Formeln und Tabellen Maschinenbau (German Edition) 3834800325, 9783834800329

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Alfred Böge (Hrsg.)

Formeln und Tabellen Maschinenbau

Aus dem Programm Grundlagen Maschinenbau und Verfahrenstechnik Klausurentrainer Technische Mechanik von J. Berger Lehrsystem Technische Mechanik mit Lehrbuch, Aufgabensammlung, Lösungsbuch sowie Formeln und Tabellen von A. Böge und W. Schlemmer Vieweg Handbuch Maschinenbau herausgegeben von A. Böge Technische Strömungslehre von L. Böswirth Technische Mechanik mit Mathcad, Matlab und Maple von G. Henning, A. Jahr und U. Mrowka Thermodynamik für Ingenieure von K. Langeheinecke, P. Jany und G. Thieleke Technische Mechanik. Statik von H.-A. Richard und M. Sander Technische Mechanik. Festigkeitslehre von H.-A. Richard und M. Sander Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung von W. Weißbach Aufgabensammlung Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung von W. Weißbach und M. Dahms

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Alfred Böge (Hrsg.)

Formeln und Tabellen Maschinenbau Für Studium und Praxis Mit über 1200 Stichworten Autoren: Alfred Böge: Mathematik, Thermodynamik, Fluidmechanik, Festigkeitslehre, Zerspantechnik Alfred Böge/Wolfgang Böge: Maschinenelemente Gert Böge: Physik, Mechanik Peter Franke: Elektrotechnik Wolfgang Weißbach: Chemie, Werkstofftechnik

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage März 2007 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Satz: Zerosoft, Temeswar Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0032-9

V

Vorwort Ingenieure und Techniker in Ausbildung und Beruf finden hier Größengleichungen und Formeln, Diagramme, Tabellenwerte, Regeln und Verfahren, die zum Lösen von Aufgaben aus den technischen Grundlagenfächern erforderlich sind. Die Berechnungs- und Dimensionierungsgleichungen aus Mathematik, Physik, Chemie, Werkstofftechnik, Elektrotechnik, Thermodynamik, Mechanik, Fluidmechanik, Festigkeitslehre, Maschinenelemente, Zerspantechnik sind in Tabellen so geordnet, dass sie der speziellen Aufgabe zugeordnet werden können: x das umfangreiche Sachwortverzeichnis führt schnell zu den gesuchten technischphysikalischen Größen x die zugehörige Tabelle zeigt die erforderlichen Größengleichungen x die zusätzlichen Erläuterungen sichern die richtige Anwendung der Gleichungen, Diagramme und Tabellenwerte Herausgeber, Autoren und Verlag sind für Hinweise zur Verbesserung des Werkes dankbar. Verwenden Sie dazu bitte die E-Mail-Adresse: [email protected]

Braunschweig, Februar 2007

Alfred Böge

VII

Inhaltsverzeichnis

1

Mathematik ...................................................................................................................

1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

1 2 2 3 4 5 6 7 8

1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 2

Mathematische Zeichen....................................................................................... Griechisches Alphabet ......................................................................................... Häufig gebrauchte Konstanten............................................................................. Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte.................. Potenzrechnung (Potenzieren) ............................................................................ Wurzelrechnung (Radizieren) .............................................................................. Logarithmen......................................................................................................... Komplexe Zahlen ................................................................................................. Quadratische Gleichungen .................................................................................. Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in Beispielen ............................................................................................................ Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch)...................... Flächen (A Flächeninhalt, U Umfang) .................................................................. Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke..... Körper (V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche)............................................ Rechtwinkliges Dreieck ........................................................................................ Schiefwinkliges Dreieck ....................................................................................... Einheiten des ebenen Winkels............................................................................. Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11).................................................. Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen ................................. Arcusfunktionen ................................................................................................... Hyperbelfunktionen .............................................................................................. Areafunktionen..................................................................................................... Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene....................................................... Analytische Geometrie: Gerade ........................................................................... Analytische Geometrie: Lage einer Geraden im rechtwinkligen Achsenkreuz ..... Analytische Geometrie: Kreis............................................................................... Analytische Geometrie: Parabel........................................................................... Analytische Geometrie: Ellipse und Hyperbel ...................................................... Reihen ................................................................................................................. Potenzreihen........................................................................................................ Differenzialrechnung: Grundregeln ...................................................................... Differenzialrechnung: Ableitungen elementarer Funktionen................................. Integrationsregeln ................................................................................................ Grundintegrale ..................................................................................................... Lösungen häufig vorkommender Integrale........................................................... Uneigentliche Integrale ........................................................................................ Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung ......................................... Geometrische Grundkonstruktionen ....................................................................

9 10 12 13 14 16 17 19 20 21 23 25 26 26 27 28 29 30 30 32 33 35 36 36 38 38 42 42 49

Physik ...........................................................................................................................

55

2.1

55 55 57 58 59

Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten ............................. 2.1.1 Mechanik ............................................................................................... 2.1.2 Thermodynamik ..................................................................................... 2.1.3 Elektrotechnik ........................................................................................ 2.1.4 Optik ......................................................................................................

VIII

Inhaltsverzeichnis 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

3

59 60 60 60 61 61 61 61 62 62

Chemie ..........................................................................................................................

63

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12

63 67 69 69 70 73 74 74 77 77 78

3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 4

Allgemeine und atomare Konstanten ................................................................... Umrechnungstafel für metrische Längeneinheiten ............................................... Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Grundeinheiten oder hergeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen .......... Umrechnungstafel für Leistungseinheiten ............................................................ Schallgeschwindigkeit c, Dichte r und Elastizitätsmodul E einiger fester Stoffe ................................................................................................................... Schallgeschwindigkeit c und Dichte r einiger Flüssigkeiten ................................. cp Schallgeschwindigkeit c, Verhältnis N = einiger Gase bei t = 0 °C ............... cv Schalldämmung von Trennwänden...................................................................... Elektromagnetisches Spektrum ........................................................................... Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische Mittel.....................................................................................................................

Atombau und Periodensystem ............................................................................. Metalle ................................................................................................................. Nichtmetalle ......................................................................................................... Elektronegativität ................................................................................................. Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe ......................................................... Systematische Benennung anorganischer Verbindungen.................................... Systematische Benennung von Säuren und Säureresten .................................... Systematische Benennung organischer Verbindungen........................................ Benennung von funktionellen Gruppen ................................................................ Ringförmige Kohlenwasserstoffe.......................................................................... Basen, Laugen..................................................................................................... Gewerbliche und chemische Benennung von Chemikalien, chemische Formeln.............................................................................................. Säuren ................................................................................................................. Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen ............................................... Ionenlehre ............................................................................................................ Elektrochemische Größen und Gesetze .............................................................. Größen der Stöchiometrie.................................................................................... Beispiele für stöchiometrische Rechnungen ........................................................ Energieverhältnisse bei chemischen Reaktionen................................................. Heizwerte von Brennstoffen ................................................................................. Bildungs- und Verbrennungswärme einiger Stoffe ...............................................

Werkstofftechnik .......................................................................................................... 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Werkstoffprüfung.................................................................................................. Eisen-Kohlenstoff-Diagramm ............................................................................... Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 ...................................................... Baustähle DIN EN 10025-2/05............................................................................. Schweißgeeignete Feinkornbaustähle ................................................................. Warmgewalzte Flacherzeugnisse aus Stählen mit hoher Streckgrenze zum Kaltumformen, thermomechanisch gewalzte Stähle DIN EN 10149-2/95 ............ Vergütungsstähle DIN EN 10083/06 .................................................................... Einsatzstähle DIN EN 10084/98........................................................................... Nitrierstähle DIN EN 10085/01............................................................................. Stahlguss DIN EN 10293/05 ................................................................................ Bezeichnung der Gusseisensorten DIN EN 1560/97 ...........................................

79 80 80 83 85 87 89 91 92 92 93 93 96 97 99 100 100 100 101 101 101 101

Inhaltsverzeichnis 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25

Gusseisen mit Lamellengraphit GJL DIN EN 1561/97 ......................................... Gusseisen mit Kugelgraphit GJS DIN 1563/05 ................................................... Temperguss GJM DIN EN 1562/06 .................................................................... Bainitisches Gusseisen mit Kugelgraphit DIN EN 1564/06 .................................. Gusseisen mit Vermiculargraphit GJV VDG-Merkblatt W-50/02 .......................... Bezeichnung von Aluminium und Aluminiumlegierungen..................................... Aluminiumknetlegierungen, Auswahl ................................................................... Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98................................. Bezeichnung von Kupfer und Kupferlegierungen nach DIN 1412/95 ................... Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95 .................................................. Kupferknetlegierungen, Auswahl ......................................................................... Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98 ..................................... Anorganisch nichtmetallische Werkstoffe ............................................................ Bezeichnung von Si-Carbid, SiC und Siliciumnitrid, Si3N4 nach der Herstellungsart..................................................................................................... Druckgusswerkstoffe............................................................................................ Lagermetalle und Gleitwerkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme.......... Lagermetalle auf Cu-Basis (DKI) ......................................................................... Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren, Auswahl .......................................... Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl ..........................................

102 103 103 104 104 104 105 105 106 106 107 107 108

Elektrotechnik ..............................................................................................................

115

5.1

115 115 116 116 117 118 118 118 119 119 120 120 121 122 122 123 123

4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 5

IX

5.2

5.3

5.4

Grundbegriffe der Elektrotechnik ......................................................................... 5.1.1 Elektrischer Widerstand ......................................................................... 5.1.1.1 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes ............................ 5.1.2 Elektrische Leistung und Wirkungsgrad................................................. 5.1.3 Elektrische Energie................................................................................ 5.1.4 Elektrowärme......................................................................................... Gleichstromtechnik .............................................................................................. 5.2.1 Ohm’sches Gesetz, nicht verzweigter Stromkreis.................................. 5.2.2 Kirchhoff’sche Sätze .............................................................................. 5.2.3 Ersatzschaltungen des Generators........................................................ 5.2.4 Schaltungen von Widerständen und Quellen......................................... 5.2.4.1 Parallelschaltung von Widerständen........................................ 5.2.4.2 Parallelschaltung von Quellen ................................................. 5.2.4.3 Reihenschaltung von Widerständen ........................................ 5.2.4.4 Reihenschaltung von Quellen .................................................. 5.2.5 Messschaltungen................................................................................... 5.2.5.1 Indirekte Widerstandsbestimmung........................................... 5.2.5.2 Messbereichserweiterung bei Spannungs- und Strommessern ......................................................................... 5.2.6 Spannungsteiler..................................................................................... 5.2.7 Brückenschaltung .................................................................................. Elektrisches Feld und Kapazität........................................................................... 5.3.1 Größen des homogenen elektrostatischen Feldes................................. 5.3.2 Kapazität von Leitern und Kondensatoren............................................... Magnetisches Feld und Induktivität...................................................................... 5.4.1 Größen des homogenen magnetischen Feldes ..................................... 5.4.2 Spannungserzeugung............................................................................. 5.4.3 Kraftwirkung........................................................................................... 5.4.4 Richtungsregeln..................................................................................... 5.4.5 Induktivität von parallelen Leitern und Luftspulen .................................. 5.4.6 Induktivität von Spulen mit Eisenkern .................................................... 5.4.7 Drosselspule ..........................................................................................

108 108 109 110 110 112

123 124 124 125 125 126 128 128 130 132 133 135 136 137

X

Inhaltsverzeichnis 5.4.8 Schaltungen von Induktivitäten .............................................................. 5.4.9 Einphasiger Transformator .................................................................... Wechselstromtechnik ............................................................................................ 5.5.1 Kennwerte von Wechselgrößen ............................................................. 5.5.2 Passive Wechselstrom-Zweipole an sinusförmiger Wechselspannung.. 5.5.2.1 Reihenschaltung von Blindwiderständen ................................. 5.5.2.2 Parallelschaltung von Blindwiderständen................................. 5.5.3 Umwandlung passiver Wechselstrom-Zweipole in gleichwertige Schaltungen ........................................................................................... 5.5.4 Blindleistungskompensation................................................................... Drehstromtechnik................................................................................................. 5.6.1 Drehstromnetz ....................................................................................... 5.6.2 Stern- und Dreieckschaltung.................................................................. 5.6.3 Stern-Dreieck-Umwandlung ................................................................... Elementare Bauteile der Elektronik ...................................................................... 5.7.1 Halbleiterdioden ..................................................................................... 5.7.1.1 Dioden zum Gleichrichten und Schalten .................................. 5.7.1.4 Z-Dioden .................................................................................. 5.7.2 Transistoren........................................................................................... 5.7.2.1 Bipolare Transistoren............................................................... 5.7.2.2 Kennlinien und Kenngrößen bipolarer Transistoren................. 5.7.3 Thyristoren ............................................................................................. 5.7.3.1 Grundschaltung und Kenndaten .............................................. 5.7.3.2 Ausgewählte Thyristorbauelemente ......................................... 5.7.3.3 Phasenanschnittsteuerung ......................................................

146 147 148 148 148 150 151 151 151 154 155 155 155 157 157 158 160

Thermodynamik ...........................................................................................................

161

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

161 162 163 166 167 171 172 172 172

5.5

5.6

5.7

6

138 138 139 139 141 142 144

6.17

Grundbegriffe ....................................................................................................... Wärmeausdehnung.............................................................................................. Wärmeübertragung .............................................................................................. Gasmechanik ....................................................................................................... Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess ............... Gleichungen für Gasgemische............................................................................. Temperatur-Umrechnungen................................................................................. Temperatur-Fixpunkte.......................................................................................... Spezifisches Normvolumen Q n und Dichte r n (0 °C und 101 325 N/m2) .............. Mittlere spezifische Wärmekapazität cm fester und flüssiger Stoffe zwischen 0 °C und 100 °C in J / (kg K) ................................................................ Mittlere spezifische Wärmekapazität cp , cQ in J / (kg K) nach Justi und Lüder..... Schmelzenthalpie qs fester Stoffe in J / kg bei p = 101 325 N/m2 ........................ Verdampfungs- und Kondensationsenthalpie qv in J / kg bei 101 325 N/m2 ........ Schmelzpunkt fester Stoffe in °C bei p = 101 325 N/m2....................................... Siede- und Kondensationspunkt einiger Stoffe in °C bei p = 101 325 N/m2 ......... Längenausdehnungskoeffizient D l fester Stoffe in 1/K zwischen 0 °C und 100 °C (Volumenausdehnungskoeffizient D V | 3 D l ) ...................................................... Volumenausdehnungskoeffizient D V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C .............

6.18

Wärmeleitzahlen O fester Stoffe bei 20 °C in 103

J W ; Klammerwerte in .. mhK mK

175

6.19

Wärmeleitzahlen O von Flüssigkeiten bei 20 °C in

J W ; Klammerwerte in mhK mK

175

6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16

173 173 173 174 174 174 174 174

Inhaltsverzeichnis 6.20

Wärmeleitzahlen O von Gasen in Abhängigkeit von der Temperatur (Ungefährwerte) in

6.22 6.23 6.24

Spezifische Gaskonstante R i , Dichte r und Verhältnis N =

cp

175 175 176 176

einiger Gase.......

176

Mechanik fester Körper ...............................................................................................

177

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

177 178 178 180 181 181 182 184 185 186 188

7.13 7.14 7.15

7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27

8

J W Klammerwerte in ................................................. mhK mK

Wärme-Übergangszahlen D für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen (Mittelwerte)..................................................................................... Wärmedurchgangszahlen k bei normalem Kesselbetrieb (Mittelwerte)................ Emissionsverhältnis H und Strahlungszahl C bei 20 °C........................................

6.21

7

XI

cν

Freimachen der Bauteile...................................................................................... Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr .............................................. Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr ............................................... Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte .................................................. Rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte................................................... Fachwerke ........................................................................................................... Schwerpunkt ........................................................................................................ Guldin'sche Regeln.............................................................................................. Reibung ............................................................................................................... Reibung in Maschinenelementen......................................................................... Bremsen .............................................................................................................. Gleitreibzahl P und Haftreibzahl P 0 (Klammerwerte sind die Gradzahlen für den Reibwinkel r bzw. r 0).................................................................................... Wirkungsgrad Kr des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstränge (K = 0,96 angenommen).................................................................... Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung ......................... Wurfgleichungen .................................................................................................. 7.15.1 Horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) ............................................... 17.15.2 Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand) ...................................... Gleichförmige Drehbewegung.............................................................................. Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Kreisbewegung .................................... Sinusschwingung (harmonische Schwingung) ..................................................... Pendelgleichungen .............................................................................................. Schubkurbelgetriebe ............................................................................................ Gerader zentrischer Stoß..................................................................................... Mechanische Arbeit W ......................................................................................... Leistung P, Übersetzung i und Wirkungsgrad K ................................................... Dynamik der Verschiebebewegung (Translation)................................................. Dynamik der Drehung (Rotation) ......................................................................... Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmomente 2. Grades)................... Gegenüberstellung einander entsprechender Größen und Definitionsgleichungen für Schiebung und Drehung .............................................................

190 190 190 192 192 192 192 193 194 196 197 198 199 200 201 202 203 204

Fluidmechanik ..............................................................................................................

205

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

205 206 208 209 211 211

Statik der Flüssigkeiten........................................................................................ Strömungsgleichungen ........................................................................................ Ausflussgleichungen ............................................................................................ Widerstände in Rohrleitungen.............................................................................. Dynamische Zähigkeit K, kinematische Zähigkeit Q und Dichte r von Wasser..... Staudruck q in N / m2 und Geschwindigkeit w in m / s für Luft und Wasser ...........

XII

Inhaltsverzeichnis 8.7 8.8 8.9 8.10

9

Absolute Wandrauigkeit k .................................................................................... Widerstandszahlen ] für plötzliche Rohrverengung............................................. Widerstandszahlen ] für Ventile .......................................................................... Widerstandszahlen ] von Leitungsteilen..............................................................

211 212 212 212

Festigkeitslehre ............................................................................................................

215

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

215 217 218 219 220 221 222

9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 9.25 9.26

Grundlagen .......................................................................................................... Zug- und Druckbeanspruchung............................................................................ Biegebeanspruchung ............................................................................................ Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i ......... Elastizitätsmodul E und Schubmodul G verschiedener Werkstoffe in N/mm2 ...... Träger gleicher Biegebeanspruchung .................................................................. Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen................................................ Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A und Trägheitsradius i verschieden gestalteter Querschnitte für Biegung und Knickung (die Gleichungen gelten für die eingezeichneten Achsen) ................................... Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl .................................................................. Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl................................ Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach EN 10056-1 Warmgewalzte schmale ǂ-Träger nach DIN 1025-1 (Auszug) ............................. Warmgewalzte ǂ-Träger, ǂPE-Reihe ................................................................... Knickung im Maschinenbau (siehe auch 9.35)..................................................... Grenzschlankheitsgrad O 0 für Euler'sche Knickung und Tetmajer-Gleichungen .. Abscheren und Torsion ........................................................................................ Widerstandsmoment Wp (Wt) und Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t ) ... Zusammengesetzte Beanspruchung bei gleichartigen Spannungen ................... Zusammengesetzte Beanspruchung bei ungleichartigen Spannungen................ Beanspruchung durch Fliehkraft .......................................................................... Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung ............................... Hohlzylinder unter Druck...................................................................................... Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ................................................................ Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 .................................................... Metrisches ISO-Feingewinde ............................................................................... Geometrische Größen an Sechskantschrauben ..................................................

10 Maschinenelemente ..................................................................................................... 10.1

Toleranzen und Passungen ................................................................................. 10.1.1 Normzahlen............................................................................................ 10.1.2 Grundbegriffe zu Toleranzen und Passungen........................................ 10.1.3 Eintragung von Toleranzen in Zeichnungen........................................... 10.1.4 Grundtoleranzen der Nennmaßbereiche in ȝm ...................................... 10.1.5 Allgemeintoleranzen für Längenmaße nach DIN ISO 2768-1 ................ 10.1.6 Allgemeintoleranzen für Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1 ................. 10.1.7 Allgemeintoleranzen für Fasen und Rundungshalbmesser nach DIN ISO 2768-1 ..................................................................................... 10.1.8 Allgemeintoleranzen für Form und Lage nach DIN ISO 2768-2 ............. 10.1.9 Symbole für Form und Lagetoleranzen nach DIN ISO 1101 .................. 10.1.10 Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO 1302 10.1.11 Mittenrauwerte Ra in ȝm ........................................................................ 10.1.12 Verwendungsbeispiele für Passungen ................................................... 10.1.13 Ausgewählte Passtoleranzfelder und Grenzabmaße (in µm) für das System Einheitsbohrung (H) .................................................................

225 228 229 230 231 232 233 234 235 237 238 239 240 241 243 244 245 246 246 247 247 247 248 250 250 251 251 251 251 252 253 253 254 255

Inhaltsverzeichnis

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.1.14 Passungsauswahl, empfohlene Passtoleranzen, Spiel-, Übergangsund Übermaßtoleranzfelder in µm nach DIN ISO 286 ........................... Schraubenverbindungen...................................................................................... 10.2.1 Berechnung axial belasteter Schrauben ohne Vorspannung ................. 10.2.2 Berechnung unter Last angezogener Schrauben................................... 10.2.3 Berechnung einer vorgespannten Schraubenverbindung bei axial wirkender Betriebskraft ......................................................................... 10.2.4 Kräfte und Verformungen in zentrisch vorgespannten Schraubenverbindungen........................................................................ 10.2.5 Berechnung vorgespannter Schraubenverbindungen bei Aufnahme einer Querkraft....................................................................................... 10.2.6 Berechnung von Bewegungsschrauben ................................................ 10.2.7 Richtwerte für die zulässige Flächenpressung bei Bewegungsschrauben ........................................................................... 10.2.8 Reibungszahlen und Reibungswinkel für Trapezgewinde...................... 10.2.9 Rp 0,2 0,2-Dehngrenze der Schraube ................................................... 10.2.10 Geometrische Größen an Sechskantschrauben .................................... 10.2.11 Maße an Senkschrauben mit Schlitz und an Senkungen für Durchgangsbohrungen .......................................................................... 10.2.12 Einschraublänge la für Sacklochgewinde............................................... 10.2.13 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 .................................................. 10.2.14 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 ...................................... Federn ................................................................................................................. 10.3.1 Federkennlinie, Federrate, Federarbeit, Eigenfrequenz......................... 10.3.2 Metallfedern ........................................................................................... 10.3.3 Gummifedern ......................................................................................... Achsen, Wellen und Zapfen................................................................................. 10.4.1 Achsen................................................................................................... 10.4.2 Wellen.................................................................................................... 10.4.3 Stützkräfte und Biegemomente an Getriebewellen ................................ 10.4.4 Berechnung der Tragfähigkeit nach DIN 743......................................... Nabenverbindungen............................................................................................. 10.5.1 Kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindungen (Beispiele).......... 10.5.2 Formschlüssige Nabenverbindungen (Beispiele)................................... 10.5.3 Zylindrische Pressverbände................................................................... 10.5.4 Keglige Pressverbände (Kegelsitzverbindungen) .................................. 10.5.5 Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde................................ 10.5.6 Richtwerte für Nabenabmessungen....................................................... 10.5.7 Klemmsitzverbindungen......................................................................... 10.5.8 Keilsitzverbindungen.............................................................................. 10.5.9 Ringfederspannverbindungen, Maße, Kräfte und Drehmomente........... 10.5.10 Ermittlung der Anzahl n der Spannelemente und der axialen Spannkraft Fa......................................................................................... 10.5.11 Längsstiftverbindung.............................................................................. 10.5.12 Passfederverbindungen ......................................................................... 10.5.13 Keilwellenverbindung ............................................................................. Zahnradgetriebe................................................................................................... 10.6.1 Kräfte am Zahnrad................................................................................. 10.6.2 Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Gerad- und Schrägstirnräder. 10.6.3 Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Kegelräder............................. 10.6.4 Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Schneckengetriebe................ 10.6.5 Wirkungsgrad, Kühlöldurchsatz und Schmierarten der Getriebe ...........

XIII

257 259 259 259 260 262 267 268 269 269 269 270 270 271 271 272 273 273 275 287 288 288 289 291 293 298 298 299 300 306 308 308 309 310 311 312 313 314 316 317 317 320 323 325 328

XIV

Inhaltsverzeichnis

11 Zerspantechnik .............................................................................................................

329

Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik .................................................... 11.1.1 Bewegungen, Kräfte, Schnittgrößen und Spanungsgrößen ................... 11.1.2 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc beim Drehen..................... 11.1.3 Werkzeugwinkel..................................................................................... 11.1.4 Zerspankräfte......................................................................................... 11.1.5 Richtwerte für die spezifische Schnittkraft kc beim Drehen .................... 11.1.6 Leistungsbedarf ..................................................................................... 11.1.7 Standverhalten....................................................................................... 11.1.8 Hauptnutzungszeit ................................................................................. Fräsen.................................................................................................................. 11.2.1 Schnittgrößen und Spanungsgrößen ..................................................... 11.2.2 Geschwindigkeiten ................................................................................. 11.2.3 Werkzeugwinkel..................................................................................... 11.2.4 Zerspankräfte......................................................................................... 11.2.5 Leistungsbedarf ..................................................................................... 11.2.6 Hauptnutzungszeit ................................................................................. Bohren ................................................................................................................. 11.3.1 Schnittgrößen und Spanungsgrößen ..................................................... 11.3.2 Geschwindigkeiten ................................................................................. 11.3.3 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc und den Vorschub f beim Bohren ................................................................................................... 11.3.4 Richtwerte für spezifische Schnittkraft beim Bohren .............................. 11.3.5 Werkzeugwinkel..................................................................................... 11.3.6 Zerspankräfte......................................................................................... 11.3.7 Leistungsbedarf ..................................................................................... 11.3.8 Hauptnutzungszeit ................................................................................. Schleifen .............................................................................................................. 11.4.1 Schnittgrößen......................................................................................... 11.4.2 Geschwindigkeiten ................................................................................. 11.4.3 Werkzeugwinkel..................................................................................... 11.4.4 Zerspankräfte......................................................................................... 11.4.5 Leistungsbedarf ..................................................................................... 11.4.6 Hauptnutzungszeit .................................................................................

329 329 333 334 336 338 339 340 341 345 345 347 348 350 352 352 355 355 356 358 359 360 362 363 364 365 365 367 368 369 370 370

Sachwortverzeichnis .........................................................................................................

373

11.1

11.2

11.3

11.4

Mathematik Mathematische Zeichen 1.1 Mathematische Zeichen (nach DIN 1302)

~

≈ ≅ 
z < d > t f ӝ

proportional, ähnlich, asymptotisch gleich (sich ofangleichend), gleichmächtig ungefähr gleich kongruent entspricht ungleich kleiner als kleiner als oder gleich größer als größer als oder gleich unendlich parallel

  |

Element von nicht Element von teilt; n |m : natürliche Zahl n teilt natürliche Zahl m ohne Rest

Ӝ `

nicht teilt; nӜm : m ist nicht Vielfaches von n = {0, 1, 2, 3, ...} Menge der

`*

natürlichen Zahlen mit Null = {1, 2, 3, ...} Menge der

]

natürlichen Zahlen ohne Null = {...,– 3, – 2, – 1, 0, 1,

1

2, 3, ...} Menge der ganzen Zahlen nicht parallel ]* = {– 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, ...} parallelgleich: parallel und gleich lang Menge der ganzen Zahlen A orthogonal zu ohne Null o gegen ⎧n ⎫ _ = ⎨ | n ∈ ] ∧ m ∈ ` *⎬ (bei Grenzübergang), ⎩m ⎭ zugeordnet Menge der rationalen Zahlen Ÿ aus... folgt... (Bruchzahlen) œ äquivalent (gleichwertig); ⎧n ⎫ aus... folgt... und _* = ⎨ | n ∈ Z* ∧m ∈ ` *⎬ ⎩m ⎭ umgekehrt š und, sowohl... als auch... Menge der rationalen Zahlen › oder; das eine oder das ohne Null andere oder beides (also \ Menge der reellen Zahlen nicht: entweder... oder...) \* Menge \ ohne Null |x | Betrag von x, ^ Menge der komplexen Absolutwert {x |...} Menge aller x, für die Zahlen gilt... n! = 1·2·3· ...·n, n Fakultät {a, b, c } Menge aus den ⎛ n ⎞ n (n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) ⎜ ⎟ Elementen a, b, c ; k! ⎝k ⎠ beliebige Reihenfolge gelesen: n über k ; k d n ; der Elemente binomischer Koeffizient (a, b ) Paar mit den geordneten [a; b] = a ... b ; geschlossenes Elementen Intervall von a bis b, d.h. (Komponenten) a und b ; a und b eingeschlossen: vorgeschriebene = {x |a d x d b } Reihenfolge ]a; b[ = {x |a < x < b }; offenes (a,b,c ) Tripel mit den Intervall von a bis b, d.h. geordneten Elementen ohne die Grenzen a und b (Komponenten) a, b und ]a ; b ] = {x |a < x d b };halboffenes c ; vorgeschriebene Intervall, a ausgeschlossen, Reihenfolge b eingeschlossen AB Gerade AB; geht durch lim Limes, Grenzwert die Punkte A und B log Logarithmus, beliebige Basis AB Strecke AB loga Logarithmus zur Basis a | AB | Betrag (Länge) der lg x = log10 x Zehnerlogarithmus Strecke AB ln x = loge x natürlicher (A, B ) Pfeil AB Logarithmus AB Vektor AB ; Menge aller 'x Delta x, Differenz von zwei zu (A, B ) parallelgleichen x-Werten, z.B. x2 – x1 Pfeile

1

Mathematik Häufig gebrauchte Konstanten

1

dx

dy dx

Differenzial von x, symbolischer Grenzwert von 'x bei 'xo

∑av

dy nach dx,

∫...dx

n

Differenzialquotient y ’= f ’(x), y ” = f ”(x), ... Abkürzungen für df ( x ) d 2f ( x ) d ⎛ df ( x ) ⎞ , = ⎜ ⎟,... dx dx⎝ dx ⎠ dx 2 erste, zweite,... Ableitung; Differenzialquotient erster, zweiter, ... Ordnung

1.2 Griechisches Alphabet

D E J G H ] K -

1.3 Häufig gebrauchte Konstanten

A B * ¨ E Z H 4

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta

2

= 1,4142 2

3

= 1,7320 5

S = 3,1415 93 2S = 6,2831 85

L N O P Q [ R

J K / M N ; O S 3

=a1 + a2 + ... + an, Summe

v =1

b

∫ f ( x )dx = [F ( x )]ab = F (b) − F (a) a

mit F ’ (x) = f (x), bestimmtes Integral

Jota Kappa Lamda My Ny Xi Omikron Pi

N V W X M F \ Z

5 6 T 8 ) & < :

Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

1 : S 2 = 0,1013 21

e

=

1,6487 21

e

=

1,3956 12

1: S

= 0,5641 90

eS/2 =

4,8104 77

1 : 2S

= 0,3989 42

2:S

= 0,7978 85

1: π

= 0,6827 84

3

e

S

2S

= 23,1406 93

3S = 9,4247 78

e

4S = 12,5663 71

M = lg e =

S : 2 = 1,5707 96

g =

= 535,4916 56

3

1 : e = 0,3678 79

0,4342 94

1 : e 2 = 0,1353 35

9,81

S : 3 = 1,0471 98

g 2 = 96,2361

S : 4 = 0,7853 98

g

3

1: e

= 0,6065 31

1: e

= 0,7165 32

=

3,13209

S: 180 = 0,0174 53

2g =

4,42945

S 2 = 9,8696 04

1:S =

0,3183 10

e –S = 0,043214

S

= 1,7724 54

1 : 2S =

0,1591 55

e –2S = 0,0018 67

2S = 2,5066 28

1 : 3S =

0,1061 03

1 : M = ln 10 = 2,3025 85

S : 2 = 1,2533 14

1 : 4S =

0,0795 77

1 : g = 0,10194

3

π

e –S/2 = 0,2078 80

= 1,4645 92

2:S =

0,6366 20

1 : 2g = 0,050968

e = 2,7182 82

3:S =

0,9549 30

S g

= 9,83976

2

4:S =

1,2732 40

S 2g

= 13,91552

e

= 7,3890 56

180 : S = 57,2957 80

2

unbestimmtes Integral, Umkehrung des Differenzialquotienten

Mathematik Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte 1.4 Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte Produkt n · a

n ˜a

a  a   a  ...  a 

n, a Faktoren

n Summanden

Vorzeichenregeln

1

Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte

(+ a )(+ b ) = ab (− a )(+ b ) = − ab

(+ a )(− b ) = − ab (− a )(− b ) = ab

(+ a ) : (+ b ) = a / b (+ a ) : (− b ) = − a / b (− a ) : (+ b ) = − a / b (− a ) : (− b ) = a / b Rechnen mit Null

a · b = 0 heißt a = 0 oder b = 0 ; 0 · a = 0 ; 0 : a = 0

Multiplizieren von Summen

(a  b )(c  d )

Quotient

a = b / n = b : n ; n z 0 ; b Dividend ; n Divisor Division durch 0 gibt es nicht

Brüche

a c ac ⋅ = b d bd

Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler und ihre Nenner multipliziert.

a c : b d

Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert.

ad bc

ac  ad  bc  bd

a b c a+b−c + − = ; d d d d

a+b a b = + c c c

a b c an p+bm p −c mn + − = mx nx px mn px m n p x Hauptnenner Klammerregeln

a  (b  c ) a  (b  c ) a  (b  c )

abc abc abc

Binomische Formeln, Polynome

(a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a2 + 2ab + b2 a2 − b2 = (a − b )2 = (a − b )(a − b ) = a2 − 2ab + b2 (a + b )(a − b )

Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, sind beim Weglassen der Klammer die Vorzeichen aller in der Klammer stehenden Summanden umzukehren.

(a + b + c )2 = a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b )3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

a3 + b3 = (a + b )(a2 − ab + b 2 ) a3 − b3 = (a − b )(a 2 + ab + b 2 ) n n (n − 1) n−2 2 (a + b )n = an + an−1b + a b + 1 1⋅ 2 n (n − 1)(n − 2) n−3 3 + a b + ... + bn 1⋅ 2 ⋅ 3

3

Mathematik Potenzrechnung (Potenzieren)

1

x1 + x2 + ... + xn n

236 3

3,67

3

3

arithmetisches Mittel

xa =

geometrisches Mittel

xg = n x1 ⋅ x2 ...xn

harmonisches Mittel

xh =

Beziehung zwischen xa , xg , xh

xa Ԝ xg Ԝ x h ; Gleichheitszeichen nur bei x1 = x2 = ... = xn

z.B. xa = z.B. xg =

2⋅3⋅6 =

36 = 3,3

1 1 z.B. x h = 1§ 1 1 1· 1⎛ 1 1 1⎞ ⎜ + + ... + ⎟ ¨   ¸ 3©2 3 6¹ n⎝ x1 x2 xn ⎠

3,0

1.5 Potenzrechnung (Potenzieren) Definition (a Basis, n Exponent, c Potenz) Potenzen mit Basis a = (–1) n ist ganze Zahl

erste und nullte Potenz negativer Exponent

n Faktoren

⎫ ⎪ ⎪ (−1) ⎬ = −1 (−1)5 ⎪ ⎪ (−1)2n+1⎭ (−1)1

( 1)0 ½ ° ( 1)2 ° ¾ ( 1)4 ° ° ( 1)2n ¿

3

1

a1 = a ; a0 = 1 a–n =

1 ; a 1 an

71 = 7; 70 = 1 1 a

7 –2 =

1 1 ;7 72

1 7

erst potenzieren, dann multiplizieren

b an = b · an = b · (an )

6 · 34 = 6 · 3 · 3 · 3 · 3 = 6 · (34) = 486 aber: (6 · 3)4 = 184 = 104976

Addition und Subtraktion

p an + q an = (p + q) an

2 · 34 + 5 · 3 4 = 7 · 3 4

Multiplikation und Division bei gleicher Basis

an · am = an + m an an  m am

32 · 33 = 32 + 3 = 35 = 243 35 35  2 33 27 32

Multiplikation und Division bei gleichem Exponenten

an ˜ bn

(ab )n

23 ˜ 43

(2 ˜ 4)3

an bn

n

23 43

3

Potenzieren von Produkten und Quotienten

(ab )n

Potenzieren einer Potenz

(an )m

gebrochene Exponenten

a1/ n ⋅ b1/ n = (ab )1/ n =

§a· ¨b¸ © ¹

§a· ¨b¸ © ¹

n

§2· ¨4¸ © ¹

an ˜ bn

(2 ˜ 3)4

an bn

§ 2· ¨3¸ © ¹

an m

am n

(a1/ m )1/ n = a1/ m n =

4

3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81

a ˜ a ˜  a ˜ ...

˜ a = an = c 

4

(23 )4 n

mn

(0,5)3 24 ˜ 3 4

24 34 23˜4

212

24˜3

ab

⎛ a ⎞1/ n a a1/ n : b1/ n =⎜ ⎟ = n ⎝b⎠ b

a

(a1/ n )m = am / n = (am )1/ n =

n

am

Mathematik Wurzelrechnung Zehnerpotenzen

1.6 Wurzelrechnung (Radizieren) Definition (c Radikand, n Wurzelexponent, a Wurzel)

Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten, es gelten die Regeln der Potenzrechnung Addition und Subtraktion Multiplikation

Division

Wurzel aus Produkt und Quotient

Wurzel aus Wurzel

100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000

Wurzel aus Potenz Kürzen von Wurzel- und Potenzexponent

Erweitern der Wurzel

n

c = a → an = c a t 0 und c t 0

4

81 = 3 → 3 4 = 81

4

81 = 811/ 4 = 3

immer positiv n

c = c1/ n

−n

1 1 1 n = n = n = c−1 c c1/ n c

c = c−1/ n =

n

n

p c +q

n

c = (p + q) c

n

c ⋅ d = c ⋅d

n

c:

n

cd =

n

c /d =

n m

n

n

n

d =n

n

c:

n

c

a 3

a

c˜ c

3

a ⋅ a2 3

7=

3 2

5 7

4˜ 9

2˜3

64 = =

2 3

3

6

36

2 3

4: 9

6

64 = 64 = 2

82 =

3

64 = 4

(3 8 ) = 22 = 4 2⋅4 4 2⋅3 2 ⋅ 4 2⋅3 3 8 = ( 8 ) = ( 8 ) = 16

3

2

82 =

4 4

42 ˜ 4

a ⋅ 3 a2

=

3

43

64

8

3

5 ⋅ c3 = c ⋅ 5

a a(b − c ) = = b+ c (b + c )(b − c )

3

=

4

1 1 2 c

c2 ˜ c

=

4

2

c ⋅ c = c2 ⋅ c = c3

c3

5:

(3 8 )

cm m

cm =

teilweises Wurzelziehen

4

4 9

(n c ) nq n p nq np c =( c) = q p p = cq = ( c ) n

4

4˜9

mn

4

5 ⋅ 4 7 = 35

d

c =

4

4

n

n

=

c d

4

3⋅ 7 + 2⋅ 7 = 5⋅ 7

c⋅ d

m n

c =

(n c )

n

1 2 c 1 c

Rationalmachen des Nenners

10–1 = 0,1 10–2 = 0,01 10–3 = 0,001

ist 1 Million ist 1 Milliarde ist 1 Billion ist 1 Billiarde usw.

Wurzelrechnung

m

Potenzieren einer Wurzel

106 109 1012 1015

1

a ⋅ a2 3 = a2 a

=

a(b − c ) b2 − c

5

Mathematik Logarithmen

1

1.7 Logarithmen Logarithmus c zur Basis a ist diejenige Zahl n, mit der man a potenzieren muss, um c zu erhalten.

loga c = n an = c log3 243 = 5 35 = 243 „Logarithmus 243 zur Basis drei gleich fünf “

Logarithmensysteme

Dekadische (Briggs'sche) Logarithmen, Basis a = 10: log10 c = lg c = n, wenn 10n = c.

Natürliche Logarithmen, Basis a = e = 2,71828 ... : loge c = In c = n, wenn e n = c.

spezielle Fälle

a loga c loga (an ) loga a loga 1

Definition (c Numerus, a Basis, n Logarithmus)

Logarithmengesetze (als dekadische Logarithmen geschrieben)

Beziehungen zwischen dekadischen und natürlichen Logarithmen

Kennziffern der dekadischen Logarithmen

n natürliche Zahl

Lösen von Exponentialgleichungen

Exponentialfunktion und logarithmische Funktion

6

10lg c lg 10n lg 10 lg 1

=c =n =1 =0

e ln c In e n In e In 1

=c =n =1 =0

=c =n =1 =0

In

1 =–1 e

lg (xy ) = lg x + lg y ⎛x⎞ lg⎜ ⎟ = lg x – lg y ⎝y ⎠

lg (10 · 100) = lg 10 + lg 100 = 1 + 2 = 3 ⎛ 10 ⎞ lg⎜ ⎟= lg10 − lg100 = 1− 2 = −1 ⎝ 100 ⎠

log x n = n lg x 1 n lg x = lg x n

lg 10100 = 100 lg 10 = 100 1 1 100 lg 10 = lg 10 = 100 100

ln x = ln10 ⋅ lg x = lg x = lg e ⋅ ln x = lg lg lg lg lg f lg

1 10 100 1000

10n

lg x = 2,30259 lg x lg e

ln x = 0,43429 ln x ln10

=0 =1 =2 = 3 usw. =f =n

ax = b x lg a = lg b lg b x = lg a Umkehrfunktion

y = ex y = 10

x

Umkehrfunktion

lg 0,1 =–1 lg 0,01 = – 2 lg 0,001 = – 3 usw. lg 0 lg

10 – n

=–f =–n

10x = 1000 x lg 10 = lg 1000 lg1000 3 x = = =3 lg10 1 y = ln x y = lg x

Mathematik Komplexe Zahlen

1

1.8 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen

also auch: i3 = – i ; i4 = 1; i5 = i usw. bzw. i–1 = 1/i = – i ; i–2 = –1 i–3 = i ; i–4 = 1; i–5 = – i usw. allgemein: i4 n + m = im

imaginäre Einheit i und Definition

i =

rein imaginäre Zahl

ist darstellbar als Produkt einer reellen Zahl mit der imaginären Einheit z.B.: −4 == 4 −1 = 2i

komplexe Zahl z

ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären Zahl b i (a, b reell): z = a − b i⎫ konjugiert komplexes ⎬ z=a+bi z = a + b i⎭ Zahlenpaar

a Realteil b Imaginärteil

i2

1

=–1

goniometrische Darstellung der komplexen Zahl

z = a + b i = r (cos M + i sin M) = r eiM

Darstellungsbeispiel

z = 3 + 4 i = 5( cos 53° 8' + i sin 53° 8' ) = 5(0,6 + 0,8 i)

Addition und Subtraktion

a 2 + b2 = | z | absoluter Betrag oder Modul b tan M = ; M Argument a a = r cos M ; b = r sin M r=

z1 + z2 = (a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i

z1 − z2 = (a1 + b1 i) − (a2 + b2 i) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i Beispiel: (3 + 4 i) – (5 – 2 i) = – 2 + 6 i Multiplikation

z1 ⋅ z2 = (a1 + b1 i) ⋅ (a2 + b2 i) = (a1a2 − b1b2 ) + i(b1a2 + b2a1) (3 + 4i) ⋅ (5 − 2i)

z1, z2 sind konjugiert komplex z1, z2 in goniometrischer Darstellung

z1, z2 in Exponentialform

Division

=

z1 ⋅ z2 = (a1 + b1 i) ⋅ (a1 − b1 ⋅ i) = (3 + 4i) ⋅ (3 − 4i)

+

23

= a2

+ b2

14

i

=

= 25

z1 · z2 = r1(cos ϕ1 + isin ϕ1) ⋅ r2 (cos ϕ 2 + isin ϕ 2 ) = = r1 r2 [cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin( ϕ1 + ϕ 2 )]

z1 · z2

5(cos 30o + isin30o ) ⋅ 13(cos 60o + isin60o ) = = 65(cos 90° + i sin 90°) = 65 i = r1 ei ϕ1⋅ r2 ei ϕ2 = r1 r2 ei( ϕ1+ϕ2 ) = o

o

= 3 ei 25 ⋅ 5 ei 30 = 15 ei 55

o

z1 a + b1 i (a + b1 i) (a2 − b2 i) = 1 = 1 = z2 a2 + b2 i (a2 + b2 i) (a2 − b2 i) =

a1a2 + b1b2 2

a2 + b2

2

+

a2b1 − a1b2 2

a2 + b2

2

i

(3 + 4i) (3 + 4i)(5 + 2i) 7 26 = = + i (5 − 2i) (5 − 2i)(5 + 2i) 29 29

7

Mathematik Quadratische Gleichungen

1

z1, z2 in goniometrischer Darstellung

z1 r (cos ϕ1 + isin ϕ1) r = 1 = 1 [cos( ϕ1 − ϕ 2 ) + isin( ϕ1 − ϕ 2 )] z2 r2 (cos ϕ 2 + isin ϕ 2 ) r2

z1, z2 in Exponentialform

z1 r ei ϕ1 r 3 ei 25 3 −i 5o = 1 i ϕ = 1 ei( ϕ1−ϕ 2 ) = e o = 2 5 z2 r r2 e 5 ei 30 2 o

Potenzieren mit einer natürlichen Zahl

Potenzieren (radizieren) mit beliebigen reellen Zahlen (nur in goniometrischer Darstellung möglich)

durch wiederholtes Multiplizieren mit sich selbst: (a + b i)3 = (a3 – 3 a b2) + (3 a2b – b3) i – 44 + 117 i (4 + 3 i)3 = man potenziert (radiziert) den Modul und multipliziert (dividiert) das Argument mit dem Exponenten (durch den Wurzelexponenten): (a + b i)n = [r (cos ϕ + isin ϕ )n ]

n

a + b i = n r (cos ϕ + isin ϕ ) =

= r n (cos n ϕ + isin n ϕ ) (4 + 3 i)3 = [5 (cos 36,87° = 125 (cos 110,61° = 125 ( –cos 69,39° = 125 ( – 0,3520 = – 44,00 Ist der Wurzelexponent n eine natürliche Zahl, gibt es genau n Lösungen, z.B. bei

3

w2 = 3 1(cos360o + isin360o ) = 1(cos120o + isin120o ) 1 i 3 =− + 2 2

Exponentialform der komplexen Zahl

ei M

n

= cos M  i sin M

w3 = 3 1(cos720o + isin720o ) = 1(cos 240o + isin 240o ) 1 i =− − 3 2 2

e–i M = cos M – i sin M = =

|e–i M | = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 ei ϕ + e−i ϕ 2 = ln r  i (M  2 S n)

cos M = lg z

⎛ ϕ ϕ⎞ r ⎜cos + isin ⎟ ⎝ n n⎠

 i sin 36,87°)]3  i sin 110,619)  i sin 69,39°)  0,9360 i)  117,00 i

w1 = 3 1(cos0o + isin0o ) = 1

1

=

sin M =

1 cos ϕ + isin ϕ

ei ϕ − e−i ϕ 2i

mit n = 0, r 1, r 2... und M in Bogemaß

1.9 Quadratische Gleichungen

8

Allgemeine Form

a2 x2  a1 x  a0 = 0 (a2 z 0)

Normalform

x2 +

Lösungsformel

⎛ p ⎞2 p x1,2 = − ± ⎜ ⎟ − q ⎝2⎠ 2

a a1 x + 0 = x2 + p x + q = 0 a2 a2

Die Lösungen x1, x2 sind a) beide verschieden und reell, wenn der Wurzelwert positiv ist b) beide sind gleich und reell, wenn der Wurzelwert null ist c) beide sind konjugiert komplex, wenn der Wurzelwert negativ ist.

Mathematik Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in Beispielen

1

Beispiel ⎛ ⎞2 ⎫ x = + 70 ± ⎜ 70 ⎟ − 13 25 x 2 − 70 x + 13 = 0⎪ 1,2 ⎝ 50 ⎠ 50 25 ⎬ 70 13 x2 − x+ = 0⎪ ⎭ x = + 7 + 49 − 13 = 13 ; x = 1 25 25 1 2 5 25 25 5 5

Kontrolle der Lösungen (Viéta) 70 13 und q = , also 25 25 13 1 14 70 x1 + x2 = + = = = −p 5 5 5 25 13 1 13 x1 ⋅ x2 = ⋅ = =q 5 5 25

Im Beispiel ist p = −

x1  x2 = – p

x1 · x2 = q

1.10 Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in Beispielen Wurzelgleichungen: a) 11− x + 3 = 6 x + 3 = 11− 6 x  3 = 25 b) 2 x − 3 + x + 5 = 0 3+ x 3x 19 11 x2 + x+ 4 2

x = 22

=2 x  5 = 4 x2  20 x  25 =0

x2 = −

x1 = – 2

11 4

Nur x1 ist Lösung der gegebenen Gleichung.

Logarithmische Gleichungen: a) log7 (x2  19) = 3 x2  19 = 73 x1,2 = r 18 b) log3 (x  4) = x x  4 = 3x Die Gleichung ist nicht geschlossen lösbar. Näherungslösung durch systematisches Probieren, z. B. mit Hilfe des programmierbaren Taschenrechners. x | 1,561919

Exponentialgleichungen: 2 x = 5; x = log2 5 = log10 5 : log10 2 =

x = Goniometrische Gleichungen: a) sin x = sin 75° x = arc 75°  2 n S und x = arc (180°  75°)  2 n S mit n = 0 r 1; r 2; r 3; ... oder x = arc (90° r 15°)  2 n S, also π π x = ± +2nπ 2 12 b) sin2 x  2 cos x = 1,5 Man setzt sin2 x = 1 – cos2 x und erhält eine quadratische Gleichung für cos x : 1 – cos2 x  2 cos x = 1,5 cos x1,2 = 1± 1− 0,5 cos x1 = 1+ 21 2 cos x2 = 1−

1 2

lg5 lg2

lg5 0,699 = = 2,32 lg2 0,301

c) sin x + cos x – 0,9 x = 0 Diese transzendente Gleichung ist nicht geschlossen lösbar. Näherungslösung durch Probieren (Interpolieren in der Nähe der Lösung), z. B. mit dem programmierbaren Taschenrechner. x = 76°39' = 1,3377 rad ist näherungsweise die einzige reelle Lösung.

scheidet aus, da | cos x | ԛ 1

2 ≈ 0,293

x2 | 73,0° | 1,274 rad ist Hauptwert

9

1

Mathematik Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch) 1.11 Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch)

Gerade: y = a x  b

Parabel: y = x2

Kubische Parabel: y = x3

y=

3

x

Parabel: y = ± x

Semikubische Parabel:

y = ±x 3 / 2 = ± x 3

Kreis: y = r a2 − x 2

x2  y 2 = a2

10

Ellipse: y = ± 2

b 2 a − x2 a 2

x y + =1 a2 b2

Potenzfunktionen: y = x n für n  0 und x ! 0

Mathematik Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch)

Exponentialfunktionen: y = a x für a ! 0

Potenzfunktionen: y = x n für n ! 0 und x ! 0

Hyperbel: y =

1 x

Hyperbel: y = ±

b 2 x − a2 a

x2 y 2 − =1 a2 b2

Quadratisches Polynom:

y = a x 2  b x  c mit xs =

−b 2a

Trigonometrische Funktionen: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x

Logarithmische Funktionen: y = loga x für a ! 0 und x ! 0

Hyperbel: y = ±

b x 2 + a2 a

y 2 x2 − =1 b2 a2

Polynom dritten Grades: y = a x 3  b x 2  c x  d (kubische Parabel); Diskriminante ' = 3 a c – b2

Hyperbelfunktionen: y = sinh x, y = cosh x, y = tanh x, y = coth x

11

1

1

Mathematik Flächen

Inverse trigonometrische Funktionen: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x

Inverse Hyperbelfunktionen:

y = arsinh x = In (x  x 2 + 1 ) y = arcosh x = In (x r x 2 − 1 ) 1 1+ x y = artanh x = ln 2 1− x 1 x +1 y = arcoth x = ln 2 x −1

Archimedische Spirale: r=aM r= a

(1+ ϕ 3 )3 / 2 2 + ϕ2

Logarithmische Spirale: r = a em M D = arccot m = konstant

Zykloide: x = a (t – sin t ) y = a (1 – cos t )

Kreisevolvente: x = a cos M + a M sin M y = a sin M – a M cos q

(a Radius, t Wälzwinkel)

r = r m2 + 1

(r Radius des Krümmungskreises)

1.12 Flächen (A Flächeninhalt, U Umfang) A = a2 U =4a d =a 2

A =ab U = 2 (a  b) d =

Quadrat

Rechteck

A=ah=

A = a h = a b sin D U = 2 (a  b)

d1 d2 2

U=4a Rhombus

12

a2 + b2

Parallelogramm

d1 =

(a + h cot α )2 + h 2

d2 =

(a − h cot α )2 + h2

Mathematik Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke a+c h 2 =mh a+c m= 2

A = A1  A2  A3 c h + c2h2 + c2h3 = 11 2

A =

Trapez

Vieleck

3 2 a 3 2 Schlüsselweite: S = a 3 Eckenmaß: e = 2a

A=

regelmäßiges Sechseck

A=

gh 2

siehe auch unter 1.15 und 1.16 Dreieck

2

2

d 2π 4 U =2rS=dS

A = π( ra − ri )

A = r2 S =

π 2 2 ( d − di ) 4 a = dm S s =

S = 3,141592

da − di 2 d a + di dm = 2

s = Kreisring

Kreis

A= =

Kreissektor

br ϕo = πr 2 2 360o

ϕ r2

2 Bogenlänge b :

b= ϕr =

A=

ϕ o πr 180o

⎞ r 2⎛ ϕ oπ ⎜ ⎟ − sin ϕ ⎟ o 2⎜ 180 ⎝ ⎠

1 [r (b − s ) + s h] 2 2 | sh 3 Sehnenlänge s : =

Kreisabschnitt

s = 2 r sin

ϕ 2

ϕo ⋅π

(R 2 − r 2 ) = l s 360o mittlere Bogenlänge l : R+r π l = ϕo ⋅ 2 180o Ringbreite s : s =R–r

A =

Kreisradius r :

⎛ s ⎞2 ⎜ ⎟ + h2 ⎝ 2⎠ r = 2h Bogenhöhe h : ⎛ ϕ⎞ h = r⎜1− cos ⎟ ⎝ 2⎠ =

Bogenlänge b: b= b=

s2 +

ϕ oπ r 180o

16 2 h 3 = ϕr

s ϕ tan 2 4

1.13 Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke a2 3 4 a 3 r = 3 a r = 3 6

A =

Dreieck (gleichseitiges)

Viereck (Quadrat)

A = a2 a r = 2 2 a r = 2

13

1

1

Mathematik Körper 3 2 a 3 2 r =a a 3 r = 2

a2 25 + 10 5 4 a 50 + 10 5 r = 10 a r = 25 + 10 5 10

A =

A=

Fünfeck

Sechseck

A = 2 a2 ( 2 + 1)

Achteck

A=

5 2 a 5+2 5 2 a r = ( 5 + 1) 2 a r = 5+2 5 2 A =

a 4+2 2 r = 2 a r = ( 2 + 1) 2

Zehneck

an a2 r 1− 2 4r 2

r = r 1−

a2 4r 2

Ist a = an die Seite des n -Ecks, dann gilt für das 2 n -Eck: 2

a2n = r 2 − 4 −

n-Eck

an r2

1.14 Körper (V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche) V = a3 O = 6 a2 d = a 3

V =abc O = 2 (a b  a c  b c) d =

Würfel

Quader V=

3 2 a h 2

3=

Ah 3 (gilt für jede Pyramide)

3 2 s h 2

V=

O = 3 a (a 3 + 2 h )

=

3 s (s + 2 h )

Sechskantsäule

Pyramide V= |h

h ( A + Au Ao + Ao ) 3 u Au + A o

h b (2 a u + a o ) 6 u

Keil V=

14

V=

2

Pyramidenstumpf

Prismatoid (Prismoid)

a2 + b2 + c 2

h ( A + 4 Am + Au ) 6 o

d 2π h 4 M=dSh

V=

O=

Kreiszylinder

πd (d + 2 h ) 2

Volumen des Hohlzylinders als Differenz zweier Zylinder berechnen.

Mathematik Körper ⎛a + b⎞ V = π r 2⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

V=

d 2π h 4 M =dSh = S r (a  b)

 3 r 2 (b – r ) M ] 2r h M= [(b − r )ϕ + a] b (M in rad)

=

Kreiszylinder, schief abgeschnitten

⎡ ⎛ b − a ⎞2 O = π r⎢ a + b + r + r 2 +⎜ ⎟ ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎣

Zylinderhuf

Für Halbkreisfläche als Grundfläche ist: 2 V = r 2 h; M = 2 r h 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

O= M+ V=

gerader Kreiskegel

r 2 π r π r 2 + h2 + 2 2

1 2 r π h; M = r π s 3

s = r 2 + h2 O = r S (r  s ) Abwicklung ist Kreissektor mit Öffnungswinkel M : r M ° = 360o = 360o sin β s

V = s =

gerader Kreiskegelstumpf

πh 2 (R + R r + r 2 ) 3

(R − r )2 + h2

M = S s (R  r ) O = S [R 2  r 2 + s (R  r )]

πh (2 D 2 + d 2 ) 12 bei kreisförmigem b π h⎛ 2 3 ⎞ V= ⎜2 D + D d + d 2 ⎟ 15 ⎝ 4 ⎠

d2 π2 D 4 = 2 r 2 S2 R

V=

V =

Kreisringtorus

h [a (3 r 2 − a2 ) + 3b

M = d S2 D = 4 r S2 R

bei parabelförmigem b Fass πh (3 a2 + 3 b2 + h2 ) 6 M =2Srh

V =

4 3 1 r π = d3 π 3 6 | 4,189 r 3

V =

O = 4 S r2 = S d 2

Kugel V =

Kugelzone (Kugelschicht)

⎞ π h⎛ 3 2 ⎜ s + h2 ⎟ ⎠ 6 ⎝4

⎛ h⎞ = π h2⎜ r − ⎟ ⎝ 3⎠ Kugelabschnitt (K.-Segment, K.-Kappe, K.-Kalotte)

O =S (2 r h  a2  b2)

M =2Srh=

π 2 (s + 4 h 2 ) 4

r 2 − a2 + r 2 − b2

2 2 r πh 3 πr O = (4 h + s ) 2 V =

Kugelausschnitt (Kugelsektor)

π h3 6 O = 2 S h (R  r )

V =

zylindrisch durchbohrte Kugel

h =

2π r2 h 3 ⎛ 2 2−h + O = 2π r ⎜ h r ⎜ 4 ⎝ V =

kegelig durchbohrte Kugel

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

15

1

1

Mathematik Rechtwinkliges Dreieck 1.15 Rechtwinkliges Dreieck allgemeine Beziehungen

Pythagoras: c 2 = a 2  b 2 b2 = c q; a2 = c p; h2 = p q

Euklid: sin D =

a b ; cos α = c c

tan D =

a b ; cot α = b a

h b ab a 2b 2 1 1 1 ; h2 = 2 ; = ; h= = 2+ 2 a c c a + b2 h 2 a b

Fläche A =

gegeben a, b

a b ; α = 90o − β ; tan β = ; β = 90o − α b a a b a b = = = c = a2 + b2 = sin α sin β cos β cos α

tan D =

A=

gegeben a, c

1 1 1 1 a b = a2 cot α = b2 tan α = c 2 sin 2α 2 2 2 4

ab ab ;h = 2 2 a + b2

sin α =

a a ; α = 90o − β ; cos β = ; β = 90o − α c c

b = c 2 − a2 = (c + a )(c − a ) = c cos α = c sin β = a cot α A=

a 2 1 a 2 c − a2 = a c sin β ; h = c − a2 2 2 c

b ; β = 90o − α c 1 b 2 a = c 2 − b2 ; A = b2 tan α ; h = c − b2 c 2

gegeben b, c

cos α =

gegeben a, D

β = 90o − α ; b = a cot α ; c =

a 1 ; A = a2 cot α ; h = a cos α sin α 2

gegeben b, D

β = 90o − α ; a = b tan α ; c =

b 1 ; A = b2 tan α ; h = b sin α cos α 2

gegeben c, D

β = 90o − α ; a = c sin α b = c cos α ; A =

16

1 2 c sin α cos α ; h = c sin α cos α 2

Mathematik Schiefwinkliges Dreieck 1.16 Schiefwinkliges Dreieck allgemeine Beziehungen

sin

α 2

α

cos tan

2

α 2

=

(s − b )(s − c ) (s − a )(s − b ) (s − a )(s − c ) = = bc ab ac

=

s (s − a ) 1) ; ... bc

=

(s − b )(s − c ) s (s − a )

r ; ...1) s −a a sin γ tan α = ; ...1) b − a cos γ =

1 α β γ (a + b + c ) = 4r cos cos cos 2 2 2 2

halber Umfang s

s=

Radius des Inkreises r

r = 4 r sin

Höhen ha , hb , hc

Seitenhalbierende Mittellinien ma , mb , mc

2

sin

β 2

sin

γ 2

=

abc 4r s

(s − a )(s − b )(s − c ) α β γ = s tan tan tan 2 2 2 s

=

Radien der Ankreise ra , rb , rc

α

ra = r

s α s (s − b )(s − c ) 1) ; ... = s tan = 2 s −a s −a

ha = b sin γ = c sin β =

bc sin α ; ...1) a

a ha = b h b = c hc = 2 s (s − a )(s − b )(s − c ) ma =

1 2

2(b2 + c 2 ) − a2 ;...1)

2

2

2

ma + mb + mc = 34 (a2 + b2 + c 2 )

1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + r ra rb rc ha h b hc 1 1 1 1 ; ...1) =− + + ra ha h b hc

2 1 b c s (s − a ) = b c [(b + c )2 − a2 ] ; ... 1) b+c b+c

Winkelhalbierende wa , wb , wc

wa =

Flächeninhalt

A = r s = s (s − a )(s − b )(s − c ) = 2r 2 sin α sin β sin γ A = 21 a b sin γ = 21 b c sin α = 21 a c sin β

Radius des Umkreises r

r=

a b c = = 2 sin α 2 sin β 2sin γ

1)

Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von a, b, c und D, E, J, noch zwei weitere Gleichungen ergeben.

17

1

1

Mathematik Schiefwinkliges Dreieck Sinussatz

a sin α b sin β c sin γ ; = ; = = b sin β c sin γ a sin α

Kosinussatz (bei stumpfem Winkel D wird cos D negativ)

a2 = b2 + c 2 − 2 b c cos α ;...1)

Projektionssatz

a = b cos J  c cos E  1)

Mollweide'sche Formeln

Tangenssatz

gegeben: 1 Seite und 2 Winkel (z.B. a , D , E ) WWS gegeben: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel (z.B. a , b , J ) SWS gegeben: 2 Seiten und der einer von beiden gegenüberliegende Winkel (z.B. a , b , D ) SSW

gegeben: 3 Seiten (z.B. a , b , c ) SSS

a2 = (b + c )2 − 4 b c cos2 ( α / 2);...1) a2 = (b − c )2 + 4 b c sin2 ( α / 2);...1)

α−β α+ β α−β γ a+b = cos = cos : cos : sin ;...1) 2 2 2 2 c α−β α+ β α−β γ a−b = sin = sin : sin : cos ;...1) 2 2 2 2 c a+b α+ β α−β = tan : tan ; ... 1) a−b 2 2

γ = 180o − ( α + β ); b = A=

a sin β a sin γ ; c= sin α sin α

1 a b sin γ 2

a−b γ α+β γ = = 90o − cot ; 2 a+b 2 2 2 Mit D  E und D – E ergibt sich D und E und damit: sin γ 1 c=a ; A = a b sin γ sin α 2 tan

α−β

sin β =

b sin α a

Ist a Ԝ b, so ist E  90° und damit E eindeutig bestimmt.

Ist a  b, so sind folgende Fälle möglich: 1. E hat für b sin D  a zwei Werte (E2 = 180° – E1) 2. E hat den Wert 90° für b sin D = a 3. für b sin D ! a ergibt sich kein Dreieck. sin γ 1 ; A = a b sin γ γ = 180o − ( α + β ); c = a sin α 2 (s − a ) (s − b ) (s − c ) α r ; tan = s 2 s −a β r γ r tan = ; tan = 2 s−b 2 s −c

r=

A = r s = s (s − a ) ( s − b ) ( s − c )

1)

Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von a, b, c und D, E, J, noch zwei weitere Gleichungen ergeben.

18

Mathematik Einheiten des ebenen Winkels 1.17 Einheiten des ebenen Winkels Begriff des ebenen Winkels

Der ebene Winkel D (kurz: Winkel D, im Gegensatz zum Raumwinkel) zwischen den beiden Strahlen g1, g2 ist die Länge des Kreisbogens b auf dem Einheitskreis, der im Gegenuhrzeigersinn von Punkt P1 zum Punkt P2 führt.

Bogenmaß des ebenen Winkels

Die Länge des Bogens b auf dem Einheitskreis ist das Bogenmaß des Winkels.

kohärente Einheit des ebenen Winkels

Die kohärente Einheit (SI-Einheit) des ebenen Winkels ist der Radiant (rad). Der Radiant ist der ebene Winkel, für den das b Verhältnis der Länge des Kreisbogens b zu 1 rad = = 1 r seinem Radius r gleich eins ist.

Vollwinkel und rechter Winkel

Für den Vollwinkel D beträgt der Kreisbogen b = 2 S r. Es ist demnach: b 2π r α= = rad = 2 π rad Vollwinkel = 2 S rad r r Ebenso ist für den rechten Winkel (1L): π b 2π r π rad = rad α = 1L= = rechter Winkel 1L = rad 2 r 4r 2

Umrechnung von Winkeleinheiten

Ein Grad (1°) ist der 360ste Teil des Vollwinkels (360°). Folglich gilt: 1° =

b π 2π r 2π = rad = rad = rad r 360 r 360 180

1° =

π rad ≈ 0,0175rad oder durch Umstellen: 180

1 rad =

1o⋅180 180o = ≈ 57,3o π π

Beispiel: a) D = 90° =

π π 90 rad = rad 2 180o

b) D = S rad = S

180o = 180o  π

19

1

1

Mathematik Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11) 1.18 Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11)

Gegenkathete Ankathete Ankathete Kotangens = Gegenkathete

a⎫ sin α = BC = ⎪ c ⎪ von ⎬ b −1... + 1 cos α = O B = ⎪ c⎪ ⎭ a⎫ tan α = AD = ⎪ b ⎪ von ⎬ b −∞... +∞ cot α = E F = ⎪ a⎪ ⎭

Hypotenuse Ankathete Hypotenuse Kosecans = Gegenkathete

c ⎫ von sec α = O D = ⎪ b ⎪−∞... − 1 ⎬ c und cosec α = O F = ⎪ a⎪ ⎭+1... +∞

Gegenkathete Hypotenuse Ankathete Kosinus = Hypotenuse Sinus =

Tangens =

Sekans =

Vorzeichen der Funktion

Quadrant I (richtet sich nach dem II Quadranten, in dem III der bewegliche IV Radius liegt)

Funktionen für Winkel zwischen 90°... 360°

Größe des Winkels von 000° bis 090° „ 090° „ 180° „ 180° „ 270° „ 270° „ 360°

Funktion sin E cos E tan E cot E

E = 90° r D  cos D ෦ sin D ෦ cot D ෦ tan D

sin + + – –

Beachte: Winkel werden vom festen Radius OA aus linksdrehend gemessen.

cos + – – +

E = 180° r D ෦ sin D – cos D r tan D r cot D

tan + – + –

cot + – + –

E = 270° r D – cos D r sin D ෦ cot D ෦ tan D

sec + – – +

cosec + + – –

E = 360° – D – sin D  cos D – tan D – cot D

Beispiel 1): sin 205° = sin(180  25°) = – (sin 25°) = – 0,4226

Funktionen für negative Winkel werden auf solche für positive Winkel zurückgeführt: sin cos tan cot

(–D ) = – sin D (–D ) = cos D (–D ) = – tan D (–D ) = – cot D

Beispiel 1): sin (– 205°) = – 205°

Funktionen für Winkel über 360° werden auf solche von Winkeln zwischen 0°... 360° zurückgeführt (bzw. zwischen 0°... 180°); „n “ ist ganzzahlig: sin cos tan cot

1)

20

(360° · n  D ) = sin D (360° · n  D ) = cos D (180° · n  D ) = tan D (180° · n  D ) = cot D

Beispiel 1): sin (– 660°) = – sin 660° = – sin (360° · 1  300°) = = – sin 300° = – sin (270º  30°) =  cos 30° = = 0,8660.

Der Rechner liefert die Funktionswerte direkt, z.B. sin (– 660°) = 0,866 025 403 8

Mathematik Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 1.19 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Grundformeln Umrechnung zwischen Funktionen desselben Winkels (die Wurzel erhält das Vorzeichen des Quadranten, in dem der Winkel D liegt)

sin2 α + cos2 α = 1; tan α = sin D

Summenformeln

tan D

1− cos2 α

cos D = 1− sin2 α

cot D = Additionstheoreme

cos D

sin D = sin D

tan D =

sin α 1 cos α ; cot α = = cos α tan α sin α

cos D

sin α 1− sin2 α

1− cos2 α cos α

1− sin2 α sin α

1− cos2 α

cos α

cot D

tan α

1

1+ tan2 α 1

1+ cot 2 α cot α

1+ tan2 α

1+ cot 2 α

tan D

1 cot α

1 tan α

cot D

sin (D  E ) = sin D · cos E   cos D · sin E

cos (D  E ) = cos D · cos E – – sin D · sin E

sin (D – E ) = sin D · cos E – – cos D · sin E

cos (D – E ) = cos D · cos E   sin D · sin E

tan (D  E ) =

tan α + tan β 1− tan α ⋅ tan β

cot (D  E ) =

cot α ⋅ cot β − 1 cot α + cot β

tan (D – E ) =

tan α − tan β 1+ tan α ⋅ tan β

cot (D – E ) =

cot α ⋅ cot β + 1 cot β − cot α

sin D  sin E = 2 sin

sin D – sin E = 2 cos

α+ β 2

cos

α+ β 2

sin

α−β 2

α−β 2

cos D  cos E = α+ β α−β · cos = 2cos 2 2 cos D – cos E = α+ β α−β · sin = −2 sin 2 2

tan D  tan E =

sin( α + β ) cos α cos β

cot D  cot E =

sin( β + α ) sin α sin β

tan D – tan E =

sin( α − β ) cos α cos β

cot D – cot E = –

sin( α − β ) sin α sin β

sin (D  E )  sin (D – E ) = = 2 sin D cos E

cos (D  E )  cos (D – E ) = = 2 cos D cos E

sin (D  E ) – sin (D – E ) = = 2 cos D sin E

cos (D  E ) – cos (D – E ) = = – 2 sin D sin E

cos D  sin D = 2 sin(45o + α ) =

cos D – sin D = 2 cos(45o + α ) =

= 2 cos(45 − α ) o

1+ tan α = tan(45o + α ) 1− tan α

= 2 sin(45o − α ) cot α + 1 = cot(45o − α ) cot α − 1

21

1

1

Mathematik Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Funktionen für Winkelvielfache

sin 2 D = 2 sin D · cos D

cos 2 D = cos2 D – sin2 D = 1 – 2 sin2 D = 2 cos2 D – 1

sin 3 D = 3 sin D – 4 sin3 D sin 4 D = 8 sin D cos3 D – – 4 sin D cos D 2 tan α tan 2 D = 1− tan2 α

cos 3 D = 4 cos3 D – 3 cos D cos 4 D = 8 cos4 D – 8 cos2 D  1

tan 3 D =

3 tan α − tan3 α 1− 3 tan2 α

Für n ! 3 berechnet man sin n D Moivre-Formel:

cot 2 D =

cot 2 α − 1 2cot α

cot 3 D =

cot 3 α − 3cot α 3cot 2 α − 1

und

cos n D nach der

⎛n ⎞ sin n D = n sin α cosn−1 α −⎜ ⎟sin3 α cosn−3 α ± ... ⎝3⎠ ⎛n ⎞ ⎛n ⎞ cos n D = cosn α −⎜ ⎟cosn−2 α sin2 α +⎜ ⎟cosn−4 α sin4 α B ... ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠

Funktionen der halben Winkel (die Wurzel erhält das Vorzeichen des entsprechenden Quadranten)

sin tan cot

Produkte von

Potenzen von Funktionen

α 2

α 2

α 2

=

1− cos α 2

=

1− cos α 1− cos α sin α = = 1+ cos α sin α 1+ cos α

=

1+ cos α sin α 1+ cos α = = 1− cos α 1− cos α sin α

α 2

=

1+ cos α 2

sin (D  E ) sin (D – E ) = sin2 D – sin2 E = cos2 E – cos2 D cos (D  E ) cos (D – E ) = cos2 D – sin2 E = cos2 E – sin2 D sin D · sin E =

1 2

[cos (D – E ) – cos (D  E )]

cos D · cos E =

1 2

[cos (D – E )  cos (D  E )]

sin D · cos E =

1 2

[ sin (D – E )  sin (D  E )]

tan α ⋅ tan β =

tan α + tan β tan α − tan β =− cot α + cot β cot α − cot β

cot α ⋅ cot β =

cot α + cot β cot α − cot β =− tan α + tan β tan α − tan β

sin2 α = 21 (1− cos2 α )

cos2 α = 21 (1+ cos 2 α )

sin3 α = 41 (3 sin α − sin3 α )

cos3 α = 41 (cos3α + 3cos α )

sin4 α =

22

cos

1 (cos 4α − 4 cos 2 α + 3) 8

cos4 α = 81 (cos 4 α + 4cos 2 α +3)

Mathematik Arcusfunktionen Funktionen dreier Winkel

⎫ ⎪ ⎪ α β γ ⎪ cos α + cos β + cos γ = 4 sin sin sin + 1 ⎪ 2 2 2 ⎪ ⎪ tan α + tan β + tan γ = tan α ⋅ tan β ⋅ tan γ ⎬ gültig für D  E  J = 180° ⎪ α β γ α β γ ⎪ cot + cot + cot = cot ⋅ cot ⋅ cot 2 2 2 2 2 2 ⎪ sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2(cos α cos β cos γ + 1)⎪ ⎪ ⎪ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 4 sin α sin β sin γ ⎭ sin α + sin β + sin γ

= 4cos

α 2

cos

β

2

cos

γ

2

1.20 Arcusfunktionen Die Arcusfunktionen sind invers zu den Kreisfunktionen. Invers zur Kreisfunktion

ist die Arcusfunktion

mit der Definition (y in Radiant)

y = sin x

y = arcsin x

x = sin y

y = cos x

y = arccos x

x = cos y

y = tan x

y = arctan x

x = tan y

y = cot x

y = arccot x

x = cot y

Hauptwert der Arcusfunktion im Bereich

Definitionsbereich

−π π ԛyԛ 2 2 0 ԛ y ԛ S −π π y 2 2 0 yS

–1ԛxԛ1 –1ԛxԛ1 –fxf –fxf

Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (Formeln in eckigen Klammern gelten nur für positive Werte von x) ⎡ π x 1− x 2 ⎤ ⎥ arcsin x = −arcsin(−x ) = − arccos x = [arccos 1− x 2 ] = arctan =⎢ arccot 2 x ⎢ ⎥ 1− x 2 ⎣ ⎦

⎡ π 1− x 2 ⎤ x ⎥= arccot arccos x = π − arccos(−x ) = − − arcsin x = [arcsin 1− x 2 ] = ⎢ arctan x 2 ⎢ ⎥ 1− x 2 ⎣ ⎦ Beispiel: Der Kosinus eines Winkels x beträgt: cos x = 0,88. Lässt sich der Winkel x nur mit der Arcus-Tangensfunktion berechnen (z.B. auf dem PC) gilt:

⎛ 1− 0,882 ⎞ ⎟ x = arctan⎜ ⎜ 0,88 ⎟ = 29,36° ⎝ ⎠

Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (Formeln in eckigen Klammern gelten nur für positive Werte von x)

arctan x = −arctan(−x ) =

⎡ ⎤ ⎡ π x 1 1⎤ − arccot x = arcsin =⎢ arccos ⎥=⎢ arccot ⎥ 2 2 2 x⎦ ⎣ 1+ x 1+ x ⎦ ⎣

arccot x = π − arccot(−x ) =

⎡ ⎤ ⎡ π 1 1⎤ x − arctan x =⎢ arcsin =⎢ arctan ⎥ ⎥= arccos 2 2 ⎣ ⎦ 2 x ⎣ 1+ x ⎦ 1+ x

23

1

1

Mathematik Arcusfunktionen Additionstheoreme und andere Beziehungen

arcsin x + arcsin y = arcsin( x 1− y 2 + y 1− x 2 ) [x y ԛ 0

x2  y2 ԛ 1]

oder

= π − arcsin( x 1− y 2 + y 1− x 2 ) x2  y2 ! 1]

[x ! 0, y ! 0 und = – π − arcsin( x 1− y 2 + y 1− x 2 )

x2  y2 ! 1]

[x  0, y  0 und arcsin x − arcsin y = arcsin( x 1− y − y 1− x ) 2

2

[x y Ԝ 0

x2  y2 ԛ 1]

oder

= π − arcsin( x 1− y 2 − y 1− x 2 ) x2  y2 ! 1]

[x ! 0, y < 0 und = −π − arcsin( x 1− y 2 − y 1− x 2 )

x2  y2 ! 1]

[x  0, y > 0 und arccos x + arccos y = arccos( x y − 1− x

2

1− y ) 2

[x + y Ԝ 0]

= 2π − arccos( x y − 1 − x 2 1− y 2 ) arccos x − arccos y = −arccos( x y + 1− x 2 1− y 2 ) = arccos( x y + 1− x

2

1− y )

x+y arctan x + arctan y = arctan 1− x y = π + arctan

x+y 1− x y

= −π + arctan arctan x − arctan y = arctan

x+y 1− x y

x−y 1+ x y

= π + arctan

x−y 1+ x y

[x Ԝ y] [x  y] [x y  1] [x ! 0, x y ! 1] [x  0, x y !1] [x y ! –1] [x ! 0, x y  –1]

x−y 1+ x y

[x  0, x y  –1]

2 arcsin x = arcsin(2 x 1− x 2 )

⎡ 1 ⎤ |x|∑ ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦

= −π + arctan

= π − arcsin(2 x 1− x 2 ) = −π − arcsin(2 x 1− x 2 ) 2 arccos x = arccos (2 x2 – 1) = 2 S – arccos (2 x2 – 1) 2x 2 arctan x = arctan 1− x 2 2x = π + arctan 1− x 2 2x = −π + arctan 1− x 2

24

2

[x  y  0]

⎡ 1 ⎤ < x ∑ 1⎥ ⎢ ⎣ 2 ⎦ ⎡ 1 ⎤ −1 ∑ x < − ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦ [0 ∑ x ∑ 1] [– 1 ∑ x  0] [|x|  1] [x ! 1] [x  – 1]

Mathematik Hyperbelfunktionen 1.21 Hyperbelfunktionen Definitionen

Grundbeziehungen

sinh x =

e x − e−x e x + e−x ; cosh x = 2 2

tanh x =

e x − e−x e2 x − 1 e x + e−x e2 x + 1 = 2x ; coth x = x = 2x −x −x x e +e e +1 e −e e −1

cosh2 x − sinh2 x = 1 tanh x ⋅ coth x = 1

Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen (vgl. die entsprechenden Formeln der trigonometrischen Funktionen)

tanh x =

sinh x = cosh2 x − 1= cosh x = sinh2 x + 1 = tanh x = coth x =

sinh x sinh2 x + 1

=

sinh x cosh x ; coth x = cosh x sinh x

tanh x 1− tanh2 x 1 1− tanh2 x

1

=

coth2 x − 1 coth x

=

coth2 x − 1

x −1 1 = cosh x coth x

cosh2

sinh2 x + 1 cosh x 1 = = sinh x cosh2 x − 1 tanh x

Für negative x gilt: sinh (– x ) = – sinh x cosh (– x ) = cosh x

Additionstheoreme und andere Beziehungen

tanh (– x ) = – tanh x coth (– x ) = – coth x

sinh (x r y ) = sinh x · cosh y r cosh x · sinh y cosh (x r y ) = cosh x · cosh y r sinh x · sinh y tanh x ± tanh y 1± coth x ⋅ coth y ; coth( x ± y ) = tanh (x r y ) = 1± tanh x ⋅ tanh y coth x ± coth y

2 tanh x 1+ tanh2 x 1+ coth2 x cosh 2 x = sinh2 x + cosh2 x coth 2 x = 2 coth x sinh 2 x = 2 sinh x ⋅ cosh x

tanh 2 x =

(cosh x ± sinh x )n = cosh n x ± sinh n x

 für x ! 0 – für x  0

sinh

x x cosh x − 1 cosh x − 1 sinh x ; tanh = =± = 2 2 2 sinh x cosh x + 1

cosh

x cosh x + 1 ; = 2 2

coth

sinh x r sinh y = 2 sinh

1 2

cosh x  cosh y = 2 cosh

1 2

cosh x – cosh y = 2 sinh

1 2

tanh x ± tanh y =

x sinh x cosh x + 1 = = 2 cosh x − 1 sinh x

(x r y ) cosh

1 2

(x B y )

(x  y ) cosh

1 2

(x – y )

(x  y ) sinh

1 2

(x – y )

sinh( x ± y ) cosh x cosh y

25

1

1

Mathematik Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene 1.22 Areafunktionen Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Invers zur Hyperbelfunktion

x = sinh y

–fyf

–fxf

x = cosh y

–fyf

1ԛxf

1+ x y = tanh x y = artanh x = 21 ln 1− x

x = tanh y

–fyf

– 1  x 1

x +1 x −1

x = coth y

–fyf

–1!x!1

x

= arcoth

y = arcoth x = 21 ln

arsinh x = ±arcosh x 2 + 1 = artanh

arcosh x = ±arsinh x 2 − 1 = ±artanh artanh x = arsinh arcoth x = arsinh

Für negative x gilt

Additionstheoreme

x 1− x 2 1 x −1 2

= ±arcosh = ±arcosh

x2

+1

x2

−1

x 1 1− x 2 x x −1 2

x2 +1 x

= ±arcoth

= arcoth

1 x

= artanh

1 x

arsinh (– x ) = – arsinh x

artanh (– x ) = – artanh x

arcosh (– x ) = arcosh x

arcoth (– x ) = – arcoth x

arsinh x r arsinh y = arsinh ( x 1+ y 2 ± y 1+ x 2 )

arcosh x r arcosh y = arcosh ( x y ± ( x 2 − 1)( y 2 − 1) artanh x r artanh y = artanh

x±y 1± x y

1.23 Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene Entfernung zweier Punkte

e=

( x 2 − x1)2 + ( y 2 − y1)2

Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke

xm =

x1 + x2 y − y1 ; ym = 2 2 2

Teilungsverhältnis O einer Strecke

O=

x − x1 y − y1 PP m = = = 1 x2 − x y2 − y n P P2

() innerhalb, (–) außerhalb P1P2

26

Definitionsbereich

y = cosh x y = arcosh x = In (x r x 2 − 1)

y = coth x

+ für x ! 0 – für x  0

Grenzen der Funktion

y = arsinh x = In (x  x 2 + 1 )

y = sinh x

Beziehungen zwischen den Areafunktionen

mit der Definition

ist die Areafunktion

x x2 −1

Mathematik Analytische Geometrie: Gerade Koordinaten des Teilungspunktes P einer Strecke

xp =

m x2 + n x1 x + λ x2 = 1 m+n 1+ λ

yp =

m y 2 + n y1 y1 + λ y 2 = m+n 1+ λ

Flächeninhalt eines Dreiecks

A=

x1( y 2 − y 3 ) + x2 ( y 3 − y1) + x3 ( y1 − y 2 ) 2

Schwerpunkt S eines Dreiecks (Koordinaten von S)

xs =

x1 + x2 + x3 y + y 2 + y3 ; ys = 1 3 3

1.24 Analytische Geometrie: Gerade Normalform der Geraden

Achsenabschnittsform der Geraden Punkt-Steigungsform der Geraden Zweipunkteform der Geraden

y=mxn

n ist Ordinatenabschnitt

x y + =1 a b m = tan ϕ =

a Abschnitt auf der x-Achse b Abschnitt auf der y-Achse y − y1 x − x1

y − y1 y 2 − y1 = x − x1 x2 − x1 y 2 − y1 ∆y = tan ϕ = x2 − x1 ∆x

Steigung m und Steigungswinkel M

m=

Hesse'sche Normalform

x cos D  y sin D – p = 0

Senkrechter Abstand d eines Punktes P1 von einer Geraden

d = x1 cos D  y1 sin D – p

Allgemeine Linearform der Geradengleichung

AxByC=0 Bei A = 0 ist die Gerade parallel zur x-Achse, bei B = 0 parallel zur y-Achse, bei C = 0 geht die Gerade durch 0.

Schnittpunkt s zweier Geraden

xs =

() wenn P und 0 auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen; sonst (–)

B1 C 1 B2 C2

:

A1 B 1 A2 B 2

ys =

C 1 A1 C 2 A2

:

A1 B 1 A2 B 2

27

1

1

Mathematik Analytische Geometrie: Lage einer Geraden im rechtwinkligen Achsenkreuz Sonderfälle

bei

bei

A1 B 1

= 0

A2 B2 A1 A2

B1

=

B2

=

sind die gegebenen Geraden parallel, C1 C2

fallen sie zusammen.

