Elementos de la geometria diferencial

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ELEMENTOS DE

BARRETT O'NEILL DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CALIFORNIA, LOS ANGELES, CALIFORJ\'IA

'f:rí· R es una función y si A es subconjunto de D, entonces, b restricción de 1 a A es la función 1 1 A: A-> R definida por la misma regla que f, pero aplicada solamente a los elementos ele A. Este cambio es aparentemente menor, pero la función f 1 A puede tener propiedades muy diferentes ele las ele la misma f. He aquí dos propiedades importantes que una función puede tener. Se dice que una función f: D--'-> R es uno a uno siempre que, si x y y son elementos ele D tales que x =/=y, entonces f(x) =!= f(y). Una función f: D ~ R es sobre (o lleva a D sobre R) siempre que, para cada elemento y de R, haya por lo menos un elemento x en D tal que f(x) =y. Con brevedad, decimos que la imagPn de f es la totaliclacl del conjunto R. Por ejemplo, considérense las funciones siguientes, c::lda una de las cuales tiene el conjunto ele los números reales de dominio y de contradominio: 1. La función 2. La función sobre. 3. La función 4. La función

x ~ x 3 que es uno a uno al mismo tiempo que es sobre. eJSponencial x ~ ex, que es uno a uno, aunque no es x ~ x 3 + xe, que es sobre, pero no es uno a uno. seno, x ~ sen x, que no es ni uno a uno ni sobre.

Si una función f: D ~ R es uno a uno y sobre, entonces, para cada elemento y de R hay uno, y sólo uno, elemento x tal que f(x) =y. Al definir f _,(y) = x para toda x y toda y relacionadas de esa manera, obtenemos una función j- 1 : R ~ D que se llama inversa de f. Adviértase que la función j- 1 es también uno a uno y sobre, y que su función inversa es la función original f. He aquí una lista breve de las notaciones principales que emplearemos a lo largo del libro, en el orden de su aparición en el capítulo I:

p, q, ................... .

f, [[, .. v,

o

•••••••••••••••••

"\V, . . . • • . . . . . . . . . . . • . . .

V, W, .. ............... . a, (3, . .................. . ' 1 ................... . O es un conjunto abierto, y la función ;·::: log x que se define en este conjunto es, desde luego, diferenciable, aunque su dominio no es la totalidad de E 3 • En general, los resultados de este capítulo conservan su yalidez si se substituye E" por un conjunto abierto arbitrario () ele E 3 • El motivo por el que hemos hablado del espacio euclidiano tridimensional líO es otra cosa que, ésta es la dimensión que emplearemos con más frecuencia en el trabajo posterior. Sería igual de fácil trabajar en el espacio euclidiano n-dimensional E", en el que los puntos son n-adas p = (p 1 , • • · , ji 11 ) y que tic·nc n funciones coordenadas naturales x 1 , • • ·, x 11 • Todos los resultados de este capítulo son válidos en los espacios euclidianos de dimensiones arbitraria';, aunque rams veces aprovecharemos esto, con la excepcicín del caso del p!ano euclidiano E 2 • En particular, los resultados son válidos en la recta real E 1 = H. 1viuchos ele los conceptos que se presentan se han formulado específicamente para el estudio de dimensiones mús altas, sin embargn, y por lo tanto, resultan un tanto enfadosos -por su atención a los c!cUlllcs-- cuando se lt>s reduce a la dimensión l.

EJERCICIOS

-

= y g = y sen z funciones en E". Exprésense las funciones siguicntec; en términos de x, y, z:

l. Sean /

. ¿¡ b 1 -j

,-,

l

e)

u

2" g) (

.:

(f

b

+

-f.

\'

d'¡ (. (sen f).

16

EL CÁLCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

2. Encuéntrese el valor de la función

f = x 2 y - y2 z

cn cada uno de los

puntos:

a) (1, 1, 1).

b) 3,- l, 1).

e) (a, 1, 1 - a) .

d) (t,t 2,t'1).

3. Exprésese

a)

f

b)

f=

=

cf /ex

en términos de .\',

xsen (xy) sen g,

g

+

yy

z

Sl

ycos (xz).

= e\

h = x"

+ y2 + .::2.

4. Si g1, g2, g,1 y h son funciones ele valores reales en E 3, entonces

f

=

h(gl, g2, g,)

es la función en la que se verifica para todo Exprésese 3f jox en términos de x, y y z s1 h

2

a)

f = h (X +

b)

f=

h (ex, ex+Y, ex).

e)

f

h(x, -x, x).

=

=

.\

2

-

p.t

yz y si

y, y 2 , X + Z).

Vectores tangentes

Desde el punto ele vista intuitivo, un vector en E" es un segmento ele recta con orientación, o una "flecha". Los n·ctores se usan ampliamente en la física y en la ingeniería para describir fuerzas, velocicladcs, momentos angulares y muchos otros conceptos. Para obtener una definición qt;c sea tan práctica como precisa, clescribirnnos una "flecha" en E'1 al dar su punto ele partida p y el cambio, o vector v, necesario para llegar O, b =F O. (Siempre usaremos el término hélice para representar la hélice circular recta.) 3) Sea

....

a:(t)

=

o< t < -rr/2.

para

(2cos 2 t,sen2t,2sent)

e

Esta curva a tiene una propiedad notable: sea el cilindro en E 3 construido sobre el círculo en el plano xy con centro en (1, O, O) y radio l. Entonces a sigue la ruta que corta en la esfera S de radio 2 y centro en el origen (figura 1.8) .

e

\

4) La curva a:

R~

E 3 tal que

comparte con la hélice de 2 la propiedad de elevarse constantemente. Sin embargo, queda sobre la hipérbola xy = 1 del plano xy, en lugar del círculo del otro caso. 5) La curva a: R

-

~

E 3 tal que

Si las funciones coordenadas de una curva son suficiPntemcnte sencillas, se puede determinar la fom1a de la curva en E\ por lo menos aproximadamente, por el procedimiento de '·fuerza bruta" ele ir determinando su:; puntos. Podremos obtener un cuadro r:-~zonable ele esta curva cuando O< t < 1 al calcular a(t) para t = O, ~1¡ 0 , 1¡2, ~~ 0 , 1 Si visualizamos una curva a en E" como punto móvil, entonces en cada momento t hay un vector tangente en el punto .a ( t) que nos da la velocidad instantánea ele a en ese morrwnto.

28

EL CÁLCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

4.3 DEFINICIÓN. Sea a: 1 ->E'< una curva en E 3 con a= (o:,, ae, a3). Para cada número t en 1, el vector de velocidad de a en t es el vector tangente a , ( t)

=

do:2 ( t), ~da:;-- \ t) - - (t), ---

(do:1

1

dt

dt

)

dt

n(t)

en el punto ,a(t) de E 3 (figura 1.9). Daremos la siguiente interpretación geométrica de esta definición. La derivada en t de una función de valores reales f en R está dada por

df (t) = dt

lím f(~~.:.: ·O !::,.t

f(!l.

La misma fórmula tiene sentido si substituimos ( o:1, (r2, o: 3 ) . De hecho, 1

- (a ( t t::.t

+ ~t)

- a ( t) )

(

_c:l (t

+

f

por una curvz. a

=

t::.t L=-_c:_&l_ t::.t

Cl'"(t

~-~2t-~

()'" (t)' a~ -~2t-=-~&)_}

Este es el vector que parte de a ( t) y va a a ( t + t::.t), multiplicado escalarmente por 1/ t::.t (figura 1.1 O). Ahora bien, a medida que .6.t se vuelve más pequeño, a (t + t::.t) se aproxima a a(t), y en el límite, cuZ~ndo t::.t ..__,O, obtenemos un vector tangente a la curva a en el punto a(t), a saber (do:,fdt(t), daddt(t),

a'(t)

/e-----Figura 1.9

do:,/ dt (t) ) . Como lo sugiere la figura, el punto de aplicación ele este vector ha ele ser el punto a ( t). Por lo tZ~nto, la operación estándar de derivadas da lugar a nuestra definición ele la velocidad de una curva. La aplicación de la identidad

(v1, v2, v 3 )v

=

¿: v;U;(p)

29

CURVAS EN E 3

1

t.t (a(t

+ t.t)

- a(t))

~~==~~--------~

a(t)

a(t

+ t.t)

a Figura 1.10

al vector de velocidad a' ( t) en t produce la fórmula alterna

o:' (t) =

2: (~~~ dt

(t)

ui (o:(t)).

Por ejemplo, la velocidad de la recta o: ( t) = p

+ tq

es

El hecho de que a es recta se refleja en que todos sus vectores de velocidad son paralelos entre sí; lo único que cambia es el punto de aplicación, a medida que cambia t. En la hélice

(o: cos t, a sen t, b t ) ,

rr ( t)

la velocidad es

o:' ( t)

=

( -

a sen t, a cos t, b) a et) .

Vemos la elevación constante de la hélice en la constancia de la coordenada z ele a' ( t) . A partir de una curva o:, se pueden construir muchas curvas nuevas que siguen la misma trayectoria que o:, aunque viajen con rapidez diferente.

4.4 DEFINICIÓN. Sean I y J intervalos abiertos en la recta real R. Sea rr: I----? E 3 una curva y sea h: J-¿ I una función diferenciable (ele valores reales) . Entonces se dice que la función compuesta {3

=

a ( h) :

J -¿ E 3

es una curva que se llama rej!arametrizaciún de a por h.

-

En cada momento s del intervalo ], la curva {3 cstar:t en el punto {3(s) = rr(h(s) ), que la curva a alcanza en el momento h(s) del intervalo I (figura 1.11). Por lo tanto, {3 sigue el mismo camino ele o:, pero en general {3 llega a un punto clado ele él en un momento diferente del de o:. En la práctica, para calcular las coordenadas de {3, se substituye sencillamente t = h(s) en las coordenadas ,t 1 (t), a"(t), rr 3 (t) de a. Por ejemplo, supon-

30

EL CÁLCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

~t(s)

= a(h(s))

8

J(

~'~Ea ~ t )/ Figura 1.1 1

gamos que a ( t) = ( y t, t v'-t, J: O < s < 2, entonces, j3 (S)

=

-t)

en l:O O tal que a ( t + jJ) = a ( t) para todo t; el menor de estos números jJ se llama entonces jJníodo de a. Desde el punto de vista del cálculo, la condición más importante que se puede pedir a una curva a es que sea regular, y esto significa que todos sus vectores ele velocidad han de ser diferentes de cero. U na curva aS: no puede tener puntas agudas ni esquinas. Los comentarios siguientes acerca de curvas (que se hacen sin demostraciones) no son parte esencial de nuestra exposición, pero los u>aremos en el capítulo IV. Consideraremos, en el caso del plano E", otra manera conocida de formular el concepto ele "curva". Si f es una función diferenciable ele valores reales en E", sea

e: f

=a

el conjunto ele todos los puntos p en E" tales que f (p) = a. Ahora bien, si las derivadas parciales 2f /2x y of /oy no son nunca simultáneamente cero en ningún punto ele e, entonces e consta ele una o más "componentes"

y

-Figura 1.12

Figura 1.13

32

EL CÁLCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

separadas, a las que llamaremos Curvas. t Por lo tanto, C: x 2 + y 2 = r 2 es la circunferencia de radio r con centro en el origen de E 2 , y la hipérbola C: x 2 - y 2 = r" se parte en dos Curvas ("ramas") C 1 y C 2 , como se ve en la figura 1.13. Toda Curva C es la trayectoria de muchas curvas regulares a, que se llaman parametrizaciones de C. Si C es una Curva cerrada, entonces tiene una parametrización periódica a: R ~ C. Por ejemplo, la curva.

a(t) = (r cos t, r sen t) es una conocida parametrización de la circunferencia que acabamos de dar. Si Ces una Curva que no es cerrada (a Curvas así se les llama a veces arcos), entonces toda parametrización (3: 1 ~ C es uno a uno. Por ejemplo, (3(t) parametriza la rama x

=

> O de

(r cosh t, r senh t) la hipérbola que vimos antes.

EJERCICIOS

1. Calcúlese el \·ector de YClocidad ele la curva 3 en el ejemplo 4.2 para valores arbitrarios de t y en t = "/ 4. 2. Trácese la curva 5 dd ejemplo 4.2 por medio del método que se sugiere en ese lugar. En el di bu jo, represéntense los n:ctores ele veloc:iclacl en t = O, J, l. 3. Encuéntrense las funciones coordenadas de la curva (3 = a ( h), donde a es la curva (3) del ejemplo 4.2 y h es la función en J: O < s < 1 tal que h(s) = sen··1 s.

4. Encuéntrese la curva (única) tal que a(O) ( t", t, e 1 ).

(1, O, -5) y a'(t)

5. Encuéntrese una recta que pase por los puntos (1, -3, -1) y (6, 2, 1) . ¿Se corta esta recta con la que pasa por los puntos ( - 1, 1, O) y

(-5, -1, -1)? 6. Dedúzcase del lema 4.6 que en la definición ele derivada direccional (definición 3.1), la recta t ~ p + tv se puede reemplazar por cualquzer curva a con velocidad inicial v p, es decir, tal que a (O) = p y a'(O) = Vp· 7.

(Continuación). Demuéstrese que las curvas dadas por ( t, 1 + t", t), (sen t, cos t, t) y (scnh t, cosh t, t) tienen todas la misma \:elociclad

t En (solamente) esta sección emplearemos la C mayúscula para distinguir este concepto del de la curva a: 1 -¿ E 3 •

33

1-FORMAS

inicial Vv. Si f = x 2 una de las curvas.

-

y2

+

z 2 , calcúlese vv[fJ al evaluar

f

en cada

8. S Fa h (s) = log s en ] : s > O. Reparametríccse la curva ( 4) del ejemplo 4.2 por medio de h. Compruébese la validez de b ecuación del lema 4.5 en este caso al calcular separadamente cada uno de sus miembros. 9. Si t tiene un valor fijo, la recta tangente a una CUlTa regular a en a(t) es h recta u--¿a(t) + ua'(t), donde hemos omitido el señalamiento del pun~o de aplica6ón de a' ( t). Encuéntrese la recta tangente a la hélice a(t) = (2 cos t, 2 sen t, t) en los puntos a(O) '"

a(-;;-/4). 1O. Trácense las Curvas siguientes en E 2 y encuéntrense parametrizacionPs de cada una. a) e: 4x 2 + y 2 =o l. b) e: 3x + 4y = l.

-

S

e) d)

e: y= eT. e: x2/3 + y2/3

1,

X> o, y> O.

1-formas

Si f es una función de valores reales en E", entonces se define en el cálculo elemental la diferencial de f como

a¡

df = --- dx

ox

a¡ a¡ + -oy dv + · - dz. . ()z

~o siempre se aclara con ''x::tctitud el significado de esta expresión formal. En esta sección, le ciaremos un tratamiento riguroso mediante la idea de 1-fonnas, que resultará decisiva en momentos de nuestro trabajo posterior.

5.1 Dr:FrNICTÓN. Una 1-forrna 1' en E 3 es una función ele valores reales en el conjunto de todos los vectores tangentes a E' t;Ü que q> es lic1eal en cacla punto, es decir, que

para cualesqcliera números a, b y vectores t;mgentes v, w en el m1smo punto de E 3 •

-

Insistimos en que para cada vector tangente v a E 3 , una 1-forma q, dcfint~ un número real q,(v); y para cada punto p en E';, la función que resuli.a ,¡,¡¡:T 71 (F?)--¿ R es linC'al. En comecuencia, en cada punto p, 'Pv es elemento del fsjJacio dual de T¡¡(E 3 ). En este sentido, la ide:1 de 1-forma es h dual de la de un campo vectorial. La suma de las 1-formas ,¡, y ¡f; se define ele la manera positi,·a que E'S habitual

31

EL c,\LCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

(~

+ 0) (v) =

~(v)

+ 0(v)

para todos los \Tctorcs tangentes v.

De b misma mZ!nera, si f es una función ck v;deres reales en E' y es un;:¡ 1-forma. entonces ¡~, es la 1-for:Jt:t tal que

para todos los \TCtores tangentes

,¡,

V;,·

IIay tat:Jhil:n una rn:n!lTa natural de n·aluar ;•na 1-forma c¡, en un camjw ccdorial V para obtener una función e¡,(!') de y;¡]ores reales: en cada punto p, el yalor de (V) es el n {!In ero ~b (V ( p) ) . Por lo tanto, una 1-fonna se puede con:sidcrar t;unbién como una máquina de tr;msfurnnr campos \Tctori:des en funciones ele \·alorcs reales. Si l!'LO. Cálculos ele productos tilde ( 1). Sean ~-0

.\

d.\ - :V dy

Entonces

1)

A

V'=

, (v:dx- cydy)

1\

(zrfy =

y

+ .\::

.n!z) d\ {Jy

+

.1"

dx d:-

r: r!y r!\

- yx dy d.:.

!'ero

dy dx

dx dx =O,

=

-

dx dv.

l'c;r lo tanto, A

'Í

=

y:: dx tFy

+

_y::

dx rlz - xy dy d::.

En general, el producto ck dos 1-formas es una 2-forma. 2 "¡ s('~m 1) y ~~ bs ] -formas an\('l iorc5. y sea

\\;r1·,jL\' ;-.,('

~:,·,11 (: ( j

,

¡;ucde cn~::-;itb ~·;:;r

;~~·l'Ít·li:l~l c':Jt'':~·n , , :1 ¡\( ; 1 :.. ';( r : 1;

c:.;t:'

:,r : .1 ·~r':l~id,, 1 : ;-! ·, • 1

pr\'·LlH'~íl Cfi¡Jlil

~-,.1'1~1 (¡e fl11;1,Í{ll1 e; r ir,

el pr.:Jtluctu parti('ttbr , ·;' ~.' r

(':...:l'i

ior .::~·:·;¡e; ,J,

('q'tl\" ;jf':lt"'

la

40

EL CÁLCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

Entonces

rp

(} 1\

1\

y=

)'Z~

dy dx dy

+

x 2z dy dx dz - x;•z rly dy d::.

Puesto que dy dx dy y dy dy d:: contienen cada una repeticiones, las dos valen cero. Por lo tanto, (j 1\

.p

1\

y=

-

x 2 z dx dy dz.

3) Sea como b hemos dado, y sean '1} las 2-forma y dx dz + x dy dz. Si omitimos las formas que contienen repeticiones, nos quedamos con

1>

1\ 17 = .1 2

dx dy dz - :/ dy dx dz

+ )'

=

2

)

dx d)' dz.

En estos ejemplos debe quedar claro que el producto tilde de una p-forma y una q-forma es una (p + q) -forma. Por consiguiente, un producw es automáticamente cero siempre que p + q > 3. 6.2

LEMA.

Si c1~ y

y son

1-formas, entonces

y = - .¡;

1\

1\

1>.

Demostración. Escribamos

Entonces, por la regla de alternación,

En el idioma de bs formas diferenciales, el operador d de la definición 5.2 convierte una O-forma f en una 1-forma dj. Es fácil ¡~cn:,r:clizar a un operador (que tambiL:n se denota por d) que convierte una p-form:1 ?J en una (jJ + 11-forma d?J: no hay mús que aplicar la d (de la dcfiniciÓ;¡ :!.2) a bs funciones corficientes de ?J· Por ejemplo, tenemos a conti1m:1ción el caso /' = l.

6.3

Si \) e~ :¿ f; d'., e:s ,¡, cs la 2-forma d7, = ): df;

una 1-forma en E", la derii'ada

DLaKICllJN.

nterior ele

A rl,\'i·

Si desarrollamos la definición anterior por medio del corobrio 5.5, obtendremos la siguiente e .interesante fórmula ele h derivada exterior de

1) rls'> = { ~

\r:"r 1

-

=

f1dx,

+ fcdx"

-1- f:;dx 3 :

2 fcx1'-) dxl dxc + (~I ··Cx~ / dy, dxo + 1) 1

2

r,'X 1

_\

_.

"

;'\o es necesario que el lector memorice csta fórmula: resulta lllt'JOr apliC 1\ da cnmpll'Llm,·ntc detc·rmin"d:1 pr•r ';u,. valores en tres puntos (line;¡lnwnte indcpcr:dirntes). que podemos tom:n como los jJlu;tus unidad

u,= (1, O, O)

u.

u,=(O.O,l).

