, d a ß die 15 Steine des Boß-Puzzles 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15 A n o r d n u n g e n h a b e n können. stattliche Anzahl von

Die Multiplikation ergibt die

1 Billion 307674 Millionen u n d 368000 Boß-Puzzle-Aufgaben. Dieselbe Zahl ergibt sich natürlich auch, w e n n m a n f r a g t , wieviel Platzverschiedenheiten eine Tischgesellschaft von 15 Personen haben k a n n , wobei es schon als eine neue P l a t z o r d n u n g zu b e t r a c h t e n ist, wenn auch nur 2 Personen ihre P l ä t z e vertauscht haben. Wollte also eine solche Tischgesellschaft v o n 15 Personen alle Tage anders sitzen, so b r a u c h t e sie über 3600 Millionen J a h r e dazu, alle denkbaren Anordnungen durchzusitzen; u n d selbst wenn die 15 Personen imstande wären, jede Sekunde eine neue O r d n u n g einzunehmen, so würden sie ohne Unterbrechung ü b e r 41000 J a h r e daran arbeiten müssen, ehe sie alle möglichen Platzverschiedenheiten durchprobiert h ä t t e n . Dieses Beispiel gibt vielleicht eine A h n u n g v o n der Größe der berechneten Anzahl aller Boß-Puzzle-Aufgaben. W e r eine dieser Aufgaben zu lösen u n t e r n i m m t , wird bald die ersten 12 Steine durch Schieben auf ihre richtigen Plätze bringen können. D a n n aber wird er in der vierten Reihe eine der folgenden 6 Stellungen erhalten müssen: 1. 13, 14, 15; 4. 13, 15, 14;

2. 14, 15, 13; 5. 14, 13, 15;

3. 15, 13, 14; 6. 15, 14, 13.

Die E r f a h r u n g wird d a n n j e d e m bald zeigen, d a ß m a n das durch die erste Stellung angegebene Ziel auch bei der zweiten u n d dritten Stellung durch Mitbenutzung der Steine 9, 10, 11, 12 der dritten Reihe erreichen k a n n , u n d zwar nach mindestens 18 maligem R ü c k e n eines Steines, d a ß m a n

aber bei der vierten, f ü n f t e n u n d sechsten Stellung die geforderte reguläre Stellung n i c h t erreichen kann. Die Lösung einer solchen Aufgabe k a n n n u r durch Betrug oder Taschenspielerei bewerkstelligt werden. Man gelangt nämlich i m m e r d a n n zur Lösung, wenn m a n irgendwann, s t a t t zu schieben, einmal 2 Steine ihre Plätze wechseln l ä ß t , was a b e r n a t ü r lich der Spielregel widerspricht. U m der Theorie der Boß-Puzzle-Aufgaben n ä h e r t r e t e n zu können, gehen wir von folgenden einfachen Überlegungen aus. U n t e r „ Z u g " im Boß-Puzzle-Spiel verstehen wir die Verschiebung eines Steines auf den benachbarten leeren P l a t z . Bewegen wir n u n einen Stein von seinem anfänglichen P l a t z e fort, schieben d a n n so, d a ß er weiterwandern k a n n , u n d lassen ihn n u n so beliebige u n d beliebig unterbrochene W a n derungen ausführen, aber derartig, d a ß er schließlich einmal auf seinen alten Platz zurückkehrt, so h a t der Stein i m m e r eine g e r a d e Anzahl von Zügen ausgeführt, gleichviel, welche Platzänderungen die übrigen Züge dabei erlitten h a b e n . D e n n jeder Zug in horizontaler oder vertikaler R i c h t u n g m u ß irgendwann u n d irgendwo einmal wieder durch eine parallele Verschiebung in entgegengesetzter Richtung r ü c k g ä n g i g gemacht sein. W a s hiermit von einem Stein als richtig erk a n n t ist, m u ß auch f ü r das leere Feld gelten, welches j a auch bei jedem Zuge horizontal oder vertikal u m einen Schritt vorwärts u n d rückwärts wandert. Hieraus geht aber folgende W a h r h e i t hervor: „ W i r d eine Stellung der 15 Steine durch beliebig fortgesetzte Verschiebung in eine andere Stellung übergeführt, bei welcher der leere Platz wieder da ist, wo er vorher war, so ist die G e s a m t s u m m e a l l e r der während der Überführung der einen Stellung in die andere ausgeführten Z ü g e e i n e g e r a d e Z a h l . " Bei jeder solchen Verschiebung k a n n m a n sich denken, d a ß der zuerst auf den leeren Platz u n t e n rechts gerückte Stein nacheinander m i t

