Repetitorium der höheren Mathematik: (Lehrsätze - Formeln - Tabellen) [Reprint 2019 ed.] 9783486737301, 9783486737295

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REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK (LEHRSÄTZE. FORMELN • TABELLEN)

VON

DR. ING. DR. PHIL.

HEINZ EGERER

DIPLOM-INGENIEUR

MÜNCHEN UND BERLIN V E R L A G VON R. O L D E N B U R G

1908

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.

Vorwort. In seiner Gestaltung entstanden als Resultat vom Verfasser seit Jahren geleiteter Vorbereitungskurse für das IngenieurHochschulexamen, wendet sich die vorliegende Sammlung in erster Linie an diejenigen Berufe, denen die höhere Mathematik eine Hilfswissenschaft ist.

Vor allem wurde kurze und präzise

Fassung der Definitionen und Lehrsätze berücksichtigt; wenn auch noch die für Studierende zumal wünschenswerte Übersicht erzielt ist, so ist das erreicht, was der Verfasser anstrebte.

M ü n c h e n , Ostern 1908. H. E g e r e r .

Inhaltsverzeichnis. I. Längen-, Flttehen- and Volumenbereehnungen. § 1. Dreieck und Vieleck § 2. Krummlinig begrenzte Flächen § 3. Körper § § § § §

4. 5. 6. 7. 8.

§ § § §

9. 10. 11. 12.

IL Elemente der Trigonometrie. Goniometrische oder trigonometrische Funktionen Koordinaten Erweiterte Definition der trigonometrischen Funktionen . . . Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Trigonometrische Funktionen von Winkelsummen und Winkelteilen Summen und Produkte trigonometrischer Funktionen . . . . Kreisfunktionen Ebenes Dreieck Sphärisches Dreieck

13. 14. 15. 16.

m . Elemente der niedern Algebra und Analysls. A. G r u n d o p e r a t i o n e n . Summe und Differenz. Produkt und Quotient Potenz Wurzel Logarithmus

§ § § §

Seite

1 3 4 7 8 9 9 11 13 14 15 17

20 22 23 24

B. K o m b i n a t o r i k . § 17. Die Zahlen n! und

25

§ 18. Permutationen, Kombinationen, Variationen § 19. Binomischer Lehrsatz § 20. Determinanten

2G 27 28

C. R e i h e n l e h r e . § 21. Grenzwert § 22. Reihen- und Konvergenzsätze

32 34

—

V

—

Seit«

§ § § § § § § §

23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Arithmetische Reihen Geometrische Reihen Zinsrechnung, Zinseszins und Rentenrechnung Potenzreihen Rekurrente Reihen Binomialreihe Exponential- und logarithmische Reihen Trigonometrische und zyklometrische Reihen

37 38 39 40 42 43 44 45

D. K o m p l e x e Z a h l e n . § 31. Allgemeine Definitionen § 32. Summe und Differenz, Produkt und Quotient komplexer Zahlen § 33. Potenz komplexer Zahlen

48 49 50

E. F u n k t i o n e n u n d G l e i c h u n g e n . § § § § § § § § § § § § § §

34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.

Allgemeine Definitionen Die einfachsten transzendenten Funktionen komplexer Variabler Funktionen komplexer Variabler . . . Lineare Gleichungen Algebraische Gleichungen mit e i n e r Unbekannten Binomische Gleichungen Quadratische Gleichungen Kubische Gleichungen Biquadratische Gleichungen Reziproke Gleichungen Naherungs- und graphische Lösungen Simultane Gleichungen Partialbruchzerlegung Interpolation

61 55 58 59 61 61 65 65 67 67 68 69 71 74

§ § § § § § §

48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.

Unendlich kleine und unendlich große Werte Ableitung reeller Funktionen e i n e r Variablen Ableitung reeller Funktionen m e h r e r e r Variabler Ableitung höherer Ordnung Taylor'sche und Mac-Laurinsche Reihe Unbestimmte Formen Maxima und Minima

§ § § § §

55. 56. 57. 58. 69.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral 91 Spezielle unbestimmte Integrale rationaler Funktionen . . . 96 Spezielle unbestimmte Integrale irrationaler Funktionen . . . 99 Spezielle unbestimmte Integrale transzendenter Funktionen . . 105 Spezielle bestimmte Integrale 111

IV. Elemente der Differentialrechnung. 77 .78 81 82 85 87 88

V. Elemente der Integralrechnung.

—

VI

— Seite

§ § § §

60. 61. 62. 63.

