Zur Gültigkeit des Huygensschen Prinzips bei partiellen Differentialgleichungen vom normalen Hyperbolischen Typus [Reprint 2021 ed.] 9783112502648, 9783112502631

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BERICHTE ÜBER DIE VERHANDLUNGEN DER SÄCHSISCHEN A K A D E M I E DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

PAUL

100 • Heft

Klasse 2

GÜNTHER

ZUR G Ü L T I G K E I T DES HUYGENSSCHEN PRINZIPS BEI PARTIELLEN D I F F E R E N T I A L G L E I C H U N G E N VOM NORMALEN H Y P E R B O L I S C H E N T Y P U S

1952

AKADEMIE-VERLAG

BERLIN

BERICHTE ÜBER DIE VERHANDLUNGEN DER SÄCHSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG Mathematisch-naturwissenschaftliche Band

PAUL

100 • Heft

Klasse 2

GÜNTHER

ZUR GÜLTIGKEIT DES HUYGENSSCHEN PRINZIPS BEI PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VOM NORMALEN HYPERBOLISCHEN TYPUS

1952 AKADEMIE-VERLAG • BERLIN

Vorgetragen durch Herrn Holder in der Sitzung vom 14. Januar 1952 Manuskript eingeliefert am 14. Januar 1952 Druckfertig erklärt am 19. Juli 1952

E r s c h i e n e n i m Akademie»Verlag G m b H . , Berlin N W 7, S c h i f f b a u e r d a m m 19 V e r ö f f e n t l i c h t u n t e r der Lizenz N r . 1217 des A m t e s f ü r L i t e r a t u r u n d Verlagswesen der Deutschen Demokratischen

Republik

S a t s u n d D r u c k der Druokerei „ T h o m a s M ü n t z e r " L a n g e n s a l z a Bestell- u n d V e r l a g s n u m m e r : 2027/100/2 Preis: DM5,— P r i n t e d in G e r m a n y

Einleitung Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einer gewissen Klasse von linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Gestalt dxldxk

+

i, Jc= 0,1, 2 , . . n .

dx%

(1) '

Aik,

Dabei sollen die B\ C Funktionen der unabhängigen Variablen (af) sein, die geeigneten Differenzierbarkeitsforderungen genügen. Es wird angenommen, daß die Gl. (1) vom normalen hyperbolischen Typus ist 1 ), d.h. die quadratische Form H=Aihnink

läßt sich in jedem Punkt (af) durch eine lineare Transformation der TTJ auf die Gestalt bringen: TT 11—71

2 o

2

711

2

71z

...

~

2

7Cn .

In jedem Punkt 0(; du

, /-


(3)

Er wendet zunächst eine etwas andere Integrationsmethode an. Mit Hilfe einer Hilfsfunktion v(£, x) (Parametrix), die 1 eine Verallgemeinerung von — = — — im Falle der 1/1 ' ¿=i Gl. ( 2 ) ist, leitet er eine Integralgleichung vom VOLTERRAschen Typ für die Lösung u ab. Notwendig und hinreichend für die Gültigkeit des HuYGENSschen Prinzips ist, daß der Kern der Integralgleichung verschwindet. Für ihn leitet er eine Eeihenentwicklung her, deren Glieder einzeln null gesetzt werden. Dadurch findet er: (3) ist dann und nur dann eine Gleichung reiner Wellen, falls:

dx>

dxi

6

P. G Ü S T H E B

ist. Daraus folgt aber die Transformierbarkeit auf (2), wie weiter unten ersichtlich wird. Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit dem allgemeinen Fall variabler Aih (n +1 = 4 ) . Es wird untersucht, wie sich die Bedingungen von M A T H I S S O N verallgemeinern. Diese verallgemeinerten Bedingungen reichen noch nicht zur Lösung des Problems aus, sind aber vielleicht an sich von Interesse. Es wird die MATHissoNSche Integrationsmethode zugrundegelegt, die dieser auch im Fall variabler Allc angedeutet hat 1 ). Sie sei zunächst kurz geschildert: Die Aik werden als kontravariante Komponenten gik des Fundamentaltensors einer (indefiniten) B i E M A N N S c h e n Metrik gedeutet. Die DG1. läßt s i c h dann in der Gestalt Hu) =