Schnittpunkt s zweier Geraden, die in Normalform gegeben sind

gegeben: y1 = m1x  n1 ; y2 = m2x  n2 n − n2 n m − n2 m1 xs = 1 ; ys = 1 2 m2 − m1 m2 − m1

Sonderfall

Die dritte Gerade geht durch den Schnittpunkt der beiden ersten Geraden, wenn A1 B 1 C1 A 2 B 2 C2 = 0 ist. A 3 B 3 C3

Schnittwinkel M zweier Geraden

tan M

m2  m1 1  m1 m2

y = m1 x  n1 y = m2 x  n1

A1 B 2 − A 2 B 1

tan ϕ =

A1 x  B1 y  C1 = 0 A2 x  B2 y  C2 = 0

A1 A 2 − B 1 B 2

Schnittwinkel M wird beim Drehen der Geraden g1 in der Lage von g2 überstrichen (im entgegengesetzten Sinn des Uhrzeigers).

Sonderfälle

bei m2 = m1 bzw. bei m2 = −

Winkelhalbierende w1, w2 zweier Geraden g1, g2

A1 B1

=

A2 B2

sind Gerade parallel,

A1 B2 1 stehen sie rechtwinklig aufeinander = − bzw . m1 B1 A2

Sind g1 H und g2 H die Hesse'schen Normalformen der Geraden, so wird w1,2 = g1 H r g2 H. w1, w2 sind die Gleichungen für die Winkelhalbierenden.

1.25

Analytische Geometrie: Lage einer Geraden im rechtwinkligen Achsenkreuz

Zur Kontrolle der Rechnungen nach 1.25 wird die Gleichung der Geraden auf die Form A x  B y  C = 0 gebracht, die Konstanten A, B und C bestimmt und die Lage der Geraden der folgenden Tabelle entnommen. Gleichungen mit positiver Konstante C müssen vorher mit (– 1) multipliziert werden. Vorzeichen der Konstanten A

B

C





–

–

–

+

28



–

–

–

–

–

Lage der Geraden Beziehung zwischen Konstanten A und B A ! B A = B A  B |A|  B |A| = B |A| ! B |A| ! |B| A = B |A|  |B| A  |B| A = |B| A ! |B|

Steigungswinkel M mit positiver x-Achse 90º  M  135º 135º 135º  M  180º 0º  M  45º 45º 45º  M  90º 90º  M  135º 135º 135º  M  180º 0º  M  45º 45º 45º  M  90º

Lage zum Koordinatenursprung rechts oberhalb

links oberhalb

links unterhalb

rechts unterhalb

Mathematik Analytische Geometrie: Kreis Beispiel: Gegeben ist eine Gerade mit 16x – 11y  6 = 0; mit (– 1) multipliziert: – 16x  11y – 6 = 0; also ist A = – 16, B =  11 und C = – 6, d.h. |A| ! β. Nach der Tabelle liegt die Gerade links oberhalb des Koordinatenursprungs mit Steigungswinkel M zwischen 45° und 90° (M | 56,4°).

Zusammenfassung der Sonderfälle A = 0 1)

Konstante



C B

Gleichung

y

Lage der Geraden

Parallele zur x- Achse im Abstand – C/B 1)

B = 0 1) x



C A

C=0 y



A x B

A = 0; C = 0 B = 0; C = 0 y=0

x=0

Parallele zur Gerade durch Gerade fällt zusammen y-Achse im den Koordinatenursprung mit x-Achse mit y-Achse Abstand – C/A

Bei A = 0 und B = 0 unendlich ferne Gerade.

1.26 Analytische Geometrie: Kreis Kreisgleichung

x2  y2 = r2

(Mittelpunkt M liegt im Nullpunkt)

in Parameterform

x = h  r cos - ; y = k  r sin -

Kreisgleichung für beliebige Lage von M (h ; k)

(x – h )2  (y – k )2 = r 2

Scheitelgleichung

y 2 = x (2r – x )

(M liegt auf x-Achse, Kreis geht durch Nullpunkt)

Schnitt von Kreis und Gerade

Kreis x 2  y 2 = r 2 wird von der Geraden y = m x  n geschnitten, wenn Diskriminante / = r 2 (1  m 2) – n 2 ! 0 ist. Bei r 2 (1  m 2) – n 2 = 0 ist die Gerade eine Tangente.

Abszissen der Geradenschnittpunkte

x1,2 =

Tangentengleichung für Berührungspunkt P1(x1; y1)

x1 x  y1 y = r 2

Normalengleichung

y=

1 [− m n ± 1+ m 2

r 2 (1+ m 2 ) − n 2 ]

(x1 – h ) (x – h )  (y1 – k ) (y – k ) = r 2 y1 k − y1 y− k = x; x1 x− h h − y1

Für den Kreis mit: x2  y2 = r2 (x – h )2  ( y – k )2 = r 2

29

1

1

Mathematik Analytische Geometrie: Ellipse und Hyperbel 1.27 Analytische Geometrie: Parabel Scheitelgleichungen und Lage der Parabel

im Nullpunkt

Scheitel S beliebig

Lage der Parabel bei p!0 p0

x-Achse ist Symmetrieachse

y2 = 2 p x

(y – k)2 = 2 p (x – h )

nach rechts geöffnet

nach links geöffnet

y-Achse ist Symmetrieachse

x2 = 2 p y

(x – h)2 = 2 p (y – k )

nach oben geöffnet

nach unten geöffnet

k ; h sind Koordinaten des Scheitels S (siehe Kreis und Ellipse) Halbparameter p

Entfernung des Brennpunkts F von der Leitlinie l (Strecke FL)

Tangentengleichungen für Berührungspunkt P1 (x1; y1)

y y1 = p (x  x1)

für Scheitelgleichung y2 = 2 p x

x x1 = p (y  y1)

für Scheitelgleichung x2 = 2 p y

(y – k ) (y1 – k ) = p (x  x1 – 2 h )

für Scheitelgleichung (y – k )2 = 2 p (x – h )

(x – h ) (x1 – h ) = p (y  y1 – 2 k )

für Scheitelgleichung (x – h )2 = 2 p (y – k )

Normalengleichung

p (y – y1)  y1 (x – x1) = 0

Krümmungsradius r in P (x1; y1)

r=

Krümmungsradius im Scheitel

rs = p

Schnitt der Parabel y 2 = 2 p x mit der Geraden y = m x  n ergibt

zwei reelle Schnittpunkte für p ! 2 m n, eine Tangente für p = 2 m n, keinen reellen Schnittpunkt für p  2 m n.

1.28 Analytische Geometrie: Ellipse und Hyperbel Grundeigenschaft der Ellipse: P F1  P F2 = 2 a der Hyperbel: P F2 – P F1 = 2 a F1, F2 Brennpunkte, r1, r2 Brennstrahlen, a große, b kleine Halbachse, S1, S2 Hauptscheitel,

S1' , S2' Nebenscheitel

30

( p  2 x1)3 / 2 p

Ellipse

Hyperbel

Mathematik Analytische Geometrie: Ellipse und Hyperbel Ellipse Mittelpunktsgleichung (M liegt im Nullpunkt)

Hyperbel

x2 y2 + =1 a2 b2

x2 y2 − =1 a2 b2

in Parameterform

x = a cos - ; y = b sin -

x = a cosh - ; y = b sinh -

für beliebige Lage von M (h ; k)

( x − h )2 ( y − k )2 + =1 a2 b2

( x − h )2 ( y − k )2 − =1 a2 b2

lineare Exzentrizität e

e

=

numerische Exzentrizität H

H

=

Länge des Lotes p in den Brennpunkten

p

=

Scheitelgleichung

y2 = 2p x −

a2 −b2

=

e 1 a

b2 a

p

=

b2 a

p 2 x a

y2 = 2p x + r=

Polargleichung (Mittelpunkt ist Pol)

Brennstrahlenlänge r1 , r2

a2 +b2

e

r1 = F1 P = a – H x r2 = F2 P = a  H x

p 2 x a

p 1− ε cos ϕ r1 = F1 P = r (H x – a) r2 = F2 P = r (H x  a)

Tangentengleichung für M (0 ; 0)

x x1 y y1 + 2 =1 a2 b

x x1 y y1 − 2 =1 a2 b

Normalengleichung für M (0 ; 0)

x − x1 y − y1 = x1 b 2 y1 a 2

x − x1 y − y1 =− x1 b 2 y1 a 2

a2 b2 ; rb = b a

Scheitelradien ra , rb , rs

ra =

Radius r des Krümmungskreises im Punkt (x1; y1)

⎛ x 2 y 2 ⎞3 / 2 1 1 ⎟ r = a 2 b 2⎜ ⎜ a4 + b4 ⎟ ⎝ ⎠

Ellipsenumfang U

U ≈ π [1,5(a + b ) − a b ]

rs =

b2 a

⎛ x 2 y 2 ⎞3 / 2 1 1 ⎟ r = a 2 b 2⎜ ⎜ a4 + b4 ⎟ ⎝ ⎠

(Näherung)

Flächeninhalt A Steigungswinkel D der Asymptoten aus

A=Sab

tan D = m = ±

b a

Die gleichseitige Hyperbel hat gleiche Achsen: a = b; ihre Gleichung lautet: x 2 – y 2 = a 2; ihre Asymptoten stehen rechtwinklig aufeinander; sind die Koordinatenachsen die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel, so gilt x y = a 2/ 2 als deren Gleichung.

31

1

1

Mathematik Reihen 1.29 Reihen Arithmetische Reihen Definition

In einer arithmetischen Reihe a1  a2  ... an ist die Differenz d zweier aufeinander folgender Glieder konstant; jedes Glied ist arithmetisches Mittel seiner beiden Nachbarglieder: a2 – a1 = a3 – a2 = ... an – an – 1 = d

allgemeine Form (s Summe)

s = a  (a  d )  (a  2 d )  ... [a  (n – 2) d ]  [a  (n – 1) d ]

Schlussglied z

z = a  (n – 1) d

Anfangsglied a

a = z – (n – 1) d

Differenz d

d=

za n 1

Anzahl der Glieder n

n=

zad d

Summe s von n Gliedern der Reihe

za 1 d

n = 4 Glieder Schema einer arithmetischen Stufung

n n (n − 1) ⋅ d n (a + z ) = a n + = (2a + n d − d ) 2 2 2 n az zad ˜ s = (2 z  n d  d ) d 2 2 s=

Geometrische Reihen Definition

In einer geometrischen Reihe a1  a2 ...  a n ist der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder konstant; jedes Glied ist geometrisches Mittel seiner beiden Nachbarglieder: a a2 a = 3 = ... = n = q a1 a2 an− 1

allgemeine Form (s Summe)

s = a  a q  a q 2  a q 3  a q 4  ...  a qn – 2  a qn – 1

Schlussglied z

z = a qn

Summe s von n Gliedern der Reihe

s= a

1  qn 1 q

a  qz (für q  1) 1 q

s= a

qn  1 q 1

qz  a (für q ! 1) q 1

–1

n = 6 Glieder Quotient a (Stufensprung)

32

q=

n− 1

z a

Schema einer geometrischen Stufung

Mathematik Potenzreihen 1.30 Potenzreihen Funktion

(1 r x )n

Konvergenzbereich

Potenzreihe ⎛n ⎞ ⎛n ⎞ ⎛n ⎞ = 1±⎜ ⎟x +⎜ ⎟x 2 ±⎜ ⎟x 3 +±... ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝3⎠

|x | ԛ 1

(n beliebig)

1 1⋅1 2 1⋅1⋅ 3 3 1⋅1⋅ 3 ⋅ 5 4 x− x ± x − x ±−... 2 2⋅ 4 2⋅ 4⋅6 2⋅ 4⋅6⋅8 1 1 1 3 5 4 1± x − x 2 ± x − x ±−... 2 8 16 128 1 1⋅ 2 2 1⋅ 2 ⋅ 5 3 1⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 8 4 1± x − x ± x − x ±−... 3 3⋅6 3⋅6⋅9 3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅12 1 1 5 10 4 1± x − x 2 ± x 3 − x ±−... 3 9 81 243 1 3 2 7 3 77 4 231 5 1± x − x ± x − x ± x −±... 4 32 128 2048 8192 n n (n + 1) 2 n (n + 1)(n + 2) 3 1B x + x B x + B... 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3

(1 r x )1/2 = 1± = (1 r x )1/3 = = (1 r x )1/4 = 1 (1± x )n

=

|x | ԛ 1

|x | ԛ 1

|x | ԛ 1 |x |  1

1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 4 = 1B x + x B x + x B +... 2 2⋅ 4 2⋅4⋅6 2⋅ 4⋅6⋅8 (1± x )1/ 2

|x |  1

1 1 1⋅ 4 2 1⋅ 4 ⋅ 7 3 1⋅ 4 ⋅ 7 ⋅10 4 = 1B x + x B x + x B +... 3 3⋅6 3⋅6⋅9 3 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅12 (1± x )1/ 3

|x |  1

1 1 1⋅ 5 2 1⋅ 5 ⋅ 9 3 1⋅ 5 ⋅ 9 ⋅13 4 = 1B x + x B x + x B +... 4 4⋅8 4 ⋅ 8 ⋅12 4 ⋅ 8 ⋅12 ⋅16 (1± x )1/ 4

|x |  1

1 (1± x )

= 1 B x + x 2 B x 3 + x 4 B +...

|x |  1

1 (1± x )2

= 1 B 2 x + 3 x 2 B 4 x 3 + 5 x 4 B +...

|x |  1

1 (1± x )3

= 1B

1 (2 ⋅ 3 x B 3 ⋅ 4 x 2 + 4 ⋅ 5 x 3 B 5 ⋅ 6 x 4 + B... ) 2

a x = 1+ ln a

|x |  1

x x2 x3 x4 + (ln a )2 + (ln a )3 + (ln a )4 + ... 1! 2! 3! 4!

|x |  f

x x2 x3 x 4 + + + + ...; daraus e : 1! 2! 3! 4! 1 1 1 e1 = 1+ + + + ... = 2,718 281828 459 1! 2! 3!

e x = 1+

|x |  f

x x2 x3 x 4 + − + −+...; daraus e –1: 1! 2! 3! 4! 1 1 1 1 1− + − + −+... = 0,367 879 441 1! 2! 3! 4!

e –x = 1 −

e i x = cos x + i sin x = 1+ i e– i x =

x x2 x3 x 4 x5 − −i + +i −−++... 1! 2! 3! 4! 5!

x x2 x3 x 4 cos x − i sin x = 1− i − +i + −−++... 1! 2! 3! 4!

|x |  f

Formeln von Euler

33

1

1

Mathematik Potenzreihen Funktion

Potenzreihe

1 2 1 3 1 4 x  x  x  ... 2 3 4 1 2 1 3 1 4 ln (1 – x ) = – x  x  x  x  ... 2 3 4 1 x 1 3 1 5 1 7 § · = 2 ¨ x  x  x  x  ... ¸ ln 3 5 7 1 x © ¹

ln (1  x ) = x 

ln

x 1 1 1 1 § · = 2 ¨ x 1  x 3  x 5  x 7  ... ¸ 3 5 7 x 1 © ¹ ⎡ x − 1 1⎛ x − 1⎞3 1⎛ x − 1⎞5 1⎛ x − 1⎞7 ⎤ ln x = 2⎢ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ...⎥ 5⎝ x + 1⎠ 7⎝ x + 1⎠ ⎢ x + 1 3⎝ x + 1⎠ ⎥ ⎣ ⎦

3 5 ª x º 1§ x · 1§ x ·  ¨ ln (a x ) = ln a  2 « ¸  ¨ ¸  ...» 5 © 2a  x ¹ «2a  x 3 © 2a  x ¹ » ¬ ¼ 1 1 1 1 ln 2 = + + + + ... = 0,693147180 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 4 ⋅ 24 2 2 2 ln 3 = 1+ + + + ... = 1,098 612288 3 ⋅ 23 5 ⋅ 25 7 ⋅ 27

–1xԛ1 –1xԛ1 |x | ԛ 1 |x | ! 1 x!0

a ! 0; x > – a

x x 3 x 5 x 7 x 9 x11       ... 1! 3! 5! 7! 9! 11!

|x |  f

cos x = 1−

x 2 x 4 x 6 x 8 x10 + − + − +−... 2! 4! 6! 8! 10!

|x |  f

tan x = x 

x3 2 x5 17 x 7 62 x 9   2  2  ... 3 3˜5 3 ˜5˜7 3 ˜5˜7˜9

sin x =

1 x x3 2 x5 x7 − − 2 − 3 − 3 2 − ... x 3 3 ⋅5 3 ⋅5⋅7 3 ⋅5 ⋅7 1 1 1 + − + − ... = 0,841 470 984 sin 1 = 1− 3! 5! 7! 1 1 1 cos 1 = 1− + − + − ... = 0,540302305 2! 4! 6!

cot x =

arcsin x = x  arccos x =

arccot x =

x3 1˜ 3 x5 1 ˜ 3 ˜ 5x7    ... 2˜3 2˜4˜5 2˜4˜6˜7

S  arcsin x 2

arctan x = x 

|x |  S / 2 0  |x |  S

|x |  1 |x |  1

x3 x5 x7 x9     ... 3 5 7 9

S  arctan x 2

|x |  1 |x |  1

sinh x = x 

x3 x5 x7    ... 3! 5! 7!

|x |  f

cosh x = 1 

x2 x4 x6    ... 2! 4! 6!

|x |  f

sinh 1 = 1,175 201 193;

34

Konvergenzbereich

cosh 1 = 1,543 080 634

Mathematik Differenzialrechnung: Grundregeln 1.31 Differenzialrechnung: Grundregeln Funktion

Ableitung

Beispiele

Funktion mit konstantem Faktor y = a f (x )

y' = a f ' (x)

y = 3 x2 y = – 3 x4

Potenzfunktion: y = xn

y' = n x n–1

y=

Konstante y = a

y' = 0

y = 50

Summe oder Differenz y = u (x ) r v (x )

y' = u' (x ) r v ' (x )

y = x  x3

y' = 6 x y' = – 12 x3 1

x = x2 ;

y' =

1 2 x

y' = 0

y' = 1  3 x2

y = 5 – 2 x  x2 y' = – 2 + 2 x = 2 (x – 1)

Produktregel: y = u (x ) · v (x )

bei mehr als zwei Faktoren: y = u · v · w · z = f (x )

Quotientenregel: u (x) y= v (x) Kettenregel: y = f [u (x)]

Umkehrfunktion: x = M (y)

y' = u' v  u v '

y = sin x · cos x y' = sin (x ) · (– sin x )  cos x · cos x = cos 2 x y = ex arcsin x x4

y' = u' v w z  u v ' w z   u v w' z  u v w z '

y' =

u' v − u v' v2

y' = f ' (u ) · u' (x) = d y du ⋅ = du d x

y' =

dy 1 = dx ϕ' ( y )

y' = e x arcsin x x 4 + e x

Erst logarithmieren, dann nach der Kettenregel differenzieren

x4 

 ex arcsin x 4 x3 ⎛ ⎞ x y' = e x x 3⎜ + 4 arcsin x ⎟ ⎜ x arcsin x + ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1− x

y =

x +1 x −1

y' = −

2 ( x − 1)2

y = cos (3x  5), also u = 3 x  5 und damit y' = – sin (3 x  5) · 3 = – 3 sin x (3 x  5) y = tan x

x = arctan y 1 1 M' (y) = = 1+ tan2 x 1+ y 2 y' =

logarithmische Regel

1 1− x 2

1

ϕ' ( y )

= 1+ y 2

y = (2 x)sin x ln y = ln (2 x)sin x = sin x · ln (2 x) 1 1 ⋅ y' = sin x ⋅ ⋅ 2 + ln(2 x ) ⋅ cos x y 2x ⎡ sin x ⎤ y' = (2 x )sin x⎢ + cos x ⋅ ln(2 x ) ⎥ ⎣ x ⎦

35

1

1

Mathematik Integrationsregeln Funktion implizites Differenzieren

Ableitung Die Funktion wird nicht nach einer Veränderlichen aufgelöst, sondern implizit gliedweise differenziert

Beispiele x2  y 2 = r 2 2 x  2 y · y' = 0 y' =

−x y

1.32 Differenzialrechnung: Ableitungen elementarer Funktionen da = 0 (a = konst) dx d xn = n x n−1 dx d(m x + a ) =m dx da xn = n a x n−1 dx d x 1 = dx 2 x d (1/ x ) 1 =− 2 dx x d ex = ex dx d ax = a x ln a dx d ln x 1 = dx x da log x 1 = dx x ln a

dsin x = cos x dx d cos x = −sin x dx

d sinh x = cosh x dx d cosh x = sinh x dx

d tan x 1 = dx cos2 x = 1  tan2 x

d tanh x 1 = dx cosh2 x = 1 – tanh2 x

d cot x 1 =− 2 dx sin x = – 1 – cot2 x

d coth x 1 =− dx sinh2 x 1 – coth2 x

d arcsin x 1 = dx 1− x 2 d arccos x 1 =− dx 1− x 2

d arsinh x = dx

d arctan x 1 = dx 1+ x 2 d arccot x 1 =− dx 1+ x 2

d arcosh x = dx

1 x2 +1 1

x2 −1 d artanh x 1 = dx 1− x 2 d arcoth x 1 = dx 1− x 2

1.33 Integrationsregeln Konstantenregel

Ein Faktor k beim Integranden f (x) dx kann vor das Integral gezogen werden:

∫ k ⋅ f ( x )d x = k ∫ f ( x )d x

⎡

3

⎤

∫ 7 ⋅ x 2 d x = 7 ⋅ ∫ x 2 d x = 7⎢⎣ x3 ⎥⎦+ C

Summenregel

Eine Summe wird gliedweise integriert:

∫ [u ( x ) + v ( x )]d x = ∫ u ( x )d x + ∫ v ( x )d x

36

∫ (1+ x + x 2 + x 3 )d x = x +

x2 x3 x 4 + + 2 3 4

Mathematik Integrationsregeln Einsetzregel (Substitutionsmethode)

1. Form : In den Integranden wird eine Funktion z (x) so eingeführt, dass deren Ableitung z' als Faktor von dx auftritt:

∫ f ( x )d x = ∫ ϕ (z) ⋅ z' ⋅ d x = ∫ ϕ (z)d z 2. Form : Eine neue Funktion z einführen; aus der Substitutionsgleichung d x berechnen und alles unter dem Integral einführen:

∫ sin x cos x d x ; sin x = z ; z' = d x = cos x ∫ sin x cos x d x = ∫ z ⋅ z' d x = dz

=

∫

1 1− x 2

dx =

2

∫ z dz = z2

=

sin2 x 2

∫ cos z cos z d z = arcsin x 1

x = sin z ; 1− sin2 z = 1− x 2 = cos z dx = cos z dz ; z = arcsin x

∫ f (a x + b)d x = a ∫ ϕ (z)d z 1

(a x + b ) = z ;

dz dz = a ⇒ dx = dx a

Sonderregeln

Ist der Zähler eines Integranden die Ableitung des Nenners, so ist das Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners: f '(x) d x = ln f ( x ) f (x)

∫

2a x + b

∫ a x 2 + b x d x = ln(a x 2 + b x ) ∫ x + a d x = ln( x + a) 1

Produktregel (partielle Integration)

Lässt sich der Integrand als Produkt zweier Funktionen f (x) und g (x) darstellen, so kann der neue Integrand einfacher zu integrieren sein:

∫ f ( x ) g ( x ) d x = ∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v d u

∫ x cos x d x = x ⋅ sin x − ∫1⋅ sin x d x = x · sin x  cos x ⎛u = x ; v ' = cos x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝u ' = 1; v = sin x ⎠

Flächenintegral (bestimmtes Integral)

Ist A der Flächeninhalt unter der Kurve y = f (x), begrenzt durch die Ordinaten x = a und x = b, so gilt b

A=

∫ f ( x ) d x = [F ( x )]ab = F (b) − F (a) a

d.h. das bestimmte Integral f (x) dx stellt den Flächeninhalt unter der Kurve y = f (x) bis zur x-Achse im Intervall von a bis b dar (a ԛ x ԛ b) Integrieren einer Konstanten k b

∫ k ⋅ d x = [k x ]ab = k (b − a) a

Vorzeichenwechsel b

∫ a

a

∫

f (x) d x = − f (x) d x b

Vertauschen der Grenzen bedeutet Vorzeichenwechsel (Integrieren von anderer Richtung kommend)

37

1

1

Mathematik Lösungen häufig vorkommender Integrale Aufspalten des bestimmten Integrals in Teilintegrale c

b

c

a

a

b

∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) d x + ∫ f ( x ) d x Definition des Mittelwertes ym

Mittelwert ym ist die Höhe des flächengleichen Rechtecks gewonnen aus: b

( b − a )y m =

∫f (x) d x a

ym =

1 ⋅ b−a

b

∫f (x) d x a

1.34 Grundintegrale

∫ ex d x = ex + C

n+1

∫ x n d x = nx + 1 + C

∫

nz–1 dx = ln x + C ; x ≠ 0 x

∫ ∫ sin x d x = −cos x + C ∫ cos x d x = sin x + C dx ∫ sin2 x = −cot x + C ∫

∫

dx 1− x 2

∫

= arcsin x + C =

∫

= – arccos x  C' dx = arctan x + C = 1+ x 2 = – arccot x  C'

∫

dx

x

∫

dx = −coth x + C ∫ sinh 2x

0az1

dx x2 −1

= arcosh x + C

= ln( x ± x 2 − 1) + C

∫ cosh2 x = tanh x + C

∫ a x d x = lna a + C

= arsinh x + C =

1+ x 2

= ln( x + 1+ x 2 ) + C

∫ sinh x d x = cosh x + C ∫ cosh x d x = sinh x + C

dx = tan x + C cos2 x

dx

xz0

x >1 dx = artanh x + C 1− x 2 1 1+ x + C; x < 1 = ln 2 1− x dx = arcoth x + C = 1− x 2 1 x +1 = ln +C; x > 1 2 x −1

1.35 Lösungen häufig vorkommender Integrale (ohne Integrationskonstante C geschrieben) Integrale algebraischer Funktionen n+1

∫ (a ± b x )n d x = ± (ab±(nb+x )1)

∫ [

38

; n ≠ −1

1 = ± ln a ± b x ; n = −1 b x dx x a = − 2 ln a + b x a+bx b b

1⎛

⎞

∫ (a + b x )2 = b 2 ⎜⎝ a + b x + ln a + b x ⎟⎠ x dx

a

∫ x 2 + a2 = a arctan a dx

1

x

Mathematik Lösungen häufig vorkommender Integrale

∫ a2 − x 2 = a artanh a ;

x 1 a

∫ a2 −dbx2 x 2 = 2 a1 b ln aa +− bb xx

dx

1

=

x

dx

1

bx

∫ ( x 2 + 1)n = 2 ln( x 2 + 1); n = 1 xdx

1

=−

1 ; n >1 2(n − 1)( x 2 + 1)n−1

∫ a x2 + b x + c = dx

2 4ac − b 2

=−

2a x + b

b2 – 4 a c  0

4ac − b 2

2 2a x + b

1

=

arctan

b2

− 4ac

b2 – 4 a c = 0

ln

2a x + b − b 2 − 4a c

b2 – 4 a c ! 0

2a x + b + b 2 − 4a c ⎛

⎞

∫ a x 2A+x +b xB+ c d x = 2Aa ln a x 2 + b x + c +⎜⎝B − A2 ab ⎟⎠∫ a x 2 +dbx x + c 2a x + b

∫ (a x 2 + b x + c )n = (n − 1)(4 a c − b 2 ) ⋅ (a x 2 + b x + c )n−1 + dx

1



2 (2 n − 3) a (n − 1)(4 a c − b 2 )

Ax +B

∫ (a x 2 + b x + c )n−1 dx

∫ (a x 2 + b x + c )n d x = − 2 a (n − 1) ⋅ (a x 2 + b x + c ) n−1 + A

1

⎛ Ab⎞ dx ⎜B − ⎟ 2 a ⎠ (a x 2 + b x + c )n ⎝

∫

∫

x 2 ± a2 d x =

x a2 x 2 ± a2 ± ln x + x 2 ± a2 2 2

∫

a2 − x 2 d x =

x 2 a2 x a − x 2 + arcsin 2 2 a

∫

x dx x2

± a2

∫

= x 2 ± a2

∫x

x 2 − a2

∫x

a 1 1 a + a2 − x 2 = − arcosh = − ln a x 2 a a − a2 − x 2 a2 − x 2

∫x ∫ ∫

dx

x dx a2 − x 2

= − a2 − x 2

1 a = − arcsin a x

dx

dx x2

+ a2

1 1 a x 2 + a2 + a = − arsinh = − ln a x 2a x 2 + a2 − a

dx a2 + b 2 x 2 dx a2

− b2

x2

(

=

1 ln b x + a2 + b 2 x 2 b

=

⎛b ⎞ 1 arcsin⎜ x ⎟ ⎝a ⎠ b

)

39

1

1

Mathematik Lösungen häufig vorkommender Integrale

∫

dx a x2 + b x + c

=

1 2a x + b ln + a x2 + b x + c a 2 a

=

1 −2 a x − b arcsin −a b 2 − 4ac

a>0

a1

∫ x n−1 d x

n >1

cos x

sin x

n −1 n

n −1 n

∫ sinn−2 x d x

∫ cosn−2 x d x

∫ tann x d x = n − 1 tann−1 x − ∫ tann−2 x d x 1

n ≠1

∫ cotn x d x = − n − 1cotn−1 x − ∫ cotn−2 x d x 1

∫ (ln x )n d x = x (ln x )n − n∫ (ln x )n−1 d x ∫ sinhn x d x = n sinhn−1 x cos x − 1

n −1 n

∫ coshn x d x = n coshn−1 x sinh x + 1

n ≠1

n>0

∫ sinhn−2 x d x

n −1 n

∫ cosh x n−2 d x 41

1

1

Mathematik Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung 1.36 Uneigentliche Integrale (Beispiele) Integrand im Intervall unendlich

b

A=

∫

b 1 d x =2 x − a =2 b − a − 0 = a x −a

a

= 2 b−a

1

A=

∫ x d x = ln x 1

0

Integrationsweg unendlich

1

= ln1− ln0 = ∞

0

∞

A =

∫ e−x d x = −e−x ∞0 = e−x ∞0 = 0

= e–0 – 0 = 1

∞

A =

∞

∫ 3 x 2 d x = ∫ x− 1

1

1

3 2

1

dx = 3x3

∞

=

1

= 3 (f – 1) = f

1.37 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung Nullstelle

Eine Funktion y = f (x) hat an der Stelle x = x0 dann eine Nullstelle, wenn y = f (x) = 0 ist. Hat die Funktion y = f (x) die Form y = A(x) / B(x), so muss A(x0) = 0 und reell und B(x0) z 0 sein. A ist Zähler, B ist Nenner des Bruchs.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Eine Funktion y = f (x) hat dann an der Stelle y1 einen Schnittpunkt mit der y-Achse, wenn x1 = 0 ist. Bei allen transzendenten Funktionen muss y1 immer reell sein.

Polstelle

Eine Funktion y = f (x) hat an der Stelle x = x2 bei lim f ( x ) y →∞ eine Unendlichkeitsstelle. Hat die Funktion y = f (x) die Form y = A(x) / B(x), hat sie Pole, wenn A(x2) z 0 und B(x2) = 0 ist.

42

Mathematik Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung Asymptote

Eine Funktion y = f (x) hat an der Stelle y4 eine Unendlichkeitsstelle, wenn der Grenzwert lim f ( x )

x →∞

gebildet werden kann. Eine Funktion von der Form y = f (x) =

xm xn

hat eine Asymptote: 1. parallel zur x-Achse bei m = n, 2. als x-Achse selbst bei m  n. Extremwerte

Voraussetzung muss sein, dass eine Funktion y = f (x) mindestens zweimal stetig differenzierbar ist. Ein (relatives) Maximum (Minimum) einer Funktion y = f (x) an der Stelle x = x0 tritt dann auf, wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung alle f (x) kleiner (größer) als f (x0) sind.

Maximum

Für das Auftreten eines Maximums an der Stelle x = x0 sind die Bedingungen f ' (x0) = 0

und

f ''(x0)  0

hinreichend. Minimum

Für das Auftreten eines Minimums an der Stelle x = x0 sind die Bedingungen f '(x0) = 0

und

f '' (x0) ! 0

hinreichend. Wendepunkt

Ist eine Funktion y = f (x) dreimal stetig differenzierbar, so besitzt sie an der Stelle x = x0 einen Wendepunkt, wenn sie dort von einer Seite der Tangente auf die andere Seite übertritt. Für das Auftreten eines Wendepunkts an der Stelle x = x0 sind die Bedingungen f '' (x0) = 0

und

f ''' (x0) z 0

hinreichend. Bogenelement ds bei rechtwinkligen Koordinaten

Für die differenzierbare Funktion y = f (x) zeigt die Anschauung: ⎛ dy2 ⎞ 2 ⎜1+ ⎟d x ds 2 = d x 2 + d y 2 =⎜ ⎟ d x2 ⎠ ⎝ ds =

1 + y '2 d x

43

1

1

Mathematik Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung in Parameterdarstellung

dx = x dt dy = y dt

x = x(t) y = y(t)

ds 2 = x 2 d t 2  y 2 d t 2

(x 2  y 2 )d t 2

ds = x 2  y 2 d t in Polarkoordinaten

r = f (M ); d s 2 ds 2 = r 2 dM 2

r2

ds =



d r 2  dM 2 r 2 ; d r

r 2 dM 2

dM 2 (r 2

r dM

 r 2 )

 r 2 dM

Krümmung k und Krümmungsradius N

Aus der Definition k = dM / ds und r = 1/k ergibt sich für die Kurve y = f (x):

bei rechtwinkligen Koordinaten

k=

in Parameterdarstellung

k=

in Polarkoordinaten

k=

Flächenberechnung in rechtwinkligen Koordinaten

A=

y '' (1+ y '2 )3

x y − y x (x + y ) 2

2 3

r + 2r 2 − r r 2

(r + r ) 2

2 3

r=

(1+ y '2 )3 1 = k y''

r=

(x 2 + y 2 )3 1 = x y − y x k

r=

(r 2 + r 2 )3 1 = 2 k r + 2 r 2 − r r

b

∫ f ( x ) d x = [F ( x )]ab a

A = F (b) – F (a) Beispiel : Fläche unter Sinuskurve π

A=

∫ sin x d x = [−cos x ]0π 0

Vorzeichenwechsel beim Vertauschen der Grenzen: 0

A = >cos x @S

cos0  cos S

A = 1 – (– 1) = 2 positiver und negativer Flächeninhalt

Beispiel : π

A=

∫ cos x d x = [sin x ]0π 0

A = sin S – sin 0 = 0 – 0 = 0

gerade Funktionen f (– x) = f (x)

liegen symmetrisch zur y -Achse, z.B. cos x, cos2 x, x2, x sin x a

a

−a

0

∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x ) dx

44

Mathematik Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung ungerade Funktionen f (– x) = – f (x)

liegen symmetrisch zum Nullpunkt, z.B. sin x, tan x, x cos x, x3 a

∫ f (x) d x = 0

−a

b

Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen

A=

∫ [f1( x ) − f2 ( x )] d x a

Obere Funktion minus untere Funktion. Intervall: 0 ԛ x ԛ b Beispiel : 1

A=

∫[

x − (−x 2 )] d x

0

1

⎡2 x3 ⎤ x3 + A=⎢ ⎥ 3 ⎦ ⎣3 0

Flächenberechnung in Parameterdarstellung

A=

2 1 + =1 3 3

A=

∫ y (t ) d x = ∫ y x d t

x

t

x0

t0

x = x (t) y = y (t) dx = x d t Beispiel : Fläche unter Zykloidenbogen x = r (t − sin t ) x = r (1− cos t ) y = r (1− cos t ) Intervall: 0 ԛ t ԛ 2 S 2π

A=

2π

∫ y x d t = ∫ r (1− cos t )r (1− cos t ) d t 0

0

2π

A = r2

∫ (1− 2cos t + cos2 t ) dt 0

A = r 2 (2 S  0  S) = 3 r 2 S Flächeninhalt der geschlossenen Kurve

Integration vom Anfangsparameter bis zum Endparameter als Grenzpunkt: t2

A=

∫ y x d t t0

Beispiel : Kreisfläche Intervall: 0 ԛ t ԛ 2 S x = −r sin t

x = r cos t y = 2 r  r sin t 2π

A=

2π

∫ y x d t = −∫ r (2 + sin t )r ⋅ sin t d t 0

0

2π

A = −r 2

∫ [2sin t + sin2 t ] d t 0

A = – r 2 (0  S) = – r 2 S

45

1

1

Mathematik Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung Flächenberechnung in Polarkoordinaten

A=

ϕ2

∫ r 2 dϕ

1 2

ϕ1

Beispiel : Archimedische Spirale, überstrichene Fläche von M 1 = 0 bis M 2 = 2 S r=aM A=

1 2

2π

1

0

a2

2π

0

2π

⎡a ⎤ A =⎢ ϕ 3 ⎥ ⎣ 6 ⎦0 2

Volumen V von Rotationskörpern

2π

∫ r 2 d ϕ = 2 ∫ a2ϕ 2 d ϕ = 2 ∫ ϕ 2 d ϕ =

0

4a π 3

2 3

aus erzeugender Fläche mal Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung: um die x-Achse:

um die y-Achse

∫ y2 dx

⎡ x3 ⎤ (r − x ) d x = π⎢ r 2 x − ⎥ 3 ⎦ ⎣ −r

∫

r

2

x2

∫ x1

⎛ d y ⎞2 1+⎜ ⎟ d x = ⎝dx ⎠

x2

∫ x1

1 + y '2 d x

h

∫ x 2 d x = aπ ∫ y d y 0

0

h

⎡ π 2⎤ π h2 V =⎢ y ⎥ = ⎣ 2 a ⎦0 2a

Ist die Funktion y = f (x) im Intervall x1 ԛ x ԛ x2 eindeutig, also f ' (x) stetig, so ist die Länge s der Kurve:

s=

46

h

V =π

−r

⎛ r3 r3 ⎞ 4 3 ⎜r 3 − + r 3 − ⎟ ⎟= r π V = π⎜ 3 3⎠ 3 ⎝

Kurvenlängen s in rechtwinkligen Koordinaten

y =a

Intervall: 0 ԛ y ԛ h

r

2

∫ x2 d y

Beispiel : Volumen eines Rotationsparaboloids mit y = a x2

− x2

Intervall: – r ԛ x ԛ r

V=

x y d y bzw . V = π

x=−a

Beispiel : Kugelvolumen mit y =

∫

V=2π

x=a

r2

y =b

x=a

x=b

V=π

Mathematik Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung in Parameterdarstellung

d x = x d t x = x (t ) d y = y d t y = y (t ) Intervall t1 ∑ t ∑ t2 t2

s=

∫

x 2 + y 2 d t

t1

in Polarkoordinaten

r = f (M ) Länge s des Kurvenstückes zwischen den Leitstrahlen r1 = f (M1) und r2 = f (M 2): ϕ2

s=

∫

r 2 + r 2 d ϕ

ϕ1

Beispiel : Bogen s des Viertelkreises y = r

s=

∫

1+

0

x2 dx = r − x2 2

r

∫ 0

r 2 − x 2 mit Radius r : r

⎡ x⎤ πr =⎢ r ⋅ arcsin ⎥ = ⎣ r ⎦0 2 ⎛x⎞ 1−⎜ ⎟ ⎝r ⎠ dx

2

mit x = r cos t und y = r sin t ; x 2 = r 2 sin2 t, y 2 = r 2 cos2 t wird: π /2

s= r

π/2

∫

sin2 t + cos2 t d t = r

0

∫ dt = 0

πr ; 2

ebenso mit r = konstant, dr / dM = 0: π /2

s=

∫

π/2

r 2 dϕ = r

0

Mantelflächen M von Rotationskörpern

∫ dϕ = 0

πr , wie oben. 2

aus erzeugender Kurve mal Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung um die x-Achse:

die y-Achse:

r

M = 2π

0

M = 2π

b

b

a

a

∫ y ds = 2 π∫ y

1+ y ' 2 d x

0

1+ y ' 2 d x

Beispiel : Kurvendiskussion der Gleichung y = f (x) =

r

∫ x ds = 2 π∫ x

(siehe dazu Bild am Ende des Abschnitts)

A(x) x3 = 2 B ( x ) 2 x − 3x − 2

Nullstellen: y = f ( x ) = 0 ⇒ A ( x ) = 0 ⇒ x1 = 0⎫ ⎬P y1 = 0⎭ 1

x1 = 0 ist eine Lösung der Gleichung, da B(x) z 0 ist und kein unbestimmter Ausdruck vorliegt.

47

1

1

Mathematik Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung Schnittpunkt mit der y -Achse: 0 x =0 ⇒ y = = 0; x2 = 0⎫ ⎬P 0−0−2 y 2 = 0⎭ 2

Die Kurve schneidet die y -Achse bei y2 = 0.

Polstellen: y ⇒ ∞ ⇒ B (x) = 0 2 x2 – 3 x – 2 = 0 x3 / 4 =

⎫ ⎬P ,P x 4 = −0,5⎭ 3 4 x3 = 2

3 25 ± 4 16

Die Funktion besitzt zwei Pole (Unendlichkeitsstellen). Ein unbestimmter Ausdruck liegt nicht vor, weil A (x3 , x4) z 0 ist.

Asymptoten: x → ∞ ⇒ y = f (x) = yA =

13 3 x 3 4 x+2 + + 2 4 2 x 2 − 3x − 2

x 3 + 2 4

Die unecht gebrochene rationale Funktion lässt sich in die Summe der ganzen und der gebrochenen Funktionen zerlegen.

Schnittpunkt zwischen Kurve und Asymptote: y = yA ⇒

2 x2

x3 x 3 x5 = −0,461⎫ ⎬ P5 = + ; − 3 x − 2 2 4 y 5 = 0,51 ⎭

Durch Gleichsetzen der ganzen Funktion mit der Teilfunktion ergeben sich die Koordinaten des Schnittpunkts.

Extremwerte: y ' = f '( x ) = 0 ⇒ y ' =

2 x 2 ( x 2 − 3 x − 3) (2 x 2 − 3 x − 2)2

2 x 2 ( x 2 − 3 x − 3) = 0 2x 2

=0

x 2 − 3x − 3 = 0

x6 = 0⎫ ⎬P y 6 = 0⎭ 6

Die Nullsetzung des Zählers der ersten Ableitung ergibt die x-Koordinaten der Extremwerte. Die zugehörigen y -Koordinaten ergeben sich durch Einsetzen der x-Werte in die Stammfunktion.

⎫ ⎬P ,P x8 = −0,7 y 8 = −0,315⎭ 7 8

x7 = 3,8 y 7 = 3,58

2 x (13 x 2 + 18 x + 12) (2 x 2 − 3 x − 2)3 y '' = f ''(x7) = 131,6 ! 0 Minimum y '' = f ''(x8) = – 32,9  0 Maximum y '' = f ''( x ) =

Die errechneten x-Koordinaten (x7 , x8) werden in die Funktion y " = f ''(x) eingesetzt, um ein Maximum bzw. Minimum bestimmen zu können.

Wendepunkte: y '' = f '' (x) = 0 2 x (13 x 2

+ 18 x + 12) = 0 2x = 0

x6 = 0⎫ ⎬P y 6 = 0⎭ 6

13x 2  18 x  12 = 0 führt zu einem imaginären Ergebnis y ''' = f '''( x ) =

−12(13 4 + 48 x 3 − 12 x 2 − 24 x − 4) (2 x 2 − 3 x − 2)4

y ''' = f '''( x6 ) = 3 ≠ 0

48

Es ergeben sich die Koordinaten eines Wendepunkts, der dann existiert, wenn die dritte Ableitung ungleich null ist.

Mathematik Geometrische Grundkonstruktionen

1.38 Geometrische Grundkonstruktionen Senkrechte im Punkt P einer Geraden errichten

Von P aus gleiche Strecken nach links und rechts abtragen ( PA PB ). Kreisbögen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. PC ist gesuchte Senkrechte.

Strecke halbieren (Mittelsenkrechte)

Kreisbögen mit gleichem Radius um A und B nach oben und unten schneiden sich in C und D. CD steht rechtwinklig auf AB und halbiert diese.

Lot vom Punkt P auf Gerade g fällen

Kreisbogen um P schneidet g in A und B. Kreisbögen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. PC ist das Lot auf die Gerade g.

49

1

1

Mathematik Geometrische Grundkonstruktionen Senkrechte im Endpunkt P einer Strecke s (eines Strahles) errichten

Kreis von beliebigem Radius um P ergibt A. Gleicher Kreis um A ergibt B, um B ergibt C. Kreise von beliebigem Radius um B und C schneiden sich in D. PD ist die gesuchte Senkrechte in P.

Winkel halbieren

Kreis um O schneidet die Schenkel in A und B. Kreise mit gleichem Radius ergeben Schnittpunkt C. OC halbiert den gegebenen Winkel.

einen gegebenen Winkel D an eine Gerade g antragen

Kreis um O mit beliebigem Radius schneidet die Schenkel des gegebenen Winkels D in A und B. Kreis mit gleichem Radius um O' gibt A'. Kreis mit AB um A' ergibt Schnittpunkt B'. Strahl von O' durch B' schließt mit Gerade g Winkel D ein.

einen rechten Winkel dreiteilen

Kreis um O ergibt Schnittpunkte A und B. Kreise um A und B mit gleichem Radius wie vorher schneiden den Kreis um O in C und D.

Strecke AB in gleiche Teile teilen

Auf beliebig errichtetem Strahl AC von A aus fortschreitend mit beliebiger Zirkelöffnung die gewünschte Anzahl gleicher Teile abtragen, z.B. 5 Teile. B' mit B verbinden und Parallele zu BB' durch Teilpunkte 1 ... 4 legen.

Mittelpunkt eines Kreises ermitteln

Zwei beliebige Sehnen AB und CD eintragen und darauf Mittelsenkrechte errichten. Schnittpunkt M ist Kreismittelpunkt.

Außenkreis für gegebenes Dreieck

Mittelsenkrechte auf zwei Dreieckseiten schneiden sich im Mittelpunkt M des Außenkreises.

50

Mathematik Geometrische Grundkonstruktionen Innenkreis für gegebenes Dreieck

Schnittpunkt von zwei Winkelhalbierenden ist Mittelpunkt M des Innenkreises.

Parallele zu gegebener Gerade g durch Punkt P

Beliebig gerichteter Strahl von P aus trifft Gerade g in A. Kreis mit PA um A schneidet g in B. Kreise mit gleichem Radius PA um P und B schneiden sich in C. Strecke PC ist Teil der zu g parallelen Geraden p.

Tangente an Kreis im gegebenen Punkt A

M mit A verbinden und über A hinaus verlängern und in A Senkrechte errichten – oder – Strecke MA zeichnen und im Endpunkt A Senkrechte errichten.

Tangenten an Kreis von gegebenem Punkt P aus

P mit Mittelpunkt M verbinden und PM halbieren ergibt M1. Kreis mit Radius MM1 um M1 schneidet gegebenen Kreis in A und B. PA und PB sind Teile der gesuchten Tangenten.

Tangente t im gegebenen Punkt A an Kreis k mit unbekanntem Mittelpunkt

Kreis um A von beliebigem Radius ergibt Schnittpunkte B und C. Kreise von beliebigem Radius um B und C ergeben D und E, deren Verbindungslinie Teil des Radiusses von k ist. Senkrechte in A auf DE ist Teil der Tangente t.

Tangenten an zwei gegebene Kreise

Hilfskreis um M1 mit Radius (R – r ) zeichnen und von M2 aus die Tangenten M2 A und M2B anlegen. Strecken M1A und M1B bis C und D verlängern. Parallele zu M1C und M1D durch M2 ergeben E und F. CE und DF sind die gesuchten Tangenten.

Gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge AB

Kreise mit Radius AB um A und B ergeben Schnittpunkt C und damit das gesuchte Dreieck ABC.

51

1

1

Mathematik Geometrische Grundkonstruktionen regelmäßiges Fünfeck

Radius MA des Umkreises halbieren, ergibt D. Kreisbogen mit CD um D ergibt E, mit CE um C ergibt F. CF ist die gesuchte Fünfeckseite.

regelmäßiges Sechseck

Radius MA des Umkreises ist Sechseckseite. Kreisbögen mit AM um A und B schneiden den Umkreis in den Eckpunkten des Sechsecks.

regelmäßiges Siebeneck

Kreisbogen mit Umkreisradius MA um A ergibt B und C. Kreisbogen mit Radius BD um B ergibt Eckpunkt E. BE ist die gesuchte Siebeneckseite.

regelmäßiges Achteck

Kreise mit Umkreisradius MA um A, B, C ergeben Schnittpunkte D und E. Geraden durch D und M sowie E und M schneiden den Umkreis in den Eckpunkten des Achtecks.

regelmäßiges Neuneck (gilt entsprechend für alle regelmäßigen Vielecke)

Durchmesser AB des Umkreises in neun gleiche Teile teilen. Kreise mit Radius AB um A und B ergeben Schnittpunkte C und D. Strahlen von C und D durch die Teilpunkte 1, 3, 5, 7 des Durchmessers schneiden den Umkreis in den Eckpunkten des Neunecks.

Ellipsenkonstruktion

Hilfskreise um M mit Halbachse a und b als Radius zeichnen und beliebige Anzahl Strahlen 1, 2, 3 ... durch Kreismittelpunkt M legen. In den Schnittpunkten der Strahlen mit den beiden Hilfskreisen Parallele zu den Ellipsenachsen zeichnen, die sich in I, II, III ... als Punkte der gesuchten Kurve schneiden.

Bogenanschluss: Kreisbogen an die Schenkel eines Winkels

Parallelen p im Abstand R zu den beiden Schenkeln s des Winkels ergeben Schnittpunkt M als Mittelpunkt des gesuchten Kreisbogens. Senkrechte von M auf s ergeben die Anschlusspunkte A.

52

Mathematik Geometrische Grundkonstruktionen Bogenanschluss: Kreisbogen durch zwei Punkte

Kreisbogen mit R um gegebene Punkte A1, A2 legen Mittelpunkt M des gesuchten Kreisbogens fest.

Bogenanschluss: Gerade mit Punkt durch Kreisbogen verbinden

Parallele p im Abstand R zur Geraden g und Kreisbogen mit R um A legen Mittelpunkt M des gesuchten Kreisbogens fest.

Bogenanschluss: Kreis mit Punkt; RA Radius des Anschlussbogens

Kreisbögen mit R1  RA um M1 und mit RA um P ergeben Mittelpunkt MA des Anschlussbogens. M1M A schneidet den gegebenen Kreis im Anschlusspunkt A.

Bogenanschluss: Kreis mit Gerade g ; RA1 , RA2 Radien der Anschlussbögen

Lot l von M auf gegebene Gerade g ergibt Anschlusspunkte A, A1, A2. Die halbierten Strecken AA1 und AA2 legen die Mittelpunkte MA1, MA2 der beiden Anschlussbögen fest.

53

1

Physik Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten 2.1 Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten 2.1.1 Mechanik Formelzeichen

Definitionsgleichung

SI-Einheit 1)

Bemerkung, Beispiel, andere zulässige Einheiten

Länge

l, s, r

Basisgröße

m (Meter)

1 Seemeile (sm) = 1852 m

Fläche

A

A = l2

m2

Hektar (ha), 1 ha =104 m2 Ar (a), 1 a = 102 m2

Volumen

V

V = l3

m3

Liter (l) 1 l = 10–3 m3 = 1 dm3

Größe

ebener Winkel

D, E, J

D=

Kreisbogen Kreisradius

:

rad { 1 (Radiant)

D = 1,7

m = 1,7 rad m

: = 0,4

m2 = 0,4 sr m2

Raumwinkel

:

Kugelfläche = Radiusquadrat

sr { 1 (Steradiant)

Zeit

t

Basisgröße

s (Sekunde)

1 min = 60 s; 1 h = 60 min 1 d = 24 h = 86400 s

Frequenz

f

1 = s–1 = Hz s (Hertz)

bei Umlauffrequenz wird U/s statt 1/s benutzt Periodendauer

Drehfrequenz (Drehzahl)

n

1 = s–1 s

U 1 1 = = min−1 = min min 60 s

Geschwindigkeit

v

v=

ds ∆s = dt ∆t

m s

Beschleunigung

a

a=

dv ∆v = dt ∆t

m s2

cm km , ... h2 s2

Fallbeschleunigung

g

m s2

Normfallbeschleunigung gn = 9,80665 m/s2

Winkelgeschwindigkeit

Z

1 rad = s s

M Drehwinkel in rad

Umfangsgeschwindigkeit

vu

m s

d Durchmesser n Drehzahl

Winkelbeschleunigung

D

1 rad = 2 s2 s

Z Winkelgeschwindigkeit

1)

f =

1 T

n=2Sf

ω=

∆ ϕ vu = ∆t r

vu = S d n = Z r

α=

∆ω dω a = = dt ∆t r

1

km 1 m = h 3,6 s

Einheit des „Système International d'Unités“ (Internationales Einheitensystem)

55

2

2

Physik Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten Formelzeichen

Definitionsgleichung

SI-Einheit

Bemerkung, Beispiel, andere zulässige Einheiten

Masse

m

Basisgröße

kg

1 g = 10–3 kg 1 t =103 kg

Dichte

r

kg m3

g t ; cm3 m3

Kraft

F

F=ma

kgm s2 (Newton)

1 dyn = 10–5 N

Gewichtskraft

FG

FG = m g

N=

Größe

Druck

p

dynamische Viskosität

K

kinematische Viskosität

Q

r=

W

Energie

W

η

ν=

r

W

1 J = 1 Nm = 1 Ws J Joule Nm Newtonmeter Ws Wattsekunde kWh Kilowattstunde 1 kWh = 3,6 · 106 J = 3,6 MJ

1

Nm

kgm2 s2

Biegemoment M b Torsionsmoment T

J = ∫ dm r 2

Ix

I=

Massenmoment 2. Grades (früher: Massenträgheitsmoment)

m4

mm4 I x, I y axiales Flächenmoment 2. Grades I p polares Flächenmoment 2. Grades (früher: Flächenträgheitsmoment)

d A x2

V

l0 'l

E 2(1  P )

Nm J = 1 = 1W s s

kgm2

∫ Iy = ∫dA y2 I p = ∫ d A r2

G

m2 (St Stokes) s

Nm s

J

G

1 St = 10–4

W

Trägheitsmoment

Schubmodul

Ns = Pa · s m2 1 P = 0,1 Pa · s (P Poise)

W t

M=Fl

E

N = Pa (Pascal) m2

kgm2 s2

M

E

N m2

J

Drehmoment

Elastizitätsmodul

m2 Ns / m2 = s kg / m3

1 bar = 102

m 2 v 2 mgh P

Ip

N kgm = m2 m2 s2

Normgewichtskraft FGn = m gn

kgm2 s2

P

Iy

kgm s2

J

W=Fs

Leistung

Flächenmoment 2. Grades

N

Ns kgms = m2 m2 s 2

W

56

F A

p

(Ny)

Arbeit

m V

N m2

kg s2m

N m2

kg s2m

N mm2 N mm2

( P Poisson-Zahl)

Physik Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten 2.1.2 Thermodynamik Formelzeichen

Definitionsgleichung

SI-Einheil

Bemerkung, Beispiel, andere zulässige Einheiten

T, 4

Basisgröße

K (Kelvin)

1 K = 1 °C t, - Celsius-Temperatur

spezifische innere Energie

u

'u = q  Wv

J kgm2 = kg s2 kg

Wärme (Wärmemenge)

Q

Q = m c 'Q = U – wv

spezifische Wärme

q

q = 'U – wv

spezifische Wärmekapazität

c

Enthalpie

H

Wärmeleitfähigkeit

O

W kgm = 3 mK s K

J mhK

1 K = 1 °C

Wärmeübergangskoeffizient

D

W kg = 3 m2 K s K

J m2 h K

1 K = 1 °C

Wärmedurchgangskoeffizient

k

W kg = 3 m2 K s K

J m2 h K

1 K = 1 °C

Größe Temperatur (thermodynamische Temperatur)

spezifische Gaskonstante

Ri =

universelle Gaskonstante

R

Strahlungskonstante

C

c=

Q q = m ∆ϑ ∆T

H = U pV h = u  pQ

R M

Ri =

p Tr

R= J 8315 kmol K

J=

kgm2 s2

1

kgm2 = 1 Nm = 1 J s2

1

kgm2 = 1 Nm = 1 J s2

J kgm2 = kg s2 kg

J kgm2 = 2 kgK s kgK

J=

kgm2 s2

h=

H spezifische Enthalpie m

J m2 = 2 kgK s K

M molare Masse

J kmol K

1 kmol = 1 Kilomol

W kg = 3 4 m2 K 4 s K

W m2 K 4 Strahlungskonstante des schwarzen Körpers

Cs = 5,67 · 10–8 Cs

57

2

2

Physik Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten 2.1.3 Elektrotechnik

Bemerkung, Beispiel, andere zulässige Einheiten

Formelzeichen

Definitionsgleichung

SI-Einheit

elektrische Stromstärke

I

Basisgröße

A (Ampere)

elektrische Spannung

U

U = ¦ E 's

V (Volt)

elektrischer Widerstand

R

:

1

elektrischer Leitwert

G

1 Ω

1

elektrische Ladung (Elektrizitätsmengen)

Q

C = As (Coulomb)

elektrische Kapazität

C

elektrische Flussdichte

D

elektrische Feldstärke

E

Größe

C=

Q U

D = 0 r E



 = 0 r 0 elektrische

elektrische Energie

We

We =

H

H=

Feldkonstante r Permittivitätszahl QU 2

1

V kgm =1 3 m s A

F A 2s4 = m kgm3

1

s s 2 C2 = V kgm3

Ws

kg T= 2 s A T (Tesla)

magnetischer Fluss

)

) = ¦ B 'A

Wb =

Induktivität

L

NΦ I (Windungszahl)

H=

58

Feldkonstante Pr Permeabilitätszahl

1 Nm = 1 J = 1 Ws = 1

kgm2 s2

A m

B=PH

P

C As A 2s4 =1 =1 V V kgm2

V m

B

Permeabilität

1F = 1

C As =1 2 m2 m

magnetische Flussdichte, Induktion

P = P0 Pr P0 magnetische

A A 2s3 = 1S = 1 V kgm2 S (Siemens) 1 As = 1 C 1 Ah = 3600 As

1

I 2π r

L=

V kgm2 = 1Ω = 1 3 2 A s A

C m2

F Q

E=

Permittivität (früher Dielektrizitätskonstante)

magnetische Feldstärke

As V (Farad)

F=

W kgm2 =1 3 A s A W (Watt)

1V= 1

kgm2 s2 A

1

Wb Vs kg =1 2 =1 2 m2 m s A Vs T =1 2 m Wb (Weber)

1 Wb = 1 Vs = 1

kgm2 s2 A 2 H (Henry)

1H= 1

H kgm = m s2 A 2

1

kgm2 s2 A

Vs Wb kgm2 =1 =1 2 2 A A s A

Vs kgm =1 2 2 Am s A

Physik Allgemeine und atomare Konstanten 2.1.4 Optik

Formelzeichen

Name der Einheit

SI-Einheit

Bemerkung

Lichtstärke

Iv

Candela 1)

cd

Basisgröße

Beleuchtungsstärke

Ev

Lux

lx

Lichtstrom

)v

Lumen

Im

Lichtmenge

Qv

Lumen · Sekunde

Im · s

Lichtausbeute

K

Lumen Watt

lm W

Leuchtdichte

Lv

Candela Quadratmeter

cd m2

Größe

1)

1 Im = 1 cd sr (sr Steradiant)

Farbtemperatur

Umrechnungsfaktoren von Candela in Hefnerkerzen (HK) und umgekehrt

2043 K (Platinpunkt) 2360 K (Wolfram-Vakuum-Lampe) 2750 K (gasgefüllte Wolframlampe)

HK/cd

cd/HK

0,903 0,877 0,861

1,107 1,140 1,162

2.2 Allgemeine und atomare Konstanten Bezeichnung

Beziehung

Avogadro-Konstante

NA = 6,0221367 · 1023 mol–1

Boltzmann-Konstante

k

= 1,380658 · 10–23 J/K

elektrische Elementarladung

e

= 1,60217733 · 10–19 C

elektrische Feldkonstante

0 = 8,854187817 · 10–12 F/m

Faraday-Konstante

F

= 96485,309 C/mol

Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum

c0

= 2,99792458 · 108 m/s

magnetische Feldkonstante

P0 = 1,2566370614 · 10–6 H/m

molares Normvolumen idealer Gase

Vmn = 2,24208 · 104 cm3/mol

Planck-Konstante

h

Ruhemasse des Elektrons

me = 9,1093897 · 10–31 kg

Ruhemasse des Protons

mp = 1,672622 · 10–27 kg

Stefan-Boltzmann-Konstante

V

= 5,67051 · 10–8 W/(m2 · K4)

(universelle) Gaskonstante

R

= 8,314510 J/(mol · K)

Gravitationskonstante

G

= 6,67259 · 10–11 m3 kg–1 s–2

= 6,6260755 · 10–34 J · s

59

2

2

Physik Umrechnungstafel für Leistungseinheiten 2.3 Umrechnungstafel für metrische Längeneinheiten

Einheit 1 pm

=

1 Å 1) 1 nm 1 Pm 1 mm 1 cm 1 dm 1m 1 km

= = = = = = = =

1)

Picometer pm

Angström 1) ‡

Nanometer nm

Mikrometer Pm

Millimeter mm

Zentimeter cm

Dezimeter dm

Meter

1 102 103 106 109 1010 1011 1012 1015

10–2 1 10 104 107 108 109 1010 1013

10–3 10–1 1 103 106 107 108 109 1012

10–6 10–4 10–3 1 103 104 105 106 109

10–9 10–7 10–6 10–3 1 10 102 103 106

10–10 10–8 10–7 10–1 10–1 1 10 102 105

10–11 10–9 10–8 10–5 10–2 10–1 1 10 104

10–12 10–10 10–9 10–6 10–3 10–2 10–1 1 103

m

Kilometer km 10–15 10–13 10–12 10–9 10–6 10–5 10–4 10–3 1

Das ‡ngström ist nicht als Teil des Meters definiert, gehört also nicht zum metrischen System. Es ist benannt nach dem schwedischen Physiker A. J. Angström (1814 – 1874).

Beachte: Der negative Exponent gibt die Anzahl der Nullen (vor der 1) einschließlich der Null vor dem Komma an, z.B. 10–4 = 0,0001; 10–1 =0,1; 10–6 = 0,000001. Der positive Exponent gibt die Anzahl der Nullen (nach der 1) an, z.B. 104 = 10000 ; 101 = 10 ; 106 = 1000000.

2.4 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Grundeinheiten oder hergeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen Vorsatz

Kurzzeichen

Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico

Bedeutung

T G M k h da d c m P n P

1000000000000 1000000000 1000000 1000 100 10 0,1 0,01 0,001 0,000001 0,000000001 0,000000000001

(= 1012) (= 109) (= 106) (= 103) (= 102) (= 101) (= 10–1) (= 10–2) (= 10–3) (= 10–6) (= 10–9) (= 10–12)

Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten

2.5 Umrechnungstafel für Leistungseinheiten Einheit 1 Nm/s = 1W 1 kpm/s 1 PS 1 kW 1 kcal/s

60

= = = = =

Nm/s = W

kpm/s

PS

kW

kcal/s

1 9,80665 735,499 1000 4186,80

0,101972 1 75 101,972 426,935

1,35962 · 10–3 0,0133333 1 1,35962 5,69246

0,001 9,80665 · 10–3 0,735499 1 4,18680

2,38846 · 10–4 2,34228 · 10–3 0,175671 0,238846 1

Physik Schalldämmung von Trennwänden 2.6 Schallgeschwindigkeit c, Dichte r und Elastizitätsmodul E einiger fester Stoffe c in

Stoff Aluminium in Stabform Blei Stahl in Stabform Kupfer Messing Nickel Zink Zinn Quarzglas Plexiglas

m s

5 080 1 170 5 120 3 700 3 500 4 780 3 800 2 720 5 360 2 090

kg m3

r in

2 700 11 400 7 850 8 900 8 100 8 800 7 100 7 300 2 600 1 200

E in

N m2

7,1 1,6 21 12,5 10 20 10,5 5,5 7,6 0,5

· 1010 · 1010 · 1010 · 1010 · 1010 · 1010 · 1010 · 1010 · 1010 · 1010

2.7 Schallgeschwindigkeit c und Dichte r einiger Flüssigkeiten Flüssigkeit

t in °C

Benzol Petroleum Quecksilber Transformatorenöl Wasser

20 34 20 32,5 20

c in

m s

1 330 1 300 1 450 1 425 1 485

2.8 Schallgeschwindigkeit c, Verhältnis N = c in

Gas Helium Kohlenoxid Leuchtgas Luft Sauerstoff Wasserstoff

m s

965 338 453 331 (344 bei 20 °C) 316 1 284 (1 306 bei 20 °C)

r in

kg m3

878 825 13 595 895 997

cp einiger Gase bei t = 0 °C cv N 1,66 1,4 – 1,402 1,396 1,408

2.9 Schalldämmung von Trennwänden

Baustoff Dachpappe Sperrholz, lackiert Dickglas Heraklithwand, verputzt 1 Vollziegelwand, /4 Stein verputzt 1 bei /2 Stein 1 bei /1 Stein

Dicke s in cm – 0,5 0,6 ... 0,7 – 9 15 27

Masse m' in kg / m2 1 2 16 50 153 228 457

mittlere Dämmzahl D in db 13 19 29 38,5 41,5 44 49,5

61

2

2

Physik Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische Mittel 2.10

Elektromagnetisches Spektrum

2.11

Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische Mittel 1) (durchsichtige Stoffe)

Luft Wasser Acrylglas (Plexiglas) Kronglas 2) Flintglas 2) Kanadabalsam 1) 2)

62

1,000 293 | 1 1,33 1,49 1,48 ... 1,57 1,56 ... 1,9 1,54

Kalkspat (ao Strahl) Kalkspat (o Strahl) Steinsalz Saphir Diamant Schwefelkohlenstoff

Das optisch dichtere (dünnere) Mittel ist das mit der größeren (kleineren) Brechzahl. Kronglas ist Glas mit geringer, Flintglas mit hoher Farbzerstreuung (Dispersion).

1,49 1,66 1,54 1,76 2,4 1,63

Chemie Atombau und Periodensystem 3.1 Atombau und Periodensystem ElementarTeilchen (beständige)

Name

Symbol

Masse in g

Proton Neutron Elektron

p n e–

1,673 · 10–24 1,675 · 10–24 9,109 · 10–28

Relative Masse als Ladung in Vielfaches der atomaAs ren Masseneinheit u 1,6 · 10–19 1,00728 1,00867 0 –1,6 · 10–19 0,00054

Atomkern

Kugelähnliches Gebilde aus Nukleonen, das sind schwere Elementarteilchen (Protonen und Neutronen). Das Verhältnis von Protonen und Neutronen in einem Kern ist nicht konstant. Kerndurchmesser etwa 10–14 m.

Ordnungszahl

gibt die Stellung des Elementes im Periodischen System an: Ordnungszahl = Protonenzahl = Elektronenzahl.

Massenzahl

gibt die Anzahl der schweren Kernteilchen, d.h. der Protonen und Neutronen an.

relative Atommasse Ar (Atomgewicht)

Verhältniszahl, Vielfaches der atomaren Masseneinheit u.

atomare Masseneinheit u

ist der 12te Teil der Masse eines Atoms des Nuklids isotop mit der Massenzahl 12). u = 1,66 · 10–24 g.

12C

(Kohlenstoff-

Isotope

Atomarten (Nuklide) gleicher Protonenzahl = Kernladungszahl, aber unterschiedlicher Neutronenzahl, damit auch verschiedener Massenzahl.

Reinelemente

Chemische Elemente, die nur aus einem Nuklid bestehen, es sind etwa 22.

Mischelemente

Chemische Elemente, die aus verschiedenen Nukliden bestehen (Mischungen aus zwei oder mehr Nukliden). 35 Cl und 24,47 % aus 35 Cl . Daraus Chlor besteht zu 75,53 % aus 17 17 errechnet sich die relative Atommasse zu 35,45.

63

3

3

Chemie Atombau und Periodensystem Periodensystem der Elemente

64

Chemie Atombau und Periodensystem Periodensystem der Elemente

65

3

3

Chemie Atombau und Periodensystem Periode

Waagerechte Zeile im Periodischen System der Elemente. Die Periodennummer entspricht der Anzahl der besetzten Elektronenschalen. Beispiel: Die 18 Elemente der Periode 4 haben eine angefangene Außenschale 4, die beim letzten Element dieser Periode, dem Krypton 36Kr mit 8 Elektronen besetzt ist.

Gruppe

Senkrechte Spalte im Periodensystem. Die Gruppennummer entspricht der Anzahl der energiereichsten Elektronen (Valenzelektronen).

Elektronenhülle

Aufenthaltsbereich der Elektronen. Sie geben im Grundzustand des Atoms keine Energie ab. Beschreibung des Energiezustandes eines Elektrons durch die Quantenzahlen.

Orbital

Unterteilung der Elektronenhülle in Ladungswolken. Jeder Orbital kann höchstens 2 Elektronen aufnehmen, die sich durch einen antiparallelen Spin unterscheiden.

Hauptquantenzahl n

kennzeichnet den Abstand des Orbitals vom Kern. Sie hat die Beträge 1... 7 vom Kern nach außen gezählt.

Nebenquantenzahl l

kennzeichnet die Form des Orbitals mit den Buchstaben s, p, d und f. l liegt zwischen 0 und (n – 1).

Magnetquantenzahl m

kennzeichnet die Lage des Orbitals im Raum. m ist ganzzahlig und liegt zwischen – l und  l einschließlich der Null.

Spinquantenzahl s

kennzeichnet die Richtung des Spins, vorstellbar als Eigendrehung des Elektrons. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten: Parallel und antiparallel. s hat die Beträge  1/2 oder – 1/2.

Pauli-Prinzip

In der Elektronenhülle eines Atoms treten niemals zwei Elektronen des gleichen Energiezustandes auf, d. h. sie stimmen niemals in allen vier Quantenzahlen überein.

Hund’sche Regel

In der Elektronenhülle eines Atoms besitzen die Elektronen von den möglichen Zuständen die jeweils energieärmsten. Orbitale mit gleicher Haupt- und Nebenquantenzahl werden deshalb zunächst einfach besetzt. Erst nach der Einfachbesetzung aller dieser Orbitale werden sie durch ein zweites Elektron mit antiparallelem Spin aufgefüllt.

66

Chemie Metalle Besetzung der Hauptniveaus mit Elektronen Hauptquantenzahl 1 2 Bezeichnung des Hauptniveaus K L Anzahl der möglichen Nebenniveaus 1 2 Bezeichnung dieser Niveaus 1s 2s 2p

2

Max. Elektronenbesetzung des Haupt- Niveaus Zmax = 2n2

8

Maximale Besetzung der Nebenniveaus Nebenquantenzahl 0 1 Bezeichnung des Nebennivaus s p Max. Anzahl der Orbitale 1 3 Max. Anzahl der Elektronen 2 6

3 M 3 3s 3p 3d 18

2 d 5 10

4 5 N O 4 5 4s 5s 4p 5p 4d 5d 4ff 5f 32 (50)

6 P 6 6s 6p 6d – –

7 Q 7 7s – – – –

Striche in dieser Zeile geben an, dass bei natürlichen und künstlichen ⇐ Atomen im Grundzustand diese Energieniveaus noch nicht beobachtet wurden.

3 Beispiel für die Beschreibung der Elektronenkonf figuration, Element Nr. 15 P, Phosphor mit ins7 gesamt 15 Elektronen: 1s2; 2s2; 2p6; 3s2, 3p3 14

Symbolische Darstellung für P, Phosphor 15 

np

np np np np

np

1s

2s

3s

2p

n

n

n

3p Einfach besetzt

3.2 Metalle Element

Symbol

Alkalimetalle Li Lithium Na Natrium K Kalium Rb Rubidium Cs Cäsium Erdalkalimetalle Be Beryllium Mg Magnesium Ca Calcium Sr Strontium Ba Barium Erdmetalle AI Aluminium Sc Scandium Y Yttrium La Lanthan Seltene Erden (Lanthanoiden) Ce Cer Pr Praseodym Nd Neodym Pm Promethium Sm Samarium Eu Europium Gd Gadolinum Tb Terbium Dy Dysprosium Ho Holmium Er Erbium Tm Thulium Yb Ytterbium Lu Lutetium

Ordnungszahl

Rel. Atommasse

Häufigste Isotope

Dichte r Schmelz-Pkt. °C g/cm3 3) 1) häufigste h'fett gedruckt 180 0,53 98 0,97 64 0,86 39 1,53 28 1,90

OxidationsZahlen 1) p

3 11 19 37 55

6,94 22,99 39,1 85,48 132,91

7 23 39 85 133

1 1 1 1 1

4 12 20 38 56

9,01 24,32 40,08 87,63 137,36

9 24 40 88 138

2 2 2 2 2

1,85 1,74 1,55 2,63 3,65

1280 650 840 770 725

13 21 39 57

26,98 44,96 88,91 138,92

27 45 89 139

3 3 3 3

2,70 2,99 4,47 6,16

660 1540 1520 920

58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

140,13 140,92 144,27 147 150,35 152 157,26 158,93 162,51 164,94 167,27 168,94 173,04 174,99

140 141 142 145 152 153 158 159 164 165 166 169 174 175

4,3 4,3 3 3 3,2 3,2 3 4,3 3 3 3 3,2 3,2 3

6,77 6,43 7,00 7,229 7,54 5,25 7,90 8,25 8,56 8,78 9,05 9,32 6,97 9,84

798 931 1010 1080 1072 822 1312 1360 1409 1470 1522 1545 824 1656

67

3

3

Chemie Metalle GitterRadien KG konstante1) pm 2) a pm Atom / Ion Leichtmetalle (nach Dichte geordnet) Magnesium Mg 12 hdP 320/1,62 160/78 (2) Beryllium Be 4 hdP 229/1,57 113/34 (2) Aluminium AI 13 kfz. 404 143/57 (3) Titan Siehe unter „höchstschmelzende Metalle“ Niedrigschmelzende Schwermetalle Gallium Ga 31 rhomb. 452 122/62 (3) Indium In 49 tetr 325/1,52 163/92 (3) Zinn D -Sn diam 13°C E -Sn tetr. 141/74 (4) Wismut Bi 83 hex 455/2,61 155/96 (3) Cadmium Cd 48 hdP 298/1,88 149/114 (2) Blei Pb 82 kfz. 495 175/132 (2) Zink Zn 30 hdP 266/1,86 133/83 (2) Antimon Sb 51 hex 431/2,61 145/89 (3) Hochschmelzende Metalle Germanium Ge 32 kfz 566 123/53 (4) Kupfer Cu 29 kfz 361 128/72 (2) Mangan Mn 25 kub 376 112/91 (2) Nickel Ni 28 kfz 352 124/78 (2) Cobalt D -Co Co 27 hdP 250/1,62 153/82 (2) >417°C E-Co kfz 355 Eisen D -Fe Fe 26 krz 287 124/67 (3) >912°C J-Fe kfz 365 127 Höchstschmelzende Metalle Titan D -Ti Ti 22 hdP 295/1,59 148/61 (4) >882°C E -Ti krz 332 Zirkon D -Zr Zr 40 tetr. 323/1,59 162/87 (4) >852°C E -Zr krz 361 Vanadium V 23 krz 302 131/59 (5) Chrom Cr 24 krz 288 * 150/64 (3) Niob Nb 41 krz 329 142/69 (5) Molybdän Mo 42 krz 315 136/62 (6) Tantal Ta 73 krz 330 143/64 (5) Wolfram W 74 krz 317 137/62 (6) Edelmetalle Quecksilber Hg 80 — 160/112 (2) Silber Ag 47 kfz 409 145/113 (1) Gold Au 79 kfz 408 144/137 (1) Palladium Pd 46 kfz n.b. 138/86 (2) Platin Pt 78 kfz 392 139/85 (2) Rhodium Rh 45 kfz 379 134/75 (3) Hafnium Hf 72 hdP n.b. 156/84 (4) Ruthenium Ru 44 hdP n.b. 134/77 (3) Iridium Ir 77 kfz 384 136/66 (4) Osmium Os 76 hdP 273/1,58 135/67 (4) Rhenium Re 75 kfz 380 137/72 (4) Element

SymOZ bol

Dichte r 3) kg/dm3

SchmelzLeitfähigkeit für punkt Tm Strom4) Wärme 6) °C m/mm2 : W/mK

WärmeE.ausdeh- Modul 5) nung D GPa

1,74 1,85 2,7 4,51

650 22,4 1280 23,8 (660,323) 37,7

156 204 236

25,8 11 23,9

5,90 7,30

30 156

7,3 12,2

— 82

— 33

— —

7,28 9,80 8,64 11,35 7,13 6,69

(231,982) 271 321 327 (429,527) 630

9,9 0,93 14 5,2 18 3

66 8 95 35 112 24

26,7 13,4 29,7 29,2 21,1 10,9

55 34 63 16 9 56

5,32 8,93 7,44 8,91 8,89

936 (1084,62) 1245 1450 1490

2,21 10–2 64 n.b. 16,3 13,8

63 398 7,8 85 101

— 16,5 22,8 13,0 18,1

— 125 201 215 213

7,85

1535

12

75

11,9

215

4,51

1668

2,3

22

9,0

105

6,53

1855

2,5

22,7

6,3

90

5,96 7,19 8,58 10,22 16,68 19,26

1900 1860 2470 2620 3000 3400

5 6,6 — 20 8 20

30,7 94 54 135 56 173

n.b. 8,4 7,4 5,2 6,5 4,5

150 190 160 330 188 400

13,55 10,5 19,32 12,02 21,45 12,41 13,31 12,40 22,65 22,61 21,03

(–38,83) (961,78) (1064,18) 1550 1770 1970 2230 2310 2450 3040 3180

1 66 49 10,2 10 23 3,8 15 21 11 —

— 428 318 72 72 150 — 117 147 88 —

9,5 19,7 14,2 11,8 9,1 8 — 10 6,5 7 —

— 81 79 — 173 280 — — 530 570 —

1) Bei hexagonalen (tetr.) Metallen ist das Verhältnis der senkrechten Konstante c/a angegeben; 2) In Klammern die zugehörige, häufigste Oxidationszahl der Ionen; 3) bei 20 °C; 4) bei 0 °C = 273 K; 5) Bereich 0…100 °C, Werte mit 10–6 multiplizieren !; 6) Klammerwerte nach der IST-90 (Internationale Temperatur Skala)

68

44 293 72

Chemie Elektronegativität 3.3 Nichtmetalle Element

Symbol

Edelgase Helium He Neon Ne Argon Ar Krypton Kr Xenon Xe Radon Rn Halogene Fluor F Chlor Cl Brom Br Jod J Astat Gase Wasserstoff H Stickstoff N Sauerstoff O Feste Nichtmetalle Arsen As Bor B Kohlenstoff C Phosphor P Schwefel S Selen Se Silicium Si Tellur Te

Ordnungszahl

Dichte r bei 20 °C Gasein g/l

Rel. Atommasse

Bekannte Isotope

Häufigste Isotope

2 10 18 36 54 86

4,00 20,18 39,95 83,80 131,30 222

2 3 3 6 9 3

4 20 40 84 132 —

1,17 0,84 1,66 3,48 4,49 9,23

9 17 35 53 85

19 35,45 79,90 126,90 210

1 2 2 1 —

19 35 79 127 —

1,58 2,95 3,14 g/cm3 4,44 g/cm3 —

3 2 1

1 14 16

1 2 2 1 4 6 3 8

75 11 12 31 32 80 28 130

0,084 1,17 1,33 Dichte in g/cm3 5,72 2,3 3,51 2,20 (rot) 2,06 4,81 2,33 6,24

1 7 8 33 5 6 15 16 34 14 52

1,008 14,007 16,00 74,92 10,81 12,01 30,97 32,06 78,96 28,09 127,60

Oxidationszahlen (wichtigste h`fett)

0-wertig

1, – 1

½ ¾ ¿

7, 5, 3, 1, – 1

1, – 1 5, 4, 3, 2, – 3 –2, –1 5, 3, – 3 3 4, 2, – 4 5, 3, – 3 6, 4, 2, – 2 6, 4, – 2 4, 2, – 4 6, 4, 2, – 2

3.4 Elektronegativität Nichtmetalle sind elektronegative Elemente. Sie ziehen Elektronen an und bilden dann negativ geladene Ionen (Anionen). Der Grad der Anziehung, die so genannte Elektronegativität, wird nach einer Skala mit empirischen Zahlen bewertet. Danach ist Fluor das Element mit der stärksten Anziehung für Elektronen, während das Cäsium das elektropositivste Metall ist.

Elektronegativitätsskala (Pauling)

69

3

3

Chemie Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe 3.5 Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe

Metallbindung

Ionenbindung heteropolare, elektrovalente Bindung

Atombindung homöopolare, kovalente Bindung

Bindungspartner

Metallatome

Metallatome  Nichtmetallatome

Elektronegativität der Partner

elektropositive Elemente

Elemente mit gleicher oder gering unterschiedlicher Elemente mit unterschiedlicher Elektronega- Elektronegativität tivität

Änderung in der Elektronenhülle

Abgabe der Valenzelektronen, nicht lokalisierte Elektronen o „Elektronengas“

Übergang der Valenzelektronen zum Anion, lokalisierte Elektronen o Ionenbildung

Elektronenpaarbildung durch Überlappung einfach besetzter Orbitale, lokalisierte Elektronen o Molekülbildung

Richtung der Bindung

Bindungskräfte allseitig

Bindungskräfte allseitig

Bindungskräfte gerichtet

Struktur und Art der Teilchen

Metallgitter aus gleichen Gitterbausteinen von platzwechselnden Elektronen zusammengehalten

Ionengitter aus Kationen und Anionen mit starken elektrostatischen Kräften zusammengehalten

Moleküle bestimmter Sonderfall, Gruppe IV räumlicher Gestalt (PSE) bilden Molekülgitter mit Atomgitter mit Elektronenschwachen zwischen- paarbindung nach 4 Richmolekularen Kräften tungen o Diamantgitter

Eigenschaften der elektrische Leiter entstehenden Stoffe I. Klasse, plastische Verformbarkeit in kaltem Zustand

elektrische Leiter II. Klasse (Ionenleiter), keine plastische Verformbarkeit in kaltem Zustand, hohe Schmelzund Siedepunkte

Nichtleiter, niedrige Schmelz- und Siedepunkte, z.T. Gase

Halbleiter (evtl. durch Erwärmung), hohe Härte und Schmelzpunkte, keine plastische Verformbarkeit im kalten Zustand

Beispiele

Metalloxide, -hydroxide, Salze

Elementare Gase (außer Edelgase), Kohlenstoffverbindungen

Diamant, Quarz SiO2, Siliciumcarbid SiC, Borcarbid B4C

Metalle und Legierungen

Nichtmetallatome

Polarisierte Atombindung Atombindung zwischen Nichtmetallen mit unterschiedlicher Elektronegativität. Das bindende Elektronenpaar verlagert sich zum negativeren Partner.

Beispiel: H = 2,1; Cl = 3,0; Chlorwasserstoff HCl +G–G H – Cl Ladung G | 0,2 · e–

Folge:

+

H – Cl

–

Dipol

Die polarisierte Atombindung ist als fließender Übergang zwischen den reinen Formen der Atombindung (Nichtmetallatome gleicher Elektronegativität) und der Ionenbindung (Metall- mit Nichtmetallatom) zu betrachten.

70

Chemie Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe Dipol

Molekül mit polarisierter Atombindung, bei dem die Schwerpunkte der Ladung beider Teilchen nicht zusammenfallen, so dass das Molekül ein positives und negatives Ende besitzt. Wichtige Dipole:

Wasser H2O, Ammoniak NH3 (flüssig) Fluorwasserstoff HF (flüssig).

Dipole haben hohe Dielektrizitätskonstante und sind dadurch Lösungsmittel für Ionenverbindungen. Die beiden Enden eines Dipolmoleküls wirken auf Ionen anziehend bzw. abstoßend. Dadurch umgeben sich Ionen mit einer Hülle von Dipolen, welche die elektrostatische Anziehung der Ionen verringern. Dadurch entstehen die freibeweglichen Ionen in z.B. Lösungen des Wassers o elektrolytische Dissoziation, 3.15. stöchiometrische Wertigkeit

Ganzzahlige Angabe über das Verhältnis, mit dem Atome oder -gruppen das Wasserstoffatom binden oder ersetzen können. Neben dem einwertigen Wasserstoff H kann auch der zweiwertige Sauerstoff O als Bezugsgröße dienen.

Ionenwertigkeit Ladungszahl

Ganzzahlige Angabe mit Vorzeichen; kennzeichnet die Anzahl der aufgenommenen Elektronen (Minus-Zeichen) oder der abgegebenen Elektronen (Pluszeichen). Der Betrag der Ionenwertigkeit stimmt mit der stöchiometrischen Wertigkeit überein. Beispiel: Schwefelsäure H2SO4: der Säurerest (SO4)2– hat die Ladungszahl – 2 und die stöchiometrische Wertigkeit 2.

Bindigkeit, Bindungswertigkeit

Ganzzahlige Angabe; kennzeichnet die Anzahl der Elektronen, die das Atom mit seinen Partnern gemeinsam besitzt. Bindigkeit und Wertigkeit stimmen nicht immer überein! Beispiel C-Atome: Methan CH4: Wertigkeit 4 Wertigkeit 2 Äthen C2H4:

Bindigkeit 4 Bindigkeit 4

Bindigkeit mit Hilfe der Elektronenformeln oder Strukturformeln erklärbar.