166

sämtlichen sonst noch gezogenen Steinen den P l a t z w e c h s e l t . Beispielsweise ziehen wir, v o n der regulären Stellung ausgehend, nacheinander die Steine: 12, 8, 7, 3, 2, 6, 10, 14, 15, 12, so d a ß wir als neue Stellung erhalten:

1

6

2

4

5

10

3

7

9

14

11

8

13

15

12

Die vorgenommene Verschiebung können wir uns n u n durch eine V e r t a u s c h u n g s f o l g e ersetzt denken, wenn wir uns vorstellen, d a ß der leere Platz immer von dem zuerst gezogenen Stein 12 besetzt ist. Stein 12 t a u s c h t d a n n zuerst mit 8, d a n n m i t 7, d a n n m i t 3, mit 2, mit 6, mit 10, mit 14, endlich mit 15. Es sind also bei den 10 Zügen 8 Platzwechsel vorgekommen, nämlich 2 Platzwechsel weniger als Züge, weil das Hineinrücken der 12 in den leeren P l a t z u n d das E n t f e r n e n v o n demselben keinen Tausch v o n Steinen veranlaßt. So m u ß es aber bei jeder noch so komplizierten Verschiebung sein; immer k a n n m a n sagen, daß der zuerst auf den leeren P l a t z gerückte Stein mit allen sonst noch gezogenen Steinen t a u s c h t . Dabei ist die Zahl der gedachten Vertauschungen immer u m 2 kleiner als die Zahl der Züge. Da nun die Zahl der Züge, wie schon oben eingesehen ist, eine gerade sein m u ß , eine u m 2 verminderte gerade Zahl aber wiederum gerade ist, so ist auch die Z a h l d e r v o r g e k o m m e n e n V e r t a u s c h u n g e n e i n e g e r a d e . S t a t t die IÖJ

Vertauschung mit Stein 12 zu beginnen, k a n n m a n sie natürlich mit irgendeinem der gezogenen Steine beginnen, z. B . mit 3. Es t a u s c h t d a n n 3 mit 2, d a n n mit 6, m i t 10, mit 14, mit 15, d a n n über das leere Feld schräg mit 12, d a n n mit 8, endlich mit 7. Oft kehren Steine im Laufe der Verschiebung wieder auf ihre P l ä t z e zurück. D a sie dazu eine gerade Zahl v o n Zügen brauchen, so bleibt die Zahl der Vertauschungen gerade, wenn m a n solche Vertauschungen, die aus zurückkehrenden Steinen e n t s t a n d e n sind, nicht mitzählt. Zieht m a n z. B., von der regulären Stellung ausgehend, nacheinander die Steine 15, 14, 10, 11, 7, 6, 11, 10, 14, 15, so k a n n m a n , s t a t t 15 mit 14, d a n n mit 10, mit 11, mit 7, mit 6, mit 11, mit 10, endlich mit 14 tauschen zu lassen, auch bloß 11 mit 7 u n d d a n n 11 mit 6 tauschen lassen, u m die neue Stellung zu erzielen. Jedenfalls erhält m a n auch dann eine gerade Anzahl von Vertauschungen. W e n n also zwei Stellungen durch Verschieben auseinander hervorgehen, so k a n n m a n sie auch durch eine gerade Anzahl v o n Vertauschungen zweier benachbarter Steine ineinander überführen. Befolgt m a n dabei n u n nicht gerade die aus der Verschiebung selbst resultierende Vertauschungsordnung, sondern irgendwelche andere, bei der m a n auch das Ziel erreicht, so m a c h t m a n vielleicht m e h r oder weniger Vertauschungen, jedenfalls aber eine gerade Zahl mehr oder weniger, weil m a n eine gerade Zahl v o n Vertauschungen vornehmen m u ß , u m aus einer gewissen A n o r d n u n g von Dingen dieselbe Anordnung wiederzuerhalten. Hieraus k a n n m a n also das folgende R e s u l t a t erschließen: „ I s t eine alte Stellung der 15 Steine des Boß-Puzzles d u r c h ein bloßes Verschieben in eine neue übergeführt, bei welcher der leere P l a t z wieder auf sein altes Feld zurückgekehrt ist, so muß

