Zur Verteilung natürlicher Zahlen auf elementfremde Klassen [Reprint 2021 ed.] 9783112498668, 9783112498651

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B E R I C H T E ÜBER D I E VERHANDLUNGEN D E R

SÄCHSISCHEN

AKADEMIE D E R WISSENSCHAFTEN ZU L E I P Z I G Mathematisch-na

tur wissenschaftliche Band

Klagte

101 • Heft 4

HANS

SALIÉ

ZUR VERTEILUNG NATÜRLICHER ZAHLEN AUF ELEMENTFREMDE KLASSEN

1954

AKADEMIE.VERLAG

BERLIN

V o r g e l e g t d u r c h H e r r n HÖLDEK i n d e r S i t z u n g

vom

12. O k t o b e r

1953

M a n u s k r i p t e i n g e l i e f e r t a m 2 8 . O k t o b e r 19.53 D r u c k f e i ' t i g e r k l ä r t a m 1 8 . .März

1954

E r s c h i e n e n im A k a d e m i e - V e r l a g G m b H . , B e r l i n W 8, MohT'enstraße 39 V e r ö f f e n t l i c h t u n t e r der L i z e n z n u m m e r 1217 (les A m t e s f ü r L i t e r a t u r und V e r l a g s w e s e n der D e u t s c h e n D e m o k r a t i s c h e n R e p u b l i k S a t z und D r u c k der B u c b d r u c k e r e i F . Mitzlaff K G . , R u d o l s t a d t / T h ü r . V / 1 4 / 7 (2(5) B e s t e l l - und V e r l a g s n u m m e r 2027/101/4 P r e i s : DM 2 , 5 0 P r i n t e d in G e r m a n y

Gegeben sei eine Verteilung 33u aller natürlichen Zahlen auf k elementfremde Klassen. Weiter sei ein lineares homogenes Gleichungssystem m V =

1

mit rationalen Koeffizienten aßV vorgelegt. Wenn bei jeder Verteilung 33fc eine Lösung x1, x2, . . ., x„ von (1) existiert mit der Eigenschaft, daß alle xv derselben Klasse angehören, so heißt S k-fach regulär1. Man nennt S regulär, wenn es Ä-fach regulär ist für jedes k. Der Begriff des regulären Systems ist entstanden bei der Verallgemeinerung des Satzes von VAX DER W A E E D E N 2 (der ersten ,,Perle der Zahlentheorie" 3 ), der besagt, daß das System ~f~ Q i ^ ^ ^J5^ • — —: — ~~ « • • — 1— regulär ist. Die regulären Systeme haben Bedeutung für die Zahlentheorie. A . B R A U E R 4 zeigte durch eine von I . S C H U R herrührende Verallgemeinerung des Satzes von VAN D E R W A E R D E N , daß bei hinreichend großen Primzahlen p Sequenzen jeder Länge von Potenzresten nach dem Modul p existieren. Bei einem Satz über die Fermatsche Gleichung x n + y n = zn verwendete 1.

SCHUR5

bereits

1916,

daß

% + x2 — xs = 0

(2)

regulär ist. > R. RADO, Math. Z. 36, 424—480 (1933). 2 B. L. VAN DER WAERDEN, Nieuw Arch. Wiskunde 15, 212—216 (1927). 3 A. J . CHINTSCHIN, Drei Perlen der Zahlentheorie (Berlin 1951), 61 S.; E. WITT, M a t h . N a c h r . 6, 2 6 1 — 2 6 2 1

(1952).

A. BRAUER, Sitz.-Ber. Preuß. Akad. Wiss., math.-physik. Kl. 1928, 9—16; 1931, 329—341. Ä 1. SCHUR, Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 25, 114—117 (1917). 1*

4

H A N S SALIÉ

Herr R . R A D O 1 bestimmte alle Systeme ( 1 ) , die die oben erwähnte Eigenschaft der Regularität haben. Er zeigte überdies einen Gleichmäßigkeitssatz, der für S * bereits von VAN DER W A E R D E N s t a m m t : Es gibt natürliche Zahlen Sk = Sk( 0 erklärt. Es hängt mit [«], der größten ganzen Zahl unter u, zusammen. (6)

| w , 1[m] + 1,

wenn u ganz, wenn u nicht ganz

ist. Zu der gegebenen rationalen Zahl q>l Zahlen q^ q2, . . . durch die Rekursion

werde die Folge ganzer

0 ^ qe + i — qqs < 1

qe+j>q'qQ. Bei ganzzahligem q ist qe=qQ~l,

q=~-1,2,

6

Hans Salie

Die mit der obigen Zahl q gebildete „Sequenzverteilung" halte in der Klasse C t die Zahlen zi, für die (10)

r/*,.. i i

Ua-(^) ent-

qk-, • •;. »' = 0 , 1 , 2 , . . .

gilt. Weiter wird eine „Kongruenzverteilung''' 93*(w) eingeführt, die von einer festen natürlichen Zahl 2 abhängt. Für die Zahlen von 33a-(m) in C» soll gelten: 1a

nj

-r

0

0

™ d m k j ++i ir 1 mod

v = 0

! 9 u,j,_,...

