Neue Theorie und Berechnung der Kreiselräder: Wasser- und Dampfturbinen, Schleuderpumpen und -Gebläse, Turbokompressoren, Schraubengebläse und Schiffspropeller [2. Auflage. Reprint 2019] 9783486739916, 9783486739909

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Neue Theorie und Berechnung der Kreiselräder Wasser- und Dampfturbinen, Schleuderpumpen und -Gebläse Turbokompressoren, Schraubengebläse und Schiffspropeller

Von

Dr. Hans Lorenz Professor der Mechanik an der Techn. Hochschule zu Danzig

Zweite, neubearlbeitete und vermehrte Auflage

Mit 116 Abbildungen

München und Berlin Druck und Verlag von R. Oldenbourg 1911

Dem Andenken des großen Mathematikers

LEONHARD EULER, (1707 — 1783)

des Begründers der Hydrodynamik und Turbinentheorie

gewidmet.

Vorwort. Die erste Auflage dieser Monographie, welche im Herbste 1906 erschien und eine systematische Zusammenfassung meiner bis dahin über das Turbinenproblem veröffentlichten Abhandlungen enthielt, hat in Fachkreisen ein erheblich größeres Interesse erweckt, als ich ihres vorwiegend theoretischen Inhaltes wegen erwarten durfte. Das geht nicht nur aus dem verhältnismäßig raschen Absätze, sondern auch aus lebhaften Erörterungen über die vorgetragene Theorie und ihre technische Verwendung hervor, an denen sich erfreulicherweise auch praktisch tätige Ingenieure beteiligten. In dieser Diskussion, sowie in den Besprechungen der ersten Auflage, kamen alle Abstufungen zwischen rückhaltloser Anerkennung und schroffster Ablehnung zum Ausdrucke, was bei der in der technischen Literatur noch ungewohnten Behandlungsweise durchaus verständlich erscheint. Von den gegnerischen Äußerungen schieden für den Verfasser alle diejenigen von vornherein aus, in denen unter Verzicht auf jede tiefere wissenschaftliche Einsicht die Anwendung der Methoden der Hydrodynamik auf die Flüssigkeitsbewegung in Kreiselrädern grundsätzlich bekämpft wurde. Schwerwiegender waren dagegen verschiedene Einwände gegen die achsensymmetrische Behandlung der Strömung und die hierdurch bedingte Einführung des neuen Begriffes der Zwangsbeschleunigung, also eines die Schaufeln ersetzenden Kraftfeldes. Die den Einwänden zugrunde liegende Verkennung dieses Schwerpunktes meiner Theorie fällt mir insofern zur Last, als ich das Wesen der Zwangsbeschleunigung und ihren engen Zusammenhang mit der Wirbelung als selbstverständlich erscheinend in der ersten Auflage wohl nicht deutlich genug hervorgehoben hatte. Das ist dann u. a. von B a u e r s f e l d , S t o d o l a und L o e w y in bemerkenswerten Abhandlungen in der Zeitschrift für das gesamte Turbinenwesen (1907 bis 1909) sowie von F ö p p 1 im *

VI

Vorwort.

sechsten Bande seiner Vorlesungen über technische Mechanik (Die wichtigsten Lehren der höheren Dynamik 1910) mit aller wünschenswerten Klarheit nachgeholt worden, womit die Erörterungen über diesen Punkt geschlossen, und die Grundlagen meiner Theorie als gesichert betrachtet werden konnten. Deren weiteren Ausbau hat insbesondere B a u e r s f e l d , der schon 1905 nach meinen ersten Arbeiten auf die wichtige Bedingung der Normalstellung der Zwangsbeschleunigung zu den Schaufelflächen hinwies, durch einige daraus gezogene Schlüsse für die Flächen konstanter Energie im Kreiselrade wesentlich gefördert. Natürlich sind diese schönen Untersuchungen in der vorliegenden Neubearbeitung berücksichtigt worden, zumal sich daran weitere Folgerungen für die Profilgestaltung von Kreiselrädern und deren Schaufelformung anknüpfen ließen. Außerdem wurden, zum Teil in einem Nachtrage am Schlüsse dieses Buches noch einige, in den Besprechungen der ersten Auflage mit Recht beanstandete formale Mängel bei der Herleitung der Grundgleichungen beseitigt, ohne daß dadurch die Ergebnisse eine Änderung erfuhren. Dagegen schien mir, schon um den Leser zur selbständigen Weiterarbeit anzuregen, eine Vermehrung der untersuchten Strombilder mit Rücksicht auf ihre eventuelle Verwendung zur Profilgestaltung ringwirbelfreier Flüssigkeitsbewegungen zweckmäßig. Dabei ergab sich, daß die in der ersten Auflage allein für Radialräder benutzte und von P r a s i 1 zuerst (1903) für die Gestaltung von Saugrohren vorgeschlagene Strömung nicht nur einen gleichartigen Energieumsatz aller Flüssigkeitselemente verbürgte, sondern auch, daß dieser Umsatz gleichzeitig verlief. Diesen Forderungen, welche die Berechnung der Räder so überaus einfach und bequem gestaltete, genügt aber auch eine etwas allgemeinere Strömung zu beiden Seiten eines Kreiszylinders um die Achse, bei der ebenfalls die Radialgeschwindigkeit nur vom Radius abhängt, die Achsialgeschwindigkeit dagegen linear mit dem Abstand von der Normalebene durch den Anfang variiert. Es lag daher nahe, auch diese Stromfunktion zur Profilgestaltung von Rädern unter Ausschaltung eines zylindrischen Kernes vor allem dann zu benutzen, wenn eine starke Welle den Saugraum durchsetzt. Anderseits ermöglichte der Stromverlauf innerhalb des erwähnten Zylinders die exakte Formung der Übergangsringe zwischen dem Laufrade und dem Spiralgehäuse, deren willkürliche Gestaltung bisher häufig die Quelle beträchtlicher Energieverluste bildete. Den Spiralgehäusen selbst hat mein Bruder R. L o r e n z in der Zeitschrift f. d. ges. Turbinenwesen (1907) eine Abhandlung gewidmet, deren wesent-

Vorwort.

