Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik: Band 25 Jahrgang 1893 u. 1894 [Reprint 2020 ed.] 9783112373187, 9783112373170

Citation preview

Jahrbuch über die

Fortschritte der Mathematik begründet von

Carl

Ohrtmann.

Im Verein mit anderen Mathematikern und unter b e s o n d e r e r M i t w i r k u n g der H e r r e n Felix Müller und Albert Wangerin herausgegeben von

E m i l Lampe.

Band XXV. Jahrgang 1893 u. 1894.

B e r l i n . Druck und Verlag von G e o r g R e i m e r .

1897.

Erklärung der Citate. Eine eingeklammerte (arabische) Zahl vor der (römischen) Bandzahl bezeichnet die Reihe (Serie), zu welcher der Band gehört. Einige periodische Schriften, in denen nur zuweilen eine vereinzelte mathematische Arbeit erschienen ist, sind in dieses Verzeichnis nicht aufgenommen worden; das bezügliche Citat im T e x t e ist dann in hinreichender Ausführlichkeit gegeben.

Acta Math.: Acta Mathematica. Zeitschrift herausgegeben von G, MittagLeffler. Stockholm. 4°. X V I I (1893), X V I I I (1894). Acta Soc. Fennicae: Acta societatis scientiarum Fennicae. Helsingfors 4°. X I X (1893), X X I (1894). American J.: American Journal of Mathematics. Editor S. Newcomb, Associate Editor Th. Craig. Published under the auspices of the J o h n s Hopkins University. Baltimore. 4°. X V (1893), X V I (1894). American M. S. Bull.: Bulletin of the American Mathematical Society. A historical and critical review of mathematical science. E d i t e d by Th. S. Fiske, A. Ziwet, F. Morley. New Y o r k . 8°. (2) I (1894). Amst. Alcad. Verh.: Koninklijke Akademie van W e l e n s c h a p p e n , Amsterdam. Verhandelingen. Sect. I. Deel II (1893/94). Annali di Mat.: Annali di matematica pura ed applicata diretti dal prof. Francesco Brioschi colla cooperazione dei professori: L . Cremona, E . Beltrami, E . Betti, F . Casorati. Milano. 4°. (2) X X I (1893), X X I I (1894). Annals of Math.: Annals of Mathematics. Ormond S t o n e , editor. William M.Thornton, associate editor. Office of publication: University of Virginia. B. Westermann and Co. New York. 4°. V I I (1893), V I I I (1893/94), I X (1894). Ann. de Chim. et Phys.: Annales de Chimie et de Physique par MM. Berthelot, Pasteur, Friedel, Mascari. P a r i s . Gauthier-Villars et Fils. 8°. (6) X X V I I I - X X X (1893), (7) I - I I I (1894). Ann. de VËc. Norm.: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, publiées etc. par un comité de rédaction composé de MM. les maîtres de conférences de l'École. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 4°. (3) X (1893), XI (1894). Annuaire Belg. : Annuaire de l'observatoire royal de Belgique par F . Folie. Bruxelles. Hayez. L X (1893), L X I (1894). Arch. f . Art.: Archiv für die Artillerie- und Ingenieur-Officiere des Deutschen Reichsheeres. Redaction: Schröder, Meinardus. Berlin. Mittler u. Sohn. 8°. 0 (1893), CI (1894). Arch. Néerl: Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles, publiées par la Société Hollandaise des sciences à Harlem et rédigées par J . Bosscha etc. Harlem. 8°. X X V I I (1893), X X V I I I (1893/94). A*

E r k l ä r u n g der Citate.

IV

Arch. sc. phys.: Bibliothèque universelle. Archives des sciences physiques et naturelles. Genève, Bureau des Archives. 8°. (3) X X X - X X X I I (1893/94). 4ssoe. Franç.: Association F r a n ç a i s e pour l'avancement des sciences. Compte rendu de la 22 m e session. Congrès de Besançon (1893). P a r i s au secrét a r i a t de l'association et chez G. Masson. 8° (1894). Astr. Nachr.: Astronomische Nachrichten, begründet von H. C. Schumacher. Unter Mitwirkung des V o r s t a n d e s der Astronomischen Gesellschaft heraueg. von A. Krüger. Kiel. 4°. C X X X I , C X X X I I , C X X X I I I (1893); C X X X I V , C X X X V , C X X X V I (1894). Atti Acc. Gioenia: Atti dell'Accademia Gioenia di Scienze naturali in Catania. (4) VI (1893), V I I (1894). Atti Acc. Napoli: V I I (1894).

Atti dell'Accademia di Napoli. (2) V (1893), V I (1893/94),

Atti dell'Acc. Pont.:

Atti dell'Accademia Pontaniana. Roma. XXIV (1894).

Batt. O. : Giornale di matematiche di Battaglini per il progreso degli studi nelle università italiane. F o n d a t o nel 1863. Proseguito dal prof. A. Capelli. Napoli, gr. 8». X X X I (1893), X X X I I (1894). Belg. Ann.: Annuaire de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux - arts de Belgique. Bruxelles, F . Hayez. L I X (1893). Belg. Bull.: Bulletin de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des b e a u x - a r t s de Belgique. Bruxelles. 8°. (3) X X V , X X V I (1893); X X V I I , X X V I I I (1894). Belg. Mém.: Mémoires de l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. In 4°. X L I X , L I (1893); L U (1894). Belg. Mém. C.: Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beaux - arts de Belgique. Collection in 8°. Bruxelles. F. Hayez. X L V I I , 1892-1893 (1893). Belg. Mém. S. É.: Mémoires couronnés e t Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie Royale des sciences, des lettres et des beauxarts de Belgique. Bruxelles. F . Hayez. 4°. L U (1893), L I I I (1894). Beri. Abk.: Abhandlungen der Kgl. Preussischen Akademie der W i s s e n schaften zu Berlin. Berlin. 4°. Beri. Ber.: Sitzungsberichte der Kgl. Preussischen Akademie d«r W i s s e n schaften zu Berlin. Berlin. 8°. 1893, 1894. Beri. Phys. Ges. Verh.: Verhandlungen der physikalischen Gesellschaft zu Berlin. Leipzig. Barth. 8°. X I I (1893), X I I I (1894). Bibl. Math.: Bibliotheca Mathematica, Zeitschrift für Geschichte der Mathematik, herausgegeben von Gustaf Eneström. Stockholm. 8°. (2) V I I (1893), V I I I (1894). Bologna Mem.: di Bologna.

Memorie della R . Accademia delle scienze dell' Istituto Bologna. 4°. (5) I I I (1893), I V (1894).

Bologna Rend.: Rendiconto delle sessioni dell'Accademia dell'Istituto di Bologna. Bologna. 8°. 1893/94.

delle scienze

Bordeaux Mém.: Mémoires de la Société des sciences physiques e t naturelles de Bordeaux. Bordeaux. P a r i s . 8°. (4) I, III (1893); I V (1894). Brit. Ass. Rep.: Report of the meeting of the British Association for the advancement of science. London, gr. 8°. 1893, 1894.

Erklärung der Citate.

V

Brüx. S. sc.: Annales de la Société scientifique de Bruxelles. Bruxelles, Schapens; Paris, Gauthier - Villars et Fils. (Doppelt paginirt, unterschieden durch A und B ; A = 1«« partie, B = 2« partie.) XVII (1893), XVIII (1894). Bull, intern, de l'Ac. François Joseph:

Siehe

Rozpravy.

Cambr. Proc.: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge. V i l i (1894). Çambr. Trans.: Transactions of the Philosophical Society of Cambridge. Cambridge. XV (1894). V V Casop. : Casopis ; Zeitschrift zur Pflege der Mathematik und Physik, redigirt mit besonderer Bücksicht auf Studirende der Mittel- und Hochschulen von P. J. Studniòka, herausgegeben vom Vereine böhmischer Mathematiker in Prag. Prag. 8°. (Böhmisch.) XXII (1893), XXIII (1894). Centralbl. der Bauverw.: Centralblatt der Bauverwaltung. Herausgegeben im Ministerium der öffentlichen Arbeiten. Redaoteure 0 . Sarrazin und O. Hossfeld. Berlin. Ernst u. Sohn. 4°. Charkow Ges.: Sammlung der Mitteilungen und Protokolle der mathematischen Gesellschaft in Charkow. (Russisch.) (2) III (1893), IV (1893/94). Civiling.: Der Civilingenieur. Organ des sächsischen Ingenieur- und Architekten -Vereins. Unter Mitwirkung etc. herausgegeben von Dr. E. Hartig. Leipzig. Arthur Felix. 4°. XXXIX (1893), XL (1894). C. B.: Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Paris. 4°. CXVI, CXVII (1893); ÜXVIII. CXIX (1894). Darboux Bull.: Bulletin des sciences mathématiques, rédigé par MM. G. Darboux et J. Tannery avec la collaboration de MM. André, Battaglini etc. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 8°. (2) XVII (1893); XVIII (1894). Deutsche Math. Ver. : Jahresbericht der Deutschen Mathematiker - Vereinigung. Herausgegeben im Auftrage des Vorstandes von W. Dyck, E. Lampe. Berlin. Georg Reimer. II (1893), III (1894). Dublin Proc.: Proceedings of the Royal Irish Academy. Dublin. VIII (1893). Dublin Trans.: Transactions of the Royal Irish Academy. Dublin. XXX (1893). Edinb. M. S. Proc.: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 8». XI (1893), XII (1894). Edinb. Proc.: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 8°. Edinb. Trans.: Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Edinburgh. 4°. XXXVII (1893). Ed. Times: Mathematical questions and solutions, from the „Educational Times", with many papers and solutions in addition to those published in the „Educational Times." Edited by W. J. C. Miller. London. 8°V Francis Hodgson. LVIII, LIX (1893); LX, LXI (1894). Gett. Abh.: Abhandlungen der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften za Göttingen. Göttingen. 4°. iGött. Nachr.: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Göttingen. 8°. 1893, 1894. Hamb. Mitt.: Mitteilungen der Hamburger Mathematischen GesellschaftHamburg. 8°. III (1893/94).

VI

Erklärung der Citate.

Hoffmann Z.: Zeitschrift für mathématischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Unter Mitwirkung der Herren n. s. w. herausgegeben von J. C, V. Hoffmann. Leipzig. Teubner. 8°. XXIV (1893), XXV (1894). Hoppe Arch. : Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Berücksichtigung der Bedürfnisse der Lehrer an den höheren Lehranstalten, gegründet von J. A. Grunert, fortgesetzt von ß. Hoppe. Leipzig. C. A. Koch. 8°. (2) XII (1893/94), XIII (1894). Japan Joum.: Journal of the College of science, imperial university, Japan. Published by the university. Tokyo. 4°. V I (1893). J. de VÊc. Pol.: Journal de l'École Polytechnique, publié par le conseil d'instruction de cet établissement. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 4°. Oah. LXIII (1893), LXIV (1894). J. de Math, èlém.: Journal de Mathématiques élémentaires à l'usage de tous les candidats aux écoles du gouvernement et des aspirants au baccalauréat ès sciences, publié sous la direction de M. de Longchamps. Paris. Delagrave. 8°. (4) II (1893), III (1894). J. de Math, spfc.: Journal de Mathématiques spéciales à l'usage des canditats aux Écoles Polytechnique, Normale et Centrale, publié sous la direction de M. de Longchamps. Paris. Delagrave. 8°. (4) II (1893), III (1894). J. für Math.: Journal für die reine und angewandte Mathematik, gegründet von A. L. Creile 1826. Herausgegeben unter Mitwirkung etc. von L. Puchs. Berlin. G.Reimer. 4°. OXI, CXII (1893); CXIII, CXIV (1894). Johns Hopkins Univ. Circ. : Johns Hopkins University Circulars. Published with the approbation of the Board of Trustees. Baltimore. 4°. XI (1893), XII (1894). Jordan Z. f . V. : Zeitschrift für Vermessungswesen. Organ des deutschen Geometervereins. Herausgegeben von W. Jordan und C. Steppes. Stuttgart. 8°. XXII (1893), XXIII (1894). Joum. de Math.: Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé en 1836 et publié jusqu'en 1874 par J. Liouville etc. Publié par 0. Jordan avec la collaboration de M. Lévy, A. Mannheim, É. Picard, H. Poincaré, H. Resal. Paris. 4°. (4) IX (1893), X (1894). Journ. de phys.: Journal de physique théorique et appliquée. Fondé par J . Ch. d'Àlmeida et publié par MM. E. Bouty, A. Oornu, E. Mascari, A. Potier. Paris. Au Bureau du Journal de Physique. 8°. (3) II (1893), III (1894). Kasan Ges.: Nachrichten der physiko-mathematischen Gesellschaft an der Kaiserlichen Universität zu Kasan,. (Russisch.) (2) III (1893), IV (1894). Kiew Univ. Nachr.: Nachrichten der Kaiserlichen Universität zu Kiew. (Russisch.) 1893, 1894. Königsb. Physik.--ökon. Oes.: Schriften der physikalisch - ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg. Königsberg i. Pr. gr. 4°. XXXV (1894). Krakau. Abh. : Abhandlungen der Krakauer Akademie der Wissenschaften. Krakau. (Polnisch.) Krakau. Ber.: Berichte der Krakauer Akademie der Wissenschaften. Krakau. (Polnisch.) X X I V - X X V I (1893). Leipz. Abh.: Abhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch - physische Klasse. Leipzig. 4°. XX (1893).

Erklärung der Citate.

VII

Leipz. Ber. : Berichte über die Verhandlungen der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zn Leipzig. Mathematisch - physische Klasse. Leipzig. 8°. XLV (1893), X L V I (1894). Leopoldina: Leopoldina. Amtliches Organ der Kais. Leopoldino - Carolinischen Dentschen Akademie der Naturforscher. Herausgeg. von K. v. Fritsch. Halle a. S. gr. 4°. XXX (1893), XXXI (1894). Liège Mém.: Mémoires de la Société [Royale des sciences de Liège. Bruxelles. Hayez; Paris. Boret. Lisboa Jörn,: Jornal de Sciencias Mathematicas, Physicas e Naturaes publicado sob os auspicios da Academia Real das Sciencias de Lisboa. Lisboa. 1893. Lomb. Ist. Rend.: Reale Istituto Lombardo di scienze e lettere. Rendiconti. Milano. 8°. (2) XXYI (1893), X X V I I (1894). Lond. M. S. Proe.: Proceedings of the London Mathematical Society. London. 8°. X X I V (1893), X X V (1894). Lond. Phil. Tram.: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London. 4°. CLXXXIV (1893/94), CLXXXV (1894). Lond. M. S. Proc.: Proceedings of the Royal Society of London. London. 8°. L U , L U I , L I V (1893); L V (1894). Math. Ann.: Mathematische Annalen. In Verbindung mit C. Neumann begründet durch R. F. A. Clebsch. Unter Mitwirkung der Herren P . Gordan, C. Neumann, M. Noether, K. VonderMühll, H. Weber gegenwärtig herausgegeben von F. Klein, W. Dyck und A. Mayer. Leipzig. Teubner. 8°. XLI, XLII, XLIII (1893); XLIV, X L V (1894). Mathesis: Mathesis, Recueil mathématique à l'usage des écoles spéciales et des établissements d'instruction moyenne publié par P. Mansion et J. Neuberg. Paris, Gauthier-Villars et Fils. Gand, Hoste. 8°. (2) III (1893), IV (1894). Math. Magazine: The Mathematical Magazine. A Journal of elementary and higher mathematics. Edited and published by Artemas Martin. Washington D. C. 4°. II (1894). Mém. Sav. Étr.: Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences de l'Institut de France et imprimés par son ordre. 4°. Messenger: The Messenger of Mathematics. Edited by J . W. L. Glaisher. London and Cambridge. Macmillan and Co. 8". (2) XXII (1893), X X I I I (1893/94), X X I V (1894). Meteor. Zeitschr.: Meteorologische Zeitschrift. Herausgegeben im Auftrage der Österreich. Gesellschaft für Meteorologie und der deutschen Meteorol. Gesellschaft, redigirt von J . Hann u. G. Hellmann. Wien. Ed. Holzel, gr. 8». X (1893), XI (1894). Mitt. üb. Art. u. Genie: Mitteilungen über Gegenstände des Artillerie- und Genie-Wesens. Herausgegeben vom K. K. technischen u. administrativen Militär- Comité. Wien. R. v. Waldheim. 8°. X X I V (1893), X X V (1894). Modena Mem.: Memorie della Regia Accademia di scienze, lettere ed arti in Modena. Modena. 4°. (2) IX (1893). Monatsh. f . Math. : Monatshefte für Mathematik und Physik. Mit Unterstützung des hohen K. K. Ministeriums für Cultus und Unterricht herausgegeben von G. v. Escherich und Em. Weyr. Wien. 8°. IV (1893), V (1894). Monthly Notices: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. London. 8°. L I I I (1893), L I V (1894).

Vili

Erklärung der Citate.

Moskau. Math. Samml. : Mathematische Sammlung, herausgegeben von der Mathematischen Gesellschaft in Moskau. (Bassisch.) X V I - X V I I (1893/94). Moskau. Phys. Sect.: Arbeiten der physikalischen Section der Kaiserlichen Gesellschaft der Freunde der Naturkunde, Anthropologie und Ethnographie. Moskau. (Rassisch.) V (1893), VI (1893/94), V I I (1894). (Auch unter dem Titel: Nachrichten der Kaiserlichen Gesellschaft etc. Bd. L X X V I I I = V, Bd. L X X X V I I I = VI, Bd. XCI = VII.) Münch. Abh.: Abhandlungen der Kgl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Zweite Klasse. München. 4°. X V I I I (1893). Münch. Ber.: Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. München. 8°. X X I I I (1893), X X I V (1894). Napoli Rend.: Rendiconto dell'Accademia delle scienze fisiche e matematiche (Sezione della Società Reale di Napoli). Napoli. 4°. (2) VII (1893), V I I I (1894). Nature: Nature, a weekly illustrated journal of science. London and New York. Macmillan and Co. 4°. X L V I I , X L V i l i (1893); X L I X (1893/94), L, L I (1894). New York M. S. Bull.: Bulletin of the New York Mathematical Society. A historical and critical review of mathematical science. Edited by Th. S. Fiske, A. Zi wet. New York. 8°. II (1893), III (1893/94). Nieuw Archie/: Nieuw Archief voor wiskunde uitgegeven door het Wiskundig Genootschap te Amsterdam onder redactie van J . C. Kluyver, D. J . Itorteweg en P . H. Schonte. Amsterdam. 8°. XX (1893), (2) I (1894). Nouv. Ann.: Nouvelles Annales de mathématiques. Journal des candidats aux Ècoles spéciales, à la licence et à l'agrégation, rédigé par MM, Ch. Brisse et E. Rouché. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 8°. (3) XII (1898), X I I I (1894). Nuovo Cimento: Il Nuovo Cimento. Giornale fondato per la fisica e la chimica da C. Matteucci e R. Piria, continuato per la fisica esperimentale e matematica da E. Betti e R. Felici. Pisa. Salvioni. gr. 8°. (3) X X X I I I , X X X I V (1893); XXXV, XXXVI (1894). Nyt Tidss. for Math.: Nyt Tidsskrift for Mathematik. Redigeret af P . T. Foldberg og C. Juel. (Abteilung A für elementare, B für höhere Mathematik.) Kjöbenhavn. 8°. I V (1893), V (1894). Odessa Oes.: Denkschriften der .mathematischen Abteilung der neurussischen Gesellschaft der Naturforscher. (Russisch.) X V (1893). Padova Atti: Atti della Reale Accademia di scienze, lettere ed arti di Padova. X (1894). Palermo Rend.: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Palermo, gr. 8°. V I I (1893), V i l i (1894). Periodico di Mat.: Periodico di matematica per l'insegnamento secondario pubblicato per cura di A. Lugli. Roma. 8°. VIII (1893), IX (1894). Petersb. Abh.: Abhandlungen der Kais. Akademie der Wissenschaften zu St. Petersburg. St. Petersburg. L X X I I - L X X I V (1893/94). Phil. Mag.: The London, Edinburgh and Dublin philosophical magazine and journal of science. Conducted by Lord Kelvin, G . F . Fitzgerald, W. Francis. London. 8°. (5) X X X V , X X X V I (1893); X X X V I I , X X X V I I I (1894). Phys.-Math. TFiss.; Die physiko-mathematischen Wissenschaften. Journal der reinen und angewandten Mathematik, Astronomie und Physik, herausgegeben von W. W. Bobynin. Moskau. (Russisch.) XI (1893/94'), XII (1894).

