Fundamentos para el Cálculo Integral: Cálculo diferencial e Integral

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Fundamentos para el

Cálculo Integral Segunda Edición 300 ejercicios resueltos y 660 propuestos

Prof. José E. Ornelas G. Egresado de: Universidad Pedagógica Experimental Libertador Profesor de Física Profesor Electrónica Industrial Distribuido por: Amazon Digital Services LLC

INDICE Pág.

INTRODUCCIÓN

05

UNIDAD I (Integrales) 1.0.- INTEGRALES INMEDIATOS

06

I.1.0.- Definición de integración

06

I.1.1.- Ejemplos

06

I.1.2.- Integral indefinida

08

I.1.3.- Integral inmediato

08

I.1.3.1- Integral del tipo constante

09

I.1.3.1- Ejercicios resueltos de integrales del tipo constante

09

I.1.3.2- Integral del tipo potencial

10

I.1.3.2- Ejercicios resueltos de integrales del tipo potencial

10

I.1.3.3- Integral inmediato del tipo polinómico

12

I.1.3.3- Ejercicios resueltos de integrales del tipo polinómico

12

I.1.3.4- Integral inmediato de la suma algebraica de funciones

13

I.1.3.4- Ejercicios resueltos de integrales de la suma algebraica de funciones

13

I.1.3.5- Misceláneas de integrales inmediatas

14

I.1.3.6- Ejercicios propuestos de integrales inmediatos

19

UNIDAD II (Métodos de Integración) II.1.0.- Métodos de integración

21

II.1.1.- Integración por cambio de variable

21

II.1.1.1- Ejercicios resueltos de integración por cambio de variable

21

II.1.1.2- Ejercicios propuestos por cambio de variables

42

II.1.2.- Integración por partes

45

II.1.2.1- Ejercicios resueltos de integración por partes

45

II.1.2.2- Ejercicios propuestos integrales por partes

58

UNIDAD III (Integrales Trigonométricos) III.1.0.- Integrales trigonométricos

59

III.1.1.- I caso

59

III.1.1.1- Ejercicios resueltos del I caso integrales trigonométricos

59

III.1.2.- II caso

63

III.1.2.1- Ejercicios resueltos del II caso integrales trigonométricos

63

III.1.3.- III caso

68

III.1.3.1- Ejercicios resueltos del III caso integrales trigonométricos

68

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2

III.1.4.- IV caso

73

III.1.4.1- Ejercicios resueltos del IV caso integrales trigonométricos

73

III.1.5.- V caso

78

III.1.5.1- Ejercicios resueltos del V caso integrales trigonométricos

78

III.1.6.- VI caso

81

III.1.6.1- Ejercicios resueltos del VI caso integrales trigonométricos

81

III.1.7- Ejercicios propuestos integrales trigonométricos

85

III.2.0- Integrales por sustitución trigonométrica

86

III.2.1- Ejercicios resueltos de integrales por sustitución trigonométrica

86

III.2.2- Ejercicios propuestos sustitución trigonométrica

109

III.3.0- Integrales por descomposición en fracciones simples

110

III.3.1.- I caso

110

III.3.1.- Ejercicios resueltos del I caso de integrales por descomposición en fracciones simples

110

III.3.2.- II caso

119

III.3.2.1- Ejercicios resueltos del II caso de integrales por descomposición en fracciones simples

119

III.3.3.- III caso

123

III.3.3.1- Ejercicios resueltos del III caso de integrales por descomposición en fracciones simples 123 III.3.4.- IV caso

129

III.3.4.1- Ejercicios resueltos del IV caso de integrales por descomposición en fracciones simples 129 III.3.5- Ejercicios propuestos de integrales por descomposición en fracciones simples

133

UNIDAD IV (Integrales Definidas) IV.1.0.- Integrales definidas (Suma de Riemann)

134

IV.1.1.- Ejercicios resueltos de integrales definidas (Suma de Riemann)

135

IV.1.2.- Ejercicios propuestos de integrales definidas (Suma de Riemann)

139

IV.1.3.- Teorema fundamental del cálculo

140

IV.1.3.1- Teorema fundamental del cálculo (Isaac Barrow)

140

IV.1.3.2- Ejercicios resueltos del teorema fundamental del cálculo (Isaac Barrow)

141

IV.1.4.- Ejercicios propuestos del teorema fundamental del cálculo (Isaac Barrow)

151

UNIDAD IV (Aplicaciones de Integrales) V.1.0.- Aplicaciones de la integral en el cálculo de áreas

152

V.1.1.- Función positiva (cálculo de áreas)

152

V.1.2.- Ejercicios resueltos de Función positiva (cálculo de áreas)

152

V.2.1.- Función negativa (cálculo de áreas)

162

V.2.2.- Ejercicios resueltos de Función negativa (cálculo de áreas)

162

V.3.0.- Ejercicios varios resueltos de cálculo de áreas

167

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3

V.4.0.- Cálculo de Área entre dos Funciones

174

V.4.1.- Ejercicios resueltos de Área entre dos Funciones

174

V.4.2.- Ejercicios propuestos de aplicación del integral (Área)

182

V.5.0.- Aplicación de la Integral en el Cálculo del Volumen (Método de Discos Cilíndrico)

183

V.5.1.- Solidos de Revolución: Método de Discos Cilíndrico

183

V.5.1.1.- Ejercicios resueltos de cálculo del Volumen (Método de Discos Cilíndrico)

183

V.6.0.- Aplicación de la Integral en el Cálculo del Volumen (Método de Capas Cilíndricas)

193

V.6.1.- Solidos de Revolución: Método de Capas Cilíndricas

193

V.6.1.1.- Ejercicios resueltos de cálculo del Volumen (Método de Capas Cilíndricas)

193

V.7.1.- Aplicaciones Físicas (Movimiento)

198

V.7.2.- Aplicaciones Físicas (Fuerza y Trabajo)

204

V.7.3.- Aplicaciones Físicas (Fluidos)

209

V.7.4.- Aplicaciones Físicas (Momento de masa y centroide)

213

V.8.1.- Ejercicios propuestos de aplicaciones del integral

216

ANEXOS: Guía Práctica de Factorización

221

Formulario de Trigonometría

Acerca del Autor: Profesor de Matemáticas, Física y Electrónica Industrial, egresado de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Estudió Ingeniería de Sistemas en la Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre” (Caracas, Venezuela), a nivel Pedagógico estudió Electrónica Industrial y Física en la Universidad Experimental Libertador (Caracas, Venezuela), se especializó a nivel de postgrado en Educación para Gestión Comunitaria en la Universidad Experimental Libertador (Caracas, Venezuela). En el ámbito profesional, se desempeñó en los Niveles de Educación Media General y Técnica, en el Área de Matemáticas y Física en la Unidad Educativa de Jóvenes y Adultos “Félix Manuel Luces”, en la Unidad Educativa Nacional “Mariano Picón Salas” y la U.E.A “Dr. Federico Rodríguez”, a Nivel Universitario se desempeñó como docente de Prácticas Profesionales (Física, Matemáticas, Electrónica y Electricidad) en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (I.P.M. “José Manuel Siso Martínez”). Fue Coordinador de Pasantías, subdirector y director de la Escuela Técnica de la U.E.M.J.A “Félix Manuel Luces” del cual fue jubilado en el año 2015.

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4

INTRODUCCIÓN En matemáticas y desde la perspectiva particular, el cálculo hace referencia en forma directa a la palabra calcular, necesidad que tiene el hombre desde sus inicios, al tener que cuantificar y dar respuesta al mundo real; sin embargo, no se requiere de un estudio epistemológico para llegar a la conclusión, de que el cálculo hace referencia a un procedimiento lógico o algoritmo, con el que podemos llegar a una solución, partiendo bien sea de datos o información lógica, con el uso de herramientas matemáticas. De allí que en la Guía Práctica de Fundamentos para el Cálculo (Limites y Derivadas), se administran herramientas como los límites y las derivadas, que nos permiten iniciarnos en el cálculo y darle una aplicación en el mundo que nos rodea, además de permitir que nuestros estudiantes de carreras afines a las ciencias fácticas, puedan con facilidad abordar el mundo del cálculo integral y resolver ejercicios de aplicación. Es este, el objetivo principal de esta Guía Práctica Fundamentos para el Cálculo Integral (Segunda edición), teniendo en cuenta, que el cálculo consta de dos partes esenciales, el cálculo diferencial y el cálculo integral. Con esta segunda edición, se actualiza y optimiza el diseño instruccional de la primera edición, ampliando el número de ejercicios resueltos y propuestos, manteniendo la búsqueda del mecanismo sencillo y de orden lógico, con la finalidad de resolver un conflicto en la enseñanza de los Integrales indefinidas, definidas y sus aplicaciones, es por eso, que en forma secuencial y con un lenguaje sencillo, sin ir al extremo de lo técnico, se les facilitará la metodología de cómo resolver Integrales haciendo uso de herramientas matemáticas y métodos prácticos. Herramientas que nos permite iniciarnos en el cálculo integral, para dar solución a las múltiples aplicaciones en el campo real; sin embargo, es fundamental que nuestros estudiantes realicen un repaso previo de límites y derivadas, para facilitar el aprendizaje de los objetivos de esta guía práctica. Encontraran en esta segunda edición, una breve definición y más ejercicios prácticos resueltos, haciendo uso de herramientas fundamentales de matemática, para integrar los contenidos estudiados, así como también ejercicios propuestos, con la finalidad de complementar el proceso de enseñanzaaprendizaje con esta herramienta instruccional, al que particularmente le doy el nombre de Guía Práctica. Además de realizar una introducción a los integrales, trabajaremos con los integrales inmediatos y los distintos métodos de integración para resolver integrales que no sean inmediatos, así como algunas aplicaciones. Anhelo sea de utilidad práctica a los jóvenes que desean incursionar en el mundo de la ingeniería y otras áreas afines a las ciencias fácticas, recordando que esta guía práctica es una metodología dentro de muchas existentes, que nos facilita herramientas fundamentales para el cálculo. “Es una de mis más importantes y mejor verificadas máximas, el que la naturaleza no realiza saltos. A esto lo he denominado la ley de la continuidad”. Gottfried Wilhelm Von Leibniz

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U N I D A D I (Integrales) I.1.0.- DEFINICIÓN DE INTEGRACIÓN: Es el proceso lógico matemático, mediante el cual obtenemos la función primitiva, de una función 𝒇(𝒙); que es derivable en un intervalo cerrado [𝒂, 𝒃], es decir: podríamos en una forma sencilla expresarlo como el proceso inverso a la derivada, tal como lo indicamos en la figura. Además, la integración es un concepto fundamental del cálculo, que tiene múltiples aplicaciones en campo real y sobre todo en el mundo de la ingeniería. Fue de gran utilidad para los científicos: Arquímedes de Siracusa, Rene Descartes, Isaac Newton, Gottfried Von Leibniz e Isaac Barrow entre otros; siendo Leibniz quien estableció el símbolo de la integral que hoy usualmente se utiliza y comparte con Newton el desarrollo del cálculo diferencial e integral.

También, la integración podemos verla como la antiderivada de una familia de funciones, por lo tanto, el cálculo integral depende de una serie de operaciones inversas, tal como podemos analizarlo con siguientes ejemplos: Ejemplo 1 𝟐

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙

Elegir la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐√𝟓 Derivada:

Paso 1: Buscar una función que satisfaga la función dada: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐√𝟓 → 𝒇′ (𝒙) = (𝒙𝟑 + 𝟐√𝟓)′ ′ Elegir la función: 𝒇′ (𝒙) = (𝒙𝟑 )′ + (𝟐√𝟓) → 𝒇′ (𝒙) = (𝟑𝒙𝟑−𝟏 ∙ 𝒙′ ) + (𝟎) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐√𝟓 → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 Derivada: 𝟑 𝟑−𝟏 ′ 𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒙 → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙 ∙ 𝒙 → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙 Paso 2: Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐√𝟓 → 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 Paso 2: Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 →

Análisis:

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐

Elegir la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟓 Derivada: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟓 → 𝒇′ (𝒙) = (𝒙𝟑 + 𝟓)′ 𝒇′ (𝒙) = (𝒙𝟑 )′ + (𝟓)′ → 𝒇′ (𝒙) = (𝟑𝒙𝟑−𝟏 ∙ 𝒙′ ) + (𝟎) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟓 → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 Paso 2: Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟓 →

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐

Elegir la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟖 Derivada: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟖 → 𝒇′ (𝒙) = (𝒙𝟑 − 𝟖)′ 𝒇′ (𝒙) = (𝒙𝟑 )′ − (𝟖)′ → 𝒇′ (𝒙) = (𝟑𝒙𝟑−𝟏 ∙ 𝒙′ ) + (𝟎) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟖 → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 Paso 2: Podemos afirmar: 𝟑

𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝒙 − 𝟖 →

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙

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𝟐

Al observar, el resultado de la derivada de cada función, son iguales, aun cuando cada una de ellas, tiene un término independiente diferente. Indica que, al aplicar el proceso de integración de la función; la función primitiva encontrada debe tener una constante, a la que podemos identificarla con la letra C. Es decir, existen infinitas primitivas, aun cuando la derivada es única, tal como lo demostramos en este ejemplo: 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂

⏞ 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟓 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟖 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐√𝟓

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

⏞ → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 → 𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 → 𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐

Entonces podemos afirmar que: 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 ± 𝑪

𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

→

𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐

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6

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 𝒙

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

Paso 1: Buscar una función que satisfaga la función dada: Paso 1: Buscar una función que satisfaga la función dada: Elegir la función: Elegir la función: 𝒇(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 Derivada: Derivada: ′ (𝒙) ′ 𝒇(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇 = (𝑪𝒐𝒔 𝒙) ∙ 𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 → 𝒇′(𝒙) = (𝒙𝟑 )′ + (𝒙𝟐 )′ ′ 𝒇(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇 (𝒙) = 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝒇′ (𝒙) = (𝟑𝒙𝟐 ∙ 𝒙′ ) + (𝟐𝒙. 𝒙′ ) Paso 2: Podemos afirmar: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 → 𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 Paso 2: Podemos afirmar: 𝑭(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏𝒙 → 𝒇(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 → Elegir la función: 𝒇(𝒙) = 𝟕 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 Derivada: 𝒇(𝒙) = 𝟕 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇′ (𝒙) = (𝟕)′ + (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ 𝒇′ (𝒙) = 𝟎 + (𝑪𝒐𝒔 𝒙) ∙ 𝒙′ 𝒇(𝒙) = 𝟕 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇′ (𝒙) = 𝑪𝒐𝒔𝒙 Paso 2: Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝟕 + 𝑺𝒆𝒏𝒙 →

𝒇(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 𝒙

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

Elegir la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔 Derivada: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔 → 𝒇′ (𝒙) = (𝒙𝟑 )′ + (𝒙𝟐 )′ + (𝟔)′ 𝒇′ (𝒙) = (𝟑𝒙𝟐 ∙ 𝒙′ ) + (𝟐𝒙 ∙ 𝒙′ ) + 𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔 → 𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 Paso 2: Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

Elegir la función: 𝒇(𝒙) = −𝟗 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 Derivada: 𝒇(𝒙) = −𝟗 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇′ (𝒙) = (−𝟗)′ + (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ 𝒇′ (𝒙) = 𝟎 + (𝑪𝒐𝒔 𝒙) ∙ 𝒙′ 𝒇(𝒙) = −𝟗 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇′ (𝒙) = 𝑪𝒐𝒔𝒙 Paso 2: Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = −𝟗 + 𝑺𝒆𝒏𝒙 →

𝒇(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 𝒙

𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔 →

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

Elegir la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑 Derivada: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑 → 𝒇′ (𝒙) = (𝒙𝟑 )′ + (𝒙𝟐 )′ − (𝟑)′ 𝒇′ (𝒙) = (𝟑𝒙𝟐 ∙ 𝒙′ ) + (𝟐𝒙 ∙ 𝒙′ ) + 𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑 → 𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 Paso 2: Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑 →

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

Análisis:

Análisis:

Al observar, el resultado de la derivada de cada función, son iguales, aun cuando cada una de ellas, tiene un término independiente diferente. Indica que, al aplicar el proceso de integración de la función; la función primitiva encontrada debe tener una constante, a la que podemos identificarla con la letra C. Es decir, existen infinitas primitivas, aun cuando la derivada es única, tal como lo demostramos en este ejemplo:

Al observar, el resultado de la derivada de cada función, son iguales, aun cuando cada una de ellas, tiene un término independiente diferente. Indica que, al aplicar el proceso de integración de la función; la función primitiva encontrada debe tener una constante, a la que podemos identificarla con la letra C. Es decir, existen infinitas primitivas, aun cuando la derivada es única, tal como lo demostramos en este ejemplo:

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂

⏞ 𝒇′(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑭(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → ⏞ 𝑭(𝒙) = 𝟕 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇′(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑭(𝒙) = −𝟗 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇′ (𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 Entonces podemos afirmar que: 𝑭(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 (𝒙) + 𝑪

𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

→

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𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂

⏞ 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑

𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 → ⏞ → 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 → 𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

Entonces podemos afirmar que: 𝒇′ (𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 (𝒙)

𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝑪 →

𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

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I.1.2.- INTEGRAL INDEFINIDA: Una función 𝒇: 𝕽 → 𝕽, definida por 𝒇(𝒙) y su función derivada 𝒇′(𝒙) en un intervalo cerrado [𝒂, 𝒃] , al conjunto de todas las primitivas de 𝒇′(𝒙), se le denomina integral indefinida. Si se tiene una función 𝒇(𝒙), su función derivada es otra función 𝒇′ (𝒙) = 𝝎(𝒙). Haciendo uso de diferenciales, tal como fue establecido por Leibniz, tenemos que: 𝒅𝒚 𝒅[𝒇(𝒙)] = = 𝝎(𝒙) → 𝒅𝒚 = 𝝎(𝒙) ∙ 𝒅𝒙 𝒅𝒙 La integral indefinida se representa de la siguiente forma:

I.1.3.- INTEGRAL INMEDIATA: Son aquellas integrales que se consideran como la inversa de la función derivada. En estos casos podemos memorizar o utilizar una tabla nemotécnica, para algunas funciones en donde el integral se considera directa, es decir integral inmediata. Con la finalidad de facilitar el uso de integrales inmediatas, podemos hacer uso de las derivadas y construir la tabla de los integrales fundamentales, a las que se le denomina integral inmediata:

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I.1.3.1.- INTEGRAL INMEDIATO DEL TIPO CONSTANTE: ∫ 𝒌 𝒅𝒙 = 𝒌𝒙 + 𝑪

→ 𝒌 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟓

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟗

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ 𝟓 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ 𝟗 𝒅𝒙

Paso 2: Extraer la constante como factor de la integral:

Paso 2: Extraer la constante como factor de la integral:

∫ 𝟓 𝒅𝒙 → 𝟓 ∙ ∫ 𝒅𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝑪

∫ 𝟗 𝒅𝒙 → 𝟗 ∙ ∫ 𝒅𝒙 = 𝟗𝒙 + 𝑪

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

∫ 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟓𝒙 + 𝑪

∫ 𝟗 𝒅𝒙 = 𝟗𝒙 + 𝑪

DEMOSTRACIÓN: 𝑭(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝑪 Derivada: 𝑭(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝑪 → 𝒇′ (𝒙) = (𝟓𝒙)′ + (𝑪)′

DEMOSTRACIÓN: 𝑭(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝑪 Derivada: 𝑭(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝑪 → 𝒇′ (𝒙) = (𝟗𝒙)′ + (𝑪)′

𝒇′ (𝒙) = 𝟓

𝒇′ (𝒙) = 𝟗

Podemos afirmar:

Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝑪 →

𝒇(𝒙) = 𝟓

𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝟗𝒙 + 𝑪 →

𝒇(𝒙) = 𝟗

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟐√𝟑

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = −𝟓/𝟒

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ 𝟐√𝟑 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ −𝟓/𝟒 𝒅𝒙

Paso 2: Extraer la constante como factor de la integral:

Paso 2: Extraer la constante como factor de la integral: 𝟓 𝟓 𝟓 ∫ − 𝒅𝒙 → − ∙ ∫ 𝒅𝒙 = − 𝒙 + 𝑪 𝟒 𝟒 𝟒 Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟓 ∫ −𝟓/𝟒 𝒅𝒙 = − 𝒙 + 𝑪 𝟒

∫ 𝟐√𝟑 𝒅𝒙

→

𝟐√𝟑 ∙ ∫ 𝒅𝒙 = 𝟐√𝟑𝒙 + 𝑪

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫ 𝟐√𝟑 𝒅𝒙 = 𝟐√𝟑𝒙 + 𝑪

𝟓 ∫ −𝟓/𝟒 𝒅𝒙 = − 𝒙 + 𝑪 𝟒

∫ 𝟐√𝟑 𝒅𝒙 = 𝟐√𝟑𝒙 + 𝑪 DEMOSTRACIÓN: 𝑭(𝒙) = 𝟐√𝟑𝒙 + 𝑪 Derivada: ′

𝑭(𝒙) = 𝟐√𝟑𝒙 + 𝑪 → 𝒇′ (𝒙) = (𝟐√𝟑𝒙) + (𝑪)′ = 𝟐√𝟑 Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝟐√𝟑𝒙 + 𝑪 →

𝒇(𝒙) = 𝟐√𝟑

DEMOSTRACIÓN: 𝟓 𝑭(𝒙) = − 𝒙 + 𝑪 𝟒 Derivada: 𝟓 𝟓 ′ 𝑭(𝒙) = − 𝒙 + 𝑪 → 𝒇′ (𝒙) = (− 𝒙) + (𝑪)′ = −𝟓/𝟒 𝟒 𝟒 Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝟓 𝟓 𝑭(𝒙) = − 𝒙 + 𝑪 → 𝒇(𝒙) = − 𝟒 𝟒

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I.1.3.2.- INTEGRAL INMEDIATO DEL TIPO POTENCIAL: ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = (

𝟏 ) 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

→

𝒏 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟑

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ 𝟔𝒙𝟐 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙

Paso 2: Extraer la constante como factor de la integral:

Paso 2: Extraer la constante como factor de la integral:

𝟐

𝟐

∫ 𝟔𝒙 𝒅𝒙 → 𝟔 ∙ ∫ 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙 → 𝟏𝟐 ∙ ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

𝟏

𝟏

∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = (𝒏+𝟏) 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝑪

∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = (𝒏+𝟏) 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝑪

𝟏 𝟏 ∫ 𝟔𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟔 ∙ ( ) 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟔 ∙ ( ) 𝒙𝟑 𝟐+𝟏 𝟑

𝟏 𝟏 ∫ 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐 ∙ ( ) 𝒙𝟑 + 𝟏 = 𝟏𝟐 ∙ ( ) 𝒙𝟑 𝟑+𝟏 𝟒

𝟔 ∫ 𝟔𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙𝟑 = 𝟐𝒙𝟑 𝟑

𝟏𝟐 ∫ 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙𝟒 = 𝟑𝒙𝟒 𝟒

∫ 𝟔𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝑪

∫ 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 + 𝑪

DEMOSTRACIÓN: 𝑭(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝑪 Derivada: 𝟐

𝑭(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝑪 → 𝒇 ′(𝒙) = (𝟐𝒙𝟑 )′ + (𝑪)′ = 𝟔𝒙 Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝑪 →

𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐

DEMOSTRACIÓN: 𝑭(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 + 𝑪 Derivada: 𝑭(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 + 𝑪 → 𝒇′ (𝒙) = (𝟑𝒙𝟒 )′ + (𝑪)′ = 𝟏𝟐𝒙𝟑 Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝑭(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 + 𝑪 →

𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟑

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙− 𝟒

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙− 𝟓

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ 𝟓𝒙

−𝟒

𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ 𝟒𝒙− 𝟓 𝒅𝒙

Paso 2: Extraer la constante como factor de la integral:

Paso 2: Extraer la constante como factor de la integral:

∫ 𝟓𝒙− 𝟒 𝒅𝒙 → 𝟓 ∙ ∫ 𝒙− 𝟒 𝒅𝒙

∫ 𝟒𝒙− 𝟓 𝒅𝒙 → 𝟒 ∙ ∫ 𝒙− 𝟓 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝟓𝒙− 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟓 ∙ ( ) 𝒙−𝟒 + 𝟏 = 𝟓 ∙ (− ) 𝒙−𝟑 −𝟒 + 𝟏 𝟑 𝟓 ∫ 𝟓𝒙− 𝟒 𝒅𝒙 = − 𝒙−𝟑 𝟑

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝟒𝒙− 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟒 ∙ ( ) 𝒙− 𝟓 + 𝟏 = 𝟒 ∙ (− ) 𝒙− 𝟒 −𝟓 + 𝟏 𝟒 𝟒 ∫ 𝟒𝒙− 𝟓 𝒅𝒙 = − 𝒙− 𝟒 = −𝒙− 𝟒 𝟒

𝟓 ∫ 𝟓𝒙−𝟒 𝒅𝒙 = − 𝒙−𝟑 + 𝑪 𝟑 Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝟒𝒙− 𝟓 𝒅𝒙 = −𝒙− 𝟒 + 𝑪

José E. Ornelas G.

10

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝒙

Hallar la integral de la función 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

Paso 1: Expresar con el símbolo de Leibniz:

𝟓

𝟓

𝟒

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ √𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → ∫ √𝒙𝟑 𝒅𝒙

Paso 2: Expresar la raíz como potencia:

Paso 2: Expresar la raíz como potencia:

𝟒

∫ √𝒙 𝒅𝒙 →

𝟓

∫ 𝒙 𝟏/𝟒 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟒 ∫ √𝒙 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙 𝟏/𝟒 + 𝟏 + 𝑪 𝟏/𝟒 + 𝟏 Resolver la suma de racionales (Fracciones): 𝟏 𝟏+𝟒 𝟓 +𝟏 → = 𝟒 𝟒 𝟒 𝟏 𝟒 𝟓 𝟓 𝟒 ∫ √𝒙 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙 ⁄𝟒 = 𝒙 ⁄𝟒 𝟓/𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 𝟒 ∫ √𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 ⁄𝟒 𝟓 Expresar la potencia como una raíz: 𝟒𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 ∫ √𝒙 𝒅𝒙 = √𝒙𝟓 = 𝒙 √𝒙 𝟓 𝟓 𝟒

∫ √𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝒙 𝟑/𝟓 𝒅𝒙

∫ √𝒙𝟑 𝒅𝒙 →

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙 𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟓 ∫ √𝒙𝟑 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙 𝟑/𝟓 + 𝟏 𝟑/𝟓 + 𝟏 Resolver la suma de racionales (Fracciones): 𝟑 𝟑+𝟓 𝟖 +𝟏 → = 𝟓 𝟓 𝟓 𝟏 𝟓 𝟖 𝟖 𝟓 𝟑 ∫ √𝒙 𝒅𝒙 = ( ) 𝒙 ⁄𝟓 = 𝒙 ⁄𝟓 𝟖/𝟓 𝟖 𝟓 𝟖 𝟓 ∫ √𝒙𝟑 𝒅𝒙 = 𝒙 ⁄𝟓 𝟖 Expresar la potencia como una raíz: 𝟓𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 ∫ √𝒙𝟑 𝒅𝒙 = √𝒙𝟖 = 𝒙 √𝒙𝟑 𝟖 𝟖

𝟒 𝟒 𝒙 √𝒙 + 𝑪 𝟓

𝟓

∫ √𝒙𝟑 𝒅𝒙 =

DEMOSTRACIÓN:

DEMOSTRACIÓN: 𝟓 𝟖 𝑭(𝒙) = 𝒙 ⁄𝟓 + 𝑪 𝟖 Derivada: 𝟓 𝟖 𝟓 𝟖 ′ 𝑭(𝒙) = 𝒙 ⁄𝟓 + 𝑪 → 𝒇′ (𝒙) = (𝒙 ⁄𝟓 ) + (𝑪)′ 𝟖 𝟖 ′ 𝟖 𝟓 𝟖 𝟒𝟎 𝟑⁄ − 𝟏 𝒇′ (𝒙) = ( 𝒙 𝟓 ) +𝟎= 𝒙 𝟓 𝟖 𝟓 𝟒𝟎

𝟒 𝟓⁄ 𝒙 𝟒+𝑪 𝟓 Derivada: 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 ′ 𝑭(𝒙) = 𝒙 ⁄𝟒 + 𝑪 → 𝒇′ (𝒙) = (𝒙 ⁄𝟒 ) + (𝑪)′ 𝟓 𝟓 ′ 𝟓 𝟒 𝟓 𝟐𝟎 𝟏⁄ − 𝟏 𝒇′ (𝒙) = ( 𝒙 𝟒 ) +𝟎= 𝒙 𝟒 𝟓 𝟒 𝟐𝟎 𝑭(𝒙) =

𝟑⁄ 𝟓

𝟏⁄ 𝟒

𝒇′ (𝒙) = 𝒙

𝒇′ (𝒙) = 𝒙

Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝟒 𝟓 𝑭(𝒙) = 𝒙 ⁄𝟒 + 𝑪 → 𝟓

Podemos afirmar: 𝑬𝒔 𝒍𝒂 𝟓 𝟖 𝑭(𝒙) = 𝒙 ⁄𝟓 + 𝑪 → 𝟖

𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝟒

𝒇(𝒙) = √𝒙

𝑰𝒏𝒅𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆

𝟓

𝒇(𝒙) = √𝒙𝟑

NOTA:

NOTA: 𝟒

𝟓 𝟓 𝟑 𝒙 √𝒙 + 𝑪 𝟖

𝟒

√𝒙𝟓 = √𝒙𝟒 . 𝒙 =

𝟒

√𝒙𝟒 . 𝟒

𝟒

√𝒙 = 𝒙 √𝒙

𝟒

√𝒙𝟓 = 𝒙 𝟒√𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟓

𝟓

𝟓

𝟓

𝟓

√𝒙𝟖 = √𝒙𝟓 . 𝒙𝟑 = √𝒙𝟓 . √𝒙𝟑 = 𝒙 √𝒙𝟑

𝟓

𝟓

√𝒙𝟖 = 𝒙 √𝒙𝟑

José E. Ornelas G.

11

I.1.3.3.- INTEGRAL INMEDIATO DEL TIPO POLINÓMICO: ∫(𝒂𝒙𝒎 + 𝒃𝒙𝒏 + ⋯ + 𝒅) 𝒅𝒙 = ∫(𝒂𝒙𝒎 )𝒅𝒙 + ∫(𝒃𝒙𝒏 )𝒅𝒙 + ⋯ + ∫ 𝒌 𝒅𝒙 Ejemplo 1

Ejemplo 2

Hallar la integral ∫(𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓) 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫(𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de integral polinómico:

Paso 1: Aplicar el teorema de integral polinómico:

∫(𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓) 𝒅𝒙

∫(𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒙

Suma algebraica de los integrales:

Suma algebraica de los integrales:

∫ 𝟒𝒙𝟑 𝒅𝒙 + ∫ 𝟔𝒙𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝟓 𝒅𝒙

∫ 𝟏𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙 − ∫ 𝟗𝒙𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟔𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝟕𝒅𝒙

Paso 2: Extraer coeficientes como factor de la integral:

Paso 2: Extraer coeficientes como factor de la integral:

𝟒 ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙 + 𝟔 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟓 ∫ 𝒅𝒙

𝟏𝟐 ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙 − 𝟗 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟔 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟕 ∫ 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ( )𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟒 ( 𝒙𝟒 ) + 𝟔 ( 𝒙𝟑 ) + 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) − 𝟓(𝒙) 𝟒 𝟑 𝟐

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ( )𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐 ( 𝒙𝟒 ) − 𝟗 ( 𝒙𝟑 ) + 𝟔 ( 𝒙𝟐 ) + 𝟕(𝒙) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟗 𝟔 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ( 𝒙𝟒 ) − ( 𝒙𝟑 ) + ( 𝒙𝟐 ) + 𝟕(𝒙) 𝟒 𝟑 𝟐

𝟒 𝟔 𝟐 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ( 𝒙𝟒 ) + ( 𝒙𝟑 ) + ( 𝒙𝟐 ) − 𝟓(𝒙) 𝟒 𝟑 𝟐

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝑪

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Hallar la integral ∫(𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙

Hallar la integral ∫(𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟔)𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de integral polinómico:

Paso 1: Aplicar el teorema de integral polinómico:

∫(𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙

∫(𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟔)𝒅𝒙

Suma algebraica de los integrales

Suma algebraica de los integrales

∫ 𝟒𝒙𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝟏 𝒅𝒙

∫ 𝟓𝒙𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝟒𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝟔 𝒅𝒙

Paso 2: Extraer coeficientes como factor de la integral:

Paso 2: Extraer coeficientes como factor de la integral:

𝟒 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟏 ∫ 𝒅𝒙

𝟓 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟔 ∫ 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ( )𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟒 ( 𝒙𝟑 ) + 𝟑 ( 𝒙𝟐 ) − 𝟏(𝒙) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ( 𝒙𝟑 ) + ( 𝒙𝟐 ) − (𝒙) 𝟑 𝟐

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ( )𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟓 ( 𝒙𝟑 ) − 𝟒 ( 𝒙𝟐 ) + 𝟔(𝒙) 𝟑 𝟐 𝟓 𝟒 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ( 𝒙𝟑 ) − ( 𝒙𝟐 ) + (𝟔𝒙) 𝟑 𝟐

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 𝒙 + 𝒙 −𝒙+𝑪 𝟑 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟓 𝟑 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑 José E. Ornelas G.

12

I.1.3.4.- INTEGRAL INMEDIATO DE LA SUMA ALGEBRAICA DE FUNCIONES: ∫[ 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) ]𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 Ejemplo 1

Ejemplo 2

Hallar la integral ∫(𝟐𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝟒𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝟓𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫(𝟔𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de la suma algebraica:

Paso 1: Aplicar el teorema de la suma algebraica:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟐𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝟒𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝟓𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟔𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙

Suma algebraica de los integrales:

Suma algebraica de los integrales:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟐𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒅𝒙 − ∫(𝟒𝑪𝒐𝒔 𝒙)𝒅𝒙 + ∫(𝟓𝒆𝒙 )𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟔𝑪𝒐𝒔 𝒙)𝒅𝒙 − ∫(𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒅𝒙 + ∫(𝒆𝒙 )𝒅𝒙

Paso 2: Extraer coeficientes como factor de la integral:

Paso 2: Extraer coeficientes como factor de la integral:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟒 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓 ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema de las integrales inmediata:

Paso 3: Aplicar el teorema de las integrales inmediata:

𝒂) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (−𝑪𝒐𝒔 𝒙)

; 𝒃) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒙)

𝒂) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (−𝑪𝒐𝒔 𝒙)

; 𝒃) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒙)

𝒄) ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙

𝒄) ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐(−𝑪𝒐𝒔 𝒙) − 𝟒(𝑺𝒆𝒏 𝒙) + 𝟓(𝒆𝒙 )

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔(𝑺𝒆𝒏 𝒙) − 𝟑(−𝑪𝒐𝒔 𝒙) + (𝒆𝒙 )

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝟒𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝟓𝒆𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝟑𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝒆𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝟒𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝟓𝒆𝒙 + 𝑪

Ejemplo 3

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝟑𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝒆𝒙 + 𝑪

Ejemplo 4

Hallar la integral ∫ (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 +

𝟑 ) 𝒅𝒙 𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de integral polinómico: 𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ (𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 + ) 𝒅𝒙 𝒙 Suma algebraica de los integrales: 𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 + ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝒙 Paso 2: Extraer coeficientes como factor de la integral: 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒅𝒙 𝒙 Paso 3: Aplicar el teorema de las integrales inmediata: 𝒂) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 ; 𝒃) ∫

𝟏 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒙| 𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟑(𝑳𝒏 |𝒙|) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟑𝑳𝒏 |𝒙| + 𝑪

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟐 𝒙

Hallar la integral ∫ (𝟔𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − + 𝟒𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar el teorema de integral polinómico: 𝟐 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ (𝟔𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − + 𝟒𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒙 Suma algebraica de los integrales: 𝟐 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟔𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 − ∫ ( ) 𝒅𝒙 + ∫(𝟒𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒙 Paso 2: Extraer coeficientes como factor de la integral: 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 𝒙 Paso 3: Aplicar el teorema de las integrales inmediata: 𝒂) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙 ; 𝒃) ∫

𝟏 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒙| ; 𝒄) ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔(−𝒄𝒕𝒈 𝒙) − 𝟐(𝑳𝒏 |𝒙|) + 𝟒(𝒆𝒙 ) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −𝟔𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝟐𝑳𝒏 |𝒙| + 𝟒𝒆𝒙 + 𝑪

José E. Ornelas G.

13

I.1.3.5.- MISCELÁNEAS DE INTEGRALES INMEDIATAS: Ejemplo 1

Ejemplo 2

Hallar la integral ∫ (

𝟏 𝒙𝟐 + 𝟒

Hallar la integral ∫ (

) 𝒅𝒙

𝟏 𝒙𝟐 + 𝟗

) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟐 𝒙 +𝒌 𝒌 𝒌

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟐 𝒙 +𝒌 𝒌 𝒌

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediata:

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediata:

𝟐

El valor de: 𝒌 = 𝟒 → 𝒌 = √𝟒 𝟏 𝟏 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙 +𝟒 𝒙 + 𝟐𝟐

→

𝒌=𝟐

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝒅𝒙 𝟏 𝒙 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝒙 +𝟒 𝟐 𝟐 ∫(

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟗 → 𝒌 = √𝟗 𝟏 𝟏 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙 +𝟗 𝒙 + 𝟑𝟐

→

𝒌=𝟑

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝒅𝒙 𝟏 𝒙 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝒙 +𝟗 𝟑 𝟑

𝟏 𝟏 𝒙 ) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝒙𝟐 + 𝟒 𝟐 𝟐

∫(

𝟏 𝟏 𝒙 ) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝒙𝟐 + 𝟗 𝟑 𝟑

NOTA: Para aplicar los teoremas fundamentales de NOTA: Para aplicar los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación. con la finalidad de facilitar su aplicación.

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Hallar la integral ∫ (

𝟏 𝒙𝟐 − 𝟒

Hallar la integral ∫ (

) 𝒅𝒙

𝟏 𝒙𝟐 − 𝟗

) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 𝟏 𝒙−𝒌 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑳𝒏 | |+𝑪 𝟐 𝒙 −𝒌 𝟐𝒌 𝒙+𝒌

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 𝟏 𝒙−𝒌 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑳𝒏 | |+𝑪 𝟐 𝒙 −𝒌 𝟐𝒌 𝒙+𝒌

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediata:

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediata:

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟒 → 𝒌 = √𝟒 𝟏 𝟏 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙 −𝟒 𝒙 − 𝟐𝟐

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟗 → 𝒌 = √𝟗 𝟏 𝟏 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙 −𝟗 𝒙 − 𝟑𝟐

→

𝒌=𝟐

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟏 𝟏 𝒙−𝟐 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑳𝒏 | | 𝒙 −𝟒 𝟐∙𝟐 𝒙+𝟐 ∫(

𝒙𝟐

𝟏 𝟏 𝒙−𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | | −𝟒 𝟒 𝒙+𝟐 ∫(

𝒙𝟐

𝟏 𝟏 𝒙−𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | |+𝑪 −𝟒 𝟒 𝒙+𝟐

→

𝒌=𝟑

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟏 𝟏 𝒙−𝟑 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑳𝒏 | | 𝒙 −𝟗 𝟐∙𝟑 𝒙+𝟑 ∫(

𝒙𝟐

𝟏 𝟏 𝒙−𝟑 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | | −𝟔 𝟔 𝒙+𝟑 ∫(

𝒙𝟐

𝟏 𝟏 𝒙−𝟑 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | |+𝑪 −𝟗 𝟔 𝒙+𝟑

NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación. con la finalidad de facilitar su aplicación. Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

14

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Hallar la integral ∫ (

𝟏 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏

Hallar la integral ∫ (

) 𝒅𝒙

𝟏 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐

) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 𝟏 𝒙−𝒌 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑳𝒏 | |+𝑪 𝟐 𝒙 −𝒌 𝟐𝒌 𝒙+𝒌

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 𝟏 𝒙+𝒌 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑳𝒏 | |+𝑪 𝟐 𝒌 −𝒙 𝟐𝒌 𝒙−𝒌

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediata:

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediata:

𝟐

El valor de: 𝒌 = 𝟖𝟏 → 𝒌 = √𝟖𝟏 → 𝒌 = 𝟗 𝟏 𝟏 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙 − 𝟖𝟏 𝒙 − 𝟗𝟐

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟐𝟓 → 𝒌 = √𝟐𝟓 → 𝒌 = 𝟓 𝟏 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝟓 − 𝒙𝟐

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟏 𝟏 𝒙−𝟗 ∫( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑳𝒏 | | 𝒙 − 𝟖𝟏 𝟐∙𝟗 𝒙+𝟗

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟏 𝟏 𝒙+𝟓 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑳𝒏 | | 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝟐∙𝟓 𝒙−𝟓

∫(

𝟏 𝟏 𝒙−𝟗 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | | 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝟏𝟖 𝒙+𝟗 ∫(

𝒙𝟐

∫(

𝟏 𝟏 𝒙−𝟗 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | |+𝑪 − 𝟖𝟏 𝟏𝟖 𝒙+𝟗

𝟏 𝟏 𝒙+𝟓 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | | 𝟐 𝟐𝟓 − 𝒙 𝟏𝟎 𝒙−𝟓 ∫(

𝟏 𝟏 𝒙+𝟓 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | |+𝑪 𝟐 𝟐𝟓 − 𝒙 𝟏𝟎 𝒙−𝟓

NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación. con la finalidad de facilitar su aplicación.

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Hallar la integral ∫ (

𝟏 √𝒙𝟐 + 𝟒𝟗

Hallar la integral ∫ (

) 𝒅𝒙

𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟑𝟔

) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝒌𝟐 | + 𝑪 𝟐 √𝒙 + 𝒌𝟐

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝒌𝟐 | + 𝑪 𝟐 √𝒙 − 𝒌𝟐

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediata:

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediata:

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟒𝟗 → 𝒌 = √𝟒𝟗 𝟏 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 √𝒙 + 𝟒𝟗 √𝒙 + 𝟕𝟐

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟑𝟔 → 𝒌 = √𝟑𝟔 → 𝟏 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 √𝒙 − 𝟑𝟔 √𝒙 − 𝟔𝟐

→ 𝒌=𝟕

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟒𝟗 | √𝒙𝟐 + 𝟒𝟗 ∫(

𝟏 √𝒙𝟐 + 𝟒𝟗

) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟒𝟗 | + 𝑪

𝒌=𝟔

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 | √𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 ∫(

𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟑𝟔

) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 | + 𝑪

NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación. con la finalidad de facilitar su aplicación.

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

15

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Hallar la integral ∫ (

𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ (

)

𝒙√𝒙𝟐 − 𝟒𝟗

𝒅𝒙

)

𝒙√ 𝒙 𝟐 − 𝟏

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝒌 𝒌 𝒙√𝒙𝟐 − 𝒌𝟐

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝒌 𝒌 𝒙√𝒙𝟐 − 𝒌𝟐

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟒𝟗 → 𝒌 = √𝟒𝟗 → 𝟏 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟒𝟗 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟕𝟐

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟏 → 𝒌 = √𝟏 → 𝟏 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟏𝟐

𝒌=𝟕

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫( ) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟕 𝟕 𝒙√𝒙 − 𝟒𝟗

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝒙√𝒙 − 𝟏

𝟏

𝟏 𝒙 ∫( ) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟕 𝟕 𝒙√𝒙 − 𝟒𝟗

∫(

𝟏 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟏 ∫(

NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación.

Ejemplo 11

) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒄(𝒙) + 𝑪 𝟏

𝒙√𝒙𝟐 − 𝟏

) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒄(𝒙) + 𝑪

NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación.

Ejemplo 12

Hallar la integral ∫ (

𝒅𝒙 𝒙√𝟔𝟒 − 𝒙𝟐

Hallar la integral ∫ (

)

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: ∫(

𝒌=𝟏

𝟏

𝟏 𝒌+ ) 𝒅𝒙 = − ∙ 𝑳𝒏 | 𝒌 𝒙√𝒌𝟐 − 𝒙𝟐

√𝒌𝟐

−

𝒙𝟐

𝒙

|+𝑪

𝒅𝒙 𝒙√𝟏𝟎𝟎 − 𝒙𝟐

)

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente: ∫(

𝟏 𝒙√𝒌𝟐 − 𝒙𝟐

) 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝒌 + √𝒌𝟐 − 𝒙𝟐 ∙ 𝑳𝒏 | |+𝑪 𝒌 𝒙

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟔𝟒 → 𝒌 = √𝟔𝟒 → 𝟏 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝒙√𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 𝒙√𝟖𝟐 − 𝒙𝟐

El valor de: 𝒌𝟐 = 𝟏𝟎 → 𝒌 = √𝟏𝟎𝟎 → 𝒌 = 𝟏𝟎 𝟏 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝒙√𝟏𝟎𝟎 − 𝒙𝟐 𝒙√𝟏𝟎𝟐 − 𝒙𝟐

𝒌=𝟖

Paso 3: Aplicar el teorema: ∫(

𝟏 𝒙√𝟔𝟒 −

∫(

𝒙𝟐

𝟏 𝟖 + √𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 = − 𝑳𝒏 | | 𝟖 𝒙

𝟏 𝟖 + √𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 = − 𝑳𝒏 | |+𝑪 𝟖 𝒙 𝒙√𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 𝟏

Paso 3: Aplicar el teorema: ∫(

𝟏 𝒙√𝟏𝟎𝟎 −

∫(

𝒙𝟐

) 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝒙√𝟏𝟎𝟎 − 𝒙𝟐

𝟏 𝟏𝟎 + √𝟏𝟎𝟎 − 𝒙𝟐 𝑳𝒏 | | 𝟏𝟎 𝒙

) 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟏𝟎 + √𝟏𝟎𝟎 − 𝒙𝟐 𝑳𝒏 | |+𝑪 𝟏𝟎 𝒙

NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación. con la finalidad de facilitar su aplicación. Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

16

Ejemplo 13

Ejemplo 14

Hallar la integral ∫(𝟓𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝒅𝒙

Hallar la integral ∫(𝟒𝒆𝒙 − 𝟕𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙)𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente:

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente:

∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

∫ 𝟓 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝟒𝒆𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝟕𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟒 ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝟕 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟓(𝒔𝒆𝒄 𝒙) + 𝟑(𝒔𝒆𝒏 𝒙) + 𝑪 → 𝟓𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

Paso 3: Aplicar el teorema: 𝟒(𝒆𝒙 ) − 𝟕(−𝒄𝒔𝒄 𝒙) + 𝑪 → 𝟒𝒆𝒙 + 𝟕𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝑪 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝟕𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟓𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación. con la finalidad de facilitar su aplicación.

Ejemplo 15

Ejemplo 16 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟔𝒔𝒆𝒏 𝒙

Hallar la integral ∫ (

𝒄𝒐𝒔 𝒙

) 𝒅𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟓

Hallar la integral ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente:

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente:

∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙 | + 𝑪

∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙 | + 𝑪

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| + 𝑪

𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟔𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟔𝒔𝒆𝒏 𝒙 → + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟔𝒔𝒆𝒏 𝒙 → 𝟐 + 𝟔𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟔𝒔𝒆𝒏 𝒙 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫(𝟐 + 𝟔𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato: 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟓 → + → 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟓𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟓 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟓𝒔𝒆𝒄 𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 + 𝟔 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema:

Paso 3: Aplicar el teorema:

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟔𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙| + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙| + 𝟓𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟔𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙| + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙| + 𝟓𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| + 𝑪

NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de NOTA: Para emplear los teoremas fundamentales de integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, integrales inmediatos, se requiere de tener a mano la tabla, con la finalidad de facilitar su aplicación. con la finalidad de facilitar su aplicación. Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

17

Ejemplo 17

Ejemplo 18 𝟗𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙

Hallar la integral ∫ (

𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙− 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 +𝒄𝒐𝒔 𝒙

Hallar la integral ∫ (

) 𝒅𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝒙

) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente:

Paso 1: Aplicar el teorema inmediato correspondiente:

∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒔𝒆𝒏 𝒙| + 𝑪

𝟗𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

Paso 2: Expresar en función de la integral inmediato:

𝟗𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟗𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

→ →

𝟗𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝟗𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫(𝟗𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝟓𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟗 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 → − + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙

→ 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈 𝒙

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫(𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema:

Paso 3: Aplicar el teorema:

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟗𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝟓𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐(−𝒄𝒔𝒄 𝒙) − 𝟑(−𝒄𝒐𝒔 𝒙) + 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒏 𝒙| + 𝑪 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟗𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝟓𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = −𝟐𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒏 𝒙| + 𝑪 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = −𝟐𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒏 𝒙| + 𝑪

Ejemplo 19

Ejemplo 20

Hallar la integral ∫(𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝟐𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙

Hallar la integral ∫(𝟖𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝒅𝒙

Paso 1: Expresar en función de la integral inmediato:

Paso 1: Expresar en función de la integral inmediato:

𝟐

𝟐

𝒕𝒂𝒈 𝒙 − 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝟑 →

(𝒔𝒆𝒄𝟐

𝟐

𝒙 − 𝟏) − 𝟐(𝒄𝒔𝒄 𝒙 − 𝟏) + 𝟑

𝟖𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 → 𝟖(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) + 𝟑(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝟐𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑 → 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟐𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏 + 𝟐 + 𝟑

𝟖𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 → 𝟖𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟖 + 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟑

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝟐𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑 → 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟐𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 + 𝟒

𝟖𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 → 𝟖𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏𝟏

∫(𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝟐𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑 ) 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟐𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙

∫(𝟖𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝟑𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 ) 𝒅𝒙 = ∫(𝟖𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏𝟏)𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟖 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟏𝟏 ∫ 𝒅𝒙

Paso 2: Aplicar el teorema:

Paso 2: Aplicar el teorema:

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 − 𝟐(−𝒄𝒕𝒈 𝒙) + 𝟒(𝒙) + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟖𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟑(−𝒄𝒕𝒈 𝒙) − 𝟏𝟏(𝒙) + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟖𝒕𝒂𝒈 𝒙 − 𝟑𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝑪

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝑪

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟖𝒕𝒂𝒈 𝒙 − 𝟑𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝑪

José E. Ornelas G.

18

I.1.3.6.- EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES INMEDIATOS: I.1.3.6.1.- Integrales inmediatos del tipo constante: 𝟐) ∫ −𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝟏) ∫ 𝟖 𝒅𝒙 𝟓) ∫

𝟕 𝒅𝒙 𝟑

𝟔) ∫ −

𝟑) ∫ √𝟐 𝒅𝒙

𝟗 𝒅𝒙 𝟓

𝟕) ∫

𝟒) ∫ 𝟑√𝟐 𝒅𝒙

𝟏 𝒅𝒙 𝟒

𝟖) ∫

√𝟓 𝒅𝒙 𝟐

I.1.3.6.2.- Integrales inmediatos del tipo potencial: 𝟏) ∫ 𝟔𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝟐𝟎𝒙𝟒 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝟑𝟎𝒙𝟓 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ −𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒙−𝟒 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝟒𝒙−𝟓 𝒅𝒙

𝟓

𝟏𝟎) ∫ √𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ √𝒙 𝒅𝒙

𝟕

𝟏𝟏) ∫ √𝒙 𝒅𝒙

𝟔

𝟏𝟐) ∫ √𝒙 𝒅𝒙

𝟖

𝟏𝟑) ∫ √𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟑

𝟏𝟒) ∫ √𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝟒

𝟏𝟓) ∫ √𝒙𝟓 𝒅𝒙

𝟔

𝟏𝟔) ∫ √𝒙𝟔 𝒅𝒙

𝟑

𝟏𝟖) ∫ √𝒙𝟕 𝒅𝒙

𝟒

𝟏𝟗) ∫ √𝒙𝟕 𝒅𝒙

𝟔

𝟐𝟎) ∫ √𝒙𝟖 𝒅𝒙

𝟏𝟕) ∫ √𝒙𝟓 𝒅𝒙

𝟕

𝟕

I.1.3.6.3.- Integrales inmediatos del tipo polinómico: 𝟏) ∫(𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕) 𝒅𝒙

𝟐) ∫(𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝟑) ∫(𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟗) 𝒅𝒙

𝟒) ∫(𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝟓) ∫(𝟖𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙

𝟔) ∫(𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

𝟕) ∫(𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟔) 𝒅𝒙

𝟖) ∫(𝟓𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟗) ∫(𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫(𝟓𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫(𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙

I.1.3.6.4.- Integrales inmediatos de la suma algebraica de funciones: 𝟏) ∫(𝟔𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝟕𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙

𝟒) ∫(𝟑𝒆𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

𝟐) ∫(𝟓𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝟒𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝟗) 𝒅𝒙 𝟓) ∫(𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

𝟑) ∫(𝟖𝒆𝒙 − 𝟓𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

𝟔) ∫(𝟑𝒙 + 𝟐𝒄𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

+ 𝟔𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 𝟕) ∫(𝟓𝒙 + 𝟑𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟕 𝟖) ∫ ( + 𝟓𝒆𝒙 − 𝟐𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙 𝒙

𝟐 𝟗) ∫ ( + 𝟑𝒆𝒙 + 𝒔𝒆𝒄 𝒙) 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟎) ∫(𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫(𝟐𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝟓) 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫(𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝟑𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝟐𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟑

𝟒

𝟑

𝟓

𝟏𝟑) ∫ (√𝒙𝟑 − √𝒙𝟐 + 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫ (√𝒙𝟓 − √𝒙𝟑 + 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟓) ∫ ( √𝒙𝟒 − √𝒙𝟔 + 𝟒𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙

𝟒 𝟏𝟔) ∫ ( + 𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙 𝒙

𝟔 𝟏𝟕) ∫ (𝒔𝒆𝒄 𝒙 − ) 𝒅𝒙 𝒙

𝟐 𝟏𝟖) ∫ (𝒄𝒔𝒄 𝒙 + ) 𝒅𝒙 𝒙

𝟓 𝟏 𝟏𝟗) ∫ ( + 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 −𝟏

𝟑 𝟏 𝟐𝟎) ∫ ( 𝟐 − ) 𝒅𝒙 𝒙 −𝟒 𝒙

𝟓 𝟖 𝟐𝟏) ∫ ( 𝟐 − ) 𝒅𝒙 𝒙 −𝟗 𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

19

𝟐𝟐) ∫(𝟐𝒙−𝟏 + 𝟑𝒙−𝟐 ) 𝒅𝒙

𝟐𝟑) ∫(𝟔𝒙−𝟒 + 𝟖𝒙−𝟓 ) 𝒅𝒙

𝟐𝟒) ∫(𝟏𝟐𝒙𝟓 − 𝟕𝒙−𝟖 ) 𝒅𝒙

𝟒 𝟔 𝟐𝟓) ∫ ( 𝟑 + 𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝒙 𝒙

𝟗 𝟖 𝟐𝟔) ∫ ( 𝟒 − 𝟑 + 𝟒) 𝒅𝒙 𝒙 𝒙

𝟏𝟐 𝟔 𝟐𝟕) ∫ ( 𝟕 − 𝟒 − 𝟓) 𝒅𝒙 𝒙 𝒙

𝟐𝟖) ∫ (

𝟏 √𝒙

+

√𝒙 𝟑 + √𝒙) 𝒅𝒙 𝒙𝟐

𝟑 𝟏 𝟑𝟏) ∫ ( − + 𝟔𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒙 √𝒙

𝟔

𝟐𝟗) ∫ (

√𝒙 √𝒙 𝟑 − 𝟐 + √𝒙) 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝒙

𝟐 𝟒 𝟑𝟐) ∫ ( − 𝟑 − 𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 𝒙 √𝒙

𝟓

𝟑𝟎) ∫ (

𝟑

√𝒙 √𝒙 𝟒 − + √𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 𝟒 𝟒

𝟑𝟑) ∫ (𝟕𝒆𝒙 −

√𝒙𝟑 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐

I.1.3.6.5.- Misceláneas de Integrales inmediatos: 𝒅𝒙 𝟏) ∫ ( 𝟐 ) 𝒙 − 𝟏𝟔

𝒅𝒙 𝟐) ∫ ( 𝟐 ) 𝒙 − 𝟏𝟐𝟏

𝟑) ∫ (

𝒅𝒙 ) 𝒙𝟐 − 𝟐

𝒅𝒙 𝟒) ∫ ( ) 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟓) ∫ ( ) 𝟏𝟐𝟏 − 𝒙𝟐

𝟔) ∫ (

𝒅𝒙 ) 𝟐 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟕) ∫ ( ) √𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝟗

𝒅𝒙 𝟖) ∫ ( ) 𝟐 √𝒙 + 𝟐𝟐𝟓

𝟗) ∫ (

𝒅𝒙 𝟏𝟎) ∫ ( ) √𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝟗

𝒅𝒙 𝟏𝟏) ∫ ( ) √𝒙𝟐 − 𝟐𝟐𝟓

𝒅𝒙 𝟏𝟐) ∫ ( ) √𝒙𝟐 − 𝟑

𝒅𝒙 𝟏𝟑) ∫ ( ) √𝟓 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏𝟒) ∫ ( ) √𝟑 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏𝟓) ∫ ( ) √𝟐 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏𝟔) ∫ ( ) 𝒙√𝟓 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏𝟕) ∫ ( ) 𝒙√𝟑 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏𝟖) ∫ ( ) 𝒙√𝟐 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏𝟗) ∫ ( ) 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟕

𝒅𝒙 𝟐𝟎) ∫ ( ) 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟐

𝒅𝒙 𝟐𝟏) ∫ ( ) 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟓

𝒅𝒙 𝟐𝟐) ∫ ( 𝟐 ) 𝒙 −𝟕

𝒅𝒙 𝟐𝟑) ∫ ( 𝟐 ) 𝒙 −𝟖

𝒅𝒙 𝟐𝟒) ∫ ( 𝟐 ) 𝒙 −𝟑

𝒅𝒙 𝟐𝟓) ∫ ( ) 𝟔 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟐𝟔) ∫ ( ) 𝟑 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟐𝟕) ∫ ( ) 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟐𝟖) ∫ ( 𝟐 ) 𝒙 +𝟕

𝒅𝒙 𝟐𝟗) ∫ ( 𝟐 ) 𝒙 +𝟐

𝒅𝒙 𝟑𝟎) ∫ ( 𝟐 ) 𝒙 +𝟔

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒅𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟑

)

José E. Ornelas G.

20

U N I D A D II (Métodos de Integración) II.1.0.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Existen integrales que requieren de herramientas matemáticas, para poder obtener la función primitiva, por tal motivo, hay que realizar el estudio de varios métodos de integración, para resolver estos integrales que no son inmediatos. Los métodos usualmente utilizados en el cálculo integral son: Integración por cambio de variable, Integración por partes, Integrales trigonométricos, Integración por cambio trigonométrico y Fracciones parciales etc. II.1.1.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE En algunos integrales, tenemos que hacer uso de herramientas o artificios matemáticos, con la finalidad de convertir la integral no inmediata en otra integral inmediata, para poder aplicar los teoremas de integrales, uno de los métodos usados, es el cambio de variable. II.1.1.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE Ejemplo 1

Ejemplo 2

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝟓𝒙 = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝟓𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟓𝒙′ = 𝒗′ → 𝟓𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟓 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏 𝒗) ( 𝒅𝒗) → ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 𝟓 𝟓 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 𝟓 Al observar el integral obtenido y lo comparamos con el teorema de la integral inmediata, son equivalentes, pero de variables diferentes, por lo tanto, significa que podemos aplicar el teorema de la integral inmediata. Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝟑𝒙 = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝟑𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟑𝒙′ = 𝒗′ → 𝟑𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejar el dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟑 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) → ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟑 𝟑 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟑 Al observar el integral obtenido y lo comparamos con el teorema de la integral inmediata, son equivalentes, pero de variables diferentes, por lo tanto, significa que podemos aplicar el teorema de la integral inmediata. Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 𝟓 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∙ (−𝑪𝒐𝒔 𝒗) = − 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝟓 𝟓

𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟑 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∙ (𝑺𝒆𝒏 𝒗) = ∙ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟑 𝟑

∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − ∙ 𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 𝟓

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∙ 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝟑

𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 + 𝑪 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟑

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 3

Ejemplo 4

Hallar la integral ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟗𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝑪

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝟐𝒙 = 𝒘 b) Derivar el cambio de variable: (𝟐𝒙)′ = (𝒘)′ → 𝟐𝒙′ = 𝒘′ → 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒘 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒘 𝟐 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒘) ( 𝒅𝒘) = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒘 𝒅𝒘 𝟐 𝟐 Al observar el integral obtenido y lo comparamos con el teorema de la integral inmediata, son equivalentes, pero de variables diferentes, por lo tanto, significa que podemos aplicar el teorema de la integral inmediata. Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝟗𝒙 = 𝒘 b) Derivar el cambio de variable: (𝟗𝒙)′ = (𝒘)′ → 𝟗𝒙′ = 𝒘′ → 𝟗𝒅𝒙 = 𝒅𝒘 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒘 𝟗 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟗𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒘) ( 𝒅𝒘) = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒘 𝒅𝒘 𝟗 𝟗 Al observar el integral obtenido y lo comparamos con el teorema de la integral inmediata, son equivalentes, pero de variables diferentes, por lo tanto, significa que podemos aplicar el teorema de la integral inmediata. Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒘 𝒅𝒘 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∙ (𝒕𝒂𝒈 𝒘) = 𝒕𝒂𝒈 𝒘 𝟐 𝟐

𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒘 𝒅𝒘 𝟗 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟗𝒙 𝒅𝒙 = ∙ (−𝒄𝒕𝒈 𝒘) = − 𝒄𝒕𝒈 𝒘 𝟗 𝟗

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟗𝒙 𝒅𝒙 =

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝟐

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟗𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈 𝟗𝒙 𝟗

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐

Ejemplo 5 Hallar la integral ∫ 𝒆 𝟒𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar: ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪 Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝟒𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝟒𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟒𝒙′ = 𝒗′ → 𝟒𝒅𝒙 = 𝒅𝒘 c) Despejar el dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟒

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟗𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈 𝟗𝒙 + 𝑪 𝟗

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒆𝒗 ) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝟒 𝟒 𝟏 ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝟒 Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒗 𝒆 +𝑪 𝟒

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝟒𝒙 + 𝑪 𝟒 ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟒𝒙 𝒆 +𝑪 𝟒

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 6

Ejemplo 7

Hallar la integral ∫ 𝒆 𝟓𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

Paso 1: Teorema inmediato a utilizar:

∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪

∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝟓𝒙 + 𝟑) = 𝒘 b) Derivar el cambio de variable: (𝟓𝒙 + 𝟑)′ = (𝒘)′ → 𝟓𝒙′ + 𝟑′ = 𝒘′ → 𝟓𝒙′ + 𝟎 = 𝒘′ 𝟓 𝒅𝒙 = 𝒅𝒘 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒘 𝟓 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒆𝟓𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 = ∫(𝒆𝒘 ) ( 𝒅𝒘) = ∫ 𝒆𝒘 𝒅𝒘 𝟓 𝟓 Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝑺𝒆𝒏 𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) ∙ 𝒙′ = 𝒗′ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 (𝒆𝒗 ) ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 Simplificar: 𝑪𝒐𝒔 𝒙 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ∙ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙 Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

𝟏 ∫ 𝒆𝒘 𝒅𝒘 𝟓 𝟏 ∫ 𝒆𝟓𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 = 𝒆𝒘 𝟓 ∫ 𝒆𝟓𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 =

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒗

Paso 4: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒆𝟓𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 = 𝒆𝟓𝒙 + 𝟑 𝟓

∫ 𝒆𝟓𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟓𝒙 + 𝟑 𝒆 +𝑪 𝟓

Ejemplo 8 𝟏

Hallar la integral ∫ 𝒆 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝒙

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar: ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪 Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝑳𝒏 𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 (𝑳𝒏 𝒙)′ = (𝒗)′ → ( ) ∙ 𝒙′ = 𝒗′ → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒙 𝒙 c) Despejar dx: 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒅𝒗

Paso 5: Devolver el cambio de variable: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝑺𝒆𝒏 𝒙

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

Simplificar: 𝟏 𝒙 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝒙 𝒙 Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝒙 𝟏 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒗 𝒙 Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒙

𝟏 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝑳𝒏 𝒙 + 𝑪 𝒙

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒗 (𝒙 𝒅𝒗) = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝒙 𝒙 𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

23

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Hallar la integral ∫(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒆 (𝒙

𝟐

+ 𝟑𝒙 + 𝟏)

𝒅𝒙

𝟐

Hallar la integral ∫ 𝟓𝒙 𝒆 𝒙

+𝟏

𝒅𝒙

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪

∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙 ∙ 𝒙′ + 𝟑 ∙ 𝒙′ + 𝟎 = 𝒗′ (𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 (𝟐𝒙 + 𝟑)

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟏)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙 ∙ 𝒙′ + 𝟎 = 𝒗′ (𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟐 ∫ 𝟓𝒙 𝒆𝒙 +𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝟓𝒙)(𝒆𝒗 ) ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙 Simplificar: 𝟓 𝟓 𝟐 ∫ 𝟓𝒙 𝒆 𝒙 +𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝟐 𝟐

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟐 ∫(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒆 (𝒙 + 𝟑𝒙+𝟏) 𝒅𝒙 = ∫(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒆𝒗 ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙 + 𝟑 Simplificar: 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗

𝟐 + 𝟑𝒙+𝟏)

∫(𝟐𝒙 + 𝟑)𝒆 (𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟐 + 𝟑𝒙+𝟏)

∫(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒆 (𝒙

𝒅𝒙 = 𝒆𝒗

𝟐 +𝟏

∫ 𝟓𝒙 𝒆 𝒙

𝟐 + 𝟑𝒙+𝟏)

𝟐 + 𝟑𝒙+𝟏)

𝒅𝒙 = 𝒆(𝒙

𝟐 + 𝟑𝒙+𝟏)

∫(𝟐𝒙 + 𝟑)𝒆 (𝒙

𝟐 + 𝟑𝒙+𝟏)

𝒅𝒙 = 𝒆(𝒙

+𝑪

Ejemplo 11 𝟏

Hallar la integral ∫ 𝒆 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar: ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪 Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝑳𝒏 𝟑𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 (𝑳𝒏 𝟑𝒙)′ = (𝒗)′ → ( ) ∙ 𝟑𝒙′ = 𝒗′ → ( ) ∙ 𝒙′ = 𝒗′ 𝟑𝒙 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒙 c) Despejar el dx: 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒅𝒙 =

𝟓 𝒗 𝒆 𝟐

Paso 4: Devolver el cambio de variable: 𝟓 𝟐 𝟐 ∫ 𝟓𝒙 𝒆 𝒙 +𝟏 𝒅𝒙 = 𝒆 𝒙 + 𝟏 𝟐

Paso 4: Devolver el cambio de variable: ∫(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒆 (𝒙

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

𝟐 +𝟏

∫ 𝟓𝒙 𝒆 𝒙

𝒅𝒙 =

𝟓 𝒙𝟐+ 𝟏 𝒆 +𝑪 𝟐

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ (𝒆𝒗 ) (𝒙 𝒅𝒗) 𝒙 𝒙 Simplificar: 𝟏 𝒙 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝒙 𝒙 Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒗 𝒙 Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒙

𝟏 ∫ 𝒆𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝑳𝒏 𝟑𝒙 + 𝑪 𝒙

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 12

Ejemplo 13

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒆 𝑳𝒏 (𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒆 𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

Paso 1: Teorema de la inmediata a utilizar:

∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪

∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝑪

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝑳𝒏 (𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 [ 𝑳𝒏 (𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) ]′ = (𝒗)′ → ( ) (𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙)′ = 𝒗′ 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 ( ) (𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙)(𝟓𝒙)′ = 𝒗′ → 𝟓 ( ) 𝒙′ = 𝒗′ 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 [ 𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) ]′ = (𝒗)′ → ( ) (𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙)′ = 𝒗′ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 ( ) (−𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙)(𝟐𝒙)′ = 𝒗′ → −𝟐 ( ) 𝒙′ = 𝒗′ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙

NOTA: De las razones trigonométricas: 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝜶 = → 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 Reemplazar: 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 ′ 𝟓( ) 𝒙 = 𝒗′ → 𝟓𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟓𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙

NOTA: De las razones trigonométricas: 𝒔𝒆𝒏 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝜶 = → 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 Reemplazar: 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 ′ −𝟐 ( ) 𝒙 = 𝒗′ → −𝟐𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 −𝟐𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral:

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral:

∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙)(𝒆𝒗 )

∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

𝟏 𝒅𝒗 (𝟓𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙)

(𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙)𝒆𝒗 𝒅𝒗 (𝟓𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙)

∫ 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝐜𝐨 𝐬 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒈 𝟐𝒙)(𝒆𝒗 )

∫ 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ −

𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒗 𝒆 𝒅𝒗 𝟐𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙

Simplificar la cotangente:

Simplificar la tangente:

𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝟓

𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ − 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝟐

𝟏 ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝟓

𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝟐

∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙 =

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒗 𝒆 +𝑪 𝟓

Paso 4: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒆𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) + 𝑪 𝟓 ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟓𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒆 +𝑪 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝒅𝒗 (−𝟐. 𝒕𝒈 𝟐𝒙)

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = − 𝒆𝒗 + 𝑪 𝟐 Paso 4: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = − 𝒆𝑳𝒏(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝟐𝒙 𝒆𝑳𝒏(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 = − 𝒆𝑳𝒏(𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) + 𝑪 𝟐

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 14

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝒙𝟑

Hallar la integral ∫ 𝟑

+ 𝟐𝒙

√ 𝒙𝟐 + 𝟒

𝒅𝒙

∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟒) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟒)′ = (𝒗)′ → (𝒙𝟐 )′ + (𝟒)′ = 𝒗′

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟏 𝟏 𝟓/𝟑 𝟏 𝟐/𝟑 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ( 𝒗 )−( 𝒗 ) 𝟐 𝟐 𝟓/𝟑 𝟐/𝟑 √𝒙 + 𝟒

(𝒙𝟐 + 𝟒)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙 ∙ 𝒙′ = 𝒗′ → 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑 𝟓/𝟑 𝟑 𝟐/𝟑 ∫𝟑 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 √𝒙 + 𝟒

c) Despejar el dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟏 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟑 ) ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟒 √𝒗 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙

∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒗 𝟑 𝟐𝒙 √𝒗 √𝒙𝟐 + 𝟒 Simplificar por “x” el numerador y denominador:

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟏 𝟑 𝟑 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟓/𝟑 ) − ( 𝒗𝟐/𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 √𝒙 + 𝟒

Expresar la potencia como una raíz 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑 𝟑 𝟓 𝟑𝟑 𝟐 √𝒗 − √𝒗 ∫𝟑 𝒅𝒙 = 𝟏𝟎 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟒 Extraer factores de la raíz 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑𝟑 𝟐 ∫𝟑 𝒅𝒙 = 𝒗 √𝒗 − √𝒗 𝟏𝟎 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟒 Factor común:

𝟑𝟑 𝟐

√𝒗𝟐

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝒙𝟐 + 𝟐 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟑 ) 𝒅𝒗 = ∫ ( 𝟑 ) 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 √𝒗 √𝒙𝟐 + 𝟒 √𝒗

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑𝟑 𝟏 ∫𝟑 𝒅𝒙 = √𝒗𝟐 ( 𝒗 − 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟓 √𝒙 + 𝟒

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟑 ) 𝒅𝒗 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟒 √𝒗

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

Del cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟒) = 𝒗

→

𝒙𝟐 = 𝒗 − 𝟒

Sustituir en la expresión: 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟏 𝒗−𝟒+𝟐 𝟏 𝒗−𝟐 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟑 ) 𝒅𝒗 = ∫ ( 𝟑 ) 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 𝟐 √𝒗 √𝒗 √𝒙 + 𝟒 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟏 𝒗−𝟐 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟑 ) 𝒅𝒗 𝟐 √𝒗 √𝒙𝟐 + 𝟒

Separar la fracción: 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟏 𝒗 𝟐 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟑 − 𝟑 ) 𝒅𝒗 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟒 √𝒗 √𝒗 Separar los integrales: 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙

𝟏 𝒗 𝟏 𝟐 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟑 ) 𝒅𝒗 − ∫ ( 𝟑 ) 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟒 √𝒗 √𝒗 Expresar la raíz como una potencia: 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙

𝟏 𝒗 𝟐 𝟏 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟏/𝟑 ) 𝒅𝒗 − ∫ ( 𝟏/𝟑 ) 𝒅𝒗 𝟐 𝒗 𝟐 𝒗 √𝒙𝟐 + 𝟒 Aplicar propiedades de la potencia: 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟏 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟐/𝟑 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗−𝟏/𝟑 𝒅𝒗 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟒 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑𝟑 𝟏 ∫𝟑 𝒅𝒙 = √(𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 ( (𝒙𝟐 + 𝟒) − 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟓 √𝒙 + 𝟒 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑𝟑 𝟏 𝟏 ∫𝟑 𝒅𝒙 = √(𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 ( 𝒙𝟐 − ) 𝟐 𝟐 𝟓 𝟓 √𝒙 + 𝟒 Factor común: 1/5 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑 𝟏𝟑 ∫𝟑 𝒅𝒙 = ∙ √(𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟓 √𝒙 + 𝟒 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 (𝒙 − 𝟏) √(𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 ∫𝟑 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟏𝟎 √𝒙 + 𝟒

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 (𝒙 − 𝟏) √(𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 + 𝑪 ∫𝟑 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟏𝟎 √𝒙 + 𝟒 PROPIEDADES DE LA POTENCIA: 1) Producto de potencias 2) Cociente de potencias

𝒃𝒎 ∙ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 + 𝒏

𝒃𝒎 ÷ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 − 𝒏

3) Potencia de potencia

(𝒃𝒎 )𝒏 = 𝒃𝒎∙𝒏 4) Potencia de exponente negativo

𝒃−𝒎 =

𝟏 𝒃𝒎

5) Potencia de exponente fraccionado 𝒏

𝒃𝒎/𝒏 = √𝒃𝒎 José E. Ornelas G.

26

Ejemplo 15

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝒙𝟑

Hallar la integral ∫ 𝟓

+ 𝟒𝒙

√ 𝒙𝟐 + 𝟏

∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝒅𝒙

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟏)′ = (𝒗)′ → (𝒙𝟐 )′ + (𝟏)′ = 𝒗′

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟏 𝟏 𝟗/𝟓 𝟑 𝟏 𝟒/𝟓 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ( 𝒗 )+ ( 𝒗 ) 𝟐 𝟐 𝟗/𝟓 𝟐 𝟒/𝟓 √𝒙 + 𝟏

(𝒙𝟐 + 𝟏)′ = (𝒗)′ →

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓 𝟗/𝟓 𝟏𝟓 𝟒/𝟓 ∫𝟓 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒗 𝟏𝟖 𝟖 √𝒙𝟐 + 𝟏 Expresar la potencia como una raíz:

𝟐𝒙 ∙ 𝒙′ = 𝒗′

→

𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟏 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟓 )( 𝒅𝒗) 𝟐 𝟐𝒙 √𝒙 + 𝟏 √𝒗 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒗 𝟓 𝟐𝒙 √𝒗 √𝒙𝟐 + 𝟏 Simplificar por “x” el numerador y denominador: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙

𝒙𝟐 + 𝟒

∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟓 ) 𝒅𝒗 𝟐 √𝒗 √𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙

𝟏 𝒙𝟐 + 𝟒 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟓 ) 𝒅𝒗 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟏 √𝒗 Del cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝒗

→

𝒙𝟐 = 𝒗 − 𝟏

Sustituir en la expresión: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙

𝟏 𝒗−𝟏+𝟒 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟓 ) 𝒅𝒗 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟏 √𝒗 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙

𝟏 𝒗+𝟑 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟓 ) 𝒅𝒗 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟏 √𝒗 Separar la fracción: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙

𝟏 𝒗 𝟑 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟓 + 𝟓 ) 𝒅𝒗 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟏 √𝒗 √𝒗 Separar los integrales: 𝟑

𝒙 + 𝟒𝒙 𝟏 𝒗 𝟏 𝟑 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟓 ) 𝒅𝒗 + ∫ ( 𝟓 ) 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟏 √𝒗 √𝒗

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟏 𝟓 𝟑 𝟓 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟗/𝟓 ) + ( 𝒗𝟒/𝟓 ) 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒 √𝒙𝟐 + 𝟏

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓 𝟓 𝟗 𝟏𝟓 𝟓 𝟒 √𝒗 + √𝒗 ∫𝟓 𝒅𝒙 = 𝟏𝟖 𝟖 √𝒙𝟐 + 𝟏 Extraer factores de la raíz: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓 𝟓 𝟒 𝟏𝟓 𝟓 𝟒 √𝒗 ∫𝟓 𝒅𝒙 = 𝒗 √𝒗 + 𝟏𝟖 𝟖 √𝒙𝟐 + 𝟏 Factor común:

𝟓𝟓 𝟐

√𝒗𝟒

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓𝟓 𝟏 𝟑 ∫𝟓 𝒅𝒙 = √𝒗𝟒 ( 𝒗 + ) 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 √𝒙 + 𝟏 Paso 4: Devolver el cambio de variable: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓𝟓 𝟏 𝟑 ∫𝟓 𝒅𝒙 = √(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 ( (𝒙𝟐 + 𝟏) + ) 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 √𝒙 + 𝟏 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓𝟓 𝟏 𝟑𝟏 ∫𝟓 𝒅𝒙 = √(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 ( 𝒙𝟐 + ) 𝟐 𝟗 𝟑𝟔 √𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓𝟓 𝟒 𝟑𝟏 ∫𝟓 𝒅𝒙 = √(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 ( 𝒙𝟐 + ) 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 √𝒙𝟐 + 𝟏 Factor común: 1/36 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓 𝟓 𝟐 √(𝒙 + 𝟏)𝟒 (𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝟏) + 𝑪 ∫𝟓 𝒅𝒙 = 𝟕𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟏

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟓 𝟓 (𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝟏) √(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟒 + 𝑪 ∫𝟓 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟕𝟐 √𝒙 + 𝟏 PROPIEDADES DE LA POTENCIA: 1) Producto de potencias 2) Cociente de potencias

𝒃𝒎 ∙ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 + 𝒏

𝒃𝒎 ÷ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 − 𝒏

3) Potencia de potencia

Expresar la raíz como una potencia:

(𝒃𝒎 )𝒏 = 𝒃𝒎∙𝒏

𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟏 𝒗 𝟏 𝟑 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟏/𝟓 ) 𝒅𝒗 + ∫ ( 𝟏/𝟓 ) 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 𝒗 𝟐 𝒗 √𝒙 + 𝟏

4) Potencia de exponente negativo

Aplicar propiedades de la potencia: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙

𝟏 𝟑 ∫𝟓 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒/𝟓 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗−𝟏/𝟓 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟏 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒃−𝒎 =

𝟏 𝒃𝒎

5) Potencia de exponente fraccionado 𝒏

𝒃𝒎/𝒏 = √𝒃𝒎 José E. Ornelas G.

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Ejemplo 16

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝒙𝟓

Hallar la integral ∫ 𝟕

+ 𝟑𝒙𝟐

√𝒙𝟑 + 𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙𝟑 + 𝟐) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙𝟑 + 𝟐)′ = (𝒗)′ → (𝒙𝟑 )′ + (𝟐)′ = 𝒗′ (𝒙𝟑 + 𝟐)′ = (𝒗)′ → (𝟑𝒙𝟐 ) ∙ 𝒙′ = 𝒗′ → 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒅𝒗 𝟑𝒙 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: ∫

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑 + 𝟐 𝟓

∫

𝒙 + 𝟑𝒙

𝒅𝒙 = ∫ (

𝟐

𝟕

√𝒙𝟑 + 𝟐

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒗

𝟓

𝒅𝒙 = ∫ (

𝒙 + 𝟑𝒙

𝟏 ) ( 𝟐 𝒅𝒗) 𝟑𝒙

𝟕

Simplificando por “ x ” el numerador y denominador: ∫

𝟕

√𝒙𝟑

+𝟐

𝒅𝒙 = ∫ (

𝒙𝟑 + 𝟑 𝟕

𝟑 √𝒗

) 𝒅𝒗

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐

𝟏 𝒙𝟑 + 𝟑 ∫ 𝟕 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟕 ) 𝒅𝒗 𝟑 √𝒙𝟑 + 𝟐 √𝒗 Del cambio de variable: (𝒙𝟑 + 𝟐) = 𝒗

→

∫

∫

𝒙𝟑 = 𝒗 − 𝟐

∫

𝟏 𝒗−𝟐+𝟑 ∫ 𝟕 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟕 ) 𝒅𝒗 𝟑 √𝒙𝟑 + 𝟐 √𝒗 𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐

𝟏 𝒗+𝟏 ∫ 𝟕 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟕 ) 𝒅𝒗 𝟑 √𝒙𝟑 + 𝟐 √𝒗

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

∫

𝒙 + 𝟑𝒙 𝟕

√𝒙𝟑

𝟐

+𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒗 𝟏 ∫ ( 𝟕 + 𝟕 ) 𝒅𝒗 𝟑 √𝒗 √𝒗

Separar los integrales: ∫

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

+𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒗 𝟏 𝟏 ∫ ( 𝟕 ) 𝒅𝒗 + ∫ ( 𝟕 ) 𝒅𝒗 𝟑 𝟑 √𝒗 √𝒗

Expresar la raíz como una potencia: 𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐

𝟏 𝒗 𝟏 𝟏 ∫ 𝟕 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟏/𝟕 ) 𝒅𝒗 + ∫ ( 𝟏/𝟕 ) 𝒅𝒗 𝟑 𝟑 𝒗 𝟑 𝒗 √𝒙 + 𝟐 Aplicar propiedades de la potencia: 𝟓

∫

𝒙 + 𝟑𝒙 𝟕

𝟐

√𝒙𝟑 + 𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 ∫ 𝒗𝟔/𝟕 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗−𝟏/𝟕 𝒅𝒗 𝟑 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

+𝟐

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑 + 𝟐

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑 + 𝟐

∫

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

+𝟐

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟔/𝟕 ( 𝒗𝟏𝟑/𝟕 ) + ( 𝒗 ) 𝟑 𝟏𝟑/𝟕 𝟑 𝟔/𝟕

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟕 𝟏𝟑/𝟕 𝟏 𝟕 ( 𝒗 ) + ( 𝒗𝟔/𝟕 ) 𝟑 𝟏𝟑 𝟑 𝟔

𝒅𝒙 =

𝟕 𝟏𝟑/𝟕 𝟕 𝟔/𝟕 𝒗 + 𝒗 𝟑𝟗 𝟏𝟖

𝒅𝒙 =

𝟕 𝟕 𝟏𝟑 𝟕 𝟕 𝟔 √𝒗 + √𝒗 𝟑𝟗 𝟏𝟖

+𝟐

𝒅𝒙 =

𝟕 𝟕 𝟔 𝟕 𝟕 𝟔 √𝒗 + 𝑪 𝒗 √𝒗 + 𝟑𝟗 𝟏𝟖

𝒅𝒙 =

𝟒𝟐 𝟕 𝟔 𝟗𝟏 𝟕 𝟔 √𝒗 + 𝑪 𝒗 √𝒗 + 𝟐𝟑𝟒 𝟐𝟑𝟒

Factor común: ∫

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

+𝟐

𝟕 𝟕 𝟐𝟑𝟒

. 𝒅𝒙 =

√𝒗𝟔 𝟕 𝟕 𝟔 √𝒗 (𝟔𝒗 + 𝟏𝟑) 𝟐𝟑𝟒

Paso 4: Devolver el cambio de variable: ∫

∫

∫

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

+𝟐

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

+𝟐

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑

Separar la fracción: 𝟓

+𝟐

𝒅𝒙 =

Extraer factores de la raíz:

Sustituir en la expresión: 𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

Expresar la potencia como una raíz:

) 𝒅𝒗

2

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐

∫

∫

𝟐

𝟑𝒙𝟐 √𝒗

∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

∫

+𝟐

𝒅𝒙 =

𝟕 𝟕 𝟑 √(𝒙 + 𝟐)𝟔 (𝟔(𝒙𝟑 + 𝟐) + 𝟏𝟑) 𝟐𝟑𝟒

𝒅𝒙 =

𝟕 𝟕 𝟑 √(𝒙 + 𝟐)𝟔 (𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟑) 𝟐𝟑𝟒

𝒅𝒙 =

𝟕 𝟕 𝟑 √(𝒙 + 𝟐)𝟔 (𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝟓) 𝟐𝟑𝟒

𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝟕

√𝒙𝟑 + 𝟐

𝒅𝒙 =

𝟕 𝟕 (𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝟓) √(𝒙𝟑 + 𝟐)𝟔 + 𝑪 𝟐𝟑𝟒

PROPIEDADES DE LA POTENCIA: 1) Producto de potencias 2) Cociente de potencias

𝒃𝒎 ∙ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 + 𝒏

𝒃𝒎 ÷ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 − 𝒏

3) Potencia de potencia

(𝒃𝒎 )𝒏 = 𝒃𝒎∙𝒏 4) Potencia de exponente negativo

𝒃−𝒎 =

𝟏 𝒃𝒎

5) Potencia de exponente fraccionado 𝒏

𝒃𝒎/𝒏 = √𝒃𝒎 José E. Ornelas G.

28

Ejemplo 17

𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = 𝟑

Hallar la integral ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙 + 𝟗) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙 + 𝟗)′ = (𝒗)′ → (𝒙)′ + (𝟗)′ = 𝒗′ 𝒙′ = 𝒗 ′

→

c) Despejar dx: 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒙 √𝒗) 𝒅𝒗 𝟑

Expresar la potencia como una raíz: 𝟑𝟑 𝟐𝟕 𝟑 𝟒 𝟑 √𝒗 ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = √𝒗𝟕 − 𝟕 𝟒 𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 =

Factor común:

𝟑

𝟑

𝟑

𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = 𝟑

𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 − 𝟗) √𝒗 𝒅𝒗 𝟑

𝟑 𝟑 (𝒙 + 𝟗) √(𝒙 + 𝟗) (𝟒(𝒙 + 𝟗) − 𝟔𝟑) 𝟐𝟖

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 =

Sustituir en la expresión:

𝟑

𝟑 𝟑 𝒗 √𝒗 (𝟒𝒗 − 𝟔𝟑) 𝟐𝟖

𝟑 𝟑 (𝒙 + 𝟗) √(𝒙 + 𝟗) (𝟒𝒙 + 𝟑𝟔 − 𝟔𝟑) 𝟐𝟖 𝟑 𝟑 𝟑 (𝒙 + 𝟗) √(𝒙 + 𝟗) (𝟒𝒙 − 𝟐𝟕) ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = 𝟐𝟖

𝒙= 𝒗−𝟗

𝟑

𝒗 √𝒗

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

Del cambio de variable: →

𝟑

𝟐𝟖

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 =

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 √𝒗 𝒅𝒗

(𝒙 + 𝟗) = 𝒗

𝟏𝟐 𝟑 𝟕 𝟏𝟖𝟗 𝟑 𝟒 √𝒗 − √𝒗 𝟐𝟖 𝟐𝟖

Extraer factores de la raíz: 𝟏𝟐 𝟐 𝟑 𝟏𝟖𝟗 𝟑 𝟑 ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = 𝒗 √𝒗 − 𝒗 √𝒗 𝟐𝟖 𝟐𝟖

𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝟑

𝟑 𝟕/𝟑 𝟐𝟕 𝟒/𝟑 𝒗 − 𝒗 𝟕 𝟒

𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 √𝒗 − 𝟗 √𝒗) 𝒅𝒗

𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 =

𝟑 𝟑 (𝒙 + 𝟗)(𝟒𝒙 − 𝟐𝟕) √(𝒙 + 𝟗) + 𝑪 𝟐𝟖

Separar los integrales: 𝟑

𝟑

𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 √𝒗) 𝒅𝒗 − ∫(𝟗 √𝒗) 𝒅𝒗 𝟑

𝟑

𝒃𝒎 ∙ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 + 𝒏

𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 √𝒗 𝒅𝒗 − 𝟗 ∫ √𝒗 𝒅𝒗

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 ∙ 𝒗

𝟏/𝟑

𝒅𝒗 − 𝟗 ∫ 𝒗

𝒃𝒎 ÷ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 − 𝒏

3) Potencia de potencia

(𝒃𝒎 )𝒏 = 𝒃𝒎∙𝒏

Expresar la raíz como una potencia: 𝟑

PROPIEDADES DE LA POTENCIA: 1) Producto de potencias 2) Cociente de potencias

4) Potencia de exponente negativo 𝟏/𝟑

𝒅𝒗

Aplicar propiedades de la potencia:

𝒃−𝒎 =

𝟏 𝒃𝒎

5) Potencia de exponente fraccionado 𝒏

𝒃𝒎/𝒏 = √𝒃𝒎

𝟑

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒/𝟑 𝒅𝒗 − 𝟗 ∫ 𝒗𝟏/𝟑 𝒅𝒗 Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟕/𝟑 𝟏 𝟒/𝟑 𝟑 ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ( 𝒗 ) −𝟗( 𝒗 ) 𝟕/𝟑 𝟒/𝟑 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟑 𝟑 𝟑 ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟕/𝟑 ) − 𝟗 ( 𝒗𝟒/𝟑 ) 𝟕 𝟒

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

29

Ejemplo 18

𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟔

Hallar la integral ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 𝟔

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙𝟐 − 𝟒) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙𝟐 − 𝟒)′ = (𝒗)′ → (𝒙𝟐 )′ − (𝟒)′ = 𝒗′ 𝟐𝒙 ∙ 𝒙′ = 𝒗′

→

𝟔

𝒙𝟑 √ 𝒗 − 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙

Simplificar por “x” el numerador y denominador: 𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟔 ∫ 𝒙𝟐 √𝒗 𝒅𝒗 𝟐

Del cambio de variable: (𝒙𝟐 − 𝟒) = 𝒗 → 𝒙𝟐 = 𝒗 + 𝟒 Sustituir en la expresión: 𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟔

𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = Factor común:

𝟑 𝟗𝟏

Expresar la raíz como una potencia: 𝟏 − 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 ∙ 𝒗𝟏/𝟔 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫ 𝒗𝟏/𝟔 𝒅𝒗 𝟐

Aplicar propiedades de la potencia: 𝟏 𝟔 ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟕/𝟔 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫ 𝒗𝟏/𝟔 𝒅𝒗 𝟐

𝟑 𝟏𝟑/𝟔 𝟏𝟐 𝟕/𝟔 𝒗 + 𝒗 𝟏𝟑 𝟕

𝟑 𝟔 𝟏𝟑 𝟏𝟐 𝟔 𝟕 √𝒗 + √𝒗 𝟏𝟑 𝟕 𝟐𝟏 𝟔 𝟏𝟑 𝟏𝟓𝟔 𝟔 𝟕 √𝒗 + √𝒗 𝟗𝟏 𝟗𝟏 𝟐𝟏 𝟐 𝟔 𝟏𝟓𝟔 𝟔 𝒗 √𝒗 + 𝒗 √𝒗 𝟗𝟏 𝟗𝟏

𝟔

𝒗 √𝒗

𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟑 𝟔 𝒗 √𝒗 (𝟕𝒗 + 𝟓𝟐) 𝟗𝟏

Paso 4: Devolver el cambio de variable: 𝟔

𝟑 𝟐 𝟔 (𝒙 − 𝟒) √(𝒙𝟐 − 𝟒) (𝟕(𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝟓𝟐) 𝟗𝟏

𝟔

𝟑 𝟐 𝟔 (𝒙 − 𝟒) √(𝒙𝟐 − 𝟒)(𝟕𝒙𝟐 − 𝟐𝟖 + 𝟓𝟐) 𝟗𝟏

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟔 𝟔 ∫ 𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 √𝒗 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫ √𝒗 𝒅𝒗 𝟐

𝟏 𝟔 𝟏𝟑/𝟔 𝟔 ( 𝒗 ) + 𝟐 ( 𝒗𝟕/𝟔 ) 𝟐 𝟏𝟑 𝟕

Extraer factores de la raíz

𝟏 𝟔 𝟔 ∫(𝒗 √𝒗 + 𝟒 √𝒗)𝒅𝒗 𝟐

𝟏 𝟒 𝟔 𝟔 ∫ 𝒗 √𝒗 𝒅𝒗 + ∫ √𝒗 𝒅𝒗 𝟐 𝟐

𝟏 𝟏 𝟏 𝟕/𝟔 ( 𝒗𝟏𝟑/𝟔 ) + 𝟐 ( 𝒗 ) 𝟐 𝟏𝟑/𝟔 𝟕/𝟔

Expresar la potencia como una raíz

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟑𝟔

𝟔 ∫ 𝒙𝟑 √ 𝒙𝟐

𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟔 ∫(𝒗 + 𝟒) √𝒗 𝒅𝒗 𝟐

Separar los integrales: 𝟏 𝟏 𝟔 𝟔 𝟔 ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 √𝒗) 𝒅𝒗 + ∫(𝟒 √𝒗)𝒅𝒗 𝟐 𝟐 ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟔 𝟔 ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = ∫(𝒙𝟑 √𝒗) ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙 𝟔 ∫ 𝒙𝟑 √ 𝒙𝟐

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟏 ∫ 𝒗𝟕/𝟔 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫ 𝒗𝟏/𝟔 𝒅𝒗 𝟐

𝟔

𝟑 𝟐 𝟔 (𝒙 − 𝟒) √(𝒙𝟐 − 𝟒) (𝟕𝒙𝟐 + 𝟐𝟒) 𝟗𝟏

𝟔

∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟑 𝟐 𝟔 (𝒙 − 𝟒)(𝟕𝒙𝟐 + 𝟐𝟒) √(𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝑪 𝟗𝟏

PROPIEDADES DE LA POTENCIA: 1) Producto de potencias 2) Cociente de potencias

𝒃𝒎 ∙ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 + 𝒏

𝒃𝒎 ÷ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 − 𝒏

3) Potencia de potencia

(𝒃𝒎 )𝒏 = 𝒃𝒎∙𝒏 4) Potencia de exponente negativo

𝒃−𝒎 =

𝟏 𝒃𝒎

5) Potencia de exponente fraccionado 𝒏

𝒃𝒎/𝒏 = √𝒃𝒎

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

30

Ejemplo 19

𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟏𝟑/𝟒 ) − 𝟏𝟖 ( 𝒗𝟗/𝟒 ) + 𝟖𝟏 ( 𝒗𝟓/𝟒 ) 𝟏𝟑 𝟗 𝟓

𝟒

Hallar la integral ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙 + 𝟗) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙 + 𝟗)′ = (𝒗)′ → (𝒙)′ + (𝟗)′ = 𝒗′

𝟒 𝟑𝟐𝟒 𝟓/𝟒 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟏𝟑/𝟒 ) − (𝟖𝒗𝟗/𝟒 ) + ( 𝒗 ) 𝟏𝟑 𝟓 Expresar la potencia como una raíz: 𝟒 𝟒 𝟏𝟑 𝟑𝟐𝟒 𝟒 𝟓 𝟒 𝟒 √𝒗 ) √𝒗 ) − (𝟖 √𝒗𝟗 ) + ( ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ( 𝟏𝟑 𝟓

𝒙′ = 𝒗′ → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejar dx: 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

Extraer factores de la raíz:

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟒

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒙𝟐 √𝒗) 𝒅𝒗

𝟒

𝟒 𝟑𝟒 𝟑𝟐𝟒 𝟒 𝟒 𝒗 √𝒗 − 𝟖𝒗𝟐 √𝒗 + 𝒗 √𝒗 𝟏𝟑 𝟓 𝟐𝟎 𝟑 𝟒 𝟓𝟐𝟎 𝟐 𝟒 𝟒𝟐𝟏𝟐 𝟒 𝒗 √𝒗 − 𝒗 √𝒗 + 𝒗 √𝒗 𝟔𝟓 𝟔𝟓 𝟔𝟓

𝟒

Factor común: 𝟔𝟓 𝒗 𝟒√𝒗

(𝒙 + 𝟗) = 𝒗 → 𝒙 = 𝒗 − 𝟗

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 =

Sustituir en la expresión: 𝟒

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 =

Del cambio de variable:

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 − 𝟗)𝟐 √𝒗 𝒅𝒗

𝟒 (𝒙 + 𝟗) 𝟒√(𝒙 + 𝟗) [ 𝟓(𝒙 + 𝟗)𝟐 − 𝟏𝟑𝟎(𝒙 + 𝟗) + 𝟏𝟎𝟓𝟑 ] 𝟔𝟓

Resolver el producto notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐

(𝒗 − 𝟗)𝟐 = 𝒗𝟐 − 𝟐. 𝒗. 𝟗 + 𝟗𝟐 (𝒗 − 𝟗)𝟐 = 𝒗𝟐 − 𝟏𝟖𝒗 + 𝟖𝟏

(𝒙 + 𝟗)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐(𝒙)(𝟗) + 𝟗𝟐

𝟒

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟐 − 𝟏𝟖𝒗 + 𝟖𝟏) √𝒗 𝒅𝒗 𝟐𝟒

𝟒 𝟒 𝒗 √𝒗 [ 𝟓𝒗𝟐 − 𝟏𝟑𝟎𝒗 + 𝟏𝟎𝟓𝟑 ] 𝟔𝟓

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

Resolver el producto notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐

𝟐𝟒

𝟒 𝟕𝟐 𝟑𝟐𝟒 𝟓/𝟒 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟏𝟑/𝟒 ) − ( 𝒗𝟗/𝟒 ) + ( 𝒗 ) 𝟏𝟑 𝟗 𝟓

𝟒

𝟒

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 √𝒗 − 𝟏𝟖𝒗 √𝒗 + 𝟖𝟏 √𝒗)𝒅𝒗 Expresar la raíz como una potencia

(𝒙 + 𝟗)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 + 𝟖𝟏 𝟒 (𝒙 + 𝟗) 𝟒√(𝒙 + 𝟗) [ 𝟓𝒙𝟐 + 𝟗𝟎𝒙 + 𝟒𝟎𝟓 − 𝟏𝟑𝟎𝒙 − 𝟏𝟏𝟕𝟎 + 𝟏𝟎𝟓𝟑 ] 𝟔𝟓

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟒 (𝒙 + 𝟗) 𝟒√(𝒙 + 𝟗) [ 𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝟎𝒙 + 𝟐𝟖𝟖 ] 𝟔𝟓

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟐 ∙ 𝒗𝟏/𝟒 − 𝟏𝟖𝒗 ∙ 𝒗𝟏/𝟒 + 𝟖𝟏𝒗𝟏/𝟒 ) 𝒅𝒗 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =

Aplicar propiedades de la potencia:

𝟒 𝟒 (𝒙 + 𝟗)(𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝟎𝒙 + 𝟐𝟖𝟖) √(𝒙 + 𝟗) + 𝑪 𝟔𝟓

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟗/𝟒 − 𝟏𝟖𝒗𝟓/𝟒 + 𝟖𝟏𝒗𝟏/𝟒 ) 𝒅𝒗 Separar los integrales: 𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟗/𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝟏𝟖𝒗𝟓/𝟒 𝒅𝒗 + ∫ 𝟖𝟏𝒗𝟏/𝟒 𝒅𝒗 𝟐𝟒

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟗/𝟒 𝒅𝒗 − 𝟏𝟖 ∫ 𝒗𝟓/𝟒 𝒅𝒗 + 𝟖𝟏 ∫ 𝒗𝟏/𝟒 𝒅𝒗

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (

PROPIEDADES DE LA POTENCIA: 1) Producto de potencias 2) Cociente de potencias

𝒃𝒎 ∙ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 + 𝒏

𝒃𝒎 ÷ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 − 𝒏

3) Potencia de potencia

(𝒃𝒎 )𝒏 = 𝒃𝒎∙𝒏 4) Potencia de exponente negativo

𝒃−𝒎 =

𝟏 𝒃𝒎

5) Potencia de exponente fraccionado 𝒏

𝒃𝒎/𝒏 = √𝒃𝒎

𝟏 𝟏𝟑/𝟒 𝟏 𝟏 𝒗 ) − 𝟏𝟖 ( 𝒗𝟗/𝟒 ) + 𝟖𝟏 ( 𝒗𝟓/𝟒 ) 𝟏𝟑 𝟗 𝟓 𝟒 𝟒 𝟒

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

31

Ejemplo 20

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟓𝟒

Hallar la integral ∫ 𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝒙𝟐 − 𝟓) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝒙𝟐 − 𝟓)′ = (𝒗)′ → (𝒙𝟐 )′ − (𝟓)′ = 𝒗′ (𝟐𝒙) ∙ 𝒙′ = 𝒗′ → 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟒 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = ∫(𝒙𝟓 √𝒗) ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙 𝟒

𝒙𝟓 √ 𝒗 ∫ 𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙 𝟐𝟒

∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟒 − 𝟓 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟒 √𝒗 𝒅𝒗 𝟐

Del cambio de variable: (𝒙𝟐 − 𝟓) = 𝒗

→

𝒙𝟐 = 𝒗 + 𝟓 → 𝒙 = √𝒗 + 𝟓

Sustituir en la expresión: 𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √ 𝒙𝟐

𝟏 𝟒 𝟒 ∫(√𝒗 + 𝟓) √𝒗 𝒅𝒗 𝟐

𝟏 𝟒 − 𝟓 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 + 𝟓)𝟐 √𝒗 𝒅𝒗 𝟐

Resolver el producto de notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐

𝟏 𝟒 𝟏𝟑/𝟒 𝟒 𝟐𝟓 𝟒 𝟓/𝟒 ( 𝒗 ) + 𝟓 ( 𝒗𝟗/𝟒 ) + ( 𝒗 ) 𝟐 𝟏𝟑 𝟗 𝟐 𝟓

𝟐 𝟐𝟎 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟏𝟑/𝟒 ) + ( 𝒗𝟗/𝟒 ) + (𝟏𝟎𝒗𝟓/𝟒 ) 𝟏𝟑 𝟗

Expresar la potencia como una raíz: 𝟐 𝟒 𝟏𝟑 𝟐𝟎 𝟒 𝟗 𝟒 𝟒 √𝒗 ) + ( √𝒗 ) + (𝟏𝟎 √𝒗𝟓 ) ∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = ( 𝟏𝟑 𝟗

Extraer factores de la raíz: 𝟐 𝟐𝟎 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟑 √𝒗) + ( 𝒗𝟐 √𝒗) + (𝟏𝟎𝒗 √𝒗) 𝟏𝟑 𝟗 𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =

Factor común:

Simplificar por “x” el numerador y denominador: 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √ 𝒙𝟐

𝟏 𝟏 𝟏 𝟗/𝟒 𝟐𝟓 𝟏 𝟓/𝟒 ( 𝒗𝟏𝟑/𝟒 ) + 𝟓 ( 𝒗 )+ ( 𝒗 ) 𝟐 𝟏𝟑/𝟒 𝟗/𝟒 𝟐 𝟓/𝟒

𝟐 𝟏𝟏𝟕

𝟏𝟖 𝟑 𝟒 𝟐𝟔𝟎 𝟐 𝟒 𝟏𝟏𝟕𝟎 𝟒 𝒗 √𝒗 + 𝒗 √𝒗 + 𝒗 √𝒗 𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟏𝟕 𝟒

𝒗 √𝒗

𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟒 𝒗 √𝒗 (𝟗𝒗𝟐 + 𝟏𝟑𝟎𝒗 + 𝟓𝟖𝟓) 𝟏𝟏𝟕

Paso 4: Devolver el cambio de variable: 𝟐 𝟒 (𝒙𝟐 − 𝟓) √(𝒙𝟐 − 𝟓) (𝟗(𝒙𝟐 − 𝟓)𝟐 + 𝟏𝟑𝟎(𝒙𝟐 − 𝟓) + 𝟓𝟖𝟓) 𝟏𝟏𝟕

Resolver el producto de notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟓)𝟐 = (𝒙𝟐 )𝟐 − 𝟐(𝒙𝟐 )(𝟓) + (𝟓)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟓)𝟐 = 𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 𝟒 (𝒙𝟐 − 𝟓) √(𝒙𝟐 − 𝟓) (𝟗𝒙𝟒 − 𝟗𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝟓 + 𝟏𝟑𝟎𝒙𝟐 − 𝟔𝟓𝟎 + 𝟓𝟖𝟓) 𝟏𝟏𝟕

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟒 (𝒙𝟐 − 𝟓) √(𝒙𝟐 − 𝟓) (𝟗𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝟎) 𝟏𝟏𝟕

(𝒗 + 𝟓)𝟐 = 𝒗𝟐 + 𝟐(𝒗)(𝟓) + 𝟓𝟐 (𝒗 + 𝟓)𝟐 = 𝒗𝟐 + 𝟏𝟎𝒗 + 𝟐𝟓 𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟒 ∫(𝒗𝟐 + 𝟏𝟎𝒗 + 𝟐𝟓). √𝒗 𝒅𝒗 𝟐

𝟏 𝟒 𝟒 𝟒 ∫ 𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟐 √𝒗 + 𝟏𝟎𝒗 √𝒗 + 𝟐𝟓 √𝒗) 𝒅𝒗 𝟐 𝟐𝟒

Expresar la raíz como una potencia: 𝟏 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟐 . 𝒗𝟏/𝟒 + 𝟏𝟎𝒗. 𝒗𝟏/𝟒 + 𝟐𝟓. 𝒗𝟏/𝟒 )𝒅𝒗 𝟐

𝟏 ∫(𝒗𝟗/𝟒 + 𝟏𝟎𝒗𝟓/𝟒 + 𝟐𝟓𝒗𝟏/𝟒 )𝒅𝒗 𝟐 Separar los integrales: 𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 =

𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √ 𝒙𝟐

𝟏 𝟐𝟓 ∫ 𝒗𝟏/𝟒 𝒅𝒗 − 𝟓 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟗/𝟒 𝒅𝒗 + 𝟓 ∫ 𝒗𝟓/𝟒 𝒅𝒗 + 𝟐 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟒 (𝒙𝟐 − 𝟓)(𝟗𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝟎) √(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟏𝟏𝟕

PROPIEDADES DE LA POTENCIA: 1) Producto de potencias 2) Cociente de potencias

𝒃𝒎 ∙ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 + 𝒏

𝒃𝒎 ÷ 𝒃𝒏 = 𝒃𝒎 − 𝒏

3) Potencia de potencia

(𝒃𝒎 )𝒏 = 𝒃𝒎∙𝒏 4) Potencia de exponente negativo

𝒃−𝒎 =

𝟏 𝒃𝒎

5) Potencia de exponente fraccionado 𝒏

𝒃𝒎/𝒏 = √𝒃𝒎

José E. Ornelas G.

