Einführung in die Zahlentheorie [3. Auflage. Reprint 2020] 9783112321973, 9783112310809

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SAMMLUNG GÖSCHEN

BAND

1131

EINFÜHRUNG IN D I E Z A H L E N T H E O R I E TOD

DR. A R N O L D

SCHOLZ

f

Dozent der Mathematik an der Universität Kiel überarbeitet u n d herausgegeben von

DR. B R U N O

SCHOENEBERG

api. Professor an der Universität H a m b u r g

3. Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. •ormala G. J . Göschen'sdie Verlagshandlung • J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

BERLIN

1961

© Copyright 1961 by Walter de Gruyter 0, die zugleich Vielfaches von a und b ist, offensichtlich die Gestalt Vi V« VV = Pi1 p2' . . . p / , wo die Vi gleichzeitig v, ^ a i ; v( ^ ß ( erfüllen. Das kleinste derartige v hat die Exponenten vt = max (a(, ß() und ist ein Teiler aller gemeinsamen Vielfachen von a und b. Damit gilt

14

Teilbarkeitseigenschaften

Satz 5: Zu zwei positiven Zahlen a und b gibt es eine und nur eine positive Zahl e mit den beiden Eigenschaften: 1. a\e, b\e, 2. aus a\v, b\v fclgt e\v und umgekehrt. Sie ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a, b und wird mit [a, 6] bezeichnet. Das kl. g. V. von mehr als zwei., aber endlich vielen Zahlen wird entsprechend definiert. Ergänzend: [ a x , . . . , an] = 0 , wenn ein = 0. Durch die Eigenschaften 1. und 2. ist e eindeutig festgelegt. Für beliebige ganze a t sollen das kl. g. V. und der gr. g. T. eingeführt werden durch die Forderung, daß sie sich nicht ändern, wenn ein at durch — a f ersetzt wird. Im übrigen werden als gemeinsame Vielfache und Teiler nur die natürlichen betrachtet. Aus den Definitionen des gr. g. T. und kl. g. V. ergeben sich ohne Schwierigkeiten folgende Rechenregeln bei beliebigen ganzen a, und t: (av . . ., a„) und [av ..., Reihenfolge der a,,

an] sind unabhängig von der

(«1»---» «n) = («1, («2. •••! a n ) ) , K>---> a n ] = [«1, |>2---->an]]> (talt..., tan)= |i] ..., a„), [««!,..., tan] = | «i> •••> «n) | K> •••> an), [«!,..., an] | [a 0 , alt . . . , a B ] , [1, al5..., an] = an], (1,^,..., an) = 1. Diese Regeln sind für die Bestimmung des gr. g. T. und kl. g. V. in konkreten Fällen oft von Nutzen. Zwischen dem kl. g. V. und dem gr. g. T. zweier natürlicher Zahlen besteht die Beziehung ab = (a, b) [a, 6], durch welche die Bestimmung des kl. g. V. auf die Bestimmung des gr.g. T. zurückgeführt wird. Sie ist enthalten in dem Satz 6: Für A = a1q1 = a2qi = — = anqn^. A = (a 1( . . . , an) [ f t , . . .,?„].

0 gilt

Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches 15 Beweis: Für A = 0 folgt die Behauptung unmittelbar aus unseren Definitionen. Für A > 0 schreiben wir unter Verwendung des Produktzeichens a=

Vvv, o, = n

n V =

1

V =

V*v~°iv

ii = h 1

V =

1

Dann ist

...,«„) = II ptv,dv = min («!„, ..., a nv ), [?i> = II vi"i s'v— max (xv — a l v , . . . , a „ — a „ „ ) . Wegen min (a„ — x 1 o c v — xnv) = a„ — max ..., anv) und max (a„ — a l v , . . . , oc„ — «„„) = tz„ — min ( a l v , . . . , a„„) ist (5„ + e!,. = £„ + ö'v = a„, womit die Behauptung bewiesen ist. Für n = 2 und = q2 — a, a2 = q1 = b ist das (a, 6) [a, 6] = ab. Für n = 3 lautet die entsprechende Regel ab c = («, b, c) [2>c, ac, a&]. Wenn zwei Zahlen a und b keinen anderen gemeinsamen Teiler als 1 besitzen, wenn also (a, b) = 1 ist, nennt man a und b „teilerfremd", „relativ prim" oder „prim zueinander". Auch n Zahlen heißen teilerfremd, wenn (a l t . . . , « „ ) = 1 ist, dagegen „paarweise teilerfremd", wenn je zwei der Zahlen teilerfremd sind, was schon für n = 3 mehr bedeutet. Z. B. ist (481, 629, 663) = 1, aber (481, 629) = 37, (481, 663) = 13, (629, 663) = 17. Ein Kriterium für Teilerfremdheit und paarweise Teilerfremdheit haben wir in Satz 7: DieZahlen aly a 2 , . . . sind dann und nur dannteilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Primteiler haben. Sie sind dann und nur dann paarweise teilerfremd, wenn die Primteiler von av a2 . .. lauter verschiedene Primzahlen sind. Der Beweis dieses Satzes und der gleich folgenden Sätze ergibt sich unmittelbar aus der Darstellung (4) der Teiler einer Zahl. Wenn eine Primzahl p\bc und p\b, dann p|c. Allgemeiner: Wenn a\bc und (a, b) = 1, dann a\c. Aus (a, b) = (a, c) = 1 folgt (a, bc) = 1 und umgekehrt.

16

Teilbarkeitseigenscliaften Aus

alle

i,

(öi

a2 ...

h und

am,

l 2 ...

in) =

1 folgt

(ait

ik)

=

1

für

umgekehrt.

Ein weiteres Kriterium für die paarweise Teilerfremdheit der Zahlen aJ: a2, . . ., an gibt Satz 8: wenn

[av

Es . ..,

ist ( a a an]

k

)

= a1a2

—

1

für

...

k dann

und

nur

dann'

an. r

T

Ist nämlich wieder a, = J 7 p"i*, so ist [ % , . . . , « „ ] = V= 1

T

Fl vl v mit e„ = max ( a 1 P , . . . , a„„) und a1 a2... an = J J

v=i

mit av —

v-1

n

0. Mit diesem i ist ev = 0 , und damit ist (af, ak) = 1 für j 4= Aus der Rechenregel ( t a l t . . . , tan) = |i| (av . . ., a„)folgt: Ein gemeinsamer Teiler 3 der nicht sämtlich verschwindenden Zahlen mit a t = dal ist genau dann der größte, wenn (ai,. . . , a'n) = 1. § 4. Division mit Rest, Modnln Es sei w ^ 0 und wS; 1. Dann läßt sich eine „Division mit Rest" von m durch w auf die folgende Weise einführen: Es gibt eine größte Zahl q, für die nqfS,m ist; denn es ist n-0^m 1) zugrunde. Man bestimme die höchste Potenz nk gj m und führe die Division von m durch nk mit Rest aus:

m = aknk

+ rk, 1 ig ak < «, 0 ^ rk < nk.

Wiederholte Anwendungen führen schließlich zu

(8) m = aknl

+ ak_1nk-1

+ • • • + ajii + a 0 ; 0 ^ a( < n; 0< ak. Unter Restdivision eines m durch ein m ^ 1 wird neben der Darstellung mit „kleinstem nicht-negativem Rest"

I rn] . m = n\ — + r mit U < r < n [n — auch die Darstellung mit „kleinstem Absolutrest" (9)

m = nv + iv mit — y < w

verstanden, z. B. 8 = 6 • 1 + 2 , 9 = 6 • 1 + 3 , 1 0 = 6-2 — 2. Ein im folgenden viel gebrauchter Begriff ist der „Modul". Der allgemeine Modul ist ein Bereich mit assoziativer und kommutativer Addition und unbeschränkter Subtraktion. Ein Modul ganzer Zahlen ist eine Teilmenge von r , in der die Addition wie üblich erklärt ist und zu der mit zwei Zahlen a, b auch die Zahl a — b gehört. Dann gehören zur Teilmenge auch die Zahlen a — « = 0, 0 — 6 = — &, a — (— b) = a + b und mit einer Zahl auch ihre Vielfachen. Die Vielfachen einer Zahl m bilden einen Modul (m) = ( — » ) ) . Es zeigt sich, daß es in F keine weiteren Moduln gibt. 2

S c h o 1 z - S . c h o eil e b e r g , 7ahlentheorie

18

Teilbarkeitseigenschaften

Satz 10: Jeder Modul ganzer Zahlen besteht aus den Vielfachen einer einzigen Zahl. Beweis: Enthält der Modul nur die Zahl 0, so ist der Satz trivial. Sei nun a =j= 0 eine Zahl aus dem Modul M, die gleich als positiv vorausgesetzt sei. Die nicht leere Menge der positiven Zahlen aus M besitzt ein kleinstes Element m. Nun dividiere man a = mv + r mit 0 iS r < m. Da a, m, mv in M liegen, liegt auch a — mv = r in M. Also kann wegen r < m nicht r > 0 sein, da m die kleinste positive Zahl in M ist. Daher ist r = 0, d. h. a = mv ein Vielfaches von m. Sind n ganze Zahlen alt.. .,an gegeben, so heißt a Vielfachsumme der ah wenn sich a in der Form (10) a = alx1 + a2 x% H + an xn mit ganzen xv . .., xn darstellen läßt. Satz 11: Die Gesamtheit der Vielfachsummen der a( lüdet einen Modul. Jeder gemeinsame Teiler der Zahlen au .. ., an ist Teiler jeder ihrer Vielfachsummen und umgekehrt. Denn mit ü a ^ und H a ^ i ist auch —Za { yi = fa—y{) Vielfachsumme der at. Und ist t\ai!ai = tci, so ist üa { Xi = t£ciX(. Umgekehrt ist ein gemeinsamer Teiler aller Ha, x( auch Teiler aller da die at selbst Vielfachsummen sind: (11)

«j =

n

7=1

e(j mit ei;- = 0 für i =)= j, ei(- = 1.

Ist eine unendliche Folge alt • • an, • • • gegeben, so sind die Vielfachsummen der an natürlich Summen nur je endlich vieler dieser an. Eine einzelne Vielfachsumme läßt sich also in der Form

v = a1x1 + • • • + aTxr

mit einem von v abhängigen r schreiben. Auch jetzt bilden die Vielfachsummen einen Modul und sind daher Vielfache der kleinsten positiven Vielfachsumme

s = a1z1 -|

+ amzm,

also auch Vielfachsummen einer vom einzelnen v unabhängigen endlichen Teilmenge a l t . . . , a m der Zahlen 1 eindeutig zerlegbar, oder es gibt ein kleinstes Element m > 1 mit zwei verschiedenen Zerlegungen m = p1...ps = q1...qt. Jedes p muß hier von jedem q verschieden sein; denn wäre rti etwa p j = qv so besäße bereits — < m zwei verschiedene Zerlegungen. Sei nun q1 die kleinste aller Primzahlen pit q(, so f ü h r e man f ü r alle pt bis ps die Division mit q1 aus und erhält so f ü r ihr P r o d u k t m eine Darstellung m = ( S i f t + h) ( ? 1 Q 2 + r 2 ) . . . (qiQs + r,) = qtQ + r, in der alle Glieder bis auf r = rxrz . . . r s , zu qxQ zusammengefaßt sind. D a q1 < pi und q1 \ pu sind alle Q(, r( positiv, und daher gilt 0 < r < m. Nun ist qx \ r; also gibt es eine Zerlegung von r, in der q1 vorkommt. Andererseits ist r = riri . . . rs eine Zerlegung in Faktoren, die kleiner als q1 sind; diese Zerlegung f ü h r t also zu einer Primzerlegung, in der q1 nicht vorkommt. Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, daß kein r < m zwei verschiedene Primzerlegungen besitzt. [m:n] m Aufgabe: Man bestätige die Rechenregeln und s ns m1 + m2 mt m2 — — + ö mit 0 der Zahlen itj) . . . ) djj ist nicht leer, und sie ist beschränkt, t 5g «¡. Nach Definition gilt 1. d\at\ damit ist d auch Teiler jeder Vielfachsumme der insbesondere Teiler der kleinsten positiven Vielfachsummc s. Mit d\s ist s. Andererseits ist die Zahl s Teiler jeder Vielfachsumme der a{; denn die Vielfachsummen bilden einen Modul, der aus den Vielfachen seines kleinsten positiven Elements besteht. Zu diesem Modul gehören auch die Zahlen at selbst; also ist s|itj, und wegen der Maximalität von d ist s d. Im ganzen folgt also d = s Aus dieser Gleichung ergibt sich dann noch die Eigenschaft 2.: aus i|a( folgt t\d. Dieses «eu definierte d stimmt mit dem früher konstruierten d überein. Das folgt daraus, daß auch für das neue d die Eigenschaften 1. und 2. gelten oder auch daraus, daß der zuerst definierte gr. g. T. zugleich der größte im Sinne der Anordnung ist. Wir formulieren als Satz vom größten gemeinsamen Teiler: Satz 12: Der größte gemeinsame Teiler d = (au ..., an) der Zahlen av . . . , an ist als Vielfachsumme von alt.. ., an darstellbar, (12) d = a1x1 H + anxn, und teilbar durch alle gemeinsamen Teiler. Er ist erzeugendes Element des Moduls der Vielfachsummen. Auch für unendlich viele a ( behalten unsere jetzigen Überlegungen ihren Sinn. Ferner betrachten wir die gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a f . Das Produkt der a t ist ein gemeinsames Vielfaches, und es gibt ein im Sinne der Anordnung kleinstes positives gemeinsames Vielfaches e. Von diesem zeigen wir, ohne die Primzerlegung der zur Konstruktion von e heranzuziehen,

Euklidischer Algorithmus

21

Satz 13: Das kleinste gemeinsame Vielfache geht in allen gemeinsamen Vielfachen auf. Es ist erzeugendes Element des Moduls der gemeinsamen Vielfachen. Beweis: Mit zwei Zahlen ist auch ihre Differenz ein gemeinsames Vielfaches. Die gemeinsamen Vielfachen bilden also einen Modul, der aus den Vielfachen seiner kleinsten positiven Zahl, hier des kl. g. V. der Zahlen . . , an besteht. Das jetzt definierte kl. g. V. ist, wie man sofort sieht, mit dem früher konstruierten identisch. Auch die von uns auf S. 14 zusammengestellten Rechenregeln für die gr. g. T. und kl. g. V. sind von diesem Aufbau der Teilbarkeitslehre aus ohne Schwierigkeiten zu beweisen. Wir stellen zwei Kriterien für das Bestehen der Gleichung (i^,. .. ,an) = (cv . .. , cm) einander gegenüber: Notwendig und hinreichend für (av ...,«„) = (Cj,. . . , cm) ist 1. daß die Primzahlpotenzen, die in allen a^ aufgehen, auch in allen ct aufgehen und umgekehrt, oder 2. daß die a t und e,- dieselben Vielfachsummen haben. Aus dem zweiten Kriterium, das eine unmittelbare Folge von Satz 12 ist, ergibt sich noch folgende wichtige Rechenregel: Satz 14: Für beliebige ganze Zahlen a( und yi ist (av a2, ...,«„) = (fflj, o2 — %2/a,. . . , an — a^«). Beweis: Die rechts stehenden Zahlen sind als Vielfachsummen der links stehenden hingeschrieben, und die links stehenden Zahlen sind wegen a, = (a{ — %«/,-) + al y, für i = 2 , . . . , n Vielfachsummen der rechts stehenden. Also stimmen die Vielfachsummen auf beiden Seiten überein. Dieser Satz führt zu einem Verfahren, den gr. g. T. von n Zahlen Oj,. . . , an zu berechnen; für n = 2 ist es der Euklidische „Algorithmus". Ist a1 die kleinste der als positiv angenommenen Zahlen an, deren gr. g. T. wir feststellen wollen, so dividiere man alle at durch av am vorteilhaftesten mit kleinstem Absolutrest «i = oy([i ± n , 0 ig 2rt < a x .

22

Teilbarkeitseigenschaften

Dann ist nach Satz 14 («!, «2,. .a„)

= K, r2,..r„).

Hierbei sind r 2 , . . . , rn < «j, und ist dabei etwa r 2 die kleinste positive dieser Zahlen — eine solche gibt es, wenn nicht ai|a2, . . . ,an und damit d = a^ ist — so verfahre man jetzt mit r2, . . . , rn, a x wie vorher mit a2,. .. an, dividiere also alles durch r 2 , lasse dabei aber die r,- = 0 wieder fort. Da die kleinste Klammerzahl bei jeder Division abnimmt und eine abnehmende Folge natürlicher Zahlen endlich ist, so muß das Verfahren abbrechen und mit einem Klammerpaar (d, dt2, . . . , dtk) = (d, 0, . . . 0) enden. Beispiele für n = 2. Euklidischer Algorithmus. (91, 133) (89, 144) 144 = 89 • 2 — 34 89 = 34 • 3 — 13 133 = 91 • 1 + 42 34 = 13 • 3 — 5 91 = 42 • 2 + 7 42 = 7 • C 13 = 5 • 3 — 2 5 = 2-2 + 1 2 = 1-2. (133, 91) = (91, 42) = (42, 7) = 7. (144, 89) = (89, 34) = (34,13) = (13,5) = (5, 2) = ( 2 , 1 ) = 1 . Ein Beispiel für n = 3 : (481, 629, 663) = (481, 148, 182) = (148, 34, 37) = (37, 3, 0) = 1. Anders: (481, 629, 663) = (629, 3 4 , 1 4 8 ) = ( 3 4 , 1 7 , 1 2 ) = (17, 5, 0) = 1. Wie die Durchführung der Rechnung zeigt, ist es bisweilen einfacher, statt des kleinsten bleibenden Restes einen solchen als Divisor für die nächste Division zu nehmen, der in der Nähe eines anderen Restes liegt. Auch wird man häufig die Rechenregel der paarweisen Bildung des gr. gem. T. verwenden, insbesondere wenn sich von einem Paar («j, a2) aus (av a2,. . ,,a„) sofort der gr. gem. T.feststellen läßt. Ist dieser gar 1, so auch (alt..., an). Bei unübersichtlich großen Zahlen bringt jedoch die simultane Division durch eine Klammerzahl die Reste schneller auf niedrige Zahlen. Der Algorithmus gibt auch ein Verfahren, den gr. gem. T. als Vielfachsumme darzustellen: Hat man

Euklidischer Algorithmus (13)

( « ! , a2,.

. ., an) =

(a-L, r2,.

.

r„) =

o-i = und bereits eine Darstellung

+

(14)

+ • • •+

d = axyx

+ r2y2

23 • • • =

d,

U, rnyn

gewonnen, so gilt gleichzeitig (15)

d = atxh

+ a2x2

-\

+

anxn

m i t x1^y1— q2y2 — . . . — qnyn, x2,. . . xn = y2,.. . yn. Als Beispiel nehmen wir das obige für n = 3. E s ist 1 = 37 • 1 — 3 • 12 = 1 4 8 • 0 + 34 • 12 — 37 • 11 = 1 4 8 • 2 1 + 182 • 12 — 4 8 1 • 11 = 6 2 9 • 2 1 + 6 6 3 • 12 - 4 8 1 • 4 4 . B e m e r k u n g : I m Gegensatz zu den auf S. 22 ausgeführten Algorithmen müssen in (14) die R e s t e i m m e r mit dem Vorzeichen b e h a f t e t sein, das sie bei der Division in ( 1 3 ) e r h a l t e n ; nur dann s t i m m t (15) mit x2 = y2,. . . . F e r n e r ist für (av..., an) = d 4= 1, di — da'i, die Lösung der Aufgabe (15) gleichwertig mit der Lösung der einfacheren A u f g a b e : 1 = a'lx1 + .. . + a'nxn. (15) ist eine D i o p h a n t i s c h e Gleichung. Sie ist, wie wir gezeigt h a b e n , lösbar, wenn d = (av . . . , an) ist, und allgemein, wie m a n leicht sieht, genau dann, wenn d ein Multiplum von (a^ . . . , an) ist. Für n = 2 ergeben sich aus einer Lösung (15) alle durch xr + kd2, x 2 — ka\ mit beliebigem ganzen k. Auch für n > 2 gibt es unendlich viele Lösungen. Aufgaben: Man bestimme für d — (a1,a2,a3) alle Lösungen von d = a1z1 + a2z2 + a3z3. Man zeige, daß im Euklidischen Algorithmus ( a u a 2 ) = («!, r) = (r, s) für al < a2, sofern alt a 2 , r =f= 0 ausfällt und man bei der Division immer den kleinsten Absolutrest wählt, bereits s 5S ^ r wird, also 5 die kleinere Klammerzahl nach dem zweiten Schritt höchstens noch den fünften Teil der ursprünglichen ergibt. Für («!, a2, as) = ( a l t ru r 2 ) = (r l t slt s 2 ) ist, falls keine Division aufgeht, sogar s1 oder s 2 g ^

.

24

Teilbarkeitseigenschaften § 6. Klassischer Beweis des Fundamentalsatzcs

Wir haben soeben unabhängig von der Primzerlegung gezeigt, daß es zu den Zahlen au . . . , an eine Zahl d gibt, die ein Teiler aller a( und ein Vielfaches aller gemeinsamen Teiler der ist. Dies Ergebnis liefert uns den klassischen Beweis des Fundamentalsatzcs. Wir beweisen zunächst den Satz der Teilerfremdheit, Satz 15: Ist (a, b) = (a, c) = Wegen (a, bc) | ac und (a, bc) ist (ac, bc) = («, b) c = c, also bc) | a, gilt (a, bc) \ (a, c); hier bc) = 1.

1, so auch (a,bc) = 1. \ bc ist (a, bc) | (ae, 6c). Nun (a, bc) \ c. Da zugleich (a, ist (a, c) = 1, also auch (a,

Wiederholte Anwendung dieses Satzes ergibt: (a^ . . . am, cx. .. cn) = 1, wenn (a,-, ck) = 1 für jedes Paar i, k. Ist a\bc, so ist zugleich a\(ac, bc). Wegen (ac, bc) = (a, V) c ist bei (a, b) = 1 die Zahl a ein Teiler von c. Also gilt: Aus (a, b) = 1 und a\bc folgt a\c. Wir wenden diese Ergebnisse auf Primzahlen und ihre Potenzen an. Hier ist (p, a) = 1 oder p und für zwei verschiedene Primzahlen (p, q) = 1. Dann liefert Satz 15 den Hauptsatz: Satz 16: Geht die Primzahl p weder in m noch in n auf, so geht sie auch im Produkt mn nicht auf. Positiv: Geht eine Primzahl p in einem Produkt m n auf, so geht sie wenigstens in einem der Faktoren m, n auf. Daraus folgt durch wiederholte Anwendung: Potenzen pT und qs verschiedener Primzahlen sind teilerfremd. Ferner: Satz 17: Geht ein Primzahlpotenzprodukt p*' • • • parr mit cs c positivem a{ in einem andern q [ • • • q s auf, so kommen alle Primfaktoren des ersten Produkts als Faktoren des zu-eiten Produkts vor, und zwar mit demselben oder einem höheren Exponenten.

Primzahlverteilung

Kommt nämlich p1 unter den q2,..., 1

s

( r f . 22 —il )

25

q, nicht vor, so ist

c

= 1; wegen p?« | q { — & ist dann p ? | # .