Erklärung der Citate.

IX

Pisa Ann.: Annali della Reale Scuola Normale Superiore di P i s a . Scienze fisiche e matematiche. Pisa. 8°. Politecnico: Il Politecnico. Giornale dell'ingegnere architetto civile ed industriale. Milano. Tipografia e Litografia degli Ingegneri, gr. 8°. X L I (1893), X L I I (1894). Poslce Z.: Zeitschrift für den physikalischen und chemischen Unterricht. Unter der besonderen Mitwirkung von E. Mach und B. Schwalbe, herausgegeben von P . P o s k e . Berlin. J . Springer, gr. 8°. VI (1893), V I I (1893/94). Pr. = Programmabhandlung, nasium, etc. 1893, 1894.

Gymn. — Gymnasium, Realgymn. — Realgym-

Prace mat.-ßz.: P r a c e matematyczno-fizyczne. (Mathematische und physikalische Abhandlungen, hrsg. in Warschau von S. Dickstein, W . Gosiewski, E. u. W. Natanson.) gr. 8°. (Polnisch.) I V (1893), V (1894). Prag. Ber.: Sitzungsberichte d e r K g l . Böhmischen Gesellschaft der "Wissenschaften. P r a g . 8°. 1893, 1894. Progreso mat.: E l progreso matemático. Periódico de matemáticas puras y aplicadas. Director D< Zoel G. de Galdeano. Zaragoza. 8°. 111(1893), I V (1894).

S

M

S

8

S

/ 2 '

S

J 4 ~ '

_ Ä

i l 4

regel=

S

I 4 "

s,, = -J Diagonale des umgeschriebenen Quadrates.

Note über die Unmöglichkeit der ConStruction der Ludolphischen Zahl. Königsb. physik.-ökon. Ges.

SAALSCHÜTZ.

X X X V . [ 2 3 ] - [ 2 5 ] (1894).

Der Verf. geht von der allgemeinsten Form einer geometrisch construirbaren Grösse aus und zeigt, wie man zu einer algebraischen Gleichung mit ganzen rationalen Coefficienten gelangen kann, zu deren Wurzeln sie gehört. Lp.

A.

MEYER.

Cirkelperiferiens Längde og Cirklens Areal.

Nyt Tidss. for Math. VB. 68-72 (1894).

Eine elementare und sehr exaete Darstellung des Satzes, dass der Perimeter eines einem Kreise eingeschriebenen und eines umgeschriebenen Polygons denselben Grenzwert für die Länge hat, wenn die Anzahl der Seiten ins Unendliche wächst. V.

Capitel 3.

J. E.

BÖTTCHER.

911

Elementare Geometrie.

Beliebig weit angenäherte 7i-Construction.

Hoppe Arch. (2) XII. 444-445 (1894).

Zieht man in einer Ecke A des eingeschriebenen regelmässigen Sechsecks die Tangente, verlängert die von A ausgehenden Seiten des 6-, 12-, 24-, ... Ecks, erstere bis E so, dass AE = 3R, errichtet in E das Lot auf AE, im Schnittpunkt desselben mit der folgenden Verlängerung auf dieser das Lot u. s. f., so wird schliesslich auf der Tangente A7J = M. — Nach einer Anmerkung des Verfassers findet sich diese Construction schon bei Chr. Nehls: „Ueber graphische Rectification von Kreisbogen", Hamburg 1892, und ist in die fünfte Auflage von Glinzer's Planimetrie 1892 aufgenommen. Lg-

A.

PLESKOT.

Notiz zur Rectification des Kreises.

Casopis

X X I I . 152 (Böhmisch, 1893).

Bietet eine Verbesserung der Methode von Srütek, über welche im vorigen Jahrgang dieses Jahrbuches berichtet wurde (S. 530). Std. A.

OZEGOWSKY.

Die Quadratur des Kreises.

Druck VON G.

Fiedler. 14 S. 8». Mit Fig.-Taf. (1893).

„Die Wahrheit schreitet einfach, aber majestätisch voran und zermalmt ihre Gegner!" Diese Wahrheit besteht darin, dass für die Umfangsberechnung n — 3-3-, für die Inhaltsberechnung n = 3 ist. Jeder Tertianer kann die Fehlschlüsse und falschen Behauptungen des die „Wahrheit" verkündenden Apostels herausfinden. Seht. R.

DORR. Die Kreislinie und die Seite des kreisgleichen Quadrats annähernd darstellbar durch goniometrische Functionen. Ein Beitrag zur Quadratur des Kreises. Elbing. C. Meissner. 3 S. 8» (1894).

H.

SCHOTTEN.

Ueber successive Fusspunktspolygone.

Hoppe Arch. (2) X I I I . 65-68 (1894).

912

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Nachdem der Verfasser schon früher einmal (Schlömilch Z. XXXIV. 311, F. d. M. XXI. 1889. 558) eine Verallgemeinerung des Simson'schen Satzes bewiesen hatte, indem er an die Stelle der Lote Strahlen setzte, die unter einem Winkel von gegebener Grösse schneiden, bietet er hier eine interessante Verallgemeinerung desselben Satzes in einer anderen Richtung, indem er den folgenden Satz beweist: „Fällt man von einem Punkte P des Umkreises eines Sehnen - n-Ecks Lote auf die n Seiten, so bilden die n Fusspunkte ein «-Eck mit einer einspringenden Ecke; fällt man auf die Seiten des so gewonnenen n-Ecks wiederum von P aus Lote, so bilden die Fusspunkte ein w-Eck mit zwei einspringenden Ecken u. s. w. Nachdem diese Construction des Lotfällens im ganzen ( n — 2 ) - m a l ausgeführt ist, erhält man n Fusspunkte, die auf einer Geraden liegen. Geht man von zwei Punkten aus, die Endpunkte eines Durchmessers sind, so erhält man schliesslich zwei parallele Gerade, wenn n eine gerade Zahl ist, zwei zu einander senkrechte Gerade, wenn n eine ungerade Zahl ist." Seht.

S.

HOTT.

Sur un problème proposé par

M.

E. Amigues.

Nouv. Ann. (3) XIII. 488-490 (1894).

Zwei gleiche Kreise A und B berühren sich und werden von einer gemeinsamen Tangente berührt. Ein Kreis C, berührt A und B von aussen und eine ihrer gemeinsamen Tangenten. Dem von A, B und Ct begrenzten krummlinigen Dreieck wird ein Kreis C2 einbeschrieben u. s. w. ad inf. Der Radius von C„ wird der 2n(n-\-l) ta Teil vom Radius der gegebenen Kreise. Die Summe der Inhalte aller Kreise bis ins Unendliche ist ^ (rt 1 —9) vom Inhalt jedes der ursprünglichen Kreise. Seht.

C.

DAVIDS.

blems.

Dreizehn Auflösungen des Malfatti'schen ProHoppe Arch. (2) XIII. 10-34 (1894).

Die Auflösungen werden mit den elementaren Mitteln der analytischen Geometrie gewonnen und sind teils alt, teils neu. Seht.

Capitel 3.

913

Elementare Geometrie.

Una solución al problema del círculo tangente Tx. á otros tres. Progreso mat. III. 169-171 (1893).

R . CARO.

H.

VERRIÈRE. Sur les cercles tangents à deux côtés d'un triangle et au cercle circonscrit. J. de Math. élém. (4) n. 196-204 (1893).

A.

SAUVE.

Lp.

Un problema di geometria.

Periodico di Mat. IX.

185-187 (1894).

Drei gegebene Kreise berühren eine und dieselbe Gerade ; eine Secante zu finden, aus der alle drei Kreise Sehnen von derselben Länge ausschneiden. Lp. H.

VERRIÈRE.

des cercles),

Sur le théorème de Poncelet (dans le cas j . de Math. élém. (4) II. 79-84 (1893).

Zwei elementare Beweise für den Satz, dass, wenn ein Dreieck einem Kreise ein-, einem anderen Kreise umbeschrieben ist, es unendlich viele solche Dreiecke für beide Kreise giebt. Der zweite Beweis rührt von Hrn. Ciairin her. Lp. Gr.

E.

CRAWFORD.

On a problem in tangency.

Edmb. M.

S. Proc. XII. 112-113 (1894).

A OB, DOE sind irgend zwei sich schneidende Sehnen eines Kreises; man verlangt, einem der Abteile, wie BOE, einen Kreis einzubeschreiben. Gbs. (Lp.) J.

S. M A C K A Y . Formulae connected with the radii of the incircle and the ex circles of a triangle. Edinb. M. S. Proc. XII. 86-105 (1894).

Zahlreiche Formeln sind hier zusammengestellt; dieselben sind, soweit dies möglich war, den Autoren zugeschrieben, welche sie zuerst veröffentlicht haben. Gbs. (Lp.)

914

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Notes de géométrie.

É. LEMOINE.

Assoc. Franç. BesançonXXII.

132-146 (1893).

Zahlreiche Eigenschaften oder Formeln aus der Dreiecksgeometrie, wie sie gerade vom Verf. gefunden sind, als Gegenstand zu Uebungsaufgaben. § 1. Beispiele für die Anwendung der „stetigen Transformation«. (F. d. M. XXIII. 1891. 597). § 2. Einige geometrische Oerter. § 3. Zwei Erzeugungsarten einiger merkwürdigen Punkte. § 4. Ueber eine transcendente Curve und den Fall, in dem sie algebraisch wird. § 5. Einige Bemerkungen und Lehrsätze in Bezug auf das Dreieck oder die Kegelschnitte. § 6. Einige Formeln und Erörterungen bezüglich des Dreiecks. Lp.

J. S.

Note de géométrie.

MACKAY.

J. de Math. éiém. (4) il.

9 7 - 1 0 0 (1893).

Angabe einer grossen Anzahl von Lagenbeziehungen zwischen den merkwürdigen Punkten derjenigen Dreiecke, welche durch die Berührungspunkte der In- und Ankreise eines Dreiecks als Ecken bestimmt sind, sowie derer, welche die Seiten dieser Dreiecke und die des ursprünglichen Dreiecks als Seiten haben. Lp.

J. S.

Propriétés du triangle.

MACKAY.

III. 2 1 7 - 2 2 1

J . de Math.

élém.

(4)

(1894).

Fortsetzung und Ausdehnung ähnlicher Angaben wie in der eben besprochenen Note. Lp. F.

FERRARI.

Distanze di punti notevoli del triangolo.

Periodico di Mat. V i l i . 6 5 - 6 9 ( 1 8 9 3 ) .

Berechnungen der betreffenden Abstände unter Bezugnahme auf die Arbeit des Herrn Thiry (F. d. M. XXIII. 1891. 599). LPJ.

DHAVERNAS.

Notes sur les symédianes.

J. de Math. élém.

(4) I I I . 1 6 9 - 1 7 0 (1894).

Beziehungen der Symmedianen zu merkwürdigen Punkten des Dreiecks. Lp.

Capitel 3. 0 . SCHLÖMILCH.

des Dreiecks.

915

Elementare Geometrie.

Drei Aufgaben über ausgezeichnete Punkte Hoffmann Z. XXIV. 161-167 (1893).

Der Punkt 0 liege im Innern des Dreiecks ABC; die Geraden AO, BO, CO treffen BC, CA, AB bezw. in X, Y, Z. 1. JAYZ:BZX:CXY=a:ß:y. II. BX . CX: CY. AY: AZ. BZ = a:ß:y. III. Die harmonischen Mittel aus den Seitenabschnitten BX und CX, CY und AY, AZ und BZ verhalten sich wie a:ß:y. Man erhält jedesmal eine kubische Gleichung. Lp.

A.

On the nine-points circle of a plane triangle.

CAYLEY.

Messenger (2) XXIII. 25-27 (1893).

Zuerst wird derjenige Kreis betrachtet, welcher die Seiten eines Dreiecks in den beliebigen Punkten (F, L), (G, M), (H, N) trifft. Schliesslich weiden F, G, R als die Fusspunkte der drei Höhen angenommen und L, M, N als die Mitten der drei Seiten, wobei der Kreis in den der neun Punkte übergeht. Glr. (Lp).

A.

On the nine-points circle.

CAYLEY.

Messenger (2)

xxni.

23-25 (1893).

Zieht man an einen Kegelschnitt aus den Ecken A, B, C eines Dreiecks Tangenten, welche die Gegenseiten in (a, a'), (ß, ß'), (y, y') treffen, so liegen bekanntlich diese sechs Punkte auf einem Kegelschnitte. Artet der Kegelschnitt in zwei Punkte (o, o') aus, so folgt der Satz, dass die Verbindungslinien der drei Ecken mit zwei Punkten (o, o') die Gegenseiten in sechs Punkten (a, ß, y), (a', ß', y') treffen, die auf einem Kegelschnitte liegen. Der Verf. sucht die Bedingung dafür auf, dass der Kegelschnitt ein Kreis wird, und findet, dass dann der Kreis der Feuerbach'sche ist. Glr. (Lp.)

A.

CAYLEY.

triangle.

On the nine - points circle of a spherical Quart. J. XXVII. 35-39 (1893).

Verf. giebt einige Formeln und Relationen für den „Neun-

916

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

punktekreis" eines sphärischen Dreiecks (vergl. Hart: „Extension of Terquem's theorem respecting the circle which bisects three sides of a triangle". Quart. J. IV (1861), 260-261). Wbg.

FANNY GATES. Some considerations on the nine - point conic and its reciprocal. Annais of Math. VIII. 185-188 (1894). Schneidet man die sechs Seiten eines vollständigen Vierecks ABCD durch eine Gerade a und bestimmt auf jeder Seite zu ihren Ecken als zugeordneten und dem Schnittpunkte mit a als drittem den vierten harmonischen Punkt x, so liegen die sechs Punkte x und die drei Nebenecken des Vierecks auf einem Kegelschnitt. Dieser „Neunpunktekegelschnitt" ist der Ort aller Pole von a für die durch ABCD gehenden Kegelschnitte. Der erste Teil des Satzes ist bekannt, der zweite wird hier analytisch, der entsprechende Satz für das Vierseit rein geometrisch bewiesen. LgTH. WIMMENAUER. Eine neue Ableitung der Hauptsätze vom Feuerbach'sehen Kreise. Hoffmann z. x x v . 32-33 (1894).

M M E PRIME.

S u r le centre orthocentroi'dal.

Mathesis (2) nr.

33-36 (1893).

Neue Eigenschaften des Kreises über dem Abstände des Schwerpunktes und Höhenschnittes eines Dreiecks als Halbmesser. Dml. (Lp.) J. GRIFFITHS. I. Note on a variable seven-points circle, analogous to the Brocard circle of a plane triangle. — II. Note on four special circles of inversion of a system of generalized Brocard circles of a plane triangle. Lond. M. S. Proc. X X V . 75-85 und 376-388 (1894).

Der hier betrachtete Siebenpunktekreis entsteht in folgender Weise: Es seien U ein Pankt des Bogens BCÜ, welcher AC in

Capitel 3.

Elementare Geometrie.

917

C berührt, U' ein Punkt des Bogens, welcher AB in B berührt, so dass Z ÜBC = UCA = U'CB = U'BA = w. BU treffe die Mittellinie AM in m und Cm den Bogen BC'U in V. CU' treffe

AM in m' und Bm' den Bogen BClT in V.

CV und BV'

schneiden sich in K, und das Mittellot von BC treffe CA in N. Beschreibt man über CN einen Kreisbogen CON ähnlich CUA, so dass Z. CON — CUA ist, und bringt diesen mit dem Mittellot in 0, endlich BU mit CU' in A! zum Durchschnitt, dann liegen die sieben Punkte U, U', V, V , 0, K, A! auf einem Kreise mit dem Durchmesser OK, der in den Brocard'schen übergeht, wenn U der positive Brocard'sche Punkt ist. — Der Mittelpunkt dieses Kreises beschreibt eine Hyperbel H, wenn U den Bogen B UC durchläuft, während der Kreis selbst von einem andern J rechtwinklig geschnitten wird, der seinen Mittelpunkt auf BC hat. 0 und A! durchlaufen das Mittellot von BC, und es ist Z. UO U' = 2co. Treffen die Lote OA', OB', OC' auf die Seiten BC, CA, AB den Kreis OKU in A\ B', C, dann ist A'B'C' ähnlich ABC. — In II werden die Kreise J ausführlicher behandelt. Lg.

J.

GRIFFITHS.

I. Note on secondary Tucker - circles.

London M. S. Proc. XXIV. 121-130 (1893).

II. Note on the centres of similitude of a triangle of constant form inscribed in a given triangle, ibid. 181-187. III. Note on the centres of similitude of a triangle of constant form circumscribed to a given triangle, ibid. 369-372 (1893).

1. Die beiden einem festen Dreieck ABC eingeschriebenen Dreiecksscharen DEF von der constanten Form A'B'C', deren Ecken D, E, F der Eeihe nach auf BC, CA, AB liegen, haben je einen gemeinsamen Aehnlichkeitspunkt G bez. G', so dass G und G' inverse Punkte in Bezug auf den Umkreis von ABC sind, und dass der Umkreis jedes der Dreiecke DEF eine doppelte Berührung mit je einem ABC eingeschriebenen Kegelschnitt bat. Bei den hier behandelten Specialfällen wird 1. D = B, E— C, F= A; 2. D = C, E — A, F—B genommen. Für 1. sind die Fortschr. d. Math. XXV. 2.

59

918

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Aehnlichkeitspunkte der Dreiecke DEF die Brocard'schen Punkte und die Umkreise die Tucker'schen. Auf 2. macht der Verfasser hier zuerst aufmerksam; die Aehnlichkeitspunkte sind in diesem Fall die Inversen der Brocard'schen, und die entsprechenden Umkreise von DEF werden „secundäre Tucker-Kreise" genannt. Der Unterschied zwischen ihnen und den gewöhnlichen Tucker-Kreisen wird an speciellen Fällen erläutert. II. Können die Ecken D, E, F beliebig auf den Seiten BC, CA, AB liegen, so giebt es 12 solcher Systeme, von denen jedes seinen besonderen Aehnlichkeitspunkt hat. Diese lassen sich in zwei Gruppen zu je sechs Punkten so ordnen, dass die Punkte jedes Paares denen des andern invers in Bezug auf den Umkreis von ABC sind und selbst je auf einem Kreise liegen. Jeder Punkt auf einem dieser Kreise kann betrachtet werden als Aehnlichkeitspunkt eines Systems von ähnlichen eingeschriebenen Dreiecken, welche gleichen Brocard'schen Winkel haben mit A'B'C'. Ist A'B'C' ähnlich ABC, so ist der eine Kreis der Brocard'sche, der andere die Lemoine'sche Gerade. Aus besonderen Lagen der Aehnlichkeitspunkte ergeben sich andere Specialfälle. III. Wird umgekehrt DEF als fest und das ihm umgeschriebene Dreieck ABC als veränderlich mit constanter Form angenommen, so findet man ähnliche Sätze, wobei der Aehnlichkeitspunkt durch den „isogonalen" Punkt in Bezug auf DEF zu ersetzen ist. Lg. R.

On a group of triangles inscribed in a given triangle ABC, whose sides are parallel to connectors of any point P with A, B, C. Lond. M. S. Proc. XXIV. 131 - 143 TÜCKER.

(1893).

Es giebt immer zwei Dreiecke DEF und D'E'F', welche ABC so eingeschrieben sind, dass ihre Seiten den Geraden PA, PB, PC parallel sind. EF' und E'F' schneiden sich in a„ FD und F'D' in 6„ DE und D'E' in c, so, dass Aan Bb„ Cc, wieder durch einen Punkt P' gehen. Ist insbesondere P der Höhenpunkt, so ist P' das Umkreiscentrum; für P als Umkreis-

Capitel 3.

919

Elementare Geometrie.

centrum ist P' der Mittelpunkt des Feuerbach'schen Kreises etc.; im Schwerpunkt G fallen P und P' zusammen. PP' geht stets durch G, und es ist GP= 2GP'-, DE' und D'F schneiden sich im Aehnlichkeitspunkt P" von DEF und D'EF. Zu P als Höhenpunkt gehört P" als Grebe'scher Punkt, zu P als Schwerpunkt der Mittelpunkt P" der Brocard'schen Ellipse, während der Schwerpunkt sich wieder selbst entspricht. Zum Schluss werden einige Umhüllungscurven von Linien der Figur betrachtet, wenn P eine Gerade oder einen Kegelschnitt durchläuft. Lg. R.

TUCKER.

A

property of the circumcircle (II).

Lond.