Elliptische Integrale Fouriersche Reihe Näherungsrechnung für bestimmte Integrale Anwendung der Integralrechnung auf Geometrie und Mechanik

114 118 119 120

Tl. Elemente der analytischen Geometrie der Ebene.

§ § § § § § § § § § § § § § § § § § §

64. 66. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82.

A. G e r a d e u n d K e g e l s c h n i t t e i n k a r t e s i s c h e n u n d Polarkoordinaten. Koordinatentransformation 131 Strecke 132 Dreieck und Vieleck. Punktsystem 135 Kurvengleichung 136 Geradengleichungen 137 Gerade und Gerade. Gerade und Punkt 139 Gemeinsame Entstehung aller Kegelschnitte 142 Allgemeine Kegelschnittegleichung. Diskussion derselben . . 144 Polarensätze 149 Kreis 150 Ellipse und Hyperbel 153 Parabel 158 Konstruktion der Kegelschnitte 160 B. S y n t h e t i s c h e B e h a n d l u n g . Verallgemeinerung des Koordinatenbegriffes . . . . . . . Linienkoordinaten Trimetrische Punkt- und Linienkoordinaten Punktreihe und Strahlenbüschel Doppelverhältnis. Projektive Gebilde Koordinatentransformation und Kollineation

VII. Elemente der Diskussion ebener Karren. Allgemeine Sätze Kurvenkonstruktion Asymptoten Tangente. Normale Krümmung. Wendepunkt . Horizontalstellen. Maxima. Minima. V e r t i k a l s t e l l e n . . . . Annäherungskurve. Singulare Punkte. Oskulation . . . . Enveloppe. Trajektorien. Evolute. Evolvente Spezielle algebraische Kurven Trigonometrische und zyklometrische, Logarithmus- und Exponentialkurven § 93. Kettenlinie. Traktrix § 94. Zykloide

§ § § § § § § § § §

83. 84. 85. 86. 87. 83. 89. 90. 91. 92.

164 166 167 169 170 171 174 175 177 178 180 182 182 184 186 188 191 193

—

VII — Seite.

§ 95. § 96. § 97. § 98. § 99. § 100. § 101.

Epizykloide Hypozykloide Kreisevolvente Paskaische Linie. Astroide Lemniskate. Cassinische Kurve Deskartessches Blatt. Vierblatt. Spiralen

§ § § §

102. 103. 104. 105.

T i n . Wahrschelnllehkeits- und Ausglelchsrechnung. Wahrscheinlichkeitsrechnung Beobachtungsfehler Ausgleich direkter Beobachtungen Ausgleich vermittelnder und bedingter Beobachtungen . . .

208 209 213 216

§ § § § §

106. 107. 108. 109. 110.

IX. Elemente der analytischen Geometrie des Baumes. . Raumkoordinaten Koordinatentransformation Ebene Gerade Ebene und Gerade

219 223 223 226 229

Cissoide.

Konchoide

195 197 199 200 201 . . 202 204

X. Elemente der Theorie der Flllehen und Baumkurven. Allgemeine Definitionen . . . ' Erzeugung der Flächen Annäherungsfläche Diskussion von Flächen und Kurven Krümmung einer Fläche Allgemeine Fläche zweiter Ordnung Diskussion der Flächen zweiter Ordnung Kreisschnittebenen. Nabelpunkte Regelflächen zweiter Ordnung Spezielle Flächen zweiter Ordnung Die ausgezeichneten Richtungen einer Raumkurve . . . . Krümmung und Windung der Raumkurven Spezielle Raumkurven KrSmmungsmaß einer Fläche Krummungslinien. Asymptotische Kurven. Geodätische Linien Enveloppe von Flächen und Raumkurven. Durch eine Raumkurve definierte abwickelbare Flächen § 127. Parameterdarstellung der Flächen. Linien- und Flächenelement § 128. Abbildung von Flächen

268 270 272

XI. Differentialgleichungen. § 129. Gewöhnliche Differentialgleichungen § 130. Gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

274 275

§ § § § § § § § § § § § § § § §

111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126.

. . . .