H

H C

H

C H

Strukturformel Oxydationszahl

H H .. .. C :: C .. .. H H

Elektronenformel

Rechengröße zur Erfassung von Redoxreaktionen. Die Oxydationszahl ist die gedachte Ladung eines Elementes in einer chemischen Verbindung unter der Annahme, sie würde aus Ionen bestehen (auch wenn es eine Atombindung ist). Dabei sind folgende Regeln der Reihe nach anzuwenden: 1. Alle Metalle sowie Bor und Silicium erhalten positive Oxydationszahlen. 2. Fluor, als elektronegativstes Element erhält – 1. 3. Wasserstoff erhält  1 und Sauerstoff – 2, soweit nicht bereits durch Anwendung von Regel 1 und 2 andere Zahlen festliegen.

71

3

3

Chemie Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe Mit Hilfe der Oxydationszahlen können Reaktionsgleichungen nachgeprüft werden unter Beachtung folgender Grundsätze: Alle Elemente, auch die elementaren Gase, haben die Oxydationszahl Null. Bei einer chemischen Verbindung ist die Summe aller Oxydationszahlen gleich Null. Beispiel: Oxydationszahlen des Schwefels +1 H2 S

−2

SO2

für Schwefelwasserstoff ergibt sich – 2

für Schwefeldioxid ergibt sich  4

−2

SO3 für Schwefeltrioxid ergibt sich  6 Bei einem Ion ist die Summe der Oxydationszahlen gleich der Ionenwertigkeit (Ladungszahl). Beispiel: Oxydationszahl des Stickstoffs im Nitrat-Ion, Ladung – 1. −1

⎡ −2 ⎤ ⎣NO3 ⎦ für Stickstoff ergibt sich  5. Bei einer Reaktionsgleichung muss die Summe der Oxydationszahlen auf beiden Seiten gleich groß sein. Dabei können die Oxydationszahlen von Elementen, die sich nicht ändern, fortgelassen werden. Es müssen jedoch die Koeffizienten und Multiplikatoren berücksichtigt werden. Beispiel: Aluminothermische Reduktion von Silicium

Vergleich der 0-Zahlen links und rechts lässt auf fehlende Koeffizienten schließen. Probe auf Gleichheit der Massen ergibt restliche Koeffizienten. Reaktionsgleichung Koordinationszahl

Angabe über die Zahl der unmittelbaren Nachbarteilchen in Raumgittern und Komplex-Ionen. Sie lässt einen Schluss auf die Struktur und den Modellkörper zu, den das Teilchen mit diesen Nachbarn bildet. Koordinationszahl 4 6 8 12 12

Modellkörper Tetraeder Oktaeder Würfel Würfel hexagonales Prisma

Raumgitterstruktur, Beispiel Diamantgitter kubisch-einfach, Kochsalzgitter kubisch-raumzentriert, D-Eisen kubisch-flächenzentriert, J-Eisen, Blei hexagonal-dichteste Packung, Zink, Magnesium

Bei Komplex-Ionen gibt die Koordinationszahl an, wie viele Liganden (Ionen oder Moleküle) um das so genannte Zentralion angeordnet sind. Es sind alle Zahlen von 2…8 möglich, häufig sind die geraden Koordinationszahlen. Beispiel: Natriumhexafluoraluminat, Na3 (AlF6). Als Kryolith für die AlSchmelzflusselektrolyse ein wichtiges Flussmittel. 3Na+ + (AlF6 )3− Im Anion ist das AI von 6 Fluorionen umgeben. Aus den Oxydationszahlen errechnet sich die dreifach +3 -1 negative Ladung des Ions. AlF 6 Komplex-Ionen haben einen räumlichen Bau, der durch die in der Tafel angegebenen Modellkörper beschrieben wird.

72

Chemie Systematische Benennung anorganischer Verbindungen 3.6 Systematische Benennung anorganischer Verbindungen allgemeine Regeln

Grundsätzlich wird der Name des elektropositiveren Elementes (Metall) an erster Stelle (meist unverändert) genannt. Daran wird der Name des elektronegativeren Elementes (oder Gruppe) mit einer Endung angehängt. Bei Verbindungen aus zwei Elementen heißt die Endung – id. Die Reihenfolge der Benennung wird durch die Elektronegativitätsskala nach Pauling geregelt. K Na Ba Li Ca Mg AI Zn Si H P C S N Cl O F 0,8 0,9 1,0 1,2 1,5 1,7 1,8 2,1 2,1 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 4,0 melektropositiver elektronegativero Verbindungen von Wasserstoff Fluor Chlor Brom Jod

Metallverbindungen

Name -hydrid -fluorid -chlorid -bromid -jodid

Verbindungen von Sauerstoff Schwefel Stickstoff Kohlenstoff Phosphor

Name -oxid -sulfid -nitrid -carbid -phosphid

Wenn mehrere Verbindungen des Metalls mit einem Element (oder Gruppe) existieren, wird zur eindeutigen Kennzeichnung die Oxydationsstufe des Metalles zwischen die beiden Teile gesetzt: Beispiele : FeO Eisen(II)-oxid Fe2O3 Eisen(III)-oxid Fe3O4 Eisen(II,III)-oxid, dagegen nur Al2O3 Aluminiumoxid (kein weiteres Oxid bekannt)

Verbindungen von zwei Nichtmetallen 1 2 3 4 5 6 7

mon(o) di tri tetr(a) pent(a) hex(a) hept(a)

Hydroxide

Wenn mehrere Verbindungen zwischen beiden Elementen existieren, wird zur eindeutigen Kennzeichnung zu einem oder auch zu beiden Teilen ein griechisches Zahlwort hinzugefügt. Grundsatz: Nur so viel Zahlworte, als zur zweifelsfreien Bezeichnung erforderlich ! Für das elektropositivere Element entfällt das Zahlwort „mono“. Beispiele : CO Kohlenmonoxid SO2 Schwefeldioxid N2O Distickstoffoxid N2O4 Distickstofftetroxid

CO2 SO3

Namen werden aus dem Metall (evtl. unter Angabe der Oxydationsstufe) und der Hydroxidgruppe (OH) gebildet. Die Zahl der OH-Gruppen wird nicht angegeben. Beispiele : Fe(OH)2 Eisen(II)-hydroxid Fe(OH)3 Eisen(IlI)-hydroxid, Al (OH)3 Aluminiumhydroxid

Säuren

Kohlendioxid Schwefeltrioxid

dagegen: (kein weiteres bekannt)

Keine systematische Benennung. Es werden Trivialnamen (gewerbliche Bezeichnungen) verwendet.

73

3

3

Chemie Systematische Benennung organischer Verbindungen Salze

Salznamen werden aus dem Metall (evtl. unter Angabe der Oxydationsstufe) und dem Namen des Säurerestes gebildet. Saure Salze, die noch Säurewasserstoff enthalten, werden durch ein zwischengeschaltetes -hydrogen- gekennzeichnet (siehe Tabelle).

3.7 Systematische Benennung von Säuren und Säureresten Säure

Formel

Fluorwasserstoffsäure Flusssäure Chlorwasserstoffsäure Salzsäure Bromwasserstoffsäure Jodwasserstoffsäure Schwefelwasserstoffsäure Cyanwasserstoffsäure Blausäure chlorige Säure Chlorsäure Perchlorsäure Cyansäure Kieselsäure Kohlensäure

HF

Säurerest F

Ladung 1-

-fluorid

Salzname

HCI

Cl

1-

-chlorid

HBr HJ H2 S HCN

Br J S CN

1121-

-bromid -jodid -sulfid -cyanid

HCIO2 HClO3 HClO4 HOCN H2SiO3 H2CO3

Phosphorsäure

H3PO4

salpetrige Säure Salpetersäure

HNO2 HNO3

ClO2 CIO3 CIO4 OCN SIO3 CO3 HCO3 PO4 HPO4 NO2 NO3

11112213211-

-chlorit -chlorat -perchlorat -cyanat -silikat -carbonat -hydrogencarbonat -phosphat -hydrogenphosphat -nitrit -nitrat

3.8 Systematische Benennung organischer Verbindungen Kettenförmige Kohlenwasserstoffe (Aliphaten) Der Name einer chemischen Verbindung besteht aus dem Stammnamen, Endungen bzw. Vorsilben und Ziffern, die die Stellung der Gruppen in der Kette angeben. Stammname

wird nach der Zahl der C-Atome in der Hauptkette gebildet. Stamm MethÄthPropButPent-

74

Zahl

Stamm

1 2 3 4 5

HexHeptOktNonDec-

Zahl 6 7 8 9 10

Chemie Systematische Benennung organischer Verbindungen Endung

wird nach der Bindung der C-Atome in der Kette gebildet Endung -an

-en

Name der Formel Beispiel Reihe allgemein Alkan CnH2n + 2 C2H6 (Paraffin) Äthan, Ethan l l CC l l Alken (Olefin)

CnH2n

6

Alkadien (Diolefin)

CnH2n – 2

C

5

C4H6 Butadien 6

Ziffern

Alkin CnH2n – 2 (Acetylen)

Doppelbindung, ungesättigt

6

C

5

-in

Einfachbindung, gesättigt

C2H4 Äthen, Ethen 5

-dien

Bindungen

2 Doppelbindungen, ungesättigt 6

C

CC C 5 l l

C2H2 Äthin, Ethin –C{C–

Dreifachbindung, ungesättigt

Nachgestellte Ziffern geben an, hinter welchem (oder welchen) CAtom(en) die Mehrfachbindung liegt. Sie kann weggelassen werden, wenn bei kurzen Ketten keine Zweideutigkeit vorliegt. Beispiele : CH2 = C = CH – CH3

Butadien-(1,2) Stellung der Doppelbindungen 2 Doppelbindungen 4 C-Atome in der Kette

CH { C – CH3 CH3 – C { CH

Propin Dreifachbindung 3 C-Atome in der Kette

Hier kann die Stellungsziffer weggelassen werden, da die beiden Möglichkeiten für die Lage der Dreifachbindung gleichwertig sind.

verzweigte Ketten

wurden früher mit der Vorsilbe Iso- gekennzeichnet. Systematische Benennung nach vier Regeln: 1. Stammname wird nach der Anzahl der C-Atome in der längsten Kette gebildet 2. Radikalname(n) der Seitenketten als Vorsilben vorgestellt 3. Zahlwörter vor den Radikalnamen, wenn mehrere gleiche Radikale vorliegen 4. Stellungsziffer vor dem Radikalnamen gibt an, bei welchem Glied der C-Kette die Seitenkette abzweigt (kleinstmögliche Ziffer), kann bei Eindeutigkeit fortfallen

75

3

3

Chemie Systematische Benennung organischer Verbindungen Radikale

Kohlenwasserstoffreste (Alkyle) sind ein- oder mehrbindige Atomgruppen, die nicht selbstständig existieren, bei chemischen Reaktionen aber meist zusammenbleiben. Sie leiten sich von den Stammnamen der Kohlenwasserstoffe ab und haben die Endung -yl. CH3C2H5-

Methyl Äthyl

C3H7C4H9-

Propyl Butyl

CH2 = CHCH2 = CH – CH2

Äthenyl Propenyl

Beispiele : 1

2

3

4

CH3  CH  CH2  CH3

2-Methylbutan

l

CH3

4 C-Atome in der Hauptkette Seitenkettenradikal Abzweig beim 2. C-Atom

2, 2-Dimethylpropan

CH3 l CH3  C  CH3 l CH3

3 C-Atome in der Hauptkette 2 Radikale gleicher Art Abzweige am 2. C-Atom

CH3  C l

Methylpropen (statt 2-Methylpropen-(l), da eindeutig)

CH2

CH3

Halogenderivate

Hierfür gelten die Regeln die auf verzweigten Ketten angewendet werden. Anstelle der Alkyl-Radikale treten die Namen der Halogenelemente. Beispiele : CH3 – CH2Cl

Chloräthan

CF2Cl2

Difluordichlormethan

CF2 = CFCl

Trifluorchloräthen

CH2Cl – CH2Cl

1,2-Dichloräthan

Stellungsziffern überflüssig

2 C-Atome, Doppelbindung 1 Cl-Atom als Substituent 3 F-Atome als Substituenten

weitere Derivate

Durch Einbau funktioneller Gruppen in die Stammkohlenwasserstoffe entstehen Derivate, deren Namen meist mit Endung gebildet werden, die von der funktionellen Gruppe abhängen. Bei längeren Ketten muss die Stellung der Gruppe in der Kette angegeben werden. Gleiche Gruppen zwei- oder mehrfach werden durch Zahlwörter berücksichtigt. Beispiel : 4

3

2

1

CH3  CH2  CH CH2  OH |

OH

76

Butandiol-(1,2)

Chemie Ringförmige Kohlenwasserstoffe 3.9 Benennung von funktionellen Gruppen In Klammern stehende Namen sind bekannte Trivialnamen der Verbindungen Derivatname

Endung

Alkanol (Alkohol)

-ol

kennzeichnende Gruppe Struktur Formel R – OH Hydoxy– OH

Alkanal (Aldehyd)

-al

Aldehyd-

Beispiel

Name

C2H5 – OH Äthanol C3H5(OH)3 Propantriol (Glyzerin)

O

6 6

RC

5

– CHO

CH3 – CHO Äthanal (Acetaldehyd)

CO

CH3 – CO – CH3 Propanon (Aceton)

H Alkanon (Keton)

-on

R C R ||

Oxo-

O

– COOH

CH3 – COOH Äthansäure (Essigsäure) CH3 CH – COOH Propensäure (Acrylsäure)

– NH2

CH3 – NH2 Methylamin Aminomethan

– CONH2

CH3 – CONH2 Äthanamid

– CN

CH3 – CN Äthannitril CH2 CH – CN Propennitril (Acrylnitril)

– NO2

CH3 – NO2 Nitromethan

O

Alkansäure (Karbonsäure) Alkensäure

-säure

Aminoalkane

-amin

6 6

Carboxyl- R  C

5

OH H

6

Amino-

RN

5

H O

RC

6 6

Alkanamide

-amid

Alkannitril Alkennitril

-nitril

Nitril-

R–C{N

Nitroalkan

–

Nitro-

R N

5

NH2

O

6 6 5 5

H Alkylsulfone

-sulfon

Alkansäurealkyl-Ester

-ester

Sulfon-

R S R ||

CH3 – SO2 – CH3 Dimethylsulfon

SO2

O O

R1  C

6 6

CH3COOCH3 Äthansäure methylester

– COO –

5

OR2 Alkoxyalkane Äther

C2H5 – O – C2H5 Äthoxy-äthan (Diäthyläther)

R1 – O – R2

-oxy-

3.10 Ringförmige Kohlenwasserstoffe

(Aromaten)

Für diese Verbindungen und ihre Derivate (Ableitungen) sind meist Trivialnamen im Gebrauch. Deswegen werden die Regeln auf Benzol und die wichtigsten Derivate beschränkt. H l

H l

l H

l H

H

H

Benzol C6H6

–

Radikal Phenyl C6H5 –

77

3

3

Chemie Basen, Laugen Stellungsziffern

Die H-Atome können durch Alkylradikale, Halogene oder funktionelle Gruppen substituiert werden. Bei mehreren Substituenten wird die Stellung am Benzolring durch Ziffern bezeichnet, die direkt an der Bezeichnung für den Substituenten stehen (siehe Beispiele).

–1

–1

2

4–

3 1,3-Stellung (meta-), m-

1,2-Stellung (ortho-), o-

–1

1,4-Stellung (para-), p-

Beispiele: – OH

– OH

OH 1,2-Dimethylbenzol (o-Xylol)

CH3 2-Methylhydroxybenzol (o-Kresol)

– COOH COOH Benzoldicarbonsäure-(1,2) (Phtalsäure)

NH3 –

– NH3

1,4-Diaminobenzol (p-Phenylendiamin

3.11 Basen, Laugen

Bezeichnung

chemische Formel

Beispiel und Bemerkung CaO + H2O o Ca(OH)2 (Metalloxid) + (Wasser) o (Hydroxid)

Natronlauge

NaOH

Herstellung durch Elektrolyse von NaCl-Lösung nach verschiedenen Verfahren. Zum Aufschluss von Bauxit, Zellstoff; für Seifenherstellung und Beizen von Aluminium.

Kalilauge

KOH

Elektrolyt in Nickel-Eisen-Akkumulatoren.

Calciumhydroxid, gelöschter Kalk

Ca(OH)2

Calciumoxid, gebrannter Kalk

CaO

Calciumcarbonat, Kalkstein

CaCO3

Magnesiumcarbonat, Magnesit, Dolomit

MgCO3

Natriumcarbonat, Soda

Na2CO3

Kaliumcarbonat, Pottasche

K2CO3

78

Als Kalkwasser eine billige Lauge bei der Zuckerherstellung. Basischer Stoff für die Neutralisation von Abfallsäuren und sauren Böden. Zur Entphosphorung im Stahlwerk. Hochofenzuschlag zur Schlackenbildung und Entschwefelung. Basische Stoffe für feuerfeste Auskleidungen von Öfen und Pfannen im Stahlwerk und Gießerei. Roheisenentschwefelung, Glasherstellung, Entfettungsmittel. Glasherstellung.

Chemie Gewerbliche und chemische Benennung von Chemikalien, chemische Formeln 3.12 Gewerbliche und chemische Benennung von Chemikalien, chemische Formeln gewerbliche Benennung

chemische Benennung

chemische Formel (C2H5)2O KOH NaOH KAl(SO4)2 · 12H2O

Alkohol Antichlor Azeton Azetylen

Äthyläther Kaliumhydroxid Natriumhydroxid Kaliumaluminiumsulfat Äthanol Natriumthiosulfat Aceton Acetylen

Blausäure Bleiglätte Bleiweiß Bleizucker Blutlaugensalz, gelb Blutlaugensalz, rot Borax Braunstein

Cyanwasserstoff Bleioxid bas. Bleicarbonat Bleiacetat Kaliumhexacyanoferrat(II) Kaliumhexacyanoferrat(III) Natriumtetraborat Mangandioxid

HCN PbO 2 PbCO3 · Pb(OH)2 Pb(C2H3O2)2 · 3H2O K4[Fe(CN)6] · 3 H2O

Na2B4O7 · 10 H2O MnO2

Chilesalpeter Chlorkalk Chromsäure Chromkali, gelb Chromkali, rot

Natriumnitrat Chlorkalk Chrom(Vl)-oxid Kaliumchromat Kaliumbichromat

NaNO3 CaCl(OCI) CrO3 K2CrO4 K2Cr2O7

Äther Ätzkali Ätznatron Alaun

C2H5OH Na2S2O3 · 5H2O (CH3)2 · CO C2 H2

gewerbliche Benennung

chemische Formel

Kochsalz (Steinsalz) Kohlensäure Korund Kreide Kupferoxyd, salzsauer Kupfervitriol

Natriumchlorid Kohlendioxid Aluminiumoxid Calciumcarbonat Kupfer(II)-chlorid

NaCl CO2 Al2O3 CaCO3 CuCl2 · 2 H2O

Kupfersulfat

CuSO4 · 5 H2O

Lötwasser

wässerige Lösung von Zinkchlorid

ZnCl2

Manganoxydul, salzsauer Marmor Mennige Methyl-Alkohol

Mangan(ll)-chlorid

MnCl2 · 4 H2O

Calciumcarbonat Blei(II, IV)-oxid Methanol

CaCO3 Pb3O4 CH3OH

Natron (Natronlauge) Natronsalpeter Polierrot Pottasche

Natriumhydroxid

NaOH

Natriumnitrat Eisen(III)-oxid Kaliumcarbonat

NaNO3 Fe2O3 K2CO3

Salmiak, Salmiaksalz Salmiakgeist

Ammoniumchlorid

NH4CI

wässerige Lösung von Ammoniak Chlorwasserstoffsäure Salpetersäure Schwefelsäure Siliciumcarbid Natriumcarbonat

NH3

K3[Fe(CN)6]

destilliertes Wasser destilliertes Wasser H2O

Salzsäure

Eisen(III)-chlorid

FeCl3 · 6 H2O Fe2O3 · xH2O

Eisenvitriol Essig

Eisen(III)-oxidHydrat Ferrosulfat Essigsäure

FeSO4 · 7 H2O CH3COOH

Tetra

Fixiersalz Flusssäure

Natriumthiosulfat Fluorwasserstoff

Na2S2O3 · 5 H2O HF

Tetraäthylblei Tetralin

Gips Glaubersalz Glyzerin Graphit Grünspan

Calciumsulfat Natriumsulfat Glycerin Graphit bas. Kupferacetat

Tri

Höllenstein

Silbernitrat

CaSO4 · 2 H2O Na2SO4 · 10 H2O C3H5(OH)3 C Cu(C2H3O2)2  Cu(OH)2 · 5 H2O AgNO3

Kalilauge (kaustisches Kali) Kalisalpeter Kalk, gebrannt Kalk, gelöscht Kalkstein (Kalzium-) Karbid kaustische Pottaschenlauge kaustische Soda Kieselsäure (Quarz)

Kaliumhydroxid

KOH

Kaliumnitrat Calciumoxid Calciumhydroxid Calciumcarbid Kaliumhydroxid

KNO3 CaO Ca(OH)2 CaCO3 CaC2 KOH

Natriumhydroxid Siliciumdioxid

NaOH SiO2

Eisenoxyd, salzsauer Eisenrost

chemische Benennung

Scheidewasser Schwefelsäure Siliziumkarbid Soda (Kristall-)

Tetrachlorkohlenstoff Bleitetraäthyl Tetrahydronaphthalin Trichloräthylen

HCl HNO2 H2SO4 SiC Na2CO3 · 10 H2O CCl4 Pb(C2H5)4 C10H12 C2HCl3

übermangansaures KaliumpermangaKali nat

KMnO4

Vitriol, blauer Vitriol, grüner

Kupfersulfat Eisen(II)-sulfat

CuSO4 · 5 H2O FeSO4 · 7 H2O

Wasserglas (Natron-) Wasserglas (Kali-) Wasserstoffsuperoxyd

Natriumsilicat Kaliumsilicat Wasserstoffperoxid

Na2SiO2 K2SiO3 H2O2

Zink, salzsauer Zinkchlorid Zinkweiß Zinnchlorid Zinnsalz, Chlorzinn Zyankali

Zinkchlorid Zinkchlorid Zinkoxid Zinn(IV)-chlorid Zinn(II)-chlorid Kaliumcyanid

ZnCl2 ZnCI2 · 3 H2O ZnO SnCl4 SnCl2 KCN

79

3

3

Chemie Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen 3.13 Säuren Bezeichnung

chemische SO2 + H2O o H2SO3 Formel (Nichtmetalloxid) + (Wasser) o (Säure)

Chlorwasserstoffsäure Salzsäure

HCl

Wasser löst bei 15 °C etwa das 450fache Volumen Chlorwasserstoff. Beizmittel zum Entzundern.

Fluorwasserstoffsäure, Flusssäure

HF

Siedepunkt 19,5 °C, als 30… 50 %ige Säure in wässriger Lösung. Ätzmittel für Glas.

Schwefelsäure

H2SO4

Meist verdünnt verwendet. Konzentriert stark wasserentziehend. Hauptverwendung zur Düngemittelherstellung, Akkusäure, Herstellung anderer Säuren.

Salpetersäure

HNO3

Starkes Oxydationsmittel, entzündet konzentriert Holz, Alkohol. Dient zur Einführung der Gruppe NO2 in Kohlenwasserstoffe: Nitrierung von Glycerin: Nitroglycerin.

Phosphorsäure

H3PO4

Phosphatieren von Oberflächen.

3.14 Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen Reaktionsgleichung

Qualitative und quantitative Beschreibung einer chemischen Reaktion mit Symbolen für Elemente und Formeln für chemische Verbindungen. Es sind verschiedene Formen möglich: Reaktionsgleichung mit Summenformeln NaCl + AgNO3 o NaNO3 + AgCl p Ionengleichung Na+  Cl– Ag+  (NO3)– o Na+ (NO3)–  AgCl p Reaktionsgleichung mit Elektronenformeln ⋅ ⋅ : N⋅  ⋅N: o :N ## N: N  N o N2; ⋅ ⋅ Reaktionsgleichung mit Elektronenformeln (Unterscheidung in gepaarte und ungepaarte Außenelektronen) H2  Cl2 o 2 HCl; H:H + | Cl : Cl | o 2 H : Cl |

Erhaltung der Masse

Bei chemischen Reaktionen ändert sich die Masse eines geschlossenen Systems nicht. Folgerung für die Reaktionsgleichung: Jede Atomart muss auf beiden Seiten der Gleichung in gleicher Anzahl auftreten.

Erhaltung der Energie

Wenn bei der Bildung eines Stoffes Energie frei wird, so muss für den umgekehrten Vorgang der gleiche Energiebetrag zugeführt werden. Die Art der Energie (Wärme, elektrische Energie) kann in manchen Fällen eine andere sein.

Reaktionsgeschwindigkeit

Konzentrationsänderung eines Stoffes je Zeiteinheit. Die Reaktionsgeschwindigkeit steigt mit der Temperatur (größere Energie und Häufigkeit der Zusammenstöße) und mit der Konzentration (größere Häufigkeit der Zusammenstöße der Teilchen). Katalysatoren erhöhen, Inhibitoren erniedrigen die Reaktionsgeschwindigkeit.

80

Chemie Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen Konzentration

Anteil eines Stoffes am Stoffsystem (Gasmischung, Lösung) Stoffmengenkonzentration (Molarität) c: Stoffmenge des gelösten Stoffes in 1 l Lösung mit der Einheit Stoffmengenbruch (Molenbruch) x:

mol l

Stoffmenge einer Komponente durch gesamte Stoffmenge mit der Einheit

Umkehrbare Reaktionen

mol mol

=1

Chemische Reaktionen verlaufen gleichzeitig in beiden Richtungen mit zunächst unterschiedlichen Reaktionsgeschwindigkeiten. Hinreaktion, Bildung von SO3 ––––––o SO2 + O ඳ SO3 – 'H Rückreaktion, Zerfall von SO3 m–––––– Die Hinreaktion verläuft anfangs schnell, wegen der abnehmenden Konzentration der Ausgangsstoffe aber langsamer werdend. Die Rückreaktion setzt sehr langsam ein, wird mit zunehmender Konzentration der SO3-Moleküle schneller. Wenn beide Geschwindigkeiten gleich groß geworden sind, ist die Reaktion von außen betrachtet beendet. Dann ist das chemische Gleichgewicht erreicht.

chemisches Gleichgewicht

Dynamischer Gleichgewichtszustand eines Stoffsystems, bei dem gleich viele Moleküle entstehen wie andererseits zerfallen. Ausgangsstoffe und Reaktionsprodukte sind in bestimmten Massenverhältnissen vorhanden. Dieses Massenverhältnis wird als Lage des Gleichgewichts bezeichnet und mit dem Massenwirkungsgesetz berechnet. Das im Gleichgewicht vorhandene Massenverhältnis der Stoffe bleibt bestehen, solange nicht einer der drei Gleichgewichtsfaktoren geändert wird: 1. Temperatur; 3. Konzentration (durch Zu- oder Abfuhr eines der 2. Druck; Reaktionspartner).

Prinzip des kleinsten Zwanges

Gesetzmäßigkeit (Le Chatelier, Braun) über das Verhalten von Stoffsystemen, die im Gleichgewicht sind. Jede Änderung der drei Gleichgewichtsfaktoren (Temperatur, Druck, Konzentration) übt auf das System einen Zwang aus. Dadurch wird diejenige Reaktion beschleunigt, welche den Zwang vermindert. Das System erhält eine neue Gleichgewichtslage.

Einfluss der Temperatur

Bei Temperaturerhöhung wird die Gleichgewichtslage auf die Seite der endothermen Verbindung verschoben, bei Temperatursenkung auf die andere Seite der Reaktionsgleichung. Beispiel: Boudouard-Gleichgewicht, Reaktion eines CO/CO2-Gemisches bei Koksüberschuss (Hochofenprozess)

CO2  C ඳ 2 CO  1,716 · 105 J. Die Bildung von CO ist endotherm, bei Temperaturerhöhung wird mehr CO entstehen, die Hinreaktion wird beschleunigt. Temperatursenkung beschleunigt die Rückreaktion, CO zerfällt in C  CO2.

81

3

3

Chemie Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen Einfluss des Druckes

Bei Druckerhöhung wird die Gleichgewichtslage zu der Seite verschoben, welche Stoffe mit kleinerem Volumen aufweist, bei Druckminderung im entgegengesetzten Sinne. Beispiel: Vakuumbehandlung Desoxydation

FeO  C ඳ CO  Fe;

von

Stahlschmelzen

zur

weiteren

rechte Seite mit größerem Volumen

Die Gleichgewichtsreaktion wird bei Druckminderung (Vakuum) bevorzugt nach rechts weiterlaufen, da die Reaktionsprodukte ein größeres Volumen besitzen. Der Anteil der Ausgangsstoffe (Oxidschlacke) wird vermindert.

Massenwirkungsgesetz (MWG)

Gesetz (Guldberg und Waage) über den Einfluss der Stoffmassen (Konzentration) auf die Reaktion. Der Quotient aus Produkt der Konzentrationen der Reaktionsstoffe Produkt der Konzentrationen der Ausgangsstoffe ist eine für jede Reaktion verschiedene Konstante, die von der Temperatur abhängt. Diese Gleichgewichtskonstante K wird durch Versuche ermittelt. Allgemeine Formulierung für eine Reaktion: n1 A  n2 B … ඳ m1 C  m2 D  … [C ] bedeutet: Konzentration von C

K=

[C ]m1 ⋅ [D]m2 [ A]n1 ⋅ [B ]n2

für eine Temperatur T

Für die Ammoniaksynthese, z. B.: K=

N2  3 H2 ඳ 2 NH3

[NH3 ]2 [N2 ] ⋅ [H2 ]3

Folgerungen aus dem MWG: Wird bei konstanter Temperatur die Konzentration eines Stoffes geändert, so verschiebt sich die Gleichgewichtslage so, dass der Quotient des MWG wieder den Betrag K erhält. Beispiel: Wenn auf der linken Seite der Ammoniaksynthesegleichung die beiden Gase nicht im Verhältnis 1:3, sondern mit etwas mehr Wasserstoff gemischt werden, so erhält der Nenner des MWG einen größeren Wert. Um auf die gleiche Gleichgewichtskonstante K zu kommen, muss das System mehr NH3 bilden, d. h., die Ausbeute an Ammoniak steigt.

Wird eines der Reaktionsprodukte ständig aus dem Stoffsystem entfernt, so kann sich kein Gleichgewicht ausbilden. Die Reaktion verläuft ständig unter Bildung dieses Produktes weiter. Beispiel: Brennen von Kalkstein, Calciumcarbonat

CaCO3 o CaO  CO2 n

CO2 kann aus dem Prozess an die Luft entweichen

Fällungsreaktionen in Lösungen: AgNO3  NaCl o AgCl p  NaNO3 Schwerlösliche Salze – hier AgCl – fallen als Niederschlag aus dem homogenen System der Lösung aus, dadurch Verschiebung der Gleichgewichtslage nach rechts, bis keine Cl-Ionen mehr vorhanden sind.

82

Chemie Ionenlehre Größenordnung der Konstanten K

Die Größenordnung der Gleichgewichtskonstanten K lässt einen Schluss auf die Richtung der Reaktionen zu. Für den Bereich der technisch beherrschbaren Temperaturen gilt: K | 1: Reaktion ist leicht umkehrbar K sehr klein: Rückreaktion verläuft fast vollständig K sehr groß: Hinreaktion verläuft fast vollständig

3.15 Ionenlehre elektrolytische Dissoziation

Aufspaltung von Ionenbindungen und polarisierten Atombindungen in freibewegliche Ionen, die von einer Hydrathülle aus H2O-Dipolen umgeben sind.

Elektrolyt

Stoff, der Ionen enthält und dadurch den elektrischen Strom leitet. Geschmolzene Ionenverbindungen: Salze, Oxide. Gelöste Salze, Säuren und Basen.

Dissoziationsgrad D

Verhältnis der dissoziierten Moleküle zu der Zahl der Moleküle vor der Dissoziation. Der Dissoziationsgrad steigt mit der Temperatur und mit der Verdünnung (Erhöhung der elektrischen Leitfähigkeit). Dissoziationsgrad bei 18 °C in 1-normaler Lösung

D sehr stark stark mäßig stark schwach Dissoziationskonstanten KD

1 … 0,7 0,7 … 0,2 0,2 … 0,01 0,01 … 0,001

Säure HNO3, HCl H2SO4 H3PO4, HF CH3COOH

Base KOH, NaOH, Ba(OH)2 LiOH, Ca(OH)2 AgOH NH4OH

Bei Anwendung des Massenwirkungsgesetzes auf die elektrolytische Dissoziation (Gleichgewichtsreaktion) wird die Gleichgewichtskonstante K zur Dissoziationskonstanten KD

[Kation] ⋅ [Anion] = KD  [Molekul]

Größenordnung von KD: schwache Elektrolyte mittlere Elektrolyte starke Elektrolyte

Kation, Anion

KD

mol l

mol l

KD  10–4 KD > 10–4 KD | 1

KD steigt mit der Temperatur, ist aber unabhängig von der Konzentration des Elektrolyten. Ostwald’sches Verdünnungs-Gesetz

Zusammenhang zwischen Dissoziationskonstante KD und Dissoziationsgrad D. Gültig für schwache Elektrolyte in starker Verdünnung Konzentration c c α2 KD = 1− α mol / l

Ionenprodukt des Wassers

Reines Wasser ist außerordentlich gering dissoziiert. Das Produkt der Konzentrationen im Zähler des MWG beträgt [H + ] ⋅ [OH − ] = 10−14

mol2 bei 25 °C l2

83

3

3

Chemie Ionenlehre Die Konzentrationen der beiden Ionen betragen danach 10–7 mol/l, d.h.: 1 l Wasser enthält und

[H] [OH–] [H] ! [OH–] [H]  [OH–]

Reines Wasser: Säure: Base: pH-Wert

10–7 · 1 g Wasserstoff-Ionen 10–7 · 17 g Hydroxid-Ionen. ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

Produkt immer

10−14

mol2 l2

Negativer Briggs’scher Logarithmus der Wasserstoff-Ionenkonzentration in wässrigen Lösungen. pH

lg [H] und

[H]

10–pH

Maß für den sauren, neutralen oder basischen Charakter eines Elektrolyten, durch Indikatoren mittels Farbumschlag oder elektrisch messbar. 1 2 3 4 5 6 stark m sauer

7 neutral

8 9 10 11 12 13 14 basisch o stark

Indikatoren

Name

Farbumschlag

Dimethylgelb Methylorange Methylrot Lackmus Phenolphtalein Thymolphtalein Alizaringelb Löslichkeitsprodukt L

rot – gelb rot – orange rot – gelb rot – blau farblos – rot farblos – blau gelb – orangebraun

Umschlagbereich pH-Werte 2,9… 4,0 3,0… 4,4 4,2… 6,3 5,0… 8,0 8,2… 10,0 9,3… 10,5 10,1… 12,1

Diese Konstante entspricht der Gleichgewichtskonstanten des MWG, wenn es auf gesättigte Lösungen angewendet wird. Bei konstanter Temperatur lässt sich die Konzentration der gelösten Teilchen nicht erhöhen (Sättigung). Bei Zugabe der einen Ionensorte muss die andere in Form der unlöslichen Verbindung als Niederschlag ausfallen. Beispiel: L für Silberchlorid AgCl beträgt 1,6 · 10–10

mol2 l2 Daraus lässt sich die Stoffmengenkonzentration der Ag-Ionen bestimmen: [Ag ] · [Cl –]

1,6 · 10–10

c = 1,6 ⋅10−10

mol2 l2

1,265 · 10–5

mol2 l

das ergibt einen Silbergehalt von g mol m = MV c = 108 ⋅1 l ⋅1,265 ⋅10−5 mol l m = 1,366 ⋅ 1083 g = 1,366 mg in einem Liter

Durch Zugabe von weiteren Cl-Ionen (HCI-Zusatz) würde das Löslichkeitsprodukt überschritten, deshalb muss bei Erhöhung des einen Faktors (Cl –) der andere Faktor (Ag ) kleiner werden, d. h., es bildet sich weiteres unlösliches Silberchlorid AgCl. Gilt streng nur für schwerlösliche Verbindungen oder Lösungen mol schwacher Konzentration < 0,1 l

84

Chemie Elektrochemische Größen und Gesetze 3.16 Elektrochemische Größen und Gesetze Spannungsreihe

Reihenfolge der Elemente nach fallendem Lösungsdruck geordnet. Lösungsdruck ist das Bestreben, in den Ionenzustand überzugehen und als elektrische Spannung messbar o Normalpotenziale. K Ca Na Mg AI Zn Cr Fe Cd Ni Sn Pb H Cu Ag Pt Au HCl greift an, HCl greift nicht an Wasserstoff wird frei unedler l edler

–

+

Metalle, die in der Spannungsreihe links stehen, können rechts davon stehende reduzieren, d. h., sie verdrängen diese aus ihren Salzlösungen. Beispiel: Eisenblech in Kupfersulfatlösung +2

0

+2

0

CuSO4 + Fe → FeSO4 + Cu

Redoxreaktion

Unedle Metalle: links stehend, niedrige Elektronenaffinität, leicht oxydierbar. Edle Metalle: rechts stehend, hohe Elektronenaffinität, schwer oxydierbar. Normalpotentiale E0 Standardpotentiale

Spannung eines Metalls in seiner Salzlösung gegenüber der Normalwasserstoffelektrode bei 25 °C. Metall Li K Ca Na Mg AI Mn Zn Cr Fe

Spannung V – 3,02 – 2,92 – 2,87 – 2,71 – 2,36 – 1,66 – 1,05 – 0,76 – 0,71 – 0,44

Metall Cd Co Ni Sn Pb H Cu Ag Pt Au

Spannung V – 0,41 – 0,28 – 0,23 – 0,14 – 0,13 r0  0,34  0,80  1,2  1,42

Spannungswerte sind abhängig von der Konzentration der Salzlösungen. Sie werden negativer, wenn die Konzentration sinkt. galvanisches Element

System aus einem Elektrolyten, in den zwei verschiedene Metalle tauchen. Stromquelle mit einer Urspannung E, die sich aus der Differenz der Normalpotentiale errechnet. Minuspol: Metall, in der Spannungsreihe links stehend, geht in Lösung, gibt Elektronen ab. Pluspol: Metall, rechts in der Spannungsreihe stehend, nimmt Elektronen aus dem Elektrolyten auf, bleibt unverändert. Beispiel: Urspannung zwischen Cu und Zn unter den Bedingungen der Normalpotentialmessung: E = E0 Cu – E0 Zn =  0,34 V – (– 0,76 V) = 1,1 V

Elektrolyse

Redoxreaktion in einem Elektrolyten unter Zufuhr von Energie. Oxydation und Reduktion verlaufen örtlich getrennt. Anode (Plus-Pol): Anziehung der negativ geladenen Ionen (Anionen), z. B. OH– oder Halogene. Entladung durch Abgabe von Elektronen: Oxydation.

85

3

3

Chemie Elektrochemische Größen und Gesetze Katode (Minus-Pol): Anziehung der positiv geladenen Ionen (Kationen), z. B. Metalle und Wasserstoff. Entladung durch Aufnahme von Elektronen: Reduktion. Besteht der Elektrolyt aus zwei oder mehr verschiedenen Anionen (Kationen), so werden diejenigen Teilchen entladen, für deren Abscheidung die kleinste Spannung benötigt wird. Beispiel : Bei der Elektrolyse von Salzlösungen unedler Metalle (K, Na, Mg, AI) wird Wasserstoff abgeschieden, da H ein niedrigeres Potential besitzt als diese Metallionen.

Faraday’sche Gesetze

Die abgeschiedenen Stoffmengen sind bei gleichen Elektrolyten der Elektrizitätsmenge proportional. Bei verschiedenen Elektrolyten werden von der gleichen Elektrizitätsmenge Stoffmassen abgeschieden, die sich wie die Äquivalentmassen der Stoffe verhalten. abgeschiedene Stoffmasse M z F F

MIt zF molare Masse (siehe 3.10) Ionenwertigkeit Faraday-Konstante As Ah = 96 485 = 26,8 mol mol m=

m g

M g mol

I

t

A

s

F As mol Ah mol

h

Faraday-Konstante F

Elektrizitätsmenge, die bei 100 %iger Stromausbeute aus einem Elektrolyten die äquivalente Masse Meq eines Stoffes abscheidet. Sie ist das Produkt aus der Elementarladung und der Avogadro-Konstante. 1 F = e ⋅ NA = 1,602 ⋅10−19 As ⋅ 6,022 ⋅1023 mol C As As F = 96 485 = 96 485 ≈ 96 500 mol mol mol

elektrochemische Äquivalente

Stoffmasse in mg oder g, die bei 100 %iger Stromausbeute von einer Elektrizitätsmenge 1 As bzw. 1 Ah abgeschieden wird. Äquivalent Ä Element Aluminium Beryllium Cadmium Chrom Eisen Kupfer Magnesium Sauerstoff Silber Wasserstoff Zink Zinn

86

AI Be Cd Cr Fe Fe Cu Cu Mg O Ag H Zn Sn

Ionenwertigkeit

mg As

g Ah

III II II III II III I II II II I I II IV

0,093 0,047 0,582 0,180 0,289 0,193 0,658 0,329 0,126 0,083 1,118 0,0104 0,339 0,308

0,335 0,168 2,097 0,647 1,042 0,694 2,370 1,185 0,454 0,298 4,025 0,0376 1,22 1,107

Chemie Größen der Stöchiometrie Die Berechnung der abgeschiedenen Stoffmassen wird durch elektrochemische Äquivalente vereinfacht. m

3.17 Größen der Stöchiometrie

m mg g

ÄIt

Ä mg/As g/Ah

t s h

I A

Beispiel: Welche Zeit ist erforderlich, um 50 g Kupfer aus einer Kupfer(II)-sulfatlösung mit einem Strom von 8 A abzuscheiden ? m 50 g Ah t= = = 5,274h ÄI 1,185 g ⋅ 8 A

relative Atommasse Ar

siehe 3.1

relative Molekülmasse Mr

Summe der relativen Atommassen Ar aller im Molekül gebundenen Atome, aus der Summenformel der chemischen Verbindung errechnet. Beispiel: Aluminiumsulfat Al2(SO4)3 Mr

Stoffmenge n

2 Al  (S  4 · 0) = 2 · 27  3 (32  4 · 16)

342

Basisgröße mit der Einheit der Teilchenmenge „Mol“. Kurzzeichen mol, 1 kmol = 103 mol. Definition der Einheit nach dem Einheitengesetz: 1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des Nuklids 12C enthalten sind. Teilchen im Sinne dieser Definition sind Atome, Moleküle, Ionen, Radikale, Elektronen. N u Ar m Teilchenzahl N n= = = Avogadro - Konstante NA NA u A r M

mit

u atomare Masseneinheit, M molare Masse

Beispiel: Welche Stoffmenge stellen 200g Äthin, C2H2 dar? g g 200 g = 26 = 7,69 mol M (C2H2 ) = (2 ⋅12 + 2) n= mol mol 26 g ⋅ mol−1 Avogadro-Konstante NA

Naturkonstante, Anzahl der Teilchen, die in der Stoffmenge 1 mol aller Stoffe enthalten ist. NA

6,022 · 1023 · mol –1

(Der Betrag dieser Konstanten wird auch als Avogadro-Zahl, vielfach auch als Loschmidt’sche Zahl bezeichnet.) molare Masse M

Masse einer Stoffmenge n = 1 mol 1 M = NA u A r = 6,022 ⋅ 1023 ⋅ 1,66 ⋅ 10−24 g ⋅ A r mol  

1

g mol g M = Mr mol

M = Ar

g mol

für atomare Substanzen für molekulare Substanzen

Beispiele : Kohlenstoff

MC = 12

g mol

(Grammatom)

87

3

3

Chemie Größen der Stöchiometrie

molares Normvolumen Vm, 0 (Molvolumen)

MCO2 = 44

(Grammmolekül)

Sulfat-Ion

MSO4

(Grammion)

Die Stoffmenge 1 kmol eines idealen Gases nimmt im Normzustand (bei 0 °C und 1,013 bar) ein Volumen von 22,414 m3 ein. Vm,0 = 22,414

Umrechnung Masse–Volumen

g mol g = 96 mol

Kohlendioxid

m

m3 kmol

M

kg kmol g mol

kg

m V0 = Vmn = n Vmn M

g

Vm,0, V0

m3 1

Beispiel: Normvolumen von 100 g Propan C3H8 g g M (C3H8 ) = (3 ⋅12 + 8) = 44 mol mol V0 = Stoffmengenkonzentration c (Molarität)

100 g ⋅ 22,414 dm3 ⋅ mol−1 = 50,9 dm3 44 g ⋅ mol−1

Quotient aus der Stoffmenge n und dem Volumen eines homogenen Stoffsystems (Gasmischung, Lösung) c=

n m = V MV

c mol l

m g

M g mol

V l

Beispiel: In einer Lösung sind in 10 ml Lösung 0,2 g NaOH enthalten. 0,2 g mol c= (0,5-molar) = 0,5 l 40 g mol−1 ⋅10−2 l molare Lösung

Lösung mit bestimmter Stoffmengenkonzentration. Eine Lösung ist nmolar, wenn in 1 l Lösung die Stoffmenge n mol gelöst ist. Beispiel : Wie viel Gramm NaCl sind in 100 ml einer 0,1 molaren Lög ; sung enthalten? M (NaCl) (23 + 35,5) mol mol g m c= ; m = c MV = 0,1 58,5 ⋅ 0,1 l = 0,585 g l MV mol

Äquivalentmenge neq

Hilfsgröße, ganzzahliges Vielfaches der Stoffmenge, Produkt aus Stoffmenge und Wertigkeit z neq = n z =

mz m = M Meq

n m

Stoffmenge in mol Masse in g

Meq äquivalente Masse in

g mol

Wertigkeiten z Salze Säuren Basen Redox-Reaktionen

Ladungszahl der Ionen Anzahl der H-Atome der Summenformel Anzahl der OH-Gruppen der Summenformel Differenz der Oxydationszahlen

Die Äquivalentmenge neq eines Stoffes kann aufgefasst werden als Teilchenmenge von Wasserstoff-Ionen, die in der Lage ist, die Stoffmenge 1 mol dieses Stoffes zu ersetzen oder zu binden.

88

Chemie Beispiele für stöchiometrische Rechnungen Beispiel : Zink reduziert Wasserstoff. Die Stoffmenge 1 mol Zn2 hat die Äquivalentmenge neq 2 mol, da diese Ionen die zweifache Menge Wasserstoffatome freimachen können, d.h., ihnen äquivalent sind. äquivalente Masse Meq (Grammäquivalent)

Meq =

Hilfsgröße, aus der molaren Masse gebildet, als Quotient aus molarer Masse und Wertigkeit.

M z

Bei mehrladigen Ionen wird durch die Elektrizitätsmenge F 96 485 As/mol die äquivalente Masse abgeschieden (F Faraday-Konstante). Äquivalentmengenkonzentration ceq (Normalität)

Hilfsgröße, aus der Stoffmengenkonzentration (Molarität) gebildet, als Produkt von Molarität und Wertigkeit z

ceq = c z =

ceq

nz mz = V MV

m

mol l

g

z

M

V

–

g mol

l

Beispiel : Normalität von 150 ml Lösung in der 10 g H2SO4 gelöst sind. g M (H2SO4) 98 mol 10 g ⋅ 2 mol ceq = = 1,36 l 98 gmol−1 ⋅ 0,151 Normallösung

Lösung mit bestimmter Äquivalentmengenkonzentration (Normalität). In einer 1 n Lösung ist in 1 l Lösung die äquivalente Masse Meq gelöst. Beispiel: Herstellung einer 0,1 n Lösung HNO3 von 400 ml. ceq MV 0,1⋅ mol ⋅ l −1 ⋅ 63 g ⋅ mol−1 ⋅ 0,4 l m= = z l m 2,25 g HNO3 in V säure

3.18 Beispiele für stöchiometrische Rechnungen Massengehalt

400 ml Säure ergeben eine 0,1 n Salpeter-

Säure- und Basenlösungen der gleichen Normalität neutralisieren sich, wenn gleiche Volumina zusammengebracht werden.

Berechnung des Massenanteils eines Elementes E an einem Molekül M E% =

A rE Mr

⋅ 100

ArE relative Atommasse des Elements E Mr relative Molekülmasse des Moleküls M

Beispiel : Eisengehalt von Fe3O4 mit ArFe = 56 und ArO

16.

3 ⋅ 56 168 Fe% = 100 = 100 = 72,4% 3 ⋅ 56 + 4 ⋅16 232 Stoffumsatz

Berechnung von Ausgangsstoffen oder Reaktionsprodukten in folgenden Schritten. Beispiel: Vollständige Verbrennung von Propan. Gesucht sind Sauerstoffmasse und -volumen zur Verbrennung von 80 g Propan. Vollständige Reaktionsgleichung aufstellen:

C3H8  5 O2 o 3 CO2  4 H2O 6 O-  4 O-Atome

Einsetzen der molaren Massen ergibt Massengleichung:

44 g  160 g

Gegebene Stoffmasse hinschreiben:

80 g

132 g  72 g

89

3

3

Chemie Beispiele für stöchiometrische Rechnungen Überlegung: Von allen Stoffen die 80 g = 1,818 1,818fache Masse nehmen. 44 g Massengleichung mit dem Faktor 80 g  290,9 g 240 g  130,9 g multiplizieren: Faktor x =

Ergebnis: Sauerstoffbedarf für 80 g Propan beträgt 290,9 g. Umrechnung Masse – Volumen siehe „molares Normvolumen“ l 290,5 g ⋅ 22,4 m mol = 203,6 l Vn = Vmn = g M 32 mol Das Volumen der beteiligten Gase kann auch direkt aus der Reaktionsgleichung berechnet werden: o 3 CO2

+ 4 H2O

5 mol

3 mol

4 mol

Für unbekannte Gase das 44 g molare Normvolumen einsetzen:

5 · 22,4 l

3 · 22,4 l

4 · 22,4 l

Gegebenen Stoff einsetzen:

44 g

Vn1 5 ⋅ 22, 4 l

Vn2 3 ⋅ 22, 4 l

Vn3 4 ⋅ 22, 4 l

80 g

Vn1

Vn2

Vn3

Reaktionsgleichung:

C3H8 + 5 O2

Gleichung mit Stoffmengen ansetzen:

1 mol

Proportion ansetzen

80 g

Gesuchtes Gasvolumen ausrechnen:

Mischungsregel

Vn1 =

5 ⋅ 22,4 l ⋅ 80 g = 203,61 44 g

m1 · Z1  m2 · Z2 (m1  m2) Z m1, m2 Masse der Mischungskomponenten Z1, Z2 Massengehalt der Komponenten in % Z Massengehalt der Mischung in % Beispiel: Welchen Massengehalt hat die Mischung von 100 g 10 %iger Natronlauge mit 50 g 20 %iger?

ω= Mischungskreuz

m1 ⋅ ω1 + m2 ⋅ ω2 100 g 10% + 50 g 20% = = 13,33% m1 + m2 150 g

Zur einfachen Bestimmung der Massenteile (Mischungsverhältnis) der Komponenten, wenn die Massengehalte der Komponenten und der Mischung gegeben sind. Z – Z2 ––––––––––––––––

Massengehalt Z1 hoch Massengehalt Z Mischung Massengehalt Z1 niedrig

Mischungsverhältnis

ξ=

ω − ω2 ω1 − ω

Z1 – Z ––––––––––––––––

In Pfeilrichtung die Differenzen der Massengehalte bilden (positive Vorzeichen). Die beiden Differenzen ergeben das Mischungsverhältnis [. Beispiel: Aus den Messingsorten mit 63 % und 72 % Cu-Gehalt soll 68 %iges Messing hergestellt werden. 5 5 72 mit 72% Cu 5 9 ξ= 68 4 4 4 mit 63% Cu 63 9 9

90

Chemie Energieverhältnisse bei chemischen Reaktionen 3.19 Energieverhältnisse bei chemischen Reaktionen exotherme Reaktion

Bei der Reaktion wird Energie, meist Wärme, nach außen abgegeben. Die Energie erscheint in der Reaktionsgleichung auf der rechten Seite mit Minus-Zeichen, sie wird von dem reagierenden Stoffsystem weggenommen.

endotherme Reaktion

Bei der Reaktion wird Energie, meist Wärme, verbraucht, d. h., sie muss zugeführt werden, damit die Reaktion verläuft. Die Energie erscheint auf der rechten Seite mit Plus-Zeichen, sie muss dem Stoffsystem zugeführt werden.

Bildungsenthalpie

Wärme, die beim Entstehen einer chemischen Verbindung aus ihren Elementen gemessen werden kann. Angabe in der Einheit J/mol. 4 Fe  3 O2 o 2 Fe2O3 – 16,62 · 105 J Da 2 mol Fe2O3 entstehen, beträgt die Bildungsenthalpie die Hälfte, W 8,31 · 105 J/mol.

Reaktionsenthalpie

Wärme, die bei einer chemischen Reaktion als Energiedifferenz auftritt. Ihr Betrag bezieht sich auf den Formelumsatz. Dazu wird die Reaktionsgleichung mit den kleinsten ganzzahligen Koeffizienten aufgestellt. Der dann in Molen beschriebene Stoffumsatz hat die angegebene Reaktionsenthalpie. Fe2O3  2 Al o Al2O3  2 Fe – 8,4 · 105 J Die Energieangabe bezieht sich dabei auf die Umsetzung von 1 mol Fe2O3 160 g mit 2 mol Al 54 g zu 1 mol Al2O3 102 g und 2 mol Fe 112 g. Sie ist die Differenz aus den Bildungsenthalpien ( Trennungsenthalpien). Bildung von 1 mol Al2O3 Trennung von 1 mol Fe2O3 Reaktions-Enthalpie

– 16,71 · 105 J  8,31 · 105 J – 8,40 · 105 J

91

3

3

Chemie Bildungs- und Verbrennungswärme einiger Stoffe 3.20 Heizwerte von Brennstoffen Name

Heizwert Name Hu · 106 J/m3

Gase und Dämpfe1), chemisch rein Äthan Athen (Äthylen) Äthin (Acetylen) Benzol Dimetylbenzol (Xylol) Methan Methylbenzol (Toluol) Propan Propen (Propylen)

C2H6 C2H4 C2H2 C6H6 C6H4(CH3)2 CH4 C6H5CH3 C3H8 C3H6

Flüssige Brennstoffe 64,5 59,5 56,9 144,0 199,0 35,9 172,0 93,0 87,8

Technische Gase1)

C2H5OH Äthanol (Äthylalkohol) Benzin für Automotoren Benzol C6H6 Dieselöl Flüssiggas Heizöl Methanol (Methylalkohol)

27 42,5 40 41,6 45,8 42,9 19,5

Feste Brennstoffe (25…33) (4,8…5,2) (3,9…4,1) (17,2…18) (17,6…19,3) (9,8…10,7)

Erdgas, trocken Generatorgas Gichtgas Koksofengas Stadtgas Wassergas 1)

Heizwert Hu · 106 J/kg

08,4 15,1 09,6 19,3 31,0 29,3 28,0

Holz, frisch Holz, trocken Braunkohle, roh Braunkohle, brikettiert Steinkohle, Anthrazit Zechenkoks Gaskoks

bezogen auf 1 Normalkubikmeter

3.21 Bildungs- und Verbrennungswärme einiger Stoffe Element (Stoff) C C CO P S Si Mn Ti Al Mg Ca H H H

92

Bildungswärme Oxid J / mol Oxid CO CO2 CO2 P2O5 SO2 SiO2 MnO TiO2 Al2O3 MgO CaO H2O (HF) (Cl)

1,1 · 105 3,9 · 105 2,8 · 105 15,1 · 105 3,0 · 105 8,6 · 105 3,9 · 105 9,4 · 105 16,7 · 105 6,0 · 105 6,4 · 105 2,9 · 105 2,7 · 105 0,9 · 105

Verbrennungswärme J / m3 Gas J / kg Stoff bei 0 °C; 1,013 bar 9,2 · 106 32,8 · 106 10,1 · 106 24,3 · 106 9,3 · 106 30,6 · 106 7,0 · 106 19,7 · 106 31,0 · 106 24,8 · 106 11,3 · 106 142 · 106 268 · 106 91 · 106

– – 12,6 · 106 – – – – – – – – 12,8 · 106 24,1 · 106 8,2 · 106

Werkstofftechnik Werkstoffprüfung 4.1 Werkstoffprüfung Härteprüfung nach Brinell DIN EN ISO 6506/05 Kurzzeichen HBW (W = Hartmetallkugel)

Eindringkörper aus gehärtetem Stahl sind nicht mehr zulässig. (Bezeichnung HBS)

HBW =

(

0, 204F

πD D−

D2

−d2

)

HB 1

F D, d N mm

350 HBW 10/3000: Brinellhärtewert von 350 mit Kugel von 10mmm ‡, einer Prüfkkraft F = 29,420 kN bei genormter Einwirkdauer von 10...15 s gemessen (deshalb keine Angabe). Prüfkraft F errechnet sich aus dem sog. kgf-Wert (hier 3000). Er gibt die Masse m an, deren Gewichtskraft als Prüfkraft wirkt F = Beanspruchungsgrad x D 2/0,102 in N 120 HBW 5/250/30: Brinellhärte von 120 mit Kugel von 5 mm ‡, einer Prüfkkraft F = 2452 N bei einer längeren Einwirkdauer von 30 s gemessen.

Prüfkräfte und Prüfbedingungen Kurzzeichen HBW 10/3 000 HBW 10/1 500 HBW 10/1 000 HBW 10/500 HBW 10/250 HBW 10/100 HBW 5/750 HBW 5/250 HBW 5/125 HBW 5/62,5 HBW 5/25

Kugel-‡ D

10 mm

5 mm

B.-G. 1) 30 15 10 5 2,5 1 30 10 5 2,5 1

Prüfkraft F in N 29420 14710 9807 4903 2452 980,7 7355 2452 1226 612,9 245,2

Mindestdicke smin der Proben in Abhängigkeit vom mittleren Eindruck-‡ d (mm): smin = 8 h mit Eindrucktiefe h

h = 0,5 (D − D 2 − d 2 ) Eindruck ‡d 0,2 1 1,5 2 2,4 3 3,6 4 5 6

Mindestdicke s der Proben für Kugel-‡ D in mm: D=1 2 2,5 5 10 0,08 1,07 0,83 2,0 0,92 1,67 2,4 1,17 4,0 1,84 2,68 3,34 5,36 8,00

Kurzzeichen Kugel-‡ D B.-G. 1) HBW 2,5/187,5 30 HBW 2,5/62,5 10 2,5 mm HBW 2,5/31,25 5 HBW 2,5/15,625 2,5 HBW 2,5/6,25 1 1) Beanspruchungsgrad in MPa HBW 1/30 30 HBW 1/10 10 1 mm HBW 1/5 5 HBW ½,5 2,5 HBW 1/1 1

Prüfkraft F in N 1839 612,9 306,5 153,2 61,29 294,2 98,07 49,03 24,52 9,807

Beanspruchungsgrad (werkstoff- und härteab2 hängig) = 0,102 x F /D (o Übersicht). Übersicht: Werkstoffe und Beanspruchungsgrad Werkstoffe

BrinellBereich HBW < 140 > 140 35...200  200 < 35

Beanspruchungsgrad MPa 30 10 30 10 30 2,5

< 35 35 ... 80 > 80

2,5 5/ 10/ 15 10/15

Stahl, Ni, Ti Gusseisen 1) Cu und Legierungen Leichtmetalle

Pb, Sn Sintermetalle ISO 4498/05 1) Nur mit Kugel 2,5; 5 oder 10 mm ‡.

1

Der Kugel-‡ D soll so groß wie möglich gewählt werden. Danach muß nach der Härteprüfung mit Hilfe der linken Tafel festgestellt werden, ob für den ermittelten Eindruck-‡ d die Mindestdicke kleiner ist als die Probendicke. Andernfalls ist die nächst kleinere Kugel zu verwenden.

93

4

Werkstofftechnik Werkstoffprüfung Härteprüfung nach Vickers DIN EN ISO 6507/05

0,189F d2 d1 + d2 d= 2

HV 1

HV =

F N

d mm

640 HV 30: Vickershärte von 640 mit F = 294 N bei 10…15 s Einwirkdauer gemessen. 180 HV 50/30: Vickershärte von 180 mit F = 490 N bei 30 s Einwirkdauer gemessen.

Kurzzeichen HV

Kleinkraftbereich: Für kleine Proben oder dünne Schichten mit kleineren Kräften zwischen 1,96 und 49 N. Mikrohärteprüfung: Für einzelnen Kristalle mit Kräften von 0,1 bis 1,96 N auf besonderen Geräten.

1,6 Kurve Prüfkraft F 2 1 in N 1,4 1 980 2 490 1,2 4 3 294 4 196 1,0 5 98 5 6 49 0,8 0,6 6 0,4 0,2 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Vickershärte HV

mm 3

Mindestdicke smin der Proben

4

Diagramm: Mindestdicke in Abhängigkeit von Härte und Prüfkraft Ablesebeispiel: Probe mit einer zu erwartenden Härte von 300 HV und 1 mm Dicke. Der Schnittpunkt beider Koordinaten im Diagramm liegt oberhalb der Kurve 2, also ist eine Prüfkraft von F = 490 N geeignet, sie würde in einem weicheren Werkstoff mit der Probendicke s = 1 mm bis herunter zu einer Vickershärte von 200 HV noch zulässig sein. Härteprüfung nach Rockwell DIN EN ISO 6508/05

HRC = 100 – 500 t b HRA

HRC

tb

1

mm

HRN =100 −1000 t b

HRN

tb

1

mm

Prüfverfahren mit Diamantkegel Kurzzeichen Prüfvorkraft F0 Prüfkraft F1 Prüfgesamtkraft F Messbereich

HRC

HRA

HR 15 N

HR 30 N

98

98

29,4

29,4

29,4

1373

490

117,6

265,0

412,0

1471

588

147,0

294,0

441,0

20...70 HRC

60...88 HRA

68...92 HR 15 N

39...84 HR 45 N

17...75 HR 45 N

Härteskale

0,2 mm

0,2 mm

0,1 mm

Werkstoffe

Stahl gehärtet, angelassen

Wolframcarbid, Bleche t 0,4 mm

Dünne Proben t 0,15 mm, kleine Prüfflächen, dünne Oberflächenschichten

Die Probendicke soll mindestens das 10-fache der bleibenden Eindringtiefe t b betragen.

94

HR 45 N

Werkstofftechnik Werkstoffprüfung Zugversuch DIN EN 10 002/01

Mit Zugproben (DIN 50 125) L0 = 5 d 0 L0 = 5,65 S 0

Hooke`sches Gesetz

Zugfestigkeit Rm

σ =εE =

Rm =

∆L F E = L0 S0

Fmax S0

V, E

H

'L, L0

F

S0

N mm 2

1

mm

N

mm2

Rm,Re,Rp0,2

A5,A10,Z

F

L

S0

H

N mm 2

%

N

mm2

mm2

1

F0,2

Streckgrenze Re

Re =

0,2-Dehngrenze Rp 0,2

R p 0 ,2 =

S0 F0,2 S0

Bruchdehnung A

A =

Lu − Lo ⋅ 100 % Lo

Brucheinschnürung Z

Z =

So − Su ⋅ 100 % So

Elastizitätsmodul E

E =

ı İ el

Kerbschlagbiegeversuch (Charpy)

Kerbschlagarbeit KV (KU)= F(h – h1)

Spannung-Dehnung-Diagramme 1 weicher Stahl 2 legierter Stahl 3 Gusseisen KV, KU F H, h1 J

N

m

DIN EN 10045/91 DIN 50115/91

Kurzzeichen

KV = 100 J: Verbrauchte Schlagarbeit 100 J an V-Kerb-Normalprobe und einem Pendelhammer mit 300 J Arbeitsvermögen (Normwert) ermittelt, KU 100 = 65 J: Verbrauchte Schlagarbeit 65 J an U-Kerb-Normalprobe mit Pendelhammer von 100 J Arbeitsvermögen ermittelt

95

4

Werkstofftechnik Eisen-Kohlenstoff-Diagramm 4.2 Eisen-Kohlenstoff-Diagramm

D’

1536 °C A 2 B 1493 °C 1500 H I 3 1392 °C N 4 1300

1 D 5 6 E’ E

7 Temperatur in °C

4

1100

C’ C

1153 °C 1147 °C

F’ F

8

911 °C G 900

11 M 769 °C 0 S ’ 12 P ’ 700 P S

10

13

14

500

10

K’ K

738 °C 723 °C

0,8 0

9

20

15

16

2 3 4 4,3 5 Kohlenstoffgehalt in Gewichtsprozent 30 40 50 60 70 80 Zementitgehalt in Gewichtsprozent

5

6,67 7

90

100

Phasenanteile der Legierungen in den Zustandsfeldern 1...16 Metastabiles System Fe-Fe3C (ausgezog. Linien)

96

Stabiles System, Fe-C (strichlierte Linien)

1

Schmelze (S)

9

Primär-Zem.+ Eu.

1

Schmelze (S)

2

S.+ G-Mk.

10

J-Mk. + Sek.-Zem.

2

S. + G-Mk.

10

9

G. + G.-Eutektikum J-Mk. + sek. Graphit.

3

G-Mischkristalle

11

J-Mk. + D-Mk.

3

G-Mischkristalle

11

J-Mk. + D-Mk.

4

G-Mk. + J-Mk.

12

D-Mk. (Ferrit)

4

G-Mk. + J-Mk.

12

D-Mk. (Ferrit)

5

S.+ J-Mk.

13

Ferrit + Perlit

5

Schmelze + J-Mk

13

6

S.+ Primärzementit

14

Sek-Zem.+ Perlit

6

Schmelze + Graphit

14

7

J-Mk (Austenit)

15

Perlit + Eu.

7

J-Mischkristalle

15

8

J-Mk + Eutektikum (Ledeburit).

16

Prim. Zementit + Eutektikum.

8

J-Mk.+ Graphiteutektikum

16

D-Mk. + Graphit

Werkstofftechnik Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 Haltepunkte, Kurzzeichen und Bedeutung Ar3

Haltepunkt A3 bei Abkühlung, Beginn der Ferritausscheidung (Linie GSK)

Ac3

Haltepunkt A3 bei Erwärmung, Ende der Austenitbildung (D-F-Umwandlung)

Ar1

Austenitzerfall und Perlitbildung beim Abkühlen

Ac1

Umwandlung des Perlit zu Austenit beim Erwärmen

Arcm

Beginn der Zementit-Ausscheidung beim Abkühlen (Linie ES)

Accm

Ende der Zementit-Einformung beim Erwärmen

4.3 Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 Teil 1: Bezeichnungssystem für Stähle. Die Bezeichnung eines Stahles mit Kurznamen wird durch Symbole auf 4 Positionen gebildet.

Pos. 1

Pos. 2

Werkstoffsorte

Haupteigenschaft

Pos. 3

Pos. 4

Besondere Werkstoffeigenschaften, Herstellungsart

Hauptsymbole 1 Verwendungsbereich (G=Stahlguss) 1) GS

Druckbehälter

z. B. Stähle DIN EN 10028 Stahlguss 10213

E

Maschinenbau

Herstellungsart, zusätzliche mechanische Eigenschaften

3b Eignung für bestimmte Einsatzbereiche bzw. Verfahren

Kerbschlagarbeit KV

f. d. kleinsten Erzeugnisbereich

A v (J)

27

40

60

Symbol

J

K

L

Schlagtemperatur in °C Te RT mp.

0

-20

-30

-40

-50

Sy R mb.

0

2

3

4

5

C D E F H L M N P Q S T W

Bes. Kaltformbarkeit F.Schmelztauchüberzg Für Emaillierung Zum Schmieden Für Hohlprofile F. tiefe Temperaturen Thermomech. gew. Normalis. gewalzt Für Spundwände Zum Vergüten Schiffbau Für Rohre Wetterfest

A M N Q G

Auscheidungshärtend Thermomechanisch, normalisierend gewalzt Vergütet Andere Merkmale (evtl. 1 oder 2 Folgeziffern)

Re, min f. d. kleinsten Erzeugnisbereich

B M N Q S T G

Gasflaschen Thermomechanisch, normalisierend gewalzt. Vergütet Einfache Druckbehälter Rohre Andere Merkmale (evtl. mit 1 oder 2 Folgeziffern)

H L R X

Hochtemperatur Tieftemperatur Raumtemperatur Hoch- u. Tieftemp.

wie oben

G

Andere Merkmale, evtl. mit 1 oder 2 Folgeziffern

C

Eignung zum Kaltziehen

z. B. Stähle DIN EN 10025-2 1)

3a

Stahlbau

z. B. Stähle nach DIN EN 10025-2 -3 -4 -5 -6

GP

Zusatzsymbole

2 Mech. Eigenschaften Mindeststreckgrenze Re, min

Erzeugnisart

4

Tab. A B C

Tab. A B C

Tab. B

G wahlweise vorgestellt

97

4

4

Werkstofftechnik Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 1 Verwendungsbereich (G = Stahlguss) 1) Stähle für R Schienen oder in Form von Schienen FlacherH zeugnisse, aus höherfesten Stählen zum Kaltumformen, z. B. Bleche + Bänder DIN EN 10268, Pos. 1 Flacherzeugnisse zum Kaltumformen, z. B. Bleche + Bänder DIN EN 10130, 10209, 10326, D

2 Mech. 3a Herstellungsart , zusätzliche Eigenmechanische Eigenschaften schaften Cr Cr-legiert nnn = Mindest- Mn Mn- Gehalt hoch an Chem. Symbole für andere härte Elemente + 10-facher Gehalt HBW B P Bake hardening Re, min Koplexphase C T oder mit Isotroper Stahl I X Zeichen T LA Niedrig legiert Rm, min Thermomech. gewalzt M Y

Cnn Dnn Xnn nn

Pos. 1

2 Kaltgewalzt Warmgewalzt, für unmittelbare Kaltumformung Walzart (kalt/warm) nicht vorgeschrieben Kennzahl nach Norm

nn

z. B. Einsatzstähle DIN EN 10084, Unlegierte Stähle mit t1 % Mn, z. B. Automatenstähle DIN EN 10087

R

1)

3 Für Schmelztauchüberzüge Für konv. Emaillierung Für Direktemaillierung Für Hohlprofile Für Rohre Andere Merkmale

Hochlegierte Stähle

Schnellarbeitsstähle

Zum Kaltumformen Zum Drahtziehen Vorgeschriebener max. S-Gehalt, Vorgeschriebener S – Bereich (%)

2 nn

S U W G

2a

Kennzahl = 100-facher C-Gehalt

LE-Symbole nach fallenden Gehalten geordnet, danach Kennzahlen mit Bindestrich getrennt in gleicher Folge

nn

nn

Bor Ce, N, P, S Kennzahl = 100-facher C-Gehalt

10 4

LE-Symbole nach fallenden Gehalten geordnet, danach die %-Gehalte der Haupt - LE- mit Bindestrich in gleicher Folge

Prozentualer Gehalt der LE in der Folge W-Mo-V-Co (mit Bindestrich)

Tabelle A: für besondere Anforderungen an das Erzeugnis

98

Tab. B

3

4

___

Tab. A, B

___

Tab. A, B

___

Tab. B

Al, Be, Cu, Mo, Nb, Pb, Ta, Ti, V, Zr. Cr, Co, Mn, Ni, Si, W

Zusatzsymbole für Stahlerzeugnisse (Pos. 4) Grobkornstahl Feinkornstahl

Tab. C

Tab. B C

Für Federn Für Werkzeuge Für Schweißdraht Andere Merkmale

G wahlweise vorgestellt

+C +F

----

Kennzahlen sind Vielfache der LE-%. Die Faktoren sind: 1000 100

mit 6 LE ! 5% HS

Wärmebehandelt Niedrig legiert, wärmebehandelt: Vergütet Q P-legiert TRIP-Stahl D Für SchmelzDualphasentauchstahl überzüge IF (interstitiell free )

3 C D E

Kennzahl = 100-facher C-Gehalt

Pos.1 G  Niedriglegierte Stähle 6 LE  5%,

4

HT LHT

2

Unlegierte Stähle Mn-Gehalt d 1 %, z. B. Stähle DIN EN 10083-1 GC

GX

D EK ED H T G

3b Eignung für bestimmte Einsatzbereiche/ Verfahren

+H +Z15/25/35

Mit besonderer Härtbarkeit Mindestbrucheinschnürung. Z (senkr. z. Oberfläche) in %

Werkstofftechnik Baustähle DIN EN 10025-2/05 Tabelle B: für den Behandlungszustand +A +AC +AR

Weichgeglüht Auf kugelige Carbide geglüht Wie gewaltzt (ohne besondere Bedingungen) Lösungsgeglüht Kaltverfestigt Kaltverfestigt auf mindestens Rm = nnn MPa Kaltverfestigt auf mindestens Rp0,2 = nnn MPa Kaltgewalzt Lieferzustd. d. Hersteller überlassen Warm-kalt-geformt

+AT +C +Cnnn +CPnnn +CR +DC +HC

+I

+M +N

Leicht kalt nachgezogen bzw. gewalzt Thermomech. behandelt Normalgeglüht

+NT

Ausscheidungsgehärtet

+LC

+NT +Q +QA +QO

+QT +QW +S

Isothermisch behandelt

Normalgeglüht + angelassen Abgeschreckt Luftgehärtet Ölgehärtet

+SR +S

Vergütet Wassergehärtet Behandelt auf Kaltscherbarkeit Spannungsarmgeglüht Rekristallisationsgeglüht

+T

Angelassen

+TH

Behandelt auf Härtespanne

+U +WW

Unbehandelt Warmverfestigt

Tabelle C: für die Art des Überzuges +A +AR +AS +AZ +CE +CU

Feueraluminiert Al-walzplattiert Al-Si-Legierung AlZn-Legierung (! 50 % Al) Elektrolytisch spezialverchromt Cu-Überzug

+IC +OC +S

Anorganische Beschichtung Organische Beschichtung Feuerverzinnt

+Z +ZA +ZE

+SE

Elektrolytische verzinnt

+ZF

+T +TE

Schmelztauchveredelt +ZN mit PbSn Elektrolytisch mit PbSn überzogen

Feuerverzinkt ZnAl-Legierung (> 50 % Zn) Elektrolytisch verzinkt Diffusionsgeglühte ZnÜberzüge (galvanealed) ZnNi-Überzug (elektrolytisch)

4.4 Baustähle DIN EN 10025-2/05 Stahlsorte Werkstoff ReH bzw. Rp0,2 KurzzeiNr. Nenndicken (mm) chen d 16 d 100 d 200

Rm MPa d 100

A80 1) A% Nenndicken (mm) d1... 500 > 700 > 850 >1100

Bruchdehnung A % 8 5 2 1

Härte HB HBW 30 260..320 300...360 340...440 380...480

Gusseisen mit Vermiculargraphit GJV VDG-Merkblatt W-50/02 Sorte

GJV-300 GJV-350 GJV 400 GJV 450 GJV 500

4.17

Zugfestigkeit Rm MPa > 800 >1000 >1200 >1400

Zugfestigkeit Rm MPa 300...375 350..425 400..475 450..525 500..575

Streckgrenze Rpo,2 MPa 220..295 260...335 300..375 340..415 380..455

Bruchdehnung A % 1,5 1,5 1,0 1,0 0,5

Härte HBW 30 140...210 160...220 180...240 200..250 220..260

Bezeichnung von Aluminium und Aluminiumlegierungen

Numerisches Bezeichnungssystem nach DIN EN 573-1/05:

Normbezeichnung EN AW - 4 Ú für Aluminium A Ú für Halbzeug W

Ziffern + Buchstabe für nationale Variante 3. 4. Ú Ú Ú 3. + 4. sind Zählziffern 2. Ziffer für Legierungsvariante 1. Ziffer für Legierungsserie (Tafel) 1.

2. Ú

Aluminium-Gußlegierungen wird für Werkstoffnummer und Kurzbezeichnung ein EN AC- vorgestellt. Bezeichnung nach der chemischen Zusammensetzung DIN EN 573-2/94. Das Symbol EN AW(bzw. AC-) wird dem Kurznamen vorgestellt, der meistens aus der früheren Bezeichnung nach DIN 1725 gebildet wird. Aluminium-Legierungsserien nach DIN EN 573-3/03 (Ziffer 1) Serie 1x x x 2xxx 3xxx

Legierungselemente Al unlegiert Al Cu + weitere Al Mn + Mg

Serie 4xxx 5xxx 6xxx

Legierungselemente Al Si + Mg, Bi, Fe, MgCuNi Al Mg + Mn, Cr, Zr Al MgSi + Mn, Cu, PbMn

Serie 7xxx 8xxx

Legierungselemente Al Zn + Mg, Cu, Zr Sonstige, Fe, FeSi, FeSiCu

Bezeichnung der Werkstoffzustände durch Anhängesymbole nach DIN EN 515/93 Symbol F

104

Zustand Herstellungszustand

O

Weichgeglüht

H

Kaltverfestigt

Bedeutung der 1. Ziffer keine Grenzwerte für mechanische Eigenschaften 1 2 3

Hocherhitzt, langsam abgekühlt Thermomechanisch behandelt Homogenisiert

1 2 3 4

Kaltverfestigt Kaltverf. + rückgeglüht Kaltverf. + stabilisiert Kaltverf.+ einbrennlackiert

Bedeutung der 2. Ziffer  

2: 4: 6: 8 9

1/4-hart, Zustd. mittig zw. O u. Hx4 1/2-hart, " " O u. Hx8 3/4-hart, " " Hx4 u. Hx8 Vollhart, härtester Zustand. Extrahart ( t 10 MPa über Hx8)

Werkstofftechnik Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98 Symbol

Zustand

T

4.18

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Wärmebehandelt auf andere Zustände als F, O oder H

Bedeutung der 1. Ziffer Abgeschreckt aus Warmformtemperatur + kaltausgelagert Abgeschreckt aus Warmformtemperatur, kaltumgeformt + kaltausgelagert Lösungsgeglüht, kaltumgeformt + kaltausgelagert Lösungsgeglüht + kaltausgelagert Abgeschreckt aus Warmformtemperatur + warmausgelagert Lösungsgeglüht + warmausgelagert Lösungsgeglüht + überhärtet (warmausgelagert) stabile Lösungsgeglüht, kaltumgeformt + warmausgelagert Zustände Lösungsgeglüht, warmausgehärtet + kaltumgeformt

}

Aluminiumknetlegierungen, Auswahl

Sorte EN AWStoff-Nr. Chemische Symbole mit Zustandsbezeichnung (alt)

Rm MPa

Reihe 3000 3103

Reihe 2000 aushärtbar

2117 2017A 2024 2014 2007

22 Fließpressteile, Metallwaren 100 ... 145 8 Bleche für Fahrzeug-. u. Schiffbau, 190 ... 240 3 265 ... 305 15 Formen (hartanodisiert), Schmiedeteile, 275 ... 350 2 Maschinen-Gestelle, Tank- u. Silofahrzeuge 360 ... 420 Mechanische Werte jeweils für das Beispiel

(F31 ka)

Al Cu2,5Mg-T4 Al Cu4MgSi-T42 Al Cu4Mg1-T42 Al Cu4SiMg-T6 Al CuMgPb-T4

310 390 420 420 340

(F34 ka)

Reihe 6000 aushärtbar

6060 6063 6082 6012

7022 7075

4.19

12 12 8 8 7

(Drähte  14 mm), Niete, Schrauben

⎧ Platten, und ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ Blech < 25 mm ⎭

Vorrichtungen, Werkzeuge, Flugzeuge, Sicherheitsteile

(Schmiedestücke), Bahnachslagergehäuse Automatenlegierung, Drehteile

Mechanische Werte jeweils für das Beispiel

Al MgSi-T4 Al Mg0,7Si-T6 AlMgSi1MgMn-T6 Al MgSiPb-T6

15 Strangpressprofile aller Art, Fließpressteile 130 -- Pkw-Räder u. Pkw-Fahrwerkteile 280 6 Schmiedeteile, Sicherheitsteile am Kfz. 310 8 Automatenlegierung, Hydr.-Steuerkolben 2750 Mechanische Werte für Blech unter 12 mm

(F28)

Reihe 7000 aushärtbar

7020

Dächer, Fassadenbekleidung, Profile, Niete, Kühler, Klima anlagen, Rohre, Fließpressteile Getränkedosen, Bänder für Verpackung

Mechanische Werte für Blech 3 ... 6 mm (A50) (W10) (W16) (F26) (W28) (G35)

Al Mg1-O Al Mg2Mn0,8-O -H16 Al Mg4,5Mn0,7-O -H26

5083

19 2 14 2

90 185 155 260

(W9) (F21) (W16) (F26)

Reihe 5000 5005 5049

Beispiele

Mechanische Werte für Blech 0,5 ... 1,5 mm (A50)

Al Mn1-F Al Mn1-H28 Al Mn1Mg1-O Al Mn1Mg1-H28

3004

A %

Al Zn4,5Mg1 -O -T6 AL Zn5Mg3Cu-T6 Al Zn5,5MgCu-T6

220 350 450 545

(F45wa) (F53wa)

12 10 8 8

Cu-frei, nach Schweißen selbstaushärtende Legierung Maschinen-Gestelle, Schmiedeteile

}

überaltert (T7) gut beständig gegen SpRK

Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98

Kurzname Stoff- Nr. EN AC-...

Gießart DIN EN 1706

-Al Cu4MgTi -21000

S, K, L

Gießart, Zustd.1) S K L

T4 T4 T4

Rm R p0,2 A50mm MPa MPa %

HB

300 320 300

90 90 90

200 220 220

5 8 5

2) Gießen/ Schweißen/Polieren/ Beständigk.

C/D

D

B

D

Bemerkungen Einfache Gussstücke hochfest und -zäh, Wagonrahmen und -fahrgestelle

105

4

4

Werkstofftechnik Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95 Fortsetzung Aluminium Gusslegierungen Kurzname, StoffNr. DIN EN 1706 EN AC-... -Al Si7Mg0,3 -42100-Al Si10Mg(a) -43000 -Al Si12(a) -44200 -Al Si8Cu3 -46200

-Al Si12CuNiMg -48000 -Al Mg3(b) -51000

GießGießart, art Zustd. 1) S K

S K L S K L S K S K D K

S K K S, K S K K

S K

S K

Rm

Rp0,2 A50mm HB

T6 T6 T64 F F T6 F F F F

230 290 290 150 180 260 150 170 150 170

190 210 210 80 90 220 70 80 90 100

75 2 90 4 80 8 50 2 2,5 55 90 1 5 50 6 60 1 60 1 100

T5 T6 F F

200 280 140 150

185 240 70 70

1 90 1 100 3 50 5 50

2) Gießen/ Schweißen/Polieren/ Beständigk.

Bemerkungen

B

B

C

B

Sicherheitsbauteile: Hinterachslenker, Vorderradnabe, Bremssättel, Radträger

A

A

D

B

Motorblöcke, Wandler- und Getriebegehäuse, Saugrohr für Kfz

A

A

D

B

B

B

C

D

A

A

C

C

C/D

C

A

A

Dünnwandige, stoßfeste Teile aller Art Warmfest bis 200° C, für dünnwandige Teile Erhöhte Warmfestigkeit bis zu 200 °C; Zylinderköpfe Beschlagteile für Bau- und Kfz.-Technik, Schiffbau

1)

Gießart: S: Sandguss; K: Kokillenguss, D: Druckguss, L: Feinguss, das Zeichen wird nachgestellt ! Beispiel: EN 1706 AC-Al Cu4MgTi KT4; oder EN 1706 AC-21000 KT4: Kokillenguss (K), kaltausgehärtet (T4)

2)

Wertung: A ausgezeichnet, B gut, C annehmbar, D unzureichend.

4.20

Bezeichnung von Kupfer und Kupferlegierungen nach DIN 1412/95

Europäisches Nummernsystem. Die Normangabe besteht aus 6 Zeichen. C

2.

3.

4.

5.

6.

2. Buchstabe für die Erzeugnisform Blockform zum Umschmelzen B G Gusserzeugnis F M R S

Schweißzusatz, Hartlote Vorlegierung Raffiniertes Cu in Rohform Werkstoff in Form von Schrott

W X

Knetwerkstoffe nicht genormte

4.21

1. C Zeichen für Kupfer; 3. bis 5. Ziffern sind Zählziffern, 0...799 für genormte, 800...999 für nichtgenormte Sorten. 6. Buchstabe(n) für Legierungssystem A, B Cu H CuNi C, D Cu, niedriglegiert, J CuNiZn 6 LE < 5 % K CuSn E, F

Legierungen, 6 LE > 5 %

G

CuAl

L, M N, P R,S

CuZn Zweistofflegierg. CuZnPb CuZn Mehrstofflegierg.

Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95

Anhängesymbole, bestehend aus einem Buchstaben und 3 Ziffern für bestimmte Eigenschaftswerte. Symbol A B H R Y

106

Bedeutung Bruchdehnung Federbiegegrenze Härte HB oder HV Zugfestigkeit 0,2%-Dehngrenze

Beispiel A005: A=5% B370: 370 MPa H030 HBW10 30HBW10 R700: 700 MPa Y350: 350 MPa

Symbol D 1) G M 1)

Bedeutung gezogen, ohne vorgegebene mech. Eigenschaften Korngröße wie gefertigt, ohne vorgegebene mech. Eigenschaften 1) Die Buchstaben D und M werden ohne weitere Bezeichnungen verwendet

Werkstofftechnik Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98 4.22

Kupferknetlegierungen, Auswahl

Kurzzeichen DIN EN-CW

Zustd. Stoff-Nr. Werkstoffeigenschaften 1) CW.. Rp0,2 R m A HB

CuSn6

R420 Y360

452K

-360

420 --

20 20

CuAl8Fe3

R480

303G

210

480

30

CuZn37

R300

508L

180

300

CuZn40

R340

509L

240 340

Federn, Membranen, Drahtgewebe, -schläuche

48

Blechkonstruktionen für den chem. Apparatebau. Hauptlegierung für spanlose Verarbeitung

43

(80)

Warm- und kaltumformbar

Uhrenteile

Gut stanz- u. spanbar, nur gering kaltformbar

Formdrehteile

612N

270

360

40

(85)

CuZn40Pb2

R430

617N

(200) 430

(15)

--

Gut warm-, kaum kaltumformbar

CuNi10Fe1Mn

R290 R480

352H

290 90 400 480

30 8

---

seewasserbeständig

CuNi12Zn30Pb1 R420

406J

420

20

--

Gut kaltformbar und spanbar

R380 R520

409J

380 520

37 6

250 430

Verwendung

Noch kaltformbar, warmfest (140) bis 300 °C Gut kaltumform-, löt- und (70) schweißbar

R360

140) Sehr gut kaltformbar, (160) anlaufbeständig

Strangpressprofile, Schmiedestücke Rohre, Schmiedestücke, Fittings für OffshoreTechnik Sicherheitsschlüssel, Drehteile für optische Industrie Kontaktfedern, Membranen, Brillengestelle

Zustandszeichen angehängt z. B.: R420 Mindestzugfestigkeit Rm,min = 420 MPa; Y360 Mindeststreckgrenze Rp0,2 in MPa

4.23

Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98

Kurzzeichen Stoff-Nr. GießWerkstoffeigenschaften DIN-ENCC... Art 1) Rp0,2 Rm A HB (ältere Normen) GS 180 500 18 100 CuAl10Ni3Fe2-C 332G (G-CuAl9Ni) GM 250 600 20 130 CuAl10Fe5Ni5-C (G-CuAl10Ni) CuSn3Zn8Pb5-C (CuSn2ZnPb) CuSn5Zn5Pb5-C (CuSn5Zn, Rg 5) CuZn33Pb2-C(G-CuZn33Pb) CuZn16Si4-C (G-CuZn15Si4) 1)

Chemisch beständig, stark kaltverfestigend

CuZn39Pb2

CuNi18Zn20 1)

--

Eigenschaften

333G 490K 491K 750S

761S

GS GZ GS GC GS GC GS GZ

250 280 85 100 90 110

600 650 180 220 200 250

13 13 15 12 13 13

70

180

12

GS GM

230 300

400 500

10 8

140 150 60 70 60 65 45 50 100 130

Eigenschaften

Verwendung

Sehr gut schweißgeeignet, chemisch beständig Dauerschwingfest, meerwasserbeständig

Gussteile f. Nahrungsmittelmaschinen und chemische Apparate Verbunde aus Gussund Knetlegierungen

Brauchwasserbeständig

Dünnwandige (50 30 400...750 1,8 14 Korrosionsbeständig, klebwidrig, geringste Reibung, KonPCFTE 2,1 65...75 -30/180 30...40 --->50 ---1300...1500 ---7 stanz elektrischer Eigenschaften zwischen -150...300° C Duraflex, Hostalen, Lupolen, Neopolen, Vestolen Polyethylen Unbeständig gegen Tetrachlorkohlenstoff, Trichlorethen PE-LD 0,92 ----80...70 ---8...10 ---20 16 200...400 0,8.. 23 Biegsam bis hart, teilkristallin, korrosionsbeständig, PE-HD 0,96 38...50 -80...90 ---- 18...30 ---- 8...12 64 600...1400 . 12...15 kaltzäh, Wasserleitungsrohre, Galvanikbehälter, Batteriekästen, Silo-Auskleidungen, Folien für VerpakPE-GF 30 55...65 ----------5200...6000 4 kung Unbeständig gegen Halogene, starke Säuren, Trichlorethen Polypropylen Coroplast, Hostalen, Novolen , Vestolen 75 ---- 8..18 6 ---- 25...40 10...15 Wie PE, temperaturstandfester, weniger kaltzäh, 0/100 PP 0,9 55...65 kochfest, hochkristallin, Benzintanks, Rohre für ---7 ---- 3,5 ---6500...6700 80 PP-GF 30 1,14 90...115 Fu0ßbodenheizung Polystyrole Coroplat, Polystyrol, Styrodur, Vestyron Unbeständig gegen Tetrachlorkohlenstoff, Trichlorethen. Benzinwirkt spannungsrissauslösend Glasklar, hart, spröde, geringste elektrische Verluste, PS 1,05 65...85 -10/70 30...55 ---3100...3300 20 1,5...3 ---7 155 geschäumt als Wärmeisolator. Gehäuse f. Feingeräte,

Chemische Bezeichnung, Kurzzeichen

4 Werkstofftechnik

Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl

1,12 1,14 1,13 1,15 1,01 1,03

1,41 1,5

Delrin, Hostaform, Kematal, Ultraform ---- 8...25 105...115 -50/80 ---- 60...70 3 155...160 -50/100 125...130 ------Durethan, Rilsan, Sustamid, Trogamid, Ultramid, Vestamid 55...80 -40/90 ---- 70...90 ---- 4...6 30...60 ---- 30...60 ---- 0...30 70...80 40/100 ---- 75...100 ---- 4,5...5 ------ 50...70 ---- 15...25 40...50 -70/110 ---- 45...60 ---- 4...5 ------ 35...40 ---- 10...15

0,9...1,8 ---

-------

130 200

220 150

160 65 160 100 95 80

160 200

100 150

Unbeständig gegen Heißes Wasser, Halogen-Kohlenwasserstoffe 2500...2800 13 Steif, zäh, geringste Wasseraufnahme, hohe ¾ 15 Maß- und Wärmebeständigkeit. Kfz.-Türgriffe, 2800...3100 7 50 Scheinwerfer- und Spiegelgehäuse, Zahnräder, 9000...11000 3 Kupplungen, Getränkeflaschen Unbeständig gegen HNO3 20 5 Thermisch und chemisch hoch beständig, meist glasfa4000 serverstärkt für Teile im Motorraum im Austausch gegen 3 13000...19000 30 Metalle

Unbeständig gegen starke Säuren und Laugen 2600...3200 Teilkristallin, zählhart, abriebfest, wasseraufnehmend, ¾ 4..6 7...10 von PA6 über PA66 und PA12 abnehmend. Dadurch 750...1500 Maßänderungen und Abfall der Festigkeit. 2700...3300 ---7...10 Zahnräder, Laufrollen, Nockenscheiben, Pumpentei1300...2000 le, Gleitelemente, Lüfterräder, Gehäuse für Hand1300...1600 ---- 10...15 leuchte, Möbelscharniere. Hohlkörper durch Rotati900...1200 onsformen (Heizöltanks) 9000...10800 Erhöhte Maßhaltigkeit und Steifigkeit, Gehäuse für 50 2,5 Heimwerker-Maschinen 5600...8200

Unbeständig gegen starke Säuren 15 3000...3200 12 Kristallin, geringe Wasseraufnahme und Kaltfluss, in Anwendung ähnlich PA, Schnappverbindungen 9000...10000 ---3

Unbeständig gegen organische Lösungsmittel 15 3100...3300 8 Verglasungen aller Art mit hoher Verformbarkeit, Splittersicherheit, Lehrmodelle, Zeichengeräte --4500...4800 ---Unbeständig gegen Alkalien, organische Lösungsmittel, Wasserdampf 18 2300...2400 6...7 Glasklar, kaltzäh-warmhart, maßbeständig, Trägerteile und Gehäuse für Beleuchtungskörper und Messge40 5500...5800 2,5 räte

Erläuterungen: Bruchspannung σB und Bruchdehnung εB werden für harte und spröde Polymere ermittelt, sie entsprechen der Zugfestigkeit bzw. Bruchdehnung. Streckspannung σY und Streckdehnung εY werden für zäh-elastische Polymere ermittelt, sie entsprechen der oberen Streckgrenze. Dehnungswerte unter Last gemessen (→ Abschnitt 5, Bild 4) 1) Kugeldruckhärte; 2) Zeitdehnspannung σ 3) Linearer Längenausdehnungskoeffizient, längs, x 10 -5/°C; 4) Wärmeformbeständigkeitstemperatur HDT nach DIN EN ISO 75. 1/1000/23°C ; Dabei wird eine mittig biegebeanspruchte Probe auf zwei Stützpunkten langsam durchgebogen. Bestimmten Biegespannungen (z.B. A = 1,85 Mpa) sind bestimmte Durchbiegungen zugeordnet (A = 0,33 mm); 5) Wärmealterung: Bei einigen Sorten (Polystyrole) fällt die Zugfestigkeit nach 20 000 h Halten bei der oberen Temperatur um 50 % ab.

Polyphenylensulfid Crastin, Fortron, Ryton, Tedur PPS 1,35 ----60/140 PPS–GF40 1,64 260 -60/220 165...200 ----

1,32 190...215 -40/120 170...200 ---PA6-GF 30 tr. 3...3,5 ---konditioniert 1,4 ----4,5...6 ---100...135 ---Polyester, linear Armite, Celanex, Dynalit, Impet, Pocan., Ultradur, Vestodur PBT 1,3 -50/120 ---- 50...60 50...60 ---- 3,5...7 PET, teilkristallin 65...75 -50/100 ---- 50...80 ---- 5...7 PET-GF 30 1,5 220...230 -50/140 160...175 ---2...3 ----

Polyoxymethylen POM POM-GF 30 Polyamide PA6 trocken konditioniert PA66 trocken konditioniert PA12 trocken konditioniert

Polymethylmetacrylat Acrylnitril-Copoloymerisat Plexiglas, Resarit, Degulan PMMA 1,17 75...105 -40/90 60...75 ---2...6 ---AMMA , Halbzeug 75 --- /70 90...100 ---10 ---Polycarbonat Makrofol, Makrolon, Pokalon, Sustonat PC, amorph 1,2 125...135 ---- 6...7 ---- 55...60 1,44 135...140 100/125 70 PC-GF 30 3,5 -------

Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl

Werkstofftechnik

113

4

Elektrotechnik Grundbegriffe der Elektrotechnik 5.1 Grundbegriffe der Elektrotechnik

Grundbegriffe der Elektrotechnik

5.1.1 Elektrischer Widerstand Elektrischer Widerstand eines Leiters

R=

rl l = q γq

G

1 R

R

r

G

1 : :

q

J

1 r

L

J=

I q

R G r J(N ) l q J I

elektrischer Widerstand, Wirkwiderstand, Resistanz elektrischer Leitwert, Wirkleitwert, Konduktanz spezifischer elektrischer Widerstand, Resistivität elektrische Leitfähigkeit, Konduktivität Länge des Leiters Querschnitt (Querschnittsfläche) des Leiters elektrische Stromdichte elektrische Stromstärke

1 : mm2/m 10–4 : cm 1 : cm/m 104 : mm2/m

Spannungsfall und Verlustleistung

l

J (N )

m Sm A : mm2 = S m mm2 Ω mm2 mm2 mm2 m

1 Sm/mm2 104 S/cm 1 S/cm 10–4 Sm/mm2

q

r

I

l

'U, U

P

p

mm2

: mm m

A

m

V

W

%

q r I l U 'U cos M P p

Leiterquerschnitt (eine Ader!) spezifischer elektrischer Widerstand Leiterstrom einfache Leiterlänge Netzspannung Spannungsfall (Spannungsverlust) auf der Leitung Wirkleistungsfaktor des Verbrauchers Verbraucherleistung prozentualer Leistungsverlust auf der Leitung Leiterquerschnitt bei

Berechnung auf Spannungsfall

Berechnung auf Leistungsverlust

Netz Gleichstrom

q=

2r Il ∆U

q=

200 r P l pU 2

Wechselstrom

q=

2r I l cos ϕ ∆U

q=

200 r P l pU 2 cos2 ϕ

Drehstrom

q=

3r I l cos ϕ ∆U

q=

100 r P l pU 2 cos2 ϕ

115

5

5

Elektrotechnik Grundbegriffe der Elektrotechnik 5.1.1.1 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Benennungen

RR20

D20 'R '-

-

rr20 Rw Rk

-w -k W Betriebstemperatur ca. – 50 °C bis ca. 200 °C

Widerstandswert bei Temperatur Widerstandswert bei Bezugstemperatur 20 °C Temperaturbeiwert bei 20 °C Widerstandsänderung Temperaturdifferenz bezogen auf 20 °C Celsius-Temperatur spezifischer elektrischer Widerstand bei der Temperatur spezifischer elektrischer Widerstand bei 20 °C Widerstandswert bei -w (warm) Widerstandswert bei -k (kalt) wärmere Temperatur kältere Temperatur Temperaturziffer

Bezugstemperatur 20 °C

Beliebige Bezugstemperatur

'R R20 D20 'R- R20(1  D20 '-) '- - – 20 °C r- r20(1  D20 '-)

Rw Rk

W  -w W  -k 1

W

D 20

'-

Rw  Rk (W  -k ) Rk

U V

I A

 20°C

5.1.2 Elektrische Leistung und Wirkungsgrad

P W

J Nm 1W = 1 = 1 s s

Generatorleistung PG

P G = Pi + P v = Uq I =

Verbraucherleistung Pv

P v = P G − Pi = U I =

Verlustleistung Pi des Generators

Pi = PG − P v = Ui I =

Maximalleistung Pk des Generators (Kurzschlussleistung)

Pk = Uq I k =

U q2 Ri

Ri + Rv

= I 2 (R i + R v )

U2 = I2 Rv Rv Ui2 Ri

= I 2 Ri

= I k2 R i

Dabei sind: Verbraucherwiderstand Rv Verbraucherspannung U Pv Verbraucherleistung Kurzschlussstrom

116

Uq 2

Ik =

0: 0V 0W Uq

Ri

R :

K 1

Elektrotechnik Grundbegriffe der Elektrotechnik Maximalleistung PA des Verbrauchers (Leistungsanpassung)

Rv

Ri

Anpassungsbedingung Rv

1

Ri

Verbraucherstrom IA bei Leistungsanpassung Uq Uq Ik = = IA = 2Ri 2R v 2

Verbraucherspannung UA bei Leistungsanpassung Uq UA 2 Verbraucherleistung PA bei Leistungsanpassung PG

P A = Pi =

Wirkungsgrad K

2

Wirkungsgrad

K

Pab Pzu

=

Pk 4

U 2q

=

4R v

=

U 2q 4Ri

= UA I A

abgegebene Leistung d1 zugeführte Leistung

Pab Pab  Pverl

Pzu  Pverl Pzu

1

Pverl Pzu

I

R

P

t

K

A

: W

s

€

Pab abgegebene Leistung (Nutzleistung) Pzu zugeführte Leistung Pverl Verlustleistung

5.1.3 Elektrische Energie Einheiten

W

L C Q U Vs As Ws As V A V

Energie des magnetischen Feldes einer Spule

W=

1 2 LI 2

Energie des elektrischen Feldes

W

1 CU 2 2

elektrische Arbeit des Gleichstroms

W = P t = U I t = I 2R t =

Energiekosten K

K=kW

Wirkungsgrad K

Wirkungsgrad

K

Wab Wzu

1 QU 2

k € kWh

1 Ws

1J

1 Nm

1 Q2 ˜ 2 C U2 t = UQ R

k W

Tarif in €/kWh elektrische Arbeit in kWh

abgegebene Energie d1 zugeführte Energie

Wab Wab  Wverl

Wzu  Wverl Wzu

1

Wverl Wzu

Wab abgegebene Energie (Nutzleistung) Wzu zugeführte Energie Wverl Verlustenergie

117

5

Elektrotechnik Gleichstromtechnik 5.1.4 Elektrowärme

C

Wärmemenge

Q = m c 'T

Spezifische Wärmekapazität

Wärmewirkungsgrad

C 'T Q c m

Q 'T

Wärmekapazität

Material Aluminium Kupfer Wasser Wzu Wab

η th

c in kJ/kg K 0,92 0,39 4,186

Wärmekapazität Temperaturdifferenz Wärmemenge (Wärme) spezifische Wärmekapazität Masse C Ws K

Wzu Wab, Q

Pt Q m c 'T Wab m c ∆T = = Wzu Pt

Kth

J

J K

'T K

Q Ws

m kg

Zugeführte elektrische Arbeit Abgegebene Wärmemenge Wärmewirkungsgrad

5.2 Gleichstromtechnik Gleichstromtechnik

5.2.1 Ohm’sches Gesetz, nicht verzweigter Stromkreis Schaltplan

Ri R Stromstärke I

Klemmenspannung U der Quelle Kurzschlussstrom (U = 0)

Ik =

Uq Ri

U

Uq

Verbraucherwiderstand

R=

U I

Innenwiderstand der Quelle

Ri =

Ui Uq = I Ik

Uq

Ri R

+ –

U

Quelle

Verbraucher

Kennlinienfeld I = f (U) Betriebsdiagramm

Ik

I α

118

Ui

„Technische Stromrichtung“: Der Strom fließt außerhalb der Quelle vom Pluspol zum Minuspol. Uq U I U , U i , U q R, R i I= = R Ri + R A V Ω U = Uq – Ui = Uq – I Ri

Leerlaufspannung (I = 0)

Verbraucherleistung

I

Stromstärke Quellenspannung innerer Spannungsfall der Quelle Klemmenspannung der Quelle  Verbraucherspannung (bei RLeitung 0 :) Innenwiderstand der Quelle Verbraucherwiderstand

I Uq Ui U

Stromstärke

5

P

UI

Kennlinie der Quelle Kennlinie des Verbrauchers Kurzschluss Leerlauf Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Kennlinien) P β

U

Ui Uq

Spannung

Elektrotechnik Gleichstromtechnik 5.2.2 Kirchhoff’sche Sätze Erster Kirchhoff’scher Satz (Knotenpunkt-Satz)

In jedem Verzweigungspunkt ist die Summe der zufließenden und abfließenden Ströme gleich Null.

6I 0

Zufließende Ströme positiv zählen, abfließende Ströme negativ zählen.  I1  I2  I4 – I3 – I5

0

6 Izu – 6 Iab 0

Zweiter Kirchhoff’scher Satz (Maschen-Satz)

In jedem geschlossenen Stromkreis und jeder Netzmasche ist die Summe aller Spannungen gleich Null.

6U 0

Der Umlaufsinn (US) kann willkürlich festgelegt werden. Positiv zählen, wenn US und Zählpfeil gleiche Richtung haben. Negativ zählen, wenn US und Zählpfeil entgegengesetzte Richtung haben.

Umlaufsinn Umlaufsinn

 U1  U2  U3 – Uq2 – Uq1

0

6U – 6Uq 0  Uq1  Uq2 – U3 – U2 – U1

0

6Uq – 6U 0

5.2.3 Ersatzschaltungen des Generators Schaltplan

Kirchhoff’scher Satz

Ersatz-Spannungsquelle

Ersatz-Stromquelle

Die konstante Quellenspannung Uq ist die Ursache des Stromes I in den Widerständen Ri  R.

Der konstante Quellenstrom Iq ist die Ursache der Verbraucherspannung U an den Leitwerten Gi  G.

Maschen-Satz

Knotenpunkt-Satz (Schaltungspunkt K) Iq – Ii – I 0 Iq – U Gi – U G 0 Iq – U (Gi  G) 0

Uq – Ui – U 0 Uq – I Ri – I R 0 Uq – I (Ri  R) 0

119

5

5

Elektrotechnik Gleichstromtechnik Spannung und Stromstärke bei Belastung der Quelle

Belastung 0 < R < f Uq Uq = I= R i + R Uq +R Ik

U = I R = Uq

Ui Spannung und Stromstärke bei Leerlauf und Kurzschluss der Quelle

Belastung 0 < G < f Iq Iq U= = Iq Gi + G +G U0

R R = Uq Uq Ri + R +R Ik

I = U G = Iq

Ii

I Ri

Leerlauf

R I U Ui

U Gi

Kurzschluss

f 0 Uq 0

G U I Ii

f 0 Iq 0

Kurzschluss

Leerlauf

R U

G I

I Ui

0 0 Uq

Ri

G G = Iq Iq Gi + G +G U0

= Ik

U

Uq

Ii

0 0 Iq

Gi

= U0 

Iq

5.2.4 Schaltungen von Widerständen und Quellen 5.2.4.1 Parallelschaltung von Widerständen Schaltplan

Spannungen

Ströme

Die Spannung ist an allen Verbraucherwiderständen gleich groß.

U

Iges Rges

U

Iges /Gges

I1 R1

I2 R2

I1 /G1

I2 /G2

I3 R3

In Rn

I3 /G3

In /Gn

Der Gesamtstrom ist gleich der Summe aller Teilströme.

Iges

I1  I2  I3  …  In

Die Teilströme verhalten sich wie ihre zugehörigen Leitwerte bzw. umgekehrt wie die zugehörigen Widerstände.

Iges : I1 : I2 : I3 : In

Gges : G1 : G2 : G3 : Gn 1/Rges : 1/R1 : 1/R2 : 1/R3 : 1/Rn

120

Elektrotechnik Gleichstromtechnik Leitwerte und Widerstände

Der Gesamtleitwert ist gleich der Summe der Einzelleitwerte.

G1  G2  G3 …  Gn 1 Gges

Gges Rges

1/R1  1/R2  1/R3  …  1/Rn

Gesamtwiderstand Rges bei gleichgroßen Einzelwiderständen Reinzel R einzel Rges n n Anzahl der parallelgeschalteten Widerstände Für zwei parallelgeschaltete Widerstände gilt: R1R2 R1  R2

Rges

I1 R2 = I 2 R1

I ges I1 I ges I2

=

R1 Rges

=

R2 Rges

5.2.4.2 Parallelschaltung von Quellen Quellen mit gleicher Quellenspannung und gleichem Innenwiderstand Ri1 Ri2 Ri3 … Rin

I1  I2  I3  …  In I I1 I2 I3 In  n n Anzahl der Quellen I

Alle Quellen liefern die gleiche Stromstärke!

Ri I= U

R i1

R i2

R i3

n Uq

n

n

!

R in n

Ri + R IR

Uq – I Ri

Quellen mit gleicher Quellenspannung und ungleichen Innenwiderständen Ri1 z Ri2

121

5

5

Elektrotechnik Gleichstromtechnik I1  I2 Uq − U I1 = R i1

I

I2 =

Ri I=

Uq − U R i2

U

R i1 R i2 R i1  R i2 Uq Ri + R IR

Uq – I Ri

Die Quelle mit dem kleineren Innenwiderstand liefert die größere Stromstärke

5.2.4.3 Reihenschaltung von Widerständen Spannungen

Die Gesamtspannung ist gleich der Summe aller Teilspannungen. Uges U1  U2  U3  …  Un Die Teilspannungen verhalten sich wie ihre zugehörigen Widerstände.

Uges : U1 : U2 : U3 : Un Strom

Die Stromstärke ist in allen Verbraucherwiderständen gleich groß.

I Widerstand

Rges : R1 : R2 : R3 : Rn

U1 /R1

U2 /R2

U3 /R3

Un /Rn

Uges /Rges

Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der Einzelwiderstände.

Rges

R1  R2  R3  …  Rn

Gesamtwiderstand Rges bei gleichgroßen Einzelwiderständen Reinzel

Rges

n Reinzel

n Anzahl der in Reihe geschalteten Widerstände 5.2.4.4 Reihenschaltung von Quellen Summen-Reihenschaltung

Uq ges

Uq1  Uq2

Gegen-Reihenschaltung

Für Uq1 > Uq2 gilt: Uq ges Uq1 – Uq2

122

Für Uq1 < Uq2 gilt: Uq ges Uq2 – Uq1

Elektrotechnik Gleichstromtechnik 5.2.5

Messschaltungen

5.2.5.1 Indirekte Widerstandsbestimmung R Ri

Spannungsfehlerschaltung

U I UF

R=

U − UF U − I R i = I I

Messwiderstand Innenwiderstand des Strommessers gemessene Spannung gemessener Strom zum Fehler führende Spannung

Geeignet zur Bestimmung großer Widerstände (R  Ri)

Stromfehlerschaltung R Ri

R=

U = I − IF

U I IF

U I−

Messwiderstand Innenwiderstand des Spannungsmessers gemessene Spannung gemessener Strom zum Fehler führender Strom

Geeignet zur Bestimmung kleiner Widerstände (R  Ri)

U Ri

5.2.5.2 Messbereichserweiterung bei Spannungs- und Strommessern Vorwiderstand bei Spannungsmessern

Messwerk

RV =

U V U − UM = I I

RV

(n  1)R i

n

n

Vorwiderstand Innenwiderstand des Messgerätes Strom zu messende Spannung Spannung am Vorwiderstand Spannung am Messwerk des Messgerätes Faktor der Messbereichserweiterung

U UM

Messwerk

Parallelwiderstand bei Strommessern

RV Ri I U UV UM

RP Ri U I IP IM n

Parallelwiderstand Innenwiderstand des Messgerätes Spannung zu messender Strom Strom durch den Parallelwiderstand Strom durch das Messwerk des Messgerätes Faktor der Messbereichserweiterung

IM R i U RP = = IP I − IM

RP =

Ri n− 1

n=

I IM

123

5

5

Elektrotechnik Gleichstromtechnik 5.2.6 Spannungsteiler Unbelasteter Spannungsteiler

U1 R1

U2 R2

U2

U

R2 R1  R2

Belasteter Spannungsteiler

U2

R2 RL R1(R2  RL )  R2RL

U

Parameter 0 bedeutet: R L f (Leerlauf)

Parameter:

R1  R2 RL

Beispiel Parameter 1: R L = R1  R2

5.2.7 Brückenschaltung Abgeglichene Brücke U5 0 I5 0

Spannung U1 U3 U2 U4 Uq U1  U2

U3  U4

Speisestrom Uq I= (R1 + R2 )(R3 + R4 ) R1 + R2 + R3 + R4 Widerstand R1 R3 (Abgleichbedingung) R2 R4

RAB Nichtabgeglichene (verstimmte) Brücke U5 z 0 I5 z 0

(R1  R2 )(R3  R4 ) R1  R2  R3  R4

Brückenspannung U5 U5 I5 · R5 Brückenstrom I5 I5 = I

R2 R3 − R1 R4 R5 (R1 + R2 + R3 + R4 ) + (R1 + R3 )(R2 + R4 )

I 5 = Uq

R2 R3 − R1 R4 R5 (R1 + R2 )(R3 + R4 ) + R1 R2 (R3 + R4 ) + R3 R4 (R1 + R2 )

Widerstand RAB

RAB

124

R1 R2 (R3  R4 )  R3 R4 (R1  R2 )  R5 (R1  R2 )(R3  R4 ) R5 (R1  R2  R3  R4 )  (R1  R3 )(R2  R4 )

Elektrotechnik Elektrisches Feld und Kapazität 5.3 Elektrisches Feld und Kapazität 5.3.1 Größen des homogenen elektrostatischen Feldes Einheiten

1 konst. XC) (UL > UC)

P S QL

R 2  X C2

cos M

UR U

R Z

sin M

UC U

XC Z

dC

tan G

R XC

U

UR2  (UL  UC )2

cos M

UR U

Z

2

P S QC

S

UR UC

R Z

P S

R  ( XL  X C )

S = U I = I 2Z =

Z

U U U UR = = L = C Z R XL XC

sin M 2

U2

I=

=

d

UL  UC U

XL  X C Z

QL  Q C S

dL + dC

P 2 + (QL − QC )2

143

5

5

Elektrotechnik Wechselstromtechnik 5.5.2.2 Parallelschaltung von Blindwiderständen Parallelschaltung von induktiven Blindwiderständen XL

U I XL I1 XL1 cos M 0 BL 1 XL

Parallelschaltung von kapazitiven Blindwiderständen XC

…

I I1  I2  … sin M 1

BL1 + BL2 + … 1 1  ! XL1 XL2

1 L

1 1  ! L1 L2

Für zwei parallelgeschaltete induktive Blindwiderstände/ Induktivitäten gilt:

XL

XL1 XL2 XL1  XL2

U I XC I1 XC1 cos M 0 BC 1 XC

144

I2 XL2

I2 XC2

BC1 + BC2 + … 1 1  ! X C1 X C2

…

L

L1 L2 L1  L2

I I1  I2  … sin M 1

C

C1  C2 + …

Elektrotechnik Wechselstromtechnik Parallelschaltung von R und XL

Parallelschaltung von R und XC

U = I Z = I R R = I L XL

I=

1 I G Z P = R = = cos ϕ = R = 1 Y R S I Z 1 Y G 2  B 2L Z

1 XL Z QL sin ϕ = = = = = 1 Y XL S I Z I X G P d L = tan δ = = L= R= IL Q L BL R

S = U I = I 2Z =

U2 = Z

U

I C XC

IZ

IR R

U2 = Z

IL

BL

P 2 + Q 2L

I = I R2 + I C2

1 IR G Z P R = = = = cos ϕ = 1 I Y R S Z 1 Y G 2  B 2C Z S = U I = I 2Z =

I R2 + I L2

1 XC sin ϕ = = = = 1 I Y Z X G = C= d C = tan δ = BC R IC

BC

QC Z = XC S IR P = IC QC

P 2 + Q 2C

145

5

5

Elektrotechnik Wechselstromtechnik Parallelschaltung von R, X L und X C (X L < X C ) (B L >B C ) (I L > I C )

U = I Z = I R R = I L XL = I C X C 1 IR G Z P R cos ϕ = = = = = 1 I Y R S Z 1 Y G 2  (B L  B C )2 Z S = U I = I 2Z =

5.5.3 Umwandlung passiver Wechselstrom-Zweipole in gleichwertige Schaltungen

U2 = Z

I=

I R2 + ( I L − I C )2

sin ϕ =

d

146

=

BL − BC Y

=

QL − Q C S

dL  dC

P 2 + (Q L − Q C )2

Gesuchte gleichwertige Schaltung

Umrechnungsbeziehungen

G

Umwandlung einer Parallelschaltung in eine gleichwertige Reihenschaltung

I

Bei konstanter Frequenz hat die gleichwertige Schaltung auf den Generator die gleiche Wirkung wie die Originalschaltung. Gegebene Originalschaltung

Umwandlung einer Reihenschaltung in eine gleichwertige Parallelschaltung

I L − IC

R Z2

BL

G

R Z2

BC

R=

G Y2

XL =

R=

G Y2

XC=

XL Z2 Z2

R2  X2

Y2

G2  B2

XC Z2

BL Y2 BC Y2

Elektrotechnik Wechselstromtechnik 5.5.4 Blindleistungskompensation Betriebswerte vor der Kompensation

I1 =

Pzu S1 = = U U cos ϕ1

I R2 + I L2

PL1 = I12 RL Q L S sin ϕ1 Pzu tan ϕ1 U = = = XL U U U

IB = IL =

Betriebswerte nach der Kompensation

I2 =

Pzu S2 = = U U cos ϕ 2

I R2 + ( I L − I C )2

PL2 = I 22 R L

IB = IL − I C IC = Pzu

Pzu Pab PL RL IB QC

Erforderliche Kompensationskapazität

Q C Pzu (tan ϕ1 − tan ϕ 2 ) U = = XC U U Pab

K zugeführte Wirkleistung abgegebene Wirkleistung (Nennleistung) Leistungsverlust auf der Zuleitung Leitungswiderstand Blindstrom auf der Zuleitung kompensierte Blindleistung (QL QC bei Vollkompensation)

Pzu (tan M1  tan M 2 )

QC

C=

QC

QC

C=

U 2ω

(Einphasennetz) C UStr

Leistungsverluste in Abhängigkeit vom Leistungsfaktor

PLS =

U

bei Sternschaltung der Kondensatorbatterie

3

PL cos2 ϕ

PL PLS Drehstromtechni

(Dreiphasennetz)

Einzelkapazität bei Dreieckschaltung der Kondensatorbatterie

U

UStr

3 2 ω UStr

cos ϕ, tan ϕ

= PL (1+ tan2 ϕ )

Leistungsverlust auf der Leitung bei cos ϕ = 1 des Verbrauchers Leistungsverlust auf der Leitung bei beliebigem cos ϕ des Verbrauchers Leisungsfaktor/Verlustfaktor des Verbrauchers

147

5

5

Elektrotechnik Drehstromtechnik 5.6 Drehstromtechnik 5.6.1 Drehstromnetz Benennungen

L1 , L2 , L3 N U1N, U2N, U3N

Außenleiter Neutralleiter (Sternpunktleiter) Sternspannung (auch U1, U2, U3 zulässig, wenn Verwechslung ausgeschlossen) U12, U23, U31, U Dreieckspannung (Außenleiterspannung) I1, I2, I3, I Außenleiterstrom ( Sternstrom bei Sternschaltung des Verbrauchers) I12, I23, I31 Dreieckstrom IN Sternpunktleiterstrom UStr Strangspannung, Spannung zwischen beiden Enden eines Stranges unabhängig von der Schaltungsart IStr Strangstrom, Strom in einem Strang unabhängig von der Schaltungsart P Gesamtleistung des Verbrauchers PStr Strangleistung des Verbrauchers

5.6.2 Stern- und Dreieckschaltung Zeigerdiagramm der Spannungen

Dreieckspannungen Sternspannungen U U12 U  60q  90q U1N 3 U23 U 180q U 150q U2N U31 = U 60° 3 U 3

U3N

Sternschaltung des Verbrauchers

Stranggrößen U UStr 3

I 1= Dreieckschaltung des Verbrauchers

IStr

U1N

I

I 2=

Z1N

U 2N

I 3=

Z 2N

U 3N Z 3N

Stranggrößen

UStr

U

I 12 =

U12 Z12

Außenleiterströme I 1 I 12 – I 31 I 2 I 23 – I 12

148

30q

I

I3

23

=

U23 Z23

I 31 – I 23

I

31 =

U31 Z31

Elektrotechnik Drehstromtechnik Sternschaltung des Verbrauchers

Symmetrische Last Z 1N Z 2N Z 3N I1 I2 I3 I 1  I 2  I 3 0 IN 0 P = U I 3 cos ϕ = 3 PStr

Unsymmetrische Last Z 1N z Z 2N z Z 3N I1 z I2 z I3 I1  I2  I3  IN 0 IN z 0 P PStr 1  PStr 2  PStr 3

PStr = UStr I Str cos ϕ

PStr 1 PStr 2 PStr 3

U1N I1 cos M1 U2N I2 cos M2 U3N I3 cos M3

Bei fehlendem Sternpunktleiter ergeben sich ungleiche Sternspannungen bei ungleichen gegenseitigen Phasenverschiebungswinkeln (z 120°). Dreieckschaltung des Verbrauchers

Unsymmetrische Last Z 12 z Z 23 z Z 31 I1 z I2 z I3 I12 z I23 z I31 I1  I2  I3  P PStr 1  PStr 2  PStr 3 PStr 1 U12 I12 cos M1 PStr 2 U23 I23 cos M2 PStr 3 U31 I31 cos M3

Symmetrische Last Z 12 Z 23 Z 31 I1 I2 I3 I12 I23 I31 I 1  I 2  I 3 

U I 3 cos M

P

3 PStr

PStr = UStr I Str cos ϕ I I Str = 3 Leistung bei SternDreieck-Umschaltung

Bedingungen: gleiche Außenleiterspannungen für beide Schaltungsarten und RStr ȕ RStr ෙ

PY 1 = P∆ 3 Pȕ P

Leistung des Verbrauchers in Sternschaltung Leistung des Verbrauchers in Dreieckschaltung

Leistung bei gestörten Drehstromschaltungen

Unterbrechung von

PStör

Unterbrechung von

PStör

R2

2 P 3

R23

2 P 3

R2, N

1 P 2

L2

1 P 2

R2, R3

1 P 3

R23, R31

1 P 3

R2, R3, N

0

R23, L2

1 P 3

R31, L2

1 P 6

PStör Leistung der gestörten Schaltung P Leistung der ungestörten Schaltung

149

5

5

Elektrotechnik Drehstromtechnik 5.6.3 Stern-DreieckUmwandlung

Umwandlung einer Sternschaltung in eine gleichwertige Dreieckschaltung

Gegebene Originalschaltung

Gesuchte gleichUmrechnungsbeziehungen wertige Schaltung

A

A

B

C

B

C R1 = Rx + Rz +

Rx

R1

R2 = Rx + Ry +

R2

Rz R3 = Ry + Rz +

Ry

R3

Merkschema

Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine gleichwertige Sternschaltung

R y Rz Rx

Gesuchte gleichUmrechnungsbeziehungen wertige Schaltung

A

A

B

C

B

C Rx

R2

Ry

R3

Rx =

R1 R2 R1 + R2 + R3

Ry =

R2 R3 R1 + R2 + R3

Rz =

R1 R3 R1 + R2 + R3

Rx gesuchter Widerstand der Sternschaltung R1 , R2 benachbarte Widerstände der Dreieckschaltung Ry gegenüberliegender Widerstand der Dreieckschaltung Ry = Produkt R+ benachbart Σ R+ Die Umrechnungsbeziehungen gelten analog auch für Scheinwiderstände Z. Beispiel für Z1: Umwandlung Stern in Dreieck

150

Rz

Gegebene Originalschaltung

Rz

Anmerkung

Rx Ry

R1 gesuchter Widerstand der Dreieckschaltung Rx , Rz benachbarte Widerstände der Sternschaltung Ry gegenüberliegender Widerstand der Sternschaltung R = 6 Ry benachbart + Produkt Ry benachbart Ry gegenüber

R1

Merkschema

R x Rz Ry

Z1 = Z x + Z z +

ZxZz Zy

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik 5.7 Elementare Bauteile der Elektronik Elementare Bauteile der Elektronik

5.7.1 Halbleiterdioden 5.7.1.1 Dioden zum Gleichrichten und Schalten Typisches Kennlinienfeld einer Silizium-Diode

Durchlassbereich

Durchbruchspannung U(BR) bis | 3000 V Schleusenspannung U(TO) | 0,7 V (Schwellspannung)

Widerstandsverhalten

Verlustleistung

RF =

UF IF

RF UF IF

Gleichstromwiderstand in Durchlassrichtung Spannung in Durchlassrichtung Strom in Durchlassrichtung

RR =

UR IR

RR UR IR

Gleichstromwiderstand in Sperrrichtung Spannung in Sperrrichtung Strom in Sperrrichtung

rF =

∆ UF ∆ IF

rF 'UF 'IF

Differentieller Widerstand im Arbeitspunkt A Differenz der Durchlassspannung Differenz des Durchlassstromes

PV

PV

UF IF

Tj  TU RthJU

1. Bedingung: PV d Ptot totale Verlustleistung 2. Bedingung: Oberwellenfreie Gleichspannung Tj Sperrschichttemperatur Umgebungstemperatur TU RthJU Gesamtwärmewiderstand zwischen Sperrschicht und Umgebung

151

5

5

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik Ströme und Stromgrenzwerte von Dioden in Vorwärtsrichtung

IF IFAV IFM IFEFF IFSM iF If Ifm Ifeff

Beziehungen der Ströme

Gleichstromwert ohne Signal Mittelwert des Gesamtstromes Scheitelwert des Gesamtstromes Effektivwert des Gesamtstromes Stoßwert des Gesamtstromes Augenblickswert des Gesamtstromes Augenblickswert des Wechselstromes Scheitelwert des Wechselstromes Effektivwert des Wechselstromes

I FM = I FAV + I fm

2 2 I FEFF = I FAV + I feff

iF = I FAV + i f

5.7.1.2 Dioden im Schaltbetrieb

Diode leitet

Diode sperrt

Maximale mögliche Schaltleistung der Diode

PSmax

UL IFmax

PSmax

P UL tot UF

PSmax

152

(UB  UF )

Ptot UF

UB UF IF RL UL

Betriebsspannung Durchlassspannung Durchlassstrom Lastwiderstand Spannung am Lastwiderstand

UB

UF  IF RL

IR UR

Strom in Sperrrichtung Spannung in Sperrrichtung

UB

UR  IR RL

PSmax UL IFmax Ptot

max. mögliche Diodenschaltleistung Spannung am Lastwiderstand maximaler Durchlassstrom totale Verlustleistung

§ UB ·  1¸ Ptot ¨ U © F ¹

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik 5.7.1.3 Nichtlinearer Widerstand, Arbeitspunkt Benennungen

1 linearer Widerstand 2 nichtlinearer Widerstand mit positivem differentiellem Widerstand 3 nichtlinearer Widerstand mit negativem differentiellem Widerstand (gelegentlich als „negativer Widerstand“ bezeichnet). Strom nimmt ab bei steigender Spannung

Linearer Widerstand

Der Widerstandswert ist unabhängig vom Arbeitspunkt A U R = 1 = konstant I1

Nichtlinearer Widerstand

Der Widerstandswert ist abhängig vom Arbeitspunkt A

R=

U1 I1

r=

dU ∆U ≈ ∆I dI

R r

Gleichstromwiderstand, statischer Widerstand differentieller Widerstand, dynamischer Widerstand, Wechselstromwiderstand

Änderung des Arbeitspunktes

Einfluss der Quellenspannung Uq auf die Lage des Arbeitspunktes (R konst.)

Einfluss des Widerstandes R auf die Lage des Arbeitspunktes (Uq konst.)

153

5

5

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik 5.7.1.4 Z-Dioden Kennlinie einer Z-Diode

Benennungen

UZ IZ UZN UZ0 IZT rZ rZj rZ th

DUZ 'Tj Rth JU

Z-Arbeitsspannung (Durchbruchspannung) Z-Arbeitsstrom Nennspannung der Z-Diode Durchbruchspannung, extrapoliert für IZ 0 Messstrom (z.B. 5 mA) Statischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich Dynamischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich (aus Datenblättern entnehmen) Thermischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich Temperaturkoeffizient der Arbeitsspannung Änderung der Sperrschichttemperatur Gesamtwärmewiderstand

Schaltung und Ersatzschaltung

Schaltung mit Z-Diode

UZ0  IZ rZ | UZN  IZ rZ

UZ

Z-Diode als Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand rZ

∆ UZ ∆ IZ

Statischer differentieller Widerstand

rZ =

Thermischer differentieller Widerstand

r Z th = U Z2 αUZR th JU

154

'T j

rZ

U Z RthJU ' IL

r Z j + r Z th

Im Arbeitsbereich ist r Z | konstant

D UZ

'UZ U ZN 'Tj

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik 5.7.2

Transistoren

5.7.2.1 Bipolare Transistoren

Zählrichtungen für Spannungen und Ströme

NPN-Transistor

PNP-Transistor

Ein NPN-Transistor zeigt in einer Schaltung die gleiche Wirkung wie ein PNP-Transitor. Dazu ist lediglich die Betriebsspannung umzupolen.

IE

UCE

IC  IB UCB  UBE

IE IC IB

Emitterstrom Kollektorstrom Basisstrom

UCE UCB UBE

Kollektor-Emitter-Spannung Kollektor-Basis-Spannung Basis-Emitter-Spannung Bei Si-Transistoren | (0,5 … 0,7) V

5.7.2.2 Kennlinien und Kenngrößen bipolarer Transistoren Vierquadranten-Kennliniendarstellung eines Transistors

Stromsteuerkennlinie

Ausgangskennlinienfeld

Eingangskennlinie

SpannungsRückwirkungskennlinienfeld

155

5

5

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik Statische Kennwerte des Transistors

B=

GleichstromEingangswiderstand

R BE =

GleichstromAusgangswiderstand

RCE =

Restströme, Sättigungsspannung

B IC IB

Gleichstromverstärkung Kollektorstrom Basisstrom

UBE IB

RBE UBE

Widerstand zwischen Basis und Emitter Basis-Emitter-Spannung

UCE IC

RCE UCE

Widerstand zwischen Kollektor und Emitter Kollektor-Emitter-Spannung

ICEO ICES ICBO UCEsat

Kollektor-Emitter-Reststrom (IB 0) Kollektor-Emitter-Reststrom (UBE 0) Kollektor-Basis-Reststrom (IE 0) Sättigungsspannung, Restspannung zwischen Kollektor und Emitter

IC IB

Gleichstrom-Verstärkung

I CEO ≈ B I CBO

Dynamische Kennwerte des Transistors mit Vierpolparametern

∆ IC = h21e ∆ IB

E 'IC 'IB

Wechselstrom-Verstärkungsfaktor (| B) Differenz des Kollektorstromes Differenz des Basisstromes

∆ UBE = h11e ∆ IB

rBE 'UBE 'IB

Differentieller Eingangswiderstand Differenz der Basis-Emitter-Spannung Differenz des Basisstromes

r CE =

∆ UCE 1 = ∆ IC h22e

rCE 'UCE 'IC

Differentieller Ausgangswiderstand Differenz der Kollektor-Emitter-Spannung Differenz des Kollektorstromes

Leerlaufspannungsrückwirkung (IB konst.)

DU

'UBE 'UCE

DU 'UBE 'UCE

Leerlaufspannungsrückwirkung Differenz der Basis-Emitter-Spannung Differenz der Kollektor-Emitter-Spannung

Steilheit (UCE konst.)

S=

S ' IC 'UBE

Steilheit Differenz des Kollektorstromes Differenz der Basis-Emitter-Spannung

Wechselstromverstärkung (UCE konst.)

β=

Dynamischer Eingangswiderstand (UCE konst.)

rBE =

Dynamischer Ausgangswiderstand (IB konst.)

∆ IC ∆ UBE

h12e

Grenzwerte des Transistors Ptot totale Verlustleistung IC max maximaler Kollektorstrom UCE0, Kollektor-Emitter-Sperrspannung UCEmax bei offener Basis (I β = 0) TUmax , Temperaturgrenzwerte für die Tjmax maximale Umgebungs- bzw. Sperrschichttemperatur Tjmax für Silizium | (150 ... 200) °C

Grenzwerte und Kennlinien

Verlustleistung

156

PV UCE IC  UBE IB d Ptot PV | UCE IC d Ptot P I Cmax ≤ tot UCE

Ptot gilt für eine vom Hersteller definierte Umgebungstemperatur TU (meist 25 °C).

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik 5.7.3

Thyristoren

5.7.3.1 Grundschaltung und Kenndaten A K G RL RG UB UG USt UT IT IG

Grundschaltung

Ströme

IT =

UB − UT U ≈ B RL RL

Lastkreis

IG =

USt − UG RG

Steuerkreis

Anode Katode Gate (Steueranschluss) Lastwiderstand Gatewiderstand Betriebsspannung Steuerspannung Steuerkreisspannung Durchlassspannung Durchlassstrom Steuerstrom

UT IT  UG IG | 1,1 UT IT

Verlustleistung

PV

Kenndaten

Vorwärtsrichtung UT, UF Durchlassspannung UD Vorwärts-Sperrspannung UDRM Periodische Vorwärts-Spitzensperrspannung U(BO) Kippspannung U(BO)0 Nullkippspannung UH Haltespannung IT, IF Durchlassstrom ITAV Mittelwert des Durchlassstromes (Dauergrenzstrom) ITEFF Effektivwert des Durchlassstromes ID Vorwärts-Sperrstrom IH Haltestrom I(BO) Kippstrom Rückwärtsrichtung UR Rückwärts-Sperrspannung URRM Periodische Rückwärts-Spitzensperrspannung URSM Rückwärts-Stoßspitzensperrspannung U(BR) Durchbruchspannung IR Rückwärts-Sperrstrom IRRM Periodische Rückstromspitze

157

5

5

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik 5.7.3.2 Ausgewählte Thyristorbauelemente

Vierschichtdiode (Einrichtungs-Thyristordiode)

Charakteristische Kennlinie

Schaltung und Schaltverhalten

Durchlassbereich

Auswahl typischer Werte: Nullkippspannung U(BO)0 Haltestrom Haltespannung Durchlassstrom

Anwendungsbeispiele: Diac (Zweirichtungs-Diode im Dreischichtaufbau)

Diac (ZweirichtungsThyristordiode)

| 50 V | 10 mA bis 50 mA |1V | bis 200 mA

Kippschaltungen, Impulsverstärker, Zählstufen. Zum Ansteuern von Thyristortrioden (Thyristoren).

Charakteristische Kennlinie

Schaltung und Schaltverhalten

Auswahl typischer Werte:

Kippspannung U(BO) | 30 V Rücklaufspannung 'U | 6 V für einen definierten Strom IF bzw. IR (z.B. 10 mA) Max. Durchlassstrom Imax | bis 3 A

Anwendungsbeispiele:

Hauptsächlich zur Ansteuerung von Triacs und als kontaktloser Schalter.

Der DIAC wird auch als Zweirichtungs-Thyristordiode ausgeführt. Das entspricht der Antiparallelschaltung von zwei Thyristordioden. Antiparallelschaltung

158

IH UH IF

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik Thyristor (EinrichtungsThyristortriode)

Charakteristische Kennlinie

Schaltung und Schaltverhalten

DurchlassKennlinie P-Gate-Thyristor

N-Gate-Thyristor

Auswahl typischer Werte: Spitzensperrspannung URRM | 50 V bis 5000 V Dauergrenzstrom Zündspannung Zündstrom

Anwendungsbeispiele:

Triac (ZweirichtungsThyristortriode)

Schaltung und Schaltverhalten

Auswahl typischer Werte: Spitzensperrspannung Durchlassstrom

GTO-Thyristor (Abschaltthyristortriode)

| 0,5 A bis > 1000 A | 1 V bis 5 V | 10 mA bis 500 mA

Als Leistungsschalter in Gleich-, Wechsel- und Drehstromkreisen. Als steuerbarer Stromrichter im Wechselstromkreis.

Charakteristische Kennlinie

Anwendungsbeispiele:

ITAV UG IG

UDRM | bis 1500 V ITEFF | bis 50 A

Steuerung kleiner bis mittlerer Wechselstromleistungen. Phasenanschnittsteuerung.

GTO (Gate-Turn-Off)-Thyristoren sind Thyristoren, die durch geeignete Steuerimpulse nicht nur vom Sperrzustand in den Durchlasszustand, sondern auch umgekehrt umgeschaltet werden können. –

Der Steuerstrom zum Abschalten eines GTO-Thyristors beträgt etwa 1/4 des Laststromes.

–

GTO-Thyristoren werden u. a. in Wechselrichter-Schaltungen eingesetzt zur Umwandlung von Gleichspannung in Wechselspannung.

159

5

5

Elektrotechnik Elementare Bauteile der Elektronik 5.7.3.3 Phasenanschnittsteuerung Phasenanschnittschaltung mit Diac und Triac

Phasenanschnittsteuerung mit Diac und Triac

Beschreibung der Steuerung

160

u uG i p

Netzspannung α Zündverzögerungswinkel Steuerimpulse 4 Stromflusswinkel Laststrom α + 4 = 180° im Lastwiderstand umgesetzte Leistung

– – –

Die Steuerschaltung liefert netzsynchrone Zündimpulse Steuerbar zwischen den Zündverzögerungswinkeln 0° bis 180° Stufenlose Leistungssteuerung zwischen P0 und Pmax

Thermodynamik Grundbegriffe Grundbegriffe

6.1 Grundbegriffe absoluter Druck pabs

Normvolumen Vn

pabs = pamb  pe (bei Überdruck)

pe

pabs = pamb – pe (bei Unterdruck)

pamb

atmosphärische Druckdifferenz, Überdruck umgebender Atmosphärendruck

ist das Volumen einer beliebigen Gasmenge im Normzustand. Einheit m3. Physikalischer Normzustand: T = 273,15 K; - = 0° C, p = 101325 N/m2 | 1,013 bar Das molare Normvolumen des idealen Gases beträgt Vmn = 22,415 m3/kmol

spezifisches Volumen Q (6.9)

Q in m3/ kg (6.9)

V Volumen in m3

spezifisches Normvolumen Q n (6.9) Wärme Q

spezifische Wärme q

νn =

Vn m

m Masse in kg r Dichte in kg / m3 (6.9)

ist das spezifische Volumen im Normzustand (siehe oben)

Q = m c 'T = m c (t2 – t1) 1 Joule (J) = 1 Nm = 1 Ws. Das J ist die gesetzliche Einheit der Energie, der Wärme und der Arbeit. Das Kelvin (K) ist die gesetzliche Einheit der Temperatur (1 K = 1°C).

q=

Beachte: Q ist der Quotient aus Volumen V und Masse m. r ist der Quotient aus Masse m und Volumen V. Die Wichte J = rg soll nicht mehr benutzt werden !

V 1 = m r

ν=

Q m

Q J

m

c

'T

t 2, t1

kg

J kgK

K

K oder °C

m c

Masse spezifische Wärmekapazität (6.10 und 6.11) K und °C siehe 6.7

q

Q

m

J kg

J

kg

spezifische Wärmekapazität c (6.10 und 6.11)

gibt die Wärme (Wärmemenge) in J an, die erforderlich ist, um 1 kg oder 1 g eines Stoffes um 1 Kelvin (1 K) zu erwärmen, c ist temperatur- und druckabhängig.

mittlere spezifische Wärmekapazität cm12 zwischen t1 und t2 (6.10 und 6.11)

cm12 =

Mischungstemperatur t g (Gemischtemperatur)

tg =

c m02 t2 − c m01 t1 t2 − t1

m 1 c 1 t1 + m 2 c 2 t2 m1 c 1 + m 2 c 2

K und °C siehe 6.7

cm02 ist mittlere spezifische Wärmekapazität zwischen 0 °C und t2 cm01 entsprechend zwischen 0 °C und t1 t K oder °C

m

c

kg

J kg K

161

6

6

Thermodynamik Wärmeausdehnung Schmelzenthalpie q s (6.12)

gibt die Wärme in J an, die nötig ist, um die Stoffmenge 1 kg des Stoffes bei der jeweiligen Schmelztemperatur zu schmelzen.

Verdampfungsenthalpie q v (6.13 und 6.15)

gibt die Wärme in J an, die nötig ist, um die Stoffmenge 1 kg des Stoffes bei der jeweiligen Siedetemperatur in den gasförmigen Zustand zu überführen.

Energieprinzip (H. v. Helmholtz)

Der Energieinhalt eines abgeschlossenen Systems kann bei irgendwelchen Veränderungen innerhalb des Systems weder zu- noch abnehmen: 'U = 'Q  'W 'U 'W 'Q

thermischer Wirkungsgrad K th

6.2 Wärmeausdehnung

Zuwachs an innerer Energie Arbeit Wärme

η th =

'U

'Q

'W

J

J

Nm = J

1 J = 1 Nm = 1 Ws

∆ Q1 − ∆ Q 2 ∆Q2 ∆W = = 1− ∆ Q1 ∆ Q1 ∆ Q1

Wärmeausdehnung

Wärmeausdehnung fester Körper (6.16) Längenzunahme ' l nach Erwärmung

' l = l1 D l (t 2 – t1)

Länge l2 nach Erwärmung

l2 = l1 [1  D l (t 2 – t1)]

Volumenzunahme 'V nach Erwärmung

'V | V1 D V (t 2 – t1)

Volumen V2 nach Erwärmung

V2 | V1 [1  D V (t 2 – t1)]

l

V

D 1 , D V

t

m

m3

1 K

K oder °C



D l Längenausdehnungskoeffizient (6.16)

D V Volumenausdehnungskoeffizient (6.16) : D V | 3 D l für feste Körper V1 Volumen vor Erwärmung K und °C siehe 6.7

Wärmeausdehnung flüssiger Körper (6.17) Volumenzunahme 'V nach Erwärmung Volumen V2 nach Erwärmung

'V = V1

D V (t2  t1) 1  D V t1

1  D V t2 V2 = V1 1  D V t1

V

DV

t

m3

1 K

K oder ºC

K und ºC siehe 6.7

Wärmeausdehnung von Gasen Vollkommene Gase dehnen sich bei Erwärmung um 1 K = 1 °C (bei gleich bleibendem Druck) um den 273,15 ten Teil des Volumens aus, das sie bei 0 °C = 273,15 K und 101325 Pa (Normvolumen) einnehmen. 1 Pa = 1 N/m2. Temperatur-Umrechnung siehe 6.7.

162

Thermodynamik Wärmeübertragung Volumenausdehnungskoeffizient D V (konstant für alle vollkommenen Gase)

Gesetz von Gay-Lussac

αV =

1 m3 1 1 = 273,15 m3 K 273,15 K

αV =

1 m3 1 1 1 = = 0,00366 o 273,15 m3 oC 273,15 oC C

V1 V2

=

T1

p1

T2

p2

gilt bei t = konstant

Gesetz von Boyle-Mariotte

V1 V2

=

oder

=

T1 T2

gilt bei V = konstant

p2

V

T

p

p1

m3

K

N = Pa m2

gilt bei t = konstant

T Temperatur (thermodynamische V0 V (T − T1) = 1 (T2 − T1) Temperatur). Zwischen dieser und T1 273,15 2

Volumenzunahme 'V nach Erwärmung

'V =

Volumen V2 nach Erwärmung

V2 = V1

der Celsiustemperatur t eines Körpers gilt: T = t  273,15 K (siehe 6.7)

T2 T1

Wärmeübertragung

6.3 Wärmeübertragung

Wärmeleitung

Wärmeleitung (6.18 bis 6.20)

ist der Wärmetransport von Teilchen zu Teilchen innerhalb eines Stoffes. Wärmeleitfähigkeit O (6.18 bis 6.20)

gibt die Wärme in J an, die in 1 s bei einem Durchtrittsquerschnitt von 1 m2 und einem Temperaturunterschied von 1 K durch die Stoffdicke von 1 m hindurchströmt. O ändert sich mit der Temperatur und bei Gasen auch mit dem Druck.

Wärmestrom ) th bei ebener Wand und bei dünnwandigem Rohr

Φ th = λ (t1 − t2 )

A s Wärme Q Φ th = Zeit t

A = S d L innere Mantelfläche t1, t2 Oberflächentemperaturen s Wanddicke t Zeit

) th W

A s, l, D, d t

O J m sk

=

W Km

m2

m

°C

Beachte : Weil 1 Joule je Sekunde gleich 1 Watt ist (1 J/ s = 1 W), wird für die Einheit der Wärmeleitfähigkeit O das Watt je Kelvin und Meter (W / Km) benutzt.

163

6

6

Thermodynamik Wärmeübertragung Wärmestrom ) th bei dickwandigem Rohr

Φ th =

2π λl (t − t ) D 1 2 ln d

l D d

A(t1 − t2 ) = s

Wärmestrom ) th bei ebener mehrschichtiger Wand

Φ th

Wärmestrom ) th bei mehrschichtigem Hohlzylinder

Φ th =

Wärmestrom ) th bei mehrschichtiger Hohlkugel

Φ th =

∑λ

2 π l (t1 − t2 ) 1 D ln λ d

∑

s In

) th

Rohrlänge in m Außendurchmesser in m Innendurchmesser in m Wanddicke in m natürlicher Logarithmus Wärmestrom in J/ s = W

Beachte : 1

J s

=W

2 π (t1 − t2 ) 1⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ λ⎝ d D ⎠

∑

Wärmeübergang (6.21) Wärmeübergang

ist die Wärmeübertragung durch Konvektion von einem flüssigen oder gasförmigen Medium an eine feste Wand und umgekehrt.

Wärmeübergangszahl D (Wärmeübergangskoeffizient)

gibt die Wärme in J an, die bei einer Berührungsfläche von 1 m2 und einer Temperaturdifferenz von 1 K in 1 s übergeht. Die große Zahl von Einflussgrößen macht die Bestimmung von D schwierig.

Wärmestrom ) th

) th = D A (t fl – t w)

Formeln für Wärmeübergangszahl

D Luft,20°C in J/m2 sK = W/m2K (nach Jürges) Wärmedurchgang

) th

D

A

t

W

J W = m2 sk m2 K

m2

K

w  5 m/s

w ! 5 m/s

D = 5,6  3,9 w D = 5,8  3,9 w D = 6,2  4,2 w

D= 7,1 w 0,78 D = 7,14 w 0,78 D = 7,52 w 0,78

für Luftgeschwindigkeit glatte, polierte Wand Wand mit Walzhaut raue Wand

ist die Wärmeübertragung von einem flüssigen oder gasförmigen Körper durch eine Trennwand auf einen kälteren flüssigen oder gasförmigen Körper. Teil Vorgänge: Wärmeübergang Flüssigkeit (t1) o Wandoberfläche (t w1) Wärmeleitung Wandoberfläche (t w1) o Wandoberfläche (t w2) Wärmeübergang Wandoberfläche (t w2) o kältere Flüssigkeit (t2)

164

A wärmeübertragende Fläche t fl mittlere Temperatur des strömenden Mediums t w Wandtemperatur

Thermodynamik Wärmeübertragung Wärmedurchgangszahl k (6.22) (Wärmedurchgangskoeffizient)

gibt die Wärme in J an, die bei einer Wandfläche von 1 m2 und einer Temperaturdifferenz von 1 K in 1 s hindurchgeht

Wärmestrom ) th

) th = k A (t1 – t2) A Durchgangsfläche t Durchgangszeit

Wärmedurchgangszahl k für ebene mehrschichtige Wand

k=

für mehrschichtigen Hohlzylinder

k=

für mehrschichtige Hohlkugel

) th

k

A

t

W

J W = 2 m2 sK m K

m2

K

k D

O

W K m2

W Km

1 1

∑ λ + α1 s

+

α1

1

α1

+

1

di

∑ 2

1 di 1 D ln + λ d αa Da

1

k= 1

αi

+

di 2

∑

2 di 1⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟+ λ⎝ d D ⎠ αa Da2

s, d, D ln (D / d )

m

1

di

Innendurchmesser der innersten Schicht

Da

Außendurchmesser der äußersten Schicht

Durchmesserverhältnis D >1 einer Schicht d In

natürlicher Logarithmus

Wärmestrahlung (6.23)

Stefan-Boltzmann'sches Gesetz

) s = Cs A T 4 ) s Strahlungsfluss

allgemeine Strahlungskonstante

Cs 5,67 ⋅10−8

Strahlungsfluss ) des wirklichen Körpers

) = CAT 4 = H Cs AT 4 ) = H Qs

Strahlungsfluss )

) 1,2 = C1,2 A (T14 − T24 )

Strahlungsaustauschzahl C1,2

C1,2 =

)

C

A

T

H

W

J W = 2 4 m2 sK 4 m K

m2

K

1

W J = 5,67 ⋅10−8 2 4 m2 sK 4 m K

H = C/Cs Emissionsverhältnis C Strahlungszahl, beide nach 6.23 A parallel gegenüberstehende Flächen der Temperatur T1, T2 C1, C2 Strahlungszahlen der Körper  H 1 , H 2 Emissionsverhältnis nach 6.23

Cs 1 = 1 1 1 1 1 + − + −1 C1 C2 Cs ε1 ε2

165

6

6

Thermodynamik Gasmechanik 6.4 Gasmechanik allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase

p1 ν1 p ν = 2 2 T1 T2

p1V1 p V = 2 2 T1 T2

p ν pν = 0 0 T 273K

Druck

Q

spezifisches Volumen

R i spezifische Gaskonstante (individuelle Gaskonstante)

p0 V0 273K

pV T

p

pQ = R i T; pV = mRi T; p = r R i T

T

Q

p

N m2

Pa

m3 kg

V

m

r

J K m3 kgK

kg

kg m3

Ri

T

Temperatur

V Volumen m Masse

r Dichte

Gasmechanik

spezifische Gaskonstante Ri (6.24)

universelle Gaskonstante R

ist eine Stoffkonstante, die durch Messung der zugehörigen Größen p, Q, T bestimmt werden kann. Sie stellt die Raumschaffungsarbeit dar, die von 1 kg Gas verrichtet wird, wenn diese Gasmenge bei p = konstant um 1 K erwärmt wird: Ri = cp – cv (cp spezifische Wärmekapazität bei p = konstant, cv bei V = konstant, Werte in 6.11) R Ri = M molare Masse oder stoffmengenbezogene Masse (siehe 6.24) M J R = 8315 kmolK R ist von der chemischen Beschaffenheit eines Gases unabhängig

m3 (bei 0 ºC und 101 325 Pa; 1 Pa = 1 N/m2) kmol Q 0 ist (unabhängig von der Gasart) das von 1 kmol eingenommene Volumen beim physikalischen Normzustand (6.1)

molares Normvolumen Vmn

Vmn = 22,415

spezifische Wärmekapazitäten cv und cp bei konstantem Volumen und bei konstantem Druck (6.11)

cv =

innere Energie U

U = m c v 'T

spezifische innere Energie u

u = cv ' T

Änderung der spezifischen inneren Energie 'u

166

1

cv, cp

R

κ− 1 i κ cp = R κ− 1 i

R i = cp – cv

U u= m

'u = u2 – u1 = cv (t2 – t1)

J kgK

N

Ri

1

J kg K

1 NM = 1 J = 1 Ws Verhältnis N = cp / cv (6.24)

m kg

U

u

cv

'T,t1,t2

J

J kg

J kg K

K

Thermodynamik Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess äußere Arbeit W (absolute) eines Gases (Volumenänderungsarbeit)

technische Arbeit Wt (Druckänderungsarbeit)

Enthalpie H

ν2

ν2

ν1

ν1

∑∆W = ∑ p ∆ν

W=

Wt =

p2

p2

p1

p1

∑ ∆ Wt = ∑ν ∆ p

W, Wt

p

Q

J kg

N = Pa m2

m3 kg

H = m cp 'T

spezifische Enthalpie h

h = cp 'T

Änderung der spezifischen Enthalpie 'h

'h = h2 – h1 = cp (t2 – t1)

H

h

m

cp

J

J kg

kg

J kg K

'T, t1, t2

K

Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess

6.5 Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess Isochore (isovolume) Zustandsänderung

Das Gasvolumen Q bleibt während der Zustandsänderung konstant (Q = konstant); damit ist auch p / T = konstant: p1 T1

p1 p2

=

=

p2 T2

T1 T2

= konstant

273 + ϑ1 o

=

273o + ϑ 2

q (u)

c

T

h

N

J kg

J kg K

K

J kg

1

s

W

Q

p

J kg K

J kg

m3 kg

N = Pa m2

cp, cv nach 6.11  N nach 6.24

167

6

6

Thermodynamik Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess Ri

zu- oder abgeführte Wärme 'q

∆ q = cv (T2 − T1) =

Änderung der inneren Energie 'u

∆ u = cv (T2 − T1) =

Änderung der Enthalpie 'h

∆ h = cp (T2 − T1)

Änderung der Entropie 's

∆ s = cv ln

technische Arbeit Wt (äußere Arbeit W = 0)

W t = ν ( p1 − p2 ) = ( κ − 1) ∆ u

κ −1 Ri

κ −1

(T2 − T1) (T2 − T1)

T2 T1

Isobare Zustandsänderung

Der Gasdruck p bleibt während der Zustandsänderung konstant (p = konstant); damit ist auch Q / T = konstant:

ν1 T1

=

ν2 T2

q (u)

c

T

h

N

J kg

J kg K

K

J kg

1

s

W

Q

p

J kg K

J kg

m3 kg

N = Pa m2

= konstant

ν 1 T1 273 K + t 1 V1 = = = ν 2 T2 273 K + t 2 V2

cp, cv nach 6.11 N nach 6.24



zu- oder abgeführte Wärme 'q

∆ q = cp (T2 − T1) =

Änderung der inneren Energie 'u

∆ u = cv (T2 − T1)

Änderung der Enthalpie 'h

∆ h = cp (T2 − T1)

Änderung der Entropie 's

∆ s = cp ln

äußere Arbeit W (technische Arbeit Wt = 0)

W = p (ν 2 − ν 1 ) =

168

κ R (T − T1) κ −1 i 2

T2 T1

κ −1 ∆q κ

Thermodynamik Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess Isotherme Zustandsänderung Die Temperatur T bleibt während der Zustandsänderung konstant (T = konstant); damit ist auch pQ = konstant:

Einheiten siehe 6.5 (isochore Zustandsänderung)

p1 Q1 = p2 Q 2 = konstant p1 ν2 = p2 ν1

zu- oder abgeführte Wärme 'q

∆ q = R iT ln

p1 ν2 = R iT ln ν1 p2

Änderung der inneren Energie 'u = 0 ebenso Änderung der Enthalpie 'h = 0

p1 ν2 = R i ln ν1 p2

Änderung der Entropie 's

∆ s = R i ln

äußere Arbeit W (technische Arbeit Wt = 'q )

W = W t = ∆ q = R iT ln

p2 ν1 = R iT ln ν2 p1

Adiabate (isentrope) Zustandsänderung

Während der Zustandsänderung wird Wärme weder zu- noch abgeführt ('q = 0, also auch 's = 0); damit wird pQκ = konstant:

κ

Einheiten siehe 6.5 (isochore Zustandsänderung)

κ

p 1 ν 1 = p 2 ν 2 = konstant κ κ / κ−1 p 1 ⎛ ν 2 ⎞ ⎛ T1 ⎞ =⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ p 2 ⎝ ν 1 ⎠ ⎝T2 ⎠ κ−1 ⎛ p ⎞κ−1/ κ T1 ⎛ ν 2 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ 1 ⎟ T2 ⎝ ν 1 ⎠ ⎝p2⎠

Änderung der inneren ӽ | äußere Energie 'u (ӽ Arbeit W |)

'u = cv (T2 – T1)

169

6

6

Thermodynamik Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess Änderung der Enthalpie 'h

'h = cp (T2 − T1) =

⎡⎛ ⎞κ−1/ κ ⎤ ⎡⎛ ⎞κ−1 ⎤ p ν κ p 1 ν1⎢⎜ 2 ⎟ p 1 ν1⎢⎜ 1 ⎟ − 1⎥ − 1⎥= ⎢⎝ p 1 ⎠ ⎥ κ −1 ⎢⎝ ν 2 ⎠ ⎥ κ −1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

κ

'h = Änderung der Entropie 's

's = 0

äußere Arbeit W (ӽ ӽ | 'u |)

W = cv (T1 − T2 ) =

1

κ −1

( p 1 ν1 − p 2 ν 2 ) =

p 1 ν1⎛ T ⎞ ⎜1− 2 ⎟ κ − 1⎝ T1 ⎠

κ−1/ κ ⎤ ⎡ ⎡ ⎛ ⎞κ−1 ⎤ p 1 ν1⎢ ⎛ p 2 ⎞ ⎥= p 1 ν1⎢1−⎜ ν1 ⎟ ⎥ 1−⎜ ⎟ ⎥ κ − 1⎢ ⎣ ⎝ p1 ⎠ ⎦ κ − 1⎢ ⎣ ⎝ ν2 ⎠ ⎥ ⎦

W=

technische Arbeit Wt (ԑ ԑ | 'h |)

T κ p ν 2 −1 κ − 1 1 1 T1

Wt = cp (T1 − T2 ) = Wt = κ A =

κ κ −1

( p 1 ν1 − p 2 ν 2 ) =

⎛ T ⎞ p 1 ν1⎜1− 2 ⎟ T1 ⎠ κ −1 ⎝

κ

⎡ ⎛ p ⎞κ−1/ κ ⎤ ⎡ ⎛ ν ⎞κ−1 ⎤ 2 1 ⎥= κ p ν ⎢1−⎜ ⎟ ⎟ ⎥ p 1 ν1⎢1−⎜ 1 1 ⎢ ⎜ ⎥ κ −1 ⎢ ⎝ ν2 ⎠ ⎦ ⎥ κ −1 p1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎣ ⎦

κ

Polytrope Zustandsänderung

Allgemeinste Zustandsänderung nach dem Gesetz pQn = konstant. Die anderen Zustandsänderungen sind Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung. Exponent n kann von – f bis  f variieren.

n

n

p 1 ν1 = p 2 ν 2 = konstant n

n p 1 ⎛ ν 2 ⎞ ⎛ T1 ⎞n−1 =⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ p 2 ⎝ ν1 ⎠ ⎝T2 ⎠ n−1

n−1 ⎛p ⎞n T1 ⎛ ν 2 ⎞ =⎜ ⎟ =⎜ 1 ⎟ T2 ⎝ ν1 ⎠ ⎝p2 ⎠

n−κ (T − T1) n −1 2

zu- oder abgeführte Wärme 'q

∆ q = cv

Änderung der inneren Energie 'u

∆ u = cv (T2 − T1)

Änderung der Enthalpie 'h

wie bei adiabater Zustandsänderung, wenn für N der Exponent n eingesetzt wird

170

Einheiten siehe 6.5 (isochore Zustandsänderung)

Thermodynamik Gleichungen für Gasgemische n − κ T2 ln n − 1 T1

Änderung der Entropie 's

's = cv

äußere Arbeit W und technische Arbeit Wt

wie bei adiabater Zustandsänderung, wenn für N der Exponent n eingesetzt wird

Carnot'scher Kreisprozess

1–2 2–3 3–4 4–1

isotherme Kompression adiabate Kompression isotherme Expansion adiabate Expansion

Kreisprozessarbeit W

W = Ri (Tu − To )ln

thermischer Wirkungsgrad K th

K th = 1−

6.6 Gleichungen für Gasgemische

p1 p2

Tu To

Gleichungen für Gasgemische

Gesetz von Dalton

Nach Dalton nimmt jeder Gemischpartner das gesamte zur Verfügung stehende Gemischvolumen ein, als ob die anderen Partner nicht vorhanden wären. Daher steht jedes Einzelgas unter einem Teildruck (Partialdruck). Die Summe aller Partialdrücke ergibt den Gesamtdruck

Gesamtdruck pg

pg = p1  p 2  ... pn

Gesamtmasse mg

mg = m1  m2  ... mn

Gesamtvolumen Vg (bei n Einzelgasen) des Gemisches

Vg = V1  V2  ... Vn

Gaskonstante Rg des Gemisches (6.24)

 1R1 + m  2R2 + ...m  nRn Rg = m

 n= m

mn Massenanteil mg

 =1 ∑m

rn =

Vn Raumanteil Vg

∑r = 1  n, rn m

p

m

V

N Pa = 2 m

kg

m3 (Verhältnisgrößen)

Einheit Eins

171

6

6

Thermodynamik Spezifisches Normvolumen Qn und Dichte rn (0 °C und 101 325 N/m2) Rn p Rg g

Partialdruck pn des Gemisches

n pn = m

spezifische Wärmekapazität cpg des Gemisches

 1 cp1  m  2 cp 2  ...m  n cpn cpg = m  1 cv1  m  2 cv 2  ...m  n cvn cvg = m

cp1..., cv1... sind die spezifischen Wärmekapazitäten der Einzelgase (6.11)

Dichte rg des Gemisches

rg = r1 r1  r2 r2  ... rn rn

r1...Dichten der Einzelgase

Temperatur tg des Gemisches

siehe 6.1

rn pg

(6.24)

6.7 TemperaturUmrechnungen

t F in Grad Fahrenheit (°F) :

5 5 (t  32) T  273,15 (T  491,67) 9 F 9 R tF = 1,8 t  32 = 1,8 T – 459,67 = TR – 459,67

T in Grad Kelvin (K) :

T = t  273,15

TR in Grad Rankine (°R) :

TR = 1,8 t  491,67 = tF  459,67 = 1,8 T

6.8 TemperaturFixpunkte

Sauerstoff (Siedepunkt) Wasser (Tripelpunkt) Wasser (Siedepunkt) Schwefel (Siedepunkt) Silber (Schmelzpunkt) Gold (Schmelzpunkt)

t

in Grad Celsius (°C) :

6.9 Spezifisches Normvolumen Q n und Dichte r n (0 °C und 101 325 N/m2)

172

t=

Gasart

Kohlendioxid Kohlenoxid Luft Methan Sauerstoff Stickstoff Wasserdampf Wasserstoff

5 t  255,37 9 F

– 182,97 °C 0,01 °C 100,00 °C 444,60 °C 960,80 °C 1063,00 °C

chemisches Kurzzeichen CO2 CO – CH4

O2 N2 H2O H2

5 T 9 R

Q n in

m3 kg

0,506 0,800 0,774 1,396 0,700 0,799 1,243 11,111

r n in

kg m3

1,977 1,250 1,293 0,717 1,429 1,251 0,804 0,090

Thermodynamik Schmelzenthalpie qs fester Stoffe in J / kg bei p = 101 325 N/m2 6.10 Mittlere spezifische Wärmekapazität cm fester und flüssiger Stoffe zwischen 0 °C und 100 °C in J / (kg K) Aluminium Beton Blei Eichenholz Eis Eisen (Stahl) Fichtenholz Glas Graphit Gusseisen Kieselgur

896 1005 130 2390 2050 450 2720 796 870 540 870

Kork Kupfer Marmor Messing Nickel Platin Quarzglas Quecksilber Sandstein Schamotte Silber

2010 390 870 386 444 134 725 138 920 796 234

Steinzeug Ziegelstein Alkohol Ammoniak Aceton Benzol Glycerin Maschinenöl Petroleum Schwefelsäure Wasser

773 920 2430 4187 2300 1840 2430 1675 2093 1380 4187

6.11 Mittlere spezifische Wärmekapazität cp , cQ in J / (kg K) nach Justi und Lüder ϑ in ºC

CO

0 cp

1038,13

cQ

740,92

100 cp

CO2

Luft

CH4

707,43

1004,64

2155,79

519,06

715,81

1636,73

1042,31

870,69

1008,83

cQ

745,11

682,32

200 cp

1046,50

cQ

O2

N2

H2O

H2

912,55

1038,13

1854,40

14 232,40

653,02

740,92

1393,94

10 109,19

2260,44

920,92

1042,31

1866,96

14 316,12

719,99

1741,38

661,39

745,11

1406,50

10 192,91

916,73

1013,01

2453,00

933,48

1046,50

1887,89

14 399,84

749,29

728,36

724,18

1933,93

673,95

749,29

1427,43

10 276,63

300 cp

1054,87

958,59

1021,38

2637,18

950,22

1050,69

1908,82

14 441,70

cQ

757,67

770,22

732,55

2118,12

690,69

753,48

1448,36

1946,49

400 cp

1063,24

987,90

1029,76

2808,81

966,97

1059,06

1938,12

14 483,56

cQ

766,04

799,53

740,92

2289,74

707,43

761,85

1477,66

10 360,35

500 cp

1075,80

1021,38

1042,31

2955,32

979,52

1074,43

1971,61

14 483,56

cQ

778,60

833,01

753,48

2436,25

719,99

770,22

1511,15

10 360,35

600 cp

1088,36

1050,69

1050,69

3147,87

992,08

1075,82

2000,91

14 525,42

cQ

791,15

862,31

761,85

2628,81

732,55

778,60

1540,45

10 402,21

700 cp

1096,73

1071,62

1059,06

3302,57

1004,64

1084,17

2030,21

14 567,28

cQ

799,53

883,25

770,22

7283,69

745,11

786,97

1569,75

10 444,07

800 cp

1109,30

1092,55

1071,62

3436,71

1017,20

1096,73

2067,88

14 651,00

cQ

812,08

904,18

782,78

2917,64

757,67

799,53

1607,42

10 527,79

900 cp

1121,85

1113,48

1084,17

3570,66

1025,57

1105,10

2101,37

14 692,86

cQ

824,64

925,11

795,34

3051,59

766,04

807,90

1640,91

10 569,65

1000 cp

1130,22

1130,22

1092,55

3658,56

1033,94

1117,66

2134,86

14 734,72

cQ

833,01

941,85

803,71

3139,50

744,41

820,46

1674,40

10 611,51

6.12 Schmelzenthalpie qs fester Stoffe in J / kg bei p = 101 325 N/m2 Aluminium

3,9 · 105 105

Blei

0,23 ·

Eis

3,4 · 105

Nickel

2,3 · 105

Zink

1,1 · 105

105

Platin

1,0 ·

105

Zinn

0,6 · 105

Magnesium 2,0 · 105

Stahl

2,5 · 105

Grauguss Kupfer

0,96 · 105 1,7 ·

173

6

6

Thermodynamik Volumenausdehnungskoeffizient D V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C 6.13 Verdampfungs- und Kondensationsenthalpie qv in J / kg bei 101 325 N/m2 Alkohol Benzol

8,7 · 105 4,4 · 105

Quecksilber Sauerstoff

2,85 · 105 2,14 · 105

Stickstoff Wasser Wasserstoff

2,01 · 105 22,5 · 105 5,0 · 105

6.14 Schmelzpunkt fester Stoffe in °C bei p = 101 325 N/m2 Aluminium Blei Chrom Diamant Eisen (rein) Elektron

658 327 1765 3500 1528 625

Gold Graphit Iridium Kupfer Magnesium Mangan

1063 3600 2455 1084 655 1260

Messing Platin Silber Wolfram Zink Zinn

900 1770 960 3350 419 232

6.15 Siede- und Kondensationspunkt einiger Stoffe in °C bei p = 101 325 N/m2 Alkohol Benzin Benzol Blei Eisen (rein) Glycerin Gold

78 95 80 1525 2500 290 2650

Helium Kohlenoxid Kupfer Magnesium Mangan Methan Quecksilber

– 269 – 190 2310 1100 1900 – 164 357

Sauerstoff Silber Stickstoff Wasser Wasserstoff Zink Zinn

– 183 2000 – 196 100 – 253 915 2200

6.16 Längenausdehnungskoeffizient D l fester Stoffe in 1/K zwischen 0 °C und 100 °C (Volumenausdehnungskoeffizient D V | 3 D l ) Aluminium Baustahl Blei Bronze Chromstahl Glas Gold Gusseisen

23,5 · 10–6 12,0 · 10–6 92,2 · 10–6 17,5 · 10–6 11,0 · 10–6 9,0 · 10–6 14,2 · 10–6 9,0 · 10–6

Invarstahl Jenaer Glas Kunststoffe Kupfer Magnesium Messing Nickel Platin

1,6 · 10–6 4,5 · 10–6 (10 – 50) · 10–6 16,5 · 10–6 26,0 · 10–6 18,4 · 10–6 14,1 · 10–6 8,9 · 10–6

Porzellan PVC Quarzglas Widia Wolfram Zinn Zinnbronze Zink

3,0 · 10–6 78,1 · 10–6 0,6 · 10–6 5,3 · 10–6 4,5 · 10–6 23,0 · 10–6 17,8 · 10–6 30,1 · 10–6

6.17 Volumenausdehnungskoeffizient D V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C Äthylalkohol Äthyläther Benzol

174

11,0 · 10–4 16,3 · 10–4 12,4 · 10–4

Glycerin Olivenöl Quecksilber

5,0 · 10–4 7,2 · 10–4 1,8 · 10–4

Schwefelsäure Wasser

5,6 · 10–4 1,8 · 10–4

Thermodynamik Wärme-Übergangszahlen D für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen 6.18 Wärmeleitzahlen O fester Stoffe bei 20 °C in 103 Aluminium Asbestwolle Asphalt Bakelit Beton Blei Duraluminium Eichenholz, radial Eis bei 0 °C Eisenzunder (1000 °C) Fensterglas Fichtenholz, axial –, radial Gips, trocken 1) Gold Graphit Hartgummi 1)

754 0,3 2,5 0,8 4,6 126 628 0,6 8,1 5,9 4,2 0,84 0,42 1,5 1120 500 0,6

(209) (0,08) (0,69) (0,22) (1,28) (35) (174) (0,17) (2,25) (1,64) (1,17) (0,23) (0,12) (0,42) (310) (140) (0,17)

Kesselstein, amorph 1) –, gipsreich 1) –, kalreich 1) Kies Kohle, amorph –, graphitisch Korkplatten Kupfer Leder Linoleum Magnesium Marmor Messing Mörtel und Putz Nickel Nickelstahl (30% Ni) Porzellan 1)

4 5,5 1,8 1,3 0,63 4,2 0,17 1360 0,6 0,67 510 10,5 376 3,4 293 42 4,5

J W ; Klammerwerte in mhK mK (1,1) (1,53) (0,5) (0,36) (0,17) (1,17) (0,05) (380) (0,17) (0,19) (142) (2,92) (104) (0,94) (81) (11,7) (1,3)

Quarzglas Ruß Sandstein Schamottestein 1) –, (1000 °C) Schaumgummi 1) Schnee 1) Silber Stahl (0,1 % C) – (0,6 %C) – (V 2 A) Ziegelmauer, außen –, innen Zink Zinn

5,0 0,17 6,7 3 3,6 0,2 0,5 1500 193 150 54 3,1 2,5 406 239

(1,39)

(0,8) (1,0) (0,06) (0,14) (420) (54) (42) (15) (0,86) (0,7) (113) (66)

Mittelwerte

6.19 Wärmeleitzahlen O von Flüssigkeiten bei 20 °C in Ammoniak Äthylalkohol Aceton Benzin

1 800 700 600 500

(0,5) (0,19) (0,17) (0,14)

Glycerin 1 000 – mit 50% Wasser 1 500 Paraffinöl 460 Quecksilber 33 000

J W ; Klammerwerte in mhK mK

(0,28) (0,42) (0,13) (9,2)

Spindelöl Transformatorenöl Wasser Xylol

500 460 2 200 470

(0,14) (0,13) (0,61) (0,13)

6.20 Wärmeleitzahlen O von Gasen in Abhängigkeit von der Temperatur J W (Ungefährwerte) in Klammerwerte in mhK mK Luft Wasserdampf Argon

0 °C 84 (0,023) 63 (0,017) 59 (0,016)

200 °C 47 (0,013) 117 (0,032) 92 (0,026)

400 °C 188 (0,052) 197 (0,055) 126 (0,035)

600 °C 222 (0,062) 293 (0,081) 155 (0,043)

800 °C 251 (0,07)

1000 °C 281 (0,078)

184 (0,05)

209 (0,058)

6.21 Wärme-Übergangszahlen D für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen (Mittelwerte) in

Verdampfer Überhitzer Lufterhitzer Wasservorwärmer

J m2 hK

D 1 = (83 ... 209) · 103 D 2 = (210 ... 420) · 106 D 1 = (125 ... 209) · 103 D 1 = (42 ... 83) · 103 D 1 = (63 ... 126) · 103 D 2 = (210 ... 330) · 106

in

W m2 K

zwischen Feuergas und Wand

23 ... 58

zwischen Wand und Wasser

(58 ... 117) · 103

zwischen Rohrwand und Feuergas oder Dampf

35 ... 58

zwischen Blechwand und Luft oder Feuergas

12 ... 23

zwischen Feuergas und Rohrwand

17 ... 35

zwischen Rohrwand und Wasser

(58 ... 92) · 103

175

6

6

Thermodynamik Spezifische Gaskonstante R i , Dichte r und Verhältnis N = cp / cQ einiger Gase 6.22 Wärmedurchgangszahlen k bei normalem Kesselbetrieb (Mittelwerte) in

J m 2 hK

(42 ... 126) · 103 (83 ... 209) · 103 (83 ... 251) · 103 (33 ... 63) · 103

in für Wasservorwärmer für Verdampferheizfläche für Berührungsüberhitzer für Plattenlufterhitzer

W m2K

11,7 ... 35 23 ... 58 23 ... 70 9,2 ... 17,5

6.23 Emissionsverhältnis H und Strahlungszahl C bei 20 °C C in

H absolut schwarzer Körper Aluminium, unbehandelt –, poliert Glas Gusseisen, ohne Gusshaut Kupfer, poliert Messing, poliert Öle Porzellan, glasiert Stahl, poliert Stahlblech, verzinkt –, verzinnt Dachpappe

1 0,07 ... 0,09 0,04 0,93 0,42 0,045 0,05 0,82 0,92 0,28 0,23 0,06 ... 0,08 0,91

J m 2 hK 4

C in

20,8 · 10–5 (1,47 ... 1,88) · 10–5 0,796 · 10–5 19,3 · 10–5 8,8 · 10–5 0,92 · 10–5 1,05 · 10–5 16,96 · 10–5 19,17 · 10–5 5,86 · 10–5 4,69 · 10–5 (1,3 ... 1,7) · 10–5 18,92 · 10–5

5,78 · 10–8 (0,41 ... 0,52) · 10–8 0,22 · 10–8 5,36 · 10–8 2,44 · 10–8 0,26 · 10–8 0,29 · 10–8 4,71 · 10–8 5,32 · 10–8 1,63 · 10–8 1,30 · 10–8 (0,36 ... 0,47) · 10–8 5,26 · 10–8

6.24 Spezifische Gaskonstante R i , Dichte r und Verhältnis N =

Gasart

Atomzahl

Argon (Ar) Acetylen(C2H2) Ammoniak (NH3) Helium (He) Kohlendioxid (CO2) Kohlenoxid (CO) Luft Methan (CH4) Sauerstoff (O2) Stickstoff (N2) Wasserdampf (H2O) Wasserstoff (H2)

1 4 4 1 3 2 – 5 2 2 3 2

1)

176

J R i in kg K 208 320 488 2 078 189 297 287 519 260 297 462 4 158

kg r in 3 m

1)

1,7821 1,1607 0,7598 0,1786 1,9634 1,2495 1,2922 0,7152 1,4276 1,2499 – 0,0899

Die Werte gelten für die Temperatur von 0 °C und für einen Druck von 101 325

W m 2 K4

N m2

cp cν

einiger Gase

N

molare Masse M kg in kmol (gerundet)

1,66 1,26 1,31 1,66 1,30 1,40 1,40 1,32 1,31 1,40 1,40 1,41

40 26 17 4 44 28 – 16 32 28 18 2

= 1,01325 bar.

