Notas De Geometria Diferencial Clasica

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Notas de Geometr´ıa diferencial cl´asica

Luis J. Garay con la colaboraci´on de

Alejandro Manjavacas y David Yllanes

Madrid, 12 de julio de 2005 Universidad Complutense de Madrid Facultad de Ciencias F´isicas ´ Departamento De F´isica Teorica II Avda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, Espana ˜ Luis J. Garay [email protected] Tel.: + 34 913944552, Fax: + 34 913944557

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Prefacio Estas notas no son otra cosa que mis apuntes personales, que he ido elaborando con el unico objeto de que me sean utiles en la ensenanza de la asignatura de ´ ´ ˜ Geometr´ıa diferencial cl´asica. Aunque probablemente estas notas os sean utiles ´ tambi´en a vosotros, no deb´eis olvidar que, en ningun ´ caso, pueden sustituir a la bibliograf´ıa de la asignatura. Adem´as, como pod´eis ver, son en buena parte un resumen de los contenidos del libro de Costa, Gamboa y Porto, con una notable p´erdida de rigor y calidad. En este sentido, es necesario hacer algunas advertencias: Estas notas no son, ni pretenden ser, un libro ni un manual. Son, una vez m´as, mis apuntes personales. No me hago responsable de los errores que puedan contener estas notas ni del uso que hag´ais de las mismas. La bibliograf´ıa pertinente es, sin duda, el medio m´as adecuado para obtener los conocimientos necesarios. Son una notas incompletas cuyo contenido no va m´as all´a de los temas tratados en la asignatura de Geometr´ıa diferencial cl´asica, grupo A, durante el ano ˜ acad´emico 2004–05.

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Agradecer´ıa que me comunicaseis cualquier errata que pudieseis encontrar. Sin duda alguna, ser´an muchas. Quiero agradecer a Alejandro Manjavacas y a David Yllanes su colaboracion ´ en la redaccion ´ de estas notas. Ambos han contribuido a mejorar notablemente el contenido y la exposicion ´ de las mismas. Recibid un saludo de mi parte,

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Bibliograf´ıa [1] A.F. Costa, M. Gamboa, A.M. Porto, Notas de geometr´ıa diferencial de curvas y superficies (Sanz y Torres, 1997) [2] A.F. Costa, M. Gamboa, A.M. Porto, Ejercicios de geometr´ıa diferencial de curvas y superficies (Sanz y Torres, 1997) [3] Dirk J. Struik, Geometr´ıa diferencial cl´asica, Aguilar, Madrid (1955) (Tambi´en en ingl´es en Dover) [4] Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover (1991). Hay otra edicion, ´ m´as completa: Introduction to Differential Geometry and Riemaniann Geometry, Toronto University Press (1968). En realidad cualquiera de las dos incluye lo relevante para este curso. [5] Sebasti´an Montiel y Antonio Ros, Curvas y superficies, Proyecto Sur, Granada (1997)

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[6] A. L´opez de la Rica, A. de la Villa Cuenca, Curvas y superficies, Proyecto Sur, Granada (1997) [7] Martin M. Lipschutz, Teor´ıa y problemas de geometr´ıa diferencial, Schaum, Mcgraw Hill, Madrid (1990). Hay tambi´en una edicion ´ llamada Geometr´ıa diferencial (serie Schaum, Mcgraw Hill, 1970) [8] Manfredo do Carmo, Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies, Alianza Universidad, Madrid (1994) [9] A. S. Fedenko, Problemas de geometr´ıa diferencial, Mir, Moscu´ y Rubinos, Ma˜ drid (1991) [10] David C. Kay Teor´ıa y problemas de c´alculo tensorial, McGraw-Hill, serie Schaum, Madrid (1989) notas gdc (v. 2005/2/23)

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Bibliograf´ia Como se ha advertido en el Prefacio, el uso de libros es muy necesario. A continuacion ´ daremos algunas sugerencias, aunque siempre es conveniente que cada uno pruebe y elija los libros que m´as le convengan. En el primer tema las notas siguen bastante la referencia [1], libro muy claro y completo, pero que puede tener un tratamiento demasiado riguroso de algunos temas. La estructura es algo distinta, pues empieza por un cap´ıtulo dedicado exclusivamente a curvas planas, para luego continuar con las curvas en el espacio, donde cubre todos los contenidos tratados en esta asignatura. Para la teor´ıa de este tema, tambi´en es recomendable al libro [4], m´as resumido que el anterior y que no se detiene tanto en algunos detalles t´ecnicos. La notacion ´ de [4] se acerca m´as a la de estas notas que la de [1]. Otro libro de teor´ıa adecuado para el Tema 1 es [8]. En general cualquiera de los tres se adapta a lo explicado en clase.

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El tema de superficies est´a tambi´en tratado en el libro [1] aunque, de nuevo, el enfoque puede resultar demasiado lento si no se tiene demasiado tiempo. Es bastante claro el libro [4], que introduce los conceptos relevantes con m´as rapidez. Para la parte de geometr´ıa intr´ınseca (Tema 3), la notacion ´ y estructura de clase resultan muy distintos ya a la mayor´ıa de los libros aqu´ı recomendados, que no utilizan el formalismo tensorial. La referencia [4] se acerca m´as y puede resultar interesante para quien tenga dificultades con estos conceptos. Incluye un tema dedicado a una introduccion ´ al c´alculo tensorial. Otra referencia interesante para practicar con los tensores es [10]. Es muy importante completar los ejercicios de clase con libros. Uno de los m´as recomendables es [2], que incluye muchos problemas, todos resueltos, muy claros y muy detallados. No todos los ejercicios de este libro se ajustan al nivel de la asignatura: hay bastantes muy largos y otros que, sin ser especialmente dif´ıciles, se dedican a temas que no se tratan aqu´ı. Tambi´en es interesante el libro [6], con problemas muy variados, en general m´as sencillos que los de [2], y con una estructura muy clara y manejable. Hay tambi´en muchos ejercicios en la referencia [7]. Finalmente, el libro [9] incluye una cantidad enorme de problemas, de muy variada dificultad, aunque no tan explicados como en los anteriores (muchas veces se limita a proporcionar el resultado). Es especialmente interesante para problemas de parametrizacion ´ de curvas (y tambi´en de superficies) puesto que es necesaria una cierta soltura con este aspecto para abordar algunos ejercicios. En general, cualquier libro citado en la teor´ıa incluye problemas. Finalmente, queremos recomendar la p´agina web mathworld.wolfram.com, un recurso muy util ´ con much´ısima informacion ´ sobre todo tipo de temas matem´aticos. Para esta asignatura, se pueden encontrar all´ı definiciones y teoremas, junto con

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Bibliograf´ıa p´aginas dedicadas a superficies concretas, de las que suele incluir la primera y segunda formas fundamentales, geod´esicas, dibujos, etc.

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Alejandro Manjavacas y David Yllanes, 2005

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´ Indice ´ Introduccion 1. Curvas en el espacio

0–13 1–1

1.1. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1–3

1.1.1. Parametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1–3

1.1.2. Recta tangente y plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . .

1–5

1.1.3. Orientaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1–7

1.1.4. Parametrizacion ´ por la longitud de arco . . . . . . . . . . . .

1–7

1.2. Curvatura y torsion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1–9

1.2.1. Sistema de referencia movil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´

1–9

1.2.2. Curvatura y torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10 ´ 1.2.3. Caracterizacion ´ de curvas mediante las funciones curvatura y torsion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–14 1.3. Contactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–15 1.3.1. Ejemplos concretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–15

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1.3.2. Teor´ıa general de contactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–19 1.4. Curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–22 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–23 2. Superficies en el espacio

2–1

2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–3

2.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–8

2.2.1. Curvas en una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2–8

2.2.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10 notas gdc (v. 2005/2/23)

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´ Indice 2.3. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–14 2.3.1. De una superficie en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–14 2.3.2. Entre superficies de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–15 2.4. Orientabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–17 2.5. La primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–19 2.6. Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–23 2.7. La segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–25 2.8. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–27 2.8.1. Curvatura normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–27 2.8.2. L´ıneas de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–29 2.8.3. Curvatura de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–32 2.8.4. Clasificacion ´ local de las superficies . . . . . . . . . . . . . . . 2–33 2.9. L´ıneas asintoticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–35 ´ 2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–37 3. Geometr´ıa intr´ınseca de superficies

3–1

3.1. Isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3–3

3.2. Ecuaciones de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3–5

3.2.1. Formulas de Gauss-Codazzi y de Weingarten . . . . . . . . . ´

3–5

3.2.2. S´ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3–7

3.2.3. Formula de Mainardi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´

3–9

3.2.4. Formula y teorema egregio de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 3–10 ´

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3.2.5. Formula de Mainardi-Codazzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–11 ´ 3.2.6. Condiciones de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–11 3.3. Transporte paralelo. Derivacion ´ covariante . . . . . . . . . . . . . . . 3–12 3.4. Geod´esicas y curvatura geod´esica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–14 3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–19 A. Tensores

A–1

A.1. Vectores y formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3 A.2. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3 0–10

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´ Indice A.3. Tensor m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5 A.4. Tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–6

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A.5. Tensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9

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´ Introduccion Ubi materia, ibi geometria J. Kepler La geometr´ıa como estudio de las curvas y superficies m´as sencillas es una disciplina muy antigua, practicada por todas las civilizaciones cl´asicas. Como ejemplo cabe mencionar a los egipcios, cuya civilizacion ´ se desarrollo, ´ como es bien sabido, en torno al Nilo y depend´ıa totalmente de la crecida y posterior retirada de este r´ıo, que dejaba a la tierra muy f´ertil. Era, por lo tanto, muy importante para ellos la medida de tierras con cierta precision, ´ para poder repartir las zonas inundadas de acuerdo con la propiedad de cada uno.

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En Grecia, la geometr´ıa entro´ con fuerza: al primero de los Siete Sabios, Tales de Mileto, ya se le atribuyen teoremas (como el que demuestra la igualdad de los a´ ngulos que se forman al cortar dos paralelas con una l´ınea comun). En los siglos ´ VI y V a.C., el protagonismo en esta a´ rea recayo´ sobre Pit´agoras y sus seguidores, entre los que destacan Filolao y Arquitas. Pero, aunque ya en esta e´ poca se conoc´ıan varios teoremas y propiedades de figuras, solamente se trataban aqu´ellas limitadas por rectas y circunferencias; hasta el siglo IV a.C. no se ampliaron estos horizontes. Fue entonces cuando Menecmo introdujo la idea de secciones conicas, ´ que fue desarrollada m´as tarde por Apolonio. Un poco antes, aparecio´ el que es probablemente el primer libro de texto de Geometr´ıa, debido a Hipocrates de Qu´ıo. ´ Mucho m´as importantes fueron los Elementos de Euclides, escritos en el siglo III a.C. Este libro se convirtio´ en la referencia b´asica, casi en la unica. En e´ l, se baso´ to´ do el desarrollo de la geometr´ıa y, en gran parte al menos, de la ciencia durante muchos siglos, como veremos a continuacion. ´ De la misma escuela alejandrina que Euclides, aparecio´ Arqu´ımedes, el m´as importante matem´atico de la antiguedad. A e´ l, se deben las soluciones a muchos ¨ problemas, tanto f´ısicos como geom´etricos. Entre los ultimos, destacan su estudio ´ de las espirales, de la relacion ´ entre la esfera y el cilindro, la cuadratura de la par´abola, la demostracion ´ de que la cuadratura del c´ırculo es imposible, etc. notas gdc (v. 1.0)

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´ Introduccion A partir de aqu´ı, la geometr´ıa guio´ toda la g´enesis de la f´ısica. Con simples razonamientos geom´etricos, Eratostenes llego´ a dar una estimacion ´ ´ muy acertada de la circunferencia de la Tierra y la geometr´ıa fue tambi´en el lenguaje utilizado por Tolomeo en su Gran s´ıntesis astron´omica (m´as conocida por su nombre a´ rabe, Almagesto), donde expuso su modelo astronomico y donde introdujo el estudio ´ de las cuerdas en circunferencias (equivalente, por supuesto, a un estudio de los senos). No fue Tolomeo el ultimo en exponer sus ideas de esta manera y, as´ı, tenemos ´ que, en la e´ poca de la Revolucion ´ Cient´ıfica, Kepler escribio´ ((La geometr´ıa es el arquetipo de la belleza del mundo)).

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Todo este desarrollo se llevo´ a cabo con la geometr´ıa como una rama totalmente desligada de los avances algebraicos. Fue necesario esperar al siglo XVI, cuando la Matem´atica universal de Descartes integro´ la s´ıntesis (geometr´ıa) y el an´alisis (´algebra). Pero esta union ´ no llego´ a los corazones de todos los cient´ıficos. El propio Newton escribio´ todos sus Principios Matem´aticos de la Filosof´ıa Natural con razonamientos puramente geom´etricos; el a´ lgebra era para e´ l de segunda categor´ıa. En otras palabras, en todo este tiempo, los m´etodos matem´aticos utilizados por la geometr´ıa fueron bastante elementales y las figuras estudiadas se limitaban a las m´as sencillas. En estas condiciones, no estaba claro cu´ales ser´ıan las propiedades generales que habr´ıa que investigar al dar el salto hacia curvas y superficies arbitrarias. No obstante, tal investigacion ´ era completamente natural y necesaria. Esto se ve al considerar ejemplos naturales que se aproximan al concepto de curva o superficie matem´atica: la trayectoria de un barco, la forma de un muelle en espiral, las orbitas ´ de los planetas, el perfil de un ala de avion, ´ etc. A la vista de esto, hay que buscar la razon ´ de que este estudio general se haya retrasado tanto en la Historia, en contraste con el inter´es que, como hemos visto, desperto´ la geometr´ıa elemental desde el principio. Y la encontramos en el hecho de que, para poder hablar de una teor´ıa de curvas y superficies, es totalmente imprescindible la existencia del c´alculo infinitesimal. De este modo, fue solo a partir del siglo XVIII cuando se pudo desarrollar este trabajo. Con el paso del tiempo, los problemas tratados rebasaron el marco de una simple aplicacion ´ del an´alisis a la geometr´ıa y condujeron a la formacion ´ de una teor´ıa independiente. Algunos de los m´as importantes contribuidores en las primeras etapas fueron Clairaut, Euler o Monge. Por supuesto, todo este trabajo estaba motivado principalmente por necesidades pr´acticas, de la tecnolog´ıa e industria, para las que los resultados de la geometr´ıa elemental resultaban totalmente insuficientes. Un ejemplo importante de motivacion ´ es el problema de la confeccion ´ de mapas, es decir, hallar una represen-

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Introducci´on

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tacion ´ lo m´as exacta posible de partes de la superficie de la Tierra sobre un plano. Como se ver´a en el Tema 2, una representacion ´ completamente exacta es imposible, pues las distancias entre puntos correspondientes est´an necesariamente distorsionadas. A e´ ste y otros aspectos se dedico´ Gauss, cuyo trabajo en teor´ıa de superficies condujo a la creacion ´ de una rama independiente de las matem´aticas. Es, de hecho, a un resultado geom´etrico, que se estudiar´a en el Tema 3, al que se reserva el t´ıtulo de Teorema egregio, de entre los muchos obtenidos por este gran matem´atico. En sus propias palabras: ((De este modo, la formula del art´ıculo precedente lleva ´ por s´ı misma al destacable teorema. Si una superficie curva es desarrollada en otra cualquiera, la medida de la curvatura en puntos correspondientes permanece invariada)). Veremos en el Tema 3 la expresion ´ moderna de esta afirmacion, ´ en la que el desarrollo de Gauss se convertir´a en una aplicaci´on isom´etrica. En resumen, hacia la segunda mitad del siglo XIX, la teor´ıa de curvas y superficies quedo´ ya establecida en sus rasgos b´asicos y es e´ sta la parte de la geometr´ıa diferencial que se va a tratar en esta asignatura. Fue en este siglo donde quedaron establecidas tanto las ecuaciones fundamentales de la teor´ıa de curvas (ecuaciones de Frenet) como las de superficies (formas fundamentales y estudio intr´ınseco). Tambi´en fue en esa e´ poca, abandonados ya los intentos de demostrar el indemostrable quinto postulado de Euclides,1 cuando aparecieron geometr´ıas no eucl´ıdeas a partir del trabajo de Gauss, Bolyai y Lobachevski. En concreto, se empezo´ por postular una geometr´ıa (que Klein llamar´ıa hiperb´olica) en la que por cada punto pasan infinitas paralelas a una recta dada. En este espacio, los a´ ngulos de los tri´angulos suman menos de 180 grados y la circunferencia es mayor que π veces el di´ametro. Sin embargo, los otros cuatro postulados siguen siendo v´alidos. M´as tarde, los matem´aticos Riemann y Schl¨afli desarrollaron otro tipo de geometr´ıa no eucl´ıdea, el´ıptica en la clasificacion ´ de Klein, en la que por un punto dado no se puede trazar ninguna paralela a una recta dada. En este caso, los tri´angulos tienen m´as de 180 grados y las circunferencias son menores que 2π veces su radio. Estas nuevas geometr´ıas no fueron bien recibidas por todos al principio y, de hecho, el propio Gauss tardo´ en hacer publicas sus ideas sobre el tema, para no generar ´ pol´emica entre sus colegas m´as conservadores. El paso del tiempo ha demostrado, sin embargo, que estas geometr´ıas son tan consistentes como la cl´asica. Se puede modelar el plano hiperbolico con la pseudoesfera, resultado de rotar una tractriz2 ´ puede enunciar este postulado de la siguiente manera: ((Por un punto en el plano, no situado sobre una recta dada, solo se puede trazar una unica paralela a dicha recta)). A lo largo de la historia ´ fueron muchos los intentos de demostrar este postulado (convertirlo en un teorema) a partir de los otros cuatro. 2 La tractriz es la curva descrita por un objeto, inicialmente en el eje vertical, cuando es arrastrado 1 Se

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´ Introduccion alrededor de su as´ıntota, como veremos en el Tema 2. An´alogamente, la geometr´ıa el´ıptica se puede identificar con la superficie de una esfera. En ella, las geod´esicas rectas de Euclides se convierten en c´ırculos m´aximos y, por supuesto, no puede haber dos paralelos. Einstein adopto´ m´as tarde una geometr´ıa no eucl´ıdea, en la que la curvatura de cada punto depende de la materia. Citando a J. A. Wheeler, ((La materia dice al espacio como curvarse y e´ ste devuelve el cumplido diciendo ´ a la materia como moverse)). Antes de esto, la mayor´ıa de f´ısicos y matem´aticos, ´ dirigidos por Poincar´e, supon´ıan que el espacio era eucl´ıdeo y que, si algun ´ experimento optico pudiera sugerir lo contrario, ser´ıa mejor cuestionar el experimento ´ o incluso aceptar que los rayos luminosos no siguen geod´esicas antes que abandonar el simple modelo eucl´ıdeo. As´ı lo expresan por ejemplo Whitehead y Russell en la und´ecima edicion ´ de la Encyclopædia Britannica. La llegada de la relatividad hizo cambiar de opinion ´ a Russell; Whitehead, sin embargo, fue de los pocos que siguio´ adherido a las ideas anteriores y no dejo´ de decir que es mejor cambiar las leyes de la f´ısica y preservar un universo eucl´ıdeo. En resumen, podemos decir que se acepta universalmente que todos los sistemas geom´etricos pueden ser ciertos de manera abstracta, mientras que la estructura del espacio debe ser determinada emp´ıricamente. El propio Gauss llego´ a pensar en triangular tres picos de montana ˜ para ver si efectivamente sus a´ ngulos sumaban dos rectos. En el siglo XX, la atencion ´ ya se desvio´ hacia temas m´as abstractos (c´alculo en variedades) que permitieron expresar de forma geom´etrica conceptos avanzados del an´alisis, con las ventajas que ello conlleva. Pero este estudio se sale ya del a´ mbito de esta asignatura que, como su nombre indica, se dedica a la geometr´ıa diferencial cl´asica, es decir, de los siglos XVIII y XIX.

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Inter´es para la F´ısica Una primera motivacion ´ para el estudio de la geometr´ıa surge inmediatamente: la conveniencia de formarse im´agenes mentales de fenomenos f´ısicos. Incluso ´ m´etodos simples e intuitivos de la geometr´ıa eucl´ıdea elemental han sido el lenguaje en el que los padres de la F´ısica han expresado sus ideas y razonamientos, como hemos visto anteriormente. Newton llego´ a decir que ((la descripcion ´ de las l´ıneas rectas y c´ırculos, en la que se basa la geometr´ıa, pertenece a la mec´anica)). Pero otras aplicaciones ya no son tan intuitivas como los razonamientos que llevaron a Newton a justificar las orbitas el´ıpticas de los planetas y requieren m´etodos ´ m´as potentes. Un ejemplo de ello se puede encontrar en la teor´ıa de la relatividad, por una cuerda de longitud fija cuyo inicio se mueve siguiendo el eje horizontal.

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Introducci´on segun ´ la cual el espacio y el tiempo absolutos cl´asicos son solo una aproximacion ´ a la realidad, como hemos comentado antes. Adem´as, dentro ya de temas m´as avanzados y que salen fuera del a´ mbito de asignatura de Geometr´ıa diferencial cl´asica, tenemos la idea de que la geometr´ıa y el an´alisis dependen el uno del otro: para el desarrollo de la primera se necesitan m´etodos anal´ıticos pero, a la vez, proporciona nuevas herramientas y conceptos (derivada de Lie, c´alculo exterior, fibrados, variedades. . . ) que tienen gran importancia en el desarrollo moderno de este ultimo. En este aspecto, destaca la figura de ´ Cartan. Hasta tal punto se utiliza la geometr´ıa en la f´ısica matem´atica que llevo´ al biologo Haldane a decir ((Llegar´a, sin embargo, un tiempo [. . . ] cuando la fisiolog´ıa ´ invadir´a y destruir´a a la f´ısica matem´atica, como e´ sta ha destruido a la geometr´ıa)).

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Pero no es necesario buscar en temas tan avanzados para encontrar aplicaciones. Varios de los conceptos que se desarrollar´an y justificar´an rigurosamente este curso ya se han utilizado en asignaturas anteriores. El ejemplo m´as evidente es el estudio cinem´atico en funcion ´ de los vectores tangencial y normal a la trayectoria, segun ´ el v2 dv ˆ ˆ doncual la aceleracion se puede descomponer como ~a = dt t + R n, ´ de un movil ´ de el primer t´ermino es la aceleracion ´ tangencial, responsable de variar el modulo ´ de la velocidad, y el segundo representa el cambio de direccion. ´ En este segundo t´ermino, aparece un factor 1/R, que es el inverso del radio de curvatura de la trayectoria en un punto. Por supuesto, en un movimiento circular el radio de curvatura se identifica con el radio de la circunferencia; veremos qu´e sentido tiene para una curva arbitraria. Otro ejemplo, esta vez relacionado con el apartado de superficies, es la ley del cuadrado de la distancia para la intensidad de una onda. Sabemos que, en un medio homog´eneo e isotropo, los frentes de onda producidos por una fuente puntual ´ de luz son esf´ericos y, debido a la ley de conservacion ´ de la energ´ıa, se obtiene f´acil− 2 mente que la intensidad cumple I ∝ R . Pero en un medio arbitrario, con frentes de onda con formas m´as variadas, la intensidad depender´a de los radios principales de curvatura R1 y R2 del elemento de superficie considerado, I ∝ R1−1 R2−1 ≡ K, donde K es la llamada curvatura de Gauss. El significado de estas magnitudes se estudiar´a en el Tema 2. Aparte de esto, veremos algun ´ otro ejemplo de aplicacion ´ en las secciones correspondientes.

Estudio local Para terminar, conviene recalcar que la Geometr´ıa diferencial investiga, en principio, las propiedades de pequenos ˜ segmentos de curvas y superficies (propiedades notas gdc (v. 1.0)

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´ Introduccion locales) y, solo en una etapa m´as avanzada, proceder´a al estudio de sus propiedades globales. Las propiedades locales se definen en t´erminos de las derivadas (en el punto dado) de las funciones que aparecen en las ecuaciones de la curva o superficie. Por esta razon, ´ en esta asignatura, vamos a trabajar siempre con funciones suficientemente suaves, cuyas derivadas est´en, por tanto, definidas en los puntos de estudio. A causa de esto, superficies o curvas con picos o esquinas (en los que no existe la derivada) escapan de este estudio. Un ejemplo de tales situaciones puede ser algo tan sencillo como la punta de un cono o el punto de corte de un ocho plano. No se tratar´an en esta asignatura tampoco aspectos como la clasificacion ´ de superficies en funcion ´ de su topolog´ıa global o la teor´ıa de nudos.

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Tema 1

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Curvas en el espacio 1.1. Curvas regulares 1.1.1. Parametrizaciones 1.1.2. Recta tangente y plano osculador 1.1.3. Orientaciones 1.1.4. Parametrizacion ´ por la longitud de arco ´ 1.2. Curvatura y torsion 1.2.1. Sistema de referencia movil ´ 1.2.2. Curvatura y torsion ´ 1.2.3. Caracterizacion ´ de curvas mediante las funciones curvatura y torsion ´ 1.3. Contactos 1.3.1. Ejemplos concretos 1.3.1.1. Recta tangente 1.3.1.2. Plano osculador 1.3.1.3. Circunferencia osculatriz 1.3.1.4. Esfera osculatriz 1.3.2. Teor´ıa general de contactos 1.4. Curvas planas 1.5. Ejercicios

notas gdc (v. 1.0)

1–1

1.1. Curvas regulares

1.1.

Curvas regulares

1.1.1.

Parametrizaciones

´ 1.1.1 Definicion 1. Una parametrizaci´on ~α en R3 es una funcion ´ ~α : I → R3 de clase C ∞ ,1 donde I es un intervalo abierto de R. As´ı, una parametrizacion ´ asigna a cada valor del par´ametro t ∈ I un punto ~α(t) ∈ R3 .2 2. Un arco de curva diferenciable C es cualquier imagen de una parametrizacion ´ y toda parametrizacion ´ cuya imagen sea C se denomina parametrizacion ´ de C. 3. Una parametrizacion ´ ~α es regular si y solo si es un homeomorfismo3 y ∂t~α(t) 6= 0, ∀t ∈ I.4 Un arco de curva es regular si y solo si admite una parametrizacion ´ regular. ´ 1.1.2 Proposicion Sea C = {~x ∈ R3 | f n (~x ) = 0, n = 1, 2}, donde ( f 1 , f 2 ) : R3 → R2 es una ~ f 1 (~x ) y ∇ ~ f 2 (~x ) son vectores funcion ´ C ∞ . Entonces, C es una curva regular si ∇ independientes ∀~x ∈ C. ´ Demostracion. Esta proposicion ´ es consecuencia directa del teorema de la funcion ´ impl´ıcita.  Ejercicio 1.1.3 Parametrizar la curva x2 + y2 = 1, x + y + z = 1 y comprobar la proposicion ´ anterior. ´ Solucion.