(0,1.0)

2) El mapeo F: E"--)E" t:tl que F(u,z•) =(u"- z•\2uu). (Aquí u\

z· son las funciones coordenadas de E".) Para analizar naremos :;u efecto en la cuna a ( t) = ( r cos t, r sen t ). Esta curva hace un viz1jc en el sentido o¡mc'oto al ele bs alrPdedor de un círculo de radio r (con centro en Pl nnagen es (3(t) = F(a(t)) = F(rcost.rscnt) = dfJJidc O "S t

S

(r~cos"t

--

este mapco. examiclond(· O S t :?' 2,-. m::mecillas del reloj orig-en). T,a cun'a

r~senét,2r"costsenl),

2,-. Por medio de b~: idcnticbd, s trigonométricas

cos 2t = cos't - sen"!

sen 21

=

2 sen t cos t.

enrontr;1mos para (3 = F((\') la fórmula

(3 ( t)

=

(

r" e os 2 t. re sen 2 t) ,

en la qw· O ;% t S 2,-. Esta curva cmprcnclc do.\ vi;1jcs ('!1 el :-cntido opuesto al c!c bs lllanecillas del reloj alrededor del círculo de radio r' (con centro en el origen 1 (figura l. Li). Es así como el efecto ele F consi5tc' en envolver llanamente el plano E" alrededor de sí mismo dos Ycccs; el ongr·n queda fijo. puesto que

'U

Figura 1.15

,

47

;'>!APEOS

F(O, O)

= (0, O). En este proceso, cada círculo de radio r queda dos veces envurlto alrededor del círculo de r:1dio r".

En C:!cb uno ele los nue\·os objetos (jlll' hemos definido en c'tf' c:1pítulo. hemos pasado a cldini;· una icka adecuada de la dcri\·acla de ese objeto. Por ejemplo, h "dcrivacb" de una cun·a a es su vp]ocicbcl e'. :\ partir E"' y e: E m--:> EP mapeos. a) Generalícense los resultados del ejercicio 7 a este caso. b) Si a es una curva ele En, demuéstrese que ( CF) ,,, (a') = G,, (F~ (a')). [Indicación: (GF) (a) = C(F(a)) .] e) Dcclúzcase que ( CF) ,,, = G,F,,: el mapa ele derivadas de una composición de mapcos es la composición de sus mapas de derivadas. 13. Si f: R-:. Res una función cliferenciable en la recta real R y de valores reales, demuéstrese que f'(vp) es el vector tangente f'(p)v en el punto f(p).

8

-

Resumen

A partir de la idea familiar ele las funciones de valores reales, con el auxilio del álgebra lineal en cada paso, hemos construido una cliversiclacl clr: objetos matemáticos. La idea fundamental ele vector tangente nos condujo al concepto ele campos vectoriales, cuyos duales son las 1-formas, que a su vez nos han llevado a las formas diferenciales. Las ideas de curva y de función clifercnciablc se generálizaron a las de un mapeo F: E"--:> Em.

54

EL CÁLCULO EN EL ESPACIO EUCLIDIANO

A continuación, tenemos que a partir de la idea habitual de la derivada de una función de valores reales, hemos pasado a construir operaciones adecuadas de diferenciación para estos objetos: la derivada direccional de una función, la deri\'ada exterior de una forma, la nJocidad ele una curYa, el mapa de deri\'adas ele mapeo. Todas estas operaciones se recluccn a derivadas ( ordinari:1s o parci:1les l de funciones coordenadas ele \alores re:1lcs, :1unque es digno de notar el hecho ele que en la m;;yorb de los casos en las definiciones ele estas operaciones no intern~nían las coordenadas. (Esto se pudo haber hecho en todos los casos.) En general, bs operaciones de diferenciación han exhibido de una u otra manera las propi~Cclac!C's lineal característica y de Leibniz de la diferenciación ordinaria. Es probable que la mayor parte de estos conceptos h;1yan resul1;1do ser familiares para el lector, por lo menos en algunos casos especiales. Pero nos hemos provisto de definiciones cuiclaclosZls y ele un catálogo ele propiedades básicas que nos capacitarán para dar cmnienzo a nuestra exploración de la geometría clifer~Cncial.

CAPITULO

11

Campos de sistemas de referencia

Se puede decir que la geometría se inicia con la medición de distancias y de ángulos. \'eremos que es posible deducir la geometría del espacio euclidiano del jnoducto escalar, que es el producto interior natural en el espacio euclidiano. t;na buena parte de este capítulo se ha dedicado a la geometría ele curvas en E". Insistimos en este terna no solamente por su importancia intrínseca, sino también porque el método fundamental con que se investigan las cur\·Zls ha comprobZJdo su efectivicbd en toda la geometría diferencial. Se estudia una curv0 en E' al asignar a c0da punto un determinado sistr'ma de referencia, es decir, un conjunto de tres vectores unitarios ortogonales. La tasa de cambio ele estos vectores a lo largo de la curva se expresa a continuación en términos de los mismos vectores por medio de las célebres fórmulas de Frenet (teorema 3.2). En un sentido real, toda la teoría de las curvas en E-1 no es más que un corolario ele estas fórmulas funcbmentales. ::\fás adelante emplearemos este "método ele sistemas móviles de referencia" para estudiar una sujJerficie en Ea. La idea general consiste en pensar en una superficie como una especie ele curva bidimensional y mantener la actitud de Frcnct en la medida de lo posible. P E" es una función que asigna a cada número t en I un Vl'Ctor tangente Y(t) a E" en el punto a(t).

67

CURVAS'

Ya hemos empleado campos vectoriales así, puesto que en cualquier curva a, S'l wlocidad o/ satisface evidentemente esta definición. Adviértase que, a diferencia de a:', los campos \·ectoriales arbitrarios en a no han ele ser ncccsariamrnte tangentes a a, smo que pueden :1puntar en cualquier cliro-cció:l (figura 2.61.

Fisura 2.6

Las propiedades de los campos vectoriales e11 curvas son :;nálo;;:as a las ele los campos vectoriales en E". Por ejemplo, si Y es un campo vectorial en a: I ....¿E", entonces poden; os poner, para cada t en I,

Es así como hemos definido funciones en I ele valores reales y 1 , yc, )'" que se lbman funciones coordenadas euclidianas ele Y. Su¡Jondremos siempre qu~ son difercnciablcs. Obsén:esc que b función compuesta t....¿ U; (a ( t)). es un carnro vcctorizll l'Tl (1'. })onclc podamos hacerlo con seguridad, escribiremos simplemente en lugar de (n(l)). Las operaciones ele adición, mul:iplicación por un escalar, producto escaL:r y producto vectorial de campos vectoriales (en b misma riales

(Y+ Z) (t)

=

t"U1 + (1- t")U"

(fY)(t)·= t(t

+

l)U 1

-

(t

+

l)U"

68

CAJ\IP(JS DE

SISTEMAS DE REFF.RENCIA

: ul (Y X Z) (t)

1

lP

[J3

o

t"

.o

1

-- t

1 - t"

t(l

=

'·· la función ele valorcs reales

(Y·Z) (t)

- t".

Para diferenciar un camjJo vectorial en a se diferencian simjJlemr:nte sus funciones coordenadas euclidianas, de manera que se obtiene un nuevo campo vectorial en a. De manera más explícita, si Y = 2: y;L';. cntonccs Y'= 2;(dy;jdt) Ui. Por lo t:mto, en el Y de antes, obtPnemos

Y'= 2tU 1

-

l\,

Y'"

y

=

O.

En particular, la derivada a" de la velocidad rv.' de a se llama aaleración de a. De esta manera, si a= (a 1, ae, a 3 ) , la aceleración a" es el campo \'ectoria 1

d"a d a,) 2

( -----rFa 1 - ---1 ----1

11 (1'

\ dt" ' dt

2

'

dt 2

~

en o:. La aceleración, en contraste con la vclocid::ld, no es en general tangrntc a 1~ curva. Comn lwmos dicho antes, al margen de la forma en que aparezca, la difcrcnci:1ción posee siempre las prc.piedades adecuadas ele lincalicbd y de Leibniz. En el caso ele los campos vectoriales en una curYa, es fácil verificar b propiedad de lir.ealidad

(aY+ bZ:i' =aY'+ b[ (donde a y b son números) y las propiedades dr Leibniz

(fY)'

=:~;Y+

fY'

y

(Y·Z)' = Y'·Z

+

Y·Z'.

Si h función Y·Z es constante, la última ele las fórmulas nos dice que

Y'•Z

+

Y·Z' =O

En nuestro trabajo posterio;·, acudiremos con frecuencia a est2. observ:tción. En pari.icular, si Y tiene longitud constante [[Y [j, entonces Y y Y' son ortogonales en cada punto, puc,to que [j Y i!Z = Y·Y tiene un valnr comtante, y esto implica que 2Y• Y' = O. Recordemos que los yectores tangentes son paralelos si tienen la misma P:'''lC' \TCtorial. Decimos que un CZllilJ'O vrctori;:;l y en una curvu es jJaralclo

69

CURVAS

cuando todos los valores (ele vectores tangentes) son paralelos. En este caso, SI la parte vectorial que tienen en común es ( c 1 , ce, c3 ), entonces, para todo t. Por lo tanto, el paralelismo en un campo yectorial ec¡ui\·ale a la constancia de sus funciones coordenadas cuclidi:.mas. La anulación de las deri,·adas siempre ha sido una cuestión impc1rtantc en el cálculo; aquí tenemos trt's casos SC'ncillos.

2.3 LEJ\IA. l. Una curva a es constante si y sólo :,¡ su n:locidad es cero: a' = O. 2. Una curva no constante a es una recta s1 \' sólo si su aceleración es cero: a" = O. 3. Un campo vectorial en una CutYa es paralelo si y sólo si su derivada es cero: Y'= O. Demostración. En cada caso, scrú suficiente que t'xamincmos las funciones coordenadas euclidianas. Por ejemplo, demostraremos (2). Si n: ~" ( a 1 , a,, a 3 ) , en ton ces a"

Por ]o tanto, a" O si y sólo si cada d'2cq / dt 2 Y ale O. Por los resultados del cálculo elemental, esto equivale a la existencia dP constantes Pi y q, tales que a¡

(t)

=

jJ¡

+ iq¡,

para z

=

1, 2, 3.

Por lo tanto, a(t) = p + tq, y a es una recta según la definición del ejemplo 4.2 del capítulo I. (Observemos aquí que la 11(> constancia implica que q

*

0.) EJERCICIOS

-

1. En la curva a(t) = (2t. t 2 , (J/3), a) encuéntrense la velocidad, la rapidez y la aceleración para t. arbitraria y en t = 1 ; b) encuéntrense las funciones de longitud de arco s = s ( t) (con b:1se en t = O) y determínese la longitud de arco de a desde t = -1 hasta t = +l.

2. Demuéstrese que la curva a ( t) = (t cos t. t sen t, t) descansa sobre un cono en E 3 . Encuéntrense la vclocid¡¡c1, la rapidez y la acclcraciól! ele a en el vértice del cono.

70

C:Al\IPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

30 Demuéstrese quE' la curya a ( t) = (cosh t, senh t, t) tiene la función de longitPd ele arco s(t) = \¡-2~scnh t, y encuéntrese una n·parametrÍ7ación de rapidez unitaria de a. 4. Comideremos la cu1Ya a ( t) = ( 2t, t. !og t) en l: t > O. Demuéstrese que PSta CU!Ya pasa por los puntos p = (2, 1, lfl y f{ e~ (+, ·4, log 2) o y cnruéntresc la longitud de arco entre estos ;mntos.

- 5.

Supon~amo:;

que [3 1 y [3" ';ean reparametrizaciones de rapidez unitaria de b mi:oma curva a. Dcmuéstreo.e la t"xistcnciZl de un número s0 tal que p"(s) = [3 1 !s + s"l para toda s. /Qué significado geométrico es el de so?

6. Sea Y un campo \·ectori:;l en la hélice ce ( t) cada uno de los casos siguientes, exprésese Y a) Y(t) es el Yector que \a de a(t'i ~11 origen b ) y ( t ) = rt' ( t) - rt" ( t) r) Y ( t) tiene longitud unitaria y es ortogonal

= (cos t, sen t, t) En en la forma :¿y; Ui: de E'. o

o

rt" ( t)

tanto a ,¿ ( t) corno a

o

d) Y(t) c·s el yector que va de a(t) a rtl! +-e). 70 Sea Y un campo vcTtorial en una cun·a a. Si a(h) es una rcp::uarnetri7ació11 de (Y clcnmt"strcse que Y ( h) cs un campo Yectorial en a ( h) o así como la rcgb ele la cadena Y ( h)' = h' Y' ( h) . 0

8. Sean a, f3: I ---3> E e cunas talcs que a' ( t) y [3' ( t) son paralelos ( coorclenacbs euclidianas iguales) p:o.ra cada 1 Demuc;strese que a y f3 son jJaralc!as en el sentido ele que hay un punto p en E'3 tal que f3(t) = a(l) + p para toda t. o

9. Si a es una cun·a regubr, h:ígase HT que a) a tiene rapidcz constante ~;i y sólo si la acdcración ,t" es siempre ortogonal a a (es decir, a a'). b) a l'S rcparamctrización de una recta t --+ p + tq si y sólo si a" es sicrnpi·e tangente a ,a ( rs decir, a" y a' son colineaks).

10. Una porción ck una curva definida en un intervalo cerrado [a, b]: a< t < b, se llama segmento de curE 0 será monótona cuando se cumpla cualquiera de las rondicionl's a)h' >O, h(a) = r, h(b) =d. o b) h' :==::O, h(a) = d, h(b) =c. Demuéstrese que la reparametri7ación monótona no altera la longitud de arco.

llo Demuéstrese que la rE'cta es la distancia m:ís corta entre dos puntos de E". Para ello, sirve el esquema siguiente; sea a: [a, b] ---3> E 3 un seg-

LAS FÓRMULAS DE FRENET

71

mento arbitrario de curva que va de p = a (a) a q = a ( b). Sea u= (q- p)(l q- p !1· a) Si a es un "egmento de recta que va de p a q, por ejemplo, (}" ( t)

(1

=

- t) p

+

tq

(o < t < 1)'

hágase wr que L(a) = d(p, q). b) A partir de que [[ a' j 1 :2: a'•u, clcclúzcase que L (a) ;::o: ~~ (p, q), donde L (a) es h longitud ele a y d es la distancia euclidiana. e) También hágase ver que si L(a) = d(p, q), entonces (con la excepción ele la parametrización), a es un segmento de recta. (Indicación: escríbase e/= (a'•u)u +Y, donde Y•u = 0.)

3

Las fórmulas de Frenet

Deduciremos a continuación las mE'didas matemáticas de las vueltas y torsiones de una curva de E 3 . A lo largo de esta sección, estudiaremos solamente curvas ele rapidez unitaria; en la próxima, extenderemos la validez de los resultados a curvas regulares arbitrarias. Sea B: I--'? E 3 una curva ele rapidez unitaria, de manera que 11 f3'(s) 11 = 1 para cada s en J. Entonces, T = (3' se llama campo vectorial tangente unitario en (3. Puesto que T tiene la longitud constante 1, su derivada T' = (Y' mide la manera en que la curva da vuelta en E". Decimos que T' es el campo vectorial de curvatura de (3. La diferenciación ele T•T = 1 nos resulta en 2T'·T = O, de manera que T' es siempre ortogonal a T, es decir, es normal a (3.

/}( 8)

rl (s) Figura 2.7

La longitud del campo vectorial de curvatura T' nos da una medida numérica de la manera en que f3 da vueltas. La función de valores reales K t O.t Entonces, el campo vectorial unitario N = T' 1K en f3 nos dice la dirección en que f3 da vuelta en cada punto. N se llama campo vectorial normal principal de f3 (figura 2.7). El campo vectorial B = T X N en f3 se llama entonces campo vectorial binormal de .f3. 3.1 LEMA. Sea f3 una curva de velocidad unitaria en E 3 en la que K > O. Entonces, los tres campos vectoriales T, N y B en f3 son campos vectoriales unitarios ortogonales entre sí en cada punto. Decimos que T, N, B constituyen el campo de sistemas de referencia de Frenet en [3.

Demostración. Por definición 11

N

11

11

T

= ( 11K)

11

11

= l. Puesto que T'

11

K

=

11

T' i 1 > O,

= l.

Vimos antes que T y N son ortogonales; esto significa que T•N = O. Entonces, al aplicar el lema 1.8 en cada punto, concluimos que 11 B 11 = 1, de manera que B es ortogonal tanto a T como a N.

1

En resumidas cuentas, tenemos T = (3', N = T' 1K y B = T X N, con la propiedad de que T•T = N•N = B•B = 1, con los demás productos punto iguales a cero. La clave del buen estudio de la geometría de una curva f3 consiste en emplear su campo de sistemas de referencia de Frenet T, N, B siempre que sea posible, en lugar del campo natural de sistemas de referencia U 1 , U 2 , U 3 • Esto se debe a que el campo de sistemas ele referencia ele Frenet está pletórico ele información acerca ele [3, mientras que el campo natural de sistemas de referencia no contiene nada ele ella. La aplicación primera y más importante de esta idea es la expresión de las derivarlas T', N', B' en términos de T, N, B. Puesto que T = [3', tenemos T' = B" = KN. Consideremos a continuación B'. Afirmamos que B' es, en cada punto, múltiplo escalar de N. Para verificarlo, no tenemos más que hacer ver por el desarrollo orto normal que B' •B = O y que B'•T = O. Lo primero se cumple puesto que B es vector unitario. Con el objeto de demostrar lo segundo, diferenciamos B·T = O, y obtenemos B'·T + B·T' = O; entonces

Por lo tanto, aquí ya estamos en posibilidad de definir la función de torsión T de la curva f3 como la función en el intervalo 1 de valores reales

i" En una curva arbitraria de rapidez unitaria, esto significa que debernos hacer separadamente un estudio de cada segmento en el que K O; véase el ejercicio 19 de la sección 4.

>

73

LAS FÓRMULAS DE FRENET

tal que B' = -,N. (El signo de menos tiene orígenes en la tradición.) Hay un contraste con la cun·atura: aquí no se restringen los valones de T: pueden ser positivos, negativos o cero en diversos puntos de 1. (Además, el signo de T resulta tener en cada punto un interesante significado geométrico.) A continuación veremos que T mide en efecto la torsión, o torcedura, de la curva f3.

.

3.2 TEOREMA (las fórmulas de Frenet). Si f3: 1-:> E 3 es una curva de rapidez unitaria en la que K > O y la torsión es •, entonces

KN

T'= N'= -KT B'

+TE.

=

-,N

Demostración. Como se vio antes, las fórmulas primera y tercera son, en esencia, las definiciones de curvatura y torsión. Para demostrar la segunda, emplearemos el desarrollo ortonormal con el fin de expresar N' en términos de T, N, B:

=

N'

N'·T T

+ N'·N N +

l\"'·B B.

Estos coeficientes son fáciles de encontrar. Al diferenciar N·T = O, obtenemos N'•T + N•T' = O; por consiguiente,

Como solemos tener, N'·N unitario. Por último, N'·B

=

=

O, debido a que N es un campo vectorial

= -N·( -TN)

-N•B'

1

=T.

3.3 EJEMPLO. Vamos a calcular el sistema de referencia de Frenet T, N, B y las funciones de curvatura y de torsión de la hélice de rapidez unitaria

f3 (s) = donde e= (a"

+

b") l/é y a T ( s)

(a

>O.

cos

~, a sen

;,

bs), e

Ahora bien,

b)

s -a cos -s = f3 , (s) = ( - -a sen -, e

e e

e' e

En consecuencia,

T' (s)

(

-

S

a

cz cos e'

Por lo tanto,

K(s)

11

T'(s)

11

az

+a

bZ

>O.

74

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

Puesto que T'

= ¿\',

concluimos que

N ( s) = (- cos s, - sen r

~,e O) .

"

Observemos qwc, al margen de los valores que teng:m a y b, N siempre apunta directamente al eje del cilindro en el que desczmsa /3 (figura 2.8). Si aplicarnos h definición de proclucto cruz ', a B = T X X, obtenemos

B( s). = T

(b

e

a)

S sen -, - --!J cos -_S , - . e e r: e

Nos falta calcular la torsión. Tenemos l \ b ' b B' (s) = ( - cos - -- sen · O 1 c'2 · r' e-:? (' ")'

Figura 2.8

y, por definición, B' = - Tl\'. Si comparclmos las fórmulas de B' y ele N, concluimos que T (

b b s) == -e"- = a"+ " b~ .

