Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 7 Jahrgang 1875 [Reprint 2020 ed.] 9783112362822, 9783112362815

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Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik im Verein mit anderen Mathematikern herausgegeben von

Carl Ohrtmana, Felix Müller, Albert Wangerin.

Siebenter Band. J a h r g a n g 1875.

B e r l i n . Druck und Verlag von G. R e i m e r .

1877.

Erklärung der Citate.

Eine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), zu der der Band gehört. Acc. R. d. L.: Atti della Accademia Beale dei Lincei. Roma Aec. P. d. N. L.: Atti della Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei. Roma. 4°. AlmeidaJ.: Journal de physique théorique et appliquée, publié par J . Ch. d'Almeida. Paris. 8°. Analyst: The Analyst, a monthly journal of pure and applied mathematics. Edited and published by J . E. Hendricks. Des Moines, J o w a : R. J . Pierson and Co. Amerika gr. 8°. Ann. de VÉc. N.: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure publiées sous les auspices du ministre de l'instruction publique par Mr. L e Pasteur. Paris. Gauthier-Villars. 4*. Ann. d. Mines: Annales des Mines ou Recueil de mémoires sur l'emploi tation des mines et sur les sciences et les arts qui s'y rapportent, rédigées par les Ingénieurs des Mines et publiées sous l'autorisation du Ministre des travaux publics. Paris. 8°. Ann. d. P. et Ch.: Annales des ponts et chaussées. Mémoires et documents relatifs à l'art de construction et en service de l'ingénieur. Paris. 8°. Anz. v. Kharhoff: Anzeigen der Kaiserlichen Universität zu Kharhoff. Arch. NéerlArchives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem. L a Haye. 8°. Ass. Fr : Association Française pour l'avancement des sciences. Paris. Sécrétariat de l'Association. 8". Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, begründet von H. C. Schumacher, herausgegeben von C. A. F . Peters. Altona. 4°. Atti di Napoli: Atti dell' Accademia Reale di Napoli. Napoli. Atti di Torino: Atti della Reale Accademia delle scienze di Torino. Torino. Atti d. Ven.: Atti del Reale Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Vinezia. Battaglini O. : Giornale matematiche ad uso degli studenti delle università italiane pubblicato per cura del Prof. G. Battaglini. Napoli, gr. 8°. Bayr. Bl.: Blätter für das bayrische Gymnasial- und Realschalwesen redigirt von W . Bauer und A Kurz. München. Lindauer. 8°. Beri. Abh.: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Kgl. Preuasischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 4". Beri. Monateber.: Monatsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin. 8°. Boncompagni Bull.: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche pubblicato da B. Boncompagni. Roma. 4*. A*

IV

Erklärung der Citate.

Borehardt J.: Journal für reine und angewandte Mathematik. Als Fortsetzung des von A L. Creile gegründeten Journals, herausgegeben unter Mitwirkung der Herren Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass von C. W . Borchardt. Berlin. 4°. Brioschi Ann.: Annali di matematica pura ed applicata diretti da F. Brioschi e L. Cremona in continuazione degli Annali già pubblicati in Roma da Prof. Tortolini. "Milano. 4°. Bull, de Belg.: Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique. Bruxelles. 8°. Bull. de Moscou: Bulletin de la Société Impériale des Naturalistes de Moscou. Moscou. 8*. Bull. S. M. F.: Bulletin de la Société Mathématique de France publié par les secrétaires. Paris. 8*. Bull, de St. Pétertb.: Bulletin de l'Académie Impériale de St. Pétersbourg Pétersbourg et Leipzig. Folio. Cari Reperì.: Repertorium für Expérimental-Physik herausgegeben von Ph. Carl. München, gr. 8°. Casopis: Zeitschrift zur Pflege der Mathematik und Physik, redigirt mit besonderer Rücksicht auf Studirende der Mittel- und Hochschulen von F . J . Studnicka, herausgegeben vorn Vereine böhmischer Mathematiker in Prag. Prag. 8°. Cim.: Il Nuovo Cimento, giornale di fisica, fisica matematica, chemica e storia naturale fondato in Pisa dei Mateucci e Piria e continuato dei professori di scienze fisiche e naturali di Pisa e del R. Museo di Firenze. Pisa. dir. per P. Salvioni. Clebtch Ann.: Mathematische Annalen. In Verbindung mit C. Neumann begründet durch R. F . A. Clebsch. Unter Mitwirkung der Herren P . Gordan, F . Klein, A. Mayer, K. v. d. Mühll, gegenwärtig herausgegeben von Carl Neumann. Leipzig. Teubner. 8°. Conn. d. temps-. Connaissance des temps ou des mouvements célestes. Paris. Gauthier-Villars. 8°. C. R.: Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Paris. 4°. Dmrboux Bull.: Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, rédigé par Mrs. G. Darboux et J. Hoûel avec la collaboration des Mrs. André, Lespiault, Painvin et Radau, sous la direction de la commission des Hautes études. Paris. 8°. Denkschr. d. Par. Oes. : Denkschriften der Pariser Gesellschaft der exacten Wissenschaften. Polnisch. Paris. 4°. Dillner Tidiskr.: Tidsskrift för Matematik och Fysik. Herausgegeben von Dillner, Hultman, Lundberg. Upsala. 8°. Educ. Timet: Mathematical questions, with their solutions from the „Educational Times" with many papera and solutions not published in the „Educational Times." Edited by W. J . C. Miller. London. C. F. Hodgson and Son. Erl. Ber. : Sitzungsberichte der phyBikalisch-medicinischen Societät zu Erlangen. Erlangen. 8°. Forh. Christ. : Forhandlingar i Videnskabs Selskabet i Christiania. Christiania. 8*. O'òtt. Abh. : Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. Göttingen. 4°. O'òtt. Nachr.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augnst-Universität zu Göttingen. Göttingen. 12*. Orunert Arch. : Archiv für Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Unterrichtsanstalten gegründet von J . A. Grunert, fortgesetzt von B. Hoppe. Greifswald. 8*.

Erklärung der Citate.

v

Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathematischen and naturwissenschaftlichen Unterricht. Unter Mitwirkung von Fachlehrern herausgegeben von J . 0 . V Hoffmann Leipzig. 8°. Jaarb. v. Amst.: Jaarboek van de koninkligke Akademie van Wetenschapen. Amsterdam. I. d. aet. f r . : Journal des actuaires français. Paris. Gauthier-Villars. 8°. lnnsbr. Ber : Sitzungsberichte des naturforschenden Vereins zn Innsbruck. Innsbruck. 8°. Inst.: L'Institut, Journal universel des sciences et des sociétés savantes en France et à l'étranger. Premiere section. Sciences mathématiques et naturelles. Paris, gr. 4°. J. d. Phys. Oes. in Petersb. : Journal der Physischen Gesellschaft in Petersburg. J. Phil. d. Moscou: Journal de la Société Philomatique de Moscou. Moscou. Kasan. Gel. Am.: Gelehrte Anzeigen der Kais. Universität zu Kasan. Kopenh. Skr.: Kongl. Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter. Kopenhagen. Liouville J. : Journal de mathématiques pures et appliquées fondé en 1836 et publié jusqu'en 1874 par J . Liouville. Publié par H. Résal avec la collaboration de plusieurs savants. Paris 4°. o o Lund Aras. : Lunds Universitets-Àrsskrift. Lund. Math. Samml. Moskau: Mathematische Sammlung herausgegeben von dor Moskauer mathematischen Gesellschaft. Moskau. Salovieff. Mém. de Belg, in 8": Mémoires couronnés et mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie Royale des Sciences de Belgique. Bruxelles. 8". Mém cour, de Belg.: Mémoires couronnées de l'Académie Royale de Belgique. Bruxelles. 4°. Meni, di Bologna: Memorie dell' Accademia Reale di scienze del' Istituto di Bologna. Bologna. 4*. Mém. de Bord.: Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles à Bordeaux. Paris. Bordeaux. 8°. Mem. d. Ist. Lomb.: Memorie dell Reale Istituto Lombardo. Mailand. Mem. di Modena: Memorie dell' Accademia Reale di Modena. Modena Mem. of R. Astr. S. : Memoire of the Royal Astronomica! Society. London. 4". Mém. de St. Pétersb.: Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, St. Pétersbourg. 4°. Mém. de Toulouse: Mémoires de la Société des sciences naturelles à Toulouse. Messenger : The Messenger of mathematics, edited by M. Allen Wbitworth, C. Taylor, R. Pendlebury, J . W. L. Glaisher. London and Cambridge. Macmillan. 8°. Mondes: L e s Mondes, revue hebdomadaire des sciences et de leur application aux arts et à l'industrie par l'Abbé Moigno. Paris. 8°. Monthl. Not.: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. London. 4". Münch. Abh.: Abhandlungen der Sgl. Baierschen Akademie der Wissenschaften zu München. Zweite Klasse. München. Münch. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Baierschen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8". N. C. M.: Nouvelle correspondance de mathématiques, publiée par E . Catalan et P . Mansion Möns, Manceaux Paris, Gauthier-Villars. 8°. Nieuw. Ar ch.: Nieuw Archief voor wiskunde. Amsterdam. Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de mathématiques. Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, rédigé par Mrs. Gerono et Ch. Brisse. Paris. 8°.

Vi

Ezklâmng der Citate.

Now. M 2 nicht in ganzen Zahlen auflösbar sei G. R e u s c h l e . Tafeln completer Primzahlen nebst Bemerkungen von L. E r o n e c k e r W. W. J o h n s o n . On the distribution of primes W . S h a n k s . On the number of figures in the reciprocals of prime numbers C a p i t e l 2. L. E r o n e c k e r . minante

XIII Seite

85 85 86 86 07 87 88 88 88 89 90 00 90 90 91 91 92 92 93 93 93 95 96 97 97 97 97 98 98 98 98 89 99 99 100 100 100 lOi 101

Theorie der Formen.

Ueber quadratische Formen von negativer Deter-

102

Inhaltsverzeichnis».

XIV Pepin. a +

Sur certains nombres complexes compris dans la formnle bV

Seite

103

— c

C a p it el 3.

Kettenbrüche.

A . K ä m p e r . Die allgemeinen Kettenbrüche S. G ü n t h e r . Das independente Bildungsgesetz der Kettenbrüche . L . S e h e n d e 1. Ueber eine Kettenbruchentwickelung M. A. B a r a n i o c k i . Entwickelang des Quotienten der elliptischen Integrale erster nnd zweiter Gattung in einen Kettenbruch . .

104 105 105 106

V i e r t e r A b s c h n i t t . Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combinationslehre. f O h . R u c h o n n e t . Éléments du calcul approximatif M. V a c h e t t e . Permutations rectilignes de 2q lettres égales deux à deux, où trois lettres consécutives sont toujours distinctes . . . M. V a c h e t t e . Permutations rectilignes de 3q lettres égales trois à trois quand deux lettres consécutives sont toujours distinctes . J. M. de T i l l y . Note sur le'principe de la moyenne arithmétique . J. M. de T i l l y . Théorie mathématique des erreurs . . J. V. S c h i a p a r e l l i . Sur le principe de la moyenne arithmétique . J. L i i r o t h . Vergleichung von 2 Werthen des wahrscheinlichen Fehlers L . N a t ani. Methode der kleinsten Quadrate A . F a y e . Sur la méthode des moindres carrés B i e n a y m é . Application d'un théorème nouveau du calcul des probabilités, nebst Remarques von J. B e r t r a n d H. L a u r e n t . Sur la méthode des moindres carrés f B e l l a t i . Intorno ad un modo di semplificare in alcuni casi l'applicazione del metodo dei minimi quadrati al calcolo delle costanti empiriche C o r r e c t i o n to a note of Mr. Monro . . R. A. M e es. Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers . F . R. H e l m e r t . Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers F. R. H e l m e r t . Ueber die Formeln für den Durchschnittsfehler . Ch. M. S c h o l s . De interpolatie-formule van Tchebychef P . van G e e r . Over het gebruick van determinanter by de methode der kleinste kwadrater Ch. M' S c h o l s . Over de theorie der fouten in de ruimte en in het platte vlak C. T y c h s e n . Om Beregningen af Livrenter J. L e w i n . Bemerkungen zur politischen Arithmetik D. J. K ö r t e w e g . Over de waarschynlykheid van de verscheidene mogelyke uitkomsten eener verkiezing N ' I m p o r t e , J. M. J o h n s o n , T . J. S a n d e r s o n . Solutions of questions . H. D a r w i n . On collisions at sea . J. S a n d e r s o n , W . J. C. M i l l e r , S. T e b a y , A . C a y l e y . Lösungen von Aufgaben 117. P . G. T a i t . On a question of arrangement and probabilities . . • B i e n a y m é . Sur une question de probabilités E. B. E l l i o t , C. L e u d e s d o r f , J. L . de L a n d , A . M a r t i n , S. F o r d e , C r o f t o n , J. W o l s t e n h o l m e , N. S a r k a r , S. T e b a y , S. W a t s o n , R. W i l s o n , A . M. N a s h , E. B. S a i t z , C. B. S. C a v a i lin. Lösungen von Aufgaben . . . . 118. 119.

107 107 107 107 107 109 109 110 Ili 111 112 112 112 112 113 113 114 114 114 116 115 116 116 117 118 118 118

120

Inhaltszerzelchniss.

XT Seite

C J o r d a D , E L e m o i n e , G. H a l p h é n . Questions de probabilités 120. 121 J . C. M a x w e l l . On the geometrical mean distance of two figures in a plane 121 W. T h o m s o n . The kinetic theory of the dissipation of energy . . 122

Fünfter Abschnitt.

Reihen.

C a p i t e l 1. Allgemeines. O. S t o l z . Beweis einiger Sätze über Potenzreihen B. M e i s s e i . Beiträge zur Theorie der Reihen Ed. L n c a s . De quelques nouvelles formules de sommation P. M a n s i o n . A generalization of Taylor's theorem J. W. L. G l a i s h e r . Note on a paper of Mr. Sylvester G. A s c o l i . Sulla Serie di Fourier

. . . .

C a p i t e l 2. Besondere Reihen. G. D o s t o r . Sommation des carrés, des cubes et des quatrièmes puissances de n nombres P. H r o m â d k o ; Ueber die Summe der Qnadratzahlen A. P à n e k . Ueber die Summe der Cubikzahlen J. W. L. G l a i s h e r . Note on a formula F. J. S t u d n i c k a . Ueber die Summenreihen im Allgemeinen . . . W. J o r d a n . Ueber die Entwickelung abgekürzter convergirender Potenzreihen E. C a t a l a n . Sur la formule du binôme D. T r o w b r i d g e . A demonstration of the binomial theorem for negativ exponents F . E. T h i e m e . Grenzwerthrechnung H. B r o c a r d . Solution d'une question D e s b o v e s . Démonstration élémentaire de quelques formules . . . Oh. H e r m i t e . Extrait d'une lettre à M. Borchardt C. le P a i g e . Sar les nombres de Bernoulli A. C a y l e y . A dissertation on Bernoulli's numbers J. C. A d a m s . On some properties of Bernoulli's numbers . . . . J. W. L. G l a i s h e r . Mathematical proof of Clansen's identity . . J. d e V i r i e u . Rectification J . W. L. G l a i s h e r . Three theorems in arithmetic J. W. L. G l a i s h e r . Values of certain infinite products J. W. L. G l a i s h e r . Identities J. W. L. G l a i s h e r . On some algebraical formulae J. W. L. G l a i s h e r . On an identity F. S t o r d e u r . Solution d'une question W. L i g o w s k i . Grenzen fur die Basis der natürlichen Logarithmen C. L e u d e s d o r f and E. B. E l l i o t . Solution of a question . . . . A. P o p o f . Remarque mathématique F. R e i n e m u n d . Sur les polygones réguliers et sommation de quelques séries trigonométriques nebst Rapport von J . M. d e T i l l y H. L a u r e n t . Questions P . S., A. L a i s a n t et J . M. d e T i l l y . Solutions de questions . .

S e c h s t e r Abschnitt.

123 124 126 127 127 128

128 128 128 128 129 129 129 130 130 130 130 131 132 132 132 132 133 133 138 134 134 134 134 185 135 135 135 135 136

Differential- und Integralrechnung.

C a p i t e l 1. Allgemeines (Lehrbücher etc.). L. N a v i e r . Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung . . . 187 W. G o s i e w s k i . Differential- und Integralrechnung 138

xvi

Inhaltsverzeichnis». Seite

C. B r a n d . . Grundriss der Differentialrechnung B . W i l l i am a on. A treatise in the integral calculus H. O r o o b . On the first principles of the calculus . . . . . . . . C a p i t a l 2.

138 138 139

Differentialrechnung. (Differentiale, Functionen von Differentialen, Maxima und Minima).

P. J. S t u d n i c k a . Deber die independente Darstellung der n»«" Derivation einer gebrochenen Function A. F a i s . Nota intorno alle derivate d'ordine superiore delle funzioni di funzione . F . M o s s a . Sulla derivazione successiva delle funzione composte . F. Buchwaldt. Ny Methode for Differentiation med hvilkespmhele Indices C. de P o l i g n a c . Sur une propriété du polynôme (x s — 1)» . . . . A. C a y l e y . Solution of a question W . W . J o h n s o n . Geometrical illustration of indeterminate forms . N. H e e l . Ueber Maxima E. H i l l . Maxima and Minima without Taylor's theorem A. B . E v a n s . Solution of a question J . G a m b e y . Solution d'une question G. W. H i l l . Additional formulae in finite differences C a p i t e l 3.

140 141 141 142 143 143 143 144 144 144 145

Integralrechnung.

J . T h o m a e . Die partielle Integration N. S o n i n e . Ueber die Integrabilität von Ausdrücken mit unbestimmten Functionen P . G. T a i t . On the transformation of double and triple integrals . C. M. P i u m a . Intorno ad una classe di integrali esprimibili con soli logaritmi . . . • A . C a y l e y . On Aronhold's integration formula . . . . J . W . L . G l a i s h e r . On an integral J . C. M a l e t . Two theorems in integration E . B . E l l i o t . Solution of a question . . M. A z z a r e l l i . Rettificazione e quadratura delle linee di second' ordine A. G e n o c c h i . Sur la rectification des ovales de D e s c a r t e s . . . . P . G. T a i t . Mathematical notes C h e vi I l i et. Sur l'erreur de la formule de Poncelet relative â l'évaluation des aires L . C r o c c h i . Analogie dell' enanciato del Viviani M. A z z a r e l l i . Quadratura di superficie piane K u h s e. Quadratur, Kubatur und Complanation der Lemniskaten . . M. M a r i e . Classification des intégrales cubatrices des volumes terminés par des surfaces algébriques . M. M a r i e . Relation entre les m périodes cycliques de la quadratrice d'une courbe algébrique de degré m P . G. T a i t Mathematical notes . G. P i a r r. On establishment of elementary principles of an analytical basis G. P l a r r . On a certain elimination C a p i t e l 4.

140

145 145 146 146 147 147 147 147 148 148 149 149 149 150 150 151 151 152 152 152

Bestimmte Integrale.

J . T h o m a e . Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale A. L . O a u c h y . Sur les intégrales définies

.

153 155

xvn

Inhaltsverzei chni ss.

Seite

t G . A s c o l i . Sul concetto di integrale definite L. C o h e n S t u a r t . Over een geval van discontinuiteit 0 . P o s s e . Sur les quadratures O. S t o l z . Bemerkungen zur Integralrechnung W . L i g o w s k i . Beitrag zur mechanischen Quadratur B. C a t a l a n . Sur la constante d'Euler et la fonction de BiDet Ch. H e r m i t e Sur la fonction de J a c o b Bernoulli E. C a t a l a n . Sur les nombres de Bernoulli J . W. L . G l ai s h er. Proof of some theorems of Mr. Liouville R. R a w s on. On the generalization of Mr. Liouville's theorem P. D. T h o m s o n and E. B. E l l i o t . Solution of a question . . J . W. L . G l a i s h e r . On two integrals J . W o l s t e n h o l m e . Direct evaluation of a definite integral . A. A l l a r e t t i , Ch. B r i s s e . Solutions de questions H. M. T a y l o r . On a certain multiple integral R. J . S c o t t . On certain multiple definite integrals E. B. E l l i o t t . Solution of a question" J . T o d h u n t e r . On the value of a certain definite integral . . J . W. L . G l a i s h e r . Sur une intégrale J . W o l s t e n h o l m e . Solution of a question . . . . A. C a y ley. Note on a process of integration J . W . L. G l a i s h e r . Proof of a theorem in definite integrals . J . W. L. G l a i s h e r . Solution of a question C a p ite 1 5.

. . . . . . . . . .

. .

.

. .

Gewöhnliche Differentialgleichungen.

A. W e i l e r . Ueber die Integration einer vollständigen Differentialgleichung W. Z a j a c z k o w s k i . Ueber eine durch eine primitive Gleichung integrirbare Differentialgleichung M. S o n i n e . Verallgemeinerung des Princips des letzten Multiplicators A. P a i s . Intorno all' integrazione delle equazioni totale di 1° ordine e di 1° grado E. d e C o m b e s c u r e . Sur quelques systèmes particuliers d'équations différentielles A. S t e e n . Om Muligheden af et P a r lineare Differentialligninger Integration ved endelige explicite Punktioner IJ. F u c h s . Ueber lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . Oh. H e r m i t e . Lettre à M. Puchs G. F r o b e n i u s . Ueber algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen G. F r o b e n i u s . Ueber die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen E. J ü r g e n s . Die Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen . . L. W. T h o m é . Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen . . J. H a m m o n d . On the solution of linear differential equations in series J . T a n n e r y . Propriétés des intégrales des équations différentielles linéaires à coefficients variables W . S e i f e r t . Ueber die Integration einer Differentialgleichung . . M o u t a r d . Sur les équations différentielles linéaires du second ordre J. T h o m a e . Ueber eiDe Function, welche einer linearen Differentialund Differenzengleichung vierter Ordnung Genüge leistet . . . W. H. L. R ü s s e l . On the integration of algebraical fnnctions . . Fort sehr. d. Math. VII. 3.

155 156 156 157 158 158 159 160 160 161 161 161 162 162 163 163 164 164 164 165 165 166 166

B

167 167 167 168 170 171 172 173 177 179 180 181 183 184 186 189 190 192

Inhattsverzeichniss.

XVIII

Seite

P . M a n s i o n . Démonstration de la propriété fondamentale des équations différentielles linéaires 193 f F . C a s o r a t i . Sulla teoria delle soluzioni singolari delle equazioni differenziali 193 W . T h o m s o n . On the integration of linear differential equations with rational coefficients 193 J. C o c k l e . On primary formes 193 N . T r u d i . Teoria delle equazioni differenziali lineari 194 A . W i n c k l e r . Integration zweier linearer Differentialgleichungen . 194 S. S p i t z e r . Ueber gewisse Differentialgleichungen 195 J. C o c k l e . Exercises in the integral calculus 196 J. C. M a l e t . Solution of a question 196 G. Om en Klasse Differentialligninger 196 S. Y . T u r q u e n . Sur l'intégration de quelques équations différentielles 196 U. R o s e n t h a l and J. W o l s t e n h o l m e . Solution of a question . . 196 J. C o c k l e . Fourth chapter on cbresolvents 197 J. C o c k l e . Solution of a question 197 Ch. K r y g e r . En Fremstilling af Integration af totale Differentialligninger 197 A. Cayley. On the general equation of differences of the second order .198 C a p i t e l 6.

Partielle Differentialgleichungen.

G. D a r b o u x . Sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles A . G e n o c c h i . Sur une communication de M. Darboux V . P u i s e u x . Sur la lettre de Mr. Genocchi S. v o n K o w a l e v s k y . Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen Ch. M é r a y . Sur l'existence des intégrales d'un système quelconque G. D a r b o u x . Sur la première méthode de Jacobi P. Mansion. Sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre . . . P. M a n s i o n . Sur la méthode de Cauchy L . B o l t z m a n n . Zur Integiation der partiellen Differentialgleichungen l , e r Ordnung A. W e i l e r . Ueber die Integration des vollständigen Systems partieller Differentialgleichungen von linearer Form A. W e i l e r . Integration der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung A . M a y e r . Ueber die Weiler'sche Iütegrationsmethode Allégre! Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre N. N i c o l a ï d e s . Intégration d'un système d'équations aux différentielles partielles N. N i c o l a ï d e s . Intégration d'une équation aux différentielles partielles du second ordre O. B o n n e t . Remarque sur le mémoire de M. Nicolaïdes M. F a l k . On the integration of partial differentialequations of the nth ordre M. F a l k . Om partiela differential eqvationer af högre ordning än första S. L i e . Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen A . M a y e r , üeber eine Erweiterung der Lie'schen Integrationsmethode A . V . B ä c k l u n d . Ueber Curven- und Flächen-Transformationen . A . V . B ä c k l u n d . Ueber Flächen-Transformationen

198 198 198 201 206 206 206 207 209 210 212 212 215 217 217 217 218 223 225 232 233 233

Inhaltsverzeichnisa. A. M a y e r . Directe Begründung der Theorie der Berührungstransformationen S- L i e . Discussion aller Integrationsmethoden der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung 6 . P i t t a r e l l i . Su di una eqnazione differenziale di primo ordine . H- W. L. J ä n n e r . On the elimination of two arbitrary functions . H. W. L. J a n n e r . On the solution of linear differential equations of the second order R. M o o n . Solution of a question J. C o c k l e . On a differential criticoid P. G. T a i t . On linear partial equations P. G. T a i t . On some quaternion integrals A. S t e e n . Andret Bevis for et Theorem af Jacobi E. J. N a n s on. On the theory of the solution of a system of nonlinear partial differential equations O a p i t e l 7.

XIX Seite

233 234 234 234 235 235 236 236 236 237 237

"Variationsrechnung.

H. K r e y . Die Kriterien des Maximums und Minimums der Integrale 237 A. G r e v é . Problem aus der Variationsrechnung 238 J. C. M a x w e l l . On a problem in the calculus of variations . . . . 240

Siebenter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Functionentheorie.

Allgemeines.

S. D i c k s t e i n und E . H e r t z . Theorie der complexen Zahlen . . 241 A. B e n t h e m . Theorie der functien van veranderlyke complexe getallen .241 M. M a r i e . Théorie des fonctions de variables imaginaires . . . . 241 B r i o t et B o u q u e t . Théorie des fonctions elliptiques 242 G. M i t t a g - L e f f l e r . Nágra Fôljdsatser ur Cauchy's theorem om rötter 242 G. M i t t a g - L e f f l e r . Beweis für den Cauchy'schen Satz . . . . . 242 M. N ö t h e r . Ueber die siugulären Werthsysteme einer algebraischen Function 243 G. D a r b o u x . Mémoire sur les fonctions discontinues 243 H. J . St. S m i t h . On the intégration of discontinuons functions . . 247 A. H a r n a c k . Ueber eine Behandlungsweiee der algebraischen. Differentiale in homogenen Coordinaten 247 A. H a r n a c k . Ueber einen Beweis des Abel'schen Theorems . . . 248 P. d u B o i s - R e y m o n d . Ueher asymptotische Werthe, infinitare Approximationen und infinitare Auflösung' von Gleichungen . . 249 G. A s c o l i . Sulla serie di Fourier . . 251 P. G. T a i t . Mathematical notes ; 253 P o p o f f . Sur le développement en une série d'exponentielles . . . 253 L. O p p e r m a n n . Om Interpolation som Middel til at lette Beregningen af irrationale Tal 253 A. W i n c k l e r . Ueber angenäherte Bestimmungen 254 J. G r o l o u s . Un théorème sur les fonctions 256 P. T c h é b y c h e f . Sur la limite du degré de la fonction entière qui satisfait à certaines conditions . 256 M o r e t - B l a n c . Concours général 256 A. C a y l e y . Theorem on the n"' roots of unity 25G H. Ré s al. Sur la substitution du rapport des variables d'une fonction homogène de deux variables à une fonction du même degré 257 B*

XX

Inhaltsverzeichnis». Seile

S. D i c k s t e i n . Beweis eines Satzes aus der Theorie der formalen Operationen J. G r o l o u s . Trois théorèmes sur les opérations J. V e r s l u y s . Theorie der Quaternionen P . G. T a i t . Mathematical notes P . G. T a i t . On the opération y ( V ) C a p i t e l 2.

257 258 258 258 258

Besondere Functionen

N . T r u d i . Ricerche intorno alla trasformazione delle potenzi intere in coefficienti binomiale N . T r u d i . Studii intorno ai coefficienti delle facolta analiticlie . . A . C a y l e y . On an expression for l + sin(2y + l ) u in termes of s i n « f B . H e i s . Die hyperbolischen Functionen 0. A L a i s an t. Essai sur les fonctions hyperboliques B r i o t et B o u q u e t . Théorie des fonctions elliptiques F. M ü l l e r . Ueber Mac Lauriu's geometrische Darstellung elliptischer Integrale L a g u e r r e . Sur différentes formes que l'on peut donner à l'intégrale de l'équation d'Euler F l o q u e t . Intégration de l'équation d'Euler J. T h o m a e . Ueber die Réduction des elliptischen Integrals /(sin am u p du J. G r i f f i t f y s . N o t e on some relations between certain elliptic and hyperbolic functions H. B r u n s . Ueber die Perioden der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung M. A . B a r a n i e c k i . Entwickelung des Quotienten der vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung in einen Kettenbruch A . M a r t i n . Réduction of some intégrais to elliptic functions . . . C. W . B o r c h a r d t . Correspondance mathématique entre Legendre et Jacobi A . O a y l e y . On the transformation of elliptic functions H. L e mon n i e r . Sur les fonctions elliptiques qui correspondent à la fonction cosx+i'sinor H . v. M a n g o l d t. Ueber eine Stelle aus Gauss' nachgelassenen Schriften J. W . L . G l a i s h e r . On a class of identical relations in the theory of elliptic functions St. G e r m a i n . Du facteur constant dans l'expression de &(x) en produit illimité . . . . • L. K i e p e r t . Ueber Gurven, deren Bogen ein elliptisches Integral erster Gattung ist A. Harnack. Ueber die Verwerthung der elliptischen Functionen für die Geometrie der Curven dritten Grades K . S c h w e r i n g . Ueber eine Gattung transcendenter Onrven, welche geschlossen sind H . G y l d é n . Sur le développement de la fonction perturbatrice . . F. B r i o s c h i . Sur une formule de transformation des fonctions elliptiques M. K r a u s e . Ueber die Discriminante der Modulargleichungen der elliptischen Functionen M. S i m o n . Ganzzahlige Multiplication der elliptischen Functionen . F . B r i o s c h i . Sur l'équation du cinquième degré L . K r o n e c k e r . . Ueber die algebraischen Gleichungen, von denen die Theilung der elliptischen Functionen abhängt E. M i s c h p e t e r . Transformation derThetafunctiouen mit zwei Variabein

259 259 261 261 261 262 268 270 271 272 273 274 274 274 275' 277 279 280 281 281 281 258 282 283 284 284 2Ü5 287 288 289

Inhaltsverzeichniss.

xzi

L. K ö n i g s b e r g e r . Beziehungen zwischen den Periodicitätsmoduln zweier hyperelliptischer Integrale J . T o d h u n t er. An elementary treatise on Laplace's funetions . . J . W . L. G l a i s t er. Note on Laplace's coefficients H. L a u r e n t . Mémoire sur les fonctions de Legendre L. S e h e n d e 1. Zur Theorie der Kugelfunctionen P . G. T a i t . Note on spherical harmonies G. B a u e r . Bemerkungen über Reihen nach Kugelfunctionen. . . . R a d i c k e . Ueber die mathematische Darstellung der Riemann'schen P-Function E. M e i s s e l . Zur hypergeometrischen Reihe "H. H a n k e 1. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunctionen H. H a n k e l . Die Fourier'schen Reihen und Integrale für Cylinderfunctionen L . G e g e n b a u e r . Ueber einige bestimmte Integrale E. L o m m e l . Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function

Achter Abschnitt. C a p i t e l 1.

289 290 291 292 293 295 295 299 300 301 301 303 304

Reine, elementare und synthetische Geometrie. Principien der Geometrie.

J . 0 . B e c k e r . Die Grundlagen der Geometrie A. M o r o f f . Die ersten Sätze der ebenen Geometrie R. B e e z . Zur Theorie des Krümmungsmaassea von Mannigfaltigkeiten höherer Ordnung E d'O v i d i o. Sopra alcuni luoghi ed inviluppi in geometria projettiva • C a p i t e l 2.

Seile

305 306 306 307

Continuitätsbetrachtungen (analysis situs).

A. T o n e l l i . Zur Lehre vom Zusammenhange 307 E. H e s s . Ueber zwei Erweiterungen des Begriffs der regelmässigen Körper 308 C a p i t e l 3.

Elementare Geometrie. (Planimetrie. Stereometrie.)

Trigonometrie.

