Handbuch der Bedienungstheorie II: Formeln und andere Ergebnisse [Reprint 2022 ed.] 9783112614747, 9783112614730

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B. W. Gnedenko • D. König Handbuch der Bedienungstheorie I I

Mathematische Lehrbücher und Monographien Herausgegeben von der Akademie der Wissenschaften der DDR Institut für Mathematik

II. Abteilung Mathematische Monographien Band 57 Handbuch der Bedienungstheorie II von K. Arndt, U. Arndt, G. P. Bascharin, P. P. Botscharow, W. Eschenbach, P. Franken, U. Jansen, B.-M. Kirstein, G. P. Klimow, D. König, W. A. Kokotuschkin, M. Kotzurek, I. N. Kowalenko, P. Langrock, V. F. Matwejew, W. A. Naumow, W. W. Rykow, V. Schmidt, G. Siegel, A. L. Tolmatschew, W. Warmuth

Handbuch der Bedienungstheorie II Formeln und andere Ergebnisse Von einem Autorenkollektiv unter der Leitung von B. W. Gnedenko Lomonossow-Universität Moskau und D. König Bergakademie Freiberg

Mit 13 Abbildungen und 17 Tabellen

Akademie-Verlag Berlin 1984

An der Gestaltung des Gesamtmanuskriptes dieses Bandes waren Dr. U W E J A N S E N und Dr. VOLKER SCHMIDT, Bergakademie Freiberg, maßgeblich beteiligt.

ISSN 0076 - 5430

Erschienen im Akademie-Verlag, DDR -1086 Berlin, Leipziger Straße 3—4 © Akademie-Verlag Berlin 1984 Printed in the German Democratic Republic Lizenznummer: 202 • 100/400/83 Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", 7400 Altenburg Lektor: Dr. Reinhard Höppner Einband und Schutzumschlag: Dietmar Kunz LSV 1075 Bestellnummer: 762 765 2 (6369/2) 09800

Autorenkollektiv

Das HANDBUCH D E R B E D I E N U N G S T H E O R I E wurde von einem Kollektiv von Autoren aus der UdSSR und der DDR verfaßt. Es stand unter der Leitung von B O R I S WLADIMIROWITSCH GNEDENKO u n d D I E T E R K Ö N I G .

Am Band I I wirkten mit: Dr. K L A U S und Dr. U R S U L A ARNDT, Humboldt-Universität Berlin (Mitautoren von Kap. 11) Prof. Dr. G E L I PAWLOWITSCH BASCHARIN, Universität der Völkerfreundschaft „P. Lumumba", Moskau (Mitautor von Kap. 4, 8) Dr. P A W E L PETROWITSCH BOTSCHAROW, Universität der Völkerfreundschaft , , P . Lumumba", Moskau (Mitautor von Kap. 4, 7) Dr. W A L T E R ESCHENBACH, Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt (Autor von Kap. 1 0 ) Prof. Dr. P E T E R F R A N K E N , Humboldt-Universität Berlin (Mitautor von Kap. 1 1 ) Dr. UWE JANSEN, Bergakademie Freiberg (Mitautor von Kap. 1, 8) Dr. B E R N D - M I C H A E L K I R S T E I N , Humboldt-Universität Berlin (Mitautor von Kap. 1, 2 , Übersetzer und Bearbeiter von Kap. 4) Prof. Dr. GENNADI PAWLOWITSCH K L I M O W , Staatliche Universität „M. W. Lomonossow", Moskau (Mitautor von Kap. 6) Prof. Dr. D I E T E R K Ö N I G , Bergakademie Freiberg (Mitautor von Kap. 8) Dr. W L A D I M I R ALEXANDROWITSCH KOKOTUSCHKIN, Universität der Völkerfreundschaft „P. Lumumba", Moskau (Mitautor von Kap. 4, 7) Dr. MATHIAS K O T Z U R E K , V E B Robotron Dresden (Mitautor von Kap. 2) Prof. Dr. IGOR N I K O L A J E W I T S C H KOWALENKO, Institut für Kybernetik der Akademie der Wissenschaften der Ukrainischen SSR, Kiew (Autor von Kap. 5) Dr. P E T E R LANGROCK, Karl-Marx-Universität Leipzig (Mitautor von Kap. 3, 9) Dr. V I K T O R FJODOROWITSCH M A T W E J E W , Staatliche Universität „ M . W . Lomonossow", Moskau (Mitautor von Kap. 6) Dr. W L A D I M I R ALEXANDROWITSCH NAUMOW, Universität der Völkerfreundschaft „P. Lumumba", Moskau (Mitautor von Kap. 4) Doz. Dr. W L A D I M I R W A S S I L J E W I T S C H R Y K O W , Hochschule für erdölchemische und Gasindustrie „I. M. Gubkin", Moskau (Mitautor von Kap. 9) Dr. V O L K E R SCHMIDT, Bergakademie Freiberg (Mitautor von Kap. 6) Dr. G E R H A R D S I E G E L , Karl-Marx-Universität Leipzig (Mitautor von Kap. 3, Übersetzer und Bearbeiter von Kap. 5) Dr. A N D R E I LEONIDOWITSCH TOLMATSCHEW, Universität der Völkerfreundschaft „P. Lumumba", Moskau (Mitautor von Kap. 8) Dr. W A L T E R W A R M U T H , Humboldt-Universität Berlin (Mitautor von Kap. 11, Übersetzer und Bearbeiter von Kap. 7)