32

Ejemplo 21 Hallar la integral ∫

Ejemplo 22 𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝒙𝟐 − 𝟒

𝒅𝒙

Hallar la integral ∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝒙𝟐 − 𝟓

𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable:

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable:

a) Cambio de variable:

a) Cambio de variable:

𝟐

𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) = 𝒗

𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: [ 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) ]′ = (𝒗)′ 𝟏 (𝟐𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ − 𝟒) 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐 (𝒙 − 𝟒)

(𝒙𝟐

𝟏 → ∙ (𝒙𝟐 − 𝟒)′ = 𝒗′ 𝟐 (𝒙 − 𝟒) 𝟐𝒙 → 𝒙′ = 𝒗 ′ 𝟐 (𝒙 − 𝟒)

b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 [𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓)]′ = (𝒗)′ → ∙ (𝒙𝟐 − 𝟓)′ = 𝒗′ 𝟐 (𝒙 − 𝟓) 𝟏 𝟐𝒙 (𝟐𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → 𝒙′ = 𝒗 ′ 𝟐 𝟐 (𝒙 − 𝟓) (𝒙 − 𝟓) 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐 (𝒙 − 𝟓)

c) Despejar dx:

c) Despejar dx:

(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙

𝒅𝒙 =

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral:

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral:

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝒙 ∙ (𝒗) 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 ∙( ) 𝒅𝒗 𝟐 (𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟒) 𝟐𝒙

Simplificar:

∫

(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝒅𝒗 𝟐𝒙

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝒙 ∙ (𝒗) 𝒙𝟐 − 𝟓 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 ∙( ) 𝒅𝒗 𝟐 (𝒙 − 𝟓) (𝒙 − 𝟓) 𝟐𝒙

Simplificar:

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 𝒅𝒗 (𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟐

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 𝒅𝒗 (𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟐

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 𝒅𝒗 (𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟐

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 𝒅𝒗 (𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟐

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟐 ) 𝟐 (𝒙 − 𝟒) 𝟐 𝟏+𝟏

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟐 ) 𝟐 (𝒙 − 𝟓) 𝟐 𝟏+𝟏

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟐 ) 𝟐 (𝒙 − 𝟒) 𝟐 𝟐

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟐 ) 𝟐 (𝒙 − 𝟓) 𝟐 𝟐

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐 𝟐 (𝒙 − 𝟒) 𝟒

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒗𝟐 𝟐 (𝒙 − 𝟓) 𝟒

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

𝟐

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒) 𝟏 𝒅𝒙 = [ 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) ]𝟐 + 𝑪 𝟐 (𝒙 − 𝟒) 𝟒 ∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) 𝟏 𝒅𝒙 = [ 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟒) ]𝟐 + 𝑪 𝟐 (𝒙 − 𝟒) 𝟒

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟏 𝒅𝒙 = [ 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) ]𝟐 + 𝑪 𝟐 (𝒙 − 𝟓) 𝟒 ∫

𝒙𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) 𝟏 𝒅𝒙 = [ 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟓) ]𝟐 + 𝑪 𝟐 (𝒙 − 𝟓) 𝟒

José E. Ornelas G.

33

Ejemplo 23

Ejemplo 24

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 (𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔 (𝒙𝟑 − 𝟐)𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

(𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝒗

(𝒙𝟑 − 𝟐) = 𝒗

b) Derivar el cambio de variable: 𝟐

′

(𝒗)′

(𝒙 + 𝟏) = (𝟐𝒙) ∙ 𝒙′ = 𝒗′

→

(𝒙𝟐 )′

→

𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

+ (𝟏)′ = 𝒗

b) Derivar el cambio de variable: ′

(𝒙𝟑 − 𝟐)′ = (𝒗)′

→

(𝒙𝟑 )′ − (𝟐)′ = 𝒗′

(𝟑𝒙𝟐 ) ∙ 𝒙′ = 𝒗′

→

𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒅𝒗 𝟑𝒙

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral:

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral:

𝟏 ∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏(𝒗) ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙

𝟏 ∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟐)𝒅𝒙 = ∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔 (𝒗) ( 𝟐 ) 𝒅𝒗 𝟑𝒙

∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 = ∫

𝒙 𝑺𝒆𝒏(𝒗) 𝒅𝒗 𝟐𝒙

∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟐) 𝒅𝒙 = ∫

𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔 (𝒗) 𝒅𝒗 𝟑𝒙𝟐

Simplificar:

Simplificar:

𝟏 ∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 𝟐

𝟓 ∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟐) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 (𝒗) 𝒅𝒗 𝟑

∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 =

𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 𝟐

𝟓 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟑

∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟐) 𝒅𝒙 =

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

𝟏 ∙ (−𝑪𝒐𝒔 𝒗) 𝟐

∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟐)𝒅𝒙 =

𝟓 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟑

𝟏 ∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝟐

∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟐)𝒅𝒙 =

𝟓 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟑

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

𝟏 ∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 (𝒙𝟐 + 𝟏) 𝟐

∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟐)𝒅𝒙 =

∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙 =

𝟏 ∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 (𝒙𝟐 + 𝟏) + 𝑪 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟓 𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟑 − 𝟐) 𝟑

∫ 𝟓𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟑 − 𝟐)𝒅𝒙 =

𝟓 𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟑 − 𝟐) + 𝑪 𝟑

José E. Ornelas G.

34

Ejemplo 25

Ejemplo 26

Hallar la integral ∫

𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝟑𝒙

𝒅𝒙

Hallar la integral ∫

𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝟓𝒙

𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝑳𝒏 𝟔𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝑳𝒏 𝟔𝒙)′ = 𝒗′ (𝑳𝒏 𝟔𝒙)′ = (𝒗)′ →

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝑳𝒏 𝟖𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝑳𝒏 𝟖𝒙)′ = 𝒗′ (𝑳𝒏 𝟖𝒙)′ = (𝒗)′ →

𝟏 ( ) (𝟔𝒙)′ = 𝒗′ 𝟔𝒙 𝟔 ( ) 𝒙′ = 𝒗 ′ 𝟔𝒙

𝟏 ( ) (𝟖𝒙)′ = 𝒗′ 𝟖𝒙 𝟖 ( ) 𝒙′ = 𝒗′ 𝟖𝒙

→ →

𝟏 ( ) 𝟔𝒙′ = 𝒗′ 𝟔𝒙 𝟏 ( ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒙

→

𝟏 ) 𝟖𝒙′ = 𝒗′ 𝟖𝒙 𝟏 ( ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒙

(

→

c) Despejar dx: 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒅𝒗

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝑺𝒆𝒏 (𝒗) ∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙 𝒅𝒗) 𝟑𝒙 𝟑𝒙

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝑪𝒐𝒔 (𝒗) ∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙 𝒅𝒗) 𝟓𝒙 𝟓𝒙

∫

𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝒙𝑺𝒆𝒏 (𝒗) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒗 𝟑𝒙 𝟑𝒙

Simplificar: 𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝑺𝒆𝒏 (𝒗) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒗 𝟑𝒙 𝟑 𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 𝟑𝒙 𝟑

∫

𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝒙𝑪𝒐𝒔 (𝒗) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒗 𝟓𝒙 𝟓𝒙

Simplificar: 𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝑪𝒐𝒔 (𝒗) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒗 𝟓𝒙 𝟓 𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟓𝒙 𝟓

∫

∫

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

∫

𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝟏 𝒅𝒙 = (−𝑪𝒐𝒔 𝒗) 𝟑𝒙 𝟑

∫

𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝟏 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒗) 𝟓𝒙 𝟓

∫

𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝟏 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝟑𝒙 𝟑

∫

𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝟏 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟓𝒙 𝟓

Paso 4: Devolver el cambio de variable: ∫

𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝟏 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝟑𝒙 𝟑 ∫

𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟔𝒙) 𝟏 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟔𝒙) + 𝑪 𝟑𝒙 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

Paso 4: Devolver el cambio de variable: ∫

𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝟏 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝟓𝒙 𝟓 ∫

𝑪𝒐𝒔(𝑳𝒏 𝟖𝒙) 𝟏 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏(𝑳𝒏 𝟖𝒙) + 𝑪 𝟓𝒙 𝟓

José E. Ornelas G.

35

Ejemplo 27

Ejemplo 28

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝒕𝒂𝒈 (𝒙𝟐 + 𝟗) 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝒄𝒕𝒈 (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

(𝒙𝟐 + 𝟗) = 𝒗

(𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝒗

b) Derivar el cambio de variable:

b) Derivar el cambio de variable:

(𝒙𝟐 + 𝟗)′ = (𝒗)′

(𝒙𝟐 − 𝟏)′ = (𝒗)′

′

𝟐𝒙 ∙ 𝒙 = 𝒗

′

(𝒙𝟐 )′ + (𝟗)′ = 𝒗′

→ →

𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

′

𝟐𝒙 ∙ 𝒙 = 𝒗

′

→

(𝒙𝟐 )′ − (𝟏)′ = 𝒗′

→

𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙

c) Despejar el dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral:

Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral:

𝟏 ∫ 𝒙𝒕𝒂𝒈(𝒙𝟐 + 𝟗) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙(𝒕𝒂𝒈 𝒗) ( 𝒅𝒗) 𝟐𝒙

∫ 𝒙𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙(𝒄𝒕𝒈 𝒗) (

∫ 𝒙𝒕𝒂𝒈(𝒙𝟐 + 𝟗) 𝒅𝒙 = ∫

𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒗 𝒅𝒗 𝟐𝒙

Simplificar ∫ 𝒙𝒕𝒂𝒈(𝒙𝟐 + 𝟗) 𝒅𝒙 =

∫ 𝒙𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 = ∫

𝟏 𝒅𝒗) 𝟐𝒙

𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒗 𝒅𝒗 𝟐𝒙

Simplificar 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒗 𝒅𝒗 𝟐

∫ 𝒙𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 =

𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒗 𝒅𝒗 𝟐

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 𝒙 | + 𝑪

∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒏 𝒙 | + 𝑪

∫ 𝒙𝒕𝒂𝒈(𝒙𝟐 + 𝟗) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 𝒗 | 𝟐

Paso 4: Devolver el cambio de variable: ∫ 𝒙𝒕𝒂𝒈(𝒙𝟐 + 𝟗) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 (𝒙𝟐 + 𝟗) | 𝟐

∫ 𝒙𝒕𝒂𝒈(𝒙𝟐 + 𝟗) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 (𝒙𝟐 + 𝟗) | + 𝑪 𝟐

∫ 𝒙𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒏 𝒗 | 𝟐

Paso 4: Devolver el cambio de variable: ∫ 𝒙𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟏) | 𝟐

∫ 𝒙𝒄𝒕𝒈(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟏) | + 𝑪 𝟐

Ejemplo 29

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈 (𝟕𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 𝒙 | + 𝑪

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝟕𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝟕𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟕𝒙′ = 𝒗′ → 𝟕𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟕 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈(𝟕𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒈 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒗 𝒅𝒗 𝟕 𝟕 Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒕𝒂𝒈(𝟕𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒄 𝒗) 𝟕

Paso 4: Devolver el cambio de variable: ∫ 𝒕𝒂𝒈(𝟕𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 (𝟕𝒙) | 𝟕

∫ 𝒕𝒂𝒈(𝟕𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 (𝟕𝒙) | + 𝑪 𝟕

José E. Ornelas G.

36

Ejemplo 30

Ejemplo 31

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝑺𝒆𝒏 𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ = (𝒗)′ →

Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝑪𝒐𝒔 𝒙) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ (𝑪𝒐𝒔 𝒙)′ = (𝒗)′ →

𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

−𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟔 )(𝑪𝒐𝒔 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = − 𝒅𝒗 𝑺𝒆𝒏 𝒙 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟗 )(𝑺𝒆𝒏 𝒙) (− 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

𝑪𝒐𝒔 𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗)𝟔 ( ) 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙

𝑺𝒆𝒏 𝒙 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫(𝒗)𝟗 ( ) 𝒅𝒗 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar:

Simplificar

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟗 𝒅𝒗

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟕 𝒗 𝟕

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟏𝟎 𝒗 𝟏𝟎

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

Paso 4: Devolver el cambio de variable:

𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝟕 𝟕

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏𝟕 𝒙 + 𝑪 𝟕

Ejemplo 32

𝟏 (𝑪𝒐𝒔 𝒙)𝟏𝟎 𝟏𝟎

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝑪𝒐𝒔𝟏𝟎 𝒙 + 𝑪 𝟏𝟎

Paso 3: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟒

Hallar la integral ∫(𝟓𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: (𝟓𝒙 + 𝟔) = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable: (𝟓𝒙 + 𝟔)′ = (𝒗)′ → (𝟓𝒙)′ + (𝟔)′ = 𝒗′ → 𝟓 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Despejamos el dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟓 Paso 2: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 ∫(𝟓𝒙 + 𝟔)𝟒 𝒅𝒙 = ∫(𝒗)𝟒 ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗 𝟓 𝟓 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 ∙ 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟓 ∫(𝟓𝒙 + 𝟔)𝟒 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟓 ) = 𝒗 𝟓 𝟓 𝟐𝟓 ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

Paso 4: Devolver el cambio de variable: ∫(𝟓𝒙 + 𝟔)𝟒 𝒅𝒙 =

𝟏 (𝟓𝒙 + 𝟔)𝟓 𝟐𝟓

∫(𝟓𝒙 + 𝟔)𝟒 𝒅𝒙 =

𝟏 (𝟓𝒙 + 𝟔)𝟓 + 𝑪 𝟐𝟓

José E. Ornelas G.

37

Ejemplo 33

Ejemplo 34

Hallar la integral ∫

𝟏 𝟒𝒙𝟐 + 𝟗

Hallar la integral ∫

𝒅𝒙

𝟏 𝟐

𝟗𝒙 + 𝟐𝟓

𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟐 𝒙 +𝒌 𝒌 𝒌

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟐 𝒙 +𝒌 𝒌 𝒌

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

𝒗𝟐 = 𝟒𝒙𝟐

𝒗𝟐 = 𝟗𝒙𝟐

→

𝒗 = √𝟒𝒙𝟐

→

𝟐

𝒌 =𝟗 → 𝒌 = √𝟗 → b) Derivar el cambio de variable: (𝟐𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙′ = 𝒗′ →

𝒗 = 𝟐𝒙 𝒌=𝟑 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 ( 𝒅𝒗) 𝟒𝒙 + 𝟗 𝒗 + 𝟑𝟐 𝟐 ∫

𝟏 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒗 𝟒𝒙𝟐 + 𝟗 𝟐 𝒗 + 𝟑𝟐

∫

𝟏 𝟏 𝟏 𝒗 𝟏 𝒗 𝒅𝒙 = ∙ ( 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( )) = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) +𝟗 𝟐 𝟑 𝟑 𝟔 𝟑

𝟒𝒙𝟐

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟐𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟒𝒙 + 𝟗 𝟔 𝟑 ∫

Hallar la integral ∫

𝟏 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏

𝒅𝒙

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: →

𝒗 = √𝟒𝒙𝟐

𝒗 = 𝟑𝒙 𝒌=𝟓 𝟑𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟑 Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 ( 𝒅𝒗) 𝟗𝒙 + 𝟐𝟓 𝒗 + 𝟓𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒗 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟑 𝒗 + 𝟓𝟐

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫

𝟗𝒙𝟐

𝟏 𝟏 𝟏 𝒗 𝟏 𝒗 𝒅𝒙 = ∙ ( 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( )) = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝟐𝟓 𝟑 𝟓 𝟓 𝟏𝟓 𝟓

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟑𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟗𝒙 + 𝟐𝟓 𝟏𝟓 𝟓 ∫

𝟏 𝟏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟏𝟓 𝟓

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 ∙ ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝟐 𝒅𝒗 𝟒𝒙 + 𝟏 𝒗 + 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝒗 + 𝟏𝟐

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝒙 + 𝒌𝟐 𝒌 𝒌

𝒗𝟐 = 𝟒𝒙𝟐

𝒌 = 𝟐𝟓 → 𝒌 = √𝟐𝟓 → b) Derivar el cambio de variable: (𝟑𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟑𝒙′ = 𝒗′ →

𝟏 𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟒𝒙𝟐 + 𝟗 𝟔 𝟑

Ejemplo 35

→

𝟐

∫

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata:

𝒗 = √𝟗𝒙𝟐

→

→

𝟐

𝒌 =𝟏 → 𝒌 = √𝟏 → b) Derivar el cambio de variable: (𝟐𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙′ = 𝒗′ → c) Despejamos el dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒗 = 𝟐𝒙

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫

𝟏 𝟏 𝟏 𝒗 𝟏 𝒅𝒙 = ∙ ( 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( )) = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 𝒗 +𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐

𝟒𝒙𝟐

Paso 4: Devolver el cambio de variable: 𝟏 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝟐𝒙) 𝟒𝒙 + 𝟏 𝟐

𝒌=𝟏 ∫

𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝟐𝒙) + 𝑪 +𝟏 𝟐

𝟒𝒙𝟐

José E. Ornelas G.

38

Ejemplo 36

Ejemplo 37

Hallar la integral ∫

𝟏 𝒙√𝟒𝒙𝟐 − 𝟗

Hallar la integral ∫

𝒅𝒙

𝟏

𝒅𝒙

𝒙√𝟗𝒙𝟐 − 𝟒𝟗

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝒌 𝒌 𝒙√𝒙 − 𝒌

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝒌 𝒌 𝒙√𝒙 − 𝒌

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

𝒗𝟐 = 𝟒𝒙𝟐

→ 𝒗 = √𝟒𝒙𝟐

→

𝒗 = 𝟐𝒙

𝒌𝟐 = 𝟗

→ 𝒌 = √𝟗

→

𝒌=𝟑

b) Derivar el cambio de variable: (𝟐𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙′ = 𝒗′ →

→

𝒙=

𝟏 𝒗 𝟐

𝒗𝟐 = 𝟗𝒙𝟐

→ 𝒗 = √𝟗𝒙𝟐

→

𝒗 = 𝟑𝒙 →

𝒌𝟐 = 𝟒𝟗

→ 𝒌 = √𝟒𝟗

→

𝒌=𝟕

b) Derivar el cambio de variable: (𝟑𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟑𝒙′ = 𝒗′ →

𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx:

𝒙=

𝟏 𝒗 𝟑

𝟑𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx:

𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟑

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒅𝒗) 𝟏 𝟐 𝒙√𝟒𝒙 − 𝟗 𝒗√𝒗𝟐 − 𝟑𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒗 𝒙√𝟒𝒙𝟐 − 𝟗 𝒗√𝒗𝟐 − 𝟑𝟐

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒅𝒗) 𝟏 𝟐 𝒙√𝟗𝒙 − 𝟒𝟗 𝒗√𝒗𝟐 − 𝟕𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒗 𝒙√𝟗𝒙𝟐 − 𝟒𝟗 𝒗√𝒗𝟐 − 𝟕𝟐

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝒗 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝒙√𝟒𝒙 − 𝟗

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝒗 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) 𝟐 𝟕 𝟕 𝒙√𝟒𝒙 − 𝟒𝟗

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟐𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝒙√𝟒𝒙 − 𝟗

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟑𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) 𝟐 𝟕 𝟕 𝒙√𝟗𝒙 − 𝟒𝟗

∫

𝟏 𝒙√𝟒𝒙𝟐

−𝟗

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝟑 𝟑

∫

Ejemplo 38 Hallar la integral ∫

𝟏 𝒙√𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟏

𝒅𝒙

∫

𝟏

𝟏 𝒙 ∫ . 𝒅𝒙 = ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝒌 𝒌 𝒙√𝒙 − 𝒌

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒗𝟐 = 𝟐𝟓𝒙𝟐 →

𝒗 = √𝟐𝟓𝒙𝟐

→

𝒗 = 𝟓𝒙 →

𝒌𝟐 = 𝟏

𝒌 = √𝟏

→

𝒌=𝟏

b) Derivar el cambio de variable: (𝟓𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟓𝒙′ = 𝒗′ → c) Despejamos el dx: 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒙√𝟗𝒙𝟐

𝟏 𝟑𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) + 𝑪 𝟕 𝟕

𝒅𝒙 =

− 𝟒𝟗

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ ∙ ( 𝒅𝒗) 𝟏 𝟐 𝒙√𝟐𝟓𝒙 − 𝟏 𝒗√𝒗𝟐 − 𝟏𝟐 𝟓 𝟓

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral:

→

𝟏

𝒙=

𝟓𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝟏 𝒗 𝟓

𝟏 𝒙√𝟐𝟓𝒙𝟐

−𝟏

𝒅𝒙 = ∫

𝟏 𝒗√𝒗𝟐

− 𝟏𝟐

𝒅𝒗

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝒗 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 ( ) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 𝒗 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝒙√𝟐𝟓𝒙 − 𝟏 Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 (𝟓𝒙) + 𝑪 𝒙√𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟏 ∫

𝟏 𝒙√𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟏

𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄 (𝟓𝒙) + 𝑪 José E. Ornelas G.

39

Ejemplo 39

Ejemplo 40

Hallar la integral ∫

𝟏 √𝟖𝟏 − 𝟒𝒙𝟐

Hallar la integral ∫

𝒅𝒙

𝟏 √𝟏𝟔 − 𝟔𝟒𝒙𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝒌 √𝒌 − 𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝒌 √𝒌 − 𝒙

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

𝒗𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 →

𝒗 = √𝟒𝒙𝟐 →

𝒗 = 𝟐𝒙 →

𝒌𝟐 = 𝟖𝟏

𝒌 = √𝟖𝟏

𝒌=𝟗

→

→

b) Derivar el cambio de variable: (𝟐𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙′ = 𝒗′ →

𝒙=

𝟏 𝒗 𝟐

𝟐 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx:

𝒗 = 𝟖𝒙 →

𝒌𝟐 = 𝟏𝟔

→ 𝒌 = √𝟏𝟔

𝒌=𝟒

𝟏 𝟒𝒙𝟐

→

b) Derivar el cambio de variable: (𝟖𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟖𝒙′ = 𝒗′ →

𝒅𝒙 =

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒅𝒗) 𝟐 𝟐 𝟐 √𝟖𝟏 − 𝟒𝒙 √𝟗 − 𝒗 𝟐 √𝟖𝟏 −

→ 𝒗 = √𝟔𝟒𝒙𝟐 →

𝒙=

𝟏 𝒗 𝟖

𝟖 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx:

𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐

∫

𝒗𝟐 = 𝟔𝟒𝒙𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒗 𝟐 √𝟗𝟐 − 𝒗𝟐

𝟏 𝒅𝒗 𝟖

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒅𝒗) 𝟐 𝟐 𝟐 √𝟏𝟔 − 𝟔𝟒𝒙 √𝟒 − 𝒗 𝟖 ∫

𝟏 √𝟏𝟔 −

𝟔𝟒𝒙𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒗 𝟖 √𝟒𝟐 − 𝒗𝟐

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝒗 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟐 𝟐 𝟗 √𝟖𝟏 − 𝟒𝒙

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝒗 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟐 𝟖 𝟒 √𝟏𝟔 − 𝟔𝟒𝒙

Paso 5: Devolver el cambio de variable:

Paso 5: Devolver el cambio de variable:

∫

𝟏 √𝟖𝟏 − 𝟒𝒙𝟐

∫

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟐 𝟗

𝟏 √𝟖𝟏 −

𝟒𝒙𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 √𝟏 − 𝟐𝒙𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 −

𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝒌

𝒙𝟐

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒗𝟐 = 𝟐𝒙𝟐 →

𝒗 = √𝟐𝒙𝟐 → 𝒗 = √𝟐𝒙

𝒌𝟐 = 𝟏

𝒌 = √𝟏

→

∫

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟖𝒙 𝟏 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙) 𝟖 𝟒 𝟖

𝟏 √𝟏𝟔 −

𝟔𝟒𝒙𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙) + 𝑪 𝟖

∫

𝟏 √𝟏 −

𝟐𝒙𝟐

𝒅𝒙 = ∫

𝟏 √𝟏𝟐

−

𝒗𝟐

𝟏 𝟏 𝒅𝒗 ( 𝒅𝒗) == ∫ 𝟐 √𝟐 √𝟐 √𝟏 − 𝒗𝟐

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝒗 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝟐 𝟏 √𝟏 − 𝟐𝒙 √𝟐 √𝟐 Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 (√𝟐𝒙) 𝟐 √𝟏 − 𝟐𝒙 √𝟐

→ 𝒌=𝟏

b) Derivar el cambio de variable: (√𝟐𝒙)′

√𝟏𝟔 −

𝟔𝟒𝒙𝟐

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral:

Hallar la integral ∫

√𝒌𝟐

𝟏

𝟏 𝟐𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟗

Ejemplo 41

∫

∫

= (𝒗)′ → √𝟐𝒙′ = 𝒗′ → √𝟐 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

∫

𝟏 √𝟏 −

𝟐𝒙𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 √𝟐

𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 (√𝟐𝒙) + 𝑪

c) Despejamos el dx: 𝒅𝒙 =

𝟏 √𝟐

𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

40

Ejemplo 42

Ejemplo 43

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟓𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝟐 (𝟑𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 ∫ 𝒌𝒙 𝒅𝒙 = ∙ 𝒌𝒙 + 𝑪 𝑳𝒏 𝒌

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 ∫ 𝒌𝒙 𝒅𝒙 = ∙ 𝒌𝒙 + 𝑪 𝑳𝒏 𝒌

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

𝟐 +𝟏)

𝒅𝒙

𝒗 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏

𝒗 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙

b) Derivar el cambio de variable: (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒙′ = 𝒗′ → 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

b) Derivar el cambio de variable: (𝟑𝒙𝟐 + 𝟏)′ = (𝒗)′ → 𝟔𝒙 𝒙′ = 𝒗′ → 𝟔𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejamos el dx:

c) Despejamos el dx:

𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟔𝒙

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟓𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒐𝒔 𝒙)(𝟓𝒗 ) ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟐 ∫ 𝒙 𝟐(𝟑𝒙 +𝟏) 𝒅𝒙 = ∫(𝒙)(𝟐𝒗 ) ( 𝒅𝒗) 𝟔𝒙

Simplificar

Simplificar 𝟐 +𝟏)

∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟓𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟓𝒗 𝒅𝒗

∫ 𝒙𝟐(𝟑𝒙

𝟏 ∫ 𝟐𝒗 𝒅𝒗 𝟔

𝒅𝒙 =

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟓𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ( ) 𝟓𝒗 𝑳𝒏 𝟓

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝟐 ∫ 𝒙 𝟐(𝟑𝒙 +𝟏) 𝒅𝒙 = ( ) 𝟐𝒗 𝟔 𝑳𝒏 𝟐

Paso 5: Devolver el cambio de variable:

Paso 5: Devolver el cambio de variable: 𝟏 𝟐 𝟐 ∫ 𝒙 𝟐(𝟑𝒙 +𝟏) 𝒅𝒙 = ( ) 𝟐(𝟑𝒙 +𝟏) 𝟔𝑳𝒏 𝟐

𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟓𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ( ) 𝟓𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑳𝒏 𝟓

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟓𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (

𝟏 ) 𝟓𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝑳𝒏 𝟓

Ejemplo 44 Hallar la integral ∫

𝟕𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒙

𝒅𝒙

∫

𝒗 = 𝑳𝒏 𝟑𝒙

b) Derivar el cambio de variable: (𝑳𝒏

=

𝟏 → ( ) (𝟑𝒙)′ = 𝒗′ → 𝟑𝒙

𝟏 ′ 𝟏 𝒙 = 𝒗′ → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒙 𝒙 c) Despejamos el dx: 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒅𝒗 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝟐 ) 𝟐(𝟑𝒙 +𝟏) + 𝑪 𝟔𝑳𝒏 𝟐

Simplificar

Paso 2: Aplicar el método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

(𝒗)′

𝒅𝒙 = (

Paso 3: Sustituir el cambio de variable en la integral: 𝟕 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝟕𝒗 (𝒙 𝒅𝒗) ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 𝒙

Paso 1: Aplicar el teorema de la integral: 𝟏 ∫ 𝒌𝒙 𝒅𝒙 = ∙ 𝒌𝒙 + 𝑪 𝑳𝒏 𝒌

𝟑𝒙)′

𝟐 +𝟏)

∫ 𝒙 𝟐(𝟑𝒙

𝟏 𝟑𝒙′ = 𝒗′ 𝟑𝒙

𝟕 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟕 𝒗 𝒅𝒗 𝒙

Paso 4: Aplicar el teorema de la integral inmediata: ∫

𝟕 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝟏 𝒅𝒙 = ( )𝟕𝒗 𝒙 𝑳𝒏 𝟕

Paso 5: Devolver el cambio de variable: ∫

𝟕 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝟏 𝒅𝒙 = ( ) 𝟕 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒙 𝑳𝒏 𝟕 ∫

𝟕 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝟏 𝒅𝒙 = ( ) 𝟕 𝑳𝒏 𝟑𝒙 + 𝑪 𝒙 𝑳𝒏 𝟕 José E. Ornelas G.

41

II.1.1.2.- EJERCICIOS PROPUESTOS (CAMBIO DE VARIABLES): II.1.1.2.1.- Integrales por cambio de variables: 𝟏) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟕𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝟎𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟕𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝟎𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝟐𝟎𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟑) ∫ 𝒆(𝟑𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫ 𝒆(𝟕𝒙 −

𝟏𝟓) ∫ 𝒆(𝟒 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟔) ∫ 𝒆(𝟑 − 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝟐

𝟐

𝒅𝒙

𝟏𝟖) ∫ 𝒙𝒆(𝟐𝒙

𝟐𝟏) ∫ 𝒆(𝟑𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫ 𝒆(𝟕𝒙 −

𝟏𝟕) ∫ 𝒙𝒆(𝒙

+ 𝟏)

𝟓)

𝒅𝒙

− 𝟓)

𝟓)

𝟏𝟗) ∫ 𝒙𝟐 𝒆(𝒙

𝒅𝒙

𝟑

+ 𝟏)

𝟑

𝟐𝟎) ∫ 𝒙𝟐 𝒆(𝟐 − 𝒙 ) 𝒅𝒙

𝒅𝒙

𝟏𝟓) ∫ 𝒆(𝟒 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

𝒅𝒙

𝟏𝟔) ∫ 𝒆(𝟑 − 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

II.1.1.2.2.- Integrales por cambio de variables: 𝟏) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒆 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒆 𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒆 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝟒𝒙 𝒆 𝒕𝒂𝒈 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟑𝒙 𝒆 𝒄𝒕𝒈 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝟗𝒙 𝒆 𝒕𝒂𝒈 𝟗𝒙 𝒅𝒙

𝟑 𝟕) ∫ 𝒆 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝒙

𝟓 𝟖) ∫ 𝒆 𝑳𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒙

𝟒 𝟗) ∫ 𝒆 𝑳𝒏 𝟕𝒙 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒆 𝑳𝒏 (𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟐𝒙 𝒆 𝑳𝒏 (𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝟒𝒙 𝒆 𝑳𝒏 (𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟑) ∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒆 𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫ 𝒕𝒈 𝟖𝒙 𝒆 𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝟖𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟓) ∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒆 𝟏+𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟔) ∫ 𝒕𝒈 𝟐𝒙 𝒆 𝟐+𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫ 𝒕𝒈 𝟑𝒙 𝒆 𝟐 − 𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟓) ∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒆 𝟓+𝑳𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙

II.1.1.2.3.- Integrales por cambio de variables: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 𝟏) ∫ 𝟓 𝒅𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟐

𝒙𝟑 + 𝟓𝒙 𝟐) ∫ 𝟒 𝒅𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐

𝒙𝟓 − 𝟓𝒙𝟐

𝒅𝒙

𝟔) ∫

𝒙𝟕 − 𝒙𝟑 𝟕) ∫ 𝟑 𝒅𝒙 √𝒙𝟒 + 𝟏

𝒙𝟕 + 𝒙𝟑 𝟖) ∫ 𝟓 𝒅𝒙 √𝒙𝟒 + 𝟐

𝟗) ∫

𝒙𝟗 − 𝒙𝟒

𝒙𝟗 + 𝟒𝒙𝟒 𝟖) ∫ 𝟒 𝒅𝒙 √ 𝒙𝟓 + 𝟐

𝒙𝟗 − 𝟐𝒙𝟒 𝟗) ∫ 𝟑 𝒅𝒙 √ 𝒙𝟓 + 𝟑

𝟒) ∫

𝟕) ∫

𝟑

√𝒙𝟑 + 𝟏

√ 𝒙𝟓 + 𝟏

𝒅𝒙

𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟓) ∫

𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 𝟑) ∫ 𝟔 𝒅𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟔

𝟑

√𝒙𝟑 + 𝟐

𝟑

√𝒙𝟑 + 𝟓

𝒙𝟕 − 𝟐𝒙𝟑 𝟒

√𝒙𝟒 + 𝟑

𝒅𝒙

𝒅𝒙

José E. Ornelas G.

42

II.1.1.2.4.- Integrales por cambio de variables: 𝟏) ∫ 𝟐𝒙√𝒙 − 𝟕 𝒅𝒙

𝟒

𝟐) ∫ 𝟖𝒙√𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙

𝟔

𝟑) ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙

𝟒

𝟒) ∫ 𝟐𝒙 √𝒙 − 𝟕 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟕 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 − 𝟔 𝒅𝒙

𝟓

𝟏𝟏) ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝟕

𝟏𝟐) ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙

𝟏𝟑) ∫ 𝒙𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫ 𝒙𝟓 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙

𝟑

𝟏𝟓) ∫ 𝒙𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙

𝟏𝟔) ∫ 𝒙𝟓 √𝒙𝟑 + 𝟏 𝒅𝒙

𝟏𝟕) ∫ 𝒙𝟓 √𝒙𝟑 − 𝟒 𝒅𝒙

𝟏𝟖) ∫ 𝒙𝟓 √𝒙𝟑 − 𝟔 𝒅𝒙

𝟖

II.1.1.2.5.- Integrales por cambio de variables: 𝟏) ∫

𝑳𝒏(𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟑)

𝟐) ∫

𝑳𝒏(𝒙 + 𝟗) 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟗)

𝟑) ∫

𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟒)

𝟒) ∫

𝒙 ∙ 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)

𝟓) ∫

𝒙 ∙ 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟏)

𝟔) ∫

𝒙 ∙ 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟑) 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟑)

𝟕) ∫

𝒙𝟐 ∙ 𝑳𝒏(𝒙𝟑 + 𝟏) 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 + 𝟏)

𝟖) ∫

𝒙𝟐 ∙ 𝑳𝒏(𝒙𝟑 − 𝟓) 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 − 𝟓)

𝟗) ∫

𝒙𝟐 ∙ 𝑳𝒏(𝒙𝟑 − 𝟔) 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 − 𝟔)

𝟏𝟎) ∫

𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)

𝟏𝟏) ∫

𝟑 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟒)

𝟏𝟐) ∫

𝟓 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟗)

II.1.1.2.6.- Integrales por cambio de variables: 𝟏) ∫ 𝟑𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟐) 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟐) 𝒅𝒙

𝟏) ∫ 𝟒𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 − 𝟑) 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝟑𝒙𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟐 + 𝟐) 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒙𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟐) 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝟒𝒙𝑪𝒐𝒔(𝒙𝟐 − 𝟑) 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝑺𝒆𝒏(𝟐 − 𝒙) 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝑺𝒆𝒏(𝟓 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝑪𝒐𝒔(𝟑 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟗 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝟑𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝟐𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

43

II.1.1.2.7.- Integrales por cambio de variables: 𝟏) ∫(𝟕𝒙 + 𝟐)𝟑 𝒅𝒙

𝟐) ∫(𝟓𝒙 − 𝟒)𝟔 𝒅𝒙

𝟑) ∫(𝟒𝒙 + 𝟑)𝟓 𝒅𝒙

𝟒) ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙

𝟓) ∫ √𝟑𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙

𝟔) ∫ √𝟓𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙

𝟕) ∫

𝟏 𝒅𝒙 (𝟑𝒙 − 𝟔)

𝟏𝟎) ∫

𝟖) ∫

𝟏 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟓)𝟐

𝟒

𝟏 𝒅𝒙 (𝟗𝒙 − 𝟏)

𝟏𝟏) ∫

𝟗) ∫

𝟏 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟒)𝟓

𝟏 𝒅𝒙 (𝟐 − 𝒙)

𝟏𝟐) ∫

𝟏 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟏)𝟕

II.1.1.2.8.- Integrales por cambio de variables: 𝟏) ∫

𝟒) ∫

𝟕) ∫

𝟓 𝒅𝒙 +𝟏

𝟐) ∫

𝟏 𝒅𝒙 +𝟒

𝟓) ∫

𝟒𝒙𝟐

𝟑𝒙𝟐

𝟑 𝒙∙

𝟏𝟎) ∫

𝟏𝟑) ∫

√𝟐𝟓𝒙𝟐 𝟏

√𝟐 − 𝒙𝟐

−𝟒

𝒅𝒙

√𝟕 − 𝟒𝒙𝟐

𝟑) ∫

𝟑 𝒅𝒙 +𝟗

𝟔) ∫

𝟐𝒙𝟐

𝟏 𝒙∙

𝟏𝟏) ∫

𝒅𝒙

𝟏

𝟖) ∫

𝟒 𝒅𝒙 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏

𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫

√𝒙𝟐

−𝟐

𝟏 √𝟑 − 𝟒𝒙𝟐

𝟐𝒙𝟐

𝟗) ∫

𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫

𝒅𝒙

𝟐𝟓𝒙𝟐

𝟏 𝒅𝒙 + 𝟏𝟔 𝟏

𝒅𝒙

𝟏 √𝟑 −

𝟐 𝒅𝒙 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏

𝒙 ∙ √𝒙𝟐 − 𝟑

𝟏𝟓) ∫

𝟏 √𝟓 − 𝟗𝒙𝟐 𝟏 √𝟔 − 𝟗𝒙𝟐

𝒅𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒙

II.1.1.2.9.- Integrales por cambio de variables: 𝟏) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝟕𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝟐𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟗𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝟑𝒙 𝟓(𝟐𝒙

𝟐 − 𝟏)

𝒅𝒙

𝟓𝑳𝒏 𝟐𝒙 𝟏𝟎) ∫ 𝒅𝒙 𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟖) ∫ 𝒙 𝟒(𝟓𝒙

𝟐 − 𝟐)

𝒅𝒙

𝟑𝑳𝒏 𝟐𝒙 𝟏𝟏) ∫ 𝒅𝒙 𝒙

𝟗) ∫ 𝟖𝒙 𝟓(𝟒𝒙

𝟐 + 𝟑)

𝒅𝒙

𝟕𝑳𝒏 𝟒𝒙 𝟏𝟐) ∫ 𝒅𝒙 𝒙

José E. Ornelas G.

44

II.1.2.- INTEGRACIÓN POR PARTES La integración por partes es otra de las técnicas usuales de la integración y se obtiene de la derivación del producto de dos funciones, siendo ambas diferenciables. Sean dos funciones 𝒇(𝒙) 𝑦 𝒈(𝒙) derivables, entonces: 𝑫𝒙 [ 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] = 𝒇′ (𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′(𝒙) 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′ (𝒙) = 𝑫𝒙 [ 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] − 𝒇′ (𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) Integrando miembro a miembro: ∫ 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′ (𝒙) = ∫ 𝑫𝒙 [ 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)] − ∫ 𝒇′ (𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)

Obteniendo la ecuación general: ∫ 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) − ∫ 𝒇′ (𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)

Generando una ecuación nemotécnica: 𝒇(𝒙) = 𝒎 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒏

→

𝒇′ (𝒙) = 𝒎′ = 𝒅𝒎

𝒈′ (𝒙) = 𝒏′ = 𝒅𝒏

𝒚

Tenemos que:

∫ 𝒎 ∙ 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

II.1.2.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES Ejemplo 1

Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica (integral por partes): 𝒎=𝒙 ↔ 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝒏 = 𝒆𝒙

Paso 1: Para aplicar integrales por partes, tenemos que separar las funciones de tal forma que podamos emplear la fórmula nemotécnica y así resolver el integral:

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 ∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)(𝒆𝒙 ) − ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

∫⏟ 𝒙 𝒆 ⏟𝒙 𝒅𝒙 𝒎

𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙

↔

𝒅𝒏

∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒆𝒙 − ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Aplicar el cambio de variable:

Aplicar integral inmediata en la segunda integral:

I Función: a) Cambio de variable:

∫ 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒆𝒙 − 𝒆𝒙

𝒎=𝒙 Factor común:

b) Derivar cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′

→

𝒎′ = 𝒙′

→

𝒅𝒎 = 𝒅𝒙

∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙 − 𝟏)

II Función: a) Cambio de variable:

∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙 − 𝟏) + 𝑪

𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙

→ ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

→

𝒏 = 𝒆𝒙

José E. Ornelas G.

45

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar las funciones para aplicar la fórmula Paso 1: Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica de integrales por partes. nemotécnica de integrales por partes.

∫⏟ 𝒙 ⏟ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝒎

∫⏟ 𝒙 ⏟ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏

𝒎

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′ →

𝒎′ = 𝒙′ →

𝒅𝒎 = 𝒅𝒙

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′ →

𝒎′ = 𝒙′ →

𝒅𝒎 = 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

𝒅𝒏 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒅𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙

Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica (integral por partes): Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica (integral por partes): 𝒎=𝒙 ↔ 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝒎=𝒙 ↔ 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝒏 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 ↔ 𝒅𝒏 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝒏 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ↔ 𝒅𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)(−𝒄𝒐𝒔 𝒙) − ∫(−𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)(𝒔𝒆𝒏 𝒙) − ∫(𝒔𝒆𝒏𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 + ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

Ejemplo 4

∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

Paso 1: Separar las funciones para aplicar I. por partes.

b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: 𝟏 𝒅𝒏 = 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒆𝟕𝒙 𝟕 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica:

∫⏟ 𝒙 𝒆⏟𝟕𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

Hallar la integral ∫ 𝒙𝒆

𝒎

𝟕𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′

→

𝒎′ = 𝒙′

→

𝒅𝒎 = 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝟏 ∫ 𝒙 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)( 𝒆𝟕𝒙 ) − ∫ 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 𝟕 𝟕 𝟏 𝟏 ∫ 𝒙 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒆𝟕𝒙 − ∫ 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 𝟕 𝟕 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒙 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒆𝟕𝒙 − ∙ ( 𝒆𝟕𝒙 ) = 𝒆𝟕𝒙 (𝒙 − ) 𝟕 𝟕 𝟕 𝟕 𝟕 ∫ 𝒙 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟕𝒙 𝟏 𝒆 (𝒙 − ) + 𝑪 𝟕 𝟕

José E. Ornelas G.

46

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Hallar la integral ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica. funciones para aplicar la fórmula nemotécnica.

∫𝒙 ⏟𝟐 𝒆 ⏟𝒙 𝒅𝒙 𝒎

∫𝒙 ⏟𝟑 𝒆 ⏟𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏

𝒎

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝒙𝟐 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙𝟐 )

′

→

𝒎′ = (𝟐𝒙) 𝒙′

→

𝒅𝒎 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝒙𝟑 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙𝟑 )

′

→

𝒎′ = (𝟑𝒙𝟐 ) 𝒙′ →

𝒅𝒎 = 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒆𝒙

𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒆𝒙

Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica (integral por partes): Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica (integral por partes): 𝒎 = 𝒙𝟐 ↔ 𝒅𝒎 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒎 = 𝒙𝟑 ↔ 𝒅𝒎 = 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒏 = 𝒆𝒙 ↔ 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 𝒏 = 𝒆𝒙 ↔ 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 )(𝒆𝒙 ) − ∫ 𝒆𝒙 (𝟐𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙𝟑 )(𝒆𝒙 ) − ∫ 𝒆𝒙 (𝟑𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

𝟑. 𝟏. ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒆𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝟑. 𝟏. ∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟑 𝒆𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Hemos obtenido previamente la segunda integral, no se Hemos obtenido previamente la segunda integral, no se requiere aplicar nuevamente integración por partes: requiere aplicar nuevamente integración por partes: 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙 − 𝟏) + 𝑪

𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐) + 𝑪

Paso 4: Retornar a la ecuación nemotécnica 3.1:

Paso 4: Retornar a la ecuación nemotécnica 3.1:

𝟑. 𝟏 ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒆𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝟑. 𝟏 ∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟑 𝒆𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Sustituir la integral 3.1.1. en la integral 3.1.:

Sustituir la integral 3.1.1. en la integral 3.1.:

∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒆𝒙 − 𝟐𝒆𝒙 (𝒙 − 𝟏)

∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟑 𝒆𝒙 − 𝟑𝒆𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)

∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝒆𝒙 − 𝟐𝒙𝒆𝒙 + 𝟐𝒆𝒙

∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟑 𝒆𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 𝒆𝒙 + 𝟔𝒙𝒆𝒙 − 𝟔𝒆𝒙

Factor común:

Factor común:

∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)

∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔)

∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐) + 𝑪

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔) + 𝑪

José E. Ornelas G.

47

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica. funciones para aplicar la fórmula nemotécnica. ∫⏟ 𝒙 ⏟ 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒎

∫⏟ 𝒙 ⏟ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏

𝒎

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar el cambio de variable:

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar el cambio de variable:

(𝒎)′ = (𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙

(𝒎)′ = (𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Cambio de variable: Para convertir en integral inmediata Cambio de variable: Para convertir en integral inmediata 𝟏 𝟏 𝟑𝒙 = 𝒗 → (𝟑𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟑𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐𝒙 = 𝒗 → (𝟐𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟑 𝟐 Sustituir cambio de variable: Sustituir cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒏 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 𝒏 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗 ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 Aplicar integral inmediata: Aplicar integral inmediata: 𝒏=

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 → 𝒏 = (−𝒄𝒐𝒔 𝒗) → 𝒏 = − 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝟑 𝟑 𝟑

𝒏=

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 → 𝒏 = (𝒔𝒆𝒏 𝒗) → 𝒏 = 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟐 𝟐 𝟐

Regresar cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝒏 = − 𝑪𝒐𝒔 𝒗 → 𝒏 = − 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝟑 𝟑 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎=𝒙 ↔ 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝟏 𝒏 = − 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 ↔ 𝒅𝒏 = 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑

Regresar cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝒏 = 𝑺𝒆𝒏 𝒗 → 𝒏 = 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝟐 𝟐 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎=𝒙 ↔ 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝟏 𝒏 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 ↔ 𝒅𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

𝟏 𝟏 ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)(− 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙) − ∫ (− 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 𝟑 𝟑

𝟏 𝟏 ∫ 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)( 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) − ∫ ( 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 𝟐

𝟏 𝟏 ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒙𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 + ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑 𝟑

∫ 𝒙. 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝒙𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐

Aplicar integral inmediata de la segunda integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒙𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙) 𝟑 𝟑 𝟑

Aplicar integral inmediata de la segunda integral: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒙𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 − (− 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝟐 𝟐 𝟐

Factor común:

Factor común:

𝟏 𝟏 ∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = (−𝒙𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙) 𝟑 𝟑

∫ 𝒙𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 (−𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒙𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 (𝒙𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙) 𝟐 𝟐

∫ 𝒙𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 (𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟐

José E. Ornelas G.

48

Ejemplo 9 Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica. 𝒙

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒙)(𝒆𝒙 ) − ∫ 𝒆𝒙 (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 𝟒. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝑪𝒐𝒔 ⏟ 𝒙⏟ 𝒆 𝒅𝒙 𝒎

Paso 7: Retornar a la integral 3.1 y sustituir 4.1:

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)′ → 𝒎′ = −(𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒙′ → 𝒅𝒎 = −𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒆𝒙

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 + ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Sustituir la integral 4.1. en la integral 3.1.: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Agrupar integrales semejantes: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝟐 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 Despejar:

Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 ↔ 𝒅𝒎 = −𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒏=𝒆 ↔ 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Factor común:

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 (𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 ) 𝟐 𝟏 𝒙 𝒆 (𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝟐

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)(𝒆𝒙 ) − ∫ 𝒆𝒙 (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 + ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 APLICAR NUEVAMENTE INTEGRAL POR PARTES: Paso 4: Aplicar integral por partes:

𝟒. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 ⏟ 𝒙𝒆 ⏟𝒙 𝒅𝒙 𝒎

∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒙 𝒆 (𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙) + 𝑪 𝟐

NOTA: En algunos integrales, se requiere aplicar el método de integración por partes tantas veces como sea necesario, tal como se observa en este ejercicio.

𝒅𝒏

Paso 5: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ →

𝒎′ = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒆𝒙 Paso 6: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 ↔ 𝒅𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝒏 = 𝒆𝒙

↔

𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

49

Ejemplo 10

Paso 6: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica.

∫ 𝑺𝒆𝒏 ⏟ 𝒙𝒆 ⏟𝒙 𝒅𝒙 𝒎

𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒏=𝒆

𝒙

↔

𝒅𝒎 = −𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

↔

𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)(𝒆𝒙 ) − ∫ 𝒆𝒙 (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ → 𝒎′ = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒆𝒙 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 ↔ 𝒅𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒏=𝒆 ↔ 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝟒. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 + ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Paso 7: Retornar a la integral por partes 3.1: ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Sustituir la integral 4.1. en la integral 3.1.: ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − (𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 + ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙)

∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Agrupar los integrales semejantes: ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙

𝟐 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

Despejar:

∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒙)(𝒆𝒙 ) − ∫ 𝒆𝒙 (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 =

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 APLICAR NUEVAMENTE INTEGRAL POR PARTES:

𝟏 (𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒆𝒙 ) 𝟐

Factor común: ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒙 𝒆 (𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝟐

Paso 4: Aplicar integrales por partes: ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒆𝒙 𝒅𝒙 =

𝟒. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔 ⏟ 𝒙𝒆 ⏟𝒙 𝒅𝒙 𝒎

𝟏 𝒙 𝒆 (𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙) + 𝑪 𝟐

𝒅𝒏

Paso 5: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 b) Derivar el cambio de variable:

NOTA: En algunos integrales, se requiere aplicar el método de integración por partes tantas veces como sea necesario, tal como lo podemos observar en este ejercicio.

(𝒎)′ = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)′ → 𝒎′ = −(𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒙′ → 𝒅𝒎 = −𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

→

𝒏 = 𝒆𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

50

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Hallar la integral ∫ 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica. funciones para aplicar la fórmula nemotécnica.

∫ 𝑳𝒏 ⏟𝒙 𝒅𝒙 ⏟ 𝒎

∫ 𝑳𝒏 ⏟ 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ⏟

𝒅𝒏

𝒎

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑳𝒏 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 (𝒎)′ = (𝑳𝒏 𝒙)′ → 𝒎′ = ( ) 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑳𝒏 𝟑𝒙 b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 (𝒎)′ = (𝑳𝒏 𝟑𝒙)′ → 𝒎′ = ( ) 𝟑𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝟑𝒙 𝒙 II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

𝒅𝒏 = 𝒅𝒙 →

𝒅𝒏 = 𝒅𝒙 →

∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒅𝒙 →

𝒏=𝒙

Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎 = 𝑳𝒏 𝒙 → 𝒏=𝒙

→

𝒅𝒎 =

𝟏

𝒅𝒙

𝒙 𝒅𝒏 = 𝒅𝒙

∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒅𝒙 →

𝒏=𝒙

Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎 = 𝑳𝒏 𝟑𝒙 → 𝒏=𝒙

→

𝒅𝒎 =

𝟏

𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒏 = 𝒅𝒙

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

𝟏 ∫ 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑳𝒏 𝒙)(𝒙) − ∫ 𝒙 ( 𝒅𝒙) 𝒙 𝒙 ∫ 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝑳𝒏 𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 𝒙

𝟏 ∫ 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = (𝑳𝒏 𝟑𝒙)(𝒙) − ∫ 𝒙 ( 𝒅𝒙) 𝒙 𝒙 ∫ 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝑳𝒏 𝟑𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 𝒙

Simplificar:

Simplificar:

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝑳𝒏 𝒙 − ∫ 𝒅𝒙

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝑳𝒏 𝟑𝒙 − ∫ 𝒅𝒙

Aplicar integral inmediata de la segunda integral:

Aplicar integral inmediata de la segunda integral:

∫ 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝑳𝒏 𝒙 − 𝒙

∫ 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝑳𝒏 𝟑𝒙 − 𝒙

Factor común:

Factor común:

∫ 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − 𝟏)

∫ 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝑳𝒏 𝟑𝒙 − 𝟏)

∫ 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − 𝟏) + 𝑪

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝑳𝒏 𝟑𝒙 − 𝟏) + 𝑪

José E. Ornelas G.

51

Ejemplo 13

Ejemplo 14

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝒆−𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica. funciones para aplicar la fórmula nemotécnica.

𝒙 𝒆⏟𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫⏟ 𝒎

∫⏟ 𝒙 𝒆⏟−𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 Cambio de variable: Para convertir en integral inmediata 𝟏 𝟒𝒙 = 𝒗 → 𝟒𝒙′ = 𝒗′ → 𝟒. 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟒 Sustituir el cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝒏 = ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝒆𝒗 ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 𝟒 𝟒 Aplicar integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝒏 = 𝒆𝒗 → 𝒏 = 𝒆𝟒𝒙 𝟒 𝟒 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎=𝒙 → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝟏 𝟒𝒙 𝒏= 𝒆 → 𝒅𝒏 = 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟒 ∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 𝟏 𝟏 ∫ 𝒙 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)( 𝒆𝟒𝒙 ) − ∫( 𝒆𝟒𝒙 ) ∙ 𝒅𝒙 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 ∫ 𝒙 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝒆𝟒𝒙 − ∫ 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟒 𝟒 Aplicar integral determinada en la segunda integral: ∫ 𝒙 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟒𝒙 𝟏 𝟏 𝟒𝒙 𝒙𝒆 − ( 𝒆 ) 𝟒 𝟒 𝟒 𝟏 𝟒𝒙 𝟏 𝒆 (𝒙 − ) 𝟒 𝟒

∫ 𝒙 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 Cambio de variable: Para convertir en integral inmediata −𝒙 = 𝒗 → −𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = −𝒅𝒗 Sustituir el cambio de variable: 𝒏 = ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝒆𝒗 ∙ (−𝒅𝒗) = − ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 Aplicar integral inmediata: 𝒏 = −𝒆𝒗 → 𝒏 = −𝒆−𝒙 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎=𝒙 → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 −𝒙 𝒏 = −𝒆 → 𝒅𝒏 = 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 ∫ 𝒙 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)(−𝒆−𝒙 ) − ∫(−𝒆−𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙𝒆−𝒙 + ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 Aplicar integral determinada en la segunda integral: ∫ 𝒙 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙 𝒆−𝒙 + (−𝒆−𝒙 ) ∫ 𝒙 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 Factor común:

Factor común: ∫ 𝒙 𝒆𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝒎

𝟏 𝟒𝒙 𝟏 𝒆 (𝒙 − ) + 𝑪 𝟒 𝟒

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒙 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = −𝒆−𝒙 (𝒙 + 𝟏) + 𝑪

∫ 𝒙 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = −𝒆−𝒙 (𝒙 + 𝟏) + 𝑪

José E. Ornelas G.

52

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Hallar la integral ∫ 𝟑√𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝟒√𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica. funciones para aplicar la fórmula nemotécnica.

∫ 𝑳𝒏 ⏟𝒙 𝟑√ ⏟𝒙 𝒅𝒙 𝒎

∫ 𝑳𝒏 ⏟𝒙 𝟒√ ⏟𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏

𝒎

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑳𝒏 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 (𝒎)′ = (𝑳𝒏 𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 II Función: a) Cambio de variable:

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑳𝒏 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 (𝒎)′ = (𝑳𝒏 𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 II Función: a) Cambio de variable:

𝒅𝒏 = 𝟑√𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏 = 𝟒√𝒙 𝒅𝒙

b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

𝟑

𝟑

𝟒

𝟒

𝒅𝒏 = √𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ √𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝒙𝟏/𝟑 𝒅𝒙

𝒅𝒏 = √𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ √𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝒙𝟏/𝟒 𝒅𝒙

𝟏 𝟒/𝟑 𝟑 𝒏 = ∫ 𝒙𝟏/𝟑 𝒅𝒙 → 𝒏 = ( 𝒙 ) → 𝒏 = ( 𝒙𝟒/𝟑 ) 𝟒/𝟑 𝟒 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica:

𝟏 𝟓/𝟒 𝟒 𝒙 ) → 𝒏 = ( 𝒙𝟓/𝟒 ) 𝟓/𝟒 𝟓 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica:

𝟏

𝒎 = 𝑳𝒏 𝒙

→

𝒅𝒎 =

𝟑 𝟒/𝟑 𝒙 𝟒

→

𝒅𝒏 = √𝒙 𝒅𝒙

𝒏=

𝒙

𝒅𝒙

𝟑

𝒏 = ∫ 𝒙𝟏/𝟒 𝒅𝒙 → 𝒏 = (

𝟏

𝒎 = 𝑳𝒏 𝒙

→

𝒅𝒎 =

𝟒 𝟓/𝟒 𝒙 𝟓

→

𝒅𝒏 = √𝒙 𝒅𝒙

𝒏=

𝒙

𝒅𝒙

𝟒

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

𝟑 𝟑 𝟏 ∫ 𝟑√𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑳𝒏 𝒙)( 𝒙𝟒/𝟑 ) − ∫( 𝒙𝟒/𝟑 ) ( 𝒅𝒙) 𝟒 𝟒 𝒙

𝟒 𝟒 𝟏 ∫ 𝟒√𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑳𝒏 𝒙)( 𝒙𝟓/𝟒 ) − ∫( 𝒙𝟓/𝟒 ) ( 𝒅𝒙) 𝟓 𝟓 𝒙

𝟑

𝟑. 𝟏. ∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟑 𝟒/𝟑 𝟑 𝒙 𝑳𝒏 𝒙 − ∫ 𝒙𝟏/𝟑 𝒅𝒙 𝟒 𝟒

𝟒

𝟑. 𝟏. ∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟒 𝟓/𝟒 𝟒 𝒙 𝑳𝒏 𝒙 − ∫ 𝒙𝟏/𝟒 𝒅𝒙 𝟓 𝟓

Aplicar integral inmediata:

Aplicar integral inmediata:

𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟒/𝟑 𝑳𝒏 𝒙 − ( 𝒙𝟒/𝟑 ) 𝟒 𝟒 𝟒

∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

Factor común:

Factor común:

𝟑

∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟑 𝟒/𝟑 𝟑 𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − ) 𝟒 𝟒

Expresar potencia como raíz: 𝟑

∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟑𝟑 𝟒 𝟑 √𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − ) 𝟒 𝟒

Extraer factores de la raíz: ∫ 𝟑√𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑

𝟑 𝟑 𝟑 𝒙 √𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − ) 𝟒 𝟒

∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟑 𝟑 𝟑 𝒙 √𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − ) + 𝑪 𝟒 𝟒

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟒

𝟒

∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟒 𝟓/𝟒 𝟒 𝟒 𝒙 𝑳𝒏 𝒙 − ( 𝒙𝟓/𝟒 ) 𝟓 𝟓 𝟓 𝟒 𝟓/𝟒 𝟒 𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − ) 𝟓 𝟓

Expresar potencia como raíz: 𝟒

∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟒𝟒 𝟓 𝟒 √𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − ) 𝟓 𝟓

Extraer factores de la raíz: ∫ 𝟒√𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒

𝟒 𝟒 𝟒 𝒙 √𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − ) 𝟓 𝟓

∫ √𝒙 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟒 𝟒 𝟒 𝒙 √𝒙 (𝑳𝒏 𝒙 − ) + 𝑪 𝟓 𝟓 José E. Ornelas G.

53

Ejemplo 17

Ejemplo 18

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las Paso 1: Aplicar integrales por partes. Separar las funciones para aplicar la fórmula nemotécnica. funciones para aplicar la fórmula nemotécnica.

∫⏟ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒙⏟ 𝒅𝒙 𝒎

∫⏟ 𝒙 𝟑 ⏟𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏

𝒎

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ → 𝒎′ =

𝟏 𝟏 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐 𝟏 + 𝒙𝟐

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝒏 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = ( 𝒙𝟐 ) → 𝒏 = ( 𝒙𝟐 ) 𝟐 𝟐 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: ∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 𝒎 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 𝒙 → 𝟏 𝒏 = ( 𝒙𝟐 ) 𝟐

→

𝒅𝒎 =

𝟏 𝒅𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐

𝒅𝒏 = 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙)( 𝒙𝟐 ) − ∫ ( 𝒙𝟐 ) ( ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝒙𝟐 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙). 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 − ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝒙𝟐

Resolver la segunda integral: 𝒙𝟐 𝟏 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ ( ) 𝒅𝒙 = ∫ (𝟏 − ) 𝒅𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐 𝟏 + 𝒙𝟐

Separar los integrales y resolver: 𝒙𝟐 𝟏 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ ( ) 𝒅𝒙 = ∫(𝟏) 𝒅𝒙 − ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐 𝟏 + 𝒙𝟐

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝟑𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable: 𝟏 𝒅𝒏 = 𝟑𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝟑𝒙 𝑳𝒏 𝟑 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: ∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 𝒎=𝒙 𝟏 𝒏= 𝟑𝒙 𝑳𝒏 𝟑

→ 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 → 𝒅𝒏 = 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏 𝟏 𝟑𝒙 ) − ∫ ( 𝟑𝒙 ) 𝒅𝒙 𝑳𝒏 𝟑 𝑳𝒏 𝟑 𝒙 𝟑𝒙 𝟏 ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑳𝒏 𝟑 𝑳𝒏 𝟑 ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙)(

Aplicar integral inmediata de la segunda integral: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =

𝒙 𝟑𝒙 𝟏 𝟑𝒙 − ( ) 𝑳𝒏 𝟑 𝑳𝒏 𝟑 𝑳𝒏 𝟑

Factor común: ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =

𝟑𝒙 𝟏 (𝒙 − ) 𝑳𝒏 𝟑 𝑳𝒏 𝟑

∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =

𝟑𝒙 𝟏 (𝒙 − )+𝑪 𝑳𝒏 𝟑 𝑳𝒏 𝟑

𝒙𝟐 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 𝟏 + 𝒙𝟐

Paso 3: Retornar a la integral 3.1. y sustituir 3.1.1.: ∫ 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐 𝟏 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 − (𝒙 − 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙) 𝟐 𝟐

∫ 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐 (𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 − 𝒙) + 𝑪 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

54

Ejemplo 19

Resolver integral inmediata:

Hallar la integral ∫ 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Para aplicar integrales por partes, tenemos que separar las funciones de tal forma que podamos aplicar la fórmula nemotécnica y así resolver el integral:

∫⏟ 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ⏟ 𝒎

𝒅𝒏

Expresar la potencia como raíz:

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ 𝒅𝒎 =

𝟏

→

𝒎′ =

𝒙 𝟏 𝟏 𝟏/𝟐 ∫( ) 𝒅𝒙 = − ( 𝒗 ) 𝟐 𝟐 𝟏/𝟐 √𝟏 − 𝒙 𝒙 𝟏 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ ( ) 𝒅𝒙 = − (𝟐𝒙𝟏/𝟐 ) 𝟐 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ ( ) 𝒅𝒙 = −𝒗𝟏/𝟐 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ ( ) 𝒅𝒙 = −√𝒗 √𝟏 − 𝒙𝟐 Regresar cambio de variable:

𝟏 √𝟏 − 𝒙𝟐

𝒙′

𝒙 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ ( ) 𝒅𝒙 = −√𝟏 − 𝒙𝟐 √𝟏 − 𝒙𝟐 Paso 4: Retornar a la integral 3.1. y sustituir 3.1.1.:

𝒅𝒙

√𝟏 − 𝒙𝟐 II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

𝒙 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − ∫ ( ) 𝒅𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐

∫ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − (−√𝟏 − 𝒙𝟐 ) ∫ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + √𝟏 − 𝒙𝟐

𝒅𝒏 = 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒙 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica (integral por partes): 𝟏 𝒎 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒏=𝒙

∫ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + √𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝑪

→ 𝒅𝒏 = 𝒅𝒎

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 ∫ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙)(𝒙) − ∫(𝒙) (

𝟏

𝒅𝒙) √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − ∫ ( ) 𝒅𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐

Resolver la segunda integral: 𝒙 𝟑. 𝟏. 𝟏. ∫ ( ) 𝒅𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐 Cambio de variable: Para convertir en integral inmediata (𝟏 − 𝒙𝟐 ) = 𝒗

→ (𝟏 − 𝒙𝟐 )′ = 𝒗′ → −𝟐𝒙. 𝒙′ = 𝒗′

𝟏 𝒅𝒗 𝟐𝒙 Sustituir el cambio de variable −𝟐𝒙. 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 = −

𝒙 𝒙 𝟏 𝟏 𝒙 ∫( ) 𝒅𝒙 = ∫ (− 𝒅𝒗) = − ∫ 𝒅𝒗 𝟐𝒙 𝟐 𝒙√ 𝒗 √𝒗 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙 𝟏 ∫( ) 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟏/𝟐 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 √𝟏 − 𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

55

Ejemplo 20

Ejemplo 21

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Para aplicar integrales por partes, tenemos que Paso 1: Para aplicar integrales por partes, tenemos que separar las funciones de tal forma que podamos aplicar la separar las funciones de tal forma que podamos aplicar la fórmula nemotécnica y así resolver el integral: fórmula nemotécnica y así resolver el integral:

∫ 𝑺𝒆𝒏 ⏟ 𝒙⏟ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒎

𝒅𝒏

∫ 𝑪𝒐𝒔 ⏟ 𝒙⏟ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒎

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ → 𝒎′ = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝑪𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)′ → 𝒎′ = (−𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒙′ → 𝒅𝒎 = −𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

II Función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

𝒅𝒏 = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒏 = 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

→ ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

→ ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝒏 = ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙

𝒏 = ∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒏 = −𝑪𝒕𝒈 𝒙

Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒅𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝒏 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 → 𝒅𝒏 = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙 → 𝒅𝒎 = −𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝒏 = −𝑪𝒕𝒈 𝒙 → 𝒅𝒏 = 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒙) ∙ (𝒕𝒂𝒈 𝒙) − ∫(𝒕𝒂𝒈 𝒙) (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = (𝑪𝒐𝒔 𝒙)(−𝑪𝒕𝒈 𝒙) − ∫(−𝑪𝒕𝒈 𝒙)(−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 − ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒕𝒈 𝒙 − ∫ 𝑪𝒕𝒈 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝐂𝐨𝐦𝐨: 𝒕𝒂𝒈 𝒙 =

𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙

𝑺𝒆𝒏 𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 − ∫ ( ) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙

𝐂𝐨𝐦𝐨: 𝑪𝒕𝒈 𝒙 =

𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙

∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒕𝒈 𝒙 − ∫ (

𝑪𝒐𝒔 𝒙 ) 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar:

Simplificar:

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒕𝒈 𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Resolver la segunda integral inmediata:

Resolver la segunda integral inmediata:

∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 − (−𝑪𝒐𝒔 𝒙)

∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒕𝒈 𝒙 − (𝑺𝒆𝒏 𝒙)

∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝒙

∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒕𝒈 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝒙

∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒕𝒈 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

José E. Ornelas G.

56

Ejemplo 22

Ejemplo 23

Hallar la integral ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙

𝟒

Paso 1: Para aplicar integrales por partes, tenemos que Paso 1: Para aplicar integrales por partes, tenemos que separar las funciones de tal forma que podamos aplicar la separar las funciones de tal forma que podamos aplicar la fórmula nemotécnica y así resolver el integral: fórmula nemotécnica y así resolver el integral: 𝟒

∫⏟ 𝒙 ⏟ √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 𝒎

∫⏟ 𝒙 ⏟ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙

𝒅𝒏

𝒅𝒏

𝒎

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 II Función: a) Cambio de variable:

Paso 2: Aplicar el cambio de variable: I Función: a) Cambio de variable: 𝒎=𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒙)′ → 𝒎′ = 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 II Función: a) Cambio de variable:

𝒅𝒏 = √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

𝒅𝒏 = √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro cambio de variable:

𝒅𝒏 = √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫(𝒙 + 𝟐)𝟏/𝟐 𝒅𝒙

𝒅𝒏 = √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒏 = ∫(𝒙 − 𝟑)𝟏/𝟒 𝒅𝒙

𝟒

𝟒

Cambio de variable: Para convertir en integral inmediata Cambio de variable: Para convertir en integral inmediata 𝒙 + 𝟐 = 𝒗 → (𝒙 + 𝟐)′ = (𝒗)′ → 𝒙′ = 𝒗′ → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒙 − 𝟑 = 𝒗 → (𝒙 − 𝟑)′ = (𝒗)′ → 𝒙′ = 𝒗′ → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 Sustituir cambio de variable y resolver: ∫(𝒙 + 𝟐)𝟏/𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒗 = (

𝟏 𝟑/𝟐

Sustituir cambio de variable y resolver: 𝟐

) 𝒗𝟑/𝟐 = 𝒗𝟑/𝟐 𝟑

∫(𝒙 − 𝟑)𝟏/𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟏/𝟒 𝒅𝒗 = (

𝟏 𝟓/𝟒

𝟒

) 𝒗𝟓/𝟒 = 𝒗𝟓/𝟒 𝟓

Retornar el cambio de variable: 𝟐 𝟐 ∫(𝒙 + 𝟐)𝟏/𝟐 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 → 𝒏 = (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 𝟑 𝟑 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎=𝒙 → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝟐 𝒏 = (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 → 𝒅𝒏 = (𝒙 + 𝟐)𝟏/𝟐 𝒅𝒙 𝟑

Retornar el cambio de variable: 𝟒 𝟒 ∫(𝒙 − 𝟑)𝟏/𝟒 𝒅𝒙 = (𝒙 − 𝟑)𝟓/𝟒 → 𝒏 = (𝒙 − 𝟑)𝟓/𝟒 𝟓 𝟓 Paso 3: Aplicar fórmula nemotécnica: 𝒎=𝒙 → 𝒅𝒎 = 𝒅𝒙 𝟒 𝒏 = (𝒙 − 𝟑)𝟓/𝟒 → 𝒅𝒏 = (𝒙 − 𝟑)𝟏/𝟒 𝒅𝒙 𝟓

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

∫ 𝒎 . 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

𝟐 𝟐 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = (𝒙) (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 − ∫ (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝟑

𝟒 𝟒 𝟒 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = (𝒙) (𝒙 − 𝟑)𝟓/𝟒 − ∫ (𝒙 − 𝟑)𝟓/𝟒 𝒅𝒙 𝟓 𝟓

Resolver la segunda integral: 𝟐 𝟐 𝟏 ∫ 𝒙. √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 − ( (𝒙 + 𝟐)𝟓/𝟐 ) 𝟑 𝟑 𝟓/𝟐 ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟐 𝟐 𝒙 (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 − ( (𝒙 + 𝟐)𝟓/𝟐 ) 𝟑 𝟑 𝟓

Resolver la segunda integral: 𝟒

∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = 𝟒

∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 =

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟒 𝒙 (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 − (𝒙 + 𝟐)𝟓/𝟐 𝟑 𝟏𝟓

∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 =

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟒 𝒙(𝒙 + 𝟐)√𝒙 + 𝟐 − (𝒙 + 𝟐)𝟐 √𝒙 + 𝟐 𝟑 𝟏𝟓

∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 =

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟒 𝒙(𝒙 + 𝟐)√𝒙 + 𝟐 − (𝒙 + 𝟐)𝟐 √𝒙 + 𝟐 𝟑 𝟏𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟒

𝟒

𝟒

𝟒 𝟒 𝟏 𝒙 (𝒙 − 𝟑)𝟓/𝟒 − ( (𝒙 − 𝟑)𝟗/𝟒 ) 𝟓 𝟓 𝟗/𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝒙 (𝒙 − 𝟑)𝟓/𝟒 − ( (𝒙 − 𝟑)𝟗/𝟒 ) 𝟓 𝟓 𝟗

𝟒 𝟏𝟔 𝒙 (𝒙 − 𝟑)𝟓/𝟒 − (𝒙 − 𝟑)𝟗/𝟒 𝟓 𝟒𝟓 𝟒 𝟏𝟔 𝟒 𝟒 𝒙 (𝒙 − 𝟑) √𝒙 − 𝟑 − (𝒙 − 𝟑)𝟐 √𝒙 − 𝟑 𝟓 𝟒𝟓

∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 =

𝟒 𝟏𝟔 𝟒 𝟒 𝒙(𝒙 − 𝟑) √𝒙 − 𝟑 − (𝒙 − 𝟑)𝟐 √𝒙 − 𝟑 𝟓 𝟒𝟓

José E. Ornelas G.

57

II.1.2.2.- EJERCICIOS PROPUESTOS (INTEGRALES POR PARTES): II.1.2.2.1.- Resolver cada uno de los integrales usando la técnica de la integración por partes: 𝟏) ∫ 𝒙 𝒆𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒙 𝒆𝟕𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒙 𝒆𝟖𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒙 𝒆𝟗𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝒙 𝒆(𝒙+𝟏) 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝒙 𝒆(𝒙+𝟐) 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝒙 𝒆(𝒙−𝟏) 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝒙 𝒆(𝒙−𝟑) 𝒅𝒙

II.1.2.2.2.- Resolver cada uno de los integrales usando la técnica de la integración por partes: 𝟏) ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝒙 𝑪𝒐𝒔 (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 (𝟖𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝒙 𝑪𝒐𝒔 (𝟑𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝒙 𝑺𝒆𝒏 (𝟒𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙

𝟏𝟑) ∫ 𝒙𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫ 𝒙𝟑 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟓) ∫ 𝒙𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟔) ∫ 𝒙𝟑 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

II.1.2.2.3.- Resolver cada uno de los integrales usando la técnica de la integración por partes: 𝟏) ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒆𝟓𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒆𝟔𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒆𝟕𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒔(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

II.1.2.2.4.- Resolver cada uno de los integrales usando la técnica de la integración por partes: 𝟏) ∫ 𝑳𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝑳𝒏 𝟖𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝑳𝒏 𝟗𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝑳𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒙 𝑳𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒙 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒙 𝑳𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒙 𝑳𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝒙𝟐 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝒙𝟐 𝑳𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝒙𝟑 𝑳𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝒙𝟑 𝑳𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

II.1.2.2.5.- Resolver cada uno de los integrales usando la técnica de la integración por partes: 𝟏) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝒙√𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝒙√𝒙 − 𝟕 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝒙√𝒙 − 𝟏𝟎 𝒅𝒙

𝟓

𝟏𝟒) ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙

𝟏𝟑) ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟔

𝟒

𝟏𝟓) ∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟔 𝒅𝒙

𝟑

𝟏𝟖) ∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟕 𝒅𝒙

José E. Ornelas G.

58

U N I D A D III (Integrales trigonométricos) III.1.0.- INTEGRALES TRIGONOMÉTRICOS Algunos integrales, pueden ser resueltos haciendo uso de los métodos de integración: por cambio de variables o integrales por partes, sin embargo, se amplían esas herramientas cuando trabajamos con integrales por cambio trigonométrico, en la que cada uno tiene una particularidad y tenemos que hacer uso de las identidades trigonométricas fundamentales, dependiendo de la función trigonométrica con la que se esté trabajando.

III.1.1.- PRIMER CASO (Integrales Trigonométricas) 𝟏) ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝒅𝒙

→ (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐)

→

𝟐) ∫ 𝑪𝒐𝒔𝒏 𝒙 𝒅𝒙 → (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐) →

∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏−𝟏 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝑪𝒐𝒔𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔𝒏−𝟏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

III.1.1.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES TRIGONOMÉTRICOS: Ejemplo 1

c) despejar dx:

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la función trigonométrica: 𝟑

𝟐

𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 a) Despejar 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 b) Sustituir en la integral 1.1.: 𝟑

(−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 = −

𝟏 𝒅𝒗 𝑺𝒆𝒏 𝒙

d) Sustituir en la integral 3.2 el cambio de variable: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒙 (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 Resolver el integral inmediato:

𝟐

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Aplicar la propiedad distributiva:

𝟏 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ( 𝒗𝟑 ) = − 𝒗𝟑 𝟑 𝟑

Retornar el cambio de variable:

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝟑

Separar los integrales:

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1.:

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Primera integral: Es integral inmediata

Sustituir los integrales 3.1. y 3.2. en la integral 2.1.:

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙

𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = (−𝑪𝒐𝒔 𝒙) − (− 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙) 𝟑

Segunda integral: Integral por cambio de variables 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 a) Cambio de variable: 𝑪𝒐𝒔 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝑪𝒐𝒔 𝒙)′ = (𝒗)′ → (−𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒙′ = 𝒗′ → (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 −𝟑𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 = 𝟑 𝟑 Factor Común: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 𝒙 (𝟑 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝟑

𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 𝒙 (𝟑 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙) + 𝑪 𝟑

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 2

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1: 𝟑

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la función trigonométrica:

Sustituir los integrales 3.1. y 3.2. en la integral 2.1.:

𝟑

𝟐

𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 a) Despejar 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 b) Sustituir en la integral 1.1.: 𝟑

𝟏 𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒙) − ( 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙) 𝟑 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝟑 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = Factor Común:

𝟐

𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Aplicar la propiedad distributiva:

𝟑𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝟑

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒙 (𝟑 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) 𝟑

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒙 (𝟑 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) + 𝑪 𝟑

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Primera integral: Es integral inmediata 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 Segunda integral: Integral por cambio de variables

Identidades Trigonométricas Fundamentales: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙

𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 a) Cambio de variable: 𝑺𝒆𝒏 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙

d) Sustituir en la integral el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝒙 ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 Simplificar: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 Resolver la integral inmediata: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟑 𝒗 𝟑

Retornar el cambio de variable: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

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60

Ejemplo 3 Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la función trigonométrica: 𝟏. 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟑 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 a) Despejar 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 b) Sustituir en la integral 1.1.: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟑 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙)𝟑 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 ∙ 𝒃 + 𝟑𝒂 ∙ 𝒃𝟐 − 𝒃𝟑

𝟑 𝟑 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟑 + 𝒗𝟓 − 𝒗𝟕 𝟑 𝟓 𝟕

𝟑 𝟏 𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝒗𝟑 + 𝒗𝟓 − 𝒗𝟕 𝟓 𝟕 Paso 4: Retornar el cambio de variable en 2.1.: 𝟑 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑺𝒆𝒏 𝒙) − (𝒔𝒆𝒏 𝒙)𝟑 + (𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝟓 − (𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝟕 𝟓 𝟕

𝟑 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟕 𝒙 𝟓 𝟕 𝟑 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟕 𝒙 + 𝑪 𝟓 𝟕

Identidades Trigonométricas Fundamentales: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙

(𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙)𝟑 = 𝟏𝟑 − 𝟑. 𝟏𝟐 . (𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) + 𝟑. 𝟏. (𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙)𝟐 − (𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙)𝟑

(𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙)𝟑 = 𝟏 − 𝟑𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝟑𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙

Sustituir en la integral: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝟑𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝟑𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Integral por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝑺𝒆𝒏 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙

d) Sustituir en la integral el cambio de variable en 2.1.: ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝟑𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝟑𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝟑𝒗𝟐 + 𝟑𝒗𝟒 − 𝒗𝟔 ) (𝑪𝒐𝒔 𝒙 ) ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙

Simplificar: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝟑𝒗𝟐 + 𝟑𝒗𝟒 − 𝒗𝟔 ) 𝒅𝒗

Separar los integrales: ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟏 𝒅𝒗 − 𝟑 ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 + 𝟑 ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗

Resolver las integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 − 𝟑 ∙ 𝒗𝟑 + 𝟑 ∙ 𝒗𝟓 − 𝒗𝟕 𝟑 𝟓 𝟕

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

61

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la función trigonométrica:

Paso 1: Separar la función trigonométrica:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟓𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica:

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica:

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏

→

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟓𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 = 𝟏

a) Despejar 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟓𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟓𝒙 = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 b) Sustituir en la integral:

→

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟒𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 = 𝟏

a) Despejar 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟒𝒙 b) Sustituir en la integral:

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙) 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟒𝒙) 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Integral por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 = 𝒗

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Integral por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 = 𝒗

b) Derivar cambio de variable:

b) Derivar cambio de variable:

(𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙)′ = (𝒗)′

→

(−𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝟓𝒙′ = 𝒗′

→

(𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙) 𝟒𝒙′ = 𝒗′

(𝟒𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

(−𝟓𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx:

c) despejar dx: (−𝟓𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = −

(𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙)′ = (𝒗)′

𝟏 𝒅𝒗 𝟓𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙

(𝟒𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟒𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙

d) Sustituir en la integral 2.1. el cambio de variable:

d) Sustituir en la integral 2.1. el cambio de variable:

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙) 𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟒𝒙) 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝒗𝟐 ) (𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 ) (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝟓𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙

Simplificar: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − ∫(𝟏 − 𝒗𝟐 ) 𝒅𝒗 𝟓

𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝒗𝟐 ) (𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝟒𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙

Simplificar: ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 ∫(𝟏 − 𝒗𝟐 ) 𝒅𝒗 𝟒

Separar los integrales: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝟏 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 𝟓 𝟓

Separar los integrales: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟏 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 𝟒 𝟒

Resolver el integral inmediato: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗 + ( 𝒗𝟑 ) 𝟓 𝟓 𝟑

Resolver el integral inmediato:

Factor Común:

Factor Común:

𝟏 𝟏 𝟐. 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗 (𝟏 − 𝒗𝟐 ) 𝟓 𝟑

𝟐. 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica: Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙) 𝟓 𝟑

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica: Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 (𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟒𝒙) 𝟒 𝟑

𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔 𝟓𝒙 (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙) + 𝑪 𝟓 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝟏 𝒗 − ( 𝒗𝟑 ) 𝟒 𝟒 𝟑

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝒗 (𝟏 − 𝒗𝟐 ) 𝟒 𝟑

𝟏 𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 (𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟒𝒙) + 𝑪 𝟒 𝟑

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62

III.1.2.- SEGUNDO CASO (Integrales Trigonométricas) 𝟏) ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝒅𝒙

→ (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐) →

∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝒅𝒙 →

𝟐) ∫ 𝑪𝒐𝒔𝒏 𝒙 𝒅𝒙

→ (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐) →

∫ 𝑪𝒐𝒔𝒏 𝒙 𝒅𝒙

→

𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟐

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 =

III.1.2.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES TRIGONOMÉTRICOS: Ejemplo 1

Retornar cambio de variable:

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 = → 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟐 𝟐 a) Sustituir en la integral: 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝟐

Paso 3: Retornar a la integral trigonométrica 1.1 y sustituir las integrales 2.1. y 2.2.: 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝟏 (𝒙) − ( 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏 𝟏 b) Separar los integrales: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 Factor Común: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Paso 2: Aplicar la técnica de integración respectiva en 𝟏 𝟏 cada uno de los integrales: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟐 2.1.- Integral inmediata: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 2.2.- Integral por cambio de variable: 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 a) Cambio de variable:

Identidades Trigonométricas Fundamentales: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟐 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟐

𝟐𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝟐𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙′ = 𝒗′ → 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟐

d) Sustituir en la integral el cambio de variable: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟐

Aplicar la integral inmediata: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

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63

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Utilizar la identidad trigonométrica:

Paso 1: Utilizar la identidad trigonométrica:

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 =

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝟐

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 =

→

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐

a) Sustituir en la integral:

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 =

𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝟐

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙 =

→

𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝟐

a) Sustituir en la integral:

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐

b) Separar los integrales:

b) Separar los integrales:

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫

𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐

Paso 2: Aplicar la técnica de integración respectiva en Paso 2: Aplicar la técnica de integración respectiva en cada uno de los integrales: cada uno de los integrales: 2.1.- Integral inmediata: 2.1.- Integral inmediata: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙

2.2.- Integral por cambio de variable:

2.2.- Integral por cambio de variable:

𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙

a) Cambio de variable: 𝟐𝒙 = 𝒗

a) Cambio de variable: 𝟔𝒙 = 𝒗

b) Derivar cambio de variable: (𝟐𝒙)′

=

(𝒗)′

′

′

→

𝟐𝒙 = 𝒗

→

𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐

→

b) Derivar cambio de variable: 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

(𝟔𝒙)′ = (𝒗)′

→

𝟔𝒙′ = 𝒗′

→

𝒅𝒙 =

→

𝟔𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: 𝟔𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝟏 𝒅𝒗 𝟔

d) Sustituir en la integral el cambio de variable:

d) Sustituir en la integral el cambio de variable:

𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟐 𝟐

𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟔 𝟔

Aplicar la integral inmediata: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟐

Aplicar la integral inmediata: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟔

Retornar cambio de variable: Retornar cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝟐 𝟔 Paso 3: Retornar a la integral trigonométrica 1.1 y Paso 3: Retornar a la integral trigonométrica 1.1 y sustituir las integrales 2.1. y 2.2.: sustituir las integrales 2.1. y 2.2.: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙) + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) = 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) 𝟐 𝟐 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 (𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙) − ( 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙) = 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟏𝟐 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙) 𝟐 𝟔 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 (𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟐

José E. Ornelas G.

64

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Utilizar la identidad trigonométrica:

Paso 1: Utilizar la identidad trigonométrica:

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟐

→

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 = 𝟐

a) Sustituir en la integral: 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐

b) Separar los integrales:

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 =

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝟐

→

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 =

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 𝟐

a) Sustituir en la integral: 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐

b) Separar los integrales:

𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫

Paso 2: Aplicar la técnica de integración respectiva en Paso 2: Aplicar la técnica de integración respectiva en cada uno de los integrales: cada uno de los integrales: 2.1.- Integral inmediata: 2.1.- Integral inmediata: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙

2.2.- Integral por cambio de variable:

2.2.- Integral por cambio de variable:

𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙

a) Cambio de variable: 𝟖𝒙 = 𝒗

a) Cambio de variable: 𝟏𝟎𝒙 = 𝒗

b) Derivar cambio de variable: (𝟖𝒙)′

=

(𝒗)′

′

′

→ 𝟖𝒙 = 𝒗 → 𝟖𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx:

(𝟏𝟎𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟏𝟎𝒙′ = 𝒗′ → 𝟏𝟎𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx:

𝟖𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟖

d) Sustituir en la integral el cambio de variable: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟖 𝟖 Aplicar la integral inmediata: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 𝒅𝒙 =

b) Derivar cambio de variable:

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟖

𝟏𝟎𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟏𝟎

d) Sustituir en la integral el cambio de variable: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟏𝟎 𝟏𝟎 Aplicar la integral inmediata: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟏𝟎

Retornar cambio de variable: Retornar cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝟖𝒙 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟎𝒙 𝟖 𝟏𝟎 Paso 3: Retornar a la integral trigonométrica 1.1 y Paso 3: Retornar a la integral trigonométrica 1.1 y sustituir las integrales 2.1. y 2.2.: sustituir las integrales 2.1. y 2.2.: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 (𝒙) + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟖𝒙) = 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟖𝒙 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟖𝒙) 𝟐 𝟖 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 (𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟖𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟖

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 (𝒙) + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟎𝒙) = 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟎𝒙 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟎 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟎𝒙) 𝟐 𝟏𝟎 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 (𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟎𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟏𝟎

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 6 𝟒

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 =

𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝟐

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 =

→

𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐

Separar los integrales:

a) Sustituir en la integral: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙)𝟐 𝒅𝒙

𝟐. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 ∫(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙)𝟐 𝒅𝒙 𝟒

𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐

Resolver cada integral con las técnicas respectivas: 2.3.1.- Integral inmediata: 𝟐. 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙

2.3.2.- Integral por cambio de variable:

Resolver el producto notable: (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙)𝟐 = (𝟏)𝟐 − 𝟐. 𝟏. 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 + (𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙)𝟐 (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙)𝟐 = 𝟏 − 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙

Sustituir en la integral 1.1.: 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟒 b) Separar los integrales: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = → 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 = 𝟐 𝟐 Sustituir en la integral 2.3: 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝟐. 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

a) Cambio de variable: 𝟒𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝟒𝒙)′ = (𝒗)′

→

𝟒𝒙′ = 𝒗′

→

𝟒𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx:

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟒 𝟐 𝟒

𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟒

Paso 2: Aplicar la técnica de integración respectiva en d) Sustituir en la integral 2.3.2. el cambio de variable: cada uno de los integrales: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 2.1.- Integral inmediata: 𝟒 𝟒 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙

2.2.- Integral por cambio de variable: 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

a) Cambio de variable: 𝟐𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝟐𝒙)′ = (𝒗)′

→ 𝟐𝒙′ = 𝒗′

→

𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

Retornar cambio de variable: 𝟏 𝟐. 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒 Retornar a la integral 2.3 y sustituir 2.3.1 y 2.3.2: 𝟏 𝟏 𝟐. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

c) despejar dx: 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

Aplicar el integral inmediato: 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟒

→

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟐

d) Sustituir en la integral el cambio de variable: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ∙ ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟐 𝟐

𝟐. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟐

Retornar cambio de variable: 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝟐

2.3.- Resolver la integral por cambio trigonométrico:

𝟏 𝟏 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟐 𝟖

Paso 3: Retornar a la integral 1.1 y sustituir 2.1; 2.2 y 2.3.: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

Aplicar la integral inmediata: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝟏 (𝒙) + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙) 𝟐 𝟐 𝟒

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟒 𝟐 𝟒

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 − ( 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) + ( 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟖

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒 𝟒 𝟖 𝟑𝟐

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟖 𝟒 𝟑𝟐

𝟐. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

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66

Ejemplo 7

Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟒

Hallar la integral ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟐

→

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟐

a) Sustituir en la integral:

𝟏 ∫(𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙)𝟐 𝒅𝒙 𝟒

Resolver el producto notable: (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐. 𝒂. 𝒃 + 𝒃𝟐 (𝟏 + 𝑪𝒐𝒔

= 𝟏 + 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 +

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙

Sustituir en la integral 1.1.: 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟒 b) Separar los integrales: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 =

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝟐

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐

Resolver cada integral con las técnicas respectivas: 2.3.1.- Integral inmediata: 𝟐. 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙

2.3.2.- Integral por cambio de variable:

(𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙)𝟐 = (𝟏)𝟐 + 𝟐. 𝟏. 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 + (𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙)𝟐 𝟐𝒙)𝟐

→

Sustituir en la integral 2.3:

𝟐. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟐

𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝜶 𝟐

Separar los integrales:

∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ (

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 =

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟒 𝟐 𝟒

𝟐. 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙

a) Cambio de variable: 𝟒𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝟒𝒙)′ = (𝒗)′

→

𝟒𝒙′ = 𝒗′

→

𝟒𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Despejar dx: 𝟒. 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝟒

Paso 2: Aplicar la técnica de integración respectiva en d) Sustituir en la integral 2.3.2. el cambio de variable: cada uno de los integrales: 𝟏 𝟏 2.1.- Integral inmediata: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟒 𝟒 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 Aplicar el integral inmediato: 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒗 2.2.- Integral por cambio de variable: 𝟒 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Retornar cambio de variable: 𝟏 a) Cambio de variable: 𝟐. 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟒 𝟐𝒙 = 𝒗 Retornar a la integral 2.3 y sustituir 2.3.1 y 2.3.2: b) Derivar cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟐. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 (𝟐𝒙)′ = (𝒗)′ → 𝟐𝒙′ = 𝒗′ → 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 c) despejar dx: 𝟐 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = (𝒙) + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟐 𝟖 d) Sustituir en la integral el cambio de variable: 𝟏 𝟏 Paso 3: Retornar a la integral 1.1 y sustituir 2.1; 2.2 y 2.3.: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑪𝒐𝒔 𝒗) ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟒 𝟐 𝟒 Aplicar la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙) + ( 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙) ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝒗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟖 𝟐 Retornar cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝟏 𝟒 𝟒 𝟖 𝟑𝟐 𝟐. 𝟐. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 2.3.- Resolver la integral por cambio trigonométrico: ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟖 𝟒 𝟑𝟐 𝟐. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Fundamentos para el Cálculo Integral

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67

III.1.3.- TERCER CASO (Integrales Trigonométricas) ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒎 𝒙 𝒅𝒙 𝟏) ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒎 𝒙 𝒅𝒙 → (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐) → ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒎 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏−𝟏 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒎 𝒙 𝒅𝒙 𝟐) ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒎 𝒙 𝒅𝒙 → (𝒔í 𝒎 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐) → ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒎 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝒎−𝟏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

III.1.3.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES TRIGONOMÉTRICOS: Ejemplo 1

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟑 𝟑

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la identidad de exponente impar: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏

→

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙

a) Sustituir en la integral:

Método del cambio de variable: Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏 𝒙) (𝒗)𝟒 (−

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟑

Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝟑

𝟐

𝟐

𝟐

∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

b) Aplicar propiedad distributiva: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙) 𝒅𝒙

c) Separar los integrales: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟓 𝟓 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝟓

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1 y Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva en sustituir las integrales 3.1. y 3.2.: cada uno de los integrales: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 − (− 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙) 𝟑 𝟓

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝑪𝒐𝒔 𝒙 = 𝒗

𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝟑 𝟓

b) Derivar cambio de variable: (𝑪𝒐𝒔 𝒙)′ = (𝒗)′ → (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (−𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 = −

𝟏 𝒅𝒗 𝑺𝒆𝒏 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en cada integral: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏 𝒙) (𝒗)𝟐 (−

Factor Común: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 (− + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝟑 𝟓 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 (− + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟓

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

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Ejemplo 2

Simplificar: 𝟐

𝟑

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la identidad de exponente impar: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏

→

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙

a) Sustituir en la integral: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 (𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 (𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

b) Aplicar propiedad distributiva: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙)𝒅𝒙

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗𝟓 𝟓 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝟓 Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1 y sustituir las integrales 3.1. y 3.2.: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝟑 𝟓

Factor Común: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 ( − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) 𝟑 𝟓

c) Separar los integrales: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva en cada uno de los integrales: Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝑺𝒆𝒏 𝒙 = 𝒗

𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 ( − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟓

b) Derivar cambio de variable: (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en cada integral: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟐 (𝑪𝒐𝒔 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙

Simplificar: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗𝟑 𝟑 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝟑 Método del cambio de variable: d) Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒 (𝑪𝒐𝒔 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

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69

Ejemplo 3

Simplificar: 𝟒

𝟑

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la identidad de exponente impar: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏

→

𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙

a) Sustituir en la integral: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 (𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 (𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

b) Aplicar propiedad distributiva: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗𝟕 𝟕 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟕 𝒙 𝟕 Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1 y sustituir las integrales 3.1. y 3.2.: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 − 𝑺𝒆𝒏𝟕 𝒙 𝟓 𝟕

Factor Común: 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 ( − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) 𝟓 𝟕

c) Separar los integrales: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva en cada uno de los integrales: Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝑺𝒆𝒏 𝒙 = 𝒗

𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 ( − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙) + 𝑪 𝟓 𝟕

b) Derivar cambio de variable: (𝑺𝒆𝒏 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝑪𝒐𝒔 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en cada integral: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒 (𝑪𝒐𝒔 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙

Simplificar: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗𝟓 𝟓 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝟓 Método del cambio de variable: d) Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟔 (𝑪𝒐𝒔 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝑪𝒐𝒔 𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

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70

Ejemplo 4

Retornar el cambio de variable: 𝟓

𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝟓

𝟒

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la identidad de exponente impar: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 𝟓

𝟒

𝟐

𝟐

𝟒

𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

a) Sustituir en la integral:

𝟑. 𝟐. ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝟐 ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗

∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟐 = (𝟏)𝟐 − 𝟐. 𝟏. 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 + (𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)

Sustituir en la integral 1.1.: 𝟐

𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝟒

𝟒

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝟐𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝒙) 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

b) Aplicar propiedad distributiva: ∫(𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 − 𝟐𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙)𝒅𝒙 𝟐. 𝟏. ∫(𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método del cambio de variable: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: (𝑪𝒐𝒔 𝒙)′ = (𝒗)′ → (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (−𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: 𝒅𝒙 = −

Método del cambio de variable: Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟖 (𝑺𝒆𝒏 𝒙) (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar: 𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟖 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟗 𝟗 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝟗

𝑪𝒐𝒔 𝒙 = 𝒗

→

Aplicar la integral inmediata: 𝟐 𝟑. 𝟐. ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟕 𝟕 Retornar el cambio de variable: 𝟐 𝟑. 𝟐. ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝟕

𝟐

(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟐 = 𝟏 − 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙

(−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar:

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙

→

Método del cambio de variable: Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒗𝟔 (𝑺𝒆𝒏 𝒙) (−

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏

𝟑. 𝟐. ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 𝒅𝒗 𝑺𝒆𝒏 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en cada integral: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒 𝑺𝒆𝒏 𝒙 (−

Simplificar: ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟓 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1 y sustituir las integrales 3.1; 3.2 y 3.3: 𝟐. 𝟏. ∫(𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 − (− 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙) − 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝟓 𝟕 𝟗 𝟏 𝟐 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔𝟗 𝒙 𝟓 𝟕 𝟗

Factor Común: 𝟏 𝟐 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 (− + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙) 𝟓 𝟕 𝟗 𝟏 𝟐 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 (− + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙) 𝟓 𝟕 𝟗

José E. Ornelas G.

