Un Curso De Geometria Diferencial

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CSIC

Un curso de

Geometría Diferencial María de los Ángeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González

Textos Universitarios • 47 La Geometría Diferencial es una disciplina presente en el núcleo central de todos los estudios de Matemáticas, así como una herramienta básica en el desarrollo de otras ciencias, como Física, Biología, Arquitectura e Ingeniería; asimismo, está íntimamente ligada a los estudios de Cartografía y Geodesia para la representación geométrica de la Tierra. En este libro se presenta Un curso de Geometría Diferencial sobre curvas y superficies, enfocado a satisfacer las necesidades de los estudiantes, tanto de grado como de máster, que requieren de esta disciplina para consolidar su formación. Conscientes de que para el estudio de la Geometría Diferencial son necesarios conocimientos previos y un cierto grado de madurez científica, los autores han elaborado un texto con una clara pretensión didáctica, empleando un lenguaje directo y sencillo, con el desarrollo de demostraciones detalladas y, finalmente, con una exhaustiva relación de problemas (incluyendo la resolución de éstos y el uso de un software específico). Se ha procurado, asimismo, abarcar los contenidos habituales en los cursos de Geometría Diferencial, sin olvidar aquellos otros temas directamente vinculados con ella. El estudiante y el especialista en la materia tienen así en estas páginas una buena herramienta para el aprendizaje y el análisis de esta singular rama de las Matemáticas, verdadero puente que comunica y relaciona disciplinas como la Topología, el Álgebra y el Análisis.

ISBN 978-84-000991-54-5

María de los Ángeles Hernández Cifre José Antonio Pastor González

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Un curso de

Geometría Diferencial María de los Ángeles Hernández Cifre José Antonio Pastor González

Geometría Diferencial

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Un curso de

Cubierta GeometrA??a Diferencial.qxd:Cubierta Geometría Diferencial

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Petro Plancio, Orbis terrarum de integro multis in locis emendatus, 1594.

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Geometría Diferencial

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María de los Ángeles Hernández Cifre José Antonio Pastor González

Un curso de

Geometría Diferencial Teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador

CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTÍFICAS MADRID, 2010

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Reservados todos los derechos por la legislación en materia de Propiedad Intelectual. Ni la totalidad ni parte de este libro, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en manera alguna por ningún medio ya sea electrónico, químico, mecánico, óptico, informático, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo por escrito de la editorial. Las noticias, los asertos y las opiniones contenidos en esta obra son de la exclusiva responsabilidad del autor o autores. La editorial, por su parte, sólo se hace responsable del interés científico de sus publicaciones.

Catálogo general de publicaciones oficiales: http://publicaciones.060.es

© CSIC © María de los Ángeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González ISBN: 978-84-00-09154-5 NIPO: 472-10-158-2 Depósito Legal: M. 34.552-2010 Ediciones Doce Calles, S. L. Impreso en España - Printed in Spain En esta edición se ha utilizado papel ecológico sometido a un proceso de blanqueado ECF, cuya fibra procede de bosques gestionados de forma sostenible.

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A Salvador, nuestro Maestro, quien nos mostr´o la belleza de la Geometr´ıa Diferencial

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Sumario Pr´ologo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Terminolog´ıa b´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Cap´ıtulo I Curvas en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1. Curvas parametrizadas. La longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.1. El cambio de par´ametro y la longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2. Teor´ıa local de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.1. La curvatura y el diedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.2. Teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas planas . . . . 34 1.2.3. Evolutas, involutas y curvas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.2.4. Comparaci´on de dos curvas en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3. Teor´ıa local de curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.1. La curvatura, la torsi´on y el triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.2. Teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas en R3 . . . . 43 1.4. Teor´ıa global de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.1. Curvas convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.4.2. La desigualdad isoperim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Cap´ıtulo II Las superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1. Definici´on de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.1. Criterios pr´acticos para la determinaci´on de superficies . . . . . . 64 2.1.2. Propiedades de las superficies regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1.3. El cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2. Funciones diferenciables definidas en superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.1. Aplicaciones diferenciables definidas entre superficies . . . . . . . 75 2.2.2. Difeomorfismos entre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3. El plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.4. La diferencial de una aplicaci´on entre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.4.1. La diferencial de una funci´on real sobre una superficie . . . . . . . 81

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Sumario 2.4.2. La diferencial de una aplicaci´on entre superficies . . . . . . . . . . . 83 2.5. La primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5.1. Aplicaciones de la primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . 90 Midiendo longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Midiendo a´ ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Midiendo a´ reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Cap´ıtulo III El teorema Egregium de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.1. Orientaci´on de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.1.1. Otra forma de estudiar la orientabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.2. La estructura compleja de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.1.3. Bases positivas y negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.1.4. Sobre la orientabilidad en este texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.2. La segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3. La aceleraci´on de una curva: curvaturas geod´esica y normal . . . . . . . . . 113 3.3.1. La curvatura geod´esica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3.2. La curvatura normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3.3. Interpretaci´on geom´etrica de la curvatura normal . . . . . . . . . . . 115 3.4. Las curvaturas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1. Puntos umbilicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.5. Expresi´on local de II p , K y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.6. La geometr´ıa de la curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.7. Isometr´ıas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.8. El teorema Egregium de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.8.1. Las f´ormulas de Gauss y de Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.8.2. Ecuaciones de compatibilidad. Teorema Egregium de Gauss . . 138 3.9. Aplicaciones conformes e isoareales. Cartograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Cap´ıtulo IV Integraci´on en superficies. Las superficies minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.1. Una aproximaci´on intuitiva al concepto de a´ rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2. Integraci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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Sumario 4.3. Las superficies minimales: un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.4. Las distintas definiciones de superficie minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4.1. Las superficies minimales como puntos cr´ıticos del a´ rea . . . . . 166 4.4.2. La aplicaci´on de Gauss de una superficie minimal . . . . . . . . . . . 169 4.4.3. Parametrizaciones isotermas en superficies minimales . . . . . . . 170 4.5. Los primeros ejemplos de superficies minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Cap´ıtulo V Geod´esicas en superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.1. La derivada covariante y el transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.1.1. Campos de vectores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.1.2. El transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.2. Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.2.1. Existencia y unicidad de geod´esicas en una superficie . . . . . . . 188 5.2.2. La curvatura geod´esica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.3. La aplicaci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.3.1. El lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.3.2. Las coordenadas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.3.3. Las coordenadas geod´esicas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Cap´ıtulo VI El teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1. El teorema de Gauss-Bonnet (versi´on local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1.1. El a´ ngulo de rotaci´on de una curva plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 El a´ ngulo de rotaci´on de una curva plana regular . . . . . . . . . . . . 217 El a´ ngulo de rotaci´on de una curva plana regular a trozos . . . . 219 6.1.2. Holonom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Introducci´on: una peque˜na historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 La geometr´ıa de la holonom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Una aplicaci´on: el p´endulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.1.3. La curvatura geod´esica en una parametrizaci´on ortogonal . . . . 226 La curvatura geod´esica de las curvas coordenadas . . . . . . . . . . . 226 La curvatura geod´esica de una curva arbitraria . . . . . . . . . . . . . . 227

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Sumario 6.1.4. El teorema de Green en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.1.5. El teorema de Gauss-Bonnet (versi´on local) . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.2. El teorema de Gauss-Bonnet (versi´on global) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.2.1. Triangulaciones. La caracter´ıstica de Euler-Poincar´e . . . . . . . . 232 6.2.2. El teorema de Gauss-Bonnet (versi´on global) . . . . . . . . . . . . . . 234 6.3. Consecuencias del teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.3.1. Una aplicaci´on a la Geometr´ıa cl´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Cap´ıtulo VII Geometr´ıa Diferencial global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.1. Las f´ormulas de variaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.1.1. La primera f´ormula de variaci´on para la longitud de arco . . . . . 249 7.1.2. La segunda f´ormula de variaci´on para la longitud de arco . . . . 253 7.2. Completitud. El teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.2.1. Distancia intr´ınseca en una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7.2.2. El teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Algunos resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 El teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Consecuencias del teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.3. El teorema de Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.3. El teorema de rigidez de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Ap´endice Pr´acticas con Mathematicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Ap´endice A: Curvas. Pr´acticas con Mathematicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A.1. Geometr´ıa diferencial de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A.1.1. La curvatura de una curva plana y la longitud de arco . . . . . . . . 285 A.1.2. Representaci´on gr´afica de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 A.1.3. Algunos ejemplos de curvas planas cl´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . 286 A.1.4. Gr´aficas de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 A.1.5. Generaci´on din´amica de algunas curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 A.1.6. Evolutas y curvas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 A.2. Geometr´ıa diferencial de curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

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Sumario A.2.1. Representaci´on gr´afica de curvas alabeadas . . . . . . . . . . . . . . . . 294 A.2.2. El triedro de Frenet, la curvatura y la torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . 295 Ap´endice B: Superficies. Pr´acticas con Mathematicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 B.1. Ejemplos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 B.1.1. Superficies de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 B.1.2. Superficies no orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 B.1.3. Superficies minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 B.2. La curvatura de gauss y la curvatura media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 B.3. Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Ap´endice C: Soluciones a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Soluciones a los ejercicios del Cap´ıtulo VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 ´Indice terminol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

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´ Prologo Aceptar la realizaci´on del prefacio de una obra como e´ sta supone una ´ıntima satisfacci´on producto de la generosidad de sus autores, a quienes conozco desde hace a˜nos y de quienes s´olo puedo tener palabras de agradecimiento por la deferencia con que me han obsequiado. Intentar´e corresponderles de la mejor manera que s´e: haciendo un juicio tan imparcial y objetivo como el libro merece. ´ Los doctores Mar´ıa de los Angeles Hern´andez Cifre y Jos´e Antonio Pastor Gonz´alez, primero investigadores y docentes en Geometr´ıa Diferencial y ahora autores de Un curso de Geometr´ıa Diferencial (teor´ıa, problemas, soluciones y pr´acticas con ordenador), a pesar de su juventud, ya gozan de un merecido reconocimiento en sus a´ mbitos de trabajo. Puesto que les triplico en el tiempo dedicado a estos menesteres universitarios, ellos pensaron que ser´ıa una buena raz´on para que les diera mi visi´on sobre su obra, es decir, quer´ıan contrastar mi larga experiencia con la suya, sobre todo, supongo, por los muchos textos que sobre esta materia han pasado por mis manos y cuyo contenido he evaluado en aras de lograr los mejores resultados docentes. Y, en efecto, as´ı ha sido, pues el campo de la Geometr´ıa Diferencial, quiz´a el de mayor reconocimiento internacional de la matem´atica espa˜nola, ha tenido un desarrollo espectacular en las u´ ltimas tres d´ecadas y quienes participamos activamente en la forja del e´ xito que ahora disfrutamos apenas dispon´ıamos del ((libro de tapas negras)) del profesor Vidal Abascal. La llegada a nuestras manos de la obra del profesor Do Carmo fue un acontecimiento tan excitante, como novedoso y eficaz, una especie de ruptura temporal que marc´o un antes y un despu´es en la ense˜nanza de la Geometr´ıa de las Curvas y Superficies. Un hito, digamos, que perdura en nuestros d´ıas y que sigue siendo referencia obligada para nuestros estudiantes. Despu´es vinieron otras obras, como la excelente de Montiel y Ros, y otras muchas, producto de la gran vitalidad de este campo. Con todo, se hac´ıa dif´ıcil una nueva incursi´on en esta empresa, un reto, dir´ıa yo, pero el amor por la docencia y el trabajo bien hecho, unido a una fe ciega en lograr un producto final de calidad contrastada y suficientemente original, han conducido al e´ xito. Se trata de una obra sobre curvas y superficies, que no pretende ni m´as ni menos que eso, pero vistas desde un escal´on superior: la geometr´ıa de Riemann. Existen muchos y buenos libros sobre esta materia, la mayor´ıa citados por los autores, pero como e´ ste es muy especial y, sin duda, se encuentra entre los mejores, me limitar´e a destacar los aspectos m´as novedosos que introduce y que resumo en siete puntos. El concepto de superficie minimal, tanto desde el punto de vista te´orico como aplicado, as´ı como por la gran actividad investigadora que genera, es de suma 15

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importancia y as´ı lo han entendido los autores, que han tratado, extensamente y con esmero, al final del cap´ıtulo 4. La propiedad minimizante de las geod´esicas (teorema 5.3.9) es otro detalle muy cuidado y digno de ser resaltado, pues la demostraci´on suele quedar muy oscura, si no eliminada, en la mayor´ıa de los textos. Aqu´ı se ha atacado con valent´ıa y resuelto con mucha destreza. La holonom´ıa (6.1.2) es la sorpresa m´as deliciosa del texto. En efecto, la experiencia docente e investigadora de los autores les permite considerar este concepto, as´ı como sus implicaciones geom´etricas y aplicaciones, con una naturalidad y soltura que a buen seguro servir´a de disfrute a los lectores. El Teorema de Gauss-Bonnet est´a muy bien tratado y sus consecuencias (6.3) nos introducen de lleno en la belleza misma del resultado, que no es otra que la propia de la Geometr´ıa. El u´ ltimo cap´ıtulo, la Geometr´ıa Diferencial Global, no tiene desperdicio alguno, pues es donde se aprecia la potente herramienta del binomio Geometr´ıaTopolog´ıa para lograr los resultados m´as redondos que uno puede encontrar en el universo matem´atico. La mejor forma de que la materia ((entre por los ojos)) es hacer que el estudiante vea los objetos que est´a considerando y clasificando y que sobre las gr´aficas analice sus propiedades. Para lograr ese objetivo los autores han elegido el programa Mathematicar , y sobre e´ l han construido unas pr´acticas muy bien dise˜nadas y u´ tiles para que el lector visualice todo lo estudiado y que al mismo tiempo le den libertad para ejercitar su imaginaci´on con sus propios proyectos. La colecci´on de ejercicios es la guinda que corona el pastel. Jam´as se ha visto un texto de estas caracter´ısticas con todos los ejercicios resueltos. ¡Qu´e suerte la de los estudiantes que llegan ahora! Es f´acil adivinar las alabanzas que dedicar´an a los autores. En resumen, un excelente trabajo que muy pronto dar´a sus frutos y que perdurar´a en la mente de los matem´aticos del futuro. Obras como esta, que ((hacen Matem´atica)) y crean vocaciones, bienvenidas sean. No comenzar´e felicitando a los autores, pero s´ı a la Direcci´on de Publicaciones del CSIC, por el acierto de su nueva pol´ıtica editorial y de la selecci´on de esta obra. ´ Tambi´en al Area de Geometr´ıa y Topolog´ıa del Departamento de Matem´aticas de la Universidad de Murcia, quienes comparten el caf´e de las once con los doctores Hern´andez-Cifre y Pastor, pues seguro que este libro ((huele un poquito a expreso)). Y muy especialmente a los estudiantes, ya f´ısicos, ya ingenieros, ya arquitectos, ya bi´ologos, ya cualesquiera que sean, pues enseguida apreciar´an ((la Geometr´ıa bien hecha)). Mi felicitaci´on a los autores ir´a a trav´es de ellos. M ANUEL BARROS D´I AZ Catedr´atico de Geometr´ıa y Topolog´ıa Universidad de Granada 16

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´ Introduccion Para m´ı no hay emoci´on o satisfacci´on comparable a la que produce la actividad creadora, tanto en ciencia como en arte, literatura u otras ocupaciones del intelecto humano. Mi mensaje, dirigido sobre todo a la juventud, es que si sienten inclinaci´on por la ciencia, la sigan, pues no dejar´a de proporcionarles satisfacciones inigualables. S EVERO O CHOA

La Geometr´ıa Diferencial es una disciplina presente en el n´ucleo central de todos los estudios de Matem´aticas, as´ı como una herramienta b´asica en el desarrollo de otras ciencias, como F´ısica, Biolog´ıa, Arquitectura e Ingenier´ıa. En este libro presentamos un Curso de Geometr´ıa Diferencial de Curvas y Superficies, que es el resultado de nuestra experiencia en dicho campo como docentes e investigadores. Para el estudio de esta disciplina se requiere un cierto grado de madurez cient´ıfica. Un primer aspecto a tener presente son los prerrequisitos de la asignatura: Topolog´ıa, ´ C´alculo, Algebra y Ecuaciones Diferenciales fundamentalmente. Conscientes de esta situaci´on y de estos requerimientos previos, hemos pretendido elaborar un texto lo m´as did´actico y autocontenido posible, dentro de nuestras competencias como profesores de Geometr´ıa y Topolog´ıa. As´ı, con un lenguaje claro, directo y sencillo, con el desarrollo de demostraciones detalladas y, finalmente, con una exhaustiva relaci´on de problemas (incluyendo tambi´en la resoluci´on de e´ stos y el uso de un software espec´ıfico como instrumento para ayudar a comprender muchos de los contenidos), pensamos que el estudiante tiene en este libro una buena herramienta para encarar el aprendizaje de esta singular rama de las Matem´aticas, verdadero puente que comuni´ ca y relaciona diferentes disciplinas como la Topolog´ıa, el Algebra y el An´alisis. En relaci´on a los contenidos, hemos tenido que resolver el compromiso entre abarcar el mayor n´umero de t´opicos posibles por un lado y, por otro, desarrollar con suficiente claridad y detalle cada uno de los temas tratados. Creemos haber encontrado un equilibrio m´as o menos razonable: los contenidos son los est´andares en la mayor´ıa de los cursos de Geometr´ıa Diferencial, y los t´opicos cuyos desarrollos, por diversas razones, no han tenido cabida en el libro, son nombrados e interrelacionados con los que s´ı aparecen. Adem´as, para estos temas proporcionamos una extensa bibliograf´ıa con objeto de satisfacer a los estudiantes m´as avanzados. Este curso se inspira en los dos mejores libros, a juicio de los autores, sobre Geometr´ıa de Curvas y Superficies que existen editados en castellano: el cl´asico libro de do Carmo [12] y el original Montiel y Ros [28]. Estos dos textos son radicalmente 17

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distintos: el primero, mucho m´as longevo, ofrece un tratamiento cl´asico de la mayor parte de problemas (decimos cl´asico, aunque en su momento fue evidentemente novedoso). Se trata de un texto enfocado al alumno de nivel medio y hace referencia continuamente a aspectos y temas no contenidos expl´ıcitamente en el libro (resultados sobre ecuaciones diferenciales y t´opicos sobre topolog´ıa de superficies). El segundo es un libro con un tratamiento m´as moderno y est´a inspirado directamente en la experiencia de los autores como investigadores de primera fila. Este hecho provoca que la manera de afrontar los distintos t´opicos sea, con frecuencia, novedosa y audaz. A´un as´ı, tal aproximaci´on se nos antoja en ocasiones ciertamente compleja para un alumno que est´a cursando sus primeros a˜nos como graduado, y la vemos m´as conveniente para estudios m´as avanzados. Inspirados en el esp´ıritu de ambos textos, y teni´endolos como referencia, hemos pretendido elaborar nuestra propuesta recogiendo las que, a nuestro juicio, consideramos que son las mejores caracter´ısticas de ambos. Es la ((ventaja)) de ir por detr´as: que uno hereda todo lo bueno que hubo antes. Esperamos haberlo conseguido y, en cualquier caso, queremos remarcar de nuevo el hecho de que estamos ante un Curso de Geometr´ıa, esto es, un libro cuya u´ nica pretensi´on (como si fuera poca) es ser un buen libro de texto para que los estudiantes aprendan. No queremos terminar esta introducci´on sin hacer referencia al per´ıodo crucial en el que nos encontramos a nivel universitario, con una reforma pendiente de gran calado como resultado de la adaptaci´on de nuestros estudios al a´ mbito europeo. En este sentido, e´ ste es un libro de texto enfocado a satisfacer tanto la demanda de los futuros graduados como las necesidades de los estudiantes de postgrado en Matem´aticas. Recordemos que los contenidos de las nuevas titulaciones se organizan en materias y e´ stas, a su vez, se desglosan en asignaturas. A modo de ejemplo, tal y como recomienda el Libro Blanco para el T´ıtulo de Grado en Matem´aticas, dentro de los contenidos obligatorios del grado debe figurar la materia ((Topolog´ıa y Geometr´ıa Diferencial)), con una carga lectiva que oscilar´a entre los 12,5 y los 17,5 cr´editos ECTS, seg´un estipule cada universidad en sus proyectos de grado. A d´ıa de hoy, pr´acticamente todos los proyectos presentados para su verificaci´on desglosan esta materia en dos o m´as asignaturas, en las que la Geometr´ıa Diferencial aparece como la protagonista indiscutible. As´ı pues, y sin temor a equivocarnos, podemos decir que se trata de una materia de ((paso obligado)) para todos los futuros graduados y estudiantes de postgrado, que jugar´a un papel decisivo en su formaci´on como profesionales de las Matem´aticas. Con independencia de su l´ogica ubicaci´on dentro de los estudios de Matem´aticas, este curso puede ser utilizado como libro de consulta en otras disciplinas cient´ıficas, debido al car´acter transversal e interdisciplinar de la Geometr´ıa Diferencial. As´ı, en los estudios de F´ısica, una de las materias m´as frecuentes es la Teor´ıa de la Relatividad y sus diversas consecuencias e implicaciones. Las Matem´aticas que se utilizan en estas disciplinas son fundamentalmente Geometr´ıa Diferencial, y los centros que imparten actualmente la licenciatura de F´ısica (y que impartir´an tambi´en los futu18

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Introducci´on

ros grados y m´asteres) introducen en sus curricula asignaturas con nombres dispares ´ (M´etodos Matem´aticos para la F´ısica, Algebra y Geometr´ıa, Geometr´ıa Diferencial, etc.) cuyo cuerpo central de estudio est´a ampliamente tratado en este libro. En este sentido, este curso de Geometr´ıa Diferencial es tambi´en una herramienta id´onea, ya que el car´acter b´asico del texto y sus numerosos ejemplos hacen de e´ l un eficaz instrumento para el estudiante de Ciencias F´ısicas. Finalmente, en lo que respecta a carreras como Biolog´ıa, Arquitectura e Ingenier´ıa, el libro trata algunos temas puntuales que aparecen en estas disciplinas como t´opicos avanzados (la geometr´ıa del ADN, formas o´ ptimas de la naturaleza, configuraciones geom´etricas aplicadas a la arquitectura, geodesia, cartograf´ıa, topograf´ıa, etc.). As´ı, pensamos tambi´en que este curso puede tener una amplia utilidad para estudiantes avanzados de estas carreras t´ecnicas que necesitan consultar, al menos puntualmente, un texto sobre Geometr´ıa. Con el deseo de que nuestra aportaci´on signifique un acercamiento enriquecedor a la Geometr´ıa Diferencial por parte de los alumnos de Matem´aticas y de todas estas otras disciplinas cient´ıficas, nos despedimos, no sin antes agradecer a nuestros com´ pa˜neros, los profesores Luis Jos´e Al´ıas Linares, Pascual Lucas Saor´ın, Miguel Angel Mero˜no Bayo y Pablo Mira Carrillo la ayuda prestada, los buenos consejos y las acertadas indicaciones, correcciones y sugerencias en la redacci´on de este libro. Muy ´ especialmente, queremos manifestar nuestra gratitud al profesor Angel Ferr´andez Izquierdo, pues apost´o decididamente por este proyecto desde sus inicios, facilit´andonos enormemente la tarea de convertir, lo que era un sue˜no sencillo, en un ambicioso proyecto editorial. ´ NGELES H ERN ANDEZ ´ M AR´I A DE LOS A C IFRE ´ J OS E´ A NTONIO PASTOR G ONZ ALEZ

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´ Terminolog´ıa basica A lo largo de este texto Rn ser´a el espacio eucl´ıdeo n-dimensional, esto es, el espacio vectorial Rn dotado del producto escalar usual h · , · i con su correspondiente norma eucl´ıdea | · |. Indistintamente veremos Rn como espacio af´ın o como espacio vectorial. En el primer caso, representaremos sus puntos (bien de Rn , bien de nuestras curvas y superficies), en general, con letras min´usculas, p, mientras que cuando veamos Rn como espacio vectorial, los vectores (de Rn o de planos tangentes a superficies) se denotar´an en negrita, v. El producto vectorial de dos vectores se escribir´a v ∧ w, el complemento ortogonal v⊥ , y el espacio generado por ellos span{v, w}. Tambi´en representaremos por Sk (r) ⊂ Rk+1 la esfera eucl´ıdea k-dimensional de radio r, es decir, © ª 2 Sk (r) = (x1 , . . . , xk+1 ) ∈ Rk+1 : x12 + · · · + xk+1 = r2 , siendo N = (0, . . . , 0, r) y S = (0, . . . , 0, −r) los polos norte y sur de la misma, respectivamente. Cuando el radio sea unitario, escribiremos simplemente Sk . Consideremos ahora un espacio vectorial eucl´ıdeo V de dimensi´on 2 (el espacio V bien puede ser R2 o un plano tangente a una superficie) orientado por una base {v1 , v2 }. Sin p´erdida de generalidad, podemos pensar que {v1 = e1 , v2 = e2 } es una base ortonormal. Consideremos la aplicaci´on lineal Rθ cuya matriz respecto a {e1 , e2 } viene dada por ! Ã cos θ − sen θ . sen θ cos θ

Se puede demostrar sin dificultad que la aplicaci´on Rθ es un isomorfismo lineal que adem´as conserva el producto escalar. M´as a´un, Rθ es una isometr´ıa lineal que preserva la orientaci´on y que, de forma intuitiva, rota el plano un a´ ngulo de θ radianes en el siguiente sentido: siguiendo el ((camino m´as corto)) que lleva el vector e1 al vector e2 . Otras propiedades b´asicas de sencilla verificaci´on son las siguientes: Rθ tiene inas, Rθ1 ◦ Rθ2 = Rθ1 +θ2 , con R0 = 1V y Rπ = −1V . Por versa, siendo R−1 θ = R−θ ; adem´ u´ ltimo, es usual representar por J = Rπ /2 . Sea ahora u ∈ V un vector no nulo, que suponemos unitario. Expresamos u en la base {e1 , e2 } de suerte que u = u1 e1 + u2 e2 . Por ser u unitario se cumple que u21 + u22 = 1, luego existe un u´ nico a´ ngulo θ (salvo m´ultiplos enteros de 2π ) tal que u = cos θ e1 + sen θ e2 = Rθ (e1 ). Se define as´ı el a´ ngulo orientado de e1 a u, y lo denotamos por a´ ng(e1 , u), como cualquier determinaci´on del a´ ngulo θ verificando la ecuaci´on anterior. Adem´as, si v 21

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es otro vector (no nulo), que podemos tomar de nuevo unitario, se define el a´ ngulo (orientado) de u a v, y lo denotamos por a´ ng(u, v), como a´ ng(e1 , v), siendo e1 = u y e2 = J(u). Obs´ervese que a´ ng(u, u) = 0 y a´ ng(u, v) = − a´ ng(v, u). A efectos pr´acticos, en la mayor´ıa de las ocasiones es irrelevante la elecci´on de la determinaci´on del a´ ngulo, ya que las conclusiones no se ven afectadas si, por ejemplo, en lugar de trabajar con θ lo hacemos con θ +2kπ , para k un entero arbitrario. No obstante, en momentos puntuales es necesario eliminar esta ambig¨uedad en la elecci´on. En tales circunstancias, precisaremos en el texto el intervalo en el cual elegimos nuestra determinaci´on. Dicho intervalo suele ser con frecuencia [0, 2π ), aunque tambi´en pueden aparecer otros como (−π , π ].

Para terminar, existen situaciones en las que en lugar de aparecer un u´ nico vector, tenemos una aplicaci´on continua de la forma u : I −→ S1 de suerte que u(s) es un vector unitario para todo s. Podemos elegir as´ı, para cada s ∈ I, un a´ ngulo θ (s) tal que u(s) = cos θ (s)e1 + sen θ (s)e2 . La elecci´on de la funci´on θ (s) es tan arbitraria como se quiera, pero si le exigimos continuidad entonces siempre es posible construir una determinaci´on continua del a´ ngulo, esto es, una funci´on θ : I −→ R continua, verificando la ecuaci´on anterior. Dicha funci´on est´a un´ıvocamente determinada con la elecci´on de un u´ nico valor del a´ ngulo en un punto concreto s0 ∈ I. Salvo que especifiquemos lo contrario, en las funciones reales supondremos que e´ stas tienen derivadas continuas de todos los o´ rdenes. Adem´as, para una funci´on f : Rn −→ R, escribiremos indistintamente ∂ f /∂ xi o fxi para representar la derivada parcial de f respecto a su variable xi . Como es usual en la literatura, utilizaremos ∆ f para denotar el laplaciano de f , esto es, n

∂2 f . 2 i=1 ∂ xi

∆f = ∑

Aunque no somos especialistas en el tema, nos permitimos sugerir, como referencias generales para el C´alculo de una y varias variables, [3, 4, 14] entre los muchos y excelentes textos existentes; para la Teor´ıa de Ecuaciones Diferenciales, mencionamos [5, 22, 39]. En lo que respecta a la Topolog´ıa, dado un conjunto S ⊂ Rn , representaremos por cl S, int S, bd S y Rn \S su clausura, interior, frontera y complementario (en Rn ), respectivamente. En el caso de que el conjunto S sea un subconjunto de otro subconjunto mayor Se en Rn , entonces especificaremos en el texto si la clausura, interior, frontera y complementario se refieren a Se o Rn . Por u´ ltimo, dado un punto p ∈ Rn , escribiremos con frecuencia V (p) cuando queramos remarcar que el entorno V contiene a p. Nuestra referencia b´asica en lo que a Topolog´ıa se refiere ser´a siempre [30]. Finalmente, y como es usual, denotaremos por SO(n) el subgrupo especial ortogonal, es decir, el subgrupo de las matrices reales A ∈ Rn×n con determinante 22

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Terminolog´ıa b´asica

det A = 1. Si A ∈ SO(n), se dice que A es una transformaci´on ortogonal positiva. As´ı, un movimiento r´ıgido directo es la composici´on de una transformaci´on ortogonal positiva y una traslaci´on: Mx = Ax + b, con A ∈ SO(n) y b ∈ Rn . Por otra parte, si A ∈ Rn×n es una matriz con det A = −1 se dice que A es una transformaci´on ortogonal negativa, y los movimientos r´ıgidos que podemos obtener a partir de A, de la forma Mx = Ax + b, se llaman movimientos r´ıgidos inversos. Como referencias ´ generales para Algebra Lineal sugerimos [10, 27, 40].

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I

Curvas en el plano y en el espacio El estudio de las curvas arranca desde los comienzos del ((Calculus)), cuando se formalizan las nociones de funci´on continua, l´ımite y derivada. Las curvas son el primer elemento de contacto con la Geometr´ıa Diferencial cl´asica y el conocimiento de las mismas ha sido de vital importancia para el desarrollo de esta disciplina con m´as de doscientos cincuenta a˜nos de antig¨uedad. En este cap´ıtulo nos ocupamos de introducir el concepto de curva como uno de los objetos de capital importancia en el estudio de la Geometr´ıa Diferencial. Comenzamos con una secci´on dedicada a las curvas parametrizadas que, en definitiva, pueden verse como trayectorias de part´ıculas. Introducimos adem´as la noci´on de cambio de par´ametro y definimos la longitud de arco de una curva como par´ametro distinguido. En las dos secciones siguientes nos centramos en lo que se conoce como Teor´ıa Local de curvas en el plano y en el espacio. Aqu´ı, el concepto ((local)) se contrapone a la noci´on de ((Teor´ıa Global)) que se expone en la u´ ltima secci´on. Esta contraposici´on puede ser precisada en el siguiente sentido: cuando estudiamos aspectos locales de una curva, nos interesan exclusivamente las propiedades, objetos y caracter´ısticas de la curva en un entorno arbitrariamente peque˜no. A modo de ejemplo, algunas caracter´ısticas locales ser´ıan la velocidad, la aceleraci´on, la curvatura (que mide en qu´e magnitud y sentido se curva la curva, valga la redundancia), etc. As´ı, en estas dos secciones estudiamos tales conceptos para curvas en el plano y en el espacio. Asimismo, analizamos las diferencias existentes en ambos ambientes: una curva en el espacio tiene m´as libertad de movimiento y, por ende, su estudio es m´as complejo. Por otra parte, cuando nos referimos a los aspectos globales, cuando estudiamos la Teor´ıa Global de curvas, el objetivo es contemplar la curva como un todo e intentar relacionar aspectos locales de la curva con caracter´ısticas globales. Como bot´on de muestra, se puede demostrar que una curva plana y cerrada (propiedad topol´ogica, no geom´etrica, global) con curvatura no nula (propiedad local, que depende de la curva en entornos arbitrariamente peque˜nos) encierra un dominio convexo en el plano (propiedad global). En la u´ ltima secci´on presentamos algunos resultados globales de gran importancia hist´orica como, por ejemplo, la desigualdad isoperim´etrica. 1.1.

CURVAS PARAMETRIZADAS. LA LONGITUD DE ARCO

Una primera idea intuitiva que podr´ıamos tener de lo que es una curva ser´ıa, por ejemplo, el verla como la ((trayectoria de una part´ıcula)), lo cual nos ofrece una primera aproximaci´on a una definici´on geom´etrica de curva. Tambi´en podemos definir

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

una curva como ((una aplicaci´on que, en cada instante de tiempo, da una posici´on en el espacio)). Esta u´ ltima idea engloba algo m´as que la mera trayectoria o traza, pues encierra a su vez las nociones de curva orientada y de velocidad de la curva. Ve´amoslo con un ejemplo. Consideremos la aplicaci´on que asocia, a cada t, el punto (cost, sent) ∈ R2 . Es bien conocido que la curva que se obtiene de esta forma es una circunferencia con ´ ser´ıa su traza. Pero la circunferencentro el origen de coordenadas 0 y radio 1. Esa cia as´ı definida nos proporciona mucha m´as informaci´on: partimos del punto (1, 0) (cuando t = 0), la recorremos en el sentido contrario a las agujas del reloj, y volvemos de nuevo al (1, 0) cuando t = 2π (esto nos indica, adem´as de una orientaci´on precisa, una cierta ((velocidad de movimiento))). Pensemos ahora en la aplicaci´on que asocia, a cada t, el punto (sent, cost) ∈ R2 , lo que nos da de nuevo la circunferencia de centro 0 y radio 1. La traza es por tanto la misma, pero ahora partimos del punto (0, 1) y la recorremos en el sentido de las agujas del reloj: ha cambiado la orientaci´on (adem´as del punto inicial). Y un u´ ltimo ejemplo. Si tomamos la aplicaci´on ¡ ¢ t ; cos(2t), sen(2t) , obtenemos otra vez la misma circunferencia, partiendo del mismo punto y con la misma orientaci´on que en el primer caso. Sin embargo, algo ha cambiado: la velocidad con que recorremos la circunferencia es mucho mayor, pues, cuando t = π , la part´ıcula ya ha dado una vuelta completa.

En este sentido, presentamos la siguiente definici´on. Definici´on 1.1.1. Una curva parametrizada diferenciable en Rn es una aplicaci´on α : I −→ Rn , con I ⊂ R abierto, que es C∞ , es decir, que admite derivadas continuas de todos los o´ rdenes. El adjetivo ((parametrizada)) hace referencia, precisamente, a que no s´olo consideramos la traza de la curva, sino tambi´en la manera que tenemos de ((recorrerla)) mediante un determinado par´ametro.1 ¢ ¡ Tenemos as´ı, en definitiva, una aplicaci´on α (t) = α1 (t), . . . , αn (t) , donde las funciones αi (t) admiten derivadas continuas de todos los o´ rdenes. Adem´as, t se denomina el par´ametro de la curva, el subconjunto imagen α (I) ⊂ Rn la traza de α , y ¡ ¢ la aplicaci´on α 0 : I −→ Rn definida de la forma α 0 (t) = α10 (t), . . . , αn0 (t) , su vector velocidad o vector tangente. ´ Figura 1.1: La helice cil´ındrica.

Ejemplo 1.1 (Curvas alabeadas). La curva α (t) = (a cost, a sent, bt), con a, b > 0 es la h´elice cil´ındrica de paso 2π b construida sobre el cilindro x2 + y2 = a2 (v´ease la ´ es un ejemplo de curva alabeada, esto es, una curva que no est´a configura 1.1). Este tenida en un plano. ♦

Ejemplo 1.2 (Situaciones a considerar). La curva α (t) = (t 3 ,t 2 ), representada en la figura 1.2, es claramente diferenciable, pero α 0 (0) = (0, 0): el vector velocidad en Figura 1.2: α (t) = (t 3 ,t 2 ).

1

Esta situaci´on contrastar´a con la definici´on de superficie regular que estudiaremos en el cap´ıtulo 2, donde nos interesar´a u´ nicamente la imagen como subconjunto del espacio, y no la forma en la que estemos parametrizando dicho objeto.

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Curvas en el plano y en el espacio

´ es una de las situaciones que excluiremos t = 0 existe, aunque no tiene direcci´on. Esta 2 en nuestro estudio de las curvas.

Figura 1.3: α (t) = (t 3 − 4t,t 2 − 4).

Otra situaci´on que, en ocasiones, debe ser contemplada, la encontramos, por ejemplo, en la curva α (t) = (t 3 − 4t,t 2 − 4), v´ease la figura 1.3. Claramente α no es inyectiva, pues α (2) = α (−2) = (0, 0): se dice entonces que α (t) presenta una autointersecci´on o que la curva no es simple (v´ease la definici´on 1.4.1 para una definici´on precisa).

Por supuesto, el ya conocido ejemplo de la funci´on valor absoluto (v´ease la figura 1.4), nos muestra una curva parametrizada, α (t) = (t, |t|), que no es diferenciable y que, por tanto, nunca contemplaremos en nuestro estudio. ♦

¢ ¡ Figura 1.4: α (t) = t, |t| .

A la vista de estos ejemplos, nos podemos plantear algunas cuestiones: ¿por qu´e tenemos especial inter´es en que nuestra curva sea diferenciable? ¿Por qu´e queremos evitar que el vector tangente se anule en un punto? La respuesta est´a impl´ıcita en la siguiente definici´on. Definici´on 1.1.2. Se dice que una curva parametrizada diferenciable α : I −→ Rn es regular si α 0 (t) 6= 0, para todo t ∈ I. Si α : I −→ Rn es una curva parametrizada diferenciable con α 0 (t) 6= 0, podemos considerar la recta tangente a α en el punto α (t), es decir, la recta que pasa por α (t) y tiene como vector director α 0 (t) (aqu´ı es esencial que la curva sea regular). Si por el contrario t0 ∈ I es tal que α 0 (t0 ) = 0, se dice entonces que α presenta un punto singular en t0 . Nosotros, en este texto y salvo que precisemos lo contrario, estudiaremos u´ nicamente curvas simples y regulares, esto es, curvas que no presentan singularidades ni autointersecciones. 1.1.1.

´ El cambio de parametro y la longitud de arco

Tal y como ya hemos anticipado, una curva puede recorrerse de varias formas. Eso es lo que vamos a estudiar en este ep´ıgrafe, y recordemos que, desde nuestro punto de vista, la misma (imagen de una) curva recorrida de manera distinta, resulta ser una curva completamente diferente. Definici´on 1.1.3. Si α : I −→ Rn es una curva parametrizada, se denomina cambio de par´ametro a cualquier difeomorfismo h : J −→ I, donde J es un intervalo abierto de R. La curva β = α ◦ h : I −→ Rn se llama reparametrizaci´on de α . ¡ ¢ Claramente, como β 0 (t) = α 0 h(t) h0 (t), si α es regular, entonces cualquier reparametrizaci´on de α tambi´en lo es, pues h0 (t) 6= 0 siempre. Adem´as, de la conexi´on 2

Aunque el concepto de reparametrizaci´on lo vamos a presentar en el siguiente ep´ıgrafe, lo que est´a ocurriendo en este ejemplo es que es posible recorrer la curva de una manera en la que la aplicacio´ n no es diferenciable. Rec´ıprocamente, determinadas curvas no diferenciables en un punto admiten una ((reparametrizaci´on)) que las hace diferenciables, pero cuyo vector velocidad se anula precisamente en el punto en el que hemos ((corregido)) la diferenciabilidad.

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

de I se tiene que, o bien h0 (t) > 0 para todo t ∈ J, o bien h0 (t) < 0 para todo t ∈ J. Diremos entonces que el cambio de par´ametro h conserva la orientaci´on si h0 (t) > 0, y que invierte la orientaci´on si h0 (t) < 0. Obs´ervese que un cambio de par´ametro puede modificar tanto la orientaci´on como la velocidad de una curva, pero nunca su trayectoria. Ejemplo 1.3. Si consideramos la ya conocida circunferencia α (t) = (cost, sent), el cambio de par´ametro h(s) = 2s conserva la orientaci´on, mientras que h(s) = −s la invierte. Adem´as, el primero de ellos no preserva la velocidad, pues β 0 (s) = 2α 0 (2s); el segundo tampoco, aunque s´ı conserva su m´odulo. ♦

Es momento ahora de plantearnos c´omo estudiar la longitud de una curva. Sean ¡ ¢ α : I −→ Rn una curva parametrizada, [a, b] ⊂ I y P [a, b] el conjunto de las par¡ ¢ ticiones del intervalo [a, b]. Dada P = {a = t0 < t1 < . . . < tm = b} ∈ P [a, b] , ª © tomamos la correspondiente familia de puntos de la traza α (t0 ), α (t1 ), . . . , α (tm ) , familia que determina una poligonal inscrita en la curva. La longitud de α asociada a ¯ ¯ ¯ ¯ ervese que, cuanla partici´on P viene dada por L(α , P) = ∑m i=1 α (ti ) − α (ti−1 ) . Obs´ to m´as fina es la partici´on (cuantos m´as puntos consideremos como v´ertices) m´as se ajusta la poligonal a la curva. Por lo tanto, resulta razonable definir la longitud de α entre α (a) y α (b) como

Lab (α ) = l´ım|P|→0,P∈P([a,b]) L(α , P), donde |P| = m´ax{ti −ti−1 , i = 1, . . . , m} es la norma de la partici´on. La siguiente proposici´on permitir´a dar una definici´on m´as u´ til y operativa que la anterior de la longitud de una curva. Proposici´on 1.1.4. Sean α : I −→ Rn una curva parametrizada y [a, b] ⊂ I. Entonces l´ım

|P|→0 P∈P([a,b])

L(α , P) =

Z b¯ a

¯ ¯α 0 (t)¯ dt.

En consecuencia, podemos definir la longitud de α entre α (a) y α (b) como Lab (α ) =

Z b¯ ¯ ¯α 0 (t)¯ dt. a

(1.1)

Demostraci´on de la proposici´on 1.1.4. Vamos a demostrar¯ que, dado ε > 0, existe ¯ ¯ ¯ R ¯ ¯ δ > 0 tal que, si |P| < δ , entonces ¯L(α , P) − ab ¯α 0 (t)¯ dt ¯ < ε . ¡ ¢ Supongamos que α (t) = x1 (t), . . . , xn (t) , y sea P = {a = t0 < t1 < . . . < tm = b} una partici´on del intervalo [a, b]. Entonces, m q m ¯ ¯ ¡ ¢2 ¯ ¯ L(α , P) = ∑ α (ti ) − α (ti−1 ) = ∑ ∑nj=1 x j (ti ) − x j (ti−1 ) . i=1

i=1

funciones C∞ ,

Como x j (t) son podemos aplicar el teorema de los valores intermedios en [ti−1 ,ti ]: para todo i = 1, . . . , m, existen ηi1 , . . . , ηin ∈ (ti−1 ,ti ) tales que ¡ ¢ x j (ti ) − x j (ti−1 ) = x0j ηij (ti − ti−1 ), para todo j = 1, . . . , n. 28

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Curvas en el plano y en el espacio

As´ı, definiendo f : Rn −→ R por f (s1 , . . . , sn ) := m

L(α , P) = ∑

i=1

q ∑nj=1 x0j (s j )2 , podemos escribir

q m ¡ ¢ ¡ j ¢2 ∑nj=1 x0j ηi (ti − ti−1 ) = ∑ f ηi1 , . . . , ηin (ti − ti−1 ). i=1

(1.2)

Por otro lado, m Z ¯ ¯α 0 (t)¯ dt = ∑

Z b¯ a

ti

i=1 ti−1

m ¡ m ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¢ ¯α (t)¯ dt = ∑ ¯α 0 (νi )¯ (ti −ti−1 ) = ∑ f νi , . . . , νi (ti −ti−1 ), i=1

i=1

(1.3) para ciertos νi ∈ (ti−1 ,ti ), aplicando el teorema del valor medio del c´alculo integral. En consecuencia, de (1.2) y (1.3) obtenemos que ¯ ¯ Z b¯ m ¯ ¡ ¯ ¯ ¯ ¢¯ ¢ ¡ ¯α 0 (t)¯ dt ¯ ≤ ∑ ¯¯ f ηi1 , . . . , ηin − f νi , . . . , νi ¯¯ (ti − ti−1 ). ¯L(α , P) − ¯ ¯ a

i=1

Adem´as, f es una funci´on continua en Rn , cuyo dominio de definici´on [a, b]n ⊂ I n es un compacto. Por tanto, f es uniformemente continua en [a, b]n . Esto implica que, ¯ ¯ dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que, si ¯s j − s0j ¯ < δ para todo j = 1, . . . , n, entonces ¯ ¢¯ ¡ ¢ ¡ ¯ f (s1 , . . . , sn ) − f s0 , . . . , s0n ¯ < ε . Eligiendo una partici´on P ∈ P [a, b] con |P| < δ , 1 ¯ ¯ j podemos asegurar que ¯ηi − νi ¯ < δ para todo j = 1, . . . , n, ya que ηij , νi ∈ (ti−1 ,ti ), j = 1, . . . , n. En consecuencia, ¯ ¯ Z b¯ m ¯ ¡ ¯ ¯ ¯ ¢¯ ¢ ¡ 0 ¯α (t)¯ dt ¯ ≤ ∑ ¯¯ f ηi1 , . . . , ηin − f νi , . . . , νi ¯¯(ti − ti−1 ) ¯L(α , P) − ¯ ¯ a

i=1 m

≤ ∑ ε (ti − ti−1 ) = ε (b − a), i=1

como se quer´ıa demostrar. Es un sencillo ejercicio probar el siguiente corolario. Corolario 1.1.5. La longitud de una curva parametrizada es independiente de su parametrizaci´on. De entre todas las parametrizaciones posibles para (la imagen de) una curva, existe una (salvo orientaci´on) cuyas propiedades son especialmente importantes. Se trata de parametrizar la curva de modo que el m´odulo de la velocidad sea constante e igual a la unidad. Definici´on 1.1.6. Se dice que una curva parametrizada α : I −→ Rn est´a parametri¯ ¯ zada por la longitud de arco si ¯α 0 (t)¯ = 1 para todo t ∈ I.

¯ ¯ La raz´on de tal calificativo es clara: cuando ¯α 0 (t)¯ = 1, el par´ametro t de la curva mide (salvo una constante) la longitud de la misma entre un punto fijo (o inicial, si suponemos t0 = 0) y α (t); en efecto, Lt0 (α ) =

Z t ¯ ¯α 0 (s)¯ ds = ds = t.

Z t¯ 0

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0

Un curso de Geometr´ıa Diferencial

En lo que sigue, utilizaremos p.p.a. como abreviatura para indicar que una curva α est´a parametrizada por la longitud de arco. Adem´as, cuando esto sea as´ı, usaremos s como el par´ametro arco de la curva, en lugar de t.

Desde una perspectiva f´ısica, la aceleraci´on de una curva p.p.a. no posee componente tangencial (la velocidad no cambia en m´odulo y la part´ıcula no experimenta aceleraci´on en la direcci´on del movimiento), por lo que, si existe aceleraci´on, e´ sta es siempre perpendicular a la velocidad (y por ende, a su trayectoria). En t´erminos matem´aticos se tiene ¯2 ­ ® d ¯ 0 = ¯α 0 (s)¯ = 2 α 0 (s), α 00 (s) , ds lo que prueba que la aceleraci´on y la velocidad son ortogonales (obs´ervese que no es necesario que el m´odulo de la velocidad sea unitario, basta con que sea constante). El siguiente teorema es fundamental para el desarrollo de toda la teor´ıa de curvas, tanto en el plano como en el espacio. Enseguida veremos por qu´e. Teorema 1.1.7. Toda curva parametrizada regular admite una reparametrizaci´on por la longitud de arco con un cambio de par´ametro que conserva la orientaci´on. Demostraci´on. Sea α : I −→ Rn una curva parametrizada regular con par´ametro arbitrario t. Fijamos t0 ∈ I y definimos g : I −→ R como la aplicaci´on

α

I

6

g

h J

?

g(t) = - Rn 

β = α ◦h

Z t¯ t0

¯ ¯α 0 (u)¯ du = Ltt (α ), 0

que es una funci´on diferenciable. Adem´as, como α 0 (u) 6= 0, para todo u ∈ I, entonces ¯ ¯ g0 (t) = ¯α 0 (t)¯ > 0, para todo t ∈ I, siendo I ⊂ R abierto. El teorema de la funci´on inversa nos asegura entonces que J = g(I) es tambi´en un intervalo abierto de R, y que g : I −→ J es un difeomorfismo. Representamos por h := g−1 , h : J −→ I. Claramente, ¡ ¢ (h ◦ g)(t) = t y (g ◦ h)(s) = s. Por tanto, h0 g(t) g0 (t) = 1, de donde se obtiene que ¡ ¢ h0 g(t) =

1 g0 (t)

1 = ¯¯ 0 ¯¯ > 0; α (t)

es decir, el cambio de par´ametro h conserva la orientaci´on. Finalmente, es f´acil ver ¡ ¢ que la reparametrizaci´on β (s) = α h(s) es una curva p.p.a.: ¯ ¯ ¡ ¯ 0 ¯ ¯ 0¡ ¢¯ ¯ ¢¯ ¯β (s)¯ = ¯α h(s) ¯ ¯h0 (s)¯ = ¯α 0 h(s) ¯ ¯ ¡ 1 ¢¯ = 1. ¯α 0 h(s) ¯ Este teorema nos dice que toda curva parametrizada regular siempre puede reparametrizarse por la longitud de arco. El ((problema)) radica en que, en la pr´actica, encontrar la reparametrizaci´on no siempre es posible. Veamos algunos ejemplos.

Figura 1.5: La catenaria.

Ejemplo 1.4 (La catenaria). Tomemos la curva parametrizada α (t) = (t, cosht). ´ Esta recibe el nombre de catenaria, pues es la curva que adopta una cadena ideal perfectamente flexible, con masa, suspendida por sus extremos y sometida a la acci´on de un campo gravitatorio uniforme (v´ease la figura 1.5). 30

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Curvas en el plano y en el espacio

Los primeros matem´aticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una par´abola. Huygens, a los diecisiete a˜nos, demostr´o que no lo era, aunque ´ no encontr´o la ecuaci´on de la catenaria. Esta fue obtenida por Leibnitz, Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desaf´ıo planteado por Jakob Bernoulli. Si se desarrolla en serie de Taylor la funci´on cosht, se obtiene cosht = 1 +t 2 /2 + O 4 (t), que corresponde a la ecuaci´on de una par´abola m´as un t´ermino de cuarto orden. Es por este motivo por el que las gr´aficas son tan parecidas en un entorno de cero. Una curva catenaria invertida es el trazado perfecto para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Gaud´ı, su descubridor. Un r´apido c´alculo permite obtener el que ser´a el par´ametro arco: s = g(t) =

Z t ¯ ¯α 0 (u)¯ du = cosh u du = senht;

Z t¯ 0

0

luego el cambio de par´ametro que reparametriza α por la longitud de arco viene dado por t = h(s) = arg senh s. Por lo tanto, ´ p ¡ ¢ ¡ ¢ ³ β (s) = α h(s) = arg senh s, cosh(arg senh s) = arg senh s, 1 + s2 es la reparametrizaci´on por la longitud de arco de la catenaria.

♦

Ejemplo 1.5. Consideremos la circunferencia α (t) = p + (r cost, r sent). La reparametrizaci´on por la longitud de arco de esta curva es muy sencilla de obtener:

s = g(t) =

Z t Z t¯ ¯ ¯α 0 (u)¯ du = r du = rt, 0

0

luego el cambio de par´ametro buscado es t = h(s) = s/r, y la reparametrizaci´on por ¡ ¢ ¡ ¢ ♦ la longitud de arco,3 β (s) = α h(s) = r cos(s/r), r sen(s/r) . Ejemplo 1.6. Sea α (t) = (2 cost, sent). En este caso, la integral que aparece a la hora de calcular el cambio de par´ametro h no puede resolverse, pues es una integral el´ıptica, que no tiene soluci´on: Z tq Z tp 2 2 1 − 34 cos2 u du. 4 sen u + cos u du = 2 s = g(t) = 0

0

Luego no es posible dar expl´ıcitamente la reparametrizaci´on.

♦

Ejemplo 1.7. Consideremos la curva α (t) = (t,t 2 ). En este caso, la integral que define g(t) puede resolverse sin problemas:

s = g(t) =

Z tp 0

1 + 4u2 du =

´ tp p 1 ³ Ln 2t + 1 + 4t 2 + 1 + 4t 2 ; 4 2

sin embargo, es imposible despejar t en la ecuaci´on anterior. Por tanto, tampoco puede darse expl´ıcitamente la reparametrizaci´on. ♦ 3

El mismo cambio de par´ametro sirve para cualquier curva con velocidad constante.

31

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Como hemos visto, no siempre es factible reparametrizar una curva por la longitud de arco (realmente, en la mayor´ıa de los casos no va a ser posible). Sin embargo, esto no plantea ning´un inconveniente, pues es suficiente saber que, te´oricamente, gracias al teorema 1.1.7, siempre podemos suponer la curva p.p.a., lo que permite desarrollar la llamada Teor´ıa de curvas, que pasamos a estudiar a continuaci´on.4 1.2.

TEOR´IA LOCAL DE CURVAS PLANAS

La Teor´ıa Local de curvas planas, tal y como indica su nombre, se ocupa del estudio de curvas que est´an contenidas en un plano. Desde una perspectiva puramente local, una curva plana p.p.a. tiene ((muy poca libertad para moverse)) en el sentido de que, o bien gira hacia la izquierda, o bien lo hace hacia la derecha. Este giro (y su intensidad) puede ser descrito con una funci´on que llamaremos curvatura y que, esencialmente, caracteriza la curva salvo movimientos r´ıgidos dentro del plano. 1.2.1.

La curvatura y el diedro de Frenet

Si α : I −→ R2 es una curva regular p.p.a., su vector tangente t(s) = α 0 (s) es unitario. Esto permite construir una base ortonormal de R2 de la siguiente forma:

Definici´on 1.2.1. El vector normal a una curva plana regular α : I −→ R2 p.p.a., es ¡ ¢ el vector n(s) = J t(s) , donde J = Rπ /2 es la estructura compleja en R2 , esto es, la rotaci´on positiva de a´ ngulo π /2 (para m´as detalles v´ease el ep´ıgrafe 3.1.2). © ª Por tanto, los vectores t(s), n(s) forman una base ortonormal positivamente orientada del plano eucl´ıdeo para cada s, que recibe el nombre de diedro de Frenet. Nos preguntamos entonces de manera natural: ¿c´omo var´ıan los vectores tangente © ª y normal a una curva? Claramente, por ser t(s), n(s) una base ortonormal, ­ ® ­ ® t0 (s) = t0 (s), t(s) t(s) + t0 (s), n(s) n(s) y ­ ® ­ ® n0 (s) = n0 (s), t(s) t(s) + n0 (s), n(s) n(s). ¯2 ¯ ¯ ¯2 ­ ® ­ ® Adem´as, como ¯t(s)¯ = 1 = ¯n(s)¯ , es evidente que t0 (s), t(s) = 0 = n0 (s), n(s) . En definitiva, ­ ® ­ ® t0 (s) = t0 (s), n(s) n(s) y n0 (s) = n0 (s), t(s) t(s). Por otro lado, la ortogonalidad de los vectores t(s) y n(s) nos permite asegurar que ­0 ® ­ ® t (s), n(s) = − t(s), n0 (s) , lo que conduce a la siguiente definici´on: 4

Es importante rese˜nar que, cuando parametrizamos una curva por el arco, estamos considerando un par´ametro est´andar que, de alguna manera, encaja la curva en el ((entramado m´etrico)) del espacio en el que est´a. Por ejemplo, si tenemos dos circunferencias y queremos compararlas, la estrategia consiste en tomar un par´ametro homog´eneo y ((com´un)) a ambas, en el sentido de que refleje la longitud de la curva en ambos casos. Eso es el par´ametro arco, y es lo que permite hablar de curvatura.

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Curvas en el plano y en el espacio

Definici´on 1.2.2. Se llama curvatura de una curva plana regular α : I −→ R2 p.p.a. a la funci´on k : I −→ R definida por ¡ ¢® ­ (1.4) k(s) := α 00 (s), J α 0 (s) . ¯ ¯ Adem´as, si k(s) > 0 se llama radio de curvatura al valor ρ (s) = 1/ ¯k(s)¯.

En definitiva, hemos obtenido que ( t0 (s) = k(s)n(s),

(1.5)

n0 (s) = −k(s)t(s), ecuaciones que reciben el nombre de f´ormulas de Frenet de una curva plana.

Obs´ervese que estas f´ormulas nos aseguran que la componente tangencial del vector aceleraci´on de la curva α , α 00 (s) = t0 (s) es cero. As´ı pues, la aceleraci´on s´olo tiene componente normal, y es el valor absoluto de la curvatura el que mide cu´anto ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ vale: ¯k(s)¯ = ¯k(s)¯ ¯n(s)¯ = ¯t0 (s)¯ = ¯α 00 (s)¯. Ahora bien, el signo de la curvatura k(s) tambi´en ofrece informaci´on sobre la curva: nos dice el sentido de giro, es decir, en qu´e sentido rota el vector velocidad α 0 (s) = t(s) conforme se recorre la curva. La figura 1.6 refleja claramente este hecho. Observemos adem´as que un cambio de orientaci´on cambia el signo de la curvatura pero no su magnitud. 6Jα

k0

6 ′′ α

k>0

α ′

α

′

?

Jα

α

′

′′

? ?



α

′

k 0 si, y s´olo si, p ∈ H + , dist(p, `) < 0 si, y s´olo si, p ∈ H − , y dist(p, `) = 0 si, y s´olo si, p ∈ ` = H + ∩ H − . 38

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Curvas en el plano y en el espacio

Ahora estamos en condiciones de demostrar el siguiente resultado. Proposici´on 1.2.10. Sea α : I −→ R2 una curva regular p.p.a., con curvatura k(s), y sea s0 ∈ I. Entonces:

i) Si k(s0 ) > 0 (respectivamente, k(s0 ) < 0), existe un entorno J(s0 ) ⊂ I tal que α (s) ∈ H + (respectivamente, α (s) ∈ H − ), para todo s ∈ J. ii) Si existe un entorno J(s0 ) ⊂ I con α (s) ∈ H + (respectivamente, α (s) ∈ H − ), para todo s ∈ J, entonces k(s0 ) ≥ 0 (respectivamente, k(s0 ) ≤ 0). Si k(s0 ) = 0, entonces no se puede asegurar nada; podr´ıa darse cualquier caso. ¢ ­ ® ¡ Demostraci´on. Sea f : I −→ R la funci´on f (s) := dist α (s), ` = α (s) − p0 , n0 . ­ ® Entonces f (s0 ) = 0, f 0 (s0 ) = ht0 , n0 i = 0 y f 00 (s0 ) = t0 (s0 ), n0 = k(s0 ), luego: i) Si k(s0 ) > 0, entonces f presenta un m´ınimo relativo en s0 ; en consecuencia, existe un entorno J(s0 ) ⊂ I donde f (s) ≥ f (s0 ), para todo s ∈ J, lo que se ¢ ¡ traduce en que dist α (s), ` ≥ 0, para todo s ∈ J. Por tanto, α (s) ∈ H + , para todo s ∈ J. Si suponemos que k(s0 ) < 0, deducir´ıamos de forma an´aloga que f presenta un m´aximo relativo en s0 , lo que conducir´ıa a la desigualdad contraria, ¢ ¡ dist α (s), ` ≤ 0, para todo s ∈ J; es decir, α (s) ∈ H − en J. ii) Supongamos ahora que, para todo s ∈ J, α (s) ∈ H + . Esto es equivalente a ¢ ¡ que dist α (s), ` ≥ 0, es decir, a que f (s) ≥ f (s0 ), para todo s ∈ J. Podemos deducir entonces que f presenta un m´ınimo relativo en s0 , lo cual implica que f 00 (s0 ) = k(s0 ) ≥ 0. De forma an´aloga se deduce, partiendo de la hip´otesis contraria α (s) ∈ H − , que k(s0 ) ≤ 0. Finalmente, pasamos a estudiar el caso de dos curvas que se tocan en un punto, teniendo el mismo vector tangente en el mismo. Sean α , β : I −→ R2 dos curvas regulares p.p.a. con curvaturas kα y kβ , y sea s0 ∈ I donde β α

α (s0 ) = β (s0 ) =: p0

ℓ

0

α (s0 ) = β (s0 ) =: t0 .

n0



I

t0

p0

´ de dos Figura 1.9: Comparacion curvas.

y

0

De nuevo, representamos por ` la recta tangente (com´un) a α y β en p0 . Se dice que α est´a por encima de β en el punto p0 si existe un entorno J de s0 de modo ¢ ¡ ¢ ¡ que dist α (s), ` ≥ dist β (s), ` , para todo s ∈ J (v´ease la figura 1.9). Consideremos ahora f : I −→ R la funci´on dada por ¢ ¡ ¢ ­ ® ­ ® ¡ f (s) : = dist α (s), ` − dist β (s), ` = α (s) − p0 , n0 − β (s) − p0 , n0 ® ­ = α (s) − β (s), n0 . Entonces, f (s0 ) = 0, f 0 (s0 ) = 0 y f 00 (s0 ) = kα (s0 ) − kβ (s0 ). Un argumento an´alogo al utilizado en la demostraci´on de la proposici´on 1.2.10, pero usando ahora la funci´on definida arriba, permite probar el siguiente resultado: 39

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Proposici´on 1.2.11. Sean α , β : I −→ R2 dos curvas regulares p.p.a., con curvaturas kα (s) y kβ (s), respectivamente, y sea s0 ∈ I. Entonces:

i) Si kα (s0 ) > kβ (s0 ), entonces α est´a por encima de β . ii) Si α est´a por encima de β , entonces kα (s0 ) ≥ kβ (s0 ). 1.3.

TEOR´IA LOCAL DE CURVAS EN EL ESPACIO

El estudio de curvas en el espacio es, en bastantes aspectos, muy diferente al de curvas en el plano. El motivo principal es que una curva en el espacio tiene mucha m´as libertad para ((moverse)). De hecho, tiene una direcci´on adicional en la que puede curvarse, y su libertad est´a ((menos controlada)) que en el caso de una curva plana; recordemos que, esencialmente, e´ stas s´olo pod´ıan curvarse hacia la izquierda o la derecha. Esta exposici´on es igualmente v´alida para curvas en dimensi´on superior: a mayor dimensi´on, mayor libertad, y el estudio de las curvas se complica cada vez m´as. Siendo exhaustivos, podr´ıamos apuntar tres diferencias fundamentales con respecto a la secci´on anterior: i) la curvatura de una curva en el espacio no tiene signo y ofrece menos informaci´on que en el caso de curvas planas; ii) la existencia de un vector normal a la curva no est´a garantizada; iii) es necesario contar con una funci´on adicional (la torsi´on) para explicar y caracterizar c´omo se comporta una curva en el espacio. 1.3.1.

´ y el triedro de Frenet La curvatura, la torsion

Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., de modo que el vector tangente t(s) = α 0 (s) es unitario. Vamos a ver que, de nuevo, esto permite construir una base ortonormal de ­ ® ­ ® R3 . Dado que t(s), t(s) = 1, se tiene que t0 (s), t(s) = 0. Luego t0 (s) es ortogonal al vector tangente a la curva, y mide c´omo var´ıa e´ ste. Se define entonces la curvatura de α en α (s) como ¯ ¯ ¯ ¯ k(s) = ¯t0 (s)¯ = ¯α 00 (s)¯ . Obs´ervese que ahora, k(s) ≥ 0 siempre, mientras que en el caso de curvas planas la curvatura ten´ıa signo, y e´ ste nos ofrec´ıa una informaci´on adicional que aqu´ı no tenemos. Por lo tanto, el concepto de curvatura de una curva en R3 no depende de la orientaci´on de la misma. Observaci´on 1.3. Es sencillo demostrar que una curva α : I −→ R3 parametrizada regular es una l´ınea recta si, y s´olo si, su curvatura k(s) ≡ 0. ♦ Definici´on 1.3.1. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. Para todo s ∈ I tal que k(s) 6= 0, se define el vector normal (unitario) a α en α (s) como n(s) =

α 00 (s) t0 (s) = ¯¯ 00 ¯¯ . k(s) α (s)

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Curvas en el plano y en el espacio

Si α : I −→ R3 es una curva regular p.p.a. tal que k(s) 6= 0, para todo s ∈ I, se denomina plano osculador en α (s) al plano determinado por los vectores t(s) y n(s). Obs´ervese tambi´en que una curva plana en el espacio es una curva cuyo plano osculador se mantiene fijo. A partir de ahora, y salvo que se indique lo contrario, supondremos siempre que k(s) 6= 0 en todo punto. ª © Definici´on 1.3.2. Dados t(s), n(s) relativos a una curva regular α : I −→ R3 p.p.a., se define el vector binormal (asociado a α ) como b(s) = t(s) ∧ n(s).

El vector binormal es, por definici´on, ortogonal al plano osculador. Adem´as, ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ es unitario, pues ¯b(s)¯ = ¯t(s)¯ ¯n(s)¯ sen(π /2) = 1. Por tanto, para todo s ∈ I con © ª k(s) > 0, el conjunto t(s), n(s), b(s) es una base ortonormal de R3 positivamente orientada (esto es, su determinante es positivo), denominada triedro de Frenet. De nuevo estamos interesados en saber c´omo var´ıan los vectores tangente, normal y binormal a una curva. Claramente, por la propia noci´on de vector normal, se tiene que t0 (s) = k(s)n(s). Por otro lado, si derivamos la expresi´on b(s) = t(s) ∧ n(s) que define el vector binormal, la relaci´on anterior implica que b0 (s) = t(s) ∧ n0 (s), de donde se deduce que b0 (s) es ortogonal a t(s). Adem´as, al ser b(s) unitario, tambi´en se obtiene que b0 (s) y b(s) son ortogonales. En consecuencia, b0 (s) y n(s) deben ser colineales, lo que nos permite escribir ­ ® ­ ® b0 (s) = b0 (s), n(s) n(s) = t(s) ∧ n0 (s), n(s) n(s). El factor que aparece en la f´ormula anterior nos lleva a la siguiente definici´on. Definici´on 1.3.3. Se llama torsi´on de una curva regular α : I −→ R3 , p.p.a., con curvatura k(s) 6= 0, a la funci´on τ : I −→ R definida por ­ ® ­ ® τ (s) := t(s) ∧ n0 (s), n(s) = b0 (s), n(s) . (1.12) Por lo tanto, b0 (s) = τ (s)n(s). S´olo resta calcular la derivada del vector normal © ª a α . Para ello, expresando n0 (s) en funci´on de la base t(s), n(s), b(s) , esto es, ­ ® ­ ® ­ ® n0 (s) = n0 (s), t(s) t(s) + n0 (s), n(s) n(s) + n0 (s), b(s) b(s), y dado que ­ 0 ® ­ ® n (s), n(s) = 0 (derivando la relaci´on n(s), n(s) = 1), ­ 0 ® ­ ® ­ ® n (s), t(s) = − n(s), t0 (s) = −k(s) (derivando n(s), t(s) = 0) y ­ ® ­ 0 ® ­ ® n (s), b(s) = − n(s), b0 (s) = −τ (s) (derivando n(s), b(s) = 0),

se tiene finalmente que n0 (s) = −k(s)t(s) − τ (s)b(s). En definitiva, hemos obtenido  0   t (s) = k(s)n(s), (1.13) n0 (s) = −k(s)t(s) − τ (s)b(s),   0 b (s) = τ (s)n(s), ecuaciones que reciben el nombre de f´ormulas de Frenet para una curva del espacio eucl´ıdeo R3 . Por otra parte, y al igual que ocurr´ıa en el caso de curvas planas, las 41

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

dos funciones que aparecen en las f´ormulas de Frenet tambi´en caracterizan (salvo movimientos r´ıgidos) las curvas en el espacio. La demostraci´on de este hecho la presentaremos posteriormente. La torsi´on se puede expresar de manera sencilla en funci´on de α y sus derivadas. ¯ ¯ Basta escribir t(s) como α 0 (s) y n(s) como α 00 (s)/ ¯α 00 (s)¯. Entonces, ­ ® ¡ ¢ τ (s) = t(s) ∧ n0 (s), n(s) = det t(s), n0 (s), n(s) ! à ¸0 · 1 α 000 (s) α 00 (s) 0 00 = det α (s), ¯¯ 00 ¯¯ α (s) + ¯¯ 00 ¯¯ , ¯¯ 00 ¯¯ α (s) α (s) α (s) (1.14) ! à ¡ 0 ¢ det α (s), α 00 (s), α 000 (s) α 000 (s) α 00 (s) . = det α 0 (s), ¯¯ 00 ¯¯ , ¯¯ 00 ¯¯ = − ¯ ¯ ¯α 00 (s)¯2 α (s) α (s)

Proposici´on 1.3.4. Una curva α : I −→ R3 con curvatura k(s) 6= 0 es plana si, y s´olo si, su torsi´on es nula. Obs´ervese que, si la curvatura k(s) ≡ 0, entonces α es una recta, y por tanto siempre es una curva plana. Este caso se excluye en el enunciado de la proposici´on porque, si k(s) = 0, la torsi´on no puede definirse, y el resultado no tendr´ıa sentido. Demostraci´on. Supongamos que α es plana, y sea Π el plano que la contiene. En tal caso, ambos vectores t(s) y n(s) est´an contenidos en Π, para todo s ∈ I, por lo que b(s) = t(s) ∧ n(s) es constante (Π es el plano osculador, que es constante para todo valor del par´ametro s). En consecuencia, b0 (s) ≡ 0, lo que demuestra que τ (s) ≡ 0. Rec´ıprocamente: si τ (s) ≡ 0, entonces b0 (s) = τ (s)n(s) ≡ 0, es decir, el vector binormal b es constante. Esto implica que la curva α est´a contenida en un plano. ® ­ ® ­ En efecto, definiendo f (s) := α (s), b , se tiene que f 0 (s) = t(s), b = 0, es decir, ¡ ¢ f (s) ≡ c constante; escribiendo entonces b = (b1 , b2 , b3 ) y α (s) = x(s), y(s), z(s) , la condici´on anterior equivale a que α verifique x(s)b1 + y(s)b2 + z(s)b3 = c, que es la ecuaci´on de un plano. Ejemplo 1.10. Sea α la h´elice cil´ındrica α (s) = (a cos s, a sen s, bs), a, b > 0, que ¯2 ¯2 ¯ ¯ suponemos p.p.a. (luego, ¯α 0 (s)¯ = ¯(−a sen s, a cos s, b)¯ = a2 + b2 = 1). Es sen¯ ¯ 00 ¯ ¯ cillo ver que k(s) = ¯α (s)¯ = ¯(−a cos s, −a sen s, 0)¯ = a, y su triedro de Frenet es t(s) = (−a sen s, a cos s, b), n(s) = (− cos s, − sen s, 0), b(s) = (b sen s, −b cos s, a); ♦ finalmente, su torsi´on vale τ (s) = hn(s), b0 (s)i = −b.

A continuaci´on nos planteamos de nuevo c´omo calcular la curvatura y la torsi´on de una curva en R3 que no est´e parametrizada por la longitud de arco, pues ya sabemos que, en general, no es posible encontrar su reparametrizaci´on por el arco. Sea α : I −→ R3 una curva parametrizada regular con par´ametro t y consideremos β (s) = (α ◦ h)(s) su reparametrizaci´on por la longitud de arco. Se definen la curvatura y la torsi´on de α como la curvatura y la torsi´on, respectivamente, de su ¡ ¢ ¡ ¢ reparametrizaci´on por la longitud de arco: kα (t) := kβ g(t) y τα (t) := τβ g(t) , 42

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Curvas en el plano y en el espacio

donde, como es ya usual, representamos por g = h−1 . Buscamos entonces las expresiones adecuadas para kα (t) y τα (t) que s´olo involucren a la propia curva α (v´ease tambi´en la proposici´on 1.2.3).

Proposici´on 1.3.5. Sea α : I −→ R3 una curva parametrizada regular. Entonces ¯ 0 ¯ ¯α (t) ∧ α 00 (t)¯ , (1.15) kα (t) = ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯3 ¡ ¢ det α 0 (t), α 00 (t), α 000 (t) . (1.16) τα (t) = − ¯ ¯ ¯α 0 (t) ∧ α 00 (t)¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ Demostraci´on. Obs´ervese que kβ (s) = ¯β 00 (s)¯ = ¯β 0 (s) ∧ β 00 (s)¯ (β 0 y β 00 son ortogonales). Adem´as, ¡ ¢ β 0 (s) = α 0 h(s) h0 (s), ¡ ¢ ¡ ¢ β 00 (s) = α 00 h(s) h0 (s)2 + h00 (s)α 0 h(s) , ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ β 000 (s) = α 000 h(s) h0 (s)3 + 3h0 (s)h00 (s)α 00 h(s) + h000 (s)α 0 h(s) . Sustituyendo en las f´ormulas de la curvatura y la torsi´on, se obtienen las relaciones buscadas: ¯ 0 ¯ ¯¯ 0 ¡ ¢ 0 £ 00 ¡ ¢ 0 2 ¡ ¢¤¯¯ 00 00 0 ¯ ¯ kβ (s) = β (s) ∧ β (s) = ¯α h(s) h (s) ∧ α h(s) h (s) + h (s)α h(s) ¯ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢¯ ¯ 0 00 h(s) ¯ ¯ ¯ ¡ α α h(s) ∧ ¯ ¢ ¡ ¢¯ ¯ ¯ , = h0 (s)3 ¯α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) ¯ = ¯ ¡ ¢¯3 ¯α 0 h(s) ¯ ¯ ¡ ¢¯ pues, recordemos, h0 (s) = 1/ ¯α 0 h(s) ¯ (v´ease la p´agina 30); para la torsi´on, ­ 0 ¡ ¢ ® det β 0 (s), β 00 (s), β 000 (s) β (s) ∧ β 00 (s), β 000 (s) =− ¯ τβ (s) = − ¯ ¯ ¯ ¯β 00 (s)¯2 ¯β 0 (s) ∧ β 00 (s)¯2 D ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢E h0 (s)3 α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) , h0 (s)3 α 000 h(s) =− ¯ ¢ ¡ ¢¤¯¯2 ¯ 0 3 £ 0¡ ¯h (s) α h(s) ∧ α 00 h(s) ¯ ³ ¡ D ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢´ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢E det α 0 h(s) , α 00 h(s) , α 000 h(s) α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) , α 000 h(s) . =− =− ¯ ¡ ¯ ¡ ¢ ¡ ¢¯ ¢ ¡ ¢¯ ¯α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) ¯2 ¯α 0 h(s) ∧ α 00 h(s) ¯2 Esto concluye la demostraci´on. 1.3.2.

Teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas en el espacio

El teorema fundamental de la Teor´ıa Local de curvas en el espacio establece que cualquier curva parametrizada regular en el espacio eucl´ıdeo R3 est´a determinada un´ıvocamente, salvo movimientos r´ıgidos, por su curvatura y su torsi´on. Antes de enunciar y demostrar este resultado, necesitamos el siguiente lema. 43

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Lema 1.3.6. Sean α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., y Mx = Ax + b un movimiento r´ıgido. Sea β = M ◦ α . Entonces:

i) β est´a parametrizada por la longitud de arco; ii) kβ (s) = kα (s); iii) τβ (s) = ±τα (s) = (det A)τα (s) (dependiendo de que M sea directo o inverso). Demostraci´on. Veamos i) y ii): como β 0 (s) = Aα 0 (s) y β 00 (s) = Aα 00 (s), se tiene que ¯ 0 ¯2 ­ 0 ® ­ ® ­ ® ¯β (s)¯ = β (s), β 0 (s) = Aα 0 (s), Aα 0 (s) = α 0 (s), α 0 (s) = 1, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ kβ (s) = ¯β 00 (s)¯ = ¯Aα 00 (s)¯ = ¯α 00 (s)¯ = kα (s). Para demostrar el apartado iii), obs´ervese que Atα (s) = Aα 0 (s) = β 0 (s) = tβ (s), µ 00 ¶ Aα 00 (s) β 00 (s) α (s) = = = nβ (s). Anα (s) = A kα (s) kα (s) kβ (s) ¿Qu´e vale entonces Abα (s)? Como A es una transformaci´on ortogonal que conserva el producto escalar, llevar´a bases ortonormales a bases ortonormales; por lo tanto, ª © ª © Atα (s), Anα (s), Abα (s) = tβ (s), nβ (s), Abα (s) es tambi´en una base ortonormal, lo que implica que Abα (s) = ±bβ (s) = (det A)bβ (s) (vector unitario, ortogonal a tβ (s) y nβ (s)), dependiendo de que A sea directo o inverso. Luego D E ­ ® ­ ¡ ¢ ® τβ (s) = bβ0 (s), nβ (s) = ±Abα0 (s), nβ (s) = ± A τα (s)nα (s) , nβ (s) ­ ® = ±τα (s) nβ (s), nβ (s) = ±τα (s). Teorema 1.3.7 (fundamental de curvas en R3 ). Sean k, τ : I −→ R funciones diferenciables, con k(s) > 0 para todo s ∈ I. Entonces existe una curva regular, p.p.a., α : I −→ R3 , cuya curvatura kα (s) = k(s) y cuya torsi´on τα (s) = τ (s), para todo s ∈ I. Adem´as, si β : I −→ R3 es otra curva regular p.p.a. con curvatura kβ (s) = k(s) y torsi´on τβ (s) = τ (s), para todo s ∈ I, entonces existe un movimiento r´ıgido directo M : R3 −→ R3 , Mx = Ax + b, tal que β = M ◦ α .

Demostraci´on. La prueba de la existencia de α no es constructiva, al contrario de lo que ocurr´ıa con el caso de curvas planas. Obs´ervese que las f´ormulas de Frenet (1.13) pueden verse como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en I × R9 , sin m´as que considerar como inc´ognitas las funciones coordenadas de los vectores ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ t(s) = t1 (s),t2 (s),t3 (s) , n(s) = n1 (s), n2 (s), n3 (s) , b(s) = b1 (s), b2 (s), b3 (s) . Fijadas entonces como condiciones iniciales s0 ∈ I y una base ortonormal positiª © vamente orientada t0 = (t10 ,t20 ,t30 ), n0 = (n01 , n02 , n03 ), b0 = (b01 , b02 , b03 ) , el correspondiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales asegura la existencia de una u´ nica aplicaci´on diferenciable f : I −→ R9 , ¡ ¢ f (s) = t(s), n(s), b(s) , verificando (1.13) y tal que f (s0 ) = (t0 , n0 , b0 ) (obs´ervese que el dominio de definici´on de f es el propio I, pues el sistema es lineal, v´ease [12]). 44

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Curvas en el plano y en el espacio

Veamos que la terna {t(s), n(s), b(s)} es una base ortonormal para todo s ∈ I. En efecto, utilizando las ecuaciones (1.13) podemos calcular las derivadas de los distintos productos escalares obtenidos con dichos vectores,

­ ® ® ­ ® ­ ® d ­ t(s), n(s) = k(s) n(s), n(s) − k(s) t(s), t(s) − τ (s) t(s), b(s) , ds ­ ® ® ­ ® d ­ t(s), b(s) = k(s) n(s), b(s) + τ (s) t(s), n(s) , ds ­ ® ­ ® ® ­ ® d ­ n(s), b(s) = −k(s) t(s), b(s) − τ (s) b(s), b(s) + τ (s) n(s), n(s) , ds ® ­ ® d ­ t(s), t(s) = 2k(s) t(s), n(s) , ds ­ ® ® ­ ® d ­ n(s), n(s) = −2k(s) t(s), n(s) − 2τ (s) n(s), b(s) , ds ­ ® ® d ­ b(s), b(s) = 2τ (s) n(s), b(s) , ds lo que vuelve a ser un sistema de ecuaciones diferenciales cuyas inc´ognitas son ­ ® ­ ® ahora tales productos escalares. Es f´acil ver que t(s), n(s) ≡ 0, t(s), b(s) ≡ 0, ­ ® ­ ® ­ ® ­ ® n(s), b(s) ≡ 0, t(s), t(s) ≡ 1, n(s), n(s) ≡ 1 y b(s), b(s) ≡ 1 es una soluci´on de dicho sistema con condiciones iniciales 0, 0, 0, 1, 1, 1 en s0 . Por la unicidad de soluciones, obtenemos que la terna {t(s), n(s), b(s)} es una base ortonormal para todo s ∈ I, tal y como se quer´ıa demostrar. Finalmente, la curva buscada α : I −→ R3 se define trivialmente como µZ ¶ Z Z Z α (s) := t(s) ds = t1 (s) ds, t2 (s) ds, t3 (s) ds . Es claro que α 0 (s) = t(s) (y por tanto que α est´a p.p.a.) y que α 00 (s) = k(s)n(s) (utilizando el sistema (1.13)). En consecuencia, k(s) es la curvatura de α en s. Adem´as, dado que α 000 (s) = k0 (s)n(s) − k(s)2 t(s) − k(s)τ (s)b(s), podemos utilizar la f´ormula (1.14) y concluir que la torsi´on de α vale ­ 0 ® ¢ ¡ α (s) ∧ α 00 (s), α 000 (s) det α 0 (s), α 00 (s), α 000 (s) =− − ¯ ¯ k(s)2 ¯α 00 (s)¯2 D ¢E ¡ ¢¡ t(s) ∧ k(s)n(s) , k0 (s)n(s) − k(s)2 t(s) − k(s)τ (s)b(s) =− k(s)2 ­ ® ¡ ¢ = τ (s) t(s) ∧ n(s), b(s) = τ (s) det t(s), n(s), b(s) = τ (s). La demostraci´on de la unicidad sigue las mismas pautas que en el caso de curvas planas. Supongamos por tanto que existen dos curvas α : I −→ R3 y β : I −→ R3 con igual curvatura, kα (s) = k(s) = kβ (s) e id´entica torsi´on, τα (s) = τ (s) = τβ (s). Fijamos s0 ∈ I. Representamos por {tα , nα , bα } y {tβ , nβ , bβ }, respectivamente, los triedros de Frenet de α y de β . Entonces, existe una u´ nica transformaci´on ortogonal positiva A ∈ SO(3) del subgrupo especial ortogonal, tal que Atα (s0 ) = tβ (s0 ), Anα (s0 ) = nβ (s0 ) y Abα (s0 ) = bβ (s0 ). 45

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Definimos el vector b := β (s0 ) − Aα (s0 ), y construimos el movimiento r´ıgido Mx := Ax + b. Sea γ = M ◦ α . Vamos a comprobar que γ ≡ β , lo que concluir´a la demostraci´on. Claramente, se satisfacen las siguientes igualdades:

γ (s0 ) = M α (s0 ) = Aα (s0 ) + b = β (s0 ), ¢0 ¡ t0γ (s0 ) = γ 0 (s0 ) = Aα + b (s0 ) = Aα 0 (s0 ) = Atα (s0 ) = tβ (s0 ), kγ (s) = kα (s) = kβ (s) = k(s)

τγ (s) = τα (s) = τβ (s) = τ (s) nγ (s0 ) =

γ 00 (s0 ) kγ (s0 )

=

Aα 00 (s0 ) kα (s0 )

=A

(lema 1.3.6), µ

α 00 (s0 )

¶

kα (s0 )

(lema 1.3.6, por ser M directo), = Anα (s0 ) = nβ (s0 ),

bγ (s0 ) = tγ (s0 ) ∧ nγ (s0 ) = tβ (s0 ) ∧ nβ (s0 ) = bβ (s0 ); esto es, tanto las curvas como sus triedros coinciden en s0 , adem´as de coincidir las funciones curvatura y torsi´on. Definimos ahora la funci´on ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯2 ´ 1 ³¯¯ tβ (s) − tγ (s)¯ + ¯nβ (s) − nγ (s)¯ + ¯bβ (s) − bγ (s)¯ , f (s) := 2 que verifica f (s0 ) = 0. Un sencillo c´alculo permite comprobar que E D E D E D f 0 (s) = t0β − t0γ , tβ − tγ + nβ0 − nγ0 , nβ − nγ + bβ0 − bγ0 , bβ − bγ ® ­ ® ­ = knβ − knγ , tβ − tγ + −ktβ − τ bβ + ktγ + τ bγ , nβ − nγ ® ­ + τ nβ − τ nγ , bβ − bγ = 0. En consecuencia, f es una funci´on constante, y dado que f (s0 ) = 0, concluimos que f ≡ 0. Esto nos asegura a su vez que, en particular, tβ (s) = tγ (s) para todo s ∈ I, es decir, que (β − γ )0 (s) = 0. Y de nuevo utilizamos el mismo argumento: como β − γ es constante y β (s0 ) = γ (s0 ), podemos concluir finalmente que β ≡ γ . 1.4.

TEOR´IA GLOBAL DE CURVAS PLANAS

En esta secci´on queremos describir algunos resultados que pertenecen a lo que se denomina la Geometr´ıa Diferencial global de curvas. Hasta ahora, las propiedades que hemos estudiado pueden aplicarse, no a toda la curva, sino a un entorno de un punto de la misma. Los resultados que veremos a continuaci´on son globales: hacen referencia a toda la curva y a propiedades que afectan a la curva vista como un todo. Definici´on 1.4.1. Una curva parametrizada α : I −→ R2 es cerrada si es peri´odica, es decir, si existe un n´umero real positivo a tal que α (t + a) = α (t), para todo t ∈ I. Se llama periodo de α al menor n´umero positivo a que satisface dicha condici´on. Una curva es simple si, o bien es inyectiva, o bien es peri´odica de periodo a y, en este caso, verifica adem´as que α (t1 ) = α (t2 ) si, y s´olo si, t2 − t1 = na, n ∈ Z.

Figura 1.10: La figura ocho.

Ejemplo 1.11. La circunferencia α (t) = (cost, sent) es una curva cerrada y simple de periodo 2π . Por el contrario, la llamada figura ocho es una curva cerrada, con periodo tambi´en 2π , que no es simple. Su parametrizaci´on es α (t) = (sent, sen 2t), y su representaci´on gr´afica puede verse en la figura 1.10. ♦ 46

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Curvas en el plano y en el espacio

Uno de los teoremas globales de curvas planas m´as importantes (en realidad pertenece al a´ mbito de la Topolog´ıa) es el teorema de la curva de Jordan, cuya demostraci´on, por su complejidad,5 no incluimos aqu´ı (puede consultarse en [30]). Teorema 1.4.2 (de la curva de Jordan). Sea α : I −→ R2 una curva cerrada y simple. Entonces, R2 \α (I) tiene, exactamente, dos componentes conexas, cuya frontera com´un es α (I).

Una de las dos componentes est´a siempre acotada (denominada interior de α ) y la otra no (llamada exterior de α ). As´ı, cuando hablemos del a´ rea acotada por una curva simple y cerrada α , estaremos refiri´endonos al a´ rea del interior de α . 1.4.1. Convexa

Curvas convexas

Definici´on 1.4.3. Se dice que una curva regular α : I −→ R2 es convexa si todas las rectas tangentes a α dejan su traza, α (I), totalmente contenida en uno de los dos semiplanos que dichas rectas determinan. Si representamos por R la componente interior de una curva α : I −→ R2 regular cerrada y simple, la definici´on anterior es equivalente a la siguiente:

No convexa

Definici´on 1.4.4. Una curva regular cerrada y simple α : I −→ R2 es convexa si, dados dos puntos cualesquiera de su componente interior R, el segmento que los une est´a totalmente contenido en R. Se dice entonces que R es un conjunto convexo.

Algunas de las medidas geom´etricas m´as importantes asociadas a una curva convexa y cerrada son el a´ rea, la longitud (o per´ımetro), el di´ametro y la anchura. No convexa

Definici´on 1.4.5. Sea α : I −→ R2 una curva convexa y cerrada. Se define la anchura de α en la direcci´on u como la distancia entre las dos rectas paralelas tangentes a α , que son ortogonales a u. La mayor de todas estas anchuras es el di´ametro de α .

Figura 1.11: Ejemplos de curvas convexas y no convexas.

Es sencillo comprobar que el di´ametro de una curva convexa cerrada α coincide con la mayor distancia entre dos puntos cualesquiera de α . Adem´as, se dice que una curva tiene anchura constante si su anchura es la misma en cualquier direcci´on u. Existen muchas curvas de anchura constante; entre los ejemplos m´as conocidos nos encontramos con la circunferencia y los llamados pol´ıgonos de Reuleaux (´estos se obtienen a partir de los pol´ıgonos regulares con un n´umero impar de lados, al sustituir cada arista por un arco de circunferencia, con centro el v´ertice opuesto, y radio la distancia de e´ ste a cualquiera de los v´ertices que determinan dicha arista). Vamos a calcular a continuaci´on la longitud y el a´ rea de una curva α : I −→ R2 convexa y cerrada. Para ello, supongamos que el origen de coordenadas 0 es un punto interior a α . 5

Pese al enunciado sencillo, se trata de uno de los teoremas m´as profundos de una rama de la Topolog´ıa conocida como Topolog´ıa Algebraica.

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Consideremos la recta tangente a α en un punto de la curva (x1 , x2 ) ∈ α (I), y la perpendicular a dicha recta que pasa por 0. Sea ϕ el a´ ngulo que forma esta perpendicular con el eje x (v´ease la figura 1.12). La distancia de 0 a la recta tangente es una funci´on en ϕ peri´odica, y de periodo 2π ; representamos esta distancia por p(ϕ ). As´ı, siguiendo esta notaci´on, la ecuaci´on de la recta tangente a α en (x1 , x2 ) puede escribirse de la forma (1.17) x1 cos ϕ + x2 sen ϕ = p(ϕ ).

Derivando esta igualdad obtenemos −x1 sen ϕ +x2 cos ϕ = p0 (ϕ ), ecuaci´on que, junto con (1.17), determina un sistema de ecuaciones del que podemos obtener las coordenadas x1 y x2 en funci´on de ϕ y p(ϕ ). Esto nos da una representaci´on param´etrica de la curva α , con par´ametro ϕ : ( ¡ ¢ x1 (ϕ ) = p(ϕ ) cos ϕ − p0 (ϕ ) sen ϕ , (1.18) α (ϕ ) = x1 (ϕ ), x2 (ϕ ) con x2 (ϕ ) = p0 (ϕ ) cos ϕ + p(ϕ ) sen ϕ .

p(ϕ )

ϕ 0

α

Figura 1.12: Las coordenadas polares tangenciales.

¡ ¢ Por tanto, dados ϕ y p(ϕ ), queda determinado un u´ nico punto x1 (ϕ ), x2 (ϕ ) en la curva α . Y rec´ıprocamente, dado un punto (x1 , x2 ) ∈ α (I), existen ϕ y ¡ ¢ (x1 , x2 ) p(ϕ ) u´ nicos en las condiciones anteriores. El par ϕ , p(ϕ ) recibe el nombre de coordenadas polares tangenciales del punto (x1 , x2 ). Nos encontramos ya en disposici´on de calcular la longitud y el a´ rea de α . Sabemos que la longitud de una curva se obtiene integrando el m´odulo de su vector velocidad. As´ı pues, en el caso que nos ocupa, utilizando (1.18) obtenemos que Z 2π¯ Z 2πq Z 2π¡ ¯ ¢ ¯α 0 (ϕ )¯ d ϕ = p(ϕ )+p00 (ϕ ) d ϕ ; x10 (ϕ )2 + x20 (ϕ )2 d ϕ = L := L20π (α ) = 0

0

0

una funci´on peri´odica de periodo 2π (recu´erdese que p(ϕ ) lo por u´ ltimo, al ser es), llegamos a la expresi´on final para la longitud de α , relaci´on que se conoce como la f´ormula de Cauchy: p0 ( ϕ )

L=

Z 2π 0

p(ϕ ) d ϕ .

(1.19)

Observaci´on 1.4. Si tenemos una curva convexa α cuya traza est´a contenida en la componente interior de otra curva α (esta u´ ltima, no necesariamente convexa), es claro que p(ϕ ) ≤ p(ϕ ); la f´ormula de Cauchy nos asegura entonces que la longitud de la primera es siempre menor o igual que la longitud de la segunda. ♦ Calculemos finalmente el a´ rea de la curva α , la cual puede obtenerse como la integral de l´ınea (ds representa aqu´ı el elemento de l´ınea) Z Z Z ¯ 0 ¯ £ ¤ 1 2π 1 2π 1 ¯ ¯ p(ϕ ) p(ϕ ) + p00 (ϕ ) d ϕ . p(ϕ ) α (ϕ ) d ϕ = p(ϕ ) ds = A= 2 0 2 0 2 α Resolviendo esta integral se llega finalmente a la llamada f´ormula de Blaschke para el a´ rea de una curva cerrada: Z ¤ 1 2π £ p(ϕ )2 − p0 (ϕ )2 d ϕ . (1.20) A= 2 0 48

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Curvas en el plano y en el espacio

Ejemplo 1.12. Sea α : I −→ R2 convexa y cerrada. Vamos a calcular el a´ rea y la longitud de su curva paralela a distancia ρ (definici´on 1.2.8) en funci´on del a´ rea A ¡ ¢ y la longitud L de α . Si las coordenadas polares tangenciales de α son ϕ , p(ϕ ) en ¡ ¢ ¡ ¢ un punto, las de la curva paralela αρP son ϕ , pρ (ϕ ) = ϕ , p(ϕ ) + ρ . Por tanto, un sencillo c´alculo permite comprobar que la longitud y el a´ rea de αρP valen

Lρ =

Z 2π 0

pρ (ϕ ) d ϕ =

Z 2π £ 0

Z ¤ p(ϕ ) + ρ d ϕ =

2π

0

p(ϕ ) d ϕ + 2πρ = L + 2πρ ,

Z i i ¢2 1 2 π h¡ pρ (ϕ )2 − pρ0 (ϕ )2 d ϕ = p(ϕ ) + ρ − p0 (ϕ )2 d ϕ 2 0 0 Z 2π £ Z Z ¤ 1 1 2π 1 2π 2 p(ϕ )2 − p0 (ϕ )2 d ϕ + 2ρ p(ϕ ) d ϕ + = ρ dϕ 2 0 2 0 2 0

Aρ =

1 2

Z 2π h

= A + ρ L + πρ 2 . Las relaciones obtenidas, Aρ = A + ρ L + πρ 2 ,

Lρ = L + 2πρ ,

(1.21)

se conocen con el nombre de f´ormulas de Steiner.

♦

Vamos a demostrar un primer resultado global para curvas planas, el llamado teorema de Rosenthal y Szasz. Teorema 1.4.6 (de Rosenthal y Szasz). Toda curva convexa y cerrada, de longitud L y di´ametro D, verifica L ≤ π D. La igualdad se alcanza si, y s´olo si, la curva tiene anchura constante D. Demostraci´on. Utilizando la f´ormula de Cauchy (1.19), expresamos la longitud de la curva de la forma L=

Z 2π 0

p(ϕ ) d ϕ =

Z π 0

p(ϕ ) d ϕ +

Z 2π π

p(ϕ ) d ϕ =

Z π£ 0

¤ p(ϕ ) + p(ϕ + π ) d ϕ .

Obs´ervese que p(ϕ ) + p(ϕ + π ) es, precisamente, la anchura de la curva en la direcci´on determinada por el a´ ngulo ϕ ; dado que el di´ametro es la mayor de todas las anchuras, se tiene claramente que p(ϕ ) + p(ϕ + π ) ≤ D, luego L=

Z π£ 0

Z ¤ p(ϕ ) + p(ϕ + π ) d ϕ ≤

0

π

D d ϕ = π D.

La igualdad se alcanzar´a si, y s´olo si, todas las anchuras son iguales (e iguales a D), esto es, si la curva es de anchura constante D. El siguiente resultado es un corolario inmediato al teorema anterior, aunque fue demostrado independientemente por Barbier, por lo que lleva su nombre. Corolario 1.4.7 (Teorema de Barbier). Todas la curvas convexas y cerradas de anchura constante D tienen la misma longitud: L = π D. 49

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1.4.2.

´ La desigualdad isoperimetrica

Uno de los problemas m´as antiguos de la Geometr´ıa es el conocido problema isoperim´etrico. Su origen es legendario, y se vincula a la fundaci´on de la ciudad de Carthago (llamada por los fenicios Kart-Hadasht) en el siglo VIII a.C. Seg´un el historiador griego Timaeus (356-260 a.C.), Carthago fue fundada en el a˜no 814 a.C. por una expedici´on de fenicios de Tiro (L´ıbano) encabezados por una tal Elyssa quienes, tras desembarcar en Chipre (otra colonia fenicia) ponen rumbo al ´ norte de Africa, llegando a las costas de la actual T´unez. Sin embargo, la historia se confunde con la tradici´on y la leyenda, siendo la m´as conocida la romana, de la que tenemos conocimiento gracias a la Eneida de Virgilio: ... His commota fugam Dido sociosque parabat: conveniunt, quibus aut odium crudele tyranni aut metus acer erat; navis, quae forte paratae, corripiunt, onerantque auro: portantur avari Pygmalionis opes pelago; dux femina facti.

... Dido preparaba su fuga y reun´ıa los que hab´ıan de acompa˜narla, se˜nalados entre los que m´as detestaban o tem´ıan al cruel tirano; apod´eranse de unas naves que por dicha estaban aparejadas, y las cargan de oro; las riquezas del avaro Pigmali´on van por el mar, y una mujer capitanea la empresa.

Devenere locos ubi nunc ingentia cernis Moenia surgentemque norae Carthaginis arcem, Mercatique solum, facti de nomine Bursam, Taurino quantum possent circumdare tergo...

Llegaron los fugitivos a estos sitios, donde ahora ves las altas murallas y el alc´azar, ya comenzado a levantar, de la nueva Carthago, y compraron una porci´on de terreno, tal que pudiera toda ella cercarse con la piel de un toro, de donde le vino el nombre de Byrsa...

Virgilius, Aeneid I, 360-368

´ nos dice que tras una guerra civil en la ciudad fenicia de Tiro, el rey PigmaEsta li´on (personaje hist´orico que gobern´o dicha ciudad cerca de un siglo) vence dando 50

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muerte al sumo sacerdote Acerbas (Siqueo, en la leyenda), apoder´andose as´ı de sus enormes riquezas. Es entonces cuando la reina Elyssa (Dido, en la leyenda), hermana de Pigmali´on y esposa de Acerbas, huye con sus partidarios y encabeza una expedici´on que atraviesa el Mediterr´aneo hasta llegar a las costas tunecinas, donde deciden establecerse, fundando as´ı la que fue capital del gran imperio cartagin´es. Elyssa-Dido negocia con el rey de la tribu local libia la adquisici´on de tierras para fundar una ciudad, y e´ ste, reacio a la intrusi´on, les concede la porci´on de terreno que pudiesen abarcar con una piel de toro. La reina, haciendo gala de un gran ingenio, corta la piel en fin´ısimas tiras y forma una cinta de gran longitud (una curva), con la que consigue delimitar una extensa porci´on de tierra; para ello, tiene en cuenta adem´as la privilegiada situaci´on de la ciudad: su ubicaci´on junto a las costas del Mediterr´aneo. ¿Qu´e curva dibuj´o Dido con la cinta de que dispon´ıa para abarcar un recinto de a´ rea m´axima, considerando adem´as que se encontraban junto a las costas del Mediterr´aneo? Los griegos ya conoc´ıan el hecho de que, en el plano, la curva que encierra a´ rea m´axima entre todas las que tienen una longitud fija es la circunferencia, aunque no nos ha llegado a nosotros ninguna demostraci´on de esa e´ poca. Esta afirmaci´on es equivalente a decir que si α es una curva cerrada en el plano con a´ rea A y longitud L, entonces L2 ≥ 4π A, d´andose la igualdad si, y s´olo si, α es una circunferencia. Esta relaci´on se conoce como la desigualdad isoperim´etrica cl´asica. Si volvemos al problema de la fundaci´on de Carthago, la soluci´on dada por la reina Dido a la pregunta anterior fue una semicircunferencia con la costa africana como base, a la que corta ortogonalmente. Este tipo de problemas, en los que se fija una curva como parte de la frontera, se conocen como problemas de tipo Dido. ´ Figura 1.13: El problema clasico de Dido.

A mediados del siglo XIX, Jakob Steiner dio diversas demostraciones de la desigualdad isoperim´etrica, aunque no eran rigurosas pues no resolv´ıan el problema en su totalidad; lo que en realidad probaba era que, en caso de existir una curva o´ ptima, deb´ıa ser una circunferencia. Weierstrass apunt´o la necesidad de demostrar tambi´en la existencia de una soluci´on o´ ptima, lo que no est´a siempre asegurado; de hecho, si se presupone siempre la existencia, se puede incurrir en contradicciones. La prueba que presentamos resuelve el problema isoperim´etrico en el plano (la desigualdad tiene su an´alogo en dimensi´on arbitraria), y fue obtenida por Schmidt en 1939 (v´ease [37]). Obs´ervese que no es necesario que la curva sea convexa. Teorema 1.4.8 (La desigualdad isoperim´etrica). Entre todas las curvas simples y cerradas de longitud dada L, la que encierra mayor a´ rea es la circunferencia. En otras palabras; si A es el a´ rea de la regi´on acotada por una curva simple y cerrada α de longitud L, entonces L2 ≥ 4π A,

alcanz´andose la igualdad si, y s´olo si, α es una circunferencia.

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En su demostraci´on, vamos a utilizar la siguiente f´ormula6 para el a´ rea A acotada por una curva cerrada, simple y positivamente orientada α (t) = (x1 (t), x2 (t)), donde t ∈ [a, b] es un par´ametro arbitrario:

A= α

ℓ1

ℓ2

p

6y

γ p 0

-

´ de Figura 1.14: Demostracion ´ la desigualdad isoperimetrica.

Z b£ a

Z b Z b ¤ x1 (t)x20 (t) − x2 (t)x10 (t) dt = x1 (t)x20 (t) dt = − x2 (t)x10 (t) dt. (1.22) a

a

Demostraci´on. Sean e1 y e2 dos rectas paralelas que no intersecan a la curva α . Movemos estas rectas en la direcci´on ortogonal a las mismas, hasta que sean tangentes a α en dos puntos p0 y p; llamamos `1 y `2 , respectivamente, a tales rectas (v´ease la figura 1.14). Sea adem´as γ una circunferencia que no corta a α y que es tangente a `1 y `2 en los puntos p0 y p, respectivamente. Representaremos por r el radio de dicha circunferencia y por 0 su centro.

p0

p0

1 2

x

Tomamos 0 como el origen de coordenadas de un sistema de referencia 0xy, para el cual el eje x es ortogonal a las rectas `1 y `2 . Suponemos adem´as que α est´a orientada en el sentido de las agujas del reloj, y parametrizada por la longitud de arco, ¡ ¢ digamos α (s) = x(s), y(s) , de forma que α (0) = α (L) = p (la curva es cerrada) y α (s0 ) = p0 para un cierto valor del par´ametro s0 ∈ (0, L). Entonces, parametrizamos ¡ ¢ la circunferencia γ de la siguiente forma: γ (s) = z(s), ω (s) , donde ( p − r2 − x(s)2 si 0 ≤ s ≤ s0 p z(s) = x(s), ω (s) = r2 − x(s)2 si s0 ≤ s ≤ L. El a´ rea encerrada por la circunferencia γ es, claramente, π r2 . Utilizando dos de las expresiones que aparecen en la f´ormula (1.22), obtenemos que las a´ reas de las curvas α y γ se pueden escribir, respectivamente, de la forma

A=

Z L

0

x(s)y (s) ds,

0

Por lo tanto, A + π r2 = =

Z L¡ 0

2

πr = −

Z L 0

0

ω (s)z (s) ds = −

0

ω (s)x0 (s) ds.

Z L¯ ¯ ¢ ¯x(s)y0 (s) − ω (s)x0 (s)¯ ds x(s)y0 (s) − ω (s)x0 (s) ds ≤ 0

(1.23)

Z L ¯D¡ ¢E¯¯ ¢¡ ¯ ¯ x0 (s), y0 (s) , −ω (s), x(s) ¯ ds 0

Z L ¯¡ ¢¯¯ ¢¯¯¯¯¡ ¯ 0 ≤ ¯ x (s), y0 (s) ¯¯ −ω (s), x(s) ¯ ds 0

=

Z L

Z Lq 0

x0 (s)2 + y0 (s)2

(1.24)

q x(s)2 + ω (s)2 ds.

Como la curva α est´a p.p.a., se tiene que x0 (s)2 + y0 (s)2 = 1, y en consecuencia, Z Lq Z Lq q x0 (s)2 + y0 (s)2 x(s)2 + ω (s)2 ds = x(s)2 + ω (s)2 ds = rL. A + π r2 ≤ 0

6

0

La primera igualdad se obtiene usando la f´ormula de Green en el plano (v´ease el teorema 6.1.8). ¡ ¢0 Las siguientes son consecuencia inmediata de que x1 (t)x2 (t) = x10 (t)x2 (t) + x1 (t)x20 (t), y de que la curva es cerrada.

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Utilizando ahora la desigualdad existente entre las medias geom´etrica y aritm´etica de dos n´umeros positivos cualesquiera (la primera es menor o igual que la segunda, d´andose la igualdad si, y s´olo si, ambos n´umeros son iguales), tenemos que √ A + π r2 rL A π r2 ≤ ≤ . 2 2

(1.25)

Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la relaci´on anterior, se obtiene de forma inmediata la desigualdad isoperim´etrica: Aπ r2 ≤ r2 L2 /4, esto es, L2 ≥ 4π A.

Para concluir la demostraci´on es necesario probar que la igualdad se alcanza si, y s´olo si, α es una circunferencia de longitud L. Supongamos que se verifica L2 = 4π A. Entonces, todas las desigualdades que aparecen en la demostraci´on, esto es, (1.23), (1.24) y (1.25), deben ser igualdades. La igualdad en (1.25) implica que A = π r2 , en cuyo caso, L2 = 4π 2 r2 . Esto es, L = 2π r, lo que prueba que el radio r es constante, no dependiendo de la elecci´on de las rectas `1 y `2 . La igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.24) se tiene si, y s´olo si, los dos vectores son proporcionales. Luego existe una constante c tal que ¢ ¡ ¢ ¡ −ω (s), x(s) = c x0 (s), y0 (s) , de donde se deduce, tomando m´odulos, la re¯¡ ¯¡ ¢¯ ¢¯ laci´on ¯ −ω (s), x(s) ¯ = |c| ¯ x0 (s), y0 (s) ¯. En consecuencia, la constante c (su valor absoluto) es q

|c| =

ω (s)2 + x(s)2 = r.

Por otro lado, x(s)y0 (s) − ω (s)x0 (s) =

¯¡ ¢¯2 ­¡ ¢¡ ¢® −ω (s), x(s) , x0 (s), y0 (s) = c¯ x0 (s), y0 (s) ¯

= c = ±r. La igualdad en (1.23) implica que x(s)y0 (s)− ω (s)x0 (s) > 0, y en consecuencia, por el apartado anterior, que c = r.

En particular se tiene que x(s) = ry0 (s). Finalmente, debido a que r es constante y no depende de las rectas `1 y `2 , ser´a tambi´en independiente de la elecci´on de los ejes coordenados. Podemos por tanto intercambiar x(s) e y(s) en la u´ ltima relaci´on, obteni´endose as´ı que y(s) = rx0 (s). En consecuencia, ¢ ¡ x(s)2 + y(s)2 = r2 x0 (s)2 + y0 (s)2 = r2 , ¡ ¢ lo que prueba que α (s) = x(s), y(s) es una circunferencia. Esto concluye la demostraci´on de la desigualdad isoperim´etrica. Un excelente survey sobre el problema isoperim´etrico puede encontrarse en [33]. La desigualdad isodiam´etrica (o teorema de Bieberbach) se puede obtener como una sencilla consecuencia de la desigualdad isoperim´etrica y del teorema 1.4.6 de Rosenthal y Szasz previamente demostrado: 53

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Corolario 1.4.9 (Teorema de Bieberbach). Si A es el a´ rea de la regi´on encerrada por una curva convexa y cerrada α de di´ametro D, entonces

4A ≤ π D2 , alcanz´andose la igualdad si, y s´olo si, α es una circunferencia. Demostraci´on. El teorema 1.4.6 nos asegura que π D ≥ L. Elevando ambos lados de la desigualdad al cuadrado y uniendo la relaci´on resultante a la desigualdad isoperim´etrica, obtenemos que π 2 D2 ≥ L2 ≥ 4π A, es decir, π D2 ≥ 4A. Para que se alcance la igualdad, e´ sta debe darse en las dos desigualdades que entran en juego; por tanto, s´olo para la circunferencia.

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EJERCICIOS Ejercicio 1.1 (La espiral logar´ıtmica). Sea α : R −→ R2 la curva parametrizada por α (t) = aebt (cost, sent), donde a > 0 y b < 1. Esta curva recibe el nombre de espiral logar´ıtmica (v´ease la figura 1.15). Calcular la funci´on longitud de arco de α . Reparametrizar α por la longitud de arco.

Figura 1.15: Espiral logar´ıtmica.

No es de extra˜nar que esta espiral sea la forma elegida por la Naturaleza en muy diversas situaciones (v´ease la figura 1.16) pues, en lo que respecta a la din´amica de poblaciones y la evoluci´on celular, debemos observar que la velocidad de crecimiento siempre es proporcional a la cantidad de efectivos de la poblaci´on en el instante presente. De ah´ı resulta, en ausencia de factores que limiten el crecimiento, una sencilla ecuaci´on diferencial cuya soluci´on es la funci´on exponencial que aparece en la f´ormula de la espiral logar´ıtmica donde los n´umeros a y b son, sencillamente, las constantes de integraci´on en esta ecuaci´on diferencial.

Figura 1.16: La espiral

logarıtmica aparece en el ´ mundo vegetal, animal, en las borrascas, las galaxias...

Esta curva fue estudiada por primera vez por Descartes, y m´as tarde por Jakob Bernoulli, quien la bautiz´o como la Spira Mirabilis (((espiral maravillosa))). Bernoulli quiso que esta curva apareciese grabada en su l´apida con la inscripci´on Eadem mutata resurgo (((resurjo igual pero cambiada))). Sin embargo, un error hizo que en su lugar se dibujase una espiral de Arqu´ımedes (v´eanse las figuras 1.17 y 1.18).

Figura 1.17: Detalle de la tumba de Jakob Bernoulli en el claustro de la catedral de Basilea, Suiza (foto original).

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La espiral logar´ıtmica se diferencia de la de Arqu´ımedes en que las distancias entre su brazos aumentan en progresi´on geom´etrica, mientras que en la segunda, dichas distancias son constantes (v´eanse la figura 1.18 y la pr´actica A.17).

Figura 1.18: La espiral de Arqu´ımedes.

Ejercicio 1.2 (La tractriz). Sea α : (0, π /2) −→ R2 la curva tractriz, dada por ¡ ¢ α (t) = sent, cost + log tg(t/2) (v´ease la figura 1.19). Demostrar que la longitud del segmento de recta tangente a la tractriz entre el punto de tangencia y el eje y es constante. Reparametrizar esta curva por la longitud de arco.

La tractriz recibe tambi´en el nombre de curva de la persecuci´on, pues describe la trayectoria seguida por un objeto que se desplaza a velocidad constante y que persigue de forma o´ ptima a otro objeto que se mueve en l´ınea recta a velocidad (distinta) tambi´en constante. Ejercicio 1.3. Sean α : I −→ R2 una curva plana regular p.p.a. y M : R2 −→ R2 , Mx = Ax + b, un movimiento r´ıgido. Sea β = M ◦ α . Demostrar que la curva β tambi´en est´a p.p.a., que su longitud Lab (β ) = Lab (α ), para cualesquiera a, b ∈ I, y que su curvatura kβ (s) = ±kα (s) = (det A)kα (s), para todo s ∈ I.

Figura 1.19: La tractriz.

Ejercicio 1.4. Determinar la curva plana p.p.a. cuya curvatura viene dada por la funci´on k(s) = 1/s, s > 0. Ejercicio 1.5. Sea α : I −→ R2 una curva regular p.p.a. Probar que α es un segmento de recta o un arco de circunferencia si, y s´olo si, su curvatura es constante. Ejercicio 1.6. Sea α : I −→ R2 una curva regular p.p.a. Probar que α es un segmento de recta si, y s´olo si, todas sus rectas tangentes son paralelas, y que α es un arco de circunferencia si, y s´olo si, todas sus rectas normales pasan por un punto com´un. Ejercicio 1.7. Demostrar que una curva regular α : I −→ R2 p.p.a. es un segmento de recta o un arco de circunferencia si, y s´olo si, todas sus rectas tangentes equidistan de un punto fijo. Ejercicio 1.8. Sea α : I −→ R2 una curva plana regular p.p.a. Supongamos que existe ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ s ∈ I tal que ¯α (s)¯ ≤ ¯α (s0 )¯, para todo s ∈ I. Demostrar que ¯α (s0 )¯ > 0 y que ¯ ¯ ¯ ¯0 ¯k(s0 )¯ ≥ 1/ ¯α (s0 )¯. Ejercicio 1.9. Sea α : I −→ R2 una curva regular p.p.a. con k(s) 6= 0 para todo s ∈ I. Probar que todas las rectas normales a α equidistan de un punto si, y s´olo si, existen √ a, b ∈ R tales que k(s) = ±1/ as + b para todo s ∈ I. Ejercicio 1.10. Demostrar que la evoluta de una curva parametrizada regular plana es independiente de la parametrizaci´on, mientras que su curva paralela es independiente de cualquier parametrizaci´on que conserve la orientaci´on. Ejercicio 1.11. Supongamos que una curva plana regular α : I −→ R2 p.p.a. tiene curvatura positiva y no decreciente. Si β : I −→ R2 es su evoluta, demostrar que Las (β ) = 1/k(a) − 1/k(s), donde a ∈ I es arbitrario y s ∈ I con s ≥ a. 56

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Ejercicio 1.12 (La cicloide). La curva cicloide α (t) = (t − sent, 1 − cost) (v´ease la figura 1.20) es una de las curvas cl´asicas m´as importantes, por muy diferentes motivos. Se construye del siguiente modo: un c´ırculo de radio 1 en el plano gira sin deslizarse sobre el eje x; la figura descrita por un punto de la circunferencia es la cicloide (v´ease la pr´actica A.35).

Figura 1.20: La cicloide.

Entre otras muchas bellas propiedades de esta curva, cabe destacar: es la soluci´on al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso m´as r´apido cuando existe gravedad); resuelve el problema de la tautocrona (descubierto por Christian Huygens: si despreciamos el rozamiento e invertimos una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola, e´ sta llegar´a a la parte m´as baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida). Demostrar que la evoluta de la cicloide tambi´en es una cicloide. Ejercicio 1.13. Probar que la evoluta de la espiral logar´ıtmica es tambi´en una espiral logar´ıtmica (en realidad, la espiral logar´ıtmica es la u´ nica curva que verifica que su evoluta, su involuta, su c´austica y su podaria7 son, a su vez, una espiral logar´ıtmica –de ah´ı la inscripci´on elegida por Bernoulli, v´ease el ejercicio 1.1). Ejercicio 1.14. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. Demostrar que α es un segmento de recta si, y s´olo si, su curvatura k ≡ 0, mientras que α es un arco de circunferencia si, y s´olo si, k > 0 es constante y τ ≡ 0.

Ejercicio 1.15. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. con curvatura k 6= 0. i) Demostrar que α es un arco de circunferencia si, y s´olo si, k > 0 es constante y su traza est´a contenida en un esfera. ii) Sea α (t) = (2 cost, 2 sent,t). Calcular k(t). ¿Es α un arco de circunferencia? Ejercicio 1.16 (Curvas esf´ericas). Una curva regular α : I −→ R3 (p.p.a.) es una curva esf´erica si su gr´afica est´a contenida en una esfera, esto es, si α (I) ⊂ S2 (r). i) Demostrar que una curva esf´erica tiene curvatura k ≥ 1/r. ii) Se llama recta binormal de α en s a la recta que pasa por α (s) con direcci´on b(s). Supongamos que todas las rectas binormales de α (curva esf´erica) son tangentes a S2 (r). Demostrar que α es un arco de circunferencia m´axima. 7

La c´austica y la podaria son dos m´etodos de derivar una nueva curva a partir de una curva dada y un punto, v´eanse [8, 17].

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Ejercicio 1.17 (Teorema de Lancret). Una curva regular α : I −→ R3 es una h´elice generalizada si todas sus rectas tangentes forman un a´ ngulo constante con una direcci´on fija. Demostrar el teorema de Lancret (1802):

Una curva regular α : I −→ R3 p.p.a., con curvatura k > 0 es una h´elice generalizada si, y s´olo si, existe una constante c tal que τ (s) = ck(s) para todo s ∈ I. Ejercicio 1.18. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., con curvatura k > 0. i) Demostrar que α es una h´elice generalizada si, y s´olo si, el vector normal n es ortogonal en todo punto a un vector fijo u (unitario). ii) Sea β (s) =

Z s 0

b(t) dt. Probar que β est´a p.p.a. y calcular su curvatura, torsi´on

y triedro de Frenet, en funci´on de los correspondientes elementos de α . iii) Concluir que α es una h´elice generalizada si, y s´olo si, β tambi´en lo es. Ejercicio 1.19. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., con curvatura k > 0, verificando adem´as τ (s) 6= 0 para todo s ∈ I. Demostrar que α est´a contenida en una esfera de radio r > 0 si, y s´olo si, k0 (s)2 1 = r2 . + k(s)2 k(s)4 τ (s)2

Ejercicio 1.20. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., con curvatura k positiva y torsi´on τ ≡ τ0 6= 0 constante. Probar que la traza de α est´a contenida en una esfera ¢ ¡ si, y s´olo si, existen a, b ∈ R tales que k(s) = 1/ a cos(τ0 s) + b sen(τ0 s) . Ejercicio 1.21 (La velocidad angular). Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., con curvatura k > 0. Probar que existe una curva ω : I −→ R3 tal que las f´ormulas de Frenet de α se pueden expresar de la forma t0 (s) = ω (s) ∧ t(s),

n0 (s) = ω (s) ∧ n(s),

b0 (s) = ω (s) ∧ b(s).

El vector ω (s) se denomina la velocidad angular de α en s. Demostrar que α tiene velocidad angular constante si, y s´olo si, su curvatura y su torsi´on son constantes. Ejercicio 1.22. Sea AB un segmento de recta, y sea ` un n´umero fijo estrictamente mayor que la longitud del segmento AB. Demostrar que la curva α que une A y B de longitud `, tal que α junto con AB acota la mayor a´ rea posible, es un arco de circunferencia que pasa por A y B.

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II

Las superficies regulares En este cap´ıtulo introducimos el concepto m´as importante del libro: el de superficie regular. Una superficie regular es, intuitivamente, un subconjunto de R3 que resulta de tomar trozos de planos, doblarlos de forma suave y pegarlos sin que se note dicha uni´on. La formulaci´on matem´atica precisa no es trivial y su sofisticaci´on excede, con mucho, a la definici´on que hemos presentado de curva regular. La primera secci´on de este cap´ıtulo est´a dedicada a presentar este nuevo concepto y a estudiar sus primeras propiedades. As´ı, despu´es de definir una superficie regular, damos varios ejemplos que ilustran dicha definici´on. Posteriormente, proporcionamos algunos criterios para determinar si un cierto subconjunto de R3 es, o no, una superficie regular. La necesidad de estos criterios viene dada por la propia definici´on de superficie: e´ sta no es operativa si tuvi´eramos que utilizarla para comprobar si un determinado subconjunto es una superficie regular. A continuaci´on, estudiamos algunas propiedades de las superficies regulares. Se demuestra que, localmente, toda superficie regular es difeomorfa a un abierto del plano. De hecho, este difeomorfismo puede tomarse como el grafo de una funci´on diferenciable. Esta propiedad simplifica bastante todas las cuestiones para superficies que pueden plantearse localmente (en t´erminos de un entorno suficientemente peque˜no). El siguiente ep´ıgrafe plantea el problema de las coordenadas. Al contrario de lo que ocurre con las curvas (donde existe un par´ametro distinguido, la longitud de arco) en superficies no existen par´ametros preferentes, por lo que tenemos que dar cabida a toda una familia m´as o menos amplia de sistemas coordenados. Estos sistemas, pese a su diversidad, tienen la virtud de poder intercambiarse unos con otros sin mayor problema. En t´erminos m´as precisos, el cambio de unas coordenadas a otras se efect´ua mediante un difeomorfismo entre abiertos del plano de suerte que las propiedades m´as importantes (relativas a la diferenciabilidad, por ejemplo) definidas en t´erminos de coordenadas se conservar´an, con independencia de las coordenadas utilizadas. Las tres siguientes secciones del cap´ıtulo est´an dedicadas al estudio del C´alculo en superficies. Se define as´ı lo que se entiende por una funci´on diferenciable entre superficies y se construye el plano tangente, para dar paso a la diferencial de una aplicaci´on. Presentamos tambi´en en esta secci´on la generalizaci´on inmediata de los teoremas est´andar del C´alculo en varias variables para superficies regulares. Finalizamos el cap´ıtulo con la secci´on quinta, que nos introduce de lleno en la Geometr´ıa Diferencial de Superficies. La manera de hacer geometr´ıa en una superficie consiste en inducir el producto escalar ordinario en los planos tangentes. A partir de aqu´ı puede construirse toda la geometr´ıa sobre la superficie: medir longitudes,

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a´ ngulos y a´ reas. El producto escalar inducido sobre la superficie (o que hereda la superficie) se denomina ((primera forma fundamental)) y es la piedra angular sobre la que se va a construir el resto de la teor´ıa de este libro. 2.1.

