Konstruktion von globalen Lösungen mit vorgeschriebenen Singularitäten bei partiellen komplexen Differentialgleichungssystemen [Reprint 2021 ed.] 9783112499788, 9783112499771

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S I T Z U N G S B E R I C H T E DER SÄCHSISCHEN A K A D E M I E DER W I S S E N S C H A F T E N ZU LEIPZIG Mathematisch-naturwissenschaftliche Band 109 • Heft 7

WOLFGANG

Klasse

TUTSCHKE

KONSTRUKTION VON GLOBALEN LÖSUNGEN MIT VORGESCHRIEBENEN SINGULARITÄTEN BEI PARTIELLEN KOMPLEXEN DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEMEN

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1972

SITZUNGSBERICHTE DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

109

• Heft

Klasse 7

WOLFGANGTUTSCHKE

KONSTRUKTION VON GLOBALEN LÖSUNGEN MIT V O R G E S C H R I E B E N E N SINGULARITÄTEN B E I PARTIELLEN KOMPLEXEN DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEMEN

AKADEMIE-VERLAG • B E R L I N 1972

Vorgelegt durch Herrn Maier in der Sitzung am 24. Mai 1971 Manuskript eingeliefert am 22. Februar 1971 Druckfertig erklärt am 1. Dezember 1971

Erschienen im Akademie .Verlag G m b H , 108 Berlin, Leipziger Straße 3 - 4 Copyright 1972 b y Akademie -Verlag G m b H Lizenznummer: 202 • 100/564/72 Gesamther9tellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg Bestellnummer: 7616857 (2027/109/7) • E S 19 B 4 Printed in German Democratic Republic 4,50

E s sei / eine komplexwertige Funktion, die in einer offenen Menge der 2-Ebene definiert sei. Erfüllt w die Differentialgleichung 8w ~dz

=

'

bzw. 8w so heißt w eine Stammfunktion im verallgemeinerten Sinn von / (vgl. [6])1). Mit Hilfe des aus der mehrdimensionalen Funktionstheorie stammenden Cousraschen Verfahrens (vgl. z. B. [1, 2, 4]) wurde in [7] gezeigt: Sind (in einem einfach zusammenhängenden Gebiet) umgebungsweise Stammfunktionen bekannt, so kann man aus ihnen eine globale Stammfunktion konstruieren. Anders formuliert: Aus lokalen Lösungen der obigen Differentialgleichung kann man eine globale Lösung konstruieren. In der vorliegenden Arbeit soll gezeigt werden, daß durch diese Methode auch allgemeinere Differentialgleichungen erfaßt werden können. Dabei werden von vornherein gleich Differentialgleichungssysteme beliebiger Ordnung für m zu bestimmende Funktionen Wi = Wi(z),

i =

i,...,m,

betrachtet. Darüber hinaus werden für die zu konstruierenden globalen Lösungen singulare Bestandteile (lokal) vorgeschrieben. Abschließend werden die erhaltenen Ergebnisse auf Funktionen mehrerer komplexer Variabler übertragen. Die zu betrachtenden Differentialgleichungssysteme L,[wu

...,wm]

= 0,

v = i, ..., r,

1

) Durch eine Spiegelung an der reellen Achse kann geführt werden. 1*

8z

= / in —— — / über8z

4

WOLFGANG TUTSCHKE

sollen im Fall von Funktionen einer komplexen Variablen z folgende Voraussetzung erfüllen: Ist Wi, ...,wm eine Lösung, so auch + n) ~

u x

( > V)) + »(«(£. V) - v(x,

y)).

6

WOLFGANG TUTSCHKE

Wendet man auf Real- und Imaginärteil den Mittelwertsatz an und ist

Q

—

eine Schranke für die Beträge der partiellen Ableitungen von u, v bezüglich Tj, so folgt |/(f) - f(z) |

^2j\£-x\+2j\V-y\^C\Z-z\.

Ist beispielsweise 1 (z + z*) 2 ,

Re[z] ^ 0,

_ _ l ( z + z *)2,

Re[z] ^ 0,

so ist wegen f(iy) — 0 die Funktion / in der ganzen z-Ebene stetig. Setzt man / = u + iv, so ist x ^ 0

2

u(x, y) =

¿1

und v{x,y)

Daraus folgt dttfa V) dx

=

z

= 0,

V{x,y). 8v(x, y)

dufa y) = 0, dy

dx

= .0,

Sv(x, y) dy

= 0.

Wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitungen erster Ordnung von u und v erfüllt / die komplexe LiPSCHiTZ-Bedingung (1), wobei zu jedem kompakten Teil der z-Ebene eine zugehörige LiPSCHrrz-Konstante C gehört. Wegen

J L dz*

ist auch

V.

