Elementos de Cálculo Diferencial e Integral

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W.

A.

GRANVILLE

EX-PRESIDENTE DO COLÉGIO GE'ITYSBURG (U. S. A.)

P. F. SMITH, W. R. LONGLEY PROFESSôRES DE MATEMÁTICA DA UNIV. YALE (U. S. A.)

( l ( M ( N T o s Of CÁlCUtO Dlf(R(NCIAl f I N T(GRAl

TRADUZIDO DO INGLtS 'POR

J. ABDELHA Y PROFESSOR DA UNIV. DO BRASIL

EDITôRA CIENTÍFICA RIO DE JANEIRO

ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

W.

A.

GRANVILLE

EX-PRESIDENTE DO COLÉGIO GETIYSBURG

(u.s.A.)

P. F. SMITH, W. R. LONGLEY PROFESSORES DE MATEMÁTICA DA UN!V. YALE (U.S.A.)

f lf M f N 1 os o[ e 4 leu lo DlffRfNCIAl [ INT[GRAl

TRADUZIDO DO INGLÊS

J.

POR ABDELHAY

PROFESSOR DA UNIV. DO BRASIL

EDITORA

CIENTIFICA

RIO DE JANEIRO

ORIGINAL

EM

LÍNGUA

INGLiSA

ELEMENTS OF THE DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS REVISED EDITION

by Willian Anthony Granville, Ph. D., LL. D. Formerly President of Gettysburg College Percey F. Smith, Ph. D. and William Raymond Longley, Ph. D. Professora of Mathematics, Yale University

Ginn and Company Bostou, New York, Chicago, London, Atlanta, Dallas, Columbus, San Francisco COPYRIGHT BY GINN AND COMPANY OF BOSTON

Direitos exclusivos da tradução em língua portuguesa, da Editora Científica, Spivak & Kersner Ltda., Rio de Janeiro, Brasil

SIR ISAAC NEWI'ON

PREFACIO As alterações no texto desta edição consistem em modificações nos detalhes de algumas das demonstrações e discussões e no acrés­ cimo de um capítulo sobre as Funções Hiperbólicas. Este capítulo foi escrito, como os demais deste livro, com a preocupação de faze­ lo claro e completo. Afim de ampliar o campo de aplicações das in­ tegrais duplas, foram introduzidas também as coordenadas cilín­ dricas. Os problemas foram, em geral, completamente revistos e, sob alguns aspectos, apresentam maior interesse e objetividade. Alguns deles são aplicações da matemática à Economia. Os finais de muitos dos capítulos trazem novos problemas destinados a estudantes de nível mais avançado. No texto figuram as respostas de muitos dos problemas. As omitidas o foram propositadamente afim de dar ao estudante a oportunidade de confiar-se em si próprio no controle dos resultados. Os professores que desejarem as respostas omitidas poderão comu­ nicar-se com os editores. Os autores serão amplamente recompensados pelo seu trabalho se esta edição tiver a acolhida generosa e quase universal dispen­ sada ao livro do Granville, desde que apareceu pela primeira vez. PERCEY F. SMITH WILLIAM R. LONGLEY

PREFACIO DO TRADUTOR Procuramos manter na tradução as qualidades que fizeram do texto original um dos livros mais difundidos entre nossos estudantes de matemática. Esperamos, por isto, que o nosso trabalho repre­ sente um auxílio a mais para o estuda.nte brasileiro. Rio de Janeiro, maio de 1961. JOSÉ ABDELHAY.

GOTTFRIED WILHELM LEIBNITZ

ÍNDICE (das matérias) CALCULO DIFERENCIAL CAPÍTULO I. FORMUL.!RIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmulas da álgebra e geometria elementares, 1. Fórmulas da tri­ gonometria plana, 2. Fórmulas da geometria analítica plana, 4. Fórmulas da geometria analítica do espaço, 6. Alfabeto grego, 8.

l

CAPÍTULO II. VARIÃVEIS, FUNÇõES E LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . Variáveis e constantes, 9. Intervalo de uma variável, 9. Variação contínua, 10. Funções, 10. Variáveis dependentes e independentes, 10. Notação de funções, 11. Impossibilidade da divisão por zero, 11. Gráfico de uma função; continuidade, 12. Limite de uma va­ riável, 13. Limite de uma função, 14. Teoremas sobre limites, 14. Funções continuas e descontinuas, 15. Infinito, 16. Infinitésimo, 20. Teoremas relativos a infinitésimos e limites, 20.

9

CAPÍTULO III. DERIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introdução, 23. Acréscimos, 23. Comparação de.acréscimos, 24. Derivada de uma função de uma variável, 25. Simbolos para as derivadas, 26. Funções deriváveis, 28. Regra geral de derivação, 28. In­ terpretação geométrica da derivada, 31.

23

CAPÍT11LO IV. REGRAS DE DERIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmulas de derivação, 34. Derivada de uma constante, 35. Derivada de uma variável em relação a si própria, 35. Derivação de uma soma, 36. Derivada do produto de uma constante por uma função, 37. Derivação do produto de duas funções, 37. Derivada do produto de n funções, sendo n fixo, 38. Derivação de uma função com expoente constante, 39. Derivação de um quociente, 39. Derivação de uma função de função, 45. Derivação da função inversa, 46. Funções implícitas, 48. Derivação das funções implícitas, 48.

34

CAPÍTULO V. VÁRIAS APLICAÇÕES DAS DERIVADAS . . . . . . . . . . . . Direção de uma curva, 51. Equações da tangente e normal; subtangente e subnormal, 53. Máximo e mínimo de uma função, introdução, 57. Funções crescentes e decrescentes, 61. Máximo e mínimo de uma função, definições, 62. Primeiro método para o exame de uma função no que concerne a máximos e mínimos, 64. Máximo e mínimo quando f'(x) é infinita, 66. Aplicações dos máximos e mínimos, 69. Derivada como velocidade de variação, 77. Velocidade num movimento retilíneo, 7().

51

CAPÍTULO VI. DERIVAÇÃO SUCESSIVA E APLICAÇõES . . . . . . Definição de derivadas sucessivas, 89. Derivação sucessiva das funções implícitas, 90. Concavidade de uma curva, 92. Segundo método para o exame de máximos e mínimos, 92. Pontos de inflexão, 96. Traçado de curvas, 98. Aceleração num movimento retilíneo, 101.

89

IX

X

INDICE

CAPÍTULO VII. DERIVAÇÃO D.AS FUNÇõES TRANSCENDENTES. APLIC.AÇõES ................................................. Fórmulas de derivação, segunda lista, 105. O número e; logaritmos naturais, 106. Funções exponencial e logaritmica, 108. Derivação de um logaritmo, 109. Derivação ds. fun!}ão exponencial, 110. Deri­ vação da função exponencial geral, 111. Deriva2

+ 2) + 4.

Logo, por (3), obte

17. -FW1~oes continuas e descontinuas. do § precedente, onde se mostrou que lim (x 2 ,.-+2

+ 4x) =

12,

observamos que a resposta e 0 valor da fun:-,-(y = f(x ) x .iy= f(x+ tix) -f(x) f:.x = (j .iy f(x+f:.x)-f(x) f:.x= f:.x

f:.x ( l1y =

Tem-se, pois, multiplicando membro a membr f (x

+ f:.x)

- f(x) . (j>(y

+ .iy) -

f:.x

PASSO. Fa9amos f:.x -. O. 6 derivavel, e se tem: QUARTO

* Supondo

t:..11 "" 0 (N. T.).

(j> (y) l1y.

Entao l1y

(D)

l' (x) = et>' ~y)

.

A· derivada da jun (x) pode ser obtido como segue o grafico de - f (x) e fazendo-o girar em volta da ori ante-horario, de um angulo de 90°. OUfROS 1.

PROBLEMAS

0 vertice da parabola y2 = 2 px

e0

centro

o foco da parabola e um extremo de um dos eLxos prin

A parabola e a elipse cortam-se ortogonalmente. A da elipse. Resp. 4

2. Uma circunferencia de centro em (2 a, 0) c mente a elipse b2x 2 + a 2y2 = a 2b2. Achar 0 raio da Resp. r 2

3. De um ponto P de uma elipse trar;am-se pelos focos. Prove que estas retas fazem angulos com a normal a elipse no ponto P.

4. Prove que a reta Bx b2x 2 + a 2y2 = a 2b2 se, e somente

+ Ay = SE',

AB e tan B2a 2 + A 2b 2 =

Ache a equar;ao da tangente a curva xm ponto qualquer. Prove que a parte dela compree eixos e dividida pelo ponto de contato na razao min. Resp. my I (x - X1) + nXl (y 5.

6. Se k e 0 coeficiente angular de uma t.ange 2 2 2 y b x - a 2 = a 2b2, provar que y = kx ± Va 2k 2 deJa e que 0 lugal' dos pontos de interser;ao das tan diculares e x 2 + y2 = a 2 - b2 •

42. -

Dire~ao

de uma curva. y

Viu-se no

= f (;x)

e a equar;ao de uma curva (ver figura), entao dV j' . l d~ = coe tCtente angu ar

da tangente d curva

no ponto P (x, y). A direr;iio de uma curva em urn ponto qualquer e, por defini 1,j'(x) = 5(+) (+)2(+) = +. Logo, quando x = 1 a funyao tem um mlnimo } (1) = 0 Examinemos agora

0

valor crftico x =

~

(B, no. figura

Portanto, quando x = denada de B)

~,

Examinemos finalmente

a funQiio tem um ma.ximo f ( 0

~

valor critico x = - 1 (A na f

Quando x < -l,f' (x) = 5 (-) (_)2 (-) = Quando x> - 1,f' (x) = 5 (_) (+)2 (-) = Consequentemente, quando x = - 1, a funQao nao tem minimo.

48. - Maxhno ou rn.inirn.o quando l' (x) e i continua. Consideremos 0 grafico da figura abaix G, 1 (x) e continua e tern urn maximo, mas 1 '(x) e

Fig. d

tangente em B e paralela ao eixo dos yy. Em E, 1 nimo e l' (x) e infinita. Na pesquisa dos maximos J (x), devemos, pois, incluir como valores crUicos os va os quais l' (x) e infinita, ou, 0 que e a mesma coisa, va fazendo (1)

1

l' (x)

= O.

o SEGUNDO PASSO da regra do paragrafo preced ser ampliado, devendo-se considerar tambem a eq outros passos nao sofrem modifica~ao.

Na figura d acima, observe que J' (x) e tambern nao e nem maxima nem minima na absci

maS a fun~ao

2b I'(x) = - ----=:...:--1-

o

3 (x - C)3 1

1 3(x -- c)1I J'(x) = -2b Como x = c

e um valor crftico no qual l' ~x) =

0, mas

infinita, examinemos a funQao no que concerne a maxim.o x = c. Quando x < c, }' (x) = Quando x > c, l' (x) = - .

+

Logo, quando x = c = OM, a fun9ao tern urn

=a =

MP. PROBLEMAS

Examine cada uma das seguintes fun90es no q maximos e minimos.

+ 9 x.

Resp.

1.

x3

2.

10

3.

4. 5.

2x3 3 x 2 12 x - 4. 3 x 2 x 2 - 15 x - 20. 2x 2 - x 4•

6.

x4

7.

4

6x

-

2

+ 12x + +

x

3x 2

-

+

4 -

x 2 + 1. 4 x 3 - 12 x 2•

-

5x 4 •

-

3x

9.

x5

10.

3 x5

11.

x'

X = 0, d x = ± 1 x = 1, d

4x.

-

8.

2x3 •

x = 1, d x = 3, d X = 1, d x = -2,d Nem ma

-

20 x 3• 2al x

+-'

x = -1, x = 0, d x = 2, d

X = 0, d x = 4, d

x = a, d

14.

ax

+a

x2

Resp.: x = - a, da m

2

x = a, da max. x x+a 2

15.

16.

x2

19.

+a x + 2a x +a (2 + (l (2 + xF (1 -

20.

b + c (x - a)l.

21.

a - b (x - c)T.

22.

(2 + x)3 (l-x)l. Resp.:

23.

x (a

x

2

2

2

17. 18.

2

2

2

X)2

X)2.

x? !

x = a, da min.

1

N em max. nem 2

1

+ X)2 (a -

x = 1, da min. x = -1, da m

x = - a., da m x = - ! a, da -1. d'a ma 3 a, X -

X)3.

x = a, da nenh 1

2

24.

(2 x - a)T (x - a)T.

= 3"2 a, d"a ma x = a, da min. x = ! a, da nen

25.

x+2 x + 2x + 4'

x = 0, da max. x = - 4, da m

x2 +

x = - 3, da m x = 1, da min.

26.

27.

2

X

+4

x+l

x2 + x + 4 x 2 + 2 x + 4'

X

x = - 2, da m x = 2, da min.

x

a- x

a2 x = - - da m a - b' 30.

31.

(a - X)3

x =

a - 2x x2 xt

a

4'

da min.

+ x-I -

X

+

1

49. - Valores maximo e minimo. Probl ca~ao.

Em muitos problemas devemos, primeiro dadas condic;oes, a func;ao cujos valores maximo e curam, como foi feito nos dois exemplos desenvo lsto, algumas vezes, e muito dificil. Nao ha regra todos os casos, mas em muitos problemas podemos seguintes

Diretrizes gerais.

(a) Na rel~ao que envolve as grandezas do pro destaque a Jun~ao cujos valores maximo ou minimo

(b) Se a rela~ao contem mais de uma variavel, p mir em Ju~ao de uma unica delas todas as demais m as cond~oes dadas pelo problema;

(c) Aplicamos para a Ju~iio obtida, de uma so jd, vista (§ 47) para achar os valores maximo e mini nos problemas prdticos e usualmente Jdcil dizer qual do dd um maximo equal dd um minimo, de modo que 00 sario aplicar 0 tcrceiro passo.

(d)

Tr~amos 0

grdJico da

Ju~iio

para controle

o trabalho de achar m8.ximos e minimos pode ser simplificado com a ajuda dos seguintes principio tam logo do nosso estudo sobre 0 assunto. (a) Os valores maximo e minimo de uma JU~{io alternadamente.

determinar;ao dos valores criticos de x pode-se, pois, fator constante. Quando c e negativa, cf (x) procamente.

e maxima quando f (x)

(c) Se c e uma constante, f (x) e c valores para os me81lws valores de x.

+ f (x)

tem m

PROBLEMAS

Quer-se fazer uma caixa sem tampa de urn de lata, cnjo lado mede a, cortando-se dos cantos dOB iguais e depois dobrando convenientemente Qual deve ser 0 lado dos qnadrados cort·ados afim encerre 0 maximo volume? 1.

BOLUgAO. Beja. z = lade do q = altura da enta~, a - 2 z = lade do o fundo da

portanto V = (a - 2 x)2 z e Eata e a fun~ao cujo maximo se pro regra, § 47, temos dV

Primeira Pa880. Segundo Pa880.

cdticos z

=

dz = (a - 2 Z)2 - 4 z(a - 2 z) = a

A

resolu~o

de a2 - 8 az

+ 12 z2 =

0

~ e ~.

2

6

:f; evidente que x = ; deve dar um minimo, pois neste

cortada nao !:'obrando material para fazer a caixa. 0 outro v fornece

0

"olume maximo

2a 3

27 '

como se pode comprovar

pem

Logo, 0 lado do quadrado a sar cortado de cada canto d do lado da lata.

Deixa-se ao leitor neste, e nos problemas segu do grMico da iunr;ao.

tente possivel?

SOLUQAO. Se x = largura e y = profundidade, entao a v teni maxima resistencia quando a func;iio xy2 for um maximo. figura, y2 = d2 - x 2; logo, devemos examinar a fun9aO j (x) =

X

(d 2

Segundo Passo.

maximo.

~

-

3:r?

:r?) .

-

2:r?

Primeiro Passo. j'(x) = -

+ d2 -

o. .'.

=

:r? x =

= ~ -

3 :r? •

d_ = valor

V3

Portanto, se a viga for serrada de modo que Profundidade =

e

Largura

=

~f do

diametro do tronco,

~ do

diametro do tronco,

ela tera a maxima resistencia.

3. Qual a largura do retangulo de maXIma ar insllrito num dado segmento 0.1.1' de uma parabol

Sugeswo. Se OC = h, BC = h-x e PP' = 2 y, entao a area do retangulo PDD'P' e

Y

2 (h - x) y.

Mas como Pesta sobre a parabola y2 =2 px, a func;ao a ser examinada e

a

j (x) = 2 (h - x) V2 px

Resp.

Largura =

2 "3 h.

4. Achar a altura do cone de maximo volume esfera de raio r. Sugestao.

1 Volume do cone = "37r:r?y.

Mas

:r? = BC X CD = y (2r - y) ; logo, a func;ao a ser examinada e f (y)

=

7r "3 y2 (2r

- y).

Resp.

Altura do c

5. Achar a altura do cilindro de maximo volum dado cone circular reto.

Logo, a

fun~ao

a ser examinada Ii (y) =

r y (h hi

- y)

Resp. 6.

