Höhere Mathematik - Formeln und Hinweise [9 ed.]

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(~eometrle.

Pot •• Wurzeln. Logarltbmen

8.6-9

Höhere Mathematik - Formeln und HinweiseKleiner Wissensspeicher Bearbeitet und zusammengestellt

komplen Zahlen

8.10

Trigon. u. hyperbol. Funktionen

S.11-16

Trigonometrie

S.I6-17

Deiermlnanten

8.18-21

von Wilbelm Göbler t Ma&rl_en 8.22-27

Lineare Op&lmlerunl

8.!8-a7

9., unveränderte Auflage

Vektoren Vektoranal)'.I.

8.18-41

Analr&liehe Geome&rle

8.44-48

Fuaktlonea

S.49-67

Folgen und Reihen

8.68-6-1

DUferen&lalu. laterralreebnunc S.86-78

Iniegra&lonlmethoden Integrale S.79-86

Dlfferen&lalgeome&rle 8.86-87

Dllleren&laIIleh~bunpn

(U•• -An.ak)

8.88-9-1

Komblna&orlk Wahriebeln· lIehkel&areehnDnlr S.96-tO:!

M&&hema&". S&a&lltlk

VEB Deutacher Verlag für Grundstoffindustrie Leipzig

8.101-113

S&a&1ß. Tabellea

8.114-119

LoIarllbmen KODl&an\en

8. t:!t-I!I

I

9.• unverAnderte Auflaae Copyright by VEB Deutaoher Verlag für Grundatoffindustrie. Leip.... 1970 überarbeitete Auflage: @) VEB Deutecher Verlq rtlr Grundstoffindustrie, Leipzilr. 1985 VLN 152 - 915/n/85 LSV 1014 RedaktloD88Chluß: 15.9. 1981 Lektor: Dipl.-Min. Barbara Bufe Printed in the GenIUln Demooratio RepubUo 1111181295 ~))nUDUDer:5i08108

00850

Vorwort Die Notwendigkeit und der Zweck von \Vissensspeichern in einer Zeit der sprunghaften Entwicklung und Erweiterung der Wissenschaft bedürfen keiner besonderen Begründung. Mit dem vorliegenden kleinen Wissensspeicher "Höhere Mathematik - Formeln und Hinweise" soll nun den bereits vorhandenen Formelsammlungen nicht eine weitere, sondern eine anders geartete hinzugefügt werden. Aufbauend auf den Kenntnissen der Elementarmathematik, an deren wichtigste Formeln und Sätze aus Geometrie, Arithmetik und Goniometrie erinnert wird, wurden in den einzelnen Gebieten der höheren Mathematik nur die wesentlichen Formeln aufgenommen, die im Rahmen der Grundlagenvorlesungen an den Hochschulen, Ingenieurhochschulen und Ingenieur. schulen behandelt werden. Das gleiche gilt für die Auswahl der Integrationsmethoden und Typen von Differentialgleichungen, deren Lösungsweg jeweils angedeutet wurde. Auf diese Weise bleibt genug Raum zur AufgabensteIlung in Seminaren, Belegaufgaben, Übungen und Klausuren, und es wird verhindert, daß die Studenten nur Werte einzusetzen haben und dadurch zu formalem Arbeiten verleitet werden. Zum leichteren Aufsuchen der Formeln und Beziehungen wurde - obwohl eine Formel. sarnmlung kein Lehrbuch sein kann und soll - dem Wissensspeicher die Systematik eines Lehrbuches bzw. einer Vorlesung zugrunde gelegt, und zwar sowohl im einzelnen als auch insgesamt, ohne daß allerdings Überschneidungen und Verlagerungen gänzlich vermieden werden konnten. Die kurzgefaßten Definitionen und Erläuterungen arn Anfang jedes Gebietes stellen Erinnerungshilfen für die nachfolgenden Formeln dar. Neben der Vermittlung von mathematischem Wissen und rechnerischen Fertigkeiten if't es die Hauptaufgabe einer Vorlesung und damit auch des Wissensspeichers, das mathematisehe, logische Denken zu entwickeln. Beides, Systematik und Logik, sollen in erster Linie auch den Weg weisen, auf dem man die jeweils aufzusuchende Formel finden kann. Als weitere Hilfe kann sich der Leser nach den in der Inhaltsübersicht auf Seite 1 angegebenen Stufen ein Daumenregister schneiden. Wenn sich der Leser die Mühe gemacht hat, die Formelsammlung insgesamt und in ihren Einzelheiten im Überblick zur Kenntnis zu nehmen, wird er das Gesuchte schneller finden, als es mit dem Sachwörterverzeichnis möglich ist. Auch werden bewußte Erfahrungen und steter Gebrauch das Auffinden beschleunigen. \Venn an manchen Stellen auf die Literatur verwiesen oder gelegentlich ein Hinweis weggelassen wurde, so geschah das aus Platzgründen, da nicht zuletzt der "Übersichtlichkeit wegen der Umfang des Wissellsspeichers begrenzt werden mußte. Weiterhin sei auf darstellungsmäßige Schwierigkeiten bei den Gebieten "Mathematische Statistik" und "Optimierung" hingewiesen: Lehrbücher und Vorlesungen weisen hier vielfach unterschiedliche Symbolik und Lösungsmethoden auf, denen der Vielfalt wegen im einzelnen nicht Rechnung getragen werden konnte. Es war daher notwendig, sich jeweils für bestimmte Symbole bzw. Methoden zu entscheiden und nach Möglichkeit Hinweise auf andere Darstellungen zu geben. Es ist die Absicht des Verfassers, mit diesem kleinen Wissensspeicher allen Studierenden ein Arbeitsmittel in die Hand zu geben, das die Formulierung und den Ansatz mathematischer Aufgaben und damit deren Lösung erleichtert. Hinweise und Vorschläge, die der Verbesserung des Inhalts oder der Gestaltung dienen, werden gern entgegengenommen. W. Göh.le,.