tf",rarßu+A'rau

+ Cu = o

(4)

schreiben, wo J7 kovariante Differentation im Sinne der EiEMANNSchen Übertragung bedeutet. Die Bicharakteristiken sind dann die zur Metrik gehörigen geodätischen Nulllinien. Wir betrachten einen Punkt 0 { ¥ ) und die durch ihn gehenden geodätischen iJullinien, die auf dem Kegel A(0) ein Eichtungsfeld ¥ bestimmen. Ferner betrachten wir eine Kongruenz K zeitartiger2) geodätischer Linien, deren Tangentenvektoren ak erfüllen so die Gleichungen a l ak = 1,

aK Vi a" = 0.

Das auf A (0) erklärte Feld setzen wir fort, indem wir die Spitze des Kegels auf der durch 0(£) gehenden Linie G der Kongruenz K [Gleitlinie für 0(f)] wandern lassen und auf jedem der so entstehenden Kegel A'(O'), 0'(£') auf G, wie oben das Feld k l konstruieren, das damit überall erklärt ist. ) M. MATHISSON, Eine neue Lösungsmethode für DG1. v. norm, hyperb. Typus- Math. Ann. 107 (1932), S. 400ff. 2 ) Ein Linienelement dxi heißt zeitartig, falls gijdxidx» > 0 ist. J

Zur Gültigkeit

des HtTYGENSschen Prinzips

7

[Natürlich abhängig von 0(£)]. Es gilt ¥hk=

0,

Die lck können dann so normiert werden, daß überall gilt h^ax— -

1.

Jedem Punkt P(x) wird jetzt der Wert s zugeordnet, der gleich der Bogenlänge auf der Gleitlinie G zwischen 0(£) und dem Punkte O'(i') ist, dessen Kegel durch P(x) geht; offensichtlich ist auf A (0): s = 0. Für die Ableitungen dieser Punktion s gilt1)

Jedem Linienelement in Richtung des ¿^-Feldes wird ein Differential dr zugeordnet vermöge: dx1 =

Dann gilt

kldr.

dr — — cijdx1

oder r (£, x) = — / axdx 0'

wo die Integration längs einer geod. Nullinie auszuführen ist. Auf G soll r = 0 sein. Die oben erwähnte Hilfsfunktion v(£, x) (Parametrix) ist eine Lösung der gewöhnlichen DG1. 2 ¥ViV

+ (vjt

- AJt) v = 0.

Wie weiter unten gezeigt wird, besitzt ( 7 ^ eine Reihenentwicklung nach Potenzen von r der Gestalt = l +

+

M. MATHISSON, Math. Ann. loc. cit., S. 404.

8

P . GÜNTHEB

so daß sich für

X) ergibt:

v(Z,x) = ±e

0

Dabei ist die Integration längs einer von 0' auslaufenden ISfullgeodätischen gemeint. Wir geben nun eine Anfangsfläclie F vor durch f(xl) =0. Auf F seien die Anfangswerte (u)F = ••• > In den Ciß, . . . sind die Christoffelsymbole zweiter Art und ihre Ableitungen enthalten. Sie sind in den unteren Indizes symmetrisch und verschwinden in 0( I), dem Ursprung unseres Normalkoordinatensystems. Für h l hat man also die Reihe Um X1 daraus entnehmen zu können, hat man nach r zu integrieren, wobei die C*ß, . . hx, . . . konstant bleiben. Sie variieren aber noch mit s, da dannO'(l') variiert. Also hat man genau wie im vorigen § die Koeffizienten noch 2*