Qual

0

Cada urn dos tres lados de urn trapezio e comprimento do quarto lado para que a are

7. Qual a razao entre os lados de um terreno re dada para que ao mura-Io e a seguir dividi-Io em do paralelo a um dos lados, seja minimo 0 comprim muros.

8. Quais devem ser as dimens5es de um jardim 432 m 2 de area para que ao mura-lo gaste-se 0 m sabendo-se que 0 vizinho do lado paga a metade pelo sua propriedade. Resp. 18

9. Um fabricante de radio acha que pode ven por semana a p cruzeiros cada, onde 5x = 375 da prodUl~ao e (500 + 15 x + x~) cruzeiros. M obtem 0 maximo lucro quando a produc;ao e aprox 30 aparelhos por semana.

t

10.

Supondo-se no problema anterior que a rel

seja x

=

100 - 20

~:

'

mostrar que 0 maximo lucro e obtido quando aproximadamente 25 aparelhos por semana. 11.

0

fa

Suponha-se no problema 9 que a relac;ao x2

= 2500 -

20p.

Quantos instrumentos devem se produzidos semanal haja maximo lucro?

x

=

v'a

3 a ({3 - b) - a 3a

2 -=---------'''---~--

No problema 9 suponhamos que incida sobr um imposto de t cruzeiros. 0 fabricante acrescent custo de produyao e determinaa produyao e 0 custo diyoes. 13.

(a) Mostre que imposto. (b)

0

prevo cresce pouco menos q

Exprima a receita proveniente do impasto

t e determine t para que ela seja maxima.

(c) Mostre que 0 preyo aumenta aproximadame quando vigora 0 imposto t determinado em (b).

0 custo total de produyao de x artigos pOl' cruzeiros, incluidos os impostos de t cruz o preyo (p cruzeiros) de venda de cada artigo e p = { que 0 imposto fornece a maxima receita quando que 0 aumento no prevo e sempre menor que 0 im 14.

+ bx + c)

Nota.

Nas aplica90es em Economia a, b, c, a e {3 sao

15. Uma siderurgica pode produzir X tonelada de baixo teor e y toneladas pOl' dia de avo de alto 40-5x . 10 _ x· Se 0 preyo no mercado do de balX

que 0 de alto teor, mostrar que aproximadamente de baixo teor e a produyao diaria que fornece a ma

16. Uma companhia telefonica acha que tern lucro Hquido pOI' aparelho se tem 1 000 assinantes o tayao. Se ha mais de 1 000 assinantes, 0 lucro pOI' a de 20 centavos para cada assinante acima daquele nu assinantes dara 0 maximo lucro liquido? 17. 0 custo da manufatura de urn dado artig o numero de artigos que pode ser vendido varia

18. Qual deve ser 0 diametro de uma panela d capaeidade de 58cm3 , euja constI1l9ao requer 0 mini (a) se a panela nao tem tampa, (b) se tem tampa.

Resp.

(a)

~ 4~4

= 5,29 em;

(b)

~ 2~2

19. A area lateral de urn cilindro circular cilindro corta-se urn hemisferio eujo diametro e ig ....1 eilindro. Aehar as dimensoes do eilindro para :e tante seja maximo ou minimo. Determinar se urn minimo. Resp. Raio = 1 em, altura = ~

20. Dentre os retangulos de lados paralelos aos dos e inscritiveis na figura limitada pelas duas parab - x 2 , 6 y = x 2 - 12, achar a area do de maxima area

Dois vertices de urn retfingulo estao sobr os outros dois sobre as retas y = 2 x e 3 x + y = valor de y sera maxima a area do retangulo? 21.

22. Uma base de um trapezio is6sceles e 0 diam culo de raio a e as extremidades da outra base estao ferencia do circulo. Achar 0 comprimento da outra e maxima.

23. Um retangulo e inscrito num segmento p um dos lados sobre a base do segmento. Mostrar q a area do r-etangulo de area maxima e a are 1

e V3'

24. A resistencia de uma viga retangular varia da largura e do quadrado da altura. Achar as dim mais resistente que pode ser constI1lida com um tr cuja se9ao transversa e uma elipse de semi-eixos a

Resp.

Largura = 2b

~ ~;

altura

,. d b I ~ equagao a traJetona e uma a a t: y=m

Ad'

26,

.'"1.

onde a origem e a ponto do qual a bola e langada e angular da curva na origem. Para que valor de m (a) a maxima distlneia sabre a mesmo nivel horizont altura sabre uma parede vert,ieal distante de 300 p Resp.

Uma janela de perimetro p tern a forma d eneimado par urn triangulo retangular isosceles. 1uz pela janela e maxima, quando as lados do reta aos lados do tria-ngulo. 27.

28. Dada a soma das areas de uma esfera e ur que a soma dos seus volumes sera minima quando esfera for igual a aresta do cuba. Quando e que e dos volumes?

Achar as dimens5es do maior retangulo ins

29. 2

~ a2

?/2

+ -'" b =] 2

30.

•

Resp.

a

V

Dentre todos as retangulos com base sabr

e com dais vertices sabre a CUl'va de equagao y =

figura no Capitulo XXVI), achar a de maxima are Re

Achar a razao entre a area da menor elip circunscrita a urn retangulo e a area do retangulo. e1ipse e 7ra9, onele a e b sao as semi-eixos. 31.

32. 0,3 dais vertices inferiores de urn trapezia pontos (- 6, 0) e (6, 0). Os dais vertices superiore curva x 2 4 y = 36. Achar a area do maximo eondigoes.

+

33. A distancia entre as centros de duas esfer respectivamente e c. Achar de que ponto P sabre

a"2+bT

34. Achar as dimensoes do maximo paralelep quadrada que pode ser cortado de uma esfera de raio

Resp.

35. Dada uma esfera de raio 6, calcular a alt dos seguintes s6lidos:

(a)

cilindro circular reto de maximo volume in

(b) cilindro circular reto de maxima area t esfera; (c)

cone reto de minimo volume circunscrito Resp. (a) 4 V3; (b

Prove que uma barraca conica de dada c sita do minimo de fazenda quando a altura e y2 vez Mostre que quando a fazenda e estendida no chao 'culo do qual se cortou um setor de 1520 9'. Quanta saria para Uilla barraca de 10 pes de altura? Resp. 27 36.

37. Dado urn ponto sobre 0 eixo da parabola Mncia a do vertice, achar a abscissa do ponto so Re e 0 mais pr6ximo do ponto dado. 38. Achar sabre a curva 2 y ponto (4, 1).

=

x 2 0 ponto m

39. Sendo PQ 0 maior ou 0 menor segmento q (,lado do ponto P (a, b) a curva y = j (x), provar q perpendicular a tangente a curva em Q.

40.

Vma f6rmula de eficiencia de urn parafu,so e

onde () e 0 angulo de fric(,lao e h maxima eficiencia.

0

passo do parafuso Resp.

41. A distancia entre duas fontes de calor A doades a e b respectivamente, e l. A intensidade tot

onde x e a distancia de P a A. Para que posic;ao de P sera mais baixa a temperatura? Resp.

x

=

42. A base inferior de um trapezio is6sceles e uma elipse; as extremidades da base superior sao p Mostrar que 0 maximo trapezio deste tipo e tal que da base superior e metade do da base inferior.

43. Dentre todos os triangulos is6sceles de ve inscritos na elipse b2x 2 a 2y 2 = a 2b 2 , achar a base xima. Resp

+

Achar a base e a altura do triangulo is6sce nima que circunscreve a elipse b2x 2 + a 2y2 = a 2b2 e c Resp. Altura 3 b lela ao eixo dos xx. 44.

Seja P (a, b) um ponto do primeiro quadran P tracemos uma reta cortando os serni-eixos positivo pontos A e B respectivamente. Calcular os segmento sabre OX e OY nos seguintes casos: 45.

(a) (b) (c)

quando a area OAB e minima; quando 0 comprimento AB e minimo; quando a soma dos segmentos determi semi-eixos e minima;

(d)

quando a distancia de 0 a AB e max I

Resp.

2 a, 2 b; (b) a

(c) a

+ V"(;b, b + vab;

50. - Derivada relac;ao funcional

COIDO

2

2

+ aT b"3, b + aa

(a)

2

(d) a

+a b

velocidade de varia!ra

y = x2

(1)

deu como razao entre os correspondentes acrescimos (2)

Ay

/1x=2x+Ax.

Dizemos, entao, que a velocidade me 0; e decrescente, se a < 0;

= 0; tern urn maximo valor, se a < 0 e v = 0; v tem urn maximo (urn minimo) va,lor, se a = de + para - (de - a +) quando t passa por to. No movimento retilineo unifol'memente acelerad Assim, no caso da queda livre (por ac;ao da grav a = 9,80 m por segundo quadrada. Precisamente, s tern urn minimo valor, se a> 0 e v 8

ds v=-=98t dt "

a

= 9,8

= tempo em segundos. Achar a velocidade e a em cada instantej (b) no fim do primeiro segundo quinto segundo.

t

(1)

SOLUQAO.

(a) Derivando ou, de (C), § 51,

s = 4,9t2 ds dt = 9,8 t,

v = 9,8 t m. por segund

(2)

dv

dt =

Derivando de novo (3)

ou, de (A) acima,

9,8,

a = 9,8 m. por (seg.)2,

que nos diz ser constante a acelera«;ao em queda livre; em velocidade cresce 9,8 em por segundo em cada segundo do (b) Para achar v e a no fim do primeiro segundo, faz-se Portanto v = 9,8 m por segundo, a = 9,8 m por (seg.? (c)

Para achar v e a no fim do quinto segundo, faz-se

v

Logo

=

49 m por segundo, a = 9,8 m por (seg.)2.

Dadas as seguintes equa«;oes de movimento linear, ach cidade e acelera«;iio no instante indicado.

2.

3.

4. 5.

Rcsp. s = 4, v = = 2. s = 224, v 8 = 120 t - 16 t = 4. x = 32, v = x = 32t-8t 2 j t = 2. y = 6t 2 -2t3 j t = l. y = 4, v = s = 4 t2

8.

t

+1

; t

= 2.

8

= 16 t 2 - 20 t + 4j y = 100 - 4 t - 8 t 2 j

x

_ /-

10.

6 tj t

t 2j

s=i 7.

-

8

= v 5t+

8

= ~3 t

10

_/- j

v5t

+ 2;

t

t

t t

=

2

"3, v

= 2. = 3.

= 5.

= 2.

N as problema s3guintes achar a aceleragao no in 11. 12.

v=80 -32 tj t=O. v=4t L lO;t=2.

Rcsp. - 32. 6.

13.

v=

15.

8

= 120t - 16t 2 •

16.8=3c 2t-t3 •

17.8=5t+

18. UillJ. bola atirada verticalmente para ci gundo a lei. s = 80 t - 16 t 2 •

Achar (a) a posi93.0 e a velocidade dep,ois de depois de 3 seg.; (b) qual a altura que atinge; (c) q quarto segundo.

Se a equa9ao de urn movimento retilineo mostre que a acelera9ao e negativa e proporcional a cidade. 19.

20. A altura (8 em) alcan9ada em t segundos projetado verticalmente para cima com uma velocida seg. e dada pela f6rmula S = v1t - ! gt 2. Achar a maxima altura atingida pelo corpo.

Supondo no problema precedente VI = achar: (a) a velocidade no fim de 4 seg. e no fim de tancia percorrida durante 0 quarto seg. e durante 0 21.

22. Um carro faz uma viagem em 10 min., gundo a lei s = 250 t 2 t4, onde t e medido em pes. Pergunta-se: (a) qual a distancia que percorre; cidade maxima; (e) qual a distancia percorrida qu vebcidade e a tingida.

t

Re8p.

(a) 12.500 pes; (c) 6.9-14 pes. OUI'ROS

(b) 1924 pes pO

PROBLEMAS

Trace a curva (4 - 2 x + x 2) y = 2 x - x 2 90es da tangente e da normal em cada ponto de infle Re8p. Mix. (1, Ponto de inflexao ( x - 2y = 0; normal, 2x + y = O. flexa~ (2, 0); tangent.c, x + 2 y 2x - y - 4 = O. 1.

t).

104

DERIVAI;XO SUCESSIVA E APLICAQOES

2. UIIl..a certa curva (a tratoria) e tal que 0 cadlJ: tangente (distancia do ponto de contato a in eixo dos xx) e constante = c. Mostrar que

(a)

dy = dx

± Y

Vc~_y2'

3. Determine k afim de que as normais no flexao da curva y = k (x 2 - 3)2 passero pela orige

Resp.

k

DERIVACAO DAS FUNCOES TRANSCEN APLICACOES Consideraremos agora fun«oes como sen 2x, 3%, log (1 chamadas

Jun~i5es

+x

2

),

transcendentes.

60. - F6rxnuIas de deriva~ao; segunda list abaixo serao deduzidas neste capitulo, e, com as f6 compreendem todas as formulas de deriva9ao usada

x

dv d dx 1dv dx (In v) = -v- = -; dx .

Xa

.!!:.... (log v) = log e dv .

XI

XIa XII

v dx dx d dv - (a-) = a-Ina - . dx dx dv d dx (e-) = e· dx . d - (u-) dx·

du dx

= vu--1 -

dv + In u . u· -dx . dv ax

XIII

d -d (sen v) x

XIV

-(cosv) = - sen v - .

XV XVI

(In

= cos v -,- .

d dx

dv d.'r.

d () • du dx tg v = sec· v dx . d dv dx (ctg v) = - cossec 2 v dx .

105

XIX

xx XXI

XXII

d

dv

dx (vers v) = sen v dx . d dx (arc sen V) =

dv dx

VI _ v 2 dv dx

d -(arccosv).= -

ax

VI -

dv d dx dx (arc tg v) = 1 v2

+

v2

•

dv

XXIII

XXIV

XXV

XXVI

d -d (arc ctg v) x

=

dx 1

+v

2

dv dx

d

dx (arc sec v) = v d -d (arc cossec v)

=

VV2 _ 1 dv dx

v VV~ - 1 dv d dx dx (arc versv) = V2 v _ v 2 • x

61. - 0 numero e. importantes limites e

Logaritmos naturais. 1

(1)

lim (1 ",-+0

+ x)'X = 2,71828 ....

Este limite se indica por e. Uma demonstra que 0 mencionado limite existe esta fora do alcan Contentar-nos-emos, por isto, em mostrar, graficam 1

do x - 0, a fun9B.O (1 + x)'X ( =y) toma valores pr6 isto ~e, e = 2,718 ... aproximadamente.

I 10 5 2 1 0,5 0,1 0,01 0,001

I

I 1,2710 1,4310 1,7320 2,0000 2,2500 2,5937 2,7048 2,7169

-0,5 -0,1 -0,01 -0,001

4,0000 2,8680 2,7320 2,7195

o fato

expresso em (1) e usado no § G3. Quando x ~ + ex> , Y tende a 1; quando x ~ y tende a + ex>. As retas y = 1 e x = - 1 sao a No Capitulo XX veremos como se calcula 0 val numero qualquer de decimais. Logaritmos na~urais, ou neperianos, sao os que por base. Estes logaritmos t2m uma importancia em Matematica. Para distinguir entre logaritmos ritmos comuns usaremos a nota-1 -

+ In u . u" -dd

A. derivada de uma junr;ao com expoente varidve dos dois resultados que se obtem quando se deriva, p rando 0 expoente como constante (por VI) e depois consi como constante (por XI). Seja v igual a uma constante qualquer n; neste cas d du - (un) = nun-1 dx ax

•

a; (z2 + a) z2 +a

dy

SOLU9AO.

dx = (v =

= x2

+a

Resp.

2x y = log - - .

Exemplo ilusteativo 2. Derivar SOLU9AO.

+ a].

z2

2x

1+x2

Por (2), p. 1, tem08

+ z2) . log e .!£ (1 + z2) 2

y = log 2 x - log (1 Donde

dy

dx

=

log e .!£ 2 x _ 2x dx l+x dx

1 = log e ( -; - 1

2X) = log e

+

;1:2

;I:

p

I-x (1 +

Exemplo ilusteativo 3. Derivar y = a3:e'. SOLU9AO.

-dy- = In a . aao: • - d (3 r'') dx dx =

6 x In a . a3:e'.

y = be"'+:l:'.

Exemplo ilusteativo 4. Derivar SOLu9AO.

dy = b

dx

_~

dx

(ec'+z')

= bec'+Z' =

Exemplo ilusteativo 5. SOLU9AO.

Resp.

.!£ (r? + z2)

dx

2 bxe"'+:l:'.

Resp.

Derivar y = x"'" •

~; = e"'X''''-l d~ =

e"'x""'-l

= e"'x"'"

(x)

+ x"'" In x ~

+ x"'" In x

(e"')

. e'"

(~ + In x).

Resp.

66. - Deriva!;ao logaribnica. Na derivac;ao da ritmicas deve-se, antes de aplicar X e Xa, verificar sivel simplificar os calculos com 0 uso conveniente

segue:

! In (1

y =

ill.