3

Einige mathematlsebe Zelehen Zeichen

E,'läll terung

Beispiel

Analysis [a, b] (a, b) od.

Ja, b[

(a, b] od. Ja, b] [a, b) od. [a, b[

abge8chlo88enes lm ervall a offenes Intervall a

~

x

~

"

0)

= (-

i)"

(n-O,l, •.. )

;.A.

Darstellungsformen z = a e, b reell

r reell ;: 0

=- tp

0

+ b i = r (cos rp + i . sin rp) =

r·

z

eiq;

< 2n (Hauplwerl)

tp bis auf ganzzahllges VIelfaches von 2n bestimmt U mrechnung8formeln :

a = r· cos rp r

b

= Val + bl =

=

r· sin rp b

tanrp = -

[e]

rp

a

e1tp = cos rp

Eulersche Beziehung

=

b

arctan-

a

+ i . sin rp

(a

+ 0)

e-Itp = cos tp - i • sin rp

Addition und Subtraktion Zt

± Zt =

(0

+ b i) ± (e + d i) = (0 ± e) + (b ± d) i

Mult.iplikation

==

r1 (cos ffJl + i . sin rpl) • r. (cos rp. + i . sin rpl) r 1 r. [cos (ffJl + fP:) + i . sin (ffJl + rp.)]

Zt

=

=

Zt • Zt

Division

Z2

r 1 [cos (ffJl - fP.) r.

+ i . sin (ffJl

- rp.)]

=

= =

r 1 e 1tp l • r. e l IF. r 1 r l . el(tpl+tp.)

r 1 . e1(tpl- tp.) r.

Potenzieren (Satz von Molvre) (n reell) (cos fP %"

=

+ i . sin fP)"

[r (cos fP

=

C08 (n fP)

+ i· sin fP)]"

=

+ i . sin (n fP) r" [C08 (n '1')

+ i . sin (n '1')] =

r" e1(ntp)

Radizieren

"Vr (cos fP + i . sin fP) = "-[ Vr cos rp +k.2" n + i . sin!. +k.2"].n = Vr. e \.+ .... " Elnheltswuueln

":/f r.& =

cos

k . 360 0 n

+.I . sln . k. 360 --

"r; = Hauptwert mal "yI 10

0

n

(n (k -

2,3, •.. ) 0,1,2, .•• ,n -1)

Trigonometrische und hyperbolische Funktionen mit ihren Umkehrfunktionen (zugehörige KurV'cn s. S. 56/57)

Trigonometrische Funktionen Definition Im rechtwinkligen Dreieck . Gegenkathete Ankathete Sln ~ = cos ~ = = - - - - Hypotenuse Hypotenuse t an ~ =

Gegenkathete Ankathete

co

t

~

Ankathete = -=---:-~-Gegenkathete

Grundbeziehungen C08

2

~

tan

Trigonomctr. Funktionen am Einheitskreis

+ sin s ~ = ~

. cot ~

sin e

1 1

=

tan~=-­ C08:1:

Periodizität der trigonometrischen Funktionen

+ n . 360°) + n. 360°) tan (~O + n· 180°) cot (~O + n. 180°)

sin

(~O

cos

(~O

gerade Funktion ungerade Funktion.

= sin (~ + n . 2 n) = sin ~ = cos (1,1 :;; 0 sind. (e)

XI ~

Regeln für Var.-Austausch u. "Verbesserung" einer Lsg.:

- 2 Xl

XI

-

XI

Xl -

-

+ X. -

XI

+ Xs

3. NBV

Xr

mit Jln

Lösungsweg

V

15

>

Nordwesteckenreoel od. Prinzip des Zeilen-, Spalten- od. absoluten Minimums der Kosten Vogelsches N äherunosver/ahren o. a,

Ci}

ergibt eine Belegung von (m + n - 1) Feldern (Transportplan Tl); die zugehörigen Variablen sind Basisvariable.