231 233 237 240 242 243 247 250 260 251 256 259 261 262 266

—

VIII

— Seite

§131. Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung ersten Grades § 132. Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung höheren Grades § 133. Gewöhnliche Differentialgleichung zweiter und höherer Ordnung § 134. Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung . § 135. Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung zweiter Ordnung § 13G. Lösung der linearen Differentialgleichung n0. +l 3

— 13.

lim x =0

ax — 1

34 — lime--=i = l x=0 X

lga

(ex xm) — 0

lim

lim x x = 1 x =0

.. a x — b x . . , lim = lga — lgb x=o x 14.

lim

sinx

x= 0

x= 0

X

.. sin mx lim

lim x=0

aresin x x

lim x=0

1 — cos x X

lim

gX

x

tgmx lim — = m x=o x

m

x

x= 0

15.

x _ lim x y e = oo. x=0

^aretgx^j x =0 X 0

^sinx

lim x sin i — 0 x=0 x

= 1

.. x — sinx lim —= = 1. oo X — — | COS X

x =

x=o

16.

x —sinx

Um 1 ^ = 0 x = oo X limliHti x= 0

X

Hm M ± M

lim^ = 0 x = 0 Xn lim

=

lg(l+nx)

(n>0) =

n

x= 0 =

0

lim x lg x = 0 . x=0

§ 22. Reihen- und Konvergenzsätze (siehe auch Differentialrechnung). 1. Eine Reihe ist eine Summe von Zahlen, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. Die Reihe heißt endlich oder unendlich, je nachdem die Anzahl der Glieder eine endliche oder unendlich große ist. Das n te , sogenannte a l l g e m e i n e G l i e d ist jenes, das an n ter Stelle steht und das Gesetz der

—

35

—

Reihenbildung erkennen läßt. (In diesem Paragraphen werden nur Reihen mit reellen Gliedern behandelt; über k o m p l e x e R e i h e n siehe: k o m p l e x e Zahlen.) 2. Läßt man die Gliederzahl einer unendlichen Reihe mehr und mehr wachsen, so nähert sich die Summe der Glieder einem Grenzwert. Diesen nennt man die Summe der Reihe. S„ = u() + u1 + u 2 + S = lim S n — lim [u0 + ux n=ao n=a>

+ u n -| ua -|

1- un

]

S ist die Summe der Reihe S n . 3. Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Summe eine bestimmte endliche Zahl ist; sie ist divergent, wenn ihre Summe unendlich ist; sie ist u n b e s t i m m t , wenn ihre Summe nicht angegeben werden kann (speziell o s z i l l i e r e n d , wenn die Summe periodisch verschiedene Werte annimmt). 4. Daß die Glieder Ui stets abnehmen, also lim un = 0, ist n = ao eine notwendige, aber noch nicht hinreichende Bedingung für eine konvergente Reihe. 5. Die geometrische Reihe s n = i + x + x2H ist für für für für

1- x ° H —

x ^ 1 divergent, — 1 < x < 1 konvergent, x = — 1 oszillierend, x < — 1 divergent.

(-fei)

6. Die harmonische Reihe l + i + i + I-i 3 4 2

|-i-l ' n 1

ist divergent. 7. Bricht man die Reihe nach dem nten Glied ab, so vernachlässigt man einen Rest, den Reihenrest. Ist die Reihe konvergent, so kann man an so später Stelle abbrechen, daß dieser Rest R n unter jede noch so kleine Zahl sinkt, also lim R„ = 0 wird. 3*

— 36

-

8. Wenn der Rest der Reihe unter jede noch so kleine Zahl gebracht werden kann, so ist die Reihe konvergent. 9. Eine Reihe mit beständig abnehmenden Gliedern ist konvergent, wenn von einer bestimmten endlichen Stelle ab die Vorzeichen der Reihenglieder periodisch wechseln. 10. Eine Reihe heißt einfach oder bedingt konvergent, wenn ihre Glieder, alle positiv genommen, keine konvergente Reihe bilden; unbedingt konvergent heißt sie, wenn sie unabhängig vom Vorzeichen der Glieder konvergiert. 11. Reihenvergleich. Sind von einer bestimmten endlichen Stelle ab die Glieder der zu untersuchenden Reihe stets kleiner (größer) als die Glieder einer bekannten konvergenten (divergenten) Reihe, so ist auch die zu untersuchende Reihe konvergent (divergent). 12. Konvergenzkriterien. u > j konvergente Reihe. I. lim — — < h divergente Reihe. n=a> Un+i = ) unbestimmt. n

II. lim |/un n=® III. lim n

< | konvergente Reihe. > 1 divergente Reihe. = J unbestimmt. > » konvergente Reihe. < 1 divergente Reihe, unbestimmt.