-

d

= Exemplo ilusttativo 2. SOLUQAO.

(I I - il

1

-

2x

"2 • 1 _ x2

Derivar

2 3 )

x

=

x2 _ l '

y = In

~ /1 + x

Resp. 2 •

"I-il

Aplicando (2), p. 1, y =

!

[In (1

(1

+ x 2)

d

Donde

dX

dy 1 dx="2

Da!

dy _.! [ dx- 2

d;

+ x 2) -

In (1 - x 2)].

d

_

dX (1

I+x2

-

ill ]

I-il

x

x

2x

I+x

I-x

I-xi

= - -2 + - -2 = - - .

Na derivar;ao de uma funr;ao exponencial, especi de uma variavel com expoente variavel, 0 melhor c primeiro os logaritmos naturais da funr;ao e depois d o Exemplo Ilustrativo 5, § 65, e resolvido de modo como segue: Exemplo ilustrativo 3. Derivar y = :r;ex. SOLUQAO.

Tomando os logaritmos naturais In y = eX In x.

Derivando ambos os membros em rela9ii.o a x dy d dx -y = eX dx (In x)

=e X

,

+ In x dxd

:!-+Inx.ex x

(eX)

'

Exemplo ilusttativo 4. Derivar y = (4:r? _ 7)2 +

vr - 5

SOLUgAO. Tomando os logaritmos naturais

+ V:r?

In. y = (2

Derivando ambos os membro em

.!.- dy

ydx

+ vx2 _ 5)

= (2

dy = x (4 z2 dx

rela~ii.o

a x.

x + In (4:r? _

8 4x2 -7

7)2 + v:' -:- 5 [8 (2

_

- 5) In (4 :r? - 7) •

7) .

--==

V:

+ V~ + In (4 :r? -

vz2-

4:r?-7

No caso de uma fUllrmula XIII, dy dx

= cos (~ 2

dv

= - sen v dx

v) 3:.. (~ - v) dx 2 .

[POiS cos ( ; - tI) = sen tI, XIV

72. -

-

d

dx

(cos v)

DelIlonstra~oes

por (3), p. 2

dv

= - sen v - . dx

das f6rlIlulas XV-XI

las podem ser facilmente obtidas exprimindo-se a f em termos de outras fun-+O

PROBLEMAS

Derivar as func;oes 1.

y

=

sen ax 2 • dy d = cos ail - (ax 2) dx dx

SOLuQlo.

[v ...

2.

a.:c2]. = 2 acos

ar-.

Resp.

y=tg~.

~JL

SOLUQAO.

dx

=

sec 2 VI .

[v = =

- x~ (1 dx

VI -

-

xl.

t

sec2 VI - x . (I-x)-t (- 1) sec 2 VI - x

= -

. Resp.

2 VI - x 3.

Y

=

SOLUQAO.

x)t

cos3 x. Podemos tambem escrever Y = (cos X)3. ddY = 3 (cos x

X)2 _

~

dx

(cos x)

e n = 31. 3 C08 2 X ( - sen x) = - 3 sen x cos 2 x. Reap.

[v = cos x =

= sen nx . n (sen x)n-l -d (sen x) dx

+ aeon x cos nx dxd

(nx)

+ +

n sen nx senn- 1 x cos x n senn x cos senn- 1 t: (sen nx cos x cos nx sen x = n senn- 1 x sen (n 1) X. Re8p. = n

5.

Y

= sen ax.

6.

y

= 3 cos 2x.

7.

+

Resp. y' = a cos ax. y'

= -

s = tg 3 t.

s'

= 3 sec 2 3 t.

8.

v u = 2ctg-·

-

9.

Y

=

10.

p

= a cossec2 be.

p' = ab cossec2 b

11.

y

= t sen2 x.

12.

s= vcos 2 t.

y' = sen x cos x. ds - sen2 dt = vcos2

13.

P

14.

y=

15.

Y

16.

J (0) = tg 0 - O.

17.

=

=

2 sec 4x.

~--

tg3 O. 4

~ x cosx.

sen 0 0

p=--'

6 sen 2 x

du = - cossec 2 dv y' = 4sec4xtg

dp

sec 2 3 0

dO = (tg 3Oyi dy = - 2tgx dx .~ y' = cos X - x

l' (0) =

tg 2 O. dp 0 cos 0 dO = 02

18.

Y

= sen 2 x cos x.

y' = 2 cos 2x co

19.

Y

y'

=

20.

y

= In sen ax. = In y~os 2;1}

y'

= - tg2x.

21.

Y

=

y' = eo" (a se~

22.

s = e-I cos 2 t.

(;tu

sen bx.

a ctg ax.

s' = - e- t (2 se

25.

}(O) =sen (O+a) cos (O-a). }' (0) = cos 2 O.

26.

} (x) = sen 2 (1r - x).

27.

P = -} tgJ 0 - tg 8

28.

Y

=

x· ell %.

-dy = x· ell % (Ren - :1:

29.

7j

=

(cosx)%.

y' = y (In cos x

}'(x) = - 2 sen (1

+ O.

p'=tg40.

ax

Ache a derivada segunda de cada uma das func

=

d 2y -d

= - lc 2 sen lex.

30.

y

31.

p =

32.

u

=

33.

Y

= :l.:.cos x.

34.

sen x y=-x-'

35.

s

= et cos t.

d 2s dt 2

= - 2 d sen t.

36.

s

= e-t sen 2 t.

d 2s dt 2

= -

37.

Y

= ea sen bx.

Ache

dy dx

sen lex. Resp.

i

.J

x-

d 2p

cos 2 O.

cos 2 8.

dfj2 = -

d 2u dv 2 = 2 sec 2 v tg v.

tgv.

d 2y -d' = - 2 sen x _. x 2 x

d 2y 2 sen x - 2 x c dx 2 = x

%

e- t (3 sen 2 t

d 2y = (P%[(a 2 -b 2 )sen dx 2

-

para cada uma das func;:oes (x - y)

38.

y =

39.

ell = sen (x

40.

cos y = ln (x

CQS

+ V).

+ V).

dy

Resp. dx

sen (x

= sen (xcos (x dy = dx

dy dx

ell - cos

1 + (x

x x sen 2

.

;x =

Y =

43.

Y

= In cos x; x = 0,5.

44.

Y

= - ; x = - 0,5.

45.

y

= sen x cos 2 x;

46.

y

= in Vtgx;

47.

y

= c"senx; x = 2.

48.

y

= 10 eX cos 7rX;

y'

e'" x

,1'J =

x

=

x

Resp. y'

= 1.

y'

y'

i7r.

y'

x

= 1.

y'

5 e 2 sen - :z ,. x

= 2.

y'

X

49.

y'

2.

42.

-

7rX

X

= 10 e

sen 3 x; x

= 1.

50.

y

74. -

Func;oes trigonom.etricas inversas.

10

y'

y = sen x,

(1)

diz que "x e a medida de urn augulo em radianos c a y". Para urn angulo celltrico de urn circulo com x e tambfm igual ao arco interceptado (V. § 2). cscreve-se (2)

x

= arc sen y,

Clue se Ie 'IX igual area seno y". LIma da outra (§ 39).

As fun,

4>.

Quadrando e Bomando, obtemos :z:' 11 -;;> + b'

= COB'

4>

+ sen' 4>

= 1,

equacao retangu!ar da elipsc; 4> chama-se algumas \'czeS ftngulo t'xc(lntrj,·o do porllo P oa clipsc.

t bVZ (- ~)

- ! a ,/2 =

tbV2(-~)

-

Exemplo iIustrativo 2. IDetrica

b2 .y2 2a

- - - = comprimento d

Dadas as equa90es da cicl6ide* =

X

(4)

comprimento d

{

a (0 - sen 0) ,

y = a (1 - cos 0) ,

Bendo 0 0 parametro, achar os comprimentos da subtang normal no ponto (Xl Yl) onde 0 = 01. dx = a ( 1 - cos O·)'"dif d!l = a sen · d0, "dif g OLU p Resp. c/> 6. Se urn ponto move-se relativamente a um denadas retangulares segundo a lei

x = a cos t

+ b,

y

=

a sen t

+c,

mostre que sua velocidade tem grandeza constante 7.

Se a trajetoria de urn ponto movel e a cu

x=at, { y = b sen at, *

9,8 metros = 32,2

p~s

(N. T.).

achar a equayao da trajet6ria em coordenadas r desenhar a trajetoria com os vetores velocidade e t = t, t = 1 e t = 2; (c) para que valores do tem velocidade? (d) onde esta 0 ponto quando sua velo POI' segundo? Resp.

(a) Parabola, xi

+ yi

= 1; (c) t

No movimento uniforme (velocidade cons circulo, mostrar que a acelera9ao em cada ponto P grandeza e dirigida, ao longo do raio, de P para 0 c 9.

As equa90es de urn movimento curvilineo s 0 ponto movel oscila da parabola 4 y2 - 9 x - 18 = O. Desenhar a cu nhar os vetores acelera9ao nos pontos onde v = O o vetor velocidade no ponto onde a velocidade e ma 10.

Y

= 3 cos t. (a) Mostrar que

Dadas as seguintes equayoes de movimento c no instante dado, v"' Vl./' v, a,., Ci.y, a; posi9ao do pont dir.eyao do movimento. Achar tambem a equa9ao d coordenadas retangulares. 11.

x = t 2 , Y = 2 t; t = 2.

12.

x

13.

x = t3, Y = t 2 ; t = 2.

14.

x = 3 t, Y = t 2

15.

x = 2 - t, Y = 1

16.

x = a cos t, y = a sen t; t =

17.

x = 4 sen t, Y

18.

x =

19.

x =

20.

x

= 2 t,

=

Y =

t3 ; t

-

= 1.

3; t

=

+t

;

2

3.

t

= O.

t 1r.

t 7r • sen 2 t, Y = 2 cos t; t = t 7r. 2 sen t; y = cos 2 t ; t = t 7r • tg t; Y = ctgt; t = i 7r • = 2 cos t; t

=

a equaO p + D.p - p cos !:if}

Para obter esta fra'"

F (:1:)

F' ( ~ )

,->0 _

:2

F' ( ~)

,->0

Portanto, a regm vale tambem neste caso. Exemplo ilustrativo 1. SOLU~AO.

Prove que lim ~ = n . %-+0

Seja f (x) = sen nx, F (x) =

X

2-.

J (0) .., 0,

Entao

por (E).

' J (x) \1m %-+0 F (x)

l' (x) \. = \'1m - = 1m %-+oF' (x)

. 2 Exemp10 1'1 ustrauvo.

COB

nz

- - - ..,

1

n.

P rove que lim:e' -.. --" 3:1: .. -+1 ... -

SoLu~io. Seja. J (x) .., :e' - 3x

- O. F (1) = O.

n

0:-+0

.+ 2,

F (z)

.. -

++ 2 1 z

-r - r -

z

Logo, por (E),

L

_ lim 3:r' - 3 _ 0 . lim J (x) = \1'm ' (x) -" ( ) 0 0:-+1 F (x) .. -+1 F ::r: .. -+13:1' - 2 z -; 1

.' •

.

I

, }" (x) • 6 ::r: 3 ... ",-+1 lim F" (::r:) -= %-+1 hm -x6 2 - -2 •

Exemplo ilustrativo 3.

Prove que lim .. -+0

SoLU~io. Seja. J (x) F (0) = O. Logo, por (E),

' J-(x) \1m %-+0 F (::r:)

...

\'

r -

l' (x)

r'" - 2::r:, F (::r:) - z - sen x

\.

1m - - -

1m

",-+0 F' (x)

r-e-%-2x ... Z - lien x

%-+0

r

+ e-S 1 - co. z

2

-

}" (z) lim ~ - e-41 0 ... lim - - ----%-+oF" (x) ...-+0 !!leD z 0 . ,

... lim

}'" (z) -11/-

%->0 F

(z)

•

-

r +e-%

lim - - - ... 2,

.. -+0 COB X

0

-

. 0

.

• • '. I

... indet

1'lim ..... 41: 2

2. 3.

+ x- 20' X - a lim n , : ....." x - an I'I mIn-x- . x-I

: ..... 1

4. 5. 6.

e-" sen x tgx - x lim .,.....0 x - sen x t" -

lim

., .....0

lim In sen x ".(7r - 2X)2

., ..... 2"

7. 8.

, as - b" hm - - - . x 8 - alCsen8 lim sena 8 6 .....0 ., .....0

li

9.

: .....mt/>

10.

:~

11.

.

.

sen x - sen cP x- cP' eW+seny-l In(1+y) .

sec 2 cP - 2 tg cP cP • t/> ..... ~ 1 + cos 4 I'

lID

,

12.

lim r'-ar 2 -' a2r + a l , ..... /1 r2 - a2

13.

lim .,-+3

14.

lim 1'-+2

15.

r

v3X-

V12-x 2x - 3 V19 - 5x V16x-x4-2~4x

2 - ~2x1

tg 8 + sec 8 - 1 /I~ tg 8 - sec 8 + 1 .

,

16.

IlID ., .....0

17.

, I1m

1' .....0

• Depoy de derivar, deve 0 elltudante, em calia cU, redusir a exp m&il limples an""a de lubatituir 0 valor da va.rU.vel.

B quando P tende a A, movendo-se sabre a curva. Resp. OB = 2 r. 120. - Forma indeterminada lim

J (x)

%---H

F (x)

CD CD

Para ac

quando J (x) e F (x) tendem ao infinito, para x mesma regra que a dada no § 119 para 0 levantam . 0 . t mllla0 F' (x) %->0

%->0

= lim -

x -

cossec x ctg

X

%->0 x

Entiio, por (E), lim

_

%->0 X

2 2 sen x = lim sen x cos x cos X %->0 COB X - X sen x

O.

121. - Forma indeterminada O. 1,.- - 3 sen 3 x

z->~,.- F (x)

TransforIIla!;aO da {orIlla indeterII

e

possivel transformar a forma indete

em uma das duas outras Exemplo ilustrativo.

o

co

0' -;-.

Provar que lhn (sec x - tg x) =

SOLU9AO. Temos sec ~ 1f'

z->i,.-

-

tg t

1f' =

co -

co.

.'.

°

ind

1 sen x I-senx Por (2), p. 2, sec x - tg x = - - - - - = cos x cos x cos x Seja f (x) = 1 - sen x, F (x) = cos x • Logo, por (E),

Entao

f (j 1f')

lim f (x) = lim l' (x) = lim - cos x = %->1,.- F (x) z->i,.- F' (x) z->i" - sen x

°

.

2.

rI mctg x --. ",-+0

2.

ctg 2 x

11-+1

3. lim tg 38. 8 1r ~

4.

1

tg 8

r1m-. x3 z-+CD L'" .

~-

y-

3'

" [-1 17. 1'1m - 2 - -"

O.

18. lim

sen x

.,....0

z-+CD

6·

5. hm 1-' ",-+CD n x

x

+ Inx x Inx

19. lim 8 cossec 28

CXl

8-+0

r

ctgx 1m -1-' z-+O n x In sen 2:t 7. lim :-+0 In sen x

6.

16. lim [

8. lim x In sen x.

-

CXl

r

ctg 2 x

1m T3' 20. z-+Ocg x

¢2)

1.

21. lim (a 2

O.

22. lim (sec 5 8 -

-

~

:....0

~ 2

9. 10.

r1m

7r "7

q,...-..oq>

7r¢

! 7r

tg"2'

r1m x sen-. a X :-+CD

11. lim (7r - 2 x) tg x.

... r--z-

2

a.

.

23. lim L7r x z-+O 24. lim z-iO

2.

[:2 - x.t

25. 1m; [x tg x z~

12. lim (1 - tg 8) sec 2 fJ.

.

1.

26. hm

:-->2

~ 4

13. lim [x 2 :-+1

14. lim :-+1

2x

~ 1 - x ~ J.

[~x -

l:J·

x2

-

- - 2-

X

1

4

--2' 27. lim Log (11 %-+0

-1. 28. lim :-+0

7

tg "

+

[+x sen

123. - Sabre as form.as indeterminadas 0°, que a fun/tao

J (x)~)

ou

} (x)

=

CD,

if> (x) = 0, dandsa

y = f{x)4>~).

Seja

TQmando os logaritmos naturais de ambos os m In y

= if> (x) In} (x).

Em qualquer dos casos acima, a func;ao In y to a forma indeterminada. 0.

CD.

Calculada esta pelo modo ilustrado no § 121, o do logaritmo da fun1

lim lny =

Logo

x~

Exemplo ilustrativo 3.

lim 2 - X z->1 =! 71" cossec 2

~,

e

x~l

Prove que lim (ctg :t)senz = 1. .

z-oO

A fun2

2. lim

r-->a>

(~+ 1)" X

1

3. lim x1 -

4. lim (1+ z->a>

5. lim (1 z->o

%---'CD

1

z.

n->1

e2 •

:r

+ sen x)Ctgz.

