Einführung in die Zahlentheorie

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EINFUI-IRUNG IN DIE ZAI-ILENTHEORIE AUTORISIERTE DEUTSCHE AUSGABE VON L. E. DICKSON ,,INTRODUCTION TO THE THEORY OF NUMBERS“

HERAUSGEGEBEN VON EWALD BODEVVIG KOLN A. RH.

ES

1931 LBIPZIG LIND BERLIN VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNBR

VORWORT DES VERFASSERS ZUR ORIGINALAUSGABE. Seit 20 Jahrhunderten ist die Zahlentheorie ein Liebljngsgegenstand von ffihrenden Mathematikem und Laien. Doch stehen die neueren Forschungen den ilteren kaum nach, und die zukiinftigen Entdeckungen gar werden die friiheren weit fibertreffen. Der Zweck dieses Buches ist eine Einffihrung in die Hauptgegensténde der rationalen Zahlentheorie. Doch werden die Untersuchungen nicht an ihren interessantesten Stellen schon wieder verlassen, sondem dem Leser unter Hinweis auf die klas-

sische und die neuere Literatur innerlich nahe gebracht. Daher wurden solche Probleme, deren vollstéindige Erledigung nur mit schwierigen analytischen Methoden m6g1ich ist, von vornherein ausgeschlossen. Trotz dieser Beschréinkung gibt das dargebotene

Material einen guten Uberblick iiber die so umfangreiche Literatur. Die ersten drei Kapitel behandeln die Teilbarkeit, die Kon-

gruenzen, die quadratischen Reste und das Reziprozitiitsgesetz.

Die biniiren quédratischen Formen werden in vier Kapiteln behandelt, ohne daB Wir uns, Wie sonst iiblich, auf ganze Koeffi—

zienten beschréinken. Zwischen diesen Kapiteln sind vier Kapitel fiber diophantische Gleichungen eingestreut. Das erste davon ist ziemlich elementar, wfihrend das zweite eine Kenntnis der binéiren

quadratischen Formen voraussetzt. Die beiden letzten sind wiederum durchaus elementarer Art (und k6nnen daher friihzeitig gelesen

werden), nur sind die Beweise ziemlich umfangreich. Das Buch ist fiir- den Anffinger gedacht und beginnt daher mit den elementarsten Grundlagen. Die Definitionen und Bezeichnungen werden in stetiger Folge entwickelt ; mit ihnen muB sich der Leser erst griindlich vertraut machen, bevor er an den zweiten Teil des Buches herangehen kann. Aus demselben Grunde sollte 3*

IV

Vorwort des Verfassers zur Originalausgabe

er auch eine Reihe der zahlreichen, sorgffiltig ausgewihlten Ubungsaufgaben Risen; sie sind seinem K6nnen durchaus angemessen. Abgesehen davon, daB schon die Beweise viele neue Gesichts— punkte enthalten, hat der Verfasser auch mehrere eigene Untersuchungen in dem Buche vertiffenflicht. F111" Hinweise bei der Korrektur ist der Verfasser den Professoren E. T. Bell, A. J. Kempner und (fiir Kapitel IV) 0. E. Brown und

E. B. Escott zu Dank verpflichtet,

' L. E. Dickson.

VORWORT DES UBERSETZERS. In der niederen Zahlentheorie fehlt es bekanntlich an einheit— lichen Lfisungsmethoden, mittels deren man die Theorie aufbauen

k6nnte. Beinahe jedes Problem verlangt eine besondere L6sung, die Wiederum ffir andere Probleme V6Dig versagt. Aus diesem Grunde und weil ferner eine groBe Menge von Problemen existiert, die in einem Buche schon allein aus historischen und Pietfits— griinden nicht fehlen dfirfen, ist es schwer, cine knappe und doch vollstiindige Auswahl der Probleme zu treffen. Daher gibt es auf keinem Gebiete der Mathematik so wenige Darstellungen wie in der Zahlentheorie. So ist es zu begriiBen, daB Prof. Dickson, der Verfasser der beriihmten History of the Theory of Numbers und

einer der grfiflten Kenner dieser Theorie, ein Buch geschrieben hat, das beide Klippen, die des zu groBen und die des zu kleinen Inhaltes, vermeidet. Das Buch ist weniger umfangreich als die kleinsten bisherigen Abrisse der Zahlentheorie und enthéilt doch eine ungleich gréfiere Anzahl von Problemen und Methoden. Es

beschrénkt sich nicht wie andere Darstellungen fihnlichen Umfanges auf elementare, althergebrachte Probleme, sondem be-

schéiftigt sich auch mit ganz modemen Fragen. Das war auf dem geringen Umfange nur m6glich durch eine sorgffiltige Auswahl der Probleme, die nur einem Kenner wie Prof. Dickson gelingen konnte. So finden sich in seinem Buche die Untersuchungen fiber Restpolynome und die sch6nen Resultate von Thue und Siege], femer eine elementare Darstellung der Markoffschen Untersuchungen fiber die Minima quadratischer Formen, W0 die Ganz-

zahligkeit der Koeffizienten fallen gelassen Wird. — Ein weiteres Charakteristikum der Dicksonschen Darstellung besteht darin, daB die Lfisungen der Probleme immer vollstfindig sind, wie man es selbst in gréfleren Darstellungen oft vergeblich suchen

VI

Vorwort dos Ubersetzers

wird. Daher enthélt das Buch auch eine Reihe neuer Ergebnisse. Ich erwéihne nur die Untersuchungen fiber die Restpolynome, fiber die Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch eine quadratische Form (§§ 5I—55) Oder die Untersuchungen von §§ 32—35. —

Beachtenswert ist besonders die Theorie der diophantischen Gleichungen, die hie: so ausffihrlich wie kaum irgendwo dargestellt ist. Durch die neuesten Untersuchungen von Siegel ist diese Theorie Wieder . in den _Vordergru_nd getreten, wenngleich sie andererseits eben dutch diese Untersuchungen zu einem v0r1é'u'1— figen Abschlusse gelangt ist. K61n, im Mai 1931.

'

Dr. E. Bodewig. ‘

INHALTSVERZEICHNIS. Suite

Vorwort ........................... III

Erstes Kapitel. Die wichtigsten Teilbarkeitssitze..........

I

Der grfiBte gemeinsame Teiler I. — Teilerfremde Zahlen 2. — Primzahlen 3. — Unendlich viele Primzahlen 3. —— Kongruente Zahlen. 5. —- Reste 6. —— Der Fermatsche Satz und die Eulersche

Verallgemeinerung 6. —- Die Eulersche cp—Funktiori 6. Zweites Kapitel. Theorie der Kongruenzen

.

.........

Lineare Kongruenzen 9. — Der Chinesische Restsat‘z 10. -—— Die An-

zahl der Wurzeln II. — Zugeh6rigkeit zu einem Exponenten 15. — Primitive Wurzeln I7. — Restpolynome nnd Restkongruenzen 19. —

— Indizes 26.

'

Drittes Kapitel. Quadratische Reste und Reziprozitfitsgésetz .

27

Das Legendresche Symbol 28. — Der GauBsche Hiltssatz 28. —— Das quadratische Reziprozitaflsgesetz 3o. — Geometrischer Beweis 31. — Das Jakobische Symbol 32. Viertes Kapitel. Einffihrung in die diophantischen Gleichungen

35

Historisches 35. — Alle ganzen Lésungen von A x’+ y” = 1' 36. — Unmfiglichkeit von x‘+ y‘=z' 38. — Alle rationalen und alle ganzen Ldsungen von ax3+ bxy+ oy’ = ez‘ 39. — Systeme von ganzen Zahlen mit gleichen Potenzsummen 44. —— Alle rationalen Lfisungen von x'+ 313+ 33+ wa = o 52. — Gleiche Summen von vierten Potenzen 54. Ffinftes Kapitel. Binfire quadratische Formen .......... Transformationen 57. — Aquivalenz 59. — Definite und reduzierte Formen 64.. — Nachbarformen 66. — Keine zwei reduzierten Formen sind fiquivalent 67. —— Ambige und entgegengesetzte Formen 68. — Aubomorphe 7o. — Eigentliche Darstellungen 7r. — Summe zweier Quadrate 73. — Das Kroneckersche Symbol 75. —— Anzahl der Darstellungen dutch positive Formen 76. -— Charaktere und Genera 79. — Tabelle positiver reduzierter Formen usaw. 82. — Kriterium ffir die

Aquivalenz 86.

57

VIII

Inhaltsverzeichnis Seite

Sechstes Kapitel. Einigediophantische Gleichungen

. .

. . .

88

Alle ganzen Lfisungen von 2” -—- mg": no und von ax’ + bxy cy’ = zw 88. — Methode von Euler nnd Lagrange 92.

Siebentes Kapitel. Indefinite binire quadratische Formen .....

95

Beziehungen zwischen den Wurzeln Equivalenter Formen 95. -— Reduzierte Formen 96. —- Ketten und Perioden 99. — Ketten—

briiche IOI. — Aquivalente, reduzierte Formen 103. — Untere Grenze der durch eine Form dargestellten Zahlen 106. — Automorphe 106. —- Alle ganzen Lfisungen von t'—du'= 4. 107. —Eigentliche Darstellungen 109. —— Indefinite, ambige Formen IIo. Achtes Kapitel. Liisung von ux'+ by’+ 0:3 = o in ganzen Zahlen I12 Neuntes Kapitel. Komposition und Genera bina'rer, quadratischer Formen . .......................... 128 Klasse'n, welche sich komponieren lassen I32 —A.nza.hl der Genera 135 '— Anzahl der ambigen Klassen 137. — Der berfihmte GauBsche Satz . fiber die Verdopplung 141. Z ehntes Kapitel. Diophantische Gleichungen mit einer endJichen Zahl gauze: Lfisungen ....................... 144 Satze' von Thue und Siegel fiber H (x, y)— .— c, H (x y): G(x, y), a y9+ by + c— — dx" I44 — Rationale Approximation einer Gleichungswurzel 156. Elites Kapitel. Minima reeller indefinite: binirer quadratischer Formen......'..... ................. 168

Sachverzeichnis

...................... I74

ERSTES KAPITEL DIE WICHTIGSTEN TEILBARKEITSSATZE Da. Wir die Zahlentheorie entwickeln wollen, ohne irgendwelche Kenntnisse vorauszusetzen, so seien auf den ersten Seiten einige Grundtatsachen vorausgeschickt, welche schon in der Arithmetik,

wenn auch ohne eigentlichen Beweis, angewandt werden. So ist z. B. die eindeutige Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren keines— wegs selbstversté'mdlich; denn fiir sog. ganze algebrajsche Zahlen ist diese Zerlegung meistens nicht mehr eindeutig. 1. Der gréBte gemeinsame Teiler. Eine der Methoden, der sog.

Euklidische Algorithmus, zum Aufsuchen des gréBten gemeinsamen Teilers (kurz: g. g. T.) zweier Zahlenl), etwa der Zahlen 323 und 221, besteht darin, daB man die groBere Zahl durch die

kleinere dividiert, wodurch wir bei unserem Beispiel den Quotienten I und den Rest 102 erhalten; indem man dann ferner 221 durch diesen Rest 102 dividiert, woraus sich der Quotient 2 und der Rest 17 ergibt. Da nun 17 in 102 aufgeht, so ist es der gesuchte

g. g. T. In Gleichungen dargestellt haben wir: 323=221-1+102,

221=102-2+17,

102=17-6.

Um allgemein den g. g. T. irgend zweier ganzen Zahlen 011 und a2 =l= o zu finden, stellen wir das Gleichungssystem auf: (I)

a1=a2q1+a3,

a2=a3qz+a4,

“6 = ai+19i + ai+2’ ' - U

“3:4498‘l'aswu

ail—2 = an—lQn—z + an: ail—1 = align—1'

Dabei ist naturgemiiB o g as < | a2| , o g (14 < a3, usw. Da demnach die Reste a3, a4, a5, . . . eine Reihe von abnehmenden natiirlichen Zahlen bilden, so tritt schlieBlich bei diesem ProzeB einmal

der Rest Null auf. Der erste solche Nullrest sei an“, wie auch bei (I) angenommen wurde.

Dann ist an der g. g. T. von a1 und a2. Denn jeder g. T. von :11 und a2 ist nach der ersten Gleichung in (I) auch ein Teiler von as, I) Uber den groflten gemeinsamen Teiler von Polynomen, wo ihnliéhe Satze wie bier gelten, vergleiche man Dickson, Hohere Algebra, Teubner 1929, § 80. Dickson-Bodewig, Einflihrung in die Zahlentheorie

I

2

Die wichtigsten Teilbarkeitssatze

also nach den weiteren Gleichungen auch von (14, as, . . . , and, an. Aber um'gekehrt ist jeder Tefler von an auch ein solcher von an_1' und daher von and, . . ., a3, a2, a1. Demnach sind die gemeinsamen

Teiler von 41 und a2 dieselben wie die Tefler von an, womit unsere Behauptung bewiesen ist. Aus den ersten beiden Gleichungen von (1) ergibt sich:

as = a1 —-qla2. a4 = —‘.72“1 + (I + 9192M, d. h. as und a4 sind lineare, homogene Funktionen von 011 und a;2 mit ganzen Koeffizienten. Nehmen Wir an, eine gleiche Abhé'mgigkeit gelte ffir as, . . ., ai, at“, so sehen wir aus der vierten Glei-

Chung von (I), daB dasselbe auch fiir a...” zutrifft. Damit ist induktiv der Satz bewiesen: Satz I: Zwei natiirliche Zahlen, die nicht beide verschwinden, haben einen g. g. T., der sich als lineare, homogene Funktion dieser Zahlen mit ganzen Koeffizienten ausdn'icken léBt.

Ist also g der g. g. T. von a und b‘, so ist g =ra +sb, wo r und 5 ganzzahlig sind. Ist femer G der g. g. T. von g und 0, so ist G eine lineare Funktion von g und 0, also auch von a, b, c. Ahnlich

haben G und (1 einen g. g. T., der eine lineare Funktion von G und d, also auch von at b, c, dist. Allgemein erhalten wir Satz 2: Irgendwelche natiirlichen Zahlen a, b, c, . . . , m, die nicht alle verschwinden, haben einen g. g. T., der eine lineare, homogene Funktion dieser Zahlen mit ganzen Koeffizienten ist.

2. Teilerfremde Zahlen. Zwei gauze Zahlen a und b heiBen relativ prim oder teilerfremd, wenn ihr g. g. T. gleich I ist. a heiBt prim oder (teiler-)fremd zu b; in Zeichen: a u b. Z. B. ist 4 fremd zu 9 (4u9). I ist fremd zu I. Satz 3: Wenn a ob, dann ist jeder gemeinsame Teiler von ak

und b ein Teiler von 16. Nach Satz (I) gibt es ganze Zahlen s und t von der Beschaffen— heit, daB sa + tb = I. Daher ist 3 ~ ak + tk - b = k, womit unser

Satz beWiesen ist. Folgerung I (Euklidischer Fundamentalsatz.): Wenn aub und wenn ak dutch b teilbar ist, dann ist auch k dutch b teilbar.

Denn b ist ‘dann eben ein g. T. von ak und b. _ Folgerung 2: Wenn a und k beide prim zu b sind, so ist auch ihr Produkt ak prim zu b. Ist fer'ner noch m prim zu b, so ist auch ak - m zu b prim. A]l-. gemein: ' -

3

Primzahlen

Folgerung 3: Das Produkt mehrerer zu b primer Zahlen ist ebenfalls zu b prim. 3. Primzahlen. Jede gauze Zahl 15 > I heiBt eine Primzahl,

wenn sie keine ganzen Teiler auBer j; p und :l; I hat. So gibt es unterhalb IO nur die Primzahlen 2, 3, 5, 7. — Eine Zahl, die keine

Primzahl ist, heiBt zusammengesetzt. Die besten und vollstéindigsten Tafeln der Primfaktoren und Primzahlen sind die von Lehmer (veroffentlicht von Carnegie Institution in Washington, 1909 und 1914). Sie reichen beide bis 10 Millionen. Satz 4: Wenn ein Produkt mehrerer ganzen Zahlen durch- cine

Primzahl p teilbar ist, so ist wenigstens einer der Faktoren (lurch j) teilbar.

Denn andemfalls Wéire jeder Faktor, also nach Folg. (3) auch ihr Produkt, prim zu p. Satz 5: Jede zusammengesetzte natiirliche Zahl N lfiflt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und zwar (wenn wir die Reihenfolge der Faktoren auBer acht lassen) nut auf eine einzige Weise.

Von den Teilem von N sei p1 > I der kleinste. Er ist offenbar eine Primzahl, und es ist 1121 < N. Man setze N =p1N1. Ist N1 eine Primzahl, so ist N schon als Produkt von Primzahlen ausge— drfickt. Im andem Falle sei p2 > I der kleinste Teiler von N1, der

wiederum eine Primzahl sein muB. Dann setze man N1 = paNg und verfahre mit N2 éhnlich. Nach einer endlichen Zahl von Schritten erhfilt' man so N = 1.51152 . . . 15”, W0 die 1) lauter Prim-

zahlen sind. Angenommen nun, es gebe eine zweite solche Zerlegung von N in Primfaktoren: N = qlqz. . .q,. Nach Satz (4) geht aber dann die Primzahl q1 in einer der Primzahlen 12‘, etwa in 351, auf. Das er-

gibt q1 = fl und 9293 . . . q, = 15,153 . . .pn. Auf iihnliche Weise ergibt sich jetzt, daB q: gleich einem der Faktoren der rechten Seite ist, etwa. gleich p2. Geht man so weiter, so findet man, daB

1 =11, und daB ql, qz, . . . , q,” abgesehen von der Reihenfolge, identisch sind mit 1191, . . ., p”. 4. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Schon Euklid bewies in

seinen Elementen, daB die Reihe 'der Primzahlen unbegrenzt ist. Sein Beweis verléiuft im Prinzip so, daB er von einer Primzahl aus-

geht und beweist, daB es noch groflere Primzahlen gibt. Mit :rz bezeichne man das Produkt aller Primzahlen g p. Ist dann I + n eine Primzahl, so ist sie schon die verlangte, da sie > 15. Ist aber 1*

4

Die wichtigsten Teilbaxkeitssétze

I + n; zusammengesetzt, so ist es nach Satz (5) ein Produkt von Primzahlen. Dutch 2, 3,. . ., 15 ist I + n aber nicht teilbar, da

diese Zahlen Teiler von at selbst sind. Demnach ist jeder Primfaktor von I + a grofler als p. Ubung I: 1. Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer eine und nur eine durch 3 teilbar. 2. Demnach ist ”(n + 1) (2n + I) durch 6 teilbar. 3. Wenn 2"—|— I eine Primzahl ist, so ist n eine Potenz von 2._ Anl.: 2" + I hat in: ungrades n den Teiler 21 + I. 4. Wenn 21’ — I eine Primzahl ist, so ist 17 selbst eine Primzahl. 5. Sind p und q verschiedene Primzahlen, so sind die Teiler von p'q' identisch mit den 3 - 4 Gliedern des ausmultiplizierten Produktes

(I + ?+ 1:2)(1+ 4+ q’+ q”)Warum ist dieses Produkt selbst die Summe der 12 Teiler von fig“? 6. Dutch Verallgemeinerung des Beispiels (5) beweise man, dais die Zahl der Teiler von m = {2191 . . . pg; gleich (91+ I) . . . (eh-[— I) ist, daB ferner die Summe der Teiler und die Summe ihrer n~ten Potenzen gleich Sind: fib——— pn(o,-+1)__ I.

11—— P3?” _ I pi_ I

m

.

pi" —' I

9= I

7. Eine natfirliche Zahl heiBt vollkommen, wenn sie gleich der Summe der von ihr verschiedenen Teiler ist, Oder anders ausgedriickt, wenn sie

gleich der Hfilfte aller ihrer Teiler ist. Man zeige, daB, wenn 21" —- I eine Primzahl ist, 2"1(21’-— I) vollkommen ist (Euklid). Die ersten vier vollkommenen Zahlen sind 6, 28, 496 und 8128.

8. Umgekehrt hat auch jede grade vollkommene Zahl den von Euklid angegebenen Typus. Anl.: Man ziehe aus der vollkommenen Zahl die 2 so oft heraus, wie es geht, so daB sie sich schreiben lifit in der Form 2n-1q,

wo q ungerade und n> 1. Damn ist nach Beispiel (6) 2”q= (2"-—- I)s, wo 5 die Summe simtlicher Teiler von q ist. Setzt man s = q + d, so nimmt die Gleichung die Form an: q: d (2"— I), and es ergibt sich, daB d ein Teiler von q und =|= q ist. Demnach sind q und (1 die einzigen Teiler von q, so daB d: I und q= 2"—I cine Primzahl ist. Dann vergleiche Beispiel (4). —Der Beweis ist nur ffir grade Zahlen anwendbar. 0b es auch ungrade vollkommene Zahlen gibt, konnte bis jetzt weder bewiesen noch widerlegt werden. 9. Man suche die Zahl N der ganzen Losungen von x” — y” = P> 0. Man setze dazu 14: 29+ y, u = x— y und beweise, daB N= 0, wenn P

das Doppelte einer ungraden Zahl ist, und daB N das Doppelte der Zahl der Teiler von P oder P/4 ist, wenn P ungrade bzw. ein Vielfaches von 4 ist. Io. Aus Beispiel (9) folgt noch, daB N das Doppelte der Differenz der Zahl der graden und der Zahl der ungraden Teiler von P ist.

Kongruente Zahlen

5

II. Es gibt unendlich viele Primzahlen von der Form 6» — I. Anl.: Man bilde wie in § 4 den Ausdruck at, gebrauche aber damn n— I anstatt wie dort n + I. 12. Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 412— 1. Anl.: Man gehe von dem Ausdruck 27: -— I ans.

5. Kongtuente Zahlen.1) Lassen zwei Zahlen a und b bei der Division durch m denselben Rest, ist also ihre Differenz durch m

teilbar, so heiBen a und b kongruent modulo m, und man schreibt nach GauB: a E b (mod m).

Das Zeichen $ bezeichnet entsprechend: inkongruent oder nichtkongruent. Z. 3.: 12 E2, —253(mod5), 7$3 (mod5). Der Grand, weshalb man sich fiir dieses Kongruenzverhfiltnis der Zahlen interessiert, liegt darin, daB es bei vielen zahlentheore-

tischen Untersuchungen weniger auf den Quotienten zweier Zahlen als vielmehr auf den Rest ankommt. Sind zwei Zahlen einer dritten kongruent, so sind sie einander kon-

gruent. Die Beziehung der Kongruenz ist also, wie man sagt, ,,tra.nsitiv“, der Begriff der Kongruenz ein sogen. ,,Gleichheitsbegriff“.

Satz 6: Wenn a ab und 0 E d (mod m), dann ist auch a +0 Eb+d, a —c —d, acd (modm). Da 4 — b und 0 — d Vielfache von m sind, so gilt dasselbe auch fiir ihre Summe und Differenz. Desgleichen ist also a0— = bc= = bd (mod m).

Weihrend aus a E b (mod m) immer folgt, daB ma E nb (mod m), ist das Umgekehrte nicht der Fall. Z. B. ist zwar 4- 7= 4 2 (mod IO), indessen ist nicht 7 kongruent 2 mod IO, sondem 7: =2 (mod 5). Allgemein haben wir Satz7.‘ Ist na =nb (mod m), so ist a Eb (mod m/g), wo gder g. g. T. vonnundmist.

Denn es ist n = gN, m = gM, wo N und M teilerfremd Sind; und da n(a —— b) durch m teilbar ist, so ist N (a —— b) durch M teilbar. Nach §2, Folg. (I) ist demnach a — b dutch M teilbar. Fiir g = I ergibt sich der Wichtige Satz: Satz 8: Ist naEnb (modm) (mod m).

und ist num, so ist aEb

1) Disquisitiones arithmeticae, Lipsiae, 1801 = Werke, I. Sie sind das grundlegende Buch der neueren Zahlentheorie.

6

Die wichtigsten Teilbarkeitssatze 6. Die kleinsten Residuen. Bei gegebenem m kann jede ganze

Zahl k auf die Form qm + r gebracht werden, we 0 g r < m. Dieses r heiBt das kleinste Residuum oder der Rest von k

modulom. 0,1,

,m —I bilden ein vollstindiges Rest-

system modulo m.

Satz 9: Sind a und b > o teilerfremd und ist r eine beliebige Zahl, so stimmt das Restsystem von

(2)

r, a+r,

2a+r,...,(b—I)a+r

modulo b abgesehen von der Anordnung fiberein mit o, I, . n,

b — 1. Da in (2) b Zahlen vorkommen, so haben wir nur zu beweisen,

daB keine zwei von ihnen denselben Rest haben. Angenommen, sa + 1 und ta + 1' hitten den gleichen Rest. Dann wire auch

sa E ta (mod b), also nach Satz (8) s E 2! (mod b). Dies ist aber fiir die Zahlen in (2) nur moglich, wenn s = t. 7. Der kleine Fermatsche Satz. Satz IO (Fermat, 1640): Wenn p eine Primzahl und a nicht

dutch p teilbar ist, so ist (3)

exp—1 —=" I(modp).

Wendet man Satz (9) ffir r = 0 an, so folgt, daB abgesehen von der Anordnung a, 2a, . . ., (b —I)a zu 1,2, . . .,b —I modulob

kongruent sind. Daher ist nach Satz (6) das Produkt der Zahlen des ersten Komplexes kongruent dem der Zahlen des zweiten Komplexes: ab—l-I-Z...(b—I) EI-2(b—-I) (modb). Ist b nun eine Primzahl, so ist I-z . . . . (b—I) prim zu b,

.und die obige Kongruenz kann nach Satz (8) durch dieses Produkt dividiert werden. So erhalten wir (3). Der hier gegebene Beweis stammt von Ivory aus dem Jahre 1806. 8. Die Eulersche (p-Funktion. Ist m eine natiirliche Zahl, so be-

zeichnet man nach GauB mit ¢p(m) die Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen, welche _S_ m sind.1) So ist I ist die Summe der unterhalb n liegenden, zu n teilerfremden

natfirlichen Zahlen gleich %—mp(n). 9. Ist a um, so hat die Gleichung azi my = 6 die Losung x: 611’”, y = j: cq. Dabei ist k = (p (m) —— I, und q ist der (ganzzahlige) Quotient von M10") — I durch m. 10. Man bestitige die Richtigkeit der Kongruenz a”: a (mod n) in den folgenden Fallen, wo n keine Primzahl ist: a: 2, n— -— II - 31 (21°= I), 4»: 19'73: ”=23'89. "=37'73: "=31'I5I: ”=3'5'43, n= 3 - II - 17,11: 7- 13- 19;a= 3,11,: 7. I3 (3°E I),n= 113(355 I), n= 11*. 31,

11: 113-61;

(1: 19,

n: 13’,

n: 132- 7*;

a: 18,

n=7’- 19-37“11. Man beweise die folgende Umkehrung do: Fermatschen Satzes: Ist a” — I teilbar durch n, wenn x: n— I, aber nicht, wenn x ein echter Teiler von 12 — I ist, so ist n eine Primzahl. An1.: Wire 11 zusammenge-

setzt, so Wire R(x).

wo q und R Polynome mit ganzen Koeffizienten sind und wo q(x) E 0 (mod p) keine Wurzel hat. 0; heiBt eine Wurzel von der Multiplizitét a von f(x) E 0 (mod p). Satz 20: Ffir einen Primmodul hat eine Kongruenz vom Grade r

héchstens r Wurzeln, wenn jede Wurzel mit ihrer Multiplizitéit gezéihlt wird.

Ist die Zahl der Wurzeln genau gleich r, so reduziert sich q(x) in (17) auf die Konstante c. Ubung IV: I. Satz (19) enthilt den Wilsonschen Satz: Ist p cine Primzahl, so ist I —|— I - 2 - 3 . . . (p — I) durch p teilbar. Man beweise die . Umkehrung. 2. Wenn p eine Primzahl von der Form 411+ I ist, so ist (2n)! eine Wurzel von 15* E — I (mod p). — Zum Beweise benntze man den Wilsonschen Satz. 2. Jede der Kongruenzen x35 — I (mod 65) und x’E — 2 (mod 33) hat vier Wurzeln. 4. Man verallgemeinere den Beweis von Satz (I7) 11nd zeige, daB, wenn 5 eine Wurzel von fix) '5 0 (mod p”—1) ist, (II) dann und nur dann eine Wurzel von fix) E 0 (mod p”) liefert, wenn sf’(E) E —- f(§)/1>”—1 (mod p). Daher entspricht im Falle f’ (E) 5'5 0 (mod p) jeder Wurzel E eine einzige Wurzel der letzberen Kongruenz. Im Falle f’ (E) E 0 (mod 17) hingegen, wo also 17 in der Diskriminante von f(x) aufgeht, entspricht jeder Wurzel 5 entweder keine Wurzel oder es entsprcchen ihr p Wurzeln der obigen Kongruenz. 5. Man beweise Satz (16) ffir den Fall, daB f ein Polynom in mehreren Vafiabeln 151:. 6. Ebenso verallgemeinere man Beisp. (4) ffir f(x1, . . ., xk).