2. Berechnung der (Hil/s-) Griißen Cij aus Ci} =

Ui

+ "J

{ = Ci} für alle BV

für alle NBV

:

a) in Felder (k, I) der BV XI'I die spez. Transportkost. Ctl eintragen (linke Zahlen); b)

UI

wählen (z. B.

UI

5 +d

d

5 -d

25

10

25

30 25

,

5 U4

U. Ci}

0

4

0

3

1

2

4

0

2

7

3

0

2

0

1

5

-1

6

9

7l=!!

6

0

5

0

3

3

"J

3

4

2

T2 mit d = 5 aus Tl 15

GI

5

20

berechnen, usw. 20

3. Berechnuna der relativen Kosten/aktoren c{j = CIJ -

30125

3

c) daraus t'J

30)5

= 0) und damit

"J = cIJ - U I bestimmen;

UI = CIJ -

2015

25 -d

15

bJ

0{

5

1. Aloorithmus zur Ermittluno einer zul. BL ~ zweckmäßige Aufteilung des Vorrats auf die Bedarfsträger nach

_

I

_ {=für0alle fiir alle BV NBV.

10

30

5

25

30

CC}

(rechte Zahlen; die kursiv gesetzten Nullen können sofort hingeschrieben werden)

4. Optimalitätskriterium:

~ul.

30

10

25

C{ju. c;J

alle c;J ~ 0

5. Erzeuouno einer .. t:erbe88ert~n"

15

bJ

BL:

a) NBV~. mit min (c:.) wird BV (= d);

X,.

b) Transportplan (Tl) mit = dentsprechend abändern, d, h.: d bei den BV 80 'subtrahieren od, addieren, daß Zeilen- und Spaltensummea unverändert bleiben. e) d = min (xcJ) für alle xCJ, von denen d subtrahiert wurde. Mit diesem dentsteht

X,.

d) ein neuer Transportplan (T2), in dem NBV als neue BV gegen die BV mit min (XIJ) ausgetauscht wurde. 6. Algorithmus (Schritte 2. - 4.) so lange wiederholen, bis alle c;J ~ O. (.. Kreisen" S. Llt.)

"I

U4

3

0

4

0

3

1

6

0

0

2

7

3

0

2

0

5

1

-1

2

4

3

0

2

4

5

0

-1

3

3

4

6

alle c:j ~ 0 T2 opt, Transllortllian mit X11 = Xu ,,;

15

XII

=

5

z ...... 20

10 x.. = 5 z.. co 25 (alle anderen x,J ... 0)

2mbl =

3 . 15 + 4 • 5 + 3 . 20 3 . 5 + 5 . 25 =- 285

+

+2.

10

+

37

I Vektoren I als Elemente etnes V, (od. RS) mit kartes. Koordlnatensyat. {O: ir, 11, z} und der kanonisch. Basis {i, i. f} bel t = (1,0,0), j = (0, 1, 0). f = (0,0, 1); vcl'M'l. S. 40 Vektoren: Cl

Vektor

=- (a,. a l

as). b = (bio bl • bs)••.• Skalare: A. ", ...

a, A, ä, Li, AB

oder

Q

•

Komponenten v. 11 bel ..Zerlegung" in bezug auf ein kartes. (od. 01111'.) Koord.-Syst. ah aso a s Koordinaten v. Cl in bezug auf die kanonische Basis H. t, f} ," 4 s • 4.

a

= a l i + a2 i + = (a., a~, aa)

a3 t

= e- i

01

Absolutbetrag

°=

la, =

Richtung

cos

os = a· r = a· i Vai + 0; + 0i Gegenvektor

°2

(X

cos y

=

cos -i. (e, t)

= ~

cos {J

=

=

eos ~ (c, f)

=~

cos 2 a:

+ cos

[u]

lai

Multlpllkatlo~

Äa

=

Ä (al'

Summe

a

=

2

{J

=

+ cos

2

a2

lai "

=

1

= A GI i + Ä aa j + A ~ f =

a2 • aa)

+b=

(a J + bJ ) i

+ (a

+ ba) j + (~

2

(a

(Komrnutatfvgesetz )

(Ä~.

+

b) + c

A a2 • A~)

+6

3)

=a+

Ä(p. a)

=

(Ä p.) u

f

(b + C) (As80zlatlvgesetz)

a-b=a+(-b)

Ortsvektor ~

cos -i. (e, j)

lai eines Vektors mit einem Skalar

a + b= b+ a

Differenz

= (-al' -(12' -U;,J

.!.

aO =

Elnhelt8vektor der Richtung a

(- a)

oP

0(0.0.0).