Una parametrizacion ´ de esta curva es

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~α(t) = (cos t, sen t, 1 − cos t − sen t), como se puede ver mediante sustitucion ´ directa. Los gradientes en cada punto de la curva son ~ f 1 = (2x, 2y, 0) ~ f 2 = (1, 1, 1), ∇ ∇ aplicacion ´ es C ∞ si y solo si todas sus derivadas existen y son continuas. una base ortonormal {eˆi , i = 1, 2, 3} del espacio vectorial R3 y un origen o, el punto p se puede describir mediante el vector o~p = ~x = xi eˆi . Utilizaremos el convenio de sumacion ´ de Einstein: i i x yi ≡ ∑i x yi . 3 Un homeomorfismo es una aplicacion ´ biyectiva tal que tanto ella como su inversa son continuas. 4 Utilizaremos el s´ımbolo ∂ para denotar tanto la derivada parcial de una funcion ´ f (t, · · · ) de t varias variables con respecto a la variable t como la derivada total (y tambi´en parcial) de una funcion ´ f (t) que depende de una sola variable t. Solo cuando exista riesgo de confusion, ´ se utilizar´a el s´ımbolo d/dt para denotar la derivada total. 1 Una

2 Dada

notas gdc (v. 1.0)

1–3

Tema 1. Curvas en el espacio que son claramente independientes. El unico punto conflictivo podr´ıa ser el (0, 0, 0) ´ pero no pertenece a la curva. N Ejercicio 1.1.4 Parametrizar estas tres curvas: a) Una recta gira en torno al punto o con una velocidad angular constante ω barriendo un plano. El punto p se mueve por la recta con una velocidad proporcional a la distancia |o~p|. Encontrar la ecuacion ´ de la l´ınea descrita por el punto p (espiral logar´ıtmica). ˆ gira uniformemente a su alrededor con b) Una recta, no perpendicular al eje z, velocidad angular ω. El punto p se mueve por la recta con velocidad constante. La trayectoria que as´ı describe se denomina h´elice c´onica. ´ c) Idem con velocidad proporcional a la distancia |o~p| (espiral c´onica). ´ Solucion. Para el apartado a), escribiendo las coordenadas de un punto cualquiera de la curva en polares, llegamos a las ecuaciones θ = ωt, r˙ = kr, de manera que r = r0 ekt . Pasando esta expresion ´ a coordenadas cartesianas, la parametrizacion ´
kt kt queda ~α(t) = r0 cos ωt e , r0 sen ωt e , 0 . N A partir de ahora, solo consideraremos arcos regulares y parametrizaciones regulares. Adem´as, nuestro estudio ser´a local, es decir, en abiertos de R3 . ´ 1.1.5 Definicion 1. Llamaremos vector velocidad de la parametrizacion ´ ~α(t) a su derivada con respecto al par´ametro t: ~v~α (t) = ∂t~α(t).

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2. Llamaremos vector aceleraci´on a su segunda derivada: ~a~α (t) = ∂t~v~α (t) = ∂2t~α(t). Cuando no exista confusion, ´ suprimiremos la etiqueta de la parametrizacion. ´ As´ı, por ejemplo, escribiremos ~v en vez de ~v~α . ´ 1.1.6 Proposicion Sean ~α(t ∈ I ) y ~β(u ∈ J ) dos parametrizaciones (regulares) de un arco C. Entonces, existe un difeomorfismo5 θ : J → I tal que ~α ◦ θ = ~β. De hecho, este difeomorfismo es unico: θ = ~α−1 ◦ ~β. ´ ´ Demostracion. 5 Un

1–4

Sin demostracion.  ´

difeomorfismo es una aplicacion ´ biyectiva C ∞ cuya inversa es tambi´en C ∞ .

notas gdc (v. 1.0)

1.1. Curvas regulares El difeomorfismo θ : J → I asocia a cada valor del par´ametro u un valor de t mediante la regla t = θ (u), que abreviaremos por t(u). Con esta notacion, ´ esta ~ proposicion ´ afirma que dados ~α(t) y β(u), existe un difeomorfismo t(u) tal que ~β(u) = ~α[t(u)] y que este difeomorfismo es unico t(u) = ~α−1 [~β(u)]. Por tanto, se ´ puede pasar de una parametrizacion ´ a otra mediante el cambio de par´ametro t(u). ´ 1.1.7 Proposicion Sean ~α y ~β dos parametrizaciones de un arco C y sean t, u tales que ~α(t) = ~β(u). Entonces, ~v~α (t) y ~a~α (t) son linealmente independientes si y solo si ~v~β (u) y ~a~β (u) lo son. ´ Demostracion. Puesto que ~β(u) = ~α[t(u)], podemos escribir velocidad y la aceleracion ´ de ~β como combinaciones lineales de las de ~α:

~v~β ~a~β

!

=

∂u t 0 2 ∂ u t ( ∂ u t )2

!

~v~α ~a~α

! .

Como el determinante de la matriz de los coeficientes de la combinacion ´ lineal es 3 (∂u t) 6= 0, queda probada la proposicion.  ´

1.1.2.

Recta tangente y plano osculador

´ 1.1.8 Definicion 1. Sea ~α(t) una parametrizacion ´ (regular) de C. Se define la recta tangente a la parametrizaci´on ~α en t0 ∈ I a la recta que pasa por ~α(t0 ) y tiene como vector de direccion ´ ~v(t0 ).

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2. Se denomina recta tangente a C en un punto ~x0 a la recta tangente a cualquier parametrizacion ´ ~α de C en t0 tal que ~α(t0 ) = ~x0 . 3. Sea ~α(t) una parametrizacion ´ (regular) de C tal que su velocidad ~v y su aceleracion ´ ~a sean linealmente independientes en t0 ∈ I. Se define plano osculador a la parametrizaci´on ~α en ~α(t0 ) como el plano que pasa por ~α(t0 ) y tiene por vectores directores ~v y ~a(t0 ). 4. Se denomina plano osculador a C en un punto ~x0 al plano osculador a cualquier parametrizacion ´ ~α de C en t0 tal que ~α(t0 ) = ~x0 . ´ 1.1.9 Proposicion La recta tangente y el plano osculador a C son independientes de la parametrizacion ´ escogida. notas gdc (v. 1.0)

1–5

Tema 1. Curvas en el espacio ´ Demostracion. Recta tangente: hemos visto en la Proposicion ´ 1.1.7 que, para distintas parametrizaciones, los vectores tangentes son proporcionales luego generan la misma recta. Plano osculador: El plano osculador est´a generado por ~v y ~a y, en la Proposicion ´ 1.1.7, hemos visto que para distintas parametrizaciones, unos son combinaciones lineales de los otros.  ´ 1.1.10 Proposicion La recta tangente a C = {~x ∈ R3 | f n (~x ) = 0, n = 1, 2} en ~x0 es la interseccion ´ de los dos planos ~ f n (~x0 ) = 0, n = 1, 2. (~x − ~x0 ) · ∇ En coordenadas cartesianas, ( xi − x0i )∂i f n ( x0i ) = 0.6 Ejercicio 1.1.11 Demostrar esta proposicion. ´ ´ 1.1.12 Definicion ~x = ~α(t) es un punto de inflexi´on de C si ~v(t) y ~a(t) son linealmente dependientes. Observaciones: La recta tangente es la recta que une dos puntos de la curva en el l´ımite en el que ambos puntos coinciden, como veremos en la Seccion ´ 1.3. El plano osculador contiene tres puntos de la curva en el l´ımite en el que los tres puntos coinciden, como veremos en la Seccion ´ 1.3. Puesto que el plano osculador est´a generado por ~v y ~a, su ecuacion ´ es (~x − ~x0 ) · (~v ×~a) = 0, es decir,  x1 − x01 x2 − x02 x2 − x02   det  v1 v2 v3  = 0. 1 2 3 a a a

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

Si tenemos un punto de inflexion ´ en ~x = ~α(t), entonces ~a = λ~v con λ ∈ R. Por 2 tanto, ∂t~α = λ∂t~α lo que implica que ~α(t) = ~σeλt +~ρ con ~σ, ~ρ ∈ R3 constantes. En el l´ımite λ → 0, ~α es una recta. 6 Las

1–6

~ = ∂i . componentes del gradiente en un sistema de coordenadas cartesianas son xˆi · ∇

notas gdc (v. 1.0)

1.1. Curvas regulares

1.1.3.

Orientaciones

Si ~α y ~β son parametrizaciones regulares, entonces se verifica que ~v~α (t) 6= 0 y ~v~β (u) 6= 0 ∀t, u. Puesto que, como hemos visto en la Proposicion ´ 1.1.7, ~v~β = ∂u t~v~α , tenemos que ∂u t(u) 6= 0 y, por ser t(u) un difeomorfismo, el signo de ∂u t(u) debe permanecer constante. ´ 1.1.13 Definicion 1. Dos parametrizaciones regulares ~α y ~β definen la misma orientaci´on si y solo si el difeomorfismo θ = ~α−1 ◦ ~β es estrictamente creciente, es decir, si y solo si ∂u t > 0, ∀u ∈ J. 2. Dos parametrizaciones regulares ~α y ~β definen orientaciones contrarias si y solo si el difeomorfismo θ = ~α−1 ◦ ~β es estrictamente decreciente, es decir, si y solo si ∂u t < 0, ∀u ∈ J. 3. Un arco orientado es un arco de curva regular y todas sus parametrizaciones que tienen la misma orientacion. ´ ´ 1.1.14 Proposicion ~ Sean ~α y β dos parametrizaciones de un arco C y sean t, u tales que ~α(t) = ~β(u). Supongamos que ~v~α (t) y ~a~α (t) son linealmente independientes (y, por tanto, tambi´en ~v~β (u) y ~a~β (u) lo son). En tal caso, la orientacion ´ del plano osculador definida por (~v~α ,~a~α ) coincide con la definida por (~v~ ,~a~ ) si y solo si ~α y ~β definen la misma β

β

orientacion ´ del arco C. ´ Demostracion. De la Proposicion ´ 1.1.7, vemos que ~v~β × ~a~β = (∂u t)3~v~α × ~a~α . Por tanto, las orientaciones de los planos osculadores ser´an iguales si y solo si ∂u t > 0. 

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1.1.4.

´ por la longitud de arco Parametrizacion

´ 1.1.15 Definicion Sean ~x0 = ~α(t0 ) y ~x = ~α(t) dos puntos de un arco C parametrizado por ~α y sea s t0 ( t ) =

Z t t0

v(t0 )dt0 .

Definimos la longitud del arco entre ~x0 y ~x como el numero |st0 (t)|. ´ El par´ametro longitud de arco st0 (t), que denotaremos simplemente por s, obviamente satisface la relacion ´ ds2 = v2 dt2 . notas gdc (v. 1.0)

1–7

Tema 1. Curvas en el espacio ´ 1.1.16 Definicion Llamaremos parametrizaci´on natural, normal o por longitud de arco a aquella que tenga velocidad unitaria. Ejemplo 1.1.17 L´ınea recta: ~α(t) = ~vt + ~x0 . Su velocidad es ∂t~α = ~v y, por tanto, su longitud Rt de arco es s = t vdt = v(t − t0 ). Una parametrizacion ´ natural est´a dada por 0 ~β(s) = ~α[t(s)] = vs ˆ + ~vt0 + ~x0 . ´ 1.1.18 Proposicion 1. La longitud de arco es independiente de la parametrizacion ´ escogida. 2. La aplicacion ´ st0 : I → st0 ( I ) definida arriba es un difeomorfismo y J = st0 ( I ) es un intervalo abierto. 1 3. El par ( J,~α ◦ s− ´ natural de C. t0 ), es decir, ~α [ t ( s )], es una parametrizacion

4. Sean ~α y ~β dos parametrizaciones naturales de C y sea ε = ±1 segun ´ su orien~ tacion real σ tal que ~α(t) = β(εt + σ ). ´ relativa. Entonces, existe un numero ´ ´ Demostracion. 1. ejercicio. 2. Puesto que ∂t s > 0, s(t) es C ∞ en un abierto y su imagen es un abierto. 3. ~β(s) = ~α[t(s)] y, por tanto, ~v~β = ~v~α ∂s t = ~v~α /v~α . 4. Como ~α(t) y ~β(u) son naturales, entonces v~α = v~β |∂t u| y v~α = v~β = 1. Por tanto, ∂t u = ε, de forma que u = εt + σ y ~v~α = ε~v~β . 

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Ejercicio 1.1.19 Demostrar el primer apartado de esta proposicion. ´ Ejercicio 1.1.20 Hallar la longitud de arco de la primera vuelta de la espiral de Arqu´ımedes definida en polares por la ecuacion ´ r = aθ. ´ Solucion. Una posible parametrizacion ´ es ~α(t) = ( at cos t, at sen t, 0). El vector velocidad es, por lo tanto, ~v = ( a cos t − at sen t, a sen t + at cos t, 0). La longitud de arco resulta s=

1–8

Z 2π 0

v(t) dt =

Z 2π p 0

a

1 + t2

 a  p 2 dt = 2π 1 + 4π + arcsenh 2π . N 2 notas gdc (v. 1.0)

1.2. Curvatura y torsi´on

1.2.

´ Curvatura y torsion

1.2.1.

´ Sistema de referencia movil

´ 1.2.1 Definicion Sea ~α una parametrizacion ´ regular de C. 1. El vector tˆ(t) = ~v(t)/v(t) se denomina vector unitario tangente de la parametrizacion ´ ~α de C en el punto ~α(t). 2. Supongamos que ~α(t) no es un punto de inflexion. ´ Se define el vector unitario normal nˆ (t) de la parametrizacion vector ´ ~α de C en el punto ~α(t) como el unico ´ ˆ ˆ unitario ortogonal a t(t) tal que {t(t), nˆ (t)} es una base del plano osculador con la misma orientacion ´ que {~v(t),~a(t)}. 3. Supongamos que ~α(t) no es un punto de inflexion. ´ El vector binormal bˆ (t) en ~α(t) es el unico vector unitario y ortogonal al plano osculador tal que la base ´ ˆ ˆ ˆ {t(t), nˆ (t), b(t)} est´a orientada positivamente.7 Por tanto, bˆ = tˆ × n. 4. Se denomina sistema de referencia m´ovil para ~α en ~α(t) al sistema de referencia ortonormal del espacio eucl´ıdeo centrado en ~α(t) y cuyos vectores de la base son {tˆ(t), nˆ (t), bˆ (t)}. Puesto que {tˆ, nˆ } tienen la misma orientacion ´ que {~v,~a}, obtenemos las siguientes formulas expl´ıcitas para el c´alculo del sistema de referencia movil: ´ ´

~v tˆ = , v

vˆ × aˆ bˆ = , kvˆ × aˆ k

nˆ = bˆ × tˆ.

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´ 1.2.2 Proposicion El sistema de referencia movil es independiente de la parametrizacion. ´ ´ ´ Demostracion. Sean ~α(t) y ~β(u) dos parametrizaciones y ε = ∂t u/|∂t u|. Entonces ˆ bˆ }~α = {εtˆ, n, ˆ εbˆ }~β .  es f´acil ver que {tˆ, n, ´ 1.2.3 Definicion 1. Se definen los planos osculador, normal y rectificante como aquellos perpendicuˆ tˆ y nˆ respectivamente. lares a b, 2. Se definen las rectas tangente, normal y binormal como las generadas por tˆ, nˆ y bˆ respectivamente. 7 Por

convenio, una base tiene orientacion ´ positiva si y solo si la matriz de cambio de base para llevarla a la base canonica {eˆi } tiene determinante positivo. ´

notas gdc (v. 1.0)

1–9

Tema 1. Curvas en el espacio

1.2.2.

´ Curvatura y torsion

´ 1.2.4 Proposicion ˆ ∂t tˆ es proporcional a n. ´ Demostracion. tˆ · tˆ = 1 y, por tanto, tˆ · ∂t tˆ = 0. Por otro lado, ∂t tˆ es una combinacion ´ lineal de ~v y ~a y, por tanto, bˆ · ∂t tˆ = 0. En resumen, ∂t tˆ es perpendicular a tˆ y ˆ  a b. ´ 1.2.5 Definicion 1. Se define la curvatura de una parametrizaci´on ~α de C como la funcion ´ κ (t) tal que ∂t tˆ(t) = v(t)κ (t)nˆ (t). ´ Esta es la llamada primera f´ormula de Frenet. 2. Se define la curvatura κ (~x ) de un arco orientado C en un punto ~x como la curvatura κ (t) de cualquier parametrizacion ´ α(t) tal que ~x = ~α(t) y que define la orientacion ´ de ese arco. ´ 1.2.6 Proposicion Formula para el c´alculo de la curvatura de una parametrizacion ´ ´ ~α:

k~v ×~ak v3 Ejercicio 1.2.7 Demostrar esta proposicion. ´ κ=

Notas:

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1. Si ~α(t) y ~β(u) son dos parametrizaciones regulares, ambas curvaturas est´an relacionadas por κ~β = κ~α ◦ θ donde θ = ~α−1 ◦ ~β, es decir, κ~β (u) = κ~α [t(u)]. 2. Es f´acil demostrar que la curvatura de un arco orientado es independiente de la parametrizacion ´ natural escogida. En efecto, si ~α(t) y ~β(u) son dos parametrizaciones naturales con la misma orientacion, ´ entonces u = t + σ y κ~α (t) = κ~β [t + σ ]. Por tanto, salvo por una redefinicion ´ trivial del origen del par´ametro, ambas curvaturas son iguales. 3. Si ~α es una parametrizacion ´ natural, entonces κ = k~ak. ´ 1.2.8 Proposicion ˆ ∂t bˆ es proporcional a n. ˆ ´ Demostracion. Puesto que bˆ · bˆ = 1, ∂t bˆ es ortogonal a bˆ y lo mismo ocurre con n; ˆ ˆ puesto que ∂t nˆ es ortogonal a n, ˆ ser´a una combinacion adem´as ∂t b = tˆ × ∂t n; ´ lineal ˆ ˆ ˆ ˆ  de tˆ y b y, por tanto, ∂t b es proporcional a tˆ × b = −n. 1–10

notas gdc (v. 1.0)

1.2. Curvatura y torsi´on ´ 1.2.9 Definicion 1. Se define la torsi´on de una parametrizaci´on ~α de C como la funcion ´ τ (t) tal que ∂t bˆ (t) = −v(t)τ (t)nˆ (t). ´ Esta es la llamada tercera f´ormula de Frenet. 2. Se define la torsi´on τ (~x ) de un arco orientado C en un punto ~x como la torsion ´ τ (t) de cualquier parametrizacion ´ de cualquier parametrizacion ´ α(t) tal que ~x = ~α(t) y que define la orientacion ´ de ese arco. ´ 1.2.10 Proposicion Formula para el c´alculo de la torsion ´ ´ de una parametrizacion ´ ~α: τ=

(~v ×~a) · ∂t~a k~v ×~ak2

Ejercicio 1.2.11 Demostrar esta proposicion. ´ Notas: 1. Si ~α(t) y ~β(u) son dos parametrizaciones regulares, ambas torsiones est´an relacionadas por τ~β = τ~α ◦ θ donde θ = ~α−1 ◦ ~β, es decir, τ~β (u) = τ~α [t(u)]. 2. Es f´acil demostrar que la torsion ´ de un arco orientado es independiente de la parametrizacion ´ natural escogida. Teorema 1.2.12 (Ecuaciones de Frenet) ˆ ∂t tˆ = vκ n, ˆ ∂t nˆ = −vκ tˆ + vτ b, ˆ ∂t bˆ = −vτ n.

— luis j. garay 2005 —

Ejercicio 1.2.13 Demostrar este teorema. ´ 1.2.14 (Curvas planas) Proposicion Un arco regular est´a contenido en un plano si y solo si su torsion ´ es id´enticamente nula. Ejercicio 1.2.15 Demostrar esta proposicion. ´ ´ 1.2.16 Proposicion

~v = vtˆ,

ˆ ~a = (∂t v)tˆ + v2 κ n.

El primer t´ermino de la aceleracion ´ corresponde en la din´amica newtoniana a la aceleracion ´ lineal y el segundo a la centr´ıpeta. notas gdc (v. 1.0)

1–11

Tema 1. Curvas en el espacio Ejercicio 1.2.17 Demostrar esta proposicion. ´ Ejercicio 1.2.18 Sea ~α una parametrizacion ´ natural cuyas funciones curvatura y torsion real ´ no se anulan en ningun ´ punto de I. Suponemos que existen un numero ´ positivo r y un punto ~x en R3 tales que todos los planos osculadores a la curva C = ~α( I ) distan r de ~x. Demostrar que a) Todos los planos rectificantes de la curva C pasan por ~x. b) La funcion ´ f : s 7→ τ (s)/κ (s) es un polinomio de grado 1. ´ Solucion. Sea ~y(s) la proyeccion ´ de ~x sobre el cada plano osculador. Tenemos ˆ entonces que ~x = ~y(s) + r b(s). Adem´as, como ~y pertenece al plano osculador, existir´an funciones A(s) y B(s) tales que

~x = ~y(s) + r bˆ = ~α(s) + A(s)tˆ(s) + B(s)nˆ (s) + r bˆ (s) Como ~x es un punto constante, derivamos aplicando las ecuaciones de Frenet e igualamos a cero: 0 = tˆ(s) + ∂s A(s)tˆ(s) + A(s)κ (s)nˆ (s) + ∂s B(s)nˆ (s) + B(s)(−κ (s)tˆ(s) + τ (s)bˆ (s)) − rτ (s)nˆ (s). Tenemos una combinacion ´ lineal de vectores independientes igualada a cero, por lo que todos los coeficientes deben anularse:

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1 + ∂s A(s) − B(s)κ (s) = 0, A(s)κ (s) + ∂s B(s) − rτ (s) = 0, B(s)τ (s) = 0. Por hipotesis, τ (s) 6= 0, as´ı que la funcion ´ ´ B debe ser id´enticamente nula, B(s) ≡ 0. Con esto, queda resuelto el apartado a), pues la ecuacion ´ de ~x resulta ser

~x = ~α(s) + A(s)tˆ(s) + r bˆ (s) y, por tanto, ~x es un punto del plano rectificante. Para el segundo apartado despejamos en la segunda ecuacion ´ τ (s) A(s) = κ (s) r y de la primera sabemos que 1 + ∂s A(s) = 0, lo que quiere decir que A(s) es un polinomio de grado uno. N 1–12

notas gdc (v. 1.0)

1.2. Curvatura y torsi´on En la siguiente proposicion ´ y tambi´en posteriormente, se hace uso del s´ımbolo O(·), “del orden de. . . ”. Esta definicion ´ formaliza su significado: ´ 1.2.19 Definicion Sean f ( x ) y g( x ) dos funciones definidas en un cierto entorno del origen. Decimos que f ( x ) = O[ g( x )] si y solo si el cociente f ( x )/g( x ) est´a acotado en dicho entorno del origen, es decir, si y solo si existen dos constantes e, M > 0 tales que

| f ( x )| ≤ M| g( x )|

∀ | x | < e.

´ 1.2.20 Proposicion Sea ~α(s) una parametrizacion ´ natural. Entonces, 1 1 ~α(s + h) = ~α(s) + [h − κ 2 h3 /6]tˆ + [κh2 + (∂s κ )h3 /3]nˆ + κτh3 bˆ + O(h4 ). 2 6 ´ Demostracion. Expandimos ~α(s + h) hasta orden O(h4 ) y sustituimos las derivadas de ~α por sus valores: ˆ  ˆ ∂s~α = tˆ, ∂2~α = ∂s tˆ = κ n, ∂3~α = ∂s (κ nˆ ) = (∂s κ )nˆ − κ 2 tˆ + κτ b. s

s

´ Signos de la curvatura y torsion

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De las definiciones de κ y τ sabemos que κ > 0 pero τ puede ser positiva o negativa. Vamos a ver ahora, utilizando la Proposicion ´ 1.2.20, qu´e significado geom´etrico tiene esta afirmacion. ´ ˆ vemos que para h suficientemente pequeno, Fij´andonos en el coeficiente de n, ˜ 2 siempre es positivo, pues el t´ermino dominante va como h y κ es positiva. Es decir, la curva se dobla siempre en el sentido de nˆ (veremos en el apartado de contactos que este vector apunta hacia el centro de la circunferencia osculatriz). Para el coeficiente que acompana ˜ a bˆ la situacion ´ es diferente. Vamos a considerar h > 0 y ver qu´e efecto tiene el hecho de que la torsion ´ tenga signo. Si τ > 0, la curva abandona el plano osculador por su cara positiva (definida por el sentido del vector binormal). Si, por el contrario, τ < 0, entonces la curva abandona el plano osculador por el lado opuesto. En el primer caso, la curva localmente se parece a una h´elice con helicidad positiva (dextrogira), mientras que en el segundo se pare´ cer´ıa a una h´elice levogira. Debe notarse que este razonamiento es independiente ´ de la orientacion ´ elegida. notas gdc (v. 1.0)

1–13

Tema 1. Curvas en el espacio

1.2.3.

´ de curvas mediante las funciones curvatura Caracterizacion ´ y torsion

´ 1.2.21 Definicion Un movimiento ζ es una transformacion ´ af´ın que preserva las distancias. Si o es el origen de coordenadas y p es un punto del espacio, entonces ζ ( p) = ζ (o ) + ζ¯(o~p), donde ζ¯ es una transformacion ´ lineal que preserva el producto escalar, es decir es una transformacion ´ ortogonal: ζ¯t ζ¯ = 11. Si det ζ¯ = +1 diremos que ζ es un movimiento directo. Dicho de otro modo, un movimiento directo consta de una traslacion ´ ¯ (dada por ζ (o )) y una rotacion ´ definida por ζ, mientras que un movimiento inverso anade una reflexion. ˜ ´ ´ 1.2.22 Proposicion Sean C1 y C2 dos arcos orientados. Sea ~α1 una parametrizacion ´ regular de C1 ζ un movimiento tal que, si existe, tiene las siguientes propiedades: ζ (C1 ) = C2 y env´ıa la orientacion ´ de C1 a C2 . Entonces ~α2 = ζ ◦~α1 es una parametrizacion ´ regular de C2 tal que v~α1 = v~α2 , κ~α1 = κ~α2 , ζ¯(tˆ~α1 ) = tˆ~α2 , ζ¯(nˆ~α1 ) = nˆ~α2 ,

τ~α1 = ±τ~α2 , ζ¯(bˆ~α1 ) = (det ζ¯) bˆ~α2 .

Ejercicio 1.2.23 Demostrar esta proposicion. ´ ´ 1.2.24 Proposicion Sean C1 y C2 dos arcos orientados. Si existen parametrizaciones ~αn de Cn tales que v~α1 = v~α2 ,

κ~α1 = κ~α2 ,

τ~α1 = ±τ~α2 ,

— luis j. garay 2005 —

entonces existe un movimiento ζ tal que ζ (C1 ) = C2 , ζ preserva la orientacion ´ y det ζ¯ = ±1. Ejercicio 1.2.25 Demostrar esta proposicion. ´ ´ 1.2.26 Proposicion Sean v(t), κ (t) y τ (t) tres funciones de clase C ∞ tales que v(t) y κ (t) son estrictamente positivas. Entonces existe una parametrizacion ´ regular tal que v = v~α , κ = κ~α y τ = τ~α . ´ Demostracion.

Dadas v, κ, τ, las ecuaciones ˆ ∂t tˆ = vκ n,

1–14

ˆ ∂t nˆ = −vκ tˆ + vτ b,

ˆ ∂t bˆ = −vτ n, notas gdc (v. 1.0)

1.3. Contactos forman un sistema lineal y homog´eneo de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes C ∞ . Los teoremas de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias garantizan la existencia (y unicidad) de soluˆ ˆ b. ciones de estas ecuaciones fijada un configuracion ´ inicial para tˆ, n, Adem´as, es f´acil ver que los productos escalares se preservan y, por tanto, el sistema de referencia que se obtiene como solucion ´ es siempre ortonormal. Por ultimo, tambi´en se mantiene la orientacion ´ ´ puesto que ∂t [(tˆ × nˆ ) · bˆ ] = 0.  ´ 1.2.27 Proposicion Sean C1 y C2 dos arcos orientados. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: Existe un movimiento directo ζ tal que C2 = ζ (C1 ). Existe una biyeccion ´ σ : C1 → C2 que • preserva la orientacion; ´ • preserva la longitud de arco: la longitud de arco entre p, q ∈ C1 es la misma que la longitud de arco entre σ( p) y σ(q); • κ1 = κ2 ◦ σ; • τ1 = τ2 ◦ σ. ´ Demostracion.

1.3.

Sin demostracion.  ´

Contactos

— luis j. garay 2005 —

El siguiente teorema nos ser´a de gran utilidad en lo que sigue: Teorema 1.3.1 (Rolle) Sea f (s) una funcion ´ real de clase C ∞ tal que f ( a) = f (b). Entonces, existe un numero real c ∈ ( a, b) tal que ∂s f (c) = 0. ´

1.3.1.

Ejemplos concretos

En esta seccion, ´ supondremos que ~α(s) es una parametrizacion ´ natural de la curva que estamos estudiando y que el punto ~α(s0 ) no es de inflexion. ´ notas gdc (v. 1.0)

1–15

Tema 1. Curvas en el espacio 1.3.1.1.

Recta tangente

Es la recta que corta a la curva en dos puntos en el l´ımite de coincidencia. Los puntos ~α(s0 ) y ~α(s1 ) est´an sobre la una recta en el l´ımite de coincidencia, es decir, para ∆s = s1 − s0 arbitrariamente pequeno. ˜ La ecuacion ´ general de una recta es

(~x − ~x0 ) · ξˆ = 0,

(~x − ~x0 ) · ζˆ = 0,

ξˆ × ζˆ 6= 0.