F . K r u s e . Elemente der Geometrie A. S t e g m a n n . Die Grundlehren der ebenen Geometrie und Stereometrie M. J . B y k o w s k i . Die Elemente der Geometrie und Trigonometrie . T h . G a u s s . Methode der Auflösung von planimetrischen Aufgaben K . R u d e l . Zuin Geometrieunterricht T h . H ü g e l . Einige geometrische Sätze W. H a y d e n . On some geometrical theorems | J . M. J . S a c h s e . Der fünfte merkwürdige Punkt im Dreieck . . E. H a i n . Verschiedene Sätze über das Dreieck E. H a i n . Ueber Harmonikaien im Dreieck E. H a i n . Ueber Paralleltransversalen im Dreieck E. H a i n . Ueber Symmetriepunkte des Dreiecks E. H a i n . Ueber den Schwerpunkt, den Spieker'schen und Grebe'schen P u n k t im Dreieck 314. E. H a i n . Ueber die Winkelhalbirenden des Dreiecks E. H a i n . Neuer Beweis zu einem Satze über das Dreieck . . . .

309 310 311 311 311 311 312 312 312 313 313 313 315 3Î6 316

XXII

Inhaltsverzeichniss. Seite

B. H a i n . Ueber das Diagonalenfünfeck eines Fünfecks im Kreise. Ueber Kreise im Dreieck 316 T. T. W i l k i n s o n , A. B. E v a n s , P. S t o r d e u r , E. R u t t e r , W. J . G r e e n f i e l d , R. T u c k e r , T. J. S a n d e r s o n , C. L e u d e s d o r f , C. G. C o l s o n , S. A. R e n s h a w , R. W. G e n e s e , W. H o p p s , W. J. C. M i l l e r , W. H. H. H u d s on, N ' I m p o r t e , P. D. T h o m s o n , N. S a r k a r , 0. B. S. C a v a l l i n , J. S. J e n k i n s , J. J . W a l k e r , H. M u r p h y , L e z , M eyl. Aufgaben über das Dreieck 317. 318 J . N e u b e r g . Sur le cercle de neuf points 318 H. M. T a y l o r . A geometrical problem 318 K. Z a h r a d n i c k . Aufgabe über berührende Kreise 318 T. J. S a n d e r s o n , E. R u t t e r , R. T u c k e r , J. D a v i s , 0- L e u d e s d o r f , J. H. J u r r e l l , P . S t o w e l l , E B. S e i t z , E. W. H y d e . Aufgaben 319 L. S a n c e r y . Propriétés des quadrilatères complets 319 E. B. E l l i o t , S. R o b e r t s , J . P. W i l s o n , C. L e u d e s d o r f , E. R u t t e r , R. T u c k e r , W. H o p p s , H. M u r p h y , A. P. S h e p h e r d . Aufgaben über das Viereck 320 F. P e r r o n . Mémoire sur le calcul et la construction des polygones réguliers, nebst Extrait von P. M a n s i o n 321 S. A. R e n s h a w , R. W. G e n e s e , R. P. D a v i s , H. M u r p h y , E. R u t t e r . Solution of a question 321 W. V o l l h e r i n g . Erweiterter Begriff der inneren Kreispolare . . . 321 J. T. S a n d e r s o n , H. M. N a s h , - 0. L e u d e s d o r f , E. B. E l l i o t , S. A. R e n s h a w , R. P. D a v i s , T. T. W i l k i n s o n , S. W a t s o n , N ' I m p o r t e , R. W. G e n e s e , E. R u t t e r , H. M u r p h y , R. T u c k e r , P . D. T h o m s o n , A. B. E v a n s . Aufgaben über den Kreis .222 C. F. L i ri dm an. Nögra satser angäende reguliera mänghörningar . 322 J. P e t e r s o n . Nagle geometriske Satninger 322 H. E g g e r s , W. W. J o h n s o n , C. M. W o o d w a r d . Solutions of geometrical problems 322 J. H o ü e l . Remarques sur l'enseignement de la trigonométrie . . . 322 C. K i e s e r i t z k y . Lehrbuch der Geometrie und Trigonometrie . . 323 L. Graf v o n P f e i l . Zur Schultrigonometrie 323 E r n s t . Versuch die Schüler zur selbständigen Lösung trigonometrischer Aufgaben anzuleiten 323 J. J o f f r o y . Démonstration géométrique d'une inégalité 324 R. F. D a v i s , R. T u c k e r , W. G e n e s e , J. J. S y l v e s t e r , 0. C h a d u , J . J. L o wry. Aufgaben 324. 325 F. R e i n e m u n d . Théorème sur les polygones réguliers, nebst Rapport von J. M. de T i l l y 326 P. J . S t u d n i c k a . Ableitung der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie 326 F. M e r t e n s . Der Legendre'sche Satz 326 W. L i g o w s k i . Herleitung der Formel von L'Huilier für den sphärischen Excess 326 C. G. C o l s on. On the circumscribed, inscribed and escribed circle of a spherical triangle 327 H. H a r t . Formulae for the spherical excess 327 J . J. W a l k e r , B o o t h . Solutions of questions 328 P . M a l y . Lehrsätze über Gerade im Räume 328 G. D o s t o r . Le trièdre et le tétraèdre, nebst Bemerkungen von F. H o z a 328. 329 A. M o g n i . Esercitazioni matematiche 330 O. H e l ï w i g . Beiträge zur Lehre vom Tetraeder und von den Ecken 330

Inhaltsverzeichniss.

xxrn

P a u l e t. Solution d'une question J. P. K i r k m a n n . The janal dodecahedra O. Löwe. Ueber die regulären und Poinsot'schen Körper G. D o s t o r . Volumes des solides engendrés par la révolution des polygones réguliers J. N e u b e r g . Sur deux problèmes de L'Huilier S t a m m e r . Ueber das Prismatoid C. L. L a n d r é . Stereometrische Hoofdstukken R. H o p p e . Minimumflächen der drei ersten Klassen von Polyedern M o r e t - B l a n c . Solution d'une question S G u n t h e r . Ein stereometrisches Problem C. W. M e r r i f i e l d , ß . W. G e n e s e , H. H a r t . Aufgaben auB der Stereometrie C a p i t e l 4.

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331 331 331

332 333 333 333 334 335 335 335

Darstellende Geometrie.

W. F i e d l e r . Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage P. A. K l i n g e n f e l d . Lehrbuch der darstellenden Geometrie . . . D. W i e r z b i c k i . Darstellende Geometrie f A . J u l l i e u . Méthode nouvelle pour l'enseignement de la géométrie descriptive J. C. W. E l l i s . On methods of drawing in perspective W. M a t z k a . Zur Lehre der Parallelprojection V. J a r o l i m e k . Bestimmung des Schnittpunktes von Geraden und Kegelschnitten A. J u l Ii en. Ellipse considérée comme projection oblique d'un cercle R. N iem t s c hick. Construction der einander eingeschriebenen Linien zweiter Ordnung fB. de C h a u c o u r t o i s . Instruction pour la pratique du dessin géométrique sur la sphère A. M ogni. Sulla projezione centrale K. Z i p e r n o v s z k y . Construction der Perspectiv-Contouren für Oberflächen zweiten Grades A. B e n t e l i . Ueber die ebenen Schnitte der Strablenflächen . . . A. V. P e s c h k a . Graphische Lösung der axonometrischen Probleme J. S c h o l z . Anwendung der stereographischen Projection auf die Perspective A. M a n n h e i m . Letters to Prof. Sylvester G. H. D a r w i n . A mechanical method of making a force which varies inversely as the square of the distance from the point . . G. H. D a r w i n . The mechanical description of equipotential lines . H" H a r t . The mechanical description of a sphero-conic H. H a r t . A parallel motion A. C a y l e y . On the scalene transformation of a plane curve . . . A. C a y l e y . On the mechanical description of a Cartesian . . . . f L . A n d r é . Détermination de quelques éléments des solides de révolution J. C. W . E l l i s . A method of drawing ellipses E. L u c a s . De la trisection de l'angle à l'aide du compas . . . . M; P e t e r s e n . En mekanisk Apparat til Vinklens Trideling . . . A. Z i e l i n s k i . Quadrature of circle • J . C. W. E l l i s . A machine for tracing curves G. R e b i o e k . Beschreibung eines Kegelschnittzeichners P l e t t n e r . Epi- und Hypocycloiden-Zirkel

335 341 343 343 343 344 344 345 345 345 346 346 347 348 348 349 349 349 349 349 350 350 350 350 350 351 351 351 352 352

Inhaltsverzeichniss.

XXIV

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C a p i t e l 5.

Neuere synthetische Geometrie. A. E b e n e

Gebilde.

G. B a t t a g l i n i . Sulla geometria projettiva 353 H . H a n k e l . Die Elementa der projectivisçhen Geometrie in synthetischer Behandlung 353 ß . S t u r m . U e b e r die v. Staudt'schen W ü r f e 357 K. Z a h r a d n i k . U e b e r harmonische Punktsysteme 357 A. Hirst. On the correlation of two planes 358 +J. B . Y . R e y n a u d . Introduction à l'étude de Tomographie . . . . 358 G. B a t t a g l i n i . Sulla geometria projettiva 358. 359 L. Petersen. N o g l e Satninger om hoinografiske Figurer 359 A. F a v a i o , Intorno alla costruzione delle punteggiate projettive . 360 C. T a y l o r . T h e method of reversion applied to the transformation of aDgles 360 C. T a y l o r . T h e homographie transformation of angles 361 S. A . R e n s h a w . T h e cone and its sections treated geometrically . 361 E. D e w o u l f f . Sur les démonstrations de deux théorèmes de Mr. Cremona • 362 f E . B e l t r a m i . . Sugi' alcuni teoremi di Feuerbach et di Steiner . . 362 E W. Genese. Solution of a question 362 R. R a w s o n . Construction of the principal axes of an ellipse . . . 362 P . S o n d â t , H . G e r r e t a et L . G o u l i n . Solutions de questions - 362 R . F . D a v i s . N o t e on the quasi-focal properties of any point within a parabola 363 H . R a s s e l e t , R . T o w n s e n d , J. F . W i l s o n , R . W . G e n e s e , F . D. T h o m s o n , S. A . R e n s h a w , E. R u t t e r . C. L e u d e s d o r f , S. F o r d e , R . T u c k e r , M i n c h i n , R . F . D a v i s , N . S a r k a r , C l i f f o r d . Aufgaben 363. 364 A. Hirst. Geometrical contributions to the „Educational T i m e s " . 364 J. Â . F a g e r h o l m . N i g r a anvâadninguar af teorien för de reciproka polarerna 364 Em. W e y r . Grundzüge einer T h e o r i e der cubischen Involutionen . 364 Em. W e y r . Principes d'une théorie des systèmes symétriques d'éléments 368 H . M i l i n o w s k i . D i e harmonischen Mittelpunkte für ein Puuktsystem von vier Punkten • 369 C. A n d r é j e f f U e b e r die geometrische Erzeugung ebener Curven 371 L . S a l t e l . Sur la génération des cycliques et cyclides 371 L . S a l t e 1. Sur les foyers des cycliques 372 R.'Townsend. Solution of a question 373 fG. J a n g . Sulle intersezioni di una conica e di una curva piana del quart' ordine 373 C. W . M e r r i f i e l d . Cartesian ovals considered as conic intersections . . 373 N. Savaltore-Dino. Sulle coniche circoscritte e conjugate ad un triangolo 373 H. B r o c a r d . Démonstration d'une proposition de Steiner . . . . 374 E. L u n d b e r g . Om plana kurvors rullning tri. . . 374 f E . L u c a s . Nouveaux théorèmes de géométrie supérieure ' o i l i i l o . . 374 ' W .w B. R ä u m l i c h e G e b i l d e . A. Hirst. On correlation in space A. M a n n h e i m . P r o b l è m e s relatifs à la théorie des surfaces . . • A. Ribaucour. Propriétés de courbes tracées sur les surfaces, mit N o t e von A . M a n n h e i m A. V o s s . U e b e r die Zahl der Kreispunkte einer allgemeinen Fläche «ter Ordnung

3ïft 375 376 377

Inhaltsverzeichnisa. SiUdorf. Ueber das Strahlensystem erster Ordnung und erster Klasse W . F i e d l e r . Geometrische Mittheiluagen W. F i e d l e r . Ueber algebraische Raumcurven, deren System zu sich selbst dual oder reoiprok ist G. H a l p h é n . Sur certaines perspectives gauches des courbes planes algébriques R. S t u r m Weitere Untersuchungen über cubische Raumcurven, nebst Zusatz . . L a g u e r r e . Sur la biquadratique sphérique C. W. M e r r i f i e l d . Anharmonic ratio of a pencil of five lines in spaces G. C h a d u . Théorème de géométrie M o r e t - B l a n c , A l l m a n . Lösung von Aufgaben M e y e r . Flächensysteme zweiter Ordnung . . . . Ch. C h a b a n e l . Solution d'une question E . K o u t n y . Ueber die Sätze von Pascal und Brianchon L a g u e r r e . Mémoire sur la géométrie de la sphère 0 . T a y l o r . The right circular coDe J . J . W a l k e r , F . D. T h o m s o n . Solution of a question Ch. W i e n e r . Lösung der Aufgabe: Einen durch fünf Punkte oder Tangenten gegebenen Kegelschnitt auf einen Umdrehungskegel zu legen • +L. S a l t e l . Théorèmes sur les courbes et les surfaces du trosième ordre C. R o d e n b e r g . Das Pentaeder der Flächen dritter Ordnung beim Auftreten von Singularitäten A. M a n n h e i m . Recherches sur la surface de l'onde A. M a n n h e i m . Propriétés des diamètres de la surface de l'onde . A. M a n n h e i m . Sur la surface de l'onde B o u r g u e t . Solution de deux questions fG. B a t t a g l i n i . Nota intorno ad una superficie di 8° ordine . . . C. G e o m e t r i e d e r A n z a h l . L . S a l t e l . Sur la détermination sans calcul de l'ordre d'un lieu géométrique . . F . F o l i e . Rapport sur ce mémoire G. F o u r e t . Détermination du nombre des points d'intersections de trois surfaces algébriques G. F o u r e t . Sur l'application du principe de correspondance à la détermination du nombre des points d'intersections de trois surfaces ou d'une courbe gauche et d'une surface G. F o u r e t . Sur la notion des systèmes généraux de surfaces déduite de la notion des implexes G. F o u r e t . Sur quelques conséquences d'un théorème relatif à un implexe et à un système de surfaces L . S a l t e l . Sur une extension analytique du principe de correspondance L . S a l t e l . Application d'un théorème à la détermination de l'ordre de multiplicité d'un point 0 qui est un point multiple d'un lieu géométrique L. S a l t e l . Sur la détermination des singularités de la courbe d'intersection de deux surfaces L . S a l t e l . Détermination dans la surface réciproque d'une surface S donnée de points multiples, du degré de la courbe double . G. H a l p h é n . Applications nouvelles d'une proposition sur les congruencea de droites H. S c h u b e r t . Die dreizehn Ausartungen und die.Fundamentalzahlen der ebenen Curve dritter Ordnung mit Spitze

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389 389 390 390 390 391 392 393 393 393 393 394

Inhaltsverzeichniss.

XXVI

N. S a l v a t o r e - D i n o . Alcune applicazioni analitiche del metodo delle caratteristiche M. C h a s l e s . Théorèmes généraux sur le déplacement d'une figure plane sur son plan A. B r i l l . Ueber Systeme von C'urven und Flächen O. T o g n o l i . Sui sistemi di curve piane K ö h l e r . Sur les réseaux de courbes planes B. N i e w e n g l o w s k i . Sur les courbes d'ordre w, & point multiple d'ordre n—1 G. P o u r et. Sur une nouvelle définition géométrique des courbes d'ordre n à point multiple d'ordre n—1 K ö h l e r . Sur la construction des courbes du 5 l n e et du 6 l n e ordre à points multiples . . . . G. H a l p h én. Sur quelques propriétés des courbes gauches algébriques P i c q u e t . Sur les courbes gauches algébriques . L. S a l t e l . Sur la détermination des caractéristiques dans les courbes de degré supérieur M. C h a s l e s . Application de la méthode de correspondance à des questions de grandeur de segments sur les tangentes des courbes M. C h a s l e s . Théorèmes dans lesquels entre une condition d'égalité de deux segments rectilignes M. C h a s l e s . Nouveaux théorèmes relatifs à des conditions d'égalité de grandeur de segments rectilignes sur les tangentes de courbes géométriques M. C h a s l e s . Détermination de la classe des courbes enveloppes qui se présentent dans les questions d'égalité de grandeur de deux segments sur les tangentes M. C h a s 1 e s. Théorèmes dans lesquels se trouve une condition d'égalité de deux segments pris sur des normales et des tangentes . . . M. C h a s l e s . Théorèmes dans lesquels se trouvent des couples de segments ayant un rapport constant . M. C h a s l e s . Généralisation de la théorie des normales des courbes géométriques où l'on substitue à chaque normale un faisceau de droites L. S a l t e l . Sur la détermination des singularités d'une courbe gauche L . S a l t e l . Sur des courbes gauches du genre zéro . . . . . . A. C a y l e y . On the gröup of points G4' on a sextic curve with five double points G. H a l p h é n . Mémoire sur la détermination des coniques et des surfaces du second ordre

Neunter Abschnitt. C a p i t e l 1.

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396 396 397 398 398 399 399 400 400 401 402 402 402 402 402 403 403 403 404 404 405 406

Analytische Geometrie. Coordinaten.

C. H e r t z . Beweis eines Satzes aus der Theorie der Addition der Strecken im Baume 408 P . v a n G e e r . Ueber die elliptischen und centralen Coordinaten . . 408 C a p i t e l 2.

Analytische Geometrie der Ebene.

A. A l l g e m e i n e T h e o r i e d e r e b e n e n C u r v e n . A. C l e b s c h . Vorlesungen über analytische Geometrie 409 Ch. R u c h o n n e t . Exposition géométrique des propriétés générales des courbes 409 A . P a n e k . Elementare Untersuchung der ebenen Curven 410

xxvn

Inhaltsverzeichniss.

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H. On ne il. Discussion d'un système de spirales 410 G. H a l p h é n . Sur les points qui satisfont à une condition exprimée par une équation différentielle 411 H. J . B d d y. The application of the exponential polygon to the Hessian 411 P . M a n s i o n . Sur les développées des courbes planes 412 B. T u c k e r , J . C. M a l e t , J . R. W i l s o n . Solutions of questions . 412 B.

T h e o r i e der a l g e b r a i s c h e n

Curven.

L a g u e r r e . Sur quelques propriétés des courbes algébriques . . . L a g u e r r e . Sur les polaires d'une droite relativement aux courbes et aux surfaces algébriques L a g u e r r e . Sur l'application de la théorie des formes binaires à la géométrie analytique L a g u e r r e . Sur les singularités des courbes de quatrième classe . O. S t o l z . Ueber die singulären Punkte der algebraischen Functionen und Curven De la G o u r n e r i e . Rapport sur un mémoire de M. Halphén . . . . E C a t a l a n . Sur les asymptotes des courbes algébriques J . L i i r o t h . Beweis eines Satzes über rationale Curven S. G u n d e l f i n g e r . Zur Theorie des Kegelschnittbüschels Em. W e y r . Abbildung einer rationalen Raumcurve vierter Ordnung auf einen Kegelschnitt K . Z a h r a d n i k . Rationale Curven dritter Ordnung und Klasse . . C.

G e r a d e L i n i e und

412 413 414 414 415 416 416 417 417 417 417

Kegelschnitte.

F . van W a g e n i n g e n . Leerboek der Analytische Meetkunst . . . S a g o r s k i . Analytisch-geometrische Untersuchungen M o r e t - B l a n c . Solution d'une question G. D o s t o r . Distances du point à la droite R. W . G e n e s e . Proof of an elementary theorem in analytical geometry W . H. L o w r y . On a formula in analytical geometry G. D o s t o r . Nouvelle expression de la surface d'un triangle . . . . R . H o p p e . Ueber die Symmetriepunkte des Dreiecks A. R e u m . Die merkwürdigen Punkte des Dreiecks A z z a r e l l i . Delle coordinate biangolari F . E . T h i e m e. Von den lateralen oder imaginären Geraden . . . J . W a i l i e . Génération des lignes et des surfaces du secoud degré E . L u c a s . Sur la théorie des sections coniques M. G r e i n e r . Der Transformatioiisfactor M. G r e i n e r . Einiges über Kegelschnitte G. D o s t o r . Application des discriminants aux courbes et surfaces du second degré G. E m s m a n n . Die Kegelschnitte als geometrische Oerter . . . . . S o u b e i r a n . Solution d'une question E . C a t a l a n . Sur un lieu géométrique J . N e u b e r g . Équation focale des coniques en coordonnées tangentielles J . N e u b e r g . Sur une conique . . • H. M. T a y l o r . On the envelope of the straight line A. T o u r e t t e s , A. M a r t i n , J. Wolstenholme, L. M i c h e l , E . P e l l e t , E . F i o t . Lösung von Aufgaben 428 R . W . G e n e s e . On a conic M. G r e i n e r . Die orthoptische Linie eines Kegelschnittes- . . . . R . W . G e n e s e . Geometrical evaluations J . R. V a n a n s . Ueber eine Deutung der Parabelgleichung R . T u c k e r . T o find the latus rectum of a parabola G. D o s t o r . Équation générale des deux tangentes

418 418 418 418 419 419 419 420 422 423 423 424 424 425 426 426 427. 428 428 428 428 428 429 430 430 431 431 431 431

XXVIII

Inhaltsverzeichniss.

R. T o w n s e n d . Solution of a question f F . H r o m a d k o . Analytischer Beweis für die Construction der Ellipsennormale f A . C a m b i e r . Remarque sur la théorie des foyers - j - E u r e n i u s . On directrices and foci in trilinear coordinates . . • V. H. 0 . M a d s e n . Bestemmelse af et Kegelsnits Brondpuncter og Excentricitet J . W o l s t e n h o l m e . A new view of the porism of the in- and circumscribed triangle v o n W a s s e r s c h i e b e n . Zur Theorie des eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks in den Kegelschnitten A. M. N a s h . Solution of a question P . T e r r i e r . Quadrilatères et sections coniques W. J . C. M i l l e r , Booth, S. A R e n s h a w , J. J. S y l v e s t e r . Solutions of questions M. G r e i n e r . Conjugirto Durchmesser eines Kegelschnittes . . . . f D . C h e Ii ni. Intorno ai poligoni inscritti e circoscritti alle coniche N i e w e n g l o w s k i . Problème P. K o s c h . Trisection des Winkels mit Hülfe der gleichseitigen Hyperbel H. L e m e l l e , C. M o r e a u , R. F . S c o t t , H. Q u e t . Lösung von Aufgaben P . R i c c a r d i . Esercitazione geometrica C. L e u d e s d o r f , R. T u c k e r , R. W. G e n e s e , J . J. W a l k e r , T. J . S a n d e r s o n , R. P. D a v i s , L. W . J o n e s , E. B. E l l i o t , R. F. S c o t t , J . L. M c K e n z i e , P. D. T h o m s o n , S. A. R e n s h a w , N. S a r k a r , A. M. N a s h . Lösung von Aufgaben . . . D. A n d e r e a p e c i e l l e C u r v e n . A. H a r n a c k . Verwerthung der elliptischen Functionen für die Geometrie der Curven dritten Grades A. S. H a r t . On the nine-point contact of cubic curves A. H o c h h e i m Pole und Polaren der parabolischen Curven dritter Ordnung A. H o c h h e i m . Brennpunkte der Differentialcurve der P a r a b e l . . A . H o c h h e i m . Die gemischte Poloconik zweier Geraden . . . . . P . M a n s i o n . L e s cubiques unicurcales sont des cissoides . . . . H a u b . Die geometrischen Eigenschaften einer- gewissen Curve . . . Laurans, Moret-Blanc, A. C a y l e y , Aster, S. T e b a y , R. T u c k e r , J . R. W i l s o n . Lösung von Aufgaben . . . 441 A. C a y l e y . On the expression of the coordinates of a point of a quartic curve H. D u r è g e . Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten W. B r e t s c h n e i d e r . Ueber Curven vierter Ordnuug mit drei Doppelpunkten C. C r o n e . Om Dobbeltangenternes Fordeling paa de forskjellige Systemer af 4-dobbelt rörende Kegelsnit ved nogle Kurver af 4e Orden W. W. J o h n s o n . Bipolar equations • Em. W e y r . Quelques théorèmes sur la lemniscate A l l m a n , J . J . W a l k e r , E. B. E l l i o t , R. T u c k e r , J . W o l s t e n h o l m e . Solution of a question A. C a y l e y . Note on the Cassinian A. W a n g e r in. Reduction der Potentialgleiohung für gewisse Rotationskörper M. A z z a r e l l i . Studio di una linea del quart' ordine

Seite

431

432 432 432 432 432 433 433 434 434 434 435 435 436 437 438

438

438 439 439 440 440 440 441 442 442 443 446 446 448 448 448 448 449 449

Inhaltsverzeichnisse

XXIX

E. S a n g . On a singular case of rectification Astor, S. W a t s o n , L. P h i l i p p i n , L. S a l t e l , E. D e w u l f , L. B o u r g u e t , H. Q n e t . Lösung von Aufgaben 449. L. M a l e y x Propriétés de la strophoïde K. Z a h r a d n i k . Theorie der Cardioide p . H e j z l a r . Ueber die caustische Curve . . .. . . > . M o r e t - B l a n c . Solution d'une question E. C a t a l a n . Rapport sur une note de M. Reinemund Ch. P h . C a h e n . Sur l'hypocycloïde à trois rebroussements . . . . W. B r a u n . Ueber Lissajous-Curven A . N e w t o n and A . W . P h i l i p p s . On certain transcendental curves E. W. H y d e . Foliate curves H. M. J e f f e r y . On the shadows of plane curves on spheres . . . E. S a n g . On the curve of second sines R. T u c k e r , A. M a r t i n , R. T o w n s e n d , J . C. M a l e t , R. P. S c o t t , R. F . D a v i s , C. L e u d e s d o r f , J J . W a l k e r , D. T h o m s o n , E. B. E l l i o t . Lösung von Aufgaben . . . . . C a p i t e l 3.

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449

450 451 451 452 452 453 453 453 454 454 454 454 455

Analytische Geometrie des Raumes.

A. A l l g e m e i n e T h e o r i e d e r F l ä c h e n u n d

Raumcurven.

W. S p o t t i s w o o d e . Sur la représentation des figures de géométrie à n dimensions.. . . . W. S p o t t i s w o o d e ' . Nouveaux exemples de la représentation des conceptions analytiques de géométrie à n dimeusions G. H a l p h é n . Recherches de géométrie à n dimensions C. J o r d a n . Essai sur la géométrie a n dimensions . f J . R i c a r t . Éléments de géométrie . M. A l l é . Beitrag zur Theorie der Functionen von drei Veränderlichen R H o p p e . Zum Problem des dreifach orthogonalen Flächensysterns P . G. l ' a i t . On orthogonal isothermal surfaces D. B o b y l e w . Ueber einige Umdrehungsflächen A o u s t . Des surfaces coordonnées E. C a t a l a n . Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces, ; nebst Rapport von T i l l y F. d e B o e r . lets over aanraking by kromme lijnen en oppervlakken W. S p o t t i s w o o d e . On multiple contact of surfaces W . K. C l i f f o r d . On M. Spottiswoode's contact problem G. H a l p h é n . Sur le contact des surfaces L. S a l t e l . Sur le plan osculateur et la sphère osculatrice . . . . A. M a n n h e i m . Construire la sphère osculatrice en un point d'une courbe G. F r a t t i ni. Alcune formole spettanti alla teoria infinitesimale delle superficie E. K r e t s c h m e r . Die krumme Fläche als Grenze eines einge^ schriebenen Polyeders G. E s c h e r i c h . Ableitung des allgemeinen Ausdruckes für das KrümmuDg8maass der Flächen H . H a r t . Notes on curvature R. F . G w y t h e r . Note on a formula in solid geometry A. E n n e p e r . Bemerkungen über die Biegung einiger Flächen . . . F. R e e c h . Théorie des surfaces de révolution F. M i n d i n g . Uebor die mittlere Krümmung der Flächen N. N i c o l a i d e s . Quelques surfaces à courbure constante G. H a l p h é n . Propriétés relatives à la courbure de la développée d'une surface .

455 455 455 457 459 459 462 462 462 463 463 464 464 464 465 466 466 466 467 468 468 469 469 470 470 471 471

m

Inhaltsverzeichniss. Seite

6 . H a l p h é n . Sur un point de la théorie des surfaces St. G e r m a i n . Sur la courbure des surfaces de carène Laguerre. Sur un genre particulier de surfaces Ch. C h a b a n e l . Solution dune question A . R i b a u c o u r . Propriétés des courbes tracées sur les surfaces, mit Note von A. M a n n h e i m L a g u e r r e . N o t e sur un théorème de géométrie, nebst Remarqués von O. B o n n e t A . S t e e n . Vindskjove Kurvers Bestemmelse ved en Relation imellem Krumningsradius og Torsionsradins . . . • . . H. G. Z e u t h e n . Vindskjove Kurver med konstant Porhold mellem Krumningsradius og Torsionsradius A ou et. Intégrales des équations différentielles des courbes . . . . F . St. M a r i e . Sur quelques propriétés des courbes gauches fermées f H . L é au t é . Des courbes dont les arcs sont égaux B. T h e o r i e d e r a l g e b r a i s c h e n F l ä c h e n

und

474 474 475 475 475 475 476

Raumcurven.

H . M. T a y l o r . On the generation of a developpable surface trough two given curves H . G. Z e u t h e n . Sur une classe de points singuliers de surfaces . G. H a l p h é n . Sur un point de la théorie du contact R. d e P a o l i s . Sopra un sistema omaloidico formato da superficie d'ordine n con un punto (ti—l)-plo S. R o b e r t s . On a simplified method of obtaining the order ef algebraical conditions Bd. W e y r . Ueber algebraische Raumcurven Laguerre. Sur l'application de la théorie des formes binaires à la géométrie des courbes C.

471 473 473 473

R a u m g e b i l d e e r s t e n , z w e i t e n und d r i t t e n

476 477 477 478 478 479 479

Grades.

E. d ' O v i d i o . Sopra alcuni luoghi ed inviluppi di 1° e 2° grado . . 479 E. d ' O v i d i o . I complessi e le congruenze lineari 479 G. D o s t o r . Expression de la surface d'un triangle de l'espace . . 480 +D. C h e l i n i . Sopra alcuni punti nella teoria elementare dei tetraedri 481 f«T. N i c o l i . Intorno ad una interpretazione geometrica dei sistemi di equazioni lineari 481 A . B r i l l . Carton-Modelle von Flächen zweiter Ordnung 481 G. D a r b o u x . Sur les propriétés métriques des surfaces du 2. degré 481 G. P i t t a r e l l i . Osservazione sulle quadriche in coordinate di piani . 482 L . S al t e l . Sur la détermination analytique du ceDtre d'une section plane faite dans une Burface du second ordre . , . . . . . . 482 J. W . T e s c h . Over den stand der vlakken, die een middelpunkts- ' oppervlak van den tweeden graad volgens gelykzydige hyperbolen snijden 483 H . L e m o n n i e r . Foyers et directrices des surfaces du second ordre 483 G. H a l p h é n . Sur lés courbes gauches tracées sur les surfaces du second ordre 484 H . M. J e f f e r y. On the shadows of polare curves on spheres . . . 485 S t o II. Neue Beiträge zum Problem des Apollonius 485 M o r e t - B l a n c , R. T o w n s e n d , R. T u c k e r . Lösung von A u f gaben . . . . . 485. 486 G. D o s t o r . Application des déterminants aux surfaces cylindriques 486 Ed. L u c a s . Sur la théorie des sections coniques 487 de P i s t o y e . Sur les sections planes des cônes circulaires obliques 487 H . B r o c a r d . Solution d'une question 488

Inhaltsverzeichniss.

XXXI

L a g u e r r e . Sur les cônes du second degré E. B. E l l i o t . Solution of a question . . . • . • Q, D o s t o r . Application des déterminants aux surfaces de révolution H. L e m o n n i e r . Déterminer le paramètre d'une section parabolique dans un hyperboloïde à une nappe M o r e t - B l a n c , H. B r o c a r d , G e n t y . Solutions de questions . . . F. B. E c k a r d t . Ueber eine allgemeine Klasse von Flächen . . . F. E. E c k a r d t . Ueber Flächen dritten Grades H. M. J e f f e r y . On cubic spherical curves H . M. J e f f e r y . On spherical conics B. N i e w e n g l o w s k i . Sur les arcs de courbes sphériques H. R é s a i . Sur un théorème de Poncelet D.

Andere specielle

Liniengeoraetrie.

C a p i t e l 5.

490 490 491 491 494 494 495 495

495 496 497 497 504 504 504 506 507 507 508 508 509 509 511 512 512 512

(Complexe, Strablensysteme.)

A. Y o s s . Ueber Complexe und Congruenzen A . V o s s . Ueber eine Fundamentalaufgabe der Pliickerschen Geometrie E. d ' O v i d i o . Sopra alcuni luoghi ed inviluppi di 1° e 2° grado in geometria projettiva E. d ' O v i d i o . I complessi e le congruenze lineari nella geometria projettiva G. H a l p h e n . Sur le déplacement d'un solide invariable G. H a l p h é n . Sur le mouvement d'une droite R. S. B a l l . On a screw complex of the second order . . . . . . . C u l m a n n . Die graphische Statik

P. A s c h i e r i . fra loro

488 489 489

Baumgebilde.