(z, y, e) =

xi

P(Z.If.Z)

+y j+zf

(Koordlnaten des Ortsvektors = Koordin. seines Endpunkt.)

Verbindung zweier Punkte Pl(Zh Yh I:t}

~

rund P2(Z2, Fl2, 1:1}

Ao

U

Vektor ~ = X2 - XI Entfernung Pt P 2

Skalares Produkt

=

V(x2

-

X 1)2

+ (Y2 -

+

c)

=

+ (%2 -

%1)2

(Inneres Produkt, Punktprodukt)

Definition: a· _ = lai 1-'eos(a, _) = a. b = b. a (Kommutativgesetz) a • (b

Yt)i

a • b

+

+ 02 bl + 0a ba

01 b]

a.a

=

a2

= a~

+

a~

wenn a .1. _, 80 a . b

OrthogonaUtit8bedlngung i·i=i·i=f·f=l

= lall

=

a· e

=0

a·b arccos-lallbl Komponente (ProJektion) Ton a In Richtung EInheitsvektor e

o :;;

0

Vx2 + y2

sin f{J

[System (x, y) ~ (x,

X=X-u

y=y+v

y=y-v

y

= =

X eos

~

x sin

IX

(~

Strecke PI P 2

2

X=X+U x

Drehung

+y

x = --

Koordinatentransformation Parallelverschiebung

2

y sin IX + Y eos IX -

< 2n

9'

=

y

y)

= JL

tan f{J

Vx2 + y2

(z ... 0)

x

und umgekehrt]

sind die Koordinaten des neuen Nullpunkts im alten System. tt, .,

x 11

= = -

eos

IX

x sin

IX

X

+ y sin +y

IX

COS IX

Drehungawlnkel im math, pos. Sinne)

Linge

Mittelpunkt P(x m, Ym)

StreckenteIlung T(xr, Yr)

Y". = Yl

Toilverhältoiä

_ Yl + ). YI Y r - I+}'

+ Y2 2

i. ... Pt T

T P,

Dreieck PI P2 P 3 Xl Yl

Xs Ya

Geradengleichungen Explizite Form

Punktrichtungsform

Zweipunkteform X -

Xl

=

Achsenabschnittsform

~+~= 1

Y2 - Yl X2 -

I

1

I

,

Y - Yl ---=m x - Xl

y=mx+b

Y - Yl

1

! x 2 Y2 1

Flächeninhalt

b

a

Xl

allg. Form Ax+By+C=O

Hessesehe Normalform X •

cos f{J

+ Y • sin f{J

- P

=

0

Ax+By+C=O ± YAI + B2

( ±: Vorz.

wählen.

der linken Seite nep· ttv wlrd.)

44

80

daß Ab80lutglled auf

Abstand d des Punktes Pt(Xh Yt) d =

Xl COS t:p

. + YI sm t:p

--

p

=

einer Geraden (Hesseform)

VOll

A

+ BYI + 0 ± V"A2+ B2

Xl

(±: 8. Dem. bci Hesseform)

----_-_=_

rJo = Ipl

Abstand der Gtofaden vom Nullpunkt

Schnittwinkel zweier Geraden Parallelitiitsbedingung: OrthogonBlitätsbedlngung:

WinkelhalbierendtAl

X + BI Y + o~_ ±YA~+B~

-+- A 2 X + B 2 Y + O2 ±YA:+B~

=

...

Kegelschnittsgleichungen (Achs. parallel z. Koordinatenachs. ; u, v Koord. v. M Mittelpunkts- GI I h allgemeine e c ung

Tangente und Polare

- - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - ---------- -

Allgem.

A x2

+0X+ +Dy+E=O

+

B y2

A

Xo x

+

Kreis

Xl

+

D

+ (y

Yo Y

80

=

(x o - u) (x - u)

(x - U)2 , (y - V)2 = al! - ~ b2

1

(xo - u) (x - u) a2

-

+

y)

+

E

0

=

r2

V)2 =

U)2

x)

kommt zur Parallelverscbiebung

rl

(X -

+ -o (x o + 2 + "2 (Yo +

= ~2------"- ---T~~-~

y2

f. P.(r,v.)

--------------

B Yo Y

(Tritt ein gemiscbt-quadratiscbes Glied FXIf auf, noch ci ne Drehung hinzu.)

.A=B

bzw. 0 bei allg. Lage)

+ (Yo -

v) (y - v) = r 2

Ellipse .A.B

glch. Vorz.

.A",B

versch, Vorz.

lAI = IBI

xl! yl - - - -2= 1 a2 b (x - U)2 _ a:!

x2

-

=

y2

1------

Xo X Yo Y _ 1 '(i2-/;2!