Satz 21: Istp eine Primzahl und «1 ein Teiler vonp —- I, so hat die Kongruenz (18)

genau d Wurzeln.

'

x" E I (modp)

15

Zugehorigkeit zu einem Exponenten

Wir gehen aus von der algebraischen Identitit

x“ — I = (x: —I)Q 2, gibt es indessen keine solche Wurzeln. Denn da

a ungrade sein muB, so ist a :1 +21), a3=I +80, a4=I+I6d,..., a2”—2=I+2”h.

Da aber 2'“2 = § I ist aber t< 07(1)"). 5. Es gibt (p — I) (p (p — I) primitive Wurzeln von 1", die inkongruent modulo p” sind.

6. Es gibt genau (p { (“p") } primitive Wurzeln von 1:”. 7. Es gibt genau so viele primitive Wurzeln von 21:" wie Von p" selbst. 8. Das Produkt aller primitiven Wurzeln einer Primzahl 12> 3 ist _.1 (mod p). =

18. Restpolynome und Restkongruenzen. Wir kommen jetzt zu

sehr interessanten Gegenstéinden, die indessen spéiter keine Rolle spielen, so daB sie beim ersten Durchlesen des Buches fiberschlagen werden k6nnen. Ein Polynom f(x) mit ganzen Koeffizienten, welches fiir jeden ganzzahligen Wert von x durch m teilbar ist, heiBt ein Restpolynom modulo m. Die zugehorige Kongruenzflx) =0 (mod m) heiBt eine Restkongruenz. Z. B. ist, wenn p eine Primzahl, x? ——x;o (modp). I) GauB, Disquis. arithm., 2.11.92. Lebesgue, Journ. d. math. I854,

p. 289. 3342) Free. London Math. Soc., XXI (1922), S. 350—58; dabei muB es an der Stelle p = 8011 anstatt g=.13: g: 14 heiBen. — Tabellen bis zu 5000 finden sich in den Acta. Mathematica, XVII (1893), S. 315—20; XX (1896); S. 143—57; XXII (1899), S. 200. Bis 6200 in Wertheims ,,Anfangsgrfinden der Zahlenle ”, 1902. 23

20

Die Theorie der Kongruenzen

Ein anderes Problem besteht darin, diejenigen Polynome mit rationalen Koeffizienten zu suchen, welche fiir alle ganzen Werte von :6 selber ganzzahlige Werte annehmen. Dieses Problem reduziert sich aber auf das vorige ; man hat nur die Koeffizienten auf

den gemeinsamen Nenner m zu bringen. Fiir eine Primzahl p isf das erste Problem schnell gelost. Denn dann hat f(x) 5 o (modp) die Wurzeln o, I, 2, . . .,;b —— I, und aus (I4) folgt die Identitfit f(x) = Pq(x) +pG(x),

W0 P = x(x —I) . . . (x —p + I);

Nach (I6) ist aber x? — x = P + pH (x). Die Elimination von P

gibt

(23)

f(x) = (95” - x)u(x) +1b' ”(x)-

Damit ist im Falle n = I der Satz bewiesén: S atz 27: F121 71 $12 ist jedes Restpolynom modulo #1 von der . Form

(24)

2P”"‘(x’—x)"-fk(x), Ego

wo die fk (x) Polynome mit ganzen Koejfizienten siml.

Wir gehen induktiv vor, indem wir den Satz fiir n als giiltig annehmen und ihn auch dann fiir n + I g p beweisen. — Es sei f(x) E 0 (mod 12"“). Da diese Kongruenz auch fiir den Modul p” gilt, so ist f(x) von der Form (24). Fiir jede ganze Zahl ist nun nach dem Fermatschen Satz x? — x = 12y, wo p ganzzahlig. Fiihrt man die Grofie Z = y — z ein, so ist nach dem binomischen Satz

all so

(x +152)? 5 x? = x +132 +pZ (modpz),

[(x + M» — (x + Ml" = (p2 + W a W" (mod pm).

Ersetzt man in (24) x durch x + 152, so erhalt man

'

fn~w=z'=rk (x+1>z) (modzsm). k=,o

Nun ist aber nach Voraussetzung f(x + p2) fiir alle 55 und alle z durch 12"“ teilbar. Daher ist fiir alle ganzen Zahlen Z 2 1‘7, (x) 2" E 0 (mod p). k-O

Restpolynome

21

Diese Kongruenz vom Grade g n < 15 in Z hat daher 1b Wurzeln.

Das ist aber nach Satz (18) nur moglich, wenn jeder Koeffizient fiir alle x durch p teilbar ist. Daraus folgt, daB fk (x) von der Form (23) ist. Dutch Einsetzen dieses Ausdruckes in (24) erhélt man wieder einen Ausdruck vom Typus (24), nur daB jetzt n + I anstelle von n steht. Unsere Induktion ist daher vollstandig. Zum Studium eines allgemeinen Moduls m ben6tigen wir noch einige Voruntersuchungen. —- Mit ,u = ,u(m) bezeichne man die kleinste natfirliche Zahl, ffir‘ welche pl durch m teilbar Wird. Z. B. ist Mp) =31); ferner, wenn p1, . . .', 12,, verschiedene Prim-

zahlen in aufsteigender GréBe sind, (4(151, . .'., pk) :1»; ”(pH) = 1m fiir n < 15.1) Es werde zur Abkfirzung bezeichnet:

(25)

H(k)=x(x—I)...(x—k+1),

wo k eine natiirliche Zahl ist. Da der Biomialkoeffizient (If) ffir

jeden ganzzahligen Wert von 9:: ebenfalls ganzzahlig ist, so ist 1H,“) durch p! und also auch dutch m teilbar. D. h. H(,u (m)) g 0 (mod m). (26) Hier k6nnen wir nun fiberall m dutch irgendeine andere Zahl, also auch durch einen Teiler von m ersetzen. Multipliziert man dann mit m/d, so erhalt man (27)

1;— II ([4 (01)): 0 (mod m), wenn d ein Teiler von m.

Ffir d = I definieren wir die linke Seite 315 m. Z. B. haben wir iii: 11:: 6 in den Fallen d: 6, 2, I: “(6) = 3, ”(2) = 2, sowie (28) x(z——1)(x—2):o, 3x(x—I)§O, 6_=__'o(mod6),

wahrend im Falle d: 3 folgt: [1(3): 3, 2x(x— I) (x — 2)= ._..__ 0, also eine Folgerung von (281). Unsere nachste Aufgabe wollen wir zunc’uchst an einem Beispiel erliutern. Wir sollen alle Funktionen axi+ bx+ z: finden, welche ’2‘ 0 (mod 6) sind. Dutch Einsetzen von :17 = o, I, —- I findet man 050,

a+o,

a—o,

so daB a = 3A, b = — 3A. Demnach sind

2:150 (mod6), alle

solchen

Funktionen

ax‘+ bx+ c lineare Kombinationen von 3x(x—- I) und 6. I) Ffir n 2 p erfordert die allgemeine Bestimmung von ,u eine verwickelte Berechnung, die Kempner 1m Amer. Math. Monthly, XXV (191:8), S. 209 darlegte. Sind P1, . . ., Pk Potenzen verschiedener Primzahlen, so ist

”(P1, . . ., Pk) gleich der grbBten der Zahlen von [1,(P1), . . ., ”(Pk).

Die Theorie der Kongruenzen

22

I: Jedes Polynom f(x) = Z cix‘ vom Grade n léiBt sich auf eine und nur eine Weise auf die Form bringen

(29) .

ao+alx+as(: )+-- -+a,,(: ).

Fiir n = I hat man nur‘ao = co, a1 = 01 zu setzen. Angenommen,

der Satz gelte also fiir Polynome vom Grade n — I. Dann fehlt in der Funktion

rm ~n! cn(:)

(30)

das Glied x”, sie ist also nach Voraussetzung darstellbar in der Form

(31)

ao+a,x1+--- +a,.-1(,,:l).

Daraus folgt dann, daB f(x) selbst mit (29) identifiziert werden kann, wenn man a” = n! on setzt.

Von jetzt an sei jedes cg ganzzahlig, dann II. ist at/i! fiir i = o, I, . . ., n eine ganze Zahl.

Angenommen, II gelte fiir alle Polynome vom Grade g n — I. Da der letzte Teil von (30) gleich —c,,x(x — I) . . . (x — n + I) ist, so ist (30) ein Polynom mit ganzen Koeffizienten, und wegen (3I) besteht die Beziehung II im Falle i g n — I zu Recht. Aber auch an/n! ist eine ganze Zahl on. Unsere Induktion ist demnach vollstfindig. Nach II sind die ai ganzzahlig. Fiir x = o, I, . . ., n erhélt (29) die Werte a0+"'+ana0:“0+a1’ ao+2a1+a2,...,

Sind also diese Werte dutch m teilbar, so gilt dasselbe fiir a0, a1, . . ., a”. Bezeichnet man noch den ganzen Quotienten ai/m mit 05;, so haben Wir

III. Jedes Restpolynom modulo m hat die Form

(32)

mao+2Ak-H(k),_ wo Ak=mak/k!, k=I

und wo alle ac,c und A k ganzzahlig sind. Wir suchen die kleinste natiirliche Zahl n, fiir die A” = I, d. h. fiir die moan = 11!. Da also n! durch m teilbar ist, so ist das kleinste

solche n gleich ,u (m). Mit Riicksicht auf (26) folgt daraus: IV Der Minimalgrad eines Restpolynoms mit dem Leitkoeffi-

zienten I ist gleich ”(m).

tpolynome

23

d sei irgendein Teiler von m. Dann ist ebenso Wie vorhin lu(d) das kleinste n, fiir welches Afl =m/d oder, was dasselbe ist, doc” = M. Zusammen mit (27) gibt dies: V. Ist d irgendein Teiler von m, so ist der Minimalgrad eines

Restpolynoms modulom mit dem Leitkoeffizienten m/d gleich (d). I“ Sei jetzt P = ox" + - - - irgendein Restpolynom vom Grade n modulo m. Bezeichnet dann g den g. g. T. von 0 = gC und 1» = gM, so ist C UM, und die Kongruenz CL E I (modM) hat eine einzige Losung L. Also ist jede, der Kongruenz Cz E I (mod M) genfigende Zahl von der Form 2 = L + My. Nach Ubg. III, 5, konnen wir y so wahlen, daB v wird. Dann hat also

22 E I (mod m) eine Losung Z. Jetzt folgt durch Zusammenfassung, daB cz=n.=_g, also zP=Qn“+--- und PEZQ (modm). D. h. VI. Jedes Restpolynom modulo m ist gliedweise kongruent (modulo m) zu dem Produkt einer zu m teilerfremden Zahl und einem Restpolynom, dessen Leitkoeffizient ein Teiler von m ist. Wir fiihren jetzt eine neue Definition ein, namlich die der Kette von Restkongruenzen modulo m. Fiir m = 6 haben wir die Kette schon in (28) gehabt, woriu der Teiler 3 fehlt, weil [4(3) = ”(6). Behandeln wir noch das Beispiel m = 16 mit den Teilern I6, 8, 4, 2, wo ”(16) = 6, ”(8) = M4) = 4, ”(2) = 2. Ffir d = 16, 8, 2, I liefert (27) die Kette

(33)

x(x—I)...(x—5)§o,2x(x—I)(x—2)(x—3)§o, 8x(x—I)§o, I650 (modI6).

Der Fall d = 4 wiirde das Doppelte der zweiten Kongruenz er— geben. Die von I verschiedenen Teiler d eines jeden m teflen Wir jetzt in Komplexe ein, derart daB ,u (d) fiir alle Teiler desselben Komple-

xes denselben Wert hat, fiir Teiler verschiedener Komplexe jedoch verschiedene Werte annimmt. Von jedem Komplex behalten wir nur jedesmal den groflten Teiler bei und ordnen die fibrigbleiben— den y nach abnehmender Grofle: ”011),” ., ‘u, ((1,). Dann liefert (27) ffir d = all, . . ., d, zusammen mit mgo die sogen. Kette der

Restkongruenzen modulo 1». ' Diese Kette ist deshalb von Wichtigkeit, weil alle anderen Restkongruenzen sich aus ihr ergeben. Es gilt namlich der

24

Die Theorie der Kongruenzen

Satz 28: fades Restpolynom f(x) modulo m ist eine Sum/me van Produkten van m bzw. m/di -II(,u(d,-)), wo i = I, . . ., s, und von Polynomen in x mit ganzzahligen KoefflzientenJ)

Nach VI ist f(x) = m - o existiert und gibt auch die Methode an, es Wirklich aufzustellen, wie ans den Beispielen I-—4 noch klarer Wird. Ubung VII: I. Mittels (28) zeige man, daB das reduzierte System modulo 6 ans den Polynomen ax” + bx+ o besteht, wo a = o, I, 2, wéhrend b und 0 die Werte o, I, . . ., 5 durchlaufen.

2. Nach (33) besteht das reduzierte System modulo I6 aus den Polynomen ax5+ bx4+ oxs+ dx’+ ex+ 1‘, die man erhilt, wenn man a: o, I; b=o,I;c,d=o,I,...,7;e,f=o,I,...,15setzt. 3. Die Kette der Restkongruenzen modulo 3 - 5 - Ir ist IO

HUI—flgo,

IIfl(z—£)§o,

5517(x—i)§o,

16520.

s=o

i=0

i=0

Das reduzierte System ist alox1°+ ~ - - + (1., WO am, . . ., as: o, I, . . ., 10; a‘, as: o, I, . . ., 54; a,, a1,a.,=o, I, . . ., 164.

4. Man leite Satz (27) aus Satz (28) ab. Anl.: Nach (16) ist P=II(p) =

= x9—x+ #4. 11(212) = P(P+ pt),wei1 x—(p+ s); x—s(mod1>);

H(31>)=H(2p)(P—|— pr) usw. —-—Mittels beider Sitze zeige man, daB das reduzierte System modulo 78 aus den Polynomen anz’°+ - . -+ an besteht, wo a”, . . .,an=o, . . ., 71—1; a.,...,ao=o,...,73—I.

an, . . ., a.,= o, . . ., 73— 1-;

5. Fur m: p, 5*, 42 gibt as p” bzw. 51'5 bzw. 2’ 3a 77 reduzierte Polynome. 6. Zn welchem reduzierten Polynom ist 25+ 102x4+ 5x“ — 23x+ 38 restkongruent nach den Moduln 5, 7, 42 oder 25 9 7. x‘+ 3x“ + 2525+ I ist zu jedem fix) restkongruent modulo 3o; denn

es ist HO) 2 1. no a o. f(2) a 1. N3) 2 28. f(4) a 9, 1(5) E 16 (mod 30)-

8. g(x) = (24’ — x)? — pp—lofl' — x) ist ein Restpolynom modulo pp“. Ffir n< 215+ 2 ist jedes Restpolynom modulop" eine Summe Von Produkten' von

«M: pn-W— M (as k g n) bzw.

3W) ' @n—p—l, 1.;_1 (1 g k g n —‘ P)

mit Polynomen in x mit ganzen Koeffizienten. 9 Ffir die Funktlon g von Beisp. (8) und ffir n— — p3 + p + I ist g9 — 1:1”‘1-g ein Restpolynom modulo pp. IO. Ist m— — A BC

. ., wo A, B,.

. Potenzen verschiedener Primzahlen

sind. und ist g der groflte ihrer Exponenten, so ist

2' (WOW) — I)

26

Die Theorie der Kongruenzen

ein Restpolynom modulo 1». — Sind ferner P, Q, R, . . . Restpolynome moduloA bzw. B bzw. C. . ., sosind PQR . . . und

21Pf1+L£~Qh+mundfiPa+ftaPRf=+m Restpolynome modulo m. II. Es gibt Primzahlen; deren Dezimalbruchentwicklung die Hochstzahl p —- I von Periodenstellen tatsichlich erreicht. (Ubg. V, I; VI, 1.) Unter

Ioo sind dies: 7, I7, 19, 23, 29, 47, 59, 6I, 97; denn sie haben die Periodenlangen 6, . . ., 96. Hingegen hat I3 nur 6 Periodenstellen, 31 hat I5, 37 hat 3 usw. Man stelle eine Theorie der periodischen Dezimalbrfi'che 'auf, deren Nenner prim zu 2 und 5 sind, indem man folgende Sétze beweist:

”lei-£5,111: A in die paarweise teilerfremden Faktoren a, b, c, . . ., so daB also A =abc . . ., und haben diese Faktoren die Periodenlingen a, [3, y . . ., so ist die Periodenlinge von A das kleinste gemeinsame Vielfache von a, fl, 3! . . ." ,,Ha.t A die Periodenlénge a, so ist die Periodenlinge

von A” ein Teiler von Am'la.” ,,Ist Au3, so ist seine Periode durch 9 teilbar. Ist AuII und hat es eine grade Periodenlfinge, so ist seine Periode dutch II teilbar.“ ,,Ist die Periodenlinge grade, so bleibt in der Mitte

der Periode der Rest ——I. Trenne ich die Rests und die Periode in je zWei Haliten, so erganzen sich entsprechende Reste jedesmal zum Nenner des Bruches (oder zu Null), und die Quotienten erganzen sich jedesnial zu 9. Bleibt umgekehrt beim Dividieren der Rest — I, so liegt die Halfte

der Periode fertig vor, die andere Halfte ergibt sich dutch sukzessive Ergiinzung der schon vorhandenen Ziffzern3zu 9.4“ ,,Hat 1: die héchstmogliche Periodenléinge p—I, so haben— ;,

13,,

g,

. . dieselbe Reihen-

folge der Ziffern wie ;, nur um ein Stuck verschoben. Ihre Perioden lassen sich danach ohne die geringste Rechnung aus der von % angeben.“

19. Indizes. r sei eine primitive Wurzel der Primzahl j). Nach Satz (22) sind die Reste (modulo 1:) der Potenzen I, r, r”, . . ., 14"2, (35) abgesehen von der ,Anordnung, gleich I, z, . . ., p — I. M. a. W.: Jede nicht durch 17 teilbare Zahl N ist zu einer und nur einer der Potenzen (35) modulo? kongruent. Der Ex— ponent dieser Potenz heiBt der Index von N und wird mit IndN bezeichnet.F1'ir die Indizes gelten iihnliche Beziehungen wie fur die Logarithmen; denn es ist

Ind NM = IndN + IndM, IndN"= kc IndN (mod p — I). Indessen sind 1m Gegensatz zu den Logarithmen hier Tafeln fiir jedes p erforderlich. Fiir p < I000 finden sich solche Tafeln in Jacobis Canon Arithmeticus, Berlin 1839.

DRITTES KAPITEL

QUADRATISCHE RESTE. REZIPROZITATSGESETZ. Das quadratische Reziprozitéitsgesetz ist zweifellos das Wichtigste Hilfsmittel in der ganzen rationalen Zahlentheorie. Es nimmt daher auch in der Geschichte dieser Wissenschaft eine beherrschende Stellung ein. Seine Verallgemeinerungen zudem bilden, friiher wie jetzt, einen der Hauptgegenstiinde der Theorie der algebraischen Zahlen. 20. Quadratische Reste. Alle zu m teilerfremden Zahlen lassen

sich in zwei Klassen einteilen: Diejenigen, welche (modulo m) Reste von Quadraten sind, heiBen quadratische Reste (kurz: q. R.) von m, alle anderen heiBen quadratische Nichtreste (kurz: q. NR.) von m. M. a.W.: Eine gauze, zu m teilerfremde Zahl k heiBt q. R. bzw. q. NR. von m, je nachdem die Kongruenz x2 5:. k (mod m) Wurzeln hat oder nicht. Z. B. sind I, 2, 4 q. Re. von 7, wihrend 3, 5, 6 q. NRe. von 7

sind. I ist q. R. zu allen Zahlen. r sei nun eine primitive Wurzel der ungraden Primzahl p. Offenbar ist dann jede grade Potenz von r q. R. von 12. Aber auch das Umgekehrte gilt: Denn da jeder q. R. k zu einem Quadrate x2 modulo 1) kongruent ist und da nach § 19 jede Zahl x E 7‘, so ist k E 72‘ (mod p). -— Umgekehrt: Nach Satz (22) ist 7‘ E 1‘

(mod p) dann und nur dann, wenn s at (mod p— I). Da nun p — I grade ist, so kann keine ungrade Potenz zu einer graden Potenz von 1’ modulo 15 kongruent sein. Da die graden Potenzen q. Re. sind, so sind demnach die ungraden Potenzen q. NRe. Daher haben wir: Satz 29: Die q. Re. einer ungraden Primzahl p sind nichts andres als die Reste (modulo p) der gtaden Potenzen einer primitiven Wurzel r von p; die q. NRe. andrerseits fallen mit den Resten der ungraden Potenzen von r zusarnmen.

Satz 3o: Es gibt genau w» —I) 9. Re. and 41-(19 —I) q. NRe. von 12.

28 '

Quadratische Reste. Reziprozitatsgesetz

Satz 31: Das Produkt zweier q. Re. oder zweier q. NRe. von p ist wieder ein q. R. von 1). Das Produkt eines q. R. mit einem q. NR. ist jedoch ein q. NR.

5 atz 32 (Euler) .' Eine durch p nicht teilbare Zahl R ist dann and um (11mm em 9. R. bzw._ein q. NR. von 15, 7'5 nachdem die Kongmmz

'gilt (I)

. R"EI bzw. a—I (modp), wo n=%(p—I).

Die Richtigkeit'dieses Satzes ergibt sich aus Satz (29) und daraus, daB wegen 73" -—I = (1" —I)(r" + I) E 0 und 1'" $ 1:1” E — I (alles modp). Ubung VIII: I. Nach (I) ist —- I ein q. R. jeder Primzahl der Form 4m+ I und q. NR. jeder Primzahl der Form 4m+ 3. 2. Man zeige, dafi — 3 ein q. R. jeder Primzah] der Form 1: = 3m + I und ein q. NR. jeder ungraden Primzahl von der Form p = 3m + 2 ist. — An1.: Mittels des Fermatschen Satzes bestimme man, in welchem Falle

(2'3 -—— I)/(x — I) E 0 (mod p) zwei Wurzeln Oder keine Wurzel besitzt. 3. Finde ebenso die Primzahlen, fflr die + 3 ein q. R. ist. 4. Wenn eine auflésbare Kongruenz x25 0 (mod n) k Wurzeln hat, so gibt es genau q2(n)!k q. Re. von n. 5. 151: k nicht durch die ungrade Primzahl p teilbar und ist g der g. g. T. von n und 1: — I, so hat WE k (mod p) genau g Wurzeln bzw. gar keme

Wurzel, je nachdem die Kongruenz k(1"'1)’9 E I (mod'p) besfeht Oder nicht. 6. Fiir welche Primzahlen p ist x” .—=' k (mod p) lésbar bei beliebigem k?

2:. Das Legendresche Symbol. Bezeichnet 15 eine ungrade Primzahl und m eine ganze, durch 15 nicht teilbare Zahl, so legt man dem

Symbol (m|p) g(elesen. m in p) den Wert + I bzw. — I zu, je nachdemmeinq. R. bzw. q. NR. vonpist. Soistz. B. (2|7) = I, (3|7) = —-I, (—2]7) = —I. Es ist immer (I/p)=I. Damit nehmen die Sétze (31) und (32) die folgende Form an:

(2)

WWW?) = (MM?)

(3)

(mlp) a mW-l) (mod 1:).

22. Der GauBsche Hilfssatz.

S atz 33: Ist q nicht durch die ungrade Primzahl p teilbar and bezeichnet n die Zahl def (kleinsten) positiven Reste (mod 12) von

(4)

q.zq.3q....,%(1>—I)q.

welche grb‘fler als is? sind, so ist

(5)

(9 I1") = (— I)”-

Legendresches Symbol. Gauflscher Hilfssatz

29

Zunachst sind von den Resten von (4) keine zwei einander gleich, und auch die Null kommt unter ihnen nicht vor. Es seien nun 111,. . ., a” die Reste > a}? und b1, . . ., bk die Reste 0, so ist (21)

(nIP) = (miP), wenn n E m (mod P).

33

Jakobi'sches Symbol

Denn es ist auch n ._=‘ m (mod 155) und daher nach (I7) (n|p._-)

=(MIP1).-so M ("[1”) =H(n|1>z-) = 1mm) = (MIP). Satz 38: Ist P irgendeine positive, utigrade Zahl, so ist .

(22)

(— z | P) = (— nw—n, (2 I P) = (_ ”(P—rm

Da das Produkt zweier graden Zahlen durch vier teilbar ist, so ist unter Benutzung von (I6)

(23)

P=II{I+(1>.~—I)} Emmi—x) (mod 4) §(p_x)—=-2;(p,._1,=s (mod 2)) i=1

Q,

' (:l: P19) = (— 10‘3”“) (i Plz'P—Q)‘. 5. Ist P ungrade und prim zu n, so definiere man (nl — P) = (a). Dann bleiben (19), (20), (21), and (22, 2) bestehen, wenn P oder Q negativ ist, wahrend (22, 1) im Falle P < o ungfiltig wird. Ebenso besteht (24) dann und nur dann, wenn wenigstens eine der teilerfremden, ungraden Zahlen P

und Q positiv ist. 6. a $61 ein q. R. der Primzahl p; d. h. 2’5 0 (mod p) ist lésbar. Fiir p = 411+ 3 ist dann x; :|-_- c”+1. Ferner ist ffir-p = 811+ 5 entweder 03"“ E I und xE c"+1 oder cmla — I und x.=_:|: (411+ 2)! cfl+1oder XE j: %(4c)“+1. Endlich sei = 1611+ ‘9. Dann istentweder c’"+1E :r. und 1: E :1: 0"“ oder 0"”‘1 E — I und x5 :l: c”+1N‘, wo Ndie (2n + I)te Potenz irgend eines Nichtrwtes von 1: ist, So daB N‘E —A1; oder es ist

schlieBlich c‘”+'_ = —- I uncl x= _ —|— A BC, wo = 4 (2n + I), B: N(N’—I), C= ofl+1(c”‘+1-—I), so daB .B*=2, C': 21:, 2A =—I. 7. Ist 1) eine Primzah1= 3 (mod 4) und i_st m die 23.111 der q. NRe von 15, welche < %p sind, so ist

. I -2-3 ..a}(=_p—I)

(_. I)“

(modp).

Anl.: Man benutze den Wilsonschen Satz und beachte, daB ——‘ I ein q. NR. . . . q _ ist. 8. In Beispiel'7 zeige man, daB m der q. Re. > 4%? sind.’ 9. Man zeige durch Induktion iii: 11, daB jederq. R. einer ungraden Primza.1_1.l p auch q. R. van p“ ist. I) Die Wichtigkeit dieses Gesetm erkennt man 11.21. damn, daB GauB sieben Beweise davon gab.

' VIERTES KAP'irEL 'EINFUHRUNG IN DIE DIOPHANTISCHEN GLEICHUNGEN. ‘ l ' '

26. Historisches. Im 3. Jahrhundert s‘tellte der Gi'ieche Dioi ph ant us in seiner Arithmetik eine Reihe Probleme, welche auf

unbestimmte Gleichungen fl'ihrten. Z. B. verlangte er, daB geWisse Kombinationen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, etwalnhalt oder Umfang, rationale Quadrate oder Kubensein sollten.-Er begnfigte sich ‘mit einer einzigen numerischen, und zwar

noch rationalen L6sung, obwohl seine Probleme meistens unendlich viele rationale, und oft sogar ganzzahlige L6sungen haben.‘ Schon viel friiher war Brahmegupta, Phythagoras und Plato die Existenz und die Berechnung von sog. phythagoreischen Dreiecken bekannt, d. h. von rechtwinkligen Dreiecken, deren Seiten ganzzahlig sind; oder algebraisch ausgedriickt, sie kannten ganz-_ _

zahlige L65ungen der Gleichung

(I) .

-

-

=

g

x2+ 312:2”.