71

Ejemplo 5

𝟑. 𝟐. ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝟓

𝟑

Hallar la integral ∫ 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la identidad de exponente impar: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙)𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏

→

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙

a) Sustituir en la integral: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟐 = (𝟏)𝟐 − 𝟐. 𝟏. 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 + (𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)

𝟐

(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝟐 = 𝟏 − 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙

Método del cambio de variable: Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒗𝟓 (𝑺𝒆𝒏 𝒙) (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar: ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝟐 ∫ 𝒗𝟓 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟐 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟔 = − 𝒗𝟔 𝟔 𝟑 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐. ∫ 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝟑 𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: Sustituir cambio de variable en la integral:

Sustituir en la integral 1.1.: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙) 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙

b) Aplicar propiedad distributiva:

𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟕 (𝑺𝒆𝒏 𝒙) (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Simplificar:

∫(𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 − 𝟐𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙) 𝒅𝒙

𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟕 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 𝟖 𝟕 Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva en 𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟖 𝒗 cada uno de los integrales: Retornar el cambio de variable: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟑. 𝟑. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝟖 Método del cambio de variable: 𝟐. 𝟏. ∫(𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1 y sustituir las integrales 3.1; 3.2 y 3.3:

a) Cambio de variable: 𝑪𝒐𝒔 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable:

𝟐. 𝟏. ∫(𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − 𝟐𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟕 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒅𝒙

(𝑪𝒐𝒔 𝒙)′ = (𝒗)′ → (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (−𝑺𝒆𝒏 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (−𝑺𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝟒 𝟑 𝟖

𝟏 𝒅𝒗 𝑺𝒆𝒏 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en cada integral: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟑 (𝑺𝒆𝒏 𝒙) (−

Simplificar: ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟑 𝒅𝒗

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 − (− 𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙) − 𝑪𝒐𝒔𝟖 𝒙 𝟒 𝟑 𝟖

𝟏 𝒅𝒗) 𝑺𝒆𝒏 𝒙

Factor Común: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 (− + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙) 𝟒 𝟑 𝟖 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 (− + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙) 𝟒 𝟑 𝟖

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟒 𝟒 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝟒 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

72

III.1.4.- CUARTO CASO (Integrales Trigonométricas) 𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝒏 𝒙 𝒅𝒙 → (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐)

→ ∫ 𝒕𝒂𝒈𝒏−𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏

𝟐) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒏 𝒙 𝒅𝒙

→ ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒏−𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

→ (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐)

→

𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏

III.1.4.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES TRIGONOMÉTRICOS: Ejemplo 1

Aplicar la integral inmediata:

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la identidad:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: →

𝟏 𝟐 𝒗 𝟐

Retornar el cambio de variable:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 =

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝟐

𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Método de la integral inmediata: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙|

Sustituir en la integral: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Aplicar propiedad distributiva: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝒅𝒙 Separar los integrales:

𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙|

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1 y sustituir las integrales 3.1 y 3.2: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva en cada uno de los integrales:

𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙| 𝟐

∫ 𝑻𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙| + 𝑪 𝟐

𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒕𝒂𝒈 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (𝒔𝒆𝒄𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 ∙ ( 𝒗) ( 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

Simplificar:

∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

73

Ejemplo 2

Sustituir en la integral:

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de exponente impar:

Separar integrales: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Aplicar la integral inmediata: 𝟒

𝟐

𝟐

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 − 𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏

→

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

Sustituir en la integral:

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 2.1 y sustituir las integrales 3.1 y 3.2: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 − (𝒕𝒂𝒈 𝒙 − 𝒙) 𝟑 𝟏 ∫ 𝑻𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝒙 𝟑 ∫ 𝑻𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

Aplicar propiedad distributiva: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝒅𝒙

Separar integrales:

∫ 𝑻𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝒙 + 𝑪 𝟑

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva en cada uno de los integrales: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒕𝒂𝒈 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (𝒔𝒆𝒄𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒗𝟐 ) (

Simplificar:

𝟏 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗𝟑 𝟑 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝟑 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Método de integrales trigonométricos: Identidad trigonométrica: 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏

→

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

74

Ejemplo 3

Identidad trigonométrica: 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏 → 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

𝟓

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Sustituir en la integral:

Paso 1: Separar la identidad de exponente impar: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Propiedad distributiva: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏

→

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

Sustituir en la integral: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Separar los integrales: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Paso 4: Aplicar la técnica de integración respectiva en cada uno de los integrales: 𝟒. 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Aplicar propiedad distributiva: 𝟓

𝟐

𝟑

Método del cambio de variable: 𝟑

∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗) (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

Simplificar:

∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 𝒅𝒗 Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva en cada uno de los integrales: Aplicar la integral inmediata: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Método del cambio de variable:

a) Cambio de variable: 𝒕𝒂𝒈 𝒙 = 𝒗

∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =

Retornar el cambio de variable: 𝟒. 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =

b) Derivar cambio de variable: (𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: 𝟏 (𝒔𝒆𝒄𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en cada integral: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒗𝟑 ) ( 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

Aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗𝟒 𝟒 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝟒 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Método de la integral inmediata: 𝟒. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙|

Paso 4: Retornar a la integral trigonométrica 3.2 y sustituir las integrales 4.1 y 4.2: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙| 𝟐

Paso 5: Retornar a la integral trigonométrica 2.1 y sustituir las integrales 3.1 y 3.2: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 − ( 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙|) 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙| 𝟒 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 =

Método de integrales trigonométricos:

𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝟐

𝟒. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Simplificar: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟑 𝒅𝒗

𝟏 𝟐 𝒗 𝟐

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 − 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙| + 𝑪 𝟒 𝟐

José E. Ornelas G.

75

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟐

𝟐

𝒄𝒕𝒈 𝜶 = 𝒄𝒔𝒄 𝜶 − 𝟏

→

𝟐

𝟐

𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒄𝒔𝒄 𝒙 − 𝟏

Sustituir en la integral:

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏

→

𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

Sustituir en la integral:

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Aplicar propiedad distributiva:

Aplicar propiedad distributiva y separar integrales:

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈 𝒙)𝒅𝒙 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝟐

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝒅𝒙 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟑. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 Método del cambio de variable:

Método del cambio de variable:

a) Cambio de variable: 𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable y despejar dx::

a) Cambio de variable: 𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable y despejar dx::

(𝒄𝒕𝒈 𝒙)′ = (𝒗)′ → (−𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (−𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

(−𝒄𝒔𝒄𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝒅𝒗 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

c) Sustituir cambio de variable en la integral: ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) (𝒗 ) (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

Simplificar y aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗 𝒅𝒗 = − 𝒗𝟐 𝟐 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝟐 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Método de la integral inmediata: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙|

Paso 4: En la integral 2.1 sustituir las integrales 3.1 y 3.2: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙| 𝟐 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙| + 𝑪 𝟐

(𝒄𝒕𝒈 𝒙)′ = (𝒗)′ → (−𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (−𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

(−𝒄𝒔𝒄𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝒅𝒗 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

c) Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) (𝒗𝟐 ) (− 𝒅𝒗) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 Simplificar y aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 = − 𝒗𝟑 𝟑 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝟑 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Método de integrales trigonométricos:

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙

Método de la integral inmediata: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒙

Paso 4: En la integral 2.1 sustituir las integrales 3.1 y 3.2: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 − (−𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒙) 𝟑

𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝒙 + 𝑪 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

76

Ejemplo 6 Hallar la integral ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒅𝒙 Paso 1: Separar la identidad de la integral: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏 → 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏 Sustituir en la integral: ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 (𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙) 𝒅𝒙

Separar los integrales: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝟑. 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable y despejar dx:: (𝒄𝒕𝒈 𝒙)′ = (𝒗)′ → (−𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (−𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

(−𝒄𝒔𝒄𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

→

𝒅𝒙 = −

𝟏 𝒅𝒗 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

c) Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟓 )(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) (− 𝒅𝒗) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 Simplificar y aplicar integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟓 𝒅𝒗 = − 𝒗𝟔 𝟔 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟔 𝒙 𝟔 𝟑. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Simplificar y aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟑 𝒅𝒗 = − 𝒗𝟒 𝟒 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 𝟒 𝟑. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Método de integrales trigonométricos: Sustituir en la integral y aplicar propiedad distributiva: ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 (𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝒙) 𝒅𝒙 𝟑. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Paso 5: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝟑. 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: Sustituir cambio de variable: ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗) (𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

Simplificar y aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗 𝒅𝒗 = − 𝒗𝟐 𝟐 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝟐 𝟑. 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

Método de la integral inmediata: 𝟑. 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙|

Paso 6: En la integral 3.2.2 sustituir 3.2.2.1 y 3.2.2.2: 𝟑. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟑. 𝟐. 𝟐. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙| 𝟐

Método de integrales trigonométricos: Sustituir la identidad en la integral:

Paso 7: En la integral 3.2 y sustituir 3.2.1 y 3.2.2:

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 (𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝟑. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙) 𝒅𝒙

Separar los integrales: 𝟑. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Paso 4: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝟑

𝟐

𝟑. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: Sustituir cambio de variable en la integral: ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙

𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

𝒅𝒙 =

∫(𝒗𝟑 )(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) (−

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝒅𝒗) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 − (− 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙|) 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙| 𝟒 𝟐

Paso 8: En la integral 2.1 y sustituir integrales 3.1 y 3.2: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟔 𝒙 − (− 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙|) 𝟔 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟔 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 − 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒏 𝒙| 𝟔 𝟒 𝟐

José E. Ornelas G.

77

III.1.5.- QUINTO CASO (Integrales Trigonométricas) 𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒏 𝒙 𝒅𝒙 → (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓) → ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒏−𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

→

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶

𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒏 𝒙 𝒅𝒙 →

→

𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶

(𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓) → ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒏−𝟐 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

III.1.5.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES TRIGONOMÉTRICOS: Ejemplo 1

Paso 4: En la integral 2.1 sustituir las integrales 3.1 y 3.2: 𝟒

Hallar la integral ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de exponente impar:

𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝟑

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

Factor común: Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟐

𝟐

𝒔𝒆𝒄 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈 𝜶

𝟐

→

𝟐

𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙

Sustituir en la integral 1.1: 𝟒

𝟐

𝟐

∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙) 𝟑 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙) + 𝑪 𝟑

Aplicar propiedad distributiva y separar integrales: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Método de la integral inmediata: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒕𝒂𝒈 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable: (𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ = (𝒗)′ → (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝒙′ = 𝒗′ → (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) despejar dx: (𝒔𝒆𝒄𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

d) Sustituir cambio de variable en la integral: 𝟏 𝟑. 𝟐 ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) (𝒗𝟐 ) ( 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 e) Simplificar y aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 = 𝒗𝟑 𝟑 f) Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐 ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝟑 Fundamentos para el Cálculo Integral

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Ejemplo 2

Ejemplo 3

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de exponente impar:

Paso 1: Separar la identidad de la integral: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙)(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟐

𝒄𝒔𝒄 𝜶 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈 𝜶

Sustituir en la integral 1.1:

Sustituir en la integral 1.1:

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Aplicar propiedad distributiva y separar integrales: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝟑. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 ((𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 = (𝟏)𝟐 + 𝟐. (𝟏). (𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙) + (𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 ((𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 Sustituir en 2.1:

Método de la integral inmediata:

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝟐𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙) 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟑. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable:

𝟑. 𝟐. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒗

𝒕𝒂𝒈 𝒙 = 𝒗 b) Derivar cambio de variable y despejar dx:

b) Derivar cambio de variable y despejar dx: (𝒄𝒕𝒈 𝒙)′ = (𝒗)′ → (−𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) 𝒙′ = 𝒗′ → (−𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝟏 𝒅𝒗 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 c) Sustituir cambio de variable en la integral: (−𝒄𝒔𝒄𝟐 )𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = −

𝟑. 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) (𝒗𝟐 ) (−

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝜶

𝟐

𝟏 𝒅𝒗) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

d) Simplificar y aplicar la integral inmediata: 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 = − 𝒗𝟑 𝟑 e) Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟑. 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝟑 Paso 4: En la integral 2.1 sustituir las integrales 3.1 y 3.2: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝟑

Factor común: 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙 (𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) 𝟑

(𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ = 𝒗′ → 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒙′ = 𝒗′ → 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝒅𝒙 =

𝟏 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

c) Sustituir cambio de variable en 2.1: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝟐𝒗𝟐 + 𝒗𝟒 )(𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) (

𝟏 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

d) Simplificar y separar integrales: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝟐𝒗𝟐 + 𝒗𝟒 ) 𝒅𝒗 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒗 + ∫ 𝟐𝒗𝟐 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

Método de integración inmediata: 𝟐 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗 + 𝒗𝟑 + 𝒗𝟓 𝟑 𝟓

e) Retornar el cambio de variable: 𝟐 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒕𝒂𝒈 𝒙) + (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟑 + (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟓 𝟑 𝟓 𝟐 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝟑 𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 +

𝟐 𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟓

𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙 (𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) + 𝑪 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

79

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

Paso 1: Separar la identidad de la integral: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙)𝟐 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶

𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙

→

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝜶

→

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝒙

Sustituir en la integral 1.1:

Sustituir en la integral 1.1: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝟐 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙) 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva:

𝟐

(𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) = (𝟏)𝟐 ± 𝟐. (𝟏). (𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) + (𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝟐 𝟐

(𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙

𝟑. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙

Sustituir en 2.1: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙) 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙: (𝒄𝒕𝒈 𝒙)′ = 𝒗′ → −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒙′ = 𝒗′ → −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟏 𝒅𝒙 = − 𝒅𝒗 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

Método de integrales por partes: 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 (𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙)

a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 b) Derivar el cambio de variable: (𝒎)′ = (𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ → 𝒎′ = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒙′ → 𝒅𝒎 = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 b) Integrando miembro a miembro:

c) Sustituir cambio de variable en 2.1:

∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝟐𝒗 + 𝒗 )(𝒄𝒔𝒄 𝒙) (− 𝒅𝒗) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝟔

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica:

𝟐

𝟒

→

𝒏 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙

𝟐

d) Simplificar y separar integrales:

∫ 𝒎 ∙ 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎

𝟑. 𝟐. ∫ 𝒎 ∙ 𝒅𝒏 = (𝒕𝒂𝒈 𝒙) (𝒔𝒆𝒄 𝒙) − ∫(𝒔𝒆𝒄 𝒙)(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙)

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫(𝟏 + 𝟐𝒗𝟐 + 𝒗𝟒 ) 𝒅𝒗 𝟑. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 𝟔

𝟐

𝟒

∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒅𝒗 − ∫ 𝟐𝒗 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒗

Método de integración inmediata: 𝟐 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒗 − 𝒗𝟑 − 𝒗𝟓 𝟑 𝟓

e) Retornar el cambio de variable:

Paso 4: En la integral 2.1 sustituir las integrales 3.1 y 3.2: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| + 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝐬𝐞 𝐜 𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| + 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙

𝟐 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = −(𝒄𝒕𝒈 𝒙) − (𝒄𝒕𝒈 𝒙)𝟑 − (𝒄𝒕𝒈 𝒙)𝟓 𝟑 𝟓

𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| + 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙

𝟐 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝟑 𝟓

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 (𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| + 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙) 𝟐

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 (𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙| + 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙) + 𝑪 𝟐

José E. Ornelas G.

80

III.1.6.- SEXTO CASO (integrales trigonométricas) 𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝒎 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒏 𝒙 𝒅𝒙 → (𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓)

→ ∫ 𝒕𝒂𝒈𝒎 𝒔𝒆𝒄𝒏−𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒎 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒏 𝒙 𝒅𝒙 →

(𝒔í 𝒏 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓)

→ ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒎 𝒄𝒔𝒄𝒏−𝟐 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝒎 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒏 𝒙 𝒅𝒙

→

(𝒔í 𝒏 𝒚 𝒎 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓) → ∫ 𝒕𝒂𝒈𝒎−𝟏 𝒔𝒆𝒄𝒏−𝟏 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒎 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒏 𝒙 𝒅𝒙

→

(𝒔í 𝒏 𝒚 𝒎 𝒆𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓) → ∫ 𝒄𝒕𝒈𝒎−𝟏 𝒄𝒔𝒄𝒏−𝟏 𝒙 (𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

III.1.6.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES TRIGONOMÉTRICOS: Ejemplo 1

Ejemplo 2

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟐

𝟐

𝒔𝒆𝒄 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈 𝜶

𝟐

→

𝟐

𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈 𝒙

Sustituir en la integral 1.1:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙

→

Sustituir en la integral 1.1:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟖 𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟗 𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒕𝒂𝒈 𝒙 = 𝒗

𝒕𝒂𝒈 𝒙 = 𝒗

b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙: ′

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable:

′

𝟐

′

′

𝟐

b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙:

(𝒕𝒂𝒈 𝒙) = 𝒗 → 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒙 = 𝒗 → 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 c) Sustituir cambio de variable en 2.1: 𝟏 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟔 + 𝒗𝟖 )(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

(𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ = 𝒗′ → 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒙′ = 𝒗′ → 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 c) Sustituir cambio de variable en 2.1: 𝟏 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟕 + 𝒗𝟗 )(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

d) Simplificar y separar integrales:

d) Simplificar y separar integrales:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟔 + 𝒗𝟖 ) 𝒅𝒗 = ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟖 𝒅𝒗 Método de integración inmediata:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟕 𝟏 𝟗 𝒗 + 𝒗 𝟕 𝟗

e) Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟕 + (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟗 𝟕 𝟗 𝟏 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟗 𝒙 𝟕 𝟗 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟗 𝒙 + 𝑪 𝟕 𝟗

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟕 + 𝒗𝟗 ) 𝒅𝒗 = ∫ 𝒗𝟕 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟗 𝒅𝒗 Método de integración inmediata:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟖 𝟏 𝟏𝟎 𝒗 + 𝒗 𝟖 𝟏𝟎

e) Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏 (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟖 + (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟏𝟎 𝟖 𝟏𝟎 𝟏 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟏𝟎 𝒙 𝟖 𝟏𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟖 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟏𝟎 𝒙 + 𝑪 𝟖 𝟏𝟎

José E. Ornelas G.

81

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶 →

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica:

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙

𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶 →

Sustituir en la integral 1.1:

𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙

Sustituir en la integral 1.1:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 (𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝟐 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 ((𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 = (𝟏)𝟐 ± 𝟐. (𝟏). (𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙) + (𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 ((𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 ((𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝟐 = (𝟏)𝟐 ± 𝟐. (𝟏). (𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙) + (𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝟐 ((𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙

Sustituir en 2.1:

Sustituir en 2.1:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 (𝟏 + 𝟐𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 (𝟏 + 𝟐𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 + 𝟐𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟖 𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 + 𝟐𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟗 𝒙) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒕𝒂𝒈 𝒙 = 𝒗

𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒗

b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙: (𝒕𝒂𝒈 𝒙)′ = 𝒗′ → 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙: 𝟏 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

→ 𝒅𝒙 =

c) Sustituir cambio de variable en 2.1: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙

𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable:

𝒅𝒙 =

∫(𝒗𝟒

+ 𝟐𝒗𝟔

+

(𝒄𝒕𝒈 𝒙)′ = 𝒗′ → −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝒅𝒗 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

c) Sustituir cambio de variable en 2.1: 𝟏 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

𝒗𝟖 )(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) (

d) Simplificar y separar integrales:

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟓 + 𝟐𝒗𝟕 + 𝒗𝟗 ) (𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙) (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙

d) Simplificar y separar integrales:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟒 + 𝟐𝒗𝟔 + 𝒗𝟖 ) 𝒅𝒗

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫(𝒗𝟓 + 𝟐𝒗𝟕 + 𝒗𝟗 ) 𝒅𝒗

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟖 𝒅𝒗

∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟓 𝒅𝒗 − 𝟐 ∫ 𝒗𝟕 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗𝟗 𝒅𝒗

Método de integración inmediata: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟓 𝟐 𝟕 𝟏 𝟗 𝒗 + 𝒗 + 𝒗 𝟓 𝟕 𝟗

e) Retornar el cambio de variable:

Método de integración inmediata: 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏𝟎 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟔 − 𝒗𝟖 − 𝒗 𝟔 𝟖 𝟏𝟎

e) Retornar el cambio de variable:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐 𝟏 (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟓 + (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟕 + (𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝟗 𝟓 𝟕 𝟗

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = − (𝒄𝒕𝒈 𝒙)𝟔 − (𝒄𝒕𝒈 𝒙)𝟖 − (𝒄𝒕𝒈 𝒙)𝟏𝟎 𝟔 𝟒 𝟏𝟎

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐 𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟗 𝒙 𝟓 𝟕 𝟗

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟔 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟖 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟏𝟎 𝒙 𝟔 𝟒 𝟏𝟎

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐 𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈 𝟕 𝒙 + 𝒕𝒂𝒈𝟗 𝒙 + 𝑪 𝟓 𝟕 𝟗

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟓 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒕𝒈𝟔 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟖 𝒙 − 𝒄𝒕𝒈𝟏𝟎 𝒙 𝟔 𝟒 𝟏𝟎

José E. Ornelas G.

82

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶

→

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

Sustituir en la integral 1.1:

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶

∫ 𝒇(𝒙) ∙ 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)(𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒗 b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙: (𝒔𝒆𝒄 𝒙)′ = 𝒗′

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 → 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙

c) Sustituir cambio de variable en 2.1: 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟒 − 𝒗𝟐 )(𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙

→

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

Sustituir en la integral 1.1: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝟐 = (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟐 − 𝟐. (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙). (𝟏) + (𝟏)𝟐 (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝟐 = 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 − 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 𝟏 Sustituir en 2.1: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 − 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)(𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: Cambio de variable: 𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒗

d) Simplificar y separar los integrales:

b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟒 − 𝒗𝟐 ) 𝒅𝒗

(𝒔𝒆𝒄 𝒙)′ = 𝒗′ → 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 Método de integración inmediata: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 𝒗 − 𝒗 𝟓 𝟑

e) Retornar el cambio de variable: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 (𝒔𝒆𝒄 𝒙)𝟓 − (𝒔𝒆𝒄 𝒙)𝟑 𝟓 𝟑

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝟓 𝟑

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 + 𝑪 𝟓 𝟑

c) Sustituir cambio de variable en 2.1: 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟔 − 𝟐𝒗𝟒 + 𝒗𝟐 )(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) ( 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙

d) Simplificar y separar los integrales: ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟔 − 𝟐𝒗𝟒 + 𝒗𝟐 ) 𝒅𝒗 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗 − 𝟐 ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 Método de integración inmediata:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟕 𝟐 𝟓 𝟏 𝟑 𝒗 − 𝒗 + 𝒗 𝟕 𝟓 𝟑

e) Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟐 𝟏 (𝒔𝒆𝒄 𝒙)𝟕 − (𝐬𝐞𝐜 𝒙)𝟓 + (𝒔𝒆𝒄𝒙)𝟑 𝟕 𝟓 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟕 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝟕 𝟓 𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙

𝟏 𝟐 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟕 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑

José E. Ornelas G.

83

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Hallar la integral ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟓 𝒙 𝒅𝒙

Hallar la integral ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

Paso 1: Separar la identidad de la integral:

𝟕

𝟓

𝟔

𝟒

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 (𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟔 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 (𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙)𝟑 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 (𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙)𝟑 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica: 𝟐

𝟐

𝒄𝒔𝒄 𝜶 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈 𝜶 →

𝟐

𝟐

𝒄𝒕𝒈 𝒙 = 𝒄𝒔𝒄 𝒙 − 𝟏

Sustituir en la integral 1.1:

Resolver el producto notable: (𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 𝟔

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏

𝟒

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝟑 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

Resolver el producto notable: (𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑

(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙)𝟑 − 𝟑(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙)𝟐 + 𝟑(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙)(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑

)𝟑

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜶 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜶 →

Sustituir en la integral 1.1:

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝟑 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 (𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟐

Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica:

𝟐

(𝒄𝒔𝒄 𝒙 − 𝟏 = 𝒄𝒔𝒄 𝒙 − 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝒙 − 𝟏 Sustituir en 2.1:

((𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟑 − 𝟑(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟐 + 𝟑(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)(𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟑

(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝟑 = 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏 Sustituir en 2.1:

∫(𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 − 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 + 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 (𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

∫(𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏)𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙) 𝒅𝒙

𝟐. 𝟏 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟏𝟎 𝒙 − 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟖 𝒙 + 𝟑𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙)(𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙)𝒅𝒙

𝟐. 𝟏 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟏𝟎 𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟖 𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙)(𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙)𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒄𝒔𝒄 𝒙 = 𝒗

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integración por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒗

b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙: 𝒅𝒗 (𝒄𝒔𝒄 𝒙)′ = 𝒗′ → −𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙

c) Sustituir cambio de variable en 2.1: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟏𝟎 − 𝟑𝒗𝟖 + 𝟑𝒗𝟔 − 𝒗𝟒 )(−𝒅𝒗)

d) Simplificar y separar los integrales:

b) Derivar el cambio de variable y despejar 𝒅𝒙: (𝒔𝒆𝒄 𝒙)′ = 𝒗′ → 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 =

𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝒙

c) Sustituir cambio de variable en 2.1: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟏𝟎 − 𝟑𝒗𝟖 + 𝟑𝒗𝟔 − 𝒗𝟒 )(𝒅𝒗)

d) Simplificar y aplicar la integral inmediata:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(−𝒗𝟏𝟎 + 𝟑𝒗𝟖 − 𝟑𝒗𝟔 + 𝒗𝟒 ) 𝒅𝒗

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟏𝟎 − 𝟑𝒗𝟖 + 𝟑𝒗𝟔 − 𝒗𝟒 ) 𝒅𝒗

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟏𝟎 𝒅𝒗 + 𝟑 ∫ 𝒗𝟖 𝒅𝒗 − 𝟑 ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟏𝟎 𝒅𝒗 − 𝟑 ∫ 𝒗𝟖 𝒅𝒗 + 𝟑 ∫ 𝒗𝟔 𝒅𝒗 − ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

Método de integración inmediata: ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟓 𝒙 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟏𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 𝟕 𝟏 𝟓 𝒗 + 𝒗 − 𝒗 + 𝒗 𝟏𝟏 𝟗 𝟕 𝟓

e) Retornar el cambio de variable: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝒄𝒔𝒄𝟏𝟏 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄𝟗 𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝟕 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄𝟓 𝒙 𝟏𝟏 𝟗 𝟕 𝟓

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝒄𝒔𝒄𝟏𝟏 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄𝟗 𝒙 − 𝒄𝒔𝒄𝟕 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄𝟓 𝒙 𝟏𝟏 𝟑 𝟕 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

Método de integración inmediata:

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟕 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏𝟏 𝟑 𝟗 𝟑 𝟕 𝟏 𝟓 𝒗 − 𝒗 + 𝒗 − 𝒗 𝟏𝟏 𝟗 𝟕 𝟓

e) Retornar el cambio de variable: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟏𝟏 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟗 𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝟕 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 𝟏𝟏 𝟗 𝟕 𝟓

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟏𝟏 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟗 𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝟕 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 𝟏𝟏 𝟗 𝟕 𝟓

José E. Ornelas G.

84

III.1.7.- EJERCICIOS PROPUESTOS (INTEGRALES TRIGONOMÉTRICOS): III.1.7.1.- Resolver cada integral usando la técnica de integración trigonométrica primer caso: 𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝟕𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝒙 𝟗) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝒙 𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝒙 𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝒙 𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓 ( ) 𝒅𝒙 𝟐

III.1.7.2.- Resolver cada integral usando la técnica de integración trigonométrica segundo caso: 𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒏𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒏𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝒅𝒙

𝒙 𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 ( ) 𝒅𝒙 𝟐

𝒙 𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 ( ) 𝒅𝒙 𝟐

III.1.7.3.- Resolver cada integral usando la técnica de integración trigonométrica tercer caso: 𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒂𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟑) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟒) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟓) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟔 𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟔) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟕 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 𝒅𝒙

𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟓) ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙

III.1.7.4.- Resolver cada integral usando la técnica de integración trigonométrica cuarto caso: 𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝟖𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟔 𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟔 𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒂𝒙 𝒅𝒙

III.1.7.5.- Resolver cada integral usando la técnica de integración trigonométrica quinto caso: 𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟖 𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟖 𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒂𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒂𝒙 𝒅𝒙

III.1.7.6.- Resolver cada integral usando la técnica de integración trigonométrica sexto caso: 𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

𝟐) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

𝟒) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟖 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

𝟔) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟗 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟕 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙

𝟖) ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔 𝒙 𝒅𝒙

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85

III.2.0.- INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Son integrales cuyo cambio a realizarse depende de una expresión referida a las razones trigonométricas fundamentales como: 𝒔𝒆𝒏 𝒙; 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒕𝒂𝒈 𝒙, con respecto al triángulo rectángulo. Es decir, cuando sustituimos la variable de integración por una función trigonométrica, en las que usualmente son usadas los cambios: 𝒙 = 𝒓 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝜶 ; 𝒙 = 𝒓 ∙ 𝒕𝒂𝒈 𝜶 y 𝒙 = 𝒓 ∙ 𝒔𝒆𝒄 𝜶, que se generan de los triángulos rectángulos siguientes:

𝟏)𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 √𝒓𝟐 − 𝒙𝟐 → 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔: 𝒙 = 𝒓 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐)𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 √𝒙𝟐 + 𝒓𝟐 → 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔: 𝒙 = 𝒓 ∙ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝟑)𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 √𝒙𝟐 − 𝒓𝟐 → 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔: 𝒙 = 𝒓 ∙ 𝒔𝒆𝒄 𝜽

III.2.1.- EJERCICIOS DE INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICAS: Ejemplo 1 Hallar la integral ∫

𝒙 √ 𝟏 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Identificar el integrando: 𝒙 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

c) Sustituir en la integral 1.1 y simplificar: 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = ∫ ( ) (𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 √𝟏 − 𝒙 𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 √𝟏 − 𝒙𝟐 Método de integración inmediata: 𝒙 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒅𝒙 = −𝑪𝒐𝒔 𝜽 √𝟏 − 𝒙𝟐 Paso 5: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = √𝟏 − 𝒙𝟐 Remplazar en 1.2:

𝟏. 𝟑. ∫

𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐 ∫

𝒅𝒙 = −√𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙

√𝟏 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 = − √𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝑪

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: a) Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 b) Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 → 𝒙′ = (𝒔𝒆𝒏 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 Fundamentos para el Cálculo Integral

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Ejemplo 2

Paso 4: En la integral 2.2 sustituir 1.2:

Hallar la integral ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟏. 𝟐. ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Paso 1: Identificar el integrando:

𝟏 𝟏 ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏𝟔 ( 𝜽 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟐 𝟒

𝟏. 𝟏. ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆: √𝟒𝟐 − 𝒙𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

𝟏. 𝟑. ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟖𝜽 + 𝟒𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽 Paso 5: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒙 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = → 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟒 𝟒 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 ∙ 𝑺𝒆𝒏 𝜽 ∙ 𝑪𝒐𝒔 𝜽 𝒙 √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝟐𝒙√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 ∙ ( ) ∙ ( )= 𝟒 𝟒 𝟏𝟔 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽 =

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica:

𝒙√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝟖

Sustituir en la integral 1.3:

Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝟏. 𝟑. ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟖𝜽 + 𝟒𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽

Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽 → 𝒙′ = (𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽

𝒙 𝒙√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟖𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝟒 ( ) 𝟒 𝟖

Sustituir en la integral 1.1:

𝒙 𝒙√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝟏. 𝟒. ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟖𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝟒 𝟐

𝟏. 𝟏 ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫(𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽)(𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽) 𝟏. 𝟐. ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Paso 3: Aplicar el método de integración respectivo:

𝒙 𝒙√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟖𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + +𝑪 𝟒 𝟐

Método de integrales trigonométricos: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Identidad trigonométrica: 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜽 =

𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝟐

Sustituir en la integral 2.1: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ (

𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 ) 𝒅𝜽 𝟐

Separar integrales: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝜽 + ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 𝟐 𝟐

Método de integrales inmediatas: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝟏 𝜽 + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐. 𝟐. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝜽 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒

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Ejemplo 3 Hallar la integral ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

Retornar el cambio de variables: 𝟏 𝟐. 𝟐. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = − 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝟑

Paso 1: Identificar el integrando:

Sustituir 2.2 en 1.2:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙√𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟏. 𝟐. ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽

√𝟏 − 𝒙𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆: √𝟏𝟐 − 𝒙𝟐

𝟏 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝟑

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = √𝟏 − 𝒙𝟐 Sustituir en 1.3: 𝟏 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝟑 𝟑 𝟏 ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − (√𝟏 − 𝒙𝟐 ) 𝟑

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica:

𝟏 ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − √(𝟏 − 𝒙𝟐 )𝟑 𝟑

𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝟏 𝟏. 𝟒. ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − (𝟏 − 𝒙𝟐 )√(𝟏 − 𝒙𝟐 ) 𝟑

Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 → 𝒙′ = (𝒔𝒆𝒏 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1:

𝟏 ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − (𝟏 − 𝒙𝟐 )√(𝟏 − 𝒙𝟐 ) + 𝑪 𝟑

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒏 𝜽) (𝒄𝒐𝒔 𝜽)(𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽) 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒙√ 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 Paso 3: Aplicar el método de integración respectivo: Método de integrales por cambio de variable: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 Cambio de variable: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒗 Derivar cambio de variable: (𝒄𝒐𝒔 𝜽)′ = 𝒗′ → −𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∙ 𝜽̇ = 𝒗′ → −𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒅𝒗

Despejar 𝒅𝜽: 𝒅𝜽 = −

𝟏 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽

Sustituir el cambio de variables en 2.1 y simplificar: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒗𝟐 ) 𝒔𝒆𝒏 𝜽 (−

𝟏 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒏 𝜽

∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 Método de integrales inmediatas: 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = − 𝒗𝟑 𝟑 Fundamentos para el Cálculo Integral

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Ejemplo 4

Paso 4: En la integral 2.2 sustituir 1.2:

Hallar la integral ∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟒𝟗 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Paso 1: Identificar el integrando:

𝟏 𝟏 ∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟒𝟗 ( 𝜽 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟐 𝟒

𝟏. 𝟏. ∫ √𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟏. 𝟑. ∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = √𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆: √𝟕𝟐 − 𝒙𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas

𝟒𝟗 𝟒𝟗 𝜽+ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒

Paso 5: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒙 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = → 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟕 𝟕 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒙 √𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 ∙ ( ) ( ) 𝟕 𝟕 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 =

𝟐𝒙√𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝟒𝟗

Sustituir en la integral 1.3: Sustitución trigonométrica: 𝟏. 𝟑. ∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

𝒙 = 𝟕𝒔𝒆𝒏 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: ′

′

𝒙 = 𝟕𝒔𝒆𝒏 𝜽 → 𝒙 = (𝟕𝒔𝒆𝒏 𝜽) → 𝒅𝒙 = 𝟕𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽

∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

𝟒𝟗 𝒙 𝟒𝟗 𝟐𝒙√𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + ( ) 𝟐 𝟕 𝟒 𝟒𝟗

Sustituir en la integral 1.1: 𝟏. 𝟏. ∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫(𝟕𝒄𝒐𝒔 𝜽) (𝟕𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽)

𝟏. 𝟒. ∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟒𝟗 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Paso 3: Aplicar el método de integración respectivo: Método de integrales trigonométricos:

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟒𝟗 𝟒𝟗 𝜽+ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒

𝟒𝟗 𝒙 𝒙√𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + ( ) 𝟐 𝟕 𝟐

𝟒𝟗 𝒙 𝒙√𝟒𝟗 − 𝒙𝟐 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + +𝑪 𝟐 𝟕 𝟐

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Identidad trigonométrica: 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜽 =

𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝟐

Sustituir la identidad trigonométrica en la integral 2.1: 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ ( ) 𝒅𝜽 𝟐 Separar integrales: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝜽 + ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 𝟐 𝟐

Método de integrales inmediatas: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝟏 𝜽 + ( 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐. 𝟐. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝜽 + 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒

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Ejemplo 5 Hallar la integral ∫ 𝒙𝟑 √ 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Paso 1: Identificar el integrando:

Despeja 𝒅𝜽: 𝟏 𝒅𝜽 = − 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Sustituir en la integral 2.2.:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙𝟑 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟐. 𝟐. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 − 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝜽) 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽

√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆: √𝟓𝟐 − 𝒙𝟐

∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒗𝟐 − 𝒗𝟒 ) 𝒔𝒆𝒏 𝜽 (−

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

𝟏 𝒅𝒗) 𝒔𝒆𝒏 𝜽

∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ −(𝒗𝟐 − 𝒗𝟒 ) 𝒅𝒗 Separar integrales:

∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

Método de integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = − 𝒗𝟑 + 𝒗𝟓 𝟑 𝟓

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica:

Retornar el cambio de variables: 𝟏 𝟏 𝟐. 𝟑. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = − 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝜽 𝟑 𝟓

Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟓𝒔𝒆𝒏 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟓𝒔𝒆𝒏 𝜽 → 𝒙′ = (𝟓𝒔𝒆𝒏 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟓𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1:

Sustituir 2.3 en la integral 1.2.: 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒙𝟑 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟑𝟏𝟐𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙𝟑 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫(𝟓𝒔𝒆𝒏 𝜽)𝟑 (𝟓𝒄𝒐𝒔 𝜽)(𝟓𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽)

𝟏 𝟏 ∫ 𝒙𝟑 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟑𝟏𝟐𝟓 (− 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝜽) 𝟑 𝟓

𝟏. 𝟐. ∫ 𝒙𝟑 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟑𝟏𝟐𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

𝟏. 𝟑. ∫ 𝒙𝟑 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = −

Paso 3: Aplicar el método de integración: Método de integrales trigonométricos: Separar la identidad trigonométrica: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏

→

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝐜𝐨 𝐬 𝜽 =

√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝟓

Sustituir en la integral 1.3.: 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒙𝟑 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = −

Identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽

Sustituir en 3.1: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽) 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Aplicar propiedad distributiva:

Cambio de variable:

𝟑𝟏𝟐𝟓 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 + 𝟔𝟐𝟓𝒄𝒐𝒔𝟓 𝜽 𝟑 𝟑

∫𝒙

𝟑√

𝟐𝟓 −

𝒙𝟐

√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝟑𝟏𝟐𝟓 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − ( ) + 𝟔𝟐𝟓 ( ) 𝟑 𝟓 𝟓

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟏. 𝟒. ∫ 𝒙𝟑 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 = −

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟐𝟓 𝟏 √(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟑 + √(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟓 𝟑 𝟓

𝟐𝟓 𝟏 √(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟑 + √(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟓 + 𝑪 𝟑 𝟓

𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒗 Derivar cambio de variable: (𝒄𝒐𝒔 𝜽)′ = 𝒗′

→ −𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∙ 𝜽̇ = 𝒗′ → −𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟓

𝟑𝟏𝟐𝟓 √(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟑 √(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟓 ∙ + 𝟔𝟐𝟓 ∙ 𝟑 𝟏𝟐𝟓 𝟑𝟏𝟐𝟓

𝟐. 𝟐. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 − 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝜽) 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽

Método de integrales por cambio de variable:

𝟑𝟏𝟐𝟓 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 + 𝟔𝟐𝟓𝒄𝒐𝒔𝟓 𝜽 𝟑

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Ejemplo 6 Hallar la integral ∫ 𝒙𝟐 √ 𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙𝟐 √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆: √𝟐𝟐 − 𝒙𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

Separar integrales: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 𝟐 𝟐 Método de integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = 𝜽 − ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐. 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒 𝟐. 𝟐. 𝟐. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽)𝟐 𝒅𝜽

Método de integrales trigonométricos: Sustituir identidad trigonométrica en 2.2.2: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ ( ) 𝒅𝜽 𝟐

Resolver el producto notable y separar integrales: 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝜽) 𝒅𝜽 𝟒 𝟏 𝟐 𝟏 ∫ 𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝜽 𝒅𝜽 𝟒 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝜽 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒅𝜽 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 =

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜽 → 𝒙′ = (𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙𝟐 √ 𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫(𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜽)𝟐 (𝟐𝒄𝒐𝒔 𝜽)(𝟐𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽)

𝟏. 𝟐. ∫ 𝒙𝟐 √ 𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏𝟔 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Paso 3: Aplicar el método de integración: Método de integrales trigonométricos: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜽 + 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏 → 𝑪𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜽 Sustituir en 2.1 y separar integrales: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽) 𝒅𝜽 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 −𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽) 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Método de integrales trigonométricos: Identidad trigonométrica: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 = 𝟐 Sustituir identidad trigonométrica en 2.2.1: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ ( ) 𝒅𝜽 𝟐 Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒅𝜽 + ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝜽 𝒅𝜽 𝟒 𝟐 𝟖 𝟖

Método de integrales inmediatas: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝜽 − ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽) + 𝜽 + ( 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟖 𝟒

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 + 𝜽 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽 𝟒 𝟒 𝟖 𝟑𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐. 𝟐. 𝟐. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 = 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽 𝟖 𝟒 𝟑𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 =

Sustituir 2.2.1 y 2.2.2 en la integral 2.2: 𝟐. 𝟐. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝜽 𝒅𝜽 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ( 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽) − ( 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽) 𝟐 𝟒 𝟖 𝟒 𝟑𝟐

𝟐. 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝜽− 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽 𝟖 𝟑𝟐

Sustituir 2.3. en la integral 1.2.: 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒙𝟐 √ 𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏𝟔 ( 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽) 𝟖 𝟑𝟐 𝟏 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒙𝟐 √ 𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽 𝟐 Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 =

𝒙 𝟐

𝒙 → 𝜽 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟐

𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟐(𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝜽). (𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽) 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽 = (𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽) (𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽) 𝒙 √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒙 𝟐 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽 = 𝟒 ( ∙ ) (𝟏 − 𝟐 ( ) ) = (𝒙√𝟒 − 𝒙𝟐 ) (𝟐 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝒙 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) − 𝒙(𝟐 − 𝒙𝟐 )√(𝟒 − 𝒙𝟐 ) + 𝑪 𝟐 𝟒

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 7

𝟐. 𝟐. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

Hallar la integral ∫

𝒙𝟐 √ 𝟗 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫

𝒙

𝟐

√𝟗 − 𝒙𝟐

Sustituir 2.2 en la integral 1.2.: 𝟏. 𝟐. ∫

𝒅𝒙 ∫

√𝟗 − 𝒙𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆: √𝟑𝟐 − 𝒙𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

𝟏 𝟏 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒

𝒙𝟐 √𝟗 − 𝒙𝟐

𝒙𝟐 √𝟗 −

𝟏. 𝟑. ∫

𝒙𝟐

𝒅𝒙 = 𝟗 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟗 ( 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟐 𝟒

𝒙𝟐 √𝟗 −

𝒙𝟐

𝒅𝒙 =

𝟗 𝟗 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒙 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = → 𝜽 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟑 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒙 √𝟗 − 𝒙𝟐 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 ( ) ( ) → 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = (𝒙√𝟗 − 𝒙𝟐 ) 𝟑 𝟑 𝟗

Sustituir en la integral 2.1: Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica:

𝟐. 𝟏 ∫

𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝜽 → 𝒙′ = (𝟑𝒔𝒆𝒏 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽

∫

Sustituir en la integral 1.1 y simplificar:

∫

𝟏. 𝟏. ∫ ∫

𝒙

𝒙𝟐 √𝟗 − 𝒙𝟐

𝒅𝒙 = ∫

(𝟑𝒔𝒆𝒏 𝜽)𝟐 (𝟑𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽) (𝟑𝒄𝒐𝒔 𝜽)

𝟐 𝟐

𝒅𝒙 = ∫ 𝟗𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 √𝟗 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒅𝒙 = 𝟗 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 √𝟗 − 𝒙𝟐 Paso 3: Aplicar el método de integración respectivo: Método de integrales trigonométricos:

𝒙𝟐 √𝟗 −

𝒙𝟐 √𝟗 −

𝒙𝟐

𝒙𝟐 √𝟗 − 𝒙𝟐 ∫

𝒙𝟐

𝟗 𝟗 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒

𝒅𝒙 =

𝟗 𝒙 𝟗 𝟐 ∙ 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) − ∙ ( 𝒙√𝟗 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 𝟑 𝟒 𝟗

𝒅𝒙 =

𝟗 𝒙 𝟏 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) − 𝒙√𝟗 − 𝒙𝟐 𝟐 𝟑 𝟐

𝒙𝟐 √𝟗 −

𝒅𝒙 =

𝒙𝟐

𝒅𝒙 =

𝟗 𝒙 𝟏 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) − 𝒙√𝟗 − 𝒙𝟐 + 𝑪 𝟐 𝟑 𝟐

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Método de integrales trigonométricos: Identidad trigonométrica: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝟐 Sustituir la identidad trigonométrica en 2.1: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ ( ) 𝒅𝜽 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 =

Separar integrales: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 𝟐 𝟐 Método de integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = (𝜽) − ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟐 𝟐 𝟐 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

92

Ejemplo 8 Hallar la integral ∫

𝒙 √ −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕

𝟏. 𝟏 (−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕) = −(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙) + 𝟕 Para completar cuadrados, tenemos que recordar el producto notable: Cuadrado de la Suma. (𝒙 ± 𝒙𝒐 )𝟐 = 𝒙 𝟐 ± 𝟐𝒙𝒐 . 𝒙 + 𝒙𝒐𝟐 𝟔 𝟐𝒙𝒐 = 𝟔 → 𝒙𝒐 = → 𝒙𝒐 = 𝟑 𝟐 (𝒙𝒐 )𝟐 = (𝟑)𝟐 → 𝒙𝟐𝒐 = 𝟗 Completar cuadrados: → (𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗) − 𝟗

Factorizar el polinomio de 2º grado: (𝒙𝟐 + 𝟔𝒙)

√−𝒙𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Completar cuadrados en el radicando:

(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙)

𝒙

∫

∫

𝒙 √−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕

𝟏. 𝟏 − 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 = −(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙) + 𝟕 −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 = −[(𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟗] + 𝟕 −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 = −(𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝟗 + 𝟕 −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 = −(𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝟏𝟔 (−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕) = 𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 𝟏. 𝟐 (−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕) = 𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 Paso 2: Reemplazar 1.2 en el integral: 𝒙 𝒙 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 √−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 √𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 √𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐

→

√𝟒𝟐 − (𝒙 + 𝟑)𝟐

(𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽 − 𝟑) (𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽) (𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽)

𝒅𝒙 = ∫(𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽 − 𝟑) 𝒅𝜽

Separar los integrales: ∫

𝒙

𝒅𝒙 = 𝟒 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 − 𝟑 ∫ 𝒅𝜽 √−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 Método de integrales inmediatas: 𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = 𝟒(−𝒄𝒐𝒔 𝜽) − 𝟑𝜽 𝟐 √−𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟕 𝒙 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = −𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝟑𝜽 √−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 Paso 4: Retornar a la sustitución trigonométrica: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 =

(𝒙 + 𝟑) 𝟒

𝒙+𝟑 → 𝜽 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟒

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =

√𝟒 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 𝟒

→ 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =

→ (𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟗

Sustituir el 1.1:

− 𝟔𝒙 + 𝟕

𝒅𝒙 = ∫

√𝟒 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 𝟒

Al sustituir en la integral 2.2: 𝒙 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = −𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝟑𝜽 𝟐 √−𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟕 √𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 𝒙+𝟑 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = −𝟒 ( ) − 𝟑 (𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( )) 𝟒 𝟒 𝒙+𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −√𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟑𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟒 𝒙+𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −√𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟑𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( )+𝑪 𝟒

Razones y sustituciones trigonométricas:

Paso 3: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: (𝒙 + 𝟑) = 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽

→

𝒙 = 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽 − 𝟑

Derivar la sustitución trigonométrica: (𝒙 + 𝟑)′ = (𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽)′

→

𝒅𝒙 = 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽

Sustituir en la integral 2.1: 𝒙 𝒙 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 √−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 √𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

93

Ejemplo 9

b) Derivada del cambio de variable: 𝒎′ = (𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ →

Hallar la integral ∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙

𝒎′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 →

𝒅𝒎 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽

II) Segunda función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 b) Integrar miembro a miembro:

Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫ √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

→

𝒏 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽

Aplicar la fórmula nemotécnica: ∫ 𝒎 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 𝒅𝒎 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒎 𝒅𝒏 = (𝒕𝒂𝒈 𝜽)(𝒔𝒆𝒄 𝜽) − ∫(𝒔𝒆𝒄 𝜽)(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

Sustituir 2.2.1 y 2.2.2 en la integral 2.2: Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: a) Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒕𝒂𝒈 𝜽 b) Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = (𝟏𝟎 𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟏𝟎 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒅𝜽 c) Sustituir en la integral 1.1: 𝟏. 𝟏. ∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 = ∫(𝟏𝟎𝒔𝒆𝒄 𝜽) (𝟏𝟎𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

Paso 3: Aplicar el método de integración: Método de integrales trigonométricos: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Agrupar integrales semejantes: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝟐. 𝟑. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟐 𝟐

Sustituir 2.3 en la integral 1.2: 𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

𝟏. 𝟑 ∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 = 𝟓𝟎𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝟓𝟎𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica:

b) Sustituir en la integral 2.1: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽) 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 c) Separar los integrales: 𝟐

𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Método de integración inmediata: 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 |

Método de integrales por partes: 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒕𝒂𝒈 𝜽) (𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽)

I) Primera función: a) Cambio de variable:

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

𝟏 𝟏 ∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 ( 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽) 𝟐 𝟐

a) Identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 = 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 + 𝟏

𝟑

𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

𝑪𝒐𝒔 𝜽 =

𝟏𝟎

√𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝜽 = 𝟏𝟎

→ →

√𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝜽 = 𝟏𝟎

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

Sustituir en la integral 1.3.: 𝟏. 𝟑 ∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 = 𝟓𝟎𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝟓𝟎𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒙 𝒙 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟓𝟎𝑳𝒏 | + | + 𝟓𝟎 ( )( ) 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎

∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 = 𝟓𝟎𝑳𝒏 |

𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝟏 | + 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟐

𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝟏 ∫ √ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 = 𝟓𝟎𝑳𝒏 | | + 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟐

𝒎 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

94

Ejemplo 10 Hallar la integral ∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫ √𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 √𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √(𝟑𝒙)𝟐 + (𝟐)𝟐

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

b) Derivada del cambio de variable: 𝒎′ = (𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ →

𝒎′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 →

𝒅𝒎 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽

II) Segunda función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 b) Integrar miembro a miembro: ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

→

𝒏 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽

Aplicar la fórmula nemotécnica: ∫ 𝒎 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 𝒅𝒎 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒎 𝒅𝒏 = (𝒕𝒂𝒈 𝜽)(𝒔𝒆𝒄 𝜽) − ∫(𝒔𝒆𝒄 𝜽)(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: a) Sustitución trigonométrica: 𝒙=

𝟐 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝟑

b) Derivar la sustitución trigonométrica: ′ 𝟐 𝟐 𝟐 𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = ( 𝒕𝒂𝒈 𝜽) → 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒅𝜽 𝟑 𝟑 𝟑 c) Sustituir en la integral 1.1: 𝟐 ∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫(𝟐𝒔𝒆𝒄 𝜽) ( 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝟑 𝟒 𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 𝟑 Paso 3: Aplicar el método de integración: Método de integrales trigonométricos: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

a) Identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 = 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 + 𝟏 b) Sustituir en la integral 2.1: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽) 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Método de la integral inmediata: 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 |

Método de integrales por partes: 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒕𝒂𝒈 𝜽)(𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽)

I) Primera función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽

Fundamentos para el Cálculo Integral

Sustituir 2.2.1 y 2.2.2 en la integral 2.2: 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

Agrupar integrales semejantes: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝟐. 𝟑. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟐 𝟐

Sustituir 2.3 en la integral 1.2: 𝟒 𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 𝟑 ∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟒 𝟏 𝟏 ( 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽) 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏. 𝟑 ∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟐 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟑 𝟑

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝑪𝒐𝒔 𝜽 =

𝟐

√𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝟑𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝜽 = 𝟐

√𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝟐

→

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

→

𝒕𝒂𝒈 𝜽 =

𝟑𝒙 𝟐

Sustituir en la integral 1.3: 𝟏. 𝟑 ∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟐 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟑 𝟑

√𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝟑𝒙 𝟐 𝟐 𝟑𝒙 √𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝑳𝒏 | + | + ( )( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐

∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟑𝒙 + √𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙√𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝑳𝒏 | |+ 𝟑 𝟐 𝟐

∫ √ 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟑𝒙 + √𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙√𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 𝑳𝒏 | |+ 𝟑 𝟐 𝟐

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 11 Hallar la integral ∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫ √𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 √𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √(𝟐𝒙)𝟐 + (𝟏)𝟐

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

b) Derivada del cambio de variable: 𝒎′ = (𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ →

𝒎′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 →

𝒅𝒎 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽

II) Segunda función: a) Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 b) Integrar miembro a miembro: ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

→

𝒏 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽

Aplicar la fórmula nemotécnica: ∫ 𝒎 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 𝒅𝒎 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒎 𝒅𝒏 = (𝒕𝒂𝒈 𝜽)(𝒔𝒆𝒄 𝜽) − ∫(𝒔𝒆𝒄 𝜽)(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

Sustituir 2.2.1 y 2.2.2 en la integral 2.2: Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝟏 𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝟐 Derivar la sustitución trigonométrica: ′ 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = ( 𝒕𝒂𝒈 𝜽) → 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒅𝜽 𝟐 𝟐 𝟐 Sustituir en la integral 1.1: 𝟏 ∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄 𝜽) ( 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝟐 𝟏 𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 𝟐 Paso 3: Aplicar el método de integración respectivo: Método de integrales trigonométricos: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

a) Identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 = 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 + 𝟏 b) Sustituir en la integral 2.1: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽) 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Método de la integral inmediata: 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 |

Método de integrales por partes: 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒕𝒂𝒈 𝜽)(𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽)

I) Primera función: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

Agrupar integrales semejantes: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝟐. 𝟑. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟐 𝟐

Sustituir 2.3 en la integral 1.2: 𝟏 𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 𝟐 ∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝟏 ( 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽) 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏. 𝟑 ∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟒 𝟒

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝑪𝒐𝒔 𝜽 =

𝟏 √𝟒𝒙𝟐 + 𝟏

𝒕𝒂𝒈 𝜽 = 𝟐𝒙

→

𝒔𝒆𝒄 𝜽 = √𝟒𝒙𝟐 + 𝟏

→

𝒕𝒂𝒈 𝜽 = 𝟐𝒙

Sustituir en la integral 1.3: 𝟏. 𝟑 ∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟒 𝟒

𝟏 𝟏 𝑳𝒏 |√𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝟐𝒙 | + (𝟐𝒙) (√𝟒𝒙𝟐 + 𝟏) 𝟒 𝟒

∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝑳𝒏 |𝟐𝒙 + √𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 | + 𝒙√𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝟒 𝟐

∫ √ 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝑳𝒏 |𝟐𝒙 + √𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 | + 𝒙√𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 𝟒 𝟐

José E. Ornelas G.

96

Ejemplo 12 Hallar la integral ∫

√ 𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒙

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∙ = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 ∙ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 =

𝒅𝒙

Paso 1: Identificar el integrando:

Método de integrales por cambio de variables: a) Cambio de variable:

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 𝒙 √ 𝒙𝟐

𝑪𝒐𝒔 𝜽 = 𝒗

+ 𝟐𝟓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂:

√𝒙𝟐

+

(𝟓)𝟐

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

b) Derivar cambio de variable y despeja 𝒅𝜽: (𝑪𝒐𝒔 𝜽)′ = 𝒗′ → −𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝜽 = −

𝟏 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽

c) Sustituir en la integral 2.1.2: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ ∙ (− 𝒅𝒗) 𝟐 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = − ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟓𝒕𝒂𝒈 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟓 𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = (𝟓 𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟓 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1: ∫ ∫

(𝟓𝒔𝒆𝒄 𝜽) √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 (𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 (𝟓𝒕𝒂𝒈 𝜽) √𝒙𝟐

𝟑

+ 𝟐𝟓 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝒙 = 𝟓 ∫ 𝒅𝜽 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝜽

Simplificar identidades trigonométricas: 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟏 = = = = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒅𝒙 = 𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒙

Paso 3: Aplicar el método de integración: Método de integrales trigonométricos: Identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 = 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 + 𝟏 Sustituir en la integral: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽)𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Método de la integral inmediata: 𝟐. 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽|

Método de las integrales trigonométricas:

Aplicar integral inmediata: 𝟏 −𝟏 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = − ( 𝒗 ) = 𝒗−𝟏 = −𝟏 𝒗 d) Retornar el cambio de variable: 𝟐. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽

Sustituir la integral 2.1.1 y 2.1.2 en 2.1: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽| + 𝒔𝒆𝒄 𝜽

Paso 4: Retornar a la integral 1.2 y sustituir 2.2: ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝟓 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒙

𝟐. 𝟏. ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝟓𝑳𝒏 |𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽| + 𝟓𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒙

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟓

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝜽 = 𝟓

→

𝒄𝒔𝒄 𝜽 =

→

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

→

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒙

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟓 𝟓 𝒄𝒕𝒈 𝜽 = 𝒙

Sustituir en la integral 2.1: 𝟐. 𝟐. ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝟓𝑳𝒏 |𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽| + 𝟓𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒙

∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝟓𝑳𝒏 | − |+𝟓 𝒙 𝒙 𝒙 𝟓

∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 − 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟓𝑳𝒏 | | + √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒙 𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟓𝑳𝒏 |

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 − 𝟓 | + √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 + 𝑪 𝒙

𝟐. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

97

Método de integrales trigonométricos:

Ejemplo 13 Hallar la integral ∫

√ 𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒙𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒅𝒙 𝒙𝟐

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √𝒙𝟐 + (𝟔)𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 ∙ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∙ = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽

𝟐. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫

𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽

Método de integrales por cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒗

b) Derivar cambio de variable y despeja 𝒅𝜽: (𝒔𝒆𝒏 𝜽)′ = 𝒗′ →

𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒅𝒗

→ 𝒅𝜽 =

𝟏 𝒅𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽

c) Sustituir en la integral 2.1.2: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = (∫ 𝟐 ) ( 𝒅𝒗) 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟔𝒕𝒂𝒈 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟔 𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = (𝟔 𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟔 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1: ∫

(𝟔𝒔𝒆𝒄 𝜽) √𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 (𝟔𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒙 (𝟔𝒕𝒂𝒈 𝜽)𝟐

𝟏. 𝟐. ∫

𝟑𝟔𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 √𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝜽 = ∫ 𝒅𝜽 𝟐 𝟐 𝒙 𝟑𝟔𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽

Aplicar integral inmediata: 𝟏 −𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒗 = −𝒗−𝟏 = − −𝟏 𝒗 d) Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟐. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = − = −𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Sustituir la integral 2.1.1 y 2.1.2 en 2.1.: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽| − 𝒄𝒔𝒄 𝜽

Paso 4: Retornar a la integral 1.3 y sustituir 2.2: 𝟏. 𝟑. ∫

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒙𝟐

𝟏. 𝟒. ∫

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽| − 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒙𝟐

Simplificar identidades trigonométricas: 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 = = = = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟐 𝟐 𝟑 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒙𝟐

Paso 3: Aplicar el método de integración: Método de integrales trigonométricos: Identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 = 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 + 𝟏 Sustituir en la integral:

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

𝟔

→

𝒄𝒔𝒄 𝜽 =

→

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

→

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒙

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝟔 𝟔 𝒄𝒕𝒈 𝜽 = 𝒙

Sustituir en la integral 1.4: 𝟏. 𝟒. ∫

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

∫

𝟐. 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽|

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝜽 = 𝟔

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽) 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Método de la integral inmediata:

𝒙

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽| − 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒙𝟐

√𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 √𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | + | − 𝒙𝟐 𝟔 𝟔 𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |

𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 √𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 |− +𝑪 𝟔 𝒙

𝟐. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

98

Ejemplo 14

Método de integrales trigonométricos: 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Hallar la integral ∫ √ 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙

Identidad trigonométrica: 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 = 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 + 𝟏 Sustituir en la integral 2.2.1:

Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫ √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √𝒙𝟐 − 𝟗𝟐

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽) 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Método de integrales inmediatos: 𝟐. 𝟑. ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽) + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Sustituir 2.3 en 2.2: 𝟐. 𝟐. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − 𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽) − ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟗𝒔𝒆𝒄 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟗𝒔𝒆𝒄 𝜽 → 𝒙′ = (𝟗𝒔𝒆𝒄 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟗𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽

Sustituir en la integral 1.1: 𝟏. 𝟏 ∫ √

𝒙𝟐

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − 𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽)

𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − 𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽) 𝟐. 𝟒. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝑺𝒆𝒄𝜽 − 𝑳𝒏(𝒔𝒆𝒄𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽) 𝟐 𝟐

Sustituir la integral 2.4 en 1.2.:

− 𝟖𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝟗𝒕𝒂𝒈 𝜽) (𝟗𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽)

𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙 = 𝟖𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Paso 3: Aplicar el método de integración: Método de integrales por partes: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

I) Primera función: Cambio de variable: 𝒎 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 Derivada del cambio de variable: 𝒎′ = (𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒎′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 →

Agrupar integrales semejantes:

𝟏. 𝟐. ∫ √ 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙 = 𝟖𝟏 ∫(𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽) 𝒅𝜽 𝟏 𝟏 ∫ √ 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙 = 𝟖𝟏 ( 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽|) 𝟐 𝟐 𝟖𝟏 𝟖𝟏 𝟏. 𝟑 ∫ √ 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽| 𝟐 𝟐

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

𝟗 𝒙

→

𝒕𝒂𝒈 𝜽 =

√𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝟗

→ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 =

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

𝒙 𝟗 √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝟗

Sustituir en la integral 1.3: 𝒅𝒎 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽

II) Segunda función: Cambio de variable: 𝒅𝒏 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 Integrar miembro a miembro: ∫ 𝒅𝒏 = ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 → 𝒏 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽

Aplicar la fórmula nemotécnica (Integrales por partes):

𝟏. 𝟑 ∫ √ 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙 =

𝟐

𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 −

𝟖𝟏 𝟐

𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽|

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟖𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒙 𝟖𝟏 𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 ( )( ) − 𝒍𝒏 | + | 𝟐 𝟗 𝟗 𝟐 𝟗 𝟗

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟖𝟏 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝟖𝟏 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 ( )− 𝒍𝒏 | | 𝟐 𝟖𝟏 𝟐 𝟗

∫ √ 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙 =

∫ 𝒎 ∙ 𝒅𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒏 − ∫ 𝒏 ∙ 𝒅𝒎 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫(𝒔𝒆𝒄 𝜽)(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽)

𝟖𝟏

𝟏 𝟖𝟏 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 − 𝒍𝒏 | | 𝟐 𝟐 𝟗

𝟏 𝟖𝟏 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 − 𝒍𝒏 | | 𝟐 𝟐 𝟗

𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝜽

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

99

Ejemplo 15 Hallar la integral ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 Paso 1: Identificar el integrando:

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒕𝒂𝒈 𝜽 =

√𝒙𝟐 − 𝟏 𝟏

Sustituir en 1.3.:

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑 ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 =

√𝒙𝟐 − 𝟏 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √𝒙𝟐 − 𝟏𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

𝒕𝒂𝒈 𝜽 = √𝒙𝟐 − 𝟏

→

𝟏 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝟑

𝟑 𝟏 (√𝒙𝟐 − 𝟏) 𝟑 𝟏 ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = √(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑 𝟑 𝟏 ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐 − 𝟏)√𝒙𝟐 − 𝟏 𝟑

∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 =

∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐 (𝒙 − 𝟏)√𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝑪 𝟑

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽 → 𝒙′ = (𝒔𝒆𝒄 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒄 𝜽)(𝒕𝒂𝒈 𝜽) (𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽)

𝟏. 𝟐. ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Paso 3: Aplicar el método de integración: Método cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 b) Derivada del cambio de variable y despejar 𝒅𝜽: 𝒎′ = (𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒎′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 → 𝒅𝒎 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝒎 𝒅𝜽 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 c) Sustituir cambio de variable: 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝒎 ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒎𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 ( ) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 Simplificar: ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒎𝟐 𝒅𝒎

Método de integrales inmediatos: 𝟏 ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒎𝟑 𝟑 d) Retornar cambio de variable: 𝟏 𝟏. 𝟑 ∫ 𝒙√ 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 + 𝑪 𝟑 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

100

Ejemplo 16 Hallar la integral ∫

Método de integrales trigonométricos: √ 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒙𝟑

𝒅𝒙

Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙 𝒙𝟑

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √(𝟑𝒙)𝟐 − (𝟓)𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

Identidad trigonométrica: 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 = 𝟐 Sustituir en 1.3: √𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝒙 = ∫ ( ) 𝒅𝜽 𝟑 𝒙 𝟓 𝟐 Separar los integrales: ∫

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝜽 − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 𝒙𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟎 Método de integrales inmediatas: ∫

∫

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝟗 𝟏 𝒅𝒙 = 𝜽− ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟑 𝒙 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝟗 𝒅𝒙 = 𝜽− 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝒙𝟑 𝟏𝟎 𝟐𝟎 Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝟓 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = → 𝜽 = 𝑨𝒓𝒄 𝑪𝒐𝒔 ( ) 𝟑𝒙 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 ∙ 𝑺𝒆𝒏 𝜽 ∙ 𝑪𝒐𝒔 𝜽 𝟏. 𝟒. ∫

Paso 2: Aplicar método de integración: Método sustitución trigonométrico: Sustitución trigonométrica: 𝟓 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟑 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙=

′ 𝟓 𝟓 𝟓 𝒔𝒆𝒄 𝜽 → 𝒙′ = ( 𝒔𝒆𝒄 𝜽) → 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽 𝟑 𝟑 𝟑

Sustituir en la integral 1.1: (𝟓𝒕𝒂𝒈 𝜽) 𝟓 √𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽) 𝟑 𝟑 𝟑 𝒙 𝟓 ( 𝒔𝒆𝒄 𝜽) 𝟑 𝟐 𝟓𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝟓 √𝟗𝒙 − 𝟐𝟓 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽) 𝟏𝟐𝟓 𝒙𝟑 ( 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽) 𝟑 𝟐𝟕

𝟓 √𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 ( )( ) 𝟑𝒙 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 =

Sustituir en la integral 1.4: 𝟏. 𝟒. ∫

∫

∫

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝜽 𝟏𝟐𝟓 𝒙𝟑 𝟑( 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽) 𝟐𝟕

𝟏𝟎√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗𝒙𝟐

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝟗 𝒅𝒙 = 𝜽− 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝒙𝟑 𝟏𝟎 𝟐𝟎

∫

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝟓 𝟗 𝟏𝟎√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝑪𝒐𝒔 ( ) − ( ) 𝟑 𝒙 𝟏𝟎 𝟑𝒙 𝟐𝟎 𝟗𝒙𝟐

∫

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝟓 𝟏 √𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝑪𝒐𝒔 ( ) − 𝒙𝟑 𝟏𝟎 𝟑𝒙 𝟐 𝒙𝟐

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟗 𝟓 √𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝑨𝒓𝒄 𝑪𝒐𝒔 ( ) − +𝑪 𝟏𝟎 𝟑𝒙 𝟐𝒙𝟐

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝜽 𝒙𝟑 𝟓 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 Paso 3: Aplicar el método de integración: Método de integrales trigonométricos: 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 = = = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 Sustituir en 1.2: 𝟏. 𝟐. ∫

𝟏. 𝟐. ∫

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝜽 𝒙𝟑 𝟓 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽

𝟏. 𝟑. ∫

√𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝟑 𝒙 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

101

Ejemplo 17

Ejemplo 18

Hallar la integral ∫

𝒙 √ 𝒙𝟐 + 𝟗

Hallar la integral ∫

𝒅𝒙

𝒙 √ 𝒙𝟐

+𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Identificar el integrando: 𝒙 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 √ 𝒙𝟐 + 𝟗

Paso 1: Identificar el integrando: 𝒙 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 √ 𝒙𝟐 + 𝟐

√𝒙𝟐 + 𝟗 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √𝒙𝟐 + 𝟑𝟐

√𝒙𝟐 + 𝟐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂: √𝒙𝟐 + (√𝟐)𝟐

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟑𝒕𝒂𝒈 𝜽

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica:

Derivar la sustitución trigonométrica:

𝒙 = √𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽

𝒙 = 𝟑𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = (𝟑𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1 y simplificar: 𝟏. 𝟏. ∫

𝒙 √

𝒙𝟐

+𝟗

𝒅𝒙 = ∫ (

𝟑𝒕𝒂𝒈 𝜽 ) (𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝒙

𝟏. 𝟐. ∫

𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 √ 𝒙𝟐 + 𝟗 Paso 3: Aplicar el método de integración:

Paso 4: En la integral 1.2 sustituir 2.1: 𝒙 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 √ 𝒙𝟐 + 𝟗 𝒙 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒅𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟐 √𝒙 +𝟗 Paso 5: Retornar la sustitución trigonométrica: →

√𝒙𝟐 + 𝟗 Sustituir en integral 1.3: 𝟏. 𝟑. ∫

𝒙 √ 𝒙𝟐 + 𝟗 ∫

𝒅𝒙 = 𝟑 ( 𝒙

√ 𝒙𝟐 + 𝟗

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

√𝒙𝟐 + 𝟗 𝟑

√𝒙𝟐 + 𝟗 ) = √ 𝒙𝟐 + 𝟗 𝟑

𝒅𝒙 = √𝒙𝟐 + 𝟗 + 𝑪

Fundamentos para el Cálculo Integral

Sustituir en la integral 1.1 y simplificar: 𝒙

√𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝒙 = ∫ ( ) (√𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) √ +𝟐 √𝟐𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒙 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = √𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐 √𝒙 +𝟐 𝟏. 𝟏 ∫

𝒙𝟐

Método de integrales inmediatas:

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝟑

′

𝒙 = √𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = (√𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽) → 𝒅𝒙 = √𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Paso 3: Aplicar el método de integración:

Método de integrales inmediatas:

𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

Derivar la sustitución trigonométrica:

𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽

Paso 4: En la integral 1.2 sustituir 2.1: 𝒙 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒅𝒙 = √𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 √ 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒅𝒙 = √𝟐𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟐 √𝒙 +𝟐 Paso 5: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

√𝟐

→

√𝒙𝟐 + 𝟐

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

√𝒙𝟐 + 𝟐 √𝟐

Sustituir en la integral 1.3.: 𝟏. 𝟑. ∫

𝒙 √ 𝒙𝟐 + 𝟐

∫

𝒅𝒙 = √𝟐 (

𝒙 √ 𝒙𝟐 + 𝟐

√𝒙𝟐 + 𝟐 ) = √𝒙 𝟐 + 𝟐 √𝟐

𝒅𝒙 = √𝒙𝟐 + 𝟐 + 𝑪

José E. Ornelas G.

102

c) Sustituir el cambio de variable en 2.2:

Ejemplo 19 Hallar la integral ∫

𝒙𝟑 √ 𝒙𝟐 + 𝟒

𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 − 𝟏) (𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽)

𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒗𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒗

Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫ √ 𝒙𝟐

𝒙𝟑 √

𝒙𝟐

+𝟒

Separar los integrales:

𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 − ∫ 𝒅𝒗

+ 𝟒 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂:

√𝒙𝟐

+

𝟐𝟐

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

Método de integrales inmediatas: 𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒗𝟑 − 𝒗 𝟑 d) Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟐. 𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 − 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟑 Sustituir la integral 2.3 en 1.2.: 𝟏. 𝟐. ∫

Paso 2: Aplicar el método de integración: Método de sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = (𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1 y simplificar: ∫ ∫

𝒙𝟑 √ 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙𝟑

𝒅𝒙 = ∫

(𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽)𝟑 (𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) (𝟐𝒔𝒆𝒄 𝜽)

𝒅𝒙 = ∫

𝟖𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 (𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) (𝟐𝒔𝒆𝒄 𝜽)

√ 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙𝟑 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒅𝒙 = 𝟖 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 √ 𝒙𝟐 + 𝟒 Paso 3: Aplicar el método de integración:

→

𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 − 𝟏

𝒙𝟐

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝟐

𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

𝒔𝒆𝒄 𝜽 = 𝒗

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

√𝒙𝟐 + 𝟒 𝟐

𝟑

𝒙𝟑

𝟖 √𝒙𝟐 + 𝟒 √𝒙𝟐 + 𝟒 ∫ 𝒅𝒙 = ( ) − 𝟖( ) 𝟑 𝟐 𝟐 √ 𝒙𝟐 + 𝟒 ∫ ∫

∫

∫

∫

𝒙𝟑 √ 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙𝟑 √

𝒙𝟐

+𝟒

𝒙𝟑 √ 𝒙𝟐 + 𝟒

𝒅𝒙 =

𝟖 √(𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑 √𝒙𝟐 + 𝟒 ( )− 𝟖( ) 𝟑 𝟖 𝟐

𝒅𝒙 =

𝟏 √(𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑 − 𝟒√𝒙𝟐 + 𝟒 𝟑

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐 (𝒙 + 𝟒)√(𝒙𝟐 + 𝟒) − 𝟒√𝒙𝟐 + 𝟒 𝟑

𝒙𝟑

𝟏 𝒅𝒙 = √(𝒙𝟐 + 𝟒) ∙ ( (𝒙𝟐 + 𝟒) − 𝟒) 𝟑 √ 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙𝟑 √ 𝒙𝟐 + 𝟒

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable:

→

√𝒙𝟐 + 𝟒 Sustituir en la integral 2.1:

Sustituir la identidad trigonométrica en la integral 2.1: 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 − 𝟏) 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

𝒅𝒙 = 𝟖 ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

𝟏 𝒅𝒙 = 𝟖 ( 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 − 𝒔𝒆𝒄 𝜽) 𝟑 √ +𝟒 𝟑 𝒙 𝟖 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 − 𝟖𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝟑 √ 𝒙𝟐 + 𝟒

Identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝜽 = 𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽

√ 𝒙𝟐 + 𝟒

𝒙𝟑

∫

Método de integrales trigonométricos: 𝟐. 𝟏. ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

𝒙𝟑

∫

𝒅𝒙 = 𝒙𝟑

√

𝒙𝟐

+𝟒

𝟏 √(𝒙𝟐 + 𝟒) ∙ (𝒙𝟐 − 𝟖) 𝟑

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐 (𝒙 − 𝟖)√(𝒙𝟐 + 𝟒) + 𝑪 𝟑

b) Derivada del cambio de variable: (𝒔𝒆𝒄 𝜽)′ ∙ 𝜽̇ = 𝒗′ → 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

103

Ejemplo 20 Hallar la integral ∫

Sustituir en 2.1 y separar integrales: √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒙𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Identificar el integrando: 𝟏. 𝟏. ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 𝒙𝟐

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆: √𝒙𝟐 + 𝟓𝟐 Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽) 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Métodos integrales inmediatas: 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈𝜽 | Métodos integrales trigonométricos: 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Paso 2: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟓𝒕𝒂𝒈 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙 = 𝟓𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = (𝟓𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1: ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 (𝟓 𝒔𝒆𝒄 𝜽) 𝒅𝒙 = ∫ (𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝟐 𝒙 (𝟓𝒕𝒂𝒈 𝜽)𝟐

∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝜽 = ∫ 𝒅𝜽 𝒙𝟐 𝟐𝟓 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝟏. 𝟐. ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝜽 𝒙𝟐 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 Paso 3: Aplicar métodos de integración: Métodos integrales trigonométricos: Simplificando identidades trigonométricas: 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝟏 𝟑𝜽 𝒄𝒐𝒔 = = = 𝟐 𝟐 𝟑 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝑪𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟑 𝒔𝒆𝒄 𝜽 = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 Sustituir en la integral 1.2: √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒙𝟐 Métodos integrales trigonométricos:

Simplificando identidades trigonométricas: 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 = ∙ = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒅𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 Métodos cambio de variables: a) Cambio de variable: 𝒎 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 b) Derivar el cambio de variable: 𝒎 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽

→

𝒅𝒎 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽

→

𝒅𝜽 =

𝒅𝒎 𝒄𝒐𝒔 𝜽

c) Sustituir cambio de variable y resolver: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝒄𝒐𝒔 𝜽) 𝒅𝒎 𝒅𝒎 ∫ 𝒅𝜽 = ∫ ( )=∫ 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒎𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒎 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟏 ∫ 𝒅𝜽 = ∫ 𝒎−𝟐 𝒅𝒎 = − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒎 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟏 ∫ 𝒅𝜽 = − = −𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = −𝒄𝒔𝒄 𝜽

Sustituir en la integral 2.2.1 y 2.2.2 en 2.2: 𝟐. 𝟑 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝜽 = 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈𝜽 | − 𝒄𝒔𝒄 𝜽

Sustituir en la integral 2.3 en 1.3: 𝟏. 𝟒. ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈𝜽 | − 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒙𝟐

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓

→

𝒄𝒔𝒄 𝜽 =

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒙

→

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝟓

Sustituir en la integral 1.4: ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( + ) −( ) 𝟐 𝒙 𝟓 𝟓 𝒙

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝜽 Identidad trigonométrica: 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 = 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜽 Fundamentos para el Cálculo Integral

∫

𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 √𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 | | − +𝑪 𝒙𝟐 𝟓 𝒙

José E. Ornelas G.

104

Ejemplo 21 Hallar la integral ∫ 𝒙 √ −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙 Paso 1: Completar cuadrados en el radicando: 𝟐

𝟐

(−𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟕) = −(𝒙 + 𝟔𝒙) + 𝟕 Para completar cuadrados, tenemos que recordar el producto notable: Cuadrado de la Suma. (𝒙 ± 𝒙𝒐 )𝟐 = 𝒙 𝟐 ± 𝟐𝒙𝒐 . 𝒙 + 𝒙𝒐𝟐 𝟔 𝟐𝒙𝒐 = 𝟔 → 𝒙𝒐 = → 𝒙𝒐 = 𝟑 𝟐 (𝒙𝒐 )𝟐 = (𝟑)𝟐 → 𝒙𝟐𝒐 = 𝟗 Completar cuadrados y factorizar polinomio de 2º grado: (𝒙𝟐 + 𝟔𝒙)

→ (𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗) − 𝟗

→ (𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟗

−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 = −(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙) + 𝟕 −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 = −[(𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟗] + 𝟕 −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 = −(𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝟏𝟔 = 𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 (−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕) = 𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 Paso 2: Reemplazar en el integral: 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙√−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙√𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 𝒅𝒙 √𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐

→

√𝟒𝟐 − (𝒙 + 𝟑)𝟐

Razones en el triángulo y sustituciones trigonométricas:

Método de integrales por cambio de variables: a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒗 −𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒅𝒗 c) Despejar 𝒅𝜽: 𝟏 𝒅𝜽 = − 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽 d) Sustituir el cambio de variables en 2.1: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒗𝟐 ) (𝒔𝒆𝒏 𝜽) (−

𝟏 𝒅𝜽) 𝒔𝒆𝒏 𝜽

∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = − ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗

Método de integrales inmediatas: 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = − 𝒗𝟑 𝟑 e) Retornar el cambio de variables: 𝟏 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = − 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝟑 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽𝒅𝜽

Método de integrales trigonométricos: Identidad trigonométrica: 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟐 Sustituir en la integral 2.2 y separar los integrales: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝜽 + ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽 𝒅𝜽 𝟐 𝟐

Método de integrales inmediatas: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝟏 (𝜽) + ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐. 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 =

𝟏 𝟏 𝜽 + 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝟒

Sustituir 2.1 y 2.2 en la integral 1.2:

Paso 3: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: (𝒙 + 𝟑) = 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽 → 𝒙 = −𝟑 + 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙′ = (−𝟑 + 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1:

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔𝟒 (− 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽) − 𝟒𝟖 ( 𝜽 + 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟔𝟒 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 − 𝟐𝟒𝜽 − 𝟏𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟑 𝟔𝟒 𝟏. 𝟑. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 − 𝟏𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 − 𝟐𝟒𝜽 𝟑

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 =

(𝒙 + 𝟑) 𝟒

→

𝒙+𝟑 𝜽 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟒

𝟏. 𝟏. ∫ 𝒙√−𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙√𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 𝒅𝒙

𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(−𝟑 + 𝟒𝒔𝒆𝒏 𝜽)(𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽)(𝟒𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽)

𝒙 + 𝟑 √𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 ) 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 = 𝟐 ( )( 𝟒 𝟒

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟔𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 − 𝟒𝟖𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽) 𝒅𝜽

𝑺𝒆𝒏 𝟐𝜽 =

𝟏. 𝟐. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 − 𝟒𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Paso 3: Aplicar el método de integración: 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 (𝒙 + 𝟑)√𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 𝟖

Al sustituir en 1.3: 𝟏 𝟑 𝒙+𝟑 ) − √[𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 ]𝟑 − (𝒙 + 𝟑)√𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟐𝟒𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 𝒙+𝟑 − [√𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 ] − (𝒙 + 𝟑)√𝟏𝟔 − (𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟐𝟒𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟑 𝟐 𝟒

José E. Ornelas G.

105

Ejemplo 22

Método de integrales Trigonométricos

Hallar la integral ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒙+𝟏

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽) 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽

𝒅𝒙

Paso 1: Completar cuadrados en el subradical: (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓) = (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) + 𝟓 Para completar cuadrados, tenemos que recordar el producto notable: Cuadrado de la Suma. (𝒙 ± 𝒙𝒐 )𝟐 = 𝒙 𝟐 ± 𝟐𝒙𝒐 . 𝒙 + 𝒙𝒐𝟐 𝟐 𝟐𝒙𝒐 = 𝟐 → 𝒙𝒐 = → 𝒙𝒐 = 𝟏 → 𝒙𝟐𝒐 = 𝟏 𝟐 Completar cuadrados y factorizar polinomio de 2º grado: (𝒙𝟐

+ 𝟐𝒙)

𝟐

→

𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟓 =

(𝒙𝟐

(𝒙𝟐

+ 𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏

𝟐

→ (𝒙 + 𝟏) − 𝟏

+ 𝟐𝒙) + 𝟓

𝟐

𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟓 = [(𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟏] + 𝟓 𝟐

𝟐

𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟓 = (𝒙 + 𝟏) + 𝟒 Paso 2: Reemplazar en el integral: 𝟏. 𝟏. ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 √(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 𝒙+𝟏 𝒙+𝟏

Razones y sustituciones trigonométricas:

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒄𝒔𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽) 𝒅𝜽 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫

𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽

Paso 4: Aplicar el método de integración: Método de integrales inmediatas: 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 = 𝒍𝒏 | 𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽 |

Método de integrales por cambio de variable: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: (𝒄𝒐𝒔 𝜽)′ = 𝒗′ → −𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒅𝒗

𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒗

c) Despejar 𝒅𝜽: 𝟏 𝒅𝜽 = − 𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽 d) Sustituir el cambio de variables en 2.2.2: ∫

𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟏 𝒅𝜽 = ∫ 𝟐 (− 𝒅𝒗) = − ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽

Método de integrales inmediatas: ∫

Paso 3: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: (𝒙 + 𝟏) = 𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙 = 𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽 − 𝟏 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙′ = (𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽 − 𝟏)′ → 𝒅𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1: √(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 (𝟐𝒔𝒆𝒄 𝜽) ∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝒙+𝟏 (𝟐𝒕𝒂𝒈 𝜽) √(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒅𝜽 𝒙+𝟏 𝒕𝒂𝒈 𝜽

Simplificando identidades trigonométricas: 𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = = = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Sustituir en la integral 1.2: 𝟏. 𝟑 ∫

𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟏 −𝟏 𝟏 𝒅𝜽 = − 𝒗 = 𝒗−𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 −𝟏 𝒗

e) Retornar cambio de variables: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟏 ∫ 𝒅𝜽 = = 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒅𝜽 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 Sustituir 2.2.1 y 2.2.2 en la integral 2.2: 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫

𝟐. 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 = 𝒍𝒏 | 𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽 | + 𝒔𝒆𝒄 𝜽

Sustituir 2.3 en la integral 1.3: 𝟏. 𝟒 ∫

√(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟐𝒍𝒏 | 𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽 | + 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒙+𝟏

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒄𝒕𝒈 𝜽 =

𝟐 (𝒙 + 𝟏)

𝒔𝒆𝒄 𝜽 =

√(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝟐

→

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒄𝒔𝒄 𝜽 =

√(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 (𝒙 + 𝟏)

Sustituir en la integral 1.4: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐𝒍𝒏 |

√(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝟐 √(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 − |+𝟐 (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟏) 𝟐

√(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 𝒙+𝟏

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽

𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐𝒍𝒏 |

√(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 − 𝟐 | + √(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 (𝒙 + 𝟏)

José E. Ornelas G.

106

Ejemplo 23

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒄𝒔𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽) 𝒅𝜽

Hallar la integral ∫

√𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟕 𝒙−𝟒

𝒅𝒙

Paso 1: Completar cuadrados en el subradical: (𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟕) = (𝒙𝟐 − 𝟖𝒙) + 𝟏𝟕 Para completar cuadrados, tenemos que recordar el producto notable: Cuadrado de la diferencia. (𝒙 ± 𝒙𝒐 )𝟐 = 𝒙 𝟐 ± 𝟐𝒙𝒐 . 𝒙 + 𝒙𝒐𝟐 𝟖 𝟐𝒙𝒐 = −𝟖 → 𝒙𝒐 = − → 𝒙𝒐 = −𝟒 → 𝒙𝟐𝒐 = 𝟏𝟔 𝟐 Completar cuadrados y factorizar polinomio de 2º grado: (𝒙𝟐 − 𝟖𝒙) → (𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔) − 𝟏𝟔 → (𝒙 − 𝟒)𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐

𝒙 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟕 =

(𝒙𝟐

− 𝟖𝒙) + 𝟏𝟕

𝒙 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟕 = [(𝒙 − 𝟒)𝟐 − 𝟏𝟔] + 𝟏𝟕

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝒄𝒔𝒄 𝜽) 𝒅𝜽 + ∫ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝟏 ∙ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽

𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Paso 4: Aplicar el método de integración: Método de integrales inmediatas: 𝟐. 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒍𝒏 | 𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽 |

Método de integrales inmediatas: 𝟐. 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = 𝒔𝒆𝒄 𝜽

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟕 = (𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 Paso 2: Reemplazar en el integral: 𝟏. 𝟏. ∫

√𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟕 √(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 𝒙−𝟒 𝒙−𝟒

Razones y sustituciones trigonométricas:

Sustituir 2.2.1 y 2.2.2 en la integral 2.2: 𝟐. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 = ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 + ∫ 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽

𝟐. 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 = 𝒍𝒏 | 𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽 | + 𝒔𝒆𝒄 𝜽 Sustituir 2.3 en la integral 1.3: 𝟏. 𝟑 ∫ 𝟏. 𝟒 ∫

√(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒙−𝟒

√(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 | 𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽 | + 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒙−𝟒

Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝒕𝒂𝒈 𝜽 =

Paso 3: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: (𝒙 − 𝟒) = 𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙 = 𝟒 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica:

𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =

𝟏. 𝟏 ∫

(𝒔𝒆𝒄 𝜽) √(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙−𝟒 (𝒕𝒂𝒈 𝜽)

𝟏. 𝟐 ∫

𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 √(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝜽 𝒙−𝟒 𝒕𝒂𝒈 𝜽

Simplificando identidades trigonométricas:

(𝒙 − 𝟒) √(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 𝟏 √(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏

→

𝒄𝒕𝒈 𝜽 =

𝟏 (𝒙 − 𝟒)

→

𝒄𝒔𝒄 𝜽 =

√(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 (𝒙 − 𝟒)

→

𝒔𝒆𝒄 𝜽 = √(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏

Sustituir en la integral 1.4:

𝒙 = 𝟒 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙′ = (𝟒 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽

Sustituir en la integral 1.1:

(𝒙 − 𝟒) 𝟏

𝟏. 𝟒 ∫

√(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 |𝒄𝒔𝒄 𝜽 − 𝒄𝒕𝒈 𝜽| + 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒙−𝟒

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 |

√(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 𝟏 − | + √(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 (𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟒)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 |

√(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 − 𝟏 | + √(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 + 𝑪 (𝒙 − 𝟒)

𝟏 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = = = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽

Sustituir en la integral 1.2: 𝟏. 𝟑 ∫

√(𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝒙−𝟒

Método de integrales Trigonométricos 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒄𝒔𝒄𝜽 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒂𝒈𝟐 𝜽) 𝒄𝒔𝒄 𝜽 𝒅𝜽

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

107

Ejemplo 24 Hallar la integral ∫

Ejemplo 25 𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒

𝒅𝒙

Hallar la integral ∫

𝟏 (𝒙+𝟏)√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖

𝒅𝒙

Paso 1: Completar cuadrados en el subradical: 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒 = (𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙) + 𝟑𝟒

Paso 1: Completar cuadrados en el subradical: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) − 𝟖

(𝒙 ± 𝒙𝒐 )𝟐 = 𝒙 𝟐 ± 𝟐𝒙𝒐 . 𝒙 + 𝒙𝒐𝟐 𝟏𝟎 𝟐𝒙𝒐 = −𝟏𝟎 → 𝒙𝒐 = − → 𝒙𝒐 = −𝟓 → 𝒙𝟐𝒐 = 𝟐𝟓 𝟐 Completar cuadrados y factorizar polinomio de 2º grado:

(𝒙 ± 𝒙𝒐 )𝟐 = 𝒙 𝟐 ± 𝟐𝒙𝒐 . 𝒙 + 𝒙𝒐𝟐 𝟐 𝟐𝒙𝒐 = 𝟐 → 𝒙𝒐 = → 𝒙𝒐 = 𝟏 → 𝒙𝟐𝒐 = 𝟏 𝟐 Completar cuadrados y factorizar polinomio de 2º grado:

(𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙) → (𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓) − 𝟐𝟓 → (𝒙 − 𝟓)𝟐 − 𝟐𝟓

(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) → (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏 → (𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟏

𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒 = (𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙) + 𝟑𝟒

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) − 𝟖

𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒 = [(𝒙 − 𝟓)𝟐 − 𝟐𝟓] + 𝟑𝟒

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = [(𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟏] − 𝟖

𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒 = (𝒙 − 𝟓)𝟐 + 𝟗 Paso 2: Reemplazar en el integral: 𝟏 𝟏 𝟏. 𝟏. ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 𝟐 √𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒 √(𝒙 − 𝟓)𝟐 + 𝟗

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = (𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟗 Paso 2: Reemplazar en el integral:

Razones y sustituciones trigonométricas:

Razones y sustituciones trigonométricas:

Paso 3: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: (𝒙 − 𝟓) = 𝟑𝒕𝒂𝒈 𝜽 → 𝒙 = 𝟓 + 𝟑𝒕𝒂𝒈 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙′ = (𝟓 + 𝟑𝒕𝒂𝒈 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1: 𝟏 𝟏 (𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽) 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 (𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽) √𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒 𝟏 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒅𝜽 𝟐 √𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒 Método de integrales inmediatas: 𝟏 𝟏. 𝟑 ∫ 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 | 𝒔𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒂𝒈 𝜽 | 𝟐 √𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑𝟒 Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica:

Paso 3: Aplicar método por sustitución trigonométrica: Sustitución trigonométrica: (𝒙 + 𝟏) = 𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽 → 𝒙 = −𝟏 + 𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽 Derivar la sustitución trigonométrica: 𝒙′ = (−𝟏 + 𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽)′ → 𝒅𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽 Sustituir en la integral 1.1:

𝟏. 𝟒 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 |

√(𝒙 − 𝟓)𝟐 + 𝟗 (𝒙 − 𝟓) + | 𝟑 𝟑

√(𝒙 − 𝟓)𝟐 + 𝟗 + (𝒙 − 𝟓) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 | |+𝑪 𝟑

𝟏. 𝟏. ∫

𝟏. 𝟏. ∫

𝟏. 𝟏 ∫

𝟏 (𝒙 +

𝟏)√𝒙𝟐

+ 𝟐𝒙 − 𝟖

𝟏 (𝒙 +

𝟏)√𝒙𝟐

+ 𝟐𝒙 − 𝟖

𝒅𝒙 𝟏)√𝒙𝟐

(𝒙 + 𝒅𝒙

𝒅𝒙 = ∫

=∫

𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)√(𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟗

𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)√(𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟗

(𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽 𝒕𝒂𝒈 𝜽 𝒅𝜽) (𝟑𝒔𝒆𝒄 𝜽)(𝟑𝒕𝒂𝒈 𝜽)

+ 𝟐𝒙 − 𝟖 𝟏 ∫ = ∫ 𝒅𝜽 𝟐 (𝒙 + 𝟏)√𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟖 𝟑

Método de integrales inmediatas: 𝒅𝒙 𝟏 𝟏. 𝟐 ∫ = 𝜽 𝟐 (𝒙 + 𝟏)√𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟖 𝟑 Paso 4: Retornar la sustitución trigonométrica: 𝟏. 𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟑 𝑨𝒓𝒄 𝑪𝒐𝒔 ( ) 𝟑 𝒙+𝟏

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒅𝒙 = ∫

𝟏 𝟑 𝑨𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 ( )+𝑪 𝟑 𝒙+𝟏

José E. Ornelas G.

108

III.2.2.- EJERCICIOS PROPUESTOS (SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICAS): III. 2.2.1.- Resolver cada integral usando la técnica de integración por sustitución trigonométrica: 𝟏) ∫ √𝒙𝟐 + 𝟖𝟏 𝒅𝒙

𝟐) ∫ √𝒙𝟐 + 𝟔𝟒 𝒅𝒙

𝟑) ∫ √𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟏 𝒅𝒙

𝟒) ∫ √𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 𝒅𝒙

𝟓) ∫ √𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙

𝟔) ∫ √𝟗𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙

𝟕) ∫ √𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟗 𝒅𝒙

𝟖) ∫ √𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝟗 𝒅𝒙

𝟗) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟑) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟐

𝟏𝟕) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟔𝟒 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟏) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟐) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟒) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙 𝒙𝟐

𝟏𝟓) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟔𝟒 𝒅𝒙 𝒙𝟑

𝟏𝟔) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟖𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟑

𝟏𝟖) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟗 𝒅𝒙

𝟏𝟗) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙

𝟐𝟎) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟒𝟗 𝒅𝒙

III. 2.2.2.- Resolver cada integral usando la técnica de integración por sustitución trigonométrica: 𝟏) ∫ √𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙

𝟐) ∫ √𝒙𝟐 − 𝟔𝟒 𝒅𝒙

𝟑) ∫ √𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝟏 𝒅𝒙

𝟒) ∫ √𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 𝒅𝒙

𝟓) ∫ √𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙

𝟔) ∫ √𝟗𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙

𝟕) ∫ √𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗 𝒅𝒙

𝟖) ∫ √𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙

𝟗) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟑) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟔𝟒 𝒅𝒙 𝒙𝟐

𝟏𝟕) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟏) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟐) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟒𝟗 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟒) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙 𝒙𝟐

𝟏𝟓) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 𝒅𝒙 𝒙𝟑

𝟏𝟔) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟑

𝟏𝟖) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒅𝒙

𝟏𝟗) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙

𝟐𝟎) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝟗 𝒅𝒙

III. 2.2.3.- Resolver cada integral usando la técnica de integración por sustitución trigonométrica: 𝟏) ∫ √𝟖𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟐) ∫ √𝟏𝟔𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟑) ∫ √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟒) ∫ √𝟐 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟓) ∫ √𝟐𝟓 − 𝟒𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟔) ∫ √𝟏 − 𝟗𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟕) ∫ √𝟏𝟔 − 𝟗𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟖) ∫ √𝟖𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟗) ∫

√𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟑) ∫

√𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐

𝟏𝟕) ∫ 𝒙√𝟗 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫

√𝟑𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟏) ∫

√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟐) ∫

√𝟔𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙

𝟏𝟒) ∫

√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐

𝟏𝟓) ∫

√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟑

𝟏𝟔) ∫

√𝟖𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟑

𝟏𝟖) ∫ 𝒙√𝟖𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟏𝟗) ∫ 𝒙√𝟒 − 𝟗𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟐𝟎) ∫ 𝒙√𝟗 − 𝟒𝒙𝟐 𝒅𝒙

III. 2.2.4.- Resolver cada integral usando la técnica de integración por sustitución trigonométrica: 𝟏) ∫ √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟔 𝒅𝒙 𝟓) ∫ √−𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒𝟓 𝒅𝒙 𝟗) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒𝟎 𝒅𝒙 𝒙−𝟔

𝟐) ∫ √𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝟓 𝒅𝒙

𝟑) ∫ √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 𝒅𝒙

𝟒) ∫ √𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙

𝟔) ∫ √−𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟕 𝒅𝒙

𝟕) ∫ √−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖 𝒅𝒙

𝟖) ∫ √−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟓 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒𝟖 𝒅𝒙 𝒙+𝟏

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏𝟏) ∫

√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 𝒅𝒙 𝒙+𝟏

𝟏𝟐) ∫

√𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟑 𝒅𝒙 𝒙−𝟔

José E. Ornelas G.

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III. 3.0.- INTEGRALES POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES Son integrales que se generan de expresiones polinómicas racionales o fracción racional, en la que pueden expresarse como la suma algebraica de fracciones, es decir: a) las fracciones polinómicas impropias, se pueden expresar como un polinomio y una fracción propia, b) las fracciones polinómicas propias, se pueden expresar como fracciones simples. Especialmente de las fracciones propias, pueden generarse cuatro casos, cada uno de los cuales será objeto de estudio en este objetivo: I CASO: Factores lineales distintos. A cada binomio de la forma (𝒎𝒙 + 𝒏), le corresponde la fracción simple:

𝑨 (𝒎𝒙 + 𝒏)

siendo “A” una constante o término de grado cero (término independiente). III. 3.1.- EJERCICIOS DE INTEGRALES POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES: Ejemplo 1 Hallar la integral ∫

∆𝑩 = | 𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙+ 𝟐)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟐 𝑨 𝑩 𝟏. 𝟏. = + (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟐) Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝟐 𝑨(𝒙 + 𝟐) + 𝑩(𝟑𝒙 + 𝟒) = (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) Aplicar la propiedad distributiva: 𝟐 𝑨𝒙 + 𝟐𝑨 + 𝟑𝑩𝒙 + 𝟒𝑩 = (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) Agrupar términos semejantes: (𝑨𝒙 + 𝟑𝑩𝒙) + (𝟐𝑨 + 𝟒𝑩) 𝟐 = (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝑨 + 𝟑𝑩)𝒙 + (𝟐𝑨 + 𝟒𝑩) 𝟐 𝟐. 𝟏. = (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) ∙ (𝒙 + 𝟐) Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙 ≡→ (𝑨 + 𝟑𝑩) = 𝟎 (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏𝒐) 𝟎 𝒙 ≡→ (𝟐𝑨 + 𝟒𝑩) = 𝟐 (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝟏 𝟎 | = (𝟏 ∙ 𝟐) − (𝟐 ∙ 𝟎) = (𝟐) − (𝟎) 𝟐 𝟐

∆𝑩 = 𝟐 − 𝟎 = 𝟐

→

∆𝑩 =𝟐

Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: ∆𝑨 −𝟔 𝑨= → 𝑨= =𝟑 → 𝑨=𝟑 ∆ −𝟐 ∆𝑩 𝟐 𝑩= → 𝑩= = −𝟏 → 𝑩 = −𝟏 ∆ −𝟐 Paso 5: Retornar a la expresión racional 1.1: Sustituir los valores determinados A y B: 𝟐 𝟑 −𝟏 = + (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟐) 𝟏. 𝟐.