Mechanik fester Körper Freimachen der Bauteile 7.1 Freimachen der Bauteile

Alle am freizumachenden Körper K angreifenden Bauteile B 1, B 2, B 3 ... gedanklich nacheinander wegnehmen und deren Aktionskräfte F1, F2, F3 ... an K antragen. Gewichtskraft FG des Körpers K wirkt immer lotrecht nach unten und greift im Schwerpunkt S an. Angreifende Bauteile in diesem Sinn sind auch Gase, Flüssigkeiten usw. FR ist die Reibkraft.

Seile, Ketten, Bänder, Riemen übertragen nur Zugkräfte in Richtung ihrer Schwerachse.

Zweigelenkstäbe (Pendelstützen) übertragen ohne Rücksicht darauf, ob die Stäbe gerade oder gekrümmt sind, nur Zug- oder Druckkräfte (Axialkräfte), deren Wirklinie durch beide Gelenkpunkte verläuft. Dies gilt jedoch nur dann exakt, wenn das Eigengewicht vernachlässigt wird.

Stützflächen, auch gekrümmte, übertragen je eine Normalkraft FN und eine Tangentialkraft (Reibkraft) FR. FN wirkt immer normal zur Auflagefläche. Bei gekrümmten Flächen geht die Wirklinie (WL) von FN durch den Krümmungsmittelpunkt T. Bei ebenen Flächen liegt dieser im Unendlichen. FR versucht den langsameren Körper zu beschleunigen, den schnelleren zu verlangsamen. FN und FR stehen immer rechtwinklig aufeinander.

Rollen, Kugeln haben gekrümmte Stützflächen mit Krümmungsradius = Kreisradius. Normalkraft FN geht durch Berührungspunkt und Kreismittelpunkt, WL der Reibkraft ist Kreistangente.

177

7

7

Mechanik fester Körper Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr 7.2 Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden Fr (zeichnerische Ersatzaufgabe) Beim zentralen ebenen Kräftesystem: Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstabgerecht aneinanderreihen, so dass sich fortlaufender Kräftezug ergibt. Fr ist Verbindungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft.

Beim zentralen räumlichen Kräftesystem: Nach den Gesetzen der darstellenden Geometrie Kraftecke im Grund- und Aufriss zeichnen, daraus wahre Größe und wahre Winkel bestimmen.

Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem: Bei schrägen Kräften durch wiederholte Parallelogrammzeichnung : F1 und F2 auf WL verschieben und zum Schnitt bringen ergibt Fr 1, 2 , diese mit F3 zum Schnitt bringen ergibt WL von Fr . Bei parallelen oder annähernd parallelen Kräften durch Seileckverfahren. Kräfteplan der gegebenen Kräfte durch Parallelverschiebung der WL aus dem Lageplan in den Kräfteplan; Fr als Verbindungslinie vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E des Kräftezugs; Polpunkt P beliebig wählen und Polstrahlen ziehen; durch Parallelverschiebung in den Lageplan Seilstrahlen zeichnen; Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt S bringen, womit ein Punkt der WL von Fr gefunden ist.

Beim allgemeinen räumlichen Kräftesystem: Besser die rechnerische Lösung anwenden.

7.3 Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr (rechnerische Ersatzaufgabe) Beim zentralen ebenen Kräftesystem: Zwei Kräfte, die den Winkel D einschließen, haben die Resultierende Fr = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos α sin E =

178

F1 sin α F sin α ; β = arcsin 1 Fr Fr

Mechanik fester Körper Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr Besonders bei mehreren Kräften bestimmt man die Resultierende Fr durch Zerlegen aller gegebenen Kräfte in Komponenten Fnx = Fn · cos D n ; Fny = Fn · sin D n (Buchstabe „ n “ steht für Zahlen 1, 2, 3 ...) nach Lageskizze. Teilresultierende Frx und Fry berechnen aus: Frx = F1x  F2x  F3x  ... Fnx = ¦ Fnx Fry = F1y  F2y  F3y  ... Fny = ¦ Fny Gesamtresultierende: Fr =

Frx 2 + Fry 2

deren Winkel zur positiven x -Achse (Richtungswinkel): Fry Fry tan D r = αr = arctan Frx Frx

Beim zentralen räumlichen Kräftesystem:

Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem, mit zusätzlich dritter (z-)Richtung: Fnx = Fn cos Dn Fny = Fn cos En Frx = ¦ Fn cos Dn Fry = ¦ Fn cos En Fr =

Fnz = Fn cos Jn Frz = ¦ Fn cos Jn

Frx 2 + Fry 2 + Frz2

D r = arccos

Frx Fr

β r = arccos

Fry Fr

γ r = arccos

Frz Fr

Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem:

Betrag und Richtung der Resultierenden Fr wie beim zentralen ebenen Kräftesystem, zusätzlich Lage von Fr durch den Momentensatz

Wirken mehrere Kräfte drehend auf einen Körper, so ist die algebraische Summe ihrer Momente gleich dem Moment der Resultierenden in Bezug auf den gleichen Drehpunkt. Fr l0 = F1 l1  F2 l2  ... Fn ln

F1, F2 ... Fn gegebene Kräfte oder deren Komponenten Fx , Fy l0 , l1 , l2 , ... ln deren Wirkabstände (A) vom gewählten (beliebigen) Drehpunkt F1 l1 , F2 l2 ... Fn ln die statischen Momente der gegebenen Kräfte in Bezug auf den gewählten Drehpunkt (Vorzeichen beachten)

179

7

7

Mechanik fester Körper Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte 7.4 Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte (zeichnerische Gleichgewichtsaufgabe) Beim zentralen ebenen Kräftesystem:

Das Krafteck muss sich schließen. Gegebene Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstäblich aneinanderreihen; gesuchte Gleichgewichtskraft Fg (oder zwei Kräfte Fg1 , Fg 2 ) bekannter Wirklinie schließen das Krafteck.

Beim zentralen räumlichen Kräftesystem:

Räumliches Krafteck muss sich schließen. Nach den Gesetzen der darstellenden Geometrie Kraftecke im Grund- und Aufriss konstruieren.

Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem:

Kraft- und Seileck müssen sich schließen. Oder je nach Anzahl der beteiligten Kräfte: Zwei-Kräfteverfahren

Zwei Kräfte stehen im Gleichgewicht, wenn sie gleichen Betrag und Wirklinie, jedoch entgegengesetzten Richtungssinn haben.

Drei-Kräfteverfahren Drei nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn das Krafteck geschlossen ist und die Wirklinien sich in einem Punkt schneiden. WL der gegebenen Kraft F1 mit der bekannten WL der gesuchten Kraft schneiden lassen. Verbindungslinie vom Schnittpunkt S mit dem Angriffspunkt der gesuchten Kraft F3 ist deren WL. Kräfteplan mit gegebener Kraft F1 beginnen und mit F2 und F3 schließen. Zweiwertige Lager können eine beliebig gerichtete Lagerkraft aufnehmen (F3 ), also zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten (F3x und F3y ).

Vier-Kräfteverfahren

Vier nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierenden je zweier Kräfte ein geschlossenes Krafteck bilden und eine gemeinsame Wirklinie haben (die Culmann'sche Gerade). WL je zweier Kräfte zum Schnitt I und II bringen; Kräfteplan mit der bekannten Kraft beginnen; dann mit Culmann'scher Geraden und den WL der anderen Kräfte schließen. Voraussetzung: Alle WL sind bekannt.

180

Mechanik fester Körper Fachwerke Schlusslinien-Verfahren

Kraft- und Seileck müssen sich schließen. Geeignet für parallele oder nahezu parallele Kräfte, die sich nicht auf der Zeichenebene zum Schnitt bringen lassen. Krafteck und Seileck zeichnen, dabei ersten Seilstrahl (0) durch zweiwertigen Lagerpunkt legen und Endseilstrahl (3) mit der WL der einwertigen Stützkraft zum Schnitt bringen, ergibt „Schlusslinie S “ im Seileck, die im Krafteck (übertragen) Teilpunkt T festlegt. Stützkräfte nach zugehörigen Seilstrahlen ins Krafteck einzeichnen.

7.5 Rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte (rechnerische Gleichgewichtsaufgabe) Beim zentralen ebenen Kräftesystem:

Zerlegen aller gegebenen und gesuchten Kräfte (diese mit angenommenem Richtungssinn) in ihre Komponenten in x- und y-Richtung mit Fnx = Fn cos Dn

Fny = Fn sin Dn

berechnen. Algebraische Summe aller Komponentenbeträge muss null sein. Damit stehen zwei Gleichungen zur Verfügung: ¦ Fx = 0 = F1x  F2x  ... Fnx

¦ Fy = 0 = F1y  F2y  ... Fny

Beim zentralen räumlichen Kräftesystem:

Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem, zusätzlich einer dritten Richtung (z-Achse) und damit auch die dritte Gleichung : ¦ Fz = 0 = F1z  F2z  ... Fnz

Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem:

Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem; zusätzlich muss die Summe aller Momente der Komponenten um einen beliebigen Drehpunkt D null sein; damit stehen bei diesem hauptsächlichen Fall drei Gleichungen zur Verfügung: ¦Fx = 0

¦ Fy = 0

¦ M(D) = 0

Beim allgemeinen räumlichen Kräftesystem:

Es stehen drei Kräfte- und drei Momentgleichungen zur Verfügung.

7.6 Fachwerke Jeder Knotenpunkt stellt ein zentrales Kräftesystem dar. s Anzahl der Stäbe, k Anzahl der Knoten. Bei s = 2 k – 3 ist ein Fachwerk innerlich statisch bestimmt, bei s ! 2 k – 3 ist es innerlich statisch unbestimmt, bei s  2 k – 3 ist es kinematisch unbestimmt (beweglich).

181

7

7

Mechanik fester Körper Schwerpunkt 7.7 Schwerpunkt Dreiecksumfang

Dreieckseiten halbieren, Mittelpunkte A , B , C verbinden. S ist Mittelpunkt des dem Dreieck A , B , C einbeschriebenen Kreises. h ab ˜ y0 2 abc Parallelogrammumfang und -fläche: S ist Schnittpunkt der Diagonalen Kreisbogen

S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2D (Symmetrielinie).

y0 = y0 y0

rs b 2r S 2r S

y 01 |

2 h für flache Bögen 3

0,637 r für 2 D = 180° 2

0,9 r für 2 D = 90°

y0

3r S

0,955 r für 2 D = 60°

Dreieckfläche

S liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. 1 y0 h 3 Liegt eine Dreiecksfläche im ebenen Achsenkreuz und sind x1, x2, x3 bzw. y1, y2, y3 die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks, so sind die Koordinaten des Schwerpunkts S : 1 1 x0 = ( x1 + x2 + x3 ) y 0 = ( y1 + y 2 + y 3 ) 3 3 Trapezfläche

Grundseiten a und b wechselseitig antragen und Endpunkte dieser Strecken verbinden, ebenso Mitten der Seiten a und b verbinden. S liegt im Schnittpunkt beider Verbindungslinien. y0 =

h a + 2b ⋅ 3 a+ b

y 01 =

h 2a + b ⋅ 3 a+ b

Kreisausschnittfläche

S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2 D . y0 y0 y0

182

2 rs ˜ 3 b 4r 0,424 r für 2 D = 180° 3S 4r 2 3S

0,6 r für 2 D = 90°

y0

2r S

0,637 r für 2 D = 60°

Mechanik fester Körper Schwerpunkt Kreisringstückfläche

S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2 D . y 0 = 38,197

(R 3− r 3 ) sin α (R 2− r 2 ) α o

Kreisabschnittsfläche

S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2 D . y0 =

2 r sin3 α s3 ⋅ = 3 arc α − sin α cos α 12 A

Parabelfläche

3 a 8 3 = a 4

3 b 5 3 = b 10

x01 =

y 01 =

x02

y 02

Mantel der Kugelzone und der Kugelhaube

Die Mittelpunkte beider Stirnflächen durch eine Gerade miteinander verbinden. Der Mantelschwerpunkt liegt auf der Mitte der Verbindungsstrecke. Bei der Kugelhaube tritt an die Stelle der kleinen Stirnfläche der Kugelpol. Kegelmantel und Pyramidenmantel

Kegel- oder Pyramidenspitze mit dem Schwerpunkt des Umfangs der Grundfläche verbinden. Auf dieser Schwerlinie liegt der Mantelschwerpunkt. Sein Abstand beträgt ein Drittel der Kegel (Pyramiden-) höhe. Mantel des abgestumpften Kreiskegels

Die Mitten beider Stirnflächen (Schwerlinie) verbinden. Der Schwerpunktsabstand von der Grundfläche beträgt: h R+2 r y0 = ⋅ 3 R+r h Höhe des Kegelstumpfes, R Radius der unteren, r Radius der oberen Stirnfläche. gerades und schiefes Prisma (und Zylinder) mit parallelen Stirnflächen

Körperschwerpunkt S liegt in der Mitte der Verbindungslinie der Flächenschwerpunkte S 0 , also h y0 = 2 abgeschrägter gerader Kreiszylinder

Körperschwerpunkt S liegt auf der x, y -Ebene als Symmetrieebene mit den Abständen: x0 =

r 2 tan α 4h

y0 =

h r 2 tan2 α + 2 8h

183

7

7

Mechanik fester Körper Guldin'sche Regeln gerade und schiefe Pyramide und Kegel

Die Spitze mit dem Schwerpunkt der Grundfläche verbinden. Der Körperschwerpunkt liegt auf dieser Schwerlinie. Sein Abstand von der Grundfläche beträgt ein Viertel der Pyramiden-(Kegel-)höhe. Pyramidenstumpf mit beliebiger Grundfläche

Der Körperschwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Stirnflächen. Sind A 1, A 2 die Stirnflächen, h die Höhe des Stumpfes, so ist der Abstand des Schwerpunkts von der unteren Stirnfläche A 1: y0 =

h A1 + 2 A1 A 2 + 3 A 2 ⋅ 4 A1 + A1 A 2 + A 2

gerader und schiefer Kegelstumpf

Der Körperschwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Stirnflächen. Ist h Höhe des Kegelstumpfes, R der Radius der unteren Stirnfläche, r der Radius der oberen Stirnfläche, so ist der Abstand des Schwerpunkts von der unteren Stirnfläche y0 =

h R2 +2 R r +3 r2 ⋅ 4 R2 +R r +r2

Keil

Umdrehungsparaboloid

h a + a1 y0 = ⋅ 2 2 a + a1

y0 =

2 b 3

Kugelabschnitt Der Körperschwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Ist R der Kugelradius, und h die Abschnittshöhe, so ist der Abstand des Schwerpunkts vom Kugelmittelpunkt y0 =

3 (2 R − h )2 ⋅ 4 3 R −h

y0 =

3 R 8

für Halbkugel

y0 =

3 R4 −r4 ⋅ 8 R3 −r3

für halbe Hohlkugel

Kugelausschnitt

Der Körperschwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Sein Abstand vom Kugelmittelpunkt ist y0 =

3 r (1+ cos α ) 8

y0 =

3 (2 r − h ) 8

7.8 Guldin'sche Regeln Oberfläche

A x0 l

Flächeninhalt der Umdrehungsfläche in cm2 Schwerpunktsabstand von der Drehachse in cm Länge der Profillinie in cm A = 2 S x0 l

Volumen V Volumen der Umdrehungsfläche in cm3 Schwerpunktsabstand von der Drehachse in cm x0 A Flächeninhalt der Profilfläche in cm2 V = 2 S x0 A

184

Mechanik fester Körper Reibung 7.9 Reibung Gleitreibung und Haftreibung

FR Gleitreibkraft (FR0 Haftreibkraft), FN Normalkraft, Fe Ersatzkraft (Resultierende aus Normalkraft und Reibkraft), P Reibzahl (P0 Haftreibzahl), r Reibwinkel (r0 Haftreibwinkel) FR = FN P

FR0 max = FN P 0

tan r = P = FR / FN

tan r0 = P 0 = FR0 max / FN

Reibung auf schiefer Ebene

FG Gewichtskraft des Körpers, F Verschiebe- oder Haltekraft, FR Reibkraft, FR0 Haftreibkraft, FN Normalkraft, Fe Ersatzkraft aus FN und FR (FR0), Neigungswinkel D ! Reibwinkel r (r 0 ).

Selbsthemmungsbedingung

Ein Körper bleibt auf schiefer Ebene solange in Ruhe, d. h. es liegt Selbsthemmung vor, solange der Neigungswinkel D einen Grenzwinkel r 0 nicht überschreitet (z. B. bei Befestigungsgewinde mit D | 3°). tan D ԛ tan r 0

tan D ԛ P 0

(Selbsthemmungsbedingung)

185

7

7

Mechanik fester Körper Reibung in Maschinenelementen 7.10 Reibung in Maschinenelementen Schraube

F M RG M RA

Schraubenlängskraft (z.B. Vorspannkraft) Gewindereibmoment Auflagereibmoment (FRa Auflagereibkraft)

MA

Anziehdrehmoment Steigungswinkel am Flankenradius r2 tan D = P / 2 r2 S; D = arctan (P / 2 r2 S) Reibwinkel im Gewinde Reibzahl im Gewinde Reibzahl nach 7.12 Steigung des Gewindes Flankenradius Wirkabstand der Auflagereibung Nennradius (z.B. bei M 12: r = 6 mm) Reibzahl der Mutterauflage, vom Werkstoff abhängig nach 7.12 Wirkungsgrad des Schraubgetriebes Spitzenwinkel des Gewindes ( E = 30° für Trapezgewinde, E = 60° für Spitzgewinde)

D r' P'

P P r2 ra = 1,4 r r

Pa K E

Zylinderführung

F resultierende Verschiebekraft aus Gewichtskraft und äußerer Belastung. Führungsbuchse klemmt sich fest, solange die Wirklinie von F durch die Überdeckungsfläche der beiden Reibkegel geht. Führungslänge l : l = 2 P la Bei l  2 P la klemmt die Buchse fest, bei l ! 2 P la gleitet sie.

186

M RG = Fr 2 tan (D r r' ) M RA = FRa ra = F P a ra M A = M RG  M RA = Fh l mA

P'

= F [r2 tan (D r r' )  P a ra] = tan r' =

K =

µ cos( β / 2)

tan α tan( α + r' )

tan( α − r' ) tan α () für Anziehen (Heben) (–) für Lösen (Senken der Last)

K =

Selbsthemmung bei D ԛ r'

Mechanik fester Körper Reibung in Maschinenelementen Keilgetriebe

Verschiebekraft: F = F1

sin( α + r 2 + r 3 )cos r 1 cos( α + r 1 + r 2 )cos r 3

Bei r1 = r 2 = r 3 = r ist

F = F1

sin( α + 2 r)cos r = F1 tan(r + 2 r) cos( α + 2 r)cos r

Wirkungsgrad K bei Lastheben: tan α K= tan( α + 2 r) Selbsthemmung bei D  2 r 0 Haltekraft, die Herausdrücken des Keiles verhindert:

F' = F1 tan (D – 2 r 0) Querlager (Tragzapfen)

mittlere Flächenpressung: F pm = dl Mit Zapfenreibzahl P , Zapfenradius r wird das Reibmoment:

MR = F r P Mit Winkelgeschwindigkeit Z = 2 S n oder mit Drehzahl n wird die Reibleistung:

PR = M R Z = 2 F r P S n Längslager (Spurzapfen) 3

für Hohlzapfen ist Reibmoment M R =

3

r − r 2 µ F 22 1 2 3 r2 − r1

Reibleistung PR = M R Z Für Vollzapfen ist M R =

2 P F r2 3

Rollreibung

Rollkraft:

Rollbedingung:

f f F = F1 FR  P0 FN oder  P0 r r f Hebelarm der Rollreibung: Stahlräder auf Stahlschienen f | 0,05 cm

Fahrwiderstand

Wird ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit v auf horizontaler Bahn bewegt, so ist, abgesehen vom Luftwiderstand, außer dem Rollwiderstand noch der durch Lagerreibung entstehende Widerstand zu überwinden. Beide werden zusammengefasst zum Fahrwiderstand Ff .

Ff = FN Pf FN gesamte Normalkraft (Anpresskraft) des Fahrzeugs. Bei horizontaler Bahn ist FN = Gewichtskraft des Fahrzeugs; Straßenbahn mit Gleitlagern 0,018 Pf Fahrwiderstandszahlen: Eisenbahn 0,0025 Kraftfahrzeuge auf Asphalt 0,025 Straßenbahn mit Wälzlagern 0,005 Drahtseilbahn 0,01.

187

7

7

Mechanik fester Körper Bremsen Seilreibung

Durch Reibung FR zwischen Zugmittel und Scheibe wird Spannkraft F1 größer als Gegenkraft F2. Bei Gleichgewicht ist

F1 = F2 e P D e = 2,71828 ... heißt Euler'sche Zahl

P Reibzahl zwischen Zugmittel und Scheibe: D

D o ˜ S rad

180o Umschlingungswinkel D im Bogenmaß (rad). (Werte für ePD in 7.13) Seilreibung FR ist die größte Umfangskraft, die eine Seil-, Band- oder Riemenscheibe übertragen kann:

FR = F1 – F2 = F2 (e P D – 1) = F1

(e µα − 1) e µα

Rollen- und Flaschenzüge

F Zugkraft, F1 Last, s 1 Kraftweg, s 2 Lastweg, K Wirkungsgrad der festen und der losen Rolle, K r Wirkungsgrad des Rollenzugs, n Anzahl der tragenden Seilstränge. Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle)

F=

F1

η

K für Ketten und Seile | 0,96

Lose Rolle

F=

F1 2η

s1 = 2 s2

Flaschenzug (Rollenzug)

F=

F1 1− η = F1 n ηr η (1− η n )

Kr =

η (1− η n ) n (1− η)

s1 = n s2

Rollenzug mit n = 4 tragenden Seilsträngen

(K r nach 7.13)

7.11 Bremsen F Bremskraft in N, M Bremsmoment in Nm, P Wellenleistung in kW, P Reibzahl, sämtliche Längen l und r in m, Umschlingungswinkel in rad. Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt D

(l1 ± µ l2 ) (+) bei Rechtslauf l (−) bei Linkslauf Selbsthemmung bei Linkslauf, wenn l1  P l2. F = FN

188

Mechanik fester Körper Bremsen Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D

F = FN

(l 1 B µ l 2 ) (−) bei Rechtslauf l (+) bei Linkslauf

Selbsthemmung bei Rechtslauf, wenn l1  P l2. Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D

l1 l Selbsthemmung tritt nicht auf. Die Normalkraft FN ergibt sich bei den drei Backenbremsarten aus dem Bremsmoment M :

F = FN

M = FR r = FN P r Einfache Bandbremse

M = FR r = F r

l (e µα − 1) l1

Summenbremse

M = FR r = F r

l e µα − 1 ⋅ l 1 e µα + 1

Differenzbremse

M = FR r = F r l

e µα − 1 l 2 − l 1 e µα

Bremszaum

P=

FG l n 9550

Einheiten siehe Bandbremszaum

Bandbremszaum

P=

(FG  F ) r n 9550

P

FG

F

r, l

n

kW

N

N

m

min–1

189

7

7

Mechanik fester Körper Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung 7.12 Gleitreibzahl P und Haftreibzahl P 0 (Klammerwerte sind die Gradzahlen für den Reibwinkel r bzw. r 0) Haftreibzahl P 0

Werkstoff

trocken Stahl auf Stahl Stahl auf Gusseisen oder Bronze Gusseisen auf Gusseisen Holz auf Holz Holz auf Metall Lederriemen auf Gusseisen Gummiriemen auf Gusseisen Textilriemen auf Gusseisen Bremsbelag auf Stahl Lederdichtungen auf Metall

gefettet

0,5 0,19

( 8,5) (10,8)

0,5 0,7

(26,6) (35)

0,6

Gleitreibzahl P

(31)

0,1 0,1 0,16 0,16 0,11 0,3

0,2

trocken

(5,7) (5,7) (9,1) (9,1) (6,3) (16,7)

(11,3)

gefettet

0,15 0,18

( 8,5) (10,2)

0,3 0,5

(16,7) (26,6)

0,01 0,01 0,1 0,08 0,1

(0,6) (0,6) (5,7) (4,6) (5,7)

0,4 0,4 0,5 0,2

(21,8) (21,8) (26,6) (11,3)

0,4 (21,8) 0,12 (6,8)

7.13 Wirkungsgrad Kr des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden Seilstränge (K = 0,96 angenommen) n

Kr

1 0,960

2 0,941

3 0,922

4

5

0,904

6

0,886

7

0,869

0,852

8 0,836

9 0,820

10 0,804

7.14 Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung Die Gleichungen gelten auch für den freien Fall und für den senkrechten Wurf mit Fall- oder Steighöhe h = Weg s und Fallbeschleunigung g = Beschleunigung oder Verzögerung a ; g = 9,81 m/s2.

Beschleunigung a

Die Beschleunigung a ist konstant. Die rechnerische Behandlung beginnt mit dem Aufzeichnen des v, t -Diagramms, weil immer die Fläche unter der Geschwindigkeitslinie dem zurückgelegten Weg s entspricht. a=

Geschwindigkeitsänderung ∆ v m in 2 Zeitabschnitt t s

Umrechnung von

km A m = h 3,6 s m km B = B ⋅ 3,6 s h

A

km m in h s

A, B Zahlenwert Beispiel :

72

km h

20

190

m s

=

72 m 3,6 s

= 20

= 20 ⋅ 3,6

km h

m s

= 72

km h

Mechanik fester Körper Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung Endgeschwindigkeit ve (bei va = 0)

ve = a t =

Endgeschwindigkeit ve (bei va z 0)

ve = va  'Q = va  a t

Weg s (bei va = 0)

s =

ve t v at2 = = e 2 2 2a

Weg s (bei va z 0)

s =

va + ve v − va at2 = e t = va t + 2 2 2a

Zeit t (bei va = 0)

t =

ve 2s = a a

Zeit t (bei va z 0)

t =

⎛ v ⎞2 2 s v e − va v =− a ± ⎜ a ⎟ + ⎝a⎠ a a a

Beschleunigung a (bei va = 0)

a =

ve v 2s = e = 2 2s t t

Beschleunigung a (bei va z 0)

a =

v e − va v − va = e t 2s

Anfangsgeschwindigkeit va (bei ve = 0)

va = a t = 2a s

ve =

2a s

2

va + 2 a s 2

2

2

v, t -Diagramm va = 0

2

v, t -Diagramm va z 0

2

Anfangsgeschwindigkeit va (bei ve z 0)

2

va = ve  'v = ve  a t va =

2

ve + 2 a s 2

Weg s (bei ve = 0) Weg s (bei ve z 0)

s =

va t v at2 = = a 2 2 2a v, t -Diagramm ve = 0

v + ve at2 s = a t = va t − 2 2

Zeit t (bei ve = 0)

t =

va 2s = a a

Zeit t (bei ve z 0)

t =

⎛ v ⎞2 2 s va − ve v = a ± ⎜ a⎟ − ⎝a⎠ a a a

Verzögerung a (bei ve = 0)

a =

va v 2s = a = 2 2s t t

Verzögerung a (bei ve z 0)

a =

va − ve v − ve = a t 2s

v, t -Diagramm ve z 0

2

2

2

191

7

7

Mechanik fester Körper Gleichförmige Drehbewegung 7.15 Wurfgleichungen 7.15.1 Horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) Geschwindigkeit v in einem Bahnpunkt

v =

v x + v y = v a + (g t ) 2

Geschwindigkeit v nach Fallhöhe h

v =

va + g h

Fallhöhe h nach Wurfweite w

h =

Wurfweite w

w = va

2

2

2

2

gw 2

Gleichung der Wurfbahn

2

2 νa

2h g

17.15.2 Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand) 2

v a sin2 α g

Wurfweite w (Größtwert bei D = 45°)

w =

Wurfdauer t

t=

2 v a sin α w = v a cos α g

Wurfhöhe h

h=

v a sin2 α 2g

2

Geschwindigkeit vx in x-Richtung Geschwindigkeit vy in y-Richtung

vx = va cos D

  vy = va sin D – g t

7.16 Gleichförmige Drehbewegung ϕ

=

Winkelgeschwindigkeit Z

Z=2Sn=

Schieberweg s (Hub)

s = r (1 – cos M)

Umfangsgeschwindigkeit vu

vu =

192

vu r

 M t

r

Zr

 

Schiebergeschwindigkeit v

t

v = r Z sin M vmax = vu

d Sn

2Sr n

Mechanik fester Körper Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Kreisbewegung Drehwinkel M (z Anzahl der Umdrehungen)

vu, v Z, n

M=Zt=2Sz

m s

rad s

t

r, s

M

z

s

m

rad

1

In der Technik sind als Zahlenwertgleichungen gebräuchlich: Umfangsgeschwindigkeit vu

vu =

vu =

Winkelgeschwindigkeit Z

Sd n 1000

Sd n 60000

Sn | 0,1n 30

Z=

vu

d

n

m min

mm

min–1

vu

d

n

m s

mm

min–1

Z

n

rad s

min–1

7.17 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Kreisbewegung Winkelbeschleunigung D

Die Winkelbeschleunigung D ist konstant. Die rechnerische Behandlung beginnt mit dem Aufzeichnen des Z, t -Diagramms (Z Winkelgeschwindigkeit), weil immer die Fläche unter der Winkelgeschwindigkeitslinie dem überstrichenen Drehwinkel M entspricht. Winkelgeschwindigkeitsänderung 'Z rad in 2 Zeitabschnitt t s

D= Endwinkelgeschwindigkeit Z e (bei Za = 0) Endwinkelgeschwindigkeit Z e (bei Z a z 0) Drehwinkel M (bei Z a = 0)

Ze = D t =

2DM

Ze = Za  'Z = Za  Dt

ωa2 + 2 αϕ

Ze = M=

ωe t 2

αt 2

=

2

=

ωe2 2α Z, t -Diagramm bei Za = 0

Drehwinkel M (bei Z a z 0)

M=

ωa + ωe 2

Zeit t (bei Z a = 0)

t=

Ze D

Zeit t (bei Z a z 0)

t=

Z e  Za D

Winkelbeschleunigung D (bei Z a = 0)

D=

ωe t

t = ωa t +

αt 2

2

=

ωe2

ωa2

− 2α

2M

D

=



§ Z 2 2M · Za r ¨¨ a  ¸ D D ¸¹ © D

ωe2 2 ϕ = 2 2ϕ t

Z, t -Diagramm bei Za z 0

193

7

7

Mechanik fester Körper Sinusschwingung (harmonische Schwingung) Winkelbeschleunigung D (bei Z a z 0)

ωe − ωa

D=

t

=

ωe2 − ωa2 2ϕ

2α ϕ

Anfangswinkelgeschwindigkeit Z a (bei Z e = 0)

Za = D t =

Anfangswinkelgeschwindigkeit Z a (bei Z e z 0)

Z a = Z e  'Z = Z e  Dt

Drehwinkel M (bei Z e = 0)

M=

Drehwinkel M (bei Z e z 0)

M=

Zeit t (bei Z e = 0)

t=

ωa 2ϕ = α α

Zeit t (bei Z e z 0)

t=

⎛ω ⎞ ωa − ωe ωa 2ϕ = ± ⎜ a⎟ − α α α ⎝α⎠

Winkelverzögerung D (bei Z e = 0)

D=

Winkelverzögerung D (bei Z e z 0)

D=

ωe2 + 2 α ϕ

Za =

ωa t

=

2

αt2

ωa + ωe 2

2

=

ωa2 2α

t = ωa t −

Z, t -Diagramm bei Ze = 0

αt2 2

2

Tangentialbeschleunigung oder -verzögerung a T

aT =

ωa t

=

ωa2 2 ϕ = 2 2ϕ t

ωa − ωe t

Z, t -Diagramm bei Ze z 0

=

ωa2 − ωe2 2ϕ

∆v u ∆ω r = αr = t t

7.18 Sinusschwingung (harmonische Schwingung) Periodische Schwingung

Sinusschwingung (harmonische Schwingung)

194

liegt vor, wenn sich eine physikalische Größe (z. B. Auslenkung y eines Punktes) zeitlich so verändert, dass sich der Vorgang nach Periodendauer T (Schwingungsdauer) in genau gleicher Weise wiederholt. ist Sonderfall einer periodischen Schwingung, z. B. eine lineare Schwingung, die sich als seitliche Projektion eines gleichförmig auf der Kreisbahn umlaufenden Punktes darstellen lässt.

Mechanik fester Körper Sinusschwingung (harmonische Schwingung) Zusammenhang zwischen periodischer Schwingung und Sinusschwingung

Differenzialgleichung der freien ungedämpften Schwingung

Phase

Jede periodische Schwingung lässt sich durch eine Fourier-Entwicklung in Sinusschwingungen zerlegen: A y(t) = 0 + A n cos(n ω t ) + Bn sin(n ω t ) 2

∑

  Ry = 0 my JM  RM = 0

∑

für geradlinige Schwingbewegung für Drehbewegung

m Masse des Schwingers, y Auslenkung, R Federrate, J Trägheitsmoment, M Drehwinkel Phase ist der Winkel M im Bogenmaß (rad), den der umlaufende Punkt im Zeitabschnitt t durchläuft:

M=Zt=2Sft=2Sz Auslenkung y

y ist die momentane Entfernung des schwingenden Punktes von der Nulllage (Mittellage, Gleichgewichtslage)

Amplitude A

A (Schwingungsweite) ist die maximale Auslenkung ymax aus der Nulllage. Bei ungedämpfter Schwingung ist A = konstant.

Periodendauer T (Schwingungsdauer)

T

Frequenz f

f (Schwingungszahl) ist der Quotient aus der Anzahl z der Schwingungen und dem zugehörigen Zeitabschnitt t : f

t z

z t

gemessener Zeitabschnitt Anzahl der Schwingungen

1 T

Z

f

2S

1 s

z t

T ist die Zeit für eine volle Schwingung

z

Z

s

1

1 s

A sin

2 St T

T, t

Z = 2 S n = 2S

Auslenkung y, Geschwindigkeit v y und Beschleunigung a y eines harmonisch schwingenden Punktes

y = A sin(Z t )

Schwingungsbeginn bei Phasenwinkel 'M 0

y = A sin (M  'M 0) = A sin (Z t  'M 0)

vy = A Z cos(Z t )

n

A, y v y

ay

rad

1 s

m s

m s2

m

2S T

Kreisfrequenz Z

2 Sf

M

A sin(2 S f t )

A Z cos(2 S f t )

A Z cos

2 St T

a y = − A ω 2 sin(ω t ) = − A ω 2 sin(2 π f t ) = − A ω 2 sin

2π t = − y ω2 T

Auslenkung-ZeitDiagramm

195

7

7

Mechanik fester Körper Pendelgleichungen

Geschwindigkeit-ZeitDiagramm

Beschleunigung-ZeitDiagramm

7.19 Pendelgleichungen

Pendelart

Rückstellkraft FR Rückstellmoment M R

Richtgröße D Federrate R F, R T

Schwerependel

FR = FG sin D = = mg sin D mg s = Ds FR = l

D=

Schraubenfederpendel

FR = R F y = m

mg l

RF = m

4π 2 y T2

4 π2 T2

Torsionspendel

MR = RT M

RT =

Ip G MR = ∆ϕ l

(G Schubmodul, I p polares Flächenmoment 2.Grades)

Periodendauer T

T = 2π

l g

T = 2π

m RF

T = 2π

J RT

J Trägheitsmoment

maximale Geschwindigkeit v 0 maximale Winkelgeschwindigkeit Z 0

196

v 0 = 2 g l (1− cos α max ) gilt bis D max  14°

v0 = A

RF m

Z0 = ϕ

RT J

J Trägheitsmoment

Mechanik fester Körper Schubkurbelgetriebe experimentelle Bestimmung des Trägheitsmomentes J2 eines Körpers

Einheiten der vorkommenden physikalischen Größen

2

J2 = J1

T2 − T1 T1

2

2

J1 bekanntes Trägheitsmoment J2 unbekanntes Trägheitsmoment T1 gemessene Schwingungsdauer bei Körper 1 allein T2 bei Körper 1 und 2 zusammen

FR, FG MR m g l, s, y, A RF m Nm kg 2 rad s

N

N m

m

RT

M

Nm rad rad

T

Z

s

1 s

J

v0

Z0

kgm2

m s

1 s

7.20 Schubkurbelgetriebe (für Z = konstant = Sn / 30) 

π hn 60

Umfangsgeschwindigkeit vu

vu = Z r =

Kolbenweg s () für Hingang (–) für Rückgang

s = r (1 – cos M ) r l (1 – cos E )

Schubstangenverhältnis O

O =

s | r (1 – cos M r 0,5 O sin2 M )

Kurbelradius r Länge der Schubstange l

  Kolbengeschwindigkeit v () für Hingang (–) für Rückgang

v = v u (sin M r 0,5 O sin 2 M ) v = Z r (sin Z t r 0,5 O sin 2 Z t) v max = v u (1  0,5 O2) = Z r (1  0,5 O2 )

mittlere Geschwindigkeit v m

vm =

Kolbenbeschleunigung a () für Hingang (–) für Rückgang

vu (cos ϕ ± λ cos 2ϕ ) r a = Z 2 r (cos Z t r O cos 2 Z t )

hn 30

v u, v m , v

Z

a

h, r, s, l

O

n

m s

1 s

m s2

m

1

min–1

2

a=

a max = Z 2 r (1 r O) in den Totlagen

197

7

7

Mechanik fester Körper Gerader zentrischer Stoß 7.21 Gerader zentrischer Stoß

Zwei Körper der Masse m1, m2 bewegen sich vor dem Stoß in Richtung der Stoßlinie mit den Geschwindigkeiten v1 ! v 2. Gemeinsamer Berührungspunkt und die Schwerpunkte beider Körper liegen auf der Stoßlinie. Nach erstem Stoßabschnitt (Stoßkraft F = Fmax) haben beide Körper die Geschwindigkeit c, nach zweitem Stoßabschnitt (F = 0) die Geschwindigkeiten c1, c2.

Stoßzahl k

k=

c2 − c1 v1 − v 2

k=

15 8 für Glas, für Elfenbein, 16 9

5 1 für Stahl und Kork, für Holz 9 2 k = 0 vollkommen unelastischer Stoß; 'W = 0 ('W Energieverlust) k = 1 vollkommen elastischer Stoß allgemeiner Fall: 0  k  1 Stoßzahlbestimmung

h freie Fallhöhe einer Kugel auf waagerechte Platte aus gleichem Material

h1 h

k=

h1 Rücksprunghöhe der Kugel

gemeinsame Geschwindigkeit c

Geschwindigkeiten c1, c2 nach dem Stoß

c=

m1 v1 + m2 v 2 m1 + m2

W

kg

1

J

m1 m2 (v − v 2 )2 (1− k 2 ) 2(m1 + m2 ) 1

'W =

Energieverlust 'W beim vollkommen unelastischen Stoß

k=0

c1 = c2 = c m1 m2 'W = (v − v 2 )2 2(m1 + m2 ) 1

Geschwindigkeiten c1, c2 nach dem vollkommen elastischen Stoß

k=1

198

k

m1 v1 + m2 v 2 + m1 (v1 − v 2 ) k m1 + m2

Energieverlust 'W beim Stoß

Sonderfälle

m

m s

m1 v1 + m2 v 2 − m2 (v1 − v 2 ) k m1 + m2

c1 = c2 =

c, v

Für Schmieden und Nieten muss 'W möglichst groß sein (m2  m1)

'W = 0

(m1 − m2 ) v1 + 2 m2 v 2 c1 = m1 + m2

c2 =

(m2 − m1) v 2 + 2 m1 v1 m1 + m2

bei m1 = m2 wird c1 = v 2

und

c2 = v 1

bei m2 = f

und

v2 = 0

wird

c1 = – v 1

bei m1 = f

und

v2 = 0

wird

c2 = 2 v 1

Mechanik fester Körper Mechanische Arbeit W 7.22 Mechanische Arbeit W

Die mechanische Teilarbeit 'W einer den Körper bewegenden Kraft F ist das Produkt aus dem Wegabschnitt 's und der Kraftkomponente F in Wegrichtung. Die Gesamtarbeit W ist die Summe aller Teilarbeiten 'W : Arbeit W einer veränderlichen Kraft

W =

∑ ∆ W = ∑F ∆ s = F1 ∆ s1 + F2 ∆ s2 + ...Fn ∆ sn

Die von der Kraft F oder dem Drehmoment M verrichtete Arbeit W entspricht immer der Fläche unter der Kraft- oder Momentenlinie im Kraft-Weg-Diagramm oder im Moment-Drehwinkel-Diagramm. kohärente Einheit (gesetzliche Einheit, zugleich SI-Einheit)

1 Joule (J) = 1 Wattsekunde (Ws) 1J= 1

kgm kgm2 m= s2 s2

1 J = 1 N = 1 Ws

Arbeit W der konstanten Kraft F

W = Fs cos D

Arbeit W der Gewichtskraft FG (Hubarbeit)

W = FG h = mgh

W = Fs (für D = 0°)

W

Reibungsarbeit WR auf schiefer Ebene mit Winkel D , Kraft F parallel zur Bahn

Kraft F waagerecht

FG m h

FG m

g m s2

J = Nm N kg

h

m

Gewichtskraft des Körpers Masse des Körpers Hubhöhe

P Reibzahl nach 7.12

WR = FR s

WR = FG P s cos D = mg P s cos D WR

FR, FG

m

J =Nm

N

kg

g m s2

s

m

WR = FR s WR = P s (FG cos D  F sin D)

199

7

7

Mechanik fester Körper Leistung P, Übersetzung i und Wirkungsgrad K Formänderungsarbeit Wf R Federrate (Federsteifigkeit)

F1 + F2 F − F1 F F ∆s; R = 2 = 2 = 1 s2 s1 2 ∆s

Wf =

R 2 2 (s − s1 ) 2 2 Wf F1, F2 s1, s 2

Wf =

J = Nm Arbeit W eines konstanten Drehmoments M F T Tangentialkraft z Anzahl der Umdrehungen

Beschleunigungsarbeit Wb eines konstanten Kraftmoments M

N

R

N m

m

W=MM W = FT 2 S r z W

M

M

FT

r

z

J = Nm

Nm rad

rad

N

m

1

W=

J 2 2 (ω − ω1 ) 2 2

Z 1, Z 2

Wb

J

Z

J = Nm

kgm2

1 s

Winkelgeschwindigkeit vor oder nach dem Beschleunigungsoder Verzögerungsvorgang

7.23 Leistung P, Übersetzung i und Wirkungsgrad K W Fs = = Fv t t

Ptrans

F

v

J Nm = =W s s

N

m s

Prot

M

n, Z

Nm J= =W s

Nm

1 s

Ptrans bei geradliniger Bewegung

Ptrans =

Prot bei Drehbewegung

Prot = M Z = 2 SMn

Zahlenwertgleichungen für Leistung P und Drehmoment M

P=

Wirkungsgrad K

K=

Nutzarbeit Wn Nutzleistung Pn 1 = zugeführte Arbeit Wz zugeführte Leistung Pz

K=

M2 1 ⋅ M1 i

M1 M2 i

Antriebsmoment Abtriebsmoment Übersetzung

Mn 9550

M

n

kW

Nm

min–1

P M = 9550 n

M2 = M1 K ges iges

Gesamtwirkungsgrad Kges

Kges = K 1 K 2 K 3 ... K n  1

Übersetzung i

i=

d n 1 ω 1 d2 z = = = 02 = 2 ω2 n2 d1 d01 z1

i=

M2 (ohne Reibung) M1

200

P

i=

M2 1 (mit Reibung) ⋅ M1 η res

Mechanik fester Körper Dynamik der Verschiebebewegung 7.24 Dynamik der Verschiebebewegung (Translation) Dynamisches Grundgesetz, allgemein

Fres , FG

m

a, g

kgm N= 2 s

kg

m s2

Dynamisches Grundgesetz für freien Fall

FG = m g FGn = m gn

Dynamisches Grundgesetz für Tangenten- und Normalenrichtung

FN = m a N = m

FN Zentripetalkraft r Krümmungsradius (für Kreisbogen ist r = r )

Fres ist Resultierende der Kräftegruppe in Beschleunigungsrichtung m Masse des Körpers a Beschleunigung g Fallbeschleunigung m g n Normfallbeschleunigung = 9,80665 2 s FGn Normgewichtskraft des Körpers

Fres = ma

v2 = mrω 2 r

F T = m aT FN, F T

m a N, a T kgm m N= 2 kg s s2

v

r

Z

m s

m

1 s

EE

Energieerhaltungssatz

Energie am Ende des Vorganges

EA =

Wz



Energie am Anfang des Vorganges

+

Wa

–

zugeführte

−

Arbeit

abgeführte Arbeit

(meist Reibarbeit WR )

potenzielle Energie Ep (Energie der Lage)

Ep = FG h = mgh

kinetische Energie Ek (Bewegungsenergie)

Ek =

Impulserhaltungssatz (Antriebssatz)

Fres (t2 – t1) = m (v2 – v1) für den „kräftefreien“ Körper (Fres = 0) gilt m v2 – m v1 = 0 m v1 = m v2 = konstant

d'Alembert'scher Satz

m 2 2 (ν − ν1 ) 2 2 Ek = Beschleunigungsarbeit Wb

E

m

J = Nm = Ws

kg

Fres

kgm N= 2 s

Körper freimachen, Beschleunigungsrichtung   eintragen, Trägheitskraft T = ma

entgegengesetzt zur Beschleunigungsrichtung eintragen, Gleichgewichtsbedingungen unter Einschluss der Trägheitskraft (oder -kräfte) ansetzen.

g m s2

h

FG

v1, v2

m

N

m s

t

s

T kgm N= 2 s

m

v

kg

m s

m

kg

a m s2

201

7

7

Mechanik fester Körper Dynamik der Drehung 7.25 Dynamik der Drehung (Rotation) Dynamisches Grundgesetz, allgemein

Mres = J D

Mres

Mres resultierendes Drehmoment J Trägheitsmoment nach 7.26 D Winkelbeschleunigung

Trägheitsmoment J Definitionsgleichung

J = ¦ 'mr 2

Verschiebesatz (Steiner)

J0 = Js  m l 2

∫

J=

J0

Nm =

kgm2 s2

J

D

kgm 2

1 s2

Berechnungsgleichungen in 7.26

d m r2

Trägheitsmoment für gegebene parallele Drehachse 0 – 0 Trägheitsmoment für parallele Schwerachse S–S Masse m mal Abstandsquadrat der beiden Achsen

Js m l2

J m

Di 2

i, D i

J

m

m

kgm2

kg

Trägheitsradius i

i=

Reduktion der Trägheitsmomente J1, J2 ... bei Getrieben

⎛ n ⎞2 ⎛ n ⎞2 Jred = J1 + J2⎜ 2 ⎟ + J3⎜ 3 ⎟ + ... ⎝ n1 ⎠ ⎝ n1 ⎠

n Drehzahl

resultierendes Beschleunigungsmoment Mres der Antriebsachse 1

Mres = Jred D1

D1 Winkelbeschleunigung

Drehenergie E (Drehwucht) Energieerhaltungssatz der Drehung

Impulserhaltungssatz (Antriebssatz)

E=

i=

J 2 2 (ω − ω1 ) = Beschleunigungsarbeit Wb 2 2 J 2 ω 2 2

J 2 ω 2 1

Drehwucht amEnde Drehwucht am Anfang zu- oder abgeführter Arbeit des = ± des Vorganges des Vorganges resultierendenMoments aller Kräfte

Mres (t2 – t1) = J (Z2 – Z1)

 Mres

für den „kräftefreien“ Körper (Mres = 0) gilt

J Z2 – J Z1 = 0 J Z1 – J Z2 = konstant

Fliehkraft Fz

Fz = m rs Z2 = m Fz

m kgm N= 2 kg s

202

Mres M

r

J = Nm = Ws

v2 rs

rs

Z

v

m

1 s

m s

t

J

Z

s

kgm2

1 s

rs Abstand des Körperschwerpunkts S von Drehachse Z Winkelgeschwindigkeit v Umfangsgeschwindigkeit des Schwerpunkts um die Drehachse

Mechanik fester Körper Gleichungen für Trägheitsmomente J 7.26 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmomente 2. Grades) Art des Körpers

Rechteck, Quader

Trägheitsmoment J (Jx um die x-Achse; Jz um die z-Achse); r Dichte

Jx =

1 1 m (b 2 + h 2 ) = 12 r h b s (b 2 + h 2 ) 12

bei geringer Plattendicke s ist 1 1 m h 2 = 12 rbh3 s Jz = 12

J0 = 31 m h 2 = 31 r b h 3 s

Würfel mit Seitenlänge a : Jx = Jz = m

a2 6

Kreiszylinder = 81 m d 2 =

1 rπd 4 h 32

= 21 r π r 4 h

Jx =

1 mr2 2

Jz =

1 1 m (d 2 + 34 h 2 ) = 64 r π d 2 h (d 2 + 34 h 2 ) 16

Jx =

1 1 m (R 2 + r 2 ) = 81 m (D 2 + d 2 ) = 32 r π h (D 4 2

Jx =

1 r π h (R 4 2

Jz =

1 1 m (R 2 + r 2 + 31 h 2 ) = 16 m (D 2 + d 2 + 34 h 2 ) 4

Jx =

3 m r2 10

Hohlzylinder

Kreiskegel

− r 4)

Kreiskegelstumpf: Jx =

Zylindermantel

− d 4)

−r5 R −r3

R5 3 m 3 10

Jx =

2 1 m dm 4

= 41 r π dm hs

3

Jz =

2 1 m ( dm 8

+ 32 h 2 ) = 81 r π dm hs (dm + 32 h 2 )

2

Hohlzylinder mit Wanddicke s =

1 2

zum mittleren Durchmesser dm =

(D – d ) sehr klein im Verhältnis 1 2

(D  h)

Kugel Jx =

2 m 5

Jx = J z = Hohlkugel (Kugelschale)

1 r 2 = 10 md2=

1 m 6

2

1 rπd 5 60

8 = 15 rπr 5

4

dm = 61 r π dm s

Wanddicke s = 21 (D – d) sehr klein im Verhältnis zum mittleren Durchmesser dm = 21 (D  d)

Ring Jz = m (R 2 + 34 r 2 ) = 41 m (D 2 + 34 d 2 )

m = 2 S2 r 2 R r

Jz =

⎡ d 2⎤ 1 r π 2 Dd 2 (D 2 + 34 d 2 ) = 41 m D 2⎢1+ 34 D ⎥ 16 ⎣ ⎦

Jx =

1 m (a 2 20

( )

+ b2 )

203

7

7

Mechanik fester Körper Größen und Definitionsgleichungen für Schiebung und Drehung 7.27 Gegenüberstellung einander entsprechender Größen und Definitionsgleichungen für Schiebung und Drehung

Geradlinige (translatorische) Bewegung

Größe

Drehende (rotatorische) Bewegung

Definitionsgleichung

Einheit

Größe

Definitionsgleichung

Einheit

Weg s

Basisgröße

m

Drehwinkel M

Bogen b Radius r

rad = 1

Zeit t

Basisgröße

s

Zeit t

Basisgröße

s

Masse m

Basisgröße

kg

Trägheitsmoment J

J = ³ dm r2

kgm2

Geschwindigkeit v

v=

d s ⎛ ∆s ⎞ ⎜= ⎟ d t ⎝ ∆t ⎠

m s

Winkelgeschwindigkeit Z

Z=

d ϕ ⎛ ∆ϕ ⎞ ⎜= ⎟ d t ⎝ ∆t ⎠

rad 1 = s s

Beschleunigung a

a=

d v ⎛ ∆v ⎞ ⎜= ⎟ d t ⎝ ∆t ⎠

m s2

Winkelbeschleunigung D

D=

dω dt

⎛ ∆ω ⎞ ⎜= ⎟ ⎝ ∆t ⎠

rad 1 = 2 s2 s

Beschleunigungskraft Fres

Fres = m a

Arbeit Wtrans

Wtrans = F s

Leistung Ptrans Wucht Wtrans

Ptrans =

Wtrans = Fv t

Wtrans =

m 2 v 2

kgm s2

M res = J D

Nm =

J = Nm = Ws

Arbeit Wrot

Wrot = M M

J = Nm = Ws

J Nm = =W s s

Leistung Prot

Nm =

kgm2 s2

m 2 kgm2 Arbeitssatz 2 Wtrans = (v 2 − v1 ) Nm = (Wuchtsatz) 2 s2 Impulserhaltungssatz

204

kgm2 s2

Beschleunigungsmoment M res

N=

Fres (t2 – t1) = m (v 2 – v 1) Kraftstoß = Impulsänderung

Drehwucht Wrot Arbeitssatz (Wuchtsatz) Impulserhaltungssatz

Prot =

Wrot Mω t

Wrot =

Wrot =

J 2 ω 2

J Nm = =W s s Nm =

kgm2 s2

J kgm2 2 2 (ω2 − ω1 ) Nm = 2 s2

Mres (t2 – t1) = J (Z 2 – Z 1) Momentenstoß = Drehimpulsänderung

Fluidmechanik Statik der Flüssigkeiten 8.1 Statik der Flüssigkeiten Druck p auf ebene und gewölbte Flächen

p=

p N = Pa m2

F A

F

A

N

m2

Der Druck, der von außen auf irgendeinen Teil der abgesperrten Flüssigkeit ausgeübt wird (z. B. durch Kolbenkraft), pflanzt sich auf alle Teile nach allen Richtungen unverändert fort. (1 Pascal (Pa) = 1 Newton durch Quadratmeter (N/m2) 2

Triebkraft F1 (Kolbenkraft)

F1 =

π d1 p 4

Last F2 (Kolbenkraft)

F2 =

π d2 p 4

2

⎛ d ⎞2 F2 = F1⎜ 2 ⎟ η ⎝ d1 ⎠ Hydraulische Presse

h2 d2 K= h 1+ 4 µ 1 d1 1− 4 µ

K, P

N

m

1

⎛ d ⎞2 s2 = s1⎜ 1 ⎟ ⎝ d2 ⎠

P1

p2 d2 = 12 p1 d2

P1

d2

P2

p2 d2 = 2 1 2 p1 d1 − d2

d2

Druckübersetzung

d, h , s

d1

Kolbenwege s1, s2

p N = Pa m2

d1

Wirkungsgrad K P Reibzahl zwischen Kolben und Dichtung

F1, F2

P2

Pat (Atmosphärendruck) hydrostatischer Druck p infolge der Schwerkraft (Schweredruck)

p=rgh

Bodenkraft Fb

Fb = r g h A

pabs = r g h  pamb

r g pabs pamb

Dichte Fallbeschleunigung absoluter Druck umgebender Atmosphärendruck Fb

p

r

g

h

N

N = Pa m2

kg m3

m s2

m

205

8

8

Fluidmechanik Strömungsgleichungen Seitenkraft Fs Is Flächenmoment 2. Grades der gedrückten Fläche A bezogen auf die Schwerachse S – S

Fs = r g hs A = rg ys sinD A hs hs = ys sin D ; ys = sin α

Abstand e

e=

yD = y s + e = y s +

e= Auftrieb Fa

Is ; A ys

e=

Is A ys

h2 für Rechteckfläche 12 y s Fs d2

16 y s

für Kreisfläche

r kg m3

N

g m s2

I

A

m 2 m4

Vv

h, y, e, d

m3

m

Fa = Vv rg Vv verdrängtes Flüssigkeitsvolumen

8.2 Strömungsgleichungen Mach'sche Zahl Ma

Ma =

w c

w Strömungsgeschwindigkeit c Schallgeschwindigkeit

Bis Ma  0,3 können die Strömungen von Gasen als inkompressibel angesehen werden. Reynolds'sche Zahl Re

Re =

kritische Strömungsgeschwindigkeit wkr

wkr =

kinematische Zähigkeit Q

Q=

Umrechnungen der Zähigkeit

wdr

η

=

w mittlere Durchflussgeschwindigkeit d Durchmesser bei Kreisröhren r Dichte Q kinematische Zähigkeit K dynamische Zähigkeit

wd

ν

Re η dr

Re

w

1

m s

d

r

K

Q

m

kg m3

Ns m2

m2 s

η r

für die dynamische Zähigkeit K das Poise (P): 1 Ns/m2 = 10 P (Poise) = 1000 cP (Zentipoise) 1P = 0,1 Ns/m2 = 100 cP (Zentipoise)

Umrechnungen °E in cSt ºE cSt ºE cSt

1 1,5 für die kinematische Zähigkeit Q das Stokes (St): 2 1 m2/s =104 St (Stokes) 2,5 1 St = 10–4 m2/s = 100 cSt (Zentistokes) 3 3,5 2 m 4 Umrechnung aus Englergraden in :

s

⎛ 6,31⎞ –6 ⎟ 10 ν =⎜7,32 E − ⎝ °E ⎠

206

in

m2 s

1 4,5 6,25 5 11,8 5,5 16,7 6 21,2 6,5 25,4 8 29,6 10

33,4 37,4 41,4 45,2 49,0 60,5 76,0

Fluidmechanik Strömungsgleichungen Strömungsgeschwindigkeit wx im Abstand x von der Rohrachse

⎡ ⎛ 2 x ⎞2 ⎤ wx = 2 w⎢1−⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ d ⎠⎦ ⎥ ⎣

w =

qV A

turbulente und laminare Strömung wird durch die kritische Reynoldszahl bestimmt; für ein Kreisrohr ist Re kr = 2300

bei Re  2300: laminare Strömung stellt sich auch nach Störung wieder ein

Kontinuitätsgleichung (qV Volumenstrom qm Massenstrom)

qV = A1 w1 = A2 w2 = konstant qm = A1 w1 r1 = A2 w2 r2 qV

s

Messung des statischen Drucks ps

A

Querschnitt in m2

m3 s

bei Re ! 2300: bleibt einmal gestörte Strömung turbulent

A

w

qm

r

m2

m s

kg s

kg m3

r 2 r 2 p1 + r gh1 + w1 = p2 + r gh2 + w 2 = konstant 2 2

r  w Geschwindigkeitsdruck 2 r g h Schweredruck (8.1)

für Leitungen ohne Höhenunterschied

Volumenstrom in

Bei Re ! 3000 immer turbulente Strömung

m3

Bernoulli'sche Druckgleichung

qV

p N = Pa m2

r kg m3

g m s2

r 2 r 2 p1 + w1 = p2 + w 2 2 2

h

w 

m

m s

Der Gesamtdruck (statischer Druck p  Geschwindigkeitsdruck r w 2 /2 = Staudruck q) der Flüssigkeit ist an jeder Stelle einer Horizontalleitung gleich groß.

ps = p1 = p2  r gh (siehe auch 8.1) p2 Luftdruck

Messung des Gesamtdrucks pg

pg = ps 

q

Messung des Staudrucks q (Prandtl'sches Staurohr)

r 2 w = ps + q 2

Staudruck

r q = pg − ps = β w 2 2 E | 1° bis ca. 17° Anströmwinkel zwischen Rohrachse und Strömungsrichtung

207

8

8

Fluidmechanik Ausflussgleichungen Volumenstrom q V (theoretischer)

qV =

p1 – p2 = 'p

Massenstrom q m (praktischer)

qm = α

A2 1− m 2

r

A

N kg = Pa m2 m3

m2

qV

2( p1 − p2 ) ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ r⎜ ⎜A 2 − A 2⎟ ⎝ 2 1 ⎠

m3 s

p

'p Wirkdruck

2r ( p1 − p2 )

Für Staurand (Blende) nach Prandtl:

D = 0,598  0,395 m2 D

Durchflusszahl (DIN 1952) m Querschnittsverhältnis = A2 /A1

'p

r1

N = Pa m2

kg m3

'p N = Pa mm m2

qV D, H,m D t praktischer Volumenstrom q V und Massenstrom q m bei Gasen und Flüssigkeiten

qV = 0,04 D H m D t

2

qm = 0,04 D H m D t

2

3

∆p r1

m h

∆ p r1

qm D, H,m D t

r1

kg h

kg m3

1

1

mm

Durchflusszahl D (DIN 1952) ist oberhalb bestimmter Re -Zahlen konstant. Expansionszahl H berücksichtigt die Dichteänderung des Mediums infolge des Druckabfalls (H = 1 für inkompressible Medien). Dichte r1 ist auf den statischen Druck r1 vor die Drosselstelle bezogen. D t lichte Weite der Rohrleitung bei Betriebstemperatur. 'p = p1 – p2 Wirkdruck.

8.3 Ausflussgleichungen Geschwindigkeitszahl M

abhängig von der Zähigkeit der Flüssigkeit M Wasser = 0,97 ... 0,99

Kontraktionszahl D

berücksichtigt die Einschnürung des Flüssigkeitsstrahles und dadurch die Verringerung der Ausflussmenge

D | 0,6 bei scharfer Kante D | 0,75 bei gebrochener Kante D | 0,9 bei kleinem Abrundungsradius Ausflusszahl P

P = DM P ist abhängig von der Form der Öffnung

208

Fluidmechanik Widerstände in Rohrleitungen offenes Gefäß, konstante Druckhöhe h qV Volumenstrom

geschlossenes Gefäß, konstante Druckhöhe h q V Volumenstrom q m Massenstrom pü Überdruck über dem Flüssigkeitsspiegel

Dichtebestimmung von Gasen

w = ϕ 2g h

qV = P A 2 g h

⎛ p ⎞ w = ϕ 2⎜ gh + u ⎟ r ⎠ ⎝

g h  pü / r = 'pü = Überdruck, mit Manometer in Austrittshöhe gemessen

⎛ p ⎞ qV = µ A 2⎜ gh + u ⎟ r ⎠ ⎝ qm = qV r w

g

m s

m s2

qV

qm

m3

kg s

h

m

s

A

p

r

V

t

P, M

m2

N = Pa m2

kg m3

m3

s

1

Fließen unter gleichen Bedingungen zwei Flüssigkeiten oder Gase mit den Dichten r1, r2 aus gleichen Gefäßen, so gilt r1 t1 w 2 = = t2 w1 r2

offenes Gefäß mit sinkendem Flüssigkeitsspiegel

V = P A wm t

bei völliger Entleerung

V=

Ausflusszeit t

t =

mittlere Geschwindigkeit w m

wm =

Ausfluss unter Gegendruck

w = ϕ 2 g (h 1 − h 2 )

q V = Volumenstrom

V = µ At

2 g h 1 + 2 g h2 2

1 µ At 2 g h 1 2 2V

µ A 2g h1 (w1 + w 2 ) 2

qV = µ A 2 g (h 1 − h 2 )

8.4 Widerstände in Rohrleitungen Druckabfall 'p in kreisförmigen Rohren

'p = λ

lr 2 w 2d

O = 0,015 ... 0,02 für überschlägige d l

O

Berechnungen für Luft, Wasser, Dampf Rohrdurchmesser Rohrlänge Rohrreibungszahl

209

8

8

Fluidmechanik Widerstände in Rohrleitungen Rohrreibungszahl O für glattes Kreisrohr und laminare Strömung (Re d 2300)

O=

64 ∆p 2d = 2 Re w rl

l d2

Druckabfall 'p

'p = 32 η w

für turbulente Strömung

O = 0,3164 Re– 0,25 O = 0,0054  0,396 Re– 0,3 O = 0,0032  0,221 Re – 0,237

Rohrreibungszahl O für raues Kreisrohr für körnige Rauigkeiten

O=

Rohrreibungszahl O für Stahlrohrleitungen

O = λ glatt +

1 [2lg(d / k ) + 1,14]2

p N = Pa m2

l, d

m

r kg m3

w m s

O

K

1

Ns m2

K dynamische Zähigkeit (8.2) bis Re = 100 000 bis Re = 2 000 000 für Re = 105 ... 3,23 · 106

d k d k

relative Wandrauigkeit Rohrdurchmesser in mm absolute Wandrauigkeit nach 8.7 7

O glatt unrunde Querschnitte

0,86 ⋅10−3 ⎛ Re ⎞4 ⎜lg ⎟ d 0,28 ⎝ (105 d )1,1 ⎠

wie für turbulente Strömung

Es gelten die Gleichungen für Kreisrohre mit d = 4a, mit a =

Querschnittsfläche A benetzter Umfang U

Umstellung auch bei Re-Zahl: Re =

4w A Uν

Q kinematische Zähigkeit (8.2)

Druckabfall ' p für Krümmer und Ventile

Druckabfall ' p in einer Abzweigung

Druckabfall ' p im Gesamtstrom nach der Abzweigung

210

'p = ζ

r 2 w 2

] Widerstandszahl nach 8.7 bis 8.9

r 'p = ζa w 2 2

r 'p = ζ g w 2 2

'p N = Pa m2

] 1

r kg m3

w m s

]a , ]g Widerstandszahlen nach 8.10

Fluidmechanik Absolute Wandrauigkeit k 8.5 Dynamische Zähigkeit K, kinematische Zähigkeit Q und Dichte r von Wasser Temperatur in °C 10–6 K in Ns/m2 10–6 Q in m2/s r in kg/m3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1780 1,78 1000

1300 1,31 1000

1000 1,01 998

805 0,81

658 0,66 992

560 0,56

470 0,48 983

403 0,42

353 0,37 972

314 0,33

285 0,3 958

8.6 Staudruck q in N / m2 und Geschwindigkeit w in m / s für Luft und Wasser Luft 15 °C. 1,013 bar = 1,013 · 105 N/m2 9,8 4

39 8

49 8,95

88 12

98 12,65

157 16

196 17,9

245 20

294 21,9

390 25,3

9,8 0,14

20 0,2

29 0,28

69 0,4

98 0,447

128 0,5

177 0,6

245 0,7

490 1

980 1,4

9800 4,47

19 600 6,33

29 400 7,73

39 200 8,95

q w

490 28,3

Wasser q w

Wasser q w

1960 2

2940 2,45

3920 2,83

4900 3,16

7840 4

8.7 Absolute Wandrauigkeit k Wandwerkstoff

absolute Rauigkeit k mm

Gezogene Rohre aus Buntmetallen, Glas, Kunststoffen, Leichtmetallen

0 ... 0,0015

Gezogene Stahlrohre feingeschlichtete, geschliffene Oberfläche geschlichtete Oberfläche geschruppte Oberfläche

0,01 ... 0,05 bis 0,010 0,01 ... 0,040 0,05 ... 0,1

Geschweißte Stahlrohre handelsüblicher Güte neu nach längerem Gebrauch, gereinigt mäßig verrostet, leicht verkrustet schwer verkrustet

0,05 ... 0,10 0,15 ... 0,20 bis 0,40 bis 3

Gusseiserne Rohre inwendig bitumiert neu, nicht ausgekleidet angerostet verkrustet

0,12 0,25 ... 1 1 ... 1,5 1,5 ... 3

Betonrohre Glattstrich roh

0,3 ... 0,8 1 ... 3

Asbestzementrohre

0,1

211

8

8

Fluidmechanik Widerstandszahlen ] von Leitungsteilen 8.8 Widerstandszahlen ] für plötzliche Rohrverengung Querschnittsverhältnis

A2 = 0,1 A1

0,2

0,3

0,4

0,6

0,8

1,0

] = 0,46

0,42

0,37

0,33

0,23

0,13

0

8.9 Widerstandszahlen ] für Ventile Ventilart

DIN-Ventil

ReformVentil

RheiVentil

KoswaVentil

FreiflussVentil

Schieber

]=

4,1

3,2

2,7

2,5

0,6

0,05

8.10 Widerstandszahlen ] von Leitungsteilen 1

2

4

6

10

­ glatt ® ¯

d r G = 15° G = 22,5° G = 45° G = 60° G = 90°

0,03 0,045 0,14 0,19 0,21

0,03 0,045 0,09 0,12 0,14

0,03 0,045 0,08 0,10 0,11

0,03 0,045 0,075 0,09 0,09

0,03 0,045 0,07 0,07 0,11

rau

G = 90°

0,51

0,30

0,23

0,18

0,20

Krümmer

Gusskrümmer 90°

NW ]=

50 1,3

200 1,8

300 2,1

400 2,2

500 2,2

G=

22,5º

30º

45º

60º

90º

glatt rau

]= ]=

0,07 0,11

0,11 0,17

0,24 0,32

0,47 0,68

1,13 1,27

glatt rau

l = d ] = ] =

glatt rau

l = d ] = ] =

scharfkantiges Knie

Kniestück

Kniestück

V a = V

Stromabzweigung (Trennung)

0,71

0,943 1,174 1,42

1,86

2,56

6,28

0,51 0,51

0,35 0,41

0,29 0,39

0,36 0,43

0,40 0,45

0,33 0,38

0,28 0,38

1,23

1,67

2,37

3,77

0,16 0,30

0,16 0,28

0,14 0,26

0,16 0,24

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

­ ]a =

0,95

0,88

0,89

0,95

1,10

1,28

¯ ]g = ­ ]a =

0,04

– 0,08

– 0,05

0,07

0,21

0,35

0,9

0,66

0,47

0,33

0,29

0,35

¯ ]g =

0,04

– 0,06

– 0,04

0,07

0,20

0,33

G = 90° ® G = 45° ®

212

100 1,5

Fluidmechanik Widerstandszahlen ] von Leitungsteilen V a = V

0

0,2

­ ]a =

– 1,1

– 0,4

Zusammenfluss (Vereinigung)

G = 90° ®

¯ ]g = ­ ]a = G = 45° ® ¯ ]g = für Warmwasserheizungen Bogenstück 90° Knie 90°

Durchmesser

0,04 0,9 0,05 d = 14 mm ] = 1,2 ] = 1,2

0,17 – 0,37 0,17 20 1,1 1,7

0,4

0,6

0,8

1

0,1

0,47

0,72

0,9

0,3

0,4

0,5

0,6

0

0,22

0,37

0,18

0,05

– 0,2

– 0,57

34 0,53 1,1

39 0,42 1,0

49 0,51 0,83

25 0,86 1,3

0,38

213

8

Festigkeitslehre Grundlagen 9.1 Grundlagen Normalspannung V Schubspannung W

Formänderung

σ= τ=

∆ FN ∆A ∆ FT

V, W N mm2

∆A

F

A

N

mm2

A Querschnittsfläche

A

zur Normalspannung V gehört eine Dehnung H, zur Schubspannung W eine Gleitung J

Einachsiger Spannungszustand

F A

Schnitt rechtwinklig zur Achse

σ=

Schnitt schräg zur Achse

σϕ =

A

A τϕ =

σ 2

σ 2

(1+ cos 2ϕ )

A

sin2ϕ

A

A

Ebener Spannungszustand Bedingung

Scheibe konstanter Dicke, sämtliche Komponenten der angreifenden Spannungen liegen in Scheibenebene. Wegen Momentengleichgewichts am Flächenteilchen muss Wxy = Wyx = W sein

Normalspannung VM

σϕ =

Schubspannung WM

τϕ =

σy + σx 2 σy − σx 2

+

σy − σx 2

cos 2ϕ − τ sin 2ϕ

sin2ϕ + τ cos 2ϕ

215

9

9

Festigkeitslehre Grundlagen σy + σx

Hauptspannungen V 1, V 2

σ1,2 =

Schnittwinkel M 1, M 2

tan2ϕ1 = −

2

2τ σy − σx

ϕ 2 = ϕ1 +

maximale Schubspannung W max (in Schnittebene, die gegen Hauptrichtungen 1,2 um 45° gedreht sind) Spannungssumme

Mohr'scher Spannungskreis

⎛ σ y − σ x ⎞2 ⎜ ⎟ +τ2 ± ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

π 2

⎛ σ y − σ x ⎞2 σ1 − σ 2 2 ⎟ ⎟ +τ =± 2 2 ⎝ ⎠

τ max = ± ⎜ ⎜

σ ϕ + σ ϕ+( π / 2) = σ x + σ y = σ1 + σ 2

Kreis mit Radius Wmax = (V1 – V2) / 2 um Punkt [V = (Vx + Vy) / 2; W = 0] ergibt zeichnerisch die Spannungen in den verschiedenen Schnittebenen. V1 und Vy sind relative Größtwerte (z.B. können V2 und Vx negativ und absolut größer sein als V1 und Vy).

Formänderung Verlängerung ' l

'l = l – l0

Dehnung H

ε=

l0 Ursprungslänge

l − l0 ∆l = l0 l0

(bei Druck: Stauchung)

Hooke'sches Gesetz für Normalspannung

σ = E = konstant ε E Elastizitätsmodul (9.5)

∆lB ⋅ 100 in% l0

Bruchdehnung G 0 beim Zerreißversuch

δ=

Querdehnung H y in y-Richtung

ε y = εz = −µε x

216

'lB nach Zerreißen gebliebene Verlängerung

 P Poisson-Zahl

Festigkeitslehre Zug- und Druckbeanspruchung Querdehnung ε y

Poisson-Zahl P

µ=

Dehnung Hx infolge sämtlicher Normalspannungen

εx =

Volumendehnung e

e = εx + εy + εz =

Hooke'sches Gesetz für Schubspannungen

τ = G = konstant γ

Modul-Verhältnis

P Stahl = 0,3 (auch für Leichtmetall) P GG = 0,25 P Gummi = 0,5

Dehnung ε

H y und H z durch zyklisches Vertauschen von x, y und z

1 [σ − µ (σ y + σ z )] E x

1− 2 µ (σ x + σ y + σ z ) E J Schiebung G Schubmodul (9.5, 9.28, 9.29)

G 1 = E 2 (1+ µ )

9.2 Zug- und Druckbeanspruchung (siehe auch 9.33) vorhandene Zug- oder Druckspannung V z,d

erforderlicher Querschnitt Aerf zulässige Belastung Fmax

σ z,d vorh =

Fmax ≤ σ zul A

Bei Zug : Bohrungen und Nietlöcher vom tragenden Querschnitt abziehen. Bei Druck : Schlanke Stäbe auf Knickung nachrechnen. Bei Querschnittsänderungen gehört zum kleineren Querschnitt die größere Spannung und umgekehrt.

(Spannungsnachweis)

A erf =

Fmax

σ zul

(Querschnittsnachweis)

Fmax = A Vzul

Vz,d, E N

(Belastungsnachweis)

mm2

Verlängerung ' l

∆ l = l − l0 = ε l0 =

Formänderungsarbeit W

W =

E

=

A

N

mm2

'l, l, l0, f H

mm

W

1 Nmm

F l0 EA

F∆l σ 2V R 2 R 2 = = ∆l = f 2 2E 2 2 F F = ԑ tan D R= f ∆l

V R f

Stäbe gleicher Spannung (V zul) in jedem Querschnitt

σ l0

F

Volumen in mm3 Federrate in N/mm Federweg in mm

Ax erf = A 0 e m =

m=

F

σ zul

10−9 r g x F

mm2

N

natürlichen Logarithmus

A

g = 9,81 m/s2 Fallbeschleunigung

σ zul

Ax, A0

e m e = 2,71828... Basis des

Vzul

r

g

N

kg

m

mm2

m3

s2

x

A

mm

217

9

9

Festigkeitslehre Biegebeanspruchung größte Spannung V dyn bei dynamischer Belastung FG dyn

σ dyn = σ0 + σ02 + 2 σ0 E

größte Dehnung H dyn bei dynamischer Belastung FG dyn

εdyn = ε0 + ε02 + 2 ε0

h l

FG dyn

Gewichtskraft eines plötzlich frei am Seil fallenden Körpers Elastizitätsmodul Fallhöhe Seillänge Seilquerschnitt

E h l A

h l

σ0 =

FG dyn A

V dyn = 2 V 0

bei plötzlich aufgebrachter Last ohne vorherigen freien Fall (h = 0) ist

H dyn = 2 H 0

V, E

h, l, 'l

H

FG dyn

A



N mm2

mm

1

N

mm2

größte Verlängerung ' ldyn

∆ldyn =

Verlängerung ' lt bei Temperaturänderung 'T

∆ lt = l0 αl ∆ T

Länge lt nach Temperaturänderung 'T

lt

Wärmespannung V t

V t = D l'T E

σ dyn E

l D l Längenausdehnungskoeffizient (6.16) 'T Temperaturdifferenz E E-Modul (9.5, 9.28, 9.29)

'lt, l0, lt

l0 (1 + Dl 'T )

Dl 1

mm

K

'T

V t, E

K

N mm2

9.3 Biegebeanspruchung (siehe auch 9.34) vorhandene Biegespannung Vb vorh

σb vorh =

Mbmax W

≤ σb zul

(Spannungsnachweis)

Diese Gleichung nur anwenden, wenn e1 = e2 = e ist . Sonst die Gleichung für unsymmetrischen Querschnitt benutzen. W axiales Widerstandsmoment nach 9.8 I

erforderliches Widerstandsmoment Werf

Werf =

Mbmax

σb zul

Vb

(Querschnittsnachweis)

zulässige Belastung Mb max

Mb max = W Vb zul

größte Zugspannung

σ zmax =σb 2 =

V d max

218

N mm2

Mb

W

Nmm mm3

(Belastungsnachweis)

V z max größte Druckspannung

axiales Flächenmoment 2. Grades nach 9.8

σ dmax =σb1=

M b e2 M b = ≤ σ z zul I W2

M b e1 M b = ≤ σ d zul I W1

A

I

e

mm4

mm

Festigkeitslehre Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i Bestimmung des maximalen Biegemomentes Mb max Stützkräfte bestimmen, rechnerisch (¦Fy = 0, ¦M = 0) oder zeichnerisch (Seileckfläche ԑ Biegemomentenfläche), worin M b = Hy mK mL

Mb

H, y

Nmm mm

mK

mL

N

mm

mm

mm

H Polabstand in mm m K = a N/mm Kräftemaßstab m L = b mm/mm Längenmaßstab

Querkraftfläche zeichnen und Nulldurchgänge festlegen. M b max entweder aus Querkraftfläche links oder rechts vom Nulldurchgang (M b ԑ Aq) berechnen, oder: In den Querschnitt x stellen und die Momente rechts oder links vom Querschnitt addieren, Summe ist M b(x) .

9.4 Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i (siehe auch 9.8, 9.9, 9.10) axiales Flächenmoment I x

I x = ¦y 2 'A (bezogen auf die x-Achse)

axiales Flächenmoment I y

I y = ¦x 2 'A (bezogen auf die y-Achse)

polares Flächenmoment I p

I p = ¦r 2 'A = I x + I y

Zentrifugalmoment I xy

I xy = ¦x y 'A

Trägheitsradius i

i=

bezogen auf Achsen, parallel zu den Schwerachsen A–A oder B–B

I A = I x + A la

für I kann I x , I y , I p eingesetzt werden, das ergibt dann ix , iy , ip A Flächeninhalt

I A 2

axiales Flächenmoment bezogen auf A-A axiales Flächenmoment bezogen auf B-B Zentrifugalmoment

2

I B = I y + A lb

I AB = I xy + A la lb (Verschiebesatz von Steiner)

bei Drehung um Winkel D

Iu = Iv = Iuv =

Ix + Iy 2 Ix + Iy 2 Ix − Iy 2

+ +

Ix − Iy 2 Ix − Iy 2

cos 2α − I xy sin2α cos 2α + I xy sin2α

sin2α + I xy cos 2α

219

9

9

Festigkeitslehre Elastizitätsmodul E und Schubmodul G verschiedener Werkstoffe in N/mm2 Hauptflächenmomente II , III (zeichnerisch mit Trägheitskreis)

I I = I max =

I II = I min =

Lage der Hauptachsen (Iuv = 0)

tan2α0 =

axiales Widerstandsmoment Wx , Wy

Wx =

polares Widerstandsmoment Wp

Wp =

axiales Widerstandsmoment bei unsymmetrischem Querschnitt

Wx1 =

Ix ex

Ix − Iy 2 Ix + Iy 2

+

1 2 ( I y − I x )2 + 4 I xy 2

−

1 2 ( I y − I x )2 + 4 I xy 2

2 I xy Iy − Ix

Wy =

Iy ey

Ip r

Ix e1

Wx2 =

Ix e2

Flächenmomente 2. Grades zusammengesetzter Flächen unsymmetrischer Querschnitte: 1. Querschnitt in Teilflächen bekannter Schwerpunktslage zerlegen, 2. Schwerpunkte der Teilflächen bestimmen (7.7), 3. Flächenmomente der Teilflächen, bezogen auf ihre eigene Schwerachse nach 9.8 berechnen, 4. Lage des Gesamtschwerpunktes bestimmen, wenn die Gesamtschwerachse Bezugsachse ist, 5. Flächenmoment nach Verschiebesatz von Steiner bestimmen.