A. C a y l e y On the quartic surfaces represented by the equation, symmetrical determinant = ¡ 0 J . P u r s e i . On bitangents to the surface of centres of a quadric . S. R o b e r t s , B o u r g e t . Lösung von Aufgaben 496. F . C a s p a r y . Die Krümmungsmittelpunktsfläche des elliptischen P a raboloids G r e v e . Ueber die spirische Oberfläche H a l b r o c k , H. J . E d d y , J . E. H e n d r i c k s , E W . H y d e . Proofs C. W. B a u e r . Flächeninhalt von Parallelschnitten durch Regelflächen G. J . C h i l d e. Ray surfaces of refraction R. H o p p e . Beispiel einer einseitigen Fläche H e r z o g . Bestimmung einiger specieller Minimalflächen H. A. S c h w a r z Miscellen aus dem Gebiete der Mimimalflächen . G. B a t t a g l i n i . Nota intorno ad una superficie di 8° ordine . . . E m W e y r . Ueber Curven vierter Ordnung E m . W e y r . Ueber Raumcurven vierter Ordnung mit einem Cuspidalpunkte H. L a u r e n t . Sur la théorie des roulettes gauches F . A u g u s t . L e h r s a t z , eine gewisse Raumcurve sechsten Grades betreffend N N i è o l a ï d e s . Analectes R. T o w n s e n d , R. W. G e n e s e , F . D. T h o m s o n . Lösung von Aufgaben C a p ite 1 4.

Seite

513 514 514 515 515 515 516 516

Verwandtschaft, eindeutige Transformationen, Abbildung. Sopra una corrispondenza di rette fra loro e di punti

516

Inhaltsverzeichniss.

XXXII

H . J . St. S m y t b . On the effect of quadric transformation on the singular points of a curve Laguerre. Sur la représentation sur un plan d'une surface du troisième ordre E. C a p o r a l i . Sulla superficie del quinto ordine dotata d'una curva doppia del quinto ordine B e e z . Ueber conforme Abbildung von Mannigfaltigkeiten höherer Ordnung O. B o n n e t . Recherches des surfaces que l'on peut représenter sar un plan E. B. H o l s t . En sferisk Figurs Evne O. H e n t s c h e i . Conforme Abbildungen einiger ebenen Flächen . . G. H o l z m ü l l e r . Weitere Beiträge zur Theorie der isogonalen Verwandtschaften

Zehnter Abschnitt. C a p i t e l 1.

Allgemeines.

518 518 518 519 519 520 521 522

Mechanik. (Lehrbücher etc.)

F . N a r r . Einleitung in die theoretische Mechanik A. v. W a l t e n h o f e n . Orundriss der allgemeinen mechanischen Physik P . D u b o s . Cours de mécanique J . B a u s c h i n g e r . Elementi di statica grafica J . S o l i n . Anfangsgründe der Arithmographie P . B r e t o n . Sur de prétendues inadvertances de la Mécanique de Lagrange J . B e r t r a n d . Réponse et remarques sur cet article P. G. T a i t . Mathematical notes J . C. M a x w e l l . On the proof of the équations of motion of a connected system C a p i t e l 2.

Seite

525 525 526 526 526 526 527 527 527

Kinematik.

J . T i mm e r a . Over de beweging van een punt op een oppervlak . 528 C. J o r d a n . Sur le mouvement des figures dans le plan et dans l'espace 528 V. L i g u i n e . Sur lieu des points d'un système invariable mobile . 528 Ch. B r i e s e . Sur le déplacement fini quelconque d'une figure de forme invariable 529 A. M a n n h e i m . Sur les surfaces trajectoires des points d'une figure invariable 531 A. M a n n h e i m . Sur les normales aux surfaces trajectoires des points d'une figure invariable 532 A. M a n n h e i m . Quelques théorèmes montrant l'analogie qui existe entre les propriétés relatives aux surfaces décrites par les points d'une droite et les surfaces touchées par les plans d'un faisceau mobile .532 À. M a n n h e i m . Propriétés relatives à un faisceau de plans qui est . mobile 533 A. M a n n h e i m . Sur les trajectoires des points d'une droite mobile dans l'espace 533 A. M a n n h e i m . Deux théorèmes d'une nature paradoxe 534 G. H a l p h é n . Sur le mouvement d'une droite 534 G. H a l p h é n . Sur le déplacement d'un solide invariable . . . . . 534 M. C h a s l e s . Théorèmes généraux sur le déplacement d'une figure plane sur son plan 534

Inhaltsverzeichmss.

XXXIH Seite

L . B u r m e s t o r . Kinematisch-geometrische Untersuchungen . . . . D• P a d e I e t t i . Sull' accelerazione normale D- P a d e l e t t i . Sull' accelerazione d'ordine superiore al primo . . F. R e u l e a u x Theoretische Kinematik J . J . S y l v e s t e r . Transformation du mouvement circulaire en mouvement rectiligne . . • V. L i g u i n e . Sur les systèmes des tiges articulées A. B. K e m p e On a general method of producing exact rectilinear motion by linkworks W. H. L a v e r t y . Extension of Peaucellier's theorem R. H o p p e . Ueber das Problem der Geradführung eines Punktes F. A u g u s t . Beweis des Peaucellier'schen Satzes J . 0 . W. E l l i s . On some models of Peaucellier's and other parallel motions H. H a r t . On the mechanical description of the limaçon . . . . W. W. J o h n s o n . On three-bar motion . . . . A. M a n n h e i m . Letters to Prof. Sylvester . . G. H D a r w i n . A mechanical method of making a force which varies inversely as the square of the distance from a fixed point G. H. D a r w i n . The mechanical description of equipotential lines H. H a r t . The mechanical description of a sphero-conic H H a r t . A parallel motion H, B r o c a r d . Note sur un compas trisecteur R. W. G e n e s e , J . W o l s t e n h o l m e , J . 0. M a l e t , E. B E l l i o t t , T . J . S a n d e r s o n , J . R . W i l s o n , R . T u c k e r . Lösungen von Aufgaben C a p i t e l 3. A.

542 542 542 543 544 544 544 544 544 544 544 545 545 545 545 545

Statik.

Statik fester Körper.

Cul mann Graphische Statik f G . B. F a v a r o . Intorno alle figure reciproche nella statica grafica J . S o m o f f . Mémoire sur les forces qui ne changent pas d'intensité et de direction, quand leurs points d'application, formant un système invariable, reçoivent un déplacement fini quelconque . J . D E v e r e t t . A uew method in statics and kinematics G. D a r b o u x . Sur la composition des forces en statiqne F;. S t e i n e r . Die graphische Zusammensetzung der Kräfte D. T u r a z z a . Dei sistemi di rette conjugate J . C . W. E l l i s . On a machine for illustrating the parallelogram of forces B i e l m a y r . Bemerkung zur Theorie des Keils B. N i e w e u g l o w s k i . Sur les centres de gravité des surfaces «t des volumes de révolution R W G e n e s e . On the centre of gravity of a trapezium f G . B a r d e Ili. Sul centro di gravità di alcuni sistemi omogenei . . C. B e n d e r . Zur Theorie der Anziehungsgesetze Th R e y e . Einfache Darstellung der Trägheitsmomente ebener Figuren G. J u n g Intorno ai momenti d'inerzia di una sezione piana . . . G. H i n r i c h s . Calcul des moments d'inertie maximum des molécules des dérivées chlorés du toluène f A . S a y n o . Cerchio di riduzione lineare, e curva di rappresentazione dei momenti d'inerzia delle figure piane C. J o r d a n . Sur la stabilité de l'équilibre d'un solide O. M ü l l e r . Die Gleichgewichtscurve eines unausdehnbaren Fadens A. T o u r e t t e s , R. W. G e n e s e , J . R. W i l s o n , M. J e n k i n s . Lösungen von Aufgaben Foitsclir. d. Math. VII. 3.

535 540 540 540

C

546 547 547 549 550 551 552 552 552 552 553 553 553 553 554 555 555 555 556 557

Inhaltsverzeichniss.

XXXIV

W. J. M. R a n k i n e . Diagrams of forces iu fram-work J. C. M a l e t , R. T o w n s e n d , J. J . W a l k e r . Solution of a question Rayleigh A statical theorem A . H. C u r t i s . On a class of statical problems M. M e r r i m a n . On the reactions of continuous beams M. M e r r i m a n . On the flexure of continuous girders G. F ou ret. Construction géométrique des moments fléchissants sur les appuis d'une poutre à plusieurs travées solidaires J. B o u s s i n e s q . Sur les modes d'équilibre limite les plus simples que peut présenter un massif sans cohésion fortement comprimé J. M. de T i l l y et P. F o l i e . Rapport sur un mémoire de M. Boussinesq B. H y d r o s t a t i k . E. K u m m e r . Ueber die Wirkung des Luftwiderstandes auf Körper von verschiedener Gestalt J. V V o l s t e n h o l m e . T o find the centre of pressure of a triangular area wholly immersed in liquid A . A c h a r d . Yon Differentialmanometern mit zwei Flüssigkeiten . A . W e i l e n m a u n . Ueber ein abgeändertes Aneroidbarometer . . . L . S o h n c k e . Zusammenhang der von Reye gegebenen Formel für barometrische Höhenmessung mit der gewöhnlichen C a p i t e l 4. A.

557 557 558 558 558 559 559 560 560

561 561 561 562 562

Dynamik.

Dynamik fester Körper.

C. A . S c h e l t e m a . De tweede vorm der bewegiugsvergelykingen van Lagrange B. M a t h i e u . Mémoire sur la théorie des dérivées principales . . . R. Moon. Remarks on Helmholtz's memoir on the conservation of force R a y l e i g h . General theorems relating to equilibrium and initial and steady motions R . L . E l l i s . Note on a point in the theory of dynamics R. C l a u s i u s . On the theorem of the mean ergal K. S c h e l l b a c h . Construction der Bahn eines Punktes, der von einem feBten Punkte nach dem Newton'schen Gesetze angezogen wird R. M o o n . The motion of a particle from rest towards an attracting centre A . Cay l e y . On a theorem in elliptic motion A l l é g r e t . Mémoire sur le problème des trois corps W . Y e l t m a n n . Bewegung in Kegelschnitten von mehr als zwei Körpern E. K ä r g e r . Untersuchung der Bahn eines Punktes, welcher mit der k •

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Kraft -^j- angezogen oder abgestossen wird

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E. J. R o u t h . On Laplace's three particles 570 f J . R. V a nans. Ueber die Wurfbewegung . .. 570 L . N a t a n i . Methode der kleinsten Quadrate 570 A l l é g r e t . Sur la courbe balistique 571 P . G. T a i t . Mathematical notes 571 f F . S i a c c i . Sur les principes du tir 571 R. F. D a v i s . Solution of a question 571 H. P u t z . Sur la théorie générale des percussions 571 H . R é s a l . Recherches sur la dispersion des éléments d'un obus à balles après l'explosion 572 J. M. de T i l l y . Balistique intérieure 572

Inhaltsverzeichnis».

XXXV

E. B u r a t . L e boumerang R. T o w n s e n d , E. B. E l l i o t . Solution of a question E. S a n g . On the motion of a heavy body along the circumference of a circle B . N i c o m e di. Esercizii D. P a d e l e t t i . Sopra una proprietà delle brachietochrone R. T o w n s e n d . On some unnoticed cases of free fall deduced from familiar cases of brachystochronous A- Z i e v e n z o f f . Untersuchung der Tangentialkraft einer tautochronen Bewegung P . J o h a n n s e n . Om Sammensatning af Svingninger P . G. T a i t . Note on pendulum motion d e S t . - G e r m a i n . Sur la durée des oscillations du pendule composé K. S c h e l l e . Zum Poucanlt'schen Pendelversuch H. J . R i n k . Over de beweging van een halven rechten cirkelvormigen kegel H. A. L o r e n t z . Prijsvraaçf A. T o u r e t t e s . Question de mécanique E d . S c h u m a n n . Die Rotation der Erde ET. D u r r a n d e . Sur les applications des théories générales de la dynamique au mouvement d'un corps de forme variable . . . . R. W . G e n e s e . A theorem in elementary mechanics P . v a n W a g e n i n g e n . Kromlijnige beweging van den biljardbal . . A. T o u r e t t e s . Question de mécanique P. Mansion. Elementary solution of Huyghens' problem on the impact of elastic balls J . W o l s t e n h o l m e , R. T o w n s e n d , R. W. G e n e s e , S. T e b a y , J S. M c k e n z i e , G. S. C a r r , A. M a r t i n , J . R. W i l s o n , E. B. E l l i o t t , P . D. T h o m s o n , R. P. D a v i s , A . B . E v a n s , W. S i v e r l e y , S. P o r d e , 0 . L e u d e s d o r f . Lösungen von Aufgaben d e S t . V e n a n t . De la suite qu'il serait nécessaire de donner aux recherches expérimentales de plasticodynamique, nebst Observations von T r e s c a B.

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Hydrodynamik.

| E . B e l t r a m i . Sui principii fondamentali dell' idrodinamica . . . P . G. T a i t . On the most general motion of an incompressible perfect fluid G. L u n d q u i s t . Om friktion hos vätskor och gaser O. E M e y e r . Zusatz zur Abhandlung zur Theorie der inneren Reibung L. B o l t z m a n n . Zur Abhandlung des Herrn O. E. Meyer . . . . A. O b e r b e c k . Ueber stationäre Plüssigkeitsbewegungen . . . . . N. M P e r r e r s . On the motion of an infinite mass of water about a moving ellipsoid H . L a m b . On some hydrodynamical solutions J . W. S h a r p e . On fluid motion W. T h o m s o n . On the motion of rigid solids in a liquid W. T h o m s o n . On vortex motion W . T h o m s o n . On the ultramundane corpuscles of L e Sage . . . W. T h o m s o n . On the motion of free solids through a liquid . . W. T h o m s o n . On the forces experienced by solids immersed in a moving liquid C*

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XXXVI

Inhaltsverzeichnis.

C. A. Bjerkness-. Forelöbigd Meddelelser om de Krofter, der opstaa, naar kugleformige Legemer, idet do udfôre Dilatations-' og Kontraktions-Svingüinger, bevoge sig i et inkompressibelt F lui dam J. C o c k l e . Solution of a question W . Thomson. Vibrations and waves in a stretched uniform strain of symmetrical gyrostats W . T h o m s o n . On Lnplace's process for determining an arbitrary constant in the integration of his differential equations for the semidiurnal tide . W . T h o m s o n . On some effects of Laplace's theory of tides . . . W . T h o m s o n . On an alleged error in Laplace's theory of tides . W . T h o m s o n . Note on the oscillation of the first species in Laplace's theory of the tides P . G u i e y s s e . De la propagation des marées dans les rivières . . de S t . V e n a n t . Rapport sur un mémoire de Mr. Boussinesq . . . B a z i n . Discussion des expériences sur la distribution des vitesses dans un courant R. R. W e r n e r . Turbinenschiffe G. B l a z e k . Ueber die Elemente einer mechanischen Theorie der Meeresströmungen . . • R. T o w n s e n d , J. C o c k l e . Lösungen von Aufgaben . C a p i t e l 5.

Setie

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Potentialtheorie.

A . T o n e l l i . Ueber die Potentialfunction in einem mehrfach ausgedehnten Räume D. T r o w b r i d g e . The potentialfunction W . G. A d a m s . On the forms of equipotential curves and surfaces . P . G.. T a i t . On Green's and other allied theorems A . C a y ley. A memoir on prepotentials P . G. T a i t . Mathematical notes W . S t a h l . Zur Theorie der Potentialflächen A . Cay ley. On the potentials of polygons and polyhedras . . . . A . Cay ley. On the potential of the ellipse and the circle . . . . A . O b e r b e c k . Ueber das Potential des Ellipsoids E. S c h o l z . Ueber die Componenten der Anziehung eines homogenen dreiaxigen Ellipsoids J. C. Adams. On the attraction of an infinitely thin shell . . . . U. Dini. Sulla funzione potentiale dell' ellisse e dell' ellisBoide . . A . C a y l e y . Determination of the attraction of an ellipsoidical shell on an exterior point A . C a y l e y . Note on ä point in the theory of attraction C. F [ i e s a c h . Ueber die Schwere an der Oberfläche eines Rotationsellipsoids N. M. F e r r e r s . On the potentials of ellipsoids, ellipsoidical shells E. B e t t i . Sopra le funzioni potenziali di una ellisse omogenee . . O. P i h l . Om Attractionen mellem to Cirkelflader . F. Grube. Ueber die Anziehung einer elliptisch - paraboloidischen Schale R. W. G e n e s e . Solution of a question A . W a n g e r i n . Reduction der Potentialgleichung für gewisse Rotationskörper auf eine gewöhnliche Differentialgleichung . . . . . M e u t z n e r . Untersuchungen im Gebiete des logarithmischen Potentials T h . K ö t t e r i t z s c h . Ueber das logarithmische Potential . . . .

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Inhaltsverzeichnis».

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E l f t e r Abschnitt. Capitel 1

Mathematische Physik.

Molecularphysik, Elasticität und Capillarität.

W, G o s i e w s k i . Ueber die Grundhypothese der Molecularmechanik P. E. C h a s e . Vitesse de l'ondulation primitive G. G r a s s i Di alcune proprietà dei movimenti moleculari 0 . S i m o n y . Grundzüge einer neuen Moleculartheorie . O. S i m o n y . Ueber die Beziehung der mittleren Bewegungsintensität zur Temperatur G. T h i e l e . Aufgaben atrs der Wellenlehre J . M ay. Ueber Hydrodiffusion J . G r o l o u s . Examen de cette question: l'éther est-il pondérable? . W. C. W i t t , w e r . Dichtigkeits - Verhältnisse des intermolecularen Aethers : . H. J . J e 11 et. Researches in chemical optics H. P e s l i n . Sur les principes de la théorie mathématique de l'élasticité f A . G a b b a . Esposizione del principio d'elasticità C. W . M e r r i f i e l d . Isotropy in homogeneous solids L. L o r e n z . Kinetiske Grundligninger for et System af Punkter . . C. W. B o r c h a r d t . Transformation de l'équation de l'élasticité en coordonnées curvilignes L . P o c h h a m m e r . Zur Theorie der Biegung des Kreiscylinders . . A. E e c e n . Sur la torsion d'un cylindre elliptique • • H. R é s a l . Application de la flexion circulaire des lames élastiques au tracé des arcs du cercle M. L é v y . Sur la théorie des poutres droites continues li. T o w n s e n d . Solution of a question . W. J . M. R a n k i n e . On the decomposition of forces externally applied to an elastic solid A. C a s t i g l i a n o . Intorno all' equilibrio dei sistemi elastici . . . . L. F. M e n à b r e a . Sulla determinazione delle tensioni e delle pressioni ne* sistemi elastici . . P . G. T a i t . Note on the strain-function . . H . R é s a l . De la résistance du choc d'une chaîne B o u v i e r . Calcul de résistance des grands barrages en maçonnerie Lefort. Examen critique des bases de calcul pour apprécier la stabilité des ponts S t . V e n a n t . Rapport sur le mémoire de M. Lefort K. B r a n d t . Analytische Untersuchungen über Brückenberechnung . | G . S a c c h e r i . Determinazione grafica dei momenti inflettenti degli appoggi di un ponte a più trovate E. C a s p a r i Sur l'isochronisme des spiraux de chronomètres . . . J. Bosscha. Over het evenwicht van een druppel tusschen twee horizontale platen E. R o g e r . Sur les coordonnées curvilignes G. v. d. M e n s b r u g g h e . L a théorie capillaire de Gauss G. v. d. M e n s b r u g g h e . Sur les propriétés de la surface de contact d'un solide et d'un liquide J . P l a t e a u . Rapport sur le mémoire de M. Mensbrugghe . . . . G. v. d. M e n s b r u g g h e . Sur la tension superficielle des liquides . J . M ou t i e r . Sur les figures d'équilibre sans pesanteur W. T h o m s o n . On the equilibrium of vapour of a curved surface of liquid

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C a p i t a l 2.

A k u s t i k und Optik.

C. 0. J. J. J. A.

H . 0 . G r i n w i s . S u r la théorie m é c a n i q u e du son H . C. G r i n w i s . Sur la p r o p a g a t i o n libre du son M o u t i e r . S u r la théorie des tuyaux sonores B o u r g e t . T h é o r i e m a t h é m a t i q u e des e x p é r i e n c e s d e P i n a u d . . C. K a p t e y n . Onderzoek der trillende p l a t t e vliezen T e r q u e m e t B o u s s i n e s q . R e c h e r c h e s sur la t h é o r i e des b a t t e ments C. B e n d e r . U e b e r Differenztöne H. A. L o r e n t z . Over de théorie der t e r u g k a a t s i n g en b r e k i n g van het licht H . H e l m h o l t z . Z u r T h e o r i e der anomalen D i s p e r s i o n W . W e r n i c k e . U e b e r die absoluten P h a s e n ä n d e r u n g e n bei der Reflexion des L i c h t e s E. K e t t e i e r . E r w i d e r u n g e n auf einige B e m e r k u n g e n des H e r r n Eötvös R. A. M e e s . Over den envloed van der b e w e g i n g der trillingsbron op d e intensiteit der van h a a r u i t g e s a n d t e n trillingen . . . . . A . C o r n u . U e b e r die Diffraction D. B o b y l e w . U e b e r die G e s t a l t und die L a g e der I n t e r f e r e n z streifen im J a m i n ' s c h e n A p p a r a t P . G l a n . U e b e r die P h a s e n ä n d e r u n g des L i c h t s bei der Reflexion an Glas A . M a n n h e i m . P r o p r i é t é s des diamètres d e la s u r f a c e de l'onde . L . M o u t o n . Sur la polarisation elliptique A b r i a . Sur la vérification de la loi d ' H u y g h e n s Abria. Sur un moyen de r e c o n n a î t r e l'image ordinaire d'un biréf r i n g e n t uni-axe E . L o m m e l . E l e m e n t a r e B e h a n d l u n g einiger optischer P r o b l e m e . .T. M o u t i e r . Sur la diacaustique d'une surface plane K. L . B a u e r . N a c h t r a g zu dem A u f s a t z e : U e b e r den s c h e i n b a r e n Ort eines in einem dichteren Medium befindlichen L i c h t p u n k t e s P . MÜH n i c h . U n t e r s u c h u n g e n über die s c h e i n b a r e O r t s ä n d e r u n g e i n e s leuchtenden P u n k t e s H . M i l i n o w s k i . E l e m e n t a r e r Beweis eines F e r m a t ' s c h e n S a t z e s . J . L . H o o r w e g . U e b e r den G a n g der L i c h t s t r a h l e n durch ein S p e c troscop H . H a n k e l . Die E l e m e n t e der p r o j e c t i v i s c h e n Geometrie in synthetischer Behandlung J . C. M a x w e l l . On the relation of geometrical optics t o other parts of m a t h e m a t i c s and physics J . 0 . M a x w e l l . On Hamilton's c h a r a c t e r i s t i c function . . . . 6 4 9 . K . L . B a u e r . U e b e r die Bilder sphärischer Spiegel und L i n s e n . . F e h r 9. Zur L i c h t b r e c h u n g K . W . Z e n g e r . U e b e r ein neues p h o t o g r a p h i s c h e s V e r f a h r e n . . . C. B e n d e r . U e b e r Bild- und G e g e n s t a n d s w e i t e R . W . G e n e s e . On a formula in g e o m e t r i c a l optics F . M a n n . Die optische T a f e l 0 . M. G o u l i e r . L u n e t t e anallatique A. C o r n u . Sur le levier à réflexion C a p i t e l 3.

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E l e c t r i c i t ä t nnd Magnetismus.

W . W e b e r . U e b e r die B e w e g u n g d e r E l e c t r i c i t ä t in K ö r p e r n molecularer Constitution F . Z ö l l n e r . B e i t r ä g e zur Electrodynaroik

von

654 656

Inhalts verzeichnias.

XXXIX

F e l i c i . Exposé de quelques expériences qui intéressent la théorie de l'induction H. H e l m h o l t z . Sulla teoria dell' elettrodinamica H- H e l m h o l t z . Versuche über die im ungeschlossenen Kreise durch Bewegung inducirten electromotorischen Kräfte H. H e l m h o l t z . Auszug aus einem Briefe C. N e u m a n n . Allgemeine Betrachtungen über das Weber'sche Gesetz C. N e u m a n n . Ueber die gegen das Weber'sche Gesetz erhobenen Einwände E. E d l u n d . Erwiderung auf zwei Einwürfe gegen die unitarische Theorie der Electricität . E. E d l u n d . Théorie des phénomènes électrodynamiques E. E d l u n d . Démonstration experimentelle d'un théorème R. C l a u s i u s . Ueber ein neues Grundgesetz der Electrodynamik . E. R i e c k e . Ueber die electrischen Elementargesetze D. B o b y l e w . Ueber den Satz von Liouville in der Electrodynamik P . G. T a i t . On the expressions for the force exerted by an element of a oneliuear conductor J . M o u t i e r . Sur la théorie des solénoides L. B o l t z m a n n Experimentelle Bestimmung der Diëlectricitâtsconstanten einiger Gase P . S i l o w . Ueber die Diëlectricitâtsconstanten der Flüssigkeiten . . D. B o b y l e w . Vertheilung der Electricität auf Leitern in diëlectrischen Mitteln D. B o b y l e w . Ueber die Kräfte zwischen electrischen Leitern in diëlectrischen Mitteln E. B o u t y . Sur la conservation de l'énergie dans les courants électriques E. B o u t y . Sur les courants d'origine mécanique G. K i r c h h o f f . Ueber die stationären electrischen Strömungen in einer gekrümmten leitenden Fläche W. R. S m i t h . On the flow of electricity in conducting surfaces, mit Note von P . G. T a i t A. O b e r b e c k . Ueber eine Methode die Leituugsfähigkeit von Flüssigkeiten zu bestimmen A. R i g h i Sur les lois des forces électromotrices . G. 0. F e s t e r . Ueber graphische Methoden zur Lösung gewisser Probleme Fr. F u c h s Verfahren zur Nachweisung der Extraströme auf electroscopischem Wege C. B e n d e r . Bemerkungen zu dem Ohm'schen Gesetz f F . H r o m ä d k o . Ueber die Verdoppelung der Stromstärke eines galvanischen Stromes H . W e b e r . Zur Theorie der Galvanometer K . A. H o l m g r é n . Bemerkungen zum Thomson'schen Electrometer A . A n g o t . Sur les électromètres de Thomson F . R . S c h a a k . Mathematische Bestimmung der Ableitungsstellen bei Telegraphenleitungen E. B u d d e . Ueber das Verhalten der Electricität in Electrolyten G. L i p p m a n n . De l'application des lois de Coulomb aux électrolytes A. T e r q u e m . Sur la détermination de la capacité électrique des corps J . M o u t i e r . Sur l'expression de la force condensante G. v a n d e r M e n s b r u g g h e . L'électricité statique exerce-t-elle une influence sur la tension superficielle d'un liquide? F . K e l l e r . Studi analitici sull' elettrostatica P . G. T a i t . First approximation to a thermoelectric diagram . . . P . G. T a i t . On thermo-electricity

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XL

Inhaltsrerzeichniss.

F. Ko kl r a u s ch. Ueber Therinoelectriciat, Wärme und Electricitätsleitung J. J a m i n . Sur la distribution du magnétisme dans une mince lame de grande longueur J . J a m i n . Sur la distribution du magnétisme dans les faisceaux de lames très-minces J. J a m i n . Formule de la quantité de magDétisme enlevée à un aimant par un contact de fer J . J a m i n . Sur les lois de l'influence magnétique B. B l o n d l o t . Sur la détermination de la quantité du magnétisme d'un aimant E. D u t e r . Sur la distribution du maguétisme dans les plaques d'acier E. B o u t y. Études sur le magnétisme 0 . O h w o l s o n . Ueber den Mechanismus der magnetischen Induction E. B ö r n s t e i n . Ueber das Verhältniss des Magnetismus zur magnetischen Kraft L. K ü l p . Ueber die permanent magnetischen Momente der Magnetstäbe R. T h a l é n . Die isodynamischen Flächen in vertikalen Magnetstäben A. Th. D a u g . Die isodynamischen Flächen in vertikalen Magnetstäben P. G. T a i t . OD a method of exhibiting the sympathy of pendulums H e l m e r t . Zu Galle's Methode der MessuDg von Nordliehthöhen . W. S i e m e n s . Zur Theorie der Legung und Untersuchung submariner Telegraphenleitungen W. A. N i p p o l d . Ueber die Wahl der Querschnitte von Blitzableitern O a p i t e l 4.

Seile

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Wärmelehre.

H i r n . Note accompagnant la présentation du Tome I de l'Exposition de la théorie mécauique de la chaleur • . A. L e d i e u . Observations relatives à la communication dii M. Hirn C. N e u m a n n . Vorlesungen über die mechanische Theorie der Wärme R. C l a u s i u s . Ueber den Satz vom mittleren Ergal . . . . . . . . 0. Scily. Der zweite Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie . F. J. S t u d n i ö k a . Mathematische Theorie der Gase . . . ..••.. . . L. B o l t z m a n n . Ueber das Wärmegleichgewieht von Gasen, auf welche äussere Kräfte wirken A. K u n d t und E. W a r b u r g . Ueber Reibung und Wärmeleituug verr dünnter Gase . . . . • ; . . . . A. W i n k e l m a n n . Ueber die Wärmeleitung der Gase . . . . . . . A. J. v. O e t t i n g e n . Ueber Temperatur und Adiabate . . . . , J . S. S t o l l a r d . Note on thermodynamics J. J . M ü l l e r . Ueber das Verhältniss der specifischen Wärmen bei constantem Druck und Volumen •. A. K u r z . Ueber das Verhältniss der beiden specifischen Wärmen . E. H e r r m a n n . Ueber die specifische Wärme und die wuhre Wärmecapacität der Körper . M. K u h n . Ueber die Beziehung zwischen Druck, Volumen und Temperatur bei Gasen J. W e i n b e r g . Anwendung des mechanischen Wärmeäquivalents auf Molecularkräfte H. W. F a b i a n . Erwiderung auf eine Arbeit des Herrn Fritsche . . J . P u l e y . Ueber einen Schulapparat zur Bestimmung des mechanischen Wärmeäquivalents C. P u s c h l . Ueber eine Modification der herrschenden Gastheorie

677 .677 677 681 683 683 683 685 687 687 688 689 689 689 690 691 691 691 692

Inhaltsverzeichniss.

XLI

J. M ou ti er. Expression du travail relatif à une transformation élémentaire . . . J . M o u t i e r . Sur la chaleur spécifique absolue . . . G. H i n r i c h s . Sur la structure atomique des molécules J . G r o l o u s . Étude sur la thermostatique des corps A. L e d i eu. Sur le rendement des injecteurs à vapeur ( J r o u l l e b o i s . Sur la valeur du coefficient de détente de la vapeur d'eau surchauffée . . . . . . . . . . . . J . M o u t i e r . Sur la loi de Hirn J . M o u t i e r . Sur le mélange des gaz et les actions moléculaires . . J M o u t i e r . Sur la densité des vapeurs et la cohésion . . . J . M o u t i e r . Sur les tensions de la vapeur d'eau à zéro . . . . . f P . de St. R o b e r t . Del calore attuale contenuto ne' corpi . . . f G . G r a s s i . L a temperatura assoluta, in relazione colla energia attuale Paye Sur le théorème météorologique de Mr Espy P. G. T a i t . Note on ÄDgström's method for the conductivity of bar G. L u n d q u i s t . . Ueber die Wärmevertheilung im Normalspectrum . D. M e n d e l e j e ff. Sur la température des couches élevées de l'atmosphere . . P S c h r e i b e r . Theorie eines neuen Thermometers.

Z w ö l f t e r Abschnitt.

694 694 694 694 695 695 695 695 695 696 696 697

Geodäsie.

Gh. T r e p i e d Sur le calcul des coordonnées géodésiques . . . B a e y e r . Ueber die Grösse und Figur der Erde G e n e r a l b e r i c h t über die mittel-europäische Gradmessung . . . . L i s t i n g . Ueber unsere jetzige Kenntniss der Gestalt der Erde . V e r h a n d l u n g e n der permanenten Commission der europäischen Gradmessung . . . . Y. V i l l a r c e a u . Nouveaux théorèmes sur les attraction locales . . E. O u b r . Ueber Erdmessungen E. F e r g o l a . Sulla posizione dell" asse di rotazione délia terra . . E F e r g o l a . Dimensioni délia terra Baeyer. Ueber Fehlerbestimmung und Ausgleichung eines geometrischen Nivellements . • . P. H P h i l b r e c k On supplying omissions in land surveying . . . C. A b b e . On supplying omissions in a closed survey C. P r e d i g e r . Ueber die Bewegung der Ocularröhren bei den astronomischen Fernrohren f A . S c h e l l Allgemeine Theorie der Polarplanimeter S G ü n t h e r . Die Küstenentwickehmg

698 699 699 699 699 699 699 700 700 700 701 701 701 702 702

Astronomie.

M a t e r n Ueber Winkelraessungen vermittelst des Ocularmikrometers in astronomischen Fernrohren d ' A v o u t . Moyen facile d'obtenir la latitude d'un lieu T A r m e l l i n i Solution très simple d'un problème de gnomonique . G. D. E. W e y e r . Schreiben an den Herausgeber der Astr. Nachr. E. N e i s o n . On an investigation of Bessel's on the refraction through an atmospbere Y . V i l l a r c e a u . Recherches sur la théorie der l'aberration . . . . B. S e i d 1 e r. Ueber den Venusdurchgang Fortschr. d. Math. VII. 3.