´ DE SUPERFICIE DEFINICION

La noci´on m´as importante de este texto y de la Geometr´ıa Diferencial cl´asica es el de superficie regular. Una superficie regular es, en primera instancia, la generalizaci´on a dos dimensiones del concepto de curva regular. No obstante, debemos enfatizar que esta generalizaci´on no es directa, ya que requiere un punto de vista radicalmente opuesto al que hemos adquirido con relaci´on a las curvas en el cap´ıtulo 1. As´ı, si en aquel contempl´abamos una curva como una aplicaci´on (curva parametrizada), en e´ ste veremos una superficie como un objeto dentro de R3 con una serie de propiedades m´as o menos restrictivas. Adem´as, dicho objeto admitir´a infinitas parametrizaciones siempre y cuando e´ stas cumplan ciertos requisitos. En otras palabras, si para una curva se hace especial e´ nfasis en que es importante la manera en la que e´ sta se ((recorre)) (es decir, la parametrizaci´on utilizada), para el caso de una superficie nos interesa primordialmente la ((traza)) o imagen como subconjunto en R3 de todas las parametrizaciones posibles.1 Definici´on 2.1.1. Un subconjunto no vac´ıo S ⊂ R3 es una superficie regular si para todo punto p de S existen un abierto U ⊂ R2 , un entorno V de p en S (con la topolog´ıa relativa de S ⊂ R3 ) y una aplicaci´on X : U −→ R3 , tales que S1) X(U) = V y X : U −→ R3 es diferenciable en el sentido ordinario, S2) X : U −→ V es un homeomorfismo (es decir, la inversa X −1 : V −→ U tambi´en es continua) y S3) para todo q ∈ U, la diferencial dXq : R2 −→ R3 es inyectiva. La aplicaci´on X se llama parametrizaci´on, carta o sistema de coordenadas. El entorno V se llama entorno coordenado. Observaci´on 2.1. ¿Qu´e significan las condiciones anteriores? (v´ease la figura 2.1). i) La aplicaci´on X : U −→ V es diferenciable. Esto significa que si escribimos ¡ ¢ X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , las funciones x, y, z : U −→ R son derivables con derivadas continuas de todos los o´ rdenes. ii) Al decir que V es un entorno de p en el subconjunto S con la topolog´ıa relativa, queremos decir que existe un abierto W de R3 tal que V = W ∩ S. 1

Esta diferencia puede plantear dificultades inicialmente para entender el concepto de superficie. As´ı, algunos textos optan por introducir en primer lugar el concepto de superficie parametrizada como una aplicaci´on que extiende de forma natural la noci´on de curva regular. El problema de esta forma de proceder radica en que una superficie parametrizada es un objeto bastante restrictivo, y deja fuera muchas superficies regulares comunes como, por ejemplo, la esfera.

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Las superficies regulares

iii) A diferencia de las curvas, que hemos definido como una aplicaci´on, una superficie es un subconjunto de R3 con unas propiedades muy especiales. iv) La condici´on S1) nos permite asegurar que la superficie S es suave en el sentido de que no tiene aristas ni v´ertices. v) Con la condici´on S2) se evita que la superficie S tenga autointersecciones. Esto es muy importante con vistas a conseguir unicidad a la hora de definir el plano tangente a la superficie en un punto. vi) La condici´on S3) es esencial para asegurar la existencia del plano tangente en todos los puntos de S. Es una hip´otesis similar a que α 0 (t) 6= 0 en el caso de una curva regular. ♦ z 6 V =W ∩S 

W 6

X(q) = p

R2 X

U

-

S

(u, v)

-

U
X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v)

q

y x

´ Figura 2.1: Definicion

=

de superficie regular.

-

R3

En definitiva, nos podr´ıamos preguntar: ¿qu´e es una superficie? De un modo informal, podemos decir que una superficie se obtiene tomando trozos de plano, deform´andolos, dobl´andolos y encaj´andolos de forma que la figura resultante no tenga v´ertices, lados o autointersecciones. Pero indaguemos un poco m´as en la condici´on S3). ¿C´omo podemos interpretarla? Dada la parametrizaci´on X : U −→ V , su diferencial en un punto q de U es la aplicaci´on dXq : R2 −→ R3 dada por     ∂x ∂x à ! à ! à ! x (q) x (q) ∂ u (q) ∂ v (q) u v   ∂y v1 v v1   1 , = yu (q) yv (q) dXq (v) = JX(q) = (q) ∂∂ vy (q)   ∂ u v2 v2 v2 ∂z ∂z zu (q) zv (q) (q) (q) ∂u

∂v

para cada vector v = (v1 , v2 ) de R2 . Al ser dXq una aplicaci´on lineal, e´ sta queda completamente determinada si sabemos c´omo act´ua sobre los vectores de una base. As´ı, vamos a escribir ¡ ¢ ∂X (q) = dXq (e1 ) = xu (q), yu (q), zu (q) , ∂u ¡ ¢ ∂X (q) = dXq (e2 ) = xv (q), yv (q), zv (q) . Xv (q) = ∂v

Xu (q) =

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(−ε , ε )

α

@ @ β = X ◦α @ @ @ R @

Por tanto, la condici´on de que dXq sea inyectiva es equivalente a que el rango ¡ ¢ de la matriz jacobiana JX(q) sea m´aximo, es decir, que rg JX(q) = 2. Esto es lo © ª mismo que exigir que los vectores Xu (q), Xv (q) sean linealmente independientes, hecho que nos va a asegurar la existencia del plano tangente. - R2

X ?

S ⊂ R3

La diferencial de X puede verse de modo alternativo. Dada una curva parametrizada α : (−ε , ε ) −→ R2 tal que α (0) = q y α 0 (0) = v, podemos tomar la curva en la ¡ ¢ superficie β = X ◦ α : (−ε , ε ) −→ S, para la cual β (0) = X α (0) = X(q). Aplicando la regla de la cadena se tiene ¯ ¡ ¢ d ¯¯ 0 0 β (0) = (X ◦ α ) (0) = ¯ (X ◦ α )(t) = dXα (0) α 0 (0) = dXq (v). dt t=0

Obs´ervese que es indiferente la elecci´on de la curva α , ya que s´olo influye su valor en t = 0: solamente necesitamos que α sea una curva con condiciones iniciales α (0) = q y α 0 (0) = v. A efectos pr´acticos, podemos tomar como α la recta α (t) = q + tv. A continuaci´on, vamos a ver algunos ejemplos de superficies regulares. Ejemplo 2.1 (El plano). Sea Π el subconjunto de R3 dado por © ª Π = (x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = d , donde a, b, c no se anulan simult´aneamente (v´ease la figura 2.2). Sin p´erdida de generalidad, suponemos que c 6= 0; entonces, podemos despejar la coordenada z como z = (d − ax − by)/c. Tomamos ahora U = R2 , V = Π (el entorno coordenado va a ser, en este caso, toda la superficie), y sea X : U −→ V la aplicaci´on dada por ¶ µ d − au − bv . X(u, v) = u, v, c Entonces se tiene claramente que: i) X es diferenciable pues es lineal. ii) X −1 : Π −→ U es la proyecci´on ortogonal sobre el plano z = 0, que es claramente continua, y por tanto, X es un homeomorfismo. Figura 2.2: El plano.

iii) Los vectores Xu = (1, 0, −a/c) y Xv = (0, 1, −b/c) son linealmente independientes, y en consecuencia, dXq es inyectiva para todo q. ♦ Ejemplo 2.2 (La esfera). Sea S2 el siguiente subconjunto de R3 : © ª S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 (la esfera unidad, v´ease la figura 2.3). Definimos X1 : U −→ R3 como ´ ³ p X1 (u, v) = u, v, 1 − u2 − v2 , © ª donde U = (u, v) ∈ R2 : u2 + v2 < 1 . 62

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Figura 2.3: La esfera.

Es claro que X1 es diferenciable en U, por lo que se tiene S1). Adem´as, X1−1 es la proyecci´on ortogonal sobre el plano z = 0, que tambi´en es continua; luego X1 es un homeomorfismo sobre la imagen X1 (U) y se verifica S2). Por u´ ltimo, se tiene que ¶ ¶ µ µ −v −u , (X1 )v = 0, 1, √ (X1 )u = 1, 0, √ 1 − u2 − v2 1 − u2 − v2 son linealmente independientes, por lo que d(X1 )q es inyectiva y se cumple S3). En consecuencia X1 es una parametrizaci´on. Para ver que S2 es una superficie regular, hay que comprobar que existen parametrizaciones para todos los puntos de S2 . Con X1 se cubren todos los puntos que cumplen z > 0 pero... ¿cu´antas necesitamos realmente? La respuesta se obtiene f´acilmente. √ ¢ ¡ Si tomamos X2 (u, v) = u, v, − 1 − u2 − v2 , con (u, v) ∈ U, se comprueba de nuevo que X2 es una parametrizaci´on que cubre todos los puntos de S2 tales que z < 0; as´ı pues, con X1 y X2 tenemos cubiertos los hemisferios norte y sur (abiertos), pero no los puntos del ecuador. Para cubrir toda la esfera S2 todav´ıa necesitamos las pa√ ¢ ¢ ¡ ¡ √ rametrizaciones X3 (u, v) = u, 1 − u2 − v2 , v y X4 (u, v) = u, − 1 − u2 − v2 , v , que completan el cubrimiento de S2 salvo los dos puntos del ecuador que interse¢ ¡√ 1 − u2 − v2 , u, v y can al eje x. Finalmente, con las parametrizaciones X5 (u, v) = ¢ ¡ √ X6 (u, v) = − 1 − u2 − v2 , u, v cubrimos toda la esfera S2 . ♦ Como vemos, no resulta sencillo encontrar todas las parametrizaciones de una superficie cualquiera, incluso cuando e´ sta es tan conocida como la esfera. De hecho, una misma superficie puede ser parametrizada de muy distintas formas, y unas parametrizaciones ser´an m´as adecuadas que otras seg´un el fin que estemos persiguiendo. Para ilustrar esta afirmaci´on, veamos otras maneras de parametrizar la esfera. Ejemplo 2.3 (La esfera –coordenadas geogr´aficas). Consideramos la aplicaci´on X : U = (0, π ) × (0, 2π ) −→ S2 dada por

X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ). El a´ ngulo θ se denomina la colatitud y ϕ la longitud. Como ejercicio sencillo, proponemos comprobar que X es una parametrizaci´on de la esfera (v´ease la figura 2.4). No obstante, el abierto X(U) no cubre todo S2 , pues el meridiano ϕ = 0 no est´a incluido. Por ello es necesaria, al menos, una parametrizaci´on m´as, cuya expresi´on es muy similar a la de X y que, en este caso, deja fuera la mitad del ecuador. ♦ z 6 N

z 6

p

N

θ y

q

-

y

ϕ

Figura 2.4: Coordenadas ´ geograficas (izquierda) y

-

π (q)

x

´ estereografica ´ proyeccion

=

(derecha).

x S

=

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π (p)

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Ejemplo 2.4 (La esfera –proyecci´on estereogr´afica). Para finalizar con el estudio ´ de la esfera, vamos a definir a continuaci´on la proyecci´on estereogr´afica. Esta determina una parametrizaci´on de la esfera que excluye un u´ nico punto. Para construirla, consideremos la esfera S2 dada por la ecuaci´on x2 + y2 + (z − 1)2 = 1, de suerte que el polo sur S es el origen de coordenadas. Sea ahora π : S2 \{N} −→ R2 , con N = (0, 0, 2), la aplicaci´on definida por

π (x, y, z) = intersecci´on del plano z = 0 con la recta que pasa por (x, y, z) y N (v´ease la figura 2.4). Si llamamos π (x, y, z) = (u, v), entonces definimos X de la forma X = π −1 : R2 −→ S2 , que est´a dada por ¶ µ 2(u2 + v2 ) 4v 4u . , , X(u, v) = u2 + v2 + 4 u2 + v2 + 4 u2 + v2 + 4 Un ejercicio sencillo consiste en comprobar que X es una parametrizaci´on de la esfera. De forma an´aloga puede construirse la proyecci´on estereogr´afica desde cualquier punto. De hecho, no es esencial trabajar con la esfera centrada en el punto (0, 0, 1), sino que es posible definir la proyecci´on estereogr´afica para una esfera centrada en el origen, de cualquier radio y proyectando sobre el plano z = 0. ♦ 2.1.1.

´ ´ de superficies Criterios practicos para la determinacion

Como se aprecia en los ejemplos anteriores, puede resultar complicado comprobar si un determinado subconjunto S ⊂ R3 es una superficie. En este ep´ıgrafe vamos a estudiar algunos criterios para determinar si un cierto subconjunto S es una superficie regular o no, con independencia de las posibles parametrizaciones que admita. El primero de ellos establece que el grafo de una funci´on diferenciable es siempre una superficie regular. Proposici´on 2.1.2 (Criterio 1: Grafos). Sea f : U −→ R una funci´on diferenciable con U ⊂ R2 abierto. Entonces el conjunto formado por n¡ o ¢ G( f ) = u, v, f (u, v) : (u, v) ∈ U es una superficie regular de R3 . En otras palabras, cualquier grafo de una funci´on diferenciable es una superficie regular. Demostraci´on. La prueba es inmediata, pues una parametrizaci´on global para G( f ) ¡ ¢ viene dada por X(u, v) = u, v, f (u, v) (es claro que X es una parametrizaci´on). Con objeto de presentar el siguiente criterio, necesitamos una definici´on previa. Definici´on 2.1.3. Sea f : V ⊂ R3 −→ R una funci´on diferenciable definida sobre un abierto V de R3 . Se dice que p ∈ V es un punto cr´ıtico de f si d f p no es sobreyectiva, es decir, si d f p ≡ 0. El valor f (p) se denomina valor cr´ıtico de f . Si a ∈ R no es un valor cr´ıtico, se dice que es un valor regular. 64

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El siguiente resultado, cuya prueba se basa en el teorema de la funci´on impl´ıcita, cubre un gran n´umero de situaciones; por ejemplo, todas las superficies cu´adricas. Proposici´on 2.1.4 (Criterio 2: Valores regulares). Sean f : V ⊂ R3 −→ R una funci´on diferenciable y a un valor regular de f (es decir, d f p es sobreyectiva para todo p ∈ f −1 (a)). Entonces S = f −1 (a) es una superficie regular de R3 , denominada superficie de nivel. Demostraci´on. Sea S = f −1 (a), donde a es un valor regular de f . Fijamos un punto p0 ∈ S (por tanto, f (p0 ) = a) con p0 = (x0 , y0 , z0 ). Como d f p0 es una aplicaci´on lineal sobreyectiva, entonces las derivadas parciales

∂f (p0 ), ∂x

∂f (p0 ) y ∂y

∂f (p0 ) ∂z

no se anulan simult´aneamente. Sin p´erdida de generalidad, supongamos que la u´ ltima de ellas cumple (∂ f /∂ z)(p0 ) 6= 0. Utilizando el teorema de la funci´on impl´ıcita (v´ease [14]), podemos asegurar la existencia de entornos U(x0 , y0 ) ⊂ R2 , I(z0 ) ⊂ R, y de una funci´on diferenciable g : U −→ I, tales que i) g(x0 , y0 ) = z0 ,

¡ ¢ ii) para todo (x, y) ∈ U, f x, y, g(x, y) − a = 0, y n¡ o ¢ iii) (U × I) ∩ f −1 (a) = u, v, g(u, v) : (u, v) ∈ U . ¡ ¢ Definimos entonces la parametrizaci´on X(u, v) = u, v, g(u, v) , con (u, v) ∈ U. Se tiene entonces por iii) que X(U) = (U × I) ∩ S = V , que es abierto en S. Adem´as, por la proposici´on anterior, X : U −→ V es un parametrizaci´on de S, pues es el grafo de la funci´on diferenciable g. Ejemplo 2.5 (El elipsoide). Consideremos el subconjunto de R3 dado por ¾ ½ 2 y2 z2 3 x E = (x, y, z) ∈ R : 2 + 2 + 2 = 1 a b c

Figura 2.5: El elipsoide.

(v´ease la figura 2.5). Para probar que se trata de una superficie regular, definimos f : R3 −→ R como x2 y2 z2 f (x, y, z) = 2 + 2 + 2 , c b a y buscamos sus puntos cr´ıticos. Para ello, observemos que 2z 2y 2x , fy = 2 y fz = 2 , 2 c b a por lo que (x, y, z) es un punto cr´ıtico de f si, y s´olo si, (x, y, z) = (0, 0, 0) (s´olo hay un punto cr´ıtico, y e´ ste es el origen). Calculamos ahora los valores cr´ıticos correspondientes a dicho punto cr´ıtico, obteniendo f (0, 0, 0) = 0; en consecuencia, a = 0 es el u´ nico valor cr´ıtico de f . Para todo a 6= 0 tendremos que f −1 (a) es una superficie regular; en particular, para a = 1, obtenemos que el elipsoide E = f −1 (1) es una superficie regular. ♦

fx =

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Ejemplo 2.6 (Los hiperboloides de una y dos hojas). Se ve f´acilmente que los conjuntos (v´ease la figura 2.6) © ª H = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 1 (hiperboloide de una hoja) © ª 0 3 2 2 2 H = (x, y, z) ∈ R : x + y − z = −1 (hiperboloide de dos hojas) son superficies regulares sin m´as que utilizar el criterio anterior para la funci´on f : R3 −→ R Hiperboloide de 1 hoja

dada por f (x, y, z) = x2 + y2 − z2 .

El u´ nico valor regular de f es el 0, por lo que H = f −1 (1) y H 0 = f −1 (−1) son superficies regulares. Los hiperboloides de una y dos hojas son superficies de revoluci´on (v´ease el ejercicio 2.1) que se obtienen al rotar la hip´erbola y = 1/x alrededor de uno de sus dos ejes de simetr´ıa: o bien la recta y = x, lo que da lugar al hiperboloide de dos hojas, o y = −x, obteni´endose entonces el hiperboloide de una hoja. ♦ El criterio de los valores regulares no s´olo sirve para demostrar que las cu´adricas son superficies regulares. He aqu´ı un ejemplo de otra superficie de revoluci´on que tambi´en admite la aplicaci´on de dicho criterio.

Hiperboloide de 2 hojas Figura 2.6: Los hiperboloides de una y dos hojas.

Ejemplo 2.7 (El toro de revoluci´on). Consideremos la circunferencia S1 (r) contenida en el plano x = 0 y centrada en el punto (0, a, 0) con a > r > 0. Un punto gen´erico de esta circunferencia viene dado por (0, y, z) y se tiene que r2 = z2 + d 2 (v´ease la figura 2.7). Si rotamos la circunferencia S1 (r) alrededor del eje z, vamos a obtener una superficie de revoluci´on descrita por la circunferencia en cuesti´on. z 6



(x, 0, z) x

Figura 2.7: Generando el toro

a

- r

d

(0, y, z) -

y

a+d

=

´ de revolucion.

Para encontrar una ecuaci´on que describa esta superficie, observemos que el punto (0, y, z) pasa a ser ahora un punto de la forma (x, y, z). Observemos tambi´en que, al mantenerse fijo el valor a + d (la distancia del punto alpeje de rotaci´on), se cumple la relaci´on (a + d)2 = x2 + y2 , y de ah´ı se tiene que d = x2 + y2 − a. Por otro lado, utilizando que r2 = z2 + d 2 y sustituyendo, se obtiene ´2 ³p x2 + y2 − a + z2 = r2 , 66

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que es la ecuaci´on del toro de revoluci´on. Por tanto, podemos definir o ´2 n ³p x2 + y2 − a + z2 = r2 . T2 = (x, y, z) ∈ R3 : Para comprobar que T2 es, en efecto, una superficie regular, vamos a utilizar el criterio de los valores regulares. As´ı, definimos la funci´on f : V −→ R dada por f (x, y, z) =

´ Figura 2.8: El toro de revolucion.

´2 ³p x2 + y2 − a + z2 ,

© ª siendo V = R3 \ (0, 0, z) : z ∈ R . Sus derivadas parciales resultan ser  ³p ´ x ∂f  2 + y2 − a p  = 2 x ,   2 ∂ x  x + y2    ³p ´ y ∂f =2 , x2 + y2 − a p 2 2  ∂ y x + y        ∂ f = 2z. ∂z

Los puntos cr´ıticos son aquellos puntos de V que anulan las tres parciales simult´anea√ ¢ ¡ mente, es decir, los puntos de la forma x, ± a2 − x2 , 0 . Si evaluamos la funci´on f √ ¢ ¡ en dichos puntos, obtenemos f x, ± a2 − x2 , 0 = 0, por lo que el u´ nico valor cr´ıtico es el 0. As´ı pues, para r > 0 se tiene que T2 = f −1 (r2 ) ⊂ V es una superficie regular (observemos que, para r = 0, lo que se obtiene es una circunferencia contenida en el plano z = 0, que no es una superficie regular). ♦ Cuando el criterio de los valores regulares no es aplicable, es imposible a priori asegurar si un cierto subconjunto es, o no, una superficie regular. Para ilustrar esta afirmaci´on presentamos los siguientes ejemplos con distintos resultados finales. Ejemplo 2.8. Consideremos ahora el subconjunto S ⊂ R3 dado por © ª S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + 2xy = 0 . Vamos a comprobar si S es una superficie utilizando el criterio de los valores regulares. Para ello, tomamos la funci´on f (x, y, z) = x2 + y2 + 2xy y calculamos sus parciales: fx = 2x + 2y y fy = 2y + 2x, por lo que los puntos cr´ıticos son de la forma (x, −x, z), con x, z ∈ R arbitrarios. Los valores cr´ıticos ser´an las im´agenes de dichos puntos, por lo que se tiene f (x, −x, z) = 2x2 − 2x2 = 0; as´ı el u´ nico valor cr´ıtico es el 0. De esta forma, el criterio no nos garantiza que S sea una superficie regular (ni que no lo sea), ya que, precisamente, S viene dada por S = f −1 (0). No obstante, es sencillo comprobar que S es el plano de ecuaci´on x + y = 0, por lo que, en este caso, s´ı se trata de una superficie regular. ♦ Ejemplo 2.9. Para terminar, sea ahora el subconjunto S ⊂ R3 dado por © ª S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 − y2 = 0 . 67

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Si tomamos la funci´on f (x, y, z) = x2 − y2 y calculamos sus parciales, obtenemos fx = 2x y fy = −2y, por lo que los puntos cr´ıticos son de la forma (0, 0, z) con z arbitrario. De nuevo, el u´ nico valor cr´ıtico es f (0, 0, z) = 0 con lo que el criterio no nos sirve para determinar si S es una superficie regular. En este caso, y contrariamente a lo que ocurr´ıa en el ejemplo anterior, S es la uni´on de los planos x+y = 0 y x−y = 0, que se cortan, por lo que no es una superficie regular. ♦ 2.1.2.

Propiedades de las superficies regulares

Comenzamos este ep´ıgrafe con un lema t´ecnico que ser´a de mucha utilidad en los resultados posteriores. El lema afirma un hecho bastante intuitivo: cualquier superficie regular puede proyectarse mediante un homeomorfismo, al menos localmente, sobre un abierto de alguno de los planos coordenados. Lema 2.1.5. Sean S una superficie regular, p0 ∈ S y (U, X) una parametrizaci´on de S con q0 ∈ U, siendo X(q0 ) = p0 . Entonces, existen un entorno U 0 (q0 ) ⊂ U y una proyecci´on π : R3 −→ R2 sobre uno de los planos coordenados, de modo que (π ◦ X)(U 0 ) = U 00 es un abierto de R2 y la aplicaci´on π ◦ X : U 0 −→ U 00 es un difeomorfismo entre abiertos de R2 .

Demostraci´on. Vamos a llamar V = X(U). En primer lugar, observemos que la composici´on π ◦ X : U −→ R2 es una aplicaci´on diferenciable por ser ambas aplicaciones diferenciables. Por otro lado, al ser X una parametrizaci´on, la diferencial dXq0 tiene rango 2 y la matriz   xu (q0 ) xv (q0 )   yu (q0 ) yv (q0 ) zu (q0 ) zv (q0 ) tiene un menor de orden 2 no nulo. Podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que dicho menor es el dado por la submatriz à ! xu (q0 ) xv (q0 ) . yu (q0 ) yv (q0 ) Esto significa, en t´erminos geom´etricos, que el plano tangente a la superficie en el punto p0 no es perpendicular al plano z = 0 (¿qu´e pasar´ıa si lo fuera?). Por ello, elegimos como proyecci´on π la proyecci´on sobre el plano z = 0, de suerte que ¡ ¢ (π ◦ X)(u, v) = x(u, v), y(u, v) . De esta forma, la diferencial d(π ◦ X)q0 es inyectiva y, en particular, es un isomorfismo de espacios vectoriales. Aplicamos ahora el teorema de la funci´on inversa:2 as´ı, existe un entorno U 0 (q0 ) ⊂ U tal que (π ◦ X)(U 0 ) = U 00 es un abierto de R2 y la aplicaci´on π ◦ X : U 0 −→ U 00 es un difeomorfismo. 2

Sean U ⊂ R2 un abierto y F : U −→ R2 una funci´on diferenciable. Si q0 ∈ U es tal que dFq0 es un isomorfismo, entonces existe U 0 (q0 ) ⊂ U con F(U 0 ) = U 00 abierto en R2 y F : U 0 −→ U 00 un difeomorfismo.

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Las superficies regulares

La primera consecuencia de este lema es que toda superficie puede expresarse, localmente, como el grafo de una funci´on diferenciable definida sobre (un abierto de) alguno de los planos coordenados. Proposici´on 2.1.6. Sean S una superficie regular y p0 ∈ S. Entonces existe un entorno V (p0 ) ⊂ S que es el grafo de una funci´on diferenciable de alguno de los tipos z = f (x, y), x = g(y, z) o y = h(x, z) (es decir, es una funci´on definida sobre un abierto contenido en alguno de los planos coordenados). Demostraci´on. Por ser S una superficie regular, existe una parametrizaci´on (U, X) de S con q0 ∈ U, siendo X(q0 ) = p0 . El lema 2.1.5 nos asegura entonces la existencia de un entorno U 0 (q0 ) ⊂ U y una proyecci´on π : R3 −→ R2 tales que la aplicaci´on π ◦ X : U 0 −→ (π ◦ X)(U 0 ) = U 00 es un difeomorfismo. Podemos suponer, sin p´erdida alguna de generalidad, que π ≡ πz es la proyecci´on sobre el plano z = 0. X - ′ U′ ⊂ U V ⊂ V = X (U ) Entonces, llamando V = X(U 0 ), como πz ◦ X es un difeomorfismo, su inversa Q Q (πz ◦ X)−1 tambi´en es diferenciable; adem´as, la proyecci´on πz es inyectiva, Q π z Q ya que podemos escribirla de la forma πz = (πz ◦ X) ◦ X −1 , y es composici´on π z◦X Q Q ? Q Q s de aplicaciones inyectivas. U ′′ ⊂ R2 A continuaci´on, consideremos la siguiente composici´on: (πz ◦X)−1

U0

U 00 −−−−−→ (x, y) −−−−→

¡

X

−−−−→

V

z

−−−−→

R ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ u(x, y), v(x, y) −−−−→ x(u, v), y(u, v), z(u, v) −−−−→ z u(x, y), v(x, y)

¡ ¢ Llamamos entonces f (x, y) = z u(x, y), v(x, y) , y as´ı z = f (x, y). Adem´as, es claro que f es diferenciable por ser composici´on de funciones diferenciables. Para ilustrar la utilidad de estos resultados presentamos los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.10 (El cono). Veamos que el cono C dado por © ª C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 no es una superficie regular. En primer lugar, vamos a identificar d´onde est´a el pro© ª blema y, para ello, demostraremos que C\ 0 = (0, 0, 0) s´ı es una superficie regular (v´ease la figura 2.9). Sea f : R3 \{0} −→ R dada por f (x, y, z) = x2 + y2 − z2 . Es claro que f es diferenciable y que sus parciales valen fx = 2x, fy = 2y y fz = −2z. Por tanto, el u´ nico punto cr´ıtico es el origen que, precisamente, no est´a contenido en C\{0}. As´ı, este conjunto es una superficie regular de R3 . Figura 2.9: El cono de dos hojas.

Obs´ervese que si trabajamos con C, el argumento anterior no demuestra que C no es una superficie regular. M´as bien, no nos permite demostrar que lo es. En este sentido, para poder encontrar una demostraci´on de que C no es una superficie regular vamos a aplicar la proposici´on 2.1.6. As´ı, supongamos que C es una superficie regular. Tomamos 0 ∈ C y aplicamos dicho resultado: existe pues un entorno V ⊂ C del

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origen 0 de manera que V es el grafo de una funci´on diferenciable sobre alguno de los planos coordenados, es decir, V es el grafo de una funci´on de la forma y = h(x, z), x = g(y, z) o z = f (x, y). Supongamos, por ejemplo, que V es un grafo de la forma y = h(x, z). Adem´as, podemos suponer que V = B(0, ε ) ∩ C, donde B(0, ε ) representa la bola en R3 de centro 0 y radio ε . Sea (x, y, z) ∈ V arbitrario, cuya proyecci´on sobre el plano y = 0 viene dada por πy (x, y, z) = (x, z). Ahora bien, el punto (x, −y, z) tambi´en pertenece a V , ya que est´a contenido en C y en la bola B(0, ε ). Por tanto, πy (x, −y, z) = (x, z), lo que nos dice que la aplicaci´on πy no es inyectiva.

An´alogamente, se puede demostrar que las proyecciones πx y πz no son inyectivas, lo cual contradice el lema 2.1.5. ♦ Observaci´on 2.2. Si en lugar de considerar el cono de dos hojas nos quedamos u´ nicamente con el conjunto © ª C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 , z ≤ 0 (v´ease la figura 2.10), tampoco obtenemos una superficie regular (a menos que eliminemos el origen). Para demostrarlo se utiliza un argumento similar al anterior, resultando que las proyecciones πy , πx no son inyectivas. En relaci´on a la proyecci´on ♦ πz sobre el plano z = 0, e´ sta s´ı lo es, aunque resulta ser no diferenciable. Figura 2.10: El cono de una hoja.

Finalizamos este ep´ıgrafe con un resultado t´ecnico que economiza esfuerzos a la hora de demostrar si una cierta aplicaci´on es una parametrizaci´on de una superficie. Proponemos adem´as un ejemplo para ilustrar esta situaci´on. Proposici´on 2.1.7. Sean S una superficie regular y p0 ∈ S un punto arbitrario. Supongamos que X : U ⊂ R2 −→ S, U abierto, es una aplicaci´on que cumple las condiciones S1) y S3) de la definici´on de superficie regular. Entonces, si X es inyectiva, se tiene que X −1 es continua (por tanto, X es un homeomorfismo y, finalmente, una parametrizaci´on de S).

U′ 

X

-

X −1

@ @ π z◦X @ @ @ R @

Demostraci´on. Tomamos q0 ∈ U tal que X(q0 ) = p0 . Como dXq0 es inyectiva, podemos suponer de nuevo que ¯ ¯ ¯ x (q ) x (q ) ¯ ¯ u 0 v 0 ¯ ¯ 6= 0. ¯ ¯ yu (q0 ) yv (q0 ) ¯

V′

π ?

U ′′

z

Por el lema 2.1.5, sabemos que la aplicaci´on πz ◦ X : U 0 −→ U 00 es un difeomorfismo entre abiertos de R2 con U 0 ⊂ U (observemos que s´olo se necesitan las condiciones S1) y S3) para demostrar el lema, y no hace falta que X sea una parametrizaci´on). Como X es inyectiva, X es biyectiva en su imagen, que llamamos V 0 . Por tanto, existe su inversa X −1 : V 0 −→ U 0 , y queremos probar que es continua. Para ello, basta observar simplemente que X −1 = (πz ◦ X)−1 ◦ πz , y que X −1 es continua en p0 al ser composici´on de aplicaciones diferenciables y continuas. Como el punto p0 es arbitrario, se tiene que X −1 es continua en todo su dominio. 70

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Ejemplo 2.11. Sea X : (0, 2π ) × (0, 2π ) −→ R3 dada por ¡ ¢ X(u, v) = (r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u ,

donde a > r. Vamos a ver que la aplicaci´on X es una parametrizaci´on del toro T2 descrito en el ejemplo 2.7 (v´ease la figura 2.8), aplicando la proposici´on 2.1.7. Es claro que X es diferenciable, por lo que vamos a comprobar si se verifica la condici´on S3). Observemos que la matriz jacobiana de la diferencial en un punto q = (u, v) arbitrario viene dada por   −r sen u cos v −(r cos u + a) sen v   (r cos u + a) cos v  . −r sen u sen v r cos u 0 El hecho de que r cos u + a 6= 0 implica que el menor à ! −r sen u cos v −(r cos u + a) sen v −r sen u sen v (r cos u + a) cos v tiene determinante no nulo, salvo cuando sen u = 0. En tal caso, r cos u = ±r, por lo que el determinante de alguno de los menores ! ! à à −r sen u sen v (r cos u + a) cos v −r sen u cos v −(r cos u + a) sen v o r cos u 0 r cos u 0 es distinto de cero. En consecuencia, el rango de la diferencial dXq es 2. Finalmente, y para demostrar S2), basta aplicar la proposici´on 2.1.7 y comprobar que X es inyectiva, ejercicio sencillo que dejamos propuesto para resolver. ♦ 2.1.3.

El cambio de coordenadas

Dada una superficie regular y un punto de dicha superficie sabemos que, en general, existen varias (en realidad, infinitas) parametrizaciones para cubrir dicho punto y un entorno suyo. Una pregunta razonable es qu´e ocurre cuando expresamos los puntos de este entorno en unas u otras coordenadas, as´ı como la relaci´on que existe entre ambas expresiones. La respuesta se recoge en esta secci´on: unas coordenadas se expresan como funci´on de las otras, siendo esta dependencia, naturalmente, diferenciable.3 Consideremos entonces S una superficie regular y sea p ∈ S. Dadas dos parametrizaciones (U1 , X1 ) y (U2 , X2 ) con p ∈ X1 (U1 ) ∩ X2 (U2 ) = V , podemos tomar q1 ∈ U1 y q2 ∈ U2 de modo que X1 (q1 ) = X2 (q2 ) = p (v´ease le figura 2.11). Adem´as, X1−1 (V ) ⊂ U1 y X2−1 (V ) ⊂ U2 son dos abiertos del plano R2 , por lo que tiene sentido considerar la aplicaci´on X2−1 ◦ X1 : X1−1 (V ) −→ X2−1 (V ). Esta aplicaci´on 3

En otros contextos m´as amplios como, por ejemplo, para superficies abstractas, esta caracter´ıstica debe asumirse como un axioma, y no es una consecuencia de la definicio´ n de superficie, tal y como ocurre aqu´ı.

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se denomina cambio de coordenadas. Claramente, el cambio de coordenadas es un homeomorfismo entre abiertos de R2 , pues X1 : X1−1 (V ) −→ V es un homeomorfismo al ser la restricci´on de un homeomorfismo a un abierto; tambi´en X2−1 : V −→ X2−1 (V ) lo es. Adem´as, se tiene el siguiente resultado. V X1 (U1)

p

X2 (U2 ) I

7

X2

X1 U1 X1−1 (V )

X2−1 ◦ X1

U2 -

q2

q1

X2−1 (V )

´ Figura 2.11: La aplicacion cambio de coordenadas.

Teorema 2.1.8. La aplicaci´on cambio de coordenadas dada por X2−1 ◦ X1 es un difeomorfismo entre abiertos de R2 . Demostraci´on. Vamos a demostrar que la aplicaci´on X2−1 ◦ X1 es diferenciable en el abierto X1−1 (V ). Por simetr´ıa, se tendr´a que la aplicaci´on X1−1 ◦ X2 es tambi´en diferenciable, siendo entonces ambas difeomorfismos. Recordemos que tomamos qi ∈ Ui de modo que qi ∈ Xi−1 (V ) para i = 1, 2, y que adem´as se tiene que X1 (q1 ) = X2 (q2 ) = p; luego (X2−1 ◦ X1 )(q1 ) = q2 . Ahora bien, como X2 es una parametrizaci´on, dado q2 ∈ X2−1 (V ) ⊂ U2 , existir´an un entorno e2 (q2 ) ⊂ X −1 (V ) y una proyecci´on π sobre alguno de los planos coordenados tales U 2 ¡ ¢ e2 −→ (π ◦ X2 ) U e2 es un difeomorfismo. Representamos por F el camque π ◦ X2 : U e2 , se tiene bio de coordenadas, esto es, F = X2−1 ◦ X1 . Entonces, como F(q1 ) = q2 ∈ U −1 −1 e2 ) =: U e1 que, claramente, es un abierto contenido en X (V ) ⊂ U1 , que q1 ∈ F (U 1 pues F es un homeomorfismo. A continuaci´on, vamos a demostrar que ¯ (2.1) F|Ue1 = (π ◦ X2 )−1 ◦ (π ◦ X1 )¯Ue , 1

de donde se tendr´a que, al ser composici´on de aplicaciones diferenciables, F|Ue1 tambi´en ser´a diferenciable (observemos que, como esto es cierto para cualquier punto q1 ∈ X1−1 (V ), entonces F es diferenciable en todo su dominio). e1 . En tal caso, F(q) ∈ U e2 , pues por Veamos, por tanto, (2.1). Para ello, sea q ∈ U e1 = F −1 (U e2 ). Ahora bien, U e2 es el dominio de la aplicaci´on π ◦ X2 , luego definici´on, U ¢ ¡ (π ◦ X2 ) ◦ F (q) = (π ◦ X2 ◦ X2−1 ◦ X1 )(q) = (π ◦ X1 )(q). e1 , dado que π ◦ X2 es un difeomorfismo, podemos De esta forma, para todo q ∈ U ¢ ¡ −1 asegurar que F(q) = (π ◦ X2 ) ◦ (π ◦ X1 ) (q), lo que concluye la prueba. 72

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Observaci´on 2.3. Una vez estudiado el concepto de superficie como un cierto subconjunto S de R3 con determinadas propiedades, podemos redefinir el concepto de curva de manera similar, esto es, atendiendo u´ nicamente a la curva como subconjunto del espacio y no como una aplicaci´on. As´ı pues, una curva Γ es un subconjunto de R3 de modo que, para cada punto p ∈ Γ, existen un entorno V (p) de p en Γ con la topolog´ıa relativa, un intervalo abierto I ⊂ R y una aplicaci´on α : I −→ V , tales que la diferencial de α es inyectiva para todo t ∈ I. La aplicaci´on α se dice que es una parametrizaci´on (local) de la curva Γ.

Si fijamos un mismo punto y lo cubrimos con dos parametrizaciones, se puede demostrar (al igual que en el caso de superficies) que el cambio de par´ametro es un difeomorfismo entre intervalos de la recta. A partir de aqu´ı se concluye que existe un par´ametro distinguido (la longitud de arco), y que e´ ste se expresa de forma precisa en t´erminos de cualquier parametrizaci´on (v´ease [12]). Finalmente, y gracias tambi´en al cambio de par´ametro, podemos definir los conceptos de curvatura y torsi´on en t´erminos de un par´ametro arbitrario, y demostrar que e´ stos, en realidad, no dependen del par´ametro en cuesti´on, sino que son caracter´ısticos de la curva con independencia de c´omo la estemos recorriendo. ♦ 2.2.

FUNCIONES DIFERENCIABLES DEFINIDAS EN SUPERFICIES

Con vistas a efectuar c´alculo en superficies necesitamos definir lo que se entiende como funci´on diferenciable en una superficie. Para ello la t´actica adoptada consiste en ((llevar)) los objetos al plano de coordenadas mediante una parametrizaci´on cualquiera y aplicar lo que s´ı conocemos de c´alculo elemental en varias variables. Sean S una superficie regular y f : S −→ Rm , con m ≥ 1. Sea (U, X) una parametrizaci´on de S. Entonces, la composici´on fe = f ◦ X : U −→ Rm es la expresi´on en coordenadas de f respecto a la parametrizaci´on (U, X). Definici´on 2.2.1. Una funci´on f : S −→ Rm es diferenciable (sobre S) si, para toda parametrizaci´on (U, X), la funci´on f ◦ X es diferenciable sobre el abierto U. Naturalmente, esta definici´on no es operativa, pues necesitar´ıamos verificar la condici´on sobre todas las parametrizaciones de la superficie. Por ello, presentamos el siguiente lema que hace uso del cambio de coordenadas como aplicaci´on diferenciable entre abiertos del plano. Lema 2.2.2. Una funci´on f : S −→ Rm es diferenciable en S si, y s´olo si, para todo p ∈ S, existe (U p , Xp ) parametrizaci´on de S, con p ∈ Xp (U p ), tal que f ◦ Xp es diferenciable en U p . Demostraci´on. La implicaci´on directa es obvia por la propia definici´on. Supongamos por tanto que, dado p ∈ S, existe una parametrizaci´on (Up , X p ), con p ∈ X p (U p ), tal que f ◦ X p es diferenciable en U p . 73

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m * R

V X (U )

p

f X p(U p) I

7

Xp

X U X −1 (V )

Figura 2.12: Para estudiar la

X p−1 ◦ X

Up -

q

q′

X p−1 (V )

diferenciabilidad es suficiente ´ considerar una parametrizacion.

Vamos a demostrar que, si (U, X) es una parametrizaci´on cualquiera de S (cubriendo p), entonces la composici´on f ◦ X es una funci´on diferenciable sobre U. Para ello, sea q ∈ U de modo que p = X(q). Elegimos un punto q0 ∈ Up tal que Xp (q0 ) = p, y sea V = X(U) ∩ Xp (Up ). Claramente, p ∈ V y q ∈ X −1 (V ). Entonces ¯ f ◦ X|X −1 (V ) = ( f ◦ Xp ) ◦ (Xp−1 ◦ X)¯X −1 (V ) , que es una composici´on de funciones diferenciables, ya que f ◦ Xp lo es por hip´otesis, mientras que Xp−1 ◦ X lo es por ser un cambio de coordenadas.

Algunas propiedades de las funciones diferenciables definidas sobre una superficie se recogen en la siguiente proposici´on, cuya demostraci´on proponemos como un sencillo ejercicio. Proposici´on 2.2.3. Sea S una superficie regular y f : S −→ Rm una funci´on. i) Si existen W ⊂ R3 abierto y una funci´on diferenciable f¯: W −→ Rm en sentido ordinario tales que S ⊂ W y la restricci´on f¯|S = f , entonces f es diferenciable. ii) Si f es diferenciable, entonces es continua. iii) Si escribimos f = ( f1 , f2 , . . . , fm ), entonces f es diferenciable si, y s´olo si, lo es cada una de las funciones componentes f i , para i = 1, . . . , m. iv) La suma, el producto y el cociente (siempre que tenga sentido) de funciones diferenciables es tambi´en una funci´on diferenciable. A continuaci´on, veamos algunos ejemplos de funciones diferenciables. Ejemplo 2.12 (La funci´on distancia). Sean p0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 y S una superficie regular. Definimos f : S −→ R como f (p) = |p − p0 |2 , esto es, la funci´on distancia ´ puede verse como la restricci´on a S de g : R3 −→ R dada por al cuadrado. Esta g(q) = |q − p0 |2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 , 74

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donde q = (x, y, z). Observemos que g es una funci´on polin´omica y, por tanto, diferenciable. De este modo, f tambi´en es diferenciable. Por otro lado, la funci´on distancia (la ra´ız de f ) no ser´ıa diferenciable en S si el punto p0 ∈ S. ♦ Ejemplo 2.13 (La funci´on altura). La funci´on h : S −→ R, h(p) = hp, vi, donde p = (x, y, z) ∈ S y v = (v1 , v2 , v3 ) es un vector unitario de R3 , se denomina funci´on altura, y representa la distancia de p al plano ortogonal al vector v, que pasa por el origen (v´ease la figura 2.13). Es claro que h(p) = h(x, y, z) = xv1 + yv2 + zv3 es la restricci´on a S de una funci´on diferenciable sobre todo R3 (la propia h), por lo que h tambi´en es diferenciable. ♦

p

hp, vi

6

v

0

´ altura. Figura 2.13: La funcion

2.2.1.

Aplicaciones diferenciables definidas entre superficies

¿Qu´e ocurre con la definici´on de aplicaci´on diferenciable si el espacio de llegada de la funci´on es tambi´en una superficie regular? La respuesta a esta pregunta se recoge en este ep´ıgrafe. De modo an´alogo al caso de una funci´on diferenciable f : S −→ Rm sobre una superficie regular, podemos dar una ((definici´on intr´ınseca)) para una aplicaci´on diferenciable entre dos superficies (v´ease la definici´on 2.2.1): Definici´on 2.2.4. Sean S1 y S2 superficies regulares y F : S1 −→ S2 una aplicaci´on. Diremos que F es diferenciable si, para todo p ∈ S y cualesquiera parametrizaciones (U1 , X1 ) de S1 en p y (U2 , X2 ) de S2 en F(p), la expresi´on en coordenadas de F, Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1 , es diferenciable en el sentido ordinario sobre un abierto U ⊂ R2 . S1

S2

F −1 (V2 )

F

p

X2 (U2 ) = V2

X1 (U1 ) = V1

6

6

X2

X1 U = X1−1 F −1 (V2 ) ∩V1




q U1

Figura 2.14: Diferenciabilidad

F(p)

-

-

U2

Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1

´ entre de una aplicacion superficies.

Como puede comprobarse f´acilmente (v´ease la figura 2.14), el abierto U de la ¡ ¢ definici´on anterior es U = X1−1 F −1 (V2 ) ∩V1 , donde Vi = Xi (Ui ), i = 1, 2. Por otro lado, es posible definir la diferenciabilidad de una aplicaci´on entre superficies de un modo extr´ınseco (obs´ervese la analog´ıa con la proposici´on 2.2.3 i)). 75

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Definici´on 2.2.5. Sean S1 y S2 dos superficies regulares y F : S1 −→ S2 una aplicaci´on. Diremos que F es diferenciable si la aplicaci´on i ◦ F : S1 −→ R3 es diferenciable, donde i : S2 −→ R3 representa la inclusi´on. Vamos a demostrar en primer lugar que ambas definiciones son equivalentes. Proposici´on 2.2.6. Las definiciones 2.2.4 y 2.2.5 son equivalentes. Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que F : S1 −→ S2 es una aplicaci´on diferenciable en el sentido de la definici´on 2.2.4. Tenemos que demostrar que la funci´on i ◦ F : S1 −→ R3 es diferenciable, es decir, que para todo p ∈ S1 , existe una parametrizaci´on (Up , Xp ) de S1 en p tal que i ◦ F ◦ Xp : Up −→ R3 es diferenciable en el sentido ordinario. Sea entonces (U1 , X1 ) una parametrizaci´on de S1 en p, y sea (U2 , X2 ) una parametrizaci´on de S2 cubriendo F(p). Como F es diferenciable con la definici´on 2.2.4, su expresi´on en coordenadas Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1 es diferenciable en el sentido ordinario en el abierto U de la definici´on 2.2.4, y por tanto, ¯ ¯ ¡ ¢¯ (i ◦ F ◦ X1 )¯U = (i ◦ X2 ◦ X2−1 ◦ F ◦ X1 )¯U = (i ◦ X2 ) ◦ Fe ¯U tambi´en lo es, pues es composici´on de dos funciones diferenciables, la primera de ellas entre abiertos de R2 y R3 (por definici´on de parametrizaci´on), y la segunda ¯ ¢ ¡ entre abiertos de R2 . Luego la parametrizaci´on buscada es Up = U, Xp = X1 ¯U . La demostraci´on del rec´ıproco es m´as compleja. Supongamos que F : S1 −→ S2 es una aplicaci´on diferenciable en el sentido de la definici´on 2.2.5, es decir, la funci´on i ◦ F : S1 −→ R3 es diferenciable (v´ease la definici´on 2.2.1). Vamos a demostrar el siguiente caso particular, a partir del cual se obtiene el resultado buscado f´acilmente: Lema 2.2.7. Sea G : Ω ⊂ Rm −→ S, m ≥ 1, una aplicaci´on en una superficie regular S. Si i◦G : Ω −→ R3 es diferenciable, entonces para cualquier parame/ la expresi´on en coordenadas trizaci´on (U, X) de S (con V = X(U) ∩ G(Ω) 6= 0), −1 2 X ◦ G : Ω0 −→ R es diferenciable en el abierto Ω0 = G−1 (V ). i◦F F

S1 6

X1

- S2 3 6

X2

F ◦ X1 U1

X2−1 ◦ F ◦ X1

- U2

Figura 2.15: Equivalencia entre las dos definiciones de diferenciabilidad.

i

-

q

R3

En efecto, sea (U1 , X1 ) una parametrizaci´on de S1 en un punto p ∈ S arbitrario y consideremos la composici´on (v´ease la figura 2.15) F ◦ X1 : U1 ⊂ R2 −→ S2 . Obs´ervese que la funci´on i ◦ F ◦ X1 : U1 −→ R3 es diferenciable en sentido ordinario ya que, por hip´otesis, i ◦ F es una funci´on diferenciable. El lema 2.2.7 aplicado a F ◦ X1 nos asegura entonces que, para cualquier parametrizaci´on (U2 , X2 ) de S2 en F(p), la expresi´on en coordenadas X2−1 ◦ F ◦ X1 es diferenciable en el abierto adecuado de U1 ⊂ R2 , lo que concluir´ıa la demostraci´on.

Demostramos el lema 2.2.7. Supongamos que, dada G : Ω ⊂ Rm −→ S, la composici´on i ◦ G : Ω −→ R3 es diferenciable entre abiertos de Rm y R3 . Sea (U, X) una 76

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parametrizaci´on cualquiera de S, para la cual, sin p´erdida de generalidad y para simplificar la notaci´on, podemos suponer que X(U) = G(Ω) (en caso contrario, bastar´ıa restringirse a los abiertos adecuados). Claramente, i ◦ G = (i ◦ X) ◦ (X −1 ◦ G) (v´ease la figura 2.16), i◦G de donde se tiene que X −1 ◦ G = (i ◦ X)−1 ◦ (i ◦ G). q i G Por hip´otesis, i ◦ G es una funci´on diferenciable entre abiertos - X (U ) ⊂ S - 3 Ω ⊂ Rm R de Rm y R3 ; sin embargo, no podemos asegurar lo mismo de > 6 (i ◦ X)−1 , ya que su dominio de definici´on es V = W ∩ S ⊂ R3 −1 X X (para un cierto abierto W de R3 ), que no es un abierto del i◦X X −1 ◦ G espacio eucl´ıdeo tridimensional. ? s Para solventar este problema, vamos a suponer en primer lugar U que (U, X) es una parametrizaci´on que denominaremos tipo Figura 2.16: Diferenciabilidad grafo, es decir, una parametrizaci´on de la forma ´ entre Rm de una aplicacion y una superficie. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ X(u, v) = u, v, f (u, v) , o X(u, v) = u, f (u, v), v , o X(u, v) = f (u, v), u, v , con (u, v) ∈ U, y donde f : U −→ R2 es una funci´on diferenciable.4 Podemos suponer, ¯ ¡ ¢ sin p´erdida de generalidad, que X(u, v) = u, v, f (u, v) . En tal caso, (i ◦ X)−1 = πz ¯V , donde, como viene siendo habitual, πz representa la proyecci´on sobre el plano z = 0. ¯ Como πz : W ⊂ R3 −→ R2 es diferenciable e (i ◦X)−1 = πz ¯V =W ∩S , podemos concluir que (i ◦ X)−1 tambi´en lo es, lo que prueba el resultado en este caso.

Finalmente, suponemos que (U, X) es una parametrizaci´on arbitraria, no necesariamente tipo grafo. Sea entonces (U0 , X0 ) una parametrizaci´on tipo grafo con U ∩ U0 6= 0, / que sabemos siempre existe. Podemos suponer que U = U0 (o bastar´ıa restringirse al abierto U ∩ U0 ). Entonces, X −1 ◦ G = (X −1 ◦ X0 ) ◦ (X0−1 ◦ G) es diferenciable en el sentido ordinario por ser composici´on de funciones diferenciables: X −1 ◦ X0 lo es entre abiertos de R2 (es un cambio de coordenadas) y X0−1 ◦ G es diferenciable entre abiertos de Rm y R2 , pues X0 es una parametrizaci´on tipo grafo, para las que ya hemos probado anteriormente que X0−1 ◦ G es diferenciable. Esto concluye la demostraci´on del resultado. As´ı, cuando trabajemos con aplicaciones diferenciables entre superficies, podremos utilizar indistintamente las definiciones 2.2.4 o 2.2.5, seg´un convenga. Por ejemplo, el siguiente resultado puede probarse f´acilmente utilizando la definici´on intr´ınseca 2.2.4 de aplicaci´on diferenciable. Proponemos su demostraci´on como ejercicio. Corolario 2.2.8. Supongamos que F : S1 −→ S2 y G : S2 −→ S3 son aplicaciones diferenciables entre superficies regulares. Entonces la composici´on G ◦ F : S1 −→ S3 tambi´en es diferenciable. Por otro lado, y al igual que ocurr´ıa en el caso de funciones diferenciables (v´ease el lema 2.2.2), se puede demostrar de un modo sencillo, utilizando el cambio de coordenadas, que es suficiente con la existencia de dos cartas (una para cada superficie) 4 Obs´ervese que una parametrizaci´ on de este tipo siempre existe para cualquier punto de la superficie, lo que est´a asegurado por la proposici´on 2.1.6.

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que hagan diferenciable la expresi´on en coordenadas para asegurar que la aplicaci´on original tambi´en lo es. El siguiente corolario as´ı lo establece. Corolario 2.2.9. Una aplicaci´on F : S1 −→ S2 es diferenciable si, y s´olo si, para todo p ∈ S1 , existen parametrizaciones (U1 , X1 ) de S1 en p y (U2 , X2 ) de S2 en F(p), tales que Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1 es diferenciable en el abierto adecuado U de R2 . 2.2.2.

Difeomorfismos entre superficies

La noci´on de equivalencia entre objetos y estructuras es una constante en Matem´aticas. En lo que respecta a las superficies regulares, la equivalencia se establece con la noci´on de difeomorfismo. As´ı, un difeomorfismo entre superficies no es otra cosa que un homeomorfismo diferenciable, esto es, una biyecci´on continua y diferenciable, cuya inversa tambi´en es continua y diferenciable. Es claro que dos superficies difeomorfas son indistinguibles, no s´olo desde el punto de vista topol´ogico, sino tambi´en diferenciable. Vamos a formalizar estas palabras con la siguiente definici´on. Definici´on 2.2.10. Se dice que una aplicaci´on F : S1 −→ S2 entre dos superficies regulares es un difeomorfismo si F es un homeomorfismo entre S1 y S2 , y adem´as F y su inversa son diferenciables (vistas como aplicaciones entre superficies). Tambi´en diremos que S1 es difeomorfa a S2 (y se escribir´a S1 ≈ S2 ), si existe un difeomorfismo F : S1 −→ S2 entre ambas superficies. Ejemplo 2.14. Sean S ⊂ R3 una superficie regular y (U, X) una parametrizaci´on de S. Sea V = X(U) ⊂ S. Entonces X : U −→ V es un difeomorfismo entre superficies. Por tanto, los entornos coordenados de cualquier superficie regular son difeomorfos a los abiertos del plano. Esta situaci´on se expresa tambi´en diciendo que toda superficie regular es localmente difeomorfa a un plano. Vamos a justificar esta afirmaci´on. Una primera parte de la prueba (que dejamos como ejercicio) consiste en probar que un abierto S0 ⊂ S es tambi´en superficie regular. Entonces, observemos que i) U ⊂ R2 es una superficie (abierto de R2 ) y ii) V ⊂ S es una superficie (abierto de S). Adem´as, X : U −→ V es un homeomorfismo, y por tanto, biyectiva. Tambi´en sabemos que X es diferenciable. S´olo falta comprobar que X −1 : V −→ U es diferenciable como aplicaci´on entre superficies de R3 . Para ello, utilizamos la definici´on: X −1 ser´a diferenciable si i ◦ X −1 : V −→ R3 lo es, con i : U −→ R3 la inclusi´on dada por i(u, v) = (u, v, 0). Veamos entonces si i ◦ X −1 es diferenciable como aplicaci´on que parte de una superficie hasta R3 : para ello tomamos como parametrizaci´on de V la propia X, y as´ı es claro que (i ◦ X −1 ) ◦ X = i : U −→ R3 es diferenciable. ♦ Terminamos este ep´ıgrafe apuntando dos observaciones muy sencillas de comprobar. La primera es que la relaci´on ((ser difeomorfa a)) es de equivalencia. La segunda es que dos superficies difeomorfas son necesariamente homeomorfas, aunque el rec´ıproco, en general, no es cierto. 78

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2.3.

EL PLANO TANGENTE

Una superficie, por el hecho de ((estar)) en el espacio, admite en cada uno de sus puntos un plano tangente en el sentido m´as intuitivo del t´ermino (como el plano que mejor se adapta a la forma ((local)) de la superficie en dicho punto). Como ya es habitual, el hecho de admitir una interpretaci´on directa y sencilla contrasta con la complejidad de expresar formalmente esta situaci´on. La manera de definir el plano tangente a una superficie en un punto concreto consiste en considerar todas las curvas que pasan por dicho punto. Estas curvas, al pasar por el punto, tienen una velocidad que es un vector tangente a la curva. Dado que la curva est´a dentro de la superficie, tal vector velocidad tambi´en ser´a tangente a la superficie. Finalmente, el plano tangente se construye a partir de todos estos vectores velocidad. Posteriormente, dicho plano se dota de estructura de plano vectorial gracias a las parametrizaciones, y se precisan unas bases destacadas en t´erminos de cada parametrizaci´on. Pasamos ahora a formalizar este esquema. Definici´on 2.3.1. Una curva diferenciable en una superficie regular S es una aplicaci´on diferenciable α : I −→ S, donde I ⊂ R es un intervalo abierto.

/ Si Sean (U, X) una parametrizaci´on, V = X(U), y supongamos que α (I) ∩V 6= 0. ª © e : J −→ U dada por definimos J = t ∈ I : α (t) ∈ V , entonces la aplicaci´on α ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) = X −1 α (t) = u(t), v(t) α es la expresi´on en coordenadas de la curva α . Observemos que dicha aplicaci´on es e. una curva en R2 que, en los puntos de J, cumple α = X ◦ α Definici´on 2.3.2. Sea S ⊂ R3 una superficie regular y sea p ∈ S. Diremos que v ∈ R3 es un vector tangente a S en p, si existe una curva α : (−ε , ε ) −→ S diferenciable con α (0) = p y α 0 (0) = v. Observaci´on 2.4. El hecho de tomar t = 0 no es restrictivo; se hace as´ı por comodidad. Observemos que, si α : I −→ S es diferenciable con v = α 0 (t0 ) tangente a S en p = α (t0 ), basta tomar β (s) = α (t0 + s) y entonces β 0 (s) = α 0 (t0 + s). De esta forma, se tiene que β (0) = α (t0 ) = p y β 0 (0) = α 0 (t0 ) = v. As´ı, siempre podemos tomar una curva tal y como se precisa en la definici´on. ♦ Vamos a representar por Tp S el conjunto de todos los vectores tangentes a la superficie S en el punto p. As´ı ª © Tp S = v ∈ R3 : existe α : (−ε , ε ) −→ S diferenciable con α (0) = p y α 0 (0) = v . Lema 2.3.3. Sean S una superficie regular y p ∈ S. Sea (U, X) una parametrizaci´on con X(q) = p y q ∈ U. Entonces, se tiene que Tp S = dXq (R2 ). 79

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De esta forma, es claro que Tp S es un plano vectorial en R3 que llamaremos plano tangente a S en p. Veamos, a continuaci´on, la demostraci´on de este lema. Demostraci´on. Veamos primero que Tp S ⊃ dXq (R2 ). Para ello sea v ∈ dXq (R2 ); entonces debe existir un vector w ∈ R2 tal que v = dXq (w). Tomamos la recta de R2 e (t) = q + tw, que es claramente diferenciable. A continuaci´on, consideradada por α e , que va a ser una curva diferenciable en la superficie S. Adem´as, se mos α = X ◦ α ¡ ¢ e (0) = X(q) = p. Por u´ ltimo, se cumple que tiene que α (0) = X α ¯ ¡ 0 ¢ d ¯¯ e )(t) = α 0 (0), e (0) = ¯ (X ◦ α v = dXq (w) = dXαe (0) α dt t=0

lo que demuestra que v ∈ Tp S. Demostremos ahora la inclusi´on contraria: Tp S ⊂ dXq (R2 ). Para ello tomamos v ∈ Tp S; entonces existe una curva α : (−ε , ε ) −→ S diferenciable tal que α (0) = p y α 0 (0) = v. Como necesitamos una curva en R2 , consideramos su expresi´on en coorde© ª e (t) = (X −1 ◦ α )(t), donde t ∈ J = t ∈ (−ε , ε ) : α (t) ∈ X(U) ; claramente, nadas, α ¡ ¢ e (0) = X −1 α (0) = X −1 (p) = q. Adem´as, se tiene que α ¯ ¡ 0 ¢ d ¯¯ 0 e (0) , e )(t) = dXαe (0) α v = α (0) = ¯ (X ◦ α dt t=0 e (0) = q, es claro que v ∈ dXq (R2 ). y al ser α A continuaci´on, nos planteamos encontrar una base del plano tangente Tp S. Para © ª ello, como (1, 0), (0, 1) es una base de R2 , entonces la inyectividad de dXq implica © ª © ª que dXq (1, 0), dXq (0, 1) = Xu (q), Xv (q) es una base de Tp S. Por lo tanto, © ª Tp S = aXu (q) + bXv (q) : a, b ∈ R , donde, como es habitual, (U, X) es una parametrizaci´on de S con X(q) = p. Sea ahora α : I −→ S una curva con α (I) ⊂ X(U) y tomemos su expresi´on en ¡ ¢ e (t) = (X −1 ◦ α )(t) = u(t), v(t) . Para cada t, α 0 (t) ∈ Tα (t) S y consicoordenadas α ¢ ¡ ¢ª © ¡ e (t) . Entonces, e (t) , Xv α deremos la base de este plano tangente Xu α

¢ ¢ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ e (t) . (2.2) e (t) +v0 (t)Xv α α 0 (t)=Xu u(t), v(t) u0 (t)+Xv u(t), v(t) v0 (t)=u0 (t)Xu α Si escribimos esta u´ ltima expresi´on en notaci´on matricial llegamos a à ! ´ u0 (t) ³ ¡ ¡ 0 ¢ ¡ 0 ¢ ¢ ¢ ¡ 0 e (t) . e (t) e (t) Xv α u (t), v (t) = dX α 0 (t) = Xu α = dX α e e α (t) α (t) v0 (t) Observaci´on 2.5. Es importante remarcar el hecho de que, en general, y salvo que se especifique lo contrario, nos interesa ver Tp S como un espacio vectorial 2-dimensional (un plano vectorial) y no como un espacio af´ın. Por otra parte, podemos considerar el complemento ortogonal a Tp S dentro de R3 , (Tp S)⊥ , como espacio vectorial 80

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eucl´ıdeo, y as´ı obtenemos una recta vectorial que llamaremos recta normal a S en p. Por tanto, podemos escribir R3 = Tp S ⊕ (Tp S)⊥ . Adem´as, para cada p ∈ S, podemos encontrar un vector unitario N(p) que genera la recta normal a S en p, lo que escribi© ª remos como (Tp S)⊥ = span N(p) . El vector N(p) est´a un´ıvocamente determinado (salvo el signo) y se denomina vector normal (unitario) a S en p. Finalmente, como © ª Xu (q), Xv (q) es una base de TX(q) S, entonces se tiene que ¡ ¢ Xu (q) ∧ Xv (q) ¯, N X(q) = ± ¯¯ Xu (q) ∧ Xv (q)¯ lo que va a permitir calcular este vector de forma expl´ıcita.

♦

Siempre y cuando no haya lugar a confusi´on, utilizaremos la notaci´on del ((vector cero)) 0 para representar indistintamente el origen de coordenadas de cualquier plano tangente Tp S, p ∈ S. 2.4.

´ ENTRE SUPERFICIES LA DIFERENCIAL DE UNA APLICACION

Tal y como ocurr´ıa con la noci´on de diferenciabilidad, en esta secci´on vamos a generalizar otra noci´on del c´alculo en varias variables a nuestro ambiente de superficies regulares en el espacio. Para ello, haremos uso de la construcci´on que hemos hecho previamente de los vectores como velocidades de curvas dentro de la superficie. La clave en esta ocasi´on consiste en demostrar que la definici´on no depende de la curva escogida. Posteriormente veremos c´omo los teoremas m´as importantes del c´alculo en varias variables pueden generalizarse de forma casi directa para superficies regulares. 2.4.1.

´ real sobre una superficie La diferencial de una funcion

Sean S ⊂ R3 una superficie regular y p ∈ S. Consideramos f : S −→ R una funci´on diferenciable y definimos la aplicaci´on d f p : Tp S −−−−→ R ¯ d ¯¯ v −−−−→ ( f ◦ α )(t), dt ¯t=0

donde α : (−ε , ε ) −→ S es una curva diferenciable con α (0) = p y α 0 (0) = v. La aplicaci´on d f p recibe el nombre de diferencial de f en p. Lema 2.4.1. La aplicaci´on d f p est´a bien definida (es decir, no depende de la curva α elegida) y es lineal. Demostraci´on. Como es habitual, tomamos (U, X) una parametrizaci´on de la superficie S, q ∈ U con X(q) = p y α : I −→ S una curva diferenciable verificando α (0) = p y α 0 (0) = v ∈ Tp S (v´ease la figura 2.17). A continuaci´on, consideramos la ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) = X −1 α (t) = u(t), v(t) , de modo expresi´on en coordenadas de α , dada por α ¢ ¡ e es α −1 X(U) ∩ α (I) = J y e (0) = q. Observemos que el dominio de la curva α que α que 0 ∈ J. Claramente, f ◦ α = ( f ◦ X) ◦ (X −1 ◦ α ), composici´on que es diferenciable. 81

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S X (U )

α

1

v p

f

α (J)

α (I)

-R

6

J⊂I

X

α e = X −1 ◦ α

j

q U

Figura 2.17: La diferencial ´ de una funcion.

¯ e , que e , se verificar´a que f ◦ α ¯J = fe◦ α Por tanto, en J, dominio de definici´on de α es la composici´on de las expresiones en coordenadas de f y α . As´ı ¯ ¯ ¯ ¢ d ¯¯ d ¯¯ e¡ d ¯¯ e e )(t) = ¯ f u(t), v(t) . d f p (v) = ¯ ( f ◦ α )(t) = ¯ ( f ◦ α dt t=0 dt t=0 dt t=0 Si aplicamos ahora la regla de la cadena se obtiene ¡ ¢ ¡ ¢ d f p (v) = d feαe (0) u0 (0), v0 (0) = d feq u0 (0), v0 (0) .

Observemos que la expresi´on d feq no depende de la curva α . Ahora bien, ¿podemos ¡ ¢ afirmar lo mismo para u0 (0), v0 (0) ? Para responder a esta pregunta, obs´ervese que v = α 0 (0) = u0 (0)Xu (q) + v0 (0)Xv (q) por (2.2), por lo que los n´umeros u0 (0) y v0 (0) s´olo dependen del vector v y de la parametrizaci´on (U, X), y no de la curva α elegida. Con esto hemos demostrado que la diferencial est´a bien definida. Adem´as, utilizando la igualdad anterior se tiene que ¡ ¢ ¡ ¢ d f p u0 (0)Xu (q) + v0 (0)Xv (q) = d f p (v) = d feq u0 (0), v0 (0) ¶Ã 0 ! µ e e u (0) ∂ ∂ f f . = (q) (q) v0 (0) ∂u ∂v © ª En general, para un vector (v1 , v2 ) expresado en t´erminos de la base Xu (q), Xv (q) se tiene que ¶Ã ! µ e e v1 ∂ ∂ f f , d f p (v1 , v2 ) = (q) (q) v2 ∂u ∂v y esto demuestra que d f p es una aplicaci´on lineal cuya matriz asociada, con respecto © ª a la base Xu (q), Xv (q) , es ! à ∂ fe ∂ fe (q) . (q) ∂v ∂u

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Veamos a continuaci´on un ejemplo sobre c´omo calcular la diferencial de una aplicaci´on que ya hemos estudiado con anterioridad. Ejemplo 2.15 (La diferencial de la funci´on altura). Consideremos la funci´on altura h : S −→ R respecto al vector unitario v ∈ R3 , h(p) = hp, vi. Ya sabemos (v´ease el ejemplo 2.13) que h es diferenciable, y lo que queremos calcular ahora es su diferencial; esto es, nos preguntamos por la aplicaci´on dh p : Tp S −→ R donde, dado un vector w ∈ Tp S, debemos encontrar dh p (w). Para ello, tomamos α : I −→ S una curva con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = w. Entonces ¯ ¯ ¯ ¢ ® ¡ d¯ d¯ ­ d¯ α (t), v dh p (w) = ¯¯ (h ◦ α )(t) = ¯¯ h α (t) = ¯¯ dt t=0 dt t=0 dt t=0 ® ­ 0 = α (0), v = hw, vi.

Por tanto, se tiene que dh p (·) = h ·, vi, que es la propia funci´on h, lo cual tiene perfecto sentido ya que h es una aplicaci´on lineal. Observemos adem´as que, si Tp S y el plano Π = span{v}⊥ son paralelos, entonces hw, vi = 0 para todo w ∈ Tp S, y dh p ≡ 0. ♦ ´ entre superficies 2.4.2. La diferencial de una aplicacion En este ep´ıgrafe seguimos la misma pauta que en el anterior. As´ı, sean S1 y S2 dos superficies regulares y F : S1 −→ S2 una aplicaci´on diferenciable. Si fijamos un punto arbitrario p ∈ S1 , vamos a definir su diferencial como dFp : Tp S1 −−−−→ TF(p) S2 ¯ d ¯¯ (F ◦ α )(t), v −−−−→ dt ¯t=0 donde α : I −→ S1 es cualquier curva en S1 con α (0) = p y α 0 (0) = v. Veamos c´omo act´ua dFp . Sean (U1 , X1 ) y (U2 , X2 ) dos parametrizaciones de S1 y S2 en p y F(p), respectivamente. Sea q1 ∈ U1 tal que X1 (q1 ) = p y sea q2 ∈ U2 tal que X2 (q2 ) = F(p). Representamos por (u, v) las coordenadas en U1 y por (u, v) las coordenadas en U2 (v´ease la figura 2.18). © ª Por tanto, una base para Tp S1 viene dada por (X1 )u (q1 ), (X1 )v (q1 ) , mientras ª © que la correspondiente base para TF(p) S2 ser´a (X2 )u (q2 ), (X2 )v (q2 ) . Si v ∈ Tp S1 , existe una curva α : I −→ S1 con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v, y ¡ ¢ e (t) = (X1−1 ◦ α )(t) = u(t), v(t) , tomando su expresi´on en coordenadas, α ¯ ¡ ¢ d ¯¯ 0 e )(t) = d(X1 )q1 u0 (0), v0 (0) v = α (0) = ¯ (X1 ◦ α dt t=0 = u0 (0)(X1 )u (q1 ) + v0 (0)(X1 )v (q1 ). Ahora bien,

¯ d ¯¯ dFp (v) = ¯ (F ◦ α )(t) = β 0 (0), dt t=0

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donde β (t) = (F ◦ α )(t) es una curva en S2 con β (0) = F(p). Claramente, su expre¡ ¢ si´on en coordenadas viene dada por βe(t) = (X2−1 ◦ β )(t) = u(t), v(t) . Luego

β 0 (0) = u0 (0)(X2 )u (q2 ) + v0 (0)(X2 )v (q2 ). α

I

- S 1 6

-S  2 6

X1

α e = X1−1 ◦ α

Figura 2.18: La diferencial

F

´ entre de una aplicacion

R

superficies.

U1

X2

β = F ◦α

I

β e = X2−1 ◦ β

X2−1 ◦ F ◦ X1

- U2

Por lo tanto, la diferencial dFp : Tp S1 −→ TF(p) S2 es una aplicaci´on que verifica ¢ ¡ ¢ ¡ 0 ¢ ¡ dFp u (0), v0 (0) = u0 (0), v0 (0) , donde u0 (0), v0 (0) son las coordenadas de v res¢ © ª ¡ pecto a la base (X1 )u (q1 ), (X1 )v (q1 ) , mientras que u0 (0), v0 (0) son las coordenaª © das de dFp (v) respecto a la base (X2 )u (q2 ), (X2 )v (q2 ) . Consideremos la expresi´on en coordenadas de F, esto es, Fe = X2−1 ◦ F ◦ X1 : U1 −→ U2 . Entonces, ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ e (t) = Fe ◦ X1−1 ◦ α (t) = X2−1 ◦ F ◦ X1 ◦ X1−1 ◦ α (t) Fe u(t), v(t) = Fe α ¡ ¢ ¢ ¡ = X −1 ◦ F ◦ α (t) = (X −1 ◦ β )(t) = βe(t) = u(t), v(t) . 2

2

¢ ¡ e v) = u(u, v), v(u, v) , y u y v dependen a su vez de t, podemos Ahora bien, como F(u, ¡ ¢ ¡ ¢ escribir u(t) = u u(t), v(t) y v(t) = v u(t), v(t) ; por tanto, u0 (0) =

¢ ¢ ∂u¡ ∂u¡ u(0), v(0) u0 (0) + u(0), v(0) v0 (0), ∂u ∂v

¢ ¢ ∂v¡ ∂v¡ u(0), v(0) v0 (0). u(0), v(0) u0 (0) + ∂v ∂u ¡ ¢ Teniendo en cuenta que u(0), v(0) = q1 y que   ∂u ∂u  ∂u ∂v   J Fe =   ∂v ∂v , ∂u ∂v v0 (0) =

se llega finalmente a que  ∂u ! Ã (q1 ) 0  u (0)  ∂u =  ∂v v0 (0) (q1 ) ∂u

 ∂u à ! (q1 )  à 0 ! 0 (0) u (0) u ∂v  e  v0 (0) = J F(q1 ) v0 (0) . ∂v (q1 ) ∂v

Por tanto, la diferencial dFp es una aplicaci´on lineal cuya matriz asociada respecto a ª © ª © las bases (X1 )u (q1 ), (X1 )v (q1 ) y (X2 )u (q2 ), (X2 )v (q2 ) es, precisamente, el jacoe 1 ). Adem´as, dFp est´a bien definida, esto es, biano del cambio de coordenadas, J F(q no depende de la curva α . 84

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Ejemplo 2.16 (La rotaci´on de a´ ngulo θ respecto al eje z). Consideremos la aplicaci´on F : S2 −→ S2 dada por

F(x, y, z) = (x cos θ − y sen θ , x sen θ + y cos θ , z), que es claramente diferenciable por ser la composici´on i ◦ F la restricci´on a S2 de un movimiento r´ıgido de R3 (una rotaci´on). Vamos a calcular la diferencial de F en un punto p arbitrario. Para ello, tomamos una curva α : I −→ S2 , con α (0) = p y ¡ ¢ α 0 (0) = v ∈ Tp S2 , y escribimos α (t) = x(t), y(t), z(t) . Entonces ¯ ¢ d ¯¯ ¡ x(t) cos θ − y(t) sen θ , x(t) sen θ + y(t) cos θ , z(t) dFp (v) = ¯ dt t=0 ¢ ¡ 0 = x (0) cos θ − y0 (0) sen θ , x0 (0) sen θ + y0 (0) cos θ , z0 (0) ¡ ¢ = F x0 (0), y0 (0), z0 (0) = F(v). Por tanto, la diferencial dFp (v) es la propia aplicaci´on F, lo cual tiene perfecto sentido ya que F es una aplicaci´on lineal. En ocasiones, el c´alculo de la diferencial es conveniente efectuarlo utilizando coordenadas.5 En este ejemplo concreto, podemos tomar como X(u, v) las coordenadas geogr´aficas de la esfera, siendo u la colatitud y v la longitud. En estos t´erminos, e v) = (u, v + θ ), por lo que su jacobiano es la un c´alculo sencillo demuestra que F(u, identidad, de suerte que para un punto X(u, v) = p llegamos a ¡ ¢ ¢ ¡ dFp Xu (u, v) = Xu (u, v + θ ) y dFp Xv (u, v) = Xv (u, v + θ ). Observemos que, pese a que el jacobiano es la matriz identidad, esto no significa que la actuaci´on de la diferencial sea la propia identidad. ♦ Ejemplo 2.17. Sea S una superficie regular tal que 0 6∈ S y consideremos la aplicaci´on F : S −→ S2 dada por F(p) = p/ |p|. Claramente, F es diferenciable, pues la composici´on i ◦ F es la restricci´on a S de la funci´on F(p) = p/ |p|, definida e´ sta sobre el abierto R3 \{0} de R3 . Calculemos su diferencial. Para ello, tomemos una curva α : I −→ S, con α (0) = p y α 0 (0) = v ∈ Tp S. Entonces " # ­ ® ¯ 0 (t) α (t), α hp, vi 1 1 α (t) d ¯¯ ¯ α 0 (t) − ¯ ¯= ¯ p. ♦ v− = dFp (v) = ¯ ¯¯ ¯3 α (t) ¯ ¯ ¯ |p|3 |p| dt t=0 α (t) ¯α (t)¯ α (t) t=0

A continuaci´on vamos a ver algunos resultados est´andar del An´alisis en varias variables que se extienden sin dificultad para superficies regulares. Proposici´on 2.4.2 (Regla de la cadena). Sean F : S1 −→ S2 y G : S2 −→ S3 aplicaciones diferenciables entre superficies. Entonces, para cada p ∈ S1 , d(G ◦ F) p = dGF(p) ◦ dFp . 5

Esto es imprescindible cuando se trabaja con superficies abstractas, de lo que no nos ocuparemos en este libro.

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Demostraci´on. Ya sabemos que la composici´on G ◦ F es diferenciable (v´ease el corolario 2.2.8). Por tanto, sean p ∈ S1 y v ∈ Tp S1 , y tomemos una curva α : I −→ S1 con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces, ¯ ¯ ¢ ¢ ¡ ¡ d ¯¯ d ¯¯ d(G ◦ F) p (v) = ¯ (G ◦ F) α (t) = ¯ G F(α (t)) . dt t=0 dt t=0 ¡ ¢ Vamos a llamar β (t) = F α (t) , que es una curva en S2 con condiciones iniciales ¡ ¢ β (0) = F(p) y β 0 (0) = dFα (0) α 0 (0) = dFp (v). Por tanto, ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ d¯ d(G ◦ F) p (v) = ¯¯ G β (t) = dGβ (0) β 0 (0) = dGF(p) dFp (v) . dt t=0 Observaci´on 2.6. Como la noci´on de espacio tangente en un punto p se basa en los vectores tangentes a las curvas cuando pasan por dicho punto y este concepto es completamente local, resulta sencillo demostrar que si S es una superficie regular y S0 ⊂ S es un abierto de S, entonces Tp S ≡ Tp S0 para cada p ∈ S0 . ♦ Teorema 2.4.3 (de la funci´on inversa). Sea F : S1 −→ S2 una aplicaci´on diferenciable entre superficies y supongamos que dFp es un isomorfismo lineal para un cierto p ∈ S1 . Entonces F es un difeomorfismo local en p, esto es, existe un entorno V (p) ⊂ S1 tal que F : V −→ F(V ) es un difeomorfismo entre superficies. Demostraci´on. Consideremos (U1 , X1 ) y (U2 , X2 ) dos parametrizaciones de S1 y S2 en p y F(p), respectivamente. Sean V1 = X1 (U1 ) y q1 ∈ U1 tal que X1 (q1 ) = p. Por otra parte, sean V2 = X2 (U2 ) y q2 ∈ U2 tal que X2 (q2 ) = F(p). Si tomamos Fe la expresi´on en coordenadas de F respecto a estas parametrizaciones, es claro que el ¡ ¢ dominio de Fe viene dado por U := X1−1 F −1 (V2 ) ∩ V1 , donde U ⊂ U1 es abierto y q1 ∈ U (v´ease el diagrama de la figura 2.14). Obs´ervese que d Feq1 es tambi´en un isomorfismo lineal, ya que su matriz jacobiana coincide con la de dFp . Por tanto, si aplicamos el teorema de la funci´on inversa a la e e1 (q1 ) ⊂ U y U e2 (q2 ) de modo que aplicaci´on Fe : U −→ F(U), deben existir abiertos U e1 −→ U e2 es un difeomorfismo entre abiertos del plano. Sea ahora V = X1 (U e1 ), Fe : U ¯ que es un abierto de S1 . Claramente, F ¯V : V −→ F(V ) es un difeomorfismo, ya que ¯ ¯ F ¯V = (X2 ◦ Fe ◦ X1−1 )¯V , que es una composici´on de tres difeomorfismos. A continuaci´on probamos que el rec´ıproco de este resultado tambi´en se verifica. Teorema 2.4.4. Sea F un difeomorfismo local en p entre dos superficies S1 y S2 . Entonces la aplicaci´on dFp : Tp S1 −→ TF(p) S2 es un isomorfismo lineal. Demostraci´on. Como F : S1 −→ S2 es un difeomorfismo local en p, existen abiertos ¡ ¢ V1 (p) ⊂ S1 y V2 F(p) ⊂ S2 de modo que F : V1 −→ V2 es un difeomorfismo. Consideremos la inversa de F, dada por F −1 : V2 −→ V1 . Entonces F −1 ◦ F es la identidad, esto es, F −1 ◦ F = 1V1 . Si hacemos la diferencial en p se obtiene

1Tp S1 = 1TpV1 = d(F −1 ◦ F) p = d(F −1 )F(p) ◦ dFp . 86

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An´alogamente se prueba que dFp ◦ d(F −1 )F(p) = 1TF(p) S2 . Por tanto, dFp es invertible ¡ ¢ y es un isomorfismo lineal. Adem´as, (dFp )−1 = d F −1 F(p) . Definici´on 2.4.5. Sea f : S −→ R una funci´on diferenciable. Un punto p ∈ S se dice que es un punto cr´ıtico de f cuando d f p ≡ 0. Proposici´on 2.4.6. Siguiendo la notaci´on anterior, se tiene que: i) Si f : S −→ R es constante, entonces d f p ≡ 0, para todo p ∈ S. ii) Si S es conexa y d f p ≡ 0 para todo p ∈ S, entonces f es constante. iii) Si f presenta un extremo relativo en p0 ∈ S, entonces d f p0 ≡ 0. Demostraci´on. La demostraci´on de i) es inmediata pues, para todo v ∈ Tp S, si α es una curva con condiciones iniciales p y v, se tiene que ¯ ¯ ¢ ¡ d ¯¯ d ¯¯ d f p (v) = ¯ f α (t) = ¯ (constante) = 0. dt t=0 dt t=0 © ª Con respecto a ii), sea a ∈ R con a ∈ f (S) y sea A = p ∈ S : f (p) = a . Claramente, A 6= 0/ pues a ∈ f (S). Vamos a ver que A = S, lo que demostrar´a que f es una funci´on constante cuyo u´ nico valor es a. Para ello utilizaremos el hecho bien conocido de que en un espacio topol´ogico conexo, el u´ nico conjunto (no vac´ıo) que es abierto y cerrado a la vez es el espacio total (v´ease [30]). En primer lugar, observemos que A es cerrado por ser la imagen inversa de un cerrado en R, el conjunto unipuntual {a}. Por tanto, bastar´a comprobar que A es abierto. Sea entonces p ∈ A y sea (U, X) una parametrizaci´on con p ∈ V = X(U) y U conexo (esto no supone ninguna restricci´on). Si probamos que V ⊂ A habremos terminado. Para ello, sea q ∈ U; entonces d( f ◦ X)q = d fX(q) ◦ dXq ≡ 0 pues, por hip´otesis, d f p ≡ 0 para todo p ∈ S. Como f ◦ X : U ⊂ R2 −→ R es una funci´on real cuya diferencial se anula en todos los puntos del abierto conexo U, f ◦ X debe ser constante, por lo que f ◦ X ≡ a en U. En consecuencia, f ≡ a en X(U) = V y, por tanto, V ⊂ A, con lo que termina la prueba de ii). Para demostrar iii) supongamos, por ejemplo, que p0 es un m´aximo relativo de f (an´alogamente se har´ıa para un m´ınimo). Entonces, existe un entorno V (p0 ) ⊂ S de modo que f (p0 ) ≥ f (p), para todo p ∈ V . Nos planteamos estudiar la aplicaci´on d f p0 . Para ello, sea v ∈ Tp0 S y as´ı ¯ d ¯¯ d f p0 (v) = ¯ ( f ◦ α )(t), dt t=0

donde α : I −→ V ⊂ S es una curva en la superficie con condiciones iniciales p0 y v. Si llamamos h(t) = ( f ◦ α )(t), entonces h : I −→ R es una funci´on real de variable ¢ ¡ real verificando adem´as que h(t) = f α (t) ≤ f (p0 ) = h(0), para todo t ∈ I. Por lo tanto, 0 es un m´aximo de h : I −→ R y, en consecuencia, h0 (0) = 0; luego d f p0 (v) = 0, para todo v ∈ Tp0 S. 87

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2.5.

LA PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL

Hasta ahora nos hemos ocupado de las superficies regulares y de cuestiones que u´ nicamente ata˜nen al a´ mbito de lo diferenciable. En esta secci´on vamos a introducirnos ya en el mundo de la Geometr´ıa de Superficies. Ahora bien, ¿c´omo podemos hacer geometr´ıa, esto es, medir distancias, a´ ngulos y a´ reas dentro de una superficie? La respuesta a esta cuesti´on no puede ser m´as natural: podemos aprovechar que la superficie est´a a su vez dentro del espacio eucl´ıdeo y que este espacio tiene un ((entramado m´etrico)) que, por supuesto, tambi´en la afecta. A modo de ejemplo, si queremos definir la longitud de una curva de la superficie, podemos contemplar la curva dentro del espacio eucl´ıdeo y definir su longitud como la que tiene la propia curva en R3 . Este modo de proceder parece tan obvio que puede parecer superfluo e, incluso, redundante. No obstante, si ahora nos planteamos definir el a´ rea de un recinto contenido en la superficie, la situaci´on no es tan clara, porque, aunque veamos dicho recinto dentro de R3 , la estructura eucl´ıdea no proporciona herramientas para computar dicha a´ rea. ¿Qu´e hacer entonces en esta situaci´on? Para resolver el problema, la idea consiste en remontarnos a lo esencial de la estructura m´etrica de R3 . La pregunta ser´ıa: ¿qu´e es lo que permite hacer geometr´ıa dentro del espacio eucl´ıdeo? Evidentemente, es el producto escalar eucl´ıdeo el objeto a partir del cual pueden definirse longitudes, a´ ngulos, a´ reas y vol´umenes. Pues bien, si el ingrediente fundamental de la Geometr´ıa Eucl´ıdea es el producto escalar, lo que haremos ser´a ((inducir)) dicho producto en la superficie; esto es, usaremos el producto escalar para medir (hacer geometr´ıa) en la superficie. As´ı pues, consideremos una superficie regular S y un punto p ∈ S. Sabemos que Tp S es un plano vectorial contenido en el espacio vectorial R3 , luego, dados dos vectores v, w ∈ Tp S, vamos a representar por hv, wi p el producto escalar usual de R3 actuando sobre los vectores pertenecientes a Tp S. De esta forma, si v, w ∈ Tp S, se tiene que hv, wi p = hv, wi. Observemos que h · , · i p es una forma bilineal, sim´etrica y definida positiva. Vamos a representar por I p la forma cuadr´atica asociada a h · , · i p , es decir, la aplicaci´on I p : Tp S −→ R dada por I p (v) = hv, vi p = hv, vi = |v|2 ≥ 0. Definici´on 2.5.1. La aplicaci´on I p : Tp S −→ R dada por I p (v) = hv, vi p se denomina la primera forma fundamental de S. En lo que sigue, y salvo que queramos precisar con exactitud el punto sobre el que estamos trabajando, escribiremos simplemente h · , · i en lugar de h · , · i p . Sean v ∈ Tp S y α : I −→ S con condiciones iniciales p y v. Tomamos una parame¡ ¢ e (t) = u(t), v(t) la expresi´on en coordenadas trizaci´on (U, X) de S y consideramos α de α . Entonces v = α 0 (0) = u0 (0)Xu (q) + v0 (0)Xv (q) = aXu (q) + bXv (q), donde a, b son n´umeros reales y X(q) = p. Si ahora calculamos I p (v) obtenemos

I p (v) = |aXu + bXv |2 = a2 hXu , Xu i + 2ab hXu , Xv i + b2 hXv , Xv i , donde, por simplicidad, hemos suprimido el punto q en el que se eval´uan la parametrizaci´on y sus parciales. A partir de ahora, y siempre que no haya lugar a confusi´on, omitiremos habitualmente las variables (u, v) en las f´ormulas. 88

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Denotamos por E = hXu , Xu i, F = hXu , Xv i y G = hXv , Xv i. Estas tres funciones (toman sus valores en U) son claramente diferenciables y se denominan los coeficientes de la primera forma fundamental. Observemos que las funciones E, F y G expresan, de alg´un modo, c´omo var´ıa la manera de medir vectores conforme vamos cambiando de punto en la superficie. Por otra parte, remarcamos el hecho de que E, F y G son objetos dependientes de la parametrizaci´on que estemos considerando, tal y como pone de manifiesto la siguiente observaci´on. Observaci´on 2.7. Dada una superficie S, seg´un la parametrizaci´on que estemos utilizando, los coeficientes de la primera forma fundamental ser´an de una forma u otra (mucho m´as tarde veremos que una especial combinaci´on de e´ stos y sus derivadas s´ı es independiente de la parametrizaci´on). Como ejemplo sencillo para ilustrar esta afirmaci´on, basta considerar el plano af´ın z = 0. Dicho plano admite como parametrizaci´on X(u, v) = (u cos v, u sen v, 0); sus coeficientes ser´ıan E = 1, F = 0 y G = u2 . Otra parametrizaci´on para este plano es X(u, v) = (u, v, 0) cuyos coeficientes son ahora E = 1, F = 0 y G = 1. ♦ A continuaci´on vamos a presentar varias superficies y sus coeficientes respecto de algunas parametrizaciones. Ejemplo 2.18 (El plano). Sea Π el plano af´ın generado por una base arbitraria © ª v = (v1 , v2 , v3 ), w = (w1 , w2 , w3 ) , que pasa por el punto p = (p1 , p2 , p3 ). Una parametrizaci´on para Π puede ser la dada por X : R2 −→ Π, X(u, v) = (p1 + uv1 + vw1 , p2 + uv2 + vw2 , p3 + uv3 + vw3 ); de esta forma, Xu = (v1 , v2 , v3 ) = v mientras que Xv = (w1 , w2 , w3 ) = w. Por tanto, E = hv, vi, F = hv, wi y G = hw, wi. Obs´ervese que, si la base es ortonormal, entonces E = G = 1 y F = 0. ♦ ª © Ejemplo 2.19 (El cilindro). Sea C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 +y2 = r2 el cilindro circular recto de radio r (v´ease la figura 2.19). Una parametrizaci´on para C ser´ıa X(u, v) = (r cos u, r sen u, v).

Figura 2.19: El cilindro.

Entonces Xu = (−r sen u, r cos u, 0) y Xv = (0, 0, 1). Luego E = r2 , F = 0 y G = 1 son los coeficientes de su primera forma fundamental respecto a X. ♦ Ejemplo 2.20 (El helicoide). Consideremos la h´elice (v´ease la figura 1.1) parametrizada mediante α (u) = (cos u, sen u, au), con a > 0. Observemos que esta curva se va enroscando alrededor del eje z, por lo que tiene sentido, para cada punto α (u), tomar la recta determinada por e´ ste y el punto del eje z con coordenadas (0, 0, au). La uni´on de dichas rectas es una superficie regular que se denomina el helicoide (v´ease la figura 2.20). Una parametrizaci´on para esta superficie es X(u, v) = (v cos u, v sen u, au), Figura 2.20: El helicoide.

con u, v ∈ R.

As´ı, Xu = (−v sen u, v cos u, a) y Xv = (cos u, sen u, 0), luego E = a2 + v2 , F = 0 y G = 1 son los coeficientes de su primera forma fundamental respecto a X. ♦ 89

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Veamos a continuaci´on algunas propiedades elementales que verifican los coeficientes de la primera forma fundamental. Proposici´on 2.5.2. Sean S una superficie, (U, X) una parametrizaci´on de S y E, F, G los coeficientes de su primera forma fundamental respecto a (U, X). Entonces, i) E, G > 0 y ii) EG − F 2 > 0. Demostraci´on. La primera propiedad es evidente, ya que {Xu , Xv } forman una base del plano tangente y, en particular, son vectores no nulos, por lo que sus m´odulos son siempre positivos. Con respecto a la segunda, observemos que |Xu ∧ Xv |2 + hXu , Xv i2 = |Xu |2 |Xv |2 sen2 θ + |Xu |2 |Xv |2 cos2 θ = |Xu |2 |Xv |2 ,

donde θ = a´ ng(Xu , Xv ). Por tanto, EG − F 2 = |Xu |2 |Xv |2 − hXu , Xv i2 = |Xu ∧ Xv |2 > 0, siendo el u´ ltimo t´ermino positivo por ser Xu y Xv linealmente independientes. 2.5.1.

Aplicaciones de la primera forma fundamental: ´ ´ midiendo longitudes, angulos y areas

Tal y como ya hemos comentado con anterioridad, la primera forma fundamental tiene la cualidad de que con ella podemos efectuar geometr´ıa sobre la superficie, es decir, podemos hacer medidas de los objetos que est´an contenidos en la misma. Midiendo longitudes Sea α : I −→ S una curva parametrizada. Su longitud de arco viene dada por Z t q­ Z tq Z t¯ ¯ ¡ ¢ ® Iα (r) α 0 (r) dr. α 0 (r), α 0 (r) dr = s(t) = ¯α 0 (r)¯ dr = 0 0 0 ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) , siendo (U, X) una parametrizaci´on En particular, si α (t) = X u(t), v(t) = X α de S, la longitud de arco se puede expresar como Z tq ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ e (r) u0 (r)v0 (r) + G α e (r) v0 (r)2 dr. e (r) u0 (r)2 + 2F α E α s(t) = 0

Por lo tanto,

q ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) u0 (t)v0 (t) + G α e (t) v0 (t)2 , e (t) u0 (t)2 + 2F α s (t) = E α 0

es decir, µ µ ¶2 ¶2 ¶2 µ ¢ du ¢ du dv ¢ dv ¡ ¡ ¡ ds e (t) e (t) e (t) (t) = E α (t) + 2F α (t) (t) + G α (t) ; dt dt dt dt dt esto suele escribirse como (ds)2 = E(du)2 + 2Fdudv + G(dv)2 , y se dice que ds es el elemento de arco o elemento de l´ınea de S. 90

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´ Midiendo angulos Sean α : I −→ S y β : I −→ S dos curvas parametrizadas regulares que se cortan en un punto α (t0 ) = β (t0 ), t0 ∈ I. El a´ ngulo θ que forman (es decir, el a´ ngulo que determinan sus vectores tangente en dicho punto) viene dado por ­ 0 ® α (t0 ), β 0 (t0 ) cos θ = ¯¯ 0 ¯¯¯¯ 0 ¯¯ . α (t0 ) β (t0 )

En particular, dada una parametrizaci´on (U, X), si tomamos sus curvas coordenadas para v0 y u0 fijos, esto es, α (u) = X(u, v0 ), β (v) = X(u0 , v), entonces el a´ ngulo que forman en X(u0 , v0 ) vale

θ = arc cos

hXu , Xv i F (u0 , v0 ) = arc cos √ (u0 , v0 ). |Xu ||Xv | EG

Observemos que θ ≥ 0 y que las curvas coordenadas de X son ortogonales si, y s´olo si, F ≡ 0. En tal caso, se dice que X es una parametrizaci´on ortogonal.

´ Midiendo areas Para medir a´ reas necesitamos definir lo que se entiende por una regi´on de una superficie regular. Definici´on 2.5.3. Sea R ⊂ S un subconjunto de una superficie regular S. Diremos que R es una regi´on de S si es un subconjunto conexo y relativamente compacto de S, cuya frontera (topol´ogica, relativa a S), al descomponerse en (un n´umero finito de) componentes conexas, debe verificar: cada componente conexa es una curva regular excepto, a lo sumo, en un n´umero finito de puntos; cada componente conexa es homeomorfa a la circunferencia S1 . Como vemos, la definici´on de regi´on es bastante t´ecnica y, en realidad, para lo que vamos a exponer a continuaci´on, s´olo se precisa que R sea relativamente compacto. Sin embargo, hemos optado por establecerla de este modo pues, en cap´ıtulos posteriores, este concepto volver´a a entrar en juego de forma relevante, y all´ı s´ı ser´an necesarias todas las condiciones que se han impuesto en la definici´on. As´ı pues, si R ⊂ S es una regi´on de una superficie regular S, tal que existe una parametrizaci´on (U, X) con R ⊂ X(U), se define el a´ rea de R como Z

A(R) =

X −1 (R)

|Xu ∧ Xv | dudv.

El siguiente resultado de car´acter t´ecnico prueba que e´ sta es una buena definici´on. Lema 2.5.4. El n´umero A(R) no depende de la parametrizaci´on escogida. 91

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Demostraci´on. Sea X : U −→ S otra parametrizaci´on de S con R ⊂ X(U). Conside−1 ramos el cambio de coordenadas h = X ◦ X, el cual podemos expresar de la forma ¡ ¢ h(u, v) = u(u, v), v(u, v) de suerte que ¡ ¢ ¡ ¢ X(u, v) = X h(u, v) = X u(u, v), v(u, v) ;

entonces,

∂u ∂v ∂u ∂v + X v , y Xv = X u + Xv . ∂u ∂u ∂v ∂v Multiplicando estos vectores (vectorialmente) y utilizando la antisimetr´ıa del producto vectorial, se tiene que µ ¶ ¢ ∂v ∂u¡ ¢ ¢ ∂u ∂v¡ ∂u ∂v ∂v ∂u ¡ Xu ∧ Xv = Xu ∧ Xv + Xv ∧ Xu = − Xu ∧ Xv ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ¢ ¡ = det(Jh) X u ∧ X v . Xu = X u

Luego

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X u ∧ X v ¯ = ¯det(Jh)¯−1 |Xu ∧ Xv | = ¯det(Jh−1 )¯ |Xu ∧ Xv |.

Por tanto, al introducir esta expresi´on bajo el signo de la integral, obtenemos ZZ ZZ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X u ∧ X v ¯ d ud v = |Xu ∧ Xv | ¯det(Jh−1 )¯ d ud v −1 −1 X

X

(R)

ZZ

=

(R)

X −1 (R)

|Xu ∧ Xv | dudv,

donde en la u´ ltima igualdad hemos aplicado el teorema del cambio de variable. Esto concluye la demostraci´on.

Aunque hemos probado que la definici´on es buena, es decir, no depende de las coordenadas escogidas, habr´ıa que verificar si la definici´on se corresponde realmente con el concepto que deseamos definir. En otras palabras, deber´ıamos comprobar si el n´umero A(R) ((es)) el a´ rea de la regi´on R. Para ello, remitimos al lector al cap´ıtulo 4 de integraci´on, donde se explica el sentido geom´etrico de la definici´on.6 Una consecuencia directa del lema 2.5.4 anterior es la siguiente: Corolario 2.5.5. El a´ rea de una regi´on R ⊂ S viene dada por la expresi´on ZZ p EG − F 2 dudv, A(R) = X −1 (R)

donde (U, X) es cualquier parametrizaci´on de S tal que R ⊂ X(U). Desde luego, es natural preguntarse qu´e ocurre si queremos medir el a´ rea de una regi´on R ⊂ S, y no podemos encontrar ninguna parametrizaci´on (U, X) de la superficie que la cubra, es decir, tal que R ⊂ X(U). Este caso necesita un tratamiento espec´ıfico, algo m´as complejo, que ser´a estudiado en el cap´ıtulo 4 de este libro, donde remitimos al lector. 6

Suele ocurrir en Geometr´ıa que, si uno es capaz de definir un objeto independientemente de las coordenadas, entonces dicho objeto es susceptible de tener alg´un significado importante. Veremos posteriormente m´as ejemplos de esta situaci´on.

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Ejemplo 2.21 (El a´ rea del toro de revoluci´on). Recordemos que el toro de revoluci´on T2 es una superficie regular (v´eanse los ejemplos 2.7 y 2.11) que se puede parametrizar de la forma ¡ ¢ X(u, v) = (r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u , donde (u, v) ∈ U = (0, 2π ) × (0, 2π ). Los coeficientes de la primera forma fundamental respecto a esta parametrizaci´on vienen dados por E = r2 , F = 0, G = (a+r cos u)2 . √ As´ı, EG − F 2 = r(a + r cos u) y, para toda regi´on R contenida en el entorno coordenado X(U), se tendr´a que ZZ ZZ p EG − F 2 dudv = r(a + r cos u) dudv. A(R) = X −1 (R)

X −1 (R)

Obs´ervese que, geom´etricamente, la parametrizaci´on X act´ua como se muestra en la figura 2.21, identificando los lados opuestos de un cuadrado de lado 2π . C ≡ (2π , 2π )

D ≡ (0, 2π )

X

U

´ Figura 2.21: La parametrizacion

A ≡ (0, 0)

´ del toro de revolucion.

X (U ) -

A↔D B↔C s

+

B ≡ (2π , 0)

AB

AD

Como lo que queremos es calcular el a´ rea del toro nos fijamos, en primer lugar, en que la parametrizaci´on X no cubre todo T2 : un paralelo (el correspondiente a u = 0) y un meridiano (v = 0) no est´an en X(U). As´ı, siendo rigurosos, no podemos aplicar el corolario 2.5.5 para calcular su a´ rea. Sin embargo, en este caso podemos actuar del siguiente modo. Si consideramos el cuadrado (ε , 2π − ε ) × (ε , 2π − ε ) ⊂ U estrictamente, entonces su imagen ¡ ¢ Rε = X (ε , 2π − ε ) × (ε , 2π − ε ) es una regi´on del toro (v´ease la figura 2.22) que queda cubierta totalmente por la parametrizaci´on X, por lo que podemos calcular su a´ rea: ZZ

r(a + r cos u) dudv = X −1 (Rε ) ¡ ¢ = 4r(π − ε ) a(π − ε ) − r sen ε .

A(Rε ) =

2π

ε

ε ε

ε

ε ε

´ Figura 2.22: Calculando el area

0

´ del toro de revolucion.

ε

ε

r(a + r cos u) dudv

Rε X

X −1 (Rε )

Z 2π −ε Z 2π −ε

-

ε ε 2π

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zU 2ε

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Finalmente, tomando l´ımites, ¢ ¡ A(R) = l´ım A(Rε ) = l´ım 4r(π − ε ) a(π − ε ) − r sen ε = 4arπ 2 , ε →0

ε →0

ya que, claramente, la funci´on ε −→ A(Rε ) es continua.

♦

En la pr´actica no va a ser necesario recurrir a este ((truco)) a la hora de calcular el a´ rea de una regi´on (en general, o de una superficie compacta) que se encuentre en una situaci´on an´aloga, pues si el conjunto que queda sin cubrir por la parametrizaci´on tiene medida nula (como es el caso del ejemplo anterior), no va a tener influencia alguna en el resultado final de la integral. Como ya hemos comentado previamente, este tema se tratar´a con detalle en la secci´on 4.2. Aun as´ı, hemos querido incluir aqu´ı este ejemplo (v´ease [12]) por considerarlo muy ilustrativo.

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EJERCICIOS

Ejercicio 2.1 (Superficies de revoluci´on). Sea α : I −→ R3 la curva parametrizada regular ¡ ¢ α (v) = f (v), 0, g(v)

α(v)

contenida en el plano y = 0, que no corta al eje z, con f , g : I −→ R. Sea S la figura obtenida al rotar su traza alrededor de dicho eje. Demostrar que S es una superficie regular, llamada superficie de revoluci´on. En ella, los c´ırculos descritos por cada uno de los puntos de α se denominan paralelos de S, mientras que cada una de las posiciones de α en S recibe el nombre de meridiano. Demostrar que una superficie de revoluci´on siempre se puede parametrizar de modo que E = E(v), F = 0 y G = 1.

f (v) g(v)

Figura 2.23: La superficie ´ generada por de revolucion ¡ ¢ la curva α (v) = f (v), 0, g(v) .

Ejercicio 2.2. Sean S una superficie regular y p0 ∈ R3 . Calcular, cuando sea posible, la diferencial de la funci´on distancia a p0 , f : S −→ R, f (p) = |p − p0 |. Ejercicio 2.3. i) Demostrar que la aplicaci´on ant´ıpoda A : S2 −→ S2 , dada por A(p) = −p, es un difeomorfismo y calcular su diferencial. √ ¢ ¡√ 1 + z2 x, 1 + z2 y, z es un difeoii) Demostrar que la aplicaci´on F(x, y, z) = © ª morfismo entre el cilindro C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 y el hiperboloide © ª de una hoja H = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 1 .

6

-

=

´ Figura 2.24: Una aplicacion entre el hiperboloide y la esfera.

iii) Estudiar la diferenciabilidad de la aplicaci´on F : S2 \{N, S} −→ H, definida entre la esfera unidad menos los polos y el hiperboloide de una hoja H, que a cada p ∈ S2 \{N, S} le asigna el punto intersecci´on de H con la semirrecta que pasa por p y corta ortogonalmente al eje z (v´ease la figura 2.24). Ejercicio 2.4. Sean S una superficie regular y p0 6∈ S. Consid´erese la aplicaci´on F : S −→ S2

dada por

F(p) =

p − p0 . |p − p0 |

Justificar por qu´e F es diferenciable y calcular su diferencial. Demostrar que un vector no nulo v ∈ Tp S est´a en el n´ucleo de dFp si, y s´olo si, v = λ (p − p0 ) para un cierto λ ∈ R. Concluir que F es un difeomorfismo local si, y s´olo si, no se puede trazar una recta tangente a S desde p0 . Ejercicio 2.5. Sea F : S2 \{N, S} −→ C la aplicaci´on, definida entre la esfera unidad © ª menos los polos y el cilindro recto C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 , dada por ¶ µ y x ,√ ,z . F(x, y, z) = √ 1 − z2 1 − z2 ¡ ¢ i) Justificar que, en efecto, F S2 \{N, S} ⊂ C, y demostrar que es diferenciable.

ii) Calcular la diferencial de F. ¿Tiene F puntos cr´ıticos? 95

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Ejercicio 2.6. Sea S una superficie regular que no corta al eje z. Consid´erese la fun¯ ¯ ci´on f : S −→ R dada por f (p) = 1/¯ p ∧ (0, 0, 1)¯. i) Justificar por qu´e f es diferenciable y calcular su diferencial. ii) Demostrar que p ∈ S es un punto cr´ıtico de f si, y s´olo si, el normal a la superficie en p est´a en la direcci´on de p. Ejercicio 2.7. Sea S una superficie regular y conexa. Demostrar que: i) todas sus rectas normales son paralelas a una recta fija L si, y s´olo si, S est´a contenida en un plano ortogonal a L; ii) todas sus rectas normales cortan perpendicularmente al eje z si, y s´olo si, S est´a contenida en un cilindro circular de la forma x2 + y2 = r2 ; iii) todas sus rectas normales pasan por un mismo punto fijo p0 , si, y s´olo si, S est´a contenida en una esfera centrada en p0 . Ejercicio 2.8 (Loxodromas). Se denomina loxodroma o l´ınea de rumbo fijo a la curva contenida en una superficie de revoluci´on S que forma un a´ ngulo constante con el meridiano de S en cada punto. Calcular las loxodromas de la esfera. Figura 2.25: Una loxodroma en la esfera.

Ejercicio 2.9. Calcular el a´ rea de la regi´on R del catenoide (es decir, la superficie de revoluci´on generada por la rotaci´on de una catenaria, v´ease la figura 4.2) comprendida entre los planos z = −1 y z = 1. Ejercicio 2.10 (La pseudoesfera). La pseudoesfera7 (v´ease la figura 2.26) es una superficie de revoluci´on cuya curva generatriz es la tractriz (v´ease el ejercicio 1.2). As´ı pues, una parametrizaci´on para esta superficie viene dada por ³ π´ ³ u´ , (u, v) ∈ 0, × (0, 2π ). X(u, v) = sen u cos v, sen u sen v, cos u + log tg 2 2

Figura 2.26: La pseudoesfera.

i) Calcular su primera forma fundamental. ii) Demostrar que, aun no siendo compacta, su a´ rea ((total)) es 2π . 7

Cuando en el cap´ıtulo 3 estudiemos la curvatura de Gauss, quedar´a justificado el porqu´e de su nombre: la esfera S2 es una superficie regular con curvatura de Gauss constante e igual a 1; la pseudoesfera tiene curvatura de Gauss constantemente igual a −1 (v´ease el ejercicio 3.3).

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Ejercicio 2.11 (Tubo regular). Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a. Se denomina tubo regular de radio r alrededor de α a la superficie parametrizada ¡ ¢ X(s, θ ) = α (s) + r cos θ n(s) + sen θ b(s) ,

(s, θ ) ∈ I × (0, 2π ),

donde r > 0 es un valor constante adecuado para que 1 − rk(s) cos θ > 0. i) Calcular su primera forma fundamental. ii) Demostrar que su a´ rea es 2π r veces la longitud de la curva α .

Figura 2.27: Tubos regulares ´ alrededor de una helice cil´ındrica y una curva cerrada.

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III

El teorema Egregium de Gauss Este tercer cap´ıtulo se adentra en los aspectos fundamentales de la Geometr´ıa cl´asica de superficies. Las primeras secciones se ocupan del estudio de la geometr´ıa de la aplicaci´on de Gauss desde distintos puntos de vista. As´ı, la primera de ellas est´a dedicada al estudio de la orientabilidad y de la noci´on de superficie orientable como aquella en la que es posible definir de forma global y en cada punto un sentido de giro. Una primera formulaci´on de este concepto se puede realizar en t´erminos de la aplicaci´on de Gauss (es decir, de un campo normal y unitario a la superficie). Esto puede hacer pensar que se trata de un concepto extr´ınseco y perteneciente al a´ mbito de lo diferenciable. Nada m´as lejos de la realidad, ya que la orientaci´on es una caracter´ıstica intr´ınseca, de hecho, estrictamente topol´ogica, de una superficie. No obstante, para nuestros fines esto no es importante. Nosotros nos limitamos a demostrar que se trata de un concepto intr´ınseco, que se puede definir en t´erminos de las parametrizaciones y cambios de coordenadas. Por tanto, no es necesario recurrir a la aplicaci´on de Gauss para su construcci´on. Finalmente, presentamos algunas propiedades de las superficies orientables, mostrando diversos ejemplos de superficies orientables y no orientables. En las siguientes secciones nos dedicamos al estudio de la variaci´on de la aplicaci´on de Gauss utilizando su diferencial. Resulta que la aplicaci´on de Gauss describe c´omo se ((encuentra)) la superficie dentro del espacio eucl´ıdeo y c´omo se va ((curvando)) en las distintas direcciones. Aparece as´ı el concepto de curvatura normal, que explica cu´anto y c´omo se curva una superficie en una determinada direcci´on. Dado que una superficie tiene ((todo un plano)) de direcciones (el plano tangente), efectuamos un estudio de cu´anto se curva en cada una de estas direcciones, llegando as´ı a la definici´on de las curvaturas principales como los valores extremos de la curvatura normal. Las curvaturas principales resultan ser los valores propios de la diferencial de la aplicaci´on de Gauss. A partir de ellas es posible definir dos invariantes important´ısimos asociados a dicha aplicaci´on: la curvatura de Gauss y la curvatura media, que se corresponden con el determinante y la traza de la diferencial, respectivamente. Por otra parte, resulta interesante preguntarnos por aquellas superficies que se ((doblan)) por igual en todas las direcciones y todo punto. Estas superficies se denominan totalmente umbilicales, y presentamos un resultado que caracteriza esferas y planos como las u´ nicas con tal propiedad. Evidentemente, estos conceptos se definen con independencia de la parametrizaci´on que estemos usando (o no ser´ıan conceptos relevantes). No obstante, y con fines operativos, dedicamos una secci´on al estudio, en t´erminos de coordenadas, de la aplicaci´on de Gauss, de la curvatura media y de la

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curvatura de Gauss. Finalizamos este bloque de secciones dedicadas a la aplicaci´on de Gauss con una interpretaci´on geom´etrica de la curvatura de Gauss an´aloga a la que se present´o para la curvatura de una curva plana. Las u´ ltimas tres secciones se centran en aspectos intr´ınsecos de las superficies relacionados con la aplicaci´on de Gauss y los conceptos que de ella hemos derivado, de ah´ı su inclusi´on en este mismo cap´ıtulo. Presentamos en primer lugar la noci´on de isometr´ıa entre superficies como una aplicaci´on que conserva la primera forma fundamental. Esto significa que la aplicaci´on preserva todos los conceptos m´etricos definidos a partir de dicha primera forma, a saber, longitudes, a´ ngulos y a´ reas. El concepto de isometr´ıa surge de forma natural, como en otras muchas ramas de las Matem´aticas, al estudiar conjuntos equipados con alg´un tipo de estructura. As´ı, para cada clase de estructura existe una noci´on de equivalencia (o isomorfismo) que no es m´as que una aplicaci´on biyectiva que, en un sentido apropiado, preserva dicha estructura. Una clase particular de estructura determina una disciplina dentro de las Matem´aticas: el estudio de los conceptos que se preservan bajo dicha equivalencia. A modo de ejemplo, un espacio topol´ogico es un conjunto equipado con una estructura (su topolog´ıa), y el estudio de las propiedades que se preservan por homeomorfismos constituye la Topolog´ıa como disciplina. An´alogamente, una superficie regular es un conjunto del espacio eucl´ıdeo con una estructura formada por parametrizaciones que cubren todos sus puntos. El estudio de las propiedades que se preservan por isometr´ıas constituye la Geometr´ıa Diferencial (intr´ınseca) de superficies. Precisamente, una de las secciones finales de este cap´ıtulo est´a dedicada a demostrar el teorema Egregium de Gauss, en el que se establece que la curvatura de Gauss es, precisamente, un objeto que se preserva por isometr´ıas. Este resultado es sorprendente desde muchos puntos de vista: recordemos que acabamos de definir la curvatura de Gauss como una funci´on que codifica c´omo y cu´anto var´ıa la aplicaci´on de Gauss, objeto extr´ınseco donde los haya, ya que depende de la ubicaci´on de la superficie dentro del espacio. Pues bien, se demuestra entonces que la primera forma fundamental determina por completo dicha curvatura, y resulta ser un caso singular, ya que el resto de curvaturas que hemos definido s´ı dependen de aspectos extr´ınsecos. A partir del teorema de Gauss se obtienen consecuencias muy interesantes y que tienen profundas implicaciones en otras ramas de la ciencia. Un ejemplo muy descriptivo se da en la Cartograf´ıa. As´ı, en la u´ ltima secci´on del cap´ıtulo, justificamos la imposibilidad de construir proyecciones ((perfectas)) y analizamos las aplicaciones que conservan, al menos, alguna de las caracter´ısticas que toda buena proyecci´on deber´ıa reflejar. Concretamente, introducimos las aplicaciones conformes (como aquellas proyecciones que conservan a´ ngulos) y las aplicaciones isoareales (preservan a´ reas). 3.1.

´ DE SUPERFICIES ORIENTACION

¿Qu´e quiere decir que una superficie sea orientable? Para introducir esta primera secci´on vamos a realizar un peque˜no experimento mental. Supongamos que somos un 100

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El teorema Egregium de Gauss

ser bidimensional que vive dentro de una superficie y que tenemos un reloj de agujas. Las agujas giran en cierto sentido y esto nos permite identificar una ((orientaci´on)). As´ı, podemos convenir lo siguiente: ((cuando la aguja del segundero pasa por las 12 horas y yo tengo mi reloj bien situado enfrente de m´ı, entonces la aguja gira hacia la derecha)). An´alogamente, es posible definir la ((izquierda)) como la direcci´on opuesta. En definitiva, tener una orientaci´on bien definida en un punto es saber decir que algo (un remolino, una peonza) gira a favor de las agujas del reloj (o en contra), es saber decir d´onde est´a la derecha y la izquierda. Esto es tener bien definida una orientaci´on en un punto y, en t´erminos puramente matem´aticos, esto equivale a afirmar que es posible orientar el plano tangente del punto en el que nos encontramos.

=





Ahora bien, ¿qu´e ocurre si nos desplazamos a lo largo de la superficie? Parece razonable pensar: ((si mi reloj se mueve de esta manera aqu´ı, pues un poco m´as all´a va a seguir haciendo lo mismo, y mi noci´on de derecha e izquierda no va a cambiar)). Esto es as´ı localmente, pues en puntos suficientemente pr´oximos al de partida, el sentido de rotaci´on de las agujas del reloj no va a sufrir cambios bruscos (no va a ser el opuesto).



´ Figura 3.1: Orientacion.

No obstante, si nos planteamos hacer un largo viaje sobre la superficie en la que vivimos, puede ocurrir que al volver al punto de partida nuestro reloj gire en sentido contrario, y que nuestra definici´on original para derecha e izquierda se haya invertido. Esto que parece un absurdo no lo es, y vamos a presentar un ejemplo de esta clase de superficies en las que no es posible determinar un ((sentido de giro)) coherente en todos sus puntos de forma global. Este u´ ltimo adjetivo hace referencia al hecho de que la orientaci´on, en definitiva, es una propiedad no local de una superficie. As´ı, localmente, cada superficie regular es difeomorfa a un abierto del plano y, por tanto, es orientable (localmente, siempre est´a bien definida la derecha y la izquierda). Por el contrario, globalmente esto no est´a asegurado, ya que la orientaci´on es una propiedad que involucra a la totalidad de la superficie. Veamos dos de los ejemplos m´as conocidos de superficies regulares no orientables: la banda de M¨obius y la botella de Klein.

¨ Figura 3.2: La banda de Mobius no es orientable.

Ejemplo 3.1 (La banda de M¨obius). La banda de M¨obius fue co-descubierta de manera independiente por los matem´aticos alemanes August Ferdinand M¨obius y Johann Benedict Listing en 1858. Es una superficie regular que puede obtenerse de la siguiente forma: tomamos un rect´angulo de papel de base, por ejemplo, 4π y altura 2; entonces, podemos identificar los lados m´as peque˜nos del rect´angulo, pero invirtiendo sus extremos (v´ease la figura 3.2). Una parametrizaci´on para esta superficie viene dada por ³¡ ´ ¢ ¡ ¢ X(u, v) = 2 − v sen(u/2) sen u, 2 − v sen(u/2) cos u, v cos(u/2) , donde 0 < u < 2π y −1 < v < 1. Para encontrar otra parametrizaci´on que cubra por completo la banda de M¨obius basta hacer variar el par´ametro u entre −π y π . En estos t´erminos se puede demostrar, utilizando la teor´ıa que vamos a presentar, que la banda de M¨obius es una superficie no orientable. ♦ 101

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D

C

-

A

/



U

B

´ Figura 3.3: Construccion de la botella de Klein.