(y -

V)2 =

1

b2

(xo - u) (x- u)

---a-2 -

.-

.

-

(Yo - v) (y - v) _ ] ---.--- b 2 - - -_.

a 2 (gleichseitig)

._-

Parabel

Scheitelgleichung

A = 0 od, B = 0

y2

=

1

=

b2

I~--~-----

~._-

Hyperbel

+ ~!.o_-=-_~U~_-=-v)

± 2Px

x2

=

± 2p Y

Yo Y

= ± p(x +

x o)

Xox

= ±

+

Yu)

+ Xo + Yo -

u)

p(y

allg. Gleichung (y -

1')2

(x -

U)2 =

=

± 2 p (x ± 2 p (y -

u) v)

(Yo - v) (y - v) (x o - u) (x - u)

= =

± p (x ± p (y

-

u

-

v

v)

45

(p

Parameter; t lineare Exzentrizität; _ numerische Exzentrizität)

Scheitelgleichung

y2

= 2Px

~ [~]x

< Polargleichung

P=a 1 Ellipse

e

- - - _P, -------

r=

b2

Ellipse Hyperbel

2

Parabel

e =-=

•.

1 - e cos rp

a

>

1 Hyperbel

(Die Polargleichung gilt für den linken Brennpunkt der Ellipse, für den rechten Brennpunkt der Hyperbel. bei _ ... 1 für deu Brennpunkt der Parabel und bei E = 0 für den Mittelpunkt des Kreises.)

Exzentrizität

e

=

Hyperbelasymptoten y

=

V +-~~

Ellipse Hyperbel

a2

b

-!- --.-..... a •

x

Diskussion von Kegelschnitten AUg. Kegelschnittsgleichung 0ll z2

+ 022 y2 + 2 a12 x Y + 2013 z + 2023 Y + 033 = an an a 13 an a 22' a 23 a 3l aa2 U'33

A

A 9= 0 A = 0

Au

la12~31 a a

A 32

A 33

a121

aik

Iaa

=

23

22

lau a 21 a 22

13

an

23 an

0 I

I

aki

,

nicht zerfallender Kegelschnitt zerfallender

> A 9= 0

und

und ParaUelverschiebung

A33

Ellipse

(ggf. imaginär)

= 0 Parabel

< > AS3 = 0
2 versch. reelle Wurzeln q ... D - 0 1 Doppelwurzel < 2 konj. kompl. Wurzeln

ni.iJl#ung8Wei8e LöllUng: 8. Sekantenverfabren oder Tangentenverfahren S. 78 Vietasche Wurzelsitze Xl

(für P.(x) = 0)

+ x 2 + . . . + X" = _

Xl X 2

+ Xt Xa + ... + Xl

X"

a,. -1 a"

+ X 2 X a + X 2 X. + .. , + X 2 X" + '" + X"-l X" = 011-2 an

Berechnung von Funktionswerten : p,,(xo) Horner-Schema

60

/

/

/

a.

b1

b2

/

b,,-2

/

b"-l

P .. (zo)

Interpolation Die ganze rationale Funktion n-ten

Die Gleichung der Parabel n·ter Ordnung Y = ao x R

+

CIt x ft -1

I Grades I

+ ... +

aft -1 x

+

an

für die zu (n + 1) voneinander verschiedenen Werten x o, Xt, .•• , x" die (n + 1) Funktionswerte Yo, Yl' ••• , Y,. vorgeschrieben sind,

+

die durch (n 1) vorgegebene Punkte Po(xo, Yo), P 1(X1, Yl)' ••• , Pft(x", Yn) hindurchgeht,

kann durch folgenden Ansatz bestimmt werden:

+

y = Co

Cl (x -

+ c, (x + c" (x

x o)

+

Ca

(x -

x o) (x -

Xl)

-

x o) (x -

Xl) ••• (x -

X(_I)

-

x o) (x -

Xl) ••• (x -

X"_l)

+

c, (x - x o) (x - Xl) (x -

XI)

+ ...

+ ...

nach Newton Die Koeffizienten Co, Ct, ••• , Ci' ••• , c" werden schrittweise dadurch berechnet, daß für x = x o' Xl' • • • , x R jeweils Y die zugehörigen Werte Yo, Yl' • • • , Y" annimmt.

Steigungsschema ZI

fll-sf

Z,

fI, -

sr

s'f

...

kote Steigung:

fli

z.

11.

~-1_~-1

SI:

s8

ZI

z.

SII

si- fll-fl, 2

z, -

Xe

SI _ fI. - fI,

fI.

a

.

z, -z,

.

