Zahlentheorie [3. berichtigte Auflage, Reprint 2021] 9783112594827, 9783112594810

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ZAHLENTHEORIE von

DR. HELMUT HASSE

EM. O. P R O F E S S O R AN D E R U N I V E R S I T Ä T H A M B U R G

3. berichtigte Auflage

Mit 49 Abbildungen

AKADE MI E - V E R L A G 1969

.

BERLIN

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 Copyright 1969 b y Akademie«Verlag G m b H Lizenz-Nr.: 202-100/531/69 Offsetdruck und buchbinderische Weiterverarbeitung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer", 382 Bad Langensalza Bestell-Nr. 5000 • ES 19 B 2

Meinem hochverehrten Lehrer und väterlichen Freunde KURT HENSEL dessen Geburtstag am 29. Dezember 1961 zum hundertsten Male wiederkehrte zum Gedächtnis

VORWORT ZUR E R S T E N AUFLAGE Für die Theorie der algebraischen Zahlen gibt es zwei wesentlich verschieden© Begründungsweisen, die divisorentheoretische und die idealtheoretische. Die erstere wurde, auf arithmetischen Untersuchungen von KUMMER und K R O NEOKER sowie der funktionentheoretischen Methode von WEIERSTRASS fußend von HEKSEL um die Jahrhundertwende entwickelt und dann durch die allgemeine Körpertheorie von STEINITZ und die allgemeine Bewertungstheorie von K Ü R SCHAK, OSTROWSKI U. a. unterbaut. Die letztere wurde etwas früher von DEDEKUTD geschaffen, von HILBERT ausgebaut und dann durch die allgemeine Idealtheorie von EMMY NOETHER, ARTEST U. a. vertieft. Es sah zunächst so aus, als ob die idealtheoretische Begründungsweise der divisorentheoretischen überlegen sei, nicht nur dadurch, daß sie schneller und mit weniger begrifflichem Aufwand zum Ziele führte, sondern auch, was die Brauchbarkeit für höhere zahlentheoretische Untersuchungen anlangt. War es doch HILBERT und nach ihm FÜRTWÄXGLER und TAKAGI gelungen, auf dieser Grundlage das imponierende Gebäude der Klassenkörpertheorie zu errichten und bis zum allgemeinen Reziprozitätsgesetz für algebraische Zahlen vorzustoßen, während auf der Henselschen Seite vorerst keine derartigen Erfolge zu verzeichnen waren. In neuerer Zeit hat sich dann aber, zunächst in der Theorie der quadratischen Formen und dann vor allem in der Theorie der hyperkomplexen Zahlen (Algebren) gezeigt, daß die divisorentheoretische oder bewertungstheoretische Begründungsweise nicht nur die arithmetischen Strukturgesetzlichkeiten einfacher und naturgemäßer auszudrücken imstande ist, indem sie den aus der Funktionentheorie geläufigen Zusammenhang zwischen dem Verhalten im Kleinen und im Großen ins Arithmetische zu übertragen gestattet, sondern daß durch diese Methodik gerade auch die Klassenkörpertheorie und das allgemeine Reziprozitätsgesetz der algebraischen Zahlen erst in ihrer wahren, tieferen Bedeutung hervortreten. So hat sich denn heute die Waagschale zugunsten der divisorentheoretischen Begründungsweise gesenkt. An zusammenfassenden Darstellungen der divisorentheoretischen Begründung liegen bisher nur die beiden H E N S E L s c h e n Bücher „Theorie der algebraischen Zahlen, I" (Leipzig 1908) und „Zahlentheorie" (Berlin—Leipzig 1913) vor. Es erscheint daher an der Zeit, eine der inzwischen erfolgten Entwicklung angepaßte und dem neuesten Stande der Erkenntnis gerecht werdende Darstellung dieser Begründung zu geben. Diesen vielfach geäußerten Wunsch soll das vorliegende Buch erfüllen. Seine Niederschrift wurde bereits im Jahre 1938 abgeschlossen. Der Krieg und andere Umstände brachten es mit sich, daß das Werk erst heute erscheinen kann. Das Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die ich in den dreißiger Jahren an den Universitäten Marburg und Göttingen gehalten habe. An der Planung hat sein geistiger Vater, mein verehrter Lehrer K U R T H E N S E L ( 1 8 6 1 — 1 9 4 1 ) , lebhaften

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Vorwort zur ersten Auflage

Anteil genommen. Es ist mir sehr schmerzlich, daß er das Erscheinen nicht mehr hat erleben dürfen. Schon die Theorie der rationalen Zahlen, noch mehr aber die Theorie der algebraischen Zahlen erfordert methodische und sachliche Hilfsmittel aus der Algebra. Bei der Fülle des zu bearbeitenden Stoffes schien es mir angebracht, diese Hilfsmittel als bekannt vorauszusetzen. Es handelt sich dabei um die Grundlagen der Theorie der Körper, Ringe, Integritätsbereiche, Gruppen, die lineare Algebra und die Theorie der algebraischen Erweiterungskörper, insbesondere die Galoissche Theorie. Mir hat bei der Niederschrift ein Leser vorgeschwebt, der sich diese Vorkenntnisse etwa aus meinen beiden Bändchen „Höhere Algebra, I, II" in der Sammlung Göschen (3. Aufl. Berlin 1949) erworben hat. Nur an einigen Stellen, wo es für den Zusammenhang wesentlich ist, wie etwa bei der Theorie der endlichen Körper in § 3, habe ich solche rein-algebraischen Gegenstände nochmals ausführlich entwickelt. Was die Form der Darstellung betrifft, so habe ich mich nicht entschließen können, die nüchterne, nach „Definition, Satz, Beweis" fortschreitende Form meiner Göschen-Algebra auch hier zu verwenden, sondern habe eine freiere Darstellungsform gewählt, bei der nur die wichtigsten Ergebnisse als „Sätze" formuliert und durch Kursivdruck hervorgehoben sind, und bei der auch vielfach der „Beweis" der Formulierung eines solchen „Satzes" vorangeht. Da es sich zu einem beträchtlichen Teil darum handelt, einen Einblick in die Struktur der betrachteten Gegenstände zu vermitteln und diese von allen möglichen Seiten zu beleuchten, schien mir diese Form der Darstellung hier besser am Platze als der sogenannte LANDAU-Stil.

Was den Inhalt betrifft, so hat mir weniger ein „Lehrbuch" als vielmehr ein „Handbuch" vorgeschwebt. Würde es sich nur um eine lehrbuchartige Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen auf bewertungstheoretischer Grundlage gehandelt haben, so hätten größere Abschnitte ganz wegbleiben oder doch wesentlich kürzer gefaßt werden können, so vor allem die Strukturtheorie der diskret bewerteten perfekten Körper in §§ 10, 11, 13, 15, 16. Gerade diese Theorie schien mir aber für ein vertieftes Verständnis der bewertungstheoretischen Begründüngsmethode ebenso wichtig wie etwa das Studium der Grundlagen der Geometrie und der nicht-euklidischen Geometrie zum vertieften Verständnis der euklidischen Geometrie. Die eingangs angeführten höheren Teile der algebraischen Zahlentheorie, nämlich die Klassenkörpertheorie und das allgemeine Reziprozitätsgesetz sowie die zu deren moderner Begründung heranzuziehende Arithmetik der Algebren, konnten wegen des beschränkten Umfanges keine Aufnahme finden. Ich habe in Aussicht genommen, diese Gegenstände später in einer Fortsetzung des Werkes zu behandeln. An einer Reihe von Stellen ist auf diese geplante Fortsetzung bereits vorverwiesen.. Schon in den grundlegenden Untersuchungen von KRONECKER, H E N S E L einerseits und D E D E K I N D andererseits trat hervor, daß die Theorie der algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten sich weitgehend analog zur Theorie der algebraischen Zahlkörper aufbauen läßt. In neuerer Zeit haben F. K. SCHMIDT u.a. gezeigt, daß auch die Gesetze der höheren Zahlentheorie (Klassenkörpertheorie und Reziprozitätsgesetz) ihr formales Analogon bei den Funktionenkörpern haben, wenn man noch die Forderung endlichen Konstantenkörpers hinzunimmt. Wie