Ejemplo 3.2 (La botella de Klein). La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matem´atico alem´an Felix Klein, y bautizada originalmente como la ((superficie de Klein)); una traducci´on err´onea del alem´an (Fl¨ache = ‘superficie’ por Flasche = ‘botella’) hizo que sea conocida hoy en d´ıa como la ((botella de Klein)). Para ilustrar c´omo es esta superficie, lo m´as u´ til es considerar un cuadrado en el plano (al igual que en la figura 2.21) con lados A, B, C y D. Si para obtener el toro la parametrizaci´on identificaba los lados AD y BC junto con los lados DC y AB, para construir la botella de Klein puede definirse una parametrizaci´on que identifica de nuevo los lados AD y BC, mientras que el lado DC ahora se identifica con el lado BA (obs´ervese el orden de las letras) en una suerte de ((inversi´on)) (v´ease la figura 3.3). Esta ((inversi´on)) de los lados obliga a la superficie a retorcerse sobre s´ı misma, hasta el punto de que para cerrarse por AD y BC presenta finalmente autointersecciones (v´ease la figura 3.4). As´ı pues, la botella de Klein no va a tener cabida en el a´ mbito de este curso, ya que no cumple la condici´on S2) de la definici´on 2.1.1 de superficie regular. En este contexto, existe un teorema que demuestra que toda superficie regular y compacta en R3 es orientable (teorema de Brouwer-Samelson, v´ease [28]), por lo que la compacidad de la botella de Klein y su no orientabilidad implican que no puede ser una superficie regular en el sentido de nuestra definici´on 2.1.1.

Figura 3.4: La botella de Klein no es orientable.

La definici´on y construcci´on rigurosa de la botella de Klein puede consultarse en [12], donde tambi´en se recoge una parametrizaci´on de la misma. Las representaciones m´as usuales de esta superficie pueden verse en las pr´acticas B.14 y B.15; una de ellas se muestra en la figura 3.4. ♦ Para formalizar la noci´on de orientabilidad necesitamos algunas definiciones. Definici´on 3.1.1. Sea S una superficie regular. Un campo de vectores ξ sobre S es una funci´on vectorial ξ : S −→ R3 , donde ξ (p) es un vector de R3 para cada p ∈ S. Diremos que ξ es diferenciable si lo es como funci´on de S a R3 . Definici´on 3.1.2. Dado un campo de vectores ξ sobre S, se dice que ξ es un campo de vectores tangente si ξ (p) es tangente a S en p, para todo p ∈ S. Diremos que ξ es normal a S si ξ (p) es normal a S en p, para todo p ∈ S. Por u´ ltimo, diremos que ¯ ¯ ξ es unitario si ¯ξ (p)¯ = 1, para todo p ∈ S. Es usual representar por X (S) los campos de vectores diferenciables sobre S que son tangentes. Adem´as, denotaremos por X (S)⊥ los campos de vectores diferenciables y normales sobre S.

Definici´on 3.1.3. Sea S una superficie regular. Se dice que S es orientable si existe un campo (global) de vectores N sobre S que sea diferenciable, normal y unitario. Si S es orientable, cada campo de vectores N en las condiciones de la definici´on se llama una orientaci´on de S. Una superficie orientable se dice que est´a orientada cuando se ha elegido una orientaci´on concreta. 102

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Esta definici´on requiere algunos comentarios. Si para cada punto p ∈ S tenemos un vector normal N(p), esto es equivalente a afirmar que el plano tangente Tp S est´a orientado y tiene un sentido de giro bien definido por el producto vectorial de R3 . Luego el hecho de tener un campo normal N globalmente definido en la superficie, permite determinar un sentido de giro en todos los puntos de la misma. Observaci´on 3.1. Obs´ervese que no es esencial que el m´odulo del campo normal sea unitario: una superficie regular S es orientable si, y s´olo si, existe un campo (global) ξ normal y diferenciable, cumpliendo ξ (p) 6= 0, para todo p ∈ S. En efecto, basta ¯ ¯ ♦ tomar N(p) = ξ (p)/¯ξ (p)¯, que es diferenciable, normal y unitario. Observaci´on 3.2. Si S es orientable, se pueden distinguir dos lados de la superficie: el lado hacia el que apunta N y el lado opuesto. Por ello, las superficies orientables tambi´en se denominan superficies de dos caras. Por el contrario, si una superficie no es orientable, tiene una sola cara, tal y como ocurre con la banda de M¨obius (v´ease el ejemplo 3.1): un ser que anduviese sobre ♦ esta superficie, llegar´ıa a su posici´on original pero en el ((lado inferior)). Observaci´on 3.3. Si queremos definir un campo normal globalmente definido para la banda de M¨obius, veremos que es imposible. Podemos hacerlo de cualquier forma en cada uno de los entornos coordenados, pero ocurre que, en la intersecci´on de e´ stos (que tiene dos componentes conexas), los normales no coinciden en todos los puntos, cualquiera que sea la elecci´on que de ellos hagamos. ♦ 3.1.1.

Otra forma de estudiar la orientabilidad

La orientaci´on puede definirse de forma alternativa, y es lo que nos proponemos en este ep´ıgrafe. Sea p ∈ S y sea (U, X) una parametrizaci´on con p ∈ V = X(U). Con¢ ¡ sideremos ahora otra parametrizaci´on U, X de S con p ∈ V = X(U). ¿Cu´al es la relaci´on entre las bases de Tp S que determinan ambas parametrizaciones? Observemos que esta relaci´on viene dada por   ∂u ∂v à ! à !  ∂ u ∂ u  Xu Xu  =  ∂ u ∂ v  Xv . Xv ∂v ∂v Es un hecho bien conocido que ambas bases determinan la misma orientaci´on sobre el plano tangente si, y s´olo si, la matriz del cambio de base tiene determinante positivo. En este caso, la matriz de cambio es el jacobiano del cambio de coordenadas, por lo que ambas parametrizaciones inducen en el plano tangente Tp S una orientaci´on que ser´a la misma si, y s´olo si, el determinante del jacobiano es positivo.

Este razonamiento puede extenderse a cualquier punto de la intersecci´on V ∩ V , por lo que las orientaciones inducidas por las parametrizaciones en cada uno de los puntos ser´an id´enticas cuando el determinante de dicho jacobiano sea positivo. Desde este punto de vista, podemos dar la siguiente definici´on. 103

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Definici´on 3.1.4. Una superficie regular S es orientable si existe una familia de parametrizaciones cubriendo S de modo que, siempre que dos de ellas se corten, el jacobiano del cambio de coordenadas tenga determinante positivo. Adem´as, estas parametrizaciones determinan una orientaci´on sobre S: para cada p ∈ S y una base {v, w} de Tp S, se dice que dicha base es positiva si tiene la misma orientaci´on que la © ª base Xu (q), Xv (q) , siendo (U, X) una parametrizaci´on de S con X(q) = p. Teorema 3.1.5. Las definiciones 3.1.3 y 3.1.4 son equivalentes. Demostraci´on. Veamos en primer lugar que la segunda definici´on implica la primera. Para ello, supongamos que S es orientable en el sentido de la definici´on 3.1.4 y sea (U, X) una de las parametrizaciones de la familia. Consideremos el campo ¡ ¢ Xu ∧ Xv (u, v). N X(u, v) =: N(u, v) = |Xu ∧ Xv |

Observemos que este campo est´a bien definido sobre X(U), es diferenciable, normal y unitario. Nuestra intenci´on es extender este campo a toda la superficie, y para ello ¢ ¡ vamos a tomar otra parametrizaci´on U, X que se corte con la anterior. Definimos

Xu ∧ Xv ¯ (u, v). N(u, v) = ¯¯ X u ∧ X v¯

La cuesti´on ahora es comprobar si N(u, v) = N(u, v). Para ello, observemos que, si ¢ ¡ representamos de nuevo por h(u, v) = u(u, v), v(u, v) el cambio de coordenadas,

¢ det(Jh−1 ) Xu ∧ Xv ¡ ¯ N(u, v) = ¯¯ u( u, v), v( u, v) . det(Jh−1 )¯ |Xu ∧ Xv | La hip´otesis de que el jacobiano sea positivo se traduce en que la primera de las fracciones vale, precisamente, 1, lo que concluye la prueba. Demostremos finalmente que la definici´on 3.1.3 implica 3.1.4. As´ı, supongamos que en S est´a definido un campo vectorial N : S −→ R3 normal, unitario y diferenciable. Sea (U, X) una parametrizaci´on de S en p; sabemos entonces que, si p = X(q), N(p) = ±

Xu ∧ Xv (q). |Xu ∧ Xv |

¡ ¢ Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que N(p) = (Xu ∧ Xv )/|Xu ∧ Xv | (q) ya que, si el normal fuese el opuesto, bastar´ıa cambiar la parametrizaci´on X por X(u, v) := X(v, u) y aplicar la antisimetr´ıa del producto vectorial.

En general, es claro que podemos cubrir toda la superficie S con parametrizaciones (U, X) de suerte que se tenga la igualdad Xu ∧ Xv (q) |Xu ∧ Xv | ¢ ¡ para todo p ∈ S. En esta situaci´on, si (U, X) y U, X son dos parametrizaciones de S en un punto p ∈ X(U)∩ X(U), con p = X(q) = X(q), nos planteamos estudiar el signo N(p) =

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del determinante del jacobiano del cambio de coordenadas. Si e´ ste fuera negativo, se obtendr´ıa que

Xu ∧ Xv ¯ (q) = N(p) = ¯¯ X u ∧ X v¯

det(Jh−1 ) Xu ∧ Xv Xu ∧ Xv ¯ ¯ ¯ det(Jh−1 )¯ |Xu ∧ Xv | (q) = − |Xu ∧ Xv | (q) = −N(p),

lo cual implicar´ıa que N(p) = 0, una contradicci´on, ya que N es unitario. As´ı, el determinante del cambio de coordenadas es positivo y la superficie es orientable en el sentido de la definici´on 3.1.4.

Observaci´on 3.4. A partir de ahora escribiremos frecuentemente N(u, v) para repre¡ ¢ sentar N X(u, v) cuando se est´e trabajando con una parametrizaci´on X(u, v) de una superficie. As´ı, hablaremos, por ejemplo, de las ((parciales del normal)) Nu , Nv . Utilizaremos la misma notaci´on con otras funciones definidas sobre una superficie que estudiaremos en breve (curvaturas de Gauss y media, curvaturas principales...). Observaci´on 3.5. i) El concepto de orientabilidad es topol´ogico y puede enunciarse exclusivamente en t´erminos de continuidad. ii) Toda superficie orientable admite, al menos, dos orientaciones: si tiene una, tambi´en admite su contraria. iii) La orientabilidad es un concepto global; localmente, cualquier superficie es orientable. iv) Toda superficie que pueda cubrirse con una parametrizaci´on es orientable. ♦ A continuaci´on, veamos algunos ejemplos de superficies orientables. Ejemplo 3.3 (El plano es orientable). Sea Π ⊂ R3 una plano af´ın de R3 y sea a un vector normal al plano y unitario. Entonces N(p) = a, para todo p ∈ Π, es un campo normal, global y unitario, por lo que el plano es orientable (observemos que otra elecci´on posible ser´ıa N ≡ −a). ♦ Ejemplo 3.4 (La esfera es orientable). Parametricemos la esfera con las dos cartas de la proyecci´on estereogr´afica, que representamos por (U, X) y (U, X). Como X(U) = S2 \{N} y X(U) = S2 \{S}, entonces X(U) ∩ X(U) = S2 \{N, S}, que es un subconjunto conexo de la esfera. Adem´as, al tener dos parametrizaciones, el cambio de coordenadas es un difeomorfismo y su jacobiano no se anula en ning´un punto, ¢ ¡ siendo su dominio X −1 X(U) ∩ X(U) un conexo de R2 . Luego podemos pensar que e´ ste es siempre positivo (en caso contrario, basta cambiar el orden de las variables (u, v) por (v, u) en alguna de las parametrizaciones). Por tanto, la esfera es orientable.

Otra forma m´as directa de demostrar que la esfera es orientable es observando que N(p) = p es un campo normal, unitario y globalmente definido para la esfera S2 . Otro tanto se puede decir con N(p) = −p. ♦ Observaci´on 3.6. El argumento expuesto en el ejemplo anterior se aplica a cualquier superficie regular S que se cubra con dos parametrizaciones, de forma que la intersecci´on de los entornos coordenados sea un conexo de S. En estas condiciones, la superficie S siempre es orientable. ♦ 105

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Ejemplo 3.5 (Las superficies de nivel son orientables). Sea S una superficie de © ª nivel, es decir, S = (x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = c = f −1 (c), donde f : R3 −→ R es una funci´on diferenciable y c un valor regular de f . Consideramos ahora el gradiente de ¡ ¢ f en un punto p ∈ S, esto es, el vector de R3 dado por ∇ f (p) = fx (p), fy (p), fz (p) . Vamos a demostrar que ∇ f (p) es un vector normal a la superficie. Para ello, sean ¡ ¢ v ∈ Tp S y α (t) = x(t), y(t), z(t) una curva en S con condiciones iniciales p y v. ¢ ¡ ¢ ¡ Como f α (t) ∈ S, se tiene que f x(t), y(t), z(t) = c y, derivando, obtenemos ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ fx α (t) x0 (t) + fy α (t) y0 (t) + fz α (t) z0 (t) = 0. Por lo tanto,

³ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢´ ¡ ¢ fx α (t) , fy α (t) , fz α (t) ⊥ x0 (t), y0 (t), z0 (t) , ¡ ¢ y para t = 0, obtenemos que ∇ f (p) = fx (p), fy (p), fz (p) ⊥ v. Como esto es cierto para un v arbitrario, podemos concluir que ∇ f (p) ∈ (Tp S)⊥ . Por otro lado, observemos que ∇ f (p) 6= 0 para todo p ∈ S, ya que p ∈ f −1 (c) = S y c es un valor regular de f . Por tanto, podemos definir ∇ f (p) ¯, N(p) = ¯¯ ∇ f (p)¯

y N es un campo normal, unitario, diferenciable y globalmente definido sobre S. ♦ Ejemplo 3.6 (Los grafos son orientables). Sea S una superficie regular dada por el grafo de una funci´on f : U ⊂ R2 −→ R. Una parametrizaci´on para X est´a dada por ¡ ¢ X(u, v) = u, v, f (u, v) y es claro que, al cubrirse por una u´ nica parametrizaci´on, S es orientable. ¿Cu´al ser´ıa un campo normal? Si tenemos en cuenta que Xu = (1, 0, fu ) y que Xv = (0, 1, fv ), entonces 1 Xu ∧ Xv =p (− fu , − fv , 1). N(u, v) = ♦ |Xu ∧ Xv | 1 + fu2 + fv2

Proposici´on 3.1.6. Sea S una superficie regular, conexa y orientable. Entonces, existen exactamente dos campos normales, unitarios y diferenciables sobre S. Demostraci´on. Al ser S orientable, existe un campo normal, unitario y globalmente definido, N. Representamos por N1 = N y N2 = −N, y vamos a demostrar que no puede haber m´as posibilidades: supongamos que existe un campo normal N3 , unitario y globalmente definido. Como N3 es normal, entonces N3 = λ N1 , para una cierta funci´on diferenciable λ = hN1 , N3 i. Por otra parte, como N1 y N3 son unitarios se tiene que 1 = |N3 | = |λ ||N1 | = |λ |, por lo que λ ≡ ±1. Finalmente, al estar definida la funci´on λ sobre la superficie S que es conexa, se llega a que λ = 1 y N1 = N3 , o λ = −1 y N1 = N2 .

Observaci´on 3.7. La prueba de la proposici´on anterior puede extenderse al caso de una superficie con varias componentes conexas. Por ejemplo, si S = Π1 ∪ Π2 , siendo Π1 y Π2 dos planos paralelos, es evidente que es posible elegir 4 orientaciones distintas para S. En general, el n´umero de orientaciones posibles para una superficie S es 2#S , siendo #S el n´umero de componentes conexas de S. ♦ 106

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3.1.2.

La estructura compleja de una superficie

Sean S una superficie regular orientable y N una orientaci´on en S. Entonces, para cada p ∈ S podemos definir un sentido positivo para rotar vectores en Tp S: as´ı, definimos la rotaci´on positiva de a´ ngulo θ en p como la aplicaci´on Rθ : Tp S −→ Tp S dada por ¡ ¢ Rθ (v) = cos θ v + sen θ N(p) ∧ v . Claramente se verifican las siguientes propiedades: i) Rθ es lineal, ii) Rθ tiene inversa y R−1 θ = R−θ , iii) Rθ1 ◦ Rθ2 = Rθ1 +θ2 = Rθ2 ◦ Rθ1 . Algunos casos especiales de rotaciones son: i) si θ = 0, entonces R0 = 1Tp S ; ii) si θ = π , entonces Rπ = −1Tp S ; iii) si θ = π /2 entonces Rπ /2 (v) := J p v = N(p) ∧ v; J p se denomina la estructura compleja de S en p. Recibe este nombre porque (J p )2 = J p ◦ J p = −1Tp S . 3.1.3. Bases positivas y negativas Sea S una superficie orientable y sea N una orientaci´on para S. Dado un punto p ∈ S, la orientaci´on est´andar para una base B = {v1 , v2 } del plano tangente Tp S es la siguiente: © ª diremos que B est´a positivamente orientada (o que es positiva) cuando v1 , v2 , N(p) ¡ ¢ sea una base positivamente orientada de R3 , esto es, si det v1 , v2 , N(p) > 0. En caso contrario, diremos que B es una base negativamente orientada (o negativa). Proposici´on 3.1.7. Sea v ∈ Tp S, v 6= 0. Entonces, {v, J p v} es una base ortogonal positiva de Tp S. Adem´as, si |v| = 1, entonces tambi´en es una base ortonormal. Demostraci´on. En primer lugar, como J p v = N(p) ∧ v, observemos que ¯ ¯ ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯J p v¯ = ¯N(p) ∧ v¯2 = ¯N(p)¯2 |v|2 sen π = |v|2 , 2 por lo que J p v es un vector no nulo con igual m´odulo que v. Adem´as, v y J p v son vectores ortogonales, pues ­ ® ¡ ¢ hv, J p vi = v, N(p) ∧ v = det v, N(p), v = 0;

luego {v, J p v} es una base ortogonal de Tp S. En particular, si |v| = 1, la base es, adem´as, ortonormal. © ª Por u´ ltimo, veamos que es positiva. Para ello basta comprobar si v, J p v, N(p) ¡ ¢ es una base positiva, esto es, nos preguntamos por el signo de det v, J p v, N(p) : ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ det v, J p v, N(p) = det v, N(p) ∧ v, N(p) = − det v, N(p), N(p) ∧ v ¯2 ¡ ¢ ¯ = det N(p), v, N(p) ∧ v = ¯N(p) ∧ v¯ > 0. 107

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3.1.4.

Sobre la orientabilidad en este texto

Como ya hemos visto, la noci´on de orientabilidad es un concepto global pues, localmente, toda superficie es trivialmente orientable a trav´es de las parametrizaciones. A lo largo del libro, y conforme se vayan exponiendo los diferentes conceptos, utilizaremos con frecuencia un campo normal (global) y unitario en la superficie. ¿Quiere esto decir que en las superficies no orientables tales nociones no tendr´an sentido? Evidentemente no. Una gran parte de conceptos que vamos a definir, pese a requerir la existencia de dicho campo normal, no exigen el que e´ ste est´e definido globalmente. No obstante, en nuestro af´an por simplificar la redacci´on, las demostraciones y las hip´otesis, asumiremos su existencia (global), a pesar de que pueden desarrollarse partiendo u´ nicamente de la existencia de un campo local. A modo de ejemplo, todos los conceptos relativos a la geometr´ıa intr´ınseca son v´alidos tanto para superficies orientables como no orientables. Aun as´ı, algunas de estas nociones las presentamos y construimos utilizando una aplicaci´on de Gauss N globalmente definida. Se puede probar que, si la aplicaci´on de Gauss s´olo est´a localmente definida, entonces dichos conceptos tambi´en pueden ser construidos y no dependen de tal circunstancia. Insistimos en que nuestra forma de proceder es para simplificar la redacci´on y no afecta a lo sustancial. No olvidemos que, en la pr´actica, la mayor parte de superficies con las que trabajamos son orientables. Como criterio para determinar si la orientabilidad es imprescindible como hip´otesis basta, por un lado, detectar en la construcci´on o en la prueba correspondiente si el concepto o las ((cuentas)) dependen del campo normal (de si es N o −N) y, por otro, verificar si la definici´on es global o no (si excede el a´ mbito de entornos peque˜nos). Si se dan estas dos circunstancias, entonces la orientabilidad es un requisito imprescindible. 3.2.

LA SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

La segunda forma fundamental es el objeto que nos va a permitir estudiar la relaci´on que existe entre una superficie y el espacio en el que est´a contenida. Para entender mejor lo que nos proponemos hacer en esta secci´on, vamos a establecer una analog´ıa con lo que ya hemos estudiado para el caso de curvas (planas). Si fu´eramos seres uno-dimensionales que viven en curvas planas, podr´ıamos plantearnos la siguiente cuesti´on: ¿c´omo distinguimos si vivimos en una recta o en una circunferencia? En otros t´erminos, ¿es posible diferenciar, haciendo medidas desde una ((perspectiva intr´ınseca)), unas curvas de otras? La respuesta a esta pregunta es negativa. Un ser uno-dimensional tiene muy poca libertad para moverse y su geometr´ıa se reduce a medir longitudes. Desde esta perspectiva ((intr´ınseca)), pues, es imposible distinguir un trozo de par´abola de un segmento de l´ınea recta o de circunferencia. No obstante, es obvio que una par´abola, una l´ınea recta y una circunferencia son objetos distintos. Lo son en tanto en cuanto estamos viendo estas curvas ((desde

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fuera)), al menos, desde una perspectiva bidimensional (si fu´eramos seres que viven en el plano que contiene dichas curvas). Ahora bien, ¿c´omo podemos reflejar que estas curvas son distintas en lo que concierne a su geometr´ıa? La respuesta est´a dada ya en el primer cap´ıtulo. Una forma de explicar que estas curvas son diferentes1 es utilizar el concepto de curvatura: vemos c´omo var´ıa el vector tangente y codificamos este cambio en la funci´on curvatura. Vamos a remarcar aqu´ı que una manera an´aloga de definir la curvatura consiste en estudiar la variaci´on del vector normal a la curva, tal y como se aprecia en las f´ormulas de Frenet para curvas planas (v´eanse las ecuaciones (1.5)). As´ı pues, aunque desde una perspectiva ((intr´ınseca)) no podemos distinguir rectas de circunferencias, si apreciamos las curvas dentro del ((ambiente)) en el que se encuentran (dentro del plano), entonces s´ı somos capaces de distinguirlas: desde una perspectiva ((extr´ınseca)) esto s´ı es posible, por ejemplo, a trav´es de su curvatura. Consideremos a continuaci´on el caso de superficies. Imaginemos pues que somos seres bidimensionales que viven dentro de superficies y que nos planteamos de nuevo la cuesti´on an´aloga: ¿c´omo distinguimos (en t´erminos geom´etricos) si vivimos en un plano o en una esfera? De nuevo, se trata de saber si es posible diferenciar desde una ((perspectiva intr´ınseca)) unas superficies de otras. La respuesta a esta pregunta en el caso de superficies es bastante m´as compleja que para curvas, y en ella subyace la cuesti´on fundamental de la geometr´ıa de superficies. De hecho, s´olo al final del cap´ıtulo estaremos en condiciones de responder con propiedad a esta cuesti´on. No obstante, todos sabemos que un plano es muy distinto a una esfera. Y esto lo sabemos porque vemos las cosas desde una perspectiva ((extr´ınseca)), desde fuera, desde nuestra posici´on privilegiada como habitantes de un espacio en tres dimensiones. Ahora bien, podemos plantearnos de nuevo la pregunta: ¿c´omo reflejamos que estas dos superficies son diferentes? Para responder a esta cuesti´on vamos a estudiar, en clara analog´ıa al caso de curvas, c´omo var´ıa el vector normal a la superficie. Ahora, el normal es una aplicaci´on definida sobre la superficie, y el estudio de su variaci´on es m´as rico y complejo, pues existe un grado m´as de libertad: en lugar de la derivada debemos usar la diferencial. La informaci´on proporcionada por esta diferencial es, en definitiva, una matriz cuadrada de orden 2, que constituye la segunda forma fundamental. En dicho objeto est´a codificada la ((forma de estar)) la superficie dentro del espacio.2 As´ı pues, consideremos una superficie regular S, orientada por un campo normal N : S −→ R3 . Como N es unitario, podemos verlo como una aplicaci´on diferenciable entre dos superficies, de la forma N : S −→ S2 . Esta aplicaci´on se denomina aplicaci´on de Gauss de S. Su imagen, Im N = N(S) ⊂ S2 , es la imagen esf´erica de S, esto es, el conjunto de direcciones que son normales a la superficie (v´ease la figura 3.5). 1

Evidentemente, hay otras muchas formas de justificar que estas curvas son diferentes. Por ejemplo, un c´ırculo es una curva cerrada, mientras que la par´abola y la recta no lo son. Pero insistimos en que aqu´ı nos centramos en un punto de vista muy particular: el geom´etrico. 2 Un ejemplo sencillo a esta observaci´ on lo encontramos en el plano y el cilindro: ((intr´ınsecamente)) son la misma superficie, aunque su ((forma de estar)) en R3 es obviamente diferente.

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N(p)

N(p)



V (p)



N V (p)




p

´ de Gauss. Figura 3.5: Aplicacion

Ejemplo 3.7 (La imagen esf´erica de algunas superficies). Veamos varios ejemplos en los que es sencillo determinar la imagen esf´erica: ¡ ¢ i) Si S = Π = a⊥ es un plano, con |a| = 1, entonces N Π = {a} es un u´ nico punto de la esfera. ¡ ¢ ii) Si S = S2 (r), entonces, claramente, N S2 (r) = S2 . iii) Si S es un grafo dado por la funci´on f (u, v), su aplicaci´on de Gauss es de la forma 1 (− fu , − fv , 1), N(u, v) = p 1 + fu2 + fv2 y al ser la coordenada z de la aplicaci´on de Gauss siempre positiva, entonces se tiene que N(S) est´a contenido en el hemisferio norte de S2 .

iv) Si S es un cilindro, la imagen esf´erica N(S) es un c´ırculo m´aximo de la esfera (v´ease la figura 3.6). v) Si S es un catenoide (v´ease el ejercicio 2.9), entonces N(S) = S2 \{N, S} (v´eanse la figura 3.6 y el ejercicio 4.10). ♦

j z

-

-

s

´ de Gauss Figura 3.6: Aplicacion del cilindro y el catenoide.

M´as que la propia aplicaci´on N en s´ı, es mucho m´as interesante estudiar su variaci´on conforme nos movemos por S, pues nos dice c´omo se ((dobla)) la superficie en todas las direcciones. En otras palabras, nos interesa estudiar la diferencial ¯ d ¯¯ 2 dNp : Tp S −→ TN(p) S , dNp (v) = ¯ (N ◦ α )(t), dt t=0

donde p ∈ S, v ∈ Tp S y α es una curva con condiciones iniciales p y v. Ahora bien, observemos que, para un punto cualquiera p0 ∈ S2 , dado que N(p0 ) = ±p0 , se tiene © ª que Tp0 S2 = v ∈ R3 : hp0 , vi = 0 . De esta forma, n o ­ ® TN(p) S2 = v ∈ R3 : N(p), v = 0 = Tp S. 110

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Por tanto, podemos ver la diferencial dN p como un endomorfismo del plano tangente, dNp : Tp S −→ Tp S. En este sentido, damos la siguiente definici´on. Definici´on 3.2.1. Sea S una superficie regular orientada por la aplicaci´on de Gauss N : S −→ S2 . Se llama operador forma o endomorfismo de Weingarten en p ∈ S a la aplicaci´on lineal A p = −dNp : Tp S −→ Tp S, esto es, A p v = −dNp (v). Proposici´on 3.2.2. El operador forma A p es autoadjunto, es decir, para cualesquiera v, w ∈ Tp S se tiene que hA p v, wi = hv, A p wi. Demostraci´on. Por linealidad, es suficiente demostrarlo para los vectores de una base del plano tangente. Si (U, X) es una parametrizaci´on y p = X(q) = X(u0 , v0 ), © ª ¡ ¢ tomamos la base Xu (q), Xv (q) de Tp S, y vamos a calcular dNp Xu (q) . Para ello, si consideramos la curva coordenada α (u) = X(u + u0 , v0 ), claramente se tiene que α es una curva en S con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = Xu (q). Entonces, ¯ ¡ ¢ d ¯¯ dNp Xu (q) = (N ◦ X)(u + u0 , v0 ) = (N ◦ X)u (u0 , v0 ) ≡ Nu (u0 , v0 ), du ¯u=0

donde, como ya hemos hecho otras veces, estamos identificando N ◦ X ≡ N. An´alo¡ ¢ gamente, dN p Xv (q) = Nv (u0 , v0 ). Si probamos que hNu , Xv i = hNv , Xu i, entonces se tendr´a el resultado. Para ello, sabemos que hN, Xu i = 0 = hN, Xv i; derivando la primera identidad respecto a v y la segunda respecto a u, se tiene que hNv , Xu i + hN, Xuv i = 0

y

hNu , Xv i + hN, Xvu i = 0.

De la igualdad Xuv = Xvu se llega finalmente a que hNu , Xv i = hNv , Xu i.

Ejemplo 3.8. Veamos cu´al es el operador forma para distintas superficies. i) Para un plano Π, el normal N es un vector fijo y unitario de suerte que N ≡ a. Entonces, A p ≡ 0 para todo punto p de Π. ii) En la esfera S2 (r) se tiene N(p) = ±(1/r)p, por lo que A p = ∓(1/r)1Tp S2 (r) . iii) Si C es el cilindro (circular recto) dado por la ecuaci´on x2 +y2 = r2 , ya sabemos que una parametrizaci´on para C viene dada por X(u, v) = (r cos u, r sen u, v) (v´ease el ejemplo 2.19); entonces, un c´alculo sencillo nos lleva a que el3 vector normal a C en X(u, v) es N(u, v) ≡ (N ◦ X)(u, v) = (cos u, sen u, 0). Vamos a calcular ahora la aplicaci´on lineal dNp , viendo simplemente c´omo act´ua sobre los vectores de la base {Xu , Xv }. Para ello, observemos que Nu = (− sen u, cos u, 0) = aXu + bXv = a(−r sen u, r cos u, 0) + b(0, 0, 1), de donde a = 1/r y b = 0. An´alogamente, Nv = (0, 0, 0) = cXu + dXv , por lo que c = d = 0. As´ı, la matriz de A p = −dN p respecto a la base {Xu , Xv } es à ! −1/r 0 Ap ≡ . 0 0 3

Abusamos del art´ıculo determinado aun cuando es obvio que hablamos de ((un)) normal entre los dos posibles.

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iv) Sea S el paraboloide hiperb´olico, superficie tambi´en conocida con el nombre de silla de montar, que viene dada por el grafo de la funci´on z = y2 − x2 (v´ease la figura 3.7). Trivialmente, una parametrizaci´on para esta superficie es X(u, v) = (u, v, v2 −u2 ). Entonces Xu = (1, 0, −2u) y Xv = (0, 1, 2v), y el normal viene dado por la expresi´on µ ¶ −2v 2u 1 √ √ √ , N(u, v) = , . 1 + 4u2 + 4v2 1 + 4u2 + 4v2 1 + 4u2 + 4v2 Si ahora derivamos respecto a u obtenemos ¶ µ 8uv −4u 2(1 + 4v2 ) , , . Nu = (1 + 4u2 + 4v2 )3/2 (1 + 4u2 + 4v2 )3/2 (1 + 4u2 + 4v2 )3/2

As´ı, en el punto p = X(0, 0) = (0, 0, 0) se tiene que Nu (0, 0) = (2, 0, 0) = aXu (0, 0) + bXv (0, 0) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0),

Figura 3.7: El paraboloide ´ hiperbolico o silla de montar.

de donde se deduce que a = 2 y b = 0. C´alculos an´alogos demuestran que Nv (0, 0) = (0, −2, 0) = c(1, 0, 0) + d(0, 1, 0), por lo que c = 0 y d = −2. Finalmente, la matriz asociada al operador forma en el origen es à ! −2 0 Ap ≡ . 0 2 Obs´ervese que las matrices obtenidas, tanto en este ejemplo como en los anteriores, son diagonales; en breve estudiaremos cu´al es el significado que se esconde detr´as de este hecho (v´ease la secci´on 3.4). ♦ Sean S una superficie regular orientada y p ∈ S, y consideremos el operador forma A p : Tp S −→ Tp S de S en p, que es un endomorfismo de espacios vectoriales, autoadjunto respecto al producto escalar definido en Tp S. Por lo tanto, esta aplicaci´on lineal tiene asociada, de forma un´ıvoca, una forma bilineal sim´etrica

σ p : Tp S × Tp S −→ R

dada por

σ p (v, w) = hA p v, wi .

Adem´as, a toda forma bilineal sim´etrica σ p : Tp S × Tp S −→ R se le asocia (tambi´en de forma un´ıvoca) una forma cuadr´atica

II p (v) = σ p (v, v) = hA p v, vi . La aplicaci´on II p : Tp S −→ R dada por II p (v) = hA p v, vi se

II p : Tp S −→ R

dada por

Definici´on 3.2.3. denomina la segunda forma fundamental de S en p.

Observaci´on 3.8. Tanto el operador forma A p , como σ p y II p , proporcionan la misma informaci´on. As´ı, es posible recuperar σ p a partir de II p utilizando la cl´asica identidad de polarizaci´on: ¤ 1£ σ p (v, w) = II p (v + w) − II p (v) − II p (w) . 2 A partir de σ p , est´a claro que tambi´en es posible obtener A p v para un vector fijo v, ya que conocemos el valor de hA p v, wi, para todo w ∈ Tp S. ♦ 112

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´ DE UNA CURVA: CURVATURAS GEODESICA ´ 3.3. LA ACELERACION Y NORMAL Sean S una superficie regular orientada por la aplicaci´on de Gauss N y α : I −→ S una curva en la superficie. Evidentemente α 0 (t) ∈ Tα (t) S, para cada t ∈ I, pero... ¿qu´e ocurre con la derivada segunda α 00 (t)? En general, α 00 (t) 6∈ Tα (t) S, esto es, el vector aceleraci´on de la curva no es tangente a la superficie. Un ejemplo inmediato que ilustra tal situaci´on es la curva α : I −→ S2 dada por α (t) = (cost, sent, 0): el vector aceleraci´on de esta curva es normal a la superficie en los puntos correspondientes. En esta secci´on nos planteamos la siguiente cuesti´on: si somos un ser bidimensional que se est´a moviendo en una superficie, ¿qu´e tipo de aceleraci´on experimentamos? Est´a claro que nuestra trayectoria se puede describir mediante una curva y que nuestra velocidad es el vector tangente a dicha curva. Ahora bien, la aceleraci´on que experimentamos debe ser tangente a la superficie, porque nosotros, como seres estrictamente bidimensionales, no podemos experimentar sensaci´on alguna en direcciones que no est´en ((contenidas)) en la superficie. Para responder con precisi´on esta cuesti´on recordemos, en primer lugar, que po¢ª © ¡ demos descomponer el espacio vectorial R3 como R3 = Tα (t) S⊕span N α (t) . Entonces, α 00 (t) ∈ R3 se escribe de forma u´ nica como α 00 (t) = α 00 (t)> + α 00 (t)⊥ . En estos t´erminos, el vector α 00 (t)> se denomina aceleraci´on tangencial o intr´ınseca de la curva α , y representa la aceleraci´on que experimenta una part´ıcula bidimensional cuya trayectoria est´a descrita por α . Por otra parte, el vector α 00 (t)⊥ se denomina ¡ ¢ aceleraci´on normal o extr´ınseca. En particular se tendr´a α 00 (t)⊥ = λ (t)N α (t) , para una cierta funci´on diferenciable λ (t). Ahora bien, ¿cu´al es el valor de λ ? Obviamen­ ¢® ¡ te, e´ ste vendr´a dado por el producto escalar λ (t) = α 00 (t), N α (t) , lo que permite ¢® ¡ ¢ ­ ¡ escribir α 00 (t)⊥ = α 00 (t), N α (t) N α (t) . Por otro lado, es usual la notaci´on Dα 0 (t), dt lo que quedar´a justificado cuando se estudie el cap´ıtulo 5 dedicado a las geod´esicas de una superficie, por lo que podemos escribir

α 00 (t)> =

α 00 (t) =

¡ ¢® ¡ ¢ ­ Dα 0 (t) + α 00 (t), N α (t) N α (t) . dt

(3.1)

A continuaci´on, vamos a estudiar cada uno de los dos sumandos que aparecen en esta igualdad. El primero de ellos define una magnitud conocida como curvatura geod´esica y el segundo determina la llamada curvatura normal. ´ 3.3.1. La curvatura geodesica Sean α : I −→ S una curva p.p.a. y S una superficie regular orientada por N. Al calcular la derivada segunda de α acabamos de obtener la igualdad

α 00 (s) =

¢® ¡ ¢ ¡ ­ Dα 0 (s) + α 00 (s), N α (s) N α (s) , ds

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donde remarcamos que ahora el par´ametro s es la longitud de arco. Esta restricci´on no es esencial en la discusi´on, pero s´ı conveniente (las razones son similares a la necesidad de parametrizar por el arco al definir la curvatura de una curva). Queremos expre¢ª ¡ © sar el vector (Dα 0 /ds)(s) ∈ Tα (s) S en t´erminos de la base α 0 (s), Jα 0 (s), N α (s) . ´ Esta es una base ortonormal positivamente orientada de R3 que se denomina el triedro de Darboux. Ahora bien, como (Dα 0 /ds)(s) es un vector tangente, Dα 0 (s) = a(s)α 0 (s) + b(s)Jα 0 (s), ds donde a y b son dos funciones definidas sobre I. Para calcularlas, multiplicamos escalarmente en ambos miembros de la ecuaci´on: À D ¿ E ­ ¡ ¢® ¡ ¢ Dα 0 0 a(s) = (s), α (s) = α 00 (s) − α 00 (s), N α (s) N α (s) , α 0 (s) ds ¢®­ ¡ ¢ ® ­ ¡ ® ­ 00 = α (s), α 0 (s) − α 00 (s), N α (s) N α (s) , α 0 (s) = 0.

Esta u´ ltima igualdad se verifica porque la curva est´a parametrizada por el arco. As´ı, el vector (Dα 0 /ds)(s) es colineal con Jα 0 (s), y se puede escribir Dα 0 (s) = kg (s)Jα 0 (s), ds donde la funci´on kg (s) se denomina curvatura geod´esica de α en s. Concretamente, À ¿ ­ ® Dα 0 0 kg (s) = (s), Jα (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) . ds

Volveremos sobre este concepto en el cap´ıtulo 5; all´ı estudiaremos con mayor profundidad esta curvatura y veremos toda la informaci´on geom´etrica que encierra. Observaci´on 3.9. La curvatura geod´esica depende de la orientaci´on de la superficie: su signo var´ıa seg´un la elecci´on que hagamos de N. ♦ 3.3.2.

La curvatura normal

Nos vamos a ocupar ahora de la componente normal de la aceleraci´on en la descomposici´on dada en (3.1). Para ello veamos el siguiente resultado. Proposici´on 3.3.1. Sea S una superficie regular orientada por el normal N. Sean p ∈ S y v ∈ Tp S. Si α : I −→ S es una curva con condiciones iniciales p y v, entonces ® ­ II p (v) = α 00 (0), N(p) . ¢® ¡ ­ Demostraci´on. Dado que α 0 (t) ∈ Tα (t) S, entonces α 0 (t), N α (t) = 0, para cada ¢® ­ ® ¡ ­ valor de t. Derivando, se tiene que α 00 (t), N α (t) + α 0 (t), (N ◦ α )0 (t) = 0. Como ¢ ¡ (N ◦ α )0 (t) = dNα (t) α 0 (t) , entonces ¡ ¡ ¢® ­ ® ­ 00 ¢® ­ (3.2) α (t), N α (t) = − α 0 (t), dNα (t) α 0 (t) = α 0 (t), Aα (t) α 0 (t) . ® ­ 00 En particular, para t = 0 se tendr´a que α (0), N(p) = hv, A p vi = II p (v), como quer´ıamos demostrar. 114

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Observemos tambi´en que la igualdad (3.2) se cumple para todo t ∈ I, por lo que, en general, ¢ ¡ ¢ ¡ Dα 0 α 00 (t) = (t) + IIα (t) α 0 (t) N α (t) . dt

Dado v ∈ Tp S, el valor II p (v) es una medida de la aceleraci´on en la direcci´on normal a S. Observemos que esta medida es independiente de la curva elegida: s´olo depende del punto y la direcci´on, por lo que tiene sentido la siguiente definici´on. Definici´on 3.3.2. Sea v ∈ Tp S un vector unitario. El valor II p (v) se denomina curvatura normal de S en p en la direcci´on de v y se representa por kn (v, p). ® ­ Por tanto, kn (v, p) = II p (v) = α 00 (0), N(p) , siendo α : I −→ S cualquier curva con condiciones iniciales p y v. Finalmente, si α : I −→ S es una curva parametrizada por la longitud de arco s, ¢ ¡ podemos escribir α 00 (s) = kg (s)Jα 0 (s) + kn (s)N α (s) , siendo ¡ ¢ ¢® ­ ¡ kn (s) := kn α 0 (s), α (s) = IIα (s) (α 0 (s)) = α 00 (s), N α (s) la curvatura normal de la curva α en s y kg (s) su curvatura geod´esica. Si ahora tomamos m´odulos, se obtiene la importante relaci´on k(s)2 = kg (s)2 + kn (s)2 ,

(3.3)

la cual nos dice que la curvatura de una curva en el espacio se descompone como una suma de la curvatura geod´esica (intr´ınseca) y la curvatura normal (extr´ınseca). 3.3.3.

´ geometrica ´ Interpretacion de la curvatura normal

¿Qu´e representa geom´etricamente la curvatura normal? Vamos a ver que el valor kn (v, p), donde p ∈ S y v ∈ Tp S, es, precisamente, la curvatura de la curva plana determinada por la intersecci´on de S con el plano af´ın que pasa por p y que est´a generado © ª (y orientado) por los vectores v, N(p) . Para demostrar esta afirmaci´on, vamos a © ª denotar por Πv = span v, N(p) dicho plano.

Πv N(p) 6 p

v

q

α ´ Figura 3.8: Interpretacion ´ geometrica de la curvatura normal.

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Se define la secci´on normal Cv como la curva4 que resulta al intersecar la superficie S con el plano Πv (v´ease la figura 3.8, donde se ha representado una secci´on normal de la silla de montar en el origen de coordenadas). As´ı, Cv = Πv ∩ S, y podemos encontrar una parametrizaci´on (por la longitud de arco) de Cv dada por α : I −→ Cv ⊂ S de suerte que α (0) = p y α 0 (0) = v. Como v ∈ Tp S, entonces v ⊥ N(p) y la curva α tiene como vector normal n = JΠv v = N(p), donde JΠv representa la estructura compleja en el plano Πv . Entonces ® ­ ® ­ kn (v, p) = II p (v) = α 00 (0), N(p) = k(0)n(0), N(p) = k(0), siendo k la curvatura de α como curva plana dentro del plano vectorial Πv orientado © ª por la base ortonormal positivamente orientada v, N(p) . Observaci´on 3.10. La curvatura normal depende de la orientaci´on de la superficie: su signo var´ıa seg´un la elecci´on que hagamos de N. ♦ Ejemplo 3.9 (Secciones normales del plano). Si S = Π es un plano, entonces sabemos que el operador forma en un punto cualquiera p ∈ Π siempre es nulo (v´ease el ejemplo 3.8). Por lo tanto, kn (v, p) = II p (v) = hA p v, vi = 0, y esto es cierto para cualquier direcci´on v ∈ Tp S. El motivo por el que kn ≡ 0 en todo punto y direcci´on es que todas las secciones normales del plano son rectas, cuya curvatura, como curva plana, es cero. ♦ N(p)

6

Ejemplo 3.10 (Secciones normales de la esfera). Consideremos la esfera de radio r, S2 (r), que suponemos orientada por el normal exterior N(p) = (1/r)p (v´ease la figura 3.9). Si v ∈ Tp S2 (r), entonces À ¿ 1 1 −1 v, v = − |v|2 = − , kn (v, p) = hA p v, vi = r r r

v



p

ya que el vector v es unitario por definici´on y el operador forma es la aplicaci´on A p ≡ (−1/r)1Tp S2 (r) . Por tanto, la curvatura normal en un punto arbitrario y en cualquier direcci´on del tangente a dicho punto toma el valor −1/r. Esto se debe a que las secciones normales son las circunferencias m´aximas de la esfera (v´ease la figura 3.9), esto es, circunferencias de radio r cuya curvatura, como curva plana, es −1/r. Obs´ervese que el signo negativo se debe a la orientaci´on escogida: la aceleraci´on de las secciones normales siempre apunta hacia el interior, mientras que hemos elegido como orientaci´on de la superficie la dada por el normal exterior. ♦

Figura 3.9: Secciones normales de la esfera S2 .

Observaci´on 3.11. Observemos que la curvatura normal en estos dos ejemplos concretos (plano y esfera) cumple dos propiedades muy destacadas: i) fijado el punto p ∈ S, kn (v, p) no depende del vector v ∈ Tp S, y m´as a´un, ii) la curvatura normal no depende de p y toma un valor constante en todo S. 4

Se demuestra que la intersecci´on de dos superficies regulares es, en general, una curva regular.

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Si en un punto p la curvatura normal verifica la primera propiedad,5 es porque todas sus secciones normales tienen la misma curvatura (como curvas planas) en ese punto. Intuitivamente, esto significa que la superficie se curva por igual en todas las direcciones que salen de p; o en otras palabras: la superficie es ((la misma)) en todas direcciones (vista desde dicho punto p). La segunda propiedad es a´un m´as restrictiva: la curvatura normal se mantiene constante en todo punto. Esto significa que la superficie se curva por igual en todas direcciones y en todo punto, y que la forma de la superficie no cambia en ninguna direcci´on y en ning´un sitio.6 Las u´ nicas superficies con esta propiedad son las (porciones de) esferas y planos. ♦ Veamos un ejemplo en el cual la curvatura normal cambia seg´un la direcci´on. Ejemplo 3.11 (Secciones normales del cilindro). Sea C el cilindro dado por la ecuaci´on x2 + z2 = r2 (el cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje y) y vamos a considerar el punto p = (r, 0, 0). El plano tangente TpC est´a generado por los vectores v1 = (0, 1, 0) y v2 = (0, 0, 1), mientras que el normal es N(p) = (1, 0, 0), donde estamos escogiendo la orientaci´on hacia fuera. El plano Πv1 no es m´as que el plano z = 0, por lo que su intersecci´on con C es © ª © ª Πv1 ∩C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = r2 , z = 0 = (x, y, z) ∈ R3 : x = ±r, z = 0 , que son dos rectas paralelas (v´ease la figura 3.10). Ahora bien, la u´ nica que pasa por p es {x = r, z = 0} y as´ı, kn (v1 , p) = 0, ya que la curvatura de una recta es 0.

6

v1

p

N(p) -

v2 /

v

3

-

N(p)

Figura 3.10: Secciones normales del cilindro.

Por otra parte, el plano Πv2 no es otro que y = 0, de modo que su intersecci´on con el cilindro viene dada por © ª Πv2 ∩C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = r2 , y = 0 , que es una circunferencia de radio r en el plano y = 0 (v´ease la figura 3.10). En consecuencia, kn (v2 , p) = −1/r (el signo negativo se debe a que el vector normal al cilindro apunta en direcci´on contraria a la aceleraci´on de la circunferencia). 5

Se dice entonces que la superficie es is´otropa en dicho punto. Hay superficies que no se curvan por igual en todas direcciones y, no obstante, el comportamiento de la curvatura normal es el mismo en todo punto. Estas superficies se llaman ((homog´eneas)), pues la geometr´ıa es id´entica en todos los puntos, no hay lugares distinguidos. Un ejemplo es el cilindro. 6

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Para terminar, si tomamos v3 = av1 +bv2 con a, b 6= 0, entonces un sencillo c´alculo demuestra que Πv3 ∩C es una elipse (v´ease la figura 3.10). Su curvatura est´a comprendida entre −1/r y 0. Como ya hemos comentado, esta discusi´on es la misma para cualquier otro punto del cilindro: todos sus puntos son indistinguibles desde el punto de vista geom´etrico.7 ♦ En el ejemplo anterior, para el punto p = (r, 0, 0) hemos visto que la curvatura normal kn (v, p), con v unitario, depende, evidentemente, del vector v. Como la funci´on kn (·, p) : S1 −→ R est´a definida sobre un compacto, e´ sta alcanza un m´aximo y un m´ınimo en dicho conjunto. En el caso del cilindro, y con la orientaci´on elegida, el m´ınimo es −1/r y el m´aximo es 0. Esta situaci´on no es exclusiva del cilindro, sino que se da en cualquier superficie. Lo vemos a continuaci´on. 3.4.

LAS CURVATURAS PRINCIPALES

Sean S una superficie regular orientada por N y p ∈ S un punto arbitrario. El operador A p : Tp S −→ Tp S es una aplicaci´on lineal autoadjunta. Por tanto, su matriz respecto a cualquier base ortonormal es sim´etrica y, en consecuencia, diagonalizable. Sean entonces e1 , e2 dos vectores propios que diagonalizan A p . Si en la diagonalizaci´on los valores propios son distintos, es un ejercicio inmediato probar que los dos vectores son ortogonales (si los valores propios son id´enticos, todos los vectores son propios, y siempre podemos escoger dos ortogonales) y, sin p´erdida de generalidad, supondremos que son unitarios. Si k1 (p) y k2 (p) son los valores propios asociados a dichos vectores propios, entonces A p e1 = k1 (p)e1 , y A p e2 = k2 (p)e2 . Estos dos n´umeros se denominan las curvaturas principales de S en p y, por convenio, supondremos que k1 (p) ≤ k2 (p). ¿Tienen estos valores alg´un significado preciso? Observemos que ® ­ kn (e1 , p) = II p (e1 ) = hA p e1 , e1 i = k1 (p)e1 , e1 = k1 (p), y kn (e2 , p) = k2 (p), por lo que k1 (p) y k2 (p) son las curvaturas normales en las direcciones e1 y e2 . Adem´as, se puede demostrar (y lo veremos posteriormente, p´agina 120) que k1 (p) y k2 (p) son los extremos de la funci´on real kn (·, p) : S1 −→ R. Los vectores e1 y e2 que determinan las curvaturas principales se denominan direcciones principales (cuando k1 (p) = k2 (p) todas las direcciones son direcciones principales). Observaci´on 3.12. Las curvaturas principales est´an determinadas salvo el signo, pues e´ ste depende de la orientaci´on escogida para la superficie. ♦ Ejemplo 3.12 (Direcciones principales en el plano y la esfera). Si S = Π, ya hemos visto que kn (v, p) ≡ 0, por lo que k1 (p) = k2 (p) = 0 tambi´en. Por tanto, todas las direcciones son principales, ya que todas son autovectores del operador forma. Si S = S2 (r), entonces kn (v, p) ≡ −1/r (tomando el normal hacia el exterior). Por ´ tanto, k1 (p) = k2 (p) = −1/r, y de nuevo todas las direcciones son principales. Estas 7

Un simple movimiento r´ıgido coloca cualquier cilindro y un punto suyo en la misma configuraci´on geom´etrica que la presentada en este ejemplo.

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son las u´ nicas dos superficies en las que todas las direcciones son principales en todo punto (hay superficies en las que esto ocurre para un punto concreto).8 ♦ Ejemplo 3.13 (Direcciones principales en el cilindro). Si S = C es el cilindro del ejemplo 3.11 con el normal apuntando hacia el exterior, obtenemos que una direcci´on principal viene dada por v1 y que la otra est´a dada por v2 , siendo k1 (p) = −1/r y k2 (p) = 0. As´ı, las direcciones principales son tangentes a las generatrices del cilindro (rectas verticales) y a los paralelos (circunferencias). ♦ Ejemplo 3.14 (Direcciones principales en la silla de montar). Consideremos la silla de montar parametrizada por X(u, v) = (u, v, v2 − u2 ), y vamos a estudiar sus direcciones principales en el punto p = X(0, 0) = (0, 0, 0). La matriz asociada al © ª operador forma en el origen, respecto a la base Xu (0, 0), Xv (0, 0) , es ! Ã −2 0 Ap ≡ 0 2 © ª (v´ease el ejemplo 3.8). En consecuencia, Xu (0, 0), Xv (0, 0) son las direcciones principales, siendo sus autovalores correspondientes −2 y 2. ♦ En ocasiones, resulta conveniente ((integrar)) las direcciones principales para obtener una curva en la superficie cuyos vectores velocidad sean todos direcciones principales. De esta forma, se llega a la siguiente definici´on. Definici´on 3.4.1. Sea S una superficie regular orientada y sea α : I −→ S una curva de forma que α 0 (t) es una direcci´on principal en α (t), para todo t ∈ I. Se dice entonces que α es una l´ınea de curvatura de S. Evidentemente, si α : I −→ S es una l´ınea de curvatura, cualquier reparametrizaci´on de α sigue siendo l´ınea de curvatura de S. De hecho, si en un abierto V ⊂ S las curvaturas principales no coinciden, entonces por cada punto p de V pasan dos y u´ nicamente dos l´ıneas de curvatura, y adem´as e´ stas se cortan de forma ortogonal. Esto permite considerar en V dos familias de curvas correspondientes a cada una de las direcciones principales (v´ease [12] para una justificaci´on precisa). Utilizando herramientas de ecuaciones diferenciales y hechos que escapan a las pretensiones de este libro, es posible demostrar que existe una parametrizaci´on en un entorno de p de modo que las dos familias de curvas coordenadas coinciden con las l´ıneas de curvatura.9 Podemos encontrar una exposici´on de estos resultados en [12, 28]. Insistimos tambi´en en que es esencial tener determinadas exactamente dos direcciones en cada punto. A continuaci´on vamos a probar que, esencialmente, las curvaturas principales determinan por completo la curvatura normal en cualquier direcci´on, siempre y cuando conozcamos el a´ ngulo que forma dicho vector con una de las direcciones principales. 8

Consid´erese la rotaci´on de la curva z = y4 alrededor del eje z. En el punto (0, 0, 0) de esta superficie de revoluci´on todas las direcciones son principales, y el valor de las dos curvaturas principales es 0 (v´ease el ejemplo 3.15). 9 En realidad, lo u ´ nico que se puede asegurar es que la traza de las curvas coordenadas coincide con la de las l´ıneas de curvatura.

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Teorema 3.4.2 (La f´ormula de Euler). Sea S una superficie regular orientada por N, sean k1 (p) ≤ k2 (p) las curvaturas principales de S en un punto p ∈ S y sean e1 , e2 las direcciones principales asociadas a dichas curvaturas, respectivamente. Si vθ ∈ Tp S, (3.4) kn (vθ , p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ , donde θ es el a´ ngulo tal que cos θ = he1 , vθ i. Demostraci´on. Como {e1 , e2 } es una base ortonormal del plano tangente, entonces podemos expresar vθ = cos θ e1 + sen θ e2 . Ahora bien, ® ­ kn (vθ , p) = II p (vθ ) = hA p vθ , vθ i = A p (cos θ e1 + sen θ e2 ), cos θ e1 + sen θ e2 . Aplicando la linealidad de A p nos queda ­ ® kn (vθ , p) = k1 (p) cos θ e1 + k2 (p) sen θ e2 , cos θ e1 + sen θ e2 = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ .

En este teorema se refleja claramente que © ª k1 (p) = m´ın kn (v, p) : |v| = 1

y

© ª k2 (p) = m´ax kn (v, p) : |v| = 1 ,

pues observemos que kn (v, p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ = k1 (p)(1 − sen2 θ ) + k2 (p) sen2 θ ¡ ¢ = k1 (p) + k2 (p) − k1 (p) sen2 θ ≥ k1 (p), ya que k2 (p) − k1 (p) ≥ 0. An´alogamente, y por el mismo motivo, se tiene que ¡ ¢ kn (v, p) = k1 (p) cos2 θ +k2 (p)(1−cos2 θ ) = k2 (p)− k2 (p)−k1 (p) cos2 θ ≤ k2 (p). Definici´on 3.4.3. Sea S una superficie regular orientada por N. Se denomina curvatura de Gauss de S en p ∈ S al valor K(p) = det A p = det(−dNp ).

(3.5)

En definitiva, K(p) = k1 (p)k2 (p). Adem´as, se llama curvatura media de S en p ∈ S al valor H(p) =

1 1 tr A p = tr(−dN p ). 2 2

En otros t´erminos, H(p) =

(3.6)

k1 (p) + k2 (p) . 2

Proposici´on 3.4.4. La curvatura de Gauss no depende de la orientaci´on escogida para la superficie. La curvatura media cambia de signo al cambiar la orientaci´on. 120

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Demostraci´on. Al cambiar la orientaci´on estamos cambiando N por −N, por lo que el signo de las curvaturas principales var´ıa. Entonces, el producto de e´ stas no cambia de signo, pero su suma s´ı.

Dependiendo del signo de la curvatura de Gauss, los puntos de una superficie se clasifican de la siguiente forma. Definici´on 3.4.5. Sea S una superficie regular orientada y sea p ∈ S. Entonces, i) se dice que p ∈ S es el´ıptico si K(p) > 0; ii) se dice que p ∈ S es hiperb´olico si K(p) < 0; iii) se dice que p ∈ S es parab´olico si K(p) = 0 pero A p 6≡ 0, esto es, cuando una de las dos curvaturas principales en p se anula y la otra es distinta de cero; iv) se dice que p ∈ S es plano cuando A p ≡ 0, esto es, si k1 (p) = k2 (p) = 0. Ejemplo 3.15. Veamos ejemplos de c´omo son los puntos de algunas superficies: i) Todos los puntos de una esfera son el´ıpticos, pues K ≡ 1/r2 > 0. ii) En la silla de montar parametrizada por X(u, v) = (u, v, v2 − u2 ) (v´ease la figura 3.7) el punto p = (0, 0, 0) es hiperb´olico, ya que k1 (p) = −2 y k2 (p) = 2, y por tanto, K(p) = −4 < 0. iii) Todos los puntos del cilindro son parab´olicos, pues k1 ≡ −1/r y k2 ≡ 0. Por lo tanto, K ≡ 0, pero A p 6≡ 0 para todo p. iv) Todos los puntos del plano son planos, aunque no son los u´ nicos ejemplos de puntos planos: si tomamos la superficie de revoluci´on generada por z = y4 (revoluci´on alrededor del eje z, v´ease la figura 3.11), entonces el origen de coordenadas es un punto plano en una superficie que no es un plano. ♦ Figura 3.11: La superficie ´ generada de revolucion por z = y4 .

Adem´as de clasificar los puntos de una superficie en t´erminos del signo de la curvatura de Gauss, podemos plantearnos qu´e pasa cuando las dos curvaturas principales coinciden. De ello nos ocupamos en el siguiente ep´ıgrafe. 3.4.1.

Puntos umbilicales

Definici´on 3.4.6. Se dice que un punto p de una superficie regular orientada S es un punto umbilical si k1 (p) = k2 (p). Una superficie S se dice que es totalmente umbilical si todos sus puntos son umbilicales. Observaci´on 3.13. Ya hemos presentado anteriormente esta propiedad. Un punto umbilical es aquel en el que la superficie se curva por igual en todas las direcciones: la superficie es is´otropa en p. Por otra parte, las superficies totalmente umbilicales resultan ser, a la postre, superficies homog´eneas e is´otropas. Veremos que, esencialmente, s´olo hay dos superficies que cumplen ambas condiciones: el plano y la esfera (v´ease el teorema 3.4.7). ♦ 121

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Ejemplo 3.16. El plano es una superficie totalmente umbilical, pues todos sus puntos satisfacen k1 = k2 ≡ 0. La esfera S2 (r) tambi´en tiene la misma propiedad, y ocurre que k1 = k2 ≡ ±1/r (en funci´on del normal escogido). ♦ Ejemplo 3.17. Consideremos el paraboloide de revoluci´on dado por z = x2 + y2 (v´ease la figura 3.12). Veamos que el punto p = (0, 0, 0) es umbilical. Para ello, tomamos la parametrizaci´on X(u, v) = (u, v, u2 + v2 ), cuyo normal est´a dado por 1 N(u, v) = √ (−2u, −2v, 1) = h(u, v)(−2u, −2v, 1). 1 + 4u2 + 4v2

Figura 3.12: El paraboloide ´ de revolucion.

Un sencillo c´alculo muestra que Nu (0, 0) = (−2, 0, 0) y Nv (0, 0) = (0, −2, 0). Luego k1 (p) = k2 (p) = 2 y el operador forma se escribe à ! 2 0 Ap ≡ . 0 2 Por u´ ltimo, observemos que K(p) = 4: p es un punto el´ıptico.

♦

Observaci´on 3.14. Ning´un punto parab´olico o hiperb´olico puede ser umbilical. El primero por definici´on; el segundo porque, si fuera umbilical, el producto de sus curvaturas principales ser´ıa no negativo. ♦ Teorema 3.4.7 (Caracterizaci´on de las superficies totalmente umbilicales). Sea S una superficie regular, orientable, conexa y totalmente umbilical. Entonces S es un trozo de esfera o un trozo de plano. Demostraci´on. Como todos los puntos son umbilicales, k1 (p) = k2 (p) para todo p ∈ S. En particular, H(p) = k1 (p) = k2 (p), y el operador forma A p puede escribirse de la forma à ! H(p) 0 Ap ≡ 0 H(p) en un punto p ∈ S arbitrario. En otras palabras, se tiene que A p = H(p)1Tp S , donde H : S −→ R es una funci´on diferenciable. Nuestro objetivo ahora es demostrar que H es constante. Sean p ∈ S un punto arbitrario y (U, X) una parametrizaci´on de S en p © ª con X(q) = p y q = (u0 , v0 ). Consideremos la base Xu (q), Xv (q) ; entonces ¯ ¡ ¢ d ¯¯ dHp Xu (q) = (H ◦ α )(u), du ¯u=0

donde α (u) = X(u + u0 , v0 ) (es decir, una curva en S con condiciones iniciales p y Xu (q)). De esta forma, ¯ ¡ ¢ d ¯¯ dH p Xu (q) = (H ◦ X)(u + u0 , v0 ) = (H ◦ X)u (q). du ¯u=0 ¡ ¢ An´alogamente, dHp Xv (q) = (H ◦ X)v (q). Como A p = H(p)1Tp S , entonces ¡ ¢ ¡ ¢ (H ◦ X)(q)Xu (q) = H(p)Xu (q) = A p Xu (q) = −dN p Xu (q) = −(N ◦ X)u (q). 122

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Dado que esto es cierto para todo q ∈ U, entonces se tendr´a que −(H ◦ X)Xu = (N ◦ X)u en los puntos de U. De la misma forma, se demuestra que −(H ◦ X)Xv = (N ◦ X)v . Derivando la primera igualdad respecto a v y la segunda respecto a u obtenemos (N ◦ X)uv = −(H ◦ X)v Xu − (H ◦ X)Xuv

y

(N ◦ X)vu = −(H ◦ X)u Xv − (H ◦ X)Xvu . Y dado que las segundas derivadas (cruzadas) coinciden, restando ambas igualdades se obtiene que, en los puntos del abierto U, se verifica −(H ◦ X)v Xu + (H ◦ X)u Xv = 0. Como los vectores Xu y Xv forman una base de Tp S, los coeficientes de esta combinaci´on lineal deben ser id´enticamente nulos. As´ı, (H ◦ X)u = (H ◦ X)v ≡ 0 en U, y por ¡ ¢ ¡ ¢ tanto, se llega a que dHp Xu (q) = dHp Xv (q) = 0 para todo p ∈ X(U). En consecuencia, dH p ≡ 0 y, al ser S conexa, podemos concluir que la funci´on H es constante, esto es, H ≡ c para un cierto valor real c. Distinguimos ahora dos casos: i) Si c = 0, entonces H ≡ 0 y el operador forma se escribe ! à 0 0 , Ap ≡ 0 0 por lo que dN p ≡ 0. Como S es conexa, se tiene que N : S −→ S2 es constante, es decir, el normal a la superficie viene dado por N ≡ a, un vector fijo (unitario) de R3 . Definimos a continuaci´on la funci´on φ (p) = hp, ai, para p ∈ S. Si demostramos que φ es constante, podremos concluir que S est´a contenida en un plano ortogonal al vector a. Para ello, sea v ∈ Tp S y observemos que ¯ ¯ ® ­ ® d ¯¯ ­ d ¯¯ α (t), a = α 0 (0), a = hv, ai = 0, d φ p (v) = ¯ (φ ◦ α )(t) = ¯ dt t=0 dt t=0

donde α es una curva con condiciones iniciales p y v; la u´ ltima igualdad se tiene ya que v es tangente y a es normal. Por tanto, S es un (trozo de) plano. ii) Si c 6= 0, definimos la funci´on φ : S −→ R3 dada por φ (p) = p + (1/c)N(p), que es diferenciable. Si probamos que φ ≡ a para un vector fijo a, entonces tendremos que, para todo punto p ∈ S se verificar´a p−a = −(1/c)N(p), lo cual implica, tomando m´odulos, que |p−a|2 = 1/c2 ; en definitiva, se habr´a probado que todos los puntos p ∈ S est´an contenidos en una esfera de centro a y radio 1/|c| = 1/|H|, como se quer´ıa demostrar. Veamos pues que φ es constante. Para ello, calculamos su diferencial: ¯ ¯ µ ¶ ¢ d ¯¯ d ¯¯ 1 ¡ d φ p (v) = ¯ (φ ◦ α )(t) = ¯ α (t) + N α (t) dt t=0 dt t=0 c 1 = α 0 (0) + (N ◦ α )0 (0), c 123

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donde, como es habitual, α es una curva con condiciones iniciales p y v. As´ı,

¡ ¢ 1 1 1 d φ p (v) = α 0 (0) + dNα (0) α 0 (0) = v + dNp (v) = v − A p v. c c c

Ahora bien, A p = H(p)1Tp S y H ≡ c, por lo que 1 d φ p (v) = v − c v = 0. c

De nuevo, usando la conexi´on de S, se deduce que φ es constante, lo que concluye la demostraci´on.

Observaci´on 3.15. El resultado que acabamos de demostrar puede resumirse en los siguientes t´erminos: si una superficie se curva por igual en todas las direcciones en cada uno de sus puntos (si una superficie es is´otropa en cada uno de sus puntos), entonces la superficie es un plano o una esfera (esto es, la superficie es homog´enea). Por otro lado, tambi´en se puede demostrar, utilizando estas t´ecnicas, que el v´ertice de una superficie de revoluci´on (cualquier punto de la curva que rota, que corte al eje de revoluci´on) siempre es umbilical. ♦ 3.5.

´ LOCAL DE LA SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL, EXPRESION LA CURVATURA DE GAUSS Y LA CURVATURA MEDIA

En esta secci´on nos vamos a ocupar de encontrar expresiones expl´ıcitas para los objetos que hemos definido en las secciones anteriores, en t´erminos de una parametrizaci´on y sus coeficientes. La mayor parte de las f´ormulas que aqu´ı aparecen son dif´ıciles de recordar, pero resultan imprescindibles a la hora de estudiar la geometr´ıa de cualquier superficie. En la pr´actica, y salvo que la superficie sea muy simple, es necesario aplicarlas para alguna parametrizaci´on adecuada. Sean S una superficie regular orientada, p ∈ S y (U, X) una parametrizaci´on en p. Dado un vector v ∈ Tp S, nos preguntamos por el valor de la segunda forma fundamental II p (v) en t´erminos de dicha parametrizaci´on. Para responder a esta cuesti´on, consideremos una curva α en S con condiciones iniciales p y v, de modo que ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ v = α 0 (0) = u0 (0)Xu u(0), v(0) +v0 (0)Xv u(0), v(0) y p = X u(0), v(0) . En lo que ¡ ¢ sigue, Xu , Xv y dem´as funcionales estar´an evaluados en el punto u(0), v(0) , aunque lo omitiremos por brevedad. Entonces, ¢ ¡ dN p (v) = dN p α 0 (0) = u0 (0)dNp (Xu ) + v0 (0)dNp (Xv ) = u0 (0)Nu + v0 (0)Nv . Como Nu y Nv son vectores tangentes a S en p, podemos escribir Nu = a11 Xu + a21 Xv , Nv = a12 Xu + a22 Xv , y de esta forma, dNp (v) = u0 (0)(a11 Xu + a21 Xv ) + v0 (0)(a12 Xu + a22 Xv ). Es decir, ¡ ¢ ¡ ¢ dN p (v) = a11 u0 (0) + a12 v0 (0) Xu + a21 u0 (0) + a22 v0 (0) Xv . 124

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Como v = u0 (0)Xu + v0 (0)Xv , la matriz de dNp respecto a la base {Xu , Xv } es à ! a11 a12 dNp ≡ . a21 a22 Nuestro objetivo es calcular de forma expl´ıcita los coeficientes ai j de esta matriz. Para ello, observemos que ­ ® II p (v) = hA p v, vi = − hdNp (v), vi = − u0 (0)Nu + v0 (0)Nv , u0 (0)Xu + v0 (0)Xv , y la bilinealidad del producto escalar nos lleva a

II p (v) =−u0 (0)2 hNu , Xu i−u0 (0)v0 (0) hNu , Xv i−u0 (0)v0 (0) hNv , Xu i−v0 (0)2 hNv , Xv i . Por otro lado, sabemos que hN, Xu i = hN, Xv i = 0. Si derivamos ambas expresiones respecto a u y v obtenemos hNu , Xu i + hN, Xuu i = 0,

hNv , Xu i + hN, Xuv i = 0,

hNu , Xv i + hN, Xvu i = 0,

hNv , Xv i + hN, Xvv i = 0.

As´ı, despejando los primeros sumandos de estas cuatro igualdades se tiene que − hNu , Xu i = hN, Xuu i := e, − hNv , Xu i = hN, Xuv i := f , − hNu , Xv i = hN, Xvu i := f , − hNv , Xv i = hN, Xvv i := g. Las funciones e, f , g est´an definidas sobre el abierto U, y se denominan los coeficientes de la segunda forma fundamental. As´ı, en t´erminos de estos coeficientes, la segunda forma fundamental se expresa de la forma ¢ ¡ II p (v) = II p α 0 (0) = u0 (0)2 e + 2u0 (0)v0 (0) f + v0 (0)2 g. Observaci´on 3.16. En relaci´on a las l´ıneas de curvatura, ya hemos comentado la posibilidad, siempre que no hayan puntos umbilicales, de encontrar una parametrizaci´on X(u, v) de suerte que las curvas coordenadas sean l´ıneas de curvatura. Estas curvas coordenadas son entonces ortogonales, por lo que F = 0. Adem´as, al ser Xu una direcci´on principal, el vector Nu = dNp (Xu ) = −A p (Xu ) = λ Xu es colineal con Xu , de donde f = − hNu , Xv i = 0. Es por ello que estas parametrizaciones tambi´en se llaman doblemente ortogonales. ♦ En general, si v = v1 Xu + v2 Xv , se tendr´a II p (v) = v21 e + 2v1 v2 f + v22 g. Adem´as, −e = hNu , Xu i = ha11 Xu + a21 Xv , Xu i = a11 E + a21 F, − f = hNv , Xu i = ha12 Xu + a22 Xv , Xu i = a12 E + a22 F, − f = hNu , Xv i = ha11 Xu + a21 Xv , Xv i = a11 F + a21 G, −g = hNv , Xv i = ha12 Xu + a22 Xv , Xv i = a12 F + a22 G. 125

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Si escribimos el sistema anterior en forma matricial obtenemos à ! à !à ! −e − f a11 a21 E F = . − f −g a12 a22 F G La matriz de los coeficientes de la primera forma fundamental es invertible, ya que su determinante, EG − F 2 , es siempre estrictamente positivo. Por tanto, podemos despejar la matriz de las variables, y se tiene que à ! à a11 a21 e =− f a12 a22

f g

!Ã

!−1 Ã −1 E F e = 2 EG − F F G f

f g

!Ã

! G −F . −F E

Haciendo las operaciones oportunas en estas matrices, e igualando coeficiente a coeficiente, se llega finalmente a que f F − eG , EG − F 2 eF − f E a21 = , EG − F 2

gF − f G , EG − F 2 f F − gE a22 = . EG − F 2

a11 =

a12 =

(3.7)

Recordemos que los ai j son los coeficientes de la matriz de la aplicaci´on dNp respecto a la base {Xu , Xv }. Por tanto, podemos calcular su determinante (la curvatura de Gauss K(p) = det(−dNp ) = det(dNp )) y su traza (que dar´a la curvatura media) en t´erminos de los coeficientes de la primera y la segunda formas fundamentales. As´ı, K(p) = det(dNp ) =

£ ¤ 1 ( f F − eG)( f F − gE) − (gF − f G)(eF − f E) . 2 2 (EG − F )

Simplificando esta expresi´on se llega a que la curvatura de Gauss viene dada por K(p) =

eg − f 2 . EG − F 2

(3.8)

Por otra parte, la curvatura media es 1 a11 + a22 1 eG + gE − 2 f F = H(p) = − tr(dNp ) = − . 2 2 2 EG − F 2

(3.9)

Ahora nos preguntamos: ¿es posible calcular las curvaturas principales a partir de K(p) y de H(p)? Observemos que λ es un valor propio del operador forma A p si, y s´olo si, −dNp (v) = λ v, lo que equivale a su vez a que dN p (v) + λ v = 0; en definitiva si, y s´olo si, ¢ ¡ (3.10) dN p + λ 1Tp S (v) = 0, para un cierto v ∈ Tp S. Pero existir´a v = (v1 , v2 ) en tales condiciones si, y s´olo si, el sistema (3.10), con inc´ognitas v1 , v2 , admite soluci´on no trivial; esto es, si ¯ ¯ ¢ ¯¯ a11 + λ ¡ a12 ¯¯ det dN p + λ 1Tp S = ¯ ¯ = 0. ¯ a21 a22 + λ ¯ 126

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El teorema Egregium de Gauss

Desarrollando el determinante anterior se llega a que 0 = (a11 + λ )(a22 + λ ) − a12 a21 = λ 2 + (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a12 a21 . Ahora, recordando que a11 + a22 = −2H(p) y a11 a22 − a12 a21 = K(p), la ecuaci´on anterior se reescribe λ 2 − 2H(p)λ + K(p) = 0, (3.11) p siendo sus soluciones λ = H(p) ± H(p)2 − K(p). Por lo tanto, las curvaturas principales son q q k1 (p) = H(p) − H(p)2 − K(p) y k2 (p) = H(p) + H(p)2 − K(p). (3.12)

Finalmente, observemos que un punto p es umbilical si, y s´olo si, H(p)2 = K(p). Ejemplo 3.18 (Las curvaturas del toro). Consideremos la parametrizaci´on del toro T2 ya usual para nosotros, ¡ ¢ X(u, v) = (r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u , para la cual E = r2 , F = 0 y G = (r cos u + a)2 . Un sencillo c´alculo muestra que Xuu = (−r cos u cos v, −r cos u sen v, −r sen u), Xuv = (r sen u sen v, −r sen u cos v, 0), ¡ ¢ Xvv = −(r cos u + a) cos v, −r(r cos u + a) sen v, 0 . Entonces, se ve f´acilmente que 1 1 hXu ∧ Xv , Xuu i = √ e = hN, Xuu i = √ det(Xu , Xv , Xuu ) = r, EG − F 2 EG − F 2 1 f = hN, Xuv i = √ det(Xu , Xv , Xuv ) = 0, EG − F 2 1 g = hN, Xvv i = √ det(Xu , Xv , Xvv ) = cos u(r cos u + a). EG − F 2

Aplicando las f´ormulas (3.8) y (3.9) se llega a que la curvatura de Gauss vale K(u, v) =

eg − f 2 cos u , = 2 EG − F r(r cos u + a)

mientras que la curvatura media es H(u, v) =

1 eG + gE − 2 f F 1 2r cos u + a . = 2 2 EG − F 2 r(r cos u + a)

¡ ¢ Aqu´ı, K(u, v) = K X(u, v) (an´alogamente para H(u, v), v´ease la observaci´on 3.4). A modo de ejemplo, nos podemos preguntar cu´ales son los puntos parab´olicos del toro. Esto ocurre cuando K ≡ 0, es decir, cuando cos u ≡ 0. Por tanto, los puntos situados en los paralelos u = π /2 y u = 3π /2 (los paralelos superior e inferior) son parab´olicos; no son planos pues H 6≡ 0 en dichos paralelos (v´ease la figura 3.13). 127

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

6

K = 0: parab´olicos M

u = π /2 K > 0: el´ıpticos

K < 0: hiperb´olicos k

u=π

3 -

u=0 u = 3π /2 - K = 0: parab´olicos

=

Figura 3.13: Tipos de puntos en el toro.

Por otro lado, si π /2 < u < 3π /2, entonces cos u < 0 y la curvatura de Gauss verifica K < 0. As´ı, todos los puntos de la cara interior del toro son hiperb´olicos. Finalmente, si u < π /2 o u > 3π /2, entonces K > 0; los puntos son el´ıpticos. ♦ El ejemplo anterior nos sirve tambi´en para introducir el siguiente resultado. Observemos que, al considerar el plano tangente (visto como plano af´ın) en un punto hiperb´olico del toro, hay partes de T2 que quedan a uno y otro lado del plano. Sin embargo, cuando tomamos el plano tangente en un punto el´ıptico, la superficie queda contenida a un lado de dicho plano. Esto siempre es cierto (al menos localmente), tal y como demuestra el siguiente teorema. Teorema 3.5.1. Sea S una superficie regular y orientable. Si p0 ∈ S es el´ıptico, existe un entorno V (p0 ) ⊂ S tal que V est´a totalmente contenido en uno de los semiespacios determinados por el plano tangente Tp0 S. Si p0 ∈ S es hiperb´olico, para todo entorno V (p0 ) ⊂ S existen puntos de V a ambos lados de Tp0 S. Demostraci´on. Sea (U, X) una parametrizaci´on de S en p0 y supongamos, por simplicidad, que p0 = X(0, 0). Sea p = X(u, v) otro punto de la superficie en X(U). Entonces, si N(p0 ) = N0 , definimos la funci´on ¯ ­ ® ¯ d(u, v) = hp − p0 , N0 i = X(u, v) − X(0, 0), N0 = ¯X(u, v) − X(0, 0)¯ cos ϕ ,

ϕ

d p

3

p0 Tp0 S

ϕ ?

N(p0 ) 0 Figura 3.14: La distancia al plano tangente.

donde ϕ representa el a´ ngulo determinado por los vectores p − p0 y N0 ; en definitiva, esta funci´on d(u, v) no es m´as que la distancia (con signo) del punto p = X(u, v) al plano tangente Tp0 S (v´ease la figura 3.14). Por otro lado, como X(u, v) es una funci´on diferenciable, si hacemos el desarrollo de Taylor hasta el segundo orden en el punto (0, 0), obtenemos ¡ ¢ X(u, v) =X(0, 0) + Xu (0, 0)u + Xv (0, 0)v ¢ 1¡ + Xuu (0, 0)u2 + 2Xuv (0, 0)uv + Xvv (0, 0)v2 + R(u, v), 2

donde la funci´on R(u, v) verifica l´ım(u,v)→(0,0) R(u, v)/(u2 + v2 ) = 0. 128

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El teorema Egregium de Gauss

Introduciendo finalmente la expresi´on anterior para X(u, v) en la funci´on distancia d previamente definida, obtenemos que ® ­ ® 1 ­ ® 1 ­ d(u, v) = u2 Xuu (0, 0), N0 + uv Xuv (0, 0), N0 + v2 Xvv (0, 0), N0 + R(u, v) 2 2 ¢ 1¡ 2 1 2 = u e(0, 0) + 2uv f (0, 0) + v g(0, 0) + R(u, v) = II p0 (w) + R(u, v), 2 2 ­ ® siendo R(u, v) = R(u, v), N0 y w = uXu (0, 0) + vXv (0, 0) ∈ Tp0 S.

Supongamos ahora que p0 es el´ıptico; entonces K(p0 ) > 0, y las dos curvaturas principales tienen el mismo signo. As´ı, II p0 (w) = k1 (p0 ) cos2 θ + k2 (p0 ) sen2 θ tambi´en tiene signo fijo (es siempre positivo o siempre negativo), para todo w ∈ Tp0 S. Por otro lado, observemos que R es un infinit´esimo de orden 2, y en consecuencia, para (u, v) suficientemente pr´oximo a (0, 0), II p0 (w) determina el signo de la funci´on d(u, v), ya que II p0 (w) es un polinomio en u y v de segundo grado. As´ı pues, el signo de d es siempre positivo o siempre negativo en un entorno de (0, 0), y esto implica que un entorno de la superficie est´a enteramente contenido en uno de los semiespacios que determina el plano tangente Tp0 S.

El mismo razonamiento puede aplicarse en un punto hiperb´olico p0 para probar que la funci´on d(u, v) toma valores positivos y negativos en puntos arbitrariamente pr´oximos a (0, 0), con lo que se demuestra que hay puntos de la superficie a ambos lados del plano tangente.

Para puntos planos y parab´olicos no se puede asegurar nada, tal y como ilustramos en los siguientes ejemplos.

Figura 3.15: La silla de montar del mono.

Ejemplo 3.19. Consideremos la superficie conocida como silla de montar del mono, dada por el grafo X(u, v) = (u, v, u3 − 3uv2 ) (v´ease la figura 3.15). Entonces se tiene que X(0, 0) = (0, 0, 0) es un punto plano, su plano tangente es precisamente el plano af´ın z = 0 y, obviamente, existen puntos de la silla de montar del mono a ambos lados de dicho plano en cualquier entorno del origen. Por otro lado, si tomamos la superficie de revoluci´on generada por la rotaci´on de la curva z = y4 alrededor del eje z (v´ease la figura 3.11), se tiene que el punto (0, 0, 0) es plano, y su plano tangente es z = 0. En este caso, la superficie est´a enteramente contenida en el semiespacio z ≥ 0. ♦ z=1

Figura 3.16: La superficie de ´ generada por z = y3 . revolucion

Ejemplo 3.20. Si nos centramos ahora en el caso de puntos parab´olicos, un ejemplo inmediato lo encontramos en el cilindro: se trata de una superficie cuyos puntos son todos parab´olicos y, para uno de ellos en concreto, la superficie queda enteramente contenida en uno de los semiespacios que determina su plano tangente. Por otra parte, si consideramos la c´ubica z = y3 , con −1 < z < 1, contenida en el plano yz, y la hacemos rotar alrededor de la recta z = 1 (v´ease la figura 3.16), todos los puntos generados por la rotaci´on del (0, 0) son parab´olicos. Y en cualquiera de ellos, existen puntos de la superficie a ambos lados de su plano tangente. ♦

129

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3.6.

LA GEOMETR´IA DE LA CURVATURA DE GAUSS

En esta secci´on damos una interpretaci´on geom´etrica de la curvatura de Gauss en t´erminos de la aplicaci´on de Gauss N : S −→ S2 , que fue, en realidad, la forma en la que Gauss introdujo ((su curvatura)). Para ello, vamos a establecer el siguiente convenio. Sean S y S dos superficies regulares orientadas. Se dice que una aplicaci´on diferenciable F : S −→ S conserva la orientaci´on en un punto p ∈ S si, dada una base © ª positiva {v1 , v2 } de Tp S, entonces dFp (v1 ), dFp (v2 ) es una base positiva de TF(p) S. En caso contrario se dice que F invierte la orientaci´on en p.

Sea S una superficie regular orientada por N : S −→ S2 , donde consideramos la esfera S2 orientada por el normal ((exterior)), NS2 (p) = p. Si {v1 , v2 } es una base ortonormal positivamente orientada de Tp S (v´ease tambi´en el ejercicio 3.27), dN p (v1 ) ∧ dN p (v2 ) = det(dN p )(v1 ∧ v2 ) = K(p)N(p);

(3.13)

en consecuencia, la aplicaci´on de Gauss conserva la orientaci´on si K(p) > 0 (si p es el´ıptico) y la invierte si K(p) < 0 (para p hiperb´olico) ya que, por definici´on, © ª dNp (v1 ), dNp (v2 ) es una base positivamente orientada de TN(p) S2 si, y s´olo si, © ¡ ¢ ª dNp (v1 ), dNp (v2 ), NS2 N(p) = N(p) es una base positivamente orientada de R3 . Intuitivamente, esto significa lo siguiente. Sean p ∈ S el´ıptico y α : I −→ S una curva cerrada en S tal que p est´a contenido en el interior de la regi´on que α determina. Tomemos puntos p1 , p2 , p3 , p4 ∈ α (I) y sus im´agenes por la aplicaci´on de Gauss, N(p1 ), N(p2 ), N(p3 ), N(p4 ), los cuales se encuentran sobre la curva imagen N ◦ α en la esfera (v´ease la figura 3.17). Si elegimos una orientaci´on para α , entonces podemos ver que la curva imagen se recorre de la misma forma: N conserva la orientaci´on. 4

3

]

O 1 j 

>2

4 z o

N

1  3 M

s

>

2

Figura 3.17: En un punto ´ de Gauss el´ıptico la aplicacion ´ conserva la orientacion.

Por el contrario, si el punto p es hiperb´olico, al tomar los puntos imagen de p1 , p2 , p3 , p4 ∈ α (I) sobre la curva N ◦ α , N(p1 ), N(p2 ), N(p3 ), N(p4 ), podemos ver claramente c´omo la orientaci´on se invierte: la curva N ◦ α se recorre en el sentido opuesto a α . Luego, en este caso, N invierte la orientaci´on (v´ease la figura 3.18). 4

7

o

M

3

Figura 3.18: En un punto

1

´ ´ de hiperbolico la aplicacion

2 2 > *

´ Gauss invierte la orientacion.

130

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N j

]

4

Y



M

>1

3

El teorema Egregium de Gauss

As´ı, se establece el siguiente convenio: si N conserva la orientaci´on en p (es decir, si p es el´ıptico), se elige el signo + para la curvatura de Gauss en p; si por el contrario N invierte la orientaci´on en p (esto es, si p es hiperb´olico), entonces se elige el signo − para K(p). Siguiendo esta notaci´on, vamos a demostrar el siguiente teorema, el cual proporciona una bonita interpretaci´on geom´etrica del valor de la curvatura de Gauss en un punto. Teorema 3.6.1 (Interpretaci´on geom´etrica de la curvatura de Gauss). Sean S una superficie regular orientada, con aplicaci´on de Gauss N : S −→ S2 , y p ∈ S tal que K(p) 6= 0. Entonces, ¡ ¢ A N(Vε ) , K(p) = ± l´ım ε →0 A(Vε ) ª © donde Vε = X(Bε ), siendo Bε = q0 ∈ R2 : |q0 − q| < ε ⊂ U y (U, X) una parametrizaci´on de S que cubre a p = X(q).

Demostraci´on. Como det(dNp ) = K(p) 6= 0, sabemos que N es un difeomorfismo ¡ ¢ local. Luego existe un abierto U 0 ⊂ U tal que N|X(U 0 ) : X(U 0 ) −→ N X(U 0 ) es un difeomorfismo (global). En tal caso, (U 0 , N ◦ X) es una parametrizaci´on de la esfera ¡ ¢ S2 . Adem´as, Bε = (N ◦ X)−1 N(Vε ) para ε > 0 suficientemente peque˜no. Luego, claramente, las a´ reas de Vε y N(Vε ) vienen dadas por ZZ ¯ ¢ ZZ ¯ ¡ ¯(N ◦ X)u ∧ (N ◦ X)v ¯ dudv. |Xu ∧ Xv | dudv y A N(Vε ) = A(Vε ) = Bε

Bε

La f´ormula (3.13) aplicada a los vectores de la base Xu y Xv permite escribir ZZ ¯ ¢ ZZ ¯ ¡ ¯ ¯ dNp (Xu ) ∧ dNp (Xv ) dudv = (K ◦ X) |Xu ∧ Xv | dudv, A N(Vε ) = Bε

Bε

y utilizando el teorema del valor medio para las integrales dobles, podemos concluir finalmente que existen ciertos q0 , q0 ∈ Bε de modo que ¡ ¢ A N(Vε ) = l´ım l´ım ε →0 A(Vε ) ε →0

ZZ

Bε

(K ◦ X) |Xu ∧ Xv | dudv

ZZ Bε

|Xu ∧ Xv | dudv

(K ◦ X)(q0 ) |Xu ∧ Xv | (q0 )A(Bε ) = (K ◦ X)(q) = K(p). ε →0 |Xu ∧ Xv | (q0 )A(Bε )

= l´ım

3.7.

ISOMETR´IAS LOCALES

En el cap´ıtulo anterior hemos considerado la primera forma fundamental como la herramienta que nos permite hacer geometr´ıa en una superficie regular. Una pregunta natural en este contexto ser´ıa la siguiente: dadas dos superficies regulares, ¿c´omo podemos comparar las geometr´ıas de ambas? En otras palabras, ¿es posible precisar si dos superficies tienen, o no, la misma geometr´ıa? Para que esta discusi´on tenga sentido debemos clarificar qu´e entendemos por ((la misma geometr´ıa)). Evidentemente, nos estamos refiriendo a que las medidas, relaciones y propiedades que se 131

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dan en una superficie, se presentan de forma id´entica en la otra. De un modo m´as preciso, nos referimos a la posibilidad de si somos capaces de construir una aplicaci´on entre ambas superficies, que relacione los objetos y que conserve las propiedades m´etricas de e´ stos. Si tal cosa es factible, entonces ambas superficies tendr´an la ((misma geometr´ıa)) y las mismas propiedades geom´etricas. Estas aplicaciones ser´an las ((isometr´ıas)), que dan t´ıtulo a la secci´on que nos ocupa. Observemos que, si una isometr´ıa es una aplicaci´on que conserva las propiedades m´etricas de los objetos, el quid de la cuesti´on radica en identificar qu´e determina las propiedades m´etricas de una superficie. La respuesta a esta pregunta la conocemos ya: la primera forma fundamental es lo que nos permite construir y hablar de geometr´ıa en una superficie. Por tanto, una isometr´ıa ser´a una aplicaci´on entre superficies que conserve la primera forma fundamental. Antes de explicitar tal definici´on con rigor, vamos a ilustrar esta situaci´on con un ejemplo que trataremos con detalle un poco m´as adelante. Es un hecho bien conocido que es posible tomar una hoja de papel y doblarla de modo que se obtenga un cilindro. Si previamente hemos dibujado sobre el papel cualquier cosa, las propiedades de dicho dibujo no se ven alteradas: el a´ rea encerrada, los a´ ngulos con los que se cortan las curvas, las longitudes de e´ stas... En este sentido, el plano y el cilindro son, como superficies regulares, m´etricamente equivalentes. De hecho, la primera forma fundamental para ambas superficies es id´entica (siempre y cuando se utilicen parametrizaciones apropiadas). Ahora bien, ¿quiere esto decir que las geometr´ıas del cilindro y del plano son la misma en todos los aspectos? ¿Realmente se tiene esta identificaci´on para todas las cuestiones geom´etricas? La respuesta a esta pregunta es negativa. El cilindro y el plano son ((casi)) id´enticos desde el punto de vista m´etrico. Pero, ¿qu´e es lo que falta para una equivalencia total? Sencillamente, que en geometr´ıa no s´olo intervienen los aspectos m´etricos, sino tambi´en una serie de propiedades que pueden modificar y alterar la geometr´ıa, y que para nada son caracter´ısticas geom´etricas. En el caso que nos ocupa, el hecho de que el plano y el cilindro no sean homeomorfos (que no tengan la misma topolog´ıa) implica la ruptura de la equivalencia en determinadas propiedades muy concretas. A modo de ejemplo, es bien sabido que por dos puntos del plano pasa una u´ nica l´ınea de m´ınima longitud (una u´ nica recta). Pero esta propiedad, que es plenamente m´etrica, no se tiene en el cilindro, pues por dos puntos ((opuestos)) (situados en generatrices opuestas y a la misma altura) pasan dos l´ıneas (curvas) con longitud m´ınima; este hecho se estudiar´a con detalle m´as adelante, en el cap´ıtulo 5. No obstante, si nos restringimos a entornos suficientemente peque˜nos en el cilindro, entonces todos los aspectos geom´etricos de ambas superficies s´ı son id´enticos. En resumen: la noci´on de equivalencia geom´etrica entre dos superficies regulares viene dada por las aplicaciones que conservan la primera forma fundamental. Ahora bien, esta equivalencia s´olo se da de ((forma local)). Para poder encontrar una identificaci´on total entre dos superficies es necesario adem´as que ambas sean id´enticas desde el punto de vista topol´ogico y diferenciable. Se requiere, pues, efectuar una distinci´on entre lo ((local)) y lo ((global)). Precisemos estas ideas con rigor. 132

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El teorema Egregium de Gauss

Definici´on 3.7.1. Una isometr´ıa local entre dos superficies regulares S1 y S2 es una aplicaci´on diferenciable φ : S1 −→ S2 que conserva la primera forma fundamental, es decir, que conserva el producto escalar: para cada p ∈ S1 y cualesquiera v, w ∈ Tp S1 , ® ­ d φ p (v), d φ p (w) = hv, wi . As´ı, φ es una isometr´ıa local si, y s´olo si, es una aplicaci´on diferenciable cuya diferencial d φ p : Tp S1 −→ Tφ (p) S2 es una isometr´ıa lineal. Como las isometr´ıas locales conservan el producto escalar, tambi´en conservan los a´ ngulos, longitudes y a´ reas (al menos localmente) de los objetos correspondientes por la aplicaci´on. Un matiz importante a rese˜nar en la definici´on anterior es que la existencia de una isometr´ıa local φ : S1 −→ S2 no garantiza la existencia de otra aplicaci´on, digamos ψ : S2 −→ S1 que sea tambi´en una isometr´ıa local. Esto motiva el siguiente concepto, mucho m´as restrictivo, que implica el que acabamos de ver, y que involucra no s´olo los aspectos locales, sino tambi´en los globales, tal y como hemos apuntado al comienzo de la secci´on. Definici´on 3.7.2. Una isometr´ıa (global) entre dos superficies regulares S1 y S2 es una isometr´ıa local que es, a su vez, un difeomorfismo global. En esta situaci´on se dice que S1 y S2 son (globalmente) isom´etricas. Adem´as, S1 y S2 son localmente isom´etricas si, para todo p ∈ S1 , existen un entorno V ⊂ S1 de p y una isometr´ıa global φ : V −→ φ (V ) ⊂ S2 , y an´alogamente para S2 . Por lo tanto, si dos superficies regulares son (globalmente) isom´etricas, entonces son ((iguales)) desde los puntos de vista topol´ogico, diferenciable y m´etrico. Desde luego, existen superficies localmente isom´etricas que no lo son globalmente. Veamos el ejemplo que propon´ıamos al comienzo de la secci´on. Ejemplo 3.21. Demostraremos que existe una isometr´ıa local entre el plano y el cilindro (lo que implica, en particular, que son localmente isom´etricos), y que ambas superficies no son globalmente isom´etricas. Comenzamos por la u´ ltima afirmaci´on: el cilindro y el plano no pueden ser globalmente isom´etricos ya que ni siquiera son homeomorfos, pues tienen grupos fundamentales distintos. Una demostraci´on intuitiva de este hecho es la siguiente: en el plano, toda curva cerrada y simple puede deformarse de modo continuo hasta convertirse en un punto. Sin embargo, en el cilindro hay curvas cerradas y simples (como los paralelos –circunferencias ortogonales a las generatrices) que no pueden deformarse continuamente en un punto. Para probar que plano y cilindro son localmente isom´etricos, consideramos el © ª © ª plano Π = (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 y el cilindro C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 . Definimos la aplicaci´on

φ : Π −→ C

dada por

φ (x, y, 0) = (cos x, sen x, y),

que es claramente diferenciable. El c´alculo de su diferencial es muy sencillo: dado p = (x, y, 0) ∈ Π, como Tp Π ≡ Π, entonces cualquier vector v ∈ Tp Π es de la forma 133

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

v = (v1 , v2 , 0); tomando como curva α : I −→ Π la recta α (t) = p + tv (que verifica α (0) = p, α 0 (0) = v), la diferencial d φ p : Π −→ Tφ (p)C viene dada por ¯ ¯ ¢ d ¯¯ ¡ d ¯¯ d φ p (v) = ¯ (φ ◦ α )(t) = ¯ cos(x + tv1 ), sen(x + tv1 ), y + tv2 dt t=0 dt t=0

= (−v1 sen x, v1 cos x, v2 ). Ahora, ver que φ conserva el producto escalar es equivalente a comprobar que conser¯ ¯2 va m´odulos: ¯d φ p (v)¯ = v21 sen2 x + v21 cos2 x + v22 = v21 + v22 = |v|2 , lo que demuestra ♦ que φ es una isometr´ıa local. Si dos superficies S1 , S2 son localmente isom´etricas, es posible elegir parametrizaciones para cada una de ellas, con dominio com´un, y con la particularidad de que los coeficientes de la primera forma fundamental coinciden en ambas. Ve´amoslo. Teorema 3.7.3. Sea φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local entre superficies regulares. Entonces, para todo p ∈ S1 , existen parametrizaciones X : U −→ S1 , X : U −→ S2 cubriendo p ∈ S1 y φ (p) ∈ S2 , respectivamente, tales que E = E, F = F y G = G.

Demostraci´on. Dada X : U −→ S1 una parametrizaci´on cualquiera de S1 , consideremos la composici´on X = φ ◦ X : U −→ S2 que, tomando U suficientemente peque˜no, es claramente una parametrizaci´on10 para la superficie S2 . Vamos a demostrar que, dado p = X(u0 , v0 ) ∈ S1 , entonces ¡ ¢ ¡ ¢ d φ p Xu (u0 , v0 ) = X u (u0 , v0 ) y d φ p Xv (u0 , v0 ) = X v (u0 , v0 ).

Para ello, observemos que

¯ ¯ d ¯¯ d ¯¯ X u (u0 , v0 ) = X(u + u0 , v0 ) = (φ ◦ X)(u + u0 , v0 ) du ¯u=0 du ¯u=0 ¡ ¢ ¡ ¢ = d φX(u0 ,v0 ) Xu (u0 , v0 ) = d φ p Xu (u0 , v0 ) , ¡ ¢ utilizando la regla de la cadena. An´alogamente, X v (u0 , v0 ) = d φ p Xv (u0 , v0 ) . De esta forma, utilizando el hecho de que φ es una isometr´ıa local, se tiene ­ ® ® ­ E = X u , X u = d φ p (Xu ), d φ p (Xu ) = hXu , Xu i = E, ­ ® ® ­ F = X u , X v = d φ p (Xu ), d φ p (Xv ) = hXu , Xv i = F, ­ ® ® ­ G = X v , X v = d φ p (Xv ), d φ p (Xv ) = hXv , Xv i = G

(en el par (u0 , v0 ), que omitimos por brevedad), como se que quer´ıa demostrar.

Una suerte de rec´ıproco para este resultado es el siguiente. Teorema 3.7.4. Sean S1 , S2 superficies regulares y X : U −→ S1 , X : U −→ S2 parametrizaciones de S1 y S2 , respectivamente, tales que E = E, F = F y G = G. Entonces, la aplicaci´on φ = X ◦X −1 : X(U) ⊂ S1 −→ X(U) ⊂ S2 es una isometr´ıa (global) entre los abiertos X(U) y X(U) de las superficies S1 y S2 . 10

Demu´estrese como ejercicio esta afirmaci´on.

134

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El teorema Egregium de Gauss

Demostraci´on. Supongamos que X : U −→ S1 y X : U −→ S2 son parametrizaciones de S1 y S2 , respectivamente, tales que E = E, F = F y G = G, y consideremos la composici´on φ = X ◦ X −1 : X(U) −→ X(U). Por ser las parametrizaciones difeomorfismos, es claro que la aplicaci´on φ tambi´en es un difeomorfismo entre superficies. Por tanto, s´olo nos queda demostrar que se trata de una isometr´ıa.

Consideremos p = X(u0 , v0 ) ∈ S1 y Xu (u0 , v0 ) ∈ Tp S1 . Claramente, la curva coordenada X(u + u0 , v0 ) tiene como condiciones iniciales p y Xu (u0 , v0 ); entonces ¯ ¡ ¢ d ¯¯ d φ p Xu (u0 , v0 ) = (φ ◦ X)(u + u0 , v0 ) du ¯u=0 ¯ d ¯¯ = (X ◦ X −1 ◦ X)(u + u0 , v0 ) = X u (u0 , v0 ). du ¯u=0 ¡ ¢ An´alogamente, se tiene que d φ p Xv (u0 , v0 ) = X v (u0 , v0 ). Por tanto, ® ® ­ ­ d φ p (Xu ), d φ p (Xu ) = X u , X u = E = E = hXu , Xu i

(en el par (u0 , v0 ), omitido por brevedad), y la diferencial d φ p conserva el m´odulo del vector Xu (u0 , v0 ). Utilizando ahora que F = F y G = G, se demuestra que ® ­ ® ­ d φ p (Xv ), d φ p (Xv ) = hXv , Xv i d φ p (Xu ), d φ p (Xv ) = hXu , Xv i y

(estas dos u´ ltimas expresiones evaluadas tambi´en en (u0 , v0 )). De estas tres igualda® ­ des, y por tratarse {Xu , Xv } de una base, se deduce que d φ p (v), d φ p (v) = hv, vi para todo vector v ∈ Tp S, por lo que φ es una isometr´ıa local.

3.8.

EL TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS

En esta secci´on presentamos el resultado fundamental de la Geometr´ıa cl´asica de Superficies en el espacio. En pocas palabras, lo que afirma este teorema es que la curvatura de Gauss es un objeto intr´ınseco, es decir, depende exclusivamente de la primera forma fundamental. Recordemos que, para definir la curvatura de Gauss, hemos recorrido un camino m´as o menos largo en el que la principal protagonista ha sido la aplicaci´on de Gauss N : S −→ S2 . A partir de ella, calculamos su diferencial y definimos dicha curvatura como el determinante de esta diferencial. Todo hace pensar que un concepto definido en t´erminos de algo extr´ınseco como el normal N y su diferencial, tambi´en debe ser, evidentemente, extr´ınseco. Sin embargo, se puede probar, usando las expresiones en coordenadas que hemos encontrado para la segunda forma fundamental y las f´ormulas de Gauss y Weingarten (que veremos a continuaci´on), que la especial combinaci´on de factores dada por eg − f 2 K= EG − F 2 admite una expresi´on en t´erminos, u´ nicamente, de (los coeficientes de) la primera forma fundamental y sus derivadas sucesivas. Esto demuestra que K s´olo depende de 135

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

dichos coeficientes y, por tanto, de la primera forma fundamental. Por extensi´on, una isometr´ıa local (que conserva la primera forma fundamental) preserva la curvatura de Gauss en puntos correspondientes. Un corolario interesant´ısimo del resultado de Gauss es que si dos superficies tienen funciones curvatura de Gauss distintas,11 no es posible encontrar una isometr´ıa (local) entre ambas. Por ejemplo, el plano y la esfera no pueden ser localmente isom´etricos, ya que las curvaturas de Gauss son constantes y distintas (en el plano es nula y en la esfera estrictamente positiva). Este ejemplo nos remite a la u´ ltima secci´on de este cap´ıtulo, donde trataremos el problema de la representaci´on de la superficie terrestre en un plano, que es el problema fundamental de la Cartograf´ıa. Un u´ ltimo comentario en relaci´on a estos temas que estamos tratando es el siguiente. El teorema Egregium de Gauss supuso el cierre a un debate abierto durante decenas de a˜nos por identificar la curvatura primordial de una superficie. As´ı, entre los defensores de la curvatura de Gauss K por un lado y los partidarios de la curvatura media H por otro, se prolong´o un discusi´on analizando los pros y los contras de cada una de ellas hasta el advenimiento del resultado de Gauss. El hecho de que K fuera intr´ınseca, termin´o por decantar la balanza hacia el determinante de la aplicaci´on de Gauss. La traza tendr´ıa otras particularidades tambi´en muy interesantes, que estudiaremos en los pr´oximos cap´ıtulos.12 3.8.1.

´ Las formulas de Gauss y de Weingarten

Sea S una superficie regular orientada por N y sea X : U −→ V una parametrizaci´on de S positivamente orientada, es decir, tal que {Xu , Xv , N} es una base de R3 positivamente orientada. Queremos expresar las derivadas de estos vectores en funci´on de la propia base {Xu , Xv , N}. Recordemos que (v´ease (3.7), en la secci´on 3.5) ( Nu = a11 Xu + a21 Xv , Nv = a12 Xu + a22 Xv , a11 =

donde

f F − eG gF − f G eF − f E f F − gE , a12 = , a21 = , a22 = . 2 2 2 EG − F EG − F EG − F EG − F 2

11

(3.14)

La precisi´on de esta hip´otesis no est´a aqu´ı suficientemente detallada, pero basta se˜nalar como ejemplo que una superficie con curvatura de Gauss constante no puede ser isom´etrica a otra que tenga curvatura de Gauss no constante. 12 No s´ olo el teorema Egregium de Gauss dio la raz´on a los partidarios de la curvatura de Gauss como la curvatura m´as importante. La entrada en juego de las geometr´ıas no eucl´ıdeas vino a poner de manifiesto la posibilidad de definir superficies abstractas en t´erminos de conjuntos m´as o menos ((buenos)), dotados de una primera forma fundamental o m´etrica. Esta m´etrica pod´ıa tomarse tan ((extra˜na)) como se quisiera, hasta el punto de que algunas de tales m´etricas no eran concebibles como el resultado de superficies dentro del espacio eucl´ıdeo que heredan el producto escalar usual. Sin embargo, siempre y cuando dichas m´etricas estuvieran formalmente bien definidas, daban lugar a geometr´ıas sumamente interesantes y a curvaturas de Gauss nunca vistas como, por ejemplo, el caso del plano hiperb´olico: superficie con curvatura de Gauss constante y negativa. Hablaremos m´as sobre ello posteriormente.

136

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El teorema Egregium de Gauss

Las ecuaciones (3.14) se conocen con el nombre de f´ormulas de Weingarten. Estudiemos a continuaci´on los vectores Xuu , Xuv , Xvu , Xvv . Como son vectores de R3 , los podemos expresar como combinaci´on lineal de la base {Xu , Xv , N}. Entonces,  Xuu = Γ111 Xu + Γ211 Xv + L1 N,       Xuv = Γ1 Xu + Γ2 Xv + L2 N, 12 12   Xvu = Γ121 Xu + Γ221 Xv + L3 N,     Xvv = Γ122 Xu + Γ222 Xv + L4 N, para ciertos coeficientes Γkij y Lm , con i, j, k ∈ {1, 2} y m ∈ {1, 2, 3, 4}. Ahora bien, es evidente que el coeficiente L1 = L1 hN, Ni = hXuu , Ni = e y, an´alogamente, que L2 = hXuv , Ni = f , L3 = hXvu , Ni = f y L4 = hXvv , Ni = g. Las relaciones  Xuu = Γ111 Xu + Γ211 Xv + eN,       Xuv = Γ1 Xu + Γ2 Xv + f N, 12 12 (3.15)   Xvu = Γ121 Xu + Γ221 Xv + f N,     Xvv = Γ122 Xu + Γ222 Xv + gN, reciben el nombre de f´ormulas de Gauss, y los coeficientes Γkij , los s´ımbolos de Christoffel. Los s´ımbolos de Christoffel dependen de la parametrizaci´on respecto a la cual se calculen, y son sim´etricos respecto a los sub´ındices (Γ112 = Γ121 y Γ212 = Γ221 ), ya que Xuv = Xvu . Pero existe una propiedad mucho m´as importante de estos coeficientes, y es que, a pesar de aparecer en unas relaciones donde intervienen tanto el propio vector normal como los coeficientes de la segunda forma fundamental, van a depender exclusivamente de la primera forma fundamental de la superficie. Ve´amoslo. Si multiplicamos escalarmente las ecuaciones de (3.15) por Xu y Xv , obtenemos hXuu , Xu i = Γ111 E + Γ211 F,

hXuu , Xv i = Γ111 F + Γ211 G,

hXuv , Xu i = Γ112 E + Γ212 F,

hXuv , Xv i = Γ112 F + Γ212 G,

hXvv , Xu i = Γ122 E + Γ222 F,

hXvv , Xv i = Γ122 F + Γ222 G.

Por otro lado, derivando E = hXu , Xu i, F = hXu , Xv i y G = hXv , Xv i respecto a u y v de forma adecuada, obtenemos que

1 hXuu , Xv i = Fu − hXu , Xvu i = Fu − Ev , 2 1 hXuv , Xv i = Gu , 2 1 1 hXvv , Xu i = Fv − hXuv , Xv i = Fv − Gu y hXvv , Xv i = Gv , 2 2

1 hXuu , Xu i = Eu y 2 1 hXuv , Xu i = Ev y 2

lo que finalmente permite escribir los s´ımbolos de Christoffel como soluci´on a un sistema lineal de seis ecuaciones con seis inc´ognitas, en el que coeficientes y t´erminos 137

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

independientes dependen exclusivamente de la primera forma fundamental:  1   Γ111 E + Γ211 F = Eu ,   2    1  1 2  Γ11 F + Γ11 G = Fu − Ev ,    2    1   Γ112 E + Γ212 F = Ev , 2 1   Γ112 F + Γ212 G = Gu ,    2    1  2 1  Γ22 E + Γ22 F = Fv − Gu ,   2      Γ1 F + Γ2 G = 1 Gv . 22 22 2

(3.16)

En efecto, los s´ımbolos de Christoffel s´olo dependen de la primera forma fundamental de la superficie. Escribiendo la soluci´on a este sistema en forma matricial,  Ev Gu  Eu ! Ã Ã ! Fv − 1 1 1 1 Γ11 Γ12 Γ22 G −F  2 2 2  = .  2 2 2 2 Ev Gu Gv EG − F Γ11 Γ12 Γ22 −F E Fu − 2 2 2

3.8.2.

Ecuaciones de compatibilidad. Teorema Egregium de Gauss

Las f´ormulas de Gauss y Weingarten se han deducido estudiando las derivadas parciales primeras de los vectores de la base {Xu , Xv , N}. Las ecuaciones de compatibilidad se obtienen a partir de sus segundas derivadas; m´as concretamente, estudiando las identidades (Xuu )v = (Xuv )u , (Xvv )u = (Xvu )v y Nuv = Nvu . As´ı, para la primera de ellas, si sustituimos Xuu y Xuv por las f´ormulas de Gauss (3.15) correspondientes y operamos, obtenemos 0 = (Xuu )v − (Xuv )u = (Γ111 )v Xu + Γ111 Xuv + (Γ211 )v Xv + Γ211 Xvv + ev N + eNv − (Γ112 )u Xu − Γ112 Xuu − (Γ212 )u Xv − Γ212 Xvu − fu N − f Nu . Sustituyendo de nuevo y utilizando las f´ormulas de Weingarten (3.14), llegamos a una expresi´on en la que u´ nicamente aparecen los vectores de la base {Xu , Xv , N}, lo que nos permite reagrupar los coeficientes convenientemente y obtener una combinaci´on lineal de tales vectores igualada a cero: ¡ ¢ ¡ ¢ 0 = (Γ111 )v Xu + Γ111 Γ112 Xu + Γ212 Xv + f N + (Γ211 )v Xv + Γ211 Γ122 Xu + Γ222 Xv + gN ¡ ¢ ¡ ¢ − (Γ112 )u Xu − Γ112 Γ111 Xu + Γ211 Xv + eN − (Γ212 )u Xv − Γ212 Γ112 Xu + Γ212 Xv + f N + ev N + e(a12 Xu + a22 Xv ) − fu N − f (a11 Xu + a21 Xv ) = A1 Xu + B1 Xv +C1 N. Dado que {Xu , Xv , N} es una base de R3 , podemos concluir que los tres coeficientes A1 = B1 = C1 = 0. Deteng´amonos primero en la identidad B1 = 0, esto es, Γ111 Γ212 + (Γ211 )v + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − (Γ212 )u − Γ212 Γ212 + ea22 − f a21 = 0. 138

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El teorema Egregium de Gauss

Un r´apido c´alculo permite deducir la llamada ecuaci´on de Gauss de una superficie: Γ111 Γ212 + (Γ211 )v + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − (Γ212 )u − Γ212 Γ212 = f

eF − f E f F − gE −e , 2 EG − F EG − F 2

es decir, Γ111 Γ212 + (Γ211 )v + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − (Γ212 )u − Γ212 Γ212 = EK.

(3.17)

Esta ecuaci´on supuso uno de los grandes avances de la Geometr´ıa Diferencial de superficies, pues con ella se est´a diciendo, impl´ıcitamente, que la curvatura de Gauss s´olo depende de los s´ımbolos de Christoffel y, por lo tanto, exclusivamente de la primera forma fundamental. En otras palabras, K es un concepto intr´ınseco, lo cual resulta bastante sorprendente, tal y como ya hemos comentado, si tenemos en cuenta que la curvatura de Gauss se define a partir de la aplicaci´on de Gauss, esto es, del normal a la superficie. La ecuaci´on de Gauss permite adem´as demostrar uno de los grandes teoremas de la Geometr´ıa Diferencial, el llamado teorema Egregium de Gauss. Este resultado fue probado por Gauss en 1828, y apareci´o publicado por primera vez en su gran obra ((Disquisitiones generales circa superficies curva)) (v´ease [16]). Teorema 3.8.1 (Egregium de Gauss). La curvatura de Gauss de una superficie regular es invariante por isometr´ıas locales. Es decir, si φ : S1 −→ S2 es una isometr´ıa ¢ ¡ local, entonces K1 (p) = K2 φ (p) , para todo p ∈ S1 , donde K1 y K2 representan, respectivamente, las curvaturas de Gauss de S1 y S2 . Demostraci´on. Si φ : S1 −→ S2 es una isometr´ıa local, en particular es un difeomorfismo local. Sean p ∈ S1 y (U, X) una parametrizaci´on de S1 , p ∈ X(U) = V , de forma que φ : V −→ φ (V ) es un difeomorfismo. Entonces, X = φ ◦ X : U −→ S2 es una parametrizaci´on de S2 en φ (p). Como es usual, representamos por E, F, G, Γkij k

y E, F, G, Γi j , los coeficientes de la primera forma fundamental y los s´ımbolos de Christoffel de las parametrizaciones X y X, respectivamente.

El teorema 3.7.3 nos asegura que, para las parametrizaciones X y X, E = E, k F = F y G = G; por tanto, Γi j = Γkij (los s´ımbolos de Christoffel s´olo dependen de la primera forma fundamental). Finalmente, utilizando la ecuaci´on de Gauss (3.17), podemos concluir que las curvaturas de Gauss coinciden punto a punto.

El rec´ıproco del teorema Egregium de Gauss no es cierto en general (aunque existen situaciones particulares en las que s´ı lo es, v´ease el teorema 5.3.11). Basta considerar las superficies S1 y S2 parametrizadas por X(u, v) = (u cos v, u sen v, log u)

y

X(u, v) = (u cos v, u sen v, v).

Es sencillo ver que ambas superficies tienen igual curvatura de Gauss en los puntos X(u, v) y X(u, v); concretamente,

K1 (u, v) = K2 (u, v) = − 139

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1 . (1 + u2 )2

Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Sin embargo, la composici´on φ = X ◦ X −1 no va a ser una isometr´ıa local; en efecto, si calculamos el m´odulo de los vectores Xu y d φ p (Xu ) = X u , e´ stos no coinciden: ¯ ¯ ¯X u ¯ = 1 6= 1 + 1/u2 = |Xu |. Este hecho demuestra que el rec´ıproco del teorema Egregium de Gauss no es cierto.

Retomemos el c´alculo de las ecuaciones de compatibilidad, de las cuales la ecua´ ci´on de Gauss (3.17) forma parte. Esta se obten´ıa estudiando la identidad B1 = 0. Si escribimos A1 = 0, se tiene la relaci´on (Γ111 )v + Γ211 Γ122 − (Γ112 )u − Γ212 Γ112 = −FK, que es una variante de la ecuaci´on de Gauss. Sin embargo, esta nueva relaci´on proporciona mucha menos informaci´on que la ecuaci´on de Gauss, pues ya sabemos que F puede anularse, mientras que E no. Por tanto, no forma parte de las ecuaciones de compatibilidad. Finalmente, si escribimos C1 = 0, s´ı que obtenemos una nueva relaci´on de gran importancia: ¡ ¢ ev − fu = eΓ112 + f Γ212 − Γ111 − gΓ211 . (3.18) Razonando de manera an´aloga con la identidad (Xvv )u − (Xvu )v = 0, se llega a una expresi´on de la forma A2 Xu + B2 Xv + C2 N = 0, de donde se deduce de nuevo que A2 = B2 = C2 = 0. Las igualdades A2 = 0 y B2 = 0 no proporcionan informaci´on relevante; C2 = 0 s´ı permite escribir una nueva ecuaci´on: ¢ ¡ (3.19) fv − gu = eΓ122 + f Γ222 − Γ112 − gΓ212 . Las ecuaciones (3.18) y (3.19) se denominan ecuaciones de Mainardi-Codazzi que, junto con la ecuaci´on de Gauss (3.17) reciben el nombre de ecuaciones de compatibilidad. La identidad Nuv = Nvu no proporciona informaci´on adicional. Una pregunta natural es si existen m´as relaciones de compatibilidad entre la primera y segunda formas fundamentales que aporten una informaci´on relevante. La respuesta es negativa, tal y como demuestra el siguiente teorema.13 Teorema 3.8.2 (de Bonnet). Sean E, F, G, e, f , g : V −→ R funciones diferenciables definidas sobre un abierto V ⊂ R2 , verificando las ecuaciones de compatibilidad (3.17), (3.18), (3.19) y las relaciones E > 0, G > 0, EG − F 2 > 0. Entonces, existen un abierto U ⊂ V y un difeomorfismo X : U −→ X(U) ⊂ R3 , de forma que X(U) es una superficie regular, parametrizada por X, tal que los coeficientes de su primera y segunda formas fundamentales asociadas son E, F, G y e, f , g, respectivamente. Adem´as, si U es conexo y X : U −→ X(U) es otro difeomorfismo que satisface tambi´en las condiciones anteriores, entonces existe una transformaci´on ortogonal A y una traslaci´on T de forma que X = T ◦ A ◦ X (en otras palabras, existe un movimiento r´ıgido que lleva una superficie a la otra). 13

Por informaci´on relevante queremos decir alguna caracter´ıstica que determine la superficie frente a otras. Lo que se demuestra en este resultado es que, con las relaciones de compatibilidad que hemos presentado, una superficie queda determinada por completo, por lo que el resto de posibles relaciones no aportan informaci´on alguna: son redundantes.

140

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El teorema Egregium de Gauss

Este teorema ser´ıa el resultado correspondiente, para superficies, a los teoremas fundamentales de la Teor´ıa Local de curvas en el plano y en el espacio: aqu´ellos afirmaban que una curva queda determinada, salvo movimientos r´ıgidos, por su curvatura (caso plano, teorema 1.2.4), o por su curvatura y su torsi´on (en R3 , teorema 1.3.7); el teorema de Bonnet prueba que una superficie est´a determinada, de nuevo salvo movimientos r´ıgidos, por su primera y segunda formas fundamentales. La demostraci´on de este resultado requiere de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, lo que excede del nivel del curso donde se ubica esta materia. Por tanto, la omitimos aqu´ı, pudiendo consultarse, por ejemplo, en [12]. Ejemplo 3.22. Un caso particular de especial inter´es aparece cuando el entorno coordenado no contiene puntos umbilicales y las curvas coordenadas son l´ıneas de curvatura, esto es, cuando F = f = 0 (v´ease la observaci´on 3.16). Por ser F = 0, los s´ımbolos de Christoffel tienen una expresi´on muy sencilla,

1 Ev 1 1 Ev 2 1 Eu 2 1 Gu 1 1 Gu 2 1 Gv , Γ11 = − , Γ12 = , Γ12 = , Γ22 = − , Γ22 = , 2E 2G 2E 2 G 2 E 2 G y las ecuaciones de Mainardi-Codazzi toman la forma g ´ Ev Gu ³ e g ´ Gu Ev ³ e + = (k1 + k2 ), gu = + = (k1 + k2 ). (3.20) ev = 2 E G 2 2 E G 2 En definitiva, se tiene que ev = Ev H y gu = Gu H. ♦ Γ111 =

3.9.