M. S. Proc. XXV. 315-318 (1894).

Wenn man durch die Brocard'schen Punkte S2 und Si' Linien von A, B, C zieht, welche den Umkreis in LL', MM', NN' treffen, und dann durch diese Punkte Parallelen zu AB, AC\ BC, BA; CA, CB, so bestimmen letztere ein Dreieck pqr, welches mit ABC congruent ist und mit ihm die Brocard'sche Ellipse gemeinsam hat. Der Kegelschnitt durch ABCpqr ist concentrisch mit der Brocard'schen Ellipse und schneidet den Umkreis im Steiner'schen Punkt; seine Axen sind parallel denen der Minimumellipse von ABC. Schneiden sich die in A und B gezogenen Tangenten dieses Kegelschnitts in r' u. s. f., dann gehen Ap', Bq', Cr' durch den Lemoine'schen Punkt des Mittendreiecks von ABC. Lg. R.

TUCKER.

A geometrical note.

Lond. M.

s. Proc. xxiv. 162-

166 (1893).

Zieht man von dem Fusspunkt E der Gegenmittellinie BE einerseits die Parallele EF zu BC und die Antiparallele ED zu AB, andererseits die Parallele ED' zu AB und die Antiparallele EF' zu BC, dann ist FD = BF und F'D' = BD', und die eingeschriebenen Dreiecke DEF und D'EF' haben denselben Umkreis, welcher AC in E berührt und zu den Tucker'schen gehört. Es giebt offenbar, den Ecken A und C entsprechend, noch zwei Paare solcher Dreiecke, für die dann noch einige weitere Eigenschaften hergeleitet werden. Lg. 59*

Vili. Abschnitt.

R. TUCKRR.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Some properties of two Tucker circles.

Lond. M. S. Proc. XXV. 389-394 (1894).

Macht man AF = AFl = AP., BD = BDt = Bii, CE = CEt = CS, AE' = AE\ = AS1', BF' = BF\ = BSi', CD' = CD\ - CS', wo S nnd S' die Brocard'schen Punkte des Dreiecks ABC sind, dann liegen DD'EE'FF' und Dx D\ElE\ Fl F\ auf je einem Tucker'schen Kreise, für welche hier mehrere Bestimmungsstücke berechnet werden. Lg. R . TÜCKER.

Solution of questions 1 1 5 9 9 ,

11670.

Ed. Times LVIII. 119-123 (1893).

Bei einem Dreiecke ABC werden auf den Seiten drei Punkte P, Q, R und drei Punkte P', Q', R' so angenommen, dass BP: CP = CQ-.AQ AR-.BR = m-.n, CP'-.BP' = AQ'-.CQ' = BR':AR' — m-.n. Daun geht die Potenzlinie der Umkreise von PQR, P'Q'R' durch den Schwerpunkt und die „S-Punkte" von ABC. Schneiden sich QR und Q'R' in 1, RP und R'P' in 2, PQ und P'Q' in 3, so ist die Gleichung des Umkreises von 123 abcSaßy = mn2aa.2aa\—mnat-\-(mi-{-mn-\-n'')(b*-\-ct) j. Der Kegelschnitt um P'PQ'QR'R ist concentrisch, ähnlich und ähnlich liegend mit der kleinsten, dem Dreiecke ABC umgeschriebenen Ellipse. Die /S-Punkte von PQR und P'Q'R' sind: aa aa mq*-t-nr' '" ' nq"-i-mr" ' wo p= QR, ...; p' = Q'R', . . . , und der S-Punkt von 123 ist aa/[(mi-+-n3)a3+mn(b* + c'J] = ••• = •••. LPR . TÜCKEK.

Geometrical note.

Edinb. M. S. Proc. XI. 5 7 - 6 0

(1893); XII. 51-54 (1894).

Lösungen der Aufgaben 11599 und 11670 der Educational Times (vergl. das vorangehende Referat). Gbs. (Lp).

Capitel 3.

R . TUCKER.

mi

Elementare Geometrie.

TWO triplets of circumhyperbolas.

Edinb. M.

S. Proc. X I I . 69-75 (1894).

Unter der Schar von Kreisen, welche die Seiten AB, AC eines Dreiecks berühren, habe einer seine Berührungspunkte in K, L\ dann ist der Ort des Schnittpunktes von BL, CK eine Hyperbel. Es giebt noch zwei andere, in ähnlicher Art bestimmte Hyperbeln; mannigfache Eigenschaften derselben werden erörtert. So sind die vier festen Punkte, durch welche alle drei gehen, die Ecken A, B, C und der Gergonne'sche Punkt von ABC. Die Tangente der ersten Hyperbel in A ist die Winkelhalbirende durch A, und ihre Tangenten in B und C treffen sich auf der äusseren Winkelhalbirenden durch A. Die Polaren der Mittelpunkte von CA, AB "schneiden sich auf der Symmediane durch A, u. s. w. — Bei dem zweiten Systeme ist KL eine Antiparallele ztitä Winkel A, und der Oft von P ist eine gleichseitige Hyperbel. Gbs. (Lp.) R.

TUCKER.

TWO

circular notfcS;

Edinb. M.

S.

Proc. X I I . 17-22

(1894).

In der ersten Note werden die Punkte D, E, F auf den Seiten BC, CA, AB eines Dreiecks ABC so angenommen, dass ABFD = CDE = AEF\ die Längen der Seiten DE u. s. w. werden berechnet, die Gleichung des Kreises DEF gegeben und specielle Fälle angemerkt. — In der zweiten Note wird ein beliebiger Punkt 0 mit den Ecken A, B, C des Dreiecks verbunden^ und die Winkel BOC, COA, AOB durch Linien gehälftetj welche BC, CA, AB bezw. in D, E, F treffen. Einige Eigenschaften der Schar von Dreiecken DEF werden betrachtet. Gbs. (Lp.)

R.

TUCKER.

Notes on an orthocentric triangle.

Edinb.

M.

S. Proc. X I I . 118-119 (1894).

DEF ist das Fusspunktendreieck von ABC-, P, Q, R sind die Höhenschnitte der Dreiecke AFE, BDF, CED. Die Dreiecke PQR und DEF erweisen sich als congfuent, das Sechseck DQFPER gleich dem doppelten Fusspunktendreieck, das Lot von P auf EF

922

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

gleich dem von D auf Q R u. s. w. Einzelne der Eigenschaften wurden früher bereits durch Hrn. Mackay im Bande I der Proceedings der Gesellschaft gegeben; doch war derselbe noch nicht erschienen, als die Noten verfasst wurden. Gbs. (Lp.)

F.

FERRARI. S U un 136-143, 170-175 (1894).

triangolo notevole.

Periodico di Mat.

ix.

Die drei Ecktransversalen durch einen Punkt M in der Ebene eines Dreiecks A B C mögen die Seiten B C , C A , A B desselben in M a , M i , M c schneiden; man setze A M

C

_

ß

B M

M

B

~

a '

M

e

a

a

_

C

y

C M

b

ß '

M

A~

b

_

a y '

Ferner seien P , Q zwei andere Punkte der Dreiecksebene, denen auf den Seiten A B , B C , C A die bezüglichen Verhältnisse entsprechen : A P P

C

C

B

_

y_

B P a _

ß '

P

a

C

C P y '

b

P „ A

_

ß a '

AQ^=a_ BQa_ = 1 CQb_ __ y_ QcB y'QaC a ' QbA ß' Die Punkte M , P , Q nennt der Verfasser „circular verknüpft" (circolarmente associati) bezüglich ABC-, ist einer derselben gegeben, so sind die anderen beiden bestimmt. Die Zahlen «, ß, y sind die barycentrischen Coordinaten von M , ebenso ß, y, a von P und y, a, ß von Q . Das Dreieck M P Q wird näher untersucht, und dabei ergeben sich viele Formeln und Sätze aus der Dreiecksgeometrie, z. B.: Die Summe der Abstände dreier circular verknüpften Punkte von einer Seite von ABC ändert sich nicht mit diesen Punkten. Lp.

Gr. DE LONGCHAMPS. Un théorème sur la géométrie des masses. Assoc. Franç. Besançon 274-277 (1893). Bei N gegebenen Punkten betrachtet man alle durch dieselben als Ecken gebildeten Dreiecke, wenn man sie zu je dreien combinirt; darauf für jedes einzelne den Mittelpunkt des Euler'schen

Capitel 3.

Elementare Geometrie.

923

Kreises und den Höhenschnitt h. Der Schwerpunkt J2 der durch die Mittelpunkte co gebildeten Gruppe und der Schwerpunkt H der Gruppe der Punkte h liegt mit dem Schwerpunkt G der gegebenen Gruppe in einer Geraden; ferner ist GR = iGQ. Lp.

E.

LEMOINE.

continue),

Extrait d'une lettre (sur la transformation j . de Math. élém. (4) II. 135-136 (1893).

Macht auf die Formeln aufmerksam, welche durch die stetige Transformation aus manchen zum Beweise vorgelegten Formeln folgen. Lp.

E.

LEMOINE.

Question 471.

Solution et remarques.

J. de Math. élém. (4) II. 230-232 (1893).

Der inverse Punkt v0 des Nagel'schen Punktes liegt auf der Centrale des In- und des Umkreises eines Dreiecks. Verwandlung dieses Satzes durch die stetige Transformation. Lp.

E.

LEMOINE. Une règle d'analogies dans le triangle et la spécification de certaines analogies à une transformation dite „transformation continue". Nouv. Ann. (3) xji. 20-36 (1893).

Weitere Erörterungen und Beispiele für die Verwendbarkeit der Transformation continue. (Vergi. F- d. M. XXIII. 1891. 597). Eine an die Akademie (C. R. CXVI. 31) gerichtete Note betrifft denselben Gegenstand. Lg. MICHEL.

Sur la transformation continue.

J. de Math. élém.

(4) ì l . 29-33 (1893).

Beweis des grundlegenden Satzes in der bezüglichen Lemoine'schen Theorie (vergi. F. d. M. XXIII. 1891. 597, XXIV. 1892. 539 ff.). Lp.

E.

Nuevo medio de obtener fórmulas en la geometría del triángulo. Progreso mat. IV. 161-165 (1894). LEMOINE.

924

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Darstellung der Grundlagen der „Transformation continue" f ü r spanische Leser.

S.

H.

HALL

metry. 456.]

Lp.

and S.

R.

Elementary Trigono-

KNIGHT.

London. Macmillan & Co. XV + 356 S. (1893). [Nature XLIX.

S.

L . LONEY. Plane trigonoraetry. XVI-+- 480 -+- XXVIS. (1893).

Cambridge. University Press

Das erste dieser beiden Werke erledigt solche Teile der Trigonometrie, die nicht

complexe Grössen

oder unendliche Reihen

einschliessen, und ist in dieser Beschränkung ein recht befriedigendes Schulbuch. lischen

Das zweite

Lehrbüchern

dagegen umfasst das ganze in eng-

gewöhnlich

behandelte

Gebiet.

Der

erste

Teil des Buches beschäftigt sich mit den elementaren Abschnitten des Gegenstandes und steht auf ungewöhnlicher Höhe,

indem die

Darstellung klar ist, die Beispiele zahlreich und gut gewählt sind. Der zweite Teil geht auf die höheren Capitel ein, den Moivre'schen Satz und die Reihenentwickelungen.

Dieser Teil scheint dem Ref.

nicht von gleichem Werte zu sein.

Die Beweise für die Reihen

für e*, l( 1+¿E) Z. B. lassen manches zu wünschen übrig,

und es

wäre wohl besser gewesen, entweder wegen der Beweise auf andere W e r k e hinzuweisen (wie dies unter anderem auf S. 322 bezüglich des allgemeinen binomischen Satzes geschehen i s t ) , oder aber die Beweisführung gründlicher zu gestalten.

Trotz dieser Ausstellungen

möchte Ref. jedoch nicht die Meinung unterdrücken, dass auch in dem

zweiten Teile,

besonders in der Abstufung der sehr

zahl-

reichen Beispiele, viel Vortreffliches enthalten ist.

Der Druck ist

ausgezeichnet.

Gbs. (Lp.)

und F . v. LÜHMANN. Anfangsgründe der Trigonometrie. Pensum der Unter-Secunda. Berlin. L.Simion.

H . LIEBER

22 S. 8° (1893). Das Pensum der Unter-Secunda erscheint hier im Zusammenhang, vermehrt um geeignetes Uebungsmaterial; § 1 — 8 f ü r Gymnasien, der Rest für Realanstalten.

Der Tangentialsatz, sowie die

Capitel 3.

Formeln

925

Elementare Geometrie.

für die Functionen der halben Winkel

werden (da das

Additionstheorem ausgeschlossen ist) geometrisch hergeleitet. aus derselben Figur abzulesenden W e r t e f ü r a-\-b:c würden das Aufgabengebiet noch erweitert haben.

und

Die a—b-.c

Zwei Tabellen

von bestimmten Werten der Dreiecksstücke, auch einige Beispiele aus der angewandten Trigonometrie erhöhen die Brauchbarkeit des Buches.

L.

Lg-

Trigonométrie à l'usage des candidats aux baccalauréats de l'enseignement secondaire. [J. de Math, GÉRARD.

élém. (4) III. 273-274.]

C.

A. L A I S A N T . Recueil de problèmes de Mathématiques. Arithmétique. Algèbre élémentaire. Trigonométrie. A l'usage des classes de mathématiques élémentaires. Paris. Gauthier-Villars et Fils. X + 8 6 S . 8° (1893).

32 Aufgaben aus der Arithmetik, aus der

Trigonometrie,

138 aus der Algebra,

zusammengestellt

XXIV. 1892. 631 angeführten Zeitschriften für den mathematischen übrigen

von

Herrn

aus den

französischer Sprache

Unterricht in Mittelschulen.

Laisant

161

in F. d. M.

zusammengestellten

Wie

die

Aufgabensamm-

lungen liefert auch die vorliegende sehr viel interessantes Uebungsmaterial,

zu

dessen Entstehung

eine grosse Zahl fleissiger

kenntnisreicher Mathematiker Beiträge gegeben haben.

und

Mehr aber

als bei den Sammlungen aus der Geometrie macht sich in dem gegenwärtigen Büchlein der Uebelstand bemerkbar, dass nur Zeitschriften französischer Zunge benutzt sind; sonst würde die Arbeit weit mehr und viel mannigfaltigere Beispiele aufzuweisen haben. LPMEYER.

ALBERT

metrie

nach

Die Grundlehren der ebenen Trigonoden neuen preussischen Lehrplänen.

Pr. (No. 677) Realsch. Cöthen. 21 S. 4«. Mit 2 Fig.-Taf. (1893).

In

dieser Arbeit

Dreiecksberechnung

wird gezeigt,

gelöst werden

dass die Grundaufgaben können,

der

ohne dabei mehr als

nur Functionen eines Winkels zu verwenden, wobei also Formeln für Summen

und Differenzen von Winkeln

ausgeschlossen

sind.

926

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Hierdurch wird den Forderungen der preussischen Lehrpläne vom 31. März 1892 entsprochen, und die Trigonometrie wird geometrisch und daher auch anschaulicher als sonst behandelt. Als Anhang an diese Arbeit folgen noch die Formeln für Summe und Differenz zweier Winkel; und diese Formeln werden mit Hülfe des Dreiecks bewiesen. Mz. P.

MANSION.

Sur la trigonométrie élémentaire.

Brüx.

s. sc.

XVII A. 69 (1893).

Die Auflösung aller Dreiecke kann gelehrt werden, indem man nur die trigonometrischen Linien positiver, unter einem Rechten liegender Winkel anwendet, und ohne dass man zu den Logarithmen greift. Mn. (Lp.) A.

PLESKOT. Geometrische Ableitung der Additionsformeln von goniometrischen Functionen. Casopis xxm. 183 (Böhmisch, 1894).

Für Mittelschüler berechnete Ableitung der bekannten Formeln Std. E.

LAMPE,

R.

F.

DAVIS.

Solution of question

11649.

Ed Times LVIII. 115-119 (1893).

Aus Anlass eines besonderen Falles, welcher zum Beweise vorgelegt worden war, hat Ref. die folgende Aufgabe gestellt. Ein Kreis sei in den Punkten Alt A2) ..., An in n gleiche Teile geteilt, 0 liege beliebig auf dem Kreise zwischen Al und An. Man ziehe OAl = a,, OA2 = a3, ..., OA„ = a„, so ist im Falle eines ungeraden n = 2ot4-1 : (a 1 -+-a„)(a 2 -l-a n _,) ... (a m +a m + 2 ) = aZ+ I, («,+an) — (a3 + a„_i)-t-(a3 + «n-s) (—l)m~1am+1. Für den Fall n = einer geraden Zahl 2 m sollten die entsprechenden Relationen aufgestellt werden. Hr. Davis bewirkt die Lösung durch Anwendung des Ptolemäischen Lehrsatzes für den Fall n = 9,

Capitel 3.

927

Elementare Geometrie.

erklärt aber, den Fall eines geraden n nicht behandeln zu können. Hierauf giebt Ref. den leicht ersichtlichen Zusammenhang jener Formeln mit den Kreisteilungsgleichungen, erörtert die Abwandelungen der Beziehungen bei cyklischer Permutation sämtlicher Indices und weist auf die Möglichkeiten hin, noch viele andere, ähnliche Relationen aufzustellen. Lp.

F.

SPECHT. Herleitung der trigonometrischen Formel für die Tangente des halben Winkels aus den Seiten des Dreiecks. Hoppe Arch. (2) XIII. 2 2 3 - 2 2 4 (1894).

Eine ganz elementare Herleitung, die von der Construction des Inkreises mit dem Radius q, wo: j/(s—«)(>—¿00—c)

Q =

als bereits bekannt gilt, ausgeht und mit Hülfe der trigonometrischen Beziehung: tg a _

™ 2

¿t

= —-— zu der Formel:

S

CL

1 ,Ks — g)(s—b)(s—c) s—a V s

gelangt.

Mz.

Sur les triangles dont les côtés sont en progression arithmétique. J. de Math. élém. (4) Iii. 193-196 (1894).

DROZ-FARNY.

Neun Sätze über das Dreieck, bei welchem b + c = 2a.

Lp. C. A.

ROBERTS.

On rational triangles.

Math. Magazine I i . 136

(1894).

Der Verf. setzt a = p'-h2ç2, è = p'+éç', c = 2p2+2ç\ i 2 wodurch J = 2pq(p -\-2q ) wird, und berechnet hieraus für p ungerade und q relativ prim zu p 64 rationale Dreiecke mit Seiten unter 500. Lp.

928 F.

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Dreieckssatz.

SPECHT.

Hoppe Arch.

(2) xni. 222-223 (1894).

Der Verfasser beweist folgenden Lehrsatz: Verhalten sich die drei Seiten eines Dreiecks wie 4 : 5 : 6 , so ist der Winkel y, welcher der letzten Seite gegenüberliegt, zweimal so gross wie der Winkel a, welcher der ersten Seite gegenüberliegt.. elementar.

Der Beweis ist ganz

Auch wird gezeigt, dass cosa = I , cosß = -j^-, cos/ =

Die Winkel a, ß, y sind daher mit Lineal und Zirkel construirbar. Mz. J.

DURAN

LORIGA.

Nota sobre el triangulo.

Progreso mat.

IV. 313-316 (1894); Teixeira J. X I I . 45-50 (1894).

Der Verf. giebt die geometrische Darstellung und die Anwendungen der Ausdrücke K&'+c»—a), 4«), i ( a ' + è ' - c 3 ) , ¿ ( a ' + ^ + c ' ) , wo a, b, c die Seiten eines gegebenen Dreiecks bezeichnen. Tx. (Lp.) J.

Propriétés de deux triangles.

WASTEELS.

Mathesis (2)

III. 89-90 (1893).

Beziehungen zwischen verschiedenen Elementen zweier Dreiecke, von denen das eine die Seiten a, b, c das andere die Seiten b-\-c, c+a,

a-\-b hat.

Dml. (Lp.)

Résumé d'un mémoire sur la détermination d'un triangle au moyen des longueurs de ses bissectrices.

BARBARIN.

S. M. F. Bull. X X I I . 76-80 (1894).

Die Aufgabe: „Ein Dreieck aus einem Winkel A und den Winkelhalbirenden von B und C zu bestimmen", führt auf eine kubische Gleichung für x = tang — j —

(I), durch welche x be-

stimmt wird für den Fall, dass sie eine positive Wurzel unter z = tang

71

^

hat.

Zwischen A und drei zusammenlaufenden

Winkelhalbirenden besteht ebenfalls eine für die letztere kubische Gleichung (II),

durch welche für die Winkelhalbirenden von A

Capitel 3.