𝟐 𝟑 𝟏 = − (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟐)

Paso 6: Retornar a la integral: 𝟐 𝟑 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ [ − ] 𝒅𝒙 (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟐) 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟐) Paso 8: Aplicar métodos de integración respectivo: Integral inmediata: ∫

𝟏

𝒅𝒙 =

𝟏

𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏)

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎 𝟐 𝟏 𝟏 Hacer uso del teorema de Cramer, con la finalidad de facilitar ∫ 𝒅𝒙 = 𝟑 ( 𝑳𝒏 (𝟑𝒙 + 𝟒)) − ( 𝑳𝒏 (𝒙 + 𝟐)) (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) 𝟑 𝟏 el cálculo de cada una de las variables que intervienen: 𝟐 𝑨 + 𝟑𝑩 = 𝟎 𝟏 𝟑 𝑨 𝟎 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝟑𝒙 + 𝟒) − 𝑳𝒏 (𝒙 + 𝟐) { → ( )( ) = ( ) 𝟐𝑨 + 𝟒𝑩 = 𝟐 𝟐 𝟒 𝑩 𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) Método de Cramer: Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos): 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟒 | = (𝟏 ∙ 𝟒) − (𝟐 ∙ 𝟑) = (𝟒) − (𝟔) ∆=| 𝟐 𝟒 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) 𝒙+𝟐 ∆ = 𝟒 − 𝟔 = −𝟐 → ∆ = −𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟑𝒙 + 𝟒 | = (𝟎 ∙ 𝟒) − (𝟐 ∙ 𝟑) = (𝟎) − (𝟔) ∆𝑨 = | ∫ 𝟐 𝟒 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( )+𝑪 (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) 𝒙+𝟐 ∆𝑨 = 𝟎 − 𝟔 = −𝟔 → ∆ 𝑨 = −𝟔 Fundamentos para el Cálculo Integral

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Ejemplo 2

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1:

Hallar la integral ∫

𝟐𝟐 (𝟑𝒙 − 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟑)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟐𝟐 𝑨 𝑩 𝟏. 𝟏) = + (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟑) Paso 2: Resolver la suma de fracciones simples: 𝟐𝟐 𝑨(𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝑩(𝟑𝒙 − 𝟏) = (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑)

Aplicar la propiedad distributiva: 𝟐𝟐 𝟐𝑨𝒙 + 𝟑𝑨 + 𝟑𝑩𝒙 − 𝑩 = (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑)

Agrupar términos semejantes:

𝟐𝟐 (𝟐𝑨 + 𝟑𝑩)𝒙 + (𝟑𝑨 − 𝑩) = (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑)

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙 ≡→ (𝟐𝑨 + 𝟑𝑩) = 𝟎 𝒙𝟎 ≡→ (𝟑𝑨 − 𝑩) = 𝟐𝟐

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏𝒐) (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝟐𝟐 𝑨 𝑩 = + (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟑)

Sustituir los valores determinados A y B: 𝟐𝟐 𝟔 −𝟒 = + (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟏. 𝟏)

𝟐𝟐 𝟔 𝟒 = − (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟑)

Paso 7: Retornar a la integral: ∫

𝟐𝟐 𝟔 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ [ − ] 𝒅𝒙 (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟑)

Separar los integrales: ∫

𝟐𝟐 (𝟐𝑨𝒙 + 𝟑𝑩𝒙) + (𝟑𝑨 − 𝑩) = (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟐. 𝟏)

𝟏. 𝟏)

𝟐𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝟔 ∫ − 𝟒∫ (𝟐𝒙 (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏) + 𝟑)

Paso 8: Aplicar métodos de integración respectivo: Método de integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏) 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎 ∫

𝟐𝟐 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟔 [ 𝑳𝒏(𝟑𝒙 − 𝟏)] − 𝟒 [ 𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟑)] (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟑 𝟐

∫

𝟐𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐𝑳𝒏(𝟑𝒙 − 𝟏) − 𝟐𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟑) (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑)

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Hacer uso del teorema de Cramer, con la finalidad de facilitar Factor común: el cálculo de cada una de las variables que intervienen: 𝟐𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = 𝟐[ 𝑳𝒏(𝟑𝒙 − 𝟏) − 𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟑)] 𝟐𝑨 + 𝟑𝑩 = 𝟎 𝟐 𝟑 𝑨 𝟎 (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) { → ( )( ) = ( ) 𝟑𝑨 − 𝑩 = 𝟐𝟐 𝟑 −𝟏 𝑩 𝟐𝟐 Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos): Método de Cramer: 𝟐𝟐 𝟑𝒙 − 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝟐 [ 𝑳𝒏 ( )] 𝟐 𝟑 | = (𝟐)(−𝟏) − (𝟑 ∙ 𝟑) = (−𝟐) − (𝟗) ∆=| (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟐𝒙 + 𝟑 𝟑 −𝟏 ∆ = −𝟐 − 𝟗

→

∆ = −𝟏𝟏

𝟎 𝟑 | = (𝟎)(−𝟏) − (𝟐𝟐 ∙ 𝟑) = (𝟎) − (𝟔𝟔) ∆𝑨 = | 𝟐𝟐 −𝟏 ∆𝑨 = 𝟎 − 𝟔𝟔 ∆𝑩 = |

→

∆ 𝑨 = −𝟔𝟔

𝟐 𝟎 | = (𝟐 ∙ 𝟐𝟐) − (𝟑 ∙ 𝟎) = (𝟒𝟒) − (𝟎) 𝟑 𝟐𝟐

∆𝑩 = 𝟒𝟒 − 𝟎

→

∫

𝟐𝟐 𝟑𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟐𝒙 + 𝟑

∫

𝟐𝟐 𝟑𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) +𝑪 (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟐𝒙 + 𝟑

∆ 𝑩 = 𝟒𝟒

Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: 𝑨=

∆𝑨 ∆

→

𝑨=

−𝟔𝟔 =𝟔 −𝟏𝟏

→ 𝑨=𝟔

𝑩=

∆𝑩 ∆

→

𝑩=

𝟒𝟒 = −𝟒 −𝟏𝟏

→ 𝑩 = −𝟒

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Ejemplo 3

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1:

Hallar la integral ∫

𝟏𝟑𝒙+𝟐𝟑 (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝑨 𝑩 𝟏. 𝟏) = + (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) (𝟐𝒙 + 𝟏) Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝑨(𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝑩(𝒙 + 𝟔) = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏)

Aplicar la propiedad distributiva: 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝟐𝑨𝒙 + 𝑨 + 𝑩𝒙 + 𝟔𝑩 = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏)

Agrupar términos semejantes: 𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 (𝟐𝑨𝒙 + 𝑩𝒙) + (𝑨 + 𝟔𝑩) = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟐. 𝟏)

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 (𝟐𝑨 + 𝑩)𝒙 + (𝑨 + 𝟔𝑩) = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏)

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙 ≡→ (𝟐𝑨 + 𝑩) = 𝟏𝟑 𝒙𝟎 ≡→ (𝑨 + 𝟔𝑩) = 𝟐𝟑

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏𝒐)

𝟐𝑨 + 𝑩 = 𝟏𝟑 𝑨 + 𝟔𝑩 = 𝟐𝟑

→

(

𝟐 𝟏

𝟏 𝑨 𝟏𝟑 )( ) = ( ) 𝟔 𝑩 𝟐𝟑

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝟓 𝟑 = + (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟏. 𝟏)

𝟐 𝟏 | = (𝟐 ∙ 𝟔) − (𝟏 ∙ 𝟏) = (𝟏𝟐) − (𝟏) 𝟏 𝟔

∆ = 𝟏𝟐 − 𝟏 𝟏𝟑 ∆𝑨 = | 𝟐𝟑

∫

→

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝟓 𝟑 𝒅𝒙 = ∫ [ + ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) (𝟐𝒙 + 𝟏)

Separar los integrales: ∫

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝟓 𝟑 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) (𝟐𝒙 + 𝟏)

∫

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝟓 ∫ +𝟑∫ (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) (𝟐𝒙 + 𝟏)

Paso 8: Aplicar métodos de integración respectivo: Integral inmediata: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏) 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎 ∫

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟓 [ 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟔)] + 𝟑 [ 𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏)] (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟏 𝟐

∫

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝟑 𝒅𝒙 = 𝟓𝑳𝒏(𝒙 + 𝟔) + 𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟐

Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos): ∫

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟔)𝟓 + 𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑/𝟐 (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏)

∫

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒙 + 𝟔)𝟓 ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑/𝟐 (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏)

∆ = 𝟏𝟏

𝟏 | = (𝟏𝟑 ∙ 𝟔) − (𝟐𝟑 ∙ 𝟏) = (𝟕𝟖) − (𝟐𝟑) 𝟔

∆𝑨 = 𝟕𝟖 − 𝟐𝟑 ∆𝑩 = |

→

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝟓 𝟑 = + (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) (𝟐𝒙 + 𝟏)

Paso 7: Retornar a la integral:

Método de Cramer: ∆=|

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝑨 𝑩 = + (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟔) (𝟐𝒙 + 𝟏)

Sustituir los valores determinados de A y B:

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Hacer uso del teorema de Cramer, con la finalidad de facilitar el cálculo de cada una de las variables que intervienen: {

𝟏. 𝟏)

∫

𝟏𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒙 + 𝟔)𝟓 (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑/𝟐 + 𝑪 (𝒙 + 𝟔)(𝟐𝒙 + 𝟏)

∆ 𝑨 = 𝟓𝟓

𝟐 𝟏𝟑 | = (𝟐 ∙ 𝟐𝟑) − (𝟏 ∙ 𝟏𝟑) = (𝟒𝟔) − (𝟏𝟑) 𝟏 𝟐𝟑

∆𝑩 = 𝟒𝟔 − 𝟏𝟑

→

∆ 𝑩 = 𝟑𝟑

Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: 𝑨=

∆𝑨 ∆

→

𝑨=

𝟓𝟓 =𝟓 𝟏𝟏

→ 𝑨=𝟓

𝑩=

∆𝑩 ∆

→

𝑩=

𝟑𝟑 =𝟑 𝟏𝟏

→ 𝑩=𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

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Ejemplo 4

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1:

Hallar la integral ∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: −𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝑨 𝑩 𝟏. 𝟏) = + (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟒) Paso 2: Resolver la suma de fracciones: −𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝑨(𝒙 − 𝟒) + 𝑩(𝒙 − 𝟐) = (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒)

Aplicar la propiedad distributiva:

Agrupar términos semejantes: (𝑨𝒙 + 𝑩𝒙) + (−𝟒𝑨 − 𝟐𝑩) −𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒) (𝑨 + 𝑩)𝒙 + (−𝟒𝑨 − 𝟐𝑩) −𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒)

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙 ≡→ (𝑨 + 𝑩) = −𝟐

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏𝒐)

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝟕 −𝟗 = + (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟒) 𝟏. 𝟏)

𝟏𝑨 + 𝟏𝑩 = −𝟐 { −𝟒𝑨 − 𝟐𝑩 = −𝟏𝟎

→

𝟏 ( −𝟒

−𝟐 𝟏 𝑨 )( ) = ( ) −𝟐 𝑩 −𝟏𝟎

𝟏 𝟏 | = (𝟏)(−𝟐) − (−𝟒)(𝟏) = (−𝟐) − (−𝟒) −𝟒 −𝟐

∆ = −𝟐 + 𝟒

→

∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝟕 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟒)

∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝟕 ∫ − 𝟗∫ (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟒)

Paso 8: Aplicar métodos de integración respectivo: Integral inmediata: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏) 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎 ∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟕 [ 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐)] − 𝟗 [ 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒)] (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) 𝟏 𝟏

∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝒅𝒙 = 𝟕𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐) − 𝟗𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒)

Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos): ∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐)𝟕 − 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒)𝟗 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒)

∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 (𝒙 − 𝟐)𝟕 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟒)𝟗

∆= 𝟐

−𝟐 𝟏 | = (−𝟐)(−𝟐) − (−𝟏𝟎)(𝟏) = (𝟒) − (−𝟏𝟎) ∆𝑨 = | −𝟏𝟎 −𝟐 ∆𝑨 = 𝟒 + 𝟏𝟎 ∆𝑩 = |

→

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝟕 𝟗 𝒅𝒙 = ∫ [ − ] 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟒)

Separar los integrales:

Método de Cramer: ∆=|

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝟕 𝟗 = − (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟒)

Paso 7: Retornar a la integral:

𝒙𝟎 ≡→ (−𝟒𝑨 − 𝟐𝑩) = −𝟏𝟎 (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Hacer uso del teorema de Cramer, con la finalidad de facilitar el cálculo de cada una de las variables que intervienen:

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝑨 𝑩 = + (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟒)

Sustituir los valores determinados de A y B:

∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝑨𝒙 − 𝟒𝑨 + 𝑩𝒙 − 𝟐𝑩 = (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟒)

𝟐. 𝟏)

𝟏. 𝟏)

∫

−𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 (𝒙 − 𝟐)𝟕 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 +𝑪 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 − 𝟒)𝟗

∆ 𝑨 = 𝟏𝟒

𝟏 −𝟐 | = (𝟏)(−𝟏𝟎) − (−𝟒)(−𝟐) = (−𝟏𝟎) − (𝟖) −𝟒 −𝟏𝟎

∆𝑩 = −𝟏𝟎 − 𝟖

→

∆ 𝑩 = −𝟏𝟖

Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: 𝑨=

∆𝑨 ∆

→

𝑨=

𝟏𝟒 =𝟕 𝟐

→ 𝑨=𝟕

𝑩=

∆𝑩 ∆

→

𝑩=

−𝟏𝟖 = −𝟗 𝟐

→ 𝑩 = −𝟗

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

113

Ejemplo 5

Paso 7: Determinar el valor de cada incógnita:

Hallar la integral ∫

𝟓𝒙 − 𝟗 (𝒙𝟐 −𝒙 − 𝟒𝟐)

𝒅𝒙

Paso 1: Factorizar denominador (Polinomio de 2º grado): 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒𝟐 = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕)

𝑨=

∆𝑨 ∆

→

𝑨=

𝟑𝟗 =𝟑 𝟏𝟑

→ 𝑨=𝟑

𝑩=

∆𝑩 ∆

→

𝑩=

𝟐𝟔 = 𝟐𝟔 𝟏𝟑

→ 𝑩=𝟐

Paso 8: Retornar a la expresión racional 3.1:

Paso 2: Sustituir la factorización: 𝟐. 𝟏)

(𝒙𝟐

𝟓𝒙 − 𝟗 𝟓𝒙 − 𝟗 = − 𝒙 − 𝟒𝟐) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕)

Paso 3: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟓𝒙 − 𝟗 𝑨 𝑩 𝟑. 𝟏) = + (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) (𝒙 − 𝟕)

𝟑. 𝟏)

Sustituir los valores determinados A y B: 𝟑. 𝟏)

∫

Agrupar términos semejantes: (𝑨𝒙 + 𝑩𝒙) + (−𝟕𝑨 + 𝟔𝑩) 𝟓𝒙 − 𝟗 = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕) (𝑨 + 𝑩)𝒙 + (−𝟕𝑨 + 𝟔𝑩) 𝟓𝒙 − 𝟗 = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕)

∫

𝟓𝒙 − 𝟗 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) (𝒙 − 𝟕)

∫

𝟓𝒙 − 𝟗 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ + 𝟐∫ (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) (𝒙 − 𝟕)

Paso 10: Aplicar métodos de integración respectivo: Integral inmediata: ∫

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏) 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎

∫

𝟓𝒙 − 𝟗 𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟑 [ 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟔)] + 𝟐 [ 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟕)] (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕) 𝟏 𝟏

∫

𝟓𝒙 − 𝟗 𝒅𝒙 = 𝟑𝑳𝒏(𝒙 + 𝟔) + 𝟐𝑳𝒏(𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕)

Paso 5: Igualar términos semejantes: 𝒙 ≡→ (𝑨 + 𝑩)

=𝟓

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏𝒐)

𝒙𝟎 ≡→ (−𝟕𝑨 + 𝟔𝑩) = −𝟗

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝟓𝒙 − 𝟗 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ [ + ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) (𝒙 − 𝟕)

Separar los integrales:

Aplicar la propiedad distributiva: 𝟓𝒙 − 𝟗 𝑨𝒙 − 𝟕𝑨 + 𝑩𝒙 + 𝟔𝑩 = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕)

𝟓𝒙 − 𝟗 𝟑 𝟐 = + (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) (𝒙 − 𝟕)

Paso 9: Retornar a la integral:

Paso 4: Resolver la suma de fracciones: 𝟓𝒙 − 𝟗 𝑨(𝒙 − 𝟕) + 𝑩(𝒙 + 𝟔) = (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) ∙ (𝒙 − 𝟕)

𝟓𝒙 − 𝟗 𝑨 𝑩 = + (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕) (𝒙 + 𝟔) (𝒙 − 𝟕)

Paso 6: Resolver el sistema de ecuaciones: Hacer uso del teorema de Cramer, con la finalidad de Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos): facilitar el cálculo de cada una de las variables que 𝟓𝒙 − 𝟗 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟔)𝟑 + 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟕)𝟐 intervienen: (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕) {

𝑨+𝑩 = 𝟓 −𝟕𝑨 + 𝟔𝑩 = −𝟗

→

(

𝟏 −𝟕

𝟏 𝑨 𝟓 )( ) = ( ) 𝟔 𝑩 −𝟗

∫

𝟓𝒙 − 𝟗 (𝒙 + 𝟔)𝟑 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕) (𝒙 − 𝟕)𝟐

Método de Cramer: ∆=|

𝟏 𝟏 | = (𝟔) − (−𝟕) = 𝟔 + 𝟕 −𝟕 𝟔

∆=𝟔+𝟕 𝟓 ∆𝑨 = | −𝟗

→

𝟓𝒙 − 𝟗 (𝒙 + 𝟔)𝟑 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 +𝑪 (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟕) (𝒙 − 𝟕)𝟐

∆ = 𝟏𝟑

𝟏 | = (𝟑𝟎) − (−𝟗) = 𝟑𝟎 + 𝟗 𝟔

∆𝑨 = 𝟑𝟎 + 𝟗 ∆𝑩 = |

∫

→

∆ 𝑨 = 𝟑𝟗

𝟏 𝟓 | = (−𝟗) − (−𝟑𝟓) = −𝟗 + 𝟑𝟓 −𝟕 −𝟗

∆𝑩 = −𝟗 + 𝟑𝟓

→

∆ 𝑩 = 𝟐𝟔

Fundamentos para el Cálculo Integral

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114

Ejemplo 6

Paso 7: Determinar el valor de cada incógnita:

Hallar la integral ∫

𝟐𝒙+ 𝟏 (𝟒𝒙𝟐 +𝟗𝒙+𝟐)

𝒅𝒙

Paso 1: Factorizar denominador (Polinomio de 2º grado): 𝟒𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐 = (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐)

𝑨=

∆𝑨 ∆

→

𝑨=

−𝟐 𝟐 = −𝟕 𝟕

→ 𝑨=

𝟐 𝟕

𝑩=

∆𝑩 ∆

→

𝑩=

−𝟑 𝟑 = −𝟕 𝟕

→ 𝑩=

𝟑 𝟕

Paso 8: Retornar a la expresión racional 3.1:

Paso 2: Sustituir la factorización: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐. 𝟏) = 𝟐 (𝟒𝒙 + 𝟗𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐)

Paso 3: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝑨 𝑩 𝟑. 𝟏) = + (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟐) Paso 4: Resolver la suma de fracciones: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝑨(𝒙 + 𝟐) + 𝑩(𝟒𝒙 + 𝟏) = (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐)

Aplicar la propiedad distributiva: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝑨𝒙 + 𝟐𝑨 + 𝟒𝑩𝒙 + 𝑩 = (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐)

Agrupar términos semejantes: 𝟐𝒙 + 𝟏 (𝑨𝒙 + 𝟒𝑩𝒙) + (𝟐𝑨 + 𝑩) = (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐) 𝟐𝒙 + 𝟏 (𝑨 + 𝟒𝑩)𝒙 + (𝟐𝑨 + 𝑩) = (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 + 𝟐)

𝟑. 𝟏)

Sustituir los valores determinados de A y B: 𝟑. 𝟏)

𝒙𝟏 ≡→ (𝟐𝑨 + 𝑩) = 𝟏

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒖𝒏𝒐) (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐/𝟕 𝟑/𝟕 = + (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟐)

Paso 9: Retornar a la integral: ∫

𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐/𝟕 𝟑/𝟕 𝒅𝒙 = ∫ [ + ] 𝒅𝒙 (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟐)

Separar los integrales: ∫

𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐/𝟕 𝟑/𝟕 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟐)

∫

𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = ∫ + ∫ (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) 𝟕 (𝟒𝒙 + 𝟏) 𝟕 (𝒙 + 𝟐)

Paso 10: Aplicar métodos de integración respectivo: Integral inmediata: ∫

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏) 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎

∫

𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝒅𝒙 = [ 𝑳𝒏(𝟒𝒙 + 𝟏)] + [ 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟐)] (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) 𝟕 𝟒 𝟕 𝟏

∫

𝟐𝒙 + 𝟏 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝟒𝒙 + 𝟏) + 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) 𝟏𝟒 𝟕

Paso 5: Igualar términos semejantes: 𝒙 ≡→ (𝑨 + 𝟒𝑩) = 𝟐

𝟐𝒙 + 𝟏 𝑨 𝑩 = + (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) (𝟒𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟐)

Paso 6: Resolver el sistema de ecuaciones: Hacer uso del teorema de Cramer, con la finalidad de Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos): facilitar el cálculo de cada una de las variables que 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝟒𝒙 + 𝟏) + 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟐)𝟑 intervienen: (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) 𝟏𝟒 𝟕 𝑨 + 𝟒𝑩 = 𝟐 𝟏 𝟒 𝑨 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏 { → ( )( ) = ( ) 𝟕 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 𝟏𝟒√(𝟒𝒙 + 𝟏) + 𝑳𝒏 √(𝒙 + 𝟐)𝟑 𝟐𝑨 + 𝑩 = 𝟏 𝟐 𝟏 𝑩 𝟏 (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) Método de Cramer: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟕 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 𝟏𝟒√(𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ √(𝒙 + 𝟐)𝟑 𝟏 𝟒 (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) | = (𝟏) − (𝟖) = 𝟏 − 𝟖 ∆=| 𝟐 𝟏 ∆=𝟏−𝟖 𝟐 ∆𝑨 = | 𝟏

∆ = −𝟕

𝟒 | = (𝟐) − (𝟒) = 𝟐 − 𝟒 𝟏

∆𝑨 = 𝟐 − 𝟒 ∆𝑩 = |

→

→

∫

𝟐𝒙 + 𝟏 𝟕 𝟏𝟒 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 √(𝟒𝒙 + 𝟏) √(𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)

∆ 𝑨 = −𝟐

𝟏 𝟐 | = (𝟏) − (𝟒) = 𝟏 − 𝟒 𝟐 𝟏

∆𝑩 = 𝟏 − 𝟒

→

∆ 𝑩 = −𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

115

Ejemplo 7

Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita:

Hallar la integral ∫

−𝟐𝟕𝒙 − 𝟓𝟏 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟏. 𝟏)

−𝟐𝟕𝒙 − 𝟓𝟏 𝑨 𝑩 𝑪 = + + (𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟓)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones:

𝑨(𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎) + 𝑩(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓) + 𝑪(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 + 𝟓)

Aplicar la propiedad distributiva y agrupar: (𝑨 + 𝑩 + 𝑪)𝒙𝟐 + (𝟑𝑨 + 𝟔𝑩 − 𝑪)𝒙 + (−𝟏𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 − 𝟐𝑪) (𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 + 𝟓)

𝑩=

∆𝑩 ∆

→

𝑩=

𝑪=

∆𝑪 ∆

→

𝑪=

→

𝑨=

𝟏𝟔𝟖 𝟖𝟒

→

𝑨=𝟐

−𝟒𝟐𝟎 𝟖𝟒

→

𝑩 = −𝟓

𝟐𝟓𝟐 𝟖𝟒

→

𝑪=𝟑

𝟏. 𝟏)

−𝟐𝟕𝒙 − 𝟓𝟏 𝑨 𝑩 𝑪 = + + (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟓)

Sustituir los valores determinados A; B y C: 𝟏. 𝟏)

−𝟐𝟕𝒙 − 𝟓𝟏 𝟐 −𝟓 𝟑 = + + (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟓)

𝟏. 𝟏)

−𝟐𝟕𝒙 − 𝟓𝟏 𝟐 𝟓 𝟑 = − + (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟓)

Paso 7: Retornar a la integral:

Paso 3: Igualar términos semejantes:

𝒙 ≡→ 𝟑𝑨 + 𝟔𝑩 − 𝑪 = −𝟐𝟕

∆𝑨 ∆

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1:

𝑨(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓) + 𝑩(𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟓) + 𝑪(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 + 𝟓)

𝒙𝟐 ≡→ 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎

𝑨=

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟐°) (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟏°)

∫

−𝟐𝟕𝒙 − 𝟓𝟏 𝟐 𝟓 𝟑 𝒅𝒙 = ∫ [ − + ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟓)

Separar los integrales:

𝟎

𝒙 ≡→ −𝟏𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 − 𝟐𝑪 = −𝟓𝟏 (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅. ) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

𝟐

𝟓

𝒅𝒙 − ∫

𝒅𝒙 + ∫

𝟑

(𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟓) Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Hacer uso del teorema de Cramer, con la finalidad de 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ − 𝟓∫ + 𝟑∫ (𝒙 − 𝟐) facilitar el cálculo de cada una de las variables que (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟓) intervienen: Paso 8: Aplicar métodos de integración respectivo: {

𝑨+𝑩+𝑪 = 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝑨 𝟎 𝟑𝑨 + 𝟔𝑩 − 𝑪 = −𝟐𝟕 → ( 𝟑 𝟔 −𝟏) (𝑩) = (−𝟐𝟕) −𝟏𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 − 𝟐𝑪 = −𝟓𝟏 −𝟏𝟎 𝟓 −𝟐 𝑪 −𝟓𝟏

Método de Cramer: 𝟏 ∆=| 𝟑 −𝟏𝟎

𝟏 𝟔 𝟓

𝟏 −𝟏| = (−𝟏𝟐 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟓) − (−𝟔𝟎 − 𝟔 − 𝟓) −𝟐

∆ = (𝟏𝟑) − (−𝟕𝟏) 𝟎 ∆𝑨 = |−𝟐𝟕 −𝟓𝟏

→ ∆ = 𝟏𝟑 + 𝟕𝟏

→

∆ = 𝟖𝟒

𝟏 𝟏 𝟔 −𝟏| = (𝟎 + 𝟓𝟏 − 𝟏𝟑𝟓) − (−𝟑𝟎𝟔 + 𝟓𝟒 − 𝟎) 𝟓 −𝟐

∆𝑨 = (−𝟖𝟒) − (−𝟐𝟓𝟐) → ∆𝑨 = −𝟖𝟒 + 𝟐𝟓𝟐 → ∆ 𝑨 = 𝟏𝟔𝟖 ∆𝑩 = |

𝟏 𝟑 −𝟏𝟎

𝟎 −𝟐𝟕 −𝟓𝟏

𝟏 −𝟏| = (𝟓𝟒 + 𝟎 − 𝟏𝟓𝟑) − (𝟐𝟕𝟎 + 𝟎 + 𝟓𝟏) −𝟐

∆𝑩 = (−𝟗𝟗) − (𝟑𝟐𝟏) 𝟏 ∆𝑪 = | 𝟑 −𝟏𝟎

→ ∆𝑩 = −𝟗𝟗 − 𝟑𝟐𝟏 → ∆ 𝑩 = −𝟒𝟐𝟎

𝟏 𝟎 𝟔 −𝟐𝟕| = (−𝟑𝟎𝟔 + 𝟐𝟕𝟎 + 𝟎) − (𝟎 − 𝟏𝟓𝟑 − 𝟏𝟑𝟓) 𝟓 −𝟓𝟏

∆𝑪 = (−𝟑𝟔) − (−𝟐𝟖𝟖) → ∆𝑪 = −𝟑𝟔 + 𝟐𝟖𝟖 → ∆ 𝑪 = 𝟐𝟓𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒅𝒙

Integral inmediata: ∫

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏) 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐[ 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟏)] − 𝟓[ 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐)] + 𝟑[ 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)]

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟏) − 𝟓 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐) + 𝟑 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)

Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos): ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐)𝟓 + 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ∫

(𝒙 + 𝟏)𝟐 (𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟓

−𝟐𝟕𝒙 − 𝟓𝟏 (𝒙 + 𝟏)𝟐 (𝒙 + 𝟓)𝟑 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒙 − 𝟐)𝟓 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓)

∫

−𝟐𝟕𝒙 − 𝟓𝟏 (𝒙 + 𝟏)𝟐 (𝒙 + 𝟓)𝟑 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 +𝑪 (𝒙 − 𝟐)𝟓 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓)

José E. Ornelas G.

116

Ejemplo 8 Hallar la integral ∫

𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏 (𝟔𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐)(𝒙 +𝟏)

𝟑 ∆𝑪 = | 𝟏 −𝟐

𝒅𝒙

Paso 7: Determinar el valor de cada incógnita:

𝟐

𝟔𝒙 − 𝒙 – 𝟐 = (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟐)

𝑨=

∆𝑨 ∆

→

𝑨=

𝟐𝟏𝟎 𝟑𝟓

→

𝑨=𝟔

𝑩=

∆𝑩 ∆

→

𝑩=

𝟏𝟕𝟓 𝟑𝟓

→

𝑩=𝟓

𝑪=

∆𝑪 ∆

→

𝑪=

−𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟓

→

𝑪 = −𝟒

Paso 2: Sustituir en la fracción: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏 𝟐. 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏)

Paso 3: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏 𝑨 𝑩 𝑪 = + + (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏)

𝑨(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) + 𝑩(𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) + 𝑪(𝟐𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟐) (𝟑𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) 𝟐

Paso 8: Retornar a la expresión racional 3.1: 𝟑. 𝟏)

Paso 4: Resolver la suma de fracciones:

𝟐

𝟒 𝟐𝟓| = (𝟗 − 𝟏𝟎𝟎 + 𝟒) − (−𝟐𝟒 + 𝟐 + 𝟕𝟓) 𝟏

∆𝑪 = (−𝟖𝟕) − (𝟓𝟑) → ∆𝑪 = −𝟖𝟕 − 𝟓𝟑 → ∆ 𝑪 = −𝟏𝟒𝟎

Paso 1: Factorizar denominador (Polinomio de 2º grado):

𝟑. 𝟏)

𝟐 𝟑 𝟏

𝟐

𝑨(𝟑𝒙 + 𝒙 − 𝟐) + 𝑩(𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟏) + 𝑪(𝟔𝒙 − 𝒙 − 𝟐) (𝟑𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏)

𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏 𝑨 𝑩 𝑪 = + + (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏)

Sustituir los valores determinados A; B y C: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏 𝟔 𝟓 𝟒 = + − (𝟐𝒙 + 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏)

Paso 9: Retornar a la integral:

Aplicar la propiedad distributiva y agrupar: 𝟐

(𝟑𝑨 + 𝟐𝑩 + 𝟔𝑪)𝒙 + (𝑨 + 𝟑𝑩 − 𝑪)𝒙 + (−𝟐𝑨 + 𝑩 − 𝟐𝑪) (𝟑𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏)

Paso 5: Igualar términos semejantes: 𝟐

𝒙 ≡→ 𝟑𝑨 + 𝟐𝑩 + 𝟔𝑪 = 𝟒 𝒙 ≡→ 𝑨 + 𝟑𝑩 − 𝑪 = 𝟐𝟓

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [

Separar los integrales: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟐°) (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟏°)

𝟔 𝟓 𝟒 + − ] 𝒅𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏)

𝟔 𝟓 𝟒 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔 ∫

𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓∫ − 𝟒∫ (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟑𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟏)

𝒙𝟎 ≡→ −𝟐𝑨 + 𝑩 − 𝟐𝑪 = 𝟏 (𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅. )

Paso 10: Aplicar métodos de integración respectivo: Paso 6: Resolver el sistema de ecuaciones: Integral inmediata: Hacer uso del teorema de Cramer, con la finalidad de 𝟏 𝟏 facilitar el cálculo de cada una de las variables que ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏) 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎 intervienen: 𝟑𝑨 + 𝟐𝑩 + 𝟔𝑪 = 𝟒 𝟑 { 𝑨 + 𝟑𝑩 − 𝑪 = 𝟐𝟓 → ( 𝟏 −𝟐𝑨 + 𝑩 − 𝟐𝑪 = 𝟏 −𝟐

𝟐 𝟑 𝟏

𝟔 𝑨 𝟒 −𝟏) (𝑩) = (𝟐𝟓) −𝟐 𝑪 𝟏

Método de Cramer: 𝟑 ∆=| 𝟏 −𝟐

𝟐 𝟑 𝟏

𝟔 −𝟏| = (−𝟏𝟖 + 𝟒 + 𝟔) − (−𝟑𝟔 − 𝟒 − 𝟑) −𝟐

∆ = (−𝟖) − (−𝟒𝟑) 𝟒 ∆𝑨 = |𝟐𝟓 𝟏

→ ∆ = −𝟖 + 𝟒𝟑

𝟒 𝟐𝟓 𝟏

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟑𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏) +

→ ∆ 𝑨 = 𝟐𝟏𝟎

𝟔 −𝟏| = (−𝟏𝟓𝟎 + 𝟖 + 𝟔) − (−𝟑𝟎𝟎 − 𝟖 − 𝟑) −𝟐

𝟓 𝑳𝒏(𝟑𝒙 − 𝟐) − 𝟒 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓) 𝟑

Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos): ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 +

∆ = 𝟑𝟓

𝟐 𝟔 𝟑 −𝟏| = (−𝟐𝟒 − 𝟐 + 𝟏𝟓𝟎) − (𝟏𝟖 − 𝟏𝟎𝟎 − 𝟒) 𝟏 −𝟐

∆𝑨 = (𝟏𝟐𝟒) − (−𝟖𝟔) → ∆𝑨 = 𝟏𝟐𝟒 + 𝟖𝟔 𝟑 ∆𝑩 = | 𝟏 −𝟐

→

𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟔 [ 𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏)] + 𝟓 [ 𝑳𝒏(𝟑𝒙 − 𝟐)] − 𝟒[ 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)] 𝟐 𝟑

𝟏 𝑳𝒏(𝟑𝒙 − 𝟐)𝟓 − 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)𝟒 𝟑 𝟑

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 + 𝑳𝒏 √(𝟑𝒙 − 𝟐)𝟓 − 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)𝟒 𝟑

∫

𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏 (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 √(𝟑𝒙 − 𝟐)𝟓 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒙 + 𝟓)𝟒 (𝟑𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) 𝟑

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏

(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 √(𝟑𝒙 − 𝟐)𝟓 +𝑪 (𝒙 + 𝟓)𝟒

∆𝑩 = (−𝟏𝟑𝟔) − (−𝟑𝟏𝟏) → ∆𝑩 = −𝟏𝟑𝟔 + 𝟑𝟏𝟏 → ∆ 𝑩 = 𝟏𝟕𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

117

Ejemplo 9 Hallar la integral ∫

𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝟏𝒙 + 𝟒𝟒 (𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 − 𝟖𝟎)

∆𝑪 = |

𝒅𝒙

Paso 1: Factorizar denominador (Polinomio de 3º grado):

𝟏 𝟏 −𝟐𝟎

𝟏 𝟏𝟑 𝟗 𝟖𝟏| 𝟐𝟎 𝟒𝟒

∆𝑪 == (𝟑𝟗𝟔 − 𝟏𝟔𝟐𝟎 + 𝟐𝟔𝟎) − (−𝟐𝟑𝟒𝟎 + 𝟒𝟒 + 𝟏𝟔𝟐𝟎)

∆𝑪 = (−𝟗𝟔𝟒) − (−𝟔𝟕𝟔)

→

∆ 𝑪 = −𝟐𝟖𝟖

Paso 6: Determinar el valor de cada incógnita:

𝟑

𝟐

𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟔𝒙 – 𝟖𝟎 = (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓)

Paso 2: Sustituir en la fracción: 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝟏𝒙 + 𝟖𝟎 𝟐. 𝟏) (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓)

∆𝑨 ∆

→

𝑨=

𝟔𝟒𝟖 𝟕𝟐

→

𝑨=𝟗

𝑩=

∆𝑩 ∆

→

𝑩=

𝟓𝟕𝟔 𝟕𝟐

→

𝑩=𝟖

𝑪=

∆𝑪 ∆

→

𝑪=

−𝟐𝟖𝟖 𝟕𝟐

→

𝑪 = −𝟒

Paso 7: Retornar a la expresión racional 3.1: 𝟑. 𝟏)

Paso 3: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟑. 𝟏)

𝑨=

𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝟏𝒙 − 𝟒𝟒 𝑨 𝑩 𝑪 = + + (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟓)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones:

𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝟏𝒙 + 𝟒𝟒 𝑨 𝑩 𝑪 = + + (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟓)

Sustituir los valores determinados de A; B y C: 𝟑. 𝟏)

𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝟏𝒙 + 𝟒𝟒 𝟗 𝟖 𝟒 = + − (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟓)

Paso 8: Retornar a la integral:

𝑨(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓) + 𝑩(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟓) + 𝑪(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓) 𝑨(𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝟎) + 𝑩(𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝟎) + 𝑪(𝒙𝟐 − 𝟏𝟔) (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓)

Aplicar la propiedad distributiva y agrupar: (𝑨 + 𝑩 + 𝑪) 𝒙𝟐 + (𝑨 + 𝟗𝑩) 𝒙 + (−𝟐𝟎𝑨 + 𝟐𝟎𝑩 − 𝟏𝟔𝑪) (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [

𝟗 𝟖 𝟒 + − ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟓)

Separar los integrales: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

𝟗 𝟖 𝟒 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟓)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟗 ∫

Paso 4: Igualar términos semejantes:

𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟖∫ −𝟒∫ (𝒙 + 𝟒) (𝒙 − 𝟒) (𝒙 + 𝟓)

𝒙𝟐 ≡→ 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟏𝟑

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟐°)

Paso 9: Aplicar métodos de integración respectivo:

𝒙 ≡→ 𝑨 + 𝟗𝑩

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟏°)

Integral inmediata:

𝒙𝟎

= 𝟖𝟏

≡→ −𝟐𝟎𝑨 + 𝟐𝟎𝑩 − 𝟏𝟔𝑪 = 𝟒𝟒

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅. )

Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones: Aplicar teorema de Cramer, con la finalidad de facilitar el cálculo de cada una de las variables que intervienen: 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟏𝟑 𝟏 𝟏 { → ( 𝟏 𝟗 𝑨 + 𝟗𝑩 = 𝟖𝟏 −𝟐𝟎𝑨 + 𝟐𝟎𝑩 − 𝟏𝟔𝑪 = 𝟒𝟒 −𝟐𝟎 𝟐𝟎

𝟏 𝑨 𝟏𝟑 𝟎) (𝑩) = (𝟖𝟏) −𝟏𝟔 𝑪 𝟒𝟒

𝟏 𝟏 𝟏 ∆=| 𝟏 𝟗 𝟎| = (−𝟏𝟒𝟒 + 𝟐𝟎) − (−𝟏𝟖𝟎 − 𝟏𝟔) −𝟐𝟎 𝟐𝟎 −𝟏𝟔 𝟏𝟑 𝟏 ∆𝑨 = |𝟖𝟏 𝟗 𝟒𝟒 𝟐𝟎 𝟏 𝟏𝟑 ∆𝑩 = | 𝟏 𝟖𝟏 −𝟐𝟎 𝟒𝟒

→

Propiedades de logaritmos (Antilogaritmos):

→

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏

(𝒙 + 𝟒)𝟗 (𝒙 − 𝟒)𝟖 (𝒙 + 𝟓)𝟒

∆ = 𝟕𝟐

𝟏 𝟎| = (−𝟏𝟖𝟕𝟐 + 𝟏𝟔𝟐𝟎) − (𝟑𝟗𝟔 − 𝟏𝟐𝟗𝟔) −𝟏𝟔

∆𝑨 = (−𝟐𝟓𝟐) − (−𝟗𝟎𝟎)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟗 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟒) + 𝟖 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒) − 𝟒 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟒)𝟗 + 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒)𝟖 − 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)𝟒

Método de Cramer:

∆ = (−𝟏𝟐𝟒) − (−𝟏𝟗𝟔)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟗[ 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟒)] + 𝟖[ 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟒)] − 𝟒[ 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟓)]

∫

𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝟏𝒙 + 𝟒𝟒 (𝒙 + 𝟒)𝟗 (𝒙 − 𝟒)𝟖 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 +𝑪 (𝒙 + 𝟓)𝟒 (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓)

∆ 𝑨 = 𝟔𝟒𝟖

𝟏 𝟎| = (−𝟏𝟐𝟗𝟔 + 𝟒𝟒) − (−𝟏𝟔𝟐𝟎 − 𝟐𝟎𝟖) −𝟏𝟔

∆𝑩 = (−𝟏𝟐𝟓𝟐) − (−𝟏𝟖𝟐𝟖) →

∆ 𝑩 = 𝟓𝟕𝟔

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

118

II CASO: Factores lineales iguales. A cada binomio de la forma (𝒎𝒙 + 𝒏)𝑬 , le corresponde la fracción de la forma: 𝑨 (𝒎𝒙 + 𝒏)𝑬

+ (𝒎𝒙

𝑩 + 𝒏)𝑬−𝟏

𝑪

+ ⋯ + (𝒎𝒙

+ 𝒏)

Siendo “A, B y C” constantes.

III. 3.2.1- EJERCICIOS DE INTEGRALES POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES: Ejemplo 1

𝟔. 𝟏) ∫

Hallar la integral ∫

𝟓𝒙 + 𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐

𝒅𝒙

𝟓𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = −𝟏𝟖 ∫ +𝟓∫ 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒)

Paso 7: Aplicar el método de integración respectivo:

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟓𝒙 + 𝟐 𝑨 𝑩 𝟏. 𝟏) = + (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)

Método del cambio de variable:

Paso 2: Resolver la suma de fracciones:

a) Cambio de variable:

b) Derivar cambio de variable:

(𝒙 + 𝟒) = 𝒗

(𝒙 + 𝟒)′ = 𝒗′ → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝟓𝒙 + 𝟐 𝑨 + 𝑩(𝒙 + 𝟒) = (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐

Aplicar la propiedad distributiva y agrupar: 𝟓𝒙 + 𝟐 𝑩𝒙 + (𝑨 + 𝟒𝑩) = (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐

𝟐. 𝟏)

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙 ≡→ 𝑩 = 𝟓 𝒙𝟎

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟏°)

≡→ 𝑨 + 𝟒𝑩 = 𝟐

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅. )

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Método de la sustitución: 𝒙 ≡→

𝑩=𝟓

→

𝑩=𝟓

𝟔. 𝟏. 𝟏) ∫

c) Reemplazar cambio de variable en 6.1.1: ∫

𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒗 = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 (𝒙 + 𝟒)𝟐 𝒗

d) Aplicar la integral inmediata: ∫

𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 𝟏 = 𝒗 =− (𝒙 + 𝟒)𝟐 −𝟏 𝒗

e) Retornar cambio de variable: 𝟔. 𝟏. 𝟏) ∫

𝒅𝒙 𝟏 =− 𝟐 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒)

𝟔. 𝟏. 𝟐) ∫

𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟒)

𝒙𝟎 ≡→ 𝑨 + 𝟒𝑩 = 𝟐 𝑨 + 𝟒(𝟓) = 𝟐 → 𝑨 + 𝟐𝟎 = 𝟐 → 𝑨 = 𝟐 − 𝟐𝟎 𝑨 = −𝟏𝟖

Aplicar integral inmediata: ∫

Paso 5: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝟓𝒙 + 𝟐 𝑨 𝑩 𝟏. 𝟏) = + (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)

Sustituir los valores determinados de A y B: 𝟓𝒙 + 𝟐 −𝟏𝟖 𝟓 𝟏. 𝟏) = + (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒) 𝟏. 𝟏)

𝟓𝒙 + 𝟐 𝟏𝟖 𝟓 =− + (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)

Paso 6: Retornar a la integral: ∫

𝟓𝒙 + 𝟐 𝟏𝟖 𝟓 𝒅𝒙 = ∫ [ − + ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒)𝟐

Separar los integrales: ∫

𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟒)𝟐

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒎𝒙 + 𝒏) 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒎

𝟔. 𝟏. 𝟐) ∫

𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒)

Paso 8: Retornar a la integral 6.1 y sustituir 6.1.1 y 6.1.2: 𝟔. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −𝟏𝟖 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −𝟏𝟖 (− ∫

𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒)

𝟏 ) + 𝟓(𝑳𝒏(𝒙 + 𝟒)) (𝒙 + 𝟒)

𝟓𝒙 + 𝟐 𝟏𝟖 𝒅𝒙 = + 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟒)𝟓 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)

∫

𝟓𝒙 + 𝟐 𝟏𝟖 𝒅𝒙 = + 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟒)𝟓 + 𝑪 𝟐 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒)

𝟓𝒙 + 𝟐 𝟏𝟖 𝟓 𝒅𝒙 = ∫ − 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

119

Ejemplo 2

Paso 7: Aplicar el método de integración respectivo:

Hallar la integral ∫

𝟐𝒙− 𝟔 (𝒙 − 𝟐)𝟑

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟐𝒙 − 𝟔 𝑨 𝑩 𝑪 𝟏. 𝟏) = + + 𝟑 𝟑 𝟐 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) 𝟐𝒙 − 𝟔 𝑨 + 𝑩(𝒙 − 𝟐) + 𝑪(𝒙 − 𝟐)𝟐 = 𝟑 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐)𝟑

Resolver el producto notable: 𝟐

𝟐𝒙 − 𝟔 𝑨 + 𝑩(𝒙 − 𝟐) + 𝑪(𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟒) = (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑

Aplicar la propiedad distributiva y agrupar: 𝟐

𝟐𝒙 − 𝟔 𝑪𝒙 + (𝑩 − 𝟒𝑪)𝒙 + (𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝟒𝑪) = (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙𝟐 ≡→ 𝑪 = 𝟎

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟐°)

𝒙 ≡→ 𝑩 − 𝟒𝑪 = 𝟐

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟏°)

𝒙𝟎 ≡→ 𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝟒𝑪 = −𝟔

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅. )

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Método de la sustitución: 𝒙𝟐 ≡→ 𝑪 = 𝟎 → 𝑪 = 𝟎 𝒙 ≡→

𝑩 − 𝟒𝑪 = 𝟐

𝑩 − 𝟒(𝟎) = 𝟐

→

𝑩−𝟎 = 𝟐

→

𝑩=𝟐

𝑩=𝟐 𝒙𝟎 ≡→ 𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝟒𝑪 = −𝟔 𝑨 − 𝟐(𝟐) + 𝟒(𝟎) = −𝟔

→

𝑨 − 𝟒 + 𝟎 = −𝟔

𝑨 = −𝟔 + 𝟒 → 𝑨 = −𝟐

Paso 5: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝟐𝒙 − 𝟔 𝑨 𝑩 𝑪 𝟏. 𝟏) = + + 𝟑 𝟑 𝟐 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) Sustituir los valores determinados A, B y C: 𝟐𝒙 − 𝟔 −𝟐 𝟐 𝟎 𝟏. 𝟏) = + + 𝟑 𝟑 𝟐 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) 𝟐𝒙 − 𝟔 𝟐 𝟐 𝟏. 𝟏) =− + (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐 Paso 6: Retornar a la integral: 𝟐𝒙 − 𝟔 𝟐 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ [ − + ] 𝒅𝒙 𝟑 𝟑 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐)𝟐 Separar los integrales: 𝟐𝒙 − 𝟔 𝟐 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ − 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 𝟑 𝟑 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐)𝟐 𝟔. 𝟏) ∫

a) Cambio de variable:

b) Derivar cambio de variable: (𝒙 − 𝟐)′ = 𝒗′ → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

(𝒙 − 𝟐) = 𝒗

c) Reemplazar cambio de variable en 6.1.1: 𝒅𝒙 𝟏 ∫ = ∫ 𝟑 𝒅𝒗 = ∫ 𝒗−𝟑 𝒅𝒗 𝟑 (𝒙 − 𝟐) 𝒗

Paso 2: Resolver la suma de fracciones:

𝟐. 𝟏)

Método del cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟏) ∫ (𝒙 − 𝟐)𝟑

d) Aplicar la integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 ∫ = − 𝒗−𝟐 = − 𝟐 𝟑 (𝒙 − 𝟐) 𝟐 𝟐𝒗 e) Retornar cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 𝟔. 𝟏. 𝟏) ∫ =− 𝟑 (𝒙 − 𝟐) 𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟐) ∫ (𝒙 − 𝟐)𝟐 a) Reemplazar cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 ∫ = ∫ 𝟐 𝒅𝒗 = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 𝟐 (𝒙 − 𝟐) 𝒗 b) Aplicar integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 𝟏 ∫ = 𝒗 =− 𝟐 (𝒙 − 𝟐) −𝟏 𝒗 c) Retornar cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 𝟔. 𝟏. 𝟐) ∫ =− 𝟐 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) Paso 8: Retornar a la integral 6.1 y sustituir 6.1.1 y 6.1.2: 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −𝟐 ∫ +𝟐∫ (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐 𝟐𝒙 − 𝟔 𝟏 𝟏 ∫ 𝟑 𝒅𝒙 = −𝟐 [− 𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐 ] + 𝟐 [− (𝒙 − 𝟐)] (𝒙 − 𝟐) ∫ ∫ ∫

𝟐𝒙 − 𝟔

𝟑 𝒅𝒙

=

𝟏 𝟐 − 𝟐 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐)

𝟑 𝒅𝒙

=

𝟏 − 𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝟏 − 𝟐𝒙 + 𝟒 = (𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐)𝟐

𝟑 𝒅𝒙

=

−𝟐𝒙 + 𝟓 (𝒙 − 𝟐)𝟐

(𝒙 − 𝟐) 𝟐𝒙 − 𝟔 (𝒙 − 𝟐) 𝟐𝒙 − 𝟔 (𝒙 − 𝟐)

∫

𝟐𝒙 − 𝟔 −𝟐𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙 = +𝑪 (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐

𝟐𝒙 − 𝟔 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 = −𝟐 ∫ + 𝟐∫ (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

120

Ejemplo 3 Hallar la integral ∫

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 𝑨 𝑩 𝑪 𝟏. 𝟏) = + + (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐) Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 𝑨 + 𝑩(𝒙 − 𝟐) + 𝑪(𝒙 − 𝟐)𝟐 = (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑

Resolver el producto notable: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 𝑨 + 𝑩(𝒙 − 𝟐) + 𝑪(𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒) = (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑

Aplicar la propiedad distributiva y agrupar: 𝟐. 𝟏)

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 𝑪𝒙𝟐 + (𝑩 − 𝟒𝑪)𝒙 + (𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝟒𝑪) = (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙𝟐 ≡→ 𝑪 = 𝟏

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟐°)

𝒙 ≡→ 𝑩 − 𝟒𝑪 = 𝟒

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟏°)

𝒙𝟎 ≡→ 𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝟒𝑪 = −𝟑

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅. )

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Método de la sustitución: 𝒙𝟐 ≡→ 𝑪 = 𝟏 𝒙 ≡→

𝑩 − 𝟒𝑪 = 𝟒

𝑩 − 𝟒(𝟏) = 𝟒

→

𝑩=𝟒+𝟒

→

𝑩−𝟒 =𝟒 𝑩=𝟖

𝟎

𝒙 ≡→ 𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝟒𝑪 = −𝟑 𝑨 − 𝟐(𝟖) + 𝟒(𝟏) = −𝟑 → 𝑨 − 𝟏𝟔 + 𝟒 = −𝟑 𝑨 = −𝟑 + 𝟏𝟐

→

𝑨=𝟗

Paso 5: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 𝑨 𝑩 𝑪 𝟏. 𝟏) = + + (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐) Sustituir los valores determinados A, B y C: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 𝟗 𝟖 𝟏 𝟏. 𝟏) = + + (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐) Paso 6: Retornar a la integral: 𝟗 𝟖 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [ + + ] 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) Separar los integrales: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

𝟗 𝒅𝒙 𝟖 𝒅𝒙 𝒅𝒙 +∫ +∫ (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟗 ∫

𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟖∫ +∫ (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐)

Fundamentos para el Cálculo Integral

Paso 7: Aplicar el método de integración respectivo: Método del cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟏) ∫ (𝒙 − 𝟐)𝟑 a) Cambio de variable:

b) Derivar cambio de variable: (𝒙 − 𝟐)′ = 𝒗′ → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

(𝒙 − 𝟐) = 𝒗

c) Reemplazar cambio de variable en 6.1.1: 𝒅𝒙 𝟏 ∫ = ∫ 𝟑 𝒅𝒗 = ∫ 𝒗−𝟑 𝒅𝒗 (𝒙 − 𝟐)𝟑 𝒗 d) Aplicar la integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 ∫ = − 𝒗−𝟐 = − 𝟐 (𝒙 − 𝟐)𝟑 𝟐 𝟐𝒗 e) Retornar cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 𝟔. 𝟏. 𝟏) ∫ =− (𝒙 − 𝟐)𝟑 𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟐) ∫ (𝒙 − 𝟐)𝟐 a) Sustituir cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 ∫ = ∫ 𝟐 𝒅𝒗 = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 𝟐 (𝒙 − 𝟐) 𝒗 b) Aplicar integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟏 ∫ = −𝒗−𝟏 = − 𝟐 (𝒙 − 𝟐) 𝒗 c) Retornar cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 𝟔. 𝟏. 𝟐) ∫ =− 𝟐 (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟑) ∫ (𝒙 − 𝟐) Aplicar la integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟑) ∫ = 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) Paso 8: Retornar a 6.1 y sustituir 6.1.1; 6.1.2 y 6.1.3: 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟗 ∫ + 𝟖∫ +∫ (𝒙 − 𝟐)𝟑 (𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟗 (−

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

𝟏 𝟏 ) + 𝟖 (− ) + (𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐)) 𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐)

𝟗 𝟖 − + 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟐)

−𝟗 − 𝟏𝟔(𝒙 − 𝟐) + 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 −𝟗 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟑𝟐 𝒅𝒙 = + 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐)𝟑 𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐 ∫

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 −𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟑 𝒅𝒙 = + 𝑳𝒏(𝒙 − 𝟐) + 𝑪 𝟑 (𝒙 − 𝟐) 𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐

José E. Ornelas G.

121

Ejemplo 4 Hallar la integral ∫

𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐 (𝟑𝒙+𝟓)𝟑

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟏. 𝟏)

𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐 𝑨 𝑩 𝑪 = + + (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟓)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐 𝑨 + 𝑩(𝟑𝒙 + 𝟓) + 𝑪(𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 = (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑

Resolver el producto notable: 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐 𝑨 + 𝑩(𝟑𝒙 + 𝟓) + 𝑪(𝟗𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟓) = (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑

Aplicar la propiedad distributiva y agrupar: 𝟐. 𝟏)

𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐 𝟗𝑪𝒙𝟐 + (𝟑𝑩 + 𝟑𝟎𝑪)𝒙 + (𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝟐𝟓𝑪) = (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙𝟐 ≡→

𝟗𝑪 = 𝟗

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟐°)

𝒙 ≡→

𝟑𝑩 + 𝟑𝟎𝑪 = 𝟏𝟐

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟏°)

𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝟐𝟓𝑪 = 𝟐

(𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅. )

𝒙𝟎 ≡→

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Método de la sustitución:

c) Reemplazar cambio de variable en 6.1.1: 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ = ∫ 𝟑 ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒗−𝟑 𝒅𝒗 𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒗 𝟑 𝟑 d) Aplicar la integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ = (− 𝒗−𝟐 ) = − 𝟐 𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟑 𝟐 𝟔𝒗 e) Retornar cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 𝟔. 𝟏. 𝟏) ∫ =− 𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟔(𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟐) ∫ (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 a) Reemplazar cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ = ∫ 𝟐 ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒗 𝟑 𝟑 b) Aplicar integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 ∫ = (−𝒗−𝟏 ) = − 𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟑 𝟑𝒗 c) Retornar cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟏 𝟔. 𝟏. 𝟐) ∫ =− 𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟑(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟑) ∫ (𝟑𝒙 + 𝟓)

𝟑𝑩 + 𝟑𝟎(𝟏) = 𝟏𝟐 → 𝟑𝑩 + 𝟑𝟎 = 𝟏𝟐 → 𝟑𝑩 = 𝟏𝟐 − 𝟑𝟎

Aplicar la integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟏 𝟔. 𝟏. 𝟑) ∫ = 𝑳𝒏(𝟑𝒙 + 𝟓) (𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟑

𝟑𝑩 = −𝟏𝟖

Paso 8: Retornar a 6.1 y sustituir 6.1.1; 6.1.2 y 6.1.3:

𝒙𝟐 ≡→ 𝟗𝑪 = 𝟗

→

𝑪=𝟏

𝟏

𝒙 ≡→ 𝟑𝑩 + 𝟑𝟎𝑪 = 𝟏𝟐 →

𝑩 = −𝟔

𝟎

𝒙 ≡→ 𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝟐𝟓𝑪 = 𝟐 𝑨 + 𝟓(−𝟔) + 𝟐𝟓(𝟏) = 𝟐 𝑨−𝟓 = 𝟐

→

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟕 ∫

→ 𝑨 − 𝟑𝟎 + 𝟐𝟓 = 𝟐

𝑨=𝟐+𝟓

→

𝑨=𝟕

Paso 5: Retornar a la expresión racional 1.1: Sustituir los valores determinados A, B y C: 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 𝟕 𝟔 𝟏 𝟏. 𝟏) = − + (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟓) Paso 6: Retornar a la integral: 𝟕 𝟔 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [ − + ] 𝒅𝒙 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟓)

𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 −𝟔∫ +∫ (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟓)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟕 (−

𝟏 𝟏 𝟏 ) − 𝟔 (− ) + 𝑳𝒏(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟔(𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 𝟑(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟑

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟕 𝟐 𝟏 + + 𝑳𝒏(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟐 𝟔(𝟑𝒙 + 𝟓) (𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟑

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

−𝟕 + 𝟏𝟐(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟏 + 𝑳𝒏(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟔(𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 𝟑

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

−𝟕 + 𝟑𝟔𝒙 + 𝟔𝟎 𝟏 + 𝑳𝒏(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝟔(𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 𝟑

Separar los integrales: 𝟔. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟕 ∫

𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 − 𝟔∫ +∫ (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟓)

∫

𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 𝟑𝟔𝒙 + 𝟓𝟑 𝟏 𝒅𝒙 = + 𝑳𝒏(𝟑𝒙 + 𝟓) + 𝑪 (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 𝟔(𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 𝟑

Paso 7: Aplicar el método de integración respectivo: Método del cambio de variable: 𝒅𝒙 𝟔. 𝟏. 𝟏) ∫ (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟑 a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: (𝟑𝒙 + 𝟓)′ = 𝒗′ → 𝟑𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 (𝟑𝒙 + 𝟓) = 𝒗 𝟏

𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

122

III CASO: Factores cuadráticos distintos. A cada factor de la forma (𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝒌), le corresponde la fracción de la forma: 𝑨𝒙 + 𝑩 𝒎𝒙𝟐 +𝒏𝒙+𝒌

siendo “A y B” constantes.

III. 3.3.1- EJERCICIOS DE INTEGRALES POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES: Ejemplo 1 Hallar la integral ∫

𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟏𝟗 (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟐

𝟏. 𝟏)

𝟔𝒙 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟏𝟗 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪 = + (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏) (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟏)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝒇(𝒙) =

(𝑨𝒙 + 𝑩)(𝒙 + 𝟏) + 𝑪(𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)

𝒇(𝒙) =

𝑨𝒙𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒙 + 𝑩 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝟑𝑪𝒙 + 𝟒𝑪 (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)

𝒇(𝒙) =

(𝑨 + 𝑪)𝒙𝟐 + (𝑨 + 𝑩 + 𝟑𝑪)𝒙 + (𝑩 + 𝟒𝑪) (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙𝟐 ≡→ 𝑨 + 𝑪 = 𝟔 𝒙𝟏 ≡→ 𝑨 + 𝑩 + 𝟑𝑪 = 𝟏𝟕 → 𝒙𝟎 ≡→ 𝑩 + 𝟒𝑪 = 𝟏𝟗

𝟏 (𝟏 𝟎

𝟎 𝟏 𝑨 𝟔 𝟏 𝟑) (𝑩) = (𝟏𝟕) 𝟏 𝟒 𝑪 𝟏𝟗

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: Método de Cramer: 𝟏 𝟎 𝟏 ∆ = | 𝟏 𝟏 𝟑 | = (𝟒 + 𝟎 + 𝟏) − (𝟎 + 𝟎 + 𝟑) 𝟎 𝟏 𝟒 ∆ = (𝟓) − (𝟑) → ∆ = 𝟓 − 𝟑 → ∆=𝟐 𝟔 𝟎 𝟏 ∆𝑨 = | 𝟏𝟕 𝟏 𝟑 | = (𝟐𝟒 + 𝟎 + 𝟏𝟕) − (𝟏𝟗 + 𝟎 + 𝟏𝟖) 𝟏𝟗 𝟏 𝟒 ∆𝑨 = (𝟒𝟏) − (𝟑𝟕) → ∆𝑨 = 𝟒𝟏 − 𝟑𝟕 → ∆ 𝑨 = 𝟒 𝟏 𝟔 𝟏 ∆𝑩 = | 𝟏 𝟏𝟕 𝟑 | = (𝟔𝟖 + 𝟎 + 𝟏𝟗) − (𝟎 + 𝟐𝟒 + 𝟓𝟕) 𝟎 𝟏𝟗 𝟒 ∆𝑩 = (𝟖𝟕) − (𝟖𝟏) → ∆𝑩 = 𝟖𝟕 − 𝟖𝟏 → ∆ 𝑩 = 𝟔 𝟏 𝟎 𝟔 ∆𝑪 = | 𝟏 𝟏 𝟏𝟕 | = (𝟏𝟗 + 𝟎 + 𝟔) − (𝟎 + 𝟎 + 𝟏𝟕) 𝟎 𝟏 𝟏𝟗 ∆𝑪 = (𝟐𝟓) − (𝟏𝟕) → ∆𝑪 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟕 → ∆ 𝑪 = 𝟖

Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: ∆𝑨 ∆ ∆𝑩 𝑩= ∆ ∆𝑪 𝑪= ∆ 𝑨=

→ → →

𝟒 𝟐 𝟔 𝑩= 𝟐 𝟖 𝑪= 𝟐

𝑨=

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1: Sustituir los valores determinados A, B y C: 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟏𝟗 𝟐𝒙 + 𝟑 𝟒 𝟏. 𝟏) 𝟐 = + (𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏) (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟏) Paso 7: Retornar a la integral: 𝟐𝒙 + 𝟑 𝟒 𝟕. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [ 𝟐 + ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟏) 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 𝟕. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ (𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟏) Paso 8: Aplicar el método de integración: Método del cambio de variable: 𝟐𝒙 + 𝟑 𝟕. 𝟏. 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒) a) Cambio de variable: 𝟐

(𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒) = 𝒗

b) Derivar cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)′ = 𝒗′ (𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Reemplazar cambio de variable: 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒅𝒗 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ = ∫ 𝒅𝒗 (𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒) 𝒗 𝒗 d) Aplicar la integral inmediata: 𝟐𝒙 + 𝟑 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒗| (𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒) e) Retornar cambio de variable: 𝟐𝒙 + 𝟑 𝟕. 𝟏. 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒| (𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒) Aplicar la integral inmediata: 𝟏 𝟕. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 |𝒙 + 𝟏| (𝒙 + 𝟏) Sustituir 7.1.1 y 7.1.2 en 7.1: 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 𝟕. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ (𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒| + 𝟒𝑳𝒏|𝒙 + 𝟏| ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)𝟒

→ 𝑨=𝟐 → 𝑩=𝟑

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)𝟒 + 𝑪

→ 𝑪=𝟒

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

123

Ejemplo 2

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1:

Hallar la integral ∫

𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟐)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟏. 𝟏)

𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟐 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝟐)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones: (𝑨𝒙 + 𝑩)(𝒙𝟐 + 𝟐) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑) (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟐) 𝑨𝒙𝟑 + 𝟐𝑨𝒙 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝟐𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝟑𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝟑𝑫 (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟐) (𝑨 + 𝑪)𝒙𝟑 + (𝑩 + 𝑪 + 𝑫)𝒙𝟐 + (𝟐𝑨 + 𝟑𝑪 + 𝑫)𝒙 + (𝟐𝑩 + 𝟑𝑫) (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙𝟑 ≡→ 𝑨 + 𝑪 = 𝟏

→ 𝑨 = (𝟏 − 𝑪)

𝒙𝟐 ≡→ 𝑩 + 𝑪 + 𝑫 = 𝟎 𝒙 ≡→ 𝟐𝑨 + 𝟑𝑪 + 𝑫 = 𝟏 → 𝟐(𝟏 − 𝑪) + 𝟑𝑪 + 𝑫 = 𝟏 𝟐 − 𝟐𝑪 + 𝟑𝑪 + 𝑫 = 𝟏

→ 𝑪 + 𝑫 = −𝟏

𝟎

𝒙 ≡→ 𝟐𝑩 + 𝟑𝑫 = 𝟐

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: 𝑩+𝑪+𝑫=𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝑩 𝟎 { 𝑪 + 𝑫 = −𝟏 → (𝟎 𝟏 𝟏) ( 𝑪 ) = (−𝟏) 𝟐𝑩 + 𝟑𝑫 = 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 𝑫 𝟐 Método de Cramer: 𝟏 𝟏 𝟏 ∆ = | 𝟎 𝟏 𝟏 | = (𝟑 + 𝟐 + 𝟎) − (𝟐 + 𝟎 + 𝟎) 𝟐 𝟎 𝟑 (𝟓) ∆= − (𝟐) → ∆=𝟓−𝟐 → ∆=𝟑 𝟎 𝟏 𝟏 ∆𝑩 = | −𝟏 𝟏 𝟏 | = (𝟎 + 𝟐 + 𝟎) − (𝟐 − 𝟑 + 𝟎) 𝟐 𝟎 𝟑 ∆𝑩 = (𝟐) − (−𝟏) → ∆𝑩 = 𝟐 + 𝟏 → ∆𝑩 = 𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 ∆𝑪 = | 𝟎 −𝟏 𝟏 | = (−𝟑 + 𝟎 + 𝟎) − (−𝟐 + 𝟎 + 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟑 ∆𝑪 = (−𝟑) − (𝟎) → ∆𝑪 = −𝟑 − 𝟎 → ∆𝑪 = −𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 ∆𝑫 = | 𝟎 𝟏 −𝟏 | = (𝟐 − 𝟐 + 𝟎) − (𝟎 + 𝟎 + 𝟎) 𝟐 𝟎 𝟐 ∆𝑫 = (𝟎) − (𝟎) → ∆𝑫 = 𝟎 − 𝟎 → ∆𝑫 = 𝟎

Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: ∆𝑩 𝟑 𝑩= → 𝑩= → 𝑩=𝟏 ∆ 𝟑 ∆𝑪 −𝟑 𝑪= → 𝑪= → 𝑪 = −𝟏 ∆ 𝟑 ∆𝑫 𝟎 𝑫= → 𝑫= → 𝑫=𝟎 ∆ 𝟑 𝑨 = (𝟏 − 𝑪) → 𝑨 = 𝟏 − (−𝟏) = 𝟏 + 𝟏 → 𝑨 = 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏. 𝟏)

(𝒙𝟐

𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏 −𝒙 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝟐)

Paso 7: Retornar a la integral: 𝟐𝒙 + 𝟏 −𝒙 𝟕. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [ 𝟐 + 𝟐 ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝟐) 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 𝟕. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝟐) Paso 8: Aplicar métodos de integración: Método del cambio de variable: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟕. 𝟏. 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) a) Cambio de variable:

b) Derivar cambio de variable:

(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑) = 𝒗

(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑)′ = 𝒗′ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Reemplazar cambio de variable: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒗 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ = ∫ 𝒅𝒗 (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) 𝒗 𝒗 d) Aplicar la integral inmediata: 𝟐𝒙 + 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒗| (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) e) Retornar cambio de variable: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟕. 𝟏. 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑| (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) 𝒙 𝟕. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟐) a) Cambio de variable:

b) Derivar cambio de variable:

(𝒙𝟐 + 𝟐) = 𝒗

(𝒙𝟐 + 𝟐) = 𝒗′ → (𝟐𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

′

𝒅𝒙 =

𝟏 𝟐𝒙

𝒅𝒗

c) Reemplazar cambio de variable: 𝒙 𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ ∙ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒗 = 𝑳𝒏(𝒗) (𝒙 + 𝟐) 𝒗 𝟐𝒙 𝟐 𝒗 𝟐 e) Retornar cambio de variable: 𝒙 𝟏 𝟕. 𝟏. 𝟐 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝟐) (𝒙 + 𝟐) 𝟐 Paso 9: Sustituir 7.1.1 y 7.1.2 en 7.1: 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 𝟕. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝟐) 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑| + 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝟐) 𝟐 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑) √(𝒙𝟐 + 𝟐)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑) √(𝒙𝟐 + 𝟐) + 𝑪

José E. Ornelas G.

124

Ejemplo 3 Hallar la integral ∫

𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟐𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟓)

Paso 8: Aplicar métodos de integración: Método del cambio de variable: 𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟐𝒙 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝟏. 𝟏) 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟓)

(𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝒗

𝑨𝒙𝟑 + 𝟓𝑨𝒙 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝟓𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 + 𝑫 (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟓)

→ 𝑨 = (𝟏𝟎 − 𝑪)

𝟐

𝒙 ≡→ 𝑩 + 𝑫 = 𝟎 𝒙𝟏 ≡→ 𝟓𝑨 + 𝑪 = 𝟐𝟐 → 𝟓(𝟏𝟎 − 𝑪) + 𝑪 = 𝟐𝟐 →

→

𝑪=𝟕

𝑨 = 𝟏𝟎 − (𝟕) = 𝟑 →

𝑨=𝟑

𝒙𝟎 ≡→ 𝟓𝑩 + 𝑫 = 𝟎

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: 𝑩+𝑫 =𝟎 𝟏 𝟏 𝑩 𝟎 { → ( )( ) = ( ) 𝟓𝑩 + 𝑫 = 𝟎 𝟓 𝟏 𝑫 𝟎 Método de Cramer: 𝟏 𝟏 | = (𝟏) − (𝟓) ∆=| 𝟓 𝟏 ∆ = (𝟏) − (𝟓) → ∆ = 𝟏 − 𝟓 → ∆ = −𝟒 𝟎 𝟏 | = (𝟎) − (𝟎) ∆𝑩 = | 𝟎 𝟏 ∆𝑩 = (𝟎) − (𝟎) → ∆𝑩 = 𝟎 → ∆𝑩 = 𝟎 𝟏 𝟎 | = (𝟎) − (𝟎) ∆𝑫 = | 𝟓 𝟎 ∆𝑫 = (𝟎) − (𝟎) → ∆𝑫 = 𝟎 − 𝟎 → ∆𝑫 = 𝟎 Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: ∆𝑩 ∆ ∆𝑫 𝑫= ∆ 𝑩=

→ →

𝟎 −𝟒 𝟎 𝑫= −𝟒

𝑩=

𝒅𝒗

Retornar cambio de variable: 𝒙 𝟏 𝟏. 𝟑. 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝟏| (𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟐 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟓)

Paso 3: Igualar términos semejantes:

→ −𝟒𝑪 = −𝟐𝟖

𝟏 𝟐𝒙

Método de integrales inmediatas: 𝒙 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏|𝒗| (𝒙 + 𝟏) 𝟐

(𝑨 + 𝑪)𝒙𝟑 + (𝑩 + 𝑫)𝒙𝟐 + (𝟓𝑨 + 𝑪)𝒙 + (𝟓𝑩 + 𝑫) (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟓)

𝑨 = (𝟏𝟎 − 𝑪)

→ 𝒅𝒙 =

c) Reemplazar cambio de variable: 𝒙 𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ ∙ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒗 (𝒙 + 𝟏) 𝒗 𝟐𝒙 𝟐 𝒗

(𝑨𝒙 + 𝑩)(𝒙𝟐 + 𝟓) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟓)

−𝟒𝑪 + 𝟓𝟎 = 𝟐𝟐

(𝒙𝟐 + 𝟏)′ = 𝒗′ (𝟐𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

Paso 2: Resolver la suma de fracciones:

𝒙𝟑 ≡→ 𝑨 + 𝑪 = 𝟏𝟎

a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable:

→ 𝑩=𝟎 → 𝑫=𝟎

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1: Sustituir A, B, C y D: 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟐𝒙 𝟑𝒙 𝟕𝒙 𝟏. 𝟏) 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟓)

a) Reemplazar cambio de variable: 𝒙 𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ ∙ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒗 (𝒙 + 𝟓) 𝒗 𝟐𝒙 𝟐 𝒗 Método de integrales inmediatas: 𝒙 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒗) (𝒙 + 𝟓) 𝟐 Retornar cambio de variable: 𝒙 𝟏 𝟏. 𝟑. 𝟐 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝟓) (𝒙 + 𝟓) 𝟐 Sustituir 1.3.1 y 1.3.2 en 1.3: 𝒙 𝒙 𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟕 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟓) 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟑 ∙ 𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝟏| + 𝟕 ∙ 𝑳𝒏|𝒙𝟐 + 𝟓| 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 + 𝑳𝒏(𝒙𝟐 + 𝟓)𝟕 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏√(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 + 𝑳𝒏√(𝒙𝟐 + 𝟓)𝟕 (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟓) ∫

𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏√(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 √(𝒙𝟐 + 𝟓)𝟕 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟓)

(𝒙𝟐

∫

𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 √(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟓)𝟕 + 𝑪 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟓)

(𝒙𝟐

Paso 7: Retornar a la integral: 𝟑𝒙 𝟕𝒙 𝟏. 𝟐) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [ 𝟐 + 𝟐 ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟓) 𝒙 𝒙 𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟕 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟓) Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

125

Ejemplo 4

Paso 7: Retornar a la integral:

Hallar la integral ∫

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓 (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟒)

𝒅𝒙

𝟏. 𝟐) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples:

(𝒙𝟐

Separar los integrales:

𝟐

𝟏. 𝟏)

𝟐𝒙 + 𝟓 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = + (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟒) (𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙𝟐 + 𝟒)

𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

Paso 2: Resolver la suma de fracciones: (𝑨𝒙 + 𝑩)(𝒙𝟐 + 𝟒) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟒) 𝒇(𝒙) =

𝑨𝒙𝟑 + 𝟒𝑨𝒙 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝟒𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 + 𝑫 (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟒)

(𝑨 + 𝑪)𝒙𝟑 + (𝑩 + 𝑫)𝒙𝟐 + (𝟒𝑨 + 𝑪)𝒙 + (𝟒𝑩 + 𝑫) 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟒)

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙𝟑 ≡→ 𝑨 + 𝑪 = 𝟎

∫

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝒙𝟐 + 𝒌𝟐 𝒌 𝒌

𝒌𝟐 = 𝟏

𝒙 ≡→ 𝟒𝑨 + 𝑪 = 𝟎

→

𝟒(−𝑪) + 𝑪 = 𝟎

𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫

−𝟒𝑪 + 𝑪 = 𝟎

→

−𝟑𝑪 = 𝟎

→

𝑨=𝟎

𝒙𝟐 ≡→ 𝑩 + 𝑫 = 𝟐

(𝒙𝟐

𝑪=𝟎

𝒙𝟎 ≡→ 𝟒𝑩 + 𝑫 = 𝟓

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: 𝑩+𝑫 =𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝑩 { → ( )( ) = ( ) 𝟒𝑩 + 𝑫 = 𝟓 𝟒 𝟏 𝑫 𝟓 Método de Cramer: 𝟏 𝟏 | = (𝟏) − (𝟒) ∆=| 𝟒 𝟏 ∆ = (𝟏) − (𝟒) → ∆ = 𝟏 − 𝟒 → ∆ = −𝟑 𝟐 𝟏 | = (𝟐) − (𝟓) ∆𝑩 = | 𝟓 𝟏 ∆𝑩 = 𝟐 − 𝟓 → ∆𝑩 = −𝟑 → ∆𝑩 = −𝟑 𝟏 𝟐 | = (𝟓) − (𝟖) ∆𝑫 = | 𝟒 𝟓 ∆𝑫 = 𝟓 − 𝟖 → ∆𝑫 = −𝟑 → ∆𝑫 = −𝟑 Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: ∆𝑩 −𝟑 𝑩= → 𝑩= → 𝑩=𝟏 ∆ −𝟑 ∆𝑫 −𝟑 𝑫= → 𝑫= → 𝑫=𝟏 ∆ −𝟑 𝑨 = −𝑪 → 𝑨 = (𝟎) → 𝑨=𝟎

𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫ 𝒌𝟐 = 𝟒

∫

(𝒙𝟐

→

𝒌 = √𝟏

→

𝒌=𝟏

𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝒙) 𝟐 +𝟏 ) 𝟏 𝟏

∫

𝑨 = −𝑪

𝒅𝒙 𝒅𝒙 +∫ 𝟐 + 𝟏) (𝒙 + 𝟒)

(𝒙𝟐

Paso 8: Aplicar métodos de integración: Método integral inmediata: 𝟏 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)

→ 𝑨 = −𝑪

→

𝟏 𝟏 + 𝟐 ] 𝒅𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟒)

(𝒙𝟐

𝟏 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝒙) + 𝟏)

𝟏 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟒) → 𝒌 = √𝟒 → 𝒌 = 𝟐

𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 +𝟐 ) 𝟐 𝟐

𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫

(𝒙𝟐

𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝟒) 𝟐 𝟐

Paso 9: Sustituir 1.3.1 y 1.3.2 en 1.3: 𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙 + 𝟒)

𝟏 𝒙 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝒙) + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 𝟐 𝟏 𝒙 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝒙) + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝟏. 𝟏) 𝟏. 𝟏)

(𝒙𝟐

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = + + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟒) (𝒙𝟐 + 𝟏) (𝒙𝟐 + 𝟒)

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓 𝟏 𝟏 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟒)

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

126

Ejemplo 5

Separar los integrales:

Hallar la integral ∫

𝒙𝟑 +𝟖𝒙𝟐 +𝟏𝟔𝒙+𝟏𝟎𝟕 (𝒙𝟐 + 𝟗)(𝒙𝟐 + 𝟏𝟔)

𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar en fracciones: 𝟏. 𝟏)

𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟎𝟕 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = 𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟗)(𝒙𝟐 + 𝟏𝟔) (𝒙 + 𝟗) (𝒙𝟐 + 𝟏𝟔)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝒇(𝒙) =

(𝑨𝒙 + 𝑩)(𝒙𝟐 + 𝟏𝟔) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 + 𝟗) (𝒙𝟐 + 𝟗)(𝒙𝟐 + 𝟏𝟔)

Paso 8: Aplicar métodos de integración: Método integral inmediata: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟗) 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝟐 = 𝑳𝒏 (𝒙𝟐 + 𝒌𝟐 ) 𝟐 𝒙 +𝒌 𝟐 𝒌𝟐 = 𝟗 → 𝒌 = √𝟗 → 𝒌 = 𝟑

𝒙 𝒅𝒙 𝟏 = 𝑳𝒏 (𝒙𝟐 + 𝟑𝟐 ) 𝟐 +𝟑 ) 𝟐

𝑨𝒙𝟑 + 𝟏𝟔𝑨𝒙 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝟗𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 + 𝟗𝑫 (𝒙𝟐 + 𝟗)(𝒙𝟐 + 𝟏𝟔)

∫

(𝑨 + 𝑪)𝒙𝟑 + (𝑩 + 𝑫)𝒙𝟐 + (𝟏𝟔𝑨 + 𝟗𝑪)𝒙 + (𝟏𝟔𝑩 + 𝟗𝑫) (𝒙𝟐 + 𝟗)(𝒙𝟐 + 𝟏𝟔)

𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙𝟑 ≡→ 𝑨 + 𝑪 = 𝟏

→ 𝑨 = (𝟏 − 𝑪)

𝒙 ≡→ 𝑩 + 𝑫 = 𝟖 𝒙 ≡→ 𝟏𝟔𝑨 + 𝟗𝑪 = 𝟏𝟔 → 𝟏𝟔(𝟏 − 𝑪) + 𝟗𝑪 = 𝟏𝟔 𝑨=𝟏−𝑪

→

𝑨 = (𝟏 − 𝟎)

→

→

(𝒙𝟐

𝒙 𝒅𝒙 𝟏 = 𝑳𝒏 (𝒙𝟐 + 𝟗) 𝟐 (𝒙 + 𝟗) 𝟐 𝟏 𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟗) ∫

𝟐

𝟏𝟔 − 𝟏𝟔𝑪 + 𝟗𝑪 = 𝟏𝟔 → −𝟕𝑪 = 𝟎

𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓∫ 𝟐 + 𝟑∫ 𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟗) (𝒙 + 𝟗) (𝒙 + 𝟏𝟔)

𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 +𝒌 𝒌 𝒌

𝒌𝟐 = 𝟗 → 𝒌 = √𝟗 → 𝒌 = 𝟑

𝑪=𝟎 𝑨=𝟏

𝒙𝟎 ≡→ 𝟏𝟔𝑩 + 𝟗𝑫 = 𝟏𝟎𝟕

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: 𝑩+𝑫=𝟖 𝟏 𝟏 𝑩 𝟖 { → ( )( ) = ( ) 𝟏𝟔𝑩 + 𝟗𝑫 = 𝟏𝟎𝟕 𝟏𝟔 𝟗 𝑫 𝟏𝟎𝟕 Método de Cramer: 𝟏 𝟏 | = (𝟗) − (𝟏𝟔) ∆=| 𝟏𝟔 𝟗 ∆ = 𝟗 − 𝟏𝟔 → ∆ = −𝟕 𝟖 𝟏 | = (𝟕𝟐) − (𝟏𝟎𝟕) ∆𝑩 = | 𝟏𝟎𝟕 𝟗 ∆𝑩 = 𝟕𝟐 − 𝟏𝟎𝟕 → ∆𝑩 = −𝟑𝟓 𝟏 𝟖 | = (𝟏𝟎𝟕) − (𝟏𝟐𝟖) ∆𝑫 = | 𝟏𝟔 𝟏𝟎𝟕 ∆𝑫 = 𝟏𝟎𝟕 − 𝟏𝟐𝟖 → ∆𝑫 = −𝟐𝟏 Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: ∆𝑩 −𝟑𝟓 𝑩= → 𝑩= → 𝑩=𝟓 ∆ −𝟕 ∆𝑫 −𝟐𝟏 𝑫= → 𝑫= → 𝑫=𝟑 ∆ −𝟕 𝑨 = 𝟏 − 𝑪 → 𝑨 = 𝟏 − (𝟎) → 𝑨=𝟏

𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) (𝒙𝟐 + 𝟑𝟐 ) 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) (𝒙 + 𝟗) 𝟑 𝟑 ∫

𝟏. 𝟑. 𝟑) ∫

𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏𝟔)

𝒌𝟐 = 𝟏𝟔 → 𝒌 = √𝟏𝟔 → 𝒌 = 𝟒

𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 +𝟒 ) 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟑) ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) (𝒙 + 𝟏𝟔) 𝟒 𝟒 ∫

(𝒙𝟐

Sustituir 1.3.1; 1.3.2 y 1.3.3 en 1.3: 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓∫ 𝟐 + 𝟑∫ 𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟗) (𝒙 + 𝟗) (𝒙 + 𝟏𝟔) 𝟏 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝑳𝒏 (𝒙𝟐 + 𝟗) + 𝟓 ( ) 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝟑 ( ) 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒 𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟓 𝒙 𝟑 𝒙 𝑳𝒏 (𝒙𝟐 + 𝟗) + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒

𝟏 𝟓 𝒙 𝟑 𝒙 𝑳𝒏 (𝒙𝟐 + 𝟗) + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒

Paso 6: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝟏. 𝟏)

𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟎𝟕 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = 𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟗)(𝒙𝟐 + 𝟏𝟔) (𝒙 + 𝟗) (𝒙𝟐 + 𝟏𝟔)

𝟏. 𝟏)

𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟎𝟕 𝒙+𝟓 𝟑 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟗)(𝒙 + 𝟏𝟔) (𝒙 + 𝟗) (𝒙 + 𝟏𝟔)

Paso 7: Retornar a la integral: 𝒙+𝟓 𝟑 𝟏. 𝟐) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [ 𝟐 + 𝟐 ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟗) (𝒙 + 𝟏𝟔) Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

127

Ejemplo 6 Hallar la integral ∫

𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟒 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓)(𝒙𝟐 +𝟏)

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟏. 𝟏)

(𝒙𝟐

𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟒 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓)(𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones: (𝑨𝒙 + 𝑩)(𝒙𝟐 + 𝟏) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓)(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝑨𝒙𝟑 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 − 𝟐𝑪𝒙𝟐 + 𝟓𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 − 𝟐𝑫𝒙 + 𝟓𝑫 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓)(𝒙𝟐 + 𝟏) (𝑨 + 𝑪)𝒙𝟑 + (𝑩 − 𝟐𝑪 + 𝑫)𝒙𝟐 + (𝑨 + 𝟓𝑪 − 𝟐𝑫)𝒙 + (𝑩 + 𝟓𝑫) (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓)(𝒙𝟐 + 𝟏)

Paso 3: Igualar términos semejantes: 𝒙𝟑 ≡→ 𝑨 + 𝑪 = 𝟐

→

𝑨 = (𝟐 − 𝑪)

𝒙𝟐 ≡→ 𝑩 − 𝟐𝑪 + 𝑫 = 𝟎 𝒙 ≡→ 𝑨 + 𝟓𝑪 − 𝟐𝑫 = 𝟒

→

(𝟐 − 𝑪) + 𝟓𝑪 − 𝟐𝑫 = 𝟒

𝟒𝑪 − 𝟐𝑫 = 𝟒 − 𝟐

→

𝟒𝑪 − 𝟐𝑫 = 𝟐

𝒙𝟎 ≡→ 𝑩 + 𝟓𝑫 = −𝟒

Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones: {

𝑩 − 𝟐𝑪 + 𝑫 = 𝟎 𝟒𝑪 − 𝟐𝑫 = 𝟐 𝑩 + 𝟓𝑫 = −𝟒

→

𝟏 (𝟎 𝟏

−𝟐 𝟒 𝟎

𝟏 𝑩 𝟎 −𝟐) ( 𝑪 ) = ( 𝟐) 𝟓 𝑫 −𝟒

Método de Cramer: 𝟏 −𝟐 𝟏 ∆=|𝟎 𝟒 −𝟐 | = (𝟐𝟎 + 𝟒 + 𝟎) − (𝟒 + 𝟎 + 𝟎) 𝟏 𝟎 𝟓 (𝟐𝟒) (𝟒) ∆= − → ∆ = 𝟐𝟒 − 𝟒 → ∆ = 𝟐𝟎 𝟎 −𝟐 𝟏 ∆𝑩 = | 𝟐 𝟒 −𝟐 | = (𝟎 − 𝟏𝟔 + 𝟎) − (−𝟏𝟔 − 𝟐𝟎 + 𝟎) −𝟒 𝟎 𝟓 ∆𝑩 = (−𝟏𝟔) − (−𝟑𝟔) → ∆𝑩 = −𝟏𝟔 + 𝟑𝟔 → ∆𝑩 = 𝟐𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ∆𝑪 = | 𝟎 𝟐 −𝟐 | = (𝟏𝟎 + 𝟎 + 𝟎) − (𝟐 + 𝟎 + 𝟖) 𝟏 −𝟒 𝟓 ∆𝑪 = (𝟏𝟎) − (𝟏𝟎) → ∆𝑪 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 → ∆𝑪 = 𝟎 𝟏 −𝟐 𝟎 ∆𝑫 = | 𝟎 𝟒 𝟐 | = (−𝟏𝟔 − 𝟒 + 𝟎) − (𝟎 + 𝟎 + 𝟎) 𝟏 𝟎 −𝟒 ∆𝑫 = (−𝟐𝟎) − (𝟎) → ∆𝑫 = −𝟐𝟎 + 𝟎 → ∆𝑫 = −𝟐𝟎

Paso 5: Determinar el valor de cada incógnita: ∆𝑩 𝟐𝟎 → 𝑩= ∆ 𝟐𝟎 ∆𝑪 𝟎 𝑪= → 𝑪= ∆ 𝟐𝟎 ∆𝑫 −𝟐𝟎 𝑫= → 𝑫= ∆ 𝟐𝟎 𝑨 = 𝟐 − 𝑪 → 𝑨 = 𝟐 − (𝟎) 𝑩=

→ 𝑩=𝟏

Paso 7: Retornar a la integral y separar: (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟐) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 −∫ 𝟐 (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏) Reajustar, para facilitar el cálculo de la integral: (𝟐𝒙 + 𝟏) → (𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟑 + 𝟑) → (𝟐𝒙 − 𝟐) + 𝟑 𝟏. 𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

Paso 8: Aplicar métodos de integración: Método integral cambio de variable: (𝟐𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏)′ = 𝒗′ (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝒗 (𝟐𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Reemplazar cambio de variable e integrar: (𝟐𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝟐 = ∫ ∙ 𝒅𝒗 = 𝑳𝒏|𝒗| (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒗 d) Retornar cambio de variable: (𝟐𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 = 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝟑 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫ 𝟐 (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) Completar cuadrados en el denominador: 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓 → (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙) + 𝟓 → (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝟓 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓 → (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟒 Reemplazar en la integral 1.3.2: 𝟑 𝒅𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐 = 𝟑∫ (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟒 Método integral inmediata: ∫

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝒙𝟐 + 𝒌𝟐 𝒌 𝒌

𝒌𝟐 = 𝟒 → 𝒌 = √𝟒 → 𝒌 = 𝟐

𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫ 𝟏. 𝟑. 𝟑) ∫

(𝒙𝟐

𝟑 𝒅𝒙 𝟑 𝒙−𝟏 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) − 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝟐 𝟐

𝒅𝒙 + 𝟏)

(𝒙𝟐

𝒌𝟐 = 𝟏 → 𝒌 = √𝟏 → 𝒌 = 𝟏 ∫

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) (𝒙𝟐 + 𝟏𝟐 ) 𝟏 𝟏

𝟏. 𝟑. 𝟑) ∫ → 𝑪=𝟎

(𝟐𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝒅𝒙 +∫ 𝟐 −∫ 𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏)

𝒅𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝒙) (𝒙𝟐 + 𝟏)

Paso 9: Sustituir 1.3.1; 1.3.2 y 1.3.3 en 1.3: →

𝑫 = −𝟏

→

𝑨=𝟐

Paso 6: Retornar y sustituir en la expresión racional 1.1: 𝟐𝒙 + 𝟏 −𝟏 𝟏. 𝟏) 𝒇(𝒙) = 𝟐 + (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙𝟐 + 𝟏)

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

(𝟐𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝒅𝒙 +∫ 𝟐 −∫ 𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟓) (𝒙 + 𝟏)

𝟑 𝒙−𝟏 ) − 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝒙) + 𝑪 𝑳𝒏(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓) + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( 𝟐 𝟐

José E. Ornelas G.

128

3.4. IV CASO: Factores cuadráticos iguales. A cada factor de la forma (𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝒌)𝑬 , le corresponde la fracción de la forma: 𝑨𝒙 + 𝑩 (𝒎𝒙𝟐 +𝒏𝒙+𝒌)𝑬

𝑪𝒙 + 𝑫

+ (𝒎𝒙𝟐

𝑬𝒙 +𝑭

+𝒏𝒙+𝒌)𝑬−𝟏

+ ⋯ + (𝒎𝒙𝟐

+𝒏𝒙+𝒌)

siendo “A, B, C, D, E y F” constantes.

III. 3.4.1- EJERCICIOS DE INTEGRALES POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES: Ejemplo 1 Hallar la integral ∫

𝟐𝒙𝟐 +𝟓𝒙+𝟏𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟏. 𝟏)

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟑 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = + (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones: (𝑨𝒙 + 𝑩) + (𝑪𝒙 + 𝑫) ∙ (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔) (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 𝑨𝒙 + 𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝟐𝑪𝒙𝟐 + 𝟔𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 + 𝟐𝑫𝒙 + 𝟔𝑫 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 𝑪𝒙𝟑 + (𝟐𝑪 + 𝑫)𝒙𝟐 + (𝑨 + 𝟔𝑪 + 𝟐𝑫)𝒙 + (𝑩 + 𝟔𝑫) (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐

Paso 3: Igualar términos semejantes y resolver: Método de Sustitución: 𝒙𝟑 ≡→ 𝑪 = 𝟎 → 𝑪 = 𝟎 𝒙𝟐 ≡→ 𝟐𝑪 + 𝑫 = 𝟐

→ 𝟐(𝟎) + 𝑫 = 𝟐 → 𝑫 = 𝟐

𝒙 ≡→ 𝑨 + 𝟔𝑪 + 𝟐𝑫 = 𝟓 → 𝑨 + 𝟔(𝟎) + 𝟐(𝟐) = 𝟓 𝑨+𝟒 =𝟓

→

𝑨=𝟓−𝟒

𝟎

𝒙 ≡→ 𝑩 + 𝟔𝑫 = 𝟏𝟑

→ 𝑨=𝟏

→ 𝑩 + 𝟔(𝟐) = 𝟏𝟑

𝑩 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟑 →

𝑩 = 𝟏𝟑 − 𝟏𝟐 → 𝑩 = 𝟏

Paso 4: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝟏. 𝟏)

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟑 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔)

𝟏. 𝟏)

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟑 𝒙+𝟏 𝟐 = + (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)

Paso 5: Retornar a la integral y separar integrales: 𝟏. 𝟐) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [

𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫

(𝒙𝟐

𝒙+𝟏 𝟐 + ] 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)

(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐∫ 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔)

(𝒙𝟐

Paso 6: Aplicar el método respectivo en cada integral: Método del cambio de variable: (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐

c) Reemplazar cambio de variable: (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒗 𝟏 ∫ 𝟐 = ∫ ∙ 𝟐 = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 𝟐 𝒗 𝟐 d) Aplicar la integral inmediata: (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 ∫ 𝟐 = ( 𝒗 ) = − 𝒗−𝟏 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔)𝟐 𝟐 −𝟏 𝟐 (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝟐 =− 𝟐 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) 𝟐𝒗 e) Retornar cambio de variable: (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 𝟏 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 =− 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) 𝟐(𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) Completar cuadrados al denominador: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔 → (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) + 𝟔 → (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝟔 − 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔 → (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟓

Reemplazar en la integral: 𝒅𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐 =∫ (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟓 Método integral inmediata: 𝒅𝒙 𝟏 𝒙 ∫ 𝟐 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝒙 + 𝒌𝟐 𝒌 𝒌 𝒌𝟐 = 𝟓 → 𝒌 = √𝟓 → 𝒌 = √𝟓 𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫

(𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏 𝒙+𝟏 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝟐𝒙 + 𝟔) √𝟓 √𝟓

Paso 7: Sustituir 1.3.1 y 1.3.2 en 1.3: (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 + 𝟐∫ 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = [−

𝟏 𝟏 𝒙+𝟏 ] + 𝟐 [ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( )] 𝟐(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔) √𝟓 √𝟓

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟐 𝒙+𝟏 )+𝑪 + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( 𝟐(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔) √𝟓 √𝟓

a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔)′ = 𝒗′ (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔) = 𝒗 (𝟐𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝟐(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

129

Ejemplo 2 Hallar la integral ∫

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕 (𝒙𝟐 +𝟕)𝟐

∫

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟏. 𝟏) 𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟕) (𝒙 + 𝟕) (𝒙 + 𝟕)

Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕 (𝑨𝒙 + 𝑩) + (𝑪𝒙 + 𝑫) ∙ (𝒙𝟐 + 𝟕) = (𝒙𝟐 + 𝟕)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟕)𝟐 𝑨𝒙 + 𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝟕𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 + 𝟕𝑫 (𝒙𝟐 + 𝟕)𝟐 𝟑

𝒙 𝒅𝒙 𝟏 =− 𝟐 + 𝟕) 𝟐𝒗

(𝒙𝟐

e) Retornar cambio de variable: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 =− (𝒙 + 𝟕)𝟐 𝟐(𝒙𝟐 + 𝟕) 𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫

Método integral inmediata: ∫

𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 +𝒌 𝒌 𝒌

𝒌𝟐 = 𝟕 → 𝒌 = √𝟕 → 𝒌 = √𝟕

𝟐

𝑪𝒙 + 𝑫𝒙 + (𝑨 + 𝟕𝑪)𝒙 + (𝑩 + 𝟕𝑫) (𝒙𝟐 + 𝟕)𝟐

Paso 3: Igualar términos semejantes y resolver: Método de Sustitución: 𝒙𝟑 ≡→ 𝑪 = 𝟎 → 𝑪=𝟎 𝒙𝟐 ≡→ 𝑫 = 𝟏

→ 𝑫=𝟏

𝒙 ≡→ 𝑨 + 𝟕𝑪 = 𝟏 → 𝑨 + 𝟕(𝟎) = 𝟏 𝑨+𝟎= 𝟏

𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) (𝒙𝟐 + 𝟕) √𝟕 √𝟕

Paso 7: Sustituir 1.3.1 y 1.3.2 en 1.3: 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟓. 𝟏) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 +∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙 + 𝟕) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = [−

→ 𝑨=𝟏

𝟎

𝒙 ≡→ 𝑩 + 𝟕𝑫 = 𝟕 → 𝑩 + 𝟕(𝟏) = 𝟕 𝑩+𝟕=𝟕

𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝟕

→

𝑩= 𝟕−𝟕 → 𝑩=𝟎

Paso 4: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝟐

𝟏. 𝟏) 𝒇(𝒙) =

𝒙 +𝒙+𝟕 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 = 𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟕)𝟐 (𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟕)

𝟏. 𝟐) 𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕 𝒙 𝟏 = 𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟕)𝟐 (𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟕)

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟏 𝒙 ]+[ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) ] + 𝟕) √𝟕 √𝟕

𝟐(𝒙𝟐

𝟏 𝟏 𝒙 + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝟕) √𝟕 √𝟕

𝟐(𝒙𝟐

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟏 𝟏 𝒙 + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 + 𝟕) √𝟕 √𝟕

𝟐(𝒙𝟐

Paso 5: Retornar a la integral y separar integrales: 𝒙 𝟏 𝟏. 𝟐) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [ 𝟐 + ] 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟕) 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 +∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙 + 𝟕) Paso 6: Aplicar el método respectivo en cada integral: Método del cambio de variable: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟕)𝟐 a) Cambio de variable: 𝟐

(𝒙 + 𝟕) = 𝒗

b) Derivar cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟕)′ = 𝒗′ (𝟐𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

c) Reemplazar cambio de variable: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒗 𝟏 ∫ 𝟐 = ∫ ∙ 𝟐 = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 𝟐 (𝒙 + 𝟕) 𝟐 𝒗 𝟐 d) Aplicar la integral inmediata: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 ∫ 𝟐 = ( 𝒗 ) = − 𝒗−𝟏 (𝒙 + 𝟕)𝟐 𝟐 −𝟏 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

130

Ejemplo 3 Hallar la integral ∫

𝟓𝒙𝟒 +𝟑𝒙𝟑 +𝟒𝟎𝒙𝟐 +𝟏𝟗𝒙+𝟖𝟎 (𝒙𝟐 +𝟒)𝟑

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝟓𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 + 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 + 𝟖𝟎 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝑬𝒙 + 𝑭 𝟏. 𝟏) 𝒇(𝒙) = → 𝒇(𝒙) = + + (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟒) Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝒇(𝒙) =

(𝑨𝒙 + 𝑩) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 + 𝟒) + (𝑬𝒙 + 𝑭)(𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑

𝒇(𝒙) =

(𝑨𝒙 + 𝑩) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 + 𝟒) + (𝑬𝒙 + 𝑭)(𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔) (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑

𝒇(𝒙) =

𝑨𝒙 + 𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 + 𝟒𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 + 𝟒𝑫 + 𝑬𝒙𝟓 + 𝟖𝑬𝒙𝟑 + 𝟏𝟔𝑬𝒙 + 𝑭𝒙𝟒 + 𝟖𝑭𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝑭 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑

𝒇(𝒙) =

𝑬𝒙𝟓 + 𝑭𝒙𝟒 + (𝑪 + 𝟖𝑬)𝒙𝟑 + (𝑫 + 𝟖𝑭)𝒙𝟐 + (𝑨 + 𝟒𝑪 + 𝟏𝟔𝑬)𝒙 + (𝑩 + 𝟒𝑫 + 𝟏𝟔𝑭) (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑

Paso 3: Igualar términos semejantes y resolver: Método de Sustitución: 𝒙𝟓 ≡→ 𝑬 = 𝟎 𝟒

𝒙 ≡→ 𝑭 = 𝟓

→ 𝑬=𝟎 → 𝑭=𝟓

𝒙𝟑

≡→ 𝑪 + 𝟖𝑬 = 𝟑 → 𝑪 + 𝟖(𝟎) = 𝟑 →

𝒙𝟐

≡→ 𝑫 + 𝟖𝑭 = 𝟒𝟎 → 𝑫 + 𝟖(𝟓) = 𝟒𝟎 𝑫 + 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎

𝒙 ≡→

d) Retornar cambio de variable: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 =− 𝟑 𝟐 (𝒙 + 𝟒) 𝟒(𝒙 + 𝟒)𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟐

𝑪=𝟑

→ 𝑫 = 𝟒𝟎 − 𝟒𝟎 → 𝑫 = 𝟎

𝑨 + 𝟒𝑪 + 𝟏𝟔𝑬 = 𝟏𝟗 → 𝑨 + 𝟒(𝟑) + 𝟏𝟔(𝟎) = 𝟏𝟗 𝑨 + 𝟏𝟐 + 𝟎 = 𝟏𝟗 → 𝑨 = 𝟏𝟗 − 𝟏𝟐 → 𝑨 = 𝟕

𝒙𝟎

≡→ 𝑩 + 𝟒𝑫 + 𝟏𝟔𝑭 = 𝟖𝟎 → 𝑩 + 𝟒(𝟎) + 𝟏𝟔(𝟓) = 𝟖𝟎 𝑩 + 𝟎 + 𝟖𝟎 = 𝟖𝟎

→ 𝑩 = 𝟖𝟎 − 𝟖𝟎 → 𝑩 = 𝟎

Paso 4: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝟏. 𝟏) 𝒇(𝒙) =

𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝑬𝒙 + 𝑭 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒)

𝟏. 𝟏) 𝒇(𝒙) =

(𝒙𝟐

𝟕𝒙 𝟑𝒙 𝟓 + 𝟐 + 𝟐 𝟑 𝟐 (𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒) + 𝟒)

𝟏. 𝟑 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟕 ∫

b) Retornar cambio de variable: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫ 𝟐 =− 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟒) 𝟐(𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟑) ∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟒) Método integral inmediata: ∫

Paso 5: Retornar a la integral y separar integrales: 𝟏. 𝟐) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ [

a) Reemplazar cambio de variable e integrar: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒗 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏 ∫ 𝟐 = ∫ ∙ 𝟐 = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 = ( 𝒗 ) (𝒙 + 𝟒)𝟐 𝟐 𝒗 𝟐 𝟐 −𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝟐 =− (𝒙 + 𝟒)𝟑 𝟐𝒗

𝟕𝒙 𝟑𝒙 𝟓 + + ] 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟒)

𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑∫ 𝟐 + 𝟓∫ 𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)

Paso 6: Aplicar el método de integración: Método del cambio de variable: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟑

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝒙𝟐 + 𝒌𝟐 𝒌 𝒌

𝒌𝟐 = 𝟒 → 𝒌 = √𝟒 → 𝒌 = 𝟐 𝟏. 𝟑. 𝟑 ∫

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) (𝒙𝟐 + 𝟒) 𝟐 𝟐

Paso 7: Sustituir 1.3.1; 1.3.2 y 1.3.3 en 1.3: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟕 ∫

𝟕 [−

a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: (𝒙𝟐 + 𝟒)′ = 𝒗′ (𝒙𝟐 + 𝟒) = 𝒗 𝟏 (𝟐𝒙)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝟒(𝒙𝟐

𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑∫ 𝟐 + 𝟓∫ 𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑 (𝒙 + 𝟒)𝟐 (𝒙 + 𝟒)

𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 ] + 𝟑 [− ] + 𝟓 [ 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( )] 𝟐 𝟐 + 𝟒) 𝟐(𝒙 + 𝟒) 𝟐 𝟐

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟒(𝒙𝟐

𝟕 𝟑 𝟓 𝒙 − + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 𝟐 + 𝟒) 𝟐(𝒙 + 𝟒) 𝟐 𝟐

𝟐

c) Reemplazar cambio de variable e integrar: 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒗 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟐 𝟏 ∫ 𝟐 = ∫ ∙ 𝟑 = ∫ 𝒗−𝟑 𝒅𝒗 = ( 𝒗 )=− 𝟐 (𝒙 + 𝟒)𝟑 𝟐 𝒗 𝟐 𝟐 −𝟐 𝟒𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −

𝟒(𝒙𝟐

𝟕 𝟑 𝟓 𝒙 − + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 𝟐 + 𝟒) 𝟐(𝒙 + 𝟒) 𝟐 𝟐

José E. Ornelas G.