APLICACIONES CONFORMES E ISOAREALES. CARTOGRAF´IA

Ya sabemos qu´e es una isometr´ıa local: una aplicaci´on diferenciable que conserva el producto escalar, y por tanto, longitudes, a´ ngulos y a´ reas (al menos, localmente). Durante muchos a˜nos, uno de los problemas m´as atractivos para los ge´ometras estaba relacionado directamente con la Cartograf´ıa, es decir, la representaci´on de una porci´on R del globo terr´aqueo (idealizado como la esfera unidad) en una superficie plana (un mapa); o equivalentemente, la b´usqueda de una aplicaci´on φ : R ⊂ S2 −→ R2 inyectiva y diferenciable, con inversa diferenciable, llamada proyecci´on. Aqu´ı, identificamos R2 con el plano z = 0 de R3 . Desde luego, la proyecci´on ideal ser´ıa aquella para la cual todas las medidas geom´etricas relevantes sobre la esfera fuesen preservadas en la imagen: longitudes, a´ ngulos y a´ reas sobre la esfera deber´ıan ir, por una proyecci´on ideal, a id´enticas longitudes, a´ ngulos y a´ reas sobre el mapa. Necesitar´ıamos, por tanto, una isometr´ıa; pero ya sabemos que esto es imposible: en 1828, Gauss demostr´o con su famoso teorema que una esfera (curvatura de Gauss constante y estrictamente positiva) y un plano (curvatura de Gauss constante y nula) nunca pueden ser localmente isom´etricas. En consecuencia, los esfuerzos se dirigieron a la b´usqueda de proyecciones que se acercasen a lo ((ideal)) tanto como fuese posible, en el sentido de que conservasen alguna de las medidas que interesaban en navegaci´on (´angulos, para mantener un rumbo fijo), o en topograf´ıa y agrimensura (´areas de recintos). En esta secci´on estudiamos este tipo de proyecciones que se acercan a lo ideal. Comenzamos con aquellas que conservan los a´ ngulos. 141

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Definici´on 3.9.1. Se dice que un difeomorfismo local φ : S1 −→ S2 entre superficies es una aplicaci´on conforme si existe una funci´on diferenciable λ : S1 −→ R, que no se anula en ning´un punto, tal que, para cualesquiera p ∈ S1 y v, w ∈ Tp S1 , ® ­ d φ p (v), d φ p (w) = λ (p)2 hv, wi . Por tanto, una isometr´ıa local es una aplicaci´on conforme con funci´on λ ≡ 1. Teorema 3.9.2. Un difeomorfismo local φ : S1 −→ S2 es una aplicaci´on conforme si, y s´olo si, conserva a´ ngulos; esto es, si dadas dos curvas regulares α , β : I −→ S1 tales que α (0) = β (0) = p, entonces el a´ ngulo entre α 0 (0) y β 0 (0) en Tp S1 es el ¡ ¡ ¢ ¢ mismo que el determinado por d φ p α 0 (0) y d φ p β 0 (0) en Tφ (p) S2 . Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que φ : S1 −→ S2 es una aplicaci´on conforme, y sean α , β : I −→ S1 dos curvas regulares en S1 que se cortan en t = 0: α (0) = β (0) = p. El a´ ngulo θ ∈ (0, π ) que forman sus vectores tangentes en dicho punto viene dado por ® ­ 0 α (0), β 0 (0) cos θ = ¯¯ 0 ¯¯ ¯¯ 0 ¯¯ . α (0) β (0)

Si ahora consideramos las curvas φ ◦ α , φ ◦ β : I −→ S2 , im´agenes por φ de α y β , respectivamente, e´ stas son curvas en la superficie S2 que tambi´en se cortan en t = 0, ¡ ¡ ¢ ¢ φ α (0) = φ β (0) = φ (p), formando un a´ ngulo ϕ dado por ¡ ¡ ­ ¢ ¢® ­ ® d φ p α 0 (0) , d φ p β 0 (0) λ (p)2 α 0 (0), β 0 (0) ¯¯ ¯ = cos θ . ¯¯ ¯¯ ¡ ¡ ¢¯ ¯ ¢¯ = ¯ cos ϕ = ¯¯ d φ p α 0 (0) ¯ ¯d φ p β 0 (0) ¯ ¯λ (p)¯ ¯α 0 (0)¯ ¯λ (p)¯ ¯β 0 (0)¯

Luego una aplicaci´on conforme conserva los a´ ngulos, de ah´ı su nombre. Supongamos ahora que la aplicaci´on φ : S1 −→ S2 conserva a´ ngulos. Queremos demostrar que existe una funci´on diferenciable λ : S1 −→ R, que no se anula nunca, ­ ® tal que d φ p (v), d φ p (w) = λ (p)2 hv, wi, para cualesquiera p ∈ S1 y v, w ∈ Tp S1 . Dado p ∈ S1 arbitrario, tomamos {e1 , e2 } una base ortonormal de Tp S1 . Claramente, basta probar la relaci´on anterior para los vectores de la base {e1 , e2 }, pues cualquier otro elemento de Tp S1 se expresa como combinaci´on lineal de ambos. Como φ es un ª © difeomorfismo local, los vectores d φ p (e1 ), d φ p (e2 ) (no necesariamente unitarios) determinan una base de Tφ (p) S2 , que es, adem´as, ortogonal, pues por hip´otesis ­ ® d φ p (e1 ), d φ p (e2 ) λ (p)2 he1 , e2 i ¯¯ ¯=¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯d φ p (e1 )¯ ¯d φ p (e2 )¯ ¯λ (p)¯ |e1 | ¯λ (p)¯ |e2 | = 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ® ­ lo que implica d φ p (e1 ), d φ p (e2 ) = 0. Si c1 = ¯d φ p (e1 )¯ y c2 = ¯d φ p (e2 )¯, entonces, ® ­ d φ p (e1 ), d φ p (e1 + e2 ) he , e + e2 i c21 1 ¯¯ ¯= 1 1 q = ¯¯ =√ , ¯ ¯ ¯ |e1 | |e1 + e2 | d φ p (e1 ) d φ p (e1 + e2 ) 2 c1 c21 + c22

lo cual es equivalente a que c21 = c22 ; o de forma m´as precisa, a que c1 = c2 , pues ambos c1 , c2 > 0. Esto demuestra que la aplicaci´on φ es conforme en p, siendo el 142

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El teorema Egregium de Gauss

factor de conformidad, precisamente, el valor c1 ; obs´ervese que c1 no depende de la base ortonormal escogida. Para concluir la demostraci´on, tenemos que definir la funci´on λ : S1 −→ R y ver que, en efecto, es diferenciable y no se anula. Para ello, sea X : U −→ S1 una parametrizaci´on de S1 . Consideremos la base ortonormal ( ) √ ¶ µ Xu E F E1 (u, v) = √ (u, v), E2 (u, v) = √ Xv − Xu (u, v) , E E EG − F 2

obtenida al aplicar la ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt a la base de las parciales {Xu , Xv }. Entonces, por lo visto anteriormente, el factor de conformidad en cada punto p = X(u, v) de X(U) viene dado por la funci´on λ : S1 −→ R definida por ¯ à !¯ ¯ ¡ ¢¯ Xu (u, v) ¯¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ = ¯d φ p E1 (u, v) ¯¯. λ (p) := ¯d φ p ¯¯ ¯ Xu (u, v)¯ ¯

Claramente λ es una funci´on diferenciable, ya que E1 es un campo diferenciable en X(U), que adem´as nunca se anula, lo que concluye la prueba.

Veamos c´omo traducir esto en el caso particular de un mapa del globo terr´aqueo. Consideremos la parametrizaci´on X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ) de la es´ fera dada por las coordenadas geogr´aficas (v´ease el ejemplo 2.3). Esta permite localizar un punto de la Tierra por su longitud ϕ , medida desde el meridiano ϕ = 0,14 y su colatitud θ que, tal y como est´a definida, mide la distancia angular del punto al polo norte, y no al plano ecuatorial, como es habitual (la llamada latitud). Esta representaci´on terr´aquea data del siglo II a.C., y es est´andar en Geograf´ıa. Un r´apido c´alculo permite comprobar que los coeficientes de la primera forma fundamental en esta parametrizaci´on son E = 1,

F = 0,

G = sen2 θ .

Si φ : S2 −→ R2 es un difeomorfismo local, X = φ ◦ X es una parametrizaci´on del plano. Entonces, si φ es una aplicaci´on conforme, con factor de conformidad λ , ­ ® ® ­ E = X θ , X θ = d φ p (Xθ ), d φ p (Xθ ) = λ (p)2 hXθ , Xθ i = λ (p)2 E = λ (p)2 ,

F = λ (p)2 F = 0

y

2

G = λ (p) G = λ (p)2 sen2 θ , para p = X(θ , ϕ ). Y rec´ıprocamente, si E = λ (p)2 , F = 0 y G = λ (p)2 sen2 θ para alguna funci´on diferenciable no nula λ : S2 −→ R, entonces φ es una aplicaci´on conforme. Hemos establecido as´ı el siguiente resultado:

Corolario 3.9.3. Sean φ : S2 −→ R2 un difeomorfismo local, X(θ , ϕ ) la parametrizaci´on de S2 dada por las coordenadas geogr´aficas y X = φ ◦ X. Entonces, φ es una aplicaci´on conforme si, y s´olo si, E = λ 2 , F = 0 y G = λ 2 sen2 θ , para alguna funci´on diferenciable λ : S2 −→ R que no se anula en ning´un punto. 14

Este meridiano es el de Greenwich por razones hist´oricas.

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Ejemplo 3.23. La proyecci´on estereogr´afica (v´ease el ejemplo 2.4) µ ¶ 2x 2y 2 2 π : S \{N} −→ R , dada por π (x, y, z) = , ,0 , 1−z 1−z

es una aplicaci´on conforme. En efecto, basta considerar la composici´on X = π ◦ X, con X(θ , ϕ ) las coordenadas geogr´aficas de la esfera, y aplicar el corolario 3.9.3: µ ¶ 2 sen θ cos ϕ 2 sen θ sen ϕ X(θ , ϕ ) = (π ◦ X)(θ , ϕ ) = , ,0 1 − cos θ 1 − cos θ

y sus derivadas parciales son µ ¶ −2 cos ϕ −2 sen ϕ Xθ = , ,0 1 − cos θ 1 − cos θ

µ y Xϕ =

¶ −2 sen θ sen ϕ 2 sen θ cos ϕ , ,0 , 1 − cos θ 1 − cos θ

por lo que los coeficientes de la primera forma fundamental valen

E=

4 , (1 − cos θ )2

F = 0,

G=

4 sen2 θ ; (1 − cos θ )2

¡ ¢ la funci´on λ X(θ , ϕ ) = 4/(1 − cos θ )2 es diferenciable (para θ 6= 0, el polo norte) ♦ y no se anula nunca, lo que demuestra que π es conforme. Ejemplo 3.24. Usando este criterio puede verse que el difeomorfismo de las coorde♦ nadas geogr´aficas (con φ = X −1 ) no conserva a´ ngulos; s´olo en el ecuador. A continuaci´on vamos a ocuparnos de las aplicaciones que conservan el a´ rea de recintos en una superficie. Definici´on 3.9.4. Sea ϕ : S1 −→ S2 un difeomorfismo entre superficies. Se dice que ϕ es una aplicaci´on isoareal si conserva a´ reas, es decir, si para toda regi´on R ⊂ S1 , ¢ ¡ se verifica que AS1 (R) = AS2 ϕ (R) . En lo que al dise˜no de mapas se refiere, generalmente, la navegaci´on necesita aplicaciones conformes (entre la esfera y el plano), mientras que para diversas facetas gubernamentales son m´as u´ tiles las isoareales. Lo que nunca podr´a darse es una aplicaci´on entre la esfera y el plano que sea, simult´aneamente, conforme e isoareal: en tal caso, ser´ıa una isometr´ıa, como pone de manifiesto el siguiente resultado. Proposici´on 3.9.5. Un difeomorfismo φ : S1 −→ S2 entre dos superficies regulares es conforme e isoareal si, y s´olo si, es una isometr´ıa. Demostraci´on. S´olo hay que probar la implicaci´on directa, pues el rec´ıproco es inmediato: toda isometr´ıa conserva a´ ngulos y a´ reas. Sean φ : S1 −→ S2 una aplicaci´on conforme e isoareal, p ∈ S1 y (U, X) una parametrizaci´on de S1 cubriendo p. Entonces, (U, X = φ ◦ X) es una parametrizaci´on para S2 . Representamos por E, F, G y E, F, G los coeficientes de la primera forma fundamental de X y X, respectivamente. Como φ es conforme, existe una funci´on diferenciable λ : S1 −→ R, que no se anula, 144

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­ ® tal que d φ p (v), d φ p (w) = λ (p)2 hv, wi, para cualesquiera vectores v, w ∈ Tp S1 . En particular, se tiene que, para p = X(u, v), ­ ® ­ ® E = X u , X u = d φ p (Xu ), d φ p (Xu ) = λ (p)2 hXu , Xu i = λ (p)2 E,

y an´alogamente, que F = λ (p)2 F y G = λ (p)2 G. Sean ¡ ¢ p f (p) = f X(u, v) = EG − F 2 (u, v), ¡ ¢ ¡ ¢ p ¡ ¢ f φ (p) = f X(u, v) = E G − F 2 X(u, v) , ¡ ¢ ¡ ¢ y supongamos que f (p) 6= f φ (p) ; podemos asumir, por ejemplo, f (p) > f φ (p) . Como f y f son funciones continuas, existe un entorno V de p donde se verifica la ¡ ¢ misma desigualdad en todo punto, es decir, f (q) > f φ (q) , para todo q ∈ V . Repree := X −1 (V ), y vamos a calcular las a´ reas de V y de φ (V ). Claramente, sentamos por U ¢ ¡ e = X −1 (V ) = X −1 φ (V ) , luego U

A(V ) =

ZZ p e U

EG − F 2 dudv

ZZ

=

e U

¡ ¢ f X(u, v) dudv,

ZZ ¡ ¢ ZZ p ¢ ¡ E G − F 2 dudv = f X(u, v) dudv. A φ (V ) = e U

e U

¡ ¢ ¢ ¡ ¢ ¡ e entonces A(V ) > A φ (V ) , lo Como f X(u, v) > f X(u, v) para todo (u, v) ∈ U, ¡ ¢ que contradice el hecho de que φ sea isoareal. En consecuencia, f (p) = f φ (p) y, por tanto, se tiene que q p p p 2 2 EG − F = E G − F = λ (p)2 E λ (p)2 G − λ (p)4 F 2 = λ (p)2 EG − F 2 .

As´ı, obtenemos λ (p)2 = 1, y como el punto p era arbitrario, esto es cierto para todo p ∈ S1 , lo que demuestra que φ es una isometr´ıa.

Finalizamos esta secci´on presentando algunos ejemplos m´as de proyecciones.

p

φ (p)

C ´ Figura 3.19: La proyeccion cil´ındrica de Lambert.

Ejemplo 3.25 (La proyecci´on cil´ındrica de Lambert). Es un ejemplo cl´asico de proyecci´on cil´ındrica, es decir, aquella en la que la Tierra se proyecta sobre un cilindro, el cual se corta longitudinalmente, y que una vez desplegado ser´ıa el mapa. La proyecci´on cil´ındrica de Lambert se debe a J. H. Lambert (1772). Consideremos la esfera unidad S2 centrada en el origen de coordenadas y sea C el cilindro dado por C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1}. Sea φ la aplicaci´on φ : S2 \{N, S} −→ C definida como sigue: para cada p ∈ S2 \{N, S} se considera la (´unica) recta perpendicular al eje z que pasa por p. Sea ` la semirrecta que empieza en dicho punto del eje y que pasa por p (v´ease la figura 3.19). Entonces, definimos φ (p) = C ∩ `. Es sencillo comprobar que µ ¶ x y φ (x, y, z) = √ ,√ ,z . 1 − z2 1 − z2

Obs´ervese que φ (p) = p s´olo en los puntos del ecuador de la esfera, donde el cilindro es tangente a la misma. 145

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Finalmente, la composici´on de φ con la inversa de la parametrizaci´on del cilindro nos da la proyecci´on de Lambert: ³ ´ y φ : S2 \{N, S} −→ R2 , φ (x, y, z) = arc tg , z, 0 . x

Geom´etricamente, lo que se est´a haciendo es ((cortar)) el cilindro C longitudinalmente para obtener el mapa (v´ease la figura 3.20). Adem´as, esta proyecci´on lleva los meridianos a rectas verticales y los paralelos a rectas horizontales.

Figura 3.20: Mapa obtenido ´ mediante la proyeccion de Lambert.

Adem´as, se puede demostrar que φ es un difeomorfismo (sobre la imagen) que conserva las a´ reas. Para ello, basta tomar una parametrizaci´on X de la esfera y considerar a continuaci´on la parametrizaci´on X = φ ◦ X sobre R2 . Si calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental de ambas parametrizaciones se llega a que EG − F 2 = E G − F 2 , donde la notaci´on es la misma que la utilizada en la demostraci´on anterior. A partir de esta igualdad es claro que la aplicaci´on φ es isoareal (v´ease tambi´en el ejercicio 3.40). ♦

Ejemplo 3.26 (La proyecci´on cil´ındrica de Mercator). Otra proyecci´on cil´ındrica de gran importancia es la llamada proyecci´on de Mercator, llamada as´ı en honor ´ al ge´ografo flamenco Gerardus Mercator (1512-1594). Esta es la proyecci´on m´as conocida, pues da lugar a los mapas habituales a los que estamos acostumbrados. Su aparici´on en 1569 marca el principio de una nueva era en Cartograf´ıa.

Figura 3.21: Mapa obtenido ´ mediante la proyeccion de Mercator.

De forma no rigurosa, la proyecci´on de Mercator podr´ıa explicarse como aquella que trata a la Tierra como un globo hinchable que se introduce en un cilindro y que 146

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empieza a inflarse, imprimiendo el mapa en su interior al contacto con el mismo. Su expresi´on precisa es la siguiente: µ ¶ x 1 1+z √ φ (x, y, z) = arc cos , log ,0 . 1−z 1 − z2 2

Obs´ervese que, de nuevo, esta proyecci´on no est´a definida en toda la esfera, pues hay que excluir los polos de su dominio: φ : S2 \{N, S} −→ R2 . La proyecci´on de Mercator verifica las siguientes importantes propiedades:

es una aplicaci´on conforme (v´ease el ejercicio 3.38);

los meridianos (ϕ = ϕ0 ) se proyectan en segmentos de recta verticales, y los paralelos (θ = θ0 ) en segmentos horizontales, que se cortan ortogonalmente: en efecto, aplicando φ a las curvas α (θ ) = (sen θ cos ϕ0 , sen θ sen ϕ0 , cos θ ) y β (ϕ ) = (sen θ0 cos ϕ , sen θ0 sen ϕ , cos θ0 ), con θ0 , ϕ0 constantes, se obtienen parametrizaciones de rectas verticales y horizontales, respectivamente.

las loxodromas (v´ease el ejercicio 2.8) se proyectan en segmentos de recta: en efecto, las loxodromas de la esfera son las curvas parametrizadas por ¡ ¢ α (t) = sen θ (t) cost, sen θ (t) sent, cos θ (t) , con θ (t) = 2 arc tg eb(t+c) , donde b 6= 0, c son constantes (v´ease la soluci´on del ejercicio 2.8); un sencillo c´alculo muestra que ¢ ¡ ¢ ¡ φ α (t) = t, −b(t + c), 0 , es decir, una recta. Como los meridianos determinan las direcciones norte-sur, si un navegante quiere seguir una ruta determinada por la direcci´on constante que le marca su br´ujula, debe seguir una loxodroma. En general, las loxodromas no marcan el camino m´as corto entre dos puntos sobre la esfera, pero s´ı el m´as sencillo a la hora de navegar. Siguiendo la ruta determinada por una loxodroma (que no sea un paralelo), se construye un camino en espiral que termina en uno de los polos (v´ease la figura 2.25). Obs´ervese que, como los meridianos sobre el mapa no convergen como lo hacen sobre la esfera, la relaci´on apropiada entre los a´ ngulos se mantiene, incrementando la distancia entre los paralelos hacia los polos. Esto causa una distorsi´on notable en el tama˜no al aproximarse a los polos; basta echar un r´apido vistazo a Alaska para darnos cuenta de ello: aunque en el mapa parece tener una superficie aproximadamente igual a la de Brasil, su tama˜no real es 1/5 de este u´ ltimo. ♦ Existen otros muchos tipos de proyecciones, tanto cil´ındricas, como las llamadas proyecciones azimutales (obtenidas proyectando una parte del globo terr´aqueo en un disco plano que es tangente a e´ ste), o las proyecciones c´onicas (una porci´on de esfera es proyectada en una regi´on del cono, que posteriormente se corta y despliega). Es tambi´en digna de menci´on la llamada proyecci´on central, similar a la estereogr´afica, 147

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pero que s´olo proyecta la semiesfera inferior, siendo ahora el ((foco)) de la proyecci´on el centro de la esfera (en lugar del polo norte). Hemos querido destacarla aqu´ı porque jug´o un papel especialmente importante en el descubrimiento de uno de los modelos de la Geometr´ıa Hiperb´olica (v´ease tambi´en el ejemplo 6.6). Para el lector interesado, un estudio m´as detallado sobre diversos tipos de proyecciones puede consultarse en [26].

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EJERCICIOS Ejercicio 3.1. Sean S1 y S2 dos superficies regulares difeomorfas. Demostrar que S1 es orientable si, y s´olo si, S2 es orientable. Ejercicio 3.2 (La tercera forma fundamental). Sean S una superficie regular sin puntos umbilicales y N : S −→ S2 su aplicaci´on de Gauss. Haciendo un abuso de notaci´on, escribiremos I p (v, w) = hv, wi y II p (v, w) = hA p v, wi. Se define la tercera forma fundamental de S en p como

III p (v, w) = hA p v, A p wi. Demostrar que III p = 2H(p)II p − K(p)I p . Ejercicio 3.3. Calcular las curvaturas de Gauss y media de la esfera, el cilindro, el cono, el helicoide, el catenoide, el toro, la pseudoesfera, los paraboloides el´ıptico e hiperb´olico, los hiperboloides de una y dos hojas y la silla de montar del mono. Ejercicio 3.4 (Direcciones asint´oticas). Dada una superficie regular orientada S se dice que v ∈ Tp S es una direcci´on asint´otica de S en p si kn (v, p) = 0. Probar que H(p) = 0 si, y s´olo si, existen dos direcciones asint´oticas ortogonales en p. Ejercicio 3.5. Demostrar que en un punto hiperb´olico de una superficie regular orientada S hay exactamente dos direcciones asint´oticas linealmente independientes, y que las direcciones principales las bisectan. ¿Qu´e ocurre si el punto es el´ıptico? ¿Existen direcciones asint´oticas en un punto umbilical? Ejercicio 3.6. Demostrar que toda superficie regular compacta tiene, al menos, un punto el´ıptico. Ejercicio 3.7. Probar que si una superficie regular contiene una recta, entonces todos los puntos de esa recta tienen curvatura de Gauss menor o igual que cero. Sea α : I −→ S una curva contenida en una superficie regular S. Si Tα (t) S ≡ Π para todo t ∈ I, con Π un plano fijo de R3 , ¿c´omo son los puntos α (t) ∈ S? Ejercicio 3.8 (Curvas asint´oticas). Sea S una superficie regular y orientada, y sea α : I −→ S tal que α 0 (t) es una direcci´on asint´otica en α (t), para todo t ∈ I. Se dice entonces que α es una curva asint´otica de S. Sea (U, X) una parametrizaci´on de S. Demostrar que, en un entorno de un punto hiperb´olico, las curvas coordenadas de X(u, v) son curvas asint´oticas si, y s´olo si, e = g ≡ 0. Ejercicio 3.9 (Teorema de Beltrami-Enneper). Sean S una superficie regular orientada y α : I −→ S una curva asint´otica con curvatura k(t) 6= 0 para todo t ∈ I. En¡ ¢ tonces su torsi´on τ verifica τ (t)2 = −K α (t) . Ejercicio 3.10 (Teorema de Olinde-Rodrigues). Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular contenida en una superficie regular orientada S. Entonces α es una l´ınea de curvatura si, y s´olo si, existe una funci´on escalar diferenciable λ : I −→ R tal que (N ◦ α )0 (t) = λ (t)α 0 (t), para todo t ∈ I. 149

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Ejercicio 3.11 (Teorema de Joachimstahl). Sean S1 , S2 superficies regulares orientadas que se cortan a lo largo de α : I −→ S1 ∩S2 , que es l´ınea de curvatura de S1 . Sea ¡ ¡ ¢ ¡ ¢¢ θ (t) = a´ ng N1 α (t) , N2 α (t) , siendo N1 , N2 los vectores normales a S1 , S2 , respectivamente. Entonces α es l´ınea de curvatura de S2 si, y s´olo si, θ (t) es constante. Ejercicio 3.12. Calcular las curvaturas de Gauss, media y principales de una superficie de revoluci´on. ¿Son sus meridianos y paralelos l´ıneas de curvatura? Ejercicio 3.13. Sea (U, X) una parametrizaci´on de una superficie regular orientada. Demostrar que, en un entorno de un punto no umbilical, las curvas coordenadas de X(u, v) son l´ıneas de curvatura si, y s´olo si, F = f ≡ 0. Ejercicio 3.14. Sean α : I −→ S una curva regular contenida en una superficie regular ¡ ¢ e (t) = u(t), v(t) su expresi´on en coordenadas respecto a una cierta orientada S, y α parametrizaci´on X(u, v). Demostrar que α es l´ınea de curvatura de S si, y s´olo si, ¯ ¯ ¯ v0 (t)2 −u0 (t)v0 (t) u0 (t)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (3.21) F G ¯ = 0. ¯ E ¯ ¯ ¯ e ¯ f g Ejercicio 3.15. Calcular las l´ıneas de curvatura, curvas asint´oticas, curvaturas principales, y curvaturas media y de Gauss de la superficie parametrizada por ¶ µ 1 3 1 3 2 2 2 2 X(u, v) = u − u + uv , v − v + u v, u − v . 3 3

Clasificar sus puntos. Esta superficie se denomina superficie de Enneper. © ª Ejercicio 3.16. Consid´erese la superficie regular S = (x, y, z) ∈ R3 : x + y = z2 . Calcular sus curvaturas de Gauss y media, y clasificar sus puntos. Determinar las l´ıneas de curvatura y las curvas asint´oticas. ¿Cu´anto vale la curvatura normal de la curva α (t) = (t 2 , 0,t) en un valor cualquiera de t? Ejercicio 3.17. Sea α : I −→ R3 una curva regular p.p.a., que suponemos contenida en un plano. Consid´erese el tubo regular alrededor de α (v´ease el ejercicio 2.11). Calcular sus curvaturas de Gauss y media. ¿Qu´e tipo de puntos tiene esta superficie? Ejercicio 3.18. Sea α : I −→ R2 una curva plana regular p.p.a., con curvatura k 6≡ 0 y sea a, |a| = 1, el vector normal al plano donde α est´a contenida. Consid´erese la superficie S parametrizada por X(s, v) = α (s) + va, con (s, v) ∈ I × R. i) Calcular sus curvaturas de Gauss y media, y clasificar sus puntos. ii) La curva α , como curva que es de S, ¿es: a) l´ınea de curvatura, b) curva asint´oti¢ ¡ ca? ¿Cu´anto vale la curvatura normal kn α (s), α 0 (s) ? iii) ¿Es S isom´etrica a alguna superficie conocida? Justificar la respuesta. Ejercicio 3.19. Sea α : I −→ S una curva p.p.a. de una superficie regular orientada S. ¿Qu´e se puede decir de α si es, a la vez, l´ınea de curvatura y curva asint´otica? 150

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Ejercicio 3.20 (Direcciones conjugadas). Sean S una superficie regular orientada y p ∈ S. Dos vectores v1 , v2 ∈ Tp S (unitarios) se dice que son conjugados si ­ ® ­ ® dNp (v1 ), v2 = v1 , dNp (v2 ) = 0. Las direcciones que determinan se llaman direcciones conjugadas. Demostrar: i) Cualquier par de direcciones principales son conjugadas y cualquier direcci´on asint´otica es conjugada respecto de s´ı misma. ii) Si p es umbilical cualquier par de direcciones ortogonales son conjugadas. iii) Si {e1 , e2 } es la base ortonormal de direcciones principales y v1 , v2 ∈ Tp S son dos direcciones conjugadas que forman con e1 a´ ngulos θ y ϕ , respectivamente, entonces k1 (p) cos θ cos ϕ = −k2 (p) sen θ sen ϕ . Ejercicio 3.21. Sean S una superficie regular, N : S −→ S2 su aplicaci´on de Gauss y α : I −→ S una curva regular p.p.a. que no pasa por ning´un punto parab´olico o plano de S. Demostrar las siguientes afirmaciones: i) Los vectores tangentes a α y N ◦ α son ortogonales si, y s´olo si, α es una curva asint´otica, mientras que son paralelos si, y s´olo si, α es l´ınea de curvatura. ii) Sean kα y kN α , respectivamente, las curvaturas de α y N ◦ α , vistas como curvas ¯ ¯ de R3 . Si α es una l´ınea de curvatura, entonces kα (t) = ¯kn (t)¯kN α (t), donde ¡ ¢ kn (t) es la curvatura normal kn (t) = kn α 0 (t), α (t) . iii) Si α es una l´ınea de curvatura plana, entonces N ◦ α es una circunferencia. iv) La suma de las curvaturas normales en cualquier par de direcciones ortogonales (en un punto p ∈ S) es constante. Ejercicio 3.22. Representemos por kn (θ ) = kn (vθ , p) la curvatura normal de un punto p ∈ S en la direcci´on vθ ∈ Tp S que forma un a´ ngulo θ con un determinado vector fijo. Demostrar que Z 1 2π kn (θ ) d θ . H(p) = 2π 0

Ejercicio 3.23 (Superficies regladas). Una superficie reglada es una superficie15 parametrizada de la forma X(t, s) = α (t) + sω (t), donde α , ω : R −→ R3 son funciones diferenciables. La curva α (t) se denomina directriz de la superficie y cada una de las rectas α (t) + sω (t), generatriz de la misma. i) Demostrar que el hiperboloide de una hoja, el cono y el cilindro son regladas. ¯ ¯ ii) Supongamos que ¯ω (t)¯ = 1 y ω 0 (t) 6= 0. Probar que existe una curva parame­ ® trizada β (t), denominada l´ınea de estricci´on, verificando β 0 (t), ω 0 (t) = 0. 15

Una superficie reglada no tiene por qu´e ser una superficie regular en el sentido de nuestra definici´on 2.1.1, pues puede presentar autointersecciones o, en general, puntos donde el plano tangente no est´a bien definido. Por ello, hablaremos de puntos regulares de una superficie reglada como aquellos en los que esto no ocurre: el plano tangente existe y es u´ nico.

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iii) Ahora t´omese como curva directriz de la superficie la l´ınea de estricci´on β (t), con lo que X(t, s) = β (t) + sω (t), y sup´ongase que β 0 (t) y ω (t) no son colineales para todo t. Calcular su curvatura de Gauss y clasificar sus puntos. Ejercicio 3.24 (Superficies desarrollables). Sea X(t, s) = α (t) + sω (t) una super¯ ¯ ficie reglada con ¯ω (t)¯ = 1. Se dice que S es desarrollable si det(α 0 , ω , ω 0 ) = 0. Demostrar que una superficie reglada es desarrollable si, y s´olo si, su curvatura de Gauss K ≡ 0 en todo punto. Ejercicio 3.25. Sea X(t, s) = α (t) + sω (t) una superficie desarrollable. Demostrar que en un punto regular se verifica hNs , Xs i = hNs , Xt i = 0. Concluir que el plano tangente de una superficie desarrollable es constante a lo largo de los puntos regulares de una generatriz Lt (s) = α (t) + sω (t). Ejercicio 3.26. Sean α : I −→ S una curva en una superficie regular S, y N el normal a la superficie. Demostrar que α es una l´ınea de curvatura de S si, y s´olo si, la super¡ ¢ ficie parametrizada X(t, s) = α (t) + sN(t) es desarrollable, donde N(t) = N α (t) representa el normal a la superficie en los puntos de la curva α . Ejercicio 3.27. Sean S1 y S2 dos superficies regulares y φ : S1 −→ S2 un difeomorfismo. Demostrar que si (U, X) es una parametrizaci´on de S1 y escribimos X = φ ◦ X, ¯ ¯ ¯ ¡ ¢¯ entonces ¯X u ∧ X v ¯ = ¯det d φX(·) ¯|Xu ∧ Xv |.

Ejercicio 3.28 (Teorema de Hadamard). Sea S una superficie regular, compacta, conexa y orientada, con curvatura de Gauss K 6= 0 en todo punto. Entonces la aplicaci´on de Gauss N : S −→ S2 es un difeomorfismo. Ejercicio 3.29. Sea S una superficie regular orientada, con aplicaci´on de Gauss N. ­ ® Dado p0 6∈ S, definimos f : S −→ R por f (p) = p − p0 , N(p) , para p ∈ S. i) Demostrar que f es diferenciable y calcular su diferencial en un punto p ∈ S. ii) Demostrar que si p ∈ S es un punto el´ıptico o hiperb´olico, entonces p es un punto cr´ıtico de f si, y s´olo si, la recta pp0 es ortogonal a S en p.

Ejercicio 3.30 (Puntos focales). Sea S una superficie regular orientada, con aplicaci´on de Gauss N. Para cada λ ∈ R, sea ψλ : S −→ R3 la aplicaci´on diferenciable dada por ψλ (p) = p + λ N(p). Dado p ∈ S, sea ` p la recta ortogonal a S que pasa por p, ª © esto es, ` p = p + λ N(p) : λ ∈ R . i) Un punto q ∈ ` p es un punto focal de S a lo largo de ` p si q = p + λ0 N(p), para λ0 ∈ R tal que la aplicaci´on d(ψλ0 ) p : Tp S −→ R3 no es inyectiva. Probar que ¡ ¢ los puntos focales de S a lo largo de ` p son de la forma q = p + 1/ki (p) N(p), donde las curvaturas principales ki (p) son no nulas en p. ¿Cu´antos puntos focales tiene S a lo largo de ` p si p es hiperb´olico? ¿Y si es parab´olico? ii) El conjunto de todos los puntos focales de S a lo largo de todas las rectas normales a S se llama el lugar focal de S. ¿Depende el lugar focal de la orientaci´on elegida? Calcular el lugar focal de un plano, una esfera de radio r y el cilindro de ecuaci´on x2 + y2 = r2 . 152

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Ejercicio 3.31. Demostrar que si (U, X) es una parametrizaci´on ortogonal de una superficie regular S, entonces se verifica ·µ ¶ µ ¶¸ 1 Ev Gu √ K=− √ + √ . (3.22) 2 EG EG v EG u

Ejercicio 3.32 (Caracterizaci´on de las isometr´ıas). Sea f : S −→ S una aplicaci´on diferenciable entre dos superficies regulares. Demostrar que f es una isometr´ıa local si, y s´olo si, f conserva la longitud de la curvas.

Ejercicio 3.33. Dada f : R2 −→ R diferenciable, consideremos la superficie regular © ª S = (x, y, z) : z = f (x, y) . Sea entonces φ : Π −→ S la aplicaci´on natural entre el ¡ ¢ plano Π ≡ {z = 0} y el grafo S dada por φ (x, y, 0) = x, y, f (x, y) . i) Justificar que φ es diferenciable. ¿Es φ un difeomorfismo? ii) ¿Bajo qu´e condiciones ser´a φ una isometr´ıa local? iii) ¿Podemos asegurar entonces que si un grafo no verifica las condiciones del apartado ii), no ser´a isom´etrico al plano? Ejercicio 3.34. Sea S una superficie regular cuyos coeficientes de la primera forma fundamental (respecto a una parametrizaci´on X) valen E = 1, F = 0 y G = u2 + 1, y sea S otra superficie regular de forma que E = (1 + 4u2 )2 , F = 0 y G = u2 (respecto a otra parametrizaci´on X). ¿Pueden ser isom´etricas?

Ejercicio 3.35. Demostrar que el helicoide y el catenoide son superficies regulares localmente isom´etricas. Ejercicio 3.36. ¿Existen superficies regulares X(u, v) tales que: i) E = G = 1, F = 0, e = 1, f = 0, g = −1, ii) E = 1, F = 0, G = cos2 u, e = cos2 u, f = 0, g = 1? Ejercicio 3.37. Sean X : U −→ S y X : U −→ S parametrizaciones de S y S de forma que E = λ 2 E, F = λ 2 F y G = λ 2 G, donde λ : U −→ R es una funci´on diferenciable, distinta de cero en todo punto. Demostrar que, entonces, la aplicaci´on ϕ = X ◦ X −1 es una aplicaci´on (localmente) conforme entre S y S.

Ejercicio 3.38 (La proyecci´on de Mercator). Consid´erense la proyecci´on cil´ındrica de Mercator, µ ¶ x 1 1+z φ (x, y, z) = arc cos √ , log ,0 , 1−z 1 − z2 2 y la parametrizaci´on X(θ , ϕ ) de S2 dada por las coordenadas geogr´aficas. Calcular los coeficientes de la primera forma fundamental de la parametrizaci´on del plano X = φ ◦ X. Demostrar que la proyecci´on de Mercator φ es una aplicaci´on conforme.

Ejercicio 3.39. Sea (U, X) una parametrizaci´on (positivamente orientada) de una superficie regular S con curvatura de Gauss K, y sea N : S −→ S2 su aplicaci´on de Gauss. Demostrar, utilizando la relaci´on (3.13), que si N es una aplicaci´on isoareal, entonces K ≡ ±1. 153

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Ejercicio 3.40 (Proyectando de forma isoareal el globo terr´aqueo en un mapa). Consideremos la parametrizaci´on X(θ , ϕ ) de la esfera dada por las coordenadas geogr´aficas. Sea φ : S2 −→ R2 un difeomorfismo (sobre la imagen) y sea X = φ ◦ X la correspondiente parametrizaci´on del plano (v´ease el corolario 3.9.3). Demostrar que:

i) φ es una aplicaci´on isoareal si, y s´olo si, E G − F 2 = sen2 θ . ¡ ¢ ii) La proyecci´on cil´ındrica de Lambert φ (x, y, z) = arc tg(y/x), z, 0 es una aplicaci´on isoareal.

154

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IV

´ en superficies. Las superficies minimales Integracion En este cap´ıtulo vamos a estudiar las t´ecnicas de integraci´on en superficies para, a continuaci´on, aplicarlas al estudio de las superficies minimales. En la primera secci´on definimos el elemento de a´ rea m´etrico como una funci´on que determina el a´ rea de una porci´on infinitesimal de superficie, en t´erminos de la parametrizaci´on escogida. Este elemento de a´ rea tiene una interpretaci´on geom´etrica muy clara, y permitir´a definir el a´ rea de una superficie con total propiedad. En la siguiente secci´on introducimos la integral de una funci´on real definida sobre una superficie. Se trata de una generalizaci´on natural del concepto de integral para dominios en el plano, y presentamos algunos resultados relacionados con estas t´ecnicas, como por ejemplo, la interpretaci´on de la curvatura de Gauss como raz´on entre a´ rea de superficie y a´ rea esf´erica. Las superficies minimales constituyen una clase muy especial desde diversos puntos de vista, y a ellas dedicamos la u´ ltima parte de este cap´ıtulo. As´ı, desde una perspectiva hist´orica, surgen como o´ ptimos del funcional a´ rea asociado a variaciones de un dominio de la superficie con borde prefijado. Una superficie minimal admite varias definiciones y, en esta secci´on, adem´as de presentarlas y demostrar su equivalencia, efectuamos una revisi´on hist´orica de los principales avances y pruebas relacionados con ellas. En la u´ ltima secci´on mostramos algunos ejemplos de superficies minimales cuya construcci´on est´a estrechamente relacionada con las definiciones dadas en la secci´on previa. 4.1.

´ INTUITIVA AL CONCEPTO DE AREA ´ UNA APROXIMACION

Sea S una superficie regular parametrizada por (U, X). Fijado q = (u0 , v0 ) ∈ U, con X(q) = p, consideremos el rect´angulo R = [u0 , u0 + ∆u] × [v0 , v0 + ∆v] ⊂ U y sea Re = X(R). Claramente, el a´ rea de R es ∆u∆v. Dado que Re es una regi´on de S, podemos calcular su a´ rea. Para ello, tomamos la diferencial dXq : R2 −→ Tp S y la imagen por la misma de R, digamos R0 = dXq (R), que es un paralelogramo en Tp S, uno de cuyos v´ertices es p = X(q), con lados dXq (∆u, 0) y dXq (0, ∆v) (v´ease la figura 4.1).

X ∆v q

6

R ∆u

R′ z

-

´ Figura 4.1: Una aproximacion ´ intuitiva al concepto de area.

155

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p

Xu 

: X v

Re

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Un sencillo c´alculo muestra que el a´ rea de R0 vale ¯ ¯ ¯ ¯ A(R0 ) = ¯dXq (∆u, 0) ∧ dXq (0, ∆v)¯ = ∆u∆v¯dXq (1, 0) ∧ dXq (0, 1)¯ p ¯ ¯ = ∆u∆v ¯Xu (q) ∧ Xv (q)¯ = ∆u∆v EG − F 2 (q).

El a´ rea de Re se puede aproximar a partir del a´ rea de R0 (para una demostraci´on rigurosa de este hecho v´ease [12]): p e = A(R0 ) + ∆u∆v δ (∆u, ∆v) = ∆u∆v EG − F 2 (q) + ∆u∆v δ (∆u, ∆v), A(R)

donde l´ım∆u,∆v→0 δ (∆u, ∆v) = 0. Por lo tanto,

p e e A(R) A(R) = = EG − F 2 (q) + δ (∆u, ∆v), A(R) ∆u∆v

y finalmente,

p e A(R) = EG − F 2 (q), ∆u,∆v→0 A(R) por lo que, en el l´ımite, el cociente entre el a´ rea en la superficie y el a´ rea en el plano √ de coordenadas es, precisamente, EG − F 2 (q). Esto motiva la siguiente definici´on. l´ım

Definici´on 4.1.1. Sea S ⊂ R3 una superficie regular y orientada, con aplicaci´on de Gauss N. Se denomina elemento de a´ rea de S en un punto p ∈ S a la aplicaci´on ¡ ¢ dA(p) : Tp S × Tp S −→ R dada por dA(p)(v, w) = det v, w, N(p) . Observaci´on 4.1. El elemento de a´ rea dA(p) es una forma bilineal antisim´etrica, es decir, dA(p)(v, w) = −dA(p)(w, v). ♦ Supongamos que la parametrizaci´on (U, X) es positivamente orientada. ¿C´omo act´ua el elemento de a´ rea sobre los vectores de la base {Xu , Xv }? ¶ µ ¡ ¢ ¡ ¢ Xu ∧ Xv (q) dA(p) Xu (q), Xv (q) = det Xu (q), Xv (q), N(p) = det Xu (q), Xv (q), |Xu ∧ Xv | p 1 hXu ∧ Xv , Xu ∧ Xv i (q) = |Xu ∧ Xv | (q) = EG − F 2 (q). = |Xu ∧ Xv |

As´ı pues, el elemento de a´ rea actuando sobre los vectores {Xu , Xv } nos proporciona, √ precisamente, el valor EG − F 2 en q y, por tanto, el l´ımite en q de la raz´on entre el a´ rea (arbitrariamente peque˜na) en la superficie y la correspondiente por la parametrizaci´on en el plano de coordenadas. De ah´ı su importancia: para conocer el a´ rea en la superficie es suficiente saber qu´e a´ rea medimos en el plano (cosa sencilla) y, en funci´on de los puntos en los que estemos trabajando, el valor del elemento de a´ rea aplicado a los vectores de la base dada por la parametrizaci´on. Por tanto, tiene sentido la siguiente definici´on, que ya hemos presentado en el apartado 2.5.1:

Definici´on 4.1.2. El a´ rea de una regi´on R ⊂ S viene dada por la expresi´on ZZ p EG − F 2 dudv, A(R) = X −1 (R)

donde (U, X) es cualquier parametrizaci´on tal que X(U) contiene la regi´on R. 156

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Integraci´on en superficies. Las superficies minimales

Observemos que esta definici´on no puede aplicarse a regiones que exceden el dominio de las parametrizaciones. As´ı pues, a priori, no es posible utilizar esta definici´on en una regi´on del cilindro acotada por dos paralelos a distintas alturas, pues no se puede encontrar una parametrizaci´on que contenga dicha regi´on por completo. Este problema lo vamos a subsanar en la siguiente secci´on, donde no s´olo vamos a definir el a´ rea para cualquier tipo de regiones, sino tambi´en la integral de una funci´on real definida sobre una superficie. ´ DE FUNCIONES INTEGRACION

4.2.

Si sabemos medir a´ reas en superficies, deber´ıamos ser capaces de construir la integral de una funci´on real definida sobre una superficie. Veremos que esto es as´ı, aunque el problema de encontrar definiciones buenas depende del uso adecuado de las parametrizaciones y de la utilizaci´on de las particiones diferenciables de la unidad como herramienta que permite ((pegar)) objetos definidos en t´erminos locales. Sea f : S −→ R una funci´on real definida sobre una superficie regular orientada S. El soporte de f es el conjunto sop( f ) = cl{p ∈ S : f (p) 6= 0} que, en general, supondremos compacto por razones t´ecnicas (fundamentalmente, para poder integrar y que el valor de estas integrales no se haga infinito). Supongamos que (U, X) es una parametrizaci´on de S de forma que sop( f ) ⊂ X(U). Desde luego, la composici´on f ◦ X : U −→ R es una funci´on real en dos variables que s´ı sabemos integrar, por lo que lo m´as natural es expresar la integral de f en funci´on de f ◦ X. As´ı, si queremos encontrar una definici´on plausible de integral, lo m´as l´ogico ser´ıa definirla como Z ZZ f dA := ( f ◦ X)(u, v) dudv. S

X −1 (sop( f ))

Veamos si es una buena definici´on, es decir, si el valor de la integral no depende de la parametrizaci´on elegida para calcularla. Para ello, sea (U, X) otra parametrizaci´on de S tal que sop( f ) ⊂ X(U). En tal caso, sop( f ) ⊂ X(U) ∩ X(U). Representamos −1 por φ = X ◦ X el cambio de coordenadas, φ (u, v) = (u, v). Entonces, realizando el cambio de variable dado por φ , ZZ X

ZZ −1

( f ◦ X)(u, v) d ud v =

(sop( f ))

φ −1 (X

ZZ

=

−1

¯ ¡ ¢¯ ( f ◦ X) φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯ dudv

(sop( f )))

X −1 (sop( f ))

¯ ¯ ( f ◦ X)(u, v)¯det(J φ )(u, v)¯ dudv

ZZ

6=

X −1 (sop( f ))

( f ◦ X)(u, v) dudv.

Luego no es una buena definici´on, ya que depende de la parametrizaci´on escogida. En este sentido, ni siquiera merece la pena preguntarnos si es una medida razonable del a´ rea. Vamos a proponer una definici´on alternativa que s´ı resultar´a ser la apropiada. 157

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Definici´on 4.2.1. Sea f : S −→ R una funci´on con soporte compacto, definida sobre una superficie regular orientada S, tal que existe una parametrizaci´on (U, X) de S de forma que sop( f ) ⊂ X(U). Se define la integral de f en S como Z S

ZZ

f dA :=

U

p ( f ◦ X)(u, v) EG − F 2 (u, v) dudv,

(4.1)

siempre y cuando la integral sobre U ⊂ R2 est´e definida. Vamos a ver que e´ sta s´ı es una buena definici´on. Supongamos que (U, X) es otra parametrizaci´on de S, con sop( f ) ⊂ X(U). Luego sop( f ) ⊂ X(U) ∩ X(U) =: V . Sea −1 −1 tambi´en φ = X ◦ X : X −1 (V ) ⊂ U −→ X (V ) ⊂ U el cambio de coordenadas, φ (u, v) = (u, v). Entonces, ZZ p ( f ◦ X)( u, v) E G − F 2 (u, v) d ud v −1 X

(V )

ZZ

=

φ −1 (X

−1

ZZ

=

X −1 (V )

(V ))

¯ ¡ ¢p ¡ ¢¯ ( f ◦ X) φ (u, v) E G − F 2 φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯ dudv

p ¯ ¡ ¢¯ ( f ◦ X)(u, v) E G − F 2 φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯ dudv.

Tenemos por tanto que demostrar que p ¯ p ¡ ¢¯ E G − F 2 φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯ = EG − F 2 (u, v). (4.2) ¡ ¢ Ve´amoslo. Sea q = (u, v) ∈ X −1 (V ) ⊂ U. Entonces p = X(q) = X φ (q) . Dispo© ª © ¡ ¢ ¡ ¢ª nemos de dos bases de Tp S, Xu (q), Xv (q) y X u φ (q) , X v φ (q) , y podemos expresar los elementos de una de ellas como combinaci´on lineal de los de la otra:

¡ ¢ ¢ ¢∂u ¡ ¢∂v ¡ ∂ ¡ Xu (q) = X ◦ φ u (q) = X u(u, v), v(u, v) = X u φ (q) + X v φ (q) , ∂u ∂u ∂u ¢∂u ¡ ¢∂v ¡ Xv (q) = X u φ (q) + X v φ (q) . ∂v ∂v

Por tanto,

¯ à !¯ ∂u ∂u ¯¯ ¯ p ¯¡ ¢ ¯ ¯ EG − F 2 (q) = |Xu ∧ Xv | (q) = ¯det ∂∂ uv ∂∂ vv ¯ ¯X u ∧ X v ¯ φ (q) ¯ ¯ ∂u ∂v p ¯ ¡ ¢¯ = E G − F 2 φ (u, v) ¯det(J φ )(u, v)¯;

luego es una buena definici´on, ya que no depende de la parametrizaci´on escogida.1 M´as a´un, si pensamos en el significado geom´etrico de esta integral, resulta ser una generalizaci´on de la integral para funciones reales definidas en dominios de R2 . Lo que estamos haciendo es llevar la integral sobre la superficie a una integral sobre un dominio plano (donde s´ı sabemos calcular integrales por el an´alisis est´andar en varias 1

En l´ıneas generales, y como ya hemos comentado previamente, cuando se tiene una cantidad que no depende de las coordenadas escogidas, dicha cantidad suele tener significado geom´etrico.

158

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Integraci´on en superficies. Las superficies minimales

variables). Ahora bien, la manera de ((llevar)) la integral al plano es importante: no es lo mismo utilizar una parametrizaci´on que otra, y esto debe quedar reflejado en nues√ ´ es el sentido de introducir el factor EG − F 2 en el integrando, y tra definici´on. Ese lo que provoca que dicha integral sea una medida en el sentido natural del t´ermino.

Una vez definida la integral de una funci´on en el caso particular de que su soporte (compacto) est´e contenido en el entorno coordenado de una parametrizaci´on, tenemos que plantearnos la situaci´on m´as general de que esto no ocurra. Supongamos, por tanto, que existe una cantidad finita (U1 , X1 ), . . . , (Un , Xn ) de parametrizaciones, tales S que sop( f ) ⊂ ni=1 Xi (Ui ) (esto siempre es posible por la compacidad del soporte). Comenzamos con una definici´on. Definici´on 4.2.2. Una partici´on diferenciable de la unidad en una superficie regular S es una colecci´on de funciones diferenciables fi : S −→ R, i = 1, . . . , n, tales que i) 0 ≤ fi ≤ 1, i = 1, . . . , n, y ii) ∑ni=1 fi ≡ 1. Se dice adem´as que la partici´on { fi }ni=1 est´a subordinada a un cubrimiento abierto de S, {V1 , . . . ,Vn }, si se cumple que sop( fi ) ⊂ Vi , i = 1, . . . , n. Dado cualquier cubrimiento finito {V1 , . . . ,Vn } por abiertos de S, siempre existe una partici´on (diferenciable) de la unidad { fi }ni=1 subordinada al mismo. Por ejemplo, en el caso de no diferenciabilidad, basta tomar  si p 6∈ Vi ,  0 fi (p) = 1  si p ∈ Vi , m(p)

donde m(p) es el n´umero de abiertos del cubrimiento a los que pertenece p. Volvamos al problema inicial. Claramente, para nuestra superficie S y nuestra © ª funci´on f : S −→ R, la colecci´on S\ sop( f ),V1 := X1 (U1 ), . . . ,Vn = Xn (Un ) es un cubrimiento finito por abiertos de S. Sea {g, g1 , . . . , gn } una partici´on (diferenciable o no) de la unidad subordinada al cubrimiento anterior. En tal caso, se verifica que sop(g) ⊂ S\ sop( f ) y sop(gi ) ⊂ Vi , para i = 1, . . . , n. Entonces, si p ∈ S, Ã ! n

f (p) = f (p) · 1 = f (p) g(p) + ∑ gi (p) i=1

n

= ∑ f (p)gi (p), i=1

ya que f (p)g(p) = 0 por satisfacerse la condici´on sop(g) ⊂ S\ sop( f ). En definitiva, si representamos por fi := f gi , para i = 1, . . . , n, se tiene que f = ∑ni=1 fi . Adem´as, sop( fi ) = sop( f gi ) = sop( f ) ∩ sop(gi ) ⊂ Vi = Xi (Ui ), i = 1, . . . , n. As´ı: Definici´on 4.2.3. Con la notaci´on anterior, se define la integral de f en S como Z S

n

f dA := ∑

Z

i=1 S

159

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fi dA.

(4.3)

Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Se puede demostrar de nuevo que e´ sta es una buena definici´on, en el sentido de que no depende de la partici´on de la unidad elegida, aunque omitiremos esta prueba porque estimamos que su inter´es queda fuera de los objetivos de este libro; una demostraci´on de este hecho puede consultarse en [9] o [24]. Si R ⊂ S es una regi´on arbitraria (v´ease la definici´on 2.5.3), podemos ahora definir su a´ rea de la siguiente forma: consideremos la aplicaci´on ( 1 si p ∈ R, χ R (p) = 0 si p 6∈ R, cuyo soporte sop(χ R ) = cl R es compacto; se define el a´ rea de R como la integral Z

A(R) =

S

χ R dA,

(4.4)

que completa la que ya hemos presentado para a´ reas de regiones contenidas en el dominio de una parametrizaci´on (v´ease la definici´on 4.1.2). En el caso particular de que S sea compacta, tomando R = S podemos calcular su a´ rea como Z

Z

A(S) =

S

χ S dA =

S

dA.

Ejemplo 4.1. Calculemos el a´ rea de la esfera S2 (r). Tomamos la parametrizaci´on X(θ , ϕ ) = (r sen θ cos ϕ , r sen θ sen ϕ , r cos θ ) de las coordenadas geogr´aficas, donde U = (0, π ) × (0, 2π ). ¡ 2 ¢ Z A S (r) = dA. S2 (r)

Obs´ervese que, como la funci´on a integrar es la constantemente igual a 1, su soporte compacto es toda la esfera: sop(1) = cl{p ∈ S2 (r) : 1(p) = 1 6= 0} = S2 (r). Ya sabemos que no es posible cubrir S2 (r) con una u´ nica parametrizaci´on, luego V = X(U) ⊂ S2 (r), lo que, en principio, nos obligar´ıa a emplear la definici´on de integral en la que se utilizan las particiones de la unidad. Sin embargo, esto no va a ser necesario, pues el conjunto que queda sin cubrir por la parametrizaci´on tiene medida nula, lo que no afecta al resultado final (obs´ervese que la imagen inversa por la parametrizaci´on de dicho conjunto tambi´en tiene medida nula en U ⊂ R2 ). As´ı pues, ¡ ¢ A S2 (r) = A(V ), que podemos calcular f´acilmente: Z π Z 2π ZZ p ¡ ¢ Z EG − F 2 (θ , ϕ ) d ϕ d θ = r2 sen θ d ϕ d θ = 4π r2 . ♦ A S2 (r) = dA = V

U

0

0

Finalizamos la secci´on introduciendo un teorema de cambio de variable para integraci´on sobre superficies, que aplicaremos para probar de nuevo la interpretaci´on que hemos dado en el cap´ıtulo anterior sobre la curvatura de Gauss en t´erminos de a´ reas. Obs´ervese que, dada una aplicaci´on φ : S1 −→ S2 entre superficies, podemos considerar la funci´on det(d φ ) : S1 −−−−→ R p −−−−→ det(dφ p ), que a cada p ∈ S1 le asocia el valor del determinante de la aplicaci´on lineal asociada d φ p . En tales t´erminos, enunciamos el resultado antes mencionado. 160

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Integraci´on en superficies. Las superficies minimales

Teorema 4.2.4 (del cambio de variable). Sean S1 y S2 dos superficies regulares, conexas y orientadas, cuyos elementos de a´ rea representamos por dA1 y dA2 , respectivamente. Sea f : S2 −→ R una funci´on con soporte compacto. Si φ : S1 −→ S2 es un difeomorfismo, entonces Z Z Z ¯ ¯ f dA2 = ( f ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1 = ± ( f ◦ φ ) det(d φ ) dA1 , S2

S1

S1

donde el signo ± depende de si φ conserva o invierte la orientaci´on. Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que existe una parametrizaci´on (U, X) de la superficie S2 tal que sop( f ) ⊂ X(U). Como φ es un difeomorfismo, podemos considerar la composici´on X = φ −1 ◦ X. Ya sabemos que, entonces, (U, X) es una parametrizaci´on de S1 y vamos a demostrar que, en tal caso, sop( f ◦ φ ) ⊂ X(U). En ¡ ¢ efecto, si p ∈ sop( f ◦ φ ), por definici´on f φ (p) 6= 0, y en consecuencia se tiene que ¡ ¢ φ (p) ∈ sop( f ) ⊂ X(U) = φ X(U) ; luego p ∈ X(U). Entonces Z ZZ p f dA2 = ( f ◦ X) E G − F 2 (u, v) dudv S2

U

ZZ

= Z

=

U

S1

¯ ¡ ¢¯p ( f ◦ φ ◦ X)¯det d φX(·) ¯ EG − F 2 (u, v) dudv

¯ ¯ ( f ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1 ,

ya que (v´ease el ejercicio 3.27) ¯ ¯ ¡ ¯ ¢¯ ¯X u ∧ X v ¯ = ¯det d φX(·) ¯|Xu ∧ Xv |.

Supongamos ahora que no existe ninguna parametrizaci´on (U, X) de S2 tal que sop( f ) ⊂ X(U). Sean entonces (Ui , X i ), i = 1, . . . , n, parametrizaciones de S2 de forª © S ma que sop( f ) ⊂ ni=1 V i , donde V i = X i (Ui ). Claramente, S2 \ sop( f ), V 1 , . . . , V n es un cubrimiento finito por abiertos de S2 . Tomamos entonces una partici´on (diferenciable) de la unidad {g, g1 , . . . , gn } subordinada a dicho cubrimiento, esto es, tal que

sop(g) ⊂ S2 \ sop( f )

y

sop(gi ) ⊂ V i

para todo i = 1, . . . , n. Sean finalmente fi = f gi , i = 1, . . . , n, para las cuales se tiene que f = ∑ni=1 fi y sop( fi ) ⊂ V i , i = 1, . . . , n. Aplicando el caso anterior a cada una de las funciones fi obtenemos Z

S2

n

f dA2 = ∑

i=1 S2 n

Z

=

Z

n

fi dA2 = ∑

Z

i=1 S1

¯ ¯ ( fi ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1

Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ φ ) det(d φ ) dA = ( f ◦ φ ) ¯ det(d φ )¯ dA1 ( f ◦ 1 i ∑ S1

S1 i=1

pues, claramente, para todo p ∈ S1 , ! Ã

n ¡ ¢ ¡ ¢ φ ) (p) = ( f ◦ i ∑ fi φ (p) = f φ (p) = ( f ◦ φ )(p), ∑ n

i=1

i=1

lo que concluye la demostraci´on. 161

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Teorema 4.2.5. Sean S una superficie regular orientada, N su aplicaci´on de Gauss y p ∈ S con K(p) 6= 0. Si V ⊂ S es un entorno de p donde N|V : V −→ N(V ) es un difeomorfismo, ¡ ¢ Z (4.5) A N(V ) = |K| dA, V

siempre y cuando esta integral, conocida como la curvatura total del entorno V , tome un valor finito. Demostraci´on. Obs´ervese que el entorno V del enunciado del teorema siempre existe, ya que, al ser det(dNp ) = K(p) 6= 0, la aplicaci´on de Gauss N es un difeomorfismo local. Adem´as, N(V ) ⊂ S2 es un abierto de la esfera. Entonces, por el teorema 4.2.4 del cambio de variable en superficies, se tiene que Z ¯ Z ¯ ¡ ¢ Z ¯ ¯ A N(V ) = dAS2 = det(dN) dAS = |K| dAS . N(V )

V

V

Como corolario de este resultado se puede obtener una nueva demostraci´on del teorema 3.6.1 que daba una interpretaci´on geom´etrica de la curvatura de Gauss como l´ımite de un cociente de a´ reas: ¢ ¡ ¯ ¯ ¯K(p)¯ = l´ım A N(Vε ) . ε →0 A(Vε )

Nueva demostraci´on del teorema 3.6.1. Sea Vε = X(Bε ), donde (U, X) es una paª © rametrizaci´on que cubre a p = X(q) y Bε = q0 ∈ R2 : |q0 − q| < ε ⊂ U. Tomamos adem´as Bε de modo que sop(K) ⊂ X(Bε ). ZZ ¯ ¡ ¢ Z ¡ ¢¯p ¯K X(u, v) ¯ EG − F 2 (u, v) dudv |K| dA = A N(Vε ) = Vε =X(Bε )

Bε

¯ ¡ ¯ ¡ ¢¯ ZZ p ¢¯ ¯ EG − F 2 (u, v) dudv = ¯K X(qε ) ¯A(Vε ), = K X(qε ) ¯ Bε

para un cierto qε ∈ Bε . En consecuencia, ¢ ¡ ¯ ¡ ¯ ¢¯ ¯ ¡ ¢¯ ¯ A N(Vε ) l´ım = l´ım ¯K X(qε ) ¯ = ¯K X(q) ¯ = ¯K(p)¯. ε →0 A(Vε ) ε →0

4.3.

LAS SUPERFICIES MINIMALES: UN POCO DE HISTORIA

En el cap´ıtulo anterior ya hemos hablado acerca de la controversia que existi´o durante decenas de a˜nos por determinar cu´al de las dos curvaturas (curvatura media y curvatura de Gauss) de una superficie era la m´as importante. La aparici´on del teorema Egregium de Gauss supuso el cierre de este debate, al demostrarse que K era una cantidad intr´ınseca y su significado, de alguna forma, conten´ıa informaci´on sobre la geometr´ıa de la propia superficie, con independencia de su inclusi´on en el espacio eucl´ıdeo. No obstante, cabe preguntarse por qu´e el debate se mantuvo abierto durante tantos a˜nos. Este cap´ıtulo viene a responder dicha cuesti´on, ilustrando la importancia de la curvatura media H de una superficie. 162

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Integraci´on en superficies. Las superficies minimales

Recordemos que los a˜nos en los que se desarrolla la Geometr´ıa Diferencial se corresponden fundamentalmente con el siglo XVIII. En esta e´ poca, las Matem´aticas gozan de una edad dorada con la consolidaci´on del Calculus de Newton y Leibnitz, as´ı como las aportaciones imprescindibles de Euler y Lagrange y el nacimiento del C´alculo de Variaciones. M´as a´un, exist´ıa entre los cient´ıficos en general (y los matem´aticos en particular) la creencia de que las formas perfectas de la naturaleza y las leyes m´as deseables desde un punto de vista cient´ıfico eran aquellas que, de alg´un modo, optimizaban alguna cantidad distinguida (esta tendencia se mantiene y ha dado fruct´ıferos resultados). A este respecto, cabe recordar el Principio de Fermat, a partir del cual se pueden deducir las leyes b´asicas sobre la propagaci´on de la luz en lo que concierne a la reflexi´on y la refracci´on.2 Otro enunciado en los mismos t´erminos es el Principio de M´ınima Acci´on de Maupertuis, en el que se afirma que ((en todo cambio que se produzca en la naturaleza, la cantidad de acci´on necesaria para tal cambio ha de ser la m´ınima posible)). En definitiva, Maupertuis sosten´ıa que la ((naturaleza es econ´omica en todas sus acciones)). En este contexto de b´usqueda de o´ ptimos y m´ınimos para cualquier configuraci´on, adquiere un auge especial el problema de estudiar aquellas superficies verificando la siguiente propiedad, que es, en estricto sentido, la primera definici´on de superficie minimal: Definici´on (I). Una superficie regular S es minimal si, para cada punto de la misma, existe un entorno Ω de modo que e´ ste es la superficie de menor a´ rea entre todas aquellas que tienen como frontera la frontera de Ω. De esta definici´on se deriva el adjetivo minimal, pues en definitiva, las superficies minimales son aquellas que, de alguna manera, ((minimizan)) el a´ rea. Desde luego, el plano satisface esta definici´on: si la curva que se fija como frontera est´a contenida en un plano, la soluci´on es el propio plano. Por otra parte, Euler, en 1740, ya hab´ıa resuelto este problema para las superficies de revoluci´on: ((la u´ nica superficie minimal de revoluci´on no plana es el catenoide)) (v´ease la figura 4.2). Figura 4.2: Una superficie minimal: el catenoide.

El problema de minimizar el a´ rea se aborda tambi´en desde el punto de vista del C´alculo Variacional, rama de las Matem´aticas desarrollada principalmente por Lagrange en 1760. Lagrange estudia grafos, esto es, superficies que globalmente pueden expresarse como gr´afica de una funci´on diferenciable z = f (x, y), e introduce una nueva definici´on de superficie minimal, a la postre equivalente a las anteriores: Definici´on (II). Se denomina superficie minimal aquella cuya funci´on diferenciable f que determina su gr´afica (esto siempre existe localmente) verifica la ecuaci´on fxx (1 + fy2 ) − 2 fxy fx fy + fyy (1 + fx2 ) = 0. 2

(4.6)

Este principio afirma que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es m´ınimo. No obstante, este principio se mejora con un enunciado m´as general, que permite explicar fen´omenos que el original no admit´ıa. Tal generalizaci´on afirma que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es estacionario respecto a posibles variaciones de la trayectoria (no se exige tiempo m´ınimo, sino que sea un punto cr´ıtico, algo mucho m´as general). Curiosamente, la definici´on de superficie minimal tambi´en se ha refinado en el mismo sentido, como se ver´a en este cap´ıtulo.

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La relaci´on (4.6) anterior recibe el nombre de ecuaci´on de Euler-Lagrange, y es una ecuaci´on en derivadas parciales, no lineal y el´ıptica. Por lo tanto, si se quieren encontrar superficies minimales, hay que resolver (4.6). En 1770, Meusnier da una interpretaci´on geom´etrica de la ecuaci´on (4.6), lo que da lugar a una nueva definici´on, que es la que ha perdurado hasta nuestros d´ıas en todos los a´ mbitos: Definici´on (III). Una superficie es minimal si su curvatura media se anula en todo punto, esto es, si H ≡ 0. Adem´as, Meusnier encuentra una nueva superficie minimal que ni es un grafo ni es de revoluci´on: el helicoide (v´ease la figura 2.20). Era el tercer ejemplo de superficie minimal que se conoc´ıa. Entre otros aspectos, la dificultad a la hora de resolver la ecuaci´on (4.6) tuvo como consecuencia el que no se pudiesen descubrir nuevas superficies minimales hasta mucho tiempo despu´es. Hay que esperar hasta 1835, cuando Scherk encuentra otros dos ejemplos (v´ease la figura 4.3):

la primera superficie de Scherk: {(x, y, z) ∈ R3 : ez cos x − cos y = 0} y

la segunda superficie de Scherk: {(x, y, z) ∈ R3 : sen z − senh x senh y = 0}.

Figura 4.3: La primera y segunda superficies de Scherk.

El propio Scherk proporcion´o infinitas soluciones: una familia uniparam´etrica de deformaciones isom´etricas por superficies minimales del helicoide en el catenoide (luego precisaremos con detalle lo que esto significa; v´ease tambi´en la figura 4.4).

Figura 4.4: Una familia ´ de deformaciones isometricas del helicoide en el catenoide.

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Por otro lado, en 1863, Christoffel observ´o que la aplicaci´on de Gauss de una su­ ® perficie minimal era conforme, esto es, verificaba dNp (v), dNp (w) = λ (p)2 hv, wi, para una funci´on diferenciable λ , y que este hecho, adem´as, las caracterizaba junto con las esferas (recordemos que el normal a una esfera es esencialmente el vector posici´on, por lo que su diferencial es un m´ultiplo constante de la identidad; evidentemente, esta aplicaci´on es conforme). As´ı, tenemos una nueva definici´on: Definici´on (IV). Se llama superficie minimal a aquella cuya aplicaci´on de Gauss es conforme y no es una esfera. Posteriormente, una definici´on adicional abri´o otro camino para poder encontrar nuevas superficies minimales: ¡ ¢ Definici´on (V). Sea X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) una parametrizaci´on isoterma, es decir, tal que E = G y F = 0. Entonces, la superficie determinada por X es minimal si las funciones coordenadas son arm´onicas, esto es, si ∆x = ∆y = ∆z = 0. Esta u´ ltima definici´on abri´o el camino para encontrar una fruct´ıfera relaci´on entre las superficies minimales y el An´alisis Complejo. Dicha interrelaci´on se ha mantenido hasta nuestros d´ıas, y todav´ıa hoy se siguen presentando art´ıculos de investigaci´on en los que se hace un uso extensivo de esta propiedad. Finalmente, en 1847, el f´ısico belga J. Plateau observ´o que las superficies minimales (compactas y con borde) se pod´ıan conseguir sumergiendo, en una disoluci´on jabonosa, un alambre doblado o bastidor que formase una curva cerrada (y simple) en R3 . El fundamento f´ısico de este experimento estriba en la relaci´on que se da entre las diferencias de presiones δ p en las dos caras de una pel´ıcula jabonosa y la curvatura media H de dicha superficie. As´ı, se tiene la f´ormula de Laplace, δ p µ H, donde la constante de proporcionalidad depende del l´ıquido en cuesti´on. Como una pel´ıcula jabonosa experimenta la misma presi´on en ambas caras,3 entonces δ p = 0 y, por tanto, H = 0 en todo punto de la superficie. Esto da lugar al conocido problema de Plateau, consistente en demostrar que, para cada curva cerrada y simple Γ en R3 , existe una superficie S de a´ rea m´ınima que tiene a Γ como frontera. El problema de Plateau dio origen a la definici´on, digamos, ((experimental)) de superficie minimal: Definici´on (VI). Se denomina superficie minimal aquella que se puede reproducir mediante una membrana jabonosa. Sin embargo, Plateau carec´ıa de todo el bagaje matem´atico que se necesita para abordar los aspectos te´oricos de este problema. Las primeras formulaciones precisas, as´ı como las primeras soluciones parciales de dicho problema, se debieron a Schwarz, Riemann y Weierstrass; aunque no ser´ıa resuelto satisfactoriamente hasta 1931 por J. Douglas y T. Rad´o (v´eanse [13, 36]). 3

Nos referimos a la presi´on atmosf´erica, id´entica a ambos lados de la pel´ıcula. Una situaci´on similar y muy ilustrativa se da con las pompas de jab´on (v´ease la observaci´on 7.10). En ellas, el aire encerrado tiende a escapar, pues est´a a mayor presi´on que la presi´on atmosf´erica ambiente (del exterior). S´olo la tensi´on superficial de la pel´ıcula jabonosa evita que esto ocurra. Como la presi´on se reparte por igual en todos los puntos, las superficies de las pompas de jab´on tienen curvatura media constante.

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4.4.

LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE SUPERFICIE MINIMAL

A continuaci´on, vamos a demostrar las equivalencias entre las distintas definiciones que se han dado hist´oricamente para una superficie minimal (definiciones (I)–(V)); por su mayor complejidad, omitimos aqu´ı la equivalencia con la definici´on (VI), para la cual nos remitimos a [13, 36]. Posteriormente, estudiaremos las propiedades mencionadas en este recorrido hist´orico. 4.4.1.

´ Las superficies minimales como puntos cr´ıticos del area

Comenzamos estudiando las nociones (I) y (III), para lo que necesitamos definir lo que se entiende por una variaci´on normal. Definici´on 4.4.1. Sean U ⊂ R2 un abierto y X : U −→ R3 una aplicaci´on tales que X(U) es una superficie regular. Si D ⊂ R2 es un disco abierto cuya clausura cl D ⊂ U, entonces X(D) es una superficie regular para la cual X|D es una parametrizaci´on. Sea h : cl D −→ R una funci´on diferenciable que se anula en la frontera de D. Se llama variaci´on normal de X(D) determinada por h a la aplicaci´on φ : cl D × (−ε , ε ) −→ R3 definida por ¡ ¢ φ (u, v,t) = X(u, v) + th(u, v)N X(u, v) , donde N es el vector normal unitario y ε > 0 es suficientemente peque˜no para que la aplicaci´on X t : D −→ R3 dada por X t (u, v) = φ (u, v,t) sea una parametrizaci´on de la superficie regular X t (D), para todo t ∈ (−ε , ε ). En definitiva, lo que se est´a haciendo es deformar el fragmento de superficie X(D), sin mover su frontera, obteni´endose as´ı una familia continua de superficies con el mismo borde. Antes de enunciar y demostrar el teorema de caracterizaci´on de las superficies minimales como puntos cr´ıticos del funcional a´ rea, necesitamos un lema previo, que establece la existencia de lo que se conocen usualmente como funciones meseta. Si q ∈ R2 , representaremos por D(q, r) el disco en R2 de centro q y radio r > 0. Lema 4.4.2 (Existencia de funciones meseta). Sean D un disco abierto de R2 y q ∈ D. Entonces, para todo ε > 0 tal que D(q, ε ) ⊂ D, existe una funci´on diferenciable e h : D −→ R, llamada funci´on meseta, verificando que ¡ ¢ sop e h ⊂ D(q, ε ), e 0 ≤ h ≤ 1,

e h ≡ 1 en el disco D(q, ε /2). Demostraci´on. Vamos a construir la funci´on meseta expl´ıcitamente. Para ello, definimos en primer lugar una funci´on ge : R −→ R, dada por ( 0 si t ≤ 0, ge(t) = −1/t e si t > 0. 166

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Es sencillo ver que ge es diferenciable. Sea ahora g : R2 −→ R la funci´on dada por ¢ ¡ ge ε 2 − |x|2 g(x) = ¡ ¢ ¡ ¢. ge ε 2 − |x|2 + ge |x|2 − 14 ε 2

Obs´ervese, por un lado, que el denominador de g(x) nunca se anula, pues para ello deber´ıan satisfacerse a la vez las desigualdades ε 2 − |x|2 ≤ 0 y |x|2 − ε 2 /4 ≤ 0, lo que implicar´ıa que ε 2 ≤ |x|2 ≤ ε 2 /4, un absurdo. Por lo tanto, g es diferenciable. Adem´as, g(x) = 0 si, y s´olo si, ε 2 − |x|2 ≤ 0, es decir, cuando x 6∈ D(0, ε ). En consecuencia, si x ∈ D(0, ε ), g(x) es positivo. Esto demuestra que sop(g) ⊂ D(0, ε ), verific´andose adem´as que 0 ≤ g ≤ 1. Por otro lado, si 0 ≤ |x| ≤ ε /2, es decir, si x ∈ D(0, ε /2), entonces g(x) ≡ 1. Finalmente, dado que la funci´on g anterior cumple todas las condiciones de una funci´on meseta, pero referidas al disco D(0, ε ), basta tomar como la funci´on meseta buscada una simple traslaci´on de g: definimos e h : R2 −→ R

dada por

e h(x) = g(x − q).

Esto concluye la demostraci´on.

Teorema 4.4.3 (Caracterizaci´on de las superficies minimales como puntos cr´ıticos del funcional a´ rea). Sean U ⊂ R2 abierto y X : U −→ R3 una aplicaci´on tal que X(U) es una superficie regular. Sea D un disco abierto en R2 cuya clausura cl D ⊂ U. Entonces, X(D) es superficie minimal si, y s´olo si, A0 (0) = 0 para cualquier variaci´on normal φ de X(D), donde A(t) representa el a´ rea de la superficie X t (D). Demostraci´on. El a´ rea A(t) de la superficie X t (D) viene dada por Z ZZ q Et Gt − Ft2 (u, v) dudv. A(t) = dA = X t (D)

D

Tenemos por tanto que calcular Et , Ft y Gt para la parametrizaci´on X t , ¡ ¢ X t (u, v) = φ (u, v,t) = X(u, v) + th(u, v)N X(u, v) . Dado que

Xut = Xu + thu N + thNu

y

Xvt = Xv + thv N + thNv ,

es sencillo comprobar que ¡ ¢  2 h2 + h2 hN , N i = E − 2the + t 2 R , E = E − 2the + t t u u 1  u  ¡ ¢ 2 2 2 Ft = F − 2th f + t hu hv + h hNu , Nv i = F − 2th f + t R2 ,  ¡ ¢  Gt = G − 2thg + t 2 h2v + h2 hNv , Nv i = G − 2thg + t 2 R3 , para ciertas funciones R1 , R2 , R3 . Agrupando sumandos convenientemente se tiene Et Gt − Ft2 = EG − F 2 − 2ht(gE + eG − 2 f F) + t 2 R4 µ ¶ gE + eG − 2 f F 2 = (EG − F ) 1− 2ht + t 2 R4 = (EG − F 2 )(1 − 4htH + t 2 R), EG − F 2 167

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con R = R4 /(EG − F 2 ). En definitiva,

¡ ¢ Et Gt − Ft2 = (EG − F 2 ) 1 − 4htH + R ,

donde R = t 2 R satisface que l´ımt→0 (R/t) = 0. Por tanto, sustituyendo esta expresi´on en la f´ormula del a´ rea, ZZ p ZZ p p Et Gt − Ft 2 dudv = A(t) = EG − F 2 1 − 4htH + R dudv, D

D

y derivando a continuaci´on, obtenemos que ZZ p −4hH + Re EG − F 2 p dudv, A0 (t) = D 2 1 − 4htH + R

donde ahora, l´ımt→0 Re = 0. En particular, si t = 0, ZZ p A0 (0) = −2 hH EG − F 2 dudv. D

Una vez obtenida la f´ormula anterior para A0 (0), la implicaci´on directa del teorema es evidente: si X(D) es una superficie minimal, entonces H ≡ 0, por lo que A0 (0) = 0. Veamos por tanto el rec´ıproco. Supongamos que A0 (0) = 0, para cualquier variaci´on normal de X(D), pero que existe un punto p ∈ X(D) para el cual H(p) 6= 0. Sea p = X(q). Entonces, existe un cierto disco abierto D(q, r1 ) ⊂ D de forma que (H ◦ X)|D(q,r1 ) 6≡ 0, manteniendo adem´as el mismo signo que H(p) en todos los puntos. Podemos suponer, sin p´erdida alguna de generalidad y cambiando la orientaci´on si es necesario, que H(p) > 0. Sea ahora e h : D −→ R una funci´on meseta para el disco D(q, r1 ) (que sabemos siempre existe, v´ease el lema 4.4.2), es decir, verificando que

e h es diferenciable, ¡ ¢ sop e h ⊂ D(q, r1 ),

0≤e h ≤ 1,

existe r2 < r1 tal que e h|D(q,r2 ) ≡ 1. Como A0 (0) = 0 para cualquier variaci´on normal de X(D), en particular se anular´a para la variaci´on determinada por la funci´on e h previamente definida; adem´as, como ¡ ¢ e sop h ⊂ D(q, r1 ), podemos escribir ZZ ZZ p p e e 0 = A0 (0) = −2 hH EG − F 2 dudv = −2 hH EG − F 2 dudv ZZ

= −2

D

D(q,r1 )\D(q,r2 )

D(q,r1 )

ZZ p 2 e hH EG − F dudv − 2

D(q,r2 )

e hH

p EG − F 2 dudv.

√ Obs´ervese que, en la suma anterior, tanto H como EG − F 2 son estrictamente positivos (en los dominios respectivos para cada una de las dos integrales); pero, mientras que en la primera integral e h ≥ 0, en la segunda e h ≡ 1, lo que implica que esta u´ ltima nunca se anula. Por lo tanto, hemos llegado a una contradicci´on: 0 = A0 (0) < 0 estrictamente, lo que concluye la demostraci´on. 168

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4.4.2.

´ de Gauss ´ de Euler-Lagrange. La aplicacion La ecuacion de una superficie minimal

Veamos a continuaci´on la equivalencia de la definici´on (III) con (II) y (IV). Proposici´on 4.4.4. Sea S una superficie regular que, localmente, puede expresarse como la gr´afica de una funci´on diferenciable f : R2 −→ R. Entonces, S es minimal si, y s´olo si, la funci´on f verifica la ecuaci´on de Euler-Lagrange, fxx (1 + fy2 ) − 2 fxy fx fy + fyy (1 + fx2 ) = 0. ¡ ¢ Demostraci´on. Parametrizamos S de la forma X(u, v) = u, v, f (u, v) . Es f´acil calcular los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales de X(u, v): E = 1 + fu2 , fuu , e= p 1 + fu2 + fv2

F = fu fv ,

fuv f=p , 1 + fu2 + fv2

G = 1 + fv2 , fvv g= p . 1 + fu2 + fv2

Por tanto, la curvatura media se expresa como H=

1 fuu (1 + fv2 ) + fvv (1 + fu2 ) − 2 fuv fu fv ; 2 (1 + fu2 + fv2 )3/2

luego H = 0 si, y s´olo si, fuu (1 + fv2 ) + fvv (1 + fu2 ) − 2 fuv fu fv = 0.

Vamos a probar finalmente que las definiciones (III) y (IV) son equivalentes. Proposici´on 4.4.5. Sea S una superficie regular sin puntos umbilicales, con aplicaci´on de Gauss N. Entonces S es minimal si, y s´olo si, existe λ : S −→ R diferenciable ­ ® y no nula tal que dN p (v), dN p (w) = λ (p)2 hv, wi, para todo p ∈ S y v, w ∈ Tp S. Demostraci´on. Sean p ∈ S y {e1 , e2 } la base (ortonormal) de direcciones principales en Tp S. Si H(p) = 0, entonces k1 (p) = −k2 (p), y por tanto, k1 (p)2 = k2 (p)2 . Sean v y w dos vectores de Tp S, con v = v1 e1 + v2 e2 y w = w1 e1 + w2 e2 . Un sencillo c´alculo permite comprobar que ­ ® ­ ® dN p (v), dN p (w) = − v1 k1 (p)e1 − v2 k2 (p)e2 , −w1 k1 (p)e1 − w2 k2 (p)e2 = v1 w1 k1 (p)2 + v2 w2 k2 (p)2 = (v1 w1 + v2 w2 )k1 (p)2 = k1 (p)2 hv, wi . Desde luego, λ (p) = k1 (p) es una funci´on diferenciable y no nula, pues si k1 (p) = 0, entonces k2 (p) = 0, y el punto ser´ıa plano y, por tanto, umbilical. Para demostrar el rec´ıproco supongamos que existe una funci´on diferenciable no nula λ : S −→ R tal ­ ® que dN p (v), dN p (w) = λ (p)2 hv, wi, para cualesquiera v, w ∈ Tp S. En particular, trabajando con las direcciones principales e1 y e2 , se tiene que ­ ® ­ ® λ (p)2 = λ (p)2 he1 , e1 i = dNp (e1 ), dNp (e1 ) = − k1 (p)e1 , −k1 (p)e1 = k1 (p)2 , ­ ® ­ ® λ (p)2 = λ (p)2 he2 , e2 i = dNp (e2 ), dNp (e2 ) = − k2 (p)e2 , −k2 (p)e2 = k2 (p)2 . Luego k1 (p)2 = λ (p)2 = k2 (p)2 , es decir, k1 (p) = ±k2 (p). Ahora bien, como p no es umbilical, necesariamente k1 (p) = −k2 (p), lo cual implica que H(p) = 0. 169

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La funci´on λ del resultado anterior verifica que λ 2 = k12 = −k1 k2 = −K; por lo tanto, en una superficie minimal sin puntos umbilicales, la curvatura de Gauss K < 0 ­ ® y adem´as dNp (v), dNp (w) = −K(p) hv, wi. 4.4.3.

Parametrizaciones isotermas en superficies minimales

Definici´on 4.4.6. Se dice que una parametrizaci´on X(u, v) es isoterma si los coeficientes de su primera forma fundamental verifican E = G y F = 0. Proposici´on 4.4.7. Sean S una superficie regular, X(u, v) una parametrizaci´on isoterma de S y N su vector normal. Entonces, Xuu + Xvv = 2EHN. Demostraci´on. Como X es isoterma, hXu , Xu i = hXv , Xv i y hXu , Xv i = 0. Derivando respecto a u la primera igualdad y respecto a v la segunda, obtenemos hXuu , Xu i = hXvu , Xv i

y

hXuv , Xv i = − hXu , Xvv i ,

de donde se deduce que hXuu + Xvv , Xu i = 0. An´alogamente se demuestra la identidad hXuu + Xvv , Xv i = 0. En definitiva, estamos diciendo que el vector Xuu + Xvv es ortogonal a la base {Xu , Xv }, lo que nos asegura que se encuentra en la direcci´on del normal N a la superficie. Luego Xuu + Xvv = λ N. Pero, ¿qu´e vale λ ? Un sencillo c´alculo permite comprobar que

λ = λ hN, Ni = hλ N, Ni = hXuu + Xvv , Ni = e + g. Por otro lado, como E = G y F = 0, la curvatura media se reduce a una expresi´on mucho m´as sencilla, e+g ; H= 2E en consecuencia, λ = e + g = 2EH, lo que concluye la demostraci´on. ¡ ¢ Proposici´on 4.4.8. Sea X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) una parametrizaci´on isoterma de una superficie regular. Entonces, X es minimal si, y s´olo si, las funciones coordenadas son arm´onicas, esto es, si, y s´olo si, ∆x = ∆y = ∆z = 0.

Demostraci´on. Como X es isoterma, Xuu + Xvv = 2EHN (proposici´on 4.4.7). Entonces, X es minimal si, y s´olo si, Xuu + Xvv = 0, condici´on que, en t´erminos de las ¡ ¢ ¡ ¢ coordenadas x, y, z, se escribe xuu , yuu , zuu + xvv , yvv , zvv = 0; es decir, xuu + xvv = ∆x = 0,

yuu + yvv = ∆y = 0

y

zuu + zvv = ∆z = 0.

Observaci´on 4.2. La condici´on dada en la proposici´on 4.4.8 para caracterizar las superficies minimales es extremadamente u´ til. Se puede probar que, dada una superficie regular S, siempre existe una parametrizaci´on isoterma de la misma. La demostraci´on de este resultado es muy complicada, por lo que no entraremos aqu´ı en ella (´esta puede consultarse en [7]), aunque haremos uso de e´ l cuando sea conveniente. Por lo tanto, una superficie S es minimal si, y s´olo si, Xuu + Xvv = 0, para una parametrizaci´on isoterma X de S que, sabemos, siempre existe. ♦ 170

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4.5.

LOS PRIMEROS EJEMPLOS DE SUPERFICIES MINIMALES

Tras el ejemplo trivial del plano, la primera superficie minimal encontrada fue el catenoide (Euler, 1740). En este sentido, se tiene el siguiente resultado de unicidad. Proposici´on 4.5.1. Si S es una superficie de revoluci´on minimal, no plana, entonces es un trozo de catenoide. ¡ ¢ Demostraci´on. Sea α (v) = f (v), 0, g(v) , con f , g : I −→ R, la curva que genera la superficie S, que suponemos contenida en el plano y = 0. Como S no es un plano, g(v) no puede ser una funci´on constante, luego existe un abierto I ⊂ R donde g0 (v) 6= 0. Entonces, por el teorema de la funci´on inversa, podemos reparametrizar α mediante el cambio de par´ametro v = g−1 (s) en dicho abierto. As´ı, tomamos como punto ¡ ¢ ¡ ¢ de partida una curva β (s) = f (g−1 (s)), 0, s = ϕ (s), 0, s (definida en un entorno adecuado). Parametrizamos la superficie de revoluci´on S generada por β de la forma ¡ ¢ X(θ , s) = ϕ (s) cos θ , ϕ (s) sen θ , s , siendo las curvaturas principales ¢ ¡ −ϕ 00 (s) k1 β (s) = ¡ ¢3/2 1 + ϕ 0 (s)2

y

¡ ¢ k2 β (s) =

1 ¢1/2 . ¡ ϕ (s) 1 + ϕ 0 (s)2

Por lo tanto, S es minimal si, y s´olo si, H = (k1 + k2 )/2 = 0, lo que equivale a

1 −ϕ 00 (s) ¡ ¢3/2 + ¢1/2 = 0. ¡ 1 + ϕ 0 (s)2 ϕ (s) 1 + ϕ 0 (s)2

Esta ecuaci´on diferencial es la misma que la m´as sencilla ϕ (s)ϕ 00 (s) − ϕ 0 (s)2 = 1, ¡ ¢ cuya soluci´on se obtiene f´acilmente: ϕ (s) = a cosh (s + b)/a , con a > 0, b ≥ 0. ¡ ¡ ¢ ¢ As´ı pues, la curva β que genera nuestra superficie es β (s) = a cosh (s + b)/a , 0, s , una catenaria. S es, por tanto, un (trozo de) catenoide.

Como se ha comentado en la introducci´on hist´orica, tras el plano y el catenoide las siguientes superficies minimales que se encontraron fueron el helicoide y las ´ prob´o adem´as que es posible encontrar una familia unipasuperficies de Scherk. Este ram´etrica de deformaciones isom´etricas, mediante superficies minimales, del helicoide en el catenoide (v´ease la figura 4.4). Vamos a demostrar un resultado m´as general, del que se podr´a obtener, como consecuencia, la mencionada familia de deformaciones isom´etricas por superficies minimales. Comenzamos con una sencilla definici´on. Definici´on 4.5.2. Dos funciones diferenciables f , g : R2 −→ R verificando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, fu = gv y fv = −gu , son siempre arm´onicas, y reciben el nombre de arm´onicas conjugadas. Se dice que dos superficies regulares minimales son minimales conjugadas si existen parametrizaciones isotermas de las mismas de forma que sus funciones coordenadas son arm´onicas conjugadas dos a dos. Proposici´on 4.5.3. Sean S, S superficies minimales conjugadas y X, X las parametrizaciones isotermas que as´ı lo determinan. Entonces, la superficie parametrizada por Zt (u, v) = costX(u, v) + sent X(u, v) es minimal para todo t ∈ R. Adem´as, todas las superficies de esta familia tienen la misma primera forma fundamental. 171

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Demostraci´on. Dado que S y S son minimales conjugadas (lo cual implica que, para las parametrizaciones X, X, se tiene que Xu = X v y Xv = −X u ), las derivadas parciales de la parametrizaci´on Zt = costX(u, v) + sent X(u, v) son

(Zt )u = costXu + sent X u = costXu − sentXv

y

(Zt )v = costXv + sent X v = costXv + sentXu ;

entonces, utilizando que X y X son isotermas, se obtiene que los coeficientes de su primera forma fundamental valen

Et = cos2 tE + sen2 t G = E, 2

Ft = cost sent(E − G) = 0,

2

Gt = cos t G + sen tE = E. Luego todas las superficies Zt (u, v) tienen la misma primera forma fundamental (por tanto, todas son localmente isom´etricas), siendo adem´as parametrizaciones isotermas. Adem´as, (Zt )uu = costXuu − sentXuv y (Zt )vv = costXvv + sentXuv . Entonces, (Zt )uu + (Zt )vv = cost(Xuu + Xvv ) = 0, pues S es una superficie minimal y X es isoterma. En definitiva, hemos demostrado que Zt es una parametrizaci´on isoterma que verifica (Zt )uu + (Zt )vv = 0; podemos concluir as´ı que la superficie parametrizada por Zt (u, v) tambi´en es minimal.

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata de esta proposici´on. Corolario 4.5.4. Dos superficies minimales conjugadas pueden ((unirse)) siempre mediante una familia uniparam´etrica de superficies minimales, todas ellas localmente isom´etricas entre s´ı. Es sencillo ver que el helicoide X(u, v) = (a senh v cos u, a senh v sen u, au) y el catenoide X(u, v) = (−a cosh v sen u, a cosh v cos u, av) son superficies minimales conjugadas. Por lo tanto, la familia Zt (u, v) = costX(u, v) + sent X(u, v) nos da la familia uniparam´etrica buscada de deformaciones isom´etricas, mediante superficies minimales, entre ambas superficies.

Las superficies minimales son, quiz´a, las superficies m´as estudiadas en Geometr´ıa Diferencial, siendo todav´ıa uno de los campos m´as atractivos de la investigaci´on actual en Geometr´ıa. La belleza de los problemas que aqu´ı se plantean, normalmente de sencillo enunciado, contrasta con la enorme dificultad que, en muchos casos, entra˜na su resoluci´on. La teor´ıa de las superficies minimales tiene profundas conexiones con las funciones anal´ıticas de variable compleja y con las ecuaciones en derivadas parciales. Valga como ejemplo el siguiente resultado, que no demostraremos por su gran dificultad (su demostraci´on, as´ı como otros resultados sobre superficies minimales, puede consultarse en el excelente survey [32]): Teorema 4.5.5 (de Osserman, 1959). Sea S una superficie regular, cerrada (como subconjunto de R3 ) y minimal, que no es un plano. Entonces, la imagen de la aplicaci´on de Gauss N : S −→ S2 es un conjunto denso en la esfera S2 . 172

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Integraci´on en superficies. Las superficies minimales

Sin embargo, todos los ejemplos conocidos de superficies regulares minimales cerradas, aparte del plano, ten´ıan como imagen por la aplicaci´on de Gauss toda la esfera excepto cuatro puntos. Osserman se plante´o entonces la siguiente pregunta: ¿pueden los normales a una superficie minimal cerrada, no plana, omitir m´as de cuatro direcciones? Esta cuesti´on se mantuvo sin respuesta durante un largo periodo de tiempo. Tras varios resultados parciales intermedios (del propio Osserman, Xavier, L´opez, Ros...), en los que se fue reduciendo el n´umero de puntos de la esfera que no se encuentran en la imagen N(S), H. Fujimoto responde afirmativamente a la pregunta en 1988 (v´ease [15]): Teorema 4.5.6 (de Fujimoto, 1988). La aplicaci´on de Gauss N de una superficie minimal, cerrada y no plana de R3 omite, a lo sumo, cuatro puntos distintos de la esfera S2 . La cota en el teorema de Fujimoto es la mejor posible pues, por ejemplo, la aplicaci´on de Gauss de la primera superficie de Scherk omite exactamente 4 puntos.

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EJERCICIOS Ejercicio 4.1. Calcular la integral sobre la esfera de la funci´on f : S2 −→ R dada por f (x, y, z) = z. Ejercicio 4.2. Sea X(u, v) = (u cos v, u sen v, u2 ), con U = (0, 1) × (0, 2π ), una para© ª metrizaci´on de la superficie S = (x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 , 0 < z < 1 (un abierto del paraboloide de revoluci´on). Calcular la integral Z √ 1 + 4z dA. S

Ejercicio 4.3. Demostrar que el catenoide, el helicoide, las dos superficies de Scherk ¡ ¢ y la superficie de Enneper X(u, v) = u − u3 /3 + uv2 , v − v3 /3 + u2 v, u2 − v2 (v´ease el ejercicio 3.15) son superficies minimales. Ejercicio 4.4. Sea S una superficie regular que viene dada por el grafo de una funci´on diferenciable z = f (x, y) definida sobre un abierto Ω ⊂ R2 . Sabemos que S es una superficie minimal si, y s´olo si, satisface la ecuaci´on de Euler-Lagrange (4.6). i) Sea f una soluci´on de (4.6) definida sobre Ω. Demostrar que las curvas de nivel 4 de f son rectas si, y s´olo si, f es arm´onica, es decir, ∆ f = 0, sobre Ω. ii) Demostrar que las u´ nicas soluciones de (4.6) cuyas curvas de nivel son rectas est´an dadas por ¶ µ y − y0 + b, f (x, y) = a arc tg x − x0 donde a, b, x0 e y0 son constantes.

Ejercicio 4.5. Demostrar que no existen superficies minimales compactas en R3 . Ejercicio 4.6. Sea S una superficie minimal. Demostrar que su curvatura de Gauss verifica K(p) ≤ 0 en todo punto p ∈ S. ¿Qu´e se puede decir de un punto p ∈ S en el que K(p) = 0? Ejercicio 4.7. Sea φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local. Supongamos que S1 es minimal. ¿Lo es tambi´en S2 ? Ejercicio 4.8. Sea (U, X) una parametrizaci´on ortogonal de una superficie regular cuyas curvas coordenadas son l´ıneas de curvatura, verificando adem´as que los coeficientes e, g de su segunda forma fundamental son constantes. Demostrar que, o bien X(U) es minimal, o existe un abierto V ⊂ X(U) que es isom´etrico al plano. 4

Sea f : Ω −→ R una funci´on diferenciable definida sobre un abierto Ω ⊂ R2 y sea c ∈ R. Se © ª denomina curva de nivel determinada por c al conjunto Γc = f −1 (c) = (x, y) ∈ Ω : f (x, y) = c . Adm´ıtase, sin necesidad de demostraci´on que si c ∈ R es tal que se verifica la condici´on fx2 + fy2 > 0 para todo (x, y) ∈ Γc , entonces Γc es una curva regular plana (en el sentido generalizado, v´ease la observaci´on 2.3) cuya curvatura viene dada por k=

− fxx fy2 + 2 fxy fx fy − fyy fx2 . ¡ ¢3/2 fx2 + fy2

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Integraci´on en superficies. Las superficies minimales

Ejercicio 4.9. Demostrar que una superficie regular sin puntos umbilicales es minimal si, y s´olo si, existe una funci´on diferenciable λ : S −→ R tal que la tercera forma fundamental III p (v´ease el ejercicio 3.2) verifica

III p = λ (p)I p , para todo punto p ∈ S. Ejercicio 4.10. Demostrar que la aplicaci´on de Gauss del catenoide omite exactamente 2 puntos.

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V

´ Geodesicas en superficies Como ya hemos puesto de manifiesto en cap´ıtulos anteriores, cuando hablamos de la ((geometr´ıa intr´ınseca)) de una superficie, nos estamos refiriendo al estudio de las propiedades y conceptos que, como la curvatura de Gauss, se conservan por isometr´ıas locales, es decir, por aquellas aplicaciones diferenciables que conservan la longitud de las curvas. As´ı pues, otros objetos que, de forma l´ogica, deber´ıan permanecer invariantes por tales aplicaciones, ser´ıan, en caso de existir, las curvas de menor longitud que uniesen dos puntos dados. Tales curvas van a ser las geod´esicas, y a su estudio est´a dedicado este cap´ıtulo. En la primera secci´on estudiamos la derivada covariante a lo largo de una curva. Se trata de un concepto muy amplio y con entidad propia, por lo que su estudio puede abordarse desde diferentes perspectivas. Nosotros definimos aqu´ı la derivada covariante de un campo de vectores a lo largo de una curva como la ((derivada intr´ınseca)) de dicho campo. En el caso de superficies en R3 , su definici´on es particularmente sencilla, pues basta derivar de forma usual y tomar la proyecci´on sobre el plano tangente. Se demuestra entonces que la derivada covariante es un operador con propiedades muy naturales, que extienden las de la derivada usual de campos en el espacio. Un caso particular de campos son aquellos cuya derivada covariante es nula. Este tipo de campos se llaman ((paralelos)), pues generalizan precisamente la noci´on de paralelismo, en el sentido de que son campos que mantienen una direcci´on constante con respecto a un ((rumbo)) o ((direcci´on fija)) de la superficie. Los campos paralelos son aquellos que no experimentan variaci´on desde una perspectiva ((intr´ınseca)) y, por tanto, permanecen invariantes (o sea, paralelos) con respecto a los habitantes de la superficie. Un campo paralelo est´a completamente determinado por su valor en un punto concreto. Dicha propiedad (que se deduce de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales) nos permite definir el transporte paralelo como un modo de construir campos de vectores paralelos con un valor prefijado. Intuitivamente, el transporte paralelo consiste en trasladar de la forma ((m´as r´ıgida y est´atica posible)) un vector a lo largo de una curva. Curiosamente, esto siempre es posible hacerlo en cualquier superficie regular: siempre se puede encontrar una manera de mover un vector tangente a una superficie de forma que la variaci´on de e´ ste con respecto a la superficie sea nula. En la siguiente secci´on introducimos el concepto de geod´esica. Observemos que, de todos los campos a lo largo de una curva, el m´as interesante de estudiar es su propia velocidad. De esta forma, la derivada covariante de la velocidad resulta ser la aceleraci´on intr´ınseca, o la aceleraci´on tal y como la perciben los habitantes de la superficie. Por otra parte, cuando este campo es paralelo, lo que se tiene es que 177

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

la curva tiene aceleraci´on ((intr´ınseca)) nula (la variaci´on de su velocidad es cero) y se dice entonces que la curva es una geod´esica. Recordemos que esta propiedad caracteriza las l´ıneas rectas del plano, por lo que las geod´esicas son ((las l´ıneas rectas)) de una superficie o, al menos, las ((m´as rectas posibles)). Finalizamos el cap´ıtulo introduciendo el concepto de aplicaci´on exponencial. Una de las propiedades m´as destacadas y notables de una geod´esica es que est´a totalmente determinada por un punto (por el que pasa la geod´esica) y por su direcci´on (su velocidad) en dicho punto. Esta propiedad es an´aloga a la que se da en el plano, pues es obvio que una recta est´a dada por un punto y una direcci´on. As´ı pues, con estos dos datos se puede describir completamente la geod´esica con tales ((condiciones iniciales)). Dicha construcci´on nos permite definir la aplicaci´on exponencial en un punto determinado como una funci´on que asigna, a cada vector del plano tangente, otro punto en la trayectoria de la geod´esica que parte del primero con la direcci´on de dicho vector. ¿Qu´e punto en concreto? La respuesta viene dada por un sencillo experimento mental: supongamos que el vector fuera flexible y que lo extendemos a lo largo de la geod´esica. Precisamente, el punto de la curva donde termina el vector es el punto imagen de e´ ste por la aplicaci´on exponencial. La aplicaci´on exponencial tiene propiedades muy importantes que la convierten en una herramienta indispensable para estudiar determinadas cuestiones. Por ejemplo, se puede demostrar que una geod´esica es tambi´en una l´ınea recta en el sentido m´etrico: minimiza la distancia entre dos puntos dados (cuando est´an suficientemente pr´oximos). Asimismo, la aplicaci´on exponencial nos permite introducir sistemas de coordenadas distinguidos, a partir de los cuales se demuestran resultados de especial relevancia, como el teorema de Minding, que tambi´en presentamos en esta secci´on. 5.1.

La derivada covariante y el transporte paralelo

Ya hemos estudiado los campos de vectores definidos sobre una superficie (v´ease la secci´on 3.1). Veamos ahora lo que se entiende por un campo de vectores a lo largo de una curva α . A partir de ahora, utilizaremos la notaci´on N(t) para representar la ¢ ¡ composici´on N α (t) . Definici´on 5.1.1. Sea S una superficie regular orientada con aplicaci´on de Gauss N : S −→ S2 . Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular. Un campo de vectores a lo largo de α es una aplicaci´on V : I −→ R3 , con V (t) ∈ R3 = Tα (t) S ⊕ span{N(t)}. Se dice que V diferenciable si lo es como aplicaci´on de I a R3 , V ∈ C∞ (I, R3 ); y se dice que es tangente en S a lo largo de α si V (t) ∈ Tα (t) S, para todo t ∈ I. La familia de los campos de vectores diferenciables y tangentes a lo largo de una curva α se representa por X (α ).

En general, dado un campo de vectores V a lo largo de una curva α , podemos ­ ® tomar su descomposici´on V (t) = V (t)> + V (t)⊥ = V (t)> + V (t), N(t) N(t) para cada t ∈ I. Por tanto, siempre V > = V − hV, Ni N ∈ X (α ). 178

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Geod´esicas en superficies

Ejemplo 5.1. Sea α : I −→ S una curva regular p.p.a. i) El campo velocidad, α 0 : I −→ R3 , es un campo tangente: α 0 ∈ X (α ).

ii) Consideremos, para cada t ∈ I, el vector ¢ ¡ J α 0 (t) = N(t) ∧ α 0 (t) ∈ Tα (t) S. ´ es claramente un campo diferenciable, que forma con α 0 (t) una base ortoEste normal de Tα (t) S positivamente orientada. Luego Jα 0 ∈ X (α ), y cualquier campo tangente a lo largo de α se expresa como combinaci´on lineal de α 0 y Jα 0 .

iii) La aceleraci´on α 00 no es, necesariamente, un campo tangente a lo largo de α . iv) Si V ∈ X (α ), podemos considerar su derivada V 0 , que siempre es un campo ♦ diferenciable a lo largo de α , aunque no necesariamente tangente.

Definici´on 5.1.2. Sea V ∈ X (α ) un campo de vectores tangente y diferenciable a lo largo de una curva α : I −→ S. Se define la derivada covariante (o intr´ınseca) de V como la parte tangente de V 0 , es decir, ­ ® DV (t) := V 0 (t)> = V 0 (t) − V 0 (t), N(t) N(t). (5.1) dt

Desde luego, DV /dt ∈ X (α ). Adem´as, para una curva fija α , la derivada covariante puede verse como un operador, D/dt, de la forma

D : dt

X (α )

−→

V

;

X (α ) DV : dt

I t

−→

;

R3

­ ® V 0 (t) − V 0 (t), N(t) N(t).

Este operador es independiente de la orientaci´on elegida para la superficie, pues estamos tomando s´olo la parte tangente de V 0 (obs´ervese que si cambiamos N por −N en la f´ormula, el resultado es el mismo). Por otro lado, s´olo depende de los coeficientes de la primera forma fundamental, afirmaci´on que vamos a probar a continuaci´on. Para ello, sea (U, X) una parametrizaci´on de la superficie S y, como viene siendo ha¡ ¢ bitual, α (t) = X u(t), v(t) . Si V ∈ X (α ), entonces V (t) ∈ Tα (t) S, por lo que puede expresarse de la forma ¡ ¢ ¡ ¢ V (t) = a(t)Xu u(t), v(t) + b(t)Xv u(t), v(t) .

Ahora, calculamos V 0 (t), utilizando las f´ormulas de Gauss (3.15) para expresar Xuu , Xuv y Xvv en t´erminos de la base {Xu , Xv , N}: V 0 = a0 Xu + a(Xuu u0 + Xuv v0 ) + b0 Xv + b(Xvu u0 + Xvv v0 ) h¡ ¢ ¡ ¢ i = a0 Xu + a Γ111 Xu + Γ211 Xv + eN u0 + Γ112 Xu + Γ212 Xv + f N v0 h¡ ¢ ¡ ¢ i + b0 Xv + b Γ112 Xu + Γ212 Xv + f N u0 + Γ122 Xu + Γ222 Xv + gN v0 ¡ ¢ = a0 + au0 Γ111 + av0 Γ112 + bu0 Γ112 + bv0 Γ122 Xu ¡ ¢ ¡ ¢ + b0 + au0 Γ211 + av0 Γ212 + bu0 Γ212 + bv0 Γ222 Xv + aeu0 + a f v0 + b f u0 + bgv0 N. 179

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En consecuencia, la derivada covariante DV /dt = (V 0 )> se escribe como ´ DV ³ 0 = a + au0 Γ111 + (av0 + bu0 )Γ112 + bv0 Γ122 Xu dt ³ ´ + b0 + au0 Γ211 + (av0 + bu0 )Γ212 + bv0 Γ222 Xv .

(5.2)

Obs´ervese que DV /dt depende s´olo de los s´ımbolos de Christoffel y, por tanto, de la primera forma fundamental exclusivamente. En otras palabras, la derivada covariante1 es algo intr´ınseco; sus propiedades permanecen invariantes por isometr´ıas. Es sencillo comprobar que X (α ) tiene estructura de m´odulo respecto a la suma y al producto por funciones de C∞ (I, R); es decir, si V,W ∈ X (α ) y f ∈ C∞ (I, R), entonces V +W ∈ X (α ) y fV ∈ X (α ). Adem´as, la derivada covariante satisface las siguientes propiedades:

Proposici´on 5.1.3. Sean V,W ∈ X (α ) y sea f ∈ C∞ (I, R). Entonces,

D DV DW (V +W ) = + , dt dt dt À ¿ À ¿ DW DV 0 ,W + V, iii) hV,W i = . dt dt i)

ii)

D DV ( fV ) = f 0V + f , dt dt

Demostraci´on. Las tres propiedades se demuestran trivialmente: £ ¤> D DV DW i) (V +W ) = (V +W )0 = (V 0 +W 0 )> = (V 0 )> + (W 0 )> = + . dt dt dt £ ¤> D DV ii) ( fV ) = ( fV )0 = ( f 0V + fV 0 )> = ( f 0V )> + ( fV 0 )> = f 0V + f , dt dt

pues V > = V , ya que V ∈ X (α ). Finalmente, la propiedad iii) se prueba de forma ­ ® ­ ® similar: como V,W ∈ X (α ), entonces (V 0 )⊥ ,W = V, (W 0 )⊥ = 0, de donde E D E ­ ® ­ ® D hV,W i0 = V 0 ,W + V,W 0 = (V 0 )> + (V 0 )⊥ ,W + V, (W 0 )> + (W 0 )⊥ ¿ À ¿ À DV DW = ,W + V, . dt dt

5.1.1.

Campos de vectores paralelos

De especial relevancia son los campos que cumplen la siguiente condici´on. Definici´on 5.1.4. Se dice que un campo de vectores V ∈ X (α ) es paralelo a lo largo de α si DV /dt = 0. 1

El nombre ((covariante)) se enmarca en el contexto de superficies abstractas, esto es, superficies que no est´an contenidas en ning´un espacio. En tal situaci´on, es imposible derivar un campo tomando la ((parte tangente)), pues ((todo es tangente)) y no hay direcci´on normal. Se define entonces la derivada en t´erminos de coordenadas como en la expresi´on (5.2). Posteriormente, se demuestra, con bastante esfuerzo, que dicha definici´on no depende de las coordenadas. Es decir, que la expresi´on ((covar´ıa)) seg´un las coordenadas que estemos utilizando (es lo que en otras ocasiones hemos afirmado cuando decimos que la definici´on no depende de la parametrizaci´on).

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Geod´esicas en superficies

El siguiente ejemplo justifica, en primera instancia, el porqu´e de este nombre para tal clase de campos. Ejemplo 5.2. Estudiemos el caso de un plano Π. Sea α : I −→ Π una curva del mismo. Como Tα (t) ≡ Π para todo t ∈ I, entonces (V 0 )> = V 0 . Luego DV /dt = V 0 no es m´as que la derivada usual en R3 , y as´ı, el campo V ser´a paralelo, si, y s´olo si, DV /dt = V 0 = 0, esto es, s´olo si V es constante. El vector V (t) es el mismo en todos los puntos de la curva α (t) (v´ease la figura 5.1).

Π

V (t0) V (t1) 7

α







α (t0) α (t1)

Figura 5.1: Un campo de vectores paralelo en el plano.

En definitiva, en un plano, un campo paralelo est´a formado por vectores paralelos propiamente dichos. En particular, si consideramos V = α 0 el campo velocidad de una curva α , podemos preguntarnos para qu´e curvas su campo velocidad α 0 es paralelo. Por lo observado previamente, para que esto sea as´ı α 0 (t) debe ser constante; es decir, α tiene que ser una recta. Esto demuestra que, en el plano, las u´ nicas curvas a lo largo de las cuales su campo de vectores velocidad es paralelo, son las rectas. ♦

En general, se tiene el siguiente resultado que ilustra un poco m´as por qu´e estos campos son ((paralelos)): Proposici´on 5.1.5. Sean V,W ∈ X (α ) campos paralelos a lo largo de α : I −→ S.

i) Si a, b ∈ R, entonces aV + bW es un campo paralelo. ii) El producto hV,W i es constante. En particular |V |, a´ ng(V,W ) son constantes. Demostraci´on. La parte i) es trivial. Veamos ii). Al ser DV /dt = 0, sabemos que V 0 (t) est´a en la direcci´on del normal a la superficie, y an´alogamente W 0 (t). En consecuencia, como V,W ∈ X (α ), se tiene que hV,W 0 i = hV 0 ,W i = 0 y, por tanto, hV,W i0 = hV 0 ,W i + hV,W 0 i = 0. Esto demuestra que hV,W i es constante.

As´ı pues, si un campo es paralelo, su m´odulo se mantiene constante. Pero, ¿s´olo su m´odulo? Evidentemente no; tambi´en su ((direcci´on)) permanece constante en cierto sentido, aunque habr´ıa que precisar con mayor claridad qu´e significa ((direcci´on)). Observemos que, siempre que se habla de ((direcci´on)), hay que fijar previamente una ((direcci´on cero)) o ((norte)) con respecto a la cual comparar c´omo var´ıa la nuestra (esto lo hacemos en el plano de forma autom´atica con los ejes coordenados). En una superficie, podr´ıamos convenir que una ((direcci´on cero)) (o rumbo fijo) es la direcci´on que nos marca un campo paralelo arbitrario V0 . As´ı pues, cualquier otro campo paralelo V mantiene fijo el a´ ngulo con respecto a la ((direcci´on cero)) determinada por V0 , y en este sentido se generaliza la situaci´on que se daba en el plano. Vamos a ilustrar estos comentarios con el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.3. Consideremos la esfera S2 , en la que elegimos el normal N(p) = p. Sea α (t) = (cost, sent, 0) el ecuador de S2 (con lo cual, N(t) = (cost, sent, 0)), y tomemos el campo de vectores (constante) V0 (t) = (0, 0, 1). Claramente V0 ∈ X (α ), pues 181

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

­ ® ¡ ¢ V0 (t), N(t) = 0, y (DV0 /dt)(t) = V00 (t) > = 0, para todo t (v´ease la figura 5.2). Luego V0 es un campo paralelo a lo largo de α (este campo podr´ıa servirnos para determinar una direcci´on en la esfera: precisamente es la direcci´on ((norte)) usual hacia la que apuntar´ıa la br´ujula de un habitante que caminase por el ecuador). β

 6

6 6 

V0

6

6

6

α W ? N

Figura 5.2: Campos paralelos en la esfera.

Sea ahora V (t) = (− sent, cost, 1), que evidentemente tambi´en cumple V ∈ X (α ). ¡ ¢ Entonces (DV /dt)(t) = V 0 (t) > = (− cost, − sent, 0)> = 0, por lo que V tambi´en es un campo paralelo a lo largo del ecuador. El ((rumbo fijo)) que marca este campo ser´ıa, en t´erminos geogr´aficos, el ((noreste)), tal y como lo apreciar´ıa un habitante que se mueve por el ecuador. Por u´ ltimo, consideremos el campo velocidad a lo largo de una circunferencia m´axima cualquiera, por ejemplo, la dada por β (t) = (cost, 0, sent) (v´ease la figura 5.2). El campo velocidad de β es W (t) = β 0 (t) = (− sent, 0, cost). Luego, ¢> ¡ ¢> ¡ DW (t) = W 0 (t) = β 00 (t) = (− cost, 0, − sent)> ; dt ¡ ¢ como (− cost, 0, − sent) = −β (t) = −N β (t) , es claro que (DW /dt)(t) = 0: el campo W es paralelo. Hemos probado as´ı que el campo velocidad a lo largo de cualquier circunferencia m´axima es siempre paralelo (y en este caso concreto, apunta de forma constante hacia el ((sur))). ♦

La pregunta que se plantea de forma natural al ver la definici´on de campo paralelo ser´ıa: dada una curva α en una superficie regular S, ¿cu´antos campos paralelos existen a lo largo de la misma? La respuesta es que un campo paralelo est´a totalmente determinado por el valor de e´ ste en un punto concreto (y arbitrario) de la curva sobre la que est´a definido, tal y como se demuestra en el siguiente resultado.2 Teorema 5.1.6 (existencia y unicidad de campos paralelos). Sea α : I −→ S una curva parametrizada en una superficie regular S, y sea V0 ∈ Tα (t0 ) S para un cierto t0 ∈ I. Entonces existe un u´ nico campo paralelo V ∈ X (α ) con V (t0 ) = V0 .

Vamos a presentar dos demostraciones muy ilustrativas de este teorema: una primera intr´ınseca, en la cual no entra en juego el modo en que la superficie se encuentra dentro del ambiente, siendo entonces necesario trabajar con parametrizaciones de la misma; y una segunda extr´ınseca, donde no se necesitan las parametrizaciones, pero donde el normal (la manera en que la superficie ((vive)) en R3 ) resulta fundamental. Demostraci´on intr´ınseca. Hay que encontrar V ∈ X (α ) tal que DV /dt = 0. Sea ¡ ¢ (U, X) una parametrizaci´on de S con α (t0 ) ∈ X(U), y sea α (t) = X u(t), v(t) . Utilizando la expresi´on (5.2) para la derivada covariante de un campo V ∈ X (α ), como DV /dt = 0, los coeficientes de los vectores Xu y Xv tienen que anularse; luego si re¡ ¢ ¡ ¢ presentamos V como V (t) = a(t)Xu u(t), v(t) + b(t)Xv u(t), v(t) , se verificar´a que ( a0 + au0 Γ111 + (av0 + bu0 )Γ112 + bv0 Γ122 = 0, (5.3) b0 + au0 Γ211 + (av0 + bu0 )Γ212 + bv0 Γ222 = 0. 2

En otras palabras, se prueba que siempre es posible ((fijar un rumbo)) en la superficie. Una vez fijado, ya se puede hablar de si se mantiene o no constante la direcci´on de cualquier otro campo.

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Geod´esicas en superficies

Tenemos por tanto un sistema de ecuaciones diferenciales cuya condici´on inicial es ¡ ¢ V (t0 ) = V0 = a(t0 ), b(t0 ) . El teorema de existencia y unicidad de soluciones para tales sistemas establece el resultado buscado (adem´as, se puede obtener la soluci´on de forma expl´ıcita al resolverlo, siempre y cuando esto sea posible).

Demostraci´on extr´ınseca. Debemos encontrar un campo V ∈ X (α ) de manera que ­ ® DV /dt = 0. Dado que (DV /dt)(t) = V 0 (t) − V 0 (t), N(t) N(t) (v´ease (5.1)), la de­ ® rivada covariante DV /dt = 0 si, y s´olo si, V 0 (t) = V 0 (t), N(t) N(t). Por otro lado, ­ ® como V y N son ortogonales, V (t), N(t) = 0, y derivando esta expresi´on obtenemos ­ 0 ® ­ ® V (t), N(t) = − V (t), N 0 (t) . Luego DV /dt = 0 si, y s´olo si, ­ ® V 0 (t) + V (t), N 0 (t) N(t) = 0. (5.4)

Escribiendo V = (V1 ,V2 ,V3 ) y N = (N1 , N2 , N3 ), la ecuaci´on (5.4) se traduce en à ! 0 = Vi0 (t) +

3

∑ V j (t)N 0j (t)

j=1

3

Ni (t) = Vi0 (t) + ∑ N 0j (t)Ni (t)V j (t), j=1

i = 1, 2, 3.

¡ ¢3 Si representamos por M(t) la matriz M(t) = N 0j (t)Ni (t) i, j=1 , la expresi´on anterior se reescribe V 0 + MV = 0. Entonces, el teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden garantiza la existencia de un u´ nico campo de vectores diferenciable V , soluci´on de dicha ecuaci´on (y por tanto de (5.4)) con condici´on inicial V (t0 ) = V0 . Desde luego, V es un campo paralelo ya que satisface (5.4). Para concluir la demostraci´on tenemos que probar que V es tangente a S a ­ ® lo largo de α ; es decir, hay que ver que V (t), N(t) = 0 para todo t ∈ I. ­ ® Como V0 ∈ Tα (t0 ) S, claramente V0 , N(t0 ) = 0. Por otro lado, dado que V verifica ­ ® ­ ® ­ ® (5.4), se tiene que V 0 (t), N(t) + V (t), N 0 (t) = 0. Derivando entonces V (t), N(t) y utilizando dicha expresi´on obtenemos ­ ®0 ­ ® ­ ® V (t), N(t) = V 0 (t), N(t) + V (t), N 0 (t) = 0. ­ ® En consecuencia, V (t), N(t) es constante y se anula en t0 , lo que demuestra que, en ­ ® efecto, V (t), N(t) = 0.

5.1.2.

El transporte paralelo

Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular y sean t0 ,t1 ∈ I con α (t0 ) = p y α (t1 ) = q. Acabamos de demostrar que, dado un vector V0 ∈ Tp S, existe un u´ nico campo paralelo V ∈ X (α ) de forma que V (t0 ) = V0 . Esta propiedad motiva la siguiente definici´on.