C

x->o

lim

(

:t->a>

eC • 11. lim (e z-lO

e.

12. lim (x x-lO

1

6. lim (e"

10.

+ x)'".

e2 •

.

13. lIm

(

x-lO

1

7. lim (1 + nt) t t->O

•

en.

14. lim (1 x-lO

Seja F (x) a fun+ '"

~ '" [ - ~

[+'" 0

=

= lim

b-->+'"

[4

[ - xl

a 2 arc tg

lim

1>--+ '"

J!...-] = 4a

2a

2 .

Interpretemos este resultado geometricamente. 0 grafico de nossa fun"ao e 0 lugar geomHrico dos ponto& que satisfazem a equa"ao

y

= x2 + 4a2

Ora,

1

b

t luea OPQb =

0

8a3 dx = 4 a2 arc tg + 4 a2 2

x2

1

1

+0>

SOLU9AO.

dx

x

1

= lim 1>-++

jb

x

dx

x

1

0>

= lim (In 1>-++ 0>

o limite de In b quando b eresee indefinidamente nao gral nao tem sentido n~te caso.

e

154. - Integrais improprias. Quando y = tlnua. Consideremos agora casos em que a funyao seja desc~:mtinua para valores iS0lados da variavel mites de integra9ao.

Consideremos primeiro 0 caso de ser a func;ao todos os valores de x compreendidos entre a e b, x = a. Se a

< beE e positivo,

I

(1)

pOl'emos, por

l

b

1; (x) dx = lim a

......0

Semelhantemente, quando 1; (x) deJinimos

j

(2)

deJini~a

b

1; (x) dx. a+E

e continua

exc

b1; (x) dx = lion Ib-E 1; (:1') dx, e->O

a

a

posto que os limites existam e sejam finit.os. Exemplo ilustrativo 1.

SOLUc;AO.

l

a

o

Achar

f

dx /,a-E -===-=c::: va x = lim j 2

o

x. x2

",/ a2 -

6 infinita p~ra

Aqui,

2 -

d

a

E--+O

0

d

x

'\/ a 2 -

x2

=

X =

lim

a.

[

Lo

arc

E--+O

= ar y sen

N€-.ste caso

0

= lim

x

} 0

1 ~. (l.. _1). 1

{1~.

.-.0

e fin ito

limite nao

= lim

:J?

•

e

,->0

e portanto a integral n

Se c esta comprcendido entre a e beet> (x) e continua entao, sendo e e E' n(lmeros positivos, a integral entre a e b

Jb

(:3)

cf> (x) dx =

a

1imlc-.

cf> (;l;) dx

+

a

E'---?O

li"

£:'---70

posta que cada urn dos limitcs exista e s~j0 lim [3 2

2

2

=3a 3 +6a8 =!la8 Para interpret::rr islo geometrieamente traeemos 0 gr3.fiw de 2x

Y = ---'-----,2:(Xl - a 2 )3'

[' llotemos quP. x = a 6 uma assintota.

2

=

3 ~ej~

-

,,~

..y8a~ - 3

+ :-la3

.

Resp.

2

tende a 6 a ~ quando QE' move-se para a esquerda telldend 2

,}, quando

lO' ......

O.

Soma11do os resultados, obternos 9 a 3

{2a

Exemplo ilustrativo 4.

SOLU

1.

... 'l

1j+o> o 1

dx -0--

x·

+1

X

dx y2 X~

7r 2 -

1 s.l + l ya f +0>

7.

1

7r 4 .

e-GXd

o

+

a

9.

dx

0>

1

o

(1 x2 dx 2 -

+O>

10.

11.

_0>

1

x2+

+0>

1

X

x2dx

J yx 2a

12. .

a

d

(1+

2 -

INTEGRACAO COMO PROCESSO DE

155. - Jntrodu~ao. Ate agora definimos a i operayao inversa da deriva9ao. Em muitas das ap culo integral convem, porem, que a integrayao seja d processo de soma. Este foi, alias, 0 modo primeiro a integra9ao, pois que 0 ca,lculo integral originou-se de se calcular areas e isto era feito imaginando a sup devia ser calculada como reuniao de um numero m areas muito pequenas, chamadas elementos de area, a dariam a area pedida.

Historicamente, 0 sinal de integra9ao e merame gado e a letra Sea primeira da palavra ·'soma".

A defini9ao que daremos no proximo paragrafo e importancia e e essencial que 0 leitor se familiariz de que possn. aplicar 0 cilculo integral aos proble

156. - TeoreIna fundaInental do calculo in e a derivada de J (x), entao, como se y viu no § 142, a integral definida (1)

l

b

cP (x) dx

=

J (b)

-

J (a)

fornece a area limitada pela curva y = cP (x), 0 eixo dos xx e as retas x = a, x = b. o ji---'----b Pois bem, procedamos como segue. Dividamos 0 intervalo [a, b] num numero n qu valos iguais, pelos pontos de uivisiio levantemos pe OX e palos pontos de encontro destas com a curva,

---;+=---:"'-L
(x's) f (b) - f (b n-1) = cf>(:c' n)

~xs,

~Xn,

para

paru

0

segundo

0

tel'ceiro i

0

n-egcsim

Somando membro a membro:

Mas, cf>(X'l) •

~X1 =

cf>(x' 2)

~.'l:2 = ~rea

•

area do pl'imeiro reb1ngulo, do segundo retangulo, etc.

Logo, a soma no segundo membra de (1) e igual a dos retangulos. Mas, pOI' (1), § 156, 0 primeiro m igual a area sob a curva y = cf>(x). Logo, a soma n

L: ¢(X'i) ~Xi i=l

(2)

e igual a area

sob a

CUl'Vll.

A soma n

(3)

L: cf>(Xi) ~Xi ;=1

(onde Xi

e

qualquer do subinterval

em valor absoluto, menor ou igual a diferentta ent minima ordenadas da curva em t.Xi. Alem disso sivel* tornar estas diferenttas, em valor absoluto, m quer numero positivo E prefixado, escolhendo n de t que ca.da subintervalo tenha urn comprimento suf queno. Para uma tal escolha de n, a diferentta en e (3) sera, pois, em valor absoluto, menor que E menor que urn numero qualquer prefixado, ainda queno. A diferentta tende, portanto, a zero quan infinito de modo que cada subintervalo tenda a ze b (2) e igual a cP (x) dx; logo,

I

sendo os t.Xi os comprimentos dos subintervalos e dido [a, b1e Xi pontos arbitrariamente escolhidos em subintervalas.

158. - Areas das curvas planas; coordenada Como ja foi visto, a area compreendida entre a c o eixo dos xx e as retas x= a e X= b, y e dada pela formula

Area =

(B)

sendo y

=

I

b

y dx,

cP (x),

A igualdade (B) pode ser memorizada facilment que urn elemento de area e urn retangulo (como C altura y. A area que se quer ABQP e 0 limite das de tais retangulos compreendidos entre os segmento • Como ae m08tra em Ii vro. de c&1culo maia adiant&do••

PRIMEIRO PASSO. Construamos os n retangulos como na figura. A area pedida e 0 limite da soma das areas destes retangulos quando n cresce indefinidamente de modo tal que 0 comprimento de cada interva10 tenda a zero.

o

SEGUNDO PASSO. Indiquemos as alturas por Tomemos urn ponto em cada subintervalo, por exem dade superior, e indiquemos os pontos assim obtidos As bases sao, entao, cP(Yl), cP(Y2), etc., e a soma da tangulos e, pois, n

+ cP(Yn) !::.Yn = i-1 L: TERCEIRO PASSO.

Apliquemos

0

teorema fund

Logo, a area compreendida entre uma curva, zontais y = c e Y = d e dada pela f6rmula (C)

Area =

0

eixo d

jd X

dy,

onde x deve ser substituido pela expressao, em termos de Y, que provem da equaQao cia curva. A f6rmula (C) pode ser memorizada pela observaQao de que ela mite da soma dos retangulos horizontais internos sendo x e dy, respectivamente, a base e a altura d generico. Urn tal retangulo e urn elemento da area

quente (8) dara uma area precedida do sinal negativo que a figura esM. abaixo do eixo dos X.'l:. Exemplo ilustrativo 1. Achar a area de urn arco da sen6ide y = sen x. SOLUQAO. Pondo y = 0 e achando x, ternos x = 0, -rr, 2-rr, etc.

Substituindo em (B),

jb

Area OAB =

Temos tambern

j

Area BCD -

b a

ydx

=

y dx'"

1" J27r "

Exemplo ilustrativo 2. Achar a area limitada pela parabola semi-cubica ay2 = x3, 0 eixo dos yy e as retas y = a e y = 2 a. SOLUQAO.

Pela (C) acima e a figura, 1

0

senxd

sen x d

y r:-

ele-

2

mento de area. xdy e igual a a3 y 3 dy, tendo-se tirado 0 valor de x da equac;ii.o da curva. Logo Area BMNC =

f

2a

a

=

1

2

a3

y3

i

a2 (~

dy

-

I) = 1,304 a2•

Resp.

Note que a 2 = area OLMB.

Na 'area dada por (B) uma fronteira e 0 eixo uma fronteira e 0 eixo dos yy. Consideraremos ag tada por duas curvas.

Exemplo ilustrativo 3. Achar a arca limitada pela para reta x - y = 4.

xa da figura cujo !ado superior tem (:"'11 y), (z:z, y) por extremidades, Destas tracemos perpendiculares ao lado inferior; obtemos um retangulo cuja area e

Ort-----/

Este e 0 elemento de area, pois a y' area pedida e, obviamente, 0 limite da soma de tais retiIDgulos. Pelo teorema fundamenta

oJ1de Xl e X2 sao fun~6es de y deteI'JDinadas pelas equa~6es da Logo, neste exemplo, de X - Y = 4 acharoos x = X2 = 4 + y mos x = Xl = ! y2, Temos, pois, por (I), dA = (4

(3)

+ y - ! y2) dy .

Esta f6rmula serve para cada um dos retangulos que se po acima considerado. Como os limites sao c = - 2 (em A) e d 4

~

Area =

J

(4

+y -

1

•

'i y-) dy =

18.

-2

este exemplo a area pode tambem ser dividida em fai OY. Supondo que estas sejam equidistantes e que Ax seja duaa consecutivas, podemos proceder como acima, notando, poY rem, que enquanto 0 extremo superior de cada lado esta sabre 0 ,arco OB, 0 inferior esta sabre OA quando 0 lado nao esta a direita de A e eata sobre a reta quando 0 lado nao esta a esquerda de A,

I

Se (x, Y2) e 0 extremo superior e (x, Yl) 0 inferior, 0 retangulo de area igual a

Deve-se, pois, num problema qualquer, construir as faixa uniea f6rmula seja bastante para exprimir 0 elemento de are e usada quando as faixas sao eonstruidas pelo trayado de parale

No teorema fundamental algumas ou todas as pa podem ser negativas e portanto 0 limite da soma d definida) pode ser nula ou negativa. POl' exem = sen x, a = 0, b = 27r, a integral definida (3), § interpretayao deste resultado pelas areas e imediat ilustrativo 1 acima. PROBLEMAS

Achar a area limitada pela hiperbole xy = xx e as retas x = a e x = 2 a. Resp. 1.

2. Achar a area limitada pcla" curva y = In e a reta x = 10. Resp.

3. Achar a 41'ea limit-ada pela curva y = xex e a reta x = 4. Resp

.v

Achar a area limitada pela para.bola e os eixos coordenados. Resp. 4.

5.

t

Achar a area encerrada pela hipocicl6ide x

R esp

Achar a area limitada pelas curvas abaixo. em cada caso., mostrando 0 elemento de area.

D

6.

y2=6x, x 2 =6y.

Resp. 12.

10.

y2=2

7.

y2=4 x, x 2 = 6 y.

8.

11.

y=6x

8.

y2=4 x, 2x-y=4".

9.

12.

y=x 3

9.

y=4-x 2, y=4-4 X.

13.

y2=4x

2

10'3

Achar a area limitada pela hiperbole equil o eixo dos xx e uma reta trayada da origem ao ponto 16.

Resp.

X

=

17. 4.

a; in

Achar a area limitada pela curva y = x (1

Achar a area limitada pela curva x 2y = x I, x = 1 e x = 4.

18.

y =

Achar a area limitada pela curva y=x 3 o eixo dos yy e a reta y = 29. 19.

Pelo ponto (I, 1) trayam-se paralelas aos eix obtendo-se, assim, um quadrado. Achar a razao en menor das areas em que ele e dividido POI' cada um curvas: 20. 21. 22.

= x 2 • Resp. Y = x 3• Y = x 4• Y

2.

7T'X

26.

Y = sen 2

27.

Y

=

28.

Y

= tg 4 ·

29.

xa

3.

4.

Xc'.-l.

3

23.

y3= x2.

2'

24.

y';+Vy=1.

5.

1

25.

7T'X

1

+ ya =

Para cada uma das curvas abaixo achar a area vai desde a interseyao com OY ate a primeira das OX, a direita da origem.

+ y + y2 = 2.

30.

X

31.

y = x3

32.

y = e" sen x.

3:;.

y2 = (4 - X)3.

-

8 x2

1

Resp. 16 ,

+ 1.5 x. 12,07.

34.

Y

=

35.

Y

=

36.

y =

p = 1(8)

a equa9ao da curva e OP l e OD os dais raios vetores. Sejam a e (3 os angulos que os raios vetores formam com 0 eixo polar. Apliquemos 0 teorema fun- 0 damental, § 156. PRIMEIRO PASSO. A area lares como as da figura.

e0

limite da soma d

SEGUNDO PASSO. Se 1::.8 1 ,6.8 2 , etc., sao os angul sucessivos setores e Pl, P~, etc., os raios, a soma d tores e n

+ ! Pn 6.e n = i-L t 2

1

pois a area de urn setor circular e igual ao produt raio pelo arco e 0 arco e 0 produto do raio pelo angu T~I1CEIRO

PASSO.

Aplicando

0

teorema funda

Portanto a area descrita pelo raio vetor da curva posi9ao OP l para a posic;ao OD e dada pela f6rmula

Area = !

l

onde P, express:) em termos de

e,

(D)

o

f3

P~ de ,

provem da equac;

elemento de area para (D) e um setor circu ungulo centrico de, portanto urn setor de area! p 2

Como p = 0 quando 0 =

7r

4" '

vemos que -t----~.ql

se (} varia de 0 a : ' 0 raio vetor OP descreve a area OAB.

Logo, substituindo em CD),

area = 4 X area OAB = 4 . t isto e, a area de ambos os la90S OA como lado.

,..

l

f3

p2 dO = 2 a214 c

e igual a.

area de urn quadrad

PROBLEMAS 1.

Achar a area limitada pelo circulo p = a Re

() = 0 e () = 60°. 2.

Achar a area encerrada pela curva p = a sen

Calcular a area encerrada pOl' cada uma das s 3.

p2= 4 sen 2 ().

4.

P = a cos 3 ().

-t7ra 2 •

5.

p = a(l- cos()).

2 7ra -.

6.

p = 2 - cos ().

z7r·

7.

p = sen 2

8.

P=

9.

P = 2 + sen 3 ().

t

Resp. 4.

() -.

2 + cos 2 ().

10.

p= 3

II.

p =

12.

P=

g7r.

13.

P=

A 4 7r .

14.

P=

15.

P=

3

9

3

9

2 7r •

?

16. Achar a area limitada pela parabola p (1 + linhas 0 = 0 e () = 120°. R

Achar a area limitada pela hiperbole p2 linhas () = 0 e 0 = 30°. Resp. 17.

to euja corda passa pelo foco e

e perpendicular ao ei

20. IVlostre que a area limitada por dois raio piral hiperb6lica p8 = a e proporcional a diferenc;a mentos desses raios. a t b2 Ache a area da elipse p2 = ----:-21. 2 0. sen 2 8 + b R 22.

Ache a area encerrada pela curva p = a (s Res

23.

Ache a area abaixo de OX encerrada pela c

24.

Ache a area limitada pOl' pt

=

0. 2

sen 4 8

Ache a area limitada pelns seguintcs curvas e

= tg 8; 8 = 0, () = 1- 71'.

25.

P

26.

P =

27.

P = sec 0

28.

P

~O =

+

1- 71', e = !

71'.

tg 0; 0 = 0, 0 =

1- 71'.

= asenO + beosO; 0 = 0,0 = !1T.

Calenle a area da parte eomum as partes ence um dos seguintes pares de eurvas. 29.

P = 3 cos 0, p= 1 + cos O.

30.

p= 1 + cos 0, p= 1.

31.

p= 1 - cos 0, p

32.

p2=2cos20, p= 1.

33.

p:

= cos20,

p2

5

4

f

= sen

= sen

Resp.

O.

~

j 20.

1

Ache a area interna ao circulo 3 p = V 'If 'If lac;:o da curva p = cos 2 0 de 0 = - "4 a 0 = "4 . 37.

38.

3p = V6sen20, p2 = cos20.