Calcularemos los vectores ~ξ y ~ζ que definen la recta, bajo la hipotesis de que ~α(s0 ) ´ y ~α(s1 ) pertenecen a la misma en el l´ımite de coincidencia. Definamos las funciones f y g cuyos valores y derivadas son: ˆ f (s) = (~α(s) − ~x0 ) · ξ, ˆ ∂s f (s) = tˆ(s) · ξ,

ˆ g(s) = (~α(s) − ~x0 ) · ζ, ˆ ∂s f (s) = tˆ(s) · ζ.

Puesto que ~α(s0 ) y ~α(s1 ) pertenecen, por hipotesis, a la recta, se verifica ´ f (s0 ) = f (s1 ) = 0. El teorema de Rolle nos garantiza que existe t1 ∈ (s0 , s1 ) tal que ∂s f (t1 ) = 0. En el l´ımite de coincidencia, s1 , t1 → s0 y obtenemos las condiciones f (s0 ) = [~α(s0 ) − ~x0 ] · ξˆ = 0,

∂s f (s0 ) = tˆ · ξˆ = 0.

La funcion ´ g se halla en una situacion ´ enteramente an´aloga y, por tanto, g(s0 ) = [~α(s0 ) − ~x0 ] · ζˆ = 0,

∂s g(s0 ) = tˆ · ζˆ = 0.

En consecuencia, la recta es paralela a tˆ y pasa por ~α(s0 ), luego es la recta tangente. 1.3.1.2.

Plano osculador

— luis j. garay 2005 —

Es el plano que corta a la curva en tres puntos ~α(s0 ), ~α(s1 ), ~α(s2 ) en el l´ımite de coincidencia. La ecuacion ´ general de un plano es

(~x − ~x0 ) · ζˆ = 0. Definamos la funcion ´ f , cuyo valor y derivadas son: ˆ f (s) = [~α(s) − ~x0 ] · ζ, ˆ ∂s f (s) = tˆ(s) · ζ, ˆ ∂2s f (s) = ∂s tˆ(s) · ζˆ = κ (s)nˆ (s) · ζ. 1–16

notas gdc (v. 1.0)

1.3. Contactos Por hipotesis, los tres puntos ~α(s0 ), ~α(s1 ), ~α(s2 ) pertenecen al plano en el l´ımite ´ de coincidencia. Por tanto, f (s0 ) = f (s1 ) = f (s2 ) = 0. El teorema de Rolle aplicado a al intervalo (s0 , s1 ) nos garantiza la existencia t1 ∈ (s0 , s1 ) tal que ∂s f (t1 ) = 0. Asimismo, existe t2 ∈ (s1 , s2 ) tal que ∂s f (t2 ) = 0. La aplicacion ´ una vez m´as del teorema de Rolle a la funcion ´ ∂s f en el intervalo (t1 , t2 ), nos garantiza la existencia 2 de u2 ∈ (t1 , t2 ) tal que ∂s f (u2 ) = 0. En el l´ımite de coincidencia, todos los valores intermedios si , ti , ui → s0 y obtenemos las siguientes condiciones: f (s0 ) = [~α(s0 ) − ~x0 ] · ζˆ = 0, ∂s f (s0 ) = tˆ · ζˆ = 0, ∂2s f (s0 ) = κ nˆ · ζˆ = 0. Por tanto, si ~α(s0 ) no es un punto de inflexion ´ (es decir κ 6= 0), ζˆ = bˆ y el plano pasa por ~α(s0 ), luego es el plano osculador. 1.3.1.3.

Circunferencia osculatriz

Es la circunferencia que corta a la curva en tres puntos en el l´ımite de coincidencia. Sean s0 , s1 , s2 los par´ametros naturales correspondientes a esos puntos. La ecuacion ´ general de una circunferencia es de la forma

(~x − ~x0 ) · ζˆ = 0,

(~x −~z)2 − R2 = 0,

(~z − ~x0 ) · ζˆ = 0

— luis j. garay 2005 —

donde ~z es el centro de la circunferencia y R su radio y ~x0 un punto del plano que la contiene. Sean f y g las siguientes funciones: ˆ f (s) = [~α(s) − ~x0 ] · ζ, ˆ ∂s f (s) = tˆ(s) · ζ,

g(s) = [~α(s) −~z]2 − R2 , ∂s g(s) = 2tˆ(s) · [~α(s) −~z],

ˆ ∂2s f (s) = κ (s)nˆ (s) · ζ,

∂2s g(s) = 2κ (s)nˆ (s) · [~α(s) −~z] + 2.

Como en los casos anteriores, el uso reiterado del teorema de Rolle nos proporciona las siguientes condiciones en el l´ımite coincidencia: f (s0 ) = [~α(s0 ) − ~x0 ] · ζˆ = 0, ∂s f (s0 ) = tˆ · ζˆ = 0,

g(s0 ) = [~α(s0 ) −~z]2 − R2 = 0, ∂s g(s0 ) = 2tˆ · [~α(s0 ) −~z] = 0,

∂2s f (s0 ) = κ nˆ · ζˆ = 0,

∂2s g(s0 ) = 2κ nˆ · [~α(s0 ) −~z] + 2 = 0.

Por tanto, ζˆ = bˆ y el plano que contiene a la circunferencia osculatriz es el plano osculador. El centro ~z no tiene componente tangencial ni binormal y, de hecho, notas gdc (v. 1.0)

1–17

Tema 1. Curvas en el espacio ˆ Por ultimo, ~z = ~α(s0 ) + κ −1 n. el radio de la circunferencia es R = κ −1 y recibe el ´ nombre de radio de curvatura. As´ı, la ecuacion ´ de la circunferencia osculatriz a una curva en ~α(s0 ) es

[~x −~α(s0 )] · bˆ = 0, 1.3.1.4.

[~x −~α(s0 ) − Rnˆ ]2 − R2 = 0,

R = 1/κ.

Esfera osculatriz

Es la esfera que corta a la curva en cuatro puntos en el l´ımite de coincidencia. Sean s0 , s1 , s2 , s3 los par´ametros naturales correspondientes a esos puntos. La ecuacion ´ general de una esfera es de la forma

(~x −~z)2 − r2 = 0, donde ~z es el centro de la esfera y r su radio. Sea g la siguiente funcion: ´ g(s) = [~α(s) −~z]2 − r2 , ∂s g(s) = 2tˆ(s) · [~α(s) −~z], ∂2s g(s) = 2κ (s)nˆ (s) · [~α(s) −~z] + 2, ∂3s g(s) = 2nˆ (s) · [~α(s) −~z]∂s κ (s) + 2κ (s)[−κ (s)tˆ(s) + τ (s)bˆ (s)] · [~α(s) −~z]. Como en los casos anteriores, el uso reiterado del teorema de Rolle nos proporciona las siguientes condiciones en el l´ımite coincidencia: g(s0 ) = [~α(s0 ) −~z]2 − r2 = 0, ∂s g(s0 ) = 2tˆ · [~α(s0 ) −~z] = 0, ∂2s g(s0 ) = 2κ nˆ · [~α(s0 ) −~z] + 2 = 0,

— luis j. garay 2005 —

∂3s g(s0 ) = 2nˆ · [~α(s0 ) −~z] ∂s κ + 2κ (−κ tˆ + τ bˆ ) · [~α(s0 ) −~z] = 0. Por tanto, tˆ · [~α(s0 ) −~z] = 0,

nˆ · [~z −~α(s0 )] =

1 , κ

∂s κ bˆ · [~z −~α(s0 )] = − 2 . κ τ

Si introducimos el radio de curvatura R = 1/κ y el radio de torsi´on T = 1/τ, podemos escribir q ˆ ~z = ~α(s0 ) + Rnˆ + T (∂s R)b, r = R2 + T 2 ( ∂ s R )2 , que son el centro y el radio de la esfera osculatriz. 1–18

notas gdc (v. 1.0)

1.3. Contactos C s) ~α(

− ~α

(

p

s 0)

nˆ

o q

Σ

Figura 1.1: Contacto entre una curva y una superficie.

1.3.2.

Teor´ıa general de contactos

´ 1.3.2 Definicion Decimos que existe un contacto de orden n entre una curva C y una superficie Σ en o (ver figura 1.1) si y solo si ( | p~q| 0, r = 1 . . . n, l´ım = p→o | o~p |r finito 6= 0, r = n + 1.

— luis j. garay 2005 —

´ 1.3.3 Definicion Dos curvas C y C 0 tienen un contacto de orden n en o si y solo si C tiene un contacto en o con ambas superficies Σ1 y Σ2 cuya interseccion ´ define la curva C 0 y el menor de ambos contactos es de orden n. Hemos visto que solo hay una circunferencia que, en el l´ımite de coincidencia, pase por tres puntos de la curva, que solo hay una esfera que pase por cuatro, etc. Por otro lado, sabemos que solo existe un polinomio de grado n − 1 que pase por n puntos y, de forma m´as general sabemos que solo hay un polinomio de grado n cuyas n primeras derivadas en un punto coincidan con las de una funcion ´ dada (polinomio de Taylor). Esto nos lleva a la idea de determinar cu´anto se parecen dos funciones en un entorno de un punto segun de derivadas iguales que ´ el numero ´ tengan en ese punto. El contacto entre curvas y superficies se puede estudiar de un modo an´alogo: a partir del numero de derivadas que se anulen de la composicion ´ ´ de la funcion ´ que define impl´ıcitamente a la superficie con la parametrizacion ´ de la curva. Por ejemplo, en el caso de una curva que corte perpendicularmente a la superficie, ninguna de estas derivadas se anular´a (orden de contacto nulo), mientras que, para una curva contenida en la superficie (cuyos puntos satisfacen siempre la notas gdc (v. 1.0)

1–19

Tema 1. Curvas en el espacio ecuacion ´ de e´ sta), todas estas derivadas ser´an nulas y tendremos un contacto de orden infinito, como el de una curva plana y su plano osculador. Teorema 1.3.4 C y Σ tienen un contacto de orden n en ~α(0) si y solo si ( ∂rs f (0) =

0, r = 0, 1 . . . n, finito 6= 0, r = n + 1.

donde f (s) = F [~α(s)] y F (~x ) = 0 es la ecuacion ´ impl´ıcita que define la superficie Σ. ´ Demostracion. Definamos ∆~α(s) ≡ ~α(s) −~α(0) (ver Figura 1.1). Entonces, vemos que |o~p| = |∆~α(s)| = |stˆ + O(s2 )| = s[1 + O(s)]. Por tanto, 1 1 = r [1 + O(s)] . r |o~p| s Por otro lado, si nˆ es el vector normal a la superficie Σ,

| p~q| = |∆~α(s) · nˆ | =

~ F (~ |∆~α(s) · ∇ o q)| . ~ F (~ |∇ o q)|

~ F (~ Calculemos ∆~α(s) · ∇ o q) en t´erminos de f (s). ~ F (~ f (s) = F (o~p) = F (~ o q) + (o~p − o~q) · ∇ o q) + O(|o~p − o~q|2 ) ~ F (~ = ∆~α(s) · ∇ o q) + O(| p~q|2 ), ~ F (~ donde hemos usado que o~q es perpendicular a ∇ o q). Por tanto, | p~q| =

f (s)

~ F (~ |∇ o q)|

+ O(| p~q|2 ) =

f (s)

~ F (~ |∇ o q)|

+ O[ f (s)2 ].

— luis j. garay 2005 —

Entonces, podemos escribir

| p~q| 1 = r ~ F| |o~p| |∇ 1 = ~ F| |∇

f (s) {1 + O[ f (s)]} [1 + O(s)] sr f (s) {1 + O(s) + O[ f (s)]} . sr

Puesto que f (s) = ∂s f (0)s[1 + O(s)], el orden de f (s) ser´a siempre menor o igual que O(s). Por tanto, | p~q| 1 f (s) l´ım = l´ ı m . p→o | o~p |r ~ F | s →0 s r |∇ 1–20

notas gdc (v. 1.0)

1.3. Contactos Si ∂s f (0) = · · · = ∂ns f (0) = 0 y ∂ns +1 f (0) 6= 0, entonces f (s) sn+1 + O(sn+2 ) l´ım r ∝ ∂ns +1 f (0) l´ım = s →0 s s →0 sr

(

0, r = 0, 1 . . . n, finito 6= 0, r = n + 1

y, por tanto, C y Σ tienen un contacto de orden n. Por otro lado, si C y Σ tienen un contacto de orden n, entonces f (s) = O(sn+1 ) para que el l´ımite no se anule y, por tanto, todas las derivadas ∂rs f (0) se anulan para r = 1 . . . n mientras que ∂ns +1 f (0) 6= 0.  Ejercicio 1.3.5 Calcular el orden de los contactos de la seccion ´ anterior. Ejercicio 1.3.6 Demostrar que, si el orden de contacto n entre una curva C parametrizada por ~α(s) y una superficie Σ es par en un punto ~α(s0 ), la curva atraviesa a la superficie en ese punto, mientras que si n es impar la curva est´a a un lado de Σ en un entorno de ~α(s0 ). ´ Solucion. Sea F (~x ) = 0 es la ecuacion ´ impl´ıcita de la superficie Σ. Queremos saber si la proyeccion ´ ξ del vector ~α(s) −~α(s0 ) sobre el vector normal a la superficie ~ F [~α(s0 )], cambia de signo o no. Para ello, notemos en s0 , que es proporcional a ∇ que, de acuerdo con lo visto en la demostracion ´ del Teorema 1.3.4,

~ F [~α(s0 )] = f (s0 + h) + O[ f (s0 + h)2 ], ξ ≡ [~α(s) −~α(s0 )] · ∇ donde f (s) = F [~α(s)]. Desarrollamos en serie de Taylor la funcion ´ f (s) en torno a s0 . Puesto que el contacto es de orden n, del Teorema 1.3.4, vemos que todas las derivadas de f hasta orden n se anulan en s0 . La primera derivada no nula es ∂ns +1 f (s0 ). Queda, entonces,

— luis j. garay 2005 —

ξ=

h n +1 n +1 ∂ f (s0 ) + O(hn+2 ). ( n + 1) ! s

La derivada ∂ns +1 f (s0 ) es no nula y tiene un signo definido. Por otro lado, si n es par, n + 1 es impar y por lo tanto hn+1 cambia de signo en h = 0, que se corresponde con el punto de contacto. En otras palabras, si n es par, ξ cambia de signo con h y la curva atraviesa a Σ. Para n impar sucede lo contrario, hn+1 no cambia de signo, ξ tampoco lo hace y la curva est´a siempre al mismo lado de la superficie. N Ejercicio 1.3.7 Demostrar ahora que si C y C ? son curvas planas con un contacto de orden n en un punto ~x y n es par, las curvas se cortan en ese punto. notas gdc (v. 1.0)

1–21

Tema 1. Curvas en el espacio Ejercicio 1.3.8 Hallar la par´abola situada en el plano z = 0 cuyo eje es paralelo al eje yˆ y que es osculatriz a la curva y = x3 /a2 , z = 0, en el punto ( a, a, 0), siendo a>0 ´ Solucion. Segun ´ la definicion ´ de contacto entre dos curvas, el orden se corresponde con el menor de los ordenes de contacto entre una de las curvas y cada una ´ de las superficies que define a la otra. Como se nos dice que la par´abola est´a en el plano z = 0, su contacto con esa superficie ser´a de orden infinito y, por lo tanto, el m´ınimo vendr´a dado por el contacto con la superficie F ( x, y, z) = y − x3 /a2 = 0. Comenzamos por escribir la ecuacion ´ de la par´abola m´as general que cumpla las hipotesis de partida (eje paralelo a yˆ y contenida en z = 0), ´ y = C1 ( x − x0 )2 + C2 . Esta curva admite la parametrizacion ´ ~α(t) = (t, C1 (t − x0 )2 + C2 , 0). Sea la funcion ´ f (t) = F [~α(t)] y calculemos sus derivadas: f (t) = C1 (t − x0 )2 + C2 −

t3 , a2

∂t f (t) = 2C1 (t − x0 ) − 3

t2 , a2

t 6 , ∂3t f (t) = − 2 . 2 a a La ultima de estas ecuaciones no puede ser igual a cero para ningun ´ ´ valor real de a. Por lo tanto, la m´axima derivada que se anula es la segunda y el orden de contacto es igual a 2. Para calcular los coeficientes C1 , C2 y x0 basta evaluar estas derivadas y la funcion ´ f en t = a e igualar a cero. As´ı, se obtiene ∂2t f (t) = 2C1 − 6

3 a a C1 = , C2 = , x0 = , a 4 2 2 de forma que la ecuacion ´ de la par´abola es y = 3x /a − 3x + a. N

— luis j. garay 2005 —

1.4.

Curvas planas

Hemos visto que una curva es plana si y solo si su torsion ´ se anula. Entonces, la curva est´a contenida en su plano osculador y es posible cambiar de base cartesiana de eˆi a eˆi0 tal que eˆ30 = bˆ de forma que el plano osculador sea z0 = 0. La ecuacion ´ 0 0 0 impl´ıcita de la curva es de la forma z = 0, f ( x , y ) = 0. ´ 1.4.1 Proposicion Una curva es un arco de circunferencia si y solo si es plana y de curvatura constante. Ejercicio 1.4.2 Demostrar esta proposicion. ´

1–22

notas gdc (v. 1.0)

1.5. Ejercicios

1.5.

Ejercicios

1.1 Dibujar y hallar la longitud de la curva plana r = a sen3 (θ/3), a > 0.

0 ≤ θ ≤ 3π,

1.2 Parametrizar una circunferencia de radio R, hallar la base de Frenet y su curvatura. 1.3 Estudiar la catenaria (en coordenadas cartesianas) y = b[cosh( x/b − a) − cosh a] donde b = T/(ρg) y a = ρgd/(2T ). ρ es la densidad lineal de la cuerda, g la aceleracion ´ de la gravedad, T la tension ´ en el punto m´as bajo y d la distancia entre puntos de sujecion. ´ 1.4 Escribir y demostrar expresiones expl´ıcitas para la base de Frenet, la curvatura y la torsion ´ de una curva con una parametrizacion ´ arbitraria. 1.5 Hallar la curvatura de las siguientes curvas: a) y = sen x, b) y2 = 2px, c) ( a cos t, b sen t),

d) ( a cosh t, b sinh t).

1.6 Un punto p se mueve a lo largo de la generatriz de un cilindro circular con velocidad proporcional al camino recorrido. A su vez el cilindro gira en torno a su eje con velocidad angular constante. Hallar las ecuaciones param´etricas de la trayectoria de p. 1.7 La curva de Viviani es la interseccion ´ de la esfera de radio R con el cilindro circular de radio R/2 cuya generatriz pasa por el centro de la esfera. Estudiar dicha curva.

— luis j. garay 2005 —

1.8 Los ejes de dos cilindros circulares de radios de radios a y b se cortan en a´ ngulo recto. Hallar ecuaciones param´etricas para la curva interseccion ´ (bicil´ındrica). ¿Qu´e ocurre cuando a = b? 1.9 Determinar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal de una curva interseccion ´ de dos superficies F ( x, y, z) = 0, G ( x, y, z) = 0, donde ! Fx Fy Fz rango =2 Gx Gy Gz 1.10 Estudiar la h´elice ( R cos t, R sen t, a t), R > 0, a > 0. 1.11 Demostrar que una curva es plana si y solo si su torsion ´ se anula. notas gdc (v. 1.0)

1–23

Tema 1. Curvas en el espacio 1.12 Interpretacion ´ de la din´amica Newtoniana desde la geometr´ıa diferencial. Dada una curva ~x (t) en el espacio, determinar sus vectores velocidad y aceleracion ´ en t´erminos de la base de Frenet. Determinar tambi´en la curvatura y la torsion ´ en t´erminos de la velocidad y de la aceleracion. ´ 1.13 Estudiar la curva p(t) = (t + 1, t2 + 2, t3 ). Estudiar en particular el punto (1, 2, 0). 1.14 Estudiar las curvas: a) y = f ( x ), z = g( x ),

b) ~x (t) = [ a(t − sen t), a(1 − cos t), bt].

1.15 Demostrar que una curva es una recta si y solo si: a) Todas sus tangentes pasan por un punto fijo, o tambi´en si y solo si b) todas sus tangentes son paralelas a una dada. 1.16 Hallar una representacion ´ param´etrica de una curva cuya torsion ´ es constante 2 y negativa y tal que su vector binormal es bˆ (t) = cos t eˆx + sen t cos t eˆy + sen t eˆz . 1.17 Sea ~α(t) una parametrizacion ´ regular cuyas funciones torsion ´ y curvatura no se anulan en ningun ´ punto. ~α es una h´elice de eje eˆ y a´ ngulo θ si todos los vectores ˆ tangentes a ~α forman un a´ ngulo θ con e. ˆ θ ), el vector unitario eˆ es a. Probar que si ~α es una h´elice caracterizada por (e, ˆ combinacion ´ lineal de tˆ y b ∀t. Calcular los coeficientes de la combinacion ´ lineal.

— luis j. garay 2005 —

b. Probar que ~α es una h´elice si y solo si κ/τ es constante. Expresar este cociente en funcion ´ del a´ ngulo θ de la h´elice. c. Demostrar que una parametrizacion ´ natural ~α cuya curvatura y torsion ´ no se 2 3 4 anulan es una h´elice si y solo si (∂t~α × ∂t~α) · ∂t~α = 0. √ √ √ d. Estudiar la parametrizacion ´ [cos(t/ 2), sen(t/ 2), t/ 2]. Demostrar que es una h´elice, calcular su eje y su a´ ngulo. 1.18 Sea ~α una parametrizacion ´ natural de una curva cuya torsion ´ no se anula y que est´a contenida en una esfera. Demostrar que dicha curva no tiene puntos de inflexion ´ y que la funcion ´   1 ∂t κ 2 + κ2 τκ 2 es constante. Calcular su valor. 1–24

notas gdc (v. 1.0)

1.5. Ejercicios 1.19 Determinar la funcion ´ ϕ tal que la curva Z t  Z t Z t ~α(t) = ds ϕ(s) sen s, ds ϕ(s) cos s, ds ϕ(s) tan s , 0

0

0

t ∈ (0, π/2)

tiene radio de curvatura constante. Calcular el plano rectificante. 1.20 Estudiar la espiral de Cornu, definida en t´erminos de integrales de Fresnel de la siguiente manera: x (t) =

Z t 0

u2 cos 2 du, 2c

y(t) =

Z t 0

sen

u2 du. 2c2

— luis j. garay 2005 —

1.21 Escribir las ecuaciones de todas las rectas y planos caracter´ısticos de la curva regular definida por f n (~x ) = 0, n = 1, 2.

notas gdc (v. 1.0)

1–25

Tema 2

— luis j. garay 2005 —

Superficies en el espacio 2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables 2.2. Plano tangente 2.2.1. Curvas en una superficie 2.2.2. Plano tangente 2.3. Aplicaciones diferenciables 2.3.1. De una superficie en R3 2.3.2. Entre superficies de R3 2.4. Orientabilidad 2.5. La primera forma fundamental 2.6. Geod´esicas 2.7. La segunda forma fundamental 2.8. Curvatura 2.8.1. Curvatura normal 2.8.2. L´ıneas de curvatura 2.8.3. Curvatura de una superficie 2.8.4. Clasificacion ´ local de las superficies ´ 2.9. L´ıneas asintoticas 2.10. Ejercicios

notas gdc (v. 1.0)

2–1

2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables

2.1.

Cartas, atlas y superficies diferenciables

´ 2.1.1 Definicion Sea M ⊂ R3 . Una carta de M es una terna (U, ~φ, W ) donde U es un abierto de R2 , W es un abierto de R3 y ~φ : U → R3 es un homeomorfismo de U en ~φ(U ) de clase C ∞ , tal que ~φ(U ) = M ∩ W y que verifica que1 rango[∂α φi (u)] = 2,

∀u ∈ U.

Entonces, el abierto U es el dominio de la carta (U, ~φ, W ) y ~φ(U ) su imagen. Cuando no exista riesgo confusion, ´ nos referiremos a la carta (U, ~φ, W ) simplemente por ~φ. ´ 2.1.2 Definicion Una inmersi´on es una aplicacion ´ C ∞ de un abierto U ⊂ Rn en Rm tal que rango[∂α φi (u β )] = n, ∀u ∈ U (α = 1, 2 · · · n, i = 1, 2 · · · m).

~φ es una inmersion ´ de R2 en R3 tal que, a cada punto u ∈ U ⊂ R2 cuyas coordenadas son uα , asigna un punto ~x ∈ W ⊂ R3 cuyas coordenadas son xi . As´ı, ~x = ~φ(u) que, en coordenadas, podemos escribir como xi (uα ) = φi (uα ). [Comparaci´on con las curvas: ~α es una inmersion ´ de R en R3 tal que, a cada par´ametro t ∈ I ⊂ R, asigna un punto ~x ∈ C ⊂ R3 cuyas coordenadas son xi . As´ı, ~x = ~α(t) que, en coordenadas, podemos escribir como xi (t) = αi (t).]

— luis j. garay 2005 —

´ 2.1.3 Definicion Dada una funcion ´ f : Rn → Rm de componentes f i , i = 1 . . . m y u = {uα } ∈ Rn , definimos la aplicaci´on diferencial d f (u) : Rn → Rm como aquella que a cada v ∈ Rn le asigna el vector vα ∂α f (u), es decir, la derivada de f en la direccion ´ v y evaluada en u, [d f (u)](vα ) ≡ vα ∂α f (u). Esta definicion ´ coincide con la de diferencial de una funcion, ´ que ya se ha visto en otras asignaturas, en la que esta aplicacion ´ es una matriz formada por los gradientes (en este caso n-dimensionales) de las componentes de la funcion ´ colocados en filas. Los ´ındices latinos i, j . . . son ´ındices de R3 y, por tanto, toman los posibles valores 1, 2, 3. Los ´ındices griegos α, β . . . son ´ındices de R2 y toman valores 1, 2. Adem´as, adoptaremos la siguiente notacion ´ para las derivadas parciales: ∂α ≡ ∂/∂uα , ∂i ≡ ∂/∂ui . Consideraremos un sistema de referencia de R3 con origen en o y una base ortonormal {~ei }. As´ı, cualquier punto p de R3 queda caracterizado por su vector de posicion ´ ~x = o~p. 1 Notacion. ´

notas gdc (v. 1.0)

2–3

Tema 2. Superficies en el espacio Puesto que d f (u) es inyectiva si y solo si rango[∂α f i (u)] = n, podemos sustituir en las definiciones de carta y de inmersion ´ la condicion ´ sobre el rango por la de que d~φ(u) sea inyectiva. Conviene notar que una carta es el an´alogo bidimensional de una parametrizacion ´ y que toda carta es, por definicion, ´ una inmersion. ´ El uso de cartas permite describir las superficies, no necesariamente planas, mediante una representacion ´ plana. ´ 2.1.4 Definicion Se llaman cartas de Monge aquellas para las que ~φ es de la forma

~φ(uα ) = (u1 , u2 , g(uα )). No todos los subconjuntos M ⊂ R3 admiten una carta y, de los que s´ı la admiten, no todos admiten una carta de Monge. Veremos, sin embargo, que siempre es posible encontrar cartas de Monge si M es una superficie. ´ 2.1.5 Proposicion Restringiendo el dominio de ~φ a V ⊂ U, se obtiene otra carta. ´ Demostracion.

Obvia. 

´ 2.1.6 Definicion Sea M ⊂ R3 . Se denomina atlas de M a cualquier familia A = {(Un , ~φn , Wn ), n = 1, 2 · · · } de cartas tal que M =

S

n

~φn (Un ).