693 693 693 693 694

Geodäsie und Astronomie.

O a p i t e l 1.

C a p i t a l 2.

Seite

D

703 703 703 704 704 704 705

XLil

Inhaltsverzeichnis«.

J . G a l l e . Ueber den Werth der Sonnenparallaxe nach den Florabeobachtungen von 1873 H. G y l d é n . Ora införandet af elliptiska funktioner i ett astronomiskt problem H. G y l d é n . En ny lösning till det Keplerska problem M. K o w a l s k i . Sur le calcul de l'orbite elliptique • S. N e w c o m b . On the general integrals of planetary motion . . . J . H o i i e l . Sur le développement de la fonction perturbatrice . . . G. W. H i l l . On the development of the pertubatrice function in periodic series B M a t h i e u . Mémoire sur les formules de perturbation H. G y l d é n . Sur une méthode de calcul des perturbations absolues des comètes H. G y l d é n . Sur le développement de la fonction perturbatrice . . E. M a t h i e u . Mémoire sur les inégalités séculaires des grands axes des orbites des planètes G. W. H i l l . On a long period inequality in the motion of Hestia arising from the action of the Earth 0 . S t o n e . A method for the correction of the orbit of a planet . A. H a l l On the determination of the mass of Mars . J . N. S t o c k w e l l . On the theory of the moon's motion S c h j e l l e r u p . Bedenken gegen Herrn Stockwell's verbesserte Mondtheorie J . N. S t o c k we 11. Reply to Prof. Schjellerup's criticism of lunar theory G. B. A i r y . Report on the progress made in the calculation for a new method of treating the lunar theory J . N. L e w i s . Astronomical notes A. O a y l e y . Note on the theory of precession and nutation . . . . E . M a t h i e u . Mémoire sur le mouvement de rotation de la terre . . C h a l l i s . On the mathematical principles of Laplace's theory of the tides W . T h o m s o n . General integration of Laplace's differential equations of the tides G. B. A i r y . On a controversed point in Laplace's theory of tides f Y . Y i l l a r c e a u . Méthode pour calculer les orbites des étoiles doubles A. N o b i l e . Saggio di un nuovo metodo per l'osservazione delle distanze delle stelle multiple F . T i s s é r a n d . Observations des étoiles filantes des 9., 10, 11. août | F . Z ö l l n e r . Ueber die physische Beschaffenheit der Kometen . . | H . J . H. G r o n e m an. Neue Erweiterungen und Bestätigungen meiner Theorie über das Polarlicht

Seite

705 705 705 706 707 708 710 710 711 711 712 713 713 714 714 714 714 715 715 716 716 717 717 718 718 718 718 719 719

A n h a n g . C. S p i t z . Die ersten Sätze vom Dreieck und den Parallelen . . . 720 0 . F a b i a n . Geometrie 720 A . K u r z . Ziegler's Planimetrie 720 "W. G a l l e n k a m p . Die Elemente der Mathematik 721 F. A u g u s t . Elemente der Arithmetik 721 C. S p i t z . Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik 722 F . X. S t e c k qnd J . B i e l m a y r . Lehrbuch der Arithmetik . . . . 722 M. A. B a r a n i e c k i . Arithmetik 722 M. A. B a r a n i e c k i . Algebra 722 O. H e r m e s . Elementaraufgaben aus der Algebra 723 H. B e r t r a m . Meyer Hirsch's Sammlung von Aufgaben 723

InhaltsverzeichnissC. C H. A. A

K i e s e r i t z k y . Arithmetik. S. W i e uh o l d Lehrbuch der elementaren Mathematik K ö s t l e r . Arithmetik S i c k e n b e r g e r . Arithmetik M Bustelli Sul concetto di proporzionalità nell' aritmetica generale H. E g g e r s. Determination of the roots of n"> degree G. B l a z e k . Bemerkung zur Zinseszinsrechnung J H a b e ri. Lehrbuch der politischen Arithmetik E. D o r m o y . Théorie mathématique des assurances sur la vie . . f J . L a l a u d e . Tables de logarithmes A. L u c c h e s i n i . Tavole dei logaritmi J W. L. Gl ai s h e r Correction of an error in the account of Mr. Thomson's M. S tables E. S a n g On last-place errors in Vlacq's table of logarithms . . . E. S a n g . Remarks on the great tables computed in the bureau du Cadastre . J . L e f o r t . Observations relatives aux remarques de M. S a n g . . . E. S a n g Reply to Mr Lefort's observations J . L e f o r t . De l'interpolation des fonctions irrationnelles . . . . L. Graf v P f e i l . Zur bequemen Auffindung der Functionen kleiner Winkel G. H e r r m a n n . Das graphische Einmaleins | J . R. C a m p b e l l . The diagonal scale A. K u r z . Aus der Schulmappe P G. T a i t . On Phyllotaxis W. P . H i e r n . A theory of the forms of floating leaveB in certain plants W. v. B e z o l d . Ueber das doppelte Maximum in der Häufigkeit der Gewitter C. R o y . L a tachymétrie

xx.ni Seite

723 723 724 724

724 724 724 724 725 725 725 726 726 726 726 726 727 727 728 728 728 732 732 733 733

B e r i c h t i g u n g e n . B a n d VI. P a g . 124 Zeile 2 v. o. lies „(2) III.« statt „XIII.". P a g . 5—14.">7) in Thorn lebte, dann aber wieder in Rostock sich aufhielt. Ce. M . STEINSCHNEIDER.

nardi.

Pseudo Tritliemius und Camillo Leo-

Schlömilch Z X X

Hl

A. 25-27.

Nachweis eines an dem Speculum Lapidum des Cara. Leonardi begangenen, von dem Fälscher dem bekannten Abte Trithemius, untergeschobenen Plagiats. Ce.

G.

Sur un nouveau document historique, relatif IL Salomon de Caus. C. R. L X X X 3:33-3:14. DEPPING.

Capitel 1

Geschichte.

5

Abdruck eines Briefes des französischen Residenten am englischen Hofe Bisseaux, vom 28""" Juli 1613 aus London datirt, durch welchen Salomon de C'aux dem Gesandten Frankreichs in Heidelberg empfohlen wird. Es ergiebt sich daraus unzweifelhaft, dass S. d. C. Franzose war und im Jahre lt313 in die Dienste Friedrich's V. von der Pfalz eintrat.

Ce.

M. CURTZE. Hat Copernicus die Einleitung in sein Werk: „De Revolutionibus" selbst gestrichen oder nicht? Schlömilch Z. XX.

Hl. A. 60-62.

Die Notiz enthält einen kurzen Abriss der Geschichte des Druckes des Copernicanischen Werkes und giebt dann die Gründe, die Herrn Curtze hinsichtlich der im Titel bezeichneten Frage zu einer Ansicht veranlassen, die der des Herrn Cantor entgegengesetzt ist.

O.

M. CURTZE. Reliquiae Copernicanae. Schlömilch z. x x . 221-248. Leipzig, Teubner.

Fortsetzung

der Nachweisungen,

Uber welche im

Jahrgang (p. 21) zu berichten begonnen wurde.

vorigen

In No. 3 jener

Arbeit kamen die Tafeln an die Reihe, welche sich Copernicus selbst aufgezeichnet hat, und in diesem Capitel müssen wir demgemäss fortfahren.

Die zur Analyse kommenden Tabellen sind

folgende: 1) Tabula fecunda.

Dieselbe ist der gleichnamigen Zusam-

menstellung des Regiomontan in Titel wie Inhalt nachgebildet. Nur hat Copernicus den bei jenem allein vorhandenen trigonometrischen Tangenten nunmehr auch die Sekanten beigefügt, und das Verdienst, diese neue goniometrische Function eingeführt zu haben, gebührt sonach nicht sowohl dem Maurolycus oder Rheticus, als vielmehr dem Copernicus. Anhangsweise macht der Verfasser einige interessante Notizen Uber die Einführung der übrigen Kreisfunctionen.

So rlthrt die Tangente ursprünglich von Albategnius,

die Cotangente von Abul-Wafa, der Satz tg-cot =

1 von Brad-

wardin her; der Cosinus findet sich erstmalig berechnet in der durch Rheticus edirten Trigonometrie des Copernicus.

6

I. Abschnitt.

Geschiclile uod Philosophie.

2) Tabula diversitatis aspectuum solis et lunae ad minuta. Wird nicht abgedruckt, da sie vermuthlich astrologischen Zwecken diente und an sich ohne Wichtigkeit ist. 3) Tabula mediae conjunctionis et oppositionis solis et lunae in annis expansis. Tabella revolucionum. Es wird gezeigt, dass diese Tafel, allerdings mit einer Reihe redactioneller Veränderungen, auch in das Hauptwerk (S. 299 der Säkularausgabe) übergegangen ist. 4) Tabula augis solaris. Enthält die Bewegung des aufsteigenden Knotens der Ekliptik nach Lustren bis zum Jahre 2085 vorausberechnet, ward aber nicht in das grosse Werk aufgenommen. 5) Tabula equaciomim solis. Residuum tabulae equacionum solis. Hier hat Copernicus — wohl zum ersten Male von allen Autoren — zwei Difierenzreihen beigefügt, auch stehen die Differenzen ganz richtig zwischen Minuend und Subtrahend. 6) Tabula latitadinis septemtrionalis et meridionalis Saturni, Jovis, Martis. Tabella latitudinis Veneris, Mercurii. Tabella minutorum proportionabilium quinque planetarum. Tabula minutorurn proportionalium ad reflectionem Mercurii. An diese Tafeln reiht sich im Manuscript noch ein Excurs des Copernicus: Latitudinem Veneris et Mercurii invenire (Vgl. auch F. d. M. VI. p. 20). Zu all' dem lässt sich stets der analoge Passus in den „Revolutiones orbium coelestium" ausmitteln. All' diese Zahlensammlungen dürften aus dem zweiten Jahrzehnt des 16,pn Jahrhunderts herstammen, sie sind deshalb von besonderer Wichtigkeit, weil sie uns einen Blick in den Entwickelungsgang der grossen Neuerung werfen lassen. „Wir dürfen wohl mit Recht behaupten", heisst es Seite 241, „dass die Tafeln der upsalenser Handschrift eine ältere, vielleicht die ursprüngliche Form der gedruckten Tafeln darstellen, welche zum Zwecke des grossen Werkes revidirt, vereinfacht und in eine andere, übersichtlichere Ordnung gebracht sind". Aus einer anderen vom Verfasser angezogenen Stelle geht hervor, dass sich der grosse Astronom ein umfängliches Schema fremder und eigener Beobachtungen ange-

Capitel 1.

Geschichte.

7

legt hatte, um dasselbe vorkommenden Falles sogleich zu Rathe ziehen zu können. Leider ist dasselbe verloren gegangen. Der vierte Abschnitt flihrt den Titel: „Aus dem Albohazen Hali filius Abenragel von 1485". Copernicus besass eine Ratdolt'sche Ausgabe vom Jahre 1485 und trug auf deren Blätter eine Anzahl astrologischer Notizen aus dem Quadripartitum des Ptolemaeus ein. Den Schluss bildet dann eine Mittheilung „Aus dem Folianten V. I . , 1, 17 der Universitätsbibliothek zu Upsala." Kurze Randnoten des Copernicus. Die wichtigen Neuigkeiten, welche eine präsumtive Copernicus-Handschrift aus Pulkowa in Aussicht stellen zu wollen schien (vgl. Curtze, Ueber eine neue Copernicus-Handschrift, Königsberg 1873, siehe F. d. M. V. 20, YI. 23) haben sich nicht als solche bewährt, denn der letzte Absatz der „Reliquiae Copernicanae" weist den apokryphen Character jenes Schriftstückes nach. Gr.

F.

HIPLER.

Die Porträts des Nicolaus Kopernikus. Mit

den beiden ältesten Kopernikusporträts in Holzschnitt. Leipzig, Peter.

Der Verfasser untersucht zunächst die Angabe Gassendi's näher, dass Copernicus sich selbst im Spiegel gemalt haben solle. Er kommt zu dem Schlüsse, dass diese Erzählung grosse Wahrscheinlichkeit habe, und erblickt in einem zu Wittenberg bei Sabinus Kauffmann wahrscheinlich Anfangs der vierziger Jahre des 16,en Jahrhunderts gedruckten, nur noch in einem Exemplar existirenden Holzschnittporträt des grossen Astronomen eine Copie dieses Selbstporträts. Ihm sehr ähnlich sind die Porträts zu Thorn und zu Strassburg im Elsass. Besonders letzteres scheint von einer gleichen Vorlage abgezeichnet zu sein. Wenn der Verfasser einem anderen Bilde, dem des Ossolinski'schen Institutes zu Lemberg, Authenticität zugesprochen hat, so ist das, nach des Referenten Meinung, irrig. Weiter giebt er eine Uebersicht über alle wichtigen Porträts und Statuen, welche von Copernicus in späterer Zeit angefertigt sind. Im Anhange ist der Schriftwechsel zwischen dem Frauenburger Domcapitel und dem Staatsministerium in Betreif der Aufstellung eines Copernicus-Monuments in Frauenburg abgedruckt. Ce.

8

I. Abschnitt

SANTE

PIERALISI.

morie storiche.

Geschichte und Philosophie

Urbano VIII e Galileo Galilei. MeRoma. Tip. Poligl. della S. C. di

Propaganda

Fide.

Man darf in einem Buche, das in der Druckerei der Congregatio di Propaganda Fide gedruckt und mit dem Imprimatur der päpstlichen Censurbehörde versehen ist, nicht verlangen, vollkommene Wahrheit über den galilei'schen Process zu erhalten; trotzdem ist das Buch von hohem Interesse für denselben, selbst nach den in diesem Jahre erschienenen Werken Gebler's (Galileo Galilei und die Römische Curie) und Berti's (II processo originale di Galileo Galilei pubblicato per la prima volta), von denen das letzte das berühmte Vatican-Manuscript v o l l s t ä n d i g zum Abdruck bringt. Der Verfasser, Bibliothekar der Barberiniana, stellt in 14 Kapiteln die Beziehungen Galilei's zu Urban VIII dar. Das Buch enthält mancherlei neue Thatsachen, so z. B. auf S. 197 einen Brief des P. Vincenza da Firenzuola, Commissars des heiligen Officium, an den Kardinal Barberini vom 28 ,en April 1633 Uber eine mit Galilei am 27 len April gehabte Unterredung, welche bis jetzt völlig unbekannt geblieben war, von dem Verfasser aber in der ihm unterstellten Bibliothek aufgefunden ist. Von ihr ist eine Andeutung in dem Vaticanmanuscript nur am Schlüsse der am 30 ,en April von Galilei deponirten Aussagen (Berti, S. 93) für den zu finden, welcher den Brief schon kennt. Die 14 Capitel handeln: I. Ueber das Leben Urban's VIII. und Galilei's. — II. Urban VIII und Galilei als Liebhaber der schönen Künste, besonders der Poesie. — III. Freundschaftliche Correspondenz Barberini's und Galilei's von 1611 bis 1623. — IV. Von Anfang des Pontificats Urban's VIII bis 1630. — V. Galilei in Rom, und Druck des Dialogo in Rom. — VI. Veröffentlichung desselben, der in jener Zeit indirect für theologisch angesehen wurde. — VII. Special - Congregation zur Untersuchung desselben. — VIII. Vom l , e n October 1632 bis 13""' Febr. 1633. — IX. Galilei in Rom vom 13"" Febr. bis 6|P" Juli 1633. — X. Ueber die Tortur. — XI. Galilei in Siena, Arcetri und Florenz. — XII. Von der Longitudo (Della longitudine). — XIII. Galilei,

Capitel 1.

Geschichte.

9

Peiresc und Cardinal Franz Barberiiii. — XIV. Ueber den Simplicius (den einen Theilnehmer des Dialogo). Ce.

L. LODI. lntorno alla vita ed ai lavori del. Prof. GeminiailO Riccardi. Ceimi. Buncompagni Bull. VIII 1-15. Catalogo dei lavori del Prof. Geminiano Riccardi. Boncompagni Bull. VIII

1G-35.

Due scritti inediti del Prof. Gemiuiano Riccardi.

Boncom-

pagni Bull. VIII. 36-50.

Gem. Riccardi, geb. zu Modena am 21 ,en Februar 1794, besuchte das Gymnasium seiner Vaterstadt, studirte dann 1807—1810 in Modena und als dort die Universität unterdrückt wurde, von 1810—1813 zu Bologna Mathematik. 1813 wurde er Doctor der Mathematik. Nachdem 1814 die Universität Modena wiederhergestellt war, wurde auch Riccardi dorthin erst als Substitut (1814), dann als Professor der Physik (1816) berufen. 1822, nach dem Tode Ruffini's, Ubernahm er auch die Professur der angewandten Mathematik. 1825 wurde er Professor der Mathematik an dem Istituto de' cadetti Pionieri in Modena, nach Aufhebung dieses Institutes 1848 Professor der Hydraulik an der Universität. Letztere Function behielt er bis zu seinem am 17 ,cn August 1S57 eingetretenen Tode. Der Katalog seiner Schriften zählt 17 gedruckte und 14 ungedruckte auf. Ausserdem werden von ihm noch 16 Arbeiten angeführt, die nur in den Acten der Akademie zu Modena erwähnt werden, deren Manuscripte aber verloren zu sein scheinen. Die beiden abgedruckten unedirten Arbeiten Riccardi's (No. 29 und 28 des Katalogs) sind I. Notizen zu einem Aufsatz der Bibliothèque universelle über die Arbeiten Legendre's. II. Eine Kritik Uber eine Arbeit der Akademie zu Brüssel. Darin zeigt er, dass eiu vop Pagani ausgesprochenes Theorem über das Gleichgewicht eines von n Kräften angegriffenen Punktes, das allgemeiner als das von Leibniz im Journal des Savants von 1693 ausgesprochene sein soll, mit diesem selbst zusammenfällt, obwohl dasselbe in der betreffenden Form jedenfalls nicht von

I. Abschnitt.

10

Geschichte und Philosophie.

Leibniz ausgesprochen ist, sondern nur ein C o r o l l a r , d e s oben angezogenen bildet. Er zeigt ausserdem, dass, abgesehen davon, dasselbe keineswegs neu, sondern schon vorher von einer grossen Zahl von Mathematikern bewiesen ist. Ce.

G. RIGAUD. Rigaud.

O n t h e p o s t h u m o u s papers o f t h e late Prof. Monthl. Not X X X V I

54-57.

Die nachgelassenen Papiere des 1839 verstorbenen Professors Rigaud sind jetzt der Saviliau-Bibliothek zu Oxford Ubergeben worden. Sie enthalten eine Lebensbeschreibung Halley's, welche unter Aufsicht des Professor Ritchard durch die Universität zu Oxford publicirt werden wird. Die Notiz enthält einen kurzen Bericht Uber die Arbeiten und Manuscripte. Unter den letzteren findet sich eine Sammlung von 64 Briefen aus dem letzten J a h r hundert an Magellan oder Magelhaein, unter denen sich Briefe von Kästner, Bernoulli, Boscowitch, Cassini, Euler, Lalande etc. finden. Glr. ( 0 . ) C.

F.

GEISER.

Ira m e m o r i a

di J a c o b o Steiner.

Brioschi

Ann. (2) VII. 65-6S.

Bericht über clen Vortrag, Uber den F. d. M. VI. p. 29 referirt worden ist. 0. P.

MANSION. N o t i c e sur la v i e et l e s t r a v a u x d e R u dolphe Frédéric Alfred Clebsch. Boncompagni Bull. v i n . 121-131

C a t a l o g u e des t r a v a u x de R. F. A l f r e d Clebscli.

Boncom-

pagnie Bull. VIII. 132-184.

Siehe F. d. M. V. p. 29.

Y.

0.

DIARIO. I n t o r n o a l l a vita ed ai lavori di Msgr. D. Barnaba Tortolini. Acc. P. d. N. L. x x v i n . 93-loe, Darboux Bull. V i l i . 273.

Commemorazione VII. 63-64.

di B a r n a b a Tortolini.

Brioschi

Ann.

(2)

Capitel 1.

Geschichte.

11

Barnaba Tortolini ist geboren am 19'"" November ls08 zu Rom. Er machte seine ersten Studien auf der Gregorianischen Universität des Collegio Romano, wo namentlich A. Caraffa, über dessen Arbeiten sich ebenfalls Notizen an den beiden erst citirten Stellen befinden, sein Lehrer war. Er hatte dann nacheinander mehrere Professuren inne und starb am 24 te " August 1874. Die erst erwähnten Notizen geben zugleich Andeutungen über die Leistungen desselben auf den verschiedenen Gebieten der Mathematik und die Herausgabe der von Tortolini gegründeten: Annali di scienze matematiche e fisiche (1850—1857) und der Annali di matematica pura ed applicata (1858—1865), denen eine Liste der Arbeiten Tortolini's folgt. 0.

Liste des travaux de M. Painvin.

Darboux Bull. IX. 188-191.

Nachweisung von im ganzen 63 Journalartikeln und selbständigen Schriften. Ce. F r . V. KOBELL.

Ludwig Otto Hesse. ten

Münch. Ber. 1875. 130-132.

Geboren am 22 April 1811 zu Königsberg, gestorben am 4 August 1874 zu München. Hesse studirte unter Bessel und Jacobi, ward 1840 ausserordentlicher Professor an der Hochschule seiner Vaterstadt, ward dann 1857 zu gleicher Zeit als Ordinarius nach Halle und Heidelberg berufen, entschied sich für letzteren Ort und wirkte daselbst bis 1868, in welchem Jahre er an die neu gegründete polytechnische Schule nach München berufen wurde. Die wissenschaftlichen Verdienste eines Mannes wie Hesse konnten in einem solchen von Laienhand abgefassten Nekrologe nur eine sehr summarische Würdigung erfahren; genannt werden von Schriften die Raumgeometrie (1861 und 1869), die „Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises" (1865), die „Vier Vorlesungen aus der analytischen Geometrie" (1866) und die Determinanten (1871). Ausserdem findet noch die „Hesse'sche Determinante" Erwähnung. Gr. lfn

I. Abschnitt. Geschichte und Philosophie.

12 C.

W.

BORCHARDT.

M.

NÖTHER.

Otto Hesse. Borchardt J. LXXIX. 345-347.

Otto Hesse.

Schlömilch

z. XX. Hl. A. 77-88.

Beide Notizen sind, in allgemeinerer und in speciellerer Form, einer Darlegung der Verdienste des verstorbenen Gelehrten um die Entwickelung der Mathematik gewidmet. Der Inhalt derselben gestattet jedoch nicht, noch einen Auszug desselben zu geben, weshalb wir auf die Arbeiten selbst verweisen müssen. Betreffs des äusseren Lebensganges von Hesse siehe das vorstehende Referat. 0. F.

MARCHETTI.

P. Paolo Rosa. Rosa.

Intorno alla vita ed ai lavori del Catalogo dei lavori del P. Paolo

Boncompagni Bull. VIII. 305-320.

Kurze Lebensbeschreibung des bekannten Astronomen, der, am 25,e" Juni 1825 geboren, am ll t e n Juli 1874 gestorben ist? nebst einem Verzeichniss seiner Arbeiten, die vorzugsweise astronomische Gegenstände betrafen. 0.

P.

MANSION.

II. Hesse.

Esquisses

biographiques.

I.

Rankine.

III. Tortolini. N. C. M. i. 167-168, 210-211.

Auszug aus den Boncompagni (t. VII. (t. LXXIX. 345—347), tifica de' Nuovi Lincei sind.

Lebensbeschreibungen, die im Bullettino 1—61, 1874), in Borchardt's Journal sowie in den Atti dell' Accademia pon(t. XXVIII. 20. dèe. 1874) veröflentlicht Mn. (Wn.)

W . F I E D L E R . Rede an J . J . Müller's Grab. Wolf J. XX. 151-157. HERMANN.

Nachruf an J . J . Müller. ,en

Wolf J. XX. 187-191.

Johann Jacob Müller, geboren am 7 März 1846 in Stecken bei Seen, besuchte von 1852 bis 1864 die Schulen zu Elsau und Winterthur, ging im Herbst 1864 zur Universität Zürich um Medicin, namentlich aber Physik und Mathematik zu studiren. 1868 promovirt, arbeitete er in Leipzig bei Ludwig,

Capitel 1.

Geschichte.

13

in Heidelberg bei Helmholtz und folgte einem Rufe als Professor an das Polytechnicum in Zürich, wo er am 15 ten Januar 1875 starb. Ein Verzeichniss seiner wissenschaftlichen Arbeiten, von W. Fiedler zusammengestellt, findet sich in derselben Zeitschrift p. 151—155. Speciell mathematischen Inhalts sind die Arbeiten, die in den F. d. M. V. p. 462, VI. p. 581 besprochen worden sind. 0.

M.

CANTOR. 109-113.

Gottfried Friedlein.

Schlömilch z . XX. Hl. A.

Gottfried Friedlein ist geboren am 5"'n Januar 1828 zu Regensburg, war nacheinander Lehrer in Erlangen, Ansbach, Hof, wo er am 31 ,en Mai 1875 starb. Seine Arbeiten bezogen sich hauptsächlich auf historisch-mathematische Gegenstände. 0.

FR.

v.

KOBELL.

Münch. Ber. 1875.

Friedrich Wilhelm August Argelander. 134-135.

Geboren am 22,en März 1799 zu Memel', gestorben am 17,cn Februar 1875 zu Bonn. 'Argelander ward durch Bessel's Vorträge an der Königsberger Universität für die Sternkunde gewonnen, habilitirte sich daselbst und Ubernahm folgeweise 1825, 0 1832 und 1837 das Directorium der Sternwarten zu Abo, Helsingfors und Bonn nebst der damit verbundenen Professur. Von seinen Arbeiten wird eine relativ eingehende Schilderung gegeben. Bis zum Jahr 1822 nahmen ihn die Untersuchungen Uber den im Jahre 1811 erschienenen grossen Kometen in Anspruch, dann aber gehörte Argelander's ganze Thätigkeit der Stellarastronomie. Für seine Bestimmung von 560 Fundamentalsternen erhielt er 1830 den Demidoffsehen Preis, 1843 gab er seine „neue Uranometrie" nebst Atlas heraus, weiterhin arbeitete er über die Eigenbewegung der Sonne und Uber den Lichtwechsel veränderlicher Sterne. Zuletzt ist noch von der grossen Bonner Stern-Katalogisirung die Rede; ob indess die Schlussbemerkung des Herrn v. Kobell, welche zwischen jener und dem Berliner Unternehmen der Zonenbeobachtungen eine für das letztere wenig schmeichelhafte Pa-

I. Abschnitt. Geschichte nnd Philosophie.

14

rallele zieht, richtig sei, glaubt Referent dahingestellt sein lassen zu sollen. FR.

v.

KOBELL.

Gr.

Peter Andreas Hansen.

Münch.

Ber.

L«75.

1-23-125. Geboren ain S len Deceiuber 17;'5 zu Tondern, gestorben am 28 le " März 1874 zu Gotha. Zum Uhrmacher bestimmt trieb Hansen privatim mathematische Studien, welche es ihm möglich machten, durch die Vermittelung eines Dr. Dircks die Universität Kopenhagen zu beziehen und sich unter Bugge weiter auszubilden. Im J a h r e lb21 trat er als Assistent bei der holsteinischen Gradiuessuugscounuission ein und übernahm vier J a h r e später die Direction der Sternwarte auf dem Seeberge, welche er bis zu seinem Tode innehatte; 18ö9 übersiedelte das Observatorium in die Stadt Gotha selbst. Von Hansen's wissenschaftlichen Leistungen werden hier namh a f t gemacht: Erstens seine neue Behandlung des Störungsproblems, welche ihm den Preis der Berliner Akademie einbrachte, weiterhin seine Untersuchungen über Finsternisse und Sternbedeckungen, über die Methode der kleinsten Quadrate und die ebenfalls preisgekrönte „Theorie der Pendelbewegung mit Rücksicht auf die Gestalt und Bewegung der Erde." Hansen gehörte auch als Mitglied der deutschen Commission für Beobachtung des Venusdurchganges an und discutirte in dieser Eigenschaft, was hier nicht erwähnt ist, die astronomische Verwendung der Photographic mit allen Hülfsmitteln seines feinen Calculs. Gr.

v. K O B E L L . Jean Baptiste Armand Louis Léonce Élie de BeaumOllt. Münch Ber. 1875. 132-134.

FR.

Geboren am 25 l e n September 1798 zu Canon (Calvados), gestorben am 21"' n September 187G ebenda. Élie de Beaumont, ancien élève der école polytechnique uud der école des mines, diente als Ingenieur im Bergcorps und ward 1829 Professor an der letztgenannten Anstalt und an dem collège de France. Bei seinem Tode vereinigte er die Würden eines Institutsmitgliedes,

Capitel 1.

Geschichte.

15

ständigen Sekretärs der Akademie, Oberstudieuinspektors und Ex-Senators des Kaiserreichs in sich. War auch der genannte Geologe nicht eigentlich Mathematiker, so haben seine Arbeiten, in denen er sich als Anhänger der Buch'schen Erhebungslehre manifestirte, doch viele Beziehungen zur kosmischen Physik. Er schrieb Uber Gletscherbildung und Erdwärme und bekannte sich bezüglich der Entstehung der vulkanischen Erscheinungen zu der Perrey-Falb'schen Theorie. Dabei ward er auch auf jene Vergleichung der Mondund Erdoberfläche in geologischer Hinsicht geführt, welche in neuester Zeit von Carpenter und Nasmith unter einem mehr astronomischen Gesichtspunkte wieder aufgenommen wurde. Gr.

H.

Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Zweiter Theil, vom Anfange des 17 ,en bis Ende des 18ten Jahrhunderts. Zürich. Orell. SUTER.

Fortsetzung des in diesem Jahrbuch IV. p. 24, V. p. 37 besprochenen Werkes. Die einzelnen hierin enthaltenen Abschnitte sind: 1) Vom Anfange des 17le" Jahrhunderts bis auf Descartes. 2) Die Cartesische Geometrie und die hierauf basirendeEntwickelung der Mathematik bis zur Erfindung der Differentialrechnung. 3) Die mathematischen Principien der Naturlehre von Galilei und Kepler bis auf Huyghens. 4) Die Erfindung der Differentialrechnung durch Newton und Leibniz. 5) Die Entwickelung des höheren Calculs unter den Bernoulli, de l'Hôpital, Maclaurin etc. bis auf Euler. 6) Die Fortschritte der angewandten Wissenschaften, besonders der Mechanik unter Huyghens und Newton. 7) Die Mathematik im 18,e" Jahrhundert. 8) Die Principien der Mechanik im 18,e" Jahrhundert. 0. P.

MANSION. Zur Geschichte der Mathematik im Altertlium und Mittelalter von Herrman Hankel. Boncompngm Bull. V I I I

1*5-220.

Eingehender Bericht über das Werk, über welches F. d. M. VI. p. 1 berichtet worden ist. 0.

I. Abschnitt.

16

Geschichte und Philosophie.

Zur Geschichte der deutschen Mathematik im fünfzehnten Jahrhundert. Schlömilch z . XX. Hl. A. 1-14.

S . GÜNTHER.

In der Nürnberger Stadtbibliothek findet sich ein Sammelband mathematischer Druckwerke mit der Nummer 484. Die vierte der darin enthaltenen Schriften, „Geometria deutsch" bezeichnet, ist der Hauptinhalt der gegenwärtigen Arbeit des Verfassers. Er untersucht das Alter der Schrift, (wahrscheinlich vor 1500), bespricht den Ort, über den der Verfasser jedoch zu keinem definitiven Resultat gelangt, und giebt dann den Originaltext. Daran knüpft sich eine Analyse des Inhalts, bei welcher auf eine Reihe von Fragen näher eingegangen wird. Bei Besprechung der nach Dürer benannten Construction des regelmässigen Fünfecks giebt er einen kurzen Abriss über die Geschichte der Construction geometrischer Probleme mit ein und derselben Cirkelöffnung. Ferner ist bei Besprechung der Regel zur Construction des regelmässigen Siebenecks eine rein geometrische Herleitung dieser Regel gegeben. 0.

M. CURTZE. Bemerkungen zu dem Aufsatze Günthers: Zur Geschichte der deutschen Mathematik im fünfzehnten Jahrhundert. Schlömilch Z. XX. Hl. A. 57-60. Einige Berichtigungen zu der Arbeit von Günther, namentlich betreffs Cardan. 0.

S.

Nachträge zu einer früheren mathematischhistorischen Arbeit. Schlömilch Z. XX. Hl. A. 113-120. GÜNTHER.

Die Nachträge beziehen sich auf Berichtigungen Cantor's und Curtze's, die theilweise aeeeptirt werden. P.

RICCARDI.

fasc. 1-3.

Biblioteca Matematica Italiana.

0.

Vol. II.

Modena 1874-1875.

Die vorliegenden Hefte führen die Arbeit bis beinahe an das Ende des Buchstaben S weiter, so dass ein baldiger Schluss gehofft werden darf. (Siehe F. d. M. IV. 26 u. V. 37). Ce.

Capitel 1.

W. H u l t m a n . Dillner Tidsskr. V.

F.