Sind beide Produkte einander gleich, so gilt auch das Umgekehrte, und das ist der Inhalt des Fundamentalsatzes. § 7. Primzahlverteilung Ein sehr altes und immer noch brauchbares Verfahren, eine Primzaliltafel von 2 bis zu einer gegebenen Zahl n aufzustellen, ist das „Sieb des Eratosthenes": Es werden die Zahlen von 2 bis n aufgeschrieben, 2 bleibt als Primzahl stehen, und alle größeren geraden Zahlen werden als zusammengesetzt gestrichen; sodann bleibt von den ungeraden Zahlen 3 als Primzahl stehen, und alle größeren Vielfachen von 3, unter denen die geraden Vielfachen von 3 schon nicht mehr auftreten, werden jetzt gestrichen. Allgemein geht das Verfahren so: Sind durch die Aussiebung 2, 3, 5 , . . ., p als Primzahlen festgestellt und die größeren Vielfachen dieser Primzahlen gestrichen, so ist die erste auf p folgende stehengebliebene Zahl q die nächste Primzahl, da sie durch keine der Primzahlen 2, 3, . . . , p teilbar ist. Zu streichen sind nun alle noch dastehenden größeren Vielfachen von q\ das sind die Zahlen qm, f ü r die qrn ^ n mit m > 1 und (m, 2 • 3 . . . p) = 1 ist, als erste q2. Denn geht eine der Primzahlen 2, 3 , . . . , p in m auf, so wurde qm schon früher gestrichen. Das Verfahren braucht nur so lange fortgesetzt zu werden, bis ein r mit r2 > n als Primzahl stehenbleibt. Alle Zahlen 5S n, die dann noch nicht gestrichen worden sind, sind notwendig Primzahlen, und umgekehrt sind alle Primzahlen ^ n stehengeblieben. Wir wollen hier eine Tafel der Primzahlen bis 300 aufstellen. Die Aussiebung sei schon f ü r die Vielfachen von 2, 3, 5 durchgeführt; wir brauchen dann nur 2, 3, 5 und dazu die größeren, zu 30 teilerfremden Zahlen aufzuschreiben:

26

Teilbarkeitseigenschaften

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 63 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91 97 101 103 107 109 113 119 121 127 131 133 137 139 143 149 161 157 161 163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 203 209 211 217 221 223 227 229 233 329 241 247 251 253 257 259 263 269 271 277 281 283 287 289 293 299 Zuerst fallen die unterstrichenen Zahlen 7 - 7 , 7 - 1 1 , 7 • 13, 7 • 17, 7 • 19, 7 • 23, 7 • 29, 7 - 31, 7 • 37, 7 • 41 fort, sodann die mit zwei P u n k t e n versehenen Zahlen 11 • 11, 11 • 13, 11 • 17, 11 • 19, 11 • 23, dann die mit drei P u n k t e n versehenen Zahlen 13 • 13, 13 • 17, 13 • 19, 13 • 23 u n d zuletzt die mit vier P u n k t e n versehene Zahl 17 • 17. Die übrigen Zahlen sind Primzahlen, da 19 • 19 > 300 ist. Die Primzahltafel von D. N. Lehmer enthält alle Primzahlen bis 10000721. In unserer Tabelle treten mit jeder Zahl a, wenn a > 5 ist, auch alle Zahlen a + k- 30, fcS: 1, auf. Denn, wenn (a, 30) = 1 ist, sind auch die (a + k • 30, 30) = 1. Diese periodische Wiederkehr der zu 2 • 3 • 5 teilerfremden Zahlen h a t aber keine Periodizität in der Primzahlreihe zur Folge, da bei ihrer Fortsetzung immer neue Streichungen vorzunehmen sind. Das Entsprechende gilt, wenn die Zahl 2 - 3 - 5 durch 2 • 3 • • • p ersetzt wird. Die Primzahlen folgen einander in unregelmäßiger Weise. Der Blick in eine größere Primzahltafel zeigt, daß die Fälle, in denen q und q + 2 beides Primzahlen, sogenannte Primzalilzwillinge, sind, recht häufig auftreten. Auch Primzahldrillinge q, q + 2, q + 0 und Primzahlvierlinge q, q + 2, q + 6, q + 8 gibt es. Hier t r i t t q + 4 nur f ü r q = 3 auf, da eine der drei Zahlen q, q + 2, q + 4 durch 3 teilbar ist. Beispiele von Primzahl Vierlingen: 101, 103, 107, 109; 294311, 294313, 294317, 294319; 299471, 299473, 299477, 299479. Man weiß noch nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Die Summe ihrer Keziproken ist nach Viggo Brun konvergent.

Primzahlverteilung

27

Andererseits treten in der Primzahlfolge plötzlich Lücken auf, die fiir die ganze Umgebung ungewöhnlich groß sind. So liegt z. B. zwischen 1327 und 1361 keine Primzahl; diese Lücke wird zum erstenmal wieder durch das Primzahlpaar 8467 und 8501 erreicht u n d durch 9551, 9587 überboten. In der Folge der Primzahlen gibt es beliebig große Lücken. Denn unter den n — 1 Zahlen n ! + 2, n\ + 3 , . . . , n\ + n ist keine Primzahl, da i\(n! + i), i = 2 , . . . , n. Wenn auch im einzelnen die Abstände der Primzahlen sehr unregelmäßig sind, so kann m a n doch Aussagen über die Häufigkeit der Primzahlen im großen ganzen machen. Die Summe £

— der Reziproken aller Primzahlen divergiert,

was Euler zum Nachweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen verwandte. Dagegen konvergiert die Reihe S 7,2 > s ° g a r die Reihe £ n i + £ , £ > 0, wenn über alle natürlichen n > 0 summiert wird. Die Primzahlen liegen also dichter als die Quadratzahlen. E i n prägnantes Ergebnis ist der von Gauß vermutete und von H a d a m a r d und de la Vallée-Poussin im J a h r e 1896 bewiesene Primzahlsatz: Das Verhältnis der Anzahl n(ri) der Primzahlen bis n u n d der F u n k t i o n n : log n strebt mit wachsendem n gegen 1. Ein Ergebnis über die Verteilung der Primzahlen auf gewisse Klassen s t a m m t von Dirichlet. E r hat den berühmten Satz über die arithmetische Progression bewiesen: In jeder arithmetischen Progression (16)

a, a + TO, a + 2m, a + 3 m , . . . ,

in der (a,m) = 1 gilt, gibt es unendlich viele Primzahlen. Dirichlet benutzt in seinem Beweis funktionentheoretische Hilfsmittel. Neuerdings kann man den Beweis mit „element a r e n " , wenn auch recht komplizierten Methoden führen. Der Dirichletsche Satz liefert sogar eine gewisse Gleichverteilung der Primzahlen auf die verschiedenen Progressionen a + nm, n = 1, 2 , . . . und (a,m) = 1. Merkwürdige Unregelmäßigkeiten in der Primzahlfolge finden sich auch in einzelnen arithmetischen Progressionen. So ist in der

28

Teilbarkeitseigenschaften

Kraitchikschen Tafel der Primzahlen von der Form 2 B k + 1 die erste 7 0 8 1 = 2*• 16 + 1, während eine Differenz der Mindestgröße 2 8 - 1 5 erst wieder nach der 37. Primzahl der Tabelle auftritt.

Während die lineare Funktion f(x) = a + mx bei (ia,m) = 1 unendlich viele Primzahlen darstellt, ist nicht bekannt, ob ein entsprechender Satz auch für quadratische Funktionen f(x) = a + bx + cx* zutrifft. Man weiß nicht einmal, ob die einfachste quadratische Funktion / ( x ) = 1 + x2 unendlich viele Primzahlen darstellt. Indessen gilt Satz 18: Jedes ganzzahlige Polynom A{x) = anxn -\ + axx + a0 (an>0,n> 0) besitzt unendlich viele Primteiler. Dabei heißt eine Primzahl p Primteiler von A(x), wenn f\A(a) für irgendein ganzzahliges a. Beweis: Wir konstruieren eine Folge von ganzen Zahlen x0, xlt x2,. . . derart, daß die Zahlen y0 = A(x0), y1 = A(x1), y2 = A(X2), . . . immer neue Primteiler aufweisen. Wir wählen ein x0 > 4 max(|a,|). Die weiteren x{ bestimmen wir rekursiv: x± = x0 + y\, allgemein xs+1 = xs + yl. Zunächst ist y0 = A(x0) > 1, besitzt also mindestens einen Primteiler. Denn wegen x0 > 4 max (|a,|) ist a x

(17)

n u — | ««-i [ «a 1 l«il xo~ K l > x x x „ ° « ^ „ of „n—1 , t 1\ > > « n « 0 ~ + " ' + ' = n v ~Tx0-l 1 Xn ün XQ -¿y \XQ ^ 1-

Sei nun p irgendein Primteiler von y0 = A(x0). Dann geht p in y1 in derselben Potenz wie in y0 auf. Das folgt aus y1 = A (x0 + yl) = A (x0) + i/o B (x0, y0) = = I/o (l + 2/o m

(xO'Vo)) •

Also ist y1 = i t (ivVo) = 1- Wenn qt überhaupt Primteiler besitzt, dann nur solche, die nicht in y0 aufgehen, also neu sind. Das ist wirklich der Fall, da y ^ y0 ist. Denn

Spezielle Primzahlen

29

wegen x1 = x0 + y\ > 4 max (| af |) darf x0 in (17) durch x1 ersetzt werden; also tß« Vi > an-j > ~2 > yEbenso gilt allgemein y, = ys^ qs mit (qs, ys-^) = 1 und qs > 1. Jedesmal kommt wenigstens ein neuer Primteiler hinzu. Obendrein haben wir den Satz gewonnen: Die Wertfölge .4(0), 4(1), . . . , A(n) . . . eines Polynoms besteht nicht aus lauter Primzahlen, sondern enthält auch zusammengesetzte Zahlen. Euler entdeckte, daß das Polynom A(x) = x2 + x + 41 für x = 0 , 1 , . . . , 39 Primzahlen liefert. Das Polynom A{x) = x2 — x + 41 stellt für x = 0 , 1 , . . . , 40 Primzahlen dar. W . H. Mills hat 1947 eine Funktion konstruiert, die nur Primzahlwerte annimmt: [ 4 3 1 ] ist bei bestimmtem A > 1 für x = 1, 2, 3, . . . stets Primzahl.

Bezeichnet ji{x) die Anzahl der Primzahlen x und 712(x) die Anzahl der Zwillingspaare x, so ist 7i(100000) = 9592, 7i (1000000) = 78498, TT2(100000) = 1224, 7r 2 (1000000) = 8164. Die Anzahl n (10 9 ) hat man berechnet, ohne die Primzahlen 5S 10® einzeln zu kennen. Es ist tt(10 9 ) = 50 847 478. § 8. Spezielle Primzahlen Die natürliche Zahl N heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten natürlichen Teiler ist, z. B. 6 = 1 + 2 + 3 . Bezeichnen wir die Summe aller Teiler von N durch a (N) = so ist die Definition der vollkommenen d/N

Zahl N durch a(N) = 2 N gegeben. Bei Euklid findet sich folgender Satz 19: Wenn N = 2 ( ( 2 i + 1 — 1) ist und dabei p = 1 prim, dann ist N eine vollkommene Zahl. Beweis: Die Teiler eines solchen N sind 1, 2 , . . ., 2', p, 2p,..., 2lp\ also ist a(N) = 1 + 2 + • • • + 2 i + p + 2p

80

Teilbarkeitseigenschaften

+ • • • + 2'p = (p + 1) (1 + 2 + • • • + 2') = (p + 1) (2*+i — 1) = 2'+! (2'+! — 1) = 2N. Die Zahlen der Euklidischen Form sind notwendig gerade. Euler bewies die Umkehrung, nämlich Satz 20: Wenn N eine gerade vollkommene Zahl ist, so hat sie die Gestalt N = 2 i (2'+ 1 — 1), wo 2 i + 1 — 1 = p eine Primzahl ist. Beweis: Jede gerade ganze Zahl N läßt sich in der Form N = 2'm mit f S i 1 und ungeradem u schreiben. Dann sind ihre Teiler die Zahlen 2« • d mit 0 ^ x ^ t und ö\u. Betrachten wir nur die Teiler 2" • ö mit festem a, so ist ihr Anteil an der Summe aller Teiler gleich 2xa(u), und die Gesamtsumme selbst ist 2, so ist nicht zugleich p\x — 1 und p \ x + 1; es muß also die volle Potenz p> entweder in x — 1 oder in x + 1

54

Kongruenzen. Restklassen

aufgehen, d. h. es muß 1 = ^ 1 mod pe sein, und das sind Lösungen. F ü r p = 2 und e = l i s t £ ^ + l = — 1 mod 2 die einzige Lösung; bei e = 2 gibt es wieder die beiden Lösungen a; = ± 1 mod 4. Bei e 2 : 3 kommen zu z = ± 1 mod pe noch neue Lösungen hinzu. Die Zahlen x — 1 und x + 1 sind zugleich gerade; jedoch ist nur eine von ihnen durch 4 teilbar. Diese eine muß daher gleich durch 2 C ~ 1 teilbar sein, und £ ¿ 1 = 0 mod genügt f ü r x2 — 1 = (x — 1) (x + 1) = 0 mod 2". Damit h a t man f ü r e > 2 in x = ± 1, ± 1 + 2 e _ 1 mod 2« alle mod 2C inkongruenten Lösungen. Man k a n n diese vier Lösungen zusammenfassen zu x = ± 1 mod Für e = 3, m = 8 sind noch alle primen Reste 1, 3, 5, 7 Lösungen. F ü r m = 16 sind es nur noch die Roste 1, 7, 9 , 1 5 . F ü r beliebiges m ist nun Satz 37 anzuwenden. Man erhält, wenn m = 2S petl • •. pe/, e,- > 0, s 0, als Lösungszahlen: a{m) = 2r f ü r s = 0 , 1 ; a(m) = 2 r + 1 f ü r s = 2; a{m) = 2r+2 f ü r s > 2. Beispiele zu x2 = 1 mod m: w = 45, ±19(45), a(45) = 4 . m = 1 2 0 , a: = ± l , ± 1 9 ( 3 0 ) [zusammengefaßt], a (120) = 1 6 . Wir wollen jetzt die Reduktion der Moduln bei algebraischen Kongruenzen weiterführen und die Lösung von A (x) = 0 mod p>, e > 1, auf die Lösung mod zurückführen. Jede Lösung r' von A{x) = 0 mod pe ist Lösung von A(x) = 0 mod Dabei können verschiedene Lösungen mod pe in eine mod zusammenfallen. Auf jeden Fall besteht bei r' = r mod die Kongruenz (52)

r' = r + ype~x mod pe

mit einem y, das mod p bestimmt ist. Sei nun umgekehrt r eine Lösung von A(x) = 0 mod pe_1. D a n n ist (53)

A (x) = (x — r)Q (x) + A (r) mit p«" 1 1A (r).

Für A(r) gilt noch A(r) = a p 6 - 1 mod pe mit einem mod p

Reduktion der Moduln bei algebraischen Kongruenzen

55

e

bestimmten a. Ersetzen wir n u n x durch r' mod p , so wird aus (53) (54) A(/) s (r' — r) Q(r') + A(r) mod pe. Wir versuchen j e t z t y mod p in r' = r + yp*'1 mod pe so zu bestimmen, daß J ( r ' ) = 0 mod pe wird. Z u n ä c h s t ist Q(r') = Q{r) mod p, dar' = r mod p ist. D a m i t n i m m t (54) die F o r m A(r') = ypP~x Q(r) + ape~1 = (yQ(r)

+ a) p«" 1 mod pe

mit einem gewissen a mod p an. J e t z t müssen zwei Fälle unterschieden werden: E n t w e d e r ist Q(r) ^ 0 mod p u n d es gibt genau ein y mod p, so daß yQ(r) + a = 0 mod p ist. D a n n gibt es zu jeder Lösung r von A(x) = 0 mod genau eine L ö s u n g r' von A(x) = 0 mod pe. Der Z u s a m m e n h a n g von r' u n d r wird durch (52) gegeben. Oder es ist Q(r) = 0 mod p. D a n n wird die Kongruenz yQ(r) + a = 0 m o d p durch kein y mod p befriedigt, wenn a ^ 0 (p) ist, oder durch alle y mod p, wenn a = 0 (p) ist. In diesem zweiten F a l l gibt es zu einer Lösung r von A (x) = 0 mod keine Lösung oder p Lösungen von A («) = 0 mod pe. E n t s c h e i d e n d ' f ü r das eindeutige Aufsteigen von einer Lösung r mod pe~x zu. einer Lösung r' mod pe ist die Bedingung Q(r)^ 0 mod p. Man sagt in diesem Fall, r sei eine einfache Lösung von A{x) = 0 mod p, w ä h r e n d m a n bei Q(r) = 0 mod p von einer m e h r f a c h e n Lösung spricht. Von den einzelnen Kongruenzwurzeln mod p zu denen mod pe in e — 1 Schritten aufsteigend, erhält m a n insgesamt: S a t z 3 8 : Sind r l t . . . ,rk sämtliche Kongruenzwurzeln A (x) = 0 mod p und alle einfach, ist also

von

A(x) = {x— i-j) (x — r 2 ) . . . (x — rk) Q(x) m o d p mit Q(r) ^ 0 (p) für alle r mod p, so gibt es auch genau k Lösungen mod pe. Ist allgemein r{ eine einfache, r,- eine mehrfache Wurzel mod p, ist also Q(»"i) ^ 0, Q(rf) = 0 mod p, so hat A(x) = 0

Kongruenzen. Restklassen

56 e

mod p genau eine Wurzel, die = r, iriod p ist, dagegen keine Wurzel, die = r¡ mod p ist, oder Scharen von je p Wurzeln, die demselben Rest mod kongruent sind. Beispiel (p = 3): 1. x 2 + 11 = O mod 3e. Zwei einfache Wurzeln i s ¿

31, 31, 274... mod 3, 9, 27, 81, 243, 729,

1,4,4,

2. x2 + x + 1 = 0(3«). Eine mehrfache Wurzel + 1 mod 3, schon keine Wurzel mod 9. 3. x3 —19 = 0(3«), Mehrfache Wurzel: x s l mod 3; 1, 4, 7 mod 9; 7,16, 25 mod 27; . . . Die unterstrichenen Lösungen sind diejenigen, aus denen die Lösungen der höheren Potenz hervorgehen. 4. x(x — 1) (x — 4 ) = 0 (3e). Eine einfache Wurzel 0 mod 3«; eine mehrfache Wurzel x = 1 mod 3; 1, 4, 7 mod 9; 1, 4,10,13, 19, 22 mod 27; 1, 4, 28, 31, 55, 58 mod 81; . . . . Wie die Beispiele 3, 4 zeigen, kann von zwei Lösungen mod p e _ 1 , die aus einer mehrfachen Wurzel mod p hervorgehen, sehr wohl die eine ohne die andere Lösung mod pe sein.

§ 16. Der Fermatsche Satz Wir kommen nun zu dem Satz der Kongruenzlehre, der für fast alle weiteren Ergebnisse grundlegend ist, dem Fermatschen Satz: Satz 39: Für jede Primzahl p und jeden Rest x mod p gilt die Kongruenz (55) xv = x mod p. Daraus folgt sofort: Für jeden zu p teilerfremden Rest r gilt (56) rP'1 = 1 mod p. Umgekehrt hat (56) die Kongruenz (55) zu Folge. Dieser von Fermat (1601—1665) aufgestellte und bewiesene Satz wird oft der „kleine Fermat" genannt; dagegen wird als „großer Fermat" die von Fermat aufgestellte, immer noch unbewiesene Behauptung bezeichnet, daß x" + yn = z" für n > 2 in ganzen Zahlen x, y, z unlösbar sei. Für einzelne n ist der Beweis gelungen, oft mit großen

Der Fermatsche Satz

57

Schwierigkeiten; für n = 4 vgl. § 19. An Wichtigkeit ist der große Format dem kleinen F e r m a t weit unterlegen. Um den Formatschen Satz zu beweisen, beachte man, daß allgemein (57) (x + y)P = xp + yP mod p für Zahlen, Variable und Polynome x, y gilt. Denn in der Binomialentwicklung von (x + y)P hat xv-'y' f ü r i = 1, 2, . . . , p — 1 den Koeffizienten p\ p(p — 1)-.. (p — i + 1) _ ij 1-2 ...i dieser ist = 0 mod p, da alle F a k t o r e n im Nenner < p sind und deshalb das p im Zähler nicht durch Kürzen fortfallen kann. F ü r y = 1 gilt also bei beliebigem Rest x die Kongruenz ^ + ^ _ ^ + j mod ^ Aus ihr folgt (x + = x + 1 mod p unter der Voraussetzung xp = x mod p, die für x = 0 zutrifft. Wir haben damit für (55) einen Beweis durch Induktion, deren Anwendung auf ein vollständiges Restsystem mod p beschränkt werden darf. Ein andeter Beweis liefert zugleich den allgemeineren Eulerschen Satz: Satz 40: Für jeden zum Modul m teilerfremden Rest r gilt (58) rf(m) = 1 mod m. Dabei ist (m) • und das liefert (58).

58

Kongruenzen. Restklassen

Eine unmittelbare Folge von Satz 40 ist, daß die Ordnung h eines teilerfremden Restes r ein Teiler von ( g i ), . . . ,

M. g.

von

1 (m) V.

der

für

m

alle

yi (qi):

y(q,)]

Ist nämlich v durch alle ip(qt) teilbar, so ist xv = 1 mod qt (i = 1 , . . . , s), also auch a? = 1 mod m für alle x mit (x,m) = 1, und umgekehrt. Jetzt schließt man sofort, daß \p(m) echter Teiler von 2 sind. Denn tp(m) ist nach (60) wegen y>{q)\ 0 mit vh= 1 (p2) hat nämlich die Form h = l (p — 1), da v =3 w(p) Primitivwurzel m o d p ist. Nun folgt aus (65) durch Potenzieren

62

Kongruenzen. Restklassen

(66) v•••, = ± jv+\ (pv+j). Die 2 S _ 1 g e w o n n e n e n D a r s t e l l u n g e n v o n P sind also verschieden, gehen a u c h n i c h t a u s e i n a n d e r d u r c h Vert a u s c h e n der beiden D a r s t e l l u n g s z a h l e n h e r v o r . Aus einer D a r s t e l l u n g v o n P k a n n eine eigentliche D a r stellung y o n m = 7 7 ^ * g e w o n n e n w e r d e n . Sei v = a2+b2 2 2 eine eigentliche D a r s t e l l u n g , p\v u n d p = x + y \ die Zahlen

Kongruenzen. Restklassen

72

x, y seien so gewählt, daß — = — (p) ist. Dann liefert die y & zweite Quadratsumme in (77) eine uneigentliche Darstellung von vp, hingegen die erste eine eigentliche. Wäre nämlich für einen Primteiler p0 von v ax + by^O (pQ), ay — bx = 0 (p 0 ), so folgte x = ——y = W > a l s o x2 + y2 = 0 (p 0 ). Es müßte dann p0 = p sein. Aber ax + by = 0(p) ist wegen — = — (p) unmöglich. Für die so aus P = A2 + B2 entstehende Darstellung m = X2 + Y2 ist Y : X = B : A mod P . Aus verschiedenen Darstellungen von P entstehen also auf diese Weise verschiedene Darstellungen von tn. Eine eigentliche Darstellung m = X2 + Y2 führt nach Multiplikation mit 2 = l 2 + l 2 für m = 1 (2) auf die eigentliche Darstellung 2 m = (X — Y)2 + (X + Y f . Es gibt für m = 2e p\* •.. p\s auch nicht mehr als 2 S _ 1 verschiedene eigentliche Darstellungen. Gilt nämlich für die den beiden eigentlichen Darstellungen m = x2 + y2 = w2 "U

V

+ v2 zugehörigen W u r z e l n u n d — von x2 = —1 (m) die Kongruenz — = 2

(m), so sind die Darstellungen gleich.