— luis j. garay 2005 —

M ⊂ R3 es una superficie diferenciable si y solo si admite un atlas. Ejemplo 2.1.7 El cono no es una superficie puesto que no ~φ no es diferenciable en el v´ertice. El ocho bidimensional no es una superficie porque ~φ no es un homeomorfismo, es decir, su inversa no es continua en la interseccion. ´ ´ 2.1.8 Proposicion Sea M una superficie y ~x ∈ M un punto de la misma. Entonces existen un abierto U~x ⊂ R2 , un entorno abierto W~x ⊂ R3 de ~x y una funcion ´ f~x : U p → R de clase C ∞ tal que M ∩ W~x = { xi ∈ R3 | x α ∈ U p , x3 = f~x ( x α )}. Por tanto, la superficie M admite un atlas construido con cartas de Monge. ´ Demostracion. Sea ~φ una carta tal que ~φ(u~x ) = ~x. Como el rango de d~φ(u~x ) es 2, es decir, rango[∂α φi (u~x )] = 2, algun ´ menor de esta matriz es no nulo. Sin p´erdida 2–4

notas gdc (v. 1.0)

2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables de generalidad, supongamos que el menor no nulo es [∂α φ β (u~x )]. Si no fuera e´ ste, una rotacion ´ adecuada nos permitir´ıa elegirlo como tal. El teorema de la funcion ´ inversa aplicado a φα en u~x nos dice que existen abiertos V~x de u~x y U~x = ~φ(V~x ) tales que φα es un difeomorfismo de clase C ∞ entre ellos. Sea W~x tal que ~φ(V~x ) = M ∩ W~x y definamos la funcion ´ α 3 − 1 α β α f~x : U~x → R tal que f~x ( x ) = φ [(φ ) ( x )] con x ∈ U p . Esta funcion ´ f~x es ∞ 3 α C puesto que φ y φ lo son. Si ~x = ( x α , f~x ( x α )) con x α ∈ U~x , entonces existe u ∈ V~x tal que

~x = ( x α , f~x ( x α )) = ( x α , φ3 [(φ−1 )α ( x β )]) = (φα (u), φ3 (u)) = ~φ(u). Por tanto, ~x ∈ M ∩ Wp . Si ~x ∈ M ∩ Wp , entonces existe u ∈ V~x tal que

~x = ~φ(u) = (φα (u), φ3 (u)) = ( x α , φ3 [(φ−1 )α ( x β )]) = ( x α , f~x ( x α )) y x α ∈ φα (V~x ) = U~x .  La siguiente proposicion ´ nos permite caracterizar una superficie de forma impl´ıcita. ´ 2.1.9 Proposicion Sea W ⊂ R3 un abierto y F : W → R una funcion ´ C ∞ tales que

~ F (~x ) 6= 0 ∀~x ∈ M ∇

y

M = {~x ∈ W | F (~x ) = 0} 6= ∅.

Entonces M es una superficie.

— luis j. garay 2005 —

~ F (~x ) 6= 0, supongamos que ∂3 F (~x ) 6= 0. Entonces el teorema ´ Demostracion. Si ∇ de la funcion ´ impl´ıcita garantiza que, localmente, podemos despejar una coordena3 da: x = g( x α ) y que la aplicacion ´ ~φ~x ( x α ) = ( x α , g( x α )) es una inmersion ´ de clase ∞ C y un homeomorfismo. As´ı, ~φ~x es una carta de M y {~φ~x | ~x ∈ M} es un atlas de M.  Ejercicio 2.1.10 Parametrizar la superficie resultante de prolongar todas las normales principales de una h´elice circular hasta su eje. Encontrar tambi´en una ecuacion ´ impl´ıcita. Esta figura es un helicoide recto. ´ Solucion. Una h´elice est´a parametrizada por ~α(t) = ( R cos t, R sen t, ct). Si hacemos que R, en lugar de ser una constante, pueda variar entre 0 < u1 < R obtenemos el helicoide recto (Figura 2.1):

~φ(u1 , u2 ) = (u1 cos u2 , u1 sen u2 , cu2 ). notas gdc (v. 1.0)

2–5

Tema 2. Superficies en el espacio

Figura 2.1: Helicoide recto.

Figura 2.2: Paraboloide.

Escribimos ahora la diferencial de esta carta, para ver que es una inmersion: ´     cos u2 −u1 sen u2 ∂1 φ1 ∂2 φ1     d~φ(u) = ∂1 φ2 ∂2 φ2  = sen u2 u1 cos u2  . 0 c ∂1 φ3 ∂2 φ3 Claramente es una matriz de rango 2. Para la ecuacion ´ impl´ıcita, notamos que 2 2 2 x sen u = y cos u y, adem´as, u = z/c, con lo que nos queda x sen

z z − y cos = 0. c c

— luis j. garay 2005 —

Todos los puntos del dominio ~φ(U ) = M ∩ W cumplen esta ecuacion. N ´ Ejercicio 2.1.11 Dada la funcion ´ F : W → R, ~x 7→ x2 + y2 − z, comprobar que M = {~x ∈ W : F (~x ) = 0} es una superficie y obtener para ella una carta de Monge. ´ Solucion. En primer lugar, es evidente que M 6= ∅. La segunda condicion ´ que ~ F 6= 0 en M. debe cumplir es ∇

~ F (~x ) = (2x, 2y, −1) 6= 0, ∀ ~x ∈ R3 . ∇ Por lo tanto, segun ´ la proposicion ´ anterior, es posible encontrar una carta de Monge para M. Para encontrarla, vemos que ∂3 F 6= 0 siempre, as´ı que podemos despejar 2–6

notas gdc (v. 1.0)

2.1. Cartas, atlas y superficies diferenciables

W

φ

ψ φ −1 ◦ ψ

φ − 1 (W )

ψ − 1 (W )

Figura 2.3: Compatibilidad de cartas.

z en funcion ´ de x e y (teorema de la funcion ´ impl´ıcita). Hacemos simplemente 2 2 z = x + y y, con ello, resulta

~φ(uα ) = (u1 , u2 , (u1 )2 + (u2 )2 ). Esto es un paraboloide de revolucion ´ (Figura 2.2). N ´ 2.1.12 Proposicion ~ dos cartas de la superficie M tales que W = ~φ(U ) ∩ ψ ~ (V ) 6= ∅. Entonces, Sean ~φ y ψ ~ y ψ−1 ◦ ~φ son de clase C ∞ . Esta propiedad se denomina las aplicaciones φ−1 ◦ ψ ~ y ψ−1 ◦ ~φ se les denomina compatibilidad de las cartas y a las funciones φ−1 ◦ ψ

— luis j. garay 2005 —

funciones de transici´on (ver Figura 2.3) y proporcionan los cambios de par´ametros ~ (v)]. u a ( v ) ≡ ( φ −1 ) a [ ψ ´ Demostracion. La demostracion ´ se basa en que M es un subconjunto de R3 y que ~φ es una inmersion.  ´ Es posible extender la definicion ´ de superficie a conjuntos que no son subcon3 juntos de R o que, si´endolo, ~φ no es una inmersion. ´ Entonces, esta propiedad de compatibilidad de las cartas ya no se puede deducir y es necesario introducirla como una condicion ´ en la definicion ´ de carta. En otras palabras, para superficies 3 de R , podemos sustituir la condicion ´ de que ~φ sea una inmersion ´ por la condicion ´ de compatibilidad entre cartas para obtener as´ı superficies m´as generales. notas gdc (v. 1.0)

2–7

Tema 2. Superficies en el espacio Un ejemplo es el plano proyectivo real P2 (R), formado por todas las rectas de R3 que pasan por el origen, que no es un subconjunto de R3 .

2.2.

Plano tangente

2.2.1.

Curvas en una superficie

´ 2.2.1 Definicion Sean M y C una superficie y una curva en R3 , respectivamente. C es una curva de la superficie M si C ⊂ M. ´ 2.2.2 Proposicion Sea (U, ~φ, W ) una carta de M. 1. Si γ(t) es una parametrizacion ´ regular de un arco contenido en U, entonces ~α = ~φ ◦ γ, es decir, ~α(t) = ~φ[γ(t)], es una parametrizacion ´ regular de un arco i i α de M contenido en W. En componentes, α (t) = φ [γ (t)]. Otra forma de expresarlo: Si uα (t) es una curva de U ⊂ R2 , entonces xi [uα (t)] es una curva de M ∩ W ⊂ R3 . 2. Si ~α(t) es una parametrizacion ´ regular de un arco contenido en M ∩ W, en− 1 tonces γ = φ ◦~α, es decir, γ(t) = φ−1 [~α(t)], es una parametrizacion ´ regular α − 1 α i de un arco contenido en U. En componentes, γ (t) = (φ ) [α (t)]. Otra forma de expresarlo: Si ~x (t) es una curva de M ∩ W ⊂ R3 , entonces u[~x (t)] es una curva de U ⊂ R2 . ´ Demostracion.

— luis j. garay 2005 —

1. ~α es C ∞ puesto que γ y ~φ lo son. Adem´as ∂t~α(t) = ∂t γα (t)∂α~φ[γ(t)] 6= 0 ya que γ es regular y ~φ es una inmersion ´ y, por tanto, d~φ[γ(t)] es inyectiva. 2. Definimos la proyeccion ´ como la aplicacion ´ π : R3 → R2 tal que π α (~x ) = x α , donde ~x = ( x α , x3 ). Entonces, π ◦ ~φ : U → V = π ◦ ~φ(U ) tal que u φα (u) es un difeomorfismo local ya que ~φ es una inmersion ´ (ver Figura 2.4). As´ı, − 1 ∞ su inversa f = (π ◦ ~φ) : V → U es C . Conviene notar que, escrito en α componentes, si x ∈ V, entonces f α ( x β ) = (φ−1 )α [(π −1 )i ( x β )] = uα ∈ U. Definimos γ = f ◦ π ◦~α : I → U tal que γα (t) = f α {π β [~α(t)]}. Puesto que f , π y ~α son C ∞ en sus dominios, γ tambi´en lo es. Adem´as, sustituyendo f por su definicion, ´ obtenemos que la funcion ´ γ as´ı definida es la del enunciado α − 1 α γ (t) = (φ ) [~α(t)] y que ∂t γ(t) 6= 0 puesto que si no lo fuera, entonces 2–8

notas gdc (v. 1.0)

2.2. Plano tangente

~α(t)

~φ

π

V

U f

π ◦~α(t)

γ(t)

Figura 2.4: Proyeccion ´ de una curva sobre el espacio de par´ametros. Figura explicativa de la demostracion ´ de la Proposicion ´ 2.2.2.

— luis j. garay 2005 —

∂t~α(t) = ∂t γα (t)∂α~φ[γ(t)] se anular´ıa en contra de la hipotesis de que ~α es ´ regular.  Ejemplo 2.2.3 Para fijar ideas, consideremos la situacion ´ representada en la Figura 2.4, que vamos a utilizar para explicar el proceso seguido en la demostracion ´ de la Proposi~ cion ´ 2.2.2. En este ejemplo, hacemos V ≡ π ◦ φ(U ). √ √ La figura muestra una curva ~α(t) = ( t cos 2t, t sen 2t, t) en un paraboloide, parametrizado con la carta ~φ, √ √ ~φ(u1 , u2 ) = ( u1 cos u2 , u1 sen u2 , u1 ).   Construiremos la curva γ(t) = ~φ−1 ~α(t) siguiendo los pasos de la demostracion. ´ En primer lugar, notamos que la funcion ´ f = (π ◦ ~φ)−1 es en nuestro caso tal que f : V = π ◦ ~φ(U ) −→ U √ ( u1 cos u2 , u1 sen u2 ) −→ (u1 , u2 ),

√

por lo que, en un dominio adecuado, podemos hacer f ( x, y) = ( x2 + y2 , arctan(y/x )). notas gdc (v. 1.0)

2–9

Tema 2. Superficies en el espacio Escribimos ya la curva en el espacio V, resultado de proyectar ~α mediante π, √ √ π ◦~α(t) = ( t cos 2t, t sen 2t). Y ahora aplicamos f a esto, lo que nos da γ(t) = f ◦ π ◦~α(t) = (t, 2t), lo mismo que si hubi´esemos aplicado ~φ−1 a ~α directamente. Ejemplo 2.2.4 Veamos, tomando el ejemplo de un paraboloide hiperbolico (silla de montar, Fi´ ~ gura 2.5), en qu´e consiste esta composicion ´ ~α = φ ◦ γ. En primer lugar, notemos que esta figura viene dada por z = x2 − y2 . Una posible carta de Monge es ~φ(u) = (u1 , u2 , (u1 )2 − (u2 )2 ). Tomamos cuatro curvas distintas en el espacio de par´ametros y dibujamos las correspondientes curvas en la superficie: γ1 (t) = (− cosh t, sinh t)

⇒

~α1 (t) = (− cosh t, senh t, 1)

γ2 (t) = (t, 0)

⇒

~α2 (t) = (t, 0, t2 )

γ3 (t) = (t, t)

⇒

~α3 (t) = (t, t, 0)

γ4 (t) = (t, −t2 )

⇒

~α4 (t) = (t, −t2 , t2 − t4 )

Veremos m´as adelante (Secciones 2.8.2 y 2.9), que las curvas ~α2 y ~α3 de la Figura 2.5 tienen un significado especial: una ser´a l´ınea asintotica y la otra de curvatura. ´

— luis j. garay 2005 —

2.2.2.

Plano tangente

´ 2.2.5 Definicion Sea ~x un punto de M. Sea Γ(~x, M) el conjunto de todas las parametrizaciones regulares ( I,~α) tales que ~α(0) = ~x y ~α( I ) ⊂ M. Llamamos plano vectorial tangente a la superficie M en el punto ~x al conjunto T~x M = {~v(0) = ∂t~α(0) ∈ R3 | ~α ∈ Γ} ∪ {~0}. Es decir, el plano tangente en ~x es el conjunto de los vectores tangentes a todas las curvas contenidas en M y que pasan por ~x. ´ 2.2.6 Proposicion Sea (U, ~φ, W ) una carta de M y sea u = φ−1 (~x ) ∈ U. Entonces, el plano tangente T~x M = imagen[d~φ(u)] est´a generado por {~eα (u), α = 1, 2} donde ~eα (u) = ∂α~φ(u). 2–10

notas gdc (v. 1.0)

2.2. Plano tangente ~α2

~α1

~α3

~α4

γ1 (t) = (− cosh t, senh t)

γ2 (t) = (t, 0)

γ3 (t) = (t, t)

γ4 (t) = (t, −t2 )

Figura 2.5: Curvas en una silla de montar (paraboloide hiperbolico). ´

As´ı, T~x M es un subespacio vectorial de R3 de dimension ´ 2 y {~eα (u)} es una base de T~x M. ´ Demostracion. Sea ~v ∈ T~x M. Entonces existe una parametrizacion ´ ~α tal que ~v = ∂t~α(0). Adem´as, por la Proposicion ´ 2.2.2, existe una curva plana γ en U tal que ~α = ~φ ◦ γ. Por tanto,

— luis j. garay 2005 —

~v = ∂t~α(0) = ∂t γα (0)∂α~φ[γ(0)] = [d~φ(u)][∂t γ(0)] ∈ imagen[d~φ(u)]. Si ~v ∈ imagen[d~φ(u)], entonces existe wα tal que [d~φ(u)](w) = ~v. Construyamos γα (t) = uα + twα . Entonces, ~α = ~φ ◦ γ es una curva de M que pasa por ~x y cuya derivada en ~x es ∂t~α(0) = [d~φ(u)][∂t γ(0)] = [d~φ(u)](w) = ~v. Por ultimo, {∂α~φ(u)} es una base de imagen[d~φ(u)] puesto que son linealmen´ te independientes ya que ~φ es una inmersion ´ y pertenecen a la imagen. En efecto, son la imagen de los vectores de la base cartesiana {eˆα | eαβ = δβα } de R2 : ∂α~φ(u) = [d~φ(u)](eˆα ).  ´ 2.2.7 Definicion 1. {~eα (u) = ∂α~φ(u)} es la base can´onica de T~x M asociada a la carta ~φ. notas gdc (v. 1.0)

2–11

Tema 2. Superficies en el espacio 2. Las curvas ~φ(u1 , u20 ) y ~φ(u10 , u2 ) con u10 y u20 constantes reciben el nombre de curvas coordenadas. Notemos que si v = vα eˆα es un vector de R2 , entonces

~v = [d~φ(u)](v) = vα ∂α~φ(u) = vα~eα (u) ∈ T~x M. ´ 2.2.8 Proposicion ~ Si φ(u) y ~φ0 (v) son dos cartas que contienen a un punto ~x, entonces las bases canonicas {~eα } y {~eα0 } de ambas cartas est´an relacionadas por la siguiente expre´ sion: ´ ∂v β ~eα (u) = α~e0β (v), ∂u donde vα = (φ0−1 )α [~φ(u)]. Por tanto, T~x M es independiente de la carta. ´ Demostracion. Si las cartas ~φ(u) y ~φ0 (v) contienen a ~x, entonces son compatibles, es decir, φ0−1 ◦ ~φ es C ∞ y, por tanto, la relacion ´ entre u y v dada por α 0− 1 α ∞ v = (φ ) [~φ(u)] es C . La aplicacion ´ de la regla de la cadena proporciona el resultado.  ´ 2.2.9 Definicion Sea ~x ∈ M. Se denomina vector normal a M en ~x a cualquiera de los dos vectores unitarios νˆ~x perpendiculares a T~x M. ´ 2.2.10 Proposicion Sea ~φ una carta de M, {~eα } la canonica del plano tangente asociada a ~φ y sea eαβ el ´ s´ımbolo de Levi-Civita bidimensional.2 Entonces,

— luis j. garay 2005 —

νˆ~x =

eαβ~eα ×~e β

|eαβ~eα ×~e β |

.

´ Demostracion. Puesto que {~eα , α = 1, 2} son vectores linealmente independientes del plano tangente (Proposicion ´ 2.2.6), su producto vectorial es normal al mismo.  ´ 2.2.11 Proposicion ~ (v) son dos cartas que contienen a ~x, entonces Si ~φ(u) y ψ
J uv
νˆ~x (v). νˆ~x (u) = | J uv | ´ Demostracion.

Obvia. 

s´ımbolo de Levi-Civita bidimensional eαβ es tal que e12 = −e21 = 1, Ap´endice A). 2 El

2–12

e11 = e22 = 0 (ver

notas gdc (v. 1.0)

2.2. Plano tangente ´ 2.2.12 Proposicion ~ F (~x ) 6= 0}. Sea M definida en impl´ıcitas por M = {~x ∈ R3 | F (~x ) = 0, ∇ Sea W un abierto de R y sea ~x ∈ M. Entonces T~x M es el espacio ortogonal ~ F (~x ) y ∇ ~ F (~x )/|∇ ~ F (~x )| es un vector normal a M en ~x. En otras palabras, a ∇ T~x M = ker[dF (~x )]. ´ Demostracion. Sea ~α(t) una curva de M que pasa por ~x y sea f (t) = F [~α(t)]. Puesto que f (t) = 0, su derivada tambi´en se anula:

~ F (~x ) · ∂t~α(0) = dF (~x )[∂t~α(0)]. 0 = ∂ t f (0) = ∇ Por tanto, vemos que cualquier vector ∂t~α(0) del plano tangente T~x M es perpendi~ F (~x ), luego ∇ ~ F (~x ) es un vector perpendicular al plano tangente.  cular a ∇ Ejercicio 2.2.13 Calcular el vector normal al paraboloide del Ejercicio 2.1.11 con las dos cartas

~φ(u) = (u1 , u2 , (u1 )2 + (u2 )2 ), ~ (v) = (v1 cos v2 , v1 sen v2 , (v1 )2 ) ψ y comprobar que se cumplen las leyes de transformacion ´ de la Proposicion ´ 2.2.11. ´ Solucion. La base canonica del plano tangente para la primera carta es ´ ∂1~φ(u) = ~e1 = (1, 0, 2u1 ),

∂2~φ(u) = ~e2 = (0, 1, 2u2 )

y, para la segunda, tenemos

— luis j. garay 2005 —

~ (v) = ~e1 0 = (cos v2 , sen v2 , 2v1 ), ∂1 ψ ~ (v) = ~e2 0 = (−v1 sen v2 , v1 cos v2 , 0). ∂2 ψ

Ahora calculamos la matriz ∂u β /∂vα y comprobamos que es la que da la transformacion ´ entre estas dos bases. Para ello, escribimos la funcion ´ de transicion ´ α − 1 α ~ (v)]: u (v) = (φ ) [ψ

~ (v)] = v1 cos v2 , u 1 ( v ) = ( φ −1 )1 [ ψ

~ (v)] = v1 sen v2 . u 2 ( v ) = ( φ −1 )2 [ ψ

Es inmediato ver que esta aplicacion ´ es de clase C ∞ , como asegura la Proposicion ´ 2.1.12. Escribimos la matriz jacobiana ! ∂u β cos v2 −v1 sen v2 = ∂vα sen v2 v1 cos v2 notas gdc (v. 1.0)

2–13

Tema 2. Superficies en el espacio y comprobamos que se cumple

~ ∂u β ∂~φ ∂ψ = α β, ∂vα ∂v ∂u es decir, 

 ↑ ↑   ~e1 ~e2  ↓ ↓   1 0   1   0 2u1 2u2

cos v2 −v1 sen v2 sen v2 v1 cos v2 cos v2 −v1 sen v2 sen v2 v1 cos v2



 ↑ ↑   = ~e1 0 ~e2 0  ↓ ↓   ! cos v2 −v1 sen v2   = sen v2 v1 cos v2  . 2v1 0

!

Calculamos ahora los vectores normales νˆ~x (u) y νˆ~x (v). Utilizamos la ecuacion ´ de la Proposicion ´ 2.2.10. Comprobaremos que, salvo el posible signo del jacobiano de la transformacion, ´ ambos coinciden. νˆ~x (u) = p

1



−2u1 ,

−2u2 ,



— luis j. garay 2005 —

1 4( u1 )2 + 4( u2 )2 + 1   1 νˆ~x (v) = p −2v1 cos v2 , −2v1 sen v2 , 1 4( v1 )2 + 1  β 1 El jacobiano de la transformacion, as, v1 > 0, pues ´ J ( uv ) = det ∂u ∂vα , vale v . Adem´ nos da el radio de las circunferencias resultantes de cortar el paraboloide con el plano z = (v1 )2 (m´as tarde, veremos que estas circunferencias son l´ıneas de curvatura y adem´as geod´esicas). Por todo esto, los dos vectores normales calculados antes tienen que coincidir tanto en direccion ´ como en sentido. Aplicando el camα − 1 α ~ (v)] comprobamos que, efectivamente, esto es bio de par´ametros u (v) = (φ ) [ψ as´ı. N

2.3.

Aplicaciones diferenciables

2.3.1.

De una superficie en R3

´ 2.3.1 Definicion Sea g : M → R3 una aplicacion ´ de una superficie M en el espacio. Diremos que g es diferenciable en un punto ~x ∈ M si y solo si para toda carta (U, ~φ, W ) de M que contenga a ~x, es decir, tal que ~x ∈ ~φ(U ), se verifica que g ◦ ~φ : U → R3 es una aplicacion ´ de clase C ∞ . 2–14

notas gdc (v. 1.0)

2.3. Aplicaciones diferenciables Probar con todas las cartas no es tarea sencilla. La siguiente proposicion ´ soluciona este problema. ´ 2.3.2 Proposicion g es diferenciable en ~x ∈ M si existe una carta ~φ de M que contiene a ~x y tal que g ◦ ~φ : U → R3 es una aplicacion ´ C∞ . ´ Demostracion. Dada la carta ~φ que contiene a ~x tal que g ◦ ~φ es C ∞ , cualquier ~ que contenga a ~x ser´a compatible con ~φ y, por tanto, φ−1 ◦ ψ ~ es C ∞ . otra carta ψ ~) = g ◦ ψ ~ es C ∞ , lo que nos permite concluir que g es Entonces, ( g ◦ ~φ) ◦ (φ−1 ◦ ψ diferenciable en ~x.  ´ 2.3.3 Definicion La aplicacion ´ g es diferenciable si y solo si lo es en todos los puntos de M. Corolario 2.3.4 Sea A un atlas de M. La aplicacion ´ g es diferenciable si, para cada carta ~φ de A, g ◦ ~φ es de clase C ∞ .

2.3.2.

Entre superficies de R3

´ 2.3.5 Definicion Sea f : M → N una aplicacion ´ entre dos superficies de R3 . 1. La aplicacion ´ f es diferenciable en el punto ~x ∈ M si y solo si lo es como aplicacion ´ de M en R3 . 2. La aplicacion ´ f es diferenciable si y solo si lo es en todos los puntos de M.

— luis j. garay 2005 —

3. La aplicacion ´ f es un difeomorfismo si y solo si es biyectiva, diferenciable y su inversa tambi´en lo es. ´ 2.3.6 Proposicion Sea f : M → N una aplicacion ´ diferenciable y sean ~x ∈ M, ~y = f (~x ) ∈ N. 1. Si ~α es una parametrizacion ´ de un arco de curva en M tal que ~α(0) = ~x, entonces f ◦~α es una parametrizacion ´ de un arco de curva de N y f ◦~α(0) = ~y. En otras palabras, f [~α(t)] es una parametrizacion ´ en N y f [~α(0)] = ~y. 2. Existe una aplicacion ´ lineal T~x f : T~x M → T~y N que cumple la siguiente condicion: ´ si ~α ∈ Γ(~x; M), entonces T~x f [∂t~α(0)] = ∂t ( f ◦~α)(0), es decir, T~x f [∂t~α(0)] = ∂t f [~α(0)]. notas gdc (v. 1.0)

2–15

Tema 2. Superficies en el espacio 3. Si ~φ es una carta de M y ~x = ~φ(u), entonces T~x f = d( f ◦ ~φ)(u) ◦ (d~φ)−1 (u). Por tanto, si ~v = vα~eα (u) es un vector de T~x M, entonces se verifica que T~x f (~v) = vα ∂α f [~φ(u)] = vα (~eα · ∇) f (~x ) = vα d f (~x )(~eα ) = d f (~x )(~v). Es decir, T~x f = d f (~x ). ´ Demostracion.

Sin demostracion.  ´

´ 2.3.7 Definicion Diremos que T~x f es la aplicaci´on lineal tangente a f en ~x. ´ 2.3.8 Proposicion Sean M ⊂ N dos superficies de R3 . 1. La aplicacion ´ inclusion ´ j : M → N tal que j(~x ) = ~x es diferenciable y ∀~x ∈ M la aplicacion ´ lineal tangente T~x j : T~x M → T~x N cumple que T~x j(~v) = ~v. 2. Si M = N, la identidad es diferenciable y su aplicacion ´ lineal tangente en cada punto ~x es la identidad de T~x M. 3. T~x M = T~x N,

∀~x ∈ M.

4. M es un abierto de N ´ Demostracion. 1. La aplicacion ´ identidad 11 : R3 → R3 es C ∞ y su restriccion ´ a M es j, luego obtenemos directamente el resultado.

— luis j. garay 2005 —

2. Es consecuencia del apartado anterior. 3. Hemos visto que T~x M es un subespacio vectorial de T~x N. Como tienen la misma dimension, ´ tienen que ser el mismo. 4. Sin demostracion.  ´ Corolario 2.3.9 Sean f : M → N y g : N → P dos aplicaciones diferenciables en ~x ∈ M y ~y = f (~x ), respectivamente. Sea h = g ◦ f . 1. h es diferenciable en ~x. 2. T~x h = T~y g ◦ T~x f . 2–16

notas gdc (v. 1.0)

2.4. Orientabilidad 3. Si f y g son diferenciables, entonces h tambi´en lo es. Corolario 2.3.10 Si f : M → N es un difeomorfismo, entonces T~x f : T~x M → T~y N es un isomorfismo de espacios vectoriales. ´ 2.3.11 Definicion Dos superficies son isomorfas si y solo si existe un difeomorfismo entre ellas. Puesto que la composicion ´ de difeomorfismos es un difeomorfismo (segun ´ el Corolario 2.3.9), la difeomorf´ıa es una relacion ´ de equivalencia entre en el conjunto de las superficies.

2.4. Orientabilidad ´ 2.4.1 Definicion ~ Sea φ una carta de M y sea {~eα } la base canonica del plano tangente asociada ´ ~ la carta φ. Se denomina aplicaci´on de Gauss local para la carta ~φ a la aplicacion ´ 3 νˆ~φ : U → R tal que νˆ~φ (u) = νˆ~x , donde ~x = ~φ(u). M´as expl´ıcitamente, νˆ~φ (u) =

eαβ~eα (u) ×~e β (u)

|eαβ~eα (u) ×~e β (u)|

.