131

Ejemplo 4 Hallar la integral ∫

𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐𝟓 (𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟕)

𝟑

𝒅𝒙

Paso 1: Expresar la expresión, en fracciones simples: 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐𝟓 𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝑬𝒙 + 𝑭 𝟏. 𝟏) 𝒇(𝒙) = = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕) (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕) (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕) (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕) Paso 2: Resolver la suma de fracciones: 𝒇(𝒙) =

(𝑨𝒙 + 𝑩) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕) + (𝑬𝒙 + 𝑭)(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑

𝒇(𝒙) =

(𝑨𝒙 + 𝑩) + (𝑪𝒙 + 𝑫)(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕) + (𝑬𝒙 + 𝑭)(𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝟐𝒙 + 𝟒𝟗) (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑

𝑨𝒙 + 𝑩 + 𝑪𝒙𝟑 − 𝟑𝑪𝒙𝟐 + 𝟕𝑪𝒙 + 𝑫𝒙𝟐 − 𝟑𝑫𝒙 + 𝟕𝑫 + 𝑬𝒙𝟓 − 𝟔𝑬𝒙𝟒 + 𝟐𝟑𝑬𝒙𝟑 − 𝟒𝟐𝑬𝒙𝟐 + 𝟒𝟗𝑬𝒙 + 𝑭𝒙𝟒 − 𝟔𝑭𝒙𝟑 + 𝟐𝟑𝑭𝒙𝟐 − 𝟒𝟐𝑭𝒙 + 𝟒𝟗𝑭 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑

𝑬𝒙𝟓 + (−𝟔𝑬 + 𝑭)𝒙𝟒 + (𝑪 + 𝟐𝟑𝑬 − 𝟔𝑭)𝒙𝟑 + (−𝟑𝑪 + 𝑫 − 𝟒𝟐𝑬 + 𝟐𝟑𝑭)𝒙𝟐 + (𝑨 + 𝟕𝑪 − 𝟑𝑫 + 𝟒𝟗𝑬 − 𝟒𝟐𝑭)𝒙 + (𝑩 + 𝟕𝑫 + 𝟒𝟗𝑭) (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟑

Paso 3: Igualar términos semejantes y resolver: Método de Sustitución: 𝒙𝟓

≡→ 𝑬 = 𝟎

𝒙𝟒

≡→ −𝟔𝑬 + 𝑭 = 𝟏

d) Retornar cambio de variable: 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 𝟏 =− (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐

𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐

→ 𝑬=𝟎 → −𝟔(𝟎) + 𝑭 = 𝟏 →

𝑭=𝟏

𝒙𝟑 ≡→ 𝑪 + 𝟐𝟑𝑬 − 𝟔𝑭 = −𝟒 → 𝑪 + 𝟐𝟑(𝟎) − 𝟔(𝟏) = −𝟒 𝑪 + 𝟎 − 𝟔 = −𝟒 → 𝑪 = −𝟒 + 𝟔 →

𝑪=𝟐

𝒙𝟐 ≡→ −𝟑𝑪 + 𝑫 − 𝟒𝟐𝑬 + 𝟐𝟑𝑭 = 𝟏𝟒 −𝟑(𝟐) + 𝑫 − 𝟒𝟐(𝟎) + 𝟐𝟑(𝟏) = 𝟏𝟒

a) Reemplazar cambio de variable e integrar: ∫

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 𝒅𝒗 𝟏 −𝟏 𝟏 = ∫ 𝟐 = ∫ 𝒗−𝟐 𝒅𝒗 = ( 𝒗 )=− (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 𝒗 −𝟏 𝒗

b) Retornar cambio de variable:

−𝟔 + 𝑫 − 𝟎 + 𝟐𝟑 = 𝟏𝟒 → 𝑫 = 𝟏𝟒 − 𝟏𝟕 → 𝑫 = −𝟑 𝒙 ≡→ 𝑨 + 𝟕𝑪 − 𝟑𝑫 + 𝟒𝟗𝑬 − 𝟒𝟐𝑭 = −𝟏𝟕 𝑨 + 𝟕(𝟐) − 𝟑(−𝟑) + 𝟒𝟗(𝟎) − 𝟒𝟐(𝟏) = −𝟏𝟕 𝑨 + 𝟏𝟒 + 𝟗 + 𝟎 − 𝟒𝟐 = −𝟏𝟕 → 𝑨 = −𝟏𝟕 + 𝟏𝟗 → 𝑨 = 𝟐 𝒙𝟎 ≡→ 𝑩 + 𝟕𝑫 + 𝟒𝟗𝑭 = 𝟐𝟓 𝑩 + 𝟕(−𝟑) + 𝟒𝟗(𝟏) = 𝟐𝟓 → 𝑩 − 𝟐𝟏 + 𝟒𝟗 = 𝟐𝟓 𝑩 = 𝟐𝟓 − 𝟐𝟖 → 𝑩 = −𝟑

Paso 4: Retornar a la expresión racional 1.1: 𝟏. 𝟏) 𝒇(𝒙) =

𝑨𝒙 + 𝑩 𝑪𝒙 + 𝑫 𝑬𝒙 + 𝑭 + + (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)

𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟏 𝟏. 𝟐) 𝒇(𝒙) = 𝟐 + + (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)

Paso 5: Retornar a la integral y separar integrales: 𝟏. 𝟑) ∫

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 𝒅𝒙 +∫ 𝟐 +∫ 𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑 (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕)

Paso 6: Aplicar el método respectivo en cada integral: Método del cambio de variable: 𝟏. 𝟑. 𝟏) ∫

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑

a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: (𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕) = 𝒗 c) Reemplazar cambio de variable e integrar: ∫

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 𝒅𝒗 𝟏 −𝟐 𝟏 = ∫ 𝟑 = ∫ 𝒗−𝟑 𝒅𝒗 = ( 𝒗 )=− 𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟑 𝒗 −𝟐 𝟐𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏. 𝟑. 𝟐) ∫

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 𝟏 =− 𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕)

𝟏. 𝟑. 𝟑) ∫

𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)

Completar cuadrados en el denominador: 𝟗 𝟗 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕 → (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙) + 𝟕 → (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + ) + 𝟕 − 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟏𝟗 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕 → (𝒙 − ) + 𝟐 𝟒

Método integral inmediata: ∫

𝒙𝟐

𝒅𝒙 𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝟐 +𝒌 𝒌 𝒌

√𝟏𝟗 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟏. 𝟑. 𝟑 ∫ 𝟐 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕) √𝟏𝟗 √𝟏𝟗 𝒌𝟐 = 𝟏𝟗/𝟒

→ 𝒌 = √𝟏𝟗/𝟒 → 𝒌 =

Paso 7: Sustituir 1.3.1; 1.3.2 y 1.3.3 en 1.3: ∫

(𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 𝒅𝒙 +∫ 𝟐 +∫ 𝟐 𝟐 𝟑 (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕) (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟕)

−

𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 ) − + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕) √𝟏𝟗 √𝟏𝟗

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =

−𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟓 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 )+𝑪 + 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( 𝟐(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟕)𝟐 √𝟏𝟗 √𝟏𝟗

José E. Ornelas G.

132

III.3.5.- EJERCICIOS PROPUESTOS (DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES): III. 3.5.1.- Resolver usando la técnica de integración por descomposición en fracciones simples: 𝟏) ∫

𝟒) ∫

𝟕) ∫

𝟏 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)

𝟐) ∫

𝟓 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑)

𝟑) ∫

𝟕 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟓)(𝟐𝒙 − 𝟏)

𝟏 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟏𝟔)

𝟔) ∫

𝟏 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟐𝟓)

(𝒙𝟐

𝟏 𝒅𝒙 − 𝟒)

𝟓) ∫

(𝒙𝟐

𝟏 𝒅𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟗)

𝟖) ∫

(𝒙𝟐

𝒙 𝒅𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟖)

𝟏𝟏) ∫

𝟓𝒙 + 𝟏𝟒 𝒅𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟖)

𝟏𝟒) ∫

𝟏𝟔) ∫

𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟑 𝒅𝒙 (𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟑)

𝟏𝟕) ∫

𝟏𝟗) ∫

𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔)

𝟏𝟒) ∫

𝟏𝟎) ∫

𝟏𝟑) ∫

(𝒙𝟐

(𝒙𝟐

𝟏 𝒅𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒)

𝟗) ∫

(𝒙𝟐

𝟏 𝒅𝒙 − 𝟔𝒙 − 𝟐𝟕)

𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒)

𝟏𝟐) ∫

𝟕𝒙 + 𝟏𝟑 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟒)

𝟏𝟓) ∫

𝟕𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟐𝟕)

𝟕𝒙 − 𝟖 𝒅𝒙 + 𝟗𝒙 − 𝟐)

𝟏𝟖) ∫

𝒙 − 𝟏𝟓 𝒅𝒙 (𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟑)

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔)

𝟏𝟓) ∫

𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 − 𝟑𝟔 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔)

(𝒙𝟐

(𝟓𝒙𝟐

(𝒙𝟐

𝒙 𝒅𝒙 − 𝟔𝒙 − 𝟐𝟕)

III. 3.5.2.- Resolver usando la técnica de integración por descomposición en fracciones simples: 𝟏) ∫

𝒙𝟐

𝟐𝒙 + 𝟏𝟑 𝒅𝒙 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓

𝟓𝒙 𝟒) ∫ 𝒅𝒙 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏

𝟐) ∫

𝟓𝒙 − 𝟏𝟕 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗

𝟑) ∫

𝟑𝒙 + 𝟏𝟗 𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔

𝟓) ∫

𝟑𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝟐 𝟗𝒙 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒

𝟔) ∫

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟏 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖)

III. 3.5.3.- Resolver usando la técnica de integración por descomposición en fracciones simples: 𝟏)

𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓)(𝒙𝟐 + 𝟏)

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟒 𝟒) 𝟑 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟖)

𝟐)

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟕 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕)(𝒙𝟐 + 𝟐)

𝟑)

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟗)

𝟓)

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟐 𝒅𝒙 (𝒙𝟑 + 𝟕𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑𝟓)

𝟔)

𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 (𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐)

III. 3.5.4.- Resolver usando la técnica de integración por descomposición en fracciones simples: 𝟏)

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔)𝟐

𝟐)

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔)𝟐

𝟑)

𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟖 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟕)𝟐

𝟒)

𝒙+𝟖 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟑)𝟐

𝟓)

𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑

𝟔)

𝟒𝒙𝟒 + 𝟏𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟕 𝒅𝒙 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑)𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

133

U N I D A D IV IV.1.0.- INTEGRAL DEFINIDA Sea 𝒇(𝒙) una función definida en un intervalo [𝒂, 𝒃], se dice que la integral definida está dada por:

𝒃 ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

= 𝑳𝒊𝒎 ∑𝒏𝟏 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙, siempre que exista el límite. El matemático Bernhard 𝒏→∞

Riemann, facilitó la definición fundamentada en un límite, que aproxima el área de una región curvilínea seccionada en rectángulos, mientras más divisiones en rectángulos, la sumatoria se aproxima más al área real de la curva, sin embargo, la notación moderna de las integrales definidas fue presentada por Gottfried Leibniz, considerándolo como una suma infinita de los sumandos infinitesimales. Cuando 𝒃

hacemos uso de la notación de Leibniz ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙, a la función 𝒇(𝒙) se le denomina integrando, además al elemento “a” y “b” se le denomina límite de integración inferior y superior respectivamente.

De la sumatoria de Riemann: 𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 𝒏→∞

𝟏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 [ 𝒇(𝒙𝟏 ) ∙ ∆𝒙 + 𝒇(𝒙𝟐 ) ∙ ∆𝒙 + 𝒇(𝒙𝟑 ) ∙ ∆𝒙 + 𝒇(𝒙𝟒 ) ∙ ∆𝒙 + ⋯ + 𝒇(𝒙𝒏 ) ∙ ∆𝒙 ] 𝒏→∞

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 [ 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝟐 ) + 𝒇(𝒙𝟑 ) + 𝒇(𝒙𝟒 ) + ⋯ + 𝒇(𝒙𝒏 ) ] ∙ ∆𝒙 𝒏→∞

Construimos la sucesión: 𝒙𝒐 = 𝒂

→

𝒙𝒐 = 𝒂

→

𝒙𝟏 = 𝒙𝟎 + ∆𝒙

→

𝒙𝟏 = 𝒙𝒐 + ∆𝒙

→

𝒙𝟏 = 𝒙𝒐 + 𝟏. ∆𝒙

𝒙𝟐 = 𝒙𝟏 + ∆𝒙

→

𝒙𝟐 = (𝒙𝒐 + ∆𝒙) + ∆𝒙

→

𝒙𝟐 = 𝒙𝒐 + 𝟐. ∆𝒙

𝒙𝟑 = 𝒙𝟐 + ∆𝒙

→

𝒙𝟑 = (𝒙𝒐 + 𝟐∆𝒙) + ∆𝒙

→

𝒙𝟑 = 𝒙𝒐 + 𝟑. ∆𝒙

𝒙𝒊 = 𝒙𝒊−𝟏 + ∆𝒙

→

𝒙𝒊 = (𝒙𝒐 + (𝒊 − 𝟏)∆𝒙) + ∆𝒙

→

𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊. ∆𝒙

𝒙𝒏−𝟏 = 𝒙𝒏−𝟐 + ∆𝒙

→

𝒙𝒏−𝟏 = 𝒙𝒐 + (𝒏 − 𝟐). ∆𝒙 + ∆𝒙

→

𝒙𝒏−𝟏 = 𝒙𝒐 + (𝒏 − 𝟏) ∙ ∆𝒙

𝒙𝒏 = 𝒙𝒏−𝟏 + ∆𝒙

→

𝒙𝒏 = 𝒙𝒐 + (𝒏 − 𝟏). ∆𝒙 + ∆𝒙

→

𝒙𝒏 = 𝒙𝒐 + 𝒏 ∙ ∆𝒙

𝒙𝒐 = 𝒂

De la cual, las particiones o sub intervalos iguales, se determinan: 𝒙𝒏 = 𝒙𝒐 + 𝒏 ∙ ∆𝒙

→

𝒃 = 𝒂 + 𝒏 ∙ ∆𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

→

∆𝒙 =

𝒃−𝒂 𝒏 José E. Ornelas G.

134

IV.1.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA (Suma de Riemann): Ejemplo 1

Ejemplo 2 𝟑

𝟑

Aplicar Riemann en la integral ∫𝟎 𝒙 𝒅𝒙

Aplicar Riemann en la integral ∫𝟎 (𝟐𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙

Paso 1: Teoremas fundamentales para aplicar Riemann:

Paso 1: Teoremas fundamentales para aplicar Riemann:

𝒏

𝒂) ∑ 𝒊 = 𝟏 𝒏

𝒃) ∑ 𝒊𝟐 = 𝟏 𝒏

𝒏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝟐

𝒂) ∑ 𝒊 = 𝟏 𝒏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ∙ (𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔

𝒄) ∑ 𝒊𝟑 = [ 𝟏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ] 𝟐

𝒃) ∑ 𝒊𝟐 = 𝟏 𝒏

𝟐

𝟏

𝒏

𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒙𝒊 ∙ ∆𝒙 𝒏→∞

𝟏 𝒏

𝒏

𝟑 𝟑 𝟑 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇 ( 𝒊) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( 𝒊) ∙ ( ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝟏 𝒏

𝟏

𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑(𝟐𝒙𝒊 − 𝟏) ∙ ∆𝒙 𝒏→∞

𝒏→∞

𝟏 𝒏

𝟏 𝒏

𝟑 𝟑 𝟑 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇 ( 𝒊) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (𝟐 ∙ 𝒊 − 𝟏) ∙ ( ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏

𝟗 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( 𝟐 𝒊) 𝒏→∞ 𝒏

𝟏 𝒏

𝟏

𝒏

𝟗 𝒏(𝒏 + 𝟏) ∙[ ] 𝒏 → ∞ 𝒏𝟐 𝟐

→ 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎

𝟏

Resolver el producto notable y efectuar: 𝟗 𝒏𝟐 + 𝒏 ∙[ ] 𝒏 → ∞ 𝒏𝟐 𝟐

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎

→ 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ( 𝒏→∞

𝟗𝒏𝟐 𝟗𝒏 + ) 𝟐𝒏𝟐 𝟐𝒏𝟐

Simplificar: 𝟗 𝟗 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ( + ) 𝒏→∞ 𝟐 𝟐𝒏 Aplicar teoremas fundamentales de límites y efectuar: 𝟗 𝟗 𝟏 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ( ) + 𝑳𝒊𝒎 ( ) 𝒏→∞ 𝟐 𝟐 𝒏→∞ 𝒏 𝟗 𝟗 𝟗 𝑺= + ∙𝟎 → 𝑺= 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑

∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟏

𝒏

𝟔 𝟑 𝟏𝟖 𝟑 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( 𝒊 − 𝟏) ∙ ( ) = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( 𝟐 𝒊 − ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏

Paso 4: Aplicar las propiedades: 𝟗 ∑𝒊 𝒏 → ∞ 𝒏𝟐

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝟐 ] 𝟐

Paso 2: Determinar los sub-intervalos de igual longitud: 𝒃−𝒂 ∆𝒙 = 𝒏 𝟑−𝟎 𝟑 ∆𝒙 = → ∆𝒙 = 𝒏 𝒏 𝟑 𝟑 𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊 ∙ ∆𝒙 → 𝒙𝒊 = (𝟎 + 𝒊 ∙ ) → 𝒙𝒊 = 𝒊 𝒏 𝒏 Paso 2: Aplicar la sumatoria de Riemann:

𝟏 𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ∙ (𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔

𝒄) ∑ 𝒊𝟑 = [

Paso 2: Determinar los sub-intervalos de igual longitud: 𝒃−𝒂 𝟑−𝟎 𝟑 ∆𝒙 = → ∆𝒙 = → ∆𝒙 = 𝒏 𝒏 𝒏 𝟑 𝟑 𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊 ∙ ∆𝒙 → 𝒙𝒊 = (𝟎 + 𝒊 ∙ ) → 𝒙𝒊 = 𝒊 𝒏 𝒏 Paso 2: Aplicar la sumatoria de Riemann: 𝒏→∞

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝟐

𝟗 𝟐

𝟏

𝟏

Paso 4: Aplicar las propiedades: 𝒏

𝟏𝟖 𝟑 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( 𝟐 𝒊 − ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝟏

𝒏

𝒏

𝟏

𝟏

𝟏𝟖 𝟑 → 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟐 ∑ 𝒊 − ∑ 𝟏 𝒏→∞ 𝒏 𝒏

𝟏𝟖 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟑 𝑺 = 𝑳ì𝒎 [ 𝟐 ∙ − ∙𝒏] 𝒏→∞ 𝒏 𝟐 𝒏

Resolver el producto notable y efectuar: 𝑺 = 𝑳ì𝒎 [ 𝒏→∞

𝟏𝟖 𝒏𝟐 + 𝒏 𝟑 𝟏𝟖𝒏𝟐 𝟏𝟖𝒏 𝟑𝒏 ∙ − ∙ 𝒏] = 𝑳ì𝒎 [ + − ] 𝒏 → ∞ 𝟐𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝟐 𝒏 𝟐𝒏𝟐 𝒏

Simplificar: 𝑺 = 𝑳ì𝒎 [𝟗 + 𝒏→∞

𝟗 𝟗 − 𝟑] → 𝑺 = 𝑳ì𝒎 [𝟔 + ] 𝒏 → ∞ 𝒏 𝒏

Aplicar teoremas fundamentales de límites y efectuar: 𝟏 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 (𝟔) + 𝟗 𝑳𝒊𝒎 ( ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝑺=𝟔+𝟗∙𝟎 → 𝑺 =𝟔 𝟑

∫ (𝟐𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 = 𝟔 𝟎

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

135

Ejemplo 3

Ejemplo 4 𝟒

𝟒

Aplicar Riemann en la integral ∫𝟏 𝒙 𝒅𝒙

Aplicar Riemann en la integral ∫𝟐 (𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

Paso 1: Teoremas fundamentales para aplicar Riemann:

Paso 1: Teoremas fundamentales para aplicar Riemann:

𝒏

𝒂) ∑ 𝒊 = 𝟏

𝒏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝟐

𝒏

𝒂) ∑ 𝒊 = 𝟏 𝒏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ∙ (𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔

𝒃) ∑ 𝒊𝟐 = 𝟏 𝒏

𝒄) ∑ 𝒊𝟑 = [ 𝟏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ] 𝟐

𝟏 𝒏

𝟐

𝒄) ∑ 𝒊𝟑 = [ 𝟏

𝟒−𝟏 𝟑 → ∆𝒙 = 𝒏 𝒏 𝟑 ) → 𝒏

𝒙𝒊 = 𝟏 +

𝟑 𝒊 𝒏

Paso 2: Aplicar la sumatoria de Riemann: 𝒏 𝒏→∞

𝟏

𝟏 𝒏

𝟏

𝟑 𝟑 𝟑 𝒊) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (𝟏 + 𝒊) ∙ ( ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝟏

𝟑 𝟗 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( + 𝟐 𝒊) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝟏

𝒏

𝟏

𝟏

𝟑 𝟗 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ( ∙ 𝒏) + 𝑳𝒊𝒎 [ 𝟐 ∙ ] 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝟐

Resolver el producto notable y efectuar: 𝟗 𝒏𝟐 + 𝒏 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟑 + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∙ ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝟐 𝟗𝒏𝟐 𝟗𝒏 + ) 𝟐𝒏𝟐 𝟐𝒏𝟐

Simplificar: 𝟗 𝟗 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟑 + 𝑳𝒊𝒎 ( + ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝟐 𝟐𝒏 Aplicar teoremas fundamentales de límites y efectuar: 𝟗 𝟗 𝟏 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟑 + 𝑳𝒊𝒎 ( ) + 𝑳𝒊𝒎 ( ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝟐 𝟐 𝒏→∞ 𝒏 𝟗 𝟗 + ∙𝟎 𝟐 𝟐

→

𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑(𝒙𝒊 + 𝟓) ∙ ∆𝒙 𝒏→∞

𝒏→∞

𝟏 𝒏

𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇 (𝟐 + 𝒏→∞

𝟏

𝟏 𝒏

𝟐 𝟐 𝟐 𝒊) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (𝟐 + 𝒊 + 𝟓) ∙ ( ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝟏

𝒏

𝟏

𝒏

𝑺=𝟑+

𝟐 𝒊 𝒏

𝑺=

𝟏

𝒏

𝟑 𝟗 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ( ∑ 𝟏) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∑ 𝒊) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏

𝒏→∞

𝒙𝒊 = 𝟐 +

𝟐 𝟐 𝟒 𝟏𝟒 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( 𝒊 + 𝟕) ∙ ( ) = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( 𝟐 𝒊 + ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏

Paso 4: Aplicar las propiedades:

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟑 + 𝑳𝒊𝒎 (

𝟑 ) → 𝒏

Paso 2: Aplicar la sumatoria de Riemann:

𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇 (𝟏 +

𝒏→∞

𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊 ∙ ∆𝒙 → 𝒙𝒊 = (𝟐 + 𝒊 ∙ 𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒙𝒊 ∙ ∆𝒙

𝒏→∞

𝟒−𝟐 𝟐 → ∆𝒙 = 𝒏 𝒏

𝒏

𝒏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝟐 ] 𝟐

Paso 2: Determinar los sub-intervalos de igual longitud: 𝒃−𝒂 ∆𝒙 = 𝒏 ∆𝒙 =

𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊 ∙ ∆𝒙 → 𝒙𝒊 = (𝟏 + 𝒊 ∙

𝒏→∞

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ∙ (𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔

𝒃) ∑ 𝒊𝟐 =

Paso 2: Determinar los sub-intervalos de igual longitud: 𝒃−𝒂 ∆𝒙 = 𝒏 ∆𝒙 =

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝟐

𝟏𝟓 𝟐

𝟒

𝟏𝟓 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟏

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟒 𝟏𝟒 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( 𝟐 𝒊 + ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝟏

Paso 4: Aplicar las propiedades: 𝒏

𝒏

𝟏

𝟏

𝟒 𝟏𝟒 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 [ 𝟐 ∑ 𝒊] + 𝑳𝒊𝒎 [ ∑ 𝟏] 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝟒 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟏𝟒 𝑺 = 𝑳ì𝒎 [ 𝟐 ∙ ] + 𝑳ì𝒎 [ ∙ 𝒏] 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝟐 Resolver el producto notable y efectuar: 𝟒 𝒏𝟐 + 𝒏 𝟏𝟒 𝟒𝒏𝟐 𝟒𝒏 𝑺 = 𝑳ì𝒎 [ 𝟐 ∙ + ∙ 𝒏] = 𝑳ì𝒎 [ 𝟐 + 𝟐 + 𝟏𝟒] 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 → ∞ 𝟐𝒏 𝟐 𝒏 𝟐𝒏 Simplificar: 𝟒 𝟒 𝑺 = 𝑳ì𝒎 [𝟐 + + 𝟏𝟒] → 𝑺 = 𝑳ì𝒎 [𝟏𝟔 + ] 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 Aplicar teoremas fundamentales de límites y efectuar: 𝟏 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 (𝟏𝟔) + 𝟒 𝑳𝒊𝒎 ( ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝑺 = 𝟏𝟔 + 𝟒 ∙ 𝟎 → 𝑺 = 𝟏𝟔 𝟒

∫ (𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 = 𝟏𝟔 𝟐

José E. Ornelas G.

136

Ejemplo 5

Ejemplo 6 𝟑

𝟒

Aplicar Riemann en la integral ∫𝟏 𝒙𝟐 𝒅𝒙

Aplicar Riemann en la integral ∫−𝟏 𝒙𝟐 𝒅𝒙

Paso 1: Teoremas fundamentales para aplicar Riemann:

Paso 1: Teoremas fundamentales para aplicar Riemann:

𝒏

𝒂) ∑ 𝒊 = 𝟏

𝒏

𝟐

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝒏 + 𝒏 = 𝟐 𝟐

𝒏

𝒃) ∑ 𝒊𝟐 = 𝟏

𝒂) ∑ 𝒊 = 𝟏

𝟐𝒏𝟑

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ∙ (𝟐𝒏 + 𝟏) = 𝟔

𝒏

+ 𝟑𝒏𝟐

𝒏

+𝒏

𝒃) ∑ 𝒊𝟐 =

𝟔

𝟏

𝟏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝒏𝟒 + 𝟐𝒏𝟑 + 𝒏𝟐 ] = 𝟐 𝟒

𝒄) ∑ 𝒊𝟑 = [ 𝟏

Paso 2: Determinar los sub-intervalos de igual longitud: 𝒃−𝒂 𝟒−𝟏 𝟑 ∆𝒙 = → ∆𝒙 = → ∆𝒙 = 𝒏 𝒏 𝒏 𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊 ∙ ∆𝒙 → 𝒙𝒊 = (𝟏 + 𝒊 ∙

𝟑 ) → 𝒏

𝒙𝒊 = 𝟏 +

𝟑 𝒊 𝒏

𝒏→∞

𝟏

𝒏

𝒏

𝟏

𝟏

𝒏→∞

𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇 (𝟏 + 𝒊) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (𝟏 + 𝒊) ∙ ( ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏

𝟏 𝒏

𝒏→∞

𝒏

𝟏

𝟏

𝟏 𝒏

𝟖 𝟏𝟔 𝟒 𝒊 + 𝟐 𝒊𝟐 ) ∙ 𝒏 𝒏 𝒏

𝟒 𝟑𝟐 𝟔𝟒 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( − 𝟐 𝒊 + 𝟑 𝒊𝟐 ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏

𝟏

𝟏

Paso 4: Aplicar las propiedades:

𝒏

𝒏

𝟑 𝟏𝟖 𝟐𝟕 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ( ∑ 𝟏) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∑ 𝒊) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟑 ∑ 𝒊𝟐 ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝟏𝟖 𝑳𝒊𝒎 𝟑 + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∙ 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏

𝟏

𝒏

𝒏

Paso 4: Aplicar las propiedades:

𝟏

𝒏𝟐

𝒏→∞

𝟏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (𝟏 −

𝟑 𝟏𝟖 𝟐𝟕 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( + 𝟐 𝒊 + 𝟑 𝒊𝟐 ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏

𝟏

𝒏

Resolver el producto y efectuar:

𝟔 𝟗 𝟑 𝒊 + 𝟐 𝒊𝟐 ) ∙ 𝒏 𝒏 𝒏

𝒏

𝟒 𝒊 𝒏

𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇 (−𝟏 + 𝒊) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (−𝟏 + 𝒊) ∙ ( ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏

Resolver el producto y efectuar: 𝒏

𝒙𝒊 = −𝟏 +

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒙𝒊 𝟐 ∙ ∆𝒙

𝟏

𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (𝟏 +

𝟒 ) → 𝒏

Paso 2: Aplicar la sumatoria de Riemann:

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒙𝒊 ∙ ∆𝒙

𝒏→∞

Paso 2: Determinar los sub-intervalos de igual longitud: 𝒃−𝒂 𝟑 − (−𝟏) 𝟑 + 𝟏 𝟒 ∆𝒙 = → ∆𝒙 = = → ∆𝒙 = 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏

𝒏 𝟐

𝒏→∞

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝒏𝟒 + 𝟐𝒏𝟑 + 𝒏𝟐 ] = 𝟐 𝟒

𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊. ∆𝒙 → 𝒙𝒊 = (−𝟏 + 𝒊 ∙

Paso 2: Aplicar la sumatoria de Riemann: 𝒏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ∙ (𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏 = 𝟔 𝟔

𝒏

𝟐

𝒄) ∑ 𝒊𝟑 = [

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝒏𝟐 + 𝒏 = 𝟐 𝟐

+𝒏 𝟐𝟕 ) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟑 ∙ 𝒏→∞ 𝒏 𝟐

𝟏

𝟐𝒏𝟑

+

𝟑𝒏𝟐

+𝒏

𝟔

𝒏

𝒏

𝟏

𝟏

𝟐

)

𝟏𝟖𝒏𝟐 𝟏𝟖𝒏 𝟓𝟒𝒏𝟑 𝟖𝟏𝒏𝟐 𝟐𝟕𝒏 𝑳𝒊𝒎 𝟑 + 𝑳𝒊𝒎 ( + ) + 𝑳𝒊𝒎 ( + + ) 𝟐 𝟐 𝒏→∞ 𝒏 → ∞ 𝟐𝒏 𝒏 → ∞ 𝟔𝒏𝟑 𝟐𝒏 𝟔𝒏𝟑 𝟔𝒏𝟑

𝒏

𝟒 𝟑𝟐 𝟔𝟒 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ( ∑ 𝟏) − 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∑ 𝒊) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟑 ∑ 𝒊𝟐 ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝟏

𝟑

𝟐

𝟑𝟐 𝒏 + 𝒏 𝟔𝟒 𝟐𝒏 + 𝟑𝒏 + 𝒏 𝑳𝒊𝒎 𝟒 − 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∙ ) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟑 ∙ ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝟐 𝟔 𝑳𝒊𝒎 𝟒 − 𝑳𝒊𝒎 ( 𝒏→∞

𝒏→∞

𝟑𝟐𝒏𝟐 𝟑𝟐𝒏 𝟏𝟐𝟖𝒏𝟑 𝟏𝟗𝟐𝒏𝟐 𝟔𝟒𝒏 + ) + 𝑳𝒊𝒎 ( + + ) 𝟐 𝟐 𝒏→∞ 𝟐𝒏 𝟐𝒏 𝟔𝒏𝟑 𝟔𝒏𝟑 𝟔𝒏𝟑

Simplificar:

Simplificar: 𝟗 𝟐𝟕 𝟗 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟑 + 𝑳𝒊𝒎 (𝟗 + ) + 𝑳𝒊𝒎 (𝟗 + + ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝟐𝒏 𝟐𝒏𝟐

Aplicar teoremas fundamentales de límites y efectuar: 𝟗 𝟐𝟕 𝟗 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟑 + 𝑳𝒊𝒎 (𝟗 + ) + 𝑳𝒊𝒎 (𝟗 + + ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝟐𝒏 𝟐𝒏𝟐 𝟐𝟕 𝟗 𝑺= 𝟑+𝟗+𝟗∙𝟎+𝟗+ ∙𝟎+ ∙𝟎 𝟐 𝟐 𝑺 = 𝟑 + 𝟗 + 𝟎 + 𝟗 + 𝟎 + 𝟎 → 𝑺 = 𝟐𝟏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟒 − 𝑳𝒊𝒎 (𝟏𝟔 + 𝒏→∞

𝒏→∞

𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝟑𝟐 𝟑𝟐 ) + 𝑳𝒊𝒎 ( + + ) 𝒏→∞ 𝒏 𝟑 𝒏 𝟑𝒏𝟐

Aplicar teoremas fundamentales de límites y efectuar: 𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝟑𝟐 𝟑𝟐 ) + 𝑳𝒊𝒎 ( + + ) 𝒏→∞ 𝟑 𝒏 𝒏 𝟑𝒏𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟐 𝑺 = 𝟒 − 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔 ∙ 𝟎 + + 𝟑𝟐 ∙ 𝟎 + ∙𝟎 𝟑 𝟑 𝟔𝟒 𝟐𝟖 𝑺 = 𝟒 − 𝟏𝟔 + 𝟎 + +𝟎+𝟎 → 𝑺= 𝟑 𝟑 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟒 − 𝑳𝒊𝒎 (𝟏𝟔 + 𝒏→∞

𝒏→∞

𝟒

∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐𝟏 𝟏

𝟑

∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐𝟖/𝟑 −𝟏

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

137

Ejemplo 7

Ejemplo 8 𝟔

𝟓

Aplicar Riemann en la integral ∫𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙

Aplicar Riemann en la integral ∫−𝟏(𝒙𝟐 + 𝒙)𝒅𝒙

Paso 1: Teoremas fundamentales para aplicar Riemann:

Paso 1: Teoremas fundamentales para aplicar Riemann:

𝒏

𝒏

𝟐

𝒂) ∑ 𝒊 = 𝟏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝒏 + 𝒏 = 𝟐 𝟐

𝒏

𝒃) ∑ 𝒊𝟐 = 𝟏

𝟏

𝟐𝒏𝟑

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ∙ (𝟐𝒏 + 𝟏) = 𝟔

𝒏

+ 𝟑𝒏𝟐

𝒏

+𝒏

𝟏

𝟔

𝟏 𝒏

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝒏𝟒 + 𝟐𝒏𝟑 + 𝒏𝟐 ] = 𝟐 𝟒

𝒄) ∑ 𝒊𝟑 = [ 𝟏

Paso 2: Determinar los sub-intervalos de igual longitud: 𝒃−𝒂 𝟔−𝟐 𝟒 ∆𝒙 = → ∆𝒙 = → ∆𝒙 = 𝒏 𝒏 𝒏 𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊. ∆𝒙 → 𝒙𝒊 = (𝟐 + 𝒊 ∙

𝟒 ) → 𝒏

𝒙𝒊 = 𝟐 +

𝟒 𝒊 𝒏

Paso 2: Aplicar la sumatoria de Riemann: 𝒏

𝒙𝒊 = 𝒙𝒐 + 𝒊. ∆𝒙 → 𝒙𝒊 = (−𝟏 + 𝒊 ∙

𝟏

𝒏

𝟏

𝒏

𝒏

𝟏

𝟏

𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇 (𝟐 + 𝒊) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ [(𝟐 + 𝒊) + 𝟏] ∙ ( ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (𝟒 + 𝒏→∞

𝟏 𝒏

𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟒 𝒊 + 𝟐 𝒊𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒏 𝒏 𝒏

𝒏→∞

𝟔 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇 (−𝟏 + 𝒊) ∙ ∆𝒙 𝒏→∞ 𝒏 𝟏 𝒏

𝒏 𝒏→∞

𝒏

𝒏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟐𝟎 𝟔𝟒 𝟔𝟒 ∑ 𝟏) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∑ 𝒊) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟑 ∑ 𝒊𝟐 ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝒏

𝟐𝟎𝒏 𝟔𝟒 𝒏𝟐 + 𝒏 𝟔𝟒 𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏 + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∙ ) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟑 ∙ ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝟐 𝟔

𝑳𝒊𝒎

𝟔𝟒𝒏𝟐 𝟔𝟒𝒏 𝟏𝟐𝟖𝒏𝟑 𝟏𝟗𝟐𝒏𝟐 𝟔𝟒𝒏 + ) + 𝑳𝒊𝒎 ( + + ) 𝒏→∞ 𝟐𝒏𝟐 𝟐𝒏𝟐 𝟔𝒏𝟑 𝟔𝒏𝟑 𝟔𝒏𝟑

Simplificar y aplicar teoremas fundamentales de límites: 𝟑𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟐 𝟑𝟐 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 𝟐𝟎 + 𝑳𝒊𝒎 (𝟑𝟐 + ) + 𝑳𝒊𝒎 ( + + ) 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏→∞ 𝒏 𝟑 𝒏 𝟑𝒏𝟐 𝟔𝟒 +𝟎+𝟎 𝟑

𝟏 𝒏

𝟏 𝒏

𝒏

𝑺 = 𝟐𝟎 + 𝟑𝟐 + 𝟎 +

𝟔 𝟐 𝟔 𝟔 𝒊) + (−𝟏 + 𝒊)] ∙ ( ) 𝒏 𝒏 𝒏

𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟔 𝟔 𝒊 + 𝟐 𝒊𝟐 − 𝟏 + 𝒊) ∙ 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏

𝟔 𝟑𝟔 𝟔 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (− 𝒊 + 𝟐 𝒊𝟐 ) ∙ 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏

Paso 4: Aplicar las propiedades:

𝒏→∞

𝟏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (𝟏 −

𝟏

𝒏→∞

𝟏

𝒏

Resolver el producto notable y efectuar:

𝟐𝟎 𝟔𝟒 𝟔𝟒 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( + 𝟐 𝒊 + 𝟑 𝒊𝟐 ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏

𝑳𝒊𝒎 𝟐𝟎 + 𝑳𝒊𝒎 (

𝒏→∞

𝟏

𝒏→∞

𝟏 𝒏

𝒏→∞

𝟔 𝒊 𝒏

𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ [(−𝟏 +

𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝟔𝟒 𝟒 𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ ( + 𝟐 𝒊 + 𝟑 𝒊𝟐 + ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 (

𝒙𝒊 = −𝟏 +

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑(𝒙𝒊 𝟐 + 𝒙) ∙ ∆𝒙

Resolver el producto notable y efectuar: 𝒏

𝟔 ) → 𝒏

Paso 2: Aplicar la sumatoria de Riemann:

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∙ ∆𝒙 = 𝑳𝒊𝒎 ∑(𝒙𝒊 + 𝟏) ∙ ∆𝒙 𝒏→∞

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝒏𝟒 + 𝟐𝒏𝟑 + 𝒏𝟐 ] = 𝟐 𝟒

Paso 2: Determinar los sub-intervalos de igual longitud: 𝒃−𝒂 𝟓 − (−𝟏) 𝟓 + 𝟏 𝟔 ∆𝒙 = → ∆𝒙 = = → ∆𝒙 = 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏

𝒏 𝟐

𝒏→∞

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) ∙ (𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏 = 𝟔 𝟔

𝒃) ∑ 𝒊𝟐 =

𝟐

𝒄) ∑ 𝒊𝟑 = [

𝒏 ∙ (𝒏 + 𝟏) 𝒏𝟐 + 𝒏 = 𝟐 𝟐

𝒂) ∑ 𝒊 =

→

𝑺 = 𝟐𝟐𝟎/𝟑

𝟔

∫ (𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟐𝟐𝟎/𝟑

𝑺 = 𝑳𝒊𝒎 ∑ (− 𝒏→∞

𝟏

𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟔 𝒊 + 𝟑 𝒊𝟐 ) 𝒏𝟐 𝒏

Paso 4: Aplicar las propiedades: 𝒏

𝒏

𝟏

𝟏

𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟔 𝑺 = − 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∑ 𝒊) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟑 ∑ 𝒊𝟐 ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝒏 𝟑𝟔 𝒏𝟐 + 𝒏 𝟐𝟏𝟔 𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏 𝑺 = − 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟐 ∙ ) + 𝑳𝒊𝒎 ( 𝟑 ∙ ) 𝒏→∞ 𝒏 𝒏→∞ 𝟐 𝒏 𝟔 𝑺 = − 𝑳𝒊𝒎 ( 𝒏→∞

𝟑𝟔𝒏𝟐 𝟑𝟔𝒏 𝟒𝟑𝟐𝒏𝟑 𝟔𝟒𝟖𝒏𝟐 𝟐𝟏𝟔𝒏 + ) + 𝑳𝒊𝒎 ( + + ) 𝟐 𝟐 𝒏→∞ 𝟐𝒏 𝟐𝒏 𝟔𝒏𝟑 𝟔𝒏𝟑 𝟔𝒏𝟑

Simplificar y aplicar teoremas fundamentales de límites: 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟖 𝟑𝟔 𝑺 = − 𝑳𝒊𝒎 (𝟏𝟖 + ) + 𝑳𝒊𝒎 (𝟕𝟐 + + 𝟐) 𝒏→∞ 𝒏 → ∞ 𝒏 𝒏 𝒏 𝑺 = −𝟏𝟖 − 𝟎 + 𝟕𝟐 + 𝟎 + 𝟎

→

𝑺 = 𝟓𝟒

𝟐 𝟓

∫ (𝒙𝟐 + 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟓𝟒 −𝟏

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

138

IV.1.2.- EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRAL DEFINIDA (Suma de Riemann): IV. 1.2.1.- Resolver cada uno de los siguientes ejercicios aplicando la Suma de Riemann: 𝟐

𝟐

𝟏) ∫ 𝒙 𝒅𝒙

𝟐

𝟐) ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟎

𝟎

𝟎 𝟒

𝟑

𝟒) ∫ (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟑

𝟓) ∫ (𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 𝟐

𝟏

𝟐

𝟖) ∫ (𝟐𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 𝟏

𝟎 𝟐

𝟔) ∫ (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝟏

𝟐

𝟐

𝟕) ∫ (𝟒𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝟑) ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟗) ∫ (𝟑𝒙 − 𝟓)𝒅𝒙 𝟎

𝟓

𝟐

𝟏𝟎) ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟏𝟏) ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟏𝟐) ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟎

𝟑

𝟏

𝟐

𝟏𝟑) ∫ (𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙 𝟎 𝟐

𝟏𝟔) ∫ (𝒙𝟐 + 𝒙) 𝒅𝒙 𝟎 𝟑

𝟏𝟗) ∫ (𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 −𝟏 −𝟐

𝟐𝟐) ∫ (𝟔𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 −𝟑 𝟐

𝟐𝟓) ∫ (𝟑 − 𝒙) 𝒅𝒙 𝟎 𝟑

𝟐𝟖) ∫ (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝟏

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟐

𝟏𝟏) ∫ (𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐

𝟏𝟕) ∫ (𝒙𝟐 − 𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟎

𝟐𝟎) ∫ (𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 −𝟐 𝟎

𝟐𝟑) ∫ (𝟒𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 −𝟑 𝟑

𝟐𝟔) ∫ (𝟏 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟏

𝟐𝟗) ∫ (𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 𝟎

𝟑

𝟏𝟐) ∫ (𝒙𝟐 − 𝟑)𝒅𝒙 𝟐 𝟑

𝟏𝟖) ∫ (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝟎

𝟐𝟏) ∫ (𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙)𝒅𝒙 −𝟏 −𝟑

𝟐𝟒) ∫ (𝟖𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 −𝟐 𝟎

𝟐𝟕) ∫ (𝟑 − 𝟐𝒙)𝒅𝒙 −𝟐 𝟑

𝟑𝟎) ∫ (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 𝟐

José E. Ornelas G.

139

IV.1.3.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO El cálculo hace referencia a la relación existente entre la diferenciación y la integración, en la que una es la inversa de la otra, tal como lo hemos observado en los objetivos previstos en esta guía práctica, es decir, que hay una estrecha relación entre el cálculo diferencial y el cálculo integral. En la antigüedad el cálculo del área se realizaba haciendo uso del cálculo infinitesimal, al que hoy es llamado integración. Esta era una rama de las matemáticas que se estaba desarrollando en forma separada del cálculo diferencial, en la que venían trabajando Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz entre otros, dando como resultado a conceptos fundamentales como las derivadas. James Gregory matemático y astrónomo escocés, entre sus aportes significativos fue la primera publicación del teorema fundamental del cálculo, mientras que el británico Isaac Barrow (teólogo y matemático) publicó Lectiones Opticae et Geometricae que se acerca al presente proceso de diferenciación, instituyó que la derivación y la integración son procesos inversos. Sin embargo, Isaac Newton desarrollo los principios sobre cálculo diferencial e integral, mientras que el matemático alemán Gottfried Wilhelm Von Leibniz por otro lado, establece conceptos básicos del cálculo diferencial, las reglas de diferenciación y la notación moderna de las integrales definidas, considerándolo como una suma infinita de los sumandos infinitesimales. IV 1.3.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (ISAAC BARROW): Sea 𝒇(𝒙) una función continua integrable en un intervalo [𝒂, 𝒃] ∈ 𝕽, siendo la función 𝒉(𝒙) la primitiva o integral indefinida, entonces se afirma que 𝒉′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) en el intervalo [𝒂, 𝒃], de tal forma que se concluye que: 𝒃

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

𝒃 𝒂

Teorema Fundamental del Cálculo 𝒚 𝒇 𝒙 ≥𝟎

𝒃

→

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒃) − 𝒉(𝒂) 𝒂

En una función continua 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎, tal como lo indica la figura, podemos determinar el área limitada por la función 𝒇(𝒙) y las rectas perpendiculares 𝒙𝒐 = 𝒂 y 𝒙𝒊 = 𝒃, haciendo uso del teorema propuesto por Isaac Barrow, es decir el Teorema Fundamental del Cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

𝟎

𝒙𝒐 = 𝒂

𝒅𝒙 𝒙 𝒊 = 𝒃

𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉 𝒃 − 𝒉(𝒂) 𝒂

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒙

𝒃 𝒂

𝒃

→ 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒃) − 𝒉(𝒂) 𝒂

Este teorema sintetiza el trabajo realizado por Riemann haciendo uso de la sumatoria, que aproxima el área de una región curvilínea seccionada en rectángulos, mientras más divisiones en rectángulos, la sumatoria se aproxima más al área real de la curva, sin embargo, esta sumatoria de Riemann, requiere de mucho trabajo, por tal motivo, acudimos al método de Barrow para facilitar el cálculo del área respectiva.

José E. Ornelas G.

140

IV.1.3.2.- EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA (Método de Barrow): Ejemplo 1

Método de Barrow

Ejemplo 2

𝟔

Método de Barrow 𝟓

Resolver la integral ∫𝟐 (𝟒𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙

Resolver la integral ∫−𝟏(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

𝟏. 𝟏 ∫(𝟒𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏 ∫(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

Separar integrales y aplicar integrales inmediatas: 𝒂) ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

𝒃) ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪

Separar integrales y aplicar integrales inmediatas: 𝒂) ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

𝒃) ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪

∫(𝟒𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝟒 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒅𝒙

∫(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙

𝟏 ∫(𝟒𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝟒 ( 𝒙𝟐 ) + 𝟑(𝒙) 𝟐

𝟏 ∫(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) + (𝒙) 𝟐

𝟏. 𝟏 ∫(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪

𝟏. 𝟏 ∫(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

𝟔 𝟐

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

= 𝒉(𝟔) − 𝒉(𝟐)

𝟔 𝟔 𝟐. 𝟏 ∫ (𝟒𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪 | = 𝒉(𝟔) − 𝒉(𝟐) 𝟐 𝟐

Evaluar la función para cada límite de integración:

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

𝟓 −𝟏

= 𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏)

𝟓

𝟐. 𝟏 ∫ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪 | −𝟏

𝟓 −𝟏

= 𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏)

Evaluar la función para cada límite de integración:

𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪

𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪

𝒉(𝟔) = 𝟐(𝟔)𝟐 + 𝟑(𝟔) + 𝑪 → 𝒉(𝟔) = 𝟐(𝟑𝟔) + 𝟑(𝟔) + 𝑪

𝒉(𝟓) = (𝟓)𝟐 + (𝟓) + 𝑪

→ 𝒉(𝟓) = (𝟐𝟓) + (𝟓) + 𝑪

𝒉(𝟔) = 𝟕𝟐 + 𝟏𝟖 + 𝑪

𝒉(𝟓) = 𝟐𝟓 + 𝟓 + 𝑪

→ 𝒉(𝟓) = 𝟑𝟎 + 𝑪

→ 𝒉(𝟔) = 𝟗𝟎 + 𝑪

𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪

𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪

𝒉(𝟐) = 𝟐(𝟐)𝟐 + 𝟑(𝟐) + 𝑪 → 𝒉(𝟐) = 𝟐(𝟒) + 𝟑(𝟐) + 𝑪

𝒉(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 + (−𝟏) + 𝑪 → 𝒉(−𝟏) = (𝟏) + (−𝟏) + 𝑪

𝒉(𝟐) = 𝟖 + 𝟔 + 𝑪

𝒉(−𝟏) = 𝟏 − 𝟏 + 𝑪

→ 𝒉(𝟐) = 𝟏𝟒 + 𝑪

→ 𝒉(−𝟏) = 𝟎 + 𝑪

𝟓

𝟔

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟔) − 𝒉(𝟐) 𝟐

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟓) − 𝒉(−𝟏) −𝟏 𝟓

𝟔

𝟐. 𝟏 ∫ (𝟒𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = (𝟗𝟎 + 𝑪) − (𝟏𝟒 + 𝑪) 𝟐

𝟐. 𝟏 ∫ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = (𝟑𝟎 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪) −𝟏 𝟓

𝟔

𝟐. 𝟏 ∫ (𝟒𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝟗𝟎 + 𝑪 − 𝟏𝟒 − 𝑪 𝟐

𝟔

∫ (𝟒𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝟕𝟔 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟐. 𝟏 ∫ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟑𝟎 + 𝑪 − 𝟎 − 𝑪 −𝟏

𝟓

∫ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟑𝟎 −𝟏

José E. Ornelas G.

141

Ejemplo 3

Método de Barrow

Ejemplo 4

−𝟏

Método de Barrow 𝟕

Resolver la integral ∫−𝟒 (𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

Resolver la integral ∫𝟐 (𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

𝟏. 𝟏 ∫(𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏 ∫(𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

Separar integrales y aplicar integrales inmediatas: 𝒂) ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

𝒃) ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪

Separar integrales y aplicar integrales inmediatas: 𝒂) ∫ 𝒙𝒏 𝒅𝒙 =

𝟏 𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏

𝒃) ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪

∫(𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟔 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟒 ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓 ∫ 𝒅𝒙

𝟏 𝟏 ∫(𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟔 ( 𝒙𝟑 ) + 𝟒 ( 𝒙𝟐 ) + (𝒙) 𝟑 𝟐

𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟒 ( 𝒙𝟒 ) − 𝟑 ( 𝒙𝟑 ) + 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) + 𝟓(𝒙) 𝟒 𝟑 𝟐

𝟏. 𝟏 ∫(𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪

𝟏. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝑪

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

−𝟏 −𝟒

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

= 𝒉(−𝟏) − 𝒉(−𝟒)

−𝟏

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪 |

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

−𝟏

−𝟒 Evaluar la función para cada límite de integración: −𝟒

𝟕 𝟐

= 𝒉(𝟕) − 𝒉(𝟐)

𝟕

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝑪 |

𝟕

𝟐 Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟐

𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪

𝒉(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝑪

𝒉(−𝟒) = 𝟐(−𝟒)𝟑 + 𝟐(−𝟒)𝟐 + (−𝟒) + 𝑪

𝒉(𝟕) = (𝟕)𝟒 − (𝟕)𝟑 + (𝟕)𝟐 + 𝟓(𝟕) + 𝑪

𝒉(−𝟒) = 𝟐(−𝟔𝟒) + 𝟐(𝟏𝟔) + (−𝟒) + 𝑪

𝒉(𝟕) = (𝟐𝟒𝟎𝟏) − (𝟑𝟒𝟑) + (𝟒𝟗) + 𝟓(𝟕) + 𝑪

𝒉(−𝟒) = −𝟏𝟐𝟖 + 𝟑𝟐 − 𝟒 + 𝑪 = 𝟑𝟐 − 𝟏𝟑𝟐

𝒉(𝟕) = 𝟐𝟒𝟎𝟏 − 𝟑𝟒𝟑 + 𝟒𝟗 + 𝟑𝟓 + 𝑪

𝒉(−𝟒) = −𝟏𝟎𝟎 + 𝑪

𝒉(𝟕) = 𝟐𝟒𝟖𝟓 − 𝟑𝟒𝟑 + 𝑪

𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪

𝒉(𝟕) = 𝟐𝟏𝟒𝟐 + 𝑪

𝒉(−𝟏) = 𝟐(−𝟏)𝟑 + 𝟐(−𝟏)𝟐 + (−𝟏) + 𝑪

𝒉(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝑪

𝒉(−𝟏) = 𝟐(−𝟏) + 𝟐(𝟏) + (−𝟏) + 𝑪

𝒉(𝟐) = (𝟐)𝟒 − (𝟐)𝟑 + (𝟐)𝟐 + 𝟓(𝟐) + 𝑪

𝒉(−𝟏) = −𝟐 + 𝟐 − 𝟏 + 𝑪 = 𝟐 − 𝟑

𝒉(𝟐) = (𝟏𝟔) − (𝟖) + (𝟒) + 𝟓(𝟐) + 𝑪

𝒉(−𝟏) = −𝟏 + 𝑪

𝒉(𝟐) = 𝟏𝟔 − 𝟖 + 𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝑪 𝒉(𝟐) = 𝟑𝟎 − 𝟖 + 𝑪

−𝟏

∫ (𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = (−𝟏 + 𝑪) − (−𝟏𝟎𝟎 + 𝑪) −𝟒

𝒉(𝟐) = 𝟐𝟐 + 𝑪 𝟕

−𝟏

∫ (𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏

∫ (𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 = (𝟐𝟏𝟒𝟐 + 𝑪) − (𝟐𝟐 + 𝑪) 𝟐

−𝟒

𝟕

−𝟏

𝟐. 𝟏 ∫ (𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = −𝟗𝟗

∫ (𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 = 𝟐𝟏𝟒𝟐 − 𝟐𝟐 𝟐

−𝟒

𝟕

−𝟏

∫

(𝟔𝒙𝟐

+ 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟗𝟗

𝟐. 𝟏 ∫ (𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 = 𝟐𝟏𝟐𝟎 𝟐

−𝟒 𝟕

∫ (𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 = 𝟐𝟏𝟐𝟎 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

142

Ejemplo 5

Método de Barrow 𝟑

Resolver la integral ∫𝟎 √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

a) Cambio de variable:

b) Derivar cambio de variable: 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒗 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐 c) Sustituir cambio de variable y efectuar: 𝟏 𝟏 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ √𝒗 ∙ ( 𝒅𝒗) = ∫ √𝒗 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 Aplicar integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑/𝟐 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒗 = ( 𝒗 ) 𝟐 𝟐 𝟑/𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟑/𝟐 ) = 𝒗𝟑/𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = √𝒗𝟑 𝟑 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏. 𝟏 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = √(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟑 Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝟑 𝟎

𝟑 𝟎

= 𝒉(𝟑) − 𝒉(𝟎)

𝟑 𝟏 √(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 | 𝟑 𝟎

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟏 𝒉(𝒙) = √(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝟏 𝒉(𝟑) = √(𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 = √(𝟕)𝟑 + 𝑪 𝟑 𝟑 𝟕 𝒉(𝟑) = √𝟕 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝟏 𝒉(𝟎) = √(𝟐 ∙ 𝟎 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 = √(𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟑 𝟑 𝟏 𝒉(𝟎) = + 𝑪 𝟑 𝟑 𝟕 𝟏 𝟕 𝟏 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ( √𝟕 + 𝑪) − ( + 𝑪) = √𝟕 − 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟎 𝟑

𝟐. 𝟏 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟏 (𝟕√𝟕 − 𝟏) 𝟑

𝟑

∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟒𝟑

Resolver la integral ∫𝟏 √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: 𝟏. 𝟏 ∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙

Método del cambio de variable:

𝟐. 𝟏 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 =

Método de Barrow

𝟑

𝟏. 𝟏 ∫ √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙

𝒂

Ejemplo 6

𝟏 (𝟕√𝟕 − 𝟏) 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: 𝒙−𝟑=𝒗 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 : c) Sustituir cambio de variable y efectuar: 𝟑

∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = ∫ 𝟑√𝒗 ∙ (𝒅𝒗) = ∫ 𝟑√𝒗 𝒅𝒗

Aplicar integrales inmediatas: 𝟏 𝟒/𝟑 𝟑 ∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟏/𝟑 𝒅𝒗 = ( 𝒗 ) 𝟒/𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟒/𝟑 ) = 𝒗𝟒/𝟑 𝟒 𝟒 𝟑𝟑 𝟒 𝟑 ∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = √𝒗 𝟒

Retornar el cambio de variable: 𝟑𝟑 𝟑 𝟏. 𝟏 ∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = √(𝒙 − 𝟑)𝟒 + 𝑪 𝟒 Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃 𝟒 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | = 𝒉(𝟒) − 𝒉(𝟏) 𝟏 𝒂 𝟒 𝟒 𝟑𝟑 𝟑 𝟐. 𝟏 ∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = √(𝒙 − 𝟑)𝟒 + 𝑪 | 𝟒 𝟏 𝟏 Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟑𝟑 𝒉(𝒙) = √(𝒙 − 𝟑)𝟒 + 𝑪 𝟒 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝒉(𝟒) = √(𝟒 − 𝟑)𝟒 + 𝑪 = √(𝟏)𝟒 + 𝑪 𝟒 𝟒 𝟑 𝒉(𝟒) = + 𝑪 𝟒 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝒉(𝟏) = √(𝟏 − 𝟑)𝟒 + 𝑪 = √(−𝟐)𝟒 + 𝑪 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝒉(𝟏) = ∙ 𝟐 √𝟐 + 𝑪 𝟒 𝟑𝟑 𝒉(𝟏) = √𝟐 + 𝑪 𝟐 𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 ∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = ( + 𝑪) − ( √𝟐 + 𝑪) = − √𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒

𝟑

𝟐. 𝟏 ∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟒

𝟑

𝟑 𝟏 𝟑 ( − √𝟐) 𝟐 𝟐

∫ √𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 = 𝟏

𝟑 𝟏 𝟑 ( − √𝟐) 𝟐 𝟐

José E. Ornelas G.

143

Ejemplo 7

Método de Barrow

Ejemplo 8

𝟐𝝅

Método de Barrow 𝟑𝝅

Resolver la integral ∫𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

Resolver la integral ∫𝟐𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

𝟏. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: 𝟏 𝟑𝒙 = 𝒗 𝟑𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟑 c) Sustituir cambio de variable y efectuar: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒗 ∙ ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 𝟑 𝟑 Método de las integrales inmediatas: 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪 𝟑 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟑 Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo:

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: 𝟏 𝟐𝒙 = 𝒗 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 𝟐 c) Sustituir cambio de variable y efectuar: 𝟏 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗 ∙ ( 𝒅𝒗) = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒅𝒗 𝟐 𝟐 Método de las integrales inmediatas: 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪 𝟐 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐 Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo:

𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) |

𝟐𝝅

𝒃

= 𝒉(𝟐𝝅) − 𝒉(𝝅)

𝝅 𝟐𝝅 𝟐𝝅 𝟏 𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝑪 | 𝟑 𝝅 𝝅

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) |

𝒂

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟏 𝒉(𝒙) = − 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝟏 𝒉(𝟐𝝅) = − 𝒄𝒐𝒔 (𝟑 ∙ 𝟐𝝅) + 𝑪 = − 𝒄𝒐𝒔 (𝟔𝝅) + 𝑪 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝒉(𝟐𝝅) = − ∙ (𝟏) + 𝑪 = − + 𝑪 𝟑 𝟑 𝟏 𝒉(𝟐𝝅) = − + 𝑪 𝟑 𝟏 𝟏 𝒉(𝝅) = − 𝒄𝒐𝒔 (𝟑 ∙ 𝝅) + 𝑪 = − 𝒄𝒐𝒔 (𝟑𝝅) + 𝑪 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝒉(𝝅) = − ∙ (−𝟏) + 𝑪 = + 𝑪 𝟑 𝟑 𝟏 𝒉(𝟐𝝅) = + 𝑪 𝟑 𝟐𝝅 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = (− + 𝑪) − ( + 𝑪) = − − 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝝅 𝟐𝝅

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = − 𝝅

𝒂 𝟑𝝅

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝝅

𝟑𝝅 𝟐𝝅

= 𝒉(𝟑𝝅) − 𝒉(𝟐𝝅)

𝟑𝝅 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑪 | 𝟐 𝟐𝝅

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟏 𝒉(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝒉(𝟑𝝅) = 𝒔𝒆𝒏 (𝟐 ∙ 𝟑𝝅) + 𝑪 = 𝒔𝒆𝒏 (𝟔𝝅) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟏 𝒉(𝟑𝝅) = ∙ (𝟎) + 𝑪 = 𝟎 + 𝑪 𝟐 𝒉(𝟑𝝅) = 𝑪 𝟏 𝟏 𝒉(𝟐𝝅) = 𝒔𝒆𝒏 (𝟐 ∙ 𝟐𝝅) + 𝑪 = 𝒔𝒆𝒏 (𝟒𝝅) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟏 𝒉(𝟐𝝅) = ∙ (𝟎) + 𝑪 = 𝟎 + 𝑪 𝟐 𝒉(𝟐𝝅) = 𝑪 𝟑𝝅

∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = (𝑪) − (𝑪) = 𝑪 − 𝑪 = 𝟎 𝟐𝝅 𝟑𝝅

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎 𝟐𝝅

𝟐 𝟑

𝟑𝝅

∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎 𝟐𝝅

∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = − 𝝅

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟐 𝟑

𝟐𝝅

José E. Ornelas G.

144

Ejemplo 9

Método de Barrow

Resolver la integral

𝟒 ∫𝟎 𝒙√𝒙 +

𝟐 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: 𝒙+𝟐 =𝒗 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Sustituir cambio de variable y efectuar: ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 √𝒗 𝒅𝒗

Del cambio de variable: 𝒙+𝟐 =𝒗

→

𝟕𝟐 𝟕𝟐√𝟔 − 𝟒𝟎√𝟔 +𝑪 √𝟔 − 𝟖√𝟔 + 𝑪 = 𝟓 𝟓 𝟑𝟐 𝒉(𝟒) = √𝟔 + 𝑪 𝟓 𝟐 𝟒 𝒉(𝒙) = √(𝒙 + 𝟐)𝟓 − √(𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝒉(𝟎) = √(𝟎 + 𝟐)𝟓 − √(𝟎 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝒉(𝟎) = √𝟐𝟓 − √𝟐𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝟖 𝟖 𝒉(𝟎) = 𝟐𝟐 √𝟐 − 𝟐√𝟐 + 𝑪 = √𝟐 − √𝟐 + 𝑪 𝟓 𝟑 𝟓 𝟑 𝒉(𝟒) =

𝟐𝟒√𝟐 − 𝟒𝟎√𝟐 𝟏𝟔√𝟐 +𝑪 =− +𝑪 𝟏𝟓 𝟏𝟓 𝟏𝟔 𝒉(𝟎) = − √𝟐 + 𝑪 𝟏𝟓 𝒉(𝟎) =

𝒙=𝒗−𝟐

Sustituir en la integral

𝟒

∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 − 𝟐) √𝒗 𝒅𝒗

∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟒) − 𝒉(𝟎) 𝟎

∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 − 𝟐) 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒗 = ∫(𝒗𝟑/𝟐 − 𝟐𝒗𝟏/𝟐 ) 𝒅𝒗 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟑/𝟐 𝒅𝒗 − 𝟐 ∫ 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒗

𝟒 𝟑𝟐 𝟏𝟔 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = ( √𝟔 + 𝑪) − (− √𝟐 + 𝑪) 𝟓 𝟏𝟓 𝟎 𝟒

∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 =

Método de las integrales inmediatas: 𝟏 𝟓/𝟐 𝟏 𝟑/𝟐 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = ( 𝒗 ) − 𝟐( 𝒗 ) 𝟓/𝟐 𝟑/𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟓/𝟐 ) − 𝟐 ( 𝒗𝟑/𝟐 ) 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = √𝒗𝟓 − √𝒗𝟑 𝟓 𝟑

𝟎

𝟑𝟐 𝟏𝟔 √𝟔 + √𝟐 𝟓 𝟏𝟓

𝟒

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟐 𝟖 (𝟏𝟔√𝟔 + √𝟐) 𝟓 𝟑

𝟒

∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟐 𝟖 (𝟏𝟔√𝟔 + √𝟐) 𝟓 𝟑

Retornar el cambio de variable: 𝟐 𝟒 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = √(𝒙 + 𝟐)𝟓 − √(𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑 Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂 𝟒

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟒 𝟎

= 𝒉(𝟒) − 𝒉(𝟎)

𝟒 𝟐 𝟒 √(𝒙 + 𝟐)𝟓 − √(𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 | 𝟓 𝟑 𝟎

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝒉(𝒙) =

𝟐 𝟒 √(𝒙 + 𝟐)𝟓 − √(𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑

𝒉(𝟒) =

𝟐 𝟒 √(𝟒 + 𝟐)𝟓 − √(𝟒 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑

𝒉(𝟒) =

𝟐 𝟒 √𝟔𝟓 − √𝟔𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑

𝒉(𝟒) =

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 √𝟔 − 𝟔√𝟔 + 𝑪 = ∙ 𝟑𝟔√𝟔 − 𝟖√𝟔 + 𝑪 𝟓 𝟑 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

145

Ejemplo 10

Método de Barrow

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏) √𝒗 𝒅𝒗

𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟔 √𝟔 − 𝟔𝟐 √𝟔 + 𝟔√𝟔 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝒉(𝟓) = 𝟐𝟏𝟔√𝟔 − 𝟑𝟔√𝟔 + 𝟔√𝟔 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝒉(𝟓) = √𝟔 − √𝟔 + 𝟒√𝟔 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟏𝟐𝟗𝟐 𝒉(𝟓) = √𝟔 + 𝑪 𝟑𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝒉(𝟏) = √(𝟏 + 𝟏)𝟕 − √(𝟏 + 𝟏)𝟓 + √(𝟏 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝒉(𝟏) = √𝟐𝟕 − √𝟐𝟓 + √𝟐𝟑 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟐 𝒉(𝟏) = 𝟐 √𝟐 − 𝟐 √𝟐 + 𝟐√𝟐 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝒉(𝟏) = 𝟖√𝟐 − 𝟒√𝟐 + 𝟐√𝟐 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟒 𝒉(𝟏) = √𝟐 − √𝟐 + √𝟐 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟒𝟒 𝒉(𝟏) = √𝟐 + 𝑪 𝟏𝟎𝟓

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏) 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒗

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟓) − 𝒉(𝟏)

𝒉(𝟓) =

𝟓

Resolver la integral ∫𝟏 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: b) Derivar cambio de variable: 𝒙+𝟏 =𝒗 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 c) Sustituir cambio de variable y efectuar: ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟐 √𝒗 𝒅𝒗

Del cambio de variable: 𝒙+𝟏 =𝒗 → 𝒙=𝒗−𝟏 Sustituir en la integral

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 − 𝟏)𝟐 √𝒗 𝒅𝒗 Resolver el producto notable:

𝟓 𝟏 𝟐

𝟓/𝟐

∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝒗

𝟑/𝟐

− 𝟐𝒗

𝟏/𝟐

+𝒗

) 𝒅𝒗

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟓/𝟐 𝒅𝒗 − 𝟐 ∫ 𝒗𝟑/𝟐 𝒅𝒗 + ∫ 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒗

Método de las integrales inmediatas: 𝟏 𝟕/𝟐 𝟏 𝟓/𝟐 𝟏 𝟑/𝟐 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ( 𝒗 ) − 𝟐( 𝒗 )+( 𝒗 ) 𝟕/𝟐 𝟓/𝟐 𝟑/𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ( 𝒗𝟕/𝟐 ) − 𝟐 ( 𝒗𝟓/𝟐 ) + ( 𝒗𝟑/𝟐 ) 𝟕 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝒗𝟕/𝟐 − 𝒗𝟓/𝟐 + 𝒗𝟑/𝟐 𝟕 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟕 𝟓 ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = √𝒗 − √𝒗 + √𝒗𝟑 𝟕 𝟓 𝟑 𝟐

𝟓 𝟏𝟐𝟗𝟐 𝟒𝟒 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ( √𝟔 + 𝑪) − ( √𝟐 + 𝑪) 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟓 𝟏 𝟓

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟓

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟏

𝟏𝟐𝟗𝟐 𝟒𝟒 √𝟔 − √𝟐 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟓 𝟑𝟖𝟕𝟔 𝟒𝟒 √𝟔 − √𝟐 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟓

𝟓

𝟐. 𝟏 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟏

𝟒 (𝟗𝟔𝟗√𝟔 − 𝟏𝟏√𝟐) 𝟏𝟎𝟓

𝟓

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = 𝟏

𝟒 (𝟗𝟔𝟗√𝟔 − 𝟏𝟏√𝟐) 𝟏𝟎𝟓

Retornar el cambio de variable: 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟒 𝟐 √(𝒙 + 𝟏)𝟕 − √(𝒙 + 𝟏)𝟓 + √(𝒙 + 𝟏)𝟑 𝟕 𝟓 𝟑

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

𝟓 𝟏

= 𝒉(𝟓) − 𝒉(𝟏)

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟐 𝟒 𝟐 √(𝒙 + 𝟏)𝟕 − √(𝒙 + 𝟏)𝟓 + √(𝒙 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝒉(𝟓) = √(𝟓 + 𝟏)𝟕 − √(𝟓 + 𝟏)𝟓 + √(𝟓 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝒉(𝒙) =

𝒉(𝟓) =

𝟐 𝟒 𝟐 √𝟔𝟕 − √𝟔𝟓 + √𝟔𝟑 + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

146

Ejemplo 11

Método de Barrow 𝝅/𝟐

Resolver la integral ∫𝟎

Ejemplo 12

𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

Método de Barrow 𝝅/𝟐

Resolver la integral ∫−𝝅 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración:

𝟏. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝟏. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Método del cambio de variable:

Método del cambio de variable:

a) Cambio de variable: 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒗

b) Derivar cambio de variable: 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙

c) Sustituir cambio de variable y efectuar: 𝒅𝒗 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟒 ) (𝒄𝒐𝒔 𝒙) ( ) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 Simplificar: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗𝟒 𝒅𝒗

𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒗

𝝅 𝒃 𝝅 ∫ 𝑺= 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝟐 = 𝒉 ( ) − 𝒉(𝟎) 𝟐 𝒂 𝟎

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟏 𝒉(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 + 𝑪 𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 𝒉(𝝅/𝟐) = (𝒔𝒆𝒏 𝝅/𝟐 )𝟓 + 𝑪 = (𝟏)𝟓 + 𝑪 = + 𝑪 𝟓 𝟓 𝟓 𝟏 +𝑪 𝟓

𝒉(𝟎) = 𝑪

Método de las integrales inmediatas: 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗𝟒 𝟒 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑪𝒐𝒔𝟒 𝒙 + 𝑪 𝟒 Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝝅 𝒃 𝝅 ∫ 𝑺= 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝟐 = 𝒉 ( ) − 𝒉(−𝝅) 𝟐 𝒂 −𝝅

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟏 𝒉(𝒙) = − 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙 + 𝑪 𝟒 𝟏 𝟏 𝒉(𝝅/𝟐) = − (𝒄𝒐𝒔 𝝅/𝟐 )𝟒 + 𝑪 = − (𝟎)𝟒 + 𝑪 = 𝟎 + 𝑪 𝟒 𝟒

𝟏 𝟏 𝟏 𝒉(−𝝅) = − (𝒄𝒐𝒔(−𝝅) )𝟒 + 𝑪 = − (−𝟏)𝟒 + 𝑪 = − + 𝑪 𝟒 𝟒 𝟒

𝟏 𝒉(−𝝅) = − + 𝑪 𝟒 𝝅/𝟐

𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒉 ( ) − 𝒉(𝟎) 𝟐

∫ −𝝅

𝟎

𝟏 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = ( + 𝑪) − (𝑪) = + 𝑪 − 𝑪 𝟓 𝟓

𝝅/𝟐

∫

𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟎

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝟓

𝝅 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒉 ( ) − 𝒉(−𝝅) 𝟐

𝝅/𝟐

𝝅/𝟐

∫

𝒅𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝒙

c) Sustituir cambio de variable y efectuar: 𝒅𝒗 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟑 ) (𝒔𝒆𝒏 𝒙) (− ) 𝒔𝒆𝒏 𝒙 Simplificar:

𝝅/𝟐 𝟎

− 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒙 = −

𝒉(𝝅/𝟐) = 𝑪

𝟏 𝟏 𝒉(𝟎) = (𝒔𝒆𝒏 𝟎 )𝟓 + 𝑪 = (𝟎)𝟓 + 𝑪 = 𝟎 + 𝑪 𝟓 𝟓

∫

b) Derivar cambio de variable:

∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗𝟑 𝒅𝒗

Método de las integrales inmediatas: 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒗𝟓 𝟓 Retornar el cambio de variable: 𝟏 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 + 𝑪 𝟓 Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo:

𝒉(𝝅/𝟐) =

a) Cambio de variable:

∫ −𝝅

𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = (𝑪) − (− + 𝑪) = 𝑪 + − 𝑪 𝟒 𝟒

𝝅/𝟐

∫ −𝝅

𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟒

José E. Ornelas G.

147

Ejemplo 13

Método de Barrow 𝟑

Ejemplo 14

𝟏

Método de Barrow 𝟒

𝟏

Resolver la integral ∫𝟎 ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙 +𝟗

Resolver la integral ∫−𝟒 ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙 + 𝟏𝟔

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: Método de las integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝒙 + 𝒌𝟐 𝒌 𝒌

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: Método de las integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 𝒙 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) 𝒙 + 𝒌𝟐 𝒌 𝒌

𝒌𝟐 = 𝟗

→

𝒌 = √𝟗

→

𝒌=𝟑

𝒌𝟐 = 𝟏𝟔

→

𝒌 = √𝟏𝟔

→

𝒌=𝟒

𝟏. 𝟏 ∫

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝟗 𝒙 + 𝟑𝟐

𝟏. 𝟏 ∫

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟒𝟐

𝟏. 𝟏 ∫

𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝒙𝟐 + 𝟗 𝟑 𝟑

𝟏. 𝟏 ∫

𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 𝟒 𝟒

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

𝒃 𝒂

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

= 𝒉(𝟑) − 𝒉(𝟎)

𝒂

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟏 𝒙 𝒉(𝒙) = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝒉(𝟑) = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟑 𝟑 𝒉(𝟑) =

𝟏 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝟏) + 𝑪 𝟑

𝒉(𝟑) =

𝟏 𝝅 ∙( )+ 𝑪 𝟑 𝟒

𝒉(𝒙) =

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) |

𝒃 𝒂

= 𝒉(𝟒) − 𝒉(−𝟒)

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟏 𝒙 𝒉(𝒙) = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟒 𝟒 𝟏 𝟒 𝒉(𝟒) = 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟒 𝟒 𝒉(𝟒) =

𝟏 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝟏) + 𝑪 𝟒

𝒉(𝟒) =

𝟏 𝝅 ∙( )+ 𝑪 𝟒 𝟒

𝟏 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟑 𝟑

𝒉(𝒙) =

𝟏 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟒 𝟒

𝒉(𝟎) =

𝟏 𝟎 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟑 𝟑

𝒉(−𝟒) =

𝟏 −𝟒 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 ( ) + 𝑪 𝟒 𝟒

𝒉(𝟎) =

𝟏 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (𝟎) + 𝑪 𝟑

𝒉(−𝟒) =

𝟏 𝑨𝒓𝒄 𝒕𝒂𝒈 (−𝟏) + 𝑪 𝟒

𝒉(𝟎) =

𝟏 ∙ (𝟎) + 𝑪 𝟑

𝒉(−𝟒) =

𝟏 𝝅 ∙ (− ) + 𝑪 𝟒 𝟒

𝟑

∫ 𝟎 𝟑

∫ 𝟎 𝟑

∫ 𝟎

→

→

𝒉(𝟑) =

𝝅 +𝑪 𝟏𝟐

𝒉(𝟎) = 𝑪

→

𝒉(𝟒) =

→

𝝅 +𝑪 𝟏𝟔

𝒉(−𝟒) = −

𝝅 +𝑪 𝟏𝟔

𝟏 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟑) − 𝒉(𝟎) 𝒙𝟐 + 𝟗

𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟒) − 𝒉(−𝟒) 𝒙 + 𝟏𝟔 −𝟒

𝟏 𝝅 𝒅𝒙 = ( + 𝑪) − (𝑪) 𝒙𝟐 + 𝟗 𝟏𝟐

𝟒 𝟏 𝝅 𝝅 𝟐𝝅 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ( + 𝑪) − (− + 𝑪) = 𝒙 + 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟔 −𝟒

𝟏 𝝅 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟗 𝟏𝟐

𝟒 𝟏 𝝅 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝟏𝟔 𝟖 −𝟒

𝟑

𝟏 𝝅 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏𝟐 𝟎 𝒙 +𝟗

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟒 𝟏 𝝅 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝟖 −𝟒 𝒙 + 𝟏𝟔

José E. Ornelas G.

148

Ejemplo 15

Método de Barrow 𝟓

Resolver la integral ∫𝟎 (

𝟏 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐

Ejemplo 16

) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: Método de las integrales inmediatas: 𝟏 𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟐 𝟐 𝒌 √𝒌 − 𝒙 𝒌𝟐 = 𝟐𝟓

𝟏. 𝟏 ∫ 𝟏. 𝟏 ∫

→ 𝒌 = √𝟐𝟓

𝟏 √𝟐𝟓 −

𝒙𝟐

𝒅𝒙 = ∫

→

𝒌=𝟓

𝟏 √𝟓𝟐

−

𝒙𝟐

𝒅𝒙

𝟏

𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟓 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃 𝒃 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒉(𝟓) − 𝒉(𝟎) 𝒂 𝒂

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝒙 𝒉(𝒙) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟓 𝟓 𝒉(𝟓) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟓 𝒉(𝟓) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(𝟏) + 𝑪 𝝅 𝝅 𝒉(𝟓) = ( ) + 𝑪 = + 𝑪 𝟐 𝟐 𝒉(𝟓) =

𝝅 +𝑪 𝟐

𝟎 𝒉(𝟎) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟓 𝒉(𝟎) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(𝟎) + 𝑪

𝒌𝟐 = 𝟒

𝟏. 𝟏 ∫ 𝟏. 𝟏 ∫

√𝟒 −

𝟓

− 𝒙𝟐

𝒅𝒙

𝟏

𝒉(√𝟑) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 (

√𝟑 )+ 𝑪 𝟐

𝝅 𝒉(√𝟑) = ( ) + 𝑪 𝟑 𝒉(√𝟑) =

𝝅 +𝑪 𝟑

𝟏 𝒉(𝟏) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟐 𝝅 𝒉(𝟏) = ( ) + 𝑪 𝟔

√𝟑

∫ 𝟏 √𝟑

∫ 𝟏

𝟏

√𝟑

∫ 𝟏

𝝅 +𝑪 𝟔

𝟏 ( ) 𝒅𝒙 = 𝒉(√𝟑) − 𝒉(𝟏) √𝟒 − 𝒙𝟐 𝟏 𝝅 𝝅 ( ) 𝒅𝒙 = ( + 𝑪) − ( + 𝑪) 𝟑 𝟔 √𝟒 − 𝒙𝟐 𝟏 𝝅 𝝅 𝟐𝝅 − 𝝅 ( ) 𝒅𝒙 = − = 𝟑 𝟔 𝟔 √𝟒 − 𝒙𝟐 𝟏 𝝅 ( ) 𝒅𝒙 = 𝟔 √𝟒 − 𝒙𝟐 √𝟑

∫ 𝟏

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 √𝟐𝟐

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝒙 𝒉(𝒙) = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟐

𝟏

𝟓 𝟏 𝝅 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟐 − 𝒙 √𝟐𝟓 𝟎

𝒅𝒙 = ∫

𝒌=𝟐

𝒃 𝒃 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒉(√𝟑) − 𝒉(𝟏) 𝒂 𝒂

𝟏

𝝅 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟐 𝟎 √𝟐𝟓 − 𝒙

𝒙𝟐

→

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo:

√𝟑

𝝅 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = ( + 𝑪) − (𝑪) 𝟐 𝟐 𝟎 √𝟐𝟓 − 𝒙

) 𝒅𝒙

𝒙 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟐 √𝟒 − 𝒙𝟐

∫

𝟓

→ 𝒌 = √𝟒

𝟏

𝒉(𝟎) = 𝑪

∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟓) − 𝒉(𝟎) 𝟐 𝟎 √𝟐𝟓 − 𝒙

√𝟒 − 𝒙𝟐

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: Método de las integrales inmediatas: 𝟏 𝒙 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟐 𝟐 𝒌 √𝒌 − 𝒙

𝒉(𝟏) =

𝟏

𝟏

√𝟑

Resolver la integral ∫𝟏 (

𝒉(𝟎) = (𝟎) + 𝑪 = 𝑪

𝟓

Método de Barrow

𝟏 𝝅 ( ) 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟔 √𝟒 − 𝒙

José E. Ornelas G.

149

Ejemplo 17

Método de Barrow 𝟏𝟐

Resolver la integral ∫𝟏𝟎 (

𝟏 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏

Ejemplo 18

) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: 𝒌𝟐 = 𝟖𝟏

𝟏. 𝟏 ∫

→ 𝒌 = √𝟖𝟏

→

𝒌=𝟗

𝟏 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝒙 − 𝟗𝟐

Método de las integrales inmediatas: 𝟏 𝟏 𝒙−𝒌 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) 𝟐 𝒙 −𝒌 𝟐𝒌 𝒙+𝒌 𝟏 𝟏 𝒙−𝟗 𝟏. 𝟏 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( )+𝑪 𝒙 − 𝟖𝟏 𝟏𝟖 𝒙+𝟗

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

𝟏𝟐 𝟏𝟎

= 𝒉(𝟏𝟐) − 𝒉(𝟏𝟎)

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝟏 𝒙−𝟗 𝒉(𝒙) = 𝑳𝒏 ( )+ 𝑪 𝟏𝟖 𝒙+𝟗 𝟏 𝟏𝟐 − 𝟗 𝟏 𝟑 𝒉(𝟏𝟐) = 𝑳𝒏 ( )+ 𝑪= 𝑳𝒏 ( ) + 𝑪 𝟏𝟖 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟏𝟖 𝟐𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 (𝑳𝒏 𝟏 − 𝑳𝒏 𝟕) + 𝑪 𝒉(𝟏𝟐) = 𝑳𝒏 ( ) + 𝑪 = 𝟏𝟖 𝟕 𝟏𝟖 𝑳𝒏 𝟕 𝒉(𝟏𝟐) = − + 𝑪 𝟏𝟖 𝟏 𝟏𝟎 − 𝟗 𝒉(𝟏𝟎) = 𝑳𝒏 ( )+ 𝑪 𝟏𝟖 𝟏𝟎 + 𝟗 𝟏 𝟏 𝒉(𝟏𝟎) = 𝑳𝒏 ( ) + 𝑪 𝟏𝟖 𝟏𝟗 𝟏 (𝑳𝒏 𝟏 − 𝑳𝒏 𝟏𝟗) + 𝑪 𝒉(𝟏𝟎) = 𝟏𝟖 𝟏 (𝟎 − 𝑳𝒏 𝟏𝟗) + 𝑪 𝒉(𝟏𝟎) = 𝟏𝟖 𝑳𝒏 𝟏𝟗 𝒉(𝟏𝟎) = − + 𝑪 𝟏𝟖 𝟏𝟐 𝟏 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟏𝟐) − 𝒉(𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝒙 − 𝟖𝟏 𝟏𝟐

𝟏 𝑳𝒏 𝟕 𝑳𝒏 𝟏𝟗 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = (− + 𝑪) − (− + 𝑪) 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝒙 − 𝟖𝟏 𝟏𝟐

𝟏 𝑳𝒏 𝟕 𝑳𝒏 𝟏𝟗 𝟏 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = − + = (𝒍𝒏 𝟏𝟗 − 𝒍𝒏 𝟕) 𝒙 − 𝟖𝟏 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟏 𝟏 𝟏𝟗 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) 𝒙 − 𝟖𝟏 𝟏𝟖 𝟕 𝟏𝟎

𝟏𝟐

∫ 𝟏𝟎

(

Método de Barrow 𝟑

Resolver la integral ∫𝟐 (

𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟒

) 𝒅𝒙

Paso 1: Aplicar las técnicas de integración: 𝒌𝟐 = 𝟒

𝟏. 𝟏 ∫

→ 𝒌 = √𝟒

𝟏 √𝒙𝟐

−𝟒

𝒅𝒙 = ∫

→

𝒌=𝟐

𝟏 √𝒙𝟐

− 𝟐𝟐

𝒅𝒙

Método de las integrales inmediatas: 𝟏

𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝒌𝟐 ) √𝒙𝟐 − 𝒌𝟐 𝟏 𝟏. 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝑪 √𝒙𝟐 − 𝟒 ∫

Paso 2: Aplicar el teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝒙) | 𝒂

𝟑 𝟐

= 𝒉(𝟑) − 𝒉(𝟐)

Evaluar la función para cada límite de integración: 𝒉(𝒙) = 𝑳𝒏 (𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟒) + 𝑪 𝒉(𝟑) = 𝑳𝒏 (𝟑 + √(𝟑)𝟐 − 𝟒) + 𝑪 𝒉(𝟑) = 𝑳𝒏 (𝟑 + √𝟗 − 𝟒) + 𝑪 𝒉(𝟑) = 𝑳𝒏 (𝟑 + √𝟓) + 𝑪 𝒉(𝟐) = 𝑳𝒏 (𝟐 + √(𝟐)𝟐 − 𝟒) + 𝑪 𝒉(𝟐) = 𝑳𝒏 (𝟐 + √𝟒 − 𝟒) + 𝑪 𝒉(𝟐) = 𝑳𝒏 (𝟐 + √𝟎) + 𝑪 𝒉(𝟐) = 𝑳𝒏 𝟐 + 𝑪 𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝒉(𝟑) − 𝒉(𝟐) 𝟐 𝟐 √𝒙 − 𝟒 𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = (𝑳𝒏 (𝟑 + √𝟓) + 𝑪) − (𝑳𝒏 𝟐 + 𝑪) 𝟐 𝟐 √𝒙 − 𝟒 𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 (𝟑 + √𝟓) − 𝑳𝒏 𝟐 𝟐−𝟒 √𝒙 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 + √𝟓 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 √𝒙 − 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 + √𝟓 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) 𝟐−𝟒 𝟐 √𝒙 𝟐

𝟑 𝟏 𝟑 + √𝟓 ∫ ( ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 √𝒙 − 𝟒

𝟏 𝟏 𝟏𝟗 ) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏 ( ) 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 𝟏𝟖 𝟕

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

150

IV.1.4.- EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRAL DEFINIDA (Barrow): IV. 1.4.1.- Resolver cada uno de los siguientes ejercicios aplicando el método de Barrow: 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐) ∫ (𝟑𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟏) ∫ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟑) ∫ (𝟖𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙

𝟎

𝟎

𝟎

𝟐

𝟒

−𝟏

𝟓) ∫ (𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝟒) ∫ (𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟔) ∫ (𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

−𝟏

−𝟐

−𝟑

𝟐

𝟐

𝟐

𝟖) ∫ 𝒙√𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟕) ∫ 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟓 𝒅𝒙

𝟏

𝟎

𝟎 𝟐

𝟎

𝟐𝟎) ∫

𝑪𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙

𝟏𝟎

𝟓/𝟐

𝟓 𝟑 𝟐

𝟑𝟕) ∫ 𝟏 𝟑

𝟒𝟎) ∫ 𝟎

√𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝟎

√𝟒𝒙𝟐

+𝟗

𝟐

𝟐𝟔) ∫ 𝟎

√𝟗𝒙𝟐

𝒅𝒙

𝟐𝟗) ∫

𝟐𝟒) ∫ 𝟏/𝟐

−𝟒

𝒅𝒙

𝟐𝟕) ∫

𝟖√𝟑

𝟒

𝒅𝒙

𝟑𝟎) ∫

𝟏 𝒅𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 𝒙 −𝟏

𝟑𝟐) ∫

−𝟐

𝟔 𝒅𝒙 −𝟏𝟔 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝒙𝟐

𝟑𝟓) ∫

𝟏 𝒅𝒙 𝟑 𝒙 +𝒙

𝟑𝟖) ∫

𝒙−𝟏 𝒅𝒙 𝒙+𝟏

𝟒𝟏) ∫

Fundamentos para el Cálculo Integral

−𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐

𝟏 √𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐

𝒙𝟐

𝟎

𝟐

𝒅𝒙

√𝟐 𝒙√𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝟎

𝟓

√𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎

𝟎

√𝟑 𝒅𝒙 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑

𝟏𝟎

𝟑

𝟓√𝟐/𝟐

√𝟐

𝟒𝒙

𝟑/𝟐

𝟏 𝒅𝒙 𝟐+𝟏 𝟒𝒙 −𝟏/𝟐

𝟏 𝒅𝒙 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑𝟔

𝑺𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙

𝟎

𝟐𝟑) ∫

−𝟐

𝟑𝟒) ∫

𝟐𝟏) ∫

𝟏/𝟐

𝟎

𝟐𝟐) ∫ 𝒆(𝟒𝒙+𝟖) 𝒅𝒙

𝟎

𝝅/𝟓

𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟎

𝟎

𝟐

𝟏

𝝅/𝟏𝟐

𝝅/𝟔

𝟑

𝟏𝟖) ∫ 𝒙 √𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

−𝟐

𝟏𝟗) ∫

𝟑𝟏) ∫

𝟗

𝟏𝟕) ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙

−𝟐

𝟎

𝟎

𝟏

𝟐

𝟑

𝟏𝟓) ∫ √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙

−𝟐

𝟏𝟔) ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙

𝟐𝟖) ∫

𝟕

𝟏𝟒) ∫ √𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 𝒅𝒙

−𝟐

𝟒

𝟎

𝟐

𝟎

𝟏𝟑) ∫ √𝟐𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙

𝟑

𝟏𝟐) ∫ √𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙

−𝟐

−𝟐

𝟐𝟓) ∫

𝟕

𝟏𝟏) ∫ √𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 𝒅𝒙

𝟏𝟎) ∫ √𝟐𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙

𝟑

𝟗) ∫ 𝒙 √𝟖 − 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝟖

𝟑𝟑) ∫ 𝟒

𝟑𝟔) ∫

𝒙𝟐

𝟎 𝟒

𝟖 𝒅𝒙 𝟑 𝒙 + 𝟒𝒙

𝟑𝟗) ∫

𝟏 𝒅𝒙 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐

𝟒𝟐) ∫

𝟑 𝟏 𝟎

𝟐 𝒅𝒙 + 𝟔𝟒

𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙

𝟏

𝒅𝒙

𝒅𝒙

𝟏 𝒅𝒙 + 𝟕𝒙 + 𝟔

𝒙 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟐)𝟐 𝟏 𝒅𝒙 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔𝒙𝟐

José E. Ornelas G.

151

UNIDAD V V.1.0.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN CÁLCULO DEL ÁREA: 1.1 Función Positiva: Sea 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 (función positiva) continúa en un intervalo [𝒂, 𝒃], significa entonces que la gráfica de la función, está por encima del eje de abscisas, por lo tanto, el área de la función puede determinarse haciendo uso de la suma de Riemann, sin embargo, para facilitar el proceso, se determina el área haciendo uso del teorema fundamental del cálculo, que está dada por: 𝒃 𝒃 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | → 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝒂 𝒂

Área de una Función Positiva 𝒚

𝒇 𝒙 ≥𝟎

𝟎

𝒅𝒙

𝒙𝒐 = 𝒂

𝒙𝒊 = 𝒃

𝒙

IV.1.2.- EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA CURVA: Ejemplo 1

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟐:

Calcular el área de la región bajo la curva: 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 entre 𝒙 = 𝟒 y 𝒙 = 𝟖. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 𝒇(𝟎) = (𝟎) + 𝟐 = 𝟎 + 𝟐 𝒇(𝟐) = (𝟐) + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐

𝒃

𝟖

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

→

𝑺 = ∫ (𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙

𝒂

𝟒

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = ∫(𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙

→ 𝒇(𝟎) = 𝟐 → 𝒇(𝟐) = 𝟒

𝒇(𝟒) = (𝟒) + 𝟐 = 𝟒 + 𝟐 𝒇(𝟔) = (𝟔) + 𝟐 = 𝟔 + 𝟐

→ 𝒇(𝟒) = 𝟔

𝒇(𝟖) = (𝟖) + 𝟐 = 𝟖 + 𝟐

→ 𝒇(𝟖) = 𝟏𝟎

→ 𝒇(𝟔) = 𝟖

Graficar la función:

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 𝑺(𝒙) =

𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟖

𝑺 = ∫ (𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙 = 𝟒

𝟖 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 | 𝟐 𝟒

𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟖) = (𝟖)𝟐 + 𝟐(𝟖) + 𝑪 = (𝟔𝟒) + 𝟐(𝟖) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝑺(𝟖) = 𝟑𝟐 + 𝟏𝟔 + 𝑪 𝑺(𝟖) = 𝟒𝟖 + 𝑪 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟒) = (𝟒)𝟐 + 𝟐(𝟒) + 𝑪 = (𝟏𝟔) + 𝟐(𝟒) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝑺(𝟒) = 𝟖 + 𝟖 + 𝑪 𝑺(𝟒) = 𝟏𝟔 + 𝑪 𝑺(𝒙) =

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: [𝟒, 𝟖] Límites de integración: Integrando (Altura): +𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 Diferencial (Base): 𝒅𝒙 Fundamentos para el Cálculo Integral

Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = (𝟒𝟖 + 𝑪) − (𝟏𝟔 + 𝑪) 𝑺 = 𝟑𝟐

→

𝑺 = 𝟒𝟖 − 𝟏𝟔

𝑺 = 𝟑𝟐 𝒖𝟐 José E. Ornelas G.

152

Ejemplo 2

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo:

Calcular el área de la región bajo la curva: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 entre 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟓.

𝑺 = ∫ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪 |

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒇(𝟎) = 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝟎) + 𝟏 → 𝒇(𝟎) = 𝟎 + 𝟏 = 𝟏 𝒇(𝟏) = 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝟏) + 𝟏

→ 𝒇(𝟏) = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑

𝒇(𝟐) = 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝟐) + 𝟏

→ 𝒇(𝟐) = 𝟒 + 𝟏 = 𝟓

𝒇(𝟑) = 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝟑) + 𝟏

→ 𝒇(𝟑) = 𝟔 + 𝟏 = 𝟕

𝒇(𝟒) = 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝟒) + 𝟏

→ 𝒇(𝟒) = 𝟖 + 𝟏 = 𝟗

𝒇(𝟓) = 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝟓) + 𝟏

→ 𝒇(𝟓) = 𝟏𝟎 + 𝟏 = 𝟏𝟏

Graficar la función:

𝟓 𝟏

𝟓 𝟏

𝟐

𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝒙 + 𝑪 𝑺(𝟓) = (𝟓)𝟐 + (𝟓) + 𝑪 𝑺(𝟓) = 𝟐𝟓 + 𝟓 + 𝑪 𝑺(𝟓) = 𝟑𝟎 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪 𝑺(𝟏) = (𝟏)𝟐 + (𝟏) + 𝑪 𝑺(𝟏) = 𝟏 + 𝟏 + 𝑪 𝑺(𝟏) = 𝟐 + 𝑪 Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟓) − 𝑺(𝟏) 𝑺 = (𝟑𝟎 + 𝑪) − (𝟐 + 𝑪) = 𝟐𝟖 𝑺 = 𝟐𝟖 𝑺 = 𝟐𝟖 𝒖𝟐 NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: [𝟏, 𝟓] Límites de integración: Integrando (Altura): 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 Diferencial (Base): 𝒅𝒙 Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏: 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝟓

→

𝑺(𝒙) = ∫ (𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝒂

𝟏

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = ∫(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝑺(𝒙) = 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) + (𝒙) + 𝑪 𝟐 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

153

Ejemplo 3

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo:

Calcular el área de la región bajo la curva: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟔 entre 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟑.

𝑺 = ∫ (𝟐𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 |

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟔 𝒇(−𝟑) = 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟐(−𝟑) + 𝟔 → 𝒇(−𝟑) = −𝟔 + 𝟔 = 𝟎 𝒇(−𝟐) = 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟐(−𝟐) + 𝟔 → 𝒇(−𝟐) = −𝟒 + 𝟔 = 𝟐 𝒇(−𝟏) = 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟐(−𝟏) + 𝟔 → 𝒇(−𝟏) = −𝟐 + 𝟔 = 𝟒 𝒇(𝟎) = 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟐(𝟎) + 𝟔 → 𝒇(𝟎) = 𝟎 + 𝟔 = 𝟔 𝒇(𝟏) = 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟐(𝟏) + 𝟔 → 𝒇(𝟏) = 𝟐 + 𝟔 = 𝟖 𝒇(𝟐) = 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟐(𝟐) + 𝟔 → 𝒇(𝟐) = 𝟒 + 𝟔 = 𝟏𝟎 𝒇(𝟑) = 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟐(𝟑) + 𝟔 → 𝒇(𝟑) = 𝟔 + 𝟔 = 𝟏𝟐

Graficar la función:

𝟑 −𝟑

𝟑 −𝟑

𝟐

𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝑪 𝑺(𝟑) = (𝟑)𝟐 + 𝟔(𝟑) + 𝑪 𝑺(𝟑) = 𝟗 + 𝟏𝟖 + 𝑪 𝑺(𝟑) = 𝟐𝟕 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 𝑺(−𝟑) = (−𝟑)𝟐 + 𝟔(−𝟑) + 𝑪 𝑺(−𝟑) = 𝟗 − 𝟏𝟖 + 𝑪 𝑺(−𝟑) = −𝟗 + 𝑪 Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟑) − 𝑺(−𝟑) 𝑺 = (𝟐𝟕 + 𝑪) − (−𝟗 + 𝑪) = 𝟑𝟔 𝑺 = 𝟑𝟔 𝑺 = 𝟑𝟔 𝒖𝟐 NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: [−𝟑, 𝟑] Límites de integración: Integrando (Altura): 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟔 Diferencial (Base): 𝒅𝒙 Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟔: 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝟑

→

𝑺(𝒙) = ∫ (𝟐𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙

𝒂

−𝟑

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = ∫(𝟐𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 𝑺(𝒙) = 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟔 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) + 𝟔(𝒙) + 𝑪 𝟐 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

154

Ejemplo 4

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo:

Calcular el área de la región bajo la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐 entre 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟑.

𝑺 = ∫ (𝒙𝟐 + 𝟐) 𝒅𝒙 =

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟐 + 𝟐 → 𝒇(−𝟑) = 𝟗 + 𝟐 = 𝟏𝟏 𝒇(−𝟐) = (−𝟐)𝟐 + 𝟐

→ 𝒇(−𝟐) = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔

𝟐

𝟑 −𝟑

𝟏 𝟑 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(𝟑) = (𝟑)𝟑 + 𝟐(𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(𝟑) = ∙ 𝟐𝟕 + 𝟔 + 𝑪 𝟑 𝑺(𝒙) =

𝒇(−𝟏) = (−𝟏) + 𝟐

→ 𝒇(−𝟏) = 𝟏 + 𝟐 = 𝟑

𝑺(𝟑) = 𝟗 + 𝟔 + 𝑪

𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟐 + 𝟐

→ 𝒇(𝟎) = 𝟎 + 𝟐 = 𝟐

𝑺(𝟑) = 𝟏𝟓 + 𝑪

𝟐

𝒇(𝟏) = (𝟏) + 𝟐

→ 𝒇(𝟏) = 𝟏 + 𝟐 = 𝟑

𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟐 + 𝟐

→ 𝒇(𝟐) = 𝟒 + 𝟐 = 𝟔

𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟐 + 𝟐

→ 𝒇(𝟑) = 𝟗 + 𝟐 = 𝟏𝟏

Graficar la función:

𝟑 𝟏 𝟑 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 | 𝟑 −𝟑

𝟏 (−𝟑)𝟑 + 𝟐(−𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(−𝟑) = ∙ (−𝟐𝟕) − 𝟔 + 𝑪 𝟑 𝑺(−𝟑) =

𝑺(−𝟑) = −𝟗 − 𝟔 + 𝑪 𝑺(−𝟑) = −𝟏𝟓 + 𝑪 Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟑) − 𝑺(−𝟑) 𝑺 = (𝟏𝟓 + 𝑪) − (−𝟏𝟓 + 𝑪) = 𝟏𝟓 + 𝟏𝟓 𝑺 = 𝟑𝟎 𝑺 = 𝟑𝟎 𝒖𝟐 NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: [−𝟑, 𝟑] Límites de integración: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒅𝒙

Integrando (Altura): Diferencial (Base):

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐: 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝟑

→

𝑺(𝒙) = ∫ (𝒙𝟐 + 𝟐) 𝒅𝒙

𝒂

−𝟑

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = ∫(𝒙𝟐 + 𝟐) 𝒅𝒙 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝑺(𝒙) = ( 𝒙𝟑 ) + 𝟐(𝒙) + 𝑪 𝟑

→ 𝑺(𝒙) =

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝟑

𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝑪

José E. Ornelas G.

155

Ejemplo 5

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo:

Calcular el área de la región bajo la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑 entre 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟐.