Die Regularitätsschranke s* = sfc(S) eines ¿-fach regulären Systems 3 muß die beiden Bedingungen erfüllen: a) Bei jeder Verteilung der Zahlen 1, 2, . . .. Sk auf k Klassen existiert in mindestens einer Klasse eine Lösung xlt x2, . . x n von S. b) F,s gibt mindestens eine Verteilung der Zahlen 1, 2, . . .. s/c —1 auf k Klassen, so daß in keiner Klasse eine Lösung xu x2, . . ., xn von S liegt. Diese besonderen Verteilungen b) werden £-t-e Maximalverteilungen von £ genannt. Ist S nicht ¿-fach regulär, so gibt es mindestens eine Verteilung aller natürlichen Zahlen auf k Klassen, so daß in keiner Klasse eine Lösung x1, x2, . . ., xn von S liegt. In diesem Falle wird (12)

SK{ S ) = C O

geschrieben. Die letzte Verteilung soll ebenfalls Maximalverteilung von £ heißen. 2. Zuerst werden nichtreguläre Gleichungen der Form (g») untersucht. (13)

* i - f . . . + gn—i xn-i = gy,

n

Ist G="£g.

und (14)

g' = min ( g l , g 2 , . .

so gelten für k Js 3 die beiden Sätze

gn^),

•'>,

Zur Verteilung natürlicher Zahlen auf elementfremde Klassen

7

Satz 1: Wenn p'k-l (15)

g

G

- ,

k

3

k

•'>

ist, wird Satz 2: Wenn (1-6)

Qk-l ö

,

ist, wird

Zum Beweise ist nötig, gemäß (12) Maximalverteilungen anzugeben. F ü r Satz 1 ist Uä ( - - ] eine Maximalverteilung von g „ . Aus der VS7 /c'\k-2 G Voraussetzung (15) folgt wegen « > 3 ö • , > 1. also s V S! für k 3 (17)

? = V>16

Damit ist nach (7) die Folge g0 erklärt, und es kann die Verteilung gebildet werden. Es sei nun xl7 x2, . . ., y eine Lösung von g„. Die Annahme, daß diese Lösung in derselben Klasse von Ufc(g) — sie heiße Ci — liegt, wird jetzt zu einem Widerspruch gef ü h r t . Wegen (10) muß es ein v > 0 geben, so daß (18)

qkv + i-i ; y < qkv + i

ist. Wenn (19)

A' = max (x1, x2,

bezeichnet, so folgt aus (18) und g„ (20)

gqkv

+

i_i:^GX

und nach Verwendung von (15) und (17)

v„_i)

8

HANS

Auf

Grund

SALIE

der R e k u r s i o n s f o r m e l

(9) mit

j = k — 1,

r

1

und

— 1) + i wird schließlich

q=k{v (21)

-V

1

und wegen (24)

1 ' = G

Mit Hilfe der F o l g e q'Q wird

nun

D i e beliebige L ö s u n g x1, x2, . . ., x„-lt Ci v o n VLk(q')-

> 1

-

die V e r t e i l u n g i l k { q ' ) gebildet. y von g „ liege in der K l a s s e

Aus dem Beweise v o n S a t z 1 k a n n nun ü b e r n o m m e n

werden: (18') (20')

q'kv + i-1 £5 y < q'kv + i gqU+i-i^GX,

Zur Verteilung natürlicher Zahlen auf elementfremde Klassen so daß also wegen

9

(24) X

q'qjiv

i_i

+

und durch (8) X > q'kv + i — 1, d. h . (25)

X i a q'kv + i

folgt.

Aus (22) und ( ] 8 ' ) e n t n i m m t man g'X

>gqL+i

X a ist, gilt für (40) bei festem a Ihn C—>00 0

' -

» = 1,2.

Der Beweis folgt aus (43) und s 2 = es!

a^l,

c>a,

eine Beziehung, die richtig ist mit der einzigen Ausnahme a = 2, c = 3,

wo

S! = 2

und

s2=10

ist.