VII

liehe Resultate aufgenommen und zu einer neuen Berechnung des Gehäusequerschnittes verwendet wurden. Dasselbe gilt von einer eigenen Untersuchung über die Schaufelenden (ebenda 1908) mit Rücksicht auf die als Strahlkontraktion gefürchtete Diskontinuität der Strömung, deren Vermeidung dort bestimmte Krümmungsradien der zylindrischen Schaufeln bedingt. In der hierdurch erreichten Wirkungslosigkeit der letzten Schaufelstreifen scheint mir auch der Schlüssel für die überaus mannigfaltige Schaufel- und Profilgestaltung der sog. Francisturbinen zu liegen, deren analytische Behandlung nach unserer Theorie vorläufig an mathematischen Schwierigkeiten scheitert. Daß die von mir vorgeschlagenen Radialräder bei angenähert gleicher Dimensionierung die Francisturbinen noch nicht ersetzen können, dürfte aus den Versuchen von E. R e i c h e l (Z. f. d. ges. Turbinenwesen 1908) hervorgehen, die ich darum auszugsweise wiedergegeben .habe. Im Gegensatz hierzu haben Pumpen und Gebläse nach unserer Theorie sich vortrefflich bewährt, wie aus einigen ebenfalls angezogenen Versuchen, die von verschiedenen Firmen unabhängig von mir durchgeführt wurden, erhellt. Insbebesondere haben sie bereits in Frankreich, dank der sorgfältigen konstruktiven Ausbildung durch den Ingenieur H. S t r e h l e r i n Nancy eine erhebliche Verbreitung gewonnen. Anderweitige Versuche mit Verbundrädern gaben mir Veranlassung zu einer Untersuchung des Druckverlaufes innerhalb der einzelnen radial hintereinander geschalteten Schaufelkränze mit Rücksicht auf den Einfluß der als kritisch bekannten Übereinstimmung der Strom- und Schallgeschwindigkeit. Außerdem wurden die Beispiele des Turbokompressors und der Dampfturbinen von meinem Kollegen A. P r ö 11 auf Grund der Tatsache neu berechnet, daß die kleinste Schaufelbreite wegen der Spaltverluste nach unten zu beschränkt sein muß, wodurch der praktische Wert der betreffenden Abschnitte gewonnen haben dürfte. Der neuerdings mehrfach aufgeworfenen Frage der Verwendung von Verbundrädern in Kühlmaschinen und Verbrennungsmotoren bin ich ebenfalls nähergetreten und habe die Ergebnisse meiner Untersuchung, die ich teilweise schon in der Zeitschrift f. d. ges. Kälteindustrie (1910 und 1911) veröffentlichte, am Schlüsse des Kapitels über Radialräder wiedergegeben. Im Gegensatz zu der bis auf die Einführung der Bewegungswiderstände ziemlich exakt durchführbaren Theorie der Radialräder kann diejenige der Achsialräder nur als ein rohes Annäherungsverfahren gelten. Daran ließ sich auch in der Neubearbeitung wenig

Vili

Vorwort,

ändern, wenn es auch gelang, die in der ersten Auflage willkürlich angenommene lineare Änderung der Flüssigkeitsenergie längs der Achse aus der Näherungslösung III § 10 zu begründen. Weiterhin wurde aus der Bedingung des Minimums der Gesamtverl uste für Propeller eine Formel für den günstigsten äußeren Radius abgeleitet, deren frühere Unkenntnis gelegentlich durch fehlerhafte Wahl dieser wichtigsten Abmessung zu niederen Wirkungsgraden geführt hatte. Dazu kam noch infolge zu geringer Flügelzahl eine meist unerwünschte Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit, die bei Schrauben mit konstanter Steigung durch den Eintrittstoß gedämpft wird, der bei Propellern nach unserer Theorie im Normalgange nicht auftreten soll. Hierüber geben die nach einer Veröffentlichung von A. P r ö 11 in der Zeitschrift des Vereins d. Ingenieure (1910) aufgenommenen Vergleichsversuche, die von mir mit Unterstützung der Kaiserlichen Werft in Danzig angestellt wurden, willkommenen Aufschluß. Aus ihnen geht deutlich die Verbesserung der Propellerwirkung mit zunehmender Flügelzahl bei gleichgehaltener Gesamtflügelfläche hervor, so daß man wohl nach dieser Richtung auf weitere praktische Fortschritte hoffen darf. Das Interesse an einer wissenschaftlichen Klärung der Propellerwirkung ist in der jüngsten Zeit besonders durch die Bedürfnisse der Luftschiffahrt geweckt worden, während der Schiffbau noch immer an der rein empirischen Berechnungsmethode festhält, durch die der Einblick in die wirklichen BewegungsVorgänge geradezu verschleiert wird. Dies liegt natürlich nur an der Außerachtlassung der für Propeller wie für jedes andere Kreiselrad gültigen E u 1 e r sehen Momentenformel, die man in schiffstechnischen Arbeiten z. B. dem wegen seines reichen Inhaltes ah praktischen Erfahrungen anerkannten Werke von T a y l o r »Resistance of Ships and Screw-Propulsion«, 2. Aufl. 1910, vergeblich suchen wird. Um so mehr hat es mich gefreut, daß in einer' ausgezeichneten Abhandlung über Luftschrauben (Zeitschrift f. Flugtechnik 1910—11) H. R e i ß n e r der Momentengleichung gerecht wird, wenn er auch unter Verzicht auf das Ideal der achsensymmetrischen Strömung andere Wege einschlägt, wie ich. Aber auch er kommt zu der Überzeugung, daß die von einem Propeller zu erfüllenden Bedingungen auf Gleichungen führen, die nicht in voller Strenge miteinander vereinbar sind. Man wird demnach bis auf weiteres auf Näherungslösungen angewiesen bleiben, von denen ich für die hier niedergelegte wohl den Anspruch der größten Einfachheit um so eher erheben darf, als sie bereits praktische Resultate gezeitigt hat.