Da die allgemeinere Gleichung (2) keine gr6Beren SchWierigkeiten bietet 313 (I), so wollen Wir uns in §27 mit ihr beschaftigen. — Ein systematisches Studium dieser diophantischen Gleichungen begann' jedoch erst in der Neuzeit durch Fermat und Euler. Vor allem ist Eulers ,,A1gebra“~ richtunggebend gewesen. Aber auch Euler begniigte sich oft mit einzelnen L6sungen. Zudem lag'seinen Aufl6sung'en noch keine einheitliche Methode zugrunde, sie beruhte vielfach auf Kunstgriffen, so daB die Existenz der L6sungen nicht allgemein bewiesen werden konnte Dies anderte sich durch die mehtigen ,,Zusatze“ Lagranges zu Eulers Algebra. Er vervoll— standigte den Kreis der festen L6sungsmeth6den und machte dadurch vielfach von der bei Euler noch notwendigeii intuitiven Auf—

l6sung unabhangig. Zugleich gab er Existenzkriterién bekannt. Damit war der Grund zu einem Wissenschaftlichen Studiurn gelegt,welches spaterhin, vor allem durch Minkowsk‘i, befestigt wurde und durch die Arbeiten von Siegel zu einem vorléiufigen Abschlusse gelangt ist.

..

.

_. 3t

‘-.\,

36

Einfiihrung in die diophantischen Gleichungen

27. Das vollstindige System ganzzahliger Liisungen von

(2)

A x2 + y“ = z”,

wo A keinen quadratischen Faktor > I enthfilt. _

Eine Primzahl p, die in y und 2 aufgeht, ist auch in x enthalten; denn offenbar geht p2 in A x3 auf, also,_ da A nach Voraussetzung

keinen quadratischen Faktor enthéilt, ‘in x3 selbst. Streicht man in (z) diesen gemeinsamen Faktor p und Wiederholt die Schlqeise, so sieht man, daB der g. g. T. 9 von y und 2 auch Teiler von'x ist. Bezeichnet man die entsprechenden Quotienten mit Y, Z, X, so

bleibt die Gleichung fibrig

'

_(3)

(4)

‘

AX2 + Y2 =22 (wo YuZ)

Iod‘etf

(z + Y)(‘Z-—Y) =AX=.

Der g. g. T. von Z + Y undZ — Y ist auch ein Teiler ihrer Summe ZZ und ihrer Differenz 2 Y, also, weil Y v Z, auch ein Teiler von 2.

Je nachdem dieser nun gleich 2 oder I ist, haben wir die beiden folgenden Falle. I. Im ersten Falle haben u = %(Z + Y) und 1) = “Z — Y) den g. g. T. I. Nach (4) ist dann X grade, etwa X = 2w, und aus (4) wird m; = A1212. Die gréSBten quadratischen Faktoren von

14 bzw. v seien m2 bzw. n2. Ist p ein Primteiler von m, so ist p2 ein Teiler von A w2 ; also geht wegen (2) 1) in w auf. Allgemein ist demnach w durch die beiden teilerfremden Zahlen m und n, also auch durch mn teilbar, d. h. es ist w = mnq. Es handelt sich noch, wie man sieht, um die Bestimmung von 9, dann ist das Problem geléist.

Nun sind die Quotienten on = u/ma und [3 = v/na teilerfremd. Da sie auBerdem keine quadratischen Faktoren vmehr haben und als Prodnkt Ag]2 ergeben,~ so muB q2 =-. I sein. Damit haben wir die

Losung: _ '

(5)

x = zemn. y = Mama —fin’), z = awn” + 1%)-

Der FaJl q = — I m'it' x = —— 29mm laBt sich auf (5) durch Anderung der Vorzeichen von 9, 0;, fl zurfickffihren, liefert also nichts

wesentlich Neues. In dieser L6sung (5) ist ocfi =~A, sind m und n teilerfi'emde positive Zahlen und ist 9 irgendeine gauze Zahl. II. Z + Y und 2 — Y seien teilerfremd. Da Z + Y und Z — -Y immer gleichzeitig grade oder ungrade sind, so sind sie in diesem Falle beide ungrade. Ein grades A in (4) ist demnach hier unmfiglich. Ffilf- ei_n ungrades A hingegen folgt ebenso wie in I, daB

(6)

x = em”, 3' = %e(txm’ -fi"2): 2’ = Moms + flush

A#’+ y’=z' . 37 yvo 0; fl = A und wo m und 1: positiv, ungrade und teilerfremd sind. Da on und fl ungrade sind, so sind die Werte in (6) alle ganzzahlig. A sei nun ungrade. Wiren dann in (5) m und n beide ungrade, so waren x, y, z durch 29 teilbar, wéihrend doch ihr g. g. T. nur 9

ist. Also muB in (5) von m und 1» das eine grade, das andere ungrade sein. 'Offenbar geht dann (5) ans (6) hervor, wenn man 9 durch 2 g ersetzt und die neuen Wert'e von m, n einsetzt. ..

Satz 4o: Ffir grades A werden alle ganzzahli'gen Lfisungen von (2) durch (5) geliefett. Fifu' ungrades A ist (6) die allgerneine Lissung, wo 9, im Falle m und n ungrade sind, itgendeine gauze Zahl; im Falle jedoch nut eine der GriSBen m und n ungrade ist, hingegen eine grade Zahl ist. Immer jedoch ist oc’fi = A und sind m, n positiv und teilerfremd.

Bei ungradem A k6nnen wir also (5) mit (6) vereinigen. Von einem gewissen Standpunkte aus jedoch ist dies nicht zweckmaflig. Denn in (6) sind m und n ungrade, so daB wir also m durch n + 2t ersetzen kfinnen. Dann erhalten Wir x, y, z ausgedriickt als Polynome mit den ganzzahligen Parametem 9, n, t mit ganzen Koeffi— zienten. Die sich so ergebenden Formeln heiBen ebenso Wie

Formel (5) ganzzahlige Formeln, da in ihnen nur ganze Zahlen vorkommen. In diesem Falle, d. h. wenn wir (5) mit (6) nicht vereinigen, erhalten wir also das gesamte Lfisungssystem durch ganzzahlige Formeln. Ubung X: I. In (I) sind x und 3! nicht beide ungrade. Wit kdnnen also It als grade annehmen. In diesem Falle warden alle teilerfremden, positiven,

ganzen Liisungen geliefert durch x= 2mn, y=m’——n2, z=m3+ n2,

(m> n)

wo m und n positiv und teilerfremd sind und wo eines dieser beiden grade und das andere ungrade ist. Die Lésungen mit gradem y bekommt man ahnlich. Solche Lfisungen kannte schon Diophan’c. Wir kénnen dieser Aufgabe eine geometrische Deutung beilegen. Denn x3+ y8 = 13 ist ja die Gleichung eines Kreises vo‘m Radius r. Die Gleichung x3 + y“ = z” in ganzen Zahlentripeln lfisen, heiBt also: Man 5011 die ganzzahligen Radien derjenigen Kreise angeben, welche durch Gitterpunkte der Ebene —-d. h. durch Punkte mit ganzzahligen Koordinaten (§ 24) — hindurchlaufen. Gleichzeitig sollen fiir jeden Radius diese Gitterpunkte angegeben werden. Wie man aus der obigen Lfisung sieht, ist eine der Koordinaten x, y immer grade, die andere immer ungrade. 2. Alle teilerfremden, positiven, ganzen Lésungen van a!“ + y” = 3‘ sind: x = 4ab(a2 — b3), 31 = :1: (44+ b‘ — 6a‘b’), z = a“+ 12‘ (oder natfirlich dieselbe Ldsung, nur mit vertauschtem x und 3!), wo a und b positiv und teilerfremd sind und wo die eine der beiden GrbBen grade ist und we a > b. ' I '

38

Einffihrung in die diophantischen Gleichungen

3. Alle positiven, ganzen, paarweise teilerfremden Losungen der GleiChung (2 x)4—|-'-=y’=,= 2’ sind gegeben durch x = ab, y-= -_+_-'(4a4 — b4), 2: 4114+ b4,- wo 11 and b teilerfremde natfirliche Zahlen sind und b ungrade ist. 4. Man ldse 63A X2+ y’: 2’, wo A keinen quadratischen Faktor ent— 0X setzt. Ziehe die 11311:. Diese Gleichung geht 1n (2) 1‘1ber, wen11 man x— Fille 1n Betracht, WO 0 mit g bzw. m bzw. n cinch g. g T. hat und finde so die einzelnen Falle von (6), wenn dort x als durch c teilbar vorausgesetzt

wird.A]1n]1'ch £111 (5). 28. Gleichungen ohne ganz‘zahlige Iiisungen. Sa'tz 41 . 1:4 4+ y4 —7 z“ ist mit natiirlichen Zahlen nicht lfisbarl)

Angenommen, der Satz sei falsch. Dann gibt es eine kleinste positive Zahl z,f1'1r welche 2'2: x4 + 3/4, x > o, y > 0. Haben x

11nd y einen g. g. T. (1, so geht 114'm 2:2 auf, und es ist (21/113)2 = =_(x/d)‘ + (y/d)‘. Nach Voraussetzung ist aber z/d2_ > 2, also d— — I. Sind nun x 11nd y beide ungrade, so ist x4 + 314: 2 (mod 4).

Dies iSt aber 11nmog1ich, weil kein Quadrat, also auch nicht 22, — = 2 (mod 4) sein kann Demnach ist von x und y das eine grade, das andere ungrade. Die Annahme, x sei grade, ist offenbar keine

Beschréink1111g. Dann ist nach Ubg. X, 'I 'x2=2mn,

y2 =m”——--,on2

z=m’-,+n2

wo m 1111d n positiv 11nd teilerfremd sind und wo ei-nes der beiden grade ist. Ware M ungrade und daher m grade, so ware ya— = —— 21:

(mod. 4), was unméglich ist. Also ist n=2q,

(gx2=mq, wo m=rz, q=sz.

Dabei sind 1 11nd s teilerfremde natiirliche Zahleh, und 1‘ ist un-

grade. Da n— — 232, so gilt (252)2 + ya: 7“, WO 282 u y. Wie oben ist dann 283 = 2M N ,2: M2 + N3 W0 M und N teilerfremde, natiirliche‘ Zahlen sin‘d. Daher ist M = a2, N = b2, a4 + b4 = 19.

Diese Losung 1 wire aber < z, weil r S 72 = m S m2 < z, und dies widerspricht der Voraussetzung. Es ist also unmoglich, daB

x und y in Ubg. X, I wiederum Quadrate sind.

,

Damit ist gleichzeitig der ,,GroBe Fermatsche Satz“ (Satz (Io) ist der ,,Kleine Fermatsche Satz“), daB namlich x“ + y“ = z" fiir n > 2 in ganzen Zahlen unmoglich ist, im Falle n = 4 bewiesen. ' Ubung XI: .1. 24+ 4y4 = 3‘ ist in natiirlichen'Zahlen unlosbar.“) I) Den ersten Beweis’ gab Euler in seiner ,,Algebra“, II, 2, Kap. I3. '

2) Den ersten B'eweis 'gab Euler in seiner ,,Algebra“, II, 2, § 209.

fi+¢=f

-

w

2. x4+ 23;! = z’. ist in natiirlichen Zahlen unlfisbarJ) Mai: beweise zuerst mit Hilfe von (5), daB'alle ganzen Lbsungen von 2X‘+ y: = Z', wo X und Y teilerfremde natfirliche Zahlen sind, durch

X= zmn,

Y=:|: (m’—én9),

2: "13+ 211'

gegeben werden, wo m und n tailerfremde, .natfirliche Zahlen sind. 3. x4 — y‘ = z2 ist i_n natfirlichen Zahlen unméglichfl _An1.: 34 + 4 (x 'y)‘1

= (”4+ ya)“.

4. Zeige Wie in Beisp. 3, (1218 jede der' Gleichungen x4 -—— y‘ = 22’, x‘ — 4 y4 = j: z‘, 827‘ — y‘ = j: z’ in natfirlichen Zahlen unmfiglich ist, wahrend x‘+ y‘_ -— 22’ nur die trivialen Losungen hat: j: z— —. xa— — y“. 5. Ldse die Gleichung 143+ 12 y’ — v"—|— pw”, wo p gleich I oder gleich einer 1ungraden Primzahl ist. . Man wahle die Zeichen in a=u:|:v,

b=u:Fv,

c=w+y,

d=w—y

so, daB a (lurch p teilbar ist. Man setze also, um die Gleichung ab = pad 211 Ibsen, a = pa’ und bezeichne mit G den g. g. ’1‘. von a.’ = GA und 6 = GC, so daB also A uC. Dann ist b = CB, 11: A B. So bekommen wir

(pGA + BC), wc+Am,

59:; (pGA —BC), y=%mc—Am.

Man zeige, daB entweder A, B, C, G alle ungrade Oder daB B und G grade sind. —— Die Lfisung hangt also von vier Parametern ab. Wie man sieht,

ist die zum Beweise nfitige Beschrankung A u C am Schlusse unnétig. 6. Lbse x3+ xy—l— y“: zg+zw+ w”. Anl.: Man setze u= 2x+ y, o = 23+ w. Man wende Beisp. 5 mit 17 = 3 an. Hier ist dann u E 3/ (mod 2), so daB (B —G) (A + C) E 0 (mod 4). Entweder sind nun A, B, C, G alle ungrade, oder aber es ist B = 23, G = 23 und einer der Ausdrficke fl — g und A + C ist grade. Ermittle dann die Werte von 1;, y, j: z, w 7. Lése Jig—3),: z“. Wenn u: x+ y, u = x—y gesetzt wird, so ist u = LSMrB, v = LMs’, z = LMrs, wo LM(r—— 5) grade ist.

29. Das vollstindige System rationaler Liisungen der angemeinen ' Gleichung zweiten Grades. Satz 42: Alle rationalen Lfisungen der allgemeinen Gleichung zweiten Grades

(7)

f(x,y) =ax2+bxy+cy2=ez’,

deren Koeffizienten lauter ganze Zahlen mit e =|= o sind und deren Diskrirninante d: b2 -- 4m: nicht das Quadrat einer ganzen Zahls) I) Vgl. Euler, Algebra, II, 2, §2Io.

2) Euler, Algebra, II, 2, §2o6.

3) Der Fall, wo d— — k', wird 1n Ubg. XII, 7 behandelt.

40

Einfiihrung in die diophantischen Gleichungen

ist, lassen sich als quadratische Funktionen einer einzigen numerischen Lésung (E, 17, C) =|= (o, o, o) angeben, nihnlich 31's

(8) (9)

x=gr, y=gs, z=9t, r = — (a5 +1117) uz—zcnuv +c503, s=a17u’—.2a§uv-——(b§+cn) v”, t=CT,

wo

T=au2+buv+cvz=f(u, v).

Dabei sind u und 1; teilerfremde gauze Zahlen und ist 9 ein rationaler Proportionalitéitsfaktor. Zunachst ist immer z :1: o, abgesehen von dem trivialen Falle

(o, o, o). Denn aus z = o wiirde, da ti kein Quadrat ist, x = y = o als einzigenLésung folgen. Also wiirde sich auch aus 4' = o ergeben, daB E = = o; das aber ist gegen unsere Voraussetzung fiber (5,11,4‘). Wir diirfen demnach z=|=o und X =x/z, = y/z setzen. Dann geht (7) fiber m (10)

aX2 +bXY+cY2 =e.

Gleichzeitig geht unsere Aufgabe, die rationalen Lésungen von (7) festzustellen, in die andere Aufgabe fiber, die rationalen L65ungen

von (10) zu bestimmen. Oder geometrisch ausgedrfickt: Wir sollen jetzt eine Parameterdarstellung der rationalen Punkte des Kegelschnittes (Io) angeben. Einer dieser Punkte ist uns in (5/5, n/C) bekannt. Die verlangte Parameterdarstellung erhalten wir also einfach, wenn wir durch diesen Punkt grade Linien legen von der Beschaffenheit, daB der zweite Punkt, den diese Linien auf dem

Kegelschnitt ausschneiden, jedesmal rational ist. Nun haben alle Graden durch (5/5, 17/6) die Parameterdarstellung (II)

X=fE+ku,

Y=%+kv,

wo k der laufende Parameter auf jeder einzelnen Geraden und u : v der homogene Parameter im Geradenbfischel ist.1) Die SChnittpunkte der Geraden (II) mit (10) ergeben sich durch Einsetzen von (II) in (10). Man erhalt so fiir k die Gleichung: (12)

He” + Lk = o,

wo

— zaéu + 20m) + b(£v + 1711). L—

(L ist, Wie man sieht, die Polarform der linken Seite von (7)).

Die Wurzel k= 0 liefert natfirlich die schon bekannte Liisung I) D. h: Bei festem u und v gibt (II) fur veranderliches k nacheinander die Punkte einer fasten Geraden dos Bfischels. Bei festem k und veranderlichem um erhalte ich jedoch eine Parameterdarstellung des Geradenbfischels.

Allgemeine' Gleichung ‘2. Grades

‘

41

(5/; n/C). Die zweite Wurzel k = — L/t ergibt mit Hilfe von (11) den Punkt (X, Y) = (r/t, s/t), wo (I3) r=T§—Lu, s=T17—Lv. Da u und 1) nicht gleichzeitig verschwinden, so ist nach (9) t =|= o, und daher die angegebene Losung (12), (I3) in Ordnung. Reclmet man 1’ und s aus, so findet man die Werte (9). Wir haben also auch

_

(7) gelost. Jede rationale Losung von (10) hat also die Form (1/13, s/t), we r, s, t ans (9) entnommen sind. Eine Ausnahme konnte hochstens noch ffir die Losung (E/C, 17/:) selbst eintreten. Die zugehorige Gerade des Bfischels durch (5/; n/C) ist also in diesem Falle Tangente in (5/2, n/C), und die beiden Schnittpunkte mit dem Kegelschnitt (Io) fallen zusammen, so daB auch (I2) zwei zusammenfallende L6sungen k = o hat, (1. h. daB L = o ist. Die Lésung (I3) ist aber auch in diesem Falle noch brauchbar, und in der Tat findet sich auch hier 5/; = r/t, 17/: = s/t.

Bis hierher waren u und :1 lediglich rational. Um auf die Ganzzahligkeit zu kommen, setzen wir u =N U/D, v =N V/D, wo alle vorkommenden Zahlen ganze sind und wo U u V. Dann wird (9)

das Produkt der gleichen Funktionen von U und V mit Na/Dz. Nehmen wir dann 9N3/D2 als neuen Proportionalitéitsfaktor 9, so erhalten Wir wiederum Formeln wie (8) und (9), in denen aber jetzt u und 1; ganzzahlig und teilerfremd sind. 30. Das vollsté'mdige System ganzzahliger Lfisungen von (10).

Manche Autoren lassen (8), also auch den Proportionalitéitsfaktor g unkorrekterweise ganz weg. Andere hingegen halten zwar g bei und

behaupten, daB auch alle ganzzahligen Losungen von (7) durch (8) und (9) geliefert werden, geben aber keinen Weg an, um die unendlich vielen ganzzahligen Losungen ails diesen rationalen zu finden. Das ist dasselbe, Wie wenn jemand den Leser veranlassen

wollte, die Lésung so zu versuchen, daB er z 315 Quadratwurzel des Quotienten der linken Seite von (7) durch e ansetzt. Die folgende Methode, die vom Verfasser stammt, ist hier zum

ersten Male veroffentlicht. (E, 27, C) sei ein ganzzahliges Losungs— system von (7). Ffir irgendwelche teilerfremden Zahlen u und 9 sind die Werte r, s,t in (9) ganzzahlig. Man setze 9 = N/k, we N u k. Damit also x, y, zin (8) ganze Zahlen sind, ist notwendig und hinreichend, daB r, s, t durch k teilbar sind. g sei nun der g. g. T. vonk =gD und C =gZ, so daB alsoDoZ. Dannistk dannund nur dann in t enthalten, wenn D in T aufgeht. Mit r, s und T ist

aber nach (I3) auch Lu und Lv, also auch L selbst, durch D teilbar.

42

Einflihrung in die diophantischen Gleichungen

Nun ist nach (13) L eine lineal-e Funktion PM + 01) von u und v. Aus L E o oder Pu= —Qv (mod D) folgt also P5T= M112 (mod D), wo M = aQa —bPQ + 0P2 Ahnlich folgt aus Qv_ = -— Pu die Kongruenz QST E M“a (mod D). Mit T ist also M v2

und M“2 demnach, weil uuv, auch M selbst durch D teilbar. Setzt man die Werte ffir P und Q m obigen Ausdruck von M ein, so erhalt man

(14)

—M = we + bsn + on?) = doc.

Weil Du Z, so geht also D auch 1n deg2 auf. Es kommt demnach nur eine ganz beschréinkte Zahl von Moglichkeiten fiir D m Betracht, namlich die Teiler von deg”. Fiir jedes zuléissige D ist es nun leicht, die Kongruenzen T E o, L .E 0 (mod D) nach u und 1: aufzulosen. Fiir jedes solche Losungssystem U, V sind die Werte (9) durch D teilbar, wenn dort u E U, 1) E V (mod D) gesetzt wird. Ersetzt man also u durch U + MD, 1) dutch V + MD, so erhalten wir fiir r/D, s/D, t/D quadratische Funktio~ nen von m und n mit ganzen Koeffizienten. Es bleibt noch fibrig, m und n so zu bestimmen, daB diese drei Funktionen durch g 11nd daB damit r, s, t durch gD = k teilbar werden, Wie verlangt wurde.

Auf sOlche Weise erhalten wir eine begrenzte Zahl von ganz— zahJigen Formeln, welche insgesamt das vollstéindige System ganzer Losungen von (7) geben. . Im Falle eines geraden b lfiBt sich noch cine Vereinfachung anbringen. Aus b = 23 folgt nfimlich L =2pu + zqv, we 15 = 45 + Bn, q = on + BE. Aus zpu E —zqv ergibt sich dann 2p2T = 2E1)2

(mod D), wo E = aq2 —2q + 01):.

Wegen

4E= —-M gibt (I4), daB E— — — AeCz, W0 A: B2 — ac. Ahnlich folgt aus zqv= — zpu, daB zq— = zEu2 (mod D). Demnach ist D sogar ein Teiler von 2E = 43M, wiihrend man im Falle eines ungraclen b von M selbst ausgehen muBte. S atz 43: Alla ganzzahllgen Lb'sungen van (7) laésen sich aus .den rationalen Lésungen (8) and (9) mit Hilfe einer einzigen ganzzahligen Lfisung (5, 17, C) erhalten, wenn man filr 9 when gekllrzten Brush mit dem Nemer gD anm'mmt; dabei durchlfiuft g dear Reihe mach alle

Teiler van C and D alle Teiler von L and T, also auch-von deg”. Im Falle eines graden b ldflt sich letzterer Ausdruck nook auf die Hfilfte hemnterdm'cken, mimlich auf 2Aeg2, wo A = B2 — ac and = 2 B. 31. Beispiel. Gleichung (7) babe die Form

(I5)

9" + 3": (E2 + 072%:-

Alle ganzzahligen Lasungen

43

Offenbar ist (x, y, z) = (E, 17, I) eine ganzzahlige Liisung. Nach (9) ist dann (16)

1 = — Eu“ — 217441) + 5112, s = nu” —2§uv —nvz, t = u2 + 92.

Nunist g = I, A =—I, also muB D einTeiler von 2(452 + 172) sein. Greifen wir den Fall 5 = I, n = 2 heraus. Dann ist D ein Teiler von 10, und wir haben

(I7)

7 = —u2 —4uv + 02, s = 2242 —- zuv —2v2, t= u2 + 112.

Ffir D = I sind x, y, z die Produkte von (I7) mit einer wfllkiirlichen ganzen Zahl. — Fiir D = 2 sind die Werte in (I7) dann und nur dann grade, wenn u E 1) (mod 2). Wir erhalten also ganzzahlige Formeln, wenn wit u durch v + 210 ersetzen und den Faktor 2 aus den von (I7) abgeleiteten Ausdn'icken eliminieren.

SchlieBlich sei D ein Vielfaches von 5, also D = 56, wo 6 =1 oder 2. Dann ist in (12) L = 2 (u + 21)). Da L durch D teilbar sein muB, so muB in beiden Fallen u + 21) durch 5 teilbar sein. Eliminieren wit u = 5121 — 21), so folgt, daB x, y, z .die Produkte von

(18)

v” —5w2,

203 T—Iovw + 1012)”,

v2 —4vw + 51112

mit N/6 sind. Diese Ausdriicke gehen in —r, s, t von (I7) fiber, wenn man 1) durch u + 211 und w dutch v ersetzt. So haben wir Satz 44: Alle ganzrm L6sungen von 9;” + y2 = 52.72 erhalte ich, wenn ich die Ausdriicke :l: 1, s, t in (I7) entweder mit ganzen Zahlen

oder den Hdlften von ungraden Zahlen multipliziere, vomusgesetzt, dafl in letzterem Falle u = 1) (mod 2). Ubung XII: I. Ersetze in den fiir D— — 2 erhaltenen ganzzahligen Formeln von § 31 v durch 14+ 0 und to dumb — v. Dann bekommt man der Reihe nach die Werte —- s, r, t von (17). Also sind alle ganzen Lésungen von 1:” + y2 = 52’ Produkte von :l: y, s, t und :l: s, r, t mit ganzen Zahlen. 2. Suche alle ganzen Lésungen von (15) im Falle E = 2, n = 3. 3. Nimm in (I5) E 3.15 PrimzahlE I (mod 4) und 1) = 0 an. Die Falle D = ‘5' und D = 25’ scheiden dari'n aus, da. :4 wegen L durch E teilbar ware ; damit ginge E (wegen T) abet auch in v auf, d. h. es wire nicht mehr u u v. Demnach ist D ein Teiler von 25, und die einzige Beschrfinkung' von 14 und 0 istu= :l: kv, wo k'= —- I (mod D). 4. In (I5) Sci 5 eine Primzahl E 3 (mod 4) und 1] = 0. Die Fine, in denen D ein Vielfaches von E ist, scheiden aus', da. t nur dann dutch E teilbar ist, wenn u und 0 durch E teilbar sind.

5. Prfife die Lfisungen von Beisp. 3 und 4 mt Hilfe von Ubg. X, I.

44

Einfiihrung in die diophantischen Gleichungen

6. Lose x’+ bxy—l— cy’: z’. Setze (5,217, C) = (— I, o, 1). Dann ist 1': 143—0113,

s: 2uv+ bv’,

t= u’+ buv+ cv'.

Hier ist D ein Teiler von b2 -— 40, 211+ bu und t. Ffir b = o = I ist ent-

weder D = I oder sonst D = 3 und u E 11 (mod 3). 7. Behandle (7) im Falle. d— — k‘, we [at eine gauze Zah1=|= o.Fi'1hre 2ax+ by j: ky als neue Variable x1, y1 ein, so daB also x1y1= 4am”. Danach setze in (7) a— — c— _ o, b— — 1; die rationalen Losungen sind dann durch (8) und (9) gegeben. In der Tat erhélt man die Losungen von X Y— —8 ans 9 = —- n/C, u— —_ X, weil (9) dann ergibt r/t— — X, s/t— _ 8. Man finde alle rationalen Losungen von aX2+ bYa—I— 02“: 6 ans einer gegebenen Lésung (E, 17, C). Man deube die Gleichung als Gleichung einer Fléche zweiter Ordnung und lege dutch (E, 1], C) ein Geradenbiindel mit der Parameterdarstellung X = 5+ ku, Y= 17+ kv, Z = C + kw. Dabei sind u: v : 10 die homogenen Parameter im Geradenbiindel und ist k der laufende Parameter auf jeder einzelnen Geraden. Wie frflher erhalt man “3' + Lk = 0, we

t=au'+bv*+ow*

11nd

L=2(aEu+bnu+c).

Dann ist X: 1/!, Y: s/t, Z= q/t, WO 7: tE—Lu, s =t17—Lv, q— _ tC— Lw. Versuchen wir, daraus alle ganzen Losungen von ax’+ by”

+ 62:3— — eW’ abzuleiten, so stoBen Wil' auf die Schwierigkeit, daB wit u, 1), w ans 2!: — o und L= — 0 (mod D) nicht eliminieren konnen.

32. Systeme von ganzen Zahlen, deren entsprechende Potenzsummen gleich sind (§ 32—35). Die Zahlen I, 2, 6 haben die-

selbe Summe und dieselbe Quadratsumme wie 4, 5. Wir ersetzen das letztere Paar durch o, 4, 5 und erhalten so zwei Zahlentripel. — Allgemein bezeichnet man nun das System von m Gleichungen

(19)

x{+---+xf,=y{+---+yf.

(i=1,...,m)

mit dem Symbol

(20)

x1,...,x,,=y1,...,y,,- [m].

So ist z. B. 1, 2, 6 = o, 4, 5 [2]. Ferner

. x1,...,xn=s—x1,...,s—xn[2],

wenn

2 5: 72:9.

Ferner fanden Euler uhd Goldbach im Jahre 1750/51 das Beispiel (21)

a,b,c,a+b+c=o,a+b,,a+cb+o [2].