Vorwort zur ersten Auflage

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ich in § 20 dieses Buches zeigen werde, treten diese beiden Körpertypen, nämlich die algebraischen Zahlkörper und die algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten mit endlichem Konstantenkörper, schon dadurch gemeinsam in den Blickpunkt, daß sie sich als die einzigen erweisen, für welche die für das Funktionieren der bewertungstheoretischen Begründungsmethode zu stellenden einfachen Axiome erfüllt sind. Bei dieser Sachlage erschien es mir angebracht, dem Leser neben der arithmetischen Theorie der algebraischen Zahlkörper auch gleich die arithmetische Theorie der algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten zu vermitteln. Daher habe ich denjenigen Paragraphen, die nicht schon an sich für beide Theorien in Frage kommende Dinge behandeln, jeweils einen mit „ F u n k t i o n e n k ö r p e r " überschriebenen Anhang hinzugefügt, in dem angegeben ist, welche Abänderungen in dem voranstehenden Paragraphen anzubringen sind, um den Fall der Funktionenkörper zu erfassen. Meist sind diese Anhänge ganz kurz, da die Abweichungen nur geringfügig sind. In einigen Paragraphen müssen jedoch dazu noch besondere Hilfsmittel entwickelt werden, wie die Theorie der Automorphismen des rationalen Funktionenkörpers, die Theorie des Konstantenkörpers und der Konstantenerweiterung, die Theorie der Differentiale, und der Riemann-Rochsche Satz. Dementsprechend sind in jenen Paragraphen den Anhängen „Funktionenkörper" Zusatzteile mit besonderen Überschriften in loser Folge angegliedert; siehe dazu im einzelnen das Inhaltsverzeichnis. Meinen Schülern Prof. Dr. FRANZ, Frankfurt, Bibliotheksrat Dr. GRUNWALD, Göttingen, Studienrat KLOBE, Erfurt, stud. math. JEHNE, Berlin, bin ich für zahlreiche wertvolle Verbesserungsvorschläge zu größtem Dank verpflichtet. Der erstere hat vor der Drucklegung das Manuskript einer genauen, kritischen Durchsicht unterzogen, die letzteren haben mich beim Lesen der Korrekturen in mühevoller Arbeit unterstützt. An der Durchsicht des Manuskripts hat sich überdies mein Kollege Prof. Dr. ROHRBACH in dankenswerter Weise beteiligt. Mein Dank gilt auch der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, insbesondere Herrn Direktor Dr. NAAS, und dem Akademie-Verlag, durch die es trotz der gegenwärtigen Schwierigkeiten ermöglicht wurde, das Buch herauszubringen und ihm eine gediegene Ausstattung zu geben. Berlin, im Februar 1949

Der Verfasser

VORWORT ZUR Z W E I T E N AUFLAGE Die überaus freundliche Aufnahme, die mein Buch in der wissenschaftlichen Welt bei seinem Erscheinen vor 13 Jahren gefunden hat, und der in den letzten Jahren vielerseits geäußerte Wunsch nach seinem Wiedererscheinen haben mich darin bestärkt, der schon seit 7 Jahren vergriffenen ersten Auflage eine zweite folgen zu lassen. Die lebhafte Weiterentwicklung der algebraischen Methoden in den 24 Jahren seit der Niederschrift des Druckmanuskripts und die Auswirkung dieser Entwicklung auf die algebraische Zahlentheorie, vor allem in ihren höheren Zweigen, ließen zahlreiche Umarbeitungen wünschenswert erscheinen. Ein großer Teil davon wurde durchgeführt; andere wären so einschneidend gewesen, daß sie den Rahmen des Werkes gesprengt hätten oder auf die Abfassung einer neuen Niederschrift nach verändertem Gesamtplan hinausgelaufen wären. Weitgehend umgearbeitet wurden § 4 (Struktur des Restklassenrings und der primen Restklassengruppe), § 18 (Bewertungsfortsetzung bei nicht-vollständigem Orrundkörper), § 28 (Einheiten), sowie die auf Funktionenkörper bezüglichen Anhänge zu §§ 24/25 (Kennzeichnung der Primdivisoren durch Homomorphismen, Zerlegungsgesetz bei algebraischer Konstantenerweiterung). Völlig neubearbeitet wurde der § 15 (Struktur und Basis der Einseinheitengruppe), der in seiner bisherigen Fassung für viele Leser ein Stein des Anstoßes war. Zahlreiche Vereinfachungen, Glättungen, Straffungen, Präzisierungen und Ergänzungen wurden außerdem in den §§ 2, 3, 5, 6, 14, 16, 19, 20, 22, 27, 29, 30 vorgenommen, sowie kleinere Änderungen auch in den übrigen Paragraphen angebracht. Ein Teil der eingefügten Ergänzungen ist rein-algebraischer Natur. Es schien mir an mehreren Stellen doch angebracht, die algebraischen Grundlagen zahlentheoretischer Begriffsbildungen ausführlicher und präziser als in der ersten Auflage herauszuarbeiten, so etwa in §§ 3, 4, 5, 15, 18. Den Wünschen eines meiner Kritiker entsprechend, dem ich für seine wertvollen Anregungen zu Dank verpflichtet bin, habe ich die Form der Darstellung in vielen Abschnitten gestrafft und mich bemüht, Detailuntersuchungen klar von der großen Linie abzuheben. Insbesondere habe ich jetzt alle wichtigen Ergebnisse durch Einrücken und Kursivdruck hervorgehoben, wenn ich mich auch aus sachlichen und didaktischen Gründen nicht überall zu einer Verwendung des starren Schemas „Satz—Beweis" entschließen konnte. Auch habe ich, dem Wunsche jenes Kritikers entgegenkommend, zahlreiche Literaturhinweise angebracht, vor allem überall dort, wo ich neuere Ergebnisse genannt oder Ausblicke gegeben habe, ohne daß für Beweis bzw. näheres Eingehen Raum blieb. Wenn ich im Vorwort der ersten Auflage sagte, daß mir bei der Niederschrift mehr ein „Handbuch" vorgeschwebt habe, so hat die bereitwillige Aufnahme