Definici´on 5.1.7. Siguiendo la notaci´on anterior, se define el transporte paralelo de V0 a lo largo de α en el punto q como el vector V1 = V (t1 ) ∈ Tq S. El transporte paralelo determina as´ı una aplicaci´on Ptt01 (α ) : Tp S −→ Tq S, dada por Ptt01 (α )(V0 ) = V1 . Adem´as, se verifica la siguiente propiedad. 183

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Proposici´on 5.1.8. La aplicaci´on transporte paralelo Ptt01 (α ) : Tp S −→ Tq S es una isometr´ıa lineal. Demostraci´on. Veamos en primer lugar que es una aplicaci´on lineal. Para ello, sean V0 ,W0 ∈ Tp S, y sean V,W ∈ X (α ) los u´ nicos campos paralelos tales que V (t0 ) = V0 y W (t0 ) = W0 . Entonces Ptt01 (α )(V0 ) = V (t1 ) y Ptt01 (α )(W0 ) = W (t1 ). Queremos calcular Ptt01 (α )(V0 + W0 ). Consideremos el campo V + W ∈ X (α ), que tambi´en es paralelo. Adem´as (V +W )(t0 ) = V0 +W0 . Entonces, por el teorema 5.1.6 sabemos que V +W es el u´ nico campo paralelo que en t0 vale V0 +W0 . Por tanto,

Ptt01 (α )(V0 +W0 ) = (V +W )(t1 ) = V (t1 ) +W (t1 ) = Ptt01 (α )(V0 ) + Ptt01 (α )(W0 ). Finalmente, demostrar que Ptt01 (α ) es una isometr´ıa es sencillo: ® ­ ® ­ ® ­ t1 Pt0 (α )(V0 ), Ptt01 (α )(W0 ) = V (t1 ),W (t1 ) = V (t0 ),W (t0 ) = hV0 ,W0 i , ya que, por ser V y W paralelos, su producto escalar es constante.

Observaci´on 5.1. Sea α : I −→ R2 una curva plana. En el ejemplo 5.2 ya vimos que, en el caso del plano, si V ∈ X (α ) es paralelo, entonces V es constante. Luego el ♦ transporte paralelo en un plano es la aplicaci´on identidad, Ptt01 (α )(V ) = V .

Dos sencillas e interesantes propiedades que tiene el transporte paralelo son las siguientes. Proposici´on 5.1.9. Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular. Entonces, el transporte paralelo a lo largo de α no depende de la parametrizaci´on de la curva. ¡ ¢ Demostraci´on. Supongamos que β : J −→ S, β (s) = α h(s) , es una reparametrizaci´on de la curva α . Sean t0 ,t1 ∈ I y s0 , s1 ∈ J, con h(s0 ) = t0 y h(s1 ) = t1 . Representamos por p = α (t0 ) = β (s0 ), y tomamos V0 ∈ Tp S. Queremos demostrar que Ptt01 (α )(V0 ) = Pss01 (β )(V0 ). En primer lugar, Ptt01 (α )(V0 ) = V (t1 ), donde V ∈ X (α ) es el u´ nico campo paralelo para el cual V (t0 ) = V0 . Consideremos entonces el campo ¡ ¢ (V ◦ h) ∈ X (β ). Claramente, V h(s0 ) = V (t0 ) = V0 . Adem´as,

D DV dh (V ◦ h) = , ds dt ds y como dh/ds 6= 0 (al ser h un difeomorfismo), se tiene que V es paralelo (nuestra hip´otesis) si, y s´olo si, V ◦ h es paralelo. De nuevo, el teorema 5.1.6 nos asegura que V ◦ h es el u´ nico campo paralelo a lo largo de β que en s0 vale V0 . Por lo tanto,

Pss01 (β )(V0 ) = (V ◦ h)(s1 ) = V (t1 ) = Ptt01 (α )(V0 ).

Un sencillo argumento, basado en la definici´on de derivada covariante como la proyecci´on sobre el plano tangente, nos demuestra tambi´en la siguiente proposici´on; proponemos su demostraci´on como ejercicio. Proposici´on 5.1.10. Si S1 y S2 son dos superficies regulares que son tangentes a lo largo de una curva α , entonces el transporte paralelo a lo largo de α es independiente de la superficie, S1 o S2 ; esto es, es el mismo para ambas superficies. 184

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5.2.

´ GEODESICAS

Cuando trabajamos en un plano (o en general, en cualquier superficie que contenga una recta) las rectas son un tipo de curvas que presentan una serie de caracter´ısticas muy particulares. Por ejemplo, i) minimizan la distancia entre dos puntos, ii) tienen curvatura constantemente nula y iii) son las u´ nicas curvas en el plano cuyo campo de vectores velocidad es paralelo. Cabe preguntarse entonces si, cuando trabajamos en una superficie arbitraria S, siempre podemos encontrar curvas con caracter´ısticas similares. La respuesta, como veremos en breve, es afirmativa, y tales curvas se denominan las geod´esicas de S. Definici´on 5.2.1. Sea γ : I −→ S una curva parametrizada. Se dice que γ es una geod´esica de S si su campo velocidad γ 0 es paralelo, es decir, si Dγ 0 /dt = 0. Como vemos, la propia definici´on de geod´esica ya establece una de las propiedades buscadas para este tipo de curvas: a lo largo de ellas, su campo de vectores velocidad es paralelo. De hecho, e´ sta es la propiedad (de las tres que hemos enunciado) m´as sencilla de generalizar para curvas en superficies, gracias a que hemos construido la derivada covariante. Veamos otras propiedades de las geod´esicas que se deducen directamente de la definici´on (posteriormente veremos qu´e ocurre entre las geod´esicas y la distancia, por un lado, y las geod´esicas y la curvatura, por otro). Observaci´on 5.2 (Propiedades de las geod´esicas). Sea γ : I −→ S una geod´esica de una superficie regular S. ¯ ¯ i) Como el campo velocidad γ 0 es paralelo, entonces ¯γ 0 (t)¯ es constante. ii) Si γ no est´a p.p.a., estar´a parametrizada proporcionalmente a la longitud de Z t¯ ¯ ¯ 0 ¯ 0 ¯γ (u)¯ du = ct. arco; en efecto, como ¯γ (t)¯ = c constante, entonces

0 ¯ ¯ iii) Si suponemos que γ 0 (t0 ) = 0 en un cierto t0 ∈ I, entonces, al ser ¯γ 0 (t)¯ cons¯ ¯ ¯ ¯ tante, se tendr´a que ¯γ 0 (t)¯ = ¯γ 0 (t0 )¯ = 0, para todo t ∈ I; luego γ 0 (t) = 0 para todo t, de donde se deduce que γ (t) es constante. Por lo tanto, las geod´esicas parametrizadas son, bien curvas regulares, bien una curva constante.

iv) Las geod´esicas se conservan por isometr´ıas locales, ya que s´olo dependen de la derivada covariante y, por tanto, de los s´ımbolos de Christoffel. El concepto de geod´esica es un concepto intr´ınseco. v) En principio, una geod´esica puede admitir autointersecciones (no hay nada en la definici´on que prevenga esta situaci´on). vi) Sea h : J −→ I un cambio de par´ametro, y consideremos la reparametrizaci´on de nuestra geod´esica original, β = γ ◦ h : J −→ S. Vamos a calcular la deriva¡ ¢ da covariante del campo velocidad de β . Claramente, β 0 (s) = γ 0 h(s) h0 (s) y 185

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¡ ¢ ¡ ¢ β 00 (s) = γ 00 h(s) h0 (s)2 + γ 0 h(s) h00 (s), de donde se tiene que

¢> £ ¡ ¢¤> £ ¡ ¢¤> ¡ Dβ 0 + h00 (s) γ 0 h(s) (s) = β 00 (s) = h0 (s)2 γ 00 h(s) ds ¡ ¢ ¢ Dγ 0 ¡ = h0 (s)2 h(s) + h00 (s)γ 0 h(s) . dt

¡ ¢ Como γ es una geod´esica, Dγ 0 /dt = 0, por lo que (Dβ 0 /ds)(s) = h00 (s)γ 0 h(s) . ¡ ¢ Luego β ser´a geod´esica si, y s´olo si, h00 (s)γ 0 h(s) = 0, lo cual ocurrir´a, suponiendo que γ no es constante, si, y s´olo si, h00 (s) = 0, pues γ 0 (t) 6= 0, para todo t. En definitiva, la reparametrizaci´on β de una geod´esica (no constante) ser´a tambi´en geod´esica si, y s´olo si, h(s) = as+b, con a, b ∈ R, es decir, cuando el cambio de par´ametro es af´ın. Lo afirmado aqu´ı se puede parafrasear diciendo que el par´ametro de una geod´esica tiene significado geom´etrico, ya que el hecho de ser geod´esica depende de la forma en que se recorre dicha curva, y no s´olo de su traza (o imagen). 6 0 para todo s. Sabemos vii) Supongamos que la curva γ est´a p.p.a. y que γ 00 (s) = ¡ 00 ¢> 0 que γ es geod´esica si, y s´olo si, (Dγ /ds)(s) = γ (s) = 0, es decir, si, y s´olo si, γ 00 (s) = kγ (s)nγ (s) est´a en la direcci´on del vector normal a la superficie (en ♦ el punto γ (s)). Luego γ es una geod´esica si, y s´olo si, nγ (s) = ±N(s). Ejemplo 5.4 (Geod´esicas en el plano). Dado un vector a unitario, consideremos el © ª plano Π = p ∈ R3 : ha, pi = c , y tomemos como vector normal N(p) = a, para todo p ∈ Π. Sea γ : I −→ Π una curva en el plano. Por un lado, tenemos la descomposici´on (v´ease la demostraci´on extr´ınseca del teorema 5.1.6)

® ­ Dγ 0 (t) + γ 00 (t), N(t) N(t); dt ® ­ ® ­ ® ­ 0 adem´as, como γ (t), N(t) = 0, se tiene γ 00 (t), N(t) = − γ 0 (t), N 0 (t) . Luego

γ 00 (t) =

­ ® Dγ 0 (5.5) (t) = γ 00 (t) + γ 0 (t), N 0 (t) N(t). dt ­ ® Por tanto γ es geod´esica si, y s´olo si, γ 00 (t) + γ 0 (t), N 0 (t) N(t) = 0. En nuestro caso N 0 (t) = (N ◦ γ )0 (t) = a0 = 0. Luego γ es geod´esica si, y s´olo si, γ 00 (t) = 0, esto es, γ (t) = p + tv. Las u´ nicas geod´esicas del plano son, como cab´ıa esperar, las rectas. ♦ Ejemplo 5.5 (Geod´esicas en la esfera). Sean p ∈ S2 (r) y v ∈ Tp S2 (r). Supongamos que el normal a la esfera es N(p) = (1/r)p. Si tomamos el plano determinado por v y por N(p), su intersecci´on con la esfera es una circunferencia m´axima, que es, adem´as, una secci´on normal. Por lo tanto, el vector normal de esta curva es n = ±N(p), lo que demuestra que es una geod´esica. Todas las circunferencias m´aximas son geod´esicas en la esfera, y son las u´ nicas. Ve´amoslo con m´as detalle. Sea γ : I −→ S2 (r) una geod´esica con condiciones iniciales γ (0) = p y γ 0 (0) = v. ¯ ¯ Entonces, en particular, el m´odulo de su velocidad es constante, ¯γ 0 (t)¯ = |v|. Usando 186

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la relaci´on (5.5) obtenida en el ejemplo anterior, sabemos que γ es geod´esica si, y ­ ® ¡ ¢ s´olo si, γ 00 (t) + γ 0 (t), N 0 (t) N(t) = 0. Como N(t) = N γ (t) = (1/r)γ (t), entonces N 0 (t) = (1/r)γ 0 (t), y la condici´on anterior se traduce en ¯ 0 ¯2 ¿ À ¯γ (t)¯ |v|2 1 0 1 00 0 00 00 0 = γ (t) + γ (t), γ (t) γ (t) = γ (t) + γ (t) = γ (t) + γ (t). r r r2 r2

Es sencillo3 comprobar que la u´ nica soluci´on a esta ecuaci´on diferencial es µ ¶ µ ¶ |v| |v| r γ (t) = cos t p+ sen t v, |v| r r

es decir, una circunferencia m´axima.

(5.6) ♦

Ejemplo 5.6 (Geod´esicas en el cilindro). Para calcular las geod´esicas del cilindro podemos seguir el proceso anterior, aunque ahora debemos trabajar con las compo¢ ¡ nentes de γ . Sea γ : I −→ C, γ (t) = γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) , una geod´esica del cilindro © ª circular recto C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = r2 , cuyas condiciones iniciales son γ (0) = p = (p1 , p2 , p3 ) y γ 0 (0) = v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ TpC. Tomamos como vector normal al cilindro C el dado por µ ¶ ¢ ¡ γ1 (t) γ2 (t) , N(t) = N γ (t) = ,0 . r r

Utilizando de nuevo la igualdad (5.5), sabemos que γ es una geod´esica si, y s´olo si, ­ ® 0 = γ 00 (t) + γ 0 (t), N 0 (t) N(t) ¶Àµ ¿ µ ¶ ¢ ¡ 0 ¢ γ10 (t) γ20 (t) ¡ 00 γ1 (t) γ2 (t) 00 00 0 0 , ,0 , = γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) + γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) , ,0 r r r r ¢ γ 0 (t)2 + γ20 (t)2 ¡ ¡ ¢ = γ100 (t), γ200 (t), γ300 (t) + 1 γ1 (t), γ2 (t), 0 ; 2 r en definitiva, γ es una geod´esica si, y s´olo si,  0 2 0 2  00 (t) + γ1 (t) + γ2 (t) γ (t) = 0,   γ 1  1  r2  0 2 0 2 γ (t) + γ2 (t) γ200 (t) + 1 γ2 (t) = 0 y   r2     γ300 (t) = 0.

Desde luego, γ300 (t) = 0 es equivalente a γ30 (t) = v3 , y por tanto, a γ3 (t) = p3 + v3t. Adem´as, como ¯2 ¯ |v|2 = ¯γ 0 (t)¯ = γ10 (t)2 + γ20 (t)2 + γ30 (t)2 = γ10 (t)2 + γ20 (t)2 + v23 , entonces se tiene que γ10 (t)2 + γ20 (t)2 = |v|2 − v23 , un n´umero constante que no depende de t. Luego las ecuaciones diferenciales anteriores se traducen de nuevo en unas sencillas ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes,

γi00 (t) + 3

|v|2 − v23 γ i (t) = 0, r2

para i = 1, 2.

Es una ecuaci´on diferencial de segundo orden con coeficientes constantes.

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(5.7)

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Obs´ervese que la soluci´on de (5.7) depende de si el vector v = (0, 0, v3 ), es decir, si |v| 6= v3 , o no. As´ı, es sencillo comprobar que dicha soluci´on viene dada por  pi + vit si v = (0, 0, v3 )    Ãq ! Ãq ! γi (t) = (5.8) |v| 2 − v23 |v| 2 − v23 r vi  q cos p t + sen t si v = 6 0, v ) (0,  i 3  r r 2 2 |v| − v3

para i = 1, 2. En definitiva, γ es una geod´esica del cilindro si, y s´olo si, es una curva ¡ ¢ de la forma γ (t) = γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t) , donde γ1 (t) y γ2 (t) vienen dadas por (5.8) y γ3 (t) = p3 + v3t. En el primer caso, esto es, si γi (t) = pi + vit, i = 1, 2, 3, es evidente que γ (t) = p + vt, es decir, γ (t) es una recta con vector director v = (0, 0, v3 ). En el segundo caso, v 6= (0, 0, v3 ), obtenemos la ecuaci´on de una h´elice cil´ındrica en su forma m´as general. Obs´ervese que, como un caso particular de estas curvas, aparecen las circunferencias cuando v = (v1 , v2 , 0). Luego en un cilindro existen tres tipos de geod´esicas (v´ease la figura 5.3): las h´elices (no degeneradas, en sentido estricto), las circunferencias (paralelos del cilindro) y las rectas (sus meridianos). ´ Figura 5.3: Las geodesicas en el cilindro.

Otro modo de calcular las geod´esicas en un cilindro es el siguiente (m´etodo que puede ser muy u´ til en muchos casos): sabemos que el plano y el cilindro son superficies localmente isom´etricas, y que las geod´esicas se conservan por isometr´ıas locales; calculemos pues las geod´esicas en la superficie m´as sencilla (en este caso, el plano), y obtengamos su imagen en la superficie deseada mediante la isometr´ıa local. Sabemos que la aplicaci´on © ª φ : (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 −→ C dada por φ (x, y, 0) = (r cos x, r sen x, y) es una isometr´ıa local entre el plano y el cilindro. Las geod´esicas del plano son las rectas, que parametrizamos, por ejemplo, de la forma γe(t) = (at, bt, 0). Por lo tanto, las geod´esicas del cilindro son las curvas parametrizadas por ¡ ¡ ¢ ¢ γ (t) = φ ◦ γe (t) = φ (at, bt, 0) = r cos(at), r sen(at), bt , es decir, h´elices. De nuevo se obtienen, dependiendo del vector director (a, b, 0) de la recta original, o bien h´elices no degeneradas (si ambos a, b 6= 0), o bien circunferencias (cuando b = 0), o bien rectas (si a = 0). ♦ 5.2.1.

´ Existencia y unicidad de geodesicas en una superficie

Sea γ : I −→ S una geod´esica de una superficie regular S. Sean t0 ∈ I y (U, X) una parametrizaci´on de S con γ (t0 ) ∈ X(U). Como ya viene siendo habitual, escribimos ¡ ¢ γ (t) = X u(t), v(t) . Entonces, usando las ecuaciones (5.3), que establecen la condici´on para que un campo de vectores sea paralelo, tendremos que γ es una geod´esica si, y s´olo si, su campo velocidad γ 0 es paralelo, es decir, si, y s´olo si, sus funciones coordenadas satisfacen las ecuaciones ( u00 + (u0 )2 Γ111 + 2u0 v0 Γ112 + (v0 )2 Γ122 = 0, (5.9) v00 + (u0 )2 Γ211 + 2u0 v0 Γ212 + (v0 )2 Γ222 = 0. 188

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As´ı pues, la resoluci´on de este sistema de ecuaciones diferenciales conduce a la determinaci´on de todas las geod´esicas de una superficie regular S. Teorema 5.2.2 (de existencia y unicidad de geod´esicas maximales). Sean S una superficie regular, p ∈ S y v ∈ Tp S. Entonces, existe una u´ nica geod´esica γv : Iv −→ S, con Iv abierto, verificando las siguientes condiciones: i) 0 ∈ Iv , γv (0) = p y γv0 (0) = v; ii) si α : J −→ S es otra geod´esica con α (0) = p y α 0 (0) = v, entonces J ⊂ Iv y α ≡ γv |J . La geod´esica γv se denomina la geod´esica maximal con condiciones iniciales p y v, e Iv es el intervalo maximal de existencia. Demostraci´on. Para p ∈ S y v ∈ Tp S fijos, definimos el conjunto ª © J p,v = γ : I −→ S geod´esica : 0 ∈ I, γ (0) = p, γ 0 (0) = v . Vamos a dividir la demostraci´on en tres partes. PASO 1. Veamos en primer lugar que J p,v 6= 0. / Sean (U, X) una parametrizaci´on de S con p = X(u0 , v0 ) ∈ X(U) y v = (v1 , v2 ) en la base de las parciales: v = v1 Xu (u0 , v0 ) + v2 Xv (u0 , v0 ). Para esta parametrizaci´on (U, X), consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales (5.9) sobre el abierto U ⊂ R2 , con condiciones iniciales ( ( u(0) = u0 , u0 (0) = v1 , y v(0) = v0 , v0 (0) = v2 . Por el teorema de existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuacio¡ ¢ nes diferenciales, sabemos que existe una u´ nica curva γe(t) = u(t), v(t) en el abierto U, que es soluci´on de (5.9) con las condiciones iniciales fijadas. Enton¡ ¢ ¡ ¢ ces, γ (t) = X γe(t) = X u(t), v(t) es una geod´esica en S, ya que su expresi´on en coordenadas satisface el sistema (5.9). Adem´as, ¡ ¢ γ (0) = X γe(0) = X(u0 , v0 ) = p y

γ 0 (0) = u0 (0)Xu (u0 , v0 ) + v0 (0)Xv (u0 , v0 ) = v1 Xu (u0 , v0 ) + v2 Xv (u0 , v0 ) = v. Por lo tanto, γ ∈ J p,v , que no es vac´ıo. PASO 2. Ya sabemos lo que sucede en el entorno coordenado X(U). Pero, ¿qu´e pasa fuera de e´ l? Vamos a demostrar que esta geod´esica γ puede ((extenderse)) m´as all´a de X(U), sin que tengan lugar situaciones, digamos, ((extra˜nas)). Supongamos que γ1 : I1 −→ S y γ2 : I2 −→ S son dos geod´esicas de J p,v . Entonces, 0 ∈ I1 ∩ I2 , γ1 (0) = γ2 (0) = p y γ10 (0) = γ20 (0) = v. Vamos a probar que γ1 (t) = γ2 (t) y γ10 (t) = γ20 (t) en todo t ∈ I1 ∩ I2 . Para ello, definimos © ª A = t ∈ I1 ∩ I2 : γ1 (t) = γ2 (t) y γ10 (t) = γ20 (t) . 189

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Claramente, A 6= 0, / pues 0 ∈ A. Si demostramos adem´as que A es abierto y cerrado, como I1 ∩ I2 es conexo, entonces podremos concluir que A = I1 ∩ I2 . Probar que A es cerrado es f´acil; basta usar un sencillo argumento topol´ogico: ¢ ¡ definimos las funciones f , g : I1 ∩ I2 −→ R6 dadas por f (t) = γ1 (t), γ10 (t) , ¢ © ª ¡ g(t) = γ2 (t), γ20 (t) ; entonces A = t ∈ I1 ∩ I2 : f (t) = g(t) , que es cerrado. Demostremos ahora que A es abierto. Para ello, sea t0 ∈ A, y buscamos ε > 0 tal que (t0 − ε ,t0 + ε ) ⊂ A. Como t0 ∈ A, entonces γ1 (t0 ) = γ2 (t0 ) =: p ∈ S y γ10 (t0 ) = γ20 (t0 ) =: w ∈ Tp S. Elegimos una parametrizaci´on (U, X) de S de forma que p = X(u0 , v0 ) ∈ X(U), y sean ¢ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ −1 ¡ −1 ¡ γe1 (t) = X γ1 (t) = u1 (t), v1 (t) , γe2 (t) = X γ2 (t) = u2 (t), v2 (t) . ¡ ¢ ¡ ¢ As´ı, tenemos dos soluciones u1 (t), v1 (t) y u2 (t), v2 (t) del sistema (5.9) con las mismas condiciones iniciales, pues ( ( u01 (t0 ) = u02 (t0 ) = w1 , u1 (t0 ) = u2 (t0 ) = u0 , y v1 (t0 ) = v2 (t0 ) = v0 , v01 (t0 ) = v02 (t0 ) = w2 ,

donde w = w1 X u (u0 , v0 ) + w2 X v (u0 , v0 ). Por la unicidad de soluciones para este tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales, podemos asegurar que existe ε > 0 tal que u1 (t) = u2 (t) y v1 (t) = v2 (t) para todo t ∈ (t0 − ε ,t0 + ε ). Luego ¡ ¢ ¡ ¢ γ1 (t) = X u1 (t), v1 (t) = X u2 (t), v2 (t) = γ2 (t) y γ10 (t) = γ20 (t)

si t ∈ (t0 − ε ,t0 + ε ). Esto prueba que (t0 − ε ,t0 + ε ) ⊂ A; es decir, A es abierto. PASO 3. Finalmente, construimos la geod´esica maximal y su intervalo maximal de existencia. Sea [ I. Iv = γ :I−→S γ ∈J p,v

Desde luego, 0 ∈ Iv , pues 0 ∈ I para todo I, por la definici´on de J p,v . Definimos la curva γv : Iv −→ S del siguiente modo: dado t ∈ Iv , existe una geod´esica ´ γ : I −→ S, γ ∈ J p,v , tal que t ∈ I; entonces, tomamos γv (t) := γ (t). Esta es una buena definici´on, pues si hubiese otra geod´esica γ : I −→ S, γ ∈ J p,v , con t ∈ I, entonces, por lo demostrado en el PASO 2, γ ≡ γ en la intersecci´on de sus dominios, I ∩ I. Adem´as, cumple las propiedades requeridas en el teorema.

En resumidas cuentas, este resultado expresa que, en cada direcci´on del plano tangente Tp S, existe una u´ nica geod´esica que pasa por p con la direcci´on prefijada, y que dicha geod´esica est´a completamente determinada por tales condiciones iniciales. Esta demostraci´on tambi´en es un ejemplo de la clase de dificultades que se pueden encontrar a la hora de demostrar resultados para superficies cuando e´ stos est´an apoyados en lo local: la extensi´on a la globalidad de la superficie puede presentar problemas inesperados que no se dan a nivel local. Otro concepto relacionado con el resultado anterior es el de completitud (geod´esica), que presentamos a continuaci´on. 190

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Geod´esicas en superficies

Definici´on 5.2.3. Se dice que una superficie regular S es geod´esicamente completa en un punto p ∈ S si Iv = R para todo v ∈ Tp S. Se dice adem´as que S es geod´esicamente completa cuando lo es en todos sus puntos. As´ı pues, podr´ıamos decir que una superficie regular en el espacio eucl´ıdeo es geod´esicamente completa cuando no tiene ((agujeros)) ni ((bordes)) que ((entorpezcan)) el avance de una geod´esica. En la secci´on 7.2 estudiaremos con mayor profundidad este concepto de completitud y sus implicaciones topol´ogicas. Algunos ejemplos inmediatos son los siguientes. Ejemplo 5.7. Claramente, el plano, la esfera o el cilindro son superficies geod´esicamente completas: en los ejemplos 5.4, 5.5 y 5.6 est´an calculadas expl´ıcitamente las geod´esicas de estas superficies (rectas, circunferencias m´aximas y h´elices, respectivamente), que est´an definidas en todo R. Por el contrario, superficies como el plano agujereado o el cono no son, de forma obvia, geod´esicamente completas. ♦ 5.2.2.

´ La curvatura geodesica

Volvemos ahora sobre un concepto que ya hemos tratado anteriormente (v´ease la secci´on 3.3): el de curvatura geod´esica. Si S es una superficie regular y α : I −→ S es una curva p.p.a., en cada punto α (s) podemos considerar el triedro de Darboux ¯ ¯ ª © t(s) = α 0 (s), Jα 0 (s) = N(s) ∧ α 0 (s), N(s) . Recordemos que, como ¯t(s)¯ = 1, en© ª tonces α 00 (s) = t0 (s) es ortogonal a t(s), y por tanto, α 00 (s) ∈ span Jα 0 (s), N(s) . En ¢ ­ ® ¡ consecuencia, α 00 (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) Jα 0 (s) + kn α 0 (s), α (s) N(s), siendo el coeficiente de Jα 0 (s) la curvatura geod´esica de α en α (s): ® ­ ® ­ kg (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) = α 00 (s), N(s) ∧ α 0 (s) . El siguiente resultado justifica el nombre asignado a dicha curvatura. Proposici´on 5.2.4. Sea α : I −→ S una curva p.p.a. en una superficie regular S. Entonces, α es una geod´esica si, y s´olo si, kg (s) = 0, para todo s ∈ I. ® ­ Demostraci´on. La curvatura geod´esica kg (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) = 0 si, y s´olo si, ­ ® α 00 (s) y Jα 0 (s) son ortogonales. Ahora bien, como α 00 (s), t(s) = 0 siempre, la condici´on anterior es equivalente a su vez a que el vector aceleraci´on α 00 (s) se encuentre en la direcci´on del normal a la superficie N(s). Y esto se verifica si, y s´olo si, α 00 (s)> = (Dα 0 /ds)(s) = 0. Es decir, si, y solamente si, α es una geod´esica.

Por tanto, curvatura geod´esica nula caracteriza las geod´esicas de una superficie y, en muchos sentidos, generaliza la noci´on de curvatura (con signo) de una curva plana. Una caracter´ıstica com´un con e´ sta es que, como ya se coment´o previamente, la curvatura geod´esica de una curva α : I −→ S depende de la orientaci´on elegida en la superficie (recordemos que esta caracter´ıstica es la misma que posee la curvatura de una curva plana en relaci´on a la orientaci´on del plano que la contiene). 191

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­ ® Obs´ervese que la definici´on de curvatura geod´esica, kg (s) = α 00 (s), Jα 0 (s) , es v´alida s´olo si α est´a parametrizada por el arco. ¿Qu´e ocurre si no es as´ı? Supongamos que α : I −→ S no est´a p.p.a. y consideremos su reparametrizaci´on por la longitud de arco, digamos β = α ◦ h : J −→ S. Entonces, como ya es habitual, se define la ¢ β¡ curvatura geod´esica de α como kgα (t) = kg h−1 (t) . Un sencillo c´alculo (v´eanse las proposiciones 1.2.3 y 1.3.5) permite comprobar que ­ 00 ® ­ 00 ® α (t), Jα 0 (t) α (t), N(t) ∧ α 0 (t) α kg (t) = = . (5.10) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯3 ¯α 0 (t)¯3

Concluimos la secci´on con un ejemplo de c´alculo de la curvatura geod´esica. Ejemplo 5.8 (Curvatura geod´esica de un paralelo de la esfera). Parametrizamos S2 con las coordenadas geogr´aficas, X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ), con (θ , ϕ ) ∈ (0, π ) × (0, 2π ). Entonces, el paralelo de la esfera correspondiente a un a´ ngulo θ0 viene dado por α (ϕ ) = X(θ0 , ϕ ) = (sen θ0 cos ϕ , sen θ0 sen ϕ , cos θ0 ). Un sencillo c´alculo permite comprobar que

α 0 (ϕ ) = (− sen θ0 sen ϕ , sen θ0 cos ϕ , 0), α 00 (ϕ ) = (− sen θ0 cos ϕ , − sen θ0 sen ϕ , 0), N(ϕ ) = (sen θ0 cos ϕ , sen θ0 sen ϕ , cos θ0 ). Por tanto

® ­ 00 α (ϕ ), N(ϕ ) ∧ α 0 (ϕ ) = cotg θ0 . kg (ϕ ) = ¯ ¯ ¯α 0 (ϕ )¯3

En el caso de la esfera (y otros muchos), la curvatura geod´esica puede calcularse de otro modo, usando la conocida f´ormula kα2 = kg2 + kn2 . El paralelo α (ϕ ) en cuesti´on es una circunferencia de radio r = sen θ0 ; luego su curvatura es kα = 1/ sen θ0 . Como la curvatura normal en la esfera unidad es constante e igual a ±1 (seg´un la orientaci´on del normal), kg (ϕ )2 = kα (ϕ )2 − kn (ϕ )2 = (1/ sen2 θ0 ) − 1 = cotg2 (θ0 ): la curvatura geod´esica vale kg (ϕ ) = ± cotg θ0 , dependiendo de la orientaci´on elegida. Finalmente, obs´ervese que la curvatura geod´esica de un paralelo es cero si, y s´olo ♦ si, θ0 = π /2, esto es, si el paralelo es el ecuador (circunferencia m´axima). 5.3.

´ EXPONENCIAL LA APLICACION

Sea S una superficie regular. Sabemos que, para cada p ∈ S y cada v ∈ Tp S, existe una u´ nica geod´esica maximal γv : Iv −→ S cuyas condiciones iniciales son γv (0) = p y γv0 (0) = v. Representamos por D p el conjunto D p = {v ∈ Tp S : 1 ∈ Iv },

(5.11)

que va a ser el dominio de la aplicaci´on exponencial, la cual definimos a continuaci´on. Definici´on 5.3.1. Se define la aplicaci´on exponencial en p ∈ S como la aplicaci´on ( expp (v) = γv (1), (5.12) expp : D p ⊂ Tp S −→ S dada por expp (0) = p. 192

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Observaci´on 5.3. Obs´ervese que si la superficie S es geod´esicamente completa, entonces 1 ∈ Iv para cualquier v ∈ Tp S. Por lo tanto, el dominio de la aplicaci´on exponencial es todo el plano tangente: D p ≡ Tp S. ♦ Antes de estudiar propiedades interesantes de la aplicaci´on exponencial, vamos a probar un lema de gran utilidad: el lema de homogeneidad de las geod´esicas. Lema 5.3.2 (de homogeneidad de las geod´esicas). Sean S una superficie regular, p ∈ S y v ∈ Tp S. Sea γv : Iv −→ S la geod´esica maximal con γv (0) = p y γv0 (0) = v, y sea ¡ ¢ λ 6= 0 un n´umero real arbitrario. Si (−ε , ε ) ⊂ Iv , entonces −ε / |λ | , ε / |λ | ⊂ Iλ v , y ¢ ¡ adem´as γλ v (t) = γv (λ t), para todo t ∈ −ε / |λ | , ε / |λ | , donde γλ v : Iλ v −→ S es la u´ nica geod´esica maximal con condiciones iniciales γλ v (0) = p y γλ0 v (0) = λ v. Demostraci´on. Definimos una nueva curva α : Iα −→ S de la forma α (t) := γv (λ t), donde el intervalo de definici´on Iα = {t ∈ R : λ t ∈ Iv }. Entonces, α (0) = γv (0) = p y α 0 (0) = λ γv0 (0) = λ v. Adem´as,

¢> £ ¤> ¡ Dγ 0 Dα 0 (t) = α 00 (t) = λ 2 γv00 (λ t) = λ 2 v (λ t) = 0, dt dt

ya que γv es una geod´esica. En consecuencia, α es tambi´en una geod´esica en la superficie S con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = λ v, y por el teorema de existencia y unicidad de geod´esicas maximales (v´ease el teorema 5.2.2), podemos asegurar que Iα ⊂ Iλ v y que α ≡ γλ v |Iα ; luego

γλ v (t) = α (t) = γv (λ t). ¢ ¡ Falta demostrar que −ε / |λ | , ε / |λ | ⊂ Iλ v . Concretamente, vamos a probar que ¢ ¡ −ε / |λ | , ε / |λ | ⊂ Iα , y como ya sabemos que Iα ⊂ Iλ v , tendremos el resultado. ¢ ¡ Sea t ∈ −ε / |λ | , ε / |λ | , lo cual implica que −ε / |λ | < t < ε / |λ |, es decir, que −ε < |λ |t < ε . Entonces, −ε < λ t < ε , independientemente de que λ sea positivo o negativo, lo que demuestra que λ t ∈ (−ε , ε ) ⊂ Iv . Por lo tanto, t ∈ Iα . Veamos algunas propiedades importantes que verifica la aplicaci´on exponencial. Teorema 5.3.3 (Propiedades de la aplicaci´on exponencial). Sean S una superficie regular y p ∈ S. Se verifican las siguientes propiedades: i) Para cualesquiera v ∈ Tp S y t ∈ Iv , tv ∈ D p y, adem´as, expp (tv) = γv (t). i.a) D p es estrellado respecto a 0. i.b) Para todo v ∈ Tp S, existe λ > 0 tal que λ v ∈ D p ; es decir, todas las direcciones est´an en D p , para el m´odulo adecuado. ii) D p ⊂ Tp S es un abierto, y expp : D p −→ S es una aplicaci´on diferenciable. iii) La aplicaci´on expp es un difeomorfismo local en 0, es decir, existe un entorno U(0) ⊂ D p de 0 tal que expp (U) = V es un entorno de p es S para el cual expp : U −→ V es un difeomorfismo. 193

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Demostraci´on. Veamos i). Sean v ∈ Tp S y t ∈ Iv , con γv : Iv −→ S la correspondiente geod´esica maximal. Si t = 0, entonces 0v = 0 ∈ D p (por convenio); luego expp (0v) = expp (0) = p = γv (0). Supongamos por tanto que t 6= 0. Como t ∈ Iv , el lema de homogeneidad 5.3.2 nos asegura que 1 = t/t ∈ Itv , donde γtv : Itv −→ S es la u´ nica geod´esica maximal con condiciones iniciales γtv (0) = p y γtv0 (0) = tv. Esto demuestra que tv ∈ D p . Adem´as, por el citado lema, expp (tv) = γtv (1) = γv (t). Los subapartados i.a), i.b) son consecuencias de i). Para ver i.a), sea v ∈ D p . Queremos demostrar que [0, v] = {λ v : 0 ≤ λ ≤ 1} ⊂ D p . Como v ∈ D p , por definici´on 1 ∈ Iv , y dado que 0 ∈ Iv siempre, podemos concluir que [0, 1] ⊂ Iv . Luego si λ ∈ [0, 1] ⊂ Iv , el apartado i) nos asegura que λ v ∈ D p , como quer´ıamos demostrar. Tomemos ahora v ∈ Tp S para probar i.b). Dado que siempre se verifica que 0 ∈ Iv , entonces va a existir λ > 0 con λ ∈ Iv . Por i), λ v ∈ D p . Con respecto a la demostraci´on de ii), vamos a omitir su inclusi´on en el texto por su longitud y complejidad, y por basarse fundamentalmente en resultados t´ecnicos de ecuaciones diferenciales y en la dependencia de sus soluciones con respecto a las ´ condiciones iniciales, que no aportan nada significativo a los objetivos del libro. Esta puede consultarse, por ejemplo, en [28]. As´ı pues, pasemos a demostrar iii). Para ello, calculamos la diferencial en el origen de la aplicaci´on expp : D p ⊂ Tp S −→ S, esto es, ¯ d ¯¯ d(expp )0 : T0 D p ≡ Tp S −→ Tp S dada por d(expp )0 (v) = ¯ (expp ◦α )(t), dt t=0

donde α : I −→ D p es una curva en D p con α (0) = 0 y α 0 (0) = v. Tomemos, por ejemplo, α (t) = tv, curva que est´a contenida en D p . Entonces, ¯ ¯ d ¯¯ d ¯¯ d(expp )0 (v) = ¯ expp (tv) = ¯ γv (t) = γv0 (0) = v. dt dt t=0

t=0

En consecuencia, d(expp )0 = 1Tp S es la aplicaci´on identidad en el plano tangente, y por tanto, es un isomorfismo lineal. El teorema de la funci´on inversa nos asegura entonces que expp es un difeomorfismo local en 0, como se quer´ıa demostrar.4

Geom´etricamente, la aplicaci´on exponencial nos dice, para cada v ∈ D p , cu´al es el punto de la geod´esica maximal γv que parte de p, con velocidad v, que se obtiene cuando la recorremos una distancia |v|. En efecto, como expp (v) = γv (1), la longitud de γv entre p = γv (0) y expp (v) = γv (1) es Z 1¯ Z 1 Z 1¯ ¯ ¯ ¯γv0 (0)¯ dt = ¯γv0 (t)¯ dt = |v| dt = |v| . L01 (γv ) = 0

0

0

Ejemplo 5.9 (La aplicaci´on exponencial en la esfera). Consideremos la esfera S2 (r). Sabemos que sus geod´esicas son los c´ırculos m´aximos (v´ease el ejemplo 5.5), cuya ecuaci´on viene dada por (5.6). Luego expp : Tp S2 (r) −→ S2 (r) es µ ¶ µ ¶ |v| |v| r p+ sen v. (5.13) expp (v) = γv (1) = cos |v| r r 4

Intuitivamente, este ep´ıgrafe prueba que las geod´esicas que parten de un punto fijo ((rellenan)) toda la superficie en un entorno de dicho punto: no dejan ((huecos vac´ıos)).

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v1

0



p 6

v

9

expp (v1 )

Consideremos ahora el ecuador de la esfera (con respecto a p), que puede expreª © sarse como el conjunto de puntos E = q ∈ S2 (r) : hp, qi = 0 . Nos preguntamos entonces: ¿para qu´e vectores v ∈ Tp S2 (r) su imagen por la aplicaci´on exponencial ­ ® est´a sobre el ecuador? Es evidente que expp (v) ∈ E si, y s´olo si, p, expp (v) = 0, es ¡ ¢ decir, s´olo si cos |v| /r = 0 (utilizando (5.13), ya que hp, vi = 0). Por tanto, expp (v) ∈ E si, y s´olo si, |v| = (π /2)r. Adem´as, fijado q ∈ E, el vector v est´a determinado de forma u´ nica: expp (v) = q si, y s´olo si, µ ¶ µ ¶ v2 |v| |v| r w =0 y sen cos v = q; |v| r r exp (v ) p

q

−p ´ Figura 5.4: La aplicacion exponencial en la esfera S2 .

2

la primera condici´on es equivalente a que se cumpla |v| = (π /2)r, y sustituyendo en la segunda, obtenemos el u´ nico vector que verifica ambas condiciones: v = (π /2)q. Ahora nos preguntamos por el punto ant´ıpoda: ¿para qu´e vectores la aplicaci´on exponencial llega a −p? De nuevo, usando (5.13), sabemos que expp (v) = −p si, y s´olo si, µ ¶ µ ¶ |v| |v| r sen p+ v = −p, expp (v) = cos |v| r r ¡ ¢ ¡ ¢ lo cual se satisface si, y s´olo si, sen |v| /r = 0 y cos |v| /r = −1, es decir, cuando |v| = π r. Existen, por tanto, infinitos vectores cuya imagen por la aplicaci´on exponencial es el punto −p: expp no es inyectiva. En particular, ª © U = v ∈ Tp S2 (r) : |v| < π r = D(0, π r) ⊂ Tp S2 (r)

es el mayor entorno de 0 donde expp |U : U −→ S2 (r)\{−p} es un difeomorfismo.♦ Esta situaci´on puede trasladarse a una superficie arbitraria S; se trata por tanto de buscar el mayor entorno de cada punto donde la aplicaci´on exponencial sea un difeomorfismo. Esto motiva la siguiente definici´on. Definici´on 5.3.4. Un entorno V de p ∈ S es un entorno normal de p si V es la imagen, por la aplicaci´on exponencial, de un entorno U de 0 ∈ Tp S verificando i) U es estrellado respecto a 0 y ii) expp |U : U −→ V es un difeomorfismo. El punto p es el centro del entorno normal. Por el apartado iii) del teorema 5.3.3, estos entornos siempre existen para todo punto de una superficie y, como iremos viendo en el desarrollo de este cap´ıtulo y posteriores, son esenciales en el estudio de las cuestiones m´etricas en una superficie. El resultado que presentamos a continuaci´on es una primera aplicaci´on de los entornos normales. Es bien conocido que, en el plano, si fijamos un punto y cogemos cualquier otro, entonces existe una u´ nica l´ınea recta que pasa por ambos. Esto tambi´en es cierto para superficies en el a´ mbito de un entorno normal. 195

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Teorema 5.3.5 (Existencia y unicidad de geod´esicas radiales). Sea V un entorno normal de p0 ∈ S. Entonces, para todo p ∈ V , existe un u´ nico segmento de geod´esica γ p : [0, 1] −→ V con γ p (0) = p0 , γ p (1) = p y γ p (t) ∈ V para todo t ∈ [0, 1]. El segmento de geod´esica γ p se denomina segmento de geod´esica radial5 que une p0 con p. En general, e inspirados por la misma situaci´on en el plano, cualquier entorno V verificando las condiciones del teorema se dice estrellado respecto a p0 . Demostraci´on. Veamos primero la existencia. Como V es un entorno normal de p0 , entonces V = expp0 (U), siendo U ⊂ D p0 un entorno estrellado del origen 0 de Tp0 S, y verific´andose adem´as que expp0 |U : U −→ V es un difeomorfismo. Por lo tanto, si p ∈ V , existe un u´ nico v ∈ U tal que expp0 (v) = p. Adem´as, por definici´on, p = expp0 (v) = γv (1), donde γv : Iv −→ S es la geod´esica maximal con γv (0) = p0 y γv0 (0) = v. Definimos entonces el segmento de geod´esica radial como γ p := γv |[0,1] . Claramente, γ p (0) = γv (0) = p0 y γ p (1) = γv (1) = p. Por otro lado, si t ∈ [0, 1], γ p (t) = γv (t) = expp0 (tv); adem´as, como U es estrellado respecto a 0 y t ∈ [0, 1], entonces tv ∈ U, lo que prueba que γ p (t) = expp0 (tv) ∈ expp0 (U) = V . Veamos la unicidad. Sea α : [0, 1]−→V otro segmento de geod´esica con α (0) = p0 y α (1) = p. Tenemos que probar que α ≡ γ p , siendo γ p = γv |[0,1] el segmento de geod´esica radial que se ha construido en el p´arrafo anterior. Sea w := α 0 (0) ∈ Tp0 S, y consideremos la geod´esica maximal γw : Iw −→ S, con γw (0) = p0 y γw0 (0) = w. Por la unicidad de las geod´esicas maximales, [0, 1] ⊂ Iw y α ≡ γw |[0,1] . En particular, para todo t ∈ [0, 1] y

α (t) = γw (t) = expp0 (tw)

p = α (1) = γw (1) = expp0 (w) ∈ V. ¡ ¢ Vamos a demostrar que w ∈ U. Como α [0, 1] es un compacto, podemos encon¡ ¢ trar un abierto V0 verificando que α [0, 1] ⊂ V0 y la clausura clV0 ⊂ V . Tomemos entonces expp0 −1 (V0 ) := U0 ⊂ U (v´ease la figura 5.5) y la curva ¡ ¢ e (t) := expp0 −1 α (t) . e : [0, 1] −→ U0 dada por α α Tp0 S

S

U0 0 t0 w ? U Figura 5.5: Unicidad

αe

expp0

α e (t0 ) 

V

-

expp0 −1

p0

γ

V0 p

p

α

? w

´ del segmento de geodesica radial.

¢ ¡ ¢ ¡ e (0) y adem´as α e [0, 1] ⊂ U0 , Claramente, 0 = expp0 −1 (p0 ) = expp0 −1 α (0) = α ¡ ¢ ya que α [0, 1] ⊂ V0 . Obs´ervese por otro lado que, como expp0 −1 es una aplicaci´on 5

Observemos que, en general, este segmento de geod´esica no est´a parametrizado por el arco.

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continua (en V , donde es un difeomorfismo), expp0 −1 (clV0 ) es un cerrado verificando U0 ⊂ expp0 −1 (clV0 ) ⊂ expp0 −1 (V ) = U, y por tanto, clU0 ⊂ expp0 −1 (clV0 ) ⊂ U. Si w 6∈ U0 , dado que clU0 ⊂ U, ambos U0 ,U son conexos y U es estrellado respecto a 0, podr´ıamos asegurar la existencia de t0 ≤ 1 tal que t0 w 6∈ U0 pero t0 w ∈ U. En tal caso, expp0 (t0 w) = γw (t0 ) = α (t0 ). Ahora bien, tal y como hemos definido la ¡ ¢ e (t0 ) , donde α e (t0 ) ∈ U0 por la construcci´on e , sabemos que α (t0 ) = expp0 α curva α ¡ ¢ e (t0 ) = expp0 (t0 w) con t0 w 6= α e (t0 ), lo de U0 . Habr´ıamos llegado as´ı a que expp0 α que contradir´ıa la inyectividad de expp0 (dentro de U). Por lo tanto, w ∈ U0 ⊂ U. Tenemos entonces que expp0 (v) = p = expp0 (w), con v, w ∈ U, lo que nos permite concluir que v = w por la inyectividad de expp0 . En consecuencia, α = γw |[0,1] = γv |[0,1] = γ p , tal y como se quer´ıa demostrar.

5.3.1.

El lema de Gauss

Sean S una superficie regular y p ∈ S. Elegimos un vector cualquiera v ∈ D p , para el que vamos a estudiar la diferencial d(expp )v : Tv D p ≡ Tp S −→ Texpp (v) S. Sea w ∈ Tp S. Nos preguntamos entonces qu´e se puede decir de d(expp )v (w). El lema de Gauss nos da la respuesta. Desde luego, si v = 0, ya sabemos que d(expp )0 = 1Tp S , por lo que vamos a suponer que v 6= 0. Lema 5.3.6 (de Gauss –primera versi´on). Sean S una superficie regular, p ∈ S y v ∈ D p , con v 6= 0. Sea adem´as w ∈ Tp S. ¯ ¯ i) Si w y v son colineales, entonces ¯d(expp )v (w)¯ = |w|. ii) Si w y v son ortogonales, entonces d(expp )v (v), d(expp )v (w) son ortogonales.

6

v+w

0 D p ⊂ Tp S

v+ ε w* 6 ε w v −ε w v− ε w

Figura 5.6: Dominio de ϕ .

j?

w

Demostraci´on. Supongamos primero que w y v son colineales, esto es, w = λ v para un cierto λ > 0. Entonces, tomando la curva α (t) = v + tw = (1 + λ t)v, que est´a contenida en D p y verifica α (0) = v, α 0 (0) = w, se tiene que ¯ ¯ ¢ ¡ d ¯¯ d ¯¯ d(expp )v (w) = ¯ expp (1 + λ t)v = ¯ γv (1 + λ t) = λ γv0 (1), dt t=0 dt t=0

donde, como es usual, γv : Iv −→ S es la geod´esica maximal con γv (0) = p, γv0 (0) = v. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Tomando m´odulos, ¯d(expp )v (w)¯ = |λ | ¯γv0 (1)¯ = |λ | ¯γv0 (0)¯ = |λ | |v| = |w|. Estudiemos ahora el segundo caso, y supongamos por tanto que w y v son orto¡ ¢ gonales. Definimos ϕ (s,t) = expp s(v + tw) . ¿Cu´al es su dominio de definici´on? Sea α (t) = v + tw. Claramente, existe ε > 0 tal que, si t ∈ (−ε , ε ), entonces α (t) = v + tw ∈ D p (v´ease la figura 5.6). En consecuencia, al ser D p estrellado respecto al origen 0 ∈ Tp S, si s ∈ [0, 1], se tiene que sα (t) = s(v + tw) ∈ D p . Ahora bien, como D p es un abierto, podemos asegurar la existencia de un ε 0 > 0 (independiente de t), verificando que para todo s ∈ (−ε 0 , 1 + ε 0 ), sα (t) ∈ D p . En efecto, si D p = Tp S el resultado es trivial. Si D p ⊂ Tp S estrictamente y representamos 197

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por τ el tri´angulo con v´ertices 0, v + ε w y v − ε w, que es un compacto (v´ease la figura 5.6), es evidente que la distancia (eucl´ıdea, en Tp S) ρ = dist(τ , Tp S\D p ) > 0; basta tomar entonces ε 0 > 0 verificando ε 0 < ρ /2. As´ı pues, la aplicaci´on ¢ ¡ ϕ : (−ε 0 , 1 + ε 0 ) × (−ε , ε ) −→ S, dada por ϕ (s,t) = expp sα (t) est´a bien definida. Adem´as, es claro que,

∂ϕ (1, 0) = d(expp )v (w) ∂t

∂ϕ (1, 0) = d(expp )v (v), ∂s ¯ y por lo tanto, es suficiente demostrar que h∂ ϕ /∂ t, ∂ ϕ /∂ si ¯(t,s)=(1,0) = 0. Para ello, definimos la funci´on ¿ À ∂ϕ ∂ϕ f (s) := (s, 0), (s, 0) , con s ∈ (−ε 0 , 1 + ε 0 ). ∂t ∂s y

Claramente se tiene que f (0) = 0, ya que (∂ ϕ /∂ t)(0, 0) = d(expp )0 (0) = 0, siendo adem´as su derivada À ¿ À ¿ 2 ∂ϕ ∂ 2ϕ ∂ ϕ ∂ϕ 0 (s, 0), (s, 0) + (s, 0), 2 (s, 0) . (5.14) f (s) = ∂ t∂ s ∂s ∂t ∂s

Estudiemos los dos sumandos de (5.14) separadamente, comenzando por el segundo. Por un lado, ¢ ∂ 2ϕ d2 ¡ (s, 0) = expp (sv) = γv00 (s). 2 2 ∂s ds Como γv es una geod´esica, el campo velocidad γv0 es paralelo, y por tanto, γv00 (s) est´a en la direcci´on del normal a la superficie en el punto ϕ (s, 0). Por otro lado, si βs : (−ε , ε ) −→ S representa la curva βs (t) = ϕ (s,t), entonces ¯ ∂ϕ d ¯¯ (s, 0) = ¯ ϕ (s,t) = βs0 (0) ∈ Tβs (0) S = Tϕ (s,0) S ∂t dt t=0 ® ­ es un vector tangente a S. En consecuencia, (∂ ϕ /∂ t)(s, 0), (∂ 2 ϕ /∂ s2 )(s, 0) = 0.

¿

Finalmente, estudiamos el primer sumando de (5.14). ¯ À À ¿ ¯ µ ¶ ¯ ∂ 2ϕ ∂ϕ ∂ ¯¯ ∂ϕ ∂ϕ (s, 0), (s, 0) = (s,t) , (s,t)¯¯ ¯ ∂ t∂ s ∂s ∂ t t=0 ∂ s ∂s t=0 ¯ ¿ ¯ ¯ ¯2 À ¯ 1 ∂ ¯¯ 1 ∂ ¯¯ ¯¯ ∂ ϕ ∂ϕ ∂ϕ ¯ . = (s,t), (s,t) = (s,t) ¯ 2 ∂ t ¯t=0 ∂ s ∂s 2 ∂ t ¯t=0 ¯ ∂ s

Ahora bien,

¡ ¢ ¢´ ∂ϕ ∂ ³ ∂ ¡ (s,t) = expp sα (t) = γα (t) (s) = γα0 (t) (s), ∂s ∂s ∂s

por lo que ¯2 ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯∂ϕ ¯ = ¯γ (s)¯¯ = ¯¯γ 0 (0)¯¯ = ¯α (t)¯2 = |v + tw|2 = |v|2 +2t hv, wi+t 2 |w|2 . ¯ (s,t) α (t) α (t) ¯ ¯ ∂s 198

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Geod´esicas en superficies

Entonces, se tiene finalmente que À ¿ 2 ´¯ ∂ ϕ 1³ ∂ϕ ¯ (s, 0), (s, 0) = 2 hv, wi + 2t |w|2 ¯ = hv, wi = 0, ∂ t∂ s ∂s 2 t=0

ya que, por hip´otesis, los vectores v y w son ortogonales. En resumen, dado que ambos sumandos en la expresi´on (5.14) se anulan, entonces f 0 (s) = 0, lo cual implica que f es constante. Como adem´as f (0) = 0, podemos concluir que f ≡ 0, lo que termina la demostraci´on.

El lema de Gauss admite una segunda versi´on, que no es m´as que la interpretaci´on geom´etrica del resultado ya demostrado. Para enunciarlo, necesitamos algunas definiciones previas. Definici´on 5.3.7. Sea S una superficie regular y sean p ∈ S y r > 0 de forma que D(0, r) ⊂ D p . Se denomina disco geod´esico de centro p y radio r al conjunto ³© ª´ ¡ ¢ D(p, r) := expp v ∈ Tp S : |v| < r = expp D(0, r) . © ª Si r > 0 es tal que S(0, r) = v ∈ Tp S : |v| = r ⊂ D p , se define la circunferencia geod´esica de centro p y radio r como ³© ª´ ¡ ¢ S(p, r) := expp v ∈ Tp S : |v| = r = expp S(0, r) . Finalmente, se denomina radio geod´esico que parte de p a la imagen, por la aplicaci´on exponencial expp , de una semirrecta en Tp S que parte de 0. Observaci´on 5.4. Las siguientes propiedades son inmediatas: i) Claramente, S(0, r) = bd D(0, r). ii) Sea r > 0 suficientemente peque˜no para que cl D(0, r) ⊂ U, donde U ⊂ D p es un abierto tal que expp |U es un difeomorfismo. Entonces ³ ¡ ¢´ ¡ ¢ ¡ ¢ S(p, r) = expp S(0, r) = expp bd D(0, r) = bd expp D(0, r) = bd D(p, r). iii) Siempre existen discos geod´esicos centrados en cualquier punto p: como D p es abierto, queda asegurada la existencia de r > 0 tal que D(0, r) ⊂ D p . ♦ Lema 5.3.8 (de Gauss –versi´on geom´etrica). En una superficie regular las circunferencias geod´esicas y los radios geod´esicos se cortan ortogonalmente. Demostraci´on. Demostrar que radio geod´esico y disco geod´esico se cortan ortogonalmente en un punto es equivalente a probar que los vectores tangentes a tales curvas en dicho punto son ortogonales. Vamos a ver que los vectores d(expp )v (v) y d(expp )v (w) son los vectores tangentes del radio geod´esico y la circunferencia geod´esica, respectivamente, cuando v y w son ortogonales. Por definici´on, ¯ ¯ ¢ ¢ ¡ ¡ d ¯¯ d ¯¯ d(expp )v (v) = ¯ expp α (t) y d(expp )v (w) = ¯ expp β (t) , (5.15) dt t=0 dt t=0 199

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

donde α y β son curvas en D p ⊂ Tp S verificando que α (0) = v, α 0 (0) = v, β (0) = v y β 0 (0) = w ⊥ v. As´ı, si α (t) = v + tv es la semirrecta en Tp S que parte de v con ¢ ¡ velocidad v, entonces expp α (t) es el radio geod´esico en S que parte de p con velocidad, precisamente, su derivada en el cero, es decir, d(expp )v (v) (v´eanse la primera igualdad en (5.15) y la figura 5.7). d(expp )v (v)

3

0 S(0, r)

-

v

-

q radio

expp

p

-

?w

S(p, r)

geod´esico

w

d(expp )v (w)

´ geometrica ´ Figura 5.7: Version del lema de Gauss.

De modo similar, si tomamos como β (t) la circunferencia en Tp S centrada en 0 y con radio |v|, que en t = 0 pasa por el punto v con velocidad w (v´ease la figura ¢ ¡ 5.7), entonces expp β (t) es la circunferencia geod´esica en S de centro p y radio |v|, siendo el vector velocidad en t = 0 de esta curva, precisamente, su derivada en el cero, es decir, d(expp )v (w) (v´eanse la segunda igualdad en (5.15) y la figura 5.7). La primera versi´on del lema de Gauss (lema 5.3.6) concluye la demostraci´on.

Este resultado generaliza lo que sucede en el plano eucl´ıdeo: una circunferencia y sus radios siempre se cortan ortogonalmente. Por otra parte, tambi´en expresa el hecho intuitivo de que la direcci´on en la que m´as r´apidamente aumenta la distancia con respecto a un punto fijo es la direcci´on radial. El siguiente resultado nos remite de nuevo a una de las propiedades de las rectas en el plano. Recordemos que hemos definido las geod´esicas como generalizaciones de las rectas, en el sentido de que su aceleraci´on intr´ınseca (es decir, la derivada covariante de su velocidad) es nula. Tambi´en hemos efectuado una generalizaci´on en t´erminos de su curvatura ((intr´ınseca)), ya que son las curvas de una superficie cuya curvatura geod´esica es nula. Falta comprobar si las geod´esicas tambi´en extienden el concepto de l´ınea recta en el plano como curvas de longitud m´ınima que unen dos puntos dados. Esto es as´ı, pero s´olo localmente y con bastantes matices: el hecho de que una superficie regular tenga, en general, una ((forma)) m´as o menos complicada, nos impide extender directamente este resultado al a´ mbito de lo global. Teorema 5.3.9 (Propiedad minimizante de las geod´esicas). Sean S una superficie regular, V (p0 ) un entorno normal centrado en p0 ∈ S y p ∈ V . El segmento de geod´esica radial γ p : [0, 1] −→ V que une p0 = γ p (0) y p = γ p (1) es la u´ nica curva contenida en V de menor longitud uniendo p0 y p; es decir, si α : [a, b] −→ V es otra curva en V con α (a) = p0 y α (b) = p, entonces L01 (γ p ) ≤ Lab (α ), d´andose la igualdad si, y s´olo si, α es una reparametrizaci´on de γ p . Adem´as, si r > 0 es tal que D(p0 , r) ⊂ V (p0 ), dado p ∈ D(p0 , r) se tiene que ≤ Lab (α ), para toda curva α : [a, b] −→ S verificando α (a) = p0 y α (b) = p.

L01 (γ p ) 200

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Geod´esicas en superficies

Demostraci´on. Veamos la primera parte. Dado p ∈ V , sabemos que, si t ∈ [0, 1], γ p (t) = γv (t) = expp0 (tv) es la geod´esica maximal para el (´unico) vector v tal que expp0 (v) = p. Sea α : [a, b] −→ V con α (a) = p0 y α (b) = p otra curva cualquiera. Z 1¯ Z 1¯ Z 1¯ ¯ ¯ ¯ ¯γ p0 (t)¯ dt = ¯γv0 (t)¯ dt = ¯γv0 (0)¯ dt = |v| . L01 (γ p ) = 0

Vamos a demostrar que

0

Lab (α )

0

≥ |v|. Para ello, distinguimos dos casos.

i) Supongamos en primer lugar que p = p0 . En tal caso, v = 0, por lo que, trivialmente, Lab (α ) ≥ 0 = |v|. Adem´as, si Lab (α ) = 0, entonces α es constante; y como α (a) = p0 , podemos concluir que α ≡ p0 ≡ γ p .

[0, 1]

α

- V ⊂S 6

@ @ expp0 |U expp0 |U @ αe @ ? @ R U ⊂D @

ii) Supongamos por tanto que p 6= p0 . Por comodidad, reparametrizamos α de manera que α (0) = p0 y α (1) = p. Como α (0) = p0 6= p = α (1), existir´a un t0 ≥ 0 tal que α (t0 ) = p0 y α (t) 6= p0 , para todo t > t0 . Tomamos entonces α |[t0 ,1] . Cla¡ ¢ ramente, L01 (α ) ≥ Lt10 α |[t0 ,1] , por lo que es suficiente trabajar con el trozo de ¢ ¡ curva α |[t0 ,1] y ver que Lt10 α |[t0 ,1] ≥ |v| = L01 (γ p ). Hemos ((suprimido)) as´ı un posible intervalo en el que, o bien α es constantemente igual a p0 , o bien α es un lazo, esto es, sale de p0 y vuelve a pasar por dicho punto m´as adelante. Volvemos entonces a reparametrizar α |[t0 ,1] para que α (0) = p0 y α (1) = p. Ahora se verifica adem´as la condici´on adicional de que α (t) 6= p0 , para todo t > 0. Como V es entorno normal de p0 , sabemos que V = expp0 (U), siendo U ⊂ D p0 el entorno estrellado del origen 0 de Tp0 S para el cual expp0 |U : U −→ V es un
−1 difeomorfismo. Tomamos entonces la curva en el tangente

¡ ¢−1 ¡ ¢ e (t) = expp0 |U α α (t) ∈ U ⊂ D p0 .

p0

e (t) = 0 para e (t) 6= 0 si t > 0; en efecto, si α Obs´ervese en primer lugar que α alg´un t > 0, se tendr´ıa que α (t) = expp0 (0) = p0 , una contradicci´on. Definimos entonces las funciones ( ¯ ¯ e (t)¯ > 0 si t > 0, r(t) := ¯α e (t) e (t) α α ¯= y V (t) = ¯¯ si t > 0. e (t)¯ r(t) α r(0) := 0, ¯ ¯ ­ ® Claramente, ¯V (t)¯ = 1, por lo que V 0 (t),V (t) = 0; esto es, V (t) y V 0 (t) son ¯ ¡ ¢ ¡ ¢ e (t) = expp0 r(t)V (t) . Derivando esta ortogonales. Adem´as, α (t) = expp0 ¯U α expresi´on se tiene ¡ ¢ α 0 (t) = d(expp0 )r(t)V (t) r0 (t)V (t) + r(t)V 0 (t) ¡ ¢ ¡ ¢ = r0 (t)d(expp0 )r(t)V (t) V (t) + r(t)d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) ,

y finalmente, tomando m´odulos y aplicando el lema de Gauss 5.3.6, obtenemos ¯ ¯ ¯ 0 ¯2 ¡ ¢¯ ¡ ¢¯ ¯α (t)¯ = r0 (t)2 ¯d(expp )r(t)V (t) V (t) ¯2 + r(t)2 ¯d(expp )r(t)V (t) V 0 (t) ¯2 0 0 ­ ¡ ¢ ¡ ¢® + 2r(t)r0 (t) d(expp0 )r(t)V (t) V (t) , d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) ¯ ¯2 ¯ ¡ ¢¯2 = r0 (t)2 ¯V (t)¯ + r(t)2 ¯d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) ¯ + 0 ¯ ¡ ¢¯2 = r0 (t)2 + r(t)2 ¯d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) ¯ ≥ r0 (t)2 , para todo t ∈ (0, 1]. 201

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

¯ ¯ ¯ ¯ Por tanto, ¯α 0 (t)¯ ≥ ¯r0 (t)¯ ≥ r0 (t) para todo t ∈ (0, 1]. Si ahora calculamos la longitud de α , usando la desigualdad anterior se obtiene el resultado buscado: Z 1¯ Z 1 Z 1¯ ¯ ¯ ¡ ¢ 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ α (t) dt = l´ım α (t) dt ≥ l´ım r0 (t) dt = l´ım r(1) − r(ε ) L0 (α ) = ε →0 ε ε →0 ε ε →0 0 ¯ ¯¯¡ ¯ ¢−1¡ ¢¯¯ ¯¯¡ ¢−1 ¯¯ ¯ ¯ e α (1) ¯ = ¯ expp0 |U (p)¯ = |v| . = r(1)− r(0) = α (1) = ¯ expp0 |U Para concluir la demostraci´on de la primera parte del teorema falta caracterizar la igualdad. Si L01 (α ) = L01 (γ p ) = |v|, debe darse la igualdad en todas las ¯ ¯ desigualdades anteriores. As´ı, L01 (α ) = L01 (γ p ) si, y s´olo si, ¯r0 (t)¯ = r0 (t) y ¯ ¡ ¢¯ ¯d(expp )r(t)V (t) V 0 (t) ¯ = 0, lo cual es equivalente a su vez a que r0 (t) > 0 y 0 ¡ ¢ d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) = 0 para todo t ∈ (0, 1]. Como expp0 |U es un difeomorfismo en U y r(t)V (t) ∈ U, entonces d(expp0 )r(t)V (t) es un isomorfismo lineal. ¡ ¢ Luego d(expp0 )r(t)V (t) V 0 (t) = 0 si, y s´olo si, V 0 (t) = 0 para todo t ∈ (0, 1], es ¯ ¯ e (1)¯ = v/ |v|. As´ı, e (1)/ ¯α decir, si V (t) es constante, siendo V (t) = V (1) = α ¶ µ ¶ ¶ µ µ ¡ ¢ v r(t) r(t) α (t) = expp0 r(t)V (t) = expp0 r(t) = γv = γp , |v| |v| |v| ¯ ¯ e (1)¯ = |v|. Por tanto, α (t) es una repadonde, recordemos, r(0) = 0 y r(1) = ¯α rametrizaci´on mon´otona (pues r0 (t) ≥ 0) del segmento de geod´esica γ p . α p

γ

p

γ p∗ p0 D(p0 , r∗ )

D(p0 , r) Figura 5.8: γ p minimiza la longitud en los discos ´ geodesicos.

p∗

Probamos ahora la segunda parte del teorema. Sea r > 0 de forma que el disco D(p0 , r) ⊂ V (p0 ), y sea p ∈ D(p0 , r). Tenemos que demostrar que L01 (γ p ) ≤ Lab (α ), para α : [a, b] −→ S uniendo p0 y p. Reparametrizamos de nuevo la curva α para ¡ ¢ que α (0) = p0 y α (1) = p. Si α [0, 1] ⊂ D(p0 , r) ⊂ V , entonces la primera parte del teorema nos asegura que L01 (α ) ≥ L01 (γ p ). Vamos a suponer, por tanto, que la imagen de la curva α se sale del disco D(p0 , r). Sea de nuevo v ∈ U el (´unico) vector verificando que p = expp0 (v). ¡ ¢ Como el punto p ∈ D(p0 , r) = expp0 D(0, r) , se tiene que v ∈ D(0, r), es decir, |v| < r. Sea entonces r∗ > 0 tal que |v| < r∗ < r, lo que nos asegura que p ∈ D(p0 , r∗ ). Representamos por t0 el primer valor del par´ametro en el que la curva α se sale del disco D(p0 , r∗ ), esto es, © ª t0 = inf t ∈ [0, 1] : α (t) 6∈ D(p0 , r∗ ) . ¡ ¢ Entonces, α [0,t0 ] ⊂ D(p0 , r) ⊂ V , y adem´as, en los extremos α verifica α (0) = p0 y α (t0 ) =: p∗ ∈ S(p0 , r∗ ) ⊂ D(p0 , r) (v´ease la figura 5.8). Bajo tales condiciones, ¢ ¡ la primera parte del teorema asegura que Lt00 α |[0,t0 ] ≥ L01 (γ p∗ ), donde, como ya es habitual, γ p∗ representa el segmento de geod´esica radial que une p0 = γ p∗ (0) con p∗ = γ p∗ (1), (v´ease la figura 5.8). Denotemos por v∗ = γ p0 ∗ (0). Entonces, Z 1¯ Z 1 ¯¡ ¯ ¢ ¢−1 ∗ ¯¯ ¯ t0 ¡ 1 0 ¯ ¯ |v∗ | dt = |v∗ | = ¯ expp0 |U γ p∗ (t) dt = (p )¯ = r∗ ; L0 α |[0,t0 ] ≥ L0 (γ p∗ ) = 0

por lo tanto,

0

¡ ¢ L01 (α ) ≥ Lt00 α |[0,t0 ] ≥ r∗ > |v| = L01 (γ p ),

como se quer´ıa demostrar. 202

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Geod´esicas en superficies

Este teorema nos dice, en resumen, que los segmentos de geod´esica radial en un entorno normal minimizan la longitud respecto a todas las curvas contenidas en dicho entorno. Si queremos adem´as que un segmento de geod´esica radial minimice la longitud respecto a todas las curvas de la superficie, debemos trabajar en un disco geod´esico (que sea tambi´en entorno normal). En el siguiente ejemplo mostramos la necesidad de restringirnos a un disco, en lugar de s´olo a un entorno normal. Ejemplo 5.10. Consideremos el cilindro C de radio 1, y la parametrizaci´on del mismo dada por X(u, v) = (cos u, sen u, v), con (u, v) ∈ (0, 2π ) × R. Observemos que X puede verse, no s´olo como una parametrizaci´on de C, sino tambi´en como la aplicaci´on exponencial basada en cualquier punto del cilindro (evidentemente, siempre que e´ ste est´e cubierto por X). El motivo de tal afirmaci´on es que X es una isometr´ıa local y conserva las geod´esicas: una recta en el plano se aplica por X en la geod´esica correspondiente del cilindro, y e´ sta es, precisamente, la definici´on de aplicaci´on exponencial. Un detalle a tener en cuenta para que X ((pase)) de ser parametrizaci´on a aplicaci´on exponencial es que su dominio, al ser C geod´esicamente completa, debe extenderse a todo R2 . En consecuencia, X deja de ser un difeomorfismo, ya que se pierde la inyectividad. As´ı pues, en lo que sigue, veremos X como aplicaci´on exponencial. Sea ª © U = (u, u + s) ∈ R2 : (u, s) ∈ R × (−π /2, π /2) √ la banda infinita de anchura 2/2π que se extiende en la direcci´on de la recta u = v en R2 (v´ease la figura 5.9).

6

π U

?

p

X

-

expp0

-

α V

γ

p

p0

Figura 5.9: Fuera de un entorno ´ normal las geodesicas radiales no minimizan la longitud.

u=v

Es sencillo ver que la aplicaci´on X restringida a U es un difeomorfismo global. Por tanto, al ser U un abierto estrellado (respecto a cualquiera de sus puntos) se tiene que X(U) = V es un entorno normal para cualquier punto de V (v´ease la figura 5.9). Sea ahora p0 = X(u0 , u0 + s0 ) un punto arbitrario de V , que consideramos el centro del entorno normal. Si tomamos p = X(u0 + 2π , u0 + 2π + s0 ), es claro que p ∈ V , situ´andose adem´as sobre la misma generatriz del cilindro que p0 . El teorema 5.3.9 asegura que el segmento de geod´esica radial γ p que une p0 con p minimiza la longitud entre todas las curvas que unen dichos puntos y que est´an contenidas en V . La √ longitud entre p0 y p de dicha geod´esica es exactamente 2 2 π . 203

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

No obstante, se puede ver f´acilmente que existen curvas de menor longitud uniendo ambos puntos p0 y p: basta tomar la recta α (s) = (cos u0 , sen u0 , u0 + s0 + s), con s ∈ [0, 2π ] (o cualquier ((peque˜na variaci´on)) de la misma, v´ease la figura 5.9). Esta √ curva une p0 con p y su longitud es 2π < 2 2 π . Evidentemente, α no est´a contenida en V , como puede comprobarse f´acilmente. ♦

Por otro lado, la aplicaci´on exponencial va a permitir introducir sistemas de coordenadas (parametrizaciones) distinguidos en una superficie, que ser´an de gran utilidad frecuentemente, y a partir de los cuales se demuestran resultados de especial relevancia. De ello nos ocupamos en los dos u´ ltimos ep´ıgrafes de este cap´ıtulo. 5.3.2.

Las coordenadas normales

Sea p0 ∈ S un punto de una superficie regular S, y sea V un entorno normal de p0 . Como ya es usual, representamos por U el abierto estrellado para el cual expp0 : U −→ V es un difeomorfismo. Queremos encontrar una parametrizaci´on del entorno V lo m´as parecida a un referencial cartesiano local en la superficie. Con tal fin, sean {e1 , e2 } una base ortonormal del plano tangente Tp0 S y φ : R2 −→ Tp0 S la aplicaci´on dada por φ (u, v) = ue1 + ve2 ; obs´ervese que φ (0, 0) = 0 ∈ U. En consecuencia, podemos encontrar un abierto U0 ⊂ R2 , entorno del (0, 0), de forma que φ : U0 −→ U sea un difeomorfismo, abierto que podemos identificar con el propio U, U0 ≡ U. Entonces, la aplicaci´on X : U ≡ U0 ⊂ R2 −→ V ⊂ S, dada por ¢ ¡ (5.16) X(u, v) = expp0 φ (u, v) = expp0 (ue1 + ve2 ) es composici´on de difeomorfismos y, por tanto, un difeomorfismo. En definitiva, es una parametrizaci´on de V , llamada sistema de coordenadas normales en p0 . As´ı, si p ∈ V , al ser expp0 un difeomorfismo, existe un u´ nico v ∈ D p0 ⊂ Tp0 S tal que expp0 (v) = p, vector que podemos expresar en la base {e1 , e2 }: v = v1 e1 + v2 e2 . El par (v1 , v2 ) recibe el nombre de coordenadas normales del punto p. La parametrizaci´on dada por el sistema de coordenadas normales verifica algunas propiedades interesantes: i) X(0, 0) = expp0 (0) = p0 . ii) Las derivadas parciales de la parametrizaci´on en ciertos puntos concretos son: ¢ ¢ ¢ d ¡ d ¡ d ¡ γe1 (u) = γe0 1 (u). Xu (u, 0) = X(u, 0) = expp0 (ue1 ) = du du du 0 An´alogamente, Xv (0, v) = γe2 (v).

iii) En particular, Xu (0, 0) = e1 y Xv (0, 0) = e2 . iv) Respecto a los coeficientes de la primera forma fundamental: ® ­ E(u, 0) = hXu , Xu i (u, 0) = γe0 1 (u), γe0 1 (u) = he1 , e1 i = 1, F(0, 0) = hXu , Xv i (0, 0) = he1 , e2 i = 0, ® ­ G(0, v) = hXv , Xv i (0, v) = γe0 2 (v), γe0 2 (v) = he2 , e2 i = 1. 204

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Geod´esicas en superficies

Obs´ervese que s´olo en el punto (0, 0) podemos dar el valor preciso de los tres coeficientes simult´aneamente, a saber, E = 1, F = 0 y G = 1.6 5.3.3.

´ Las coordenadas geodesicas polares

Sean p0 ∈ S un punto de una superficie regular S y V un entorno normal de p0 . De nuevo, representamos por U el abierto estrellado tal que expp0 : U −→ V es un difeomorfismo. Sea adem´as {e1 , e2 } una base ortonormal del plano tangente Tp0 S. Entonces, todo vector v ∈ Tp0 S tiene asociadas unas coordenadas polares respecto a dicha base, es decir, existe un par (r, θ ) tal que v = r cos θ e1 + r sen θ e2 . De ahora en adelante, denotaremos por vr,θ el vector cuyas coordenadas polares son (r, θ ) (respecto a la base ortonormal prefijada {e1 , e2 }), y simplemente por vθ = v1,θ . Sea L = {λ e1 : λ ≥ 0} la semirrecta cerrada que parte del origen en la direcci´on positiva del vector e1 , y sea φ la aplicaci´on φ : (0, ∞) × (0, 2π ) −→ Tp0 S\L dada por φ (r, θ ) = vr,θ = r cos θ e1 + r sen θ e2 , que es un difeomorfismo global (ya que suprimimos L del conjunto imagen, donde no existe inversa). Dado que el conjunto U\L ⊂ Tp0 S\L es un abierto en el tangente, su imagen inversa U0 := φ −1 (U\L) tambi´en es abierto, e´ ste en (0, ∞) × (0, 2π ); as´ı como V0 := expp0 (U\L), que ser´a un abierto de V . Por lo tanto, la aplicaci´on X : U0 −→ V0 , dada por ¡ ¢ (5.17) X(r, θ ) = expp0 φ (r, θ ) = expp0 (vr,θ ) = expp0 (r cos θ e1 + r sen θ e2 ) es un difeomorfismo entre U0 y V0 , y, en particular, una parametrizaci´on de V0 , que se denomina sistema de coordenadas geod´esicas polares centradas en p0 . As´ı, si p ∈ V0 , al ser expp0 un difeomorfismo, existe un u´ nico v ∈ D p0 ⊂ Tp0 S tal que expp0 (v) = p. El par (r, θ ) tal que v = vr,θ = r cos θ e1 + r sen θ e2 , recibe el nombre de coordenadas geod´esicas polares del punto p centradas en p0 . Obs´ervese que p0 6∈ V0 , ya que 0 6∈ U\L, por lo que esta parametrizaci´on no cubre al propio punto p0 . Teorema 5.3.10. Sea X(r, θ ) el sistema de coordenadas geod´esicas polares centradas en p0 . Entonces se verifica que E(r, θ ) = 1, F(r, θ ) = 0, G(r, θ ) > 0 y adem´as, ¡√ ¢ l´ımr→0 G = 0 y l´ımr→0 G r = 1.

Demostraci´on. Obs´ervese que X(r, θ ) = expp0 (vr,θ ) = expp0 (rvθ ) = γvθ (r). En con­ ® secuencia, Xr = γv0 θ (r) y E = hXr , Xr i = γv0 θ (r), γv0 θ (r) = hvθ , vθ i = 1. ¢ ¡ Ahora bien, Xθ = d(expp0 )rvθ rv0θ (θ ) , mientras que Xr se puede escribir como ¡ ¢ ® ­ Xr = d(expp0 )rvθ vθ (θ ) . Adem´as, al ser |vθ | = 1, entonces v0θ (θ ), vθ (θ ) = 0, es decir, vθ y v0θ son ortogonales. Por lo tanto, el lema de Gauss nos asegura que ­ ¡ ¡ ¢ ¢® F = hXr , Xθ i = d(expp0 )rvθ vθ (θ ) , d(expp0 )rvθ rv0θ (θ ) = 0. 6

Se puede demostrar tambi´en que en el (0, 0) se anulan las primeras derivadas de E, F y G (v´ease el ejercicio 5.26). Intuitivamente, esto puede interpretarse en el sentido de que la m´etrica de una superficie, en entornos suficientemente peque˜nos, es ((casi)) eucl´ıdea.

205

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

¯ ¢¯2 ¡ Finalmente, G = hXθ , Xθ i = r2 ¯d(expp0 )rvθ vθ0 (θ ) ¯ > 0. Tan s´olo resta calcular el ¡√ ¢ l´ımite de las funciones G y G r cuando r → 0. Por la dependencia diferenciable respecto a las condiciones iniciales de las geod´esicas como soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales, podemos calcular el l´ımite ¯ ¯ ¡ ¡ ¢¯ ¯ ¢¯ ¯ l´ım ¯d(expp0 )rvθ v0θ (θ ) ¯ = ¯d(expp0 )0 v0θ (θ ) ¯ = ¯v0θ (θ )¯ r→0

= |− sen θ e1 + cos θ e2 | = 1. ¯ ¡ ¢¯ En consecuencia, ¯d(expp0 )rvθ vθ0 (θ ) ¯ es una funci´on acotada, por lo que ¯ ¢¯2 ¡ l´ım G = l´ım r2 ¯d(expp0 )rvθ v0θ (θ ) ¯ = 0.

r→0

r→0

¡√ ¢ Por u´ ltimo, para calcular el l´ımite l´ımr→0 G r , vamos a utilizar las coordenadas normales ya estudiadas en la secci´on anterior. Elegimos pues la parametrizaci´on dada por un sistema de coordenadas normales X(u, v) en p0 de suerte que el cambio de coordenadas φ (r, θ ) = (u, v) viene dado por u = r cos θ , v = r sen θ . Si representamos por E, F, G los coeficientes de su primera forma fundamental, entonces p p √ ¯ ¡ ¢¯ G(r, θ ) = EG − F 2 (r, θ ) = E G − F 2 φ (r, θ ) ¯det(J φ )(r, θ )¯ ¯ ¯ p p ¡ ¢ ¯¯ cos θ −r sen θ ¯¯ ¡ ¢ = E G − F 2 φ (r, θ ) ¯ ¯ = r E G − F 2 φ (r, θ ) ¯ sen θ r cos θ ¯

(v´ease (4.2)), y un sencillo c´alculo muestra que

p ¡ ¢ ¡ ¢´ ¡√ ¢ ∂ ³p G r (r, θ ) = E G − F 2 φ (r, θ ) + r E G − F 2 φ (r, θ ) ∂r p ¡ ¢ = E G − F 2 φ (r, θ )

+r

(G ◦ φ )(E ◦ φ )r + (E ◦ φ )(G ◦ φ )r − 2(F ◦ φ )(F ◦ φ )r (r, θ ). ¡p ¢ 2 EG − F2 ◦ φ

Obs´ervese que (u, v) → (0, 0) cuando r → 0, por lo que en el l´ımite obtenemos el punto p0 = X(0, 0), en el que las coordenadas normales est´an bien definidas y valen E(0, 0) = G(0, 0) = 1 y F(0, 0) = 0.

Adem´as, las primeras derivadas de E, F y G (respecto a u y v) tambi´en se anulan en el (0, 0) (v´ease el ejercicio 5.26). Luego · ¸ ¡ ¢∂u ¢ ¡ ¢∂v ¡ (r, θ ) + E v φ (r, θ ) (r, θ ) l´ım E ◦ φ r (r, θ ) = l´ım E u φ (r, θ ) r→0 r→0 ∂r ∂r

= E u (0, 0) cos θ + E v (0, 0) sen θ = 0. ¡ ¢ ¢ ¡ An´alogamente l´ımr→0 F ◦ φ r (r, θ ) = l´ımr→0 G ◦ φ r (r, θ ) = 0 y, en consecuencia, se obtiene que p ¡√ ¢ ¡ ¢ l´ım G r = l´ım E G − F 2 φ (r, θ ) = 1, r→0

r→0

lo que concluye la prueba. 206

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Geod´esicas en superficies

Obs´ervese que, para las coordenadas geod´esicas polares, se tiene E = 1 y F = 0. Si adem´as se tuviera G = 1, podr´ıamos concluir que tal superficie y el plano son localmente isom´etricos. Por tanto, el coeficiente G mide, de alguna forma, lo ((apartada)) que est´a la superficie de ser plana. En la siguiente observaci´on ilustramos precisamente este hecho: dentro de la propia funci´on G est´a codificada toda la geometr´ıa de la superficie, pues a partir de G se puede recuperar la curvatura de Gauss K. Observaci´on 5.5 (La curvatura de Gauss para las coordenadas geod´esicas polares). La parametrizaci´on en coordenadas geod´esicas polares es ortogonal (esto es, F = 0). En tal caso, la f´ormula (3.17) para la curvatura de Gauss se reduce a (v´ease el ejercicio 3.31) ·µ ¶ µ ¶¸ Gr −1 Eθ √ + √ K= √ . 2 EG EG θ EG r

Como E = 1, entonces Eθ = 0, y la expresi´on para K se reduce a la m´as sencilla µ ¶ µ ¶ G −1 −1 Gr −1 ³√ ´ √r √ K= √ =√ =√ G . rr 2 G G r G 2 G r G

En consecuencia, la curvatura de Gauss satisface la relaci´on √ ¡√ ¢ G K + G rr = 0

en la parametrizaci´on dada por las coordenadas geod´esicas polares.

(5.18) ♦

Ejemplo 5.11 (C´alculo de E, F y G, cuando K es constante, en coordenadas geod´esicas polares). La relaci´on (5.18) permite recuperar, de forma expl´ıcita, los coeficientes de la primera forma fundamental para la parametrizaci´on dada por las coordenadas geod´esicas polares, cuando la curvatura de Gauss es constante. As´ı, si suponemos K constante, podemos distinguir tres casos, dependiendo de que K sea estrictamente positiva, estrictamente negativa o nula. ¡√ ¢ G rr = 0, en cuyo C ASO 1: K = 0. La ecuaci´on (5.18) se reduce simplemente a ¡√ ¢ G r = B(θ ), una cierta funci´on que s´olo depende de θ . Ahora bien, caso, ¡√ ¢ ¡√ ¢ 1 = l´ımr→0 G r = l´ımr→0 B(θ ) = B(θ ), para todo θ . Luego G r = 1. √ Entonces, integrando respecto a r, se deduce que G = r + A(θ ), y utilizando √ √ ¢ ¡ que 0 = l´ımr→0 G = l´ımr→0 r + A(θ ) = A(θ ), concluimos que G = r, esto es, G = r2 . As´ı pues, los coeficientes de la primera forma fundamental son

E = 1,

F = 0,

G = r2 .

(5.19)

C ASO 2: K > 0. La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (5.18) (su polinomio asociado es x2 + K = 0, que tiene ra´ıces complejas por ser K > 0) toma la forma √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ G(r, θ ) = A(θ ) cos K r + B(θ ) sen K r , √ con A(θ ), B(θ ) funciones diferenciables. Como l´ımr→0 G = 0, A(θ ) = 0; lue√ √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ ¡√ ¢ go G = B(θ ) sen K r . Derivando en r, G r = B(θ ) K cos K r , y 207

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

√ √ ¡√ ¢ tomando de nuevo l´ımites, 1 = l´ımr→0 G r = B(θ ) K. As´ı, B(θ ) = 1/ K, constante. Los coeficientes de la primera forma fundamental son

E = 1,

F = 0,

G=

¡√ ¢ 1 sen2 K r . K

(5.20)

C ASO 3: K < 0. La soluci´on general de la ecuaci´on diferencial (5.18) (el polinomio asociado tiene ra´ıces reales, por ser K < 0) toma la forma √ ¡√ ¡√ ¢ ¢ G(r, θ ) = A(θ ) cosh −K r + B(θ ) senh −K r ,

con A(θ ), B(θ ) funciones diferenciables. De modo an´alogo al caso anterior, √ √ ¡√ ¢ como l´ımr→0 G = 0, A(θ ) = 0; luego G = B(θ ) senh −K r . Derivando ¡√ ¡√ ¢ ¢ √ G r = B(θ ) −K cosh −K r , y tomando de nuevo l´ımites, en r se tiene ¡√ ¢ √ √ se deduce que 1 = l´ımr→0 G r = B(θ ) −K. Por tanto, B(θ ) = 1/ −K, constante. Los coeficientes de la primera forma fundamental son

E = 1,

F = 0,

G=

¡√ ¢ −1 senh2 −K r . K

(5.21)

Obs´ervese que, en los tres casos, los coeficientes de la primera forma fundamental ♦ nunca dependen del a´ ngulo θ . Tan s´olo G depende, exclusivamente, de r. El c´alculo realizado en la observaci´on anterior va a permitir probar un rec´ıproco al teorema Egregium de Gauss 3.8.1, en el caso particular de superficies regulares con curvatura de Gauss constante. Este resultado fue demostrado por Minding en 1839, una d´ecada despu´es de que Gauss publicase su famoso teorema. Teorema 5.3.11 (de Minding). Sean S y S dos superficies regulares con igual curvatura de Gauss constante. Entonces, S y S son localmente isom´etricas.

Demostraci´on. Sean p ∈ S y p ∈ S cualesquiera. Tenemos que demostrar que existen entornos V (p) ⊂ S de p, V ( p) ⊂ S de p y un difeomorfismo ϕ : V −→ V , tal que ϕ es una isometr´ıa. Tomemos para ello {e1 , e2 } y {e1 , e2 } bases ortonormales de los planos tangentes Tp S y Tp S, respectivamente y construimos una isometr´ıa lineal entre los espacios vectoriales Tp S y Tp S de la manera natural:

ϕe : Tp S −→ Tp S

ϕe(ue1 + ve2 ) = ue1 + ve2 ,

dada por

para la que, claramente, ϕe(e1 ) = e1 , ϕe(e2 ) = e2 . Consideremos el diagrama ϕe

Tp S −−−−→  expp  y

Tp S  expp y

S −−−−→ S

Sean V0 y V 0 entornos normales de p y p, respectivamente, y denotemos por U0 ⊂ D p y U 0 ⊂ D p los abiertos estrellados, entornos de 0 p ∈ Tp S y 0 p ∈ Tp S, respectivamente, 208

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Geod´esicas en superficies

tales que expp : U0 −→ V0 y expp : U 0 −→ V 0 son difeomorfismos. Tomemos adem´as ¡ ¢ los abiertos U := ϕe−1 U 0 ∩ ϕe(U0 ) ⊂ U0 y U := U 0 ∩ ϕe(U0 ) ⊂ U 0 (obs´ervese que U = ϕe(U), v´ease la figura 5.10). Finalmente, representamos por V y V los entornos (de p y p, respectivamente) V := expp (U) ⊂ V0 y V := expp (U) ⊂ V 0 , y definimos la aplicaci´on ϕ como la composici´on

ϕ = expp ◦ ϕe ◦ expp −1 : V −→ V . Tp S

Tp S U U0

ϕe

0p

U

-

0p

U0

expp

expp ?

?

S

S p

V

ϕ

V0 V

-

V0

Figura 5.10: Construyendo

ϕ e(U0 )

p

la isometr´ıa ϕ entre V y V .

Vamos a demostrar que ϕ es una isometr´ıa (global) entre V y V . Desde luego, ϕ es un difeomorfismo, pues es composici´on de difeomorfismos. Para ver que es una isometr´ıa, utilizaremos el teorema 3.7.4: construiremos dos parametrizaciones X y X = ϕ ◦ X, de S y S, respectivamente, con los mismos coeficientes de la primera forma fundamental.

Para ello, sean φ : R2 −→ Tp S y φ : R2 −→ Tp S las aplicaciones dadas por

φ (r, θ ) = r cos θ e1 + r sen θ e2

y

φ (r, θ ) = r cos θ e1 + r sen θ e2 ,

−1 ´ es una buena definici´on pues, si el par y consideremos U 0 := φ −1 (U) = φ (U). Esta (r, θ ) ∈ φ −1 (U), o lo que es lo mismo, si φ (r, θ ) = r cos θ e1 + r sen θ e2 ∈ U, entonces

U′ X

φ

R - U

ϕe

expp V

X

φ

U

U ?

φ (r, θ ) = r cos θ e1 + r sen θ e2 = r cos θ ϕe(e1 ) + r sen θ ϕe(e2 )

expp

ϕ

? - V

= ϕe(r cos θ e1 + r sen θ e2 ) ∈ ϕe(U) = U, −1

de donde se deduce que (r, θ ) ∈ φ (U); el rec´ıproco es an´alogo. Construimos finalmente las parametrizaciones buscadas para nuestras superficies S y S (v´ease la figura 5.11):

X = expp ◦ φ

y

X = expp ◦ φ ,

respectivamente (en definitiva, no estamos haciendo otra cosa que considerar los sistemas de coordenadas geod´esicas polares para cada una de las superficies).

Figura 5.11: Construyendo las parametrizaciones X y X = ϕ ◦X.

209

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Es muy sencillo comprobar que el nuevo diagrama (v´ease la figura 5.11) es conmutativo, es decir, que X = ϕ ◦ X. En efecto:

X(r, θ ) = (expp ◦ φ )(r, θ ) = expp (r cos θ e1 + r sen θ e2 )

= (expp ◦ ϕe)(r cos θ e1 + r sen θ e2 ) = (ϕ ◦ expp )(r cos θ e1 + r sen θ e2 )

= (ϕ ◦ expp ◦ φ )(r, θ ) = (ϕ ◦ X)(r, θ ). Por lo tanto, ϕ = X ◦ X −1 . El teorema 3.7.4 nos asegura entonces que si los coeficientes de la primera forma fundamental de X y X coinciden, la aplicaci´on ϕ es una isometr´ıa. Ahora bien, en el ejemplo 5.11 hemos calculado los coeficientes E, F y G correspondientes a los sistemas de coordenadas geod´esicas polares, cuando la curvatura de Gauss es constante, relaciones (5.19), (5.20) y (5.21). As´ı, se tiene que E = 1 = E y F = 0 = F. Adem´as, como por hip´otesis K = K,   2   K = 0 r si K =         √  1  ¡√ ¡ ¢ ¢ 1 2 2 sen K sen K K > 0 r = r si K = G= = G. K K       p ¡√ ¡ ¢ −1 ¢   −1    senh2 −K r = senh2 −K r si K = K < 0  K K

Luego ϕ = expp ◦ ϕe ◦ expp −1 es una isometr´ıa.

Observaci´on 5.6. Obs´ervese que, para la aplicaci´on ϕ = expp ◦ ϕe ◦ expp −1 definida en la demostraci´on del teorema de Minding, se tiene adem´as que d ϕ p ≡ ϕe: ´ ³ ¡ ¡ ¢ ¢ d ϕ p (v) = d expp ◦ ϕe ◦ expp −1 p (v) = d(expp )(ϕe◦expp −1 )(p) d ϕe ◦ expp −1 p (v) ³ ¡ ¢´ ¡ ¢ = d(expp )0 p d ϕeexpp −1 (p) d(expp −1 ) p (v) = d ϕe0 p ◦ d(expp −1 ) p (v) ³ ¡ ¢−1 ´ (v) = ϕe(v), = ϕe ◦ d(expp )0 p

para todo v ∈ Tp S. En particular, d ϕ p (ei ) = ei , para i = 1, 2.

210

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♦

Geod´esicas en superficies

EJERCICIOS Ejercicio 5.1. Sea V ∈ X (α ) un campo tangente, unitario y diferenciable a lo largo de una curva α : I −→ S contenida en una superficie regular S. Demostrar que existe una funci´on diferenciable λ tal que DV /dt = λ (N ∧V ). Adem´as, si α est´a p.p.a. y el campo V = α 0 , entonces la funci´on λ es, precisamente, la curvatura geod´esica de α .

Ejercicio 5.2. Sean V,W ∈ X (α ) dos campos vectoriales tangentes, unitarios y diferenciables, a lo largo de una curva α . Supongamos que V es paralelo. Demostrar que si W (t) es ortogonal a V (t) para todo t, entonces W tambi´en es paralelo.

Ejercicio 5.3. Sean S1 y S2 dos superficies regulares tales que S1 ∩ S2 es una curva, y sea α : I −→ S1 ∩ S2 una parametrizaci´on de dicha curva. Si V ∈ X (α ) respecto a ambas superficies, demostrar con un ejemplo que V puede ser paralelo a lo largo de α considerada como curva de S1 , pero no serlo si se considera como curva de S2 (comparar este resultado con la proposici´on 5.1.10).

Ejercicio 5.4. Sean φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local entre dos superficies regulares y α : I −→ S1 una curva regular en S1 . Sea V ∈ X (α ) un campo de vectores paralelo. ¡ ¢ Probar que d φα (·) V (·) es un campo de vectores paralelo a lo largo de φ ◦ α .

Ejercicio 5.5. Sean S ⊂ R3 una superficie regular orientada y γ : I −→ S una curva en la superficie (no constante). i) Demostrar que

µ 0¶ Dγ D(Jγ 0 ) =J . dt dt

ii) Si γ es una geod´esica, probar que V ∈ X (γ ) es paralelo a lo largo de γ si, y s´olo si, tanto su m´odulo |V |, como el a´ ngulo a´ ng(γ 0 ,V ), son constantes.

Ejercicio 5.6. Demostrar que: i) Si una geod´esica es l´ınea de curvatura, entonces es una curva plana. ii) Si una geod´esica es una curva plana, entonces es una l´ınea de curvatura. iii) Dar un ejemplo de una l´ınea de curvatura plana que no sea una geod´esica. Ejercicio 5.7. Demostrar que si todas las geod´esicas de una superficie S conexa son curvas planas, entonces S es un trozo de esfera o un trozo de plano. Ejercicio 5.8. Demostrar que una curva γ : I −→ S es a la vez asint´otica y geod´esica si, y s´olo si, es un segmento de recta. Ejercicio 5.9. Sea S una superficie regular que es tangente a un plano Π a lo largo de una curva α ⊂ S. ¿Es α una geod´esica? Ejercicio 5.10. Estudiar si los paralelos y los meridianos de una superficie de revoluci´on son geod´esicas. Calcular todas sus geod´esicas. 211

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Ejercicio 5.11. Consid´erese el toro de revoluci´on generado por el giro de la circunferencia (x − a)2 + z2 = r2 , y = 0, alrededor del eje z (con a > r > 0). Los paralelos generados por los puntos (a + r, 0), (a − r, 0) y (a, r) se denominan, respectivamente, paralelo m´aximo, paralelo m´ınimo y paralelo superior. ¿Cu´ales de estos paralelos son a) geod´esicas, b) curvas asint´oticas, c) l´ıneas de curvatura? Ejercicio 5.12. Calcular la curvatura geod´esica del paralelo superior del toro. Ejercicio 5.13. Sean S una superficie regular orientada con aplicaci´on de Gauss N y α (s) una l´ınea de curvatura de S. Construimos una nueva superficie S parametriza¡ ¢ da por X(s, v) = α (s) + vN α (s) (en un abierto adecuado). Calcular las curvaturas geod´esicas de las curvas coordenadas X(s, v0 ) y X(s0 , v). Concluir que X(s, v0 ) es geod´esica si, y s´olo si, Tα (s) S es constante a lo largo de toda la curva α .

Ejercicio 5.14. Consid´erese la catenaria y = cosh x contenida en el plano z = 0, y sea S el cilindro recto construido sobre dicha curva. Dar una parametrizaci´on de esta superficie y calcular sus geod´esicas. Ejercicio 5.15. Sean S una superficie regular y Π un plano que corta a S en una curva α . Demostrar que si Π es un plano de simetr´ıa, entonces α es una geod´esica. ¿Es cierto el rec´ıproco? © ª Ejercicio 5.16 (Las f´ormulas de Darboux). Sea t(s), Jt(s), N(s) el triedro de Darboux de una curva regular α : I −→ S p.p.a. Demostrar que  0   t (s) = kg (s)Jt(s) + kn (s)N(s) (5.22) (Jt)0 (s) = −kg (s)t(s) + τg (s)N(s)   N 0 (s) = −kn (s)t(s) − τg (s)Jt(s), ® ­ donde la funci´on τg (s) = Aα (s) t(s), Jt(s) se denomina la torsi´on geod´esica de α . Las relaciones anteriores reciben el nombre de f´ormulas de Darboux. Ejercicio 5.17. Sea α : I −→ S una curva regular p.p.a. en una superficie regu© ª lar S. Consid´erense el triedro de Darboux t(s), Jt(s), N(s) y el triedro de Frenet © ª © ª t(s), n(s), b(s) de la curva α . Sea e1 (s), e2 (s) una base de direcciones principales en Tα (s) S, s ∈ I. Demostrar: i) La torsi´on geod´esica toma el valor h ¡ ¢ ¡ ¢i τg (s) = cos ϕ (s) sen ϕ (s) k2 α (s) − k1 α (s) , ¡ ¢ donde ϕ (s) = a´ ng e1 (s), t(s) . ­ ® ­ ® ­ ® ii) Si cos θ (s) = N(s), n(s) , entonces N(s), b(s) = Jt(s), n(s) = sen θ (s) y θ 0 (s) = τ (s) + τg (s). iii) Las l´ıneas de curvatura se caracterizan por tener torsi´on geod´esica nula. iv) Si α es una geod´esica con curvatura normal no nula, entonces τg ≡ −τ . 212

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Geod´esicas en superficies

Ejercicio 5.18 (Referencia de Frenet intr´ınseca). Sea γ : I −→ S una geod´esica contenida en una superficie regular y orientada S. Consideremos los campos de vec¯ ¯ © ª tores e1 (t) = γ 0 (t)/¯γ 0 (t)¯ y e2 (t) = N(t) ∧ e1 (t). El par e1 (t), e2 (t) es una base ortonormal del plano tangente Tγ (t) S denominada referencia de Frenet intr´ınseca, y cualquier campo de vectores tangente V (t) a lo largo de γ se expresa de la forma ­ ® ­ ® V (t) = V (t), e1 (t) e1 (t) + V (t), e2 (t) e2 (t). ­ ® i) Demostrar que V (t) es paralelo si, y s´olo si, los productos V (t), e1 (t) y ­ ® V (t), e2 (t) son constantes. ii) Calcular el transporte paralelo del vector v = (0, 1, 1) tangente a la superficie x2 + y2 − z2 = 1 en p = (1, 0, 0), a lo largo de la curva z = 0, hasta el punto q = (0, 1, 0). Ejercicio 5.19. Calcular la longitud de una circunferencia geod´esica en la esfera de radio R, as´ı como el a´ rea del correspondiente disco geod´esico. Ejercicio 5.20. Sea D(p, r) un disco geod´esico en una superficie regular S, y sea α : I −→ S1 (r0 ) ⊂ Tp S una parametrizaci´on por el arco de la circunferencia de radio r0 en Tp S (r0 < r). Consideremos la parametrizaci´on X : (0, ε ) × I −→ S, para ε > 0 ¢ ¡ suficientemente peque˜no, dada por X(t, s) = expp t α (s) . Calcular los coeficientes de su primera forma fundamental y demostrar que, en los puntos X(t, s), la curvatura de Gauss toma el valor ¡ ¢ −|Xs |tt (t, s). K X(t, s) = 2 r0 |Xs |

Ejercicio 5.21. Sean S una superficie regular y p ∈ S. Sea V : R −→ Tp S diferenciable ¯ ¯ ¡ ¢ con ¯V (t)¯ = 1 para todo t, y consideremos X(u,t) = expp uV (t) definida en un abierto adecuado U ⊂ R2 para que X sea un homeomorfismo. i) Probar que X es una parametrizaci´on de S si, y s´olo si, V no es constante. ii) En tal caso, calcular los coeficientes de la primera forma fundamental de X. ¡ ¢ ¡ ¢ iii) Sea α : [a, b] −→ D(p, ε ) ⊂ S la curva α (t) = X u(t),t = expp u(t)V (t) , para una cierta funci´on u(t), 0 < u(t) < ε . Demostrar que Z b¯ a

¯ ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯ dt ≥ ¯u(b) − u(a)¯,

d´andose la igualdad si, y s´olo si, u(t) es mon´otona y V (t) es constante. Ejercicio 5.22. Sea X(r, θ ) el sistema de coordenadas geod´esicas polares centrado en un punto p ∈ S. Demostrar que: √ i) La curvatura de Gauss K(p) se puede calcular como K(p) = − l´ımr→0 ( G)rrr . √ ii) G = r − Kr3 /3! + R, donde l´ımr→0 R/r3 = 0.

iii) K(p) = l´ımr→0 (3/π )(2π r − L)/r3 , donde L es la longitud de S(p, r). 213

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Ejercicio 5.23. Dado p ∈ S, demostrar que K(p) = l´ımr→0 (12/π )(π r2 − A)/r4 , donde A es el a´ rea delimitada por S(p, r). Ejercicio 5.24. Justificar por qu´e en superficies con un punto el´ıptico no se verifica la desigualdad isoperim´etrica. Ejercicio 5.25. Demostrar que en una superficie con curvatura de Gauss constante, las circunferencias geod´esicas tienen curvatura geod´esica constante. Ejercicio 5.26. Sea X(u, v) la parametrizaci´on dada por las coordenadas normales en una superficie regular S. Demostrar que en (0, 0) se anulan las primeras derivadas de E, F y G. Ejercicio 5.27. Demostrar que una curva regular γ : I −→ R3 p.p.a. con curvatura k > 0 es una h´elice generalizada (v´ease el ejercicio 1.17) si, y s´olo si, es una geod´esica de alg´un cilindro construido sobre una curva plana.

214

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VI

El teorema de Gauss-Bonnet En este cap´ıtulo estudiamos el teorema de Gauss-Bonnet como el primer y m´as importante ejemplo de un resultado global en Geometr´ıa Diferencial de Superficies. A grandes rasgos, este teorema describe la estrecha relaci´on que existe entre la geometr´ıa de una superficie y su topolog´ıa. Se trata de un resultado sorprendente toda vez que la curvatura de Gauss es una cantidad que se define localmente en t´erminos geom´etricos. De esta forma, pese a ser un objeto que depende de la geometr´ıa, y pese a ser un objeto definido localmente, su ((promedio)) es estrictamente topol´ogico. A modo de ejemplo, dos superficies compactas y homeomorfas siempre tienen la misma curvatura total (integral de la curvatura de Gauss), con independencia de que sus ((formas)) sean arbitrariamente distintas, que coincide con un invariante topol´ogico: la caracter´ıstica de Euler-Poincar´e. Por otra parte, el teorema de Gauss-Bonnet no s´olo es importante por establecer esta curiosa relaci´on entre la Geometr´ıa y la Topolog´ıa. Su relevancia tambi´en se debe a que supone un especial hito en el camino que conduce hacia las geometr´ıas no eucl´ıdeas. Por un lado, generaliza el teorema de Thales cl´asico sobre los a´ ngulos interiores de un tri´angulo; por otro, supone una elegante extensi´on de resultados cl´asicos de la trigonometr´ıa esf´erica. Si, adem´as, recordamos que las geometr´ıas no eucl´ıdeas resultan de negar el quinto postulado de Euclides (que est´a directamente relacionado con el teorema de Thales y con la Geometr´ıa Esf´erica), parece evidente que la aparici´on en escena del teorema de Gauss-Bonnet supuso un aliciente m´as que impuls´o el advenimiento y la aceptaci´on de dichas geometr´ıas no convencionales. El cap´ıtulo comienza con una versi´on ((sencilla)) y local del teorema, donde se simplifican al m´aximo las hip´otesis de trabajo y se elabora el material esencial de una demostraci´on v´alida para regiones suficientemente peque˜nas y con topolog´ıa trivial. La siguiente secci´on demuestra la versi´on global del resultado, donde se hace uso de ´ las t´ecnicas implicadas en el caso local, para regiones arbitrarias. Estas se reducen al caso sencillo mediante el uso de las llamadas triangulaciones. La aditividad de las integrales y un argumento de conteo resultan esenciales para que la demostraci´on del caso global sea factible. Finalmente, se presentan, en la u´ ltima secci´on, algunas consecuencias de dicho teorema, as´ı como la ya comentada interrelaci´on existente entre el resultado y las geometr´ıas no eucl´ıdeas. 6.1.

´ LOCAL) EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET (VERSION

En esta secci´on presentamos el teorema de Gauss-Bonnet en su versi´on local, cuyo dominio de validez son las regiones simples de una superficie regular contenidas 215

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

en el entorno coordenado de una parametrizaci´on ortogonal. Podr´ıa parecer que esta situaci´on es restrictiva en exceso. No obstante, la versi´on global del teorema (para cualquier tipo de regiones) se reduce a la local utilizando una serie de hechos topol´ogicos y geom´etricos. Comenzamos definiendo el concepto de a´ ngulo de rotaci´on para una curva en el plano. El a´ ngulo de rotaci´on es una funci´on que mide el ((rumbo)) de una curva con respecto a una direcci´on fija del plano. Si sabemos medir el rumbo en cada punto, podemos calcular la variaci´on total de e´ ste entre dos instantes dados: se llega as´ı al concepto de a´ ngulo de rotaci´on total, que expresa ((cu´antas direcciones hemos abarcado)) a lo largo de la curva entre ambos puntos. Si la curva es cerrada (esto es, si volvemos al punto de partida) lo que tenemos entonces es el n´umero de vueltas que hemos dado con respecto a un rumbo fijo, valor (con signo) que se conoce tambi´en como el ´ındice de rotaci´on, y que aparece en otras muchas a´ reas de las Matem´aticas (como la teor´ıa del grado y el An´alisis Complejo, por ejemplo). Todos estos conceptos se pueden generalizar al caso de superficies y curvas contenidas en superficies. Se llega as´ı a un resultado fundamental conocido como el teorema de rotaci´on de las tangentes: el ´ındice de rotaci´on (n´umero de vueltas) para una curva que determina en la superficie una regi´on simple es, salvo orientaci´on, 1. Este resultado sigue siendo v´alido para un tipo de curvas m´as general: las curvas regulares a trozos. Intuitivamente, esta clase de curvas presentan un n´umero finito de ((v´ertices)) o ((esquinas)) en los que la derivada (la tangente) deja de ser continua. El siguiente ingrediente de esta secci´on lo constituye el estudio de las parametrizaciones ortogonales y, m´as concretamente, el c´alculo de la curvatura geod´esica de sus curvas coordenadas. A partir de ah´ı, se obtiene una f´ormula para la curvatura geod´esica de una curva arbitraria, en t´erminos de la curvatura geod´esica de las curvas coordenadas de la parametrizaci´on y del a´ ngulo que forma la curva con la curva coordenada. Tal expresi´on se conoce como la f´ormula de Liouville. Dicho estudio est´a adem´as estrechamente relacionado con la llamada holonom´ıa de una curva, que tratamos en esta secci´on, y de la que veremos una interesante aplicaci´on en el conocido problema del p´endulo de Foucault. Lo m´as relevante en esta parte t´ecnica es que la expresi´on de la curvatura geod´esica que hemos obtenido es una uno-forma, cuya diferencial (una dos-forma) da como resultado la curvatura de Gauss de la superficie. Por tanto, la integral de l´ınea de la curvatura geod´esica puede transformarse en una integral de a´ rea de la curvatura de Gauss si la topolog´ıa es apropiada. A´un as´ı, la transformaci´on no es exacta, y la diferencia entre ambas formas est´a relacionada con el a´ ngulo de rotaci´on. Adem´as, este u´ ltimo t´ermino tambi´en podemos expresarlo de manera conveniente gracias al teorema de rotaci´on de las tangentes, obteniendo as´ı la f´ormula local de Gauss-Bonnet. Antes de entrar propiamente en la secci´on, comentamos que esta f´ormula fue introducida por Gauss para regiones simples contenidas en un entorno coordenado y cuya frontera estaba formada por segmentos de geod´esica. La generalizaci´on para cualquier tipo de frontera fue llevada a cabo por Bonnet. 216

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El teorema de Gauss-Bonnet

6.1.1.

´ de una curva plana ´ de rotacion El angulo

Definici´on 6.1.1. Una curva regular a trozos es una aplicaci´on α : [a, b] −→ Rn continua, para la cual existe una partici´on a = t0 < t1 < . . . < tk = b tal que, para cada i = 1, . . . , k, αi := α |[ti−1 ,ti ] es una curva regular.1 A partir de ahora, vamos a representar por

α−0 (ti ) = l´ım α 0 (t) = l´ım αi0 (t) = αi0 (ti ), t→ti tti

t→ti

Diremos entonces que α (ti ) es un v´ertice de la curva α si α−0 (ti ) 6= α+0 (ti ). Observaci´on 6.1. i) En t = a y t = b s´olo existe una derivada, excepto si la curva es cerrada, esto es, si α (a) = α (b). En tal caso, tendr´ıamos dos posibilidades: o bien α+0 (a) = α−0 (b), en cuyo caso la curva se cierra ((regularmente)), o bien α+0 (a) 6= α−0 (b), apareciendo entonces un v´ertice en α (a) = α (b). ¯ ¯ ii) ¯α 0 (t)¯ es una funci´on continua, excepto en los v´ertices, donde no est´a definida. ¿C´omo podemos entonces reparametrizar α por la longitud de arco? Tomemos ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¯αi (ti )¯ = l´ım ¯α 0 (t)¯ < ∞, t→ti ,t 0, y la geod´esica es un m´ınimo del funcional longitud. 7.2.

COMPLETITUD. EL TEOREMA DE HOPF-RINOW

Hasta ahora hemos hablado de medidas en la superficie en lo que se refiere a longitudes de curvas, a´ ngulos y a´ reas. No obstante, todav´ıa est´a en el aire la siguiente pregunta: ¿es una superficie un espacio topol´ogico metrizable? Esto es, ¿es posible definir una distancia en una superficie regular que sea ((coherente)) con la topolog´ıa que tenemos como subespacio del espacio eucl´ıdeo? La respuesta a esta cuesti´on es afirmativa. La manera de construir dicha funci´on distancia no es trivial, y consiste en definirla mediante la curva que ((mejor)) conecta dos puntos dados, donde por ((mejor)) entendemos la curva de menor longitud (usualmente se dice que esta curva ((realiza)) la distancia entre esos dos puntos; obs´ervese tambi´en que dicha curva puede no existir, aunque esto no ser´a problema en nuestra definici´on). Se demuestra entonces que esta funci´on es una distancia y que, adem´as, la topolog´ıa que generan sus bolas m´etricas coincide con la topolog´ıa de la superficie como subespacio eucl´ıdeo. En cap´ıtulos previos hemos estudiado la relaci´on entre el concepto de geod´esica y sus propiedades como curva que minimiza la longitud. De esta forma, parece natural pensar que las curvas que ((realizan la distancia)) entre dos puntos, puesto que son claramente un m´ınimo del funcional longitud, deben estar relacionadas de alguna manera con el concepto de geod´esica. As´ı es, y se puede demostrar que, si una curva es, lo que denominaremos en breve minimizante, entonces es una geod´esica. Este resultado, junto con un lema t´ecnico que presentamos posteriormente, constituyen la base para la prueba del teorema de Hopf-Rinow. En e´ ste se relacionan propiedades 256

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puramente intr´ınsecas de la superficie en lo que se refiere a la geometr´ıa (la posibilidad de prolongar indefinidamente una geod´esica) con otras esencialmente m´etricas (que la superficie sea un espacio completo) o topol´ogicas (que se verifique el teorema de Heine-Borel). El teorema de Hopf-Rinow demuestra el hecho intuitivo siguiente: si una superficie tiene ((agujeros)), ((bordes)) o trozos ((incompletos)), al menos una de sus geod´esicas ((choca)) precisamente contra e´ stos en un tiempo finito. Es un teorema de gran importancia, pues permite utilizar en superficies la topolog´ıa y el an´alisis en espacios m´etricos completos con un gran abanico de resultados y aplicaciones. Finalmente, veremos c´omo las f´ormulas de variaci´on estudiadas en la secci´on anterior se utilizan para demostrar un resultado sorprendente, que interrelaciona la geometr´ıa de una superficie con su estructura como espacio m´etrico, en la misma l´ınea que el ya mencionado teorema de Hopf-Rinow. En concreto, presentaremos el teorema de Bonnet, el cual afirma, esencialmente, que una superficie que consta u´ nicamente de puntos el´ıpticos, de modo que e´ stos no se ((hacen suficientemente planos o parab´olicos)) es, necesariamente, compacta. Adem´as, se ofrece una estimaci´on de su di´ametro ((intr´ınseco)) que depende, exclusivamente, de una cota en t´erminos de la curvatura de Gauss. 7.2.1.

Distancia intr´ınseca en una superficie

¢ ¡ Sea S una superficie regular y conexa. Consideremos el espacio m´etrico R3 , | · | y sea τu la topolog´ıa usual en R3 inducida por la distancia eucl´ıdea | · |. Entonces, la superficie S ⊂ R3 hereda la topolog´ıa de R3 como subespacio topol´ogico de (R3 , τu ). ´ la denotaremos por (S, τu ). Esta Dados dos puntos p, q ∈ S, definimos el conjunto ª © Ω(p, q) = α : [a, b] −→ S : α regular a trozos, α (a) = p, α (b) = q . Definici´on 7.2.1. La funci´on distancia intr´ınseca en la supercicie S es la aplicaci´on d : S × S −→ R dada por ª © (7.5) d(p, q) := inf Lab (α ) : α ∈ Ω(p, q) . En lo que sigue, y siempre y cuando no sea relevante, escribiremos simplemente L(α ) en lugar de Lab (α ), por comodidad, omitiendo los valores a y b del par´ametro. Demostramos, antes de nada, que la funci´on d est´a bien definida y que, de hecho, es una distancia en el sentido usual del t´ermino. Para ello, tenemos que ver: 1) Ω(p, q) 6= 0, / esto es, cualesquiera dos puntos pueden unirse mediante una curva regular a trozos: ª © / pues Sean p ∈ S fijo y A = q ∈ S : existe α ∈ Ω(p, q) . Desde luego, A 6= 0, p ∈ A. Como A ⊂ S conexa, si demostramos que A es abierto y cerrado, entonces podremos asegurar que A ≡ S, con lo que se tendr´a que Ω(p, q) 6= 0. / 257

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i) Veamos que A es abierto. Para ello, sean q ∈ A y (U, X) una parametrizaci´on de S tal que X(u0 , v0 ) = q. Vamos a probar que el entorno coordenado V = X(U), que es un entorno de q, est´a en A. En efecto, si q0 ∈ V , sea (u0 , v0 ) ∈ U tal que X(u0 , v0 ) = q0 , y consideremos la curva en R2 dada por βe(t) = (u0 , v0 ) + t(u0 − u0 , v0 − v0 ). Claramente, βe(0) = (u0 , v0 ) y ¡ ¢ βe(1) = (u0 , v0 ). Por tanto, la curva en la superficie β (t) = X βe(t) une q con q0 . Por otro lado, como q ∈ A, por definici´on del conjunto A, existe una curva α ∈ Ω(p, q), que une p con q. Basta tomar entonces la yuxtaposici´on α ∧ β , que es una curva en S, regular a trozos, que une p con q0 ; luego q0 ∈ A. Esto demuestra que V ⊂ A, y por tanto, que A es abierto. ii) Veamos que A es cerrado. Para ello, probaremos que S\A es abierto. Sea q ∈ S\A, es decir, q 6∈ A. Tomamos de nuevo una parametrizaci´on (U, X) tal que X(u0 , v0 ) = q. Denotando de nuevo por V = X(U), si demostramos que V ∩ A = 0, / entonces tendremos que V ⊂ S\A, por lo que S\A ser´a abierto. Para ello, supongamos que existe q0 ∈ V ∩ A. Como q0 ∈ A, por definici´on existe una curva α ∈ Ω(p, q0 ) que une p y q0 . Por otro lado, dado que q0 ∈ V , siguiendo un razonamiento an´alogo al paso i) podemos construir una curva β en la superficie uniendo q0 con q. Entonces, la yuxtaposici´on α ∧ β ∈ Ω(p, q), lo que prueba que q ∈ A, una contradicci´on. 2) Existe el ´ınfimo en la definici´on de distancia dada en (7.5): © ª Desde luego, L(α ) ≥ 0 para toda α ∈ Ω(p, q). Por tanto, L(α ) : α ∈ Ω(p, q) es un conjunto de n´umeros reales acotado inferiormente, lo que nos asegura que tiene un ´ınfimo que es, adem´as, no negativo. 3) La distancia intr´ınseca es una distancia: Para demostrarlo, tenemos que probar que d cumple las tres propiedades que caracterizan una distancia. Ve´amoslo. i) Como L(α ) es siempre un n´umero no negativo, se verifica trivialmente que d(p, q) ≥ 0. Veamos ahora que d(p, q) = 0 si, y s´olo si, p = q. Supongamos que p = q. Entonces, la curva constante α (t) ≡ p ∈ Ω(p, p) © ª y su longitud es L(α ) = 0. Luego d(p, p) = inf L(α ) : α ∈ Ω(p, p) = 0. Y rec´ıprocamente. Supongamos que d(p, q) = 0. Vamos a representar por ª © e q) = α : [a, b] −→ R3 : α regular a trozos, α (a) = p, α (b) = q . Ω(p, e q). Entonces, Claramente, como S ⊂ R3 , se tiene que Ω(p, q) ⊂ Ω(p, ª © ª © e q) ≤ inf L(α ): α ∈ Ω(p, q) = d(p, q) = 0, |p − q| = inf L(α ): α ∈ Ω(p, ya que la distancia m´as corta entre dos puntos, en R3 , la da el segmento de recta que los une. Luego |p − q| = 0, de donde se deduce que p = q. ii) Para probar que d(p, q) = d(q, p) es suficiente demostrar que a cada curva de Ω(p, q) le corresponde una u´ nica curva en Ω(q, p) (y viceversa): la que 258

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se recorre en sentido contrario. Como la longitud no depende del sentido, se tendr´a la igualdad en las distancias. As´ı, sea α ∈ Ω(p, q), es decir, una curva regular a trozos con α (a) = p, α (b) = q. Tomamos la reparametrizaci´on de α dada por α (t) = α (a − t + b). Claramente, α (a) = α (b) = q y α (b) = α (a) = p. Por tanto, α ∈ Ω(q, p), y adem´as, Lab (α ) = Lab (α ), lo que concluye la prueba. iii) Sean α ∈ Ω(p, r) y β ∈ Ω(r, q). Entonces, la curva α ∧ β ∈ Ω(p, q), y adem´as es evidente que d(p, q) ≤ L(α ∧ β ) = L(α ) + L(β ); o lo que es lo mismo, d(p, q) − L(β ) ≤ L(α ), para toda curva α ∈ Ω(p, r). Luego, en particular, se tendr´a que © ª d(p, q) − L(β ) ≤ inf L(α ) : α ∈ Ω(p, r) = d(p, r).