Geschichte.

17

Svenska Arithmetikens Historia.

Nach einem Rückblick auf die Geschichte der schwedischen Arithmetik vom Anfang des 16lpn bis Mitte des 17'°" Jahrhunderts (mitgetheilt vom Verfasser in den früheren Bänden der Zeitschrift; siehe F. d. M. II. 15, III. 9) folgt eine Monographie Uber Simon Kexlerus (1592— 1609), den ersten Professor der Mathe0 matik an der Universität in Abo, und eine Analyse seiner Werke. Bg.

Bidrag tili de matematiska vetenskapernas historia i Sverige före 1679. Ups. Arsskr. 1875.

E . M. D a h l i n .

Eine sehr ausführliche Darstellung der Leistungen der Schweden auf dem Gebiete der genannten Wissenschaften bis 1679, welche freilich mehr in allgemein kulturhistorischer, als mathematischer Hinsicht von Interesse ist. Es genüge hier zu erwähnen, dass der Verfasser das Jahr 1593, die Wiederbelebung der Universität Upsala, als Grenzpunkt zwischen seinen zwei Perioden festsetzt, und in der späteren besonders die Professoren an dieser Hochschule Skinnerus, Gothus, Raumannus, Medolerus, Anthelius, Rudbeckius, Stenius, Myliander, Gestrinius, Granius, Nycopensis, Hedreus, Buraeus, Fontelius, Fornelius und M. Celsius, sowie von Mathematikern ausser der Universität Rizanesander, Alzbeckius, Buddaeus, Lindbergius, Stjernhjelm, Megalinus und Laubergius behandelt. Bg.

D.

S. H a r t . Historical sketch of Américain mathematical periodicals. Analyst. II. 131-138.

Bericht Uber alle periodischen Schriften ganz oder theilweise mathematischen Inhalts, die in den Vereinigten Staaten veröffentlicht sind. Glr. (0.) D. K i r k w o o d . II. 181-182.

Reminiscence of William Lenhart.

Fortsohr. d. Math. VII. 1.

O

Analyst.

I Abschnitt.

18

Geschichte und Philosophie.

Lenhart war ein amerikanischer Mathematiker, geboren 1785, gestorben 1840. Die Notiz ist eine Ergänzung der obigen Arbeit von Hart. Glr. (0.) CLAUDEL. japonais.

L a t h é o r i e des p a r a l l è l e s selon les g é o m è t r e s Bruxelles.

Siehe Recens, von Cantor, Schlömilch Z. XX. Hl. A. 73—75. P.

TREUTLEIN. Geschichte unserer Zahlzeichen und Entwickelung der Ansichten über dieselbe. Pr. Karlsruhe.

Eine kritische Uebersicht der Forschungen, welche sich um die Geschichte der Entstehung unserer Zahlzeichen bemUht haben, die in dankenswerther Weise Alles sammelt, was irgendwo über diesen jedem Gebildeten interessanten Gegenstand geschrieben ist, der aber speciell für die Geschichte der Mathematik, der Beziehungen der Völker untereinander, oft das einzige Übriggebliebene sichtbare Mittelglied bildet. Der Verfasser schlägt nicht den chronologischen Weg ein, sondern geht rückwärts, von der F r a g e , wie sie in diesem Jahrhundert auftauchte, um am Ende des Buches die Wahrscheinlichkeit der Woepcke'schen Annahme zu zeigen, dass in Indien die Wiege unserer Zahlzeichen zu suchen sei. Ce. J. A.

PICTON.

On the origin and history of numerals.

Proc. of Liverp. XXIX. 69-116.

Der Verfasser giebt in compendiöser Form einen Ueberblick Uber den Ursprung und die Entstehung der Zahlen, sowohl hinsichtlich ihrer Namen, wie ihrer Zeichen. Glr. (0.) L.

KRONECKER. Bemerkungen zur Geschichte des Eeciprocitätsgesetzes. Berl. Monatsber 1875. 267-275.

Der Herr Verfasser weist nach: 1) dass Euler in einer Abhandlung aus den Jahren 1744—174G das Reciprocitätsgesetz im wesentlichen mitgetheilt und es 1783 in ganz entwickelter und vollendeter Form aufgestellt hat; 2) dass von Legendre 1785 ein

Oapitel 1.

Geschichte.

19

Theil desselben bewiesen ist; 3) dass Gauss über die Entdeckung des Gesetzes 1801 und 1808 einander widersprechende Bemerkungen gemacht, wohl sicher aber die Euler'sche Abhandlung von 1783 nicht gekannt hat. No.

B . BONCOMPAGNI.

Intorno ad una proprietà de' numeri

d i s p a r i . Boncompagni Bull. V i l i . 51-62.

Durch directe Summation einer arithmetischen Reihe lässt sich leicht nachstehende Identität verificiren: n3 =

B

( n — 1 ) + l + n ( „ - 1) + 3H

|-»C» — l ) + 2 w - 1.

Das Auftreten dieses Satzes wird geschichtlich während eines Zeitraumes von 1800 Jahren verfolgt. Derselbe kommt erstmalig vor in der Arithmetik des Nicomachus, alsdann in dem zu dieser gehörigen Commentar des Jambliehus und bei Boethius sowie bei dessen Commentator Gerardus Rufus. Maurolycus suchte zuerst fiir die bis dahin nur induktorisch erkannte Wahrheit einen faktischen Beweis zu liefern, und an diesen knüpfte 1807 Fontana wieder an. Dreissig J a h r e später legte Hamilton auf einer Versammlung der British Association das Theorem als neu und von Turner gefunden vor, und in gleicher Eigenschaft wird dasselbe 1846 von Adhémar, 1854 von Wheatstone selbstständig ,.producirt". Schlagender als durch diesen Rechenschaftsbericht über eine relativ unwichtige Frage könnte der Nutzen mathematischgeschichtlicher Studien schwerlich illustrirt werden. Um übrigens die fleissige Zusammenstellung zu ergänzen, sei unsererseits auf Grunert's Abhandlung „Turner's Eigenschaft der ungraden Zahlen" im 1. Bande seines Archivs (S. 59—60) hingewiesen. Gr. K.

Historisk öfversigt af teorierna för singulare solutioner tili ordinära differential eqvationer. M.

LINDEBERG.

Stockholm.

Uebersicht der Theorien für die singulären Integrale der Differentialgleichungen. Erwähnt werden Arbeiten von Leibniz, 2*

20

I. Abschnitt.

Geschichte twd Philosophie.

Taylor, Euler, Laplace, Lagrange, Legendre, Poisson, Caucby, Blanchet und Darboux. Bg. D.

BIERENS D E H A A N . Iets over de quadratuur van Simon van der Eycke en hare gevolgen. Nieuw. Arch. I.

Simon van der Eycke (a quercu = du Chesne) veröffentlichte 1584 zu „Delft" eine Schrift über die Quadratur des Krei1521 ses, worin er behauptete, dass n = ,, • sei, ein Verhältniss, 484 dem nach seiner Ansicht die merkwürdigsten numerischen Eigenschaften zukämen. Ludolf van Ceulen (geb. zu Hildesheim den 28 ,en Januar 1540, gest. in Holland den 31 len December 1610) bewies 1585, indem er die Seite des 192-ecks berechnete, dass TT < 3,142505 < - ^ ¿ j 484 sei. S. van der Eycke gab in seiner Erwiderung einen neuen Werth von n = 3,1446053. Darauf erfolgte 1586 eine zweite Antwort L. van Ceulen's, worin als Grenzen für n 3,1410300 und 3,1427232 gegeben wurden; noch engere Grenzen wurden ohne Beweis mitgetheilt. Im Jahre 1596 veröffentlichte Ludolf van Ceulen sein W e r k : „Van de Cirkel", worin n auf 20 Der m a l e n berechnet ist. In einer nach seinem Tode von seiner Wittwe 1615 veröffentlichten Schrift sind 32 Stellen berechnet. Endlich fand Willebrordus Snellius aus Ceulen's Papieren den Werth auf 34 Stellen. Dieser Werth ist es, der auf seinem Grabdenkmal in der Kirche von St. Peter in Leyden angebracht ist. Mit vollem Rechte wird daher in Deutschland die Zahl n als „Ludolfsehe Zahl" bezeichnet. Durch die Arbeiten Ludolfs wurden weitere Untersuchungen von Snellius, Huyghens, Philippus Lansbergius und Cornelis van Nienrode angeregt. Adrian Anthonis, geb. zu Metz um 1527, wanderte nach Holland aus, wurde Bürgermeister von Alkmaar und starb 1607; seine Söhne nannten sich nach seinem Geburtsort Metius. Adrian Anthonis fand bei Gelegenheit der von Simon van der Eycke angeregten 377 333 Discussion, dass n zwischen - ^ r und — - liege. IÄV luo

Indem er aus

Capitel 1.

Geschichte.

21

den Zählern und Nennern das Mittel nahm, kam er auf das Ver355 hältniss — d a s sein Sohn Adrian Metius 1625 veröffentlichte, 1 lo indem er angab, dass es von seinem Vater herrühre, und dass dieser es zur Widerlegung von Simon van der Eycke aufgestellt habe. Auch Adrian van ßoomen (geb. zu Lüttich den 28 len September 1561, gest. zu Mainz den 3 te " März 1615) hatte 1597 die Quadratur Eycke's bekämpft, aber indirect. Siehe auch F. d. M. VI. p. 37. Mn. (Wn.)

Aperçu historique sur l'origine et le développement deS méthodes en géométrie. Paris. 1875.

M . CHASLES.

Darboux Bull. IX. 97-98.

F.

Gr.

JACOLI. Evangelista Torricelli ed il metodo de tangenti detto metodo del Roberval. Boncompagni Bull. V i l i . 265-304.

Der Verfasser sucht nachzuweisen, dass die nach Koberval benannte Methode des Tangentenziehens nicht von diesem, sondern von Torricelli (geb. 15te" Oktober 1608, gest. 25 ,en Oktober 1647) herrühre. 0.

Intorno ad alcune lettere di Evangelista Torricelli, del P. Marino Mersenne, e di Francesco Du Verdus. Boncompagni Bull. V i l i 353-381.

B . BONCOMPAGNI.

Lettere di Evangelista Torricelli ad P. Morino Mersenne, del P. Marino Mersenne ad Evangelista Torricelli, di Francesco Du Yerdus ad Evangelista Torricelli. Boncompagni Bull. V i l i . 382-456.

Mittheilungen und Abdrücke von Briefen der im Titel bezeichneten Gelehrten. 0.

G.

TORELLI. Notizie storiche relative alla teoria delle trasformazioni in geometria descrittiva. Battagliti G. xill. 352-356.

23

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

A l s Erfinder der Theorie der Transformation in d p beschreibenden Geometrie galt eine Zeit lang Herr Olivier, welcher dieselbe

in seinem 1842 zur Veröffentlichung ^gelangenden „Cours

de géométrie descriptive" ausführlich behandelte und zur Lösung von Aufgaben benutzte, bis 1852 Herr Catalan in seinem „ T r a i t é élémentaire de géométrie descriptive" nachwies, dass dieselbe der Hauptsache nach schon 1738 angegeben w a r von Frézier in dem Buch: „ L a théorie et la pratique de la Coupe des Pierres. " Jahre 18G0 ferner

Im

wurde dieselbe zurückgeführt auf Desargues

v o n Herrn D e la Gournerie, welcher in seinem „ T r a i t é de géométrie descriptive"

aussprach,

dass dieselbe, wenn auch etwas

dunkel, doch im Wesentlichen dargestellt sei in dem von Bosse 1643 veröffentlichten „Pratique sargues." gelegten

Aber

du Trait à

preuves

auch die weitere Ausbildung

Grundgedanken

zu einer Theorie

de M. De-

der dort

der

nieder-

Transformation

habe, w i e Herr F i e d l e r bemerkt, schon vor Olivier im Jahre 1841 Gugler in seinem Lehrbuch führt.

der

descriptiven Geometrie

ausge-

D e r Herr Verfasser des in der Ueberschrift angegebenen

Artikels sucht nun nachzuweisen, dass dies schon viel früher g e schehen sei in zwei italienischen Schriften: „ D e l l e projezioni grafiche

et delle loro principali applicazioni per G. Tramontini", Mo-

dena 1811, und: „ S u la permutazione dei piani di projezione in Descrittiva di F . P . T u c c i " in dem Journal Biblioteca Analitica di Scienze, Lettere ed Arti, Napoli 1823.

J.

Schz.

Ueber E. Dühring. Kritische Geschichte der Principien der Mechanik, H. Klein. Principien der Mechanik. Darboux Bull. IX. 98-107. BERTRAND.

Herr Bertrand wendet sich in seinem Bericht über die vom Referenten

bereits Bd. I V . p. 34 und Bd. V . p. 59 besprochenen

Werke

zunächst g e g e n die übermässig geübte Kritik

indem

er

Descartes, bezeichnet.

namentlich Leibniz

seine Urtheile

und N e w t o n

als

über

Dühring's,

Archimedes,

zu hart

Galilei,

und unzutreffend

Auch mit der Klein'schen Auseinandersetzung über

Capitel 1.

Geschichte.

23

die Entdeckung der mechanischen Wärmetheorie ist er nicht einverstanden. 0. TÄSCHNER. Pr. Breslau.

Einiges aus dem Gebiete der Dynamik.

Nachdem der Verfasser in der Einleitung die Gründe dargelegt hat, aus denen das Alterthum in der Dynamik nichts zu leisten vermocht habe, giebt er den Gedankengang, der Galilei zur Aufstellung des Princips der Trägheit, des Fallgesetzes und des Begriffs der relativen Bewegung geführt hat, auf Grund der Werke desselben. 0. C. OHRTMANN. Le p r o b l è m e des tautochrones. T r a d u i t de l'Allemand p a r 0 . D u s a u s o y . Rome. 8® Uebersetzung der Arbeit, über die F. d. M. IV. p. 30 berichtet worden ist. Angefügt sind 3 Noten des Uebersetzers, von denen die erste eine Ergänzung aus Huyghen's Horologium oscillatorium, die zweite eine Erläuterung des Begriffs der ähnlichen Functionen nach J. Bernoulli giebt, während die dritte eine Uebersetzung des Berichts Uber Hoppe's Arbeit: „Tautochronische Curven bei Reibungswiderstand" aus den F. d. M. II. 710 ist. 0 . V. LIGUINE.

Note historique s u r le p r o b l è m e des en-

grenages cylindriques.

Bull. S. M. P. i. 251-253.

Nachweis, dass die Arbeit: „Sur les figures des dents, des roues et des ailes des pignons pour rendre les horloges plus parfaites" in denMemoiren derPariser Akademie 1733 117-140 von Charles Etienne Louis Camus (geb. 1699, gest. 1768) verfasstist. 0.

Note historique sur J. B . van Helmont à propos de la définition et de la théorie de la flamme. Opinions des anciens chimistes et physiciens sur la chaleur, le feu, la lumière et la flamme dans leurs rapports avec les idées et les travaux de van Helmont.

M. MELSENS.

Mém. cour, de Belg. XXIV.

24

I. A b s c h n i t t .

G e s c h i c h t e uud Philosophie.

In Bezug auf den im Titel angeführten Gegenstapd werden die Ansichten folgender Forscher besprochen: Van Helmont, Lucrèce Beccher, Stahl, Rey, Cardan, Eck de Sulzbach, Cesalpin, Descartes, Boyle, Boerhave, Euler, van Musschenbroek, Newton, Buffon, Nollet, de Bruchhausen, Black, Scheele, Pristley, Lavoisier, Pearson, W. Henry, J . Murray, 0 . Sym, Porret, Davy. Die Anmerkungen enthalten Citate aus Descartes, Newton und Buffon. Der Verfasser gelangt zu dem Schluss, dass van Helmont der einzige Gelehrte gewesen sei, der vor dem 19 ten Jahrhundert eine richtige Definition der Flamme als eines brennenden Gases aufgestellt habe. Doch ist dieser Schluss von Chevreul und andern Gelehrten der Pariser Akademie bestritten. Mn. (Wn.)

D.

BIERENS DE HAAN. Tweede ontwerp eener näamlyst vau Logarithmentafel, met de opgave van den tyd, de plaats en de grootte, alsmede van liet aantal ddcimalen, alles zoo verre bekend. V e r h . v. A m s t . x v . 1 - 3 5 .

In einer 1862 veröffentlichten Arbeit: „Jets over Logarithmentafels" (Verslagen en Mededeelingen, XIV.) hat der Verfasser eine Liste von 267 Logarithmentafeln zusammengestellt. Diese ist nun vermehrt und verbessert, und so enthält die in der vorliegenden Arbeit aufgestellte Liste 553 Tafeln. Von diesen sind 57 in Holland erschienen (34 in Amsterdam), 144 in England (124 in London), 178 in Deutschland (35 in Leipzig, 26 in Berlin, 22 in Wien), 91 in Frankreich (79 in Paris), 23 in Italien, 22 in den scandinavischen Staaten, 9 in Spanien und Portugal, 9 in den Vereinigten Staaten, 3 in Russland und Polen, 3 in der Schweiz, 2 in China (eine in Peking, eine in Shanghai), eine im englischen Indien, eine in der Türkei, eine in Belgien. Dem 17 t e n Jahrhundert gehören 98 Tafeln an, dem 18 ten 121, derZeit von 1800—1870 dagegen 334. Die meisten Tafeln sind in den Jahren 1840 — 1849 erschienen. Die Anzahl der Decimalstellen beträgt 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 21, 27, 32, 50, 60, 61, 102. Am zahlreichsten sind die Tafeln

Capitel 1.

Geschichte.

2b

mit 7 Stellen, dann folgen die mit 5, 6, 4, 10 Stellen. Die Tafeln mit 4, 5, 6 Decimalen rühren grösstenteils aus dem Anfang dieses Jahrhunderts her. Die eine Tafel mit 102 Stellen findet sich in einem Werke von H. M. Parkhurst: Astronomical tables, New-York, 1871. Alle diese Angaben, ausser der letzten, sind der Einleitung entnommen. Die Liste selbst enthält das Datum des Erscheinens, die Zahl der Decimalen, das Format und den Titel der 553 Logarithmentafeln. Mn. (Wn.)

D.

BIERENS DE H A A N . Bouwstoffen voor de geschiedenis der wis-en natuurkundige wetenschappen in de Nederlanden. Versl. en Mededeel IX. 1-40, 90-112, 323-370.

Fortsetzung der Arbeit, über die F. d. M. VI. p. 40 berichtet ist. In der ersten der genannten drei Abhandlungen über die Geschichte der mathematischen Wissenschaften in den Niederlanden wird die Arbeit von Adolph Frederic Marci Uber die Theorie und Bearbeitung der Logarithmentafeln besprochen.» Dieser Gelehrte aus dem 18 ,en Jahrhundert gehörte zu der Gesellschaft „die Kunst-Rechnungs-Societät zu Hamburg", welche im Jahre 1690 auf Veranlassung des Römischen Kaisers errichtet wurde. Die Namen und Arbeiten der Stifter, sowie die ursprünglichen und später veränderten Gesetze werden mitgetheilt, auch ein Facsimile des grossen Siegels ist der Schrift beigefügt. Marci, Buchhalter und Uebersetzer zu Amsterdam, war unter dem Beinamen „der Meritirende" Mitglied dieser Gesellschaft, und gab in der Zeitschrift Beiträge über verschiedene Gegenstände der Arithmetik und Geometrie. Zur Berechnung der Logarithmen gebrauchte er nicht mehr die Wurzelausziehung, sondern die unendlichen Reihen für Nep. log®, welche bereits früher in den Werken von Heinrich Meisner und Paul Halcken mitgetheilt waren. In der zweiten Abhandlung wird wieder über Simon van der Eycke gesprochen, welcher sich besonders mit der Quadratur, des Kreises beschäftigte, jener Aufgabe, welche am Ende des

26

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

16 ,e " Jahrhunderts an der Tagesordnung war und der Mittelpunkt wurde, woraus auf verschiedenen Wegen viele interessante Schriften und Entdeckungen entstanden. Die Verdienste van der Eycke's um die Längenbestimmung zur See werden mitgetheilt, und sodann länger bei seiner Annäherung an den, aus der Berechnung der ein- und umgeschriebenen regelmässigen Vielecke folgenden Kreisunifang verweilt. Aus seiner Berechnung versucht er ferner zu einer Constructiou für die Rectification und Quadratur des Kreises zu gelangen. Hier verliert er sich jedoch auf Abwege, welche ihn durch Sophisterei zu ganz falschen Resultaten führen. In seinem heftigen Streit Uber diesen Gegenstand mit Ludolf van Ceulen kommt er immer mehr vom wahren Weg ab, und findet schliesslich im Widerspruch mit dem bekannten Verhältniss des Archimedes, welches ihm frliher zur Basis seiner Untersuchungen diente, den Werth l / ( ) / 5 1 2 Ö - 3 2 ) = 3,1446055, welches auch durch den Astronomen Nicolaus Raymarus Ursus Dithmarsus in seinem Fundamentum Astronomicura angeführt wird. Die dritte Abhandlung spricht ausführlich Uber den bekannten Mathematiker Ludolf van Ceulen, dessen Verdienste gegen die Verkennung, welche er besonders von Seite der Deutschen Historiker wiederholt erfahren musste, hervorgehoben werden. Nach dem Verfasser wurde dieser Gelehrte zu Hildesheim in Sachsen, nicht wie gewöhnlich angenommen wird, 1539, sondern den 18""" Januar 1540 geboren. Sein Grabstein in der Peterskirche in Leiden ist bei einem späteren Umbau der Kirche verloren gegangen; indessen ist es dem Autor geglückt, in einem älteren Werk eine genaue Beschreibung desselben aufzufinden. Auf dem Grabstein ist das Verhältniss zwischen Umfang und Durchmesscr des Kreises auf 34 Decimalen eingeschrieben. Die ferneren Lebensverhältnisse van Ceulen's werden mitgetheilt, und es geht daraus hervor, dass er viele Jahre hindurch Lector an der Genieschule war, welche vom Prinzen Moritz von Nassau mit der Universität verbunden wurde, und nicht an der Leidner Universität selbst diese Stellung bekleidete. Unter seinen zahlreichen Schriften,

Capitel 1.

Ui schichte

27

welche hier grösstenteils kurz erwähnt werden, finden sich seine ¡Streitschriften gegen die Irrthlimer Simon van der Eycke's Uber die Quadratur des Kreises. In dem Werke „Van den Circkel" (1596 in Delft erschienen) findet sich seine erste Berechnung des Kreisurafangs, welche bis auf 20 Decimalen genau ist. Iu späterer Zeit edirte seine Wittwe ein Werk, in welchem unter vielen anderen Gegenständen die Berechnung bis auf 32 Decimalen genau gegeben ist. Später wurden die bedeutenden Werke van Ceulen's von W. Snellius in's Lateinische übersetzt, welches ihre grössere Verbreitung im Auslande zur Folge hatte; freilich entstand hierdurch zugleich die falsche Meinung, nach welcher das Bedeutendste und Beste aus den Arbeiten van Ceulen's unrechtmässig dem Snellius zugeschrieben wurde. Das Resultat des Verfassers ist denn auch, dass mit v o l l e m R e c h t dem genauen Werth der Zahl n für alle Zeiten der Name „Ludolf'scbe Zahl" gegeben wurde. Lange blieb man bei 34 Ziffern stehn, wie sie durch van Ceulen zuerst berechnet worden sind und für alle Rechnungen weitaus genügen. Erst später wurde durch die Theorie der stark convergirenden Reihen die Anzahl der Ziffern auf 500 und mehr ausgedehnt. G.

J . W . L . GLAISHER.

On Herwart ab Hohenburg'»

Ta-

b u l a e A r i t h m e t i c a e n()00^a(pei()s0(ws -universales M u n i c h 1-610.

Proc. of Cambr. V. 386-392.

Das besprochene Buch ist ein starker Folioband und enthält eine Multiplicationstafel bis zu 1000X1000, in der die Tausendvielfache auf derselben Seite gegeben werden, mit einer 7 Seiten langen Einleitung. Heilbronner, Kästner, Scheibel, Montucla, Murhard, Ragg, Weidler, Lalande, de Morgan etc. sprechen nur kurz über dasselbe. Dies wird angeführt. Herr Glaisher hatte, beschäftigt mit der Vorbereitung zu dem Berichte des Comités der British Association für mathematische Tafeln, vergeblich Genaueres über diese merkwürdige Tafel zu erfahren gesucht. Neuerdings hat er nun in Frisch's Ausgabe der Werke Kepler's (Bd. IV. Thl. II. p. 527 - 530, 1863) eine sehr interessante Cor-

28 respondenz Geschichte Die Arbeit phaeresis", standen zu

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

zwischen Her wart und Kepler gefunden, welche die des Werkes enthält. Diese wird hier reproducirt. schliesst mit Bemerkungen über das Wort „Prosthadas in seiner Beziehung zu dem Werke oft missversein scheint. Glr. (0.)

Capitel 2.

Philosophie. J. HOÜEL. exactes.

DU role de L'exp^rience dans les sciences Prague.

Jednota ceskych mathematikü.

Der Herr Verfasser setzt zunächst auseinander, wie eine exacte Wissenschaft entsteht, was ihr Gegenstand, ihre Aufgabe ist. Der logische Theil der exacten Wissenschaft macht das aus, was man Mathematik im eigentlichen Sinne des Wortes nennt; und die Mathematik zerfällt ihrerseits wieder in die reine Mathematik, welche die logischen Theorien enthält, die auf das Studium aller Klassen von Thatsachen ohne Unterschied anwendbar sind, und in die angewandte Mathematik, welche von der Anwendung dieser allgemeinen Theorien auf besondere Klassen von Thatsachen und den besonderen Methoden handelt, welche sich am besten für jede dieser Klassen eignen. Für die abstracten Theorien, (wie z. B. die Arithmetik, als die abstracte Theorie der Operationen) ist es von wesentlicher Bedeutung, dass man die Hypothesen, an und für sich, (welche a priori wesentlich willkürlich gewählt werden können und nur der Bedingung unterworfen sein müssen, sich nicht zu widersprechen), unterscheidet von dem Werthe der Hypothesen, hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit. Jede abstracte Wissenschaft, welche auf widerspruchslose Hypothesen gegründet und nach logischen Gesetzen aufgebaut ist, ist absolut wahr. Diese allgemeinen Betrachtungen werden nun vom Herrn Verfasser angewendet auf die Geometrie. Aus diesen Betrachtungen folgt, dass die Geometrie, (ebenso wie die

Capitel 2.

20

Philosophie.

Mechanik, die Optik, die Theorie der Wärme und der Electricität) besteht: 1) aus einem physikalischen Theile, in den z . B . die fundamentalen Hypothesen über die Eigenschaften des Raumes gehören, und 2) aus einem theoretischen und abstracten Theile, der. die Hypothesen, die der physikalische Theil geliefert hat, in's Werk setzt; der letztere allein hat Anspruch auf den Namen: „exacte Wissenschaft." M.

Zeit und Raum in ihren denknothwendigen Bestimmungen abgeleitet aus dem Satze des Widerspruchs. Leipzig. Koschny.

SCHMITZ - D U M O N T .

Der Verfasser hält es für eine Forderung der Wissenschaft, dass die Resultate der Untersuchungen von Bolyai, Riemann u. A. betreffend die erfahrungsmässigen Beschränkungen des Raumbegriffs ihre Widerlegung finden. Er will eine solche auf formell logischem Wege geben und verspricht durch Gruppirung aller Denkmöglichkeiten die Unmöglichkeit eines allgemeineren Raumbegriffs nachzuweisen. Wieweit die Ausführung hinter dem Vorsatz zurückbleibt, zeigt namentlich der Abschnitt mit der Ueberschrift: „Widerlegung der Ansichten von Gauss u. A.", in welchem das Wenige, was wirklich an Aeusserungen der betreffenden Autoren citirt wird, nicht einmal angegriffen ist. Da sein Bereich der Denkmöglichkeiten ausserhalb der Mathematik liegt, so konnte es natürlich den allgemeineren Raumbegriff nicht enthalten. H.

P.

MANSION.

Note on a universal analytical language.

Messenger (2) V. 166-167.

Auszug aus einem Briefe des Prof. Mansion, in dem er einen Vorschlag zu einer allgemeinen analytischen Sprache auseinandersetzt. Die Bezeichnungen sind so gewählt, dass man allen Text in analytischen Fragen entbehren kann. Prof. Mansion bemerkt, dass Gauss sich ähnlicher Bezeichnungen bedient habe, wie er aus einigen Manuscripten desselben gesehen, die keinen Text, nur Gleichungen enthielten. Glr. ( 0 . )

30 J.

I. Abschnitt

DIEKMANN.

griffs „Null".

Geschichte und Philosophie.

Zur Definition des arithmetischen BeHoffmann Z. VI. 377-381.

Der Artikel schliesst sich an eine Controverse an Uber die in Worpitzky's Elementen der Mathematik (Def. VII.) gegebene Definition der Null, welche als schwer verständlich angegriffen worden w a r , und bezieht sich namentlich auf ein Beispiel, welches Worpitzky in seiner Replik zur Erläuterung der Definition giebt, worin bei Addition einer Strecke zu einem FlächenstUck erstere, sofern die Addition die Grösse nicht verändert, als Null auftritt, obwohl sie eine Grosse ist. Diekmann fllhrt aus, dass die Erläuterung grade auf die falsche Deutung hinführt, während die Definition selbst den richtigen Sinn wenigstens zulässt: die Strecke ist nicht null als Linearquantum, sondern als Nicht-Fläche. Wenn Worpitzky die Null ein Ding nennt, so kann und inuss man von den Bestimmungen dieses Dinges abstrahiren; wenn er aber die Existenz des Dinges Null durch dessen extensive Eigenschaft nachweist, so hebt er selbst die einzig mögliche Rechtfertigung auf. Im weiteren findet man jedoch Grund, die Beachtung des Umstandes sehr zu vermissen, dass die blosse Hinstellung der Bedingung, die Null solle durch Addition keine Grösse ändern, ohne Erklärung, wodurch sie realisirt wird, der Theorie nicht genügen kann. Was die Null sei, bleibt unerklärt. Sie ist ein eingeführtes Rechnungselement; die Theorie bleibt die Rechtfertigung der Einführung schuldig; sie erfüllt diese Forderung und beweist zugleich deren N o t w e n d i g keit durch die sich ergebenden Grenzen und Ausnahmen der Rechnung mit Null. Diekmann will dagegen wie mit der Null auch mit dem Symbol

verfahren, und dasselbe durch die Be-

dingung definiren, dass es bei Addition nicht geändert wird. Diese supponirte Grösse hat in der Tliat mit der Null das gemein, dass beide sich nicht darstellen lassen.

Aber die Recht-

fertigung der Null durch die Theorie fehlt, wie bekannt, bei der fraglichen Grösse.

H.

Capitel 2.

J.

CoCKLE.

Oll series and

31

Philosophie. Oll

lirnits.

Messenger (2) VI. 25-2S.

PrUfuug von Dr. Morgan'« Ansicht, dass

das äusserste

Unendliche darstellt, das Unendliche von dem Unendlichen. Glr, (0.)

A. J. PrcK. Die Entwickelimg des Begriffes entgegengesetzter Grössen. Hoffmann Z. VI. 111-123. In äusserst detaillirter Weise wird die als ungenügend wohl hinreichend bekannte Methode vorgetragen, welche sich auf die Fälle darstellbar entgegengesetzter Grössen beschränkt, ohne im mindesten die Beziehung zwischen Addition und Subtraction durch veränderte Fragestellung und den darauf gegründeten Begriff entgegengesetzter Grössen zu erwähnen. Unrichtig ist offenbar die Behauptung, die Berechnung des effectiven Vermögens aus Vermögen und Schulden sei von Natur eine Frage der Addition. H.

W. R.

SMITH.

Note on Prof. Bain's theory of Euclid 1. IV.

Proc. of Edinb. VII

17G-179.

1870.

Die Note bezieht sich auf Mill's Theorie mathematischer Schlüsse und Prof. Bain's Bemerkungen dazu. Es handelt sich darum, ob Euclid 1. IV. eine induetive Wahrheit sei, und ob der Beweis dafür zwingend sei. Glr. (0.)

De la réversibilité de tout monvement puremeilt matèrie]. Mondes (2) X X X V I I I . 5GG-:>72, 606-615,

PH.

BRETON.

(•>43-640, 697-702, 742-755

Der Verfasser giebt zunächst einen Ueberblick Uber das Verfahren der Mathematik in mechanischen Fragen, und erklärt sodann, was er unter Reversion der Bewegung versteht. Die zu einer anderen revertirte Bewegung ist diejenige, welche entsteht, wenn die Geschwindigkeiten immer der ursprünglichen gleich, aber entgegengesetzt gerichtet siud. Bei einer Reihe von Fragen geräth man dadurch zu unzulässigen Resultaten. Uebrigens ent-

I Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

hält die Arbeit nur Speculationen, Durchführungen.

keine

rechnungsmässigen 0.

Géométrie hugodomoïdale, anhellénique, mais philosophique et archi tectonique. La question de l'équidomoïde et des cristalloïdes géométriques. Paris.

L . HUGO.

Siehe Näheres Nouv. Ann. (2) XIV. 233.

F.

0.

Ueber den Werth des mathematischen Unterrichts für die formale Bildung. Pr. Tarnowitz. PIETZKER.