39. Ache a area do lac;:o interior da trissetriz p Para figura, vel' limac;:on, Capitulo L""CVI. Resp. t a

160. - Volumes dos s6lidos de revolu~ao. S do solido gerado pela revoluc;:iio, em tOrno de OX, da ABCD e seja y = j (x)

a equa9ao da curva plana DC.

y

PRIMEIRO PASSO. Dividamos a segmento AB em n partes de comprimentos .Ci.Xl' .Ci.X2' ... , ··.Ci.x n e tracemos urn plano perpendicular a OX par cada urn dos pontos de --;;:H~¥f~f'L':!-1

Apliquemos a formula (A) ao ultimo termo de (3) na f6rmula m pOl' m + n e p pOl' P - 1. Temos

f

h

xm+n (a

+ bX,,)p-l dx =

--

+ + +

a(m 1)' np m 1

+ bx')1' +m+1

Xm+l (a np

f

.l:m

(a

+ bX,,)p-l dx .

Substituindo isto em (3) e reduzindo os term obtemo8 a f6rmula (B).

Cada aplicac;ao da f6rmula (B) diminui p de u formula (B) falba no mesmo caso em que (A.). III.

Dedu~ilo

de (C).

Tirando da f6rmula (A.

f.r;m-n (a + bx")p dx , e substituindo m pOl' m

+ n,

obtemos (C).

Cada vez que aplicamos (C), m e substituido pOl' m + 1 = 0, a formula (C) £alba, mas nsete caso a ser tratada pelo metoda do § 169 e portanto a form saria.

e substituindo p por p

+ 1,

obtemos (D).

Cada aplicayao de (D) aumenta p de uma unid mente, (D) falha quando p 1 = 0, mas entao p pressao e racional.

+

A f6rmula (5) do Caso IV, § 167, e urn caso qua.ndo m = 0, p = - 11-, n = 2, a = a 2 , b = 1.

, , f

Exemplo tlustratlvo 1.

SOLUI;AO.

Aqui m

=

z3dx vI - z3

• - 1 (r-+2) (

= -

3, n = 2, p = -

t,

3

a = 1, b = -

"

N~ste

caso aplicamos a f6rmula de reduy8.o (A) porque a

duzida A de

f

x (1 - z3)-1 dx, A qual pode-se aplicar e. f6r

Portanto, substituindo em (A), obtemos

f

z3 (1 - z3)

-I

- z3-2+1 (1 - x2)-i+1 dx - _ 1 (_ 1 + 3 + 1) -

-

- - i- z3 (l ~

1

- "3 (x2

. 2. Exemp I0 1'I ustratlvo

x2)1 - { (1 - x2)i

+ 2) (1

f

++3 1)+ 1)

1 (3 - 2

_ 1 (_ 1

- x2)i

f

+C

+ C.

( 4" 1 x.., _ x 2)i = (a 2x4dx

+ S3

+ -83 a4 arcs

a

+ 2" III Sugestiio.

Aqui m = 0, n = 2, p =

Excmplo ilustrativo 4. Sugestiio.

f

(x

t, a =

~2, b = 1.

dx

xavI x2 -

+ Va2 + x2) +

(x,2 - 1)+

1

--'-~--'-

2x2

Apliquc (C) uma vez. PRODLEMAS

Caleule eada uma das seguintes integrais. 1.

2. 3.

5. 6.

8.

10.

Apl

+-

Sugestao

12.

f

f

x2dx

_/

V

=

f~ x 2 (2a

-

,

x)-'dx. Apliqu

V2ax - x 2

y3dy 4y_ y 2

1

= -

--

:-(y~+5y+30)V4y-y2 +

3

+ 20 arc co 13.

14. 15. 16.

f

f f

ds s 38 (a 2 +s 2 )3 = 4a 2(a 2 +s 2)2 +8a4(a2+s 2) +8 y2 d'/j 1 _ /-9 " = - - YV 9-4y2 + - arc V9-4 y 2 8 16 3

t

dt

Vl+4t 2

=

_1 (2

24

t~

1)

-

VI + 4 t 2 +

fY~V4-9y2dy=_1 y(9y 2_2)V4-9 y 2+ . 36

17.

18.

Calcule cada uma das integrais

23.

fV~dx. x

175. - Formulas de redu (~ no intervalo [a, b]. Pelo mental, temos portanto (H)

Valor medio de

1> (x) de

x

= a a x= b

)

J

l

Desenhemos 0 graJico de Y = 1> (x). 0 valor em [a, b] e uma ordenada da curva (CR da figura) do retangulo ABML seja igual a area ABQRP sob

Valor medio = y

(1) Exemplo ilustrativo. clrculo

:r?

(4)

+ y2

=

Dado

=

y

0

r2 ,

achar 0 valor medio das ordenadas do primeiro quadrante (a) quando y e expresso como fun 1,

a sbie

e convergente. e divergente.

III. Quando p = 1, nwa se pode dizer.

DEMONSTRAQAO. I. Quando p < 1. Pela def (§ 14), podemos escolher n de tal forma grande,

U,,+l - que quand 0 n > _ m a razao - dif'Ira d e p d e tao

u"

se queira e, portanto, seja menor que uma frayao pois,

e assim sucessivamente. Consequentemente, depoi cada termo da serie (1) e menor que 0 correspondent geometrica (2)

Mas, como r < 1, a serie (2), e, portanto, tam e convergente ( § 186).

II. Quando p > 1 (ou p = ClO). Seguindo a m raciocinio que a anterior, pade-se mostrar que a se gente.

III. Quando p = 1, a serie pode ser eonvergent isto e, neste caso a regra da razao falha. Realmen a serie "p",

+

1 nP

+

1

(n

+ l)p

I

A razao u

p-ortanto lim ,,--->~

n

1 + e

un

(U + 1) n

Un

(

n n+l

)P = (1 - n + 1 )P, l'

= lim n--->~

(1 - n_l_)P + 1

= (l)p

quand p::::; 1, a serie diverge.

Ve-se assim que p pode ser 1 tanto para series co para divergentes. Ha outros meios a se aplicar no p = 1, mas 0 estudo deles esta aMm do objeto des

Nao basta para a convergencia que a razao e 0 anterior Un seja menor que 1 para todos o requer-se que 0 limite desta razao seja menor que 1

Un+!

~'h _Un+l na st:ne armonlCa, a razao --

e sempre menor q

A'

Un

razao, contudo,

e igual

a 1.

o abandono de urn grupo de termos entre os p serie altera 0 valor dela mas nao a existencia do li

188. - Serie alternada. :E:ste e 0 nome da cujos termos sa.o alternadamente positivos e negativ TeoreIna.

e uma que

0

Se

U1 -

U2

+ U3

-

U4

+ ....

serie alternada na qual cada termo e menor, e precedente e se

lim

= 0,

'Un

n-->'"

entao a serie e convergente. DEMONSTRA 1)

2

1

+~+

3

(serie

ou entao com alguma que sabemos ser divergente, com

(serie harmo

(p Exemplo ilustrativo 1.

SOLU~AO.

Aqui

Examinar

0

< 1)

comportamento da

1 Un=!n-l'

1

Un+l

Un + 1 /n - 1 1 --=-,-=--. Un ~ n

p=lim n---+co

e a serie

e convergente.

(serie

..!:..=o, n

= !it .

SOLU9AO.

Aqui

Un

+1

In + 1 =

lQn+i .

p=lim n+l = co, n-+CD 10

e a

s~rie ~

divergente.

Exemplo ilustrativo 3.

Examinar

comportamento da

0

111

~+~+5:ll+" SOLUc;lo.

Aqui Un

+1

Un =

~ =

1

(2 n - 1) 2 n (2 n 1) (2 n 2)

+

+

4 n2

_ lim p

Un

(2 n - 1) 2 n '

-n-+CD

4 n2

-

.. +1 =

4 n2

=

4 n2

2n

-

(2

2n

+~n +

_ 1

+6n +2 -

,

pela regra do § 18. Logo, a regra de D'Alembert falha. Mas, confrontando a dada

s~rie

com a

s~rie

"p", quando p

vemos que ela e convergente, pois seus termos sao menores dentes da serie "p", a qual vimos que ~ convergente.

EXERCtCIOS

Examine 1.

0

comportamento de cada uma das

~+2(~r+3(:r+4(~r+··· Resp.

2.

5.

1 1. 3 1· 3· 5 1· 3 . 5 .. (2n - 1) 1 + ~ + 1 . 4· 7 + 1 . 4· 7· .. (3 n - 2)

6.

1 1·2 1 ·2·3 1 ·2· 3·4 1 + ~+ 1. 3.5 + 1.3 . 5 .7+

7.

5 52 53 54 1+ 12+ 13+ 14+

8.

1.. + 9

9.

12 + 13 + 14 + 92 93 94

1357 111 3+3 2+3 3+3 4 + .... II. 0+5.:3 2+6 212

2213

2314

--= + --= + -= + 5 10 17

10.

1+

11.

1 1·3 1·3·5 -+-+ + 3

3. 6

3 4 5 .. '. 12. - + -=- + 5 i)2 53 1·3·5·7 3· 6 . 9 . 12

3· 6 . 9

+".

191. - Series de potencias. Serie de potenci e uma serie do tipo

vel, digamos x, (1)

onde 0.0, 0.1, 0.2, •.. sao numeros independentes d entes de x sao numeros inteiros positivos e se suc crescente. As series de potencias sao de importa no estudo do calculo.

Uma serie de potencias em x, pode ser converg os valores de x, para nenhum valor de x, exceto ser convergente para alguns valores de x diferente gente para outros valores. Vamos examinar (1) so para tais que lim ( n-+co

0

Q,n+! )

an

caso em que os = L,

Un+l

an+lXn+l

Q'n+l

- - = - - -n = - - x . Un

anx

an

Logo, para todo valor fixo de x, p=rrn 1·

n~oo

(a- x n +1

(a

n+1) --

l' =XIIll

)

~

n~m

=XL

an

Temos dois casos: I. Se L pois p = O.

=

0, a serie (1) converge para todos

II. Se L nao e zero, a serie converge quando xL em valor absoluto, que 1, isto e, quando x esta no 1

1

TLi

pelo § 18. Portanto p = - x e a serie converge quando x e, menor que 1 e diverge quando e, em valor absoluto, maior

a qual e convergente (confronta-se com a serie "p" com p Fazendo x = 1 em (2), obtemos

que e uma serie alternada convergente.

A serie do exemplo acima tern [-- I, 1] como intervalo de c pode tambem escrever-se - 1 .::; x S 1 ou indicado grafica

x::.:-------'!"1---l:----~1---Exemplo ilustrativo 2.

SOLU'" n 11m -b 0

=

U" lY.L,

teremos, para qualquer valor fixo de x,

P = 11m 0

U,,+\

-

n->'" Un

= (x -

a) M •

Temos dois casos:

I. Se M = 0, a serie (1) e convergente para todo

II.

Se M nao e zero, a serie (1) converge no i

Exemplo ilustrativo.

Examinar

1- (x-I)

no que concerne SOLU9AO.

0

comportamento da s

(x - 1)2 1)3 + - -(x--3 + 2

000

a convergencia. Omitindo

0

primeiro termo,

Un...l Un

= _ _ n_ (x _ 1) .

n+I

Ora,

Logo, Ipl = I x - I I , e portanto a serie converge q preen dido entre 0 e 2. 0 extremo 2 pode estar incluido.

1.

Usando a serie binomial, mostre que

-1- = 1 - x l+x

Verifique

+ x- ?

+ ....

x3

resultado dividindo diretamente.

0

Usando a serie binomial, achar aproximadame dos seguintes numeros 2. YI:lS.

;>.

3.

~l:?O.

6.

4.

V6:W.

7.

8.

V"35.

1

9.

412' ]

10.

y412'

1 ~\-JVO'

1

Vl~ 1 V";~O·

I

1

I

Para que valores da variavel e convergente cad guintcs series? 14. (x+l) IS.

_(1'+l)2

:3

(X+1)4+ .. ,. R esp 4

(x-l)+(x-,~r + (X-~)3 + (.r-~).+ .. '.

Y2

16. 2(2x+l)+

3(2,~;:1)2 + 4(2~tl)3 -

2)

( ,I: -

1+ (x-

18.

1 - 2 (2 x - 3) X- 3

~+

y4

y;~

17.

19.

+ (X+1)3 _

2

0)2 ~

(X -

2)3

+ .. ,. (.J, -

T

')\4 -)

+ ~ + ~ + ~ +...

+ 3 (2.r -

3)2 -: 4 (2 x - 3)3

(1'-;'3)4 2.3 2 T~+~+

(X-3)2, (X-3)3

+

DESENVOLVIMENTO EM SERlE

194. _. Serie de Maclaurin. Estudamos neste blema do desenvolvimento de uma funen x,

1''' (0)

JIV (x) = cos x,

JIV (0) = 1,

J (0)

= I,

l' (0) = 1" (0) =

0,

-

= 0,

JV (x)

= - sen x,

JV (0) = 0,

JVI (x)

= -

JVI (0) = -

COB

x,

etc.,

etc.

Substituindo em (A),

(7)

COB X

= 1 -

x2

--

i.!

+ -z4 - -zG + .... Ii.

I..?.

Confrontando com a serie do .Problema 6, § 191, vemO verge para todos os valores de x.

a qual converge para todos os valores de x (Problema 7, §

Em (7) e (8) nlio e dWcll mostrar que 0 resto R tend tende ao infinito, para qualquer valor fixo de x. Considere escrever a derivada n-egesima sob a forma

j(n)

Logo

R

Ora, cos (

Xl

+

n; )

(x) =

=

cos

cos

(

(x + n; ). n7l') In' x +""2 n

Xl

nunca excede 1 em valor absoluto

o segundo fatal' de Reo n-egesimo terrno da serie 'Jf'

+'1-+ ... , "

a qual e convergente para todos os valores de x. Logo, 0 quando n tende ao infinito (Vel' (A), § 185), isto e, (6) e v

Do exemplo acima vemos que Xn

lim n .... '"

Ora,

VlillOS

1..'!:.-

O.

na pagina precedente que

(0

Logo lim R = 0 se

J'n) (:r 1)

< Xl < :to

permanece finita quando

n~GO

finidamente.

Exemplo ilustrativo 2. Usando a serie (8) achada no calcular sen 1 com quatro decimais exatas.

-3

-7

,_

1-

Somando separadamente os termos positivos e negativ 1

1 = 1,00000

1

3

= 0,16667

1 j5= 0,00833

J:.. = 000020 I~ ,

1,00833

0,16687

sen 1 = 1,00833 - 0,16687 = 0,8

Logo

com cinco decimais exatas, pois

0

erro cometido deve ser m

menor que 0,000003. 0 valor de sen 1 pode, obviamente, qualquer grau de aproximac;ao; basta para isso incluir um n termos da serie.

EXERCtCIOS

Verificar os seguintes desenvolvimentos em ser e determinar para que valores da variivel eles s x x 1+ -I" + .) 2 2

1.

e"'= 1 + x +

3

x3 2. senx=x--+ L~

- I-

x5 - - ... + x3

In (l+x)=x- 2 +

T-

x2

x3

l)n-l X 2n - 1

( _

15

x2

3.

xn - 1 ... + 11,-1 + .... R ---

1211,-1

x4

(-

4+"'+

+ .

1)n

11,

l -

1. 64

0

4>" -

61

1.536

4>

Para as seguintes fun90es achar todos os termo envolvem potencias de x menores que x 5

21. e

'" sen x.

5

22. e'" C05 ~ 23.

sen x -cos 2 x

V;.

24. 25.

26.

V3 + e-, ITl (1 + x) V 1. + x V5- cosx.

pode ser derivada termo a termo em cada valor de entre os extremos do intervalo de convergencia e a e tambem convergente. POl' exemplo, da serie sen x = x obtemOl'l, pOl' derivaQ8.o, a serie abaixo x2 cos X = 1 - -

I~

+ -x - -x + 6

4

Ii.-

I~

As duas series convergem para todos os valor Problemas 6 e 7, § 191).

A serie (1) pode tambem ser integrada termo a t tes de integraQao estao dentro do intervalo de co serie resultante e convergente.

Exemplo ilustrativo 1. Achar, por integra sao oxpt'e~s(;s em TJ.dianoG. (8 = cnn~j_ante) estu,o l'f~PI'P~P'~1(.o,1l0R J13. C:'l.;'la, ;;::1\11' ao erxo dos Y?i, os paralelfJs (¢ = c-onst.an tp) pOl ao 01XO dos :1:.l+C:J.¢, varia proporcionaJ

Ao lungo de UIlla loxodromica , d¢ por J """"O - 11~ 1 Cnmpn,!'e com (4), § 222, c mostre que

. (a ) I1m

6.0-+0

(b)

r

.lnl

litHO

T\lI·L arco P 1H

1 (vel' Fig. 1):

Jf1Q _ ")Q areo I"~

= 1 (..-er Fig. 2,

a qual

mostrs. a plano do meridiana NQR). r-- 0 triangllio M 1QR, mostre qlle ALR e um infinit,esimo de Qj'dem mais alt.a que QR quando flO e L\.¢ sao de mesma ordem (§ . 99). Entia, vel' problema do § 99, usando (a) e (b) e 0 t-eorcma sabre infinitesimos equivalentes, § 98, (10) torna-5e (1), § 222,

N I

c

o

560

FUNgOES

HIPERB6LICAS

Se dS l e 0 elemento de comprimento dc arc sabre a esfera do § 222, provar que dS l 2 = a 2 (dcf (Na figura do § 222, --2 --2 . . corda PlQ (corda P l Q)2 = PlM l + MlQ e hm arc }' Q = 1 l 2.