5. Teil vermerke noch einige weitere spezielle Gleichungen, da die Werte für ihre Regularitätsschranken s 2 erwähnenswert sind. Wenn x + ay = 2 z betrachtet wird, findet man l-

si ~a

1 2 '

=

v l i m

S2 1 fl2=4-

Dagegen hängt s2 für x + a y — 3z vom Restcharakter von a mod 6 ab. Ein einfaches Ergebnis liefert schließlich Satz 13:

Wenn a>b

und (a, b) = 1 ist, so hat jede der drei Glei-

chungen b2x + aby = a{a + b)z (45)

ax+by

= 2 az

ax + by

=

abz

den von b unabhängigen Wert s2 = « 2 . 6. Die Sätze 1 und 2 erlaubten Aussagen über den Regularitätsgrad einer Gleichung zu machen aus Größenbeziehungen zwischen ihren Koeffizienten. R. R A D O war anders vorgegangen, um von vorgelegten Gleichungen in drei Unbekannten nachzuweisen, daß sie

Zur Verteilung natürlicher Zahlen auf elementfreinde Klassen

2.1.

nicht mehr ¿-fach regulär sind. E r h a t t e Sätze aufgestellt, die die Teilbarkeitseigenschaften der Koeffizienten verwendeten. Ich füge zwei neue Sätze dieser Art hinzu, die die bisher b e k a n n t e n Ergebnisse verschärfen. Satz 14:

I n den Koeffizienten ax u n d « 2 der Gleichung

(46)

a1x

+ a2y

= 0

+ a3z

gehe die Primzahl p 2 auf, in a9 nicht. py sei die höchste in a 1 ; s p die höchste in a 2 aufgehende Potenz von p. D a n n ist Sk = wenn (47)

r

0 mod k,

s

0 mod k

und

r

smod i

ist.

Beweis: In (47) ist k :>. da sich für k = l und A = 2 Gleichung (47) nicht erfüllen läßt, wie es auch sein muß, da (46) zweifach regulär sein k a n n . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei r > s . Wegen r s scheidet r=s aus. Ich zeige, daß 93k{p) Maximalverteilung ist. x, y, z sei eine Lösung von (46). D a n n m u ß z mindestens durch ps teilbar sein. Ich setze (48)

z = p'-z',

?. • >.

z'

Omod/>

und ax = a\pr,

a2 = a'zps,

und nehme an, daß z£C,, über in

+ «2 y + az pÄ~s z'=

Hieraus folgt im ersten Falle X,

?

a'i

Omodp,

der Verteilung 95k{p) ist. (46) geht n u n

ai pr~sx

(49)

a{

s

0 mod p -~

und

0.

daß y - p 0 mod px~s

+1

ist. Wie aus dem Bau von 93k{p) und durch Vergleich von (48) mit (50) hervorgeht, ist y£Ct, wenn (51) ist. (52)

s Im zweiten Falle y=pi'y\

X>r

" 0 mod k zeigt (49): y

II

r - s,

y'

0 mod pr~s. 0 mod p

Es k a n n

22

HANS SALIE

und s t a t t (49) (53)

aix

+ aiy'p"~r

geschrieben werden. %

+ s

+ a3z'p>-r

Ist ¡i>X—s, r

0 mod p'-~

= 0

wird

und

0 mod p'~r

x

+ 1

.

x£ Ci, wenn (54) ist.

r

0 mod k

Ist / i < X — s, wird x

O m o d f - '

+ s

und

x

Omodp"

r + s + 1

.

x liegt mit y in derselben Klasse, wenn (55)

r — s mod k

ist. Ist ¡i = X — s, so y£Ci, wenn (51) gilt. I m dritten Falle X = r folgt aus (49): y ~ 0 mod pr~s. Wenn v 0 mod/>' ist, wird y E C i , wenn (51) gilt. Ist jedoch y O m o d / > , - s + 1 , so ergibt sich x-----a3a{z'mod p. D a b e i bedeutet aiai 1 m o d / > . xQC-y. Es ist ebenfalls z € C1, wenn X _-.- 0 mod k, d. i. r -- 0 mod k. D a (51), (54) und (55) im Widerspruch zur Voraussetzung (47) stehen, t r i t t in keiner Klasse von 33fc(/>) ein Lösungstripel von (46) auf. W e n d e t m a n Satz 14 auf (45,1) an mit 3, r = 1, s = 2 und einem Primteiler p von b 1, so folgt s 3 = oo, d. h. K = 2, wenn b kein K u b u s ist. Satz 15:

Kür die Gleichung axx + a 2 y + asz = 0 gilt

wenn es eine ungerade Primzahl p gibt, die in ax, aber weder in a2 noch in a3 aufgeht und f ü r die — a2a3 quadratischer Nichtrest nach p ist. Beweis: Wenn r der E x p o n e n t der höchsten in ax aufgehenden Potenz von p ist, k a n n man (56)

setzen.

a1=pra{,

a{

0 mod p

Schreibt man r=

2^+2»-!,

Zur Verteilung natürlicher Zahlen auf elementfremde Klassen

2.H

so ist q bei gegebenem r eindeutig bestimmt. Ich zeige, daß die folgende Verteilung £>4(/>; ß) unter den Voraussetzungen des Satzes Maximalverteilung für (46) ist. Alle natürlichen Zahlen verteile ich bei festem o auf d i e vier Klassen C1, C2, C3, C4 C,:

z,

/.,/>"' niiid />"< ' '.