9.5 Elastizitätsmodul E und Schubmodul G verschiedener Werkstoffe in N/mm2 Werkstoff Stahl und Stahlguss Gusseisen Temperguss Messing Zinnbronze AI Cu Mg Kunstharz Fichte (||/A) 1) Buche (||/A) 1) Esche (||/A) 1)

E

200 000 ... 210 000 75 000 ... 105 000 90 000 ... 100 000 100 000 ... 110 000 110 000 ... 115 000 72 000 4 000 ... 16 000 11 000/ 550 16 000/1 500 13 400/1 100

1) parallel/rechtwinklig zur Faserrichtung

220

G

80 000 ... 83 000 30 000 ... 60 000 50 000 ... 60 000 35 000 ... 42 000 40 000 – – – – 28 000

Festigkeitslehre Träger gleicher Biegebeanspruchung 9.6 Träger gleicher Biegebeanspruchung Längs- und Querschnitt des Trägers

Begrenzung des Längsschnittes

Gleichungen zur Berechnung der Querschnitts-Abmessungen

Die Last F greift am Ende des Trägers an: obere Begrenzung: Gerade

untere Begrenzung: quadratische Parabel

6F 6F l x ; y =h x; h= l b σ zul b σ zul

y=

3

Durchbiegung in A: f =

y=

8F⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

6F 6 Fl bx ; y= x; b = 2 l h 2 σ zul h σ zul

Gerade 3

Durchbiegung in A: f =

y =3

6F⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

32F 32F l x ; y =3 x; d =3 l π σ zul π σ zul

Kubische Parabel 3 Fl3 π d4 ; I= Durchbiegung in A: f = ⋅ 5 EI 64

Die Last F ist gleichmäßig über den Träger verteilt:

y=x

3F 3F l hx ; h= ; y= l b l σ zul b σ zul

Gerade F = F' l

y=

F ' Streckenlast in

N m

2 3F ⎛ x ⎞ 3F l b x2 ; y= 2 ⎜ ⎟ ; b= 2 l σ zul ⎝ h ⎠ h σ zul l

Quadratische Parabel 3

Durchbiegung in A: f =

3F ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ b E⎝ h ⎠

221

9

9

Festigkeitslehre Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen Die Last F wirkt in C :

y= obere Begrenzung: zwei quadratische Parabeln

6F (l − a ) x x =h b l σ zul a

y1 =

x1 6F a x =h b l σ zul 1 l −a

h=

6F (l − a ) a b l σ zul

Die Last F ist gleichmäßig über den Träger verteilt: x2

obere Begrenzung: Ellipse

⎛ l ⎞2 ⎜ ⎟ ⎝2⎠

+

3F l 4 b σ zul

y2 = 1; h = h2

Durchbiegung in C : f =

3 1 Fl3 3 F ⎛l⎞ ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟ 64 E I 16 b E ⎝ h ⎠

9.7 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen bei Biegeträgern von gleichbleibendem Querschnitt F F' FA , FB M max I E f

Einzellast oder Resultierende der Streckenlast die auf die Längeneinheit bezogene Streckenlast Stützkräfte in den Lagerpunkten A und B maximales Biegemoment in den Wendepunkten der Biegelinie ist M = 0 axiales Flächenmoment 2. Grades des Querschnitts Elastizitätsmodul des Werkstoffs Durchbiegung.

Die strichpunktierte Linie gibt den Momentenverlauf über der Balkenlänge an. Positive Momentenlinien laufen nach oben, negative nach unten.

FB = F

FA = FB =

Mmax = F l

Mmax =

f=

y=

222

Fl3 3EI

3x 3f Fl3 ⎛ x3 ⎞ Fl2 ⎜ 1− ; tan α = + 3⎟ = ⎜ ⎟ 3EI⎝ 2l 2l ⎠ 2EI 2l

f =

y=

4x 2 ⎞ Fl2x ⎛ l ⎜ 1− 2 ⎟ ⎜ ⎟ für x ≤ 2 16 E I ⎝ 3l ⎠

F 2

Fl 4

Fl3 48 E I

tan α =

Fl 2 3f = 16 E I l

Festigkeitslehre Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen FB = F = F' l Mmax =

Fl 2

tan D =

y=

4

f =

Fl2 4f = 6EI 3l

⎛1 1 ⎞ tan α A = f ⎜ + ⎟ ⎝a 2b⎠

⎞ F 'l4 ⎛ x4 x ⎜ − 4 + 3⎟ ⎜ ⎟ 4 l 24 E I ⎝ l ⎠

FB = F ab l

l +a l +a 3a 3b

⎛1 1 ⎞ tan α B = f ⎜ + ⎟ ⎝b 2a ⎠

2⎞ 2⎞ ⎛ 2 F a b 2 xa ⎛ ⎜1+ l − xa ⎟; y = Fa b xb ⎜1+ l − xb ⎟ b ⎜ ⎟ ⎜ 6EI l ⎝ 6EI l ⎝ b ab ⎠ a ab ⎟ ⎠

(für xa d a)

(für xb d b)

F' l 2 Fl = 3

FB = F =

⎛ a⎞ FA = F⎜1+ ⎟ ⎝ l⎠

Mmax

Mmax = F a = M A

f =

FB = F

a l

Fl3 a EI 9 3 l für x = 0,577 l

F l3 15 E I

tan α =

a l

F a2 b2 EI 3l

fmax = f

ya =

y=

b l

Mmax = F

Fl F' l = 8EI 8EI 3

f=

FA = F

f =

F l2 5f = 12 E I 4l

⎞ F' l 4 ⎛ x 5 x ⎜ 5 − 5 + 4⎟ ⎟ l 120 E I ⎜ ⎝l ⎠

fC =

F l 3a 2 ⎛ a⎞ 1+ ⎟ 2⎜ ⎝ l⎠ 3EI l

tan α A =

F al F al F a (2 l + 3 a ) ; tan α B = ; tan α C = 3EI 6EI 6EI

FA = FB = F

Mmax = Fa f =

F l 3a 2 ⎛ 4a ⎞ ⎜1− ⎟ 2 3l ⎠ 2EI l ⎝

fmax =

F l 3a ⎛ 4 a2 ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ ⎟ 8 E I l⎜ 3l ⎠ ⎝

FA = FB = F Mmax = Fa f1 = f2 =

tan α1 =

F a(l + c ) 2EI

Fa2 ⎛ a

l⎞ ⎜ + ⎟ EI ⎝3 2⎠

F a l2 8EI

tan α A =

tan α A =

F a (a + c ) 2EI

tan α C = tan α D =

F ac 2EI FA = FB = Mmax = f =

F' l 4

Fl F' l 2 = 6 12

F l3 F' l 4 = 60 E I 120 E I

F al 2EI

223

9

9

Festigkeitslehre Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen FA = FB = Mmax =

y=

⎛l ⎞ FA = FB = F'⎜ + a ⎟ ⎝2 ⎠

F' l 2 8

f ≈ 0,013 tan α A =

F' l 2

F' a2 2 2 F' l 2 ⎡ 1 ⎛ a ⎞ ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ MC = 2 ⎣ ⎢4 ⎝ l ⎠ ⎦ ⎥

MA =

F l3 EI

F' l 3 16f = 24 E I 5l

F' l 3 x⎛ x ⎞⎛ x x2 ⎞ ⎜1+ − 2 ⎟ ⎟ ⎜1− ⎟⎜ 24 E I ⎝ l ⎠⎝ l l ⎠

fA = tan α A =

2 F' l 3 ⎡ 1 ⎛ a ⎞ ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 4EI ⎣ ⎢6 ⎝ l ⎠ ⎦ ⎥

fC =

FA =

F' l 6

FB =

F' l 3

bei x = 0,5774 l F' l 4 153,4 E I bei y = 0,5193 l

f =

F' l 3a ⎛ a 2 ⎞⎛ a2 ⎞ ⎜ ⎜ 1− 2 ⎟ 7−3 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 360 E I ⎝ l ⎠⎝ l ⎠ FA = F

224

bei x = 0,447 l

FA = FB = MC =

Fa2b3 ⎛ a⎞ f = ⎜1+ ⎟ 3l ⎠ 4E I l 2 ⎝

f =

3 ⎡ 1⎛ a ⎞ 3a ⎤ M = Fa⎢1+ ⎜ ⎟ − ⎥ ⎝ ⎠ 2 b 2l ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 3 F l⎡ a ⎛ a ⎞ ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 2⎣ ⎢l ⎝l⎠ ⎦ ⎥

F l3 48 5 E I

7 F l3 768 E I

FB = F − FA

tan α A =

MB =

f =

fmax = b2 ⎛ a⎞ ⎜1+ ⎟ 2l ⎠ l2 ⎝

2 F' l 4 ⎡ 5 ⎛ a ⎞ ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 16 E I ⎢ ⎣ 24 ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎦

F in Stabmitte 5 11 FA = F FB = F 16 16 5 3 M= F l MB = Fl 32 16

Mmax = 0,064 F' l 2

η=

3 4 F' l 4 ⎡ a ⎛ a ⎞ 1⎛ a ⎞ ⎤ ⎢ −⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ 4EI ⎣ ⎢ 6 l ⎝ l ⎠ 2⎝ l ⎠ ⎦ ⎥

F a b2 4EI l

F 2

Fl = M A = MB 8

F l3 192 E I

Festigkeitslehre Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A, Trägheitsradius i ⎛ 3a⎞ FA = F⎜1+ ⎟ 2l ⎠ ⎝

FB = F

⎛ b ⎞2 M A = F a⎜ ⎟ ⎝l ⎠

3a 2l

⎛ a ⎞2 M B = F b⎜ ⎟ ⎝l ⎠

MA = F a

f =

Fa MB = 2 f =

3 2 F l 3 ⎡ 1⎛ a ⎞ 1⎛ a ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ EI ⎢ 3 4 l l ⎥ ⎣ ⎦

Fa3 b3 3 EI l3

⎛ a ⎞2⎛ a⎞ MC = 2 Fb⎜ ⎟ ⎜1− ⎟ ⎝l ⎠⎝ l⎠ ⎛ b ⎞2⎛ b⎞ FA = F ⎜ ⎟ ⎜3 − 2 ⎟ ⎝l ⎠⎝ l⎠ ⎛ a ⎞2⎛ a⎞ FB = F ⎜ ⎟ ⎜ 3 − 2 ⎟ ⎝l ⎠⎝ l⎠

3 F' l 8 5 FB = F' l 8

FA = FB =

FA =

Mmax = fmax =

MC =

F' l 2 8

F' l 2

F' l 2 24

MA = M B =

F' l 4 185 E I

f =

F' l 2 = Mmax 12

F' l 4 384 E I

für x = 0,4215 l

9.8 Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A und Trägheitsradius i verschieden gestalteter Querschnitte für Biegung und Knickung (die Gleichungen gelten für die eingezeichneten Achsen)

Ix =

bh 3 12

Iy =

bh 2 6 i x = 0,289 h

A=bh

hb 2 6 i y = 0,289 b

Wx =

Wy =

Ix = Iy = I D = Wx = Wy =

hb 3 12

h3 6

h4 12

i = 0,289 h WD = 2

A = h2

h3 12

225

9

9

Festigkeitslehre Axiale Flächenmomente 2 h 3

I=

ah 3 36

e=

W =

ah 2 24

i = 0,236 h

I=

6 b 2 + 6 b b1 + b12 3 h 36(2 b + b1)

W =

6 b 2 + 6 b b1 + b12 2 h 12(3 b + 2 b1)

2b + b1 h 2 1 3b + 2b1 e= h 3 2b + b1 i=

I A

π 2 d 4

π d4 d4 ≈ 64 20

A=

W =

d3 π d3 ≈ 32 10

i=

d 4

π (D 4 − d 4 ) 64

A=

π D4 − d 4 32 D

i = 0,25 D 2 + d 2

W =

π 2 (D − d 2 ) 4

Ix =

π a3 b 4

Iy =

π b3 a 4

ix =

a 2

Wx =

π a2 b 4

Wy =

π b2 a 4

iy =

b 2

Ix = Wx =

A = π (a h − a1 b1)

Ix π ≈ a d (a + 3 b ) a 4

ix =

Iy = π

R4 − r 4 8

Ix e1

Ix A

I y = 0,0245 d 4 W x2 = 0,0323 d 3 ix = 0,132 d

I x = 0,1098(R 4 − r 4 ) − 0,283 R 2 r 2

226

A=Sab

π 3 π (a b − a13 b1) ≈ a2 d (a + 3 b ) 4 4

I x = 0,0068 d 4 W x1 = 0,0238 d 3 W y = 0,049 d 3 4r = 0,4244 r e1 = 3π

Wx1 =

ah 2

A=

I=

I=

A=

R −r R+r

Wy = Wx2 =

Ix e2

π (R 4 − r 4 ) 8R e1 =

2(D 3 − d 3 ) 3 π (D 2 − d 2 )

Festigkeitslehre Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A, Trägheitsradius i 5 3 4 s = 0,5413 s 4 16 5 W = s 3 = 0,625 s 3 8 I

=

A=

i = 0,456 s

5 3 4 s = 0,5413 s 4 16 W = 0,5413 s 3 I

3 3 s2 2 i = 0,456 s

=

W=

Iy =

H 3 − h3 12(H − h ) 3

3

b (h3 − h 1 ) + b1 (h 1 − h 2 ) 12 b ( h3

3 3 − h 1 ) + b1 (h 1

3 − h2 )

6h

BH 3 + bh3 12 BH 3 + bh3 W = 6H I

=

BH 3 − bh3 12 BH 3 − bh3 W = 6H I

I

=

e1 =

A = b (H − h )

I y = 0,289 b

3

I =

A=

b3 (H − h ) 12 b2 Wy = (H − h ) 6

b (H 3 − h3 ) 12 b Wx = (H 3 − h 3 ) 6H Ix =

ix =

3 3 s2 2

=

A = b h − b1 h 2 − h 1 (b − b1) i =

I A

A = BH + bh i =

I A

A = BH − bh i =

I A

1 3 3 (Be 1 − bh3 + ae 2 ) 3

A = Bd + a (H − d )

1 aH 2 + bd 2 ⋅ 2 aH + bd

i=

I A

e2 = H − e 1

227

9

9

Festigkeitslehre Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl 1 3 3 3 (Be1 − bh3 + B 1 e2 − b1 h 1 ) 3 1 aH 2 + b d 2 + b1 d1 (2 H − d1) e1 = ⋅ aH + bd + b1 d1 2 I =

A = Bd + b1 d1 + a (h + h 1) I A

i =

e2 = H − e1

9.9 Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl Beispiel für die Bezeichnung eines U-Stahls und für das Ablesen von Flächenmomenten I und Widerstandsmomenten W : U 100 DIN 1026 – USt37-2 Höhe Breite Flächenmoment

h = 100 mm b = 50 mm I x = 206 · 104 mm4 Wx = 41,2 · 103 mm3

Widerstandsmoment

I y = 29,3 · 104 mm4

Flächenmoment

Wy1 = 18,9 · 103 mm3

Widerstandsmoment

Wy2 = 8,49 · 103 mm3 Oberfläche je Meter Länge

A' 0 = 0,372 m2/m

Profilumfang

U = 0,372 m ix =

Trägheitsradius Kurzzeichen

U 30 × 15 30 40 × 20 40 50 × 25 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400 1)

228

I x / A =39,1 mm

Querschnitt h mm 30 30 40 40 50 50 60 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 350 380 400

b mm 15 33 20 35 25 38 30 42 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 102 110

s mm 4 5 5 5 5 5 6 5,5 6 6 7 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10 10 14 14 13,5 14

A mm2 221 544 366 621 492 712 646 903 1100 1350 1700 2040 2400 2800 3220 3740 4230 4830 5330 5880 7580 7730 8040 9150

Oberfläche je Meter Länge e1/e2 mm 5,2/ 9,8 13,1/19,9 6,7/13,3 13,3/21,7 8,1/16,9 13,7/24,3 9,1/20,9 14,2/27,8 14,5/30,5 15,5/34,5 16,0/39,0 17,5/42,5 18,4/46,6 19,2/50,8 20,1/54,9 21,4/58,6 22,3/62,7 23,6/66,4 25,3/69,7 27,0/73,0 26,0/74,0 24,0/76,0 23,8/78,2 26,5/83,5

Ix

Wx

Iy

· 104 mm4 2,53 6,39 7,58 14,1 16,8 26,4 31,6 57,5 106 206 364 605 925 1350 1910 2690 3600 4820 6280 8030 10870 12840 15760 20350

· 103 mm3 1,69 4,26 3,79 7,05 6,73 10,6 10,5 17,7 26,5 41,2 60,7 86,4 116 150 191 245 300 371 448 535 679 734 829 1020

· 104 mm4 0,38 5,33 1,14 6,68 2,49 9,12 4,51 14,1 19,4 29,3 43,2 62,7 85,3 114 148 197 248 317 399 495 597 570 615 846

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

Wy1

Wy2

· 103 mm3 · 103 mm3 0,73 0,39 4,07 2,68 1,70 0,86 5,02 3,08 3,07 1,47 6,66 3,75 4,98 2,16 9,93 5,07 13,4 6,36 18,9 8,49 27,0 11,1 35,8 14,8 46,4 18,3 59,4 22,4 73,6 27,0 92,1 33,6 111 39,6 134 47,7 158 57,3 183 67,8 230 80,7 238 75,0 258 78,6 355 101

A' 0 m2/m 1) 0,103 0,174 0,142 0,200 0,181 0,232 0,215 0,273 0,312 0,372 0,434 0,489 0,546 0,611 0,661 0,718 0,775 0,834 0,890 0,950 0,982 1,05 1,11 1,18

Gewichtskraft je Meter Länge

F'G N/m 17,0 41,9 28,2 47,8 37,9 54,8 49,7 69,5 84,7 104,0 130,9 157,1 184,8 215,6 248,0 288,0 325,7 372 410,5 452,8 583,7 595,3 619,1 704,6

Festigkeitslehre Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl 9.10

Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl Beispiel für die Bezeichnung eines Winkelstahls und für das Ablesen von Flächenmomenten I und Widerstandsmomenten W : L 40 × 6 DIN 1028 – USt 37-2 Schenkelbreite a Schenkeldicke s Flächenmoment Ix Widerstandsmoment Wx1 Wx2

= 40 mm = 6 mm = 6,33 · 104 mm4 = 5,28 · 103 mm3 = 2,26 · 103 mm3

Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,16 m2/m Profilumfang Trägheitsradius Kurzzeichen

20 × 4 25 × 5 30 × 5 35 × 5 40 × 6 45 × 6 50 × 6 50 × 8 55 × 8 60 × 6 60 × 10 65 × 8 70 × 7 70 × 9 70 × 11 75 × 8 80 × 8 80 × 10 80 × 12 90 × 9 90 × 11 100 × 10 100 × 14 110 × 12 120 × 13 130 × 12 130 × 16 140 × 13 140 × 15 150 × 12 150 × 16 150 × 20 160 × 15 160 × 19 180 × 18 180 × 22 200 × 16 200 × 20 200 × 24 200 × 28 1)

a s

Querschnitt

e1 e2

Ix = Iy

Wx1 = Wy1

Wx2 = Wy2

U = 0,16 m ix =

I x / A = 11,9 mm

Oberfläche je Meter Länge

Gewichtskraft je Meter Länge

F'G N/m

mm

A mm2

mm

· 104 mm4

· 103 mm3

· 103 mm3

A' 0 m2/m 1)

20/ 4 25/ 5 30/ 5 35/ 5 40/ 6 45/ 6 50/ 6 50/ 8 55/ 8 60/ 6 60/10 65/ 8 70/ 7 70/ 9 70/11 75/ 8 80/ 8 80/10 80/12 90/ 9 90/11 100/10 100/14 110/12 120/13 130/12 130/16 140/13 140/15 150/12 150/16 150/20 160/15 160/19 180/18 180/22 200/16 200/20 200/24 200/28

145 226 278 328 448 509 569 741 823 691 1110 985 940 1190 1430 1150 1230 1510 1790 1550 1870 1920 2620 2510 2970 3000 3930 3500 4000 3480 4570 5630 4610 5750 6190 7470 6180 7640 9060 10500

6,4/ 13,6 8 / 17 9,2/ 20,8 10,4/ 24,6 12 / 28 13,2/ 31,8 14,5/ 35,5 15,2/ 34,8 16,4/ 38,6 16,9/ 43,1 18,5/ 41,5 18,9/ 46,1 19,7/ 50,3 20,5/ 49,5 21,3/ 48,7 21,3/ 53,7 22,6/ 57,4 23,4/ 56,6 24,1/ 55,9 25,4/ 64,6 26,2/ 63,8 28,2/ 71,8 29,8/ 70,2 31,5/ 78,5 34,4/ 85,6 36,4/ 93,6 38,0/ 92 39,2/100,8 40,0/100,0 41,2/108,8 42,9/107,1 44,4/105,6 44,9/115,1 46,5/113,5 51,0/129,0 52,6/127,4 55,2/144,8 56,8/143,2 58,4/141,6 59,9/140,1

0,48 1,18 2,16 3,56 6,33 9,16 12,8 16,3 22,1 22,8 34,9 37,5 42,4 52,6 61,8 58,9 72,3 87,5 102 116 138 177 235 280 394 472 605 638 723 737 949 1150 1100 1350 1870 2210 2340 2850 3330 3780

0,75 1,48 2,35 3,42 5,28 6,94 8,83 10,7 13,5 13,5 18,9 19,8 21,5 25,7 29,0 27,7 32,0 37,4 42,3 45,7 52,7 62,8 78,9 88,9 115 130 159 163 181 179 221 259 245 290 367 420 424 502 570 631

0,35 0,69 1,04 1,45 2,26 2,88 3,61 4,68 5,73 5,29 8,41 8,13 8,43 10,6 12,7 11,0 12,6 15,5 18,2 18,0 21,6 24,7 33,5 35,7 46,0 50,4 65,8 63,3 72,3 67,7 88,7 109 95,6 119 145 174 162 199 235 270

0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,17 0,19 0,19 0,21 0,23 0,23 0,25 0,27 0,27 0,27 0,29 0,31 0,31 0,31 0,35 0,36 0,39 0,39 0,43 0,47 0,51 0,51 0,55 0,55 0,59 0,59 0,59 0,63 0,63 0,71 0,71 0,79 0,79 0,79 0,79

11,2 17,4 21,4 25,3 34,5 39,2 43,8 57,1 63,4 53,2 85,2 75,9 72,4 91,6 110,1 88,6 94,7 116,7 138,3 119,4 144,0 147,9 201,8 193,3 228,7 231,0 302,6 269,5 308,0 268,0 351,9 433,6 355,0 442,8 476,7 575,3 475,9 588,3 697,7 808,6

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

229

9

9

Festigkeitslehre Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach EN 10056-1 9.11

Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach EN 10056-1 Beispiel für die Bezeichnung eines ungleichschenkligen Winkelstahls und für das Auswerten der Tabelle: L EN 10056-1 – 30 × 20 × 4 Schenkel breite Schenkeldicke Flächenmoment 2. Grades

a = 30 mm, b = 20 mm s = 4 mm I x = 1,59 · 104 mm4

Widerstandsmoment

Wx1 = 1,54 · 103 mm3

Widerstandsmoment

Wx2 = 0,81 · 103 mm3

Oberfläche je Meter Länge

A' 0

= 0,097 m2/m

Profilumfang U = 0,097 m Gewichtskraft je Meter Länge F'G = 14,2 N/m Trägheitsradius Ouerschnitt Kurzzeichen A a b c mm mm mm mm2 30 × 20 × 4 40 × 20 × 4 45 × 30 × 5 50 × 40 × 5 60 × 30 × 7 60 × 40 × 6 65 × 50 × 5 65 × 50 × 9 75 × 50 × 7 75 × 55 × 9 80 × 40 × 6 80 × 40 × 8 80 × 65 × 8 90 × 60 × 6 90 × 60 × 8 100 × 50 × 6 100 × 50 × 8 100 × 50 × 10 100 × 65 × 9 100 × 75 × 9 120 × 80 × 8 120 × 80 × 10 120 × 80 × 12 130 × 65 × 10 13O× 75 × 10 130 × 75 × 12 130 × 90 × 10 130 × 90 × 12 150 × 75 × 9 150 × 75 × 11 150 × 90 × 10 150 × 90 × 12 150 × 100 × 10 150 × 100 × 12 150 × 100 × 14 160 × 80 × 12 200 × 100 × 10 200 × 100 × 14 250 × 90 × 10 250 × 90 × 14 1)

230

30 40 45 50 60 60 65 65 75 75 80 80 80 90 90 100 100 100 100 100 120 120 120 130 130 130 130 130 150 150 150 150 150 150 150 160 200 200 250 250

20 20 30 40 30 40 50 50 50 55 40 40 65 60 60 50 50 50 65 75 80 80 80 65 75 75 90 90 75 75 90 90 100 100 100 80 100 100 90 90

4 4 5 5 7 6 5 9 7 9 6 8 8 6 8 6 8 10 9 9 8 10 12 10 10 12 10 12 9 11 10 12 10 12 14 12 10 14 10 14

185 225 353 427 585 568 554 958 830 1090 689 901 1100 869 1140 873 1150 1410 1420 1510 1550 1910 2270 1860 1960 2330 2120 2510 1950 2360 2320 2750 2420 2870 3320 2750 2920 4030 3320 4590

e x1 ey1

mm 10,3 /5,4 14,7/ 4,8 15,2/ 7,8 15,6/10,7 22,4/ 7,6 20,0/10,1 19,9/12,5 21,5/14,1 24,8/12,5 24,7/14,8 28,5/ 8,8 29,4/ 9,5 24,7/17,3 28,9/14,1 29,7/14,9 34,9/10,4 35,9/11,3 36,7/12,0 33,2/15,9 31,5/19,1 38,3/18,7 39,2/19,5 40,0/20,3 46,5/14,5 44,5/17,3 45,3/18,1 41,5/21,8 42,4/22,6 52,8/15,7 53,7/16,5 49,9/20,3 50,8/21,1 48,0/23,4 48,9/24,2 49,7/25,0 57,2/17,7 69,3/20,1 71,2/21,8 94,5/15,6 96,5/17,3

ix =

Ix/ A

= 9,27 mm

Oberfläche Gewichtskraft je Meter je Meter Länge Länge Ix Wx1 Wx2 Iy Wy1 Wy2 A' 0 F'G · 104mm4 · 103mm3 · 103mm3 · 104mm4 · 103mm3 · 103mm3 m2/m 1) N/m 1,59 3,59 6,99 10,4 20,7 20,1 23,1 38,2 46,4 59,4 44,9 57,6 68,1 71,7 92,5 87,7 116 141 141 148 226 276 323 321 337 395 358 420 455 545 532 626 552 650 744 720 1220 1650 2170 2960

1,54 2,44 4,60 6,67 9,24 10,1 11,6 17,8 18,7 24,0 15,8 19,6 27,6 24,8 31,1 25,1 32,3 38,4 42,5 47,0 59,0 70,4 80,8 69,0 75,7 87,2 86,3 99,1 86,2 101 107 123 115 133 150 126 176 232 230 307

0,81 1,42 2,35 3,02 5,50 5,03 5,11 8,77 9,24 11,8 8,73 11,4 12,3 11,7 15,4 13,8 18,0 22,2 21,0 21,5 27,6 34,1 40,4 38,4 39,4 46,6 40,5 48,0 46,8 56,6 53,1 63,1 54,1 64,2 74,1 70,0 93,2 128 140 192

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

0,55 0,60 2,47 5,89 3,41 7,12 11,9 19,4 16,5 26,8 7,59 9,68 40,1 25,8 33,0 15,3 19,5 23,4 46,7 71,0 80,8 98,1 114 54,2 82,9 96,5 141 165 78,3 93,0 145 170 198 232 264 122 210 282 161 216

1,02 1,25 3,17 5,50 4,49 7,05 9,52 13,8 13,2 18,1 8,63 10,2 23,2 18,3 22,0 14,7 17,3 19,5 29,4 37,0 43,2 50,3 56,0 37,4 47,9 53,3 65,0 73,0 49,9 56,0 71,0 81,0 85,0 96,0 106 69,0 104 129 103 125

0,38 0,39 1,11 2,01 1,52 2,38 3,18 5,39 4,39 6,66 2,44 3,18 8,41 5,61 7,31 3,86 5,04 6,17 9,52 12,7 13,2 16,2 19,1 10,7 14,4 17,0 20,6 24,4 13,2 15,9 20,9 24,7 25,8 30,6 35,2 19,6 26,3 36,1 21,7 29,7

0,097 0,117 0,146 0,177 0,175 0,195 0,224 0,224 0,244 0,254 0,234 0,234 0,283 0,294 0,294 0,292 0,292 0,292 0,321 0,341 0,391 0,391 0,391 0,381 0,401 0,401 0,430 0,430 0,441 0,441 0,469 0,469 0,489 0,489 0,489 0,469 0,587 0,587 0,667 0,667

14,2 17,4 27,2 32,9 45,0 43,7 42,7 73,7 63,8 84,2 53,1 69,3 84,9 66,9 87,9 67,2 88,2 108,9 108,9 115,7 119,6 147,1 174,6 143,2 151,0 179,5 162,8 193,2 150,0 182,4 178,5 211,8 186,3 221,6 255,9 211,8 225,6 309,9 255,9 353,0

Festigkeitslehre Warmgewalzte schmale ǂ-Träger nach DIN 1025-1 9.12

Warmgewalzte schmale ǂ-Träger nach DIN 1025-1 (Auszug) Beispiel für die Bezeichnung eines schmalen ǂ-Trägers mit geneigten inneren Flanschflächen und für das Auswerten der Tabelle:

ǂ-Profil DIN 1025 – S235JR – ǂ 80 Höhe Breite Flächenmoment 2. Grades

Wx = 19,5 · 103 mm3

Widerstandsmoment Oberfläche je Meter Länge Profilumfang

1)

A' 0 = 0,304 m2/m

U = 0,304 m ix =

Trägheitsradius

Kurzzeichen

h = 80 mm b = 42 mm Ix = 77,8 · 104 mm4

Querschnitt

h mm

b mm

s mm

t mm

A mm2

Ix

Wx

Iy

Wy

ǂ

· 104 mm4

· 103 mm3

· 104 mm4

· 103 mm3

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 425 450 475 500 550 600

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 425 450 475 500 550 600

42 50 58 66 74 82 90 98 106 113 119 125 131 137 143 149 155 163 170 178 185 200 215

3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 9,4 10,1 10,8 11,5 12,2 13,0 13,7 14,4 15,3 16,2 17,1 18,0 19,0 21,6

5,9 6,8 7,7 8,6 9,5 10,4 11,3 12,2 13,1 14,1 15,2 16,2 17,3 18,3 19,5 20,5 21,6 23,0 24,3 25,6 27,0 30,0 32,4

758 1060 1420 1830 2280 2790 3350 3960 4610 5340 6110 6910 7780 8680 9710 10700 11800 13200 14700 16300 18000 21300 25400

77,8 171 328 573 935 1450 2140 3060 4250 5740 7590 9800 12510 15700 19610 24010 29210 36970 45850 56480 68740 99180 139000

19,5 34,2 54,7 81,9 117 161 214 278 354 442 542 653 782 923 1090 1260 1460 1740 2040 2380 2750 3610 4630

6,29 12,2 21,5 35,2 54,7 81,3 117 162 221 288 364 451 555 674 818 975 1160 1440 1730 2090 2480 3490 4670

3,00 4,88 7,41 10,7 14,8 19,8 26,0 33,1 41,7 51,0 61,2 72,2 84,7 98,4 114 131 149 176 203 235 268 349 434

Ix/ A

= 32 mm

Oberfläche je Meter Länge A' 0 m2/m 1) 0,304 0,370 0,439 0,502 0,575 0,640 0,709 0,775 0,844 0,906 0,966 1,03 1,09 1,15 1,21 1,27 1,33 1,41 1,48 1,55 1,63 1,80 1,92

Gewichtskraft je Meter Länge

F'G N/m 58,4 81,6 110 141 176 215 258 305 355 411 471 532 599 668 746 824 908 1020 1128 1256 1383 1638 1952

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

231

9

9

Festigkeitslehre Warmgewalzte ǂ -Träger, ǂ PE-Reihe 9.13

Warmgewalzte ǂ -Träger, ǂ PE-Reihe Beispiel für die Bezeichnung eines mittelbreiten I-Trägers mit parallelen Flanschflächen und für das Ablesen von Flächenmomenten I und Widerstandsmomenten W: IPE 80 DIN 1025 – USt37-2 Höhe Breite Flächenmoment

Wx = 20,0 · 103 mm3

Widerstandsmoment Oberfläche je Meter Länge Profilumfang

Querschnitt

IPE

b mm

t mm

h mm

s mm

r mm

A mm2

80 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600

46 55 64 73 82 91 100 110 120 135 150 160 170 180 190 200 210 220

5,2 5,7 6,3 6,9 7,4 8,0 8,5 9,2 9,8 10,2 10,7 11,5 12,7 13,5 14,6 16,0 17,2 19,0

80 3,8 100 4,1 120 4,4 140 4,7 160 5,0 180 5,3 200 5,6 220 5,9 240 6,2 270 6,6 300 7,1 330 7,5 360 8,0 400 8,6 450 9,4 500 10,2 550 11,1 600 12,0

5 7 7 7 9 9 12 12 15 15 15 18 18 21 21 21 24 24

764 1030 1320 1640 2010 2390 2850 3340 3910 4590 5380 6260 7270 8450 9880 11600 13400 15600

1)

232

Ix

Wx

Iy

Wy

· 104 mm4

· 103 mm3

· 104 mm4

· 103 mm3

20,0 34,2 53,0 77,3 109 146 194 252 324 429 557 713 904 1160 1500 1930 2440 3070

8,49 15,9 27,7 44,9 68,3 101 142 205 284 420 604 788 1040 1320 1680 2140 2670 3390

3,69 5,79 8,65 12,3 16,7 22,2 28,5 37,3 473 62,2 80,5 98,5 123 146 176 214 254 308

80,1 171 318 541 869 1320 1940 2770 3890 5790 8360 11770 16270 23130 33740 48200 67120 92080

Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.

A' 0 = 0,328 m2/m

U = 0,328 m Ix =

Trägheitsradius

Kurzzeichen

h = 80 mm b = 46 mm I x = 80,1 · 104 mm4

Ix/ A

= 32,4 mm

Oberfläche Gewichtskraft je Meter Länge je Meter Länge A' 0 F'G m2/m 1) N/m 0,328 0,400 0,475 0,551 0,623 0,698 0,768 0,848 0,922 1,041 1,155 1,254 1,348 1,467 1,605 1,738 1,877 2,014

59 79 102 126 155 184 220 257 301 353 414 482 560 651 761 893 1032 1200

Festigkeitslehre Knickung im Maschinenbau 9.14

Knickung im Maschinenbau (siehe auch 9.35)

1. Lösungsweg Gegeben : Querschnittsabmessungen und damit axiales Flächenmoment I, Stablänge l, Belastungsfall Gesucht :

Zulässige Druckkraft F oder vorhandene Knicksicherheit Q

Schlankheitsgrad O s λ= i Trägheitsradius imin

imin =

kleinstes Flächenmoment 2. Grades des Querschnittes in mm4 (9.8) freie Knicklänge in mm Trägheitsradius in mm (9.8)

Imin s i i=

I min A

d

für Kreisquerschnitt

4

A

Querschnitt

Vergleich des Schlankheitsgrades O mit Grenzschlankheitsgrad O0 nach 9.15

Beachte: Meistens kann s = l gesetzt werden (Fall 2)

bei O ! O0 weiterrechnen nach Euler : Knickkraft FK E I min π 2 E π2 nach Euler und FK = oder σK = 2 2 s λ Knickspannung V K

V K, Vd, E zulässige Druckkraft F oder Knicksicherheit Qvorh

N

F=

FK

ν

oder νvorh

F = K F

mm2

FK, F

O, Q

N

1

s, i

I

A

mm mm4 mm2

bei O  O0 weiterrechnen nach Tetmajer (9.15): Knickspannung VK mit Tetmajer-Gleichung aus 9.15 berechnen. vorhandene Druckσ σ F oder σ d = K oder ν = K σd = spannung Vd oder A ν σd Knicksicherheit Q

2. Lösungsweg Gegeben : Druckkraft F, Knicksicherheit Q, Stablänge l, Belastungsfall Gesucht : Erforderlicher Durchmesser d

Knickkraft FK erforderliches Flächenmoment Imin

FK =FQ I min =

FK s 2 E

π2

I =

d4 20

bei Kreisquerschnitt

233

9

9

Festigkeitslehre Grenzschlankheitsgrad O0 für Euler'sche Knickung und Tetmajer-Gleichungen erforderlicher Durchmesser d bei Kreisquerschnitt und Trägheitsradius i

derf = 4 20 I min

Schlankheitsgrad O

λ=

I min d = A 4

i= s i

Vergleich des Schlankheitsgrades O mit Grenzschlankheit O 0 nach 9.15. Ist O ! O 0 war die Annahme richtig, d. h. gefundener Durchmesser d kann ausgeführt werden. Bei O  O 0 muss mit angenommenem Durchmesser d nach Tetmajer weitergerechnet werden; zweckmäßig wird d größer derf angenommen, dann der Schlankheitsgrad O = 4 s /d (bei Kreisquerschnitt ) neu berechnet, mit Tetmajer-Gleichung (9.15) die Knickspannung V K bestimmt, ebenso die vorhandene Druckspannung Vd = F /A. Danach wird überprüft, ob

Knicksicherheit Q

νvorh =

σK ≥ νerf ist. σd

Ist Qvorh  Qerf , muss mit größerem d die Rechnung wiederholt werden.

9.15

Grenzschlankheitsgrad O 0 für Euler'sche Knickung und Tetmajer-Gleichungen Werkstoff

Elastizitätsmodul E N in mm2

Grenzschlankheitsgrad O 0 Tetmajer-Gleichung für Knickspannung V K in

N mm2

Nadelholz

10 000

100

Gusseisen

100 000

80

S235JR

210 000

105

E295 und E355 Vergütungsstahl z.B. 16NiCr4

210 000

89

VK = 776 – 12 · O + 0,053 · O2 VK = 310 – 1,14 · O VK = 335 – 0,62 · O

210 000

86

VK = 470 – 2,3 · O

Beachte:

VK = 29,3 – 0,194 · O

Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete Schlankheitsgrad O gleich oder größer ist als der hier in der Tabelle angegebene Grenzschlankheitsgrad O 0. Die Tetmajer-Gleichungen sind Zahlenwertgleichungen mit V K in N/mm2.

234

Festigkeitslehre Abscheren und Torsion Abscheren und Torsion

Praktisches Beispiel für Abscherbeanspruchung ist das Scherschneiden. Die äußeren Kräfte F bilden ein Kräftepaar mit dem kleinen Wirkabstand u, dem so genannten Schneidspalt. Das entsprechend kleine Kraftmoment M = Fu wird vernachlässigt. Die in der Schnittfläche auftretende Gleichgewichtskraft Fq = F ist eine Tangentialkraft, die auftretende Tangentialspannung ist die Schubspannung W. Zur Kennzeichnung der Beanspruchung nennt man sie Abscherspannung Wa.

u W

F

erforderlicher Querschnitt A

τ a vorh =

F ≤ τ a zul A

(Spannungsnachweis)

Aerf =

F

τ a zul

(Querschnittsnachweis)

zulässige Belastung Fmax

Fmax = A τ a zul (Belastungsnachweis)

l F

F Fq = F

vorhandene Abscherspannung Wa (Abscher-Hauptgleichung)

F

A

F

s

9.16

A = Querschnittsfläche

Wa

F

A

N/mm2

N

mm2

Diese Gleichungen gelten nur unter der Annahme einer gleichmäßigen Schubspannungsverteilung über der Querschnittsfläche A. Abscherfestigkeit WaB : W aB = 0,85 · Rm (für Flussstahl) W aB = 1,1 · Rm (für Gusseisen)

Untersuchungen am Rechteckquerschnitt ergeben eine parabolische Verteilung der Schubspannungen mit W = 0 in der Randfaser und W = W max in der mittleren Faserschicht. Wird mit dem Mittelwert W mittel = W a = F /A gerechnet, ergeben sich für verschiedene Querschnittsformen die folgenden Maximalwerte für die auftretende Schubspannung:

W max = (3/2) · W a für den Rechteckquerschnitt, W max = (4/3) · W a für den Kreisquerschnitt, W max = ca. 2 · W a für den Rohrquerschnitt.

A

Niete und Bolzen werden mit der Abscher-Hauptgleichung W a vorh = F /A berechnet, obwohl keine gleichmäßige Spannungsverteilung vorliegt und der gefährdete Querschnitt neben der Querkraft Fq = F noch ein Biegemoment Mb zu übertragen hat. In warm eingezogenen Nieten tritt gar keine Schubspannung auf, sie werden durch das Schrumpfen in Längsrichtung auf Zug beansprucht. Die zulässigen Abscherspannungen für Nietverbindungen im Stahlhoch- und Kranbau sowie im Kesselbau sind vorgeschrieben.

235

9

9

Festigkeitslehre Abscheren und Torsion vorhandene Torsionsspannung W t

MT

τ t vorh =

Wp

Wt

≤ τ t zul

N mm2

(Spannungsnachweis)

MT

Wp

Nmm

mm3

Wp polares Widerstandsmoment (9.20)

erforderliches polares Widerstandsmoment Wp

Wp erf =

MT

τ t zul

(Querschnittsnachweis)

zulässiges Torsionsmoment M T max

M Tmax = Wp τ t zul (Belastungsnachweis)

M T = 9,55 ⋅106

(Zahlenwertgleichung)

Verdrehwinkel M in Grad (°)

ϕ= ϕ=

MT Nmm

P n

erforderliches polares Widerstandsmoment Wp

180o τ t l π Gr 180o M T l

π Wp r G

180o M T l ϕ= π Ip G

Formänderungsarbeit W

W = MT R= V R

M G

236

MT

ϕ

ϕ 2

=

τ t2 V 4G

=

R 2 ϕ 2

ԑ tan D

Volumen in mm3 Federrate in N/mm Drehwinkel in rad Schubmodul in N/mm2

P kW

n min–1

G l r MT Wp

Schubmodul in N/mm2 nach 9.5 Verdrehlänge in mm Wellenradius in mm Torsionsmoment in Nmm polares Widerstandsmoment

Ip

in mm3 polares Flächenmoment in mm4 nach 9.20

Festigkeitslehre Widerstandsmoment Wp (Wt) und Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t ) 9.17

Widerstandsmoment Wp (Wt) und Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t )

Form des Querschnittes

Flächenmoment I p Drillungswiderstand I t

Widerstandsmoment Wp (Wt )

π 4 d4 d ≈ 32 10 ≈ 0,1d 4

d3 π 3 d ≈ 16 5 ≈ 0,2 d 3

Wt = Wp =

4

Wt = Wp =

Wt =

I t =Ip =

π da − d i ⋅ da 16

4

I t = Ip =

π n b3 16

It =

h = n >1 b

ha h = i = n >1 ba bi

Bemerkungen

W max am Umfang

π 4 4 (d − d i ) 32 a

W max am Umfang

π n3 b4 ⋅ 16 n 2 + 1

W max an den Endpunkten der kleinen Achse

hi b = i = α 1 b Wt = c1 b3

I t = c2

W max in der Mitte der Seiten

W max in der Mitte der langen Seiten

b4

 n

1

1,5

2

3

4

c1 c2

0,208 0,1404

0,346 0,2936

0,493 0,4572

0,801 0,7899

1,150 1,1232

6

8

10

1,789 2,456 3,123 1,789 2,456 3,123

237

9

9

Festigkeitslehre Zusammengesetzte Beanspruchung bei gleichartigen Spannungen 9.18 Zusammengesetzte Beanspruchung bei gleichartigen Spannungen

Zug und Biegung resultierende Zugspannung Vres Zug und resultierende Druckspannung Vres Druck

σres Zug = σ z + σbz

c=

i2 I = a Aa

F F ae + ≤ σ z zul I A = σb z − σ z

σres Zug = σresDruck

σresDruck =

F ae F − ≤ σ d zul I A

Druck und Biegung resultierende Druckspannung Vres Druck und resultierende Zugspannung Vres Zug

σresDruck = σ d + σbd

c=

i2 I = a Aa

F F ae + ≤ σ d zul I A = σbd − σ d

σresDruck = σres Zug

σres Zug =

F ae F − ≤ σ z zul I A

Torsion und Abscheren maximale SchubSpannung W max in den Umfangspunkten B

238

τ max = τ s + τ t = τ max = 4,24

F d2

16 F 8F + 3 π d2 π d2

Festigkeitslehre Zusammengesetzte Beanspruchung bei ungleichartigen Spannungen 9.19 Zusammengesetzte Beanspruchung bei ungleichartigen Spannungen Gleichzeitiges Auftreten von Normal- und Schubspannungen ergibt mehrachsigen Spannungszustand, so dass algebraische Addition (wie bei Zug/Druck und Biegung oder Torsion und Abscheren) nicht möglich ist. Es wird die Vergleichsspannung V v eingeführt, die unmittelbar mit dem Festigkeitskennwert des Werkstoffs bei einachsigem Spannungszustand verglichen wird und nach einer der aufgestellten Festigkeitshypothesen ermittelt werden kann.

Bei Biegung und Torsion z.B. besteht das innere Kräftesystem aus dem Biegemoment M b = F x, dem Torsionsmoment M T = Fr und der Querkraft Fq = F. Größte Normalspannung tritt in den Punkten A, B auf, größte Torsionsschubspannung am Kreisumfang. QuerkraftSchubspannung kann bei langen Stäben vernachlässigt werden. Mb M 32 Fx 16 Fr = = σ und τ max = T = =τ W Wp π d3 π d3

Maximalwerte V und W zur Bestimmung der Vergleichsspannung V v in Wellen mit Kreisquerschnitt

σmax =

Dehnungshypothese

σ v = 0,35 σ + 0,65 σ 2 + 4 τ 2

(C. Bach)

Schubspannungshypothese

σv = σ 2 + 4 τ 2

(Mohr)

Diese Gleichungen gelten nur, wenn V und W durch gleichen Belastungsfall entstehen (z.B. beide durch wechselnde Belastung), sonst ist mit dem „Anstrengungsverhältnis D 0“ zu rechnen.

Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie

σv = σ 2 + 3 τ 2

Anstrengungsverhältnis D 0

α0 =

Dehnungshypothese

σ v = 0,35 σ + 0,65 σ 2 + 4( α0 τ )2

α0 =

Schubspannungshypothese

σ v = σ 2 + 4( α0 τ )2

α0 =

Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie

σ v = σ 2 + 3( α0 τ )2

α0 =

σ zul ϕ τ zul

M ist für jede Hypothese verschieden, siehe folgende D 0-Werte

σ zul

1,3 τ zul

σ zul

2 τ zul

σ zul

1,73 τ zul

239

9

9

Festigkeitslehre Beanspruchung durch Fliehkraft Zug/Druck und Torsion Normalspannung V

σ =±

Schubspannung W

τ =

F A

Beide Spannungen zur Vergleichsspannung Vv zusammensetzen

MT Wp

Zug/Druck und Schub Normalspannung V

σ =±

Schubspannung W

τ =

F A

Beide Spannungen zur Vergleichsspannung Vv zusammensetzen

Fq A

Biegung und Torsion Normalspannung V

σ=

Mb W

Schubspannung W

τ =

MT Wp

Vergleichsmomente Mv und derf für Wellen mit Kreisquerschnitt

Mv = Mb + 0,75( α0 M T )2

Beide Spannungen zur Vergleichsspannung Vv zusammensetzen

2

derf = 3

32 M v π σb zul

(Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie)

9.20

gleichen Belastungsfall

D0 | 0,7 – wenn V b wechselnd (III) und W t schwellend (II) oder ruhend (I)

Beanspruchung durch Fliehkraft

umlaufender Ring Zugspannung in Umfangsrichtung V t (Tangentialspannung)

σ t = r ω 2 rm2

Vergrößerung des Radius 'rm

∆ rm =

rm =

240

D0 | 1,0 – wenn V b und W t im

r

Z

N

kg

1

m2

m3

s

Vt

r

m

E N m2

r ω 2 rm3 E ra + r i 2

r

Dichte des Werkstoffs

Z

Winkelgeschwindigkeit

E

E-Modul (9.5)

rm

mittlerer Radius

s

Dicke ԟ rm

P

Poissonzahl (9.1)

P 1

Festigkeitslehre Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung Umlaufende zylindrische Scheibe gleicher Dicke, Einheiten siehe umlaufender Ring Tangentialspannung V t

σ t = r ω 2 ra2

r 2 r 2 (1+ 3 µ ) rm2 ⎤ 3 + µ⎡ ⎢1+ i2 + i2 − ⎥ 8 ⎣ (3 + µ ) ra2 ⎦ ra rm

Radialspannung V r

σr = r ω 2 ra2

r2 r2 r2 ⎤ 3 + µ⎡ ⎢1+ i2 − i2 − m2 ⎥ 8 ⎣ ra rm ra ⎦

P Poissonzahl (9.1)

Umlaufender Hohlzylinder, Einheiten siehe umlaufender Ring

Tangentialspannung V t

(1+ 2 µ ) rm2 ⎤ r2 r2 3−2µ ⎡ σ t = r ω rm ⎢1+ i2 + i2 − ⎥ 8(1 − µ ) ⎣ ra rm (3 − 2 µ ) ra2 ⎦

Radialspannung V r

σr = r ω 2 ra2

r2 r2 r2 ⎤ 3−2µ ⎡ ⎢1+ i2 − i2 − m2 ⎥ 8(1 − µ ) ⎣ ra rm ra ⎦

Axialspannung V x

σ x = r ω 2 ra2

r2 r2 ⎤ 2µ ⎡ ⎢1+ i2 − 2 m2 ⎥ 8(1 − µ ) ⎣ ra ra ⎦

P Poissonzahl (9.1)

2

9.21 Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung Einheiten: Kraft F in N ; Flächenpressung p in N/mm2 (Längen und Durchmesser in mm)

Flächenpressung p ebener Flächen

p=

Normalkraft FN Berührungsfläche A

Flächenpressung p der Prismenführung

p=

F F = (B − b ) l 2 l T tan α

Flächenpressung p im Kegelzapfen

p=

4F F = π (D 2 − d 2 ) π l dm tan α

241

9

9

Festigkeitslehre Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung Flächenpressung p in Kegelkupplung

p=

F π dm B sin α

Flächenpressung p im Gewinde

p=

FP π d2 H1 m

Flächenpressung p im Gleitlager

p=

F dl

m P

Mutterhöhe Steigung eines Ganges

F Radialkraft d Lagerdurchmesser l Lagerlänge

Lochleibungsdruck V l = Flächenpressung am Nietschaft

σl =

F1 d1s

F1 Kraft, die ein Niet zu übertragen hat; d1 Lochdurchmesser = Durchmesser des geschlagenen Nietes ; s kleinste Summe aller Blechdicken in einer Kraftrichtung.

Pressung pmax Kugel gegen Ebene

Pmax =

P G

Pressung pmax Kugel gegen Kugel

242

1,5 F 1 = π π a2

3

1,5 F E 2 r 2 (1− µ 2 )2

a =3

1,5(1− µ 2 ) F r = 1,11 E

δ =3

2,25(1− µ 2 )2 F 2 = 1,23 r E2

3

Fr E 3

F2 r E2

Poisson-Zahl (9.1); E = 2 E1 E2 /(E1  E2) bei unterschiedlichen Werkstoffen (9.5) gesamte Annäherung beider Körper

Gleichungen wie Kugel gegen Ebene, mit 1/r = (1/r1) + (1/r2). Für Hohlkugel ist 1/r2 negativ einzusetzen

Festigkeitslehre Hohlzylinder unter Druck Pressung pmax Walze gegen Ebene

Pmax =

b =

Pressung pmax Walze gegen Walze

2F FE = π bl 2 π l r (1 − µ 2 )

Fr 8 Fr (1 − µ 2 ) = 1,52 πEl El

Gleichungen wie Walze gegen Ebene, mit 1/r = (1/r1) + (1/r2). Für Hohlzylinder ist 1/r2 negativ einzusetzen

(parallele Achsen)

9.22

Hohlzylinder unter Druck

Radialspannung Vr im Abstand r

σr =

Tangentialspannung Vt im Abstand r

σt =

pi

ra2

ra2 ⎞ ra2 ⎛ r i2 ⎡ ⎛ r i2 ⎞⎤ ⎢ p i⎜ ⎜−1+ 2 ⎟ ⎟⎥ ⎜1− 2 ⎟ ⎟+ pa 2 ⎜ 2 r ⎠ ri ⎝ r ⎠⎥ − ri ⎢ ⎣ ⎝ ⎦

ra2 ⎞ ra2 ⎛ r i2 ⎡ ⎛ r i2 ⎞⎤ ⎢ p i⎜ ⎜1+ 2 ⎟ ⎟⎥ ⎜1+ r 2 ⎟ ⎟− pa r 2 ⎜ ra2 − r i2 ⎢ r ⎠⎥ ⎝ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ i

Innenpressung, pa Außenpressung

p i (ra2 + r i2 ) − 2 pa ra2

Spannung am Innenrand

σr = −p i

σt =

Spannung am Außenrand

σr = −pa

σt =

Schrumpfmaß für Pressverbindung

ra1 − r i2 1⎛ r i2 + ra22 r i2 + r i12 ⎞ ⎜ ⎟ =p ⎜ + ri E⎝ ra22 − r i2 r i2 − r i12 ⎟ ⎠

ra2 − r i2 2 p i r i2 − pa (ra2 + r i2 ) ra2 − r i2

p erforderliche Pressung

243

9

9

Festigkeitslehre Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 9.23

Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 Bezeichnung des metrischen Regelgewindes z.B. M12 GewindeNenndurchmesser d = D = 12 mm

Maße in mm GewindeNenndurchmesser d=D Reihe 1 Reihe 2 3 3,5 4 4,5 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 42 45 48 52 56 60 64 68

1)

244

Steigung P 0,5 0,6 0,7 0,75 0,8 1 1,25 1,5 1,75 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 4,5 4,5 5 5 5,5 5,5 6 6

Steigungs- Flankenwinkel durchmesser D d2 = D2 in Grad 3,40 3,51 3,60 3,40 3,25 3,40 3,17 3,03 2,94 2,87 2,48 2,78 2,48 2,24 2,48 2,18 2,30 2,08 2,18 2,00 2,10 1,95 2,04 1,87 1,91 1,78 1,82 1,71

2,675 3,110 3,545 4,013 4,480 5,350 7,188 9,026 10,863 12,701 14,701 16,376 18,376 20,376 22,051 25,051 27,727 30,727 33,402 36,402 39,077 42,077 44,752 48,752 52,428 56,428 60,103 64,103

Kerndurchmesser

Gewindetiefe1)

Spannungs- polares Widerquerschnitt standsmoment

d3

D1

h3

H1

AS mm2

2,387 2,764 3,141 3,580 4,019 4,773 6,466 8,160 9,853 11,546 13,546 14,933 16,933 18,933 20,319 23,319 25,706 28,706 31,093 34,093 36,479 39,479 41,866 45,866 49,252 53,252 56,639 60,639

2,459 2,850 3,242 3,688 4,134 4,917 6,647 8,376 10,106 11,835 13,835 15,294 17,294 19,294 20,752 23,752 26,211 29,211 31,670 34,670 37,129 40,129 42,587 46,587 50,046 54,046 57,505 61,505

0,307 0,368 0,429 0,460 0,491 0,613 0,767 0,920 1,074 1,227 1,227 1,534 1,534 1,534 1,840 1,840 2,147 2,147 2,454 2,454 2,760 2,760 3,067 3,067 3,374 3,374 3,681 3,681

0,271 0,325 0,379 0,406 0,433 0,541 0,677 0,812 0,947 1,083 1,083 1,353 1,353 1,353 1,624 1,624 1,894 1,894 2,165 2,165 2,436 2,436 2,706 2,706 2,977 2,977 3,248 3,248

5,03 6,78 8,73 11,3 14,2 20,1 36,6 58,0 84,3 115 157 192 245 303 353 459 561 694 817 976 1120 1300 1470 1760 2030 2360 2680 3060

H1 ist die Tragtiefe zur Berechnung der Flächenpressung im Gewinde

WpS mm3 3,18 4,98 7,28 10,72 15,09 25,42 62,46 124,6 218,3 347,9 554,9 750,5 1082 1488 1871 2774 3748 5157 6588 8601 10574 13222 15899 20829 25801 32342 39138 47750

Schaftquerschnitt A mm2 7,07 9,62 12,6 15,9 19,6 28,3 50,3 78,5 113 154 201 254 314 380 452 573 707 855 1020 1190 1390 1590 1810 2120 2460 2830 3220 3630

Festigkeitslehre Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 9.24

Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 Bezeichnung für a) eingängiges Gewinde z.B. Tr 75 × 10 Gewindedurchmesser d = 75 mm, Steigung P = 10 mm = Teilung

b) zweigängiges Gewinde z.B. Tr 75 × 20P10

Gewindedurchmesser d = 75 mm, Steigung Ph = 20 mm Teilung P = 10 mm Steigung Ph 20mm Gangzahl z = = =2 Teilung P 10mm

Gewindedurchmesser

Steigung

d

P

8 10 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 60 65 70 75 80 85 90 95 100 110 120

Tragtiefe

Flankendurchmesser

Kerndurchmesser

D2 = d2 D2 = d – H1

d3

in Grad

H1 H1 = 0,5 P

3,77 4,05 5,20 5,20 4,05 4,23 3,57 3,77 3,31 3,49 3,15 3,31 3,04 2,95 3,04 2,80 2,60 2,43 2,77 2,60 2,46 2,33 2,10 2,26

0,75 1 1,5 2 2 2,5 2,5 3 3 3,5 3,5 4 4 4,5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7

Steigungswinkel



1,5 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 10 10 12 12 12 12 12 14

D

7,25 9 10,5 14 18 21,5 25,5 29 33 36,5 40,5 44 48 55,5 60 65 70 75 79 84 89 94 104 113

6,2 7,5 9 11,5 15,5 18,5 22,5 25 29 32 36 39 43 50 54 59 64 69 72 77 82 87 97 104

Kernquerschnitt A3 =

π 4

d32

mm2 30,2 44,2 63,6 104 189 269 398 491 661 804 1018 1195 1452 1963 2290 2734 3217 3739 4071 4656 5281 5945 7390 8495

polares Widerstandsmoment Wp =

π 16

d33

mm3 46,8 82,8 143 299 731 1243 2237 3068 4789 6434 9161 11647 15611 24544 30918 40326 51472 64503 73287 89640 108261 129297 179203 220867

245

9

9

Festigkeitslehre Geometrische Größen an Sechskantschrauben 9.25

Metrisches ISO-Feingewinde

Maße in mm Gewinde-Nenndurchmesser d=D

Steigung P

8 12 16 20 12 20 30 42 56 20 30 42 56 72 90 100 30 42 56 72 100 42 56 72 90 125 160 72 90 110 140 180

1 1 1 1 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6

1)

Flankendurchmesser d2 = D2

Steigungswinkel

D 2,48 1,61 1,19 0,94 2,48 1,44 0,94 0,67 0,50 1,95 1,27 0,90 0,67 0,52 0,41 0,37 1,95 1,37 1,01 0,78 0,56 1,85 1,37 1,05 0,84 0,60 0,46 1,61 1,27 1,03 0,80 0,62

7,35 11,35 15,35 19,35 11,026 19,026 29,026 41,026 55,026 18,701 28,701 40,701 54,701 70,701 88,701 98,701 28,051 40,051 54,051 70,051 98,051 39,402 53,402 69,402 87,402 122,402 157,402 68,103 86,103 106,103 136,103 176,103

Kerndurchmesser

Gewindetiefe 1)

d3

D1

h3

H1

6,773 10,773 14,773 18,773 10,16 18,16 28,16 40,16 54,16 17,546 27,546 39,546 53,546 69,546 87,546 97,546 26,319 38,319 52,319 68,319 96,319 37,093 51,093 67,093 85,093 120,093 155,093 64,639 82,639 102,639 132,639 172,639

6,917 10,917 14,917 18,917 10,376 18,376 28,376 40,376 54,376 17,835 27,835 39,835 53,835 69,835 87,835 97,835 26,752 38,752 52,752 68,752 96,752 37,67 51,67 67,67 85,67 120,67 155,67 65,505 83,505 103,505 133,505 173,505

0,614 0,614 0,614 0,614 0,92 0,92 0,92 0,92 0,92 1,227 1,227 1,227 1,227 1,227 1,227 1,227 1,841 1,841 1,841 1,841 1,841 2,454 2,454 2,454 2,454 2,454 2,454 3,681 3,681 3,681 3,681 3,681

0,542 0,542 0,542 0,542 0,812 0,812 0,812 0,812 0,812 1,083 1,083 1,083 1,083 1,083 1,083 1,083 1,624 1,624 1,624 1,624 1,624 2,165 2,165 2,165 2,165 2,165 2,165 3,248 3,248 3,248 3,248 3,248

Spanpolares nungsWiderstandsquerschnitt moment As Wps mm2 39,2 96,1 178 285 88,1 272 642 1294 2341 258 621 1264 2301 3862 6099 7562 580 1206 2222 3759 7418 1149 2144 3658 5842 11546 19174 3460 5591 8556 14181 23880

mm2 69,15 265,8 670,9 1360 233,4 1262 4590 13134 31948 1169 4368 12684 31132 67706 134373 185505 3945 11814 29539 65023 180230 10986 28005 62417 125973 349988 748985 57407 117926 223239 476372 1041005

H1 ist die Tragtiefe

9.26

Geometrische Größen an Sechskantschrauben

Bezeichnung einer Sechskantschraube M 10, Länge l = 90 mm. Festigkeitsklasse 8.8: Sechskantschraube M 10 × 90 DIN 931-8.8 Maße in mm, Kopfauflagefläche Ap in mm2 Gewinde M5 M6 M8 M 10 M 12 M 14 M 16 M 18 M 20 M 22 M 24 M 27 M 30

246

b

DB

da ԑ s

k

l1)

2)

3)

fein

8 10 13 17 19 22 24 27 30 32 36 41 46

3,5 4 5,5 7 8 9 10 12 13 14 15 17 19

18 ... 30 20 ... 50 25 ... 50 28 ... 50 30 ...60 35 ... 70 40 ... 80 40 ... 80 40 ... 80 45 ... 80 50 ... 80 55 ... 80 60 ... 100

16 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 60 66

22 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 66 72

5,3 6,4 8,4 10,5 13 15 17 19 21 23 25 28 31

Ap mittel

5,5 6,6 9 11 14 16 18 20 22 24 26 30 33

4)

5)

9,4 24,6 41,2 83,2 75 112 125 176 236 249 373 485 645

35 41,8 65,5 102 96 171 190 251 318 392 490 535 710

1)

2) 3) 4) 5)

gestuft: 18, 20, 25, 28, 30, 35, 40, ... für l d 125 mm für l ! 125 ... 200 mm für Sechskantschrauben für Innen-Sechskantschrauben

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1 Toleranzen und Passungen Normen (Auswahl)1) DIN 323 Normzahlen und Normzahlreihen; Hauptwerte, Genauwerte, Rundwerte DIN 4760 Oberflächenabweichungen; Begriffe, Ordnungssystem DIN 4766 Herstellverfahren und Rauheit von Oberflächen, Richtlinien für Konstruktion und Fertigung DIN 5425 Toleranzen für den Einbau von Wälzlagern DIN 7150 ISO-Toleranzen und ISO-Passungen DIN 7154 ISO-Passungen für Einheitsbohrung DIN 7155 ISO-Passungen für Einheitswelle DIN 7157 Passungsauswahl; Toleranzfelder, Abmaße, Passtoleranzen DIN EN ISO 1302 Angabe der Oberflächenbeschaffenheit in der technischen Produktdokumentation DIN ISO 286 ISO-System für Grenzmaße und Passungen; Ersatz für DIN 7150, T1, DIN 7151, DIN 7152, DIN 7182 DIN ISO 965 Toleranzen, Metrisches ISO-Gewinde, Grenzmaße DIN ISO 1101 Technische Zeichnung; Form- und Lagetolerierung; Symbole, Zeichnungseintragungen DIN ISO 2768 Allgemeintoleranzen

10.1.1

Normzahlen

Stufung der vier Grundreihen

Reihe

Stufensprung Rechenwert Genauwert

Mantisse

q5 =

5

10

1,58

1,5849 ...

200

R 10

q10 =

10

10

1,26

1,2589 ...

100

R 20

q20 =

20

10

1,12

1,1220 ...

050

R 40

q40 =

40

10

1,06

1,0593 ...

025

R5

Die Normzahlen in DIN 323 sind nach dezimal- geometrischen Reihen gestuft. Werte der „niederen Reihe“ sind denen der „höheren“ vorzuziehen.

Normzahlen

Reihe R5 Reihe R 10 Reihe R 20 Reihe R40

1,00 1,60 2,50 4,00 1,00 1,25 1,60 2,00 1,00 4,00 1,00 2,00 4,00 8,00

1,12 4,50 1,06 2,12 4,25 8,50

1,25 5,00 1,12 2,24 4,50 9,00

1,40 5,50 1,18 2,36 4,75 9,50

6,30 2,50 1,60 6,30 1,25 2,50 5,00 10,00

10,00 3,15 4,00 5,00 1,80 7,10 1,32 2,65 5,30

2,00 8,00 1,40 2,80 5,60

2,24 9,00 1,50 3,00 6,00

6,30 8,00 2,50 10,00 1,60 3,15 6,30

10,00

2,80

3,15 3,55

1,70 3,35 6,70

1,80 1,90 3,55 3,75 7,10 7,50

Die Wurzelexponenten 5, 10, 20, 40 geben die Anzahl der Glieder im DezimalBereich an (R5 hat 5 Glieder: 1, 1,6 2,5 4 6,3. Für Dezimalbereiche unter 1 und über 10 wird das Komma jeweils um eine oder mehrere Stellen nach links oder rechts verschoben. Die Zahlen sind gerundete Werte.

1)

Ausführlich im Internet unter www.beuth.de

247

10

10

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1.2 Grundbegriffe zu Toleranzen und Passungen Toleranzeinheit i

i = 0,45

3

i Pm

D + 0,001 D

D = D1 D2

D mm



D geometrisches Mittel des Nennmaßbereichs nach Tabelle „Grundtoleranzen“ Passungssystem Einheitsbohrung (EB) Kennzeichen: Die Bohrung hat das untere Abmaß Null (EI = 0).

Alle Bohrungsmaße haben das Grundabmaß H. Erforderliche Passungen ergeben sich durch verschiedene Toleranzfeldlagen der Wellen und der oberen Abmaße (ES) der Bohrungen.

Passungssystem Einheitswelle (EW) Kennzeichen: Die Welle hat das obere Abmaß Null (EI = 0).

Alle Wellenmaße haben das Grundabmaß h. Erforderliche Passungen ergeben sich durch verschiedene Toleranzfeldlagen der Bohrungen und der unteren Abmaße (e i ) der Wellen.

Passungsauswahl (Toleranzfeldauswahl) im System EB für Nennmaß 50 mm

248

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen Bezeichnungen

N Nennmaß, Go Höchstmaß, Gu Mindestmaß, I Istmaß, ES, es oberes Grenzabmaß, EI, ei unteres Grenzabmaß, T Maßtoleranz, PS Spiel, Pü Übermaß. E, e, ES, EI, ei sind die französischen Bezeichnungen mit der Bedeutung: E (Abstand, écart), ES (oberer Abstand, écart supérieur), EI (unterer Abstand, écart inférieur). Große Buchstaben für Bohrungen (Innenmaße), kleine für Wellen (Außenmaße).

Darstellung der wichtigsten Passungsgrundbegriffe an Welle und Bohrung

Abmaße, Grenzmaße, Toleranzen

Nennmaß oberes Grenzabmaß unteres Grenzabmaß Höchstmaß Go Mindestmaß Gu Toleranz T

Bohrung N ES = GoB – N EI = GuB – N GoB = N  ES GuB = N  EI TB = ES – EI TB = GoB – GuB

Welle N es = GoW – N ei = GuW – N GoW = N  es GuW = N  ei TW = es – ei TW = GoW – GuW

Passungsarten

Spielpassung PSM = GuB – GoW PSH = GoB – GuW

Übergangspassung PSH = GoB – GuW PÜH = GuB – GoW

Übermaßpassung PÜH = GuB – GoW PÜM = GoB – GuW

249

10

10

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1.3 Eintragung von Toleranzen in Zeichnungen Eintragung von Grenzabmaßen

50 +0,2

50-0,1

50 -0,+0,12

50+0, - 1 50 -0,-0,0026

50 +0,+0,13

Bohrung = Æ 50 +0,2 Welle = Æ 50-0,1

Eintragung von Toleranzklassen

10.1.4 Grundtoleranzen der Nennmaßbereiche in ȝm Nennmaßbereich in mm über über über über über über über über über über über über ISO Toleranzen Qualität 1 3 6 10 19 30 50 80 120 180 250 315 400 Toleranz in i bis bis bis bis bis bis bis bis bis bis bis bis bis 3 6 10 18 30 50 80 120 180 250 315 400 500 01 IT 01 0,3 0,4 0,4 0,5 0,6 0,6 0,8 1 1,2 2 2,5 3 4

250

0

IT 0

0,5

0,6

0,6

0,8

1

1

1,2

1,5

2

3

4

5

1

IT 1

0,8

1

1

1,2

1,5

1,5

2

2,5

3,5

4,5

6

7

8

2

IT 2

1,2

1,5

1,5

2

2,5

2,5

3

4

5

7

8

9

10

–

3

IT 3

2

0,5

2,5

3

4

4

5

6

8

10

12

13

15

–

4

IT 4

3

4

4

5

6

7

8

10

12

14

16

18

20

–

5

IT 5

4

5

6

8

9

11

13

15

18

20

23

25

27

|7

6

IT 6

6

8

9

11

13

16

19

22

25

29

32

36

40

10

7

IT 7

10

12

15

18

21

25

30

35

40

46

52

57

63

16

8

IT 8

14

18

22

27

33

39

46

54

63

72

81

89

97

25

9

IT 9

25

30

36

43

52

62

74

87

100

115

130

140

155

40

10

IT 10

40

48

58

70

84

100

120

140

160

185

210

230

250

64

11

IT 11

60

75

90

110

130

160

190

220

250

290

320

360

400

100

12

IT 12

90

120

150

180

210

250

300

350

400

460

520

570

630

160

13

IT 13

140

180

220

270

330

390

460

540

630

720

810

890

970

250

14

IT 14

250

300

360

430

520

620

740

870 1 000 1 150 1 300 1 400 1 550

400

15

IT 15

400

480

580

700

840 1 000 1 200 1 400 1 600 1 850 2 100 2 300 2 500

640

16

IT 16

600

750

900 1 100 1 300 1 600 1 900 2 200 2 500 2 900 3 200 3 600 4 000

1 000

17

IT 17

–

–

1 500 1 800 2 100 2 500 3 000 3 500 4 000 4 600 5 200 5 700 6 300

1 600

18

IT 18

–

–

–

6

2 700 3 300 3 900 4 600 5 400 6 300 7 200 8 100 8 900 9 700

2 500

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1.5 Allgemeintoleranzen für Längenmaße nach DIN ISO 2768-1

Grenzabmaße in mm für Nennmaßbereiche Toleranzklassen

0,5 bis 3

über 3 bis 6

über 6 über 30 über 120 bis 30 bis 120 bis 400

fein mittel grob sehr grob

± 0,05 ± 0,1 ± 0,2 –

± 0,05 ± 0,1 ± 0,3 ± 0,5

± 0,1 ± 0,2 ± 0,5 ±1

f m c v

± 0,15 ± 0,3 ± 0,8 ± 1,5

über 400 bis 1000

± 0,2 ± 0,5 ± 1,2 ± 2,5

± 0,3 ± 0,8 ±2 ±4

über 1000 bis 2000

über 2000 bis 4000

± 0,5 ± 1,2 ±3 ±6

– ±2 ±4 ±8

10.1.6 Allgemeintoleranzen für Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1

Grenzabmaße in Grad und Minuten für Nennmaßbereiche in mm (kürzere Schenkel) Toleranzklassen f m c v

fein mittel grob sehr grob

bis 10

über 10 bis 50

über 50 bis 120

über 120 bis 400

über 400

± 1° ± 1° ± 1° 30´ ± 3°

± 0° 30´ ± 0° 30´ ± 1° ± 2°

± 0° 20´ ± 0° 20´ ± 0° 30´ ± 1°

± 0° 10´ ± 0° 10´ ± 0° 15´ ± 0° 30´

± 0° 5´ ± 0° 5´ ± 0° 10´ ± 0° 20´

10.1.7 Allgemeintoleranzen für Fasen und Rundungshalbmesser nach DIN ISO 2768-1

Grenzabmaße in mm für Nennmaßbereiche Toleranzklassen f m c v

fein mittel grob sehr grob

0,5 bis 3

über 3 bis 6

über 6

± 0,2

± 0,5

±1

± 0,4

±1

±2

10.1.8 Allgemeintoleranzen für Form und Lage nach DIN ISO 2768-2

Toleranzen in mm für Geradheit / Ebenheit

Toleranzklassen

H K L

Rechtwinkligkeit

bis 10

über 10 bis 30

über 30 bis 100

über 100 bis 300

über 300 bis 1000

0,02 0,05 0,1

0,05 0,1 0,2

0,1 0,2 0,4

0,2 0,4 0,8

0,3 0,6 1,2

Symmetrie

bis 100

über 100 bis 300

über 300 bis 1000

über 1000 bis 3000

0,2 0,4 0.6

0,3 0,6 1

0,4 0,8 1,5

0,5 1 2

bis 100

über 100 bis 300

über über 300 300 bis bis 1000 1000

0,5 0,6 0,6

1

0,8 1,5

1 2

251

10

10

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1.9 Symbole für Form und Lagetoleranzen nach DIN ISO 1101

Formtoleranzen Toleranz

Abweichung

Geradheit

tG

fG

Ebenheit

tE

fE

Rundheit

tK

fK

Zylindrizität

tZ

fZ

Linienprofil

tLP

fLP

Flächenprofil

tFP

fFP

Eigenschaft

Symbol

Definition Die tolerierte Achse eines zylindrischen Bauteils muss innerhalb eines Zylinders vom Durchmesser tG = 0,02 mm liegen. Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei parallelen Ebenen vom Abstand tE = 0,09 mm liegen. Die Umfangslinie jedes Querschnittes muss in einem Kreisring mit der Breite fK = 0,05 mm liegen Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei koaxialen Zylindern mit dem radialen Abstand tZ = 0,5 mm liegen. Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei Hülllinien mit dem Abstand fLP = 0,1 mm liegen Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei kugelförmigen Hüllflächen mit dem Abstand fFP = 0,17 mm liegen.

Beispiel Ø 0,02

0,09

0,05

0,5

Ø 0,1

0,17

Lagetoleranzen Eigenschaft

Tole- AbweiSymbol ranz chung

Parallelität

tP

fP

Rechtwinkligkeit

tR

fR

Neigung

tN

fN

Position

tPS

fPS

Koaxialität, Achsabweichung

tKO

fKO

Symmetrie

tS

fS

Rundlauf, Planlauf

tL

fL

Gesamtlauf

tLG

fLG

252

Definition Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei zur Bezugsfläche parallelen Ebenen vom Abstand tP = 0,05 mm liegen. Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei parallelen und zur Bezugsfläche A rechtwinkligen Ebenen vom Abstand tR = 0,2 mm liegen. Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei parallelen und zur Bezugsfläche A im geometrisch idealen Winkelgeneigten Ebenen vom Abstand fN = 0,4 mm liegen. Die tolerierte Achse einer Bohrung muss innerhalb eines Zylinders vom Durchmesser tPS = 0,05 mm liegen, dessen Achsen sich am geometrisch idealen Ort befinden. Die Achse des großen Durchmessers muss in einem zur Bezugsachse A koaxialem Zylinder vom Durchmesser fKO = 0,02 mm liegen. Die Mittelachse z.B. einer Nut muss zwischen zwei parallelen Ebenen vom Abstand fS = 0,5 mm liegen, die symmetrisch zur Mittelebene der Bezugsfläche A angeordnet sind. Bei Drehung um die Bezugsachse darf die Rundlaufabweichung in jeder rechtwinkligen Messebene fL = 0,08 mm nicht überschreiten. Diese Toleranz ist die Summe aus Rundheits- und Koaxialitätstoleranz. Bei mehrmaliger Drehung um die Bezugsachse und axialer Verschiebung zwischen Werkstück und Messgerät müssen alle Messpunkte innerhalb der Gesamtrundlauftoleranz von fLG = 0,25 mm liegen.

Beispiel 0,05

0,2

A

0,4

A

0,05

0,02

0,5

0,08

0,25

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1.10 Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO 1302

Symbol

Definition

Symbol

Grundsymbol; Angabe der Oberflächenbeschaffenheit.

Bearbeitungszugabe e

a

spanend bearbeitete Oberfläche

höchstzulässiger Rauheitswert Ra in µm

spanende Bearbeitung nicht zugelassen oder Zustand des vorangegangenen Arbeitsganges belassen a1 a2

vernickelt

Rauheitsklasse N

Größtwert Rauheit a1 Kleinstwert Rauheit a2

Rillenrichtung rechtwinklig zur Projektionsebene

b c

a e

d

Verfahren der Herstellung oder Oberflächenbehandlung N1

Definition

a Rauheitswert Ra oder Rauheitsklassen N b Oberflächenbehandlung oder Fertigungsverfahren c Bezugsstrecke d Rillenrichtung e Bearbeitungszugabe

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

N9

N 10

N 11

N 12

Rauheitswert 0,025 0,05 Ra in µm

0,1

0,2

0,4

0,8

1,6

3,2

6,3

12,5

25

50

10.1.11 Mittenrauwerte Ra in ȝm

253

10

10

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1.12 Verwendungsbeispiele für Passungen

Passungsbezeichnung

Kennzeichnung, Verwendungsbeispiele, sonstige Hinweise

H8/x8 H7/s6 H7/r6

Übermaß- und Übergangstoleranzfelder Teile unter großem Druck mit Presse oder durch Erwärmen/Kühlen fügbar (Presssitz); Bronzekränze auf Zahnradkörpern, Lagerbuchsen in Gehäusen, Radnaben, Hebelnaben, Kupplungen auf Wellenenden; zusätzliche Sicherung gegen Verdrehen nicht erforderlich.

H7/n6

Teile unter Druck mit Presse fügbar (Festsitz); Radkränze auf Radkörpern, Lagerbuchsen in Gehäusen und Radnaben, Laufräder auf Achsen, Anker auf Motorwellen, Kupplungen und Wellenenden; gegen Verdrehen sichern.

H7/k6

Teile leicht mit Handhammer fügbar (Haftsitz); Zahnräder, Riemenscheiben, Kupplungen, Handräder, Bremsscheiben auf Wellen; gegen Verdrehen zusätzlich sichern.

H7/j6

Teile mit Holzhammer oder von Hand fügbar (Schiebesitz); für leicht ein- und auszubauende Zahnräder, Riemenscheiben, Handräder, Buchsen; gegen Verdrehen zusätzlich sichern. Spieltoleranzfelder

H7/h6 H8/h9

Teile von Hand noch verschiebbar (Gleitsitz); für gleitende Teile und Führungen, Zentrierflansche, Wechselräder, Stellringe, Distanzhülsen.

H7/g6 G7/h6

Teile ohne merkliches Spiel verschiebbar (Enger Laufsitz); Wechselräder, verschiebbare Räder und Kupplungen.

H7/f7

Teile mit merklichem Spiel beweglich (Laufsitz); Gleitlager allgemein, Hauptlager an Werkzeugmaschinen, Gleitbuchsen auf Wellen.

H7/e8 H8/e8 E9/h9

Teile mit reichlichem Spiel (Leichter Laufsitz); mehrfach gelagerte Welle (Gleitlager), Gleitlager allgemein, Hauptlager für Kurbelwellen, Kolben in Zylindern, Pumpenlager, Hebellagerungen.

H8/d9 F8/h9 D 10 / h 9 D 10 / h 11

Laufsitz: Teile mit sehr reichlichem Spiel (Weiter Laufsitz); Transmissionslager, Lager für Landmaschinen, Stopfbuchsenteile, Leerlauf Scheiben.