Denn aus m = (uy — vx)2 + (ux + vy)2 und uy — vx = 0 (m) folgt uy — vx = 0, ux + vy = m und dann u=x, v = y. Da die Anzahl der Lösungen von x2 == — 1 (m) bei vorgeschriebener Lösung mod p1 gleich 2 S _ 1 ist, folgt die Behauptung. Die Lösung mod p1 bestimmt die Reihenfolge der Summanden. Wir entnehmen unserm Satz 52 und seinem Beweis: Eigentliche Darstellungen besitzen alle und nur die Zahlen m, die Produkte von Primzahlen der Form 4 n + 1 sind, und ihre Doppelten, nur eigentliche Darstellungen die quadratfreien unter ihnen, und zwar mehrere, wenn sie mehrere ungerade Primfaktoren enthalten. Die Primzahlen der Form 4 n + 1 und ihre Doppelten sind dadurch gekennzeichnet, daß sie allein unter den natürlichen Zahlen

Darstellung durch Quadratsummen

73

genau eine eigentliche und keine uncigentliche Darstellung besitzen, eine Kennzeichnung, die zur Primzahlprüfung geeignet ist. Nach derselben Methode läßt sich beweisen: Es ist eine Primzahl p > 2 in der Form p = x2 + dy2 für d = 2, 3, 7 darstellbar, wenn z2 = — d mod p lösbar ist, ferner für d = 5, 13, 37, wenn außerdem p = 1 mod 4 ist. Wieder sind diese p unter den ungeraden Zahlen durch eindeutige und zugleich eigentliche Darstellbarkeit ausgezeichnet. Man erhält für jedes d bei Lösbarkeit der Kongruenz z2 = — d mod p aus einer Lösung z = ~ mit 0 < x, y < e, wo e wieder das Minimum für e 2 > p ist, eine Darstellung x2 + dy2 = mp mit 1 5S TO5S d. F ü r die genannten Fälle lassen sich dann die m > 1 durch Kongruenzen entweder ausschließen oder auf m = 1 zurückführen. Wir wollen dies nur für d = 3 und d = 37 ausführen. Ist z2 = — 3 ( p ) lösbar, so gibt es eine Darstellung x2 + ?>y2 = mp mit TO ^ 3. Ist w = 3, so folgt x = 0(3) und damit eine Darstellung f ü r p. Der Fall m = 2 ist ausgeschlossen, da x2 + 3 y % = 2 p nur f ü r p = 2 lösbar ist. Für d = 37 wollen wir den Satz von Tliue in der allgemeinen Form verwenden. Es seien e und / die kleinsten Zahlen mit e2 > &p, f2 > ^ p. Dann folgt aus — 37 = Í—j y mit x < e, y < / die Ungleichung vi 0 < z 2 + 37t/ 2 < 6p + ^ p < 1 3 p . Da p ein Teiler von x2 + 37 y2 ist, folgt x2 + 3 7 y2 = mp mit 1 5S

12.

Man braucht nur (x, y) = 1 zu betrachten, da (x, y) > 1 auf kleineres m f ü h r t . Dann ist x = y = 0(2) unmöglich, und es ist mp = 1 oder 2 mod 4. Wegen p = 4n + 1 ist daher m = 1, 2, 5, 6, 9 oder 10. Auch x = y = 0(3) ist unmöglich, und es ist mp = 1 oder 2 mod 3; also ist m=)= 6, 9. Da nun x2 = 0 , ± 1(5), 3 7 y 2 = 0, ± 2(5), aber nicht x=y

74

Kongruenzen. Restklassen

= 0(5) ist, scheiden aucli m = 5 , 1 0 aus, u n d es bleiben noch m = 1, 2. Aber f ü r m = 2 ist x = y = 1(2) u n d d a h e r 2 p = x2 + 37 ?/2 = 1 + 5 = G m o d 8 u n d d a n n p = 3 m o d 4. Die K o n g r u e n z e n z- = — 2(p) f ü r p = 5, 7 m o d 8 u n d 2 2 = — 3 ( p ) f ü r p == 2(3) sind u n l ö s b a r , weil x2 + 2z/ 2 = 5, 7(8) u n d x 1 + 3 )f = 2(3) u n l ö s b a r sind. Aus einer L ö s u n g von z2 = — l ( p ) die D a r s t e l l u n g p = x2 + y 2 zu e r h a l t e n , ist a u c h hier m ö g l i c h : z. B. 22 2 = — 1 (97); 22 2 + 1 = 97 • 5 ; (22 2 + l 2 ) (2 2 + l 2 ) = 45 2 + 2 0 2 ; 97 = 9 2 + 4 2 . J e d o c h t r i t t p r a k t i s c h eher die u m g e k e h r t e A u f g a b e auf. Erwähnt sei noch die Existenz einer (75) und (77) einbegreifenden Multiplikation, die ein Produkt zweier Summen von acht Quadraten wieder als Summe von acht Quadraten darstellt. Eine solche Formel gibt es jedoch nur für 2, 4 und 8 Summanden. Als A n w e n d u n g des Vorigen bringen wir einige Spezialfälle des Dirichletschen Satzes ü b e r die P r i m z a h l e n in einer arithmetischen Progression: S a t z 53: Es gibt je unendlich viele Primzahlen 4 m + 1, 4 m — 1 , 3 m + 1, 3 m — 1.

der

Formen

Sei P = 2 • 3 . . . q das P r o d u k t der P r i m z a h l e n bis q u n d q^ 3. D a n n h a b e n P + 1 u n d P- + 1 n u r P r i m t c i l e r > q. "Wogen P + 1 = — 1(4) h a t P + 1 einen P r i m t e i l e r = 3(4), weil ein P r o d u k t von Zahlen = 1(4) selbst = 1(4) ist. D a gegen h a t P 2 + 1 n a c h obigem n u r P r i m t e i l e r = 1(4). Also g i b t es zwischen q u n d ( j ! ) 2 + 2 je eine P r i m z a h l = ¿ 1 ( 4 ) . D a s gilt fiir jedes q ( h i e r s c h o n f ü r q^. 2), u n d d e s h a l b g i b t es u n e n d l i c h viele P r i m z a h l e n in j e d e r der Progressionen 4 m ¿ 1. A u c h P — 1 u n d 3 P 2 + 1 h a b e n n u r P r i m t e i l e r > q, u n d zwar h a t P — 1 einen P r i m t e i l e r = — 1 (3) u n d 3 P 2 -f 1 n u r P r i m t e i l e r == 1(3), w o r a u s die B e h a u p t u n g f ü r die beiden Progressionen 3 m ¿ 1 folgt. D a 3 m ¿ 1 0(2), w e n n m = = l (2) ist, sind die P r i m z a h l e n der F o r m 3m ¿ 1 f ü r m > 1 von der F o r m ^ m ¿ 1. U n a b h ä n g i g v o m Vorigen zeigen wir schließlich

ZiirücJtfüiming der q u a d r a t i s c h e n K o n g r u e n z e n

Satz 54: Für eine eigentliche Darstellung notwendig eine Darstellung (79)

2

1

75

x' + y' = z

1

x = a2 — b2, y = 2 a b , z = a2 +

isl

V.

Femer ist die Gleichung xl + yl = z2 bei xy 4= 0 unlösbar und damit die Fermatgleichung für den Exponenten 4. Beweis: D a ( x , y) = 1 sein soll, k a n n man x = 1 (2) ansetzen; dann ist y = 0(2), da es bei z2 = 0(2) keine eigentliche Darstellung gibt. J e t z t ist x2 = (z — y) (z + y) mit (z + ;//, 2 — y) = (z — y, 2 y ) = 1, da z ungerade und (z, y) = 1 ist. Also sind z + y und z — y einzeln Q u a d r a t e : z + y = c2, z — y = d2. Hier sind c und d ungerade, also in der F o r m c — a + b,d = a — b darstellbar. Das ergibt nacheinander 2 = a2 + b2, y = 2 ab, x = ± (a2 — b2). Den zweiten Teil des Satzes erhalten wir durch zweimalige A n w e n d u n g des ersten Teiles. Soll x4 + y4 = z2 mit kleinstem 2 sein, so m u ß bei x2 = A2 — B2, y2 = 2 AB,z = A2 + B2 das B gerade sein, und mit (x, y) = 1 ist auch (A, B) — 1 und dann A = a2, B = 2b2. Das ergibt x2 + (2b2)2 = a4 und d a m i t 2b2 = 2 CD, a2 = C2 + D2. Wieder ist (C, D) = 1 und dann G = c2, D = d2. Also ist a2 = c4 + d4. N u n ist 2 = a4 + (2b2)2 > a4^a, da m i t y > 0 auch b > 0 ist, d. h. z wäre nicht die kleinste Zahl, deren Q u a d r a t die S u m m e zweier B i q u a d r a t e ist.

III. Quadratische Reste § 20. Zuriickfiihrung der quadratischen K o n g r u e n z e n In diesem Abschnitt werden wir die F r a g e nach den w-ten Potenzresten mod m f ü r den Fall n = 2, f ü r die q u a d r a t i schen Koste mod m, weiter behandeln: Welches sind die quadratischen Reste mod m ? F ü r welche m ist eine gegebene Zahl quadratischer R e s t ? Hierfür haben wir zwei wichtige Kriterien, das schon behandelte Eulersche Kriterium (Satz

Quadratische Reste

76

46) und das Gaußsche Lemma (Satz 59), das uns eine überraschend einfache Antwort geben wird: Ob die Zahl r für eine Primzahl p quadratischer Rest ist, hängt nur ab von der Restklasse mod 4r, in der die Primzahl p liegt (Satz 63). Eine so einfache Einteilung kommt bei höheren Potenzresten nicht vor. Sie liefert ferner das Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste (Satz 66), das eine Aussage über das gegenseitige quadratische Restverhalten zweier Primzahlen macht. Wir werden wieder alle Fragen auf den Fall des Primzahlmoduls zurückführen. Zunächst führen wir die allgemeine quadratische Kongruenz (80) ax2 + bx + c = 0 mod m, a > 0, auf den Fall x2 = r mod p, p > 2, zurück. Die Kongruenz (80) ist gleichwertig mit ia2x2

+iabx

+ 4.ac = (2ax + b)2 — (b2 -iac)=0

mod 4 a m .

2

Die Zahl D = b — 4 a c heißt die Diskriminante von (80). Setzt man 2 a x + & = ?/, so bleibt eine reine Kongruenz (81)

y2 = D m o d 4 a m mit y = b mod 2a

als Nebenbedingung zu lösen. Dabei ist die Erweiterung des Moduls m mit a nicht nötig, wenn (a, m) = 1 ist, und die mit 4 dann nicht, wenn (2, m) = 1 ist. Denn bei (a, m) = 1 ist mod m Division durch a und bei (2, m) = 1 Division durch 2 möglich, so daß (80) bei (a, m) = (2, m) — 1 als reine quadratische Kongruenz mod m geschrieben werden kann. Die Lösung von x2 = D mod m läßt sich auf teilerfremde Reste zurückführen; es gilt Satz 55: Die reine quadratische Kongruenz x2 = D mod in ist bei D = D'd, m = m'd, (D', m') = 1 und d = e2 f mit quadratfreiem f genau dann lösbar, wenn (/, m') = 1 und fD' quadratischer Rest mod m' ist. Sei x2 = D(m) lösbar, dann ist mit e 2 | D und e2\m auch 2 2 e \x , also x = ey. Jetzt hat y die Kongruenz y2 = fD' m o d f m ' zu erfüllen, und daraus folgt f\y2, also f\y, da /

Legendre-Symbol. Eulersches Kriterium

77

2

quadratfrei ist. Mit y = f z bleibt fz = D' mod m' zu lösen. Dafür muß zunächst wegen (Z)', m') = 1 auch (/, m') = 1 sein, und da dann fz2 = D'(m') mit f2z2 = }I)'(m') gleichwertig ist, muß außerdem die Kongruenz y- = \D' mod m' lösbar sein. Ist y2 = fü' mod m! lösbar und (/, m') = 1, so hat man mit y ^ fz(m') die Kongruenz f2z2 = fl)'{m') und damit fz2 = ü'(m'); daraus folgt e2f2z2 == e2fü' mod e2fm', also die Lösbarkeit von x2 = I) mod m. Jetzt bleibt nur die Frage, ob ein gegebener teilerfremder Rest a mod m quadratischer Rest oder nicht-quadratischer Rest (Nichtrest) ist. Nach dem Hauptsatz über simultane Kongruenzen ist die Lösbarkeit von x2 = a mod m äquivalent mit der Lösbarkeit des Systems x2 = a mod pf», wo pll die Primpotenzteiler von m sind. Die Kongruenz x2 - a mod pe ist für p > 2 nach Satz 38 genau dann lösbar, wenn x2 = a mod p lösbar ist, und nach Satz 48 für p = 2 bei e ig 3 nur, wenn a = 1 (8) ist, bei e = 2 nur, wenn a ^ 1 (4) ist, und bei e = 1 immer. Es gilt demnach Satz 56: Eine Zahl a ist genau dann quadratischer Rest mod m, wenn sie quadratischer Rest aller Primteiler von m is und in den Fällen 4 | m , 8 | m selbst ^ 1 mod 4, 8 ist. § 21. Lcgendre-Sjmbol. Eulersches Kriterium Um bei ungeradem Primzahlmodul p das quadratisclu Restverhalten einer zu p primen Zahl a kurz zu beschreiben, gebraucht man das Legendre-Symbol ( ] , gelesen „ a n a c h p "

/ a\

oder „a für p". Es wird gesetzt — = + 1, wenn x2 = a / a \j = — 1, wenn ^ mod p lösbar ist, und (— x2 a mod p nicht finition nach v

' \p) \vr Ferner gilt das Eulersche Kriterium:

78

Quadratische Reste v— i

Satz 57:

2

m o d

P-

P - I

Z u n ä c h s t ist a 2 = l ( p ) f ü r alle, zu p teilerfremden a, / p-n« 2 da I = 1 (p) ist. F ü r eine Primitivwurzel v mod p ist p—i v 2 = — l ( p ) , a u ß e r d e m ist sie ein N i c h t r e s t ; denn aus der Lösbarkeit von x2 = v(p) würde v V—1 Aueli f ü r die

0

2

= l ( p ) folgen.

e i n a n d e r mod p inkongruenten

uän+1,

n = 0, 1 , . . P~g 3 , ist ( v 2 n + 1 ) 2 = — l ( p ) , u n d sie sind ebenfalls N iclitreste, denn aus der Lösbarkeit von v2n+1 = x2(p) V—1 würde die von v == x2(p) folgen. Die ^ einander inkongruenten v2n = (vn)2, sie ist (v2™)

2

V—1 n = 1, . . . , - „ • sind qu. Reste; f ü r

= l ( p ) . D a m i t ist Satz 57 bewiesen u n d V—1

gleichzeitig gezeigt, d a ß es -g— qu. Reste u n d ebenso viele iclitreste gibt. Es ist also

Außerdem folgt aus dem Eulersclien Kriterium oder auch aus der Darstellung der qu. Reste und Nichtreste als Potenzen der Primitivwurzel die Gleichung ip)

~[pJ\p

Es ist also das P r o d u k t zweier quadratischen Reste ein qu. Rest, das P r o d u k t eines qu. Restes mit einem Xiehtrest ein Nichtrest und das P r o d u k t zweier Nichtreste ein quadratischer Rest.

Legendre-Symbül. Eulerschcs Kriterium

79

Die quadratischen R e s t e bilden eine Gruppe der Ordnung 2

'

Man erklärt auch

liir a =

0 ( p ) , und zwar durch

=

0-

B e i dieser E r w e i t e r u n g gelten auch die F o r m e l des E u l e r schen K r i t e r i u m s und Gleichung (84), a b e r die G e s a m t h e i t aller R e s t k l a s s e n mod p bildet keine multiplikative Gruppe. Man sagt, das S y m b o l

sei ein C h a r a k t e r der m u l t i -

plikativen Gruppe der zu p toilcrfremden R e s t k l a s s e n oder ein R e s t k l a s s e n c h a r a k t c r mod p . D e m liegt folgende B e griffsbildung zugrunde: Sind A , D , C , . . . E l e m e n t e einer endlichen abcischen Gruppe und wird j e d e m E l e m e n t A der Gruppe eine Zahl % { A ) so zugeordnet, daß x ( A B ) = X ( A ) % { B ) für irgendwelche E l e m e n t e A und B der Gruppe gilt, so n e n n t m a n x ( ^ ) einen G r u p p c n c l i a r a k t e r . I s t E das E i n h e i t s e l e m e n t der Gruppe, so ist x ( A ) = x ( A E ) = X(A) also x ( E ) = 1> wenn nicht x ( ^ ) = 0 für alle A ist. Diesen F a l l sehließen wir aus. I s t n die Ordnung v o n A , also A n = E , so ist ( x ( - 4 ) ) r e = 1. Da

das L c g e n d r e - S y m b o l

nur von

der R e s t k l a s s e

a mod p a b h ä n g t , ist es wegen (84) ein Charakter. E r genügt der Gleichung

=

1.

W i r geben für das E u l e r s c h e K r i t e r i u m noch einen Beweis, und zwar ohne die E x i s t e n z der P r i m i t i v w u r z c l und den F e r m a t s c h e n S a t z heranzuziehen: Man ordne die qu. R e s t e 1, 2, . . ., p — 1 zu P a a r e n { x , y ) m i t x y = a ^ 0 ( p ) . F ü r v — 1 einen N i c h t r e s t a ist stets x =j= y ; es gibt dann — „ Paare, deren P r o d u k t ( p — 1 ) ! R e s t a dagegen bleiben

a 2 ist. F ü r einen quadratischen wegen a F- ( ^ z ) 2 , wo ^ z die

einzigen Lösungen dieser K o n g r u e n z sind, nur ( x , y ) mit x y ^

g-"

Paare

a ; und z und — z bleiben einzeln, ihr P r o d u k t

80

Quadratische Reste v — 1

ist == — a; darum ist hier (p — 1)! = — a 2 , und zwar für joden quadratischen Rost a. Setzt man a = 1, so hat v —i man (p — 1)! = — 1 und a 2 = 1 für jeden quadratischen P/zl Rest, und a 2 = (p — 1)! = — 1 mod p f ü r einen Niclitp-J. rest. Die Kongruenz a 2 s - J - 1 ergibt durch Quadrieren ap-i = l^p), d e n Fermatschen Satz. Nach dem Eulerschen Kriterium ist — 1 quadratischer Rest f ü r p = 1 (4) und Nichtrest f ü r p = 3 (4). Jetzt folgt sofort Satz 5 8 : ».2/^0

Die Kongruenz

ax2 + cy2 = 0 mod p ist mit

(p) genau jür ( y ) =

- ) lösbar.

Setzt man nämlich x = yz, so bleibt az2 = — c(p) zu lösen oder aw = — c durch einen quadratischen Rest w. Z. B. kann 2x 2 + 3i/ 2 nicht durch 1 3 , 1 7 , 1 9 , 23 teilbar sein, wohl aber durch 5, 7,11, 29, . . ., und von diesen Primzahlen sind wiederum die von der Form 6w + 5, wie sich nach dem Verfahren aus § 19 beweisen läßt, selbst durch 2x 2 + 3y 2 darstellbar.

§ 22. Gaußsches Lemma. Erweitertes Legendre-Symbol Wir bringen ein Kriterium f ü r quadratische Reste, das sowohl für Einzelfeststellungen als besonders für den gegenseitigen Zusammenhang der quadratischen Reste wertvoll ist. Dazu definieren wir für ungerade positive m als Halbsystem mod m ein System von Zahlen at,. . a.m_x , das alle / ))} 1\ 2 Reste mod m durch 0, i a,- u = 1 , . . ., - ^ I darstellt. Ein solches bilden vor allem die untere Resthälfte 1 , . . ., m ~ und die obere Resthälfte

1

—

1 oder — —-g

1

1

,

. . . , — 1 . Zwischen Halbsystemen und quadratischem Restverhalten besteht ein Zusammenhang, der durch das Gaußschc Lemma hergestellt wird:

Gaußschcs Lemma. Erweitertes Legondrc-Symbol

81

Salz 5 9 : Sei p = 2 k + 1 Primzahl und a nicht durch p teilbar; die Zahlen alt.. ., ak mögen ein Halbsyslem mod p darstellen. Ist die Anzahl derjenigen Zahlen aav . . . , aak, die dem entgegengesetzten Halbsystem —av ..., —ak angehören, gleich fx, so ist (85)

(f) = (-1)«.

Beweis: Da ein Halbsystem von einem Paar ^ r entgegengesetzter Reste ^ 0 immer genau einen enthält, gehen zwei Halbsysteme — bis auf Übergang zu kongruenten Resten — durch Vorzeichenwechsel einzelner Reste auseinander hervor. Entsteht das Halbsystem cv .. ,,ck aus dem Halbsystem a x , . . . , ak durch p, Vorzeichenwechsel, so gilt für sein Produkt (86)

cxcz • •. ck = (— l ) ' ' a±a2 • • • ak mod p.

Nun ist aber aau . . ., a ak für a ^ 0 (p) ein Halbsystem; denn aus aat = ^ aafolgt at = a¡. Also ist (87) i 7 ( a a , ) = ( — l ) " i 7 a < und damit a" = (— 1)" mod p. Das Eulersche Kriterium ak = \ -~-j mod p ergibt die Behauptung. Wir wollen nun zu beliebigem ungeradem m ein Symbol definieren, das für alle zu m primen Reste a erklärt ist und für eine Primzahl m = p mit dem Legendre-Symbol übereinstimmt. Auch hier bewirkt die Multiplikation der Zahlen eines Halbsystems mod m mit a eine Anzahl von Übergängen in das entgegengesetzte Halbsystem, die wir wieder mit ¡i bezeichnen. Die Anzahl /j, hängt zwar vom gewählten Halbsystem ab, ändert sich aber bei Änderung des Halbsystems nur um Vielfache von 2. Ist das gezeigt, dann ist die Erklärung dos „Jaeöbi-tfymbulx" •^j = (— 1)" für beliebiges ungerades m und (a, m) = 1 unabhängig vom gewählten Halbsystem. Die Bezeichnung 6

Scholz-Schoeneberg,

Zuhlentheorie

82

Quadratische Reste

ist zweckmäßig, weil nach (85) das Jacobi-Symbol für zahlen m mit dem Legendre-Symbol übereinstimmt.

Prim-

Der E r s a t z eines H a l b s y s t e m s d u r c h ein a n d e r e s ist schrittweise d u r c h einzelne Vorzeichenwechsel erreichbar. E s b r a u c h t d a h e r n u r gezeigt zu w e r d e n , d a ß sich die A n z a h l fj, = ¿«(ä) der Ü b e r g ä n g e in das e n t g e g e n g e s e t z t e H a l b system beim E r s a t z v o n H x = ax,... ,,ak, j e t z t m i t m -- 2 k + i , durch //2 c2, . . ck = — av a2, . . . , ak allenfalls um eine gerade Zahl ä n d e r t . Ist aat = i «>, so liegen f ü r Hx u n d H2 gleichzeitig Ü b e r g ä n g e in das e n t g e g e n g e s e t z t e Halbsystem vor, soweit i u n d j von 1 verschieden sind. Ist n u n aax = a¡, so liegt f ü r / / , kein Ü b e r g a n g vor, wohl a b e r f ü r / / 2 , denn es ist ac x = — a a t = — < / , • • = = — u n d — c l i e g t f ü r L in d e m zu H2 e n t g e g e n g e s e t z t e n H a l b s y s t e m . G i b t es ein av m i t a av = alt so liegt wieder n u r f ü r H2 ein Ü b e r g a n g vor. F ü r H2 ist d a n n bei M u l t i p l i k a t i o n m i t a die A n z a h l der Ü b e r g ä n g e u m 2 g r ö ß e r als bei H j . G i b t es dagegen ein av m i t aav = — alt so liegt bei H t ein Ü b e r g a n g vor, a b e r n i c h t bei H2. In diesem F a l l g i b t es bei M u l t i p l i k a t i o n m i t a f ü r H x ebenso viele Ü b e r g ä n g e wie f ü r H2. Die zweite Möglichkeit, n ä m l i c h aax = — f ü r die wir wieder zwei U n t e r f ä l l e zu u n t e r s u c h e n h a b e n , wird e n t s p r e c h e n d b e h a n d e l t . Hier ist die A n z a h l der Ü b e r g ä n g e f ü r H 2 ebenso g r o ß wie f ü r H x oder um 2 kleiner. S a t z 6 0 : Das Jacobi-Symboli—) charakter %(a) m o d m.