i68

die Zahl der Vertauschungen, die m a n mit j e 2 b e n a c h b a r t e n Steinen vornehmen m u ß , u m ebenfalls aus der alten Stellung die neue zu erhalten, g e r a d e sein." Wenn m a n n u n 2 nicht benachbarte Steine ihre Plätze •wechseln läßt, z. B. bei der regulären Stellung 2 und 11, so k a n n m a n diesen Tausch auch durch mehrmalige Vertauschung j e zweier benachbarter Steine ersetzen. Man h a t nämlich 2 mit 3, 2 mit 7, 2 mit 11 u n d d a n n nur noch 7 mit 11, 7 mit 2 die Plätze -wechseln zu lassen. Man sieht also, d a ß die Vertauschung zweier nicht benachbarter Steine immer dadurch geleistet werden kann, d a ß m a n so viel Vertauschungen j e zweier Nachbarsteine v o r n i m m t , als die u m 1 verminderte doppelte Anzahl der Züge b e t r ä g t , welche m a n von dem P l a t z des einen Steines zum Platz des andern Steines machen m ü ß t e . W e n n m a n also Vertauschungen zweier n i c h t ben a c h b a r t e r Steine v o r n i m m t , so erreicht m a n dasselbe Ziel auch dadurch, daß m a n eine gerade Anzahl öfter 2 benachb a r t e r Steine vertauscht. Wir erhalten deshalb das folgende wichtige R e s u l t a t : Wenn man 2 durch bloßes Verschieben ineina n d e r ü b e r f ü h r b a r e S t e l l u n g e n d e r 15 S t e i n e d e s Boß-Puzzles dadurch ineinander überführt, daß m a n auf irgendwelche Weise i m m e r je 2 beliebige S t e i n e m i t e i n a n d e r v e r t a u s c h t , so n i m m t man stets eine gerade Zahl von V e r t a u s c h u n g e n vor. Es wird zweckmäßig sein, dieses Resultat durch einige B e i s p i e l e zu e r h ä r t e n : 1. Man gehe von der regulären Lage der Steine aus, schiebe auf den leeren Platz den Stein 12, auf den d a n n leer gewordenen Platz den Stein 11, auf den so erhaltenen leeren P l a t z den Stein 15 u n d auf dessen Platz den Stein 12. D a n n k a n n m a n die neue Stellung auch d a d u r c h erzielen, daß m a n erst Stein 11 u n d 12 u n d darauf Stein 12 m i t Stein

löp

15 vertauscht. Man hat dann 2, also eine gerade Anzahl von Vertauschungen vorgenommen. 2. Man gehe von der regulären Stellung aus und rücke auf den jedesmal leeren Platz die Steine: 12, 11, 10, 14, 15, 10, 14, 9, 13, 15, 10, 14, 9, 10, 15, 13, 10, 9, 11, 12. Dadurch erhält man als neue Stellung: 1

2

3

4

5

6

7

8

10

9

11

12

13

15

14

Die neue Platzordnung geht aber auch aus der alten durch eine gerade Anzahl von Vertauschungen hervor, nämlich durch den Platzwechsel der Steine 9 und 10, sowie der Steine 14 und 15. 3. Man verschiebe die Stellung: 1

3

5

2

4

7 8

9

6

11

12

13

14

10

15

in

1

2

5

6

9

10

11

8

13

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15

12

3

4 7

Dies kann z. B. durch die Züge 11, 10, 15, 12, 8, 7, 4, 3, 2, 6, 10, 11 bewerkstelligt werden. Wie man nun auch versuchen mag, durch Platzwechsel von Steinen aus der alten Stellung zur IIO

n e u e n zu gelangen, i m m e r wird m a n eine gerade Zahl v o n Vertauschungen vorzunehmen haben, beispielsweise durch aufeinanderfolgendes Wechseln der Steine: 15 u n d 4, 15 u n d 3, 15 u n d 10, 10 und 2, 10 u n d 6, 8 u n d 4, 8 u n d 12, 7 u n d 4. Dies sind aber Unsere obigen k e h r u n g des oben k e h r u n g l ä ß t sich