254

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1.13 Ausgewählte Passtoleranzfelder und Grenzabmaße (in µm) für das System Einheitsbohrung (H)

Nennmaßbereich mm über 1 bis 3 über 3 bis 6 über 6 bis 10 über 10 bis 14 über 14 bis 18 über 18 bis 24 über 24 bis 30 über 30 bis 40 über 40 bis 50 über 50 bis 65 über 65 bis 80 über 80 bis 100 über 100 bis 120 über 120 bis 140 über 140 bis 160 über 160 bis 180 über 180 bis 200 über 200 bis 225 über 225 bis 250 über 250 bis 280 über 280 bis 315 über 315 bis 355 über 355 bis 400 1)

H7

H8

H9

H 11

za 6

+ 10 0 + 12 0 + 15 0

+ 14 0 + 18 0 + 22 0

+ 25 0 + 30 0 + 36 0

+ 60 0 + 75 0 + 90 0

+ 18 0

+ 27 0

+ 43 0

+ 110 0

+ 38 + 32 + 50 + 42 + 61 + 52 + 75 + 64 + 88 + 77

+ 21 0

+ 33 0

+ 52 0

+ 130 0

–

+ 25 0

+ 39 0

+ 62 0

+ 160 0

–

+ 30 0

+ 46 0

+ 74 0

+ 190 0

–

+ 35 0

+ 54 0

+ 87 0

+ 220 0

–

+ 40 0

+ 63 0

+ 100 0

+ 250 0

–

za 8 – – + 74 + 52 + 91 + 64 + 104 + 77 + 131 + 98 + 151 + 118 + 187 + 148 + 219 + 180 + 272 + 226 + 320 + 274 + 389 + 335

z6 + 32 + 26 + 43 + 35 + 51 + 42 + 61 + 50 + 71 + 60 + 86 + 73 + 101 + 88 + 128 + 112 –

–

–

–

–

–

z8

x6

+ 40 + 26 + 53 + 35 + 64 + 42 + 77 + 50 + 87 + 60 + 106 + 73 + 121 + 88 + 151 + 112 + 175 + 136 + 218 + 172 + 256 + 210 + 312 + 258 + 364 + 310 + 428 + 365 + 478 + 415

+ 26 + 20 + 36 + 28 + 43 + 34 + 51 + 40 + 56 + 45 + 67 + 54 + 77 + 64 + 96 + 80 + 113 + 97 + 141 + 122 + 165 + 146 + 200 + 178 + 232 + 210 + 273 + 248 + 305 + 280 + 335 + 310 + 379 + 350 + 414 + 385 + 454 + 425 + 507 + 475 + 557 + 525 + 626 + 590 + 696 + 660

–

+ 46 0

+ 72 0

+ 115 0

+ 290 0

–

+ 52 0

+ 81 0

> 130 0

+ 320 0

–

–

–

–

+ 57 0

+ 89 0

+ 140 0

+ 360 0

–

–

–

–

–

–

–

x8 + 34 + 20 + 46 + 28 + 56 + 34 + 67 + 40 + 72 + 45 + 87 + 54 + 97 + 64 + 119 + 80 + 136 + 97 + 168 + 122 + 192 + 146 + 232 + 178 + 264 + 210 + 311 + 248 + 343 + 280 + 373 + 310 + 422 + 350 + 457 + 385 + 497 + 425 + 556 + 475 + 606 + 525 + 679 + 590 –

u 61) t6

+ + + + + +

24 18 31 23 37 28

+ 44 + 33 + 54 + 41 + 54 + 41 + 64 + 48 + 70 + 54 + 85 + 66 + 94 + 75 + 113 + 91 + 126 + 104 + 147 + 122 + 159 + 134 + 171 + 146 + 195 + 166 –

–

–

u8 – – –

–

– + 81 + 48 + 99 + 60 + 109 + 70 + 133 + 87 + 148 + 102 + 178 + 124 + 198 + 144 + 233 + 170 + 253 + 190 + 273 + 210 + 308 + 236 + 330 + 258 + 356 + 284 + 396 + 315 + 431 + 350 + 479 + 390 + 524 + 435

s6 + + + + + +

20 14 27 19 32 23

r6 + + + + + +

16 10 23 15 28 19

+ 39 + 34 + 28 + 23

+ 48 + 41 + 35 + 28

+ 59 + 50 + 43 + 34 + 72 + 53 + 78 + 59 + 93 + 71 + 101 + 79 + 117 + 92 + 125 + 100 + 133 + 108 + 151 + 122 + 159 + 130 + 169 + 140 + 190 + 158 + 202 + 170 + 226 + 190 + 244 + 208

+ 60 + 41 + 62 + 43 + 73 + 51 + 76 + 54 + 88 + 63 + 90 + 65 + 93 + 68 + 106 + 77 + 109 + 80 + 113 + 84 + 126 + 94 + 130 + 98 + 144 + 108 + 150 + 114

u 6 bei Nennmaß bis 24 mm, t 6 darüber

255

10

10

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen Fortsetzung 10.1.13

p6

n6

k6

h6

h8

h9

h 11

+ 12 + 6 + 20 + 12 + 24 + 15

+ 10 + 4 + 16 + 8 + 19 + 10

+ 6 0 + 9 + 1 + 10 + 1

+ – + – + –

4 2 6 2 7 2

0 – 6 0 – 8 0 – 9

0 – 14 0 – 18 0 – 22

0 – 25 0 – 30 0 – 36

0 – 60 0 – 75 0 – 90

– – – – – –

+ 29 + 18

+ 23 + 12

+ 12 + 1

+ 8 – 3

0 – 11

0 – 27

0 – 43

0 – 110

– 16 – 34

– 32 – 59

– 50 – 93

+ 35 + 22

+ 28 + 15

+ 15 + 2

+ 9 – 4

0 – 13

0 – 33

0 – 52

0 – 130

– 20 – 41

– 40 – 73

– 65 – 117

+ 42 + 26

+ 33 + 17

+ 18 + 2

+ 11 – 5

0 – 16

0 – 39

0 – 62

0 – 160

– 25 – 50

– 50 – 89

– 80 – 142

+ 51 + 32

+ 39 + 20

+ 21 + 2

+ 12 – 7

0 – 19

0 – 46

0 – 74

0 – 190

– 30 – 60

– 60 – 106

– 100 – 174

+ 59 + 37

+ 45 + 23

+ 25 + 3

+ 13 – 9

0 – 22

0 – 54

0 – 87

0 – 220

– 36 – 71

– 72 – 126

– 120 – 207

+ 68 + 43

+ 52 + 27

+ 28 + 3

+ 14 – 11

0 – 25

0 – 63

0 – 100

0 – 250

– 43 – 83

– 85 – 148

– 145 – 245

+ 79 + 50

+ 60 + 31

+ 33 + 4

+ 16 – 13

0 – 29

0 – 72

0 – 115

0 –290

– 50 – 96

– 100 – 172

– 170 – 285

+ 88 + 56

+ 66 + 34

+ 36 + 4

+ 16 – 16

0 – 32

0 – 81

0 – 130

0 – 320

– 56 – 108

– 110 – 191

– 190 – 320

+ 98 + 62

+ 73 + 37

+ 40 + 4

+ 18 – 18

0 – 36

0 – 89

0 – 140

0 – 360

– 62 – 119

– 125 – 214

– 210 – 350

256

j6

f7 6 16 10 22 13 28

e8 – – – – – –

14 28 20 38 25 47

d9 – – – – – –

20 45 30 60 40 76

a 11 – – – – – –

270 330 270 345 280 370

b 11 – – – – – –

c 11

140 200 140 215 150 240

– 60 – 120 – 70 – 145 – 80 – 170

– 290 – 400

– 150 – 260

– 95 – 205

– 300 – 430

– 160 – 290

– 110 – 240

– 310 – 470 – 320 – 480 – 340 – 530 – 360 – 550 – 380 – 600 – 410 – 630 – 460 – 710 – 520 – 770 – 580 – 830 – 660 – 950 – 740 – 1030 – 820 – 1110 – 920 – 1240 – 1050 – 1370 – 1200 – 1560 – 1350 – 1710

– 170 – 330 – 180 – 340 – 190 – 380 – 200 – 390 – 220 – 440 – 240 – 460 – 260 – 510 – 280 – 530 – 310 – 560 – 340 – 630 – 380 – 670 – 420 – 710 – 480 – 800 – 540 – 860 – 600 – 900 – 680 – 1040

– 120 – 280 – 130 – 290 – 140 – 330 – 150 – 340 – 170 – 390 – 180 – 400 – 200 – 450 – 210 – 460 – 230 – 480 – 240 – 530 – 260 – 550 – 280 – 570 – 300 – 620 – 330 – 650 – 360 – 720 – 400 – 760

Nennmaß bereich mm über 1 bis 3 über 3 bis 6 über 6 bis 10 über 10 bis 14 über 14 bis 18 über 18 bis 24 über 24 bis 30 über 30 bis 40 über 40 bis 50 über 50 bis 65 über 65 bis 80 über 80 bis 100 über 100 bis 120 über 120 bis 140 über 140 bis 160 über 160 bis 180 über 180 bis 200 über 200 bis 225 über 225 bis 250 über 250 bis 280 über 280 bis 315 über 315 bis 355 über 355 bis 400

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen 10.1.14 Passungsauswahl, empfohlene Passtoleranzen, Spiel-, Übergangs- und Übermaßtoleranzfelder in µm nach DIN ISO 286

Passung Nennmaßbereich mm

1)

über

1 bis

3

über

3 bis

6

über

6 bis 10

über 10 bis 14 über 14 bis 18 über 18 bis 24 über 24 bis 30 über 30 bis 40 über 40 bis 50 über 50 bis 65 über 65 bis 80 über 80 bis 100 über 100 bis 120 über 120 bis 140 über 140 bis 160 über 160 bis 180 über 180 bis 200 über 200 bis 225 über 225 bis 250 über 250 bis 280 über 280 bis 315 über 315 bis 355 über 355 bis 400 1)

H8/x8 u8

H7 s6

H7 r6

H7 n6

H7 k6

H7 j6

H7 h6

H8 h9

H 11 h9

H 11 h 11

G7 H7 h6g6

–

+16 0 +20 0 +24 0

+ 39 0 + 48 0 + 58 0

+ 85 0 + 105 0 + 126 0

+ 120 0 + 150 0 + 180 0

+ 18 + 2 + 24 + 4 + 29 + 5

– – – – – –

6 34 10 46 12 56

– 4 – 20 – 7 – 27 – 8 – 32

– 0 – 16 – 3 – 23 – 4 – 28

+ 6 – 10 + 4 – 16 + 5 – 19

+ 14 – 10

+ 12 – 4 + 13 – 7 + 17 – 7

– – – –

13 67 18 72

– 10 – 39

– 5 – 34

+ 6 – 23

+17 – 12

+21 – 8

+29 0

+ 70 0

+ 153 0

+ 220 0

+ 35 + 6

– 21 – 87 – 15 – 81

– 14 – 48

– 7 – 41

+ 6 – 28

+19 – 15

+25 – 9

+34 0

+ 85 0

+ 182 0

+ 260 0

+ 41 + 7

– 21 – 99 – 31 – 109

– 18 – 59

– 9 – 50

+ 8 – 33

+23 –18

+30 –11

+41 0

+ 101 0

+ 222 0

+ 320 0

+ 50 + 9

– 41 – 133 – 56 – 148

– – – –

23 72 29 78

– – – –

11 60 13 62

+ 10 – 39

+28 –21

+37

+49

+ 120

+ 264

+ 380

+ 59

–12

0

0

0

0

+ 10

– 70 – 178 – 90 – 198

– 36 – 93 – 44 – 101

– – – –

16 73 19 76

+ 12 – 45

+32 –25

+44 –13

+57 0

+ 141 0

+ 307 0

+ 440 0

+ 69 + 12

– 107 – 233 – 127 – 253

– 52 – 117 – 60 – 125

– – – –

23 88 25 90

+ 13 – 52

+ 37 – 28

+ 51 – 14

+65 0

+ 163 0

+ 350 0

+ 500 0

+ 79 + 14

– 147 – 273

– 68 – 133

– 28 – 93

– 164 – 308 – 186 – 330 – 212 – 356

– 76 – 151 – 84 – 159 – 94 – 169

– 31 – 106 – 34 – 109 – 38 – 113

+ 15 – 60

+ 42 – 33

+ 59 – 16

+75 0

+ 187 0

+ 405 0

+ 580 0

+ 90 + 15

– 234 – 396 – 269 – 431

– 106 – 190 – 118 – 202

– 42 – 126 – 46 – 130

+ 18 – 66

+48 –36

+68 –16

+84 0

+ 211 0

+ 450 0

+ 640 0

+ 101 + 17

– 301 – 479 – 346 – 524

– 133 – 226 – 151 – 244

– 51 – 144 – 57 – 150

+ 20 – 73

+53 –40

+75 –18

+93 0

+ 229 0

+ 500 0

+ 720 0

+ 111 + 18

–

bis Nennmaß 24 mm: x 8; über 24 mm Nennmaß: u 8

257

10

10

Maschinenelemente Toleranzen und Passungen Fortsetzung 10.1.14

258

H7 f7

F8 h6

+ + + + + +

+ + + + + +

26 6 34 10 43 13

28 6 36 10 44 13

H8 f7 + + + + + +

F8 h9

H8 e8 42 14 56 20 69 25

E9 h9 + + + + + +

64 14 80 20 97 25

H8 d9 + + + + + +

D 10 h9

H 11 d9

D 10 h 11

C 11 h9

C 11 H 11 h 11 c 11

A 11 H 11 h 11 a 11

30 6 40 10 50 13

+ + + + + +

47 6 58 10 71 13

+ + + + + +

59 20 78 30 98 40

+ 85 + 20 + 108 + 30 + 134 + 40

+ 105 + 20 + 135 + 30 + 166 + 40

+ + + + + +

120 20 153 30 188 40

+ 145 + 60 + 175 + 70 + 206 + 80

+ 180 + 60 + 220 + 70 + 260 + 80

+ + + + + +

390 270 420 270 460 280

+ 52 + 16

+ 54 + 61 + 16 + 16

+ +

86 16

+ 86 + 118 + 120 + 32 + 32 + 50

+ 163 + 50

+ 203 + 50

+ 230 + 50

+ 248 + 95

+ 315 + 95

+ +

510 290

+ 62 + 20

+ 66 + 74 + 20 + 20

+ 105 + 20

+ 106 + 144 + 150 + 40 + 40 + 65

+ 201 + 65

+ 247 + 65

+ 279 + 65

+ 292 + 110

+ 370 + 110

+ +

560 300

+ 75 + 25

+ 80 + 89 + 25 + 25

+ 126 + 25

+ 128 + 174 + 181 + 50 + +50 + 80

+ 242 + 80

+ 302 + 80

+ 340 + 80

+ 90 + 30

+ 95 + 106 + 30 + 30

+ 150 + 30

+ 152 + 208 + 220 + 60 + 60 + 100

+ 294 + 100

+ 364 + 100

+ 410 + 100

+ 106 + 36

+ 112 + 125 + 36 + 36

+ 177 + 36

+ 180 + 246 + 261 + 72 + 72 + 120

+ 347 + 120

+ 427 + 120

+ 480 + 120

+ 123 + 43

+ 131 + 146 + 43 + 43

+ 206 + 43

+ 211 + 285 + 308 + 85 + 85 + 145

+ 405 + 145

+ 495 + 145

+ 555 + 145

+ 142 + 50

+ 151 + 168 + 50 + 50

+ 237 + 50

+ 244 + 330 + 357 + 100 + 100 + 170

+ 470 + 170

+ 575 + 170

+ 645 + 170

+ 160 + 56

+ 169 + 189 + 56 + 56

+ 267 + 56

+ 272 + 370 + 401 + 110 + 110 + 190

+ 530 + 190

+ 640 + 190

+ 720 + 190

+ 176 + 62

+ 187 + 208 + 62 + 62

+ 291 + 62

+ 303 + 405 + 439 + 123 + 125 + 210

+ 580 + 210

+ 710 + 210

+ 800 + 210

342 120 352 130 404 140 414 150 477 170 487 180 550 200 560 210 580 230 645 240 665 260 685 280 750 300 780 330 860 360 900 400

+ 440 + 120 + 450 + 130 + 520 + 140 + 530 + 150 + 610 + 170 + 620 + 180 + 700 + 200 + 710 + 210 + 730 + 230 + 820 + 240 + 840 + 260 + 860 + 280 + 940 + 300 + 970 + 330 + 1080 + 360 + 1120 + 400

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

630 310 640 320 720 340 740 360 820 380 850 410 960 460 1020 520 1080 580 1240 660 1320 740 1400 820 1560 920 1690 1050 1920 1200 2070 1350

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Maschinenelemente Schraubenverbindungen 10.2 Schraubenverbindungen Normen (Auswahl) und Bezugsliteratur

DIN 13 Metrisches ISO-Gewinde DIN 74 Senkungen DIN 78 Gewindeenden, Schraubenüberstände DIN 103 Metrisches ISO-Trapezgewinde DIN 475 Schlüsselweiten VDI-Richtlinie 2230; Systematische Berechnung hoch beanspruchter Schraubenverbindungen, Feb. 2003. Die Richtlinie enthält eine ausführliche Liste wichtiger Bezugsliteratur. 10.2.1 Berechnung axial belasteter Schrauben ohne Vorspannung A Serf ≥

αAF 0,8 ⋅ Rp 0,2

AS erf

F

Rp 0,2

mm2

N

N mm2

AS erf erforderlicher Spannungsquerschnitt F gegebene Betriebskraft Rp 0,2 0,2-Dehngrenze nach 10.2.9

F m

Erforderlicher SpannungsQuerschnitt AS erf und Wahl des Gewindes nach 10.2.13 (Schraubendurchmesser d ) und der Festigkeitsklasse nach 10.2.9

F AS

Zugspannung ız

σz =

Flächenpressung im Gewinde p

p=

Erforderliche Mutterhöhe merf

merf =

Ausschlagspannung ıa bei schwingender Belastung

σa =

F ⋅P ≤ pzul π ⋅ d2 ⋅ H1 ⋅ m

F ⋅P π ⋅ d2 ⋅ H1 ⋅ pzul

F ≤ σA 2A S

P Gewindesteigung nach 10.2.13

pzul nach 10.2.7

F Spannschloss σ A Ausschlagfestigkeit

10.2.2 Berechnung unter Last angezogener Schrauben Erforderlicher SpannungsQuerschnitt und Wahl des Gewindes nach 10.2.18 (Schraubendurchmesser d ) und der Festigkeitsklasse nach 10.2.9

A S erf ≥

AS erf F

Q

Rp 0,2

F ν ⋅ Rp 0,2

AS erf

F

R p 0,2

mm2

N

N mm2

erforderlicher Spannungsquerschnitt gegebene Spannkraft Ausnutzungsgrad für die Streckgrenze Re oder für die 0,2-Dehngrenze Rp 0,2, zweckmäßig wird Q = 0,6 ... 0,8 gesetzt (Erfahrungswert) 0,2-Dehngrenze (10.2.9)

259

10

10

Maschinenelemente Schraubenverbindungen F AS

Zugspannung ız

σz =

Torsionsspannung W t

d2 F ⋅ d2 D ⋅ tan( α + r' ) τt = 2 ⋅Wps Wp r'

Vergleichsspannung ıred (reduzierte Spannung)

σred = σ z2 + 3τ t ≤ 0,9 ⋅ Rp 0,2

Ausschlagspannung ıa

σa =

F ≤ σA 2 ⋅ AS

Flankendurchmesser (10.2.13) Gewindesteigungswinkel (10.2.13) polares Widerstandsmoment (10.2.13) Reibwinkel im Gewinde (10.2.4)

VA Ausschlagfestigkeit nach 10.2.4

10.2.3 Berechnung einer vorgespannten Schraubenverbindung bei axial wirkender Betriebskraft

10.2.3.1 Überschlägige Ermittlung des erforderlichen Gewindes Überschlägige Ermittlung des erforderlichen Spannungsquerschnitts und Wahl des Gewindes

A S erf ≥

AS erf

FA

Rp 0,2

mm2

N

N mm2

Herleitung: Es wird reine Zugspannung im Spannungsquerschnitt AS angenommen, hervorgerufen durch die Zugkraft FA. Die zulässige Zugspannung wird gleich dem Q -fachen der 0,2-Dehngrenze gesetzt (Vz zul = Q · Rp 0,2), sodass mit der Zughauptgleichung Vz = FA/AS erf < Q · Rp 0,2 wird. AS erf FA

Q Rp 0,2 Ausnutzungsgrad Q

FA

ν ⋅ Rp 0,2

erforderlicher Spannungsquerschnitt gegebene axiale Vorspannkraft Ausnutzungsgrad 0,2- Dehngrenze der Schraube (10.2.9)

Q  1 gibt an, mit welchem Anteil von der Streckgrenze Re oder der 0,2-Dehngrenze Rp 0,2 die Schraube belastet werden soll, z.B.

Q = 0,6 = 60 % von Rp 0,2. Erfahrungswerte:

Q = 0,25 bei dynamisch und exzentrisch angreifender Axialkraft FA. Q = 0,4 bei dynamisch und zentrisch oder statisch und exzentrisch angreifender Axialkraft FA.

Q = 0,6 bei statisch und zentrisch angreifender Axialkraft FA.

260

Maschinenelemente Schraubenverbindungen 10.2.3.2

Berechnungsbeispiel Die skizzierte exzentrisch vorgespannte Verschraubung eines Hydraulik-Zylinderdeckels soll berechnet werden.

Die zu übertragende größte Axialkraft je Schraube beträgt 20530 N. Beide Bauteile bestehen aus Gusseisen EN-GJS-450-10 nach DIN EN 1563 mit der Elastizitätsgrenze Rp 0,2 = 310 MPa = 310 N/mm2. Die Schraube soll die Festigkeitsklasse 8.8 haben (Rp 0,2 = 660 MPa) und mit dem Drehmomentenschlüssel angezogen werden. Für FA die nächsthöhere Normzahl aus R5 wählen

Normzahlen der Reihe R5: 630/1000/1600/2500/4000/6300/10000/16000/25000/40000/630000 gewählt: FA = 25 000 N

Erforderlicher Spannungsquerschnitt

AS erf =

FA

ν ⋅ Rp0,2

=

25000 N = 94,7mm2 0,4 ⋅ 660 Mpa

Der Ausnutzungsgrad wird für eine statisch wirkende und exzentrisch angreifende Axialkraft mit 0,4 eingesetzt (siehe oben) Abmessungen der Schraube

Nach 10.2.13 wird das Gewinde M16 gewählt: Gewindedurchmesser d = 16 mm Flankendurchmesser d2 = 14,701 mm Steigungswinkel D = 2,48° Spannungsquerschnitt AS = 157 mm2 ! 94,7 mm2 Schaftquerschnitt A = 50,201 mm2 polares Widerstandsmoment WpS = 554,9 mm3 Bezeichnung der Schraube: M8 × 80 DIN 13 – 8.8 Durchmesser der Kopfauflage dw = 13 mm Schraubenlänge (gewählt) l = 50 mm Gewindelänge b = 22 mm Durchgangsbohrung dh = 9 mm Kopfauflagefläche Ap = 69,1 mm2 Außendurchmesser der verspannten Teile DA = 25 mm Die weiteren und umfangreicheren Rechnungen sollten mit den Unterlagen aus der VDI-Richtlinie 2230 durchgeführt werden.

261

10

10

Maschinenelemente Schraubenverbindungen 10.2.4 Kräfte und Verformungen in zentrisch vorgespannten Schraubenverbindungen Verspannungsdiagramm einer vorgespannten Schraubenverbindung nach dem Aufbringen einer axialen Betriebskraft FA, die zentrisch an Schraubenkopf- und Mutterauflage angreift. Dann ist der Krafteinleitungsfaktor n = 1. Er wird nach der VDI-Richtlinie 2230 berechnet und beschreibt den Einfluss des Einleitungsortes der Axialkraft FA auf die Verschiebung des Schraubenkopfes.

FV FA FK FK1 FZ FS FSA FPA fS fP fSA, fPA fZ 'f

E S, E P

Vorspannkraft der Schraube axiale Betriebskraft Klemmkraft (Dichtkraft) theoretische Klemmkraft Vorspannkraftverlust durch Setzen während der Betriebszeit Schraubenkraft Axialkraftanteil (Betriebskraftanteil der Schraube) Axialkraftanteil der verspannten Teile Verlängerung der Schraube nach der Montage Verkürzung der verspannten Teile nach der Montage entsprechende Formänderungen nach Aufbringen der Betriebskraft FA Setzbetrag (bleibende Verformung durch „Setzen“) Längenänderung nach dem Aufbringen von FA Neigungswinkel der Kennlinie

Elastische Nachgiebigkeit G S einer Sechskantschraube

l1 l2 + 0,8 d + A AS G S= ES

Nach Aufbringen der Vorspannkraft FV

GS =

fS ∆f = FV FSA

Dehnquerschnitte und Dehnlängen an der Sechskantschraube

262

Maschinenelemente Schraubenverbindungen Ersatzhohlzylinder zur Berechnung der elastischen Nachgiebigkeit G P der Platten und Ersatzquerschnitt (Ersatz-Hohlzylinder) Aers der Platten für dw + lK < DA

GP =

f lK ∆f ∆f = P = = A ers ⋅ EP FV FPA FA − FSA

A ers =

⎡⎛ ⎞2 ⎤ lK ⋅ d w π 2 π⎢ ⎟ − 1⎥ 3 + d w −dh2 )+ ⎢⎜ 1 ( ⎥ 4 8⎢⎜ (l +d )2 ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ K w ⎣ ⎦

DA Außendurchmesser der verspannten Platten, Dw Außendurchmesser der Kopfauflage, bei Sechskantschrauben Durchmesser des Telleransatzes, sonst Schlüsselweite, bei Zylinderschrauben Kopfdurchmesser, Dh Durchmesser der Durchgangsbohrung nach 10.2.10, lK Klemmlänge Axialkraftanteil FSA in der Schraube

FSA = FA

δP δP und mit =) δ P + δS δ P + δS

Ersatz-Hohlzylinder in den verspannten Platten

Gleichungsentwicklung: 'f = G S FSA = G P(FA – FSA)

GS FSA = G P FA – G P FSA

FSA = ) FA

FSA(G S + G P) = G P FA Kraftverhältnis )

) K ist das Kraftverhältnis bei zentrischer Verspannung und zentrischer Krafteinleitung in Ebenen durch die Schraubenkopf- und Mutterauflage.

) -Kontrolle für Sechskantschrauben, berechnet mit der obigen Gleichung und den folgenden Überschlagswerten: für Stahlflansche mit EP = 21 · 104 N/mm2 und Flansche aus EN-GJL-300 (Klammerwerte) mit EP = 12 · 104 N/mm2 in Abhängigkeit von lK/d berechnet.

lK EP ES

F δP = SA FA δ P + δS

Klemmlänge Elastizitätsmodul der Platten Elastizitätsmodul der Schraube, für Stahl ist lK ES = 21 · 104 N/mm2 Φ= A ersEp ⎛ l1 l2 + 0,8 d ⎞ Aers Ersatzquerschnitt ⎜ + ⎟ lK + ES ⎝ A AS ⎠ l1, l2 Teillängen der Schraube (10.2.10) d Gewindenenndurchmesser (9.25) A Schaftquerschnitt der Schraube AS Spannungsquerschnitt der Schraube (10.2.13)

Φ=

lK / d =



)= lK / d =



)= lK / d =



)= lK / d =



)=

1 0,21 (0,31)

2 0,23 (0,32)

3 0,22 (0,30)

4 0,20 (0,28)

5 0,19 (0,26)

6 0,18 (0,24)

7 0,16 (0,22)

8 0,15 (0,20)

9 0,14 (0,19)

10 0,13 (0,17)

11 0,12 (0,16)

12 0,11 (0,15)

13 0,10 (0,14)

14 0,097 (0,13)

15 0,091 (0,12)

16 0,086 (0,11)

17 0,081 (0,105)

18 0,076 (0,099)

20 0,068 (0,088)

– – –

Berechnet mit den Vereinfachungen: da = 1,6 d ; DB = 1,1 d ; dS = 0,85 d (für AS); l1 = 0,7 lK ; l2 = 0,3 lK

263

10

10

Maschinenelemente Schraubenverbindungen Axialkraftanteil FPA in den verspannten Platten (Plattenzusatzkraft) Axialkraftanteile FSA und FPA mit )n = n · ) für den allgemeinen Krafteinleitungsfall

FPA = FA (1 – ) )

)n = n

δP

δP + δS

Herleitung: Das Verspannungsdiagramm zeigt FPA = FA – FSA. Außerdem ist FSA = FA ).

= n) =

FSA FA

n ist der nach VDI 2230 zu berechnende Krafteinleitungsfaktor, n ist abhängig vom Ort der Einleitung der Axialkraft FA.

Krafteinleitungsfaktoren n und zugehörige Verbindungstypen nach VDI 2230

Parameter zur Ermittlung von n h Höhe, ak Abstand zwischen dem Rand der Verspannfläche, lA Länge zwischen Grundkörper und Krafteinleitungspunkt K im Anschlusskörper

Verbindungstypen zur Lage der Krafteinleitung

Krafteinleitungsfaktoren n: A/h 0,00 0,10 0,20 •0,30 aK/h 0,10 0,30 •0,50 0,10 0,30 •0,50 0,10 0,30 •0,50 0,10 0,30 •0,50 SV1 0,55 0,30 0,13 0,41 0,22 0,10 0,28 0,16 0,07 0,14 0,12 0,04 SV3 0,37 0,26 0,12 0,30 0,20 0,09 0,23 0,15 0,07 0,14 0,12 0,04 SV5 0,25 0,22 0,10 0,21 0,15 0,07 0,17 0,12 0,06 0,13 0,10 0,03

Klemmkraft FK (bei n  1)

FK = FV – FZ – FA (1 – )n)

Das Verspannungsbild zeigt FK = FV – FZ – FPA

FPA = FA (1 – ) n)

Vorspannkraft FV



Schraubenkraft FS und Vorspannkraft FV

FS

=

FZ  FK Setzkraft

 (1 – ) ) FA  ) FA   

Klemmkraft

Axialkraft- Axialkraftanteil der anteil der verspannten Schraube Teile  

axiale Betriebskraft FA

Schraubenkraft FS (bei n  1)

FS = FV  FSA FS = FV  )n FA

264

Maschinenelemente Schraubenverbindungen

Setzkraft FZ

fZ Φ FZ = =f (δS + δ P ) Z δ P

Die Setzkraft FZ ist der Vorspannungskraftverlust durch Setzen der Verbindung während der Betriebszeit. fZ ist die dadurch bleibende Verformung.

Richtwerte für Setzbeträge fZ in µm bei Schrauben, Muttern und kompakten verspannten Teilen aus Stahl (VDI 2230) Gemittelte Rautiefe Beanspruchung im Gewinde je Kopf oder Mutterauflage RZ Zug/Druck 3 2,5 < 10 ȝm Schub 3 3 10 ȝm bis Zug/Druck 3 3 < 40 ȝm Schub 3 4,5 40 ȝm bis Zug/Druck 3 4 < 160 ȝm Schub 3 6,5

Montagevorspannkraft FVM Anziehfaktor DA

Richtwerte für den Anziehfaktor DA (VDI 2230)

1,5 2 2 2,5 3 3,5

⎤ FVM = α A⎡ ⎣ FK erf + FZ + FA ⋅ (1− Φn )⎦

Anziehfaktor Streuung

DA

Anziehverfahren

Einstellverfahren

Bemerkungen

1,2 bis 1,4

+/Drehwinkel(9 bis 17)% gesteuertes Anziehen

Versuchsmäßige Bestimmung von Vorziehmoment und Drehwinkel

Vorspannkraftstreuung wird wesentlich durch die Streckgrenzenstreuung bestimmt.

1,4 bis 1,6

+/Drehmomenten(17 bis 2)% gesteuertes Anziehen mit Drehmomentenschlüssel

Versuchsmäßige Bestimmung der Sollanziehmomente am Originalverschraubungsteil

Niedrigere Werte für kleine Drehwinkel, höhere Werte große Drehwinkel

Einstellen des Schraubers über das Nachstellmoment und einem Zuschlag

Niedrigere Werte für große Zahl von Einstellversuchen

2,5 bis 4 +/(43 bis 60)%

Längenänderungen fS, fP nach der Montage

je innere Trennfuge

fS = FVM G S

Schlag- oder Impulsschrauber

fP = FVM G P

FVM Montagevorspannkraft

265

10

10

Maschinenelemente Schraubenverbindungen Erforderliches Anziehdrehmoment MA

⎡d ⎤ M A = FVM⎢ 2 ⋅ tan ( α + r') + µ A ⋅ 0,7d ⎥ ⎣ 2 ⎦ FVM d2 d

D r'

PA PA | 0,1 PA | 0,15

Richtwerte für Reibzahlen P' und Reibwinkel r ' für metrisches ISO-Regelgewinde

Montagevorspannung V VM

Torsionsspannung W t

266

N

Reibungsverhältnisse

trocken

geschmiert

r'

P'

0,16

9º

0,14

8º

0,18

10º

0,14

8º

galvanisch verzinkt

0,14

8º

0,13

7,5º

galvanisch verkadmet

0,1

6º

0,09

5º

P' Behandlungsart ohne Nachbehandlung phosphatiert

σ VM =

τt =

mm

1

Montagevorspannkraft Flankendurchmesser am Gewinde (10.2.13) Gewindedurchmesser (10.2.13) Steigungswinkel am Gewinde (10.2.13) Reibwinkel am Gewinde Gleitreibzahl der Kopf- oder Mutterauflagefläche für Stahl/Stahl, trocken ( | 0,05 geölt) für Stahl/Gusseisen, trocken ( | 0,05 geölt)

FVM AS

FVM ⋅ d 2 ⋅ tan( α + r' ) 2 ⋅WpS

MoS2-Paste

r'

P'

r'

0,1

6º

FVM Montagevorspannkraft AS Spannungsquerschnitt

Flankendurchmesser*) d2 WpS polares Widerstandsmoment der Schraube*) π 3 WpS = d 16 s Durchmesser des dS Spannungsquerschnitts AS*) D Steigungswinkel des Gewindes*) P Gewindesteigung*) r' Reibwinkel (siehe oben) *)

Vergleichsspannung V red (reduzierte Spannung)

FVM d2, d PA

MA

Nmm

2 + 3 ⋅ τ 2 ≤ 0,9 ⋅ R σred = σ VM p 0,2 t

Rp 0,2 0,2-Dehngrenze (10.2.9)

siehe 10.2.13

Ist die Bedingung Vred ” 0,9 · Rp 0,2 nicht erfüllt, muss die Berechnung mit einem größeren Schraubendurchmesser oder mit einer höheren Festigkeitsklasse wiederholt werden.

Maschinenelemente Schraubenverbindungen

FSA max − FSA min = 2 F − FAmin n ⋅Φ = Amax 2 F Fa = SA bei FSA min = 0 2 Fm = FVM + FSAmin + Fa

Ausschlagkraft Fa bei dynamischer Betriebskraft FB

Fa =

Ausschlagspannung Va

σa =

Ausschlagfestigkeit ± VA in N/mm2

Flächenpressung p

Richtwerte für die Grenzflächenpressung pG in N/mm2

Fa ≤ 0,9 ⋅ σ A AS

Festigkeitsklasse 4.6 und 5.6 8.8 bis 12.9 10.9 und 12.9 schlussgerollt p=

FS ≤ pG Ap

M 20

50 60

40 50

35 40

35 35

100

90

70

60

Ap gepresste Fläche (10.2.10) pG Grenzflächenpressung Grenzflächenpressung pG in N/mm2 bei Werkstoff der Teile

Stahl, EN-GJL-250 einsatzStahl, AlSiCu EN-GJL-300 Anziehart S235JO E 335 C 45 E vergütet gehärtet -Leg. motorisch 200 350 600 – – 500 120 von Hand 300 500 900 ca. 1 000 ca. 1 500 750 180 (drehmomentgesteuert)

10.2.5 Berechnung vorgespannter Schraubenverbindungen bei Aufnahme einer Querkraft

Die Schraubenverbindung überträgt die gesamte statisch oder dynamisch wirkende Querkraft FQ ges allein durch Reibungsschluss: Reibkraft FR = FQ ges Die erforderliche Vorspannkraft FV (Schraubenlängskraft) setzt sich zusammen aus der erforderlichen Klemmkraft FK erf und der Setzkraft FZ. Eine axiale Betriebskraft FA tritt nicht auf (FA = 0). Beispiel einer Schraubenverbindung mit Querkraftaufnahme: Tellerrad am Kraftfahrzeug

267

10

10

Maschinenelemente Schraubenverbindungen Erforderliche Klemmkraft FK erf je Schraube Erforderliche Klemmkraft FK erf je Schraube bei Drehmomentübertragung

Erforderlicher Spannungsquerschnitt As erf und Wahl des Gewindes nach Tabelle im Abschnitt 10.2.13

10.2.6 Berechnung von Bewegungsschrauben

FK erf ≥

FK erf

FQ ges n ⋅ µA

2⋅M ≥ n ⋅ µ A ⋅ dL

A S erf ≥

α A ⋅ FK erf 0,6 ⋅ Rp 0,2

n

Anzahl der Schrauben, die FQ ges aufnehmen sollen Gleitreibzahl zwischen den Bauteilen

ȝA

Die Anzahl n der Schrauben ergibt sich aus dem zum Anziehen der Schraubenverbindung erforderlichen Mindestabstand auf dem Lochkreis. M zu übertragendes Drehmoment

DA

Anziehfaktor (10.2.4) Rp 0,2 0,2-Dehngrenze (10.2.9)

Für Bewegungsschrauben wird meist Trapezgewinde nach Tabelle im Abschnitt 10.2.14 verwendet. Man rechnet dann mit dem Kernquerschnitt A3. Wird die Bewegungsschraube auf Druck beansprucht, muss die Knickung überprüft werden. Beispiel einer Bewegungsschraube: Handspindelpresse

MT l

Wt l1

F d3

Vd F A

Knickgefährdete Spindellänge Spindelteil mit Torsionsspannung W t = MT/Wp tragende Gewindelänge der Führungsmutter Druckkraft in der Spindel Kerndurchmesser des Trapezgewindes Druckspannung im Gewinde Druckkraft Querschnittsfläche des Drucktellers

Erforderlicher Kernquerschnitt A3 erf (überschlägig)

A3 erf ≥

Vergleichsspannung Vred (reduzierte Spannung)

σred = σ z,d2 + 3 ⋅ τ t 2

F 0,45 ⋅ Rp0,2

268

Vz,d =

F A3

MRG = F

Gewindereibmoment MRG

Erforderliche Mutterhöhe merf

F Zug- oder Druckkraft in der Schraube (Spindel) Rp 0,2 siehe Tabelle im Abschnitt 10.2.9 A3 siehe Tabelle im Abschnitt 10.2.14

merf

F ⋅P = π ⋅ d2 ⋅ H1 ⋅ pzul

τt =

MRG Wp

Wp =

π 2 d 16 3

d2 tan ( α + r' ) 2

Gewindegrößen nach 10.2.14 Pzul = 2…3 MP für Gusseisenmuttern/Stahl = 5…15 MP für Bronzemutter/Stahl = 7 für Stahl/Stahl

Maschinenelemente Schraubenverbindungen tan α tan( α + β )

D r'

Steigungswinkel (10.2.14) Reibwinkel im Gewinde (10.2.8)

Wirkungsgrad K

η=

Festigkeitsnachweis

Für ruhende Belastung: Vred ” 0,9 · Rp 0,2

Für schwellende Belastung:

σa =

F ≤ σA 2⋅ A3

10.2.7 Richtwerte für die zulässige Flächenpressung bei Bewegungsschrauben

10.2.8 Reibungszahlen und Reibungswinkel für Trapezgewinde

10.2.9 Rp 0,2 0,2-Dehngrenze der Schraube (Festigkeitseigenschaften der Schraubenstähle nach DIN EN 20898)

Schraube (Spindel) Stahl Stahl Stahl Stahl, gehärtet

Va Ausschlagspannung VA Ausschlagfestigkeit VSch Schwellfestigkeit b1 b2

σ ⋅b ⋅b σ A = Sch 1 2 βk

Rp 0,2 = 0,2 Dehngrenze (10.2.9)

Ek

Oberflächenbeiwert Größenbeiwert Kerbwirkungszahl § 2 für Trapezgewinde

Werkstoff Mutter (Spindelführung) Stahl Gusseisen CuZn und CuSn-Legierung CuZn und CuSn-Legierung

Gewinde Spindel aus Stahl, Mutter aus Gusseisen Spindel aus Stahl, Mutter aus CuZn- und CuSn-Legierungen Aus vorstehenden Werkstoffen

pzul in N/mm2 8 5 10 15

trocken r' 0,22 12º

P'

0,18

10º

–

–

geschmiert P' r'

0,1

6º

Kennzeichen 4.6 4.8 5.6 5.8 6.6 6.8 6.9 8.8 10.9 12.9 (Festigkeitsklasse) MindestZugfestigkeit 400 500 600 800 1 000 1 200 Rm in N/mm2 MindestStreckgrenze Re oder Rp 0,2 240 320 300 400 360 480 540 640 900 1 080 Dehngrenze in N/mm2 Bruchdehnung A5 25 14 20 10 16 8 12 12 9 8 in %

269

10

10

Maschinenelemente Schraubenverbindungen 10.2.10 Geometrische Größen an Sechskantschrauben

Bezeichnung einer Sechskantschraube M10, Länge l = 90 mm, Festigkeitsklasse 8.8: Sechskantschraube M10 × 90 DIN 931–8.8 Maße in mm, Kopfauflagefläche Ap in mm2 Gewinde da ฬ s M5 M6 M8 M 10 M 12 M 14 M 16 M 18 M 20 M 22 M 24 M 27 M 30

8 10 13 17 19 22 24 27 30 32 36 41 46

k 3,5 4 5,5 7 8 9 10 12 13 14 15 17 19

b

l-Bereich 1)

2)

3)

22 ... 80 28 ... 90 35 ... 110 45 ... 160 45 ... 180 45 ... 200 50 ... 200 55 ... 210 60 ... 220 60 ... 220 70 ... 220 80 ... 240 80 ... 260

16 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 60 66

22 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 66 72

fein 5,3 6,4 8,4 10,5 13,0 15,0 17,0 19,0 21,0 23,0 25,0 28,0 31,0

dh mittel 5,5 6,6 9,0 11,0 13,5 15,5 17,5 20,0 22,0 24,0 26,0 30,0 33,0

Ap 4)

5)

26,5 44,3 69,1 132 140 191 212 258 327 352 487 613 806

30 41 64 100 93 134 185 244 311 383 465 525 707

1) gestuft: 18, 20, 25, 28, 30, 35, 40, 2) für l d 125 mm 3) für l ! 125 mm ... 200 mm 4) für Sechskantschrauben 5) für Innen-Sechskantschrauben

Anmerkung: Die Kopfauflagefläche Ap für Sechskantschrauben wurde als Kreisringfläche berechnet mit Ap = S/4 ( da2 − dh2mittel ), für Innen-Sechskantschrauben aus den Maßen nach DIN. Aussenkungen der Durchgangsbohrungen (dh ) verringern die Auflagefläche Ap unter Umständen erheblich. 10.2.11 Maße an Senkschrauben mit Schlitz und an Senkungen für Durchgangsbohrungen

Bezeichnung einer Senkschraube M10 Länge l = 20 mm, Festigkeitsklasse 5.8: Senkschraube M10 × 20 DIN 962 – 58 Bezeichnung der zugehörigen Senkung der Form A mit Bohrungsausführung mittel (m): Senkung A m 10 DIN 74

Maße in mm Gewindedurchmesser d = M ... kmax d3 t2 max s d1 d2 t1

270

1

1,2

1,4

1,6

2

2,5

0,6 1,9 0,3 0,25

0,72 2,3 0,35 0,3

0,84 2,6 0,4 0,3

0,96 3 0,45 0,4

1,2 3,8 0,6 0,5

1,5 4,7 0,7 0,6

1,2 2,4 0,6

1,4 2,8 0,7

1,6 3,3 0,8

1,8 3,7 0,9

2,4 4,6 1,1

2,9 5,7 1,4

3

4

5

6

1,65 5,6 0,85 0,8

2,2 7,5 1,1 1

2,5 9,2 1,3 1,2

3,4 6,5 1,6

4,5 8,6 2,1

5,5 6,6 10,4 12,4 2,5 2,9

3 11 1,6 1,6

8

10

12

4 5 6 14,5 18 22 2,1 2,6 3 2 2,5 3

16 8 29 4 4

20 10 36 5 5

9 11 14 18 22 16,4 20,4 24,4 32,4 40,4 3,7 4,7 5,2 7,2 9,2

Maschinenelemente Schraubenverbindungen 10.2.12 Einschraublänge la für Sacklochgewinde

Festigkeitsklasse Gewindefeinheit d/P

8.8 100

m min

für v c = 100

m min

K J = 1,09 – 0,015 J 0° für langspanende Werkstoffe (z.B. Stahl) K J = 1,03 – 0,015 J 0° für kurzspanende Werkstoffe (z.B. Gusseisen)

336

mm

kc , kc1·1 N mm2

kc

f mm

N

U

mm2

h

z

K

mm

1

1

kc1·1 ist die spezifische Schnittkraft für 1 mm2 Spanungsquerschnitt (1 mm Spanungsdicke mal 1 mm Spanungsbreite) Richtwerte für kc1·1 in N/mm2 und Spanungsdickenexponent z

Kv = 1 SpanwinkelKorrekturfaktor K J

N

Vorschub spezifische Schnittkraft

ap

Tabellenwerte gelten für h = 0,05 ... 2,5 mm Hs | 4

Zerspantechnik Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik SchneidstoffKorrekturfaktor Kws

Kws = 1,05 Kws = 1 Kws = 0,9 ... 0,95

WerkzeugverschleißKorrekturfaktor Kwv

Kwv = 1,3 ... 1,5 für Drehen, Hobeln und Räumen

für Schnellarbeitsstahl für Hartmetall für Schneidkeramik

Kwv = 1,25 ... 1,4 für Bohren und Fräsen Kwv = 1 bei scharfer Schneide

KühlschmierungsKorrekturfaktor Kks

Kks = 1 Kks = 0,85 Kks = 0,9

für trockene Zerspanung für nicht wassermischbare Kühlschmierstoffe für Kühlschmier-Emulsionen

WerkstückformKorrekturfaktor K f

Kf = 1

für konvexe Bearbeitungsflächen (Beispiel : Außendrehen)

K f =1,1

für ebene Bearbeitungsflächen (Beispiel : Hobeln, Räumen)

K f = 1,2

für konkave Bearbeitungsflächen (Beispiel : Innendrehen, Bohren, Fräsen)

Vorschubkraft F f

Komponente der Zerspankraft F in Vorschubrichtung.

Aktivkraft Fa

Resultierende aus Schnittkraft Fc und Vorschubkraft F f : 2

Fa = Fc + Ff

Passivkraft Fp

2

Komponente der Zerspankraft F rechtwinklig zur Arbeitsebene. Sie verformt während der Zerspanung das Werkstück in seiner Einspannung und verursacht dadurch Formfehler.

Drangkraft Fd

Resultierende aus Vorschubkraft Ff und Passivkraft Fp : 2

Fd = Ff + Fp

Zerspankraft F

2

Resultierende aus Schnittkraft Fc , Vorschubkraft Ff und Passivkraft Fp : 2

2

F = Fc + Ff + Fp

2

337

11

338

Werkstoff

Schnittgeschwindigkeit k c in N/mm2 bei Vorschub f in mm/U und Einstellwinkel κ r

Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle, AWF 158 und allgemeinen Hinweisen aus dem Schrifttum abgeleitet worden.

11.1.5 Richtwerte für die spezifische Schnittkraft kc beim Drehen

11 Zerspantechnik

Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik

Zerspantechnik Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik 11.1.6 Leistungsbedarf Leistungsflussbild einer Drehmaschine

Pc Schnittleistung Pf Vorschubleistung Pe Wirkleistung (Zerspanleistung) Pm Motorleistung Pel elektrische Motorleistung Pvm Verlustleistung im Motor Pvg Verlustleistung im Getriebe Pv Verlustleistung im Antrieb

Schnittleistung Pc

Vorschubleistung Pf

Pc =

a p f kc v c Fc v c = 6 ⋅104 6 ⋅10 4

Ff v f 6 ⋅10 4

Pf =

Ff N

vf mm min

Fc vc Ff vf

Pf W

Pc

Fc

ap

kW

N mm

f mm

kc

vc

N

m

mm2 min

U

Schnittkraft (11.1.4) Schnittgeschwindigkeit (11.1.1) Vorschubkraft Vorschubgeschwindigkeit (11.1.1)

Bei der Berechnung des Leistungsbedarfs ist die Vorschubleistung Pf wegen der geringen Vorschubgeschwindigkeit vf vernachlässigbar.

Motorleistung Pm

Pm = Pc

Pm , Pc

Kg

kW

1

ηg Schnittleistung Getriebewirkungsgrad Kg = 0,7 ...0,85

Kg

Zeitspanungsvolumen Q

Pc

Abzuspanendes Werkstoffvolumen (Spanungsvolumen V ) je Zeiteinheit

Q = A ⋅ v c = a p⋅ f ⋅ v c Q=

6 ⋅104 ⋅ Pc kc

Q cm3 min

A

ap

mm2 mm

f

vc

mm

m

U

min

Pc kW

kc N mm2

A Spanungsquerschnitt a p Schnitttiefe f vc Pc kc

Vorschub Schnittgeschwindigkeit Schnittleistung spezifische Schnittkraft

339

11

11

Zerspantechnik Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik 11.1.7 Standverhalten Standgleichung

Für spanende Fertigung durch Außendrehen gilt bei bestimmtem Werkstoff und Schneidstoff: vc

v c T y f p ap (sin κr ) p−q ≈ K q

T

m min

vc T f ap

Nr

Richtwerte für Außendrehen

Schnittgeschwindigkeit Standzeit Vorschub Schnitttiefe Einstellwinkel

K y p q

min

ap

Nr

K, y, p, q

mm

°

1

f mm U

Konstante Standzeitexponent Spanungsdickenexponent Spanungsbreitenexponent

Richtwerte nach H. Hennermann, Werkstattblatt 576, Carl Hanser Verlag Werkstoff S 235 JR S 275 JR C 15 E 295 C 35 E 335 C 45 E 360 C 60 16 Mn Cr 5 25 Cr Mo 4 GS 20 GE 240 EN-GJL-200 Messing Gussbronze

Schneidstoff

f mm/U

K

y

p

q

P 10

0,1 ... 0,6

615

0,25

0,25

0,1

M 20

0,1 ... 1,0

590

0,3

0,16

0,09

P 10 M 30 P 10 M 30 P 10 M 30 P 10 P 30 M 30 P 10 M 20 K 20 K 20

0,1 ... 0,6 0,1 ... 1,2 0,1 ... 0,6 0,1 ... 1,2 0,1 ... 0,6 0,1 ... 1,2 0,1 ... 0,6 0,3 ... 1,5 0,1 ... 1,2 0,1 ... 0,6 0,3 ... 0,6 0,1 ... 0,6 0,1 ... 0,6

480 410 380 380 330 330 300 180 400 240 245 5000 1800

0,3 0,3 0,22 0,3 0,25 0,31 0,3 0,27 0,3 0,3 0,5 0,59 0,41

0,3 0,2 0,25 0,19 0,25 0,2 0,25 0,3 0,2 0,3 0,18 0,18 0,25

0,1 0,08 0,1 0,08 0,1 0,08 0,1 0,1 0,1 0,1 0,11 0,1 0,1

Die Tabellenwerte beziehen sich auf eine zulässige Verschleißmarkenbreite VB zul = 0,8 mm und gelten für folgende Werkzeugwinkel:

Stahl, Stahlguss Gusseisen Messing, Bronze

D0

J0

Os

5° ... 8° 5° ... 8° 8°

12° 0° ... 6° 8º ... 12°

– 4° 0° 0°

Wird eine von VB = 0,8 mm abweichende maximal zulässige Verschleißmarkenbreite VB' ( 0,8 mm) vorgegeben, so wird für T die Größe T ' in die Rechnung eingesetzt:

T' =

340

0,8 T VB'

T, T ' min

VB' mm

Zerspantechnik Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik Berechnung der Standzeit T

T ≈

Berechnung der Standgeschwindigkeit vcT

v cT ≈

y

K v c f p ap (sin κr ) p−q q

K T y f p ap (sin κr ) p−q q

11.1.8 Hauptnutzungszeit Hauptnutzungszeit t h beim Runddrehen

th = L vf lw la lü ls

Werkzeugweg in Vorschubrichtung Vorschubgeschwindigkeit (Längsvorschub) Drehlänge am Werkstück Anlaufweg, Richtwert: 1... 2 mm Überlaufweg, Richtwert: 1 ... 2 mm Schneidenzugabe (werkzeugabhängig)

ls =

Hauptnutzungszeit t h beim Plandrehen, n konstant

l + la + lü + ls L = w vf fn

th =

ap tan κr

a p Schnitttiefe

κr Einstellwinkel

l + la + ls L = w vf fn

Stirnfläche des Werkstücks ist ein Vollkreis

th =

l + la + lü + ls L = w vf fn

Stirnfläche des Werkstücks ist ein Kreisring

Werkzeugweg in Vorschubrichtung d Werkstückdurchmesser Vorschubgeschwindigkeit (Planvorschub) da − d i für Kreisringfläche lw = lw Drehlänge am Werkstück 2 d da Außendurchmesser lw = für Vollkreisfläche di Innendurchmesser 2 L vf

341

11

11

Zerspantechnik Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik la lü ls

Anlaufweg, Richtwert: 1 ... 2 mm Überlaufweg, Richtwert: 1 ... 2 mm Schneidenzugabe (werkzeugabhängig) ap

ls =

tan κr

a p Schnitttiefe

κr Einstellwinkel

Die Werkstückdrehzahl wird bei Stufengetrieben nach Berechnung der erforderlichen Drehzahl nerf aus der Drehzahlreihe der Maschine gewählt: na erf =

vc da π

bei kleinerem Drehdurchmesserbereich

nm erf =

vc dm π

bei größerem Drehdurchmesserbereich

vc da dm

Schnittgeschwindigkeit Außendurchmesser des Werkstücks mittlerer Werkstückdurchmesser

dm = dm =

Hauptnutzungszeit t h beim Plandrehen, vc = konstant

da + d i 2 d 2

für Kreisringfläche für Vollkreisfläche

Da der stufenlose Antrieb immer nur einen durch endliche Drehzahlwerte begrenzten Abtriebsdrehzahlbereich (nmin ... nmax) erzeugen kann, ist der mit vc = konstant überarbeitbare Durchmesserbereich ebenfalls begrenzt. Eine Plandrehbearbeitung mit vc = konstant ist daher nur möglich, wenn die Durchmesser der Bearbeitungsfläche (Drehdurchmesser Da und D i) innerhalb des Grenzdurchmesserbereichs dmin ... dmax liegen.

Grenzdurchmesser: vc vc dmin = dmax = π n max π n min dmin dmax nmax nmin

342

kleinstmöglicher Drehdurchmesser für vc = konstant größtmöglicher Drehdurchmesser für vc = konstant (größte Umlaufdurchmesser der Maschine beachten) größte Abtriebsdrehzahl des Antriebs kleinste Abtriebsdrehzahl des Antriebs

Zerspantechnik Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik Plandrehen einer Kreisringfläche (bei D i t dmin und Da d dmax )

Zerspanung von Da bis D i mit vc = konstant. 2

th =

2

(Da − Di ) π 4 f vc

Da größter Drehdurchmesser: Da = da + 2 (la + ls) da Außendurchmesser des Werkstücks la Anlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) ls Schneidenzugabe (werkzeugabhängig) ap

ls =

Di

a p Schnitttiefe

tan κr

κr Einstellwinkel

kleinster Drehdurchmesser:

D i = d i – 2 lü di lü

Innendurchmesser des Werkstücks Überlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm)

Plandrehen einer Kreisringfläche (bei D i  dmin und Da d dmax )

Zerspanung von Da bis dmin mit vc = konstant und von dmin bis D i mit nmax = konstant. 2

th =

2

(Da + dmin − 2 dminD i)π 4 f vc

dmin Grenzdurchmesser, kleinstmöglicher Drehdurchmesser für vc = konstant

Plandrehen einer Vollkreisfläche (bei D i = 0 ( dmin) und Da d dmax)

Zerspanung von Da bis dmin mit vc = konstant und von dmin bis D i = 0 mit nmax = konstant. 2

th =

2

(Da + dmin )π 4 f vc

dmin Grenzdurchmesser, kleinstmöglicher Drehdurchmesser für vc = konstant

343

11

11

Zerspantechnik Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik Hauptnutzungszeit t h beim Abstechdrehen Rohteilstange als Vollmaterial

th =

l + la + ls L = w vf fn

lw Drehlänge am Werkstück lw = la ls

b

d

d Stangendurchmesser 2 Anlaufweg (Richtwert: 1 mm) Schneidenzugabe: ls = 0,2 · b für D = 11° Einstechbreite: b | 0,05 · d + 1,7 (b und d in mm)

Abstimmung auf marktgängige Werkzeugbreiten

Rohteilstange als Rohrmaterial

th = lw

l + la + lü + ls L = w vf fn

Drehlänge am Werkstück

lw =

da − d i

da di la

2 Außendurchmesser Innendurchmesser Anlaufweg (Richtwert: 1 mm)

lü ls

Überlaufweg (Richtwert: 1 mm) Schneidenzugabe

Berechnung von b : d = da einsetzen

Richtwerte für Vorschub f des Stechwerkzeugs Werkstoff Stahl unlegiert Stahl legiert Gusseisen Messing Bronze

344

bis 200 HB bis 250 HB bis 325 HB über 325 HB bis 300 HB unbegrenzt unbegrenzt

Schneidstoff P 40 P 40 P 40 P 40 K 10 K 10 K 10

mm U 0,05 ... 0,25 0,05 ... 0,2 0,05 ... 0,2 0,05 ... 0,16 0,1 ... 0,3 0,05 ... 0,4 0,05 ... 0,25

f in

Zerspantechnik Fräsen Richtwerte für Schnittgeschwindigkeit vc beim Abstechdrehen Werkstoff

Schneidstoff

Stahl unlegiert bis 200 HB bis 250 HB Stahl legiert bis 250 HB bis 325 HB über 325 HB Gusseisen bis 200 HB bis 300 HB Messing unbegrenzt Bronze unbegrenzt

P 40 P 40 P 40 P 40 P 40 K 10 K 10 K 10 K 10

m min 75 ... 110 70 ... 90 70 ... 90 55 ... 80 45 ... 60 70 ... 95 45 ... 65 bis 250 bis 130

vc in

11.2 Fräsen 11.2.1 Schnittgrößen und Spanungsgrößen

Schnittgrößen und Spanungsgrößen beim Fräsen (Umfangsfräsen im Gegenlaufverfahren) ap ae

Schnitttiefe oder Schnittbreite Arbeitseingriff

f fz fc

Vorschub Vorschub pro Schneide Schnittvorschub

Schnitttiefe oder Schnittbreite a p

Tiefe (Stirnfräsen) oder Breite (Umfangsfräsen) des Eingriffs der Hauptschneide am Fräserumfang, gemessen rechtwinklig zur Arbeitsebene

Arbeitseingriff a e

Breite (Stirnfräsen) oder Tiefe (Umfangsfräsen) des Eingriffs der Hauptschneide an der Fräserstirn, gemessen in der Arbeitsebene und rechtwinklig zur Vorschubrichtung.

Vorschub f

Weg, den das Werkstück während einer Umdrehung (U) in Vorschubrichtung zurücklegt: f = z fz

z Anzahl der Werkzeugschneiden am Fräswerkzeug fz Vorschub je Schneide

f mm U

fz

z

mm 1

Richtwerte für z für Fräswerkzeuge aus Schnellarbeitsstahl Werkzeug

50 Walzenfräser 6 Walzenstirnfräser 8 Scheibenfräser 8 Messerkopf

60 6 8 8

Fräserdurchmesser in mm 75 90 110 130 150 200 300 6 8 8 10 10 10 12 12 14 16 10 12 12 14 16 18 8 10 10 12 16

345

11

11

Zerspantechnik Fräsen Vorschub fz je Schneide

Vorschub je Fräserzahn (Zahnvorschub) fz =

f z

f

Vorschub des Werkzeugs in mm/U

z

Anzahl der Werkzeugschneiden

Richtwerte für Zahnvorschub fz Werkstoff Werkzeug

Gusseisen

AI-Legierung ausgehärtet

fz 0,10 ... 0,25 0,10 ... 0,25 vc 10 ... 25 10 ... 22

0,05 ... 0,08 150 ... 350

Formfräser, hinterdreht fz 0,03 ... 0,04 0,02 ... 0,01 (Schnellarbeitsstahl) vc 15 ... 24 10 ... 20 Messerkopf 0,3 0,10 ... 0,30 fz (Schnellarbeitsstahl) vc 15 ... 30 12 ... 25 Messerkopf fz 0,2 0,30 ... 0,40 (Hartmetall) vc 100 ... 200 30 ... 100

0,02 150 ... 250

Stahl

Walzenfräser, Walzenstirnfräser (Schnellarbeitsstahl)

0,1 200 ... 300 0,06 300 ... 400

fz Vorschub je Schneide (Zahnvorschub) in mm/Schneidzahn vc Schnittgeschwindigkeit in m/min für Gegenlaufverfahren Für das Gleichlaufverfahren können die angegebenen Richtwerte um 75 % erhöht werden. Größere Richtwerte für vc gelten jeweils für Schlichtzerspanung. Kleinere Richtwerte für vc gelten jeweils für Schruppzerspanung. Richtwerte gelten für Arbeitseingriffe ae (Umfangsfräsen) oder Schnitttiefen a p (Stirnfräsen): 3 mm bei Walzenfräsern 5 mm bei Walzenstirnfräsern bis 8 mm bei Messerköpfen

Schnittvorschub fc

Abstand zweier unmittelbar nacheinander entstehender Schnittflächen, gemessen in der Arbeitsebene rechtwinklig zur Schnittrichtung: fc | fz sin M fz Vorschub je Schneide M Vorschubrichtungswinkel (veränderlich)

genauer: 2

fc = fz sin ϕ + d

Spanungsbreite b

Spanungsquerschnitt A

346

fz cos ϕ d

Fräserdurchmesser

Umfangsfräsen:

b = ap

Stirnfräsen:

b=

A = b h = fc a p

ap sin κr

Zerspantechnik Fräsen Spanungsdicke h (nicht gleich bleibend)

Umfangsfräsen: h = fc Stirnfräsen: h = fc sin Nr Mittenspanungsdicke siehe 11.2.4

Umfangsfräsen (Seitenansicht)

Spanungsverhältnis H s

εs =

ap b = h fc sin2 κr

vc =

d πn 1000

Stirnfräsen (Draufsicht)

11.2.2 Geschwindigkeiten Umfangsfräsen (Seitenansicht)

Stirnfräsen (Draufsicht)

vc Schnittgeschwindigkeit vf Vorschubgeschwindigkeit ve Wirkgeschwindigkeit K Wirkrichtungswinkel M Vorschubrichtungswinkel

Schnittgeschwindigkeit vc (Richtwerte in 11.2.1)

vc

d

n

m min

mm

min–1

347

11

11

Zerspantechnik Fräsen erforderliche Werkzeugdrehzahl nerf

nerf =

1000 v c dπ

nerf

vc

d

min–1

m min

mm

vc empfohlene Schnittgeschwindigkeit d

Vorschubgeschwindigkeit v f

Werkzeugdurchmesser (Fräserdurchmesser)

Momentangeschwindigkeit des Werkstücks in Vorschubrichtung:

v f = f n = fz z n f fz

Wirkgeschwindigkeit ve

vf

f

n

fz

z

mm

mm

min–1

mm

1

min U z Anzahl der Werkzeugschneiden n Werkzeugdrehzahl (Fräserdrehzahl)

Vorschub in mm/U Vorschub je Schneide (Zahnvorschub)

Momentangeschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts in Wirkrichtung. Die Wirkgeschwindigkeit ist die Resultierende aus Schnittgeschwindigkeit vc und Vorschubgeschwindigkeit vf :

ve =

v c sin ϕ v + v c cos ϕ = f sin( ϕ − η) cos( ϕ − η)

v f ≤ vc ⇒ v e ≈ vc

11.2.3 Werkzeugwinkel

Werkzeugwinkel am Messerkopf

Do Eo Jo  Nr Hr Os

Orthogonalfreiwinkel Orthogonalkeilwinkel Orthogonalspanwinkel D o  E o  J o = 90° Einstellwinkel Eckenwinkel Neigungswinkel

Werkzeugwinkel am drallverzahnten zylindrischen Walzenfräser

348

Zerspantechnik Fräsen Orthogonalfreiwinkel D o (siehe auch 11.1.3)

Richtwertel: Walzenfräser D o = 5° ... 8° (Schnellarbeitsstahl) Messerkopf D o = 3° ...8° (Hartmetall) Richtwerte gelten für Gegenlaufverfahren (für Gleichlaufverfahren gelten etwa doppelt so große Richtwerte).

Orthogonalkeilwinkel E o (siehe 11.1.3)

Orthogonalspanwinkel J o (siehe auch 11.1.3)

Richtwerte: Walzenfräser J o = 10° ... 15° (Schnellarbeitsstahl) Formfräser, hinterdreht J o = 0° ... 5° (Schnellarbeitsstahl) Messerkopf J o = 6° ... 15° (Hartmetall) Richtwerte gelten für Gegenlaufverfahren (für Gleichlaufverfahren gelten etwa doppelt so große Richtwerte).

Einstellwinkel N r (siehe auch 11.1.3)

Bei zylindrischen Walzenfräsern ist N r = 90° Richtwert für normale Messerköpfe N r = 60° Weitwinkelfräsen bei günstigstem Standverhalten des Messerkopfs nach M. Kronenberg mit N r d 20°

Eckenwinkel H r (siehe auch 11.1.3)

Bei zylindrischen Walzenfräsern ist H r = 90º

Neigungswinkel O s (siehe auch 11.1.3)

Richtwerte für Werkzeuge aus Schnellarbeitsstahl: drallverzahnte Walzenfräser geradverzahnte Walzenfräser Scheibenfräser Messerkopf

O s = 35° ... 40° O s = 0° O s = 45° O s = 7° ... 9°

Der Neigungswinkel ist bei drallverzahnten Fräsern der Drallwinkel.

O s negativ: Fräser hat Linksdrall O s positiv: Fräser hat Rechtsdrall

349

11

11

Zerspantechnik Fräsen 11.2.4 Zerspankräfte

Zerspankräfte beim Stirnfräsen mit Messerkopf (Kräfte bezogen auf das Werkzeug)

Zerspankräfte beim Umfangsfräsen mit drallverzahntem Walzenfräser im Gegenlaufverfahren (Kräfte bezogen auf das Werkzeug)

Fcz Ffz Faz Fc Nz Ff Nz Fpz Fz M

Schnittkraft Fczm beim Umfangsfräsen (Mittelwert)

Schnittkraft an der Einzelschneide (leistungsführend) Vorschubkraft an der Einzelschneide (leistungsführend) Aktivkraft an der Einzelschneide Schnitt-Normalkraft an der Einzelschneide Vorschub-Normalkraft an der Einzelschneide Passivkraft an der Einzelschneide Zerspankraft an der Einzelschneide Drehmoment der Schnittkräfte an allen gleichzeitig im Schnitt stehenden Werkzeugschneiden

Fczm = a p hm kc Fczm a p, hm N

mm

kc N mm2

a p Schnittbreite hm Mittenspanungsdicke: hm =

360o π ∆ϕo

⋅

ae d

fz

'M Eingriffswinkel: 2 ae cos 'M = 1 − d ae Arbeitseingriff d Fräserdurchmesser fz Vorschub je Schneide (Zahnvorschub) kc spezifische Schnittkraft

350

Zerspantechnik Fräsen spezifische Schnittkraft kc

kc =

kc11 ⋅ z hm

K v K γ K wsK wv KksK f

kc1·1 Hauptwert der spezifischen Schnittkraft (1.5 Nr. 4) z Spanungsdickenexponent (11.1.4) K Korrekturfaktoren (11.1.4)

Schnittkraft Fczm beim Stirnfräsen (Mittelwert)

kc, kc1·1 N mm2

h

z

K

mm

1

1

Fczm = ap hm kc ap Schnitttiefe hm Mittenspanungsdicke: hm =





360o π ∆ϕo

ae

⋅

d

fz sin κr

'M Eingriffswinkel für außermittiges Stirnfräsen: 'M = M 2 – M 1 cos ϕ1 = 1 −

2 ü1

cos ϕ 2 = 1 −

2 ü2

d

wenn M > 90°, cos M negativ ansetzen

d für mittiges Stirnfräsen: a ∆ϕ = e sin 2 d ü Fräserüberstand ae Arbeitseingriff d Fräserdurchmesser fz Vorschub je Schneide (Zahnvorschub) Nr Einstellwinkel kc spezifische Schnittkraft

Vorschubkraft Ffz

Komponente der Aktivkraft Faz in Vorschubrichtung

Aktivkraft Faz

Komponente der Zerspankraft Fz in der Arbeitsebene: 2

2

Faz = Ffz + Ff Nz

Vorschub-Normalkraft FfNz

Komponente der Aktivkraft Faz in der Arbeitsebene, rechtwinklig zur Vorschubrichtung: 2

2

Ff Nz = Faz − Ffz

Passivkraft Fpz

Komponente der Zerspankraft Fz rechtwinklig zur Arbeitsebene: 2

2

Fpz = Fz − Faz

Zerspankraft Fz

Gesamtkraft, die während der Zerspanung auf die Einzelschneide einwirkt.

351

11

11

Zerspantechnik Fräsen 11.2.5 Leistungsbedarf

Schnittleistung Pc

Fc zm ze v c

Pc =

6 ⋅10 4

Pc

Fczm

ze

kW

N

1

vc m min

Fc zm Schnittkraft (Mittelwert) nach 11.2.4 Anzahl der gleichzeitig im Schnitt stehenden Werkzeugschneiden: ze ze =

'M vc

Motorleistung Pm

∆ ϕoz 360o

Eingriffswinkel; z Anzahl der Werkzeugschneiden Schnittgeschwindigkeit nach 11.2.2

Pm =

Pc

ηg

Kg

Getriebewirkungsgrad



Kg = 0,6 ... 0,8

11.2.6 Hauptnutzungszeit Hauptnutzungszeit t h beim Umfangsfräsen

Umfangsfräsen (Schruppen und Schlichten) Umfangsstirnfräsen (Schruppen) th =

lw la lü vf lf

l + la + lü + lf L = w vf vf

Werkstücklänge in Fräsrichtung Anlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) Überlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) Vorschubgeschwindigkeit Fräserzugabe: lf = ae (d − ae )

ae Arbeitseingriff d Fräserdurchmesser (Richtwert: d ! 4 ae)

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück

Umfangsstirnfräsen (Schlichten) th =

l + la + lü + 2 lf L = w vf vf

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück

352

Zerspantechnik Fräsen Hauptnutzungszeit t h beim außermittigen Stirnfräsen x z 0

Stirnfräsen (Schruppen) ae d und ! ae gilt: 2 2 lw + la + lü + lfa − lfü L = th = vf vf

für 0  x d

lw la lü vf

Werkstücklänge in Fräsrichtung Anlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) Überlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) Vorschubgeschwindigkeit

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück

Stirnfräsen (Schlichten) ae d und ! ae gilt: 2 2 lw + la + lü + lfa + lfü L th = = vf vf

für 0  x d

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück

lfa

Fräserzugabe (Anlaufseite): lfa =

d

d

2 Fräserdurchmesser

lfü

Fräserzugabe (Überlaufseite): lfü =

lfü =

d ae x

d2 4

⎛ ae ⎞2 + x⎟ ⎝2 ⎠

−⎜

d

2 Fräserdurchmesser Arbeitseingriff Mittenversatz des Fräsers

für Schruppen für Schlichten

353

11

11

Zerspantechnik Fräsen Hauptnutzungszeit th beim mittigen Stirnfräsen x=0

Stirnfräsen (Schruppen) für d ! ae gilt:

th =

l + la + lü + lfa − lfü L = w vf vf

lw Werkstücklänge in Fräsrichtung la Anlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) lü Überlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) lfa Fräserzugabe (Anlaufseite): lfa =

d

2 lfü Fräserzugabe (Überlaufseite): 1 d 2 − ae2 2 für Schruppen d lfü = 2 für Schlichten lfü =

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück

d Fräserdurchmesser ae Arbeitseingriff vf Vorschubgeschwindigkeit

Stirnfräsen (Schlichten) für d ! ae gilt:

th =

l + la + lü + lfa + lfü L = w vf vf

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück

354

Zerspantechnik Bohren 11.3 Bohren 11.3.1 Schnittgrößen und Spanungsgrößen Schnittgrößen und Spanungsgrößen beim Bohren d Bohrerdurchmesser (Nenndurchmesser) di Durchmesser der Vorbohrung (beim Aufbohren) fz Vorschub je Schneide z Anzahl der Schneiden (Spiralbohrer z = 2) ap Schnitttiefe b Spanungsbreite h Spanungsdicke A Spanungsquerschnitt Nr Einstellwinkel V Spitzenwinkel

Schnitttiefe ap (Schnittbreite)

Tiefe oder Breite des Eingriffs rechtwinklig zur Arbeitsebene

ap =

Vorschub f

d beim Bohren ins Volle 2

ap =

d −di 2

beim Aufbohren

Weg, den das Werkzeug während einer Umdrehung (U) in Vorschubrichtung zurücklegt. Richtwerte nach 11.3.3

Vorschub fz je Schneide

fz =

f z

f Vorschub z Anzahl der Werkzeugschneiden

Für zweischneidige Spiralbohrer ist

fz =

f 2

355

11

11

Zerspantechnik Bohren ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f sin κr h= = fz sin κr ⎬ Bohren ins Volle 2 ⎪ ⎪ ⎪ d f df ⎪ A= = z ⎪ 4 2 ⎭

b=

d 2sin κr

Spanungsbreite b

b=

d − di 2sin κr

Spanungsdicke h

h=

f sin κr fz sin κr 2

Spanungsquerschnitt A

A=

Spanungsbreite b

Spanungsdicke h

Spanungsquerschnitt A

d −di f 4 d −di A= fz 2

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ Aufbohren ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

11.3.2 Geschwindigkeiten Geschwindigkeiten beim Bohren relativ zum Werkstück

vc Schnittgeschwindigkeit vf Vorschubgeschwindigkeit ve Wirkgeschwindigkeit K Wirkrichtungswinkel M Vorschubrichtungswinkel (beim Bohren 90°)

Schnittgeschwindigkeit vc (Richtwerte in 11.3.3)

dπn vc = 1000

vc

d n m mm min–1 min

d Bohrerdurchmesser n Werkzeugdrehzahl

Umrechnung der Schnittgeschwindigkeit vc L2000 (Bohrarbeitskennziffer)

356

Schnittgeschwindigkeitsempfehlungen beziehen sich beim Bohren meist auf eine Standlänge (L, gesamter Standweg des Bohrers in Vorschubrichtung), die unter den in der Richtwerttabelle genannten Spanungsbedingungen erreicht wird. Dabei verwendet man als Bezugsgröße häufig eine Gesamtbohrtiefe von 2000 mm. Die auf diese Standlänge bezogene Schnittgeschwindigkeit ist die Bohrarbeitskennziffer vc L2000.

Zerspantechnik Bohren Umrechnung der Richtwerte (vc L2000) auf abweichende Standlängen bei sonst unveränderten Spanungsbedingungen: ⎛ 2000 ⎞z v c = v c L 2000⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ vc

L2000

L

Schnittgeschwindigkeit für L = 2000 mm (Bohrarbeitskennziffer) vorgegebene Standlänge in mm

z

Standlängenexponent

Richtwerte für Spiralbohrer aus Schnellarbeitsstahl nach M. Kronenberg Werkstoff

z 0,114 0,06

E 295 E 360

Die Verknüpfung von Schnittgeschwindigkeit und vorgegebenem Standweg ist beim Bohren verfahrensbedingt unsicher. Genauere Zuordnung von Standwegen und Standgeschwindigkeiten erfordern eine spezielle Untersuchung des vorliegenden Einzelfalls. Standzeit T

Berechnung der Standzeit T aus der Standlänge L T=

Ld π f vc

d Bohrerdurchmesser f Vorschub vc Schnittgeschwindigkeit (Standgeschwindigkeit für Standlänge L )

erforderliche Werkzeugdrehzahl nerf

nerf =

1000v c dπ

nerf

vc

min–1

m min

d mm

vc empfohlene Schnittgeschwindigkeit nach 4.3 oder umgerechnet d Bohrerdurchmesser

Bei der Festlegung der Werkzeugdrehzahl sind die einstellbaren Maschinendrehzahlen (Drehzahlen an der Bohrspindel) zu beachten. Bohrmaschinen mit gestuftem Hauptgetriebe erzeugen Normdrehzahlen nach DIN 804 (11.1.1). Vorschubgeschwindigkeit vf

vf = f n vf = z fz n f fz z n

Wirkgeschwindigkeit ve

vf

f

mm

mm

min

U

fz

z

n

mm

1

min–1

Vorschub Vorschub je Schneide Anzahl der Werkzeugschneiden Werkzeugdrehzahl

Momentangeschwindigkeit des betrachteten äußeren Schneidenpunkts (Bezugspunkt) der Hauptschneide in Wirkrichtung: 2

v e = vc + v f ve =

2

bei M = 90°

vc v = f cos η sin η

v f ≤ vc ⇒ v e ≈ vc

357

11

11

Zerspantechnik Bohren 11.3.3 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc und den Vorschub f beim Bohren

Zugfestigkeit Werkstoff

Rm in N/mm2

S 235 JR, C22 S 275 JQ

bis 500

E 295, C 35

500 … 600

E335, C45

600 … 700

E 360, C 60

700 … 850

Mn-, Cr Ni-Cr Mo- und andere legierte Stähle

700 … 850 850 … 1 000 1 000 … 1 400

EN-GJL-150

150 … 250

EN-GJL-250

250 … 350

Temperguss Cu Sn Zn-Leg. Cu Sn-Guss-Leg. Cu Zn-Guss-Leg. Al-Guss-Leg.

SchnittSchneid- geschwindigkeit werkzeug vc in m/min

Vorschub f in mm/U bei Bohrerdurchmesser bis 4

! 4…10

SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS P 30 SS K 20 SS K 10 SS K 10 SS K 20

35 … 30 80… 75 30 … 25 75 … 70 25 … 20 70 … 65 20 … 15 65 … 60 18 … 14 40 … 30 14 … 12 30 … 25 12 … 8 25 … 20 35 … 25 90 … 70 25 … 20 40 … 30 25 … 18 60 … 40 75 … 50 85 …60

0,18 0,1 0,16 0,08 0,12 0,06 0,11 0,05 0,1 0,025 0,09 0,02 0,06 0,016 0,16 0,05 0,12 0,04 0,1 0,03 0,12 0,06

0,28 0,12 0,25 0,1 0,2 0,08 0,18 0,06 0,16 0,03 0,14 0,025 0,1 0,02 0,25 0,08 0,2 0,06 0,16 0,05 0,18 0,08

0,36 0,16 0,32 0,12 0,25 0,1 0,22 0,08 0,02 0,04 0,18 0,03 0,16 0,025 0,4 0,12 0,3 0,1 0,25 0,08 0,25 0,1

0,45 0,2 0,40 0,16 0,32 0,12 0,28 0,01 0,25 0,05 0,22 0,04 0,2 0,03 0,5 0,16 0,4 0,12 0,4 0,12 0,36 0,12

SS K20 SS K20

60 … 40 100 … 75 200 … 150 300 … 250

0,1 0,06 0,16 0,06

0,14 0,08 0,25 0,08

0,2 0,1 0,3 0,1

0,28 0,12 0,4 0,12

SS Schnellarbeitsstahl P 30, K 10, K 20 Hartmetalle Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus „Betriebstechnisches Praktikum“ von Thiele-Staelin abgeleitet worden.

358

! 10…25 ! 25…63

Werkstoff

Schnittgeschwindikeit k c in N/mm 2 bei Vorschub f in mm/U und Einstellwinkel κr

Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle, AWF 158 und allgemeinen Hinweisen aus dem Schrifttum abgeleitet worden.

11.3.4 Richtwerte für spezifische Schnittkraft beim Bohren

Zerspantechnik Bohren

359

11

11

Zerspantechnik Bohren 11.3.5 Werkzeugwinkel Werkzeugwinkel am Bohrwerkzeug (Spiralbohrer)

Do Eo Jo Df Ef Jf Nr V Os Hr \r k

Orthogonalfreiwinkel Orthogonalkeilwinkel Orthogonalspanwinkel Seitenfreiwinkel Seitenkeilwinkel Seitenspanwinkel Einstellwinkel Spitzenwinkel Neigungswinkel Eckenwinkel Querschneidenwinkel Dicke des Bohrerkerns (an der Bohrerspitze)

Orthogonalfreiwinkel D o (siehe auch 11.1.3)

Der Winkel nimmt bei Kegelmantelschliff vom Außendurchmesser zum Bohrerkern hin zu. Bohren von Stahl: D o = 8° (außen) bis 30° (innen)

Orthogonalkeilwinkel E o (siehe auch 11.1.3)

Der Winkel ist über die ganze Länge der Hauptschneide praktisch konstant.

Orthogonalspanwinkel J o (siehe auch 11.1.3)

Der Winkel nimmt durch die Form der Spannute vom Außendurchmesser zum Bohrerkern hin bis zu negativen Werten (im Bereich der Querschneide bis – 60°) ab.

γ o = arctan

Seitenfreiwinkel D f , gemessen in der Arbeitsebene

tan γ f + cos κr ⋅ tan λ s sin κr

α f = arccot (sin κr ⋅ cot αo − cos κr ⋅ tan λ s )

J f Seitenspanwinkel N r Einstellwinkel O s Neigungswinkel N f Einstellwinkel D o Orthogonalfreiwinkel O s Neigungswinkel

Richtwerte für Werkzeug-Anwendungsgruppen N, H, W Werkstoff Stahl, Stahlguss, Gusseisen Messing, Bronze Al-Legierung

360

Gruppe Df N 6° ... 15° H 8° ... 18° W 8° ... 18°

Zerspantechnik Bohren Seitenkeilwinkel E f , gemessen in der Arbeitsebene

E f = 90° – D f – J f

Seitenspanwinkel J f , gemessen in der Arbeitsebene

Der Seitenspanwinkel ist der Neigungswinkel der Nebenschneide (Komplementwinkel des äußeren Steigungswinkels) und damit der Drallwinkel des Spiralbohrers.

γ f = arctan

Df Jf

d

dπ hn

Seitenfreiwinkel Seitenspanwinkel

Bohrerdurchmesser (Schneidendurchmesser an der Bohrerspitze)

hn Steigung der Nebenschneide

Richtwerte Werkstoff

Gruppe

Jf

Stahl, Stahlguss, Gusseisen Messing, Bronze Al-Legierung

N H W

16° ... 30° 10° ... 13° 35° ... 40°

Anwendungsgruppe N H W

κr =

Einstellwinkel N r (siehe auch 11.1.3) Spitzenwinkel V

für normale Werkstoffe für harte und spröde Werkstoffe für weiche und zähe Werkstoffe

σ 2

V Spitzenwinkel

Hüllkegelwinkel der beiden Hauptschneiden des Spiralbohrers: 

V = 2 Nr

N r Einstellwinkel

Richtwerte Werkstoff Stahl, Stahlguss, Gusseisen Messing, Bronze Al-Legierung Neigungswinkel O s

Gruppe N H W

V 118° 118° ... 140° 140°

Der Neigungswinkel ergibt sich aus der Kerndicke des Spiralbohrers an der Bohrerspitze. k

k sin κr tan λ s = d

Nr d

Kerndicke des Spiralbohrers an der Bohrerspitze Mindestwert kmin = 0,197 · d 0,839 Einstellwinkel Bohrerdurchmesser (Schneidendurchmesser an der Bohrerspitze)

360o − σ 2

Nr Einstellwinkel V Spitzenwinkel

Eckenwinkel H r (siehe auch 11.1.3)

εr = 180o − κr =

Querschneidenwinkel \

Winkel zur Bestimmung der Lage der Querschneide zur Hauptschneide. Der Querschneidenwinkel ist von der Art des Hinterschliffs der Freifläche abhängig und beträgt im Normalfall (bei D f = 6° außen) \ = 55°.

361

11

11

Zerspantechnik Bohren 11.3.6 Zerspankräfte Zerspankräfte beim Bohren bezogen auf das Werkzeug

Fcz Schnittkraft an der Einzelschneide (leistungsführend) Ffz Vorschubkraft an der Einzelschneide (leistungsführend) Fpz Passivkraft an der Einzelschneide Fz Zerspankraft an der Einzelschneide M Schnittmoment

Schnittkraft Fcz je Einzelschneide

df k S 4 c d − di Fcz = f kc S 4 Fcz =

d di f kc S

spezifische Schnittkraft kc

Fcz

d, d i, f

N

kc N

mm

mm2

beim Aufbohren

S 1

Bohrerdurchmesser Durchmesser der Vorbohrung (beim Aufbohren) Vorschub spezifische Schnittkraft Verfahrensfaktor S=1 für Bohren ins Volle S = 0,95 für Aufbohren

Ermittlung entweder als Richtwert nach 11.3.4 oder rechnerisch:

kc = kc1·1 h z K

Vorschubkraft Ff

beim Bohren ins Volle

kc11 ⋅ K wsK wv hz

kc , kc1·1 N mm2

h

z

K

mm

1

1

Hauptwert der spezifischen Schnittkraft (11.1.4) Spanungsdicke Spanungsdickenexponent (11.1.4) Korrekturfaktoren (11.1.4)

Die Vorschubkraft wird besonders durch die Länge der Querschneide an der Bohrerspitze beeinflusst und beansprucht das Bohrwerkzeug auch auf Knickung (Ausspitzung der Querschneide). Die bisher bekannten Berechnungsverfahren für Ff ergeben keine ausreichende Übereinstimmung. Daher wird hier auf die Ermittlung der Vorschubkraft verzichtet.

362

Zerspantechnik Bohren Schnittmoment M

Drehmoment des aus beiden Schnittkräften Fcz nach 11.3.6 gebildeten Kräftepaars. Bohren ins Volle d M = Fcz 2

Aufbohren d + di M = Fcz 2

M

Fcz

d, d i

Nm

N

m

11.3.7 Leistungsbedarf Schnittleistung Pc

Pc = M n

2π M n Mn = 9550 6 ⋅104

M

n

Nm

min–1

Pc

Fcz

Schnittmoment Werkzeugdrehzahl

Pc =

Fcz v c 6 ⋅104

Bohren ins Volle

⎛ d⎞ Fcz v c⎜1+ i ⎟ ⎝ d⎠ Pc = 6 ⋅104 Fcz vc d di

Pc kW

Aufbohren

kW

N

vc m min

d, d i mm

Schnittkraft an der Einzelschneide Schnittgeschwindigkeit (außen) Bohrerdurchmesser Durchmesser der Vorbohrung (beim Aufbohren)

Vorschubleistung Pf

Bei der Berechnung des Bedarfs an Wirkleistung ist die Vorschubleistung wegen der geringen Vorschubgeschwindigkeit vernachlässigbar.

Motorleistung Pm

Pm =

Pc

ηg



Kg Getriebewirkungsgrad Kg = 0,75 ... 0,9

363

11

11

Zerspantechnik Bohren 11.3.8 Hauptnutzungszeit Hauptnutzungszeit t h beim Bohren ins Volle

th=

l + la + lü + ls L = w vf fn

Durchgangsbohrung

lw Länge des zylindrischen Bohrungsteils Anlaufweg (Richtwert: 1 mm)

la lü Überlaufweg

Richtwerte: lü = 2 mm bei Durchgangsbohrungen lü = 0 bei Grundbohrungen

Hauptnutzungszeit t h beim Aufbohren

th=

ls Schneidenzugabe (werkzeugabhängig) d d ls = = σ 2 tan κr 2 tan 2 N r Einstellwinkel V Spitzenwinkel ls | 0,3 d für Werkzeug-Anwendungsgruppe N mit V = 118° ...120° f Vorschub n Werkzeugdrehzahl

l + la + lü + ls L = w vf fn

Durchgangsbohrung

lw Länge des zylindrischen Bohrungsteils Anlaufweg (Richtwert: 1 mm)

la lü Überlaufweg

Richtwerte: lü = 2 mm bei Durchgangsbohrungen lü = 0 bei Grundbohrungen

364

Grundbohrung

Grundbohrung

ls Schneidenzugabe (werkzeugabhängig) d −di d −di = ls = σ 2 tan κr 2 tan 2 N r Einstellwinkel V Spitzenwinkel ls | 0,3 (d – d i ) für Werkzeug-Anwendungsgruppe N mit V = 118° ...120° f Vorschub n Werkzeugdrehzahl

Zerspantechnik Schleifen 11.4

Schleifen

11.4.1 Schnittgrößen Schnittgrößen beim Umfangsschleifen als Längsschleifen

Beim Umfangsschleifen als Einstechschleifen wird der Axialvorschub durch den Radialvorschub ersetzt.

ae fa fz dw B

Arbeitseingriff Axialvorschub Vorschub je Einzelkorn (Rundvorschub) Werkstückdurchmesser Schleifscheibenbreite

Arbeitseingriff ae

Beim Umfangslängsschleifen die Tiefe des Eingriffs des Werkzeugs, gemessen in der Arbeitsebene rechtwinklig zum Rundvorschub. Der Arbeitseingriff wird durch Werkzeugzustellung direkt eingestellt. Richtwerte für ae in mm:

Stahl Gusseisen

Schruppen

Schlichten

0,003 ... 0,04 0,006 ... 0,04

0,002 ... 0,013 0,004 ... 0,020

Ausfeuern ohne Zustellung (ae = 0) verbessert Genauigkeit und Oberflächengüte.

Axialvorschub fa (Seitenvorschub)

Beim Umfangslängsschleifen der Weg, den das Werkzeug während einer Umdrehung des Werkstücks in Vorschubrichtung zurücklegt: Richtwerte:

Schruppschleifen fa = 0,60 ... 0,75 · B Schlichtschleifen fa = 0,25 ... 0,50 · B

365

11

11

Zerspantechnik Schleifen Vorschub fz je Einzelkorn (Rundvorschub)

Beim Umfangsschleifen der Weg, den ein Punkt auf dem Werkstückumfang während des Eingriffs eines Einzelkorns durch den Rundvorschub zurücklegt:

fz =

λ ke

O ke

q

mm mm

1

fz

q

O ke effektiver Kornabstand q

effektiver Kornabstand O ke

Geschwindigkeitsverhältnis

statistischer Mittelwert (nach J. Peklenik)

O ke | c – 0,928 ae

O ke

ae

mm

Pm

ae Arbeitseingriff c Konstante, berücksichtigt die Körnung des Schleifwerkzeugs:

Geschwindigkeitsverhältnis q

q=

Körnung

c

60 80 100 120 150

41,5 49,5 57,5 62,8 66,5

vc vw

vc Schnittgeschwindigkeit vw Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks

Richtwerte für q Stahl Außenrundschleifen Innenrundschleifen Flachschleifen

Radialvorschub fr

Gusseisen

Al-Legierung

100 63 63

50 32 32

Beim Umfangseinstechschleifen der Weg, den das Werkzeug während einer Umdrehung des Werkstücks in Vorschubrichtung zurücklegt: Richtwerte für fr in

Stahl Gusseinen

366

125 80 80

mm U Schruppen

Schlichten

0,002 ... 0,024 0,006 ... 0,030

0,0004 ... 0,0050 0,0012 ... 0,0060

Zerspantechnik Schleifen 11.4.2 Geschwindigkeiten Umfangsschleifen als Längsschleifen

Umfangsschleifen als Einstechschleifen

ns Drehzahl der Schleifscheibe vs Umfangsgeschwindigkeit der Schleifscheibe nw Drehzahl des Werkstücks vw Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks vc Schnittgeschwindigkeit vfa Axialvorschubgeschwindigkeit (beim Längsschleifen) vfr Radialvorschubgeschwindigkeit (beim Einstechschleifen)

Umfangsgeschwindigkeit vs der Schleifscheibe

vs =

vs

d π ns 6 ⋅ 104

d

m

ns

mm min–1

s

d Durchmesser der Schleifscheibe ns Drehzahl der Schleifscheibe

Da ns t nw , ist die Umfangsgeschwindigkeit der Schleifscheibe praktisch die Schnittgeschwindigkeit (siehe 11.4.1) beim Schleifen.