= (—l)*4

ist

ein

Rest-

Beweis: Wegen %(a) =|= 0 u n d %(«') = %(a) f ü r a' = a(m) bleibt %(ab) = ^ ( a ) %(b) zu beweisen. I s t H = av . . ., ak ein H a l b s y s t e m u n d bleiben bei M u l t i p l i k a t i o n m i t a gewisse Zahlen a{ in Hx, so a u c h — at im e n t g e g e n g e s e t z t e n H a l b s y s t e m — fft; die ü b r i g e n ¡j,(a) Z a h l e n aus Hx u n d — H x gehen in das a n d e r e H a l b s y s t e m ü b e r . Bei M u l t i p l i k a t i o n m i t ab gehen n u n diejenigen ¡x(ab) Z a h l e n a,- aus Ht nach — Hl über, die es e n t w e d e r n u r bei M u l t i p l i k a t i o n mit a oder n u r bei M u l t i p l i k a t i o n mit b t u n . Gehen r Zahlen sowohl bei a als a u c h bei b über nach - Ifx, so ist die Anzahl /u(ab) = fi{a) — r + ¡x{b) — r, also ist

Gaußsches Lemma. Erweitertes Legerulre-Symbol

83

(— 1)/' («6) -_-.•(_ 1)0 («) + / 0 ist. Dann gilt g (93)

\ial — mj ~ \m) '

Beweis: Mit m' = 4 a t — m seien wieder ¡i{ und ¡x\ die Anzahlen der zugelassenen Vielfachen von a, die in das i-te Halbintervall mod m und mod m' fallen. Dann sind die AnYfl zahlen s,-, sj der Vielfachen von a, die s i i und derjenigen, VYl + • • • + /.

Klassen quadratischer Formen

99

Man nennt den Ausdruck V—4ac = D, der sich als höchst bedeutsam herausstellen wird, dieDiskriminante der quadratischen Form (a, b, c) und berechnet aus (119) die Gleichung (121) D1 =

4djCj = (i2 — 4 a e ) (r^—s^)2

= J2

—4ac.

Die quadratischen Formen F und F®• haben dieselbe Diskriminante. Ist F transformierbar in F1 und F1 in F2, gelten also die Gleichungen Fi

(122)

F2

(z. y) =F(r1x

2/) =

F\

+ v1 y, s1 x + iu1 y),

{r2 X +

V2

' V' S2 X + «'2 2/)>

so folgt (%>y) =

F

Oi (r2x + %y) + v\ (S2X + »1 fo ® +

w2y);

y) + Wl (s2 a; + w2 y))

= F ((r^a + vxs2)x + (v2 + v1w2) y; M'a) V ) • (sx r a + s 2 ) a + (Si «2 + Man definiert als Produkt zweier „Matrizen" © j und © 2 (124)

© 2 = ( T l V l \ ( r Z V 2 ) - ( r lSr 2r+ ' V lWS 2 S> h V + V W, ^Sj wj \s2 »2/ \ 1 2 + 1 2> S1 V22 + w1l®2 und hat dann (123) in der Form F2 = ,F(©i@>>. Zieht man (122) heran, so erhält man (125) F2 = (F®.)®. Da die Determinante von © x © 2 gleich dem Produkt der Determinanten von © j und © 2 , also wieder gleich ^ 1 ist, haben wir die Transformierkeit von F in F2 gezeigt. Weitere Anwendung von © 3 auf F2 führt zu ((i1®i)®«)@»; das ist nach (125) einerseits gleich F*-®i®>)®» und andererseits gleich F®i®»>. Es gilt also für unsere Transformationen das ¿Isso-, ziativgesetz. 7«

100

Quadratische Formen

Die Form

= i 1 ®' läßt sich nun wieder in die Form F zu-

rücktransformieren. Setzen wir nämlich©!

=

±

\ s i» r i / wo + bei positiver Determinante r1w1 — Sj v1 und — bei negativer zu setzen ist, so ist nach (124) das Produkt

© r 1 © ! = ©! © r 1 = (oi) = ®

un

d

damit nach (125) die

aus F1 transformierte Form Ff'

' = F®i@r'=

F® =

Die Transformierbarkeit quadratischer Formen ist also reflexiv, transitiv und symmetrisch. Sie liefert demnach eine Klasseneinteilung der Formen: Zwei Formen F± und F2 gehören dann und nur dann derselben Klasse an, wenn F2 = Ff und © dabei eine ganzzahlige Matrix der Determinante i 1 ist. Auch die Transformierbarkeit zweier quadratischen Formen ineinander mittels einer „eigentlich unimodularen" Substitution, d. h. einer, deren Determinante gleich + 1 ist, liefert eine Klasseneinteilung, die Einteilung in die Klassen äquivalenter oder eigentlich äquivalenter Formen. Man schreibt Fl nj F2, wenn F1 und F2 eigentlich äquivalent sind, und F 1 ~ F 2 , wenn sie uneigentlich äquivalent sind, d. h. mittels einer Substitution der Determinante — 1 auseinander hervorgehen. Es gilt: Wenn F F

2

und j F 2 ~ F3 ist, dann ist i ^ r v ;

wenn F1 ~ F2 u n d F 2 r\iF1 ist, dann ist

F3; F3.

Obwohl es für die Darstellungsaufgabe nicht nötig wäre, zwei nur uneigentlich äquivalente Formen in verschiedene Klassen zu tun, so gibt doch die Klasseneinteilung nach eigentlicher Äquivalenz gerade für die Darstellung zusammengesetzter Zahlen eine bessere Übersicht.

Man erhält so Paare zueinander uneigentlich äquivalenter Klassen von äquivalenten Formen und einzelne ,,zweiseitige" Klassen, deren Formen einander zugleich eigentlich und uneigentlich äquivalent sind.

Klassen quadratischer Formen

101

Wir werden in § 30 und § 31 zeigen, daß es zu jeder Diskriminante D nur eine endliche Anzahl von Formenklassen gibt, die man kurz die Klassenzahl h (D) von D nennt. Eine bequeme Herleitung unserer Ergebnisse liefert die Matrizenrechnung. Unter 9 1 ' * ' s e i ein rechteckiges Schema, eine Matrix, von k Zeilen u n d l Spalten ganz-rationaler Zahlen verstanden. Zwei Matrizen seien gleich, wenn in ihnen an gleicher Stelle dieselben Zahlen stehen. Das P r o d u k t zweier Matrizen werde erklärt f ü r den Fall, daß die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix ebenso groß ist wie die Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix, W - m \ und zwar soll die Zahl, die in der P r o d u k t m a t r i x in der p-ten Zeile in der i>-ten Spalte steht, dadurch gebildet werden, daß m a n die Zahlen der ¡x-ten Zeile der ersten Matrix nacheinander mit den in derselben Reihenfolge genommenen Zahlen der v-ten Spalte der zweiten Matrix multipliziert und dann addiert. Man überzeugt sich leicht, daß die Multiplikation von mehr als zwei Matrizen, falls ü b e r h a u p t möglich, auch assoziativ ist. Versteht m a n unter 9t' die zu 2t „transponierte" Matrix, deren Zeilen die Spalten von 9t u n d deren Spalten die Zeilen von 91 sind, so ist (2158)' = SS' 21'. Die durch (124) definierte Multiplikation zweireihiger quadratischer Matrizen ist ein Sonderfall unserer neuen Definition. Matrix ( x , also £ ' = (x, y), so wird (116) zu X, WZ /2a b \ = © j X . Ordnen wir der Form F = (a, b, c) die Matrix 2t = ^ gc)

Ist

X

die

zu, so wird (115)- zu 2F(x,y) = 3£'2tX. Die Determinante von 2t ist 4ac — b2 = — D . Die Transformationsgleichungen n e h m e n jetzt folgende Gestalt an: 2F1(x,y)

= 2FSi

=

Der transformierten Form ist danach die Matrix-©i 2t © ! zugeordnet, welche dieselbe Determinante wie 2t besitzt. Weiter ist 2FS,©» = X'CSiSjySti©!©,) X = £'@s©i31 © ! © „ £ . Die Matrizen © der Determinante ± 1 bilden wie auch die Matrizen der Determinante + 1 eine Gruppe. Wir bemerken noch ( © i © ^ - 1 = ©¡" x © f 1 und (©o)" 1 = ( © - 1 ) 0 = © - » . Diese Gruppen sind nicht abelsch; z. B. wird

102

Quadratische Formen

§ 28. Diskriminanten Die Bedeutung der Diskriminante D = b2 — 4ac der quadratischen Form (a, b, c) hat sich schon im vorigen Paragraphen gezeigt: Alle Formen derselben Klasse haben dieselbe Diskriminante. Sie geht noch viel weiter. Als notwendige Bedingung für die eigentliche Darstellbarkeit der Zahl m durch die primitive Form (a, b, c) werden wir in Erweiterung des in Satz 58 genannten Falls 6 = 0 erhalten, daß die Diskriminante D einem Quadrat mod m kongruent ist. Ist dabei m zu D teilerfremd, also D quadratischer Rest für m, so ist umgekehrt m wenigstens durch irgendeine Form der Diskriminante D darstellbar, wenn D überhaupt als Diskriminante vorkommt. Wir teilen darum alle quadratischen Formen zuerst nach ihrer Diskriminante ein. Diskriminantenzahlen sind die positiven und negativen Zahlen D = 0 oder = 1 mod 4. Die Diskriminanten haben diese Eigenschaft, und umgekehrt braucht man zu solchem D nur b = D mod 2 zu wählen, und man hat mit b2 — D = 4 c in (1, b, c) eine Form der Diskriminante £>.BeiZ) = 0(4) ist b = 0 und bei D = 1 (4) ist 6 = 1 möglich. Die Form (l, 0, bei D = 0(4) und die Form (l, 1, bei 7) = 1 (4) heißen die IIav/ptformen zur Diskriminante D. Wichtige Aufschlüsse gibt uns bei «4= 0 die Gleichung (126)

4a F (x, y) = (2ax + byf

— Dy2.

Dann haben bei D > 0 die Werte 4a F (1, 0) = 4a 2 und 4a F (— b, 2a) = — 4a,2D verschiedene Vorzeichen. F (x, y) nimm also bei Z) > 0 positive und negative Werte an. Solche Formen nennt man indefinit. Im Falle a = 0 ist D = b2 eine Quadratzahl. Quadratische Diskriminanten betrachten wir gesondert. Ist / ) < 0, so steht auf der rechten Seite von (126) eine Summe von Quadraten, die nur für x =• y — 0 verschwindet und sonst positiv ist. F(x,y) hat also bei / ) < 0 außer für x = y — 0 stets das Vorzeichen von a. Solche Formen nennt man definit. Für D < 0 werden wir nur die positiv definiten

Diskriminanten

103

Formen betrachten, also a und damit auch c positiv annehmen. Das reicht, weil ( — a , - - b, — c2, so bilde man zu F2 diejenige rechte Nachbarform F3 = iaai c3), welche außer a3 = c2 noch — a3 < ¿>32£ a3 erfüllt. Jetzt ist a3 < a2. Falls F 3 noch nicht reduziert ist, wende man auf F-3 dasselbe Verfahren an, das von F2 zu F3 führte; in entsprechender Weise entstehe aus F,(v S; 2), falls noch nicht reduziert, die Form Fv+1. Wegen av+1 = e„ und av+1 < a„(v Si 2) ist a2 > a3 > • • • eine Folge abnehmender Zahlen, die außerdem positiv sind. Die Kette der Fv bricht also mit einem Fn ab, eben dann, wenn an c„, d. h. wenn Fn reduziert ist, denn — an < bn ^ an folgt aus der Konstruktion der Kette. Damit haben wir

Reduktion der deflniten Formen

109

Satz 75: Jede definite Form läßt sich durch eine Kette benachbarter Formen in eine reduzierte überführen. Die Äquivalenz einer gegebenen Form F mit einer reduzierten folgt auch so: Sei k die kleinste positive Zahl, die durch F dargestellt wird. Nach Satz 73 ist dann F | t / | ; dann ist a x2 + bxy + cy2 5: ax2 — |S| | a;i/| + cy2 > ( a - | & | ) | a ; i f | + cy2^. (a — |6| + e) f . Entsprechend ist für | y | > | x \ ax2 + bxy + cy2 > (a — Daraus folgt für \ (134)

ax

2

+ c) x2.

xy\>l

+ bxy + cy2 > a — |ft| + c.

110

Quadratische Formen

Sei nun (a,b, c)nu (a', V, c') und a^L c, a' iS c'. I)a durch F und F' dieselben Zahlen in gleicher Häufigkeit dargestellt werden, ist a! = a, denn das ist nach (133) und (134) die kleinste positive durch F und F' darstellbare Zahl. Ist c > a, so ist c die nächstgrößere durch F, F' darstellbare Zahl, und es ist c' = c und damit | b' | = | b |. Ist, c = a und | b | < a, so ist c < a — | b \ + e und c durch F, F' auf genau vier Arten darstellbar; es ist also wieder e' = c und | b' | = | b |. Und schließlich ist der Fall \ b\=a = c dadurch gekeimzeichnet, daß a durch F auf genau sechs verschiedene Arten dargestellt werden kann. Das trifft auch für F' zu, so daß sich die beiden Formen höchstens im Vorzeichen des mittleren Koeffizienten unterscheiden. Jetzt ist noch zu untersuchen, wann (a, b, c) t\j (a, — b,c) ist. Für c = a ist (a, b, a) = (b, — b, a) s . Sei nun c > a. tCV\ y W j ist, so besteht die Gleichung a = ax2 + bxy + cy2, die bei c > a nur die

(

Lösungen x = ^

1, y = 0 hat, d. h. es ist © = ±

•

Dann ist (a, — b , c) parallel zu ( a , b , c ) , also a|&, was bei |fc] ^ a nur f ü r ] j | = a möglich ist. Hier ist (a, a, c) = (a, — a, e)«(D. Damit ist Satz 77 bewiesen. Die Frage nach der Darstellbarkeit von k durch F = (a, b, c) ist jetzt so zu beantworten: Reduziert man F und die Formen (129) und f ü h r t die Reduktion einer dieser Formen auf die ausgezeichnete Form der Klasse von F , so ist k durch F darstellbar. Die Anzahl der Darstellungen wird, wie wir gleich zeigen werden, das Sechsfache, Vierfache oder Doppelte der Anzahl der zu F äquivalenten Formen (129), je nachdem A = 3, 4 oder > 4 ist. Das ist nach unseren Ausführungen über die automorphen Substitutionen bewiesen mit Satz 78: Die Anzahl der automorphen Substitutionen für eine definite quadratische Form F der Diskriminante D ist gleich 6, 4 oder 2, je nachdem D = — 3 , - 4 oder < — 4 ist. Beweis: Jede Lösung von k =F(x,y) führt zu genau einer Substitution, die F in eine Form F' der Gestalt (129)

Reduktion der definiteti Formen

111

überführt und umgekehrt. Ist insbesondere F = (a, i, c) reduziert und wird k = a gesetzt, wird also nach den Lösungen von a = F gefragt, so ist F' = (a, b', e') wegen — a < 6' ^ a c' auch reduziert. (a ^ c' gilt, weil a die kleinste positive, durch F, F' darstellbare Zahl ist.) Dann folgt aus Satz 77 schon c' — e und, wenn c > a ist, wegen — a < b noch b' = b. Für c > a ist demnach die Anzahl der automorphen Substitutionen für F gleich der Anzahl der Lösungen von a = F, also gleich 2. Für c = a und | 6 | < a gibt es 4 Lösungen von a = F,

— b, ä) überführt, also nur f ü r 6 = 0 eine automorphe Substitution ist. Dann ist bei primitivem F notwendig a = c = 1, D = — 4. Zu F = x2 + y2 gehören die vier automorphen / 01\" Substitutionen I ^ Q) , x = 1, 2, 3, 4. Für a = c = |S| gibt es nur die primitive reduzierte Form F = x2 + xy + y2 mit D = — 3. Hier hat F = 1 die sechs Lösungen ^ (1, 0), ± (0,1) und i (1, — 1). Die zugehörigen Substitutionen sind i (q l ) ' i ( l l ) ( i" i ) . Zu F = x2 + x y + y2 gehören die sechs auto\—J-w /0—l\a morphen Substitutionen L j l , a = 1, 2 , . . . , 6.

i

Versteht man unter einer reduzierten Form eine Form (o, t, c) mit — a < b a fS c, so gilt noch Satz 75, und (a, a, c) ~ (a, — a, c) in Satz 77 entfällt als Äquivalenzfall reduzierter Formen.

Die "Klassenzahl h (D) läßt sich durch Aufstellung aller ausgezeichneten Formen leicht bestimmen: Zuerst ordne man nach B = 16|. Es kommt nur B = A mod 2 mit 3 B2 5g A in Frage und hier das Gleichheitszeichen nur fürZl = 3, da es nur die Form (B, B, B) zuläßt. Also reicht B = 1 für ungerades A ^ 27; B = 1, 3 fiirzl = 31 bis 75; B = 1, 3, 5 fürZl = 79 bis 147; . . . B = 0 für A = 4, 8 , 1 2 ; B = 0, 2 für gerades

112

Quadratische Formen

A = 16 bis 48 usw. Nun ist A + B2 = 4m = 4ac beliebig so zu zerlegen, daß (131) gilt. So erhält man alle ausgezeichneten Formen (a, b, c) mit b = B für (132), b = i B sonst. Beispiele: P = — 3 ¿> = — 4 ¿> = —23 ¿> = —39 £> = —156 D = —163 (1,1,1)

(1,0,1)

(1,1,6) ( M . 1 0 ) (1,0,39) ( 2 , ± 1 , 3 ) ( 2 , ± 1 , 5 ) (3,0,13) (3, 3, 4) (5, ± 2, 8) Ä = 1 Ä = 1 Ä = 3 Ä = 4 Ä = 4 sind die Klassenzahlen dieser Diskriminanten.

l1'1'41) Ä = 1

Die Abzahlung der Klassen kann dabei ohne Aufstellung der reduzierten Formen durch Abzahlung der zulässigen Teilungen n = ac erfolgen, nach B summiert: h = ZH(B, n), H die Anzahl der ausgezeichneten Formen (a, b, c) mit | b | = B und ac=n, d.i. bei fundamentalem D < — 4 für B = 0 die halbe Anzahl der Teiler von n und für B > 0 der Überschuß an Teilern > B über die < B. Beispiel:

£ = —167.

42) + H(S, 44) + H(5,

48)

+ H (7,54) = 7 + 2 + 2 + 0 =

h = H(l,

11.

0 = — 168. h = H(0, 42) + H(2, 43) + H(4, 46) + H{6, 51)

= 4 + 0 + 0 + 0 = 4. (Die Differenz aufeinanderfolgender n liegt zwischen den zugehörigen B.)

§ 31. Reduktion der indefiniten Formen Wir wenden uns jetzt der schwierigeren Reduktion der indefiniten Formen F = (a, b, c) zu. Hier ist D (a, b, c) = b2 — 4ac > 0, also ¿> = 5, 8 , 1 2 , 1 3 , 1 7 , 20, 2 1 , . . . Eine indefinite Form heißt reduziert, wenn für ihre Koeffizienten die Ungleichungen (135)

0 < 6 und / —Min(|2a|, | 2 c | ) ^ 6 < /

gelten. Dabei ist / die kleinste natürliche Zahl mit f 2 > I). Die Anzahl der reduzierten Formen zur Diskriniinante D ist endlich; denn mit 0 < b < f wird b2 ^ (/ — l ) 2 < D, also ac < 0 und |4ac|< D.

Reduktion der indefiniten Formen

113

Die Form F heiße halbfeduziert, wenn sie die schwächere Forderung (136) / —|2a|^Z> • • • i n (140) rechts einen abbrechenden Divisionsalgorithmus erzeugen. Wir dürfen dabei a^, a! > 0, also c l t c' < 0 annehmen; denn die andern Vorzeichenverteilungen kommen bei den Nachbarformen von F1 und F' vor, und ein Nachbaraustausch macht für Satz 82 nichts aus. Bei dieser Vorzeichenverteilung ist r s vw=|= 0. Denn F' ist zu F wegen av a! > 0 nicht benachbart, also ist © =(= (l

ff^

© = ¿ ^ 1 ^ q =

'

aUC

wäre,

was

^

ZU

^

für reduzierte

da sonst Formen nun bei

0 möglich ist; aus demselben Grund ist © 4= i

•

Damit sind alle © mit rsvw = 0 ausgeschlossen. Außerdem gilt r » > 0. Denn aus der Transformationsformel (119) folgt unter Verwendung von r w — s v = 1 (141) a' v w — c' r s = a^^r v — c1s w. Wieder aus r w — s v = 1 folgt bei r s v w =j= 0 die Ungleichung (r w) (s v) > 0. Daraus folgt wegen a^, a'c' < 0, daß a'vw und — c'rs dasselbe Vorzeichen haben und ebenso atrv und —cysw. Wegen (141) haben also auch a'vw und atrv dasselbe Vorzeichen, und wegen av a' > 0 ist dann (rv) (vw) > 0. E s ist also rw > 0 und wegen rw — sv = 1, sv4= 0 auch sv > 0.