Hinweise für den Leser

Der Aufbau von Band I I des Handbuches (vgl. das Vorwort) gestattet dem Leser den Einstieg an der jeweils für ihn interessanten Stelle, da auf zum Verständnis unbedingt notwendige Aussagen aus Band II bzw. I jeweils verwiesen wird bzw. der Leser diese über das Sachverzeichnis finden kann. Die Numerierung der beiden Bände erfolgt durch römische Ziffern, für alle Kapitel und Abschnitte wurde die Dezimalklassifikation verwendet. Definitionen, Sätze, Beispiele und Bemerkungen werden innerhalb der Abschnitte gemeinsam fortlaufend numeriert, man erhält also durch Weglassen der letzten Zahl jeweils den Abschnitt, in dem sich der entsprechende Satz usw. befindet (z. B. befindet sich Satz 3.2.4.6 in Abschnitt 3.2.4). Entsprechend wurden — jeweils gesondert — Abbildungen und Tabellen numeriert. Formeln sind in den entsprechenden Abschnitten fortlaufend numeriert, ohne daß die Abschnittsnummer noch einmal auftaucht. Sie wird bei Verweisen in andere Abschnitte zusätzlich angegeben. Verweise erfolgen durch das Zeichen f — auf Kapitel durch die Angabe der Nummer (z. B. f Kap. 5) — auf Abschnitte in Band II durch Angabe der Abschnittsnummer in eckigen Klammern (z. B. t [4.3.2]) — auf entsprechende Abschnitte in Band I durch Voranstellen der römischen I (z. B. t [I, 12.2.1]) — auf Definitionen, Sätze, Beispiele aus Band I I durch Angabe der Nummer nach dem abkürzenden Buchstaben (z. B. \ D. 3.1.2.1, f S. 9.3.2, f B. 10.1.2) bzw. für solche aus Band I mit zusätzlicher vorangestellter I (z. B. f I, D. 3.1.2, •f I, S. 5.1.3). Symbole sind in einem Verzeichnis auf den Seiten 588 bis 598 aufgeführt, und zwar, zunächst nach Sachgesichtspunkten geordnet, die Symbole, die im gesamten Handbuch verwendet werden. Danach folgen in einer annähernd alphabetischen Reihenfolge bestimmte in mehreren Abschnitten auftretende Symbole der jeweiligen Kapitel. Literatur wird auf zwei verschiedene Arten zitiert: — Bücher durch Angabe der Autoren und einer Zahl in eckigen Klammern (z. B. QnsTLAE [ 1 ] ) ; diese Titel findet man im für alle Kapitel gemeinsam zusammengestellten Verzeichnis auf den Seiten 549 bis 553. — Zeitschriftenartikel sind kapitelweise zusammengestellt und werden durch Angabe des Autors und des Erscheinungsjahres zitiert (z.B. NEUTS ( 1 9 7 5 ) ) ; die Kapitelliteraturverzeichnisse findet man auf den Seiten 553 bis 587.