Vorwort.

IX

Die eingehendere Behandlung der wissenschaftlichen Grundlagen unserer Theorie der Kreiselräder sowie die Aufnahme neuerer eigener und fremder Forschungen und Versuchsergebnisse, über die das Literaturverzeichnis im Anhang Aufschluß gibt, war naturgemäß ohne eine Vergrößerung des Umfangs gegenüber der ersten Auflage nicht durchführbar. Um diesen nicht noch weiter anschwellen zu lassen, habe ich u. a. den historischen Überblick, der den größten Teil des Vorwortes der ersten Auflage bildete, gestrichen und verweise hierfür auf das Schlußkapitel meiner inzwischen erschienenen »Technischen Hydromechanik« (Lehrbuch der Technischen Physik, Bd. 3, 1910), in der auch noch andere Strömungsvorgänge ausführlich betrachtet werden. Ebenso findet man dort einen Abriß der eindimensionalen oder Stromfadentheorie der Kreiselräder, die vorderhand zur Verfolgung des abnormalen Ganges dieser Maschinen nicht entbehrt werden kann, und daneben die Aufklärung eigentümlicher Schwingungsvorgänge ermöglicht, wie solche sich z. B. bei den oben erwähnten Versuchen von E. R e i c h e l störend geltend machten. In der »Technischen Hydromechanik« habe ich meiner Theorie der Kreiselräder nur einen kurzen Abschnitt gewidmet, dafür aber ihre grundsätzliche Verschiedenheit von der bald darauf veröffentlichten dreidimensionalen Theorie von P r ä s i 1 hervorgehoben, deren weiterer Entwicklung ich, nachdem die zwischen uns entstandenen Mißverständnisse behoben sind, mit größtem Interesse entgegensehe. Eine Verwechselung beider Theorien, die in ihren Anfangsstadien gelegentlich vorkam und vermutlich auf die gemeinsame, von P r ä s i 1 angeregte Benutzung von Zylinderkoordinaten zurückzuführen war, ist jetzt wohl kaum noch zu befürchten, weshalb ich die angezogene Darlegung hier nicht zu widerholen brauche. Zum Schlüsse danke ich noch meinen Herren Kollegen, den Privatdozenten Dr.-Ing. A. P r ö 11 und Dr.-Ing. R. P l a n k , sowie meinen Assistenten Dipl.-Ing. K. L a p p und stud. W. N o e t z e 1 für ihre Mitwirkung an der Berechnung der Zahlenbeispiele, der Zeichnung der Figuren und der Korrektur, ebenso der Verlagsbuchhandlung für die würdige Ausstattung des Buches. Möge dieses auch in seiner neuen Ausgabe der wissenschaftlichen Durchdringung technischer Vorgänge im Sinne des großen E u 1 e r Freunde erwerben. D a n z i g - L a n g f u h r im Juli 1911. H. Lorenz.

Inhalt Kapitel I. Hydrodynamische Grundlagen. § § § § § § §

i . Die Bewegungsgleichungen einer Flüssigkeit . 2. Umformung in Zylinderkoordinaten 3. Die zweidimensionale Strömung 4. Die rotationsfreie Strömung 5. Strömung mit Rotation , 6. Die wirbelfreie ebene Strömung 7. Allgemeine Theorie achsensymmetrischer Strömungen ohne Ringwirbel

Seite 1 8 14 18 27 38 48

Kapitel II. Die Radialräder. § 8. § 9. §10. §11. §12. §13. §14. § 15. §16. §17. §18. §19. §20. § 21.

Grundlagen der Theorie Einführung der Wirbelkomponenten Folgerungen für die Gestaltung von Kreiselrädern Profile von Radiallaufrädern Profile der Leitapparate von Radialrädern Die Schaufelform der Radialräder Die Schaufelenden der Radialräder Der Einfluß der endlichen Schaufelzahl Die Berechnung von Radialrädern Beispiele von radialen Wasserturbinen, Pumpen und Gebläsen . . Versuche mit ausgeführten Turbinen, Pumpen und Gebläsen . . . Die Gleichdruck- und Freistrahlräder Die Verbundräder . Der Druckverlauf im Innern der Lauf- und Leitkränze von Verbundrädern §22. Beispiele von Turbokompressoren und Dampfturbinen § 23. Die Verwendung von Kreiselgebläsen als Verdichter in Kaltdampfmaschinen § 24. Die Verwendung von Kreiselrädern in Kaltluftmaschinen und Verbrennungsmotoren

61 69 75 81 88 92 100 107 113 119 130 142 148 157 163 176 181

XII

Inhalt.

Kapitel III. Die Achsialräder. §25. §26. §27. § 28. § 29. § 30.

Allgemeine Eigenschaften der Achsialräder Theorie und Berechnung der Schraubengebläse Theorie der Schiffspropeller Berechnung der Schiffspropeller Versuche mit Schiffspropellern Die Achsialdampfturbine

192 198 204 210 220 227

Nachtrag zu § 9

235

Anhang. Verzeichnis der Schriften über die neue Theorie der Kreiselräder, ihre Grundlagen und Versuche

238

Kapitel I.

Hydrodynamische Grundlagen. § I.

Die Bewegungsgleichungen einer Flüssigkeit.