/

1 . 2 . : ! . 4.

Hierin sollen sowohl Ax als auch / 3 alle quadratischen Reste und A2, A4 je alle quadratischen Nichtreste nach p durchlaufen. Die Exponenten a, werden in die Form (57)

a i = 2 s v + a1

gebracht, wobei

v = 0, 1, 2, . . . ffi,ff, = 0 , l

2 H - 1

durchlaufen, x, y, z sei eine Lösung von (4G) und y 6 C,-. Daher ist (58)

y

kipai mod

pa'+1.

Durch (57) sind A,, v und a, festgelegt. Ich unterscheide nun zwei Fälle: 1. r. -ai + l .

Dann folgt aus (46), (56), (58) a3z

Wegen

- i ^ A , ^ mod/A+1.

0 mod p und i^-*****3] =

—

^

z

Cj.

2. r 0 ,

also a: — r > al — r und /

i > ,a; -r 1

dix =» — a3Ä,- p

i.d; mod p

-r-1-1 1

D a die E x p o n e n t e n n i c h t bei Zahlen in C. a u f t r e t e n , liegt x n i c h t in b) v' = v.

D a n n ist (a-i — r) — (a'i — r)=

F ü r oi = o'i wird aix

at — a\.

— (A,a2 + A.ja3)pai~'

Auf G r u n d der V o r a u s s e t z u n g

m o d pa*~'

+1

.

j = — 1 muß

Aid2 + A'i«3 sein.

C,.

0 mod p

% k a n n n i c h t in Ci liegen, da «¿ — r n i c h t als E x p o n e n t v o n

Zahlen der Klasse C» v e r t r e t e n ist. Dies t r i f f t auch zu, wenn a, ist. \

Schließlich f ü h r t der F a l l /

c) v > v

zu

' ai.r

T

—A,a.2p

1

L L-y mod p '

+1

,

d. h. x n i c h t in C,. ® 4 (/>;p) e n t h ä l t in der T a t keine L ö s u n g e n v o n (46). D u r c h die Sätze 1, 2 , 1 4 , 1 5 e r f a ß t m a n unendlich viele, a b e r n i c h t alle n i c h t r e g u l ä r e n Gleichungen in drei U n b e k a n n t e n m i t dem E r gebnis K s j 3 . 7. Z u m S c h l u ß gebe ich zwei B e m e r k u n g e n , die mit dem Satz v o n VAN DER WAERDEN, also m i t dem S y s t e m S * der E i n l e i t u n g , zusammenhängen.

Zur Verteilung natürlicher Zahlen auf elementfremde Klassen a) Über

die Regularitätsschranke

Einzelergebnisse b e k a n n t .

sk(n)

des

Satzes

sind

25 wenig

Trivial ist

s1(n) = n,

sk( 1) = 1 ,

Sä(2) = ä + 1.

Ob ss( 3) = 27 und

(60)

S 2 (4) = 35

in der Literatur zu finden ist, weiß ich nicht.

Die K e n n t n i s der

zugehörigen M a x i m a l v e r t e i l u n g e n 1 ist vielleicht nützlich zum Aufb a u v o n Verteilungen im allgemeinen Falle bei beliebigen k und n . In dieser H i n s i c h t erscheint mir das Ergebnis (60) des E i n w e i s e s wert2: C1:

Ä +

C2:

N

l, 7, 9; 4, 11, 12; 8, .10, 13; (i. 10, 13, i), I I , 14,

27 zt 27 z2 27 - z3 15, 16, 17, 21, 24, 2«, 27, 28, 32 18, 19, 20, 22, 25, 29, 30, 31, 33

26

HANS SALIÉ

falls er existiert, ein Maß f ü r die Dichte dieser SB-Mengen dar. die SB-Mengen mit x + y

=

2z,

Für

x ^ y ^ z .

zeigte kürzlich Herr K L A U S R O T H 1 auf analytischem Wege, durch Verwendung von Exponentialsummen, daß B = 0 ist. R. SALEM und D. E. SPENCER 2 bewiesen schon früher, daß aus diesem (damals nur vermuteten) Ergebnis leicht der Satz von VAN DER W A E R D E N gefolgert werden kann. Ich möchte bemerken, daß für alle zu (61) gehörigen SB-Mengen B ^ 0 gilt, wenn c a + b ist. Es ist

da für

a + b> c

(62)

cX, cX +

und f ü r (63)

a +

b