𝑺 = ∫ (𝒙𝟐 + 𝟑) 𝒅𝒙 =

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟐 + 𝟑 → 𝒇(−𝟑) = 𝟗 + 𝟑 = 𝟏𝟐 𝒇(−𝟐) = (−𝟐)𝟐 + 𝟑

→ 𝒇(−𝟐) = 𝟒 + 𝟑 = 𝟕

𝟐

𝒇(−𝟏) = (−𝟏) + 𝟑

→ 𝒇(−𝟏) = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒

𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟐 + 𝟑

→ 𝒇(𝟎) = 𝟎 + 𝟑 = 𝟑

𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟐 + 𝟑

→ 𝒇(𝟏) = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒

𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟐 + 𝟑

→ 𝒇(𝟐) = 𝟒 + 𝟑 = 𝟕

𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟐 + 𝟑

→ 𝒇(𝟑) = 𝟗 + 𝟑 = 𝟏𝟐

Graficar la función:

𝟐 −𝟑

𝟐 𝟏 𝟑 𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝑪 | 𝟑 −𝟑

𝟏 𝟑 𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(𝟐) = (𝟐)𝟑 + 𝟑(𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(𝟐) = ∙ 𝟖 + 𝟔 + 𝑪 𝟑 𝟖 𝑺(𝟐) = + 𝟗 + 𝑪 𝟑 𝟑𝟓 𝑺(𝟐) = +𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(−𝟑) = (−𝟑)𝟑 + 𝟑(−𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(−𝟑) = ∙ (−𝟐𝟕) − 𝟗 + 𝑪 𝟑 𝑺(𝒙) =

𝑺(−𝟑) = −𝟗 − 𝟗 + 𝑪 = −𝟏𝟖 + 𝑪 𝑺(−𝟑) = −𝟏𝟖 + 𝑪 Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟐) − 𝑺(−𝟑) 𝟑𝟓 𝟑𝟓 + 𝑪) − (−𝟏𝟖 + 𝑪) = + 𝟏𝟖 𝟑 𝟑 𝟖𝟗 𝑺= 𝟑 𝑺=(

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: [−𝟑, 𝟐] Límites de integración: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑 𝒅𝒙

Integrando (Altura): Diferencial (Base):

𝑺=

𝟖𝟗 𝟐 𝒖 𝟑

NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑: 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝟐

→

𝒂

𝑺(𝒙) = ∫ (𝒙𝟐 + 𝟑) 𝒅𝒙 −𝟑

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = ∫(𝒙𝟐 + 𝟑) 𝒅𝒙 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = ( 𝒙𝟑 ) + 𝟑(𝒙) + 𝑪 → 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

156

Ejemplo 6 Hallar el área de la región bajo la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟒 entre 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟒 𝒇(−𝟒) = (−𝟒)𝟐 + (−𝟒) + 𝟒 = 𝟏𝟔 − 𝟒 + 𝟒 → 𝒇(−𝟒) = 𝟏𝟔 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟐 + (−𝟑) + 𝟒 = 𝟗 − 𝟑 + 𝟒

→ 𝒇(−𝟑) = 𝟏𝟎

𝒇(−𝟐) = (−𝟐)𝟐 + (−𝟐) + 𝟒 = 𝟒 − 𝟐 + 𝟒

→ 𝒇(−𝟐) = 𝟔

𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 + (−𝟏) + 𝟒 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟒

→ 𝒇(−𝟏) = 𝟒

𝟐

𝒇(𝟎) = (𝟎) + (𝟎) + 𝟒 = 𝟎 + 𝟎 + 𝟒

→ 𝒇(𝟎) = 𝟒

𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟐 + (𝟏) + 𝟒 = 𝟏 + 𝟏 + 𝟒

→ 𝒇(𝟏) = 𝟔

(𝟐)𝟐

+ (𝟐) + 𝟒 = 𝟒 + 𝟐 + 𝟒

→ 𝒇(𝟐) = 𝟏𝟎

𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟐 + (𝟑) + 𝟒 = 𝟗 + 𝟑 + 𝟒

→ 𝒇(𝟑) = 𝟏𝟔

𝒇(𝟐) =

Graficar la función:

𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = ( 𝒙𝟑 ) + ( 𝒙𝟐 ) + 𝟒(𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟑

𝑺 = ∫ (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 = −𝟒

𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝑪 | 𝟑 𝟐 −𝟒

𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟑) = (𝟑)𝟑 + (𝟑)𝟐 + 𝟒(𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟑) = (𝟐𝟕) + (𝟗) + 𝟒(𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟐𝟕 𝟗 𝟗 𝑺(𝟑) = + + 𝟏𝟐 + 𝑪 = 𝟗 + + 𝟏𝟐 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓𝟏 𝑺(𝟑) = +𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟒) = (−𝟒)𝟑 + (−𝟒)𝟐 + 𝟒(−𝟒) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟒) = (−𝟔𝟒) + (𝟏𝟔) + 𝟒(−𝟒) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝑺(−𝟒) = − + − 𝟏𝟔 + 𝑪 = − + 𝟖 − 𝟏𝟔 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟑 𝟖𝟖 𝑺(−𝟒) = − +𝑪 𝟑 𝑺(𝒙) =

Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟑) − 𝑺(−𝟒) Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: [−𝟒, 𝟑] Límites de integración: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙

Integrando (Altura): Diferencial (Base):

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟒: 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 →

𝟑

𝑺(𝒙) = ∫ (𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙

𝒂

𝟓𝟏 𝟖𝟖 𝟓𝟏 𝟖𝟖 + 𝑪) − (− + 𝑪) = + 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑𝟐𝟗 𝑺= 𝟔 𝑺=(

𝑺=

𝟑𝟐𝟗 𝟐 𝒖 𝟔

NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

−𝟒

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝑺(𝒙) = ∫(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

157

Ejemplo 7

Separar los integrales:

Hallar el área de la región bajo la curva: 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 entre 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟑.

𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟔 ∫ 𝒅𝒙

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 𝒇(−𝟐) = −(−𝟐)𝟐 + (−𝟐) + 𝟔 → 𝒇(−𝟐) = −(𝟒) + (−𝟐) + 𝟔 𝒇(−𝟐) = −𝟒 − 𝟐 + 𝟔 → 𝒇(−𝟐) = 𝟔 − 𝟔 →

𝒇(−𝟐) = 𝟎

𝒇(−𝟏) = −(−𝟏)𝟐 + (−𝟏) + 𝟔 → 𝒇(−𝟏) = −(𝟏) + (−𝟏) + 𝟔 𝒇(−𝟏) = −𝟏 − 𝟏 + 𝟔 → 𝒇(−𝟏) = 𝟔 − 𝟐 →

𝒇(−𝟏) = 𝟒

𝒇(𝟎) = −(𝟎)𝟐 + (𝟎) + 𝟔 → 𝒇(𝟎) = −(𝟎) + (𝟎) + 𝟔 𝒇(𝟎) = −𝟎 + 𝟎 + 𝟔 → 𝒇(𝟎) = 𝟔 →

𝒇(𝟎) = 𝟔

𝒇(𝟏) = −(𝟏)𝟐 + (𝟏) + 𝟔 → 𝒇(𝟏) = −(𝟏) + (𝟏) + 𝟔 𝒇(𝟏) = −𝟏 + 𝟏 + 𝟔 → 𝒇(𝟏) = 𝟕 − 𝟏 →

𝒇(𝟏) = 𝟔

𝒇(𝟐) = −(𝟐)𝟐 + (𝟐) + 𝟔 → 𝒇(𝟐) = −(𝟒) + (𝟐) + 𝟔 𝒇(𝟐) = −𝟒 + 𝟐 + 𝟔 → 𝒇(𝟐) = 𝟖 − 𝟒 →

𝒇(𝟐) = 𝟒

𝒇(𝟑) = −(𝟑)𝟐 + (𝟑) + 𝟔 → 𝒇(𝟑) = −(𝟗) + (𝟑) + 𝟔 𝒇(𝟑) = −𝟗 + 𝟑 + 𝟔 → 𝒇(𝟑) = 𝟗 − 𝟗 →

𝒇(𝟑) = 𝟎

Graficar la función:

Método de integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − ( 𝒙𝟑 ) + ( 𝒙𝟐 ) + 𝟔(𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒃 𝒃 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | 𝒂 𝒂

→

𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂)

Área del intervalo: 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 | 𝟑 𝟐 −𝟐 −𝟏

𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟑) = − (𝟑)𝟑 + (𝟑)𝟐 + 𝟔(𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟑) = − (𝟐𝟕) + (𝟗) + 𝟏𝟖 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟐𝟕 𝟗 𝑺(𝟑) = − + + 𝟏𝟖 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟐𝟕 𝑺(𝟑) = +𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟐) = − (−𝟐)𝟑 + (−𝟐)𝟐 + 𝟔(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟐) = − (−𝟖) + (𝟒) − 𝟏𝟐 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟖 𝟒 𝑺(−𝟐) = + − 𝟏𝟐 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝑺(−𝟐) = − +𝑪 𝟑 Área bajo la curva:

Paso 3: Identificar elementos fundamentales: Área del intervalo: [−𝟐, 𝟑] Límites de integración: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 𝒅𝒙

Integrando (Altura): Diferencial (Base):

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔: 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 →

𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟑) − 𝑺(−𝟐) 𝟐𝟕 𝟐𝟐 𝟐𝟕 𝟐𝟐 + 𝑪) − (− + 𝑪) = + 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏𝟐𝟓 𝑺= 𝟔 𝑺=(

𝟑

𝑺(𝒙) = ∫ (−𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙

𝒂

−𝟏

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝑺(𝒙) = ∫(−𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝑺=

𝟏𝟐𝟓 𝟐 𝒖 𝟔

NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

José E. Ornelas G.

158

Ejemplo 8 Hallar el área de la región bajo la curva: 𝒚 = 𝟏 + 𝒆 𝒙 entre 𝒙 = −𝟓 y 𝒙 = 𝟐. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝒆𝒙 𝒇(−𝟓) = 𝟏 + 𝒆(− 𝟓) = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟕 → 𝒇(−𝟓) = 𝟏, 𝟎𝟎𝟕 𝒇(−𝟒) = 𝟏 + 𝒆(− 𝟒) = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟖 → 𝒇(−𝟒) = 𝟏, 𝟎𝟏𝟖 𝒇(−𝟑) = 𝟏 + 𝒆(− 𝟑) = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟗 → 𝒇(−𝟑) = 𝟏, 𝟎𝟒𝟗

Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝒆𝒙 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝒆𝒙 + 𝑪 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒃 𝒃 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | 𝒂 𝒂 Área del intervalo:

→

𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂)

𝟐

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

→

𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝒆 𝒙 + 𝑪 |

−𝟓

𝒇(−𝟐) = 𝟏 + 𝒆(− 𝟐) = 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟓 → 𝒇(−𝟐) = 𝟏, 𝟏𝟑𝟓 𝒇(−𝟏) = 𝟏 + 𝒆

(− 𝟏)

= 𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟔𝟕 → 𝒇(−𝟏) = 𝟏, 𝟑𝟔𝟕

(𝟎)

= 𝟏 + 𝟏 → 𝒇(𝟎) = 𝟐

(𝟏)

= 𝟏 + 𝟐, 𝟕𝟏𝟖

→ 𝒇(𝟏) = 𝟑, 𝟕𝟏𝟖

𝒇(𝟐) = 𝟏 + 𝒆(𝟐) = 𝟏 + 𝟕, 𝟑𝟖𝟗

→ 𝒇(𝟐) = 𝟖, 𝟑𝟖𝟗

𝒇(𝟎) = 𝟏 + 𝒆 𝒇(𝟏) = 𝟏 + 𝒆

(𝟑)

𝒇(𝟑) = 𝟏 + 𝒆

= 𝟏 + 𝟐𝟎, 𝟎𝟖𝟓 → 𝒇(𝟑) = 𝟐𝟏, 𝟎𝟖𝟓

Graficar la función:

𝟐 −𝟓

𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝒆 𝒙 + 𝑪 𝑺(𝟐) = (𝟐) + 𝒆 (𝟐) + 𝑪 𝑺(𝟐) = 𝟐 + 𝟕, 𝟑𝟖𝟗 + 𝑪 𝑺(𝟐) = 𝟗, 𝟑𝟖𝟗 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝒆 𝒙 + 𝑪 𝑺(−𝟓) = (−𝟓) + 𝒆 (−𝟓) + 𝑪 𝑺(−𝟓) = −𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟕 + 𝑪 𝑺(−𝟓) = −𝟒, 𝟗𝟗𝟑 + 𝑪 Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟐) − 𝑺(−𝟓) 𝑺 = (𝟗, 𝟑𝟖𝟗 + 𝑪) − (−𝟒, 𝟗𝟗𝟑 + 𝑪) = 𝟗, 𝟑𝟖𝟗 + 𝟒, 𝟗𝟗𝟑 𝑺 = 𝟏𝟒, 𝟑𝟖𝟐 𝑺 = 𝟏𝟒, 𝟑𝟖𝟐 𝒖𝟐

Paso 3: Identificar elementos fundamentales: Área del intervalo: [−𝟓, 𝟐] Límites de integración: Función integrando (Altura): 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝒆 𝒙 Diferencial (Base): 𝒅𝒙

NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝒆 𝒙 : 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝒂

𝟐

𝑺(𝒙) = ∫ (𝟏 + 𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 −𝟐

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝑺(𝒙) = ∫(𝟏 + 𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

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159

Ejemplo 9

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo:

Hallar el área de la región bajo la curva: 𝒚 = (𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙) entre 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟒. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒃 𝒃 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | 𝒂 𝒂

→

Área del intervalo: 𝟒

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

→

𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 |

−𝟒

𝒇(−𝟒) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (−𝟒) = 𝟑 + 𝟏. 𝟓𝟏𝟑 → 𝒇(−𝟒) = 𝟒. 𝟓𝟏𝟑 𝒇(−𝟑) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (−𝟑) = 𝟑 − 𝟎. 𝟐𝟖𝟐 → 𝒇(−𝟑) = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖 𝒇(−𝟏) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (−𝟏) = 𝟑 − 𝟏. 𝟔𝟖𝟐 → 𝒇(−𝟐) = 𝟏. 𝟑𝟏𝟖

𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

𝒇(𝟎) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟎) = 𝟑 + 𝟎 → 𝒇(𝟎) = 𝟑 𝒇(𝟏) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟏) = 𝟑 + 𝟏. 𝟔𝟖𝟐 → 𝒇(𝟏) = 𝟒. 𝟔𝟖𝟐

𝑺(𝟒) = 𝟏𝟐 − 𝟐(−𝟎. 𝟔𝟓𝟑) + 𝑪

𝒇(𝟐) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟐) = 𝟑 + 𝟏. 𝟖𝟏𝟖 → 𝒇(𝟐) = 𝟒. 𝟖𝟏𝟖 𝒇(𝟑) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟑) = 𝟑 + 𝟎. 𝟐𝟖𝟐 → 𝒇(𝟑) = 𝟑. 𝟐𝟖𝟐 𝒇(𝟒) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟒) = 𝟑 − 𝟏. 𝟓𝟏𝟑 → 𝒇(𝟒) = 𝟏. 𝟒𝟖𝟕

Graficar la función:

𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂)

𝟒 −𝟒

𝑺(𝟒) = 𝟑(𝟒) − 𝟐𝒄𝒐𝒔 (𝟒) + 𝑪

𝑺(𝟒) = 𝟏𝟐 + 𝟏. 𝟑𝟎𝟔 + 𝑪 𝑺(𝟒) = 𝟏𝟑. 𝟑𝟎𝟔 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝑺(−𝟒) = 𝟑(−𝟒) − 𝟐𝒄𝒐𝒔 (−𝟒) + 𝑪 𝑺(−𝟒) = −𝟏𝟐 − 𝟐(−𝟎. 𝟔𝟓𝟑) + 𝑪 𝑺(−𝟒) = −𝟏𝟐 + 𝟏. 𝟑𝟎𝟔 + 𝑪 𝑺(−𝟒) = −𝟏𝟎. 𝟔𝟗𝟒 + 𝑪 Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟒) 𝑺 = (𝟏𝟑. 𝟑𝟎𝟔 + 𝑪) − (−𝟏𝟎, 𝟔𝟗𝟒 + 𝑪) = 𝟏𝟑. 𝟑𝟎𝟔 + 𝟏𝟎. 𝟔𝟗𝟒

𝑺 = 𝟐𝟒 𝒖𝟐 Paso 3: Identificar elementos fundamentales: Área del intervalo: [−𝟒, 𝟒] Límites de integración: Integrando (Altura): 𝒇(𝒙) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 Diferencial (Base): 𝒅𝒙

NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙: 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 →

𝟒

𝑺(𝒙) = ∫ (𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

𝒂

−𝟒

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝑺(𝒙) = ∫(𝟑 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = 𝟑 ∫ 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟐(−𝒄𝒐𝒔 𝒙) + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 Fundamentos para el Cálculo Integral

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160

Ejemplo 10 Calcular el área de la región bajo la curva: 𝟑𝒚 + 𝟒𝒙 = 𝟏𝟐 entre 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝟑𝒚 + 𝟒𝒙 = 𝟏𝟐 𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝟏𝟐 − 𝟒(−𝟒) 𝟐𝟖 𝒇(−𝟒) = = → 𝒇(−𝟒) = 𝟑 𝟑 𝟑 𝒇(−𝟑) =

𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝟏𝟐 − 𝟒(−𝟑) = → 𝒇(−𝟑) = 𝟖 𝟑 𝟑

𝒇(−𝟐) =

𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝟏𝟐 − 𝟒(−𝟐) 𝟐𝟎 = → 𝒇(−𝟐) = 𝟑 𝟑 𝟑

𝒇(−𝟏) =

𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝟏𝟐 − 𝟒(−𝟏) 𝟏𝟔 = → 𝒇(−𝟏) = 𝟑 𝟑 𝟑

𝟒 𝑺(𝒙) = ∫ (𝟒 − 𝒙) 𝒅𝒙 𝟑

𝟒 → 𝑺(𝒙) = 𝟒 ∫ 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝟑

𝟒 𝟏 𝟐 𝑺(𝒙) = 𝟒(𝒙) − ( 𝒙𝟐 ) → 𝑺(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝑺 = ∫ (𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝑪 | 𝟑 𝟑 −𝟒 −𝟒 𝟐 𝟐 𝑺(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟑 𝟐 𝟐 𝑺(𝟑) = 𝟒(𝟑) − (𝟑)𝟐 → 𝑺(𝟑) = 𝟒(𝟑) − (𝟗) 𝟑 𝟑 𝟏𝟖 𝑺(𝟑) = 𝟏𝟐 − → 𝑺(𝟑) = 𝟏𝟐 − 𝟔 𝟑

𝑺(𝟑) = 𝟔 + 𝑪

𝒇(𝟎) =

𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝟏𝟐 − 𝟒(𝟎) = → 𝒇(𝟎) = 𝟒 𝟑 𝟑

𝟐 𝑺(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 𝟑

𝒇(𝟑) =

𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝟏𝟐 − 𝟒(𝟑) = → 𝒇(𝟑) = 𝟎 𝟑 𝟑

𝟐 𝟐 𝑺(−𝟒) = 𝟒(−𝟒) − (−𝟒)𝟐 → 𝑺(−𝟒) = 𝟒(−𝟒) − (𝟏𝟔) 𝟑 𝟑

Graficar la función:

𝑺(−𝟒) = −𝟏𝟔 − 𝑺(−𝟒) = −

𝟑𝟐 𝟖𝟎 → 𝑺(−𝟒) = − 𝟑 𝟑

𝟖𝟎 +𝑪 𝟑

Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟑) − 𝑺(−𝟒) 𝑺 = (𝟔 + 𝑪) − (− 𝑺=

𝟖𝟎 𝟖𝟎 + 𝑪) = 𝟔 + 𝟑 𝟑

𝟗𝟖 𝟑 𝑺=

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: [−𝟒, 𝟑] Límites de integración: Integrando (Altura):

𝒇(𝒙) =

Diferencial (Base):

𝒅𝒙

𝟗𝟖 𝟐 𝒖 𝟑

NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝟑

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟔: 𝒃

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝒂

→

𝟑 𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝑺(𝒙) = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟑 −𝟒

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: Método de integral inmediata: 𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 𝑺(𝒙) = ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝟑

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161

IV.2.0.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN CÁLCULO DEL ÁREA: 2.1 Función Negativa: Sea 𝒇(𝒙) ≤ 𝟎 (función negativa) continua en un intervalo [𝒂, 𝒃], significa entonces que la gráfica de la función, está por debajo del eje de abscisas, por lo tanto, el área de la función puede determinarse haciendo uso de la suma de Riemann, sin embargo, para facilitar el cálculo se determina el área haciendo uso del teorema fundamental del cálculo, que está dada por:

Área de una Función Negativa 𝒚

𝒙𝒐 = 𝒂

𝒅𝒙

𝒙

𝒙𝒊 = 𝒃

𝟎

𝒇 𝒙 ≤𝟎

𝒃

𝒃 𝑺 = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = −𝑺(𝒙) | 𝒂 𝒂

→

𝑺 = −𝑺(𝒃) + 𝑺(𝒂)

IV.2.2.- EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA CURVA: Ejemplo 1

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟒:

Hallar el área de la región limitada por: 𝒚 = 𝒙 − 𝟒 el eje x y las rectas 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟒.

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟒 𝒇(−𝟑) = (−𝟑) − 𝟒 = −𝟑 − 𝟒 𝒇(−𝟐) = (−𝟐) − 𝟒 = −𝟐 − 𝟒

→ 𝒇(−𝟑) = −𝟕 → 𝒇(−𝟐) = −𝟔

𝒇(−𝟏) = (−𝟏) − 𝟒 = −𝟏 − 𝟒 → 𝒇(−𝟏) = −𝟓 𝒇(𝟎) = (𝟎) − 𝟒 = 𝟎 − 𝟒 → 𝒇(𝟎) = −𝟒 𝒇(𝟏) = (𝟏) − 𝟒 = 𝟏 − 𝟒 → 𝒇(𝟏) = −𝟑 𝒇(𝟐) = (𝟐) − 𝟒 = 𝟐 − 𝟒 𝒇(𝟑) = (𝟑) − 𝟒 = 𝟑 − 𝟒

→ 𝒇(𝟐) = −𝟐

𝒇(𝟒) = (𝟒) − 𝟒 = 𝟒 − 𝟒

→ 𝒇(𝟒) = 𝟎

→ 𝒇(𝟑) = −𝟏

Graficar la función:

Paso 3: Identificar elementos fundamentales: [−𝟑, 𝟒] Límites de integración: Integrando (Altura): −𝒇(𝒙) = −(𝒙 − 𝟒) Diferencial (Base): 𝒅𝒙 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒃

𝟒

→

𝑺 = ∫ −(𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙

𝒂

−𝟑

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: 𝑺(𝒙) = − ∫(𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒅𝒙 Método de integral inmediata: 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟐 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒃 𝟒 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | → 𝑺 = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟑) −𝟑 𝒂 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟒) = − (𝟒)𝟐 + 𝟒(𝟒) + 𝑪 = − (𝟏𝟔) + 𝟒(𝟒) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝑺(𝟒) = − + 𝟏𝟔 + 𝑪 → 𝑺(𝟒) = 𝟖 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟑) = − (−𝟑)𝟐 + 𝟒(−𝟑) + 𝑪 = − (𝟗) + 𝟒(−𝟑) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟗 𝑺(−𝟑) = − − 𝟏𝟐 + 𝑪 → 𝑺(−𝟑) = −𝟑𝟑/𝟐 + 𝑪 𝟐 Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝑺 = (𝟖 + 𝑪) − (− + 𝑪) → 𝑺= 𝟖+ 𝟐 𝟐 𝑺 = 𝟒𝟗/𝟐 𝑺 = 𝟒𝟗/𝟐 𝒖𝟐

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162

Ejemplo 2

Paso 3: Aplicar la técnica de integración:

Calcular el área de la región limitada por la curva: 𝒚 = (−𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙), el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟒. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒇(−𝟒) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (−𝟒) = −𝟒 + 𝟏. 𝟓𝟏𝟑 𝒇(−𝟒) = −𝟐. 𝟒𝟖𝟕 𝒇(−𝟑) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (−𝟑) = −𝟒 − 𝟎. 𝟐𝟖𝟐 𝒇(−𝟑) = −𝟒. 𝟐𝟖𝟐 𝒇(−𝟐) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (−𝟐) = −𝟒 − 𝟏. 𝟖𝟏𝟖

𝑺(𝒙) = − ∫(−𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = 𝟒 ∫ 𝒅𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟐(−𝒄𝒐𝒔 𝒙) + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒃 𝟒 𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | −𝟒 𝒂

→

Área del intervalo: 𝑺(𝒙) = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪

𝒇(−𝟐) = −𝟓. 𝟖𝟏𝟖

𝑺(𝟒) = 𝟒(𝟒) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 (𝟒) + 𝑪

𝒇(−𝟏) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (−𝟏) = −𝟒 − 𝟏. 𝟔𝟖𝟐

𝑺(𝟒) = 𝟒(𝟒) + 𝟐(−𝟎. 𝟔𝟓𝟑) + 𝑪

𝒇(−𝟏) = −𝟓. 𝟔𝟖𝟐

𝑺(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟏. 𝟑𝟎𝟔 + 𝑪

𝒇(𝟎) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟎) = −𝟒 + 𝟎 → 𝒇(𝟎) = −𝟒

𝑺(𝟒) = 𝟏𝟒. 𝟔𝟗𝟒 + 𝑪

𝒇(𝟏) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟏) = −𝟒 + 𝟏. 𝟔𝟖𝟐 → 𝒇(𝟏) = −𝟐. 𝟑𝟏𝟖 𝒇(𝟐) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟐) = −𝟒 + 𝟏. 𝟖𝟏𝟖 → 𝒇(𝟐) = −𝟐. 𝟏𝟖𝟐 𝒇(𝟑) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟑) = −𝟒 + 𝟎. 𝟐𝟖𝟐 → 𝒇(𝟑) = −𝟑. 𝟕𝟏𝟖 𝒇(𝟒) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝟒) = −𝟒 − 𝟏. 𝟓𝟏𝟑 → 𝒇(𝟒) = −𝟓. 𝟓𝟏𝟑

Graficar la función:

𝑺 = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟒)

𝑺(𝒙) = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝑺(−𝟒) = 𝟒(−𝟒) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 (−𝟒) + 𝑪 𝑺(−𝟒) = 𝟒(−𝟒) + 𝟐(−𝟎. 𝟔𝟓𝟑) + 𝑪 𝑺(−𝟒) = −𝟏𝟔 − 𝟏. 𝟑𝟎𝟔 + 𝑪 𝑺(−𝟒) = −𝟏𝟕. 𝟑𝟎𝟔 + 𝑪

Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟒) 𝑺 = (𝟏𝟒. 𝟔𝟗𝟒 + 𝑪) − (−𝟏𝟕. 𝟑𝟎𝟔 + 𝑪) = 𝟏𝟒. 𝟔𝟗𝟒 + 𝟏𝟕. 𝟑𝟎𝟔 𝑺 = 𝟏𝟒. 𝟔𝟗𝟒 + 𝟏𝟕. 𝟑𝟎𝟔

𝑺 = 𝟑𝟐 𝒖𝟐 NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado. Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: [−𝟒, 𝟒] Límites de integración: Función integrando (Altura): −𝒇(𝒙) = −(−𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙) Diferencial (Base): 𝒅𝒙 Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = −𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙: 𝒃

𝟒

𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺(𝒙) = − ∫ (−𝟒 + 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 𝒂

−𝟒

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163

Ejemplo 3

Separar los integrales:

Calcular el área de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟒. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 𝒇(−𝟐) = (−𝟐)𝟐 − 𝟐(−𝟐) − 𝟖 = (𝟒) − 𝟐(−𝟐) − 𝟖 𝒇(−𝟐) = 𝟒 + 𝟒 − 𝟖 = 𝟖 − 𝟖 → 𝒇(−𝟐) = 𝟎 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 − 𝟐(−𝟏) − 𝟖 = (𝟏) − 𝟐(−𝟏) − 𝟖 𝒇(−𝟏) = 𝟏 + 𝟐 − 𝟖 = 𝟑 − 𝟖 → 𝒇(−𝟏) = −𝟓 𝒇(𝟎) = (𝟎)𝟐 − 𝟐(𝟎) − 𝟖 = (𝟎) − 𝟐(𝟎) − 𝟖 𝒇(𝟎) = 𝟎 + 𝟎 − 𝟖 = 𝟎 − 𝟖 → 𝒇(𝟎) = −𝟖 𝒇(𝟏) = (𝟏)𝟐 − 𝟐(𝟏) − 𝟖 = (𝟏) − 𝟐(𝟏) − 𝟖 𝒇(𝟏) = 𝟏 − 𝟐 − 𝟖 = 𝟏 − 𝟏𝟎 → 𝒇(𝟏) = −𝟗 𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟐 − 𝟐(𝟐) − 𝟖 = (𝟒) − 𝟐(𝟐) − 𝟖 𝒇(𝟐) = 𝟒 − 𝟒 − 𝟖 = 𝟒 − 𝟏𝟐 → 𝒇(𝟐) = −𝟖 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐 − 𝟐(𝟒) − 𝟖 = (𝟏𝟔) − 𝟐(𝟒) − 𝟖 𝒇(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟖 − 𝟖 = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟔 → 𝒇(𝟒) = 𝟎 Graficar la función:

𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟖 ∫ 𝒅𝒙 Método de integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − ( 𝒙𝟑 ) + 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝑺(𝒙) = − 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | 𝒂

𝟒 −𝟐

→

𝑺 = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟐)

𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(𝟒) = − (𝟒)𝟑 + (𝟒)𝟐 + 𝟖(𝟒) + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(𝟒) = − (𝟔𝟒) + (𝟏𝟔) + 𝟖(𝟒) + 𝑪 𝟑 𝟔𝟒 𝑺(𝟒) = − + 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐 + 𝑪 𝟑 𝑺(𝟒) = 𝟖𝟎/𝟑 + 𝑪 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(−𝟐) = − (−𝟐)𝟑 + (−𝟐)𝟐 + 𝟖(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(−𝟐) = − (−𝟖) + (𝟒) + 𝟖(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟖 𝑺(−𝟐) = + 𝟒 − 𝟏𝟔 + 𝑪 𝟑 𝑺(−𝟐) = −𝟐𝟖/𝟑 + 𝑪

Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟐) 𝟖𝟎 𝟐𝟖 𝟖𝟎 𝟐𝟖 𝑺 = ( + 𝑪) − (− + 𝑪) = + 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝑺 = 𝟑𝟔

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: [−𝟐, 𝟒] Límites de integración: Integrando (Altura): Diferencial (Base):

−𝒇(𝒙) = −(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖) 𝒅𝒙

𝑺 = 𝟑𝟔 𝒖𝟐 NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖: 𝒃

𝟒

𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺(𝒙) = − ∫ (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖) 𝒅𝒙 𝒂

−𝟐

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: 𝑺(𝒙) = − ∫(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖) 𝒅𝒙

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164

Ejemplo 4 Calcular el área de la región limitada por la curva: 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 𝒇(−𝟐) = −(−𝟐)𝟐 + (−𝟐) − 𝟐 = −𝟒 − 𝟐 − 𝟐

Método de integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝑺(𝒙) = 𝒙 − 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | 𝒂

𝟑 −𝟐

→

𝑺 = 𝑺(𝟑) − 𝑺(−𝟐)

𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟑) = (𝟑)𝟑 − (𝟑)𝟐 + 𝟐(𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟑) = (𝟐𝟕) − (𝟗) + 𝟐(𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟗 𝑺(𝟑) = 𝟗 − + 𝟔 + 𝑪 𝟐 𝑺(𝟑) = 𝟐𝟏/𝟐 + 𝑪 𝑺(𝒙) =

𝒇(−𝟐) = −𝟖 𝒇(−𝟏) = −(−𝟏)𝟐 + (−𝟏) − 𝟐 = −𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝒇(−𝟏) = −𝟒 𝒇(𝟎) = −(𝟎)𝟐 + (𝟎) − 𝟐 = −𝟎 + 𝟎 − 𝟐 → 𝒇(𝟎) = −𝟐 𝒇(𝟏) = −(𝟏)𝟐 + (𝟏) − 𝟐 = −𝟏 + 𝟏 − 𝟐 → 𝒇(𝟏) = −𝟐 𝒇(𝟐) = −(𝟐)𝟐 + (𝟐) − 𝟐 = −𝟒 + 𝟐 − 𝟐 → 𝒇(𝟐) = −𝟒 𝒇(𝟑) = −(𝟑)𝟐 + (𝟑) − 𝟐 = −𝟗 + 𝟑 − 𝟐 → 𝒇(𝟑) = −𝟖

𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟐) = (−𝟐)𝟑 − (−𝟐)𝟐 + 𝟐(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟐) = (−𝟖) − (𝟒) + 𝟐(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟖 𝑺(−𝟐) = − − 𝟐 − 𝟒 + 𝑪 𝟑 𝑺(−𝟐) = −𝟐𝟔/𝟑 + 𝑪

Graficar la función:

𝑺(𝒙) =

Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟑) − 𝑺(−𝟐)

Paso 3: Identificar elementos fundamentales: Área del intervalo:

𝑺=

Límites de integración: Integrando (Altura):

𝟐𝟏 𝟐𝟔 𝟐𝟏 𝟐𝟔 𝑺 = ( + 𝑪) − (− + 𝑪) = + 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏𝟏𝟓 𝑺= 𝟔

[−𝟐, 𝟑] −𝒇(𝒙) = −(−𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐)

Diferencial (Base):

𝒅𝒙

𝟏𝟏𝟓 𝟐 𝒖 𝟔

NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐: 𝒃

𝟑

𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺(𝒙) = − ∫ (−𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝒂

−𝟐

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: 𝑺(𝒙) = − ∫(−𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒅𝒙

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165

Ejemplo 5

Área de la región bajo la curva 𝒇(𝒙) = −𝒔𝒆𝒏 𝒙 − √𝒙 + 𝟐:

Calcular el área de la región limitada por la curva: 𝒚 = −𝒔𝒆𝒏 𝒙 − √𝒙 + 𝟐, el eje x y las rectas: 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟔. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = −𝒔𝒆𝒏 𝒙 − √𝒙 + 𝟐 𝒇(−𝟏) = −𝒔𝒆𝒏(−𝟏) − √−𝟏 + 𝟐 = −(−𝟎. 𝟖𝟒) − (√𝟏) 𝒇(−𝟏) = 𝟎. 𝟖𝟒 − 𝟏 → 𝒇(−𝟏) = −𝟎. 𝟏𝟔 𝒇(𝟎) = −𝒔𝒆𝒏(𝟎) − √𝟎 + 𝟐 = −(𝟎) − (√𝟐) 𝒇(𝟎) = −𝟎 − 𝟏. 𝟒𝟏 → 𝒇(𝟎) = −𝟏. 𝟒𝟏 𝒇(𝟏) = −𝒔𝒆𝒏(𝟏) − √𝟏 + 𝟐 = −(𝟎. 𝟖𝟒) − (√𝟑) 𝒇(𝟏) = −𝟎. 𝟖𝟒 − 𝟏. 𝟕𝟑 → 𝒇(𝟏) = −𝟐. 𝟓𝟕 𝒇(𝟐) = −𝒔𝒆𝒏(𝟐) − √𝟐 + 𝟐 = −(𝟎. 𝟗𝟏) − (√𝟒) 𝒇(𝟐) = −𝟎. 𝟗𝟏 − 𝟐 → 𝒇(𝟐) = −𝟐. 𝟗𝟏 𝒇(𝟑) = −𝒔𝒆𝒏(𝟑) − √𝟑 + 𝟐 = −(𝟎. 𝟏𝟒) − (√𝟓) 𝒇(𝟑) = −𝟎. 𝟏𝟒 − 𝟐. 𝟐𝟒 → 𝒇(𝟑) = −𝟐. 𝟑𝟖 𝒇(𝟒) = −𝒔𝒆𝒏(𝟒) − √𝟒 + 𝟐 = −(𝟎. 𝟕𝟔) − (√𝟔) 𝒇(𝟒) = 𝟎. 𝟕𝟔 − 𝟐. 𝟒𝟓 → 𝒇(𝟒) = −𝟏. 𝟔𝟗 𝒇(𝟓) = −𝒔𝒆𝒏(𝟓) − √𝟓 + 𝟐 = −(−𝟎. 𝟗𝟔) − (√𝟕) 𝒇(𝟓) = 𝟎. 𝟗𝟔 − 𝟐. 𝟔𝟓 → 𝒇(𝟓) = −𝟏. 𝟔𝟗 𝒇(𝟔) = −𝒔𝒆𝒏(𝟔) − √𝟔 + 𝟐 = −(−𝟎. 𝟐𝟖) − (√𝟖) 𝒇(𝟔) = 𝟎. 𝟐𝟖 − 𝟐. 𝟖𝟑 → 𝒇(𝟔) = −𝟐. 𝟓𝟓

Graficar la función:

𝒃

𝟔

𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺(𝒙) = − ∫ (−𝒔𝒆𝒏 𝒙 − √𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙 𝒂

𝟏

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝑺(𝒙) = − ∫(−𝒔𝒆𝒏 𝒙 − √𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ √𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 Método de integral inmediata: 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 + ∫(𝒙 + 𝟐)𝟏/𝟐 𝒅𝒙 𝟐 𝑺(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + (𝒙 + 𝟐)𝟑/𝟐 𝟑 𝟐 𝑺(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + √(𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 𝟑 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒃

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | 𝒂

𝟔 𝟎

→

𝑺 = 𝑺(𝟔) − 𝑺(𝟎)

𝟐 𝑺(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + √(𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟐 𝑺(𝟔) = −𝒄𝒐𝒔 (𝟔) + √(𝟔 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 = −(𝟎. 𝟗𝟔) + √𝟓𝟏𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝑺(𝟔) = −𝟎. 𝟗𝟔 + (𝟐𝟐. 𝟔𝟑) = −𝟎. 𝟗𝟔 + 𝟏𝟓. 𝟎𝟗 𝟑 𝑺(𝟔) = 𝟏𝟒. 𝟏𝟑 + 𝑪 𝟐 𝑺(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + √(𝒙 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟐 𝑺(𝟎) = −𝒄𝒐𝒔 (𝟎) + √(𝟎 + 𝟐)𝟑 + 𝑪 = −(𝟏) + √𝟖 𝟑 𝟑 𝟐 𝑺(𝟎) = −𝟏 + (𝟐, 𝟖𝟑) = −𝟏 + 𝟏, 𝟖𝟗 𝟑 𝑺(𝟎) = 𝟎, 𝟖𝟗 + 𝑪 Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂) 𝑺 = 𝑺(𝟔) − 𝑺(𝟎) 𝑺 = (𝟏𝟒. 𝟏𝟑 + 𝑪) − (𝟎, 𝟖𝟗 + 𝑪) = 𝟏𝟒. 𝟏𝟑 − 𝟎, 𝟖𝟗 𝑺 = 𝟏𝟑, 𝟐𝟒

𝑺 = 𝟏𝟑, 𝟐𝟒 𝒖𝟐

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: Área del intervalo: Límites de integración: [𝟎, 𝟔] Integrando (Altura): Diferencial (Base):

NOTA: Como las unidades del área dependen de la unidad de longitud, nos quedara unidad de longitud al cuadrado.

−𝒇(𝒙) = −(−𝒔𝒆𝒏 𝒙 − √𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙

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166

IV. 3.0.- EJERCICIOS VARIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DEL ÁREA BAJO LA CURVA: Ejemplo 1

Paso 3: Aplicar la técnica de integración:

Calcular el área de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒, el eje x, las rectas: 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟔.

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫(𝟐𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 𝒇(−𝟐) = 𝟐(−𝟐) − 𝟒 = −𝟒 − 𝟒 → 𝒇(−𝟐) = −𝟖 𝒇(−𝟏) = 𝟐(−𝟏) − 𝟒 = −𝟐 − 𝟒

→

𝒇(−𝟏) = −𝟔

𝒇(𝟎) = 𝟐(𝟎) − 𝟒 = 𝟎 − 𝟒

→

𝒇(𝟎) = −𝟒

𝒇(𝟏) = 𝟐(𝟏) − 𝟒 = 𝟐 − 𝟒

→

𝒇(𝟏) = −𝟐

Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟒 ∫ 𝒅𝒙 Método de integral inmediata: 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) − 𝟒(𝒙) + 𝑪 𝟐 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝑪 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟐, 𝟐]: 𝟐

𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) − 𝟒 = 𝟒 − 𝟒

→

𝒇(𝟐) = 𝟎

𝑺𝟏 (𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟐) − 𝑺𝟏 (−𝟑)

𝒇(𝟑) = 𝟐(𝟑) − 𝟒 = 𝟔 − 𝟒

→

𝒇(𝟑) = 𝟐

𝑺𝟏 (𝒙) = −(𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝑪)

𝒇(𝟒) = 𝟐(𝟒) − 𝟒 = 𝟖 − 𝟒

→

𝒇(𝟒) = 𝟒

𝑺𝟏 (𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝑪

𝒇(𝟓) = 𝟐(𝟓) − 𝟒 = 𝟏𝟎 − 𝟒

→

𝒇(𝟓) = 𝟔

𝑺𝟏 (𝟐) = −(𝟐)𝟐 + 𝟒(𝟐) + 𝑪 = −(𝟒) + 𝟒(𝟐) + 𝑪

𝒇(𝟔) = 𝟐(𝟔) − 𝟒 = 𝟏𝟐 − 𝟒

→

𝒇(𝟔) = 𝟖

𝑺𝟏 (𝟐) = −𝟒 + 𝟖 + 𝑪

−𝟐

→ 𝑺𝟏 (𝟐) = 𝟒 + 𝑪

𝟐

𝑺𝟏 (𝒙) = −𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝑪

Graficar la función:

𝑺𝟏 (−𝟐) = −(−𝟐)𝟐 + 𝟒(−𝟐) + 𝑪 = −(𝟒) + 𝟒(−𝟐) + 𝑪 𝑺𝟏 (−𝟐) = −𝟒 − 𝟖 + 𝑪

→ 𝑺𝟏 (−𝟑) = −𝟏𝟐 + 𝑪

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝒃) − 𝑺𝟏 (𝒂) 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟒 + 𝑪) − (−𝟏𝟐 + 𝑪) = 𝟒 + 𝟏𝟐 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟏𝟔

Área de la región correspondiente al intervalo [𝟐, 𝟔]: 𝟔

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟔) − 𝑺𝟐 (𝟐) 𝟐

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟔) = (𝟔)𝟐 − 𝟒(𝟔) + 𝑪 = (𝟑𝟔) − 𝟒(𝟔) + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟔) = 𝟑𝟔 − 𝟐𝟒 + 𝑪

→ 𝑺𝟐 (𝟔) = 𝟏𝟐

𝟐

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝑪 Paso 2: Identificar elementos fundamentales: En la gráfica, se observa que: a) En el intervalo [−𝟐, 𝟐] la curva es una función negativa, es decir 𝒇(𝒙) ≤ 𝟎. b) En el intervalo [𝟐, 𝟔] la curva es una función positiva, es decir 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎, por lo tanto, se recomienda realizar el cálculo del área en cada intervalo, luego realizar la sumatoria respectiva, para obtener el área total. Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟐, 𝟐]: 𝒃

𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝟐

→ 𝑺𝟏 (𝒙) = − ∫ (𝟐𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙

𝒂

𝑺𝟐 (𝟐) = (𝟐)𝟐 − 𝟒(𝟐) + 𝑪 = (𝟒) − 𝟒(𝟐) + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟐) = 𝟒 − 𝟖 + 𝑪

→ 𝑺𝟐 (𝟐) = −𝟒 + 𝑪

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝒃) − 𝑺𝟐 (𝒂) 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝟏𝟐 + 𝑪) − (−𝟒 + 𝑪) = 𝟏𝟐 + 𝟒 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟏𝟔

Área total: 𝑺𝒕 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙) 𝑺𝒕 (𝒙) = (𝟏𝟔) + (𝟏𝟔) 𝑺𝒕 (𝒙) = 𝟑𝟐

−𝟐

Área de la región correspondiente al intervalo [𝟐, 𝟔]: 𝒃

𝑺 = 𝟑𝟐 𝒖𝟐

𝟔

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

→ 𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ (𝟐𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙

𝒂

𝟐

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167

Ejemplo 2

Separar los integrales:

Calcular el área de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟓. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒇(−𝟑) = 𝟐(−𝟑) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (−𝟑) = −𝟔 − 𝟎. 𝟒𝟐 𝒇(−𝟑) = −𝟔. 𝟒𝟐

𝑺(𝒙) = 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Método de integral inmediata: 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) + 𝟑(−𝒄𝒐𝒔 𝒙) + 𝑪 𝟐 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟑, 𝟎]: 𝟎

𝒇(−𝟐) = 𝟐(−𝟐) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (−𝟐) = −𝟒 − 𝟐. 𝟕𝟑

𝑺𝟏 (𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟎) − 𝑺𝟏 (−𝟑) −𝟑

𝒇(−𝟐) = −𝟔. 𝟕𝟑 𝒇(−𝟏) = 𝟐(−𝟏) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (−𝟏) = −𝟐 − 𝟐. 𝟓𝟐 𝒇(−𝟏) = −𝟒. 𝟓𝟐 𝒇(𝟎) = 𝟐(𝟎) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (𝟎) = 𝟎 + 𝟎 → 𝒇(𝟎) = 𝟎 𝒇(𝟏) = 𝟐(𝟏) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (𝟏) = 𝟐 + 𝟐. 𝟓𝟐 → 𝒇(𝟏) = 𝟒. 𝟓𝟐 𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (𝟐) = 𝟒 + 𝟐. 𝟕𝟑 → 𝒇(𝟐) = 𝟔. 𝟕𝟑 𝒇(𝟑) = 𝟐(𝟑) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (𝟑) = 𝟔 + 𝟎. 𝟒𝟐 → 𝒇(𝟑) = 𝟔. 𝟒𝟐 𝒇(𝟒) = 𝟐(𝟒) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (𝟒) = 𝟖 − 𝟐. 𝟐𝟕 → 𝒇(𝟒) = 𝟓. 𝟕𝟑 𝒇(𝟓) = 𝟐(𝟓) + 𝟑𝒔𝒆𝒏 (𝟓) = 𝟏𝟎 − 𝟐. 𝟖𝟕 → 𝒇(𝟓) = 𝟕. 𝟏𝟑

Graficar la función:

𝑺𝟏 (𝒙) = −(𝒙𝟐 − 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 ) 𝑺𝟏 (𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝑺𝟏 (𝟎) = −(𝟎)𝟐 + 𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟎) + 𝑪 𝑺𝟏 (𝟎) = −(𝟎) + 𝟑(𝟏) + 𝑪 𝑺𝟏 (𝟎) = 𝟎 + 𝟑 + 𝑪

𝑺𝟏 (𝟎) = 𝟑 + 𝑪

→

𝟐

𝑺𝟏 (𝒙) = −𝒙 + 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝑺𝟏 (−𝟑) = −(−𝟑)𝟐 + 𝟑𝒄𝒐𝒔(−𝟑) + 𝑪 𝑺𝟏 (−𝟑) = −(𝟗) + 𝟑(−𝟎, 𝟗𝟖𝟗) + 𝑪 𝑺𝟏 (−𝟑) = −𝟗 − 𝟐, 𝟗𝟔𝟕 + 𝑪

→ 𝑺𝟏 (−𝟑) = −𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟕 + 𝑪

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟎) − 𝑺𝟏 (−𝟑) 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟑 + 𝑪) − (−𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟕 + 𝑪) = 𝟑 + 𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟕 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟏𝟒, 𝟗𝟔𝟕

Área de la región correspondiente al intervalo [𝟎, 𝟓]: 𝟓

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟓) − 𝑺𝟐 (𝟎) 𝟎 𝟐

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝒙 − 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟓) = (𝟓)𝟐 − 𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟓) + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟓) = (𝟐𝟓) − 𝟑(𝟎, 𝟐𝟖𝟒) + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟓) = 𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟖𝟓𝟐 + 𝑪

→

𝑺𝟐 (𝟓) = 𝟐𝟒, 𝟏𝟒𝟖 + 𝑪

𝟐

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝒙 − 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟎) = (𝟎)𝟐 − 𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟎) + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟎) = (𝟎) − 𝟑(𝟏) + 𝑪

Paso 2: Identificar elementos fundamentales En la gráfica, se observa que: a) En el intervalo [−𝟑, 𝟎] la curva es una función negativa, es decir 𝒇(𝒙) ≤ 𝟎. b) En el intervalo [𝟎, 𝟓] la curva es una función positiva, es decir 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎, por lo tanto, se recomienda realizar el cálculo del área en cada intervalo, luego realizar la sumatoria, para obtener el área total. 𝟎

Intervalo: [−𝟑, 𝟎] → 𝑺𝟏 (𝒙) = − ∫−𝟒(𝟐𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 Intervalo: [𝟎, 𝟓]

→ 𝑺𝟐 (𝒙) =

𝟓 ∫𝟎 (𝟐𝒙

+ 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar la técnica de integración:

𝑺𝟐 (𝟎) = 𝟎 − 𝟑 + 𝑪

→

𝑺𝟐 (𝟎) = −𝟑 + 𝑪

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟓) − 𝑺𝟐 (𝟎) 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝟐𝟒, 𝟏𝟒𝟖 + 𝑪) − (−𝟑 + 𝑪) = 𝟐𝟒, 𝟏𝟒𝟖 + 𝟑 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟐𝟕, 𝟏𝟒𝟖

Área total bajo la curva: 𝑺𝒕 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙) 𝑺𝒕 (𝒙) = (𝟏𝟒, 𝟗𝟔𝟕) + (𝟐𝟕, 𝟏𝟒𝟖) 𝑺𝒕 (𝒙) = 𝟒𝟐, 𝟏𝟏𝟓

𝑺 = 𝟒𝟐, 𝟏𝟏𝟓 𝒖𝟐

𝑺(𝒙) = ∫(𝟐𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 Fundamentos para el Cálculo Integral

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168

Ejemplo 3

Método de integral inmediata:

Hallar el área limitada por la curva: 𝒚 = 𝟖 − 𝟐𝒙, el eje x y las rectas 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟕. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝟖 − 𝟐𝒙 𝒇(𝟎) = 𝟖 − 𝟐(𝟎) = 𝟖 − 𝟎 → 𝒇(𝟎) = 𝟖 𝒇(𝟏) = 𝟖 − 𝟐(𝟏) = 𝟖 − 𝟐

→ 𝒇(𝟏) = 𝟔

𝒇(𝟐) = 𝟖 − 𝟐(𝟐) = 𝟖 − 𝟒

→ 𝒇(𝟐) = 𝟒

𝒇(𝟑) = 𝟖 − 𝟐(𝟑) = 𝟖 − 𝟔

→ 𝒇(𝟑) = 𝟐

𝒇(𝟒) = 𝟖 − 𝟐(𝟒) = 𝟖 − 𝟖

→ 𝒇(𝟒) = 𝟎

𝒇(𝟓) = 𝟖 − 𝟐(𝟓) = 𝟖 − 𝟏𝟎 → 𝒇(𝟓) = −𝟐

𝟏 𝑺(𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) + 𝑪 𝟐

𝑺(𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝑪 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [𝟎, 𝟒]: 𝟒

𝑺𝟏 (𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟒) − 𝑺𝟏 (𝟏) 𝟎

𝑺(𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝑪 𝑺𝟏 (𝟒) = 𝟖(𝟒) − (𝟒)𝟐 + 𝑪 = 𝟑𝟐 − 𝟏𝟔 + 𝑪 𝑺𝟏 (𝟒) = 𝟏𝟔 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝑪

𝒇(𝟔) = 𝟖 − 𝟐(𝟔) = 𝟖 − 𝟏𝟐 → 𝒇(𝟔) = −𝟒

𝑺𝟏 (𝟎) = 𝟖(𝟎) − (𝟎)𝟐 + 𝑪 = 𝟎 − 𝟎 + 𝑪

𝒇(𝟕) = 𝟖 − 𝟐(𝟕) = 𝟖 − 𝟏𝟒 → 𝒇(𝟕) = −𝟔

𝑺𝟏 (𝟎) = 𝑪 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟒) − 𝑺𝟏 (𝟏)

Graficar la función:

𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟏𝟔 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪) = 𝟏𝟔 − 𝟎

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟏𝟔 Área de la región correspondiente al intervalo [𝟒, 𝟕]: 𝟕

𝑺𝟐 (𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟕) − 𝑺𝟏 (𝟒) 𝟒

𝑺𝟐 (𝒙) = −(𝟖𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝑪) 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟕) = (𝟕)𝟐 − 𝟖(𝟕) + 𝑪 = 𝟒𝟗 − 𝟓𝟔 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟕) = −𝟕 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟒) = (𝟒)𝟐 − 𝟖(𝟒) + 𝑪 = 𝟏𝟔 − 𝟑𝟐 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟒) = −𝟏𝟔 + 𝑪

Paso 2: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: En la gráfica, se observa que: a) En el intervalo [𝟒, 𝟕] la curva es una función negativa, es decir 𝒇(𝒙) ≤ 𝟎. b) En el intervalo [𝟎, 𝟒] la curva es una función positiva, es decir 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎, por lo tanto, se recomienda realizar el cálculo del área en cada intervalo, luego realizar la sumatoria, para obtener el área total. 𝟒

Intervalo: [𝟎, 𝟒] → 𝑺𝟏 (𝒙) = ∫𝟎 (𝟖 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟕

Intervalo: [𝟒, 𝟕] → 𝑺𝟐 (𝒙) = − ∫𝟒 (𝟖 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar la técnica de integración:

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟕) − 𝑺𝟏 (𝟒) 𝑺𝟐 (𝒙) = (−𝟕 + 𝑪) − (−𝟏𝟔 + 𝑪) = −𝟕 + 𝟏𝟔 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟗

Área bajo la curva: 𝑺 = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙) 𝑺 = 𝟏𝟔 + 𝟗 𝑺 = 𝟐𝟓

𝑺 = 𝟐𝟓 𝒖𝟐

𝑺(𝒙) = ∫(𝟖 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = 𝟖 ∫ 𝒅𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

169

Ejemplo 4

Separar los integrales:

Hallar el área limitada por la curva: 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟑, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟕.

𝑺(𝒙) = 𝟐 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒅𝒙

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒇(−𝟐) = 𝟐(−𝟐) − 𝟑 = −𝟒 − 𝟑 → 𝒇(−𝟐) = −𝟕 𝒇(−𝟏) = 𝟐(−𝟏) − 𝟑 = −𝟐 − 𝟑

→ 𝒇(−𝟏) = −𝟓

𝒇(𝟎) = 𝟐(𝟎) − 𝟑 = 𝟎 − 𝟑

→ 𝒇(𝟎) = −𝟑

𝒇(𝟏) = 𝟐(𝟏) − 𝟑 = 𝟐 − 𝟑

→ 𝒇(𝟏) = −𝟏

𝒇(𝟐) = 𝟐(𝟐) − 𝟑 = 𝟒 − 𝟑

→ 𝒇(𝟐) = 𝟏

𝒇(𝟒) = 𝟐(𝟒) − 𝟑 = 𝟖 − 𝟑

→ 𝒇(𝟒) = 𝟓

𝒇(𝟓) = 𝟐(𝟓) − 𝟑 = 𝟏𝟎 − 𝟑 → 𝒇(𝟓) = 𝟕 𝒇(𝟔) = 𝟐(𝟔) − 𝟑 = 𝟏𝟐 − 𝟑 → 𝒇(𝟕) = 𝟗

Graficar la función:

Método de integral inmediata: 𝟏 𝑺(𝒙) = 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) − 𝟑𝒙 + 𝑪 → 𝟐

𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝑪

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟐, 𝟏. 𝟓]: 𝟏.𝟓

𝑺𝟏 (𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟏. 𝟓) − 𝑺𝟏 (−𝟑) −𝟐 𝟐

𝑺(𝒙) = −(𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝑪) 𝑺(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪 𝑺𝟏 (𝟏. 𝟓) = −(𝟏. 𝟓)𝟐 + 𝟑(𝟏. 𝟓) + 𝑪 = −(𝟐. 𝟐𝟓) + 𝟑(𝟏. 𝟓) + 𝑪

𝑺𝟏 (𝟏. 𝟓) = −𝟐. 𝟐𝟓 + 𝟒. 𝟓 + 𝑪 𝑺𝟏 (𝟏. 𝟓) = 𝟐. 𝟐𝟓 + 𝑪

𝑺(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪 𝑺𝟏 (−𝟐) = −(−𝟐)𝟐 + 𝟑(−𝟐) + 𝑪 = −(𝟒) + 𝟑(−𝟐) + 𝑪 𝑺𝟏 (−𝟐) = −𝟒 − 𝟔 + 𝑪 𝑺𝟏 (−𝟐) = −𝟏𝟎 + 𝑪 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟏. 𝟓) − 𝑺𝟏 (−𝟑) 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟐. 𝟐𝟓 + 𝑪) − (−𝟏𝟎 + 𝑪) = 𝟐. 𝟐𝟓 + 𝟏𝟎

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟏𝟐. 𝟐𝟓 Área de la región correspondiente al intervalo [𝟏. 𝟓, 𝟔]: 𝟔

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟔) − 𝑺𝟐 (𝟏. 𝟓) 𝟏.𝟓

𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟔) = (𝟔)𝟐 − 𝟑(𝟔) + 𝑪 = (𝟑𝟔) − 𝟑(𝟔) + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟔) = 𝟑𝟔 − 𝟏𝟖 + 𝑪

Paso 2: Identificar elementos fundamentales: Corte con el eje x: 𝒚 = 𝟎 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 → 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟑/𝟐 En la gráfica, se observa que: a) En el intervalo [−𝟑; 𝟏. 𝟓] la curva es una función negativa, es decir 𝒇(𝒙) ≤ 𝟎. b) En el intervalo [𝟏. 𝟓; 𝟔] la curva es una función positiva, es decir 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎, por lo tanto, se recomienda realizar el cálculo del área en cada intervalo, luego realizar la sumatoria, para obtener el área total. Intervalo: 𝟏.𝟓

[−𝟐; 𝟏. 𝟓] → 𝑺𝟐 (𝒙) = − ∫ (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙 −𝟐

Intervalo: 𝟕

[𝟏. 𝟓; 𝟔]

→ 𝑺𝟏 (𝒙) = ∫ (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙 𝟏.𝟓

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva:

𝑺𝟐 (𝟔) = 𝟏𝟖 + 𝑪

𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟏. 𝟓) = (𝟏. 𝟓)𝟐 − 𝟑(𝟏. 𝟓) + 𝑪 = (𝟐. 𝟐𝟓) − 𝟑(𝟏. 𝟓) + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟏. 𝟓) = 𝟐. 𝟐𝟓 − 𝟒. 𝟓 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝟏. 𝟓) = −𝟐. 𝟐𝟓 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟔) − 𝑺𝟐 (𝟏. 𝟓) 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝟏𝟖 + 𝑪) − (−𝟐. 𝟐𝟓 + 𝑪) = 𝟏𝟖 + 𝟐. 𝟐𝟓

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟐𝟎. 𝟐𝟓 Área total: 𝑺 = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙) 𝑺 = 𝟐𝟎. 𝟐𝟓 + 𝟏𝟐. 𝟐𝟓 𝑺 = 𝟑𝟐. 𝟓

𝑺 = 𝟑𝟐. 𝟓 𝒖𝟐

𝑺(𝒙) = ∫(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

170

Ejemplo 5 Hallar el área bajo la curva: 𝒚 = | 𝒙 − 𝟑 | y las rectas 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟖 el eje x. Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = | 𝒙 − 𝟑 |

Método de integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = ( 𝒙𝟐 ) − 𝟑𝒙 + 𝑪 → 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟐 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟒, 𝟑]: 𝟑

𝑺𝟏 (𝒙) = − ∫ (𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (−𝟒) − 𝑺𝟏 (𝟑) −𝟒

𝒇(−𝟒) = |(−𝟒) − 𝟑| = |−𝟒 − 𝟑| = |−𝟕| → 𝒇(−𝟒) = 𝟕 𝒇(−𝟑) = |(−𝟑) − 𝟑| = |−𝟑 − 𝟑| = |−𝟔| → 𝒇(−𝟑) = 𝟔 𝒇(−𝟐) = |(−𝟐) − 𝟑| = |−𝟐 − 𝟑| = |−𝟓| → 𝒇(−𝟐) = 𝟓 𝒇(𝟎) = |(𝟎) − 𝟑| = |𝟎 − 𝟑| = |−𝟑| → 𝒇(𝟎) = 𝟑 𝒇(𝟐) = |(𝟐) − 𝟑| = |𝟐 − 𝟑| = |−𝟏| → 𝒇(𝟐) = 𝟏 𝒇(𝟑) = |(𝟑) − 𝟑| = |𝟑 − 𝟑| = |𝟑| → 𝒇(𝟑) = 𝟎 𝒇(𝟒) = |(𝟒) − 𝟑| = |𝟒 − 𝟑| = |𝟏| → 𝒇(𝟏) = 𝟏 𝒇(𝟔) = |(𝟔) − 𝟑| = |𝟔 − 𝟑| = |𝟑| → 𝒇(𝟔) = 𝟑 𝒇(𝟖) = |(𝟖) − 𝟑| = |𝟖 − 𝟑| = |𝟓| → 𝒇(𝟖) = 𝟓

Graficar la función:

𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − ( 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝑪) → 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺𝟏 (𝟑) = − (𝟑)𝟐 + 𝟑(𝟑) + 𝑪 = − (𝟗) + 𝟑(𝟑) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟗 𝑺𝟏 (𝟑) = − + 𝟗 + 𝑪 𝟐

→

𝑺𝟏 (𝟑) = 𝟗/𝟐 + 𝑪

𝟏 𝟏 𝑺𝟏 (−𝟒) = − (−𝟒)𝟐 + 𝟑(−𝟒) + 𝑪 = − (𝟏𝟔) + 𝟑(−𝟒) + 𝑪 𝟐 𝟐

𝑺𝟏 (−𝟒) = −𝟖 − 𝟏𝟐 + 𝑪

→

𝑺𝟏 (−𝟒) = −𝟐𝟎 + 𝑪

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟑) − 𝑺𝟏 (−𝟒) 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟗/𝟐 + 𝑪) − (−𝟐𝟎 + 𝑪) =

𝟗 + 𝑪 + 𝟐𝟎 − 𝑪 𝟐

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟒𝟗/𝟐 Área de la región correspondiente al intervalo [𝟑, 𝟖]: 𝟖

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ (𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙 → 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟖) − 𝑺𝟐 (𝟑) 𝟑

𝟏 𝑺(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺𝟐 (𝟖) = (𝟖)𝟐 − 𝟑(𝟖) + 𝑪 = (𝟔𝟒) − 𝟑(𝟖) + 𝑪 𝟐 𝟐

→

𝑺𝟐 (𝟖) = 𝟑𝟐 − 𝟐𝟒 + 𝑪

𝑺𝟐 (𝟖) = 𝟖 + 𝑪

𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺𝟐 (𝟑) = (𝟑)𝟐 − 𝟑(𝟑) + 𝑪 = (𝟗) − 𝟑(𝟑) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝑺(𝒙) =

Paso 2: Identificar elementos fundamentales: Corte con el eje x: 𝒚 = 𝟎 𝒇(𝒙) = |𝒙 − 𝟑| → 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟑 a) En el intervalo [−𝟒, 𝟑] la curva es una función positiva, es decir 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎. b) En el intervalo [𝟑, 𝟖] la curva es una función positiva, es decir 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎, por lo tanto, se recomienda realizar el cálculo del área en cada intervalo, luego realizar la sumatoria, para obtener el área total. Intervalo: [−𝟒, 𝟑] Intervalo: [𝟑, 𝟖] 𝟖

𝟑

𝑺𝟏 (𝒙) = − ∫ (𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙 ↔ 𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ (𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙 −𝟒

𝟑

Paso 3: Aplicar la técnica de integración:

𝑺𝟐 (𝟑) =

𝟗 −𝟗+𝑪 𝟐

→

𝑺𝟐 (𝟑) = −𝟗/𝟐 + 𝑪

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟖) − 𝑺𝟐 (𝟑) 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝟖 + 𝑪) − (−𝟗/𝟐 + 𝑪) = 𝟖 + 𝑪 + 𝟗/𝟐 − 𝑪

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟐𝟓/𝟐 Área total: 𝑺 = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙)

→

𝑺 = 𝟒𝟗/𝟐 + 𝟐𝟓/𝟐

𝑺 = 𝟑𝟕 𝒖𝟐

𝑺(𝒙) = ∫(𝒙 − 𝟑) 𝒅𝒙 Separar los integrales: 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒅𝒙 Fundamentos para el Cálculo Integral

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171

Ejemplo 6

Paso 3: Aplicar la técnica de integración:

Hallar el área bajo la curva: 𝑺(𝒙) = ∫(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖) 𝒅𝒙 𝟐 𝒚 = | 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟖 | el eje x y limitada por las rectas: Método de integral inmediata: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟔. 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente. Función (Curva): 𝒇(𝒙) = | 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 | 𝒇(−𝟒) = |(−𝟒)𝟐 − 𝟐(−𝟒) − 𝟖| = |𝟏𝟔| → 𝒇(−𝟒) = 𝟏𝟔 𝒇(−𝟑) = |(−𝟑)𝟐 − 𝟐(−𝟑) − 𝟖| = |𝟕| 𝒇(−𝟐) =

|(−𝟐)𝟐

− 𝟐(−𝟐) − 𝟖| = |𝟎|

→

𝒇(−𝟑) = 𝟕

→

𝒇(−𝟐) = 𝟎

𝒇(𝟎) =

|(𝟎)𝟐

− 𝟐(𝟎) − 𝟖| = |−𝟖|

→

𝒇(𝟎) = 𝟖

𝒇(𝟏) =

|(𝟏)𝟐

− 𝟐(𝟏) − 𝟖| = |−𝟗|

→

𝒇(𝟏) = 𝟗

𝒇(𝟐) =

|(𝟐)𝟐

− 𝟐(𝟐) − 𝟖| = |−𝟖|

→

𝒇(𝟐) = 𝟖

𝒇(𝟑) =

|(𝟑)𝟐

− 𝟐(𝟑) − 𝟖| = |−𝟓|

→

𝒇(𝟑) = 𝟓

𝒇(𝟒) = |(𝟒)𝟐 − 𝟐(𝟒) − 𝟖| = |𝟎|

→ 𝒇(𝟒) = 𝟎

𝒇(𝟓) = |(𝟓)𝟐 − 𝟐(𝟓) − 𝟖| = |𝟕|

→ 𝒇(𝟓) = 𝟕

𝒇(𝟔) =

|(𝟔)𝟐

− 𝟐(𝟔) − 𝟖| = |𝟏𝟔|

→ 𝒇(𝟔) = 𝟏𝟔

Graficar la función:

Paso 2: Identificar elementos fundamentales: Corte con el eje x: 𝒚 = 𝟎 𝒚 = |𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖| → 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎 → (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟒) 𝒙 = −𝟐 𝒚 𝒙 = 𝟒 a) En el intervalo [−𝟒, −𝟐]; [−𝟐, 𝟒] y [𝟒, 𝟔] la curva es una función positiva, sin embargo, como estamos trabajando con valor absoluto, hay verificar el tramo cuando la función tiene valores negativos. Intervalos: −𝟐

[−𝟒, −𝟐]

→ 𝑺𝟏 (𝒙) = ∫ (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖) 𝒅𝒙 −𝟒 𝟒

[−𝟐, 𝟒]

→ 𝑺𝟐 (𝒙) = − ∫ (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖) 𝒅𝒙

𝑺(𝒙) = ( 𝒙 ) − 𝟐 ( 𝒙 ) − 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐

𝟏 𝟑 𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟒, −𝟐]: 𝟏 −𝟐 𝑺(𝒙) = ( 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝑪) | −𝟒 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐 𝑺𝟏 (−𝟐) = (−𝟐) − (−𝟐) − 𝟖(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝑺𝟏 (−𝟐) = 𝟐𝟖/𝟑 + 𝑪 𝟏 𝑺𝟏 (−𝟒) = (−𝟒)𝟑 − (−𝟒)𝟐 − 𝟖(−𝟒) + 𝑪 𝟑 𝑺𝟏 (−𝟒) = −𝟏𝟔/𝟑 + 𝑪 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (−𝟐) − 𝑺𝟏 (−𝟒) 𝟐𝟖 𝟏𝟔 𝑺𝟏 (𝒙) = ( + 𝑪) − (− + 𝑪) = 𝟐𝟖/𝟑 + 𝟏𝟔/𝟑 𝟑 𝟑 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟒𝟒/𝟑 Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟐, 𝟒]: 𝟏 𝟒 𝑺(𝒙) = − ( 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝑪) | −𝟐 𝟑 𝟏 𝑺𝟐 (𝟒) = − (𝟒)𝟑 + (𝟒)𝟐 + 𝟖(𝟒) + 𝑪 𝟑 𝑺𝟐 (𝟒) = 𝟖𝟎/𝟑 + 𝑪 𝟏 𝑺𝟐 (−𝟐) = − (−𝟐)𝟑 + (−𝟐)𝟐 + 𝟖(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝑺𝟐 (−𝟐) = −𝟐𝟖/𝟑 + 𝑪 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺𝟐 (𝟒) − 𝑺𝟐 (−𝟐) 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝟖𝟎/𝟑 + 𝑪) − (−𝟐𝟖/𝟑 + 𝑪) = 𝟖𝟎/𝟑 + 𝟐𝟖/𝟑 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟑𝟔 Área de la región correspondiente al intervalo [𝟒, 𝟔]: 𝟏 𝟔 𝑺(𝒙) = ( 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝑪) | 𝟒 𝟑 𝟏 𝑺𝟑 (𝟔) = (𝟔)𝟑 − (𝟔)𝟐 − 𝟖(𝟔) + 𝑪 𝟑 𝑺𝟑 (𝟔) = −𝟏𝟐 + 𝑪 𝟏 𝑺𝟑 (𝟒) = (𝟒)𝟑 − (𝟒)𝟐 − 𝟖(𝟒) + 𝑪 𝟑 𝑺𝟑 (𝟒) = −𝟖𝟎/𝟑 + 𝑪 𝑺𝟑 (𝒙) = 𝑺𝟑 (𝟔) − 𝑺𝟑 (𝟒) 𝑺𝟑 (𝒙) = (−𝟏𝟐 + 𝑪) − (−𝟖𝟎/𝟑 + 𝑪) = −𝟏𝟐 + 𝟖𝟎/𝟑 𝑺𝟑 (𝒙) = 𝟒𝟒/𝟑 Área total: 𝑺 = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙) + 𝑺𝟑 (𝒙) → 𝑺 = 𝟒𝟒/𝟑 + 𝟑𝟔 + 𝟒𝟒/𝟑 𝑺(𝒙) =

−𝟐 𝟔

[𝟒, 𝟔]

→ 𝑺𝟑 (𝒙) = ∫ (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖) 𝒅𝒙

𝑺 = 𝟏𝟗𝟔/𝟑 𝒖𝟐

𝟒

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172

Ejemplo 7

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟐 − 𝟖𝒗 + 𝟏𝟔) 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒗

Hallar el área limitada las rectas: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟎 el eje x y por la curva: 𝒚 = ± 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟓/𝟐 − 𝟖𝒗𝟑/𝟐 + 𝟏𝟔𝒗𝟏/𝟐 ) 𝒅𝒗

Paso 1: Graficar la función: Asignar valores a la variable independiente.

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟕/𝟐 𝟐 𝟐 𝒗 − 𝟖 ∙ 𝒗𝟓/𝟐 + 𝟏𝟔 ∙ 𝒗𝟑/𝟐 𝟕 𝟓 𝟑

Función (Curva): 𝒇(𝒙) = ±𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 √𝒗𝟓 + √𝒗𝟕 − √𝒗𝟑 𝟕 𝟓 𝟑

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 =

𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝟐 𝟑𝟐 𝒗 √𝒗 − 𝒗 √𝒗 + 𝒗√𝒗 𝟕 𝟓 𝟑

𝒇(−𝟒) = ±(−𝟒)𝟐 √−𝟒 + 𝟒 = ±𝟏𝟔√𝟎

→

𝒇(−𝟒) = 𝟎

𝟒 = ±𝟗√𝟏

→

𝒇(−𝟑) = ±𝟗

𝒇(−𝟐) = ±(−𝟐)𝟐 √−𝟐 + 𝟒 = ±𝟒√𝟐

→

𝒇(−𝟐) = ±𝟒√𝟐

𝒇(−𝟏) = ±(−𝟏)𝟐 √−𝟏 + 𝟒 = ±√𝟑

→

𝒇(−𝟏) = ±√𝟑

𝒇(𝟎) = ±(𝟎)𝟐 √𝟎 + 𝟒 = ±𝟎√𝟐

→

𝒇(𝟎) = ±𝟎

𝒇(−𝟑) =

±(−𝟑)𝟐 √−𝟑 +

Graficar la función:

𝟏 𝟖 𝟏𝟔 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟐𝒗√𝒗 ( 𝒗𝟐 − 𝒗 + ) 𝟕 𝟓 𝟑

d) Devolver cambio de variable: 𝟏 𝟖 𝟏𝟔 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐(𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟒 ( (𝒙 + 𝟒)𝟐 − (𝒙 + 𝟒) + ) 𝟕 𝟓 𝟑

𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟐𝟖 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟐(𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟒 ( 𝒙𝟐 − 𝒙+ ) 𝟕 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟓

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟒, 𝟎]: 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟐𝟖 𝟎 𝑺(𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟒 ( 𝒙𝟐 − 𝒙+ ) | −𝟒 𝟕 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟓 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟐𝟖 𝑺(−𝟒) = 𝟐(−𝟒 + 𝟒)√−𝟒 + 𝟒 ( (−𝟒)𝟐 − (−𝟒) + ) 𝟕 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟓 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟐𝟖 𝑺(−𝟒) = 𝟐(𝟎)√𝟎 ( (−𝟒)𝟐 − (−𝟒) + ) 𝟕 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟓 𝑺𝟏 (−𝟒) = 𝟎 + 𝑪

Paso 2: Identificar elementos fundamentales: a) En el intervalo [−𝟒, 𝟎] la curva es una función positiva y negativa, además de ser simétrica. Intervalos:

𝑺𝟏 (𝟎) = 𝟐𝟎𝟒𝟖/𝟏𝟎𝟓 + 𝑪

𝟎

[−𝟒, 𝟎]

→

𝟐

𝑺𝟏 (𝒙) = + ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 −𝟒 𝟎

[−𝟒, 𝟎]

→

𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟐𝟖 𝑺(𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟒 ( 𝒙𝟐 − 𝒙+ ) 𝟕 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟓 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟐𝟖 𝑺(𝟎) = 𝟐(𝟎 + 𝟒)√𝟎 + 𝟒 ( (𝟎)𝟐 − (𝟎) + ) 𝟕 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟐𝟖 𝑺(𝟎) = 𝟐(𝟒)√𝟒 ( ) 𝟏𝟎𝟓

𝑺𝟐 (𝒙) = − ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 −𝟒

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝑺(𝒙) = ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: b) Derivada: (𝒙 + 𝟒) = 𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗 (𝒙 + 𝟒) = 𝒗 → 𝒙 = (𝒗 − 𝟒) c) Sustituir cambio de variable y efectuar:

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝟎) − 𝑺𝟏 (−𝟒)

→ 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟐𝟎𝟒𝟖/𝟏𝟎𝟓) − (𝟎)

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐𝟎𝟒𝟖/𝟏𝟎𝟓 + 𝑪

Como existe simetría, el área de la función negativa es igual a función positiva, por lo tanto, es el doble. Área total: 𝑺 = 𝟐 ∙ 𝑺𝟏 (𝒙)

→

𝑺 = 𝟐 ∙ (𝟐𝟎𝟒𝟖/𝟏𝟎𝟓)

𝑺 = 𝟒𝟎𝟗𝟔/𝟏𝟎𝟓 𝒖𝟐

∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫(𝒗 − 𝟒)𝟐 √𝒗 𝒅𝒗 ∫ 𝒙𝟐 √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 = ∫(𝒗𝟐 − 𝟖𝒗 + 𝟏𝟔) √𝒗 𝒅𝒗

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173

IV.4.0.- CÁLCULO ÁREA ENTRE DOS FUNCIONES: Si las funciones f (x) y g(x) son continuas en un intervalo cerrado [𝐚, 𝐛], en donde 𝐟(𝐱) ≥ 𝐠(𝐱) para todo x perteneciente al intervalo [𝐚, 𝐛]. Se puede decir que, el área de la región acotada por las gráficas entre las rectas 𝒙 = 𝒂 y 𝒙 = 𝒃, está dada por: 𝒃

𝑺 = ∫ [ 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = 𝑺(𝒙) | 𝒂

𝒃 𝒂

→

𝑺(𝒙) = 𝑺(𝒃) − 𝑺(𝒂)

Es fundamental graficar cada una de las funciones, con la finalidad determinar los puntos donde las dos funciones se intersecan. IV.4.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DEL ÁREA BAJO DOS CURVAS: Ejemplo 1

Método de integral inmediata:

Calcular el área de la región limitada por las rectas: 𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝑪 𝒚 = 𝟑 y 𝒚 = 𝟓 entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟖. Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝑪

Paso 1: Graficar la función: Función (Rectas): 𝒚 = 𝟓 e 𝒚 = 𝟐 Graficar la función:

𝟖 | 𝟎

𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝑪 𝑺(𝟖) = 𝟑(𝟖) + 𝑪 = 𝟐𝟒 + 𝑪 𝑺(𝟖) = 𝟐𝟒 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝑪 𝑺(𝟎) = 𝟑(𝟎) + 𝑪 = 𝟎 + 𝑪 𝑺(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝑺(𝟖) − 𝑺(𝟎) 𝑺(𝒙) = (𝟐𝟒 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪) = 𝟐𝟒 + 𝑪 − 𝟎 − 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝟐𝟒 Área: 𝑺 = 𝟐𝟒 𝒖𝟐

Paso 3: Identificar elementos fundamentales para emplear teorema fundamental del cálculo: a) En el intervalo [𝟎, 𝟖]. [ 𝟎, 𝟖 ] → 𝑺𝒏 (𝒙) = ∫[𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 𝟖

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ [(𝟓) − (𝟐)] 𝒅𝒙

𝟖

→

𝑺(𝒙) = ∫ 𝟑 𝒅𝒙

𝟎

NOTA: Como la gráfica es una figura fácil de asociar con figuras planas de geometría. Observamos un rectángulo, por lo que sería fácil determinarla sin hacer uso de la integral. Pero no en todas las funciones, se hará fácil, por lo que se recomienda el uso de integral. 𝑺(𝒙) = 𝒃𝒂𝒔𝒆 ∙ 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝑺(𝒙) = 𝟐𝟒 𝒖𝟐

→ 𝑺(𝒙) = (𝟖) ∙ (𝟑)

𝟎

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: 𝑺(𝒙) = ∫ 𝟑 𝒅𝒙

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174

Ejemplo 2 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒 y 𝒈(𝒙) = 𝟐 Paso 1: Graficar cada una de las funciones: Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒 y

𝒈(𝒙) = 𝟐

Paso 2: Identificar intervalo para aplicar teorema fundamental del cálculo: a) En el intervalo [−𝟐, 𝟑]. 𝑺𝒏 (𝒙) = ∫[𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙 𝟑

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ [(𝟐) − (𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒)] 𝒅𝒙

Gráfica:

−𝟐 𝟑

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ (−𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 −𝟐

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: 𝑺(𝒙) = ∫(−𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 Método de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟐, 𝟑]: 𝟏 𝟏 𝟑 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 | −𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝑺(𝟑) = − (𝟑)𝟑 + (𝟑)𝟐 + 𝟔(𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟐

Paso 2: Hallar puntos donde se intersecan las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒

𝒚

𝒈(𝒙) = 𝟐

𝑺(𝟑) = 𝟐𝟕/𝟐 + 𝑪

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒 − 𝟐 = 𝟎

𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐

𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒 = 𝟐

→

𝟏 𝟏 𝑺(𝟑) = − (𝟐𝟕) + (𝟗) + 𝟔(𝟑) + 𝑪 𝟑 𝟐

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎

𝟏 𝟏 𝑺(−𝟐) = − (−𝟐)𝟑 + (−𝟐)𝟐 + 𝟔(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟐

Factorizar:

𝟏 𝟏 𝑺(−𝟐) = − (−𝟖) + (𝟒) + 𝟔(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟐

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) = 𝟎 Puntos donde se intersecan: Para determinar los puntos donde se intersecan las funciones, podemos usar cualquiera de las funciones, ya que los puntos pertenecen a ambas funciones. 𝒙 = −𝟐

𝑺(−𝟐) = −𝟐𝟐/𝟑 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝑺(𝟑) − 𝑺(−𝟐) 𝑺(𝒙) = (𝟐𝟕/𝟐 + 𝑪) − (−𝟐𝟐/𝟑 + 𝑪) = 𝟐𝟕/𝟐 + 𝟐𝟐/𝟑 𝑺(𝒙) = 𝟏𝟐𝟓/𝟔

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒 → 𝒇(−𝟐) = (−𝟐)𝟐 − (−𝟐) − 𝟒 𝒇(−𝟐) = 𝟒 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟔 − 𝟒

→

𝒇(−𝟐) = 𝟐

𝑺 = 𝟏𝟐𝟓/𝟔 𝒖𝟐

𝑷𝒄 = (−𝟐, 𝟐) 𝒙=𝟑 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒 → 𝒇(𝟑) = (𝟑)𝟐 − (𝟑) − 𝟒 𝒇(𝟑) = 𝟗 − 𝟑 − 𝟒 = 𝟗 − 𝟕

→

𝒇(𝟑) = 𝟐

𝑷𝒄 = (𝟑, 𝟐)

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Ejemplo 3

𝟒

Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 Paso 1: Graficar cada una de las funciones: Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 Gráfica:

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ (𝒙 + 𝟐 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 −𝟐 𝟒

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ (−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖) 𝒅𝒙 −𝟐

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: 𝑺(𝒙) = ∫(−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖) 𝒅𝒙 Método de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝟐 ∙ 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝑺(𝒙) = − 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑

Paso 2: Hallar puntos donde se intersecan las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝒙 + 𝟐

𝒚

𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 →

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎

𝟐

𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎 Factorizar: 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐) (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐) = 𝟎 Puntos donde se intersecan: Para determinar los puntos donde se intersecan las funciones, podemos usar cualquiera de las funciones, ya que los puntos pertenecen a ambas funciones. 𝒙=𝟒 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 → 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐 − (𝟒) − 𝟔 𝒇(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟒 − 𝟔 = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟎 𝑷𝒄 = (𝟒, 𝟔) 𝒙 = −𝟐

→

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟐, 𝟒]: 𝟏 𝟒 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 | −𝟐 𝟑 𝟏 𝑺(𝟒) = − (𝟒)𝟑 + (𝟒)𝟐 + 𝟖(𝟒) + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(𝟒) = − (𝟔𝟒) + (𝟏𝟔) + 𝟖(𝟒) + 𝑪 𝟑 𝑺(𝟒) = 𝟖𝟎/𝟑 + 𝑪 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(−𝟐) = − (−𝟐)𝟑 + (−𝟐)𝟐 + 𝟖(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟏 𝑺(−𝟐) = − (−𝟖) + (𝟒) + 𝟖(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝑺(−𝟐) = −𝟐𝟖/𝟑 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟐) 𝑺(𝒙) = (𝟖𝟎/𝟑 + 𝑪) − (−𝟐𝟖/𝟑 + 𝑪) = 𝟖𝟎/𝟑 + 𝟐𝟖/𝟑 𝑺(𝒙) = 𝟑𝟔

𝑺 = 𝟑𝟔 𝒖𝟐

𝒇(𝟒) = 𝟔

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 → 𝒇(−𝟐) = (−𝟐)𝟐 − (−𝟐) − 𝟔 𝒇(−𝟐) = 𝟒 + 𝟐 − 𝟔 = 𝟔 − 𝟔 → 𝒇(−𝟐) = 𝟎 𝑷𝒄 = (−𝟐, 𝟎) Paso 2: Identificar intervalo para aplicar teorema fundamental del cálculo: a) En el intervalo [−𝟐, 𝟒]. 𝑺𝒏 (𝒙) = ∫[𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙 𝟒

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ [(𝒙 + 𝟐) − (𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔)] 𝒅𝒙 −𝟐

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Ejemplo 4

𝟒

Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 y 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 Paso 1: Graficar cada una de las funciones: Función (Curva): 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 y 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ [(−𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎) − (𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔)] 𝒅𝒙 −𝟐 𝟒

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ (−𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 −𝟐 𝟒

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ (−𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔) 𝒅𝒙 −𝟐

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva:

Gráfica:

𝑺(𝒙) = ∫(−𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔) 𝒅𝒙 Método de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = −𝟐 ∙ 𝒙𝟑 + 𝟒 ∙ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝑺(𝒙) = − 𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟐, 𝟒]: 𝟐 𝟒 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝑪 | −𝟐 𝟑 𝟐 𝑺(𝟒) = − (𝟒)𝟑 + 𝟐(𝟒)𝟐 + 𝟏𝟔(𝟒) + 𝑪 𝟑

Paso 2: Hallar puntos donde se intersecan las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

𝒚

𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎

𝑺(𝟒) = 𝟏𝟔𝟎/𝟑 + 𝑪 𝟐 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝑪 𝟑

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎 → 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎 Factorizar: 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐) (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐) = 𝟎 Puntos donde se intersecan: Para determinar los puntos donde se intersecan las funciones, podemos usar cualquiera de las funciones, ya que los puntos pertenecen a ambas funciones. 𝒙=𝟒 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 → 𝒇(𝟒) = (𝟒)𝟐 − (𝟒) − 𝟔 𝒇(𝟒) = 𝟏𝟔 − 𝟒 − 𝟔 = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟎 𝑷𝒄 = (𝟒, 𝟔) 𝒙 = −𝟐

𝟐 𝑺(𝟒) = − (𝟔𝟒) + 𝟐(𝟏𝟔) + 𝟏𝟔(𝟒) + 𝑪 𝟑

→

𝒇(𝟒) = 𝟔

𝟐 𝑺(−𝟐) = − (−𝟐)𝟑 + 𝟐(−𝟐)𝟐 + 𝟏𝟔(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝑺(−𝟐) = − (−𝟖) + 𝟐(𝟒) + 𝟏𝟔(−𝟐) + 𝑪 𝟑 𝑺(−𝟐) = −𝟓𝟔/𝟑 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟐) 𝑺(𝒙) = (𝟏𝟔𝟎/𝟑 + 𝑪) − (−𝟓𝟔/𝟑 + 𝑪) = 𝟏𝟔𝟎/𝟑 + 𝟓𝟔/𝟑 𝑺(𝒙) = 𝟕𝟐

𝑺 = 𝟕𝟐 𝒖𝟐

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 → 𝒇(−𝟐) = (−𝟐)𝟐 − (−𝟐) − 𝟔 𝒇(−𝟐) = 𝟒 + 𝟐 − 𝟔 = 𝟔 − 𝟔 → 𝒇(−𝟐) = 𝟎 (−𝟐, 𝑷𝒄 = 𝟎) Paso 2: Identificar intervalo para aplicar teorema fundamental del cálculo: a) En el intervalo [−𝟐, 𝟒]. 𝑺𝒏 (𝒙) = ∫[𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙 Fundamentos para el Cálculo Integral

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Ejemplo 5

𝟐

Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓 y 𝒇(𝒙) = − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 entre: 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟐. Paso 1: Graficar cada una de las funciones: Función (Curva): 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓 Gráfica:

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ [(−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑) − (𝒙𝟑 − 𝟓)] 𝒅𝒙 −𝟏 𝟐

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ (−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝒙𝟑 + 𝟓) 𝒅𝒙 −𝟏 𝟐

𝑺𝒏 (𝒙) = ∫ (−𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖) 𝒅𝒙 −𝟏

Paso 3: Aplicar la técnica de integración respectiva: 𝑺(𝒙) = ∫(−𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖) 𝒅𝒙 Método de la integral inmediata: 𝟏 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟐 ∙ 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 𝑺(𝒙) = − 𝒙 − 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟒 𝟑 Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟏, 𝟐]: 𝟏 𝟏 𝟐 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 | −𝟏 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝑺(𝟐) = − (𝟐)𝟒 − (𝟐)𝟑 + (𝟐)𝟐 + 𝟖(𝟐) + 𝑪 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝑺(𝟐) = − (𝟏𝟔) − (𝟖) + (𝟒) + 𝟖(𝟐) + 𝑪 𝟒 𝟑

Paso 2: Hallar puntos donde se intersecan las funciones: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

𝒚

𝒈(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓

−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝟓 𝟑

𝟐

−𝒙 − 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝟓 = 𝟎 −𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎 𝟑

𝟐

𝒙 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎 Factorizar: 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎 𝟐

(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟒)

𝑺(𝟐) = 𝟒𝟎/𝟑 + 𝑪 𝟏 𝟏 𝑺(𝒙) = − 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟏) = − (−𝟏)𝟒 − (−𝟏)𝟑 + (−𝟏)𝟐 + 𝟖(−𝟏) + 𝑪 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝑺(−𝟏) = − (𝟏) − (−𝟏) + (𝟏) + 𝟖(−𝟏) + 𝑪 𝟒 𝟑 𝑺(−𝟏) = −𝟖𝟑/𝟏𝟐 + 𝑪 𝑺(𝒙) = 𝑺(𝟐) − 𝑺(−𝟏) 𝑺(𝒙) = (𝟒𝟎/𝟑 + 𝑪) − (−𝟖𝟑/𝟏𝟐 + 𝑪) = 𝟒𝟎/𝟑 + 𝟖𝟑/𝟏𝟐 𝑺(𝒙) = 𝟖𝟏/𝟒

Puntos donde se intersecan: Para determinar los puntos donde se intersecan las funciones, podemos usar cualquiera de las funciones, ya que los puntos pertenecen a ambas funciones. 𝒙=𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓 → 𝒇(𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟓

𝑺 = 𝟖𝟏/𝟒 𝒖𝟐

𝒇(𝟐) = 𝟖 − 𝟓 = 𝟑 𝑷𝒄 = (𝟐, 𝟑) Paso 2: Identificar intervalo para aplicar teorema fundamental del cálculo: a) En el intervalo [−𝟏, 𝟐]. 𝑺𝒏 (𝒙) = ∫[𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙

Fundamentos para el Cálculo Integral

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178

Ejemplo 6 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 y 𝒈(𝒙) = √𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 entre las rectas: 𝒙 = 𝝅/𝟔 y 𝒙 = 𝟏𝟑𝝅/𝟔

Paso 3: Intervalos para teorema fundamental del cálculo: 𝝅 𝟕𝝅 [ , ] → 𝑺𝟏 (𝒙) = ∫[ 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 𝟔 𝟔 𝑺𝟏 (𝒙) = ∫(𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 − √𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙

Aplicar la técnica de integración:

Paso 1: Graficar cada una de las funciones: Gráfica:

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 − √𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝑺𝟏 (𝒙) = −𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 − √𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

𝟕𝝅 𝟏𝟑𝝅 [ , ] → 𝑺𝟐 (𝒙) = ∫[ 𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)] 𝒅𝒙 𝟔 𝟔 𝑺𝟐 (𝒙) = ∫(√𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙

Aplicar la técnica de integración: 𝑺𝟐 (𝒙) = √𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + √𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: Área de la región en el intervalo [𝝅⁄𝟔 , 𝟕𝝅⁄𝟔]: 𝟕𝝅/𝟔 𝑺𝟏 (𝒙) = −𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 − √𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪 | 𝝅/𝟔 Paso 2: Hallar puntos donde se intersecan las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 = √𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 → (𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙)𝟐 = (√𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝟗𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙

→

𝟗𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟑(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙)

𝟗𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟑 − 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 → 𝟏𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟑 → 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 =

𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = ± 𝟐

→

𝟐

𝟗𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 = 𝟑

𝟑 𝟏 𝟏 = → 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = ±√ 𝟏𝟐 𝟒 𝟒

𝟏 𝒙 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 ( ) 𝟐

→

𝒙 = 𝝅/𝟔

I y III cuadrante (Seno y coseno tienen el mismo signo): 𝝅 𝐈𝐜 → 𝒙 = 𝟔 𝐈𝐈𝐈𝐜 → 𝒙 = (𝝅 + 𝝅/𝟔) = 𝟕𝝅/𝟔 𝐈𝐜 → 𝒙 = (𝟐𝝅 + 𝝅/𝟔) = 𝟏𝟑𝝅/𝟔 Puntos donde se intersecan: Podemos usar cualquier función, ya que los puntos pertenecen a ambas. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 →

𝝅 𝝅 𝒇 ( ) = 𝟑𝒔𝒆𝒏 ( ) → 𝟔 𝟔

𝝅 𝟑 𝒇( ) = 𝟔 𝟐

𝝅 𝟑 𝑷𝒄 = ( , ) 𝟔 𝟐 𝟕𝝅 𝟕𝝅 𝟕𝝅 𝟑 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇 ( ) = 𝟑𝒔𝒆𝒏 ( ) → 𝒇 ( ) = − 𝟔 𝟔 𝟔 𝟐

𝟕𝝅 𝟑 𝑷𝒄 = ( , − ) 𝟔 𝟐 𝟏𝟑𝝅 𝟏𝟑𝝅 𝟏𝟑𝝅 𝟑 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 → 𝒇 ( ) = 𝟑𝒔𝒆𝒏 ( ) → 𝒇( )= 𝟔 𝟔 𝟔 𝟐

𝟏𝟑𝝅 𝟑 𝑷𝒄 = ( , ) 𝟔 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝑺𝟏 (𝟕𝝅/𝟔) = −𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟕𝝅⁄𝟔) − √𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟕𝝅⁄𝟔) 𝑺𝟏 (𝟕𝝅/𝟔) = −𝟑(−𝟎. 𝟖𝟕) − √𝟑(−𝟎. 𝟓)

𝑺𝟏 (𝟕𝝅/𝟔) = 𝟑. 𝟒𝟖 𝑺𝟏 (𝝅/𝟔) = −𝟑𝒄𝒐𝒔(𝝅⁄𝟔) − √𝟑𝒔𝒆𝒏(𝝅⁄𝟔) 𝑺𝟏 (𝝅/𝟔) = −𝟑(𝟎. 𝟖𝟕) − √𝟑(𝟎. 𝟓)

𝑺𝟏 (𝝅/𝟔) = −𝟑. 𝟒𝟖 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺(𝟕𝝅/𝟔) − 𝑺(𝝅⁄𝟔) → 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟑. 𝟒𝟖) − (−𝟑. 𝟒𝟖)

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟔. 𝟗𝟔

Área de la región en el intervalo [𝟕𝝅⁄𝟔 , 𝟏𝟑𝝅⁄𝟔]: 𝟏𝟑𝝅/𝟔 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙 + √𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪 | 𝟕𝝅/𝟔 𝑺𝟐 (𝟏𝟑𝝅/𝟔) = 𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟑 𝝅⁄𝟔) + √𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟑 𝝅⁄𝟔) 𝑺𝟐 (𝟏𝟑𝝅/𝟔) = 𝟑(𝟎. 𝟖𝟕) + √𝟑(𝟎. 𝟓)

𝑺𝟐 (𝟏𝟑𝝅/𝟔) = 𝟑. 𝟒𝟖 𝑺𝟐 (𝟕𝝅/𝟔) = 𝟑𝒄𝒐𝒔(𝟕𝝅⁄𝟔) + √𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟕𝝅⁄𝟔) 𝑺𝟐 (𝟕𝝅/𝟔) = 𝟑(−𝟎. 𝟖𝟕) + √𝟑(−𝟎. 𝟓)

𝑺𝟐 (𝟕𝝅/𝟔) = −𝟑. 𝟒𝟖 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺(𝟏𝟑𝝅/𝟔) − 𝑺(𝟕𝝅⁄𝟔) → 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟑. 𝟒𝟖) − (−𝟑. 𝟒𝟖)

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟔. 𝟗𝟔 Área total: 𝑺𝒕 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙) →

𝑺𝒕 (𝒙) = (𝟔. 𝟗𝟔) + (𝟔. 𝟗𝟔)

𝑺 = 𝟏𝟑. 𝟗𝟐 𝒖𝟐

José E. Ornelas G.

179

Ejemplo 7

c) Sustituir cambio de variable:

Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = ±√𝒙 + 𝟒 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 Paso 1: Graficar cada una de las funciones: Gráfica:

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐 ∫ √𝒗 𝒅𝒙

→

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐 ∫ 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒙

𝟐 𝟒 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐 ∙ 𝒗𝟑/𝟐 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝒗√𝒗 𝟑 𝟑

d) Devolver cambio de variable: 𝟒 (𝒙 + 𝟒)√(𝒙 + 𝟒) + 𝑪 𝟑

𝑺𝟏 (𝒙) =

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝑺𝟏 (𝒙) =

𝟒 (𝒙 + 𝟒)√(𝒙 + 𝟒) + 𝑪 | 𝟎 −𝟒 𝟑

𝑺𝟏 (𝟎) =

𝟒 𝟒 (𝟎 + 𝟒)√(𝟎 + 𝟒) + 𝑪 = (𝟒)√𝟒 + 𝑪 𝟑 𝟑

𝑺𝟏 (𝟎) = 𝟑𝟐/𝟑 𝑺𝟏 (−𝟒) =

𝟒 𝟒 (−𝟒 + 𝟒)√(−𝟒 + 𝟒) + 𝑪 = (𝟎)√𝟎 + 𝑪 𝟑 𝟑

𝑺𝟏 (−𝟒) = 𝟎 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺(𝟎) − 𝑺(−𝟒) → 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟑𝟐/𝟑) − (𝟎) 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟑𝟐/𝟑

Paso 2: Hallar puntos donde se intersecan las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝟐

𝟐

√𝒙 + 𝟒 = 𝒙 − 𝟐 → (√𝒙 + 𝟒) = (𝒙 − 𝟐) 𝒙 + 𝟒 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒

→

Área de la región correspondiente al intervalo [𝟎, 𝟓]: 𝟓

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ [ √𝒙 + 𝟒 − (𝒙 − 𝟐) ] 𝒅𝒙 𝟎 𝟓

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 − 𝒙 − 𝟒 = 𝟎

𝟐

𝒙 − 𝟓𝒙 = 𝟎 Factorizar: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 = 𝟎 → 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 = 𝒙(𝒙 − 𝟓) Puntos donde se intersecan: Usar cualquier función, para hallar puntos: 𝒙=𝟎 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 → 𝒈(𝟎) = (𝟎) − 𝟐 → 𝒈(𝟎) = −𝟐 𝑷𝒄 = (𝟎, −𝟐) 𝒙=𝟓 𝒈(𝟓) = 𝒙 − 𝟐 → 𝒈(𝟓) = (𝟓) − 𝟐 → 𝒈(𝟓) = 𝟑 𝑷𝒄 = (𝟓, 𝟑) Paso 2: Intervalo del teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟒, 𝟎]: 𝟎

𝟎

𝑺𝟏 (𝒙) = ± ∫ √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐 ∫ √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 −𝟒

−𝟒

Área de la región correspondiente al intervalo [𝟎, 𝟓]: 𝟓

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ [ √𝒙 + 𝟒 − (𝒙 − 𝟐) ] 𝒅𝒙 𝟎

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: 𝑺(𝒙) = 𝟐 ∫(√𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒙+𝟒=𝒗

𝟓

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 − ∫ (𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝟎

𝟎

Paso 5: Aplicar la técnica de integración: 𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ √𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 − ∫(𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒙 𝑺𝟐 (𝒙) =

𝟐 𝟏 (𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐

Paso 6: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟐 𝟏 𝟓 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝑪 | 𝟎 𝟑 𝟐 𝑺𝟐 (𝟓) =

𝟐 𝟏 𝟐𝟓 (𝟓 + 𝟒)√𝟓 + 𝟒 − (𝟓)𝟐 + 𝟐(𝟓) = 𝟏𝟖 − + 𝟏𝟎 𝟑 𝟐 𝟐

𝑺𝟐 (𝟓) = 𝟑𝟏/𝟐 𝟐 𝟏 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝑺𝟐 (𝟎) =

𝟐 𝟏 𝟏𝟔 (𝟎 + 𝟒)√𝟎 + 𝟒 − (𝟎)𝟐 + 𝟐(𝟎) = −𝟎+𝟎 𝟑 𝟐 𝟑

𝑺𝟐 (𝟎) = 𝟏𝟔/𝟑 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺(𝟓) − 𝑺(𝟎)

→ 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝟑𝟏/𝟐) − (𝟏𝟔/𝟑)

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟔𝟏/𝟔 Área total: 𝑺𝒕 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙) →

b) Derivada: 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝑺𝒕 (𝒙) = (𝟑𝟐/𝟑) + (𝟔𝟏/𝟔)

𝑺 = 𝟏𝟐𝟓/𝟔 𝒖𝟐 José E. Ornelas G.