Aus einer in Bewegung begriffenen Flüssigkeit, welche tropfbar oder elastisch (d. h. gas- bzw. dampfförmig) sein kann, denken wir uns ein Massenelement dm herausgeschnitten, dessen Koordinaten in bezug auf ein festes rechtwinkliges Achsensystem O X Y Z mit vertikal nach unten gerichteter Z-Achse (Fig. 1) durch x, y, z bezeichnet sein mögen. Alsdann können wir' unter Einführung des s p e z i f i s c h e n F 1 ü s s i g k e i t sg e w i c h t e s y kg/cbm und der B e Fig. 1. s c h l e u n i g u n g d e r S c h w e r e g, sowie des vom Massenelement dm augenblicklich erfüllten Volumenelementes dx dy dz auch schreiben dm = — dxdy dz

(D-

Wirkt nun auf die Flüssigkeit eine ä u ß e r e K r a f t mit den Komponenten X, Y, Z, so entfallen davon auf unser Element die unendlich kleinen Bruchteile dX, dY, dZ in den Achsenrichtungen. Außerdem aber herrscht an jedem Punkte x, y, z der Flüssigkeit ein F l ä c h e n d r u c k p kg'qm, dessen Größe sich stetig von Punkt zu Punkt ändern kann, von der Richtung aber unabhängig ist. Infolge dieser s t e t i g e n Ä n d e r u n g wächst z. B. der auf die obere Fläche des Elementes (Fig. 2) wirkende Druck p bis zur Unterfläche, welche um dz tiefer liegt, auf p + ^

dz an, und ergibt, da diese Pres-

L o r e n z , Neue Theorie und Berechnung der Kreiselräder.

2. Aufl.

1

2

Kapitel I.

Hydrodynamische Grundlagen.

sungen als Wirkungen der umgebenden Flüssigkeit auf das Element entgegengesetzte Richtungen besitzen, einen Überschuß von — ^ dz. bz Multipliziert man diesen Überschuß mit dem zur Druckrichtung normalen Querschnitt dx dy des Volumenelementes, so ergibt sich eine Kraft •—• dz dx dy, bz welche in der Z- Richtung wirkend zu der Komponente dZ der äußeren Kraft hinzutritt. Sind dann (Fig. 1) mit den Projektionen dx, dy, dz eines Bahnelementes dx dy dz Fig. 2. (2) = ~dt die Komponenten der momentanen Geschwindigkeit des Massenelementes dm, so wird die vereinigte Wirkung der beiden Kräfte in der Z-Richtung eine Beschleunigung

hervorrufen,

derart, daß

dZ — ^ dz dx dy = ^^ dm. a bz dt Dividieren wir diese Gleichung durch dm mit Rücksicht auf dessen Wert Gl. (1), so erhalten wir dZ dm

g dp y dz

dw„ dt

und, da genau dieselben Überlegungen auch für die beiden anderen Richtungen gelten, zwei analoge Gleichungen für diese. In diesen Formeln stellen nun die Quotienten dX dY dZ (3) dm dm offenbar nichts anderes dar als die von den Komponenten dX, dY, dZ der äußeren Kraft allein auf das Element ausgeübten Beschleunigungskomponenten. Mit diesen dürfen wir das Ergebnis unserer dynamischen Betrachtung in der Form schreiben (Jx qy

—

g bp = y bx gbp= yby gbp = y dz

:

dwx dt dwy dt dwz dt

(4),

§ 1.

Die Bewegungsgleichungen einer Flüssigkeit.

3

welche schon die gesuchten B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n d e r F l ü s s i g k e i t darstellt. Dieselben sind, wie man aus ihrer Ableitung erkennt, ganz unabhängig von der Veränderlichkeit des spezifischen Gewichtes y, gelten also ebenso für tropfbare Flüssigkeiten wie auch für Gase und Dämpfe. Dagegen setzt ihre Gültigkeit voraus, daß auf jedes Flächenelement innerhalb der Flüssigkeit, z. B. dx dy nur ein normaler Druck p wirkt, den man auch als den h y d r a u l i s c h e n D r u c k bezeichnet. Damit haben wir die Möglichkeit eines R e i b u n g s w i d e r s t a n d e s , dessen Richtung stets in die Reibungsfläche selbst fällt und der folglich eine T a n g e n t i a l s p a n n u n g am Element hervorruft, ausgeschlossen. Da nun in Wirklichkeit alle Flüssigkeiten bei ihrer Bewegung Reibungswiderständen unterworfen sind, so stellt dieser Ausschluß eine Idealisierung des ganzen Problems dar, deren Berechtigung streng genommen erst nachgewiesen werden müßte. Auf theoretischem Wege ist dieser Nachweis indessen schon darum nicht zu führen, weil wir über das Wesen der Flüssigkeitsreibung vorläufig noch im unklaren sind. Dagegen hat die Erfahrung gezeigt, daß, solange gewisse Geschwindigkeitsgrenzen eingehalten werden, die sog. i n n e r e R e i b u n g der Geschwindigkeitsänderung von einer Schicht zur andern proportional ausfällt, während die der Wand benachbarte Schicht an dieser haftet. Dies führt z. B. in zylindrischen Rohren auf einen d e r m i t t l e r e n und dem QuerS t r om geschwin digk eit direkt schnitt indirekt proportionalen Widerstand, während beim Überschreiten der als kritisch bezeichneten Geschwindigkeitsgrenze die einzelnen Stromschichten regellos miteinander vermischt werden, so daß eine rechnerische Verfolgung dieser t u r b u l e n t e n B e w e g u n g bisher noch nicht möglich war. Dagegen haben neuere Versuche ergeben, daß in diesem praktisch wichtigsten Fall die G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g im F l ü s s i g k e i t s s t r o m e n a h e z u u n a b h ä n g i g von dem B e w e g u n g s w i d e r s t a n d e v e r l ä u f t , der a n s c h e i n e n d auf eine A b l ö s u n g von den W ä n d e n z u r ü c k z u f ü h r e n i s t und als G a n z e s in R o h r e n d e m Q u a d r a t e d e r m i t t l e r e n S t r o m g e s c h w i n d i g k e i t d i r e k t und dem D u r c h m e s s e r i n d i r e k t p r o p o r tional ausfällt. Dieser Erfahrungstatsache werden wir später durch nachträgliche Korrektion der Resultate der Bewegungsgleichungen einer widerstandsfreien Flüssigkeit gerecht werden. Eine Flüssigkeitsbewegung, gleichgültig ob mit oder ohne Reibungswiderstand verlaufend, übersehen wir erst dann in allen ihren l*

4

Kapitel I.