Vorwort

Der vorliegende zweite Band des Handbuches Bedienungstheorie ist naturgemäß eine Fortsetzung des ersten Bandes, besitzt jedoch auch eigenständige Bedeutung. E r ist für Leser, die die Grundbegriffe der Bedienungstheorie kennen, unabhängig vom Band I benutzbar. Eventuell notwendige Bezüge sind durch Verweise bzw. Sachworthinweise hergestellt. Die verwendeten Bezeichnungsweisen und bedienungstheoretischen Symbole stimmen mit denen von Band I überein und sind ausführlich im Kapitel 1 von Band I erläutert. Sind Grundlagen und Methoden der Bedienungstheorie der hauptsächliche Gegenstand von Band I, so ist Band I I vorwiegend als Nachschlagewerk f ü r Ergebnisse konzipiert. Interessiert z. B. den Leser, welche analytische Gestalt die Verteilungsfunktion (oder der Erwartungswert) der zufälligen Wartezeit in einem Wartesystem mit s Bedienungsgeräten unter bestimmten Annahmen über den Charakter des Forderungenstroms und der Bedienungszeiten besitzt, so findet er dies im entsprechenden Kapitel von Band II. Ergänzt ist diese Aussage durch die Angabe der Voraussetzungen sowie durch einen Hinweis auf eine Originalquelle, in der die Herleitung bei Bedarf nachgelesen werden kann. Auch findet man Verweise, mit welcher der im Band I dargelegten Methoden das Ergebnis herleitbar ist. Es war i. allg. nicht möglich, „Kochrezepte" und numerische Beispiele für die Anwendung der Formeln zu geben. Die an einigen Stellen aufgenommenen Beispiele und Algorithmen dienen der Erläuterung bestimmter Vorgehensweisen und Effekte. Die Ergebnisse dieses Bandes sind nach Klassen von Bedienungssystemen zusammengefaßt, da wir davon ausgehen, daß der Nutzer Aussagen über Charakteristiken eines bestimmten, vorgegebenen Bedienungssystems sucht. Die Kapitel 1 bis 4 von Band I I umfassen die wichtigsten, aus der Fachliteratur zusammengetragenen Resultate für die „klassischen" Grundsysteme der Bedienungstheorie: Verlustsysteme, Bedienungssysteme mit unendlicher Anzahl von Bedienungsgeräten (also ohne Verlust und ohne Warten) sowie Wartesysteme mit unendlich bzw. endlich vielen Warteplätzen. Die Kapitel 5 bis 9 sind Bedienungssystemen gewidmet, die über den klassischen Systemaufbau und den damit verbundenen Verlust bzw. das Warten von nicht sofort bei Eintreffen bedienbaren Forderungen hinaus gewisse Besonderheiten besitzen: zeitliche Beschränkungen für die Wartezeit (Kap. 5), verschiedene Dringlichkeitsstufen der Forderungen und daraus resultierende Prioritäten (Kap. 6), Serien-Bedienungssysteme (Kap. 7), Bedienungsnetzwerke (Kap. 8) sowie gesteuerte Bedienungssysteme (Kap. 9). Der Charakter der letztgenannten Kapitel unterscheidet sich etwas von demjenigen der vorgehenden Kapitel dieses Bandes. Die Kapitel 1 bis 4 enthalten ausschließlich Ergebnisse, keine Methoden. Diese sind in Band I gebührend dargelegt.