W11 werden hier einen Uberblick fiber alle bekannten Resultate

geben und selbst neue Ergebnisse ableiten. Im Falle n g m ist unser Problem trivial, denn es gilt Satz 45: Fiir n g m sind in (19) die x1, . . . , x” lediglich ,eine

Permutation .der yl, . . . ., y”.

Gleiche Potenzsummen

'

45

Im Falle n = m folgt némlich aus (19), daB die elementarsymmetrischen Funktionen der x gleich denselben Funktionen der y sind. Also ist die Gleichung n-ten Grades, welche die x zu Wurzeln hat, identisch mit derjenigen, welche die y als Wurzeln be-

sitzt. — Im Falle m > n bleibt der SchluB derselbe. Der binomische Lehrsatz fiihrt uns sofort schon auf den nichsten Satz 46: Aus den Gleichungen (20) folgt

(22) dx1+a, ...,dx,,+a=dy1+a,...,dyn+a

[m].

Die frfiheren xi, yi sind also hier durch entsprechende Glieder

d x; + a und d y; + a irgendeiner arithmetischen Reihe ersetzt. Ist d =|= 0, so folgt aus (22) auch umgekehrt (21). Ubung XIII: I. Mit x1, . . ., x”: 3/1, . . ., y" [m] gilt auch

x1, . . ., x", y1+ h, . . ., yn—l— h= yl, . . ., 3/”, 151+ h, . . ., xn+ h [m+ 1]. Im Falle h = y; — 7i kann man die gleichen Glieder y, + h und y; streichen; ihnlich ffir h = x, — x8 die Glieder x, und x,+ h. 2. So erhalten wir dutch Anwendung von Beisp. I auf a, b = o, a + b [I] die Be'ziehung (21). Damit haben wir zwei Spezialfalle eines allgemeinen Satzes': Bezeichnen nimlich x1, x,, . . , alle Summen einer ungraden Zahl

von Gliedern, die man aus a1, . . ., a"+1 auswfihlt, bezeichnen ebenso yl, y,, . . . alle Summen einer graden Zahl von Gliedern der a, so gilt (23)

911“”, ”s‘=3'1w-uyz’[s]‘

Deh Beweis ifihre man mittels Beisp. I mit h = a”, induktiv ffir s. 3. Gilt x1, . . ., x”: yl, . . ., y" [2], so gilt bei beliebigem z auch: x1, . . .,

n4, xn+ 2y”, 2):”: yl, . . ., yn_1, yn+ 2x”, 231,,

[2].

4. Gilt x1, . . ., x”: yl, . . ., y” [2], a1, . . ., an=b1, . . ., b” [2] sowie

T¢—”£= c(b‘——a‘) ffiri= I, . . ., n. dann gilt auch 23+ (11, . . .. ”+ a" = 311+ b1, . . ., yn+ b" [2]. 5. Die ersten 23‘"1 natfirlichen Zahlen lessen sich so in zwei Klassen von je 2‘ beilen, daB die Beziehung (23) gilt. Denn ffir s = I ist I + 4 = 2 + 3. Nun gehe man induktiv ffir s vor, indem man Beisp. I mit n = 2‘, m = s,

h = 2”1 anwendet.

_

I

6. Wenn a ungrade und > I ist. so lassen sich die ersten 4a natiirlichen Zahlen so in zwei Klassen von je 2a einteilen, daB

x1, - ' n ”241: 3’1!" ‘ -, 3'36 [2} Man gehe induktiv vor, indem man von a auf 11+ 2 schlieBt: Zu jedem Gliede von.der in Beisp. 5 erhaltenen Beziehungl): .I. 4, 6, 7 = 2, 3, 5, 8 [2] addiere man 4a. So ergibt sich leicht:

'

1+4a,4+_4a.6+4a,7+4a.x1.m.2.a =2+4m3+4“.5+4a.8+4a.y1.~-.y.a[2]I) Es ist die einzige Beziehung, in der nur I, . . ., 8 vorkommen.

46

Einffihrung in die diophantischen Gleichungen

Diese zwei Systeme enthalten zusammen alle ganzen Zahlen von I bis 8+ 411: 4(a—I— 2). F614;: 3gilt nun der Satz, denn es ist 1, 3,7, 8, 9, 11 = 2, 4, 5, 6, IO, 12 [2].

7. F111 ungrades a> 1 und ffir s> I, lassen sich die ersten 23a natfirlichen Zahlen in zwei Klassen zu je 11 = 2"‘1a einteilen, so daB x1, . . ., x": yl, . . ., 1V» [5]. Nach Beisp. 6 triflt dies ffir s = 2 zu. Beweise allgemein durch Induktion von 8 auf 5+ I mit Hilfe von Beisp. 1, wo

‘

m = s, h = 2%.

8. In: Beisp. 5 und 7 kénnen wir den Ausdruck ,,na.tfirliche Zahlen“ dutch die aufeinanderfolgenden Glieder irgendeiner arithmetischen Reihe 112+ or. und die dazu gehfirigen Formeln dutch Formel (22) mit m = s, ersetzen. ' 9. Man paare die Zahlen von 1 bis 32 folgendermaBen: 1,8 17,24

2,7 18,23

3,6 19,22

4,5 ; 20,21;

9,16 25,32

10,15 26,31

11,14 27,30

12,13; 28,29;

we also’in jedem Black von vier Paaren die ersten Zahlen wachsen, die

zweiten abnehmen. Der Abkfirzung halber bezeichne man jedes Paar mit seiner kleineren Zahl. Dann gelten: 1, 1, 1, 1, 1, 1,

10, 10, 11, 12, 11, 12,

19, 20, 18, 18, 20, 19,

28 27 28 27 26 26

= = = = = =

4, 4, 4, 4, 4, 4,

9, 9, 10, 11, 10, 11,

18, 19, 17, 17, 19, 18,

27: 26: 27: 26:: 25 = 25 =

3, 3, 3, 3, 3, 3,

12, 12, 9, 10, 9, IO,

‘17, 18, 20, 20, 18, 17,

26 = 25 = 26: 25 = 28 = 28 =

2, 2, 2, 2, 2, 2,

11, 11, 12, 9, 12, 9,

2o, 17, 19, 19, 17, 20,

25 28 25 28 27 27

[2], [21, [2], [2], [2], [2].

33. S atz 47. fades System ganzer Lb'sungen von

.

(24)

x. y, z = u, v, w [2].

geht am

(25)

ADAG+BD, BG=AD+BG, BD, AG [2]

hmor,1'11dem man zu den Gliedem von (26) e1'ne beliebige Zahl 111111113115.”

Bei entsprechender Wahl von (1 und b ist x = 11 — b, y— — v + a. Dannfolgtz = w —a + b. Mansetzea =GA, b— = GB,woAu B. Ferner sei U = 11 — b, W = w —— 2. Damn ist 211*: E11”, wenn

BU = Av + (B —A) W. U léiBt sich‘ in der Form‘ schreiben 1A + c. Damit geht die letzte Gleichung fiber in A ('0 —rB —- c) = (A — B) (W —— c); Weil A prim zu A — B, so folgt daraus

'

v—rB—_c=(A'— +B)Q, W—c=AQ. Fiir 1' —-Q setze man D. Dann erhéilt man durch Addition von c + AQ zu den Gliedem_ der rechten Seite von (25) die Werte u, v, w. Aus x,= u — b-usw.,eijgeben sich dann die Glieder der linken Seite.

Gleiche Potenmummen

:

47

‘ Ubung XIV. 1. Das erste Tripel in (25) bildet dann und' nnr dann eine —- o oder A: B oder Permutation des rechten Tripels. wenn A BDG— D: G. 2. Sind u — 3,11 — y, w —- .2 linear abhingig (mit ganzen Koeffizienten), .— 0,-dan11 folgrt. ans (24), daB d. h. ist r(u-——x)+ s(v—y)+ t(w—z)— (26)

x+r,y+s,z+t=u+r,v+s,w+t .[2],

11nd umgekehrt. (26) heiBt aus :(24) abgeleitet. 3. Jede ganze Lésung von (24) geht hervor ans

(27)

— b o, a [2], 0. a, b—

we a: y—v, b=u—x, indem man r=x, 5:11, t=w+ 0—3; = z + x — .u setzt. Um dam: die erste Gleichung von Beisp. 2 211 -beweisen, benutze man den ersten Ausdruck von 13 sowie (x—u)‘+ xii—14’: (v+ w—y—z)=+ v’+ wz—ya—zz. 4. Man subtrahiere t von jeder Zahl der in Beisp. 3 gegebenen‘ Lfisung. Dazu genfigt es, zu den Gliedern von (27) r, s, o zu addieren. Dann setze man a=GA, b=GB, wo A VB. Ans rb—sa=o fol'gt dann 1=AD, s— _ BD. So erhalten wir (25) und damit einen neuen Beweis von 'Satz 47. 5 Nach Satz 46 sind die Gleichungen (24) Equivalent zu 3x—s; 3y—s, 33—5: 314—5, 311—3, 310—5 [2].

Es sei s— — x + y + z. Dann reduziert sich die Lésung v6n (24) auf diejenige von (28) 2Xv=,o, EU=0,, EX’=EU’. Die Elimination v:0n Z und W ergibt dann die _G1eichung

(29)

X3+XY+ Y'=U‘-|— UV+ V“,

deren ganzzahlige Lbsungen wir in Ubg. XI, 6 gefunden hatten. 6. Aus den Gleichungen

(3o)

2X=ZU, -).'.'X“=Z'U2

_

folgt die weitere Gleichung 21X Y = V UV, die ins Quadrat erhoben gibt:

(3:)

X*Y*+ 2'XYZ-ZX: U1V2+‘2UVW-2U.

Hieraus, sowie aus den linearen Gleichungen von (28) und aus dem Quadrat der letzten Gleichung von (28) erhfilt man . (32)

_ EX‘ = 2U4.

Aus (28) folgt demnach auch (32). 7. Aus dem System 5 der drei Gleichungen (30) 11nd (32) folgt (31), also auch (X YZ_-—- U VW) 2'X — o. Sehen wir von dem trivialen Fall, bei dem X, Y, Z eine Permutation von U, V, W bilden, ab, so muB ZX— -- o sein.

Daher reduziert sich das System 5 auf (28) und damit auf (29).

48

Einifihrung in die diophantischen Gleichungen 8..Ffir (1+ b—l— c= oundn: I, 2, 4gilt

(ia+ kb)"+ (ib+ kc)"+ Uc+ lea)”

.

= (ib+ ka)n+ (1'0+ kb)"+ Ua+ he)".

9. Mit x13, . . ., x; = yfi, . . ., yn’ [m] gilt auch x1, —x1, . . ”JV", —'xn= 3/1, ——y,, . . ., y”, -—yn [2m+ I].

Leite Spezialféflle dieser Beziehung aus Beisp 8, I0, II her I0. Die folgenden Systeme haben dieselben Quadratsummen und dieselben Summen ihrer vierten Potenzen: m’+ mn+ 3n”, 2m3—4mn—n’, 3m3—2n9, 3m‘-—mn+ n3, m‘—4mn—- 2n', 2m' — 3n”. ab+ aB+ bA —3AB, ab—aB—bA -—3AB,- 2113+ 2bA; ab+ aB —--bA + 3213, ab—aB+ bA + 3AB, 2aB—2bA. u. 2', 16*, 21’, 25': 5’, I4”, 23’, 24’ [3]. 12. (28) geht ans (24) hervor, wenn man setzt: X=y——z,

iU=v—w,

Y=z—x,

Z=x—-—y,

iV=w—.u,

iW=~u—v. ‘

In Ubereinstimmfing mit (29) ‘wahlen wir die Zeichen so, daB'X — YE :I: (U—- V) (mod 3). Umgekehrt bestimmt aber eine Lbsung von (28) ml: die Differenzen der x, y, x und die Differenzen der u, v, w. Desgleichen er-

halten wir aus (24)

'

32+X—Y=3w:|:(U—V).

welches ffir jedes angegebene w eine ganze lab] 2 liefert. Man sieht hie: also nochmal, daB sich das Problem (24) im wwentlichen auf (29) reduziert. I3. Lfise (33) mittels der Methode von Beisp. 5.

34. Satz 48. Das vollstdndige System ganzzahliger L6sungen _von

(33)

x, :v, z, w = E, n, C, to

[2]

erhdlt man, wenn man cine beliebige ganze Zahl zu jedem Gliede der Gleichung

u+n, v, gQ+GC, gG (a+b)=u+gG (a+b), v+n.gQ,GC[2] addiert, wobei aub, guC nnd

(34)

M + bv = 6(2-

Aus einer partikulfiren Lésung r, 3 von

(35)

.

~ . -, as+br=r

erhalten wit die sémtlichen Léisungen von'(34),'n§.m1ich

(36)

u=sCQ+bT, 'b=rCQ—a:r.

Gleiche Potenzsummen

49

Wir k6nnen nun7lsetzen x=§ —oc, y :1; ——fi, 2:: C +y,

w=w+oc+fi— Femer seiX= E—oc—fl, Y=17—-fl, W = w —y, at =GA, fi= GB, y= —GC, wo A, B, C keinen gemeinsamen Faktor mehr haben. Dann ist 2x2 = 2'52, wenn

(37)

———AX—-BY+C;’+(A+B—C)W=o.

g bezeichne den g. g. T. von A = ga und B = gb. Dann laBt sich .R in der Form schreiben Rb + c. Sodann setze man I: Y

+Ra—c, M: 6—0, N=c —W. Dann geht (37) fiber in g[bL + (a + b)N]= C(M +N). Da guC. so muB also M +N = gQ, b(L + N) + (IN: CQ Letztere Gleichung multipliziere man .mit (35), dann ist

b(L +N —1CQ) +a(N —sCQ) =0 Da a u b, so sind die KlammergroBen gleich — at bzw. bt, wo t eine ganze Zahl ist. Damit ist

N=sCQ +1», L = (1—s)CQ—(a +b)t, M=gQ——sCQ—bt. So erhalt man also 5, 17, C, m, indem man k = c —bt —sCQ zu

den vier Gliedem der rechten Seite der langen Gleichung des Satzes addiert und T an Stelle von t + R setzt. Die Glieder der linken Seite erhiflt man dann aus x = E -— ac usw.

35. Methoden zur Auistellung aller ganzen Lésungen iron

(38)

any. 2, w = 5,12. 43w [3].

Dieses System von drei Gleichungen ist aquivalent zu dem aus den beiden Gleichungen (33) und

(39)

nz = 26175

bestehenden.

Denn wenn s, die Summe der j- ten Potenzen von x, y, z, w be-

zeichnet, so geben die Newtonschen Identitaten der Gleichungstheorie die Beziehung 62 xyz = 813 —3sls, + 233. I. Hauptmethode. Man gehe von def Liisung in Satz 48 ans; Sie heiBe trivial, wenn die Glieder der einen Seite eine Permutation Dickson-Bodewig, Einfiihmng in die Zahlenflaeotie

4

50

Einffihrung in die diophantischen Gleichungen '

,derjenigen der anderen Seite sind. Dies tritt ein, wenn gG = o. Nach Streichen des Faktors gG geht (39) fiber in

(40) [u + v +gG(a + 2b)JQc =vahattenwirdorty =o,oc =6 = :1: I. In unserem Falle kommt hinzu, daB aafl = 0, also [i = 0.

Die einzigen Automorphe sind daher die T, so daB die letzte Be— hauptung unseres Satzes zum Teil bewiesen ist. Fiir c = a laBt sich die Betrachtung, die auf (27) fiihrte, auch auf C anwenden. Daher ist in diesem Falle

layl =0 oder I und |fl6| =0 oder I. Daher haben wir folgende Fillet I. ,6 = o. Dann ist on = 6 = 2|: I und, weil es sich um ein Auto-

morph handelt, o = B —b =Vzcy6, also y = o, woraus sich T ergibt. Ausgenommen ffir T haben wir also immer [3 4: o, y =i= 0. II. y = o ist identisch mit Fall I. III.oc =0. Dann ist fly = -—-I und b :3 =20y6 —-b, also b = 0726. Dan ffihrt, weil nach (I8) wegen c = a auch b g 0, die Annahme 6 = o aufS. Ffir 6 =|= ojedochist lfldl = I, b = c, 6 = y, und es ergibt sich R. IV.oc =|=ound6 =o.Dannistfiy = —I,b =B =2aocfl —b,

daherb = aocfi. Fiir lacy] bleibt dannnur die Moglichkeit |¢xy| = I. Daraus folgt b = a, zx = fl, und wir erhalten R‘l.

Eigentliche -Da.rstellungen

71

V. SchlieBlich bleibt noch der Fall fibrig, in dem cc, )3, y, 6 ab-

solut alle gleich I sind. Dies kann jedoch nicht eintreten, weil dann Iona —-II = [fly] = I und zugleich a6 = j: I sein mfiBte. 46. Eigentliche Darstellungen. Eine ganze Zahl m heiBt eigent1ich darstellbar durch eine gafigahligg Form [2, b, c] mit der

Diskriminante d, wenn es teilerfremde Zahlen oc und 3) gibt, ffir welche (28)

aa2 + bay + cy2 = m.

Nach Satz I gibt es dann gauze Liisungen ,3, 6 von

(29)

0‘5 -.37 = I-

Genfigen fi’, 6’ der Gleichung (29), so ist M6 — 6’) = y(fl — fi’). )9 — [3’ ist dann durch 0c teflbar, und es folgt als allgemeine Lésung von (29) ,3 = 5’ + tzx, 6 = 6' + ty (W0 t ganzzahlig). Die Transformation (3) ersetzt nun [a, b, c] durch [m, n, l], we m

in (28) und n durch (6) gegeben ist. Demnach ist n = n' + 2tm, wo n’ = zuccfi’ + b(¢x6’ + fl’y) + 20y6'

eine gauze Zahl ist. Es sei m > o. Dann gibt es eine einzige gauze Zahl t, so daB 0 g n < 2m. Die Diskriminante von [m, n, l] ist

n3 — 4ml. Da. es sich nach (29) um eine unimodulare Transformation handelt, so ist nach (7) die Diskriminante von [m, n, l] gleich der von [(1, b, c], also

(30)

n2 -— 4ml = d.

Hieraus kann dann l berechnet werden.

S atz 58: (a, y) sci cine eigenth'che Darstellnng van m > o durch die ganzzahlige Form [a, b, 0] van der Diskriminante d. Dunn lassen sich ganze Zahlen fl, 6, n auf sine and nur eine Weise so bestimmen,

(la/3 (29) erfn'llt wird, dafl ferner o g n < 2m and (31)

n2 E d (mod 4 m).

Die Transformation (:1! g) ersetzt dann q = [a, b, c] durch die aquivalente Form Q é [m, n, l], in welcher l durch (3o) bestimmt ist. Eine Wurzel n von (31), iii: die 0 g n < 2m, heiBe eine Mini—

malwurzel. Man kann daher auch sagen, daB eine eigentliche

72

Binare quadratische Formen

Darstellung (cc, 7) von m durch [a, b, c] zu einer einzigen Minimal-

wurzel von (31) gehort. Mit n ist auch n + 2m eine Wurzel von (31). Die Zahl' der Minimalwurzeln ist daher gleich der halben Anzahl séimtlicher Wurzeln. Um alle eigentlichén Darstellungen von m durch q = [a, b, c] zu finden, haben wir also zunfichst alle Minimalwurzeln

von (31) zu bestimmen. lergibt sich dann aus (3o). Nicht alle Minimalwurzeln liefern aber eigentliche Darstellungen. Sollten daher q und Q nicht aquivalent sein, so zeigt Satz 58, daB es eben keine zu der gewfihlten Wurzel n gehorige, eigentliche Darstellung von m durch q gibt. Ist jedoch n so beschaffen, daB 9 ~ Q, so sei T eine gahzzahlige Transformation von der Determinante I, welche q in Q fiberfiihrt. Ist A irgendein Automorph von 9, so wird q offenbar auch durch A T in Q fibergeffihrt. Geht umgekehrt q dumb I in Q fiber, so 151131: 1: T’ 1 die Form q ungeandert, ist also ein Automorph A von 9, so daB T = A T. Sind 0c, y die Elemente der ersten Spalte der Matrix von A T, so besteht offenbar die Gleichung (28), und (0;, y) ist eine eigentliche Darstellung von m dutch q. Damit ist unsere Aufgabe gelost. Es gibt also fiir diese Wurzel n so viele Darstellungen, Wie es Matrizen A T gibt. Die Form [(1, b, c] heiBt primitiv, wenn a, b,_ c keinen gemein— samen Teiler > I haben. Nach Ubg. XIX, I, 2 ist nun jede positive Form von der Diskriminante — 3 oder —-4 Equivalent zu x2 + xy + y2 bzw. zu x3 + y”, und jede dieser Formen ist pri-

mitiv. Die obigen Uberlegungen sowie Satz 57 liefern daher Satz 59: q = [a, b, c] sei einer positive, primitive, ganze Form von der Diskriminante d. w sei die Zahl der Automorphe von q, so

daB also w = 2, .wenn d < ——4, w = 4, wenn d = —4, «zund w = 6, wenn d = — 3. m sei cine natfirliche Zahl. Man bestimme der Reihe nach die Minimalwurzeln n von (31) und aus (3o) jedes-

rnal das zugehiirige l. Ist dann q nicht Equivalent zu Q = [m, n, I], so gibt es keine eigentliche Darstellung von m dutch q, welche zu der Wurzel n gehiitt. Ist jedoch 9 ~ Q, so liefert die Wurzel n genau

w eigentliche Darstellungen 17011 M dutch q. Ist d = 4D, so ist n in (31) grade, etwa n = 2N. Dann haben

wir statt (31) (32)

N2 E D (mod m).

Da die Bedingung o g n < 2m equivalent zu o g N < m ist, so verwenden wiI von jetzt an in diesem Falle alle Wurzeln von (32).

Summe zweier Quadrate

73

S atz 6o: Es sei c u M. Dunn hat die Kongruenz (33)

x2 2—. 0 (mod M)

keine Wurzeln, wemz M amen solchen ungraden Primfaktar hat, ffir

den (0]?) = — I,‘ femer, wenn M em Vielfaches won 8 and zugleich o $ I (mod 8); schlz'efllich, wenn M sin Vialfaches van 4, aber m'cht

van 8 ist and zugleich c E 3 (mod 4). In allen andem Fdllen sci 1' die Anzahl der verschiedenen, in M aufgehenden ungraden Primza—hlen. Dmm hat (33) 2’ Wurzeln, warm M nicht durch 4 teilbar ist, sie hat 2'+1 Wurzeln, wenn M (lurch 4, aber m'cht durch 8 teilbar ist, and schliefilich 2’4'2 Wurzeln, wenn M durch 8 teilbar ist.

Dies folgt unmittelbar aus Satz I6, I7. 47. Die Summe zweier Quadrate. Es gibt Zahlen, welche sich in die Summe zweier Quadrate zerlegen lassen, z. B. 100 = 102 + o2 = 82 + 62, 50 = 72 + 12. Wir stellen die Frage auf, auf wieviele Arten sich eine ungrade Zahl m durch die Summe zweier Quadrate

ausdriicken léBt. Oder in unserer bisherigen Bezeichnung: Wir suchen die Anzahl der eigentlichen Darstellungen von m durch q = x2 + ya. Hieristd = -—4, alsoD = — I. Nach (32) muB —I ein quadratischer Rest jedes Primfaktors 15 von m sein, so daB nach Satz 38 p E I (mod 4). Dies treffe fiir die 1 verschiedenen Primfaktoren von m zu. Nach Satz 6o hat dann (32) 2’ verschiedene Wurzeln. Ist N eine gewfihl’ce Wurzel, so setze man n = 2N und

bestimme l aus (30). Die positive Form [m, n, l] ist dann équiva— lentgu g, da q die einzige reduzierte, positive Form von der Diskriminante — 4 ist. Daher liefert Satz 59: S a 252 61: Wenn m lauter r verschiedene Primfaktoren van der Form

4k + I hat, so gibt es genau 4 - 2’ eigentlz'che Darstellungen van m (lurch x2 + yz.

Fiir m > I sind die folgenden acht eigentlichen Darstellungen (It 75: y);

(2‘: x: —y):

(3’! It x)!

(_ y! I}: 75)

verschieden, ffihren aber doch zu derselben Quadratsumme. D. h. Satz 62: Hat m lauter r verschiedene Primfaktoren von der Form 41: + I, so gibt es gemu 27—1 verschiedene Arten, um r aJs Summe zweier teilerfremder Quadrate auszudriicken, wenn man dabei von der Anordnung der Quadrate und den Vorzeichen der Wurzeln absieht. Insbesondere liBt sich jede Primzahl von der Form 4k + I auf eine und nur eine Weise als Summe zweier Quadrate ausdrficken.

74

Binare quadratische Formen

Letzteres Resultat bez. der Primzahlen kannte schon Girard vor dem Jahre I625. Fermat behauptete, im Besitze eines Beweises zu sein. Der erste bekannt gewordene Beweis stammt von Euler

(I749) Ahnlich Wie in §4o und- wie in Ubg. X, I erhalten wir auch bier eine geometrische Deutung der Fragestellung. Denn x‘+ y“: m ist ja. die Gleichung eines Kreises vom Radius Vm. Sie'1n ganzen Zahlen lésen, heiBt

also: Man 501] die Gitterpunkte angeben, welche auf der Peripherie dieses Kreises liegen. Satz 62 heiBt dann u. a.: 131: der Radius des Kreises die Wurzel aus einer Primzahl von der Form 4k+ I, so gibt es in jedem Quadranten'1mmer einen und nur einen Gitberpunkt auf dem Kreise.

Ubung XX: 1. Man zeige, daB I + 64 und 16 + 49 die einzigen Mfiglichkeiten sind, um 65 als Summe zweier teilerfremder Quadrate auszudrficken. An1.: Die einzigen Wurzeln von N’E — I (mod 65) sind j: 8 und -_-|: 18. Die Formen [65, 16, I] und [65, 36, 5] gehen aber in x2+ y' dutch die Transformationen

0

I

—I—8

bzw

—— I

—2

4

7

‘

fiber. Die ersten Spalten der inversen Transformationen geben die eigentlichen Darstellungen (— 8, I), (7, — 4). 2. 131: m eine natfirliche Zahl, deren r verschiedene Primfaktoren alle

E I oder 3 (mod 8) sind, so gibt es genau 2""'1 eigentliche Darstellungen von m durch x9+ 2y“. Jede Primzahl, die E I oder 3 (mod 8) ist, léBt sich auf eine und nut eine Weise als Summe eines Quadrates und des Doppelten eines Quadrates darstellen.1) 3. Eine natfirliche Zahl m, deren r verschiedene Primiaktoren aJIe 5

(mod 3) sind, 15.131: genau 2"+1 eigentliche Darstellungen dutch x” + 3y“ zu. -Jede Primzahl 3h-l— I 15.31: sich auf eine und nur eine Weise als Summe eines Quadrates und des Dreifachen eines Quadrates darstellen.1)

4. Jedes solche m von Beisp. 3 hat genau 6 - 2" eigentliche Damtellungen dutch q = x' + xy + y”. In den sechs Darstellungen

&mifl,&xi%—m

Exixiw-

ist genau eine der GréBen x, y, x+ 3! grade. Es seien (j: s, j: t) die beiden Darstellungen, in denen t grade ist. Man setze t: 217, s = E —1;. Dann ist s'+ 51+ t2 = 53+ 317’, und die 2 . 2" Paare (j: .5, i 17) fallen mit den Daistellungen von m durch [1, o, 3] von Beisp. 3 zusammen. 5. Eine positive, ungrade Zahl m, deren r versehiedene Primfaktoren

alle : I, 2 oder 4 (mod 7) sind, hat genau 2"+1 eigentliche IDarstellungen durch x' + 731’.

I) Aufgestellt von Fermat in1 Jahre 1654, (Euvres, II, 1894, pp. 313, 403/04. Die ersten Beweise veréffentlichte Euler, Novi comm. accad. petrop.,

VIII, (1763), p. 105—28; Opera omnia (ser. 1), II, p. 558—-75.

Das Kroneckersche Symbol

7

75

48. Das Kroneckersche Symbol. Das Legendre-Jacobische Symbol (§§ 21, 25) ist nicht fiir alle Zahlenpaare definiert. Kronecker

hat im Falle d E o oder I (mod 4) eine Erweiterung des Defini— tionsbereiches vorgenommen, um zahlentheoretische Sitze in m6glichst einfacher Form auszudn‘icken. Es sei also d E o oder I

(mod 4). Ist dann p ein Primteiler von 4, so sei (d |p) = o. Ferner sei (d|2) = I, wenn d E I (mod8), (d|2) = —I, wenn d E 5 (mod 8). Ist 1b eine ungrade, in d nicht aufgehende Primzahl, so v‘erstehe man unter (d [12) das Legendresche Symbol (§ 21). Ferner sei (dII) = I, und schlieBlich, wenn die p; Primzahlen sind, sei

(dim) = Hm), wo mafia.