Vorwort zur zweiten Auflage

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und eifrige Benutzung durch die studierende Jugend mir doch gezeigt, daß mein Buch auch als „Lehrbuch" bestehen kann. Ist es ja doch auch aus von mir gehaltenen Vorlesungskursen entsprungen. Bei den vorgenommenen Umarbeitungen habe ich mich bemüht, diesem didaktischen Charakter gerecht zu bleiben. Insbesondere habe ich die Begriffsbeschreibungen und Beweise viel weitergehend als bisher mit schematischen Abbildungen ausgestattet, die, wie mir scheint, ein vorzügliches Hilfsmittel zum intuitiven Erfassen struktureller algebraischer und arithmetischer Zusammenhänge sind, ein Hilfsmittel, ohne das man gar nicht mehr arbeiten möchte, wenn man sich einmal von seiner ordnenden, klärenden und richtungweisenden Kraft überzeugt hat. Insbesondere möchte ich hier auf Abb. 18 und 34 hinweisen, in denen die nicht ganz einfach überschaubare Situation bei Übergang zu den vollständigen Hüllen nach verschiedenen Primstellen einer algebraischen Erweiterung vor Augen geführt wird. Von befreundeter Seite wurde mir u. a. die Anregung gegeben, in den auf Funktionenkörper bezüglichen Anhängen die durchgängige Beschränkung auf vollkommene Konstantenkörper und demzufolge separable Erzeugbarkeit fallen zu lassen, damit das Buch auch als Grundlage für die neuerdings im Brennpunkt des Interesses stehende Theorie der Funktionenkörper mit mehreren Unbestimmten (algebraischen Mannigfaltigkeiten) geeignet sei. Gerade diese Änderung, so berechtigt und erwünscht sie auch in meinen Augen ist, hätte aber eine so tiefgreifende Umgestaltung der Gesamtanlage des Buches und eine so weitgehende Entfremdung von seinem eigentlichen Thema „Zahlentheorie" erfordert, daß ich mich dazu nicht entschließen konnte. Auch von der mir angeratenen Aufnahme der Hilbertschen Theorie des galoisschen Zahlkörpers in moderner Bearbeitung mußte ich absehen, weil der Umfang des Buches durch die vorgenommenen Neubearbeitungen bereits übermäßig angeschwollen war. Ob ich zur Abfassung des im Vorwort zur ersten Auflage angekündigten Fortsetzungsbandes in der Lage sein werde, in dem Klassenkörpertheorie, Reziprozitätsgesetz und Arithmetik der Algebren behandelt werden sollten, ist nach der mahnenden Warnung, die mir das Geschick vor 7 Jahren in Gestalt einer schweren Gesundheitsstörung erteilt hat, mehr als fraglich geworden. Da ohnehin in unseren Bibliotheken bereits genug erste Bände stehen, denen nie ein zweiter gefolgt ist, habe ich daher die im Text der ersten Auflage an einer Reihe von Stellen gegebenen Vorverweise auf die „geplante Fortsetzung dieses Werkes" durch Hinweise auf die Fachliteratur ersetzt. Ich möchte glauben und hoffen, daß mein Buch auch ohne die Ausrichtung auf eine solche Fortsetzung, als Einführung in die Grundlagen der Arithmetik in algebraischen Zahlkörpern und algebraischen Funktionenkörpern einer Unbestimmten seinen Platz in der Literatur behaupten kann. Besonderen Dank schulde ich meinen Schülern Dr. J E H N E (bereits im Vorwort zur ersten Auflage genannt) und Dr. DZEWAS, die, als ich vor 7 Jahren die Arbeit an der Neuauflage aus gesundheitlichem Grunde zunächst ganz abbrechen mußte, in selbstloser Hilfsbereitschaft einsprangen und mit unermüdlichem Fleiß die Entwürfe für die neu zu fassenden oder einzufügenden Abschnitte erarbeiteten. Die Mehrzahl der größeren Umarbeitungen und Einfügungen geht auf Vorschläge

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V o r w o r t zur zweiten Auflage

von Dr. Jehne zurück — einige dieser Vorschläge mußten leider aus schon oben berührten Gründen unberücksichtigt bleiben —, während Dr. Dzewas auch später bei der endgültigen Formulierung und Einpassung noch weitere wertvolle Hilfe geleistet hat. Bei der mühevollen Durchsicht der Fahnen- und Bogenkorrekturen haben mir meine Schüler Dr. A L B E K , Dr. H. B E N Z und E . MAUS die Hauptarbeit abgenommen und noch vielfach zur Verbesserung des Textes beigetragen. Für ihre aufopfernde Hilfsbereitschaft bin ich ihnen zu großem Dank verpflichtet. Schließlich gilt mein Dank dem Akademie-Verlag und seinen Mitarbeitern, die durch ihr bereitwilliges Eingehen auf alle meine Wünsche dazu beigetragen haben, daß die zweite Auflage hinsichtlich Druckbild, Textanordnung u. a. m. gegenüber der ersten wesentlich verbessert werden konnte. Hamburg, im November 1962

Der Verfasser

V O R W O R T ZUR D R I T T E N A U F L A G E Aus der Tatsache, daß die zweite Auflage bereits nach 6 Jahren vergriffen ist, während die erste es erst nach 13 Jahren war, scheint mir hervorzugehen, daß mein Buch ein noch immer steigendes, vielseitiges Interesse findet. Nach der weitgehenden Umarbeitung und Ergänzung bei der zweiten Auflage erschienen mir für die dritte Auflage lediglich einige berichtigende bzw. ergänzende Bemerkungen sowie die Beseitigung einer Reihe von Druckfehlern erforderlich. Den Hinweis auf die Berichtigung zum regulär-verzweigten Fall (§ 16, S. 241) verdanke ich dem jugendlichen Fachgenossen R O L F - P E T E R HOLZAPFEL von der Humboldt-Universität Berlin, der beim Studium des Buches ein recht verborgenes Versehen von mir entdeckte. Dem Verlag gilt mein erneuter Dank für vorbildliches Druckbild und vorzügliche Ausstattung. Honolulu, Hawaii im Frühjahr 1969

Der Verfasser

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V o r w o r t zur zweiten Auflage

von Dr. Jehne zurück — einige dieser Vorschläge mußten leider aus schon oben berührten Gründen unberücksichtigt bleiben —, während Dr. Dzewas auch später bei der endgültigen Formulierung und Einpassung noch weitere wertvolle Hilfe geleistet hat. Bei der mühevollen Durchsicht der Fahnen- und Bogenkorrekturen haben mir meine Schüler Dr. A L B E K , Dr. H. B E N Z und E . MAUS die Hauptarbeit abgenommen und noch vielfach zur Verbesserung des Textes beigetragen. Für ihre aufopfernde Hilfsbereitschaft bin ich ihnen zu großem Dank verpflichtet. Schließlich gilt mein Dank dem Akademie-Verlag und seinen Mitarbeitern, die durch ihr bereitwilliges Eingehen auf alle meine Wünsche dazu beigetragen haben, daß die zweite Auflage hinsichtlich Druckbild, Textanordnung u. a. m. gegenüber der ersten wesentlich verbessert werden konnte. Hamburg, im November 1962

Der Verfasser

V O R W O R T ZUR D R I T T E N A U F L A G E Aus der Tatsache, daß die zweite Auflage bereits nach 6 Jahren vergriffen ist, während die erste es erst nach 13 Jahren war, scheint mir hervorzugehen, daß mein Buch ein noch immer steigendes, vielseitiges Interesse findet. Nach der weitgehenden Umarbeitung und Ergänzung bei der zweiten Auflage erschienen mir für die dritte Auflage lediglich einige berichtigende bzw. ergänzende Bemerkungen sowie die Beseitigung einer Reihe von Druckfehlern erforderlich. Den Hinweis auf die Berichtigung zum regulär-verzweigten Fall (§ 16, S. 241) verdanke ich dem jugendlichen Fachgenossen R O L F - P E T E R HOLZAPFEL von der Humboldt-Universität Berlin, der beim Studium des Buches ein recht verborgenes Versehen von mir entdeckte. Dem Verlag gilt mein erneuter Dank für vorbildliches Druckbild und vorzügliche Ausstattung. Honolulu, Hawaii im Frühjahr 1969

Der Verfasser

INHALTSVERZEICHNIS I. Die Grundlagen der Arithmetik im rationalen Zahlkörper § 1. Primzahlzerlegung Funktionenkörper §2. Teilbarkeit Funktionenkörper § 3. Kongruenzen Funktionenkörper Theorie der endlichen Körper § 4. Die Struktur des Restklassenrings mod m und der primen Restklassengruppe mod m 1. Allgemeines über direkte Produkte und direkte Summen 2. Direkte Zerlegung des Restklassenrings mod m und der primen Restklassengruppe mod m . 3. Die Struktur der Additionsgruppe des Restklassenrings mod m . . . . 4. Zur Struktur des Restklassenrings mod pi' 5. Die Struktur der primen Restklassengruppe mod pe Funktionenkörper § 5. Quadratische Reste 1. Theorie der Charaktere einer endlichen abelschen Gruppe 2. Restklassencharaktere und Zahlcharaktere mod m 3. Die Grundtatsachen über quadratische Reste 4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Legendresche Symbol . . 5. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Jacobische Symbol . . . 6. Das quadratische Reziprozitätsgesetz als Produktformel für das Hilbertsche Symbol 7. Unterfälle des Dirichletschen Satzes über Primzahlen in primen Restklassen Funktionenkörper IT. Theorie der bewerteten Körper § 6. Die Grundbegriffe über Bewertungen " 1. Definition des Bewertungsbegriffs, äquivalente Bewertungen 2. Annäherungsunabhängigkeit und multiplikative Unabhängigkeit von Bewertungen 3. Bewertung im Primkörper 4. Wertgruppe und Restklassenkörper Funktionenkörper § 7. Die Arithmetik in einem diskret bewerteten Körper Die Divisoren vom idealtheoretischen Standpunkt §8. Die vollständige Hülle eines bewerteten Körpers § 9. Die vollständige Hülle eines diskret bewerteten Körpers. Die p-adischen Zahlkörper Funktionenkörper