De manera que la torsión ele la hélice también es constante. AclviéTtnsc que cuando el \·alar del parámetro b es cero, b hélice se reduce a una circunferencia ele rndio a. La curv:ltura ele: esta circunferencia es K = lja (de manera que a radios menores corresponden curvaturas mayores) y la torsión es idénticamente cero. Este ejemplo es de un caso muy especial: en general (como se \·e en los ejemplos escogidos para los ejercicios), las funciones de curvatura y de torsión de una curva no son necesariamente constantes. 3.4 Co:\IENTARIO. Hemos insistido constantemente en la diferencia entre un vector tangente y un punto ele E 3 • Sin embargo, el espacio euclidiano tiene, como ya hemos visto, la propiedad notable de que, dado un punto p, hay una correspondencia natural y uno ;_; uno entre los puntos ( v 1 , u2 , V :o) y Jos vectores tnngcntes ( z_o 1 , ve, u3 ) J! en p. De esta manera, se pueden transfonnar los puntos en vectores tangentes (y viceversa) por medio de este isomorfismo canónico. En el caso de las dos secciones siguientes, nos convendrá con frecuencia p:1sar de un objeto al otro sin cambiar nuestra notación. Puesto que los objetos correspondientes tienen las mismas coordenadas euclidianas, el cnmbio no puede afectar la multiplicación escalar, la adición, los productos punto, la diferenciación, ni ninguna otra operación que esté definida en términos ele coordenadas euclidianas. Por lo tanto, un campo vectorial Y = (y,, y", :v~)" en una cmYa f3 se convierte en una curva él mismo, que SE'rá (:}·¡,}'"'y") '~n E 1 . En pZ!rticular,

-

75

LAS FÓRMULc\S DE FRENET

si Y es paralelo, sus funciones coordenadas euclidianas serán constantes, de manera cp1e Y queda identificado con un solo punto ele K'. En b grometría del espacio se dice c¡ue un jJlrmo en E" consta de todas las perprnclicu lares a una recta dada en un punto dado. Entoncrs, r'n knguajc n·ctorial, decimos c¡ue el f'!mzo que jJasa j;or p y es ortor;onal a q 7= O consiste en todos los puntos r de E 3 taks e¡ u e ( r - p) ·q = O. Por el comentario anterior, podemos representarnos a q como \Teto¡ tang·cnte en p, como se ve en la figura 2.fJ. Aquí ya podemos hacer una aproximación informativa a una curva dada en las inmecliacio;ws de un punto arbitrario ele la curva . .1'\ucstro fin es enseñar la m;:mcra en que la curvatura y la torsión influyen en la forma de la cun·a. Para deducir esta aproximación, emplearemos una aproximación de Taylor a b cm"•;a, y expresaremos este resultado en términos del sistema de referencia de Frenet en el punto en cuestión. Para tener mayor simplicidad, vamos a considerar la curva de rapidez unitaria f3 = (/3 1 , {3 2 , {3 3 ) cerca del punto f3(0). Si el valor des es pequeño, cada coordenada f3; (5) se \·e aproximada estrechamente por el término inicial de su serie ele Taylor: s" ri"f3¡ d"(J¡ j] i ( 5) ,......, /];(O) + df3¡ (O) + (O) (O) + ds · rh·'3 ds" 2

()•

En consecuencia,

f3(s) ,......, j](O) + s(3'(0) +

~

-~~ 8"'(0).

f3"(0) +

1

Pero f3'(0) = T 0 y /3"(0) = KoNo, donde el subíndice nos indica la evaluación en s = O y suponemos que Ko =/= O. Ahora bien,

f3"' = (KN)' =

~>v + K.V'.

Por lo tanto, según la fórmula de Frenet de N', obtenemos

P'"r'O) .

fJ

=

-

Kue T o

+

di( u J (O) "'o CS

+

KoTo B O·

Por último, tomamos en cuenta estas derivadas y substituimos sus Yalorcs en la aproximación de (3(s) que hemos dado; entonces, conserYamos sólo el término dominante de cada componente (es decir, el que contiene la menor potencia ele s). El resultado es

-

(3(s) ,......, {3(0) + sT 0 +

Ko

-~No+

KoTo

f

Bo.

Si denotamos el miembro derecho ele esta expresiCm por {1 (s), obtenemos una curva ~ que se llama apro:timación de Frenet de f3 en la cercanía ele

76

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

Bo

q

No

Figura 2.9

Figura 2.1 O

s = O. Insistimos en que f3 tiene una aproximación de Frenet diferente en cada uno de sus puntos; si substituimos O por un número arbitrario s0 , entonces s queda reemplazado por s - s0 , como se suele tener en los desarrollos de Taylor. Vamos a examinar a continuación la aproximación de Frenet que acabamos de expresar. El primer término de la expresión de {3 es simplemente el punto f3 (O) . Los dos primeros términos nos dzm la recta tangente S---'? [3(0) + sT0 de f3 en {3(0); ésta es la mejor aproximación lineal de f3 cerca de [3(0). Los tres primeros términos representan la parábola

s---'? [3(0)

+ sT0 +

K0

(s"/2)N 0 ,

que resulta ser la mejor aproximación cuadrática ele ,B en las cercanías de f3 (O) . Observemos que esta parábola descansa en el plano que pasa por [3(0) y es ortogonal aBo, y éste es el plano osculante ele f3 en (O). Esta parábola tif'ne la misma forma que la parábola y = KoX 2 /2 en el plano xy, y queda determinada por completo por la curvatura Ko de f3 en s = O. Por último, la torsión To, que aparece como el último término de ~ y es también el de valor más pequeño, controla el movimiento de f3 en dirección ortogonal a su plano osculante en f3 (O), como se ve en la figura 2.10. Sobre la base ele estas explicaciones, podemos conjeturar razonablemente que si una cmva de raj1idez unitaria tiene curuatnra idénticamente cero, entonces, es una recta. De hecho, ésta es una consc>cucncia inmediata de (2) en el lema 2.3, puesto que K = 11 T' 11 = 11 [3" 11, de manera que K = O si y sólo si [3" = O. Por lo tanto la curvatura mide, efectivamente, la desviación de la rectitud. Diremos que una curva plana en E 3 es una curva que descansa en un plano de E 3 . Es evidente que una curva plana no se torcerá de manera

LAS FÓRMULAS DE FRENET

-

77

tan interesante como la de la hélice simple del ejemplo 3.3. La explicación anterior nos hace ver que, si s es pequeílo, la curva f3 tiende a quedarse en su plano osculante en f3(0); lo que h

0.

9. Sea íJ la aproximación de Frenet a una curva arbitraria de ·rapidez unitaria f3 en las inmediaciones de s = O. Si quisiéramos retirar la

componente B 0 de

p,

la curva que resultaría se llama proyección

ortogonal de ~ en el plano T 0 N 0 • Es el aspecto que presenta

íJ ,. . , f3

si se le observa al mirar directamente hacia íJ (O) = f3 (O) a lo largc del vector B 0 • Trácense las formas generales de las proyecciones ortogonales de cada uno de los planos T 0 N 0 , T 0 B 0 , N 0 B 0 , con la suposición de que T > O. (Estos aspectos de f3 se pueden confirmar expenmentalmente por medio de un trozo curvo de alambre.)

-

10. Curvas esféricas. Sea a una curva de rapidez unitaria en la que K> o, To:j=O. a) Si a descansa en una esfera con centro en e y radio r, demuéstrese que a - e= - pN- p'aB,

donde p = ljK y a= 1/T. Por lo tanto, r 2 = p2 + (p'a)2. b) De manera recíproca, si p2 + (p'a) 2 tiene el valor constante r 2 y si p' of= O, demuéstrese que a descansa en una esfera de radio r. (Indicación: en b), demuéstrese que la "curva central" y = a + pN + p' aB -sugerida por a)- es constante.) 11. Sean f3 y fJ: 1--;. Ea curvas de rapidez unitaria de curvatura y torsión que no se anulan. Si T = T, entonces f3 y son paralelas ( ejercicio 8 de II.2). Si B = B, demuéstrese que fJ es paralela o bien a ,B o bien a la curva s --;. - f3 (s) .

/3

4

-

Curvas de rapidez arbitraria

La adaptación de los resultados de la seccwn anterior al estudio de una curva regular a: 1--;. E3 , que no tiene necesariamente rapidez unitaria, es un asunto sencillo. Simplemente transferimos a a el aparato de Frenet que corresponde a una parametrizarión de rapidez unitaria a de a. De manera

"f La existencia de rp como función difcrenciablc en la que T = cos rp U, sen rp Uo se desprende del ejercicio 12 de la sección l.

+

82

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

más explícita, si s es una función arbitraria de longitud de arco de a, como se tenía en el teorema 2.1, entonces,

a(t)

=

a(s(t))

para todo t

o, en la notación funcional, a= a(s). Ahora bien, si K> O y si 7, T, N y B se han definido para a como se hizo en la sección 3, definimos en relación con a la la el el el

función de curvatura: K = K(s) función de torsión: r = 7 ( s) campo vectorial tangente unitario: T = T ( s) campo vectorial normal principal: N= N(s) campo vectorial binormal: B = B (s)

En general, K y K son funciones diferentes, definidas en intervalos clistintos. Pero dan exactamente la misma descripción de las vueltas que hay en la trayectoria común de a y a, puesto que, en cualquier punto a ( t) = a ( s ( t) 1, los números K ( t) y K( s ( t) ) son, por definición, iguales. Lo mismo sucede con el resto del aparato de Frenet; el significado geométrico fundamental es el mismo, pues solamente interviene en la diferencia un cambio de parametrización. En particular, T, N, B vuelve a ser un campo de sistemas de referencia en a, vinculado a la forma de a de la manera que hemos indicado en la explicación de las aproximaciones de Frenet.

( t

s(t) Figura 2.15

En el trabajo puramente teórico, a menudo no hay que hac~~r más que esta simple transfcrenci;1. La inform:1ción :1ccrca de a se conYicrte en datos acerca de la rcpalal!ll'trÍz:lción de rapidez unitaria a; Jos resultados con respecto a O,

entonces,

Kc!N

= =

K

+

":·T

-

,vB.

-TvN

Demostración. Sea a una reparametrización de rapidez unitaria de o:. Entonces, por definición, T = T(s), donde s es una función ele longitud de arco ele o:. Se aplica la regla de la cadena a la difPrenciación ele campos vectoriales (ejercicio 7 de la sección 2) y se obtienp

T'

=

T' (S)

~;.

Por las ecuaciones habituales de Frenet, T' s en esta ecuación, se obtiene

T' (S)

=

=

i O, b fórmula equivale a a' = vT. Por el lema anterior, tenernos

(~¡ T + /(vW)

a' X a"= (vT) X

debido a que 11 B 11 = 1, /( > O y v > O. En cff'cto, esta ecuación nos cnseíi.a O equivale a la condición habitual que en curvas regulares, 11 a' X ~t" 11 /( > O. (De esta manera, cmmdo /( > O, e/ y a" son linealmente independientes y determinan el plano osculante en cada punto, como lo hacen T y N.) Entonces,

>

B=

e/ X a"

a' X a"

11 a ' X a "11' 11

:\hora bien, N = B X T en cualquier campo de sistemas ele referencia ele Frenet (ejercicio 4 de la sección 3) ; por consiguiente, sólo nos falta demostrar la fórmula de la torsión. Para encontrar el valor del producto escalar (~t' X a")•a"', expresaremos todo en términos de T, N, B. Ya sabemos que a' X a" = /(v''B. Por lo tanto, puesto que O = T•B = N•B, solamente necesitamos encontrar la componente B de a"'. Pero a

"' = (dv-di T+ "N) ,= ' N' + /(v-

J(V"

donde utilizamos el lema 4.1. En consecuenCia (a' X a") •a"' = /("v",, y put'sto que 11 a' X a" 11 = /(¡:", ya tenemos la fórmula que queríamos de '·

1

El triple producto escalar de esta fórmula ele , también se puede (gracias al ejercicio 4 ele la sección 1) expresar como a'•a" X a"'. Pero

86

CAMPOS DE

SISTEMAS DE REFERENCTA

de cualquier modo nccrsitamos tener a' X o:". de manera qur suele ;;er más sencillo r·ncontr:1r (a' X r/') •e/". 4.4 Ep::--rPLO. C;1lcubrcrncs el ap;n;:¡to dr Frenct ck la cu1Y:t

a(t)

(3t - t 3 , 3t". 3t

=

+

t 3 ).

Las derivadas son

a'(t) = 3(1- t", 2t, 1 a"(t) = 6( -t, 1, t) a"'(t) = 6( -1, O, 1).

+n

Ahora bien,

+ 2t" +

a'(t)•a'(t) = 18(1

t 4 ),

de manera que V ( t)

=

11

a' ( t)

ylS(1 + t").

11

Al aplicar la definición de producto vectorial, obtenemos

a'(t) X a"(t)

18

1

+

2t

1 - t2

18(-1 +te, -2t, 1

t"

+

t 2 ).

-t

1

Y al hacer el producto escalar de este vector consigo mismo, tenemos

En consecuencia, 11

a' ( t) X a" ( t)

11

+

18 y'2 ( 1

=

t2 )

•

Las expresiOnes antniores de a' X a" y a"' resultan en

(a' X o:") •a'" = 6 · 18 · 2. Solamente nos falta substituir esta información en las fórmulas del teorema 4.3, con N calculado por medio de otro producto vectorial. Los resultados finales son

T

=

( 1 - t 2 , 2t, 1

+ t2)

---------·

vi(1 +

t2)

(-2t, 1- t 2 ,0) N = ---------

.

1

B

=

(

-1

+ [2

+

t 2,

-

2t, 1

v2( 1 + t

t K

y, de esta manera, depende solamente de la razón de la torsión a la curvatura de la curva original (3. He aquí una aplicación estrechamente relacionada en la que la razón T /K resulta ser decisiva. 4.5 DEFH\ICIÓ)I. Se dice que una curva regular a en E'l es una hélice cilíndrica cuando la tangente unitaria T de a forma un ángulo constante {} con algún vector unitario fijo u; es decir, T(t) •u = cm,{} para todo t. Esta condición no se ve alterada por la rcparametrización, de modo que, para fines teóricos, necesitamos estudiar solamente una hélice cilíndrica (3 con rapidez unitaria. De manera que supondremos que (3 es una curva de rapidez unitaria en la que T•u = cos {}, Si escogemos un punto de referencia, por ejemplo, (3(0), en (3, entonces la función de valores reales h(s) = ((3(s) - (3(0) )•u nos dice cuán alto se "alza" (3(s) en la dirección de u desde que sale de (3(0) (figura 2.18). Pero también d_h = (3'·u = T·u = cos {} ds

de manera que (3 se alza con una tasa constante en relación con la longitud de arco, y h ( s) = s cos {}. (Si nos desplazamos a una parametrización arbitraria, esta fórmula se convierte en

89

CURVAS DE RAPIDEZ ARBITRARIA

h ( t) =

S (

t)

COS {},

donde s es la función de longitud de arco.) Al trazar una recta por cada punto de f3 en la dirección de u, construimos un cilindro generalizado C en el que se mueve f3 de manera que corta cada regladura (o "elemento") a un ángulo constante 1'J, como se

(3(s)

ul) .~(O)

Figura 2.19

Figura 2.18

ve en la figura 2.19. En el caso especial en que este cilindro es circular,

f3 es evidentemente una hélice del tipo definido en el ejemplo 3.3. Resulta muy fácil identificar hélices cilíndricas.

4.6 TEOREMA. U na curva regular a en la que cilíndrica si y sólo si la razón T 1K es constante.

K

>O

es una hélice

Demostración. Es suficiente que consideremos el caso en que a tiene rapidez unitaria. Si a es una hélice cilíndrica en la que T•u = cos {}, entonces

O= (T•u)' = T'•u = KN•u. Puesto que K > O, concluimos que N·u = O. Por lo tanto, en cada s, u está en el plano determinado por T (s) y B (s) . El desarrollo ortonorrnal resulta en u = cos {}

T

+ sen{} B.

Como es habitual, diferenciamos y aplicamos las fórmulas de Frenet para obtener O = (K eos {} En consecuencia, tante cot {}.

T

sen {}

T

sen {}) N.

= K eos {}, de manera que T 1K tiene e1 valor cons-

90

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

Recíprocamente, supongamos que lo {} tal que cot {} = T/K. Si

T/K

es constante. Tomemos un ángu-

= cos {} T + sen {} B,

U descubrimos que

U' = (K cos {} - T sen{}) N = O. Este campo vectorial paralelo U determina, entonces (como teníamos en el comentario 3.4), determina un vector unitario u con la propiedad de que T•u = cos {}, de manera que a es una hélice cilíndrica. 1 Esta demostración también nos enseí'ía la manera de calcular el vector unitario u y el ángulo {}. Por ejemplo, la curva a del ejemplo 4.4 es una hélice cilíndrica, puesto que allí K = T. El ángulo {f cumple la igualdad cot {} =

T/K =

1; tomamos {} = "/4. Entonces cos {} = sen{} = 1

-12,

de

manera que, por la demostración anterior, u = ( 1/ v2) (T + B). Entonces, la información del ejemplo 4.4 resulta en u = (0, O, 1). (No es necesario convertir a a en una curva de rapidez unitaria; con eso no haríamos sino reparametrizar K, T, T y B, sin afectar ni a {} ni a u.) En el ejercicio 10, la información acerca de las hélices cilíndricas se usa para verificar que las hélices circulares se caracterizan por la constancia de la curvatura y la torsión (véase también el corolario 5.5 del capítulo III.) Es así como hipótesis sencillas acerca de una curva regular en E 3 tienen los efectos siguientes ( (=) quiere decir "si y sólo si") : K =

Ü

(=)recta

T=O K K

>Oy constante > O y constante

T/K constante

(=)curva plana T

= O

T

constante

*

(=)circunferencia O

(=) hélice circular (=) hélice cilíndrica

EJERCICIOS

1. Consideremos la curv:1 a: R-e> E 3 t:1l que a(t) = (2t, t~, t 3 , /3). a) Calcúlese el ap:1rato de Frenct de a: K, T, T, .1\'. R. b) Hágase un dibujo cuicbdoso de esta culTa para -4 < t :o:; 4, donde se \·can T, N y B en los valores t = O, 2, 4. (lndicaciún: empiécesr con su proyección (2t, t", O) en el plano xy.) e) Encuéntrese la posición límite del sistema de referencia de Frenct T, N, B de a cuando t --'> + ctJ y t--'> - ctJ.

91

CURVAS DE RAPIDEZ ARniTRARIA

2. Calcúlese el aparato de Frenet de la curva a ( t) (cosh t, senh t, t). Exprésense la curvatura y la torsión de a como funciones K (s) y r (s) de longitud ele arco s medida a partir ele t = O.

3. En la curva a(t) = (t cos t, t sen t, t), a) calcúlese el aparato de Frenet en t = O. (Evalúense a' a", a"' en t = O sin acudir al teorema 4.3.) b) trácese esta curva para - 2,. :S t < 2,., ele manera que se ·vean T, N, B en t =O. (Inrlicación: ejercicio 2 de II.2.) 4. En la curva a del ejemplo 4.4, verifíquese la validez del lema 4.2 por

medio de la substitución directa. Hágase un dibujo a escala, en el que se vean los vecton'S T(O), N(O), a'(O) y a"(O).

S. Demuéstrese que la curvatura de una curva regular en E 3 está dada por

6. Si a es una curva de rapidez constante e

T = a'/ e N = a"/ [ a" i] - a ' X a "/ C B -

K=

11

> O,

demuéstrese que

a" 11/c~

a' X a" •a'"

1

1[ a " 1

'!

T=

1

donde suponernos que, para N, B, r, a" no es nunca cero, es decir, que

K>

O.

7. Empléense las fórmulas del ejercicio anterior para calcular el aparato

de Frenet correspondiente a la hélice a del ejemplo 4.2 del capítulo J.

8. Sea a una hélice cilíndrica con vector unitario u, ángulo {} y función ele longitud ele arco s (medida a partir de, por ejemplo, t = O.) La curva única y con la propiedad ele que a ( t) = 1 ( t) + s ( t) cos {} u se llama curua de sección transversal del cilindro sobre el que descansa a. Demuéstrese que a) 1 descansa en el plano que pasa por a (O) y es ortogonal a u. b 1 La curvatura de 1 es Kjsen 2 {}, donde K es la curvatura de a. (1ndicación: en ( b) es suficiente suponer que a tiene rapidez unitaria.) 9. (Continuación). Las curvas siguientes son hélict's cilíndricas; en cada una se deben encontrar el vector unitario u, el ::ngulo D y la curva de sección transversal 1 ; verifíquese la condición (a) del ejercicio anterior.

92

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

a) La curva del ejercicio l. b) La curva del ejemplo 4.1 e) La curva del ejercicio 2.

1O. Si f3 es una curva de rapidez unitaria en la que K > O y r

=/= O, ambos con valores constantes, demuéstrese que f3 es una hélice (circular).

11. Sea a la imagen esférica (sección 4) de una cun·a de rapide•z taria f3. Demuéstrese que b curvatura y la torsión de a son T

donde

K

W11-

= _(rl_fds) (T/K) "

K[1

+

(T/K)"]

y r son la cmTatura y la torsión de f3.