J

Se ds e a diferencial do arco de uma curv de Mercator, mostrar que ds 2 = sec 2 cf> (dcf>2 + cos 2 cf> rando com 0 Problema 2, temos dS l 2 = a 2 cos 2 cf> ds Z 3.

Achar 0 comprimento de uma loxodramic latitudes diferem de tJ.cf>. Resp. a cossec a Terra). 4.

cu~as

5. Mostrar que as quatro primeiras f6rmulas (D), (E), § 213, subsistem quando x, y, v e w sao s

numeros complexos (Use as definic;oes (5)). 6. Demonstre as f6rmulas do Problema 6, p. resultados do Problema 5 e (L).

7.

.. senh 2 x + i sen Prove que tgh(X+2Y) = cos h2 x + cos 2

8. Deduza a f6rmula para tg (x blema precedente.

+ iy)

do res

224. - Fun~oes de diversas variaveis. Nos dentes estudou-se 0 calculo para funyoes de uma v agora estudar funyoes de mais de uma variavel ind matematica elemental' encontramos exemplos simp yoes. Assim, 0 volume de um cilindro circular reto (1)

e

uma funyao das duas variaveis independentes A area de um triangulo

(= altura).

(2)

u = txysena

e uma funyao das tres variaveis independentes x, y tando, respectivamente, dois lados e 0 Angulo com eles.

Tanto em (1) como em (2) os valores que podem as variaveis do segundo membro sao, evidentemente um do outro. A relayao (3)

z = j (x, y)

pode ser representada graficamente pOl' uma superf metrico da equayao (3), interpretando-se x, y e z co retangulares, como na geometria analitica do espa.

+ (x + y)

- y) - (x

Resp.

ap atJ = ap

2 cos 2

acf> = 7.

P =

ap

ap

j (x, y)

...

acf> = e8+'1' {cos (fJ - cf» - sen (fJ a¢

=

=

3 x4

-

...

e8+'1' {cos (fJ - ¢) 4 x 3y

+ sen (fJ -

+ 6 X 2y 2.

10.

X + 2y u=y+2z' .., y z=e"ln-'--.

11.

j (x, y) = (x

12.

p = tg 2 fJ ctg 4 cf>.

13.

p =

14.

Se j (x, y) = 2 x~ - 3 xy

9.

3 se

e9+ tP cos (fJ - cf».

Resp.

8.

+ y)

x

e-6

+ 2 y) tg (2 x + V).

o•

cos --;j;

+ 4 y2,

mostre

= - 1, j1/ (2, 3) = 18. 15.

2x Se j(x, y) = - - , mostre que

x-v

1. (3, 1) = -

17.

au Se u=Ax 4+2Bx 2y 2+Cy4, mostre que x ay

18.

Se u =

19.

Se u = x 2y

X~2 -+ ,mostre x y

au que x ~ uX

au +y~ uy

+ y2 z + Z2 X, mostre que

au ax

+

= 20.

Axn + Byn au Se u = Cx 2 + D y 2 ' mostre que x ax

+y

21. A area de urn triangulo e dada pela f6rmul Dados b = 10 polegadas, e = 20 polegadas, A = 60 (a) achar a area;

(b) achar a velocidade de varia98.0 da area em b se e e A permanecem constantes;

(c) achar a velocidade de varia98.0 da area em gulo A se bee permanecem constantes; (d) usando a velocidade achada em (e), calcu mente a varia98.0 da area quando 0 angulo e acresci

(e) achar a velocidade de varia9ao de e em r area e 0 angulo permanecem constantes.

A lei dos cossenos para urn triangulo e - 2 be cos A. Dados b = 10 polegadas, e = 15 pole (a) achar a; (b) achar a velocidade de varia9ii.o de a em rel A permanecem constantes; 22.

(c) usando a velocidade achada em (b), calcu mente a varia98.0 de a se b decresce de uma polega

c

(d) achar a velocidade de varia98.0 de a em rela constantes;

permalll~cem

.(e) achar a velocidade de varia98.0 de c em rel b permtPlCCem constantes.

a diferencial e (1)

dy

I

=J

Vamos agora ver variaveis.

(x).::lx

dy

dx

dy .::lx = dx dx .

e diferencial

que

0

=

de uma f

Considel'emos a fun = ! 7r, de = 0,2 e dcp = - 0,2. 12.

228. - Valor aproximado do acrescimo. Pe As formulas (B) e (C) sao usadas para calcular Au ap Quando os valores de x e y sao determinados por experiencia e portanto estao sujeitos a erros pequeno aproxima9ao sensivel do erro em u pode ser achado fronte § § 92 e 93).

Exemplo ilustrativo. Achar, aproximadamente, 0 volum que ~ feita uma panela sem tampa de forma ciHndrica, sabe tro interior e a altura sao, respectivamente, 6 polegadas e a espessura do material Ii de 80LUgAO.

tura y

~

.de polegada.

0 volume v de urn cilindro circular reto com

~

v=t7rX2y.

(1)

Obviamente,

0

volume do material Ii a diferen9a t.v entre o

cilindros, um para

0

qual x = 6i, y =

st e outro para

0

('Almo se quer apenaR um valor aproximado, podemos calcular

q

dll

o

villor exato e All

=7 ~

= 23,1

=

r

22,4 polegadas cubic

polegadas cubicas.

Exemplo ilustrativo 2. Mediu-se dois lados de um triA compreendido entre eles e achou-se, respectivamente, 63 pes, medidas estao sujeitas a um erro maximo de 1 pe em ca 1.0 no Angulo. Achar 0 mitximo erro aproximado e 0 erro pOl do terceiro lado, usando estas medidas. SOLuc;:lo.

Usando a lei dos cossenos «7), § 2),

(3)

onde x, y sao os lados, a Os dados sao

0

Angulo compreendido entre elea

x = 63, y = 78, a = 60" =

(4)

7f'

"3'

dx

=

= 0,1,

dy

dy

=

Derivando (3), vem x - ycosa

au

ax

=

1.1

y- x cos a

au

, ay

=

1.1

au '

aa

xy =--

Logo, usando (C), du

= (x-y cos a) dx + (y-x cos a) dy + xy sen 1.1

Substituindo os valores de (4), acham08 du =

o

2,4

+ 4,657+ 74,25 = 1,1 3 p". 71, .t.

du

erro per centum e 100 -

1.1

=

1,6

%.

R esp.

Resp.

PROBLEMAS

Mediu-se os catetos de um triangulo reta 6 pes e 8 pes com erros maximos em cada um de 1.

2. No problema precedente achar, usando as o angulo oposto ao maio I' lade e calcular 0 maximo nesse angulo em radianos e em graus.

Os ra.ios das bases de urn tronco de co foram medidos e se achou 5 polegadas e 11 poleg tambem a geratriz e esta acusou 12 polegadas. 0 cada medida e 0,1 de polegada. Achar 0 erro apro per centum calculando, com estas medidas, (a) a altu (ver (12), § 1). Resp. (a) 0,23 polegadas, 2,2%; (b) 24,47r polegadas cubica 3.

4. Urn lade de urn triangulo mede 2 000 pes e centes medem 30° e 60°, com urn maximo erro em 30'. 0 maximo erro na mE.ldida do lade e ± 1 pe ximo erro aproximado e 0 erro per centum, calcu estas medidas (a) a altura relativa ao dado lade; (b angulo. Resp. (a) 17,88 pes; 2,1%

5. 0 diametro e a altura de urn cilindro circu com um erro provavel de 0,2 polegada em cada m vamente, 12 polegadas e 8 polegadas. Qual e, apro maximo erro possivel no calculo do volume? Resp. 16,87r polegadas c

6. As dimensoes de uma caixa foram obtida provavel de 0,05 pe na medida; achou-se 6, 8 e 12 pe (a) qual e, aproximadamente, 0 maximo erro possi do volume? (b) qual e 0 erro per centum?

Resp.

(a) 10,8 pes cubicos;

-+

' . z = x - y ,se no pont Dada a superf lCle x y x e y sao acrescidos de qual e a variac;ao aproxim 7..

to,

no peso de w, tomando-se P = 8 e w = 1, (a) se am positivos, (b) se um erro e negativo; (c) qual e, apro maximo erro per centum? Resp. (a) 0,3; (b) 0,5; (c

9. 0 dilimetro e a geratriz de urn cone circu respectivamente 10 polegadas e 20 polegadas. Se h vavel de 0,2 polegada em cada medida, qual e, ap o maximo erro possivel no calculo do valor (a) do v superficie lateral ?

3771',115 18 = 25 poleg. cub.;

Resp. (a)

(b) 3

10. Mediu-se dois lados de urn triangulo e ac 78 pes. 0 lingulo compreendido entre as Iados me erro provavel de 2°. Sabendo que ha um erro pro na medida dos lados, qual e, aproximadamente, 0 m sivel no mUculo do valor da area? (Ver (7), § 2). Resp. 73,6 pes quadradol!l. 11.

Se

mula s = A

0

peso especifico de um corpo e deter

~W

onde A e

0

peso no ar e W

0

pe

e (a) 0 maximo erro em s, aproximadamente, se 9 - 0,01 libras e 9 0,01 libras e W entre 5 0,02 libras? (b) 0 maximo erro relativo? 5

+

+

Resp. 12.

C

(a) 0,0144;

(b)

Calculou-se a resistencia de um circui

= ~ , onde

C

= corrente e

E = fOTlia eletromotriz

4

de 0,1 de ampere na leitura de Cede de volt na qual e 0 erro aproximado em R se as leituras sao e E = 110 volts? (b) qual e 0 erro per centum? Resp. (a) 0,0522 ohms; (b

Se se usa a f6rmula sen (x+y) = sen x c para calcular sen (x y), qual e 0 erro aproxima 13.

+

nado e dada por a = g sen i. Se g varia de 0,1 pe p drado e i, cuja medida acusou 30° e passiveI de urn e 0 erro aproximado no ca,lculo do valor de a? Tom como 32 pes por segundo quadrado. Resp. 0,534 pes por segundo qu 15.

0 periodo de urn

p~ndulo e P = 2 7l~f

;

ximo erro aproximado no periodo se ha urn erro de dida de cada 10 pes e na medida de g = 32 pes p drado pode haver urn erro de 0,05 pe por segundo qual e 0 erro per centum? Resp. (a) 0,0204 seg; (

16. As dimensoes de um cone sao raio da base altura = 6 polegadas. Qual 0 erro aproximado superficie total se ha urn encurtamento de 0,01 pol gada na medida usada Resp. dV = 3,0159 poleg dS = 2,818 polega

17. 0 comprimento leo periodo P de urn estao Iigados pela relaQao 4 7l 2 l = p2 g. Se l e calc P = 1 segundo e g = 32 pes por segundo quadrad ximadamente 0 erro em l se os valores reais sao P = g = 32,01 pes por segundo quadrado? Qual e 0 e

18. Urn s6lido tern a forma de urn cilindro extremos por semi-esferas de mesmo raio que 0 do mensoes sao dia.metro = 8 polegadas e comprimento gadas. Qual e aproximadamente 0 erro no volum se a fita usada para a· medida esticou-se uniforme de seu pr6prio comprimento?

19. Admitindo que a equaQao caracteristica feito e vp = Rt, onde v= volume, p = pressao, absoluta e R = constante, qual e a relaQao entre a dp e dt? Resp. vdp

+"

cubicos, sendo R

=

96.

Resp.

- 7,22 Iibras POI' pe quadr

229. - Derivadas totais. Velocidades. variaveis x e y que figuram em u

(1)

Sup

= j (x, y)

nao sejam independentes. Suponhamos, pOl' exem sejam fun90es de uma terceira variavel t, precisam (2)

x = rj> (t), Y = if; (t).

Quando estes valores sao substituidos em (1), funyao de uma variavel tea sua derivada em rela achada do modo usual. Temos, neste caso, (3)

du du = -dt dt '

dx dx = -dt dt '

dy dy = -d elt

A f6rmula (B) foi deduzida supondo que x e independentes; podemos, contudo, mostrar facil tambem vale para 0 caso atual. Para faze-Io, v § 227, e dividamos ambos os membros pOl' tlt. Ob a notaetao,

(4)

tlu = au tlx tlt ax tlt

+ a~ tly + ay tlt

(E tlx + E' tl tlt

t

Ora, quando tlt ~ 0, tlx ~ 0 e tly ~ 0; logo ( lim t.t->O

E =

0,

lim t.t->O

E' =

o.

Portanto, quando tlt ~ 0, (4) torna-se (D)

du _ au dx dt - ax dt

+ au dy ay dt .

Multiplicando ambos os membros POI' dt e usand (B), isto e, (B) vale tambbn quando x e y sao jun~{jes

varidvel t.

+ au dy + au

du = au dx dt ax dt

(E)

dz az dt '

ay dt

e assim sucessivamente para urn numero qualqu

Em (D) podemos supor t = x; entao y e uma e realmente uma fun9ao de uma variavel x. Te du au au dy - dx -• dx - ax +ay

(F)

Do mesmo modo, de (E) resulta, quando y e z s du dx

(G)

au

= ax

+

+

au dy

ay dx

au dz

7h dx

•

du tern SIgnif'lc · d eve 0 b servar que au O 1eltor ax e dx A

A derivada parcial

se da

~;

e

0

•

limite da razao entre os ac

a particular varidvel x um acrescimo e se mantem

·· d e dx du as varidveis jixas, enquanto na d ef llllyaO

nao se mantbn constantes quando x recebe 0 acresc tamoem elas proprias outros tantos acrescimos. Para d

. I au . d a du vad a parCla ax d a d enva dx costuma-se d ar a

nome de derivada total de u em relayao a x. Deveenquanto a derivada parcial tern urn valor determ ponto, 0 valor da derivada total num ponto s6 quando se da. tambem a direyao particular segundo da total deve ser calculada. Exemplo ilustrativo 1. SOLUCAO.

,.

au

-

ax

=

1

Dados z

'U

au

=

z

sen y' x = et, y = t x

z

dx

-cos - , = - -C09 - ' = y y ay 1'2 y' dt

au au au d SOLugIo. = aea:l: (y-z) ' -iJy = ea'" I -az = - ea:l: j dx ax

= - sen x. Substituindo em (G), du dx = aea", (y - z)

+ aea'" cos x + ea:l: sen x

= ea'" (a 2

+

Nota. Nos exemplos aeima, poder-se-ia, por substituil,:a tamente em termos da variavel independente e depois, enta mentej geralmente, porem, este processo e rnais lange ou e

As f6rmulas (D) e (E) sao uteis em todas as a vendo velocidade de varia~ao em rela~ao ao tempo duas ou mais variaveis. 0 processo e pnUicament o esbogado na regra dada no § 52, exceto que, ao i em relagao a t (Terceiro Passo), achamos as deriv substituimos em (D) ou (E). Ilustremos isto com

Exemplo ilustrativo 3. A altura de urn cone circular e e decresce a razao de 10 polegadas por segundo. 0 raio da gadas e cresce a razao de 5 polegadas por segundo. Com qu o volume? SOLugIo. Seja x

=

raio da base, y = altura; entao

1 au u = -3 7rX 2 y = volume 'ax

Substituindo em (D), Mas x = 50,

. . du at = "32 crescendo.

7r •

2 au = -7rxy = -31 3 'ay du _ 2

1 at - "3 7rXy dx dt + "3

y = 100,

5000 . 5 -

~~

= 5,

1

"3 7r

.

~

= -

2

7rX

dy dt'

10.

2500 . 10 = 15,15 pes cllb

Resp.

230. - Mudan!;a de variaveis. (1)

• 7rX· .

u = j (x, y)

Be as variav

ser obtidas pOl' (D). Realmente, se mantemos s fi em (2) sao fun90es s6 de 1'; logo, (3)

au ar

-=

au ax au ay + -ax ar ay a1' '

sendo, neste caso, parciais todas as derivadas em re Do mesmo modo, au _ ~~+ au ay as - ax as ay as .

(4)

Em particular, seja a transforma9ao dada pOl' (5)

x = x'

+ h,

y

= y'

+

k,

sendo x' e y' as novas variaveis e h e k constantes. ax ax' = 1,

ax

1i' y =

ay ay 0, ax' = 0, ay' =

Obtemos, pois, de (3) e (4). (6)

au ax

au ax"

au ay

=

au ay' .