8 Vertauschungen. Überlegungen ergeben auch die Umausgesprochenen R e s u l t a t s . Diese Umso aussprechen:

E i n e a l t e S t e l l u n g d e r 15 S t e i n e d e s B o ß - P u z z l e s ist in eine neue S t e l l u n g ü b e r f ü h r b a r oder n i c h t , j e n a c h d e m die A n z a h l der i r g e n d w i e v o r g e n o m menen Vertauschungen, welche gleichfalls aus der a l t e n S t e l l u n g die n e u e h e r s t e l l e n k ö n n e n , g e r a d e ausfällt oder nicht. Die folgenden Beispiele bestätigen diese Regel. 1. Als das Boß-Puzzle-Spiel aufgekommen war u n d viele Menschen beschäftigte, spielte namentlich die Aufgabe eine Rolle, welche verlangt, die Stellung, bei der Stein 15 vor Stein 14 a m Schluß steht, sonst aber alle Steine die regulären P l ä t z e einnehmen, in die reguläre Stellung zu verschieben. Diese Aufgabe erweist sich n a c h unserer Regel als unlösbar, weil eine einzige Vertauschung zweier Steine dasselbe Ziel erreicht, u n d 1 eine ungerade Zahl ist. Aus demselben Grunde sind auch die beiden Aufgaben unlösbar, bei denen die Steine 1 bis 12 a n ihren richtigen P l ä t z e n stehen, d a n n aber 14, 13, 15 oder 15, 14, 13 folgt. Dagegen sind lösbar die beiden Aufgaben, bei denen die Steine der drei ersten Reihen wieder regulär stehen, d a n n aber in der vierten Reihe 14, 15, 13 oder 15, 13, 14 folgt. D e n n hier erreicht m a n durch 2 Vertauschungen die reguläre Stellung 13, 14, 15 u n d 2 ist eine gerade Zahl.

171

2. Man hat sich die Aufgabe gestellt, durch Verschieben die erste der beiden folgenden Stellungen in die zweite überzuführen : 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

14

13

in

4

3

2

1

5

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12

6

15

7

8

11 9

10

Unsere zweite Regel entscheidet sofort darüber, ob es möglich oder unmöglich ist. Man schiebe zunächst so, daß der leere Platz bei beiden Stellungen an demselben Orte ist, also etwa in der ersten Stellung 12 auf den leeren Platz und auf den dadurch leer gewordenen Platz den Stein 11. Dann kann man etwa so tauschen: 4 mit 1, 2 mit 3, 9 mit 6, 15 mit 7, 14 mit 8, 13 mit 9, 12 mit 10, 14 mit 12, 15 mit 13, 14 mit 15. Da man durch 10, also eine gerade Zahl von Vertauschungen, auch zum Ziel gelangen kann, so ist die gestellte Aufgabe lösbar. 3. Um zu prüfen, ob man die Stellung:

IJ2

4

3

2

1

8

7

6

5

12

11

10

9

15

14

13

in die reguläre verschieben k a n n , schiebe m a n 13, 14, 15 n a c h links, so d a ß der leere P l a t z a n seine richtige Stelle k o m m t . D a n n erkennt m a n sofort, d a ß m a n nur die Steine 4 u n d 1, 3 u n d 2, 8 u n d 5, 7 u n d 6, 12 u n d 9, 11 u n d 10, 13 u n d 15 zu vertauschen b r a u c h t , u m die reguläre Stellung zu erzielen. Da 7 Vertauschungen, also eine ungerade Zahl, zu diesem Ziele f ü h r e n , so ist die Aufgabe unlösbar. Aus unsern beiden, oben bewiesenen Regeln folgen ohne weiteres auch die folgenden vier Zusätze: 1. Zwei Stellungen, die sich durch Verschieben in eine u n d dieselbe dritte Stellung bringen lassen, sind auch ineinander verschiebbar. 2. Zwei Stellungen, die sich b e i d e n i c h t in eine u n d dieselbe dritte Stellung verschieben lassen, sind ineinander verschiebbar. 3. Zwei Stellungen, von denen die eine in eine dritte verschoben werden k a n n , die andere aber nicht, lassen sich nicht ineinander verschieben. 4. J e d e Stellung, die nicht durch Verschieben in die reguläre Stellung übergehen k a n n , wird zu einer Stellung, die in die reguläre verschoben werden k a n n , wenn m a n einmal oder eine ungerade Anzahl Male entweder zwei Steine v e r t a u s c h t , oder, was auf dasselbe h i n a u s k o m m t , einen Stein oder eine ungerade Anzahl v o n Steinen überspringt. W e n n bei einer Boß-Puzzle-Aufgabe, welche die Verschiebung in die reguläre Stellung verlangt, viele Steine zufällig auf ihren richtigen Plätzen liegen, so wird m a n schnell die Zahl der Vertauschungen übersehen, die vorzunehmen sind, u m die übrigen Steine richtig zu ordnen. Fällt jene Zahl gerade aus, so ist die Aufgabe lösbar, fällt sie ungerade aus, unlösbar. Wenn aber bei einer verwickeiteren Aufgabe sehr wenige Steine oder gar kein Stein am richtigen Platze liegt, so wären viele Vertauschungen vorzunehmen, u m die

173

Entscheidung über die Lösbarkeit treffen zu k ö n n e n . Man t u t d a n n g u t , die Vertauschungen ordnungsmäßig i n Reihen zusammenzufassen u n d so übersichtlicher zu gestalten, wie das folgende Beispiel verdeutlicht: Es sei zu prüfen, ob die erste der beiden folgenden Stellungen in die zweite reguläre verschoben weiden k a n n : 2

4

6

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5

3

10

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1

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11

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13

15

in

1

2

3

4

5

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7

8

9

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13

14

15

Da auf d e m ersten Felde oben links der Stein 2 liegt, der Stein 1 aber nachher liegen soll, so vertauscht m a n die beiden, d a n n legt m a n Stein 2 a n die Stelle, wo 4 liegt, den Stein 4 dahin, wohin er gehört, also auf das Feld, wo Stein 8 liegt, d a n n werden in derselben Weise die Steine 12, 7, 10, 14, 13, 9 herausgenommen, u n d schließlich wird der Stein 9 auf den P l a t z gelegt, wo anfänglich der Stein 1 lag. Auf diese Weise bilden die Steine: 1, 2, 4, 8, 12, 7, 10, 14, 13, 9 einen V e r t a u s c h u n g s k r e i s , der aus 9 Vertauschungen besteht, an denen 10 Steine teilnehmen. Ebenso bilden die Steine 3 u n d 6 einen zweiten Kreis, der aus 1 Vertauschung von 2 Steinen besteht. Endlich bleiben noch 3 Steine, nämlich 5, 11, 15 übrig, die schon auf ihren richtigen Plätzen liegen. Man k a n n also sagen, d a ß noch 3 Vertauschungskreise hinzukommen, deren jeder aus 0 Vertauschungen u n d 1 Stein besteht. I n j e d e m Falle k o m m t also heraus, daß 1 Vertauschungs-

m

kreis einen Stein mehr u m f a ß t , als Vertauschungen darin vork o m m e n . I n unserm Beispiel h a b e n wir 5 Vertauschungskreise, also 5 Steine m e h r als Vertauschungen. Folglich ist i m m e r die G e s a m t z a h l d e r V e r t a u s c h u n g e n g l e i c h d e m Ü b e r s c h u ß der S t e i n z a h l ü b e r die Z a h l der Vert a u s c h u n g s k r e i s e , in unserm Beispiel gleich 15 — 5 = 10. D a 10 gerade ist, so ist die Aufgabe lösbar. D e m n a c h h a b e n wir die folgende H a u p t r e g e l abgeleitet: Eine Boß-Puzzle-Stellung ist in eine andere verschiebbar oder nicht, je n a c h d e m der Überschuß der Steinzahl über die Zahl der Vert a u s c h u n g s k r e i s e , die m a n d u r c h w a n d e r n muß, u m die a l t e S t e l l u n g in die n e u e zu v e r w a n d e l n , gerade ausfällt oder ungerade. Diese H a u p t r e g e l ermöglicht die d e n k b a r schnellste E n t scheidung über die Lösbarkeit v o n Boß-Puzzle-Aufgaben. Man v e r f ä h r t behufs solcher E n t s c h e i d u n g a m zweckmäßigsten, w e n n m a n sich die beiden Stellungen, die ineinander verschoben werden sollen, der Reihe der Zahlen nach, u n t e r e i n a n d e r schreibt. D a n n k a n n m a n m i t dem Auge schnell u n d sicher die Vertauschungskreise erkennen u n d demgem ä ß n a c h dem obigen Satze die E n t s c h e i d u n g t r e f f e n . Zur V e r d e u t l i c h u n g dienen die folgenden Beispiele: 1. Es sei zu p r ü f e n , ob die erste der beiden folgenden Stellungen in die zweite reguläre verschiebbar i s t :