12. a) Demuéstrese que una curva es hélice cil;ndrica si y sólo si su imagen esférica es parte de una circunferencia. (No es necesario hacer cálculos aquí.) b) Trácese la imagen esférica ele la hélice cilíndrica del ejercicio l. ¿Es una circunferencia completa? Encuéntrese su centro. 13. Si a es una curva en la que K > O, entonces la curva central a"' = a + (1/K)N consiste en todos los centros ele curvatura de a (ejercicio 6 ele II.3). Para cualesquiera dos números a y b distintos ele e pro, sea f3ab la hélice ele! ejemplo 3.3. Demuéstrese que la curva central de f3ab es f3ab, donde d = - b 2/a. Dcdúzc O y g funciones cliferenciablt>s arbitrarias de valores reales definidas en un intervalo ele R. Considérese la curva a ( t) =

(f f (t)

sen t,

Jf (

Jf (

t) cos t,

t) g ( t) )

donde f h denota cualquier función cuya derivada sea h. Demuéstrese que la curvatura y la torsión ele a están dadas por r=

1 8. Considérese la curva cúbica general y ( t) :¡'=0. a) Calcúlese

=

( at,

bt2 , ct 3 ), donde abe

y dcdúzcase que b curva cúbica y es una hélice cilíndrica si y sólo si 3ae = +2b 2 • b) En el caso en que 3ac = 2b 2 , encuéntrense el vector unitario u y el ángulo {).

-

19. U no de los recursos ingeniosos del cálculo aYzmzaclo es la construcción de una funcién (infinitamente) diferenciable f C'll la recta real con la propiedad de que f(t) =O para t O para t >O. (Además, f"(t) >O para t > 0.) Si g(t) = f( -t), consideremos la curva

a(t)

=

(t, f(t), g(t)).

94

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

a) Demuéstrese que la curvatura de a es cero sólo cuando t = O. b) Trácese esta curva para valores pequeños de t y muéstrense nlgunas de las normales principales en t > O y en t < O. 1

1

En este ejemplo se ve que la condición K > O no se puede evitar en un estudio detallado de la geometría de bs curvas de E\ pues si K es cero --aunque sea en un solo punto- el carúcter geométrico de l2t cun·a puede cambiar radicalmente en ese punto. (Adviértase que esta dificultad no es seria en las curvas ele E~; vénse d ejercicio 8 de II.3.)

5

Derivadas covariantes

En el capítulo I, en cada definición de un objeto nuevo (CUlTa, forma diferencial, mapeo, ... ) solíamos definir, a continuación, una idea adecuada de la derivada del objeto en cuestión. Los campos \Tctoriales fueron una excepción a este proceder; hemos propuesto la definición de sus derivadas, debido a que (como se verá en resultados posteriores) esta idea corresponde propiamente a la geometría del espacio euclidiano. La definición viene a generalizar la de la derivada v[.f] de una función f con respecto al vector tangente v en un punto p (definición 3.1 del capítulo I). De hecho, al recmpbzar f por un campo \Cctorial W, observamos que la función t---¿ fV ( p + tv) es un campo vectorial en la cun·a t ~ p + tv. (La derivada de un campo vectorial así se definió en la sección 2.) Ahora bien, la derivada de W con respecto a v será la derivada de t ~ W(p + tv) en t =O.

5.1 DEFINICIÓN. Sea W un campo vectorial en E" y sea v un vector tangente a E" en el punto p. Entonces la deriz•ada covariante de Jil1 con respecto a v es el vector tangente

w

Figura 2.20

95

DERIVADAS COVARIANTES

'V ,.W = W ( p + tv) ' (O) en el punto p. Es evidente que 'V ,.W mide la rapidez inicial de variación de W (p) a medida que p se desjJ!aza en la dirección v (figura 2.20). (El término "covariante" proYif'ne de la generalización de esta idea que se explica en el capítulo \'II.) Por ejemplo, supongamos que W = x~U 1 + yxT ~ ~, y que v = (- 1, O, 2) en

p = (2, 1, O) Entonces,

+

p

tv

=

(2 - t, 1, 2t),

de manera que

W(p

+

= (2 - t) 2 U1 + 2tU 3 ,

tv)

ul

donde, en un sentido estricto, Por consiguiente, 'VvW

=

W(p

+

y u2 también se evalúan en p

tv)'(O)

=

-4Udp)

+

+

tv.

2U3 (p).

Si W = ~ w;U; es un campo vectorial en E 3 y si v es un vector tangente en p, entonces,

5.2

LEMA.

Demostración. Tenemos que

W(p

+

ty)

=

~ wi(P

+ tv)

U;(p

+ tv)

en la restricción ele W a la curva t ~ p + tv. Para diferenciar un campo vectorial así (en t = O), se diferencian sencillamente sus coordenadas euclidianas (en t = O). Pero, según la df'finición de la derivada dircccioml (definición 3.1 del capítulo I), la derivada de w;(p + tv) en t =O es precisamente v[wi]· Es así como 'VvW = W(p

-

+

tv)'(O) =

2: v[w;]

U;(p).

1

Con brevedad, para ajJlicar 'V v a un campo vectorial, se aplica v a sus coordenadas euclidianas. Es Ztsi como se c!Psprcndcn de las propiedades correspondientes (teorema 3.3 cid capítulo I) de las derivadas direccionales las siguientPS propiedades de LPibniz y ele linealidad de la clrrivacla cavariante.

5.3 TEOREMA. Se;m v y w \Tctores tangentes a E'3 en p, y sean Y v Z L·ampos \Tctorialc'; en E". Entonces,

96

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

l. \7 av,bwY = a\7 vY + b \7 wY, para todos los números a y b. 2. 'Vv(aY + bZ) = a\i'vY + b\7 1Z, para todos los números a y b. 3. 'Vv(fY) = v[f]Y(p) + f(p) \i'vY, para todas las funciones (diferenciables) f. 4. v[Y·Z] = 'VvY·Z(p) + Y(p)•\i'vZ. Demostración.

Demostraremos 4, por ejemplo. Si y

z

=

:¿ ZiUi,

entonces

Y·Z = 2: YiZi. En consecuencia, por el teorema 3.3 del capítulo I, v[Y•ZJ = v[2:y;zi] = 2:v[yi]Zi(p)

+ '2:yi(p)

v[zi]

Pero, por el lema anterior, V

Y las dos sumas que acabamos de exhibir son precisamente 'VvY•Z(p) y Y(p)·'VvZ. Por medio del principio de operar punto por punto (capítulo I, sección 2) una vez más, podemos tomar la derivada covariante de un campo vectorial W con respecto a un campo vectorial V, en lugar de hacerlo con respecto a un solo vector tangente v. El resultado es el campo vectorial \7 vW cuyo valor en cada punto p es \7 vcvl W. Por lo tanto, \7 vW consiste en todas las derivadas covariantes de W con respecto a los vectores de V. Del lema anterior se desprende inmediatamente que si Tt'" = '2: wiUi, entonces,

1

\i'vW

=

,'2: V[wi]Ui.

Los cálculos de coordenadas son fáciles de hacer si se acude a la identidad fundamental Ui[f] = ofj,ox;. Por ejemplo, supongamos que V= (y- x) U1 + xyU 3 y que (como teníamos en el ejemplo anterior) W = x 2 U1 + yzUs. Entonces, V[x 2 ] = (y- x) U1[x 2 ] = 2x(y- x)

V[yz] = xyU 3 [yz] = xy2 Por consiguiente,

Ahora bien, hemos tomado el campo vectorial V pensando en el ejemplo anterior. De hecho, el valor de V en p = (2, 1, O) es

97

DERIVADAS COVARIANTES

V(p)

(1 - 2) Ul(p)

+

2Us(p) = ( -1,

o, 2)

p

=

Vp,

como teníamos antes. Es así como el valor del campo vectorial \7 v W en este punto p debe corresponder nl cálculo anterior de \7,.~11. Y tenemos que si p = (2, 1, O),

Con respecto a la derivada covarinnte \7 vfV expresada por completo en términos de campos vcctorinles, las propiedades del teorema nnterior tomnn esta forma: 5.4 CoROLARIO. Senn los campos vectoriales en E" V, ~11, Y y Z. Entonces, 1) \7r(aY + bZ) = a\7vY + b\7vZ, para todos los números a y b. 2) \7JY+gn-Y = f\7rY + g\7wY, para todas las funciones f y g. 3) \7 v (fY) = V[f]Y + f\7 rY, para todas las funciones f. ij V[Y•ZJ

\7vY·Z

=

+

Y·\7vZ.

Omitiremos la demostración, que es un ejercicio en el empleo ele paréntesis que se basa en el principio de operar punto por punto, que sirvió par:t definir (\7rY) (p) = \7runY. Hay que advertir que \7rY no se comporta ele manera simétrica con respecto a V y Y. Esto era de esperarse, puesto que lo que se diferencia es Y, mientras que el papel que desempeña V es simplemente algebraico. En particular, \7¡r·Y es f'VrY, mientras que \7v(/Y) no es f\7yY: hay un término adicional. que proviene de la diferenciación ele f por V.

EJERCICIOS 1. Considérese d vector tangente v = ( 1, -1, 2) en el punto p = ( 1, 3, -1). Calcúlese directnml'nte \7 1· W, a partir de b definición, en los casos en que a! W

=

x"U 1

+ y U~.

b) W

=

xU 1

+

x"U~

- z"U;,.

2. Sea V= -y[], + xU 2 y SC'a W = cos xU1 +sen xUe. Exprésense las derivadas covariantes siguientes en términos ele U1,

Ue, U:,: a) \7vW.

-

b) \7yV.

e) \7dz"W). d) \7 11 (V).

e) \7v( \7vW). f) \7v(xV- zW).

3. Si W es un campo vectorial ele longitud constante igual a ! 1 W 11, demuéstrese que, para cualquier campo vectorial V, la derivada covarinnte \7 v W es ortogonal en todas. partes a W.

98

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

4. Sea X el campo vectorial especial :¿ xiUi, donde x 1 , Xc, x, son las funciones coordenadas naturales en E''. Demuéstrese que 'V vX = V en todo campo vectorial V.

5. Si W = :¿ wiUi rs un rampo vectorial en E', la diferencial co~·ariante ele W se define como 'VW = ¿ dwiUi. Aquí 'VW es la funci/m en todos los vectores tangentes cuyo \'alor en v es

Calcúlese la diferencial covariantc de

y empléese para encontrar 'V vW, donde a) v = (1,0, -3) en p = (-1,2, -1). b) v = (-1,2, -1) en p = (1,3,2). 6. Sea W un campo vectorial definido en una regwn que contiene una curva a. Entonces t ~ W (a ( t) ) es un campo vectorial en que se llama restricción de W a a y se denota por vV a· a) Demuéstrese que 'V"'ctJW = (W")'(t). b) Dedúzcase que la recta de la definición 5.1 se puede reemplazar por cualquier curva con velocidad inicial v. Por consiguiente, la derivada Y' de un campo vectorial Y en una curva a es (casi) 'V"·Y.

7. El corchete ele dos campos vectoriales es el campo vectorial [V, vVJ = 'V v W - 'V w V. Establézcanse las propiedades siguientes del corchete: a) [V, W][fl = VW[f] - WV[f] (aquí VW[f] nos denota la "segunda derivada" V[W[fJJ), b) [TV, V]= -[V, W]. e) [U, [V, W]] + [V, [W, U]]+ [W, [U, V]] =O. d) lfV, gW] = fV[glW- gWifJV + fgW, W]. (Indicación: Z[fl = O para toda f implica que Z = 0.)

6

Campos de sistemas de referencia

Cuando se descubrieron las fórmulas ele Frenet (por Frenet en 1847 y, de manera independiente, por Serret en 1851), la teoría ele las superficies en E 3 ya era una rama ele la geometría que se había desarrollado abundantemente. Gracias al éxito de la actitud de Frcnet ante las curvas, Darboux (hacia 1880) pudo adaptar este "método de sistemas móviles de referencia" al estudio de las superficies. Y, a continuación, como ya hemos dicho, Cartan dio al método generalidad plena. Su idea esencial era muy

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

99

sencilla: a cada punto del objeto que se estudia (curva, suprrficie, el mismo espacio cuclidi:mo, ... ) se asigna un sisH·n¡a ele rE'ferencia; entonces, el empleo del desarrollo ortonormal expresa la rapidez de v:niación del sistema de referencia en términos del mismo sistem;L Esto es lo mismo que hacen las fórmulas de Frt'net en una cun·a, por supuesto. En las trrs secciones siguientE's, vamos a dabor0r cktalladmncnte Fste esquema en el espacio euclidi:mo E 3 . Veremos que la geometría ele ~urvas y superficies de E' no es simplemente una analogía, sino. de hecho, un corolario de estos resultados fundamentales. Puesto que la aplicación principal (a la teoría de las superficies) se estudia solamente rn el capítulo VI, se pueden posponer estas secciones hasta el momento anterior al tr:1bajo con este capítulo. Por medio drl principio de operar punto por punto (capítulo 1 sección 2) podernos extender automáticamente las operaciones de n·ctorcs tangentes individuales a las operaciones en campos \'ectoriales. Por ejemplo, si V y W son campos vectoriales en E\ entonces, el producto escalar V•W ele V y TY es la función cliferenciablc, en E 3 y de valores reales cuyo valor en pes V(p)•W(p). La norma !1 V !1 de V es la función en E 3 de valores reales cuyo \·alar en pes 11 V(p) 1:. Por tanto, 11 V 11 = (V•V)~. En contraste con V· TV, la función norma 11 r· 11 no tiene que ser cliferenciable en los puntos en que F ( p) = O, puesto que la función raíz cnadrada tiene mal comportamiento en O. En cada punto p dc E'', los tres vectores tangentes U 1 (p), U~(p), constituyen un sistema de referencia en p. Este comentario se expresa concisamente en términos dr los productos punto de campos yectorialcs al poner U¡•Uj = 8ij (1 < i.j ~ 3). En todo el capítulo I empleamos U 1 , C", U> Aquí, como ya tenemos el producto punto, haremos una gencr~lli­ zación sencilla, aunque decisiva.

re" (p)

6.1 DEFINICIÓN. Los campos vectoriales E 1 , E e, E 8 en E 3 constituyen un camjJo de sistemas de referencia en E 3 siempre que

Ei·Ej

=

8 ij

(1 < i,j < 3)

donde 8 ii es la delta de Kronecker. El término camjJo de sistemas de referencia se justifica por el hecho de que, Pn cada punto p, los tres wctores E,(p), F"(p), E 3 (p) forman un sistema ele referencia en p. Dimos una anticipación de esto al decir, en el capítulo I, que U 1 , U 0 , U" eran el campo natural de sistemas de referencia en E 3 . 6.2 E.J El\IPI.O. 1) El camjJo cilíndrico de sistemas de referencia (figura 2.21). Sean r, 1J, z las funciones coordenadas cilíndricas habituales

lOO

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

en E 3 • Vamos a escoger un campo vectorial unitario en la dirección en que cada coordenada se incrementa (mientras las otras dos se mantienen constantes). En r, esto es, eYidcntemcnte,

en la dirección que surgf' del eje de las z. Entonces,

apunta en la dirección de la {) en aumento, como se

\T

en la figura 2.21.

z

z

/

/

''

1

1 1 1

1

1 1 1

y X

Cilíndrico

, 1

X

Figura 2.21

--- _.... --

y

Esférico Figura 2.22

Por último, la dirección del incremento z cs. por supuesto, directamente hacia arriba, de manera que se tiene

Se ,·erifica con facilidad que E;"Ej = 8 ¡ j· de manera que aquí tenemos un campo de sistemas de rdcrcncia (que se define en la totalidad ele E 3 con la excepción del eje de las z). Lo lbnJ;unos camjJo cilíndrico de sistemas de referencia en E 3 . 2) El campo esférico de sistemas de referencia en E·' (figura 2.22). De la misma manera, podemos deducir un campo ele sistemas ele referencia F,, F 2 , F;, a partir de las funciones coordenadas esféricas p, {}, 'i en E". Como lo indica la figura, mediremos '? hacia arriba a partir del plano .\)'. en lugar de hacerlo (como se suele) hacia abajo a partir del eje de las z. Sea E 1 , Ec, F," el campo cilíndrico de sistemas de referencia. En las coordenadas esféricas, el campo vectorial unitario F 2 en la dirección de la coordenada {} creciente es el mismo de antrs. de manera que F" = F". El campo vectorial unitario F,. en la dirección de la p creciente, sale directamente del origen; en consecuencia, lo podemos expresar como

F, = cos 9E1 +sen rpE3 ,

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

101

(figura 2.23). De la misma manera, el campo wctorial para la rp en incremento es

Por consiguiente, las fórmulas de E 1 , E e, E, de ( 1) resultan en

F 1 = cos 9 (cos {}U, +sen{} U e) +sen 'P U"

Fe= -sen{} U 1 + cos {} Uz F 3 = -sc:n

9

(cos iJ U, + sr·n {}U e) + cos 9 C,

El uso repetido de la identidad sen" + cos 2 = 1, resulta en la comprobación de que F 1 , F 2 , F 3 es un campo de sistemas de referencia: el campo Figura 2.23 esférico de sistemas de referencia en E". (Su dominio real ele cldinición viene a srr E 3 menos Pl eje de las z, como teníamos en el caso cilíndrico.) Los resultados siguientPs, ele utilidad. son consecuencia inmediata del desarrollo ortonormal.

6.3 LEMA. Sea E,, Ec, E;; un campo de sistemas de referencia Fn E·'. 1) Si V es un campo vectorial en E', entonces TT = 2: f;E;, donde: las funciones [i = V•E; se llaman funciones coordenadas de V con respecto a E1_, E~, E ..-,. 2) Si T' =' 2: f,E; y TV = 2: g;F;, entonces V·W = 2: f;g;. En particular, [[ Vli = ("'.if;")Jf. Por tanto, un campo vectorial dado V tiene un conjunto diferente de funciones coordenadas con respecto a cada elección de campo de si:;tcmas ele rdPrencia F¡, ¡~· 2 , E,,. Las funciones coordenadas cuc!idianas (lema 2.:> dd capítulo I) provienen, por supuesto, del campo natural de sistemas ele referencia 1' 1 , U 2 • { ' 8 • En el capítulo I, b;te fup el único campo ele si,:temas de rdcrencia que emplP;nnos, pero aquí iremos pa,;ando gradualmente :t los campos :1rhitrarios ele sistemas ele rcferenciZI. Hay un~l razón clara de esto: en d estudio de bs curvas y las superficies de E", podremos cscogu· el campo de sistemas de referencia que óe adapte r/,, manera csjJecifica al problema en cuestión. Con esto no ,,o lamente se simplifican los cálculo::, >in o que se aclar) DedC!ZCase que E 1 [r] = 1, E.[OJ = 1/r, FJ::J = l, y que las otras sei5 posibilidades E,[ DJ, · · · son teclas cero. e) En una función f ( r, B, z) expresada en términos ele coordenadas cilíndricas, hágase ver que

E,[fj

=

a¡

a¡

or-

r (;{)

' EdfJ .

=

2/ ·

~-

(,:

5. Los campos de sistemas de referencia en E". En un campo de sistemas de referencia E 1 , E~ en el plano E 2 : a) Encuéntrense las ecuaciones de conexión. b) Si E, = cos cp U 1 + sen 'r' [J 2

E2 = - sen cp l.),

+ sen cp C

2

donde cp es una función arbitraria, exprésense las 1-formas duales (},, 02 y la forma de conexión ,, 2 en términos de rp. e) Demuéstrense las ecuaciones estructurales en este caso. 9

Resumen

Hemos alcanzado los propósitos que nos planteamos al empezar el capítulo. Hemos expresado rigurosamente la idea de sistema móvil de referencia como camj!o de sistemas de referencia, que definimos o bien en una curva de ES, o bien en un conjunto abierto del mismo E 3 . En el caso de una curva, empleamos solamente el campo de Frenet de sistemas de referencia T, N, B de la curva. Al expresar las derivadas de estos campos vectoriales en términos de los mismos campos vectoriales, descubrimos la c~rvatura y la torsión de la curva. Hemos entendido claramente que la curvatura y la torsión dicen mucho acerca de la geometría de una curva; en el capítulo III veremos que lo dicen todo. En el caso de un conjunto abierto de E 3 , tra}njamm con un campo arbitrar: o de sistcmas ele referencia F 1 , Ec, E':~· La generalización ele Cart::m (teorema 7.2) ele las fórmulas de Frcnet sigue el mismo camino ele expresar bs dcri·•adas ( co\·ariantcs) de estos campos ycctoriales en términos ele los c:i!npos \"CCto:·i;~lcs mismos. Si omltimos el campo vectorial l 7 de b notación ~lcl teorema 7.2, tenemos

116

CAMPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA

Cartan

'VE, 'V E e

-,,,,cf;,

(J)tzEz

'VE:

-(!)1:¡}~¡

'''""F,

Frenet

+ + ú)',!_?,E:,

(J)13E3

T' = N' = -KT B' =

KN

+ TB -,1\'

Las ecuaciones de Cartan no tienen un aspecto conspicuamento. más complicado que las de Frem:t gracias a que se dispone del concepto de 1-form::J para los coeficientes "'ii, las formas de conexión.