1 2 7 8 21 23 36 38 41 41 44 53 54 55 61 62 62 67 70 74 79 88 92 95 99 100 100 103 107 115 119 122 125 129 137 141

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Inhaltsverzeichnis

§ 10. Die Typen diskret bewerteter vollständiger Körper mit vollkommenem Bestklassenkörper 1. Das multiplikationstreue Bestsystem bei Primzahlcharakteristik . . . 2. Der oharakteristikgleiche Fall mit Primzahlcharakteristik 3. Das multiplikationstreue Bestsystem im p-adischen Zahlkörper . . . . 4. Die Wittsche Vektorrechnung 5. Konstruktion des allgemeinen p-adischen Körpers 8. Der charakteristikungleiche Fall 7. Gleichungstreue Bestsysteme bei Charakteristik 0 8. Die gleichungstreuen Bestsysteme für einen rationalen Funktionenkörper 9. Der charakteristikgleiche Fall mit Charakteristik 0 § 11. Fortsetzung einer diskreten Bewertung auf eine rein-transzendente Erweiterung $ 12. Fortsetzung der Bewertung eines vollständigen Körpers auf eine endlichalgebraische Erweiterung 1. Existenzbeweis 2. Vollständigkeitsbeweis 3. Eindeutigkeitsbeweis § 13. Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper § 14. Die Struktur einer endlich-algebraischen Erweiterung eines diskret bewerteten vollständigen Körpers 1. Die Einbettung der Arithmetik 2. Der rein-verzweigte Fall 3. Der unverzweigte Fall mit vollkommenem Bestklassenkörper 4. Der allgemeine Fall mit vollkommenem Bestklassenkörper 5. Der allgemeine Fall mit endlichem Bestklassenkörper $ 15. Die Struktur der Multiplikationsgruppe eines diskret bewerteten vollständigen Körpers mit vollkommenem, insbesondere endlichem Bestklassenkörper von Primzahlcharakteristik 1. Zurückführung auf die Einseinheitengruppe und deren grundlegende Untergruppenkette 2. Die Einseinheitengruppe als abelsche Operatorgruppe Kurzer Überblick über die allgemeine Theorie der abelschen Operatorgruppen (Moduln bezüglich Integritätsbereich) 3. Der Körper der n-ten Einheitswurzeln über einem p-adischen Zahlköiper 4. Die Struktur der Einseinheitengruppe im charakteristikgleichen Falle mit endlichem Bestklassenkörper 5. Die Struktur der Einseinheitengruppe im p-adischen Falle 6. Konstruktion eines Qrundeinseinheitensystems im p-adischen Falle . . 7. Die Einseinheitengruppe für spezielle p-adische Zahlkörper 8. Gegenüberstellung der Basisdarstellung der Multiplikationsgruppe im p-adischen und im archimedischen Falle $16. Die regulär-verzweigten Erweiterungstypen eines diskret bewerteten vollständigen Körpers mit endlichem Bestklassenkörper der Charakteristik p $17. Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenzfunktion, in einem nichtarohimedisch bewerteten vollständigen Körper der Charakteristik 0 . . 1. Ganze Potenzreihen in einer Unbestimmten über einem beliebigen Körper 2. Ganze Potenzreihen in einer Veränderlichen in einem nicht-archimedisch bewerteten vollständigen Körper 3. Konvergenz 4. Funktionalgleichungen und gegenseitige Beziehungen

144 145 147 147 148 153 157 161 165 166 168 174 176 179 181 183 186 186 192 194 199 201 205 205 207 209 211 217 219 224 236 238 239 245 245 246 251 255

Inhaltsverzeichnis 5. Der diskrete Fall 6. Der oharakteristikgleiche Fall mit Charakteristik 0 § 18. Fortsetzung der Bewertung eines nicht-vollständigen Körpers auf eine endlich-algebraische Erweiterung 1. Darstellungen einer endlich-algebraischen separablen Erweiterung über einer beliebigen Grundkörpererweiterung 2. Die Ringerweiterung einer endlioh-algebraischen separablen Erweiterung auf eine beliebige Grundkörpererweiterung bzw. das Ringprodukt der beiden Erweiterungen 3. Das charakteristische Polynom 4. Ergänzungen für inseparable Erweiterungen 5. Bewertungsfortsetzung 6. Der diskrete Fall 7. Der archimedische Fall III. Die Grundlagen der Arithmetik in algebraischen Zahlkörpern § 19. Beziehungen zwischen vollem Bewertungssystem und Arithmetik im rationalen Zahlkörper 1. Endlichkeitseigenschaften 2. Kennzeichnungen in der Teilbarkeitslehre 3. Die Produktformel für die Bewertungen 4. Die Summenformel für die Hauptteile Funktionenkörper Die Automorphismen eines rationalen Funktionenkörpers § 20. Fortsetzung des vollen Bewertungssystems auf eine endlich-algebraische Erweiterung • Funktionenkörper Schlußbemerkungen § 21. Die Primstellen eines algebraischen Zahlkörpers und ihre vollständigen Hüllen Funktionenkörper § 22. Primdivisorzerlegung, Ganzheit, Teilbarkeit 1. Der kanonische Homomorphismus der Multiplikationsgruppe in die Divisorengruppe 2. Einbettung der Teilbarkeitslehre bei endlich-algebraischer Erweiterung 3. Algebraische Kennzeichnung der ganzalgebraischen Zahlen 4. Quotientendarstellung Funktionenkörper Konstantenkörper, Konstantenerweiterung §23. Kongruenzen 1. Die gewöhnliche Kongruenz 2. Die multiplikative Kongruenz Funktionenkörper § 24. Die Vielfachen eines Divisors 1. Körperbasen 2. Idealeigenschaft, Idealbasen 3. Kongruenzen für ganze Elemente 4. Die Divisoren vom idealtheoretischen Standpunkt 5. Weiteres über Divisoren und Ideale Funktionenkörper Konstantenkörper für J). Kennzeichnung der Primdivisoren durch Homomorphismen. Zerlegungsgesetz bei algebraischer Konstantenerweiterung Der Rang des Moduls der Vielfachen eines Divisors

XV 262 264 265 268 272 282 285 287 291 294 297 298 298 298 299 300 303 310 313 316 322 324 326 327 327 333 340 342 343 350 356 356 358 360 362 362 364 368 372 378 382 391 407

XVI

Inhaltsverzeichnis

§25. Differente und Diskriminante 1. Schachtelungsformeln für Spur und Norm. Die Divisorspur . . . . . 2. Definition von Differente und Diskriminante 3. Sätze über Differente und Diskriminante im Kleinen 4. Zusammenhang zwischen Differente und Diskriminante im Kleinen und Differente und Diskriminante im Großen 5. Sätze über Differente.und Diskriminante im Großen 6. Gemeinsame außerwesentliche Diskriminantenteiler 7. Beispiele. Funktionenkörper Die Anzahl der Primdivisoren ersten Grades bei endlichem Konstantenkörper Differentiale Der Biemann-Bochsche Satz nebst Folgerungen Aufgeschlossene algebraische Funktionenkörper

417 418 420 423

§ 26. Quadratische Zahlkörper 1. Erzeugung im Großen und im Kleinen 2. Zerlegungsgesetz 3. Diskriminante, Ganzheitsbasis 4. Quadratische Bestcharaktere der Diskriminante beliebiger algebraischer Zahlkörper 5. Die quadratischen Zahlkörper als Klassenkörper 6. Das Hilbertsche Symbol als Normensymbol 7. Der Normensatz 8. Notwendige Bedingung für Hauptdivisoren. Geschlechter