929

Elementare Geometrie.

sieb so viel Werte ergeben, als die entsprechende Gleichung positive Wurzeln unter z hat. — Sind drei Winkelhalbirende von A, B, C gegeben (zusammenlaufend oder nicht), so werden die Gleichungen vom 12ten, bez. 16ten Grade. Sind insbesondere zwei einander gleich, so ergiebt sich der Satz: Jedes Dreieck mit zwei gleichen Winkelhalbirenden ist gleichschenklig, wenn beide innere, oder beide äussere sind und im letzteren Falle eine von ihnen dem mittleren Winkel angehört; andernfalls gilt der Satz nur, wenn der dritte Winkel 120° oder 60° beträgt. Die betreffenden Gleichungen sind angeführt, aber nicht hergeleitet; eine graphische Conatruetion ihrer Wurzeln wird am Schluss gegeben. Lg.

Zur Theorie des ebenen Tangentenvierecks.

W . BINDER.

Hoffmann Z. XXIV. 410-417 (1893).

Uebungen in trigonometrischen Rechnungen an der Figur. LP-

C.

CiAMBERLINI.

del piano.

Sulla relazione tra le distanze di 4 punti

Batt. G. XXXI. 218-226 (1893).

Die zwischen den sechs Seiten eines vollständigen ebenen Vierecks bestehende Relation wird in verschiedenen Formen angegeben und zur Lösung von geometrischen (besonders Kreis-) Aufgaben benutzt. F. BRIGGS and T. W . EDMONDSON. Mensaration of the simpler figures. (Univ. Corr. Tutorial Series). London:

W.

Olive Univ. Coli. Press (1893). [Nature XLIX. 28.]

J . GILLET.

Quelques formules de trigonométrie sphérique.

Progreso mat. IV. 185-193, 209-214 (1894).

Zuerst stellt der Verf. die Formeln für die Radien der Inund Ankreise eines sphärischen Dreiecks sowie seiner Ergänzungsdreiecke auf; dann findet er die Mittelpunktsabstände dieser Kreise. Tx. (Lp.)

930

VIII. Abschnitt.

Y. B a l b i n .

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Tratado de Estereometria genetica.

Buenos

Aires (1895).

In diesem Werke vereinigt der Verf. sowohl dasjenige, was über diesen Zweig der räumlichen Geometrie in elementarer Behandlung veröffentlicht ist, als auch die Ergebnisse seiner eigenen Untersuchungen. Bei der Abfassung seines Werkes hat der Verf. hauptsächlich das Lehrbuch von Heinze und Lücke benuzt (F. d. M. XVIII. 1886. 485). Von den Fragen, deren Behandlung Hr. ßalbin als ihm angehörig in Anspruch nimmt, seien erwähnt: 1) Ausdehnung der planimetrischen Simpson'schen Formel auf die Körperinhalte, 2) transversale Schnitte der Polyedroide, 3) Schwerpunktshöhe der Polyedroide, 4) allgemeine Sinram'sche Formel, u. a. m. Tx. (Lp.)

Gr. Hauck. Lehrbuch der Stereometrie. Auf Grund von F. Kommerell's Lehrbuch neubearbeitet und erweitert. 7. Aufl. Tübingen. H. Laupp. X V I + 225 S. 8° (1893). Es sind mehrere, wenn auch nicht wesentliche Aenderungen angebracht, welche von dem rastlosen Weiterarbeiten des Verfassers an der Vervollkommnung seines Lehrbuchs Zeugnis ablegen. Zur Vereinfachung des Lehrsystems wurden Sätze umgestellt oder zusammengezogen, andere inhaltlich geändert oder gestrichen. Bei den Figuren wurden im Interesse des mündlichen Unterrichts Punkte durchweg mit grossen Buchstaben bezeichnet. In stilistischer Beziehung endlich wurde zur Erhöhung der Schärfe und Leichtverständlichkeit, sowie der Gefälligkeit des Ausdrucks der Text durchgesehen und verbessert. Lg.

Wimmenauer.

Die Grundbegriffe der Stereometrie.

Pr. (No. 451) Gymn. Mörs. 7 S. 4» (1894).

Der Verfasser sagt in einer Vorbemerkung, die Definition: „Parallele Gerade sind solche derselben Richtung" sei der anderen Definition vorzuziehen: „Parallele Gerade sind solche in einer Ebene liegende Gerade, die sich in unbeschränkter Verlängerung

Capitel 3.

931

Elementare Geometrie.

nicht schneiden". Er behandelt die Gerade im Räume und hierauf die Ebene; den Inbegriff aller in einer Ebene vorkommenden Richtungen definirt er als die Stellung der Ebene. Es werden nun die elementaren Eigenschaften von Gerade und Ebene und ihre gegenseitigen Beziehungen mit Anwendung der Begriffe von Richtung und Stellung in etwas einfacherer Weise behandelt, als es sonst geschieht. Mz.

E.

Leitfaden der Stereometrie nebst grossen Anzahl von Uebungsaufgaben. 2. Aufl. WROBEL.

einer Rostock.

W. Werther. IV -+- 104 S. 8° (1894).

In diesem Buche ist die Stereometrie, so weit sie auf die höhere Schule gehört, in knapper Form, aber doch vollständig vorgetragen. Die Raumberechnung ist durchweg auf den Satz des Cävalieri gegründet. Sehr viele gut gewählte Uebungsaufgaben, denen am Schluss des Buches die Resultate beigefügt sind, erhöhen den Wert des Buches. Druck und Figuren lassen nichts zu wünschen übrig. Mz.

C.

H . MÜLLER.

Stereometrische Oonstructionen.

Pr. (No. 388)

Kaiser Friedr.-Gymn. Frankfurt a. M. 32 S. 4°. Mit 6 Fig.-Taf. (1893).

Die Arbeit wird genauer charakterisirt durch ihren zweiten Titel: „Projectionslehre für die Prima des Gymnasiums". Die darstellende Geometrie ist nur an den Realanstalten Unterrichtsgegenstand und wird auch hier fast nur von den Zeichenlehrern gegeben, ein Zustand, an welchem die Universität allein die Schuld trägt, da sie den Studenten der Mathematik dieses wichtige Gebiet vorenthält, so dass auch die Prüfungsordnung für das höhere Schulamt davon absehen muss. Neben den vorhandenen guten Büchern (Schmidt, Holzmüller) behält nun die vorliegende Arbeit ihren besonderen Wert, weil sie dem Fachcollegen die Auswahl erleichtert und zeigt, wie die Sache in einem ganz bestimmten Falle arnf dem Gymnasium angefasst worden und wie weit man damit gekommen ist. Den ganzen Stoff (14 Abschnitte) „bequem in der Priima ohne Beeinträchtigung des übrigen mathe-

932

VIII. Abschnitt

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

matischen Pensums durchzuarbeiten", dürfte freilich nicht allen gelingen, ist auch unbeschadet des Nutzens durchaus nicht nötig, da die einzelnen Capitel selbstständigen Wert besitzen. Die Abhandlung ist namentlich bei den fundamentalen Entwickelungen breit und ausführlich gehalten, da sie zugleich als Lehrprobe für die fragend entwickelnde Methode gelten soll. Die einzelnen Capitel sind: Begriff der Projection. Der Punkt und seine Coordinaten. Das aufgeklappte Dreikant. Strecke, Dreieck und Quadrat. Regelmässiges Vieleck und Kreis. Die unbegrenzte Gerade. Die unbegrenzte Ebene. Körper in einfacher Lage. Kartenprojectionen. Ebene Schnitte an Körpern (Kegelschnitte). Durchdringungen von Körpern. Schattenconstructionen. Central-Projection; Malerperspective. Verbindung von Central - Perspective mit Schatten-Construction. Lg. J . DELBOEUF.

le plan. H.

Sur la première proposition concernant

Mathesis (2) III. 134-136 (1893).

Ueber einige Sätze aus der elementaren Raumgeometrie. Hoppe Arch. (2) XII. 16-22 (1893). SEIPP.

Elementare Sätze über convexe Ecken, die möglichst streng hergeleitet werden, z. B., dass die ebene Fläche eines jeden convexen Vielecks die kleinste von allen zwischen seiner Umgrenzung möglichen Flächen ist. Seht. C. CRONE. Et Bevis IVB. 67-68 (1893). ANSTED. Et Bevis IVA. 139-140 (1893).

for Eulers Saetning. for Eulers Saetning.

Beweis für Euler's Satz über die Polyeder.

F.

CBLADEK.

punkte.

Nyt Tidss. for Math. Nyt Tidss. for Math.

V.

Eine räumliche Betrachtung der Dreiecks-

Hoppe Arch. (2) XII. 109-111 (1894).

Capitel 3.

933

Elementare Geometrie.

Das allgemeine Dreieck wird als ebener Schnitt des von drei rechtwinkligen Axen gebildeten Trieders betrachtet. Es ergeben sich sehr viele einfache Beziehungen des Dreiecks, namentlich seines Höhenschnitts, Schwerpunkts, In- und Umkreismittelpunkts zur Gesamtfigur. H. 0.

Ein stereometrisches Analogon zum Pythagoreischen Lehrsatz. Schlömilch Z. X X X V I I I . 383-384 (1893). BEAU.

Dieses Analogon ist dem Referenten schon seit seiner Schülerzeit bekannt. Wo und wann dasselbe zuerst vorkommt, kann'derselbe jedoch nicht angeben. Es lautet: Gehen von einem Punkte 0 die drei Strecken OA, OB, OC unter rechten Winkeln aus, so ist in dem entstehenden Tetraeder:

(.ABC)1 =

(OABy-h(OAC)*-+-(OBC)\

eine einfache Folge der bekannten Relation der analytischen Geometrie: cos 2 a + cos 2 jä-t-cos 2 y = 1. Seht.

und P Ü T Z E R . Bemerkungen zu dem Artikel von Beau: Ein stereometrisches Analogon zum Pythagoreischen Lehrsatz. Schlömilch Z. X X X I X . 64 (1894). K . FINK. Bemerkung zu demselben Artikel. Ebenda. 192

KLOSS

(1894).

Die vom Referenten in dem vorangehenden Referate mitgeteilte Thatsache wird dadurch bestätigt, dass angegeben wird, wo der Lehrsatz in Grunert's Lehrbuch steht. Herr Pützer giebt ferner die auch schon bekannte Erweiterung auf Polyeder an. Herr Fink teilt mit, wo in Carnot's Büchern (1801 und 1803) der Satz und seine Erweiterungen auf Polyeder, ebene und windschiefe Polygone zu finden sind. Seht.

DOKLKT.

Note sur les figures semblables.

J. de Math. eiem.

(4) III. 241-245 (1894).

Sätze über ähnliche Figuren im Räume von der Art der entsprechenden Sätze für solche Figuren in der Ebene. Lp. F o r t s c h r . iL M a t h . X X V .

2.

60

934

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

On the division of a parallelepiped into tetrahedra withoat making new corners. Edinb. M. s. Proc.

CRUM

BROWN.

XII. 106-108 (1894)1

Nach der in diesem Aufsatze angewandten Methode ermittelt man zuerst, auf wie viel Arten ein Würfel in Tetraeder geschnitten werden kann, ohne dass man neue Ecken schafft. Danach nimmt man jede dieser Teilungen des Würfels als den Typus einer Gattung von Teilungen des allgemeinen Parallelepipedons und bestimmt die Anzahl der Arten in jeder Gattung. Die allgemeine Untersuchung mit Abbildungen der Tetraeder und ihrer Zusammenhänge wird in Edinb. R. S. Trans, veröffentlicht. Gbs. (Lp.)

R.

HOPPE.

Gleichseitiges Tetraeder.

Hoppe Arch. (2)

xn.

327-

334 (1893).

Der Verfasser sagt im Anfange dieses Aufsatzes: Vier Eigenschaften können einem Tetraeder nur gemeinsam zukommen: 1. Congruenz aller Seiten, 2. paarweise Gleichheit der Gegenkanten, 3. Gleichheit aller Seiten, 4. Gleichheit aller Höhenlote. Dazu ist der Beweis des Satzes erforderlich: Sind alle Seiten eines Tetraeders gleich, so sind sie auch congruent; doch gilt dieser Satz nicht von den Grenzgebilden erster und zweiter Dimension, in die das Tetraeder stetig degeneriren kann. Dieser Satz wird nun im Folgenden bewiesen; daran werden weitere Eigenschaften vom gleichseitigen Tetraeder (also demjenigen mit paarweise gleichen Gegenkanten) geknüpft. Auch wird die Aufgabe gelöst: Die Kanten eines gleichseitigen Tetraeders zu finden, wenn dessen Volumen, Oberfläche und Ecke gegeben sind. Mz.

E.

LEMOINE.

Continue.

Application au tétraèdre de la transformation Assoc. Franç. Besançon X X I I . 146-163 (1893).

Durch seine „stetige Transformation" hatte der Verf. aus einer bekannten Formel für das ebene Dreieck andere neue Formeln abzuleiten gelehrt (F. d. M. XXIII. 1891. 597). Der gegenwärtige Artikel dehnt jenes Verfahren auf das Tetraeder aus. Am Schlüsse

Capitel 3.

935

Elementare Geometrie.

wird die geringe Fruchtbarkeit dieser Ausdehnung in der Erzeugung neuer Sätze und Formeln auf die geringe Ausbildung der Göometrie des Tetraeders im Vergleich zu der des Dreiecks zurückgeführt Hr. Genty, mit dem der Verf. diesen Umstand erörtert hat, erhofft reiche Ergebnisse von den Methoden der Vectorgeometrie in ihrer Anwendung auf das Tetraeder. Lp.

A.

MANNHEIM, NOUY. A n n .

E.

(3) X I I .

GENTY. 6*-9*

Solution de la question 399.

(1893).

Der von Hrn. Mannheim zum Beweise vorgelegte Satz^ lautet: Durch einen Punkt o des Raumes lege man zu den vier Seitenflächen eines Tetraeders abcd parallele Ebenen; dieselben bestimmen mit jeder dreiseitigen Ecke des Tetraeders Parallelepipeda, deren Rauminhalte Pa, Pb, P c , Pd seien. Dann ist

LP-

J.

CERNESSON. Note sur le dodécaèdre et l'icosaèdre réguliers convexes. j . de Math. éléin. (4) III. 121 - 125, 1 4 5 - 147 (1894).

Bekannte elementare Berechnungen und Projectionen. _ _ _ _ _

Lp.

Der Satz des Cavalieri im mathematischen Unterricht des Gymnasiums. Pr. (No. 167) Gymn. Schrimm.

E. JACKWITZ.

8 S. 4°. Mit 1 Fig.-Taf. (1893).

Der Verfasser bespricht zuerst die Schwierigkeiten, die sich bei der Inhaltsbestimmung der Pyramide und der Kugel im Unterricht darbieten. Vielfach wird das sogenannte Cavalieri'sche Princip hierbei verwandt. Da dasselbe aber erst zu beweisen isty so wird im Grunde nicht viel dabei gewonnen. Die vorliegende Arbeit behandelt zuerst die Raumbestimmung der dreiseitigen Pyramide auf zwei verschiedene Arten:, einmal durch Halbirung der sechs Kanten, wobei Prismen und Pyramiden herauskommen, 60*

986

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

und durch Wiederholung dieses Verfahrens; das andere Mal durch Teilung' der Höhe in n gleiche Teile.

Dann wird die Fläche der

Kugelkappe und der Raum des Kugelausschnitts bestimmt. Schluss wird der Satz des Cavalieri bewiesen. A . LUGLI.

Zum

Mz.

Sopra una formola per la misura dei volumi.

Periodico di Mat. IX. 15-19, 52-54, 92-97 (1894).

Die Simpson'sche Regel für

den

stereometrischen

gegebenen ziehung

litterarischen

auf

ältere

in ihrer Verwertung

Unterricht. Anmerkungen

Quellen

auffällig.

(F. d. M. X V I I I . 1886. 485) ist der

und Tragweite

In

Bezug

ist

der

Nicht Gedanke

auf die

Mangel

an

beiBe-

erst

bei

Heinze

zur

Verwendung

jener Regel für die Ausmessung von Körpern entstanden, sondern in gleichem Sinne schon von Steiner verwertet in der Note „Ueber einige stereometrische

Sätze"

(J. für Math. X X X I I I . 1842,

Ges.

Werke II. 311-320), ferner von August (J. für Math. X L V . 1853, vergl. auch LX. 377-378), und in Mehler's Hauptsätzen der Elementarmathematik (1. Aufl. 1859) ist die Behandlung der in dem vorliegenden Aufsatze gebotenen sehr ähnlich.

A . DE SAINT GERMAIN. mesure des volumes.

Lp.

Sur une formule générale de la Nouv. Ann. (3) XII. 291-293 (1893).

Die sehr allgemeine und einfache Formel:

giebt bekanntlich das Volumen eines Körpers S, der von zwei zu einer Ebene P

parallelen

Flächen

eingeschlossen ist, wenn der

Ausdruck (z) anwendbar ist. wird hier in negativem Sinne entschieden, eine Entwickelung voraussetzt: 1 ist. Wir führen als Beispiele die folgenden an: I. Ein System algebraischer irreductibler Curven, welches die Eigenschaft besitzt, dass durch n ( > 1) beliebige Punkte der Fläche, in der das System enthalten ist, eine einzige Curve geht, ist linear, d. h. auf einem Rr eindeutig in solcher Weise darstellbar, dass den a c r _ 1 Curven des Systems, welche durch einen Punkt der Fläche gehen, die Punkte eines R r - i eindeutig entsprechen. II. Eine algebraische Fläche, die ein algebraisches cc 1 System algebraischer Curven enthält, welches die Eigenschaft besitzt, dass durch jeden Flächenpunkt mehr als zwei Curven des Systems gehen, und dass sich zwei Curven des Systems nie in mehr als in einem Punkte schneiden, ist rational, wie jede Curve des Systems rational ist. Wenn aber durch jeden Flächenpunkt zwei Curven des Systems gehen, so ist die Fläche durch die Elementenpaare einer einfachen Mannigfaltigkeit darstellbar; sie ist daher rational oder nicht, je nachdem diese rational ist oder nicht. Ein letzter Satz handelt von solchen Flächen, die zwei oo 1 Systeme algebraischer Curven enthalten, welche die Eigenschaft besitzen, dass zwei Curven verschiedener Systeme nur in einem veränderlichen Punkte sich schneiden; der Kürze wegen unterdrücken wir den Ausdruck desselben. La.

972 M.

VIII. Abschnitt. BÖCHER.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Einige Sätze über projective Spiegelung.

Math. Ann. XLIII. 598-600 (1893).

Wie Hr. Bocher zeigt, besteht der Satz: „Zwei Kegelschnitte in verschiedenen Ebenen können auf vier Arten durch eine „projective Spiegelung an zwei Geraden" (das will sagen durch eine geschart involutorische Beziehung) „in einander übergeführt werden". Man kann die Beziehung in so einfacher Weise aus zwei perspectiv involutorischen Beziehungen, von denen die eine die Kegelschnittebenen in sich, die andere in einander überführt, zusammensetzen, dass die Einführung metrischer Relationen nicht eben als geboten erscheinen kann. E. K.

G.

Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme. V. j. für Math. CXI. 207-233 (1893). HAUCK.

Während die vier vorangegangenen Aufsätze über denselben Gegenstand, die in den Bänden XCV, XCVII, XCVIII, CVIII erschienen sind, die projectiv-trilineare Verwandtschaft immer nur in ihrer allgemeinsten Form aufgefasst haben, wendet sich der vorliegende fünfte Aufsatz zu den Sonderfällen und zeigt, wie sich die im allgemeinen gefundenen Eigenschaften dabei modificiren. Nachdem die Eigenschaften der „projectiv"-linearen Verwandtschaft ebener Systeme noch einmal zusammengefasst sind, werden zunächst die Eigenschaften der „sectiv" - linearen Verwandtschaft daraus abgeleitet, und zwar durch das auf die Ebene angewandte DualitätsGesetz. Darauf werden drei Haupttypen von Specialfällen eingehend besprochen, nämlich erstens, wenn die unendlich fernen Punkte der in den drei Ebenen liegenden Hauptaxen einander zugeordnet sind, zweitens, wenn die unendlich fernen Geraden einander zugeordnet sind, drittens, wenn noch specieller als im zweiten Fall bei zugeordneten unendlich fernen Geraden je zwei gegnerische Kernstrahlenbüschel congruent sind. Seht.