CAPITULO

111

Geometría euclidiana

Vamos a refrescar la memoria acerca de algunas características conocidas de la geometría plana. En primer lugar, dos triángulos son congruentes si existe un moYimiento rígido del plano que lleva a uno de ellos exactamente al lugar que ocupa d otro. Los ángulos correspondientes de triángulos congruentes son iguales, los lados correspondientes tienen la misma longitud, las áreas que encierran son iguales, y así sucesivamente. Desde luego, cualquiET propiedad geométrica de un triángulo es compartida automáticamente por todos los triángulos congruentes con él. Y, recíprocamente, hay varias maneras sencillas de decidir si dos triángulos dados son congruentes; por ejemplo, si en cada uno de ellos se tienen los mismos tres números como las longitudes de sus lados. En este capítulo, investigaremos los movimientos rígidos (isometrías) del espacio euclidiano y veremos la manera en que estos conceptos relativos a triángulos se pueden extender a otros objetos geométricos.

lsometrías de E 3 Una isometría, o movimiento rígido, del espaciO euclidiano es un mapeo de clase especial que conserva la distancia euclidiana entre los puntos (definición 1.2. capítulo II). 1.1 DEFINICIÓN. U na isometría de E 3 es un m apeo F: E 3

d(F(p),F(q))

=

~

E 3 tal que

d(p,q)

para todos los puntos p, q en E 3 • 1.2

EJEMPLO

l. Traslaciones. Fijemos un punto en E 3 y sea T el mapeo que aíia< 1" a a tocio punto de E 3 . Por consiguiente, T(p) = p +a para todos ]e; puntos p. T se llama traslación en a. Se ve con facilidad que T es iscmetría, puesto que 117

118

GFOMETRÍA EuCLIDIANA

d(T(p), T(q)) = d(p +a, q + a)

y

fi(P +a) IIP- qll = Figura 3.1

(q

+ a)ll

d(p,q).

2. Rotación alrededor de uno de los e;es de coordenadas. La rotación del plano xy que.rccorre un ángulo {} lleva al punto (p1, P2) al punto (q,, q 2 ) , de coordenadas (figura 3.1) q1

=

Pt cos {} - Pe sen{}

q" = p,

sen{}

+

f1 2 cos ff.

Es así como la rotación de E 3 alrededor del eje de las z (que recorre un ángulo {}) tiene la fórmula

para todos los puntos p. Es evidente que e es una transformación lineal; en consecuencia, es en particular un mapeo. Con cálculos directos, se comprueba que e conserva la distancia euclidiana, de manera que e es isometría. Recordemos que si F y e son mapeos de Ea, la función compuesta es un mapeo de E3 que se obtiene al aplicar antes F y después G.

eF

1.3 LEMA. Si F y G son isometrías de E 3 , entonces el mapeo compuesto \:F es también isometría de E 3 .

e(

Demostración. Puesto que G es isometría, la distancia de F ( p) ) a G(F(q)) es d(F(p), F(q)). Pero, puesto que Fes isometría, esta distancia es lo mismo que d (p, q). Por lo tanto, GF conserva la distancia y es isometría.

1

Con breyedad, enunCiaremos este resultado como: la composición de isometrías es isometría. También recordaremos que si F: E 3 ~Ea es simultáneamente uno a uno y sobre, entonces F tiene una función inversa única F- 1 : Ea ~ES, que asocia con cada punto F(p) el punto original, p. La relación entre F y F-1 queda descrita de mejor manera por las fórmulas

pp-1 = !,

F- 1 F =J.

donde 1 es el mapeo identidad de E 3 , es decir, el mapeo con la propiedad de que /(p) = p para todo p. Las traslaciones de E 3 (según se definieron en el ejemplo 1.2) resultan sn la clase más sencilla de isometrías.

ISOMETRÍAS DE

E3

119

1.4 LEMA. 1) Si S y T son traslaciones, entonces ST = TS es también traslación. 2) Si T es traslación en a, entonces T tiene una inversa T-t, que es traslación en -a. 3) Dados dos puntos cualesquiera p y q de E 3 , existe una traslación única T tal que T(p) = q. Demostración. Demostraremos (3), por ejemplo. Observemos que la traslación bajo q- p lleva, desde luego, a p al lugar de q. Esta es la única posibilidad, puesto que si Tes traslación en a y T(p) = q, entonces p + a= q; en consecuencia, a = q - p.

1

Tenemos un caso especial de (3), que es útil, en que si T es una traslación con la propiedad de que en uno de los puntos se verifica que T(p) = p, entonces T = l. La rotación del ejemplo 1.2 es un caso de transformación ortogonal de E 3 ; es decir, una transformación lineal e: E 3 --'? E 3 que conserva el producto escalar en el sentido de que e(p)·e(q) = p·q

e

1.5 LEMA. Si e: E 3 es isometría de E 3 •

--'?

para todo p, q.

E 3 es una transformación ortogonal, entonces

e

Demostración. Haremos ver en primer lugar que mas. Por definición, 11 p 1!" = p•p; por consiguiente, 11

e(p) W= e(p)·e(p) = P'P =

11

P

conserva las nor-

w.

De lo cual se desprende que 1[ e (p) 11 = 11 p 11 para todos los puntos p. Puesto que e es lineal, concluimos con facilidad que e es isometría: d(e(p), e(q)) =

11

e(p) - e(q)

= d(p,q)

11

=

11

e(p- q)

11 =

11

P- q

11

1

para todos los p, q.

Nuestro objetivo aquí está constituido por el teorema 1.7, que afirma que es posible expresar toda isomctría como transformación ortogonal seguida de una traslación. La parte principal de la demostración consiste en el enunciado siguiente, que es el recíproco del lema 1.5. 1.6 LEMA. Si F es isomctría de E 3 con la propiedad de que F(O) entonces F es transformación ortogonal.

=

O,

Demostración. Veremos en primer lugar que F conserva los productos escalares; a continuación, que. F es transformación lineal. Observemos que,

120

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

por definición de distancia euclidiana, la norma 11 p 11 de un punto p es precisamente la distancia euclidiana d(O, p) del origen a p. Por hipótesis, F conserva la distancia euclidiana, y F(O) = O; en consecuencia, 11 F(p) 11 = d(O, F(p)) = d(F(O), F(p)) = d(O, p) = 11 p 11.

De donde concluimos que F conserva las normas. A contin,uación, por medio de un recurso estándar ("polarización"), deduciremos que también conserva los productos escalares. Puesto que F es isometría, tenemos que d(F(p),F(q))

=

d(p,q)

para cualquier par de puntos. En consecuencia, 11 F(p) - F(q)

11

= 11 P- q JI,

lo cual, por la definición de norma, implica que

(F(p) - F(q) )·(F(p) - F(q)) = (p- q)•(p- q). Y, en consecuencia,

F(pJ lf"- 2F(p) •F(q)

+

11 F(q) 11" = 11 p li"- 2p•q

+

li q 11

2 •

Aquí se cancelan los términos que consisten en normas, puesto que F conserva las normas, y llegamos a la expresión F(p)•F(q)

=

p•q,

que era lo que buscábamos. Nos falta demostrar la linealidad de F. Sean u 1 , u 2 , u 3 los puntos unitarios (1, O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1) correspondientes. Entonces, se verifica la identidad

Además, los puntos u 1 , 8ij.

llz, U:;

son ortonormales; esto significa que

Ui'U¡ =

Sabemos que F conserva los productos escalares, de manera que F(u 1 ), F(u 2 ), F(u3 ) tienen que ser también ortonormales. Entonces, el desarrollo ortonormal que resulta es

F(p) = ¿p(p)•F(ud F(u;).

Pero F(p)•F(u¡) de manera que

=

p•ui

=

p;,

ISOMETRÍAS DE E 3

121

Por medio de esta identidad, la condición de linealidad se comprueba fácilmente:

F (ap

+

bq)

= aF(p) + bF(q).

1

Daremos a continuación una descripción concreta del aspecto de una isometría arbitraria.

1.7

Si F es isometría de E 3 , existen entonces una· traslación única T y una transformación ortogonal única C tales que TEOREMA.

F= TC. Demostración. Sea T la traslación en F(O). Vimos en el lema 1.4 que T-- 1 es la traslación por -F(O). Pero T- 1F es isometría, según el lema 1.3, y, además, (T- 1F) (O) = T- 1 (F(O)) = F(O) - F(O) =O.

Por lo tanto, según el lema 1.6, T- 1 F es una transformación ortogonal, y podemos poner T-'F = C. :\1 aplicar por la izquierda T, obtenemos F= TC. Para Jemostrar la unicidad que se enuncia, supondremos que también -podemos expresar F como TC, donde T es traslación y C es transformación --~

~

ortogonal.__ Debemos Jemostrar que T~=- T y que C = C. _Ahora bien, TC = TC; en consecuencia, C = T- 1 TC. Puesto que C y C: son transformaciones lineales, transforman el origen en sí mismo. De ello se desprende que (T- 1 T) (O) = O. Pero, debido a que T- 1 T es una traslación, concluimos que T- 1 T = 1; en consecuencia, T = T. Entonces, la ecuación TC = TC se comierte en TC = TC. Al aplicar T-I, nos queda C = C.

1

Por consiguiente, podemos describir toda isometría de E 3 de manera única como transformación ortogonal seguida de traslación. Cuando F = TC, como en el teorema 1.7, decimos que C es la parte ortogonal de F, y que T es la parte de traslación de F. Ackiértase que, en general, CT no es lo mismo que TC (ejercicio 1) . El teorema de descomposición que acabamos de demostrar es el hecho decisivo acerca de las isometrías de E 3 (y su demostración se puede extender a En). Por ejemplo, encontraremos aquí fórmulas explícitas de una isometría arbitraria F = TC. Si (cii) es la matriz de la transformación lineal e, tenemos la fórmula explícita

C(pl, P2, Ps) = ("'2,

C1jpj,

2. C2jjJj, 2:, C3jjJj)

para todos los puntos p = (p1, Pz, p3) . Aquí empleamos el convemo de vectores columna, con el cual q = C (p) significa que

122

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

e

Puesto que es una transformación lineal ortogonal, se ve fácilmente que la matriz ( cii) es ortogonal en el sentido de que su inversa. es igual a su transpuesta. Volvamos a la descomposición F lación en a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) • Entonces, F(p)

=

=

Te para suponer que T es tras-

TC(p) =a+ e(p).

Por medio de la fórmula anterior de e(p), obtenemos

De otra manera, mediante los convenios de vector columna, el significado de q = F(q) es

EJERCICIOS

e

En todos los ejerciCIOS siguientes, A, B y denotan transfornuciones ortogonales (o sus matrices) y Ta es una traslación en a.

1. Demuéstrese que eTa

= Tc(a)e.

2. Dadas las isometrías F = TaA y G = TbB, encuéntrense las partes de traslación y ortogonal de FG y de GF. 3. Demuéstrese que una isometría F = Tae tiene un mapeo inverso F-\ que también es isometría. Encuéntrense las partes de traslación y ortogonal de F-1 . 4. Si

e=

(-i

li 3

y

p = (3, 1, -6), { q=(1,0,3)

123

ISOMETRÍAS DE E 3

5. Sea F

=

TaC, donde a= (1,3, -1) y

C=

Si p

[

~/V2

o -1;

11v2 o

-v2]

o . 1;-..;2

= (2, -2, 8), encuéntrense las coordenadas del punto q, en el que b) q = p-1 ( p) .

a) q=F(p).

e) q

=

( CT a)

(p) .

6. En cada uno de los casos siguientes, decídase si F es isometría de E 3 . De ser así, encuéntrense sus partes de traslación y ortogonal.

a) F(p) = b) F(Il) = e) F(p) = d) F(p) =

-p. p•aa, donde

(p 3

11

a

11

1,jJz- 2,p 1 (p,,pe, 1). -

=l. -

3).

e

Un grupo es un conjunto provisto de una operación que asigna a cada par g,, gc de elementos de e un elemento ~1~2, sometido a las reglas siguientes: 1) ley asociativa: (g,g 2 )g3 = g 1 (g,g 3 ) ; 2) existe un elemento identidad único e, tal que eg = ge = g para todo g en e, y 3) inversos: para cada g en e existe un elemento g- 1 en e con la propiedad de que g,r.;-1 = g-' g = e. Los grupos ocurren con naturalidad en muchas partes ele la geometría, y mencionaremos unos cuantos en los ejercicios siguientes. Las propiedades fundamentales de los grupos se pueden estudiar en la obra de Birkhoff y MacLane [2], por ejemplo.

7. Dl'muéstrese que el conjunto

o ele todas las isornetrías de E

constituye un grupo, si tomamos la composición de funciones como operación. 0 se llama grupo euclidiano (de orden 3), o grupo de movimientos euclidianos de E 3 . Un subconjunto H de un grupo es sub grupo de cuando 1) si g, y g 2 están en Il, también lo está g 1 g,; 2) si g está en H, también está g-', y 3) el elemento identidad e de también está en H. Un subgrupo H de es automáticamente un grupo.

e

e

3

e

e

8. Demuéstrese que el conjunto 9 de todas las traslaciones ele E 3 y el conjunto 0(3) ele todas. las transformaciones ortogonales de E 3 son,

124

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

cada uno, subgrupos del grupo euclidiano 0. O ( 3) se llama grupo ortogonal de orden 3. ¿Qué isometrías de E 3 pertenecen a ambos subgrupos?

2

El mapa de derivadas de una isometría

Vimos en el capítulo I que un mapeo arbitrario F: E"~ E' tien~ un mapa de derivadas F* que transforma a cada vector tangente v en p en un vector tangente F*(v) en F,,(p). Si F es isometría, su mapa de derivadas es notablemente sencillo. (Puesto que la distinción entre vector tangente y punto es aquí decisiva, vamos a restablecer temporalmente el punto de aplicación en nuestra notación.)

2.1

TEOREMA.

Sea F una isometría de E" con parte ortogonal C.

Entonces,

para todos los vectores tangentes

Vp

a E3•

Esto significa verbalmente lo siguiente: para obtener F,,(v¡¡), hay que trasladar en primer lugar el vector tangente Vp al punto canónicamente correspondiente v de E 3 , para aplicar en seguida la parte ortogonal C de F, y trasladar, por último, este punto e (V) ;¡l vector tangente en F ( p) que le corresponde canónicamente (figura 3.2). Por lo tanto, todos los vectores tangentes en todos los puntos p de E 3 "rotan" exactamente de la mzsma manera bajo F*; sólo el nuevo punto de aplicación F(p) depende de p.

Demostración. Ponemos F = TC, como hicimos al demostrar el teorema l. 7. Sea T traslación en a, ele manera que F ( p) = a + C ( p) . Si vP es un vector tangente a E 3 , entonces, por la definición 7.4 del capítulo I, F*(vv) es la velocidad inicial ele la curva t~F(p + tv). Pero, al picar la linealidad de e, obtenemos F(p

+

tv) = TC(p = F(p)

+ tv) = + tC(v).

T(C(p)

/'/ /

·---

+ tC(v))

____ ..oC(v)

o

Figura 3.2

=a+ C(p)

+

tC(v)

EL MAPA DE DERIVADAS DE UNA ISOMETRÍA Y, así, tenemos que F*(vv) es la velocidad inicial de la curva t~F(p) te (v), que es precisamente el vector tangente ( ev) F(pl.

125

+

1

Al expresarnos en términos de coordenadas euclidianas, el resultado queda como F*(~

VjUj)

)

= ~

CijVjÜi

l,j

donde C = (e i i) es la parte ortogonal de la isometría F, y, si U; se evalúa en p, entonces üi se evalúa en F(p). 2.2 CoROLARIO. Las isometrías conservan los productos escalares de vectores tangentes. Es decir, si vP y Wp son vectores tangentes a E 3 en el mismo punto, y si F es isometría, entonces

Demostración. Sea e la parte ortogonal de F y recordemos que e, al ser transformación ortogonal, conserva los productos escalares en E 3 . Según el teorema 2.1,

=

Y''V =

Vp'Wp

donde ha intervenido dos veces la definición 1.3 del capítulo II (productos escalares de vectores tangentes) .

1

Con la demostración ele este corolario fundamental y del teorema que enunciaremos en seguida, el resultado inicial (teorema 2.1) ha cumplido en buena parte su misión. Por tanto, una vez más, podemos omitir, sin temor alguno, el punto de aplicación de nuestra notación, para escribir sencillamente F,,(v)•F*(w) = y•w. Si empleamos un lenguaje más elegante, el corolario afirma que, para cada punto p, el mapa de derivadas F*P en p es una transformación ortogonal de espacios tangentes (que difieren de sólo en los isomorfismos canónicos de E 3 ) . Puesto que los productos escalares se conservan, concluimos automáticamente que los conceptos derivados de ellos, como son las normas y los de la ortogonalidad, también se conservan. De manera explícita, si F es isometría, entonces 11 F,, ( v) 11 = 11 v 1!, y si Y y w son ortogonales, también lo son F,,, (Y) y F* (w). En consecuencia, también se conservan los sistemas de referencia: si e 1 , e", e 3 es un sistema de referencia en algún punto p de E 3 y si F es isometría, en ton ces F: ( e 1 ) , F, ( e 2 ) , F, ( e 3 ) es sistema de referencia en F(p). (La demostración directa es fácil: ei'ei = 8ii' luego, por el corolario 2.2, F,(e;)•F*(ei} = e;'ei = 8;jo}

e

126

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

El enunciDdo (3) del lema 1.4 nos hace Yer b manera en que dos puntos determinan de manera única una traslación. Veremos a continuación que dos sistemas de referencia determinan ele mantera única una isometría. 2.3 TEOREMA. Dados dos sistemas de rcftercncia cualtesquitera en E 3 , por tejemplo, e 1 , ee, e 3 en el punto p y f 1 , fe, f~ en el punto q, t'xiste una isometría única F ele E'1 tal que F ( ci) = [¡ para 1 s i < 3. Demostración. Vamos a exhibir en primer lugar la existencia ele la isometría propuesta. Sean e 1 , e2 , e;; y / 1 , fe, /: 1 los puntos de E 3 en correspondencia canónica con los vectores de los dos sistemas de referencia. Sea e la transformación lineal única de E" con la propiedad de que C ( ei) = f; para 1 < i < 3. Se yerifica con facilidad que e es ortogonal. Sea a continuación T una traslación que recorre el punto q - C (p). Afirmaremos que la isometría F = TC transforma d sistema de referencia e en el sistema de referencia f. Observemos en primer lugar que

F(p) = T(Cp) = q- C(p)

+

C(p) = q .

.\1 aplicar a continuación el teorema 2.1, obtenemos

para 1 < i S 3. Para demostrar la unicidad, obserYamos que, de acuerdo con el teorema 2.1' esta elección de e es la única posibilidad para la parte ortogonal de la isometría que se pide. Pero la parte de traslación también está determinada por completo, puesto que obligadamente ha de transformar e (p) en q. Y es así como la isometría F = TC está determinada de modo único.

1

El cálculo explícito de la isometría que se menciona en el teorema no es difícil. Sean e¡ = (ail, a¡z, aia) y f = (b; 1 , biz, b; 3 ) para 1 < i :':: 3. Entonces las matrices (ortogonales) A = (a; i) y B = (b i i) son las matrices de disposición de los sistemas de referencia e 1 , e 2 , e 3 y ( 1 , f 2 , f 3 que les corresponden. Afirmamos que la C del teorema (o, en un sentido estricto, su matriz) es t B ·A. Será suficiente verificar que t BA (e;) = f;, puesto que así se caracteriza de manera única a C. Pero, al aplicar los convenios de vectores columna, obtenemos

127

ORIENTACIÓN

es decir, tBA(e 1 ) = f 1 (los casos i = 2,3 son parecidos). Por lo tanto, e= 1BA. Como señalábamos antes, T es necesariamente la traslación en q-e(p).

EJERCICIOS

1. Si T es traslación, entonces, para cada vector tangente v demuéstrese que T,.(v) es paralelo a v (que tiene las mismas coordenadas euclidianas). 2. Demuéstrense las fórmubs generales (GF)* = GF, y (F-1 )* en el caso especial en que F y G son isometrías de E".

=

(F,)- 1

3. a) Sea e,, ee, e 3 un sistema de referencia en p cuya matriz de disposición es A. Si F es la isometría que transforma el sistema natural de referencia en O en este sistema de referencia, verifíquese que F = TpA- 1 (A- 1 = 1A). b) Sea a continuación f 1 , f 2 , f 3 un sistema de referencia en q con matriz de disposición B. Aplíquese el ejercicio 2 para demostrar el resultado, enunciado en el texto, de que la parte ortogonal de la isometría que transforma el sistema de referencia e en el sistema f es

B- 1 A. 4. a) Demuéstrese que una isometría F = Te transforma el plano que pasa por p y es ortogonal a q en el plano que pasa por F (p) y es ortogonal a e (q) . b) Si P es el plano que pasa por ( ~' -1, O) y es ortogonal a (0, 1, O), encuéntrese una isometría F = Te tal que F(P) sea el plano que pasa por (1, -2, 1) y sea ortogonal a (1,0,- 1). 5. Dado el sistema de referencia c 1 = (2, 2, 1) /3, e 2 = ( - 2, 1, 2) /3, e,, = ( 1, -2, 2) /3 en p = (0, 1, O), y dado el sistema de referencia

rl

=

(1,0,1)/v2,

f2 = (0, 1,0),

f3

=

(1,0, -1)(/2

en q = (3, -1, 1), encuéntrese la isometría F = TC que transforma el sistema de referencia e en el sistema de referencia f.