180

Ejemplo 8

c) Sustituir cambio de variable:

Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = ±√𝒙 + 𝟓 y 𝒈(𝒙) = −𝒙 + 𝟏 Paso 1: Graficar cada una de las funciones: Gráfica:

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐 ∫ √𝒗 𝒅𝒙

𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐 ∫ 𝒗𝟏/𝟐 𝒅𝒙

→

𝟐 𝟒 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐 ∙ 𝒗𝟑/𝟐 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝒗√𝒗 𝟑 𝟑

d) Devolver cambio de variable: 𝑺𝟏 (𝒙) =

𝟒 (𝒙 + 𝟓)√(𝒙 + 𝟓) + 𝑪 𝟑

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟒 −𝟏 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝒙 + 𝟓)√(𝒙 + 𝟓) + 𝑪 | −𝟓 𝟑 𝑺𝟏 (−𝟏) =

𝟒 𝟒 (−𝟏 + 𝟓)√(−𝟏 + 𝟓) + 𝑪 = (𝟒)√𝟒 + 𝑪 𝟑 𝟑

𝑺𝟏 (−𝟏) = 𝟑𝟐/𝟑 𝑺𝟏 (−𝟓) =

𝟒 𝟒 (−𝟓 + 𝟓)√(−𝟓 + 𝟓) + 𝑪 = (𝟎)√𝟎 + 𝑪 𝟑 𝟑

𝑺𝟏 (−𝟓) = 𝟎 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝑺(−𝟏) − 𝑺(−𝟓) → 𝑺𝟏 (𝒙) = (𝟑𝟐/𝟑) − (𝟎) 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟑𝟐/𝟑

Paso 2: Hallar puntos donde se intersecan las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) 𝟐

𝟐

√𝒙 + 𝟓 = −𝒙 + 𝟏 → (√𝒙 + 𝟓) = (−𝒙 + 𝟏) 𝒙 + 𝟓 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟎 Factorizar: 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟎

→

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝒙 − 𝟓 = 𝟎

Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟏, 𝟒]: 𝟒

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ [ (−𝒙 + 𝟏) + √𝒙 + 𝟓 ] 𝒅𝒙 −𝟏

Paso 5: Aplicar la técnica de integración: 𝑺𝟐 (𝒙) = ∫(−𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 + ∫ √𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙

→

𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 = (𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏)

Puntos donde se intersecan: Usar cualquier función, para hallar los puntos: 𝒙=𝟒 𝒈(𝒙) = −𝒙 + 𝟏 → 𝒈(𝟒) = −(𝟒) + 𝟏 → 𝒈(𝟒) = −𝟑 𝑷𝒄 = (𝟒, −𝟑) 𝒙 = −𝟏 𝒈(−𝟏) = −𝒙 + 𝟏 → 𝒈(−𝟏) = −(−𝟏) + 𝟏 → 𝒈(−𝟏) = 𝟐

𝑷𝒄 = (−𝟏, 𝟐) Paso 2: Intervalo del teorema fundamental del cálculo: Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟓, −𝟏]: −𝟏

−𝟏

𝑺𝟏 (𝒙) = ± ∫ √𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙 → 𝑺𝟏 (𝒙) = 𝟐 ∫ −𝟓

√𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙

−𝟓

Área de la región correspondiente al intervalo [−𝟏, 𝟒]:

Paso 6: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟐 𝟒 𝑺𝟐 (𝒙) = − 𝒙𝟐 + 𝒙 + (𝒙 + 𝟓)√𝒙 + 𝟓 + 𝑪 | −𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝑺𝟐 (𝟒) = − (𝟒)𝟐 + (𝟒) + (𝟒 + 𝟓)√𝟒 + 𝟓 + 𝑪 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝑺𝟐 (𝟒) = − (𝟏𝟔) + (𝟒) + (𝟗)√𝟗 + 𝑪 𝟐 𝟑

𝑺𝟐 (𝟒) = 𝟏𝟒 𝟏 𝟐 𝑺𝟐 (−𝟏) = − (−𝟏)𝟐 + (−𝟏) + (−𝟏 + 𝟓)√−𝟏 + 𝟓 + 𝑪 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝑺𝟐 (−𝟏) = − (𝟏) + (−𝟏) + (𝟒)√𝟒 + 𝑪 𝟐 𝟑

𝑺𝟐 (−𝟏) = 𝟐𝟑/𝟔 𝑺𝟐 (𝒙) = 𝑺(𝟒) − 𝑺(−𝟏)

𝟒

𝑺𝟐 (𝒙) = ∫ [ (−𝒙 + 𝟏) + √𝒙 + 𝟓 ] 𝒅𝒙 −𝟏

Paso 3: Aplicar la técnica de integración: 𝑺(𝒙) = 𝟐 ∫(√𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙

Método del cambio de variable: a) Cambio de variable: 𝒙+𝟒=𝒗

𝟏 𝟐 𝑺𝟐 (𝒙) = − 𝒙𝟐 + 𝒙 + (𝒙 + 𝟓)√𝒙 + 𝟓 + 𝑪 𝟐 𝟑

→ 𝑺𝟐 (𝒙) = (𝟏𝟒) − (𝟐𝟑/𝟔)

𝑺𝟐 (𝒙) = 𝟔𝟏/𝟔 Área total: 𝑺𝒕 (𝒙) = 𝑺𝟏 (𝒙) + 𝑺𝟐 (𝒙) →

b) Derivada: 𝒅𝒙 = 𝒅𝒗

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝑺𝒕 (𝒙) = (𝟑𝟐/𝟑) + (𝟔𝟏/𝟔)

𝑺 = 𝟏𝟐𝟓/𝟔 𝒖𝟐

José E. Ornelas G.

181

IV.4.2.- EJERCICIOS PROPUESTOS DE APLICACIÓN DEL INTEGRAL (Áreas): IV. 4.2.1.- Resolver cada uno de los siguientes ejercicios de aplicación de los integrales: 1) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟑

2) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟒

3) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒

4) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟒

5) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟗 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟑

6) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟐

7) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒

8) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟓

9) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒

10) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟓

11) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟗 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟑

12) Hallar el área de la región limitada por la curva: 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 y las rectas: 𝒚 = 𝟎; 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟑

13) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐.

14) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟓 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏.

15) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 y 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟕.

16) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 y 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓.

17) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟐 y 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒.

18) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 y 𝒈(𝒙) = −𝒙 + 𝟑.

19) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓; 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 e 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟐.

20) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 e 𝒚 = −𝒙 + 𝟒.

21) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 ; 𝒚 = 𝟎 y las rectas 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑.

22) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒚 = 𝒙𝟑 ; 𝒚 = 𝒙 + 𝟔 e 𝟐𝒚 + 𝒙 = 𝟎.

23) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝒙 = −𝒚𝟐 + 𝒚 + 𝟐; 𝒙 = 𝟎.

24) Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝟒𝒙 = 𝒚𝟐 y 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟒.

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

182

V.5.0.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN CÁLCULO DEL VOLUMEN: V.5.1.- SOLIDOS DE REVOLUCIÓN: (Método de Discos Cilíndrico) Cuando una región del plano, la hacemos girar alrededor de un eje (eje de revolución), se obtiene un sólido, llamado sólido de revolución. Sea la función f(x) continua en un intervalo cerrado [𝐚, 𝐛], y R la región acotada por la gráfica de la función 𝒇(𝒙), el eje 𝒙 y las rectas 𝒙 = 𝒂 𝑦 𝒙𝒊 = 𝒃. Si la función 𝒇(𝒙), la hacemos girar alrededor del eje 𝒙 (eje de revolución), obtenemos un sólido de revolución que tienen como diferencial un disco cilíndrico recto, tal como lo indica la figura. De la suma de Riemann, podemos afirmar que: el volumen del solido generado alrededor del eje está dado por: 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒙

→

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [𝒇(𝒙)]𝟐 ∙ 𝒅𝒙

→

∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝝅 ∙ [ 𝒇(𝒙) ]𝟐 ∙ 𝒅𝒙

𝒃

𝑽 = 𝝅 ∫ [ 𝒇(𝒙) ]𝟐 𝒅𝒙 𝒂

V.5.1.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DEL VOLUMEN: Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 1

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 → 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ (𝟏 𝒙𝟑 ) 𝟑 girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙 alrededor del eje x entre: 𝟏 𝟑 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑. 𝒗(𝒙) = 𝝅𝒙 𝟑 Paso 1: Graficar la función: Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟑 𝟑 𝝅𝒙 | 𝟎 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝝅(𝟑) → 𝒗(𝟑) = 𝝅(𝟐𝟕) 𝟑 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝟗𝝅 + 𝑪 𝟏 𝟏 𝒗(𝟎) = 𝝅(𝟎)𝟑 → 𝒗(𝟎) = 𝝅(𝟎) 𝟑 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎) 𝒗(𝒙) = (𝟗𝝅 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪) = 𝟗𝝅 Volumen: 𝒗(𝒙) =

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇𝟐 (𝒙) 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒙𝟐 𝒅𝒙

𝑽 = 𝟗𝝅 𝒖𝟑

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝟑

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟎

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

183

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 2

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 3

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = √𝒙 alrededor del eje x, entre: girar la función 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 alrededor del eje x 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑. entre: 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟐. Paso 1: Graficar la función:

Paso 1: Graficar la función:

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇

𝟐 (𝒙)

∙ 𝒅𝒙

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen:

𝟐

→ 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (√𝒙) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇𝟐 (𝒙) ∙ 𝒅𝒙

𝟐

→ 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (√𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

𝟑

𝟐

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ 𝒙 𝒅𝒙

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ (𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙

𝟎

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 → 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟐 ) 𝟐 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅𝒙𝟐 𝟐 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅𝒙𝟐 | 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝒗(𝟑) = 𝝅(𝟑)𝟐 → 𝒗(𝟑) = 𝝅(𝟗) 𝟐 𝟐 𝟗 𝒗(𝟑) = 𝝅 + 𝑪 𝟐 𝟏 𝟏 𝒗(𝟎) = 𝝅(𝟎)𝟐 → 𝒗(𝟎) = 𝝅(𝟎) 𝟐 𝟐 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎)

𝟗 𝟗 𝒗(𝒙) = ( 𝝅 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪) = 𝝅 𝟐 𝟐 𝟗 𝒗(𝒙) = 𝝅 𝟐 Volumen: 𝑽=

𝟗 𝝅 𝒖𝟑 𝟐

−𝟐

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙 → 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) 𝟐 𝟏 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙 + 𝟐𝒙) 𝟐 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) | −𝟐 𝟐 𝟏 𝒗(𝟐) = 𝝅 ( (𝟐)𝟐 + 𝟐(𝟐)) 𝟐 𝟏 𝒗(𝟐) = 𝝅 ( (𝟒) + 𝟒 ) 𝟐 𝒗(𝟐) = 𝟔𝝅 + 𝑪

→

𝒗(𝟐) = 𝝅(𝟐 + 𝟒)

𝟏 𝒗(−𝟐) = 𝝅 ( (−𝟐)𝟐 + 𝟐(−𝟐)) 𝟐 𝟏 𝒗(−𝟐) = 𝝅 ( (𝟒) − 𝟒 ) 𝟐 𝒗(−𝟐) = −𝟐𝝅 + 𝑪

→

𝒗(𝟐) = 𝝅(𝟐 − 𝟒)

𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟐) − 𝒗(−𝟐)

𝒗(𝒙) = (𝟔𝝅 + 𝑪) − (−𝟐𝝅 + 𝑪) = 𝟖𝝅 Volumen: 𝑽 = 𝟖𝝅 𝒖𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

184

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 4

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 5

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙 alrededor del eje x, entre: girar la función 𝒇(𝒙) = √𝒙 alrededor del eje x, entre: 𝒚 = 𝟎 e 𝒚 = 𝟑. 𝒚 = 𝟎 e 𝒚 = √𝟑. Paso 1: Graficar la función:

Paso 1: Graficar la función:

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: El volumen es igual a: Volumen que genera 𝒚 = 𝟑 menos el volumen de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: El volumen es igual a: Volumen que genera 𝒚 = √𝟑 menos el volumen la función 𝒇(𝒙) = √𝒙.

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒈𝟐 − 𝒇𝟐 )𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟗 − 𝒙

𝟐)

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟑)𝟐 − (𝒙)𝟐 ] 𝒅𝒙

→

𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝟑 𝟐

𝟐

𝟐

→ 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(√𝟑) − (√𝒙) ] 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟑 − 𝒙) 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝟑

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ (𝟗 − 𝒙 ) 𝒅𝒙

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ (𝟑 − 𝒙) 𝒅𝒙

𝟎

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟗𝝅 ∫ 𝒅𝒙 − 𝝅 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝟗𝒙𝝅 − 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟑 ) 𝟑

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒈𝟐 − 𝒇𝟐 )𝒅𝒙

→

𝟎

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟑𝝅 ∫ 𝒅𝒙 − 𝝅 ∫ 𝒙 𝒅𝒙

𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟗𝒙 − 𝒙𝟑 ) 𝟑

Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟗𝒙 − 𝒙𝟑 ) | 𝟎 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐𝟕 𝒗(𝟑) = 𝝅 (𝟗 ∙ 𝟑 − 𝟑 ) → 𝒗(𝟑) = 𝝅 (𝟐𝟕 − ) 𝟑 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝟏𝟖𝝅 + 𝑪 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟗𝒙 − 𝒙𝟑 ) 𝟑 𝟏 𝟎 𝒗(𝟎) = 𝝅 (𝟗 ∙ 𝟎 − 𝟎𝟑 ) → 𝒗(𝟎) = 𝝅 (𝟎 − ) 𝟑 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎)

𝒗(𝒙) = (𝟏𝟖𝝅 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪) = 𝟏𝟖𝝅 Volumen: 𝑽 = 𝟏𝟖𝝅 𝒖𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏 𝒗(𝒙) = 𝟑𝒙𝝅 − 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟐 ) 𝟐

→

𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝟐

Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 ) | 𝟎 𝟐 𝟏 𝟗 𝒗(𝟑) = 𝝅 (𝟑 ∙ 𝟑 − (𝟑)𝟐 ) → 𝒗(𝟑) = 𝝅 (𝟗 − ) 𝟐 𝟐 𝟗 𝒗(𝟑) = 𝝅 𝟐 𝟏 𝟎 𝒗(𝟎) = 𝝅 (𝟑 ∙ 𝟎 − (𝟎)𝟐 ) → 𝒗(𝟎) = 𝝅 (𝟎 − ) 𝟐 𝟐 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎) 𝟗 𝟗 𝒗(𝒙) = ( 𝝅) − (𝟎) → 𝒗(𝒙) = 𝝅 𝟐 𝟐 Volumen: 𝑽=

𝟗 𝝅 𝒖𝟑 𝟐

José E. Ornelas G.

185

Ejemplo 6

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 7

Método Discos Cilíndricos

Hallar el volumen del que se genera al hacer girar la Hallar el volumen que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 alrededor del eje x entre: región encerrada por las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 y 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟏. 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 alrededor del eje x entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐. Paso 1: Graficar la función:

Paso 1: Graficar la función:

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇𝟐 (𝒙) 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙)𝟐 ∙ 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝟏 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 + 𝟔 𝒙𝟒 + 𝟗 𝒙𝟑 ) 𝟓 𝟒 𝟑

𝟏 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 ) + 𝑪 𝟓 𝟐

Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟑 𝒃 𝒗𝟏 (𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 ) | 𝒂 𝟓 𝟐 En el intervalo: [−𝟑, 𝟎] 𝟏 𝟑 𝒗(−𝟑) = 𝝅 ( (−𝟑)𝟓 + (−𝟑)𝟒 + 𝟑(−𝟑)𝟑 ) 𝟓 𝟐 𝟖𝟏 𝒗(−𝟑) = − 𝝅+𝑪 𝟏𝟎

→

𝒗𝟏 (𝒙) =

𝟏 𝟏 𝟒 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟒 ∙ 𝒙𝟑 − 𝒙𝟓 ) → 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟑 − 𝒙𝟓 ) + 𝑪 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓

𝟖𝟏 𝝅 𝟏𝟎

En el intervalo: [𝟎, 𝟏] 𝟏 𝟑 𝒗(𝟏) = 𝝅 ( (𝟏)𝟓 + (𝟏)𝟒 + 𝟑(𝟏)𝟑 ) → 𝟓 𝟐

𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟏) − 𝒗(𝟎)

→

𝒗𝟐 (𝒙) =

Volumen: 𝒗(𝒙) =

𝟖𝟏 𝟒𝟕 𝝅+ 𝝅 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝑽=

𝟔𝟒 𝝅 𝒖𝟑 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ) 𝒅𝒙

Paso 5: Resolver el integral (Técnicas de integración):

𝟏 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝝅 ( (𝟎)𝟓 + (𝟎)𝟒 + 𝟑(𝟎)𝟑 ) 𝟓 𝟐 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟎) − 𝒗(−𝟑)

Paso 2: Determinar punto donde se intersecan: 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) → 𝟒𝒙𝟐 = 𝒙𝟒 → 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟐 = 𝟎 𝟐 (𝒙𝟐 𝟐 𝒙 ∙ − 𝟒) = 𝟎 → 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟒 Puntos: 𝑷𝟏 = (𝟎, 𝟎) 𝒚 𝑷𝟐 = (𝟐, 𝟒) Paso 3: Determinar el diferencial del volumen del disco: El volumen es: volumen generado por la recta menos el volumen de la parábola. 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒈𝟐 − 𝒇𝟐 ) 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟐𝒙)𝟐 − (𝒙𝟐 )𝟐 ] 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 ) 𝒅𝒙 Paso 4: Aplicar integral a ambos miembros:

𝒗(𝟏) = 𝟒𝟕 𝝅 𝟏𝟎

𝟒𝟕 𝝅+𝑪 𝟏𝟎

Paso 6: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟒 𝟏 𝟐 𝒗𝟏 (𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟑 − 𝒙𝟓 ) | 𝟎 𝟑 𝟓 𝟒 𝟏 𝟒 𝟏 𝒗(𝟐) = 𝝅 ( (𝟐)𝟑 − (𝟐)𝟓 ) = 𝝅 ( (𝟖) − (𝟑𝟐)) 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝟔𝟒 𝒗(𝟐) = 𝝅+𝑪 𝟏𝟓 𝟒 𝟏 𝟒 𝟏 𝒗(𝟐) = 𝝅 ( (𝟎)𝟑 − (𝟎)𝟓 ) = 𝝅 ( (𝟎) − (𝟎)) 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝟔𝟒 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟐) − 𝒗(𝟎) → 𝒗(𝒙) = 𝝅 𝟏𝟓 Volumen: 𝑽=

𝟔𝟒 𝝅 𝒖𝟑 𝟏𝟓

José E. Ornelas G.

186

Ejemplo 8

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 9

Método Discos Cilíndricos

Hallar el volumen de la región encerrada por las Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = √𝟖𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 alrededor del eje x curvas: 𝒇(𝒙) = √𝟐𝟕𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 alrededor del eje entre las rectas 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐. x entre las rectas 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función:

Paso 1: Graficar la función:

Paso 2: Determinar punto donde se intersecan: 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) → 𝒙 ∙ (𝒙𝟑 − 𝟖) = 𝟎

√𝟖𝒙 = 𝒙𝟐 → 𝒙=𝟎

→ 𝟖𝒙 = 𝒙𝟒 𝒚 𝒙𝟑 = 𝟖

Puntos: 𝑷𝟏 = (𝟎, 𝟎) 𝒚 𝑷𝟐 = (𝟐, 𝟒) Paso 3: Determinar el diferencial del volumen: El volumen que se genera al hacer girar es la diferencia del volumen generado por las funciones. 𝟐

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒈𝟐 − 𝒇𝟐 )𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(√𝟖𝒙) − (𝒙𝟐 )𝟐 ] 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟖𝒙 − 𝒙𝟒 ) 𝒅𝒙

Paso 4: Aplicar integral a ambos miembros:

Paso 5: Resolver el integral (Técnicas de integración): →

𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟓 ) 𝟓

Paso 6: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟓 ) | 𝟎 𝟓 𝟏 𝟑𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟒 ∙ 𝟐𝟐 − ∙ 𝟐𝟓 ) → 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟏𝟔 − ) 𝟓 𝟓 𝟒𝟖 𝒗(𝟐) = 𝝅+𝑪 𝟓 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟒 ∙ 𝟎𝟐 − ∙ 𝟎𝟓 ) → 𝒗(𝒙) = 𝝅(𝟎) 𝟓 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝟒𝟖 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟐) − 𝒗(𝟎) → 𝒗(𝒙) = 𝝅−𝟎 𝟓 𝑽=

𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) → 𝒙 ∙ (𝒙𝟑 − 𝟐𝟕) = 𝟎

√𝟐𝟕𝒙 = 𝒙𝟐 → 𝒙=𝟎

→ 𝟐𝟕𝒙 = 𝒙𝟒 𝒚 𝒙𝟑 = 𝟐𝟕

Puntos: 𝑷𝟏 = (𝟎, 𝟎) 𝒚 𝑷𝟐 = (𝟑, 𝟗) Paso 3: Determinar el diferencial del volumen: El volumen que se genera al hacer girar es la diferencia del volumen generado por las funciones. 𝟐 𝒅𝒗 = 𝝅(𝒈𝟐 − 𝒇𝟐 )𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(√𝟐𝟕𝒙) − (𝒙𝟐 )𝟐 ] 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟐𝟕𝒙 − 𝒙𝟒 ) 𝒅𝒙

Paso 4: Aplicar integral a ambos miembros:

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝟖𝒙 − 𝒙𝟒 ) 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟖 ∙ 𝒙𝟐 − 𝒙𝟓 ) 𝟐 𝟓

Paso 2: Determinar punto donde se intersecan:

𝟒𝟖 𝝅 𝒖𝟑 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝟐𝟕𝒙 − 𝒙𝟒 ) 𝒅𝒙

Paso 5: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 (𝟐𝟕 ∙ 𝒙𝟐 − 𝒙𝟓 ) 𝟐 𝟓

𝟐𝟕 𝟏 → 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟐 − 𝒙𝟓 ) 𝟐 𝟓

Paso 6: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟐𝟕 𝟏 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟐 − 𝒙𝟓 ) | 𝟎 𝟐 𝟓 𝟐𝟕 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐𝟒𝟑 𝟐𝟒𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( ∙ 𝟑 − ∙ 𝟑 ) → 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( − ) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓 𝟕𝟐𝟗 𝒗(𝟑) = 𝝅+𝑪 𝟏𝟎 𝟐𝟕 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( ∙ 𝟎𝟐 − ∙ 𝟎𝟓 ) → 𝒗(𝒙) = 𝝅(𝟎) 𝟐 𝟓 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝟕𝟐𝟗 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎) → 𝒗(𝒙) = 𝝅−𝟎 𝟏𝟎 𝑽=

𝟕𝟐𝟗 𝝅 𝒖𝟑 𝟏𝟎

José E. Ornelas G.

187

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 10

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 11

Hallar el volumen que se genera al hacer girar la Hallar el volumen que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 alrededor de 𝒚 = −𝟐, entre: función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 alrededor de 𝒚 = −𝟏, entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐. 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función:

Paso 1: Graficar la función:

Paso 2: Determinar puntos:

Paso 2: Determinar puntos:

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

→

𝒇(𝟎) = 𝟎

→

𝑷𝟏 = (𝟎, 𝟎)

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

→

𝒇(𝟎) = 𝟐. 𝟎 = 𝟎

→

𝑷𝟏 = (𝟎, 𝟎)

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

→

𝒇(𝟐) = 𝟒

→

𝑷𝟐 = (𝟐, 𝟒)

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

→

𝒇(𝟑) = 𝟐. 𝟑 = 𝟒

→

𝑷𝟐 = (𝟑, 𝟔)

Paso 3: Determinar el diferencial del volumen: 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇

𝟐 (𝒙)

→ 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟐𝒙) −

∙ 𝒅𝒙

(−𝟐)]𝟐

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟐𝒙 + 𝟐)𝟐 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇𝟐 (𝒙) ∙ 𝒅𝒙

→ 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟐𝒙) − (−𝟏)]𝟐 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒅𝒙

Paso 4: Aplicar integral a ambos miembros: 𝟐

𝟐

𝟑

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ (𝟐𝒙 + 𝟐)𝟐 𝒅𝒙 = 𝝅 ∫ (𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 𝟎

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

𝟎

𝟑

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒅𝒙 = 𝝅 ∫ (𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝟎

𝟎

Paso 5: Resolver el integral (Técnicas de integración):

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración):

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

𝟏 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ (𝟒 ∙ 𝒙𝟑 + 𝟖 ∙ 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) 𝟑 Paso 6: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟒 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) | 𝟎 𝟑 𝟒 𝟑 𝒗(𝟐) = 𝝅 ∙ ( 𝟐 + 𝟒 ∙ 𝟐𝟐 + 𝟒 ∙ 𝟐) 𝟑 𝟑𝟐 𝟏𝟎𝟒 𝒗(𝟐) = 𝝅 ( + 𝟏𝟔 + 𝟖) → 𝒗(𝟐 ) = 𝝅+𝑪 𝟑 𝟑 𝟒 𝒗(𝟐) = 𝝅 ∙ ( 𝟎𝟑 + 𝟒 ∙ 𝟎𝟐 + 𝟒 ∙ 𝟎) 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪

𝟒 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟑 + 𝟒 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒙) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟒 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) | 𝟎 𝟑 𝟒 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝝅 ∙ ( 𝟑 + 𝟐 ∙ 𝟑𝟐 + 𝟑) 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝝅(𝟑𝟔 + 𝟏𝟖 + 𝟑) → 𝒗(𝟑) = 𝟓𝟕𝝅 + 𝑪 𝟒 𝒗(𝟎) = 𝝅 ∙ ( 𝟎𝟑 + 𝟐 ∙ 𝟎𝟐 + 𝟎) 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪

𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟐) − 𝒗(𝟎)

𝟏𝟎𝟒 𝒗(𝒙) = ( 𝝅 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪) → 𝟑 𝑽=

𝟏𝟎𝟒 𝝅 𝒖𝟑 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟏𝟎𝟒 𝒗(𝒙) = 𝝅+𝑪 𝟑

𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎)

𝒗(𝒙) = (𝟓𝟕𝝅 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪)

→

𝒗(𝒙) = 𝟓𝟕𝝅 + 𝑪

𝑽 = 𝟓𝟕𝝅 𝒖𝟑

José E. Ornelas G.

188

Ejemplo 12

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 13

Método Discos Cilíndricos

Hallar el volumen que se genera entre 𝒚 = 𝟎 y la Hallar el volumen que se genera entre 𝒚 = 𝟎 y la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙, al hacerla girar alrededor del eje función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙, al hacerla girar alrededor del eje de revolución 𝒚 = −𝟏, entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑. de revolución 𝒚 = −𝟐, entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función:

Paso 1: Graficar la función:

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen del disco: 𝒓𝟏 = (𝟐𝒙) − (−𝟏)

→

𝒓𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟏

𝒓𝟐 = −(−𝟏)

→

𝒓𝟐 = 𝟏

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇𝟐 (𝒙) ∙ 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟐 ]𝒅𝒙

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen del disco: 𝒓𝟏 = (𝟐𝒙) − (−𝟐)

→

𝒓𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟐

𝒓𝟐 = −(−𝟐)

→

𝒓𝟐 = 𝟐

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟏] 𝒅𝒙

𝟐 (𝒙)

∙ 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟐𝒙 + 𝟐)𝟐 − (𝟐)𝟐 ]𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟐𝒙 + 𝟐)𝟐 − 𝟒] 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟒 − 𝟒) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

𝟑

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ (𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝟑

𝟎

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫ (𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) 𝒅𝒙

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) 𝒅𝒙

𝟒 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟑 + 𝟒 ∙ 𝒙𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙 + 𝟐𝒙 ) 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟒 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 ) | 𝟎 𝟑 𝟒 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝝅 ∙ ( 𝟑 + 𝟐 ∙ 𝟑𝟐 ) 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝝅(𝟑𝟔 + 𝟏𝟖) → 𝒗(𝟑) = 𝟓𝟒𝝅 + 𝑪 𝟒 𝒗(𝟎) = 𝝅 ∙ ( 𝟎𝟑 + 𝟐 ∙ 𝟎𝟐 ) 𝟑

𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎) 𝒗(𝒙) = (𝟓𝟕𝝅 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪)

𝟎

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración):

→

𝑽 = 𝟓𝟒𝝅 𝒖𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒗(𝒙) = 𝟓𝟒𝝅 + 𝑪

𝟒 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟑 + 𝟖 ∙ 𝒙𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 ) 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟒 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∙ ( 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 ) | 𝟎 𝟑 𝟒 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝝅 ∙ ( 𝟑 + 𝟒 ∙ 𝟑𝟐 ) 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝝅(𝟑𝟔 + 𝟑𝟔) → 𝒗(𝟑) = 𝟕𝟐𝝅 + 𝑪 𝟒 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝝅 ∙ ( 𝟎 + 𝟒 ∙ 𝟎𝟐 ) 𝟑

𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎) 𝒗(𝒙) = (𝟕𝟐𝝅 + 𝑪) − (𝟎 + 𝑪)

→

𝒗(𝒙) = 𝟕𝟐𝝅 + 𝑪

𝑽 = 𝟕𝟐𝝅 𝒖𝟑

José E. Ornelas G.

189

Ejemplo 14

Método Discos Cilíndricos

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 15

Hallar el volumen de la región encerrada por la Hallar el volumen de la región encerrada por las función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 alrededor del eje x, entre las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 e 𝒚 = 𝟏 al hacerla girar rectas 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒. alrededor de 𝒚 = 𝟏, entre 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒. Paso 1: Graficar la función:

Paso 1: Graficar la función:

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen del disco: 𝟐

𝟐

𝒓𝟏 = −(𝒙 − 𝟒𝒙)

→

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇𝟐 (𝒙) ∙ 𝒅𝒙

→ 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)𝟐 ∙ 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙

(𝒙𝟒

𝟑

− 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔𝒙

𝒓𝟏 = −(𝒙 − 𝟒𝒙) 𝟐)

∙ 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝟏 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 − 𝟖 𝒙𝟒 + 𝟏𝟔 𝒙𝟑 ) 𝟓 𝟒 𝟑 𝟏 𝟓 𝟏𝟔 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 ) + 𝑪 𝟓 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟏𝟔 𝟑 𝟒 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙 )| 𝟎 𝟓 𝟑 𝟏 𝟏𝟔 𝒗(𝟒) = 𝝅 ( (𝟒)𝟓 − 𝟐(𝟒)𝟒 + (𝟒)𝟑 ) 𝟓 𝟑 𝟓𝟏𝟐 𝒗(𝟒) = 𝝅+𝑪 𝟏𝟓 𝟏 𝟏𝟔 𝒗(𝟎) = 𝝅 ( (𝟎)𝟓 − 𝟐(𝟎)𝟒 + (𝟎)𝟑 ) 𝟓 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝟓𝟏𝟐 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟒) − 𝒗(𝟎) → 𝒗(𝒙) = 𝝅 𝟏𝟓

𝑽=

𝟓𝟏𝟐 𝝅 𝒖𝟑 𝟏𝟓

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen del disco: 𝒓𝟐 = (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)

→

𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙

𝒓𝟏 = 𝟏

→

𝒓𝟏 = 𝟏

𝒓=𝟏−

(𝒙𝟐

− 𝟒𝒙)

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇𝟐 (𝒙) 𝒅𝒙

→ →

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒙𝟐 − (𝟒𝒙 + 𝟏))𝟐 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝟒𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝟐(𝟒𝒙 + 𝟏) ∙ 𝒙𝟐 + (𝒙𝟐 )𝟐 ]𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 − 𝟖 ∙ 𝒙𝟒 + 𝟏𝟒 ∙ 𝒙𝟑 + 𝟖 ∙ 𝒙𝟐 + 𝒙) 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟏𝟒 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙) + 𝑪 𝟓 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟏𝟒 𝟑 𝟒 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙) | 𝟎 𝟓 𝟑 𝟏 𝟏𝟒 (𝟒)𝟑 + 𝟒(𝟒)𝟐 + (𝟒)) 𝒗(𝟒) = 𝝅 ( (𝟒)𝟓 − 𝟐(𝟒)𝟒 + 𝟓 𝟑 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟖𝟗𝟔 𝒗(𝟒) = 𝝅 ( − 𝟓𝟏𝟐 + + 𝟔𝟒 + (𝟒)) 𝟓 𝟑 𝟖𝟗𝟐 𝒗(𝟒) = 𝝅+𝑪 𝟏𝟓 𝟏 𝟏𝟒 (𝟎)𝟑 + 𝟒(𝟎)𝟐 + (𝟎)) 𝒗(𝟎) = 𝝅 ( (𝟎)𝟓 − 𝟐(𝟎)𝟒 + 𝟓 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝟖𝟗𝟐 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟒) − 𝒗(𝟎) → 𝒗(𝒙) = 𝝅 𝟏𝟓 𝑽=

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒓 = (𝟏 + 𝟒𝒙) − 𝒙𝟐

𝟖𝟗𝟐 𝝅 𝒖𝟑 𝟏𝟓 José E. Ornelas G.

190

Ejemplo 16

Método Discos Cilíndricos

Ejemplo 17

Método Discos Cilíndricos

Hallar el volumen de la región encerrada por las Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas 𝒇(𝒙) = 𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝟏 alrededor del eje x, curvas 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 y 𝒈(𝒙) = 𝟏 alrededor del eje x, entre: 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟑. entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función:

Paso 1: Graficar la función:

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: 𝒓𝟐 = 𝒙 → 𝒓𝟏 = 𝟏 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒇𝟐 (𝒙) ∙ 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝒙)𝟐 − (𝟏)𝟐 ] 𝒅𝒙

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: 𝒓𝟐 = 𝒙 + 𝟏 → 𝒓𝟐 = 𝒙 + 𝟏 𝒓𝟏 = 𝟏 → 𝒓𝟏 = 𝟏 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝒇)𝟐 − (𝒈)𝟐 ] 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝒙 + 𝟏)𝟐 − (𝟏)𝟐 ] ∙ 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ (𝒙𝟐 − 𝟏) ∙ 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏] ∙ 𝒅𝒙

𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒅𝒙

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟑 − 𝒙) 𝟑 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟑 − 𝒙) + 𝑪 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟑 − 𝒙) | 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝝅 ( (𝟑) − (𝟑)) = (𝟐𝟕) − (𝟑) 𝟑 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝟔𝝅 + 𝑪 𝟏 𝟏 𝒗(𝟏) = 𝝅 ( (𝟏)𝟑 − (𝟏)) = (𝟏) − (𝟏) 𝟑 𝟑 𝟐 𝒗(𝟏) = − 𝝅 + 𝑪 𝟑 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟏) → 𝒗(𝒙) = (𝟔𝝅) − (− 𝝅) 𝟑 𝟐𝟎 𝒗(𝒙) = 𝝅+𝑪 𝟑 Volumen:

𝑽=

𝟐𝟎 𝝅 𝒖𝟑 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 ] ∙ 𝒅𝒙

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) 𝒅𝒙

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟑 + 𝟐 𝒙𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙 + 𝒙 ) + 𝑪 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 ) | 𝟎 𝟑 𝟏 𝒗(𝟑) = 𝝅 ( (𝟑)𝟑 + (𝟑)𝟐 ) 𝟑 𝒗(𝟑) = 𝟏𝟖𝝅 + 𝑪 𝟏 𝒗(𝟎) = 𝝅 ( (𝟎)𝟑 + (𝟎)𝟐 ) 𝟑 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎) → 𝒗(𝒙) = 𝟏𝟖𝝅 𝒗(𝒙) = 𝟏𝟖𝝅 + 𝑪 Volumen: 𝑽 = 𝟏𝟖𝝅 𝒖𝟑

José E. Ornelas G.

191

Ejemplo 18

Método Discos Cilíndricos

Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 alrededor de la recta 𝒚 = 𝟏, entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐. Paso 1: Graficar la función:

𝟏 𝟏 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 ) | 𝟎 𝟓 𝟐 𝟏 𝟏 𝒗(𝟎) = 𝝅 ( (𝟎)𝟓 − (𝟎)𝟒 − 𝟐(𝟎)𝟑 + 𝟔(𝟎)𝟐 ) 𝟓 𝟐 𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟐) − 𝒗(𝟎) 𝒗(𝒙) =

→

𝒗(𝒙) =

𝟑𝟐 𝝅 𝟓

𝟑𝟐 𝝅+𝑪 𝟓

Volumen: 𝑽=

𝟑𝟐 𝝅 𝒖𝟑 𝟓

Paso 2: Determinar punto donde se intersecan: 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝒙 − 𝟐

→

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 − 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝒙 ∙ (𝒙 − 𝟐) = 𝟎

→

→ 𝒙=𝟎

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟎 𝒚

𝒙=𝟐

Puntos: 𝑷𝟏 = (𝟎, −𝟐) 𝒚 𝑷𝟐 = (𝟐, 𝟎) Paso 3: Determinar el diferencial del volumen: 𝒓𝟐 = (𝟏) − (𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐)

→

𝒓𝟐 = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑

𝒓𝟏 = (𝟏) − (𝒙 − 𝟐)

→

𝒓𝟏 = −𝒙 + 𝟑

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙

[(𝒇)𝟐

(𝒈)𝟐 ]

−

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙

[(−𝒙𝟐

+ 𝒙 + 𝟑)𝟐 − (−𝒙 + 𝟑)𝟐 ] 𝒅𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [(𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗) − (𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗)] 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 − 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟗] 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝝅 ∙ [ 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 ] 𝒅𝒙

Paso 4: Aplicar integral a ambos miembros: 𝒗(𝒙) = 𝝅 ∫(𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙) 𝒅𝒙

Paso 5: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 − 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟔 𝒙𝟑 + 𝟏𝟐 𝒙𝟐 ) 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟏 𝟒 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙 − 𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 ) + 𝑪 𝟓 𝟐 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟏 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝝅 ( 𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 ) | 𝟎 𝟓 𝟐 𝟏 𝟏 𝒗(𝟐) = 𝝅 ( (𝟐)𝟓 − (𝟐)𝟒 − 𝟐(𝟐)𝟑 + 𝟔(𝟐)𝟐 ) 𝟓 𝟐 𝟑𝟐 𝒗(𝟐) = 𝝅+𝑪 𝟓

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

192

V.6.0.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN CÁLCULO DEL VOLUMEN: SOLIDOS DE REVOLUCIÓN: (Método de Capas Cilíndricas) Cuando una región del plano, la hacemos girar alrededor de un eje (eje de revolución), se obtiene un sólido, llamado sólido de revolución. Sea la función f(x) continua en un intervalo cerrado [𝐚, 𝐛], y la región acotada por la gráfica de la función 𝒇(𝒙), el eje 𝒙 y las rectas 𝒙 = 𝒂 𝑦 𝒙𝒊 = 𝒃. Si la función 𝒇(𝒙), la hacemos girar alrededor del eje 𝒚 (eje de revolución), obtenemos un sólido de revolución que tienen como diferencial una capa cilíndrica, tal como lo indica la figura. Podemos afirmar que el volumen es: 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 ∙ 𝒅𝒙

→

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅𝒙𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

→

∫ 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒃

𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝒂

V.6.1.- EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DEL VOLUMEN: Ejemplo 1

Método Capas Cilíndricas

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑.

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 )

𝒗(𝒙) =

Paso 1: Graficar la función:

→

𝟏 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 [( 𝒙𝟑 ) ] 𝟑

𝟐𝝅 𝟑 𝒙 +𝑪 𝟑

Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) =

𝟐𝝅 𝟑 𝟑 𝒙 | 𝟎 𝟑 𝟐𝝅 (𝟑)𝟑 → 𝟑

𝒗(𝟑) =

𝟐𝝅 (𝟐𝟕) → 𝟑

𝒗(𝟑) =

𝒗(𝟎) =

𝟐𝝅 (𝟎) → 𝟑

𝒗(𝟎) = 𝟎

𝟓𝟒𝝅 𝟑

𝒗(𝟑) = 𝟏𝟖𝝅 + 𝑪 𝒗(𝟎) =

𝟐𝝅 (𝟎)𝟑 → 𝟑

𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 Paso 2: Determinar el diferencial del volumen:

𝒇(𝒙) = 𝒙

→

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙

𝒓=𝒙

→

𝒉=𝒙

→ 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒙 ∙ (𝒙) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒙𝟐 ∙ 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝟑

𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ∫ (𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎) 𝒗(𝒙) = 𝟏𝟖𝝅 Volumen: 𝑽 = 𝟏𝟖𝝅 𝒖𝟑

𝟎

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193

Ejemplo 2

Método Capas Cilíndricas

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙 alrededor del eje y entre: 𝒚 = 𝟎 y 𝒚 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función:

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (𝟑 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 ) 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (𝟑 ∙ 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 ) → 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ( 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑

𝟑 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ( 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 ) + 𝑪 𝟐 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟑 𝟏 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ( 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝒗(𝟑) = 𝟐𝝅 ( 𝟑𝟐 − 𝟑𝟑 ) 𝟐 𝟑 𝟐𝟕 𝒗(𝟑) = 𝟐𝝅 ( − 𝟗) 𝟐

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen:

𝒇(𝒙) = 𝒙

→

𝒓=𝒙

→

𝒉 = (𝟑 − 𝒙)

→ 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒙 ∙ (𝟑 − 𝒙) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ (𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 ) ∙ 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝟑

→ →

𝟑 𝟏 𝒗(𝟑) = 𝟐𝝅 ( ∙ 𝟗 − ∙ 𝟐𝟕) 𝟐 𝟑 𝟗 𝒗(𝟑) = 𝟐𝝅 ( ) 𝟐

𝒗(𝟑) = 𝟗𝝅 + 𝑪 𝟑 𝟏 𝒗(𝟎) = 𝟐𝝅 ( 𝟎𝟐 − 𝟎𝟑 ) → 𝟐 𝟑

𝒗(𝟎) = 𝟐𝝅(𝟎)

𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟎) 𝒗(𝒙) = 𝟗𝝅

𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ∫ (𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

𝑽 = 𝟗𝝅 𝒖𝟑

𝟎

Ejemplo 3

𝟑 𝟎

|

Método Capas Cilíndricas

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟑. Paso 1: Graficar la función:

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙)

𝟏 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 [( 𝒙𝟑 ) ] 𝟑

→

𝟏

𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ( 𝒙𝟑 ) + 𝑪 𝟑

Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝒙𝟑 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ( ) | 𝟏 𝟑 (𝟑)𝟑 𝒗(𝟑) = 𝟐𝝅 ∙ ( ) 𝟑

→

𝟐𝟕 𝒗(𝟑) = 𝟐𝝅 ∙ ( ) = 𝟏𝟖𝝅 𝟑

→

𝟏 𝟐 𝒗(𝟏) = 𝟐𝝅 ∙ ( ) = 𝝅 𝟑 𝟑

𝒗(𝟑) = 𝟏𝟖𝝅 + 𝑪 (𝟏)𝟑 𝒗(𝟏) = 𝟐𝝅 ∙ ( ) 𝟑

𝟐 𝝅+𝑪 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟑) − 𝒗(𝟏) 𝒗(𝟏) =

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen:

𝒇(𝒙) = 𝒙

→

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙

𝒓=𝒙

→

𝒉=𝒙

𝒗(𝒙) = (𝟏𝟖𝝅) − (

𝟐𝝅 ) 𝟑

→

𝒗(𝒙) =

𝟓𝟐 𝝅 𝟑

→ 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒙 ∙ (𝒙) 𝒅𝒙

𝟐

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ (𝒙 ) ∙ 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

𝑽=

𝟓𝟐 𝝅 𝒖𝟑 𝟑

𝟑

𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟏

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194

Ejemplo 4

Método Capas Cilíndricas

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = (−𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒. Paso 1: Graficar la función:

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (− ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙) 𝟏 𝟒 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (− 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 ) 𝟒 𝟑 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (− 𝒙 + 𝒙 ) + 𝑪 𝟒 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟒 𝟒 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (− 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 ) | 𝟎 𝟒 𝟑 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟓𝟔 𝒗(𝟒) = 𝟐𝝅 (− ∙ 𝟒 + ∙ 𝟒 ) = 𝟐𝝅 ∙ (− + ) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝒗(𝟒) = 𝟐𝝅 ∙ ( 𝒗(𝟒) =

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen:

𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 → 𝒓 = 𝒙

→

𝒉 = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙

→ 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒙 ∙ (−𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ (−𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

𝟔𝟒 𝟏𝟐𝟖 )= 𝝅 𝟑 𝟑

𝟏𝟐𝟖 𝝅+𝑪 𝟑

𝒗(𝟎) = 𝟐𝝅 (−

𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 ∙ 𝟎 + ∙ 𝟎 ) = 𝟐𝝅 ∙ (𝟎) 𝟒 𝟑

𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟒) − 𝒗(𝟎)

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝟒

𝑽=

𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ∫ (−𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

𝟏𝟐𝟖 𝝅 𝒖𝟑 𝟑

𝟎

Ejemplo 5

Método Capas Cilíndricas

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = (−𝒙 + 𝟒) alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒. Paso 1: Graficar la función:

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (− ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝒅𝒙) 𝟏 𝟒 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (− 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (− 𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 ) + 𝑪 𝟑 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟒 𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 (− 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 ) | 𝟎 𝟑 𝟏 𝟑 𝟔𝟒 𝟐 𝒗(𝟒) = 𝟐𝝅 (− ∙ 𝟒 + 𝟐 ∙ 𝟒 ) = 𝟐𝝅 ∙ (− + 𝟑𝟐) 𝟑 𝟑 𝒗(𝟒) = 𝟐𝝅 ∙ ( 𝒗(𝟒) =

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen:

𝒇(𝒙) = −𝒙 + 𝟒 → 𝒓 = 𝒙

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙

𝒉 = −𝒙 + 𝟒

→ 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒙 ∙ (−𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙

(−𝒙𝟐

→

+ 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝟑𝟐 𝟔𝟒 )= 𝝅 𝟑 𝟑

𝟔𝟒 𝝅+𝑪 𝟑

𝒗(𝟎) = 𝟐𝝅 (−

𝟏 𝟑 𝟒 𝟐 ∙ 𝟎 + ∙ 𝟎 ) = 𝟐𝝅 ∙ (𝟎) 𝟑 𝟐

𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟒) − 𝒗(𝟎)

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝟒 𝟐

𝒗(𝒙) = 𝟐𝝅 ∫ (−𝒙 + 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝑽=

𝟔𝟒 𝝅 𝒖𝟑 𝟑

𝟎

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

195

Ejemplo 6

Método Capas Cilíndricas

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

Hallar el volumen del sólido, que se genera al hacer 𝟗 (𝟗 − 𝒚) 𝒅𝒚 𝒗(𝒚) = 𝟐𝝅 ∫ girar la función 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝟗 alrededor del eje x entre: 𝟏 𝒚 = 𝟏 ; 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟗. Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): Paso 1: Graficar la función:

𝟏 𝒗(𝒚) = 𝟐𝝅 (𝟗𝒚 − 𝒚𝟐 ) 𝟐 𝒗(𝒚) = 𝝅(𝟏𝟖𝒚 − 𝒚𝟐 ) + 𝑪 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟗 𝒗(𝒚) = 𝝅(𝟏𝟖𝒚 − 𝒚𝟐 ) | 𝟏 𝟐 𝒗(𝟗) = 𝝅 (𝟏𝟖 ∙ 𝟗 − 𝟗 ) → 𝒗(𝟗) = 𝝅(𝟏𝟔𝟐 − 𝟖𝟏) 𝒗(𝟗) = 𝟖𝟏 𝝅 + 𝑪 𝟐

𝒗(𝟏) = 𝝅 (𝟏𝟖 ∙ 𝟏 − 𝟏 )

→

𝒗(𝟏) = 𝝅(𝟏𝟖 − 𝟏)

𝒗(𝟏) = 𝟏𝟕 𝝅 + 𝑪

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: 𝒓=𝒚

→

𝒉 = 𝒇(𝒚) − 𝟏 →

𝒓=𝒚

𝒗(𝒚) = 𝒗(𝟗) − 𝒗(𝟎) 𝒗(𝒚) = 𝟖𝟏𝝅 − 𝟏𝟕𝝅

𝟗 𝒉= −𝟏 𝒚

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙

𝑽 = 𝟔𝟒 𝝅 𝒖𝟑

𝟗 → 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒚 ∙ ( − 𝟏) 𝒅𝒙 𝒚

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅(𝟗 − 𝒚) 𝒅𝒚

Ejemplo 7

Método Capas Cilíndricas

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙

→ 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒚 ∙ (𝟖) 𝒅𝒙

Hallar el volumen del sólido, que se genera al hacer 𝒅𝒗 = 𝟏𝟔𝝅𝒚 𝒅𝒚 girar la función 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝟗 alrededor del eje x entre: Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros: 𝒚=𝟎;𝒙=𝟏 y 𝒙=𝟗. 𝟗

𝟏

𝒗(𝒚) = 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 = 𝟐𝝅 ∫ (𝟗 − 𝒚) 𝒅𝒚 + 𝟏𝟔𝝅 ∫ 𝒚 𝒅𝒚

Paso 1: Graficar la función:

𝟏

𝟎

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝟏 𝟏 𝟗 𝟏 𝒗(𝒚) = 𝟐𝝅 (𝟗𝒚 − 𝒚𝟐 ) | + 𝟏𝟔𝝅 ( 𝒚𝟐 ) | 𝟏 𝟎 𝟐 𝟐 𝟗 𝟏 𝒗(𝒚) = 𝝅(𝟏𝟖𝒚 − 𝒚𝟐 ) | + 𝟖𝝅𝒚𝟐 | 𝟏 𝟎 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟗 𝟏 𝒗(𝒚) = 𝝅(𝟏𝟖𝒚 − 𝒚𝟐 ) | + 𝟖𝝅𝒚𝟐 | 𝟏 𝟎 𝟐) 𝟐 𝒗(𝟗) = 𝝅(𝟏𝟖 ∙ 𝟗 − 𝟗 + 𝟖𝝅 ∙ 𝟏 Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: Función hiperbólica: 𝒓=𝒚

→

𝒗(𝟎) = 𝝅(𝟏𝟖 ∙ 𝟏 − 𝟏

𝟗 −𝟏 𝒚 𝟗 → 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒚 ∙ ( − 𝟏) 𝒅𝒙 𝒚

𝒉 = 𝒇(𝒚) − 𝟏

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙

𝒗(𝟗) = 𝟖𝟏𝝅 + 𝟖𝝅

→

𝒉=

→ 𝟐)

𝒗(𝟎) = 𝟏𝟕𝝅 + 𝟎

𝒗(𝒚)𝒔 = 𝟖𝟗𝝅

+ 𝟖𝝅 ∙ 𝟎𝟐 →

𝒗(𝒚)𝒊 = 𝟏𝟕𝝅

𝒗(𝒚) = 𝒗(𝟗)𝒔 − 𝒗(𝟎)𝒊 𝒗(𝒚) = 𝟖𝟗𝝅 − 𝟏𝟕𝝅

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅(𝟗 − 𝒚) 𝒅𝒚 𝑽 = 𝟕𝟐 𝝅 𝒖𝟑

Función lineal: 𝒓=𝒚

→

𝒉=𝟗−𝟏

→

𝒉=𝟖

Nota: Sería más fácil por el método de los discos. Fundamentos para el Cálculo Integral

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196

Ejemplo 8

Método Capas Cilíndricas

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = ±√𝟖𝒙 alrededor de la recta 𝒙 = 𝟐 entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐 Paso 1: Graficar la función:

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟒√𝟖 𝝅 (∫(𝟐𝒙 𝟏/𝟐 − 𝒙 𝟑/𝟐 ) 𝒅𝒙) 𝟐 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝟒√𝟖 𝝅 (𝟐 𝒙𝟑/𝟐 − 𝒙𝟓/𝟐 ) 𝟑 𝟓 𝟒 𝟐 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝟒√𝟖 𝝅 ( 𝒙√𝒙 − 𝒙 √𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟓 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟒 𝟐 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝟒√𝟖 𝝅 ( 𝒙√𝒙 − 𝒙𝟐 √𝒙) | 𝟎 𝟑 𝟓

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen: 𝒓 = (𝟐 − 𝒙) → 𝒓 = (𝟐 − 𝒙) 𝒉 = 𝟐 ∙ 𝒇(𝒙)

→

𝒉 = 𝟐√𝟖𝒙

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ (𝟐 − 𝒙) ∙ (𝟐√𝟖𝒙)𝒅𝒙

𝟒 𝟐 𝟖 𝟖 𝒗(𝟐) = 𝟒√𝟖 𝝅 ∙ ( ∙ 𝟐√𝟐 − ∙ 𝟒√𝟐) = 𝟒√𝟖 𝝅 ∙ ( √𝟐 − √𝟐) 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝒗(𝟐) = 𝟒√𝟖 𝝅 ∙ ( √𝟐) = √𝟏𝟔 𝝅 𝟏𝟓 𝟏𝟓 𝟐𝟓𝟔 𝒗(𝟐) = 𝝅+𝑪 𝟏𝟓 𝟒 𝟐 𝒗(𝟎) = 𝟒√𝟖 𝝅 ∙ ( ∙ 𝟎√𝟐 − ∙ 𝟎√𝟐) = 𝟎 𝟑 𝟓

𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪 𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟐) − 𝒗(𝟎)

𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟓𝟔 → 𝒗(𝒙) = ( 𝝅) − (𝟎) = 𝝅 𝟏𝟓 𝟏𝟓

𝒅𝒗 = 𝟒√𝟖 𝝅 ∙ (𝟐 − 𝒙)√𝒙 𝒅𝒙 𝑽=

Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

𝟐𝟓𝟔 𝝅 𝒖𝟑 𝟏𝟓

𝟐

𝒗(𝒙) = 𝟒√𝟖 𝝅 ∫ (𝟐 − 𝒙)√𝒙 𝒅𝒙 𝟎

Ejemplo 9

Método Capas Cilíndricas

Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = ±𝟑√𝒙 alrededor de la recta 𝒙 = 𝟒 entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐 Paso 1: Graficar la función:

Paso 4: Resolver el integral (Técnicas de integración): 𝒗(𝒙) = 𝟏𝟐𝝅 (∫(𝟒𝒙 𝟏/𝟐 − 𝒙 𝟑/𝟐 ) 𝒅𝒙) 𝟐 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝟏𝟐𝝅 (𝟒 ∙ 𝒙𝟑/𝟐 − 𝒙𝟓/𝟐 ) 𝟑 𝟓 𝟖 𝟐 𝟐 𝒗(𝒙) = 𝟏𝟐𝝅 ( 𝒙√𝒙 − 𝒙 √𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟓 Paso 5: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟖 𝟐 𝟒 𝒗(𝒙) = 𝟏𝟐𝝅 ( 𝒙√𝒙 − 𝒙𝟐 √𝒙) | 𝟎 𝟑 𝟓

Paso 2: Determinar el diferencial del volumen:

𝟖 𝟐 𝟔𝟒 𝟔𝟒 𝒗(𝟒) = 𝟏𝟐𝝅 ∙ ( ∙ 𝟒√𝟒 − ∙ 𝟏𝟔√𝟒) = 𝟏𝟐𝝅 ∙ ( − ) 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 𝟏𝟐𝟖 𝟓𝟏𝟐 𝒗(𝟒) = 𝟏𝟐𝝅 ∙ ( ) → 𝒗(𝟐) = 𝝅+𝑪 𝟏𝟓 𝟓 𝟖 𝟐 𝒗(𝟎) = 𝟏𝟐𝝅 ∙ ( ∙ 𝟎√𝟎 − ∙ 𝟎√𝟎) 𝟑 𝟓

𝒓 = (𝟒 − 𝒙)

→

𝒓 = (𝟒 − 𝒙)

𝒗(𝟎) = 𝟎 + 𝑪

𝒉 = 𝟐 ∙ 𝒇(𝒙)

→

𝒉 = 𝟔√𝒙

𝒗(𝒙) = 𝒗(𝟒) − 𝒗(𝟎)

𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝟐𝝅 ∙ (𝟒 − 𝒙) ∙ (𝟔√𝒙)𝒅𝒙

𝟓𝟏𝟐 𝒗(𝒙) = ( 𝝅) − (𝟎) 𝟓

𝒅𝒗 = 𝟏𝟐 𝝅 ∙ (𝟒 − 𝒙)√𝒙 𝒅𝒙 Paso 3: Aplicar integral a ambos miembros:

𝑽=

𝟓𝟏𝟐 𝝅 𝒖𝟑 𝟓

𝟒

𝒗(𝒙) = 𝟏𝟐𝝅 ∫ (𝟒 − 𝒙)√𝒙 𝒅𝒙 𝟎

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

197

V.7.1.- APLICACIONES FÍSICAS: (Movimiento) Ejemplo 1

Movimiento con aceleración variada

Un móvil se desplaza hacia el este en línea recta, para el tiempo 𝒕 = 𝟎 𝒔𝒆𝒈 tiene na velocidad de 𝒗 = 𝟐𝟎 𝒎/𝒔 y se ha desplazado 𝒙 = 𝟓𝟎 𝒎. La aceleración en función del tiempo es: 𝒂 = (𝟑𝟎 − 𝟔𝒕) 𝒎/𝒔𝟐 . Hallar: a) Velocidad y distancia en función del tiempo. b) En qué momento la velocidad es máxima. c) Donde se encuentra el móvil para máxima velocidad. Paso 1: Determinar la velocidad:

𝒕

𝒗𝒕

∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒗𝒐

→

𝒕𝒐

𝒕

∫ 𝒅𝒗 = ∫ (𝟑𝟎 − 𝟔𝒕) ∙ 𝒅𝒕 𝒗𝒐

Igualamos a cero, para hallar el valor crítico: 𝟑𝟎 − 𝟔𝒕 = 𝟎

→

𝒕=

𝟑𝟎 𝟔

→

𝒕=𝟓

𝒕 = 𝟓 𝒔𝒆𝒈 La velocidad es máxima para el tiempo 𝒕 = 𝟓 𝒔𝒆𝒈 𝒗𝒕 = 𝟐𝟎 + 𝟑𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐

Aceleración: 𝒅𝒗 𝒂= → 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒗𝒕

𝒅𝒗 = 𝟑𝟎 − 𝟔𝒕 𝒅𝒕

𝒕𝒐

Paso 2: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒗𝒕 𝒕 𝒗 | 𝒗 = (𝟑𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 ) | 𝟎 𝒐 𝒗𝒕 − 𝒗𝒐 = (𝟑𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 ) → 𝒗𝒕 = 𝒗𝒐 + (𝟑𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 )

𝒗𝒎á𝒙 = 𝟐𝟎 + 𝟑𝟎(𝟓) − 𝟑(𝟓)𝟐 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟓𝟎 − 𝟕𝟓 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟗𝟓𝒎/𝒔 Paso 6: Determinar la distancia para máxima velocidad: 𝒙𝒕 = 𝟓𝟎 + 𝟐𝟎𝒕 + 𝟏𝟓𝒕𝟐 − 𝒕𝟑 𝒙𝒕 = 𝟓𝟎 + 𝟐𝟎(𝟓) + 𝟏𝟓(𝟓)𝟐 − (𝟓)𝟑 𝒙𝒕 = 𝟓𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝟑𝟕𝟓 − 𝟏𝟐𝟓 𝒙𝒕 = 𝟒𝟎𝟎 𝒎

𝒗𝒐 = 𝟐𝟎 𝒎/𝒔 𝒗𝒕 = 𝟐𝟎 + 𝟑𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 Paso 3: Determinar la distancia: Velocidad: 𝒅𝒙 𝒗= → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 = 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒙𝒕

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒙𝒐

𝒕𝒐

𝒙𝒕

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝟐𝟎 + 𝟑𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 ) ∙ 𝒅𝒕 𝒙𝒐

𝒕𝒐

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒙𝒕 𝒕 𝒙 | 𝒙 = (𝟐𝟎𝒕 + 𝟏𝟓𝒕𝟐 − 𝒕𝟑 ) | 𝟎 𝒐 𝒙𝒕 − 𝒙𝒐 = (𝟐𝟎𝒕 + 𝟏𝟓𝒕𝟐 − 𝒕𝟑 )

En el intervalo [𝟎, 𝟓] la aceleración es positiva. En el intervalo (𝟓, ∞) la aceleración es negativa.

𝒙𝒕 = 𝒙𝒐 + 𝟐𝟎𝒕 + 𝟏𝟓𝒕𝟐 − 𝒕𝟑 𝒙𝒐 = 𝟓𝟎 𝒎 𝒙𝒕 = 𝟓𝟎 + 𝟐𝟎𝒕 + 𝟏𝟓𝒕𝟐 − 𝒕𝟑 Paso 5: Determinar la velocidad máxima: Para determinar la velocidad máxima, aplicamos el criterio de la primera derivada a la función de velocidad: 𝒗𝒕 = 𝟐𝟎 + 𝟑𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 𝒅 𝒅 (𝟐𝟎 + 𝟑𝟎𝒕 − 𝟑𝒕𝟐 ) 𝒗𝒕 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕

Fundamentos para el Cálculo Integral

En el intervalo [𝟎, 𝟓] la velocidad aumenta. En el intervalo [𝟓, 𝟏𝟏] la velocidad disminuye.

José E. Ornelas G.

198

Ejemplo 2

Movimiento con aceleración variada

Un móvil se desplaza hacia el este en línea recta, par el tiempo 𝒕 = 𝟎 𝒔𝒆𝒈 tiene na velocidad de 𝒗 = 𝟏𝟖 𝒎/𝒔 y se ha desplazado 𝒙 = 𝟏𝟓 𝒎. La aceleración en función del tiempo es: 𝒂 = (𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒕) 𝒎/𝒔𝟐 . Hallar: a) Velocidad y distancia en función del tiempo. b) En qué momento la velocidad es máxima. c) Donde se encuentra el móvil para máxima velocidad. d) Velocidad y distancia al cabo de 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒆𝒈 Paso 1: Determinar la velocidad: Aceleración: 𝒅𝒗 𝒂= → 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒗𝒕

𝒕

𝒗𝒕

∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒗𝒐

𝒕𝒐

→

𝒕

∫ 𝒅𝒗 = ∫ (𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒕) ∙ 𝒅𝒕 𝒗𝒐

𝒕𝒐

Paso 2: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒗𝒕 𝒕 𝒗 | 𝒗 = (𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 ) | 𝟎 𝒐 𝒗𝒕 − 𝒗𝒐 = (𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 ) → 𝒗𝒕 = 𝒗𝒐 + (𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 ) 𝒗𝒐 = 𝟏𝟖 𝒎/𝒔 𝒗𝒕 = 𝟏𝟖 + 𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 Paso 3: Determinar la distancia: Velocidad: 𝒅𝒙 𝒗= → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 = 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒙𝒕

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒙𝒐

𝒕𝒐

𝒙𝒕

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝟏𝟖 + 𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 ) ∙ 𝒅𝒕 𝒙𝒐

𝒕𝒐

Igualamos a cero, para hallar el valor crítico: 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒕 = 𝟎

→

𝒕=

𝟐𝟒 𝟏𝟐

→

𝒕=𝟐

𝒕 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈 La velocidad es máxima para el tiempo 𝒕 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈 𝒗𝒕 = 𝟏𝟖 + 𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟏𝟖 + 𝟐𝟒(𝟐) − 𝟔(𝟐)𝟐 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟏𝟖 + 𝟒𝟖 − 𝟐𝟒 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟒𝟐 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟒𝟐 𝒎/𝒔 Paso 6: Determinar la distancia para máxima velocidad: 𝒙𝒕 = 𝟏𝟓 + 𝟏𝟖𝒕 + 𝟏𝟐𝒕𝟐 − 𝟐𝒕𝟑 𝒙𝒕 = 𝟏𝟓 + 𝟏𝟖(𝟐) + 𝟏𝟐(𝟐)𝟐 − 𝟐(𝟐)𝟑 𝒙𝒕 = 𝟏𝟓 + 𝟑𝟔 + 𝟒𝟖 − 𝟏𝟔 𝒙𝒕 = 𝟖𝟑 𝒙𝒕 = 𝟖𝟑 𝒎 Paso 7: Determinar la velocidad para 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒆𝒈: 𝒗𝒕 = 𝟏𝟖 + 𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 𝒗𝒕 = 𝟏𝟖 + 𝟐𝟒(𝟑) − 𝟔(𝟑)𝟐 𝒗𝒕 = 𝟏𝟖 + 𝟕𝟐 − 𝟓𝟒 𝒗𝒕 = 𝟑𝟔 𝒎/𝒔 𝒗𝒕 = 𝟑𝟔 𝒎/𝒔 Paso 8: Determinar la distancia para 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒆𝒈: 𝒙𝒕 = 𝟏𝟓 + 𝟏𝟖𝒕 + 𝟏𝟐𝒕𝟐 − 𝟐𝒕𝟑 𝒙𝒕 = 𝟏𝟓 + 𝟏𝟖(𝟑) + 𝟏𝟐(𝟑)𝟐 − 𝟐(𝟑)𝟑 𝒙𝒕 = 𝟏𝟓 + 𝟓𝟒 + 𝟏𝟎𝟖 − 𝟓𝟒 𝒙𝒕 = 𝟏𝟐𝟑 𝒙𝒕 = 𝟏𝟐𝟑 𝒎

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒙𝒕 𝒕 𝒙 | 𝒙 = (𝟏𝟖𝒕 + 𝟏𝟐𝒕𝟐 − 𝟐𝒕𝟑 ) | 𝟎 𝒐 𝒙𝒕 − 𝒙𝒐 = (𝟏𝟖𝒕 + 𝟏𝟐𝒕𝟐 − 𝟐𝒕𝟑 ) 𝒙𝒕 = 𝒙𝒐 + 𝟏𝟖𝒕 + 𝟏𝟐𝒕𝟐 − 𝟐𝒕𝟑 𝒙𝒐 = 𝟏𝟓 𝒎 𝒙𝒕 = 𝟏𝟓 + 𝟏𝟖𝒕 + 𝟏𝟐𝒕𝟐 − 𝟐𝒕𝟑 Paso 5: Determinar la velocidad máxima: Para determinar la velocidad máxima, aplicamos el criterio de la primera derivada a la función de velocidad: 𝒗𝒕 = 𝟏𝟖 + 𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 𝒅 𝒅 (𝟏𝟖 + 𝟐𝟒𝒕 − 𝟔𝒕𝟐 ) 𝒗 = 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒗 = 𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒕 𝒅𝒕 Fundamentos para el Cálculo Integral

En el intervalo [𝟎, 𝟐] la velocidad aumenta. En el intervalo [𝟐, 𝟓] la velocidad disminuye.

José E. Ornelas G.

199

Ejemplo 3

Movimiento con aceleración constante

Desde un edificio de altura 𝒚 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟖 𝒎, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 𝒗 = 𝟒𝟗 𝒎/𝒔. Sabiendo que la aceleración es constante e igual 𝒂 = 𝟗. 𝟖 𝒎/𝒔𝟐 . Hallar: a) Velocidad y altura en función del tiempo. b) Altura máxima alcanzada y su velocidad. c) Tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.

Igualamos a cero, para hallar el valor crítico: 𝟒𝟗 − 𝟗. 𝟖𝒕 = 𝟎

→

𝒕=

𝟒𝟗 𝟗. 𝟖

→

𝒕=𝟓

𝒕 = 𝟓 𝒔𝒆𝒈 Paso 6: Determinar la altura máxima y velocidad: 𝒚𝒕 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟖 + 𝟒𝟗𝒕 − 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 𝒚𝒕 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟖 + 𝟒𝟗(𝟓) − 𝟒. 𝟗(𝟓)𝟐 𝒚𝒎á𝒙 = 𝟐𝟕𝟗. 𝟑 𝒎

Paso 1: Determinar la velocidad: Aceleración: 𝒅𝒗 𝒂= → 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒗𝒕

𝒕

𝒗𝒕

∫ 𝒅𝒗 = ∫ −𝒈 ∙ 𝒅𝒕 𝒗𝒐

→

𝒕𝒐

𝒚𝒎á𝒙 = 𝟐𝟕𝟗. 𝟑 𝒎 La velocidad para el tiempo 𝒕 = 𝟓 𝒔𝒆𝒈 𝒗𝒕 = 𝟒𝟗 − 𝟗. 𝟖𝒕 𝒗𝒕 = 𝟒𝟗 − 𝟗. 𝟖(𝟓)

𝒕

𝒗𝒐

𝒕𝒐

𝒗𝒐 = 𝟒𝟗 𝒎/𝒔

𝒗𝒕 = 𝟒𝟗 − 𝟗. 𝟖(𝟓)

𝒗𝒕 = 𝟎 𝒎/𝒔

∫ 𝒅𝒗 = − ∫ 𝟗. 𝟖 𝒅𝒕

Paso 2: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒗𝒕 𝒕 𝒗 | 𝒗 = −𝟗. 𝟖𝒕 | 𝟎 𝒐 𝒗𝒕 − 𝒗𝒐 = −𝟗. 𝟖𝒕 → 𝒗𝒕 = 𝒗𝒐 − 𝟗. 𝟖𝒕

→

En el punto más alto, la velocidad es cero. Paso 7: Determinar tiempo que tarda en llegar al suelo: 𝒚𝒕 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟖 + 𝟒𝟗𝒕 − 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 La pelota llega a cuando su altura es 𝒚 = 𝟎 𝒎 𝟎 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟖 + 𝟒𝟗𝒕 − 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 − 𝟒𝟗𝒕 − 𝟏𝟓𝟔. 𝟖 = 𝟎

𝒗𝒕 = 𝟒𝟗 − 𝟗. 𝟖𝒕 Paso 3: Determinar la distancia: Velocidad: 𝒅𝒚 𝒗= → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 → 𝒅𝒚 = 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒚𝒕

𝒕

∫ 𝒅𝒚 = ∫ 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒚𝒐 𝒚𝒕

𝒕𝒐 𝒕

∫ 𝒅𝒚 = ∫ (𝟒𝟗 − 𝟗. 𝟖𝒕) ∙ 𝒅𝒕 𝒚𝒐

𝒕𝒐

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒚𝒕 𝒕 𝒚 | 𝒚 = (𝟒𝟗𝒕 − 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 ) | 𝟎 𝒐 𝒚𝒕 − 𝒚𝒐 = (𝟒𝟗𝒕 − 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 )

𝒕𝟐 − 𝟏𝟎𝒕 − 𝟑𝟐 = 𝟎 𝒕=

→

𝒕=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 𝟐∙𝒂

−(−𝟏𝟎) ± √(−𝟏𝟎)𝟐 − 𝟒 ∙ (𝟏) ∙ (−𝟑𝟐) 𝟐 ∙ (𝟏)

𝟏𝟎 ± √𝟐𝟐𝟖 𝟏𝟎 ± 𝟏𝟓. 𝟏𝟎 → 𝒕= 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟏𝟓. 𝟏𝟎 = 𝟏𝟐. 𝟓𝟓 𝟐 𝒕={ 𝟏𝟎 − 𝟏𝟓. 𝟏𝟎 = −𝟐. 𝟓𝟓 𝟐 𝒕𝒔𝒖𝒆𝒍𝒐 = 𝟏𝟐. 𝟓𝟓 𝒔𝒆𝒈 𝒕=

𝒚𝒐 = −𝟏𝟓𝟔. 𝟖 𝒎 𝒚𝒕 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟖 + 𝟒𝟗𝒕 − 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 Paso 5: Determinar la altura máxima: Para determinar la altura máxima, aplicamos el criterio de la primera derivada a la función de velocidad: 𝒚𝒕 = 𝟏𝟓𝟔. 𝟖 + 𝟒𝟗𝒕 − 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 𝒅 𝒅 (𝟏𝟓𝟔. 𝟖 + 𝟒𝟗𝒕 − 𝟒. 𝟗𝒕𝟐 ) 𝒚𝒕 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒚 = 𝟒𝟗 − 𝟗. 𝟖𝒕 𝒅𝒕

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

200

Ejemplo 4

Movimiento acelerado

La aceleración de una partícula es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Cuando el tiempo 𝒕 = 𝟎 𝒔𝒆𝒈 la partícula se encuentra en 𝒙 = 𝟐𝟒 𝒎 y su velocidad es 𝒗 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔 . Cuando el tiempo es 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒆𝒈 la velocidad es 𝒗 = 𝟔𝟒 𝒎/𝒔. Hallar: a) Velocidad y distancia en función del tiempo. b) Velocidad y distancia al cabo de 𝒕 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈. c) Aceleración y velocidad al cabo de 𝒕 = 𝟒 𝒔𝒆𝒈. Paso 1: Determinar la velocidad: Aceleración:

𝒕

∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒗𝒐

𝒕𝒐

𝒗𝒕

→

𝒗𝒐

𝒕𝒐

Paso 2: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒗𝒕 𝟏 𝒕 𝒗 | 𝒗 = 𝒌𝒕𝟑 | 𝟎 𝒐 𝟑 𝟏 𝟏 𝒗𝒕 − 𝒗𝒐 = 𝒌𝒕𝟑 → 𝒗𝒕 = 𝒗𝒐 + 𝒌𝒕𝟑 𝟑 𝟑 𝒗𝒐 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔 𝟏 𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝒌𝒕𝟑 𝟑 Paso 3: Determinar la distancia: Velocidad: 𝒅𝒙 𝒗= → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 = 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒙𝒕

𝟏 𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝒌𝒕𝟑 𝟑

𝟔𝟒 = 𝟏𝟎 + 𝟗𝒌

𝟏 𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + (𝟔)𝒕𝟑 𝟑

→

𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟐𝒕𝟑 Distancia en función del tiempo: 𝟏 𝟒 𝒌𝒕 𝟏𝟐

→

𝒙𝒕 = 𝟐𝟒 + 𝟏𝟎𝒕 +

𝟏 (𝟔)𝒕𝟒 𝟏𝟐

𝟏 𝒙𝒕 = 𝟐𝟒 + 𝟏𝟎𝒕 + 𝒕𝟒 𝟐 Aceleración en función del tiempo: 𝒂𝒕 = 𝟔𝒕𝟐

𝒕

∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒌𝒕𝟐 𝒅𝒕

→

Velocidad en función del tiempo:

𝒙𝒕 = 𝟐𝟒 + 𝟏𝟎𝒕 +

𝒂 = 𝒌𝒕𝟐 𝒅𝒗 𝒂= → 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒗𝒕

𝟏 𝟔𝟒 = 𝟏𝟎 + 𝒌(𝟐𝟕) 𝟑 𝒌=𝟔

Paso 5: Determinar velocidad y distancia al 𝒕 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈: 𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟐𝒕𝟑

→

𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟐(𝟐)𝟑 𝒗𝒕 = 𝟐𝟔 𝒎/𝒔

𝟏 𝒙𝒕 = 𝟐𝟒 + 𝟏𝟎𝒕 + 𝒕𝟒 𝟐

→

𝟏 𝒙𝒕 = 𝟐𝟒 + 𝟏𝟎(𝟐) + (𝟐)𝟒 𝟐

𝒙𝒕 = 𝟓𝟐 𝒎 Paso 6: Determinar velocidad y aceleración al 𝒕 = 𝟒 𝒔𝒆𝒈: 𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟐𝒕𝟑

→

𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟐(𝟒)𝟑 𝒗𝒕 = 𝟏𝟑𝟖 𝒎/𝒔

𝒂 = 𝒌𝒕𝟐 →

𝒂 = 𝟔(𝟒)𝟐 𝒂𝒕 = 𝟗𝟔 𝒎/𝒔𝟐

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒙𝒐

𝒕𝒐

𝒙𝒕

𝒕 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝟏𝟎 + 𝒌𝒕𝟑 ) ∙ 𝒅𝒕 𝟑 𝒙𝒐 𝟎

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝒙𝒕 𝒕 𝒙 | 𝒙 = (𝟏𝟎𝒕 + 𝒌𝒕𝟒 ) | 𝟎 𝟎 𝟏𝟐 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝒙𝒕 − 𝒙𝒐 = (𝟏𝟎𝒕 + 𝒌𝒕 ) → 𝒙𝒕 = 𝒙𝒐 + 𝟏𝟎𝒕 + 𝒌𝒕 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝒙𝒐 = 𝟐𝟒 𝒎 𝟏 𝒙𝒕 = 𝟐𝟒 + 𝟏𝟎𝒕 + 𝒌𝒕𝟒 𝟏𝟐 Paso 5: Determinar la constante de proporcionalidad: 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒆𝒈 𝒚 𝒗 = 𝟔𝟒 𝒎/𝒔 𝟏 𝟏 𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝒌𝒕𝟑 → 𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝒌(𝟑)𝟑 𝟑 𝟑 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

201

Ejemplo 5

Movimiento retardado

𝒌 = 𝟗. 𝟗𝟗 ≅ 𝟏𝟎

La aceleración de una partícula está definida por la función 𝒂 = −𝒌/𝒙 para 𝒙𝒐 = 𝟏 𝒎. Cuando 𝒙 = 𝟕. 𝟑𝟗 𝒎 la velocidad es 𝒗 = 𝟏𝟐. 𝟒𝟗 𝒎/𝒔 y 𝒙 = 𝟑. 𝟕 𝒎 si la velocidad es 𝒗 = 𝟏𝟑. 𝟎𝟑 𝒎/𝒔. Hallar: a) Velocidad y aceleración en función de la distancia. b) Velocidad y aceleración cuando 𝒙 = 𝟎. 𝟏 𝒎. c) Distancia cuando la velocidad es 𝒗𝒕 = 𝟎 𝒎/𝒔.

𝟏𝟓𝟔 + 𝟒𝒌 = 𝒗𝒐𝟐

→

𝒗𝒐 = √𝟏𝟓𝟔 + 𝟒(𝟏𝟎)

→ 𝒗𝒐 = √𝟏𝟗𝟔

𝒗𝒐 = √𝟏𝟓𝟔 + 𝟒𝒌

𝒗𝒐 = 𝟏𝟒 𝒎/𝒔 Paso 4: Determinar la función velocidad: 𝒗𝒕 = √𝒗𝒐𝟐 − 𝟐𝒌𝑳𝒏(𝒙𝒕 )

→ 𝒗𝒕 = √𝟏𝟒𝟐 − 𝟐(𝟏𝟎)𝑳𝒏(𝒙𝒕 )

𝒗𝒕 = √𝟏𝟗𝟔 − 𝟐𝟎𝑳𝒏 𝒙

Paso 1: Determinar la velocidad: Aceleración:

Paso 5: Determinar la función aceleración:

𝒂 = −𝒌/𝒙 𝒅𝒗 𝒂= → 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Velocidad: 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒗= → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 → 𝒅𝒕 = 𝒅𝒕 𝒗 Entonces la aceleración será: 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ → 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒂 𝒅𝒙 𝒗 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒗𝒕 𝒙𝒕 𝒗𝒕 𝒙𝒕 𝒌 ∫ 𝒗 𝒅𝒗 = ∫ 𝒂 𝒅𝒙 → ∫ 𝒗 𝒅𝒗 = − ∫ ( ) 𝒅𝒙 𝒗𝒐 𝒙𝒐 𝒗𝒐 𝒙𝒐 𝒙 Paso 2: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟐 𝒗𝒕 𝒙 𝒗 | 𝒗 = −𝒌𝑳𝒏(𝒙) | 𝒕 𝟏 𝒐 𝟐 𝟏 𝟐 (𝒗 − 𝒗𝒐𝟐 ) = −𝒌(𝑳𝒏 𝒙𝒕 − 𝑳𝒏 𝟏) 𝟐 𝒕 (𝒗𝒕𝟐 − 𝒗𝒐𝟐 ) = −𝟐𝒌𝑳𝒏(𝒙𝒕 ) 𝒗𝒕 = √𝒗𝒐𝟐 − 𝟐𝒌𝑳𝒏(𝒙𝒕 )

𝒂=−

𝒌 𝒙

→

𝒂=−

𝒂=−

𝟏𝟎 𝒙

Paso 6: Determinar la velocidad y aceleración cuando la distancia es 𝒙 = 𝟎. 𝟏 𝒎: 𝒗𝒕 = √𝟏𝟗𝟔 − 𝟐𝟎𝑳𝒏 𝒙 𝒗𝒕 = √𝟏𝟗𝟔 − 𝟐𝟎𝑳𝒏(𝟎. 𝟏)

→ 𝒗𝒕 = √𝟏𝟗𝟔 − 𝟒𝟔. 𝟎𝟓

𝒗𝒕 = 𝟏𝟐. 𝟐𝟒 𝒎/𝒔

𝒂=−

𝟏𝟎 𝒙

→

𝒂=−

𝟏𝟎 𝟎. 𝟏

𝒂 = −𝟏𝟎𝟎 𝒎/𝒔𝟐 Paso 7: Determinar la distancia para 𝒗𝒐 = 𝟎 𝒎/𝒔: 𝒗𝒕 = √𝟏𝟗𝟔 − 𝟐𝟎𝑳𝒏 𝒙 𝟎 = √𝟏𝟗𝟔 − 𝟐𝟎𝑳𝒏 𝒙 𝟏𝟗𝟔 − 𝟐𝟎𝑳𝒏 𝒙 = 𝟎

Paso 3: Evaluar la función y efectuamos:

𝟏𝟎 𝒙

→ →

(𝟎)𝟐 = (√𝟏𝟗𝟔 − 𝟐𝟎𝑳𝒏 𝒙 ) 𝒍𝒏 𝒙 = 𝟏𝟗𝟔/𝟐𝟎 →

𝟐

𝒙 = 𝒆𝟗.𝟖

𝒙 = 𝟏𝟖. 𝟎𝟑 𝒎

Para: 𝒙 = 𝟕. 𝟑𝟗 𝒎 y 𝒗 = 𝟏𝟐. 𝟒𝟗 𝒎/𝒔 (𝒗𝒕𝟐 − 𝒗𝒐𝟐 ) = −𝟐𝒌𝑳𝒏(𝒙𝒕 ) (𝟏𝟐. 𝟒𝟗)𝟐 − 𝒗𝒐𝟐 = −𝟐𝒌𝑳𝒏(𝟕. 𝟑𝟗) 𝟏𝟓𝟔 − 𝒗𝒐𝟐 = −𝟒𝒌

→

𝟏𝟓𝟔 + 𝟒𝒌 = 𝒗𝒐𝟐

Para: 𝒙 = 𝟑. 𝟕 𝒎 y 𝒗 = 𝟏𝟑. 𝟎𝟑 𝒎/𝒔 (𝒗𝒕𝟐 − 𝒗𝒐𝟐 ) = −𝟐𝒌𝑳𝒏(𝒙𝒕 ) (𝟏𝟑. 𝟎𝟑)𝟐 − 𝒗𝒐𝟐 = −𝟐𝒌𝑳𝒏(𝟑. 𝟕) 𝟏𝟔𝟗. 𝟕𝟖 − 𝒗𝒐𝟐 = −𝟐. 𝟔𝟐𝒌 𝟏𝟔𝟗. 𝟕𝟖 − 𝒗𝒐𝟐 = −𝟐. 𝟔𝟐𝒌

→

𝟏𝟔𝟗. 𝟕𝟖 + 𝟐. 𝟔𝟐𝒌 = 𝒗𝒐𝟐

Igualamos 𝒗𝒐 : 𝟏𝟓𝟔 + 𝟒𝒌 = 𝟏𝟔𝟗. 𝟕𝟖 + 𝟐. 𝟔𝟐𝒌 𝟒𝒌 − 𝟐. 𝟔𝟐𝑲 = 𝟏𝟔𝟗. 𝟕𝟖 − 𝟏𝟓𝟔

→

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒌=

𝟏𝟑. 𝟕𝟖 𝟏. 𝟑𝟖 José E. Ornelas G.

202

Ejemplo 6

Movimiento acelerado

Desde un bote salvavidas se deja caer un objeto, cuando el objeto llega a la superficie del agua tiene una velocidad de 𝒗 = 𝟓. 𝟖𝟖 𝒎/𝒔. En agua experimenta una aceleración dada por la función: 𝒂 = (𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗𝟐 ). Hallar: a) Velocidad en función de la altura en el agua. b) Velocidad en el fondo del agua (𝒚 = 𝟔𝟎 𝒎). Aceleración: Constante (Fuera del agua) 𝒅𝒗 𝒂= → 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Velocidad: 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒗= → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 → 𝒅𝒕 = 𝒅𝒕 𝒗 Entonces la aceleración será: 𝒅𝒚 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ → 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒂 𝒅𝒚 𝒗 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒚𝒕

𝒗𝒕

∫ 𝒗 𝒅𝒗 = ∫ 𝒂 𝒅𝒙 𝟎

→

𝟎

𝒚𝒕

∫ 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒂 ∫ 𝒅𝒙 𝟎

𝟎

Paso 2: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟐 𝒗𝒕 𝒚 𝒗 | =𝒂∙𝒚 | 𝒕 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 (𝒗 − 𝟎) = 𝒂(𝒚𝒕 − 𝟎) 𝟐 𝒕 𝒗𝒕𝟐 = 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒚𝒕 𝒗𝒕 = √ 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒚 𝒕 Para: 𝒗 = 𝟓. 𝟖𝟖 𝒎/𝒔 𝒗𝒕 = √ 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒚 𝒕 𝟐

(𝟓. 𝟖𝟖) = 𝟏𝟗. 𝟔𝒚𝒕

→ →

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒗 𝒅𝒗 𝟏 ∫ 𝟐 = − 𝒍𝒏 (𝒌𝟐 − 𝒗𝟐 ) 𝒌 − 𝒗𝟐 𝟐 𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗𝟐

Paso 1: Determinar la velocidad:

𝒗𝒕

Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒗𝒇 𝒚𝒇 𝒗 𝒅𝒗 ∫ = ∫ 𝒅𝒚 𝟐 𝒗 (𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗 ) 𝟎

𝟓. 𝟖𝟖 = √𝟐 ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ (𝒚𝒕 ) 𝟑𝟒. 𝟓𝟕𝟒𝟒 𝒚𝒕 = 𝟏𝟗. 𝟔

𝒚𝒕 = 𝟏. 𝟕𝟔𝟒 𝒎 Esta es la altura a la que se deja caer el objeto

→

𝟎. 𝟐 ∙ (𝟒𝟗 − 𝒗𝟐 )

𝟎. 𝟐 ∙ (𝟕𝟐 − 𝒗𝟐 ) 𝒗 𝒅𝒗 𝒗 𝒅𝒗 𝟏 𝒗 𝒅𝒗 ∫ ∫ 𝟐 =∫ = 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗 ) 𝟎. 𝟐 ∙ (𝟕 − 𝒗 ) 𝟎. 𝟐 (𝟕 − 𝒗𝟐 ) 𝒗 𝒅𝒗 𝟏 𝟏 ∫ = ∙ [− 𝒍𝒏 (𝟕𝟐 − 𝒗𝟐 )] 𝟐 (𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗 ) 𝟎. 𝟐 𝟐 𝒗 𝒅𝒗 𝟏 ∫ =− 𝒍𝒏 (𝟒𝟗 − 𝒗𝟐 ) (𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗𝟐 ) 𝟎. 𝟒 𝒗𝒇

∫ 𝒗

𝒚𝒇 𝒗 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒚 𝟐 (𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗 ) 𝟎

𝟏 𝒗𝒇 𝒚𝒇 𝒍𝒏 (𝟒𝟗 − 𝒗𝟐 ) | = 𝒚| 𝟎 𝟓. 𝟖𝟖 𝟎. 𝟒 𝟏 𝟏 [− 𝒍𝒏 (𝟒𝟗 − 𝒗𝒇𝟐 )] − [− 𝒍𝒏 (𝟒𝟗 − 𝟓. 𝟖𝟖𝟐 )] = 𝒚𝒇 𝟎. 𝟒 𝟎. 𝟒 𝟏 − 𝒍𝒏 (𝟒𝟗 − 𝒗𝒇𝟐 ) + 𝟔. 𝟔𝟕 = 𝒚𝒇 𝟎. 𝟒 𝟏 − 𝒍𝒏 (𝟒𝟗 − 𝒗𝒇𝟐 ) = 𝒚𝒇 − 𝟔. 𝟔𝟕 𝟎. 𝟒 −

𝒍𝒏 (𝟒𝟗 − 𝒗𝒇𝟐 ) = −𝟎. 𝟒𝒚𝒇 + 𝟐. 𝟔𝟕

(𝟒𝟗 − 𝒗𝒇𝟐 ) = 𝒆−𝟎.𝟒𝒚𝒇 + 𝟐.𝟔𝟕 𝒗𝒇 = √𝟒𝟗 − 𝒆−𝟎.𝟒𝒚𝒇 + 𝟐.𝟔𝟕 Paso 5: Determinar velocidad en el fondo (𝒚 = 𝟔𝟎 𝒎):

𝒗𝒇 = √𝟒𝟗 − 𝒆−𝟎.𝟒𝒚𝒇 + 𝟐.𝟔𝟕 𝒗𝒇 = √𝟒𝟗 − 𝒆−𝟎.𝟒∙(𝟔𝟎) +

𝟐.𝟔𝟕

→

𝒗𝒇 = √𝟒𝟗 − 𝒆−𝟐𝟏.𝟑𝟑

𝒗𝒇 ≅ 𝟕 𝒎/𝒔

Paso 3: Determinar velocidad en el agua: Aceleración: Varia (En el agua) 𝒅𝒗 𝒂= → 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒗 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Velocidad: 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒗= → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒚 → 𝒅𝒕 = 𝒅𝒕 𝒗 Entonces la aceleración será: 𝒅𝒚 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ 𝒅𝒕 → 𝒅𝒗 = 𝒂 ∙ → 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒂 𝒅𝒚 𝒗 𝒗 𝒅𝒗 𝒗 𝒅𝒗 = (𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗𝟐 ) 𝒅𝒚 → = 𝒅𝒚 (𝟗. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝒗𝟐 )

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

203

V.7.1.- APLICACIONES FÍSICAS: Fuerzas constante y variable Ejemplo 1

Fuerza constante y variable

Paso 7: Determinar la velocidad máxima:

A un objeto de masa 10 kg sobre un plano horizontal que está en reposo, se le aplica una fuerza. a) Velocidad si la fuerza es de 15 Newton. b) Velocidad y distancia cuando se aplica una fuerza variable de: 𝑭 = (𝟒𝟎 − 𝟎. 𝟔𝒕) 𝒏𝒆𝒘. c) Donde se encuentra el móvil para máxima velocidad.

Para determinar la velocidad máxima, aplicamos el criterio de la primera derivada a la función de velocidad:

Paso 1: Determinar la velocidad:

Igualamos a cero, para hallar el valor crítico:

Ley de Newton: Fuerza constante. 𝒅𝒗 𝒅𝒗 𝑭=𝒎∙𝒂 = → 𝑭=𝒎∙ → 𝑭 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒎 ∙ 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒕

𝒗𝒕

𝒕

∫ 𝑭 ∙ 𝒅𝒕 = ∫ 𝒎 ∙ 𝒅𝒗 𝒕𝒐

→

𝒗𝒕

𝟏𝟓 ∫ 𝒅𝒕 = 𝟏𝟎 ∫ 𝒅𝒗

𝒗𝒐

𝒕𝒐

𝒗𝒐

Paso 2: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒗 𝒕 𝟏𝟓𝒕 | = 𝟏𝟎𝒗 | 𝒕 𝟎 𝟎 𝟏𝟓(𝒕 − 𝒕𝒐 ) = 𝟏𝟎(𝒗𝒕 − 𝒗𝒐 ) 𝟏𝟓(𝒕) = 𝟏𝟎(𝒗𝒕 ) → 𝒗𝒕 = 𝟏. 𝟓𝒕

𝒗𝒕 = 𝟒𝒕 − 𝟎. 𝟎𝟑𝒕𝟐 𝒅 𝒅 (𝟒 − 𝟎. 𝟎𝟔𝒕) 𝒗 = 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒗 = 𝟒 − 𝟎. 𝟎𝟔𝒕 𝒅𝒕

𝟒 − 𝟎. 𝟎𝟔𝒕 = 𝟎

→

𝒕=

𝟒 𝟎. 𝟎𝟔

𝒕𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟔. 𝟔𝟕 𝒔𝒆𝒈 La velocidad es máxima para el tiempo 𝒕 = 𝟔𝟔. 𝟔𝟕 𝒔𝒆𝒈 𝒗𝒕 = 𝟒𝒕 − 𝟎. 𝟎𝟑𝒕𝟐 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟒(𝟔𝟔. 𝟔𝟕) − 𝟎. 𝟎𝟑(𝟔𝟔. 𝟔𝟕)𝟐 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟐𝟔𝟔. 𝟔𝟖 − 𝟏𝟑𝟑. 𝟑𝟓 𝒗𝒎á𝒙 = 𝟏𝟑𝟑. 𝟑𝟑 𝒎/𝒔 Paso 8: Determinar la distancia para máxima velocidad:

Paso 3: Determinar la velocidad:

𝒙𝒕 = 𝟐(𝟔𝟔. 𝟔𝟕)𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏(𝟔𝟔. 𝟔𝟕)𝟑

Ley de Newton: Fuerza variable. 𝒅𝒗 𝒅𝒗 𝑭=𝒎∙𝒂 = → 𝑭=𝒎∙ → 𝑭 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒎 ∙ 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad:

𝒙𝒕 = 𝟖𝟖𝟖𝟗. 𝟕𝟖 − 𝟐𝟗𝟔𝟑. 𝟒𝟏

𝒗𝒕

𝒕 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟕 𝒔𝒆𝒈

𝒙𝒕 = 𝟐𝒕𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒕𝟑

𝒗𝒕 = 𝟏. 𝟓𝒕

𝒕

→

𝒕

𝒙𝒕 = 𝟓𝟗𝟐𝟔. 𝟑𝟕 𝒎

𝒗𝒕

∫ 𝑭 ∙ 𝒅𝒕 = ∫ 𝒎 ∙ 𝒅𝒗 → ∫ (𝟒𝟎 − 𝟎. 𝟔𝒕)𝒅𝒕 = 𝟏𝟎 ∫ 𝒅𝒗 𝒕𝒐

𝒗𝒐

𝒕𝒐

𝒗𝒐

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒗 𝒕 (𝟒𝟎𝒕 − 𝟎. 𝟑𝒕𝟐 ) | = 𝟏𝟎𝒗 | 𝒕 𝟎 𝟎 𝟒𝟎𝒕 − 𝟎. 𝟑𝒕𝟐 = 𝟏𝟎𝒗𝒕 𝒗𝒕 = 𝟒𝒕 − 𝟎. 𝟎𝟑𝒕𝟐 Paso 5: Determinar la distancia: Fuerza variable Velocidad: 𝒅𝒙 𝒗= → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 = 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒙𝒕

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒙𝒐

𝒕𝒐

𝒙𝒕

→

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝟒𝒕 − 𝟎. 𝟎𝟑𝒕𝟐 )𝒅𝒕 𝟎

𝟎

Paso 6: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒙 𝒕 𝒙 | 𝒕 = (𝟐𝒕𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟏𝒕𝟑 ) | 𝟎 𝟎 𝒙𝒕 = (𝟐𝒕𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒕𝟑 ) 𝒙𝒕 = 𝟐𝒕𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒕𝟑 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

204

Ejemplo 2

Fuerza variable

Distancia:

A un objeto de masa 10 kg que está sobre un plano horizontal y tiene una velocidad de 𝒗𝒐 = 𝟏 𝒎/𝒔, se le aplica una fuerza de 𝑭 = 𝟏𝟎𝒗 (

𝒕+𝟐 𝒕+𝟏

) 𝒏𝒆𝒘.

a) Velocidad y distancia en función del tiempo. b) Velocidad y distancia al cabo de 𝒕 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈 . c) Velocidad, aceleración y Fuerza al cabo de 𝒕 = 𝟓 𝒔𝒆𝒈 . Paso 1: Determinar la velocidad en función del tiempo: Ley de Newton: Fuerza variable. 𝒅𝒗 𝒅𝒗 𝑭=𝒎∙𝒂 = → 𝑭=𝒎∙ → 𝑭 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒎 ∙ 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒕 + 𝟐 𝒕 + 𝟐 𝒅𝒗 𝟏𝟎𝒗 ( ) 𝒅𝒕 = 𝟏𝟎 𝒅𝒗 → ( ) 𝒅𝒕 = 𝒕 + 𝟏 𝒕 + 𝟏 𝒗 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒕

𝒗𝒕 𝒕 + 𝟐 𝒅𝒗 ∫ ( ) 𝒅𝒕 = ∫ → 𝒕𝒐 𝒕 + 𝟏 𝒗𝒐 𝒗

𝒕

𝒗𝒕 𝒕 + 𝟐 𝒅𝒗 ∫ ( ) 𝒅𝒕 = ∫ 𝒗 𝟎 𝒕 + 𝟏 𝟏

𝒙𝒕 = 𝒕𝒆𝒕

→

𝒙𝒕 = (𝟐)𝒆𝟐 𝒙𝒕 = 𝟏𝟒. 𝟕𝟖 𝒎

Paso 6: Determinar velocidad, aceleración y fuerza a los 𝒕 = 𝟓 𝒔. Velocidad: 𝒗𝒕 = (𝒕 + 𝟏)𝒆𝒕 → 𝒗𝒕 = (𝟓 + 𝟏)𝒆𝟓 → 𝒗𝒕 = 𝟔𝒆𝟓 𝒗𝒕 = 𝟖𝟗𝟎. 𝟒𝟖 𝒎/𝒔 Aceleración: 𝒗𝒕 = (𝒕 + 𝟏)𝒆𝒕 𝒅𝒗 𝒂= → 𝒂 = (𝒕 + 𝟏)′ ∙ 𝒆𝒕 + (𝒕 + 𝟏) ∙ 𝒆𝒕 ′ 𝒅𝒕 𝒂 = 𝒆𝒕 + (𝒕 + 𝟏) ∙ 𝒆𝒕 → 𝒂 = (𝟏 + 𝒕 + 𝟏) ∙ 𝒆𝒕 𝒂 = (𝟐 + 𝒕) ∙ 𝒆𝒕 𝒂 = (𝟐 + 𝟓) ∙ 𝒆𝟓

→

𝒂 = (𝟕) ∙ 𝒆𝟓

𝒂 = 𝟏 𝟎𝟑𝟖. 𝟖𝟗 𝒎/𝒔𝟐

Paso 2: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝒕 + 𝟐 𝒅𝒗 𝟏 𝒅𝒗 ∫( ) 𝒅𝒕 = ∫ → ∫ (𝟏 + ) 𝒅𝒕 = ∫ 𝒕 + 𝟏 𝒗 𝒕 + 𝟏 𝒗

Fuerza:

𝒕 + 𝒍𝒏(𝒕 + 𝟏) = 𝒍𝒏(𝒗) 𝒗 𝒕 𝒕 + 𝒍𝒏(𝒕 + 𝟏) | = 𝒍𝒏(𝒗) | 𝒕 𝟏 𝟎 𝒕 + 𝒍𝒏(𝒕 + 𝟏) = 𝒍𝒏(𝒗𝒕 ) → 𝒕 = 𝒍𝒏(𝒗𝒕 ) − 𝒍𝒏(𝒕 + 𝟏) 𝒗𝒕 𝒗𝒕 𝒕 = 𝒍𝒏 ( ) → 𝒆𝒕 = ( ) → 𝒗𝒕 = (𝒕 + 𝟏)𝒆𝒕 𝒕+𝟏 𝒕+𝟏 𝒗𝒕 = (𝒕 + 𝟏)𝒆𝒕

NOTA: 𝒕 + 𝟐 (𝒕 + 𝟏) + 𝟏 (𝒕 + 𝟏) 𝟏 𝟏 = = + =𝟏+ 𝒕 + 𝟏 (𝒕 + 𝟏) (𝒕 + 𝟏) (𝒕 + 𝟏) (𝒕 + 𝟏)

𝒕 + 𝟐 𝟓 + 𝟐 𝑭 = 𝟏𝟎𝒗 ( ) → 𝑭 = 𝟏𝟎(𝟖𝟗𝟎. 𝟒𝟖) ( ) 𝒕 + 𝟏 𝟓 + 𝟏 𝑭 = 𝟏𝟎 𝟑𝟖𝟖. 𝟗𝟑 𝒏𝒆𝒘

Paso 3: Determinar la distancia en función del tiempo: Velocidad: 𝒅𝒙 → 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 = 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒗=

𝒙𝒕

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒗 ∙ 𝒅𝒕 𝒙𝒐

𝒙𝒕

→

𝒕

∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝒕 + 𝟏)𝒆𝒕 𝒅𝒕

𝒕𝒐

𝟎

𝟎

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: ∫ 𝒅𝒙 = ∫(𝒕 + 𝟏)𝒆𝒕

→

𝒙 = (𝒕 − 𝟏)𝒆𝒕 + 𝒆𝒕 𝒙 𝒕 𝒙 | 𝒕 = 𝒕𝒆𝒕 | 𝟎 𝟎

→

∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒆𝒕 𝒅𝒕 + ∫ 𝒆𝒕 𝒅𝒕 𝒙 = 𝒕𝒆𝒕

→ 𝒙𝒕 = 𝒕𝒆𝒕 𝒙𝒕 = 𝒕𝒆𝒕

Paso 5: Determinar velocidad y distancia a los 𝒕 = 𝟐 𝒔. Velocidad: 𝒗𝒕 = (𝒕 + 𝟏)𝒆𝒕 →

𝒗𝒕 = (𝟐 + 𝟏)𝒆𝟐 →

𝒗𝒕 = 𝟑𝒆𝟐

𝒗𝒕 = 𝟐𝟐. 𝟏𝟕 𝒎/𝒔 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

205

Ejemplo 3

Ley de Hooke

Un resorte en su posición inicial mide 10 cm. Al aplicar una fuerza de 40 new, se estira a 15 cm desde su posición inicial. Hallar: a) Constante de elasticidad b) Trabajo para estirar el resorte de 15 cm a 18 cm. c) Trabajo para estirar el resorte de 10 cm a 15 cm.

𝟏 𝒙𝟐 𝒌 ∙ 𝒙𝟐 | 𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝑾 = 𝒌 ∙ [ (𝒙𝟐 )𝟐 − (𝒙𝟏 )𝟐 ] 𝟐 𝑾=

Paso 6: Hallar trabajo 15 cm a 18 cm: 𝒙𝟐 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎

→

𝒙𝟏 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎

𝒙𝟐 = (𝟏𝟖 𝒄𝒎) − (𝟏𝟎 𝒄𝒎) → 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟖 𝒎 𝒙𝟏 = (𝟏𝟓 𝒄𝒎) − (𝟏𝟎 𝒄𝒎) → 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒎 𝟏 𝑾 = 𝒌 ∙ [ (𝒙𝟐 )𝟐 − (𝒙𝟏 )𝟐 ] 𝟐 𝟏 𝑾 = ∙ (𝟖𝟎𝟎) ∙ [ (𝟎. 𝟎𝟖)𝟐 − (𝟎. 𝟎𝟓)𝟐 ] 𝟐 𝑾 = 𝟏. 𝟓𝟔 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆

Paso 1: Figura:

Paso 7: Hallar trabajo 10 cm a 15 cm: 𝒙𝟐 = (𝟏𝟓 𝒄𝒎) − (𝟏𝟎 𝒄𝒎) → 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒎

Paso 2: Aplicar la Ley correspondiente: Ley de Hooke:

𝒙𝟏 = (𝟏𝟎 𝒄𝒎) − (𝟏𝟎 𝒄𝒎) → 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟎 𝒎 𝟏 𝑾 = 𝒌 ∙ [ (𝒙𝟐 )𝟐 − (𝒙𝟏 )𝟐 ] 𝟐 𝟏 𝑾 = ∙ (𝟖𝟎𝟎) ∙ [ (𝟎. 𝟎𝟓)𝟐 − (𝟎. 𝟎𝟎)𝟐 ] 𝟐 𝑾 = 𝟏 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆

𝑭=𝒌∙𝒙

Condiciones iniciales: 𝒙𝒐 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎

→

𝒙𝒅 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎

𝒙 = 𝒙𝒅 − 𝒙𝒐

→

𝒙 = (𝟏𝟓 𝒄𝒎) − (𝟏𝟎 𝒄𝒎)

𝒙 = 𝟓 𝒄𝒎

→

𝒙 = (𝟓 ÷ 𝟏𝟎𝟎)𝒎 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒎

Paso 3: Hallar la constante de elasticidad: 𝑭 𝑭=𝒌∙𝒙 → 𝒌= 𝒙 (𝟒𝟎 𝒏𝒆𝒘) 𝒌= → 𝒌 = 𝟖𝟎𝟎 𝒏𝒆𝒘/𝒎 (𝟎. 𝟎𝟓 𝒎) 𝒏𝒆𝒘 𝒌 = 𝟖𝟎𝟎 𝒎 Paso 4: Hallar el trabajo: 𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒙 → 𝒅𝑾 = (𝒌 ∙ 𝒙) 𝒅𝒙

Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒙𝟐

𝑾 = ∫ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟏

𝒙𝟐

→

𝑾 = 𝒌 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟏

Paso 5: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 𝑾 = 𝒌 ∙ ( 𝒙𝟐 ) + 𝑪 → 𝑾 = 𝒌 ∙ 𝒙𝟐 | 𝒙 𝟏 𝟐 𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

206

Ejemplo 4

Ley de Hooke

Ejemplo 5

Ley de Hooke

Un resorte en su posición inicial mide 60 cm. Al aplicar una fuerza de 120 new, se estira a 85 cm desde su posición inicial. Hallar: a) Constante de elasticidad b) Trabajo para estirar el resorte de 60 cm a 70 cm.