En consecuencia, se tiene que d(p, q) − d(p, r) ≤ L(β ), para cualquier curva β ∈ Ω(r, q). Por tanto, podemos afirmar de nuevo que ª © d(p, q) − d(p, r) ≤ inf L(β ) : β ∈ Ω(r, q) = d(r, q). Esto demuestra que d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q). Una vez comprobado que d es una distancia, podemos considerar la bola (abierta) © ª en la distancia intr´ınseca de centro p y radio r, Bd (p, r) = q ∈ S : d(p, q) < r . Dado que tenemos definida una estructura ((similar)) sobre la superficie, el disco geod´esico, resulta natural preguntarse cu´ando Bd (p, r) y D(p, r) coinciden. Para conocer la respuesta a esta cuesti´on, necesitamos estudiar a´un alguna propiedad m´as de las geod´esicas, aunque podemos adelantar que ambos coincidir´an siempre y cuando el disco est´e definido (v´ease la proposici´on 7.2.6). De momento, realizamos la siguiente observaci´on, que ser´a de utilidad en algunas demostraciones que veremos en breve. Observaci´on 7.2.

i) Dado p0 ∈ S, siempre se verifica que D(p0 , r) ⊂ Bd (p0 , r). ¡ ¢ Si p ∈ D(p0 , r) = expp0 D(0, r) , podemos escribir p = expp0 (v), con |v| < r. Consideremos la geod´esica γv (t) = expp0 (tv), que une p0 = γv (0) y p = γv (1). Claramente Z 1¯ ¯ ¯γv0 (t)¯ dt = |v| < r, d(p0 , p) ≤ L01 (γv ) = 0

de donde se deduce que p ∈ Bd (p0 , r). ii) Dados p0 ∈ S y R > 0, existe r > 0 tal que Bd (p0 , r) ⊂ D(p0 , R). La demostraci´on de esta afirmaci´on se recoge en el ejercicio 7.2. iii) Sean p0 ∈ S y R > 0 tales que D(p0 , R) es entorno normal de p0 . Entonces para todo r > 0 tal que Bd (p0 , r) ⊂ D(p0 , R) se tiene que D(p0 , r) = Bd (p0 , r). Si p ∈ Bd (p0 , r) ⊂ D(p0 , R), entonces (teoremas 5.3.5 y 5.3.9) el segmento de geod´esica radial γ p : [0, 1] −→ D(p0 , R), γ p (t) = expp0 (tv), es la u´ nica curva de menor longitud uniendo p0 y p, con v = γ p0 (0). Luego d(p0 , p) = L01 (γ p ) = |v|. Como p ∈ Bd (p0 , r), se tiene que |v| = d(p0 , p) < r, de donde se deduce que ¡ ¢ p = expp0 (v) ∈ expp0 D(0, r) = D(p0 , r). La otra inclusi´on siempre se da. ♦ 259

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La distancia d permite considerar el espacio topol´ogico (S, τd ), donde τd es la topolog´ıa inducida por la distancia intr´ınseca d. Vamos a demostrar que las topolog´ıas τu y τd coinciden, lo que, en cualquier caso, es un ejercicio de Topolog´ıa. Teorema 7.2.2. Sobre el conjunto S, las topolog´ıas τu y τd coinciden. Demostraci´on. Obs´ervese que las intersecciones de abiertos de R3 con la propia superficie son abiertos de τu ; en particular, si (U, X) es una parametrizaci´on de S, entonces V = X(U) es abierto en τu . As´ı, los abiertos b´asicos para la topolog´ıa τu son las intersecciones de las bolas eucl´ıdeas con la superficie. Por otra parte, al cumplirse que d(p, q) ≥ |p − q| para dos puntos cualesquiera p, q ∈ S, se demuestra que la bola en la distancia intr´ınseca Bd (p, r) de centro p y radio r est´a siempre contenida en la intersecci´on de S con la bola eucl´ıdea de centro p y radio r, B| · | (p, r) ∩ S. Esto implica que τu ⊂ τd , es decir, la topolog´ıa τd es m´as fina que τu . Veamos que coinciden. Dados un punto p ∈ S y un disco geod´esico D(p, R) que es entorno normal de p, la observaci´on 7.2 ii) nos asegura que siempre podemos encontrar una bola Bd (p, r) ⊂ D(p, R), para r > 0 suficientemente peque˜no. Entonces, Bd (p, r) = D(p, r) (v´ease la observaci´on 7.2 iii)), lo que permite considerar la parametrizaci´on X de S (en p) dada por las coordenadas normales (5.16), para la cual ¡ ¢ ¡ ¢ X D(0, r) = expp D(0, r) = D(p, r) = Bd (p, r). En consecuencia, Bd (p, r) es un entorno coordenado de una parametrizaci´on, y por tanto, un abierto en S con la topolog´ıa inducida: Bd (p, r) = W ∩S, siendo W un abierto eucl´ıdeo. Esto demuestra que la bola en la distancia d es un abierto en la topolog´ıa τu , lo que concluye la prueba.

7.2.2.

El teorema de Hopf-Rinow

Algunos resultados previos Antes de enunciar y demostrar el teorema de Hopf-Rinow, vamos a probar dos lemas previos que son la base de su demostraci´on. A partir de ahora, diremos que una curva α ∈ Ω(p, q) es minimizante, si minimiza la longitud entre todas las curvas de la superficie que unen p y q. En tal caso diremos adem´as que α realiza la distancia entre esos dos puntos. Por tanto, si α ∈ Ω(p, q) es minimizante, entonces d(p, q) = L(α ). Observaci´on 7.3. La existencia y unicidad de esta clase de curvas es una cuesti´on que admite una amplia casu´ıstica. Con respecto a la existencia, si consideramos el plano agujereado R2 \{(0, 0)}, no existe una curva minimizante uniendo (1, 0) y (−1, 0). Por otro lado, y en relaci´on a la unicidad, tambi´en pueden presentarse diferentes situaciones. En un plano es claro que, dados dos puntos, existe una u´ nica curva minimizante, la recta, que los une. Si consideramos un toro y dos puntos, el primero de ellos situado en el paralelo superior y el segundo en el inferior y en la misma vertical, existen dos curvas minimizantes uniendo ambos puntos. Por u´ ltimo, en una esfera, dados dos puntos antipodales, existen infinitas curvas minimizantes que los unen: todos los semic´ırculos m´aximos que pasan por ellos. ♦ 260

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Como vemos, la existencia y unicidad de curvas minimizantes no es una cuesti´on sencilla. No obstante, toda curva minimizante es un tipo especial de curva que ya conocemos bien, tal y como se demuestra en el primero de los lemas fundamentales para la prueba del teorema de Hopf-Rinow. Lema 7.2.3. Sean S una superficie regular y α : [a, b] −→ S una curva regular a trozos uniendo p = α (a) con q = α (b). Si α es minimizante, entonces α es un segmento de geod´esica (salvo reparametrizaciones). En particular, α es diferenciable en todos sus puntos, esto es, no tiene v´ertices. Demostraci´on. Podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que α : [0, `] −→ S est´a p.p.a. Sea 0 = s0 < s1 < . . . < sk = ` una partici´on de [0, `] tal que α |[si−1 ,si ] es una curva regular para i = 1, . . . , k, y sea φ : [0, `] × (−ε , ε ) −→ S una variaci´on propia de α . Como α es minimizante (y dado que las curvas αt = φ (·,t) tienen como extremos p y q por ser φ propia), el funcional longitud L(t) = L0` (αt ) presenta un m´ınimo en s = 0. Entonces L0 (0) = 0, y aplicando la primera f´ormula de variaci´on (7.1), ¿ À k−1 ­ ® Z` Dα 0 0 0 Z(s), 0 = L (0) = − ∑ Z(si ), ∆i α − (s) ds, (7.6) ds 0 i=1

para cualquier campo Z que sea el campo variacional de una variaci´on propia de α . El primer paso consiste en probar que Dα 0 /ds ≡ 0 en cada subintervalo [si−1 , si ], de donde podremos concluir que α es una geod´esica a trozos (esto es, una curva regular a trozos cuyos arcos regulares, α |[si−1 ,si ] son geod´esicas). Para demostrarlo, elegimos un subintervalo [si−1 , si ] cualquiera, y consideramos una funci´on diferenciable f : [0, `] −→ R verificando f > 0 en (si−1 , si ) y f ≡ 0 en el resto. Tomamos el campo tangente Z = f (Dα 0 /ds) ∈ X (α ); obs´ervese que Z es un campo diferenciable en todo su dominio, pues f es una funci´on diferenciable que se anula fuera del intervalo (si−1 , si ), y sobre e´ ste, Dα 0 /ds es un campo diferenciable. Para dicho Z ∈ X (α ), tomamos una variaci´on φ de α de forma que Z sea su campo variacional (la definida mediante la aplicaci´on (7.2)). Como Z(si−1 ) = Z(si ) = 0, la variaci´on φ es propia, y utilizando (7.6) se tiene ¯ ¯ À Z si ¿ Z si ¯ Dα 0 ¯2 Dα 0 ¯ 0=− Z(s), f (s) ¯ (s) ds = − (s)¯¯ ds. ds ds si−1 si−1

Dado que el integrando es siempre no negativo, podemos concluir que Dα 0 /ds ≡ 0 sobre cada subintervalo [si−1 , si ], como se quer´ıa demostrar. Para finalizar la demostraci´on del lema, es decir, para probar que α es realmente geod´esica, hay que ver que α no tiene v´ertices; o lo que es lo mismo, que el vector ∆i α 0 = α+0 (si ) − α−0 (si ) = 0, para todo i = 1, . . . , k − 1. Fijamos i ∈ {1, . . . , k − 1}. Si construimos un campo de vectores tangente Z ∈ X (α ) a lo largo de α verificando Z(si ) = ∆i α 0 y Z(s j ) = 0 para todo j 6= i, entonces (7.6) se reducir´ıa a k−1 ­ ¯2 ® ­ ® ¯ 0 = − ∑ Z(s j ), ∆ j α 0 = ∆i α 0 , ∆i α 0 = ¯∆i α 0 ¯ , j=1

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de donde se tendr´ıa que ∆i α 0 = 0. Dado que los vectores velocidad por la izquierda y por la derecha de α coinciden en cada valor si del par´ametro, se deduce de la unicidad de las geod´esicas que α |[si ,si+1 ] es la ((continuaci´on)) de α |[si−1 ,si ] y, por tanto, que α es diferenciable, es decir, no tiene v´ertices. As´ı, para concluir la demostraci´on del lema, tan s´olo resta construir el mencionado campo de vectores tangente Z a lo largo de α , verificando Z(si ) = ∆i α 0 y Z(s j ) = 0 para todo j 6= i. Para ello, sea (U, X) una parametrizaci´on de la superficie S en el punto pi = α (si ), con X(qi ) = pi , y sea V = X(U) (v´ease la figura 7.1). Consideremos e es die = X −1 ◦ α en U, expresi´on en coordenadas de α . Obs´ervese que α la curva α e (si ); en caso contrario, ferenciable a trozos, y m´as a´un, presenta un v´ertice en qi = α si fuese diferenciable en qi entonces por la diferenciabilidad de la parametrizaci´on X se tendr´ıa que α lo es en pi , donde sabemos que presenta un v´ertice. Sea ahora v = dXq−1 (∆i α 0 ) ∈ Tqi U ≡ R2 , y sea ε > 0 suficientemente peque˜no de forma que i ¡ ¢ e [si − ε , si + ε ] ⊂ U. si−1 < si − ε , si + ε < si+1 y adem´as, α  α − (si ) ′

V

α (si−1)

Figura 7.1: Construyendo

S

U

pi = α (si )

α



∆i α

′

N

? α +′ (si )



X

qi

αe

dXqi

?

v

α (si+1)

? ?

?

?

?

un campo Z tal que Z(si ) = ∆i α 0 .

Tomemos de nuevo una funci´on diferenciable f : [0, `] −→ R tal que f (si ) = 1, f > 0 en (si − ε , si + ε ) y f ≡ 0 en el resto, y consideremos el campo (en U) a lo largo e = f (s)v. Claramente, la aplicaci´on e dado por Z(s) de la curva α ( ¡ ¢ e si s ∈ (si − ε , si + ε ), dXαe (s) Z(s) Z(s) := 0 en el resto, define un campo diferenciable (por la construcci´on) y tangente en la superficie, a lo largo de (toda la curva) α , verificando adem´as que ¡ ¢ ¡ ¢ e i ) = dXqi v = ∆i α 0 y Z(si ) = dXαe (si ) Z(s Z(s j ) = 0

si i 6= j,

tal y como se quer´ıa demostrar. Esto concluye la demostraci´on del lema.

Observaci´on 7.4. Si α ∈ Ω(p, q) fuese una curva (regular a trozos) minimizante, y no fuese una geod´esica, el razonamiento anterior nos permitir´ıa concluir que L0 (0) < 0, es decir, la funci´on L(t) ser´ıa estrictamente decreciente en t = 0. Un argumento an´alogo al utilizado en la demostraci´on del lema 7.2.3 permite probar la versi´on m´as general del teorema 7.1.5, que establec´ıa la caracterizaci´on variacional de las geod´esicas cuando trabaj´abamos con curvas regulares. 262

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Corolario 7.2.4 (Caracterizaci´on variacional de las geod´esicas). Consideremos una curva regular a trozos α : [0, `] −→ S p.p.a. Entonces, α es un segmento de geod´esica de S si, y s´olo si, L0 (0) = 0 para toda variaci´on propia φ de α . El segundo lema que vamos a probar est´a relacionado con las propiedades de los discos geod´esicos. Recordemos que, en un disco geod´esico de radio suficientemente peque˜no, todo punto puede unirse a su centro mediante una u´ nica curva minimizante: el segmento de geod´esica radial (v´ease el teorema 5.3.9). Esta propiedad no tiene sentido para radios arbitrarios, tal y como ponen de manifiesto los ejemplos de la esfera y el cilindro. No obstante, en el siguiente lema se prueba que, sea cual sea el radio del disco geod´esico, dado un punto en el interior de e´ ste, existe al menos una curva (segmento de geod´esica radial) minimizante uniendo el centro con dicho punto. La diferencia con lo que ya sab´ıamos es que, para radios arbitrarios, quiz´a haya ((distintas maneras)) de alcanzar un punto en el interior del disco (incluso infinitas formas de hacerlo). El hecho de que el radio sea arbitrario y no se tenga inyectividad en la aplicaci´on exponencial, complica la demostraci´on hasta extremos insospechados. Ciertamente, el teorema de Hopf-Rinow se apoya de forma esencial en este lema. Lema 7.2.5. Sean p0 ∈ S un punto de una superficie regular S y r > 0 de forma que la aplicaci´on expp0 est´a definida en D(0, r) ⊂ Tp0 S. Entonces, todo punto p ∈ D(p0 , r) puede unirse con p0 mediante (al menos) un segmento de geod´esica minimizante. Obs´ervese que el segmento de geod´esica minimizante que asegura el teorema no tiene por qu´e ser u´ nico; basta tomar un punto y su ant´ıpoda en la esfera para darnos cuenta: existen infinitos segmentos de geod´esica minimizante que los unen. Demostraci´on. Sabemos que, dado p0 ∈ S, existe U abierto estrellado respecto a 0 ∈ Tp0 S tal que expp0 : U −→ V es un difeomorfismo, con V el correspondiente entorno normal. Sea ε > 0 suficientemente peque˜no para que cl D(p0 , ε ) ⊂ V , y sea p ∈ D(p0 , r). Distinguimos dos casos, seg´un p ∈ D(p0 , ε ) o´ p 6∈ D(p0 , ε ). Para hacer m´as sencilla la demostraci´on la dividimos en varios pasos. PASO 1: Si p ∈ D(p0 , ε ) ⊂ V , el teorema 5.3.9 nos asegura que el segmento de geod´esica radial γ p es la curva de menor longitud entre todas las que unen dichos puntos: d(p0 , p) = L(γ p ). PASO 2: Supongamos, a partir de ahora, que p 6∈ D(p0 , ε ). Claramente, la funci´on d( ·, p) : S −→ R que da la distancia al punto p es continua. Adem´as, la circunferen¡ ¢ cia geod´esica S(p0 , ε ) es un compacto en S, ya que S(p0 , ε ) = expp0 bd D(0, ε ) y bd D(0, ε ) es compacto. Si consideramos la funci´on continua d( ·, p) definida sobre el compacto S(p0 , ε ), entonces podemos asegurar la existencia de un m ∈ S(p0 , ε ) donde d( ·, p) alcanza el m´ınimo. Como m ∈ cl D(p0 , ε ) ⊂ V entorno normal de p0 , sabemos que existe w ∈ cl D(0, ε ) de forma que expp0 (w) = m; adem´as, en este caso, |w| = ε . Definimos entonces v = w/ |w| = w/ε , y consideramos la geod´esica maximal γv (t) con condiciones iniciales γv (0) = p0 y γv0 (0) = v. Observemos las siguientes dos propiedades que presenta el punto m: 263

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(a) La geod´esica γv pasa por m: γv (ε ) = γε v (1) = expp0 (ε v) = expp0 (w) = m. (b) Al ser m ∈ S(p0 , ε ) el punto de m´ınima distancia a p, entonces d(p0 , p) = d(p0 , m) + d(m, p).

(7.7)

Ve´amoslo. Por la desigualdad triangular, d(p0 , p) ≤ d(p0 , m) + d(m, p). Supongamos entonces que d(p0 , p) < d(p0 , m)+d(m, p), lo que implica que debe existir una curva α ∈ Ω(p0 , p), es decir, α : [0, b] −→ S regular a trozos, uniendo p0 y p, cuya longitud L0b (α ) es estrictamente menor que d(p0 , m) + d(m, p) (v´ease la figura 7.2). Como α es continua y p 6∈ D(p0 , ε ), existe t0 ∈ (0, b) tal que α (t0 ) ∈ S(p0 , ε ). En consecuencia, d(p0 , m)+d(m, p)> L0b (α ) =Lt00 (α )+Ltb0 (α )≥ ε +Ltb0 (α ) = d(p0 , m)+Ltb0 (α ), ¢ ¡ luego d α (t0 ), p ≤ Ltb0 (α ) < d(m, p). Hemos encontrado un α (t0 ) ∈ S(p0 , ε ) cuya distancia a p es estrictamente menor que d(m, p), una contradicci´on. S(p0 , ε ) p0

Figura 7.2: Igualdad en la desigualdad triangular si

α

α |[t0,b]

p

m

α |[0,t0 ]

γ

v

α (t0 )

d(m,p)=m´ın{d(q,p):q∈S(p0 , ε )}.

Por otro lado, como γv (t) = expp0 (tv) y expp0 est´a definida en D(0, r), la geod´esica γv estar´a definida siempre y cuando |tv| < r, es decir, si |t| < r. Luego podemos considerar γv : [0, r) −→ S, que est´a bien definida. Sea δ = d(p0 , p). Obs´ervese que, al verificarse siempre (observaci´on 7.2) que D(p0 , r) ⊂ Bd (p0 , r), entonces p ∈ Bd (p0 , r); por tanto d(p0 , p) < r. Afirmamos que γv (δ ) = p, lo cual tiene sentido pues, al ser δ = d(p0 , p) < r, la geod´esica γv est´a definida en δ . Si esto es as´ı, habr´ıamos demostrado el resultado buscado, pues L0δ

¢ Z ¡ γv |[0,δ ] =

0

δ

Z ¯ 0 ¯ ¯γv (t)¯ dt =

0

δ

Z ¯ 0 ¯ ¯γv (0)¯ dt =

0

δ

|v| dt = δ = d(p0 , p),

lo que implica que γv es un segmento de geod´esica minimizante uniendo p0 y p. PASO 3: El problema se ha reducido a demostrar que γv (δ ) = p. Consideremos el conjunto o n ¡ ¢ T = t ∈ [0, δ ] : d γv (t), p = δ − t . ¡ ¢ Si probamos que δ ∈ T , entonces se verificar´a que d γv (δ ), p = 0, lo cual equivale a que γv (δ ) = p, y habremos concluido. / pues 0 ∈ T ; PASO 4: Veamos que δ ∈ T . Obs´ervese, en primer lugar, que T 6= 0, ¡ ¢ en efecto, d γv (0), p = d(p0 , p) = δ = δ − 0. Por otro lado, si definimos la funci´on ¢ ¡ f : [0, δ ] −→ R dada por f (t) = d γv (t), p + t (que es continua), es claro que o © ¡ ¢ ª n f −1 (δ ) = t ∈ [0, δ ] : f (t) = δ = t ∈ [0, δ ] : d γv (t), p + t = δ = T. 264

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¡ ¢ Como {δ } es un cerrado, entonces T = f −1 {δ } tambi´en lo es; adem´as, T es un cerrado contenido en [0, δ ] compacto, lo cual implica que T es compacto. Si demostramos que δ = sup T , al ser T compacto podremos concluir que δ ∈ T . PASO 5: El problema se ha reducido a probar que δ = sup T . Como T ⊂ [0, δ ] es un subconjunto compacto y no vac´ıo de [0, δ ], tendr´a un supremo, que vamos a representar por a := sup T . Desde luego, a ∈ T , esto es, a ≤ δ , y adem´as a > 0: en efecto, las propiedades (a) y (b) demostradas en el PASO 2 permiten deducir que ¢ ¡ d γv (ε ), p = d(m, p) = d(p0 , p) − d(p0 , m) = δ − ε , es decir, ε ∈ T ; por lo tanto, a ≥ ε > 0. Queremos demostrar que a = δ , para lo cual vamos a suponer que a < δ . Esto nos llevar´a a una contradicci´on que concluir´a la prueba. Ve´amoslo en el siguiente (y u´ ltimo) paso. PASO 6: Supongamos, por tanto, que a < δ . Como a ∈ T , entonces ¢ ¡ d γv (a), p = δ − a > 0,

(7.8) ¡ ¢ es decir, p 6= γv (a). Sea ε 0 > 0 suficientemente peque˜no tal que p 6∈ D γv (a), ε 0 y, ¢ ¡ adem´as, D γv (a), ε 0 ⊂ Va , donde Va es un entorno normal centrado en γv (a). Sea ¢ ¡ m0 el punto de la circunferencia geod´esica S γv (a), ε 0 cuya distancia a p es m´ınima (v´ease la figura 7.3), es decir, ¢ª © ¡ d(m0 , p) = m´ın d(p0 , p) : p0 ∈ S γv (a), ε 0 . S(γ v (a), ε ′)

p0

Figura 7.3: Igualdad en la desigualdad triangular si

p

γ v (a)

S(p0 , ε ) m

γ

m′ v

d(m0,p)

α (t0)

α

= m´ın{d(p0 ,p) : p0 ∈ S(γv (a), ε 0 )}.

Un argumento totalmente an´alogo al utilizado en la demostraci´on de (7.7) permite probar de nuevo la igualdad en la desigualdad triangular, ahora para los puntos γv (a), m0 , p (v´ease la figura 7.3): ¢ ¡ ¢ ¡ (7.9) d γv (a), p = d γv (a), m0 + d(m0 , p). Sea ahora γm0 : [0, 1] −→ S el segmento de geod´esica radial que une γv (a) con dentro del entorno normal Va , y consideremos la curva γv |[0,a] ∧ γm0 , que une los puntos p0 y m0 . Entonces, ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ (7.10) d(p0 , m0 ) ≤ L γv |[0,a] ∧ γm0 = L0a γv |[0,a] + L01 γm0 = a + ε 0 .

m0

Ahora bien, utilizando las relaciones (7.8) y (7.9) se tiene que ¢ ¡ ¢ ¡ δ − a = d γv (a), p = d γv (a), m0 + d(m0 , p) = ε 0 + d(m0 , p), 265

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(7.11)

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o lo que es lo mismo, a + ε 0 = δ − d(m0 , p) = d(p0 , p) − d(m0 , p), igualdad que, junto con (7.10), permite afirmar que d(p0 , m0 ) ≤ d(p0 , p) − d(m0 , p). Por otro lado, la desigualdad triangular nos dice que d(p0 , m0 ) ≥ d(p0 , p) − d(m0 , p) y, en consecuencia, se tiene la identidad d(p0 , m0 ) = d(p0 , p) − d(m0 , p). Esto implica que, en particular, se tiene que dar la igualdad en la desigualdad (7.10), ¢ ¡ es decir, d(p0 , m0 ) = L γv |[0,a] ∧ γm0 , lo cual nos asegura que la curva regular a trozos γv |[0,a] ∧ γm0 es minimizante. Por el lema 7.2.3, γv |[0,a] ∧ γm0 es un segmento de geod´esica y, por tanto, diferenciable; es decir, γv (a) no es un v´ertice, y los dos segmentos de geod´esica γv |[0,a] y γm0 se ((pegan)) en γv (a) de forma diferenciable, de lo que se deduce que, realmente, γv |[0,a] y γm0 son la ((misma)) geod´esica: γm0 ≡ γv entre los puntos γv (a) y m0 . Entonces, γm0 (1) = m0 = γv (a + ε 0 ) y, en consecuencia, utilizando (7.11), ¢ ¡ d γv (a + ε 0 ), p = d(m0 , p) = δ − a − ε 0 = δ − (a + ε 0 ). Esto prueba que a + ε 0 ∈ T , lo que contradice el hecho de que a sea el supremo del conjunto T . As´ı concluye la demostraci´on.

Como dijimos al comienzo de la secci´on, resulta natural preguntarse cu´ando la bola Bd (p, r) y el disco geod´esico D(p, r) coinciden. Ya vimos que esto ocurre en el caso particular de que Bd (p, r) est´e contenida en un disco geod´esico que sea a su vez entorno normal (observaci´on 7.2). El lema 7.2.5 que acabamos de demostrar permite suprimir la hip´otesis que involucra al entorno normal: basta con que el disco geod´esico est´e definido. Proposici´on 7.2.6. Sean p0 ∈ S un punto de una superficie regular S y r > 0 de forma que D(0, r) ⊂ D p , es decir, tal que la aplicaci´on expp0 est´a definida en el disco D(0, r) ⊂ Tp0 S. Entonces D(p0 , r) = Bd (p0 , r). Demostraci´on. Ya sabemos (v´ease la observaci´on 7.2) que D(p0 , r) ⊂ Bd (p0 , r). Para demostrar la igualdad, vamos a suponer que existe p ∈ Bd (p0 , r)\D(p0 , r), lo que llevar´a a una contradicci´on que probar´a el resultado. Dado p ∈ Bd (p0 , r)\D(p0 , r), podemos asegurar la existencia de ε > 0 tal que p ∈ Bd (p0 , r − ε )\D(p0 , r); en efecto, si representamos por δ = d(p0 , p), como (S, d) es un espacio m´etrico, basta tomar ε = (r − δ )/2 > 0, para el que claramente se verifica que d(p0 , p) = δ = r − 2ε < r − ε , es decir, p ∈ Bd (p0 , r − ε ). Adem´as, S(p0 , r − ε ) ⊂ D(p0 , r) estrictamente y p 6∈ cl D(p0 , r − ε ). Como ya sabemos, la funci´on d( ·, p) : S −→ R que da la distancia al punto p es continua. Adem´as, la circunferencia geod´esica S(p0 , r − ε ) es un compacto. As´ı pues, si consideramos d( ·, p) restringida sobre S(p0 , r − ε ), podemos asegurar la existencia de m ∈ S(p0 , r − ε ) donde d( ·, p) alcanza el m´ınimo. Por otro lado, como m ∈ S(p0 , r − ε ) ⊂ D(p0 , r), el lema 7.2.5 asegura la existencia de un segmento de geod´esica minimizante γ : [0, 1] −→ S uniendo p0 = γ (0) y ¯ ¯ m = γ (1), lo que implica adem´as que d(p0 , m) = L01 (γ ) = ¯γ 0 (0)¯ = r − ε . 266

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Un argumento totalmente an´alogo al utilizado en la demostraci´on de la igualdad (7.7) en el lema 7.2.5, permite probar que, al ser m ∈ S(p0 , r − ε ) el punto de m´ınima distancia a p, entonces d(p0 , p) = d(p0 , m) + d(m, p). Esto conduce a la contradicci´on deseada, pues obtenemos que r − ε > d(p0 , p) = d(p0 , m) + d(m, p) = r − ε + d(m, p), siendo adem´as d(m, p) > 0 ya que m ∈ S(p0 , r − ε ) y p 6∈ cl D(p0 , r − ε ).

Observaci´on 7.5. En esta propiedad radica la ventaja que, en muy diversas ocasiones, presentan las bolas en la distancia intr´ınseca frente a los discos geod´esicos: estos u´ ltimos pueden no estar definidos para ciertos valores del radio, mientras que los primeros s´ı que pueden estarlo (verificando tambi´en excelentes propiedades). Veamos un sencillo ejemplo.

r p = (−1, 0)

Figura 7.4: Bd (p, r) en el plano agujereado.

Basta considerar el plano agujereado R2 \{(0, 0)} y en e´ l, el punto p = (−1, 0) y cualquier valor r > 1. En tal situaci´on, el disco geod´esico D(p, r) no est´a definido, ya que D(0, r) 6⊂ D p . Por el contrario, la bola en la distancia intr´ınseca es © ª © ª Bd (p, r) = (x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + y2 < r \ (0, 0) , © ª ¡ ¢ pues cualquier punto en (x, 0) : 0 < x < r − 1 verifica d (x, 0), p < r: obs´ervese que, aunque la recta que une p y (x, 0) no est´a contenida en la superficie, la distancia intr´ınseca es el ´ınfimo –no m´ınimo– de las longitudes de las curvas uniendo ambos ¯ ¡ ¢ ¯ puntos, esto es, d p, (x, 0) = ¯ p − (x, 0)¯ (v´ease la figura 7.4). ♦ Una vez demostrado el lema 7.2.5, nos encontramos en condiciones de abordar la prueba del teorema de Hopf-Rinow. El teorema de Hopf-Rinow Teorema 7.2.7 (de Hopf-Rinow). Sea S una superficie conexa. Las siguientes propiedades son equivalentes: i) El espacio m´etrico (S, d) es completo. ii) S es geod´esicamente completa. iii) S es geod´esicamente completa en un punto. iv) Se verifica el teorema de Heine-Borel: los conjuntos cerrados (en S) y acotados (en la distancia intr´ınseca d) son compactos. Si se cumple una de las condiciones anteriores (y por tanto, todas ellas), diremos simplemente que la superficie S es completa. En tal caso, dos puntos cualesquiera de S pueden unirse mediante un segmento de geod´esica minimizante. Muchos autores enuncian este resultado como el propio teorema de Hopf-Rinow. 267

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Demostraci´on. Veamos que i) implica ii). Supongamos que el espacio m´etrico (S, d) es completo, pero que S no es geod´esicamente completa. Entonces, existen p0 ∈ S y v ∈ Tp0 S, tales que γv (1) no est´a definida; podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que γv est´a definida en el intervalo [0, 1). Sea {tn }n∈N una sucesi´on en [0, 1) con l´ımn→∞ tn = 1. Como {tn }n∈N es convergente, en particular es una sucesi´on de Cauchy. Por tanto, dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, entonces |tm − tn | < ε . Ahora bien, Z tm ¢ ¡ ¢ Z tm ¯ 0 ¯ ¡ ¯γv (t)¯ dt = |v| dt = |v| (tm − tn ) d γv (tn ), γv (tm ) ≤ Lttnm γv |[tn ,tm ] = tn

tn

(suponiendo, por ejemplo, tn < tm ). En consecuencia, dado ε > 0, para el N > 0 anterior, si n, m ≥ N, entonces se cumple que ¢ ¡ d γv (tn ), γv (tm ) ≤ |v| (tm − tn ) ≤ |v| ε . ª © Luego γv (tn ) n∈N es una sucesi´on de Cauchy en (S, d). Como este espacio m´etrico © ª es completo, γv (tn ) n∈N es convergente, por lo que podemos asegurar que existe un punto p ∈ S tal que p = l´ımn→∞ γv (tn ). Hay que demostrar que p = l´ımt→1− γv (t). Para ello, sea {sn }n∈N una sucesi´on cualquiera del intervalo [0, 1) con l´ımn→∞ sn = 1. Con un razonamiento an´alogo al ª © anterior podemos deducir de nuevo que la sucesi´on de puntos γv (sn ) n∈N ⊂ (S, d) es de Cauchy, y por tanto, convergente. Sea p0 = l´ımn→∞ γv (sn ). Dado que ¢ ¡ ¢ ¡ 0 ≤ d γv (sn ), γv (tn ) ≤ Ltsnn γv |[sn ,tn ] = |v| |tn − sn | , tomando l´ımites cuando n → ∞ se tiene 0 ≤ d(p0 , p) ≤ |v| l´ımn→∞ |tn − sn | = 0, de donde se deduce que d(p0 , p) = 0, es decir, p0 = p. Esto prueba que l´ımt→1− γv (t) = p. Podemos definir entonces γv (1) := p, ((extendiendo)) as´ı γv hasta t = 1 de forma continua. Pero esto no prueba que γv sea una geod´esica en p. Para demostrarlo, sea a < 1 (suficientemente pr´oximo a 1) tal que existe un entorno normal V de γv (a) con γv (1) = p ∈ V . Esto nos asegura la existencia del segmento de geod´esica radial que une γv (a) con p ∈ V . Por la unicidad de las geod´esicas en entornos normales, este segmento de geod´esica radial coincide con γv , luego γv ((llega)) a p ((como geod´esica)). La condici´on ii) implica iii) trivialmente. Veamos que de iii) se deduce iv). Sea A un subconjunto de S cerrado y d-acotado, y sea p0 ∈ S un punto donde S es geod´esicamente completa. Esto implica que expp0 est´a definida en todo Tp0 S. Por otro lado, como A es d-acotado, existe M > 0 tal que A ⊂ Bd (p0 , M). Adem´as, al ser S conexa y estar expp0 definida en todo Tp0 S, el lema 7.2.5 nos asegura que, dado p ∈ A, existe un segmento de geod´esica minimizante γ uniendo p0 = γ (0) con p = γ (a). Sea v = γ 0 (0) (lo cual implica que γ ≡ γv ). Entonces, Z a ¡ ¢ Z a¯ 0 ¯ a ¯ ¯ |v| dt = a |v| , M > d(p0 , p) = L0 γ |[0,a] = γ (t) dt = 0

0

de donde se deduce que |av| < M, o lo que es lo mismo, av ∈ D(0, M). Luego ¡ ¢ p = γ (a) = γv (a) = γav (1) = expp0 (av) ∈ expp0 D(0, M) . 268

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¡ ¢ ¡ ¢ Por tanto, A ⊂ expp0 D(0, M) ⊂ expp0 cl D(0, M) , siendo este u´ ltimo compacto (imagen por la aplicaci´on continua expp0 de un compacto). En consecuencia, tenemos A cerrado contenido en un compacto, lo que implica que A es compacto. Rec´ıproca© ª mente, sea A ⊂ S un compacto. Si Bd (p0 , n) : n ∈ N es un cubrimiento de A (compacto), existe un subcubrimiento finito, lo que prueba que A es d-acotado. Adem´as, todo compacto contenido en un Hausdorff (S lo es) es cerrado. Veamos finalmente que iv) implica i). Sea {pn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en S, y sea A = {pn : n ∈ N} el conjunto de tales puntos. Por ser una sucesi´on de Cauchy, dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, entonces d(pn , pm ) < ε . Fijamos un punto p ∈ S y un n´umero natural n > N. Entonces, d(p, pn ) ≤ d(p, pN ) + d(pN , pn ) < d(p, pN ) + ε . Como pN es un punto fijo, existe r0 > 0 tal que r0 > d(p, pN ) + ε . En consecuencia, d(p, pn ) < r0 , para todo n ≥ N. Obs´ervese que s´olo queda una cantidad finita de puntos en A que no tienen por qu´e cumplir esta condici´on: p1 , . . . , pN−1 . Basta tomar © ª entonces r = m´ax r0 , d(p, p1 ), . . . , d(p, pN−1 ) para asegurar que d(p, pm ) < r, para todo pm ∈ A; es decir, A es d-acotado, ya que A ⊂ Bd (p, r). En particular, su clausura cl A es d-acotado y cerrado, lo que implica, por hip´otesis (teorema de Heine-Borel), que cl A es compacto. Como {pn }n∈N ⊂ cl A es una sucesi´on contenida en un compacto, existe una subsucesi´on convergente; ahora bien, dado que la sucesi´on original es de Cauchy y tiene una subsucesi´on convergente, podemos asegurar que la propia sucesi´on {pn }n∈N es convergente, lo que demuestra que (S, d) es completo.

Consecuencias del teorema de Hopf-Rinow En este apartado vamos a ver que, pese a ser un resultado intr´ınseco, el teorema de Hopf-Rinow est´a relacionando de alguna manera propiedades intr´ınsecas de la superficie (el ser geod´esicamente completa) con otras que tienen que ver con c´omo la superficie est´a incluida dentro de R3 . Una primera consecuencia es que, si como subespacio topol´ogico la superficie es cerrada, entonces tambi´en es completa. Proposici´on 7.2.8. Toda superficie regular y cerrada en R3 es completa. Demostraci´on. Supongamos que S es una superficie regular cerrada. Para ver que es completa, probamos que el espacio m´etrico (S, d) es completo. Sea {pn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en (S, d). Como |pn − pm | ≤ d(pn , pm ), entonces {pn }n∈N tam¡ ¢ bi´en es una sucesi´on de Cauchy en el espacio m´etrico R3 , | · | . Luego existe l´ımite ¡ ¢ en R3 , | · | . Sea p = l´ımn→∞ pn este l´ımite. Dado que S es cerrada (en R3 ), podemos ¡ ¢ asegurar que p ∈ S. En definitiva, tenemos que p = l´ımn→∞ pn en S, | · | , lo cual implica que p = l´ımn→∞ pn en (S, d), pues ambas topolog´ıas son equivalentes.

En particular, tambi´en se tiene que: Corolario 7.2.9. Toda superficie regular y compacta es completa. 269

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Podemos afinar un poco m´as y a˜nadir una nueva definici´on que, como veremos m´as tarde, introduce una clase nueva de superficies ((comprendida)) entre las superficies regulares y las superficies completas. Definici´on 7.2.10. Una superficie regular S es extendible si existe otra superficie regular S con igual n´umero de componentes conexas,4 tal que S ⊂ S estrictamente.

Se puede probar entonces el siguiente resultado: Proposici´on 7.2.11. Toda superficie regular y completa es no extendible. Demostraci´on. Supongamos que S es conexa (lo que no supone restricci´on alguna en la demostraci´on; en caso contrario, bastar´ıa argumentar con el n´umero de componentes conexas de S), completa y extendible. Entonces, por definici´on, existe otra superficie regular y conexa S tal que S ⊂ S estrictamente. Adem´as, la frontera de S no es vac´ıa: en efecto, como S = int(S\S) ∪ S ∪ bd S (que es una uni´on disjunta), si bd S = 0, / entonces S = int(S\S) ∪ S podr´ıa expresarse como uni´on disjunta de dos abiertos, lo que contradir´ıa la conexi´on de S.

Por tanto, existe p0 ∈ bd S ∩ S, con p0 6∈ S (ya que S es abierta en S y S 6= S). Como p0 ∈ S, podemos tomar un entorno normal V de p0 en S. Ahora bien, p0 ∈ bd S, lo que / luego existe p ∈ V ∩ S. Consideremos el segmento de geod´esica implica V ∩ S 6= 0; radial γ p : [0, 1] −→ V tal que γ p (0) = p0 y γ p (1) = p. Dado que γ p (0) = p0 ∈ S y γ p (1) = p ∈ S, existir´a un t0 ∈ [0, 1] tal que γ p |(t0 ,1] no se sale de V ∩ S, es decir, ª © t0 = inf t ∈ [0, 1] : γ p (t) ∈ V ∩ S para todo t > t0 .

As´ı, podemos construir γ (t) = γ p (1 − t), con t ∈ [0, 1 − t0 ], que es un segmento de geod´esica uniendo γ (0) = γ p (1) = p ∈ S y γ (1 − t0 ) = γ p (t0 ) ∈ bd S 6⊂ S, contenido en S. Esto nos dice que en S, la geod´esica γ : [0,t0 ) −→ S no puede extenderse a p0 , y no est´a definida en todo R, lo que contradice la completitud de S.

Tenemos por tanto la siguiente cadena de inclusiones estrictas:

Â

(

Superficies regulares

)

( ⊃

Superficies no extendibles

)

( ⊃

Superficies completas

)

( ⊃

Superficies cerradas

)

( ⊃

¿

Superficies compactas

Á

)

À

Los siguientes ejemplos demuestran que, en efecto, las inclusiones son estrictas: i) Superficie regular extendible: un hemisferio (abierto) de la esfera. ii) Superficie no extendible y no completa: el cono de una hoja (sin el v´ertice); no es completa pues los meridianos (geod´esicas) no est´an definidos en todo R; es no extendible ya que, si se a˜nade el v´ertice, deja de ser una superficie regular. 4

Para evitar situaciones triviales.

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iii) Superficie completa y no cerrada: el cilindro recto construido sobre una espiral asint´otica a una circunferencia (v´ease la figura 7.5, izquierda). Claramente, esta superficie es completa, pero no es cerrada; en efecto, si tomamos la sucesi´on de puntos en S obtenidos como intersecci´on de S con una recta ortogonal al eje del cilindro, el punto l´ımite, que est´a en la circunferencia, no pertenece a la superficie (v´ease la figura 7.5, derecha).

Figura 7.5: Una superficie completa y no cerrada.

iv) Una superficie cerrada y no compacta: el cilindro. 7.2.3. El teorema de Bonnet La segunda f´ormula de variaci´on establecida en el teorema 7.1.8 permite probar un teorema sorprendente, conocido como el teorema de Bonnet. Para enunciarlo, necesitamos la siguiente definici´on: Definici´on 7.2.12. Se define el di´ametro de una superficie regular y compacta S como © ª D(S) := m´ax d(p, q) : p, q ∈ S . Observemos que la distancia eucl´ıdea siempre es menor o igual que la intr´ınseca. As´ı pues, el di´ametro de una superficie est´a acotado inferiormente por el di´ametro ¡ ¢ de S como subconjunto del espacio m´etrico R3 , | · | . En este contexto, se tiene el siguiente resultado. Teorema 7.2.13 (de Bonnet). Sea S una superficie regular y completa, tal que su curvatura de Gauss K satisface la condici´on K(p) ≥ δ > 0, para todo p ∈ S. Entonces S es compacta y su di´ametro D(S) verifica

π D(S) ≤ √ . δ Demostraci´ que √on. Procedamos por reducci´on al absurdo. As´ı pues, supongamos √ D(S) > π / δ . Entonces, existen puntos p, q en S tales que d(p, q) =: ` > π / δ . Por otro lado, como la superficie es completa, podemos asegurar la existencia de un segmento de geod´esica minimizante γ : [0, `] −→ S de forma que γ (0) = p y γ (`) = q, √ ` cuya longitud L0 (γ ) = ` > π / δ . Consideremos el vector velocidad de la geod´esica 271

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­ ® en p, γ 0 (0) ∈ Tp S, y sea v0 ∈ Tp S tal que |v0 | = 1 y v0 , γ 0 (0) = 0. Tomamos entonces el transporte paralelo a lo largo de γ de v0 , P0s (γ )(v0 ) = V (s), el cual verifica ¯ ¯ que ¯V (s)¯ = |v0 | para todo s, siendo V (0) = v0 . Adem´as, como γ es una geod´esi® ­ ® ­ ca, su campo velocidad es paralelo, por lo que V (s), γ 0 (s) = v0 , γ 0 (0) = 0. En consecuencia, V (s) y γ 0 (s) son ortogonales, para todo s ∈ [0, `]. Consideremos ahora el campo de vectores tangente Z ∈ X (γ ) dado por ³π ´ Z(s) = sen s V (s), ` el cual verifica que ­ ® Z(s), γ 0 (s) = 0. Z(0) = 0, Z(`) = sen π V (`) = 0 y

En consecuencia, Z determina una variaci´on propia y normal φ de la geod´esica γ , de la cual Z es su campo variacional. Se satisfacen entonces las condiciones del teorema 7.1.8, por lo que podemos utilizar la segunda f´ormula de variaci´on; como V es paralelo (y por tanto, unitario), ³π ´ ³π ´ ³ π ´ DV π π DZ s V (s) + sen s s V (s); (s) = cos (s) = cos ds ` ` ` ds ` ` luego se tiene que # " ¯2 Z ` ¯¯ ¯2 ¯ ¢¯ ¡ DZ 00 ¯ ¯ ¯ ¯ L (0) = ¯ ds (s)¯ − K γ (s) Z(s) ds 0 ¸ Z `· 2 ³ ´ ¡ ¢ 2 ³π ´ π 2 π = cos s − K γ (s) sen s ds. `2 ` ` 0 √ Ahora bien, como estamos suponiendo que ` > π / δ , lo cual es equivalente a que ¡ ¢ δ > π 2 /`2 , tenemos la desigualdad estricta K γ (s) ≥ δ > π 2 /`2 . Entonces, Z ` 2h Z ³ ´ ³ ´i ³ π ´ π π2 ` 00 2 π 2 π L (0) < cos s − sen s ds cos 2 s ds = 0, = 2 ` ` `2 0 ` 0 `

una contradicci´on, ya que al ser γ un segmento de geod´esica minimizante, su longitud va a ser menor (o igual) que la de cualquier otra curva que una p con q, y por tanto, cualquier variaci´on de γ debe verificar que L0 (0) = 0 y L00 (0) ≥ 0. √ Hemos demostrado as´ı que el di´ametro D(s) ≤ π / δ . Esto implica adem´as que la superficie es d-acotada. Como, de forma obvia, S es cerrada en S y estamos suponiendo que es completa, el teorema de Hopf-Rinow nos asegura que S es compacta, lo que concluye la prueba.

Observaci´on 7.6. La hip´otesis K ≥ δ > 0 no puede debilitarse suponiendo s´olo que la curvatura de Gauss verifica K > 0: consideremos, por ejemplo, el paraboloide de © ª revoluci´on dado por S = (x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 , superficie que, desde luego, no es compacta; un r´apido c´alculo permite comprobar que su curvatura de Gauss vale K = 4/(1 + 4z)2 > 0, y que l´ımz→∞ 4/(1 + 4z)2 = 0, por lo que es imposible encontrar un δ > 0 tal que K ≥ δ > 0. La curvatura de Gauss K debe estar acotada inferiormente por un n´umero estrictamente positivo. ♦ 272

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√ Observaci´on 7.7. La cota π / δ establecida para el di´ametro es la mejor posible, pues existen superficies para las que se da la igualdad: consid´erese la esfera S2 (r), cuya curvatura de Gauss es K = 1/r2 ; tomando δ = 1/r2 (que satisface trivialmente la condici´on K ≥ δ > 0), se tiene que ¡ ¢ π √ = π r = D S2 (r) , δ

pues en la esfera, d(p, q) ≤ π r, d´andose la igualdad si, y s´olo si, p y q son puntos antipodales. ♦ Observaci´on 7.8. Como |p − q| ≤ d(p, q), el di´ametro de una superficie S en la disintr´ınseca; tancia eucl´ıdea es siempre menor o igual que el di´ametro en la distancia √ as´ı, si se dan las condiciones del teorema de Bonnet, D| · | (S) ≤ D(S) ≤ π / δ , lo que prueba que este resultado tambi´en se cumple para la distancia eucl´ıdea. ♦

7.3. EL TEOREMA DE RIGIDEZ DE LA ESFERA En esta secci´on vamos a estudiar otro ejemplo t´ıpico de lo que se conoce como un resultado global. Se trata de demostrar que la esfera es r´ıgida en el siguiente sentido: si φ : S2 (r) −→ S es una isometr´ıa global de una esfera de radio r en una superficie regular S, entonces S tambi´en es una esfera del mismo radio. ¿Qu´e significa geom´etricamente este resultado? En pocas palabras, lo que estamos afirmando es que no es posible deformar una esfera fabricada con un material flexible e inel´astico. Para ilustrar esta respuesta, vamos a estudiar, en primer lugar, y de un modo intuitivo, qu´e tipos de aplicaciones se dan entre dos superficies arbitrarias S y S0 .

En un primer nivel, podemos considerar un difeomorfismo entre S y S0 . Dos superficies difeomorfas son id´enticas desde el punto de vista de la diferenciabilidad (y por supuesto, de la topolog´ıa). As´ı, podemos ver S0 como una deformaci´on de S, donde entendemos que S est´a fabricada con un material el´astico y flexible que permite dicha deformaci´on.

En un segundo nivel, tenemos una isometr´ıa (global) entre S y S0 . Claramente este nivel engloba al primero (toda isometr´ıa es un difeomorfismo), aunque ahora, lo que podemos es ver S0 como una deformaci´on de S, donde S est´a fabricada con un material flexible e inel´astico (si tuviera elasticidad, se modificar´ıan las longitudes de las curvas dentro de la superficie, y no tendr´ıamos isometr´ıa).

Finalmente, en un tercer nivel, se tiene un movimiento r´ıgido entre S y S0 . Si queremos dar una interpretaci´on an´aloga a las anteriores podemos concluir que, en realidad, lo u´ nico que estamos haciendo es cambiar la posici´on en el espacio de la superficie S, que no puede ser flexible ni el´astica. Como ya hemos anticipado al comienzo de la secci´on, vamos a demostrar que la esfera es r´ıgida, lo que se obtendr´a como una consecuencia del siguiente resultado (v´ease el corolario 7.3.3): 273

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Teorema 7.3.1 (Liebmann, 1899). Sea S una superficie regular, conexa y compacta, con curvatura de Gauss K constante. Entonces S es una esfera. Para la demostraci´on del teorema de Liebmann 7.3.1 necesitamos el siguiente lema previo, cuya prueba se debe a S. S. Chern [6]. Lema 7.3.2. Sea S una superficie regular y sea p ∈ S tal que i) K(p) > 0, ii) p es un m´aximo de k2 y iii) p es un m´ınimo de k1 . Entonces p es un punto umbilical. Demostraci´on. Recordemos que, por convenio, siempre suponemos que k1 ≤ k2 . Adem´as, las curvaturas principales son funciones diferenciables, excepto en los puntos umbilicales. En lo que sigue, suprimiremos por comodidad las variables (u, v) de todas las expresiones. Una vez hecha esta aclaraci´on, supongamos que p no es umbilical, y vamos a llegar a una contradicci´on. En tal caso, k1 (p) 6= k2 (p) y, en consecuencia, existen dos direcciones principales en p. Adem´as, siempre es posible encontrar una parametrizaci´on X : U ⊂ R2 −→ V (p) en p doblemente ortogonal, es decir, tal que las curvas coordenadas u ; X(u, v), v ; X(u, v) son l´ıneas de curvatura (v´ease la observaci´on 3.16). Ya sabemos que, para dicha parametrizaci´on X, se verifica F = f = 0 (observaci´on 3.16), por lo que 2H =

eG + gE EG

y

K=

eg . EG

En consecuencia, las curvaturas principales toman los valores k1 = e/E y k2 = g/G (si fuese necesario, podemos intercambiar u y v para que k1 ≤ k2 ). Recordemos adem´as que las ecuaciones de Mainardi-Codazzi en este caso (v´ease el ejemplo 3.22) se reducen a las expresiones g´ Gu ³ e g´ Ev ³ e + , gu = + , ev = 2 E G 2 E G

por lo que

Gu Ev (k1 + k2 ) y gu = (k1 + k2 ). 2 2 Si derivamos k1 = e/E respecto a v se obtiene ev =

(k1 )v =

(7.12)

ev E − eEv , E2

de donde E(k1 )v = ev − (e/E)Ev = ev − k1 Ev . Sustituyendo la expresi´on para ev recogida en (7.12) en esta u´ ltima igualdad, se llega a que E(k1 )v =

Ev Ev (k1 + k2 ) − k1 Ev = (−k1 + k2 ), 2 2

274

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es decir, Ev = 2E

(k1 )v . −k1 + k2

(7.13)

An´alogamente, si derivamos k2 = g/G respecto a u obtenemos (k2 )u =

gu G − gGu , G2

de donde G(k2 )u = gu − (g/G)Gu = gu − k2 Gu . De nuevo, sustituyendo la expresi´on para gu que aparece en (7.12), se llega a que G(k2 )u =

Gu Gu (k1 + k2 ) − k2 Gu = (k1 − k2 ), 2 2

es decir,

(k2 )u . (7.14) k1 − k2 Recordemos que la curvatura de Gauss en una parametrizaci´on ortogonal, como la que nos ocupa, se escribe en los siguientes t´erminos (v´ease el ejercicio 3.31): ·µ ¶ µ ¶ ¸ −1 Ev Gu √ K= √ + √ . 2 EG EG v EG u Gu = 2G

Desarrollando las derivadas que aparecen en dicha f´ormula se llega a la expresi´on √ ¡√ ¢ i Evv + Guu 1 h ¡√ ¢ −2K EG = √ − Ev EG v + Gu EG u , EG EG

y sustituyendo en ella las relaciones (7.13) y (7.14) se obtiene # " ¡√ ¢ ¡√ ¢ 2E EG v 2G EG u 1 (k1 )v − (k2 )u . −2KEG = Evv + Guu − √ k2 − k1 k2 − k1 EG

Vamos a reescribir esta igualdad de la forma −2KEG = Evv + Guu + M(u, v)(k1 )v + N(u, v)(k2 )u , donde

¡√ ¢ 1 2E EG v M(u, v) = − √ EG k2 − k1

y

(7.15)

¡√ ¢ 1 2G EG u N(u, v) = √ . EG k2 − k1

Obs´ervese que, al estar trabajando en un punto p que no es umbilical, las funciones M(u, v) y N(u, v) est´an bien definidas, y son diferenciables en un entorno de dicho punto. A continuaci´on, vamos a calcular Evv y Guu . De (7.13) se obtiene que ¶ µ 2E 2E (k1 )v + (k1 )vv , Evv = k2 − k1 v k2 − k1

mientras que, partiendo de (7.14), se llega a que ¶ µ 2G 2G (k2 )u + (k2 )uu . Guu = k1 − k2 u k1 − k2 275

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Introduciendo estas dos expresiones en (7.15) se tiene que −2KEG =

donde ahora e v) = M(u,

µ

2E 2G e v)(k1 )v + N(u, e v)(k2 )u , (k1 )vv + (k2 )uu + M(u, k2 − k1 k1 − k2

2E k2 − k1

¶ v

µ + M(u, v)

y

e v) = N(u,

2G k1 − k2

¶ u

+ N(u, v).

Finalmente, multiplicando la ecuaci´on por (k2 − k1 ), se obtiene −2KEG(k2 − k1 ) = 2E(k1 )vv − 2G(k2 )uu + M(u, v)(k1 )v + N(u, v)(k2 )u ,

(7.16)

e v) y N(u, v) = (k2 − k1 )N(u, e v), siendo cierta la igualdad con M(u, v) = (k2 − k1 )M(u, para todos los puntos de un entorno de p. Si evaluamos esta expresi´on en dicho punto p = X(q), entonces, sabemos por hip´otesis que

i) el punto p es el´ıptico, luego K(p) > 0; ii) el punto p es un m´aximo de k2 , luego (k2 )u (q) = 0 y (k2 )uu (q) ≤ 0; iii) el punto p es un m´ınimo de k1 , luego (k1 )v (q) = 0 y (k1 )vv (q) ≥ 0. En consecuencia, el primer miembro de la ecuaci´on (7.16) cumple ¡ ¢ −2K(p)E(q)G(q) k2 (p) − k1 (p) < 0, pues k1 ≤ k2 por hip´otesis, y s´olo se da la igualdad si p es umbilical, que no es el caso. Por otra parte, el lado derecho de (7.16) verifica 2E(q)(k1 )vv (q) − 2G(q)(k2 )uu (q) ≥ 0, ya que (k1 )v (q) = (k2 )u (q) = 0. Hemos llegado as´ı a una contradicci´on, lo que demuestra que el punto p debe ser umbilical.

Estamos ya en disposici´on de demostrar el teorema de Liebmann 7.3.1. Demostraci´on del teorema 7.3.1. Como S es compacta, existe un punto el´ıptico p0 (v´ease el ejercicio 3.6), de modo que K(p0 ) > 0. As´ı, K ≡ c, siendo c una constante positiva. Por otro lado, dado que k2 es una funci´on continua definida en S, que es compacto, existe un punto p donde k2 alcanza el m´aximo (recordemos que, por convenio, k2 ≥ k1 ). Ahora bien, como K = k1 k2 = c, entonces k1 = c/k2 , por lo que k1 alcanza el m´ınimo en el punto p. Luego se cumplen las tres hip´otesis del lema 7.3.2, lo que nos asegura que el punto p es umbilical, es decir, k1 (p) = k2 (p). Adem´as, para todo p0 ∈ S, al ser p el m´aximo y el m´ınimo de k2 y k1 , respectivamente, se tiene que k2 (p) ≥ k2 (p0 ) ≥ k1 (p0 ) ≥ k1 (p), y como los n´umeros en los extremos de esta cadena de desigualdades coinciden, se tiene k1 (p0 ) = k2 (p0 ), para todo p0 ∈ S; en consecuencia, S es totalmente umbilical. 276

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Pero sabemos (teorema 3.4.7) que las u´ nicas superficies totalmente umbilicales son aquellas formadas exclusivamente por trozos de planos o de esferas. Del hecho de que K > 0 y de que S sea conexa, se tiene que S ⊂ S2 (r), donde r2 = 1/K. Finalmente observemos que, al ser S compacta, entonces es cerrada (en S2 (r)), y que por ser S superficie regular, es abierta (en S2 (r)); luego S es toda la esfera S2 (r).

Corolario 7.3.3 (Teorema de rigidez de la esfera). Sean S una superficie regular y φ : S2 (r) −→ S una isometr´ıa. Entonces S es una esfera de radio r. Demostraci´on. La ((rigidez de la esfera)) se deduce de forma inmediata a partir del teorema de Liebman 7.3.1: si φ : S2 (r) −→ S es una isometr´ıa entonces:

la superficie S tiene curvatura de Gauss constante K y

la superficie S es conexa y compacta, pues φ es un difeomorfismo. Por tanto, la superficie S se encuentra en las condiciones del teorema, y resulta ser una esfera del mismo radio.

Observaci´on 7.9. En la demostraci´on del lema 7.3.2 no se llega a contradicci´on alguna si se supone que k1 tiene un m´aximo local en p y k2 un m´ınimo local en dicho punto. De hecho, existen ejemplos de superficies con curvatura de Gauss positiva y constante, donde se da esta situaci´on en un punto p, sin ser e´ ste umbilical. Mostramos uno de ellos a continuaci´on. ♦ Ejemplo 7.1. Consideremos la superficie de revoluci´on parametrizada por ¡ ¢ X(u, v) = c cos v cos u, c cos v sen u, g(v) , ¡ ¢ donde (u, v) ∈ U = (0, 2π ) × − arc sen(1/c), arc sen(1/c) , siendo c > 1 y g(v) =

Z vp 0

1 − c2 sen2 t dt

(v´ease la figura 7.6, para distintos valores de c > 1).

Figura 7.6: La superficie de ´ X(u, v) para c = 1,5 revolucion (izquierda) y c = 2 (derecha).

Los coeficientes de su primera forma fundamental son E = c2 cos2 v, F = 0 y G = 1, mientras que los de su segunda forma fundamental son p c cos v . e = −c 1 − c2 sen2 v cos v, f = 0 y g = − √ 1 − c2 sen2 v 277

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Al tratarse de una parametrizaci´on para la cual F = f = 0 (es decir, una parametrizaci´on ortogonal cuyas curvas coordenadas son adem´as l´ıneas de curvatura, v´ease el ejercicio 3.13), se tiene que √ c cos v e g 1 − c2 sen2 v k1 = = − √ y k2 = = − , G E c cos v 1 − c2 sen2 v

pues, al ser c > 1, entonces k1 ≤ k2 . Adem´as, la curvatura de Gauss es estrictamente positiva y constante: K = k1 k2 ≡ 1 > 0. Por otro lado, es sencillo ver que k1 < k2 ; en efecto, k1 = k2 si, y s´olo si, c2 = 1, lo cual es imposible pues c > 1 por hip´otesis. Luego S no tiene puntos umbilicales. M´as a´un, √ 1 − c2 sen2 v 1 > − = k2 (u, 0), k2 (u, v) = − c cos v c lo que nos asegura que k2 alcanza el m´ınimo en los puntos del paralelo v = 0. De esta forma, al ser K constante, k1 alcanza el m´aximo en dichos puntos. Observemos, por u´ ltimo, que esta superficie no es compacta. ♦

Una superficie regular, conexa y compacta, con curvatura de Gauss positiva en todos sus puntos, se denomina un ovaloide. Existe un resultado de rigidez para ovaloides an´alogo al que hemos presentado para la esfera, cuya demostraci´on excede las pretensiones de este libro, y que se conoce como teorema de Cohn-Vossen (1927, v´ease [42]). No obstante, y en relaci´on con los ovaloides, s´ı podemos estudiar el siguiente resultado de unicidad en t´erminos de la curvatura media; su demostraci´on es muy sencilla utilizando las t´ecnicas de la rigidez de la esfera. Corolario 7.3.4. Si S es una superficie regular, conexa y compacta, con curvatura de Gauss K > 0 (no necesariamente constante) y curvatura media H constante, entonces S es una esfera. En otras palabras, todo ovaloide con curvatura media constante es una esfera. Demostraci´on. Recordemos que 2c ≡ 2H = k1 + k2 , y podemos suponer, cambiando la orientaci´on si es necesario, que H ≡ c ≥ 0. Por otra parte, c > 0, ya que si c = 0, entonces k1 = −k2 y K ≤ 0, lo que contradice nuestra hip´otesis. De nuevo, la compacidad de S nos asegura la existencia de un punto p donde k2 alcanza un m´aximo y, por tanto, k1 un m´ınimo (pues k1 + k2 = 2c > 0). Como K(p) > 0 el lema 7.3.2 nos asegura que k1 (p) = k2 (p), y un razonamiento an´alogo al desarrollado en la demostraci´on del teorema de Liebmann 7.3.1 nos permite concluir que S es una esfera.

En relaci´on a este u´ ltimo resultado obs´ervese que, si S es un ovaloide, el teorema de Gauss-Bonnet asegura que Z

0
0, y la u´ nica posibilidad es χ (S) = 2, de donde se deduce que S es homeomorfa a la esfera. Evidentemente, el rec´ıproco no es cierto, pues existen superficies homeomorfas a la esfera que no son ovaloides (v´ease la figura 6.10). Algunos resultados que generalizan el teorema para ovaloides con curvatura media constante, a un tipo de superficies m´as generales, son los siguientes: Teorema 7.3.5 (Hopf, 1951). Una superficie ((regular)) homeomorfa a la esfera y con curvatura media constante es una esfera. Este resultado es mucho m´as profundo de lo que podemos reflejar con la teor´ıa desarrollada en este texto. Hopf [19] trabaja con ((superficies abstractas)), esto es, espacios topol´ogicos localmente homeomorfos a abiertos del plano. Tales superficies abstractas est´an ((inmersas)) (contenidas) en el espacio eucl´ıdeo v´ıa una cierta aplicaci´on (una ((inmersi´on))), que es un homeomorfismo local sobre la imagen. Sin embargo, la topolog´ıa de la superficie abstracta no coincide, en general, con la topolog´ıa de la imagen como subconjunto del espacio eucl´ıdeo. Pues bien, lo que afirma Hopf es que una superficie abstracta homeomorfa a una esfera, que adem´as est´a inmersa en el espacio eucl´ıdeo, y cuya inmersi´on (cuya superficie imagen) tiene curvatura media constante en todos sus puntos, es necesariamente una esfera propiamente dicha. La demostraci´on del teorema de Hopf introduce herramientas y t´ecnicas realmente audaces, que han supuesto avances muy importantes en la Teor´ıa de Superficies con curvatura media constante, as´ı como en otras clases m´as amplias de superficies. Un resultado similar al de Hopf, pero que versa sobre superficies regulares como las que estudiamos en este libro, es el siguiente: Teorema 7.3.6 (Aleksandrov, 1955). Una superficie regular, conexa, compacta y con curvatura media constante es una esfera. El teorema de Aleksandrov (v´eanse [2, 19]) no es ni una generalizaci´on ni un caso especial del teorema de Hopf anterior, ya que las hip´otesis de partida son diferentes. As´ı, este resultado no impone ninguna condici´on sobre el tipo topol´ogico5 de superficie, aunque s´ı exige (en contraste con el resultado anterior de Hopf) que e´ sta sea una superficie regular. Es evidente que la prueba de Aleksandrov, siendo como es un teorema distinto al de Hopf, necesita t´ecnicas muy diferentes. De hecho, Aleksandrov inventa su ((m´etodo de reflexi´on)), de resultados sorprendentes y aplicaciones diversas, con el que demuestra que una superficie, en las hip´otesis del enunciado, tiene infinitos planos de simetr´ıa, con lo que necesariamente es una esfera (esta propiedad caracteriza las esferas). Al igual que el resultado de Hopf, el teorema de Aleksandrov se caracteriza, no por ser un ((punto de llegada)) a un resultado m´as o menos esperado, sino por constituirse en el lugar de partida de algunas de las ramas m´as sobresalientes y fruct´ıferas de la Geometr´ıa Diferencial moderna. 5

S´olo exige compacidad. La conexi´on es una hip´otesis trivialmente necesaria.

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Observaci´on 7.10. El teorema de Aleksandrov puede enunciarse en los siguientes t´erminos: las pompas de jab´on siempre son redondas. Una pompa de jab´on no es otra cosa que una superficie (formada por el l´ıquido jabonoso) cuya consistencia se debe a las fuerzas de tensi´on superficial presentes en cualquier sustancia l´ıquida. La pompa encierra dentro aire a una cierta presi´on p1 , mientras que en el exterior de la misma el aire se encuentra a la presi´on atmosf´erica p0 . Precisamente porque hemos soplado para hacer la pompa, ocurre que p1 > p0 . M´as a´un, la f´ormula de Laplace demuestra que, en cada punto de la superficie jabonosa, p1 − p0 µ H. Como las presiones en el interior y en el exterior son constantes (los gases se reparten de forma homog´enea, y no hay perturbaciones din´amicas o t´ermicas), entonces la pel´ıcula jabonosa tiene curvatura media constante. Por lo tanto, toda pompa de jab´on tiene curvatura media constante, adem´as de presentar la topolog´ıa de la esfera. As´ı pues, el teorema de Aleksandrov obliga a que dicha pompa tenga forma esf´erica (hecho que, experimentalmente, est´a m´as que comprobado). ♦

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Geometr´ıa Diferencial global

EJERCICIOS Ejercicio 7.1. Sea S una superficie regular. Dados p ∈ S y v ∈ D p , demostrar que la ¢ ¡ distancia intr´ınseca d p, exp p (v) ≤ |v|. ¿Bajo qu´e hip´otesis se puede asegurar que ¡ ¢ d p, exp p (v) = |v|? Ejercicio 7.2. Dados p0 ∈ S y un disco geod´esico D(p0 , R), demostrar que existe r > 0 tal que Bd (p0 , r) ⊂ D(p0 , R). Ejercicio 7.3. Sean S una superficie regular, p, q ∈ S y α ∈ Ω(p, q) una curva uniendo p = α (a) con q = α (b). Demostrar que si α es minimizante (entre p y q), entonces α |[t0 ,t1 ] es minimizante entre α (t0 ) y α (t1 ), para cualesquiera t0 ,t1 ∈ [a, b]. Ejercicio 7.4. Sea d la distancia intr´ınseca en la esfera S2 (r). Demostrar que, para cada par de puntos p1 , p2 ∈ S2 (r), se verifica que d(p1 , p2 ) ≤ π r, d´andose la igualdad si, y s´olo si, p1 y p2 son puntos antipodales. Ejercicio 7.5. Dados dos puntos no antipodales p, q ∈ S2 , demostrar que existe un u´ nico m ∈ S2 tal que d(p, q) = 2d(p, m) = 2d(q, m), llamado punto medio de p y q. Probar que la rotaci´on Rπ de π radianes alrededor de m, lleva p a q y q a p. Ejercicio 7.6. Sea f : W −→ R una funci´on diferenciable, donde W ⊂ R3 es un abierto. Estudiar la completitud de la superficie de nivel S = f −1 (c), c ∈ R. Ejercicio 7.7 (Curvas divergentes). Una curva divergente en una superficie regular S es una curva diferenciable α : [0, ∞) −→ S que ((se sale de los compactos)), es decir, tal que, para cada conjunto compacto A ⊂ S, existe un instante t0 < ∞ para el cual α (t) ∈ / A si t > t0 . Se define entonces la longitud de α como Z t¯ ¯ L(α ) = l´ım ¯α 0 (s)¯ ds ≤ ∞. t→∞ 0

Demostrar que S es completa si, y s´olo si, toda curva divergente tiene longitud infinita. ´ Esta fue, de hecho, la definici´on original de completitud dada por Hopf y Rinow en su art´ıculo [20]. Ejercicio 7.8 (Rayos). Se dice que una geod´esica γ : [0, ∞) −→ S es un rayo que sale de p = γ (0) si γ realiza la distancia entre p y γ (t), para todo t ∈ [0, ∞). Demostrar que si S es una superficie completa y no compacta, y p ∈ S es un punto cualquiera de S, entonces existe un rayo que sale de p. Ejercicio 7.9. i) Sea φ : S1 −→ S2 un difeomorfismo entre dos superficies regulares. Probar que si S2 es completa y existe una constante c > 0 tal que ¯ ¯ c¯d φ p (v)¯ ≤ |v|, para todo p ∈ S1 y todo v ∈ Tp S1 , entonces S1 es completa. ´ es un difeomorii) Sea π : S2 \{N} −→ R2 la proyecci´on estereogr´afica. Esta fismo entre la esfera menos un punto y el plano, que es adem´as una aplicaci´on conforme (v´ease el ejemplo 3.23). Por tanto verifica, en particular, que ¯ ¯ ¯d π p (v)¯ = c|v| para todo p ∈ S2 y todo v ∈ Tp S2 . Como el plano R2 es completo, entonces por el apartado i) se tiene que S2 \{N} es completa. ¿D´onde est´a el error? 281

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Ejercicio 7.10. Sea φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local entre dos superficies regulares y conexas S1 y S2 . Supongamos que S1 es completa y que S2 cumple la siguiente propiedad: dos puntos cualesquiera de S2 se pueden unir mediante un u´ nico segmento de geod´esica. Demostrar que φ es una isometr´ıa global. Ejercicio 7.11 (El funcional energ´ıa). Sea α : [a, b] −→ S una curva regular en una superficie S con α (a) = p y α (b) = q (no necesariamente p.p.a.). Se define la energ´ıa de α como Z b¯ ¯ ¯α 0 (t)¯2 dt. E(α ) = a

i) Demostrar que Lab (α )2 ≤ (b − a)E(α ), d´andose la igualdad si, y s´olo si, α est´a parametrizada proporcional al arco. ii) Demostrar que si γ : [a, b] −→ S es un segmento de geod´esica minimizante (p.p.a.) con γ (a) = p y γ (b) = q, entonces E(γ ) ≤ E(α ), d´andose la igualdad si, y s´olo si, α es a su vez un segmento de geod´esica minimizante. iii) Sean φ : [a, b] × (−ε , ε ) −→ S una variaci´on de α , Z(s) = (∂ φ /∂ t)(s, 0) el campo variacional asociado y αt (s) = φ (s,t). Sea E(t) = E(αt ). Probar que ¯ ®¯b Z b ­ ® ­ 1 0 0 Z(s), α 00 (s) ds. E (0) = Z(s), α (s) ¯¯ − 2 a a

Concluir que si α es un segmento de geod´esica, entonces E 0 (0) = 0 para toda variaci´on propia de α . Ejercicio 7.12 (Campos de Jacobi). Sean γ : [0, `] −→ S un segmento de geod´esica p.p.a. en una superficie S completa y φ : [0, `] × (−ε , ε ) −→ S una variaci´on de γ tal que γt (s) = φ (s,t) es tambi´en geod´esica para todo t ∈ (−ε , ε ). En tal caso se dice que el campo variacional J(s) = (∂ φ /∂ t)(s, 0) es un campo de Jacobi. i) Sea v(t) una curva parametrizada en Tp S, p = γ (0), con v(0) = γ 0 (0) = v ¡ ¢ y v0 (0) = w, y consid´erese la aplicaci´on φ (s,t) = expp sv(t) . Justificar que φ (s,t) es una variaci´on de γ y demostrar que el campo J(s) = s d(expp )sv (w) es de Jacobi, verificando J(0) = 0 y (DJ/ds)(0) = w. ¯ ¯ ¢ ¡ ii) Comprobar que L` γt (s) = L` (γ )¯v(t)¯, para todo t ∈ (−ε , ε ). 0

0

iii) Demostrar que el campo velocidad γ 0 (s) tambi´en es un campo de Jacobi. Ejercicio 7.13. ¿Qu´e se puede afirmar de una superficie compacta cuya aplicaci´on de Gauss es una isometr´ıa? Ejercicio 7.14. i) Demostrar que si una superficie regular S, conexa y compacta, tiene curvatura de Gauss estrictamente positiva en todo punto y es tal que el cociente H/K permanece constante, entonces S es una esfera. ii) Sea S una superficie regular y conexa, con curvatura de Gauss K > 0. Demostrar que si S no tiene puntos umbilicales, entonces no puede existir ning´un punto en S donde H alcance un m´aximo y K un m´ınimo.

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´ Practicas con Mathematicar En este cap´ıtulo del libro presentamos una serie de pr´acticas (desarrolladas) para realizar con el conocido entorno Mathematicar . Un gran n´umero de estos ejercicios son originales, desarrollados por los propios autores, mientras que el resto se han obtenido de la p´agina web http://mathworld.wolfram.com/ que a su vez es parte del sitio oficial del software Mathematicar . Finalmente, unos pocos ejercicios han sido extra´ıdos del excelente libro de Gray [17]. Evidentemente, y debido a las caracter´ısticas de un entorno tan potente y sofisticado como es Mathematicar , no pretendemos ense˜nar a utilizar este software, ya ´ que para ello est´a disponible el libro de Gray [17] (v´ease tambi´en [18]). Unicamente pretendemos que el estudiante disponga de una eficaz herramienta para visualizar, profundizar y comprender algunos de los conceptos y ejemplos que hemos presentado a lo largo del curso. En este sentido podemos, tanto encontrar ejercicios en los que descubrimos curvas que han jugado un papel decisivo a lo largo de la historia, como visualizar superficies cuyas ecuaciones son tan complicadas que apenas nos atrever´ıamos a empezar los c´alculos. Pensamos que es muy importante en Geometr´ıa Diferencial saber distinguir entre lo que es verdaderamente decisivo (los conceptos, las definiciones, los resultados) y lo que, en ocasiones, es m´as accesorio (las cuentas largas y engorrosas), por lo que la utilizaci´on de una herramienta inform´atica que aligere la parte computacional puede revelarse como la m´as eficaz de las armas para lograr una comprensi´on global del curso.

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´ Apendice A

´ Curvas. Practicas con Mathematicar A.1. A.1.1.

GEOMETR´IA DIFERENCIAL DE CURVAS PLANAS La curvatura de una curva plana y la longitud de arco

Pr´actica A.1. Definir la estructura compleja J en R2 y escribir un programa que calcule la curvatura de una curva plana α . J[{p1 ,p2 }]:={-p2,p1} Kappa[a ][t ]:=∂{tt,2} a[tt].J[∂tt a[tt]]/Simplify[∂tt a[tt].∂tt a[tt]]ˆ(3/2)/.{tt->t}

Pr´actica A.2. Calcular la curvatura de la figura ocho y representar su gr´afica. Obs´ervense los m´aximos, los m´ınimos y los puntos en los que se anula la curvatura. ocho[t ]:={Sin[t],Sin[t] Cos[t]} Kappa[ocho][t]; Simplify[ %] Plot[Evaluate[Kappa[ocho][t],{t,0,8}]]

Pr´actica A.3. Calcular la curvatura del c´ırculo y representar gr´aficamente dicha funci´on. ¿No deber´ıa ser constante? circulo[t ]:={Sin[t],Cos[t]} Kappa[circulo][t]; Simplify[ %] Plot[Evaluate[Kappa[circulo][t],{t,0,10}]]

Pr´actica A.4. Definir la funci´on que expresa el m´odulo del vector velocidad de una curva, y escribir la funci´on longitud de arco como la integral indefinida de dicha funci´on. Finalmente, definir la funci´on longitud, entre dos valores del par´ametro, como la integral definida del m´odulo del vector velocidad de la curva. √ arcd[alpha ][t ]:= Simplify[∂tt alpha[tt].∂tt alpha[tt]]/.{tt->t} R arclength[alpha ][t ]:= arcd[alpha][tt]dltt/.{tt ->t} length[a ,b ][alpha ]:=NIntegrate[arcd[alpha][u],{u,a,b}]

Pr´actica A.5. Calcular la funci´on longitud de arco de la par´abola semic´ubica (t 2 ,t 3 ). Calcular su longitud entre los valores 1 y 2 del par´ametro. sc[t ]:={tˆ2,tˆ3}; arclength[sc][t] length[1,2][sc] o tambi´en N[arclength[sc][2]-arclength[sc][1]]

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Pr´actica A.6. Calcular la longitud de la cicloide desde el valor 0 al valor 2π del par´ametro, as´ı como su funci´on longitud de arco. cicloide[t ]:={t-Sin[t],1-Cos[t]} length[0,2Pi][cicloide] arclength[cicloide][t]

A.1.2.

´ ´ grafica de curvas Representacion

Pr´actica A.7 (Formas expl´ıcita y param´etrica). Representar gr´aficamente la catenaria, la elipse de semiejes 1 y 2, y la circunferencia de radio 1. La gr´afica resultante, ¿es la de una circunferencia? A˜nadir la opci´on AspectRatio->Automatic. Plot[Cosh[t],{t,-2,2}] ParametricPlot[{Cos[t],2Sin[t]},{t,0,2Pi}] ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}] ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.8 (Visualizaci´on simult´anea de varias gr´aficas). Definir en c´odigo Mathematicar una funci´on que represente una familia de circunferencias de centro (p, q) y radio a. Dibujar, usando la definici´on anterior, una circunferencia de radio 2 centrada en el punto (1, 2). Dibujar, usando dicha definici´on, una circunferencia de radio 3 centrada en el punto (2, 0). Superponer ambos dibujos. circunfer[a ][p ,q ][t ]:={a*Cos[t]+p,a*Sin[t]+q} ParametricPlot[Evaluate[circunfer[2][1,2][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] ParametricPlot[Evaluate[circunfer[3][2,0][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] Show[ %, % %]

A.1.3.

´ Algunos ejemplos de curvas planas clasicas

Pr´actica A.9. Representar la llamada lemniscata de Bernoulli, cuya parametrizaci´on ¡ ¢ es α (t) = a cost/(1 + sen2 t), a sent cost/(1 + sen2 t) , para t ∈ (0, 2π ). Cos[t] lemn[a ][t ]:={a 1+Sin[t]ˆ2 ,a Sin[t]Cos[t] 1+Sin[t]ˆ2 } ParametricPlot[Evaluate[lemn[1][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.10. Definir la funci´on cicloide α (t) = (t − sent, 1 − cost) y representar la gr´afica de dicha curva para t ∈ [0, 6π ]. Cicl[t ]:={t-Sin[t],1-Cos[t]} ParametricPlot[Evaluate[Cicl[t]],{t,0,6Pi},AspectRatio->Automatic]

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Ap´endice A: Curvas. Pr´acticas con Mathematicar

Pr´actica A.11. De la misma familia que la cicloide nos encontramos con las llamadas trocoides: un c´ırculo de radio 1 en el plano gira sin deslizarse sobre el eje x; las figuras descritas por un punto interior (trocoide de tipo 1) y por un punto exterior (trocoide de tipo 2) del c´ırculo son las curvas trocoides. troc1[t ]:={2t-Sin[t],2-Cos[t]}; ParametricPlot[Evaluate[troc1[t]],{t,0,4Pi},AspectRatio->Automatic,AxesOrigin->{0,0}] troc2[t ]:={t/2-Sin[t],1/2-Cos[t]}; ParametricPlot[Evaluate[troc2[t]],{t,0,6Pi},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.12. Las epicicloides e hipocicloides se generan de forma similar a la cicloide, pero ahora, un c´ırculo gira sobre otro c´ırculo ((base)) de mayor radio, bien por el exterior (epicicloide), bien por el interior (hipocicloide). En la expresi´on siguiente, a es el radio del c´ırculo base y b el radio del c´ırculo que genera la curva. a+b Epic[a ,b ][t ]:={(a+b)Cos[t]-b*Cos[ a+b b t],(a+b)Sin[t]-b*Sin[ b t]} ParametricPlot[{{6Cos[t],6Sin[t]},Evaluate[Epic[6,1][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

Modificar el valor del radio de la circunferencia peque˜na, b, y comprobar la diferencia entre las curvas que se generan. Probar con los valores b = 0.5, 2, 3, 4. En el u´ ltimo caso, b = 4, el par´ametro t debe moverse en un intervalo mayor (en caso contrario no se llega a definir la curva completa); probar con t ∈ (0, 5π ). a-b Hipoc[a ,b ][t ]:={(a-b)Cos[t]+b*Cos[ a-b b t],(a-b)Sin[t]-b*Sin[ b t]} ParametricPlot[{{6Cos[t],6Sin[t]},Evaluate[Hipoc[6,1][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

Existen dos tipos de hipocicloides especialmente importantes: la deltoide y la ´ astroide. Estas se obtienen cuando el cociente a/b vale, respectivamente, 3 y 4. Deltoide=ParametricPlot[{{6Cos[t],6Sin[t]},Evaluate[Hipoc[6,2][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic] Astroide=ParametricPlot[{{8Cos[t],8Sin[t]},Evaluate[Hipoc[8,2][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

Dependiendo del cociente a/b, pueden obtenerse curvas espectaculares. Pr´actica A.13. Las epitrocoides e hipotrocoides son la ((mezcla)) de las trocoides con las epicicloides y las hipocicloides: el c´ırculo de radio 1 gira sobre otro c´ırculo ((base)) de radio mayor, bien por el exterior (lo que generar´a la epitrocoide), bien por el interior (lo que generar´a la hipotrocoide); las figuras descritas por un punto interior (epitrocoide o hipotrocoide de tipo 1) y por un punto exterior (epitrocoide o hipotrocoide de tipo 2) del c´ırculo son las curvas buscadas. En la expresi´on siguiente, a representa el radio de la circunferencia base, b el radio de la que gira y h es la distancia del punto (exterior o interior) que genera la curva propiamente dicha, al centro de la circunferencia peque˜na. 287

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a-b Htroc[a ,b ,h ][t ]:={(a-b)Cos[t]+h*Cos[ a-b b t],(a-b)Sin[t]-h*Sin[ b t]} ParametricPlot[{{5Cos[t],5Sin[t]},Evaluate[Htroc[5,1,2][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic,Axes->False] a+b Etroc[a ,b ,h ][t ]:={(a+b)Cos[t]-h*Cos[ a+b b t],(a+b)Sin[t]-h*Sin[ b t]} ParametricPlot[{{5Cos[t],5Sin[t]},Evaluate[Etroc[5,1,2][t]]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

¡ ¢ Pr´actica A.14. Representar la cisoide de Diocles, α (t) = 2t 2/(1+ t 2 ), 2t 3/(1+ t 2 ) . 2tˆ2 2tˆ3 cisoide[t ]:={ 1+tˆ2 , 1+tˆ2 } ParametricPlot[Evaluate[cisoide[t]],{t,-2,2},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.15. Representar la curva tractriz. tract[t ]:={Sin[t],Cos[t]+Log[Tan[t/2]]} ParametricPlot[Evaluate[tract[t]],{t,0,Pi},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.16. Definir una funci´on que represente una familia de elipses centradas en el origen de coordenadas y de semiejes a y b. Representar, usando dicha definici´on, la elipse de semiejes 3 y 2. el[a ,b ][t ]:={a*Sin[t],b*Cos[t]} ParametricPlot[Evaluate[el[3,2][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.17. Representar algunas de las espirales m´as conocidas: la espiral logar´ıtmica α (t) = (ebt cost, ebt sent), con b = 0.08 y t ∈ (0, 12π ); la espiral de Arqu´ımedes, cuya ecuaci´on en polares es ρ = aθ ; la espiral hiperb´olica, ρ = a/θ ; la espiral de Fermat, ρ 2 = a2 θ ; y la espiral de Corn´u. esplog[b ][t ]:={Eb*t Cos[t],Eb*t Sin[t]} ParametricPlot[Evaluate[esplog[0.08][t]],{t,0,12Pi},AspectRatio->Automatic] espArq[t ]:={t*Cos[t],t*Sin[t]} ParametricPlot[Evaluate[espArq[t]],{t,0,12Pi},AspectRatio->Automatic] esphip[t ]:={Cos[t]/t,Sin[t]/t} ParametricPlot[Evaluate[esphip[t]],{t,0,12Pi},AspectRatio->Automatic] espFer[t ]:={t*Cos[tˆ2],t*Sin[tˆ2]} ParametricPlot[Evaluate[espFer[t]],{t,-4Pi/3,4Pi/3},AspectRatio->Automatic] R R espCor[t ]:={ 0t Cos[uˆ2]dlu, 0t Sin[uˆ2]dlu} ParametricPlot[Evaluate[espCor[t]],{t,-2Pi,2Pi},AspectRatio->Automatic]

¡ ¢ Pr´actica A.18. La uni´on de la curva α (t) = 3at/(1+t 3 ), 3at 2 /(1+t 3 ) y su sim´etrica se denomina folium de Descartes. Representarla para a = 1. Obs´ervese que esta curva tiene como as´ıntota la recta y = −x − a (en nuestro caso, y = −x − 1). 288

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Ap´endice A: Curvas. Pr´acticas con Mathematicar

t tˆ2 tˆ2 t foli[t ]:={3 1+tˆ3 ,3 1+tˆ3 }; foli2[t ]:={3 1+tˆ3 ,3 1+tˆ3 } ParametricPlot[Evaluate[foli[t]],{t,-1,100},AspectRatio->Automatic] ParametricPlot[Evaluate[foli2[t]],{t,-1,100},AspectRatio->Automatic] Show[ %, % %] ParametricPlot[{t,-t-1},{t,-30,30},AspectRatio->Automatic] Show[ %, % %]

Pr´actica A.19. Representar la bruja de Agnesi (v´ease la pr´actica A.38). 27 ParametricPlot[{t, 9+t 2 },{t,-10,10},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.20. Representar la cardioide. t 1-tˆ2 card[t ]:={2 (1+tˆ2)ˆ2 ,4 (1+tˆ2)ˆ2 } ParametricPlot[Evaluate[card[t]],{t,-20,20},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.21. Representar la curva de Plateau. Sin[(m+n)t] plateau[a ,m ,n ][t ]:={a Sin[(m-n)t] , 2a Sin[m*t]Sin[n*t] } Sin[(m-n)t] ParametricPlot[Evaluate[plateau[1,5,3][t]],{t,0,Pi},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{{-3.5,4},{-4,4}}]

Pr´actica A.22. Representar la curva de Kilroy. Plot[Log[Abs[Sin[x]/x]],{x,-20,20},PlotPoints->200,PlotRange->{-7,.2}]

Pr´actica A.23. Representar la cicloide de Ceva. ParametricPlot[(1+2Cos[2t]){Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.24. Representar la cornoide. ParametricPlot[{Cos[t](1-2Sin[t]ˆ2),Sin[t](1+2Cos[t]ˆ2)},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.25. Representar el trifolium. ParametricPlot[4/3{Cos[t]-Cos[2t],Sin[t]+Sin[2t]},{t,0,2Pi},Ticks->None, AspectRatio->Automatic]

´ Pr´actica A.26. Representar los Ovalos de Cassini. Para representar curvas cuya ecuaci´on viene dada de forma impl´ıcita, hay que cargar el paquete ImplicitPlot. 289

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50,Ticks->None]&/@({1,#}&/@{1.5,1.05,1,.95})]]]

Pr´actica A.27. Representar las concoides de Nicomedes. Para utilizar distintos colores en las representaciones gr´aficas es necesario cargar el paquete Colors. Identity,AspectRatio->Automatic, PlotRange->{{-1.1,3.1},{-2,2}},PlotStyle->Red],{a,0,2,1/2}]], GraphicsSpacing->-.05]

Pr´actica A.28. Representar la curva de Dumbbell. ImplicitPlot[yˆ2==(xˆ4-xˆ6),{x,-5,5},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.29. Representar la curva nudo. ImplicitPlot[(xˆ2-1)ˆ2==yˆ2(3+2y),{x,-2,2},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.30. Representar las ros´aceas, curvas cuya ecuaci´on en coordenadas polares es r = cos(nθ ). Obs´ervese que, si n ∈ Z es impar, la rosa tiene n p´etalos, mientras que si n ∈ Z es par, la rosa presenta 2n p´etalos. None,PlotStyle->Red, DisplayFunction->Identity],{n,2,5}]]]

Ahora bien, si n = p/q es un n´umero racional, entonces la rosa se cierra en el a´ ngulo θ = π qε , donde ε = 1 si p es impar y ε = 2 si p es par. Pi Denominator[#]If[EvenQ[#/.Rational[x ,y ]:->x*y],2,1]&/@ {1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5} Show[GraphicsArray[Partition[PolarPlot[Cos[#t], {t,0,Pi Denominator[#]If[EvenQ[#/.Rational[x ,y ]:->x*y],2,1]}, PlotLabel->TraditionalForm[n==InputForm[#]],PlotPoints->100, DisplayFunction->Identity,Ticks->None,PlotStyle->Red] &/@{1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5},4,4,{1,1},{}]]]

Finalmente, si n es irracional, la rosa, m´as espectacular, tiene infinitos p´etalos. Show[GraphicsArray[PolarPlot[Cos[#t],{t,0,30Pi},PlotLabel->TraditionalForm[n==#], PlotPoints->100,DisplayFunction->Identity,Ticks->None, √ PlotStyle->Red]&/@{E,Pi, 2}]]

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Ap´endice A: Curvas. Pr´acticas con Mathematicar

A.1.4.

´ de funciones definidas a trozos Graficas

Pr´actica A.31. Representar gr´aficamente un tri´angulo. triangulo[t ]:=If[tAutomatic]

Pr´actica A.32. Representar gr´aficamente un cuadrado. cuadrado[t ]:=If[tAutomatic,PlotRange->All],{t,0, 59∗2Pi 40 , 40 }]

Pr´actica A.36. Construir una animaci´on que genere los dos tipos de trocoides (v´ease la pr´actica A.11). 291

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trocoide1[t ]:={2t-Sin[t],2-Cos[t]}; lineabase=Line[{{-2,0},{21,0}}]; puntos={PointSize[.006]}; Do[AppendTo[puntos,Point[trocoide1[t]]];Show[Graphics[{Circle[{2t,2},2], {GrayLevel[.8],Disk[{2t,2},1]},Line[{{2t,2},trocoide1[t]}],lineabase,puntos}], 2Pi AspectRatio->Automatic,PlotRange->{{-2.5,21},{-.5,5}}],{t,0, 59∗2Pi 40 , 40 }] trocoide2[t ]:={t/2-Sin[t],1/2-Cos[t]}; lineabase=Line[{{-2,0},{10,0}}]; puntos={PointSize[.006]}; Do[AppendTo[puntos,Point[trocoide2[t]]];Show[Graphics[{{GrayLevel[.9], Disk[{t/2,1/2},1]},Circle[{t/2,1/2},1/2],Line[{{t/2,1/2},trocoide2[t]}], lineabase,puntos}],AspectRatio->Automatic,PlotRange->{{-2.5,21},{-.5,5}}], {t,0, 100∗2Pi , 2Pi 40 40 }]

Pr´actica A.37. Construir una animaci´on que genere la astroide. Hacer lo mismo para una hipotrocoide y una epitrocoide. astroide[t ]:={6Cos[t]+2Cos[3t],6Sin[t]-2Sin[3t]}; circulobase=Circle[{0,0},8]; puntos={PointSize[.01]}; Do[AppendTo[puntos,Point[astroide[t]]];Show[Graphics[{Circle[{6Cos[t],6Sin[t]},2], Line[{{6Cos[t],6Sin[t]},astroide[t]}],circulobase,puntos}], AspectRatio->Automatic,PlotRange->All],{t,0,2Pi,.05}]

´ Pr´actica A.38. Construir una animaci´on que genere la bruja de Agnesi. Esta puede obtenerse de la siguiente forma: t´omese una circunferencia de radio r, con centro en el punto (0, r); tr´acese una recta desde el origen de coordenadas, y sean P y Q los puntos de corte de la misma con la circunferencia y con la recta y = 2r, respectivamente. El correspondiente punto de la curva es aquel que tiene como coordenada x la abscisa de Q y como coordenada y la ordenada de P. f1=ParametricPlot[{Cos[t],1+Sin[t]},{t,0,2Pi},DisplayFunction->Identity]; f2=ParametricPlot[{t,0},{t,-6,6},DisplayFunction->Identity]; 2 For[i=0,iIdentity,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; 2 f4=ParametricPlot[{-2t, 1+tˆ2 },{t,0,i-0.001}, DisplayFunction->Identity,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; Show[{f1,f2,f3,f4,Graphics[Line[{{0,0},{2i,2}}]], 2 2 2 2i Graphics[Line[{{2i,2},{2i, 1+iˆ2 }}]], Graphics[Line[{{2i, 1+iˆ2 },{ 1+iˆ2 , 1+iˆ2 }}]], 2 Graphics[Line[{{0,0},{-2i,2}}]], Graphics[Line[{{-2i,2},{-2i, 1+iˆ2 }}]], 2 2 2i Graphics[Line[{{-2i, 1+iˆ2 },{- 1+iˆ2 , 1+iˆ2 }}]]}, DisplayFunction->$DisplayFunction,AspectRatio->Automatic,Axes->False, PlotRange->All]]

Pr´actica A.39. La siguiente animaci´on muestra c´omo se transforman los o´ valos de Cassini cuando var´ıa el par´ametro (v´ease la pr´actica A.26). Table[ImplicitPlot[(xˆ2+yˆ2+1)ˆ2-4xˆ2==bˆ4,{x,-5,5},PlotPoints->50, Ticks->None,AspectRatio->Automatic],{b,0.9,1.5,.02}]

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Ap´endice A: Curvas. Pr´acticas con Mathematicar

A.1.6.

Evolutas y curvas paralelas

Pr´actica A.40. Definir en c´odigo Mathematicar una funci´on que represente la evoluta de una curva regular plana α (t) (v´ease la definici´on 1.2.6). J[{p1 ,p2 }]:={-p2,p1} evoluta[alpha ][t ]:=alpha[tt]+

∂tt alpha[tt].∂tt alpha[tt]J[∂tt alpha[tt]] /.{tt->t} ∂{tt,2} alpha[tt].J[∂tt alpha[tt]]

Pr´actica A.41. Calcular, usando la definici´on anterior, una parametrizaci´on de la evoluta de una elipse de semiejes a y b. Representar gr´aficamente la elipse de semiejes 1.5 y 1, as´ı como su evoluta. elipse[a ,b ][t ]:={a*Cos[t],b*Sin[t]}; Simplify[evoluta[elipse[a,b]][t]] ParametricPlot[Evaluate[{elipse[1.5,1][t],evoluta[elipse[1.5,1]][t]}],{t,0,2Pi]}, AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.42. Calcular una parametrizaci´on de la evoluta de la cisoide de par´ametro a. Representar gr´aficamente la cisoide de par´ametro 1, as´ı como su evoluta. 2a*tˆ3 cisoide[a ][t ]:={ 2a*tˆ2 Simplify[evoluta[cisoide[a]][t]] 1+tˆ2 , 1+tˆ2 }; ParametricPlot[Evaluate[{cisoide[1][t],evoluta[cisoide[1]][t]}],{t,-2,2}, AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.43. Calcular una parametrizaci´on de la evoluta de la tractriz. Representar gr´aficamente la tractriz, as´ı como su evoluta. tractriz[t ]:={Sin[t],Cos[t]+Log[Tan[t/2]]}; Simplify[evoluta[tractriz][t]] ParametricPlot[Evaluate[{tractriz[t],evoluta[tractriz][t]}],{t,0,Pi}, AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.44. Calcular una parametrizaci´on de la evoluta de la cicloide. Representar gr´aficamente la cicloide, as´ı como su evoluta. Obs´ervese que e´ sta tambi´en es una cicloide (v´ease el ejercicio 1.12). cicloide[t ]:={t-Sin[t],1-Cos[t]}; Simplify[evoluta[cicloide][t]] ParametricPlot[Evaluate[{cicloide[t],evoluta[cicloide][t]}],{t,0,6Pi}, AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.45. Dise˜nar un programa que defina la funci´on curva paralela a distancia s de una curva dada α (t) (v´ease la definici´on 1.2.8). J[∂tt alpha[tt]] tt alpha[tt].∂tt alpha[tt]

curvapar[alpha ][s ][t ]:=alpha[tt]+ ö

/.{tt->t}

Pr´actica A.46. Representar la elipse de semiejes 2 y 1 y cuatro curvas paralelas a dicha elipse para valores de s comprendidos entre 0 y 1.

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

ParametricPlot[Evaluate[elipse[2,1][t]],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic, PlotStyle->RGBColor[1,0,0]] ParametricPlot[Evaluate[{curvapar[elipse[2,1]][0.2][t], curvapar[elipse[2,1]][0.5][t],curvapar[elipse[2,1]][0.7][t], curvapar[elipse[2,1]][0.9][t]}],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] Show[ %, % %]

Pr´actica A.47. Representar, en una sola figura, cuatro curvas paralelas a una lemniscata (v´ease la pr´actica A.9). H´agase lo mismo para una cardioide (pr´actica A.20) y una deltoide (pr´actica A.12). A.2. GEOMETR´IA DIFERENCIAL DE CURVAS EN EL ESPACIO ´ grafica ´ A.2.1. Representacion de curvas alabeadas Pr´actica A.48. Representar la h´elice cil´ındrica α (t) = (a cost, a sent, bt) (v´ease el ejemplo 1.10), para t entre 0 y 15. hc[a ,b ][t ]:={a*Cos[t],a*Sin[t],b*t} ParametricPlot3D[Evaluate[hc[1,1][t]],{t,0,15},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.49. Representar la c´ubica torcida, α (t) = (t,t 2 ,t 3 ). ct[t ]:={t,tˆ2,tˆ3} ParametricPlot3D[Evaluate[ct[t]],{t,-2,2},AspectRatio->Automatic]

Pr´actica A.50. Algunas de las espirales no planas m´as famosas son las siguientes:

La espiral concha: α (t) = (abt cost, abt sent, cbt ). ¡ La espiral c´onica: α (t) = (h − t)/h r cos(at), (h − t)/h r sen(at),t).

La espiral esf´erica: α (t)=(cost cosλ, sent cosλ, ± senλ ), con λ =arc tg eb(t+c) . ´ es la loxodroma de la esfera (v´ease el ejercicio 2.8). Esta

La espiral helicoidal o slinky (es una espiral que se enrolla alrededor de una ¡ £ ¤ £ ¤ ¢ h´elice): α (t) = cost 1 + a cos(wt) , sent 1 + a cos(wt) , ht + a sen(wt) . spiral3d[a ,b ,c ][t ]:={a*bˆt*Cos[t],a*bˆt*Sin[t],c*bˆt} ParametricPlot3D[Evaluate[spiral3d[1,1.08,1][t]],{t,-10,30},PlotPoints->150, ViewPoint->{2,0,.5}] spiralconica[h ,r ,a ][t ]:={(h-t)/h*r*Cos[a*t],(h-t)/h*r*Sin[a*t],t} ParametricPlot3D[Evaluate[spiralconica[1,0.8,1.5][t]],{t,0,70}, PlotPoints->500,ViewPoint->{2,0,.5}] Sphs[t ]:=Module[{x=ArcTan[e`0.15t+2 ]},{Cos[t]Cos[x],Sin[t]Cos[x],±Sin[x]}] ParametricPlot3D[Evaluate[Sphs[t]],{t,-10Pi,10Pi},PlotPoints->500] Slinky[a ,w ,h ][,t ]:={Cos[t](1+a*Cos[w*t]),Sin[t](1+a*Cos[w*t]),h*t+a*Sin[w*t]} ParametricPlot3D[Evaluate[Slinky[.4,40,.3][t]],{t,0,5Pi]},PlotPoints->1000]

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Ap´endice A: Curvas. Pr´acticas con Mathematicar

¡ ¢ Pr´actica A.51. Representar la curva de Viviani, α (t) = a 1 + cost, sent, 2 sen(2t) . Esta curva puede obtenerse como la intersecci´on de un cilindro y una esfera. viviani[a ][t ]:=a{1+Cos[t],Sin[t],2Sin[t/2]} ParametricPlot3D[Evaluate[viviani[1][t]],{t,0,4Pi}] ParametricPlot3D[{{Cos[u]Sin[v],Sin[u]Sin[v],Cos[v]},{ 1+Cos[u] , Sin[u] ,v- Pi 2 2 2 }}, {u,0,2Pi},{v,0,Pi},Boxed->False,Axes->False]

Pr´actica A.52. Representar la cardioide espacial, cuya parametrizaci´on viene dada ¡ ¢ por α (t) = (1 + cost) cost, (1 + cost) sent, sent . card3D[t ]:={(1+Cos[t])Cos[t],(1+Cos[t])Sin[t],Sin[t]} ParametricPlot3D[Evaluate[card3D[t]],{t,0,2Pi}]

A.2.2.

´ El triedro de Frenet, la curvatura y la torsion

Pr´actica A.53. Escribir un programa que calcule el triedro de Frenet de una curva α en R3 p.p.a. vtang[alpha ][t ]:=∂tt alpha[tt]/.{tt->t} ∂{tt,2} alpha[tt] vnormal[alpha ][t ]:= √

∂{tt,2} alpha[tt].∂{tt,2} alpha[tt]

vbinor[alpha ][t ]:=Cross[∂tt alpha[tt], √∂

/.{tt->t} ∂{tt,2} alpha[tt]

{tt,2} alpha[tt].∂{tt,2} alpha[tt]

/.{tt->t}

Simplify[{vtang[alpha][t],vnormal[alpha][t],vbinorm[alpha][t]}]

Pr´actica A.54. Escribir un programa que calcule la curvatura y la torsi´on de una curva cualquiera α en R3 . Utilizarlo para calcular la curvatura y la torsi´on de la h´elice cil´ındrica. Norm[Cross[∂tt alpha[tt],∂{tt,2} alpha[tt]]] /.{tt->t} Norm[∂tt alpha[tt]]ˆ3 Det[{∂tt alpha[tt],∂{tt,2} alpha[tt],∂{tt,3} alpha[tt]}] ]:= /.{tt->t} Norm[Cross[∂tt alpha[tt],∂{tt,2} alpha[tt]]]

curvat[alpha ][t ]:=

torsion[alpha ][t

helice[t ]:={Cos[t],Sin[t],t} Simplify[triedro[helice][t]] Simplify[curvat[helice][t]] Simplify[torsion[helice][t]]

Pr´actica A.55. Aplicar el ejercicio anterior a las curvas alabeadas recogidas en las pr´acticas anteriores.

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´ Apendice B

´ Superficies. Practicas con Mathematicar B.1.

EJEMPLOS DE SUPERFICIES

Pr´actica B.1. Representar gr´aficamente el plano, utilizando distintas parametrizaciones del mismo (obs´ervese la diferencia entre las curvas coordenadas). ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],0},{u,0,20},{v,0,2Pi}] ParametricPlot3D[{u+v,v,0},{u,0,20},{v,0,20}] ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,0,20},{v,0,20}]

Pr´actica B.2. Representar gr´aficamente la esfera, utilizando la parametrizaci´on de las coordenadas geogr´aficas y la de la proyecci´on estereogr´afica (obs´ervese de nuevo la diferencia entre las curvas coordenadas), y el elipsoide. ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi}] 2u 2v uˆ2+vˆ2-1 ParametricPlot3D[{ 1+uˆ2+vˆ2 , 1+uˆ2+vˆ2 , 1+uˆ2+vˆ2 },{u,-8,8},{v,-8,8},PlotRange->All, PlotPoints->100] ParametricPlot3D[{2Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]

La elipse que genera el elipsoide se puede observar f´acilmente si efectuamos la rotaci´on s´olo entre 0 y π : ParametricPlot3D[{2Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,Pi}]

Pr´actica B.3. Representar gr´aficamente el cilindro y el cono de dos hojas. ParametricPlot3D[{Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,-3,3}] ParametricPlot3D[{v*Cos[u],v*Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,-3,3}]

Pr´actica B.4. Representar gr´aficamente el paraboloide de revoluci´on. ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],uˆ2},{u,-2,2},{v,0,2Pi}]

Pr´actica B.5. Representar gr´aficamente el toro de revoluci´on, dependiendo de la distancia, a, al eje, de la circunferencia que lo genera. Toro[a ][u ,v ]:={(a+Cos[u])Cos[v],(a+Cos[u])Sin[v],Sin[u]} ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[2][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->40] ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[1][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->40] ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[0.5][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->40]

Para visualizar mejor lo que ocurre en los dos u´ ltimos casos, evaluar la rotaci´on s´olo entre 0 y π . Como puede verse, estas superficies tienen puntos singulares, y por tanto, no son superficies regulares. 297

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[1][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},PlotPoints->40] ParametricPlot3D[Evaluate[Toro[0.5][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},PlotPoints->40]

Pr´actica B.6. Representar gr´aficamente los hiperboloides de una y dos hojas. ParametricPlot3D[{Cosh[v]Cos[u],Cosh[v]Sin[u],Sinh[v]},{u,0,2Pi},{v,-2,2}] √ √ ParametricPlot3D[{{u,v, uˆ2+vˆ2+1},{u,v,- uˆ2+vˆ2+1}},{u,-2,2},{v,-2,2}]

Pr´actica B.7. Representar con una animaci´on la deformaci´on del cilindro en el cono de dos hojas por una familia uniparam´etrica de hiperboloides de una hoja. t*Pi Table[ParametricPlot3D[{Cos[u]+v(Cos[u+ t*Pi 20 ]-Cos[u]),Sin[u]+v(Sin[u+ 20 ]-Sin[u]), -2+4v},{u,0,2Pi},{v,0,1},Axes->False,Boxed->False, PlotRange->{{-1,1},{-1,1},{-2,2}}],{t,0,20}]

Pr´actica B.8. Representar gr´aficamente el paraboloide hiperb´olico, o silla de montar, y la silla de montar del mono. Plot3D[uˆ2-vˆ2,{u,-3,3},{v,-3,3},BoxRatios->Automatic] Plot3D[uˆ3-3u*vˆ2,{u,-1,1},{v,-1,1},BoxRatios->Automatic]

Pr´actica B.9. Representar gr´aficamente la pseudoesfera. ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]+Log[Tan[u/2]]}, {u,0.01,1},{v,0,2Pi}]

Pr´actica B.10. Representar el grafo de la funci´on z = sen(x + sen y), x, y ∈ [0, 4π ]. Construir una animaci´on que muestre la rotaci´on de dicha superficie. Plot3D[Sin[x+Sin[y]],{x,0,4Pi},{y,0,4Pi},PlotPoints->30] Do[Plot3D[Sin[x+Sin[y]],{x,0,4Pi},{y,0,4Pi},PlotPoints->30,SphericalRegion->True, Axes->None,ViewPoint->{2Cos[t],2Sin[t],1.3}],{t,0,Pi,Pi/20}]

Pr´actica B.11. Mostrar el paraguas de Whitney, X(u, v) = (uv, u, v2 ). Obs´ervese que no es una superficie regular en todo su rango, pues presenta autointersecciones. ParametricPlot3D[{u*v,u,vˆ2},{u,-3,3},{v,-3,3},PlotPoints->30]

B.1.1.

´ Superficies de revolucion

Pr´actica B.12. Mostrar las superficies de revoluci´on obtenidas al rotar, alrededor del ´ eje z, algunas de las curvas definidas en el apartado A.1.3. Estas deben escribirse en ¡ ¢ la forma α (v) = f (v), 0, g(v) para que est´en contenidas en el plano y = 0. revol[u ,v ]:={f[v]Cos[u],f[v]Sin[u],g[v]}

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Ap´endice B: Superficies. Pr´acticas con Mathematicar

a) La circunferencia (genera la esfera). f[v ]:=Sin[v]; g[v ]:=Cos[v] ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]

b) La elipse (genera el elipsoide). f[v ]:=2Sin[v]; g[v ]:=Cos[v] ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]

c) La tractriz (genera la pseudoesfera). f[v ]:=Sin[v]; g[v ]:=Cos[v]+Log[Tan[v/2]] ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0.01,Pi/2}]

d) La par´abola (genera el paraboloide de revoluci´on). f[v ]:=v; g[v ]:=vˆ2 ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,4}]

f) La cisoide de Diocles. 2vˆ2 2vˆ3 f[v ]:= 1+vˆ2 ; g[v ]:= 1+vˆ2 ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,-2,2}]

g) La bruja de Agnesi. 27 f[v ]:=v; g[v ]:= 9+vˆ2 ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,10}]

h) La figura ocho. f[v ]:=Sin[v]; g[v ]:=Sin[v]Cos[v] ParametricPlot3D[Evaluate[revol[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}]

Mostrar la gr´afica anterior, pero evaluando la rotaci´on s´olo entre 0 y π . Ahora puede distinguirse claramente la figura ocho. B.1.2.

Superficies no orientables

Pr´actica B.13. Representar la banda de M¨obius (v´ease el ejemplo 3.1) parametrizada ¡ ¢ por X(u, v) = cos u + v cos(au/2) cos u, sen u + v cos(au/2) sen u, v sen(au/2) , con u ∈ (0, 2π ), para distintos valores del par´ametro a, y obs´ervese lo que representa dicho par´ametro en la construcci´on de la superficie. 299

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Mobius[a ][u ,v ]:={Cos[u]+v*Cos[a*u/2]*Cos[u],Sin[u]+v*Cos[a*u/2]*Sin[u],v*Sin[a*u/2]} ParametricPlot3D[Evaluate[Mobius[1][u,v]],{u,0,2Pi},{v,-0.5,0.5}] ParametricPlot3D[Evaluate[Mobius[2][u,v]],{u,0,2Pi},{v,-0.5,0.5}] ParametricPlot3D[Evaluate[Mobius[3][u,v]],{u,0,2Pi},{v,-0.5,0.5}] ParametricPlot3D[Evaluate[Mobius[5][u,v]],{u,0,2Pi},{v,-0.5,0.5}]

Pr´actica B.14. Representar la botella de Klein. kleinb[a ][u ,v ]:={(a+Cos[u/2]Sin[v]-Sin[u/2]Sin[2v])Cos[u], (a+Cos[u/2]Sin[v]-Sin[u/2]Sin[2v])Sin[u],Sin[u/2]Sin[v]+Cos[u/2]Sin[2v]} ParametricPlot3D[Evaluate[kleinb[2][u,v]],{v,0,2Pi},{u,-Pi/4,3Pi/2}, PlotPoints->32,Axes->None,Boxed->False]

Cambiar los valores del par´ametro a en la parametrizaci´on anterior de la botella de Klein, y obs´ervese c´omo var´ıa la superficie. ParametricPlot3D[Evaluate[kleinb[4][u,v]],{v,0,2Pi},{u,-Pi/4,3Pi/2}, PlotPoints->32,Axes->None,Boxed->False]

Pr´actica B.15. Sin embargo, las representaciones de la botella de Klein m´as conocidas no corresponden a ninguna parametrizaci´on real: se construyen a trozos, uniendo de forma adecuada diversas superficies parametrizadas. Representar las ((botellas de Klein)) m´as usuales. a) Primera representaci´on: bottom[u ,v ]:={(2.5+1.5Cos[v])Cos[u],(2.5+1.5Cos[v])Sin[u],-2.5Sin[v]} fondo=ParametricPlot3D[Evaluate[bottom[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}] middle[u ,v ]:={(2.5+1.5Cos[v])Cos[u],(2.5+1.5Cos[v])Sin[u],3v} medio=ParametricPlot3D[Evaluate[middle[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}] handle[u ,v ]:={2-2Cos[v]+Sin[u],Cos[u],3v} mango=ParametricPlot3D[Evaluate[handle[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}] thetop[u ,v ]:={2+(2+Cos[u])Cos[v],Sin[u],3Pi+(2+Cos[u])Sin[v]} techo=ParametricPlot3D[Evaluate[thetop[u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,Pi}] all=Show[mango,techo,medio,fondo]

b) Segunda representaci´on: bx=6Cos[u](1+Sin[u]); by=16Sin[u]; rad=4(1-Cos[u]/2); X=If[PiFalse,Boxed->False,ViewPoint->{1.4,-2.6,-1.7}]

Pr´actica B.16. Considerar la siguiente familia de superficies (no orientables) dependiente del par´ametro a. Esta familia determina una homotop´ıa (deformaci´on diferenciable) de la llamada superficie romana (caso a = 0) en la superficie del ni˜no (caso a = 1), para a entre 0 y 1. Representar la animaci´on. 300

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Ap´endice B: Superficies. Pr´acticas con Mathematicar

BoyR[u ,v ,a ]:={

√ √ 2Cos[2u]Cos[v]ˆ2+Cos[u]Sin[2v] 2Sin[2u]Cos[v]ˆ2-Sin[u]Sin[2v] 3Cos[v]ˆ2 √ √ , , 2-a√2Sin[3u]Sin[2v] } 2-a 2Sin[3u]Sin[2v] 2-a 2Sin[3u]Sin[2v]

BR[a ]:=ParametricPlot3D[Evaluate[BoyR[u,v,a]],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,0,Pi}, PlotPoints->25,ViewPoint->{1,1,1}] BR[0]; BR[1]; Table[BR[a],{a,0,1,1/8}]

B.1.3.

Superficies minimales

Pr´actica B.17. Representar el helicoide, X(u, v) = (v cos u, v sen u, u), y el catenoide, X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v). ParametricPlot3D[{v*Cos[u],v*Sin[u],u},{u,0,4Pi},{v,-4,4}] ParametricPlot3D[{Cos[u]Cosh[v],Sin[u]Cosh[v],v},{u,0,2Pi},{v,-1.5,1.5}

Pr´actica B.18. Considerar la siguiente familia de superficies (minimales) dependiente del par´ametro a. Esta familia determina una deformaci´on isom´etrica del catenoide en el helicoide para a entre 0 y π /2. Representar la animaci´on. X[r ,t ,a ]:={- Cos[t-a]+r(-2Cos[a]+r*Cos[t+a]) , Sin[t-a]+rˆ2Sin[t+a] 2r 2r √ ,Cos[a]Log[r]-t*Sin[a]} √ gr[a ]:=ParametricPlot3D[Evaluate[X[rˆ2,t,a]],{r,1/ 6, 6},{t,0,2Pi}, PlotPoints->35,Axes->False,ViewPoint->{-1.481,2.293,2.000}] gr[0]; gr[Pi/2]; Table[gr[a],{a,0,Pi/2,(Pi/2)/6}]

Pr´actica B.19. Representar la primera superficie de Scherck. scherck[u ,v ]:={u,v,Log[Cos[v]/Cos[u]]} ParametricPlot3D[Evaluate[scherck[u,v]],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-Pi/2,Pi/2}]

La primera superficie de Scherck es una superficie peri´odica, y usualmente suele representarse del siguiente modo: scherckgen[d ,e ][u ,v ]:={u,v,Log[Cos[v+d]/Cos[u+e]]} Show[Table[ParametricPlot3D[Evaluate[scherckgen[3d,3e][u,v]], {u,-Pi/2-3e,Pi/2-3e},{v,-Pi/2-3d,Pi/2-3d}],{e,0,2},{d,0,2}]]

Pr´actica B.20. Representar la segunda superficie de Scherck. scherck2[u ,v ]:={u,v,ArcSin[Sinh[u]Sinh[v]]} ParametricPlot3D[Evaluate[scherck2[u,v]],{u,-0.8,0.8},{v,-0.8,0.8}]

Pr´actica B.21. Representar la superficie de Enneper. enneper[u ,v ]:={u-uˆ3/3+u*vˆ2,v-vˆ3/3+uˆ2v,uˆ2-vˆ2} ParametricPlot3D[Evaluate[enneper[u,v]],{u,-3,3},{v,-3,3}]

301

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Como puede verse, tiene autointersecciones, por lo que no es una superficie regular en todo su rango. Si, por ejemplo, U = (−1.5, 1.5) × (−1.5, 1.5), entonces s´ı lo es. ParametricPlot3D[Evaluate[enneper[u,v]],{u,-1.5,1.5},{v,-1.5,1.5}]

Pr´actica B.22. Representar la superficie de Catalan. Catal[u ,v ]:={1-Cos[u]Cosh[v],4Sin[u/2]Sinh[v/2],u-Sin[u]Sinh[v]} ParametricPlot3D[Evaluate[Catal[u,v]],{u,0,2Pi},{v,-5,5},ViewPoint->{2,1,1}]

Pr´actica B.23. Representar la superficie de Riemann. x[t ,s ]:={a[t]+r[t]Cos[s],b[t]+r[t]Sin[s],t} solu=NDSolve[{1+2r[t]ˆ4+r’[t]ˆ2-r[t]r’’[t]==0,h’[t]==r[t]ˆ2,r[0]==1, r’[0]==0.5,h[0]==0},{r[t],h[t]},{t,-2,1},MaxSteps->2000] ParametricPlot3D[Evaluate[{h[t]+r[t]Cos[s],h[t]+r[t]Sin[s],t}/.solu], {t,-1,0.65},{s,0,2Pi},ViewPoint->{1,-6,2},PlotRange->All]

B.2.

LA CURVATURA DE GAUSS Y LA CURVATURA MEDIA

Pr´actica B.24. Definir funciones que calculen los coeficientes de la primera forma fundamental de una superficie parametrizada por X. EE[X ][u ,v ]:=Simplify[∂uu X[uu,vv].∂uu X[uu,vv]]/.{uu->u,vv->v} FF[X ][u ,v ]:=Simplify[∂uu X[uu,vv].∂vv X[uu,vv]]/.{uu->u,vv->v} GG[X ][u ,v ]:=Simplify[∂vv X[uu,vv].∂vv X[uu,vv]]/.{uu->u,vv->v}

Pr´actica B.25. Definir funciones que calculen los coeficientes de la segunda forma fundamental de una superficie parametrizada por X. ee[X √ ][u ,v ]:=Simplify[Det[{∂{uu,uu} X[uu,vv],∂uu X[uu,vv],∂vv X[uu,vv]}]/ ( Simplify[∂uu X[uu,vv].∂uu X[uu,vv]∂vv X[uu,vv].∂vv X[uu,vv] -(∂uu X[uu,vv].∂vv X[uu,vv])ˆ2])]/.{uu->u,vv->v} ff[X √ ][u ,v ]:=Simplify[Det[{∂{uu,vv} X[uu,vv],∂uu X[uu,vv],∂vv X[uu,vv]}]/ ( Simplify[∂uu X[uu,vv].∂uu X[uu,vv]∂vv X[uu,vv].∂vv X[uu,vv] -(∂uu X[uu,vv].∂vv X[uu,vv])ˆ2])]/.{uu->u,vv->v} gg[X √ ][u ,v ]:=Simplify[Det[{∂{vv,vv} X[uu,vv],∂uu X[uu,vv],∂vv X[uu,vv]}]/ ( Simplify[∂uu X[uu,vv].∂uu X[uu,vv]∂vv X[uu,vv].∂vv X[uu,vv] -(∂uu X[uu,vv].∂vv X[uu,vv])ˆ2])]/.{uu->u,vv->v}

Pr´actica B.26. Definir funciones que representen la curvatura de Gauss y la curvatura media de una superficie parametrizada por X. ee[X][u,v]gg[X][u,v]-ff[X][u,v]ˆ2 gauss[X ][u ,v ]:=Simplify[ EE[X][u,v]GG[X][u,v]-FF[X][u,v]ˆ2 ]

media[X ][u ,v ]:=Simplify[ 21 ee[X][u,v]GG[X][u,v]+EE[X][u,v]gg[X][u,v]-2FF[X][u,v]ff[X][u,v] ] EE[X][u,v]GG[X][u,v]-FF[X][u,v]ˆ2

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Ap´endice B: Superficies. Pr´acticas con Mathematicar

Pr´actica B.27. Calcular los coeficientes de la primera y segunda forma fundamentales de algunas de las superficies estudiadas en la secci´on anterior: la esfera, el toro, el paraboloide el´ıptico, etc. esfera[r ][u ,v ]:=r{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]} {EE[esfera[r]][u,v],FF[esfera[r]][u,v],GG[esfera[r]][u,v]} {ee[esfera[r]][u,v],ff[esfera[r]][u,v],gg[esfera[r]][u,v]} toro[a ,r ][u ,v ]:={(a+r*Cos[v])Cos[u],(a+r*Cos[v])Sin[u],r*Sin[v]} {EE[toro[a,r]][u,v],FF[toro[a,r]][u,v],GG[toro[a,r]][u,v]} {ee[toro[a,r]][u,v],ff[toro[a,r]][u,v],gg[toro[a,r]][u,v]} parabel[u ,v ]:={u,v,uˆ2+vˆ2} {EE[parabel][u,v],FF[parabel][u,v],GG[parabel][u,v]} {ee[parabel][u,v],ff[parabel][u,v],gg[parabel][u,v]}

Pr´actica B.28. Calcular la curvatura de Gauss y la curvatura media de las superficies anteriores: la esfera, el toro, el paraboloide el´ıptico, etc. gauss[esfera[r]][u,v]; gauss[toro[a,r]][u,v]; gauss[parabel][u,v] media[esfera[r]][u,v]; media[toro[a,r]][u,v]; media[parabel][u,v]

Pr´actica B.29. Representar la gr´afica de la curvatura de Gauss y de la curvatura media de las superficies anteriores: la esfera, el toro, el paraboloide el´ıptico, etc. Plot3D[Evaluate[gauss[esfera[1]][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[media[esfera[1]][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[gauss[toro[3,1]][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[media[toro[3,1]][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[gauss[parabel][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}] Plot3D[Evaluate[media[parabel][u,v]],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi}]

Pr´actica B.30. Ejecutar los siguientes comandos, con los que se representan el paraboloide el´ıptico y el toro; el degradado del color muestra los puntos de mayor curvatura (azul) a menor curvatura (rojo). pe=gauss[parabel][u,v] Plot3D[{uˆ2+vˆ2,Hue[Evaluate[pe/6]]},{u,-1,1},{v,-1,1}] to=gauss[toro[3,1]][u,v] ParametricPlot3D[{(3+Cos[v])Cos[u],(3+Cos[v])Sin[u],Sin[v],Hue[to]}, {u,0,2Pi},{v,0,2Pi},Lighting->False]

B.3.