Hydrodynamische Grundlagen.

Einzelheiten, wenn wir sowohl den Druck p und das spezifische Gewicht y, als auch die drei Geschwindigkeitskomponenten wx, wz an jeder Stelle und zu jeder Zeit zahlenmäßig anzugeben imstande sind; d. h. wenn wir die Abhängigkeit dieser fünf Größen von den drei Koordinaten x, y, z und der Zeit t kennen. Dazu reichen aber die drei Differentialgleichungen (4) nicht aus, so daß wir noch zwei weitere heranziehen müssen. Die erste derselben ist nichts anderes als eine Beziehung zwischen dem Druck und dem spezifischen Gewicht y, f(p,Y)

=

0,

(5)

welche die Z u s t a n d s ä n d e r u n g der Flüssigkeit während der Bewegung angibt und auf thermodynamischer Grundlage gewonnen werden muß. Die letzte Gleichung erhalten wir endlich durch Untersuchung der in ein festgehaltenes Volumenelement dx dy dz während eines Zeitelementes dt ein- und austretenden Flüssigkeitsmenge unter der Voraussetzung einer s t e t i g e n Ä n d e r u n g d e r G e s c h w i n d i g k e i t u n d d e s s p e z i f i s c h e n G e w i c h t e s mit den Koordinaten. Betrachten wir zunächst allein die Bewegung in der z-Richtung, so ergibt sich, daß in die obere Fläche dxdy des Eley

mentes (Fig. 3) in der Zeit dt eine Flüssigkeitsmasse dt — wz dx dy eintritt, während durch die Unterfläche eine

Masse dt

4e alz.

^

dxdy

^

¿ 2 j | Wz +

dz J das

Volumenelement verläßt. Der Überschuß der austretenden Masse gegenüber der eintretenden 1 n - , i s t somit unter Vernachlässigung des unendlich dy bw Fig. 3. kleinen Produktes ^ x z dz1 höherer Ordnung oz

d x d y [ Ä

g

y

^

+

W z

M

(i'är + ^ a . /

d z

=

d i

oz

^ ) d x d y d z _

dz

Da wir nun zwei genau gleich gebaute Ausdrücke für den Überschuß der in den andern beiden Richtungen austretenden Masse gegenüber der eintretenden bilden können, so ist der Gesamtüberschuß offenbar dx dy dz^ dt [fr (r Wx) , d(yWy) ,

\ bx

Um

diesen

Betrag

hat

by

bz I

der Masseninhalt

g

des

Volumenelementes y

dxdy dz in der Zeit dt abgenommen. Derselbe betrug vorher - dx dy dz,

5

§ 1. Die Bewegungsgleichungen einer Flüssigkeit.

nachher aber i^y

^ dtj

^ ~

erhalten.

, so daß wir für die Änderung ^ ö/ dx dy dz 'ö* g

Setzen wir schließlich die beiden zuletzt erhaltenen Aus-

drücke einander gleich, so heben sich die Faktoren dt

dcc du dz

- — weg, §

und es bleibt d (y wx) dx ^

b (•/ wy) by ^

b (ywz) by _ bz ^bt

ß

'

'

'

* ''

Damit haben wir die noch fehlende Gleichung gewonnen, welche im Verein mit (5) und den drei Formeln (4) die vollständige Beschreibung der widerstandsfreien Flüssigkeitsbewegung gestattet. Da die Ableitung von (6) lediglich darauf beruhte, daß im durchströmten Volumenelement der stetige Zusammenhang der Flüssigkeit oder ihre Kontinuität während der Bewegung gewahrt bleibt, so bezeichnet man diese Formel meist als die K o n t i n u i t ä t s g l e i c h u n g . Ist die Flüssigkeit im speziellen Falle i n k o m p r e s s i b e l , was für tropfbare Flüssigkeiten bei Temperaturen weit unterhalb ihres Siedepunktes sehr nahe zutrifft, so wird an Stelle von (5) y = Const., und (6) vereinfacht sich in ö

.

^

bx

dy

bz

Ein anderer wichtiger Spezialfall ist derjenige der s t a t i o n ä r e n B e w e g u n g , den man in der Technik gewöhnlich als den B e h a r r u n g s z u s t a n d bezeichnet. Derselbe ist dadurch gekennzeichnet, d a ß a n j e d e r S t e l l e i n d e m b e t r a c h teten System dauernd derselbe Bewegungszus t a n d h e r r s c h t , so daß also die Größen y, p, wx, wy, wz an irgendeinem Punkte von der Zeit unabhängige Werte besitzen. Dies ist aber nur möglich, wenn die partiellen Differentialquotienten dieser abhängigen Variabelen nach der Zeit verschwinden, d. h. wenn

bwx bt

bt bw„ bt

' bt bWz

(?)

bt

wird, oder wenn diese Variabelen sämtlich nur noch Funktionen der Koordinaten sind. Unter dieser Voraussetzung geht zunächst die Kontinuitätsgleichung (6) in die Form

6

Kapitel I.