1

l

k - 1,2, , ft i ... k, k+ 1, ••• ,ft

ZI-Z,

Sl .. fI.- fI,

I :I:I-Z

1-

~2 s~-st --Z,-ZI

s~-st

fI, -

C, -

B1-~ Sa - ~-Z,

SJ--Z,-Zl

1I

CI ...

i

81;

sg

- 0, I, .•., ft

DIfferenzenschema hel äquldlstanten Argumenten Xo

W I .1 Yl --

.1- note DiUereDZ8palte z. B • .d1fl. - fI. - fI.

1yo]

Xl

.11Yl XI

.1"'1 -

~

[4äyo

I

Co

Yo

Ct =

.d"

1

.11yo

---,;-

lyo

.11y. Xa

=

.12Yl

YI

.d.... -

CI

Ya

=

.1 21hll

nach Lagrange

Ansau: mit

Y = Lo(x) Yo L(x)

=

+

L 1(x) Yl +

... +

L,,(x) Y.

(x - x o) (x - Zt) ..• (x - Xi-I) (x - XiH.) .•• (X - X.) (x( - x o) (Xi - Xt) ... (Xi - Xi-I) (x, - Xi+l) ••• (X, - X,,) (Das Glied mIt dem Index i fehlt; i = 0, 1, ... , n)

51

.

Taylorsche Formel für Polynome P .. (z) = ao

.-.

+ alz + atzt + ... + a .. _lz.. - t + _.. z" = l:-.z·

Der Funktionswert an einer beliebigen Stelle x kann durch den Funktionswert und die Ableitungen an der festen Stelle X o ausgedrückt werden; p~O)(Z) - P,,(x): p,,(x)

=

p,,(xo)

+ p~(xo)

(x -

xo)

I!

+ . . . + p~")(xo) (x

-

=

xo)"

n!

gebrochene rationale Funktion (a". b.

echt gebrochen:

n 0 x = r· cos qJ y

I

=

=

qJ

r· sin qJ

=

aretau JL

x

=

arcsin

y VX2+y2

JJf{P) dw = JJfex, y) dx dy = JJf(r cos qJ, r sin qJ) r dr dqJ 18

18

18

Transformation von ebenen kartesischen Koordinaten in allgemeine ebene krummlinige Koordinaten u und". x = 'x(u, e) u = u(x, y) y = y(u, e) I

=

J

Jf(P) dee

v

=J

18

=

=J

ff(X, y) dx_dy

18

mit g(u, v)

(.c,

v(x, y) J g(u, e)

1Istet.. dif!b. Fktn.)

I:~:: ~~ Idu dv

18

= f[x(u, v);

y(u, v)]

und

== IXII

8(x, y) 8(u, e)

X" I' y"

I YII

(.

O. s, S. 21)

Integrationsgrenzen entsprechend der Transformation indern b

d

Z-/J

I(-C

b

d

J J fex) . g(y) dx dy = Jfex) dx . J g(y) dy

bei testen Grenzen

/J

Dreifache Integrale

fff J(x, y, e) d:e dy de = fb { f

I(.(Z)

IR

S-/J

I(-I(I(Z)

,.(z, y)

[

f

]}

J(x, y, z) de

dy dx

Z-ZI(Z,I()

Der durch .... -I(Z, If) und _ - _.(z, If) unten bzw. oben begrenzte räumliche Bereich IR liegt über dem ebenen Bereich 18 der z. If-Ebene. der tür a :; x :; b durch die Kurven If ... Ifl(X) und I' - If'Pllllkt mit der zlIsützlichell Bedingung

y' = j'(x w ) = 0

Ebene Fläche unter d. Kurve y = j(z)

b

A

=

Bereich

Jj(x) dz

AlB

~

/J

=

JJ dxdy IB

Leibnizsche Sektorformel

,

b

As =

~

J

(y dz - x dy)

Z=/J

f

tB

=

~

t~

(y

~

-

x

y) dt = ~

t~

f

(x

y-

y x) dt

t.

75

= f(;r, y)

Fläche im Raum z

J:r; = 0 und J" = 0 D =Ju·Juu-Ji,>

a) notwendige Bedingung:

Extrema

b) hinreichende Bedingung:


t1 0 1>

bl ,

0>

0

0>0

01 > b l , 0>

82

0

(:r4

.J... I

~)I 2

I

f

dx -1-2:-s-in-x-

j'

sin" x dz

f f f J

COS2

X

-

X

= -~- (x 2

= -!... (2 x

- sin x . cos x)

sin n x . cos m x dx = _ ~ [COS (n + m) x 2 n+m

+

+ ~ - 2

=

dx tan x .:t 1

J cot x J cot 2

+ ~ In [sin x

f. Vorz ... -"

X

+ m) X]

sin (n - m)

X]

cos .~~ - m)

X]

--n---m--

=

dz

= -

In [sin xl cot x - x

J~~x_- = ~

-

(n+m;n.m>O)

n-m

dx

+ cos z]

2

+"

n+m

+

2

f. Vorz ...