´ GEODESICAS

Pr´actica B.31. Definir los s´ımbolos de Christoffel para una parametrizaci´on X. W[X ][u ,v ]:=Simplify[EE[X][u,v]GG[X][u,v]-FF[X][u,v]ˆ2] G111[X ][u ,v ]:=Simplify[(GG[X][uu,vv]∂uu EE[X][uu,vv]-2FF[X][uu,vv]∂uu FF[X][uu,vv] +FF[X][uu,vv]∂vv EE[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}]

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

G121[X ][u ,v ]:=Simplify[(GG[X][uu,vv]∂vv EE[X][uu,vv] -FF[X][uu,vv]∂uu GG[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}] G221[X ][u ,v ]:=Simplify[(2GG[X][uu,vv]∂vv FF[X][uu,vv]-GG[X][uu,vv]∂uu GG[X][uu,vv] -FF[X][uu,vv]∂vv GG[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}] G112[X ][u ,v ]:=Simplify[(2EE[X][uu,vv]∂uu FF[X][uu,vv]-EE[X][uu,vv]∂vv EE[X][uu,vv] -FF[X][uu,vv]∂uu EE[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}] G122[X ][u ,v ]:=Simplify[(EE[X][uu,vv]∂uu GG[X][uu,vv] -FF[X][uu,vv]∂vv EE[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}] G222[X ][u ,v ]:=Simplify[(EE[X][uu,v]∂vv GG[X][uu,vv]-2FF[X][uu,vv]∂vv FF[X][uu,vv] +FF[X][uu,vv]∂uu GG[X][uu,vv])/(2W[X][uu,vv])/.{uu->u,vv->v}]

Pr´actica B.32. Representar las geod´esicas de la esfera. X[u ,v ]:={Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]} s1=NDSolve[{u’’[s]+u’[s]ˆ2G111[X][u[s],v[s]] +2u’[s]v’[s]G121[X][u[s],v[s]]+v’[s]ˆ2 G221[X][u[s],v[s]]==0, v’’[s]+u’[s]ˆ2 G112[X][u[s],v[s]]+2u’[s]v’[s]G122[X][u[s],v[s]] +v’[s]ˆ2 G222[X][u[s],v[s]]==0, u[0]==Pi/2,v[0]==Pi/2,u’[0]==1,v’[0]==1},{u[s],v[s]},{s,-4,4}] d1=ParametricPlot3D[Evaluate[X[u[s],v[s]]/.s1],{s,-4,4}] d2=ParametricPlot3D[Evaluate[X[u,v]],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,0,2Pi}]; Show[d1,d2]

Pr´actica B.33. Representar las geod´esicas del cilindro. Y[u ,v ]:={Cos[v],Sin[v],u} s2=NDSolve[{u’’[s]+u’[s]ˆ2 G111[Y][u[s],v[s]] +2u’[s]v’[s]G121[Y][u[s],v[s]]+v’[s]ˆ2 G221[Y][u[s],v[s]]==0, v’’[s]+u’[s]ˆ2 G112[Y][u[s],v[s]]+2u’[s]v’[s]G122[Y][u[s],v[s]] +v’[s]ˆ2 G222[Y][u[s],v[s]]==0,u[0]==0,v[0]==0,u’[0]==1,v’[0]==5}, {u[s],v[s]},{s,-4,4}] d3=ParametricPlot3D[Evaluate[Y[u[s],v[s]]/.s2],{s,-2,2},PlotPoints->100] d4=ParametricPlot3D[Evaluate[Y[u,v]],{u,-2,2},{v,0,2Pi}] Show[d3,d4]

Pr´actica B.34. Representar las geod´esicas del elipsoide. Z[u ,v ]:={2Cos[u]Cos[v],Cos[u]Sin[v],Sin[u]} s3=NDSolve[{u’’[s]+u’[s]ˆ2 G111[Z][u[s],v[s]] +2u’[s]v’[s]G121[Z][u[s],v[s]]+v’[s]ˆ2 G221[Z][u[s],v[s]]==0, v’’[s]+u’[s]ˆ2 G112[Z][u[s],v[s]]+2u’[s]v’[s]G122[Z][u[s],v[s]] +v’[s]ˆ2 G222[Z][u[s],v[s]]==0,u[0]==0,v[0]==0,u’[0]==1,v’[0]==1}, {u[s],v[s]},{s,-5,5}] d5=ParametricPlot3D[Evaluate[Z[u[s],v[s]]/.s3],{s,-5,5},PlotRange->All] d6=ParametricPlot3D[Evaluate[Z[u,v]],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,0,2Pi}]; Show[d5,d6]

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´ Apendice C

Soluciones a los ejercicios SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAP´ITULO I √ ¯ ¯ Soluci´on al ejercicio 1.1. Un sencillo c´alculo muestra que ¯α 0 (t)¯ = aebt 1 + b2 , por lo que la funci´on longitud de arco es Z t¯ ³ ´ p ¯ ¯α 0 (u)¯ du = a 1 + b2 ebt − ebt0 . s(t) = b t0 ³ √ ´ As´ı pues, t = (1/b) log λ (s), con λ (s) = ebt0 + b/ a 1 + b2 s, de donde la reparametrizaci´on de α por la longitud de arco toma la forma µ ¶ log λ (s) log λ (s) β (s) = aλ (s) cos , sen . b b

Soluci´on al ejercicio 1.2. Un r´apido c´alculo muestra que el vector velocidad de α ¡ ¢ es α 0 (t) = cost, − sent + 1/ sent , y su recta tangente en un punto α (t), ¶ µ t cos2 t 0 α (t) + λ α (t) = sent + λ cost, cost + log tg + λ . 2 sent ¡ ¢ Esta recta corta al eje y cuando λ = − tgt, es decir, en el punto pt = 0, log tg(t/2) . ¯ ¯ √ As´ı, la distancia entre pt y α (t) vale ¯α (t) − pt ¯ = sen2 t + cos2 t = 1 constante. ¯ ¯ Calculemos su reparametrizaci´on por la longitud de arco. Como ¯α 0 (t)¯ = cotgt,

s(t) =

Z t¯ t0

¯ ¯α 0 (u)¯ du = log sent − log sent0 .

As´ı pues, t = arc sen es+log sent0 , de donde la reparametrizaci´on de α por la longitud de arco toma la forma µ ¶ p arc sen es+log sent0 s+log sent0 s+log sent 0 β (s) = e , 1−e . + log tg 2

Soluci´on al ejercicio 1.3. Claramente, ¯ ¯ 0 ¯2 ­ 0 ® ­ ® ¯ ¯β (s)¯ = β (s), β 0 (s) = Aα 0 (s), Aα 0 (s) = ¯α 0 (s)¯2 = 1, luego β est´a p.p.a. Observemos que, entonces, Lab (β ) =

Z b¯ a

Z b¯ Z b¯ ¯ ¯ ¯ ¯(M ◦ α )0 (s)¯ ds = ¯Aα 0 (s)¯ ds = ¯α 0 (s)¯ ds = Lab (α ). a

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a

Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Finalmente, como β est´a p.p.a., ­ ® ­ ® ­ ® kβ (s) = β 00 (s), Jβ 0 (s) = Aα 00 (s), (J ◦ A)α 0 (s) = Aα 00 (s), ±(A ◦ J)α 0 (s) ® ­ = ± α 00 (s), Jα 0 (s) = kα (s), pues J ◦ A = ±A ◦ J, como f´acilmente puede comprobarse, dependiendo de que el movimiento r´ıgido sea directo o inverso. Soluci´on al ejercicio 1.4. Basta aplicar la f´ormula (1.7). As´ı se obtiene que, para s0 > 0 arbitrario, ϕ (s) = log(s/s0 ), de donde µ ¶ s s s s0 s s s0 α (s) = cos log + sen log − , sen log − cos log + . 2 s0 s0 s s0 s0 s

Soluci´on al ejercicio 1.5. Claramente, si α (s) = p + sv es un segmento de recta o ¡ ¢ α (s) = r cos(s/r), sen(s/r) es un arco de circunferencia, entonces un r´apido c´alculo muestra que k ≡ 0 o k ≡ 1/r, respectivamente, en ambos casos, constante. Rec´ıprocamente, si la curvatura k ≡ 0, entonces α 00 (s) = 0, de donde se deduce que α 0 (s) = v constante, y por tanto, que α (s) = p + sv es una recta. Si ahora suponemos que k ≡ k0 6= 0, definimos la funci´on f (s) = α (s) + (1/k0 )n(s). Es f´acil ver, utilizando las f´ormulas de Frenet (1.5) que f 0 (s) = 0 para todo s ∈ I, es decir, f (s) = p constante. Luego p − α (s) = (1/k0 )n(s) y, tomando m´odulos, se obtiene ¯ ¯ ¯α (s) − p¯2 = 1/k2 , que es la ecuaci´on de una circunferencia (con centro p y radio 0 1/k0 ). Obs´ervese que esta implicaci´on puede demostrarse tambi´en f´acilmente utilizando la f´ormula (1.7). Soluci´on al ejercicio 1.6. Si α es una recta, la implicaci´on directa es trivial, por lo que probaremos el rec´ıproco. El hecho de que todas las rectas tangentes sean paralelas equivale a que t0 ≡ 0. Como t0 (s) = k(s)n(s) = 0, entonces k(s) = 0 para todo s ∈ I, y el ejercicio 1.5 nos asegura que α es un segmento de recta. Si α es un arco de circunferencia, de nuevo la implicaci´on directa es trivial. Supongamos por tanto que todas las rectas normales pasan por un punto com´un, digamos p. Esto se traduce en que p = α (s) + λ (s)n(s), para todo s ∈ I, donde la funci´on ­ ® λ (s) = p − α (s), n(s) es diferenciable. Derivando esta expresi´on obtenemos que ¢ © ª ¡ 1 − λ (s)k(s) t(s) + λ 0 (s)n(s) = 0, de donde se deduce, por ser t(s), n(s) vectores linealmente independientes, que 1 − λ (s)k(s) = λ 0 (s) = 0. En consecuencia, λ es constante y k(s) = 1/λ constante y no nula (obs´ervese que si λ = 0 entonces α (s) ≡ p y el resultado ser´ıa trivial). De nuevo, el ejercicio 1.5 nos asegura que α es un arco de circunferencia. Soluci´on al ejercicio 1.7. La implicaci´on directa es trivial. Supongamos por tanto que todas las rectas tangentes equidistan de un punto p, lo que se traduce en que ® ­ α (s) − p, n(s) = c constante. Derivando esta expresi´on y utilizando las f´ormulas de Frenet (1.5) obtenemos que ® ­ −k(s) α (s) − p, t(s) = 0. 306

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Soluciones a los ejercicios

Llegados a este punto, debemos distinguir dos casos, y llevar cierto cuidado. Claramente, si k(s) = 0 para todo s ∈ I, el ejercicio 1.5 nos dice que esto es equivalente a que α sea un segmento de recta. As´ı pues, suponemos que existe s0 ∈ I tal que k(s0 ) 6= 0. Como k es conti¡ ¢ S nua, k−1 R\{0} = I ⊂ I es un abierto, luego tendremos I = i∈Λ Ii (para un cierto conjunto de ´ındices Λ). Obs´ervese que Ii es abierto para todo i ∈ Λ y adem´as, k(s) 6= 0 para todo s ∈ Ii y todo i ∈ Λ. Supongamos que I ⊂ I estrictamente, y consi® ­ deremos uno de tales subintervalos, digamos I0 . Entonces, α (s) − p, t(s) = 0 para todo s ∈ I0 . Si expresamos α (s) − p en funci´on de la base de Frenet, obtenemos ­ ® ­ ® α (s) − p = α (s) − p, t(s) t(s) + α (s) − p, n(s) n(s) = c n(s), y tomando m´odu¯ ¯2 los, ¯α (s) − p¯ = c2 para todo s ∈ I0 : la ecuaci´on de una circunferencia.

Obs´ervese que lo que se ha probado es que el ((trozo)) de curva α |I0 es un arco de circunferencia con curvatura es k(s) ≡ 1/c 6= 0. Razonando de modo an´alogo para cualquier Ii se obtendr´ıa finalmente que α |I es un arco de circunferencia, cuya curvatura es k(s) ≡ 1/c 6= 0, constante (c es fijo para cualquier i ∈ Λ). En consecuencia, como I ⊂ I estrictamente, es decir, existen valores s ∈ I\I donde k(s) = 0, obtenemos que la funci´on curvatura en I es localmente constante pero no continua, lo que contradice nuestra definici´on de curva regular. As´ı pues, I = I, por lo que α : I −→ R2 es un arco de circunferencia. ¯ ¯ Soluci´on al ejercicio 1.8. Claramente ¯α (s0 )¯ > 0, pues en caso contrario la curva ¯2 ¯ ser´ıa constante. Definimos la funci´on f (s) = ¯α (s)¯ . Como f (s) ≤ f (s0 ) para todo s ∈ I, la funci´on tiene un m´aximo relativo en s0 . Por tanto, f 0 (s0 ) = 0 y f 00 (s0 ) ≤ 0, lo ­ ® ­ ® que se traduce en t(s0 ), α (s0 ) = 0 y t0 (s0 ), α (s0 ) ≤ −1, respectivamente. Dado que t(s0 ) ⊥ α (s0 ), y t0 (s0 ) = k(s0 )n(s0 ) ⊥ t(s0 ), existe λ ∈ R tal que t0 (s0 ) = λ α (s0 ). Despejando λ de la igualdad anterior obtenemos ® ­0 t (s0 ), α (s0 ) 1 λ= ≤ −¯ ¯ ¯2 ¯ . ¯α (s0 )¯ ¯α (s0 )¯2

Por otro lado, como n(s0 ) y t0 (s0 ) = λ α (s0 ) son vectores colineales y n(s0 ) es unita¯ ¯ rio, entonces n(s0 ) = ±α (s0 )/ ¯α (s0 )¯, de donde se tiene que ® ­ ® ­0 t (s0 ), α (s0 ) k(s0 )n(s0 ), α (s0 ) k(s0 ) 1 ¯. = = ± ¯¯ −¯ ¯ ≥λ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯α (s0 )¯2 ¯α (s0 )¯2 ¯α (s0 )¯2 α (s0 )¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Esto demuestra que ¯k(s0 )¯ ≥ 1/ ¯α (s0 )¯.

Soluci´on al ejercicio 1.9. Supongamos en primer lugar que todas las rectas normales equidistan de p ∈ R2 . El vector ortogonal a la recta normal a α (s) es t(s), y la distan® ­ cia de dicha recta a p viene dada por α (s) − p, t(s) . Por tanto, nuestra hip´otesis se ­ ® traduce en α (s) − p, t(s) = c constante. Derivando y usando las f´ormulas de Frenet ® ­ (1.5) se tiene k(s) α (s) − p, n(s) = −1, y derivando esta expresi´on llegamos a que ® ­ ® ­ k0 (s) − ck(s)2 , 0 = k0 (s) α (s) − p, n(s) − k(s)2 α (s) − p, t(s) = − k(s) 307

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Un curso de Geometr´ıa Diferencial

¡ ¢ una ecuaci´on diferencial cuya soluci´on viene dada por k(s)2 = 1/ 2(cs + d) , con √ d ∈ R. En definitiva, escribiendo a = 2c, b = 2d, se obtiene k(s) = ±1/ as + b. √ Rec´ıprocamente, supongamos que existen a, b ∈ R tales que k(s) = ±1/ as + b para todo s ∈ I. Entonces as + b = 1/k(s)2 , y derivando, a = −2k0 (s)/k(s)3 . Definimos la funci´on a 1 n(s). f (s) = α (s) − t(s) + 2 k(s) ¡ ¢ Un sencillo c´alculo muestra que f 0 (s) = −k0 (s)/k(s)2 − ak(s)/2 n(s) = 0, luego f (s) ≡ p constante. En consecuencia, α (s) − p = (a/2)t(s) − 1/k(s) n(s), de donde ® ­ ® ­ se concluye que α (s) − p, t(s) = (a/2) t(s), t(s) = a/2 ≡ constante.

Soluci´on al ejercicio 1.10. Sea α : I −→ R2 una curva parametrizada regular con par´ametro t, y sea β (s) = (α ◦ h)(s) una reparametrizaci´on de α . Tenemos que de¡ ¢ mostrar que αE h(s) = βE (s). Claramente, ¡ ¢ β 0 (s) = α 0 h(s) h0 (s), ¡ ¢ Jβ 0 (s) = Jα 0 h(s) h0 (s).

¡ ¢ ¡ ¢ β 00 (s) = α 00 h(s) h0 (s)2 + α 0 h(s) h00 (s),

Obs´ervese que ­ 00 ­ ¡ ® ¢ ¡ ¢® ¡ ¢ β (s), Jβ 0 (s) h0 (s)3 α 00 h(s) , Jα 0 h(s) = = ±kα h(s) , kβ (s) = ¯3 ¯ ¯ ¯3 ¯ ¡ ¢¯3 ¯β 0 (s)¯ ¯h0 (s)¯ ¯α 0 h(s) ¯

dependiendo de que el cambio de par´ametro conserve o invierta la orientaci´on. As´ı, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Jα 0 h(s) h0 (s) 1 Jβ 0 (s) 1 ¯ ¯ = α h(s) + ¯ = αE h(s) . ¡ ¢¯ ¡ ¢¯ ¯ βE (s) = β (s) + 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ kβ (s) β (s) ±kα h(s) α h(s) h (s)

En el caso de la curva paralela a β a distancia ρ , ¡ ¢ 0 h(s) h0 (s) 0 (s) ¡ ¢ ¡ ¢ J α J β ¯ = ±αρP h(s) , ¢¯ ¯ βρP (s) = β (s) + ρ ¯¯ 0 ¯¯ = α h(s) + ρ ¯¯ 0 ¡ β (s) α h(s) ¯ ¯h0 (s)¯

dependiendo de que h conserve o invierta la orientaci´on. ¡ ¢ Soluci´on al ejercicio 1.11. Como α est´a p.p.a., β (s) = α (s) + 1/k(s) n(s). Al ser ¯ ¯ k0 (s) ≥ 0 un r´apido c´alculo muestra que ¯β 0 (s)¯ = k0 (s)/k(s)2 , luego Las (β ) =

Z s¯ a

Z ¯ ¯β 0 (t)¯ dt =

a

s

1 k0 (t) 1 dt = − + . 2 k(t) k(s) k(a)

Observaci´on. Si en un entorno k0 (s) = 0, entonces Las (β ) = 0, es decir, β es un punto. Adem´as, la evoluta de una curva regular es tambi´en regular si k0 6= 0. Soluci´on al ejercicio 1.12. La evoluta de la cicloide es la curva parametrizada ¡ ¢ αE (t) = t + sent, −1 + cost . Obs´ervese que αE (t) = α (t − π ) + (π , 2), es decir, αE es tambi´en una cicloide. 308

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Soluciones a los ejercicios

Soluci´on al ejercicio 1.13. La evoluta de la espiral logar´ıtmica es la curva parametrizada αE (t) = ab ebt (− sent, cost), que es tambi´en una espiral logar´ıtmica. Soluci´on al ejercicio 1.14. α (s) = p + sv es un segmento de recta si, y s´olo si, α 00 (s) = 0 para todo s ∈ I, lo que equivale a que k ≡ 0. Si α es un arco de circunferencia, es claro que k > 0 y constante y τ ≡ 0. Rec´ıprocamente, si τ ≡ 0, α es plana por la proposici´on 1.3.4; el ejercicio 1.5 nos asegura que toda curva plana con curvatura constante no nula es un arco de circunferencia. Soluci´on al ejercicio 1.15. i) La implicaci´on directa es evidente. Supongamos pues ¯ ¯2 que la curvatura k > 0 es constante y que α (I) ⊂ S2 (r). En tal caso, ¯α (s)¯ = r2 . ® ­ Si derivamos esta expresi´on obtenemos que t(s), α (s) = 0, y derivando de nue® ­ vo, n(s), α (s) = −1/k. Una tercera y u´ ltima derivada permite obtener la relaci´on ­ ® τ (s) b(s), α (s) = 0. Si τ (s) = 0 para todo s ∈ I, la proposici´on 1.3.4 nos asegura que α es una curva plana. Como adem´as k > 0 y es constante, el ejercicio 1.5 permite concluir que α es un arco de circunferencia. Supongamos por tanto que existe s0 ∈ I tal que τ (s0 ) 6= 0. Entonces, podemos encontrar un entorno I0 (s0 ) ⊂ I de modo que τ |I0 6= 0, en cuyo caso se tendr´a que ® ­ b(s), α (s) = 0 para todo s ∈ I0 . Expresando α (s) en funci´on de la base dada por el triedro de Frenet, y utilizando las igualdades obtenidas, ­ ® ­ ® 1 α (s) = α (s), t(s) t(s) + hα (s), n(s)i n(s) + α (s), b(s) b(s) = − n(s), k ¢ ¡ para todo s ∈ I0 . Luego t(s) = α 0 (s) = −(1/k)n0 (s) = t(s) + τ (s)/k b(s), es decir, τ (s) = 0 para todo s ∈ I0 , una contradicci´on.

ii) En el caso de la curva α (t) = (2 cost, 2 sent,t), que no est´a parametrizada por la ¯ ¯ ¯3 ¯ longitud de arco, su curvatura vale k(s) = ¯α 0 (t) ∧ α 00 (s)¯ / ¯α 0 (t)¯ = 2/5, constante. Sin embargo, α no es un arco de circunferencia, pues su traza no est´a contenida ¯2 ¯ en una esfera: ¯α (t)¯ = 4 + t 2 que no es constante. Obs´ervese que α es la h´elice cil´ındrica de paso 2π construida sobre el cilindro circular recto de radio 2. Soluci´on al ejercicio 1.16. i) Veamos la primera parte. Como α (I) ⊂ S2 (r) sabemos ¯2 ¯ que ¯α (s)¯ = r2 (suponemos 0 el centro de la esfera). Derivando esta expresi´on ­ ® ­ ® obtenemos t(s), α (s) = 0, y de aqu´ı, derivando de nuevo, k(s) n(s), α (s) = −1. ¡ ¢ ­ ® Sea θ (s) = a´ ng n(s), α (s) . Como n(s), α (s) 6= 0 y k(s) > 0, −1 1 1 1 ¯¯ ¯= ¯ ¯≥ . ®=¯ k(s) = ­ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r n(s), α (s) α (s) cos θ (s) r cos θ (s)

ii) Demostremos ahora la segunda parte. De nuevo, como α (I) ⊂ S2 (r) sabemos ¯ ¯2 ­ ® ­ ® que ¯α (s)¯ = r2 , de donde, derivando, t(s), α (s) = 0 y k(s) n(s), α (s) = −1 (en particular, k(s) 6= 0). Por otro lado, al ser b(s) tangente a S2 (r) en α (s) para todo ® ­ s ∈ I, entonces b(s), α (s) = 0. Expresando α (s) en funci´on de la base de Frenet, ­ ® ­ ® ­ ® 1 α (s) = t(s), α (s) t(s) + n(s), α (s) n(s) + b(s), α (s) b(s) = − n(s), k(s) 309

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¯2 ¯ y tomando m´odulos, r2 = ¯α (s)¯ = 1/k(s)2 . Por lo tanto, k(s) = 1/r constante. ­ ® ­ ® Adem´as, derivando la relaci´on b(s), α (s) = 0 se llega a que τ (s) n(s), α (s) = 0; ® ­ como n(s), α (s) 6= 0, entonces τ (s) = 0, para todo s ∈ I. El ejercicio 1.14 nos asegura que α es un arco de circunferencia, que adem´as es m´axima pues tiene radio r. Soluci´on al ejercicio 1.17. Supongamos primero que α es una h´elice generali­ ® zada. Entonces existe u ∈ Rn unitario tal que t(s), u ≡ constante. Si escribimos ¡ ¢ ­ ® ¯ ¯ θ (s) = a´ ng t(s), u , se tiene que t(s), u = ¯t(s)¯ |u| cos θ (s) = cos θ (s) constante; ­ ® luego θ (s) ≡ θ constante. En definitiva, t(s), u = cos θ . Derivando esta expresi´on ­ ® obtenemos, por ser k 6= 0, que n(s), u = 0. Finalmente, derivando de nuevo y uti­ ® ­ ® lizando las f´ormulas de Frenet (1.13), se tiene −k(s) t(s), u − τ (s) b(s), u = 0, ¡ ­ ®¢ es decir, τ (s) = − cos θ / b(s), u k(s). Para ver la implicaci´on directa s´olo resta ­ ® comprobar que b(s), u ≡ constante. Pero es claro que ­ ® ­ ®0 ­ ® b(s), u = b0 (s), u = τ (s) n(s), u = 0, como quer´ıamos probar. Obs´ervese adem´as que, expresando u en la base de Frenet, ­ ® ­ ® ­ ® ­ ® u = t(s), u t(s) + n(s), u n(s) + b(s), u b(s) = cos θ t(s) + b(s), u b(s), ­ ® √ de donde, tomando m´odulos, se obtiene b(s), u = 1 − cos2 θ = sen θ . As´ı pues, ¡ ¢ τ (s) = − cos θ / sen θ k(s) = − cotg θ k(s).

Veamos el rec´ıproco. Supongamos que τ (s) = ck(s) para un cierto c ∈ R. Sea θ = arc cotg(−c), es decir, τ (s) = − cotg θ k(s). Hay que encontrar un vector unitario ­ ® y constante u tal que t(s), u ≡ constante. Sea u(s) = cos θ t(s) + sen θ b(s), que claramente es unitario. Veamos en primer lugar que u(s) ≡ u constante: en efecto, ¡ ¢ u0 (s) = cos θ t0 (s) + sen θ b0 (s) = cos θ k(s) + sen θ τ (s) n(s) µ ¶ cos θ = cos θ k(s) − sen θ k(s) n(s) = 0. sen θ ® ­ ® ­ Finalmente, t(s), u = t(s), cos θ t(s) + sen θ b(s) = cos θ , constante.

Soluci´on al ejercicio 1.18. i) Por definici´on, α es una h´elice generalizada si, y s´olo ­ ® si, existe u ∈ Rn unitario tal que t(s), u ≡ constante, lo cual es equivalente a que ­ ®0 ­ ® ­ ® 0 = t(s), u = k(s) n(s), u . En definitiva, si, y s´olo si, n(s), u = 0 (pues estamos suponiendo que k(s) 6= 0, para todo s ∈ I). ¯ ¯ ii) Claramente, β 0 (s) = b(s), luego ¯β 0 (s)¯ = 1, es decir, β est´a p.p.a. Por tanto, su ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ curvatura es kβ (s) = ¯β 00 (s)¯ = ¯b0 (s)¯ = ¯τ (s)n(s)¯ = ¯τ (s)¯, y su triedro de Frenet tβ (s) = b(s),

β 00 (s) τ (s)n(s) ¯ = ±n(s), nβ (s) = ¯¯ 00 ¯¯ = ¯¯ β (s) τ (s)¯

bβ (s) = tβ (s) ∧ nβ (s) = ±b(s) ∧ n(s) = ∓t(s). D E ­ ® Finalmente, τβ (s) = bβ0 (s), nβ (s) = ∓ t0 (s), ±n(s) = −k(s). ­ ® ­ ® iii) Por i), α es una h´elice generalizada si, y s´olo si, 0 = n(s), u = ± nβ (s), u , es decir, si, y s´olo si, β tambi´en lo es. 310

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Soluci´on al ejercicio 1.19. Si α (I) ⊂ S2 (r) (esfera que suponemos centrada en el ¯ ¯2 origen, por simplicidad), entonces ¯α (s)¯ = r2 . Derivando dos veces obtenemos las ® ­ ® ­ relaciones t(s), α (s) = 0 y k(s) n(s), α (s) = −1. Finalmente, si derivamos de nuevo esta segunda expresi´on y operamos, llegamos a que ³­ ® ® ­ ®´ ­ 0 = k0 (s) n(s), α (s) + k(s) n0 (s), α (s) + n(s), t(s)

­ ® ­ ® k0 (s) k0 (s) + k(s) − k(s)t(s) − τ (s)b(s), α (s) = − − k(s)τ (s) b(s), α (s) . k(s) k(s) ® ¡ ¢ ­ As´ı pues, b(s), α (s) = −k0 (s)/ k(s)2 τ (s) , lo que tiene perfecto sentido pues, por hip´otesis, ambas k(s), τ (s) 6= 0. Expresando α (s) en funci´on de la base de Frenet, obtenemos que ­ ® ­ ® ­ ® α (s) = t(s), α (s) t(s) + n(s), α (s) n(s) + b(s), α (s) b(s) =−

=

k0 (s) −1 n(s) − b(s) k(s) k(s)2 τ (s)

y tomando m´odulos se tiene la relaci´on buscada: µ 0 ¶2 ¯2 ¯ 1 k (s) 2 ¯ ¯ + . r = α (s) = k(s)2 k(s)2 τ (s) ¢ ¡ Y rec´ıprocamente. Supongamos que r2 = 1/k(s)2 + k0 (s)2 / k(s)4 τ (s)2 . Derivando esta expresi´on obtenemos µ 0 ¶0 k (s) τ (s) = . k(s)2 τ (s) k(s)

Definimos ahora la funci´on 1 k0 (s) n(s) + b(s). k(s) k(s)2 τ (s)

f (s) = α (s) +

Utilizando la relaci´on anterior, un r´apido c´alculo permite comprobar que ¶0 ¸ ·µ 0 τ (s) k (s) 0 − b(s) = 0, f (s) = k(s)2 τ (s) k(s)

es decir, f (s) ≡ a constante. En consecuencia,

α (s) − a = −

k0 (s) 1 n(s) − b(s), k(s) k(s)2 τ (s)

y tomando m´odulos, ¯ ¯ ¯α (s) − a¯2 =

1 k0 (s)2 + = r2 , k(s)2 k(s)4 τ (s)2

es decir, α verifica la ecuaci´on de una esfera, con centro a y radio r. Soluci´on al ejercicio 1.20. Supongamos que α (I) ⊂ S2 (r). El ejercicio 1.19 nos asegura entonces que k0 (s)2 1 + = r2 , k(s)2 k(s)4 τ02 311

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en definitiva una ecuaci´on diferencial donde ahora, la torsi´on es constante. Tenemos p 0 2 (en variables separadas), k (s) = τ0 k(s) r k(s)2 − 1, cuya soluci´on es

k(s) =

1 1 ¢ = ¡ r cos(τ0 s + c) r cos(τ0 s) cos c − sen(τ0 s) sen c

para c ∈ R. Tomando a = r cos c, b = −r sen c obtenemos el resultado. ¢ ¡ Rec´ıprocamente, si k(s) = 1/ a cos(τ0 s)+ b sen(τ0 s) , es sencillo comprobar que

¡ ¢2 ¡ ¢2 k0 (s)2 1 + = a sen( τ τ τ τ + a cos( = a2 + b2 . s) − b cos( s) s) + b sen( s) 0 0 0 0 τ02 k(s)4 k(s)2 Por tanto, aplicando de nuevo el ejercicio 1.19, concluimos que α est´a contenida en √ una esfera de radio r = a2 + b2 .

Soluci´on al ejercicio 1.21. Supongamos que ω (s) se expresa, en funci´on de la base de Frenet, como ω (s) = ω1 (s)t(s) + ω2 (s)n(s) + ω3 (s)b(s), verificando adem´as t0 (s) = ω (s) ∧ t(s), n0 (s) = ω (s) ∧ n(s) y b0 (s) = ω (s) ∧ b(s). Tenemos que encontrar (si existen) las funciones ω1 , ω2 , ω3 : I −→ R que satisfacen las condiciones anteriores. Por un lado, ¢ ¡ k(s)n(s) = t0 (s) = ω (s) ∧ t(s) = ω1 (s)t(s) + ω2 (s)n(s) + ω3 (s)b(s) ∧ t(s) = ω2 (s)n(s) ∧ t(s) + ω3 (s)b(s) ∧ t(s) = −ω2 (s)b(s) + ω3 (s)n(s). En consecuencia, ω2 (s) = 0 y ω3 (s) = k(s). An´alogamente, dado que

τ (s)n(s) = b0 (s) = ω (s) ∧ b(s) = −ω1 (s)n(s) + ω2 (s)t(s), volvemos a obtener ω2 (s) = 0 y, adem´as, ω1 (s) = −τ (s). Esto permite ya escribir la curva buscada ω : I −→ R3 como la dada por ω (s) = −τ (s)t(s) + k(s)b(s). Debemos probar, para finalizar la demostraci´on, que en efecto la curva ω existe, en el sentido de que tambi´en debe verificar la tercera condici´on, n0 (s) = ω (s) ∧ n(s):

ω (s) ∧ n(s) = −τ (s)b(s) − k(s)t(s) = n0 (s). Obs´ervese que la velocidad angular ω (s) es constante si, y s´olo si, τ (s), k(s) lo son.

γ

Soluci´on al ejercicio 1.22. Sea α una curva plana cualquiera uniendo A y B de longitud `. Tomemos una circunferencia de modo que el segmento AB sea una cuerda de la misma, y tal que uno de los dos arcos de circunferencia que este segmento determina tenga longitud `. Sean γ la curva que parametriza dicho arco, y β la correspondiente al arco opuesto. α B

A

β Figura C.1: El problema ´ isoperimetrico.

Consideremos ahora la curva cerrada formada por la yuxtaposici´on de α y β , α ∧ β . Obs´ervese que β es una curva fija, mientras que α var´ıa entre todas las curvas que unen A y B y que tienen longitud `. La desigualdad isoperim´etrica nos asegura que la curva que encierra a´ rea m´axima es la circunferencia, esto es, γ ∧ β . Dado que β est´a fijada, y por tanto el a´ rea encerrada por e´ sta y el segmento AB es un valor fijo, la porci´on de a´ rea encerrada por α ser´a m´axima cuando α ≡ γ ; es decir, cuando α sea un arco de circunferencia. 312

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAP´ITULO II ¡ ¢ Soluci´on al ejercicio 2.1. Vamos a ver que X(u, v) = f (v) cos u, f (v) sen u, g(v) es una parametrizaci´on para S, con (u, v) ∈ U = (0, 2π ) × I. Dado que quedar´ıa un meridiano sin cubrir, se necesitar´ıa una segunda carta para demostrar que S es una superficie regular, lo que dejamos como ejercicio al lector. La propiedad S1) se verifica trivialmente, pues f y g son diferenciables. Veamos pues S3). Obs´ervese que, como α no toca al eje z, entonces f (v) 6= 0 para todo v ∈ I; as´ı, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que f (v) > 0 siempre (v´ease la figura 2.23). Un r´apido c´alculo muestra que ¡ ¢ Xu ∧ Xv = f (v)g0 (v) cos u, f (v)g0 (v) sen u, f (v) f 0 (v) , p luego |Xu ∧ Xv | = f (v) f 0 (v)2 + g0 (v)2 . Adem´as, al ser α una curva regular, ¯ 0 ¯ q ¯α (v)¯ = f 0 (v)2 + g0 (v)2 6= 0,

y en consecuencia, |Xu ∧ Xv | 6= 0, lo que demuestra que Xu y Xv son linealmente independientes; es decir, dX(u,v) es inyectiva. Para poder concluir que X es una parametrizaci´on, utilizaremos la proposici´on 2.1.7, y probaremos que X es inyectiva. En efecto, si existen (u, v), (u0 , v0 ) ∈ U tales que X(u, v) = X(u0 , v0 ), entonces se tiene, en particular, que f (v) = f (v0 ). Como α no presenta autointersecciones, f debe ser inyectiva, de donde se deduce que v = v0 . Esto permite concluir finalmente que u = u0 . Un r´apido c´alculo muestra que los coeficientes de la primera forma fundamental de X son E = f (v)2 , F = 0 y G = f 0 (v)2 + g0 (v)2 . Parametrizando α por la longitud ¯ ¯2 de arco, se tendr´ıa que ¯α 0 (v)¯ = f 0 (v)2 + g0 (v)2 = 1, lo que prueba el resultado. Observaci´on. Si se permite que α toque al eje z, esto es, si en alg´un punto f (v) = 0, no siempre se obtiene una superficie regular. Por ejemplo, si la circunferencia que genera el toro de revoluci´on al rotar e´ sta alrededor del eje z es tangente al eje (v´ease la pr´actica B.5), la figura obtenida no es una superficie; por el contrario, la esfera, el plano, el paraboloide de revoluci´on (v´ease el ejemplo 3.17 para su definici´on)... son superficies de revoluci´on para las cuales, la curva α que las genera (semic´ırculo, recta, semi-par´abola...) corta al eje. De hecho, se puede probar que si α corta al eje ortogonalmente, entonces la figura obtenida es siempre una superficie regular. Soluci´on al ejercicio 2.2. Sabemos que la funci´on distancia no es diferenciable en S si p0 ∈ S (v´ease el ejemplo 2.12). As´ı pues, supongamos que p0 6∈ S, y sean p ∈ S, v ∈ Tp S y α : I −→ S una curva con α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces ¯ ¯ q ­ ® hv, p − p0 i d ¯¯ d ¯¯ d f p (v) = ¯ ( f ◦ α )(t) = ¯ α (t) − p0 , α (t) − p0 = . |p − p0 | dt t=0 dt t=0

Soluci´on al ejercicio 2.3. i) La aplicaci´on ant´ıpoda A es diferenciable, pues i ◦ A es la restricci´on a S2 de la funci´on F : R3 −→ R3 , F(x, y, z) = (−x, −y, −z), que es 313

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diferenciable. Como A−1 = A (inversa diferenciable), A es un difeomorfismo. Sean p ∈ S2 , v ∈ Tp S2 y α : I −→ S2 una curva tal que α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces ¯ ¯ d ¯¯ d ¯¯ dA p (v) = ¯ (A ◦ α )(t) = − ¯ α (t) = −v, dt t=0 dt t=0

es decir, dA p = −1Tp S2 . ii) La aplicaci´on F es diferenciable, pues la composici´on i ◦ F es la restricci´on al √ ¢ ¡√ 1 + z2 x, 1 + z2 y, z , que es cilindro C de la funci´on G : R3 −→ R3 , G(x, y, z) = diferenciable. Es sencillo comprobar que su inversa F −1 : H −→ C viene dada por ¶ µ v u ,√ ,w , F −1 (u, v, w) = √ 1 + w2 1 + w2

que es diferenciable razonando de modo an´alogo. Luego F es un difeomorfismo. Observaci´on. Tambi´en puede demostrarse que F es diferenciable viendo que su expresi´on en coordenadas lo es: basta tomar las parametrizaciones p ¢ ¡p 1 + v2 cos u, 1 + v2 sen u, v X(u, v) = (cos u, sen u, v) e Y (u, v) =

del cilindro y del hiperboloide, respectivamente; dado que la expresi´on en coordenadas de F (respecto a X e Y ) es Fe = Y −1 ◦ F ◦ X = 1(0,2π )×R , entonces F es diferenciable (y an´alogamente para su inversa). iii) Es sencillo comprobar que la aplicaci´on F : S2 \{N, S} −→ H del enunciado viene dada por la expresi´on   s s 2 2 1 + z 1 + z ,y , z . F(x, y, z) = x 1 − z2 1 − z2

Para probar que F es diferenciable, consideremos la aplicaci´on G : W −→ R3 definida sobre el abierto © ª W = (x, y, z) ∈ R3 : −1 < z < 1 ⊂ R3 , ´ ³ p p dada por G(x, y, z) = x (1 + z2 )/(1 − z2 ), y (1 + z2 )/(1 − z2 ), z . Claramente, G

es diferenciable (en el sentido ordinario) sobre W , y adem´as S2 \{N, S} ⊂ W . Por tanto, la composici´on i ◦ F : S2 \{N, S} −→ R3 es la restricci´on a S2 \{N, S} de la aplicaci´on diferenciable G, lo que demuestra que F es diferenciable. Soluci´on al ejercicio 2.4. F es diferenciable pues la composici´on i ◦ F : S −→ R3 es la restricci´on a la superficie S de la aplicaci´on f : R3 \{p0 } −→ R3 dada por f (p) = (p − p0 )/ |p − p0 |, que es diferenciable en sentido ordinario, y S ⊂ R3 \{p0 }. As´ı pues, sean p ∈ S, v ∈ Tp S y α : I −→ S una curva con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces ¯ ¯ d ¯¯ d ¯¯ α (t) − p0 dFp (v) = ¯ (F ◦ α )(t) = ¯ ­ dt t=0 dt t=0 α (t) − p0 , α (t) − p0 ®1/2 hv, p − p0 i v = − (p − p0 ). |p − p0 | |p − p0 |3 314

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Supongamos en primer lugar que v ∈ Tp S, v 6= 0, est´a en el n´ucleo de dFp . Entonces dFp (v) = 0, es decir,

hv, p − p0 i v − (p − p0 ) = 0. |p − p0 | |p − p0 |3

En definitiva, v=

hv, p − p0 i

|p − p0 |2

(p − p0 ) = λ (p − p0 ).

Y rec´ıprocamente, si v = λ (p − p0 ) para un cierto λ ∈ R, entonces ! Ã ¢ ¡ |p − p0 |2 p − p0 (p − p0 ) = 0. − dFp (v) = dFp λ (p− p0 ) = λ dFp (p− p0 ) = λ |p − p0 | |p − p0 |3

Obs´ervese finalmente que F es un difeomorfismo local si, y s´olo si, dFp es un isomorfismo lineal para todo p ∈ S, lo que equivale a que su n´ucleo ker(dFp ) = {0}. Ahora bien, por lo demostrado anteriormente, ker(dFp ) = {0} si, y s´olo si, no existe ning´un vector tangente a la superficie de la forma v = λ (p − p0 ), lo que nos asegura que no es posible trazar una recta tangente a S desde el punto p0 . ¡ ¢ Soluci´on al ejercicio 2.5. i) Claramente F S2 \{N, S} ⊂ C, pues si tomamos un punto (x, y, z) ∈ S2 \{N, S}, entonces x2 + y2 + z2 = 1, de donde se deduce que su imagen F(x, y, z) verifica la ecuaci´on del cilindro C: ¶2 µ ¶2 µ y x2 + y2 x √ + √ = = 1. 1 − z2 1 − z2 1 − z2

Para demostrar que F es diferenciable, consideremos la aplicaci´on G : W −→ R3 , √ ¢ ¡ √ dada por G(x, y, z) = x/ 1 − z2 , y/ 1 − z2 , z , pero definida sobre el abierto de R3 © ª W = (x, y, z) ∈ R3 : −1 < z < 1 . Claramente, G es diferenciable (en el sentido ordinario) sobre W , y adem´as se tiene que S2 \{N, S} ⊂ W . Por tanto, la composici´on i ◦ F : S2 \{N, S} −→ R3 es la restricci´on a S2 \{N, S} de la aplicaci´on diferenciable G, lo que demuestra que F es diferenciable.

ii) Sean p = (x0 , y0 , z0 ) ∈ S, v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ Tp S y α : I −→ S una curva en S tal que ¡ ¢ α (0) = p y α 0 (0) = v. Escribimos α (t) = x(t), y(t), z(t) . Entonces ! ¯ ¯ à d ¯¯ d ¯¯ y(t) x(t) p dFp (v) = ¯ (F ◦ α )(t) = ¯ ,p , z(t) dt t=0 dt t=0 1 − z(t)2 1 − z(t)2 ¶ µ v1 (1 − z20 ) + x0 z0 v3 v2 (1 − z20 ) + y0 z0 v3 , , v = 3 . (1 − z20 )3/2 (1 − z20 )3/2 ¡ ¢ Ahora, p es punto cr´ıtico de F si, y s´olo si, dFp (v) = 0 para todo v ∈ Tp S2 \{N, S} , es decir, si, y s´olo si, las tres coordenadas en la expresi´on anterior se anulan:

v1 (1 − z20 ) + x0 z0 v3 = 0,

v2 (1 − z20 ) + y0 z0 v3 = 0,

v3 = 0.

Dado que el u´ nico vector v = (v1 , v2 , v3 ) que satisface las ecuaciones anteriores es el (0, 0, 0), podemos concluir que F no tiene puntos cr´ıticos. 315

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Soluci´on al ejercicio 2.6. Para demostrar que f es diferenciable, consideremos la © ª aplicaci´on F : W −→ R definida sobre el abierto W = R3 \ (0, 0, z) : z ∈ R de R3 , ¯ ¯ dada por F(p) = 1/ ¯ p ∧ (0, 0, 1)¯, que, claramente, es diferenciable en el sentido ¯ ordinario. Como S no corta al eje z, S ⊂ W y, adem´as f = F ¯S . Luego f es diferenciable. As´ı pues, sean p ∈ S, v ∈ Tp S y α : I −→ S una curva con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v. Escribimos e3 = (0, 0, 1) para mayor brevedad. Entonces ¯ ¯ hv ∧ e3 , p ∧ e3 i d ¯¯ d ¯¯ 1 d f p (v) = ¯ ( f ◦ α )(t) = ¯ ­ =− . dt t=0 dt t=0 α (t) ∧ e3 , α (t) ∧ e3 ®1/2 |p ∧ e3 |3

Obs´ervese que p es un punto cr´ıtico de f si, y s´olo si, d f p ≡ 0, es decir si, y s´olo si, hv ∧ e3 , p ∧ e3 i = 0, para todo v ∈ Tp S, lo que es equivalente a su vez a que hv, pi = 0 para todo v ∈ Tp S. As´ı pues, p es un punto cr´ıtico de f si, y s´olo si, p es ortogonal al plano tangente Tp S, esto es, si, y s´olo si, el normal N(p) est´a en la direcci´on de p. Soluci´on al ejercicio 2.7. i) Sea (U, X) una parametrizaci´on de S, y supongamos que L = span{a}, |a| = 1. Entonces, N(u, v) ≡ a, para todo (u, v) ∈ U (podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que N(u, v) = a y no −a). Sea p0 = X(u0 , v0 ) ∈ U y consideremos el plano Π ≡ p0 + span{a}⊥ . Queremos demostrar que X(u, v) ∈ Π ­ ® para todo (u, v) ∈ U o, equivalentemente, que X(u, v) − p0 , a = 0. ­ ® ­ ® Sea entonces f (u, v) = X(u, v) − p0 , a . Claramente, fu (u, v) = Xu (u, v), a = 0 ­ ® y fv (u, v) = Xv (u, v), a = 0, de donde se deduce, por ser S conexa (podemos tomar U conexo), que f es constante. Como f (u0 , v0 ) = hp0 − p0 , ai = 0, entonces f ≡ 0. Obs´ervese que esto no demuestra el resultado deseado, pues hemos llegado a que X(U), y no S, est´a contenido en el plano Π. Si tomamos otra parametrizaci´on (U, X), un argumento an´alogo muestra que X(U) ⊂ Π ≡ p0 + span{a}⊥ , es decir, X(U) est´a contenido en un plano paralelo al anterior. Para ver que ambos planos coinciden, utilizamos la conexi´on de S. Esta propiedad implica, en particular, que S es conexa por arcos, lo que nos asegura la existencia de una curva α : [0, 1] −→ S ¡ ¢ continua uniendo p0 = α (0) y p0 = α (1). Por ser α [0, 1] compacto, podemos cu© ª brirla con un n´umero finito de entornos coordenados Xi (Ui ) : i = 1, . . . , n (suponemos, por ejemplo, que X1 (U1 ) = X(U), Xn (Un ) = X(U)), cada uno de los cuales verifica que Xi (Ui ) ⊂ Πi ≡ pi0 + span{a}⊥ , para ciertos pi0 ∈ Xi (Ui ). Adem´as, dado i ∈ {1, . . . , n} cualquiera, existe j ∈ {1, . . . , n}, j 6= i, tal que Xi (Ui ) ∩ X j (U j ) 6= 0/ (v´ease la figura C.2). En consecuencia, podemos encontrar un punto pi ∈ Πi ∩ Π j , planos que son paralelos; luego Πi ≡ Π j , lo que permite concluir que Π ≡ Π. X (U )

X3 (U3 )

X2 (U2 )

p0

X5 (U5)

X4 (U4 ) p4

p1

p2

p3

Figura C.2: Cubriendo

X6 (U6) X(U)

p5 p6

una curva con entornos coordenados.

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p0

Soluciones a los ejercicios

El rec´ıproco es evidente. Observaci´on. Este resultado puede demostrarse sin utilizar parametrizaciones, lo que reduce notablemente la prueba. Consideremos la funci´on altura h : S −→ R respecto al plano Π ≡ 0 + span{a}⊥ (v´ease el ejemplo 2.13). Ya sabemos (ejemplo 2.15) que dh p = h ·, ai, luego p ∈ S es un punto cr´ıtico de h si, y s´olo si, a ⊥ Tp S. Dado que todas las rectas normales a la superficie S son paralelas a L = span{a}, el vector a es ortogonal a todos los planos tangentes Tp S, para todo p ∈ S. En consecuencia, cualquier p ∈ S es un punto cr´ıtico de h, lo que implica que dh p ≡ 0 para todo p ∈ S. Por ser S conexa, concluimos que h ≡ c constante. As´ı pues, h(p) = hp, ai = c para © ª todo p ∈ S, lo que demuestra que S ⊂ p ∈ R3 : hp, ai = c , un plano paralelo a Π y, por tanto, perpendicular a L. ii) Sea (U, X) una parametrizaci´on de S. Como las rectas normales son perpendicu­ ® lares al eje z, entonces N(u, v), e3 = 0, donde e3 = (0, 0, 1). Por otro lado, dado X(u, v) ∈ X(U), existen λ (u, v), µ (u, v) ∈ R con X(u, v) + λ (u, v)N(u, v) = µ (u, v)e3 , ya que, tambi´en por hip´otesis, todas las rectas normales a S cortan al eje z. Multipli­ ® cando ahora esta expresi´on por el vector e3 obtenemos µ (u, v) = X(u, v), e3 , luego ­ ® X(u, v) + λ (u, v)N(u, v) = X(u, v), e3 e3 . Derivando respecto a u se tiene ­ ® Xu (u, v) + λ (u, v)Nu (u, v) + λu (u, v)N(u, v) = Xu (u, v), e3 e3 , y multiplicando ahora por el vector normal N(u, v), obtenemos λu (u, v) = 0. An´alogamente se llega a que λv (u, v) = 0, de donde se deduce, por ser S conexa (podemos to­ ® mar U conexo), que λ ≡ constante. As´ı pues, X(u, v) − X(u, v), e3 e3 = −λ N(u, v), y tomando m´odulos, ¯ ­ ® ¯¯2 ¯ ¯X(u, v) − X(u, v), e3 e3 ¯ = λ 2 . Obs´ervese que esto no es m´as que la ecuaci´on de un cilindro: en efecto, si escribi¡ ¢ ­ ® ¡ ¢ mos X(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , entonces X(u, v), e3 e3 = 0, 0, z(u, v) , por lo que la ecuaci´on anterior se reescribe como la m´as conocida x(u, v)2 +y(u, v)2 = λ 2 . De nuevo, hemos demostrado que el entorno coordenado X(U), y no S, est´a contenido en el cilindro recto de radio |λ |. Un argumento an´alogo al desarrollado en el apartado i) permite concluir el resultado buscado. Rec´ıprocamente, consideremos la parametrizaci´on X(u, v) = (r cos u, r sen u, v) del cilindro. Un sencillo c´alculo muestra que el vector normal en un punto X(u, v) es N(u, v) = (cos u, sen u, 0). As´ı, la recta que pasa por X(u, v) en la direcci´on de N(u, v) es L ≡ X(u, v) + λ N(u, v) = (r cos u + λ cos u, r sen u + λ sen u, v). Es f´acil ver que L corta al eje z ortogonalmente.6 iii) Sea (U, X) una parametrizaci´on de S. Como todas las rectas normales pasan por un punto fijo p0 , entonces, para cada X(u, v) ∈ X(U), existir´a λ (u, v) ∈ R de forma 6

Al igual que en el caso del plano (apartado i)), el resultado puede probarse sin utilizar parametrizaciones; basta rehacer dicho argumento considerando ahora la funci´on h(p) = |p|2 − hp, e3 i. En el caso de la esfera que vemos a continuaci´on (apartado iii)), el uso de parametrizaciones puede de nuevo evitarse argumentando de forma an´aloga con la funci´on h(p) = |p − p0 |2 .

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que X(u, v) + λ (u, v)N(u, v) = p0 . Derivando esta igualdad respecto a u obtenemos Xu (u, v) + λu (u, v)N(u, v) + λ (u, v)Nu (u, v) = 0, y multiplicando de nuevo por el vector normal se tiene λu (u, v) = 0. An´alogamente se deduce que λv (u, v) = 0, lo que implica, por ser S conexa (podemos tomar U conexo), que λ ≡ constante. Luego ¯ ¯2 X(u, v) − p0 = −λ N(u, v) y, tomando m´odulos, ¯X(u, v) − p0 ¯ = λ 2 , que es la ecuaci´on de una esfera. Hemos probado as´ı que el entorno coordenado X(U) (y no S) est´a contenido en la esfera de radio |λ |. Un argumento an´alogo al desarrollado en el apartado i) permite concluir el resultado buscado. El rec´ıproco es evidente. Soluci´on al ejercicio 2.8. Consideremos la parametrizaci´on de la esfera dada por las coordenadas geogr´aficas, X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ), siendo los coeficientes de la primera forma fundamental E = 1, F = 0 y G = sen2 θ . Sea ahora α : I −→ S2 la curva buscada, que forma un a´ ngulo constante con los meridianos, ¡ ¢ y, como viene siendo usual, escribimos α (t) = X θ (t), ϕ (t) . As´ı pues, en un punto ¢ ¡ X θ (t), ϕ (t) , donde la curva α (t) corta al meridiano ϕ ≡ constante, se tendr´a que ­ ® ® ­ Xθ , α 0 (t) Xθ , θ 0 (t)Xθ + ϕ 0 (t)Xϕ θ 0 (t) ¯ ¯ = ¯ ¯¯ ¯=p cos β = |Xθ | ¯α 0 (t)¯ ¯Xθ ¯ ¯θ 0 (t)Xθ + ϕ 0 (t)Xϕ ¯ θ 0 (t)2 + ϕ 0 (t)2 sen2 θ (t) ¤ £ (β constante), o lo que es lo mismo, θ 0 (t)2 = cos2 β θ 0 (t)2 + ϕ 0 (t)2 sen2 θ (t) . Reescribiendo esta expresi´on obtenemos tg2 β θ 0 (t)2 = ϕ 0 (t)2 sen2 θ (t), que es una sencilla ecuaci´on diferencial en variables separadas, cuya soluci´on viene dada por µ ¶ θ log tg = ± cotg β (ϕ + c). 2

Soluci´on al ejercicio 2.9. Parametrizamos la catenaria por α (v) = (cosh v, 0, v), siendo X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v), (u, v) ∈ (0, 2π ) × (−∞, ∞), una parametrizaci´on del catenoide. Un sencillo c´alculo muestra que los coeficientes de su primera forma fundamental son E = cosh2 v, F = 0 y G = cosh2 v. Obs´ervese que esta carta ¢ ¡ no cubre todo R, pues el meridiano u = 0 no se encuentra en X (0, 2π ) × (−∞, ∞) . As´ı pues, podemos recurrir al ((truco)) que ya empleamos en el ejemplo 2.21, es decir, ¡ ¢ calcular el a´ rea de la regi´on m´as peque˜na Rε = X [ε , 2π − ε ] × [−1, 1] : A(Rε ) =

Z 2π −εZ 1 p ε

−1

EG − F 2 dudv =

Z 2π −εZ 1 ε

−1

cosh2 v dudv = (2+senh 2)(π − ε ).

Tomando l´ımites cuando ε → 0 obtenemos A(R) = l´ım A(Rε ) = l´ım (2 + senh 2)(π − ε ) = π (2 + senh 2). ε →0

ε →0

Observaci´on. El conjunto de puntos de R que queda sin cubrir por la parametrizaci´on tiene medida nula, por lo que no va a tener influencia alguna en el resultado final de la integral. Por tanto, en la pr´actica, no es realmente necesario argumentar de este modo, pudi´endose calcular la integral directamente entre los valores −1, 1 y 0, 2π ; en los siguientes ejercicios omitiremos por brevedad este argumento. 318

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Soluci´on al ejercicio 2.10. i) Un sencillo c´alculo muestra que µ ¶ cos2 u Xu (u, v) = cos u cos v, cos u sen v, , sen u

Xv (u, v) = (− sen u sen v, sen u cos v, 0) , de donde E = cotg2 u, F = 0 y G = sen2 u. ii) Sea ε > 0. Como la pseudoesfera no es compacta, vamos a calcular el a´ rea de la ¡ ¢ regi´on Rε = X (ε , π /2) × (0, 2π ) . As´ı, es sencillo comprobar que Z π /2 Z 2π p Z π /2 Z 2π 2 A(Rε ) = cos u dvdu = 2π (1 − sen ε ). EG − F dvdu = 0

ε

ε

0

Entonces, el a´ rea (total) de la pseudoesfera es ´ Area = l´ım A(Rε ) = l´ım = 2π (1 − sen ε ) = 2π . ε →0

ε →0

Soluci´on al ejercicio 2.11. i) Un sencillo c´alculo muestra que ¡ ¢ Xs (s, θ ) = 1 − rk(s) cos θ t(s) + rτ (s) sen θ n(s) − rτ (s) cos θ b(s), Xθ (s, θ ) = −r sen θ n(s) + r cos θ b(s), ¢2 ¡ de donde E = 1 − rk(s) cos θ + r2 τ (s)2 , F = −r2 τ (s) y G = r2 . ii) Sea ` la longitud de la curva α . As´ı pues, podemos suponer que α est´a p.p.a. y que su intervalo de definici´on es [0, `]. Entonces, Z ` Z 2π ¡ Z ` Z 2π p ¢ ´ r 1 − rk(s) cos θ d θ ds = 2π r`. EG − F 2 d θ ds = Area = 0

0

0

0

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAP´ITULO III Soluci´on al ejercicio 3.1. Dado que ambas superficies juegan el mismo papel, supondremos, por ejemplo, que S1 es orientable. Entonces, existe una familia de parametrizaciones (Ui , Xi ) cubriendo S2 de modo que, siempre que dos de ellas se corten, el jacobiano del cambio de coordenadas tiene determinante positivo. Sea φ : S1 −→ S2 el difeomorfismo entre ambas superficies, y consideremos la familia (Ui , X i = φ ◦ Xi ). Ya sabemos que X i es una parametrizaci´on de S2 y supongamos, por ejemplo, que −1 (U1 , X 1 ) y (U2 , X 2 ) tienen intersecci´on no vac´ıa. Claramente, X 2 ◦ X 1 = X2−1 ◦ X1 , −1 de donde se deduce que el jacobiano del cambio X 2 ◦ X 1 es el mismo que el de X2−1 ◦ X1 . Como el segundo es positivo por hip´otesis, el primero tambi´en lo es.

Soluci´on al ejercicio 3.2. Sea {e1 , e2 } la base de direcciones principales en Tp S. Si v = v1 e1 + v2 e2 , w = w1 e1 + w2 e2 ∈ Tp S, entonces ­ ® III p (v, w) = hA p v, A p wi = v1 k1 (p)e1 + v2 k2 (p)e2 , w1 k1 (p)e1 + w2 k2 (p)e2 = v1 w1 k1 (p)2 + v2 w2 k2 (p)2 ,

II p (v, w) = hA p v, wi = v1 w1 k1 (p) + v2 w2 k2 (p), I p (v, w) = hv, wi = v1 w1 + v2 w2 . 319

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Utilizando estas expresiones, un sencillo c´alculo muestra que ¡ ¢ 2H(p)II p (v, w) − K(p)I p (v, w) = k1 + k2 (p)II p (v, w) − (k1 k2 )(p)I p (v, w) = III p (v, w). Observaci´on. Puede probarse como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton.7 El polinomio caracter´ıstico de A p es t 2 − (tr A p )t + det A p = t 2 − 2H(p)t + K(p), por lo que el citado teorema nos asegura que A2p − 2H(p)A p + K(p)1Tp S ≡ 0, es decir, A2p ≡ 2H(p)A p − K(p)1Tp S . Luego ­ ® III p (v, w) = hA p v, A p wi = A2p v, w = 2H(p) hA p v, wi − K(p) hv, wi = 2H(p)II p (v, w) − K(p)I p (v, w). Soluci´on al ejercicio 3.3. E SFERA: K = 1/r2 , H = −1/r. C ILINDRO X(u, v) = (r cos u, r sen u, v): K = 0, H = −1/(2r). √ C ONO X(u, v) = (v cos u, v sen u, v): K = 0, H = − 2/(4v).

H ELICOIDE X(u, v) = (v cos u, v sen u, au): K = −a2 /(v2 + a2 )2 , H = 0. C ATENOIDE X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v): K = − sech4 v, H = 0 Observaci´on. Los resultados obtenidos para el helicoide y el catenoide (superficies localmente isom´etricas) no contradicen el teorema Egregium de Gauss: en los puntos correspondientes, la curvatura de Gauss coincide (basta hacer el cambio de variable u = u, v = a senh v en la parametrizaci´on del helicoide para darnos cuenta). ¡ ¢ T ORO X(u, v) = (r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u :

2r cos u + a cos u , H =− . r(r cos u + a) 2r(r cos u + a) ¡ ¢ P SEUDOESFERA X(u, v) = sen u cos v, sen u sen v, cos u + log tg(u/2) : K=

K = −1,

1 H = (cotg u − tg u). 2

PARABOLOIDE EL´I PTICO X(u, v) = (u, v, u2 + v2 ): K=

4 , 2 (1 + 4u + 4v2 )2

H=

2 + 4u2 + 4v2 . (1 + 4u2 + 4v2 )3/2

´ PARABOLOIDE HIPERB OLICO X(u, v) = (u, v, v2 − u2 ): K=−

4 , 2 (1 + 4u + 4v2 )2

H=

4(u2 − v2 ) . (1 + 4u2 + 4v2 )3/2

H IPERBOLOIDE DE UNA HOJA X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, senh v): K = − sech2 (2v),

H =−

7

senh2 v . cosh(2v)3/2

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre un cuerpo cualquiera anula su polinomio caracter´ıstico (v´eanse [10] o [40]).

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H IPERBOLOIDE DE DOS HOJAS X(u, v) = (senh v cos u, senh v sen u, cosh v): K = sech2 (2v),

H =−

cosh2 v . cosh(2v)3/2

S ILLA DE MONTAR DEL MONO X(u, v) = (u, v, u3 − 3uv2 ): 36(u2 + v2 ) K = −¡ ¢2 , 1 + 9(u2 + v2 )

27u(u4 − v4 − 4u2 v2 ) H =− ¡ ¢3/2 . 1 + 9(u2 + v2 )

Soluci´on al ejercicio 3.4. Si H(p) = 0, entonces k1 (p) = −k2 (p). Representamos por e1 , e2 ∈ Tp S las direcciones principales asociadas a k1 (p) y k2 (p), respectivamente, que forman una base ortonormal del tangente Tp S. Si k1 (p) = k2 (p) = 0, entonces los propios vectores e1 , e2 son direcciones asint´oticas (en realidad, por ser p plano, todas las direcciones son asint´oticas, v´ease el ejercicio 3.5). As´ı, supongamos que k1 (p) = −k2 (p) 6= 0. Sea vθ = cos θ e1 + sen θ e2 ∈ Tp S un vector unitario cualquiera. Su curvatura normal vale ® ­ kn (vθ , p) = A p vθ , vθ = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ = k1 (p)(cos2 θ − sen2 θ ) = k1 (p) cos(2θ ). Luego kn (vθ , p) = 0 si, y s´olo si, θ = π /4 o´ θ = 3π /4. Esto es, los vectores vπ /4 y v3π /4 son dos direcciones asint´oticas y ortogonales de Tp S. Rec´ıprocamente, sean v1 , v2 ∈ Tp S dos direcciones asint´oticas y ortogonales, y sea {e1 , e2 } una base de direcciones principales con la misma orientaci´on que {v1 , v2 } y θ = a´ ng(e1 , v1 ). Entonces v1 = cos θ e1 + sen θ e2 , ³ ³ π´ π´ e1 + sen θ + e2 = − sen θ e1 + cos θ e2 . v2 = cos θ + 2 2

Como son direcciones asint´oticas, se tiene que 0 = kn (v1 , p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ , 0 = kn (v2 , p) = k1 (p) sen2 θ + k2 (p) cos2 θ , de donde se deduce que k1 (p) + k2 (p) = 0, esto es, H(p) = 0. Soluci´on al ejercicio 3.5. Si p ∈ S es un punto hiperb´olico, entonces K(p) < 0 y, por tanto, k1 (p) < 0 y k2 (p) > 0. Tomemos {e1 , e2 } la base ortonormal de direcciones principales y sea vθ = cos θ e1 + sen θ e2 ∈ Tp S un vector unitario cualquiera. Como kn (e1 , p) < 0 y kn (e2 , p) > 0, existe θ ∈ (0, 2π ) tal que kn (vθ , p) = 0, y claramente, ¡ ¢ 0 = kn (vθ , p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ = k1 (p) + k2 (p) − k1 (p) sen2 θ ³ p ´ p si, y s´olo si, θ = arc sen k1 /(k1 − k2 )(p) o´ θ = arc sen − k1 /(k1 − k2 )(p) . Si representamos por θ1 y θ2 = −θ1 estos dos a´ ngulos, entonces los vectores vθ1 , vθ2 son direcciones asint´oticas, linealmente independientes, bisectadas por e1 (y e2 ). 321

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Si p es un punto el´ıptico, entonces K(p) > 0, y por tanto, o bien k1 (p), k2 (p) > 0 o bien k1 (p), k2 (p) < 0. Si k1 (p), k2 (p) > 0 (respectivamente, k1 (p), k2 (p) < 0), entonces, kn (v, p) ≥ k1 (p) > 0 (respectivamente, kn (v, p) ≤ k2 (p) < 0); en cualquier caso, kn (v, p) 6= 0 para todo v ∈ Tp S, es decir, no existen direcciones asint´oticas. Si p es umbilical, entonces k1 (p) = k2 (p). En el caso de que k1 (p) = k2 (p) = 0, esto es, si el punto fuese plano, entonces kn (v, p) = 0 para todo vector v ∈ Tp S, pues k1 (p) ≤ kn (v, p) ≤ k2 (p); en definitiva, todas las direcciones ser´ıan asint´oticas. Si por el contrario k1 (p) = k2 (p) 6= 0, no existir´ıan direcciones asint´oticas. Soluci´on al ejercicio 3.6. Como S es compacta, en particular est´a acotada. Luego existe r > 0 tal que S ⊂ S2 (r). Adem´as, si disminuimos el radio de la esfera de forma continua, existir´a un r0 > 0 de forma que S2 (r0 ) toca a la superficie en un punto p. Vamos a demostrar que p es el´ıptico. Como S y S2 (r0 ) se tocan en p, es sencillo ver que Tp S ≡ Tp S2 (r0 ). En efecto, si consideramos la funci´on f : S −→ R que da el cuadrado de la distancia al origen, f (p) = |p|2 , claramente d f p (v) = 2 hv, pi para todo v ∈ Tp S, y al ser p un m´aximo relativo de f , entonces 2 hv, pi = d f p (v) = 0 para todo v ∈ Tp S (v´ease la proposici´on 2.4.6). Luego p es ortogonal a Tp S. Pero, dado que p ∈ S2 (r0 ) y en la esfera el vector posici´on es siempre ortogonal al tangente, se deduce que el normal N(p) = ±p/|p| es el mismo para ambas superficies; o equivalentemente, que Tp S ≡ Tp S2 (r0 ). Sin p´erdida alguna de generalidad, elegimos el (com´un) vector normal N(p) ((apuntando)) hacia el interior. Dado v ∈ Tp S ≡ Tp S2 (r0 ), y siguiendo la notaci´on © ª de la secci´on 3.3.3, representamos por Πv = span v, N(p) , y por Cv1 = Πv ∩ S y Cv2 = Πv ∩ S2 (r0 ) las correspondientes secciones normales. Sean α1 : I −→ Cv1 y α2 : I −→ Cv2 parametrizaciones (por el arco) de dichas secciones normales, con α1 (0) = α2 (0) = p y α10 (0) = α20 (0) = v. Como S ⊂ S2 (r0 ), entonces α1 est´a por encima de α2 (proposici´on 1.2.11) y, en consecuencia, kα1 (0) ≥ kα2 (0). Adem´as, kα2 (0) = kn (v, p) = 1/r0 (kn medida en la esfera), mientras que kα1 (0) = kn (v, p) medida en S. En definitiva, llegamos a que, en la superficie, kn (v, p) ≥ 1/r0 . Como esto es v´alido para todo v ∈ Tp S, en particular k1 (p), k2 (p) ≥ 1/r0 y, por tanto, K(p) ≥ 1/r02 > 0: el punto es el´ıptico. Soluci´on al ejercicio 3.7. Si α (s) es una recta, k(s) = 0 para todo s ∈ I. Como k(s)2 = kg (s)2 + kn (s)2 (relaci´on (3.3)), en particular, kn (s) = 0 para todo s ∈ I. Luego ¡ ¢ ¡ ¢ las curvaturas principales verifican k1 α (s) ≤ kn (s) = 0 ≤ k2 α (s) en el punto α (s) y, por tanto, ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ K α (s) = k1 α (s) k2 α (s) ≤ 0. Supongamos ahora que α : I −→ S es una curva p.p.a. en S tal que Tα (s) S ≡ Π, ¢ ¢ ¡ ¡ es decir, el vector normal N α (s) ≡ constante. Entonces, dNα (s) α 0 (s) = 0, de donde se deduce que α 0 (s) es una direcci´on principal de Tα (s) S con valor propio 0. Por lo tanto, al menos una de las curvaturas principales se anula. En consecuencia, ¢ ¡ K α (s) = 0 y los puntos pueden ser parab´olicos o planos. 322

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Soluci´on al ejercicio 3.8. Sean q = (u, v) ∈ U y p = X(q). El hecho de que p sea hiperb´olico nos permite hablar de dos (´unicas) direcciones asint´oticas en p (v´ease el ejercicio 3.5). As´ı, las curvas coordenadas α (u) = X(u, v), β (v) = X(u, v) van a ser asint´oticas si, y s´olo si, α 0 (u) = Xu (u, v) y β 0 (v) = Xv (u, v) son direcciones asint´oticas en p (lo cual tiene sentido, como ya hemos dicho, por ser p hiperb´olico). Es decir, si, ¡ ¢ ¡ ¢ y s´olo si, II p Xu (q) = 0 y II p Xv (q) = 0. Obs´ervese adem´as que las coordenadas de los vectores Xu (q) y Xv (q) en funci´on de la base {Xu (q), Xv (q)} son (1, 0) y (0, 1), respectivamente, de donde se tiene que ¡ ¢ ¡ ¢ II p Xu (q) = e y II¡p Xv (q) = g. Luego Xu (q) y Xv (q) son direcciones asint´oticas ¢ ¡ ¢ si, y s´olo si, e = II p Xu (q) = 0 y g = II p Xv (q) = 0. Soluci´on al ejercicio 3.9. Podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que α est´a p.p.a. Como α es una curva asint´otica, entonces α 0 (s) es una direcci´on asint´otica para todo s ∈ I, es decir, ¢ ­ ¢® ­ ¡ ¢® ¡ ¡ 0 = kn α 0 (s), α (s) = α 00 (s), N α (s) = k(s) n(s), N α (s) . ¢® ­ ¡ ¢® ­ ¡ En particular, por ser k 6= 0, n(s), N α (s) = 0. Adem´as, t(s), N α (s) = 0, ¢ ¡ ¢ ¡ luego N α (s) = ±b(s) para todo s ∈ I. As´ı, ±τ (s)n(s) = ±b0 (s) = dNα (s) t(s) y, ¯ ¡ ¢¯2 tomando m´odulos, τ (s)2 = ¯dNα (s) t(s) ¯ . © ª Por otro lado, si e1 (s), e2 (s) es la base de direcciones principales en Tα (s) S para cada s ∈ I, podemos escribir α 0 (s) = t(s) = cos θ (s)e1 (s) + sen θ (s)e2 (s), y ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ dNα (s) t(s) = cos θ (s)dNα (s) e1 (s) + sen θ (s)dNα (s) e2 (s) = −k1 (s) cos θ (s)e1 (s) − k2 (s) sen θ (s)e2 (s), ¢ ¡ donde estamos abreviando ki (s) := ki α (s) . Luego ¯ ¡ ¢¯2 τ (s)2 = ¯dNα (s) t(s) ¯ = k1 (s)2 cos2 θ (s) + k2 (s)2 sen2 θ (s).

(C.1)

Adem´as, el hecho de que α 0 (s) sea una direcci´on asint´otica se traduce tambi´en en ® ­ 0 = Aα (s) t(s), t(s) = k1 (s) cos2 θ (s) + k2 (s) sen2 θ (s). Multiplicando esta relaci´on por k1 (s) + k2 (s) y utilizando (C.1), podemos concluir ¡ ¢ que τ (s)2 = −k1 (s)k2 (s) = −K α (s) . Soluci´on al ejercicio 3.10. α es l´ınea de curvatura si, y s´olo si, α 0 (t) es direcci´on principal para todo t ∈ I, es decir si, y s´olo si, α 0 (t) es un vector propio del operador forma o, equivalentemente, de dNα (t) ; en definitiva, α es l´ınea de curvatura si, y s´olo ¢ ¡ si, (N ◦ α )0 (t) = dNα (t) α 0 (t) = λ (t)α 0 (t) para todo t ∈ I. Obs´ervese que ¢ ® ¡ ­ dNα (t) α 0 (t) , α 0 (t) , λ (t) = ¯ ¯ ¯α 0 (t)¯2

por lo que λ : I −→ R es una funci´on diferenciable. 323

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Soluci´on al ejercicio 3.11. Supongamos en primer lugar que α es una l´ınea de curvatura de S2 . En tal caso, por ser tambi´en l´ınea de curvatura de S1 se tiene que ¡ ¡ ¢ ¢ d(N1 )α (t) α 0 (t) = λ1 (t)α 0 (t) y d(N2 )α (t) α 0 (t) = λ2 (t)α 0 (t). Entonces, ¢ ¡ ¢®0 ­ ¢® ­ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢® ­ ¡ N1 α (t) , N2 α (t) = d(N1 )α (t) α 0 (t) , N2 α (t) + N1 α (t) , d(N2 )α (t) α 0 (t) ­ ­ ¡ ¢® ¢ ¡ ® = λ1 (t) α 0 (t), N2 α (t) + λ2 (t) N1 α (t) , α 0 (t) = 0. ­ ¡ ¢ ¡ ¢® Por tanto, cos θ (t) = N1 α (t) , N2 α (t) es constante, y θ (t) tambi´en lo es. ­ ¡ ¢ ¡ ¢® Rec´ıprocamente, si θ (t) es constante, entonces N1 α (t) , N2 α (t) = cos θ (t) tambi´en es constante, por lo que su derivada se anula: ¡ ¡ ¢ ¡ ¢® ¢® ­ ¡ ¢ ­ d(N1 )α (t) α 0 (t) , N2 α (t) + N1 α (t) , d(N2 )α (t) α 0 (t) = 0. ¢ ¡ Como por hip´otesis, α es l´ınea de curvatura de S1 , d(N1 )α (t) α 0 (t) = λ1 (t)α 0 (t), y ¡ ­ ¡ ¢ ¢® sustituyendo en la identidad anterior obtenemos N1 α (t) , d(N2 )α (t) α 0 (t) = 0; ¡ 0 ¢ es decir, d(N2 )α (t) α (t) ∈ Tα (t) S1 . Por otro lado, al ser N2 unitario, se tiene que ¯ ¡ ¢ ¢¯2 ­ ¡ ¢® ¡ N2 α (t) , d(N2 )α (t) α 0 (t) = 0, sin m´as que derivar la expresi´on ¯N2 α (t) ¯ = 1. ¡ 0 ¢ En consecuencia, d(N2 )α (t) α (t) ∈ Tα (t) S2 . As´ı, ¡ ¢ d(N2 )α (t) α 0 (t) ∈ Tα (t) S1 ∩ Tα (t) S2 , para todo t ∈ I. ¡ ¢ ¡ ¢ Si Tα (t) S1 ≡ Tα (t) S2 para todo t ∈ I, entonces N1 α (t) ≡ N2 α (t) en todo t y, por tanto, ¡ ¡ ¢ ¢ d(N2 )α (t) α 0 (t) = d(N1 )α (t) α 0 (t) = λ1 (t)α 0 (t); luego α es l´ınea de curvatura de S2 . Si, por el contrario, los planos tangentes no coinciden, su intersecci´on Tα (t) S1 ∩ Tα (t) S2 es una recta, precisamente la generada por el vector tangente α 0 (t). Entonces ¡ © ¢ ª d(N2 )α (t) α 0 (t) ∈ Tα (t) S1 ∩ Tα (t) S2 = span α 0 (t) , ¢ ¡ lo cual implica que d(N2 )α (t) α 0 (t) = λ2 (t)α 0 (t); es decir, α es tambi´en una l´ınea de curvatura de S2 , tal y como se quer´ıa demostrar. Soluci´on al ejercicio 3.12. Consideremos la superficie de revoluci´on S generada por ¡ ¢ la curva α (v) = h(v), 0, ϕ (v) contenida en el plano y = 0, con h, ϕ : I −→ R, que suponemos p.p.a., y que no corta al eje z. Una parametrizaci´on de esta superficie es ¢ ¡ X(u, v) = h(v) cos u, h(v) sen u, ϕ (v) , donde h(v) > 0 y (u, v) ∈ (0, 2π ) × I. Es sencillo comprobar (v´ease el ejercicio 2.1) que los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales son E = h(v)2 , F = 0, G = h0 (v)2 + ϕ 0 (v)2 = 1 (pues α est´a p.p.a.) y e = −h(v)ϕ 0 (v), f = 0, g = h00 (v)ϕ 0 (v)−h0 (v)ϕ 00 (v), respectivamente. Por lo tanto ¤ ϕ 0 (v) £ 00 h00 (v) K=− h (v)ϕ 0 (v) − h0 (v)ϕ 00 (v) = − h(v) h(v) ya que (C.2) h0 (v)h00 (v) + ϕ 0 (v)ϕ 00 (v) = 0, 324

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sin m´as que derivar la relaci´on h0 (v)2 + ϕ 0 (v)2 = 1; adem´as, · ¸ ϕ 0 (v) 1 00 0 0 00 H= h (v)ϕ (v) − h (v)ϕ (v) − , 2 h(v) ϕ 0 (v) , k2 = h00 (v)ϕ 0 (v) − h0 (v)ϕ 00 (v). k1 = − h(v)

Los paralelos y los meridianos de S son las curvas coordenadas X(u, v0 ) y X(u0 , v), respectivamente. Luego e´ stas ser´an l´ıneas de curvatura de la superficie si, y s´olo si, Nu = λ (u)Xu y Nv = µ (v)Xv , para ciertas funciones diferenciables λ (u) y µ (v). Un ¢ ¡ r´apido c´alculo muestra que N = ϕ 0 (v) cos u, ϕ 0 (v) sen u, −h0 (v) , por lo que:

En el caso de los paralelos, como ¢ ϕ 0 (v) ¢ ϕ 0 (v) ¡ ¡ −h(v) sen u, h(v) cos u, 0 = Xu Nu = −ϕ 0 (v) sen u, ϕ 0 (v) cos u, 0 = h(v) h(v)

y h(v) > 0, la funci´on λ (u) = ϕ 0 (v)/h(v) (constante en u) es diferenciable, lo que demuestra que los paralelos son siempre l´ıneas de curvatura.

En el caso de los meridianos, Nv = µ (v)Xv , es decir, ¡ ¡ 00 ¢ ¢ ϕ (v) cos u, ϕ 00 (v) sen u, −h00 (v) = µ (v) h0 (v) cos u, h0 (v) sen u, ϕ 0 (v) , si, y s´olo si,

ϕ 00 (v) = µ (v)h0 (v)

y

− h00 (v) = µ (v)ϕ 0 (v).

(C.3)

Si en v ∈ I se tiene ϕ 0 (v) 6= 0, tomamos µ (v) = −h00 (v)/ϕ 0 (v), que verifica las dos igualdades en (C.3) sin m´as que utilizar (C.2). Si v0 ∈ I es tal que ϕ 0 (v0 ) = 0, entonces h0 (v0 ) 6= 0 (pues h0 (v0 )2 + ϕ 0 (v0 )2 = 1) y h00 (v0 ) = 0 (por (C.2)). En tal caso, tomamos µ (v0 ) = ϕ 00 (v0 )/h0 (v0 ), verific´andose de nuevo ambas relaciones en (C.3). La funci´on µ : I −→ R as´ı definida es diferenciable, y demuestra que los meridianos tambi´en son l´ıneas de curvatura. Obs´ervese que, una vez comprobado que los paralelos (respectivamente, los meridianos) son l´ıneas de curvatura, el hecho de que paralelos y meridianos de una superficie de revoluci´on se corten ortogonalmente (F = 0) implica autom´aticamente que los meridianos (respectivamente, paralelos) tambi´en lo son. Soluci´on al ejercicio 3.13. Para la implicaci´on directa v´ease la observaci´on 3.16. Supongamos ahora que F = f ≡ 0. La curva coordenada α (u) = X(u, v) (por ejemplo) es l´ınea de curvatura si, y s´olo si, (N ◦ α )0 (u) = λ (u)α 0 (u) para una funci´on escalar diferenciable λ ; es decir, si, y s´olo si, Nu (u, v) = λ (u)Xu (u, v). Como Nu (u, v) ∈ TX(u,v) S, podemos expresarlo en funci´on de la base, Nu (u, v) = a(u, v)Xu (u, v)+b(u, v)Xv (u, v). ¡ ¢ Adem´as, por ser F = hXu , Xv i = 0, es evidente que a(u, v) = hNu , Xu i /E (u, v) y ¡ ¢ b(u, v) = hNu , Xv i /G (u, v). En consecuencia, hNu , Xu i hNu , Xv i (u, v)Xu (u, v) + (u, v)Xv (u, v) E G hNu , Xu i hNu , Xu i f (u, v)Xu (u, v) − (u, v)Xv (u, v) = (u, v)Xu (u, v). = E G E

Nu (u, v) =

325

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Soluci´on al ejercicio 3.14. α es l´ınea de curvatura de S si, y s´olo si, existe una ¢ ¡ funci´on diferenciable λ : I −→ R tal que dNα (t) α 0 (t) = (N ◦ α )0 (t) = λ (t)α 0 (t), para todo t ∈ I, lo que, en forma matricial, se escribe como à ! à !à ! u0 (t) a11 a12 u0 (t) , = λ (t) v0 (t) a21 a22 v0 (t) donde los ai j vienen dados por (3.14). En definitiva, u0 (t), v0 (t) deben verificar f F − eG 0 gF − f G 0 u (t) + v (t) = λ (t)u0 (t) 2 EG − F EG − F 2 eF − f E 0 f F − gE 0 u (t) + v (t) = λ (t)v0 (t). EG − F 2 EG − F 2

Eliminando λ (t) de las ecuaciones anteriores, el sistema queda reducido a ( f E − eF)u0 (t)2 + (gE − eG)u0 (t)v0 (t) + (gF − f G)v0 (t)2 = 0, que no es m´as que el desarrollo del determinante (3.21). Soluci´on al ejercicio 3.15. Es sencillo comprobar que los coeficientes de la primera y la segunda formas fundamentales son E = (1 + u2 + v2 )2 , F = 0, G = (1 + u2 + v2 ) y e = 2, f = 0, g = −2, respectivamente. Luego K=

−4 , (1 + u2 + v2 )4

H = 0,

k1 =

−2 , (1 + u2 + v2 )2

k2 =

2 . (1 + u2 + v2 )2

Claramente, todos los puntos son hiperb´olicos y, por tanto, no existen puntos umbilicales. Por otro lado, como F = f = 0, las curvas coordenadas son l´ıneas de curvatura (v´ease el ejercicio 3.13); obs´ervese que son las u´ nicas, pues la superficie no tiene pun¡ ¢ tos umbilicales. Finalmente, α es una curva asint´otica si, y s´olo si, IIα (t) α 0 (t) = 0. ¡ 0 ¢ Si representamos por u (t), v0 (t) las coordenadas de α 0 (t) en la base {Xu , Xv }, esto se traduce en que ¡ ¢ 0 = IIα (t) α 0 (t) = u0 (t)2 e + 2u0 (t)v0 (t) f + v0 (t)2 g = 2u0 (t)2 − 2v0 (t)2 . Es sencillo ver que las soluciones de esta ecuaci´on diferencial son v(t) = u(t) + c1 y v(t) = −u(t) + c2 , con c1 , c2 ∈ R; las curvas asint´oticas son curvas de la forma X(u, u + c1 ) y X(u, −u + c2 ). Soluci´on al ejercicio 3.16. Tomamos X(u, v) = (u, v2 − u, v). Es sencillo ver que los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales son E = 2, F = −2v, √ G = 1 + 4v2 y e = 0, f = 0, g = −2/ 2 + 4v2 , respectivamente. Luego

K = 0,

H=

−2 , (2 + 4v2 )3/2

k1 =

−4 , (2 + 4v2 )3/2

k2 = 0.

Como k1 6= k2 siempre, todos los puntos son parab´olicos (luego no hay puntos um¢ ¡ bilicales ni planos). α es una curva asint´otica si, y s´olo si, IIα (t) α 0 (t) = 0. Si ¡ ¢ escribimos α 0 (t) = u0 (t), v0 (t) (en la base {Xu , Xv }), esto se traduce en que ¡ ¢ −2 v0 (t)2 . 0 = IIα (t) α 0 (t) = u0 (t)2 e + 2u0 (t)v0 (t) f + v0 (t)2 g = p 2 2 + 4v(t) 326

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La u´ nica soluci´on de esta ecuaci´on diferencial es v(t) = v0 constante. Luego las curvas asint´oticas son las curvas coordenadas X(u, v0 ) (obs´ervese que no hay m´as, pues todos los puntos son parab´olicos). Sabemos que α es una l´ınea de curvatura si, y s´olo si, satisface (3.21), lo que, en nuestro caso, se traduce en ¯ ¯ 0 2 ¯ v (t) −u0 (t)v0 (t) u0 (t)2 ¯¯ ¯ 4 ¯ −2v(t) 1 + 4v(t)2 ¯¯ = p 4v(t) 0=¯ 2 v0 (t)2 − p u0 (t)v0 (t). 2 2 ¯ ¯ 2 + 4v(t) 2 + 4v(t) √ −2 2 ¯ 0 ¯ 0 2+4v(t)

Las soluciones de esta ecuaci´on diferencial son, por un lado, v(t) = v0 constante y, por otro, las soluciones de la m´as sencilla v(t)v0 (t) − u0 (t) = 0: u(t) = v(t)2 /2 + c, con c ∈ R. As´ı pues, las l´ıneas de curvatura son las curvas coordenadas X(u, v0 ) y las curvas de la forma X(v2 /2 + c, v). Obs´ervese que α (t) = (t 2 , 0,t) no es m´as que α (t) = X(t 2 ,t). Consideremos el √ ¯ ¯ vector (unitario) vt = α 0 (t)/ ¯α 0 (t)¯ = (2t, 0, 1)/ 1 + 4t 2 . Sus coordenadas (vt1 , vt2 ) √ © ª respecto a la base Xu (t 2 ,t) = (1, −1, 0), Xv (t 2 ,t) = (0, 2t, 1) son vt1 = 2t/ 1 + 4t 2 √ y vt2 = 1/ 1 + 4t 2 . Luego la curvatura normal vale

¢ ¡ kn vt , α (t) = IIα (t) (vt ) = (vt1 )2 e + 2vt1 vt2 f + (vt2 )2 g =

−2 √ . 2 + 4t 2

(1 + 4t 2 )

Soluci´on al ejercicio 3.17. Como α (I) ⊂ R2 , su torsi´on se anula, τ (s) = 0, y b(s) es constante. Entonces, los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales ¢2 ¡ ¢ ¡ son E = 1 − rk(s) cos θ , F = 0, G = r2 y e = −k(s) cos θ 1 − rk(s) cos θ , f = 0, g = r, respectivamente. Luego

1 − 2rk(s) cos θ − cos θ k(s) −k(s) cos θ 1 ¢, H = ¡ ¢ , k1 = K= ¡ , k2 = . 1 − rk(s) θ r cos r 1 − rk(s) cos θ 2r 1 − rk(s) cos θ

Obs´ervese que K = 0 si, y s´olo si, o bien k(s) = 0, o θ = π /2, o´ θ = 3π /2. Luego:

Para todo s ∈ I tal que k(s) = 0, al ser k2 > 0, X(s, θ ) es un punto parab´olico.

An´alogamente, los puntos de las curvas X(s, π /2), X(s, 3π /2) son parab´olicos.

Si k(s) 6= 0 y π /2 < θ < 3π /2 (cos θ < 0), X(s, θ ) es un punto el´ıptico.

Si k(s) 6= 0 y θ < π /2 o θ > 3π /2 (cos θ > 0), X(s, θ ) es un punto hiperb´olico.

No hay puntos planos (k2 > 0) ni umbilicales, pues k1 6= k2 siempre. © ª Soluci´on al ejercicio 3.18. i) Al ser t(s), n(s), a una base ortonormal positiva¯ ¯ ¡ mente orientada de R3 , N = (Xs ∧ Xv )/ |Xs ∧ Xv | = t(s) ∧ a)/ ¯t(s) ∧ a¯ = −n(s). Es sencillo comprobar que los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales son E = 1, F = 0, G = 1 y e = −k(s), f = 0, g = 0, respectivamente. Luego K = 0, H = −k(s)/2, k1 = −k(s) y k2 = 0. As´ı, aquellos puntos X(s, v) para los que k(s) 6= 0 ser´an parab´olicos, mientras que si X(s, v) es tal que k(s) = 0, entonces el punto ser´a plano y, por tanto, umbilical. 327

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ii) Como N(s, v) = −n(s), entonces (N ◦ α )0 (s) = −n0 (s) = k(s)α 0 (s). Luego s´ı es l´ınea de curvatura. Sin embargo, α no es curva asint´otica, pues ® ­ ® ¢ ­ ¡ kn α 0 (s), α (s) = − (N ◦ α )0 (s), α 0 (s) = − k(s)α 0 (s), α 0 (s) = −k(s) 6≡ 0. iii) S es localmente isom´etrica al plano, pues existen parametrizaciones de ambas superficies con los mismos coeficientes de la primera forma fundamental: E = 1, F = 0, G = 1 (v´ease el ejemplo 2.18). Soluci´on al ejercicio 3.19. Si α es a la vez l´ınea de curvatura y curva asint´oti¢ ¡ ca, entonces dNα (s) α 0 (s) = λ (s)α 0 (s) para una cierta funci´on diferenciable λ (s) y ¡ 0 ¢ kn α (s), α (s) = 0. Por tanto, ® ­ ® ¢ ­ ¡ 0 = kn α 0 (s), α (s) = Aα (s) α 0 (s), α 0 (s) = − λ (s)α 0 (s), α 0 (s) = −λ (s) ¢ ¡ para todo s ∈ I, lo cual implica que (N ◦ α )0 (s) = dNα (s) α 0 (s) = 0. En definitiva, ¡ ¢ N α (s) ≡ constante, o equivalentemente, el plano tangente Tα (s) S ≡ Π es el mismo a lo largo de todos los puntos de la curva. Soluci´on al ejercicio 3.20. i) Sean {e1 , e2 } direcciones principales en Tp S (que son ­ ® ­ ® ­ ® ortogonales). Entonces dNp (e1 ), e2 = − k1 (p)e1 , e2 = 0 y e1 , dN p (e2 ) = 0. Si v es una direcci´on asint´otica, ­ ® dNp (v), v = −II p (v) = −kn (v, p) = 0. ii) Sean p ∈ S umbilical y v1 , v2 ∈ Tp S ortogonales. Como en un punto umbilical ­ ® ­ ® todas las direcciones son principales, dNp (v1 ), v2 = − k1 (p)v1 , v2 = 0 y, an´alo­ ® gamente, v1 , dN p (v2 ) = 0. iii) Al ser v1 = cos θ e1 + sen θ e2 y v2 = cos ϕ e1 + sen ϕ e2 vectores conjugados, se tiene que ® ­ ® ­ 0 = dNp (v1 ), v2 = − k1 (p) cos θ e1 − k2 (p) sen θ e2 , cos ϕ e1 + sen ϕ e2 = −k1 (p) cos θ cos ϕ − k2 (p) sen θ sen ϕ . Soluci´on al ejercicio 3.21. i) Los vectores tangentes tα y tN α son ortogonales si, y ¢ ¢® ¡ ¡ ­ s´olo si, 0 = α 0 (t), dNα (t) α 0 (t) = kn α 0 (t), α (t) , esto es, si, y s´olo si α es una curva asint´otica. Por otro lado, tα y tN α son colineales si, y s´olo si, existe λ (t) tal que ¢ ¡ dNα (t) α 0 (t) = λ (t)α 0 (t) (obs´ervese que la funci´on λ (t) es diferenciable), lo que equivale a que α sea una l´ınea de curvatura. ii) Si α es una l´ınea de curvatura, entonces existe una funci´on diferenciable λ (t) tal ¢ ¡ que (N ◦ α )0 (t) = dNα (t) α 0 (t) = λ (t)α 0 (t). Adem´as, como la curva no pasa por ning´un punto plano o parab´olico, λ (t) 6= 0 para todo t ∈ I. Por tanto, ¯ £ ¤¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯(N ◦ α )0 (t) ∧ (N ◦ α )00 (t)¯ ¯λ (t)α 0 (t) ∧ λ 0 (t)α 0 (t) + λ (t)α 00 (t) ¯ kN α (t) = = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯(N ◦ α )0 (t)¯3 ¯λ (t)¯3 ¯α 0 (t)¯3

kα (t) ¯. = ¯¯ λ (t)¯ 328

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­ ® Tan solo resta determinar la funci´on λ . Claramente, como (N ◦ α )(t), α 0 (t) = 0, ® ­ ® ­ derivando se tiene que (N ◦ α )0 (t), α 0 (t) + (N ◦ α )(t), α 00 (t) = 0, y por tanto, ­ ® ­ ® λ (t) = (N ◦ α )0 (t), α 0 (t) = − (N ◦ α )(t), α 00 (t) = −kn (t). iii) Para ver que N ◦ α es un circunferencia, basta demostrar que es una curva plana, ya que su traza est´a contenida en S2 . Como α es plana, existe a ∈ R3 constante tal ® ­ que α 0 (t), a ≡ 0. Adem´as, por ser l´ınea de curvatura, ® ­ ¡ ¢ ® ­ ® ­ (N ◦ α )0 (t), a = dNα (t) α 0 (t) , a = λ (t)α 0 (t), a = 0. Luego N ◦ α es una curva plana. iv) Fijada una base de direcciones principales {e1 , e2 } de Tp S, consideremos dos vectores ortogonales cualesquiera vθ , vθ +π /2 ∈ Tp S. Entonces kn (vθ , p) + kn (vθ +π /2 , p) = k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ ³ ³ π´ π´ + k1 (p) cos2 θ + + k2 (p) sen2 θ + 2 2 = k1 (p) + k2 (p),

constante (respecto al a´ ngulo θ , es decir, no depende de las direcciones elegidas en el plano tangente Tp S). Soluci´on al ejercicio 3.22. Aplicando la f´ormula de Euler (3.4), Z 2π 0

kn (θ ) d θ =

Z 2π £ 0

¤ k1 (p) cos2 θ + k2 (p) sen2 θ d θ = k1 (p)π + k2 (p)π = 2π H(p).

Soluci´on al ejercicio 3.23. i) Una parametrizaci´on del hiperboloide de una hoja es X(t, s) = (cost, sent, 0) + s(− sent, cost, 1) = (cost − s sent, sent + s cost, s), pues verifica que x2 + y2 − z2 = 1. Por tanto es reglada. La parametrizaci´on usual del cilindro demuestra que e´ sta es una superficie reglada: X(t, s) = (cost, sent, s) = (cost, sent, 0) + s(0, 0, 1). ¡ X(t, s) = (cost, sent, 1)+s(cost, sent, 1) = cost(1+s), sent(1+s), 1+s) es una parametrizaci´on para el cono, pues x2 + y2 = z2 , lo que prueba que es reglada. ii) Como β (t) ∈ S, existe una funci´on real s(t) tal que β (t) = α (t) + s(t)ω (t). As´ı, ® ­ ® ­ 0 = β 0 (t), ω 0 (t) = α 0 (t) + s0 (t)ω (t) + s(t)ω 0 (t), ω 0 (t) ¯ ¯2 ­ ® = α 0 (t), ω 0 (t) + s(t) ¯ω 0 (t)¯ y, al ser ω 0 (t) 6= 0,

­ 0 ® α (t), ω 0 (t) s(t) = − ¯ ¯ ¯ω 0 (t)¯2

es una funci´on diferenciable. Por tanto, la curva buscada es ­ 0 ® α (t), ω 0 (t) β (t) = α (t) − ¯ ω (t). ¯ ¯ω 0 (t)¯2 329

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® ­ ® ­ iii) Como β 0 (t), ω 0 (t) = 0 y ω (t), ω 0 (t) = 0, entonces ω 0 (t) es colineal al vector β 0 (t) ∧ ω (t) 6= 0, es decir, existe una funci´on (diferenciable) λ : R −→ R de forma que λ (t)ω 0 (t) = β 0 (t) ∧ ω (t). Un r´apido c´alculo muestra entonces que ¡ ¢ ¢ ¡ Xt ∧ Xs = β 0 (t) ∧ ω (t) + s ω 0 (t) ∧ ω (t) = λ (t)ω 0 (t) + s ω 0 (t) ∧ ω (t) . ¯p ¯ Luego |Xt ∧ Xs | = ¯ω 0 (t)¯ λ (t)2 + s2 . Respecto ap los coeficientes de la segunda for¯ ¯ ma fundamental, se obtiene que f = λ (t) ¯ω 0 (t)¯ / λ (t)2 + s2 y g = 0 (por lo que se ¡ ¢2 hace innecesario calcular e). As´ı pues, K = −λ (t)2 / λ (t)2 + s2 ≤ 0.

Si λ (t) 6= 0, entonces los puntos son hiperb´olicos.

Si λ (t) = 0 (y s 6= 0), los puntos ser´ıan parab´olicos o planos. Pero, ¿puede ¯2 ­ ® ¯ darse este caso? Obs´ervese que λ (t) = β 0 (t) ∧ ω (t), ω 0 (t) / ¯ω 0 (t)¯ = 0 si, ® ­ y s´olo si, β 0 (t) ∧ ω (t), ω 0 (t) = 0, lo cual es imposible ya que son vectores colineales (y no nulos). As´ı pues, todos los puntos son hiperb´olicos. Soluci´on al ejercicio 3.24. En una superficie reglada X(t, s) = α (t) + sω (t) el coeficiente g = 0. Entonces, K = 0 si, y s´olo si, f = 0. Un r´apido c´alculo muestra que ¢ ¡ det ω 0 (t), α 0 (t), ω (t) , f= |Xt ∧ Xs |

luego f = 0 (y por tanto K) si, y solo si, la superficie es desarrollable. Soluci´on al ejercicio 3.25. Como en una superficie reglada se verifica que Xss = 0, entonces hXs , Ns i = − hXss , Ni = 0. Por otro lado, À ¿ ® ¡ ¢ −1 ­ 0 Xt ∧ Xs hXt , Ns i = − hXts , Ni = − Xts , = ω (t), α 0 (t) + sω 0 (t) ∧ ω (t) |Xt ∧ Xs | |Xt ∧ Xs | ­ ® ¡ ¢ −1 −1 ω 0 (t), α 0 (t) ∧ ω (t) = det ω 0 (t), α 0 (t), ω (t) = 0. = |Xt ∧ Xs | |Xt ∧ Xs |

Obs´ervese que Ns (t, s) ∈ TX(t,s) S. Por tanto, al ser hXs , Ns i = hXt , Ns i = 0, se deduce que Ns (t, s) ≡ 0. Es decir, N(t, s) ≡ N(t) es constante respecto a s, o lo que es lo mismo, es constante a lo largo de los puntos (regulares) de una generatriz. Esto equivale a decir que el plano tangente es constante a lo largo de dichos puntos. Soluci´on al ejercicio 3.26. Si α es una l´ınea de curvatura de S, entonces existe una funci´on diferenciable λ (t) tal que (N ◦ α )0 (t) = λ (t)α 0 (t). En consecuencia, ¢ ¡ ¢ ¡ det α 0 (t), N(t), N 0 (t) = det α 0 (t), N(t), λ (t)α 0 (t) = 0, lo que demuestra que la superficie parametrizada X(t, s) es desarrollable. ¢ ¡ Rec´ıprocamente, supongamos que det α 0 (t), N(t), N 0 (t) = 0. Entonces se verifica, en particular, que N 0 (t) = λ (t)α 0 (t) + µ (t)N(t). Si demostramos que µ (t) ≡ 0, 330

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podremos concluir que α es una l´ınea de curvatura. Pero claramente, despejando µ (t) ® ­ ® ­ de la relaci´on anterior, µ (t) = N 0 (t), N(t) − λ (t) α 0 (t), N(t) = 0. Soluci´on al ejercicio 3.27. Sean q ∈ U y p = X(q) ∈ S1 , y tomemos B, B bases ortonormales de Tp S1 y Tφ (p) S2 , respectivamente. Por brevedad, representamos por MBB la matriz de la aplicaci´on lineal d φ p : Tp S1 −→ Tφ (p) S2 respecto a las bases ¡ ¢ ¡ ¢ B, B. Como X u (q) = d φ p Xu (q) y X v (q) = d φ p Xv (q) , si escribimos

Xu (q) = (u1 , u2 ), Xv (q) = (v1 , v2 )

respecto a la base B, y

X u (q) = (u1 , u2 ), X v (q) = (v1 , v2 ) respecto a la base B,

entonces (u1 , u2 )> = MBB (u1 , u2 )> y (v1 , v2 )> = MBB (v1 , v2 )> , de donde ! Ã ! Ã u1 v1 u1 v1 = det MBB det . det u2 v2 u2 v2

Adem´as, por ser B (respectivamente, B) una base ortonormal de Tp S1 (Tφ (p) S2 ), el conjunto {B, N1 } ({B, N2 }) es una base ortonormal de R3 , donde N1 y N2 representan los vectores normales a las superficies S1 y S2 , respectivamente. Entonces, es un sencillo c´alculo comprobar que ¯ à ¯ à !¯ !¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ u v u v ¯ ¯ 1 1 1 1 ¯X u (q) ∧ X v (q)¯ = ¯det ¯ y ¯Xu (q) ∧ Xv (q)¯ = ¯det ¯. ¯ ¯ u2 v2 ¯ u2 v2 ¯

Dado que det(d φ p ) = det MBB no depende de las bases B, B elegidas, el resultado queda probado.

Soluci´on al ejercicio 3.28. Dado p ∈ S, la diferencial dN p : Tp S −→ Tp S verifica det(dNp ) = K(p) 6= 0. Por tanto, dN p es un isomorfismo lineal para todo p ∈ S; en definitiva, la aplicaci´on de Gauss N es un difeomorfismo local. Tenemos que demostrar que es tambi´en un difeomorfismo global, para lo cual hay que probar que N es biyectiva, lo que haremos utilizando argumentos puramente topol´ogicos. En realidad, vamos a demostrar que N es una aplicaci´on recubridora;8 en tal caso, al ser N : S −→ S2 recubridora, S conexa y S2 simplemente conexa, podemos concluir finalmente que N es un homeomorfismo (v´ease [30]). Por un lado, como N es un difeomorfismo local, en particular es un homeomorfismo local, luego (localmente) lleva abiertos a abiertos. Dado que cualquier abierto es uni´on (arbitraria) de abiertos, podemos concluir que N es una aplicaci´on abierta. Por otro lado, al ser S compacta, N(S) es un compacto contenido en S2 que es Hausdorff; luego N es cerrada. As´ı, tenemos N : S −→ S2 abierta y cerrada, con S2 conexo, lo que implica que N(S) = S2 . En definitiva, N es sobreyectiva y, claramente N es continua. Por tanto, s´olo queda verificar la u´ ltima propiedad que define a una aplicaci´on recubridora, lo que demostraremos en dos pasos: 8

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua y sobreyectiva entre espacios topol´ogicos. Se dice que S f es recubridora si, para todo q ∈ Y , existe un entorno V (q) tal que f −1 (V ) = i∈I Ui , uni´on disjunta, con Ui ⊂ X tales que f |Ui : Ui −→ V es un homeomorfismo para todo i ∈ I.

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i) Veamos que N −1 (q) es un conjunto finito de puntos para todo q ∈ S2 . Supongamos, por reducci´on al absurdo, que {pn : n ∈ N} ⊂ N −1 (q), con pn 6= pm , para todo n 6= m. Tenemos por tanto una sucesi´on {pn }n∈N ⊂ S compacta, lo que implica la existencia de una subsucesi´on convergente. Podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que la propia sucesi´on {pn }n∈N es convergente, es decir, existe l´ımn→∞ pn = p ∈ N −1 (q) (ya que N −1 (q) es un cerrado). Entonces, para cualquier entorno U(p) ⊂ S, existe m ∈ N tal que pn ∈ U para todo n ≥ m; luego N(pn ) = N(p) = q para todo n ≥ m, lo que contradice el que N sea un difeomorfismo local. ii) Por (i), supongamos que N −1 (q) = {p1 , . . . , pn }. Como N es un difeomorfismo ei (pi ) ⊂ S mutuamente disjunlocal, para todo i = 1, . . . , n podemos encontrar U ej ∩U ek = 0/ para cualesquiera j 6= k, j, k ∈ {1, . . . , n}), de tos (es decir, tales que U ei −→ N(U ei ) = Vi es un homeomorfismo local. Sea entonces modo que N|Uei : U ¡ ¢−1 Tn V = i=1 Vi , que es un abierto en S2 , y sean Ui = N|Uei (V ), i = 1, . . . , n. Es sencillo verificar que los abiertos Ui ⊂ S son disjuntos, y cumplen, para N, la condici´on de aplicaci´on recubridora. Soluci´on al ejercicio 3.29. i) f es diferenciable por ser la restricci´on a S de una funci´on diferenciable en todo R3 . As´ı pues, sean p ∈ S, v ∈ Tp S y α : I −→ S una curva con condiciones iniciales α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces ¯ ¯ ¡ ¢® ­ ® d ¯¯ ­ d ¯¯ d f p (v) = ¯ ( f ◦ α )(t) = ¯ α (t) − p0 , N α (t) = p − p0 , dNp (v) . dt t=0 dt t=0

ii) Si p es el´ıptico o hiperb´olico, entonces K(p) = det(dN p ) 6= 0. Luego dN p es un isomorfismo lineal para todo p ∈ S. Ahora bien, d f p = 0 si, y s´olo si, ­ ® p − p0 , dN p (v) = 0 para todo v ∈ Tp S (ya que p 6= p0 por ser p0 6∈ S). Como dNp es un isomorfismo lineal, esto es equivalente a que hp − p0 , vi = 0 para todo v ∈ Tp S, es decir, a que la recta pp0 est´e en la direcci´on del vector normal N(p).

Soluci´on al ejercicio 3.30. i) La diferencial de ψλ0 : S −→ R3 es ¯ ¡ ¢ d ¯¯ d(ψλ0 ) p (v) = ¯ (ψλ0 ◦ α )(t) = α 0 (0) + λ0 dNα (0) α 0 (0) = v + λ0 dN p (v) dt t=0

= v − λ0 A p v, donde α : I −→ S es una curva en S con condiciones iniciales α (0) = p, α 0 (0) = v, para todo v ∈ Tp S. As´ı, d(ψλ0 ) p no ser´a inyectiva si, y s´olo si, existe v ∈ Tp S, v 6= 0, tal que d(ψλ0 ) p (v) = 0, es decir si, y s´olo si A p v = (1/λ0 )v. En definitiva, v debe ser un vector propio de A p , lo que equivale a que 1/λ0 = ki (p), para i = 1 o´ i = 2. Luego ¡ ¢ q ∈ ` p es un punto focal de S si, y s´olo si, q = p + 1/ki (p) N(p). Si p es hiperb´olico, k1 (p) < 0 y k2 (p) > 0 (y no nulas): hay dos puntos focales. Si p es parab´olico, k1 (p) = 0 y k2 (p) 6= 0: hay un u´ nico punto focal. 332

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Observaci´on. Si p es plano, no existen puntos focales en ` p , pues k1 (p) = k2 (p) = 0; si es el´ıptico, como k1 (p), k2 (p) tienen el mismo signo (positivo o negativo, pero nunca se anulan), podr´ıa haber dos puntos focales si k1 (p) 6= k2 (p), o s´olo uno si k1 (p) = k2 (p). ii) El lugar focal depende de la orientaci´on elegida en la superficie, pues al cambiar la orientaci´on las curvaturas principales cambian de signo.

Plano: el lugar focal es el vac´ıo, pues no hay puntos focales al ser todos los puntos planos (v´ease la observaci´on anterior). ¢ ¡ Esfera: si q es focal, q = p + 1/ki (p) N(p) = p − r(1/r)p = 0. El centro es el u´ nico punto focal.

Cilindro: consideremos la parametrizaci´on X(u, v) = (r cos u, r sen u, v) y un punto cualquiera p = (r cos u, r sen u, v). El normal es N(p) = (cos u, sen u, 0) y las curvaturas principales son k1 (p) = −1/r, k2 (p) = 0. Luego un punto focal es de la forma q = (r cos u, r sen u, v) − r(cos u, sen u, 0) = (0, 0, v). El lugar focal es el eje del cilindro. Soluci´on al ejercicio 3.31. Como F = 0, es sencillo calcular los s´ımbolos de Christoffel utilizando el sistema (3.16): Γ111 =

1 Ev 1 1 Ev 2 1 Gu 1 1 Gu 2 1 Gv 1 Eu 2 , Γ11 = − , Γ12 = , Γ12 = , Γ22 = − , Γ22 = . 2E 2G 2E 2 G 2 E 2 G

Sustituyendo estos valores en la ecuaci´on de Gauss (3.17) se obtiene i 1 h 2 2 EK = + E G ) + E(E G + G ) − 2EG(E + G ) . G(E u u v v vv uu v u 4EG2

Desarrollando por otro lado la expresi´on (3.22) es f´acil comprobar que se llega tambi´en a la f´ormula anterior. Soluci´on al ejercicio 3.32. La implicaci´on directa es evidente: Lab ( f

◦ α) =

Z b¯ a

Z b¯ Z b¯ ¯ ¯ ¡ ¢¯ ¯( f ◦ α )0 (t)¯ dt = ¯d fα (t) α 0 (t) ¯ dt = ¯α 0 (t)¯ dt = Lab (α ) a

a

para cualquier curva α : [a, b] −→ S. Rec´ıprocamente, si v ∈ Tp S, entonces existe una curva α : I −→ S con α (0) = p y α 0 (0) = v. Por hip´otesis, Lt−ε ( f ◦ α ) = Lt−ε (α ), o lo que es lo mismo, Z ¯ ¯( f ◦ α )0 (s)¯ ds =

Z t ¯

t

−ε

−ε

¯ 0 ¯ ¯α (s)¯ ds.

¯ ¯ ¯ ¯ Derivando obtenemos que ¯( f ◦ α )0 (t)¯ = ¯α 0 (t)¯ y, en particular, evaluando en t = 0, ¯ ¯ se tiene que ¯d f p (v)¯ = |v|. Luego f es una isometr´ıa local. Soluci´on al ejercicio 3.33. i) φ : Π −→ S es diferenciable pues la composici´on i ◦ φ : Π −→ R3 es la restricci´on al plano Π de la aplicaci´on Φ : R3 −→ R3 dada 333

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¡ ¢ por Φ(x, y, z) = x, y, f (x, y) , que es diferenciable en el sentido ordinario. Adem´as, la aplicaci´on inversa φ −1 no es m´as que la proyecci´on ortogonal sobre el plano z = 0, que es diferenciable. As´ı pues, φ es un difeomorfismo. ii) Sean p = (p1 , p2 , 0) ∈ Π, v = (v1 , v2 , 0) ∈ Tp Π ≡ Π y α : I −→ Π una curva de la ¡ ¢ forma α (t) = α1 (t), α2 (t), 0 , tal que α (0) = p y α 0 (0) = v. Entonces, ¯ ¡ ¢´ ¡ ¢ d ¯¯ ³ α1 (t), α2 (t), f α1 (t), α2 (t) = v1 , v2 , fx (p)v1 + fy (p)v2 . d φ p (v) = ¯ dt t=0

Un r´apido c´alculo muestra que ¯2 ¡ ¢2 ¯ v21 + v22 + fx (p)v1 + fy (p)v2 = ¯d φ p (v)¯ = |v|2 = v21 + v22 , para todo v ∈ Π, si, y s´olo si, fx (p) = fy (p) = 0. Luego φ ser´a isometr´ıa local si, y s´olo si, fx (p) = fy (p) = 0 para todo p ∈ Π, esto es, si, y s´olo si, f ≡ constante, lo que equivale a decir que S es un plano paralelo a Π. iii) No se puede asegurar. Si no se verificase fx (p) = fy (p) = 0, entonces podr´ıamos afirmar que la aplicaci´on φ no es una isometr´ıa local, pero esto no implica que no pueda existir otra isometr´ıa local entre Π y el grafo S. Soluci´on al ejercicio 3.34. Como las parametrizaciones son ortogonales, podemos calcular las curvaturas de Gauss utilizando la f´ormula (3.22): K = −1/(1+u2 )2 < 0 y K = 8/(1 + 4u2 )3 > 0. Al ser la primera estrictamente positiva siempre, y la segunda estrictamente negativa, el teorema Egregium de Gauss 3.8.1 nos asegura que nunca ¡ ¢ podr´a encontrarse una isometr´ıa φ : S −→ S de modo que K φ (p) = K(p).

Soluci´on al ejercicio 3.35. Por el teorema 3.7.4, es suficiente encontrar parametrizaciones del helicoide y el catenoide de forma que los coeficientes de la primera forma fundamental coincidan. Basta tomar la parametrizaci´on usual del catenoide (como superficie de revoluci´on), X(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sen u, av), y para el helicoide la dada por X(u, v) = (a senh v cos u, a senh v sen u, au) (que se obtiene sin m´as que efectuar el cambio de variable u = u y v = a senh v en la parametrizaci´on ya conocida Y (u, v) = (v cos u, v sen u, au), v´ease el ejemplo 2.20). Un r´apido c´alculo muestra que E = a2 cosh2 v = E, F = 0 = F y G = a2 cosh2 v = G.

Soluci´on al ejercicio 3.36. i) Obs´ervese que K = (eg − f 2 )/(EG − F 2 ) = −1; sin embargo, utilizando la ecuaci´on de Gauss (3.17) se obtiene K = 0, ya que todos los s´ımbolos de Christoffel se anulan. Luego no puede existir. ii) En este caso, K = (eg − f 2 )/(EG − F 2 ) = 1. Por el teorema de Bonnet 3.8.2 tenemos que comprobar si se verifican las ecuaciones de compatibilidad. Usando el sistema (3.16) obtenemos los s´ımbolos de Christoffel: Γ111 = Γ211 = Γ112 = Γ222 = 0, Γ212 = − tg u y Γ122 = cos u sen u. Es sencillo ver que se cumple la ecuaci´on de Gauss (3.17), as´ı como la primera ecuaci´on de Mainardi-Codazzi (3.18). Sin embargo, no sucede lo mismo con la segunda ecuaci´on de Mainardi-Codazzi (3.19): e´ sta se traduce en que (sen u/ cos u)(1 + cos4 u) = 0, lo cual no puede darse (para todo u). 334

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Soluci´on al ejercicio 3.37. Por ser las parametrizaciones X y X difeomorfismos, es claro que la aplicaci´on ϕ tambi´en es un difeomorfismo (local) entre superficies. Por tanto, s´olo resta demostrar que se trata de una aplicaci´on conforme. Consideremos p = X(u0 , v0 ) ∈ S y Xu (u0 , v0 ) ∈ Tp S. Entonces ¯ ¡ ¢ d ¯¯ d ϕ p Xu (u0 , v0 ) = (ϕ ◦ X)(u + u0 , v0 ) du ¯u=0 ¯ d ¯¯ = (X ◦ X −1 ◦ X)(u + u0 , v0 ) = X u (u0 , v0 ). du ¯u=0 ¡ ¢ An´alogamente, d ϕ p Xv (u0 , v0 ) = X v (u0 , v0 ). Por tanto (suprimimos el par (u0 , v0 ) por brevedad), ® ­ ® ­ d ϕ p (Xu ), d φ p (Xu ) = X u , X u = E = λ 2 E = λ 2 hXu , Xu i .

Utilizando F = λ 2 F y G = λ 2 G, se demuestra que ­ ® ® ­ d ϕ p (Xv ), d ϕ p (Xv ) = λ 2 hXv , Xv i . d ϕ p (Xu ), d ϕ p (Xv ) = λ 2 hXu , Xv i y

De estas tres igualdades, y por ser {Xu , Xv } una base, se deduce que ® ­ d ϕ p (v), d ϕ p (v) = λ 2 hv, vi para todo v ∈ Tp S; esto es, ϕ es una aplicaci´on conforme. Soluci´on al ejercicio 3.38. La composici´on X = φ ◦ X de la proyecci´on φ con la parametrizaci´on X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ) toma la forma µ ¶ 1 1 + cos θ X(θ , ϕ ) = ϕ , log ,0 . 2 1 − cos θ

Luego los coeficientes de su primera forma fundamental son E = 1/ sen2 θ , F = 0 y ¢ ¡ G = 1. El corolario 3.9.3 aplicado a la funci´on λ (p) = λ X(θ , ϕ ) = 1/ sen θ (que es diferenciable y nunca se anula, pues θ ∈ (0, π )) nos asegura que la proyecci´on de Mercator φ es una aplicaci´on conforme.

Soluci´on al ejercicio 3.39. Consideremos la parametrizaci´on X = N ◦ X de la esfera S2 . Utilizando la relaci´on (3.13) es sencillo ver que ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X u ∧ X v ¯ = ¯dNX(u,v) (Xu ) ∧ dNX(u,v) (Xv )¯ = |K| |Xu ∧ Xv | . ¯ ¯ Supongamos que existe un punto p ∈ S tal que K(p) 6= ±1, es decir, ¯K(p)¯ 6= 1. ¯ ¯ Podemos suponer, por ejemplo, que ¯K(p)¯ > 1. Entonces, existe un entorno V (p) ¯ ¯ ¢ −1 ¡ N(V ) . Como, por donde ¯K(q)¯ > 1 para todo q ∈ V . Claramente, X −1 (V ) = X ¡ ¢ hip´otesis, N es una aplicaci´on isoareal, A(V ) = A N(V ) , y por tanto, Z Z Z ¯ ¯ ¯X u ∧ X v ¯ dudv = |K| |Xu ∧ Xv | dudv |Xu ∧ Xv | dudv = −1 X

X −1 (V )

Z

>

(N(V ))

X −1 (V )

|Xu ∧ Xv | dudv,

una contradicci´on. Luego K ≡ ±1. 335

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X −1 (V )

Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Soluci´on al ejercicio 3.40. i) Supongamos primero que φ es isoareal y que existe p = X(θ0 , ϕ0 ) ∈ S2 con (E G − F 2 )(θ0 , ϕ0 ) 6= sen2 θ0 = (EG − F 2 )(θ0 , ϕ0 ).