478 478 479 481 483 486 487 491 494

§ 27. Einheitswurzelkörper 1. Erzeugung 2. Zerlegungsgesetz 3. Diskriminante, Ganzheitsbasis 4. Die quadratischen Zahlkörper als Teilkörper von Einheitswurzelkörpefn

501 501 502 504 508

§28. Einheiten 1. Vorbereitungen 2. Beweise 3. Erweiterung . . . . . . 4. Beispiele und Anwendungen : Quadratische Zahlkörper. Einheitswurzelkörper

516 516 520 528

429 430 438 443 448 450 453 459 468

530

§29. Klassenzahl 542 1. Endlichkeit der Klassenzahl 542 2. Folgerungen 542 3. Beispiele und Anwendungen: Quadratische Zahlkörper, Einheitswurzelkörper 544 Funktionenkörper 570 § 30. Annäherungssätze und Diskriminantenabschätzungen 1. Die allgemeinsten Annäherungsforderungen an Null 2. Der Minkowskische Gitterpunktsatz 3. Anwendung auf konvexe Körper innerhalb der Normeinsfläche . . . . 4. Folgerungen aus der Diskriminantenabschätzung Funktionenkörper

573 574 576 579 592 600

Namenverzeichnis

602

Begriffsverzeichnis

603

2

I, § 1. Primzahlzerlegung

§ 1. Primzahlzerlegung Wir stellen zuerst kurz die Grundbegriffe und Grundtatsachen der allgemeinen Teilbarkeitslehre für einen Integritätsbereich ( = Ganzheitsbereich) I zusammen. Dabei ziehen wir aber, anders als es bisher meist geschah, nicht nur die Elemente von I, sondern alle Elemente des Quotientenkörpers K von I in Betracht. In unserer Auffassung steht überdies der Körper K als gegeben voran, und die Teilbarkeitslehre kommt dadurch zustande, daß in ihm ein Integritätsbereich I mit dem Quotientenkörper K als Bereich der ganzen Elemente ausgezeichnet ist. Wir verabreden, daß in den nachfolgenden Definitionen und Aussagen die Buchstaben durchweg Elemente aus K bedeuten sollen, und daß die Zugehörigkeit zu I, wie bereits angegeben, durch Verwendung des Ganzheitsbegriffs zum Ausdruck gebracht wird; dann treten K und I in den Formulierungen äußerlich gar nicht in Erscheinung. Die Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre sind: b heißt Teiler von a, wenn a = gb mit ganzem g ist; Bezeichnung b | a (lies b teilt a), Gegenteil b \ a (lies b nicht-teilt a); andere Ausdrucksweisen: b ist enthalten in a, b geht auf in a, a ist Vielfaches von b, a enthält b, a ist teilbar durch b. e heißt Einheit, wenn e ganz und Teiler des Emselements 1 ist, wenn also 11 s und e 11 gilt. b heißt assoziiert zu a. wenn a = eb mit einer Einheit e ist; Bezeichnung a^b. b heißt echter Teiler von a, wenn b Teiler von a, aber nicht zu a assoziiert ist. Für ganzes a heißen die Einheiten und die zu a Assoziierten die trivialen Teiler von a. p heißt Primelement, wenn p ganz, von 0 und Einheiten verschieden ist und außer den trivialen Teilern keinen ganzen Teiler hat. Die Grundtatsachen über diese Begriffe sind: a | a für jedes a. a | 0 für jedes a, 0 | a nur für a = 0. 1 | a für alle und nur die ganzen a. Aus c | b, b | a folgt c | a. Aus b | a folgt tb\ta für jedes t. Aus t b 11 a folgt b | a, wenn t =j= 0. Aus | «i, i>21 a2 folgt bx b21 a1 a2. | a ist gleichbedeutend mit — -i- , wenn a, b 4= 0. b < d Aus 6 | Oj, b | a 2 folgt b \ at ± a2. Aus b [ a folgt b \ ga für beliebiges ganzes g. Aus 6 | ar folgt b\gia1-\• • • gTat für beliebige ganze g1 gr. e | o für alle und nur die ganzen a, wenn s Einheit. a ^ b ist gleichbedeutend mit b\a, a\b. Ist a^a', J s &', so ist b | a gleichbedeutend mit b' | a'. Sind p, q Primelemente, so folgt aus p \ q, daß p=q ist. Die Einheiten e bilden eine Untergruppe E der Multiplikationsgruppe K x . Das Assoziiertsein ist eine Äquivalenzrelation, und zwar handelt es sich (wenn man die 0 beiseite läßt) um die Kongruenz in Kx nach der Untergruppe E. Dem-

Zahlkörper

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entsprechend zerfallen die Elemente von K in Klassen assoziierter Elemente, von denen eine aus allen Einheiten besteht; die 0 bildet eine Klasse für sich. Für den Körper P der rationalen Zahlen mit dem Integritätsbereich T der ganzen rationalen Zahlen kommen folgende besondere Tatsachen hinzu: Die einzigen Einheiten sind die beiden Zahlen ± 1. Dementsprechend sind die Klassen assoziierter Elemente die Paare ± a entgegengesetzt gleicher Zahlen. Wenn es nur auf die Teilbarkeitseigenschaften einer von 0 verschiedenen rationalen Zahl ankommt, kann man diese daher als positiv normiert annehmen; wenn sie ganz ist, also als natürliche Zahl. Sind a, b natürliche (oder allgemeiner auch positive rationale) Zahlen und ist b Teiler von a, so ist b a und genauer b < a oder b = a, je nachdem b echter Teiler von a ist oder nicht. Die positiv normierten Primelemente heißen die Primzahlen. Sind p, q Primzahlen, so folgt aus p | q, daß p = q ist. Der Hauptsatz der Arithmetik im rationalen Zahlkörper lautet in seiner einfachsten, auf die natürlichen Zahlen beschränkten Form : Satz von der eindeutigen Primzerlegung. Jede natürliche Zahl a besitzt eine und nur eine Darstellung « = Vi • • • Pn als Produkt von (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen pv . . . , pn. Für die Eindeutigkeitsaussage ist natürlich von der willkürlichen Reihenfolge der Faktoren p1, ... ,pn abzusehen. Beweis. Wir verwenden, einem schönen Gedanken von Z E R M E L O folgend, vollständige Induktion nach a. Für a = 1 ist der Satz trivialerweise richtig, wenn man formal auch n = 0 zuläßt und die Festsetzimg trifft, daß ein Produkt aus 0 Faktoren 1 bedeuten soll. Sei a > l f Wir nehmen an, die Behauptungen seien bereits für jede natürliche Zahl < a bewiesen, und zeigen, daß sie dann auch für a zutreffen. Unter allen von 1 verschiedenen natürlichen Teilern von a gibt es einen kleinsten p, und dieser ist Primzahl; denn ein nicht-trivialer natürlicher Teiler von p wäre ein von 1 verschiedener natürlicher Teiler auch von a und kleiner als p, was der Wahl von p widerspricht. Man hat somit eine Zerlegung a = pb in eine Primzahl p und eine natürliche Zahl b < a. Diese Zahl b hat nach der Induktionsannahme eine Primzerlegung. Daher hat auch a eine Primzerlegung. Die Primzerlegung von b ist ferner nach der Induktionsannahme eindeutig. Daher hat o jedenfalls keine andere Primzerlegung, in der p vorkommt. In jeder etwa vorhandenen anderen Primzerlegung von a können also nur von p verschiedene Primzahlen vorkommen. Angenommen nun, es gäbe noch eine andere Primzerlegung von a. Dann sei q eine in ihr vorkommende Primzahl und a=

qc.