Hydrodynamische

Grundlagen.

bx by dz über. Multiplizieren wir dann weiter die drei Bewegungsgleichungen (4) der Reihe nach mit den Projektionen dx, dy und dz eines Bahnelementes und addieren, so erhalten wir qx dx + qy dy + qz dz

Hierin stellt die Summe der ersten drei Terme offenbar das auf die Masseneinheit der Flüssigkeit längs eines Differentiales ihrer Bahn ausgeübte A r b e i t s e l e m e n t d e r ä u ß e r e n K r ä f t e , welches wir mit dE bezeichnen wollen, dar, während sich der Klammerausdruck der linken Seite in das totale Differential dp zusammenfassen läßt. Anderseits dürfen wir auch unter Einführung der r e s u l t i e r e n d e n G e s c h w i n d i g k e i t w des Flüssigkeitselementes, welche mit den Komponenten (2) durch die Gleichung w2 = wx2 + Wy2 + w2 zusammenhängt, schreiben II

Wx

Wy

Jt

Wz =

W* dWx

Wy dWy

(8)

dWz =

wdw'

Damit vereinfacht sich unsere Gl. (4 a ) schließlich in dE = gdp- +wdw (9) 7 und besagt in dieser als E n e r g i e g l e i c h u n g bezeichneten Form, daß die v o n den ä u ß e r e n K r ä f t e n a u f d i e F l ü s sigkeit längs ihrer Bahn übertragene Arbeit einerseits zur Erhöhung des hydraulischen D r u c k e s , a n d e r s e i t s zur V e r m e h r u n g der k i n e t i s c h e n F l ü s s i g k e i t s e n e r g i e v e r w e n d e t wird. Die Formel (9) gilt ihrer ganzen Ableitung nach zunächst nur für einen unendlich dünnen Stromfaden, dessen Längenelement ds die Projektionen dx, dy, dz besitzt. Sie läßt sich aber vermöge der Gl. (5) stets integrieren, und zwar ohne Rücksicht auf die besondere Gestalt der Bahn, führt also bei gleichen Anfangs- und Endwerten von p und w für alle Stromfäden auf denselben Energieunterschied. Daher darf sie auch ohne weiteres auf alle Stromfäden oder mit anderen Worten auf die ganze stationär strömende Flüssigkeitsmasse angewandt werden.

§ 1. Die Bewegungsgleichungen einer Flüssigkeit.

7

Dann aber muß dE = qxdx

-f- qy dy + qz dz

auch ein vollständiges Differential für beliebige, nicht mehr als Bahnprojektionselemente anzusehende dx, dy, dz sein. Das trifft jedenfalls zu, wenn qx

~

q z

bx'

~

W

d. h. wenn die Beschleunigungskomponenten der äußeren Kraft Ableitungen einer Funktion der Koordinaten, eines sog. P o t e n t i a l s sind, die mit der auf die Masseneinheit entfallenden Arbeit identisch ist. Wirkt insbesondere auf die Flüssigkeit nur die Schwerkraft, etwa in der z- Richtung, so ist ?*'= 0, qy = 0, qz = g und (9) geht über in die Gleichung (9a)

gdz = g — 4- wdw 7

deren allgemeine Integrabilität ohne weiteres erhellt. In diesem Falle wird die äußere Arbeit allein von der Schwerkraft geleistet, deren Potential sich proportional der durchfallenen Höhe ändert. Sind bei der Bewegung in der Flüssigkeit R e i b u n g s w i d e r s t ä n d e zu überwinden, so entfällt auch auf diese ein Teil der von außen eingeleiteten Arbeit, den wir, entsprechend unseren obigen Bemerkungen über die Reibung, nachträglich durch einen Zusatz dW auf der rechten Seite der Energiegleichung berücksichtigen und damit an Stelle von (9) schreiben können dE = g ^

+ wdw + dW

(9b)

Integriert man diese Gleichung zwischen zwei Stellen mit den Pressungen p1 und p2, welche mit den Geschwindigkeiten wt und w2 von der Flüssigkeit passiert werden, so folgt Pi E =

+

Pi

+

W

(90)

Hierin ist das Integral stets ausführbar nach Elimination von y durch Gl. (5), während man die Widerstandsarbeit auf Grund der Erfahrung hinreichend genau der kinetischen Energie am Ende der Bewegung proportional annehmen und daher mit einem sog. W i d e r s t a n d sk oeffi zi en t en C

8

Kapitel I.

Hydrodynamische Grundlagen.

W = setzen kann.

(10)

Damit schreibt sich die obige Gleichung ( 9 b ) P-z

(11) Pl

und geht im speziellen Falle einer inkompressibelen Flüssigkeit über in * = + < < l i ' ) Angesichts der Willkürlichkeit der Einführung des Koeffizienten C, für den m a n überdies, um die Rechnungsergebnisse mit den Beobachtungen in Einklang zu bringen, von Fall zu Fall verschiedene Werte annehmen muß, werden wir in der Falge von demselben keinen Gebrauch machen und die Widerstandsarbeit einfach als einen bestimmten Bruchteil der äußeren Arbeit hinzufügen. § 2.

Umformung in Zylinderkoordinaten.

Da es sich in K r e i s e l r ä d e r n , dem Gegenstande der folgenden Untersuchungen, stets um Flüssigkeitsbewegungen handelt, welche symmetrisch um eine Drehachse gruppiert sind, so erscheint es zweckmäßig, dieser Tatsache sich von vornherein durch Wahl eines geeigneten Koordinatensystems als Rechnungsgrundlage anzupassen. Als solches bietet sich zwanglos ein sog. Z y l i n d e r k o o r d i n a t e n s y s t e m (Fig. 4), dessenZ-Achse mit derjenigen des Orthogonalsystems im vorigen Paragraphen zusammenfällt, während wir an Stelle der Koordinaten x und y den A c h s e n a b s t a n d oder F a h r s t r a h l r des Massenelementes und den D r e h w i n k e l rp der Projektion dieses Fahrstrahles in der ursprünglichen X 7 - E b e n e gegen eine mit der X-Achse zusammenfallende Anfangslage einführen. Das Volumenelement erscheint in diesem Systeme, entsprechend Fig. 5, als Elementarausschnitt aus einem Ring von der Höhe dz und der Breite dr mit der Öffnung d f , h a t also einen Inhalt r d r d z d f f , so daß wir für das M a s s e n e l e m e n t jetzt zu schreiben haben

§ 2. dm =

Umformung in Zylinderkoordinaten. — r dr dz dtp

9

(1).