Portanto, a transforma9ao (5) nao altera os v vadas parciais. Se os valores de x e y em (5) sao substituidos (7)

u = j (x, y) = F (x', y').

Os resultados em (6) podem agora ser postos(8)

fx (x, y) = F x' (x', y'),

fy (x, y) = Fy' (x'

No § 229 mostrou-se que (B) e verdadeira q fun90es de uma s6 variavel t. Vamos mostrar agora

dx

ax

= a;:- dr

ax + a;ds,

dy

=

ay

a

a;: dr + a

Substituamos estes valores na expressao

(9)

au dx + au d ax ay Y

e reduzamos por (3) e (4). (10)

Obtemos

au

a;:

dr

au

+ a; ds .

Mas, por (1) e (2), u torna-se uma funyao das pendentes res; logo, por (B), (10) e igual a duo Co (9) e tambem igual a du, isto e, (B) vale quando x de duas variaveis independentes.

D() mesma modo, pode-se mostrar que (C) vale z sao funyoes de duas ou tres variaveis independen 231. - Deriva\;ao das fun\;oes hnplicitas. (1)

J (x,

A

y)= 0

define x como funyao (implicita) de y ou y como fu de x. Ponhamos (2)

u

= J (x, y) ;

entao du ~+~!:JL dx = dx '

ax

ay

(3)

Res01vendo, obtemos oj

~

dy dx= -

(II)

oj

ay

Temos, assim, uma f6rmula para derivar fun Esta f6rmula, na forma (3), traduz 0 processo emp para a derivayao de funyoes impHcitas. Todos os ex cionado panigrafo podem ser resolvidos com ela.

Quando a equar;ao de uma curva esta sob a form (H) fornece um modo facil de calcular 0 coeficien Dallo x 2y4

Exemplo ilustrativo 1. SOLUQAO.

Seja J (:I-, y) =

Entao

X 2y4

; ; = 2 xy"

Portanto, de (H),

dy

d;

= -

+ sen y

=

d

0, achar d

+ sen y. ;~

= 4 x 2y3

+ cos y •

2 xy4 4 x2 y 3 + cos y.

Resp.

Exemplo ilustrativo 2. Se x cresce D. razao de 2 pole quando passa pelo valor x = 3 polegadas, com que velocid quando y = 1 polegada g,fim de que a func;:llo 2xy2 - 3 x 2y per SOLUQAO.

d~

=

O.

Seja u = 2 xy2 - 3 X2Yi entao, ·como u pe

Substituindo este valor no primeiro membro de

resolvendo em relac;:iio a

(4)

~

, obtemos

dy

di = -

au ax au ay

dx

dt·

Mas

x

= 3,

y

= 1,

dx

=2.

dt

2

dy

dt = - 2 15' polegadas por segundo.

Logo

Re

De modo semelhante, a equa9ao

F (x, y; z) = 0

(5)

define z como fun9ao implicita das duas variavei x e y. Para achar as derivadas parciais de z em re procedamos como segue. Seja

u

Entao

du

=

=f

of ~ dx

(x, y, z).

of

+ ay dy +

of oz dz,

por (B), e isto vale quaisquer que sejam as variave (§ 230). Escolhamos agora z como a fun9ao das pendentes x e y que satisfaz (5). Entao u =0, of dx ox

(6)

Mas agora

dz

+ of d + oy

oz

y

= ~dx

of dz oz

= O.

OZ

+ aydy .

Substituindo este valor em (6)e simplificando ( dF ox

+ of ~) dx + (dF + of ~) d oz ox oy oz oy y

Aqui dx (= ~x) e dy (= ~y) sao acrescimos Podemos, pois, par dy = 0, d.-c ~ 0, dividir amb

(1)

Procedendo de modo semelhante, acha-se tamb

(J)

As formulas (I) e (J) sao interpretadas como meiros membros z e a fun9ao de x e y que satisfaz dos membros F e a fun9ao de tres variaveis, x, y, meiro membra de (5).

A generaliza9ao de (H), (l) e (J) as fun90es i numero qualquer de variaveis e 6bvia. Exemplo ilustrativo.

Peb equa"iio

z e definida como fun"iio impllcita de x e y. Achar as deriv fun"iio. SOW9AO.

Logo

Substituindo em (l) e (J), vem az ay

(Compare com

0

= -

y

Z;. Resp.

Exemplo Ilustrativo do § 226).

1.

Resp.

u du

= x 2 - 3 xy + 2 y2;

dt =

X

= cos t, Y = sen

sen 2 t - 3 cos 2 t.

2.

_r1 du u=x+4vxy -3 y; x=t3, Y = -t ' -dt =

3.

u

= ea sen y +

du

dt =

Resp. 4. 5.

ell

ell sen x; x

Y

= 2 t.

(! sen 2 t + 2 cos 2 t) + e21 (2 sen! t

u = 2 x 2 - xy + y 2; u

= ! t,

= xy + yz + zx;

= cos 2 t,

X

1

= t'

x

Y

= sen

y = e , x = e-

'

dy

Nos problemas 6-10 achar dx pela f6rmula (H 6.

Ax 2

+ 2 Bxy + Cy + 2 Dx + 2 Ey + F = dy Ax + B 2

Resp. dx

+ y3 -

7.

Xl

8.

ez sen y -

3 axy ell

=

= -

Bx

+C

ay - x 2 dy dx= y2 - ax •

0•

dy til sen x + dx= ()' cos x -

cos x = 1.

Nos problemas 11-15 verificar que os valores satisfazem a equa9ao e achar

0

valor correspondente

11.

x2

+ 2 xy + 2 y = 22;

12.

x3

-

y3

+ 4 xy = 0;

x

= 2, y = 3. Res

x = 2, y = - 2.

az

az

Nos Problemas 16-20 achar ax e ay . 16.

Ax

2+ B y + C

Z2

2

= D.

az Ax az Resp. ax = - Cz ; ay = 17.

Axy + Byz

+ Czx =

D.

az Resp. ax = 18.

x

Ay+ Cz. az Cx + By' ay

+ 2 y + z - 2 Y xyz = 10. Resp.

az = yz - y;;;; az = xz ~ax yxyz - xy ay

19.

x 3 + y3

+

20.

Ax 2 + B y2 + CZ2 + 2 Dxy

Z3 -

3 axyz = O.

+ 2 Eyz + 2 F

Urn ponto move-se sobre a curva interseya com 0 plano y = 2. Quando x e cendo 4 unidades par segundo, achar (a) a velocid de z e (b) a velocidade com a qual 0 ponto se mov Resp. (a) 8 unidades POI' segundo;(b) 4 y5 unidad 21.

+ y2 + Z2 = 49

Urn ponto move-se sobre a curva intersey Z2 = 0 com 0 plano x - y + 2 = e tres e esta crescendo 2 unidades pOI' segundo, ac dade de varia9ao de y, (b) a velocidade de varia9ao cidade com a qual 0 ponto se move. 22.

x 2 + xy

+ y2 -

Resp. (a) 2 unidades pOI' segundo; (b) 2: unidad (c) 4,44 unidades POl' segundo.

23. A equa9ao caracteristica de urn gas perf onde () e a temperatura, p a pressao, v 0 volume tante. Num dado instante uma certa quantidade pes cubicos de volume e esta sob a pressao de 25 gada quadrada. Tomando R = 96, achar a temper

24. Um triangulo ABC esta sendo transform que 0 angulo A mude com velocidade de variaQao a 90° em 10 segundos, enquanto 0 lado AC decresc pOl" segundo e 0 lado AB cresce uma polegada p num dado instante, A = 60°, AC = 16 polegadas e galas, (a) com que rapidez varia BC? (b) com q a area ABC? Resp. (a) 0,911 polegadas pOl' segundo; (b) 8,88 polegadas quadradas pOl' s

232. - Derivadas de ordem mais alta. (1)

1l=

f

Be

(x, y),

entao (2)

au

au

ax = f ... (x, y), ay = fy (x, y)

sao elas pr6prias funyoes de x eye podem, pOl' sua vadas. Assim, tomando a primeira functao e deriv

a u = fxz (x, y) , -a x 2

(3)

2

Do mesmo modo, da segunda funyao em (2), o (4)

Em (3) e (4) ha aparentemente quatro deriva ordem. Mostramos ababw que (K)

posta que, apenas, sejam continuas as derivadas em a ordem de deriva~iio sucessiva em rela~iio a x e y na

Isto pode ser extendido facilmente as derivada alta. Por exe:hplo, sendo (K) verdadeira.

Resultados semelhantes valem para fun90es d variaveis. Exemplo ilusttativo.

SOLU

2).

APLICACOES DAS DERIVADAS PARC

233. - Envoltoria de ulna famllia de curva de uma curva contem geralmente, alem das variave constantes das quais dependem a forma, a posi9ao da curva. POI' exemplo, a curva representada pela (x -

0')2

+ y2 =

r2

e uma cil'cunferencia cujo centro esta sobre 0 eix tancia a da origem e a amplitude da curva dep Suponhamos que a tome uma serie de valores e que r seja fixo; teremos, entao, uma serie de c1rculos de raios iguais diferindo, contudo, pela posi9ao, como mostra a figura.

Um sistema de curvas formado deste modo, diz-se uma familia de curvas. A gra constante para cada curva, mas muda quando se curva a outra da familia, diz-se parametro. Par figura como parametro e usual inseri-lo no simbolo

f

(x, y, a) = O.

As curvas de uma familia podem ser tangent.e curva ou grupo de curvas, como na figura acima nome envolt6ria da familia de curvas e dado a cu curvas. Vamos agora dar urn modo de achar a e t6ria "de uma familia de curvas. .591

seja tangente a cada curva da familia

f (x, y, ex) = 0,

(2)

sendo 0 mesmo 0 parametro ex nos qois casos. Par ex, as coordenadas (1) satisfazem (2); logo, por (E) U = f (x, y, ex), du = df = 0, z = ex, temos (3)

o

f: (x, y, ex) cf>' (ex)

coeficiente angular de (1) num ponto qualqu dy _

(4)

e

0

+ fll (x, y, ex) 1/1' (ex) + fa (x, 1/1' (ex)

dx - cf>' (ex)

J

coeficiente angular de (2) num ponto qualquer (5)

fx (x, y, ex)

dy

dx

= - fll(x,y,ex)'

Como as curvas (1) e (2) slo tangentes, os coefic num ponto de tangencia devem ser iguais, ou seja,

(6)

1/;' (ex)

Ix (x, 'Y, ex)

cj>' (ex)

= - 111 (x, y, ex)' ou

Ix (x, y, ex) cf>' (ex)

+ ill (x, y, ex) y.,' (ex)

=

O

Comparando (6) e (3), vem (7)

fa (x, y, ex)

=

O.

Portanto, as coordenadas do ponto de tangenci equa90es (8)

1 (x, y, ex) =

0 e fa (x, y, ex)

= 0,

isto e, as equa90es parametricas da envolt6ria, quand t6ria, podem sar achadas resolvendo-se as equa90es a x e y, em termos de ex.

SEGUNDO PASSO. Resolva estas duas equa~i5es em em tei'mos do parametro a.

Obtem-se, assim, as equa90es pal'ametl'icas d equa9ao retangulal' pode sel' obtida das pal'ametl entao eliminando a nas equac;oes (8). Exemplo ilustrativo 1.

Achar a envolt6ria da familia

j (x, y, a) j~

Temos

=

(x - a)2

+ y2 -

.,:z

=0.

(x, y, a) = (x - a) = 0 .

Eliminando a, vem y2 - r2 = 0, ou seja, y = r, y = - r. t;Qes das retas AB e CD da figura do comet;o deste paragr cfrculos e a famnia considerada no princfpio deste pltrligrafo Exemplo ilustrativo = p, sendo a

+ y sen a

SOLU (x

+ II)dl/ dx.

Va'-x' (x

+ y)dll d:c

SOLU9AO.

a

/'

=

1T1 va'- x ' (x + lI)dll ] dx

=

1Txy +~lva'-z' dx ~la (x va2 _x2 + a! ;

=

2a3

3

/1---

/."

c

X!) dx

Resp.

Interpretando geometricamente, 0 resultado achado rep do s6lido de forma cilfndrica com base em GAB, limitado nil. p superffcie (plana) z = x + y. A base GAB e limitada por: y = 0 (reta GB) Y=

va x (quarto de c[rculo AB)

:.c

0 (reta GA) }

=

2 -

}

limites de

2

limites de x.

x = a (reta BE)

a Exemplo ilustrativo 2.

sOLU 91o

·1O

Tendo em vista 0 resultado estabelecido no § dizer: A area de uma regiao e 0 valor da integral d J (x, y) = 1 extendida a regiao. Ou, tambem: a area e 0 volume de um cilindro r regiao e cuja altura e a unidade (§ 244). Os exemplos mostram como sao obtidos os limite

Exemplo iIustrativo 1. Calcular a !trea da regiao acima mitada pela par!tbola semi-clibica y2 = x 3 e a reta y = x.

SOLul;lo. A ordem de integraQ3:o esta indicada na figur meiro em relaQ3:O a x, isto e, soma-se primeiro os elementos d horizontal. Tem-se pois

r

r

ltrea de uma faixa horizonta

AC dx dy = dy AC dx = JAB JAB

Depois, integra-se este resultado em rela~ao a y. Isto correspo faixas horizontais. Obtem-se assim

8S

OD

A. =

AC

l° 1

dxdy.

AB

Obtem-se os limites AB e AC resolvendo-se em relaQ3:o das curvas limitrofes. Assim, da equaQ3:o da reta,

equa~es

, D

equa~ao da curva, x = AC =

y

nar OD, resolve-se as duas eq mente afim de achar 0 ponto de d!t 0 ponto (1,1), logo OD = 1.

--:::-I'"""=:-----:x A =

(11 J

= [:

2

113

11

0

t- ~

y

dx dy = y2

I

=

(1

J0 :

-

2

'"

Neste exemplo, a ordem de integraQao nao influi sobre 0 n Este nao e, contudo, semple 0 caso, como mostra 0 exempl

Exemplo ilustrativo 2. Achar a area no primeiro quad eixo dos xx e pelas curvas,

x 2 + y2 = 10, y2 = 9 x .

SOLUl)XO. Aqui integramos primeiro em relaQao a x pa horizontal, isto e, da parabola para 0 cfrculo. Temos, pois,

Hl 3i l

A =

o

dxdy,

HG

pois 0 ponto de interseQao S e (1, 3). Para achar HG, resolvamos em relaQao a x a equaQiio x 2 = 9 x. Entao 1 x = HG = _y2. 9

Para achar HI, tiremos x de x 2 + y2=1O. Obtemos

+ VlO -

x = HI =

Logo

1J

y2.

3

A =

VlO-I/' dx dy =

o

..!. 1/'

[ JL 2

VlO -

9

y2

+ 5 arc sen

y

VlO

-

~ Y3J3 -

27

0

Se integrarmos primeiro em relaQiio a y, usando faixas v sarias duas integraQoes. Entao

{I {3Y;A = } 0

} 0

dy dx

+}

{VIa 1

{~ } 0

dy d

A ordem de integraQao deve ser tal que a area seja obti integral, se for possive!.

A = jjdydX segundo mitam a tram, de do pelas

a natureza das curvas que Iiarea. As figuras abaixo ilusum modo geral, a diferen9a no processo duas integrais.

-o..+----

o

PROBLEMAS

1. Achar, por dupla integra9ao, a area com as duas parabolas 3 y 2 = 25 x e 5 x 2 = 9 y, (a) integ em relac;ao a Yi (b) integrando primeiro em relac;ao y25'"

Resp.

(a)

fa f -a dydx = Jo J5""

5i

-9-

(b)

{al

Jo

a

Calcular, por dupla integrac;ao, a area finita lim um dos pares de curvas abaixo. 2.

Y = 4x -

3.

y2

4.

Y

5. 6.

7.

x~,

y

= x.

= 4 x, 2x-y=4.

= x 2 , 2x-y+3=O. y2 = 2 x, x 2 = 6 y. y2 = 4 x, x= 12 + 2 y - y2. y2 = 2 x, x 2 + y2 = 4 x.

Resp.

4!. 9. ~2

a' 4.

4096

15

11" -

2

2

+ y'

2

=

x.

12.

= 2 x, y = 6 x x = 6 y - y2, Y = x . 4 y2 = x 3, Y = x. y2 = x + 4, y2 = 4 - 2 x

13. 14. 15.

x3 -

y

a.

i2

x 3•

1

a', x + y =

11.

16. 17.

.

18.

X 2+y2=

(2a-x)y X 2_ y 2=

247. - Volume sob uma superflcie. No § o volume de um solido limitado por uma supedicie (1)

Z

=

J (x, y),

o plano XO Y e um cilindro de geratriz paralela a s6bre uma regiao S do plano XOY. Vimos que 0 v e, por (A),

v = f!ZdXd Y = f!f(x,y)dX

(2)

s

s

A ordem de integraQao e os limites sao os relat de um solido deste tipo e 0 "volume sob (1)". 0 problema analogo para 0 plano, "area so foi tratado no Capitulo XIV. Como caso particular ser limitado pela superficie e 0 proprio plano XOY Note que 0 elemento de volume em (2) e um prisma reto de base dx dy e altura z.

o volume

Exemplo ilustrativo 1. Achar 0 volume limitado pelo parabol6ide elftico 4 z = 16 - 4 x 2 _ y2

(3)

e

0

plano XOY. SOLU, 8) sao, .::lr, r.::lfj>, r sen fj>.::l8. 5.