´ 2.4.2 Definicion Se dice que M es orientable si y solo si existe una aplicacion ´ diferenciable νˆ : M → R3 tal que ∀~x ∈ M, νˆ (~x ) es un vector unitario normal a M en ~x. ´ 2.4.3 Definicion Una superficie orientada es el par ( M, νˆ ).

— luis j. garay 2005 —

´ 2.4.4 Definicion La aplicacion ´ νˆ recibe el nombre de aplicaci´on de Gauss. ´ 2.4.5 Proposicion 1. Si M admite un atlas con una sola carta, entonces M es orientable. 2. Si M admite un atlas con dos cartas ~φ1 y ~φ2 tales que ~φ1 (U1 ) ∩ ~φ2 (U2 ) es conexo, entonces M es orientable. ´ Demostracion. 1. Si tenemos una sola carta ~φ : U → M, entonces la aplicacion ´ de Gauss − 1 νˆ (~x ) = νˆ~φ [φ (~x )] es diferenciable ya que νˆ~φ = νˆ ◦ ~φ lo es (Corolario 2.3.4). Adem´as, νˆ (~x ) es un vector normal en cada punto. notas gdc (v. 1.0)

2–17

Tema 2. Superficies en el espacio 2. Sin demostracion.  ´ ´ 2.4.6 Proposicion Una superficie es orientable si y solo si existe un atlas tal que para cada par de cartas compatibles el jacobiano del cambio de carta es positivo, es decir, det(∂vα /∂u β ) > 0, donde vα = (ψ−1 )α [~φ(u)]. ´ Demostracion. Si la superficie es orientable, entonces en cada punto ~x existe al menos una carta ~φ que contiene a ~x = ~φ(u) y en la que νˆ (~x ) = ±νˆ~φ (u) puesto que ambos vectores son perpendiculares a T~x M y unitarios; mediante la eleccion ´ ade~ cuada del orden de los vectores de la base canonica asociada a φ, siempre podemos ´ elegir el signo +. Consideremos la funcion ´ continua f (~x ) = νˆ (~x ) · νˆ~φ (u) = 1. Al ~ que tambi´en contiene a ~x = ψ ~ ( v ), cambiar de la carta ~φ a la carta compatible ψ J ( uv ) J ( uv ) νˆ (~x ) · νˆ~φ (u) = . 1 = f (~x ) = νˆ (~x ) · νˆψ~ (v) = | J ( uv )| | J ( uv )| Luego el jacobiano de la transformacion ´ es siempre positivo.

~ (v), se verifica J ( uv ) > 0, entonces podeSi para dos cartas compatibles ~φ(u) y ψ mos definir la aplicacion ´ de Gauss J ( uv ) νˆ (v) = νˆψ~ (v). νˆ (~x ) = νˆ~φ (u) = | J ( uv )| ψ~ Esta aplicacion ´ es diferenciable pues lo es en cada carta y no cambia de direccion ´ con el cambio de carta al ser el jacobiano positivo.  Ejemplo 2.4.7 La cinta de Mobius (Figura 2.6) no es orientable. ¨

— luis j. garay 2005 —

´ 2.4.8 Proposicion ~ F (~x ) 6= 0} es La superficie definida en impl´ıcitas M = {~x ∈ R3 | F (~x ) = 0, ∇ orientable.

~ F 6= 0. ´ Demostracion. Sea K el conjunto de todos los puntos de R3 tales que ∇ 3 El conjunto K es un abierto que contiene a M. La aplicacion ´ ~g : K → R tal que ∞ ~ F (~x )/|∇ ~ F (~x )| es C . Adem´as, ~g(~x ) es ortogonal a T~x M y, por ultimo ~g(~x ) = ∇ su ´ restriccion ´ a M es la aplicacion ´ de Gauss νˆ buscada. Por tanto, M es orientable.  ´ 2.4.9 Proposicion La aplicacion ´ de Gauss νˆ : M → S2 entre una superficie orientable ( M, νˆ ) y la esfera de radio unidad S2 es diferenciable. ´ Demostracion. 2 3 S ⊂R .  2–18

Por definicion, ´ νˆ : M → R3 es diferenciable, luego lo es en

notas gdc (v. 1.0)

2.5. La primera forma fundamental

Figura 2.6: Cinta de Mobius. ¨

Ejercicio 2.4.10 Demostrar que M = {( x, y, z) ∈ R3 : 2x2 − y2 − 2z2 = 2} es una superficie orientable y definir una orientacion. ´

~ F = 2(2x, −y, −2z), que ´ Solucion. El conjunto no es vac´ıo y su gradiente es ∇ no se anula en ningun ´ punto de M. Por la Proposicion ´ 2.4.8, esta superficie es orientable y podemos escoger la aplicacion ´ de Gauss como la restriccion ´ a M de la ~ F/|∇ ~ F |: aplicacion ´ g( x ) = ∇ 1 νˆ : M −→ S2 , ( x, y, z) 7→ p (2x, −y, −2z). N 2 4x + y2 + 4z2

— luis j. garay 2005 —

2.5.

La primera forma fundamental

Notacion: de R3 . Esta base es fija y de´ Sea {eˆi } la base ortonormal canonica ´ terminada a priori. Sea {~eα (u) = ∂α~φ(u)} la base canonica de T~x M asociada a la ´ carta ~φ tal que ~φ(u) = ~x. Esta base depende del punto ~x de la superficie en el que estamos estudiando el plano tangente. Entonces, ~v = vi eˆi = vα (u)~eα (u). ´ 2.5.1 Definicion Sea M una superficie y sea ~x ∈ M. Definimos la primera forma fundamental g~x de M en ~x como la restriccion ´ al plano tangente T~x M del producto escalar eucl´ıdeo. Es ~ ) = ~v · w ~ o, en decir, g~x es la forma bilineal g~x : T~x M ⊗ T~x M → R tal que g~x (~v, w otras palabras, es el tensor m´etrico en T~x M. notas gdc (v. 1.0)

2–19

Tema 2. Superficies en el espacio ´ 2.5.2 Definicion Dada una carta ~φ, tal que ~φ(u) = ~x, llamamos primeros coeficientes fundamentales de la carta ~φ a las funciones C ∞ gαβ : U → R tales que gαβ (u) = ∂α~φ(u) · ∂ β~φ(u) = ~eα (u) ·~e β (u), es decir, los primeros coeficientes fundamentales son las componentes del tensor m´etrico g~x en la base canonica de T~x M asociada a la carta ~φ. ´ ´ 2.5.3 Proposicion 0 ( u0 ) los ~ ~ Sean φ y φ0 dos cartas de M y sea ~x = ~φ(u) = ~φ0 (u0 ). Sean gαβ (u) y gαβ primeros coeficientes fundamentales para ~φ y ~φ0 , respectivamente, en el punto ~x. Entonces, 0 gαβ (u0 ) = gγδ (u)[d(φ−1 ◦ ~φ0 )(u0 )]γα [d(φ−1 ◦ ~φ0 )(u0 )]δβ .

Puesto que φ−1 ◦ ~φ0 es la funcion ´ de transicion ´ que relaciona u y u0 , es decir, 0 = g ∂0 uγ ∂0 uδ , donu(u0 ) = (φ−1 ◦ ~φ0 )(u0 ), Podemos escribir abreviadamente, gαβ γδ α β de ∂0α u β = ∂u β /∂u0α es la matriz de cambio de base en el espacio tangente T~x M. Ejercicio 2.5.4 Demostrar esta proposicion. ´ ´ 2.5.5 Proposicion Sea ~φ una carta de M y ~α una parametrizacion ´ regular contenida en ~φ. Sea γ una parametrizacion ´ regular plana tal que ~α = ~φ ◦ γ. Entonces, 1. ∂t~α(t) = ∂t γα (t)∂α~φ[γ(t)] = ∂t γα (t)~eα [γ(t)]. 2. La longitud de la curva ~α es s~α =

Z b a

dt

q

gαβ [γ(t)]∂t γα (t)∂t γ β (t).

´ Demostracion.

— luis j. garay 2005 —

1. Obvia.

R 2. La longitud de la curvaqest´a dada por s = v(t)dt. El modulo de la velocidad ´ √ es v(t) = ∂t~α · ∂t~α = ∂t γα ∂t γ β~eα ·~e β .  ´ 2.5.6 Definicion Sean ~α(t) y ~β(t0 ) dos parametrizaciones regulares de una carta ~φ de M que se cortan en un punto ~x de la carta ~φ. Definimos el a´ ngulo formado por las dos curvas en ~x como el a´ ngulo formado por sus vectores tangentes en ~x. Por tanto, gαβ ∂t αα ∂t0 β β g~x (∂t~α, ∂t0 ~β) q q cos θ~x = p =√ , α ~ ~ ∂ t α ∂ t α α ∂ t0 β β ∂ t0 β β g~x (∂t~α, ∂t~α) g~x (∂t0 β, ∂t0 β) 2–20

notas gdc (v. 1.0)

2.5. La primera forma fundamental

φ(C )

φ( D )

φ( B)

φ( A)

A = (0, π/2),

B = (π/4, π/2)

C = (0, π/4),

D = (π/4, π/4)

Figura 2.7: Esfera y espacio de par´ametros con las curvas del enunciado del Ejercicio 2.5.10.

donde, como ya hemos indicado, ~α(t) = αi (t)eˆi = αα (t)~eα (u). ´ 2.5.7 Definicion Sea ~φ una carta de M y R una region ´ contenida en ~φ. Definimos el a´ rea de la region ´ R como el numero real no negativo ´ Z Z q 2 d u det gαβ (u) = d2 u|~e1 ×~e2 |. A( R) = ~φ−1 ( R)

~φ−1 ( R)

Para probar la igualdad, basta con notar que

~ )(~v ·~z) − (~u ·~z)(~v · w ~ ). (~u × ~v) · (~ w ×~z) = (~u · w

— luis j. garay 2005 —

´ 2.5.8 Proposicion El a´ rea de una region ´ R es independiente de la carta elegida. Ejercicio 2.5.9 Demostrar esta proposicion. ´ Ejercicio 2.5.10 En una esfera de radio R parametrizada parcialmente por la carta ~φ(u) = ( R cos u1 sen u2 , R sen u1 sen u2 , R cos u2 ), consideramos las siguientes curvas (Figura 2.7): El ecuador, dado por u2 = π/2, 0 < u1 < 2π. El meridiano 0, dado por u1 = 0, 0 < u2 < π. notas gdc (v. 1.0)

2–21

Tema 2. Superficies en el espacio Un paralelo dado por u2 = π/4, 0 < u1 < 2π. Un meridiano dado por u1 = π/4, 0 < u2 < π. Estas cuatro curvas delimitan una superficie cerrada en la esfera. Determinar su a´ rea, per´ımetro y a´ ngulos de corte. ´ Solucion. Empezamos por calcular la primera forma fundamental, a partir de la base del plano tangente

~e1 = (− R sen u1 sen u2 , R sen u2 cos u1 , 0), ~e2 = ( R cos u1 cos u2 , R cos u2 sen u1 , − R sen u2 ), de donde podemos obtener gαβ : g11 = R2 sen2 u2 ,

g22 = R2 ,

g12 = 0.

Utilizamos la Definicion ´ 2.5.7, en donde φ−1 ( R) = (0, π/4) × (π/4, π/2). El a´ rea es Z π/4Z π/2 R2 π R2 sen u2 du1 du2 = √ . 0 π/4 32 2 2 Notese que el integrando, R sen u , es precisamente el jacobiano de la transfor´ macion ´ de cartesianas a polares esf´ericas, como cabr´ıa esperar. Para el per´ımetro, necesitamos las curvas en el espacio de par´ametros, que son γ1 (t) = (t, π/2),

γ2 (t) = (0, t),

γ3 (t) = (t, π/4),

γ4 (t) = (π/4, t).

Segun ´ la Definicion ´ 2.5.5, la longitud de las curvas transportadas a la superficie es v

l1 =

Z π/4 u u 0

t 1 0



v

— luis j. garay 2005 —

l2 =

Z π/2 u u

t 0 1



π/4

v

l3 =

Z π/4 u u 0

t 1 0



v Z π/2 u  u t l4 = 0 1 π/4

2–22

R2 sen2 0

π 2

0 R2

R2 sen2 t 0 0 R2 R2 sen2 0

π 4

0 R2

R2 sen2 t 0 0 R2

!

!

!

!

1 0 0 1

dt =

!

1 0 0 1

!

dt =

Z π/4 0

Z π/2

R dt =

π/4

! dt =

! dt =

Z π/4 1 0

Z π/2 π/4

π R, 4

R dt =

2

π R, 4

R dt =

R dt =

π R, 8

π R. 4

notas gdc (v. 1.0)

2.6. Geod´esicas El per´ımetro es l1 + l2 + l3 + l4 = 78 R2 . Finalmente, para los a´ ngulos basta aplicar la Definicion ´ 2.5.6 y se ve enseguida que todos los cortes son ortogonales. En todo este ejercicio, no ha sido necesario escribir la parametrizacion ´ las curvas tridimensionales: su forma en el espacio de par´ametros y la m´etrica han sido suficientes para obtener toda la informacion ´ necesaria. N Ejercicio 2.5.11 Calcular a´ rea y per´ımetro del tri´angulo delimitado por los puntos ~φ(C ), ~φ( D ) y el polo norte del ejercicio anterior. ¿Cu´anto suman sus a´ ngulos?

2.6.

Geod´esicas

´ 2.6.1 Definicion Decimos que una curva C de M es geod´esica si y solo si admite una parametrizacion ´ 2 regular ~α tal que el vector aceleracion ´ ~a(t) = ∂t~α(t) es ortogonal al plano tangente T~α(t) M para todo t. La parametrizacion ´ ~α recibe el nombre de parametrizaci´on geod´esica. ´ 2.6.2 Proposicion Una curva regular y sin puntos de inflexion ´ C de M es geod´esica si y solo si en cada punto de C el plano osculador a C es ortogonal al plano tangente a M. ´ Demostracion. Sea ~α una parametrizacion ´ geod´esica de C. Entonces, ~a es ortogonal a T~x M y, por tanto, ~b = ~v ×~a, que es perpendicular al plano osculador, es un generador (junto con ~v) de T~x M.

— luis j. garay 2005 —

Si el plano osculador es ortogonal a T~x M, elegimos una parametrizacion ´ natural ~ ~α de C. Entonces b = vˆ ×~a, que es perpendicular al plano osculador, pertenece a ˆ es T~x M. Por tanto, ~a es ortogonal a ~b y, por ser ~α natural, tambi´en es ortogonal a v, decir, es ortogonal a T~x M.  ´ 2.6.3 Proposicion Sea C una curva geod´esica. Una parametrizacion ´ ~α de C es geod´esica si y solo si el modulo de su velocidad es constante. En particular, cualquier parametrizacion ´ ´ natural de una curva geod´esica es geod´esica. ´ Demostracion.

Notemos que q ∂t v(t) = ∂t ~v(t)2 = ~v(t) ·~a(t)/v(t).

Si ~α es una parametrizacion ´ geod´esica, entonces ~v(t) · ~a(t) = 0, puesto que ~v(t) ∈ T~α(t) M, luego ∂t v(t) = 0. notas gdc (v. 1.0)

2–23

Tema 2. Superficies en el espacio Si ∂t v(t) = 0, entonces ~a es perpendicular a ~v. Adem´as, por ser C geod´esica, el plano osculador a C es perpendicular al plano tangente a M y, por tanto, el vector ~v ×~a, que es perpendicular al plano osculador, est´a en el plano tangente. El plano tangente est´a generado por ~v y ~v ×~a, ambos perpendiculares a ~a, luego ~a es perpendicular al plano tangente: ~α es geod´esica.  ´ 2.6.4 Proposicion Sea M una superficie definida en impl´ıcitas por F (~x ) = 0. Una curva C de M es geod´esica si y solo si su longitud de arco es extrema. R ´ Demostracion. Sea ~α una parametrizacion ´ de C. Su longitud ser´a s = dtv(t). La condicion ´ de extremo se traduce en las ecuaciones de Euler-Lagrange para este funcional con la ligadura de que ~α est´e contenida en la superficie. Introducimos R esta condicion ´ con un multiplicador de Lagrange: s = dt[v(t) + λF (~α(t))]. As´ı las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan δs/δαi (t) = 0:

~ F [~α(t)] = 0. ∂t tˆ − λ∇ ~ F = |∇ ~ F |νˆ es perpendicular al plano tangente T~x M y la primera Puesto que ∇ ˆ las ecuaciones de Euler-Lagrange se ecuacion ´ de Frenet nos dice que ∂t tˆ = vκ n, ~ F |). As´ı, C tiene reducen a que nˆ = ±νˆ es perpendicular a T~x M (y λ = ±vκ/|∇ longitud extrema si y solo si nˆ (t)⊥ T~x M.

— luis j. garay 2005 —

Por otro lado, ~a = v2 κ nˆ + ∂t vtˆ. Por tanto, si y solo si escogemos una parametrizacion ´ ~β de C de velocidad constante (por ejemplo, una parametrizacion ´ natural), entonces ~a ∝ nˆ ⊥ T~x M. As´ı, C es geod´esica si y solo si alguna parametrizacion ´ de C tiene aceleracion ´ perpendicular al plano tangente si y solo si satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange si y solo si C tiene longitud extrema.  ´ 2.6.5 Proposicion Sea ~x un punto de la superficie M y ~ξ un vector no nulo de T~x M. Entonces, existe una parametrizacion ´ geod´esica de M que pasa por ~x y cuya velocidad en ~x es ~ξ. ´ Demostracion.

Sin demostracion.  ´

Ejemplo 2.6.6 Todas las rectas son geod´esicas, lo que ya nos sirve para encontrar varios ejemplos en las superficies que han ido apareciendo. En el helicoide (Figura 2.1), por ejemplo, son geod´esicas el eje vertical y todos los radios (u2 constante). En el paraboloide hiperbolico (Figura 2.5), es geod´esica la curva ~α3 . ´ En una esfera, las geod´esicas son los c´ırculos m´aximos. 2–24

notas gdc (v. 1.0)

2.7. La segunda forma fundamental

2.7.

La segunda forma fundamental

Consideremos una superficie orientada ( M, νˆ ). Vimos que la aplicacion ´ de 2 Gauss νˆ : M → S es diferenciable. ´ 2.7.1 Proposicion La aplicacion ´ lineal T~x νˆ : T~x M → T~x M es un endomorfismo. ´ Demostracion. Sea la aplicacion ´ lineal tangente T~x νˆ : T~x M → Tyˆ S2 donde yˆ = νˆ (~x ) de la aplicacion ´ de Gauss. Un vector ~v ∈ R3 pertenece a Tyˆ S2 si y solo si ˆ es decir, al propio y. ˆ Por tanto, ~v ∈ Tyˆ S2 es perpendicular a la normal a S2 en y, si y solo si ~v ∈ T~x M. Luego Tyˆ S2 = T~x M y T~x νˆ : T~x M → Tyˆ S2 = T~x M es un endomorfismo.  ´ 2.7.2 Definicion Se llama operador de Weingarten de la superficie orientada ( M, νˆ ) en el punto ~x ∈ M al endomorfismo S~x : T~x M → T~x M tal que S~x (~v) = − T~x νˆ (~v). ´ 2.7.3 Proposicion Sea ~φ una carta de M tal que ~x = ~φ(u). Si ~v = vα~eα ∈ T~x M, entonces

~ νˆ (~x ). S~x (~v) = −vα ∂α νˆ [~φ(u)] = −vα (~eα · ∇) ´ Demostracion.

Obvia. 

Ejercicio 2.7.4 Calcular el operador de Weingarten en el punto ~y = (1, 0, 0) para la superficie del Ejercicio 2.4.10. ´ Solucion.

La diferencial de la aplicacion ´ de Gauss en el punto ~y es    ∂1 νˆ 1 ∂2 νˆ 1 ∂3 νˆ 1 0 0 0     dνˆ (~y) = ∂1 νˆ 2 ∂2 νˆ 2 ∂3 νˆ 2  =  0 − 12 0 . ∂1 νˆ 3 ∂2 νˆ 3 ∂3 νˆ 3 (1,0,0) 0 0 −1

— luis j. garay 2005 —



Para calcular el operador de Weingarten, tenemos que hallar una base de T~y M. ~ F (~y) = (4, 0, 0). Dos vectores ortoPodemos hacerlo a partir del gradiente en ~y, ∇ gonales a e´ ste son

~e1 = (0, 1, 0),

~e2 = (0, 0, 1).

La aplicacion ´ lineal T~y νˆ es la restriccion ´ de la diferencial anterior al plano tangente. Por lo tanto, las im´agenes de los vectores ~e1 y ~e2 a trav´es del operador de Weingarnotas gdc (v. 1.0)

2–25

Tema 2. Superficies en el espacio ten, S~y (~eα ) = − T~y νˆ (~eα ) son iguales a −[dνˆ (~y)](~eα ):   −[dνˆ (~y)](~e1 ) =    −[dνˆ (~y)](~e2 ) = 

    0 0 0 0 1    1 1 0 2 0  1 =  2  = ~e1 , 2 0 0 1 0 0     1 0 0 0 0 2     1 0 2 0  0 = 0 = ~e2 . 0 0 1 1 1 1 2

Por lo tanto, la matriz del operador de Weingarten resulta ser

! 0 . N 0 1 1 2

´ 2.7.5 Definicion Se llama segunda forma fundamental de la superficie orientada ( M, νˆ ) en el punto ~x ∈ M a la forma bilineal sim´etrica L~x : T~x M × T~x M → R tal que a cada par de vectores ~v1 y ~v2 asigna el numero real L~x (~v1 , ~v2 ) = S~x (~v1 ) · ~v2 . ´ Notas: L es bilineal puesto que S~x es lineal. L es tambi´en sim´etrica; puesto que es bilineal, basta probarlo con los elementos de la base, lo que ya se hace a continuacion. ´ ´ 2.7.6 Proposicion Sea ~φ una carta de M tal que ~x = ~φ(u) y {~eα (u)} la base canonica de T~x M asociada ´ a ~φ. Entonces, las componentes Lαβ (u) de la forma bilineal L~x son Lαβ (u) = L~x (~eα (u), ~e β (u)) = νˆ~φ (u) · ∂α ∂ β~φ(u) = νˆ~φ (u) · ∂α~e β .

— luis j. garay 2005 —

´ Demostracion. Dada una carta ~φ que contenga a ~x con ~eα = ∂α~φ, tenemos L~x (~eα , ~e β ) = S~x (~eα ) · ~e β = −∂α νˆ · ~e β = νˆ · ∂α~e β ya que νˆ · eα = 0. Por tanto, L~x (~eα , ~e β ) = νˆ · ∂α ∂ β~φ.  ´ 2.7.7 Definicion Las funciones de clase C ∞ Lαβ (u) : U → R de la proposicion ´ anterior reciben el nombre de coeficientes de la segunda forma fundamental o segundos coeficientes fundamentales. Es interesante notar que, si definimos los coeficientes Sαβ (u) de la matriz del endomorfismo de Weingarten en la base canonica de la carta ~φ tal que ~φ(u) = ~x median´ te S~x [~e β (u)] = Sαβ (u)~eα (u), entonces Sαβ = gαγ Lγβ ≡ Lαβ (ecuacion ´ de Weingarten).

2–26

notas gdc (v. 1.0)

2.8. Curvatura Ejercicio 2.7.8 La pseudoesfera se puede parametrizar con la siguiente carta φ(u1 , u2 ) = (sech u1 cos u2 , sech u1 sen u2 , u1 − tanh u1 ),

u1 ≥ 0, u2 ∈ [0, 2π ).

Calcular sus segundos coeficientes fundamentales. La base del plano tangente es   ~e1 = − cos u2 sech u1 tanh u1 , − sech u1 sen u2 tanh u1 , 1 − sech2 u1 ,   1 2 2 1 ~e2 = − sech u sen u , cos u sech u , 0 .

´ Solucion.

Los primeros coeficientes fundamentales son g11 = tanh2 u1 ,

g12 = 0,

g22 = sech2 u1

y el vector normal es νˆ~φ =


~e1 ×~e2 ~e ×~e2 = − cos u2 tanh u1 , − sen u2 tanh u1 , − sech u1 . = p1 ||~e1 ×~e2 || det g

Se puede comprobar que la norma de ~e1 ×~e2 es realmente igual a la ra´ız del determinante de la primera forma fundamental. Ya tenemos todo lo necesario para, aplicando la Proposicion ´ 2.7.6, poder obtener los segundos coeficientes fundamentales: L11 = νˆ~φ (u) · ∂21~φ(u) = − sech u1 tanh u1 , L22 = νˆ~φ (u) · ∂22~φ(u) = sech u1 tanh u1 , L12 = L21 = νˆ~φ (u) · ∂1 ∂2~φ(u) = 0.

— luis j. garay 2005 —

La pseudoesfera est´a representada en la Figura 2.8. N

2.8.

Curvatura

2.8.1.

Curvatura normal

´ 2.8.1 Proposicion Sea ~α(t) una parametrizacion ´ contenida en la superficie orientada ( M, νˆ ). Entonces, L~α(t) [~v(t), ~v(t)] = ~a(t) · νˆ [~α(t)] y, por tanto, L~α(t) [~v(t), ~v(t)] g~α(t) [~v(t), ~v(t)] notas gdc (v. 1.0)


= κ (t) nˆ (t) · νˆ [~α(t)] . 2–27

Tema 2. Superficies en el espacio

Figura 2.8: Pseudoesfera.

´ Demostracion.

Por la Proposicion ´ 2.3.6,

L~α(t) [~v(t), ~v(t)] = S~α(t) [∂t~α(t)] · ∂t~α(t) = −∂t νˆ [~α(t)] · ∂t~α(t). Teniendo en cuenta que νˆ · ∂t~α = 0, obtenemos L[~v, ~v] = νˆ ·~a. La segunda parte se obtiene notando que ~a = v2 κ nˆ + ∂t vtˆ y que tˆ · νˆ = 0. 

— luis j. garay 2005 —

´ 2.8.2 Definicion Sea ~x un punto de la superficie orientada ( M, νˆ ). Se llama funci´on curvatura normal L (~v, ~v) . de M en ~x a la funcion ´ κn,~x : T~x M − {0} → R tal que κn,~x (~v) = ~x g~x (~v, ~v) Si ~φ es una carta tal que ~φ(u) = ~x, entonces κn,~x (~v) =

Lαβ (u)vα v β . gγδ (u)vγ vδ

La funcion ´ κn,~x (~v) puede ser tanto positiva como negativa. Sea ~α una parame  trizacion ´ tal que ~v es un vector tangente en ~x. Entonces κn,~x (~v) = κ (~x ) nˆ (~x ) · νˆ (~x ) . As´ı, κn,~x (~v) ser´a positiva si la parametrizacion ´ se curva hacia νˆ y negativa en caso contrario. ´ 2.8.3 Definicion Sea ~x ∈ M y ~ξ ∈ T~x M. Se llama secci´on normal a M en ~x en la direccion ´ de ~ξ a la curva Cn (~x, ~ξ ) interseccion ´ de M y el plano generado por ~ξ y νˆ (~x ) que pasa por ~x. 2–28

notas gdc (v. 1.0)

2.8. Curvatura ´ 2.8.4 Proposicion ~ Cn (~x, ξ ) es un arco plano y ~ξ es un vector tangente a Cn (~x, ~ξ ) en el punto ~x. Adem´as, νˆ (~x ) y el vector normal nˆ (0) en ~x a cualquier parametrizacion ´ ~α(t) de Cn (~x, ~ξ ) tal que ~α(0) = ~x y son proporcionales, nˆ (0) = ±νˆ (~x ). Por tanto, κn,~x (~ξ ) = ±κ (0), es decir, la curvatura de una seccion de la funcion ´ normal es igual al modulo ´ ´ curvatura normal de su vector tangente. ˆ puesto ´ Demostracion. Para cualquier parametrizacion ´ ~α(t) de Cn (~x, ~ξ ), nˆ = ±ν: ˆ νˆ y ~ξ est´an en el mismo plano, nˆ = λνˆ + µ~ξ. Por otro lado, nˆ y ~ξ son que n, perpendiculares, luego nˆ y νˆ son proporcionales.  ´ 2.8.5 Definicion Sea C una curva de ( M, νˆ ). Se llama funci´on curvatura normal de C a la funcion ´ κn : C → R tal que κn (~x ) = κn,~x (~v), donde ~v es cualquier vector tangente a C en ~x. ´ 2.8.6 Proposicion La funcion ´ curvatura normal de C verifica que κn (~x ) = κ (~x )[nˆ (~x ) · νˆ (~x )]. ´ Demostracion. Sea ~α una parametrizacion ´ natural de C y tˆ su vector tangente. Entonces, κn (~x ) = κn,~x (tˆ) = κ (~x )[nˆ (~x ) · νˆ (~x )].  Corolario 2.8.7 La seccion ´ normal Cn (~x, ~ξ ) es la curva con menor curvatura κ (~x ) de entre todas las curvas que pasan por ~x y tienen a ~ξ como vector tangente. ´ Demostracion. Para una seccion ´ normal en el punto ~x y en la direccion ´ ~ξ, los vectores nˆ y νˆ son paralelos. Por tanto, su curvatura ser´a κ¯ (~x ) = |κn (~x )| = |κn,~x (~ξ )|. Para cualquier otra curva que pase por ~x con vector tangente ~ξ, la relacion ´ entre su curvatura en ~x y su funcion ´ curvatura normal en ~x nos permite escribir ~ |κn,~x (ξ )| = κ (~x )|nˆ (~x ) · νˆ (~x )| ≤ κ (~x ). Luego vemos que κ¯ (~x ) ≤ κ (~x ). 