Wie gesagt ist dabei q=\= p. Wegen der Wahl von p ist dann q > p, also q — p eine natürliche Zahl, und diese ist < q. Bilden wir also a0 = a — p c — V (6 — c) (q — P) Cj

4

I, § 1. Primzahlzerlegung

so ist a0 eine natürliche Zahl und < a, und auch die Faktoren b — c,q — p, c sind natürliche Zahlen < a. Nach der Induktionsannahme besitzen daher die Zahlen a0, b—c, q—p, c sämtlich eindeutige Primzerlegungen. Die Gleichung a0 = p (b—c) lehrt, daß in der Primzerlegung von a0 die Primzahl p vorkommt. Wegen der Eindeutigkeit dieser Zerlegung lehrt die Gleichung a0 — (q — p) c, daß p auch entweder in der Primzerlegung von q — p oder in der von c vorkommt. In der Primzerlegung von q — p kann aber p nicht vorkommen, weil p sonst auch in (ff — P) + P = ff a u igi n g e . also V —fffolgte. Und in der Primzerlegung von c kann p nicht vorkommen, weil ja alle in der angenommenen anderen Primzerlegung von a vorkommenden Primzahlen von p verschieden sind. Damit ist die Annahme, es gäbe eine weitere Primzerlegung von a, zum Widerspruch geführt. Das vollendet den Induktionsbeweis. Der Satz von der eindeutigen Primzerlegung läßt zwar die Primzahlen als die multiplikativen Bausteine der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen erkennen, er liefert aber nicht unmittelbar einen Beweis der Tatsache, daß die Menge dieser Bausteine selbst unendlich ist: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Dieser Satz wird bereits in EUKLIDS Elementen (Buch IX, Satz 20) ausgesprochen und bewiesen. Die dortige Formulierung ist insofern bemerkenswert, als sie das Wort unendlich nicht verwendet; sie lautet: Ol TCQÖJXOL AQI&FIOI nXeiovQ elal navxat; rov ngors^evrog nXrftorog ngcbtcov äßi&ficöv, zu deutsch: Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge von Primzahlen. Beweis (nach EUKLID). Seien pv • • •, pn gegebene Primzahlen. Wir bilden die natürliche Zahl a = Pl • - • pn + 1 . Da o > 1 ist, gibt es eine in a aufgehende Primzahl p. Diese Primzahl p kommt aber nicht schon unter den Primzahlen p-L,...,pn vor, weil sie sonst in a — p1 • • • pn = 1 aufginge. Daher ist p eine weitere Primzahl. Es ist amüsant zu bemerken, daß dieser Euklidische Schluß schon von n = 0 an gilt. Er liefert also die Existenz unendlich vieler Primzahlen, ohne daß man auch nur für eine einzige Zahl die Primzahleigenschaft besonders festzustellen hat. Wir runden jetzt den Hauptsatz ab, indem wir erstens gleiche Primfaktoren immer zu Potenzen zusammenfassen, zweitens von den natürlichen Zahlen zum vollen Integritätsbereich T der ganzen rationalen Zahlen übergehen, und drittens dann von T zum Quotientenkörper P der rationalen Zahlen übergehen. 1. Die Zusammenfassung zu Potenzen ergibt folgende Formulierung des Hauptsatzes: Jede natürliche Zahl a besitzt eine und nur eine Darstellung a,

a„

a = pi' • • • prT als Potenzprodukt einer Anzahl r ^ 0 verschiedener Primzahlen pi mit ganzzahligen Exponenten ,... mit ganzen Koeffizienten x,y Das ist aber die zu beweisende Darstellung; denn als größter gemeinsamer Teiler aller Zahlen aus 9t ist d ersichtlich auch der größte gemeinsame Teiler der 9t erzeugenden Zahlen a, b An die letzte Feststellung in diesem Beweis anknüpfend, läßt sich der Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler auch in der folgenden häufig ge2

Hasse, Zahlentheorie

18

I, § 2. Teilbarkeit

brauchten Form, aussprechen, bei der die Unterordnung unter den Hauptsatz f ü r l~- Ideale in P mehr in die Augen springt: Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler (zweite Form). Das aus endlich vielen rationalen Zahlen a,b,..., die nicht sämtlich 0 sind, erzeugte Ideal besteht genau aus allen Vielfachen ihres größten gemeinsamen Teilers d. Den Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Form verdeutlichen wir durch die folgende Kurzfassung: (I) (ii)

d liegt in

(als kleinste positive Zahl), a = r d,

wo d den größten gemeinsamen Teiler von a,b, . . . und 9t das aus a,b, . . . erzeugte Ideal bedeuten. Aus der zweiten Form des Hauptsatzes folgt ein Kriterium auf additiver Grundlage f ü r die Teilerfremdheit ganzer Zahlen, das dem oben S. 13 auf multiplikativer Grundlage gegebenen zur Seite t r i t t : Additives Teilerfremdheitskriterium. Endlich viele ganze Zahlen a, b, . . . sind dann und nur dann teilerfremd, wenn es ganze Zahlen x,y, . . . mit xa + yb + • • • = 1 gibt. Die bei unserem Aufbau an die Spitze gestellte Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers erfordert die Kenntnis der Primzerlegung gegebener rationaler Zahlen. Dafür steht kein einfaches systematisches Rechenverfahren zur Verfügung. E s ist daher von Bedeutung, daß sich zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers ein einfaches systematisches Rechenverfahren entwickeln läßt, das ohne den Weg über die Primzerlegung zum Ziel f ü h r t . Wegen der Assoziativitäts- und Homogenitätseigenschaft genügt es, ein solches Verfahren f ü r die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers z w e i e r n a t ü r l i c h e r Zahlen aufzustellen, die wir dabei zweckmäßig mit a0, % bezeichnen. Man bilde dazu die K e t t e der Divisionen mit Rest (sind die Zahlen etwa in dekadischer Zifferndarstellung gegeben, so hat man dafür das aus der elementaren Arithmetik geläufige systematische Verfahren): aQ = qt a1 a1 = q2 a 2

+ ai + a3

«»—2 = qn—1 a»—\ + a n

m

0 < a 2 < ®i > 0 < a3 < a 2 ,

mit

o < a„ < o„_! ,

it mit

und zwar fahre man so lange fort, wie die auftretenden Reste noch von 0 verschieden sind. Da diese Reste dauernd abnehmen, gelangt man nach endlich vielen Schritten zu einem R e s t O : «n—i = In an • Aus dieser Gleichungskette liest man von unten nach oben ab, daß an in a n _ i , o„_2, . . . , « ! , o 0 aufgeht, also ein gemeinsamer Teiler von a0 und ai ist, und man liest von oben nach unten ab, daß jeder gemeinsame Teiler von o 0 und a1 auch in a2, .. • , an aufgeht. Demnach ist an = (a0, %). Überdies ergibt sich durch Einsetzen f ü r die Reste von unten nach oben, daß an ein lineares Kompositum von o 0