Zur Theorie der trilinearen Verwandtschaft dreier einstufiger Grundgebilde. Math. Ami. XLIV. 3 7 5 - 4 1 2

F . LONDON. (1894).

Capitel 5.

Neuere synthetische Geometrie.

973

Beiläufig ist die trilineare Beziehung dreier einstufigen Grundgebilde schon von Hrn. August (Diss,. 1862) und von Hrn. Rosanes (J. für Math. LXXXVIII) behandelt, systematisch und als Forschungsmittel zuerst vom Referenten (Math. Ann. XVII) und dann in zahlreichen Abhandlungen von Hrn. Le Paige (namentlich in Belg. Mem. XLIII, XLV), ferner auch von Hrn. Hauck im J. für Math, gelegentlich der weitergehenden Untersuchung ebener Systeme, also zweistufiger Grundgebilde. Mit dieser historischen Einleitung beginnt der Verfasser seine inhaltreiche Abhandlung. Zunächst stellt er die wichtigsten Eigenschaften der trilinearen Beziehung zusammen. Dann gelangt er zu den Beziehungen der zweistufigen Mannigfaltigkeit der trilinear verwandten Elemente von Grundgebilden zu der einstufigen Mannigfaltigkeit der unicursalen „Tripelreihen", die von den Elementen dreier projectiven Grundgebilde gebildet werden, wobei namentlich die in einer zweistufig-trilinearen Verwandtschaft vorhandenen unicursalen Tripelreihen eine Rolle spielen. Darauf folgen die wichtigsten Constructionen der zweistufigen trilinearen Beziehung, vor allem die aus sieben gegebenen Tripeln, die auf die einfachsten Constructionen der Projectivität zurückgeführt werden. Endlich werden die Resultate auf die Erzeugnisse dreier projectiven Ebenenbüschel angewandt. Es wird gezeigt, dass dieselben (je nach der Lage ihrer Axen oder der speciellen Beschaffenheit der trilinearen Beziehung) alle Arten von Flächen dritter Ordnung, die allgemeinen, sowie die mit 1, 2, 3, 4 Doppelpunkten, die Regelflächen und Kegel dritter Ordnung erzeugen. Auch die reducibeln Flächen dritter Ordnung finden auf diese Weise ihre Entstehung, so dass man auch zu einer sehr verwendbaren Erzeugung der Fläche zweiter Ordnung und insbesondere zu einer direeten Construction derselben aus neun ihrer Punkte geführt wird. Seht.

F.

Die Raumcurve sechster Ordnung vom Geschlechte 1 als Erzeugnis trilinearer Grandgebilde. LONDON.

Math. Ann. X L V . 545-597 (1894).

Die Untersuchungen

des Verfassers über

die trilineare Ver»

974

VIII. Abschnitt.

"Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

wandtschaft (Math. Ann. XLIV. 375-412, s. das vorangehende Referat) werden hier fortgesetzt, aber mit dem Ziele, die Erzeugnisse trilinearer Grundgebilde zu studiren. Zunächst werden die oo 1 gemeinsamen Tripel zweier trilinearen Beziehungen, deren Gesamtheit als „bicursale Tripelreihe" bezeichnet wird, betrachtet und ihre Eigenschaften untersucht; dabei ergiebt sich, dass die Strahlentripel, welche die Punkte einer ebenen Curve dritter Ordnung mit drei festen Punkten derselben verbinden, ebenso wie die Ebenentripel, welche die Punkte einer Raumcurve vierter, fünfter, sechster Ordnung vom Geschlechte 1 aus resp. drei ihrer Bi-, Tri-, Quadri-Secanten projiciren, Tripelreihen der betrachteten Art bilden, so dass man auf diesem Wege zu einer gemeinsamen Erzeugung dieser einfachsten ebenen, wie räumlichen elliptischen Curven gelangt. Der zweite Paragraph beschäftigt sich mit den Eigenschaften der sechs gemeinsamen Tripel dreier trilinearen Beziehungen, welche ein merkwürdiges und bisher wohl wenig untersuchtes System associirter Elemente in dem Sinne bilden, dass jede trilineare Beziehung, welcher fünf oder sechs Tripel angehören, auch das sechste Tripel enthält, so dass durch fünf dieser Tripel das sechste eindeutig bestimmt ist. Für dieses sechste, eindeutig bestimmte Tripel wird eine einfache lineare Construction angegeben und gezeigt, dass die wichtigen associirten Systeme, die von den neun Schnittpunkten zweier Curven dritter. Ordnung, von den acht Schnittpunkten dreier Flächen zweiter Ordnung, von den sechs gemeinsamen Nullpaaren von vier Reciprocitäten u. s. w. gebildet werden, sämtlich auf das hier betrachtete System von sechs associirten Tripeln zurückführbar sind, so dass sich für alle diese geometrischen Abhängigkeiten das letzte durch die übrigen eindeutig bestimmte Element durch unsere Construction des sechsten associirten Tripels auffinden lässt, und daher alle diese Constructionen auf eine einzige sich reduciren lassen. Die beiden letzten Paragraphen verwenden die erlangten Resultate für die Untersuchung der Raumcurven sechster Ordnung vom Geschlechte 1, Man erkennt, dass ebenso, wie für die Raumcurven vierter Ordnung erster Art die vier Spitzen der sie enthaltenden Kegel, auch für die 9 t j vier Hauptpunkte auftreten, welche eine wichtige Rolle

Capitel 5.

Neuere synthetische Geometrie.

975

in der Geometrie der 3tJ zu spielen, berufeu sind. Durch jeden dieser vier Hauptpunkte 2; im Falle n = 1 kann jedem Wertverhältnis x0: x, eine unveränderliche, aber beliebig grosse Zahl von Punkten zugeordnet werden. Das ganze Verfahren beruht aber auf der Annahme, dass eine Gruppe von Punkten, die zu demselben System x a \x x gehören, auf allen den Geraden sich finden muss, die einen von ihnen enthalten. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Aufsuchung der kleinsten Transformationsgruppe, mit deren Hülfe man einen Raum ( n — l ) t e r Dimension eines abgegrenzten Gebietes in einen anderen Raum ( n — l ) , e r Dimension desselben Gebietes

1Ò34

VIII. Abschnitt. .Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

transformiren kann. Es zeigt sich, dass man mit Hülfe dieser Gruppe jeden Raum 0 ter , l t e r , . . . , (n—2) ter Dimension in jeden Raum gleicher Dimension des Gebietes umformen kann. Diese Transformationsgruppe ist noch von einer willkürlichen Constante abhängig und führt je nach dem Werte derselben auf die Metrik eines Raumes von positivem oder negativem constanten Krümmungsmass. E. K.

Ueber das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden. Math. Ann. X L I . 591-596 (1893).

E . BUSCHE.

Die Construction des vierten harmonischen Punktes mittels des vollständigen Vierecks lässt sich, wenn das Wort „Gerade" mit Rücksicht auf das Folgende unter Umständen durch die Bezeichnung „eindimensionaler ebener Raum" ersetzt wird, folgendermassen beschreiben: Durch den gegebenen Punkt Qa einer Geraden, auf der auch die Punkte P, und P, gegeben sind, lege man einen eindimensionalen ebenen Raum, der die Gerade g t nicht enthält. In diesem Raum nehme man zwei Punkte P , und P 4 so an, dass keine drei der Punkte P zu demselben eindimensionalen ebenen Raum gehören. Nun verbinde man den Punkt P, mit P 3 und P 4 durch die Geraden g3 und gt, den Punkt P 3 mit P , und P a durch die eindimensionalen ebenen Räume q3 und Qt. Dann werden g3 und gt von q3 und gt in den Punkten Q3 und Qt getroffen, und die beiden Punkte Qa und Q t bestimmen einen eindimensionalen ebenen Raum, der g3 in dem Punkte Q' so schneidet, dass das Doppel Verhältnis (P 1 P 3 Q 3 Q') = — 1 ist. In dieser Form lässt sich, wie der Verfasser zeigt, die Construction verallgemeinern, wenn man die geometrische Ausdrucksweise auf Räume von beliebig vielen Dimensionen überträgt. An die Stelle der eindimensionalen Räume treten w-dimensionale ebene Räume, wenn Q' so bestimmt werden soll, dass ( P 1 P 2 Q2 Q') = —n wird ; an die Stelle der Punkte P 3 und P 4 treten w-j-1 Punkte Ph an die Stelle von Q, und Qt w + 1 Punkte Q;. Der Beweis wird dadurch geführt, dass die n-1-3 Punkte P mit je M + 1 Coordinaten bezeichnet werden. Dadurch wird ein

Capitel 5.

Neuere synthetische Geometrie.

1035

(w-f-l)-dimensionaler ebener Raum festgelegt, zu dem auch Qh Q' gehören. Die Coordinaten • dieser Punkte werden berechnet, und dadurch wird gezeigt, dass das Doppelverhältnis der Punkte P,, P s , Q3, Q' wirklich gleich —n ist. Zum Schluss wird noch angegeben, wie man durch zweimalige Anwendung der Construction den vierten Punkt eines beliebigen rationalen Doppelverhältnisses findet. Seht.

P. Cassani. Sulla geometria pura Euclidiana ad n dimensioni. Ven. Ist. Atti (7) V. 820-844 (1894). Während Hr. Cassani im zweiten Teil seiner Arbeit mit dem euklidischen Räume von n Dimensionen sich befasst, behandelt er im ersten die Metrik des vierdimensionalen Raumes. Hinsichtlich der Orthogonalität wird man ihm jedoch nicht zustimmen können. Zwei Räume sind doch wohl orthogonal, wenn ihre unendlich fernen Gebilde hinsichtlich der unendlich fernen Kugel conjugirt sind; zwei Ebenen aber will Hr. Cassani nur dann als senkrecht gelten lassen, wenn ihre unendlich fernen Geraden polarreciprok hinsichtlich der unendlich fernen Kugel sind. Aus dieser zu engen Definition ergeben sich mancherlei Widersprüche. E. K.

Gr. Gastelnuovö. Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica. Palermo Rend. VII. 89-110 (1893).

Dieser Aufsatz vermehrt die hübsche und reiche Sammlung von Arbeiten, welche der Erforschung der Eigenschaften der Curven gewidmet sind, die in beliebig ausgedehnten Räumen enthalten sind, d. h. der eindimensionalen Mannigfaltigkeiten, welche in einem Raum Rr r t e r Dimension enthalten sind. Die Mannigfaltigkeiten V (n—l)ter Dimension und kte* Ordnung von Rr bestimmen auf C eine lineare Reihe, deren Ordnung nk und deren Dimension rk ist, wo n die Ordnung von C ist. Welches ist der Wert von »**? Oder wie vielen einfachen Bedingungen für eine V ist das Enthalten der Curve C gleich zu achten? Dies ist die wichtige

1036

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

Frage, deren Beantwortung den Hauptzweck des zum Bericht stehenden Aufsatzes bildet.Nennt man % die ganze Zahl, welche durch folgende Einschränkung bestimmt wird: „ n—1 n—1 und p das Geschlecht von C, so findet der Verf., dass rk < kn—p ist; im Falle, dass das Zeichen < gilt, ist der Unterschied (Jen—p) — rk höchstens dem Unterschiede gleich zwischen p und dem Maximälgeschlechte n einer Curve der Ordnung n in Rr- Ist insbesondere die Curve eben und k>n— 2, so hat man n = kn —p — (n —p); wenn aber C in Rr enthalten ist, jedoch keinen vielfachen Punkt hat, so gilt die Gleichung: rk — kn—p. Im Falle, dass C singulare Punkte hat, findet der Verf. einen Ausdruck des Unterschieds (Jen—p)—rk, aus welchem erhellt, dass die grösste Zahl von Doppelpunkten, welche eine Curve der Ordnung n und des Geschlechts p haben kann, durch n—p ausgedrückt ist. Endlich bemerkt Herr Castelnuovo, dass nur im Falle r = 2 die Differenz (kn—p)—rk durch die Vielfachheiten der singulären Punkte allein ausdrückbar ist. Dieses sind etwa die Hauptresultate der Arbeit. Nicht minder bemerkenswert sind die angewandten Methoden, welche den Stempel der Strenge, der Eleganz und der Originalität tragen, die alle Schriften von Herrn Castelnuovo kennzeichnen. La.

E.

Abzählende Geometrie.

W. Gr. ALEXEJEW. Theorie der Charakteristiken der Curvensysteme (Historisches, Kegelschnittsysteme). Gekrönt mit dem Blaschmann'schen Preise. Gel. Verhandi. d. Kais. Mosk. Univ., Phys.-math. Abt. X. (1893).

Capitel 5.

Neuere synthetische Geometrie.

1037

Nach einer kurzen Einleitung und einer Liste von mehr als 90 Artikeln bespricht der Verf. im Cap. I (Historisches) nach einander die Arbeiten von Bischoff, de Jonquières, Chasles, Cremona, Zeuthen, Cayley, Maillard und Schubert, um im zweiten Capitel zum eigentlichen Gegenstande der Untersuchung überzugehen. Hier finden wir einige Definitionen und die Aufstellung des Correspondenzprincips von Chasles. Cap. III ist den anzahltheoretischen Eigenschaften eines von singulären Kegelschnitten dritter Art freien Kegelschnittsystems gewidmet, Cap. IV den Methoden von Chasles und Zeuthen zur Aufstellung der Charakteristiken der Kegelschnittsysteme. Cap. V enthält einige Anwendungen der Charakteristikentheorie zur Lösung einiger geometrischen Fragen, zur Aufstellung der Anzahlen der Evolute einer algebraischen Curve und ihrer Katakaustiken. Im Cap. VI werden die Untersuchungen von Clebscb, Schubert, Halphen, Study und Zeuthen über das Chasles'sche Postulat auseinandergesetzt, und im § 63 wird die eigene Methode des Verfassers gegeben : Das System aller Kegelschnitte wird auf den fünfdimensionalen Raum abgebildet, und mit Hülfe dieser Abbildung werden die von Hrn. Study bestrittenen Resultate von Halphen bestätigt. Im Anhang wird eine andere Methode von Halphen (London Math. S. Proc. Vol. X) besprochen, welche dem Verfasser erst nach dem Abdruck des grössten Teils seiner Arbeit bekannt geworden ist. Si.

H.

G. ZEUTHEN. Exemples de la détermination des coniques dans un système donné qui satisfont à une Condition donnée. Math. Ann. XLI. 539-544 (1893).

Das letzte Wort in der bekannten Streitfrage, wie wohl anzunehmen ist, da die beiderseitigen Ansichten in sachlicher Hinsicht nicht mehr so sehr differiren. Wie auch die Rédaction der Math. Ann., die mit dem vorliegenden Aufsatze 'die Polemik schliesst, besonders hervorhebt, hat einerseits Herr Study die Correctheit sämtlicher Entwickelungen von Halphen ausdrücklich zugestanden, jind hat andererseits Herr Zeuthen wiederholt Herrn Study's Stand-

1038

VIII. Abschnitt.

Reine, elementare u. synthetische Geometrie.

punkt als einen möglichen anerkannt (vgl. F. d. M. XXIV. 1892. 626). Seht.

V.

MARTINETTI. Su un problema di geometría numerativa relativo alle congruenze lineari. Rivista di Mat. m. 108-110 (1893).

Mit Hülfe des Princips der Erhaltung der Anzahl, wie es der Referent genannt hat, beweist der Verfasser recht geschickt die vom Referenten, Sturm und Hirst gefundene Anzahl 14, welche angiebt, wie viele lineare Congruenzen in 8 beliebig gegebenen Strahlenbüscheln einen Strahl besitzen. Seht. MARIO P I E R I .

Sul problema degli spazi secanti.

Lomb. ist.

Rend. (2) XXVI. 534-546 (1893), XXVII. 258-273 (1894).

Es handelt sich um die allgemeinen Anzahlbestimmungen für lineare Räume der Ordnung s, die in einem linearen Raum R„ enthalten sind und gewissen Bedingungen des Schneidens u. s. w. genügen; der Verf. giebt zunächst eine Reductionsformel für das Product (a 0 a, ...a s )(A, n — s + 1 , n—s + 2, ..., n—1, w). Sie umfasst als specielle Fälle die von den Herren Schubert (F. d. M. XVIII. 1886. 632) und Castelnuovo (F. d. M. XXI. 1889. 667) gegebenen Formeln. Als Anwendung findet sich z. B. der Satz, dass es in einenj sechsdimensionalen Räume 16 Ebenen giebt, die sechs gegebene Ebenen schneiden. In der zweiten Note behandelt der Verfasser in' analoger Weise die Reduction des Products (a0al ... a a )(w-s-l, n-s,..., n-s+r-1, n-s+r+1, w-s + r + 2 , . . . , n) auf eine Summe einfacher Bedingungen. Für r und s besteht dabei die Bedingung 1 ^Ir^Ls—1. Sfs.

H.

SCHUBERT. Allgemeine Anzahifunctionen für Kegelschnitte, Flächen und Räume zweiten Grades in « Dimensionen. Math. Ann. XLV. 153-206 (1894).

Der Verfasser hatte seit seiner Abhandlung in Math. Ann.

Capitel 5.

Neuere synthetische Geometrie.

1039

XXVI die Methoden der abzählenden Geometrie «-dimensional gestaltet. Durch diese Methoden gelingt es ihm hier, das folgende Problem allgemein zu lösen: „Es bedeute RP einen (p—l)-dimensionalen Raum zweiten Grades. Derselbe bestimmt einen p-dimensionalen linearen Raum [p], in dem er ganz liegt. Es bedeute ferner ^ die einfache Bedingung, welche verlangt, dass der Rp einen (ra—l)-dimensionalen linearen Raum „berühre". Die Zahl x, welche angiebt, wieviel Rp ihren [p] eine beliebige Lage-Bedingung erfüllen lassen, während sie selbst iw,-mal die Bedingung fi¡, m3mal die Bedingung jit,, iw3-mal die Bedingung erfüllen, soll in ihrer Abhängigkeit von den allgemein gedachten Buchstaben dargestellt werden". Schon früher hatte der Verfasser gezeigt, dass sich alle auf einen linearen Raum [p] bezüglichen, elementaren Lage-Bedingungen durch das Symbol Oo a¡ a2 ••'• ap), wo 0 < a0p sind von der Ordnung 2 n — 1 und beschreiben, wenn P in der Ebene sich bewegt, ein Netz (vgl. Chizzoni, Sopra le involuzicni nel piano. Lincei Mem. XIX. 1884). Die Curven p werden im § VIII der Arbeit zur Bestimmung derjenigen Curven eines Büschels angewandt, welche einen Doppelpunkt haben, nicht nur im allgemeinen Falle (was einfach ist und zu einem bekannten Resultat führt), sondern auch in speciellen Büscheln. In § IX führen dieselben Curven auf eine neue Censtruction der Jacobi'schen Curve eines Netzes und auf eine neue Methode zur Begründung der Eigenschaften derselben. Der nächste Paragraph ist der Jacobi'schen Curve des Netzes der Curve $>P

Capitel 2.

gewidmet, einer Curve,

Analytische Geometrie der Ebene.

1099

welche verschiedener Definition fähig ist,

unter anderen als Ort der Wendepunkte der Curve des Büschels, von der man ausgegangen ist: als solche ist sie schon durch Herrn Bobek (vgl. F. d. M. XIV. 1882. 580) betrachtet worden. Als weitere Anwendungen der Theorie der Curve 3 = 2m"7t, = 2m'"TC, und addirt man, so kommt: 6fi7t-\-a + Oa—a^ß'+ia'— b*)y* = 0. Glr. (Lp.) A.

CAZAMIAN.

verses.

Sur l'hyperbole equilatere et sur ses in-

Nouv. Ann. (3) XIII. 265-280 (1894).

In dieser Note leitet der Verfasser die Eigenschaften der Strophoide und Lemniskate ab, indem er diese Curven als aus der gleichseitigen Hyperbel durch Transformation mittels reciproker Radien entstanden betrachtet. Hierbei giebt er auch interessante Sätze über die Hyperbel selbst. Dann werden mittels Inversion mehrere dieser Sätze auf alle unicursalen Curven vierten Grades ausgedehnt, welche die Kreispunkte zu Doppelpunkten haben, und bei denen am dritten Doppelpunkte die Tangenten senkrecht sind. Mz. A.

CAZAMIAN. Sur quelques propriétés de la parabole et de ses inverses. Nouv. Ann. (3) X l i r . 281-283 (1894).