8z*

l ( z + z*),

Re[z]2i0,

- 1 ( 2 + 2*),

Re[z]^0,

in der ganzen Ebene stetig. Dagegen ist 1 1 2 nur außerhalb dz*

der imaginären Achse stetig, denn es ist 1 32/ dz*2

- 1,

,

Re(z] > 0, Re[z] < 0.

Konstruktion von globalen Lösungen

7

Außerhalb der imaginären Achse ist / Lösung der Differentialgleichung

Also ist / eine f. ü.-Lösung dieser Differentialgleichung. Ist G ein Gebiet in der «-Ebene, so werden in der Arbeit die folgenden zwei Sätze bewiesen1): S a t z 1. In 0 seien lokal f . ü.-Lösungen gegeben, die miteinander verträglich seien. Dabei sollen im Durchschnitt U fl U' zweier Umgebungen die dort definierten Funktionen dj die komplexe Ixpscmiz-Bedingung (1) erfüllen2). Dann gibt es in 0 eine f . ü.-Lösung Wlt..., Wm, die in jedem V mit der dort vorgegebenen Lösung wu ..., wm verträglich ist. S a t z 2. In 0 seien lokal Lösungen gegeben, die miteinander verträglich seien. Dabei sollen im Durchschnitt U H V zweier Umgebungen die dort definierten Funktionen dj lokale Potenzreihendarstellungen in den reellen Variablen x, y besitzen (x + iy = z). Dann gibt es in G eine Lösung Wlt ..., Wm, die in jedem U mit der dort vorgegebenen Lösung wlt ...,wm verträglich ist. B e m e r k u n g 1. Ist G ein von der ganzen z-Ebene verschiedenes einfach zusammenhängendes Gebiet, so kann man durch eine konforme Abbildung erreichen, daß G die Einheitskreisscheibe ist. Daß bei dieser Abbildung die oben genannte Bedingung für das zu betrachtende Differentialgleichungssystem erhalten bleibt, folgt aus der Kettenregel: Ist z = z (£) holomorph, so ist

Ersetzt man also ist, so ist

durch Wj + hj, wo

eine in £ holomorphe Funktion

8(Wj + hj) 8z* also erfüllt auch Wj + hj die Differentialgleichung. Für vollständige lineare Systeme der Form — = {¡w, j = 1 , . . . , n, wurden in [5] globale Lösungen konstruiert. a ) In denjenigen Punkten von U f\U', in denen die Wj und die w'j definiert sind, ist

di = Wj

—

Wi 'i-

8

WOLFGANG TUTSCHKE

B e m e r k u n g 2. Natürlich können durch die Sätze 1 und 2 auch (wie es im Fall der Differentialgleichung dwjdz* = / in [7] getan wurde) globale singularitätenfreie Lösungen konstruiert werden. Der Beweis der beiden Sätze besteht — entsprechend dem Beweisaufbau im holomorphen Fall — aus den folgenden drei Teilen: 1. Untersuchung des Verhaltens der durch das Integral (2)

definierten Funktion d. Um die Eigenschaften von (2) auf die zu betrachtenden Differentialgleichungssysteme anwenden zu können, muß hierbei d als nicht notwendig holomorph vorausgesetzt werden. 2. Konstruktion einer globalen Lösung in kompakten Teilen von G. 3. Konstruktion einer globalen Lösung in ganz G, indem G durch kompakte Teilmengen ausgeschöpft wird. Dem Beweis der Sätze 1 und 2 werden einige Hilfsbetrachtungen über Integrale der Form (2) vorangestellt. Bei den Anwendungen der Aussagen über (2) in der Theorie der Differentialgleichungssysteme genügt es, y als Strecke in der 2-Ebene vorauszusetzen. Bei den nachfolgenden Hilfssätzen kann y jedoch eine beliebige doppelpunktfreie Kurve (etwa mit stetig differenzierbarer Darstellung) sein. H i l f s s a t z 1. Für alle nicht auf y gelegenen Punkte ist d eine holomorphe Funktion. Der Beweis ergibt sich sofort aus der Tatsache, daß der Integrand eine holomorphe Funktion von z ist. Nach den Sätzen über Parameterintegrale ist dann auch d eine holomorphe Funktion von z. H i l f s s a t z 2. Erfüllt d die hTPsesrrz-Bedingung (1), so wird durch

y

eine in der ganzen z-Ebene stetige Funktion definiert1). Beweis. Die Stetigkeit von d für nicht auf y liegende Punkte folgt aus den Sätzen über Parameterintegrale. Wegen d(C) ~d(z) < C C - z

*) Hierbei genügt es, daß d die Lipschitzbedingung in einer y enthaltenden offenen Menge erfüllt.