20

P . GÜNTHER

längs G zu entwickeln: C*ß\l'— Ca/slf Die C*ß\(' . • +

also

verschwinden aber, so daß man hat: i

y aß 2 dxv a k r s

+

ö

d x dx r ä k ^r*s

+ •

* dxv {Die Parallelverschiebung der Jcx haben wir wie oben vernachlässigt.) Die Gl. (1) überschieben wir mit a } und erhalten :

+

+

(1')

Auf diese Gleichung können wir nun den Operator • anwenden, was sich einfach durchführen läßt. Da wir • /• nur für s = 0 berechnen wollen, rechtfertigt sich das Weglassen der Glieder zweiter und höherer Ordnung in s durch: • s2= 2

5 + 2 ga^kakß = 0 für s= 0.

Für • s ergibt sich: Weiter n(JcXÄr2s)=

Os= — Vitf. s•

—2 ¿"^(¿fV) —

k?lriVek~,

und für s = 0 und wegen = — 6 k* k*r-{-(r5)

(2)

Analog • (¿""V3s) =

n(k'xX"ris)=

— 8 Ä;'XA r 2 +

•• •

— 10 k'"1" /» + •••

Für • ä, X1 hat man: Däi^

= fVaä

ß

=-f

ß

n

ß

d,.

Zur Gültigkeit des HüYGENSschen Prinzips

21

(ä, ißt ja in 0 ( | ) zu bilden und deshalb konstant.) Darin ist gxß T'aß zu entwickeln. I n (1) und (3) hat man jetzt die Ciß, . . . durch die Christoffelsymbole und ihre Ableitungen und diese durch den Krümmungstensor und seine kovarianten Ableitungen mittels der im vorigen § angegebenen Beziehungen auszudrücken. Damit erhält man die gesuchte Eeihe f ü r Ur. zu gelangen, beachten Um von dieser Eeihe zu • wir: Aus Gl. (1) entnimmt man nach Differentation f ü r 0: =

= ®a Ra 1 ax wobei die Größe Rx mit Gliedern zweiter Ordnung beginnt und proportional zu ka ist, so daß man h a t :

RsRx=kaR«

Dann ist

= 0.

rarx=dcldßgxß-2

+

2äaR\

xß

Darin hat man g noch in eine Eeihe zu entwickeln und deren Glieder durch den Krümmungstensor auszudrücken. Dann ergibt sich aus

endlich die gesuchte Eeihe f ü r d - ^ :

-±v

a

R°ß y"Reöca kaßvÖEr2 +

+ Mv*ve

i

F

«

v R

ß rä~

Fx V ß VyRö , m

V V

* «

VßR

v°

22

P . GÜNTHER

Wie man sieht, beginnt die Entwicklung mit Gliedern der Ordnung r . Ferner sind die in al quadratischen Glieder herausgefallen. § 4. Die Entwicklung von G(v) Wir kommen jetzt zur Entwicklung von v{S, x) und G(v). Zunächst setzen wir für die Koeffizienten der D Gl. in 0 ( | ) : ß

dx

1

- A

2

3*An

1 - A

6

3xßdxr\0

Haß — Axs

+ liir)+ÄXißy{Wvr*

+ A!ßya(kßySrs

+ 3äßfcör2

+ 2 aP tt r s) s)

(2)

23

Zur Gültigkeit des HüYGENSschen Prinzips

Für die kontravarianten Komponenten hat man: Ax=^H%(äßs +

+

Ä«ißyd{kßva

¥ r) + r3 +

Ä^tßY{kßv

r2 + 2a'

3 äßkydr*

k*

rs)

s)

(2')

Die einzelnen Glieder der Reihenentwicklung von G(v) wollen wir durch eckige Klammern bezeichnen, in denen die Größenordnung in r steht. Da G(v) ein Differentialausdruck zweiter Ordnung ist, kann sich die Größenordnung eines Gliedes von v bei Berechnung von G{v) höchstens um 2 erniedrigen. I. Größenordnung:

[—1]

Aus v= — e r

kommen folgende Glieder in Frage: V«ka = -

Aa ka — -g- Ha ßk

aP s.