Der Verfasser betrachtet den Erfolg des jetzigen mathematischen Gymnasial- und Realscliul-Unterrichts hinsichtlich solcher Schüler, deren späterer Beruf nicht mit der Mathematik verknüpft ist, als sehr gering, und befürwortet Verzichtleistung auf alle Zweige, die nicht auf das Ziel einer dauernden formalen Bildung gerichtet sind. Als berechtigtes und allein erreichbares Ziel bezeichnet er die Fähigkeit, jede im gewöhnlichen Leben vorkommende Aufgabe in exacte Form umzusetzen. Er geht dann die Zweige durch, welche in dieser Beziehung von Werth, und welche dagegen untauglich seien. In der Ausschliessung geht er jedoch weiter als es wohl irgend jemand gethan hat: die ganze Geometrie, einerseits die euklidische, andererseits aus anderem Grunde die neuere, erscheint ihm von fraglichem Werthe. W a s er aber ganz ausser Augen setzt, ist, dass sich der Sinn für die Form nur an der Materie entwickeln lässt, dass demnach trotz aller Anweisung niemand sich zum exacten Denken versteht, wenn er nicht durch genügende Fortschritte in Kenntnissen und Fähigkeiten den Werth desselben empfinden gelernt hat. Schliesslich räumt er zwar ein, dass er die Frage nicht erledigt habe; doch hätte wohl die genannte Erwägung stattfinden müssen, ehe er irgend einen Unterrichtszweig als unnütz verwarf. H.

E. K RETSCHMER. Welche Aufgabe soll die Mathematik in der Gymnasialerziehung erfüllen? Pr. Posen.

Capitel 2.

Philosophie.

33

Der Verfasser betrachtet das Thema als hinreichend discutirt. Es werden deshalb keine neuen Gesichtspunkte eröffnet, sondern nur Bekanntes und Selbstverständliches noch einmal vorgefühlt und grösserer Beachtung empfohlen. H.

K.

RUDEL. Zum Lehrprogramm der Gewerbeschule für Trigonometrie. Bayr. Bl. x i . 76-78.

Der bayrische Lehrplan für niedere technische Schulen gebietet eine allseitige Behandlung des rechtwinkligen Dreieckes durch Trigonometrie, verbietet aber den Gebrauch goniometrisclier Relationen. Es wird hier an einem drastischen Beispiele gezeigt, welche pädagogische Inconvenienzen daraus entspringen können; auch weist der Verfasser auf die treffliche „ebene Trigonometrie" von Hans Pfaff hin, welche durch ihre Behandlungsweise grade dem Mangel des Lehrprogrammes abhelfen könnte. Gr.

J.

Die Determinanten als Unterrichtsmittel auf Gymnasien und Realschulen. Hoffmann z vi. 1-21, DIEKMANN.

124-137, 193-211.

Die hier vorgetragene Methode der Determinantenlehre, welche für den Anfang in Tertia und Fortsetzung in den oberen Classen bestimmt ist, charakterisirt sich dadurch, dass jeder Satz durch eine Reihe von Beobachtungen aufsteigend von den niedrigsten Ordnungen gefunden wird. An der Multiplication der Polynome soll erst der Sinn für solche Beobachtungen geweckt werden. Das Bildungsgesetz der Determinanten wird dann durch eine, die Vorzeichen noch nicht umfassende Bedingung vorausbestimmt, welche erst im einzelnen realisirt werden soll. Die Ausführung geschieht dann durch Zusammenfügung der Unterdeterminanten. Permutationen sollen nicht in Anwendung kommen. Dass bei einem solchen Verfahren die wesentlichsten Vorzüge der Determinantenlehre, namentlich die Einfachheit der Schlüsse, ganz verloren gehen, ist leicht zu sehen. H. Fortschr. d. Math. M l . 1.

3

34 S.

I. Abschnitt.

Geschichte und Philosophie.

Didaktische Bemerkungen zur Determinantentheorie. Hoffmann Z. VI. 138-150. GÜNTHER.

Es wird die Behandlungsweise dreier Punkte aus der Determinantenlehre besprochen, die Bestimmung der Vorzeichen der Unterdeterminanten, die Discussion der Fälle des Verschwindens der Coefficientendeterminante eines linearen Gleichungssystems und die Beweise zweier Sätze Uber adjungirte und symmetrale Determinanten, und die einfachste Darstellung vorgeführt. H.

Zweiter Abschnitt. Algebra. Capitel 1. Gleichungen. (Allgemeine Theorie. Besondere algebraische und transcendente Gleichungen.) A.

CAYLEY.

Synopsis of tlie theory of equations.

Messenger

(2) VI. 39-49.

Die Arbeit enthält einen Ueberblick Uber die hauptsächlichsten bekannten Sätze aus der Theorie der Gleichungen. E s ist eine Zusammenstellung der Hauptabschnitte der Theorie und der einschlagenden Fragen und Sätze in logischer Ordnung, aber ohne Beweise. Glr. ( 0 . ) V.

VALERIANI.

Ogni equazione del grado

N

ha n radici.

Battagliui G. XIII. 33-40.

Reproduction der Beweise von Gauss und Lagrange.

G.

DARBOUX. Memoire sur le théorème de Sturm. mière partie. D a r b o u x B u l l V i l i 5t>-63: 9 2 - 1 1 2 .

0.

Pre-

Die Theorie wird auf Grund der Hermite'schen Methode entwickelt. Der Bruch

dient als Ausgangspunkt.

s-s, und g> bedeuten zwei ganze Funk3*

II. Abschnitt.

36

Algebra.

tiouen vom Grade n. Durch die Methode des grössten gemeinsamen Theilers kann man F in die Form (2) ^«¿V-iW^C«,) bringen,

und

da

andererseits

durch Zerlegung von

Partialbrüche

M

F

X V^l

^

w

8-Oi *,-«f wird, so erhält man für z = s, und q> = g' die Sturm'sche Regel. Die tp bilden eine Sturm'sche Reihe. Setzt man in (3) und (2) die Coefficienten von s , z t n ~ v gleich Null, so ergiebt sich tpx(z) in Deteruiinantenform durch die Wurzeln a ausgedrückt; thut man dasselbe bei (4) F — —JScuz'z* und (2), so erhält man xp,. durch die Coefficienten c ausgedrückt. Für z = alt zl = ak liefert (I) die charakteristischen Relationen für die Sturm'schen Funktionen. Es wird ferner die adjungirte Form der in bekannter Art aus F abgeleiteten quadratischen Form 0 behandelt; dann folgt die allgemeine Durchführung des Sturm'schen Theorems mit Benutzung der Funktion an Stelle von 3) Polaren Grades sind. Nr.

Ueber das simultane System von drei t e r n ä r e n q u a d r a t i s c h e n F o r m e n . Borcbardt J. L X X X . 73-85. In Bd. 57 des Borchardt'sclien Journals hat Hermite die typische Darstellung dreier ternären quadratischen Formen çPpÇ),,^, als Differentialquotienten einer cubischen ternären Form f gegeben, welche zu Coefficienten nur Invarianten des Systems der cp hat. Diese Darstellung wird hier ausgeführt: es wird flir f die Form gegeben S. GUNDELFINGEN

f =

l2A(d)

+

itd,

wo d die Discriminante der quadratischen Form %xi + 9>Ä + ist, die Xi selbst die neuen Variabein sind, nach denen die Differentialquotienten zu nehmen sind und die sich aus linearen Contravarianten der cp leicht ergeben, wo ferner A [ d ) die Hesse'sche Form der in den x cubischen Form d, t eine CombinantInvariante der q> ist. Hiernach drücken sich dann alle Invarianten des simultanen Systems rational durch die 11 Invarianten aus, die nun in f vorhanden sind, die Combinant-Invarianten sogar durch zwei solche. Zum Schluss werden einige Anwendungen auf das Flächennetz zweiter Ordnung gegeben, insbesondere die Darstellung der Gleichung der 8 Schnittpunkte. Ueber einige dabei auftretende Flächen findet sich Weiteres in Salmon-Fiedler's „Anal. Geom. des Raumes", I. 285 ff. gegeben. Nr. C. JORDAN.

Recherches sur les covariants.

C. R. L X X X .

S75-877.

C.

JORDAN.

Théorème sur les

covariants.

C. R. L X X X .

1160-1161.

Das endliche System von Grundformen, das sich aus den Ueberlegungen H. Gordan's für eine binäre Form ergiebt, ent-

Capitel 2.

Theorie der Formen.

59

hält im Allgemeinen noch viele überflüssige Formen. H. Jordan will sich die Aufgabe stellen, dieses System möglichst zu reduciren. Er giebt in der ersten Note (ohne Beweis) ein Theorem über die von Gordan als Formen W bezeichneten Covarianten, nämlich eine obere Grenze für deren Ordnung in den Coefficienten, in der zweiten Note für irgend eine Covariante eine obere Grenze für deren Grad in den Variabein. Die ebenda angegebene obere Grenze für die Ordnung in den Coefficienten ist in der Note nicht recht verständlich, da für die vorkommenden ansteigenden Zahlen p n , p„_i, • • • selbst keine obere Grenze angegeben ist. Nr. 0 . JORDAN.

Théorème sur la composition cles covariants.

0 . R. L X X X I . 495-498.

Um aus den beiden endlichen Formensystemen von zwei binären Formen das simultane System dieser zwei Formen abzuleiten, hat H. Gordan die beizubehaltenden Ueberschiebungen durch die kleinsten Lösungen zweier diophantischer Gleichungen definirt (vgl. das obige Referat über Gordan's Programmschrift pag. 50). H. Jordan leitet hier aus diesen selben Gleichungen noch weitere Grenzen für die beizubehaltenden Ueberschiebungen ab. Nr. A.

CLEBSCH. Sulla teoria delle forme binarie del sesto ordine e la trisezione delle funzione iperellitticlie. Brioschi Ann. (2) VII. 89-122.

F.

BRIOSCHI. Traduzione Ann. (2) VII. 123-148.

con note ed aggiunte.

Brioschi

Eine Uebersetzung der Arbeit Clebsch's, welche 1869 in den Abhandlungen der Gott. Ges. d. W., Bd. XIV. (siehe F. d. M. II. p. 66) erschienen ist. Wir schicken eine kurze Inhaltsangabe der Arbeit Clebsch's voraus, indem wir auf das ausführlichere Referat in Bd. II. p. 66 der F. d. M. verweisen. Es handelt sich um das, ursprünglich von Cayley (Quart. J. IX. bei der Frage nach den Curven 3 ler Ordnung mit gegebenen

60

II. Abschnitt.

Algebra.

6 Geraden eines Büschels als Tangenten) aufgestellte Problem: eine binäre Form 6 ' " Ordnung f in die Form f = wa - v* zu transformiren, wenn u eine quadratische, v eine cubische Form vorstellt. Clebsch führt das Problem auf eine Gleichung 40 l e n Grades zurück, die selbst wieder auf eine Resolvente 27 l e n Grades und eine weitere Gleichung 5 l e " Grades führt. Von H. J o r d a n auf die Uebereinstimmung dieser Gleichung mit derjenigen a u f m e r k sam gemacht, welche bei der Dreitheilung der hyperelliptischen Functionen auftritt, giebt Clebsch zunächst die ZurUckführung beider Probleme auf einander. Nach diesem Einblick in die Gruppirung der Wurzeln der Gleichung wird nun der algebraische Zusammenhang zwischen einer Wurzel und allen übrigen untersucht. Es zeigt sich, dass die übrigen 39 Lösungen in zwei Klassen von 27 und 12 zerfallen, und beide Klassen haben zur Resolvente die Hessesche Gleichung 9 , e " Grades. Wir bemerken dabei die A r t , wie sich hier diese Gleichung darbietet, nämlich bei der Lösung des binären Hülfsproblems: In dem Ausdruck 2 Ü-öm|+|3 die lineare Function § so zu bestimmen, dass derselbe ein vollständiger Cubus wird. Das Characteristische bei der Behandlung dieses Problems ist der Umstand, dass Clebsch mit Hülfe der symbolischen Rechnung der Invariantentheorie alle auftretenden Resolventen in fertiger Gestalt wirklich bildet. Der zuletzt erwähnte Theil, das Hülfsproblem, findet sich auch in Clebsch's Buche Uber die binären Formen wiedergegeben. II. Brioschi hat der Uebersetzung fünf Noten angefügt, die sich an die formentheoretischen Untersuchungen der Abhandlung, soweit sie das „Hülfsproblem" betreifen, anschliessen. Sie enthalten theils Zusammenstellungen der benutzten Formeln, theils auch selbständige Betrachtungen, wobei übrigens die Bezeichnungsweise von der in der Abhandlung selbst gebrauchten etwas abweicht. Note 1 giebt eine Zusammenstellung von Formeln aus dem simultanen System der quadratischen Form w und der cubischen

Capitel 2.

Theorie der Formen.

61

Form e; insbesondere die typische Darstellung durch die linearen Co Varianten

P = («»OS q - («?)• Note 2 leitet die Gleichung 9 ten Grades des Hlilfsproblems aus der Bedingung her, dass die Hesse'sche Form der binären Form 2 b - 3 U § + £3 identisch verschwinden muss. Nachdem weiter erwähnt ist, dass das Problem die Aufgabe löst, auf der Curve F=x\ — 3 ux3 + 2v = 0 die Wendepunkte zu bestimmen (indem man x3 = -f- £s®s = £ setzt), wird für diese ternäre Form F die Reciprokalgleichung, ausgedrückt in dem simultanen System von u und v, gegeben. Note 3 giebt einige weitere Covarianten von F durch das System von u und v, liefert sodann nochmals die Gleichung 9,e" Grades, ebenso deren Resolvente 4|P" Grades, die Gleichung für die Wendepunktdreiseite; übrigens unter Voraussetzung einiger Formeln aus der Theorie der ternären cubischen Formen. Note 4 giebt sodann die Zerlegung der Form oF-\-3H (ff die Hesse'sche von F), unter der Bedingung der Existenz jener biquadratischen Gleichung für (z) gehörigen elliptischen Functionen aufgestellt, als das Integral der Differentialgleichung 3 f n' und es sei L" der kleinste mn, —tili Werth u. s. w. So erhalten wir eine Reihe L, L', L" •• • von wachsenden Zahlen. In Bezug auf die zweite Gleichung bilde man ebenso die Zahlen A, -Ä', A", • • • Man ordne alle Zahlen L und A nach ihrer Grösse, mit der kleinsten beginnend, so entsteht eine Reihe, die abwechselnd aus Gruppen von Zahlen L und Zahlen A besteht. Von jeder dieser Gruppen, die erste ausgenommen, nehme man die erste Zahl und von den beiden Paaren von Zahlen m, a, resp. /u, a, die in ihrem Ausdrucke vorkommen, diejenige, welche den kleinsten Index hat. So hat man eine Reihe von Zahlenpaaren CM 9 ,A q ), (A/,, A^. Zu diesen fügt man hinzu das Paar mit

II. À b s c h u i t t

72

Algebra.

grösstem Index, welches in der letzten Zahl der vorletzten Gruppe auftritt. Die Summe £(MiAi+l — Ml+1Ai') ist dann der gesuchte erste Schnittzuwachs. Von dieser Regel wird eine Anwendung gemacht, um die Erniedrigung der Klasse zu bestimmen, die durch einen vielfachen Punkt einer Curve bedingt ist. Ist p die Ordnung der Vielfachheit, so ist diese Erniedrigung gleich p(p — 1 ) + einer Summe von Gliedern, von welchen j e d e mehreren Zweigen gemeinsame Tangente eines liefert. Das Glied derjenigen Zweige, welche die y-Axe berühren, wird gefunden, wenn man wieder P a a r e MiA, bildet und zwar indem man dafür grade die Zahlen m, a nimmt, die in den Zahlen L auftreten und damit die Summe -an-\-Z(.Äs^Ms—AsMs+0 bildet, in der an die letzte der Zahlen a ist. Im letzten Theile der Abhandlung endlich ist gezeigt, wie man sich in den Fällen, in welchen der Hauptsatz, der angeführt wurde, Ausnahmen erleidet, durch wiederholte Transformationen helfen kann. Lth.

Sur une application de la théorie des substitutions à l'étude des équations différentielles linéaires.

C. JORDAN. Bull, s

M. P . I I

100.

Das in der Abhandlung durchgeführte Problem ist bereits (F. d. M. VI. 204) angegeben. Der Herr Verfasser zeigt zuerst an den Resultaten der Herren Fuchs und Frobenius die Anwendbarkeit der Substitutionstheorie auf lineare Differenzialgleichungen und geht dann zu dem Problem Uber: Es sollen alle Scharen von Functionen X, Y, Z • • • bestimmt werden, welche durch die Substitutionen der gegebenen Gruppe G in lineare Functionen der X, Y, Z • • • übergeführt werden. Die Untersuchung nimmt den Weg, dass die eine der Substitutionen A auf ihre Nonnalform (vgl. J o r d a n , Traité des substitutions etc. L. II. C. 2) gebracht wird. Dadurch zerfallen die Variabein der Substitution in einzelne Klassen, die Functionen selbst treten in einfacher Form auf, und es ist eine Réduction auf dasselbe Problem mit weniger Veränderlichen möglich. No.

Capitel 3.

C. «JORDAN.

Elimination u. Substitution, Determinanten etc.

Memoire

73

sur les g r o u p e s primitifs.

Bull. s.

M. F. I. 175-221.

Wählt man aus einer primitiven Gruppe irgend eine Substitution A von Primzahlordnung, so kann man aus den zu ihr ähnlichen AA"--Glied

eine solche

hinsichtlich

Reihe

des vorhergehenden

stens ein neues Element enthält.

auswählen, dass jedes in jedem

Cyclus höch-

Auf diesen Hülfssatz wird der

Beweis des Theorems gestutzt, dass eine primitive Gruppe, welche eine Substitution

von Primzahlordnung p zu q Cyclen

enthält,

die alternirende Gruppe umfasst, wenn ihr Grad eine gewisse Grenze pq + cp(q) überschreitet, so oft p grösser wird als eine gewisse Grenze f(q).

Dem Beweise dieses Satzes und der Be-

stimmung der Functionen q> und f ist die Arbeit gewidmet.

Es

ergiebt sich 2q gO?)^ während f{q)

logg + 2g,

l o g 2

grösser als der grösste der drei Werthe

18; 3.7 + 2; -J^-logq ist.

+

q+1

Hieraus folgt als Anwendung: Ist q eine Zahl < 6 ,

Primzahl >q,

p eine

dann kann der Grad einer primitiven Gruppe G,

welche eine Substitution der Ordnung p von q Cyclen

enthält,

nicht grösser sein als pq + q -+- 1, ohne die alternirende Gruppe zu umfassen. C. JORDAN.

No. Sur

non alternés.

la

limite

de

transitivité

des

groupes

Bull. S. M. P. I. 40.

Die Abhandlung enthält die Beweise der bereits B. V. S. 87 besprochenen schönen Resultate.

Sie stützen sich auf das B. IV.

S. 56 mitgetheilte Theorem des Herrn Sylow.

No.

Ueber die gegen einander vertauschbaren Substitutionen. Denfeschr. d. P . G V I I . (.Polnisch.)

M . A . BARANIECKI.

Eine kurze Darstellung der Theorie der Substitutionen, nach welcher der in der Aufschrift genannte Gegenstand folgt.

Die-

II. Abschnitt.

74

Algebra.

ser zweite Theil enthält die Untersuchung, welche der Verfasser in seiner Doktordissertation (Leipzig 1871 siehe F. d. M. III. 4P) dargelegt hat, und wo er eine Ungenauigkeit in der von Cauchy und Serret aufgestellten Theorie dieser Sub'stitutionen berichtigt. Dn.

P . MANSIÓN.

Principes de

d'aprés B a l t z e r et S a l m ó n , 179-192. (Als Separatabdruck Mauceaux, Möns)

la tliéorie des

déterwinants

N. C. M. I. 100-111, erschienen

bei

Hoste,

HÖ-155, Gent und

In etwas einfacherer Weise als bei Baltzer werden hier die elementaren Sätze der Determinantentheorie behandelt. I. Principien. Die Definition der Determinante ist in einer Form gegeben, die ohne Weiteres die Ausdehnung auf cubische und höhere Determinanten gestattet. II. Rechnung mit Determinanten. Aus der Bezeichnung (aftc) tlir £ + a i b . c j ergiebt sich sehr leicht der Beweis der Multiplicationsregel. III. Anwendung auf die Lösung linearer Gleichungen und die Elimination bei linearen Gleichungen, sowie bei zwei Gleichungen beliebigen Grades nach der Methode von Cauchy. Der Separatabdruck enthält ausserdem die dialytische Methode für die Elimination, den schönen Beweis von Janni fllr das Bezout'sche Theorem, endlich die Eigenschaften der Determinanten, die den Werth Null haben, ebenfalls nach Janni. Mn. (Wn.)

R.

BALTZER. ten.

T h e o r i e und A n w e n d u n g der

Determinan-

4 , e verb. Aufl.

In der neuen Auflage dieses mustergültigen Werkes findet m a n neben zahlreichen Verbesserungen und Ergänzungen eine neue Mittheilung des Herrn Rosanes Uber die linearen Substitutionen, durch welche eine quadratische Form in sich selbst transformirt wird, und eine solche des Herrn Mertens Uber die Bestimmung des Kreises, der drei gegebene Kreise einer Ebene berührt. St.

Capitel 3.

S.

GÜNTHER.

Studirende.

Elimination u

Lehrbuch Erlangen.

75

Substitution, Determinanten etc.

der

Determinantentheorie

für

Bezold

Der Zweck dieses Lehrbuches, den Studirenden das Studium der Determinantentheorie durch eine ausführlichere, bequemere Darstellung zu erleichtern, kann im Allgemeinen als erreicht bezeichnet werden.

Die aufgenommenen Anwendungen sind zahl-

reich und mannigfach, namentlich bieten die Kettenbruch-Determinanten einen zweckmässigen Uebungsstofi dar.

Im Einzelnen

besitzt die Darstellung aber nicht immer die wtinschenswerthe Correctheit und Vollständigkeit.

Dies gilt insbesondere von der

Behandlung der linearen Gleichungen, ferner von den geometrischen Anwendungen,

wo auf das Zeichen der Dreiecksflächen

hätte Rücksicht genommen werden sollen, von dem Artikel Uber orthogonale Substitutionen, von welchen nur die mit positiver Determinante betrachtet werden.

G.

FRIEDLEIN.

Recension

St.

zu G ü n t h e r ,

Determinantentheorie für Studirende.

Lehrbuch Bayr. B l .

xi.

der

185-187.

Eine ausführliche Besprechung des Lehrbuchs des Referenten, welche besonders durch zahlreich eingestreute didaktische und geschichtliche Bemerkungen auch allgemeineres Interesse zu erregen geeignet ist.

Was der Verfasser von Gauss sagt,

soll

demnächst an einem anderen,Orte als unzutreffend nachgewiesen werden; indess hat auch bereits Studnicka in seiner trefflichen Monographie „Augustin Cauchy als formaler Begründer der Determinantentheorie", Prag 1876 (S. 25 ff.) darauf hingedeutet, wie unrecht man daran thäte, in Gauss den Schöpfer des Determinanten-Calculs zu erblicken. H.

Gr.

Bemerkungen Uber symmetrische Determinanten und Anwendung dieser auf eine Aufgabe der analytischen Geometrie, s c h l ö m i l c h z. xx. 467-474. SEELIGER.

J e d e Potenz einer symmetrischen Determinante wieder als symmetrische Determinante darstellen.

lässt sich

Dasselbe gilt

II. Abschnitt.

76

Algebra.

von jeder verschwindenden Determinante zweiter Ordnung. Wenn eine symmetrische Determinante w,pn Grades nebst n — 2 Hauptunterdeterminanten vom (n— l) l e " Grade verschwindet, so verschwinden im Allgemeinen alle Unterdeterminanten dieses Grades. Ist von zwei Determinanten raten Grades eine Null, so verschwinden alle Unterdeterminanten («— l) te " Grades derjenigen Determinante, welche ihr Product darstellt. St.

M. A L B E G G I A N I . Sviluppo di un determinante ad elementi polinomi. Battaglini G. XIII. 1-32 Bereits in, einer früheren Note hatte der Vefasser nachstehenden Satz bewiesen: Es ist die durchweg aus Binomen als Elementen zusammengesetzte Determinante 2± («1,1 + bi.O («2,2 + 62,0 •• (m) die Anzahl der Zahlen, welche kleiner als m und relativ prim zu m sind, ferner d, d', d". .. die Reihe der Theiler von m (1 und m eingeschlossen), so ist bekanntlich m = ç,(d) + ?r

+ Tr)!,

wo T) = p + qtJ, p und q die kleinsten Lösungen der Gleichung x* — ny' == l, o endlich irgend ein specieller Werth von« ist. 0. H.

HART. XXIII. 107.

Solution of a question

(4520).

Educ. Times

Lösung der Gleichung x ' — 953y* = + 1 in ganzen Zahlen. 0. A . MARTIN and H . HART. Educ. Times XXIV. 39-46.

Solution of a question (3156).

Bestimmung einer positiven ganzen Zahl x, welche 9 4 a ; ' + 5 7 x + 34 zu einem Quadrat macht.

0.

Capitel 1 A.

97

Zahlentheorie.

Correction of a n error in Barlow's

MARÍIN.

of n u m b e r s .

Analyst II

theory

140-14¿.

Die kleinsten Werthe, welche der Gleichung x1 — öG58y'

=

1

genügen, sind x = 1284836351, y = 17081120, und nicht die in Barlow's Theory of numbers p. 299 angegebenen. Glr. (O.) J. NEUBERG.

Questions d'analyse indéteriuinée.

N. C M.

I. 169-175.

Zu verschiedenen elementaren, in den Nouv. Ann. (1874 S. i l l , 296, 289, 340) gestellten Aufgaben werden hier einfache Lösungen gegeben. Mn. (Wn.)

P. B A C H M A N N . XX

Arithmetische Kleinigkeiten.

Schlömilch

z.

159-163.

1) Der Gleichung x ' + y' = z* genügen ganzzahligen Werthe x — m' — «',

y =

2mn,

z =

bekanntlich

alle

m* + «a.

Fügt man die Bedingung x—y = !, z > 0 hinzu, so findet man alle ganzzahligen Werthe, indem man in der Gleichung x + y-j-s/2 = (/2±1) (3+2/2)» für alle ganzzahligen Werthe des k das Rationale vom Irrationalen trennt und mit der Gleichung x — y — 1 verbindet; 2) Beweis des in Question 1135 (siehe p. 84) angegebenen Satzes. 0. PÉPIN.

N o t e sur u n e question ( 2 0 6 ) . Nouv. Ann. (-2) x i v . 63-60.

E x t r a i t d'une lettre

de Mr. Genocelii.

Nouv. Ann.

2)

xiv.

178-179.

Es handelt sich um die rationale Lösung der Gleichungen 0. Furtichr. J

Matti.

MI.

1.

7

III. Abschnitt.

98

W . A . WHITWORTH. XXIX

Zahlentheorie.

Pythagorean triangles.

Proc. o f L i v e r p

237-249

Zusammenstellung der bekannten Sätze Uber die Pythagoräiscben Dreiecke und die Art ihrer Bildung. Angefügt ist eine Tafel aller Pythagoreischen Dreiecke, deren Hypotenusen kleiner als 2500 sind (im Ganzen 395). Glr. (0.)

H.

St.

MONCK.

Solution of a question (4229).

Educ Times

X X I V . 36-39.

Es handelt sich um die schon vielfach gelöste Aufgabe, rationale ebene Dreiecke zu finden, deren Seiten ganzzahlig sind, und so beschaffen, dass sich 2 derselben um die Einheit unterscheiden. Ferner werden einige merkwürdige Eigenschaften der allgemeinen Pythagoräischen Dreiecke daraus gefolgert. M.

Rational formulae for the sides, perpendiculars, and areas of triangles. Educ. Times xxin. 108.

H . HART.

Die hier gegebenen Ausdrücke sind insofern allgemeiner als die bekannten, als darin '2 neue Grössen a, b vorkommen, die ganz beliebig variirt werden können M.

Kurze Notiz zu dem Aufsatze des Herrn M. CÜRTZE. H.Rath, „Die rationalen Dreiecke" (Arcli. LVI. 188ff.). Grunert Arch. LVII. 216-217.

Herr Curtze bemerkt, dass eine grosse Anzahl der Sätze, die in dem genannten Aufsatze des Herrn Rath gegeben sind, schon in der Mitte des X. Jahrhunderts von den Arabern ausgesprochen und bewiesen sind (sieheF.d.M.VI.p. 105). M.

S. B I L L S .

Solution of a question (4658;.

Educ.

rimes x x i v .

52-53.

Bestimmung von n Zahlen, die so beschaffen sind, dass wenn

Capitel 1.

Allgemeines.

99

der Cubus ihrer Summe zu j e d e r addirt wird, die Summen Cuben sind.

F ü r n = ß wird z. ß. gefunden:

0.

Aehnliche Aufgaben mit Lösungen von H . HART, A. MARTIN, S. BILLS und S . TEBAY finden sich: Educ. Times XXIII. 82, XXIV. 28, 55. 0.

Mathematical notes.

P . G . TAIT.

Proc. of Edinb.

vn. 144.

18701)

J e d e r Cubus ist die Differenz zweier Q u a d r a t e ,

kleinstes durch 9 theilbar ist. -y3

2 ) Wenn

z\ so ist (x3 + z')3 y3 + {x3 -z3)'

=

deren

z3 =

(s'-fyT®1-

Dies liefert einen einfachen Beweis für die Unmöglichkeit, 2 ganze Zahlen zu finden, deren Cubiksumine ein Cubus ist. Glr. ( 0 . )

E. LUCAS.

Questions d'analyse indéterminée.

Nouv. Ann.

(2) XIV. 526-527. W e n n ( x , y, z) eine ganzzahlige Lösung der unbestimmten Gleichung Axa i By3 + Cz3±Dxyz darstellt,

=

0,

so erhält man eine neue Lösung ( X , Y, Z)

mit Hülfe

der Gleichungen: x

y

z

i

»

i

Und aus zwei verschiedenen Lösungen ( x , y, s) und (X, Y, Z)

der

obigen

die

Gleichung

ergiebt

sich

eine

dritte (£, rj, Ç) durch

Gleichungen: 7*

100

III. Abschnitt.

AXx§+BYyjj

und

Zahlentheorie.

+ CZzZ = 0,

| ( F z - Zy)+T](Zx - Xz) + £ - Yx) = 0. Die übrigen der gestellten Aufgaben sind bekannt und ohne Interesse. Schi. H.

HABT.

Solution of

a question

(3614.)

Educ. Times

xxiv

35-36.

Es werden allgemeine rationale Ausdrücke für a, b, x bestimmt, die der Gleichung Ax* -f 4xas + 4xb -f ab = 0 genügen. 0. C. M O R E A I . Solution d'une question ( 1 1 6 8 ) . Nouv Ann (•2) XIV. 33fj. Es handelt sich um die Aufgabe, die Gleichung i ' + x ' + i ' - f - ^ - f i = y' in ganzen positiven Zahlen zu lösen. M. F. LUKAS. Beweis, dass xn-\-yn = z" für « > 2 in g a n z e n Z a h l e n nicht auflösbar sei, nebst einer n e u e n kurzen A u f l ö s u n g für n = 2. Grunert Arch. L V I I I . 109-112 Der auch hier missglückte Beweis des schon von Fermat gefundenen Satzes (s. Baltzer: Elemente der Mathematik 1.261) gipfelt in der irrthlimlichcn Behauptung, dass die Bedingung — — a'4-b"2n ab = einer ganzen Zahl, n nur für n = 1 und n = 2 möglich sei. M.

G.

KEUSCHLE.

aus

Wurzeln

Tafeln complexer P r i m z a h l e n , w e l c h e der Einheit gebildet sind. Berlin. 4°

Dümmler L . KRONECKEK.

Reuscllle.

B e m e r k u n g e n über das Werk des Herrn

Berl Monatsber

1875. 230-23».

Herr Krouecker äussert sich Uber das Werk von Reuschle I. c. folgendermassen: „Das gesammte Material ist in sachgemässer Weise nach

Capitel 1

101

Allgemeines

dem Grade der Einheitswurzeln in fünf verschiedene Abtheilungen gesondert; die erste derselben bezieht sich auf diejenigen Gradzahleu des ersten Hunderts, welche Primzahlen sind, die zweite auf die Primzahlpotenzen 9, 2ö, :'7, 49, 81 und die dritte auf alle andern zusammengesetzten ungraden Zahlen bis 105; die vierte Abtheilung enthält die Gradzahlen 4, 8, 16, 32, 64, 128, und endlich die fünfte alle übrigen durch 4 theilbaren Zahlen bis 100- Für eine grosse Anzahl realer Primzahlen des ersten Tausend finden sich die complexen Primfactoren selbst, sofern sie wirklich sind, in den Tafeln vor, und in den einfacheren Fällen sind auch die niedrigsten wirklichen Potenzen idealer Primfactoren darin aufgenommen. In allen andern Fällen sind zusammengesetzte complexe Zahlen in grösserer oder kleinerer Anzahl aufgeführt, deren Normen die zu zerlegenden Primzahlen enthalten. Es sind ferner auch für jede Art der Einheitswurzeln die Perioden nebst deren Relationen und endlich auch die Congruenzwurzeln angegeben, welche den Wurzeln der Einheit, resp. deren Perioden entsprechen, sofern die einzelnen Primzahlen der hierher gehörigen Gruppe als Moduln angenommen werden." No. W.