Die resultierende Geschwindigkeit w zerlegen wir wieder in drei Komponenten, von denen die dritte mit unserer früheren Komponente wz zusammenfällt und A c h s i a l g e s c h w i n d i g k e i t heißen soll, während die beiden Fig. 5. Komponenten wx und wy durch eine Komponente wr, die sog. R a d i a l g e s c h w i n d i g k e i t , und eine weitere senkrecht zu wr und wz, die R o t a t i o n s - oder T a n g e n t i a l g e s c h w i n d i g k e i t wn ersetzt werden. Dieselben definieren wir durch die Gleichungen Wr =

dr ~r., Wn = dt'

d

sin (p i cos2 cp cos Cf x

so folgt

bp bp bp sin 9 — bcp r T bx — irbr (3) bp bp . . bp cos cp f = f siny + r ^ T by br brp r Ersetzen wir dann noch die" beiden B e s c h l e u n i g u n g s k o m p o n e n t e n qx u n d qy d e r ä u ß e r e n K r ä f t e nach Fig. 6 durch zwei Komponenten qr und qn in radialer und tangentialer Richtung, so ist qx = qr cos (f — qn sin

=

y bq>

d M dt

v

ai

schreiben kann. Da hierin sowohl das Moment qnr der äußeren Drehbeschleunigung qn wie auch das Moment (wnr) der momentanen Drehgeschwindigkeit w n der Flüssigkeit in bezug auf die Achse vorkommt, so wollen wir diese in der Folge vielfach benutzte Formel als die M o m e n t e n g l e i c h u n g der Flüssigkeitsbewegung bezeichnen. Schließlich können wir noch die Ausdrücke für die Beschleunigungen, welche in den Bewegungsgleichungen (5) bzw. (5 a ) erscheinen, in folgender Weise umgestalten. E s ist zunächst für die z-Richtung dwz ~dF

b wz . b wz dr "öi ör" dt

bwz d

nicht verschwindet, sondern nach der zweiten Formel (9) den konstanten Wert wnr selbst besitzt. Mit jedem Umlauf um die Achse wächst demnach das Geschwindigkeitspotential um den Betrag 2 nw n r, während wir allgemeiner mit einer willkürlichen Konstanten © 0 Q — (D0 = wnnpJf-^{wrdr+

(9C)

wzdz)

zu schreiben hätten, worin wr und wz nur mehr Funktionen von r und z darstellen, welche die Bedingungen (7 b ) erfüllen. Schließlich wollen wir noch den interessanten Spezialfall der r e i n e n F l ü s s i g k e i t s r o t a t i o n betrachten, welcher sich besonders leicht demonstrieren läßt. Hierbei beschreiben alle Teilchen lediglich Kreise um die z-Achse, besitzen also eine im allgemeinen veränderliche Winkelgeschwindigkeit e, während wr = 0 und wz — 0 ist. Da nun wn = re gesetzt werden kann, so folgt aus der ersten Gleichung (7 a ) für einen w i r b e l f r e i e n Raum er2 = Cj oder e = ^

(10)

Erfüllt die Flüssigkeit den ganzen Raum einschließlich der Achse, so kann in der Nachbarschaft derselben die Formel (10) nicht gelten, da sie für die Achse selbst auf unendliche Werte von e führen würde. Wir müssen uns also einen zylindrischen Raum um die Achse mit dem Radius r0 abgrenzen, in welchem ein Achsialwirbel ez = «0 existiert. Damit schreibt sich die erste Gleichung (7 a ), in der wir L o r e n z , Neue Theorie und Berechnung der Kreiselräder

2. Aufl.

3

34

Kapitel I.

Hydrodynamische Grundlagen.

jetzt, da andere unabhängige Yariabelen als r nicht in Frage kommen, die partielle Ableitung durch eine totale ersetzen dürfen

IM-2 dr

re °

und ergibt, integriert mit einer Konstanten C2,

Der Zylinder r 0 , innerhalb dessen die hierdurch gekennzeichnete Bewegung sich abspielt, enthält aber die Achse, in der e des Zusammenhanges wegen nicht unendlich werden darf. Deshalb muß die Konstante C2 von vornherein verschwinden, und es bleibt für den Innenraum e=--e0

(11)

Die Flüssigkeit rotiert also in der Umgebung der Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit wie ein starrer Körper, während für r > r 0 die Winkelgeschwindigkeit umgekehrt proportional dem Quadrate des Achsenabstandes sich ändert. Der Raum wird daher von zwei Bewegungsarten erfüllt, welche stetig ineinander übergehen, wenn also im Außenraum

er2 — s0r02

(10a)

gesetzt wird. Vollzieht sich der Vorgang im Beharrungszustand lediglich unter dem Einfluß der Schwere, so folgt mit wn = e0r für den Innenraum aus (2)

p

gdz — p dp + «o2r dr = Q oder integriert mit y = Const. g z - l p

e

±f=C,

+

(12)

2 Für den Außenraum dagegen ergibt (2) mit von = er- o'o

gdz-Up oder

+ ^dr a

f 2r 4

= 0 (13)

Die Gleichung bestimmt offenbar für konstante Werte von p Meridianschnitte von Flächen AA, welche sich asymptotisch einer Horizontalebene und der Achse nähern, während durch (12) Rotations-

§ 5.