— luis j. garay 2005 —

2.8.2.

L´ıneas de curvatura

Notemos que el endomorfismo de Weingarten S~x es sim´etrico y, por tanto, es diagonalizable en una base de autovectores ortonormales asociados a autovalores reales. ´ 2.8.8 Definicion Se llaman curvaturas principales a los dos autovalores κ1 (~x ) ≤ κ2 (~x ) del endomorfismo de Weingarten y direcciones principales de curvatura a las definidas por los dos autovectores correspondientes, que son ortogonales. notas gdc (v. 1.0)

2–29

Tema 2. Superficies en el espacio Teorema 2.8.9 Los valores m´aximo y m´ınimo de la funcion ´ curvatura normal de M son las curvaturas principales y se alcanzan en sus correspondientes direcciones principales. ´ Demostracion. Sea tˆ un vector unitario. Entonces, se verifica que g~x (tˆ, tˆ) = 1 y κn,~x (tˆ) = L~x (tˆ, tˆ) = S~x (tˆ) · tˆ. Si las curvaturas principales son iguales, entonces κn,~x (tˆ) = κ1 (~x ) = κ2 (~x ) y todas las direcciones son principales. Supongamos que κ1 (~x ) 6= κ2 (~x ) y sean vˆ1 y vˆ2 los autovectores ortonormales de S~x . En esta base, podemos escribir tˆ = vˆ1 cos θ + vˆ2 sen θ, lo que implica que S~x (tˆ) = κ1 (~x )vˆ1 cos θ + κ2 (~x )vˆ2 sen θ. Por tanto, κn,~x (tˆ) = L~x (tˆ, tˆ) = S~x (tˆ) · tˆ = κ1 (~x ) cos2 θ + κ2 (~x ) sen2 θ. Puesto que κ1 (~x ) < κ2 (~x ), el valor m´aximo de esta funcion ´ se obtiene para θ = π/2 y el m´ınimo para θ = 0, lo que corresponde a las direcciones principales vˆ2 y vˆ1 respectivamente.  ´ 2.8.10 Proposicion ~ Sea φ una carta de M tal que ~φ(u) = ~x. El vector ~v = vα~eα define una direccion ´ αβ δ γ principal si y solo si satisface la ecuacion ´ ε Lαγ g βδ v v = 0.

— luis j. garay 2005 —

´ Demostracion. El vector ~v define una direccion ´ principal si y solo si es autovector de S, es decir, si y solo si S(~v) ∝ ~v, lo que ocurrir´a si y solo si S(~v) × ~v = 0. En componentes, esta ecuacion si tenemos en ´ se escribe ε αβ Sαγ vγ v β = 0. Por ultimo, ´ α αδ cuenta que S γ = g Lδγ , se obtiene el resultado.  ´ 2.8.11 Definicion Decimos que ~x es un punto umb´ılico de la superficie M si y solo si las curvaturas principales coinciden κ1 (~x ) = κ2 (~x ), es decir, si la funcion ´ curvatura normal κn,~x es constante en todo el plano tangente T~x M ´ 2.8.12 Definicion Decimos que ~x es un punto plano si y solo si la funcion ´ curvatura normal κn,~x es id´enticamente nula. ´ 2.8.13 Definicion Una curva C es una l´ınea de curvatura de la superficie orientada ( M, νˆ ) si y solo si, en cada punto ~x de C, el vector tangente a C es un vector principal de M. 2–30

notas gdc (v. 1.0)

2.8. Curvatura Obviamente, las l´ıneas de curvatura son aquellas cuyos vectores tangentes satisfacen la Proposicion ´ 2.8.10 y la ecuacion ´ diferencial εαβ Lαγ g βδ ∂t αδ ∂t αγ = 0 recibe el nombre de ecuaci´on diferencial de las l´ıneas de curvatura de ( M, ν) con respecto a la carta ~φ. ´ 2.8.14 Proposicion Las l´ıneas coordenadas son adem´as l´ıneas de curvatura si y solo si en cada punto no umb´ılico de las mismas se satisfacen las condiciones: g12 = L12 = 0. ´ Demostracion. En los puntos umb´ılicos todas las direcciones son de curvatura y, en particular, las direcciones coordenadas. En los puntos no umb´ılicos, puesto que las direcciones principales son ortogonales y las l´ıneas coordenadas tienen como vectores tangentes los vectores de la base canonica, debemos exigir que ~e1 ·~e2 = 0 ´ para que las l´ıneas coordenadas sean de curvatura. Adem´as, tanto ~e1 como ~e2 deben satisfacer la Proposicion ´ 2.8.10, lo que implica directamente que L12 = 0. Por otro lado, si g12 = 0 y L12 = 0, la ecuacion ´ diferencial de las l´ıneas de curvatura se satisface autom´aticamente para las l´ıneas coordenadas.  Ejercicio 2.8.15 Demostrar que la suma de las curvaturas normales en un punto de una superficie orientada en cualquier par de direcciones ortogonales es constante. ´ Solucion. Si llamamos uˆ 1 y uˆ 2 a los dos autovectores unitarios del operador de Weingarten, que son por supuesto ortogonales, vemos que la suma de las curvaturas normales es κ1 + κ2 . Ahora tomamos otra pareja de vectores ortogonales vˆ1 y vˆ2 , de tal forma que vˆ1 forma un a´ ngulo α con uˆ 1 (y π/2 − α con uˆ 2 ). A su vez, vˆ2 formar´a un a´ ngulo α con uˆ 2 y un a´ ngulo de π/2 + α con uˆ 1 . Es decir, vˆ1 = uˆ 1 cos α + uˆ 2 sen α vˆ2 = −uˆ 1 sen α + uˆ 2 cos α.

— luis j. garay 2005 —

Calculamos ahora κn,~x (vˆi ) κn,~x (vˆ1 ) = vˆ1 · (κ1 cos αuˆ 1 + κ2 sen αu2 ) = κ1 cos2 α + κ2 sen2 α, κn,~x (vˆ2 ) = vˆ2 · (−κ1 sen αuˆ 1 + κ2 cos αu2 ) = κ2 cos2 α + κ1 sen2 α. Y es claramente κn,~x (vˆ1 ) + κn,~x (vˆ2 ) = κ1 + κ2 para cualquier valor de α. N Ejercicio 2.8.16 Demostrar que ~α es l´ınea de curvatura si y solo si los vectores ~v~α y ∂t νˆ~α son proporcionales. Ejercicio 2.8.17 Demostrar que una geod´esica plana sin puntos de inflexion ´ es l´ınea de curvatura. notas gdc (v. 1.0)

2–31

Tema 2. Superficies en el espacio ´ Solucion. Sea ~α una parametrizacion ´ natural de dicha curva. Por ser natural, sa2 bemos que ∂s~α k nˆ~α . Por ser geod´esica, ∂2s~α k νˆ~α . Como ambos son unitarios, nˆ~α (s) = ±νˆ~α (s). Si derivamos esta ecuacion ´ y utilizamos las ecuaciones de Frenet y el hecho de que, por ser ~α una curva plana, la torsion ´ es id´enticamente nula, obtenemos ∂s νˆ~α (s) = ∓κ~α (s)tˆ~α (s). Y por lo tanto, teniendo el cuenta el Ejercicio 2.8.16, ~α es l´ınea de curvatura. N Ejemplo 2.8.18 a) En el paraboloide (Figura 2.2), los c´ırculos horizontales y las par´abolas parametrizadas por (cos at, sen at, t2 ) son l´ıneas de curvatura (se corresponden con las ~ en el Ejercicio 2.2.13). l´ıneas coordenadas de la carta ψ b) En la pseudoesfera (Figura 2.8), al igual que en la anterior, las l´ıneas coordenadas son de curvatura. c) Todas las curvas de la esfera son l´ıneas de curvatura. d) En el paraboloide hiperbolico (Figura 2.5), es de curvatura la l´ınea parametrizada ´ por ~α2 .

2.8.3.

Curvatura de una superficie

´ 2.8.19 Definicion 1. Se define curvatura de Gauss de la superficie orientada ( M, νˆ ) a la funcion ´ K : M → R tal que K (~x ) = det S~x .

— luis j. garay 2005 —

2. Se define curvatura media de la superficie orientada ( M, νˆ ) a la funcion ´ H : M → R tal que H (~x ) = tr S~x /2. ´ 2.8.20 Proposicion Sea ~x un punto de ( M, νˆ ) y ~φ una carta de M tal que ~x = ~φ(u). Entonces se verifican las siguientes propiedades: 1. K (~x ) = κ1 (~x )κ2 (~x ) 2. K (~x ) =

y

H (~x ) = [κ(~x ) + κ2 (~x )]/2.

det( Lαβ ) . det( gαβ )

3. H (~x ) = tr( gαβ L βγ )/2. ´ Demostracion. 2–32

notas gdc (v. 1.0)

2.8. Curvatura 1. Basta con escribir S~x en una base en la que sea diagonal (la de las direcciones principales). Los elementos diagonales son κ1 y κ2 . 2. Obvio. 3. Obvio.  ´ 2.8.21 Proposicion Sea ~φ una carta de ( M, νˆ ). Las funciones K ◦ ~φ y H ◦ ~φ son de clase C ∞ y, por tanto, K y H son continuas. ´ Demostracion. Lαβ (u) y gαβ (u) son de clase C ∞ y det( gαβ ) no se anula. Luego, de la proposicion ´ anterior, se sigue el resultado.  Ejemplo 2.8.22 Un ejemplo de superficie con curvatura positiva es la esfera unidad, con K = 1 en todos sus puntos. Es tambi´en posible, por supuesto, una superficie con curvatura constante negativa; de hecho, la hemos visto ya: es la pseudoesfera (Figura 2.8), que tiene K = −1, como se calcula trivialmente a partir de las formas fundamentales escritas en el Ejercicio 2.7.8. El plano tiene, logicamente, K = 0 en todos sus puntos, ´ pero no es la unica superficie con esta propiedad, como veremos en el Tema 3. ´ Como ejemplo de superficie con curvatura de Gauss variable, podemos tomar el helicoide (Figura 2.1). Se deja como ejercicio calcular la curvatura de Gauss de  2 esta superficie, que resulta ser K = −c2 / c2 + (u1 )2 .

2.8.4.

´ local de las superficies Clasificacion

´ 2.8.23 Definicion 1. ~x ∈ M es el´ıptico si y solo si K (~x ) > 0.

— luis j. garay 2005 —

2. ~x ∈ M es hiperb´olico si y solo si K (~x ) < 0. 3. ~x ∈ M es parab´olico si y solo si K (~x ) = 0 pero ~x no es plano. ´ 2.8.24 Proposicion 1. Si ~x es el´ıptico, entonces todos los puntos de la superficie en un entorno suficientemente pequeno ˜ de ~x est´an al mismo lado del plano tangente. 2. Si ~x es hiperbolico, entonces existen puntos de la superficie en un entorno ´ suficientemente pequeno ˜ de ~x que est´an en lados opuestos del plano tangente. ´ Demostracion. notas gdc (v. 1.0)

Sin demostracion.  ´ 2–33

Tema 2. Superficies en el espacio

C1 M2

C2 C3

M1

Figura 2.9: Toroide.

Ejemplo 2.8.25 (Toroide) Vamos a utilizar el ejemplo del toroide (Figura 2.9) para ilustrar estos conceptos. Una posible carta es
φ(u1 , u2 ) = ( R + r cos u2 ) cos u1 , ( R + r cos u2 ) sen u1 , r sen u2 . Las formas fundamentales son g11 = ( R + r cos u2 )2 ,

— luis j. garay 2005 —

L11 = −( R + r cos u2 ) cos u2 ,

g12 = 0, L12 = 0,

g22 = r2 . L22 = −r.

Bas´andonos en la Figura 2.9, los puntos de la curva C1 (circunferencia de radio R), son todos parabolicos. Los puntos cuya distancia al eje es menor que R (por ´ ejemplo los de la curva C2 ) son hiperbolicos y aqu´ellos cuya distancia al eje es ´ mayor que R son el´ıpticos. Esto se puede ver gr´aficamente, teniendo en cuenta el resultado de la Proposicion ´ 2.8.24, con ayuda de los meridianos M1 y M2 . Todas estas curvas son l´ıneas de curvatura, por lo que se ve claramente que en C2 las dos curvaturas principales tienen signo contrario (se curvan hacia lados distintos las l´ıneas de curvatura) y en C3 las dos tienen el mismo signo (pues C3 y M1 se curvan hacia el mismo lado del plano tangente). 2–34

notas gdc (v. 1.0)

2.9. L´ıneas asint´oticas

2.9.

´ L´ıneas asintoticas

´ 2.9.1 Definicion Un vector ~v ∈ T~x M es un vector asint´otico de ( M, νˆ ) en ~x si y solo si se cumple que L~x (~v, ~v) = Lαβ vα v β = 0, es decir, si S~x (~v) es ortogonal a ~v. La direccion ´ definida por un vector asintotico recibe el nombre de direcci´on asint´otica. ´ ´ 2.9.2 Proposicion 1. Si ~x ∈ M es el´ıptico, ninguna direccion ´ de T~x M es asintotica. ´ 2. Si ~x ∈ M es hiperbolico, existen exactamente dos direcciones asintoticas en ´ ´ T~x M. 3. Si ~x ∈ M es parabolico, existe una unica direccion en T~x M. ´ ´ ´ asintotica ´ 4. Si ~x ∈ M es plano, todas las direcciones de T~x M son asintoticas. ´ ´ Demostracion. Sean vˆ α , α = 1, 2 los dos autovectores ortonormales del endomorfismo de Weingarten. Entonces, cualquier vector ~v ∈ T~x M se podr´a escribir como ~v = vα vˆ α y, por tanto, L~x (~v, ~v) = (v1 )2 κ1 (~x ) + (v2 )2 κ2 (~x ). En funcion ´ del signo de K (~x ) = κ1 (~x )κ2 (~x ), la ecuacion ´ L~x (~v, ~v) = 0 tendr´a dos soluciones (hiperbolico), una solucion ninguna (el´ıptico) o todas (plano, es decir, ´ ´ (parabolico), ´ κ1 (~x ) = κ2 (~x ) = 0).  ´ 2.9.3 Definicion Una curva C de ( M, νˆ ) es una l´ınea asint´otica si y solo si en todos sus puntos el vector tangente define una direccion ´ asintotica. ´ ´ 2.9.4 Proposicion La funcion es id´enticamente nula. ´ curvatura normal de una curva asintotica ´

— luis j. garay 2005 —

´ Demostracion. Sea tˆ(~x ) el vector tangente a una l´ınea asintotica. La funcion ´ ´ curvatura normal para esta curva es κn (~x ) = κn,~x (tˆ) = L~x (tˆ, tˆ) = 0.  ´ 2.9.5 Proposicion 1. Una curva C de ( M, νˆ ) es una l´ınea asintotica si y solo si, dada una carta ~φ, ´ admite una parametrizacion ´ ~α(t) (con ~α = ~φ ◦ α) tal que Lαβ [α(t)]∂t αα (t)∂t α β (t) = 0. Esta ecuacion ´ recibe el nombre de ecuaci´on diferencial de las l´ıneas asint´oticas. 2. Por cada punto hiperbolico pasan exactamente dos l´ıneas asintoticas. ´ ´ ´ Demostracion. 1.– Obvia. notas gdc (v. 1.0)

2–35

Tema 2. Superficies en el espacio 2.– Basta utilizar los teoremas de existencia y unidad de soluciones para ecuaciones diferenciales.  ´ 2.9.6 Proposicion Las l´ıneas coordenadas son l´ıneas asintoticas si y solo si L11 = L22 = 0. ´ ´ Demostracion. Las l´ıneas coordenadas tienen como vectores tangentes los vectores ~ea de la base canonica de T~x M. Para que sean direcciones asintoticas, debe ´ ´ cumplirse que 0 = L~x (~eα , ~eα ) = Lαα , α = 1, 2.  Ejercicio 2.9.7 Demostrar que todas las rectas son curvas asintoticas. ´ ´ Solucion. La curvatura de la seccion es nula. Esta ´ normal en una curva asintotica ´ curvatura es   κn (~x ) = κ (~x ) nˆ (~x ) · νˆ (~x ) , que se anula para una recta, que es lo que quer´ıamos demostrar. N

— luis j. garay 2005 —

Ejemplo 2.9.8 Las l´ıneas coordenadas (rectas y h´elices) del helicoide (Figura 2.1), son asintoticas. ´ Tambi´en es asintotica la curva ~α3 del paraboloide hiperbolico. ´ ´

2–36

notas gdc (v. 1.0)

2.10. Ejercicios

2.10.

Ejercicios

2.1 Hallar unas ecuaciones param´etricas para las siguientes superficies, esbozar su gr´afica, hallar su plano tangente y su primera forma fundamental. a. Superficie esf´erica x2 + y2 + z2 = a2 . b. Elipsoide

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1.

c. Paraboloide el´ıptico z =

x2 a2

+

y2 . b2

x2 a2

+

y2 b2

−

e. Paraboloide hiperbolico z= ´

x2 a2

−

y2 . b2

d. Hiperboloide de una hoja

z2 c2

= 1.

f. Cilindro de base circular x2 + y2 = a2 . g. Hiperboloide de dos hojas

x2 a2

+

y2 b2

−

z2 c2

= −1.

h. Cono circular x2 + y2 − a2 z2 = 0. 2.2 Sea c una curva descrita por ecuaciones impl´ıcitas: f ( x, y, z) = 0, g( x, y, z) = 0, y tomemos una recta r que pasa por un punto p0 = ( x0 , y0 , z0 ) paralelamente a ~u = (u1 , u2 , u3 ). La ecuacion ´ impl´ıcita de la superficie de revolucion ´ S engendrada por c al girar sobre r se halla como sigue:

— luis j. garay 2005 —

1. Sean P(µ) ≡ u1 x + u2 y + u3 z = µ la familia de planos normales a r, y E(λ) ≡ ( x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = λ la familia de esferas centradas en p0 . 2. Los valores de λ y µ para los que existen puntos en c ∩ P(µ) ∩ E(λ) vienen dados por la compatibilidad del sistema f ( x, y, z) = 0,

g( x, y, z) = 0,

u1 x + u2 y + u3 z = µ,

( x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = λ.

3. Eliminando ( x, y, z) encontramos la condicion ´ F (λ, µ) = 0 para que un plano de la familia P(µ) y una esfera de la familia E(λ) tengan un punto comun ´ con la curva r. En tal caso, la interseccion ´ del plano con la esfera determina un paralelo de la superficie de revolucion ´ S. notas gdc (v. 1.0)

2–37

Tema 2. Superficies en el espacio Demostrar que la ecuacion ´ de S es F (( x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 , u1 x + u2 y + u3 z) = 0 y elaborar un m´etodo si la curva est´a en param´etricas c ≡ ( x (t), y(t), z(t)). 2.3 Determinar las superficies de revolucion ´ correspondientes a las curvas generatrices c y a los ejes de giro r siguientes: a. c : 2y − z = 0, x = 0;

r : x = 0, y = 0.

b. c : y2 + z2 − 2 = 0, 2y + 3z + 1 = 0; c. c : x = t, y = 2t, z = t + 1;

r : 2x − y − 2 = 0, x + y − z − 1 = 0.

r : x = y = (1 − z)/2.

2.4 Representar la superficie de revolucion ´ (el toro) que se obtiene al girar alrededor de OZ la circunferencia de ecuaciones (y − a)2 + z2 = b2 , x = 0, siendo a > b > 0. Determinar su ecuacion ´ impl´ıcita, plano tangente, primera forma fundamental y a´ rea. 2.5 Una superficie reglada es la engendrada por el movimiento de una recta rt (generatriz). Una forma de caracterizar sus ecuaciones param´etricas es imponer que en cada instante del movimiento la recta rt tenga un punto de contacto ( x (t), y(t), z(t)) con una curva dada c (curva directriz) y fijar un vector director ~v(t) = ( a(t), b(t), c(t)) de rt en cada instante t. Probar que entonces las ecuaciones de la superficie ser´an

— luis j. garay 2005 —

x (u, v) = x (u) + va(u),

y(u, v) = y(u) + vb(u),

z(u, v) = z(u) + vc(u).

2.6 Un cono es la superficie reglada que se obtiene moviendo una recta manteniendo un punto fijo (v´ertice). Un cilindro es la superficie reglada que se obtiene moviendo una recta paralelamente a un vector fijo. Determinar las ecuaciones de ambas superficies cuando la directriz est´a en param´etricas o en impl´ıcitas. 2.7 Hallar las ecuaciones impl´ıcitas, plano tangente, y primera forma fundamental de los conos con: a. V´ertice: (0, 0, 0),

Directriz: x (t) = t + 1, y(t) = t2 + 2t + 2, z(t) = t,

b. V´ertice: (0, 0, 1),

Directriz: x2 + y2 = 1, x = z,

c. V´ertice: (1, 4, 1),

Directriz: x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 1.

2–38

notas gdc (v. 1.0)

2.10. Ejercicios 2.8 Probar que el hiperboloide de una hoja x2 + y2 − z2 = 1 es una superficie reglada. 2.9 Sea un sector del paraboloide circular x = u, y = v, z = u2 + v2 , para u2 + v2 < 9. Determinar su primera forma fundamental as´ı como la longitud de las curvas u = constante sobre la superficie. 2.10 Se denominan loxodromas de una esfera a las curvas que forman un a´ ngulo constante α con los meridianos (rumbos en navegacion ´ a´erea). Determinar la ecuacion ´ de la loxodroma de la esfera ( a sen θ cos φ, a sen θ sen φ, a cos θ ) que parte del punto ( a, 0, 0) del ecuador y termina arroll´andose alrededor del polo norte. Calcular la longitud de dicha curva. 2.11 Determinar la primera forma fundamental de una superficie S de ecuacion ´ impl´ıcita F ( x, y, z) = 0, supuesto que Fz 6= 0 en S. 2.12 Sea S la superficie en param´etricas (u + v, u, v), para 0 ≤ u ≤ 1 − v, 0 ≤ v ≤ 1. Hallar la longitud de las curvas x = constante. 2.13 Sea el helicoide recto (ucosv, usenv, v). Demostrar que las dos familias de cur√ 2 vas determinadas por las ecuaciones diferenciales du dv = ± u + 1, forman una red ortogonal sobre la superficie. 2.14 Dada una superficie S, determinar la diferencial de las siguientes funciones: a. Funcion ´ altura de los puntos de S respecto a un plano dado. b. Funcion ´ cuadrado de la distancia al origen de los puntos de S.

— luis j. garay 2005 —

2.15 Para cada numero real a, consideremos el conjunto ´ Ma = {( x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − az2 = a}. Determinar los valores de a para los que Ma es una superficie. Hallar el plano tangente en el punto p = (1, 0, 0) a la superficie M1 . 2.16 Se consideran los conjuntos Mk = {( x, y, z) ∈ R3 , x2k + y2k + z2k = 1}, k = 1, 2. Probar que M1 y M2 son superficies. Encontrar una aplicacion ´ diferenciable no constante f : M2 → M1 . Encontrar los puntos p ∈ M2 para los que la aplicacion ´ lineal tangente Tp f no es sobreyectiva. notas gdc (v. 1.0)

2–39

Tema 2. Superficies en el espacio 2.17 Sea M la esfera de centro el origen de coordenadas y radio R y sea f : M → M tal que f ( x ) = − x. Comprobar que f es un difeomorfismo. Comprobar que para cada punto de M se satisface que Tp M = T− p M. Calcular la expresion ´ de la aplicacion ´ lineal tangente Tp f en cada punto p ∈ M. 2.18 Sea U un subconjunto abierto de R2 y f : U → R una aplicacion ´ C ∞ . Demostrar que el grafo de f definido como G ( f ) = {( x, y, z) ∈ R3 , z = f ( x, y)} es una superficie. Demostrar que el plano vectorial tangente a G ( f ) en el punto ( x, y, a) de G ( f ) es el grafo de la diferencial de f en el punto ( x, y).

~ 1 = (1, 1, 2) y Supongamos que ~x = (1, 1, 0) ∈ G ( f ) y que los vectores w ~ 2 = (1, −1, 0) pertenecen al plano tangente T~x G ( f ). Calcular el valor de las dew rivadas parciales de f en el punto (1, 1). 2.19 Determinar la segunda forma fundamental, la curvatura de Gauss, la curvatura media, las curvaturas principales y la curvatura normal de las siguientes superficies: a. La esfera ~x (θ, φ) = ( R sen θ cos φ, R sen θ sen φ, R cos θ ). b. El paraboloide z = x2 + y2 . 2.20 Determinar las direcciones asintoticas de la superficie (u cos v, u sen v, v) en ´ el punto p = (0, 0, 0). 2.21 Sea la superficie S de ecuaciones param´etricas x = r cos θ, y = r sen θ, z = θ 2 . Hallar la curvatura normal de S en el punto p = (1, 0, 0) en la direccion ´ de la curva r = 1. 2.22 Dada una superficie en forma expl´ıcita z = f ( x, y), determinar su segunda forma fundamental.

— luis j. garay 2005 —

2.23 Determinar la curvatura normal y las curvas asintoticas del hiperboloide ´ z = xy. 2.24 Hallar la ecuacion de la superficie deter´ diferencial de las curvas asintoticas ´ 1 2 2 minada por z = 2 log( x + y ). 2.25 Dada la superficie z = (y2 − x )2 , probar que sus puntos parabolicos forman ´ una curva asintotica. ´ 2.26 Determinar la ecuacion ´ diferencial de las curvas principales de una superficie definida en forma expl´ıcita z = f ( x, y). Hallar tales curvas para el paraboloide z = x2 + y2 . Hallar los puntos umb´ılicos de dicho paraboloide. 2–40

notas gdc (v. 1.0)

2.10. Ejercicios 2.27 Sea ϕ una carta en la superficie M tal que el coeficiente fundamental g11 es constante. Para cada par de numeros reales k y h sean Ck y Γh las im´agenes, v´ıa ϕ, ´ 1 2 de las rectas {u = k } y {u = h} respectivamente. Demostrar que las curvas Ck determinan segmentos de igual longitud sobre las curvas Γh . 2.28 Demostrar que la suma de las curvaturas normales en un punto de una superficie orientada en cualquier par de direcciones ortogonales es constante. 2.29 En un punto de una superficie M se cortan dos rectas perpendiculares. Calcular la curvatura media de M en dicho punto. 2.30 Sea la superficie x = u + v, y = u − v, z = f (u) + g(v), para 0 ≤ u ≤ ∞, 0 ≤ v ≤ ∞ con f , g funciones C ∞ . Hallar la expresion ´ m´as general de las funciones f y g para que las l´ıneas de curvatura sean l´ıneas coordenadas. 2.31 Determinar la ecuacion ´ impl´ıcita, plano tangente y primera forma fundamental del cilindro de generatriz paralela a la recta y + z = 5, 2y − z = 1 y directriz x = t + 2, y = t, z = 4 − t2 . 2.32 Determinar las curvas asintoticas de la superficie (u cos v, u sen v, log u). ´ 2.33 Determinar la ecuacion ´ impl´ıcita, plano tangente y primera forma fundamental de la superficie de revolucion ´ generada por la curva de ecuaciones y = f ( x ), z = 0, al girar alrededor del eje OZ.