W . JOHNSON. Analyst II. 9-11.

On the distribution of

primes.

Zusammenstellung des Inhalts von Glaisher's Primzahltafel, •

^

/

logic Siehe Brit. Ass. Repert. 1872, F. d. M. IV. p. 70. Glr. (0.) W. S H A N K S . On the number of figures in the reciprocal of each prime number between 3 0 0 0 0 and 40000.

rechnet ist.

Proc. of London X X I I I . 200-261

Enthält Verbesserungen zu den früheren Tafeln. Es wird bemerkt, dass die neuen Tafeln aufbewahrt werden in den Archiven der Gesellschaft. (SieheF.d.M.VI.97). Cly. (0.)

102

III. Abschnitt.

Zahlentheorie.

Capitel 2. Theorie der Formen. L.

KRONECKER. Ueber quadratische Formen von negativer Determinante. Berl. Monatsber. 1875. 233-236.

Aus der Untersuchung der elliptischen Functionen, für welche complexe Multiplication stattfindet, hatte Herr Kronecker zur Summation von Reihen von Klassenzahlen 2 F ( n — a > ) acht Formeln gefunden und im LVII. Bande des Borchardt'schen Journals veröffentlicht. Die erwähnten Summen werden durch elementare Divisorensummen ausgedrückt; jene Formeln sind die einzigen, welche aus der Theorie der singulären Moduln dadurch erlangt werden können, dass man in irgend welchen Modulargleichungen die beiden Moduln einander gleich setzt. Alle diese sind, wie Herr Kronecker (Berl. Ber. 1862) anlässlich einer Publication des Herrn Hermite (C. R. 1861) zeigte, analytisch aus einer unter ihnen ableitbar, arithmetisch sind sie dagegen von einander unabhängig. In jenem Aufsatze ist ¿skF{n—h'>) (e® = 1) nur für n = 3 mod. 4 zu entnehmen; in dem vorliegenden wird eine neue Quelle aufgedeckt, aus welcher die Summe auch für die Fälle w = l und = 2 mod. 4 fliesst. Es ist aber hierfür der Werth nicht mehr in so einfacher Weise ausdrückbar, wie in den früheren Formeln. Es tritt eine zahlentheoretische Function S2(n) = ¿m auf, bei der die Summe auf alle Zahlen m = 1 mod. 4 zu erstrecken ist, für die n = il-\-m> ist; dabei ist die Zahl m sovielmal zu nehmen, als es zugehörige Werthe von l giebt, also ein- oder zweimal, jenachdem / = 0 oder > 0 ist. Die neuen in dieser Abhandlung erhaltenen Resultate unterscheiden sich daher wesentlich von den früheren. Aus dem Umstände, dass jene ersten Formeln alle auf dem angegebenen Wege erreichbaren umfassen, musste folgen, dass aucli die von Herrn Hermite in den C. R. 1861 abgeleiteten sich aus den Kronecker'schen durch Combination darstellen lassen, und in der That wird in dieser neuen Arbeit auch der explicite Ausdruck für jene gegeben. No.

Capitel 2.

Theorie der Formen.

103

Sur certains nombres complexes compris dans la formule a + b^^C. Liouville J. (3) I. 317-372.

PEPIN.

Handelt es sieb um die Lösungen der Gleichung X1 -f CJ/2 = 5'" in ganzen Zahlen, die zu einander relativ prim sind, so folgen unter der Voraussetzung, dass zur Determinante — c nur eine Klasse quadratischer Formen gehört, sämmtliche ungraden Werthe von s aus der Formel * = P2 + cq\ diejenigen filr x und y aus (P + q}'~c)m = x + yi~c. In ähnlicher Weise erhält man die Lösungen von x' + cy* == Am Bn. .. und cy' = Hzm. Denn die Form für z folgt unmittelbar aus der Voraussetzung; und mit deren Hülfe ergiebt sich gleichfalls, dass alle Werthe von x und y erlangt werden, indem man den reellen und den imaginären Theil von (p-\ q\!—c)m trennt. Existiren aber auch für — c als Determinante mehrere Klassen, so sind doch ähnliche Resultate möglich, wenn nur jedes Genus eine einzige Klasse enthält. Denn in x® -J- cy* = gehört dann die ungrade ,m 1 Zahl a + dem Hauptgenus an, z aber offenbar demselben; folglich auch beide der gleichen Klasse, d. h. es ist z = p*-j-cg'. Ist ¡c' + cy' = z2'" zu behandeln, so wird jedenfalls z1 wie z7'" zum Hauptgenus gehören. Auch für die Formen ax* -f- cy' werden unter gewissen Beschränkungen entsprechende Sätze abgeleitet und damit die Anwendungen beschränkt, gerechtfertigt, und erweitert, welche von Euler, Legendre und Dirichlet in der Theorie der unbestimmten Gleichungen von derartigen Formen gemacht waren. Im zweiten Abschnitte der Arbeit wird eine Anwendung der Theorie auf die Gleichung x*-\-cri2" = z3 gegeben; c ist = 1, 2, 3, 4, 7 vorausgesetzt. Für diese Determinanten ist die Klassenzahl 1; es kann daher die Gleichung nach den obigen Principien behandelt werden. Da sämmtliche Lösungen sich aufstellen lassen, so ergiebt sich eine Fülle von Sätzen Uber die

104

III. Abschnitt.

Zfthlontheorie.

Unmöglichkeit der Darstellung von Cuben in gewissen Formen. Eine andere Anwendung hatte Herr Pepin schon in seinem Memoire Uber die Zerlegung einer Zahl in zwei rationale Cuben (F. d. M. II. 1870, 283) gegeben. Hier werden die Untersuchungen aufgenommen und die Gleichungen x ' + y 3 = az' durch Zerlegung der linken Seite dem Angriffe der früheren Sätze zugänglich gemacht. So zerfällt z. B. x 3 + y 3 = 14 z 3 in

Für o = 14, 21, 38, 76, 39, 57 werden die Beispiele durchgeführt. (Vgl. hiermit F. d. M. VI. 124—125: Grube, Üeber einige Euler'sche Sätze aus der Theorie der quadratischen Formen.) No.

Capitel 3.

Kettenbrüche. A.

Die allgemeinen Kettenbrücke und ihre wichtigsten Eigenschaften. P r . Siegen. KÄMPER.

Was der Verfasser unter einem „allgemeinen" Kettenbruch versteht, wild der Leser errathen müssen; Auskunft darüber wird nicht ertheilt. Man entnimmt jedoch dem Texte als wahrscheinlich die Thatsache, dass ein solcher allgemeiner Kettenbruch nicht etwa eine Verallgemeinerung — z. B. im Sinne Jacobi's oder Fürstenaus — repräsentirt, sondern lediglich die Form a, b, + ..., wohl iui Gegensatze zur „reducirten" Form, wo o, = a a = ... = 1. Die Abhandlung beschäftigt sich fast ausschliesslich mit deu ersten Elementen der Kettenbruchlebre und ist im Allgemeinen

Capitel 3.

Kettenbriiche

105

klar und nach richtigen didaktischen Grundsätzen abgefasst, bietet aber doch Gelegenheit zu einzelnen Einwürfen. So heisst es (S. 1): „Unter den unendlichen KettenbrUchen sind vorzüglich merkwürdig die periodischen' - ; giebt es denn nicht auch endliche und zugleich periodische Kettenbrüche? Für die independente Darstellung der Näherungswerte scheint der Verfasser (S 9) nur die jetzt doch antiquirte Methode Hindenburg's zu kennen; oder glaubt er an seine Schüler keine höheren Anforderungen stellen zu dürfen? — Ueber das übliche Pensum geht hinaus § 1 1 : „Verwandlung der Kettenbrüche mit negativen Theilzählern und Theilnennern in solche mit positiven Theilzählern und Theilnennern". Gr. S . GÜNTHER.

tenbrüche.

Das independente Bildungsgesetz der KetWien. Denkschr. XXXVI. 187-194.

Es wird eine einfache und bequeme Methode ftir die Berechnung derjenigen Coefficienten gegeben, welche in der nach den Potenzen des Diagonalgliedes geordneten „ KettenbruchDeterminante" auftreten. Die Determinante ist dabei so zubereitet, dass die Diagonalglieder einander gleich sind. No.

L.

SCHENDEL. Ueber eine Borchardt J. LXXX. 95-96

Kettenbruchentwickelung.

Nach Gauss'schem Vorbild wird der Quotient der beiden hypergeometrischen Reihen F{a+l,ß,y,x) F(ß+l,ay,x)

iu Form eiues unendlichen Kettenbruches dargestellt. Durch Spccialisirung ergiebt sich somit auch ein solcher für den Ausdruck x 4- 1

^ log — — - .

Für diesen kennt man aber bereits eine anderweite

mit den Kugelfunctionen Kettenbruchentwickelung, dass eine entsprechende Kettenbruch existire. In

in unmittelbarster Beziehung stehende und es liegt also die Vermuthung nahe, Relation auch für den ersterwähnten der That lässt sich dessen n (er Nähe-

106

III. Abschnitt.

rungszähler durch P*(x)

Zalilentheorie.

und Pn+7(x),

der nle Näherungsnenner Gr. durch ß " ( x ) und Ä"+ 5 (x) linear darstellen.

M. A. Baraniecki. Entwickelung des Quotienten der vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung in einen Kettenbruch. Denkschr. d. P . G. V i r (Polnisch.)

Ausgehend von der bekannten Entwickelung des Verhältnisses der beiden hypergeometrischen Reihen F(a + 1, ß, y, x) und F(a, ß,y,x) giebt der Verfasser die folgende Entwickelung F E'

1 ~

l - j k ^

j

it'

1 — fak* u. s. w . , wo F' =

E

(

I)' i/

du

M'Xl—ÄV)

Tt

4

m,

' = / V I)

Dn.

Vierter Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Combination slehre. CH. RUCHONNKT. Paris.

Éléments de calcul approximatif, 2me éd.

Ganthier-Villars.

M. VACHETTE.

Permutations

rectilignes

de 2 q lettres

égales deux à deux, où trois lettres consécutives sont toujours distinctes. Nouv. Ann. (2) XIV. 299-308, 337-349. M. VACHETTE.

Permutations

rectilignes de

3q

lettres

égales trois k trois, quand deux lettres consécutives sont toujours distinctes.

NOQT. Ann. (2) X I V . 438-457.

Fortsetzung und Erweiterung der im X I I I . Bande der Nouv. Ann. enthaltenen Untersuchungen über Permutationen, Uber welche im V I . Bande Berechnung

dieses Jahrbuchs p. 137 referirt worden ist.

Zur

der Anzahl der geradlinigen Permutationen von 3 q

Elementen, von welchen j e 3 einander gleich, aber 2 aufeinanderfolgende von einander verschieden sind, dienen ähnliche Formeln, wie die in dem erwähnten Referate mitgetheilten.

J. M . DE TILLY.

Note

sur

le

Schi.

principe de la moyenne

arithmétique et sur son application à la théorie mathématique des erreurs. N c. M. i. 137-147. J. M. DE TILLY.

Théorie

mathématique

(Balistique, p. 155-225). Bruxelles. Muquardt.

des

erreurs

10y

IV Abschnitt Walirscheinlichkeiisreiuuung u. Combinationslehre

Die zweite der obigen Arbeiten enthält eine sehr klare Darstellung der Theorie der Beobachtungsfehler nach Gauss Wir heben besonders hervor die Definition der constanten Fehler, der unregelmässigen, der gemischten Fehler, welch letztere von Quetelet und Liagre regelmässige Fehler genannt werden, die Begründung der Methode der kleinsten Quadrate durch elementare Schlüsse, sodann verschiedene Betrachtungen Uber das arithmetische Mittel und ähnliche Principien (p. 161, 203). Die andere Arbeit bildet eine Ergänzung dazu Es sind darin die Principien der verschiedenen Theorien der Fehler mit vielem Scharfsinn verglichen. I. Die Methode von Hagen nimmt bei der Darstellung der Fehlertheorie fälschlich an, dass nach einem positiven Fehler die Wahrscheinlichkeit für einen positiven oder negativen Fehler gleich gross ist. Die Methoden von Gauss und Laplace haben ein gemeinsames Postulat, das der Existenz einer analytischen Function von x, welche die Wahrscheinlichkeit eines zwischen Null und x liegenden Fehlers darstellt. Die Methode von Gauss nimmt ferner die Richtigkeit des arithmetischen Mittels als Postulat an; die von Laplace setzt voraus, dass die Kegel der kleinsten Quadrate, welche nur für eine unendliche Zahl von Gleichungen richtig ist, auch für eine begrenzte Zahl von Werthen richtig bleibt. Beide Postúlate sind äquivalent. II. Das Princip des arithmetischen Mittels folgt für eine unendliche Zahl von Werthen unmittelbar aus der Definition der zufälligen Fehler. Man kann dasselbe für zwei Werthe beweisen, indem man von dem Postulat der Existenz einer Wahrscheinlichkeitsfunction ausgeht. Ist dies Princip ferner für drei Werthe richtig, so kann man daraus die Methode der kleinsten Quadrate, und daraus wieder die Richtigkeit des arithmetischen Mittels für eine beliebige Zahl von Werthen ableiten. Die Richtigkeit des arithmetischen Mittels für drei Werthe ist nicht beweisbar, denn es führt auf folgendes Gesetz für die Wahrscheinlichkeit: h7i'^e~ h ' z \ Das Gesetz der Natur könnte j a aber ein anderes sein. III. Schwierigkeiten hinsichtlich des Maasses für den mittleren Fehler eines Mittelwertes. Mu. (Wn.)

IV. Abschnitt

J.

V.

W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g a. C o m b i n a t i o n s l e h r e .

Sur le principe de la moyenne

Schiaparelli.

arithmétique.

J 09

Astr. Nachr

L X X X V I I . 55-08.

Der hier gegebene Beweis des Satzes vom arithmetischen Mittel aus einer Reihe von n gleich genauen Messungen at...an einer und derselben Grösse stützt sich auf folgende Sätze. 1) Die Function F(a, . . . an) der n Grössen, welche den plausibelsten Mittelwerth aus den n Messungen liefert, muss stets denselben Betrag ergeben, welche Maasseinheit man auch zu Grunde lege; daraus folgt die Bedingung d F 1

da,

d F

j. + ••• „s »" " öa 5 nr -= "

n

F F

-

2) Denkt man sich F und die a als Abscissen von Punkten einer Geraden, so muss die Lage von F unabhängig sein von der Wahl des Nullpunktes; daraus folgt unter Anwendung des Taylor'schen Lehrsatzes dan

da,

3) Man muss stets dieselbe Aenderung von F erhalten, welche der Grössen a, . . . an man auch um eine beliebig kleine Grösse e variiren lässt; daraus folgt dann dF dat

_

_ dat

_ ''

dF dan

Diese drei Bedingungsgleicliungen führen dann offenbar sofort zu dem Satze, dass F das arithmetische Mittel der a ist. B.

J.

Vergleichung von zwei Wertben des wahrscheinlichen Fehlers. A s t r Nachr L X X X V I I . 209-220. L ü r o t h .

Die beiden zu vergleichenden Werthe des wahrscheinlichen Fehlers einer Unbekannten, welche nach der Methode der kleinsten Quadrate aus m Gleichungen mit n Unbekannten (»i>«") bestimmt ist, werden erhalten, der eine nach dem gewöhnlich angewandten Verfahren, der andere, indem man die Wahrscheinlichkeit sucht, dass die betreffende Unbekannte zwischen zwei gegebenen Grenzen liege, während die andern Unbekannten und

1 IQ

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinatiouslehre.

das Genauigkeitsmaass alle möglichen Werthe annehmen. Der Quotient der beiden wahrscheinlichen Fehler r, und' RJ hat die Form R

>

Qp

=

wo p = m—n,

l/p 2

r

Q = 0.47694...

oder die Wurzel der Gleichung ist, und Qp der Gleichung

0

*dxe~

dx

i = A , f * 0

2

(l 4-

(p-i)(p-3y.4'23.i i»-*-

( ^ V - s y .

3

: ^

(pgrade)

cf-B—>

genügt. Durch ein nicht ganz nahe liegendes Verfahren wird hieraus die sehr einfache Ungleichung

abgeleitet.

L.

NATANI. Winckelmann.

B.

Methode der kleinsten Quadrate.

Berlin.

Ein kurzer Ubersichtlicher Abriss der Methode der kleinsten Quadrate. Im ersten und zweiten Abschnitte werden die zum Verständniss der Methode nothwendigen Sätze aus der Algebra, Integral- und Wahrscheinlichkeitsrechnung entwickelt; im dritten Abschnitte der Zweck der Methode auseinandergesetzt und durch ein Beispiel aus der Praxis der Artillerie erläutert. Der vierte, fünfte und sechste Abschnitt enthalten nun die Ableitung der hauptsächlichsten Formeln, von denen im siebenten interessante Anwendungen gemacht werden zur Berechnung der mittleren Höhen- oder Seitenabweichung eines Geschosses vom Zielpunkte

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u.Combinationslehre.

111

und der Trefffähigkeit eines Geschützes, sowie zur Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit eines Geschosses V = CQl für ein bestimmtes Kaliber. Hinzugefügt sind noch einige Tabellen und ein Anhang über die ballistische Linie (siehe Abschn. X. Cap. 4 A.). Schi.

Note accompagnant la présentation d'une notice autographiée sur la méthode des moindres carrés.

A . FAYE.

C. R. LXXX. 352-357.

Der Verfasser hebt als ihm eigenthümlich den Umstand hervor, dass er in seinen Vorträgen über die Methode der kleinsten Quadrate den bekannten Ausdruck für die Vertheilung der Beobachtungsfehler ohne weitere theoretische Begründung desselben an die Spitze stelle, als ein Gesetz, dessen Gültigkeit sich rein empirisch erhärten lasse an Beispielen, die den verschiedensten Gebieten entnommen sind. B.

Application d'un théorème nouveau du calcul des probabilités, c. R . LXXXI. 417-423. BERTRAND. Kemarque. C R. LXXXI. 458-459. BERTRAND. Addition à la note relative au théorème de M. Bienaymé insérée pag. 458. c . R . LXXXI. 491-492.

BIENAYMÈ.

J. J.

Das genannte Theorem besteht in Folgendem. Es seien n Beobachtungen irgend welcher Art gegeben, und zwar in der Reihenfolge, in der sie gemacht worden sind, dann ist die Anzahl der in der Reihe auftretenden Maxima und Minima oder Sequenzen zwischen den beiden Grenzen 2w—1 , ,/~~Ï6»— 29 — ' 45 3 enthalten, und zwar mit der angenäherten Wahrscheinlichkeit

vorausgesetzt, dass n hinreichend gross ist, um Glieder von der Ordnung — vernachlässigen zu dürfen, und dass die Beobach-

1)2

IV Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung a. Combinationslehre.

tungen sich nicht wiederholen. Die Herleitung ist nicht mitgetheilt, dagegen eine Prüfung jener Formeln an mehreren Beobachtungsreihen von sehr verschiedenartiger Beschaffenheit. Die beiden Noten von Bertrand enthalten eine auf einfache Betrachtungen gestutzte Herleitung des asymptotischen Werthes 2» -7— für die Anzahl der Maxima und Minima einer solchen Reihe. 3 B. H. LAURENT.

Sur la m é t h o d e

des moindres

carrés.

Liouville J. (3) I. 75-80-

Der Verfasser poleuiisirt zunächst gegen die namentlich in deutschen Abhandlungen vorkommende Anwendung der bekannten Exponentialfunction für die Vertheilung der Beobachtungsfehler und gegen Herleitung dieser Function aus dem Princip des arithmetischen Mittels, da letzteres zu absurden Consequenzen führe. Sein Hauptgrund ist, dass bei wirklichen Beobachtungen niemals Fehler vorkommen, die eine gewisse Grenze überschreiten. Die Wahrscheinlichkeit solcher Fehler sei also überhaupt gleich Null. Der Verfasser sucht nun das Fehlergesetz empirisch zu ermitteln aus einer Reihe von 1444 Messungen eines und desselben Winkels mit Hülfe eines Pantomètre à lunette. Das Resultat ist, dass die erwähnte Exponentialfunction sehr wohl als angenäherter Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Beobachtungsfehler angewendet werden darf, und zwar mit um so grösserer Annäherung je grösser die Anzahl der Beobachtungen ist. B. BELLATI.

Intorno ad un modo di semplificare in alcuni

casi l'applicazione del metodo dei minimi quadrati al calcolo delle costanti empiriche. Att. di Ven (5) i.

Jg.

Correction to Mr. Monro's note on the inversion o f Bernoulli's theorem in probabilities. R.

A.

MEES.

Ueber

die

Proc. L

Berechnung

des

M.

s

vi

wahrschein-

lichen Fehlers einer endlichen Z a h l von Beobachtungen.

Schlömilch Z. X X . 145-152.

I V . A b s c h n i t t . W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g n. Combinationslehre. 1 1 3

F. R. H E L M E R T . Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler. Schlömilch z. X X . 300-303. Bekanntlich hat Gauss gezeigt, dass der wahrscheinliche Fehler einer endlichen Anzahl von Beobachtungen mit einem verschiedenen Grade von Genauigkeit gefunden werde, wenn man zu seiner Berechnung die verschiedenen Potenzen der Fehler benutzt, und dass unter diesen verschiedenen Werthen der aus den Fehlerquadraten abgeleitete der sicherste sei. Der Aufsatz von Mees versucht nun zu zeigen, dass in dem Gauss'schen Beweise gewissermassen eine petitio principii liege. Die Note von Helmert enthält eine Zurückweisung dieses Vorwurfes, sowie mehrerer Ausstellungen, welche von Mees gegen die Darstellung dieses Gegenstandes in dem Helmert'schen Buche: „Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate" vorgebracht werden. B.

F.

R.

HELMERT.

schnittsfehler.

Ueber die Formeln für den DurchAstr

Nachr

L X X X V . 353-366.

Sind A die absoluten Beträge der nach der Methode der kleinsten Quadrate ermittelten Verbesserungen von n Beobachtungen, £ der Durchschnitts-, q der wahrscheinliche Fehler, und m die Anzahl der zu ermittelnden Unbekannten, so wird gewöhnlich gesetzt 2 1

$ = -rt

r ,

q = £-0.84535

(Vergl. die Aufsätze von C. A. F. Peters, Astr. Nachr. No. 1034 und von Lüroth, Astr. Nachr. 1740). Der Hauptinhalt des vorliegenden Aufsatzes besteht nun in dem Nachweise, dass die erste Formel nur für in = 1 streng richtig ist, dagegen für » » > 1 im Allgemeinen einen zu kleinen Werth für & liefert, und zwar hat man angenähert V I ..rl i iir .1 M .tli. V I !

1

m

m1

12«

24n2

\ " ' )

2^ B-

114

I V . A b s c h n i t t Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslebre.

CH. M. SCHOLS.

De interpolatie-formule van Tchöbychef volgens de niethode der kleinste Vierkanten. Versi. en Mededeel. IX. 301-311.

Der Beweis, welcher von Tchebychef für die allgemeine Interpolationsformel (Liouville J. (2) III.) gegeben wird, beruht auf der Lehre von den Kettenbrüchen und ist sehr verwickelt. In obigem Artikel wird eine einfachere auf der Methode der kleinsten Quadrate beruhende Ableitung gegeben. G.

P.

Over liet gebruick van determinanter by metkode der kleinste kwadrater. Nieuw Arch i.

VAN GEER.

de

179-18S.

Hier wird gezeigt, wie sich durch die Einführung der Determinanten die Berechnung und Erläuterung der Resultate bei den wichtigsten Aufgaben aus der Methode der kleinsten Quadrate vereinfachen lässt, wie z. B. bei der Auflösung der Normalgleichungen, der Bestimmung der Gewichte der erhaltenen Resultate, der Einführung absoluter Bedingungen. G.

M . SCHOLS. Over de theorie der fouten in de ruimte en in het platte vlak. Verb. v. Amst. xv.

CH.

In dieser Abhandlung wird die Theorie der Beobachtungsfehler in ganz eigentümlicher Weise behandelt, die sich der von Helmert in seinem W e r k : „Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate" und seinen verschiedenen Abhandlungen in Schlömilch's Zeitschrift anschliesst. Doch bebandelt Helmert daselbst allein die Fehler in der Ebene und geht von der doppelten Voraussetzung aus, dass die zusammengesetzten Fehler linear sind und die Folge einer Menge von Ursachen, so dass sie dem Gesetze der Exponenten folgen. In der erwähnten Abhandlung wird von diesen beiden Voraussetzungen gänzlich abgesehen, selbst da, wo zu dem Grenzgesetz übergegangen wird, wovon allein beibehalten wird: die grosse Zahl der Fehler, ohne die mindeste Beschränkung zu machen, weder in Betreff

IV. Abschnitt

Wahrscheinlichkeitsrechnung n CombioationBlehre.

U5

des Gesetzes der zusammengesetzten Fehler, noch in Betreff des gänzlichen oder nienialigen Vorkommens der Fehler in der geraden Linie. Dadurch werden die Resultate, wenn sie auch in der Hauptsache mit denen Helmerts und anderer Schriftsteller Ubereinstimmen, allgemeiner. Der Verfasser behandelt nach einer kurzen Einleitung Uber die geometrische Darstellung der Fehler nach einander die allgemeinen Eigenschaften der Fehler, den resultirenden Fehler und Beine Gesetze und die Grenzgesetze, sowohl im Räume, als auch in der E b e n e , und schliesst mit einigen Beispielen und Anwendungen. G. C . TYCHSEN.

Om Beregningen af Livrenter og

forseknillger.

Livs-

Zeuthen Tidsskr. (3) V. 49-80, 97-126

Obwohl die mathematische Theorie des Lebensversicherungswesens noch in vielen Punkten einer rationelleren Behandlung als bisher bedarf, so hat dieselbe doch in neuerer Zeit, besonders durch Einführung von Woolhouse's sogenannter continuirlicher Methode, nicht unwesentliche Verbesserungen erhalten. Herr Tychsen giebt in der vorliegenden Arbeit eine vollständige Entwickelung der verschiedenen Formeln, mittelst deren die Werthe aller gebräuchlichen Versicherungsarten berechnet werden können, namentlich auf Grundlage der von Woolhouse gegebenen Theorie. Der Abhandlung ist ein Abdruck der Morta. litätstabellen der Lebensversicherungsanstalt von 1871 beigefügt. Gm. J.

LEWIN. Aphoristische Bemerkungen zur politischen Arithmetik, l"1 Abtheilung. Budapest. Pester BuchdruckereiActiengesellschaft.

Der Verfasser definirt „mathematische Lebensdauer", deren Einführung statt wahrscheinlicher oder mittlerer Lebensdauer er empfiehlt, mit den W o r t e n : „Man versteht darunter jene Zeitd a u e r , an deren Ende die einmalige Prämie für die allgemeine Capitalsversicherung auf den Todesfall zur Höhe des versicherten S*

116

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

Capitals dadurch angewachsen sein würde, dass matl diese Prämie auf Zinseszinsen zu jenem Zinsfusse angelegt hätte, welcher der Prämienrechnung zu Grunde liegt." Hiernach wird der Begriff von Rentenverhältnissea abhängig gemacht, für deren Be•rechnung er eigentlich die nothwendige unabhängige Grundlage bilden sollte, somit der Weg der Rechenschaft über die Grundsätze gänzlich verlassen, und ein usuelles Verfahren an die Stelle gesetzt. Auf diesen Punkt legt der Verfasser im Eingang besonderes Gewicht. Im Uebrigen sind erst die Zinsrechnung, dann die Rentenrechnung in einer elementaren Weise behandelt, die sich nur durch eine Anzahl hinzugefügter Benennungen unterscheidet. H. D.

Over de waarschynlykheid van de verscheiderie mogelyke uitkornsten eener verkiezing, waarby stemmers van tweeerlei kleur zieh by loting in afdeelingen verdeelen. Nieuw Arch. i. 157-178. J.

KORTEWEG.

Diese Abhandlung schliesst sich den Untersuchungen Poisson's Uber die Wahrscheinlichkeit der verschiedenen Resultate, welche bei Wahlen erhalten werden können, an. Der Verfasser dehnt die Berechnungen aus und verallgemeinert die Betrachtungen, indem er frühere von ihm ausgeführte und publicirte Untersuchungen benutzt. Da die Betrachtungen des Verfassers noch nicht mit dieser Abhandlung schlicssen, kann erst später eine Uebersicht Uber die gefundenen Resultate gegeben werden. G.

N'IMPORTE (4580).

and

J.

M.

JOHNSON.

Solution of a question.

Educ. Times XXIII. 31-34.

In einer Wahlversammlung, welche drei Candidaten zu wählen hat, hat jeder Abstimmende zwei Stimmen, die aber nicht demselben Candidaten gegeben werden dürfen. Wenn nun die Majorität von M Abstimmenden 3 Candidaten und die Minorität von m Abstimmenden 2 Candidaten aufstellt, so ist, wenn alle Wähler beide Stimmen abgeben, die Wahrscheinlichkeit, dass

IV. Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnungu. Combinationslehre.

H7

alle 3 Candidaten der Majorität gewählt werden, i o O + l)(>" + 2) , p (2M — 3m — 1) (2M — 3tn — 2) \ M + i X M + 2) ° U e r ( M + l ) ( M + 2) je nachdem n als £ M. Sie ist J, wenn m = \ M. Ist dagegen m = so ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 der0. selben durchfallen, nahezu •$.

T.

J.

SANDERSON.

Solution of a question (4627).

Educ.

Times XXIV. 23.

Werden die Namen der Schüler in den Klassen einer Anstalt nach dem Verdienst der Schüler geordnet, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Listen in allen Klassen gleichzeitig auch alphabetisch geordnet sind,

^

, wenn p, q, r die Zahl der

Schüler in jeder Klasse ist etc.

G.

H.

DARWIN.

On collisions at sea.

0.

Messenger (2)

vi. 9-13.

Die Zahl der Zusammenstösse soll proportional sein dem Quadrate der auf Wasser befindlichen Schiffe, so dass es möglich sein müsste zu untersuchen, ob hierin eine Veränderung vorgegangen ist. Der Verfasser stellt hier Betrachtungen darüber an, wie eine solche Untersuchung angestellt werden müsse, unter Berücksichtigung der verschiedenen Beweglichkeit und Schnelligkeit von Dampf- und Segelschiffen. Praktisch hat er seine Me thode nicht durchführen können, weil die Wrack-Register des Handelsamtes nur die Brittischen Inseln umfassen, auch andere Umstände, wie Witterung, die verschiedenen Wege, welche hinund hergehende Schiffe einschlagen, etc. die Sache erschweren. Glr. (0.) T.

J. SANDERSON and W . J. C . MILLER. question (4581). Educ. Times XXIII. 47-48.

Solution of a

Ein Zeuge, dessen Aussage 1 Mal unter m Malen das wirklich sagt, was er meint, und dessen Meinung 1 Mal unter n Malen richtig

118

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

ist, versichert, dass die Nummer einer Note, welche von einer Bank ausgegeben ist, von der man weiss, dass ihre Noten von B bis B i A — 1 numerirt sind, B + P gewesen, wo P entweder 1,2,3... oder A — l ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Note diese Nummer gehabt, ist dann 0. Aehnliche 8.

TEBAY,

MILLER

P.

G.

Aufgaben A.

über

CAYLEY,

finden sich

T.

Wahrscheinlichkeit J.

Educ. Times

SANDERSON,

W.

von J.

C.

x x m . I«. 53, x x i v . 19. 0.

On a question of arrangement and pro-

TAIT.

babilities.

Proc. of Edinb. VIII. 37-44. Iö72.

Der Verfasser bemerkt, dass Wahrscheinlichkeiten häufig an Spieleu erläutert werden, bei denen jeder Stich nothwendig durch den einen Spieler gewonnen, durch den anderen verloren werden muss, die Möglichkeit des Stichs werde aber nicht untersucht. Er behandelt hier die Wahrscheinlichkeit in dem schottischen Golf'spiel (einem Schlagballspiel), in welchem jeder Ball ganz oder halb gewonnen oder verloren wird. Glr. (0.)

BIKNAYME.

Sur une question de probabilités.

Bull.

s.

M

F . II. 153-154.

Man denke sich n ihrer numerischen Grösse nach gegebene Beobachtungen als gerade Linien nebeneinander gelegt und verbinde die Endpunkte durch eine gebrochene Linie. Der Verfasser bestimmt die wahrscheinliche Zahl der Maxima und Minima. 0. E.

B. E L L I O T T and C. question (4676). Educ.

LECDESDORF.

Solution

of

a

T i m e s X X I I I . 73-74.

Ein Kreis bewegt sich mit seinem Mittelpunkt auf einer festen Geraden, die durch den Mittelpunkt eines festen gegebe-

IV Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung o. Combinationslehre.

119

nen Kreises geht, den er stets in reellen Punkten schneidet. Der Radius des beweglichen Kreises ist constant und kleiner als der des festen. Dann ist der mittlere Werth der Fläche des Kreises, der über der Berlihrungssehne der beiden Kreise als Durchmesser beschrieben wird, gleich l der Fläche des beweglichen Kreises. 0.