6. Descreva os tr~s sistemas de superficies planos) que devem ser tra9ados para dividir um s mentos de volume .::l V (Problema 4) quando se u esfericas. Seja (r, fj>, 8) um ponto de .::l V. Temos

e

L:L:L:F (r, fj>, 8) .::l V =

JJf

F (r, fj>, 8) r J s

B

~8....o ~«;....o

No primeiro membro, .::l V pode ser substituido sen fj>.::lr.::lfj>.::l8 (ver Problema '4), isto e, pelo p arestas mencionadas no Problema 5. 0 segundo me por integra9ao sucessiva. (Omite-se a demonstra9a r2

7.

Calcule a integral do problema precedente

eRe a esfera r = 2 a cos fj>, isto e, x 2 + y2 + Z2 =

(k (1r12Qcos«; Reap. Jo 8.

Jo

0

r sen fj> dr

Calcule a integral do Problema 6 se F (r,

eRe a regiio r = 2 a cos fj>.

Reap. :

'Ira'

CURVAS DE REFETIENCIA

Para a comodidarlc do leitor damos ncste capitu mais comuns usadas no texto,

CUI' vas

PAn.~BOLA GUDICA

PAR.-I.nOLA SEm

y

o

!J

= ax 3 •

A V EUSIERA

DE

Am,ESI

A

CIss6IDT~ D vI

"I

1"1

I

_fi'_~ OJ

x 2y

i\1

X

= 4 a 2 (2 a - V).

y2

674

(2 a -

(x2

+ y2)2 = a2 (x2 _ p2

+

X2y2 = (y (Na fi

y2). = a cos 2 O. 2

CICL6IDE, CASO ORDINARIO

x

= a arc vers -y-

a

-

V2 ay -

y2.

X = a arc vers.JL

{x = a(0 + sen

= (0 - sen 8), y = a (1 - cos 0).

X {

a

CICWIDE, VERT

y

CATENARIA

II

o y

%) a % -x ="2 ( ea + e = a cosh -; . G

= a (1

a

- cos

PARAB

x

2

xa X {

2

+ y'

= a cosl

y = a

2

I

aa.

=

sen1

e, e.

{

(ax)l + (by X = a cos3 tI = b sen3

e, e.

FOLIUM DE

CARDI6IDE

y

x

Xl

+ yl + ax = P

=a

a vx l

+ til.

x3

+ yl -

(1 - cos 0).

SEN6mE

y = sen;;..

COSSEN6

y = cos

p = b - a cos 9.

(Na figura, b

y' =

:

< a).

Esl'mAL DE ABcmMEDES

EsPIRAL L

T

p = afJ.

ESl'mAL HIPERB6LICA

r--=-x pO =

G.

p

logp

=~

=

L

p'

= 4 adJ.

(p - a)2

CURVA EXPONENCIAL

y

=

y

CURVA DAB PR

y = e-

e7:.

CURVA SECANTE

TANG

y

In I

I

y = sec x.

y = t

2

P = a sen 3

e.

p = a cos 3

ROSA DE QUATRO FOLHAS

ROSA DJ::; QUATR

y 4

y

p

=

a sen 2

e.

p

ROSA DE DUAS FOLHAS

=

a cos 2

ROSA DE aIT

y

8

-----::::=>-:..

p2

=

02

sen 2

e.

p

=

PARABOLA

HIPERBOLE EQUILAT

=a

xy

lNvOLUTA DE

U AI

TRAT6

CiRCULO

y

x = r cos 8 + TO sen 8, 11 = r sen 8 - TO cos 8. X

{

X

{

= asech-1JL a

.~t-atg~~, 11 = a sech - .

.

a

Algumas integrais imediatas 1. /

=

df (x)

2. /adu

If'

ex) dx

=

f ex)

= a /dU.

3. /

(du ± dv ± dw ± ... ) = /

4.

un+l un du = n + 1 + C.

5.

/

dU /

+ C.

~ =

Inu

du ± /

dv ±

(n ,c. -

+ C.

Funl;oes racionais contendo a

+ bu

Ver tambem as f6rmulas de redu9ao das binomia 6. 7.

8. 9.

10.

11.

/ / / /

a

du

+ bu

1

= b In (a

. udu a bu =

+

(a

/

(a

udu bu)2 =

+

+

+ C.

+ bu) + C.

1 .

b2 [a + bu -

u2du 1 a + bu = b3

/

+

(a bu)n+l b (n 1)

+ b'u)'" du =

(a

+ bu)] +

[t (a+bu)2-2a (a+bu)+a21n

1 [

b2

a In (a

a

+a bu + In (a + bu) ] +

a + bur =:= b31 [ a + bu- a + bu 2

u~ du.

681

-2aln (a

1

4.

15.

f f

u2 (a

U

(a

~ + a~2 In (a +UbU) + + bu) = - au

du

du

+ bu)2

Fun~oes

=

a (a

1

+ bu)

_

~2 In a

(a +

racionais contendo a2 ± b2u:

u

va +

Fun~oes racionais contendo

A integra9ao pode ser conduzida a integra9ao racional mediante a substitui9ao a + bu = v2• V f6rmulas de redu9ao das binomiais 96-104.

25.

26.

27.

f -/ + f + -/-f

b d - 2(8 a 2 -12 abu+15 b2u u u 105 b3

2- /

Uv a

.!.

2um (a + bU)2 umva+budu= b(2m+3)- b (2

28.

29.

31.

32.

33.

34.

2:~ 3)

U2 du _ 2 (8 a2 a bu -

u

V du

f f

f

u

4 abu

u

+ 3 b u v' 2

2

)

15 b3

2 u m V~ 2 am bu = b (2 m 1) - b (2 m

a+bu

V du

-

f

+ bu +

u du __ 2 (2 a - bu) vi a _/ " b2 va bu u

f + f v' + f Va +

umdu

30.

+

b d - - 2 (2 a - 3 bu) (a u u 15 b2

uva

+

+

(va

= _1r- 10 _ / + bu - vI~) _/

a+bu

+

va

va+bu+va

=

v 2-a arc tg "Ja ~ abu +

du va+bu um vi a + bu = - a (m - 1) u m- 1 b (2 m - 3) - 2 a (m - 1)

vla+budu -2-/-+b V a u u

+

a

f f

U",-l

_/

uva

Fun!,;oes racionais contendo

vu

2

± a

Neste grupo de f6rmulas podemos substituir

(u + vu + a por senhIn (u + vu a por coshIn(a +. vuu t+ at) por senh- -;a.

In

2

2

2

-

)

2 )

l

t

:

'

:

'

I

36.

f

(u t ± a 2)1 du

u

at

= - v'u t ± a 2 ± --In (u+

2 2

(

42.

f

udu

" (u t ± a 2)"2

45.

1

u"'du n

U"'-1

=

. (u 2 ± a2)"i

(m - n

+ 1) (u 2 ±

n a 2)"i-1

1

_ ± a 2 (m - 1) m-n+l 46. _

1

u"'du

48. 49.

50.

51. 52.

U

um+l

n

(u 2 ± a 2)"i

= ---------,,± a2 (n - 2) (u 2 ± a2)"i-1

m - n +3 - ± a 2 (n-2) 47.

(

1 1 1

du u (u2 + a2)1 = -

1

a In

(a

1

(2 U

+ v'U-'2-+-a-2)

du 1 u (2 2)~ = - arc sec - + C. uu-a' a a du v'u 2 ± a 2 = + C. 2 2 2 u (u ± a )1 ± a2u

2 2 du v'u + a 1 (a+ u 3 (u2+ a 2)1 = 2 a2u2 + 2 a1 In

1 1 1

du u u -a2)~• = B( 2

v'u 2 -

2 au 2 2

a2

u

1

+ 2--;-arcseca a

du = _ 1 n 2 2 u'" (u ± a )2 ± a (m - 1) U"'-1 (u 2 ± 2

31

m+n± a 2 (m-l) 53.

1

um

du n = 1 'I'm (u 2 ± a 2)"i ± a2 (n - 2) u m- 1(u 2 ± a 2

31

+ m+n± a2 (n - 2) 54.

+

u

1(U + 2

a2 u )1 du = Vu2

+ a2 _

a In (a

(2

U'" U

+ v':

57.

!

" ~l (u 2 ± a 2)"2 2 ± a (m - 1) um-I

" ± a 2)"2 du urn

(U2

!

(u 2 ± u

_ m - n - 3 ± a 2(m - 1) 58.

!

(U 2

" du " ± a 2)"2 (u 2 ± a 2)"2 = (n - m + 1) u m- l urn

+ n -± ma2n+ 1

+

!(U2±

a 2)%--

urn

Fun!;oes racionais contendo Va 2 59.

!

(a 2

63.! 64.!

u 2)! du =

-

du

(a 2

-

(a 2

_

du

u 2)i 3

-

U 2)2

u

2

Va 2

= arc sen.3!a =

-

-

+ 2~

+ C.

U

a 2 Va 2

u2

u2

+ C.

-

u

arc sen

f

(a2 _

U 2)2

v a

-

u

a.

n

(m - n

--1 2) 2

+ 1) (a u a 2(m - 1) + m-n+1 2 -

f

~-1

a 2(n - 2) (aLu2) 2

m - n a 2(n -

70.

f -u

du_.----:u 2)i

(a 2 -

= _

l:- In (a + va 2 a

f

+3 2)

u

+

2 )

u

1 - a

72

•

f

du v'a 2 -u 2 1 (a+ v =- - I3n 2 2 u (a - u )i 2 a 2u 2 2a va 2 - u 2 1 1 3

=-

2 a 2u 2

-

-2 3 cosha

73.

74.

n --

a 2(n - 2) u m - 1 (a! - u 2) 2

+ m+n - 3 a 2 (n - 2)

f

u

76.

!

78.

!

(a 2

-

u 2 )i du va 2 - u 2 u = - arc sen 2 u u a

n

n

(a' - U2)2 du = um

(a 2

-

(n - m

+

US)'

+ 1) u m-

l

a2.n + n-m+l

j

(a

FUll!;OeS racionais contendo V2 au ±

As f6rmulas de reduc;ao das binomiais 96-104 p cadas pondo-se: V2 au ± u 2 = ui (2 ~ ± u)i. 79.

80.

J

j

~

.

u-a V2au - u 2 du = -2-V2au - u 2 +

a arc cos (·u) + ""2 1- ~ + 2

'I.'

V2 au -

u 2 du = -

3 a2

3

+ 2a

+ au6 .(

arc cos 1 -

2 u2

V

au) 3

.81.

j

um-l (2 au - US)I u m Y2au - u 2 du = m +2

+ a ~ : ~ 1) 82.

j

V2au 'I.'

!

um-l

Y2 l1u -

udu = V2 au-u + a arc cos 2

2

85.

Y2 au /

u 2 du

urn

3

(2 au -

)2 a(2m-3)um

= -

U2

m - 3 - 3)

+ a (2 m

+ /Y2 a

86. /Y2 audu = arc cos (1 - ~) + c. ua 0

37.

88.

I

IF

(u, y2 au

+u

2

)

onde 89.

90.

+ a + y2 au + u 2)

du = In (1£ y 2 au + u l

du

=

IF

z = u

+ a.

I

udu =-Y2aU-u 2 +aal'CCOS y2 au - u 2

I

u2du = _ (u . y2 au - u 2

+ 3 a) y2 au 2

2

I

u'" du . --;:=== = -

y2au - u 2

u rn -1 Y2 au - u 2 m

+ a (2 m -

92.

93.

I /

du . 1£'" y2 au - u 2

= -

+

(1 +

1) /

U"

Y2a

m

du u Y2au - u 2

u2

2

+ _3_a_ arc cos 91.

Y Z2

(z - a,

Y2au - u 2 + C. au V2au- u 2

= - a(2 m _. 1) u.,. + m- 1

+ a (2 m ~

1)

I

um- 1 Y

(2

9:>.

.)1- = a V2 au -

au - u-

u2

•

FefrlI1ulas de redu!;ao das binolI1iais 96.

j

urn (a

+ bu?)p+1

urn-q+l (a

+ btl?)p du =

b'(pq

+ m + 1)

arm - q + 1) '+ Tn + 1)

-' b (pq 97.

98.

j j

buq)o + pq+m+1

+

+

apq ju'" ( pq+m+1,

---'----'--~

1

-

+

j

du urn (a

_

+ buq)p -

j

101.

j

(a

- q + pq - 1 aq (p - 1)

um (

_1In( a + bu'/

102.

j

(a

+ bU )p du = 1

um

u

+ bW)P

-,--dU_ = (a + buq) aq

7£

j

1 aq (p - 1) 7l m - l (a

+m 100.

+ bU

a (m - l)u m - 1 (a

pq - 1) b (m - q a (m - 1)

-

99.

u rn- q

Urn+! (a

du

+ bU1)p =

j

=

urn (+ a bu Q)P du

urn (a

-

u?

)

j

+ C.

(a + bU7 )p+l _ a (m - 1) u rn -l _ b (m - q - pq - 1) ;'(a a (m - 1)

+ bu')p du = urn

+-

_

(a + bu?)!' (pq - m + 1) u m - l

apq j(a 'pq-m+l

+

+ bU

11m

+ 1)

- b (m - pq

f

104.

utftdu + bu1)p = aq (p - 1) (a

u m+1

(a

+ 007)11""'1 m + q - pg + 1

Fun~oe8

aq (p - 1)

oontendo a

+ 00 ±

cu2 (c

>

A expressao a + 1m + cu2 pode sar reduzida eo b b2 - 4 ac pondo u = z - k = -:--::2c ' 4 c2 a

Entao

+ bu -

A expressao a

pondo

u =

b

Z

+2C '

Ent§.o

+ bu + cu2 =

cu pode ser reduzida a b2 + 4ac k = 4 c2 a

f+

k).

C (Z2 -

2

+ bu -

cu 2

= c (k

- z~).

~ 2 (2CU a+bu+cu2=V4ac_b2arctg V4a

105.

C, quando b2. < 4 ac.

1

(2

f

du CU+b- V = _/ ' In a+OO + cu 2 v b2-4ac 2 cu+b+V qu

Hl7.

f f

du 1 In(Vb +4ac+ a + OO-cu· = Vb 2 +4ac Vb 2+4 ac-

108.

(Mu + N) du a + bu ± cu 2

106.

2

-/ f +

109.

v a

= ± M 2c

In (a

+ bu ±

+ ("tV =F • bu + cu 2du =

b2 - 4 ac - - 3 - I n (2 cu Sct

cu 2)

bM) 2c

2cu + b . r 4 c va

+ bu

+ b + 2 v. rc ....;a +

8e

f y' fV +

du

ill.

112.

1

a+btl+C1l~

a

11::'J~'

va

du btl -

-

= _r In (2w+b+2ve Va+ V

cu~

c

= . 11-- arc sen ( _ 2I 'C'll 2 V

c

+ -!

b

V

b

-

va

udu = + bE + C11 2 _. 2 + bu + cu C b - --" In (2cu + b + 2VC Va 2 c2

,. J' va +

U

l.t.-.l.

dtl btl -

va

-

+ bu -

+

2

C1l

+

C

C'll2

b an; ~:cn (2cu. + -. --.:? Vb+ 2·C·

Outras fungoes algebricas f'

115.

116.

117.

fa + uudu = v_(a + 11) (b + 1/) + I

J "b + f~

+ (a-

a-u .-,-,-

dtl

D,tl

= Y(a -

1/)

n

_/1 +u

1

,19. )

.

"1 _ u du (

V (u

+ UI +

b

III _L.

a+n f~-b -- d u = - v(a -+-

/

(b

+ "/0

+ (a + b) arc sen ....,1:...-:-] a ---;- u - (a

118.

b) Ig, (V~-;:

=-

-+-

1/)

b) arc sen

_1 -

v 1 - u2

du - a) (b - tl)

(b -

1[\ -

/

~

b --

?!

--'

a--j-iJ

-+

+ arc sen + C

. ~u -_ ~?ale sen I )-

1l

a a

+

C

121.

122.

123.

124.

12:;.

126.

J J

bou du

J J f

bou = --

a In b

ue ou dtl =

eOU -?

a-

eeu

au

un b -a In b

=

b: u du= _ un 'U

J

1SC.

f

a In b

In u du

=

J n -

U ..'-l

e au

duo

u n - l bau du -

.n

1

un

1

]

+ C.

[~u --

U H1

u n- l

+ a In b Jb au

du = u In u - u

urn Inn u du = (JCU

--

1)

(n -

run In tl du =

J

n

-

b