X

- co 2

m) x_ _ sin (n

~. [Sin (n + m) x 2 n +m

J tan x dz = - In [cos xl J tan x dx = tan x - x

t

4

n-m

2

cos n x . cos m x dz =

=

.~- (2 x + sin 2 x)

=

~ [Sin (n -

=

+ tan 2

- sin 2 x)

4

!2-(x + sin x • cos x)

dx =

sin n x . sin m x dz

f

f

C X) + tan (1'4:+:2

=

dz -I---c+,-----c-os-x -

I

J arcsin x dz = x . arcsin x + y~ J arccos x dx = x . arccos x - VI - x

2:

cot x

2

+ ..!.-In [sin x ~ cos xl 2

lxi :a; 1

2

f f f J J

arctan x dx

=

x· arctan x - {-ln (I

arccot x dx

=

x . arccot x

+ ~

=

_1_ (sinh x. cosh x - x)

dx

=

_1_ (sinh x

-dx -- =

sinh x

2 2

»

cosh x

J arcosh x dx

J J

=

arcoth x dz

= x.

arcoth x

)

= ~(sinh 4

~(sinh

=

4

J

--- =

J coth x J coth

2 X

-

2x 2x

2 x)

+ 2 x)

2 arctan e%

dx

=

In [sinh xl

dx

=

x - coth x

Vx +T V 1 2

x . arcosh x -

artanh x dz = x· artanh x

+ x)

2

dx cosh x

I x I In !tanhi 2

J tanh x dz = In (cosh x) J tanh 2 x dx = x - tanh x J arsinh x dx = x . arsinh x

+x

In (I

Sinh 2 x dx

COS h 2 X

+ x2)

x ;;;: 1

Xl -

+ ~

In (I - x 2 )

lxi< 1

+ ~

In (Xl -

lxi> 1

1)

83

f In x dx =

f Ig x dx = M f In x dx =

x . In x - x

f

x" In x dx

x"+l =- ( In

f

(ln x," dx x

=

f

dx - 1 x (In x)" - (n --l)(ln x)"-l

f f f f f f

n+l

1

-ln ac

la + b eC2:1

= -elU- (a sin bx ~+~

x x b - - - dx = - - - 2 In la x ax b a' a

+

d = aI((n -

x (a x + b)" x

= In x - a f~

n+ -1

[sin (ln x) - cos (ln x)]

a

%

e CZZ sin bx dx

b cos bx)

f

+ bl

f f f

eC%

-----::--dx a b e C%

+

e CZ % C08 bx dz

1- [sin (In x) + cos (ln x)]

=

cos (In x) dx

1

=-

bc

la + b eC%1

In

a

= -e - (a cos bx + b sin bx) %

~+~

- _x- - dx = b___ (ax+b)2 a 2(ax+b)

a

1)

J

dx (x - a)"

Ix - c]

+

= _

I

1) (x -

(n -

__

2

:!

~- [.r }/x2 ---=-~:!

od.

n

-

2

x dx =

~

j X - = -~ 2x2

a2

b

ab

(x ya

2

arctan

x

-

2

~x a

+a

2

arcsin : )

2

In (x

-- a21n (.l:

-7- y;-2 - a 2 )J

lxi< a

b J a-~~-2

-

2x2

-=

~- artanh !!- x

ab

y a- -±-xd x 2

2

x

I +

2

2

1/2+2 a - -ya x - aln - -:.-x1I

~fa _

x

.x', a 2

f ---+

+ aJ

x< a t. Vorz. ,,-"

I

f. Vorz.

,,+"

f. Vorz. ,,-"

84

+

/a x

(x+a;n>l)

a)"-l

-~- [x t r + n + a

(x yx 2+ a 2 + a2arsinh : ) od.

yx 2 - a2dx = {- (x yx 2 - a 2 _~2 arcosh : )

J

+ ~2 In

b 1) (a x + b)n-l - (n - 2) (a x + b)"-2

2

yx 2+ a 2dx =

Jya

0)

+

- -dx- = -x C

+ be

>

(x

(In x)"+l n 1

fSin (ln x) dx = ; a

x - -'-1 -) n+I

n+I

Al (x In x - x)

Rekursionsformeln

nganzzah~

~ [- ~

J

sin"

ax dz =

J

cos"

ax dx = ~ [~

ax sin"-1 ax + (n

cos

ax cos"-1 ax + (n

sin

J x" sin ax dx = - ~ [X" cos ax -

nJ

f X"

n

sin ax d X -x"

_

t an"