— luis j. garay 2005 —

2.34 Consid´erese el cuarto de esfera x2 + y2 + z2 = R2 , y > 0, z > 0. Determinar las ecuaciones correspondientes del cambio de coordenadas p ( x, y, R2 − x2 − y2 ), siendo x2 + y2 ≤ R2 , 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ R, a coordenadas √ ( x, R2 − x2 − z2 , z), siendo x2 + z2 ≤ R2 , 0 ≤ x ≤ R, 0 ≤ z ≤ R.

notas gdc (v. 1.0)

2–41

Tema 3 Geometr´ıa intr´ınseca de superficies

— luis j. garay 2005 —

3.1. Isometr´ıas 3.2. Ecuaciones de compatibilidad 3.2.1. Formulas de Gauss-Codazzi y de Weingarten ´ 3.2.2. S´ımbolos de Christoffel 3.2.3. Formula de Mainardi ´ 3.2.4. Formula y teorema egregio de Gauss ´ 3.2.5. Formula de Mainardi-Codazzi ´ 3.2.6. Condiciones de compatibilidad ´ covariante 3.3. Transporte paralelo. Derivacion 3.4. Geod´esicas y curvatura geod´esica 3.5. Ejercicios

notas gdc (v. 1.0)

3–1

3.1. Isometr´ıas

3.1.

Isometr´ıas

´ 3.1.1 Definicion Sea f : M → M0 una aplicacion ´ diferenciable entre dos superficies y sean g~x y g~0x0 las primeras formas fundamentales en ~x ∈ M y ~x 0 = f (~x ) ∈ M0 respectivamente. 1. La aplicacion ´ f es una isometr´ıa en ~x si y solo si la aplicacion ´ lineal tangente 0 T~x f : T~x M → T~x0 M es una isometr´ıa entre espacios vectoriales, donde los productos escalares est´an determinados por sus respectivas primeras formas fundamentales. En otras palabras, f es una isometr´ıa en ~x si y solo si para cualquier par de vectores ~v1 , ~v2 ∈ T~x M se verifica que g~x (~v1 , ~v2 ) = g~0x0 (~v10 , ~v20 ) donde ~v0 = T~x f (~v) ∈ T~x0 M0 . 2. f es una isometr´ıa local si y solo si f es una isometr´ıa en todo punto de M. 3. f es una isometr´ıa global si y solo si f es una isometr´ıa local y un difeomorfismo. ´ 3.1.2 Proposicion Sea f : M → M0 una aplicacion ´ diferenciable. Sea ~x ∈ M y ~φ una carta de M que contenga a ~x. 1. Si f es una isometr´ıa en ~x, entonces ~φ0 = f ◦ ~φ es una carta de M0 que contiene a ~x 0 = f (~x ). Notese que ~φ y ~φ0 actuan sobre el mismo espacio de par´ametros ´ ´ 0 0 ~ ~ y que si ~x = φ(u), entonces ~x = φ (u). 0 son los primeros coeficientes fundamentales de ~ 2. Sean gαβ y gαβ φ y ~φ0 = f ◦ ~φ. La aplicacion ´ f = ~φ0 ◦ φ−1 es una isometr´ıa en ~x = ~φ(u) si y solo si

— luis j. garay 2005 —

0 ( u ). gαβ (u) = gαβ

Las isometr´ıas son pues las transformaciones de las superficies que preservan su primera forma fundamental. Llamaremos geometr´ıa intr´ınseca al estudio de las superficies que solo depende de la primera forma fundamental, puesto que, en este caso, podemos estudiar la superficie desde dentro, sin preocuparnos del espacio ambiente en el que est´a inmersa, si es que existe. ´ 3.1.3 Proposicion 1. Las isometr´ıas en un punto preservan los a´ ngulos de las curvas que se cortan en ese punto. 2. Las isometr´ıas locales preservan el car´acter geod´esico de las curvas. notas gdc (v. 1.0)

3–3

Tema 3. Geometr´ia intr´inseca de superficies

b

d c–d f

e

e a–b f

a

c

Figura 3.1: Isometr´ıa entre un helicoide y un catenoide

3. Las isometr´ıas globales preservan las longitudes y las a´ reas. Ejemplo 3.1.4 (Catenoide y helicoide) Vamos a utilizar el caso del catenoide y el helicoide para ilustrar el concepto de isometr´ıa. El helicoide ya aparecio´ en el Ejercicio 2.1.10, donde lo parametriz´abamos como1 φ(u1 , u2 ) = (u1 cos u2 , u1 sen u2 , u2 ).

— luis j. garay 2005 —

El catenoide puede representarse como q q 1 2 2 1 2 ψ(u , u ) = ( 1 + (u ) cos u , 1 + (u1 )2 sen u2 , arcsenh u1 ). Estas dos superficies, aunque a primera vista parezcan muy diferentes, son isom´etricas. Para probar esto basta calcular su primera forma fundamental, que es para ambas q g11 = 1, g22 = 0, g12 = 1 + (u1 )2 . La isometr´ıa que pasa de φ(u1 , u2 ) a ψ(u1 , u2 ) convierte (Figura 3.1) los radios del helicoide en meridianos del catenoide (u2 constante), ese ejercicio hac´ıamos variar a u1 entre 0 y R. Ahora va a tomar valores entre − R y R. Esta es la razon ´ de que la superficie representada all´ı sea algo distinta de la de la Figura 3.1. 1 En

3–4

notas gdc (v. 1.0)

3.2. Ecuaciones de compatibilidad las h´elices del helicoide en paralelos del catenoide (u1 6= 0 constante), el eje vertical del helicoide en el c´ırculo central del catenoide (u1 = 0). Podemos ir m´as all´a aun ´ y encontrar una familia uniparam´etrica de superficies isom´etricas que permita transformar una superficie en la otra de forma continua. Esto se ilustra en la Figura 3.2. La carta, en funcion ´ de un par´ametro t, que define cada superficie de esta familia es f (u1 , u2 , t) = (cos u1 cosh u2 sen t + cos t sen u1 senh u2 , cosh u2 sen t sen u1 − cos t cos u1 senh u2 , u1 cos t + u2 sen t) Claramente el helicoide se corresponde con t = 0 y el catenoide con t = π/2. Se deja como ejercicio comprobar que todas estas superficies tienen los primeros coeficientes fundamentales gαβ anteriores. Este ejemplo muestra que dos inmersiones de R2 en R3 con el mismo tensor m´etrico y, por lo tanto, como se demostrar´a en la proxima seccion, ´ ´ mismas curvaturas de Gauss K y media H, no tienen por qu´e estar relacionadas por un movimiento eucl´ıdeo en R3 . Es necesario conocer todos los segundos coeficientes fundamentales Lαβ (y no solo ´ los diagonales) para poder distinguirlas.

3.2. Ecuaciones de compatibilidad

— luis j. garay 2005 —

3.2.1.

´ Formulas de Gauss-Codazzi y de Weingarten

Dada una superficie M y una carta ~φ de M, vimos que los vectores de la base canonica del plano tangente en ~x = ~φ(u) ∈ M eran ~eα (u) = ∂α~φ(u). Estos dos ´ vectores y la normal a la superficie, forman una base {~eα , νˆ } de R3 . La pregunta que vamos a responder a continuacion var´ıan estos vectores al movernos ´ es como ´ por la superficie, es decir, cu´ales son las derivadas de estos vectores con respecto a las coordenadas u. Para ello, expresaremos estas derivadas como combinaciones lineales de los elementos de la base: ˆ ∂α~e β = Γαβ~eγ + Cαβ ν, γ

β

ˆ ∂α νˆ = B α~e β + Bα ν.

(3.1)

Calculemos los coeficientes de estas combinaciones lineales. Comencemos por y Bα . Recordemos que el operador de Weingarten actuando sobre los elemenβ ˆ Por tanto, vemos directamente que tos de la base es S α (u)~e β ≡ S~x (~eα ) ≡ −∂α ν. β Bα

notas gdc (v. 1.0)

3–5

— luis j. garay 2005 —

Tema 3. Geometr´ia intr´inseca de superficies

t=0

t=

π 10

t=

π 5

t=

3π 10

t=

2π 5

t=

π 2

Figura 3.2: Trasformacion ´ de un helicoide en un catenoide 3–6

notas gdc (v. 1.0)

3.2. Ecuaciones de compatibilidad β

Bα = 0 y que los coeficientes B α son las componentes del operador de Weingarten β β β β β B α = S α . Adem´as, la ecuacion ´ de Weingarten nos permite escribir B α = S α = L α . Los coeficientes Cαβ tambi´en son f´aciles de calcular. Multipliquemos la primera ecuacion ´ por νˆ para obtener Cαβ = νˆ · ∂α~e β = Lαβ . Por tanto, podemos escribir las formulas (3.1) ´ β γ ˆ ∂α~e β = Γαβ~eγ + Lαβ ν, ∂α νˆ = − L α~e β . La segunda ecuacion ´ es simplemente la f´ormula de Weingarten que relaciona los segundos coeficientes fundamentales con las componentes del operador de Weingarten. La primera recibe el nombre de f´ormula de Gauss-Codazzi y nos permite γ expresar los coeficientes Γαβ , llamados s´ımbolos de Christoffel, en t´erminos solo de los coeficientes de la primera forma fundamental.

3.2.2.

S´ımbolos de Christoffel

Para calcular los s´ımbolos de Christoffel, multiplicamos la formula de Gauss´ Codazzi escalarmente por ~eδ :

~eδ · ∂α~e β = Γγαβ~eδ ·~eγ = gγδ Γγαβ .

(3.2)

Multiplicando por el inverso del tensor m´etrico gδe obtenemos Γeαβ = geδ~eδ · ∂α~e β . Ya hemos calculado los s´ımbolos de Christoffel. Nos queda expresarlos en funcion ´ de los primeros coeficientes fundamentales. Para ello, notemos que ∂α g βδ = ∂α (~e β ·~eδ ) = ~eδ · ∂α~e β +~e β · ∂α~eδ . | {z }

— luis j. garay 2005 —

Una permutacion ´ c´ıclica de los ´ındices nos permite escribir ∂ β gδα = ~eα · ∂ β~eδ +~eδ · ∂ β~eα , | {z }

∂δ gαβ = ~e β · ∂δ~eα +~eα · ∂δ~e β .

Adem´as, ∂α~e β = ∂ β~eα puesto que ∂α~e β = ∂α ∂ β~φ. Por tanto, en estas tres formulas ´ los t´erminos con igual subrayado son iguales. En particular, los t´erminos senalados ˜ con una llave son los que queremos calcular. Por tanto, sumando las dos primeras ecuaciones y restando la tercera obtenemos 2~eδ · ∂α~e β y podemos escribir Γαβ = γ

1 γδ g (∂α g βδ + ∂ β gδα − ∂δ gαβ ), 2

que solo dependen de la primera forma fundamental. notas gdc (v. 1.0)

3–7

Tema 3. Geometr´ia intr´inseca de superficies Es importante notar que los s´ımbolos de Christoffel no son tensores, puesto que no satisfacen las leyes de transformacion ´ adecuadas. En efecto, podemos obtener γ la ley de transformacion ´ de Γαβ de la ecuacion ´ (3.2): Γαβ = gγδ~eδ · ∂α~e β . γ

Bajo un cambio de base en el plano tangente ~e0 = Λ~e, Γ se transforma como 0γ0

γ0

0 0

0

Γα0 β0 = g0γ δ ~eδ0 0 · ∂0α0~e0β0 = (Λ−1 ) γ (Λ−1 )δδ Λeδ0 gγδ Λαα0~ee · ∂α (Λ β0~e β ) 0

= (Λ−1 )γγ Λαα0 gγδ~eδ · (Λ 0

β eβ β0 ∂α~

+~e β ∂α Λ

β

β β0 )

0

= (Λ−1 )γγ Λαα0 Λ

+ (Λ−1 )γγ Λαα0 gγδ gδβ ∂α Λ

=

+ (Λ−1 )γγ ∂0α0 Λγβ0 .

β γ β0 Γαβ 0 β (Λ−1 )γγ Λαα0 Λ β0 Γγαβ

β β0

0

El primer t´ermino corresponde al tipo de transformacion ´ de un tensor. Pero, adem´as, la ley de transformacion ´ de Γ tiene un t´ermino adicional de la forma − 1 0 Λ ∂ Λ. Si la matriz de transformacion ´ Λ no dependiese de u0 , este t´ermino se anular´ıa. Sin embargo, Λ s´ı depende de u0 puesto que un cambio de base en el espacio tangente corresponde a un cambio de par´ametros. En efecto, si ~eα (u) = ∂α~φ(u) y ~eα0 0 (u0 ) = ∂0α0 ~φ0 (u0 ), el cambio de base est´a regido por

~eα0 0 (u0 ) = ∂0α0 ~φ0 (u0 ) = (∂0α0 uα )∂α~φ0 [u0 (u)] = (∂0α0 uα )∂α~φ(u) = (∂0α0 uα )~eα (u) ≡ Λαα0 (u0 )~eα (u).

— luis j. garay 2005 —

Ejercicio 3.2.1 Calcular los s´ımbolos de Christoffel del plano en coordenadas polares a partir de la ley de transformacion ´ anterior. ´ Solucion. Partimos de los s´ımbolos de Christoffel del plano en cartesianas, 1 2 ( x , x ), que son todos nulos: Γγαβ = 0. Sabemos que si un tensor tiene todas sus componentes nulas en una base, las tendr´a nulas en cualquier otra. Veremos que esto no es as´ı para los s´ımbolos de Christoffel. En primer lugar notemos que en la ley de transformacion ´ el primer t´ermino, correspondiente a la transformacion ´ que tendr´ıa un tensor, se anula: 0γ0 Γ α0 β0

:0 

=

0 β γ (Λ−1 )γγΛαα 0 Λ β0 Γ αβ



0

+ (Λ−1 )γγ ∂0α0 Λγβ0 .

Para calcular el segundo t´ermino necesitamos la matriz Λ de cambio de base. Las coordenadas polares (u1 , u2 ) vienen dadas por x1 = u1 cos u2 , 3–8

x2 = u1 sen u2 . notas gdc (v. 1.0)

3.2. Ecuaciones de compatibilidad En lo que sigue, haremos r ≡ u1 y θ ≡ u2 . Los coeficientes Λαβ = ∂x α /∂u β son Λ11 = cos θ

Λ12 = −r sen θ,

Λ21 = sen θ,

(Λ−1 )1 2 = sen θ,

( Λ −1 )2 1 −

Λ22 = r cos θ.

y la inversa, Λ−1

(Λ−1 )1 1 = cos θ

sen θ , r

( Λ −1 )2 2

cos θ . r

Con la matriz de cambio de base ya calculada, solo ´ queda aplicar directamente la ley de transformacion ´

01 Γ11 = (Λ−1 )11 ∂10 Λ1 1 + (Λ−1 )1 2 ∂10 Λ2 1 = cos θ · 0 + sen θ · 0 = 0. 01 Γ21 = (Λ−1 )1 1 ∂20 Λ1 1 + (Λ−1 )1 2 ∂20 Λ2 1 = − cos θ sen θ + sen θ cos θ = 0. sen θ cos θ 02 ·0+ · 0 = 0. Γ11 = (Λ−1 )2 1 ∂10 Λ1 1 + (Λ−1 )2 2 ∂10 Λ2 1 = − r r sen θ cos θ 1 02 Γ21 = (Λ−1 )2 1 ∂20 Λ1 1 + (Λ−1 )2 2 ∂20 Λ2 1 = · sen θ + cos θ = . r r r −1 2 0 2 −1 2 0 1 02 Γ22 = (Λ ) 1 ∂2 Λ 2 + (Λ ) 2 ∂2 Λ 2 = 0. 01 = (Λ−1 )1 1 ∂20 Λ1 2 + (Λ−1 )1 2 ∂20 Λ2 2 = −r. Γ22

Si adem´as tenemos en cuenta que los s´ımbolos de Christoffel son sim´etricos al γ γ intercambiar los sub´ındices, Γαβ = Γ βα , como se puede ver inmediatamente a partir de su definicion, ´ podemos obtener los que nos faltan sin calcular nada: 1 02 02 Γ12 = Γ21 = . r

01 01 Γ12 = Γ21 = 0,

Se deja como ejercicio comprobar que se obtiene el mismo resultado aplicando la definicion ´ 3.2. N

— luis j. garay 2005 —

3.2.3.

´ Formula de Mainardi

Derivemos la formula de Gauss-Codazzi ´ ∂δ ∂α~e β = ∂δ Γαβ~eγ + Γαβ ∂δ~eγ + ∂δ Lαβ νˆ + Lαβ ∂δ νˆ γ

γ

y sustituyamos las formulas de Gauss-Codazzi y de Weingarten. El resultado es: ´ ∂δ ∂α~e β = ∂δ Γαβ~eγ + Γαβ (Γeδγ~ee + Lδγ νˆ ) + ∂δ Lαβ νˆ − Lαβ Leδ~ee . γ

γ

Una reorganizacion ´ de los t´erminos nos proporciona la f´ormula de Mainardi: γ γ ˆ ∂δ ∂α~e β = (∂δ Γeαβ + Γαβ Γeδγ − Lαβ Leδ )~ee + (∂δ Lαβ + Γαβ Lδγ )ν.

notas gdc (v. 1.0)

3–9

Tema 3. Geometr´ia intr´inseca de superficies

3.2.4.

´ Formula y teorema egregio de Gauss

Nuestro punto de partida es la formula de Mainardi. El miembro de la izquier´ da de esta formula es sim´etrico bajo el intercambio de ´ındices β ↔ δ. Por tanto, si la ´ multiplicamos por el tensor de Levi-Civita ε βδ obtenemos una combinacion ´ lineal nula de los elementos de la base y, en consecuencia, los coeficientes que acompanan ˜ a estos vectores deben anularse. Consideremos solo los coeficientes de ~ee . La formula resultante de igualar este coeficiente a cero, agrupar los t´erminos que solo ´ contienen la primera forma fundamental en el miembro de la derecha y escribir Leδ = geζ Lδζ es γ ε βδ geζ Lαβ Lδζ = ε βδ (∂δ Γeαβ + Γαβ Γeδγ ). El miembro de la izquierda se puede escribir como geζ ε αζ det( Lαβ )/ det( gαβ ) = geζ ε αζ K (ver ap´endice A) y, si multiplicamos la ecuacion ´ por gαη , obtenemos εηe K = gαη ε βδ (∂δ Γeαβ + Γαβ Γeδγ ). γ

Multiplicando esta ecuacion ´ por ε ηe y notando que ε ηe εηe = 2, obtenemos la f´ormula de Gauss: 1 γ K = ε ηe ε βδ gαη (∂δ Γeαβ + Γαβ Γeδγ ). 2 Vemos, por tanto, que, aunque la definicion ´ de la curvatura de Gauss involucraba la segunda forma fundamental, en realidad, solo depende de la primera, es decir, es una caracter´ıstica intr´ınseca de la superficie. ´ 3.2.2 Definicion Definimos el tensor de curvatura de Riemann R como aqu´el cuyas componentes son Reαδβ = ∂δ Γeαβ − ∂ β Γeαδ + Γαβ Γeγδ − Γαδ Γeγβ . — luis j. garay 2005 —

γ

γ

Ejercicio 3.2.3 Probar que el tensor de curvatura de Riemann es realmente un tensor. Probar tambi´en que Rαβγδ = gαe Reβγδ es antisim´etrico en los dos ultimos ´ ´ındices y en los dos primeros ´ındices; adem´as es sim´etrico si intercambiamos el primer par por el segundo. En t´erminos del tensor de Riemann, la formula de Gauss adquiere la forma ´ K=

3–10

1 αβ γδ R1212 ε ε Rαβγδ = . 4 det( gαβ ) notas gdc (v. 1.0)

3.2. Ecuaciones de compatibilidad Teorema 3.2.4 (Gauss) Sea f : M → M0 una isometr´ıa local. Entonces las curvaturas de Gauss K y K 0 de las superficies M y M0 coinciden punto a punto, es decir, K 0 = K ◦ f . En otras palabras, si ~x 0 = f (~x ), entonces K (~x ) = K 0 (~x 0 ). ´ Demostracion. Si f es una isometr´ıa local, entonces preserva la primera forma fundamental. Como la curvatura de Gauss es solo funcion ´ de la primera forma fundamental, f tambi´en la preserva. 

3.2.5.

´ Formula de Mainardi-Codazzi

Volvamos a la formula de Mainardi. Hemos visto que el miembro de la izquier´ da de esta formula es sim´etrico bajo el intercambio de ´ındices α ↔ δ y que, si la ´ multiplicamos por eαδ obtenemos una combinacion ´ lineal nula de los elementos de la base y, en consecuencia, los coeficientes que acompanan a estos vectores deben ˜ anularse. En la obtencion de Gauss hemos considerado solo los coefi´ de la formula ´ cientes de ~ee . Centr´emonos ahora en el coeficiente del vector normal a la superficie ˆ ν: γ eαδ (∂δ Lαβ + Γαβ Lδγ ) = 0. ´ Esta es la f´ormula de Mainardi-Codazzi.

3.2.6.

Condiciones de compatibilidad

Puede verse que cualquier relacion ´ entre los coeficientes fundamentales es consecuencia de las formulas de Gauss y de Mainardi-Codazzi. ´

— luis j. garay 2005 —

Dadas unas funciones gαβ : R2 → R y Lαβ : R2 → R de clase C ∞ , deben satisfacer las siguientes condiciones de compatibilidad para que puedan ser los coeficientes fundamentales de alguna carta: 1. Deben ser sim´etricas: gαβ = g βα , Lαβ = L βα . 2. gαα y det g han de ser positivos. 3. Han de satisfacer las formulas de Gauss y de Mainardi-Codazzi. ´ Por otro lado, dadas unas funciones gαβ y Lαβ , existe una unica carta (salvo ´ isometr´ıas, es decir movimientos en el espacio) tal que gαβ y Lαβ son sus coeficientes fundamentales. La formulacion ´ precisa de esta afirmacion ´ constituye el teorema de Bonnet notas gdc (v. 1.0)

3–11

Tema 3. Geometr´ia intr´inseca de superficies Teorema 3.2.5 (Bonnet) Sean gαβ : R2 → R y Lαβ : R2 → R funciones de clase C ∞ que satisfacen las condiciones de compatibilidad. Entonces, en cada punto u ∈ R2 , existe un abierto U y una aplicacion ´ ~φ : R2 → R de clase C ∞ tal que (U, ~φ, R3 ) es una carta de la superficie M = ~φ(U ) y cuyos coeficientes fundamentales son gαβ y Lαβ . Adem´as, si existen dos cartas con las mismas propiedades, ambas est´an relacionadas mediante un movimiento en el espacio, es decir, mediante una transformacion ´ af´ın isom´etrica. ´ Demostracion.

3.3.

Sin demostracion  ´

´ covariante Transporte paralelo. Derivacion

Sea ( M, νˆ ) una superficie orientada y ~φ una carta de M. Sea ~α(t) una curva ~ (t) un vector de T~α(t) M (no de M y α(t) una curva de R2 tal que ~α = ~φ ◦ α. Sea w ~ (t) al transportarlo necesariamente tangente a ~α(t)). Nos preguntamos como var´ıa w ´ a lo largo de la curva ~α.

~ como combinacion Si escribimos w ´ lineal de los elementos de la base canonica ´ ~ (t) = wα (t)~eα [α(t)], la derivada de w ~ con respecto al par´ametro en ~α(t), es decir, w t ser´a ~ (t) = (∂t wα )~eα + wα ∂t~eα . ∂t w Sea ~v(t) = ∂t~α(t), de manera que vα (t) = ∂t αα (t). Entonces, aplicando la regla de la cadena, podemos escribir la expresion ´ anterior como

~ = v β [(∂ β wα )~eα + wγ ∂ β~eγ ] ∂t w = v β [(∂ β wα )~eα + wγ (Γαβγ~eα + Lαβ νˆ )] ~ + wα Lαβ νˆ ], = v β [∇ β w

— luis j. garay 2005 —

~ ≡ (∂ β wα + wγ Γαβγ )~eα . donde ∇ β w ~ como combinacion As´ı, hemos escrito el vector ∂t w ´ lineal de los elementos de 3 ~ en una parte que la base {~eα , νˆ } de R . M´as concretamente, hemos separado ∂t w pertenece al plano tangente T~α(t) M y otra que es normal al mismo. ´ 3.3.1 Definicion ~ del vector tangente w ~ con respecto al par´ameDefinimos la derivada covariante Dt w ~ (t) sobre el plano tangente T~α(t) M. tro t como la proyeccion ´ de ∂t w Entonces, tenemos ˆ ~ = Dt w ~ + L~α(t) (~ ∂t w w, ~v)ν, 3–12

~ = vβ ∇β w ~ Dt w notas gdc (v. 1.0)

3.3. Transporte paralelo. Derivaci´on covariante

~. y tambi´en llamaremos derivada covariante (parcial) a ∇ β w Notacion: ´

wα,β ≡ ∂ β wα ,

wα;β ≡ wα,β + wγ Γαβγ ,

~ ≡ wα;β~eα . ∇β w

Ejercicio 3.3.2 Calcular la derivada covariante del vector w = (0, 1), a lo largo de una circunferencia, en el plano en polares, (u1 cos u2 , u1 sen u2 ). ´ Solucion. Empezamos calculando wα ;β = wα ,β + wγ Γαβγ , teniendo en cuenta los valores de los s´ımbolos de Christoffel calculados en el ejercicio 3.2.1 y que wα ,β = 0 resulta w1 ;1 = Γ112 = 0,

w1 ;2 = Γ122 = −u1 ,

w2 ;1 = Γ212 =

1 , u1

w2 ;2 = Γ222 = 0

Una circunferencia en polares es α(t) = ( R, t), con lo que el vector tangente es v(t) = (0, 1). Con esto, 2 ~e2 , ∇1 w = w1 ;1~e1 + w;1

∇2 w = w1 ;2~e1 + w2 ;2~e2

~ = ∇2 w ~ , de forma que Dt w ~ = −u1~e1 . N ~ = vβ ∇β w y Dt w ´ 3.3.3 Proposicion γ Las derivadas covariantes de los vectores de la base son ∇ β~eα = Γαβ~eγ . ´ Demostracion.

γ

Puesto que las componentes de ~eα son δαδ , es decir, ~e β = δβ~eγ ,

vemos inmediatamente que ∇ β~eα = (∂ β δα + δβδ Γαδ )~eγ = Γαβ~eγ .  γ

γ

γ

— luis j. garay 2005 —

´ 3.3.4 Definicion ~ ∈ T~α(t) M a lo largo de una curva ~α(t) Llamamos transporte paralelo de un vector w ~ a lo largo de ~α de manera que, en cualquier punto de la a la accion ´ de desplazar w ~ (t + dt) sea paralelo a w ~ (t) desde el punto de vista intr´ınseco, es decir, de curva, w ~ (t + dt) − w ~ (t) sobre el plano tangente sea paralela manera que la proyeccion ´ de w ~ (t) o, lo que es lo mismo, Dt w ~ ∝w ~. al propio vector w Podemos extender el concepto de derivada covariante (originalmente definida para campos vectoriales, es decir, para vectores del plano tangente) a los campos escalares f (u), es decir, a aquellas funciones tales que, bajo cambios de base no cambian: f 0 (u0 ) = f (u). Los escalares se construyen de la siguiente manera: si g : M → R es una funcion ´ diferenciable de la superficie M, entonces f = g ◦ ~φ es un escalar puesto que g = f ◦ φ−1 = f 0 ◦ φ0−1 . En este caso, ∇α f = ∂α f son las componentes de la forma lineal d f ≡ f ,α ω˜ α = f ;a ω˜ α ∈ T~x M∗ .