Hat man auf der Parabel vier Punkte, die von einem Kreise ausgeschnitten sind, und legt in jedem dieser vier Punkte an die Parabel den osculirenden Kreis, so trifft jeder dieser Krefee die Parabel in einem weiteren Punkte, und diese letzteren vier Punkte liegen wieder auf einem Kreise. Die betreffende Figur wird durch Inversion transformirt, das Inversionscentfum in einen Punkt der Parabel verlegt, der auch zugleich einer der vier erstgenannten Kreispankte ist. Darin fol^t: Diè ösculfrenden KrfeiSe von drei in gerader1 Liüie gelegenen Punkten einer Cissoide treffen die Cissoidë

Capitel 2.

1125

Analytische Geometrie der Ebene.

in drei neuen Punkten ; der durch diese drei neuen Punkte gelegte Kreis geht durch einen festen Punkt, nämlich durch den, in welchem die Cissoide von ihrer Asymptote getroffen wird. Hierbei ist Cissoide eine Curve von der Gleichung: (y—«*) C^+y*) —ay* = 0. Noch ein Theorem von der Kardioide ist beigefügt.

BALITRAND.

équilatère.

Mz.

Théorèmes sur la parabole et sur l'hyperbole j . de Math. spéc. (4) III. 145-156 (1894).

Gegeben seien eine Hyperbel K mit der Gleichung xy—K2 — 0 und eine Parabel P mit der Gleichung — 2px = 0. Man kann der Hyperbel unendlich viele Dreiecke ABC einbeschreiben, welche in Bequg auf die Parabel conjugirt sind, der Parabel unendlich viele Dreiecke A ^ B ^ umbeschreiben, welche in Bezug auf die Hyperbel conjugirt sind. Die Schwerpunkte der Dreiecke ABC liegen auf der Axe der Parabel. Die Umkreise der Dreiecke ABC haben dieselbe Linie gleicher Tangenten, und der Ort ihrer Mittelpunkte ist die Leitlinie der Parabel. Die Neunpunktekreise der Dreiecke ABC gehen durch den Scheitel und den Brennpunkt der Parabel, und die Geraden, welche die Mitten der Seiten der Dreiecke ABC verbinden, berühren die Parabel. Der Höhenschnitt des Dreiecks ABC ist ein fester PuDkt. Die Seiten des Dreiecks ABC umhüllen eine Parabel P', welche mit P den Scheitel gemeinsam hat und sich mit P hier rechtwinklig schneidet. Der Ort des Schwerpunktes von A1B1 Ct ist die Axe der Parabel. Die Umkreise von A1B1Ct gehen durch den Scheitel und den Brennpunkt von P. Die Ecken An Bn C, liegen auf P'. Lp,

E. N.

BARISIEN. Exercices. J. de Math. spéc. (4) m. 37-40, 6366, 85-89, 101-104, 133-137, 163-165, 187-188, 209-215, 229-232, 253-255, 279-282 (1894).

Unter den fortlaufenden Nummern 1-52 giebt der Verf. eine Reihe hübscher Sätze über die Parabel und ihre Evolute, indem er manche Beweise hinzufügt, bei anderen nur den Gedankengang Fortacbr. d. Math. XXV. 2.

72

1126

IX. Abschuitt.

andeutet, bei noch begnügt. Eine ganz ist damit geliefert; Strophoide, Cissoide, lungen versprochen.

Analytische Geometrie.

anderen sich mit dem Ausspruche der Sätze vortreffliche Zusammenstellung für Uebungen für andere Curven, wie Ellipse, Hyperbel, Lemniskate, Cykloide werden ähnliche SammLp.

E. N. B A R I S I E N . Note sur quelques propriétés de la parabole et de sa développée obtenues en considérant ces courbes comme unicursales. J. de Math. spéc. (4) il. 135139, 146-150, 169-172, 193-198 (1893).

Die Coordinaten der Punkte bei beiden im Titel genannten Curven werden durch einen Parameter ausgedrückt, und nach dieser Methode auf elegante Weise zahlreiche Sätze abgeleitet. LPP.

DELENS.

Sur quelques propriétés de la parabole.

J. de Math. spéc. (4) II. 220-226 (1893).

Die Coordinaten eines Parabelpunktes P Cotangente t des Winkels ausgedrückt, welche mit der Hauptaxe bildet: x = y = pt, über Schnitte der Parabel mit anderen Curven

werden durch die die Tangente in P und hieraus Sätze hergeleitet. Lp.

S.

MAILLARD.

Note sur la parabole.

Nouv. Ann. (3)

xn.

428-

430 (1893).

Eine Parabel zu construiren, von der ein Punkt A gegeben ist, ferner der Durchmesser AX und das Centrum 0 des Kreises, der die Parabel in A osculirt. Lösung: J sei die Mitte von OA; dann ist der Punkt D, welcher der symmetrische von J in Bezug auf A ist, auf der Directrix der Parabel gelegen, die damit (weil senkrecht zu AX) gefunden ist. Trifft AX die Directrix in P, und ist AT die Senkrechte durch A zu AO, ferner F der Symmetriepunkt zu P in Bezug auf AT, so ist F der Brennpunkt der gesuchten Parabel. Hiermit ist also die Parabel gefunden; zwei Beweise für die Richtigkeit der Lösung. Mz.

Capitel 2. J.

1127

Analytische Geometrie der Ebene.

C. KLUYVER. Sur les deux paraboles circonscrites à un quadrangle donné. Mathesis (2) ill. 106-112 (1893).

Ausdrücke für die Parameter der beiden Curven und für den WÎDkel ihrer Axen als Function verschiedener Elemente des Vierecks. Bedingungen dafür, dass die beiden Parabeln congruent sind, oder dass ihre Axen sich rechtwinklig schneiden. Dml. (Lp.) N\

M.

FERRERS.

Proof of Miquel's theorem.

Messenger (2)

XXIV. 60-66 (1894).

Analytischer Beweis des Satzes, dass die Brennpunkte der fünf Parabeln, welche je vier von fünf gegebenen Geraden berühren, auf einer Kreislinie liegen. Lp.

A.

Solution géométrique de la composition de mathématiques du concours d'admission à l'Ecole Polytechnique en 1887. Nouv. Ann. (3) XIII. 308-316 (1894). CAZAMIAN.

In einer Ebene sind zwei feste zu einander senkrechte Gerade OX, OY nd ein feste Punkt co gegeben. Durch co legt man zwei zu einander senkrechte Gerade, welche OX in B, D und OY in A, C treffen. Durch A, B legt man eine Parabel P, welche OY in A, OX in B berührt; ferner durch C, D eine zweite Parabel P', welche OY in C, OX in D berührt. Hierauf lässt man die zu einander senkrechten Geraden AB, CD sich um 10 drehen und verlangt (vergl. F. d. M. XX. 1888. 735): 1. die Gleichungen der Parabeln P, P ' ; ihrer Axen und ihrer Directrices; 2. die Gleichung des geometrischen Ortes der Schnittpunkte jeder Axe mit der zugehörigen Directrix; 3. die Gleichung des Ortes desjenigen Punktes, in welchem die Axen je zweier Parabeln P, P' sich begegnen (ein Kreis über Om als Durchmesser). 4. Die Entfernung je zweier zu P, P' gehörigen Brennpunkte ist constant ( = Om). 72*

I X . Abschnitt.

1128

Analytische Geometrie.

Fast ohne Rechnung ergiebt sich" die Gleichung zu Nr. 2: (p, q Coordinaten von co). O ' + ^ M - G / — ^ p x )

=

0 Mz.

E. GENTY.

Solution géométrique de la composition de

mathématiques donnée au concours d'admission à l'Ecole Polytechnique

en

1892.

Nouv. Anu. (3) x n . 425-426 (1893).

Die Aufgabe (vergl. F. d. M. XXIV. 1892. 682) wird gelöst mit Anwendung folgenden Satzes: Die Geraden, welche zwei Kegelschnitte (S)

und (S')

harmonisch treffen, sind Tangenten eines

dritten Kegelschnittes (.2), der den beiden Vierseiten eingeschrieben ist, von denen das eine aus den Tangenten an ( $ ) in den

vier

Punkten, die ( S ) und (2 in Punkten schneiden, von denen man an r , , resp. P 2 die zweiten Tangenten ziehen kann; der Schnittpunkt dieser beiden beschreibt 73*

1144

IX. Abschnitt.

Analytische Geometrie.

eine rationale Curve dritter Ordnung. Man kann diesen Satz specialisiren und dadurch zur Erzeugung von Kegelschnitten gelangen, andererseits auch so erweitern, dass man Curven vierter Ordnung erhält. R. M. H.

OPPENHEIMER. Ueber eine Behandlung einer Curve vierter Ordnung und der allgemeinen Curve dritter Ordnung mittelst Kegelschnittcoordinateri. Hoppe Arch. (2) XIII. 84-88 (1894).

Das Resultat der Betrachtung ist folgender Satz. Jede C 3 ist sich selbst entsprechende Curve in neun Paaren perspectivisch und involutorisch liegender ebener Systeme, nämlich in den Systemen, die einen Inflexionspunkt und die zugehörige harmonische Polare zu Collineationscentrum und Collineationsaxe haben. H.

H.

B.

Linear geometry of the Part I. Kansas Univ. Quarterly II. 85-93

NEWSON.

quartic.

cubic

and

(1893).

Die zu einer kubischen und biquadratischen Form gehörigen Fundamental-Invarianten, sowie Covarianten einer kubischen Form werden abgeleitet. Js. M.

Recherches sur les courbes planes du quatrième ordre. Nouv. Ann. (3) XIII. 348-377 (1894). POSTNICOFF.

Aufstellung der Bedingungen, welche die Coefficienten der allgemeinen Gleichung vierten Grades erfüllen müssen, damit die Curve ein Centrum habe, ferner damit sie zwei Symmetrie - Axen habe; Discussion der dann noch möglichen Fälle. R. M.

E.

PASCAL. Sugli aggruppamenti tripli di coniche coordinate alla quartica piana. N o t a III. Rom. Acc. L. Rend. (5) IIj. 8-14 (1893).

Vergi, den Bericht F. d. M. XXIV. 1892. 696.

Capitel 2.

Analytische Geometrie der Ebene.

1145

H. P. N I E L S E N . Om de usammensatte Kurver af 4 d e Order, som daekke sig selv ved en tredie Del af en hei Omdreining om Begyndelsespunktet. Nyt Tidss. for Math. IVB. 31-34 (1893).

Ueber ebene Curven vierter Ordnung, welche sich selbst decken, wenn sie ein Drittel einer Umdrehung um den Anfangspunkt machen. Die Gleichung solcher Curven wird hergeleitet, und ihre Formen werden discutirt. V. W.

R.

W.

quartic.

ROBERTS.

Some properties of the uninodal

Lond. M. S. Proc. XXV. 151-172 (1894).

Die Coordinaten einer Curve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkte lassen sich mittels Abel'scher Functionen darstellen. Hierdurch gelangt der Verf. zu einfachen Ableitungen einer Reihe von Eigenschaften dieser Curven. Schg.

R . LACHLAN, R . F . D A V I S , R . A I Y A R .

11427.

Solution of question

Ed. Times LVIII. 42-43 (1893).

Wenn die Berührungspunkte der drei von einem Punkte P an die Kardioide r — a ( l + c o s 6) gezogenen Tangenten in einer Geraden liegen, so ist der Ort von P ein Kreis; ein ähnlicher Satz gilt für die Normalen. Lp. F.

MICHEL.

Sur les cycliques planes.

J.

de Math. spec.

(4)

i.

251-257, 271-281 (1892); II. 15-18, 25-27, 51-54, 115 (1893).

Eine Specialstudie über die Curven vierter Ordnung, deren Gleichung in rechtwinkligen Coordinaten lautet: (x'+yy-i (ax + b y ) ( x ^ f ) + xp{x, y) = 0, wo «//(«, y) ein Polynom zweiten Grades in x, y ist. Der Verfasser behandelt sein Thema in den folgenden Abschnitten: I. Allgemeine Gleichung der cyklischen Curven. Durchmesser. II. Schnitt einer cyklischen Curve und eines Kreises. III. Der cyklischen

IX. Abschnitt.

1146 Curve (Ort

einbeschriebene

Kegelschnitte.

der Mittelpunkte

gleichseitige Curve.

der

Hyperbel).

Doppeltangenten).

Analytische Geometrie.

IY.

einbeschriebenen

V.

Hauptpole.

Hauptkegelschnitt. Kegelschnitte,

(Schnittpunkte

eine zweier

VI. Doppelt berührende Kreise einer cyklischen

VII. Brennpunkte

der cyklischen Curven.

VIII.

Eigen-

schaften der Hauptpole der Leitkreise und der Brennpunkte einer cyklischen Curve. Curven.

X.

IX. Ueber eine

Bestimmung

besondere Gattung

der cyklischen

ficirung der cyklischen Curven. — In

Curven.

cyklischer

XI.

Klassi-

einer Nachschrift (S. 115)

erklärt der Verf., dass die meisten seiner Resultate bereits in der Abhandlung enthalten

des Herrn G. Humbert

„Sur

les surfaces cyclides"

seien (J. de l'Ec. Pol. Cah. L V , F. d. M. XVII. 1885.

655 ff.).

A.

Lp.

L . DIXON. On a theorem for confocal bicircular quartics and cyclides, corresponding to Ivory's theorem for confocal conics and conicoids. Lond. M. s. Proc. xxiv. 306-317 (1893).

Für

entsprechende Punktepaare P, Q und / " , Q' confocaler

bicirculärer Curven IV. Ordnung

und

Cykliden

liisst sich

nach

Darboux und Larmor der Ivory'sche Satz derart erweitern, dass:

PQ

_

P'Q' l ) von algebraisch irreductiblen Curven, welche so auf einer Fläche F liegen, dass n erzeugende Punkte von F eine Curve des Systems individualisiren, muss ein lineares System sein, welches daher durch ein oc"-faches lineares System von Flächen ausgeschnitten wird." Der Verfasser zeigt, dass dieser Hauptsatz auch noch Gültigkeit hat, wenn man statt der Fläche F eine Mannigfaltigkeit von k Dimensionen und statt der Curven Mannigfaltigkeiten von ¿—1 Dimensionen setzt. Daraus ergeben sich dann einige Folgerungen über die zum Aufbau der projectivischen Bm. Geometrie notwendigen Postulate.

F.

Sui sistemi lineari di superficie algebriche le cui intersezioni variabili sono curve iperellittiche. ENRIQUES.

Rom. Acc. L. Rend. (5) II 3 . 281-287 (1893).

Verfasser unternimmt ähnliche Untersuchungen über 'lineare Flächensysteme, wie sie für lineare Curvensysteme in der Ebene bei Zugrundelegung birationaler (Cremona'scher) Transformationen längst angestellt sind. In der vorliegenden Note behandelt er zuerst jene einfachen Flächensysteme des gewöhnlichen Raumes, deren veränderliche Durchschnitte hyperelliptische Curvén vom

1216

IX. Absehnitt.

Analytische Geometrie.

Gescblechte p> 1 sind, und studirt dann allgemeiner die dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten mit hyperelliptischen Schnitten für p> 1. Als Ausgang dient ihm die Untersuchung von Flächen, welche hyperelliptische Schnittcurven vom Geschlechte ^ > 1 besitzen; er findet, dass jede solche Fläche einen rationalen Kegelschnittbüschel enthält oder eine Regelfläche vom Geschlechte p ist. Dieses Resultat wird auf die dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit hyperelliptischen Schnitten ausgedehnt, wobei sich zeigt, dass dieselbe entweder einen rationalen Büschel von Flächen zweiten Grades enthält oder eine einfach unendliche Schar von Ebenen. Hieraus folgt dann, dass jedes einfach lineare System von Flächen, deren veränderliche Schnitte hyperelliptische Curven sind, durch eine birationale Transformation des Raumes in ein System von Flächen übergeführt werden kann, deren Grad eine gewisse Zahl „n" ist. Dieses Flächensystem besitzt als Basiscurve jedenfalls eine (n—2)-fach gezählte Gerade und eine einfache Curve, welche von den durch die Gerade gehenden Ebenen in zwei veränderlichen Punkten getroffen wird. Bm.

Sui sistemi lineari di superficie algebriche intersezioni variabili sono curve ellittiche.

F . ENRIQUES.

le

cui

Rom. Acc. L. Rend. (5) III,. 481-487, 536-543 (1894).

Verfasser stellt sich hier die Aufgabe, alle einfach linearen Systeme von Flächen mit veränderlichen elliptischen Durchschnittscurven auf Typen zurückzuführen, indem er voraussetzt, dass sich drei erzeugende Flächen in veränderlichen Punkten treffen (Systeme vom Grade n > 3), und den Fall n = 3 ausschliesst, dessen Behandlung auf die Lösung der Frage hinauskommen würde, ob die kubische Mannigfaltigkeit des St ohne Doppelpunkte punktweise auf S3 abbildbar sei. Nachdem die Untersuchung der Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen mit elliptischen Schnittcurven von der Ordnung w > 3 zu dem Satze geführt hat, dass diese Mannigfaltigkeiten entweder alle rational sind, oder einen elliptischen Büschel von Ebenen enthalten (ein Theorem, das sich auf alle Dimensionen verallgemeinern lässt), werden die Grundtypen auf-

Capitel 3.

Analytische Geometrìe des Raumes.

1217

gestellt, deren sich acht ergeben. Auf diese lassen sich alle Systeme algebraischer Flächen, deren variable Schnittcurven elliptische sind, durch eine birationale Transformation reduciren. Bm.

F.

ENRIQUES. Sulla massima dimertsione dei sistemi lineari di curve di dato genere appartenenti ad una superficie algebrica. Torino Atti XXIX. 275-29G (1894).

Die Maximalzahl der Dimensionen linearer Systeme ebener Curven von gegebenem Geschlecht p > 1 wurde zuerst von Hrn. Jung und dann von Hrn. Castelnuovo (Annali di Mat. XVIII) durch die Zahl r = 3p 4 - 5 bestimmt, und letzterer hat die Systeme, welche diese Maximalzahl erreichen, auf Typen reducirt. Hr. Guccia endlich hat gezeigt (Palermo Rend. I), dass es für p = 0 eine solche Maximal,zahl nicht giebt, und dass für p — I dieselbe gleich 9 wird. Verfasser stellt sich nun die Aufga.be, die allgemeine Frage nach der Maximalzahl für ein lineares System von Curven des Geschlechts p auf irgend einer algebraischen Fläche zu beantworten, und gelangt, im allgemeinen der Methode Castelnuovo's folgend, zu dem nachstehenden Resultate: „Wenn auf einer Fläche ein lineares System vom Geschlechte p > 0 und der Dimension r > 3 p + 5 existirt, so tritt einer der folgenden Fälle ein: 1) die Fläche ist zwei-eindeutig beziehbar auf eine Regelfläche vom Geschlechte p, welche als Erzeugende die Bilder der Curven des Systems hat; oder 2) die Fläche ist rational', und das System ist einfach von der Dimension r — 3p-4-5 oder auch r — 9 für p = 1; dann kann man die Fläche birational transformiren in eine des Raumes Sr, auf welcher die Bilder der Systemeurven die hyperplanaren Schnitte sind". Bm.

G.

Sur quelques points de la théorie des courbes et des surfaces algébriques. I. D e s involutious sur les courbes algébriques. IL Sur une classe de surfaces algébriques à génératrices unicursales. III. Des HCMBERT,

IX. Abschnitt.

1218

Analytische Geometrie.

séries de courbes algébriques tracées sur les surfaces algébriques. Journ. de Math. :(4) X . 1 6 9 - 2 0 1 (1894). P.

PAINLEVÉ.

Note au sujet du mémoire précédent.

Ibid. 208-206 (1894).

I. Auf einer algebraischen Curve bestehe eine Gruppe von n Punkten derart, dass alle n Punkte eindeutig durch k derselben bestimmt sind. Eine solche Gruppe heisst eine Involution von der Ordnung n und von der Gattung k. Hätte man also r Gruppen ( r > l ) von der Ordnung m, so dürfte man sie nicht als eine Involution von der Ordnung n = mr ansehen. — Das einfachste Beispiel einer Involution ist gegeben durch die Gruppen von beweglichen Schnittpunkten, in welchen eine feste ebene algebraische Curve von den Curven eines linearen Systems geschnitten wird, und umgekehrt: jede Involution, für welche k 1 sind, rational ist". Da man ferner bereits weiss, dass die Regelflächen mit Schnittcurven vom Geschlechte p>0 nicht rational, die Regel- oder Nichtregelflächen mit Schnittcurven vom Geschlechte Null aber sämtlich rational sind, so ist hiermit die in der erwähnten Note gelassene Lücke ausgefüllt. Bm.