6

8

12

11

5

14

4

1

13

15

2

3

10

7

in 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

175

Man schreibe die in gleichliegenden Feldern stehenden Zahlen untereinander, um die Vertauschungskreise leichter zu erkennen. Also: 6 8 112111 5 14 4 | 1 131151 2 9 3 j 101 7 1 2 | 3 | 4 5 6 7 | 8 9 10 11 12 13|14|15 Man erkennt nun leicht die 3 Vertauschungskreise: 1) 1, 6, 14, 10, 15, 7, 4, 11, 2, 8; 2) 3, 12, 9, 13; 3) 5. Die Zahl 3 der Vertauschungskreise, abgezogen von der Anzahl 15 der Steine, ergibt die gerade Zahl 12. Also sind die beiden Stellungen ineinander verschiebbar. 2. Man habe zu prüfen, ob die beiden folgenden Stellungen ineinander verschiebbar sind: 14

2

13

1

9

8

3

6

4

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12

11

15

10

in

13

5

11

4

14

3

6

8

2

7

1

12

15

10

9

Man schreibe die beiden Stellungen so wie im ersten Beispiel, also: 141 2 113 1 9 8 131 5 11 4 14 3

3 6

6 8

4 2

7 ] 5 112|11¡15[10 7 | 1 112115 j101 9

Hieraus erkennt man die folgenden 5 Vertauschungskreise : 1) 13, 14, 9, 10, 15, 11; 3) 3, 8, 6; 4) 7;

176

2) 5, 2, 4, 1; 5) 12.

Nun ist 15 — 5 = 10 gerade. Deshalb sind die beiden vorgelegten Stellungen durch Verschieben ineinander überzuführen. Unsere Hauptregel gibt uns auch die Entscheidung darüber, ob bei einer vorliegenden Stellung die Steine in richtige Reihenfolge gebracht werden können, ohne daß gerade die Stellung erzielt wird, die oben als regulär bezeichnet ist. E s gibt im ganzen 8 Stellungen, bei denen man sagen kann, daß die Zahlen auf den Steinen in natürlicher Reihenfolge stehen; und unsere Hauptregel ergibt dann leicht, daß diese 8 Stellungen in 2 Gruppen von je 4 so zerfallen, daß die 4 Stellungen jeder Gruppe ineinander verschiebbar sind, daß aber keine Stellung einer Gruppe in eine Stellung der andern Gruppe verschiebbar ist. Die beiden Gruppen sind folgende: Erste Gruppe.

39

1

2

3

4

1

5

9

13

5

6

7

8

2

6

10

14

9

10

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12

3

7

11

15

13

14

15

4

8

12

12

8

4

15

14

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15

11

7

3

12

11

10

9

14

10

6

2

8

7

6

5

13

9

5

1

4

3

2

1

S c h u b e r t , Mathematische Mußestunden.