3

Orientación

Pasaremos a continuación a examinar una de las ideas más interesantes de la geometría. Desde el punto de vista intuitivo, en el espacio ordinario, podemos distinguir un guante derecho del guante izquierdo gr2.cias a la orientación. Para emplear matemáticamente este concepto, substituiremos

128

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

los guantes por sistemas de referencia, y separaremos todos los sistemas de referencia de E 3 en dos clases con el criterio siguiente. Recordemos que, asociada con cada sistema ele referencia ~ 1 , e 2 , e 3 en un punto de E 3 , está su matriz de disposición A. De acuerdo con los resultados de los ejercicios de la sección 1 del capítulo II,

Cuando este número sea + 1, diremos que el sistema ele referencia e 1 , ez, e 3 está positivamente orientado (o que es de mano derecha) ; cuando es -1, el sistema de referencia está negativamente orientado (o es de mano izquierda) . Omitiremos la demostración fácil de los enunciados siguientes.

3.1 CoMENTARIO. 1) En cada punto de E 3 , el sistema de referencia asignado por el campo natural de sistemas de referencia U 1 , U 2 , U 3 está positivamente orientado. 2) Un sistema de referencia e 1 , e 2 , e 3 está positivamente orientado si y solo si e, X ez = e 3 • De esta manera podremos determinar para propósitos prácticos la orientación de un sistema ele referencia mediante la "regla de la mano derecha" que dimos al final ele la sección 1 del capítulo II. En el aspecto visual, el sistema (P) de la figura 3.3 tiene orientación positiva, mientras que el sistema de referencia (N) la tiene negativa. En particular, los sistemas de referencia de Frenet están siempre positivamente orientados, puesto que, por su definición, B = T X N. 3) En un sistema de referencia positivamente orientado e,, e 2 , e 3 , los procluctos vectoriales son

e] = e:? X e" = -e" X ez ez = e., X e, = -et X e3

e3 = e, X

Cz

= -ez

X

C¡.

(N)

(P)

e, Figura 3.3

e,

129

ORIENTACIÓN

En un sistema de referencia negativamente orientado, se deben invertir los vectores de cada producto vectorial. (No es necesario memorizar estas fórmulas: la regla de la mano derecha las dará correctamente.) Puesto que hemos dado un signo a cada sistema de referencia de E 3 , pondremos a continuación signo a todas las isometrías F de E 0 • En el capítulo II, demostramos el muy conocido hecho de que el determinante de una matriz ortogonal es o bien + 1, o bien -l. Por lo tanto, ~ C es la parte ortogonal de la isometría F, definimos el signo de F como el eleterminante de e, con la notación sgn F = det C. Sabernos que el mapa de derivadas de una isometría transforma sistemas de referencia en sistemas de referencia. El resultado siguiente nos aclara lo que sucede con sus orientaciones.

SI

3.2 LEMA. Si e 1 , e", e 3 es sistema de referencia en un punto de E 3 y F es isometría, entonces

Demostración. Si ei = ,~ ail,U~c, entonces, según la versión en coordenadas del teorema 2.1, tenernos que F,(ei)

= ~ c;~cajl,Ü; i,lc

donde C = (cii) es la parte ortogonal de F. Es así como la matriz de disposición del sistema ele referencia F* ( e 1 ) , F* ( e 2 ) , F* ( e 3 ) es la matriz (~c;~caj~c)

,,

=

(~ci~c 1 a~ci)

,,

= C 1A.

Pero el triple producto escalar ele un sistema ele referencia es el determinante ele su matriz ele disposición, y, por definición, sgn F = det C. En consecuencia, F,(e1 )•F*(e2 ) X F*(e 3 ) = det (C 1A)

= det C·det tA = det C·det A

1 Este lema nos enseña que, si sgn F = + 1, entonces F,, transforma sistemas ele referencia positivamente orientados en sistemas de referencia

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

130

positivamente orientados, y que transforma los sistemas de referencia nega~ tivamente orientados en sistemas de referencia negativamente orientados. Por otra parte, si sgn F = -1, los positivos se transforman en negativos, y los negativos en positivos.

3.3 DEFINICIÓN. De una isometría F de E 3 , se dice que conserva la orientación si sgn F = det invierte la orientación si sgn F = det donde

e

e

e

=

+1

= - 1

es la parte ortogonal de F.

3.4 EJEMPLO 1) Traslaciones. Todas las traslaciones conservan la orientación. Esto tiene claridad desde el punto de vista geométrico, y, en realidad, la parte ortogonal de una traslación T es simplemente el mapeo identidad I, de manera que sgn T = det I = +l. 2) Rotaciones. Consideremos la transformación ortogonal que dimos en el ejemplo 1.2, que imparte una rotación a E 3 que recorre el ángulo B alrededor del origen. Su matriz es

e

cos B [

-sen()

sen B

cos B

o

o

En consecuencia, sgn e = clet e = orientación (véase el ejercicio 4) .

+ 1,

~]

de manera que

e

conserva la

3) Reflexiones. Se puede ver (literalmente) la inversión ele la onentación si se emplea un espejo. Supongamos que el plano yz ele E 3 es nuestro espejo. Si miramos hacia ese plano, el punto p = (p 1 , p2 , P3 ) aparece ubicado en el punto

(figura 3.4). El mapeo R que hemos definido de esta manera se llama reflexión en el plano yz. Es evidentemente una transformación ortogonal con matriz

131

ORIENTACIÓN Por consiguiL·nte, R es una isometría que invierte la orientación, como nos lo confirma el hecho experimental de que la imagen especular de la mano derecha es la mano izquierda. Tanto el producto \TCtorial como el producto escalar se definieron originalmente en términos de coordenadas euclidianas. Hemos visto que el producto escolar se determina por medio ele la misma fórmula

Vista lateral del pLwo !J _ Figura 3.4

al margen del sistema ele referencia t> 1 , ee, e;; que se emplee para obtener las coordenadas de v y w. Para los productos \'ectoriales tenemos casi el mismo resultado, pero aquí inten·iene la orientación.

3.5 LJ·:MA. Sea e 1 , e 2 , e 3 un sistema ele referencia en un punto de v;ei y w = 2: wiei, entonces

E3 • Si v = _¿

donde

E=

e1•e 2 X e 3

=

+1.

Demostración. Será suficiente el desarrollo del prodm:to vectorial

por medio ele las fónnulas (3) del comentario 3.1. Por ejemplo, si el sistema de referencia está positivamente orientado, obtendremos

Puesto que, en este caso, E = 1, obtenemos el mismo resultado en el miembro derecho de la ecuación que queríamos demostrar.

1

De esto se desprende inmediatamente que el efecto de una isometría en los productos vectoriales implica también cuestiones de orientación.

3.6 TEOREMA. Sean v y w vectores tangentes a E 3 en p. Si F es isometría de E 3 , entonces

132

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Demostración. Ponemos v = -;EuiU;(p) tinuación, sean

y w = -;EwiU;(p). A con-

Puesto que F* es lineal,

El cálculo directo, en que se aplica el lema 3.5, nos hace ver que

donde

Pero U,, U 2 , U" está positivamente orientado, de manera que, según el lema 3.2, se verifica que E = sgn F.

1

EJERCICIOS

1. Demuéstrese que

sgn (FG) = sgn F·sgn G = sgn (GF). Dedúzcase que sgn F = sgn (F- 1 ).

2. Si H 0 es una isometría de E 3 que invierte la orientación, demuéstrese que toda isometría que invierte la orientación tiene una expresión única como l! 0 F, donde F conserva la orientación. 3. Sean v = (3, 1, -1) y w = (- 3, -3, 1) vectores tangentes en un punto. Si e es la transformación ortogonal que vimos en el ejercicio 4 de la sección 1, compruébese la fórmula

C.(v X w) = sgn

e e*(v)

X e*(w).

4. Una rotación es una transformación ortogonal e tal que det e = + l. Demuéstrese que e, efectivamente, somete a E 3 a una rotación alrededor de uno de los ejes. Hágase ver explícitamente que, dada una rotación e, existen un número {} y puntos e 1 , e 2 , e 3 , en los que e;•ei = 8 ij, tales que (figura 3.5)

133

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

e (Ct) e (e2)

= =

COS {f el

+

sen {f

sen {f

el

+

-

C2

cos {}

e2

(Indicación: El significado de que la dimensión ele E" sea impar es que e tiene una raíz característica + 1, de manera que existe un punto p=f=O tal que e(p) =p.) S. Sea a un punto E" con la propiedad de que que la fórmula

e (p)

=

a X p

Figura 3.5

11

a

11 =

l. Demuéstrese

+ p•a a

define una transformación ortogonal. Descríbase su efecto general en E 3 • 6. Demuéstrese que a) El conjunto Q+ ( 3) de todas las rotaciones de E 3 es subgrupo del grupo ortogonal O ( 3) (véase el ejercicio 8 de III.l) . b) El conjunto (;+ de todas las isometrías que conservan la orientación en E 3 es subgrupo del grupo euclidiano G.

7. Encuéntrese una sola fórmula capaz de expresar todas las isometrías de la recta real E 1 . Hágase lo mismo en el plano E 2 (úsese E = -+-1) . De estas isometrías, ¿cuáles son las que conservan la orientación?

4

Geometría euclidiana

Al abrir este capítulo, hicimos un recordatorio de una característica fundamental de la geometría plana: si existe una isometría que lleve un triángulo a otro, entonces los dos triángulos (que son congruentes) tienen exactamente las mismas propiedades geométricas. Si examinamos detenidamente este concepto, veremos que es un enunciado que no admite demostración; constituye, de hecho, la definición de la "propiedad geométrica de un triángulo". Con más generalidad, podemos decir que la geometría euclidiana se define como la totalidad de conceptos qu~ se ven conservados por las isometrías del espacio euclidiano. Por ejemplo, el corolario 2.2 nos enseña que la idea del producto escalar de vectores tangentes pertenece a la geometría euclidiana. De la misma manera, el teorema 3.6 nos hace ver que, con la excepción posible del signo, el producto vectorial también queda conservado por las isometrías. Esta famosa definición de la geometría euclidiana es un poco generosa, sin embargo. En la práctica, la unidad de significación "geometria euclidiana" se suele referir solamente a los conceptos que las isometrías.

134

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

conservan, aunque no lo hagan mapeos arbitrarios, o inclusive los mapeos de clase más restringida ( difeomorfismos) que tienen m apeos inversos. Un ejemplo nos puede ayudar a aclarar un poco más esta distinción. Si a = (a 1 , a~, a 3 ) es una curva de E:1, entonces las diversas derivadas a'=

tj_a_l: ~11!~ da-"-) ( dt' dt' dt '

a

,

tienen aspectos bastante parecidos. Ahora bien, al interpretar el teorema 7.8 del capítulo I decíamos que la velocidad queda conservada jJor los m a j;eos arbitrarios F: E"~ E 3 . Es decir, que si fJ = F (rr), entonces fJ' = F,.(a'). Pero se ve con facilidad que los maj;eos a, !Jitrarios no conscruan la aceleración. Por ejemplo, si a ( t) = (t, O, O) y F = , )', z), entonces a"= O; en consecuencia, F.,.(a") =O. Pero (J ~= F(a) tiene la f{nmula fJ(t) = (t 2, O, O), de manera que fJ" = 2U 1 . Por consiguiente, en este caso, fJ = F(a), mientras que fJ"=/=F(a"). Dentro de un momento, sin embargo, veremos que la aceleración se ve conservada por las isometrías. Por esta razón, la idea de velocidad corresponde al cálculo del espacio euclidiano, mientras que la de aceleración corresponde a la geometría cm·lidiana. En esta sección \·amos a examinar algunos de los conceptos rpw definimos en el capítulo II y demostraremos que, de hecho, L1s isnnwtrías los conservan. (En gran parte, hemos dejado al lector la tarea de n:rificar que los difeomorfismos no los conservan.) Recordemos la idea ele campo vectorial en una curva (definición 2.2 del capítulo II). Si Y es campo vectorial en a: I ~E\ y si F: E'1 ~ E 3 es cualquier mapco, entonces Y = F.,. (Y) es campo vectorial en la curva Imagen ¡¡; = F(a). En realidad, para cada t en I, Y(t) es un vector

Y(t)T

Y(t)

a(t)

~ I Figura 3.6

tangente a E 3 en el punto a ( t) . Pero entonces Y ( t) = Fr, (Y ( t) ) es un vector tangente a E 3 en el punto F(a(t)) = a(t). (La figura 3.6 ilustra estas relaciones.) Las isometrías conservan las derivadas de esos campos \Tctorialcs.

Gf,OMETRÍA EUCLIDIANA

135

4.1 CoROLARIO: Sea Y un campo vectorial en una curva a de :€·\ y sea F isometría de E". Entonces Y = F,. (Y) es campo vectorial en

a=F(a),y

Y'= F:(Y'). Demostración.

Calcularemos F* (Y')

y Y' a partir de la q:presión

de Y en términos de sus funciones coordenadas euclidianas. Para diferenciar un campo vectorial así, se diferencian simplemente sus funciones coordenadas euclidianas, de manera que, aquí,

Y'=2:dYiu .. dt

J

Por consiguiente, según la versión en coordenadas del teorema 2.1, concluimos que

F,(Y')

=:S c;i r~~; [h

Por otra parte,

y= F,.(Y) = 2:

C;jyj

U;.

Pero cada c;i es constante, puesto que, por definición, son elementos de la matriz de la parte ortogonal de la isomctría F. En consecuencia,

Por lo tanto, los campos vectoriales F,. (Y') y

Y' son iguales.

1

Afirmábamos antes que las isomctrías conservan la aceleración: s1 F (a), donde F es isometría, entonces a" = F,, (a") . Esto es co.nsecuencia inmediata del resultado anterior, puesto que si ponemos Y = a', entonces, por el teorema 7.8 del capítulo J, Y = a', y de aquí se desprende que

a

=

Haremos ver a continu~:ción que el aparato ele Frenet de una curva queda conservado por las isometrías. Esto es de esperarse, desde luego, sobre b~tscs puramcnle intuitivas, debido a que un movimiento rígido del

136

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

plano debe llevar una curva a otra que se vuelva y se retuerza exactamente de la misma manera. Y esto es lo que sucede cuando la isometría conserva la orientación. 4.2 TEoREMA. Sea f3 una curva de rapidez unitaria en E 3 con curvatura positiva, y sea {i = F(/3) la curva imagen de f3 bajo una isometría F de E 3 • Entonces

7 = sgn F

donde sgn F

T = F,,(T) N= F,,(N) lJ = sgn F F,(B)

r

= -+- 1 es el signo de la isometría F.

Demostración. Adviértase que taria, puesto que 11

fi' 11

=

ji

es también una curva de rapidez uni-

fl F,,(fJ') fl

=

fJ'

11

11

= l.

Por tanto, las definiciones de la sección 3 del capítulo II se aplican tanto a f3 como a [3, de manera que

Puesto que F conserva tanto la aceleración corno las normas, de la definición de curvatura se desprende que

/3" 11

K= 11

=

11

F,.(fJ") 11 =

11

/3"

11

=

K.

Para obtener el sistema completo de referencia de Frenet, emplearemos aquí la hipótesis de que K > O (que implica K> O, puesto que K = K). Por definición, N = f3" j K; por consiguiente, al aplicar resultados anteriores, encontramos

(P") =

jj" F,(fJ") F, N=-::-=---= K

K

F,(N).

K

Solamente nos falta demostrar los casos interesantes de B y r. Puesto que la definición B = T X N contiene un producto vectorial, nos valemos del teorema 3.6 para obtener

lJ = 't X N= F,,(T) X F,.(N) = sgnF F,(T X N) = sgnF F,(B). En esencia, la definición de torsión dice que r = - R'•N = B·N'. Por consiguiente, al aplicar los resultados anteriores acerca ele B y N, obtenemos

7

= B•N' = sgnFF*(B)•F,(N') = sgn_FB•N' = sgnFr

1

137

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

La intervención de sgn F en la fórmula de la torsión de F(f3) nos enseña que la torsión de una curva da una descripción de la curva que es más sutil de lo que aparentaba ser hasta aquí. El signo de T mide la orientación de la torsión de la curva. Si F invierte la orientación, la fórmula :¡: = - r nos demuestra que la torsión de la curva imagen F ( f3) es t'Xactamente opuesta a la de la misma f3. Cn ejemplo sencillo nos ayudará a entender esta inversión

z

4.3 EJEMPLO. Sea f3 la hélice de rapidez unitaria

f3 (s)

=

(

Figura 3.7

S sen -S, -S) , cos -, e

e

e

que tomamos el ejemplo 3.3 del capítulo II al poner a = b = 1; en con= ·../2. Por las fórmulas gFnerales de las hélices, sabemos que Sea a continuación R la reflexión en el plano xy, de manera que R es la isornetría R ( x, y, z) = ( x, :v, - z) . Por lo tanto, la curva

secuencia, e K

=

T

=

imagen

1.

j3

=

R ({3) es la imagm especular {3-( s )

=

( cos -S, sen S - , - -S) e

e

e

de la curva original. Podemos ver en la figura 3. 7 que el efecto del espejo es el habitual: f3 y j3 se tuercen en sentidos opuestos; si f3 es "de mano derecha", entonces j3 es "de mano izquierda". (El hecho de que f3 ascienda mientras que f3 desciende es en sí mismo irrelevante.) Para expresarnos formalmente, diremos que la reflexión R invierte la orientación; en consecuencia, el teorema nos predice que "K = K = } y que :¡: = - T = -1. Puesto que f3 es simplemente la hélice del ejemplo 3.3 del capítulo II, donde hemos puesto a = 1 y b = - 1, podemos verificarlo por medio de las fórmulas generales que dimos allí.

EJERCICIOS 1. Sea F = TC una isometría ele Ea y definamos f3 como curva de rapidez unitaria en E 3 . Demuéstrese que a) Si .!3 es hélice cilíndrica, entonces F ({3) es hélice cilíndrica.

b) Si la imagen esférica de f3 es F(f3) es C(f3).

p,

entonces la imagen esférica de

138

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

2. Sea Y= (t, 1 - t 2 ,

1+

t 2 ) un campo vectorial en la hélice

a(t) y sea

e

=

(cos t, sen t, 2t),

la transformación ortogonal

o 11v2

r;v2 Calcúlense a= C(oc) y y= C,.(Y), y \Trifíqucsc que

e rY') =

Y',

C.,. (a") =

a",

} 71 - " o

•n:

3. Trácense los triángulos en E" con vértices en

Hágase ver que los dos triángulos son congruentes al exhibir una isometría F que transforma 6. 1 en L'l.". (Indicación: La parte ortogonal de F no se altera al trasladar los triángulos.) E-'~ E" es un mapeo tal que F,:. conserva los productos escalares, hágase ver que F es una isometría. (Indicación: Aplíllucse el ejercicio 11 ele II.2.)

4. Si F:

5. Sea F una isometría de E 3 . Para cad': campo vectorial V, sea V el campo \Tctorial tal que F:(V(p)) = V(F(p)) para todo p. Demuéstrese que las isornetrías conservan las derivadas covariantes; rs decir, hágase ver que 'VvW = 'VvW.

S

Congruencia de curvas

En el caso de curvas en E 3 , la idea general de congrucne1a adguiere la forma siguiente.

5.1 DEFINICIÓN. Dos curvas a, [3: I ~ E 3 son congruentes cuando existe una isometría F de E 3 tal que f3 = F(a); es decir, que f3(t) = F(a(t)) para todo t en l. Desde el punto de vista intuitivo, las curvas congruentes son iguales \en todo, excepto su posición en el espacio. Represrntan viajes a la misma ·velocidad jwr trayectorias de la misma forma. Por ejemplo, la hélice a(t) = (cos, t, sen t, t) gira en espiral alrededor del eje de las z exacta-

CONGRUENCIA DE CURVAS

f39

mente de la misma manera ·en que gira la hélice f3 (t) = (t, cos t, sen t) alrededor del eje de las x. Es evidente que estas dos curvas son congruentes, puesto que si F es la isometría definida por

entonces F(a) = (3. Para decidir si dos cun·as dadas a y f3 son congruentes, no ·resulta práctico ir probando todas las isometrías ele E 3 para \·er si encontramos alguna que transforme a a en (3. Lo que queremos es una descripción de la forma de una curva de rapidez unitaria, cuya precisión sea tanta, que si a y f3 tienen la misma descripción, ello baste para afirmar que son congruentes. Sin duda, el lector ya sospecha que la descripción adecuada consiste en la curvatura y la torsión. Para demostrar esto, necesitamos establecer un resultado preliminar. Las curvas cuya congruencia se establece por medio ele una traslación se definen como paralelas. Por tanto, las curvas a, (3: I ~ E 3 serán paralelas si y sólo si existe un punto p en E' tal que (3(s) = a(s) + p para todo s en I, o, en nuestra notación funcional, (3 = a + p.