Zahlkörper

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und ax mit ganzen (aus den Quotienten qlt..., gebildeten) Koeffizienten ist, also ein Beweis des Hauptsatzes für diesen einfachsten Fall, von dem man dann leicht auch zum allgemeinen Fall aufsteigen kann. Dieses Rechenverfahren heißt der EuKLiDische Algorithmus. Es findet sich in E U K L I D S Elementen (Buch V I I , Satz 2) und dient dort — anders als bei uns — zum Existenzbeweis des größten gemeinsamen Teilers, der seinerseits dann als wesentliches Hilfsmittel für den Eindeutigkeitsbeweis der Primzerlegung verwendet wird. Wir gehen hier auf diesen Weg zur Begründung der Primzerlegung, dem bisher alle Lehrbücher der Zahlentheorie im wesentlichen gefolgt sind, nicht näher ein. Wir führen nur noch an, daß der Hauptsatz von der eindeutigen Primzerlegung selbst sich in E U K L I D S Elementen nicht vorfindet, wohl aber die beiden folgenden Sätze, die als Kernaussagen des Hauptsatzes angesehen werden können: Für die Eindeutigkeit: Geht eine Primzahl p in einem Produkt ab natürlicher Zahlen auf, so geht sie entweder in a oder in b auf (Buch VII, Satz 30). Für die Existenz: In jeder natürlichen Zahl a > 1 geht mindestens eine Primzahl p auf (Buch VII, Satz 31). Die Existenzaussage bildete auch für den Zermeloschen Beweis des Hauptsatzes die Grundlage, die Eindeutigkeitsaussage aber ergibt sich bei uns erst als einfache Folge des Hauptsatzes (Teilbarkeitskriterium). Wir haben am Schluß von § 1 die eigentliche Bedeutung des Hauptsatzes von der eindeutigen Primzerlegung darin erkannt, daß dadurch die Struktur der Multiplikationsgruppe PX der rationalen Zahlen auf die Struktur der Additionsgruppe r+ der ganzen rationalen Zahlen zurückgeführt wird. Der dem Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler zugrundeliegende Satz über ["-Ideale von P gibt dann weiter einen Einblick in die Struktur dieser Additionsgruppe l~+. Wir führen das noch etwas näher aus. Die Gruppe l~+ der ganzen rationalen Zahlen ist dem Typus nach die unendliche zyklische Gruppe, erzeugt durch 1 oder —1. Da für den Integritätsbereich T die Idealeigenschaft (2) eine Folge aus (1) ist — man kann die Multiplikation mit einer ganzen Zahl als wiederholte Addition oder Subtraktion darstellen —, sind die Ideale in T einfach die Untergruppen =|= 0 der Additionsgruppe l~+. Der Hauptsatz, daß jedes Ideal in T ein Hauptideal ist, besagt demnach: Die einzigen additiven Gruppen =f= 0 aus ganzen Zahlen sind die Gruppen aus den Vielfachen einer natürlichen Zahl. Wir entwickeln zum Schluß noch einen in die Teilbarkeitslehre gehörigen Formalismus, der an die MÖBiusscÄe Funktion /u(n) anknüpft: Sel

n — p'^ - • • p"r (r ^ 0; r ; ^ 1) eine natürliche Zahl in kanonischer Zerlegung (§1, S. 4). Dann ist /„) _ (—l)r> wenn r = 0 ist oder alle vi = 1 sind (n quadratfrei ist) 1 ™ ' ~ 0 sonst }' Diese Funktion hat ersichtlich die folgenden Eigenschaften: Ml) = 1, fx(p) = —1 für Primzahlen p, fj,(p") — 0 für Primzahlpotenzen p" mit v > 1, fi(nn') = /n(n) fi{n'), wenn (n, »') = 1, 2»

20

I, § 2. Teilbarkeit

und sie kann auch mittelbar durch diese Eigenschaften definiert werden, wobei man die Forderung /n(l) = 1 noch weglassen kann, da sie aus der letzten Forderung für » ' = 1 folgt. Für unseren Zweck wesentlich ist die Tatsache: E

d|n

1 für n = 1 = 0 für n > 1

=

Dabei bedeutet E , daß über alle natürlichen Teiler d von n summiert werden soll. i\n

Wir beweisen für eine spätere Anwendung gleich allgemeiner die folgende Tatsache : Ist f(n) irgendeint Funktion im Bereich der natürlichen Zahlen n mit den Eigenschaften /(1) = 1 . wenn (n, n') = 1 , f(n n') = f(n) f(n'), so gilt £>(ä

der Gruppe © auf irgendeine Gruppe © gegeben, so bilden die Elemente c aus © mit zugeordnetem Element c = 0 in © eine Untergruppe § von ©. Sie wird der Kern von H (genauer: von © bei H) genannt. Es werden dann jeweils genau alle Elemente einer Restklasse a mod § auf ein und dasselbe Element a aus © abgebildet, und somit liegt ein Isomorphismus J: a mod § • -> ä von © mod § auf © vor. Demnach setzt sich jeder Homomorphismus H von © aus dem durch seinen Kern § bestimmten Restklassenhomomorphismus von ©

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I, § 3. Kongruenzen

auf © mod § und einem nachfolgenden Isomorphismus J der Restklassengruppe © mod § zusammen (Abb. 1). Diesen Sachverhalt nennt man kurz den Homomorphiesatz. Homomorphismen, die — wie hier der Restklassenhomomorphismus von © auf © mod § — durch die betrachteten Gruppen strukturinvariant festliegen (nicht von irgendwelchen willkürlich gewählten Gruppenelementen abhängen), werden kanonische Homomorphismen genannt. H \

©

& mod 6

$

Abb. 1

Bei den hauptsächlichsten (aber nicht bei allen) in der Zahlentheorie vorkommenden Kongruenzbegriffen ist © die Additionsgruppe l + eines Integritätsbereichs I und § die Additionsgruppe eines Ideals SR in I (§ 2, S. 16). In diesem Falle wird die bisher allein geforderte Untergruppeneigenschaft von § durch die additive Idealeigenschaft (1) von SR realisiert. Neu hinzu kommt dann noch die multiplikative Idealeigenschaft (2) von SR, die sich in der Kongruenzschreibweise ao ausdrückt: aus c = 0 mod SR folgt j c = 0 mod 30t und daher allgemeiner: aus a = b mod SR folgt ga = gb mod SR für jedes g aus I. Ihr zufolge ist in der additiven Restklassengruppe I mod SR eindeutig auch eine elementweise Multiplikation erklärt, und dadurch wird diese Gruppe zum Ring (mit Einselement), dem RestUassenring I mod SR. Der Gruppenhomomorphismus a—• a mod SR ist dann sogar ein Ringhomomorphismus. Umgekehrt ist hier der Kern irgendeines Ringhomomorphismus von I sogar ein Ideal SR in I (einschl. Nullideal), und der Homomorphiesatz gilt in dem schärferen Sinne: Jeder Ringhomomorphismus von I setzt sich aus dem durch sein Kernideal SR bestimmten Restklassenhomomorphismus von I auf I mod SR und einem Isomorphismus des Restklassenrings I mod SR zusammen.

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Zahlkörper

Ist = I m ein Hauptideal, durch m erzeugt, so schreibt man für die Kongruenz a = b mod 9JI auch a = b mod m . In der auf den Integritätsbereich I gegründeten Teilbarkeitslehre (hier nur innerhalb I selbst, nicht auch im Quotientenkörper K) bedeutet diese Kongruenz, daß a — b ein Vielfaches von m ist: a — b — gm mit ganzem g oder also m [a—b. Demnach hat man für eine Teilbarkeitsbeziehung m | c in I auch die Schreibweise c = 0 mod m. Die vorstehenden allgemeinen Begriffsbildungen lassen sich auf verschiedenartige Integritätsbereiche oder auch nur additive oder multiplikative Gruppen aus rationalen Zahlen anwenden und führen dann zu Kongruenz- und Restklassen begriffen, die für den weiteren Ausbau der Zahlentheorie von Bedeutung sind. 1. Wir beginnen mit der Behandlung des grundlegenden Falles, daß I der Integritätsbereich T der ganzen rationalen Zahlen ist. In ihm ist nach dem Hauptsatz aus § 2, S. 17 jedes Ideal 3JI ein Hauptideal, bestehend aus den Vielfachen einer natürlichen Zahl m. Die Kongruenz a = b mod m für ganze Zahlen a, b hat dann die am Schluß unserer allgemeinen Ausführungen angegebene Teilbarkeitsbedeutung, und in dieser Weise definiert, hat sie GAUSS, wie eingangs erwähnt, an die Spitze seines zahlentheoretischen Hauptwerkes Disquisitiones arithmeticae gestellt. Die Bestklasseneinteilung mod m im Bereich der ganzen Zahlen kann anschaulich folgendermaßen beschrieben werden: Man stelle auf einer Geraden die ganzen Zahlen durch eine Folge von Punkten im gleichen Abstand 1 dar (Zahlgerade). Dann besteht eine Restklasse mod m immer aus einer nach beiden Richtungen unbegrenzten Folge von Punkten im gleichen Abstand m. Die Anzahl der Restklassen mod m ist endlich, nämlich gleich m. Auf Grund der Division mit Rest (§ 2, S. 15) bilden nämlich die m Zahlen 0 , 1 , . . . , m — 1 ein volles Restsystem modw; man nennt sie die kleinsten Reste mod m. Ein anderes volles Restsystem mod m besteht aus den m aufeinanderfolgenden ganzen TU TU 17t Zahlen x mit |a;| — , wobei für gerades m willkürlich entweder + —oder — ¿t ' ¿i genommen wird, also ausführlich: 0, ± 1 , 0, ¿ 1

, ± i

— 1j , m

2t

1

+

oder

—

"J"

für

gerades m ,

für ungerades m .