Konstruktion von globalen Lösungen

9

existiert das Integral d (z) auch für auf y gelegene Punkte. Hilfssatz 2 ist vollständig bewiesen, wenn man zeigt, daß d in jedem Punkt z0 e y stetig ist. Es sei s > 0 beliebig vorgegeben. Hat y die Darstellung s = a(i), a ^ i &, und ist z0 = z (t0), so kann man ein ij > 0 so wählen, daß 1 — Cn • sup oSlSb

dz(t) dt

2V n) wp

-

wp

eine holomorphe Funktion, denn die Wk entstehen aus den wf durch Addition einer holomorphen Funktion. Insbesondere ist W[kn+1>

-

W™ =

0„

holomorph und kann in Gn in eine Potenzreihe entwickelt werden. Dann kann man durch Betrachtung einer Partialsumme mit hinreichend großem Index die Funktion i>„ so in eine Summe ®n =

zk

y

Cfc ~ z«r

so gilt H i l f s s a t z 9. u n d

E n d p u n k t

F u n k t i o n . unter

D i e

F u n k t i o n

von

y )

bzw.

I n s b e s o n d e r e

dem

I n t e g r a l

d

die

k a n n

ist

l k + 1 )

überall

Fortsetzung m a n

(mit von

e i n e n

d

A u s n a h m e { k + 1 )

über

Grenzübergang

y i n

i m ist

d e n

A n f a n g s -

e i n e

stetige

P a r a m e t e r n

v o r n e h m e n .

Die von dem zweiten Summanden in (10) herrührenden Singularitäten heben sich auf, wenn über alle vier Kurven y summiert wird, die in einem Punkt beginnen bzw. enden; denn die Summe der entsprechenden vier Funktionen dm ist Null. Diese Aussage folgt unter Berücksichtigung von (10) sofort aus Hilfssatz 8. Bei Funktionen von p komplexen Variablen müssen beim CousiNschen Glättungsprozeß die p Variablen z . . . , z nacheinander betrachtet werden. Das bedeutet, daß man den nach (10) erfolgenden Übergang von d zu d für jedes k = 1, . . . , p — 1 durchführen muß. Dazu muß aber gezeigt werden: Erfüllt dm eine LrpscHiTZ-Bedingung bezüglich zu so erfüllt d(2~> eine LIPSCHITZ-Bedingung bezüglich z2, allgemein erfüllt d w eine LIPSCHITZBedingung bezüglich zk. Daß solche LipscHiTZ-Bedingungen (und diese sogar gleichmäßig) erfüllt sind, ergibt sich nach Hilfssatz 7 aus der Existenz der partiellen Ableitungen. Daher wird jetzt untersucht werden, unter welcher Voraussetzung bezüglich xk+1 und bezüglich yk+1 eine stetige partielle Ableitung besitzt. Nach Definition von ist l t

{ k )

p

{ k + 1 )

2 n i

f

d W ( . . . ,

d(...,

x

Z

k

k + 1

, x

k + 1

+

i y

+

i y

( . . . ,

, . . . ) -

M

k + 1

, . . . ) tk

y

—

X°k+1

+

i y

# * > ( . . . ,

+

M

i y

( 1 1 )

, . . . )

k + 1

, . . . )

d

zk

Unter der Voraussetzung, daß dW bezüglich xk eine partielle Ableitung besitzt, die als Funktion aller Variabler stetig ist, ist d

{ k )

=

( . . . , a

k

t

k

, x

{ . . . ,

£

k + 1

k

, x

+

k + l

i y +

k +

i ,

i y

• • • ) -

k + 1

, x °

k + 1

d ™ ( . . . , +

i y

t

k + u

k

, x % . . . )

+ 1

{ x

+

k + 1

i y -

k + 1

, . . . )

x °

k + 1

) .

^

^

Konstruktion von globalen Lösungen

19

Dabei ist ak eine stetige Funktion, die (ÜADAMARDsches Lemma) die Darstellung £*>«*+1 + f

=

Z

k

,x°

+

+ 1

»2+1 + »2/t+i» •••)

iyk+1.

iy

k + 1

+

S x

k + l

J

X(x

- s° + 1 ), ...)

k + 1

d

l

(13)

1=0

besitzt. Eine analoge Aussage gilt für die partielle Ableitung von dPt+I) bezüglich y . Aus der Darstellung (13) von a folgt sofort: k + l

k

Erfüllt gilt

dasselbe

—

bezüglich

8x k + l für

£k

eine

gleichmäßige

L i p s c h i t z - B e d i n g u n g ,

so

ak.

Setzt man (12) in (11) ein, so folgt .., x

+

k + l

iy

k + 1

=—r

, ...)

-

d W ( . . . , x°k+1

k+1

+

i y

k + v

k+i

x

x

J

Ck —

...)