(34.)

5=I

Dadurch ist (dlk) im Falle d E o oder I (mod 4) fiir jedes natiirliche k definiert. Ubung XXI: 1. Es ist dann und nur dann (dlk) = o, wenn d und k einen gemeinsamen Faktor > I haben. In allen anderen Fallen ist

(dlk) = :l: I. 2. Fiir k> o und l> q ist (dlkl) = (dlk)(d|l).

3. Das Jacobische und das Kroneckersche Symbol stimmen in allen Fallen, wo beide definiert sind (d. h. in ihrem "gemeinsamen Definitionsbereich“) miteinander fiberein.

49. Die Zahl der Wurzeln einer quadratischen Kongruenz. Satz 63: Es sei d E o oder I (mod 4). Ist m positiv und prim

zu d, so ist die Zahl der Liisungen von

(35)

x“ E 0’ (mt-”tl 4m)

gleich 22((1 |f) . Dabei erstreckt sich die Summe auf diejenigen positiven Teiler f von m, welche keine quadratischen Faktoren haben.

I. Es sei d E I (mod 4). Ferner Sci 15" die h6chste, in 4m auf gehende Potenz einer Primzahl p. Nach Satz I7 und § 48 ist dann die Zahl der Wurzeln von

(36) gleich

.25.; (mod p“) I + (dlp), wenn 12 > 2;

2, wennp = 2, h =2 (m ungrade); 2[I + (dlp)], wennp = 2, h > 2 (m grade).

76

Binére quadratische Formen

Daraus ergibt sich nach Satz I6 die Zahl der Losungen von (35) als

217[I + (11kb)] = 22'(dlf),

(37)

wo das Produkt sich auf alle vegschiotlenen Brimfaktoi'en p vo'n m \. erstreckt. Das Gleichheits—zzichen rechtfei‘ligt sich aus Ubg. XXI, 2. ' II. Fiir d a 0 (mod 4) ist m ungrade, da Mud sein soll. Offenbar hat nun x2 E d (mod 4) die beiden Wurzeln 0 und 2. Ist femer pk die héchste Potenz einer in m aufgehenden Primzahl 15, so hat (35) I + (dlp) Wurzeln. Demnach gibt (37) auch in diesem ‘FaJIe die Zahl der Wurzeln von (35) an. 50. Die Zahl allerfiDarstellungen durch positive Formen. Satz 64: m sei positiv und prim zu d. 1/) (m) sei die Zahl aller Darstellungen von m durch die verschiedenen positiven, primitiven, ganzzahligen Formen von der Diskriminante d. (Aus jeder Klasse ist dabei nur eine einzige Form entnommen.) Dann ist 1p (m) = w E (dlp), wo ,u alle positiven Teiler von m durchlfiuft und w in Satz 59 definiert ist. Nach Satz 58 und 59 findet man die Zahl der eigentlichen Dar-

stellungen von m durch Bestimmung der Anzahl der Minimalwurzeln von (31) oder (35). Nach Satz 63 ist diese Zahl gleich 23' (d I f). Jedem n entspricht nach (3o) ein einziges I, so daB [m, n, l] positiv, von der Diskriminante d und primitiv ist, weil ein gemein— samer Teiler von m und n auch in d aufginge. Daher ist [m, n, l] zu einer einzigen Form des reprisentativen Systems fiquivalent. Und da 10 die Zahl der Automorphe von [m, n, l] ist, so gibt es

genau w eigentliche Darstellungen von m durch diese zu n gehérige Form (Satz 59). Daher ist wZ(d|f) die Zahl der eigentlichen Darstellungen von m durch die verschiedenen Formen des reprisentativen Systems.

Ist jedoch m durch die Form [(1, b, c] so dargestellt, daB x und y einen g. g. T. > I haben, so heiBt die Darstellung uneigentlich. Dann hat m/g“ vermoge der teilerfremden Zahlen x/g und y/g eine eigentliche Darstellung [a, b, 0]. Da ebenso die Umkehi‘ung gilt,

so ist die Zahl simtlicher Darstellungen von m durch das re— prisentative System gleich

W") =w22 (am, 9"

f

we g“ alle quadratischen Faktoren (mit EinschluB der I) von m durchléiuft, wihrend f alle positiven Teiler von m/g’, welche frei von quadratischen Faktoren > I sind, durchléuft. I . 1“ _

,4.‘

' a ‘ ; 4 ‘._ in. ”I .N ,C- ; ,

‘ ‘L: ,="\.

.

a

S w L‘g-L (5‘ ' ~.,.£.KA.4L .

Zahl der Darstellungen

77

Nun setze man )‘g2 = ,u. Dann gilt nach (34) und Ubg. XXI, I, 2:

(aim) = (dlf)(d|g2) = W) - (dlg)(dlg) = W) - (i I)? = (din.

Demnach ist jedes Glied der Doppelsumme ein einziges Glied von 2 (d | ,u), wo ,u alle positiven Teiler von m durchléiuft. Umgekehrt liBt sich jedes solche ,u eindeutig auf die Form fg2 bringen, wo f keinen quadratischen Faktor > I besitzt. Dann geht g2 in m und 1‘ in m/g’ auf. Daher ist auchvjedes Glied von 2' (d] ‘u,) ein einziges Glied der Doppelsumme. 'Satz 64 wurde von Dirichlet in etwas anderer Form im Jahre I840 aufgestellt und von ihm in seinen ausgedehnten analytischen Untersuchungen iiber die Klassenzahl von Formen mit gegebener Diskriminante verwendet.

51. Summe zweier Quadrate. Wir nehmen in Satz 64 d = — 4 und m 3.15 positive, ungrade Zahl an. Nach (34) and § 21, (2) k6nnen wir dann 1n (— 4 I y) den Faktor 4 streichen. Als emzige Form des nach Satz 64 und § 21 (3) 1m Falle k = o den Satz: Satz 65: Die Zahl aller Darstellungen von 2km (wo m > o und

ungrade) dutch x2 + y2 ist gleich 4E = 423' (— Ifi‘W—l), wo sich die Summe fiber alle positiven Teiler ,u von m erstreckt. M. a. W.: E ist derUberschuB der Anzahl der Teiler von m, welche E I (mod4) sind, fiber die Anzahl derjenigen Teiler, welche E 3 (mod 4) sind.

Es bleibt der Satz im Falle k > o zu beweisen. Nun sind ffir 2n = x2 + y2 entweder x und y beide grade oder beide ungrade. Man kann also setzen x + y = 2X, x —- y = zY, wo X, Y ganz—

zahlig sind. Dann ist n = X2 + Y2, Jedem Paare x, y entspricht umkehrbar eindeutig ein Paar X, Y. Es gibt also genau so viele Darstellungen von 2n durch eine Quadratsumme Wie es Darstellungen von n durch eine Quadratsumme gibt. Damit ist unser Satz vollkommen bewiesen. Er wurde zuerst von Jakobi in seinen Fundamenta nova theoriae' functionum ellipticarum, I829, aufgestellt. Ubung XXII: I. Ffir positives, ungrades m ist die Anzahl aller Dar-

stellungen von 2km dutch x’+ 2y” gleich‘ dem doppelten UberschuB der Anzahl der Teiler von m, welche E I oder 3 (mod 8) sind, fiber die Anzahl derjem'gen Teiler, welche E 5 oder 7 (mod 8) sind.

2. Die Zahl der~ Darstellungen irgendeines positiven n durch q = x” + xy + y2 ist gleich 6E(n), wo E (n) den UberschuB der Anzahl der Teiler 311+ I von m fiber die Zahl der Teiler 3h+ 2 bezeichnet. Fin n = 27‘": und ungrades m ist E (n) = o, wenn k ungrade ist, und E (n) = E (m), wenn

78

Bin‘ére quadratische Formen

k grade ist. — Anl.: Ffir q: 37 ist (15—3032 0 (mod 3). Man setze x = X+ 2Y,y=X—- Y.Dannwirdq= 3Q,o=X’+ XY+ Y'=r. Ist q hingegen grade, so ist 1:: 2X, y= 2Y, q = 49,

3. Ffir positives, ungrades m ist die Zahl der Darstellungen von 2"»; durch f= x'-|— 3 ya gleich Null, wenn k ungrade ist, gleich 2E(m), wenn k= 0, und gleich 6E(m), wénn k grade und > o ist. E hat dabei die Bedeutung von Beisp. 2. An1.: Ffir f: 81: ist x = 2X, y = 2Y, X”+ 3Y'= 2n. — Ffir f: 21 ist y+ x=,2X, y—x: 2Y und, 1‘: 49, we q= Xz-l— XY—|— Y”, 2q=l. Demnach ist f=|= 2»: und die Zahl der Darstellungen von 4»: dutch f ist gleich der Zahl 6E (m) ’der'Darl stellungen von m dutch q (Beisp. 2). 4. x9 + 3 y’ = 4m hat, wenn m positiv und ungrade ist, E (m) Losungen in positiven, ungraden Zahlen. — Man wende Beisp. 3 mit k = 2 und k = 0 an.

5. Ffir positives, ungrades m ist die Zahl der Darstellungen von 27‘»: durch 29+ 4y" gleich 2E, wenn k = o, gleich Null. wenn k = I, und gleich 4E, ’ wenn k g 2. Dabei hat E die Bedeutung wie in Satz 65. 6. Die Zahl der Dan-stellungen von n> o durch q = 23+ xy+ 2y“ ist gleich dem doppelten UberschuB e(n) der Anzahl der Teiler von 1:, welche E I, 2 oder 4. (mod 7) sind, fiber die Anzahl der Teiler, welche E 3, 5 oder

6 (mod 7) sind. — An1.: Ffir q; o ist xE 3y (mod 7). Man setze also x=—X+ 3Y, y=2X+ Y. Dann wird q=7Q, wo Q=X'+ + X Y + 2 Y3. , 7. In Beisp. 6 ist e(2°m) = (a+ I) . e(m), wenn m ungrade. Ffir [U 3 ist e(3bt) gleich Null, wenn b ungrade ist, hingegen gleich e (t), wenn b grade ist. — An1.: Ffir qE o ist qE (y—x)*+ y”, also muB ya #5 0 (mod 3) und 4 = 99. Daher ist e(9N) = e(N) ffir jedes N. 8. Ist also 14: 2" 3”, WO tu6, so ist e(n) = o, we_nn b ungrade, und ¢(‘n) = (4+ 1) - e(t), wenn b grade. 9. Die Zahl der Darstellungen eines positiven, ungraden m durch x“ + 731* ist gleich 25(m), die von 2m ist gleich o und die von 4k gleich 26(k). Dabei hat a die Bedeutung von Beisp. 6. — Anl.: Wenn x2+ 73)2 = 21, so setze

man it: y+ 22, also I: 2(2y’+ 312+ z“). 10. Nach Beisp. 8 und 9 ist die Zahl der Darstellungen von 2"3 bt, we I u 6, gleich o, wenn b ungrade, gleich 2 | a — I | 6(t), wenn I) grade. II. Ffir ungrades, positives m hat 23+ 7y” = 8m genau e(m) Losungen in natfirlichen Zahlen. —- Anl.: In Beisp. 9 sefze man I: = 2m und zeige,

daB e(2m) = 24m). 12. Die Zahl der Darstellungen von m> o dutch q = x'+ my + 33!3 ist gleich dem doppelten UberschuB der Anzahl der Teiler, welche E I, 3, 4, 5 oder 9 (mod 11) sind, fiber die Anzahl der Teiler, welche E 2, 6, 7, 8, 10

(mod II) sind. -— Anl.: FfirqE o ist 22+ ya 0 (mod 11). Ersetzt man A: durch x+ 6y und y durch — 2x— y, so geht 9 fiber in fig.

Summe zweier Quadrate. Genera

79

13. Man diskutiere die fibrig bleibenden Diskriminanten —9, —-27, primitive Form gibt.1)

52. Einfuhrung der Genera. Bis hierin erstreckten sich unsere

Untersuchungen betr. der Zahl der Darstellungen nur auf Formen mit solcher Diskriminante, fiir die es nur eine einzige reduzierte,

primitive Form gab. Gibt es jedoch zwei oder mehr positive, primi— tive reduzierte Formen fi von der Diskriminante d, so haben wir

verschiedene Formenklassen; jede dieser Klassen stellt andere Zahlen dar, und es soll im folgenden unsere Aufgabe sein, arithmetische Invarianten zu suchen, vermfige deren Wir die durch f1 dargestellten Zahlen von den durch f2, f3, . . . dargestellten unterscheiden k6nnen. Solche Invarianten, die sog. Charak— tere, wollen wir im nichsten Paragraphen angeben. Sie werden die durch die verschiedenen f‘ dargestellten Zahlen unterscheiderr; es kann allerdings auch sein, daB zwei der 1‘; dieselben Charaktere haben, d. h. zu demselben Genus geh6ren. Satz 66: Unter den Zahlen, welche von einer ganzzahligen, primitiven Form q eigentlich dargestellt werden, befinden sich solche, welche zu einer beliebigen ganzen Zahl n prim sind.

Derg. g. T. von a, b, cinq(x, y) = ax2 + bxy + cyzist gleich I, und 1; sei irgendein Primfaktor von 11. Von den drei Zahlen a, b, c

muB dann mindestens eine nicht durch p teilbar sein. Ist dies etwa a, so wiihlen Wir x prim zu p und y als Vielfaches von 12. Dann wird auch qup. Ahnlich bei c. Sind schlieBlich a und c beide teilbar

durch 17, so ist b q p, und Wir wahlen x und y beide prim zu p. Dann wird wieder q of. Sind also 15, . . ., pk die verschiedenen Primfaktoren von n, so gibt es ganze Zahlen 95;, 32,-, fiir welche q(x¢, yi) V p; wird. Demnach gibt es nach Satz 15 gauze Zahlen x, y, so daB

x E 961, y E y1(m0d;bl).....x E xk. y E yk(mod1>k)Weil dann q (x, y) zu jedem p prim ist, ist es auch zu n prim. Das-

selbe ist auch noch der Fall, wenn Wir in x und y einen gemeinsamen Faktor unterdn'icken. Wir kfinnen daher x v y annehmen. 53. Die Formencharaktere. Wir gehen aus von einer ganzzahligen, primitiven Form, und zwar zunziichst von einer solchen mit gerader Diskriminante, also mit gradem mittlerem Koeffizienten:

(38)

q=ax2+2bxy+cyz

von der Determinante D = 62 — ac. 1) Im Bull. Amer. Math. Soc., XVII (1911), p. 534—37 bewies der Verfasser, daB dies die einzigen solchen Dish-iminanten bis — I 500000 sind.

8o

Binfire quadratische Formen

Nach Satz 66 stellt q ganze Zahlen n dar, welche zu 2D teilerfremd sind. Es gilt nun der Satz: Satz 67: Sind p1, p2, '. . . die verschiedenen ungraden Primfaktoren von D, so hat (n|pi) denselben Wert fiir alle ganzen Zahlen nuz D, welche dutch q dargestellt wetden. Dasselbe gilt fiir

5 = (— I)(”“1)/2, wenn D E o oder 3 (mod 4), ' e = (— 1)("’—1)13, wenn D E o oder 2 (mod 8), 68, wenn D E o oder 6 (mod 8).

Diese Symbole (M251) sowie 6, e, 68 sind fiir gegebenes D defi— niert, sie heiBen die Charaktere der Form q. Man bemerke noch,

daB s = (zln) und ffir positives n: 6 = (— Iln) ist. Um den Satz zu beweisen, nehme man zwei durch q dargestellte Zahlen: n = au’ + zbu'u + or)”, Damn ist (39)

wo

m = 412 + zbrs + (:52.

m” = x2 —-Dy2:

x=aur+bus+brv+cvs,

y=us—rv.

Sind nun m und n beide teilerfremd zu 2D und also auch zu jedem ungraden Primfaktor 15 von D, so ist nm E x2 (mod 15), so daB 1)

(WWI?) E I, also (a) = (Ml?)Damit ist der Satz fiir die Symbole (nl pi) bewiesen. Nunmehr sei D E 3 (mod 4). Damn ist nm a x2 + y2 (mod 4). Weil aber n und m beide ungrade sind, so ist von x, y das eine grade, das andere ungrade. Daher ist

nm a I, also n a m (mod 4)“ und 6’ = (— xym-lm = 6. Ferner sei D E 2 (mod 8). Dann ist x in (39) ungrade. Je nachdem dann y grade oder ungrade ist, haben wir nm E + I oder

— I und daher n E :l: m (mod 8). Demnach ist . n2 E m2 (mod 16) und 8' = (— I)(""—1)/8 = e. Ist D E 6 (mod 8), so ist nm E I oder 3, also as»; oder n -=- 3m (mod 8), so daB n3 E m2 oder ’91»2 (mod 16). Im ersten Falle ist wie friiher 6’ = 6, s’ = 3. Im zweiten Falle haben wir

6 = (— I)""6’, a = (— I)""£',

also

68 = 6’6’,

so daB 6s ein Charakter ist. I) Dasselbe gilt natfitlich auch, wen u und m irgendwelche, zu p teilerfremde Zahlen sind, welche durch q dargestellt warden. ‘U. M an E; [I E 1’1L-L (~:\ . ./‘.. ' u 121’ H)

Charaktere

8I

Fiir D E 0 (mod4) ist nm a x3 E I, also 11 E m (mod4), Fiir D E 0 (mod 8) ist nm-E x3 = I, also 11 E m (mod 8). Damit ist unset Satz vollstéindig bewiesen. Alle primitiven Formen (38) von derselben Determinante D (oder derselben Diskriminante 4D), deren einzelne Charaktere fibereinstimmen, bilden ein sog. Genus. Da zwei fiquivalente-For—

men dieselben Zahlen darstellen und demnach dieselben Charaktere haben, so geh6ren sie auch zu demselben Genus. M. a. W.: Jedes Genus besteht aus einer Klasse oder mehreren Klassen von Formen. Z. B. gibt es genau vier positive, reduzierte, primitive Formenq von der Diskriminante — 96 (D— — — 24):.\ Berechnet a 6 (n I 3) q Daher liegen die vier Formen in vier verschiedenen Genera. . flit n = Nach Satz 64 ist ffir positives, 0 r r ' 1

zu 6 teilerfremdes n die Zahl g" o: :4} i:

i— ,

iI

n

derDarstellungen vonndurch

_I

+ I

7

[4’ 4, 7 ]

+ r

die vier Fox-men gleich 22 [5. 2, 5 ] —— I +I —— r 5 (— 96/11) oder da. M6, gleich 22(— 61/4) , wo ,u die positiven Teiler vbn n. durchlauft. Je nachdem n E I, II, 7 oder 5 (mod 12) sind samtliche Darstellungen durch die erste, zweite, dritte oder vierte Form méglich. Denn (nl 3) und 6 haben dann die angegebenen Werte. Ubung XXIII: (Die Zahl der Darstellungen von n durch die Form 1‘ wird mit f(n) bezeichnet. Benutze Tafel I.) 1. Ist m positiv und prim zu 10, so ist die Zahl der Darstellungen von 2'5’m durch x3+ 5y’ gleich [1+ (m|5)]E, die durch 2153+ 2xy+ 3y' gleich [I -— (ml 5)]E, vorausgesetzt, daB r grade ist; bei ungradem 1 jedoch gelten dieselben Resultate in vertauschter Reihenfolge. Dabei ist E = L'(— 5| )4), und ,u durchlauft die Teiler von m. M. a. W.: E ist der UberschuB der Zahl der Teiler von m, welche E I, 3, 7 oder 9 (mod 20) sind, fiber die Zahl der Teiler, welche E II, I 3, I7 oder 19 sind.

2. Es sei f= x’+ 6y’, q= 2x3+ 3yI Ist m positiv und prim zu 6,

so ist f(m)— — [I + (ml3)]E q(m)— — [I — (MI3)]E wo E= 2(— 6W)

summiert fiber alle Teiler 1‘ von m. Daher ist E der UberschuB der Zahl der Teiler von m, welche= — I, 5, 7, II (mod 24) sind, fiber die Zahl der Teiler, welche E I3, 17, 19 oder 23 (mod 24 ) sind. Ffir k = 2 oder 3 wird f(kn) = q(n), q(kn) = H»). Demnach kennen wir f(N) und q(N) ffir jedes N. 3. Es sei f: x5 + 8}", q = 32' + 2xy+ 33". Fiir positives, ungrades m

ist MM) = [r + (r —|m)1E.q(m)=[I — (— IlmnE, wo E = 2(— 2m).

summiert fiber alle Teiler ,u von 1». Es sei h = x” + 2y”.'0ffenbar ist dann f(2m) = o, f(4n) = h(n). Ffir grades q kénnen wit 2: durch x+ y, y durch y —— x

ersetzen

und

erhalten

q = 4(x'+ 23"),

so

daB

q(2 m) = o,

q(4n) = h (n) . E und h(n) haben die Bedeutung von Ubg. XXII, I. Dickson-Bodewig, Einflihrung in die Zahleutheorle

6

82

Binite quadratische Formen

'nmmm Reduzierte, positive, primitive Formen von der Dish-iminante —- A, welche in jedem Genus nur cine einzige Klasse besitzen. 3

I, I, I

67

1, 1,-17

4 7

I, o, I I, I, 2

72.

1, o, 18 2, o, 9

8

I, o, 2

75

1,1, 19

II

I, I, 3

12

I, o, 3

, I5

3, 3, 7

84

I, I, 4 2: I, 2

.

147

I, 1, 37

I48

3, 3, 13 I, o, 37

240

4 2, 2, 19 160

I, o, 21

5, o, 12

1, o, 40

267

4, 4, 11

2, 2, 11

5, o, 8

3r 0, 7

7» 6’ 7

I, o, 60 3, o, 20 4, o, 15 I, 1, 67 '

3, 3, 23 280

I, o, 70 2: 0, 35

16

I, o, 4 '

19 2o

I, I, 5 1, o, 5

88

2: 2. 3

9I

1. 1.23

3. 0. I4

I! 0’ 6

I

5: 3: 5

6: 0, 7

8: or 9

2, o, 3

96

1, o, 45

8, 8, II

24

5, 4, 5

163

I, 1, 41

'

5, o, 14

1, o, 22 2, o, 11

168

1, o, 42 2, o, 21

288

7, o, 10 I, o, 72

I, o, 24

180

4. 4: I9

27

I, 1, 7

3, o, 8

2, 2,23

28

I, o, 7

4, 4, 7

5, o, 9

2, o, 39

2+7

&m%

%

Lm8 3, 2, 3

35

I. I. 9 3, 1, 3

36

60 64

2, o, o, I. o, o, I,

5 10 5 II 12 4 I3

3, 3, 5 I, o, 13 2, 2, 7

I, o, 15 3, o, 5

I, 1, 25

187

5. I. 5 100

I, o, 9

2, 4o 1, 2, 43 I. 48 I, - 3, 51 I, 52

5&5 99

112 115

120

123

132

I, o, 25

I, I, 47 ’

192

3, o, 16

4, 7, 1, 3. 5, 7, 1,

28 7 29 7 30 15 I0

195

228

5, o, 6 I, 1, 31 3, 3, 11

I, o, 33 2, 2, 17

232

I, o, 16

3, o, 11

235

4, 4-: 5

6: 6: 7

315

4, 2, I, 3: 5, I, o,

I3 7 49 I7 II 7 57

I. I. 79 5, 5, I7

-

I, o, 48

I, 4, I, 5: 1, 2, 3,

I, o, 78

6, o, 13

7. 3, 7

2, 2, I3

o, o, 1, 5: o, o, 0,

312

.

7. 7. I3

9, 340 1, 2, 5. 10, 352 I, 4,

9, 11 o, 85 2, 43 0- I7 10, II o, 88 4, 23

2, 2, 29 3, o, 19 6, 6, II

372

8, 0, II 8, 8, 13 I, o, 93

1, o, 58 2, o, 29

. .

2, 2, 47 3, o, 31

1, 1, 59

6, 6, I7

5: 5: 13

4. Es sei f= x‘+ 931’, q: 2x’+ 2xy+ 5y’, I: x'+ y'. Fur jedes 1 ist offenbar f(3r— 1) = o,-f[3(3r:|: 1)] = o, f(gr) = 1(1). Es bleibt noch fibrig, die Funktion )‘(N) fur N -=- 1 (mod 3) zu bestimmen. Es sei N = 27": (n ungrade). Offenbar ist dann f(4r) = f(r). Fur grades k ist I E N E 1: (mod 3), a: 65+ 1, f(N) = flu) = 25, wo E: 2(— 1|”) gleich dem

83

Zahl der Darstellungen

Uberschufl der Zahl der Teiler von m, welche E I (mod 4) sind, fiber die Zahl der Teiler, welche E 3 (mod 4) Sind. In der Tat ist q=|= n, so daB

f: n. Hingegen ist 415 = l (n), woraus folgt, daB f(N) = 4}! (N). Ist jedoch k ungrade, so ist I E NE 2n (mod 3), n = 65—— 1,

“M _= NZ") = M”) = ZE=%1(”) =%1('N). weil 2g = (2x+ y)'+ 9y’. Daher ist q(r) =f(27).

5. Es sei f: x3+ 1031*, q: 2x'+ 531’ und m ungrade. Ist dann ME :1; I (mod 5), so ist q(m) = o, f(m) = 213, wo E: 2(—— rolp), summiert fiber aJle Teiler ,u von m. Ffir mE :I: 2 (mod 5) ist f(m) = o, q (m) = 2E. Offenbar ist f(2n) = q(n), q(2n) = f(n). Daher sind unsere Resultate auch ffir grades in gfiltig, wenn ,u in E die ungraden Teiler von m durchlauft. SchlieBlich ist f(5r) = q(r), q(5r) = f(r) fur jedes r. 6. Es sei f= x’+ 12y“, q= 3x’+ 4y’, 1:: x3+ 3y2 und Mu6. Man benutze den Charakter 6 sowie die GrtiBen E 11nd h(r) von Ubg. XXII, 2, 3. Ffir ME- I (mod'4) ist f(m) = 2E, q(m) = o. Ffir mE 3 (mod 4) ist f(m) = o, q(m) = 2E. Ffir beliebiges r ist f(4r) = q(4r) = h(r),

HM) = am») = 0: H37) = 2(1).q(3r)=/(r)7. Es sei f= 23+ 1331’, q: 233+ 2xy+ 7y' und m ungrade. Ffir (ml 13) = I, d. h. wenn mE I, 3, 4, 9, IO oder 12 (mod 13), ist q(m) = o, f(m) = 25, wo E = 2(— 13m), summiert fiber alle Teiler p von m. Ffir (m|13) = — I hingegen ist f(m) = o, q(m) = 2E. Dasselbe trifft ebenso fiir grades m zu, wenn mar; I‘ nur die ungraden Teiler von m durchlaufen liBt, da. f(2r) = q(1), q(2r) = f(r). Offenbar ist f(I3r) = f(r), 9(1) =f(2r), so daB q(r3r) = q(r). 8. Erbrbere die Diskriminanten — 60, -—~ 64, —— 72, — 88.

54. Fall der ungraden Diskriminanfie d. Wir haben noch die

Charaktere im Falle einer ungraden Diskriminante zu untersuchen. Es sei f = ax” + May + 6y2 eine ganzzahlige, primitive Form von ungrader Diskriminante d, so daB demnach auch b ungrade ist. Nach Satz 66 stellt f eine zu 2d teilerfremde Zahl dar. Um die Bezeichnungen mit den in (38) gebrauchten in Uberein— stimmung zu bringen und die dortigen Resultate zu benutzen, gehen wir von der Form q = 2f aus. Die Determinante von 9 ist d. Sind dann r und 8 durch f daLrstellbar und prim zu (1, so

werden n = 2r und m = 2s durch q dargestellt. Nach (39) ist dann 418 = x3 -—-dy3. Ist also 15; irgendein Primfaktor von (1, so ist (rslpi) = I und ('U’i) = (slp‘). Daher sind (1|pi) die (einzigen) Charaktere von 1‘. Alle primitiven Formen f mit derselben ungraden Diskriminante d, deren entsprechende Charaktere (ul 17‘) miteinander fibereinstimmen, bilden ein Genus. 6t

84

Binare quadratische Fox-men

Z. B. die positiven, reduzierten Formen von der Diskriminante — 15 sind f= x'+ xy+ 4y' und 1;: zx'+ xy+ 2y'. Es sei m positiv und prim zu 2, 3, 5. Da 1‘ die Zahl I darstellt, so folgt ans 1‘: m, daB (m|3)= (m|5)= I, also ME I oder 4 (mod 15).