118

Quadratische Formen

Unter

den

± ©±i = ±

, ±

f j hat

dann

genau eine lauter positiv j Zahlen. Tiifft dies f ü r © zu, so behaupten wir, daß © oder — © dat geforderte Produkt ist. In (140) sei zunäehsts' = 0; dann ist 2 = ( z p ^ ^ ^ j , und zwar gilt das obere Vorzeichen, weil © lauter positive Zahlen hat. Da F' = F^ zu F2 benachbart und als reduzierte Form der Kettennachbar F3 zu F2 ist, muß % = — 9 i (q2) sein. Dann ist © = — föfo) m(q 2 ). Für s' ^ 0 ist © = - { R f e ) SR(?s) ©' mit ©' = ( J

und F -- f

Hier hat F3 ein a3 > 0, kann also in unseren Überlegungeii an die Stelle von Ft gesetzt werden, wenn zugleich © ' an die Stelle von © tritt. Gilt nun, wie wir unten zeigen werden, (142) 0 ^ s' < r ^ s und 0 < w' iS v < w, also nach dem eben Gesagten auch r' s' und v' < w', so ist bei s' > 0 wegen s'v' > 0 auch v' > 0 und wegen w' > 0 und r'io' > 0 auch r' > 0. Dann gilt bei s' > 0 0 < r' < r, 0 < s' < s, 0 < v' < v, 0 < w' < w . Die Elemente von ©' sind also auch positiv, es folgt das Abbrechen des Algorithmus (140) und damit f ü r © eine Darstellung © = ( _ l ) m 3} ( ? ! ) • • - 9 ^ 2 m )Jetzt ist noch (142) zu zeigen. Zunächst ist v 10 unmöglich; sonst wäre c' ¡5; (a x + —[e-J) w2 ^ 0 nach (135) und (138). Ebenso ist s' ¡ä; r unmöglich; sonst wäre a! = c2r2 — i2rs' — | C l | s ' 2 ^ (c2 — &2 — |cj|) r' 2 0. Also ist v 0 sind, gelten von den' restlichen Behauptungen, nämlich s' 0, w' > 0, beide *oder keine. Um hierüber zu entscheiden, setzen wir (141) für F2 und % statt f ü r . F j und © an: a'vw' — c'rs' = c2rv— CjS'w'. Die rechte Seite ist > 0, weil — cx, c2rv > 0 und s'w' ¿i 0 sind. (Das Gleichheitszeichen steht nun b e i © ' = 6.) Also ist

Reduktion der indefiniten Formen

119

a'vw' > c'rs', und diese Ungleichung ist mit s' < 0, w' ig 0 nicht verträglich. Damit ist Satz 82 bewiesen. Das Vorzeichen in ^ © ist wogen F® = i , - s ohne Einfluß auf die Transformation von F. Ist 7i wieder die Länge der primitiven Periode der von

71

F ausgehenden Kette und bildet man das Produkt i J 9i(?i) !»•„_!|, so daß mit © nicht gleichzeitig ' S - 1 ein Sftfe) - Produkt ist. Damit haben wir

120

Quadratische Formen

Satz 83: Ist © für F eine automorphe Substitution, F so ist

=F 0 gibt es unendlich viele automorphe Substiß

tutionen, die nach (144) und wegen u =— zu verschiedenen Lösungen der Pellschen Gleichung führen. Unter ihnen gibt es eine mit kleinstem positivem u, etwa u1; dazu gehört ein kleinstes > 0. Wir nennen (i l5 «,) die kleinste positive Lösung. Aus ihr gewinnen wir alle positiven Lösungen: Setzen wir nach (147)

Automorphe Substitutionen. Pellsche Gleichung

123

w _ ß Vi — lui)> — cui) - l atii, i (tx + lu^ ) ' so ist nach dem Distributivgesetz für Matrizen Sii" + «!»-* = Sij"- 1 (2li + S t r 1 ) = k Mit

=

wn)

ist

*» = ' . + w „ « , = £

die zu 91/

gehörige Lösung. Aus der Matrizengleichung folgt dann =

(149)

^

gültig für n 2, wenn noch t0 = 2, u0 = 0 gesetzt wird. Jetzt folgt tn+1 > t„, un+1 > un gültig für n ^ 0, da S; 2 ist, und daraus wieder, daß 9^ gleich der Matrix 9t aus Satz 83 ist, wenn diese so gewählt wird, daß die zu ihr gehörigen Lösungen t, u > 0 sind. Das ist möglich, weil t, — u zu 9I" 1 gehört, wenn t, u zu 9i gehört. Also gilt: Satz 84: Die Lösungen der Pellschen Gleichung vermitteln durch (147) die eigentlich automorphen Substitutionen aller quadratischen Formen der Dislcriminante D. Ihre Anzähl ist für D > 0 unendlich, und es gehen die positiven Lösungen aus ihrer kleinsten positiven durch (149) hervor. Ohne Beweis teilen wir mit: Die Pellsche Gleichung i2 — 7)« 2 = 4 ist für jedes D > 0, 4= g2 lösbar. Betrachten wir noch die zweiseitigen FormenMassen, deren Formen einander also zugleich eigentlich und uneigentlich äquivalent sind! Wir zeigen, daß jede solche Formenklasse eine zweiseitige Form enthält, d. h. eine Form, die zu ihrer entgegengesetzten Form parallel ist oder, was damit gleichwertig ist, die Gestalt ( k , M , m ) besitzt. Sei nun (a, b, c) eine Form

unserer

zweiseitigen

Klasse

und

© = ^ ^j

mit

r w — st) = — 1 eine uneigentlich automorphe Substitution —w v\ ) , und es folgen die auch hinreichenden. Bedingungen (150)

w = — r,

av — br + cs

(r 2 + s « = 1).

124

Quadratische Formen

Wir haben jetzt eine unimodulare Substitution % so zu bestimmen, daß (a, b, eine automorphe Substitution U = (o—l) besitzt.- Wegen (a, b, c)® = (a, b, c) muß dann S : - 1 © ^ = U sein oder mit % = ( x \ ) j

™ cyeo-eoiiii)Es ist also (152)

L + ¿ - 1 ) ^ = 0

mlt

(*•») =

1

zu lösen, was wegen r 2 + s » = 1 möglich ist. ^ .j ist dann zu einer unimodularen Substitution % zu ergänzen. Mit diesem % ist die Zahl unten rechts in der Matrix in (151) ganz rechts notwendig gleich —1, da r w —s v = —1 ist, und es ist 2 T 1 © £ = U mit einem bestimmten 11 und damit (a, b, zweiseitig. Wegen (a, b, c)® = (k, kl, m) ist k2l2 —4km = D, also k\D\ Die Formen einer zweiseitigen Klasse stellen Diskriminantenteiler dar. Stellt umgekehrt (a,b,c) einen Diskriminantenteiler k dar, so ist (a, b, c) ru (k, ¥, c'), und wegen b'2 —4kc' = D gilt k\b'2. Ist D eine Fundamentaldiskriminante, so folgt aus k\b'2 bei k = u oder = 2u mit ungeradem u schon k\b'. Zahlen k = 0(4) werden nicht dargestellt. Also Satz 85: Die Formen der zweiseitigen Klassen und bei einer Fundamentaldiskriminante auch nur diese stellen Diskriminantenteiler dar. Wir stellen noch die Frage: Wann ist ( a , b , c ( — a , —b, —c)? Dann ist statt (146) _ (153) frLU2a & W - 2 « i) \vw)\ b 2c) \— b—2ej{ s -rj mit r w — v s = — l z u lösen. Das führt auf das Gleichungssystem (154) r = \ (t — bu), s = au, v = — cu, w = \ (t + bu) g mit ganzem u = — , t = w + r und

Automorphe Substitutionen. Peitsche Gleichung (155)

125

4 (r w — s v) = t2 — D m2 = — 4 .

Umgekehrt führt eine Lösung t, u von (155) durch (154) zu — IT V \ — einer Lösung © = I- — I von (a, b, c)® = (— a, — b, — c). Wegen («, b, c)®* = (a, b, c) transformieren die & bei geradem n die Form (a, b, c) in sich und bei ungeradem n in (— a, —b, — c). Die zugehörigen Werte tn, un erfüllen für gerades n die Gleichung (148) und für ungerades n die Gleichung (155). Wegen © — © _ 1 = i S ist Qn _ ©»-2 = 2, wenn I r i I ist, und zwar dasjenige SR(g,)-Produkt, das die Form (a, b, c) in der Kette fortschreitend zum erstenmal in (— a, b, —c) überführt. Das folgt aus unseren Aussagen über das Wachstum der Zahlen in den Si^-Produkten. Entsprechend ist (—a, b , — c = (a,b,c) und ± 922^ dasjenige Si^,)-Produkt, das ( — a , b , —c) zum erstenmal in (a, b, c) überführt. Also ist ± 5R) (SR = ± 9t? = ± Sl* 1 und bei kleinster positiver Lösung auch von (148) damit ä ? = Stx-

Quadratische Formen

126

Die Frage nach der Lösbarkeit von (155) ist gleichwertig mit der Frage: Wann ist — 1 in der Hauptklasse darstellbar? Allgemein gilt nämlich: Ist k in der Hauptklasse darstellbar, also k = x2 + bxy + ey2 mit D = b2 —4c, so wird (2a; + by)2 —Dy2 = 4k und umgekehrt. Zur Bestimmung der kleinsten positiven Lösungen von (118) und (155) wird man das kleinste positive u suchen, für das Du2 ^f 4 ein ganzzahliges Quadrat ist. Beispiele: D = 5 8 13 t = 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29 47 2, 6, 14, 34 3, 11, 36 1, 2, 5, 12 1, 3, 10 u = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 D= 21 73 89 136 145 t = - , 5, - , 23 2136, 4562498 1000,1000002 - , 70, 24, 578 u = —, 1, —, 5 250, 534000 106, 106000 —, 6, 2, 48 Aufeinanderfolgende Lösungen von (155) und (148); Striche zeigen an, daß (155) unlösbar ist. Zur Frage nach der Lösbarkeit von (155) beweisen wir Satz 87: Die Gleichung t2—pu2 — —4 ist für Primzahlen p = 1 (4) lösbar. Die Primzahl p ist dann Diskriminante, und t2 — pu2 — 4 ist daher lösbar; tv ux sei die kleinste positive Lösung. Wegen t\ — 4 = pu\ ^ — 4 (16) ist t± nicht durch 4 teilbar; dann ist aber (¿x + 2, tx — 2) = 1 oder 4, und in beiden Fällen folgt aus + 2) (¿j — 2) = pu\ ¿j + 2 = p u ' 2 , ^ — 2=

(157) (158)

oder

¿ 1 - 2 = p«iS< 1 +

/uA2

2=(^

(157) ergibt für (155) die Lösung t[ =

, u\; (158) ist

nicht möglich, da tv ux die kleinste positive Lösung von i2 — p u2 = 4 ist. Offensichtlich ist t2 — Du2 = — 4 nicht lösbar, wenn D einen Primfaktor = 3 (4) hat. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit von (155) ist nicht bekannt.

Sach- und Namenverzeichnis Abelsche Gruppe 44 Abschnitt einer Menge 6 Absolutrest, kleinster 17 Algorithmus Divisions- 117 Euklidischer 19 Anzahl 6 Äquivalenz 38, 100 arithmetische Progression 27 automorphe Substitution 106, 120 Basis der primen Reste 64 Bedingungskongruenz, algebraische 52 biquadratische Reste 94 Bruchkongrucnz 41 Definite Form 102 Dezimalbrüche, periodische 59 Diophantische Gleichung 41 Dirichlet 6, 27, 74, 96 Diskriminanten 99, 102 — -teiler 106, 124 Division mit Rest 16, 37 direktes Produkt 48 direkte Summe 48 Eigentliche Darstellung 70, 97 Eisenstein 93 Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz 83 Euler 27, 29 Eulersche Funktion 34 Eulersches Kriterium 65, 78 Eulerscher Satz 57 Exponent eines Restes 51 Fermatsche Primzahlen 31 Fermatscher Satz, kleiner 56 Form, assoziierte 106 — , ausgezeichnete 108 — , benachbarte 107 — , entgegengesetzte 106

Form, komplementäre 106 —, parallele 105 Fundamentaldiskriminante 103, 124 GauÜ 27, 31, 38, 52, 96 Gaußsches Lemma 80 - Symbol 82 geordnete Menge 5 Grad eines Restklassenpolynoms 50 gr. g. T . = größter gemeinsamer Teiler 12, 20 Gruppe 44 Gruppencharakter 79 Hadamard 27 Halbsystem 80 Hauptform 102 Indefinite Form 102, 112 Index 6 t Induktion 6 inkonpruente Lösungen 41 Integritätsbereich 8 Jacobisymbol 91 K e t t e v. Nachbarformen 108, 113 K l a p p auf, G. 19 Klasse eigentlich äquivalenter Formen 100 Klassenzahl 101, 109, 113 kl. g. V . = kleinstes gemeinsames Vielfaches 12 kleinster nicht-negativer Rest 39 Kongruenzen 37 Systeme von — 46 Kongruenzlösung, eindeutig 41 Kongruenzwurzel, einfache, mehrfache mod p 55 Körper 43 Legendre-Symbol 77

Matrizen 99, 101 Mersennsche Primzahlen 30 Mertens 116 Mills, W . H. 29 Möbiussche Funktion 35 — Umkehrformel Modul 17, 37 multiplikative Funktion 32 Nachbarform 107 -enkette 108, 113 Nachbarsubstitutionen 117 natürliche Zahl 5 Nullteiler 8, 39 Ordnung eines Restes 51, 58 Paarweise teilerfremd 15 Pellsehe Gleichung 121 Polynome 28, 49 Poteuzrest, n-ter 64 prim," relativ 15 primitiv 60, 97 Primtciler 10 Primt eiler eines Polynoms 28 Primzahl 9 -satz 27 -tafel 26 -Zwillinge

26

Primzerlegung 11, 19, 24 Quadratische Reste, Hauptsatz 84 quadratisches Restsymbol 77 Reduziert 108, 112 Rekursionsformeln 123, 125 Rest 17, 37 primer, teilerfremder 44, 64 Resthälfte, untere, obere 80 Restklasse 37 Restklassencharakter 79 Restklassenkörper 43

128

Sach- und Namenverzeichnis

Restklassenring 39 Restsystem, primes 48 — , vollständiges 39 reziproker Rest 43 Reziprozitätsgesetz 88 Ring 7 — ohne Nullteiler 8 Schubfächerprinzip 6, 44 Sieb des Eratosthenes 25 Simultankongruenz 46 Substitution 98

summatorische Funktion 32 Teilbarkeit, Teiler 9 teilerfremd 15 Teilerfunktion 12, 32 Thuescher Satz 44, 69 Transformation quadr. Formen 98 Transponierte 101 Unimodular, eig., uneig. 100

Vallée-Poussin, de la 27 Vielfachsumme 18 Viggo Brun 26 vollkommene Zahl 21) Wilsonscher Satz 45 Wurzeln mod m 50 Zahlentheoretische Funktion 32 Zermelo 11 zweiseitige Form 123 — Klasse 100

GESAMTVERZEICHNIS der

SAMMLUNG GÖSCHEN

Jeder Band DM 3,60 • Doppelband DM 5,80

Herbst 1960

WALTER DE GRUYTER & CO., BERLIN W35

Inhaltsübersicht Biologie Botanik Chemie Deutsche Sprache und Literatur Elektrotechnik Englisch Erd- und Länderkunde Geologie Germanisch Geschichte Griechisch Hebräisch Hoch- und Tiefbau Indogermanisch Kristallographie Kunst Land- und Forstwirtschaft Lateinisch Maschinenbau Mathematik Mineralogie Musik Pädagogik Philosophie . Physik Psychologie Publizistik Religionswissenschaften Romanisch Russisch Sanskrit Soziologie Statistik Technik Technologie Volkswirtschaft Vermessungs wesen Wasserbau Zoologie

2

;

Seite 13 13 12 6 15 7 8 14 7 5 8 8 18 7 14 5 14 8 16 9 14 4 3 3 11 3 9 4 7 8 8 3 9 15 12 9 18 17 14

Geisteswissenschaften Philosophie Einführung in die Philosophie von H. Leisegang f . 4. Auflage. 145Seiten. 1960. (281) Hauptprobleme der Philosophie von G. Simmel f . 7., unveränderte Auflage. 177 Seiten. 1950. (500) Geschichte der Philosophie I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 1. Teil. Von Thaies bis Lcukippos. 2., erweiterte Auflage. 135 Seiten. 1953. (857) I I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 2. T e i l . Von der Sophistik bis zum Tode Piatons. 2., stark erweiterte Auflage. 144 Seiten. 1953. (858) I I I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 3. T e i l . Vom Tode Pia« tons bis zur Alten Stoa. 2., stark erweiterte Auflage. 132 Seiten. 1954. (859) I V : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 4. T e i l . Von der Alten Stoa bis zum Eklektizismus i m 1, J h . v. Chr. 2., stark erweiterte Auflage. 132 Seiten. 1954. (863) V : D i e P h i l o s o p h i e d e s M i t t e l a l t e r s von J . Koch. In Vorbereitung. (826) V I : V o n d e r R e n a i s s a n c e b i s K a n t von K. Schilling. 234 Seiten. 1954. (394/394 a) V I I : I m m a n u e l K a n t von G. Lehmann. In Vorbereitung. (536) V I I I : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von G. Lehmann. 1. T e i l . 151 Seiten. 1953. (571) I X : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von G. Lehmann. 2. T e i l . 168 Seiten. 1953. (709) X : D i e P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s 1. Teil von G. Lehmann. 128 Seiten. 1957. (845) X I : D i e P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s 2. Teil von G.Lehmann. 114 Seiten. 1960. (850) Die geistige Situation der Zeit (1931) von K. Jaspers. 5., unveränderter Abdruck der i m Sommer 1932 bearbeiteten 5. Auflage. 211 Seiten. 1960. ( - 0 0 0 ) Erkenntnistheorie von G. Kropp. I. T e i l : A l l g e m e i n e G r u n d l e g u n g . 143 Seiten. 1950. (807) Formale Logik von P. Lorenzen. 165 Seiten. 1958. (1176/1176 a) Philosophisches Wörterbuch von M. Apel f . 5., völlig neubearbeitete A u f l a g e von P. Ludz. 315 Seiten. 1958. (1031/1031a) Philosophische Anthropologie« Menschliche Selbstdeutung in Geschichte und Gegenwart von M . Landmann. 266 Seiten. 1955. (156/156a)

Pädagogik, Psychologie, Soziologie Geschichte der Pädagogik von Herrn. Weimer. 14., durchgesehene und v e r m e h r t e A u f l a g e von Heinz Weimer. 178 Seiten. 1960. (145) therapeutische Psychologie. Ihr Weg durch die Psychoanalyse von W. M. Kranefeldt. Mit einer Einführung von C. G. Jung. 3. Auflage. 152 Seiten. 1956. (1034)

3

GEISTESWISSENSCHAFTEN Allgemeine Psychologie von Th. Erismann. 3 Bände. 2., neuhe arbeitete Auflage. I : G r u n d p r o b l e m e . 146 Seiten. 1958. (831) I I : G r u n d a r t e n d e s p h y s i s c h e n G e s c h e h e n s . 248 Seiten. 1959. (832/832a) III: P s y c h o l o g i e d e r P e r s ö n l i c h k e i t . In Vorbereitung (833) Soziologie. Geschichte und Hauptprobleme von L. von Wiese. 6. Auflage. 175 Seiten. 1960. (101) Sozialpsyehologie von P. R. Sofsläller. 181 Seiten, 15 Abbildungen, 22 Tabellen. 1956. (104/104a) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moede f . 190 Seiten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 120 Seiten. 19561 (103)

Religionswissenschaften Jesus von M. Dibelius f . 3. Auflage, mit einem Nachtrag von W. G. Kümmel. 140 Seiten. 1960. (1130) Paulus von M. Dibelius f . Nach dem Tode des Verfassers herausgegeben und zu Ende geführt von W. G. Kümmel. 2., durchgesehene Auflage. 155 Seiten. 1956. (1160) Luther von F. Lau. 151 Seiten. 1959. (1187) Melanchthon von R. Slupperich. 139 Seiten. 1960. (1190) Geschichte Israels. Von den Anfängen bis zur Zerstörung des Tempels (70 n. Chr.) von E. L. Ehrlich. 158 Seiten, 1 Tafel. 1958. (231/231 a) Römische Religionsgeschichte von F. Aliheim. 2 Bände. 2., umgearbeitete Auflage. I : G r u n d l a g e n u n d G r u n d b e g r i f f e . 116 Seiten. 1956. (1035) I I : Der g e s c h i c h t l i c h e A b l a u f . 164 Seiten. 1956. (1052)

Musik Musikästhetik von H. J. Moser. 180 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1953. (344) Systematische Modulation von R. Hernried. 2. Auflage. 136 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950. (1094) Der polyphone Satz von E. Pepping. 2 Bände. I : Der c a n t u s - f i r m u s - S a t z . 2. Auflage. 223 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950.(1148) I I : Ü b u n g e n i m d o p p e l t e n K o n t r a p u n k t u n d i m K a n o n . 137 Seiten. Mit zahlreichen Notenheispielen. 1957. (1164/1164a) Allgemeine Musiklehre von H. J. Moser. 2., durchgesehene Auflage. 155 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1955. (220/220 a) Harmonielehre von H. J. Moser. 2 Bände. I : 109 Seiten. Mit 120 Notenbeispielen. 1954. (809) Die Musik des 19. Jahrhunderts von W. Oehlmann. 180 Seiten. 1953. (170) Die Musik des 20. Jahrhunderts von W. Oehlmann. In Vorbereitung. (171/171'a) Technik der deutschen Gesangskunst von H. J . Moser. 3.« durchgesehene und verbesserte Auflage. 144 Seiten, 5 Figuren sowie Tabellen und Notenbeispiele. 1954. (576/576 a)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Die Kunst des Dirigierens von H. W. von Waltershausen f . 2., vermehrte Auflage. 138 Seiten. Mit 19 Notenbeispielen. 1954. (1147) Die Technik des Klavierspiels aus dem Geiste des musikalischen Kunstwerkes von K. Schubert f . 3. Auflage. 110 Seiten. Mit Notenbeispielen. 1954. (1045)

Kunst Stilkunde von H. Weigert. 2 Bände. 3., durchgesehene und ergänzte Auflage. I : V o r z e i t , A n t i k e , M i t t e l a l t e r . 136 Seiten, 94 Abbildungen. 1958. (80) I I : S p ä t m i t t e l a l t e r u n d N e u z e i t . 150 Seiten, 88 Abbildungen. 1958. (781) Archäologie von A. Rumpf. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g , h i s t o r i s c h e r Ü b e r b l i c k . 143 Seiten, 6 Abbildungen, 12 Tafeln. 1953. (538) II: D i e A r c h ä o l o g e n s p r a c h e . Die antiken Reproduktionen. 136 Seiten, 7 Abbildungen, 12 Tafeln. 1956. (539)