Diese Zahlen heißen die absolut-kleinsten Reste mod m. — Durch die Angabe x mod m unter Summen- und Produktzeichen oder hinter Formeln werden wir später häufig andeuten, daß x irgendein volles Restsystem mod m durchlaufen soll, auf dessen Wahl es nicht ankommt.

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I, § 3. Kongruenzen

Will man einen Einblick in die Struktur eines .»gegebenen Ringes erhalten, so wird man vor allem untersuchen, wie es mit der vierten, in einem Ringe nicht notwendig unbeschränkt und eindeutig ausführbaren Rechenoperation, der Division steht. Diese Frage wollen wir jetzt für den Restklassenring modm in T behandeln. Wir haben dazu zu untersuchen, unter welchen Bedingungen eine Divisionsgleichung in ihm, d. h. eine Kongruenz xa = b mod m bei gegebenen Restklassen a, b mod m durch eine Restklasse x mod m lösbar ist, und was dann über die Gesamtheit der Lösungen x mod m gesagt werden kann. Hierfür ist folgende Tatsache wichtig: Alle Zahlen a einer Restklasse mod m haben mit m den gleichen größten gemeinsamen Teiler d = (a, m). Dieser heißt der Teiler der Restklasse. Restklasaen vom Teiler 1 heißen prime Restklassen. Beweis. Aus a = a' mod m, d. h. a' = a + g m mit ganzem g, folgt (a, m) | o'. Zusammen mit (a, m) | m ergibt das (a, m) | (a\ m). Ebenso folgt umgekehrt (a', m) | (a, m) und daher (a, m) = (a't m). Wir beweisen nunmehr: Division im Restklassenring mod m. Die Divisionsgleichung x a = b mod m im, Restklassenring mod m ist dann und nur dann lösbar, wenn der Teiler d = (a,m) der Restklasse a mod m auch in b aufgeht: d |b

oder auch

6 = 0 mod d .

Ist dies der Fall, so hat sie genau d Lösungen x mod m, und zioar machen diese zusammen gerade eine Restklasse x0 mod demnach in der Form

aus. Die vollständige Lösung kann

m x = x0 modj — a

geschrieben werden. Beweis, a) Wegen d \ a hat man auch d | x a für jedes ganze x. Da außerdem d | m, geht d im Teiler jeder Restklasse x a mod m auf. Ist also xa = b mod m durch ein x lösbar, so geht d notwendig im Teiler der Restklasse b mod m auf, und das besagt d | b. b) Sei jetzt diese notwendige Bedingung erfüllt, also b ein Vielfaches von d = (a, m). Da das aus a, m erzeugte Id^al nach dem Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler (zweite Form, § 2, S. 18) aus allen Vielfachen von d besteht, enthält es dann auch b. Demnach gibt es ganze x, y derart, daß xa+ ym = b ist. Das bedeutet aber gerade die Lösbarkeit der Kongruenz xa = b mod m. c) Um alle Lösungen x zu übersehen, bemerken wir, daß diese aus einer festen Lösung x0 in der Form x = x0 + z

Zahlkörper

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entstehen, wo z alle Lösungen von 2 a = 0 mod m durchläuft. Sei nun gemäß § 2, S. 13 angesetzt: a = da0 , m = dm0 mit (a0, m0) = 1 . Dann ist m | z a gleichbedeutend mit m0 | z a 0 , und dies ist nach dem in § 2, S. 19 bewiesenen Satz weiter gleichbedeutend mit m0 | z. Daher sind die Lösungen z von za = 0 m o d m durch z = 0 m o d m 0 gekennzeichnet, und demnach die Lösungen x von xa = b modm, ausgehend von einer festen x0, durch x = x0modm0. Die gesuchten Lösungen x bilden mithin gerade eine Restklasse mod m0. Aus der Darstellung auf der Zahlgeraden sieht man, daß jede solche sich aus genau d Restklassen mod m zusammensetzt, nämlich aus den Restklassen x = x0 + y m0 mod m

(y mod d).

Damit sind alle Behauptungen bewiesen. Die Division im Restklassenring modm ist hiernach im allgemeinen weder unbeschränkt noch eindeutig. Sie ist unbeschränkt genau für die primen Restklassen a mod m als Divisor, und sie ist eindeutig ebenfalls genau für die primen Restklassen a mod m als Divisor. Denn nur für d = 1 pntspringt aus der notwendigen Lösbarkeitsbedingung d | b keine Beschränkung für b, und nur für d = 1 ist die Lösungsanzahl d gleich 1. Wegen des Zusammenfallens der Bedingungen für die Unbeschränktheit und für die Eindeutigkeit der Division ist der Restklassenring mod m entweder kein Integritätsbereich oder aber sogar ein Körper. Ein Körper ist er dann und nur dann, wenn alle von 0 verschiedenen Restklassen als Divisoren zulässig sind, wenn also für jedes , „ , a ^ 0 mod m auch (a, m) = 1 gilt. Ist m = p eine Primzahl, so ist das der Fall, denn dann ist (a, p) nur der beiden Werte 1, p fähig, und zwar ist ersichtlich (o, p) = p gleichbedeutend mit p | a, d. h. mit a = 0 mod p und demnach (a, p) — 1 gleichbedeutend mit p \ a, d. h. mit a ^ 0 mod p . Ist aber m keine Primzahl, so gibt es — von dem trivialen Fall m = 1 abgesehen — Zahlen a mit gleichzeitig a ^ 0 mod m und (a, m) 4= 1 , z. B. die nicht-trivialen Teiler von m. Für m = 1 ist der Restklassenring mod m ausgeartet: er besteht aus nur einem Element, das gleichzeitig Null- und Einselement ist. Wir haben damit bewiesen: Der Restklassenring mod m ist genau dann ein Körper, wenn m = p eine Primzahl ist. Der Restklassenkörper mod p spielt in der allgemeinen Körpertheorie eine Rolle, nämlich als der Primkörper für die Charakteristik p. Auf die Struktur des Restklassenrings mod m für zusammengesetztes m kommen wir in § 4 ausführlich zurück.

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I, § 3. Kongruenzen

Die primen Bestklassen haben wegen ihres Zusammenhangs mit der Division im Restklassenring mod m besonderes Interesse. Für den Fall einer Primzahl m = p bilden sie, wie wir gesehen haben, eine multiplikative Gruppe, nämlich die Multiplikationsgruppe des Restklassenkörpers mod p. Wir beweisen jetzt auch allgemein: Die primen Restklassen modm bilden eine multiplikative Gruppe. Beweis. Es ist einerseits zu zeigen, daß aus (a, m) = 1 und (b, m) = 1 auch (a b, m) = 1 folgt. Dies ist klar nach dem multiplikativen Teilerfremdheitskriterium (§ 2, S. 8). Andererseits ist zu zeigen, daß für (a, m) = 1 auch die eindeutig bestimmte Lösung x mod m von xa = 1 mod m die Eigenschaft (x,m) — 1 hat. Dies ist klar nach dem additiven Teilerfremdheitskriterium (§ 2, S. 18) auf Grund der ausführlichen Schreibweise xa + ym = 1 für jene Kongruenz. Die Ordnung der primen Restklassengruppe mod m, also die Anzahl der ganzen Zahlen a mit 0 ^ a < m und (a, m) = 1 ist eine Funktion