Gr. CASTELNUOVO. Sülle superficie algebriche che contengono una rete di curve iperellittiche. Rom. Acc. L. Rend. (5) III,. 473-481 (1894).

Anschliessend an die im vorangehenden Referate besprochene Note stellt sich der Verfasser die Aufgabe, nachzuweisen, dass es zur punktweisen Abbildung (durch birationale Transformation) einer Fläche auf eine Ebene oder auf eine Regelfläche genügt, ein Netz von hyperelliptischen Curven vom Geschlechte p > 1 zu kennen, mit der Bedingung, dass die charakteristische Schar des Netzes keine Specialschar ist. Die letztere Bedingung ist für p — 1 ¿bei-

1230

IX. Abschnitt.

Analytische Geometrie.

flüssig, für die übrigen Fälle aber notwendig. Dabei hat die Regelfläche im allgemeinen das Geschlecht p, und die Curven des Netzes bilden sich auf ihr als die Leitcurven ab, in speciellen Fällen aber, die am Schlüsse der Note angegeben werden, hat sie das Geschlecht 1, und die Curven des Netzes werden dann durch Curven dargestellt, welche die Erzeugenden mehrfach schneiden. Bm.

L.

AUTONNE. Sur la représentation des courbes gauches algébriques et sur une formule d'Halphen. C. R. cxix. 845-848 (1894).

Wenn eine Raumcurve ohne Doppelpunkte durch die beiden Gleichungen f(x, y) = 0, 2 =

P (x ay) J

'*'

"0 K y)

dargestellt wird,

wo f

eine irreducible Function und P,, P 0 ganze rationale Functionen von x, y bedeuten, so dürfen offenbar P , und P 0 durch irgend zwei andere Polynome P' 0 und P\ ersetzt werden, welche der Bedingung genügen, dass P\ P 0 — P'a P1 durch f teilbar ist. Nach Halphen kann jedes Polynom P 0 als Nenner einer solchen Darstellung gewählt werden, welches in jedem scheinbaren Doppelpunkte der Raumcurve verschwindet. Dieser Satz wird vom Verfasser auf Raumcurven mit beliebigen Singularitäten ausgedehnt. Ht. M.

PANNELLI.

curva gobba.

Sulla riduzione delle singolarità di una Lomb. Ist. Rend. (2) X X V I . 216-222 (1893.)

Beweis des Satzes, dass eine jede Raumcurve mit beliebigen Singularitäten mittels successiver kubischer birationaler Raumtransformationen in eine andere Raumcurve transformirt werden kann, welche nur gewöhnliche Singularitäten besitzt, d. h. nur solche vielfachen Punkte, für welche die Tangenten an den verschiedenen Curvenzweigen getrennt verlaufen und ausserdem die Osculationsebenen irgend eines Zweiges keinen der übrigen Zweige berühren. Ht.

Capitel 3.

Analytische Geometrìe des Raumes.

1231

Ueber Realitätsrelationen zwischen Singularitäten von Raumcurven. Deutsche Math. Ver. II. 62-63 (1893).

FR.

MEYER.

Ueber Discriminanten und Resultanten der Gleichungen für Singularitäten von algebraischen Raumcurven , mit Anwendung auf Realitätsverhältnisse.

FR.

METER.

Monatsh. f. Math. IV. 229-276, 331-363 (1893). FR.

MEYER.

lung.

Gleichbetitelter Auszug aus dieser Abhand-

Math. Ann. XLIII. 286-300 (1893).

Ausdehnung der Untersuchungen des Verf., über welche F. d. M. XXIII. 1891. 758 berichtet ist, auf rationale Raumcurven. Von einfachen Singularitäten werden fünf betrachtet: Hyperosculationsebenen; noch einmal berührende Osculationsebenen; dreimal berührende Ebenen; Quadrisecanten; Tangenten, welche noch einmal treffen. Die Bedingung dafür, dass zwei dieser Singularitäten in demselben Punkte auftreten, zerfällt jedesmal in eine Anzahl „Elementarfactoren", deren jeder, = 0 gesetzt, die Bedingung für eine bestimmte Singularität zweiter Art darstellt; so kann z. B. eine Doppelwurzel der Gleichung für die Parameter der noch einmal treffenden Tangenten irgend eine der folgenden Singularitäten bedeuten: Wendetangente; Tangente, welche noch zweimal trifft; Doppelpunkt; endlich noch einmal treffende Tangente in noch einmal berührender Osculationsebene. Von diesen „Elementarfactoren" wird ein Teil direct durch Elimination erhalten; ein weiterer dadurch, dass die Curve als Projection einer Curve im R i angesehen wird; die Grade der übrig bleibenden bestimmen sich nachträglich. Für alle fünf Discriminanten und zehn Resultanten der genannten fünf Singularitätenformen wird bestimmt, welche Elementarformen, und zu welcher Potenz erhoben, in sie eintreten; Tabelle der Resultate s. S. 363. — Was RealitätsVerhältnisse betrifft, so kommt Verf. zu dem Resultat, dass die Existenz einer Relation, analog der von Hrn. Klein für ebene Curven gegebenen, für Räume ungerader Dimension unwahrscheinlich, für Räume gerader Ordnung wahrscheinlich sei. Bdt.

1232

I X . Abschnitt.

Analytische Geometrie.

On Halphen's characteristic »t in the theory of curves in space. J. für Math. CXI. 347-352 (1893).

A . CAYLEY.

Die Sehnen einer Raumcurve, die durch einen willkürlichen Punkt gehen, sind nicht von einander unabhängig, sondern es gehen stets Kegel bestimmter Ordnung durch sie alle. Bdt.

H.

DE VRIES. Over de koorden eener ruimte kromme, die door een vast punt P gaan. Nieuw Archief (2) I. 127-136 (1894).

Analytischer und synthetischer Beweis des Satzes, dass die Zahl der Sehnen einer Raumcurve Rmn, die durch einen gegebenen Punkt P gehen, \mn (m—1) (n—1) ist. Die angestellten Betrachtungen erlauben leicht, auf den Satz zu schliessen: Wird eine Fläche m ter Ordnung von einer quadratischen Fläche in einer Raumcurve R 2,n geschnitten, so gehen durch jeden Punkt m(m—1) Sehnen dieser Curve, welche sämtlich auf einem Kegel (m—l) t o n Grades enthalten sind. Mo.

Sur une classe de courbes algébriques dont le rayon de courbure et le rayon de torsion sont liés par une relation algébrique donnée Toulouse Mém. (9) IV.

H . MOLINS.

1-15 (1892).

Der Verf. stützt sich auf die Ergebnisse seiner Abhandlung im Journ. de Math. (2) XIX. 425-451, über welche in F. d. M. VI. 1874. 468-469 von berufener Seite kritisch berichtet worden ist. Nach der dort angewandten Methode, mit einigen sie vereinfachenden Abänderungen, wird die gegenwärtige Frage angegriffen. Die im allgemeinen Falle erhaltenen Formeln führen zu einer einfachen algebraischen Beziehung zwischen den beiden Krümmungsradien und damit zu einer ihr entsprechenden Klasse algebraischer Curven, deren Gleichungen in expliciter Form sich darstellen. Diese Curven liegen auf Umdrehungs-Ellipsoiden oder -Hyperboloiden, und ihre Projectionen auf die Ebene des grössten oder kleinsten Parallelkreises sind Hypo- oder Epi-Cykloiden, deren

Capitel 3.

Analytische Geometrie des Raumes.

1238

erzeugender Kreis auf demselben Parallelkreise rollt. Ausserdem lässt sich ihr beliebig begrenzter Bogen durch einen Kreisbogen ausdrücken, eine hervorzuhebende Merkwürdigkeit bei algebraischen Curven. Lp.

P.

STÄCKEL.

Ueber algebraisch rectificirbare Raumcurven.

Math. Ann. XLIII. 171-184 (1893).

Der Humbert'sche Satz über die algebraische Rectificirbarkeit der Evoluten ebener algebraischer Curven gilt nur für Evoluten algebraischer Raumcurven, bei denen der Sinus des Torsionswinkels algebraisch von den Coordinaten abhängt. Die geodätischen Linien eines Cylinders sind algebraisch und algebraisch rectificirbar, wenn seine Grundcurve die ebene Evolute einer ebenen algebraischen Curve ist; die eines Kegels, wenn er der Evolutenkegel einer sphärischen algebraischen Curve, und die einer abwickelbaren Fläche, wenn sie Evolutenfläche einer algebraischen Curve, deren Evoluten algebraisch sind. In letzterem Falle geht die R.ückkehrkante bei der Abwickelung der Fläche auf einer Ebene in eine ebene algebraische Curve über. Ist die Rückkehrkante eine algebraisch rectificirbare algebraische Raumcurve, so hat die abwickelbare Fläche algebraische Raumcurven zu Krümmungslinien. Js.

P.

STÄCKEL.

Ueber algebraische Raumcurven.

Math. Ann.

XLV. 341-370 (1894).

Die algebraischen, algebraisch rectificirbaren Raumcurven ergeben sich durch Evolutenbildung aus den algebraischen Raumcurven, bei denen der Sinus des Torsionswinkels algebraisch von den Coordinaten abhängt. Beide Curvenarten sind explicite bestimmt, sobald alle algebraischen Curven aufgesucht werden, deren Schmiegungsebenen denen einer gegebenen sphärischen, algebraischen Curve parallel laufen. Die explicite Darstellung der algebraischen, algebraisch rectificirbaren Raumcurven führt zu der aller abwickelbaren algebraischen Flächen, deren Krümmungslinien algebraische Raumcurven sind. Wie die Bogenlänge, so genügt der Sinus des Torsionswinkels einer algebraischen, algebraisch

1234

IX. Abschnitt.

Analytische Geometrie.

rectificirbaren Raumcurve einer Gleichung zweiten Grades, deren Coefficienten rational von den Coordinaten abhängen. Letztere Beziehung führt zu einer Klasse von Raumcurven ( / ) - Curven), die den ebenen „courbes de direction" Laguerre's entsprechen. Js. E.

E.

Sur un nombre invariant dans la théorie des surfaces algébriques, c. R. cxvi. 285-287 (1893). PICARD. Sur deux nombres invariants dans la théorie des surfaces algébriques, c. R. cxix. 1169-1172 (1894). PICARD.

Ist f(x, y, z) = 0 die Gleichung einer algebraischen Fläche, und sind F und & zwei beliebige rationale Functionen von x, y, z, so lässt sich durch die beiden Gleichungen F = u und & = v eine gewisse endliche Anzahl ¡x von Punkten x, y, z der Fläche f = 0 bestimmen, welche mit u, v variabel sind, und für welche ôx d ôx (3 \i die Functionaldeterminante r r - - ^ - =#0 ist. Für u = 0, ou ov ov du v = 0 nehmen die [i Punkte bestimmte Stellen ein, welche die gemeinsamen Nullstellen von F und ^ heissen mögen. Wenn nun zu ¡a beliebig vorgeschriebenen Stellen der Fläche f = 0 stets ein Functionenpaar F und existirt, dessen gemeinsame Nullstellen eben jene fi Punkte sind, und wenn zugleich fi die kleinste Zahl von dieser Beschaffenheit ist, so ist Q — fi—1 eine für die Fläche f — 0 charakteristische Zahl, welche gegenüber allen rationalen, umkehrbar eindeutigen Transformationen derselben invariant bleibt. Es wird auf die Beziehung hingewiesen, in welcher die Zahl Q zu den beiden Geschlechtszahlen der Fläche steht. In der zweiten Note beweist der Verfasser, dass es stets birationale Correspondenzen zwischen je zwei Systemen von v Punkten der Fläche f = 0 giebt. Das Minimum Q' dieser Zahl v ist wiederum eine Invariante der durch die Fläche / = 0 bestimmten Klasse. Ht.

G.

Sur le nombre des plans tangents que l'on peut mener à une surface algébrique par une droite multiple de cette surface. Palermo Rend. VIII. 202-208 (1894). FOURET.

Capitel 3.

Analytische Geometrie des Raumes.

1235

Ist die Fläche raten Grades und die Multiplicität der auf ihr liegenden Geraden gleich r, so gehen durch die letztere ' [«(«+»-—1) —2r ( r - H ) ] ( » — r — 1 ) Tangentialebenen an die Fläche, deren Berührungspunkte ausserhalb der Geraden liegen. Die Specialisirungen r = 0, r — 1, r — n, r = n —1 waren schon bekannt. Seht.

S.

MANGEOT.

algébriques.

Sur les plans tangents à certaines surfaces Nouv. Ann. (3) XII. 185-188 (1893).

Es wird gezeigt, wie die Construction der Tangentialebene in M an eine Fläche f(x, y, z) = 0 auf die Construction der Polarebenen dieses Punktes in Bezug auf zwei Flächen (p(x,y,z) = 0, xl>{x, y, z) = 0 zurückgeführt werden kann, wobei .k) keine vielfachen Geraden, so schneiden die Fi auf R eine oc" ,_ i'-Schar aus; enthält sie aber a,-, a 2 -, . . . , «¿-fache Geraden, eine oo" A_i,_iZa ' (a ' _1) -Schar. Die zu R auf F3 gehörigen Restcurven niedrigster Ordnung zerfallen in zwei Teile; den einen Teil bildet eine rationale Curve ohne Doppelpunkt oder mehrere Kegelschnitte eines Büschels, den anderen eine Anzahl von windschiefen Geraden, welche mehrfach zählen können und die rationale Curve resp. die Kegelschnitte des Büschels nicht treffen. Eingehenden Untersuchungen der zu einer Raumcurve auf Ft gehörigen corresidualen Curven niedrigster Ordnung folgen endlich solche der Curven R' und R" für die Punktgruppen auf R, wobei unter R" die Restcurve niedrigster Ordnung von R' verstanden wird. Beigegeben ist für p = 78 eine Bestimmung der verschiedenen Familien von Raumcurven auf Fz, sowie eine Tabelle der auf F3 gelegenen Raumcurven bis zur 208""1 Ordnung. Js.

1262

IX. Abschnitt.

D. G.

Analytische Geometrie.

Andere specielle Raumgebilde.

HUMBERT. Sur les surfaces American J. XVI. 221-253 (1894).

de Kammer elliptiques.

Es sind dies diejenigen Kummer'schen Flächen, für welche die Coordinaten eines Punktes doppeltperiodische Functionen eines Parameters u und eines Parameters v sind. Es wird gezeigt, dass d a n n : 2.

Ö2r\x(u)dlQ+X(v)e

r,;i=0

wo i = 1, 2, 3, 4 und die Zahlen (*, l ) ( 0 , 0 ) , (0,1), ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) sind und „ a +m(u-{ , hni \) + 00 vi*-r V

— tX

J

"'

resp. die

4 - »

0k(v) = 2 ; e — 00

m

4

Wertepaare

- 7c+ H t ( o, H hui \ s. 9

K

n >

.

Auf diesen Flächen sind die Curven u = const., v = const. elliptisch und von der Ordnung 2n. Unter ihnen giebt es vier ter rationale Curven n Ordnung, entsprechend den halben Periodenwerten für u und v\ die Verteilung der 16 Doppelpunkte auf diese Curven wird untersucht. Die geometrische Bedingung dafür, dass eine Kummer'sche Fläche elliptisch sei, wird wie folgt gefunden: Die sechs Doppelpunkte a , , a a , . . . , a 6 eines Kegelschnitts müssen so liegen, dass es eine Punktinvolution n ' " Ordnung auf diesem Kegelschnitt giebt, welche vier Gruppen besitzt, die lauter Doppelpunkte haben und sonst je die Punkte an a a , a 3 ; a 4 ; as; cte, wenn n ungerade ist, und je die Punkte a , , a 2 ; a s , a 4 ; a 5 ,a 6 und keinen dieser Punkte, wenn n gerade. Ist n == 3, muss es einen Kegelschnitt geben, welcher durch drei dieser Punkte geht und dem Dreieck der drei andern eingeschrieben ist; diese Fläche wird besonders behandelt. Für n = 2 wird die Fläche zum Cayley'schen Tetraedroid, und man erhält die Klein'sche Bedingung hierfür. Ferner werden noch die Curven der Fläche betrachtet, die sich auf der allgemeinen Kummer'schen Fläche nicht vorfinden;

Capitel 3.

Analytische Geometrie des Raumes.

1263

die Fläche niedrigster Ordnung, die durch eine solche Curve geht, schneidet die gegebene Fläche höchstens in vier Kegelschnitten und sonst in Curven mit u — const. oder v = const. Wae.

G.

HUMBERT. Sur (4) X. 473-474 (1894).

la surface de Kummer.

Joum. de Math.

Richtigstellung des durch einige Druckfehler entstellten, in dem Referate S. 1220ff. erwähnten neuen Algorithmus zur Untersuchung der Gruppirungsverhältnisse der 16 Knotenpunkte und 16 Doppelebenen der Kuramer'schen Fläche und Ausdehnung desselben auf Abel'sche Thetafunctionen vom Geschlechte 3. Bm.

F.

MICHEL. Sur une transformation du conoïde de Plücker et sur quelques propriétés d'une surface particulière du quatrième ordre. Assoc. Franç. Besançon (1893) XXII. 184-189 (1894).

Transformirt man das Plücker'sche Konoid, das später unter dem von Cayley aufgebrachten Namen Cylindroid bekannt geworden ist, von einem Punkte seiner Axe aus als Pol durch reciproke Radien, so erhält man diejenige Fläche viêrten Grades mit der Axe als Doppelgeraden, welche als Ort der Krümmungsmittelpunkte sämtlicher durch einen Punkt einer krummen Oberfläche gelegten ebenen Schnitte derselben bekannt und untersucht ist. Dadurch ist es möglich, die von der einen Oberfläche bekannten Sätze (z. B. vom Konoid) auf die andere zu übertragen, wie an einer Reihe von Beispielen gezeigt wird. Lp.

A.

RITGEN.

Untersuchungen über Ringschnitte.

Pr.(No.5i6)

Gymn. Schlettstadt. 66 S. 4°. 3 Taf. (1893).

Ein Ring heisst hier jeder Körper, der durch Drehung eines Kreises um eine beliebige, in seiner Ebene liegende Axe entsteht. Jeder ebene Schnitt des Ringes ist eine Curve vierter Ordnung, welche in der Form u't-\-gl —0 erscheint, wobei u = 0 einen

1264

IX. Abschnitt.

Analytische Geometrie.

Kreis, gi = 0, g2 = Ö zwei einander parallele Geraden darstellen. Der Verf. untersuoht in elementarer Weise die gestaltlichen Verhältnisse der Curve in ihrer Abhängigkeit von den Constanten des Ringes und der Lage der Schnittebene; die Litteratur über die Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung und im besonderen über die bicircularen Curven hat er nicht benutzt. R. M.

Ueber zwei Fusspvinktenflächen des Axencomplexes einer Fläche zweiter Ordnung. Schlömilch z.

C H . BÖKLE.

XXXIX. 51-58 (1894). Diese Flächen werden im 23. Vortrage von Reye's Geometrie der Lage 1892, 2. Abtl. erwähnt in folgendem Satze: „Werden zwei Symmetrieebenen y und y' einer Fläche zweiter Ordnung F* von irgend einer Axe in den resp. Punkten P u n d P, geschnitten, und sind g und g, die Perpendikel, welche aus resp. P und P, auf die gemeinschaftliche Hauptaxe von y und / gefällt werden können, so ist jede Gerade des Raumes, welche einen Punkt von g mit einem Punkte von gl verbindet, eine Axe. Die Fusspunkte aller dieser Axen erfüllen eine durch g und gl gehende Fläche, von welcher y und y' zwei Symmetrieebenen sind, und welche von jeder durch g oder gi gelegten Ebene in dieser Geraden und einem Kreise geschnitten wird." Es werden viele an dieser Fläche gemachte Beobachtungen mitgeteilt; namentlich wird gezeigt, dass sie eine Dupin'sche Cyklide ist. H.

TH. F . HOLGATE.

Order.

American

On certain ruled surfaces of the fourth J. XV. 344-386 (1893).

Es werden die Regelflächen vierter Ordnung, welche die Erzeugnisse zweier projectiven Ebenenbüschel zweiter Ordnung sind, betrachtet und nach der Realität ihrer vier Pinchpunkte geschieden behandelt. Ferner werden die Regelflächen vierter Ordnung betrachtet: mit einer kubischen Doppelcurve und einer einfachen Leitgeraden; einem Doppelkegelschnitt und einer Doppelgeraden,

Capitel 3.