Geschichte Einführung in die Geschichtswissenschaft von P. Kirn. 3., durchgesehene Auflage. 128 Seiten. 1959. (270) Zeitrechnung der römischen Kaiserzeit, des Mittelalters und der Neuzeit für die Jahre 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmann f . 3. Auflage, durchgesehen von K. Aland. 130 Seiten. 1956. (1085) Kultur der Urzeit von F. Behn. 3 Bände. 4. Auflage der Kultur der Urzeit Bd. 1—3 von M. Hoernes. I : D i e v o r m e t a l l i s c h e n K u l t u r e n . (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige Kulturen in anderen Erdteilen.) 172 Seiten, 48 Abbildungen. 1950. (564) II: D i e ä l t e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Der Beginn der Metallbenutzung. Kupferund Bronzezeit in Europa, im Orient und in Amerika.) 160 Seiten, 67 Abbildungen 1950. (565) III: D i e j ü n g e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Das Eisen als Kulturmetall, HallstattLatcne-Kultur in Europa. Das erste Auftreten des Eisens in den anderen Weltteilen.) 149 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (566) Vorgeschichte Europas von F. Behn. Völlig neue Bearbeitung der 7. Auflage der „Urgeschichte der Menschheit" von M . Hoernes. 125 Seiten, 47 Abbildungen. 1949. (42) Der Eintritt der Germanen in die Geschichte von J. Haller f . 3. Auflage, durchgesehen von H. Dannenbauer. 120 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1957. (1117) Von den Karolingern zu den Staufern. Die altdeutsche Kaiserzeit (900—1250) von J. Holter f . 4., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 142 Seiten, 4 Karten. 1958. (1065) Von den Staufern zu den Habsburgern. Auflösung des Reichs und Emporkommen der Landesstaaten (1250—1519) von J. Haller f . 2., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 118 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1960. (1077) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreformation und des dreißigjährigen Krieges von F. Härtung. 129 Seiten. 1951. (1105) Deutsche Geschichte von 1643—1740. Politischer und geistiger Wiederaufbau von W. Treue. 120 Seiten. 1956. (35) Deutsche Geschichte von 1713—1806 von W. Treue. 168 Seiten. 1957. (39) Deutsche Geschichte von 1807—1890 von W. Treue. 1960. 125 Seiten. (893)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Deutsche Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart von W. Treue. In Vorbereitung. (894) Quellenkunde der Deutseben Geschichte im Mittelalter (bis zur Mitte des 15. Jahrhunderts) von K. Jacob f . 3 Bände. I : E i n l e i t u n g . A l l g e m e i n e r T e i l . Die Zeit d e r K a r o l i n g e r . 6. Auflage, bearbeitet von H. Hohenleutner. 127 Seiten. 1959. (279) I I : D i e K a i s e r z e i t (911—1250). 5., neubearbeitete Auflage von H. Hohenleutner. 127 Seiten.1960. (280) III: D a s S p ä t m i t t e l a l t e r (vom Interregnum bis 1500). Herausgegeben von F. Weden. 152 Seiten. 1952. (284) Geschichte Englands von H. Preller. 2 Bände. I : b i s 1 8 1 5 . 3., stark umgearbeitete Auflage. 135 Seiten, 7 Stammtafeln, 2 Karten. 1952. (375) I I : Von 1815 b i s 1910. 2., völlig umgearbeitete Auflage. 118Seiten, l S t a m m tafel, 7 Karten. 1954. (1088) Römische Geschichte von F. Altheim. 4 Bände. 2., verbesserte Auflage. I : B i s zur S c h l a c h t b e i P y d n a (168 v. Chr.). 124 Seiten. 1956. (19) I I : B i s z u r S c h l a c h t b e i A c t i u m (31 v. Chr.). 129 Seiten. 1956. (677) I I I : B i s z u r S c h l a c h t an d e r M i l v i s c h e n B r ü c k e (312 n. Chr.). 148 Seiten. 1958.(679) IV: B i s z u r S c h l a c h t a m Y s r m u k (636 n. Chr.). In Vorbereitung. (684) Geschichte der Vereinigten Staaten von Amerika von O. Graf zu StolbergWernigerode. 192 Seiten, 10 Karten. 1956. (1051/1051 a)

Deutsche Sprache und Literatur Geschichte der Deutschen Sprache von H. Sperber. 3. Auflage, besorgt von W. Fleischhauer. 128 Seiten. 1958. (915) Deutsches RechtschreibungswSrterbuch von M. Gottschold f . 2., verbesserte Auflage. 219 Seite*. 1353. (200/200 a) Deutsche Wortkunde. Kulturgeschichte des deutschen Wortschatzes von A. Schirmer. 4. Auflage von W. Mitzka. 123 Seiten. 1960. (929) Deutsche Sprachlehre von W. Hofstaetter. 10. Auflage. Völlige Umarbeitung der 8. Auflage. 150 Seiten. 1960. (20) . Stimmkunde für Beruf, Kunst und Heilzwecke von H. Biehle. 111 Seiten. 1955. (60) Redetechnik. Einführung in die Rhetorik von H. Biehle. 115 Seiten. 1954. (61) Sprechen und Sprachpflege (Die Kunst des Sprechens) von H. Feist. 2., verbesserte Auflage. 99 Seiten, 25 Abbildungen. 1952. (1122) Deutsches Dichten und Denken von der germanischen bis zur staufischen Zeit von H. Naumann f . (Deutsche Literaturgeschichte vom 5.—13. Jahrhundert.) 2., verbesserte Auflage. 166 Seiten. 1952. (1121) Deutsches Dichten und Denken vom Mittelalter zur Neuzeit von G. Müller (1270 bis 1700). 2., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1949. (1086) Deutsches Dichten und Denken von der Aufklarung bis zum Realismus (Deutsche Literaturgeschichte von 1700—1890) von K. Vietor f . 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1958. (1096)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Der Nibelunge Not in Auswahl mit kurzem W ö r t e r b u c h von K. Langosch. 10., durchgesehene A u f l a g e . 164 Seiten. 1956. (1) K u d r u n und Dietrich-Epen in Auswahl mit Wörterbuch v o n 0. L. Jiriczek. 6. Auf« läge, bearbeitet von R. Wisnlewski. 173 Seiten. 1957. (10) W o l f r a m von E s c h e n b a c h . ParzJval. Eine Auswahl mit Anmerkungen u n d Wörterbuch von H. Jantzen. 2. A u f l a g e , bearbeitet von H. Kolb. 128 Seiten. 1957. (921) H a r t m a n s von A u e . Der a r m e Heinrich n e b s t einer Auswahl aus der „ K l a g e , d e m „ G r e g o r i u s " und den Liedern (mit einem Wörterverzeichnis) herausgegeben v o n F. Maurer. 96 Seiten. 1958. (18) Gottfried von Strassburg in Auswahl herausgegeben von F. Maurer. 142 Seiten. 1959. (22) Die deutschen Personennamen von M . Gottschald f . 2., verbesserte A u f l a g e . 151 Seiten. 1955. (422) Althochdeutsches Elemcntarbuch. G r a m m a t i k und T e x t e v o n H. Naumann f u n d W. Beiz. 2., verbesserte u n d vermehrte A u f l a g e . 156 Seiten. 1954. (1111) Mittelhochdeutsche G r a m m a t i k v o n H. de Boor und R. Wisniewski. 2., verbesserte und ergänzte A u f l a g e . 142 Seiten. 1960. (1108)

Indogermanisch, Germanisch Indogermanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 B ä n d e . 3., neubearbeitete Auflage. I': E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 106 Seiten. 1958. (59) I I : F o r m e n l e h r e . 124 Seiten. 1959. (64) Gotisches Elementarbuch. G r a m m a t i k , T e x t e m i t U b e r s e t z u n g und E r l ä u t e r u n g e n . Mit einer Einleitung v o n H. Hempel. 2., u m g e a r b e i t e t e A u f l a g e . 165 Seiten. 1953.(79) Germanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 B ä n d e . I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 4., überarbeitete A u f l a g e . 147 Seiten. 1960. (238) I I : F o r m e n l e h r e . 3., neubearbeitete A u f l a g e . 149 Seiten. 1957. (780) Altnordisches E l e m e n t a r b u c h . S c h r i f t , S p r a c h e , T e x t e m i t Ü b e r s e t z u n g u n d Wörterbuch v o n F. Ranke. 2., durchgesehene A u f l a g e . 146 Seiten. 1949. (1115)

Englisch, Romanisch Altenglisches Elementarbuch von M . Lehnert. E i n f ü h r u n g , G r a m m a t i k , T e x t e m i t Ü b e r s e t z u n g und Wörterbuch. 4 . , verbesserte A u f l a g e . 178 Seiten. 1959. (1125) Historische neuenglische L a u t - und Formenlehre v o n E. Ekwall. 3., durchgesehene A u f l a g e . 150 Seiten. 1956. (735) Englische Phonetik von H. Mutschmann f . 117 Seiten. 1956. (601) Englische Literaturgeschichte von F. Schubel. 4 B ä n d e . I : D i e a l t - u n d m i t t e l e n g l i s c h e P e r i o d e . 163 Seiten. 1954. (1114) I I : V o n d e r R e n a i s s a n c e b i s z u r A u f k l ä r u n g . 160 Seiten. 1956. (1116) I I I : R o m a n t i k u n d V i k t o r i a n i s m u s . 160 Seiten. 1960. (1124) Beowulf v o n M. Lehnert. E i n e A u s w a h l m i t E i n f ü h r u n g , teilweiser Ü b e r s e t z u n g , A n m e r k u n g e n und e t y m o l o g i s c h e m Wörterbuch. 3., verbesserte A u f l a g e . 135 Seiten. 1959. (1135)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Shakespeare von P. Meißner f . 2. Auflage, neubearbeitet von M. Lehnert. 136 Seiten. 1954. (1142) Italienische Literaturgeschichte von K. Voßler f . 5. Auflage, neubearbeitet von A. Noyer-Weidner. In Vorbereitung. (125) Geschichte der römischen Literatur von L. Bieler. 2 B a n d e . I : Die Literatur der Republik. 152 Seiten. 1960. (52) I I : Die Literatur der Kaiserzeit. 125 Seiten. 1960. (866) Romanische Sprachwissenschaft von H. Lausberg. 2 B ä n d e . I : E i n l e i t u n g u n d V o k a l i s m u s . 160 Seiten. 1956. (128/128a) I I : K o n s o n a n t i s m u s . 95 Seiten. 1956. (250)

Griechisch, Lateinisch Griechische Sprachwissenschaft von W. Brandenstein. 2 B ä n d e . I : E i n l e i t u n g , L a u t s y s t e m , E t y m o l o g i e . 160 Seiten. 1954. (117) I I : W o r t b i l d u n g u n d F o r m e n l e h r e . 192 Seiten. 1959. (118/118a) Geschichte der griechischen Sprache. 2 B ä n d e . I : B i s z u m A u s g a n g d e r k l a s s i s c h e n Z e i t von O. Hoffmannf. 3. Auflage« bearbeitet von A. Debrunner f . 156 Seiten. 1953. (111) II: G r u n d f r a g e n und Grundzüge des n a c h k l a s s i s c h e n Griechisoh von A. Debrunner f . 144 Seiten. 1954. (114) 3., völlig neuGrammatik der neugriechischen Volkssprache von J . Kalitsunakis. bearbeitete und erweiterte Auflage. 1961. In Vorbereitung. (756/756a) Neugriechisch-deutsches Gesprächsbuch von J . Kalitsunakis. 2. Auflage, bearbeitet von A. Steinmetz. 99 Seiten, i960. (587) Geschichte der lateinischen Sprache von F. Stolz f . 3., stark umgearbeitete Auflage von A. Debrunner f . 136 Seiten. 1953. (492)

Hebräisch, Sanskrit, Russisch Hebräische Grammatik von G. Beer f . 2 B ä n d e . 2., völlig neubearbeitete Auflage v o a Mc'cr. I : S c h r i f t - , L a u t - u n d F o r m e n l e h r e I . 157 Seiten. 1952. (763/763a) I I : F o r m e n l e h r e I I . S y n t a x und Flexionstabellen. 195 Seiten. 1955. (764) 764 a) Hebräisches Textbuch zu G. Beer-R. Meyer, Hebräische G r a m m a t i k von i?. Meyer. 170 Seiten. 1960. (769/769a) Sanskrit-Grammatik von M. Mayrhofer. 89 Seiten. 1953. (1158) Russische Grammatik von E. Berneker f . 6., unveränderte A u f l a g e von M. Vaimer. 155 Seiten. 1947. (66) Einführung in die slavische Sprachwissenschaft von H. Bräuer. 2 B ä n d e . I : Einleitung und Lautlehre. 1960 In Vorbereitung (1191)

Erd- und Länderkunde Afrika von F. Jaeger. E i n geographischer Überblick. 2 B ä n d e . 2., umgearbeitete Auflage. I : D e r L e b e n s r a u m . 179 Seiten, 18 Abbildungen. 1954. (910) I I : M e n s c h u n d K u l t u r . 155 Seiten, 6 Abbildungen. 1954. (911) Australien und Ozeanien von H. J . Krug. 176 Seiten, 46 Skizzen. 1953. (319)

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NATUR WIS SEN SCHÄFTEN

GEISTESWISSENSCHAFTEN

Volkswirtschaft, Statistik, Publizistik Allgemeine B e t r i e b s w i r t s c h a f t s l e h r e v o n K. Mellerowicz. 4 B ä n d e . 10., e r w e i t e r t e und veränderte Auflage. I : 224 S e i t e n . 1958. (1008/1008a) I I : 188 S e i t e n . 1959. ( 1 1 5 3 / 1 1 5 3 a ) I I I : 260 S e i t e n . 1959. (1154/1154a) I V : 209 S e i t e n . 1959. ¡1186/1186») Diese 4 B ä n d e sind a u c h i n G a n z l e i n e n g e b u n d e n z u m P r e i s e v o n j e D M 6,30 l i e f e r b a r . Allgemeine V o l k s w i r t s c h a f t s l e h r e v o n A. Paulsen. 4 B ä n d e . I : G r u n d l e g u n g , W i r t s c h a f t s k r e i s l a u f . 3., d u r c h g e s e h e n e u n d e r g ä n z t e A u f l a g e . 148 S e i t e n . 1959. (1169) I I : H a u s h a l t e , U n t e r n e h m u n g e n , M a r k t f o r m e n . 3., n e u b e a r b e i t e t e A u f l a g e . 166 S e i t e n , 32 A b b i l d u n g e n . 1960. (1170) I I I : P r o d u k t i o n s f a k t o r e n . 190 S e i t e n . 1959. (1171) I V : G e s a m t b e s c h ä f t i g u n g , K o n j u n k t u r e n , W a c h s t u m . 172 S e i t e n . 1960. (1172) F i n a n z w i s s c n s c h a f t v o n H. Kolms. 4 B ä n d e . I : G r u n d l e g u n g , Ö f f e n t l i c h e A u s g a b e n . 160 S e i t e n . 1959. (148) II: E r w e r b s e i n k ü n f t e , G e b ü h r e n und B e i t r ä g e ; Allgemeine Steuerl e h r e . 148 S e i t e n . 1960. (391) I I I : B e s o n d e r e S t e u e r l e h r e . I n V o r b e r e i t u n g . (776) I V : ö f f e n t l i c h e r K r e d i t . H a u s h a l t s w e s e n . F i n a n z a u s g l e i c h . I n Vorb e r e i t u n g . (782) F i n a n z m a t h e m a t i k v o n M. Nicolas. 192 S e i t e n , 11 T a f e l n , 8 T a b e l l e n u n d 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) I n d u s t r i e - u n d Betriebssoziologie v o n R. Dahrendorf. 120 S e i t e n . 1956. (103) W i r t s c h a f t s s o z i o l o g i c v o n F. Fürstenberg. 1960. I n V o r b e r e i t u n g (1193) Psychologie des B e r u f s - u n d W i r t s c h a f t s l e b e n s v o n W. Moede f . 190 S e i t e n , 48 A b b i l d u n g e n . 1958. ( 8 5 1 / 8 5 1 a ) Allgemeine M e l h o d e n l e h r e der Statistik v o n J. Pfanzagl. 2 B ä n d e . I : Elementare Methoden unter besonderer Berücksichtigung der Anwendungen i n d e n W i r t s c h a f t s - u n d S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n . 205 Seiten, 35 A b b i l d u n g e n . 1960. (746/746 a) I I : H ö h e r e M e t h o d e n u n t e r b e s o n d e r e r B e r ü c k s i c h t i g u n g der A n w e n d u n g e n i n N a t u r w i s s e n s c h a f t , Medizin u n d T e c h n i k . I n V o r b e r e i t u n g . (747/747 a) Z e i t u n g s l e h r e v o n E. Dovifat. 2 B ä n d e . 3., n e u b e a r b e i t e t e A u f l a g e . I: T h e o r e t i s c h e u n d r e c h t l i c h e G r u n d l a g e n — N a c h r i c h t u n d Mein u n g — S p r a c h e u n d F o r m . 148 S e i t e n . 1955. (1039) II: R e d a k t i o n — Die S p a r t e n : Verlag und V e r t r i e b , W i r t s c h a f t und T e c h n i k , S i c h e r u n g d e r ö f f e n t l i c h e n A u f g a b e . 158 S e i t e n . 1955. (1040)

Naturwissenschaften Mathematik Geschichte der M a t h e m a t i k v o n J. E. Hofmann. 3 Bände. I: Von den A n f ä n g e n bis zum A u f t r e t e n v o n F e r m a t u n d Desc a r t e s . 200 S e i t e n . 1953. (226) II: Von F e r m a t u n d D e s c a r t e s bis zur E r f i n d u n g des Calculus u n d b i s z u m A u s b a u d e r n e u e n M e t h o d e n . 109 S e i t e n . 1957. (875) III: Von den A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n u m den Calculus bis zur f r a n z ö s i s o h e n R e v o l u t i o n . 107 S e i t e n . 1957. (882)

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NATURWISSENSCHAFTEN Mathematische Formelsammlung von F. 0. Ringleb. 7., erweiterte Auflage. 320 Seiten, 40 Figuren. 1960. (51/51a) Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von H. Schubert und R. Haussner, 2. Auflage. 156 Seiten. 1960. (81) Fünfstellige Logarithmen von A. Adler. Mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahlenwertcn. 3. Auflage. 127 Seiten, 1 Tafel. 1959.(423) Arithmetik von P. B. Fischer f . 3. Auflage von H. Rohrbach. 152 Seiten, 19 Abbildungen. 1958. (47) Höhere Algebra von H. Hasse. 2 Bände. 4., durchgesehene Auflage. I : L i n e a r e G l e i c h u n g e n . 152 Seiten. 1957. (931) I I : G l e i c h u n g e n h ö h e r e n G r a d e s . 158 Seiten, 5 Figuren. 1958. (932) Aufgabensammlung zur höheren Algebra von H. Hasse und W. Klobe. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 181 Seiten. 1952. (1082) Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt von W. Krull. 2 Bände. I; 2., erweiterte Auflage. 136 Seiten. 1952. (930) I I : 132 Seiten. 1959. (933) Einführung in die Zahlentheorie von A. Scholz f . Überarbeitet und herausgegeben von B. Schoeneberg. 2. Auflage. 128 Seiten. 1955. (1131) Formale Logik von P. Lorenzen. 165 Seiten. 1958. (1176/1176a) Topologie von W. Franz. 2 Bände. I : Allgemeine (analytische) Topologie. 144 Seiten, '9 Figuren. 1960. (1181) Elemente der Funktionentheorie von K. Knopp f . 5. Auflage. 144 Seiten, 23 Fig. 1959.(1109) Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. I: Grundlagen der a l l g e m e i n e n Theorie der a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n . 9., neubearbeitete Auflage. 144 Seiten, 8 Figuren. 1957. (668) I I : A n w e n d u n g e n u n d W e i t e r f ü h r u n g der a l l g e m e i n e n T h e o r i e . 8./9. Auflage. 130 Sexten, 7 Figuren. 1955. (703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. 5.Auflage. I : A u f g a b e n zur e l e m e n t a r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 135 Seiten. 1957. (877) I I : A u f g a b e n zur h ö h e r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 144 Seiten. 1959. (878) Differential» und Integralrechnung von M. Barner. (Früher Witting). 4 Bände. I: Grenzwertbegriff, Differentialrechnung. 1960 In Vorbereitung. (86) Gewöhnliche Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 128 Seiten. 1960. (920) Partielle Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 4., durchgesehene Auflage. 128 Seiten. 1960. (1003) Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 3., durchgesehene und verbesserte Auflage. 124 Seiten. 1958. (1059) Integralgleichungen von G. Hoheisel. 2., durchgesehene Auflage. 1961. In Vorbereitung. (1099) Mengenlehre von E. Kamke. 3., neubearbeitete Auflage. 194 Seiten, 6 Figuren. 1955.(999/999 a) Gruppentheorie von L. Baumgartner. 3., neubearbeitete Auflage. 110 Seiten, 3 Tafeln. 1958. (837)

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NATURWISSENSCHAFTEN Ebene and sphärische Trigonometrie von G. Hessenberg f . 5. Auflage, durchgesehen von H. Kneser. 172 Seiten, 60 Figuren. 1957. (99) Darstellende Geometrie von W. Haack. 3 Bände. I: Die w i c h t i g s t e n D a r s t e l l u n g s m e t h o d e n . G r u n d » u n d A u f r i ß e b e n f l ä c h i g e r K ö r p e r . 3-, durchgesehene und ergänzte Auflage. 113 Seiten, 120 Abbildungen. 1960. (142) II: K ö r p e r mit k r u m m e n Begrenzungsflächen. K o t i e r t e Projek» t i o n e n . 2., durchgesehene und ergänzte Auflage. 129 Seiten, 86 Abbildüngen. 1959. (143) I I I : A x o n o m e t r i e u n d P e r s p e k t i v e . 127 Seiten, 100 Abbildungen. 1957. (144) Analytische Geometrie von K. P. Grotemeyer. 202 Seiten, 73 Abbildungen. 1958. (65/65 a) Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene von R. Baldus f . Durchgesehen und herausgegeben von F. Löbell. 3., verbesserte Auflage. 140 Seiten, 70 Figuren. 1953. (970) Differentialgeometrie von K. Strubecker (früher Rotke). 3 Bände. I : K u r v e n t h e o r i e d e r E b e n e u n d d e s R a u m e s . 150 Seiten, 18 Figuren. 1955. (1113/1113a) I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n m e t r i k . 195 Seiten, 14 Figuren. 1958. (1179/1179a) I I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n k r ü m m u n g . 254 Seiten, 38 Figuren. 1959. (1180/1180 a) Variationsrechnung I von L. Koschmieder. 2., verbesserte Auflage. Mit 23 Figuren. 1960. In Vorbereitung. (1074) Einführung in die konforme Abbildung von L. Bieberbach. 5., erweiterte Auflage. 180 Seiten, 42 Figuren. 1956. (768/768 a) Vektoren und Matrizen von 5. Valentiner. 2. Auflage. (9., erweiterte Auflage der ,,Vektoranalysis 4 i ). Mit Anhang: Aufgaben zur Vektorrechnung von H. König. 202 Seiten, 35 Figuren. 1960. (354/354 a) Versicherungsmathematik von F. Böhm. 2 Bände. I : E l e m e n t e d e r V e r s i c h e r u n g s r e c h n u n g . 3., vermehrte und verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 151 Seiten. 1953. (180) I I : L e b e n s v e r s i c h e r u n g s m a t h e m a t i k . Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 205 Seiten. 1953. (917/917a) Finanzmathematik von M. Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a)

Physik Einführung in die theoretische Physik von W. Döring. 5 Bände. I : M e c h a n i k . 2., verbesserte Auflage. 123 Seiten, 25 Abbildungen. 1960. (76) I I : Da9 e l e k t r o m a g n e t i s c h e F e l d . 122 Seiten, 15 Abbildungen. 1955. (77) I I I : O p t i k . 117 Seiten, 32 Abbildungen. 1956. (78) I V : T h e r m o d y n a m i k . 107 Seiten, 9 Abbildungen. 1956. (374) V : S t a t i s t i s c h e M e c h a n i k . 114 Seiten, 12 Abbildungen. 1957. (1017) Mechanik deformierbarer Körper von M. Päsler. 199 Seiten, 48 Abbildungen. 1960. (1189/1189a) Atomphysik von K. Bechert und Ch. Gerthsen f . 7 Bände. I : A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n . 1. T e i l . 4., durchgesehene Auflage von A. Flammersfeld. 124 Seiten, 35 Abbildungen. 1959. (1009) I i i A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n . 2. Teil. 4. Auflage. 1961. In Vorher. (1033)

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NATURWISSENSCHAFTEN I I I : T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 1. T e i l . 3., umgearbeitete Auflage. 148 Seiten, 16 Abbildungen. 1954. (1123/1123a) I V : T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 2. T e i l . 3., umgearbeitete Auflage. 170 Seiten, 14 Abbildungen. 1954. (1165/1165a) Differentialgleichungen der Physik von F. Sauter. 3., durchgesehene und ergänzte Auflage. 148 Seiten, 16 Figuren. 1958. (1070) Physikalische Formelsammlung von G. u. K. Mahler. 11. Auflage, neubearbeitet von H. Graewe. 69 Figuren. 1960. I n Vorbereitung (136) Physikalische Aufgabensammlung von G. Mahler f . Neubcarbeitet von K. Mahler. Mit den Ergebnissen. 10., durchgesehene Auflage. 127 Seiten. 1959. (243)