177

Zweite Gruppe. 4

3

2

1

13

9

5

1

8

7

6

5

14

10

6

2

12

11

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9

15

11

7

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15

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8

4

4

8

12

13

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15

3

7

11

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9

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11

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2

6

10

14

5

6

7

8

1

5

9

13

1

2

3

4

D a jede beliebige Stellung der 15 Steine des Boß-Puzzles, die nicht in eine bei der ersten Gruppe angegebene Stellung durch Verschieben gebracht werden k a n n , notwendig in eine Stellung der zweiten Gruppe verschiebbar sein m u ß , so k a n n m a n jede Boß-Puzzle-Aufgabe lösbar nennen, w e n n m a n u n t e r „ l ö s e n " v e r s t e h t , die vorgeschriebene Stellung in irgendeine der obigen 8 Stellungen zu verschieben. D a 2 Stellungen der zweiten G r u p p e aus der regulären Stellung hervorgehen, i n d e m m a n dieselbe i n einem Spiegel b e t r a c h t e t , der senkr e c h t auf die E b e n e des B o ß - P u z z l e - Q u a d r a t s u n d parallel einer Seite desselben ist, so k a n n m a n a u c h sagen, d a ß jede Stellung der 15 Steine d u r c h Verschieben in eine Stellung gebracht werden k a n n , die entweder selbst regulär ist oder, in einem Spiegel b e t r a c h t e t , regulär erscheint.

I78

Bisher ist das Boß-Puzzle-Spiel immer nur unter der Annahme betrachtet, daß 15 Steine in einem Kästchen liegen, das für 4 * 4 Steine Platz hat. Alle obigen Erörterungen bezüglich der Vertauschungen und Vertauschungskreise gelten jedoch auch, wenn das rechteckige Kästchen für a b Steine Platz hat und a b — 1 Steine wirklich enthält. Insbesondere ist auch die zuletzt abgeleitete Hauptregel so ausgesprochen, daß sie auf diesen allgemeineren Fall unmittelbar angewandt werden kann, wie folgende Beispiele zeigen. 1. Es sei zu prüfen, ob verschoben werden k a n n :

5

2

8

3

7

6

1

4

in

1

2

3

4

5

6

7

8

5

2

CO

Aus der bequemeren Schreibweise:

1

2

3

3 4

7 5

6

1

4

6

7

8

ergeben sich 4 Vertauschungskreise, nämlich: 1) 1, 5, 7;

2) 2;

3) 3, 8, 4;

4) 6.

Da die Steinzahl 8 beträgt und 8 — 4 = 4 eine gerade Zahl ist, so sind die gegebenen beiden Stellungen ineinander verschiebbar. 2. Es sei zu entscheiden, ob die beiden folgenden Stellungen durch Schieben ineinander übergeführt werden können: 12'

179

1

2

3

1

2

3

4

5

6

16

15

4

7

8

9

17

14

5

10

11

12

18

13

6

13

14

15

19

12

7

16

17

18

20

11

8

19

20

10

9

in

Schiebt man bei der zweiten Stellung die beiden Steine 10 und 9 beide nach links, damit der leere Platz bei beiden Stellungen gleich liegt, so hat man anzusetzen: 1 2 | 3 4 5 6 7 8 9 10 11112 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 | 3 16 15 4 17 14 5 18 131 6 19 12 7 20 11 8 10 9 Hieraus gehen die folgenden 4 Vertauschungskreise hervor: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4, 16, 20, 9, 5, 15, 7, 17, 11, 13, 19, 10, 18, 8, 14, 12, 6. Da 20 — 4 = 16 gerade ist, so sind die beiden vorgeschriebenen Stellungen ineinander verschiebbar. Bald nach Erfindung des Boß-Puzzle-Spiels tauchte in Deutschland eine Variante desselben auf, die dasselbe in Zusammenhang mit magischen Quadraten brachte (vgl. hier § 19) und verlangte, die reguläre Stellung durch Schieben in eine Stellung zu verwandeln, bei welcher, nachdem in das leere Feld die Zahl 16 gesetzt ist, aus allen horizontalen,

180

vertikalen u n d diagonalen Reihen dieselbe Summe sich ergeben sollte. Der Verfasser möchte hierzu bemerken, d a ß es viel näher liegt, das leere Feld gar nicht mitzuzählen u n d also mit der Zahl 0 ausgefüllt zu denken. Sachlich wird d a d u r c h das P r o b l e m nicht wesentlich geändert, praktisch aber insofern, als m a n d a n n nicht noch einen neuen Stein b r a u c h t , u m das leere Feld auszufüllen. Solche Quadrate erhält m a n , w e n n in einem 16 feldrigen magischen Q u a d r a t jede der Zahlen 1 bis 16 u m 1 verkleinert wird. Es handelt sich also d a r u m , die linke v o n den beiden folgenden Stellungen in die rechte aus dem magischen Q u a d r a t S. 134 oben entstandene ü b e r z u f ü h r e n :