~ es un vector tangente, entonces wα;β son las componentes de un tensor Si w ~ ) = αα v β wα;β . Por tanto, las ∇~ w : T~x M × T~x M∗ → R, tal que ∇~ w(~v, α˜ ) = v β (α˜ , ∇ β w componentes wα;β se transforman adecuadamente bajo cambios de base. notas gdc (v. 1.0)

3–13

Tema 3. Geometr´ia intr´inseca de superficies Ejercicio 3.3.5 Demostrar expl´ıcitamente que, en efecto, wα;β se transforman como las componentes de un tensor contra-covariante. Podr´ıa pensarse que la aplicacion ´ ∇ : T~x M × T~x M × T~x M∗ → R cuya actuacion ´ β α sobre vectores y formas es ∇(~ w, ~v, α˜ ) = αα v w ;β es tambi´en un tensor. Sin embargo, es obvio que no es lineal en el primer argumento, es decir, si f es un esca~ , ~v, α˜ ) 6= f ∇(~ lar, ∇( f w w, ~v, α˜ ) y, de hecho, es f´acil ver que sus componentes son γ γ ∇(~eα , ~e β , ω˜ ) = ω˜ ∇ β~eα = Γγαβ y, por tanto, no es un tensor. Las aplicaciones, como ∇, cuya actuacion ´ es de la forma

~ , ~v, α˜ ) = f ∇(~ ~) ∇( f w w, ~v, α˜ ) + d f (~v)(α˜ , w y, por tanto, cuyas componentes se transforman con un t´ermino af´ın, reciben el nombre de conexiones. La derivada covariante de una forma α˜ se obtiene calculando la derivada del escalar (α˜ , ~v) = α β v β :

(α β v β ),α = ∇α (α˜ , ~v) = (∇α α˜ , ~v) + (α˜ , ∇α~v). Despejamos en esta ecuacion ´ (∇α α˜ , ~v):

(∇α α˜ , ~v) = (α β v β ),α − (α˜ , ∇α~v) = (α β v β ),α − (vγ,α + v β Γγαβ )(α˜ , ~eγ ) = α β,α v β + α β v,α − (vγ,α + v β Γγαβ )αγ = v β (α β,α − Γγαβ αγ ). β

Si definimos α β;α ≡ α β,α − Γαβ αγ , entonces vemos que (∇α α˜ , ~v) = (α β;α ω˜ β , ~v), expresion ´ v´alida para cualquier vector ~v. Por tanto, γ

α β;α ≡ α β,α − Γαβ αγ . γ

∇ β α˜ = αα;β ω˜ γ ,

Ejercicio 3.3.6 Probar que ∇α ω˜ β = −Γαγ ω˜ γ .

— luis j. garay 2005 —

β

La derivada covariante de un tensor arbitrario se puede obtener de forma completamente an´aloga. Por ejemplo, T αβ;γ = T αβ,γ + Γαγδ T δβ − Γδβγ T αδ .

3.4.

Geod´esicas y curvatura geod´esica

Vimos en la Definicion ´ 2.6.1 que una parametrizacion ´ ~α(t) es geod´esica si y solo si su vector aceleracion ´ es ortogonal al plano tangente, es decir, si y solo si la proyeccion ´ de la derivada temporal de la velocidad sobre el plano tangente es nula. Si 3–14

notas gdc (v. 1.0)

3.4. Geod´esicas y curvatura geod´esica llamamos ~v = ∂t~α a la velocidad de la parametrizacion ´ α, entonces dicha proyeccion ´ es la derivada covariante Dt~v y hemos probado as´ı la siguiente proposicion: ´ ´ 3.4.1 Proposicion Sea ~v(t) la velocidad de una parametrizacion ´ ~α(t). Entonces ~α(t) es una parametrizacion ´ geod´esica si y solo si Dt~v(t) = 0

⇔

vα ∇α~v = 0

⇔

∂t vγ + Γαβ vα v β = 0. γ

Tambi´en vimos que el modulo de la velocidad de una parametrizacion ´ ´ geod´esica es constante. Para verlo en este nuevo lenguaje, basta con calcular ∂t~v2 = ∂t ( gγδ vγ vδ ) = vγ vδ ∂t gγδ + 2gγδ vδ ∂t vγ = vγ vδ v β ∂ β gγδ − 2gγδ vδ Γαβ vα v β γ

= vα v β vδ (∂ β gαδ − 2gγδ Γγαβ ) = vα v β vδ (−∂α gδβ + ∂δ gαβ ) = 0. En la seccion ´ 2.8.1, definimos la curvatura normal de una curva como la funcion ´ ˆ bˆ } su triedro de Frenet y νˆ κn = κ (nˆ · νˆ ), donde κ es la curvatura de la curva, {tˆ, n, la normal a la superficie. ´ 3.4.2 Definicion Sea C una curva de la superficie orientada ( M, νˆ ). Se llama funci´on curvatura geod´esiˆ de forma que ca κ g de la curva C a la funcion ´ κ g : C → R tal que κ g = κ (νˆ × tˆ) · n, ˆ κ nˆ = κn νˆ + κ g (νˆ × t). ´ 3.4.3 Proposicion La curvatura geod´esica es una cantidad intr´ınseca. ´ Demostracion. La primera ecuacion ´ de Frenet nos dice que, para una parametriˆ Por tanto, κ g = (νˆ × tˆ) · ∂s tˆ. Puesto que νˆ × tˆ es un vector zacion ´ natural, ∂s tˆ = κ n. ˆ Por otro lado, tangente, podemos escribir κ g = (νˆ × Ds tˆ) · tˆ = (tˆ × Ds tˆ) · ν. γ γ γ tˆ × Ds tˆ = (tα~eα ) × (t β t ;β~eγ ) = tα t β t ;β~eα ×~eγ = tα t β t ;β ε αγ νˆ

— luis j. garay 2005 —

γ

y, por tanto, κ g = tα t β t ;β ε αγ , que depende solo de la curva en s´ı y de la primera forma fundamental.  Podemos escribir la expresion ´ para κ g en t´erminos de su velocidad, y no de su vector unitario tangente, mediante la simple sustitucion ´ de tˆ = ~v/v. As´ı, obtenemos γ α β 3 κ g = v v v ;β ε αγ /v . ´ 3.4.4 Proposicion Una curva es geod´esica si y solo si su funcion ´ curvatura geod´esica es id´enticamente nula, κ g = 0. notas gdc (v. 1.0)

3–15

Tema 3. Geometr´ia intr´inseca de superficies ´ Demostracion. Puesto que una curva es geod´esica si y solo si Dt tˆ = 0, la implicacion ´ en un sentido es obvia. Queda demostrar que si (tˆ × Dt tˆ) · νˆ = 0, entonces Dt tˆ = 0. Si (tˆ × Dt tˆ) · νˆ = 0, entonces los tres vectores son linealmente dependientes. tˆ y νˆ son independientes. Dt tˆ y tˆ son perpendiculares (salvo que la curva ˆ Pero Dt tˆ es un vector del plano sea una recta). Por tanto, Dt tˆ es proporcional a ν. tangente, luego debe ser nulo.  Ejercicio 3.4.5 a) Demostrar que la curvatura geod´esica de las l´ıneas coordenadas es     1 3/2 1 3/2 2 √ 1 √ , κ g |u2 =cte = Γ11 g . κ g |u1 =cte = −Γ22 g g22 g11 b) Calcular la curvatura geod´esica de los meridianos y paralelos de una esfera. ´ Solucion. b) Segun ´ la parametrizacion ´ del ejercicio 2.5.10, los meridianos son las curvas 1 u = constante. Teniendo la formula del enunciado y que Γ122 = 0, resulta que ´ la curvatura geod´esica de los meridianos es nula. Es decir, todas estas curvas son geod´esicas. Para los paralelos (u2 = constante), necesitamos Γ211 = sen u2 cos u2 . Con esto y la primera forma fundamental de la esfera (ver el ejercicio 2.5.10) tenemos κ g |u2 =cte = cot u2 En general los paralelos no son geod´esicas, salvo en el caso u2 = π/2, que coincide, al igual que todos los meridianos, con un c´ırculo m´aximo. N Teorema 3.4.6 Sea ~α(θ ) una parametrizacion ´ tal que ~α(0) = ~α(2π ) y tal que la longitud r de las geod´esicas que unen ~α(θ ) con un cierto punto ~x0 de M sea independiente del par´ametro θ. Entonces, para r pequeno, ˜ la longitud de ~α est´a dada por

— luis j. garay 2005 —

1 L(r ) = 2πr − πK (~x0 )r3 + · · · 3 y el a´ rea circundada por A(r ) = πr2 − ´ Demostracion.

1 4 Kr + · · · , 12

Sin demostracion.  ´

´ 3.4.7 Definicion Las curvas que satisfacen las condiciones de este teorema reciben el nombre de circunferencias geod´esicas y las geod´esicas que unen el centro ~x0 con los puntos de la curva son los radios geod´esicos. Por ultimo, las cartas ~φ(r, θ ) tales que ´ 3–16

notas gdc (v. 1.0)

3.4. Geod´esicas y curvatura geod´esica 1. l´ımr→0 ~φ(r, θ ) = ~x0 ,

~φ(r, 0) = ~φ(r, 2π ),

2. las curvas ~β(r ) = ~φ(r, θ0 ) son geod´esicas parametrizadas naturalmente y, por tanto, ~α(θ ) = ~φ(r0 , θ ) son circunferencias geod´esicas,

~er (r, θ ) y ~eθ (r, θ ) son ortogonales. 3. los vectores de la base canonica ´ definen las coordenadas polares geod´esicas. Teorema 3.4.8 (Gauss-Bonnet local) Sea S una region ´ simplemente conexa de una carta ~φ de una superficie orientada ( M, νˆ ) cuya frontera es una curva simple cerrada C parametrizada naturalmente por ~α(s). Entonces Z C

Z ~φ−1 (S)

K [~φ(u)]

p

det gd2 u = 2π.

Sin demostracion.  ´

— luis j. garay 2005 —

´ Demostracion.

κ g [~α(s)]ds +

notas gdc (v. 1.0)

3–17

3.5. Ejercicios

3.5.

Ejercicios

3.1 Hallar los s´ımbolos de Christoffel y el tensor de Riemann del plano en coordenadas polares. 3.2 Hallar los s´ımbolos de Christoffel y el tensor de Riemann de una esfera. 3.3 Hallar los s´ımbolos de Christoffel de la superficie z = f ( x, y). 3.4 Probar que los s´ımbolos de Levi-Civita no son tensores. Probar que los tensores de Levi-Civita s´ı lo son. 3.5 Probar que el tensor de Riemann es un tensor. 3.6 Encontrar las geod´esicas de una esfera. ¿Son geod´esicos los paralelos? ¿Y los meridianos? 3.7 Probar que una recta en cualquier superficie es una geod´esica. 3.8 Demostrar que el conmutador de las derivadas covariantes actuando sobre un vector cualquiera vγ es γ γ γ v ;αβ − v ;βα = R δαβ vδ .

— luis j. garay 2005 —

3.9 Un habitante bidimensional de una superficie S clava un extremo de una pequena ˜ cuerda de longitud r en un punto P y, estirando al m´aximo del otro extremo, traza una “circunferencia” sobre S. Al medir con otra cuerda la longitud L de la “circunferencia” encuentra que L = 6,871r. ¿Qu´e se puede concluir sobre la geometr´ıa de la superficie en la que habita? ¿Puede haber alguna superficie en la que L = 0,00002r si 0 < K p < 1 para todo punto p ∈ S? 3.10 Las superficies que admiten cartas en las que los primeros coeficientes fundamentales son gαβ (u, v) = [ F (u) + G (v)]δαβ reciben el nombre de superficies de Liouville. Demostrar que las geod´esicas de las superficies de Liouville se pueden obtener mediante las cuadraturas Z

du( F − a)−1/2 ±

Z

du( G + a)−1/2 = constante.

3.11 Demostrar las siguientes proposiciones: a. Una superficie tiene curvatura media nula si y solo si su a´ rea es estacionaria. Una superficie con estas caracter´ısticas recibe el nombre de superficie m´ınima. notas gdc (v. 1.0)

3–19

Tema 3. Geometr´ia intr´inseca de superficies b. Una superficie hiperbolica tiene curvatura media nula si y solo si sus l´ıneas ´ asintoticas forman una red ortogonal. ´ 3.12 El operador de Laplace-Beltrami actua ´ sobre funciones escalares f y se define αβ como ∆ f ≡ g f ;αβ . a. Demostrar que el operador de Laplace-Beltrami tiene car´acter escalar, es decir, que si f es una funcion ´ escalar sobre la superficie, entonces ∆ f tambi´en lo es. b. Demostrar que el operador de Laplace-Beltrami se puede escribir como

√ 1 ∆ f = √ ∂α ( ggαβ ∂ β f ), g donde g = det( gαβ ). c. Calcular el operador de Laplace-Beltrami para una superficie plana.

— luis j. garay 2005 —

d. Calcular el operador de Laplace-Beltrami para una superficie esf´erica.

3–20

notas gdc (v. 1.0)

Ap´endice A Tensores Vectores y formas lineales Cambios de base Tensor m´etrico Tensor de Levi-Civita Tensores cartesianos

— luis j. garay 2005 —

A.1. A.2. A.3. A.4. A.5.

notas gdc (v. 1.0)

A–1

A.1. Vectores y formas lineales

A.1.

Vectores y formas lineales

´ A.1.1 Definicion Sea V un espacio vectorial. Una forma lineal es una aplicacion ´ lineal α˜ : V → R, es decir, si ~u, ~v ∈ V y λ, µ ∈ R, entonces α˜ (λ~u + µ~v) = λα˜ (~u) + µα˜ (~v). ´ A.1.2 Definicion El conjunto de formas lineales V ∗ sobre V es un espacio vectorial llamado espacio vectorial dual de V. Los vectores de V tambi´en pueden considerarse como aplicaciones lineales ~v : V ∗ → R tales que ~v(α˜ ) ≡ α˜ (~v). En efecto, la estructura de espacio vectorial de V ∗ implica que (λα˜ + µ β˜ )(~v) = λα˜ (~v) + µ β˜ (~v), que podemos reeler como la propiedad de linealidad de la accion ´ de ~v sobre V ∗ . Para hacer expl´ıcita esta dualidad denotaremos α˜ (~v) = ~v(α˜ ) = (α˜ , ~v) y, por razones que veremos enseguida, lo llamaremos contraccion ´ de α y ~v. ´ A.1.3 Definicion Sea {~ei , i = 1, 2 . . .} una base de V. Definiremos la base dual de V ∗ como el conjunto de formas {ω˜ i , i = 1, 2 . . .} tal que (ω˜ i , ~e j ) = δji . ´ A.1.4 Proposicion La base dual es realmente una base del espacio dual. ´ Demostracion. El conjunto {ω˜ i , i = 1, 2 . . .} tiene tantos vectores como la dimension ´ de V ∗ . Adem´as, son linealmente independientes. En efecto, consideremos la combinacion ´ lineal nula λi ω˜ i = 0. Su contraccion ´ con ~ek es igual a λk y es nula ∀k.  Una forma lineal α˜ = αi ω˜ i actuar´a sobre un vector ~v = vi~ei como

— luis j. garay 2005 —

(α˜ , ~v) = αi v j (ω˜ i , ~e j ) = αi v j δji = αi vi y, de ah´ı, el nombre de contraccion. ´ En particular es interesante notar que

(ω˜ i , ~v) = vi ,

A.2.

(α˜ , ~ei ) = αi .

Cambios de base j

Consideremos el cambio de base en V dado por ~ei0 = Λ i~e j , donde Λ es la matriz de cambio de base y, en consecuencia, det Λ 6= 0. Consideremos tambi´en el cambio notas gdc (v. 1.0)

A–3

Ap´endice A. Tensores ˜ i ω˜ j con det Λ ˜ 6= 0. Entonces, de base en V ∗ dado por ω˜ 0i = Λ j ˜ · Λ )i , ˜ i Λk = (Λ ˜ i Λl δk = Λ ˜ i Λl (ω˜ k , el ) = Λ δji = (ω˜ 0i , ~e0j ) = Λ j j j l j k k k ˜ = Λ −1 . luego Λ Veamos ahora como se transforman las componentes de los vectores: ´ v0i = (ω˜ 0i , ~v) = (Λ−1 )i j (ω˜ j , ~v) = (Λ−1 )i j v j . Vemos que las componentes de los vectores se transforman de forma inversa a los elementos de la base de V y, por ello, reciben a veces el nombre de vectores contravariantes. Por otro lado, la componentes de las formas lineales se transforman como los elementos de la base de V y, por ello, reciben tambi´en el nombre de vectores covariantes: j j αi0 = (α˜ , ~ei0 ) = Λ i (α˜ , ~e j ) = Λ i α j . ´ A.2.1 Definicion n Un tensor de tipo (m ´ multilineal T : V n ⊗ (V ∗ )m → R. ) es una aplicacion Dada una base {~ei } de V y su base dual {ω˜ i } de V ∗ , la accion ´ de T queda i determinada por su accion ´ sobre ~ei y ω˜ T(~ei , ~e j · · · ω˜ k , · · · ) = Tij···k··· , de manera que T(~u, ~v · · · α˜ , · · · ) = Tij···k··· vi v j · · · αk · · · . Los numeros reales Tij k··· son las componentes del tensor T en la base {~ei }. ´

— luis j. garay 2005 —

En general, el orden de los argumentos de T es importante y, por tanto, tambi´en lo ser´a el orden de los ´ındices de sus componentes. ´ A.2.2 Definicion Dados dos tensores T y S, llamamos contracci´on a la operacion ´ producto tensorial y suma posterior sobre todo el recorrido de un ´ındice de T con uno de S (uno de ellos covariante y el otro contravariante). As´ı, por ejemplo, una posible contraccion ´ de T i jk y Si

j k

ser´a T i jk Si ml .

´ A.2.3 Proposicion La contraccion ´ de ´ındices es independiente de la base elegida. A–4

notas gdc (v. 1.0)

A.3. Tensor m´etrico Ejercicio A.2.4 Demostrar esta proposicion. ´ Bajo cambios de base los tensores se transforman como vectores en cada ´ındice contravariante y como formas en cada ´ındice covariante. As´ı, por ejemplo, 0 jk

Ti

j

= Λl i (Λ−1 ) m (Λ−1 )kn Tl mn .

Operaciones tensoriales son aquellas que operaciones con tensores que proporcionan otro tensor. El resultado es independiente de la base elegida. Las siguientes operaciones son operaciones tensoriales: 1. Suma de tensores del mismo tipo. 2. Multiplicacion ´ por una constante 3. Multiplicacion ´ de dos tensores; el tipo del tensor resultante es la suma de los tipos. 4. Contraccion ´ de ´ındices (uno covariante y otro contravariante).

A.3.

Tensor m´etrico

´ A.3.1 Definicion Sea V un espacio vectorial dotado con un producto escalar, que denotaremos por ·. Entonces denotaremos tensor m´etrico g a la aplicacion ´ bilineal sim´etrica g : V ⊗ V → R tal que g(~u, ~v) = g(~v, ~u) = ~u · ~v, ∀~u, ~v ∈ V. Dada una base {~ei } de V, sus componentes son gij = g(~ei , ~e j ) = ~ei ·~e j .

— luis j. garay 2005 —

Puesto que el producto escalar es definido estrictamente positivo, la matriz gij es invertible y denotaremos su inversa gij , de forma que gij g jk = δik . Adem´as, si la base {eˆi } es ortonormal, entonces gij = δij . ´ A.3.2 Proposicion La existencia de un tensor m´etrico nos permite establecer un isomorfismo entre V y V ∗ definido por v˜ ≡ g(~v, · ) o, en componentes, vi = gij v j . ´ Demostracion. El hecho de que gij sea invertible hace que esta aplicacion ´ sea i ij biyectiva: v = g v j .  Adem´as, el tensor m´etrico induce un producto escalar g˜ en V ∗ tal que sus componentes son g˜ (ω˜ i , ω˜ j ) = gij . As´ı, la existencia de un tensor m´etrico nos permite identificar tensores covariantes y contravariantes como distintas representaciones del mismo objeto. notas gdc (v. 1.0)

A–5

Ap´endice A. Tensores

A.4.

Tensor de Levi-Civita

´ A.4.1 (S´ımbolos de Levi-Civita) Definicion El s´ımbolo de Levi-Civita eijk··· es completamente antisim´etrico en todos sus ´ındices y tal que e123··· = 1. An´alogamente, definimos otro s´ımbolo de Levi-Civita eijk··· que tambi´en es completamente antisim´etrico en todos sus ´ındices y tal que e123··· = 1. As´ı,   i1 , i2 , . . . , in permutacion ´ par de 1, 2, . . . , n  1, ei1 i2 ...in = ei1 i2 ...in =

  

−1,

i1 , i2 . . . , in permutacion ´ impar de 1, 2, . . . , n

0,

en cualquier otro caso.

Por ejemplo, en dos dimensiones, e12 = −e21 = 1 y e11 = e22 = 0. En tres dimensiones, las unicas componentes no nulas son ´ e123 = e312 = e231 = 1 e213 = e321 = e132 = −1 Para ver como calcular la paridad de una permutacion ´ ´ para n > 3, consideremos el caso n = 6 y la secuencia 612453. 1

2

3

4

5

6

6

1

2

4

5

3

El numero de cortes es 7, impar, y por lo tanto e612453 = −1. ´

— luis j. garay 2005 —

Los s´ımbolos de Levi-Civita no son tensores, puesto que no se transforman adecuadamente bajo cambios de base y, por tanto, no sabemos relacionarlos, es decir, no sabemos subir y/o bajar los ´ındices de los s´ımbolos de Levi-Civita. Ejercicio A.4.2 Estudiar la ley de transformacion ´ de los s´ımbolos de Levi-Civita. Los s´ımbolos de Levi-Civita sirven para calcular determinantes, lo que queda reflejado en la siguiente definicion. ´ ´ A.4.3 Definicion Si M es una matriz cuadrada(no un tensor) cuyos elementos son Mi i0 , su determinante es 0 0 0 j det( M) = ei j k ··· M1i0 M2j0 M3k0 · · · = eijk··· Mi 1 M 2 Mk3 · · · . A–6

notas gdc (v. 1.0)

A.4. Tensor de Levi-Civita Ejercicio A.4.4 Comprobar que esta definicion ´ coincide con la regla ya conocida para calcular determinantes. ´ A.4.5 Proposicion Si M es una matriz cuadrada cuyos elementos son Mi i0 , se satisface la siguiente identidad: 0 0 0 j ei j k ··· Mi i0 M j0 Mkk0 · · · = det( Ml l 0 )eijk··· . Igualmente, si N es una matriz cuadrada cuyos elementos son Nii0 , entonces se satisface la siguiente identidad: 0 0 0

ei j k ··· Nii0 Njj0 Nkk0 · · · = det( Nll 0 )eijk··· . Ejercicio A.4.6 Demostrar esta proposicion. ´ ´ A.4.7 Definicion Se define el tensor de Levi-Civita εijk··· como 1 εijk··· = √ eijk··· , g donde g = det( gij ) es el determinante del tensor m´etrico. Ejercicio A.4.8 Demostrar que εijk··· es un tensor. Dado el car´acter tensorial del tensor de Levi-Civita, podemos escribir sus componentes covariantes ε i0 j0 k0 ··· = gii0 g jj0 gkk0 εijk··· .

— luis j. garay 2005 —

Teniendo en cuenta la relacion ´ entre el tensor contravariante de Levi-Civita y el s´ımbolo correspondiente y las reglas para calcular determinantes de la Proposicion ´ A.4.5, tenemos que

√ 1 ε i0 j0 k0 ··· = √ gii0 g jj0 gkk0 eijk··· = gei0 j0 k0 ··· . g ´ A.4.9 Proposicion i Sea T i0 un tensor. Entonces se satisfacen las siguientes identidades tensoriales: 0 0 0

j

εi j k ··· T ii0 T j0 T kk0 · · · = det( T ll 0 )εijk··· , 0 0 0

εi j k ··· Tii0 Tjj0 Tkk0 · · · = det( T ll 0 )ε ijk··· = g−1 det( Tll 0 )ε ijk··· . Ejercicio A.4.10 Demostrar esta proposicion. ´ notas gdc (v. 1.0)

A–7

Ap´endice A. Tensores Ejercicio A.4.11 Evaluar la suma ei1 i2 ...in ei1 i2 ...in , teniendo en cuenta que los ´ındices toman valores i j = 1, . . . , n. ´ Solucion. Para que ei1 i2 ...in sea distinto de cero, todos los ´ındices tienen que ser diferentes. Por lo tanto hay un numero de sumandos no nulos igual al numero ´ ´ de permutaciones sin repeticion ´ de n elementos, es decir, n!. Adem´as, cuando la i i permutacion ´ es par, tanto e 1 2 ...in como ei1 i2 ...in valen 1, mientras que, si es impar, los dos son −1 y el producto es 1 tambi´en. Por lo tanto tenemos una suma con n! sumandos, todos ellos iguales a 1 y el resultado es ei1 i2 ...in ei1 i2 ...in = n!

N

Ejercicio A.4.12 Demostrar la identidad e–δ. j

j

k eijk eilm = δl δm − δm δlk .

´ Solucion. Esto se puede comprobar teniendo en cuenta que la expresion ´ tiene 4 ´ındices libres, j,k,l y m. Como cada uno toma los valores 1,2 o 3, esto quiere decir que hay 34 = 81 elementos. Escribi´endolos todos se podr´ıa comprobar la relacion. ´ Vamos a demostrarlo, sin embargo, de una manera m´as corta y razonable. Partimos del determinante δ1 δ1 δ1 1 0 0 1 2 3 2 2 2 = δ1 δ2 δ3 0 1 0 = 1. 3 3 3 δ1 δ2 δ3 0 0 1

— luis j. garay 2005 —

Si hacemos una permutacion ´ de las filas y tenemos en cuenta las propiedades de los determinantes, llegamos a δi δi δi 1 2 3 j j j δ1 δ2 δ3 = eijk . k k k δ δ δ 2 3 1 Ahora hacemos lo mismo con las columnas δi δi δi n l m j j j δn δl δm = eijk enlm . k k k δn δ δm l Finalmente hacemos una contraccion ´ de los ´ındices i e n δi δi δi m i l j j j δi δl δm = eijk eilm . k k k δ δ δm i

l

Ya solo ´ queda calcular este determinante, teniendo en cuenta que δii = 3. N A–8

notas gdc (v. 1.0)

A.5. Tensores cartesianos j

j

Ejercicio A.4.13 Demostrar que eijmn eklmn = 2(δki δl − δk δli ). Ejercicio A.4.14 Demostrar, aplicando la relacion ´ e–δ, la siguiente identidad vectorial ~ × (~B × C ~ ) = (A ~ ·C ~ )~B − ( A ~ · ~B)C. ~ A

~ × (~B × C ~) y D ~ Aplicando la definicion ~ = ~B × C. ´ Solucion. Llamamos ~F = A ´ de producto vectorial resulta D k = ek ij Bi C j ,

F l = el mk Am D k .

Juntamos las dos expresiones y queda F l = el mk Am D k = el mk Am (ek ij Bi C j ) = el mk ek ij Am Bi C j Ahora utilizamos la identidad e–δ F l = (δl i δmj − δl j δmi ) Am Bi C j = δl i δmj Am Bi C j − δl j δmi Am Bi C j F l = B l ( A j C j ) − C l ( Ai Bi )

~ · ~B llegamos al resultado final. N Y teniendo en cuenta que Ai Bi = A Ejercicio A.4.15 Demostrar las siguientes identidades vectoriales

~ × ~B) · (C ~ ×D ~ ·C ~ )(~B · D ~ ·D ~ ), ~ ) = (A ~ ) − (A ~ )(~B · C a) ( A ~ × ~B) · (C ~ ×D ~ (D ~ × ~B) − D ~ ·A ~ × ~B). ~)=C ~ ·A ~ (C b) ( A

— luis j. garay 2005 —

A.5.

Tensores cartesianos

En el espacio cartesiano (es decir, aqu´el en el que la m´etrica es la delta de Kronecker), no ser´ıa necesario distinguir entre ´ındices covariantes y contravariantes: a j = gij ai = δij ai y los valores de a j y a j coinciden. Por esta razon, ´ podr´ıamos escribir todos los ´ındices arriba o abajo. As´ı, podr´ıamos escribir un producto escalar como a j b j . Naturalmente, esta m´etrica es la del espacio eucl´ıdeo que se utiliza en casi toda la f´ısica cl´asica y, por ello, esta notacion ´ aparece en muchas disciplinas en las que se hace uso de los tensores (tensor de inercia en mec´anica, el de tensiones en din´amica de fluidos, etc.).

notas gdc (v. 1.0)

A–9