Chemie Geschchte der Chemie in kurzg efaßter Darstellung von G. Lockemann. 2 Bände. I : V o m A l t e r t u m b i s z u r E n t d e c k u n g d e s S a u e r s t o f f s . 142 Seiten, 8 Bildnisse. 1950. (264) I I : V o n d e r E n t d e c k u n g d e s S a u e r s t o f f s b i s z u r G e g e n w a r t . 151 Seiten, 16 Bildnisse. 1955. (265/265a) Anorganische Chemie von W. Klemm. 11. Auflage. 185 Seiten, 18 Abbildungen. 1960.(37) Organische Chemie von W. Schlenk. 8., erweiterte Auflage. 272 Seiten, 16 Abbildungen. 1960. (38/38 a) Physikalische Methoden der Organischen Chemie von G. Kresze. 1961. In Vorbereitung. (44) Allgemeine und physikalische Chemie von FT. Schulze. 2 Bände. I : 5., durchgesehene Auflage. 139 Seiten, 10 Figuren. 1960. (71) I I : 4., neubearbeitete Auflage. 176 Seiten, 37 Figuren. 1956. (698/698a) Molekülbau. Theoretische Grundlagen und Methoden der Strukturermittlung von W. Schulze. 123 Seiten, 43 Figuren. 1958. (786) Physikalisch-chemische Rechenaufgaben von E. Asmus. 3., verbesserte Auflage. 96 Seiten. 1958. (445) Maßanalyse. Theorie und Praxis der klassischen und der elektrochemischen Titrier« verfahren von G. Jander und K. F. Jahr. 8., durchgesehene und ergänzte Aufläge. 313'Seilen, 49 Figuren. 1959. (221/221 a) Qualitative Analyse von H. Hofmann u. G. Jander. 308 Seiten, 5 Abbildungen. 1960. (247/247 a) Thermochemie von W. A. Roth f . 2., verbesserte Auflage. 109 Seiten, 16 Figuren. 1952. (1057) Stöchiometrische Aufgabensammlung von W. Bahrdt f und R. Scheer. Mit den Ergebnissen. 7., durchgesehene Auflage. 119 Seiten. 1960. (452) Elektrochemie und ihre physikalisch-chemischen Grundlagen von A. Dossier. 2 Bände. I I : 178 Seiten, 17 Abbildungen. 1950. (253)

Technologie Die Chemie der Kunststoffe von JC. Hamann, unter Mitarbeit von W. Funke und H. D. Hermann. 143 Seiten. 1960. (1173) Warenkunde von K. Hassak und E. Beutel f . 2 Bände. I: A n o r g a n i s c h e W a r e n s o w i e K o h l e u n d E r d ö l . 8. Auflage. Neube* arbeitet von A. Kutzelnigg. 119 Seiten, 18 Figuren. 1958. (222)

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NATURWISSENSCHAFTEN I I : O r g a n i s c h e W a r e n . 8. Auflage. Vollständig neubearbeitet von A. Kutzelnigg. 157 Seiten, 32 Figuren. 1959. (223) Die Fette und öle von K. Braun f . 5., völlig neubearbeitete und verbesserte Auflage von Th. Klug. 145 Seiten. 1950. (335) Die Seifenfabrikation von K. Braun f . 3., neubearbeitete und verbesserte Auflage von Th. Klug. 116 Seiten, 18 Abbildungen. 1953. (336) Textilindustrie von A. Blümcke. I : S p i n n e r e i u n d Z w i r n e r e i . 111 Seiten, 43 Abbildungen. 1954. (184)

Biologie Einführung in die allgemeine Biologie und ihre philosophischen Grund« und Grenzfragen von M. Hartmann. 132 Seiten, 2 Abbildungen. 1956. (96) Hormone von G. Koller. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. 187 Seiten, 60 Abbildungen, 19 Tabellen. 1949. (1141) Fortpflanzung im Tier- und Pflanzenreich von J. Hämmerling. 2., ergänzte Auflage. 135 Seiten, 101 Abbildungen. 1951. (1138) Geschlecht und Geschlechtsbestimmung im Tier- und Pflanzenreich von M. Hartmann. 2., verbesserte Auflage. 116 Seiten, 61 Abbildungen, 7 Tabellen. 1951. (1127) Symbiose der Tiere mit pflanzlichen Mikroorganismen von P. Buchner. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 130 Seiten, 121 Abbildungen. 1949. (1128) Grundriß der Allgemeinen Mikrobiologie von W. u. A. Schwarts. 2 Bände. 2., verbesserte und ergänzte Auflage. I : 147 Seiten, 25 Abbildungen. 1960. (1155) I I : 1960. In Vorbereitung. (1157)

Botanik Entwicklungsgeschichte des Pflanzenreiches von H. Heil. 2. Auflage. 138 Seiten, 94 Abbildungen, 1 Tabelle. 1950. (1137) Morphologie der Pflanzen von L. Geitler. 3., umgearbeitete Auflage. 126 Seiten, 114 Abbildungen. 1953. (141) Pflanzengeographie von L. Diels f . 5., völlig neubearbeitete Auflage von F. Mol« tick, 195 Seiten, 2 Karten. 1958. (389/389 a) Die Laubhölzer. Kurzgefaßte Beschreibung der in Mitteleuropa gedeihenden Laubbäume und Sträucher von F. W. Neger f und E. Münch f . 3., durchgesehene Auflage, herausgegeben von B. Huber. 143 Seiten, 63 Figuren, 7 Tabellen. 1950. (718) Die Nadelhölzer (Koniferen) und übrigen Gymnospermen von F. W. Neger f und E. Münch f . 4. Auflage, durchgesehen und ergänzt von B. Huber. 140 Seiten, 75 Figuren, 4 Tabellen, 3 Karten. 1952. (355) Pflanzenzüchtung von H. Kuckuck. 2 Bände. I : G r u n d z ü g e der P f l a n z e n z ü c h t u n g . 3., völlig umgearbeitete und erweiterte Auflage. 132 Seiten, 22 Abbildungen. 1952. (1134) I I : S p e z i e l l e g a r t e n b a u l i c h e P f l a n z e n z ü c h t u n g (Züchtung von Gemüse, Obst und Blumen), 178 Seiten» 27 Abbildungen. 1957. (U78/1178a)

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NATURWISSENSCHAFTEN

Zoologie Entwicklungsphyaiologie der Tiere von F. Seidel. 2 Bände. I : Ei u n d F u r c h u n g . 126 Seiten, 29 Abbildungen. 1953. (1162) I I : K ö r p e r g r u n d g e s t a l t und O r g a n b i l d u n g . 159 Seiten, 42 Abbildungen 1953. (1163) Das Tierreich I: Einzeller, P r o t o z o e n von E. Reichenau). 115 Seiten, 59 Abbildungen. 1956.(444) II: S c h w ä m m e u n d H o h l t i e r e von H. J. Hannemann. 95 Seiten, 80 Abbildungen. 1956. (442) III: W ü r m e r . Platt-, Hohl-, Schnurwürmer, Kamptozoen, Ringelwürmer, Protracheaten, Bärtierchen, Zungenwürmer von S. Jaeckel. 114 Seiten, 36 Abbildungen. 1955. (439) IV, 1: K r e b s e von ff. E. Gruner und K. Deckert. 114 Seiten, 43 Abbildungen. 1956.(443) IV, 2: S p i n n e n t i e r e (Trilobitomorphen, Fühlerlose) u n d T a u s e n d f ü ß l e r von A. Kaestner. 96 Seiten, 55 Abbildungen. 1955. (1161) IV, 3: I n s e k t e n von H. von Lengerken. 128 Seiten, 58 Abbildungen. 1953. (594) V: W e i c h t i e r e . Urmoiiusken, Schnecken, Muscheln und Kopffüßer von S. Jaeckel. 92 Seiten, 34 Abbildungen. 1954. (440) VI: S t a c h e l h ä u t e r . Tentakulaten, Binnenatmcr und Pfeilwürmer von S. Jaeckel. 100 Seiten, 46 Abbildungen. 1955. (441) VII, 2: F i s c h e von D. Lüdemann. 130 Seiten, 65 Abbildungen. 1955. (356) VII, 3: L u r c h e (Chordatiere) von K. Herter. 143 Seiten, 129 Abbildungen. 1955. (847) VII, 4 : K r i e c h t i e r e (Chordatiere) von K. Herter. 200 Seiten, 142 Abbildungen. 1960. (447/447 a) VII, 5 : V ö g e l (Chordatiere) von H.-A. Freye. 156 Seiten, 69 Abbildungen. 1960. (869) VII, 6 : S ä u g e t i e r e (Chordatiere) von Th. Haltenarth. In Vorbereitung. (282)

Land- und Forstwirtschaft Landwirtschaftliche Tierzucht. Die Züchtung und Haltung der landwirtschaftlichen Nutztiere von H. Vogel. 139 Seiten, 11 Abbildungen. 1952. (228) Kulturtecbnische Bodenverbesserungen von 0. Fauser. 2 Bände. I : A l l g e m e i n e s , E n t w ä s s e r u n g . 5., verbesserte und vermehrte Auflage. 127 Seiten, 49 Abbildungen. 1959. (691) I I : B e w ä s s e r u n g , Ö d l a n d k u l t u r , U m l e g u n g . 5., verbesserte und vermehrte Auflage. 1960. In Vorbereitung. (692) Agrikulturchemie von K. Scharrer. 2 Bände. I : P f l a n z e n e r n ä h r u n g . 143 Seiten. 1953. (329) I I : F u t t e r m i t t e l k u n d e . 192 Seiten. 1956. (330/330a)

Geologie, Mineralogie, Kristallographie Mineral- and Erxlagerstüttenkunde von H. Huttenlocher f. 2 Bände. I: 128 Seiten, 34 Abbildungen. 1954. (1014) I I : 156 Seiten, 48 Abbildungen. 1954. (1015/1015a)

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NATURWISSENSCHAFTEN Allgemeine Mineralogie. 10., erweiterte Auflage der „Mineralogie* 1 von R. Brauns f , bearbeitet von K. F. Chudoba. 120 Seiten, 120 Figuren, 1 Tafel, 3 Tabellen. 1958. (29) Spezielle Mineralogie. 10., erweiterte Auflage der „Mineralogie" von R. Brauns f , bearbeitet von K. F. Chuioba. 170 Seiten, 125 Figuren, 4 Tabellen. 1959. (31/31 a ) Petrographie (Gesteinskunde) von W. Bruhns f . Neubearbeitet von P . Ramdohr. 5., erweiterte Auflage. 141 Seiten, 10 Figuren. 1960. (173) Kristallographie von W. Bruhns f . 5. Auflage, neubearbeitet von P . Ramdohr. 109 Seiten, 164 Abbildungen. 1958. (210) Einführung in die Kristalloptik von E. Buchwald. 4., verbesserte Auflage. 138 Seiten, 121 Figuren. 1952. (619) LStrohrprobierkunde. Mineraldiagnose mit Lötrohr- und Tüpfelreaktion. Von M. Henglein. 3., verbesserte Auflage. 91 Seiten, 11 Figuren. 1949. (483)

Technik Graphische Darstellung In Wissenschaft und Technik von M . Pirani. 3., erweiterte Auflage bearbeitet von J . Fischer unter Benutzung der von I. Runge besorgten 2. Auflage. 216 Seiten, 104 Abbildungen. 1957. (728/728a) Technische Tabellen und Formeln von W. Müller. 4., verbesserte und erweiterte Auflage von E. Schulze. 152 Seiten, 105 Figuren. 1951. (579)

Elektrotechnik Grundlagen der allgemeinen Elektrotechnik von O. Mohr. 3 Bände. I : D i e d r e i F e l d f o r m e n . 2. Auflage. In Vorbereitung. (196) II: Die w i c h t i g s t e n e l e k t r i s c h e n und p h y s i k a l i s c h e n G r u n d e r s c h e i n u n g e n . 95 Seiten, 36 AbbUdungen, 7 Tafeln. 1956. (197) I I I : S c h a l t V o r g ä n g e , W i d e r s t a n d s f o r m e n , M e ß t e c h n i k . 91 Seiten, 59 Abbildungen, 1 Tafel. 1956. (198) Die Gleichstrommaschine von K. Humburg. 2 Bände. 2., durchgesehene Auflage. I : 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1956. (257) I I : 101 Seiten, 38 Abbildungen. 1956. (881) Die synchrone Maschine von K. Humburg. Neudruck. 109 Seiten, 78 Abbildungen. 1951. (1146) Induktionsmaschinen von F. Unger. 2., erweiterte Auflage. 142 Seiten, 49 Abbildungen. 1954.(1140) Die komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen von H. H. Meinke. 2. Auflage. 180 Seiten, 120 Abbildungen. 1957. (1156/1156a) Theoretische Grundlagen zur Berechnung der Schaltgeräte von F. Kesselring. 3. Auflage. 144 Seiten, 92 AbbUdungen. 1950. (711) Einführung in die Technik selbsttätiger Regelungen von W. tsur Megede. 176 Seiten, 86 Abbildungen. 1956. (714/714a)

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TECHNIK

Schwaiger. Elektromotorische Antriebe (Grundlagen f ü r die Berechnung) v o n A. 3-, n e u b e a r b e i t e t e A u f l a g e . 96 Seiten, 34 Abbildungen. 1952. (827) Überspannungen und Überspannungsschutz von G. Frühauf. d r u c k . 122 S e i t e n , 98 Abbildungen. 1950. (1132)

Durchgesehener Neu-

Maschinenbau Metallkunde v o n ff. Borchers. 2 B ä n d e . I : A u f b a u d e r M e t a l l e u n d L e g i e r u n g e n . 4. A u f l a g e . 120 Seiten, 90 Abbildungen, 2 Tabellen. 1959. (432) II: E i g e n s c h a f t e n , Grundzüge der Form- und Z u s t a n d s g e b u n g . 3. und 4. A u f l a g e . 179 S e i t e n , 107 A b b i l d u n g e n , 10 Tabellen. 1959. (433/433a) Die Werkstoffe des Maschinenbaues von A. Thum f und C. M. t>. Meysenbug. 2 Bände. I : E i n f ü h r u n g i n d i e W e r k s t o f f p r ü f u n g . 2., neubearbeitete A u f l a g e . 100 Seiten, 7 T a b e l l e n , 56 Abbildungen. 1956. (476) I I : D i e K o n s t r u k t i o n s w e r k s t o f f e . 132 Seiten, 40 Abbildungen. 1959. (936) D y n a m i k v o n W. Mütter. 2 B ä n d e . 2., verbesserte A u f l a g e . I : D y n a m i k d e s E i n z e l k ö r p e r s . 128 Seiten, 48 Figuren. 1952. (902) I I : S y s t e m e v o n s t a r r e n K ö r p e r n . 102 Seiten, 41 Figuren. 1952. (903) Technische Schwingungslehre v o n L. Zipperer. 2 B ä n d e . 2., neubearbeitete A u f l a g e . I : A l l g e m e i n e S c h w i n g u n g s g l e i c h u n g e n , e i n f a c h e S c h w i n g e r . 120 Seiten, 101 Abbildungen. 1953. (953) I I : T o r s i o n s s c h w i n g u n g e n i n M a s c h i n e n a n l a g e n . 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1955. ( 9 6 1 / 9 6 1 a ) Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung von K. P. Matthes. 2 B ä n d e . I : 100 Seiten, 27 Abbildungen, 11 Zahlentafeln, 1 T a f e l a n h a n g . 1954. (561) II: F e r t i g u n g s t e c h n i s c h e G r u n d l a g e n der neuzeitlichen Metallb e a r b e i t u n g . 101 Seiten, 30 Ahhildnnges, 5 T a f e l n . 1955. (562) Transformatoren v o n W. Schäfer. 3., überarbeitete und ergänzte A u f l a g e . 130 Seiten, 73 Abbildungen. 1957. (952) D a s Maschinenzeichnen mit E i n f ü h r u n g in d a s Konstruieren von W. Tochtermann. 2 B ä n d e . 4. A u f l a g e . I : D a s M a s c h i n e n z e i c h n e n . 156 S e i t e n , 75 T a f e l n . 1950. (589) I I : A u s g e f ü h r t e K o n s t r u k t i o n s b e i s p i e l e . 130 Seiten, 58 T a f e l n . 1950. (590) Die Maschinenelemente von E. A. vom Ende. 3., verbesserte A u f l a g e . 166 Seiten, 175 F i g u r e n , 9 T a f e l n . 1956. (3/3 a ) Die Maschinen der Eisenhüttenwerke v o n L. Engel. 156 Seiten, 95 Abbildungen. 1957.(583/583 a) Walzwerke v o n II. Sedlaczek f unter Mitarbeit v o n F. Fischer und M. Buch. 232 Seiten, 157 Abbildungen. 1958. (580/580 a) Getriebelehre v o n P. Grodxinski f . 2 B a n d e . I : G e o m e t r i s c h e G r u n d l a g e n . 3. A u f l a g e , durchgesehen von G. 164 S e i t e n , 132 F i g u r e n . 1960. (1061)

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Lechner.

TECHNIK Gießereitechnik von H. Jungbluth. 2 Bände. I : E i s e n g i e ß e r e i . 126 Seiten, 44 Abbildungen. 1951. (1159) Die Dampfkessel und Feuerungen einschließlich Hilfseinrichtungen in Theorie, Konstruktion und Berechnung von W. Marcard f . 2 Bände. 2. Auflage, neubearbeitet von K. Beck, I : Die t h e o r e t i s c h e n G r u n d l a g e n , W ä r m e , V e r b r e n n u n g , W ä r m e ü b e r t r a g u n g . 150 Seiten, 42 Abbildungen, 16 Tabellen. 1951. (9) I I : D a m p f k e s s e l . 147 Seiten, 43 Abbildungen. 1952. (521) Die Dampfturbinen. Ihre Wirkungsweise, Berechnung und Konstruktion von C. Zietemann. 3 Bände. 3., verbesserte Auflage. I: T h e o r i e d e r D a m p f t u r b i n e n . 139 Seiten, 48 Abbildungen. 1955. (274) II: Die B e r e c h n u n g der D a m p f t u r b i n e n u n d d i e K o n s t r u k t i o n der E i n z e l t e i l e . 132 Seiten, 111 Abbildungen. 1956. (715) III: Die R e g e l u n g d e r D a m p f t u r b i n e n , d i e B a u a r t e n , T u r b i n e n f ü r S o n d e r z w e c k e , K o n d e n s a t i o n s a n l a g e n . 126 Seiten, 90 Abbildungen. 1956. (716) Verbrennungsmotoren von W. Endres. 3 Bände. I: Überblick. Motor-Brennstoffe. Verbrennung im Motor allgem e i n , im O t t o - u n d D i e s e l - M o t o r . 153 Seiten, 57 Abbildungen. 1958. (1076/1076a) I I : Die h e u t i g e n T y p e n der V e r b r e n n u n g s k r a f t m a s c h i n e . In Vorbereitung. (1184) III: Die E i n z e l t e i l e d e s V e r b r e n n u n g s m o t o r s . In Vorbereitung. (1185) Autogenes Schweißen und Schneiden von H. Niese. 5. Auflage, neubearbeitet von A. Küchler. 136 Seiten, 71 Figuren. 1953. (499) Die elektrischen Schweißverfahren von H. Niese. 2. Auflage, neubearbeitet von H. Dienst. 136 Seiten, 58 Abbildungen. 1955. (1020) Die Hebezeuge. Entwurf von Winden und Kranen von G. Tafel. 2., verbesserte Auflage. 176 Seiten, 230 Figuren. 1954. (414/414a)

Wasserbau Wasserkraftanlagen von A. Ludin unter Mitarbeit von W. Borkenstein. 2 Bände. I : P l a n u n g , G r u n d l a g e n u n d G r u n d z ü g e . 124 Seiten, 60 Abbildungen. 1955. (665) I I : A n o r d n u n g u n d A u s b i l d u n g d e r H a u p t b a u w e r k e . 184 Seiten, 91 Abbildungen. 1958. (666/666 a ) Verkehrswasserbau von H. Dehnert. 3 Bände. I : E n t w u r f s g r u n d l a g e n , F l u ß r e g e l u n g e n . 103 Seiten, 52 Abbildungen. 1950. (585) I I : F l u ß k a n a l i s i e r u n g u n d S c h i f f a h r t s k a n ä l e . 94 Seiten, 60 Abbildungen. 1950.(597) I I I : S c h l e u s e n u n d H e b e w e r k e . 98 Seiten, 70 Abbildungen. 1950. (1152) Wehr- und Stauanlagen von H. Dehnert. 134 Seiten, 90 Abbildungen. 1952. (965) Talsperren von F. Tölke. 122 Seiten, 70 Abbildungen. 1953. (1044)

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TECHNIK

Hoch- und Tiefbau Die wichtigsten Baustoffe des H o c h - und T i e f b a u s von 0. Graf Auflage. 131 S e i t e n , 63 A b b i l d u n g e n . 1953. ( 9 8 4 )

f . 4 . , verbesserte

Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung des B e t o n s von A. Kleinlogel. 2 . , neub e a r b e i t e t e u n d erweiterte Auflage. 126 S e i t e n , 35 Abbildungen. 1951. (978) Festigkeitslehre. 2 B ä n d e . I: E l a s t i z i t ä t , P l a s t i z i t ä t und F e s t i g k e i t der B a u s t o f f e und B a u t e i l e von W. Gehler f und W. Herberg. Durchgesehener und erweiterter Neudruck. 159 S e i t e n , 118 Abbildungen. 1952. ( 1 1 4 4 ) I I : F o r m ä n d e r u n g , P l a t t e n , S t a b i l i t ä t u n d B r u c h h y p o t h e s e n von W. Herberg und N. Dimitrov. 187 S e i t e n , 94 A b b i l d u n g e n . 1 9 5 5 . ( 1 1 4 5 / 1 1 4 5 a ) Grundlagen des Stahlbetonbaus von A. Troche. 2 . , n e u b e a r b e i t e t e und erweiterte Auflage. 208 S e i t e n , 75 A b b i l d u n g e n , 17 B e m e s s u n g s t a f e l n , 2 0 R e c h e n b e i spiele. 1 9 5 3 . ( 1 0 7 8 ) S t a t i k der B a u k o n s t r u k t i o n e n von A. Teichmann. 3 Bände. I : G r u n d l a g e n . 101 S e i t e n , 51 A b b i l d u n g e n , 8 F o r m e l t a f e l n . 1 9 5 6 . (119) I I : S t a t i s c h b e s t i m m t e S t a b w e r k e . 107 S e i t e n , 52 A b b i l d u n g e n , 7 T a f e l n . 1957.(120) I I I : S t a t i s c h u n b e s t i m m t e S y s t e m e . 112 S e i t e n , 3 4 A b b i l d u n g e n , 7 F o r m e l tafeln. 1 9 5 8 . ( 1 2 2 ) F e n s t e r , T ü r e n , Tore aus Holz u n d M e t a l l . E i n e A n l e i t u n g zu i h r e r guten Ges t a l t u n g , wirtschaftlichen B e m e s s u n g und h a n d w e r k s g e r e c h t e n K o n s t r u k t i o n von W. Wickop f . 4 . , ü b e r a r b e i t e t e und ergänzte Auflage. 155 S e i t e n , 95 A b bildungen. 1 9 5 5 . ( 1 0 9 2 ) Heizung und L ü f t u n g von W. Körting. 2 B ä n d e . 9 . , n e u b e a r b e i t e t e Auflage. I: Das W e s e n und die B e r e c h n u n g der Heizungs- und L ü f t u n g s a n l a g e n . 1960. In Vorbereitung. (342) IX: D i e A u s f ü h r u n g d e r H e i z u n g s - u n d L ü f t u n g s a n l a g e n . 1960. In V o r b e r e i t u n g . (343) Industrielle K r a f t - und W ä r m e w i r t s c h a f t von F. A. F. Schmidt 167 S e i t e n , 7 3 Abbildungen. 1 9 5 7 . ( 3 1 8 / 3 1 8 a )

u n d A,

Beckers,

Vermessungswesen Vermessungskunde von P. Werkmeister. 3 Bände. I : S t ü c k V e r m e s s u n g u n d N i v e l l i e r e n . 10., völlig n e u b e a r b e i t e t e Auflage von W. Grossmann. 143 S e i t e n , 117 F i g u r e n . 1 9 5 8 . (468) I I : H o r i z o n t a l a u f n a h m e n u n d e b e n e R e c h n u n g e n . 8 . , völlig n e u b e a r b e i t e t e Auflage von W. Grossmann. 133 S e i t e n , 97 F i g u r e n . 1 9 5 9 . ( 4 6 9 ) III: T r i g o n o m e t r i s c h e und barometrische Höhenmessung. T a c h y m e t r i e u n d A b s t e c k u n g e n . 7 . , völlig n e u b e a r b e i t e t e Auflage von W . Grossmann. 136 S e i t e n , 97 F i g u r e n . 1960. ( 8 6 2 ) P h o t o g r a m m e t r i e von G. Lehmann.