J.

L.

Solution of a problem. Analyst Ii.

DE L A N D .

22-24.

Stellt man sich den Himmel vom Zenith bis zum Horizont dicht mit Sternen besetzt, vor, derartig, dass sie überall gleichmassig vertheilt sind, so ist die mittlere Höhe derselben gleich = 32° 42'13". Glr. (O.)

A.

MARTIN.

Problem.

Analyst 11.

28.

Ein cylindrischer Thurm, Radius = r, ist von einer Gallerie von der Breite a umgeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich 2 in derselben befindliche Personen sehen können, ist 2(a v + r)MrcoB— ' a+ r n

ar

r

{'¿ + ' )

2r rtföar

r' ' Glr. ( 0 . )

S.

FORDS,

CROFTON, E .

B. ELLIOTT a n d

Solution of a question (4822).

WOLSTENHOLME.

Educ. Times X X I V . 106-108.

Zwei Gerade AB, CD haben ein gemeinsames Stück CB. Die mittlere Entfernung zwischen willkürlich auf AB und CD angenommenen Punkten ist AD3 -f CB3 - AC3 - BD3 GAB-CD ' 0.

E.

B. E L L I O T T and C. L E U D E S D O R F . Solution of a question (4572). Educ. Times XXIII. 34-35. Von jeder von n gleichen geraden Linien ist nach Willkür

120

I V . Abschnitt. Watarseheinlichkeitsrechuung u. Combinaiionslehre.

ein Stück a b g e s c h n i t t e n . d a s grösste d e r gleich

D a n n ist die Wahrscheinlichkeit, d a s s

Stücke grösser a l s die Suunue aller übrigen ist,

— l-2-i}--(n—1)

; die Wahrscheinlichkeit

dagegen,

dass

d a s Q u a d r a t ü b e r dem grössten Stück grösser ist a l s die S u m m e d e r Q u a d r a t e a l l e r übrigen, gleich 1

(ire)K*

N . SARKAR.

Solution

o.

of a questioii ( 4 7 5 0 ) .

Educ. Times

X X I V . 59-60.

Zieht m a n

d u r c h den B r e n n p u n k t

einer Ellipse 2 zu ein-

a n d e r s e n k r c c h t e Sehnen, so ist der mittlere Werth des Vierecks, w e l c h e s m a n durch V e r b i n d u n g ihrer E n d p u n k t e e r h ä l t : 8£ (l-cY + i ( l - e V ' f ü r die E l l i p s e n g l e i c h u n g : l — r( 1 — e c o s ö ) .

S. T E B A Y .

S o l u t i o n of a q u e s t i o i i ( 4 5 4 1 ) .

0.

Kdue T i m e s X X I V

53 55.

Die mittlere Fläche des S c h a t t e n s eines regulären T e t r a e d e r s mit du 1 K a n t e a auf eine E b e n e , die s e n k r e c h t zu der Richtung der Strahlen ist, ist 0,40042 a 5 ; die Wahrscheinlichkeit, d a s s der Schatten ein Dreieck, n ' ( 6 c o s - 1 1 — 2 n ) .

Aelmliche SON, S.

R.

0.

A u f g a b e n über mittlere Werthe v o n WILSON,

TEBAY,

E.

A.

Ii.

C. L E U D E S D O R F

M. NASH,

ELLIOTT,

A . MARTIN, C.

IJ.

S.

SAITZ,

CAVALLIN

und

f i n d e n s i c h Educ. T i m e s x x u i . 63, w, x x i v .

33, 52, 67

C. J O R D A N . 281-2.^2

S. WAT-

E . B.

0.

Questions de probabilités.

Eine Strecke

von

der

Länge

l wird

Bull. s . M F . I. 256-25«,

in m Theilo

getheilt.

I V . Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u Combinationslehre.

121

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass » dieser Theile grösser als eine gegebene Strecke E sind? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 4 auf einer Kugel willkürlich angenommene Punkte die Ecken eines convexen sphärischen Vierecks bilden? No. E.

LEMOINE.

Sur une question de probabilités.

Bull. S. M.

F . I. 30-31.

Ein Stab zerbricht in 3 Stücke. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich aus diesen 3 Stücken ein Dreieck construiren lässt, ist dann j . O.

G.

HALPHEN. F

Sur un problème de probabilités.

Bull.

s. M.

I. 221-224.

Ausdehnung der von H. Lemoine gelösten Frage auf ein n -

eck.

J.

On the geometrical mean distance of two figures in a plane. Trans, of Edinb. X X V I . 729-733. 1872. C.

0. MAXWELL.

Bei electromagnetischen Rechnungen ist es in manchen praktisch wichtigen Fragen nöthig, die Summe der Logarithmen von den Entfernungen der Punkte eines Systems paralleler Drähte von einem Punkte zu bestimmen. Die Art dieser Rechnung ist in mancher Hinsicht analog der, welche bei der Bestimmung des Potentials eines gegebenen Systems von gleichen Theilchen flir einen Punkt angewandt wird, indem man die reeiproken Werthe der Entfernungen der Theilchen von dem Punkte addirt. In .»beiden Fällen gelangt man zu dem Resultate durch Division mit der Zahl der Drähte, resp. Theilchen. Im ersten Fall, wo der Logarithmus der resultirenden Entfernung das arithmetische Mit4el der Logarithmen der Entfernungen der verschiedenen Componenten des Systems ist, nimmt man also als resultirende Entfernung die geometrische mittlere Entfernung des Systems von dem gegebenen Punkt. Der Gebrauch dieser mittleren Entfernung lässt sich vergleichen mit dem des Gyrationsradius, der Länge des äquivalenten einfachen Pendels etc. Professor Max-

122

I V - Abschnitt. Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Combinationslehre.

well giebt hier einige Beispiele dieser mittleren geometrischen Entfernungen, um zu zeigen, dass durch den Gebrauch dieser imaginären Linie die electromagnetischen Rechnungen weniger Glr. (0.) irrthumsfähig werden.

W.

THOMSON.

energy.

The kinetic theory of the dissipation of

Proc. of Edinb. V I I I . 325-334.

Am Schluss der Arbeit löst der Verfasser folgende Frage

:

Zwei Billionen Molectlle Oxygen sind mit 8 Billionen MolecUlen Nitrogen

in einem hermetisch verschlossenen Glase

vereinigt.

Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach einer unendlichen Zeit alle Molectlle des Oxygen und keine des Nitrogens sich in einem bestimmten Theile des Gefässes befinden, dessen Volumen i - des Ganzen ist? Sie ist

1 4021,109 "

Glr. (0.)

Fünfter Abschnitt. R e i h e n .

Capitel 1.

Allgemeines. O.

STOLZ.

Beweis einiger Sätze Uber Potenzreihen.

Schlömilch Z. XX. 369-376.

Während Abel (Uber die binomische Reihe) die Stetigkeit der durch eine Potenzreihe definirten Function im Innern des Convergenzkreises nachwies, zeigte Dirichlet v Liouville J . (2) VII. 253), dasB in einem Punkte des Umfanges des Convergenzkreises, für welchen die Reihe noch convergirt, die Function sich stetig ändert, wenn man auf dem Radiusvector vom Mittelpunkt des Kreises zu dem in Rede stehenden Randpunkte Ubergeht. Hier wird dieser Nachweis auf folgenden Satz ausgedehnt: „Angenommen, die Potenzreihe i»fl»in = f(x) Ii sei längs eines Stückes des Umfanges des Convergenzkreises noch convergent, so ist f(x) eine stetige Function von x sowohl gegen das Innere des Kreises, als auch längs dieses Stückes." OD

Ferner wird bewiesen: „Angenommen, die Reihe nan a;" -1 coni vcrgirt in einem Punkte xt des Umfanges ihres Convergenzkreises, X welcher bekanntlich mit dem von £ n a a x n zusammenfallt, so conti

124

V. Abschnitt.

Reihen.

vergirt auch die letztere Reihe, und es ist ¿nn^x»-1 i Der Taylor'sche Satz ! „ a„ x- = 0

f{x) =

=

Zn II

^

^

(*-*.)"

nl

besteht stets auch noch für alle Punkte des Umfanges des von xü aus beschriebenen Kreises, mit Ausnahme des Berührungspunktes x, beider Kreise; er gilt ferner auch noch für diesen Punkt, wenn 2£a n x n , convergirt; und wenn £ a n xnt sich der Grenze ao nähert (ohne zu oscilliren), so gilt dieses auch von der abgeleiteten Reihe. M.

E.

MEISSEL.

Beiträge zur Theorie der Reihen.

Pr. Kiel.

Der Verfasser, welcher in seinem Lehrbuch der Differentialrechnung, Berlin 1854, den allgemeinen Restausdruck der parabolischen Interpolationsformel von Lagrange zuerst mitgetheilt hat, behandelt in dieser Arbeit eine Anzahl divergenter Reihen, mit deren Hülfe eine besondere Klasse von Functionen dargestellt werden kann, unter exaeter Feststellung des Restbetrages. I. Die Reihe 8 =

f ( x ) ~ a a r ( x + a ) +

f"(.x+2a) a n

_ ff ^ ( — ) i a + o

f{x) - aa P(x)

-1-

etc.

x

w n_1

) j f n > \ + "«) nl

nimmt, wenn mau jedes Glied derselben nach Potenzen von a entwickelt, die Form an: S -

-

etc.

=

aufsteigenden f(x-aa).

Die hieraus folgende Gleichung aj£(—a)n (1)

flx-aa)

=

—

(a -f- n)n~i

ßn^(x-\-ua)

^

ist stets richtig, so lange f(x) eine ganze rationale Function von x bedeutet. Sie ist ferner u. A. richtig, wenn man f(x) — c~x setzt, wodurch man erhält

Capitel 1 e" =

Allgemeines.

l + « - a e - " + a ( a + 2)

^

+

125 ' ^

+

g

doch für reelle Werthc von a nur, so lange a < l .

etc.,

Die Reihe

ist übrigens leicht aus der Umkehrungsformel von Lagrange herzuleiten. (Vergl. Schlöniilch, Höhere Analysis Bd. II. p. 101). einer

Menge

von Fällen

gemein unrichtig.

hingegen

ist

Z. B. für f(x) = 1 x(x—a)

die Gleichung (1)

j^ («+n)n-\ , (x n)n+1

=

wird

Integrils

i

/

all-

— , wobei man erhält SC

Die genaue Gleichung ist * (ff4-n)»-i i (2) Z = - 3 - S i (x + ») x(x — a) Diese Gleichung

In

noch

benutzt

g \-x

fl-i

x

j /i — h"-' x — a J zur

-

dv

Berechnung des

dx,

x

fj weUie für a ~

2, ß — —1

durchgeführt wird.

Die gewöhn-

l i c h e Quadraturformeln mit Einschluss derer von Gauss sollen in iesem Falle nur ungenaue Resultate geben. II. ,

Die Integrale f

e*dx

x

[x) = e~>J

v

x

, .

f* e* dx

——-, tf(x) = e-'J

c

.

(I

(1>«>0),

nd endlich das allgemeine Integral Q O

/

f(x) e~x dx, von denen die beiden ersteren die allgemeinen Lösungen resp. X

der linearen Differentialgleichungen „ 4 . ^ . - 1 J

sind, während

+

dx

~

„

x '

i

l

~dx

yi

_

J _

~

x"

man zu dem letzteren bei Behandlung der Diffe-

rentialgleichung ("Ar-) +

2py

Ite

+

qy

" ^

r

^

r

F u n c t i o n e n

V0D

*)

126

V . Abschnitt

Reihen.

gelangt, werden durch Reihen von der Form der Reihe nach — , f(x) zu setzen «27 2/ ist, und der Restfactor ß» von x und n abhängig ist. fi„, welches in den ersten beiden Fälleu selbst einer linearen Differentialgleichung genügt, wird nach absteigenden Potenzen von n entwickelt, deren Coefficienten Functionen von x sind. Es zeigt sich, dass beim ersten Integrale die Entwickelung f . , , a:' , a? , \ »e* dx / — - = e-*(A+ log ;c + x + w - f - w + etc.) c (A eine von c abhängige Constante) berechnet, wo für

mit der durch obige Reihe definirten Function ) XIV 385-390.

deux

Capitel '2

Besondere

131

Reihen.

Wenn xt -f- xt = s und xxx% — p gesetzt wird, so ist m , , m(m , , , V — 3) ®-f- X™ = s'" —— Sm— p -| Ä'"—* p -f . . .

Die Entwickelungen fttr sin ma und cos ;wa sind die bekannten. Schi. CH.

HERMITE.

Extrait d'une lettre k M. Borchardt.

Borchardt J. L X X X I . 93-95.

Für die Bernoulli'schen Zahlen haben Clausen und v. Staudt (Crelle J. XXI.) zu gleicher Zeit folgende merkwürdige Relation entdeckt ( - i yBn = ¿ „ + $ + - 1 + -L-f ... +

- p

in welcher Formel An eine noch zu bestimmende ganze Zahl, und die Nenner a , ß , y . . . sämmtliche Primzahlen von der BeschaffenJ O 2 ß heit bedeuten, dass — - — , — . . . Theiler von n sind. £1

u

Herr Hermite macht nun die Mittheilung, dass die Zahlen An direct aus rekurrenten Entwickelungen berechnet werden können. Bezeichnet (2ra+1)^-1 den (p — l) ,e " Binomial - Coefficienten der (2« + l) le " Potenz und addirt man zu demselben den (2p— 2) ,e '\ (3p — 3) len u. s. w. Coefficienten derselben Potenz hinzu, so ergiebt sich eine Summe, welche durch p theilbar ist. Also S„ = j[{2n + 1),,., + (2n + 1 )3p_2 + (2n + 1 ) 3p _ 3 + ...] Bildet man ferner für alle Primzahlen 3, 5 , . . . p, welche 5_2« -f-1 sind, diese Summe S,,, so gilt die Formel (2« + + (2» + + (2» + 1 ) t A t . . . (2n -{- 1 M „ = 1— n—27n-l-S3 — S s . . . —Sr Für n — 1 , 2 , 3 , 4 erhalten wir nach Beseitigung von gemeinschaftlichen Theilern folgende Beziehungen: At = 1 2A, + A, = —3 3 A, +»A, + A3 = — 9 12 A, + 4,2A1+28Ai+Mt = 85, 9*

V. Abschnitt.

132

Reiben.

aus welchen At = A2 = A3 = A4 = — 1 hervorgeht. Herr Hermite hat die Berechnung bis zur 9 len Bernoulli'schen Zahl fortgesetzt. Schi.

C.

LE

Note sur les nombres de Bernoulli.

PAIGE.

C. R.

LXXXI. 966-967.

Directer Beweis der folgenden Relation: 3) (2p 1) p p 3 [72^3 ~ 5)(2p 3)(2p 2)(2p 1) _ i.2.3-4-5

, n ^p-i T

+

(2p

(2p

+

ß, _ "' + T 2 - m t p + 1 ) ,

wo die B die Bernoulli'schen Zahlen vorstellen, unter Anwendung einer von Herrn Catalan gegebenen Formel. Hr.

A.

CAYLEY.

A

dissertation on Bernoulli's numbers.

Messenger (2) V. 157-160.

Kurze Zusammenstellung der Haupt-Eigenschaften wendungen der Bernoulli'schen Zahlen. (Ausgearbeitet Beispiel einer Art von Essays, die gefordert werden Smith's Prize examination zu Cambridge). Glr. J.

und Anals ein von der (0.)

C. A D A M S . On some properties of Bernoulli's numbers, in particular on Clausen's theorem respecting the fractional parts of these numbers. Proc. of Cambr. II. 269-270. 1872.

Nur Auszug einer Arbeit, die in dem zunächst erscheinenden Bande der Cambridge Observations veröffentlicht wird. Glr. (0.) J.

W.

L.

identity.

GLAISHER.

Arithmetical proof of Clausen's

Messenger (2, VI. 83.

Beweis, dass

Glr. ( 0 . )

Capitel 2. Besondere Reihen. J . DE VlRIEU.

133

Nouv. Ann. (2) XIV. 351-352.

Rectification.

Beweis der Formel: & Ä ! ( 2 m +

1 — h)l ]

=

1)m

2m-f- 1 ' mTmT '

(In einer Arbeit Nouv. Ann. ( 1 ) X V I I I . war fälschlich die obige Reihe = 0 gesetzt).

Wn.

Three theorems in arithmetic.

J. W . L . GLAISHER. Messenger (2) VI. 21-22.

Zwei davon sind arithmetische Identitäten, wie die, über welche F. d. M. V. p. 144 berichtet ist.

Der dritte Satz bezieht sich auf

die Reihen 3"

*("5»

7")

*(9»

l F

"13»

15")'"' Glr. ( 0 . )

J. W. L . GLAISHER.

Values of certain infinite producta.

Messenger (2) VI. 122.

wenn n grade, und =

2Kn-i)7r»

sin hnxPiP3

...

P„_2,

wenn n ungrade, wo s

Pr =

TTt \

/

c o s h [ 2 n x — sin -^r)—cos(2nx

TTt \

-^-J

cos

und eine ähnliche Formel für

Durch einen Druckfehler sind die x in den Werthen von Pr und Qr fortgelassen.

Die Beweise der Formeln

Proc. L . M. S. V I I . 23.

finden

sich in den

Glr. ( 0 . )

134 J.

V . Abschnitt.

Reihen.

Identities. Messenger (•>) VI. 111-112. 13 Identitäten verschiedener Art mit Beweisen, z. B.

W.

V)

L.

GLAISHER.

(1 -a! 3 )(l -x"){\—x7) 77T

2) Wenn f(o) = 1, ist o =

+

{fxy + £

3) log(1,101001000100001...) = A + i - i i . X

CC

y...

(fx

TCOO

4) arc tanga; —arctang -- -j-arctangarc tang tang A—• ü O 4 5) ( l - w ) ( l - w , ) + ( l - w , ) ( l - « , ) + - + ( l — ! ) ( l + ton-1) = «, to eine primitive n'e Wurzel der Einheit. G) 2 t a n g — = j _

.ü.lT_e_ia|Tqr^s:rr+

c

Glr. (0.) J . W. L. G L A I S H E R . On some algebraical formulae. Messenger ,2) VI. 21 Formeln, hergeleitet aus der Gleichung: 71 cot nx — — 14 x

x—1

4

1

7

x j-l

,- 4 - ' x—2

—- , x-f>

—

Glr. (0.) J . W. G L A I S H E R . Oll au identity. Messenger (2) V 130-131 Die Identität ist | iu( 1 -f 2 sec 1/t -J- 2 sec 2/t + 2 sec 3/u 4 — ) = ]'Ji(l + 2secv 2sec2v + 2sec3v -f • ••), wenn fiv — n G l r . (0.) F.

Solution d'une question

STORDEUR. (2) X I V

(1167).

Nouv Ann.

333-334.

Beweis der Formel A

-=tg

71 T

+*tg

71 l 5

71

-Ktg—

+

..-,

mit Hülfe eines in den Kreis eingeschriebenen 2n + J -Ecks. M.

"\Y. L I G O W S K I .

Capitel 2.

Besondere Reihen.

Grenzen

für die Basis

135

der

natürlichen

Logarithmen. Gruuert Arck. L V I I . 220-221. Ableitung der Formel: « = H - ä r = r )

'

die bereits für « = 1000 7 Stellen richtig ergiebt, während dies bei C.

erst bei n = 10" erreicht wird.

0.

L E U D E S D O R F and E . B . E L L I O T T . Solution question ( 4 6 0 3 ) . Educ. Times XXIII. 54-55.

of

a

Bezeichnet man mit ejj die Summe der Reihe, welche man durch Entwickelung von ex nach steigenden Potenzen von x bis zum Gliede x* incl. erhält, so ist P1 „-1 1 _

e

+

"

1

+

1-2

+

„-i h

1-2-3---«

_ _ _ _ _ A . POPOF.

Remarque mathématique.

Darboux Bull.

v i n . 208.

Eine aus dem Russischen übersetzte Notiz, betreffend die Entwickelung von in eine Reihe von der Form ax Aie~ + A^e-«1* + A3e~a'* H , wo h und a positive Zahlen und a < 1. M. F.

T h é o r è m e sur les p o l y g o n e s réguliers et sommations de quelques séries trigonométriques. REINEMUND.

Bull.de Belg. (2) X L J.

M.

DE TILLY.

(2) XL

801-811.

Rapport sur ce mémoire.

Bull, de Belg.

671-673.

Siébe Abschn. VIII. Cap. 3.

H.

LAURENT.

Questions. Nouv. Aun. 2) x i v 354-355.

Definirt man die Functionen f(tn,p) durch folgende Gleichung: * t * + l ) ( s + 2 ) - ( a r + » i — 1 ) = x"'+f{m,l)x'"-1 + f(m,2)x">-i+-»y

V Abschnitt. Reihen.

136

so kann man die Coefficienten der Entwickelung von ( i ^ L )V- ' „„., „»a M ( i li -- *L) )' " nach Potenzen von a; mit Hülfe der Function wenn m keine ganze Zahl ist. Ferner gilt folgende Entwickelung 1 _ flm+M+1)

ausdrücken, aucli

falls der absolute Werth von z, kleiner als 1 ist.

P. S.

Solution de la question 37.

Wn.

N. c M i 200-201.

Die Anzahl der Jahre, die nöthig sind, damit ein Capital bei 4 Procent sich durch die Zinseszinsen verdopple, ist bis auf un09 315 gefähr drei Tage gleich dem Quotienten — , vermehrt um 0, 346, falls t nicht grösser als 12 ist. kommt darauf hinaus, die Gleichung

Dieser Satz von Thoman

100/ durch Reihen zu lösen.

A.

LAISANT

(44).

et

J.

Mn. (Wn.)

M.

Solution de la question

DK T I L L Y .

N. (J M. I

Zwei von einander ganz verschiedene Beweise des folgenden Satzes von Catalan: Ist n eine positive Grösse, so ist =

gr

1

,1/if^-l

,

T

1

/i-f-Ün

Li

¿ti+Mj' Mn. (Wn.)

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Capitol 1.

Allgemeines (Lehrbücher etc.) L.

Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Mit Zusätzen von J. Liouville. Deutsch herausgegeben und mit Anmerkungen und einer Abhandlung der Methode der kleinsten Quadrate vermehrt von Dr. Theodor Wittstein. 4. Aufl. 2 Bde. NAVIER.

HaDDOver.

Hahn.

Die vorliegende vierte Auflage (1er deutschen Bearbeitung des bekannten Navier'schen Werkes unterscheidet sich von den früheren Auflagen im Wesentlichen durch eine neue würdigere äussere Ausstattung. Was den Inhalt betrifft, so sind jetzt sämmtliche Zusätze mitaufgenommen, welche Liouville dem französischen Originale beigefügt hat. So ist der ursprüngliche Text der „Leçons d'analyse données à l'école polytechnique par M. Navier" jetzt durch 10 Zusätze von Liouville und ü Anmerkungen des Herausgebers und den im Titel angeführten Anhang Uber die Methode der kleinsten Quadrate erweitert. Die Zusätze / i y" betreffen die Grenze lim(^l + — J , den Rest der Taylor'schen und Maclaurin'schen Reihe, Brüche von der Form

oo

' ein geo°

13«

VI. Abschnitt.

Differential- und Integralrechnung.

metrisches Problem über Maxima und Minima, Euler'sche Integrale, das Product xl für sehr grosse x, Anwendung der Theorie der Doppelintegrale auf Algebra, die Differentialgleichungen ^ = f(x,y) d'u = F(x,y), und die Integration einer gewissen Gattung ax von linearen Differentialgleichungen. Die Anmerkungen des Herrn Wittstein behandeln ein paar geometrische Darstellungen analytischer Sätze, die Reihe von Lagrange, die angenäherte Berechnung bestimmter Integrale, die Elemente der Theorie der complexen Zahlen und der Riemann'schen Functionentheorie, die Auflösung der Gleichung x'J = yx in reellen Zahlen und Einiges über die Krümmung der Flächen. M. und

\\\ Gosiewski. Warschau.

Differential- und Integralrechnung.

(Polnisch).

Dieser kurze Grundriss der genannten Lehren ist für gebildete Laien bestimmt. Er enthält das Wichtigste über das Differentiiren und Integriren der Functionen, die Taylor'sche und Maclaurin'sche Reihe und ihre Anwendungen, Maxima und Minima der Functionen und die einfachsten Auwendungen dieser Lehren auf die Geometrie. In dem Capitcl über den Differentialquotienten ist den neuesten Untersuchungen gemäss der wichtige Punkt hervorgehoben, dass die Existenz des Differentialquotieuten keine nothwendige Folge der Continuität der Functionen ist. Der Verfasser stellt die Frage auf, ob für solche Functionen, die keinen Differentialquotienteu besitzen, ein allgemeiner Algorithmus sich auffinden liesse, in welchem der Differentialquotient als specieller Fall enthalten sein könne, entwickelt aber diese Ansicht nicht. Dn. 0. Brand. Berlin.

Grundriss der Differentialrechnung 1'" Theil.

Königsmann.

B. Williamson. Dublin.

A treatise on the integral calculus.

Longman, Green and Co.

Das vorliegende Werk ist die Ergänzung zu dem „Treatise on the differential calculus" desselben Verfassers, und ist für

Capitel 1.

Allgemeines (Lehrbücher (¡tel.

139

Studireude geschrieben, weshalb auch alle Sätze durch zahlreiche und gut gewählte Beispiele erläutert siud. Es beginnt mit einer ziemlich vollständigen und gut geordneten Behandlung der einfachen Integrale, die in folgende Capitel getheilt ist. Cap. 1. Ueber elementare Integrale. Cap. 2. Ueber rationale Brüche. Cap. 3. Integration durch Rationalmachen. Cap. 4. Ueber vermischte Integration. Das Capitel über bestimmte Integrale enthält neben den gewöhnlichen elementaren Beispielen Cauchy's Behandlung der bestimmten Integrale für den Fall, dass die Function innerhalb der Integrationsgrenze unendlich ist. Der Unterschied des Hauptwerkes und der allgemeinen Werthe in solchen Fällen wird ebenfalls auseinandergesetzt. Dies Capitel schliesst mit der Herleitung der Fundamental-Eigenschaften der /'-Function und einer Tafel zur Berechnung ihrer Werthe. Der weitere Theil des Buches behandelt die geometrischen Anwendungen, und ist der bei weitem interessanteste Theil desselben. In dem Capitel Uber Flächeninhaltsbestimmungen werden eine Reihe eleganter und wichtiger Sätze gegeben, unter denen wir Steiner's Sätze über Fusspunktcurven und Rollcurven nennen, sowie einen elementaren Beweis für das Princip des Anisler'schen Planimeters. In dem Abschnitte Uber Rectification finden sich neben den gewöhnlichen Beispielen eine Fülle von Sätzen über elliptische und hyperbolische Bogen nach Landen, McCullagh und Anderen. Den Schluss bildet ein einfacher Beweis des Satzes von Genocchi, dass die Rectification eines Cartesischen Ovals von der dreier Ellipsen abhängig sei. Das letzte Capitel enthält Anwendungen auf Flächen, unter Anderen Guldin's Satz und andere allgemeine Sätze, und schliesst mit elementaren Beweisen der Sätze von Jacobi und Jellett über Flächen zweiten Grades. Csy. (0.)

H.

COOK.

On the first principies of the calculus.

Analyst II. 185-191.

Elementare Auseinandersetzung der Principien der Differentialrechnung und Herleitung der fundamentalen Differentiale. Glr. (0.)

140

VI. Abschnitt.

Differential- und Integralrechnung.

Capitel 2. Differentialrechnung (Differentiale, Functionen von Differentialen, Maxima und Minima). F. J. S t u d n i g k a . Ueber die independente Darstellung der »ien Derivation von gebrochenen Functionen einer Veränderlichen. Prag. Ber. 1875. 1-2. Derivation von

u V

0 %p'

cp'

'

—¡—-—2-

ermittelt, wo die Coefficienten

¿r_i_„ lr_,

die Ableitungen

(,—1-v)! sind.

W.

M.

W. JOHNSON.

Geometrical

illustration of indeter-

minate f o r m s , w i t h a note on the differential of function of two variables.

a

Measenger (2) V. 132-134.

R und S seien Functionen von x und y, welche gleichzeitig verschwinden, wenn x = a, y = b wird. Der Verfasser erläutert g geometrisch die Veränderungen in dem Werthe von -5- in der H Nachbarschaft des Punktes (a, 6). Dies wird benutzt, um ein Paradoxon zu erklären, dass nämlich, wenn

von den beiden Gleichungen dz =

dx +

dy,

= V) dx + V&y)

dy,

die erstere in einem Punkte der Oberfläche, wo die Tangentialebene unbestimmt ist, wahr ist, die letztere nicht. Glr. (0.) N.

HEKL.

Ueber Maxiina.

Bayr Bl. xi. 459-4R.O.

Um zu beweisen, dass von allen dem Dreieck mit den Seiten a, b, c isoperimetrischen Dreiecken das gleichseitige das grösste sei, errichte man zuerst auf der Basis a das isoperimetrische gleichschenklige Dreieck, welches grösser als das erste

144

ist.

V I . Abschnitt.

Differential- und Integralrechnung.

Dann construirt man fortwährend isoperimetrische Dreiecke

s o , dass der Schenkel der Basis des nächstfolgenden gleich ist; beim n' e " derartigen Dreieck ist dann die Differenz von Basis und Schenkel b+ c ( - D - ' ^ r l — und man e r k e n n t , dass flir ein unendlich grosses w dieser Ausdruck verschwindet. aus lim

Bis hierher ist Alles iu Ordnung, allein ob

für r =

die Identität p = q folge, dürfte wohl

gegründeten Bedenken unterliegen.

E . HILL.

Gr.

Maxima and minima without Taylor's theorem.

Messenger (2) VI. 84-87

Geometrische Behandlung der Bestimmung von Maximal- und Minimalwerthen einer Function von 2 Variabein.

A. B.

Glr. ( 0 . )

Solution of a question (4025).

EVANS.

Educ. Times

XXIII. 7S-79.

Die Aufgabe heisst: Quelle est la direction que l'homme doit donner à ses pieds (supposés réduits à leurs axes) pour que l'air du trapèze de sustentation soit un maximum? 0.

J.

(XAMBEY.

Solution d'une question

(L129).

Nouv ABU

(-2) XIV. T3-85.

Ein bei A rechtwinkliges Dreieck dreht sich um eine durch B parallel zu AC gelegte Axe. Wann ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers ein Maximum bei gegebenem Umfang des Dreiecks? Wn,

Capitel :i

G.

\Y.

14ö

Integralrechnung.

Additional formulae in finite differences.

HILL.

A n a l y s t II. S-9

Zusätze zu der Arbeit, liber die F. (1. M. VI. p. 168 berichtet ist. Gir. (0.)

Capitel 3. Integralrechnung. J . THOMAE.

Die

partielle

Integration.

Schlömilch

z. x x

475-47H

Zwei Beweise des Satzes von der partiellen Integration in der erweiterten Gestalt, welche er durch Herrn du Bois-Reymond erhalten hat. (Münch. Abh. XII. p. 129). öt.

N . SONINE. U e b e r die Integrabilität v o n Ausdrücken, w e l c h e u n b e s t i m m t e F u n c t i o n e n enthalten. Warach. U n i v . Nachr

1875.

(Russisch.)

Die nothwendige und hinreichende Bedingung der Integrabilität eines Ausdrucks von der Form F(X

V

ist von Euler gegeben worden. Lagrange bemerkte, dass die Euler'sche Bedingung in n einfache zerlegbar ist. Diese Zerlegung ist von Joachimsthal (Crelle J. XXXIV.) wirklich ausgeführt. In der vorliegende« Abhandlung werden die Joachiuisthal'schcn Bedingungen in etwas veränderter Form und auf elementarem Wege (ohne Anwendung der Variationsrechnung) hergeleitet. In gleicher Weise werden auch die Bedingungen der mehrfachen Integrabilität von (X „ A . *YX,Y'DX' F

behandelt. F u r t s c b r . J . Mutti.

VII. I.

£L

*!L)DX« DX^-DX»)

p. 10

146

P.

V I . Abschnitt.

Differential- und Integralrechnung.

G . TAIT. Note on the transformation of double and triple integrals. P r o c . of Edinb. V I I I 20'J--211. 1s73.

Beweis der gewöhnlichen Transformationsformeln. Gir. ( 0 . )

C.

M . PIUMA. Intorno ad una classe di integrali esprimibili Con soli logaritmi. Briosclii Ann. C_>ì VII. IH-24.

Die gegenwärtige Arbeit untersucht den F a l l , wo das Integral s

=

in blossen Logarithmen darstellbar ist. Die gleiche Aufgabe für n = 1 hat der Verfasser in Tortolini Aun. IV. unter dem Titel: Proprietà di una classe di integrali di irrazionali algebraici possibili con soli logaritmi gelöst. Hier ist f eine ganze Function von x, m eine Primzahl, n eine positive ganze Zahl, und alle C j < w " , Es wird als bekannt vorausgesetzt, dass das Integra] die Form haben muss

- m—1

S = AJS q-M WO

pE=

a""""

>'

. log

k=-mn-1 _L Kv = (