Ferner wird h: 17 ffirx: —3, y: 1, und es ist (17I3) = (17'5) = _ 1. Die Gleichung h = m erfordert also

(WIS) = (mls) =-—I, also ME 2 oder 8 (mod 15). Ffir m E 7, II, 13, 14 (mod 15) wird m daher weder durch f noch durch h‘

dargestellt. Es sei E = Z(— I5| )1), wo I" die Teiler von m durchlauft. Dann ist nach Satz 64 f(m) = 2E und Mm) = o, wenn ME 1 oder 4 (mod 15), hingegen f(m) = o and h(m) = 2E, wenn m E 2 oder 8 (mod 15).

Ubu n g XXIV: I. Man bestatige das voraufgehende Beispiel auf folgende Weise. Fiir ungrades f ist x ungrade. Man setze y = 217, f: 53+ 1517’,

E = x+ 1;. IstE U 15, soist E’E I oder 4 (mod 15). Ist h ungrade und fremd zu 15, so setze man x=£+ 11, y=§—17, dann wird h= 5§'+' 311’E 2 oder 8 (mod 15). 2. Ffir fE o ist xE y (mod 3), also 2:: y—3z. In der Form-H:

2y' — 3yz+ 3z’ ersetzen wir y durch y -|— z und erhalten die Form 1:. Daherist /(37) = h(7). Ahnlich ist h(37) =/(7), f(57) = 11(7), h(57) =f(7). Demnach ist f(3" 53m) = Hm) oder h(m), je nachdem 7 + 5 grade oder ungrade ist. 3. Es ist [(27) = 213(7) —F, wo F = o, wenn 7 ungrade, hingegen F = 1‘67), wenn7 grade ist. Denn bei ungradem x und y 1am: sich setzen: x = y — 2:. Dann wird if: 33" — 3yz+ 22'. Ersetzt man 2 durch z + y, so erhalten wit eine Form vom Typus h mit ungradem y. Aber die Zahl der Lésungen von h = 7 mit gradem y ist gleich o, wenn 7 ungrade, hingegen gleich f(§7), wenn 7 grade. 4.. Es ist h(27) = 2f(7) ——H, wo H = o, wenn 7 ungrade, und H = h(1}7),

wenn 7 grade. Man behandle h im Falle eines graden x sowie im Falle eines graden y bei ungradem It, so daB also y; .vom Typus f mit ungradem x ist. Hingegen ist f bei gradem 1; von der Form 2h. 5. Aus Beisp. 3, 4 beweise man induktiv die Formeln

1(2”'r)=(2n+ 1) 4(7). f(2”‘"lr) = 2n - hm sowie die ans ihnen durch Vertauschung von f und h hervorgehenden Formeln. 6. Diskutiere die Diskriminanten -— 35, —51, — 75.

55. Positive Formen, welche in jedern Genus nur eine einzige

Klasse besitzen. Angenommen, jedes Genus von der Diskriminame — A (A > 0) enthalte eine einzige, primitive, positive, redu1) Wir lassen den Fall eines ungraden y bei gradem x beiseite (so daB also g-h = i), da fmit gradem y vom Typus §’+ 1527‘ ist.

Zahl der Darstellungen

85

z'ierte Form. Auf Seite 82 haben Wir alle solchen Falle fiir A < 400 aufgezihlt. Wir wollen nun zeigen, Wie sich diese Tafel berechnen und erweitem laBt. Diese Falle sind deshalb wichtig, weil wir nur fiir Formen mit solchen Diskriminanten einen einfachen Ausdruck fiir die Zahl aller Darstellungen finden' k6nnen. (Vgl. Ubg. XXII bis XXIV.) Angenommen, A sei ungrade. Nach § 44 muB dann A E 3 (mod 4) sein. Das gibt die beiden Falle A E — I and A E 3 -(mod 8). Fiir A = 8k — I > 15 stellen dann die beiden reduzierten Formenarten [2, i I, k] dieselben Zahlen dar und gehoren daher

zu demselben Genus. Demnach kommt keine Form mit solch einer Diskriminante fiir uns in Frage. —— Es sei also A E 3 (mod 8). Dann haben wir nach § 44 die Werte von

T5 = HA + (2i + I)’] in geeigneter Weise in Faktoren zu zerlegen. T, ist immer ungrade. TomuB nun entweder eine Primzahl oder das Quadrat

einer Primzahl sein. Denn sonst ware To = ac, W0 0 > a >_ I, und [(1, j: I, c] waren Zwei positive, reduzierte, primitive Formen

von der Diskriminante — A, und wir suchen ja nur Formen mit einer einzigen Klasse in jedem Genus. Ferner nehmen wir an, daB T1 weder eine Primzahl noch das

Quadrat einer Primzahl sei. Sei also zunéichst T1 = 3" q, we q > I und nicht durch 3 teilbar ist, so daB, weil T1 ungrade, g g 5. Fiir n > I bezeichne man mit L die gréBere und mit 5 die kleinere der beiden Zahlen 3" und q. Dann sind [8, :1: 3, L] .beides positive, reduzierte, primitive Formen von der Diskriminante — A, scheiden

also fiir die Betrachtung aus. Fiir n = I und zusammengesetztes 9, also 9 = rs, Ware 3 g r g 5, und [1, :l; 3, 3s] waren wieder redu—

ziert und primitiv. — Zweitens Waren fiir T1 = 35 die beiden Formen [13, j: 5, 19] vorhanden. — Drittens gibt es im Falle T1 = 3", we 11 > 5, die Formenarten [27, :I; 15, z + 3”—3]. Und schlieBlich benutze man fiir T1 = ac, WO 0 > a > 3, die Formen [a, j: 3, c]. Daher muB T1 entweder eine Primzahl sein

oder das Quadrat einer Primzahl oder das Dreifache einer Primzahl oder 33 oder 34. Durch diese beiden gesperrt gedruckten Kriterien scheiden

schon fast alle in der Tabelle nicht aufgeffihrten ungraden A < 400 aus. Weitere Kriterien lassen sich aus den fibrigen Ti ableiten. Auf Veranlassung des Verfassers beschéiftigte sich Townes mit diesen Untersuchungen. Er zeigte, daB —— abgesehen von den Fallen, wo

Binare quadratische Formen

86

die T, Primzahlen p oder Quadrate von Primzahlen sind —— nur folgende M6glichkeiten ffir die T bestehen: Es ist T2 = 5p, 52 oder 53; T3 = 71) oder 72; T.1 = 315 oder 99, und fiir 7' > 4: T, = Pp, wo P ein Produkt verschiedener Primfaktoren von 21' + I ist.

Dabei fibersteigt fiir Ti jedes erwéhnte p den Wert 2i + I. Mittels dieser Resultate zeigte er, daB ffir 400 < A < 23000 dann und

nur dann eine einzige Klasse von positiven, ungraden primitiven Formen mit ungrader Diskriminante — A existiert, wenn A einen

der Werte anninnnt: 403. 427, 435. 483. 555, 627.- 715. 795',

1155, I435, 1995, 3003, 33x5. T. Gosset bewies, daB dies die einzigen Werte unterhalb 100800 sind. Sodann sei A = 4D. Betreffs der 36 Werte von D < 100 ver-

gleiche man die Tabelle. Fiir I00 < D < Ioooo gibt es die folgenden 29 Werte von D: 102, 105, 112, 120, 130, I33, I65, I68, I77

I90, 2m. 232. 24o, 253, 273, 280. 312 330, 345, 357, 385. 408, 462.

520, 760, 840, I320, I365, 1848. Im Jahre I778 fand Euler, daB diese 65 Zahlen D die einzigen unterhalb Ioooo sind mit der Eigenschaft, daB fiir ab = D jed’e durch f = ax2 + by2 (wo ax u by) dargestellte Zahl entweder eine Primzahl oder das Quadrat einer Primzahl oder das Doppelte einer Primzahl oder schlieBlich eine Potenz von 2 ist. LaBt sich eine Zahl durch f nut auf eine einzige Weise darstellen, so ist sie eine Primzahl.

56. Kriterium fiir die Aquivalenz von Formen. Satz 68: Zwei Formen [a, b, c] und [A, B, C] mit A =1: 0 sind

dawn and mm dann dquivalent, wenn ihre Diskriminanten gleich sind und wenn zwei game Zahlen a, y existieren, welche die Glei-

chungen erflillen: (40) (41)

' A = aocz + bay + Cy”

.

zaoc + (b + B)y _=_. o, (b —B)oc + 20y E 0 (mod 2A). -

Der Vorteil dieses Kriteriums besteht darin, daB man nur zwei gauze Zahlen zu suchen braucht, welche einer Gleichung und zwei einfachen Kongruenzen genfigen, wahrend die eigentliche Definition der Aquivalenz das Aufsuch'en von 4 ganzen Zahlen erfordert,

welche derselben Gleichung (4o), aber auBerdem noch zwei weiteren Gleichungen geniigen. I. Angenommen, die Formen seien éiquivalent. Dann gibt es ganze Zahlen cc, [9, y, 6, welche (5) und (6) sowie a6 — fly = I geniigen. Zn (6) addiere man b = b(oc6 — fly) und setze den sich er-

Aquivalenzkriterium

87

gebenden Wert von b + B in die ljnke Seite von (4I, I) ein. Das gibt 2aoc(I + fly) + 2boc6y + 263/26. Ersetzt man hier I + fly durch a6 , so erhiilt man das Produkt von

(40) mit 26A. Ahnlich reduziert sich die linke Seite~ von (41, 2) auf —- 249A. II. Nehmen wir umgekehrt an, es gelten (4o) und (41). Dann bezeichne man die ganzzahligen Quotienten der linken Seiten von (41) durch 2A mit 6 und — fl, d. h.

zaoc + (6+ 3),; = 26A, (b —B)oc + 20;) = —2fiA. Multipliziert man diese Gleichungen mit ac bzw. y und addiert, so erhéilt man : 2A = 2A(¢x6 —fiy), also a6 —fly = I. Multipliziert man sie femer mit fl und 6 und addiert, so erhilt man (6). Daher ist die Determinante von (3 1:) gleich I, und die Transformation ersetzt [(1, b, c] durch [A, B, 5]. Da letztere dieselbe Diskflminante hat wie [11, B, C], so ist t = C. Ubung XXV: I. [4, 6, I] ~ [4. —- 2, I].

2. Es ist f: [a, b, c]~ |'_—[: I, B, C] dann und nur dann, wenn sie dieselbe Dish-iminante haben nnd wenn 1‘ die Zahl :|: I damtellt.

SECHSTES KAPITEL

EINI GE DIOPHANTISCHE GLEICHUN GEN. 57. Wir sahen in § 30, daB die ganzzahligen Losungen einer Gleichung gewéhnlich nicht aJle dutch eine einzige Formel gegeben werden, sondem daB hierzu verschiedene Formeln nétig sind. Dies wird durch die folgende wichtige Untersuchung nochmal nachdriicklich hervorgehoben.

S atz 69: Alla ganzen Lb'sungen von 252 —my’ = zw

(1)

warden gegeben durch

x = i 9(e5u + in“ —f§v —gflv), y = 9(51) + 77“), z = 9(65" + 2f§n + 6'11”). w = 49(6142 — 2v + £11“)Dabei bedeuten 9, 5,17, 14,1) beliebige gauze Zahlen, wa'hrend e, f, g nur diejem'gen (endh'ch vielm ganzzahligm) Werte annehmen, durch welche die Formen

(2)

FEW) =65“ +21??? +012

(wenn man aus jeder Klasse nur cine einzige Fown wa‘ihlt) zu einem reprdsmtativen System van F01mm mit der Determinante

(3)

werden,

f” — 6g # m

Diese Léisung indert sich nicht, wenn man nur die Zéichen von u, 1), g, e, f, g findert. Sollte also m < o sein, so k6nne1i wir F auf

positive, reduzierte Formen beschré'mken. Beisp. I: Fi'ir m=-—-I wird F = ELI— n’, and unset Sat? sagt aus, daB

alle ganzzahh'gen Lésungen von x*+ y' = 210 gegeben werden durch

(4)

x=:l: MEN—ml), y= 9(Ev+ 17“)-3= e(E‘+ ’7’). W= 9(u‘+ v”)-

xi—my3=zw

89

Beisp. 2: Fiir m: —5 ist F gleich 9+ 511‘ oder 28—]— 2511+ 317’, und der Satz sagt aus, daB alle ganzen Lésungen von x” + 5y’ = zw durch die beiden folgenden Formelsysteme geliefert werde:

(s)

x=:l: 9(Eu—5nv). y= e(£v+ nu). z= e(§’+ 517”). w=e(u”+ 51"):

(6)

*=:l: 9(25“+n“—Ev—3nv). Z=Q(¢§'+ 2517+ 371’),

=9(§v+ nu). w=g(2u‘—2uv+3ufi).

Beweis von Satz 69. Da ein gemeinsamer Teiler von x, y, z, w in 9 untergebracht werden-kann, so dfirfen wir annehmen, daB

letztere keinen gemeinsamen Teiler > I haben. Nun sei A der g. g. T. von x und y, und 6 derjenige von A und z. Man setze also x = AX, y = AY, A = 6D, 2 = 64’. Dann geht (I) fiber in 6D“(X2 —— mY’) = (w. Nun ist der g. g. T. 6 von x, y, z prim zu w, also geht 6 in C auf. Da. femer D2 u C, so geht es in w auf. Demnach kann man setzen: C = 62, w = DZW. Und es ergibt sich

(7)

Xz—mY2=ZW (ouY).

_ Wir werden nachher zeigen, daB in diesem Falle X, . . ., W die

in dem Satze fiirv x/Q, . . ., w/Q angegebenen Werte haben. Nun ist aber

(8)

x = 6DX, y = 6DY, z = 622, w = DEW.

In den entstehenden Ausdriicken ersetzen wir 65 durch 5, 6n durch 17, Du dutch 14, D11 durch 1) und erhalten wirklich die in dem

Satze fiir x/g, . . ., w/Q angegebenen Ausdrficke. Wir beschrénken uns demnach auf den Fall, wo xuy. Dann ist aber

nach (I) auch y u w. Daher existieren nach Satz I Lfisungen (p, C der Gleichung x = ycp + wt. In (I) eingesetzt ergibt dies

(«292 —m)y2 + 220w: + w”? = 2w. Da alle Glieder mit Ausnahme des ersten explizite durch w teilbar sind, so muB, da y2 um, (p2 —— m = aw sein, WO 8 eine ganze Zahl ist. Daher ist

z = w2 + 24PM + wt”, so daB also 2 durch eine Form [3, mp, w] von der Determinante m

dargestellt wird. Es gibt nun eine lineare ganzzahlige Transformation

(9)

y=v£+my, C=SE+tn mit vt—us=1,

90

Einige diophantische Gleichungen

welche [6, 21p, 10] in die reprisentative Form (2) ihrer Klasse fiberfiihrt. Daher wird z auch durch F (5, n) dargestellt. Die inverse Transformation

(IO)

E=ty—uC, n=—sy+vc

ersetzt F (E, 17) durch [3, 21p, 11)]. Nach § 38, (5) ist der Koeffizient

von 4“ gleich F (— u, v); in der obigen Form ist er gleich w. Daher istF(—- u, v) = 10. So ist also y = 05 + an, .2 =F(§, 1;), w =F(—u, v). Diese

Grofien haben also wirklich die Werte, die sich aus Satz 69 'fiir' 9 = I ergeben. Die Werte von 2: lassen sich entweder aus (I) berechnen oder in direkter Weise aus § 53, (39), wenn wir dort a, b, c, r, s, v durch e, f, g, E, 1), —v ersetzen. — Damit ist unser Satz bewiesen. Ubung XXVI: I. Ffir m = —— 3 erhalt man die Losungen ans (5), wenn man dort jede 5 dutch 3 ersetzt. 2. Nicht alle Losungen (6) sind in (5) enthalten. Denn iiir Q = E: n = u = v = 1 liefert (6): x = I oder — I, z: 7. Wan-en diese vom Typus (5), so ware 9 =i. I und ferner _-_|: 7: 9+ 517', was in ganzen Zahlen unmoglich ist. 3. Erlauben wit, 2 und w zu vertauschen, so konnen wir in x das obere Vorzeichen wahlen; Anl.: Ersetze E, 17. u, v bzw. durch u, — v, —- E, 27.

4. Ist m E I (mod 4), so sind alle ganzen Losungen von

”LI— xy+i(I—’”)1V'=zw die. Produkte einer ganzen Z3111 Q mit 1:: e§u+ inn—(f+ I)£v—gnv. y= Ev+nu.

3: 95’4“ (”-1— I1537+ 377': ”1: “f— (2f+. I)“”+ .39“. we die Form 5 auf reprisentative Formen von der Determinante m beschrankt ist. (Wie immer ist aus jeder Klasse nur eine Form zulassig.) Ffit in < o diirfen wir annehmen, daB diese reprasentativen Formen positiv und reduziert sind. Denn die Losung bleibt ungeandert, wenn wit 5, 11, e, g. f, u, v, e bzw. durch 17, E, —- g, '— e, —f, — I, — v, —— u, — Q ersetzen. 5. In Beisp.4 kfinnen wir e=g= 1, i=0 setzen, wenn m='—-3;

e: 1, i=0, g: 2 bzw. 3, bzw. 5. wennm=—7bzw. — II bzw. —19. Im Falle m = -— 15 konnen wir z: [1, I, 4] oder [2, I, 2] setzen-und er-

halten so zwei Systeme von Losungen. 6. Um x'+ 312+ 23— — W’ vollstandig zu 165en,_setze man 3: W+ Z, 10— — W— Z und wende (4) an. Da 2— 10 grade ist, so sind die Parameter der Bedingung unterworfen E + 1;: = u + 0 (mod 2). 7. Auf ahnliche Weise lose man die Gleichung B + Z’ = W', wo-B entweder gleich x' — mya oder die Form von Beisp. 4 ist.

ax*+bxy+cy==zw

91

8. Man 16sé 3x*+ 5y'= zw. Es genugt xv y anzunehmen. Setzt man dann X: 32!, W: 3w, so ist X’-|— 15y”: zw. Dann wende man Satz 69 mit dem oberen Vorzeichen. m at an. Da. 94in X— — 3x und'm y aufgeht, so geht es auch in 3 ant. Ffir Q = I und F = 353+ 51)2 haben wir

3x.=3Eu—5nv.

y=§v+nu, z=3§’+ 511'.

3w=3u'+5v‘.

Daher ist v = 3 V. Die sich ergebenden Werte von x, . . ., w multipliziere man mit einer beliebigen ganzen 23.111 9. —— Ferner behandle man die fibfig bleibenden Fille F = 5’ + 1517‘ und 9 = 3.

58. Aufgabe. Man finde alle ganzen Lésungen von

(II)

ax53 +bxy +cy2 =zw.

Ein gemeinsamer Teiler g von (1, b, c geht auch in zw auf. Daher k6nnen wir schreiben z = 92, w = o‘W, wo 90 = g. So erhalten

wir wieder eine Gleichung vom Typus (II), wo j etzt jedoch a, b, c keinen gemeinsamen Teiler > I haben. Nun weiB man, daB a x2 + - - unendlich viele Primzahlen darstellt und daher zu einer Form iiquivalent ist, deren erster Koeffizient eine Primzahl ist. Man nehme also a 3.15 Primzahl an. Wie in § 57 k6nnen wir x u y voraussetzen. Dann multiplizieren Wir (II) mit 4a, vervollsténdigen das

Quadrat fiir x und gehen weiter wie in Beisp. 8 vor.1) Wir k6nnen diese Methode verbessem durch Anwendung von Satz 70: L581: sich eine Zahl dutch eine Form [a, b, c] von der Diskriminante d eigentlich darstellen, so ist auch j eder Teiler dieser Zahl durch eine Form von derselben Diskrirninante d eigentlich darstellbar.

G sei der g. g. T. von y und 12:. In (II) geht dann G in am:2 auf. Wegen x u y ist G ein Teiler von a. Es ist also y=Gw,

w=Gk,

a=Gh,

hx3+bxco+cGw2=zk.

Da co u k, so gibt es Lfisungen 0 und C von x = (00 + kt. Durch Einsetzen erhfilt man

awfi+¢kwc+hkzcz=m wo a=h02+bo+ca o.

Nach (9) ist 0 < b < R. b seinerseits ist grade oder ungrade, je nachdem d E o oder I (mod 4). Ffir jede solche ganze Zahl b

driicken Wir die gauze Zahl fld -— 172) = lac] auf alle moglichen Weisen als Produkt zweier, zwischen «HR —b) und 1(12 + b) liegenden natiirlichen Zahlen aus und legen den Faktoren entgegengesetzte Vorzeichen bei. (Vgl. § 44) Ist z. B. d— — 12, so bleibt ffir b nur der Wert b = 2. Dies gibt |ac| = 2. Die vier reduzierten Formen liegen in zwei Ketten Q, = [I, 2, — 2], {pi = [— 2, 2, I] und [— I, 2, 2], [2, 2, -— 1]. Je nachdem 6 = I oder — 2

ist, ersetzt die Transformation (11) @o durch 451 bzw. 451 durch ED... Ffir d: 17 ist entweder b: I, [a] = Io! = 2; oder es ist b: 3, und eine von den Groflen |a| und Icl ist I und die andere 2. Die sechs redu— [1, 3, — 2], d5, = [—- 2, I, 2], zierten Formen liegen in einer Kette: (Do— dia: [21 3! _‘ 1]: ¢a: [_ I 3' 2], $4: [2: 11—2]

¢5= [_ 2: 3) 11- Die

bezfiglichen Werte von 6 sind: I, —- I, 3, — I, I, —- 3. Die Transformation (11) mit 6 = — 3 ersetzt (P‘ durch 150.

64. Perioden. Bei ganzzahligen Formen sind also die Formen einer Kette (I4) Inicht alle voneinander verschieden. Die ersten Koeffi— zienten aufeinanderfolgender Formen haben entgegengesetzte Vorzeichen; demnach k6nnen nur Formen identisch sein, welche um eine grade Zahl von Stellen voneinander entfernt sind, etwa

@k E ¢k+2w Da auch ihre linken Nachbarformen identisch sind, so folgt schlieBlich 450 E 1152". Daher ist jede Form der Kette mit

einer der Formen (Z50, . . ., Qua identisch. Und diese werden in 7*

IOO

Indefinite binare quadrafische Formen

der Tat alle verschieden sein, wenn n so gewéihlt ist, daB {Do von

den fibrigen (D verschieden ist. Man sagt, diese 2n Formen bilden eine Periode.

Ubung XXIX: Beweise, daB die Formen mit der gegebenen Diskriminante die folgenden Perioden habenz. I. d: 5: [1, I, —— I], [— I, I, I].

2. d: 8: [1, 2, — I]. [— I, 2, I].

3. 11: I3: [1. 3. -— I], [— I: 3: I]4. d = 20: [1, 4, — I], [— I, 4, 1] und [2, 2, — 2], [— 2, 2, 2]. 5. d = 21: [1. 3, — 3]; [— 3, 3! 1] und [_' I! 3! 3]! [3! 3! — 11' 7' d = 52: [3! 2! _ 4]! [_ 4! 6! I]! [L 6! — 4]! [— 4! 2! 3]: [3: 4: — 3],

[— 3: 2: 4]: [4: 67 '_ 1]! ["‘ I! 6! 4]! [4! 2! _ 3]! [— 3! 4! 3]; und [2! 6! —' 2]-

[— 2, 6, 2]. Fiir die Periode der Io ersten Formen sind die 6 bzw. gleich 1,—6, I,—I, I,——I,6,—I, I,—I.

8. d = 221: [5, II, — 5], [— 5, 9, 7], [7. 5, — 7]. [— 7, 9. 5] und [1, I 3, — I 3], [— I3, I3, I]. Ferner gibt es noch zwei Perioden, die aus diesen

durch Vorzeichenanderung aller auBeren Koeffizienten entstehen.

65. Bezeichnungen. Man schreibt herk6mm1icherweise

(15)

9E = [(- IVA.» 3.» (— I)‘+1A.-+1]-

Die Transformation (II) mit 15 = 6; mfige 45,- in ¢¢+1 iiberfiihren. Dann ist nach (12) (I6)

Bi + Bi+1 = ZgiAi+1!

“’0

g; = (— 1)“):-

Da die Kette (I4) dutch irgendeines ihrer Glieder bestimmt ist, so k6nnen wir 450 so wahlen, daB Ao positiv ist. Dann sind a'uch Ai, Bi, g; fiir jedes 1? positiv. Bezeichnet man mit f; und 8;

die erste und zweite Wurzel von 95- und setzt man __ (— 1)‘ (— I)”1 5 =— 111—77,

(I7)

so ist, weil die Diskriminante von (15) gleich Bf + 4A¢A¢+1 = d = R2 ist,

(18) Fi=R+Bi

211,-.” ’

_R—J3i

i— 2Ai+1 ’

Fi> I,

O o in einen sog. periodischen Kettenbruch, woriiber wir nunmehr einiges anfiihren wollen.

66. Kettenbrfiche. Fiir die Zahl p > 0 sei

?=QI+‘I—n #P

Ps=qa+pi, 1’1=92+%': a a

"a

we q1, q2, qs, . . . die gr6Bten ganzen Zahlen g1), gpl, g 152, . .. sind. q1 kann auch gleich Null sein, wéihrend‘ qz, gs, . . . alle g I sein miissen. Ist qk = 11515—1, so hért die Gleichungskette mit der

k-ten Gleichung auf. In jedem Falle sagt man, 1) habe die folgende (durch Einsetzen der Pi sich ergebende) Kettenbruchentwicklung I

p=91+

I

,

q8+qs+...

kurzp = (91) 92’ 93: ' ' ')'

Bricht man die Entwicklung bei q1, q2, q3 usw. ab, so erhéilt man den sog. ersten, zweiten, dritten usw. Niherungswert von p: _9_1

I ’

q1+i=1+m’

q.

q:

(1+9192)qa+91

’

929: + I

Dabei geht der dritte Néherungsbruch aus dem zweiten hervor,

indem qz durch 92 + 1/93 ersetzt wird. Allgemein geht der (1 '+ I)-te Nfiherungswert aus dem r-ten hervor, indem q, durch q, + I/q,+1 ersetzt wird. Man kann nun fiir die Berechnung der Zéihler und Nenner der Néherungswerte einen Algorithmus aufstellen, woriiber folgender Satz AufschluB gibt: Satz 80: Die Zihler und Nenner der Néherungswerte lassen sich unabhéngig voneinander berechnen. Qenn der k-te Niherungswert von (q1, q2, . . .) ist gleich dem Quotienten {gs/n,c von

(29)

31: = Zia-19k + zk_2,

"k = Ric—1111c + nk—a-

Nach obigem gilt der Satz offenbar ffir' k = 3, wenn man

(ZI)

21=91.»n1=I, z2=1+91921 ”2:92

102'

Indefinite binfire quadratische Formen

setzt. Angenommen also, der Satz gelte fiir k = r. Dann erhiilt

man fiir den (1 + I)-ten Naherungswert: zr—1(9r + 1/9r+1) + zr—a = 2r + zr—1/9r+1. ”r—x (91- + I/Qa+1) + "r—z ”1+”r—1/9r+1

Der letzte Bruch ist aber offenbar der Quotient der Zahlen von (20) fiir k = r + I. Der Satz gilt also fiir k =r + I, wenn er k = r gilt, d. h. er gilt allgemein. Multipliziert man die Gleichungen (20) mit nk_1 bzw. —z,,_-1 und addiert, so hat man Zinnia—1 —"k—1 = '— (zk—lnk—z —“k—1zk—2)-

Demnach bleibt die mit (— 1),” multiplizierte linke Seite unge— andert, wenn man k durch k -— I ersetzt, und hat daher einen

von k un’ab’hangigen Wert. Um diesen zu erhalten, nehme man k = 2. Dann ist (I + 9192) — 9q = I. Damit haben wir Satz 81: Ffir die in (20) und (2!) definierten Zahlen gilt die Beziehung I (22) zknk—l _ nkzk-l = (— 1)k~ Demnach ist zk v nk, und der Niherungswert zk/nk ist irreduzibel. Esseip = (91» 92: - - ) = (91, - ' n {Ila-1:9):W03-1509 = (91:: 91c“: -- --)

Setzt man nun in der Kettenbruchentwicklung anstelle von qk die andere Zahl Qk und schreibt statt (Qk, qkfl, . . .) zur Abkiir— zung Q, so geht P = (qi, . . ., qk _1, Q) ans 1) hervor, wenn man qk dutch Qk ersetzt. Nach (20) ist

. Z P = TV“ W0 Z =zk—19 +zk—s:

’ Daher

. N = "k—;q+nk—z-

_ zk—l Q + ‘7l P — ”In—1 Q + ”Io—n

Daraus folgt, daB P < p, wenn mQ < mq, wo nach (22) m = ”Ia-221:4" zk—znk—l = (— lye-1-

Fiir ungerades k muB also Q < q oder, was dasselbe ist, (2,, < qk; fiir grades k hingegen muB Q > q, also (2,, > qk. So haben wir: Satz 82: Wemz wt? qk in p = (ql, 92, . . .) almehmen lassm, so m'mmt fair grades k der Weft von p zu, ffir ungrades k hingegen ab. Nimmt umgekehrt qk zu, so m‘mmt der Wen: von 15 bei gradem k ab, bei ungradem k zu.