5.2 LEMA. Dos curvas a, (3: I ~E'; son paralelas si sus vectores de velocidad a'(s) y J3'(s) son paralelos para cada s en l. En este caso, si a(.1 0 ) = (3(s.a) para algún valor s0 en I, entonces a= J3. Demostración. Por definición, si a' ( s) y J3' (s) son paralelos, tienen las mismas coordenadas euclidianas. Por tanto, da --,-':. (S) as

= dj3 __':. (S J ds

para 1 < i < 3

donde a; y {3; son las funciones coordenadas euclidianas de a y (3. Pero, por resultados del cálculo elemental, la ecuación da;/ ds = dj3;/ ds implica que existe un valor constante jJ; tal que {3; = ai + p;. En consecuencia, fJ = a + p. Además, si a ( s 0 ) = (3 (s.a), deducimos que p = O; en consecuencia, a = (3.

1

5.3 J

Demostración. Para cualesquiera números a O y b =!= O, sea f3a,b la hélice especial que describimos en el ejemplo 3.3 del capítulo II. Si a es congruente con f3a,b, entonces (si cambiamos el signo de b, en caso de que resulte neces;:¡rio), podemos suponer que la isometría conserva la orientación. Por tanto, a tiene curvatura y torsión 7

= a~

b

+

b".

Supongamos recíprocamente que a tierw K y T constantes y distintos de cero. Al resolver la ecuación anterior, obtenemos

143

CONGRUENCIA DE CURVAS

a=

T

> +-ri •

b

Por lo tanto, a y f3a,b tienen la misma curvatura y torsión y, en consecuencia, son congruentes.

1

Hasta aquí, hemos pedido para nuestros resultados la condición de rapidez unitaria, pero esta restricción se debilita con facilidad:

5.6

Sean a, (3: 1 ~E·' curvas de rapidez arbitraria. Si

CoROLARIO.

0'

V =V,> a

¡J

y

T

= +r 13 ,

0

entonces las curvas a y f3 son congruentes.

Demostración. Sean a y jj reparametrizaciones de rapidez unitaria de = O. Puesto que a y (3 tienen la misma función de rapidez, concluimos inmediatamente que también poseen la misma función de longitud de arcos= s(t), y, por consiguiente, la misma función inversa t = t(s). Pero, debido a que a y (3, ambas basadas en, por ejemplo, t

y

deducimos de las definiciones generales de curvatura y torsión de la sección 4 del capítulo II que

K-(s) a

=

1
O.

Hágase ver {3, a menos. que se

K

6. (Continuación). Encuéntrense las dos isometrías que llevan la parábola a(t) = ( -f2t, t 2 , O) a la parábola f3(t) = ( -t, t, t 2 ) . 7. Si f3 es una curva ele rapidez unitaria en E', C'ntonces toda reparametrización de rapidez unitaria Si f3 y

ji son congruentes,

ji ele f3 tiene la forma ji (s) = f3 (-+- s + s0 ).

~sto representa una simetría ele la trayectoria

146

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

común de f3 y (3. Demuéstrese que las rutas helicoidales son completamente simétricas. Hágase ver explícitamente que la hélice f3 del ejemplo 3.3 del capítulo II es congruente con toda rcparametrización de rapidez unitaria, por medio del clescubrimirnto concrrto ele la isomctría F = TC tal que F(f3) = (5. a: 1 -ó> E" y ¡3: 1 -ó> E" tienen trayectorias co~gruentes cuando existe una isometría F tal que F (a) es reparametrización de (3. a) Hágase ver que las curvas de rapidez unitaria a y f3 tienen trayectorias congruentes si y sólo si existe un número s0 tal que Ka ( s) = K (Es +so) y •Js) = -+-, (Es + s0 ) , donde E es o bien +1, o 11 13 bien -1. b) Si a es la curva del ejercicio 2 de I I.4 hágase Hr que a y f3 = ( et, e-t /2, t) tienen trayectorias congruentes. Exhíbase la isometría F = TC y la rcparametrización que se requiere para satisfacer la definición. Los tres ejercicios siguientes se refiercn a curvas en E 2 .

8. Dos curvas

9. Dada una función cliferenciablet cualquiera K en un intervalo 1> elemuéstrese que hay una curva a ele rapidez unitaria en E 2 tal que K es la función ele curvatura ele a. (Indicación: Encuéntrese una fón~mla ele integral de a al invertir el orden ele los rrsultaclos del ejercicio 8 de II.3.)

1O. Encuéntrense curvas planas ---con cualquier parametrización convcniente- para las que a) K ( s) = 1 / ( 1 + s2 ), b) K(s) = 1/s (s > 0!, donde s es la longitud de arco. 11. Demuéstrese que dos curvas de rapiclrz unitaria y en E 2 son congruentes si y sólo si Ka = ±'B. 6

Resumen

El resultado básico ele este capítulo consiste en que una isometria arbitraria del espacio euclidiano se puede expresar de manera única como transformación ortogonal seguida de una traslación. Sus consecuencias principales son que el mapa ele derivadas ele una isometría F, en cada punto, es en esencia simplemente la parte ortogonal ele F, y que hay una isometría única que transforma un sistema de referencia dado en otro.

t Aun cuando K no sea más que continua, obtenemos una curva doblemente diferenciable. Podemos demostrar resultados parecidos con respecto a curvas de E 3 por medio de sistemas de ecuaciones diferenciales .ordinarias. Véase Willmorc [3}.

RESUMEN

147

De esta manerz1, queda reducida a una cuestión de rutinas la comprobación de los conceptos que definimos antes para descubrir cuáles de ellos pertenecen a la geometría euclidiana, es decir, cuúlcs conservan las isometrías del espacio euclidiano. Por último, demostramos una versión análoga para las curvas ele los muy conocidos teoremas acerca de triángulos de la geometría plana, de "lado-ángulo-lado'' y "lado-lado-lado." :\ saber, hicimos ver que la curvatura y la torsión (y la rapidez) constit~1yen una condición necesaria y suficiente para que dos curvas dadas sC'an congruentes. Además. vimos la manera de c:dcubr cxplícitanwntc la isometría que se rec¡merc.

CAPITULO

IV

en una superficie

Abriremos este capítulo con la definición de superficie en E 3 y con la descripción de algunas maneras estándar de construir superficies. Aunque este concepto es uno con el que estamos más o menos familiarizados, se sabe en medida mucho menor de lo deseable que cada superficie posee un cálculo diferencial y un cálculo integral que se comparan en un sentido estricto con el cálculo habitual del. plano euclidiano E". Los elementos ele este cálculo -funciones, campos vectoriales, forma:> diferenciales, mapeos- pertenecen estrictamente a la superficie, y no al espacio euclidiano E 3 dentro del que se ubica la superficie. Esto es tan así, que veremos en la última sección que este cálculo sobrevive intacto cuando eliminamos E" y dejamos solamente la superficie y nada más. Las superficies en E 3

En principio, una superficie en E 3 es un subconjunto de E 3 , es decir, una colección determinada de puntos de E 3 . Por supuesto, no todos los subcon juntos serán superficies: hemos de requerir, des cJe. luego, que las superficies sean lisas y bidimensionales. Las dos definiciones siguientes cumplen la tarea de expresar estos requisitos en términos matemáticos. 1.1 DEFINICIÓN. Una carta de coordenadas x: D de un conjunto abierto D de E 2 a E 3 .

~

E 3 es un mapeo

La imagen x(D) de una carta de coordenadas x -es decir, el conjunto de todos los valores de x- es un subconjunto liso y bidimensional de E 3 (figura 4.1). La regularidad (definición 7.9 del capítulo I) es, tanto en una carta como en una curva, una condición básica para que sean lisas: se aílaclc el requisito c;e ser uno a uno para evitar que x(D) se corte a sí misma. Además, con d fin de ahorrarnos algunas dificultades (ejemplo 1.71, cmpkarcmr;:; a veces cartas pro j;ias, que son bs cartas en bs que la función inversa x': x(D) -'>D es continua (es decir, que tiene funciones coordenadas continuas) . Si pens:m10s en D como una !á1+9

LiO

EL CÁLCULO EN UNA SUPERFICIE

z

V

X

Figura 4.1

nuna delgada de gom~l, obtendremos x(D) al dobLu· y estirar D df' una manera qw~ no sea excesivamente violf'nta. Para construir una definición adecuada de supf'rficic, partimos de la idea burda de que cualquier región sufitientemente jJequáía de una superficie M se parece a una región del plano E". La explicación anterior nos hace \·f'r que podernos dar más precisión a esta idea si decirnos: se puede exjJresar ¡\[ en la arcanía de cada uno de sus puntos como imagen de una carta jnojJÍa. ( CuZJndo la imagen de una carta x está contenida en Af, decirnos que x es carta dentro de Af.) Para obtener la forma definiti\·a de nuestra clcfinici{•n, sólo nos falta definir una vecindad ~77 de p en lvf corno el conjunto que consta de Af cuya distancia euclidiana de p es menor que un número E > O.

1.2 DFFTNICH.lN. Cna sufJerficie en E-' es un subconjunto Af de E" con la propiedad dt> que. para cada punto p dé' JJ, f"xiste una carta propia dentro ele Af cuya imagen contiene un;1 wcinclad ele p en lvf (figura 4.2). Las superficies con que nos hemos Í O) del plano xy. A medida que C gira, cada uno de los puntos ( q 1 , q", O) de e da lugar a una circunferencia completa de puntos

(q1, q" cos v, q" sen v) en M, Inversamente tendremos que un punto p sólo si el punto

para =

0 :S: V< 2.

(p 1 , p 2 ,

p3 ) está en A1 sz )'

e

está en (figura 4.7). Si la generatriz es e: f (x, y) = e, definimos uua función g en E'3 como g(x, y, z). = f(x, y'y"_-i-_:Z._"). Entonces, por la argumentación anterior, vemos que la superficie de revolución que resulta es exactamente Af: g ( x, y, z) = c. Por medio ele la regla de la cadena, no es difícil wrificar que dg no es nunca cero en A!, de manera que 1\1 es superficie. Las circunferencias en Af que cada punto de C genera, bajo revolución, se llaman paralelos ele ¡\J y las diferentes posiciones de a medida que gira cn rotación se llaman meridianos de AJ. Esta terminología proviene de la geografía de la esfera; sin embargo, la esfera no es superficie de revolución de acuerdo con la definición anterior. Su generatriz corta dos veces el eje de revolución, de manera que dos "paralelos" se reducen a simples puntos. Para simplificar los enunciados de los teoremas siguientes, emplearemos en cste caso una terminología ligeramente distinta; véase el ejercicio 12.

e

y

z Figura 4.7

156

EL CÁLCULO EN UNA SUPERFICIE

E:

D

1

-7r

1

V

1

1

7r

u

~

E'

ffi 1 1

A

Figura 4.8

En el ejemplo siguiente, destaca la necesidad de la condición de propiedad de las cartas de la definición 1.2. 1.7 EJEMPLO. Supongamos que doblemos una tira rectangular de latón de la manera que se ve en la figura 4.8, para formar un 8. La configuración M que resulta de ello no satisface nuestra idea intuitiva de lo que debería ser una superficie, puesto que, a lo largo del eje A, Af no se parece al plano E 2, sino a dos planos que se intcrsectan. Para e:>presar esta construcción en términos matemáticos, sea D el rectángulo -" < u < ,., O< u< 1 en E", y definamos x: D ~ E 3 como x(u, v) = (sen u, sen 2u, v). Se comprueba con facilidad que x es una carta, pero su imagen Af = x(D) no es una superficie: x no es carta jno j1ia. La continuidad falla en x- 1 : .H--'> D, puesto que, en un sentido amplio, para devolver A1 a D, x-1 debe desgarrar .M a lo largo del eje A (el eje de las z de E 3 ) . Según el ejemplo 1.6, el conocido toro de revolución T es una superficie (figura 4.19). Si trabajamos un poco más, podremos construir toros dobles de diversas formas, como se ve en la figura 4.9. Si añadimos "asas" y "tubos" a las superficies existentes, es posible ~por lo menos, en principio~ construir superficies con el grado de complejidad que se quiera (figura 4.10).

Figura 4.9

Figura 4.1 O

LAS SUPERFICIES EN E 3

157

EJERCICIOS

1. Ninguno de los subconjuntos siguientes ltf de E 3 es superficie. ¿En qué puntos p resulta imposible encontrar una carta propia dentro de M que cubra una vecindad de p en i\1? (Hágase un bosquejo de M; no es necesario dar las demostraciones formales.) a) El cono Af: z~ = x" + y 2 • b) El disco cerrado .M: x 2 +y~< 1, z =O. e) El plano doblado Af: xy =O, x >O, y> O. 2. Un plano en E:; es una superficie M: ax + by+ cz = d> donde es necesario que los números a, b, e no sean todos cero. Demuéstrese que es posible describir todo plano de E 3 por medio de una ecuación vectorial como la de la página 75.

3. Hágase un dibujo de la forma general de la superficie M: z = ax 2 + by 2 en cada uno de los casos siguientes: a) a> b >O e) a> b =O b) a > O > b d) a = b = O. 4. En los casos siguientes, ¿donde es el mapeo x: E 2 ~ E 3 una carta? a) x(u,v) = (u,uv,u). b) x(u,v) = (u 2 ,u 3 ,v). e) x(u, u) = (u, u 2 , v + v 3 ). d) x(u,v) = (cos2rru,sen2rru,u). Recuérdese que x es uno a uno s1 y sólo s1 x(u, v) = x(u1, v1) implica que (u, v) = ( u1, v1).)

5. a) Demuéstrese que Af: ( x 2 + y 2 ) 2 + 3z~ = 1 es superficie. b) ,;Para qué valores de e es .\f: z(z- 2) + xy =e superficie? 6. Determínese la intersección z = O del sillín de mono M: z

= f(x,y),

con el pbno xy. ¿En qué regiones del plano es ¿De dónde viene el nombre de esta superficie? 7. Sea x: D

~

f>

O? ¿Y

f < O?

E 3 un mapeo en el que x(u, v) = (x1(u, v), xz(u, v), Xs(u, v)).

a) Demuéstrese que un punto p = (p 1, p2 , p 3 ) imagen x (D) si y sólo si las ecuaciones

P1 = x1(u>u)

fiz = .cz(u,v)

P:~

de E 3 está en la

= X:o(u,v)

se pueden resolver para u y v, con (u, v) en D. b) Si para todo punto p en x(D) sucede que estas ecuaciones tienen solución única u= fl(pi,pz,h), v = fz(PJ,jJz,Ps), donde (u,v)

158

EL CÁLCULO EN UNA SUPERFICIE

están en D, demuéstrese que x es uno a uno y que x- 1 : x(D) se determina por la fórmub

8. Sra x: D

~E"

~

D

la función definida pm

x(u, v)

=

(u", uv, z·")

en el primer cuadrante D: u > O, u > O. IIágase \lT que x es uno a uno y encuéntrese una fómmla ele su función im·ersa x- 1 : x(D) ~D. Demuéstrese a continuación que x es una carta propia. 9. Sea x: E 2

~E·'

el mapeo

x(u, v) = (u

+

Demuéstrese que x es una carta superficie M: z = (x" -y") j4.

v, u - v, uv). prop~a,

y que la Imagen ele x es la

1O. Si F es isometría de E 3 y si Jvf es superficie en E'\ demuéstrese que b imagen F(M) es también superficie en E'. (Indicación: Si x es carta adentro de M, entonces la función compuesta F(x) es regular, puesto que F(x),,, = F,x,., de acuerdo con el ejercicio 12 de 1.7.) 11. La afirmación del ejercicio 1O conserva su validez cuando F es simplemente un difeomorfismo. Demuéstrese el siguiente caso especial: si F es difeomorfismo de E'3 entonces la imagen de la superficie M: g =e es Af: g =e, donde g = g(F- 1 ) , y M es superficie. (Indicación: Si dg(v) cFO en p de 111, hágase ver, por medio del ejercicio 9 de I.7, que dg(F.v) cF O.) es una función diferenciable y si f(x, y2 ) =e define una curva e del plano xy, entonces e es simétrica con respecto al eje de las X )' corta este eje una wz (si e es un arco) o dos veces (si e es cerrada). Demuéstrese que si e gira alrededor del eje de las X se obtiene una superficie "H en E 3 • Decimos que M es una superficie aumentada de revolución; si se eliminan los puntos comunes con el eje, se convierte en una superficie de revolución ordinaria (figura 4.11) .

12. Si

f

Figura 4.11

159

LOS CÁLCULOS EN LAS CARTAS

2

los cálculos en las cartas

En la sección 1, las cartas de coordenadas nos sirvieron para definir una superficie; consideraremos a continuación algunas propiedades de las cartas que se aplican con utilidad al estudio de las superficies. Sea x: D ~E" una carta de coordenadas. Si mantent'mos a u o a v como constantes en la función (u, v) ~ x(u, 1') se obtienen cun·as .• Tenemos explícitamente que, para cada punto (un, u 0 ) en D, en la cun·a

se llama curva u-jJaramétrica, v = v 0 , de x; y la curva v ~ x(uo, v)

es la curva v-paramétrica, u = u 0 (figura 4.12). Curvas v-paramétricas V

1

¡

(uo, Vo)

Vo

Curvas uparamétricas

(mn

Ea

--~-----4~-----·u

x(uo, vo)

Uo

V = Vo

Figura 4.12

Es así como la imagen x(D) queda cubierta por estas dos familias de curvas, que son imágenes bajo x de las rectas horizontales y verticales de D, y una cun·a de cada familia pasa por cada punto de x(D).

2.1

DEFINICIÓN.

Si x: D

~

E" es una carta, para cada punto ( u 0 , v 0 )

de D: 1) El vector de velocidad en u 0 de la curva u-paramétrica, v = v 0 , se denota por x, (u o, Vn) . 2) El vector de velocidad en v 0 de la curva v-paramétrica, u = u 0 , se denota por Xv (U o, V o) .

Figura 4.13

160

EL CÁLCULO EN UNA SUPERFICIE

Los vectores Xu (U o, v 0 ) y Xv ( u 0, v 0 ) se llaman velocidades parciales de en (u 0 , v 0 ) (figura 4.13). Por consiguiente, Xu y Xv son, en realidad, funciones en D cuyos valores en cada punto (u 0 , vo) son vectores tangentes a E' en x(u 0 , v 0 ). La intención con que se ponen los subíndices u y v es la de sugerir la diferenciación parcial. Si, en efecto, definimos la carta en términos de sus funciones coordenadas euclidianas por una fórmula como X

x(u, v) = (x1(u, v), xc(u, v), x"(u, v) ), entonces se desprende de la definición anterior que las funciones parciales de velocidad se definen por Xu

=

X = • v

(ax\ ~X2' ~" 3 ) OU OU Oll

X

(oxl a~ OX:l) . ov' ov' eu x

El subíndice x (que omitiremos con frecuencia) es recordatorio de que

xu(u, v) y xv(u, v) tienen como punto de aplicación x(u, v). 2.2 EJEMPLO. La carta geográfica en la esfera. Sea 2: la esfera de radio r > O centrada en el origen de E 3 . La longitud y la latitud de la Tierra nos sugieren una carta dentro de 2: muy diferente de la carta de 1fonge que nos sirvió para la :S de la sección 1. El punto x (u, v) de ~ de longitud u(-;;-< u funciones se v) =p+v3(u). Por lo tanto, todos los rayos pasan por el vértice p (figura 4.20). Hágase ver que la regularidad de x equivale a que tanto· v como 8 X 3' no ~can nunca cero. (Por consiguiente, el vértice nunca forma parte del cono.)

6. LTn cilindro es una superficie reglada con parametrización de la forma

x(u, v)

=

(3(u)

+

vq.

Por lo tan lo. aquí los rayos son todos p:1ralelos (figum 4.21). Demuéstrese que b rcgularidaq de x cqui\'ak a que (3' X q no sea nunca cero. Hágas~' ver que esta definición viene a generalizar el ejemplo 2.4.

LOS C.~LCULOS EN LAS CARTAS

167

q

Figura 4.20

Figura 4.21

7. Tenemos una recta L que se coloca ortogonalmente~ a un eje A (figura 4.22). Si lo se mueve a lo largo de A a medida que gira -ambas cosas con \ elocidad constante- entonces L genera un helicoide ll. Si A es el eje lk las ::, entonces z lf es im:-~gcn del m:1peo x: E"--'? E:: tal que

x

(u, u)

(u cos v, u sen u, bu) (lJ ccJ= 0).

a) Demuéstrese que x es una carta. b ) Dcscrílxmsc las CUl"\"as parámetro ele x. e) Exprésese el helicoide en forma implícita g = c.