Analytische Geometrie des Raumes.

1265

die nicht Erzeugende und diö Erzeugende ist; einer Doppelerzeugenden und zwei getrennten und zusammenfallenden Doppelgeraden. Wae.

Correction of an error in Salmon's „Geometry of three dimensions". New York M. s. Bull. i l l .

TH. F.

HOLGATE.

2-24 (1894).

Zu S. 521, Zeile 1 u. 2 der vierten Auflage, wo zu lesen ist: „There is one pinch-point on the line and two on the conic." Lp.

A. DEL RE.

Sulla superficie del 4° ordine a conica doppia.

Rom. Acc. L. Rend. (5) II,. 211-218 (1893).

In dieser Arbeit wird die Fläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt als Fundamentalfläche eines speciellen PunktEbenen-Connexes (1, 2) und als conjugirte Polare bezüglich eines Ebenen-Geraden-Connexes und einer Fläche zweiter Ordnung betrachtet. Die Fläche wird überdies durch projectivische Formen construirt. A. L . BERZOLARI.

dine.

Sulla curva gobba razionale del quint'or-

Rom. Acc. L. Mem. (4) VII. 305-341 (1893).

Um über diese Abhandlung zu berichten, können wir nichts Besseres thun, als die „Relazione" zu übersetzen, welche die Herren Cremona und d'Ovidio über dieselbe an der Accademia dei Lincei gelesen haben, und einige Zusätze in den bibliographischen Angaben zu machen. Die rationale Raumcurve fünfter Ordnung ist bis jetzt das Thema sehr weniger Veröffentlichungen gewesen. Hr. R. Sturm (im V. Capitel seiner Preisschrift über die kubischen Flächen) und Hr. Bertini (vergl. F. d. M. XIII. 1881. 579) haben durch rein synthetische Betrachtungen schöne Eigenschaften derselben bewiesen. Danach hat W. Stahl die analytische Methode, insbesondere die Jolles'schen Osculanten (F. d. M. XVIII. 1886. 771), wie auch eine gewisse Involution fünfter Ordnung, welche er „Fundamental-

1266

IX. Abschnitt. • Analytische Geometrie.

involution" nannte, auf ihre Erforschung angewandt (F. d. M. XX. 1888. 713). Mit dieser letztgenannten Arbeit hängt die Berzolari'sehe zusammen. Der Verf. fängt mit der Construction von elf Elementarcombinanten der vier binären Formen fünften Grades an, durch welche die Coordinaten der Curvenpunkte der Voraussetzung nach ausgedrückt sind; dann bestimmt er die Beziehungen unter den Combinanten derselben oder verschiedener Art, wie auch die geometrische Bedeutung jener Combinanten und einige ihrer Ueberschiebungen. Wie bekannt, verdankt man Herrn Gross die Einführung der Elementarcombinanten in die Untersuchungen über die rationalen ebenen Curven (F. d. M. XIX. 1887. 708), eine Methode, welche von Herrn Berzolari schon in einer früheren Arbeit (F. d. M. XXIV. 1892. 772) auf die rationalen Raumcurven vierter Ordnung ausgedehnt wurde. Ferner findet der Verf. durch eine neue Methode eine gewisse kubische Raumcurve und eine Flächenschar zweiter Klasse, welche jeder Raumcurve fünfter Ordnung beigesellt ist und durch W. Stahl a. a. 0. zuerst bemerkt wurde. Der erste Teil der in Rede stehenden Schrift enthält die Aufstellung einiger neuen Eigenschaften einer bemerkenswerten Involution fünfter Ordnung und zweiter Species, welche auf der Curve durch einen beliebigen Raumpunkt bestimmt wird und durch den Verf. in einer neueren Arbeit auf jeder rationalen Curve eines beliebig ausgedehnten linearen Raumes betrachtet wurde (Annali di Mat. (2) XXI, vergl. diesen Band der F. d. M. S. 1279). Die Herren Friedrich, Gross, Fr. und E. Meyer (vergl. F. d. M. XVIII. 1886. 700, XIX. 1887. 708, XX. 1888. 746) haben die rationalen ebenen Curven vierter Ordnung erforscht, indem sie die Coordinaten ihrer Punkte als die zweiten Ableitungen einer binären Form sechsten Grades ausgedrückt haben. Ein ähnlicher Begriff wird vom Verf. im zweiten Teil seiner Arbeit auf die rationalen Raumcurven fünfter Ordnung angewandt, indem er die Coordinaten jedes Punktes derselben als dritte Ableitungen einer binären Form achten Grades ausdrückt. Diese Betrachtungsweise führt Herrn Berzolari zur Entdeckung der geometrischen Deutung einiger In- oder Covarianten einer binären Form achten Grades,

Capitel 3.

Analytische. Geometrie des Káumes.

1267

wie auch auf die bemerkenswerte Thatsache, dass die oben erwähnte Flächenschar zweiter Klasse und die Quadriflächen durch die obengenannte kubische Curve apolar sind, ferner zu neuen Eigenschaften derjenigen Raumcurve, welcher die Abhandlung gewidmet ist. Aber die Natur des Themas und die Behandlungsmethode erlauben nicht, dass wir auf Einzelheiten eingehen, ohne zu weitläufig zu sein. Zum Schlüsse möge bemerkt werden, dass die gegenwärtige Arbeit, obgleich sie mit solchen von anderen Geometern zusammenhängt, doch in ihrer Entwickelung einen eigenen und fruchtbaren Weg verfolgt und sich auf einen wenig erforschten Gegenstand bezieht. Bemerkenswert in derselben ist die Menge und die Verschiedenheit der Resultate, von denen mehrere neu und interessant sind, die Einheit und die Eleganz des Verfahrens, der geschickte Gebrauch der Theorie der algebraischen Formen, endlich der bibliographische Fleiss. La.

A. DEL RE. Sopra 5 modi diversi di produrre per forme proiettive la superficie del 5° ordine a quintiCa doppia, Torino Atti XXVIII. 420-427 (1893).

Die Fläche fünften Grades mit einem dreifachen Punkt und einer Doppelcurve fünfter Ordnung kann auf fünf verschiedene Arten erzeugt werden, und zwar entweder als Ort. der Schnittpunkte homologer Elemente der Hyperboloide eines tangentialen Netzes mit den Strahlen eines auf das Netz projectivisch bezogenen Strahlenbündels, oder als der Ort der Schnittpunkte der homologen Elemente eines Systems von Geraden von der Ordnung 3 und der Klasse 1 mit den Ebenen eines Strahlenbündels, welcher auf dieses System projectivisch bezogen ist. Aus dem Umstände, dass jeder dieser Erzeugungsweisen ein specieller Punkt-Ebenen-Complex (1, 2) entspricht, dessen einziger singulärer Punkt der Doppelpunkt ist, und dessen singuläre Ebenen die Ebenen der jener Erzeugungsweise zugeordneten Developpabeln sind, ergiebt sich die Gleichung der Fläche. Bm.

1268

IX. Abschnitt.

Analytische Geometrie.

A. DEL RE. Sulla superficie del 5° ordine con 5 punti tripli ed una cubica doppia. Rom. Acc. L. Rend. (5) II2. 99107, 138-146 (1893); III3. 11-16 (1894).

Iq derselben Zeitschrift (F. d. M. XXIV. 1892. 774) hat der Verfasser die homogenen Coordinaten der fraglichen Fläche in folgender Weise durch Parameter dargestellt: * =

Oa—%tT

5-,

(¿ =

1,2,3,4).

Dabei sind C« lineare kubische Formen in den homogenen Parametern X , f i , welche aus einer einzigen linearen biquadratischen Form Si durch Ableitung nach ihren Linearfactoren hervorgehen, während r ein dritter veränderlicher Parameter ist. Die sind die Coordinaten eines festen Punktes und die & beliebige Grössen. Aus der ersten und zweiten Note entnehmen wir folgende bemerkenswerte Resultate in Bezug auf diese Fläche: Sie besitzt fünf dreifache Punkte, welche in und den vier Ecken des Fundamentaltetraeders liegen, und ausserdem 11 Systeme kubischer Raumcurven, welche so verteilt sind, dass sechs Systeme durch jeden dreifachen Punkt, eines durch je drei und eines durch alle fünf dreifachen Punkte geht. Sie kann deshalb angesehen werden als der Ort jener kubischen Raumcurven, welche durch die fünf festen Eckpunkte eines windschiefen Fünfeckes und einen beweglichen Punkt einer Geraden gehen. Diejenige unter diesen kubischen Raumcurven, welche die feste Gerade als Sehne hat, ist die Doppelcurve der Fläche. Diese Raumcurven können auf fünf verschiedene Arten so zu zwei und zwei verteilt werden, dass sie auf einem und demselben Kegel zweiter Ordnung liegen, dessen Spitze sich in einem der dreifachen Punkte befindet. Die auf der Fläche liegenden Raumcurven vierter Ordnung, welche auf der Doppelcurve einen Doppelpunkt haben, umhüllen eine Curve achter Ordnung, die dem Fünfseit der fünf dreifachen Punkte umbeschrieben ist. Die Fläche besitzt ferner 25 Kegelschnitte,, die sich ihrer Lage nach in zwei Systeme von 10 und 15 teilen, und ausserdem

Capitel 3.

1269

Analytische Geometrie des Raumes.

noch weitere 12 kubische ßaumcurven. Diese Resultate werden durch Betrachtung der Abbildung der Fläche auf die Ebene gegewonnen (vgl. Clebsch, Math. Ann. III). Auf die Erzeugungsweisen der Fläche übergehend, wird unter anderem gezeigt, dass sie auf 20 verschiedene Arten erhalten werden kann als Ort der Schnitte der entsprechenden Elemente eines Büschels von Flächen zweiter Ordnung mit zerfallender Basis und eines zweifach unendlichen Systems von rationalen Kegeln dritter Ordnung in eindeutiger Correspondenz. Diese Erzeugungsweisen sind zu zwei und zwei den 10 Geraden der Fläche zugeordnet, welche von den dreifachen Punkten ausgehen. Ferner ergiebt sich, dass die Fläche auch auf 20 verschiedene Arten erhalten wird als Polariläche in Bezug auf einen ebenen Geraden-Connex (3, 4) und eine Fläche zweiter Ordnung, und auf fünf verschiedene Arten durch Netze von Flächen zweiter Ordnung, welche zu den fünf Tetraedern des Fünfseits der dreifachen Punkte conjugirt sind. Endlich giebt es noch fünf Connexe (4, 2); in Bezug auf jeden derselben und auf eine Fläche zweiter Ordnung ist die Fläche Polarfläche eines ihrer dreifachen Punkte. Die angeführten Erzeugungsweisen und noch andere, die der Verfasser angiebt, führen ihn zu verschiedenen Gleichungsformen der Fläche. In der dritten Note wird die Fläche als Fundamentalfläche eines speciellen Punkt - Ebenenconnexes (1, 2) betrachtet, und solcher Connexe giebt es fünf. Auch dieses Resultat führt unmittelbar auf eine elegante Gleichungsform der Fläche. Endlich ergiebt die Untersuchung noch, dass die Fläche vier oder drei absolute Invarianten besitzt, je nachdem sie eine kubische Doppel- oder Cuspidalcurve hat, und dass sie im allgemeinen keine linearen Transformationen in sich zulässt. Bm.

A. DEL RE. Sülle superficie del 5° ordine con cubica doppia e 2, B punti tripli. Modena Mem. (2) IX. 331-344 (1893). Auch diese Arbeit ist die Fortsetzung einer Reihe von Veröffentlichungen des Verfassers, über welche in F. d. M. XXIV. Fortachr. d. Math. XXV. 2.

81

1270

• IX. Abschnitt.

Analytische Geometrie.

1892. 774 berichtet ist. Die Art der Untersuchung ist dieselbe wie in den früheren Arbeiten. A.

A.

La curva doppia di una particolare superficie razionale del 9° ordine. Batt. G. XXXII. 133-140 (1894). BRAMBILLA.

x%, xt die Tetraedercoordinaten eines Raum6 n 0 2 , 6 i , 0 i vier durch die einzige Relation = 0 verbundene Parameter, so stellen (r = 1, 2, 3, 4) QXr = dl eine rationale Fläche neunter Ordnung und zwölfter Klasse dar, welche eine Doppelcurve von der Ordnung 27 besitzt. Diese Fläche ist nach der bekannten Steiner'schen Fläche vierter Ordnung die einfachste der vom Autor in früheren Abhandlungen (Torino Atti XX, F. d. M. XVII. 1885. 754; Lomb. Ist. Rend. XXI, F. d. M. XX. 1888. 860-61; Palermo Rend. II, F. d. M. XX. 1888. 808) studirten. Der Aufsatz giebt eine detaillirte Untersuchung der Gestalt dieser Fläche sowie ihrer Doppelcurve. Bm. Sind punktes, sind

H. A. SCHWARZ. Zur Theorie der Minimalflächen, deren Begrenzung aus geradlinigen Strecken besteht. Beri. Ber. 1894. 1237-1266 (1894).

Die Abhandlung bildet eine willkommene Ergänzung und zusammenfassende Darstellung der vielfachen Untersuchungen des Verfassers über die Minimalflächen und bringt den Beweis für einige von ihm früher aufgestellte Behauptungen. Auf einem neuen Wege wird die von Herrn Weierstrass mitgeteilte Fundamentaleigenschaft derjenigen Functionen erhalten, von denen die analytische Bestimmung der Minimalfläche bei vorgeschriebener, aus geradlinigen Strecken bestehender Begrenzung abhängt. Zuerst wird gezeigt, dass jede auf einem Stücke einer Minimalfläche liegende Gerade Symmetrieaxe der durch analytische Fortsetzung entstehenden Minimalfläche ist, und weiter werden die Verzweigungen dieser Fläche an einem Schnittpunkte zweier begrenzenden Geraden untersucht. Diese Verzweigungen sind zwar im allgemeinen viel-

Capitel 3.

Analytische Geometrie des Raumes.

1271

deutig; wenn man aber statt der ursprünglich betrachteten unabhängigen Variabein deren Logarithmen einführt, so kommt man zu eindeutigen Functionen, die sich als Potenzreihen darstellen lassen. Diese Umformung bietet nun eine bequeme Handhabe zur analytischen Behandlung des Problems, welche dann für ein beliebiges «-Eck als begrenzendes Polygon durchgeführt wird. Ebenso werden Kreisbogen-Polygone als Begrenzungen betrachtet. Die sich bei diesen Untersuchungen ergebende Differentialgleichung, von deren Lösung das Problem abhängt, wird auf homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung zurückgeführt, wobei auf einen Fehler in der von Hattendorf herausgegebenen posthumen Abhandlung von Riemann (Gött. Abh. XIII) hingewiesen wird. Den Schluss bildet die Betrachtung des speciellen Falles, wo die Begrenzung ein Viereck ist. A.

P.

PACI.

Sopra le superficie di area minima.

Torino Atti

X X I X . 446-461 (1894).

Die Darstellung der Minimalflächen geschieht in einer von der Weierstrass'schen etwas abweichenden Form, welche für gewisse Zwecke dem Verfasser einfacher als jene zu sein scheint. Die betreffenden Formeln werden aufgestellt und auf einige Fälle angewandt, bei denen aber die Lösung nach anderen Methoden bereits bekannt ist. A. E.

CARVALLO.

Sur les surfaces minima.

Darboux Bull.

(2)

XVIII. 12-18 (1894).

Die Fundamental-Eigenschaft der Minimalflächen, dass die mittlere Krümmung Null ist, wird in einer neuen Weise abgeleitet, und es werden die Vorzüge dieses Verfahrens gegenüber anderen Methoden auseinandergesetzt. A.

L.

RAFFY.

Résumé.

Recherches sur les surfaces harmoniques. S. M. F. Bull. XXII. 63-66, 84-96 (1894).

Der Verfasser giebt in übersichtlicher Form den Inhalt einer 81*

1272

IX. Abschnitt.

Analytische Geometrie.

von ihm verfassten Preisschrift über die „harmonischen" Flächen an. Unter harmonischen Flächen sind diejenigen verstanden, die bisher in der Regel „Liouville'sche" Flächen genannt wurden, also solche, für welche das Quadrat des Linienelementes sich in die Formen bringen lässt: da' = (U— V) (du^+dv1) — {fQo-{-y)—(p(x—y)) dxdy, während U und V Functionen von u, bezw. v allein sind. Die zweite Form entsteht aus der ersten, wenn man setzt u -f-vi — x, u — vi = y. Vorausgeschickt ist eine historische Uebersicht über die diese Flächen betreffenden Arbeiten, namentlich soweit sie in der Abhandlung des Verfassers selbst nicht besonders erwähnt werden. Die Untersuchungen des Verfassers beziehen sich nur auf die Formen des Linienelementes, nicht auf die Darstellung der ihnen entsprechenden Flächen, weil die Aufgabe, diese letztere allgemein zu geben, die gegenwärtigen Kräfte der Analysis übersteigt, wie dies schon Ossian Bonnet ausgesprochen hat. Uebrigens beziehen sich mehrere Veröffentlichungen des Verfassers aus den Jahren 1891 und 1892 in den C. R. CXII, S. M. F. Bull. XIX, XX, Ann. de l'Ec. Norm. IX (F. d. M. XXIII. 1891. 861-63, XXIV. 1892. 778-79) auch auf den Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Die Abhandlung zerfällt in drei Teile. Im ersten Teil wird der Massieu'sche Fundamentalsatz in folgender Form aufgestellt: Ist da1 — du'-\- GdvJ, d. h. sind die Parameter orthogonal geodätisch, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Möglichkeit, ds3 in die harmonische Form zu bringen, ausgedrückt durch zwei Gleichungen für (i, welche bei passend gewählter Form der Functionen A und W von v sind:

Hieraus lässt sich das Resultat ableiten, dass jede harmonische Fläche, deren Linien gleicher Krümmung parallel sind, auf eine Umdrehungsfläche abwickelbar ist.

Capitel 3.

Analytische Geometrie des Raumes.

1273

Eine andere wichtige Folgerung betrifft die harmonischen Regelflächen. Abgesehen von solchen, welche sich aus der Deformation der Kugel ergeben, sind diese Flächen abwickelbar entweder auf (reelle oder imaginäre) Flächen zweiter Ordnung, oder auf Umdrehungsflächen. Ausserdem enthält der erste Teil Untersuchungen über die linearen und die quadratischen Integrale der Gleichung der geodätischen Kreise. Der zweite Teil behandelt die Bestimmung der doppelt harmonischen Linienelemente, d. h. solcher, die sich auf zwei verschiedene Arten, und folglich auf unendlich viele Arten, in die harmonische Form bringen lassen. Es werden nach einigen Vorbetrachtungen fünf verschiedene Formen für derartige Linienelemente aufgestellt, und es wird bewiesen, dass dies die einzig möglichen sind. Die analytischen Eigenschaften der Formen werden dann genauer charakterisirt. Der Gegenstand des dritten Teiles ist die Bestimmung aller harmonischen Linien-Elemente, die zu Spiralen gehören, deren Klassification ebenfalls vollständig durchgeführt wird. A.

L. RAFFY. Détermination des éléments linéaires doublement harmoniques. Journ. de Math. (4) X. 331-390 (1894). Diese Arbeit enthält in sehr umfangreicher und abgerundeter Darstellung die vollständige Lösung des von den Herren Lie und Darboux gestellten Problems, alle doppelt harmonischen Linienelemente zu bestimmen. Sie ist somit eine weitere Ausgestaltung des zweiten Teiles der im vorhergehenden Bericht besprochenen Abhandlung. A.

Sur les géodésiques spéciales des surfaces harmoniques. s. M. F. Bull. XXII. 8-19 (1894).

L . RAFFY.

Wenn das Linienelement einer Fläche auf die Form ds1 = (U—

V)(du'-hdvJ)

gebracht werden kann (harmonische Flächen), so ist bekanntlich nach Liouville die Gleichung der geodätischen Linien einer solcheb

1274

IX. Abschnitt.

Analytische Geometrie.

Fläche gegeben in der Form : du

r

dv

j

/ wo a und b willkürliche Constanten sind. Giebt man a einen bestimmten numerischen Wert und lässt b variiren, so erhält man eine Familie geodätischer Linien, welche der Verfasser „specielle Geodätische" nennt. Dann gilt folgender Satz: „Bezieht man die harmonische Fläche auf eine solche specielle Familie geodätischer Linien ©, = const, und ihre Orthogonaltrajectorien © = const., so dass man das Linienelement in die Form bringen kann