35

Strömung mit Rotation.

paraboloide B C B dargestellt werden. Beide Flächen schließen sich, wie aus Fig. 17 ersichtlich, innerhalb der rotierenden Flüssigkeit stetig aneinander an. Bezeichnen wir die Koordinaten der Übergangsstelle beider Flächen mit t*q und z0, so wird für einen Druck p0 durch Abzug von (12) und (13) C

C — tp0 2' r0 2• °4 Außerdem aber legen wir die Ursprungsebene so, daß für den Atmosphärendruck p = p0 die Oberfläche (13) im Außenraum sich ihr asymptotisch nähert, d. h., daß mit z = 0, r = oo wird. Alsdann folgt aus (13) C4 = — |p 0 , also C?> = «o2^2 — | PoEingesetzt in (12) und (13) gibt dies _ .2 für r < r0 gz i L ( 2 r 0 > - r ? ) = |(p- •Po) r

>rQ

gz-

2r-

woraus schließlich mit p = p0

(12a)

(13-) ~{P- Po) r die Gleichungen der Oberfläche selbst =

für r < r0

(I2 b )

P 2r r 4 n o (13b) 2gr* folgen. Es ist gewiß bemerkenswert, daß die durch (13 b ) dargestellte lF=Ayr2z Kurve der im vorigen Paragraphen benutzten Stromfunktion genügt. Dies trifft auch noch für die allgemeinere Gleichung (13 a ) zu, wenn wir in dieser r

>r0

-

„

P — Po — z 7 setzen, woraus hervorgeht, d a ß d i e F l ä c h e n konstanten D r u c k e s aus e i n a n d e r durch v e r t i k a l e P a r a l l e l v e r s c h i e b u n g h e r v o r g e h e n . Die ganze Erscheinung läßt sich sehr schön in einem mit Flüssigkeit gefüllten Glasgefäß .AA, Fig. 18, beobachten, durch dessen Boden ein von außen in rasche Umdrehung versetzter zylindrischer Metallstab BB vom Radius r0 hineinragt. Dieser starre Zylinder tritt hier offenbar an Stelle der 3*

36

Kapitel I. Hydrodynamische Grundlagen.

im Räume r < r0 mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden Flüssigkeit. Die Abnahme der Rotationsgeschwindigkeit mit zunehmendem Radius im Räume r > r0 erkennt man am deutlichsten an fein verteilten eingestreuten festen Körpern, welche von der rotierenden Flüssigkeit mitgenommen werden. Denkt man sich im Meridianschnitt der A rotierenden Flüssigkeit irgendeine Fläche, I 3 z. B. einen Kreis abgegrenzt, so entspricht v/wmm/mMAdieselbe in der Gesamtmasse einem in sich zurücklaufenden Ring, den wir auch durch ein g e k r ü m m t e s R o h r ersetzen können. In einem solchen Rohr sind sonach Flüssigkeitsbewegungen mit norFig. 18. mal zum Querschnitt gerichteter Ge(10) und schwindigkeit wohl möglich nach den Gesetzen (11), niemals aber mit konstanten Werten von wn. Dieses Ergebnis ist besonders wichtig für den Übergang gerader Rohre in gekrümmte (sog. Rohrkrümmer), da im geraden Rohr nach dem Beispiel II des vorigen Paragraphen die Stromgeschwindigkeit im Querschnitt nur eine Funktion des Rohrradius sein konnte. Daraus müssen wir schließen, d a ß b e i e i n e m s o l c h e n Ü b e r g a n g d i e u r s p r ü n g l i c h e P a r a l l e l i t ä t der F1üssigkeitsb a h n e n i m m e r m e h r g e s t ö r t w e r d e n m u ß , je s c h ä r f e r d i e R o h r k r ü m m u n g g e w ä h l t w i r d , ohne daß man über den Verlauf der so gestörten Bewegung und die hierdurch bedingten Energieverluste etwas Näheres auszusagen imstande ist. Dagegen läßt sich ein derartiger Übergang unter Aufrechterhaltung der Wirbelfreiheit mit hinreichender Annäherung erzielen, wenn man sich mit einem a s y m p t o t i s c h e n A n s c h l u ß d e s K r ü m m e r s in die geraden Rohre begnügt. Haben wir es z. B. mit einem rechtwinkligen Krümmer zu tun, so empfiehlt sich die Einführung eines Achsenkreuzes 0 X Y, in dem die Kontinuitätsgleichung (6a § 1) unter Wegfall der Komponente wz bwx bwy _ Q (14) da;

by

und .die Bedingung der Wirbelfreiheit analog derjenigen im Meridianschnitt der achsensymmetrischen Strömung

§ 5.

37

Strömung mit Rotation.

lautet. Beide Gleichungen werden am einfachsten erfüllt durch die Ansätze wx = Ax, wv= —Ay (16)

V v'

x x ; " v

/ vn Fig, 19. mit denen die Stromfunktion

nach (14) durch (14

=

zusammenhängt.

)

Aus der Verbindung von (14a) und (16) folgt aber dlF =

bx

dx

+ ty

dy =

A d ( XyS>

3.8

Kapitel I.

Hydrodynamische Grundlagen.

oder mit einer willkürlichen Konstanten f , , ¥—% = Axy (17) Die in einer rechtwinkligen Ecke verlaufenden Stromlinien sind hiernach g l e i c h s e i t i g e H y p e r b e l n , die somit auch, wie in Fig. 19 und 20 angedeutet ist, zur Formung eines R o h r k r ü m m e r s verwendet werden dürfen. In diesen Figuren ist der Querschnitt der anschließenden geraden Rohrstücke kreisförmig angenommen worden, denen in der Krümmung dann erhebliche Verbreiterungen entsprechen. Insbesondere kann sogar, wie in Fig. 20, wenn man das Achsenkreuz in die Krümmerwand einbezieht, der Querschnitt durch den Koordinatenanfang eine Spitze enthalten, die aber praktisch unbedenklich ist, weil dort nach (16) mit x — 0, y = 0 auch die Geschwindigkeitskomponenten verschwinden. In beiden Figuren sind auch noch die Linien g l e i c h e r G e s c h w i n d i g k e i t s p o t e n t i a l e eingetragen, die sich aus b-£)

Zur Ermittelung des Stromverlaufes greifen wir nunmehr auf Gl. (7 b ) zurück, die mit (11) und (12) näherungsweise rdcp = wn0 r Jy\ ^ wn0 L y0 w02 L yVI dr wr0 \ y„ / (Vr0 L 2 agp0 \ r21J oder auch [(x _ * + i ^ V dr_i wr0 2xgpJ r 2xgp0 r* J geschrieben werden kann. Sie liefert durch Integration mit der unteren Grenze (p0 und r 0 d