8

Vorwort

Für die Behandlung der in den Kapiteln 5 bis 9 betrachteten Systeme haben sich jedoch über die im Band I enthaltenen Methoden hinaus weitere spezielle Denkweisen und Verfahren erforderlich gemacht und entwickelt. Da sie sehr eng mit der jeweils untersuchten Klasse von Bedienungssystemen und deren Besonderheiten verbunden sind, sind sie auch zusammen mit diesen im jeweiligen Kapitel dargelegt. Somit umfassen die Kapitel 5 bis 9 im Gegensatz zu den Kapiteln 1 bis 4 auch Methoden. Statistische Ergebnisse für Bedienungssysteme sind im Kapitel 10 konzentriert, nach Klassen von Bedienungssystemen geordnet. Das abschließende Kapitel 11 faßt kurz allgemeine, vorwiegend theoretische Aussagen zur Existenz, Ergodizität und Stetigkeit der Hauptcharakteristiken von Bedienungssystemen, zu Relationen zwischen verschiedenartigen stationären Größen, zum Output von Bedienungssystemen und zu asymptotischen Fragen zusammen. Wir erwähnten schon im Vorwort zum Band I, daß es der zur Verfügung stehende Umfang des Gesamtwerkes nicht ermöglichte, sämtliche Ergebnisse der Bedienungstheorie hier zu erfassen, insbesondere nicht solche, die für Bedienungssysteme aus sehr wichtigen, jedoch speziellen Wissens- bzw. Anwendungsgebieten ermittelt wurden (z. B. im Verkehrs- und Transportwesen, im Fernsprechverkehrswesen, für Informationsund Rechnersysteme). Wir verweisen auf hierzu z. T. bereits bestehende Nachschlagewerke bzw. möchten deren Herausgabe anregen. Ebenso wie Band I ist auch der vorliegende Band I I das Ergebnis jahrelanger konzentrierter Arbeit eines großen Autorenkollektivs unserer Länder, wofür wir allen Beteiligten einschließlich der Kollegen des Akademie-Verlages (Frau H E L L E und Herrn Dr. H Ö P P N E B ) sehr herzlich danken. Moskau und Freiberg Januar 1982

B . W . GNEDENKO

D . KÖNIG

Inhaltsverzeichnis

1.

Verlustsysteme

19

1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.2.1. 1.2.2.2. 1.2.3. 1.2.4.

20 20 23 25 26 26 26 26 32 34

1.2.5. 1.2.6.

System M/M/s/O Instationäre Charakteristiken Stationäre Charakteristiken Stationäre Zustandswahrscheinlichkeiten für Systeme M(i)/M(k) der Anzahl N, N bzw. $ der Forderungen im System zu einem beliebigen Zeitpunkt, unmittelbar vor dem Ankunftszeitpuiikt einer Forderung bzw. unmittelbar nach dem Abgangszeitpunkt einer bedienten oder abgewiesenen Forderung angegeben, mit deren Hilfe u. a. die stationären Verlustwahrscheinlichkeiten, Binomialmomente, Erwartungswert und Varianz der 2*

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1. Verluateysteme

Anzahl belegter Bedienungsgeräte zu den verschiedenen Zeitpunkten zu bestimmen sind. Darüber hinaus werden Charakteristiken der Ströme der bedienten bzw. der abgewiesenen Forderungen angeführt. Dabei werden die Formeln, die sich direkt aus entsprechenden Formeln komplizierterer Systeme ergeben, nicht immer explizit angegeben. Die Ergebnisse in [1.3] und [1.4] sind eng mit der Unempfindlichkeit der stationären Zustandswahrscheinlichkeiten (f [I, 7.2]) verknüpft. In diesem Zusammenhang sei auf die relativ einfache Möglichkeit der Behandlung unzuverlässiger Bedienungsgeräte durch die Betrachtung von speziellen „Schicksalen" der Belegung eines Gerätes für solche Systeme hingewiesen (f [1.3.5]). 1.1.

System M/M/s/0

Im System trifft ein Poissonscher Forderungenstrom mit der Pausenzeitverteilungsfunktion A(x) = 1 — e~Xx ein. Ferner sei d0{x) = 1,

di(x) =

Q £TM* + l)-(x

s xd/(x + 1) = 27 k=o

+ k-l),

(1)

- 1) - (X - k + 1)