[x71 sin ax

1

ax dx =

-

ax

[ sin

xn -

n - I

x"-1

1

tan"-1

a (n -

1)

zn -1

-1 sin

ax -

Jtan"-2 ax

sinh"

ax dx = ~ [~

sinhn- 1 ax . cosh ax

J

cosh"

ax dz = ~ [~

sinh

J

n+l

f

sinh,,-2 ax

dX]

1) J cosh,,-2 ax

dX]

(n - 1)

[x71 e tlz - n

(n

J x"-1 etl~ dX] af etl~ dX]

_

2 (n -

1)

a2

x

(Xl

+ a2 )n - l

x I I 2 (n - 1) . (x2 a2 )"

(x2 + a2 )" - dx =

+

0

n> 0,

x"-l

_ 1_ _ [

>

n

J(In x)n dz = x (In x)" - n J(In x)"-l dx dx - = J (x2 + a2 )"

n>O,

n~2

1_ [e % n - 1 x"-1

X"

-

ax . coshn- 1 ax +

tl

=

n+l

dx

= - [--~cotn- 1 ax + JCOt"-2 ax dX] a (n - 1)

J x" e az dx = ~

n>O,

zn-I

J

dz

ax dX]

+ aJ sin ax dX]

f

az

dX]

cos ax

n>O

j zn

cot 71 ax dx

je

ax dX]

zn-I

1

1_ [COS ax

- 1) J cos,,-2

dx]

cos-ax aJ - dX ]

--- ---- -

n - I

dx =

cos ax x"

J

~

ax dx =

---

J

J

cos

- 1) J sin"-2 ax

n +1

n+- 1

+ (2 n

-

3)J

dx ] (x2 + a2 )n - l (a

+ 0,

b

+ 0)

n _ 2,3, •••

- 1

für natürliche Zahlen m, n gilt: 2n

1 sin nz . C08 m:c d:t

2n

o

o

2n

1 sin nx dx ... 0

1 sin n:c• sin m:c d:t

2n

1 cos nz dz

o

=

0

0

2n

1

o

C08

nz •

008

mz d%

_. 0

l J

0 n

+n

für

m

für

m - n

n uqerade n gerade

85

Differentialgeometrie Für ebene Kurven in kartea. KoordInaten:

Parameterdarstellung:

du d.x

11--

;.

{ z - >(lI

z=

:) =

~ ZP -l e- bZ

b

e»0

e-bz

o

(p

=

0)

(r(JI)

Kurve s,

(s, Tab. S. 123)

1)

F(z) =

zSO

r

EX= P

l _ e-

z>O

bZ

o

{

z>O xO

r~)

"zP

Z

>0

z~O

e-"zP

0)

p > (x> 0

z>O

0

z~O

Prüfverteilungen xl-Verteilung

f(>:)

~

(s,

:i1

Tab. S. 118/119)

1

x

..!!. 2

-1

e

_:.... 2

z>O

r (; ) z~O

20

n Freiheitsgrad

t- (Student-) Vertellung

fex)

1

=---=

ynn

(8. Tab. S. 115)

r(~)

1 n+l

r(;) (1 + :2)-2

n Freiheitsgrad

P-Vertellung

(n. Fisher)

z>O

fex)

=

o m. n Freiheitsgrade

100

Verteilung für Funktionen von Zufallsgrößen (X. 8 2 ,

8

Vertelhmg

mit

Funktion

z" n s,

I-I

s X,

X,: 1r~(x)

i

X

0=

A(x)

A = 1; A, I

p"(x, p) mit

E X,

X, :

11/(/, (

1

Z=X-/J

X

a

1) (0 14.u

X:N

o

=

111

+

nl

N(O,I)

:N(p.OI)

-

z==x·-I'yn

n

N(14, ~i)

(X, unabb.)

)

ni=l

(n -- 1)

'=1

mit

1r

(unabb.)

+ X.

_1_

0:)

N (. ; k, P' • . ; k;

i-I

XI

S. 103)

8.

N(O, 1)

SI

C=-_···0·

X: N(/I.~)

X: N

X : p"(x);

(für großes n;

E" i-I

X;

N(O, 1)

X, : S(O. 1) u. unabh.

m 1~ -n~~ F

(p, l' (l n- 1'»)

a. Funstregel S. 98)

8.

z:,.

=S: S:

z~ uuabh,

-'"(PI' Oll)

u.

1 Oll); 0 1

N(PI.

=

(2 unabh. Stpr, v, Umfang

F nl - 1 , "1- 1

I

Oll

"I bzw. "I)

I

l\lehrdimensionale Verteilungen Zufallsvektor I (X .. XI> ...• X")

ist ein n-Tupel von Zufallsgrößen (Merkmalen) XI. X.. .. ,X" (Komponenten)

Yertellungsrunktlon eines zweidimensionalen Vektors F~·(XI.XI)

= Ft».. x,)

zweldlmen8lonal~

=

P(X I