Kettenbrfiche

103

S atz 83: Fair (ql, . . .,‘q,,) gelten die Beziehungen

2' =(9nqr-1’H'192291): ,7’1’-=(qn--uqa)-

z, __ 1

f—l

Nach (20) ist 2k gin—1

I

nk

’ =qk+ _.___ zlc—llzk—I

I

”ls—1

. =9k+—— ”k—1/"lc—x

Wir wenden dies fiir k = r, r — I, . . ., 3 an und setzen noch

nach (21) i=q2+i1’ 31

q

fl=q2' ”1

Aus (I9) folgt nun (23) (24)

Pi = (gi’ EH1» EH2: - » -)»

5:" = (0: gi—1» gi—a» . - -):

315°

1‘04 =Fo = (go: 31: - - u gi—I’Fi): (— Ira-95 = 54—1 = (gt—1: gi—z: - - '9 go; 50—1)-

Da aber die Formen d5 sich pen'odisch wiederholen, so wiederholen sich auch die F. Es gibt also ein Fk, welches gleich F0 ist. Das heiBt: wir haben hier eine Entwicklung von Fo bzw. f0 in

einen periodischen Kettenbruch. f0 ist nun zwar die Wurzel einer r e d u zi e r t e n quadratischen Gleichung. Wie man sich aber durch Satz 76, (5), (20) und (22) leicht fiberzeugt, gilt dasselbe auch ffir die Wurzel einer nichtreduzierten quadratischen Gleichung. Man hat nur a/y bzw. [3/6 in einen Kettenbruch zu entwickeln. und nach (5) und (20) hinter diese Entwicklung die Kettenbruch— entwicklung von F0 bzw. f0 zu setzen. Die irrationale Wurzel jeder‘ quadratischen Gleichung (mit d> o)

hat also eine periodische Kettenbruchentwicklung. Dieses wichtige Resultat stammt von Lagrange. Die Umkehrung gilt, wie man sofort sieht, ebenfalls. Z. B. haben wit nach § 63 im- d= I7:F0= (I, I, 3, F0), so daB das Tripel I, I, 3 sich periodisch wiederholt. Wit schreiben kurz F0 = (I, I, 3)' Dieses Ergebnis 15.131: sich auch erhalten, wenn man II]o = 1. (VE—l— 3) in einen Kettenbruch entwickelt. _

67. Aquivalente, reduzierte Formen. Satz 84: Zwei iquivalente, reduzierte Formen von derselben positiven Diskriminante d gehfiren zu derselben Kette. Es geniigt, dies fiir den Fall zu beweisen, daB eine der beiden Formen dutch ihre rechte Nachbarform ersetzt wird. Die ersten

104

Indefinite binare quadratische Formen

Koeffizienten der beiden ,verschiedenen, aquivalenten, reduzierten

Formen q, Q konnen also positiv angenommen werden. Dann sind nach §6I ihre ersten Wurzeln f, F positiv und < I, wahrend ihre

zweiten Wurzeln s, S negativ und absolut > I sind. T sei die ganzzahlige Transformation (4) von der Determinante I, welche q in Q fiberfiihrt. Die Wurzeln der Formen erffillen demnach die Beziehungen (5). Da wir die Vorzeichen der vier Koeffizienten von T andem konnen, so diirfen wir annehmen, dad?» at > o oder, wenn

o: = o, daB y > o. Fiiroc =owarenuny=1,fi=—Iundnach(5)

—6=F+%>I, a=—s—§> I. Da Wir so auf einen Widerspruch gekommen sind, so ist also on g I. Nach (5) ist dann I_1I+6IF

(25)

I__7+6IS

__

YUM/TV ?—a+fiIS’W°“6—fi”“'

Darausfolgt

(26) (%~y)(aF+fi)=x. (%—y) —I,

[3 + I> —:xS>oc, f3 ga. Daraus sieht man, daB mit 72 < o

auch ,6 < o ist, und umgekehrt. Daher ist immer fly > o. In Verbindung mit a6 =13); + I > I gibt dies 6 > o. Sind [3, y negativ, so benutzen wir die inverse Transformation von T, welche also Q in q fiberfiihrt. Wir diirfen daher — notigenfalls nach Vertauschung von 9 und Q — annehmen, (1:18 a, ,3, y, 6 alle positiv sind. So gilt also das obige Resultat, daB y g (x, ,3 2 ac, also

6fi2a6>flgh 6>y§ 672x6>fljh 6>fl.

Aquivalente, reduzierte Formen

IO5

a, y sind also solche Lfisungen der Gleichung 6x —/3 y = I in positiven, ganzen Zahlen x, y, daB x < ,3, y < 6. Aus 6(x — a): = fi(y— y) und der Tatsache, daB 6U 73, folgt dann x —— at = flm, y —— y = 6m wo m ganzzahlig ist. Nun ist aber x — a numerisch < I}. Also at —-o¢ = o, y— y— = o. Diese einzige Lfisung kann folgendermaBen gefunden werden: Wit entwickeln 6/]3 in einen Kettenbruch (go, g1, . . ., g,-_1), wo jedes g g I. Dabei dfirfen Wir annehmen, daB :7 grade ist. Denn, wenn 1' ungrade ist und der Kettenbruch mit u + 1/1) endet, ersetzen Wir letzteres fiir v = I

durch das einzige Glied u + I, hingegen fiir v > I durch I

“+(v—r)+r/:' y/x sei der («3 — I) —te Néherungswert. Da 6/)? der i-te Néherungswert ist, so gibt (22) fiir k =i: 6x—fiy = (— I ‘ = I. Wegen (20) und qk ; I ist 2k > zk_1, n,‘= gnhl, d. h. 6 > y, [3 g 7:. Da. wir x = at, y = y 315 einzige Lfisung feststellten, so ist demnach % = (30: 31» - - u 53—2)-

Aus (20) und (25) folgt ffir k = i + 1: (SF (go. 31. .. ”—35 a: g¢1,F'1)B’,—Fii;=-

Da I/F > I, so haben Wir bis zum Gliede gi_1 die Kettenbruchentwicklung von I/f. Nun ist abet die Kettenbruchentwicklung von I/f eindeutig. Setzen wir also 1", an Stelle von 1‘, so folgt aus (24) daB I/F = Fi, also nach (I7) F = (— I)‘f,; = fi. Hierbei ist I; die erste Wurzel von (D; in der zu {D0 = q gehéirigen Kette. Es muB noch bewiesen werden, daB die zweite Wurzel sf von d5; gleich S ist. Dazu wenden wir auf 6/)6 = (go, . . ., g¢_1), dessen (i — I)-ter Niherungswert y/oc ist, Satz 83 an und schlieBen, daB 6

.

7 ='(gi—1» 35—2» - - -: go): ‘5‘ = (Ed-1: - - ., g1)-

Nach (2o) ist ffir k = i + I (gi—l’ gi—a’ - - ., g1; go, —_-8

—sy+ a )=_"’+_fl= —s.

(Vgl. (5, 2)). Da. I/So— —— — so > I, so ergibt sich, wenn man so fiir s setzt und (24, 2) benutzt, daB — s; = — S.

106

'

Indefinite binére quadratische Formen

Da also Q und {15¢ dieselben ersten Wurzeln, dieselben zweiten Wurzeln und dieselbe Diskriminante haben, so sind sie identisch.

q und Q liegen also in derselben Kette. 68. Die untere Gren'ze der dutch eine Form datgestellten Zahlen. Satz 85 (Lagrange): Bilden die Formen [an bi, a” 1] eine Kette reduzierte: Formen von der Diskriminante d— = R2, so kommen unter den a alle Zahlen vor, die numerisch < %R und dutch eine Form der Kette eigentlieh dargestellt werden.

a sei durch eine solche Form eigentlich dargestellt. Dann gibt es eine fiquivalente Form [a, B, C], deren erster Koeffizient a ist. Wie im Beweise von Satz 76 k6nnen wir b zwischen R — 2 |a| und R so bestimmen, daB b — B das Produkt von 2 |a| mit einer ganzen Zahl ist Daher ist [a, B, C] parallel zu 1‘: [(1, b, c].

(Vgl. Ubg. XVIII.) Weil nun auBerdem 2 |a| < R, so ist j nach (9) eine reduzierte Form. Demnach kommt a unter den a, vor. S a tz 86.' Man lege in f den ganzen, m‘cht gleichzeitig verschm'ndenden Zahlen x mul y alle mbgh'chen Warts bei. Damz ist die untere Grenze def absoluten Werte der dm'ch f dmgestellten Zahlen gleich der unteren Grenze der Ia,| in der Kette der zu f dqm'valmten, reduzierten F01mm. Denn in einer reduzierten Form [(1, b, c] ist b > o, R2 = b2

— 4ac, wo ac < 0, also 4 |ac|< R2; dabei ist die kleinere der beiden Zahlen I a] und |c| kleiner als 4} R. Daher stellt f eine gauze Zahl, die numerisch < 13R ist, eigentlich dar. Unser Satz folgt dann aus Satz 85.

69. Automorphe. q = [a, b, c] sei eine primitive, ganzzahlige Form von der Diskriminante d > 0 und gehe dutch (4) in sich selbst fiber. Dann gilt nach (5) fiir jede Wurzel von q _aw+fl —yw+6’

also ycoz+(6—a)w—fi=o.

Daher sind die Koeffizienten der letzteren Gleichung zu denen von (2) proportional: y = au, 6 ——oc = bu, fl = —cu. Dabei muB u eine ganze Zahl sein, denn sonst miiBte sein Nenner in a, b, c auf— gehen, Wéihrend doch q primitiv ist. Man setze noch (x + 6 = t. Dann ist a6 =fiy+I=I —acu2,

t’=(6—oc)2+4oc6=4+du3.

Automorphe '

107

So haben wir die erste Halfte des Satzes: S-atz 87: Fiir jedes Automorph (: g) einer primitiven, ganzzahligen Form [a, b, c] von det Diskrinfinante d > o gilt

(27)

cc =%(t —bu), fl = —"cu, y =au, 6 =%(t +bu),

wo t und u ganzzahlige Losungen der Gleichung

.(28)

t2 — alu2 = 4

sind. — Sind umgekehrt t, u ganzzahlige L6sungen von (28), so sind auch die Zahlen (27) ganzzahlig und definieren ein Auto-

morph von 9. Es bleibt noch die Umkehrung zu beweisen. Da nach (27) 20c und 26 ganze Zahlen sind mit der graden Summe 225, so sind sie entweder beide grade Oder beide ungrade. Nun ist aber nach (27)

und (28)

ocd = fltz —b2u3) = I ——acu2

.

eine ganze Zahl. Daher sind 20c und 2 6 beide grade. Die Tansformation (4) bezeichne man fiir die Werte (27) mit A . Um zu beweisen, daB A ein Automorph von q ist, gebe man A durch Einfiihrung der Faktoren von 9 als neue Variablen jetzt eine kanonische Form: Die Faktoren von 9 sind niimlich

(29)

'

£=w+Ry, n=w—Ry, W0 w=2ax+by,

'R=]/d_. Durch Ausfibung der Transformation (27) folgt, wenn man W = 2aX + bY setzt:

2y =uW +tY,

2w =tW +q.

Setzt man dies in (29) ein und setzt noch analog zu (29) fiir die transformierte Form 5’ = W + RY, 17’ = W — R Y, so erhilt

man‘die gesuchte kanonische Form fiir A, nfimlich

(30)

E = at + men n = w — Raw.

Wegen (28) lfiBt diese Transformation 517 = 4aq ungefindert. Demnach ist A ein Automorph von 9.. 70. Die Gesamtheit der ganzzahligen ILosungen von (28). Satz 88: Gleichung (28) hat immer cine Losung mit u =|= o.

Indefinite binare quadratische Formen

108

Wir gehen aus von einer primitiven, ganzzahligen, reduzierten Form 950, deren erster Koeffizient positivist. fsei ihre erste Wurzel, und die Anzahl der Formen ihrer Periode sei 2% (§ 64). Dann ist

nach (24) f_1 :T (30: 6'1: ' - -. Kan—0'

Ihre (2n — I)-ten und 2n-ten Naherungswerte seien y/oc, 6/fl. Da f_1 = (go; - - ': g2n—1! f-l),

so sieht man aus (20) und (22), daB f_1=6l/+7

fl/f'l‘a’

f=af+fl

wo a6—fiy=1.

7f+5’

Denmach ist (1 g) ein Automorph von 450. Dann erhalten wir nach (27) eine Losung-(t, 14) von (28) mit 14 =|= 0. So ist ffir d = 17 von §63 y/oc = (I, I, 3, I, I), y = 16 = u, 9=oc=§(t—3u),t=66. Wir zeigten also, daB (28) eine Losung t =|= o, u =|= o hat. Dann sind aber auch t, 3|: u und —— t, :l; u Losungen, so daB es immer

positive Losungen gibt und es daher geniigt, nur diese anzugeben. Sind (t, u) und (t’, u’) zwei solche Losungen und ist t’ > t, dann ist auch u’ > u. Es gibt also ein System ganzzahliger Losungen T > 0, U > 0, so daB ffir jedes andere System ()5, u) die Beziehung t> T, u> U gilt. Wir nennen (T, U) die kleinste, positive

Losung. Setzt man

,(31)

'

8 = %(T + RU)

und bezeichnet mit E das nach (27) durch (T, U) gegebene Automorph, so ist E" ebenfalls ein Automorph und nach (3o) durch positive, ganze Zahle‘n 25”, u" bestimmt, die sich aus fit” + Run) = a”

ergeben.

Wir behaupten nun, daB umgekehrt dieSe (tn, u”) auch alle positiven Losungen (t, u) erschopfen. Denn andemfafls gabe es eine ganze Zahl n g I, so daB, wegen s > I (32)

s” < §(t + Ru) < 8"‘1.

Liefert nun (t, u) das Automorph A, dann liefert das dutch

«w + Ru) awn — Run) = w + M)

t'—du'=4 109 definierte (t’, u’) das Automorph AE-". t’, u’ sind also ganze Zahlen. Multipliziert man (32) mit 3‘" = %(t,, — Run), so erhéilt man I < %(t’ + Ru’) < s. Aus der ersten dieser Ungleichungen und aus (28) —— in Akzenten geschrieben — folgt weiter

_ W + Ru’) gov—1w) = I, o _ = I (mod Q). Daher hat (37) eine Losung coop und VQ, also auch prim z_u 2abc. Man Wahle 15: ea)”,

t’ = eabc,

r = ecu,

wo e = I oder e = 2, je nachdem abc ungrade oder grade ist. Die sich ergebende Lo'sung (x, y, 2) von (3) ist eigentlich und hat ein durch p teilbares x. Denn wenn abc ungrade ist, also fiir e = I, ist t= t’ = I (mod 2). Fiir grades abc, also e = 2, jedoch ist _t— = 2, t'= = 0 (mod 4). Da co u abc, so haben t und t’ keinen gemeinsamen ungraden Teiler. Auch ist tt’ = abcr’. Satz 93 zeigt dann, daB (x, y, z) eine eigentliche Losung von (3) ist. Femer ist nach (27) und (22, I):

2x = duo)” + Uabc —2bcu1a)), zux = e[(uco — bcul)2 + bc] 2 13(1):“ + bc) E o (modp). Demriach ist x ein Vielfaches von 12. II. Es sei pl: 2. Dann sei zunachst a grade, aber kein Viel-

faches von 8. Da nach Voraussetzung —— bc ein q. R. von 4a ist, so ist es modulo 8 zu einem ungraden Qfiadrate kongruent und daher auch kongruent I. D3. bc und cw beide prim zu au sind, so sind sie ungrade. Daher ist b E — bzc E —— 0 (mod 8). Dann ist nach

(I4) an2 E 0 (mod 8), und u ist grade, wahrend doch nach Voraus— setzung u nicht durch p teilbar ist. ‘ Femer sei a .=_ 0 (mod 8). Wie bisher ist — bo E I (mod 8). Man nehme 1: = I. Wir konnen nun tund t’ ohne gemeinsamen ungraden Faktor so wahlen, daB t E 2, t' E 0 (mod 4), tt’ = (160. Nach Satz 93 ist dann (x, y, z) eine eigentliche Losung von (3).

Nach (22, I) ist nun 141 ungrade. Da auch u ungrade ist, so folgt aus (27), daB .2xaz+o—250 (mod4), also 2522 (modz). SchlieBfich sei a ungrade. Dann ist — bc E I (mod 4). Man setze 1 = I und Wéihle zwei teilerfremde Zahlen t, t’, deren Produkt

gleich abc ist. tt’ ist also ungrade, so daB t E t’ (mod 2). Nach Satz 93 ist (x, y, z) eine eigentliche Lfisung von (3). Da. u und h

Bedingungen ffir eine eigentliche Lésung

123

ungrade sind, so ist auch U = 21' —hu ungrade. Nach (22, I) ist ul grade und au U E I (mod 4). Denmach ist ut - Ut’ =auU-bc E —I,

at E — Ut’ (mod4).

Wegen (27) ist dann 2x ein Vielfaches von 4. $4252 94: Sind A = aP’, B = s, C = cR8 paarweise trailerfremd, besteht femer (I3) und ist (3) eigentlich aufl6sbar,-so ist auch

(12) eigentlich auflésbar. Die bloBe Tatsache, daB (12) auflfisbar ist, folgt durch Multiplikation von (3) mit 13292132, so daB

(38)

A(QRx)2+B(PRy)2+C(PQz3= .

Da — BC ein q. R. von A ist, so ist —-bc ein q. R. von aPz. P sei das Produkt der Primzahlen p, pl, 152, . . ., die nicht not-

wendig voneinander verschieden zu sein brauchen. Dann geht keine der Zahlen 1b, 15, . . . in be auf. Man setze (112* = a’. Unser Hilfssatz zeigt dann, daB x = 51> und daB (39)

a’52 + by2 + czz2 = 0

die eigentliche Lfisung (E, y, z) hat. Da — be ein q. R. von a’pfi = a” ist, so folgt Wieder aus dem Hilfssatz, daB (39) eine eigentliche Lésung hat, fiir die 5 = 51151. M. a. W.: (1”512 + by2 + cz2 = o hat eine eigentliche Lésung und demnach eine solche, fiir die .51 ein Vielfaches von 12. ist. Da die aufeinanderfolgenden ersten Koeffizienten gleich apz, apzplz, up2p13p22,. .. sind, so kommen wir schlieBlich zu a P2 = A und schlieBen, daB (40)

AX2 +by2 +¢:z2 =0

eigentlich léisbar ist. Da nun —C A ein q. R. von B ist, so ist — cA ein q. R. von 1292. Q sei das Produkt der Primzahlen q, ql, . . .. Keine von ihnen ist ein Teiler von 0A. Der Hilfssatz sagt aus, daB (4o) eine eigentliche Lésung mit y = nq hat. Wie friiher

erhalten wir als aufeinanderfolgende zweite Koeffizienten: q, qqf, . . ., bQ2 = B. SchlieBlich ersetzen wir c durch OR” = C.

So ergibt sich Satz 94. Satz 95: Sind A, B, 'C paarweise teilerfremd, nicht alle von demselben Vorzeichen und verschwindet keine von ihnen, so ist

AX3 + B Y2 + CZ2 = o und dann und nur dann eigentlich lfisbar, wenn — BC ein q. R. von A usw. ist.

124

Lfisung der Gleichung ax’+by'+ as“: o in ganzen Zahlen

Es ist hervor-zuheben, daB dieser Fundamentalsatz frei von

Voraussetzungen bez. quadratischer Faktoren von A, B, C ist. Angenommen, es bestéinde (I3) und P3, Q”, R2 seien die gr613ten quadratischen Teiler von A bzw. B bzw. C. Dann haben die a, b, 0

von Satz 94 keine quadratische Faktoren > I, und (4) ist offenbar eine Folge von (I3). Nach Satz 91 and seiner Folgerung ist demnach (3) eigentlich aufléisbar. Nach Satz 94 gilt also dasselbe ffir (I2). Umgekehrt sei (I2) eigentlich auflésbar, und A, B, C seien paarweise teilerfremd. Dann sind nach den ersten Ergebnissen von § 75 auch A X, BY, CZ paarweise teilerfremd. Demnach existieren Lésungen 5, 17, C von

25 5 BY (mod A), X17 2 CZ (mod B), Y; E AX (mod C).

Aus (12) folgt dann B(BY2 + czz)= = o, 52:— —-BC (mod A).

Ahnlich ist 17“ = —CA (mod B), {‘3— = —AB (mod C).

Ubung XXXIV: I. Man fiihre die Gleichung F—=' AX3+ B Y’+ 62’ = 0 am eine Gleichung derselben Art, deren Koefiizienten keine quadratischen Faktoren haben und paarweise teilerfremd sind. Wir kénnen an-

nehmen, daB der 3. g. T. van A, B, C gleich ’I ist. Man setze A = aP’, B = bQ‘, C = 0R3, wo a, b, c keine quadratischen Faktoren haben. Nach (38) wird dann die Lésung von F = o auf diejenige von fE ax’+ by + c2” = o zurfickgeffihrt. Dann wende man Ubg. XXXII, 6 an. 2. Gib einen anderen Beweis von Beisp. I. Dazu setze man A = 170:. B =pfi, W0 1) eine Primzahl ist. Dann ist Z: {)3 und F/p: aX'+ fiY’ + 6132’. Das Produkt ihrer Koeffizienten ABC/p ist kleiner als das entsprechende Produkt A BC tfir F. Man wiederhole diesen ProzeB so lange, bis keine zwei der Koeffizienten mehr einen gemeinsamen Faktor haben. Dann wende man (38) an.

78. Erg'a‘nzung zu Satz 95. Wir beweisen folgenden Satz, den

wir ffir ein Hauptresultat fiber Genera in Kap. IX n6tig haben. S atz 96.' Man setze van a, b, 6 die Eigenschaften (I) and (4) vomus, d. h. es existieren game Zahlen A, B, C, so dafl

(41:)

A2 = — bc (mod (1), B?“ E -—ca (mod 1)), C2— = —ab (mod 1:).

.

Dawn gibt es cine eigentliche Losung (x, y, 2) von (3), welche die Beziehungen erfuillt (42)

AzE-by (moda), scz. (mod b), Cy= ax (mode).

Lésungen, welche gewissen Kongruenzen genfigen

125

Nach dem Chinesischen Restsatz I5 gibt es Lfisungen von (43)

X E 0 (mod b), X E C (mod 0),

Y E a (mod 0), Z E b (mod 11), Y E A (mod a), Z E B (mod b).

Dann gibt (41) (44) aX’ + bY2 + (:23 E 0 (mod abc), dz} die linke Seite durch a, b und 0 teilbar ist. Nach Satz 95 hat (3) eine eigentliche L6sung (u, v, w). Daher bestehen die Gleichungen (I4)—(29). Man setze (45)

TEaUX+bVY+cWZ, T’ E auX + v + cWZ (mod 2abc).

Dann ist nach (20) (46)

T E T’ (mod 2).

Nach (22) und (24) ist (47)

2X E “T + UT’ (mod 2bc), zY E vT + VT’ (mod 20a), 22 E wT + WT’ (mod 2ab).

Multipliziert man dies mit aX bzw. bY bzw. cZ, addiert und wen— det (44) und (45) an, so folgt o E 2 TT’ (mod 2abc), also (48)

TT’ E 0 (mod abc).

Um zu zeigen, daB T, T’ und abc keinen gemeinsamen ungraden Primfaktor p haben, fiihren wir einen indirekten Beweis. Es sei

also 1» ein solcher Teiler von T, T’ und etwa. 6. Damn wire nach (47) p ein Teiler von Y, also nach (43) auch ein Teiler van a E Y (mod 0). Es ist jedoch a u a. Nach (43) sind die Bedingungen (42) fiquivalent zu (49)

Y2 E Zy (mod a), Zx E Xz (mod b),

Xy E Yx (mod 0). Aus den Werten (25) und (45) von t, t’, T, T’ folgt 1;; f' Eab (uV—vU) (Xy—Yx)—.ac (wU —uW) (Xz—Zx)

+1” (”W—10V) (Yz—Zy) (mod zabc).

126

Losung der Gleichung axi+by3 +.t::'=o in ganzen Zahlen

Nach (21) wird hieraus (5o)

T’t — Tt’ E 2abw1(Xy — Yx) — 2acv,(Xz —Zx) + 2bcu1(Yz ——Zy) (mod 2abc).

Aus (49) und (50) folgt nun Offenbar (51)

T't a Tt’ (mod 2abc).

Umgekehrt folgt aus (50) und (51) Gleichung (49). Denn nach (22) sind 141, v1, w1 teilerfremd zu a bzw. b bzw. c. Und da 0 E 2bcu1 (Yz ——Z y) (mod 2a), so ist Y2 ———2 y durch a teilbar. Daher sind die Bedingungen (42) iiquivalent zu der einzigen Bedingung (51). Um Satz 96 zu beweisen, geniigt es zu zeigen, daB w1r t t’, r so wahlen konnen, daB sie (51) und die Bedingungen von Satz 93 erffillen. Fall I. abc ist ungrade. Dann sei d der g. g T. von T und

— dd’. Nach (48) ist d’ ein Teiler von T’ T/d, also auch abc— von T’. Wir sahen nun, daB T, T’ und abo keinen gemeinsamen

(ungraden) Teiler haben. Da sie nun durch jeden gemeinsamen Faktor von (1 und d’ teilbar sind, so folgt, daB d u d'. Der g. g T. I

von T, T’, abc ist auch der g. g. T. von d und T’ = d’ - T’/d’. Daher ist I der g. g. ’1‘. von d und T’/d’, also (1’ derjenige von dd’ = abc und T’. Wir setzen t = d, f," = d’, 1: = I._ Da t, t’ ungrade sind, so besteht (26) und Offenbar auch (29). Ferner sind t, t’ ungrade und teilerfremd. Nach Satz 93 ist (x, y, z) eine eigenth'che Losung von (3). ‘Nach (26) and (46) sind T’t und Tt’ kon— gruent modulo 2 und durch dd' teilbar; demnach besteht (51).

Fall II. abc ist grade. Dann sind T, T’ nach (46) und (48) grade. Man nehme an, daB T’ -=- T (mod 4). Aus Symmetriegriinden k6n— nen wir annehmen, daB 0 grade ist. Dann fOIgt aus (47): 2Y E E (v + V) T (mod 4). Nach (20) ist v + V, also auch Y grade. Da nach (43) a E Y (mod 0), so ist agrade. Da jedoch (to c, so zeigt dieser Widerspruch, daB T + T’ E 2 (mod 4). Aus Symmetriegri'mden k6nnen wir T= = o, T’ _=_ 2 (mod 4) armehmen. d und (1’ seien wie in Fall (I) definiert. Ist d’ ungrade, so setze man t— — 2d, 23’ = 2d’, 1— — 2. Dann ist t= o, t’ =2 (mod 4). Offenbar ist tt’— — abet” Ferner sind T’t

und Tt' durch 2d,d’ teilbar, so daB (51) besteht. Endlich haben d, d' und daher auch t, t' keinen gemeinsamen, ungraden Teiler.

Nach .Satz 93 ist also (x, y, z) eine eigentliche Losung von (3).

'

Ist 01’ grade, so setze man t = d, t’ = d’, 1 = I. Da. T/d prim

211 d’ und daher ungrade ist, so folgt aus T E o, daB d E 0 (mod 4).