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

15

1

2

12

4

10

9

7

8

6

5

11

3

13

14

in

Das zweite Quadrat ist magisch, da sich aus den vier horizontalen, den vier vertikalen u n d den beiden diagonalen Reihen dieselbe Summe 30 ergibt. Es f r a g t sich aber, ob die Ü b e r f ü h r u n g der einen Stellung in die andere durch Verschiebung möglich ist. Unsere Hauptregel verneint diese Frage, da 4 Vertauschungskreise vorliegen u n d 15 — 4 eine ungerade Zahl darstellt. Hieraus können wir aber, n a c h den vorangehenden Erörterungen, schließen, d a ß sich die reguläre Stellung in das S p i e g e l b i l d der zweiten Stellung verschieben läßt, also i n :

18i

12

2

1

15

7

9

10

4

11

5

6

8

14

13

3

und dies ist ein Quadrat, das die Bedingung eines magischen Quadrats ebensogut erfüllt, wie das frühere. Ebenso erkennt man leicht, daß die reguläre Stellung von 8 Steinen in 3 • 3 Feldern in ein magisches Quadrat mit der konstanten Summe 12 verschoben werden kann, nämlich: 1

2

3

4

5

6

182

CO

7

in

3

8

1

2

4

6

7

5

§21 € t o i g e t ifalenbcr für 3©otljenta0e uub ©ftecbaten Z u den P r o b l e m e n der A n o r d n u n g gehört a u c h die H e r stellung übersichtlicher Tabellen, a u s welchen m a n Rechnung

den W o c h e n t a g

leicht

ohne

ersehen k a n n , auf

den

irgendein D a t u m eines beliebigen J a h r e s gefallen ist b z w . fallen wird. E i n e sehr einfache E i n r i c h t u n g dieser A r t r ü h r t v o m Verfasser h e r , u n d ist u n t e r d e m N a m e n „ P a n c h r o n i s t " verbreitet.

D e r P a n c h r o n i s t ist a u s P a p p e o d e r

Karton-

p a p i e r hergestellt u n d e n t h ä l t zwei bewegliche, m i t Pfeilen versehene Streifen, v o n d e n e n der eine v o n links n a c h rechts, der a n d e r e v o n oben n a c h u n t e n verschiebbar i s t .

Schiebt

m a n den l e t z t e r e n so, d a ß sein Pfeil auf d a s J a h r h u n d e r t weist, d e n e r s t e r e n so, d a ß sein Pfeil auf d a s J a h r i m J a h r h u n d e r t hinzeigt, so erscheint v o r einem d e r gesamte W o c h e n t a g s k a l e n d e r des b e t r e f f e n d e n J a h r e s .

F e r n e r h a t der Verfasser

einen ewigen K a l e n d e r hergestellt, der keine

beweglichen

Streifen e n t h ä l t u n d doch a u s einigen T a b e l l e n sowohl d e n W o c h e n t a g j e d e s beliebigen D a t u m s , wie a u c h die christlichen F e s t d a t e n j e d e s beliebigen J a h r e s leicht f i n d e n l ä ß t .

Dieser

ewige K a l e n d e r , auf P a p p e g e d r u c k t u n d z u m A n h ä n g e n geeignet, ist bei H e r o l d in H a m b u r g verlegt.

Die folgenden

Seiten e n t h a l t e n einen A b d r u c k desselben*). *) Der „Neue ewige Kalender" des Verfassers (Göschen 1902) berücksichtigt auch die Jahre v o r Chr. G.

A. Ewiger WochenJahrhunderte alten Stils

I.

14. 15. 2.. 3.. 4.. 5.. 6..

9.. 10.. 11. 12..

13..

16.

17. 18. 19. 20. 00 06

V« i ja s S s i S ^ o a-a g i H 2 .aS w« So 4) a«> nOJ I-H 0) »H gFrt N «rt r-J .TlH aj OT gJ® »mrC u § 0) § ^ ß 03J 'S_ 4) j jj « a

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