(14)

Z*

Nach Hilfssatz 9 kann man den Grenzübergang xk+1 -> x%+1 unter dem Integral durchführen und man erhält wegen

3dW(..., f

a i

t >

+

+ 1

i y

k + u

. . . )

(

1 5

)

8xt. dd (k+v

für — die folgende Darstellung 8x k+1 b d ^ ( . . . , z

k

, x l

8dW(...,!;

1 2 n i

+

x

+

8x k+l k

,xl

I

+ 1

8 x

J

£k

»ifr+i,

—

t

+

i y

k + u

•••)

...)

(16)

^ dCk-

zk

r

Hieraus liest man ab H i l f s s a t z 10. B e d i n g u n g , so

2*

ist

Erfüllt

8dW —

—

stetig.

8x k+1

bezüglich

zk

eine

gleichmäßige

LIPSCHITZ-

20

WOLFGANG TUTSCHKE

Hilfssatz 10 zeigt, wenn man noch das analoge Resultat für

fyk+i beachtet, daß unter den in Hilfssatz 10 genannten Voraussetzungen die Funktion d (t+1) bezüglich zk+1 eine gleichmäßige LiPSCHrrz-Bedingung erfüllt. Da die durch (10) definierte Funktion d^+w in Anfangs- und Endpunkt von y Singularitäten besitzt (vgl. Hilfssatz 3), versagt die Darstellung (16) für den Fall, daß zk Anfangs- oder Endpunkt von y ist. Den Differenzenquotient von d ( t + 1 ) bezüglich xk+1 kann man, wie aus (14) folgt, auch in der Form

y +

l

f + iyk+i, ...) I

ak{..., xk+l + iyk+1,x°k+1

l __ ^ d£k

(17)

mit

Ak = ak(..., £k,xk+1 + iyk+1,x%+1 + - ak{..., zk,xk+1 + iyk+uxl+1

iyk+1,...) + iyk+1, ...)

schreiben. Beachtet man Hilfssatz 8, angewandt auf die im Integranden stehende Funktion ak, so folgt unter Beachtung von (15), auch wenn zk der Anfangs- oder Endpunkt von y ist,

8d^(...,zk,x°k+1 + iyk+1,...) 8xk+1 +

mit

Dk =

=

1 f D k f. 2ni 2n% JJ Ck i — zk

J _ 8dW(...,zk>xll + iyk+u...) 2ni 8xk+1

8dW(...,tk,x 0k+1+iyk+1,...) 8xk+l

_

1 J tk — Zk " y

r

(18)

fld(*)(...,gt>ag+1 + iyk+ u •••) 8xk+1

Die Anwendung von Hilfssatz 8 auf den ersten in (17) stehenden Summanden ist möglich, da ak bezüglich Ck eine gleichmäßige LiPSCHrrz-Bedingung erfüllt. Nun erfüllt aber auch — eine gleichmäßige LiPSCHiTZ-Bedxk+1 dingung in zk. Wieder nach Hilfssatz 8 stellt also der erste Summand von (18) ebenfalls eine stetige Funktion dar, auch wenn zk in Anfangs- oder Endpunkt von y fällt. Dagegen hat der zweite Summand von (17) im Anfangsund im Endpunkt von y eine Singularität. Beachtet man alle vier in einem

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Konstruktion von globalen Lösungen

Eckpunkt endenden oder beginnenden Strecken y, so ist die Summe der jeweils zugehörigen Funktionen cW> gleich Null. Dasselbe gilt natürlich ddfV auch für die partiellen Ableitungen — . Daher heben sich bei der ge8xk+l nannten Summation die zweiten Summanden in (17) auf, und man sieht damit: Hilfssatz 10 gilt auch, wenn die Variablen in den Eckpunkten liegen.

von y

Existieren höhere Ableitungen von d(k\ so kann man analog zu (16) bzw. (18) auch auf die Existenz der entsprechenden höheren Ableitungen von d^+W schließen. Will man alle p komplexen Variablen 2,, ..., zp erfassen, muß man (p — l)-mal von einem zu d ( t + 1 ) übergehen. Da aus der Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen bezüglich xk und yk eine gleichmäßige LIPSCHITZ-Bedingung bezüglich zk folgt, ergibt sich H i l f s s a t z 11. Alle p Funktionen d (2) , ..., existieren und sind stetig, wenn die partiellen Ableitungen von d(v> bis einschließlich zur Ordnung p — 1 existieren1), stetig sind und bezüglich z1 eine gleichmäßige LIFSCHITZBedingung erfüllen2). Wie bei Funktionen von einer komplexen Variablen heißen zwei Lösungen Wj, ...,wm

und

w[,...,wm

miteinander verträglich, wenn im Durchschnitt des Definitionsgebietes w¡ = Wj + df] mit stetigen Funktionen df gilt. Indem man nacheinander die Variablen ..wm zlt...,zp behandelt, werden die lokal gegebenen Lösungen wlt durch wt q>lt ..., wm +