A

(0, O, bv

L

8. al Ilágase ver que x: D--'? E' es un mapeo regular, donde Figura 4.22

x ( u, v) = (u cos "', u, sen u) en

D: u> O. b .1 Encuéntrese una función g y, z) tal que la imagen de x es la superficie M: g = O. e) Hágase ver que lvf es superficie reglada y trácesela. (Indicación: Trabájese a partir de la curva que constituye la sección de M con el plano y = l.) 9. Sea (3 una reparametrización de rapidez unitaria de la circunferencia u ni laria en el pbno xy. ( :Cmstrúyase una superficiP reglada de la manera siguit·ntc: cksplár·esc una recta lo a lo largo ele (3 ele modo que L Sl"a ;icmprr~ ortogonal al radio de b circunferencia y forme un ángulo com:tante .,¡4 con /3' (figur~~ +.23). a) Declúzcasc esta paramctrizacién de la supnficic reglada }vf que se obtiene: x(u, v) ="j3(u)

+

v((3'(u)

+

TJ;,).

168

EL CÁLCULO EN UNA SUPERFICIE

b) Exprésese explícitamente x en términos de v y las funciones coordenadas de (3. e) Dcdúzcase que Af queda dada implícitamente por la ecuación

xz

+

yz _ zz

1.

=

d) Verifíquese que si cambiamos el ángulo de -;o-/"'r a --;o'/4, se obtiene la misma superficie 1H. Por lo tanto, j',[ está doblcmcn.tc reglada. e) Trácese esta superficie Af ele manera que se ,-ean los dos rayos que pasan por cada uno ele los puntos (1, O, O) y (2, 1, 2). Una mperficie cuádriea es una superficie !\!: f!. = o para la cual en g 110 inten·icncn más c¡uc términos cuaclrCtticos en x1, x", X3; es decir,

u3 L

g

2: aijX;Xj + 2: b;x; +

=

c.

1,)

Figura 4.23

Si hacemos c>xcc>pción de los casos tri,·ialcs, hay solamente cinco clases ele superficies cuúdricas, que quedan representadas por las conocidas superficies de los o;iguientes tres ejemplos (,·éasc el teorema 2.2 ele la púgina 280 ele la obra de Dirkhoff y MacLane [2]). 1O. En cada uno ele los casos, i) demuéstrese que j f es superficie y hágase un bosquejo de su forma gcncr:-tl, ii) hágase ver que x es paramctrización y encuéntrese su imagen en A1.

,2

a) El elipsoide M: ·_ 2 '

a

v"

,z

b

e"

+' + -_ 2

=

1

x(u,v) = (acosucosv,bcosusenv,cscnu) en D: ---:c/2 b) El hiperboloide elíptico, Jf:

x" a"

y"

+ b"

x(u, u) = (e! cosh u cos v, b cosh u sen v,

G

=

en E 2 .

scnh u)

e) El hiperboloide elíptico (de dos mantos), M: x(u, v)

O,

es una pararnetrizac!ón que omite un solo punto de Af. b) Descríbanse las curvas parámetro de x en general, y dibújese esta superficie p:-tra a =. 1, b = 4, junto con algunas cun-as parámetro.

FUNCIONES DIFFRENCIABLES Y VECTORES TANGENTES

169

x" )'" 12. El j7araboloide hiperbólico, M: z = ,"~ a2 b2 a) I-Iágase ver que x: E 2 - ; . E" es carta propw que cubre por completo a AI, donde

x(u.v)

=

(a(u+z'),b(n-v),4uD).

~Iuéstrcse que 1\I es una supnficic dobkmcnte r;·gbda al expresar de nuevo x en forma n·glacla ele dos maneras difercn"tes. e) Lo mismo que el inciso ( b) del ejercicio 11.

b)

13. Sea Jf la superficie ck revolución que se obtiene cuanclo gira la curva t ____,. (g(t), h(t), O) alrededor del eje de bs x(h > 01. \.-erifíc¡uesc que a) Si ¡;' no es nunca cero, Af tiene una pararnctrización de la forma

x(u, u)

= (u, f(u)

cos z·, f(u) se!l v).

b) Si h' no es nunca cero, ¡\1 tiene una pararnctrización ck la forma

x(u,v) = (/(u),ucosv,uscnu). 3

Funciones diferenciables y vectores tangentes

Darnos comienzo aquí a una exposición acerca del c{tlculo en una superficie M en E 3 . El espacio E" se ir:C desvaneciendo gradualmente del cuaclro, hasta que llcr~ucrnos, como met:c final, a un cálculo intrínseco de JI. En general, el orden de los ternas será el mismo del capítulo I y harc·mos los cambios que resulten necesarios para aclaptar el cálculo del plano 1l \Tctor de v-elocidad en t = O ele la curva t ~ x(u 0 +te,,

Por lo tzmto, v, es tangente a Af en p.

''o+

te").

1

Se deduce razon:oblemcnte, sobre la b:l.'if' de bs propied:1cles gcr.eralcs de bs derivadas, que el pbno tangente 7'¡¡ ( c\1) es la aproximación lineal de la superficie Af en las inmediaciones de p. 3.7 DEFE\ICIÓN. Un campo vectorial euclidi~mo Z en una superficie 1\1 en E 1 es una función que asigna a cada punto p de A! un vector tangente Z(p) a E 3 en p.

-

...

Se dice que un campo vectorial euclidiano V en el que cada vector V(p! es tangente a A1 en p es camjJO 0·ertorial tangente en· lvf (figura 4.27). Es frecuente que se ddinan estos campos vectoriales, no en la totalidad de Af, sino solamente en una rcgión de 1\f. Como es habitual, siempre supondremos que hay difcrenciabiliclad (ejercicio 12). Un vector euclidiano z en un punto p de j f es normal a Af si es ortogonal al plano tangente Tp ("\1), y esto significa que es ortogonal a todos los vectores tangentes a Jf en p. Y diremos que un campo vectorial Z en Jf es campo z·cctorial normal en Af siempre que cada vector Z (p) sea normal a A1.

174

EL CÁLCULO EN UNA Sl:PERFICIE

Puesto que T 11 (Af) es un subcspz1cio bidiwcnsional c'c· 1'1,(E'), hay una sola dirección que es normal a 111 en p: Todos los \Tc1orcs normales z en p son colincales. Por tanto, si z no es cero. tenernos que Tr(.\f) consiste precisamente en los vctlurn de Tp(E'1 ) que son orto[!ona!e.l a z. Resulta particularml'nte fúcil trab:1jar con campos vectoriales tangentes y normales en una su¡rrfi,·ie dada en forma implícita.

3.8 LEMA. Si Af: g = e es una superficie en E', entoncr·s el campo vectorial gradiente Vg = 2: (cr;jc.Y; 1/": (que solanwntr· comicleramos en puntos ck .\fl es un campo vectorial qnc no se ;¡nula l'll la totalidad ele la superficie .~1. Demostracir!n. El gradiente no se anula (es decir, nunca \·ale cero) en i\f, pues, sr·gún el teorema 1.4. las clni,·acbs p;nciZlles 2r;/2.Y; no pueden ser simultáneamente cero en nin,'j"Íll1 punto de cH. Debemos hacer ver que (V g) ( p) •v = O para todo n·ctor tangente v a "H en p. Observemos en primer lugar que si a es una cun·:: en },J entonces g(a) = g(rc¡, ac, aJ tiene el Yalor constante c. En consecuencia, por la regla ele la cadena,

:¿

ag

dn:i

(a) ---=O. dt

Tomemos a continuación a con la velocidad inicial

a'(O)

=V=

(v1,

Vz,

v3)

en a(O) = p. Entonces, -;e ycrifica que ' dr;¡

((r(O))

dt

(O)

"Q

= ...::.

(p) v; = (Vg) (p) •v =O.

3.9 EJEMPLO. Campos \-cctorialcs en la csfer;¡ 2: g lema nos hace H'l' que X = } V g = :¿X¡ l. i

= ~ x;" =

1 r-. El

es un campo vectorial nonn:1l ::S (figura 4.2tl). Esto es ¡·,·iclente desde el punto ele vista geométrico, puesto que X ( p) = ~ /Ji C; ( p) es el wctor p

FUNCIONES DIFERENCIABLES Y VECTORES TANGENTES

175

¡cuyo punto de aplicación es p! De un comentario anterior se desprende que Vp rs tangente a ~ si y sólo si el producto punto v 1¡pp = v·p es igual a cero. De la misma manera, un campo vectorial V en :S: es campo vectorial tangente si y sólo si V•X = O. Por ejemplo, V(p) = (- jJ~, jh, O) define un campo vectorial tangente en ~ que opunta "hacia d este" y se anula en los polos nortc y sur (O, O, -+- r) . Con\·icne que imistamos en que solamente los campos vectoriales tangentes en A1 pertenecen al mismo cálculo de lv!, puesto que se deducen, en últin1a instancia, de las curvas que también están en Af í definición 3.5). Desde luego, rsto no es lo que succc!e con los campos vectoriales normalc.;. Sin embargo, como veremos en el capítulo siguiente, los c;m1pos vectoriales normalrs resultan de gran u1 iliclacl al Figuro 4.28 estucliar Af desde el punto de vista ele un observador situado en E". Por último, vamos a adoptar la idea ele derivada direccional a una superficie. La clcfinici6n 3.1 del capítulo I se volc ele bs rectas en E 3 ; por esta razón, vamos a empkor la formulación menos exigente que se basa cn el lema 4.6 del capítulo I. 3.10 DJ:FINrcrÓN. Sea v un \Tctor tanr;-r·nü· :t Af en p, y sea f una función en Af. cliferenciable y ele vZ~lorcs n:·Z~les. La derivada v[f] de f con resjJecto a v l'S el valor común de (rl/dt) (fa) (O) para todas las curvZ~s o: en Af que tienen la velocidad inicial v.

Las derivadas direccionales en una superficie tirnrn exactamente las mismas propiedades de linealidad y ele Leibniz quc las del caso euclidiano (teorema 3.3 del capítulo I).

EJERCICIOS 1. Sea x la carta geográfica de la esfera 2: (ejercicio 2.2.) Encuéntrese la expresión en coordenadas f (x) de las funciones siguiente9 en ~: a) f(p) = /h" + jJ/, b) f(p'! = (f!t- f!e)" + jJJ 2 •

2. Sea x la parametrización del toro del t,jemplo 2.6. a) Encuéntrense: las coorclenadas euclidianas ,cr 1 , a 2 , a:l ele la curva a(t) = x(t, t). b) Hágasc ver que a es periódica, y encuéntrese su período (véase la pág. 31).

176

EL CÁLCULO EN LTNA SUPERFICIE

3. a 1 DPmuéstrese el corolario 3.4. b) Drdúzcase la "regla de la cadena"

Cu Yv = ;:.;··

oLJ

2V

+ ;.;-· Xv uZJ

Xu

donde se evalúan Xu y Xv en (u, ü) . e) Dcdúzc1sr que Yu X Yr = Jx" X x,._, don ele mapeo x- 1 y = (u, ü) : D ~ E 2 .

J

es el jacóbiano del

4. Sea x una carta dentro de Jo,f. a) Si x,, es el mapa ck dcri\·aclas de x (1.7), verifíc¡urse que

clondc U,, U 2 es el campo natural de sistemas de referencia en E 2 . b) Si f es una función diferenciable en A1, demuéstrese que

a

x,.[fl

Xu[f] =;;- (f(x))

a

= ---

Oc'

()/!

5. Demuéstrese que: a) ves tangente a Al: z

., -

( ;', -

~~

~-

=

(f(x)).

f(x, y) en un punto p de .M sr y sólo sr

(, j'; 1' fJ :2 !. . ,1 L

+ -e/-

(JJ ] ' i" ) .,0 2• J:_!

(,\

b\

SI x es una carta dentro de una superficie arbitraria Af, entonces ves tangente a Af en x(u, v) si y sólo si

V'X 11

(u,v) X xv(u,v) =O.

6. Sean v y y las cartas en la esfera unitaria :S que se definen en el 1 por disco unitario D: u 2 + v2


en 111 es una función en los vectores tangentes z1 ;\1, ele valores reales, que es lineal en cada punto (definición 5.1 del capítulo I). No dimos la definición prcci:;a ele la:s 2-forma en el capítulo I, pero lo haremos en seguida. Una 2-Iorma será una analogía bidimensional de una 1-forma: una función de valores reales, definida no en \Tctorcs tangentes aisl~clos, sino en pares ele vectores tangentes. (En este contexto, entenderemos siempre por el término "pnr" c¡m: los \TCtores t:mgentes tienen el mismo punto de aplicación.) 4.1 DEFINICIÓN. Una 2-forma ?] en una superficie JI es una función ele valores reales, definida en todos los panes ordcnZldos de \-cctorcs tangentes v, w a 1\1 tal que 1) ?J(v, w) es lineal en v y en w 2) r¡ (V, W) -?] ( W, VJ . Puesto que una superficie es bidimensional, todas las p-f ormas en que son cero, por definición. Graci:ts a esto, se sim;1Iifim consiclcrablcmcntc la teoría de las formas diferenciales en una superficie. Al final de esta sección, haremos Ycr que nuestras nuc,·as definicinnes son consecuentes con la exposición informal del capítulo I, sección 6. Las formas se suman de la maner;:¡ ]¡;¡bitual, es decir, punto por punto; solamente se suman las forma::: que tienen el mismo grado f! = O, 1, 2. Así como cv;1luábZ1mos una l-form:1 ~~, en un CZlntpo \T::torial V, C\"~thwremos aquí una 2-forma ?) en un par de CZ1mpos vcctori;,]cs, V, H', con el fin de obtener una función ele valores reales ?] (V, TV) clcfinidZl en la superficie Af. Por supuesto, siempre supondremos que las formas con que trabajamos sol1 diferencia bies; es decir, que convierten campos vectoriales ( clifr~renciab!cs) en funciones difcrcuciablcs. :\ckiértase que la regb de alternación ( 2) de la cldinición 4.1 implica que jJ

>2

r¡(v,v) =O para cualquier vector tangente v. Esta regla también nos enseiía que las 2-form;¡ se rebcionzm con los cletcrrninm1tcs. 4.2 LEMA. Sea r¡ una 2-forma en una superficie ltf, y sean v y w vectores tangentes (lineZllmente independientes) ten un punto de JI. Entonces,

]a ?]

(av -1- bw, cv -1- dw)

b

1 1

!e

dr

1

r¡lv w) \

'

Demostración. Puesto que r¡ es lineal en su primera \·:trialJle, su valor en el par ele vectores t;¡ngen1:cs av -1- bw, cv -1- dw es m¡ r v -:- dw) -1-

180

EL CÁLCULO EN UNA SUPERFICIE

b '7 ( w, cv + rlw) . ,\1 nplicar la linealicbcl de r¡ en su segunda variable, obtenemos ac17(v,v) + ad1¡(v,w) + bcr¡(w,v) + bdr¡(w,·w). Entonces. la regla de alternación (2) nos da r¡(av

+

bvr", cv

+

dw) = (ad- be) 17(v, v;).

1

Por lo tanto, los valores de una 2-for;na en todos los pares de vec.tores tangentes en un punto quecbn con1pletamente determinados por su valor en un par que sea linealmente indcpendiente. Aplicaremos este colllentario con frecuencia en el trabajo posccrior. En todos sus contextos, bs fonnas diferenciales cumplen con algunas propiedades generales, que cstz:blecimcs (por lo menos, en p~utc) en el c:apítulo I, con rc·spccto a bs formas en E-3 . Para empezar, dirernos que el producto tilde de vna jJ-forma y una q-forma es siempre una (p + r¡) -forma. Si jJ o si q Y:llcn cero, el producto tilde se convierte simplemente en la multiplirrJción habitual por un:1 función. En una superficie, el producto tilde es siempre cero si f' + q > 2. Por lo tanto, necesitaremos la definición sobmente del caso p = q = 1.

4.3 DEFINICIÓ;'\!. Si cp y '1 son 1-formas en una superficie A1, el producto tilde

(v) ¡f;(w) - cf>(w) IL'(v)

para todos los pan:s v, w ele vectores tangentes a 111.

Hay que alh·ertir que ~) 1\ y es realmente una 2-forrn:l en JI, puesto que es una función c:e y;:dores reales definida en todos los pares de vectores tangentes, y satisface las condiciones de b definición 4·.1. El producto tilde tiene todas las propicclacles algebraicas a que estarnos acostumbrados, con la excepción de la. conmut:1 tividacl; en general, si ~ es una p-forma y si YJ

o."S

una q-forma, entonces ~ 1\ 1)

En una superficie, el único signo de menos ocurre en b multiplicación de 1-forma, donde, como en el capítulo I, tenernos que 4> 1\ y = -y· 1\ cj>. El cálculo diferencial de las formas se Lasa en la derivada ext.erior d. En una O-forma (función) f en una superficie, la derivada exterior será, corno era una 1-forma en JI. Si x y y son cart:1s dentro de Af, entonces d"'' = d 1 ó en el tra:dapamicnto de x(D) y y(E).

Demostración. Puesto que Ya y y,~ son linealmente indcpcnclientcs en cada punto, resulta suficiente, según el lema 'l.2, exhibir que

(dy1>) (Yu,Yv) = (d,j>) (Yu,Yv)· Ahora bien, escribiremos, como lo hicimos en el corolario 3:+, y = x (u, ZJ), y, como en un ejercicio anterior, cleclucirenJos por la regla de la cadena que C!ü cü X - Xu -J.Vu =au GU \ ( 1)

Cii

Yr ="

Xu

Ui}

+

2.:: --X Ov "'

donde Xu y Xv se evalúan, ele aquí en adelante, en ( ú, v). Entonces, al tomar en cuenta el lema 4.2, (2) donde J es el jacobiano (2u jo u.) ¡ (- (( lt ¡ 2,. \ (ZZ:i!u). Por lo t;lllto, a partir de la definición 4.4, se ve con claridad que, para demof'trar la. igu:dclad (d yT 1 son cero, y s1 rp es una 1-forma, entonces rp = rp(Ul) dt.

184

LL CÁLCULO EN UNA SUPERFICIE

En los ejercicios irán apareciendo algunos ejemplos de formas; sin embargo, tendremos que trabajar naturalmente con muchas más en los capítulos VI y VII, donde sus propiedades tienen un sentido geométrico directo. EJERCICIOS

rp y ,¡; son 1-forma en una superficie, demuéstrese que cp - if¡ A rf>. Dedúzcase de ello que rf> A rf> ~ O.

1. Si

/1.

,¡;

=

~) con la propiedad ele que dq, = O es cerrada. Una forma 1' tal que q> = r/,~ --donde ~ es una forma- es exacta. (De esta m;:mera, si e¡, es una jJ- forma, $ scrú necesariamente una (j! - 1) -forma.) Demuéstrese que a) Toda forma exacta es cerrada. b) l'\o hay ninguna O-forma que sra exacta, y, en una superficie, toda 2-forma es cerrada. e) Las funciones constantes son O-forma cerradas.

2. Se dice que una forma

3. Demuéstrense las fórmulas de Leibniz d ([1>) = df A cp

d(fg) =dfg+fdg

+

f drf>

donde f y g son funciones en lvf y rf> es una 1-forma. (Indicación: Por definición, (fcp) (vi') = f (p) q> ( v¡¡) ; en consecuencia, al evaluar fr/> en Xu, se obtiene f(x)cp(xu) .) 4. a) Demuéstrense las fórmulas ( 1) y ( 2) del ejemplo 4. 7 por medio del comentario anterior al ejemplo 4.7. (Indicacir!n: IfCtgase ver que

(du 1 du 2 ) (U 1 , U") =l.) b) Dedúzcanse las fórmulas restantes por mrclio ele las propiedades ele d y del producto tilde.

5. Si f es una función en una suprrficic de valores reales, y sr g es una función en la recta real, demuéstrese qne Dedúzcase que

d(g(f))

=

g'(f) df.

6. Si f, g y h son funciones de una superficie 1\1, y si cp es una 1-forma, demuéstrese que: a) rl(fgh) = gh df + fh dg + fg dh, b) d(rpf) =fds',-1,Adf (q,f=fcp), e) (df A dg) (v, w) = v[flw[g]- v[g]w[fJ.

7. Supongamos que "H quede cubierta por los conjuntos abiertos CU 1 , y que se haya definido una función en cada r¡ [;, denotada

185

Mc\PEOS DE SUPERFICIES

por fi, con la propiedad de que fi - fi sea constante en el traslapamiento de Q[i y Q[j. Hágase \"Cr que hay una 1-forma