Un + I

13. Spezielle Zahlenreihen. zi 3

j .

Ü 3^2»

.3

1

.3-5

4 ' 5~T

6

Ì 6 ' T2

- = i + 1 + 1 + --H— 6 22 32 42 = 1 = 1 + 1 + 1+.... 90 24 34 e= 1+ l + l + l-j 1! 2! 3!

1

. 1

— 37 — V2 =

1+

lg 2 = 4

l 2

1-1 • M - 3 2-4 2-4-6

1 , 1 , 1-2-3 5-6-7

11-3-5 2-4-6-8

1 9-10-11

§ 23. Arithmetische Reihen.

a) erster Ordnung. 1. a + (a + d) + (a + 2d)H b (a + [n - 1] d). letztes Glied z = a (n — 1) d. Summe s = 1/3 n (a -(- z). 2.

S (n) = 1 — — j 2— — ( 3 —| hn = V a n(n + l). a + ( a + l ) + (a+2)H |_z=i/j(a+z)(z-a+l). 2 + 4+6-) b 2n = n (n + 1). 1 + 3 + 5-1 b ( 2 n — l) = n 2 .

b) höherer Ordnung. 3-

y0 y, y. y3 - - . yn Hauptreihe. A y0 A yt A v„ . . . . erste Differenzreihe. A-yu ¿l2y1 zweite Differenzreihe. '

. . . . ntB Differenzreihe. 4. Bildungsgesetz der Haupt- und Differenzreihen. Any0

A'y, = J ' - ' y . + i — ¿ ' - » y , . 5. Die Hauptreihe heißt eine arithmetische Reihe n t e r Ordnung, wenn die n te Differenzreihe konstante Glieder hat. 6. 4»y, = y . - ( f ) y . - i + ( j ) y B _ 2

+ (-l) n y n

yn=yo + ( i ) ^ y o + (2) ^ 2 y«+• • • • + ^

—

38

-

7. Summe der n ersten Glieder der Hauptreihe 2 = y 1 10. Soll das Kapital K nach n Jahren aufgezehrt sein, so ist jährlich wegzunehmen ( = n Jahre fortlaufende Rente aus K) kn — 1 11. Der Barwert einer n Jahre laufenden Rente R ^n i B = R k " ( k - l )• 12. Annuität. Das Kapital K wird bei jährlicher Entnahme der Summe R, falls R größer ist als die Zinsen von K, aufgezehrt [bezw. die Schuld K wird bei jährlicher Zahlung von R amortisiert] sein in n==logR-log[R-K(k-l)]Jahren logk §26. Potenzreihen. 1. Potenzreihe ist eine Reihe, die nach ganzen Potenzen von x fortschreitet. s

»=

+ V + V* H

1- a » x " H —

—

41

—

2. Ihr Konvergenzkriterium ist ¡x|< lim 11 =

00

-(- 1

3. Eine Reihe mit variablen Gliedern ist in einem Bereich gleichmäßig konvergent, wenn sich zu einem beliebig klein gegebenem Wert e ein Index n so finden läßt, daß der Reihenrest R m stets kleiner bleibt als e, unabhängig von der Wahl der Variablen innerhalb dieses Bereiches, (m^n). a„ 4. Innerhalb des Bereiches |x|< lim konvergiert a„ + i die Potenzreihe S n gleichmäßig. 5. Innerhalb des Konvergenzbereiches ist die Summe der Reihe S„ eine stetige Punktion von x. 6. Die Summe von zwei konvergenten Reihen ist wieder konvergent. 7. Die Summe oder das Produkt von zwei unbedingt konvergenten Reihen ist wieder unbedingt konvergent. 8. Das Produkt zweier konvergenter Reihen ist wieder konvergent, wenn wenigstens eine der Reihen unbedingt konvergent ist. 9. Eine Funktion von x kann stets in eine Potenzreihe entwickelt werden, aber nur in eine einzige. 10. Hat man zwei verschiedene Entwicklungen einer Funktion in Potenzreihen, so sind dieselben gliedweise identisch. Wenn also f(x) = a 0 + e^x + a,x 2

anxn

und nach einer anderen Methode f(x) = b 0 + \ x + b 2 x* + < • • • + b n x"- • • • gefunden wird, so ist a 0 = b0, a x = b15 a^ = b,

• • ai

• bi.