Lbsungen, welche gewissen Kongruenzen genugen

127

Da femer d' ein Tefler von T’ ist, so _folgt aus T’ E- 2, daB d’ _=_ 2

(mod 4). Demnach ist t E o, t’ E 2 (mod 4). Nach Fall (I) haben t, t’ keinen gemeinsamen, ungraden Teiler. Daher tritt Satz 93

in Kraft. T/d und T’/d’ sind ungrade, ihre Differenz also grade. Multipliziert man sie mit dd’ = abc, so erhfilt man (51). Ubung XXXV: I. (x, y, z) sei cine eigentliche Lfisung, welche (42) genfigt, und (:4, v, w) sei eine gegebene solchs Lfisung. Nach (27) ist dann

(52)

05 Bxf—cz—E-g-Gt-l-i-JI' (mod b),

we G=Bu—ow, ]=BU——cW. Nach (I4), (22), (42) ist GEO, qE —2u (mod b). In (14) ist uwub. Ffir ungrades b ist nun jub, und 1' ist ein Vielfaches von b. Man beweise die letztere Beziehung auch im Falle eines graden b. Daher ist t' immer dutch abc teilbar. 2. (2'1, yl, 21) sei eine andere eigentliche Lfisung, welche (42) genfigt. Sie entstehe dutch t1, 1", 11. Nach (26) ist tt1'——-t't1 ein Vielfaches von 2abc. Umgekehrt folgt daraus, daB die zugehérige eigentliche Lbsung denselben Kongruenzen (42) genfigt. 3. Der-gemeinsame Faktor 6 in (30‘) ist ein Teiler der Ausdrficke (27), so daB demnach 6— —. I Oder 2. Da t' dutch abo— — KL teilbar ist, so ist Bu' teilbar durch L.-Wei1 1: UL, ist L ein Ieiler von 6. Fur ungrades aba ist L— — I, K— — abc.

NEUNTES KAPITEL

KOMPOSITION UND GENERA DER BINAREN QUADRATISCHEN FORMEN 79. Einleitung. Wir werden beweisen, daB das Produkt zweier

verwandter quadratiseher Formen g, Q sich wieder als quadratische Form ausdriicken liBt. Man sagt, diese Form entstehe aus den beiden andem dutch Komposition. Den Fall 9 = Q hatten wir schon in § 53, (39) kennen gelernt. — Sodann werden Wir die Theorie der Genera, die wir schon in §§ 52—55 begonnen hatten, weiter

entwickeln. Hiljssatz I: m, t1, . . ., tn mogm den g. g. T. I haben. Ist damn fades t,q, —— q,t, (1, s = I, . . ., n) durch m teilbar, so haben die Kon-

gruenzen (I)

tlB E 91: . . ., tnB E q" (mod m)

eine and um cine Lo'sung B. Da. I eine lineare Kombination von m, t1, . . . , 23" (§ I) ist, so gibt

es ganze Zahlen ha, so daB Z t,h, a I (mod m) wird. Bezeichnet man Z'qah.9 mit fl, so ist

trfi =. EtrQshs E ZQrtshs = Qtshs E qr (mOd m)' D. h. ,3 ist eine L6sung B von (1). Multipliziert man (I) der Reihe nach mit hl, . . . , hn und addiert, so sieht man aus B E [3 (mod m),

daB ,8 auch die einzige Lésung ist (§ 10). Hilfssatz 2: Ist b2 E d (mod 4a), ’3’ E d (mod 40;) and habm (2)

a, at, i-(b + ,6) keinen gemeinsamen Teiler,

so gibt es eine, modulo zaoc eindeutig bestimmte Losung B van

(3)

B E b (mod 2a),

B E. [3 (mod 20;),

32 _=_ d (mod 4aa).

Dabei haben auoh a, on, B keinen gemeinsamen Teiler.

Komposition

129

'Aus den Kongruenzen (3) folgt (4)

043 E ab,

(13 E afi,

%(b + fl)B E %(d + bfi) (modzaa).

Dabei erhalten wir die dritte Kongruenz von (4) aus

'05 (B —-b)(B —p) =B$+bp_(b +fi)B, und 3224 (mod 4am) .

'Umgékehrt ist aber auch (3) eine Folge von (4). — Da nun die drei Koeffizienten von B in (4) den g. g. T. I haben and da 0c - afi ——ocb ca, 0: “fld + bfl) —§(b +fl)ab =1}oc(d — 62),

_

a-%(d+bfi)—%(b+fl)afi=%a(d—fi*)

.

alle durch zaoc = m teilbar sind, so léiBt sich auf (4) Hilfssatz I mit m = zaoc anwenden. Danach hat also (3) eine, modulo 2cm eindeutig bestimmte Losung B, weil (4) eine solche hat. Ist schlieBIich D ein gemeinsamer Teiler von :1, at, B, so folgt

aus (3), daB

B 2122/},

w +fi) E B (modD).

Da also D auch in den drei Zahlen (2) aufgeht, so ist D = I. Hilfssatz 3: Ist f= ax2 + Bxy +sy3, (p =oc§2 + 35,] + aa, so ist

(5)

f¢p=F, wo F=aaX3+BXY+CY3,

(6)

X = x5 —— Cyn, Y= axn +¢xy§ + Byn.

Setzt man J = B3 —4aocC, so gibt die djrekte Multiplikation

(7) [m + (B + my] [20:6 + (B + WM] = 4aaX + 2 (B + 1/21) Y. Ersetzt man noch Wdurch —— Wund inultipliziert miteinander, so erhf—ilt man 4af . 40c

10. Ist dann (A, B, C) irgendeine der Formen

(19), so gibt es offenbar eine einzige gauze Zahl ’3; welche den Bedingungen

353 (modA),

(20)

oIq)=(—q|19)=+I oder (PIQ)=(—9l1’)=—IIm ersteren Falle ist (qlp) = —- I, im zweiten Falle (q|p) = + I. Ffir 1) E q E 3 (mod 4) habenwirdemnach in beiden Fallen: (plq) - (q | p) = —— I. 7. Zeige mittels des verallgemeinerten Reziprozitatsgesetzes 39, dafi g g % T. Wir kennen setzen: D = j: 2"PS’,’ wo a = o oder I und P das Produkt verschiedener ungrader Primzahlen ist. Ffihrt man die Abkfirzungen

ein: t=-} (iP—J), k= (—1)‘, I: (—1)“, f=~}(n'—I), m=7(n— I), won irgendeine positive, zu 2D teilerfremde Zahl ist; dann ist

(21")“= (— IV“=1’:

(:|: PI”) = (— I)“”(a).

(D111): (2|n)“(:|: Pn) = kmzfmlp). 151: n irgendeine positive, zu 2D teilerfremde Zahl, welche dutch eine Form von der Determinante D eigentlich dargestellt wird, so gibt es nach §46,

(32) eine Wurzel von N“; D (mod n), ffir die (Dln) = I. Daher ist

n=kmzf(n|P) =+ I. Man prfife die verschiedenen, in Satz 67 erwihnten Falle von D und bestatige, daB n immer entweder ein Charakter Oder ein Produkt von Chara]:-

teren ist. Dabei ist nur der Fall ausgenommen, daB k = l: P = I, also D = 5’. Die Charaktere erffillen daher die Beziehung n = I und sind abhingig. Im Falle eines einzigen Charakters C ist immer C = + I. 8. Rechne Beisp. 7 nach unter Berficksichtigung, daB flir jede Form der Tabelle von §53 s(n|3)= I ist. In Beisp. 2 ist a(n|3)= I, in Beisp. 3

6M 7) = I85. Der berfihmte GauBsche Satz fiber die Verdopplung. Der ursprfingliche GauBsche Beweis benutzte die Theorie der quadra-

tischen Formen in drei Variablen. 1864 gab Kronecker einen Be— weis mit'tels derselbenanalytischen Methoden, welche Dirichlet zu

I42

Komposition nnd Genera der binaren quadratischen Formen

seinem Beweise von Satz 106 verwandt hatte. Wir folgen hier dem Beweise von Dedekind, der in enger Beziehnng zu dem von Arndt im foum. ffir Math. Bd. LVI (I859) gegebenen BeWeise steht. ' Satz 105: Jede primitive Klasse des Hauptgenus- entsteht durch Verdopplung. Dabei ist fiir D < 0 die Klasse positiv. '

Als reprasentative Form einer gegebenen Klasse des'Haupt— genus Wahle man eine Form (A, B, C) von der Determinante D,» wo A u 2D. Da alle ihre Charaktere gleich + I sind, so ist A ein-

quadr'atischer Rest jedes ungraden Primfaktors von D und auch von 4 bzw. 8, wenn D durch 4 bzw. 8 teilbar ist Denn in den ent-i sprechenden Fallen von § 53 ist 6 = + I, A= = I (mod 4); 6=e

= I (mod8). Aus = I (mod4), A3: I (modI6), also A= = I, A= letzterem folgt nach Satz I7, daB A ein q. R jeder Potenz von 2 ist. Demnach ist A ein q. R. von D. Wir dtirfen nun, ohne daB unser Beweis an Allgemeinheit yer: liert, annehmen,’ daB A ein q. R. von. 4D ist, d. h. daB A E 1'

(‘mod 4) oder A E I (mod 8), je nachdem D ungrade oder grade ist. Dies trifft sofort zu, Wenn D s 3 (mod 4) oder D E 0 (mod 8);

Fiir die iibrigen FéiJle nehme man an, daB A die zugehorige K0114 gruenz nicht erfiillt. Dann ist A -=- 3 (mod 4), A E 7, 3 oder 5= I (mod 4), D = 2, 6 oder 4 (mod 8), (mod 8), je nachdem D_ da 1n den letzten drei Fiiflen s = I, 68 = I bzw. 6 = I. Nun geht durch die Transformation a

(I

—-I

O)

(A, B, C) in eine iiquiValente Form iiber, deren erster Koeffizienf A’ =Aoc2 + 230; +'C ist. Dann ist AA’ = (A0; + B)2 —D. Man Wéihle a so, daB Ax + B im ersten Falle grad und in den fibrigen drei Fallen ungrade ist, und femer so, daB

+ B prim

zu D ist. Dann hat A’ die verlangten Eigenschaften und ist prim zu 2D.

Nach der Definition yon D ist 4D E (2 B)2 (mod A). Demnach sind 4D und A quadratische Reste voneinander. Ferner sind 'A und D nicht beide negativ. Nach Satz 96 gilt die Gleichung (23)

Ax2+4Dy2—z3=o

fiir paarweise teilerfremde Zahlen x, y, z, welche die Beziehung erfiillen 232 = 4Dy (mod A). Daher ist z: = 233: (mod A), und wir konnen setzen z = Aw + 233:. In (23) ersetzen wir z durch

Verdopplung

I43

diesen Wert und D dutch 32 — AC. Nach Division durch A erhalten wir

s + s(2y) + C(zy)2 = x“. In (23) sind A x, 4D y, z paarweise teilerfremd. Da also 2 ungrade ist, so ist auch w ungrade. Ginge eine Primzahl in w und y auf, so wire sie auch ein Teiler von z. Daher ist w v 2y, und :63 wird

durch (A, B, C) eigentlich dargestellt. Letztere Form ist demnach fiquivalent zu einer Form (16*, u, 7)), deren erster Koeffizient x3 prim zu 4D ist. Diese Form entsteht dutch Verdopplung aus (x, u, xv), da ein gemeinsamer Faktor von x und u auch in “2 — x20 = D aufginge. Folgerungtl Ist (A, B, C) cine primitive Form des Haupt— genus von der Determinante D (und zwar eine positive, falls D < 0),

so ist I

Ax2+sy+Cy2=z’-

in ganien Zahlen lésbar, wobei z u 2D. 86; Sat: 106: Die Anzahl g der (positiven) primitiven Gernera. ist gleich der halben Anzahl T der Totalcharaktere.

- iDenn nach .den Sétzen Ioz—Io5 ist h = pg = get, a = y, g =15. Daheristg =0; =%T.

ZEHNTES KAPITEL.

DIOPHANTISCHE GLEICHUNGEN MIT EINER NUR ENDLICHEN ZAHL GANZER LOSUNGEN. 87. Hauptinhalt der folgenden Ausfiihrungen. Ein Polynom f(z) mit rationalen Koeffizienten heiBt re du21bel wenn es ein Produkt zweier Polynome von mindestens erstem Grade mit rationalen Koeffizienten ist. Im anderen Falle heiBt es 1rre du21be11) Z. B. ist x9 — 4 reduzibel, x2 — 2 irreduzibel. Wenn D > o kein Quadrat ist, so hat nach Ubg. XXX, 5 die Pellsche Gleichung x2 — Dy2 = I, deren linke Seite ja irreduzibel

ist, unendlich viele ganzzahlige Lbsungen. Dies ist um 50 bemerkenswerter, als es in Gegensatz zu einem allgemeinen Satze von Thue steht : 2) Satz 107:f(z) = anz" + - - + a0 sci ein irreduzibles Polynom vom Grade 11 g 3 mit ganzzahligen Koeffizienten. Man homogenisiere:

(1)

H(x, y) = anx" + an_1x"—1y + - - - + alxy”*1 + any".

Ist dann c eine gauze Zahl, so hat die Gleichung H (x, y) = c entweder iiberhaupt keine Lfisung oder nut endlich viele Lésungen in ganzen Zahlen.

Einen entsprechenden Satz werden wir auch fiir die Gleichung H = G(x, y) sowie fiir any2 + by + c = dx" erhalten. Die zuge-

hérigen Beweise erfordern zwar viel Raum, sind aber durchaus elementar und setzen lediglich die Kenntnis der Differentialrechnung voraus. 1) Uber den allgemeinen Begriff der Reduzibilitfit vgl. Dickson, Héhere Algebra (Teubner), § 82. 2) Journ. ffir Math., CXXXV (1909), pp. 284—305. Eine Lficke in diesem Beweise wurde von Maillet, Nouv. Ann. Math, XVI (1916), pp. 338—345 ausgefiillt.

I45

Satz 107 folgt aus Satz 108

Die Beweise beruhen auf folgendem Satze von Thuel) fiber die rationale Approximation von Wurzeln algebraischer Gleichungen: Satz 108: 0 sei eine Wurzel einer irreduziblen Gleichung vom Grade 11 g 3 mit ganzen Koeffizienten, und es sei A > o. Dann gilt die Ungleichung A

o. 88. Eigenschaften eines irreduziblen Polynoms. Satz 109: f (z) und g (z) seien Polynome mit rationalen'Koeffizienten, und f (z) sei irreduzibel. Haben dann f (z) = o, g (z) = o eine gemeinsame Wurzel, so istf(z) ein Teiler von 3 (2).?)

d (z) sei der g. g. T. von f(z) und g(z). Aus der elementaren Algebra ist bekannt, daB d (z) auf fihnliche Weise gefunden Wird Wie in § I ffir Zahlen angegeben und daB also die Koeffizienten von d (z) ebenfalls rational sind. Ist 0 die erwéihnte gemeinsame Wurzel, so hat d(z) den Faktor z — 0 und reduziert sich nicht auf eine

Konstante. Wegen der Irreduzibih'téit von f(z) ist der Quotient von f(z)/d(z) konstant gleich c =|= o. Nun ist aber g = dQ, also

g— =f 0/0-

Mit der Funktion f(z) heiBt auch die Gleichung f(z) = o irreduzibel. F olgerung 1: EM irreduzibele Gleichung hat mit einer Gleichwng

niedrigeren Grades mit rationalen Koeffizienten keine Wurzel ge-

memsam. Folgerung 2:. Eine irreduzible Gleichung hat keine mehrfachen Wurzeln.

Denn sonst hitte sie mit ihrer Ableitung f’ (z) = o eine Wurzel gemeinsam. 89. Sat: :07 ist eine Folgerung von Satz 108. Fiir y =|= o ist offenbar H (x, y) _ (3)

yn

_ f

(x) y

I) Wir folgen dem Beweise V011 Siegel, Videnskapsselkapets Skrifter, Vol. I (1921) in der Form, die ihm Landau in seiner Zahlentheorie, III (1927),

pp 37—65 gab

2) Derselbe Satz gilt auch ffir den allgemeineren Begriff der Reduzibilitit. Vgl. Dickson, Hohere Algebra, § 82. Dickson--Bodewig, Einffihrung in die Zahlentheorie

Io

I46

Diophantische Gleichungen mit einer nur endlichen Zahl

I. Es sei c = 0. Damn hat H = 0 die einzige, ganzzahlige Lfisung (o, o). Denn ans 3! = o folgt offenbar x = 0. Ffir y :1: o jedoch wire f(z) reduzibel, weil es einen Linearfaktor enthielte. II. Es sei c =|= o. Dann entsprechen y = o h6chstens zwei ganze Zahlen x, fiir die H (x o) = anx" — —c. — Es bleiben noch die Féflle y =|= o. Wir beweisen zunz'ichst fiir positives y, daB die Gleichung

H = c nur endlich Viele, ganzzahlige Léisungen hat. — Die (irra—tionalen) Wurzeln von f(z) = o seien 01, . . ., 0n. Angenommen, es gebe ganze Zahlen x und y > o, fiir die H(x,y)=a,,(x—01y)...(x—0,.y) =c

mit

y>o.

Dannist

(4)

IanI-Hlx-Okyl=|0Ik=I

Es gibt demnach mindestens ein k, fiir welches Ix—‘okylécn W0 Ci”: “n Die Wurzeln der irreduziblen Gleichung f(z) = o sind nach F01gerung 2 alle verschieden. Denmach gibt es eine Konstante

C2 > 0, so daB fiir jedesj =|= k: '91: — 05] > C2 und

Ix—Ml = |(9k—05)y + (ac—Ow)! > Cay—01> 950w, wenn man y > 2C1/C2 voraussetzt. Dann ist also

flux—mpgCay)“ (4) ergibt also |x_0kyl —s+—I,

(I4)

N > a(”+‘”' > (311)“.

Nun bilde man die N Polynome

(:5)

m+g

s

P(x, y) = 2‘ Emma», wo |n| g a. 6:0

k—o

150

Diophantische Gleichungen mit einer nur endlichen Zahl

Es stehen also hit die Koeffizienten 2a + I ganzzahlige Werte zur Verfiigung. Unter Verwendung der schon in (II) gebrauchten Bezeichnung ist

m+g

s

.

PM, y) = Z 20) Blaxl-lyl. i =l

_

..

k=o

Fiir die Koeffizienten gilt die Beziehung

(;) Baa

_S_(m;l'g)a < (I + I)'"+'a = 2"‘+'a = b,

wo b nui' zur Abkiirzung gesetzt wurde. Fiir k = I, I . . , n haben Wir ' nun [Bk] < c1 und daher m+g

s

[Pl(ol,ol)| I, so lieBe sich setzen X = 95/11, Y = y/d, und aus (27) wfirde folgen

(28)

|o— XH|< —y~ o, fiir welche die linke Seite von (28) kleiner 315 die letzte Seite ist. Dann liefert die erste Ungleichung fiir jedes solche Paar eine obere Grenze von d. Demnach gibt es auch nur endlich viele Paare ganzer Zahlen x, y, welche der Ungleichung (27) genfigen. Wir diirfen also x u y annehmen. — Nach (26) ist die Differenz (29)

s=v—(5—$T+s)>o.

Gilt nun der Satz fiir ein gegebenes v und ersetzt man v durch h > 1:, so folgt wegen y g I, daB y" g y’. Demnach diirfen wir s < I voraussetzen, weil, wenn der Satz in diesem Falle gilt, er

sicher ffir e > I besteht. Wir nehmen an, es gebe unendlich viele teilerfremde Lésungen von (27). Nun ist nach (29‘) v s, so folgt aus (32), daB (I/e)’-" g (I/E")"’, und -(8) ergibt E'"+'e'—'§E“', wo w=tifg+g (s—v). SchlieBlich folgt aus (29) und (30): w g

6 3+1

6

I

—-s31mdistA >0, sohat l 0— _ :Al o.

b bezeichne den Wert von n/(s + I) + s ffir s =[1/17]. 'Weil

I +s > 1/17, so ist b < 2 1/; Nunmehr wende man Satz III fiir v = b + s an, we a =§(2]/17—b). Dann"ist fiir groBes y und fiir beliebiges x: A

“V

H

1'

2"

l

A

yr+e= y2V_

Die Siegelsche Verallgemeinerung

159

— 93. Die Siegel’sche Verallgemeinerung von Sat: :07. Der Satz IO7 gilt nicht nur ffir die Gleichung H = c, sondem auch ffir H = G,

vorausgesetzt, daB der Grad von G nicht zu groB ist. Genauer gilt S atz H3: f(z) and H (x, y) seien We in Satz 107 definiert. M-sei das Minimum von n/(s +1) +8 far 3 = I, . . .,n —I.

G(x, y) sei sin Polynom mit ganzen Koefflzienten, in deren Gliedem die Summe tier Exponenten von x and y jedesmal < n —M ist. Dawn hat H (x, y) = G (x, y) mu endh‘ch viele ganzzahlige Lé'sungen. Wir sahen soeben, daB M < 2 Vn. Femer folgt wegen n g 3 fiirs = I,daBM o. Wegen dgr Gradzahlen der Glieder von G liBt sich ein hinreichend

kleines' positives s so wéihlen, daB

(35)

IGU‘: y)|§C1y“""“,

wo C1 (sowie die weiter unten erwéihnten C3, . . . , C5) > o und von x, y unabhfingig ist. Da nun

(36)

H(x, y) = “Ax — 91y) . - - (x —- 9.3V) = G(x. 1v).

so gibt es wenigstens einen Wert von k, fiir den

Ix — Okyl < Cay”,

wo v = (n —M —'2)/n.

Fiir jedes 1' =!= k fibertrifft [0,, -— 0,] eine Konstante C3. Daher ist ffir geniigend groBes y

(37)

lx—ml=|(0k—91)y+(x—0ky)| >Cay— n >04?-

Aus (35), (36) und dem ffir alle 1' :1: k genommenen Produkt von (37) ist daher CIW"M_“ __ Cs

[1-9ty|< l“nl(cay "—l—yu+°"'. Ffir y' > C5 ist also I

—y| I war also falsch, es muB viehnehr C = I sein.

II. In allen andern Fallen k6nnen Wir setzen a(x) = oc(x)/A, b(x)= fl(x)/B. Dann ist der g. g. T. von a(x) gleich I, ebenso derjenige von b(x). Nach dem vorigen Fall also ist der g. g. T. der Koeffizienten von ab gleich I, also derjenige von 01,3 gleich A B. S atz II5 (Gaufl). Ist e111 Polynom f(x) mit ganzen Koeffizienten reduzibel, so ist es e111 Produkt zweier Polynom vom Grade ; I mit

ganzen Koeffizienten.

Thuos Verallgemeinerung

I6]:

Wir diirfen den g. g. T. d der Koeffizienten von fix) als I voraus— setzen, denn andemfalls setzen wir f(x)/d anstelle von f(x). — Wir haben also is g . h, wo g and h rationale Koeffizienten haben.

Wir werden beweisen, daB diese Koeffizienten ganzzahlig sein mfissen. Wir k6nnen, da die Koeffizienten rational sind, die natiir-

lichen ZahlenG, H sowéihlen, daB die Koeffizienten von Gg (x) = ac (x) und Hh(x) = ,6 (x) ganze Zahlen sind. Wegen ocfi = GHf folgt aus Satz 114, daB C = GH. Daher ist f das Produkt von oc/A und 3/3. 95. Thues Verallgemeinerung von Satz 107.

Satz 116: Sat: 107 gilt auch ffir den Fall, daB f(z) = o reduzibel ist, jedoch darf f (z) = o keine mehrfachen Wurzeln haben, und es muB c =|= 0.1)

Nach Satz 115 gilt fiir ein reduzibles f(z) die Zerlegung f= ac(x) - fix), wo 0c und [3 Polynome vom Grade a > 0, b > o mit ganzen Koeffizienten sind. A (x, y) und B(x, y) seien die zugehéirigen homogenen Polynome. Die Gleichung H (x, y) = c geht dann fiber in die andere: A B = c. Fiir ganzzahlige x, y haben A und B ebenfalls ganzzahlige Werte. Da sich auch c nur auf endlich viele Arten als Produkt zweier ganzen Zahlen u, v darstellen 1531;, so haben wir zu beweisen, daB das Gleichungssystem

A (x, y) = u,

B‘(x, y) = v

nur endlich viele ganzzahlige Losungen hat. Fiir y = o erkennt man dies sofort; es sei also y :1: o, z = x/y. Wie in (3) ist dann

(38)

y“ ~oc(z) = u, y" - fi(z) = 0,

also

vayuwz) =vau° “warm.

d.h.

D=vaoocb(z)—u"ofl“(z)=o.

Da cc (.2) = o und fl (z) = o keine Wurzel gemeinsam haben, so verschwindet D nicht identisch. Demnach gibt es entweder fiberhaupt keine rationale Wurzel von D = o oder nur eine endliche Anzahl solcher Wurzeln. Fiir festes z besteht aber (38) ffir héchstens zwei

ganze Werte von y. SchlieBlich ergibt sich x aus x = yz. 95 3.. Die Satze 107, 116 gelten nur ffir homogene Polynome. Es bleibt also der allgemeine Fall f(x, y)=o, wo f(x, y) eine beliebige algebraische Funktion von 2:, y ist, zu behandeln 1) Ffir f(3) = z“ —- I und 5 = o hat 2:3 —— ya = o unendlich viele ganzzahlige L6sungen. Dickson-Bodewig, Eini‘fihrung in die Zahkntheorie

II

162

Diophantische Gleichungen mit einer nur endlichen Zahl

iibrig. Die ents'prechenden Satze verdankt man -Siegel.1) Wir Wollen hier seinen grundlegenden Satz anfiihren, ohne uns aber mit dem Beweise, der tiefere Vorkenntnisse verlangt, zu befassen.

. Es sei L (x, y)= ax+ by, wo a und b ganzzahlig sind. Aus (11) wissen Wir, daB die Gleichung L (x, y)— — c entweder keine Losung oder unzahlig viele Losungen (x, y) in ganzen Zahlen besitzt

_

"

Ferner sei Q (x, y) =ax” + bxy +0312 eine indefinite quadratische Form mit ganzen Koeffizienten, und es sei (i=1)2 — 4ac>o keine Quadratzahl. Aueh hier wissen wir aus 46,- 69, 71, daB die Gleichung Q(x, y): —k entWeder keine Losung oder unendl1ch viele Lésungen (x, y) 111 ganzen Zahlen hat.

Die beiden Typen L (x, y)— — c und Q (3;, y)— — k haben also bei passend gewihltem c bzw. k unendlich viele Losungen. Aus ihnen lassen sich leicht allgemeinere Typen mit ebenfalls unzahlig vielen Losungen auf folgende Weise finden. . A(u, v) und B (u, v) seien irgend ZWei ganzzahlige homogene Polynome vom Grade n mit ganzen Koef-fizienten. Keine der -

Formen sei femer zu L" proportional. Durch Elimination von 14:1) aus den Gleichungen ’

_A (14,0)

_ B (14,11)

=L" (u v)’

_L" (14.1)).

erhéilt man eine algebraische Gleichung zwischen x und y. Diese Gleichung besitzt unzahlig viele ganze Liisungen (x, y), wenn die n__-te Potenz des g. g. T. van a und b 1n den Koeffizienten von A und B aufgeht. Ferner seien C (u, v) und D(u, v) zwei homogene Polynome-

vom Grade 211, die nicht beide proportional zu Q" sind. Dann ' erhéilt man wieder dutch Elimination von 24: 0 ans =C(u,v)

Wu v)

D(u, :1)

3’: 9w v1

eine algebraische Gleichung zwischen x und y, welche unendlich viele Losungen hat, wenn man noc'h v0raussetzt, 'daB es eine

dutch Q darstellbare Zahl gibt, deren n-te Potenz 1n allen‘ Koeffizienten von C und D enthalten ist. . Diese-{beiden genannten Typen von diophantisch'en Gleichungen mit unzéihlig vielen ganzen Losungen sind auf einfache Weise 1) C. L. Siegel, Uber einige Anwendungen diophantischer Approxima-

tionen. Zweiter Teil: Uber diophantische Gleichungen. Abhandlungen d. preuB. Akademie d. Wiss. 1929, Physik.-Mathemat. Klasse, Nr. 1.; .

Resultate von Siegel

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aus den Gleichungen L=c, Q=k abgeleitet. Es lfiBt sich nun

zeigen — auf den Beweis miissen wir ans den oben erwéihnten Griinden verzichten—,daB man damit bereits alle bin'éiren

diophantischen Gleichungen mit unzéhlig vielen ganzen Lésungen hat. Denn es gilt nach Siegel der Satz: Die algebraische Gleichung .f (x, y) = 0 sei nicht dadurch identisch in einem Parameter t liisbar, daB man entweder x = A : L”,

y: BzL" oder x= C:Q", y=D:Q” setzt, wo A, B, C,-'D, ganzzahlige Polynome in t, L ein lineares, Q ein quadratisches indefinites Polynom in t bedeutet. Dann hat die Gleichung nur endlich viele Losungen in ganzen Zahlen. 96. Rationale Approximation einer reellen Zahl.

Satz H7: Ist a well and g cine naturl/iche Zahl, so konmm wir gauze Zahlen x, y finden, so dafl

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