Umfangsgeschwindigkeit vw des Werkstücks

vw =

dw nw

d w π nw 1000

vw

dw

m

mm min–1

min

nw

Durchmesser des Werkstücks Drehzahl des Werkstücks (Rundvorschubbewegung)

Richtwerte für vw in

m min Stahl unlegiert

Stahl legiert

Gusseisen

Al-Legierung

Außenrundschleifen 12 ... 18 (Schruppen)

15 ... 18

12 ... 15

30 ...40

Außenrundschleifen (Schlichten)

8 ... 12

10... 14

9 ... 12

24 ... 30

Innenrundschleifen

18 ... 24

20 ... 25

21 ... 24

30 ...40

367

11

11

Zerspantechnik Schleifen Schnittgeschwindigkeit vc

vc = vs + vw vc = vs – vw vs vw

beim Gegenlaufschleifen beim Gleichlaufschleifen

Umfangsgeschwindigkeit der Schleifscheibe Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks

vs ≥ vw Ÿ vc | vs v c | v s = d S ns

d Durchmesser der Schleifscheibe ns Drehzahl der Schleifscheibe

Richtwerte für vc in m/s

Außenrundschleifen Innenrundschleifen Flachschleifen (Umfangsschleifen)

Stahl

Gusseisen

Al-Legierung

32 25 32

25 20 25

16 12 16

Zulässige Höchstgeschwindigkeiten für Schleifkörper (Unfallverhütungsvorschriften) nur nach Angaben der Hersteller einstellen. Aus den hohen Schnittgeschwindigkeiten und dem geringen Arbeitseingriff ergeben sich für das Einzelkorn sehr kurze Eingriffszeiten von 0,03 ms ... 0,15 ms (hohe örtliche Erwärmung an der Wirkstelle).

Axialvorschubgeschwindigkeit vfa

vfa = fa n w

v fa

fa

nw

mm min

mm

min–1

U

fa Axialvorschub (Seitenvorschub) nw Drehzahl des Werkstücks

Radialvorschubgeschwindigkeit vfr

vfr = fr n w

v fr

fr

nw

mm min

mm

min–1

U

f r Radialvorschub n w Drehzahl des Werkstücks

11.4.3 Werkzeugwinkel

Die im Schleifwerkzeug fest eingebundenen Schleifmittelkörner bilden Schneidteile mit geometrisch unbestimmten Schneidkeilen. Eine definierbare und beeinflussbare Schneidkeilgeometrie liegt daher nicht vor. Nach statistischen Untersuchungen der Schleifscheibentopografie kann eine mittlere Kornschneide mit einem Schneidkeil verglichen werden, dessen Spanwinkel zwischen – 30° und – 80° liegt.

368

Zerspantechnik Schleifen 11.4.4 Zerspankräfte Zerspankräfte beim Umfangsschleifen bezogen auf das Werkzeug

Fcz Schnittkraft am Einzelkorn Fc Nz Schnitt-Normalkraft am Einzelkorn Faz Aktivkraft am Einzelkorn Ffz Vorschubkraft am Einzelkorn Ff Nz Vorschub-Normalkraft am Einzelkorn Fz Zerspankraft am Einzelkorn

Schnittkraft Fc zm

Komponente (Mittelwert) der Zerspankraft Fz in Schnittrichtung: Fczm Fczm = b hm k c S

N

b, hm mm

kc N mm2

S 1

b wirksame Schleifbreite b = fa beim Außenrundlängsschleifen fa Axialvorschub (Seitenvorschub)

Mittenspanungsdicke hm

hm = hm = hm =

λ ke q

λ ke q

⎛1 1 ⎞ ⎟ a e⎜ + ⎝ d dw ⎠

Außenrundlängsschleifen

⎛1 1 ⎞ ⎟ a e⎜ − ⎝ d dw ⎠

Innenrundlängsschleifen

λ ke a e q

Flachschleifen

d

O ke effektiver Kornabstand (siehe 11.4.1) q ae d dw

Geschwindigkeitsverhältnis (11.4.1) Arbeitseingriff (11.4.1) Durchmesser der Schleifscheibe Durchmesser des Werkstücks Verfahrensfaktor S (nach Preger)

spezifische Schnittkraft kc

k ⋅ kc = c11 h mz k c , k c1·1

h

z

N mm2

mm

1

k c1·1 Hauptwert der spezifischen Schnittkraft (11.1.4) z Spanungsdickenexponent (11.1.4)

369

11

11

Zerspantechnik Schleifen 11.4.5 Leistungsbedarf

Schnittleistung Pc

Pc =

Fc zm vc

Anzahl der gleichzeitig schneidenden Schleifkörner ze

103

Pc

Fczm

ze

ze = d

d π ∆ ϕo λ ke 360o

kW

N

1

ze

d

'M

O ke

1

mm

°

mm

Durchmesser der Schleifscheibe effektiver Kornabstand nach 11.4.1

∆ ϕo ≈

360o π

ae ⎛ d ⎞ ⎟ d⎜1+ dw ⎠ ⎝

ae Arbeitseingriff nach 11.4.1 d dw

Durchmesser der Schleifscheibe Durchmesser des Werkstücks

Eingriffswinkel 'M für Innenrundschleifen (konkave Oberfläche)

∆ ϕo ≈

360o π

ae ⎛ d ⎞ ⎟ d⎜1− d ⎝ w⎠

Eingriffswinkel 'M für Flachschleifen (ebene Oberfläche)

∆ ϕo ≈

360o π

ae d

Motorleistung Pm

Pm =

Pc

ηg

Pc Schnittleistung Kg Getriebewirkungsgrad  Kg = 0,4 ... 0,6 je nach Bauart und Belastungsgrad der Maschine

11.4.6 Hauptnutzungszeit Hauptnutzungszeit t h beim Rundschleifen (Längsschleifen) zwischen Spitzen

th = lw B fa nw

B lw − L 3i i= v fa fa nw

Werkstücklänge in Schleifrichtung (Längsrichtung) Schleifscheibenbreite Axialvorschub Drehzahl des Werkstücks

nw =

370

vc m s

Schnittkraft (Mittelwert) nach 11.4.4 Schnittgeschwindigkeit nach 11.4.2

O ke

Eingriffswinkel 'M für Außenrundschleifen (konvexe Oberfläche)

Fc zm ze v c

vw dw π

uw Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks d w Durchmesser des Werkstücks

Zerspantechnik Schleifen i

Anzahl der erforderlichen Zustellschritte (Schleifhübe): dw − df Außenrundschleifen i= 2ae

i=

df − dw 2 ae

Innenrundschleifen

d w Durchmesser des Werkstücks (Ausgangsdurchmesser) d f Fertigdurchmesser des Werkstücks ae Arbeitseingriff

Darstellung gilt sinngemäß auch für das Innenrundschleifen

Hauptnutzungszeit t h beim Rundschleifen (Einstechschleifen) zwischen Spitzen

dw − d f L = t h= v fr

2 f r nw

+ la

d w Durchmesser des Werkstücks (Ausgangsdurchmesser) d f Fertigdurchmesser des Werkstücks la Anlaufweg (Richtwert: 0,1 ... 0,3 mm) fr Radialvorschub n w Drehzahl des Werkstücks nw =

vw dw π

v w Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks d w Durchmesser des Werkstücks

Hauptnutzungszeit t h beim spitzenlosen Rundschleifen (Durchgangsschleifen)

th=

i w lw + B L = 0,95 dr π n r sin α v fa

B Schleifscheibenbreite d r Durchmesser der Regelscheibe n r Drehzahl der Regelscheibe D Verstellwinkel der Regelscheibe Richtwert für Längsschleifen: D = 3° ... 5° i w Anzahl der aufeinander folgenden Werkstücke beim Durchgangsschleifen l w Länge des einzelnen Werkstücks

371

11

11

Zerspantechnik Schleifen Hauptnutzungszeit t h beim spitzenlosen Rundschleifen (Einstechschleifen)

d w Durchmesser des Werkstücks (Ausgangsdurchmesser) d f Fertigdurchmesser des Werkstücks la Anlaufweg (Richtwert: 0,1 ... 0,3 mm) f r Radialvorschub n w Drehzahl des Werkstücks nw = 0,95 nr

dr dw

n r Drehzahl der Regelscheibe d r Durchmesser der Regelscheibe d w Durchmesser des Werkstücks

372

L th= = v fr

d w − df + la 2 f r nw

373

Sachwortverzeichnis

0,2-Dehngrenze 95 Abgleichbedingung 124 Ableitung 37 Abmaße, Grenzmaße, Toleranzen 249 Abscherbeanspruchung 235 Abscheren und Torsion 235, 236, 293 Abscherfestigkeit 235 Abscher-Hauptgleichung 235 Abscherspannung, vorhandene 235 –, zulässige 235 absolut schwarzer Körper 176 Absolutwert 1 Abstechdrehen, Hauptnutzungszeit 344 Abszissen 29 Abtriebsdrehzahl 342 Abtriebsdrehzahlbereich 342 Abtriebsmoment 200 Abziehhülse 298 Achsabstand 322 – ohne Profilverschiebung 321 Achsen 290 –, Normen (Auswahl) 288 Achsenabschnittsform der Geraden 27 Achsenwinkel 323 Achsmodul 325 Achsschnitt, Eingriffswinkel 326 Achteck 14 –, regelmäßiges 52 Additionstheoreme 21, 24 ff. adiabate (isentrope) Zustandsänderung 169 Admittanz 141 Aktivkraft 337, 351 Aliphaten 74 Alkalimetalle 67 allgemeine Linearform der Geradengleichung 27 Allgemeintoleranzen für Fasen und Rundungshalbmesser nach DIN ISO 2768-1 251 – – Form und Lage nach DIN ISO 2768-2 251 – – Längenmaße nach DIN ISO 2768-1 251 – – Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1 251 Aluminium und Aluminiumlegierungen, Bezeichnung 104 Aluminiumgusslegierungen 105 Aluminiumknetlegierungen 105 AL-Wert 129, 136 Amplitude 195 Analytische Geometrie 26 Anfangsgeschwindigkeit 191 Anfangsparameter 45 Anfangswinkelgeschwindigkeit 194 Ångström 60 Anhaltswert 275 – für die zulässige ideelle Schubspannung 278 Ankreis 17

Anlaufweg 342, 344, 352, 354, 364, 371 Anpresskraft 187 Anstrengungsverhältnis 239, 290 Anströmwinkel 207 Antiparallelschaltung 158 Antriebsmoment 200 Antriebswelle 299 Anziehdrehmoment 186 –, erforderliches 266 Anziehfaktor 265 –, Richtwerte 265 Äquivalent 1 –, elektrochemisches 86 Äquivalentmenge 88 Äquivalentmengenkonzentration 89 Arbeit 56, 204 – der Gewichtskraft 199 – der konstanten Kraft 199 – einer veränderlichen Kraft 199 –, äußere 167 ff. –, elektrische 117 –, konstantes Drehmoment 200 –, technische 167 ff. –, verrichtete 199 Arbeitsebene 335 Arbeitseingriff 345, 353, 365, 366 Arbeitspunkt 118, 151, 153 Arbeitssatz (Wuchtsatz) 204 Archimedische Spirale 12, 46 Arcusfunktion 23 Areafunktion 26 Argument 7 Arithmetische Reihen, Definition 32 Arithmetisches Mittel 4 Aromaten 77 Asymptoten 31, 43, 48 Atmosphärendruck, umgebender 161, 205 atmosphärische Druckdifferenz, Überdruck 161 Atombindung 70 –, polarisierte 70 Atomkern 63 Atommasse, relative 63 Aufbohren 355 f., 363 Auflagereibmoment 186 Aufnahmekegel 307 Auftrieb 206 Ausfeuern 365 Ausflusszahl 208 Ausflusszeit 209 Ausknicken 279 Auslenkung 194 f. –, maximale 195 Auslenkung-Zeit-Diagramm 195 Ausnutzungsgrad 259 ff. Ausschlagfestigkeit 259, 267, 269, 277

374 Ausschlagkraft 267 Ausschlagspannung 259 f., 267, 269 Außendrehen 337, 340 –, Richtwerte 340 Außendurchmesser 326 Außenleiter 148 Außenpressung 243 Außenrundlängsschleifen 369 Außenrundschleifen 367, 371 Ausspitzung 362 Avogadro-Konstante 59, 87 axiale Flächenmomente 226 – –, Widerstandsmomente, Flächeninhalte, Trägheitsradius 225, 227 Axialkraft 298, 318, 319 –, Bezeichnungen 291 Axialkraftanteil 264 –, in den verspannten Platten (Plattenzusatzkraft) 264 Axialsicherungsring 299 Axialspannung 241 Axialvorschub 365 – (Seitenvorschub), Richtwerte 365 Axialvorschubgeschwindigkeit 368 Backenbremse 188 – mit tangentialem Drehpunkt 189 – mit unterzogenem Drehpunkt 189 Bahnpunkt, Geschwindigkeit 192 bainitisches Gusseisen 104 Ballungsregel 134 Bandbremse, einfache 189 Bandbremszaum 189 Base 78 Basis 6 Baustahl 99, 293 –, vergütet 294 Bauteil-Ausschlagfestigkeit 293 Bauteil-Fließgrenze 296 –, Biegebeanspruchung 297 –, Ermittlung 297 –, Torsionsbeanspruchung 297 Bauteil-Wechselfestigkeit, Berechnung 295 –, Gleichungen 295 Bauverhältnisse (Anhaltswerte) 313 Beanspruchung 290 –, zusammengesetzte 238, 239 Befestigungsnabe 316 Belastung, dynamische 218 –, quasistatische 284 –, schwingende 279 –, zulässige 217 f., 235 Belastungsfall 233, 290 Belastungsnachweis 217 f., 235, 236 Beleuchtungsstärke 59 Berechnung axial belasteter Schrauben ohne Vorspannung 259 – einer vorgespannten Schraubenverbindung bei axial wirkender Betriebskraft 260 – vorgespannter Schraubenverbindungen bei Aufnahme einer Querkraft 267

Sachwortverzeichnis Berechnungsgleichungen für die Einzeltellerfeder Kennwerte K 282 Bernoulli'sche Druckgleichung 207 Beschleunigung 55, 190 f., 195, 201, 204 Beschleunigungsarbeit 200 ff. Beschleunigungskraft 204 Beschleunigungsmoment 204 –, resultierendes 202 Beschleunigung-Zeit-Diagramm 196 Bestimmung des maximalen Biegemomentes 219 Betrag 1 Betriebsbelastung 296 Betriebseingriffswinkel 322 – im Normalschnitt 322 – im Stirnschnitt 322 Betriebskraft, axiale 262, 264, 267 –, dynamische 267 –, gegebene 259 Betriebslast 316 Betriebswälzkreis 318 Betriebswälzkreisdurchmesser 322 Bewegung, drehende (rotatorische) 204 –, geradlinige (translatorische) 204 –, geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) 190 Bewegungsschraube, Berechnung 268 –, zulässige Flächenpressung, Richtwerte 269 Bezugsprofil 322 Biegebeanspruchung 218, 221 –, Sicherheit 296 Biegefeder 273 Biegelinie 222 Biegemoment 235, 239, 289 f., 292 –, maximales 222, 291 Biegemomentenfläche 219 Biegespannung 276 –, vorhandene 218, 289 –, zulässige 275, 290 Biegewechselfestigkeit 294 Biegung und Torsion 240 Bildungs- und Verbrennungswärme 92 Bildungsenthalpie 91 Bindigkeit 71 Bindungswertigkeit 71 Binomische Formeln, Polynome 3 bipolare Transistoren 155 f. Blattfeder 273 –, geschichtete 276 Blindfaktor 141 Blindgröße, Blindwiderstand 141 ff. Blindleistungskompensation 147 Blocklänge 278 Bodenkraft 205 Bogenanschluss 53 Bogenelement 43 Bogenhöhe 13 Bogenlänge, mittlere 13 Bogenmaß 19, 188, 195 – des ebenen Winkels 19 Bohren 337, 355, 358 f. – ins Volle 355 f., 363

Sachwortverzeichnis –, Geschwindigkeiten 356 –, Schnittgrößen und Spanungsgrößen 355 –, Zerspankräfte 362 Bohrerkern 360 Bohrerspitze 360 Bohrung, Toleranzfeld 305 Bohrungsmaße 248 Boltzmann-Konstante 59 Brechung magnetischer Feldlinien 130 Breitenverhältnis 276 Bremse 188 Bremskraft 188 Bremsmoment 188 Bremszaum 189 Brennpunkt 30 Brennstrahl 30 Brennstrahlenlänge 31 Bruchdehnung 95 –, Zerreißversuch 216 Brüche 3 Brucheinschnürung 95 Bruchfestigkeit 315 Brückenschaltung 124 Candela 59 Carnot'scher Kreisprozess 171 Celsiustemperatur 163 Coulomb 125 Coulomb'sches Gesetz 126 CrNiMo-Einsatzstähle 294 Culmann'sche Gerade 180 d'Alembert'scher Satz 201 Dämpfung, prozentuale 287 Darstellung, goniometrische 7 Dauerbeanspruchung 277 Dauerbruch, Sicherheitsnachweis 293 Dauerfestigkeit 294 –, Nachweis 284 –, Sicherheitsnachweis 293 Dauerfestigkeitsdiagramm (GoodmanDiagramme) 284, 301, 312, 316 Dauerhaltbarkeit 279 Dauerhubfestigkeit 279 f. Dauerkurzschlussstrom 138 Dehnung 215 f. Dehnungshypothese (C. Bach) 239 Diac 158, 160 diamagnetisch 128 Dichte 56, 176 – von Wasser 211 Dichtebestimmung von Gasen 209 Dielektrikum 126 f. Dielektrizitätskonstante 125 Dielektrizitätszahl 125 differentieller Widerstand 151, 153 f. Differenzbremse 189 Differenzial 2 Differenzial- und Integralrechnung, Anwendungen 42 Differenzialgleichung der freien ungedämpften Schwingung 195

375 Differenzialquotient 2 Differenzialrechnung 35 –, Ableitungen elementarer Funktionen 36 –, Grundregeln 35 DIN-Geradverzahnung 320 DIN-Verzahnungssystem 320 Diode 151 f. Dipol 71 Diskriminante 11, 29 Dissoziation, elektrolytische 83 Dissoziationsgrad 83 Dissoziationskonstanten 83 Drahtdurchmesser, Entwurfsberechnung 277 f. Drallwinkel 349, 361 Drangkraft 337 Drehachse 202 Drehbewegung, gleichförmige 192 Drehen 329 –, Bewegungen 329 –, Geschwindigkeiten 329 –, Kräfte 329 Drehenergie (Drehwucht) 202 Drehfeder (Schenkelfeder) 277 Drehfrequenz 55 Drehimpulsänderung 204 Drehmaschine, Leistungsflussbild 339 Drehmeißel, gerader, rechter 334 Drehmoment 56, 199 f. –, resultierendes 202 –, stoßartiges 298 –, zu übertragendes 268 Drehschub 287, 288 Drehstabfeder 273 f., 277, 299 Drehstromnetz 148 Drehstromtechnik 148 ff. Drehwinkel 193 ff., 200, 204, 273 –, überstrichener 193 Drehwucht 204 Drehzahl 55, 202 –, erforderliche 331 Drehzahlwerte 342 Dreieck 13 –, gleichseitiges 13, 51 –, schiefwinkliges 18 Dreieck-Blattfeder 275 Dreieckfläche 182 Dreieckschaltung 148 ff. Dreieckspannung 148 Dreiecksumfang 182 Drei-Kräfteverfahren 180 Drillungswiderstand 237 Drosselspule 137 Druck 56, 205 – und Biegung 238 –, absoluter 161, 205 –, hydrostatischer (Schweredruck) 205 –, statischer 207 f. –, statischer, Messung 207 Druckabfall 209 f. Druckänderungsarbeit 167 Druckfeder 273 –, kaltgeformte 278 f.

376 –, kaltgeformte, Dauerfestigkeitsdiagramm 279 –, zylindrische 273 Druckgusswerkstoffe 108 Druckhöhe, konstante 209 Druckkraft 233 Druckspannung 233, 284 –, größte 218 –, mittlere tangentiale 304 –, resultierende 238 –, vorhandene 234 Druckübersetzung 205 Durchbiegung 222 Durchbruchbereich 154 Durchbruchspannung 151, 154 Durchflussgeschwindigkeit, mittlere 206 Durchflusszahl 208 Durchflutungsgesetz 129 Durchgangsbohrung 270, 364 Durchlassbereich 151 Durchlassstrom 151, 158 Durchmesserverhältnis 300 Dynamik der Drehung (Rotation) 202 – – Verschiebebewegung (Translation) 201 dynamisches Grundgesetz für freien Fall 201 – – für Tangenten- und Normalenrichtung 201 – –, allgemein 201 f. Ebene, schiefe 185 Eckenwinkel 334 f., 349, 360 f. Edelgas 69 Edelmetall 68 Effektivwert 139 f. Eigenfrequenz 273 f. Einflussfaktor, geometrischer 294 Eingriffsteilung, Normalschnitt 321 –, Stirnschnitt 321 Eingriffswinkel 352 –, Außenrundschleifen 370 –, Flachschleifen 370 –, Innenrundschleifen 370 –, Normal- und Achsschnitt 327 –, Stirnschnitt 321 –, Teilkreis 320 Eingriffszeit 368 Einheit 189 –, imaginäre 7 – der vorkommenden physikalischen Größen 197 – des ebenen Winkels, Begriff 19 Einheitsbohrung 305 Einlegekeil 298 Einpressen 300 Einpresskraft 301, 303 –, erforderliche 307 Einsatzhärten 294 Einsatzstahl 101, 294 Einsetzregel (Substitutionsmethode) 37 Einstechschleifen 365 Einstellwinkel 306 f., 334 f., 340, 342, 351, 360 f., 364 –, Richtwerte 349 Einweg-Gleichrichtung 140

Sachwortverzeichnis Einzellast 222 Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Geradund Schrägstirnräder 320 Einzelteller, Maße 281 Eisen-Kohlenstoff-Diagramm 96 Elastizitätsmodul 56, 95, 222, 275, 302 – E und Schubmodul G verschiedener Werkstoffe 220 elektrische Feldstärke 125 elektrischer Fluss 125 elektrisches Feld 125 ff. Elektrizitätsmengen 58 Elektrolyse 85 Elektrolyt 83 Elektronegativität 69 Elektronenhülle 66 Elektronik 151 ff. Elektrotechnik 115 ff. Elektrowärme 118 Element, galvanisches 85 Elementarladung, elektrische 59 Elementar-Teilchen 63 Ellipse 10, 30 Ellipsenkonstruktion 52 Ellipsenumfang 31 Emissionsverhältnis 165, 176 Endgeschwindigkeit 191 Endparameter 45 Endwinkelgeschwindigkeit 193 Energie 56 – (Bewegungsenergie), kinetische 201 –, Änderung der inneren 168 –, Änderung der inneren 170 –, elektrische 58, 117, 125 –, innere 166, 169 –, potenzielle (Energie der Lage) 201 –, spezifische innere 57, 166 Energiedichte 125, 129 Energieerhaltungssatz 201 Energieerhaltungssatz der Drehung 202 Energieinhalt 125, 129 Energiekosten 117 Energieprinzip, (H. v. Helmholtz) 162 Energieverlust beim Stoß 198 – beim vollkommen unelastischen Stoß 198 Englergrade, Umrechnung 206 Enthalpie 57, 167 –, Änderung 168, 170 –, spezifische 57, 167 Entropie 169 –, Änderung 168, 170 f. Erdalkalimetall 67 Erdmetall 67 Ergänzungskegel 318 Ergänzungsverzahnung 324 Ergänzungszähnezahl 324 Erhöhungsfaktor 297 –, Fließgrenze 296 Ersatz-Geradstirnrad 318 Ersatzhohlzylinder 263 Ersatzkraft 185 Ersatz-Spannungsquelle 119, 130

Sachwortverzeichnis Ersatz-Stromquelle 119 Ersatzverzahnung 324 Ersatzzähnezahl 320, 324 Euklid 16 Eulergleichung 234 Euler'sche Knickung 234 – Zahl 188 Evolventenfunktion 321 Expansion, adiabate 171 –, isotherme 171 Expansionszahl 208 experimentelle Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Körpers 197 Exponentialform 7 Exponentialfunktion 11 – und logarithmische Funktion 6 Exponentialgleichung 9 –, lösen 6 Extremwert 43, 48 Exzentrizität, lineare 31 –, numerische 31 Fachwerk 181 Fahrwiderstand 187 Fahrwiderstandszahl 187 Fakultät 1 Fall, freier 190, 218 Fallbeschleunigung 55, 190, 201, 205, 217 Fallhöhe 190 – nach Wurfweite 192 –, freie 198 –, Geschwindigkeit 192 Farad 125 Faraday’sche Gesetze 86 Faraday-Konstante 59, 86 Fasenlänge 301 Fasenwinkel 301 Federarbeit 273 Federhub 279 Federkennlinie 273, 281 Federkraft 200, 273, 277, 278, 282 ff. Federmoment 273, 275 Feder 273, 286 –, Berechnungen 282 –, hintereinandergeschaltete 274 –, Maße, Begriffe und Bezeichnungen 281 –, parallelgeschaltete 274 Federpaket 281 f. Federrate 195 f., 273, 275, 283 –, (Federsteifigkeit) 200 – in N/mm 217 –, resultierende 274 Federsäule 281 f. Federstahl 283 Federstahldraht, Dauerfestigkeitsdiagramm 278 Federteller ohne Auflagefläche 282 Federungsarbeit 283 Federvolumen 275 Federweg 200, 273, 275, 279, 281, 284 Feinkornbaustahl, schweißgeeigneter 100 Feldkonstante, elektrische 59, 125 –, magnetische 59, 128

377 Feldstärke 128 ff. –, elektrische 58 Ferroelektrika 125 ferromagnetisch 128 Fertigung, spanende 340 Festigkeitseigenschaften der Schraubenstähle nach DIN EN 20898 269 Festigkeitshypothese 239 Festigkeitskennwert 239 Festigkeitsklasse 259 Festigkeitsnachweis 269 –, statische Belastung 284 Festsitz 254 Flächen 12 f. Flächenberechnung 45 – in Polarkoordinaten 46 Flächeninhalt eines Dreiecks 27 Flächenintegral (bestimmtes Integral) 37 Flächenmoment 228 f., 232, 237 –, axiales 218, 219, 233 –, erforderliches 233 –, polares 196, 219 – 2. Grades, Widerstandsmoment, Trägheitsradius 56, 219, 231 Flächenpressung 241, 244, 267, 311 f., 316 – an der Nabe, vorhandene 315 – an der Welle, vorhandene 315 – der Prismenführung 241 – ebener Flächen 241 –, Grenzwert 312 –, Herleitung der Gleichungen 315 – im Gewinde 242, 259 – im Gleitlager 242 – im Kegelzapfen 241 – in Kegelkupplung 242 –, mittlere 187 –, zulässige 301, 309, 315 f. Flächenschwerpunkt 183 Flachkeil 310 Flachschleifen (Umfangsschleifen) 368 f. Flankendurchmesser 260, 272 Flankenradius 186 Flaschenzug (Rollenzug) 188 Fliehkraft 202, 240 Fließgrenze, Sicherheitsnachweis 296 Fluss, magnetischer 58 Flussdichte 128 ff. –, elektrische 58 Flüssigkeitsvolumen, verdrängtes 206 Form, konkave 370 –, konvexe 370 Formänderung 215 f. Formänderungsarbeit 200, 217, 236 Formänderungsgleichungen 280 Formeln von Euler 33 Formelzeichen und Einheiten 280 Formfaktor 139 f., 275 f., 287 Formfräser 349 Formschlussverbindung 299 Formtoleranz 252 Formzahl 325 Fourier-Entwicklung 195

378 Fräsen 337 Fräserüberstand 351 Fräserzugabe 352 Freimachen 177 Freiwinkel 335 Frequenz 55, 139, 141, 195 Fügefläche 300 Fügen 300 –, hydraulisches 300 Fugendruck 300 f., 303, 309 – (Pressungsgleichung), erforderlicher 301 Fugendruck, Einpresskraft 307 –, Verteilung 309 –, vorhandener 309 Fugendurchmesser 301 Fugenfläche 309 Fugenlänge 300 f., 307 Fugenpressung, vorhandene 307 Fügespiel, erforderliches 304 Fünfeck 14 –, regelmäßiges 52 Funktionen der halben Winkel 22 – für Winkelvielfache 22 Funktion, gerade 44 –, inverse trigonometrische 12 –, logarithmische 11 –, trigonometrische 11, 20, 22, 25 –, ungerade 45 –, unecht gebrochene rationale 48 Funktionswerte 20 Fußhöhe 327 Fußkreis 318 Fußkreisdurchmesser 321, 326, 327 Fußwinkel 326 Gangzahl der Schnecke 325 –, Erfahrungswerte 325 Ganze Zahlen 1 Gas 69 Gas, vollkommenes 162 Gasgemisch, Gleichungen 171 Gaskonstante 171 –, individuelle 166 –, spezifische 57, 166, 176 –, universelle 57, 59, 166 Gasmechanik 166 Gegenkraft 188 Gegenlaufschleifen 368 Gegenlaufverfahren 346, 349 Gegenüberstellung einander entsprechender Größen und Definitionsgleichungen für Schiebung und Drehung 204 Gemischpartner 171 Gemischvolumen 171 Generatorregel 133 geometrische Größe, Sechskantschraube 246 – Grundkonstruktion 49 – Reihe, Definition 32 geometrisches Mittel 4, 32 Gerade 10 Geradstirnrad 318 – -Nullgetriebe 320

Sachwortverzeichnis – -V-Getriebe 320 – -V-Nullgetriebe 320 Geradverzahnung 321 Geradzahn-Kegelräder 319, 324 Gesamtdruck 171 Gesamteinflussfaktor 295 Gesamtfederkraft 282 Gesamtfederweg 282 Gesamtmasse 171 Gesamtresultierende 179 Gesamtrundlauftoleranz 252 Gesamtschwerachse 220 Gesamtschwerpunkt 220 Gesamtspannkraft, erforderliche axiale 312 Gesamtüberdeckung 322 Gesamtvolumen 171 Gesamtwirkungsgrad 200, 327 Geschwindigkeit 55, 204, 209, 367 –, gemeinsame 198 –, maximale 196 –, mittlere 197 – nach dem Stoß 198 – nach dem vollkommen elastischen Stoß 198 Geschwindigkeitsänderung 190 Geschwindigkeitsdruck 207 Geschwindigkeitsverhältnis, Richtwerte 366 Geschwindigkeitszahl 208 Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 196 Gesetz von Boyle-Mariotte 163 – – Dalton 171 – – Gay-Lussac 163 Gestalt-Ausschlagfestigkeit 293 Gestaltfestigkeit 277, 296 –, Ermittlung 293 –, Gleichungen 295 Getriebestufe, Gesamtwirkungsgrad 328 Getriebewelle, Konstruktionsentwurf 289 –, Stützkräfte und Biegemomente, Kräfte am Zahnrad 291 Getriebewirkungsgrad 330, 339, 363, 370 Gewichtskraft 56, 185 f., 218 Gewinde, eingängiges 272 –, zweigängiges 272 Gewindedurchmesser 272 Gewindereibmoment 186, 268 Gewindesteigung 259, 266 Gewindesteigungswinkel 260 Glätten 300 Glättung 300, 303 Gleichanteil 140 Gleichgewicht, chemisches 81 Gleichgewichtskraft 235 Gleichgewichtslage 195 Gleichlaufschleifen 368 Gleichlaufverfahren 346, 349 Gleichrichtung 140 Gleichrichtwert 139 f. Gleichsetzen 48 Gleichstromtechnik 118 ff. Gleichung, goniometrische 9 –, logarithmische 9 –, quadratische 8 f.

Sachwortverzeichnis Gleitfeder 315 Gleitgeschwindigkeit 327 Gleitlager 327 Gleitpassfeder 299 Gleitreibkraft 185 Gleitreibung und Haftreibung 185 Gleitreibzahl 190, 268, 326 Gleitsitz 254 Gleitung 215 goniometrische Gleichungen 9 Grad Celsius 172 – Fahrenheit 172 – Kelvin 172 – Rankine 172 Grammäquivalent 89 Gravitationskonstante 59 Grenzabmaß, Eintragung 250 Grenzdurchmesser 342 f. Grenzdurchmesserbereich 342 Grenzflächenpressung, Richtwerte 267 Grenzschlankheitsgrad 233 f. Grenzwert 2, 43 Grenzwinkel 185 Grenzzähnezahl 320 griechisches Alphabet 2 Größen und Einheiten 275 Größeneinflussfaktor 295 –, technologischer 293, 296 f. Grundbohrung 364 Grundeigenschaft der Ellipse 30 – – Hyperbel 30 Grundintegral 38 Grundkreis 318 Grundkreisdurchmesser 321 Grundkreisradius 320 Grundreihe 331 Grundtoleranz 248 – der Nennmaßbereiche 250 Gruppe 66 –, funktionelle 77 GTO-Thyristor 159 Guldin'sche Regeln 184 Gummifeder 287 Gurtscheibe 298 Gusseisen mit Kugelgraphit 103 – – Lamellengraphit 102 – – Vermiculargraphit 104 – -Nabe 309, 313, 316 Gusseisensorten, Bezeichnung 101 Gütefaktor 141 Haftbeiwert 301 –, trocken 301 Haftkraft 302 Haftmoment 302 Haftreibkraft 185 Haftreibwinkel 185 Haftreibzahl 185, 190 Haftsitz 254 Halbleiterdiode 151 f. Halbparameter 30 Halogen 69

379 Haltekraft 185, 187 Haltepunkt 97 Haltespannung 157 f. Haltestrom 157 f. Handspindelpresse 268 harmonisches Mittel 4 Härteprüfung nach Brinell 93 – – Rockwell 94 – – Vickers 94 Hauptflächenmoment 220 Hauptnutzungszeit 341, 364, 370 – beim Aufbohren 364 – – außermittigen Stirnfräsen 353 Hauptnutzungszeit beim Bohren ins Volle 364 – – mittigen Stirnfräsen 354 – – Rundschleifen (Längsschleifen) 370 f. – – spitzenlosen Rundschleifen (Durchgangsschleifen) 371 – – spitzenlosen Rundschleifen (Einstechschleifen) 372 Hauptquantenzahl 66 Hauptscheitel 30 Hauptschneide 330, 335, 361 Hauptspannung 216 Hauptwert der spezifischen Schnittkraft 362 – – spezifischen Schnittkraft, Richtwerte 336 Hefnerkerze 59 Heizwert 92 Herstell-Eingriffswinkel 317, 320 Hertz 274 Hesse'sche Normalform 27 f. Hinterschliff 361 Hirthverzahnung 299 Hobeln 337 Höchstpassung 305 Hohlkeil 310 Hohlkugel (Kugelschale) 203 Hohlwelle 296 Hohlzapfen 187 Hohlzylinder 203 –, umlaufender 241 Hohlzylinder unter Druck 243 Hooke`sches Gesetz 95 horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) 192 Hubhöhe 199 Hubspannung 279 Hüllkegelwinkel 361 Hülsenfeder, Beanspruchung 287 f. Hund’sche Regel 66 Hyperbel 11, 30 –, gleichseitige 31 Hyperbelfunktion 11 –, Definitionen 25 –, inverse 12 Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie 239 f. Impedanz 141 Impulserhaltungssatz 204 Impulserhaltungssatz (Antriebssatz) 201 f. Induktanz 141 Induktion 128 f.

380 Induktionsgesetz 130 Induktionskonstante 128 Induktivität 58, 129, 135 ff. Inkreis 17 Inkreisradius 13 Innendrehen 337 Innenkegelhöhe 326 Innenkreis 51 Innenpressung 243 Innenrundlängsschleifen 369 Innenrundschleifen 367, 371 Innen-Sechskantschraube 246, 270 Innenwiderstand 118, 121, 123 Integral 37 –, bestimmtes 2 –, unbestimmtes 2 Integrale algebraischer Funktionen 38 – transzendenter Funktionen 40 –, häufig vorkommende 38 f. –, uneigentliche 42 Integrand 42 Integrationsregeln 36 Integrationsweg 42 inverse trigonometrische Funktionen 12 Ionenbindung 70 Ionenprodukt 83 Ionenwertigkeit 71 ISO-Regelgewinde, metrisches 266 – -Toleranz 250 – -Toleranzlagen 305 Isotope 63 I-Träger nach DIN, warmgewalzte schmale 231 –, mittelbreiter, Bezeichnung 232 –, schmaler, Bezeichnung 231 –, warmgewalzte 232 Joule 163, 199 Kapazitanz 141 Kapazität 125 ff. –, elektrische 58 Kegel, Begriffe 306 –, gerade und schiefe 184 –, Normen 306 –, Vorzugswerte 307 Kegelbuchse 298 Kegeldurchmesser, mittlerer 306 Kegelmantel und Pyramidenmantel 183 Kegelmantelschliff 360 Kegelmaße 306 Kegelpasssystem 306 Kegelräder, Einzelrad- und Paarungsgleichungen 323 Kegelring 309 Kegelstift 313 Kegelstumpf 183 –, gerader und schiefer 184 Kegeltoleranzpasssystem 306 Kegelverhältnis 306 f. Kegelwinkel 306 f. Keil 14, 184, 310 Keilgetriebe 187

Sachwortverzeichnis Keilsitzverbindung 298, 310 Keilwelle, Werte 308 Keilwellenprofil 299 Keilwellenverbindung 316 – mit geraden Flanken (Übersicht) 316 Kelvin 161 Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO 1302 253 Kerbschlagarbeit 95 Kerbschlagbiegeversuch 95 Kerbstift 299, 313 Kerbverzahnung, Werte 308 Kerbwirkung, Einflussfaktor 295 Kerbwirkungszahl 269 –, Richtwerte 295 Kerbzahnprofil 299 Kerndicke 361 Kerndurchmesser 272 Kernquerschnitt 272 –, erforderlicher 268 Kesselbetrieb (Mittelwerte) 176 Kettenregel 35 Kilomol 57 Kippspannung 157 f. Kippstrom 157 Kirchhoff'sche Sätze 119 Klammerregeln 3 Kleinstübermaß 305 Klemmenspannung 118 Klemmkraft 264 –, erforderliche 267 f. Klemmlänge 263 Klemmsitzverbindung 298, 309 Knickkraft nach Euler 233 Knicklänge, freie 233 Knicksicherheit 233 Knickspannung 233 f. Knickung 217, 233, 362 Knotenpunkt 181 Knotenpunkt-Satz 119 Koaxialitätstoleranz 252 kohärente Einheit (gesetzliche Einheit, zugleich SI-Einheit) 199 – – des ebenen Winkels 19 Kolbenbeschleunigung 197 Kolbengeschwindigkei 197 Kolbenkraft 205 Kolbenweg 197, 205 Kolkverschleiß 335 Kombination geschichteter Tellerfedern 281 Kompensation 147 Kompensationskapazität 147 komplexe Zahlen 1, 7 Kompression, adiabate 171 –, isotherme 171 Kondensanz 141 Kondensator 125 ff. Konduktanz 115, 141 Konduktivität 115 Konstanten, allgemeine und atomare 59 –, häufig gebrauchte 2 Konstantenregel 36

Sachwortverzeichnis Konstruktionsentwurf, Zusammenstellung wichtiger Normen 289 Kontinuitätsgleichung 207 Kontraktionszahl 208 Konvektion 164 Konvergenzbereich 33 Konzentration 81 Koordinationszahl 72 Kopfauflagefläche 270 Kopfhöhe 327 Kopfkegelwinkel 326 Kopfkreis 318 Kopfkreisdurchmesser 321, 325 ff. –, innerer 326 Kopfkürzung, erforderliche 321 Kopfspiel 320, 324, 326 – einer Radpaarung 322 Kopfwinkel 326 Kornabstand, effektiver 366, 369 Körper 14 Körperschwerpunkt 183 f., 202 Kosecans 20 Kosinus 20 Kosinussatz 18 Kotangens 20 Kraft 56 Krafteck 181 Krafteinleitung, zentrische 263 Krafteinleitungsfaktor 262, 264 Krafteinleitungsfall, allgemeiner 264 Krafteinleitungskreis 281 Kräftemaßstab 219 Kräfteplan 180, 219 Kräftesystem, allgemeines ebenes 178, 180 –, – räumliches 178, 181 –, zentrales 181 –, – ebenes 178, 180 f. –, – räumliches 178, 180 f. Kraftfahrzeugkupplungen 299 Kraft-Linie 200 Kraftmoment 235 Kraftteinleitungspunkt 264 Kraftverhältnis 263 Kraftweg 188 Kraft-Weg-Diagramm 199 Kraftwirkung im elektrischen Feld 125 f. – – magnetischen Feld 132 ff. Kreis 10, 13, 29 Kreisabschnitt 13 Kreisabschnittsfläche 182 f. Kreisbewegung, gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) 193 Kreisbogen 52, 182 Kreisevolvente 12 Kreisfläche 45 Kreisfrequenz 139, 195 Kreisfunktion 23 Kreisgleichung in Parameterform 29 Kreiskegel 203 –, gerader 15 Kreiskegelstumpf 203 Kreiskegelstumpf, gerader 15

381 Kreisprozessarbeit 171 Kreisradius 13 Kreisring 13 Kreisringstückfläche 183 Kreisringtorus 15 Kreisröhre 206 Kreissektor 13 Kreiszylinder 14, 203 –, abgeschrägter gerader 183 –, schief abgeschnitten 15 Krümmung 44 Krümmungskreis 31 Krümmungsradius 30, 44, 201 Kugel 15, 203 –, kegelig durchbohrte 15 –, zylindrisch durchbohrte 15 Kugelabschnitt 184 Kugelausschnitt 15, 184 Kugelsektor 15 Kugelstrahl 294 Kugelvolumen 46 Kühlschmierungs-Korrekturfaktor 337 Kunststoffe, thermoplastische 112 Kupfer und Kupferlegierungen, Bezeichnung 106 Kupfergusslegierungen 107 Kupferknetlegierungen 107 Kupplung 298 f. Kurbelradius 197 Kurvendiskussion 47 Kurvenlänge 46 Kurzschlussspannung 120, 138 Kurzschlussstrom 116, 118, 120 Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren 110 Ladung, elektrische 58 Ladungszahl 71 Lageplan 219 Lager, zweiwertiges 180 f. Lagerkraft 180 Lagermetalle und Gleitwerkstoffe 109 Lagerreibung 187 Lagetoleranzen 252 Längenausdehnungskoeffizient 162, 174, 218, 304 Längenmaßstab 219 Längenzunahme 162 Längsdehnung 302 Längslager (Spurzapfen) 187 Längspressverband 298, 300 f. Längsschleifen, Richtwert 371 Längsstiftverbindung 313 Längsvorschub der Maschine 330 Lastdrehzahl 331 Lastweg 188 Laufsitz 254 –, enger 254 –, leichter 254 –, weiter 254 Lauge 78 Leerlaufspannung 118, 120 Leerlaufstrom 120 Leichtmetalle 68

382 Leistung 56, 200, 204 – bei Drehstrom 149 – des Generators 116 –, elektrische 116 f. –, Übersetzung und Wirkungsgrad 200 Leistungsanpassung 117 Leistungsbedarf 339, 352, 363 Leistungsfaktor 115, 141, 147 Leistungsverlust 115, 147 Leiter im elektrischen Feld 126 – – magnetischen Feld 131 ff. –, paralleler 135 f. Leitfähigkeit 115 Leitstrahl 47 Leitwert 115 –, elektrischer 58, 120 f. Lenz'sche Regel 130, 133 Leuchtdichte 59 Lichtausbeute 59 Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum 59 Lichtmenge 59 Lichtstärke 59 Lichtstrom 59 Limes 1 linearer Mittelwert 140 – Widerstand 153 Linkehandregel 134 Lochleibungsdruck, Flächenpressung am Nietschaft 242 Logarithmus 1, 6 –, dekadischer (Briggs'scher) 6 –, natürlicher 6 Logarithmensysteme 6 logarithmische Funktionen 11 – Gleichungen 9 Löslichkeitsprodukt L 84 Lösung, molare 88 Lösungsformel 8 Lot fällen 49 Luftdruck 207 Luftspule 135 f. Luftwiderstand 187 Mach'sche Zahl 206 magnetische Flussdichte, Induktion 58, 128 ff. magnetisches Feld 128 ff., 135 Magnetquantenzahl 66 Manometer 209 Mantel der Kugelzone und der Kugelhaube 183 – des abgestumpften Kreiskegels 183 Mantelfläche 14 Mantelschwerpunkt 183 Maschen-Satz 119 Maschinendiagramm 332 Maschinendrehzahl 331 Maschinenöl 328 Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde 308 – – zylindrische Wellenenden mit Passfedern und übertragbare Drehmomente 314 Masse, äquivalente 89 –, molare 57, 87

Sachwortverzeichnis Masseneinheit, atomare 63 Massenstrom (praktischer) 207 ff. Massenwirkungsgesetz 82 Massenzahl 63 mathematische Zeichen (nach DIN 1302) 1 Maximalspannungen, vorhandene 296 Maximum 43, 48 mechanische Arbeit 199 – Teilarbeit 199 Messbereichserweiterung 123 Messerkopf nach M. Kronenberg 349 Messschaltung 123 Messung des Gesamtdrucks 207 – – Staudrucks (Prandtl'sches Staurohr) 207 Metallbindung 70 Metalle 67 –, hochschmelzende 68 –, höchstschmelzende 68 Metallfeder 275 Metrisches ISO-Feingewinde 246 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 271 – –, Bezeichnung des Regelgewindes 244 – ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 272 – –, Bezeichnung eingängiges Gewinde 245 – –, Bezeichnung zweigängiges Gewinde 245 Metrisches Regelgewinde, Bezeichnung 271 –, System 60 Mindestpassung 305 Mindest-Profilverschiebungsfaktor 326 Mindeststandzeit 332 Minimum 43, 48 Mischelement 63 Mischgröße 140 Mischungskreuz 90 Mischungsregel 90 Mischungstemperatur, (Gemischtemperatur) 161 Mittel, geometrisches 4, 32 –, harmonisches 4 Mittellage 195 Mittellinie, seitenhalbierende 17 Mittelpunkt eines Kreises 50 Mittelpunktsgleichung 31 Mittelspannungsempfindlichkeit 295 f. Mittelwert 139 f. –, statistischer (nach J. Peklenik) 366 Mittenkreisdurchmesser 326 f. Mittenrauwert 253 Mittenspanungsdicke 347, 369 Mittenversatz 353 Modul für Schnecke und Schneckenrad 327 – -Verhältnis 217 Mohr'scher Spannungskreis 216 Molarität 88 Molekülmasse, relative 87 Mollweide'sche Formeln 18 Molvolumen 88 Moment, inneres 235 Momentanbewegung 331 Momentangeschwindigkeit 332, 357 Moment-Drehwinkel-Diagramm 199 Momentenfläche 219 Momentengleichgewicht 215

Sachwortverzeichnis Momentenlinie 200, 222 Momentensatz 179 Momentenstoß 204 Momentenverlauf 222 Montagevorspannkraft 265 Montagevorspannung 266 Morsekegel 307 Motorleistung 339, 352, 363 –, elektrische 339 Motorregel 134 Mutterauflage 263 Mutterhöhe, erforderliche 268 Nabe, geschlitzte 309 –, geteilte 298 Nabenabmessung, Richtwerte 308 Nabendicke 313, 316 Nabenlänge 316 Nabennut 315 Nabensprengkraft 304 Nabenverbindung, formschlüssige 299 –, kraftschlüssige 300 –, reibschlüssige, (Beispiele) 298 Nachweis bei schwingender Belastung, (Dauerfestigkeit) 284 Nasenflachkeil 310 natürliche Logarithmen 6 – Zahlen 1 Nebenquantenzahl l 66 Nebenscheitel 30 Nebenschneide 335, 361 Neigungswinkel 185, 334 f., 349, 360 f. –, Richtwerte 349 Nennmaßbereich 305 Nennmaß für Welle 316 Neuneck, regelmäßiges 52 Neutralleiter 148 N-Gate-Thyristor 159 nichtlinearer Widerstand 153 Nichtmetalle, feste 69 NiCrMo-Einsatzstähle 294 Nitrieren 294 Nitrierstahl 101, 293 Normalengleichung 29 f. Normalform 8 – der Geraden 27 Normalkraft 185, 187, 189, 241, 318 Normallösung 89 Normalmodul 321, 324, 327 Normalmodul, äußerer 324 Normalpotential 85 Normalschnitt 318, 320 Normalspannung 215, 217, 239 f. –, Hooke'sches Gesetz 216 Normalteilung 327 Normdrehzahl 357 Normen 247 – (Auswahl) und Richtlinien 273 –, Bezugsliteratur 259 Normfallbeschleunigung 201 Normgewichtskraft 201 Normvolumen 161 f.

383 – idealer Gase, molares 59 –, molares 88, 166 –, spezifisches 172 Normzahlen 247 – der Reihe R5 261 Normzustand, physikalischer 166 NPN-Transistor 155 Nulldurchgang 219 Nullgetriebe 323 Nullkippspannung 157 f. Nulllage 195 Nullpunkt 45 Nullsetzung 48 Nullstelle 42 Numerus 6 Nutzarbeit 200 Nutzleistung 200 Nutzung, ökonomische 330 Oberfläche 14, 184 Oberflächenbeiwert 269 Oberflächenrauheit 294 –, Einflussfaktor 294 Oberflächentemperatur 163 Oberflächenverfestigung, Einflussfaktor 294 Oberspannungsfestigkeit, Dauerfestigkeitsdiagramm 279 Ohm'sches Gesetz 118 – – des Magnetkreises 128 Öl, Dichte 328 –, spezifische Wärmekapazität 328 Ölumlaufkühlung, erforderlicher Kühlöldurchsatz 328 Optik 59 Orbital 66 Ordinatenabschnitt 27 Ordnungszahl 63 Original-SCHNORR Tellerfedern 285 orthogonal 1 Orthogonalfreiwinkel 334 f., 360 –, Richtwerte 349 Orthogonalkeilwinkel 334 f., 349, 360 Orthogonalspanwinkel 334 f., 360 –, Richtwerte 349 Oxydationszahl 71 Parabel 10, 30 –, kubische 10 –, semikubische 10 Parabelfläche 183 Parallele 51 Parallelogramm 12 Parallelogrammumfang und -fläche 182 Parallelschaltung von Blindwiderständen 144 ff. – – Induktivitäten 138 – – Kondensatoren 127 – – Widerständen u. Quellen 120 ff. Parallelschub 287 paramagnetisch 128 Parameterdarstellung 44 f., 47 Partialdruck 171 f. Pascal 205

384 Passfeder 298, 308, 310, 314 –, tragende Länge 315 Passfederlänge 314 f. Passfedermaß 314 Passfederverbindung 299, 314 – (Nachrechnung) 315 Passivkraft 337, 351, 362 Passtoleranzen, empfohlene 257 Passtoleranzfelder, ausgewählte 255 Passungsart 249 Passungsauswahl 257 –, (Toleranzfeldauswahl) 248 Passungsgrundbegriffe 249 Passungsspiel 312 Passungssystem Einheitsbohrung 248 – Einheitswelle 248 Pauli-Prinzip 66 Pendelart 196 Pendelgleichung 196 Pendelstütze 181 Periode 66 Periodendauer 139, 194 – (Schwingungsdauer) 195 periodische Schwingung 194 Permeabilität 58, 128, 130, 136 Permeanz 128 Permittivität (früher Dielektrizitätskonstante) 58, 125 Permittivitätszahl 125 P-Gate-Thyristor 159 Phase 195 Phasenanschnitt 140 Phasenanschnittsteuerung 160 pH-Wert 84 Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten 55 Planck-Konstante 59 Plandrehbearbeitung 342 Plandrehen einer Kreisringfläche 343 – – Vollkreisfläche 343 –, Hauptnutzungszeit 341 f. Plan-Kerbverzahnung 299 Planrad, Zähnezahl 324 Plantschverluste 328 Planvorschub 341 Plastomere, thermoplastische 112 Plattenkondensator 127 PNP-Transistor 155 Poisson-Zahl 216 f., 240 f., 280, 283 Polabstand 219 Polargleichung 31 Polarkoordinaten 44, 47 Polstelle 42, 48 Polyamide 113 Polycarbonat 113 Polyester, linear 113 Polyethylen 112 Polyetrafluorethylen 112 Polygonprofil 299 Polymethylmetacrylat 113 Polynom 3 –, quadratisches 11

Sachwortverzeichnis – dritten Grades 11 Polyoxymethylen 113 Polyphenylensulfid 113 Polypropylen 112 Polystyrol-Copolymere, schlagfeste 112 Polystyrol 112 Polyvinylchlorid 112 Potenzen von Funktionen 22 Potenzfunktionen 10 f. Potenzieren 4 Potenzrechnung 4 Potenzreihe 33 f. Presse, hydraulische 205 Presspassung 300 –, festlegen 305 Presssitz 254 Pressung, Kugel gegen Ebene 242 –, Kugel gegen Kugel 242 –, Walze gegen Ebene 243 –, Walze gegen Walze 243 Pressungsfaktor 312 Pressungsgleichung, Herleitung 302 Pressverband 300, 304 –, Berechnung 301 –, Formänderungs-Hauptgleichung 302 –, (Fügeart), Herstellung 300 –, kegliger, Berechnungsformeln 307 –, – (Kegelbuchse) 298 –, – (Wellenkegel) 298 –, (Kegelsitzverbindungen), kegliger 306 – mit Vollwelle, Formänderungsgleichungen 303 –, Normen 300 – (Presssitzverbindungen) 298 – (Spannungsbild) 303 –, zylindrischer 298, 300, 309 Prinzip des kleinsten Zwanges 81 Prisma (und Zylinder) mit parallelen Stirnflächen, gerades und schiefes 183 Prismatoid 14 Prismoid 14 Probestab, gekerbter 294 Produkt von Funktionen 22 Produktregel 35 –, (partielle Integration) 37 Profilüberdeckung 322 Profilumfang 228 ff. Profilverschiebung 320, 326 f. Profilverschiebungsfaktor 320, 322 f. Profilwellenverbindung 299 Projektionssatz 18 proportional 1 Punkt-Steigungsform der Geraden 27 Pyramide 14 –, gerade und schiefe 184 Pyramidenstumpf 14 –, mit beliebiger Grundfläche 184 Pythagoras 16 Quader 14 Quellenspannung 118 f. Querdehnung 216 f., 302

Sachwortverzeichnis Querdehnzahl 302 Querkraft 235, 239 Querkraftfläche 219 Querkraft-Schubspannung 239 Querlager (Tragzapfen) 187 Querpressverband 298, 301 Querschneide 361 Querschneidenwinkel 360 f. Querschnitt, erforderlicher 217, 235 –, gefährdeter 235 –, unsymmetrischer 220 – für Biegung und Knickung 225 Querschnitts-Abmessungen, Gleichungen 221 Querschnittsnachweis 217 f., 235 f. Querstiftverbindung 313 Quotientenregel 35 Radialkraft 242, 318 –, Achsenwinkel 319 –, Bezeichnungen 291 –, resultierende 291 f. Radialspannung 241, 243 Radialvorschub 365, 371 –, Richtwerte 366 Radialvorschubgeschwindigkeit 368 Radnabe 299 Randfaser 235 Randschicht, gehärtete 297 Rationale Zahlen 1 Rauheitsklasse 253 Rauigkeiten, körnige 210 Räumen 337 Raumschaffungsarbeit 166 Raumwinkel 55 Rautiefe 330 –, gemittelte 294, 300, 303, 312 –, vorgegebene 330 Reaktanz 141 Reaktion, endotherme 91 –, exotherme 91 –, umkehrbare 81 Reaktionsenthalpie 91 Reaktionsgleichung 80 rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte (rechnerische Gleichgewichtsaufgabe) 181 Rechteck, Quader 203 Rechteck-Blattfeder 275 Rechtehandregel 133 Rechtsschraubenregel 133 rechtwinkliges Dreieck, allgemeine Beziehungen 16 Reduktion der Trägheitsmomente, Getriebe 202 reelle Zahlen 1 Regel, logarithmische 35 Reibarbeit 201 Reibkraft 185 Reibleistung 187 Reibmoment 187 Reibschluss 310 Reibung 185 – auf schiefer Ebene 185 – in Maschinenelementen 186

385 Reibungsarbeit 199 Reibungswinkel, Trapezgewinde 269 Reibungszahl, Trapezgewinde 269 Reibwinkel 185, 190, 307 – im Gewinde 260, 269 Reibzahl 185, 188, 199 – der Mutterauflage 186 – im Gewinde 186 –, Richtwerte 266 Reihen 32 –, Definition 32 Reihenschaltung von Blindwiderständen 142 f. – – Induktivitäten 138 – – Kondensatoren 127 – – Widerständen u. Quellen 122 Reinelemente 63 Rekursionsformel 41 Relationen, graphische Darstellung 10 Reluktanz 128 Resistanz 115, 141 Resistivität 115 Resonanzbedingung 141 Reststrom 156 Resultierende aus Schnittkraft 337 –, rechnerische Bestimmung 178 –, zeichnerische Bestimmung 178 Reynolds'sche Zahl 206 Reynoldszahl, kritische 207 Re-Zahl, Umstellung 210 Rhombus 12 Richtwert, spezifische Schnittkraft 362 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit beim Drehen 333 – – – – und den Vorschub 358 – – – spezifische Schnittkraft beim Drehen 338 – – Fräswerkzeuge aus Schnellarbeitsstahl 345 – – Schnittgeschwindigkeit 345 – – spezifische Schnittkraft 359 – – Vorschub des Stechwerkzeugs 344 –, Neigungswinkel 349 –, Orthogonalfreiwinkel 349 –, Orthogonalspanwinkel 349 –, Umrechnung 331 –, Vorschub 346 Riemenscheibe 298 f. Ring 203 Ring, umlaufender 241 Ringbreite 13 Ringfeder 277 Ringfederspannelement 298 Ringfederspannverbindung 298, 310 –, Einbau und Einbaubeispiel 310 –, Maße, Kräfte und Drehmomente 311 Ringpaar 310 Ritzel 318 Rohrreibungszahl 209 f. Rohteilstange 344 Rollbedingung 187 Rolle (Leit- oder Umlenkrolle), feste 188 –, lose 188

386 Rollen- und Flaschenzüge 188 Rollenzug, Wirkungsgrad 190 Rollkraft 187 Rollreibung 187 Rollwiderstand 187 Rotationskörper, Mantelflächen 47 –, Volumen 46 Rotationsparaboloid 46 Rp 0,2 0,2-Dehngrenze 259 – – der Schraube 269 Rücksprunghöhe 198 Rückstellkraft 196 Rückstellmoment 196 Ruhemasse des Elektrons 59 – – Protons 59 Runddrehen 330 –, Hauptnutzungszeit 341 Rundheitstoleranz 252 Rundvorschub 365 f. Rundvorschubbewegung 367 Rutschbeiwert 301, 303, 307, 309 –, geschmiert 301 Sacklochgewinde, Einschraublänge 271 Säure 80 Schallgeschwindigkeit 206 Scheibenfeder, Beanspruchung 287 f. Scheibenfräser 349 Scheinwiderstand 141 ff. Scheitel 30 Scheitelfaktor 139 f. Scheitelgleichung 29 ff. Scheitelradius 31 Scheitelwert 139 Schema einer arithmetischen Stufung 32 – – geometrischen Stufung 32 Schenkeldicke 230 Schiebergeschwindigkeit 192 Schieberweg 192 Schiebesitz 254 Schiebung 217 schiefe Ebene 185 schiefwinkliges Dreieck, allgemeine Beziehungen 17 Schlankheitsfaktor 279 Schlankheitsgrad 233 f. Schleifbreite, wirksame 369 Schleifen 365 Schleifhub 371 Schleifscheibentopografie 368 Schleusenspannung, Schwellspannung 151 Schlichten 353 Schlichtschleifen 365 Schlichtzerspanung 346 Schlüsselweite 263 Schlusslinien-Verfahren 181 Schmelzenthalpie 162, 173 Schmelzpunkt fester Stoffe 174 Schmelztemperatur 162 Schmierart, erforderliche 328 Schmierung, Art 328 Schnecke 325, 327

Sachwortverzeichnis – und Schneckenrad 319 –, mehrgängige 325 –, Steigungshöhe 325 –, treibende 326 Schnecken-Abmessungen 327 Schneckengetriebe 328 –, Einzelrad- und Paarungsgleichungen 325 –, Gesamtwirkungsgrad 325 Schneckenlänge 327 Schneckenrad 325, 327 –, treibend 326 –, Zähnezahl 325 Schneckenwelle 327 Schneidenpunkt 332, 335, 355 Schneidenzugabe 344, 364 Schneidkeil 334, 368 Schneidkeilgeometrie 368 Schneidkeilschwächung 335 Schneidstoff-Korrekturfaktor 337 Schnittbreite 345 Schnittgeschwindigkeit 330 f., 339, 342, 367 –, empfohlene 331, 348 –, Richtwerte 331, 356, 368 –, Umrechnung (Bohrarbeitskennziffer) 356 –, wirkliche 332 Schnittgeschwindigkeitsempfehlungen 356 Schnittgeschwindigkeits-Korrekturfaktor 336 Schnittgrößen 329, 345, 355, 365 – beim Umfangsschleifen 365 Schnittkraft 337, 339, 362, 369 – (nach Kienzle) 336 – am Einzelkorn 369 – an der Einzelschneide 363 – je Einzelschneide 362 –, spezifische 330, 336, 339, 351, 362, 369 –, – (rechnerisch) 336 Schnittkraftverlauf, theoretischer 350 f. Schnittleistung 339, 352, 363, 370 Schnittmoment 362 f. Schnittpunkt zweier Geraden 27 Schnitttiefe 330, 339, 342, 345, 351 –, (Schnittbreite) 355 Schnittvorschub 345 f. Schnittwinkel 28, 216 Schrägstirnrad 318 – -Nullgetriebe 320 – -V-Getriebe, Berechnungsgleichungen 320 – -V-Nullgetriebe 320 Schrägungswinkel 321 f. – am Teilkreis 320 Schrägzahn-Kegelrad 319 Schraube 186 –, Abmessungen 261 –, Axialkraftanteil 263 Schraubendruckfeder, zylindrische 273, 278 Schraubenfederpendel 196 Schraubenkraft 264 Schraubenlängskraft 267 Schraubenverbindung 259, 261 –, vorgespannte 262 –, zentrisch vorgespannte 262 Schrauben-Zugfeder, zylindrische 280

Sachwortverzeichnis Schrumpfen 235 –, Fügetemperatur 304 Schrumpfmaß, Pressverbindung 243 Schrumpfring 309 Schrumpfverbindung 298 Schruppen 353 Schruppschleifen 365 Schruppzerspanung 335, 346 Schub 240 Schubbeanspruchung 289 Schubkurbelgetriebe 197 Schubmodul 56, 196, 217, 236, 275, 278 Schubspannung 215, 235, 239 f., 279 –, Hooke'sches Gesetz 217 –, ideelle 278 –, maximale 216, 238 Schubspannungshypothese (Mohr) 239 Schubspannungsverteilung 235 Schubstangenverhältnis 197 schwarzer Körper, Strahlungskonstante 57 Schwellbelastung 313 Schwellfestigkeit 269 Schwerachse 202, 206, 219 Schweredruck 207 Schwerependel 196 Schwerlinie 183 Schwermetalle, niedrigschmelzende 68 Schwerpunkt 182 – eines Dreiecks 27 Schwerpunktslage 220 Schwingung, lineare 194 –, periodische 194 –, ungedämpfte 195 Schwingungsbeginn 195 Schwingungsdauer 194 –, gemessene 197 Schwingungsgehalt 140 Schwingungsweite 195 Schwingungszahl 195 Schwungrad 298 Sechseck 14 –, regelmäßiges 13, 52 Sechskantsäule 14 Sechskantschraube M10, Bezeichnung 270 –, Bezeichnung 246 –, Dehnlängen 262 –, Dehnquerschnitte 262 –, elastische Nachgiebigkeit 262 –, F-Kontrolle 263 –, geometrische Größen 270 Sehnenlänge 13 Seileck 181 Seileckfläche 219 Seileckverfahren 178 Seilreibung 188 Seilstrahl 181 Seitenfreiwinkel 360 f. Seitenhalbierende 182 Seitenkeilwinkel 360 f. Seitenkraft 206 Seitenspanwinkel 360 f. –, Richtwerte 361

387 Seitenvorschub 368 Sekans 20 Selbsthemmung 185 ff., 310 Selbsthemmungsbedingung 185 Selbstinduktion 131 seltene Erden (Lanthanoiden) 67 Senkrechte im Punkt P 49 Senkschraube, Bezeichnung 270 – mit Schlitz 270 Senkung 270 Setzbeträge, Richtwerte 265 Setzkraft 264 f., 267 Shore-Härte 287 Shunt 123 Sicherheit 296 Siebeneck, regelmäßiges 52 Siede- und Kondensationspunkt 174 Siedetemperatur 162 SI-Einheit 55 Sinus 20 Sinussatz 18 Sinusschwingung 195 – (harmonische Schwingung) 194 Spanfläche 335 Spannelement 311 f. – der axialen Spannkraft, Ermittlung der Anzahl 312 Spannhülse 298 f. Spannkraft 188 –, axiale 312 Spannkraft, gegebene 259 Spannsatz 310 f. Spannschloss 259 Spannschraube 310 Spannung am Innenrand 243 –, elektrische 58, 115 ff. –, rechnerische 283 Spannungserzeugung 130 f. Spannungsfall 115 Spannungsfehlerschaltung 123 Spannungsgleichungen (siehe Spannungsbild) 304 Spannungshubgrenze 284 Spannungsnachweis 217 f., 235 f. Spannungsquelle 119 f. Spannungsquerschnitt 260, 266 –, erforderlicher 259 f., 261, 268 Spannungsreihe 85 Spannungsteiler 124 Spannungsverlust 115 Spannungsverteilung 235, 303 – bei Biegebeanspruchung 228 Spannungszustand, ebener 215 –, einachsiger 215 –, mehrachsiger 239 Spannute 360 Spannweg 311 Spanungsbedingung 331, 356 Spanungsbreite 330, 346, 356 Spanungsbreitenexponent 340 Spanungsdicke 330, 347, 356

388 Spanungsdickenexponent 336, 340, 351, 362, 369 Spanungsgröße 329, 345, 355 Spanungsquerschnitt 330, 336, 339, 346, 356 Spanungsverhältnis 330, 347 Spanungsvolumen 339 Spanwinkel 335, 368 Spanwinkel-Korrekturfaktor 336 Sperrbereich 151 Spielpassung 249 Spieltoleranzfeld 254, 257 Spinquantenzahl 66 Spiralbohrer, Richtwerte 357 –, zweischneidige 355 Spiralfeder 276 Spitzenwinkel 360 f., 364 – des Gewindes 186 Sprengkraft 309 –, (gesamte Verspannkraft) 309 Sprungüberdeckung 322 Stahl- und Stahlguss-Nabe 313, 316 Stähle, Bezeichnungssystem 97 Stahlflansch 263 Stahlguss 101 Stahl-Nabe 309 Standardpotentiale 85 Standgeschwindigkeit, Berechnung 341 Standgleichung 340 Standlänge 356 f. Standlängenexponent 357 Standverhalten 340, 349 Standweg 356 Standzeit 331, 340, 357 –, Berechnung 341 –, wirkliche 332 Standzeitexponent 331 f., 340 Standzeitforderung, vorgegebene 331 Standzeitvorgaben 331 Statik der Flüssigkeiten 205 statisch bestimmt 181 – unbestimmt 181 Staudruck 207, 211 Staurand nach Prandtl 208 Stefan-Boltzmann-Konstante 59 – – Gesetz 165 Steighöhe 190 Steigung 272 Steigung und Steigungswinkel 27 Steigungswinkel 31, 269, 272 – am Flankenradius 186 – des Gewindes 266 –, mittlerer 325 Stellring 299 Sternpunktleiter 148 f. Sternschaltung 148 ff. Sternspannung 148 Steuerstrom 157 Stiftverbindung 299 Stirnfräsen 345 ff., 350 –, außermittiges 351 –, mittiges 351 –, Schnittkraft 351

Sachwortverzeichnis Stirnmodul 321, 324 Stirnschnitt 318, 320 Stirnverzahnung 299 Stoffmenge 87 Stoffmengenkonzentration 88 Stokes 206 Stoß, gerader zentrischer 198 –, vollkommen elastischer 198 –, vollkommen unelastischer 198 Stoßabschnitt 198 Stoßanfall 315 Stoßkraft 198 Stoßlinie 198 Stoßzahl 198 Stoßzahlbestimmung 198 Strahlungsaustauschzahl 165 Strahlungsfluss 165 – des wirklichen Körpers 165 Strahlungskonstante 57 –, allgemeine 165 Strahlungszahl 176 Strangspannung 148 Strangstrom 148 Strecke halbieren (Mittelsenkrechte) 49 Streckenlast 219, 222 Streckgrenze 95, 259 f., 293, 297, 315 –, Rp 0,2 0,2-Dehngrenze 312 Stromdichte 115 Stromfehlerschaltung 123 Stromflusswinkel 140, 160 Stromstärke 115, 118 –, elektrische 58 Strömung, gestörte 207 –, laminare 207, 210 –, turbulente 207, 210 Strömungsgeschwindigkeit 206 f. –, kritische 206 Strömungsgleichungen 206 Strömungsrichtung 207 Stufensprung 331 Stülpmittelpunkt 281 Stützfläche 177 Stützkraft 181, 222 – bestimmen 219 –, Biegemomente und Durchbiegungen 222 ff. Stützwirkung, statische 297 Substitutionsgleichung 37 Summenbremse 189 Summenformel 21 Summenregel 36 Suszeptanz 141 Symbole für Form und Lagetoleranzen nach DIN ISO 1101 252 System, metastabiles 96 –, metrisches 60 –, stabiles 96 systematische Benennung anorganischer Verbindungen 73 – – organischer Verbindungen 74 – – von Säuren und Säureresten 74 Tangens 20

Sachwortverzeichnis Tangenssatz 18 Tangente 51 Tangentengleichung 29 ff. Tangentialbeschleunigung 194 Tangentialkraft 200, 235 Tangentialspannung 235, 240 f., 243 Tangentialverzögerung 194 Tangentkeil 298 technische Stromrichtung 118 Teilkegellänge 324 –, mittlere 324 Teilkegelwinkel 323 Teilkreis 318 Teilkreisdurchmesser 321, 324, 327 Teilkreisgeschwindigkeit 328 Teilkreisradius 320 Teilkreisteilung 320 –, Normalschnitt 321 Teilkreisteilung, Stirnschnitt 321 Tellerfeder 280, 284 –, Auflagefläche 282 –, Berechnung 273 –, Querschnitt 281 Tellerhöhe, lichte 281 Tellerrad am Kraftfahrzeug 267 Temperatur, thermodynamische 57, 163 Temperaturänderung 218 Temperaturbeiwert 116 Temperatur-Fixpunkte 172 Temperatur-Linie 163 f. Temperatur-Umrechnungen 172 Tetmajer 233 – -Gleichungen für Knickspannung 233 f. Thyristor 157 ff. Toleranzeinheit 248 Toleranzen in Zeichnungen, Eintragung 250 – und Passungen, Grundbegriffe 247 ff. Toleranzklasse, Eintragung 250 Torsion und Abscheren 238 Torsionsbeanspruchung, reine, Sicherheitsnachweis 293 Torsionsbeanspruchung, Sicherheit 296 Torsionsmoment 239, 290 –, zulässiges 236 Torsionspendel 196 Torsionsschubspannung 239 Torsionsspannung 260, 266 –, vorhandene 236 Torsionswechselfestigkeit 294 Totlage 197 Träger 221 Tragfähigkeit, Berechnung nach DIN 743 293 Trägheitskreis 220 Trägheitsmoment 56, 195 f., 202 ff., 274 –, Definitionsgleichung 202 – für gegebene parallele Drehachse 202 – für parallele Schwerachse 202 – (Massenmomente 2. Grades), Gleichungen 203 Trägheitsradius 202, 219, 228 ff. Tragtiefe 244, 246, 271 f. Transformator, einphasig 138

389 Transistor 155 f. –, Kennwerte, Grenzwerte 156 –, Verstärkung 156 –, Vierquadranten-Kennlinienfeld 155 Trapez 13 Trapez-Blattfeder 275 Trapezfläche 182 Triac 159 f. Triebkraft (Kolbenkraft) 205 trigonometrische Funktionen, Grundformeln 21 Tripel 1 Überdruck 209 Übergangspassung 249 Übergangstoleranzfeld 254, 257 Überlaufweg 342, 344, 352, 364 Übermaß 300, 303 – (Haftmaß) 301 –, errechnetes 305 Übermaßpassung 249 Übermaßtoleranzfeld 254, 257 Übermaßverlust 300 überschlägige Ermittlung des erforderlichen Spannungsquerschnitts und Wahl des Gewindes 260 Übersetzung 200, 320, 323, 325 Übersetzungsverhältnis, Trafo 138 Umdrehungsparaboloid 184 Umfangseinstechschleifen 366 Umfangsfräsen 345 ff., 350, 352 –, Schnittkraft 350 Umfangsgeschwindigkeit 55, 192 f., 197, 202, 370 – (Zahlenwertgleichung) 327 – der Schleifscheibe 367 – des Werkstücks 367 Umfangskraft 188, 319 –, Bezeichnungen 291 –, Teilkreis 318 Umfangslängsschleifen 365 Umfangsschleifen, Einstechschleifen 367 –, Längsschleifen 367 Umfangsstirnfräsen 352 Umkehrfunktion 6 Umkreis, Radius 17 Umkreisradius 13 Umlaufdurchmesser 342 Umlaufsinn 119 Umrechnung von km/h in m/s 190 – – Winkeleinheiten 19 Umrechnungstabelle für Leistungseinheiten 60 – – metrische Längeneinheiten 60 Umschlingungswinkel 188 Umwandlung, passiver Wechselstromzweipole 146 –, Stern-Dreieck 150 Unendlichkeitsstelle 43, 48 Unterdruck 161 Unterspannung 279 Unterspannungsfestigkeit 279 U-Stahl, Bezeichnung 228 –, warmgewalzter rundkantiger 228

390 v, t-Diagramm 190 VDI-Richtlinie 2230 261 Ventil 210, 212 Verdampfungs- und Kondensationsenthalpie 174 Verdampfungsenthalpie 162 Verdrehschub 287 f. Verfahrensfaktor, Aufbohren 362 –, Bohren ins Volle 362 Vergleichsmittelspannung 296 Vergleichsmoment 240, 290 Vergleichsspannung 239 f., 260, 290 – (reduzierte Spannung) 266, 268 –, Bestimmung 239 Vergütungsstahl 100, 294 Verlängerung 216 f. Verlustfaktor 141 Verlustleistung 115 f., 151, 156 f. Verlustleistung im Antrieb 339 – – Getriebe 339 – – Motor 339 Verschiebekraft 185 –, resultierende 186 Verschieberäder 299 Verschieberädergetriebe 299 Verschiebesatz von Steiner 202, 220 Verschleißmarkenbreite 340 Verspannkraft 309 –, zentrische 263 Verspannungsbild 264 Verspannungsdiagramm 262, 264 Verzögerung 191 Vickershärte 94 Vieleck 13 –, regelmäßiges 13 Viereck (Quadrat) 13 Vier-Kräfteverfahren 180 Vierschichtdiode 158 Viéta 9 Viskosität, dynamische 56 –, kinematische 56 V-Nullgetriebe 323 Vollwelle und gleichelastische Werkstoffe, Formänderungsgleichung 303 Vollwinkel und rechter Winkel 19 Vollzapfen 187 Volumen 14, 184 –, spezifisches 161, 166 Volumenänderungsarbeit 167 Volumenausdehnungskoeffizient 162 f., 174 Volumendehnung 217 Volumenstrom 207, 209 –, (theoretischer) 208 Volumenzunahme 162 Vorschub 330, 335, 345 – je Einzelkorn (Rundvorschub) 365 f. – – Schneide 355 – pro Schneide 345 –, Richtwerte 346, 355 – DIN 803 (Auszug) 330 Vorschubgeschwindigkeit 332, 339, 348, 357 Vorschubkraft 337, 339, 351, 362 Vorschubleistung 339, 363

Sachwortverzeichnis Vorschub-Normalkraft 351 Vorschubreihe 330 Vorschubrichtung 330 Vorschubrichtungswinkel 346, 347 Vorschubstufung 330 Vorspannkraft 262, 264 – für Riemen, Bezeichnungen 291 –, gegebene axiale 260 Vorspannung, innere 280 Vorspannungskraftverlust 265 Vorzeichenregeln 3 ω, t-Diagramm 193 Walzenfräser, drallverzahnter 349 –, geradverzahnter 349 –, zylindrischer 348 f. Wälzlager 298, 327 –, Bezeichnungen 289 Wälzpunkt 318 Wandrauigkeit, absolute 211 f. –, relative 210 Wärme 57, 161 –, spezifische 57, 161 –, zu- oder abgeführte 168, 170 Wärmeausdehnung 162 – fester Körper 162 – flüssiger Körper 162 – von Gasen 162 Wärmedurchgang 164 Wärmedurchgangskoeffizient 57, 165 Wärmedurchgangszahl 165, 176 Wärmekapazität 118 –, mittlere spezifische 161, 173 –, spezifische 57, 166, 172 Wärmeleitfähigkeit 57, 163 Wärmeleitung 163 Wärmeleitzahl fester Stoffe 175 – von Flüssigkeiten 175 – von Gasen 175 Wärmemenge 57, 118, 161 Wärmespannung 218 Wärmestrahlung 165 Wärmestrom 163 ff. Wärmeübergang 164 Wärmeübergangskoeffizient 57, 164 Wärmeübergangszahl 164, 175 –, Formeln 164 Wärmeübertragung 163 f. Wärmewirkungsgrad 118 Wattsekunde 199 Wechselbelastung 313 Wechselgrößen, Kennwerte 139 f. –, Mischgrößen 140 Wechselpermeabilität 136 Wechselstromtechnik 139 ff. Weg 191 Weitwinkelfräsen 349 Welle 289 f. –, Toleranzfeld 305 –, unteres Abmaß 305 –, Normen (Auswahl) 288

Sachwortverzeichnis Welle-Nabe-Verbindungen, Kerbwirkungszahlen 295 Wellenbund 299 Wellendrehmoment 301 Wellendrehzahl 315 Wellendurchmesser 290 –, rechnerischer 290 –, überschlägige Ermittlung 290 Wellenende, kegliges 298, 306, 308 Wellenentwurf 290 Wellenleistung 188 Wellenmaße 248 Wellennut 315 Wellennuttiefe 315 Welligkeit 140 Wendepunkt 43, 48, 222 Wendeschneidplatte 333 Werkstoffe, anorganisch nichtmetallische 108 –, kurzspanende 336 –, langspanende 336 Werkstoffvolumen 339 Werkstück, Momentangeschwindigkeit 348 Werkstückdrehzahl 331 Werkstückform-Korrekturfaktor 337 Werkzeug-Anwendungsgruppen 361 – – Richtwerte 360 Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück 353 f. Werkzeug-Bezugsebene 334 – -Bezugssystem 334 Werkzeugdrehzahl 357, 363 –, erforderliche 348, 357 Werkzeugkegel 307 Werkzeug-Orthogonalebene 335 Werkzeug-Schneidenebene 334 Werkzeugverschleiß-Korrekturfaktor 337 Werkzeugwinkel 334, 348, 360, 368 – am Bohrwerkzeug (Spiralbohrer) 360 – am Messerkopf 348 Wertigkeit, stöchiometrische 71 Wichte 161 Wickelverhältnis 278 ff. Widerstand, elektrischer 58, 115 – in Rohrleitungen 209 f. –, linearer 153 –, magnetischer 128 –, nichtlinearer 153 –, spezifischer 115 f. –, temperaturabhängiger 116 Widerstandsmoment 229 ff., 237 –, axiales 218, 220, 289 –, erforderliches 218 –, – polares (Zahlenwertgleichung) 236 –, polares 220, 266, 272 Widerstandszahl 210 – von Leitungsteilen 212 Windungssteigung 277 Winkel halbieren 50 –, ebener 55 Winkelbeschleunigung 55, 193 f., 202, 204 Winkelgeschwindigkeit 55, 187, 192 f., 200, 202, 204, 240

391 –, maximale 196 Winkelgeschwindigkeitslinie 193 Winkelhalbierende 17, 28, 183 Winkelstahl, Bezeichnung 229 –, ungleichschenkliger, Bezeichnung 230 –, warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger 229 –, – ungleichschenkliger rundkantiger 230 Winkelverzögerung 194 Wirkabstand 179, 235 – der Auflagereibung 186 Wirkdruck 208 Wirkgeschwindigkeit 332, 347f., 357 Wirkgröße 141 Wirkleistung 363 – (Zerspanleistung) 339 Wirkrichtungswinkel 347 Wirkungsgrad 117 f., 188, 200, 205, 269, 326 – bei Lastheben 187 – des Rollenzugs 188 –, Kühlöldurchsatz und Schmierarten der Getriebe 328 –, thermischer 162, 171 Wirkwiderstand 115, 141 Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand) 192 –, senkrechter 190 Wurfdauer 192 Würfel 14 Wurfgleichungen 192 Wurfhöhe 192 Wurfweite 192 Wurzelgleichung 9 Wurzelrechnung (Radizieren) 5 Zähigkeit, dynamische 206, 210 f. –, kinematische 206, 210 f. –, Umrechnungen 206 Zahl, komplexe 1, 7 –, rationale 1 –, reelle 1 Zahlenpaar, konjugiert komplexes 7 Zahlenwertgleichung 200 Zahn im Normalschnitt 318 ff. – – Stirnschnitt 320 Zahnbreite 320, 326 Zahndicke 320 –, Kopfkreis 323 Zahndickennennmaß, Normalschnitt 323 –, Stirnschnitt 322 Zähnezahlverhältnis 320, 323 Zahnfußhöhe 325 Zahnhöhe 327 Zahnkopfhöhe 322, 324 Zahnrad 298 f. –, Kräfte 317 Zahnradgetriebe 317 –, Normen 317 Zahnvorschub 346 Zapfen 290 –, Normen (Auswahl) 288 Zapfenradius 187

392 Zapfenreibzahl 187 Z-Diode 154 Zehneck 14 Zehnerpotenz 5 zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte (zeichnerische Gleichgewichtsaufgabe) 180 Zeichnung, Eintragung von Toleranzen 250 Zeigerdiagramm 139, 148 Zeit 191 Zeitabschnitt 190 Zeitdiagramm 139 Zeitfestigkeit, Nachweis 284 Zeitfestigkeitsdiagramm 284 Zentipoise 206 Zentrifugalmoment 219 Zentripetalkraft 201 Zentriwinkel 182 Zerreißfestigkeit 287 Zerspankraft 336 f., 350 f., 362, 369 – am Einzelkorn 369 – beim Umfangsschleifen 369 –, Komponente 337 Zerspantechnik 329 –, Grundbegriffe 329 –, Normen (Auswahl) 329 Zug und Biegung 238 Zug- und Druckbeanspruchung 217 Zug/Druck und Torsion 240 Zug/Druckwechselfestigkeit 294 Zugbeanspruchung 287 Zugfeder 273 –, innere Vorspannkraft 280 –, zylindrische 273 Zugfestigkeit 95 Zughauptgleichung 260

Sachwortverzeichnis Zugkraft 188, 260 – wirkt parallel zur Ebene 185 – – waagerecht 185 Zugspannung 240, 259 f., 284 –, größte 218 –, mittlere tangentiale 304 –, resultierende 238 Zugversuch 95 Zündspannung 159 Zündstrom 159 Zündwinkel 140, 160 Zustandsänderung, adiabate 170 f. –, Carnot'scher Kreisprozess, Gleichungen 167 –, isobare 168 –, isochore 167, 169 –, isotherme 169 –, isovolume 167 –, polytrope 170 –, polytrope, Sonderfälle 170 Zustandsgleichung idealer Gase, allgemeine 166 Zweigelenkstab 177 Zwei-Kräfteverfahren 180 Zweipunkteform der Geraden 27 Zweirichtungs-Diode 158 – -Thyristordiode, Diac 158 – -Thyristortriode, Triac 159 Zweiweg-Gleichrichtung 140 Zykloide 12 Zykloidenbogen 45 Zylinderdeckel-Verschraubung 261 Zylinderführung 186 Zylindermantel 203 Zylinderspule 136 Zylinderstift 299, 313