11. Um f(x) in eine Reihe zu verwandeln, wird man f(x) = a 0 - j - a x x

a,x 2

(-a n x n -|

ansetzen und dann nach irgend einer Methode ai berechnen, meist nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten (Methode der vorigen Nummer).

—

42

—

12. Inversion von Reihen. Hat man y in eine nach Potenzen von x fortlaufende Reihe verwandelt, also y = ao + a i x + a ä x 2 H — so kann man x in eine nach Potenzen von y fortlaufende Reihe verwandeln, indem man setzt x = A0 + A,y - f A,y2 -|

= A0 + A^a«, + &1x + a , x H ) 2 2 + A . K + a,x + a,x + • • • -) +-• • • und dann nach der Methode von 10 vergleicht.

§27.

Rekurrente Reihen.

1. Eine rationale echt gebrochene Funktion von x läßt sich in eine nach Potenzen von x fortschreitende Reihe verwandeln, derart daß die späteren Koeffizienten der Reihe sich linear durch die vorhergehenden ausdrücken (— Rekursion). Diese Reihe erhält man entweder durch einfaches Ausdividieren oder nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten. 2. Die Anzahl der Koeffizienten, welche zur Berechnung der nächstfolgenden bekannt sein müssen, gibt die Ordnung der Reihe an. Die Ordnung der Reihe ist gleich dem Grad des Nenners der die Reihe definierenden Funktion. 3. Das Rekursionsgesetz heißt an -f- B a n _i = 0 für die r e k u r r e n t e R e i h e e r s t e r Ordnung 1

JJ x =

ao

~f~ a i x

^x2 H

= A(1 — Bx + B 2 x 2 — B ^ 8 -| Das Rekursionsgesetz heißt an + B^n-i + B 2 a n _ 2 -| j- B f a n _ r = 0 ter für die r e k u r r e n t e R e i h e r Ordnung

).

A0 - f A t x + Aax2 -j Ar-ix"- 1 1 , 2 1 ao r a i x ~T~ a 2 x 1 + B 1 X + B2X2H [-B r x r 4. Die Summe einer unendlichen rekurrenten Reihe ist stets eine rationale echt gebrochene Funktion.

— 43 — 5. Denkt man sich diese echt gebrochene Funktion in Partialbrüche zerlegt Aq + V - ] 1 + B.xH

h A r _ix r ~ 1 = 1- B r x r

=

0,(1 +

Ylx

+

C, l - ^ x ^ l - j ^ 2 2

jV x -]

+ C 2 (l + >>ax +

782x2

ytx

h 7 ^ + - • • •)

+• •••

; ' 2 n x ° + . • • •)

+ c r (l + yrX + /r-X2-j h yr n X"+- • • •) , so lassen sich die Koeffizienten ai der rekurrenten Reihe durch a 0 ==C 1 + C g + . . . - + C r = 2 C , ai = C i y i + C f y i + . . . - 0 , ^ = 2 0 y , a'n= ClY»

+ C,y,» + • • • . + C r y r » =

darstellen. 6. Die Konvergenzuntersuchung der rekurrenten Reihe ist durch Angabe der Cj und yi ermöglicht. Die Reihe konvergiert, wenn an x < lim = lim I I1 = 0C an + i n = od l 2 C y » + li

§ 28. Binomialreihe.

Die Binomialreihe konvergiert für beliebiges m, wenn |x| — 1; für x = + 1, wenn m > 0 . 2. (x + y r ^ x ^ l + J ^ x ^ l - ^ )

\

3. Näherungsformeln.

1 _

_ x

y'l + x 2' wenn x klein gegen 1 ist.

yT±x = l

±J,

44

— |/a2 ± b = a ±

— 3 b j/a 3 + b = a +

b 2a'

wenn b klein gegen a ist. 4. Wurzelziehen. Entweder nach der vorhergehenden Nummer angenähert; oder nach folgenden Beispielen: J/5Ö = T ^ " + 1 = 7 |/l + 4 == 7 (1 + 2 49

8 49 2

16 49 8

l/l20 = l / l 2 5 - 5 = 5 i / l - i =

§29. 1.

=

: 128 4 9 4 ^

5|l-JLj,'a;

Exponential- und logarithmische Reihen. Y

1

+ J +

Y^

Y ^

+

konvergiert für endliches x.

= 2,718 281 828 459 - • • • .

3.

+

+

^

konvergiert für endliches x. 4

konvergiert für |x|