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189 S e i t e n , 132 A b b i l d u n g e n . 1 9 5 9 . ( 1 1 8 8 / 1 1 8 8 a )

Sammlung Göschen / Bandnummernfolge 1 Langosch, Der Nibelunge N6t 3/3 a v. Ende, Maschinenelemente 9 Marcard-Beck, Dampfkessel I 10 Jiriczek-Wisniewski, Kudrun-und Dietrich-Epen 18 Maurer, Hartmann von Aue. Der arme Heinrich 19 Altheim, Römische Geschichte I 20 Hofstaetter, Dt. Sprachlehre 22 Maurer, Gottfried von Strassburg 29 Brauns-Chudoba, Allg. Mineralog. 31/31 a Brauns-Chudoba, Spez. Mineralogie 35 Treue, Dt. Geschichte von 1648 bis 1740 37 Klemm, Anorganische Chemie 38/38 a Schlenk, Organische Chemie 39 Treue, Dt. Geschichte von 1713 bis 1806 42 Behn, Vorgeschichte Europas 44 Kresze, Physikalische Methoden der organischen Chemie 47 Fischer-Rohrbach, Arithmetik 51/51a Ringleb, Mathematische Formelsammlung 52 Bieler, Rom. Literaturgesch. 59 Krähe, Indog. Sprachwiss. I 60 Biehle, Stimmkunde 61 Biehle, Redetechnik 64 Krähe, Indog. Sprachwiss. II 65/65 a Grotemeyer, Analyt. Geometrie 66 Berneker-Vaamer, Russische Grammatik 71 Schulze, Allgemeine und physikalische Chemie I 76 Döring, Einführung in die theoret. Physik I 77 Döring, Einführung in die theoret. Physik II 78 Döring, Einführung in die theoret. Physik III 79 Hempel, Got. Elementarbuch 80 Weigert, Stilkunde I 81 Schubert-Haussner, Vierstell. Logarithmentafeln 86 Barner, Differential- u. Integralrechn. I 96 Hartmann, Einf. in die allgem. Biologie 99 Hessenberg-Kneser, Ebene und sphär. Trigonometrie

101 v. Wiese, Soziologie 103 Dahrendorf, Industrie- und Betriebssoziologie 104/104a Hofstätter, Sozialpsycholog. 111 H offmann-Debrunner, Gesch. der griechischen Sprache I 114 Debrunner, Gesch. der griechisch. Sprache II 117 Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft I 118/118 a Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft II 119 Teichmann, Statik der Baukonstruktionen I 120 Teichmann, Statik der Baukonstruktionen II 122 Teichmann, Statik der Baukonstruktionen III 125 Vossler-Noyer-Weidner, Ital. Li teraturgeschichte 128/128a Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I 136 Mahler-Graewe, Physikalische Formelsammlung 141 Geitler, Morphologie der Pflanzen 142 Haack, Darstellende Geometrie I 143 Haack, Darstellende Geometrie II 144 Haack, Darstellende Geometrie III 145 Weimer, Gesch. der Pädagogik 148 Kolms, Finanzwissenschaft I 156/156a Landmann, Philosophische Anthropologie 170 Oehlmann, Musik des 19. Jhs. 171/171 a Oehlmann, Musik des 20. Jhs. 173 Bruhns-Ramdohr, Petrographie 180 Böhm, Versicherungsmathem. I 184 Blümcke, Textilindustrie I 196 Mohr, Grundlagen der Elektrotechnik I 197 Mohr, Grundlagen der Elektrotechnik II 198 Mohr, Grundlagen der Elektrotechnik III 200/200 a Gottschald, Dt. Rechtschrei bungswörterbuch 210 Bruhns-Ramdohr, Kristallogr. 220/220 a Moser, Allg. Musiklehre 221/221 a Jander-Jahr, Maßanalyse 222 Hassak-Beutel-Kutzelnigg, Warenkunde I 223 H assak-Beutel-Kutzel nigg, Warenkunde II

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BANDNUMMERNFOLGE 226 Hofmann, Gesch. d. Mathem. 1 228 Vogel, Landw. Tierzucht 231/231 a Ehrlich, Geschichte Israels 238 Krabe, German. Sprachwiss. I 243 Mahler, Physikal. Aufgabensammlung 247/247 a Hofmann-Jander, Qualitative Analyse 250 Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft II 253 Daaaler, Elektrochemie II 257 Humburg, Gleichstrommaschine I 264 Lockemann, Gesch. d. Chemie I 265/265 a Lockemann, Geschichte der Chemie II 270 Kirn, Einführung in die Geschichtswissenschaft 274 Zietemann, Dampfturbinen I 279 Jacob-Hohenleutner, Quellenkde. der deutschen Geschichte I 280 Jacob-Hohenleutner, Quellcnkde. der deutschen Geschichte II 281 Leisegang, Einführung in die Philosophie 282 Haltenorth, Säugetiere 284 Jacob-Weden, Quellenkunde der deutschen Geschichte III 318/318a Schmidt-Beckers, Industrielle Kraft- u. Wärmewirtschaft 319 Krug, Australien und Ozeanien 329 Scharrer, Agrikulturchemie I 330/330 a Scharrer, Agrikulturchem. I I 335 Braun-Klug, Fette und ö l e 336 Braun-Klug, heitentabrikation 342 Körting, Heizung uod Lüftung I 343 Körting, Heizung und Lüftung II 344 Moser, Musikästhetik 354/354 a Valentiner-König, Vektoren und Matrizen 355 Neger-Münch, Nadelhölzer 356 Lüdemann, Fische 374 Döring, Einführung in die theoret. Physik IV 375 Prcller, Geschichte Englands I 389/389 a Diels-Mattick, Pflanzengeographie 391 Kolms, Finanzwissenschaft II 394/394 a Schilling, Von der Renaissance bis K a n t 414/414 a Tafel, Hebezeuge 422 Gottschald, Deutsche Personennamen

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423 Adler, Fünfstellige Logarithmen 432 Borchers, Metallkunde I 433/433 a Borchers, Metallkunde II 439 Jaeckel, Würmer 440 Jaeckel, Weichtiere 441 Jaeckel, Stachelhäuter 442 Hannemann, Schwämme und Hohltiere 443 Gruner-Deckert, Krebse 444 Reichenow, Einzeller 445 Asmus, Physikal.-ehem. Rechenaufgaben 447/447 a Herter, Kriechtiere 452 Bahrdt-Scheer, Stöchiometrische Aufgabensammlung 468 Werkmeister-Grossmann, Vermessungskunde I 469 Werkmeister-Crossmann, Vermessungskunde II 476 Thum-Meysenbug, Die Werk6toffe des Maschinenbaues I 483 Henglein, Lötrohrprobier kund e 492 Stolz-Debrunner, Geschichte der lateinischen Sprache 499 Niese-Küchler, Autogenes Schweißen 500 Simmel, Hauptprobleme der Philosophie 521 Marcard-Beck, Dampfkessel I I 536 Lehmann, K a n t 538 Rumpf, Archäologie I 539 Rumpf, Archäologie II 561 Matthes, Werkzeugmaschinen 1 562 Matthes, Werkzeugmaschinen II 564 Behn, Kultur der Urzeit I 565 Behn, Kultur der Urzeit II 566 Behn, Kultur der Urzeit III 571 Lehmann, Philosophie des 19. Jahrhunderts I 576/576a Moser, Gesangskunst 579 Müller-Schulze, Techn. Tabellen 580/580 a Sedlaczek-Fischer-Buch, Walzwerke 583/583 a Engel, Maschinen der Eisenhüttenwerke 585 Dehnert, Verkehrswasserbau I 587 Kalitsunakis-Steinmetz, Neugriech.-dt. Gesprächsbuch 589 Tochtermann, Maschinenzeichnen I 590 Tochtermann, Maschinenzeichnen I I

BANDNUMMERNFOLGE 594 597 601 619 665

v. Lengerken, Insekten Dehnert, Verkehrswasserbau II Mutschmann, Engl. Phonetik Buchwald, Kristalloptik Ludin-Borkenstein, Wasserkraftanlagen I 666/666 a Ludin-Borkenstein, Wasserkraftanlagen II 668 Knopp, Funktionentheorie I 677 Altheim, Rom. Geschichte II 679 Altheim, Rom. Geschichte III 684 Altheim, Rom. Geschichte IV 691 Fauser, Kulturtechn. Bodenverbesserungen I 692 Fauser, Kulturtechn. Bodenverbesserungen II 698/698 a Schulze, Allgemeine und physikalische Chemie II 703 Knopp, Funktionentheorie II 709 Lehmann, Philosophie des 19. Jahrhunderts II 711 Kesselring, Berechnung der Schaltgeräte 714/714 a zur Megede, Technik »elbsttatiger Regelungen 715 Zietemann, Dampfturbinen II 716 Zietemann, Dampfturbinen III 718 Neger-Münch, Laubhölzer 728/728 a Pirani-Fischer, Graph. Darstellung in Wissensch, u. Technik 735 Ekwall, Historische neuengl. Laut- und Formenlehre 746/746 a Pfanzagl, Allg. Methodenlehre der Statistik I 747/747 a Pfanzagl, Allg. Methodenlehre der Statistik II 756/756 a Kalitsunakis, Grammatik der Neugriechischen Volkssprache 763/763 a Beer-Meyer, Hebräische Grammatik I 764/764 a Beer-Meyer, Hebräische Grammatik II 768/768 a Bieberbach, Einführung in die konforme Abbildung 769/769 a Beer-Meyer, Hebr. Textbuch 776 Kolms, Finanzwissenschaft III 780 Krähe, German. Sprachwiss. II 781 Weigert, Stilkunde II 782 Kolms, Finanzwissenschaft IV 786 Schulze, Molekülbau 807 Kropp, Erkenntnistheorie 809 Moser, Harmonielehre I

826 Koch, Philosophie des Mittelalters 827 Schwaiger, Elektromotorische Antriebe 831 Erismann, Allg. Psychologie I 832/832 a Erismann, Allg. Psychologie II 833 Erismann, Allg. Psychologie III 837 Baumgartner, Gruppentheorie 845 Lehmann, Philosophie im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts I 847 Herter, Lurche 850 Lehmann, Philosophie im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts II 851/851a Moede, Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens 857 Capelle, Griech. Philosophie I 858 Capelle, Griech. Philosophie II 859 Capelle, Griech. Philosophie III 862 Werkmeister-Grossmann, Vermessungskunde III 863 Capelle, Griech. Philosophie IV 866 Bieler, Rom. Literaturgesch. II 869 Freye, Vögel 875 Hofmann, Geschichte der Mathematik II 877 Knopp, Aufgabensammlung zur Funktionentheorie I 878 Knopp, Aufgabensammlung zur Funktionentheorie II 881 Humburg, Gleicbstrommaschine II 882 Hofmann, Gesch. d. Mathematik III 893 Treue, Dt. Geschichte von 1807 bis 1890 894 Treue, Dt. Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart 902 Müller, Dynamik I 903 Müller, Dynamik II 910 Jaeger, Afrika I 911 Jaeger, Afrika II 915 Sperber-Fleischhauer, Geschichte der Deutschen Sprache 917/917 a Böhm, Versicherungsmathematik II 920 Hoheisel, Gewöhnliche Differentialgleichungen 921 Jantzen-Kolb, W. v. Eschenbach. Parzival 929 Schirmer-Mitzka, Deutsche Wortkunde

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BANDNUMMERNFOLGE 930 Krull, Elementare und klassische Algebra I 931 Hasse, Höhere Algebra I 932 Hasse, Höhere Algebra II 933 Krull, Elementare und klassische Algebra II 936 Thum-Meysenbug, Werkstoffe des Maschinenbaues 11 952 Schäfer, Transformatoren 953 Zipperer, Techn. Schwingungsl. I 961/961a Zipperer, Techn. Schwingungslehre II 965 Dehnert, Wehr- und Stauanlagen 970 Baldus-Löbell, Nichteuklidische Geometrie 978 Kleinlogel, Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung d. Betons 984 Graf, Baustoffe des Hoch- und Tiefbaues 999/999 a Kamke, Mengenlehre 1000 Jaspers, Geistige Situat. der Zeit 1003 Hoheisel, Partielle Differentialgleichungen 1008/1008 a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I 1009 Bechert-Gerthsen-Flammersfeld, Atomphysik I 1014 Huttenlocher, Mineral- und Erzlagerstättenkunde I 1015/1015 a Huttenlocher, Mineral- u. Erzlagerstättenkunde II 1017 Döring, Einführung in die theoret. Physik V 1020 Niese-Dienst, Elcktrischc Schweißverfahren 1031/1031a ApeULudz, Philosophisches Wörterbuch 1033 Bechert-Gerthsen, Atomphysik II 1034 Kranefcldt-Jung, Therapeutische Psychologie 1035 Altheim, Röm. Religionsgeschichte I 1039 Dovifat, Zeitungslehre I 1040 Dovifat, Zeitungslehre II 1044 Tölke, Talsperren 1045 Schubert, Technik des Klavierspiels 1051/1051 a Stolberg-Wernigerode, Gesch. d. Verein. Staaten von Amerika 1052 Altheim, Röm. Religionsgesch. II

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1057 Roth, Thermochemie 1059 Hoheisel, Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen 1061 Grodzinski-Lechner, Getriebel. I 1065 Haller-Dannenbauer, Von den Karolingern zu den Staufern 1070 Sauter, Differentialgleichungen der Physik 1074 Koschmieder, Variationsrechnung I 1076/1076 a Endres, Verbrennungsmotoren I 1077 Haller-Dannenbauer, Von den Staufern zu den Habsburgern 1078 Troche, Stahlbetonbau 1082 Hasse-Klobe, Aufgabensammlung zur höheren Algebra 1085 Lietzraann-Aland, Zeitrechnung 1086 Müller, Dt. Dichten u. Denken 1088 Prcller, Gesch. Englands II 1092 Wickop, Fenster, Türen, Tore 1094 Hernried, System. Modulation 1096 Viétor, Dt. Dichten und Denken 1099 Hoheisel, Integralgleichungen 1105 Härtung, Dt. Geschichte im Zeitalter der Reformation 1108 de Boor-Wisniewski, Mittelhochdeutsche Grammatik 1109 Knopp, Elemente der Funktionentheorie 1111 Naumann-Betz, Althochdeutsches Elementarbuch 1113/1113 a SiruLecker, Differentialgeometrie I 1114 Schubel, Engl. Literaturgesch. I 1115 Ranke, Altnord. Elementarb. 1116 Schubel, Engl. Litcraturgesch. II 1117 Haller-Dannenbauer, Eintritt der Germanen in die Geschichte 1121 Naumann, Dt. Dichten und Denken 1122 Feist, Sprechen u. Sprachpflege 1123/1123 a Bechert-Gerthsen, Atomphysik III 1124 Schubel, Engl.Literaturgesch.III 1125 Lehncrt, Altengl. Elementarbuch 1127 Hartmann, Geschlecht und Geschlechtsbestimmung im Tierund Pflanzenreich 1128 Buchner, Symbiose der Tiere mit pflanzl. Mikroorganismen

BANDNUMMERNFOLGE 1130 Dibelius-Kümmel, Jesus 1131 Scholz-Schöneberg, Einführung in die Zahlentheorie 1132 Frühauf, Überspannungen und Überspannungsschutz 1134 Kuckuck, Pflanzenzüchtung I 1135 Lehnert, Beowulf 1137 Heil, Entwicklungsgeschichte des Pflanzenreiches 1138 Hämmerling, Fortpflanzung im Tier- und Pflanzenreich 1140 Unger, Induktionsmaschinen 1141 Koller, Hormone 1142 Meissner-Lehnert, Shakespeare 1144 Gehler-Herberg,FestigkeitslehreI 1145/1145 a Herberg-Dimitrov, Festigkeitslehre I I 1146 Humburg, Synchrone Maschine 1147 v. Waltershausen, Kunst des Dirigierens 1148 Pepping, Der polyphone Satz I 1152 Dehnert, Verkehrs W a s s e r b a u I I I 1153/1153 a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I I 1154/1154 a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I I I 1155 Schwartz, Mikrobiologie I 1156/1156 a Meinke, Komplexe Berechn. v. Wechselstromschalt. 1157 Schwartz, Mikribiologie I I 1158 Mayrhofer, Sanskrit-Grammatik 1159 Jungbluth, Gießereitechnik I 1160 Dibelius-Kümmel, Paulus 1161 Kaestner, Spinneotiere 1162 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I 1163 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I I Adler 10 Aland 5 Altheim 4, 6 Apel 3 Asmus 12 Bahrdt 12 Baldus 11 B a m e r 10 Baumgartner 10 Bechert 11 Beck 17 Beckers 18

l l 6 4 / 1 1 6 4 a Pepping, Der polyphone Satz I I 1165/1165 a Bechert-Gerthsen, Atomphysik IV 1169 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I 1170 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I I 1171 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I I I 1172 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I V 1173 Hamann-Funke-Hermann, Chemie der Kunststoffe 1176/1176 a Lorenzen, Formale Logik 1178/1178 a Kuckuck, Pflanzenzüchtung I I 1179/1179a Strubecker, Differentialgeometrie I I 1180/1180 a Strubecker, Differentialgeometrie I I I 1181 Franz, Topologie I 1183/1183 a Nicolas, Finanzmathematik 1184 Endres, Verbrenn un gsmot. I I 1185 Endres, Verbrennungsmot. I I I 1186/1186 a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I V 1187 Lau, Luther 1188/1188 a Lehmann, Photogrammetrie 1189/1189 a Päsler, Mechanik deformierbarer Körper 1190 Stupperich, Melanchthon 1191 Brauer, Slav. Sprachwiss. I 1193 Fürstenberg, Wirtschaftssoziologie

Autorenregister

Beer 8 Behn 5 Berneker 8 Betz 7 Beutel 12 Bieberbach 11 Biehle 6 Bieler 8 Blümcke 13 B ö h m 11 de Boor 7 Borchers 16

Borkenstein 17 Brauer 8 Brandenstein 8 Braun 13 Brauns 15 Bruhns 15 Buch 16 Buchner 13 Buchwald 15 Capelle 3 Chudoba 15 Dahrendorf 4, 9

Dannenbauer 5 Dassler 12 Debrunner 8 Deckert 14 Dehnert 17 Dibelius 4 Diels 13 Dienst 17 Dimitrov 18 Döring 11 Dovi fat 9 Ehrlich 4

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AUTORENREGISTER Ekwall 7 Ende, vom 16 Endres 17 Engel 16 Erismann 4 Fauser 14 Feist 6 Fischer, F 16 Fischer, J . 15 Fischer, P . B. 10 Flammersfeld 11 Fleischhauer 6 Franz 10 Freye 14 Frühauf 16 Fürstenberg 9 Funke 12 Gehler 18 Geitler 13 Gerthsen 11 Gottschald 6, 7 Graewe 12 Graf 18 Grodzinski 16 Grossmann 18 Grotemeyer 11 Gruner 14 Haack 11 Hämmerling 13 Haller 5 Haltenorth 14 Hamann 12 Hannemann 14 Hartmunn 13 Härtung 5 Hassak 12 Hasse 10 Haussner 10 Heil 13 Hempel 7 Henglein 15 Herberg 18 Hermann 12 Hernried 4 Herter 14 Hessenberg 11 Hoernes 5 Hoffmann 8 Hofmann 9, 12 Hofstätter 4 Hobtaetter 6

Hoheisel 10 Hohenleutner 6 Huber 13 Humburg 15 Huttenlocher 14 Jacob 6 J a e c k e l 14 Jaeger 8 J a h r 12 J a n d e r 12 Jantzen 7 Jaspers 3 Jiriczek 7 Jung 3 Jungbluth 17 Kaestner 14 Kalitsunakis 8 K a m k e 10 Kesselring 15 Kirn 5 Kleinlogel 18 Klemm 12 Klobe 10 Klug 13 Kneser 11 Knopp 10 Koch 3 König 11 Körting 18 Kolb 7 Koller 13 Kolms 9 Koschmieder 11 Krähe 7 Kranefeldt 3 Kresze 12 Kropp 3 Krug 8 Krull 10 Kuckuck 13 Küchler 17 Kümmel 4 Kutzelnigg 12 Landmann 3 Langosch 7 Lau 4 Lausberg 8 Lechner 16 Lehmann, G. 3 Lehmann, G. 18 Lehnert 7, 8

Lei Begang S Lengerken, von 14 Lietzmann 5 Lockemann 12 Löbell 11 Lorenzen 3, 10 Ludiii 17 Ludz 3 Lüdemann 14 Mahler 12 Marcard 17 Matthes 16 Matlick 13 Maurer 7 Mayrhofer 8 Megede, zur 15 Meinke IS Meissner 8 Mellerowicz 9 Meyer 8 Meysenbug 16 Mitzka 6 Moede 4, 9 Mohr 15 Moser 4 Müller, A. 13 Müller, C. 6 Müller, W. 15, 16 Münch 13 Mutschmann 7 Naumann 6, 7 Neger 13 Nicolas 9, 11 Niese 17 Noyer-Weidner 8 OehLmann 4 Päsler 11 Paulsen 9 Pepping 4 Pfanzagl 9 Pirani 15 Preller 6 Ramdohr 15 Ranke 7 Reichenow 14 Ringleb 10 Rohrbach 10 Roth 12 Rumpf 5 Runge 15 Sauter 12

Schäfer 16 Scharrer 14 Scheer 12 Schilling 3 Schirmer 6 Schlenk 12 Schmidt 18 Schoeneberg 10 Scholz 10 Schubel 7 Schubert, H. 10 Schubert, K . 5 Schulze, £ , 15 Schulze, W. 12 Schwartz 13 Schwaiger 16 Sedlaczek 16 Seidel 14 Simmel 3 Sperber 6 Steinmetz 8 Stolberg-Wernigerode, zu 6 Stolz 8 Strubecker 11 Stupperich 4 Tafel 17 Teichmann 18 Thum 16 Tochtermann 16 Tölke 17 Treue 5, 6 Troche 18 Unger 15 Valentiner 11 Vasmer 8 Victor 6 Vogel 14 Vossler 8 Waltershausen,v.5 Weden 6 Weigert 5 Weimer 3 Werkmeister 18 Wickop 18 Wiese, von 4 Wisniewski 7 Witting 10 Zietemann 17 Zipperer 16