Podemos suponer, por ejemplo, que (E G − F 2 )(θ0 , ϕ0 ) > sen2 θ0 . Entonces, existe un entorno V (p) donde (E G − F 2 )(θ , ϕ ) > sen2 θ , para todo X(θ , ϕ ) ∈ V . Claramente, ¢ ¡ ¢ −1 ¡ X −1 (V ) = X φ (V ) . Como φ es isoareal, A(V ) = A φ (V ) , y por tanto, Z Z Z p 2 2 E G − F dθ dϕ > sen θ d θ d ϕ = −1 sen2 θ d θ d ϕ , X

X −1 (V )

X −1 (V )

(φ (V ))

una contradicci´on. Luego E G − F 2 = sen2 θ .

Rec´ıprocamente, si E G− F 2 = sen2 θ = EG−F 2 , entonces, para cualquier regi´on ¢ ¡ ¢ ¡ R ⊂ X U = (0, π ) × (0, 2π ) , es evidente que A(R) = A φ (R) .

ii) La composici´on X = φ ◦ X de la proyecci´on φ con la parametrizaci´on dada por las coordenadas geogr´aficas X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ) toma la forma X(θ , ϕ ) = (ϕ , cos θ , 0). As´ı pues, los coeficientes de su primera forma fundamental son E = sen2 θ , F = 0 y G = 1, de donde E G − F 2 = sen2 θ . El apartado i) nos asegura que la proyecci´on de Lambert φ es una aplicaci´on isoareal.

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAP´ITULO IV Soluci´on al ejercicio 4.1. Para la parametrizaci´on de la esfera en coordenadas geogr´aficas, X(θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ), con U = (0, π )×(0, 2π ), los coeficientes de la primera forma fundamental son E = 1, F = 0, G = sen2 θ ; luego Z

ZZ

S2

f dA =

U

Z p ( f ◦X)(θ , ϕ ) EG − F 2 (θ , ϕ ) d θ d ϕ =

2πZ π

0

0

cos θ sen θ d θ d ϕ = 0.

Soluci´on al ejercicio 4.2. Un sencillo c´alculo muestra que los coeficientes de la primera forma fundamental de X son E = 1 + 4u2 , F = 0 y G = u2 . Luego Z √ S

1 + 4z dA =

ZZ p U

1 + 4u2

Z p 2 EG − F dudv =

0

2π Z 1 0

u(1 + 4u2 ) dudv = 3π .

Soluci´on al ejercicio 4.3. Considerando la parametrizaci´on del catenoide dada por X(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sen u, av), un r´apido c´alculo muestra que F = 0 y E = G = a2 cosh2 v; luego es isoterma. Adem´as Xuu + Xvv = 0, lo que demuestra que es una superficie minimal. Para el helicoide, tomamos X(u, v) = (a senh v cos u, a senh v sen u, au), que es isoterma (F = 0, E = G = a2 cosh2 v) y verifica Xuu + Xvv = 0. Luego es minimal. Parametrizamos la primera superficie de Scherk de la forma natural mediante ¡ ¢ X(u, v) = u, v, log(cos v/ cos u) . En este caso la parametrizaci´on no es isoterma. Calculando entonces su curvatura media se obtiene H = 0. 336

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En el caso de la segunda superficie de Scherk, los c´alculos son mucho m´as labo¡ ¢ riosos. La parametrizaci´on X(u, v) = u, v, arc sen(senh u senh v) no es isoterma, y el c´omputo de H se complica en extremo. Como estamos viendo la superficie como el grafo de la funci´on diferenciable f (u, v) = arc sen(senh u senh v), entonces, S es minimal si, y s´olo si, f verifica la ecuaci´on de Euler-Lagrange (4.6). No es dif´ıcil ver que, en efecto, esta relaci´on se satisface. En el caso de la superficie de Enneper, la parametrizaci´on X(u, v) es isoterma (E = G = (1 + u2 + v2 )2 , F = 0) y verifica Xuu + Xvv = 0. Luego es minimal. Soluci´on al ejercicio 4.4. i) Una curva de nivel de f es una l´ınea recta si, y s´olo si, su curvatura k = 0, es decir, si, y s´olo si, − fxx fy2 + 2 fxy fx fy − fyy fx2 = 0. Dado que f verifica (4.6), es decir, fxx (1 + fy2 ) − 2 fxy fx fy + fyy (1 + fx2 ) = 0, la relaci´on anterior es equivalente a fxx + fyy = 0. Por tanto, una curva de nivel de f es una l´ınea recta si, y s´olo si, f es arm´onica. ii) Las derivadas parciales primeras y segundas de f son y − y0 x − x0 fx = −a , fy = a , 2 2 (x − x0 ) + (y − y0 ) (x − x0 )2 + (y − y0 )2

(x − x0 )(y − y0 ) (x − x0 )(y − y0 ) fxx = 2a ¡ ¢2 , fyy = −2a ¡ ¢2 , (x − x0 )2 + (y − y0 )2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2

(y − y0 )2 − (x − x0 )2 fxy = a ¡ ¢2 , (x − x0 )2 + (y − y0 )2

lo que permite comprobar que ∆ f = fxx + fyy = 0 y que f verifica (4.6). El apartado i) y el correspondiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales demuestra el resultado. Soluci´on al ejercicio 4.5. Como S es compacta, existe al menos un punto el´ıptico p (v´ease el ejercicio 3.6). Luego K(p) = k1 (p)k2 (p) > 0, de donde se deduce que ¡ ¢ H(p) = k1 (p) + k2 (p) /2 6= 0 (ambas curvaturas principales tienen igual signo). Soluci´on al ejercicio 4.6. Si S es minimal, entonces H(p) = 0, y por tanto, las curvaturas principales verifican k2 (p) = −k1 (p). Luego K(p) = k1 (p)k2 (p) ≤ 0. Si K(p) = 0 entonces p es parab´olico o plano. En el primer caso, tendr´ıamos k1 (p) = 0 y k2 (p) 6= 0 (por ejemplo) y, en consecuencia H(p) = k2 (p)/2 6= 0: S no ser´ıa minimal. En definitiva, si K(p) = 0 entonces el punto p es plano. Una superficie minimal s´olo tiene puntos hiperb´olicos o planos. Soluci´on al ejercicio 4.7. No. Basta considerar el plano (minimal) y el cilindro (no minimal), que son superficies localmente isom´etricas. La curvatura media no se conserva por isometr´ıas locales. 337

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Soluci´on al ejercicio 4.8. Como las curvas coordenadas son l´ıneas de curvatura, entonces f = 0 (v´ease el ejercicio 3.13). Las ecuaciones de Mainardi-Codazzi en el caso particular en que F = f = 0 se traducen en (ejemplo 3.22) ev = Ev H y gu = Gu H. Por ser e, g constantes, tenemos Ev H = 0 y Gu H = 0, pudi´endose distinguir dos casos:

si H = 0 en todo punto entonces X(U) es minimal;

si existe un punto p ∈ X(U) tal que H(p) 6= 0, podemos encontrar un entorno V (p) ⊂ X(U) con H(q) 6= 0 para todo q ∈ V . Entonces, ambos Ev = Gu = 0 en dicho entorno, de donde se deduce, utilizando la f´ormula (3.22) para la curvatura de Gauss en una parametrizaci´on ortogonal, que K = 0 en V ; el teorema de Minding 5.3.11 nos asegura entonces que V es isom´etrico al plano (superficie regular con K = 0). Soluci´on al ejercicio 4.9. Sabemos que III p = 2H(p)II p − K(p)I p (ejercicio 3.2). Si S es minimal, H(p) = 0 para todo p ∈ S, por lo que III p = −K(p)I p . Rec´ıprocamente, supongamos que existe una funci´on diferenciable λ : S −→ R tal que III p = λ (p)I p , para todo p ∈ S. Entonces, ¢ ¡ 2H(p)II p = III p + K(p)I p = λ (p) + K(p) I p . ¢ ¡ ¢ ¡ Supongamos que H(p) 6= 0. En tal caso, escribiendo c(p) = λ (p)+K(p) / 2H(p) , se tendr´ıa II p = c(p)I p , o lo que es lo mismo, hA p v, wi = c(p) hv, wi, para cuales­ ® quiera v, w ∈ Tp S. En consecuencia, A p v − c(p)v, w = 0 para todo w ∈ Tp S y todo v ∈ Tp S, es decir, A p v − c(p)v = 0 para cualquier v ∈ Tp S. As´ı pues, Ã ! c(p) 0 A p = c(p)1Tp S ≡ , 0 c(p) y p ser´ıa un punto umbilical, lo que contradice nuestra hip´otesis. Soluci´on al ejercicio 4.10. Consideremos la parametrizaci´on usual del catenoide X(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v), con U = (0, 2π ) × R. Obs´ervese que X cubre todo el catenoide excepto el meridiano u = 0. Un r´apido c´alculo muestra que

−→

2 ¶ µS senh v cos u sen u (u, v) ; cosh v , cosh v , − cosh v . ¢ ¡ Vamos a demostrar que (N ◦ X) (0, 2π ) × R = S2 \M, donde M representa el me© ª ridiano M = (x, y, z) ∈ S2 : y = 0, x ≥ 0 . Para ello, consideramos las coordenadas geogr´aficas en la esfera,9 Y (θ , ϕ ) = (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ), donde, recorde¡ ¢ mos, (θ , ϕ ) ∈ (0, π ) × (0, 2π ). Claramente, Y (0, π ) × (0, 2π ) = S2 \M, por lo que tenemos que probar que ¢ ¡ ¢ ¡ (N ◦ X) (0, 2π ) × R = Y (0, π ) × (0, 2π ) .

N ◦ X : (0, 2π ) × R

9

Esto no es necesario; el resultado puede demostrarse igualmente utilizando coordenadas cartesianas, pero los c´alculos son m´as laboriosos.

338

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¡ ¢ As´ı, fijado un punto (sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ ) ∈ Y (0, π ) × (0, 2π ) , vamos a ¡ ¢ ver que existe un u´ nico par u(θ , ϕ ), v(θ , ϕ ) tal que ¶ µ ¡ ¢ senh v cos u sen u , ,− = sen θ cos ϕ , sen θ sen ϕ , cos θ (C.4) cosh v cosh v cosh v

(por brevedad, escribimos simplemente u = u(θ , ϕ ), v = v(θ , ϕ )). Es evidente que v = arc tgh(− cos θ ) de modo u´ nico, pues θ ∈ (0, π ) y tgh v es un difeomorfismo. Adem´as, como − senh v = cosh v cos θ , entonces cosh2 v cos2 θ = senh2 v, o equivalentemente, cosh2 v sen2 θ = 1. Obs´ervese que θ ∈ (0, π ), por lo que sen θ > 0, y al ser cosh v > 0 siempre, se tiene que cosh v sen θ = 1. Igualando ahora las dos primeras coordenadas en (C.4) y usando esta expresi´on, obtenemos que ( cos u = cosh v sen θ cos ϕ = cos ϕ , sen u = cosh v sen θ sen ϕ = sen ϕ simult´aneamente, y dado que ambos u, ϕ ∈ (0, 2π ) podemos concluir que u = ϕ . ¢ ¡ An´alogamente, fijado (1/ cosh v)(cos u, sen u, − senh v) ∈ (N ◦ X) (0, 2π ) × R , en¢ ¡ tonces el par θ (u, v) = arc cos(− tgh v), ϕ (u, v) = u verificando (C.4) queda determinado de modo u´ nico. ¢ ¡ Tomando ahora X(u, v) = cosh v cos(u + π ), cosh v sen(u + π ), v como parametrizaci´on del catenoide, con U = (0, 2π ) × R, se demuestra de forma an´aloga que ¡ ¢ © ª (N ◦ X) (0, 2π ) × R = S2 \M, donde M = (x, y, z) ∈ S2 : y = 0, x ≤ 0 .

Dado que las parametrizaciones X y X cubren todo el catenoide, su imagen esf´erica es S2 \(M ∩ M) = S2 \{N, S}.

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAP´ITULO V ­ ® Soluci´on al ejercicio 5.1. Como V,V = 1, entonces ¿ À ¿ À ­ 0 ® DV DV 0 ⊥ 0 = V ,V = + (V ) ,V = ,V . dt dt

Luego (DV /dt) ⊥ V . Dado que, adem´as, (DV /dt) ⊥ N, podemos concluir que DV /dt est´a en la direcci´on de N ∧ V , lo que demuestra la existencia de una funci´on diferenciable λ tal que DV /dt = λ (N ∧ V ). Finalmente obs´ervese que, si V = α 0 , en­ ® ­ ® tonces λ (s) = (Dα 0 /ds)(s), N(s) ∧ α 0 (s) = α 00 (s), N(s) ∧ α 0 (s) = kg (s), ya que ¯ ¯ ¯N(s) ∧ α 0 (s)¯ = 1 por estar α p.p.a. Soluci´on al ejercicio 5.2. Como hV,W i = 0 y V es paralelo, entonces ¿ À ¿ À ¿ À DV DW DW 0= ,W + V, = V, . dt dt dt

Por otro lado, al ser |W | = 1 se tiene que hDW /dt,W i = 0. As´ı pues, (DW /dt)(t) es © ª ortogonal a V (t) y W (t) para todo t. Como V (t),W (t) es una base (ortonormal) del tangente, esto implica que (DW /dt)(t) = 0 para todo t; es decir, W es paralelo. 339

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Observaci´on. Obs´ervese que, para que un campo sea paralelo, necesariamente debe tener m´odulo constante. Soluci´on al ejercicio 5.3. Consideremos como S1 = S2 la esfera (unidad) centrada en el origen de coordenadas y como S2 = Π el plano z = 0, que pasa por su ecuador. Sea α = (cost, sent, 0) la curva dada por el ecuador de la esfera, que est´a contenida en S1 ∩ S2 , y sea V = α 0 su campo velocidad. Claramente V es un campo paralelo en la esfera (v´ease el ejemplo 5.3), pero no lo es en el plano: en efecto, si representamos por NΠ (t) = (0, 0, 1) el vector normal al plano Π, entonces

­ ® Dα 0 (t) = α 00 (t) − α 00 (t), NΠ (t) NΠ (t) = α 00 (t) = (− cost, − sent, 0) 6= 0. dt Observaci´on. La proposici´on 5.1.10 asegura que el transporte paralelo es independiente de la superficie, pero siempre y cuando e´ stas sean tangentes; en nuestro caso, u´ nicamente se cortan. Soluci´on al ejercicio 5.4. Si expresamos el campo V de la forma ¡ ¢ ¡ ¢ V (t) = a(t)Xu u(t), v(t) + b(t)Xv u(t), v(t) ,

(C.5)

para una cierta parametrizaci´on (U, X) de S1 , entonces la composici´on X = φ ◦ X es una parametrizaci´on de S2 y es claro que ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ d φα (t) V (t) = a(t)d φα (t) Xu (t) + b(t)d φα (t) Xv (t) = a(t)X u (t) + b(t)X v (t), ¡ ¢ donde estamos escribiendo, por brevedad, Xu (t) = Xu u(t), v(t) , y an´alogamente pa¡ ¢ ra los dem´as funcionales. As´ı pues, d φα (·) V (·) es un campo paralelo si, y s´olo si, verifica las ecuaciones   a0 + au0 Γ1 + (av0 + bu0 )Γ1 + bv0 Γ1 = 0, 11 12 22  b0 + au0 Γ2 + (av0 + bu0 )Γ2 + bv0 Γ2 = 0, 11

12

22

donde con Γkij estamos representando los s´ımbolos de Christoffel asociados a la parametrizaci´on X. Ahora bien, por ser φ una isometr´ıa local, los s´ımbolos de Christoffel de X y X coinciden, Γkij = Γkij . Luego el sistema de ecuaciones diferenciales anterior es, precisamente, el correspondiente al campo V para la parametrizaci´on original X (v´ease (C.5)), que se verifica por ser V paralelo.

Soluci´on al ejercicio 5.5. i) Es un r´apido c´alculo demostrar que ¸> · · ¸ · ¸ Dγ 0 > D(Jγ 0 ) d(Jγ 0 ) > d 0 0 0 = = (N ∧ γ ) = (N ∧ γ ) + N ∧ dt dt dt dt · µ 0¶ ³ Dγ 0 ´¸> Dγ = (N 0 ∧ γ 0 ) + J =J , dt dt

pues al ser N 0 (s), γ 0 (s) ∈ Tγ (s) S para todo s ∈ I, el producto vectorial N 0 ∧ γ 0 se encuentra en la direcci´on del normal a la superficie, por lo que (N 0 ∧ γ 0 )> = 0. 340

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ii) La implicaci´on directa es evidente por ser V , γ 0 paralelos (proposici´on 5.1.5). Para demostrar el rec´ıproco, obs´ervese, por un lado, que hV, γ 0 i ≡ constante, ya que ¡ ¢ a´ ng(γ 0 ,V ) = hV, γ 0 i / |V | |γ 0 | lo es por hip´otesis, as´ı como |V | y |γ 0 |. Derivando, À ¿ À ¿ À ¿ Dγ 0 DV 0 DV 0 0= , γ + V, = ,γ . dt dt dt ª © Por otro lado, γ 0 (s), Jγ 0 (s) es una base del plano tangente Tγ (s) S, para todo s ∈ I; as´ı pues, como a´ ng(γ 0 ,V ) es constante, a´ ng(Jγ 0 ,V ) tambi´en lo es, de donde se deduce que hV, Jγ 0 i ≡ constante. Derivando ahora esta expresi´on y utilizando el apartado i), ¿ À ¿ À ¿ ³ 0 ´À ¿ À À ¿ DV D(Jγ 0 ) Dγ DV DV 0 0 0 0= , Jγ + V, = , Jγ + V, J = , Jγ . dt dt dt dt dt

En consecuencia, por ser hDV /dt, γ 0 i = hDV /dt, Jγ 0 i = 0 y dado que {γ 0 , Jγ 0 } es una base, se tiene que DV /dt ≡ 0, es decir, V es paralelo. Soluci´on al ejercicio 5.6. i) Por ser α una geod´esica (que suponemos p.p.a.), los vectores N y n son colineales; luego N(s) = ±n(s) para todo s, ya que ambos son unitarios. Como α es adem´as una l´ınea de curvatura, existe una funci´on diferenciable λ tal que N 0 (s) = λ (s)α 0 (s) para todo s. As´ı pues, ¤ £ λ (s)t(s) = λ (s)α 0 (s) = N 0 (s) = ±n0 (s) = ± −k(s)t(s) − τ (s)b(s) , de donde se deduce que τ (s) = 0 para todo s. Por tanto, α es una curva plana. ii) Como α es una geod´esica (que suponemos p.p.a.), N(s) = ±n(s) para todo s. En¤ £ tonces, N 0 (s) = ±n0 (s) = ± −k(s)t(s) − τ (s)b(s) . Al ser α una curva plana, τ ≡ 0, y por tanto, N 0 (s) = ∓k(s)t(s); esto demuestra que α es l´ınea de curvatura. iii) Cualquier paralelo de una esfera distinto del ecuador es una l´ınea de curvatura plana; sin embargo, no es una geod´esica. Soluci´on al ejercicio 5.7. Sean p ∈ S y v ∈ Tp S, y consideremos la geod´esica maximal γv : Iv −→ S con γv (0) = p y γv0 (0) = v. Como por hip´otesis γv es una curva plana, el ejercicio 5.6 ii) nos asegura que γv es, adem´as, una l´ınea de curvatura de S y, en consecuencia, γv0 (t) es direcci´on principal en γv (t), para todo t ∈ Iv . En particular, v = γv0 (0) es una direcci´on principal en p = γv (0). Como esto se verifica para todo vector v ∈ Tp S, podemos afirmar que p es un punto umbilical de S. Hemos demostrado que cualquier p ∈ S es umbilical; por ser S conexa, el teorema 3.4.7 permite concluir que S es un trozo de esfera o un trozo de plano. Soluci´on al ejercicio 5.8. Cualquier recta es trivialmente una geod´esica y una curva asint´otica. Demostremos por tanto la implicaci´on directa. Si γ es curva asint´otica, ¢ ¡ kn (t) = kn γ 0 (t), γ (t) = 0, para todo t ∈ I, y por ser geod´esica, kg (t) = 0. En consecuencia, k(t)2 = kg (t)2 + kn (t)2 = 0, es decir, γ es un segmento de recta. Soluci´on al ejercicio 5.9. Como α (I) ⊂ Π ≡ Tα (t) S, para todo t ∈ I, entonces el ¡ ¢ vector normal n(t) ∈ Π, lo cual implica que n(t) ⊥ N α (t) , para todo t ∈ I. Luego α nunca ser´a una geod´esica, a no ser, claro est´a, que α sea una recta. 341

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Soluci´on al ejercicio 5.10. Consideremos la superficie de revoluci´on S generada ¡ ¢ por la rotaci´on de la curva α (v) = f (v), 0, g(v) (que suponemos p.p.a.), f (v) > 0, ¡ ¢ alrededor del eje z, y sea X(u, v) = f (v) cos u, f (v) sen u, g(v) una parametrizaci´on de la misma. En tal caso, E = f (v)2 , F = 0 y G = f 0 (v)2 + g0 (v)2 = 1. Un r´apido c´alculo permite obtener los s´ımbolos de Christoffel, Γ111 = Γ212 = Γ122 = Γ222 = 0,

Γ211 = − f (v) f 0 (v),

Γ112 =

por lo que las ecuaciones de las geod´esicas (5.9) se traducen en  0   u00 + 2u0 v0 f (v) = 0, f (v)   v00 − (u0 )2 f (v) f 0 (v) = 0.

f 0 (v) , f (v)

(C.6)

i) Los meridianos de la superficie de revoluci´on S son de la forma u = u0 constante. ¡ ¢ As´ı, si γe(s) = u0 , v(s) es la expresi´on en coordenadas de un meridiano, la primera ecuaci´on en (C.6) se verifica trivialmente. La segunda se reduce a v00 (s) = 0, es ¢ ¡ decir, v(s) = cs + v0 , con c 6= 0. Por lo tanto, los meridianos γ (s) = X u0 , v(s) son geod´esicas (siempre y cuando est´en parametrizados con velocidad constante). ii) Los paralelos de la superficie de revoluci´on son de la forma v = v0 constante. Si ¡ ¢ γe(s) = u(s), v0 es la expresi´on en coordenadas de un paralelo, la primera ecuaci´on en (C.6) se escribe u00 (s) = 0, es decir, u(s) = cs + u0 , c 6= 0; esto nos dice de nuevo que la curva debe estar parametrizada con velocidad constante. La segunda ecuaci´on, por el contrario, no se reduce a una expresi´on trivial, obteni´endose que −u0 (s)2 f (v0 ) f 0 (v0 ) = 0, de donde −c2 f (v0 ) f 0 (v0 ) = 0. Como c2 , f (v0 ) > 0, entonces f 0 (v0 ) = 0. As´ı pues, un paralelo es geod´esica cuando f 0 (v0 ) = 0, es decir, si en el punto α (v0 ) que genera dicho paralelo, la recta tangente a la curva α (v) es paralela al eje de revoluci´on. iii) Vamos a calcular finalmente todas las geod´esicas de una superficie de revoluci´on. ¡ ¢ Sea γe(s) = u(s), v(s) la expresi´on en coordenadas de una geod´esica p.p.a. que no es ni un meridiano ni un paralelo (luego u0 (s), v0 (s) no se anulan). Para mayor brevedad, suprimiremos el par´ametro s de las f´ormulas que siguen. Es sencillo comprobar que ¡ ¢0 la primera ecuaci´on de (C.6) se verifica si, y s´olo si, f (v)2 u0 = 0, es decir si, y s´olo si, f (v)2 u0 = c 6= 0 constante. Como γ est´a p.p.a., 1 = (u0 )2 E + 2u0 v0 F + (v0 )2 G = (u0 )2 f (v)2 + (v0 )2 ,

(C.7)

y utilizando la relaci´on f (v)2 u0 = c se tiene que 1 − c2 / f (v)2 = (v0 )2 . Derivando esta expresi´on respecto a s obtenemos c2 f 0 (v)/ f (v)3 = v00 , y utilizando de nuevo que f (v)2 u0 = c, deducimos que v00 = f (v) f 0 (v)(u0 )2 , es decir, la segunda ecuaci´on en el sistema (C.6). Esto demuestra que ambas relaciones son equivalentes. Por otro lado, al ser u0 6= 0, podemos considerar su inversa s(u), y expresar entonces v = v(u) como una funci´on de u. Multiplicando (C.7) por s0 (u)2 y simplificando se llega a que s0 (u)2 = f (v)2 + v0 (u)2 . Ahora bien, dado que f (v)2 u0 (s) = c, es evidente 342

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que s0 (u) = f (v)2 /c, plo cual, unido a la expresi´on anterior, permite deducir finalmen0 te que v (u) = f (v) f (v)2 − c2 /c (obs´ervese que f (v)2 − c2 6= 0 pues v0 (u) 6= 0). La soluci´on de esta ecuaci´on diferencial nos dice cu´ales son todas las geod´esicas de la superficie de revoluci´on generada por la rotaci´on de la curva α (v), distintas de los ¡ ¢ meridianos y los paralelos: γ (v) = X u(v), v , donde Z

u(v) = c

1 p dv + constante. f (v) f (v)2 − c2

Soluci´on al ejercicio 5.11. Los paralelos m´aximo y m´ınimo son geod´esicas, pues los planos tangentes en cada punto son paralelos al eje z de revoluci´on; no son curvas asint´oticas ya que, si lo fuesen, al ser geod´esicas deber´ıan ser segmentos de recta (ejercicio 5.8); los paralelos siempre son l´ıneas de curvatura en una superficie de revoluci´on (ejercicio 3.12; esto tambi´en se puede argumentar utilizando el hecho de que son geod´esicas y curvas planas, ejercicio 5.6). El paralelo superior no es una geod´esica, pues el plano tangente en cualquier punto de la curva no es paralelo al eje z; es una curva asint´otica, ya que el vector normal a la curva es ortogonal al vector normal a la superficie, lo que implica que kn ≡ 0; es una l´ınea de curvatura (ejercicio 3.12). Soluci´on al ejercicio 5.12. Sea α : I −→ T2 una parametrizaci´on del paralelo superior del toro T2 , que es una circunferencia, y sea R su radio. Obs´ervese que α (I) est´a totalmente contenida en el plano tangente Tα (t) S ≡ Π, que es constante. Luego el normal N(t) ≡ N tambi´en es constante en todos los puntos de la curva. Claramente, k(t) = 1/R y n(t) ∈ Π para todo t, ya que α es plana. As´ı pues, ­ ® ­ ® kn (t) = α 00 (t), N = k(t) n(t), N = 0 (estamos suponiendo α p.p.a.). En consecuencia, kg (t)2 = k(t)2 − kn (t)2 = 1/R2 , es decir, la curvatura geod´esica vale kg (t) = ±1/R, donde el signo depender´a de las orientaciones elegidas. Soluci´on al ejercicio 5.13. Por ser α l´ınea de curvatura, N 0 (s) = λ (s)α 0 (s) para ¡ ¢ una funci´on diferenciable λ . As´ı pues, Xs = 1 + vλ (s) α 0 (s) y Xv = N(s), por lo ¡ ¢ que los coeficientes de la primera forma fundamental son E = 1 + vλ (s) 2 , F = 0 y G = 1. Si β1 (s) = X(s, v) es una curva coordenada, β10 (s) = Xs y β100 (s) = Xss . Adem´as, © √ ª Xs / E, Xv es una base ortonormal de TX(s,v) S (considerando S con la orientaci´on √ ¡ √ ¢ √ inducida por {Xs , Xv }), por lo que JXs = E J Xs / E = EXv , donde J representa la estructura compleja en dicho plano tangente. Luego √ ® ­ ­ 00 ® 0 (s) β β (s), J X , EX hXss , Xv i ss v 1 1 = = , kg1 (s) = ¯3 ¯ ¯√ ¯3 0 E ¯β (s)¯ ¯ E¯ 1 ¡ ¢ y un r´apido c´alculo muestra que kg1 (s) = −λ (s)/ 1 + vλ (s) . Razonando de modo an´alogo se obtiene que la curva coordenada β2 (v) = X(s, v) tiene curvatura geod´esica kg2 (v) = − hXs , Xvv i /G = 0. 343

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Obs´ervese que las curvas coordenadas de la forma β2 (v) = X(s, v) siempre son geod´esicas (son adem´as las directrices de una superficie reglada, v´ease el ejercicio 3.23), mientras que β1 (s) = X(s, v) lo es si, y s´olo si, λ ≡ 0, lo que equivale a que N 0 (s) = 0. As´ı, β1 es geod´esica si, y s´olo si, N es constante a lo largo de la curva α , o lo que es lo mismo, si, y s´olo si, el plano tangente Tα (s) S es constante a lo largo de α ; esto equivale a su vez a que α sea curva asint´otica de S. Soluci´on al ejercicio 5.14. Una parametrizaci´on de S es X(u, v) = (u, cosh u, v), U = R × R. Sin embargo, e´ sta no va a servir a nuestros prop´ositos, como veremos en breve. Consideremos la parametrizaci´on por la longitud de arco de la catenaria, ³ ´ ³ ¡ p ´ p ¢p β (s) = arg senh s, 1 + s2 = log s + 1 + s2 , 1 + s2

(v´ease el ejemplo y la correspondiente parametrizaci´on de nuestra superficie, ´ ³ ¡ 1.4), √ ¢√ 2 2 X(u, v) = log u + 1 + u , 1 + u , v . Entonces:

© ª La aplicaci´on φ : Π = (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 −→ S, dada por ³ ¡ ´ p ¢p φ (x, y, 0) = log x + 1 + x2 , 1 + x2 , y ,

es una isometr´ıa local entre el plano Π y el cilindro S (de ah´ı la necesidad de reparametrizar por la longitud de arco la catenaria, para que la propia parametrizaci´on de la superficie sea la isometr´ıa buscada): Claramente φ es diferenciable. Dado p = (x, y, 0) ∈ Π, como Tp Π ≡ Π, entonces cualquier vector v ∈ Tp Π es de la forma v = (v1 , v2 , 0); tomando como curva α : I −→ Π la recta α (t) = p + tv (que verifica α (0) = p, α 0 (0) = v), la diferencial d φ p : Π −→ Tφ (p) S viene dada por ¯ d ¯¯ d φ p (v) = ¯ (φ ◦ α )(t) dt t=0 ¯ µ ¶ q ¡ ¢q d ¯¯ 2 2 = ¯ log x + tv1 + 1 + (x + tv1 ) , 1 + (x + tv1 ) , y + tv2 dt ¶ µ t=0 v1 x v1 ,√ , v2 . = √ x 2 + 1 x2 + 1

Luego

v21 x2 v21 + + v22 = v21 + v22 = |v|2 , x 2 + 1 x2 + 1 lo que demuestra que φ es una isometr´ıa local. ¯ ¯ ¯d φ p (v)¯2 =

Como las geod´esicas se conservan por isometr´ıas locales, las geod´esicas de S ser´an las im´agenes mediante φ de las geod´esicas del plano Π (rectas), es decir, ser´an las curvas ³ ¡ ´ p ¢p γ (s) = φ (as, bs, 0) = log as + 1 + a2 s2 , 1 + a2 s2 , bs ,

para a, b ∈ R. 344

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Soluci´on al ejercicio 5.15. Como α (I) ⊂ Π, entonces t(s), n(s) ∈ Π, para todo s ∈ I. Si demostramos que N(s) ∈ Π para todo s ∈ I, podremos concluir que n(s) y N(s) son colineales, ya que tendr´ıamos tres vectores t(s), n(s), N(s) contenidos en el mismo plano, Π, tales que n(s) ⊥ t(s) y N(s) ⊥ t(s); en consecuencia, α ser´a una geod´esica. Veamos pues que N(s) ∈ Π para todo s ∈ I. Si Tα (s) S y Π no fuesen ortogonales en un cierto punto α (s), por ser Π un plano de simetr´ıa, es sencillo ver que el sim´etrico de Tα (s) S respecto a Π tambi´en ser´ıa un plano tangente a S en α (s), lo que contradir´ıa la unicidad del plano tangente en una superficie regular. As´ı pues, Tα (s) S ⊥ Π, lo que prueba que N(s) ∈ Π, para todo s ∈ I. El rec´ıproco no es cierto, tal y como demuestra el siguiente contraejemplo: t´omese el cilindro C y un plano Π paralelo al eje del mismo, que no lo contenga. Π corta a C en dos rectas (que son geod´esicas), pero no es un plano de simetr´ıa. Soluci´on al ejercicio 5.16. Claramente, ­ ® ­ ® ­ ® t0 (s) = α 00 (s) = α 00 (s), t(s) t(s) + α 00 (s), Jt(s) Jt(s) + α 00 (s), N(s) N(s) = kg (s)Jt(s) + kn (s)N(s). ­ ® ­ ® Por otro lado, N 0 (s) = N 0 (s), t(s) t(s) + N 0 (s), Jt(s) Jt(s). Obs´ervese adem´as que, ­ ® ­ ® ­ ® derivando N(s), t(s) = 0, se obtiene N 0 (s), t(s) = − N(s), t0 (s) = −kn (s), y que ¢ ¡ N 0 (s) = dNα (s) α 0 (s) = −Aα (s) α 0 (s). As´ı pues, ® ­ N 0 (s) = −kn (s)t(s) + − Aα (s) α 0 (s), Jt(s) Jt(s) = −kn (s)t(s) − τg (s)Jt(s). Finalmente, un r´apido c´alculo muestra que (Jt)0 (s) = (N ∧ t)0 (s) = N 0 (s) ∧ t(s) + N(s) ∧ t0 (s) ¤ £ ¤ £ = −kn (s)t(s) − τg (s)Jt(s) ∧ t(s) + N(s) ∧ kg (s)Jt(s) + kn (s)N(s) = −τg (s)Jt(s) ∧ t(s) + kg (s)N(s) ∧ Jt(s) = τg (s)N(s) − kg (s)t(s). Soluci´on al ejercicio 5.17. i) Claramente t(s) = cos ϕ (s)e1 (s) + sen ϕ (s)e2 (s), de donde se obtiene Jt(s) = − sen ϕ (s)e1 (s) + cos ϕ (s)e2 (s). As´ı pues, ­ ¢ ¡ ¢ ® ¡ τg (s) = Aα (s) t(s), Jt(s) =−k1 α (s) cos ϕ (s) sen ϕ (s)+k2 α (s) cos ϕ (s) sen ϕ (s). ­ ® ii) Derivando la relaci´on cos θ (s) = N(s), n(s) , obtenemos (v´eanse (5.22), (1.13)) ­ ® ­ ® − sen θ (s)θ 0 (s) = N 0 (s), n(s) + N(s), n0 (s) ® ® ­ ­ = − kn (s)t(s) − τg (s)Jt(s), n(s) + N(s), −k(s)t(s) − τ (s)b(s) ­ ® ­ ® = −τg (s) Jt(s), n(s) − τ (s) N(s), b(s) . Calculemos, por tanto, el valor de estos productos escalares. En primer lugar, si expresamos el vector normal N(s) en funci´on de la base dada ­ ® por el triedro de Frenet, obtenemos que N(s) = cos θ (s)n(s) + N(s), b(s) b(s); to­ ® p mando m´odulos, N(s), b(s) = 1 − cos2 θ (s) = sen θ (s). Por otro lado, si expresa­ ® mos n(s) en funci´on del triedro de Darboux, n(s) = n(s), Jt(s) Jt(s)+cos θ (s)N(s), 345

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­ ® y de nuevo tomando m´odulos, n(s), Jt(s) = sen θ (s). As´ı pues, £ ¤ − sen θ (s)θ 0 (s) = −τg (s) sen θ (s) − τ (s) sen θ (s) = − τg (s) + τ (s) sen θ (s), de donde se obtiene el resultado: θ 0 (s) = τg (s) + τ (s). iii) Esta propiedad se deduce directamente de las f´ormulas de Darboux (5.22): α es l´ınea de curvatura si, y s´olo si, N 0 (s) = λ (s)t(s), por lo que τg (s) = 0. iv) Por ser α geod´esica, los vectores n(s) y N(s) son colineales para todo s ∈ I; es m´as, N(s) = ±n(s), dependiendo de la orientaci´on, pues ambos son unitarios. Su­ ® pongamos, por ejemplo, que N(s) = n(s). Entonces, cos θ (s) = N(s), n(s) = 1 para todo s ∈ I (apartado ii)), es decir, θ (s) ≡ 0 (si suponemos N(s) = −n(s) obtenemos θ (s) ≡ π ). Por tanto, θ 0 (s) = 0, de donde se deduce que τ (s) + τg (s) = 0. Soluci´on al ejercicio 5.18. i) e1 es un campo paralelo pues γ es una geod´esica, mientras que e2 lo es por ser ortogonal a e1 (que es paralelo) y tener m´odulo constante (ejercicio 5.2). As´ı pues, los productos hV, e1 i , hV, e2 i son constantes (proposici´on 5.1.5). Y rec´ıprocamente, como hV, e1 i, hV, e2 i son constantes y podemos expresar V de la forma V = hV, e1 i e1 + hV, e2 i e2 , entonces DV De1 De2 = hV, e1 i + hV, e2 i = 0. dt dt dt ii) La curva z = 0 no es m´as que la circunferencia x2 + y2 = 1, que parametrizamos de la forma α (s) = (cos s, sen s, 0). En primer lugar, debemos encontrar el campo paralelo V que va a definir el transporte paralelo. Consideremos los campos de vectores (paralelos y unitarios) e1 = α 0 y e2 = N ∧ e1 . Es sencillo comprobar que, en los puntos de la curva α , N(s) = (− cos s, − sen s, 0), luego e2 ≡ (0, 0, −1). As´ı pues, el campo paralelo buscado debe ser de la forma V (s) = ae1 (s) + be2 (s), verificando la condici´on inicial V (0) = v = (0, 1, 1) (ya que p = (1, 0, 0) = α (0)). Un r´apido c´alculo permite obtener los valores a = 1 y b = −1, de donde se deduce que V (s) = e1 (s) − e2 (s) = (− sen s, cos s, 1). Finalmente, como α (π /2) = (0, 1, 0), enπ /2 tonces P0 (α )(v) = V (π /2) = (−1, 0, 1).

Soluci´on al ejercicio 5.19. La esfera tiene curvatura de Gauss K = 1/R2 constante, por lo que, para la parametrizaci´on X(r, θ ) de las coordenadas geod´esicas polares se obtiene E = 1, F = 0 y G = R2 sen2 (r/R). Luego la circunferencia geod´esica ¡ ¢ S(p, r) = expp S(0, r) es la curva coordenada α (θ ) = X(r, θ ) y as´ı, Z ¡ ¢ L S(p, r) = L02π (α ) =

Z ¯ ¯α 0 (θ )¯ d θ =

2π ¯

2π

Z 2π √

r G d θ = 2π R sen , R 0 0 0 Z 2π Z r √ ´ ³ ¡ ¢ Z 2π Z r p r A D(p, r) = EG − F 2 drd θ = . G drd θ = 2π R2 1 − cos R 0 0 0 0 |Xθ | d θ =

Soluci´on al ejercicio 5.20. Utilizando el lema de Gauss 5.3.6 se obtiene que ¯2 ¯ ¡ ¢¯2 ¯ E = ¯d(expp )t α (s) α (s) ¯ = ¯α (s)¯ = r02 , ¢ ¡ ¡ ¢® ­ F = d(expp )t α (s) α (s) ,t d(expp )t α (s) α 0 (s) = 0, ¯ ¡ ¢¯2 G = t 2 ¯d(expp )t α (s) α 0 (s) ¯ . 346

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Finalmente, como se trata de una parametrizaci´on ortogonal, podemos utilizar la expresi´on (3.22) para la curvatura de Gauss, obteni´endose que µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ 2 |Xs | |Xs |t −1 Gt −1 −|Xs |tt √ √ K X(t, s) = (t, s) = 2 (t, s) = 2 (t, s). |Xs | 2r0 |Xs | r0 |Xs | 2r0 G r0 G t t

Soluci´on al ejercicio 5.21. i) Claramente X es diferenciable y, por hip´otesis, un ¡ ¢ homeomorfismo. Adem´as, las derivadas parciales de X, Xu = d(expp )uV (t) V (t) y ¡ 0 ¢ Xt = d(expp )uV (t) uV (t) son ortogonales (lema de Gauss 5.3.6), siempre y cuando, ¯ ¯ claro est´a, Xu , Xt 6= 0. Es evidente que Xu 6= 0, pues ¯V (t)¯ = 1, lo que implica que V (t) 6= 0. En el caso de la parcial respecto a t, Xt = 0 si, y s´olo si, V 0 (t) = 0 para todo t (pues u 6= 0, ya que, en caso contrario, X no ser´ıa un homeomorfismo), es decir si, y s´olo si, V (t) es constante. ii) Si X(u,t) es una parametrizaci´on, el lema de Gauss permite asegurar que E = 1 ¯ ¡ ¢¯2 (pues |V | = 1), F = 0 (V,V 0 son ortogonales) y G = u2 ¯d(expp )uV (t) V 0 (t) ¯ . iii) Utilizando el lema de Gauss 5.3.6, como ¡ ¢ α 0 (t) = d(expp )u(t)V (t) u0 (t)V (t) + u(t)V 0 (t) ¡ ¢ ¡ ¢ = u0 (t)d(expp )u(t)V (t) V (t) + u(t)d(expp )u(t)V (t) V 0 (t) , entonces ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯2 ¯ 0 ¯2 ¯ ¡ ¢¯ ¯α (t)¯ = ¯u (t)¯ + ¯u(t)¯2 ¯d(expp )u(t)V (t) V 0 (t) ¯2 ≥ ¯u0 (t)¯2 , de donde

¯ ¯ Z b¯ ¯ (1) Z b ¯ 0 ¯ (2) ¯Z b 0 ¯ ¯ ¯ ¯u (t)¯ dt ≥ ¯ u (t) dt ¯ = ¯u(b) − u(a)¯ . ¯α 0 (t)¯ dt ≥ ¯ ¯ a

a

a

La igualdad se tendr´a si, y s´olo si, las dos desigualdades anteriores, (1) y (2), son igualdades. Claramente, (2) es una igualdad si, y s´olo si, u(t) es mon´otona (creciente o decreciente). Como, por hip´otesis, u(t) > 0, la igualdad en (1) se dar´a si, y s´olo si, ¯ ¡ ¢¯ ¡ ¢ ¯d(expp )u(t)V (t) V 0 (t) ¯ = 0, o lo que es lo mismo, d(expp )u(t)V (t) V 0 (t) = 0. Pero esto es equivalente a que V 0 (t) = 0, es decir, V (t) es constante. Como hemos visto en el apartado i), en este caso X no es una parametrizaci´on de S. Soluci´on al ejercicio 5.22. i) Derivando la identidad (5.18) se obtiene la relaci´on √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ Kr G + K G r + G rrr = 0; tomando l´ımites cuando r → 0 y utilizando las propiedades de las coordenadas geod´esicas polares (proposici´on 5.3.10) concluimos ¡√ ¢ que K(p) + l´ımr→0 G rrr = 0. √ ii) Como G y sus parciales sucesivas respecto a r son funciones continuas (y acotadas), definimos su valor en r = 0 como √ √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ G(0, θ ) = l´ım G(r, θ ) = 0, G r (0, θ ) = l´ım G r (r, θ ) = 1, r→0 r→0 √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ G rr (0, θ ) = l´ım G rr (r, θ ) = −K(p) l´ım G(r, θ ) = 0, r→0 r→0 ¡√ ¢ ¡√ ¢ G rrr (0, θ ) = l´ım G rrr (r, θ ) = −K(p), r→0

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utilizando el apartado i) anterior, la relaci´on (5.18) y las propiedades de las coordenadas geod´esicas polares (proposici´on 5.3.10). As´ı, podemos tomar el desarrollo de √ Taylor de la funci´on G en r = 0,

√ √ ¡√ ¢ ¡√ ¢ r2 ¡√ ¢ r3 G(r, θ ) = G(0, θ ) + G r (0, θ )r + G rr (0, θ ) + G rrr (0, θ ) + R 2 6 r3 = r − K(p) + R, 6

donde R es una funci´on que s´olo depende de r, y tal que l´ımr→0 R/r3 = 0. ¡ ¢ iii) La circunferencia geod´esica S(p, r) = expp S(0, r) no es m´as que la curva coordenada α (θ ) = X(r, θ ), de donde ¶ Z 2π Z 2π √ Z 2π ¯ Z 2π µ ¯ r3 ¯α 0 (θ )¯ d θ = |Xθ | d θ = r − K(p) + R d θ L= G dθ = 6 0 0 0 0 3 r = 2π r − π K(p) + 2π R. 3 Despejando la curvatura de Gauss de la expresi´on anterior y tomando l´ımites, µ ¶ 2π r − L 2π R 3 2π r − L 3 + 3 = l´ım . K(p) = l´ım 3 r→0 r→0 π r r π r3

Soluci´on al ejercicio 5.23. Usando un argumento an´alogo al del ejercicio 5.22, ¶ Z 2πZ r √ Z 2πZ r µ Z 2πZ r p r3 r − K(p) + R drd θ EG − F 2 drd θ = G drd θ = A= 6 0 0 0 0 0 0 µ 2 ¶ 4 r r = 2π − K(p) + R 2 24

donde, ahora, l´ımr→0 R/r4 = 0. Despejando la curvatura de Gauss de la expresi´on anterior y tomando l´ımites, µ 2 ¶ π r − A 2π R 12 π r2 − A 12 l´ım + = l´ ı m . K(p) = π r→0 r4 r4 π r→0 r4

Soluci´on al ejercicio 5.24. Utilizando las expresiones para la longitud de una circunferencia geod´esica y el a´ rea del correspondiente disco geod´esico obtenidas en los ejercicios 5.22 y 5.23, es un sencillo c´alculo comprobar que e L2 − 4π A = −π 2 K(p)r4 + R, e 4 = 0. As´ı pues, donde Re es una funci´on que verifica l´ımr→0 R/r L2 − 4π A = −π 2 K(p), r→0 r4 l´ım

y si p es el´ıptico, −π 2 K(p) < 0. Por tanto, tomando r > 0 suficientemente peque˜no, e 4 es despreciable en comparaci´on a −π 2 K(p), obteni´endose as´ı que el valor de R/r para discos geod´esicos de radio suficientemente peque˜no, el d´eficit isoperim´etrico L2 − 4π A es estrictamente negativo: la desigualdad isoperim´etrica no se verifica. 348

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¡ ¢ Soluci´on al ejercicio 5.25. La circunferencia geod´esica S(p, r) = expp S(0, r) es la curva coordenada α (θ ) = X(r, θ ) de la parametrizaci´on dada por las coordenadas √ ª © geod´esicas polares. As´ı, α 0 (θ ) = Xθ y α 00 (θ ) = Xθ θ . Adem´as, Xr , Xθ / G es una √ ¡ √ ¢ √ base ortonormal de TX(r,θ ) S, por lo que JXθ = G J Xθ / G = − GXr , donde J representa la estructura compleja en dicho plano tangente. Luego √ ­ 00 ® ­ ® α (θ ), Jα 0 (θ ) Xθ θ , − GXr hXθ θ , JXθ i = = kg (θ ) = . ¯ ¯ ¯√ ¯3 ¯α 0 (θ )¯3 ¯ G¯ |Xθ |3

Por otro lado, derivando las expresiones hXr , Xθ i = F = 0 y hXθ , Xθ i = G, y combin´andolas adecuadamente, se obtiene que hXr , Xθ θ i = −Gr /2; as´ı pues, √ G Gr Gr kg (θ ) = ¯√ ¯3 = . 2G 2¯ G¯

Como la superficie tiene curvatura de Gauss constante, ya sabemos que el coeficiente G s´olo depende de r (ejemplo 5.11), por lo que la curvatura geod´esica es constante respecto al par´ametro, θ , de la curva. Soluci´on al ejercicio 5.26. Sea {e1 , e2 } la base ortonormal de Tp S que define el sistema de coordenadas normales en p = X(0, 0). Dado v = v1 e1 + v2 e2 ∈ Tp S, el punto X(v1 , v2 ) = expp (v1 e1 + v2 e2 ) = γv (1), siendo

γv (t) = expp (tv) = expp (tv1 e1 + tv2 e2 ) la geod´esica maximal con condiciones iniciales γv (0) = p, γv0 (0) = v. As´ı pues, la ¡ ¢ expresi´on en coordenadas (respecto a X) de γv es γev (t) = u(t), v(t) = (v1t, v2t). Como γv es una geod´esica, γev verifica las ecuaciones (5.9), es decir, ( ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ v21 Γ111 v1t, v2t + 2v1 v2 Γ112 v1t, v2t + v22 Γ122 v1t, v2t = 0, ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ v21 Γ211 v1t, v2t + 2v1 v2 Γ212 v1t, v2t + v22 Γ222 v1t, v2t = 0. Obs´ervese que estas ecuaciones se satisfacen para todo v ∈ Tp S; en particular, si v = e1 = (1, 0), obtenemos Γ111 (0, 0) = Γ211 (0, 0) = 0; para v = e2 = (0, 1), se deduce que Γ122 (0, 0) = Γ222 (0, 0) = 0; finalmente, sustituyendo los valores ya obtenidos para los s´ımbolos de Christoffel y tomando v = (v1 , v2 ) con v1 , v2 6= 0, se tiene que Γ112 (0, 0) = Γ212 (0, 0) = 0. En consecuencia, Γkij (0, 0) = 0, para todo i, j, k ∈ {1, 2}, en la parametrizaci´on dada por las coordenadas normales. Esto implica a su vez, utilizando el sistema (3.16), que todas las derivadas parciales primeras de los coeficientes E, F, G se anulan en (0, 0). Soluci´on al ejercicio 5.27. Supongamos que γ es una h´elice generalizada. Por el teorema de Lancret (ejercicio 1.17), existe una constante c tal que τ (s) = ck(s), para todo s ∈ I. Sea Π un plano cualquiera de R3 con normal unitario a, y tomemos la curva plana α : I −→ Π, p.p.a, cuya curvatura es kα (s) = −(1 + c2 )k(s), que sabemos u´ nica (salvo movimientos r´ıgidos en Π) y viene dada por (1.7). Finalmente, construyamos el cilindro recto Cα sobre dicha curva α , siendo X(s,t) = α (s) + ta, con (s,t) ∈ I × R, una parametrizaci´on para dicha superficie. Obs´ervese que: 349

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¥

β (u) = X(u, cu) = α (u) + cua es una geod´esica de Cα :

Obs´ervese que β 0 (u) = α 0 (u) + ca = tα (u) + ca y β 00 (u) = tα0 (u) = kα (u)nα (u). ª © Como tα (s), nα (s), a es una base ortonormal de R3 positivamente orientada, entonces N(s,t) = (Xs ∧ Xt )/ |Xs ∧ Xt | = tα (s) ∧ a = −nα (s), de donde se obtiene que ¡ ¢ N(u) ∧ β 0 (u) = −nα (u) ∧ tα (u) + ca = a − ctα (u). As´ı, ­ 00 ® ­ ® β (u), N(u) ∧ β 0 (u) kα (u)nα (u), a − ctα (u) β kg (u) = = = 0. ¯ ¯ ¯β 0 (u)¯3 (1 + c2 )3/2

La curvatura y la torsi´on de β valen ¯ ¯ 0 ¯¡ ¯ ¯ ¯ ¢ ¯β (u) ∧ β 00 (u)¯ ¯ ¯ ¯ tα (u) + ca ∧ nα (u)¯ ¯ ¯ ¯a − ctα (u)¯ ¯ ¯ ¯ ¯ kβ (u) = = kα (u) = kα (u) ¯ ¯ ¯β 0 (u)¯3 (1 + c2 )3/2 (1 + c2 )3/2 √ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + c2 1 ¯ ¯ ¯kα (u)¯ = k(u), = kα (u) = 2 3/2 2 (1 + c ) (1 + c ) ­ 0 ­ ® ® a− ctα (u), kα0 (u)nα (u)− kα (u)2 tα (u) β (u) ∧ β 00 (u), β 000 (u) τβ (u) = − ¯ =−kα (u) ¯ (1 + c2 )kα (u)2 ¯β 0 (u) ∧ β 00 (u)¯2 c =− kα (u) = ck(u) = τ (u). (1 + c2 )

¥

En consecuencia, γ ≡ β , salvo movimientos r´ıgidos (teorema fundamental de curvas en R3 1.3.7) y, por tanto, γ es una geod´esica de Cα . Y rec´ıprocamente, supongamos que γ es una geod´esica del cilindro Cα construido sobre una curva plana α : I −→ Π, y sea a el normal unitario al plano Π (es decir, el eje del cilindro). Tomamos de nuevo la parametrizaci´on X(s,t) = α (s) + ta de Cα . ® ­ Vamos a probar que γ 0 (s), a ≡ constante, lo que demostrar´a que γ es una h´elice generalizada. Para ello, calculamos simplemente su derivada: ¿ 0 À D E ­ ® ®0 ­ 00 ® ­ 0 Dγ 00 ⊥ γ (s), a = γ (s), a = (s) + γ (s) , a = γ 00 (s)⊥ , a = λ (s)N(s), a ds ­ ® = −λ (s) nα (s), a = 0,

pues nα (s) ∈ Π, para todo s ∈ I.

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAP´ITULO VI Soluci´on al ejercicio 6.1. Dado que

e1 (s) = cos λ (s)e1 (s) + sen λ (s)e2 (s)

y

e2 (s) = − sen λ (s)e1 (s) + cos λ (s)e2 (s), entonces

e01 (s) = −λ 0 (s) sen λ (s)e1 (s) + cos λ (s)e01 (s) + λ 0 (s) cos λ (s)e2 (s) + sen λ (s)e02 (s), 350

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de donde se deduce que ­ ® ω (s) = e01 (s), e2 (s)

­ ® ­ ® = λ 0 (s) sen2 λ (s) − sen2 λ (s) e1 (s), e02 (s) + cos2 λ (s) e01 (s), e2 (s)

+ λ 0 (s) cos2 λ (s) ­ ® = λ 0 (s) + e01 (s), e2 (s) = λ 0 (s) + ω (s), ­ ® ­ ® pues se tiene que e01 (s), e2 (s) = − e1 (s), e02 (s) sin m´as que derivar la relaci´on ­ ® © ª e1 (s), e2 (s) = 0 (por hip´otesis e1 (s), e2 (s) es un referencial ortonormal). © ª La holonom´ıa a lo largo de α respecto a la base ortonormal e1 (s), e2 (s) es

Hs0 (s) = −

Z s s0

Z s¡

ω (t) dt = −

s0

Z s ¢ λ 0 (t) + ω (t) dt = λ (s0 ) − λ (s) − ω (t) dt; s0

en particular, si la curva α : [0, `] −→ S es cerrada, se tiene que, para alg´un k ∈ N,

H0 (`) = λ (0) − λ (`) −

Z ` 0

ω (t) dt = H0 (`) − 2π k.

Soluci´on al ejercicio 6.2. El error radica en afirmar que Z

Z

bd R1

kg ds =

bd R2

kg ds,

pues la curvatura geod´esica depende de la orientaci´on de la frontera de la regi´on. En este caso concreto, bd R1 = bd R2 , pero la curva est´a orientada de modo distinto seg´un se vea como frontera de R1 o de R2 . As´ı pues, con las orientaciones adecuadas, lo que realmente se deduce es que A(R1 ) + A(R2 ) = 4π , lo cual s´ı es cierto. Soluci´on al ejercicio 6.3. Como la superficie es compacta, sabemos que existe un punto el´ıptico (ejercicio 3.6). Luego, por continuidad, hay un abierto donde K > 0. Representamos por E = {p ∈ S : K(p) > 0},

H = {p ∈ S : K(p) < 0} y P = {p ∈ S : K(p) = 0}.

Por otro lado, como S no es homeomorfa a la esfera, su caracter´ıstica de EulerPoincar´e χ (S) 6= χ (S2 ) = 2, es decir, χ (S) ≤ 0. Entonces, Z

0 ≥ 2π χ (S) =

S

Z

K dA =

E

Z

K dA +

H

Z

K dA +

P

K dA.

Dado que E 6= 0, / la primera integral del lado derecho en la desigualdad es estrictamente positiva, por lo que, necesariamente, la integral sobre H es negativa y no nula; luego H 6= 0. / Finalmente, por continuidad, existen puntos con K = 0. Soluci´on al ejercicio 6.4. Orientamos la esfera de forma compatible con la parametrizaci´on X de las coordenadas geogr´aficas, es decir, {Xu , Xv } es una base positivamente orientada del tangente, siendo el normal ¡ ¢ Xu ∧ Xv (u, v) = (sen u cos v, sen u sen v, cos u). N X(u, v) = |Xu ∧ Xv | 351

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Con esta orientaci´on, el paralelo y los meridianos que determinan la frontera de R son las curvas coordenadas parametrizadas (positivamente) como α (v) = X(u0 , v) con 0 ≤ v ≤ π /4, β0 (u) = X(u, 0) con 0 ≤ u ≤ u0 , y βπ /4 (u) = X(−u, π /4) con −u0 ≤ u ≤ 0 (v´ease el ejemplo 6.4). Sabemos que β0 y βπ /4 (los meridianos) son geod´esicas, por lo que kg = 0 en ambas, y un r´apido c´alculo muestra que ­ 00 ¢ ¡ ® α (v), N α (v) ∧ α 0 (v) 1 α kg (v) = = cotg u0 . ¯ ¯ r ¯α 0 (v)¯3

Los paralelos y los meridianos de la esfera se cortan ortogonalmente, y por la orientaci´on elegida, dos de los a´ ngulos externos valen ε1 , ε2 = π /2; el tercer a´ ngulo es ε3 = π − π /4 = 3π /4. Adem´as, R es una regi´on simple (χ (R) = 1). Es sencillo comprobar entonces que Z

Z

R

K dA +

4

bd R

kg ds + ∑ εi i=1

Z π /4 Z u0 p 1

Z π /4 cotg u0 ¯

¯ ¯α 0 (v)¯ dv + 7π r 4 0 0 0 Z π /4 Z π /4 Z u0 7π π 7π sen u dudv + cos u0 dv + = = + = 2π χ (R). 4 4 4 0 0 0 =

r2

EG − F 2 dudv +

Soluci´on al ejercicio 6.5. Suponemos el toro orientado de forma compatible con la parametrizaci´on X, es decir, el normal viene dado por ¡ ¢ Xu ∧ Xv (u, v) = (− cos u cos v, − cos u sen v, − sen u). N X(u, v) = |Xu ∧ Xv |

Con tal orientaci´on, los paralelos y los meridianos que determinan la frontera de R son las curvas coordenadas parametrizadas (positivamente) como αS (v) = X(π /2, v) con 0 ≤ v ≤ π /2 (el paralelo superior), αM (v) = X(0, −v) con −π /2 ≤ v ≤ 0 (el paralelo m´aximo), β0 (u) = X(u, 0) con 0 ≤ u ≤ π /2 y βπ /2 (u) = X(−u, π /2) con −π /2 ≤ v ≤ 0. Sabemos que β0 , βπ /2 (los meridianos) y αM son geod´esicas, por lo ¢ ¡ que kg = 0 para todas ellas. Claramente N αS (v) = (0, 0, −1), de donde ¢ ¡ ® ­ 00 αS (v), N αS (v) ∧ αS0 (v) 1 S =− . kg (v) = ¯3 ¯ a ¯α 0 (v)¯ S

Los paralelos y los meridianos de una superficie de revoluci´on se cortan ortogonalmente, por lo que los a´ ngulos externos εi = π /2, para i = 1, . . . , 4. Adem´as, R es una regi´on simple, luego χ (R) = 1. Es sencillo comprobar entonces que Z R

Z

K dA +

bd R

4

kg ds + ∑ εi

Z π /2 Z π /2

i=1

Z π /2 ¯ p cos u 1 ¯ 0 ¯¯ 2 EG − F dudv − α (v) dv + 2π = r(a + r cos u) a S 0 0 0 Z π /2 Z π /2 Z π /2 π π = cos u dudv − dv + 2π = − + 2π = 2π χ (R). 2 2 0 0 0

352

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Soluciones a los ejercicios

Soluci´on al ejercicio 6.6. Obs´ervese que, dado que el cono no contiene el v´ertice, la regi´on R delimitada por el paralelo u = 1 no es simple: tiene un ((agujero)). Para poder realizar los c´alculos correctamente, consideraremos otro paralelo, u = ε , con 0 < ε < 1, valor que haremos tender a cero. Suponemos el cono orientado de forma compatible con la parametrizaci´on X, es decir, el normal viene dado por ¡ ¢ Xu ∧ Xv 1 (u, v) = √ (− cos v, − sen v, 1). N X(u, v) = |Xu ∧ Xv | 2

Con esta orientaci´on, los dos paralelos que determinan la frontera de R son las curvas coordenadas parametrizadas (positivamente) como α1 (v) = X(1, v) con 0 ≤ v ≤ 2π y αε (v) = X(ε , −v) con −2π ≤ v ≤ 0. Un r´apido c´alculo muestra que ¡ ® ¢ ­ 00 0 (v) α α α (v), N (v) ∧ 1 1 1 1 1 kg1 (v) = =√ y kgε (v) = − √ . ¯3 ¯ 0 ¯α (v)¯ 2 2ε 1

Como el cono es una superficie regular isom´etrica al plano, entonces K ≡ 0. Adem´as, las curvas que delimitan la regi´on no tienen v´ertices (luego no hay a´ ngulos); finalmente, χ (R) = 0. As´ı pues, Z R

Z

K dA +

bd R

p

kg ds + ∑ εi =

=

i=1 Z 2π

Z 2π Z 0 ¯ ¯ 1 ¯ 1 ¯ √ ¯α10 (v)¯ dv − √ ¯αε0 (v)¯ dv

2

0

1 √ dv − 2

0

2ε 1 2π 2π √ dv = √ − √ = 0 = 2π χ (R). 2 2 2 −2π

Z 0 −2π

Soluci´on al ejercicio 6.7. Como P es un pol´ıgono geod´esico, la curvatura geod´esica de cada una de las curvas regulares que componen su frontera es cero. Luego Z

1 dA + 2π = 2 Pr

Z

n

bd R

kg ds + ∑ εi =

de donde finalmente se deduce que Ã

i=1

!

n

A(P) = r2 2π − nπ + ∑ φi i=1

n 1 A(P) + (π − φi ), ∑ r2 i=1

à = r2

!

n

∑ φi − (n − 2)π

.

i=1

Soluci´on al ejercicio 6.8. Como expp : D p −→ S es una isometr´ıa local, la curvatura de Gauss de S es K ≡ 0. Adem´as, por ser α una curva regular (no tiene v´ertices) cerrada y simple, no hay a´ ngulos externos y χ (R) = 1. En consecuencia, Z

2π = 2π χ (R) =

R

Z

K dA +

bd R

p

kg ds + ∑ εi = i=1

Soluci´on al ejercicio 6.9. Por el teorema de Gauss-Bonnet, Z T2

K dA = 2π χ (T2 ) = 0.

353

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Z bd R

kg ds.

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Soluci´on al ejercicio 6.10. i) Suponemos S orientada de forma compatible con la parametrizaci´on X. Claramente, Xt = b(s) y Xs = t(s)+t τ (s)n(s), de donde se obtiene E = 1, F = 0 y G = 1 +t 2 τ (s)2 . Como la parametrizaci´on es ortogonal, las curvaturas geod´esicas de las curvas coordenadas valen (v´ease la secci´on 6.1.3) −Es √ (t, s0 ) = 0, 2E G

kg1 (t) =

kg2 (s) =

t τ (s)2 Gt √ (t0 , s) = 0 2 . 1 + t0 τ (s)2 2G E

ii) Obs´ervese que las curvas coordenadas s = 0, s = s0 y t = 0 son geod´esicas. Adem´as, las curvas coordenadas se cortan ortogonalmente (F = 0), por lo que Z

Z R

K dA = 2π χ (R) −

=−

Z s0 0

bd R

4

kg ds − ∑ εi = 2π −

Z s0

i=1

τ2

τ2

0

¯ t0 τ 2 ¯¯ Xs (t0 , s)¯ ds − 2π 2 2 1 + t0 τ

t s0t0 q 0 ds = − q . 1 + t02 τ 2 1 + t02 τ 2

Soluci´on al ejercicio 6.11. i) Xs = t(s) + vk(s)n(s) y Xv = t(s), de donde se tiene E = 1 + v2 k(s)2 , F = G = 1. Adem´as, N(s, v) = −b(s). Un r´apido c´alculo muestra finalmente que e = vk(s)τ (s), f = g = 0, de donde se deduce que K ≡ 0. ii) Por ser α (s) = (cos s, sen s, 1) una curva plana, S es un trozo del plano z = 1, que parametrizamos con X(s, v) = (cos s − v sen s, sen s + v cos s, 1); de forma preci© ª sa, S = (x, y, 1) ∈ R3 : x2 + y2 > 1 . Suponemos S orientada de forma compatible con la parametrizaci´on X, es decir, N(s, v) ≡ −b. Con esta orientaci´on, la frontera de R est´a determinada por las curvas coordenadas parametrizadas (positivamente) como ´ α0 (s) = X(s, v0 ) con 0 ≤ v ≤ 2π y α1 (s) = X(−s, v1 ) con ≤ 0. Estas son dos q−2π ≤ v q

circunferencias conc´entricas (a x2 + y2 = 1) de radios 1 + v20 y 1 + v21 , respectivamente, que determinan una corona circular (χ (R) = 0). Un r´apido c´alculo muestra que las curvaturas geod´esicas de estas circunferencias son 1 1 kg0 (s) = − q y kg1 (s) = q . 1 + v20 1 + v21

Teniendo en cuenta que bd R no tiene v´ertices (no hay a´ ngulos), Z R

Z

K dA +

bd R

p

kg ds + ∑ εi = i=1

Z 2π 0

=−

q 1 + v20

Z 2π 0

−1

ds +

Z ¯ 0 ¯ ¯α0 (s)¯ ds +

Z 0 −2π

0

−2π

¯ 0 ¯ 1 ¯α1 (s)¯ ds q 2 1 + v1

ds = −2π + 2π = 0 = 2π χ (R).

Soluci´on al ejercicio 6.12. i) Es sencillo comprobar (v´ease el ejercicio 2.11) que N(s, θ ) = − cos θ n(s) − sen θ b(s). Entones un r´apido c´alculo muestra que Ns (s, θ ) = k(s) cos θ t(s) − τ (s) sen θ n(s) + τ (s) cos θ b(s) k(s) cos θ τ (s) ¢ Xθ (s, θ ), Xs (s, θ ) + ¡ 1 − rk(s) cos θ r 1 − rk(s) cos θ 1 Nθ (s, θ ) = sen θ n(s) − cos θ b(s) = − Xθ (s, θ ). r =

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Soluciones a los ejercicios

En consecuencia,  k(s) cos θ −  1 − rk(s) cos θ AX(s,θ ) ↔   τ (s) ¢ − ¡ r 1 − rk(s) cos θ

 0

 ¡ ¢  y K = det AX(s,θ ) = ¡ −k(s) cos θ ¢ . 1  r 1 − rk(s) cos θ r

Consideremos ahora la curva coordenada s = s0 parametrizada por β (θ ) = X(s0 , θ ). Es un sencillo c´alculo comprobar que ¡ ¢ ¡ ¢ N(s0 , θ ) ∧ β 0 (θ ) = − cos θ n(s0 ) − sen θ b(s0 ) ∧ −r sen θ n(s0 ) + r cos θ b(s0 ) = −r t(s0 ), ® ­ β de donde se deduce que β 00 (θ ), N(s0 , θ ) ∧ β 0 (θ ) = 0; es decir, kg (θ ) = 0. Si α : I −→ R2 es una curva plana, entonces τ ≡ 0 y el vector binormal b es constante. Representando por β (s) = X(s, θ0 ), es sencillo comprobar que ¢ ¡ 0 β (s) = 1 − rk(s) cos θ0 t(s), ¡ ¢ 00 β (s) = −r cos θ0 k0 (s)t(s) + 1 − rk(s) cos θ0 k(s)n(s), ¡ ¢ ¡ ¢ 0 N(s, θ0 ) ∧ β (s) = cos θ0 1 − rk(s) cos θ0 b − sen θ0 1 − rk(s) cos θ0 n(s),

de donde se deduce que kgβ (s) =

­ 00 ® 0 β (s), N(s, θ0 ) ∧ β (s) − sen θ0 k(s) . = ¯ 0 ¯3 1 − rk(s) cos θ0 ¯β (s)¯

Por tanto, las curvas coordenadas θ = θ0 ser´an siempre geod´esicas si, y s´olo si, k ≡ 0, es decir si, y s´olo si α es una recta (y por tanto, el tubo X(s, θ ) un cilindro). Si k 6≡ 0, s´olo X(s, π ) es geod´esica. ii) Suponemos el tubo orientado de forma compatible con la parametrizaci´on X. Las curvas coordenadas s = 0 y s = s0 son dos circunferencias de radio r centradas en α (0) y α (s0 ), respectivamente, que son geod´esicas (apartado i)), no tienen v´ertices (no hay a´ ngulos), y determinan una corona circular (χ (R) = 0). Luego Z R

Z

p

Z s0 Z 2π

−k(s) cos θ p ¡ ¢ EG − F 2 d θ ds r 1 − rk(s) θ cos 0 0 bd R i=1 Z s0 Z s0 Z 2π h i2π k(s) cos θ d θ ds = − ds = 0 = 2π χ (R). k(s) sen θ =−

K dA +

kg ds + ∑ εi =

0

0

0

0

Soluci´on al ejercicio 6.13. Como S es compacta, conexa y orientada, con K 6= 0 en todo punto, el teorema de Hadamard (v´ease el ejercicio 3.28) nos asegura que la aplicaci´on de Gauss N : S −→ S2 es un difeomorfismo. As´ı pues, las regiones R1 y R2 son simples, y adem´as S2 = N(R1 ) ∪ N(R2 ), siendo la uni´on disjunta. El teorema de Gauss-Bonnet nos asegura entonces que Z

Z R1

K dA = 2π

y

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R2

K dA = 2π .

Un curso de Geometr´ıa Diferencial

Ahora bien,

Z ¡ ¢ Z |K| dA ≥ A N(R1 ) = K dA = 2π R1

R1

¢ ¡ y, an´alogamente, A N(R2 ) ≥ 2π . Dado que ¡ ¢ ¡ ¢ 4π = A(S2 ) = A N(R1 ) + A N(R2 ) ≥ 2π + 2π = 4π , ¡ ¢ ¡ ¢ podemos concluir que A N(R1 ) = A N(R2 ) = 2π . Soluci´on al ejercicio 6.14. Supongamos que γ , γe son dos geod´esicas cerradas y simples en S. Como S es homeomorfa al cilindro, S es homeomorfa al plano menos un punto (digamos q). Representemos por ϕ dicho homeomorfismo. Entonces, las im´agenes ϕ ◦ γ , ϕ ◦ γe son curvas cerradas y simples en el plano agujereado, de forma que las regiones que determinan contienen a q en su interior: en efecto, si no fuese as´ı, ϕ ◦ γ (por ejemplo) ser´ıa homot´opicamente nula, propiedad que se conservar´ıa por el homeomorfismo ϕ −1 y que deber´ıa verificar γ ; luego tendr´ıamos una geod´esica γ en una superficie con K < 0 encerrando una regi´on simple, una contradicci´on (consecuencia 3). Un razonamiento an´alogo permite ver que las curvas ϕ ◦ γ y ϕ ◦ γe (y, por tanto, las geod´esicas γ , γe) no pueden cortarse, delimitando una corona circular R cuya caracter´ıstica de Euler-Poincar´e es χ (R) = 0. As´ı, Z

0>

R

K dA = 2π χ (R) = 0,

un absurdo que demuestra el resultado. Soluci´on al ejercicio 6.15. R es una regi´on simple (χ (R) = 1) cuya frontera est´a formada por dos arcos de geod´esica (kg = 0 en ambas). Adem´as, la curvatura de Gauss es K = 1. Luego Z

2π = 2π χ (R) =

R

Z

K dA+

bd R

2

kg ds+ ∑ εi =

Z

i=1

R

2

1 dA+ ∑ (π − θ ) = A(R)+2π −2θ , i=1

es decir, A(R) = 2θ . Soluci´on al ejercicio 6.16. Tomando X(u, v) = (cos u, sen u, v) como parametriza¢ ¡ ci´on del cilindro, es sencillo ver que N α (t) = (cost, sent, 0). Adem´as, ¡ ¢ ¡ ¢ α 0 (t) = − sent, cost, z0 (t) , α 00 (t) = − cost, − sent, z00 (t) y ¢ ¡ ¢ ¡ N α (t) ∧ α 0 (t) = z0 (t) sent, −z0 (t) cost, 1 , de donde se deduce que

¢ ¡ ® ­ 00 α (t), N α (t) ∧ α 0 (t) z00 (t) =¡ kg (t) = ¯ ¯3 ¢3/2 . ¯α 0 (t)¯ 1 + z0 (t)2

Utilizando que z es 2π -peri´odica, se obtiene finalmente que Z α

kg ds =

Z 2π 0

z00 (t)

¡ 1 + z0 (t)2

Z ¯ 0 ¯ ¯ ¯ ¢3/2 α (t) dt =

356

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0

2π

i2π h z00 (t) 0 dt = 0. tg z (t) = arc 1 + z0 (t)2 0

Soluciones a los ejercicios

Soluci´on al ejercicio 6.17. Intentar calcular el a´ ngulo que determinan dos loxodromas arbitrarias que se cortan puede ser complicado. Sin embargo, sabemos que la proyecci´on de Mercator φ : S2 \{N, S} −→ R2 es una aplicaci´on conforme (v´ease el ejercicio 3.38), por lo que las curvas imagen por dicha proyecci´on se cortan formando los mismos a´ ngulos; obs´ervese que el hecho de que las loxodromas no pasen por los polos asegura que podemos tomar sus im´agenes por φ y que e´ stas, en efecto, se van a cortar. Por otro lado, hemos probado (p´agina 147) que las loxodromas se proyectan en segmentos de recta. En consecuencia, la imagen por φ de R no es m´as que un tri´angulo T = φ (R) en el plano, la suma de cuyos a´ ngulos interiores es φ1T + φ2T + φ3T = π . Podemos concluir, por tanto, que la suma de los a´ ngulos interiores en R es

φ1 + φ2 + φ3 = φ1T + φ2T + φ3T = π , de donde

3

3

3

i=1

i=1

i=1

∑ εi = ∑ (π − φi ) = 3π − ∑ φi = 3π − π = 2π .

Aplicando entonces el teorema de Gauss-Bonnet se tiene que Z

Z

R

K dA +

3

bd R

kg ds = 2π − ∑ εi = 0, i=1

y al ser K ≡ 1, obtenemos finalmente que

¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ A(R) = − kg ds = ¯ kg ds¯¯ . bd R bd R Z

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAP´ITULO VII Soluci´on al ejercicio 7.1. Sea γv la geod´esica maximal con γv (0) = p, γv0 (0) = v, para la cual se tiene que γv (1) = expp (v). Entonces, Z 1 ¢ Z 1¯ 0 ¯ ¡ ¢ ¡ 1 ¯ ¯ |v| dt = |v| . γv (t) dt = d p, expp (v) ≤ L0 γv (t) = 0

0

La igualdad se alcanzar´a si, y s´olo si, la geod´esica γv es minimizante; por ejemplo, cuando expp (v) = γv (1) est´e contenido en un entorno normal centrado en p. Soluci´on al ejercicio 7.2. Supongamos que Bd (p0 , r) 6⊂ D(p0 , R) para todo r > 0, y vamos a llegar a una contradicci´on. Sea 0 < R0 < R de forma que D(p0 , R0 ) ⊂ D(p0 , R) estrictamente y D(p0 , R0 ) es entorno normal de p0 . Entonces, tambi´en se tendr´a que Bd (p0 , r) 6⊂ D(p0 , R0 ) para todo r > 0, por lo que existir´a un punto qn ∈ Bd (p0 , 1/n) tal que qn 6∈ D(p0 , R0 ) para todo n ∈ N. Esto determina una sucesi´on de puntos (qn )n∈N que converge a p0 en la distancia intr´ınseca,10 esto es, l´ımn→∞ d(qn , p0 ) = 0. 10

Un argumento topol´ogico podr´ıa ser el siguiente. Consideremos la parametrizaci´on X (en p0 ) ¡ ¢ ¡ ¢ dada por las coordenadas normales (5.16), para la cual D(p0 , R) = expp0 D(0, R) = X D(0, R) es un entorno coordenado de X, y por tanto, un abierto en la superficie con la topolog´ıa inducida. Como |qn − p0 | ≤ d(qn , p0 ) → 0, cuando n → ∞, la sucesi´on (qn )n∈N converge a p0 en la distancia eucl´ıdea. Por tanto, existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N, qn ∈ D(p0 , R), una contradicci´on.

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ª © Sea εn = R0 /n. Dado que d(qn , p0 ) = inf L01 (α ) : α ∈ Ω(qn , p0 ) , para cada qn existe una curva αn ∈ Ω(qn , p0 ) con longitud L01 (αn ) ≤ d(qn , p0 ) + εn (sin p´erdida de generalidad podemos suponer las curvas parametrizadas en el intervalo [0, 1]). Ahora bien, como qn 6∈ D(p0 , R0 ), la curva αn corta a la frontera del disco en alg´un punto, es decir, existe tn ∈ (0, 1) tal que αn (tn ) ∈ S(p0 , R0 ). Esto implica la existencia de un vector vn ∈ D p0 , con |vn | = R0 , de forma que αn (tn ) = expp0 (vn ) = γαn (tn ) (1) para todo n ∈ N, donde, como es usual, γαn (tn ) representa la geod´esica radial que une p0 con αn (tn ). Obs´ervese que, como D(p0 , R0 ) es un disco geod´esico que es tambi´en entorno normal, la geod´esica radial γαn (tn ) es minimizante entre p0 y αn (tn ). Entonces, d(qn , p0 ) + εn ≥ L01 (αn ) = Lt0n (αn ) + Lt1n (αn ) ¢ ¡ ≥ Lt0n γαn (tn ) + Lt1n (αn ) = R0 + Lt1n (αn ) ≥ R0 , y tomando l´ımites cuando n → ∞ llegamos a que R0 ≤ 0, una contradicci´on. Soluci´on al ejercicio 7.3. Supongamos que existen t0 ,t1 ∈ [a, b] tales que α |[t0 ,t1 ] no es minimizante entre α (t0 ) y α (t1 ). En tal caso, existir´ıa una curva β uniendo α (t0 ) ¡ ¢ y α (t1 ), con L(β ) < L α |[t0 ,t1 ] . Claramente, α = α |[a,t0 ] ∧ α |[t0 ,t1 ] ∧ α |[t1 ,b] . Consideremos la yuxtaposici´on α |[a,t0 ] ∧ β ∧ α |[t1 ,b] . Entonces, ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ L α |[a,t0 ] ∧ β ∧ α |[t1 ,b] = L α |[a,t0 ] + L(β ) + L α |[t1 ,b] ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ < L α |[a,t0 ] + L α |[t0 ,t1 ] + L α |[t1 ,b] = L α |[a,t0 ] ∧ α |[t0 ,t1 ] ∧ α |[t1 ,b] = L(α ), lo que probar´ıa la existencia de otra curva uniendo p y q, α |[a,t0 ] ∧ β ∧ α |[t1 ,b] , con menor longitud que α , una contradicci´on. Soluci´on al ejercicio 7.4. Dados p1 , p2 ∈ S2 (r), consideremos el u´ nico plano Π que pasa por dichos puntos y el centro de la esfera. Entonces, Π ∩ S2 (r) es una circunferencia m´axima (geod´esica), la u´ nica adem´as que pasa por p1 y p2 . Tenemos, por tanto, dos segmentos de geod´esica uniendo ambos puntos, siendo el de menor longitud el que determina la distancia intr´ınseca entre p1 y p2 . Como la longitud de cualquier circunferencia m´axima es 2π r, entonces d(p1 , p2 ) ≤ (1/2)2π r = π r. La igualdad se alcanzar´a si, y s´olo si, los dos segmentos de geod´esica tienen la misma longitud, es decir si, y s´olo si, p1 = −p2 . Soluci´on al ejercicio 7.5. Como p, q ∈ S2 no son antipodales, existe un u´ nico arco de geod´esica minimizante uniendo ambos puntos (pues q, por ejemplo, est´a contenido en un disco geod´esico, que es tambi´en entorno normal, centrado en p). Sean δ = d(p, q) y γ : [0, δ ] −→ S2 dicho segmento de geod´esica. Entonces, γ (0) = p, γ (δ ) = q y L0δ (γ ) = d(p, q) = δ . Tomamos m = γ (δ /2), para el que, claramente, δ /2 d(p, m) = L0 (γ ) = d(p, q)/2. An´alogamente, d(q, m) = d(p, q)/2. Para demostrar la unicidad, supongamos que existe otro m0 ∈ S2 , m0 6= m, tal que d(p, q) = 2d(p, m0 ) = 2d(q, m0 ). Sean γ1 , γ2 segmentos de geod´esica minimizante que realizan la distancia entre p, m0 y q, m0 , respectivamente. Entonces, d(p, q) = d(p, m0 ) + d(m0 , q) = L(γ1 ) + L(γ2 ) = L(γ1 ∧ γ2 ), 358

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por lo que γ1 ∧ γ2 es otra curva (geod´esica a trozos) uniendo p y q, que es minimizante, lo que contradice la unicidad de γ . Tomamos ahora β = Rπ ◦ γ : [0, δ ] −→ S2 que, claramente, es una geod´esica, pues la rotaci´on Rπ es una isometr´ıa. Adem´as, β (δ /2) = Rπ (m) = m (el centro de la rotaci´on queda fijo), y µ ¶ µ ³ ´¶ µ ¶ µ ³ ´¶ 0 δ 0 δ 0 δ 0 δ β = d(Rπ )γ (δ /2) γ = d(Rπ )m γ = −γ 2 2 2 2

(al ser Rπ una aplicaci´on lineal, su diferencial es ella misma: d(Rπ )m es la rotaci´on de π radianes en el plano tangente). Si consideramos la reparametrizaci´on de γ dada por γe(t) = γ (δ − t), para t ∈ [0, δ ], claramente γe es un segmento de geod´esica el cual verifica que γe(δ /2) = m y γe0 (δ /2) = −γ 0 (δ /2). Por la unicidad de las geod´esicas, β (t) = γe(t) = γ (δ −t); luego Rπ (p) = β (0) = γ (δ ) = q y Rπ (q) = β (δ ) = γ (0) = p, como se quer´ıa demostrar. Soluci´on al ejercicio 7.6. Obs´ervese que, si W = R3 , entonces S = f −1 (c) es cerrada en R3 y, por tanto, completa (proposici´on 7.2.8). Si W ⊂ R3 estrictamente, S = f −1 (c) no tiene por qu´e ser completa: basta considerar, por ejemplo, la semiesfera superior p ª © S = (x, y, z) ∈ R3 : z = r2 − x2 − y2 ; e´ sta puede verse como la superficie de nivel S = f −1 (0) para la aplicaci´on diferenciable f : W −→ R definida p sobre el abierto © ª 2 2 2 2 3 W = (x, y) ∈ R : x + y < r × R de R , dada por f (x, y, z) = r2 − x2 − y2 − z.

Soluci´on al ejercicio 7.7. Supongamos, en primer lugar, que S es completa. Sea ¡ ¢ α : [0, ∞) −→ S una curva divergente, y definimos Bn := cl Bd α (0), n , n ∈ N. Claramente Bn es cerrado en S y acotado (en la distancia intr´ınseca). Como S es completa, el teorema de Hopf-Rinow nos asegura que Bn es un compacto y, por ser α una curva divergente, podemos deducir que, para todo n ∈ N, existe tn ∈ [0, ∞) tal que, si ¡ ¢ t > tn , entonces α (t) 6∈ Bn , es decir, d α (t), α (0) > n. En consecuencia, se tiene que ¢ ¡ n < d α (t), α (0) ≤ Lt0 (α ) y, tomando l´ımites, L(α ) = l´ım

Z t¯

t→∞ 0

¯ ¯α 0 (s)¯ ds = l´ım Lt0 (α ) = l´ım Lt0 (α ) > l´ım n = ∞. t→∞

n→∞

n→∞

Luego α tiene longitud infinita. Para probar el rec´ıproco, supongamos que cualquier curva divergente tiene longitud infinita, y asumamos que S no es completa. Entonces, existen p0 ∈ S y v ∈ Tp0 S tales que la geod´esica maximal γv que parte de p0 = γv (0) no est´a definida en, digamos, t = 1, no pudi´endose extender a 1. As´ı pues, suponemos que γv : [0, 1) −→ S y que no existe el l´ımite l´ımt→1− γv (t) (si existiese, podr´ıamos extender γv de forma continua a t = 1 y, en consecuencia, tambi´en se extender´ıa como geod´esica –v´ease la prueba del teorema de Hopf-Rinow). Claramente, Z t¯ ¯ L(γv ) = l´ım− ¯γv0 (s)¯ ds = |v| < ∞. t→1

0

Si demostramos que γv (o, de forma m´as precisa, una reparametrizaci´on de la misma) es una curva divergente, habremos obtenido la contradicci´on deseada. 359

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γv se sale de los compactos: Supongamos que no es as´ı. Entonces, existir´ıa A compacto tal que γv (t) ∈ A, para todo t ∈ [0, 1). Sea {tn }n∈N una sucesi´on en [0, 1) con l´ımn→∞ tn = 1. Como ª © ª © γv (tn ) : n ∈ N ⊂ A compacto, existe una subsucesi´on γv (tnk ) k∈N convergente. Por otro lado, por ser {tn }n∈N convergente, en particular es de Cauchy, luego dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, entonces |tm − tn | < ε . Ahora bien (suponiendo, por ejemplo, tn < tm ), ¢ ¡ ¢ Z tm ¯ 0 ¯ ¡ ¯γv (t)¯ dt = |v| (tm − tn ) < ε |v| . d γv (tn ), γv (tm ) ≤ Lttnm γv |[tn ,tm ] = tn

ª © En consecuencia, γv (tn ) n∈N es una sucesi´on de Cauchy; dado que tiene una © ª subsucesi´on γv (tnk ) k∈N convergente, podemos concluir finalmente que la ª © propia γv (tn ) n∈N es convergente. As´ı, existe p = l´ımn→∞ γv (tn ). Vamos a probar que p = l´ımt→1− γv (t), una contradicci´on. Para ello, sea {sn }n∈N una sucesi´on cualquiera en [0, 1) con l´ımn→∞ sn = 1. Con un razonamiento ª © an´alogo al anterior deducimos de nuevo que γv (sn ) n∈N es tambi´en de Cauchy, y por tanto convergente. Sea p0 = l´ımn→∞ γv (sn ). Dado que ¢ ¡ ¢ ¡ 0 ≤ d γv (sn ), γv (tn ) ≤ Ltsnn γv |[sn ,tn ] = |v| |tn − sn | , tomando l´ımites con n → ∞ se tiene 0 ≤ d(p0 , p) ≤ |v| l´ımn→∞ |tn − sn | = 0, de donde d(p0 , p) = 0, es decir, p0 = p. Esto prueba que l´ımt→1− γv (t) = p.

Hemos encontrado una curva γv diferenciable que se sale de los compactos. Para que sea una curva divergente propiamente dicha, debe estar definida en la ¡ ¢ semirrecta [0, ∞): basta tomar la reparametrizaci´on α (t) = γv h(arc tgt) , para un difeomorfismo h : [0, π /2) −→ [0, 1). Soluci´on al ejercicio 7.8. Sea p ∈ S. Como S no es compacta, S 6⊂ Bd (p, n) para cualquier n ∈ N, por lo que existe qn ∈ S con d(qn , p) > n, para todo n ∈ N. Sea dn := d(qn , p) que, claramente, verifica l´ımn→∞ dn = ∞, y sea γn : [0, dn ] −→ S un segmento de geod´esica minimizante uniendo p = γn (0) y qn = γn (dn ) (lema 7.2.5). Finalmente, sea vn = γn0 (0) ∈ Tp S (unitario). Como S es completa, γn : R −→ S est´a definida en todo R, aunque s´olo podemos afirmar que es minimizante en el intervalo [0, dn ]. Construimos entonces la siguiente geod´esica: por estar la sucesi´on de vectores {vn }n∈N ⊂ S1 , que es un compacto, existe una subsucesi´on convergente, digamos l´ımk→∞ vnk = v, con |v| = 1; tomamos la geod´esica maximal γ = γv : R −→ S con condiciones iniciales γ (0) = p y γ 0 (0) = v. Vamos a probar que γ es el rayo buscado:

γ es una geod´esica por definici´on y γ (0) = p.

γ realiza la distancia entre p y γ (t): Sea t ∈ [0, ∞) fijo. Como l´ımn→∞ dn = ∞, existe N > 0 tal que, para todo n ≥ N, t ∈ [0, dn ]. Adem´as, γn es una geod´esica minimizante en [0, dn ], luego ¢ ¡ ¢ Z t¯ 0 ¯ ¡ ¯γn (s)¯ ds = |vn |t = t, d p, γn (t) = Lt0 γn |[0,t] = 0

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para todo n ≥ N. Por otro lado, dado que la aplicaci´on exponencial expp es una funci´on continua y t est´a fijo, l´ım γn (t) = l´ım expp (tvn ) = expp (tv) = γ (t); n→∞

n→∞

en consecuencia, Z t¯ ¯ ¢ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¯γ 0 (s)¯ ds = Lt0 γ |[0,t] . d p, γ (t) = l´ım d p, γn (t) = l´ım t = t = |v|t = n→∞

n→∞

0

Soluci´on al ejercicio 7.9. i) Representamos por d1 y d2 las distancias intr´ınsecas en S1 y S2 , respectivamente. Vamos a probar que (S1 , d1 ) es completa como espacio m´etrico. Veamos en primer lugar cu´al es la relaci´on existente, mediante el difeomorfismo φ , entre ambas distancias. As´ı, si p, q ∈ S1 y α ∈ Ω(p, q) es una curva cualquiera en S1 uniendo α (a) = p, ¡ ¢ α (b) = q, entonces φ ◦ α ∈ Ω φ (p), φ (q) en la superficie S2 y Z b¯ Z b¯ ¯ ¢ ¡ ¢¯ ¡ ¯d φα (t) α 0 (t) ¯ dt ¯(φ ◦ α )0 (t)¯ dt = d2 φ (p), φ (q) ≤ Lab (φ ◦ α ) = a

Z b ¯ 1 1 ¯ 0 ¯¯ α (t) dt = Lab (α ), ≤ a

c

a

c

de donde se deduce que ¢ ¡ d1 (p, q) ≥ cd2 φ (p), φ (q) .

(C.8)

Sea ahora {pn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en (S1 , d1 ). Entonces, dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, se tiene que d(pn , pm ) < ε . Consideremos © ª la sucesi´on φ (pn ) n∈N en S2 . Por (C.8), ¢ 1 ¡ ε d2 φ (pn ), φ (pm ) ≤ d1 (pn , pm ) < ; c c

ª © luego φ (pn ) n∈N es una sucesi´on de Cauchy en (S2 , d2 ), espacio que es completo. ª © En consecuencia φ (pn ) n∈N es convergente: existe l´ımn→∞ φ (pn ) = q2 = φ (q1 ) ∈ S2 (por ser φ difeomorfismo). Podemos concluir, por tanto, que l´ımn→∞ pn = q1 ∈ S1 , es decir, {pn }n∈N es convergente. Observaci´on. Una demostraci´on alternativa a este hecho puede desarrollarse utilizando la caracterizaci´on de completitud por curvas divergentes dada en el ejercicio 7.7. Tomando una curva divergente α : [0, ∞) −→ S1 , es sencillo comprobar que su imagen por el difeomorfismo, φ ◦ α : [0, ∞) −→ S2 , tambi´en es divergente; como S2 es completa, L(φ ◦ α ) = ∞, de donde se obtiene que la longitud de α tambi´en es infinita. ii) El hecho de que la proyecci´on estereogr´afica sea una aplicaci´on conforme implica ® ­ que d π p (v), d π p (w) = λ (p) hv, wi, para todo punto p ∈ S2 \{N} y cualesquiera ¯ ¯ ¡ ¢ v, w ∈ Tp S2 \{N} y, en particular, que ¯d π p (v)¯ = λ (p) |v| para todo p ∈ S2 \{N} ¡ ¢ y todo v ∈ Tp S2 \{N} , siendo λ : S2 \{N} −→ R diferenciable y no constante. El resultado del apartado anterior no puede, por tanto, aplicarse en este caso. 361

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Soluci´on al ejercicio 7.10. Tenemos que demostrar que φ es biyectiva. Veamos primero la inyectividad. Si suponemos que φ no es inyectiva, existir´an p1 , q1 ∈ S1 , p1 6= q1 , tales que φ (p1 ) = φ (q1 ) = p ∈ S2 . Como S1 es conexa y completa, sabemos (lema 7.2.5) que existe un segmento de geod´esica minimizante γ uniendo γ (a) = p1 y γ (b) = q1 . Adem´as, por ser φ isometr´ıa local, φ ◦ γ es una geod´esica (no trivial) en S2 , que es cerrada, pues (φ ◦ γ )(a) = φ (p1 ) = p = φ (q1 ) = (φ ◦ γ )(b). En consecuencia, tomando cualquier punto q = (φ ◦ γ )(t), con a < t < b, obtenemos dos segmentos de geod´esica uniendo p y q en S2 , una contradicci´on. Demostremos finalmente que φ es sobreyectiva: φ (S1 ) = S2 . Vamos a representar por d1 y d2 las distancias intr´ınsecas en S1 y S2 , respectivamente. Como φ es un difeomorfismo local, en particular es un homeomorfismo local, luego (localmente) lleva abiertos a abiertos. Dado que cualquier abierto es uni´on (arbitraria) de abiertos, podemos concluir que φ es una aplicaci´on abierta. As´ı pues, φ (S1 ) ⊂ S2 es abierto. Si probamos que φ (S1 ) es cerrado, por ser S2 conexa podremos concluir que φ (S1 ) = S2 . Sea entonces {pn }n∈N una sucesi´on convergente en φ (S1 ), y sea p = l´ımn→∞ pn ∈ S2 . Tenemos que ver que p ∈ φ (S1 ). Como {pn }n∈N es convergente, en particular es de Cauchy; luego dado ε > 0, existe N > 0 tal que, para cualesquiera n, m ≥ N, se tiene d2 (pn , pm ) < ε . Consideremos la sucesi´on ª © qn = φ −1 (pn ) n∈N en S1 . Al ser φ una isometr´ıa local, la distancia (intr´ınseca) se conserva localmente, esto es, en entornos suficientemente peque˜nos (de p); as´ı pues, ¢ ¡ existir´a un N 0 > 0 tal que para cualesquiera n, m ≥ N 0 , d1 (qn , qm ) = d2 φ (qn ), φ (qm ) . En definitiva, dado ε > 0, para todo n, m ≥ m´ax{N, N 0 } se tiene que ¢ ¡ d1 (qn , qm ) = d2 φ (qn ), φ (qm ) = d2 (pn , pm ) < ε , es decir, {qn }n∈N es una sucesi´on de Cauchy en S1 , que es completa por hip´otesis. Luego {qn }n∈N es convergente. Por lo tanto, existe el l´ımite, q = l´ımn→∞ qn ∈ S1 , de donde podemos concluir que ³ ´ p = l´ım pn = l´ım φ (qn ) = φ l´ım qn = φ (q). n→∞

n→∞

n→∞

Hemos demostrado as´ı que l´ımn→∞ pn = p ∈ φ (S1 ), esto es, φ (S1 ) es un cerrado, lo que concluye la prueba. Soluci´on al ejercicio 7.11. i) Es consecuencia de la desigualdad de Schwarz:11 ·Z b ¸2 Z b Z b¯ ¯ 0 ¯ ¯ 2 b ¯α (t)¯ dt ≤ ¯α 0 (t)¯2 dt = (b − a)E(α ). 1 dt La (α ) = a

a

a

¯ ¯ La igualdad se alcanza si, y s´olo si, existe una constante c tal que ¯α 0 (t)¯ = c, es decir si, y s´olo si, α est´a parametrizada proporcional al arco. 11

La desigualdad de Schwarz asegura que

³Z

y s´olo si, existe una constante c tal que g = c f .

a

b

f g dt

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´2

≤

Z b a

f 2 dt

Z b a

g2 dt, d´andose la igualdad si,

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ii) Si γ es un segmento de geod´esica minimizante, Lab (γ ) ≤ Lab (α ); como adem´as γ est´a p.p.a., el apartado i) nos asegura que Lab (γ )2 = (b − a)E(γ ). En consecuencia, (b − a)E(γ ) = Lab (γ )2 ≤ Lab (α )2 ≤ (b − a)E(α ), es decir, E(γ ) ≤ E(α ). La igualdad se alcanza si, y s´olo si, Lab (γ ) = Lab (α ), es decir, cuando α es tambi´en un segmento de geod´esica minimizante. iii) Por trabajar con curvas regulares, la funci´on E : (−ε , ε ) −→ R, ¯2 À Z b ¯¯ Z b¿ Z b¯ ¯2 ¯ ∂φ ∂φ ∂φ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ αt (s) ds = E(t) = , (s,t) ds, ¯ ∂ s (s,t)¯ ds = a ∂s ∂s a a

que da la energ´ıa de la curva αt , es diferenciable. As´ı pues, podemos calcular su derivada: como À ¿ 2 À ¿ ¿ À d ∂φ ∂φ ∂ φ ∂φ ∂ φ ∂ 2φ , (s,t) = , (s,t) + , (s,t), ds ∂ t ∂ s ∂ t∂ s ∂ s ∂ t ∂ s2

utilizando que las segundas derivadas conmutan, se deduce que À À ¿ À¸ Z b· ¿ Z b¿ 2 ∂ φ ∂φ d ∂φ ∂φ ∂ φ ∂ 2φ 0 , (s,t) ds = 2 , − E (t) = 2 , (s,t) ds. ∂ s∂ t ∂ s ds ∂ t ∂ s ∂ t ∂ s2 a a

Ahora, sustituyendo en t = 0, 1 0 E (0) = 2

¸ ® ­ ® 00 Z(s), α (s) − Z(s), α (s) ds

Z b· ­ d

0

ds a h­ ®ib Z b ­ ® Z(s), α 00 (s) ds. = Z(s), α 0 (s) − a

a

Si α es geod´esica, entonces ¿ À D E ® ­ Dα 0 00 00 ⊥ Z(s), α (s) = Z(s), = Z(s), α 00 (s)⊥ = 0, (s) + α (s) ds

pues Z ∈ X (α ); por ser la variaci´on propia, Z(b) = Z(a). Luego E 0 (0) = 0 para toda variaci´on propia de una geod´esica α . ¡ ¢ Soluci´on al ejercicio 7.12. i) Claramente, φ (s,t) = expp sv(t) es diferenciable, y φ (s, 0) = expp (sv) = γv (s) = γ (s); luego φ es una variaci´on de γ . Por otro lado, para ¡ ¢ cada t ∈ (−ε , ε ), γt (s) = expp sv(t) = γv(t) (s) es una geod´esica. Adem´as,

¡ ¢ ¡ ¢ ∂φ (s,t) = d(expp )sv(t) sv0 (t) = sd(expp )sv(t) v0 (t) ∂t y, sustituyendo en t = 0, (∂ φ /∂ t)(s, 0) = sd(expp )sv (w) = J(s). Por tanto J(s) es un campo de Jacobi. Finalmente, es evidente que J(0) = 0, y adem´as, · ´¸¯¯ D³ DJ (0) = d(expp )sv (w) + s d(expp )sv (w) ¯¯ = d(expp )0 (w) = w. ds ds s=0 363

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ii) Un r´apido c´alculo muestra que L0`

Z `¯ Z `¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¢ Z `¯ 0 ¯ ¡ 0 ¯ ¯v(t)¯ ds = ` ¯v(t)¯ = L0` (γ ) ¯v(t)¯ . ¯ ¯ ¯ γt (s) = γt (s) ds = γt (0) ds = 0

0

0

iii) Tomamos φ (s,t) = γ (s + t), que es claramente diferenciable, con φ (s, 0) = γ (s); luego φ es una variaci´on de γ . Adem´as, γt (s) = φ (s,t) = γ (s + t) es una geod´esica para todo t, siendo (∂ φ /∂ t)(s,t) = γ 0 (s + t). Luego J(s) = (∂ φ /∂ t)(s, 0) = γ 0 (s), lo que demuestra que J(s) = γ 0 (s) es un campo de Jacobi. Soluci´on al ejercicio 7.13. Si N : S −→ S2 (1) es una isometr´ıa, el teorema de rigidez de la esfera (corolario 7.3.3) nos asegura que S es la esfera S2 (1). Soluci´on al ejercicio 7.14. i) Por ser k2 una funci´on continua definida en S compacta, existe p ∈ S donde k2 alcanza el m´aximo (suponemos, como viene siendo usual, k1 ≤ k2 ). Ahora bien, como 2H/K = (k1 + k2 )/(k1 k2 ) ≡ c constante, entonces k1 =

k2 . ck2 − 1

Obs´ervese que k2 6= 1/c y que la funci´on f (x) = x/(cx − 1) es estrictamente decreciente, por lo que podemos deducir que k1 alcanza el m´ınimo en p. Luego se cumplen las tres hip´otesis del lema 7.3.2, lo que nos asegura que p es umbilical, es decir, k1 (p) = k2 (p). Adem´as, para todo p0 ∈ S, al ser p el m´aximo y el m´ınimo de k2 y k1 , respectivamente, se tiene que k2 (p) ≥ k2 (p0 ) ≥ k1 (p0 ) ≥ k1 (p), y como los extremos de esta cadena de desigualdades coinciden, k1 (p0 ) = k2 (p0 ) para todo p0 ∈ S. En consecuencia, S es totalmente umbilical. Sabemos (teorema 3.4.7) que las u´ nicas superficies totalmente umbilicales son las formadas exclusivamente por trozos de planos o trozos de esferas. Del hecho de que ¡ √ ¢ K > 0 y de que S sea conexa, se tiene que S ⊂ S2 1/ K . Finalmente observemos ¡ √ ¢ que, al ser S compacta, entonces S es cerrada (en S2 1/ K ), y que al ser S superficie √ ¢ ¡ ¡ √ ¢ regular, S es abierta (en S2 1/ K ); luego S es toda la esfera S2 1/ K .

ii) Supongamos que existe p0 ∈ S donde H alcanza el m´aximo y K el m´ınimo; es decir, tal que H(p0 ) ≥ H(p) y K(p0 ) ≤ K(p), para todo p ∈ S. Entonces, k1 (p0 ) + k2 (p0 ) ≥ k1 (p) + k2 (p),

(C.9)

k1 (p0 )k2 (p0 ) ≤ k1 (p)k2 (p).

(C.10)

Como K > 0, podemos suponer que 0 < k1 (p) ≤ k2 (p) para todo p ∈ S (si ambas curvaturas fuesen negativas el razonamiento ser´ıa an´alogo). Entonces, multiplicando (C.9) por k2 (p0 ) y utilizando a continuaci´on (C.10), obtenemos que £ ¤ k2 (p0 ) k1 (p) + k2 (p) ≤ k1 (p0 )k2 (p0 ) + k2 (p0 )2 ≤ k1 (p)k2 (p) + k2 (p0 )2 , o lo que es lo mismo, £ ¤ k2 (p0 )2 − k1 (p) + k2 (p) k2 (p0 ) + k1 (p)k2 (p) ≥ 0. 364

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(C.11)

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£ ¤ Es sencillo ver que las ra´ıces del polinomio x2 − k1 (p) + k2 (p) x + k1 (p)k2 (p) son, precisamente, k1 (p) y k2 (p), por lo que la desigualdad (C.11) se verifica si, y s´olo si, k2 (p0 ) ≤ k1 (p) o k2 (p0 ) ≥ k2 (p). En el primer caso, si k2 (p0 ) ≤ k1 (p) para todo p ∈ S, en particular se tendr´ıa que k2 (p0 ) ≤ k1 (p0 ) ≤ k2 (p0 ), es decir, p0 ser´ıa un punto umbilical, lo que contradir´ıa nuestra hip´otesis. As´ı pues, k2 (p0 ) ≥ k2 (p), es decir, p0 es un m´aximo para k2 . Entonces, utilizando (C.10),

k2 (p) k1 (p0 ) ≤ ≤ 1, k1 (p) k2 (p0 )

esto es, k1 (p0 ) ≤ k1 (p) para todo p ∈ S. Luego p0 es un m´ınimo para k1 . Por lo tanto, se cumplen las tres hip´otesis del lema 7.3.2, lo que nos asegura que p es umbilical, de nuevo una contradicci´on.

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´Indice terminologico ´ A

αE , v´ease evoluta αρP , v´ease curva paralela a distancia ρ a´ ng(v, w), 21 A p , v´ease operador forma A(R), v´ease a´ rea de una regi´on aceleraci´on normal, extr´ınseca, 113 tangencial, intr´ınseca, 113 anchura, 47 a´ ngulo de rotaci´on, 218 total, 219 externo, 219 orientado, 21 aplicaci´on ant´ıpoda, 95 cambio de coordenadas, 72 conforme, 142 de Gauss, 109 diferenciable entre superficies, 75, 76 exponencial, 192 Dominio de, 192 isoareal, 144 que conserva la orientaci´on, 130 que invierte la orientaci´on, 130 recubridora, 331 a´ rea de una regi´on, 91, 160 de una superficie compacta, 160 Elemento de, 156 encerrada por una curva, 47 arista, 232 exterior, 233 interior, 233 asint´otica Curva, 149 Direcci´on, 149

astroide, 287 autointersecci´on, 27 B b(s), v´ease vector binormal bd M, 22 Bd (p, r), 259 banda de M¨obius, 101, 299 base de Tp S negativamente orientada, 107 positivamente orientada, 107 binormal Recta, 57 Vector, 41 botella de Klein, 102, 300 braquistocrona, 57 bruja de Agnesi, 289 C cl M, 22 campo de Jacobi, 282 de vectores, 102 a lo largo de una curva, 178 diferenciable, 102 normal, 102 paralelo, 180 tangente, 102 unitario, 102 variacional, 249 cara, 232 caracter´ıstica de Euler-Poincar´e, 232 cardioide, 289 espacial, 295 carta, 60 catenaria, 30 catenoide, 96

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centro de curvatura, 36 del entorno normal, 195 cicloide, 57 de Ceva, 289 cilindro, 89 circunferencia geod´esica, 199 osculatriz, 36 cisoide de Diocles, 288 colatitud, 63 completitud, 267 concoide de Nicomedes, 290 conjugados(as) Direcciones, 151 Funciones arm´onicas, 171 Superficies minimales, 171 Vectores, 151 cono, 69 convexo(a) Conjunto, 47 Curva, 47 coordenadas Cambio de, 72 Curvas, 91 Expresi´on en de una aplicaci´on, 75 de una curva, 79 de una funci´on, 73 geod´esicas polares, 205 geogr´aficas, 63 normales, 204 polares tangenciales, 48 Sistema de, 60 cornoide, 289 cr´ıtico Punto, 64, 87 Valor, 64 curva alabeada, 26 asint´otica, 149 cerrada, 46 convexa, 47

coordenada, 91 de la variaci´on, 249 de nivel, 174 de persecuci´on, 56 diferenciable en una superficie, 79 divergente, 281 esf´erica, 57 Exterior de, 47 Interior de, 47 minimizante, 260 paralela a distancia ρ , 37 parametrizada diferenciable, 26 por la longitud de arco, 29 peri´odica, 46 p.p.a., 30 regular, 27 a trozos, 217 simple, 27, 46 curvatura(s) Centro de, 36 de Gauss, 120 Interpretaci´on geom´etrica, 131 de una curva en R3 , 42 p.p.a., 40 de una curva plana, 34 Interpretaci´on geom´etrica, 36 p.p.a., 33 geod´esica, 192 de una curva p.p.a., 114, 191 L´ınea de, 119 media, 120 normal, 115 Interpretaci´on geom´etrica, 115 principales, 118 Radio de, 33 total, 162 c´uspide, 219 D d, v´ease distancia intr´ınseca dA(p), v´ease elemento de a´ rea

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´ Indice terminol´ogico

∆, 22 D p , v´ease dominio de expp D(p, r), v´ease disco geod´esico D , v´ease derivada covariante dt Darboux F´ormulas de, 212 Triedro de, 114 deltoide, 287 derivada covariante, 179 desigualdad isodiam´etrica, 53 isoperim´etrica, 51 di´ametro de una curva, 47 de una superficie compacta, 271 difeomorfismo, 78 diferencial de una aplicaci´on, 83 de una funci´on, 81 de una parametrizaci´on, 62 direcci´on(es) asint´otica, 149 conjugadas, 151 principal, 118 directriz, 151 disco geod´esico, 199 distancia intr´ınseca, 257 orientada, 38

E E, F, G, v´ease coeficientes de la primera forma fundamental e, f , g, v´ease coeficientes de la segunda forma fundamental εi , v´ease a´ ngulo externo expp , v´ease aplicaci´on exponencial ecuaci´on(es) de Cauchy-Riemann, 171 de compatibilidad, 140 de Euler-Lagrange, 164

de Gauss, 139 de Mainardi-Codazzi, 140 elemento de a´ rea, 156 de l´ınea, 90 elipse, 286 elipsoide, 65 endomorfismo de Weingarten, 111 energ´ıa, 282 entorno coordenado, 60 estrellado, 196 normal, 195 Centro de, 195 epicicloide, 287 epitrocoide, 287 esfera, 62 espiral concha, 294 c´onica, 294 de Arqu´ımedes, 55 de Corn´u, 288 de Fermat, 288 esf´erica, 294 helicoidal, 294 hiperb´olica, 288 logar´ıtmica, 55 estructura compleja de una superficie, 107 en R2 , 32 evoluta, 37 exterior de una curva, 47 F figura ocho, 46 focal Lugar, 152 Punto, 152 folium de Descartes, 288 forma fundamental Primera, 88 Coeficientes de la, 89

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Segunda, 112 Coeficientes de la, 125 Tercera, 149 f´ormula(s) de Blaschke, 48 de Cauchy, 48 de Euler, 120 de Gauss, 137 de Laplace, 165 de Liouville, 228 de Steiner, 49 de variaci´on Primera, 250 Segunda, 253 de Weingarten, 137 Frenet Diedro de, 32 F´ormulas de en R2 , 33 en R3 , 41 Referencia de intr´ınseca, 213 Triedro de, 41 funci´on(es) altura, 75 arm´onicas conjugadas, 171 diferenciable en superficies, 73 meseta, 166 G Γkij , v´ease s´ımbolos de Christoffel

γ p , v´ease geod´esica radial γv , v´ease geod´esica maximal Gauss Aplicaci´on de, 109 Curvatura de, 120 Ecuaci´on de, 139 F´ormulas de, 137 Teorema Egregium de, 139 generatriz, 151 geod´esica, 185 Curvatura, 191

maximal, 189 Propiedad minimizante, 200 radial, 196 geometr´ıa esf´erica, 241 eucl´ıdea, 241 hiperb´olica, 242 H H(p), v´ease curvatura media Ht0 (t), v´ease holonom´ıa h´elice, 26 generalizada, 58 helicoide, 89 hiperboloide de dos hojas, 66 de una hoja, 66 hipocicloide, 287 hipotrocoide, 287 holonom´ıa, 223 I int M, 22 I p (v), v´ease 1a forma fundamental II p (v), v´ease 2a forma fundamental III p (v), v´ease 3a forma fundamental Iv , v´ease intervalo maximal identidad de polarizaci´on, 112 imagen esf´erica, 109 indicatriz normal, 239 ´ındice de rotaci´on, 219 integral sobre una superficie, 158, 159 interior de una curva, 47 intervalo maximal, 189 involuta, 37 isometr´ıa global, 133 local, 133 J J, J p , v´ease estructura compleja

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´ Indice terminol´ogico

K K(p), v´ease curvatura de Gauss k(s), v´ease curvatura de una curva ker, 315 kg (s), v´ease curvatura geod´esica k1 (p), k2 (p), v´ease curvaturas principales kn (v, p), v´ease curvatura normal L Lab (α ), v´ease longitud de una curva L(t), 249 latitud, 143 lema de Gauss, 197 versi´on geom´etrica, 199 de homogeneidad de las geod´esicas, 193 lemniscata de Bernoulli, 286 l´ınea de curvatura, 119 de estricci´on, 151 longitud, 63 de una curva, 28 loxodroma, 96 M meridiano, 95 minimizante Curva, 260 Geod´esica, 263 movimiento r´ıgido directo, 23 inverso, 23 N N, polo norte, 21

N, v´ease aplicaci´on de Gauss N(p), v´ease vector normal a una superficie

N(t), 178 N(u, v), 105 n(s), v´ease vector normal a una curva, v´ease indicatriz normal nivel Curva de, 174 Superficie de, 65 normal Campo de vectores, 102 Indicatriz, 239 Recta, 81 Vector a una curva de R3 , 40 a una curva plana, 32 a una superficie, 81 O Ω(p, q), 257 operador forma, 111 orientaci´on, 102 Aplicaci´on que conserva la, 130 Aplicaci´on que invierte la, 130 ovaloide, 278 o´ valos de Cassini, 289 P ¡ ¢ P [a, b] , 28

Π, v´ease plano

paraboloide de revoluci´on, 122 hiperb´olico, 112 paralelo Campo de vectores, 180 de una superficie de revoluci´on, 95 parametrizaci´on, 60 doblemente ortogonal, 125 en coordenadas geod´esicas polares, 205 en coordenadas normales, 204 isoterma, 165, 170 ortogonal, 91

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positivamente orientada de una curva, 219 de una superficie, 136 par´ametro Cambio de, 27 que conserva la orientaci´on, 28 que invierte la orientaci´on, 28 de una curva, 26 partici´on diferenciable de la unidad, 159 subordinada a cubrimiento, 159 periodo, 46 plano, 62 osculador, 41 tangente, 80 Plateau Curva de, 289 Problema de, 165 pol´ıgono curvado, 219 de Reuleaux, 47 geod´esico, 244 problema de tipo Dido, 51 isoperim´etrico, 50 proyecci´on, 141 azimutal, 147 central, 147 cil´ındrica, 145 de Lambert, 145, 154 de Mercator, 146, 153 c´onica, 147 estereogr´afica, 64 pseudoesfera, 96 punto cr´ıtico, 64, 87 el´ıptico, 121 hiperb´olico, 121 parab´olico, 121 plano, 121 regular, 151 singular, 27 umbilical, 121

R Rot, v´ease a´ ngulo de rotaci´on total Rθ , v´ease rotaci´on radio de curvatura, 33 geod´esico, 199 rayo, 281 recta normal a una superficie, 81 tangente a una curva, 27 regi´on, 91 simple, 229 regla de la cadena, 85 reparametrizaci´on, 27 por la longitud de arco, 30 ros´aceas, 290 rotaci´on ´ Angulo de, 218 3 en R , 85 en Tp S, 107 ´Indice de, 219 S S, polo sur, 21

S2 , S2 (r), v´ease esfera S(p, r), v´ease circunferencia geod´esica SO(n), 22 sop, v´ease soporte span, 21 secci´on normal, 116 semiplano de Poincar´e, 242 silla de montar, 112 del mono, 129 s´ımbolos de Christoffel, 137 soporte, 157 superficie(s) completa, 267 de Catalan, 302 de dos caras, 103 de Enneper, 150, 174, 301 de nivel, 65 de revoluci´on, 95

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´ Indice terminol´ogico

de Riemann, 302 de Scherk, 164 desarrollable, 152 difeomorfas, 78 extendible, 270 geod´esicamente completa, 191 en un punto, 191 homog´enea, 117 is´otropa, 117 isom´etricas globalmente, 133 localmente, 133 llana, 256 minimal, 163, 164 minimales conjugadas, 171 orientable, 102, 104 orientada, 102 parametrizada, 60 reglada, 151 regular, 60 tangente, 245 totalmente umbilical, 121 T T, v´ease triangulaci´on T2 , v´ease toro T2 #T2 , v´ease 2-toro t(s), v´ease vector tangente/velocidad a una curva τ (s), v´ease torsi´on de una curva en R3 Tp S, v´ease plano tangente tangente Plano, 80 Recta, 27 Vector, 32 tautocrona, 57 teorema de Aleksandrov, 279 de Barbier, 49 de Beltrami-Enneper, 149 de Bieberbach, 54 de Bonnet, 140, 271

de caracterizaci´on de las superficies totalmente umbilicales, 122 variacional de las geod´esicas, 252, 263 de existencia y unicidad de campos paralelos, 182 de geod´esicas maximales, 189 de geod´esicas radiales, 196 de Gauss-Bonnet versi´on global, 234 versi´on local, 229 de Green, 229 de Hadamard, 152 de Hopf, 279 de Hopf-Rinow, 267 de Jacobi, 239 de Joachimsthahl, 150 de la curva de Jordan, 47 de la funci´on inversa, 68, 86 de Lancret, 58 de Liebmann, 274 de Minding, 208 de Olinde-Rodrigues, 149 de rigidez de la esfera, 277 de Rosenthal y Szasz, 49 de rotaci´on de las tangentes, 220 de Thales, 241 del cambio de variable, 161 Egregium de Gauss, 139 fundamental de curvas en R3 , 44 planas, 35 toro, 67 2-toro, 234 torsi´on de una curva en R3 , 42 p.p.a., 41 geod´esica, 212 tractriz, 56 transporte paralelo, 183 traza, 26 triangulaci´on, 232

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tri´angulo, 232 esf´erico, 241 hiperb´olico, 242 triedro de Darboux, 114 de Frenet, 41 trifolium, 289 trocoide, 287 tubo regular, 97 V V (p), 22 valor cr´ıtico, 64 regular, 64 variaci´on Curva de la, 249 de una curva, 248 normal, 166 de una curva, 253 Primera f´ormula de, 250 propia, 249 Segunda f´ormula de, 253 vector(es) aceleraci´on, 33 binormal, 41 conjugados, 151

normal a una curva en R3 , 40 a una curva plana, 32 a una superficie, 81 tangente a una curva, 26 a una curva en R3 , 40 a una curva plana, 32 a una superficie, 79 velocidad, 26 angular, 58 v´ertice, 217 externo, 235 interno, 235 W Weingarten Endomorfismo de, 111 F´ormulas de, 137 X

χ (T), v´ease caract. de Euler-Poincar´e X (α ), v´ease campo de vectores tangente a lo largo de una curva (S), v´ e ase campo de vectores tangente X ⊥ X (S) , v´ease campo de vectores normal

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CSIC

Un curso de

Geometría Diferencial María de los Ángeles Hernández Cifre y José Antonio Pastor González

Textos Universitarios • 47 La Geometría Diferencial es una disciplina presente en el núcleo central de todos los estudios de Matemáticas, así como una herramienta básica en el desarrollo de otras ciencias, como Física, Biología, Arquitectura e Ingeniería; asimismo, está íntimamente ligada a los estudios de Cartografía y Geodesia para la representación geométrica de la Tierra. En este libro se presenta Un curso de Geometría Diferencial sobre curvas y superficies, enfocado a satisfacer las necesidades de los estudiantes, tanto de grado como de máster, que requieren de esta disciplina para consolidar su formación. Conscientes de que para el estudio de la Geometría Diferencial son necesarios conocimientos previos y un cierto grado de madurez científica, los autores han elaborado un texto con una clara pretensión didáctica, empleando un lenguaje directo y sencillo, con el desarrollo de demostraciones detalladas y, finalmente, con una exhaustiva relación de problemas (incluyendo la resolución de éstos y el uso de un software específico). Se ha procurado, asimismo, abarcar los contenidos habituales en los cursos de Geometría Diferencial, sin olvidar aquellos otros temas directamente vinculados con ella. El estudiante y el especialista en la materia tienen así en estas páginas una buena herramienta para el aprendizaje y el análisis de esta singular rama de las Matemáticas, verdadero puente que comunica y relaciona disciplinas como la Topología, el Álgebra y el Análisis.

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María de los Ángeles Hernández Cifre José Antonio Pastor González

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Geometría Diferencial María de los Ángeles Hernández Cifre José Antonio Pastor González

Geometría Diferencial

5/8/10

Un curso de

Cubierta GeometrA??a Diferencial.qxd:Cubierta Geometría Diferencial

Consejo Superior de Investigaciones Científicas

Petro Plancio, Orbis terrarum de integro multis in locis emendatus, 1594.