Un resorte en su posición inicial mide 14 cm. Al aplicar una fuerza de 96 new, se estira a 20 cm desde su posición inicial. Hallar: a) Constante de elasticidad b) Trabajo para estirar el resorte de 16 cm a 24 cm.

Paso 1: Figura:

Paso 1: Figura:

Paso 2: Aplicar la Ley correspondiente: Ley de Hooke: 𝑭=𝒌∙𝒙

Paso 2: Aplicar la Ley correspondiente: Ley de Hooke: 𝑭=𝒌∙𝒙

Condiciones iniciales: 𝒙𝒐 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 → 𝒙𝒅 = 𝟖𝟓 𝒄𝒎

Condiciones iniciales: 𝒙𝒐 = 𝟏𝟒 𝒄𝒎 → 𝒙𝒅 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎

𝒙 = 𝒙𝒅 − 𝒙𝒐

→

𝒙 = (𝟖𝟓 𝒄𝒎) − (𝟔𝟎 𝒄𝒎) = 𝟐𝟓 𝒄𝒎

𝒙 = (𝟐𝟓 ÷ 𝟏𝟎𝟎)𝒎 →

𝒙 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝒎

Paso 3: Hallar la constante de elasticidad: (𝟏𝟐𝟎 𝒏𝒆𝒘) 𝑭 𝑭=𝒌∙𝒙 → 𝒌= → 𝒌= (𝟎. 𝟐𝟓 𝒎) 𝒙 𝒏𝒆𝒘 𝒏𝒆𝒘 𝒌 = 𝟒𝟖𝟎 → 𝒌 = 𝟒𝟖𝟎 𝒎 𝒎 Paso 4: Hallar el trabajo: 𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒙 → 𝒅𝑾 = (𝒌 ∙ 𝒙) 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟏

𝒙𝟐

→

→

𝒙 = (𝟐𝟎 𝒄𝒎) − (𝟏𝟒 𝒄𝒎) = 𝟔 𝒄𝒎

𝒙 = (𝟔 ÷ 𝟏𝟎𝟎)𝒎 →

𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟔 𝒎

Paso 3: Hallar la constante de elasticidad: (𝟗𝟔 𝒏𝒆𝒘) 𝑭 𝑭=𝒌∙𝒙 → 𝒌= → 𝒌= (𝟎. 𝟎𝟔 𝒎) 𝒙 𝒏𝒆𝒘 𝒏𝒆𝒘 𝒌 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 → 𝒌 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝒎 𝒎 Paso 4: Hallar el trabajo: 𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒙 → 𝒅𝑾 = (𝒌 ∙ 𝒙) 𝒅𝒙

Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝑾 = ∫ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒅𝒙

𝒙 = 𝒙𝒅 − 𝒙𝒐

𝑾 = 𝒌 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟏

Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒙𝟐

𝑾 = ∫ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟏

𝒙𝟐

→

𝑾 = 𝒌 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟏

Paso 5: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 𝑾 = 𝒌 ∙ ( 𝒙𝟐 ) + 𝑪 → 𝑾 = 𝒌 ∙ 𝒙𝟐 | 𝒙 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝑾 = 𝒌 ∙ [ (𝒙𝟐 )𝟐 − (𝒙𝟏 )𝟐 ] 𝟐 Paso 6: Hallar trabajo 60 cm a 70 cm:

Paso 5: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 𝑾 = 𝒌 ∙ ( 𝒙𝟐 ) + 𝑪 → 𝑾 = 𝒌 ∙ 𝒙𝟐 | 𝒙 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝑾 = 𝒌 ∙ [ (𝒙𝟐 )𝟐 − (𝒙𝟏 )𝟐 ] 𝟐 Paso 6: Hallar trabajo 16 cm a 24 cm:

𝒙𝟐 = (𝟕𝟎 𝒄𝒎) − (𝟔𝟎 𝒄𝒎) = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 → 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟏 𝒎

𝒙𝟐 = (𝟐𝟒 𝒄𝒎) − (𝟏𝟒 𝒄𝒎) = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 → 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟏 𝒎

𝒙𝟏 = (𝟔𝟎 𝒄𝒎) − (𝟔𝟎 𝒄𝒎) = 𝟎 𝒄𝒎 → 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟎 𝒎 𝟏 𝑾 = 𝒌 ∙ [ (𝒙𝟐 )𝟐 − (𝒙𝟏 )𝟐 ] 𝟐 𝟏 𝑾 = ∙ (𝟒𝟖𝟎) ∙ [ (𝟎. 𝟏)𝟐 − (𝟎. 𝟎)𝟐 ] 𝟐 𝑾 = 𝟐. 𝟒 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆

𝒙𝟏 = (𝟏𝟔 𝒄𝒎) − (𝟏𝟒 𝒄𝒎) = 𝟐 𝒄𝒎 → 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟐 𝒎 𝟏 𝑾 = 𝒌 ∙ [ (𝒙𝟐 )𝟐 − (𝒙𝟏 )𝟐 ] 𝟐 𝟏 𝑾 = ∙ (𝟏𝟔𝟎𝟎) ∙ [ (𝟎. 𝟏)𝟐 − (𝟎. 𝟎𝟐)𝟐 ] 𝟐 𝑾 = 𝟕. 𝟔𝟖 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

207

Ejemplo 6

Trabajo mecánico

Ejemplo 5

Trabajo mecánico

A un cable de 120 metros de longitud que pesa 60 kp, se cuelga una masa de 90 kg. Se requiere enrollar el cable en un tambor. Hallar: a) Trabajo requerido para enrollar 80 metros. b) Trabajo requerido para enrollar 60 metros.

A un cable de 98 metros de longitud y de masa 40 kg, se cuelga una masa de 48 kg. Se requiere enrollar el cable en un tambor. Hallar: a) Trabajo requerido para enrollar 76 metros. b) Trabajo requerido para enrollar 96 metros.

Paso 1: Figura:

Paso 1: Figura:

Paso 2: Aplicar la Ley de Newton: Fuerzas de peso:

Paso 2: Aplicar la Ley de Newton: Fuerzas de peso:

→ 𝑵𝒆𝒘 𝒏𝒆𝒘 𝑷𝒄 = (𝟔𝟎 𝒌𝒑) ∙ (𝟗. 𝟖 ) 𝒌𝒑

𝑷𝒄 = 𝟒𝟎 𝒌𝒈 𝑷𝒄 = 𝟓𝟖𝟖 𝒏𝒆𝒘

→ 𝑵𝒆𝒘 𝒏𝒆𝒘 𝑷𝒄 = (𝟒𝟎 𝒌𝒑) ∙ (𝟗. 𝟖 ) 𝒌𝒑

𝑷𝒎 = 𝟖𝟖𝟐 𝒏𝒆𝒘

𝑷𝒎 = 𝟒𝟖 𝒌𝒈 → 𝑵𝒆𝒘 𝒏𝒆𝒘 𝑷𝒄 = (𝟒𝟖 𝒌𝒈) ∙ (𝟗. 𝟖 ) 𝒌𝒈

𝑷𝒄 = 𝟔𝟎 𝒌𝒑

𝑷𝒎 = 𝟗𝟎 𝒌𝒈 → 𝑵𝒆𝒘 𝒏𝒆𝒘 𝑷𝒄 = (𝟗𝟎 𝒌𝒈) ∙ (𝟗. 𝟖 ) 𝒌𝒈

→

→

→

𝑷𝒄 = 𝟑𝟗𝟐 𝒏𝒆𝒘

→

𝑷𝒎 = 𝟒𝟕𝟎. 𝟒 𝒏𝒆𝒘

Fuerza total requerida: Al enrollar el cable, la fuerza de peso del cable varía de acuerdo a un diferencial de altura (dy). Determinamos que peso se requiere por unidad de longitud. 𝟓𝟖𝟖 𝟓𝟖𝟖 𝒏𝒆𝒘 ∶ 𝟏𝟐𝟎 𝒎 → 𝒓𝒂𝒛ó𝒏 = = 𝟒. 𝟗 𝒏𝒆𝒘/𝒎 𝟏𝟐𝟎 𝑷𝒄 = 𝟒. 𝟗(𝟏𝟐𝟎 − 𝒚)

Fuerza total requerida: Al enrollar el cable, la fuerza de peso del cable varía de acuerdo a un diferencial de altura (dy). Determinamos que peso se requiere por unidad de longitud. 𝟑𝟗𝟐 𝟑𝟗𝟐 𝒏𝒆𝒘 ∶ 𝟗𝟖 𝒎 → 𝒓𝒂𝒛ó𝒏 = = 𝟒 𝒏𝒆𝒘/𝒎 𝟗𝟖 𝑷𝒄 = 𝟒(𝟗𝟖 − 𝒚)

Peso total:

Peso total:

𝑷 = 𝑷𝒄 + 𝑷𝒎 →

𝑷 = 𝑷𝒄 + 𝑷𝒎 →

𝑷 = 𝟒. 𝟗(𝟏𝟐𝟎 − 𝒚) + (𝟖𝟖𝟐)

𝑷 = (𝟖𝟔𝟐. 𝟒 − 𝟒𝒚) 𝒏𝒆𝒘

𝑷 = (𝟏𝟒𝟕𝟎 − 𝟒. 𝟗𝒚) 𝒏𝒆𝒘

Paso 3: Hallar el trabajo por unidad de longitud:

Paso 3: Hallar el trabajo por unidad de longitud: 𝑾=𝑭∙𝒅

→

𝑷 = 𝟒(𝟗𝟖 − 𝒚) + (𝟒𝟕𝟎. 𝟒)

𝑾=𝑭∙𝒅

𝒅𝑾 = (𝟏𝟒𝟕𝟎 − 𝟒. 𝟗𝒚) 𝒅𝒚

→

𝒅𝑾 = (𝟖𝟔𝟐. 𝟒 − 𝟒𝒚) 𝒅𝒚

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo:

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo:

𝑾 = ∫ (𝟏𝟒𝟕𝟎 − 𝟒. 𝟗𝒚) 𝒅𝒚

𝑾 = ∫ (𝟖𝟔𝟐. 𝟒 − 𝟒𝒚) 𝒅𝒚

𝒚𝟐

𝒚𝟐

𝒚𝟏

𝒚𝟏

𝑾 = (𝟏𝟒𝟕𝟎𝒚 − 𝟐. 𝟒𝟓𝒚𝟐 ) → 𝑾 = (𝟏𝟒𝟕𝟎𝒚 − 𝟐. 𝟒𝟓𝒚𝟐 ) |

𝟖𝟎 𝟎

𝑾 = 𝟓𝟑 𝟗𝟗𝟎. 𝟒 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔

𝑾 = 𝟏𝟎𝟏 𝟗𝟐𝟎 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔

𝑾 = 𝟏𝟒𝟕𝟎(𝟔𝟎) − 𝟐. 𝟒𝟓(𝟔𝟎)𝟐 → 𝑾 = 𝟏𝟎𝟏 𝟗𝟐𝟎

𝑾 = 𝟕𝟗 𝟑𝟖𝟎 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔 Fundamentos para el Cálculo Integral

𝟕𝟔 𝟎

𝑾 = 𝟖𝟔𝟐. 𝟒(𝟕𝟔) − 𝟐(𝟕𝟔)𝟐 → 𝑾 = 𝟓𝟑 𝟗𝟗𝟎. 𝟒

𝑾 = 𝟏𝟒𝟕𝟎(𝟖𝟎) − 𝟐. 𝟒𝟓(𝟖𝟎)𝟐 → 𝑾 = 𝟏𝟎𝟏 𝟗𝟐𝟎

𝑾 = (𝟏𝟒𝟕𝟎𝒚 − 𝟐. 𝟒𝟓𝒚𝟐 ) → 𝑾 = (𝟏𝟒𝟕𝟎𝒚 − 𝟐. 𝟒𝟓𝒚𝟐 ) |

𝑾 = (𝟖𝟔𝟐. 𝟒𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 ) → 𝑾 = (𝟖𝟔𝟐. 𝟒𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 ) |

𝟔𝟎 𝟎

𝑾 = (𝟖𝟔𝟐. 𝟒𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 ) → 𝑾 = (𝟖𝟔𝟐. 𝟒𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 ) |

𝟗𝟔 𝟎

𝑾 = 𝟖𝟔𝟐. 𝟒(𝟗𝟔) − 𝟐(𝟗𝟔)𝟐 → 𝑾 = 𝟓𝟑 𝟗𝟗𝟎. 𝟒

𝑾 = 𝟔𝟒 𝟑𝟓𝟖. 𝟒 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔

José E. Ornelas G.

208

V.7.3.- APLICACIONES FÍSICAS: Fluidos Ejemplo 1

Bombeo de fluidos

Un tanque cilíndrico de radio 2 mts y 4 mts de altura está lleno de agua y se requiere bombear el agua por la parte superior. Hallar: a) Trabajo que realiza para bombear el agua. b) Trabajo a la altura 𝒉 = 𝟐 𝒎 c) Trabajo a la altura 𝒉 = 𝟏 𝒎 Paso 1: Figura:

Estamos trabajando con el disco, cuya altura es el diferencial dy. Entonces estamos hablando del diferencial de trabajo: 𝒅𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒚) 𝒅𝒚

La densidad, la gravedad y el radio son constantes. Paso 4: Aplicar método de integración: Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: 𝒅𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒚) 𝒅𝒚 ∫ 𝒅𝑾 = ∫ 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ (𝟒 − 𝒚) 𝒅𝒚

Para facilitar los cálculos, el cilindro lo ubicamos en el sistema de coordenadas, haciendo coincidir el centro del círculo con el eje y. Aplicando el método del disco, observamos que la altura del disco varia (dy), mientras que el radio permanece constante (x).

𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∫(𝟒 − 𝒚) 𝒅𝒚 𝟏

𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ (𝟒𝒚 − 𝒚𝟐 ) + 𝑪 𝟐

Paso 4: Aplicar teorema fundamental del cálculo: 𝟏

𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ (𝟒𝒚 − 𝒚𝟐 ) | 𝟐

𝟒 𝟎 𝟏

𝑾 = (𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔) ∙ (𝟐)𝟐 ∙ (𝟒(𝟒) − (𝟒)𝟐 ) 𝟐

𝑾 = 𝟗𝟖𝟓 𝟐𝟎𝟓. 𝟕𝟔 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔 Nota:

𝒌𝒈 𝒎 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐 ( 𝟑 ) ∙ ( 𝟐 ) ∙ (𝒎𝟐 ) ∙ (𝒎𝟐 ) = = 𝑱𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔 𝒎 𝒔 𝒔𝟐 Paso 2: Hallar la fuerza requerida: La fuerza necesaria para subir el disco de agua a la parte superior, es igual a la fuerza de peso del disco: 𝑷=𝒎∙𝒈

→

𝒌𝒈

Densidad del agua: (𝝆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟑 ) 𝒎 𝒎 𝝆= → 𝒎=𝝆∙𝒗 𝒗 Al sustituir la masa en la ecuación de Fuerza: →

𝟏

𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ (𝟒𝒚 − 𝒚𝟐 ) 𝟐

𝑭=𝒎∙𝒈

Como la masa depende de la densidad del agua y su volumen, tenemos que:

𝑷=𝒎∙𝒈

Trabajo: 𝒚 = 𝟐 𝒎

𝑭 =𝝆∙𝒗∙𝒈

Volumen del disco: radio constante

𝟏

𝑾 = (𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔) ∙ (𝟐)𝟐 ∙ (𝟒(𝟐) − (𝟐)𝟐 ) 𝟐

𝑾 = 𝟕𝟖𝟑 𝟗𝟎𝟒. 𝟑𝟐 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆𝒔 Trabajo: 𝒉 = 𝟏 𝒎 → 𝒚 = 𝟑𝒎 𝟏

𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ (𝟒𝒚 − 𝒚𝟐 ) 𝟐

𝟏

𝑾 = (𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔) ∙ (𝟐)𝟐 ∙ (𝟒(𝟑) − (𝟑)𝟐 ) 𝟐

𝑾 = 𝟗𝟐𝟑 𝟔𝟑𝟎. 𝟒𝟎 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆

𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝒉 → 𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒚 Al sustituir el volumen del disco en la ecuación de Fuerza: 𝑭=𝝆∙𝒗∙𝒈

→

𝑭 = 𝝆 ∙ (𝝅 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒚) ∙ 𝒈

𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 𝒅𝒚

Paso 3: Hallar trabajo: Trabajo: 𝑾=𝑭∙𝒅 La distancia que recorre el disco, es la altura: 𝒉 = (𝟒 − 𝒚) 𝑾=𝑭∙𝒅

→

𝑾 = (𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 𝒅𝒚) ∙ (𝟒 − 𝒚)

𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓𝟐 (𝟒 − 𝒚) 𝒅𝒚

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

209

Ejemplo 2

Bombeo de fluidos

Sustituir en la ecuación de Fuerza:

Un tanque cónico de radio 4 mts y 10 mts de altura está lleno de agua y se requiere bombear el agua por la parte superior. Hallar: a) Trabajo que para bombear el agua a 10 mts. Paso 1: Figura representativa del ejercicios: Para facilitar los cálculos, el cono lo ubicamos en el sistema de coordenadas, haciendo coincidir el centro del círculo con el eje OY. Aplicando el método del disco, observamos que la altura del disco varia (dy), mientras que el radio depende de la función de la generatriz.

𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝑭=

𝟐 𝟐 𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ ( 𝒚) 𝒅𝒚 𝟓

→

𝟒 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒚𝟐 𝒅𝒚 𝟐𝟓

Paso 3: Hallar trabajo: Trabajo: 𝑾=𝑭∙𝒅 La distancia que recorre el disco, es la altura: 𝒉 = (𝟏𝟎 − 𝒚) 𝟒 𝑾=𝑭∙𝒅 → 𝑾= 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒚𝟐 𝒅𝒚 ∙ (𝟏𝟎 − 𝒚) 𝟐𝟓 𝟒 𝑾= 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒚𝟐 (𝟏𝟎 − 𝒚) 𝒅𝒚 𝟐𝟓 Estamos trabajando con el disco, cuya altura es el diferencial dy. Entonces estamos hablando del diferencial de trabajo: 𝒅𝑾 =

𝟒 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ (𝟏𝟎𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 ) 𝒅𝒚 𝟐𝟓

La densidad y la gravedad son constantes. Aplicar integral a ambos miembros de la igualdad: Paso 2: Hallar la fuerza requerida: La fuerza necesaria para subir el disco de agua a la parte superior, es igual a la fuerza de peso del disco: 𝑷=𝒎∙𝒈

→

𝑭=𝒎∙𝒈

Como la masa depende de la densidad del agua y su volumen, tenemos que:

Densidad del agua: (𝝆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝒌𝒈 𝒎𝟑

)

𝒎 → 𝒎=𝝆∙𝒗 𝒗 Sustituir la masa en la ecuación de Fuerza: 𝝆=

𝑷=𝒎∙𝒈

→

Paso 4: Aplicar método de integración y el teorema fundamental del cálculo: 𝟒 𝟏𝟎 𝟏 𝑾= 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ ( 𝒚𝟑 − 𝒚𝟒 ) + 𝑪 𝟐𝟓 𝟑 𝟒 𝟒 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝑾= 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ ( 𝒚𝟑 − 𝒚𝟒 ) | 𝟎 𝟐𝟓 𝟑 𝟒 𝟒 𝟏𝟎 𝟏 𝑾= (𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ (𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟔) ∙ [ (𝟏𝟎)𝟑 − (𝟏𝟎)𝟒 ] 𝟐𝟓 𝟑 𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟐𝟓𝟎𝟎

Volumen del disco: radio varia 𝒓 = 𝒙

𝑾 = (𝟒𝟗𝟐𝟔. 𝟎𝟑) ∙ [

𝟐

𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒉 → 𝒗 = 𝝅 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅𝒚 →

𝑭 = 𝝆 ∙ (𝝅 ∙ 𝒙𝟐 ∙ 𝒅𝒚) ∙ 𝒈

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟒

]

]

Nota:

𝒌𝒈 𝒎 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐 ( 𝟑 ) ∙ ( 𝟐 ) ∙ (𝒎𝟐 ) ∙ (𝒎𝟐 ) = = 𝑱𝒐𝒖𝒍𝒆 𝒎 𝒔 𝒔𝟐

𝟐

𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ 𝒙 𝒅𝒚

Ecuación de la recta (generatriz). 𝑷𝟏 = (𝟎, 𝟎)

𝟑

−

𝑾 = 𝟒 𝟏𝟎𝟓. 𝟎𝟑 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆

Al sustituir el volumen del disco en la ecuación de Fuerza: 𝑭=𝝆∙𝒗∙𝒈

𝟏𝟎 𝟒 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝝅 ∙ ∫ (𝟏𝟎𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 ) 𝒅𝒚 𝟐𝟓 𝟎

𝑾 = (𝟒𝟗𝟐𝟔. 𝟎𝟑) ∙ [

𝑭 =𝝆∙𝒗∙𝒈

𝟐

∫ 𝒅𝑾 =

y 𝑷𝟐 = (𝟒, 𝟏𝟎)

Pendiente: 𝒎=

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

→

𝒎=

(𝟏𝟎) − (𝟎) 𝟏𝟎 = (𝟒) − (𝟎) 𝟒

→

𝒎=

𝟓 𝟐

Ecuación canónica de la recta: 𝑷𝟏 = (𝟎, 𝟎) 𝟓 (𝒚 − 𝒚𝒐 ) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝒐 ) → (𝒚 − 𝟎) = (𝒙 − 𝟎) 𝟐 𝟓 𝟐 𝒚= 𝒙 → 𝒙= 𝒚 𝟐 𝟓 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

210

Ejemplo 3

Presión de fluidos

Ejemplo 4

Presión de fluidos

Un objeto de cara rectangular de 2 m de ancho por 0.5 m de alto, se sumerge en el agua hasta que el borde superior está al nivel de la superficie. Hallar: a) Fuerza ejercida por el agua a la superficie rectangular.

Un objeto rectangular de 1.5 m de ancho por 0.6 m de alto, se sumerge en el agua hasta que el borde superior está 0.2 m por debajo de la superficie. Hallar: a) Fuerza ejercida por el agua a la superficie rectangular.

Paso 1: Representación gráfica:

Paso 1: Representación gráfica:

La figura geométrica, la ubicamos en el sistema de coordenadas de forma simétrica e identificamos los puntos importantes de acuerdo a las dimensiones dadas.

La figura geométrica, la ubicamos en el sistema de coordenadas de forma simétrica e identificamos los puntos importantes de acuerdo a las dimensiones dadas.

Paso 2: Aplicar fórmula de presión:

Paso 2: Aplicar fórmula de presión:

Presión:

Presión:

𝐏=

𝐅 𝐒

𝐏=𝛒∙𝐠∙𝐡

𝐅 𝐒

→

𝐅=𝐏∙𝐒

𝐏=

→

𝐅= 𝛒∙𝐠∙𝐲∙𝐒

𝐏=𝛒∙𝐠∙𝐡

Superficie del diferencial: 𝐒 = 𝐛𝐚𝐬𝐞 ∙ 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚

→

𝐅=𝐏∙𝐒

→

𝐅= 𝛒∙𝐠∙𝐲∙𝐒

Superficie del diferencial:

→

𝑺 = 𝟐 ∙ 𝒅𝒚

𝐒 = 𝐛𝐚𝐬𝐞 ∙ 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚

Fuerza diferencial:

→

𝑺 = (𝟏. 𝟓) ∙ 𝒅𝒚

Fuerza diferencial:

𝐝𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝐲 ∙ (𝟐 𝐝𝐲)

→

𝐝𝐅 = 𝟐𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝐲 𝐝𝐲

Aplicar integrales a ambos miembros:

𝐝𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝐲 ∙ (𝟏. 𝟓 𝐝𝐲)

𝐝𝐅 = 𝟏. 𝟓𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝐲 𝐝𝐲

→

Aplicar integrales a ambos miembros: 𝒚𝟐

∫ 𝐝𝐅 = 𝟐 ∫ 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝐲 𝐝𝐲

→

𝐅 = 𝟐𝛒 ∙ 𝐠 ∫ 𝐲 𝐝𝐲

𝒚𝟐

∫ 𝐝𝐅 = 𝟏. 𝟓 ∫ 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝐲 𝐝𝐲

→

𝐅 = 𝟏. 𝟓𝛒 ∙ 𝐠 ∫ 𝐲 𝐝𝐲

𝒚𝟏

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟎.𝟓 𝟏 𝐅 = 𝟐𝛒 ∙ 𝐠 ∫ 𝐲 𝐝𝐲 → 𝐅 = 𝟐𝛒 ∙ 𝐠 ∙ ( 𝒚𝟐 ) 𝟐 𝟎 𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝒚𝟐 |

𝟎. 𝟓 𝟎

𝒚𝟏

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟎.𝟖 𝟏 𝐅 = 𝟏. 𝟓𝛒 ∙ 𝐠 ∫ 𝐲 𝐝𝐲 → 𝐅 = 𝟏. 𝟓𝛒 ∙ 𝐠 ∙ ( 𝒚𝟐 ) 𝟐 𝟎.𝟐 𝐅 = 𝟎. 𝟕𝟓𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝒚𝟐 |

𝐅 = (𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ (𝟎. 𝟓)𝟐 → 𝑭 = 𝟐𝟒𝟓𝟎

𝟎. 𝟖 𝟎. 𝟐

𝐅(𝟎. 𝟖) = 𝟎. 𝟕𝟓(𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ (𝟎. 𝟖)𝟐 → 𝑭 = 𝟒𝟕𝟎𝟒 𝐅(𝟎. 𝟐) = 𝟎. 𝟕𝟓(𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ (𝟎. 𝟐)𝟐 → 𝑭 = 𝟐𝟗𝟒

Unidades: 𝒌𝒈 𝒎 𝒎 (𝒎) ( 𝟑 ) ( 𝟐 ) (𝒎𝟐 ) = 𝒌𝒈 𝟐 = 𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏 𝒎 𝒔 𝒔

𝑭 = 𝟐𝟒𝟓𝟎 𝒏𝒆𝒘

𝐅 = (𝐅(𝟎. 𝟖) − 𝐅(𝟎. 𝟐)

→

𝑭 = 𝟒𝟒𝟏𝟎

Unidades: 𝒌𝒈 𝒎 𝒎 (𝒎) ( 𝟑 ) ( 𝟐 ) (𝒎𝟐 ) = 𝒌𝒈 𝟐 = 𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏 𝒎 𝒔 𝒔

𝑭 = 𝟒𝟒𝟏𝟎 𝒏𝒆𝒘 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

211

Ejemplo 5

Presión de fluidos

Ejemplo 6

Presión de fluidos

Un objeto de cara iso-rectángulo de 2 m base, se sumerge en el agua hasta que el borde de la base del triángulo está a 1 m de la superficie. Hallar: a) Fuerza ejercida por el agua a la superficie triangular.

Un tanque de cilíndrico ubicado horizontalmente, está lleno de un líquido de densidad 𝝆 = 𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑 . Sí el radio es 2 m. Hallar: a) Fuerza ejercida por el líquido a la superficie circular.

Paso 1: Representación gráfica: La figura geométrica, la ubicamos en el sistema de coordenadas e identificamos los puntos importantes de acuerdo a las dimensiones dadas.

Paso 1: Representación gráfica: La figura geométrica, la ubicamos en el sistema de coordenadas e identificamos los puntos importantes de acuerdo a las dimensiones dadas.

Paso 2: Aplicar fórmula de presión: Presión: 𝐅 𝐏= → 𝐅=𝐏∙𝐒 𝐒

Paso 2: Aplicar fórmula de presión: Presión: 𝐅 𝐏= → 𝐅=𝐏∙𝐒 𝐒

𝐏=𝛒∙𝐠∙𝐡

𝐏=𝛒∙𝐠∙𝐡

𝐅= 𝛒∙𝐠∙𝐲∙𝐒

→

Superficie del diferencial: 𝐒 = 𝐛𝐚𝐬𝐞 ∙ 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚

→

𝑺 = 𝒙 ∙ 𝒅𝒚

Ecuación: (𝒚 − 𝒚𝒐 ) = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝒐 ) → (𝒚 − 𝟑) = −𝟏(𝒙 − 𝟎) →

𝒙=𝟑−𝒚

𝐒 = 𝐛𝐚𝐬𝐞 ∙ 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚

→

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

→

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟐

→

𝒙 = √𝟒 − 𝒚𝟐

Sustituir en la superficie del diferencial: 𝐒 = 𝐛𝐚𝐬𝐞 ∙ 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 → 𝑺 = 𝒙 ∙ 𝒅𝒚 → 𝑺 = √𝟒 − 𝒚𝟐 𝒅𝒚

Fuerza diferencial: →

𝐝𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ (𝐲√𝟒 − 𝒚𝟐 ) 𝐝𝐲

Aplicar integrales a ambos miembros:

𝐒 = 𝐛𝐚𝐬𝐞 ∙ 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 → 𝑺 = 𝒙 ∙ 𝒅𝒚 → 𝑺 = (𝟑 − 𝒚)𝒅𝒚

𝒚𝟐

𝐅 = 𝟒𝛒 ∙ 𝐠 ∫ 𝐲√𝟒 − 𝒚𝟐 𝐝𝐲

Fuerza diferencial:

𝑺 = 𝒙 ∙ 𝒅𝒚

Ecuación de la circunferencia:

𝐝𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝐲 ∙ √𝟒 − 𝒚𝟐 𝐝𝐲

Sustituir en la superficie del diferencial:

(𝟒 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔)

𝒚𝟏

𝐝𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ 𝐲 ∙ (𝟑 − 𝐲) 𝐝𝐲

→

𝐝𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ (𝟑𝐲 − 𝒚𝟐 ) 𝐝𝐲

Aplicar integrales a ambos miembros: 𝒚𝟐

𝒚𝟏

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: 𝟑 𝟏 𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ ( 𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 ) 𝟐 𝟑

𝟑 𝟏 𝟑 → 𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∙ ( 𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 ) | 𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝐅(𝟑) = (𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ ( 𝟑 − 𝟑 ) → 𝑭 = 𝟒𝟒𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝐅(𝟏) = (𝟏𝟎𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ ( 𝟏 − 𝟏 ) → 𝑭 = 𝟏𝟏 𝟒𝟑𝟑. 𝟑𝟑 𝟐 𝟑

→

Paso 4: Aplicar métodos de integración y teorema fundamental del cálculo: Cambio de variable: Derivar cambio variable: 𝟏

𝟒 − 𝒚𝟐 = 𝒎

𝐅 = 𝛒 ∙ 𝐠 ∫ (𝟑𝐲 − 𝒚𝟐 ) 𝐝𝐲

𝐅 = 𝐅(𝟑) − 𝐅(𝟏)

𝐅= 𝛒∙𝐠∙𝐲∙𝐒

Superficie del diferencial:

Ec. Punto pendiente de la recta: 𝑷𝟏 = (𝟎, 𝟑) y 𝑷𝟐 = (𝟐, 𝟏) Pendiente: 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 (𝟑) − (𝟏) 𝟐 𝒎= → 𝒎= = → 𝒎 = −𝟏 (𝟎) − (𝟐) −𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

𝒚 − 𝟑 = −𝒙

→

𝑭 = 𝟑𝟐 𝟔𝟔𝟔. 𝟔𝟕

−𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝒅𝒎 → 𝒚 𝒅𝒚 = − 𝒅𝒎 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏/𝟐 𝑭 = 𝟒𝝆 ∙ 𝒈 ∫ √𝒎 (− 𝒅𝒎) → 𝑭 = − 𝝆 ∙ 𝒈 ∫ 𝒎 𝒅𝒎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝑭 = −𝟐𝝆 ∙ 𝒈 ∙ ( 𝒎𝟐 ) → 𝑭 = − 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ √(𝟒 − 𝒚𝟐 )𝟑 | 𝟎 𝟑 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝑭(𝟐) = − (𝟔𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ √(𝟒 − 𝟐 ) → 𝑭=𝟎 𝟑 𝟒 𝑭(𝟎) = − (𝟔𝟎𝟎) ∙ (𝟗. 𝟖) ∙ √(𝟒)𝟑 → 𝑭 = −𝟔𝟐 𝟕𝟐𝟎 𝟑

𝐅 = 𝐅(𝟐) − 𝐅(𝟎)

→

𝑭 = 𝟔𝟐 𝟕𝟐𝟎

𝑭 = 𝟔𝟐 𝟕𝟐𝟎 𝒏𝒆𝒘

𝑭 = 𝟑𝟐 𝟔𝟔𝟔. 𝟔𝟕 𝒏𝒆𝒘 Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

212

V.7.4.- APLICACIONES FÍSICAS: (Momento de masa y centroide) Ejemplo 1

Momento de masa y centroide 𝑴𝒚 =

Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒, el eje x y las rectas 𝒙 = 𝟐 y 𝒙 = 𝟔. Paso 1: Representación gráfica:

𝟐𝟐𝟒 𝟑

𝑴𝒙 =

𝟏 𝒙𝟐 𝟐 ∫ 𝒇 (𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 𝒙𝟏

𝑴𝒙 =

𝟏 ∫ (𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟔) 𝒅𝒙 𝟐

→

𝑴𝒙 =

𝟏 ∫ (𝟐𝒙 − 𝟒)𝟐 𝒅𝒙 𝟐

𝑴𝒙 = 𝟐 ∫ (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝑴𝒙 = 𝟐 ( 𝒙𝟑 ) − 𝟖 ( 𝒙𝟐 ) + 𝟖(𝒙) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝑴𝒙 = 𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 | 𝟐 𝟑 𝟐 𝑴𝒙 (𝟔) = (𝟔)𝟑 − 𝟒(𝟔)𝟐 + 𝟖(𝟔) → 𝟑 𝟐 𝑴𝒙 (𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟒(𝟐)𝟐 + 𝟖(𝟐) → 𝟑

𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟐𝟖 𝑴𝒙 = 𝐌(𝟔) − 𝐌(𝟐) → 𝑨 = (𝟒𝟖) − ( ) = 𝟑 𝟑 𝟏𝟐𝟖 𝑴𝒙 = 𝟑

Paso 2: Hallar el área de la región: Área:

𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐

𝟔

𝑺(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

→

𝑺(𝒙) = ∫ (𝟐𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙

𝒙𝟏

𝑺(𝟔) = (𝟔)𝟐 − 𝟒(𝟔) →

𝐒(𝟔) = 𝟑𝟔 − 𝟐𝟒

→

𝐒(𝟔) = 𝟏𝟐

𝐒(𝟐) = (𝟐)𝟐 − 𝟒(𝟐) →

𝐒(𝟐) = 𝟒 − 𝟖

→

𝐒(𝟐) = −𝟒

𝐒(𝐱) = (𝟏𝟐) − (−𝟒) = 𝟏𝟔

→

𝑴𝒙 (𝟐) =

Paso 6: Hallar el centroide:

𝟐

Paso 3: Aplicar métodos de integración: 𝟏 𝟔 𝐒(𝐱) = 𝟐 ( 𝒙𝟐 ) − 𝟒(𝐱) → 𝐒(𝐱) = (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 ) | 𝟐 𝟐

𝐒(𝐱) = 𝐒(𝟔) − 𝐒(𝟐)

𝑴𝒙 (𝟔) = 𝟒𝟖

̅, 𝒚 ̅) 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = (𝒙

→

𝑴𝒚 𝑴𝒙 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = ( , ) 𝑨 𝑨

𝟐𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟖 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = ( 𝟑 , 𝟑 ) 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟏𝟒 𝟖 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = ( , ) 𝟑 𝟑

𝐒(𝐱) = 𝟏𝟔 𝒖𝟐

Paso 4: Hallar el momento de masa: Momento de masa por definición: 𝒙𝟐

𝑴𝒚 = ∫ 𝒙 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

→

𝑴𝒚 = ∫ 𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟒) 𝒅𝒙

→

𝑴𝒙 =

𝒙𝟏

𝑴𝒙 =

𝟏 𝒙𝟐 𝟐 ∫ 𝒇 (𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 𝒙𝟏

𝟏 ∫ (𝟐𝒙 − 𝟒)𝟐 𝒅𝒙 𝟐

Paso 5: Aplicar métodos de integración: 𝟏 𝟏 𝑴𝒚 = 𝟐 ( 𝒙𝟑 ) − 𝟒 ( 𝒙𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝑴𝒚 = 𝟐 ( 𝒙 ) − 𝟒 ( 𝒙 ) → 𝑴𝒚 = ( 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 ) | 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝑴𝒚 (𝟔) = (𝟔) − 𝟐(𝟔) → 𝑴𝒚 (𝟔) = 𝟕𝟐 𝟑 𝟐 𝟖 𝑴𝒚 (𝟐) = (𝟐)𝟑 − 𝟐(𝟐)𝟐 → 𝑴𝒚 (𝟐) = − 𝟑 𝟑 𝑴𝒚 = ∫(𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

𝑴𝒚 = 𝐌(𝟔) − 𝐌(𝟐)

→

→

𝟖 𝟐𝟐𝟒 𝑴𝒚 = (𝟕𝟐) − (− ) = 𝟑 𝟑

Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

213

Ejemplo 2

Momento de masa y centroide

Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙, el eje x y las rectas 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒.

𝟏

𝟒

𝟒

𝟑

𝑴𝒚 (𝟎) = − (𝟎)𝟒 + (𝟎)𝟑 → 𝑴𝒚 = 𝐌(𝟒) − 𝐌(𝟎)

𝟔𝟒 𝑴𝒚 = ( ) − (𝟎) 𝟑

→

Paso 1: Representación gráfica:

𝑴𝒚 = 𝟏 𝒙𝟐 𝑴𝒙 = − ∫ 𝒇𝟐 (𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝒙𝟏

Paso 2: Hallar el área de la región: Área:

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 𝒙𝟐

𝟒

𝑺(𝒙) = − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝑺(𝒙) = − ∫ (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

→

𝒙𝟏

𝟎

Paso 3: Aplicar métodos de integración: 𝟏 𝟏 𝐒(𝐱) = (− 𝒙𝟑 ) + 𝟒 ( 𝒙𝟐 ) → 𝟑 𝟐 𝟏 𝑺(𝟒) = − (𝟒)𝟑 + 𝟐(𝟒)𝟐 → 𝟑 𝟑𝟐 𝐒(𝟒) = 𝟑 𝟏 𝑺(𝟎) = − (𝟎)𝟑 + 𝟐(𝟎)𝟐 → 𝟑 𝐒(𝟎) = 𝟎

𝐒(𝐱) = 𝐒(𝟒) − 𝐒(𝟎)

𝟏 𝟒 𝐒(𝐱) = (− 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 ) | 𝟎 𝟑 𝟔𝟒 𝐒(𝟒) = − + 𝟑𝟐 𝟑

𝐒(𝟒) = 𝟎 + 𝟎

𝑴𝒚 (𝟎) = 𝟎

→

𝟔𝟒 𝟑 𝟏 𝑴𝒙 = − ∫ (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)𝟐 𝒅𝒙 𝟐

𝟏 𝑴𝒙 = − ∫ (𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 𝟏 𝟖 𝟏 𝟏𝟔 𝟏 𝟑 𝑴𝒙 = − ( 𝒙𝟓 ) + ( 𝒙𝟒 ) − ( 𝒙 ) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 𝟏 𝟓 𝟖 𝑴𝒙 = − 𝒙 + 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 𝟏𝟎 𝟑 𝟏 𝟓 𝟖 𝟒 𝑴𝒙 = − 𝒙 + 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 | 𝟎 𝟏𝟎 𝟑 𝟏 𝟖 𝟐𝟓𝟔 (𝟒)𝟓 + (𝟒)𝟒 − (𝟒)𝟑 → 𝑴𝒙 (𝟒) = − 𝑴𝒙 (𝟒) = − 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟓 𝟏 𝟖 (𝟎)𝟓 + (𝟎)𝟒 − (𝟎)𝟑 → 𝑴𝒙 (𝟎) = 𝟎 𝑴𝒙 (𝟎) = − 𝟏𝟎 𝟑 𝟐𝟓𝟔 𝑴𝒙 = 𝐌(𝟒) − 𝐌(𝟎) → 𝑨 = (− ) − (𝟎) 𝟏𝟓 𝟐𝟓𝟔 𝑴𝒙 = − 𝟏𝟓

Paso 6: Hallar el centroide: 𝑴𝒚 𝑴𝒙 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = ( , ) 𝑨 𝑨 𝟐𝟓𝟔 𝟔𝟒 − 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = ( 𝟑 , 𝟏𝟓 ) 𝟑𝟐 𝟑𝟐 𝟑 𝟑 𝟖 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = (𝟐, − ) 𝟓 ̅, 𝒚 ̅) 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = (𝒙

→

𝟑𝟐 𝟑𝟐 𝐒(𝐱) = ( ) − (𝟎) = 𝟑 𝟑 𝟑𝟐 𝟐 𝐒(𝐱) = 𝒖 𝟑 →

Paso 4: Hallar el momento de masa: Momento de masa por definición: 𝒙𝟐

𝑴𝒚 = − ∫ 𝒙 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

→

𝑴𝒚 = − ∫ 𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙) 𝒅𝒙

→

𝟏 𝑴𝒙 = − ∫ (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)𝟐 𝒅𝒙 𝟐

𝒙𝟏

𝟏 𝒙𝟐 𝑴𝒙 = − ∫ 𝒇𝟐 (𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝒙𝟏

Paso 5: Aplicar métodos de integración: 𝑴𝒚 = − ∫(𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 𝑴𝒚 = − ( 𝒙𝟒 ) + ( 𝒙𝟑 ) 𝟒 𝟑 𝟏 𝟒 𝑴𝒚 (𝟒) = − (𝟒)𝟒 + (𝟒)𝟑 𝟒 𝟑

𝟏 𝟏 𝑴𝒚 = − ( 𝒙𝟒 ) + 𝟒 ( 𝒙𝟑 ) 𝟒 𝟑 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟒 → 𝑴𝒚 = − 𝒙 + 𝒙 | 𝟎 𝟒 𝟑

→

→

𝑴𝒚 (𝟒) =

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𝟔𝟒 𝟑

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214

Ejemplo 3

Momento de masa y centroide

Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 y 𝒇(𝒙) = √𝟖𝒙.

Paso 5: Hallar el momento de masa: Momento de masa por definición: 𝒙𝟐

𝑴𝒚 = ∫ 𝒙 [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙

→

𝑴𝒚 = ∫ 𝒙 (√𝟖𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

𝒙𝟏

Paso 1: Representación gráfica: 𝑴𝒙 =

𝟏 𝒙𝟐 𝟐 ∫ 𝒇 (𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝒙𝟏

→

𝑴𝒙 =

𝟏 𝟐 𝟐 ∫ [ (√𝟖𝒙) − (𝒙𝟐 ) ] 𝒅𝒙 𝟐

Paso 6: Aplicar métodos de integración: 𝒙𝟐

𝑴𝒚 = ∫ 𝒙 [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙

→

𝑴𝒚 = ∫ 𝒙 (√𝟖𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

𝒙𝟏

𝟐 𝟏 𝑴𝒚 = √𝟖 ∫ 𝒙𝟑/𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙𝟑 𝒅𝒙 = √𝟖 ( 𝒙𝟓/𝟐 ) + ( 𝒙𝟒 ) 𝟓 𝟒 𝟐 𝟓 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝑴𝒚 = √𝟖 ( √𝒙 ) + ( 𝒙 ) → 𝑴𝒚 = √𝟖𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 | 𝟎 𝟓 𝟒 𝟓 𝟒 𝟐 𝟏 𝟓𝟐 𝑴𝒚 (𝟐) = √𝟖. 𝟐𝟓 + 𝟐𝟒 → 𝑴𝒚 (𝟐) = 𝟓 𝟒 𝟓 𝟐 𝟏 𝑴𝒚 (𝟎) = √𝟖. 𝟎𝟓 + 𝟎𝟒 → 𝑴𝒚 (𝟎) = 𝟎 𝟓 𝟒

Paso 2: Hallar puntos donde se intersecan: 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)

→

√𝟖𝒙 = 𝒙𝟐

𝒙𝟒 − 𝟖𝒙 = 𝟎

→

𝒙(𝒙𝟑 − 𝟖) = 𝟎

𝒙 =𝟖

𝟑

→ 𝒙 = √𝟖 → 𝒙 = 𝟐

𝟏 𝒙𝟐 𝟐 ∫ 𝒇 (𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝒙𝟏

→

𝟏 ∫ (𝟖𝒙 − 𝒙𝟒 ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝑴𝒙 = 𝟒 ( 𝒙𝟐 ) + ( 𝒙𝟓 ) 𝟐 𝟐 𝟓 𝟏 𝟓 𝑴𝒙 (𝟐) = 𝟐. 𝟐𝟐 + 𝟐 𝟏𝟎 𝟏 𝟓 𝑴𝒙 (𝟎) = 𝟐. 𝟎𝟐 + 𝟎 𝟏𝟎 𝑴𝒙 =

𝒙=𝟎

Puntos: 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐

→ 𝒈(𝟐) = 𝟐𝟐 = 𝟒 →

𝑷𝟏 = (𝟐, 𝟒)

𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐

→ 𝒈(𝟎) = 𝟎𝟐 = 𝟎 →

𝑷𝟐 = (𝟎, 𝟎)

Paso 3: Hallar el área de la región: →

𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐

𝒙𝟏 𝟐

𝑺(𝒙) = ∫ (√𝟖𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙

Paso 4: Aplicar métodos de integración: 𝑺(𝒙) = √𝟖 ∫ 𝒙𝟏/𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝐒(𝐱) = √𝟖 ( 𝒙𝟑/𝟐 ) − ( 𝒙𝟑 ) → 𝐒(𝐱) = (𝟐√𝟖𝒙𝟑 + 𝒙𝟑 ) | 𝟎 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝑺(𝟐) = (𝟐√𝟖. 𝟐𝟑 + 𝟐𝟑 ) → 𝐒(𝟐) = (𝟏𝟔 + 𝟖) 𝟑 𝟑 𝐒(𝟐) = 𝟖

𝐒(𝐱) = 𝐒(𝟐) − 𝐒(𝟎)

→

→ → →

𝟖 𝟏 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙𝟒 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝑴𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟓 | 𝟎 𝟏𝟎 𝟓𝟔 𝑴𝒙 (𝟐) = 𝟓

𝑴𝒙 =

𝑴𝒙 (𝟎) = 𝟎

Paso 7: Hallar el centroide:

𝟎

𝟏 (𝟐√𝟖. 𝟎𝟑 + 𝟎𝟑 ) 𝟑 𝐒(𝟎) = 𝟎

→

𝟓𝟔 𝑴𝒙 = 𝐌(𝟐) − 𝐌(𝟎) → 𝑨 = ( ) − (𝟎) 𝟓 𝟓𝟔 𝑴𝒙 = 𝟓

𝒙𝟐

𝑺(𝒙) = ∫ [ 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙

𝑺(𝟎) =

𝟓𝟐 𝟓 𝟏 𝟐 𝟐 𝑴𝒙 = ∫ [ (√𝟖𝒙) − (𝒙𝟐 ) ] 𝒅𝒙 𝟐

𝑴𝒚 = 𝑴𝒙 =

Área: 𝒇(𝒙) = √𝟖𝒙

𝟓𝟐 𝑴𝒚 = ( ) − (𝟎) 𝟓

→

𝟖𝒙 = 𝒙𝟒

→

Valores críticos: 𝟑

𝑴𝒚 = 𝐌(𝟐) − 𝐌(𝟎)

→

𝐒(𝟐) =

̅, 𝒚 ̅) 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = (𝒙

→

𝑴𝒚 𝑴𝒙 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = ( , ) 𝑨 𝑨

𝟓𝟐 𝟓𝟔 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = ( 𝟓 , 𝟓 ) 𝟖 𝟖 𝟏𝟑 𝟕 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆 = ( , ) 𝟏𝟎 𝟓

𝟏 (𝟎) 𝟑

𝐒(𝐱) = (𝟖) − (𝟎) = 𝟖

𝐒(𝐱) = 𝟖 𝒖𝟐

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215

IV.8.1.- EJERCICIOS PROPUESTOS DE APLICACIÓN DEL INTEGRAL: IV. 8.1.1.- Resolver cada uno de los siguientes ejercicios por el método del disco: 1) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 alrededor del eje x entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒.

2) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑 alrededor del eje x entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑.

3) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐 alrededor del eje x entre: 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟐.

4) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟒 alrededor del eje x entre: 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟒.

5) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟒 alrededor del eje x entre: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟒.

6) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑 alrededor del eje x entre: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟎.

7) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 alrededor del eje x entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒.

8) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙 alrededor del eje x entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟓.

9) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 alrededor del eje x entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟔.

10) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 alrededor del eje x entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟓.

11) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒 alrededor del eje x entre: 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟓.

12) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒 alrededor del eje x entre: 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟓.

13) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer

14) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer

girar la función 𝒇(𝒙) = +√𝟒 − entre: 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟐.

alrededor del eje x

girar la función 𝒇(𝒙) = +√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 alrededor del eje x entre: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟒.

15) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 al hacerlas girar alrededor del eje x.

16) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 al hacerlas girar alrededor del eje x.

17) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟔 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟑 al hacerlas girar alrededor del eje x.

18) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 al hacerlas girar alrededor del eje x.

19) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟐 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje x.

20) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟓 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓 al hacerlas girar alrededor del eje x.

21) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje x.

22) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟗 al hacerlas girar alrededor del eje x.

23) Hallar el volumen que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 alrededor de 𝒚 = −𝟐, entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑.

24) Hallar el volumen que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 alrededor de 𝒚 = −𝟏, entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑.

25) Hallar el volumen que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 alrededor de 𝒚 = −𝟏, entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒.

26) Hallar el volumen que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐 alrededor de 𝒚 = −𝟏, entre: 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟑.

𝒙𝟐

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216

IV. 8.1.2.- Resolver cada uno de los siguientes ejercicios por el método de capas cilíndricas: 1) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑.

2) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 alrededor del eje y entre: 𝒚 = 𝟎 e 𝒚 = 𝟗.

3) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟑 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒.

4) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟑 alrededor del eje y entre: 𝒚 = −𝟑 e 𝒚 = 𝟗.

5) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟓.

6) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐 alrededor del eje y entre: 𝒚 = −𝟐 e 𝒚 = 𝟖.

7) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐.

8) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 alrededor del eje y entre: 𝒚 = 𝟎 e 𝒚 = 𝟖.

9) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟐.

10) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒 alrededor del eje y entre: 𝒚 = −𝟒 e 𝒚 = 𝟎.

11) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑.

12) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟓.

13) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = −𝒙 + 𝟔 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟔.

14) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = −𝒙 + 𝟓 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 e 𝒙 = 𝟓.

15) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = √𝟓𝒙 + 𝟓 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒.

16) Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar la función 𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙 + 𝟑 alrededor del eje y entre: 𝒙 = 𝟎 e 𝒙 = 𝟓.

17) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = √𝟓𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

18) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒇(𝒙) = √𝟒𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

19) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

20) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

21) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

22) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 y 𝒈(𝒙) = −𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

23) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 y 𝒈(𝒙) = −𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

24) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

25) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 al hacerlas girar alrededor del eje y.

26) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟓 al hacerlas girar alrededor del eje y.

27) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟓 al hacerlas girar alrededor del eje y.

28) Hallar el volumen de la región encerrada por las curvas: 𝒈(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 al hacerlas girar alrededor de 𝒚 = −𝟏.

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217

IV. 8.1.3.- Resolver cada uno de los siguientes ejercicios (Aplicaciones Físicas): 1) Un móvil se desplaza hacia el este en línea recta, para el tiempo 𝒕 = 𝟎 𝒔𝒆𝒈 tiene na velocidad de 𝒗 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔 y se ha desplazado 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒎. La aceleración en función del tiempo es: 𝒂 = (𝟑𝟎 − 𝟏𝟐𝒕) 𝒎/𝒔𝟐 . Hallar: a) Velocidad y distancia en función del tiempo. b) En qué momento la velocidad es máxima. c) Donde se encuentra el móvil para máxima velocidad.

2) Un móvil se desplaza hacia el este en línea recta, para el tiempo 𝒕 = 𝟎 𝒔𝒆𝒈 tiene na velocidad de 𝒗 = 𝟏𝟓 𝒎/𝒔 y se ha desplazado 𝒙 = 𝟏𝟓 𝒎. La aceleración en función del tiempo es: 𝒂 = (𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝒕) 𝒎/𝒔𝟐 . Hallar: a) Velocidad y distancia en función del tiempo. b) En qué momento la velocidad es máxima. c) Donde se encuentra el móvil para máxima velocidad.

3) Desde un edificio de altura 𝒚 = 𝟗𝟖 𝒎, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 𝒗 = 𝟑𝟗. 𝟐 𝒎/𝒔. Sabiendo que la aceleración es constante e igual 𝒂 = 𝟗. 𝟖 𝒎/𝒔𝟐 . Hallar: a) Velocidad y altura en función del tiempo. b) Altura máxima alcanzada y su velocidad. c) Tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.

4) Desde un edificio de altura 𝒚 = 𝟗𝟖 𝒎, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 𝒗 = 𝟕𝟖. 𝟒 𝒎/𝒔. Sabiendo que la aceleración es constante e igual 𝒂 = 𝟗. 𝟖 𝒎/𝒔𝟐 . Hallar: a) Velocidad y altura en función del tiempo. b) Altura máxima alcanzada y su velocidad. c) Tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.

5) La aceleración de una partícula es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Cuando el tiempo 𝒕 = 𝟎 𝒔𝒆𝒈 la partícula se encuentra en 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒎 y su velocidad es 𝒗 = 𝟏𝟐 𝒎/𝒔 . Cuando el tiempo es 𝒕 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈 la distancia es 𝟓𝟎 𝒎. Hallar: a) Velocidad y distancia en función del tiempo. b) Velocidad y distancia al cabo de 𝒕 = 𝟒 𝒔𝒆𝒈. c) Aceleración y velocidad al cabo de 𝒕 = 𝟔 𝒔𝒆𝒈.

6) La aceleración de una partícula es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Cuando el tiempo 𝒕 = 𝟎 𝒔𝒆𝒈 la partícula se encuentra en 𝒙 = 𝟏𝟐 𝒎 y su velocidad es 𝒗 = 𝟏𝟔 𝒎/𝒔 . Cuando el tiempo es 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒆𝒈 la distancia es 𝟐𝟕 𝒎. Hallar: a) Velocidad y distancia en función del tiempo. b) Velocidad y distancia al cabo de 𝒕 = 𝟏. 𝟓 𝒔𝒆𝒈. c) Aceleración y velocidad al cabo de 𝒕 = 𝟐. 𝟔 𝒔𝒆𝒈.

7) La aceleración de una partícula está definida por la función 𝒂 = −𝒌/(𝟏𝟎𝒙 + 𝟏). Cuando 𝒙 = 𝟏𝟓 𝒎 la velocidad es 𝒗 = 𝟎. 𝟐𝟎 𝒎/𝒔 y cuando 𝒙 = 𝟏 𝒎 la velocidad es 𝒗 = 𝟏𝟒 𝒎/𝒔. Hallar: a) Velocidad y aceleración en función de la distancia. b) Velocidad y aceleración cuando 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒎. c) Distancia cuando la velocidad es 𝒗𝒕 = 𝟎 𝒎/𝒔.

8) La aceleración de una partícula está definida por la función 𝒂 = 𝒌/(𝟓𝒙 + 𝟏). Cuando 𝒙 = 𝟐 𝒎 la velocidad es 𝒗 = 𝟓 𝒎/𝒔 y cuando 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒎 la velocidad es 𝒗 = 𝟐𝟎 𝒎/𝒔. Hallar: a) Velocidad y aceleración en función de la distancia. b) Velocidad y aceleración cuando 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟏 𝒎. c) Distancia cuando la velocidad es 𝒗𝒕 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔.

9) Desde un helicóptero se deja caer un objeto al mar, cuando el objeto llega a la superficie del agua tiene una velocidad de 𝒗 = 𝟗. 𝟖 𝒎/𝒔. En agua experimenta una aceleración dada por la función: 𝒂 = (𝟑. 𝟔 − 𝟎. 𝟏𝒗𝟐 ). Hallar: a) Velocidad en función de la altura en el agua. b) Velocidad en el fondo del agua (y = 40 m) .

10) Desde un helicóptero, que está a una altura con respecto al mar de 𝒚 = 𝟒. 𝟗 𝒎 se deja caer un objeto. En agua experimenta una aceleración dada por la función: 𝒂 = (𝟒. 𝟗 − 𝟎. 𝟏𝒗𝟐 ). Hallar: a) Velocidad en función de la altura en el agua. b) Velocidad en el fondo del agua (y = 35 m) .

11) A un objeto de masa 30 kg sobre un plano horizontal que está en reposo, se le aplica una fuerza. a) Velocidad si la fuerza es de 60 Newton. b) Velocidad y distancia cuando se aplica una fuerza variable de: 𝑭 = (𝟐𝟎 − 𝟔𝒕) 𝒏𝒆𝒘. c) Donde se encuentra el móvil para máxima velocidad.

12) A un objeto de masa 25 kg sobre un plano horizontal que está en reposo, se le aplica una fuerza. a) Velocidad si la fuerza es de 64 Newton. b) Velocidad y distancia cuando se aplica una fuerza variable de: 𝑭 = (𝟒𝟖 − 𝟔𝒕) 𝒏𝒆𝒘. c) Donde se encuentra el móvil para máxima velocidad.

13) A un objeto de masa 20 kg, se aplica una fuerza de

14) A un objeto de masa 15 kg, se aplica una fuerza de

𝑭 = 𝟐𝟎𝒗 (

𝒕+𝟑 𝒕+𝟏

) 𝒏𝒆𝒘.

a) Velocidad y distancia en función del tiempo. Fundamentos para el Cálculo Integral

𝑭 = 𝟏𝟓𝒗 (

𝒕+𝟒 𝒕+𝟏

) 𝒏𝒆𝒘.

a) Velocidad y distancia en función del tiempo. José E. Ornelas G.

218

IV. 8.1.4.- Resolver cada uno de los siguientes ejercicios (Aplicaciones Físicas): 1) Un resorte en su posición inicial mide 20 cm. Al aplicar una fuerza de 80 new, se estira a 25 cm desde su posición inicial. Hallar: a) Constante de elasticidad b) Trabajo para estirar el resorte de 20 cm a 30 cm.

2) Un resorte en su posición inicial mide 12 cm. Al aplicar una fuerza de 100 new, se estira a 22 cm desde su posición inicial. Hallar: a) Constante de elasticidad b) Trabajo para estirar el resorte de 14 cm a 18 cm.

3) Un resorte en su posición inicial mide 15 cm. Al aplicar una fuerza de 130 new, se estira a 18 cm desde su posición inicial. Hallar: a) Constante de elasticidad b) Trabajo para estirar el resorte de 16 cm a 20 cm.

4) Un resorte en su posición inicial mide 40 cm. Al aplicar una fuerza de 180 new, se estira a 45 cm desde su posición inicial. Hallar: a) Constante de elasticidad b) Trabajo para estirar el resorte de 50 cm a 55 cm.

5) A un cable de 240 metros de longitud que pesa 80 kp, se cuelga una masa de 60 kg. Se requiere enrollar el cable en un tambor. Hallar: a) Trabajo requerido para enrollar 120 metros. b) Trabajo requerido para enrollar 210 metros.

6) A un cable de 150 metros de longitud que pesa 50 kp, se cuelga una masa de 25 kg. Se requiere enrollar el cable en un tambor. Hallar: a) Trabajo requerido para enrollar 145 metros. b) Trabajo requerido para enrollar 10 metros.

7) A un cable de 100 metros de longitud y de masa 50 kg, se cuelga una masa de 20 kg. Se requiere enrollar el cable en un tambor. Hallar: a) Trabajo requerido para enrollar 76 metros. b) Trabajo requerido para enrollar 96 metros.

8) A un cable de 80 metros de longitud y de masa 20 kg, se cuelga una masa de 10 kg. Se requiere enrollar el cable en un tambor. Hallar: a) Trabajo requerido para enrollar 40 metros. b) Trabajo requerido para enrollar 60 metros.

9) Un tanque cilíndrico de radio 3 mts y 6 mts de altura está lleno de agua y se requiere bombear el agua por la parte superior. Hallar: a) Trabajo que realiza para bombear el agua. b) Trabajo a la altura 𝒉 = 𝟑 𝒎 c) Trabajo a la altura 𝒉 = 𝟒 𝒎

10) Un tanque cilíndrico de radio 2.5 mts y 8 mts de altura está lleno de agua y se requiere bombear el agua por la parte superior. Hallar: a) Trabajo que realiza para bombear el agua. b) Trabajo a la altura 𝒉 = 𝟒 𝒎 c) Trabajo a la altura 𝒉 = 𝟔 𝒎

11) Un tanque cónico de radio 3 mts y 6 mts de altura está lleno de agua y se requiere bombear el agua por la parte superior. Hallar: a) Trabajo que para bombear el agua a 5 mts.

12) Un tanque cónico de radio 1.5 mts y 3 mts de altura está lleno de agua y se requiere bombear el agua por la parte superior. Hallar: a) Trabajo que para bombear el agua a 4 mts.

13) Un objeto de cara rectangular de 4 m de ancho por 1 m de alto, se sumerge en el agua hasta que el borde superior está al nivel de la superficie. Hallar: a) Fuerza ejercida por el agua a la superficie rectangular.

14) Un objeto de cara rectangular de 6 m de ancho por 1.5 m de alto, se sumerge en el agua hasta que el borde superior está al nivel de la superficie. Hallar: a) Fuerza ejercida por el agua a la superficie rectangular.

15) Un objeto rectangular de 1.6 m de ancho por 0.8 m de alto, se sumerge en el agua hasta que el borde superior está 0.1 m por debajo de la superficie. Hallar: a) Fuerza ejercida por el agua a la superficie rectangular.

16) Un objeto rectangular de 2 m de ancho por 1 m de alto, se sumerge en el agua hasta que el borde superior está 0.2 m por debajo de la superficie. Hallar: a) Fuerza ejercida por el agua a la superficie rectangular.

17) Un tanque de cilíndrico ubicado horizontalmente, está lleno de un líquido de densidad 𝝆 = 𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑 . Sí el radio es 3 m. Hallar: a) Fuerza ejercida por el líquido a la superficie circular.

18) Un tanque de cilíndrico ubicado horizontalmente, está lleno de un líquido de densidad 𝝆 = 𝟒𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑 . Sí el radio es 1.5 m. Hallar: a) Fuerza ejercida por el líquido a la superficie circular.

Fundamentos para el Cálculo Integral

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219

IV. 8.1.5.- Resolver cada uno de los siguientes ejercicios (Aplicaciones Físicas): 1) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟔, el eje x y las rectas: 𝒙 = 𝟐 y 𝒙 = 𝟓.

2) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝒙 − 𝟒, el eje x y las rectas: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟒.

3) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝒙 + 𝟒, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟎.

4) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟔, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟎.

5) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟐.

6) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟏.

7) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟑.

8) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟑.

9) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = 𝟎.

10) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟒 y 𝒙 = 𝟎.

11) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒, el eje x y las rectas: 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟒.

12) Hallar el centroide de la región limitada por la curva: 𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒, el eje x y las rectas: 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟒.

13) Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟏.

14) Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟏.

15) Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑.

16) Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒 y 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒.

17) Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 y 𝒈(𝒙) = √𝟒𝒙 + 𝟒.

18) Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝟒√𝒙.

19) Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 y 𝒈(𝒙) = √𝟒𝒙 + 𝟒.

20) Hallar el centroide de la región limitada por las curvas: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝟒√𝒙.

Fundamentos para el Cálculo Integral

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220

GUÍA PRÁCTICA DE FACTORIZACIÓN I CASO (Factor Común): Cuando en una expresión polinómica, en todos los términos existe una o más elementos comunes, se dice que hay factor común. Por lo tanto, se puede sacar factor común de la expresión. EJEMPLOS DE FACTOR COMÚN: Ejemplo 1

𝟓𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙

Ejemplo 2:

Paso 1: Identificar el factor común en cada término: Factor común: "𝒙" Paso 2: Extraer el factor común de cada término y expresarlo como producto: 𝟓𝒙𝟐 𝒚 𝟑𝒙 𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙 → 𝒙 ∙ ( + ) 𝒙 𝒙 Paso 3: Simplificar: 𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙 → 𝒙 ∙ (𝟓𝒙𝒚 + 𝟑) 𝟓𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒙 = 𝒙 ∙ (𝟓𝒙𝒚 + 𝟑)

Ejemplo 3

𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝟐 𝒃𝟑 + 𝟗𝒂𝟑 𝒃𝟒

Paso 1: Identificar el factor común en cada término: Factor común: "𝒙𝒚" Paso 2: Extraer el factor común de cada término y expresarlo como producto: 𝟕𝒙𝟑 𝒚 𝟐𝒙𝟐 𝒚 𝟖𝒙𝒚 𝟕𝒙𝟑 𝒚 + 𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝟖𝒙𝒚 → 𝒙𝒚 ∙ ( + − ) 𝒙𝒚 𝒙𝒚 𝒙𝒚 Paso 3: Simplificar: 𝟕𝒙𝟑 𝒚 + 𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝟖𝒙𝒚 → 𝒙𝒚 ∙ (𝟕𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖) 𝟕𝒙𝟑 𝒚 + 𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝟖𝒙𝒚 = 𝒙𝒚 ∙ (𝟕𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖)

Ejemplo 4:

Paso 1: Identificar el factor común en cada término: 𝟐

𝟕𝒙𝟑 𝒚 + 𝟐𝒙𝟐 𝒚 − 𝟖𝒙𝒚

𝟔𝒙𝟑 𝒚𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒚𝟑 − 𝟖𝒙𝟑 𝒚𝟖

Paso 1: Identificar el factor común en cada término:

Factor común: "𝒂𝒃 "

Factor común: "𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟑 "

Paso 2: Extraer el factor común de cada término y expresarlo como producto: 𝟑𝒂𝒃𝟐 𝟐𝒂𝟐 𝒃𝟑 𝟗𝒂𝟑 𝒃𝟒 𝒂𝒃𝟐 ∙ ( − + ) 𝒂𝒃𝟐 𝒂𝒃𝟐 𝒂𝒃𝟐

Paso 2: Extraer el factor común de cada término y expresarlo como producto: 𝟔𝒙𝟑 𝒚𝟒 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝟖𝒙𝟑 𝒚𝟖 𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟑 ∙ ( 𝟐 𝟑 + − 𝟐 𝟑) 𝟐𝒙 𝒚 𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝟐𝒙 𝒚

Paso 3: Simplificar:

Paso 3: Simplificar: 𝟐

𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝟐 𝒃𝟑 + 𝟗𝒂𝟑 𝒃𝟒 = 𝒂𝒃

Ejemplo 5

∙ (𝟑 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝟗𝒂𝟐 𝒃𝟐 )

𝟒𝒙𝟑 𝒛 + 𝟕𝒙𝟐 𝒚 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒛 − 𝟐𝟏𝒙𝒚

𝟔𝒙𝟑 𝒚𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒚𝟑 − 𝟖𝒙𝟑 𝒚𝟖 = 𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟑 ∙ (𝟑𝒙𝒚 + 𝟓 − 𝟒𝒙𝒚𝟓 )

Ejemplo 6:

𝟓𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 𝒛𝟒 + 𝟓𝒙𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝒛𝟒

Paso 1: Identificar el factor común en cada término: Agrupamos términos: (𝟒𝒙𝟑 𝒛 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒛) + (𝟕𝒙𝟐 𝒚 − 𝟐𝟏𝒙𝒚)

Paso 1: Identificar el factor común en cada término: Agrupamos términos: (𝟓𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝟓𝒙𝒚𝟑 ) + (𝟑𝒙𝟐 𝒛𝟒 + 𝟑𝒙𝒛𝟒 )

Factor común: 𝟏° 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐: "𝟒𝒙𝟐 z " 𝒚 𝟐° 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐: "𝟕𝒙𝒚"

Factor común: 𝟏° 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐: "𝟓𝒙𝒚𝟑 " 𝒚 𝟐° 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐: "𝟑𝒙𝒛𝟒 "

Paso 2: Extraer el factor común de cada término y expresarlo como producto: 𝟒𝒙𝟑 𝒛 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒛 𝟕𝒙𝟐 𝒚 𝟐𝟏𝒙𝒚 𝟒𝒙𝟐 𝒛 ∙ ( 𝟐 − ) + 𝟕𝒙𝒚 ∙ ( − ) 𝟒𝒙 𝒛 𝟒𝒙𝟐 𝒛 𝟕𝒙𝒚 𝟕𝒙𝒚

Paso 2: Extraer el factor común de cada término y expresarlo como producto: 𝟓𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝟓𝒙𝒚𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝒛𝟒 𝟑𝒙𝒛𝟒 𝟓𝒙𝒚𝟑 ∙ ( + ) + 𝟑𝒙𝒛𝟒 ∙ ( + ) 𝟑 𝟑 𝟓𝒙𝒚 𝟓𝒙𝒚 𝟑𝒙𝒛𝟒 𝟑𝒙𝒛𝟒

Paso 3: Simplificar:

Paso 3: Simplificar:

𝟐

𝟒𝒙 𝒛 ∙ (𝒙 − 𝟑) + 𝟕𝒙𝒚 ∙ (𝒙 − 𝟑)

𝟓𝒙𝒚𝟑 ∙ (𝒙 + 𝟏) + 𝟑𝒙𝒛𝟒 ∙ (𝒙 + 𝟏)

Paso 4: Factor común: 𝒙(𝒙 − 𝟑) 𝒙(𝒙 − 𝟑) ∙ [

𝟒𝒙𝟐 𝒛 ∙ (𝒙 − 𝟑)

𝒙(𝒙 − 𝟑)

+

𝟕𝒙𝒚 ∙ (𝒙 − 𝟑)

𝒙(𝒙 − 𝟑)

Paso 5: Simplificar: 𝒙(𝒙 − 𝟑) ∙ (𝟒𝒙𝒛 + 𝟕𝒚)

Fundamentos para el Cálculo Integral

Paso 4: Factor común: 𝒙(𝒙 + 𝟏) ]

𝒙(𝒙 + 𝟏) ∙ [

𝟓𝒙𝒚𝟑 ∙ (𝒙 + 𝟏) 𝟑𝒙𝒛𝟒 ∙ (𝒙 + 𝟏) + ] 𝒙(𝒙 + 𝟏) 𝒙(𝒙 + 𝟏)

Paso 5: Simplificar: 𝒙(𝒙 + 𝟏) ∙ (𝟓𝒚𝟑 + 𝟑𝒛𝟒 )

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221

II CASO (Trinomio Cuadrado Perfecto): Cuando una expresión polinómica tiene 3 términos y es expresión del producto notable “cuadrado de una suma”, estamos en presencia de la factorización de un trinomio que puede expresarse de la forma:

(𝒂𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 ) = (𝒂 + 𝒃)𝟐 EJEMPLOS DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo 1

𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔

Ejemplo 2:

I) MÉTODO CUADRADO PERFECTO: 𝟐

𝟐

I) MÉTODO CUADRADO PERFECTO:

(𝒂 + 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃 ) = (𝒂 + 𝒃)

(𝒂𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 ) = (𝒂 + 𝒃)𝟐

Paso 1: Identificar 1° y 3° término y luego calcular la raíz cuadrada de cada uno de ellos:

Paso 1: Identificar 1° y 3° término y luego calcular la raíz cuadrada de cada uno de ellos:

𝒙𝟐

𝒙𝟐

→ √ 𝒙𝟐 = 𝒙

→

𝟐

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗

𝒂=𝒙

→ √𝟒𝒙𝟐 = 𝟐𝒙

→

𝒂 = 𝟐𝒙

𝟏𝟔 → √𝟏𝟔 = 𝟒 → 𝒃 = 𝟒 Paso 2: Verificar si se cumple la condición del 2° término: 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝟖𝒙 → 𝟐 ∙ (𝒙) ∙ (𝟒) = 𝟖𝒙 Paso 3: Si se cumple la condición del 2° término, podemos afirmar que es cuadrado perfecto:

𝟗 → √𝟗 = 𝟑 → 𝒃=𝟑 Paso 2: Verificar si se cumple la condición del 2° término: 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝟏𝟐𝒙 → 𝟐 ∙ (𝟐𝒙) ∙ (𝟑) = 𝟏𝟐𝒙 Paso 3: Si se cumple la condición del 2° término, podemos afirmar que es cuadrado perfecto:

𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = (𝒙 + 𝟒)𝟐

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = (𝟐𝒙 + 𝟑)𝟐

II) MÉTODO ASPA:

II) MÉTODO ASPA:

𝟐

𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗

Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝒙𝟐 → (𝒙) ∙ (𝒙) = 𝒙𝟐 → 𝒂 = 𝒙 Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝟏 ∙ 𝟏𝟔 𝟏𝟔 → { 𝟐 ∙ 𝟖 } 𝟒∙𝟒 Paso 3: Aplicar método Aspa: 𝒙 +𝟒 ↗ +𝟒𝒙 𝒙 +𝟒 ↖ +𝟒𝒙 → (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟒) +𝟖𝒙 𝒙𝟐 +𝟏𝟔

Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝟒𝒙𝟐 → (𝟐𝒙) ∙ (𝟐𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 → 𝒂 = 𝟐𝒙 Paso 2: Hallar factores que generan el 3° término: 𝟏∙𝟗 𝟗 → { } 𝟑∙𝟑 Paso 3: Aplicar método Aspa: 𝟐𝒙 +𝟑 ↗ +𝟔𝒙 𝟐𝒙 +𝟑 ↖ +𝟔𝒙 → (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑) +𝟏𝟐𝒙 𝟒𝒙𝟐 +𝟗

𝟐

𝟐

𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = (𝒙 + 𝟒)

III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO: 𝟐

𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔

→

III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO:

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente:

Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente: −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝒙= → 𝒙 𝟐𝒂 −(𝟖) ± √(𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟏𝟔) = 𝟐(𝟏) −𝟖 ± √𝟎 𝒙= 𝟐

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = (𝟐𝒙 + 𝟑)𝟐

−𝟖 𝒙= = −𝟒 −𝟖 ± 𝟎 𝟒 𝒙= → { −𝟖 𝟐 𝒙= = −𝟒 𝟒

(𝒙 + 𝟒) = 𝟎 𝒙 = −𝟒 { → { → (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒) = 𝟎 𝒙 = −𝟒

Paso 2: Factorizar: 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = (𝒙 + 𝟒)𝟐 Fundamentos para el Cálculo Integral

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 → 𝒙 𝟐𝒂 −(𝟏𝟐) ± √(𝟏𝟐)𝟐 − 𝟒(𝟒)(𝟗) = 𝟐(𝟒) −𝟏𝟐 𝟑 𝒙= =− −𝟏𝟐 ± √𝟎 −𝟏𝟐 ± 𝟎 𝟖 𝟐 𝒙= → 𝒙= → { −𝟖 𝟑 𝟖 𝟖 𝒙= =− 𝟒 𝟐 𝒙=

𝒙 = −𝟑/𝟐 { 𝒙 = −𝟑/𝟐

→

𝟐𝒙 = −𝟑 { 𝟐𝒙 = −𝟑

→

(𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟎 { (𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟎

Paso 2: Factorizar: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = (𝟐𝒙 + 𝟑)𝟐

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222

III CASO (Trinomio Cuadrado Perfecto): Cuando una expresión polinómica tiene 3 términos y es expresión del producto notable “cuadrado de una diferencia”, estamos en presencia de la factorización de un trinomio que puede expresarse de la forma:

(𝒂𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 ) = (𝒂 − 𝒃)𝟐 EJEMPLOS DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo 1

𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏

I) MÉTODO CUADRADO PERFECTO: 𝟐

𝟐

𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒

Ejemplo 2:

I) MÉTODO CUADRADO PERFECTO:

(𝒂 − 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃 ) = (𝒂 − 𝒃)

(𝒂𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒃𝟐 ) = (𝒂 − 𝒃)𝟐

Paso 1: Identificar 1° y 3° término y luego calcular la raíz cuadrada de cada uno de ellos:

Paso 1: Identificar 1° y 3° término y luego calcular la raíz cuadrada de cada uno de ellos:

𝟗𝒙𝟐

𝟐𝟓𝒙𝟐

→ √𝟗𝒙𝟐 = 𝟑𝒙

𝟐

→

𝒂 = 𝟑𝒙

→ √𝟐𝟓𝒙𝟐 = 𝟓𝒙

→

𝒂 = 𝟓𝒙

𝟏 → √𝟏 = 𝟏 → 𝒃=𝟏 Paso 2: Verificar si se cumple el 2° término: 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝟔𝒙 → 𝟐 ∙ (𝟑𝒙) ∙ (𝟏) = 𝟔𝒙 Paso 3: Si se cumple la verificación del 2° término, podemos afirmar que es cuadrado perfecto:

𝟒 → √𝟒 = 𝟐 → 𝒃=𝟐 Paso 2: Verificar si se cumple el 2° término: 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝟐𝟎𝒙 → 𝟐 ∙ (𝟓𝒙) ∙ (𝟐) = 𝟐𝟎𝒙 Paso 3: Si se cumple la verificación del 2° término, podemos afirmar que es cuadrado perfecto:

𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 = (𝟑𝒙 − 𝟏)𝟐

𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒 = (𝟓𝒙 + 𝟐)𝟐

II) MÉTODO ASPA:

II) MÉTODO ASPA:

𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏

𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒

Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝟗𝒙𝟐 → (𝟑𝒙) ∙ (𝟑𝒙) = 𝟗𝒙𝟐 → 𝒂 = 𝟑𝒙 Paso 2: Hallar factores que generan el 3° término: 𝟏 → {𝟏 ∙ 𝟏} Paso 3: Aplicar método Aspa: 𝟑𝒙 −𝟏 ↗ −𝟑𝒙 𝟑𝒙 −𝟏 ↖ −𝟑𝒙 → (𝟑𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒙 − 𝟏) 𝟐 𝟗𝒙 +𝟏 −𝟔𝒙

Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝟐𝟓𝒙𝟐 → (𝟓𝒙) ∙ (𝟓𝒙) = 𝟐𝟓𝒙𝟐 → 𝒂 = 𝟓𝒙 Paso 2: Hallar factores que generan el 3° término: 𝟏∙𝟒 𝟒 → { } 𝟐∙𝟐 Paso 3: Aplicar método Aspa: 𝟓𝒙 +𝟐 ↗ +𝟏𝟎𝒙 𝟓𝒙 +𝟐 ↖ +𝟏𝟎𝒙 → (𝟓𝒙 + 𝟐)(𝟓𝒙 + 𝟐) 𝟐 +𝟐𝟎𝒙 𝟐𝟓𝒙 +𝟒

𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 = (𝟑𝒙 − 𝟏)𝟐 III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO:

𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente: −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 −(−𝟔) ± √(−𝟔)𝟐 − 𝟒(𝟗)(𝟏) 𝒙= → 𝒙= 𝟐𝒂 𝟐(𝟗)

𝟔 𝒙= = 𝟏/𝟑 𝟔±𝟎 𝟏𝟖 → 𝒙= → { 𝟔 𝟏𝟖 𝒙= = 𝟏/𝟑 𝟏𝟖 𝒙 = 𝟏/𝟑 (𝟑𝒙 − 𝟏) = 𝟎 𝟑𝒙 = 𝟏 { → { → { (𝟑𝒙 − 𝟏) = 𝟎 𝒙 = 𝟏/𝟑 𝟑𝒙 = 𝟏 𝟔 ± √𝟎 𝒙= 𝟏𝟖

Paso 2: Factorizar:

𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 = (𝟑𝒙 − 𝟏)𝟐

𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒 = (𝟓𝒙 + 𝟐)𝟐 III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO:

𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒 Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente: 𝒙=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 → 𝒙 𝟐𝒂 −(𝟐𝟎) ± √(𝟐𝟎)𝟐 − 𝟒(𝟐𝟓)(𝟒) = 𝟐(𝟐𝟓)

−𝟐𝟎 𝟐 𝒙= =− −𝟐𝟎 ± 𝟎 𝟓𝟎 𝟓 → 𝒙= → { −𝟐𝟎 𝟐 𝟓𝟎 𝒙= =− 𝟓𝟎 𝟓 (𝟓𝒙 + 𝟐) = 𝟎 𝟓𝒙 = −𝟐 → { → { (𝟓𝒙 + 𝟐) = 𝟎 𝟓𝒙 = −𝟐

−𝟐𝟎 ± √𝟎 𝒙= 𝟓𝟎 𝒙 = −𝟐/𝟓 { 𝒙 = −𝟐/𝟓

Paso 2: Factorizar:

𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒 = (𝟓𝒙 + 𝟐)𝟐

Fundamentos para el Cálculo Integral

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223

IV CASO (Trinomio): Cuando una expresión polinómica tiene 3 términos y es expresión del producto notable “Producto de binomios con término común”, estamos en presencia de la factorización de un trinomio:

(𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄) ∙ 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒄) = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒄) EJEMPLOS DEL TRINOMIO: Ejemplo 1

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓

I) MÉTODO TRINOMIO: 𝟐

Ejemplo 2:

𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑

I) MÉTODO TRINOMIO:

(𝒂 + (𝒃 + 𝒄) ∙ 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒄) = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒄)

(𝒂𝟐 + (𝒃 + 𝒄) ∙ 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒄) = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒄)

Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝟒𝒙𝟐 → (𝟐𝒙)(𝟐𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 → 𝒂 = 𝟐𝒙 Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝟏 ∙ 𝟏𝟓 𝟏𝟓 → { } 𝟑∙𝟓 Paso 3: Verificar qué factores cumplen la condición del 2° término: (𝒃 + 𝒄) ∙ 𝒂 (𝒃 + 𝒄) ∙ 𝒂 = 𝟏𝟔𝒙 → (𝟑 + 𝟓) ∙ (𝟐𝒙) = 𝟏𝟔𝒙 Paso 4: Si se cumple la condición del 2° término, podemos afirmar que:

Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝟏𝟔𝒙𝟐 → (𝟒𝒙)(𝟒𝒙) = 𝟏𝟔𝒙𝟐 → 𝒂 = 𝟐𝒙 Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝟑 → {𝟏 ∙ 𝟑} Paso 3: Verificar qué factores cumplen la condición del 2° término: (𝒃 + 𝒄) ∙ 𝒂 (𝒃 + 𝒄) ∙ 𝒂 = −𝟖𝒙 → (𝟏 − 𝟑) ∙ (𝟒𝒙) = −𝟖𝒙 Paso 4: Si se cumple la condición del 2° término, podemos afirmar que:

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓) II) MÉTODO ASPA:

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝟒𝒙𝟐 → (𝟐𝒙)(𝟐𝒙) = 𝟐𝒙 → 𝒂 = 𝟐𝒙 Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝟏 ∙ 𝟏𝟓 𝟏𝟓 → { } 𝟑∙𝟓 Paso 3: Aplicar método Aspa: 𝟐𝒙 +𝟑 ↗ +𝟔𝒙 𝟐𝒙 +𝟓 ↖ +𝟏𝟎𝒙 → (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓) 𝟒𝒙𝟐 +𝟏𝟓 +𝟏𝟔𝒙

𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑 = (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝟒𝒙 − 𝟑) II) MÉTODO ASPA:

𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑 Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝟏𝟔𝒙𝟐 → (𝟒𝒙)(𝟒𝒙) = 𝟏𝟔𝒙𝟐 → 𝒂 = 𝟒𝒙 Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝟑 → {𝟏 ∙ 𝟑} Paso 3: Aplicar método Aspa: 𝟒𝒙 +𝟏 ↗ +𝟒𝒙 𝟒𝒙 −𝟑 ↖ −𝟏𝟐𝒙 → (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝟒𝒙 − 𝟑) 𝟏𝟔𝒙𝟐 −𝟑 −𝟖𝒙

𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑 = (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝟒𝒙 − 𝟑)

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓)

III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO:

III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO:

𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓

Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente:

Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente: −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 → 𝒙 𝟐𝒂 −(𝟏𝟔) ± √(𝟏𝟔)𝟐 − 𝟒(𝟒)(𝟏𝟓) = 𝟐(𝟒) 𝟏𝟐 𝟑 𝒙=− =− −𝟏𝟔 ± √𝟏𝟔 −𝟏𝟔 ± 𝟒 𝟖 𝟐 𝒙= → 𝒙= → { 𝟐𝟎 𝟓 𝟖 𝟖 𝒙=− =− 𝟖 𝟐 𝒙=

𝒙 = −𝟑/𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟎 𝟐𝒙 = −𝟑 { → { → { (𝟐𝒙 + 𝟓) = 𝟎 𝒙 = −𝟓/𝟐 𝟐𝒙 = −𝟓

Paso 2: Factorizar:

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 →𝒙 𝟐𝒂 −(−𝟖) ± √(−𝟖)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟔)(−𝟑) = 𝟐(𝟏𝟔) 𝟐𝟒 𝟑 𝒙= = 𝟖 ± √𝟐𝟓𝟔 𝟖 ± 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟒 𝒙= → 𝒙= → { 𝟖 𝟏 𝟑𝟐 𝟑𝟐 𝒙=− =− 𝟑𝟐 𝟒 𝒙=

𝒙 = 𝟑/𝟒 (𝟒𝒙 − 𝟑) = 𝟎 𝟒𝒙 = 𝟑 { → { → { (𝟒𝒙 + 𝟏) = 𝟎 𝒙 = −𝟏/𝟒 𝟒𝒙 = −𝟏

Paso 2: Factorizar:

𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑 = (𝟒𝒙 + 𝟏)(𝟒𝒙 − 𝟑)

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓) Fundamentos para el Cálculo Integral

José E. Ornelas G.

224

V CASO (Trinomio): Este método puede aplicarse a cualquier trinomio. Cuando una expresión polinómica tiene 3 términos y es expresión del producto notable “Producto de binomios diferentes”, estamos en presencia de la factorización de un trinomio:

(𝒂 ∙ 𝒄 + (𝒃𝒄 + 𝒂𝒅) + 𝒃 ∙ 𝒅) = (𝒂 + 𝒃)(𝒄 + 𝒅) EJEMPLOS DEL TRINOMIO: Ejemplo 1

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓

Ejemplo 2:

𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔

I) MÉTODO TRINOMIO: (𝒂𝒄 + (𝒃𝒄 + 𝒂𝒅) + 𝒃𝒅) = (𝒂 + 𝒃)(𝒄 + 𝒅) Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝒂 𝒃 𝟒𝒙𝟐 → {(𝟐𝒙)(𝟐𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 } (𝟏𝒙)(𝟐𝒙) Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝒄 𝒅 𝟏𝟓 → {𝟏 ∙ 𝟏𝟓} 𝟑∙𝟓 Paso 3: Verificar qué factores cumplen la condición del 2° término: (𝒃𝒄 + 𝒂𝒅) (𝒃𝒄 + 𝒂𝒅) = 𝟏𝟔𝒙 → (𝟐𝒙) ∙ (𝟑) + (𝟐𝒙)(𝟓) = 𝟏𝟔𝒙 Paso 4: Si se cumple la condición del 2° término, podemos afirmar que: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓)

I) MÉTODO TRINOMIO: (𝒂𝒄 + (𝒃𝒄 + 𝒂𝒅) + 𝒃𝒅) = (𝒂 + 𝒃)(𝒄 + 𝒅) Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝒂 𝒃 𝟒𝒙𝟐 → {(𝟐𝒙)(𝟐𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 } (𝟏𝒙)(𝟒𝒙) Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝒄 𝒅 𝟔 → {𝟏 ∙ 𝟔} 𝟐∙𝟑 Paso 3: Verificar qué factores cumplen la condición del 2° término: (𝒃𝒄 + 𝒂𝒅) (𝒃𝒄 + 𝒂𝒅) = 𝟓𝒙 → (𝟒𝒙) ∙ (𝟐) + (𝟏𝒙)(−𝟑) = 𝟏𝟔𝒙 Paso 4: Si se cumple la condición del 2° término, podemos afirmar que: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = (𝟏𝒙 + 𝟐)(𝟒𝒙 − 𝟑)

II) MÉTODO ASPA: Método recomendado 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝒂 𝒃 𝟒𝒙𝟐 → {(𝟐𝒙)(𝟐𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 } (𝟏𝒙)(𝟐𝒙) Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝒄 𝒅 𝟏𝟓 → {𝟏 ∙ 𝟏𝟓} 𝟑∙𝟓 Paso 3: Aplicar método Aspa con cada factor, para verificar cuál cumple la condición: 𝟐𝒙 +𝟑 ↗ +𝟔𝒙 𝟐𝒙 +𝟓 ↖ +𝟏𝟎𝒙 → (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓) 𝟐 𝟒𝒙 +𝟏𝟓 +𝟏𝟔𝒙 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓)

II) MÉTODO ASPA: Método recomendado 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝒂 𝒃 𝟒𝒙𝟐 → {(𝟐𝒙)(𝟐𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 } (𝟏𝒙)(𝟒𝒙) Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝒄 𝒅 𝟔 → {𝟏 ∙ 𝟔} 𝟐∙𝟑 Paso 3: Aplicar método Aspa con cada factor, para verificar cuál cumple la condición: 𝟏𝒙 +𝟐 ↗ +𝟖𝒙 𝟒𝒙 −𝟑 ↖ −𝟑𝒙 → (𝟏𝒙 + 𝟐)(𝟒𝒙 − 𝟑) 𝟒𝒙𝟐 −𝟔 +𝟓𝒙 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = (𝒙 + 𝟐)(𝟒𝒙 − 𝟑)

III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente:

III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente:

𝒙=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 → 𝒙 𝟐𝒂 −(𝟏𝟔) ± √(𝟏𝟔)𝟐 − 𝟒(𝟒)(𝟏𝟓) = 𝟐(𝟒)

𝒙 = −𝟑/𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟎 𝟐𝒙 = −𝟑 { → { → { (𝟐𝒙 + 𝟓) = 𝟎 𝒙 = −𝟓/𝟐 𝟐𝒙 = −𝟓

𝒙=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 −(𝟓) ± √(𝟓)𝟐 − 𝟒(𝟒)(−𝟔) → 𝒙= 𝟐𝒂 𝟐(𝟒)

𝒙 = −𝟐 (𝒙 + 𝟐) = 𝟎 𝒙 = −𝟐 { → { → { 𝒙 = 𝟑/𝟒 (𝟒𝒙 − 𝟑) = 𝟎 𝟒𝒙 = 𝟑

Paso 2: Factorizar: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = (𝒙 + 𝟐)(𝟒𝒙 − 𝟑)

Paso 2: Factorizar: 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟓 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓) Fundamentos para el Cálculo Integral

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VI CASO (Binomio Cuadrado): Cuando una expresión polinómica tiene 2 términos y es expresión del producto notable “Producto de la suma por la diferencia”, estamos en presencia de la factorización:

(𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 ) = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) EJEMPLOS DEL TRINOMIO: Ejemplo 1

𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗

Ejemplo 2:

𝟗𝒙𝟐 − 𝟒

I) MÉTODO TRINOMIO: (𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 ) = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) Paso 1: Hallar factores iguales que generan el 1° término: 𝒂 𝟏𝟔𝒙𝟐 → {(𝟒𝒙)(𝟒𝒙) = 𝟏𝟔𝒙𝟐 } Paso 2: Hallar los factores iguales que generan el 2° término: 𝒃 𝟗 → { } 𝟑∙𝟑 Paso 4: Factorizar: 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗 = (𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟒𝒙 − 𝟑)

I) MÉTODO TRINOMIO: (𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 ) = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) Paso 1: Hallar factores iguales que generan el 1° término: 𝒂 𝟗𝒙𝟐 → {(𝟑𝒙)(𝟑𝒙) = 𝟗𝒙𝟐 } Paso 2: Hallar los factores iguales que generan el 2° término: 𝒃 𝟒 → { } 𝟐∙𝟐 Paso 4: Factorizar: 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒 = (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟐)

II) MÉTODO ASPA: Método recomendado 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗 Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝒂 𝟏𝟔𝒙𝟐 → {(𝟒𝒙)(𝟒𝒙) = 𝟏𝟔𝒙𝟐 } Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝒃 𝟗 → {𝟏 ∙ 𝟗} 𝟑∙𝟑 Paso 3: Aplicar método Aspa con cada factor, para verificar cuál cumple la condición: 𝟒𝒙 +𝟑 ↗ +𝟏𝟐𝒙 𝟒𝒙 −𝟑 ↖ −𝟏𝟐𝒙 → (𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟒𝒙 − 𝟑) 𝟒𝒙𝟐 −𝟗 𝟎𝒙 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑)

II) MÉTODO ASPA: Método recomendado 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒 Paso 1: Hallar factores que generan el 1° término: 𝒂 𝟗𝒙𝟐 → {(𝟑𝒙)(𝟑𝒙) = 𝟗𝒙𝟐 } Paso 2: Hallar los factores que generan el 3° término: 𝒃 𝟒 → {𝟏 ∙ 𝟒} 𝟐∙𝟐 Paso 3: Aplicar método Aspa con cada factor, para verificar cuál cumple la condición: 𝟑𝒙 +𝟐 ↗ +𝟔𝒙 𝟑𝒙 −𝟐 ↖ −𝟔𝒙 → (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟐) 𝟎𝒙 𝟗𝒙𝟐 −𝟒 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒 = (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟐)

III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO: 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗 Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente:

III) MÉTODO CEROS DEL POLINOMIO: 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒 Paso 1: Aplicar la fórmula de la resolvente:

𝒙=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 −(𝟎) ± √(𝟎)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟔)(−𝟗) → 𝒙= 𝟐𝒂 𝟐(𝟏𝟔)

𝟐𝟒 𝟑 𝒙= = 𝟎 ± √𝟓𝟕𝟔 𝟎 ± 𝟐𝟒 𝟑𝟐 𝟒 𝒙= → 𝒙= → { 𝟐𝟒 𝟑 𝟑𝟐 𝟑𝟐 𝒙=− =− 𝟑𝟐 𝟒 𝒙 = 𝟑/𝟒 (𝟒𝒙 − 𝟑) = 𝟎 𝟒𝒙 = 𝟑 { → { → { (𝟒𝒙 + 𝟑) = 𝟎 𝒙 = −𝟑/𝟒 𝟒𝒙 = −𝟑

Paso 2: Factorizar: 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗 = (𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟒𝒙 − 𝟑)

Fundamentos para el Cálculo Integral

𝒙=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 −(𝟎) ± √(𝟎)𝟐 − 𝟒(𝟗)(−𝟒) → 𝒙= 𝟐𝒂 𝟐(𝟗)

𝟏𝟐 𝟐 𝒙= = 𝟎 ± √𝟏𝟒𝟒 𝟎 ± 𝟏𝟐 𝟏𝟖 𝟑 𝒙= → 𝒙= → { 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝒙=− =− 𝟏𝟖 𝟑 𝒙 = 𝟐/𝟑 (𝟑𝒙 − 𝟐) = 𝟎 𝟑𝒙 = 𝟐 { → { → { (𝟑𝒙 + 𝟐) = 𝟎 𝒙 = −𝟐/𝟑 𝟑𝒙 = −𝟐

Paso 2: Factorizar: 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒 = (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟑𝒙 − 𝟐)

José E. Ornelas G.

226

VII CASO (Polinomios mayores a 2° grado) Método de Ruffini Es el método que conduce a un producto de binomios o el producto de binomios por un polinomio, es decir, un polinomio de grado “n” que se puede escribir como (x  xo )  (axn + bxn−1 +... + c) . El método de Ruffini es un algoritmo que permite obtener el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma (𝒙 − 𝒙𝒐 ). EJEMPLOS DEL TRINOMIO: Ejemplo 1

𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟐

Paso 1: Ordenar el polinomio de mayor a menor grado. 𝟑

𝟐

Ejemplo 2:

𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟓

Paso 1: Ordenar el polinomio de mayor a menor grado.

𝟐𝒙 + 𝒙 − 𝟑𝒙 − 𝟐

𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟓

Paso 2: Hallar divisores del término independiente.

Paso 2: Hallar divisores del término independiente.

𝒅𝒊𝒗(𝟐) = {±𝟏; ±𝟐}

𝒅𝒊𝒗(𝟓) = {±𝟏; ±𝟓}

Paso 3: Aplicar el Método de Ruffini, utilizando los divisores que obliguen a que el residuo sea igual a cero. Puede aplicarse tantas veces como sea posible hasta llegar a un polinomio de 2do grado.

Paso 3: Aplicar el Método de Ruffini, utilizando los divisores que obliguen a que el residuo sea igual a cero. Puede aplicarse tantas veces como sea posible hasta llegar a un polinomio de 2do grado.

𝑪(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

𝑪(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟓

NOTA: Este cociente no tiene raíces enteras ni racionales, ya que al sustituir los divisores restantes el residuo no se iguala a cero. Por tal motivo, el cociente lo escribimos como un polinomio normal.

NOTA: Este cociente no tiene raíces enteras ni racionales, ya que al sustituir los divisores restantes el residuo no se iguala a cero. Por tal motivo, el cociente lo escribimos como un polinomio normal.

Paso 4: Raíces o ceros del polinomio:

Paso 4: Raíces o ceros del polinomio:

𝒙 = −𝟏 → (𝒙 + 𝟏) = 𝟎 → 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: (𝒙 + 𝟏)

𝒙 = −𝟏 → (𝒙 + 𝟏) = 𝟎 → 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: (𝒙 + 𝟏)

𝑪(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

𝑪(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟓

Paso 5: La factorización es el producto de los binomios hallados por el cociente.

Paso 5: La factorización es el producto de los binomios hallados por el cociente.

(𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐)

(𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟓)

(𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐) Nota: Podemos verificar si un polinomio de 2° grado tiene raíces reales o imaginarias con la siguiente relación: 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 𝑹𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒆 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 {𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎 𝑹𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒚 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔} 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎 𝑹𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒓𝒊𝒂𝒔

Fundamentos para el Cálculo Integral

(𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟓) Nota: Podemos verificar si un polinomio de 2° grado tiene raíces reales o imaginarias con la siguiente relación: 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 𝑹𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒆 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 {𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎 𝑹𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒚 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔} 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎 𝑹𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒓𝒊𝒂𝒔

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𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖

Ejemplo 3

Ejemplo 2:

𝟑𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝟓𝒙 + 𝟏𝟖

Paso 1: Ordenar el polinomio de mayor a menor grado.

Paso 1: Ordenar el polinomio de mayor a menor grado.

𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖

𝟑𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝟓𝒙 + 𝟏𝟖

Paso 2: Hallar divisores del término independiente.

Paso 2: Hallar divisores del término independiente.

𝒅𝒊𝒗(𝟖) = {±𝟏; ±𝟐; ±𝟒; ±𝟖}

𝒅𝒊𝒗(𝟏𝟖) = {±𝟏; ±𝟐; ±𝟑; ±𝟔; ±𝟗; ±𝟏𝟖}

Paso 3: Aplicar el Método de Ruffini, utilizando los divisores que obliguen a que el residuo sea igual a cero. Puede aplicarse tantas veces como sea posible hasta llegar a un polinomio de 2do grado.

Paso 3: Aplicar el Método de Ruffini, utilizando los divisores que obliguen a que el residuo sea igual a cero. Puede aplicarse tantas veces como sea posible hasta llegar a un polinomio de 2do grado.

𝑪(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒 𝑪(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟏 NOTA: Este cociente no tiene raíces enteras ni racionales, ya que al sustituir los divisores restantes el residuo no se iguala a cero. Por tal motivo, el cociente lo escribimos como un polinomio normal. Paso 4: Raíces o ceros del polinomio: 𝒙=𝟏

→ (𝒙 − 𝟏) = 𝟎 → 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: (𝒙 − 𝟏)

𝒙 = −𝟐

→ (𝒙 + 𝟐) = 𝟎

→ 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: (𝒙 + 𝟐)

𝑪(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒 Paso 5: La factorización es el producto de los binomios hallados por el cociente.

Paso 4: Raíces o ceros del polinomio: 𝒙=𝟐

→ (𝒙 − 𝟐) = 𝟎 → 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: (𝒙 − 𝟐)

𝒙=𝟑

→ (𝒙 − 𝟑) = 𝟎 → 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: (𝒙 − 𝟑)

𝒙 = −𝟑

→ (𝒙 + 𝟑) = 𝟎

→ 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: (𝒙 + 𝟑)

𝑪(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟏 → 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟎 → 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐: (𝟑𝒙 + 𝟏) Paso 5: La factorización es el producto de los binomios hallados por el cociente.

(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)(𝟑𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)(𝟑𝒙 + 𝟏)

(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟒) (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟒)

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