Dabei ist das Glied Hlxßk'xß wegen der Schiefsymmetrie der Hxß weggefallen. Bei Integration über r sind s und hf konstant, so daß sich ergibt: =

+ -J"

Nun ist: G(v)

= nv

-

A'VaV

+

(C -

V*A*)

v.

Für den •-Operator gilt für s = 0:

•4 (Letzteres bis auf Glieder dritter Ordnung, so daß man bis

24

P. GÜNTHER

zur Berechnung von [2] einschließlich nicht mehr auf diesen Ausdruck einzugehen braucht.) Aus A 01 -^ kommt in Frage: dx

^1 A«dv

dx

= A

» _ J _ dx

=

J_ff* 2r P

ä

\

¿1

=

lrs, gibt dies:

in ver-

Unter Benutzung von nk'"rs=

—ik'"

hat man in G{v): Die Glieder zweiter Ordnung in v j ^ lauten:

Daraus kommt in G{v) bei Anwendung des D-Operators ±vaRtxäak'x, so daß sich endgültig in G{v) ergibt: [0] = -

+ 2 Ä^ J ä*k"< + ( ^ xX - 2 Ä%x) k" \dx

Wegen der Gl.(l) fällt das erste Glied fort. Aus einer Gleichung Qxkl in O(f) für alle kl, folgt aber Qx = 0. Also erhalten wir die notwendige Bedingung g-2ii„

B

=0.

(6)

Aus den Gl. (1) dieses § folgt aber durch Überschieben mit dem Fundamentaltensor 2

=

Ae.ex = -^-(Ä)ßHAl :

„aß

drß*

A —

also in — nsP

92 A *

1—2 A e

Weiterhin erhält man in 0(1): Ve VXÄ*=2 so daß die Gl. (7) gleichbedeutend ist mit UA„ -

Vg Vx A6 — 0 ,

oder unter Vertauschung der koVarianten Ableitungen nA„-VxVeAe

+ R„QAe= 0.

Diese vier notwendigen Bedingungen (8) erlauben gende Interpretation. Faßt man den Vektor Ax Viererpotential eines elektromagnetischen Feldes stellen (8) gerade die für dieses Potential gültigen gleichungen dar. Setzt man Hafi=VßA«—V*Aßt

(8) die folals das auf, so Wellen(9a)

führt also die elektromagnetische Feldstärke ein, so sind die

28

P . GÜNTHER

Gl. (8) gleichbedeutend mit V e H j = 0.

(9b)

Da für einen schief.symmetrischen Tensor zweiter Stufe Haß = vlx AßJ gilt piaffßy]=0, (9 c) so ist (8) auch gleichbedeutend mit (9b) und (9c), die gerade das System der M A X W E L L S C H E N Gleichungen für den R I E M A N N schen Eaum darstellen. Die nächste Bedingung wird uns einen Ausdruck für den elektromagnetischen Energietensor liefern. I I I .

Größenordnung:

[ 1 ]

Wir berücksichtigen auch wieder zunächst die Glieder, die aus dem bisher benutzten Teil v2 von v entspringen und fassen sie in G(v) zu einem Ausdruck [1]' zusammen. v

t

= ±

+

jHaßk*a!l8

+

-

Zunächst kommt aus ( C — Frage:

VxA*)

v,

V«AX)

i

V«RIX)

A

dv dxa]t

Nun ist:

«

f r .

dv

+

dv dx

on'

rs '

^ RefX° R%va ä' fr»' + ¿ ReJ R%,a Je1"*" r Die ersten beiden Ausdrücke heben sich gerade gegen die

P . GÜNTHER

1

beiden letzten Terme von

a

r

weg. Damit kommt end-

(10)

In einer vierdimensionalen RiEMANNSchen Mannigfaltigkeit gelten nun für die Konformkrümmungsgröße1). Cocßyd

die folgenden

—

Raßyö

2